| τετραγώνων , οἵ εἰσιν ἐξ ἀριθμοῦ τινος ἐφ ' ἑαυτὸν πολυπλασιασθέντος : οὗτος δὲ ὁ ἀριθμὸς καλεῖται πλευρὰ τοῦ τετραγώνου | ||
| δὲ κύβος ηὐξημένος ὢν ἐξ ἑκάστου τετραγώνου τῇ ἰδίᾳ πλευρᾷ πολυπλασιασθέντος ἐπίπεδα μὲν ἕξει πάντως ἕξ , ὧν ἕκαστον ἶσον |
| , τετράγωνον ὄντα , ποιήσει τὸν ξδ κύβον . . δυναμοδύναμις . Οἷον ὁ ιϚ : τετράκις γὰρ τὰ δ | ||
| πολλαπλασιασθῇ , ποιήσει τὸν ιϚ , καὶ λέγεται ὁ ιϚ δυναμοδύναμις ἐπειδὴ ἐκ τετραγώνου ἐγένετο τοῦ δ ἐφ ' ἑαυτὸν |
| τετράκις δεκαέξ . Οἷον δύναμις ὁ δ τετράγωνος . . δυναμόκυβος . Οἷον δύναμις ὁ δ καὶ κύβος ὁ η | ||
| αὐτῷ πλευρᾶς γεγονότος πολλαπλασιάσῃς , γενήσεται ὁ λβ ὅστις ἐστι δυναμόκυβος . . κυβοκύβων . Δυναμόκυβός ἐστιν ὁ λβ ἐπειδὴ |
| στερεῶν σωμάτων λόγοι δῆλοι , ἐπεὶ καὶ ὁ τοῦ αʹ κύβος τοῦ αὐτοῦ ἐστιν αʹ , ὁ δ ' ἀπὸ | ||
| οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες , ὁ δὲ τέταρτος ὁ Γ κύβος καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες , ὁ δὲ ἕβδομος |
| τῶν ρπ μοιρῶν τῆς ἀναφορᾶς συμπληρουμένης ἢ καὶ ἕως ἑτέρας τετραγώνου ἢ συμπληρουμένου παντὸς τοῦ κύκλου , ἢν δὲ καὶ | ||
| πλευρὰ μονὰς ἔσται πανταχόθι , ὅσηπερ καὶ ἡ τῆς δυνάμει τετραγώνου μονάδος . καθόλου δὲ ἕκαστος τετράγωνος ἓν μὲν ἐπίπεδόν |
| ἐν ἐπιφανεστάτῳ δὲ τῆς πόλεως τὸ Αἰάκειον καλούμενον , περίβολος τετράγωνος λευκοῦ λίθου . ἐπειργασμένοι δέ εἰσι κατὰ τὴν ἔσοδον | ||
| μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά - γωνον ἀριθμόν : καὶ τὰ |
| ἦσαν τὰ ἐπίπεδα , ὡς ἐδείχθη . Πάλιν οὖν ἄνωθεν ἑτερομήκης ἀριθμὸς λέγεται , οὗ ἐπιπέδως σχηματογραφηθέντος τετράπλευρος μὲν καὶ | ||
| τῆς εἴλης τετράγωνον ᾖ , ὁ ἀριθμὸς τῶν ἱππέων γίνεται ἑτερομήκης . Δοκεῖ δὲ τὸ ῥομβοειδὲς σχῆμα ἀναγκαιότατον παρειλῆφθαι : |
| τῆς σφαίρας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΗ πλευρᾶς οὔσης τοῦ κύβου , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς τοῦ ΚΛΘ τριγώνου ἰσοπλεύρου | ||
| ὧν αἱ πλευραὶ Μο ι . Τετάχθω ἡ τοῦ αου κύβου πλ . ʂ α Μο ε τουτέστι τοῦ ∠ |
| μεσότητος τὸ συντεθέντων τῶν ἄκρων ἀλλήλοις καὶ ὑπὸ τοῦ μέσου πολυπλασιασθέντων διπλάσιον ἀποτελεῖσθαι τὸ γινόμενον τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων γινομένου | ||
| δύναμις ὁ δ καὶ κύβος ὁ η . Ἐξ ὧν πολυπλασιασθέντων γίνεται ὁ λβ δυναμόκυβος . . κυβόκυβον . Οἷον |
| δ τῆς δυάδος διπλάσιος : μεῖζον δὲ τὸ τριπλάσιον τοῦ διπλασίου . ὡσαύτως καὶ ἐπὶ πλειόνων , οἷον ἀπὸ β | ||
| ἀδιαιρέτου γοῦν τῆς μονάδος ὑποκειμένης . ἐπὶ μὲν γὰρ τοῦ διπλασίου λόγου τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ [ ἐν διπλασίῳ |
| μο οβ . Οἱ τρεῖς τρίς , θ , καὶ ἐννάκις ἐννέα , πα . . Ηὕρηνται ἄρα οἱ β | ||
| τοῦ τρὶς τρεῖς γίνεται θ τετράγωνος , καὶ ἐκ τοῦ ἐννάκις ἐννέα τοῦ μείζονος καὶ τριπλασίου ὁ τετράγωνος γίνεται μο |
| τοιούτων οὐδέν . τὸ γὰρ αὐτὸ εἶδος τοῦ διπλασίου καὶ τριπλασίου ἔν τε τοῖς ἐλάττοσι καὶ ἐν τοῖς πλείοσιν ἀριθμοῖς | ||
| ►βασιλικός αʹ τιμοκρατικός βʹ ὀλιγαρχικός γʹ δημοκρατικός θʹ τυραννος Ϛʹ◄ τριπλασίου ἄρα κτλ . εἰλήφθω κατὰ τὴν μονάδα αὐτὴν ὁ |
| γιγνόμενος ποιεῖ τὸν ἡμιόλιον λόγον , ἐξ ὧν ἀμφοτέρων ὁ διπλάσιος σύγκειται λόγος , τοῦ δʹ φμηὶ πρὸς τὸν βʹ | ||
| τῆς Α τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον ἤτοι διπλάσιος ἤτοι δὶς δίς , ὅπερ ἐδήλωσεν εἰπών : τὰ |
| ἐπειδὴ τὸν μὲν κε ὁ ε ἐποίησεν ἐφ ' ἑαυτὸν πολλαπλασιασθείς , τὸν δὲ μθ ὁ ζ . οἱ δὲ | ||
| ὁ γ τὸν θ , οὔτε μετ ' ἄλλου τινὸς πολλαπλασιασθείς . Μέρη λέγω τοὺς ὑπολόγους , ὑποεπιτρίτους , ὑποεπιτετάρτους |
| τὰ τρία εἴδη ἄρτια καλοῦνται , καὶ γὰρ ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος , ὁ ἀρτιοπέριττος καὶ ὁ περισσάρτιος . συμβέβηκε δὲ | ||
| εἶναι ἀριθμόν ; διότι πᾶς ἀριθμὸς ἢ περιττός ἐστιν ἢ ἄρτιος . καὶ πᾶς ἄρτιος δύναται εἶναι , ἡ δὲ |
| δεύτερον ἐμφανεστάτην ἔχει προνομίαν : ἀεὶ γὰρ ὁ ἀπὸ μονάδος συντιθέμενος ἐν διπλασίοις ἢ τριπλασίοις ἢ συνόλως ἀναλογοῦσιν ἕβδομος ἀριθμὸς | ||
| ἀπὸ τῶν τετραγώνων γίνονται : οἷον ὁ δ τῇ μονάδι συντιθέμενος ποιεῖ τὸν ε : ὁ ε ἄρα πυραμίς ἐστι |
| : οὔτω γὰρ σαφὴς ἔσται ὁ ἀριθμὸς ὁ ἐξ αὐτῶν συγκείμενος τῶν ἀντιθέσεων . τὸ τοίνυν ὑποκείμενον ἢ καθ ' | ||
| τῷ στομάχῳ γειτνιῶν , ὥσπερ δ ' ἐκ κύκλων πολλῶν συγκείμενος χιτῶνας καὶ οὗτος ἔχει τέτταρας , συμπεπλεγμένος ἐκ νεύρων |
| ἡ δεῖξις προβήσεται . Ἔστωσαν μείζονες αἱ ρ μο λείψει ἀριθμοῦ ἑνός , ἐλάσσονα δὲ τὸν κ καὶ τὸν Ϟόν | ||
| ἄπειρον αὐτὸν οὐ τῷ ἀδιεξιτήτῳ ἢ τοῦ μεγέθους ἢ τοῦ ἀριθμοῦ , ἀλλὰ τῷ ἀπεριλήπτῳ τῆς δυνάμεως . Ὅταν γὰρ |
| ἢ διὰ τὸ ἐπιστύλιον τὸν στῦλον : τοῦ ἑτέρου γοῦν ἀρθέντος καὶ τὸ ἕτερον καταφέρεται . ὥστε τὸ μὲν μένον | ||
| βεβουλευμένος : ἡ γὰρ ναῦς φοροῦ πνεύματος ἐπιλαβομένη τοῦ δόλωνος ἀρθέντος ἐξέφυγε τὸν κίνδυνον . Ἀγαθοκλῆς μὲν οὖν οὐδ ' |
| οὐκ ἄν προύβη τὰ τῆς ἀποδείξεως . Ὁ γὰρ ἀπὸ Ϟοῦ α ↑ μονάδων τριῶν τετράγωνος γίνεται δυ μία μο | ||
| , ὥστε οὐ προβήσεται ἡ ἀπόδειξις . Ἐὰν δὲ ἀπὸ Ϟοῦ ἑνὸς ↑ μο δ πλασθῇ ὁ τετράγωνος , ἡ |
| τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου ἐποιοῦμεν : γίνεται τοίνυν δωδεκάκις ψξη , ͵θσιϚ : οὗτος τοίνυν ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἐστί , | ||
| ϘϚ : πολλαπλασιαζόμεναι γὰρ αἱ κδ ἐπὶ τὰς τπδ ποιοῦσι ͵θσιϚ , ἀλλὰ καὶ ὁ ϘϚ ἐφ ' ἑαυτὸν πολλαπλασιασθεὶς |
| δὲ ἡ μονὰς κατὰ τὸν ἕνα θεόν : πᾶς γὰρ ἀριθμὸς νεώτερος κόσμου , ὡς καὶ χρόνος , ὁ δὲ | ||
| γὰρ ἄλλα πάντα τὸν ἀριθμὸν φαίνεται μιμούμενα , ὁ δὲ ἀριθμὸς παρ ' ἑαυτοῦ ἀρχὰς μονάδα καὶ δυάδα . ὡς |
| τὴν μὲν τῶν χορδῶν κοινὴν ἀπόδεσιν , τὴν ἐκ τοῦ διαγωνίου πασσάλου , εἰς τὸν τοῦ ὀργάνου βατῆρα , ὃν | ||
| πρὸ ἐκείνου τετραγώνου τοῦ δʹ , παρὰ τὸν εʹ , διαγωνίου κειμένου αὐτῷ ἑνὸς τριγώνου . ὁ δ ' ὑπὸ |
| πρώτη διμερὴς γερανίς . Περιειλήσαντες τὴν μονομερῆ γερανίδα ἄγομεν ἐκ περισσοῦ τὴν ἐπείλησιν , ἐγκύκλιον μὲν κατὰ στέρνου , βραχίονος | ||
| . Καὶ μὴν εἰς δύο διαιρουμένων ἴσα , τοῦ μὲν περισσοῦ μονὰς ἐν μέσῳ περίεστι , τοῦ δὲ ἀρτίου κενὴ |
| ἀριθμοὶ πίστις : αὐτίκα ὁ ἀπὸ μονάδος ἐν διπλασίονι λόγῳ παραυξηθεὶς ἕβδομος , ὁ τέσσαρα καὶ ἑξήκοντα , τετράγωνος μέν | ||
| ἐπὶ τέσσαρα τετράκις : καὶ πάλιν ὁ ἐν τριπλασίονι λόγῳ παραυξηθεὶς ἀπὸ μονάδος ἕβδομος , ὁ ἑπτακόσια εἰκοσιεννέα , τετράγωνος |
| κατασκευάζουσι τὸ προκείμενον οὕτω . λαμβάνουσιν ἡμιόλιον ἀριθμόν τινα τὸν ψξη πρὸς τὸν φιβ . καὶ ἀπὸ τούτου τοῦ φιβ | ||
| ͵γοβ καὶ τοῦ δʹ διαστάματος : ὑπερέχει γὰρ καὶ ὑπερέχεται ψξη . ὁ δ ' αὐτὸς μέσος τοῦ τε θʹ |
| τῶν Γ Δ Ε ἐστιν μονάδων ρμδʹ [ ὁ Θ στερεός : ἁπλῶν οὖν μυριάδων ρμδʹ ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν | ||
| ὥστε ὁ ἐκ τῶν νʹ νʹ νʹ μʹ μʹ λʹ στερεός ἐστιν μυριάδων ξʹ διπλῶν . ιεʹ . Ἔστωσαν δὴ |
| τριάδος καὶ ἡ δυὰς τῷ ἑαυτῆς ἡμίσει ὑπερέχεται ὑπὸ τῆς τριάδος . καὶ τοὺς ἄκρους δὲ συντεθέντας ἀλλήλοις καὶ ὑπὸ | ||
| τοῦ γ πρῶτος διπλασιεπίτριτος ἦν , λάμβανε πάντας τοὺς ἀπὸ τριάδος τριάδι διαφέροντας καὶ τοὺς ἀπὸ ἑπτάδος ἑπτάδι , καὶ |
| † φεύξεσθαι ὀΐομαι αἰπὺν ὄλεθρον . τρὶς μάκαρες μέντοι καὶ τετράκις οἱ μὴ ἔχοντες μήτε κατατρώξαντες ἐνὶ σχολῇ ὅσς ' | ||
| οὖν τούτων ἐχόντων , φαμὲν οὕτως , πεντάκις παρεγένετο , τετράκις παρεγένετο , οὐ μὴν ἔτι οὕτως , πέντε παρεγένετο |
| ἡ Μακεδονικὴ φάλαγξ ἐν τούτοις παρετάσσετο . Τί παρέχει ὁ οὐραγός . Περὶ τῶν ψιλῶν : πῶς αὐτοὺς δεῖ τετάχθαι | ||
| καὶ ὅταν τέλος ἡ σκηνὴ ἔχῃ , ἐξάγει μὲν ὁ οὐραγός , ἔφη , ὁ τοῦ τελευταίου λόχου τὸν λόχον |
| ἰδέα οὐδέποτε ἥξει . Οὐ δῆτα . Ἄμοιρα δὴ τοῦ ἀρτίου τὰ τρία . Ἄμοιρα . Ἀνάρτιος ἄρα ἡ τριάς | ||
| τοιούτοις . ἔοικε γὰρ ὁ γεωμέτρης πάντα ἀριθμὸν τὸν ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενον κατὰ ἄρτιον ἀριθμὸν ἀρτιάκις ἄρτιον ὀνομάζειν , |
| δὲ πρῶτα δι ' εὐαφοῦς σπόγγου ἀποθλιβομένου εἰς χλιαρὸν ὕδωρ ἀφαιρείσθω . Τροχίσκος κάλλιστος ὁ τοιοῦτος . Λιθαργύρου , ψιμυθίου | ||
| , ὁ δὲ ἀφαιρούμενος ἐγγυητὰς τρεῖς ἀξιόχρεως καταστήσας , οὕτως ἀφαιρείσθω κατὰ ταῦτα , ἄλλως δὲ μή : ἐὰν δὲ |
| β μο α . ↑ οὖν τοῦ δευτέρου , ἤτοι Ϟῶν β μο α , γίνεται δυ μία , τουτέστι | ||
| β : ἔσται Ϛ δʹ . Ὁ δὲ ἕτερος ταχθεὶς Ϟῶν ι ἔσται λ δʹ . Καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς |
| : τοῦτον γὰρ μετρεῖ μετὰ τὸν ιε ἐφ ' ἑαυτὸν πολλαπλασιαζόμενος : πεντάκις γὰρ ε κε . τὸν δὲ τρίτον | ||
| , ὅσαι εἰσὶν ἐν αὐτῷ μονάδες , τοσαυτάκις συντεθῇ ὁ πολλαπλασιαζόμενος , καὶ γένηταί τις . Ὅταν δὲ δύο ἀριθμοὶ |
| τμημάτων ὁ μηνίσκος . ἔσται οὖν ἐλάττων ὁ μηνίσκος τοῦ τριγώνου τοῖς ὑπὸ τοῦ ἑξαγώνου ἀφαιρουμένοις τμήμασιν . ὁ ἄρα | ||
| καταγίνεται , ὡς γεωμετρία ἀποδεικνύουσα ἀεὶ τὰς τρεῖς γωνίας τοῦ τριγώνου δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι , ἢ ὡς ἐπὶ τὸ |
| δοθείς : ἔστιν δὲ ὁ ΑΒ Μο α , καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΒΓ ἔστιν δοθείς : δοθὲν ἄρα καὶ | ||
| , ὧν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΕ ἐστι διπλασίων , καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΗΓ λοιποῦ τοῦ ΕΓ ἐστι διπλασίων : |
| λείψει ἀριθμοῦ ἑνός , ἐλάσσονα δὲ τὸν κ καὶ τὸν Ϟόν . Ἅπαξ ἄρα τὰ ἐλάσσονα , ἤτοι τὸν π | ||
| κβ . Δεῖ τοίνυν τὸν ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν τετράγωνον Ϟόν , ἤτοι καθ ' ὑπόθεσιν τὸν ιϚ , ἐλάττονα |
| ἀλλ ' ἡ μὲν μοῖρα ἐφ ' ὃ ἂν εἶδος πολλαπλασιασθῇ , τὸ αὐτὸ εἶδος ποιεῖ : ἐπὶ γὰρ πρῶτα | ||
| , ἐὰν ἡ τοῦ αβ πρὸς τὸ γδ λόγου πηλικότης πολλαπλασιασθῇ ἐπὶ τὴν τοῦ γδ πρὸς τὸ εζ λόγου πηλικότητα |
| ' ἐκάλεσαν ὅτι τῶν σχημάτων ὁ κύκλος ἀπήρτισται καὶ ἔστι τέλειος . καὶ τὸ ποτήριον οὖν τὸ δεχόμενον τὴν ὑγρὰν | ||
| καὶ ἀεὶ ἄλλη : ἡ δὲ κίνησις οὐκ ἦν ἡ τέλειος ἐνέργεια , καθάπερ εἴρηται πρότερον , ἀλλ ' ἡ |
| οὓς κῆρες φορέουσι μελαινάων ἐπὶ νηῶν . ἀθετεῖται , ὅτι περισσός : ἐν γὰρ τῷ κηρεσσιφορήτους τὸ αὐτὸ συντόμως εἴρηκεν | ||
| λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν . Ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΒ περισσός ἐστιν , ἀφῃρήσθω μονὰς ἡ ΒΔ : λοιπὸς ἄρα |
| σφαίρας τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΘ καθέτου ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ὀκταέδρου . τριπλάσιόν ἐστιν . μζʹ . Ἔστω τρίγωνον ἰσόπλευρον | ||
| πέντε ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου , ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἡ τοῦ ὀκταέδρου , ὑπὸ δὲ τριῶν ἡ τῆς πυραμίδος . δῆλον |
| ἀπὸ μονάδος ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ , ὁ σύμπας πολυπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν ὀκταπλασίονα τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν , καὶ προσλαβὼν | ||
| α . Πῶς ; Ϟ α δὲ ἐπὶ Ϟ α πολυπλασιασθεὶς ποιεῖ δυ α . δυ ἄρα α ἑξαπλασίων ἐστὶν |
| Ϛ , ἤτοι ϘϚ ιϚʹ , γίνεται πάλιν ὁ ὅλος Ϟὸς ρκα ιϚʹ , ὥστε ἀφαιρουμένων τῶν ϘϚ ιϚʹ , | ||
| γὰρ ἀπὸ τοῦ τρία καὶ δ ὑπερβάλλουσι τὸν κ . Ϟὸς μὲν εἷς μονάδες τρεῖς πολλαπλασιασθέντες ἐφ ' ἑαυτοὺς ποιοῦσι |
| ἀρτία τε οὖσα καὶ περιττὴ καὶ ἀρτιοπέριττος καὶ γραμμὴ καὶ ἐπίπεδος καὶ στερεὰ κυβική τε καὶ σφαιρική . καὶ ἀπὸ | ||
| ' ἡμᾶς χρόνων ἐνοικοῦντες . ὁ γὰρ τῆς ἀκροπόλεως περίβολος ἐπίπεδος ὢν καὶ μέγας κρημνοῖς δυσπροσίτοις περιέχεται πανταχόθεν , ὥστε |
| μεριζόμενα μοίρας ποιήσει , ἐπεὶ καὶ μοῖραι ἐπὶ τρίτα λεπτὰ πολλαπλασιαζόμεναι τρίτα λεπτὰ ποιοῦσιν : καὶ ἁπλῶς πᾶν εἶδος παρ | ||
| λόγον ἔχειν λέγεται , ὅταν αἱ πλευραὶ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας πολλαπλασιαζόμεναι ποιῶσιν ἕτερον ἀριθμὸν μέσον ἀνάλογον , οἷον τοῦ ιϚ |
| δοθέντας ἀριθμούς . Δεῖ δὴ τῶν εὑρισκομένων τὸν ἀπὸ τοῦ ἡμίσεος τοῦ συναμφοτέρου τετράγωνον τοῦ ὑπ ' αὐτῶν ὑπερέχειν τετραγώνῳ | ||
| προσοδιακὸν τρίμετρον βραχυκατάληκτον ἐξ Ἰωνικοῦ ἀπὸ μείζονος , χοριάμβου καὶ ἡμίσεος ποδὸς ἀδιαφόρου . Τὸ ηʹ ἰαμβικὸν δίμετρον ἀκατάληκτον : |
| ἐστιν , ἀλλ ' οὐκέτι ἐπαληθές , ὅτι πᾶς τρίγωνος ἑξάγωνός ἐστιν . τὸ μὲν γὰρ αὐτῶν κοινότερον , τὸ | ||
| ἐστιν , ἀλλ ' οὐκέτι ἐπαληθές , ὅτι πᾶς τρίγωνος ἑξάγωνός ἐστιν . τὸ μὲν γὰρ αὐτῶν κοινότερον , τὸ |
| φαίνεται , ἂν ἐπινοήσωμεν αὐτὸν διπλασίονα γενόμενον , εἰς δύο διαιρουμένου ἑκάτερον αὐτοῦ τῶν μερῶν ποδιαῖον φανήσεται . Ὥστε εἰ | ||
| τοῦ βιβλίου διαίρεσιν . εἰς τέσσαρα τοίνυν ἐναργῶς αὐτοῦ τμήματα διαιρουμένου τὸ μὲν πρῶτόν ἐστι περὶ τῶν ἀρχῶν τοῦ ἀποφαντικοῦ |
| τοῦ διπλασίονος τοῦ τρίτου ὑπερέχουσι μο κ . Ὁ ἄρα διπλασίων τοῦ τρίτου ἔσται Ϟ β ↑ μο κ : | ||
| διπλασίου καὶ τοῦ τριπλασίου τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς συντιθεμένων , διπλασίων μὲν αʹ βʹ δʹ ηʹ : δ ' ἐστὶ |
| ΘΜ ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΚΒ ⃞ον , μετὰ τοῦ ηκις ὑπὸ ΗΘ . ΚΒ , καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ | ||
| ΒΔ , τῷ ἴσῳ ἀλλήλων ὑπερεχέτωσαν : δεικτέον ὅτι ὁ ηκις ὑπὸ ΑΒ . ΒΓ , προσλαβὼν τὸν ἀπὸ τοῦ |
| διπλασία τῆς ὑπάτης ἐπιτέταται καὶ ὅλως ὁ δ τοῦ ὀκτὼ ἥμισυς καὶ τοῦ τρία ἐπίτριτος , ὡς ἂν ἀδιαφόρων οὐσῶν | ||
| μὲν οὖν ἀρτιάκις περισσός ἐστιν , φανερόν : ὁ γὰρ ἥμισυς αὐτοῦ περισσὸς ὢν μετρεῖ αὐτὸν ἀρτιάκις . λέγω δή |
| δὲ οἱ τριάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντες ἐν τῇ συνθέσει ἀπὸ μονάδος πενταγώνους ἀποτελοῦσιν , ἑξαγώνους δὲ οἱ τετράδι , ἀεί τε | ||
| πυραμίδας τριγώνους βάσεις ἐχούσας . καί εἰσι ιβ μὲν πυραμίδες πενταγώνους βάσεις ἔχουσαι τὸ στερεὸν τοῦ δωδεκαέδρου , εἴκοσι δὲ |
| ἢ τριπλάσιος . ἐδείχθη δέ , ὅτι οὐδὲ μείζων ἢ τριπλάσιος : τριπλάσιος ἄρα ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου : ὥστε | ||
| δὲ διπλάσιον τὸν τοῦ Ϛ : ἐὰν δὲ καὶ ὁ τριπλάσιος οὗτος δεύτερον εἶδος ὢν τοῦ πολλαπλασίου συντεθῇ ἐπιτρίτῳ δευτέρῳ |
| ὁ ἐπίτριτός ἐστιν . Ὁ δὲ διὰ πέντε , ὁ ἡμιόλιος . Ὁ δὲ διὰ πασῶν , ὁ διπλάσιος . | ||
| τὰ λοιπά . καὶ ἐγίνετο ἐκ μὲν τοῦ διπλασίου ὁ ἡμιόλιος , ἐκ δὲ τοῦ ἡμιολίου ὁ ἐπιμερής , καὶ |
| ἤδη εἰρήκαμεν . διὰ τοῦτο καὶ οὐδὲ μέρους τῆς ψυχῆς ἑτέρου καὶ ἑτέρου ἀλλὰ μορίου ἑκατέρων τῶν ἕξεων , ὡς | ||
| , ὁ μὲν τῇ προκειμένῃ ἑπόμενος ῥήσει καὶ ἀξιῶν τοῦ ἑτέρου μόνον μορίου τῆς ἀντιφάσεως εἶναι τὴν διαλεκτικὴν ἐρώτησιν , |
| οἱ μακρότατοι αὐτῶν πηχέων δύο , οἱ δὲ πλεῖστοι ἑνὸς ἡμίσεως πήχεος . κόμην δὲ ἔχουσι μακροτάτην μέχρις ἐπὶ τὰ | ||
| ἔχῃ : Χίῳ δ ' ἐγκεράσας τάδε μίγματα πικρὸν ἐχίδνης ἡμίσεως δραχμῆς ἰὸν ἀποσκεδάσεις : τῷ δὲ ποτῷ καὶ δεινὰ |
| τοῦτον ὑμνοῦσιν ὡς τέλειόν τε καὶ πρῶτον ἡνίοχον τοῦ τελειοτάτου ἅρματος . τὸ γὰρ Ἡλίου ἅρμα νεώτερόν φασιν εἶναι πρὸς | ||
| Αἰσχύλου ἐν Γλαύκῳ Ποτνιεῖ [ . ] : ἐφ ' ἅρματος γὰρ ἅρμα καὶ νεκρῷ νεκρὸς , ἵπποι δ ' |
| λέγεται , ὅταν αἱ τῶν λόγων πηλικότητες ἐφ ' ἑαυτὰς πολλαπλασιασθεῖσαι ποιῶσί τινα . ] Τὰ τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα | ||
| συγκεῖσθαι λέγεται , ὅταν αἱ πηλικότητες αὐτοῦ ἐφ ' ἑαυτὰς πολλαπλασιασθεῖσαι ποιῶσί τινα . ὁ τοίνυν τῶν δύο ὅρων μέσος |
| ὅρου πρὸς ὅρον : εἶτα τούτων ἀμφοτέρων σύστημα τοῦ τε ἡμιολίου καὶ τοῦ ἐπιτρίτου ὁ διὰ πασῶν ἐφεξῆς αὐτοῖς κείμενος | ||
| ἀμφοτέρων ἅμα τὸν λόγον , σύστημα ὑπάρχων διπλασίου ἅμα καὶ ἡμιολίου , ὥσπερ τοῦ Ϛ πρὸς β , ὅρου πρὸς |
| ΒΓ τοῦ ΔΖ ἡμιόλιος , ὁ δὲ ΔΖ τοῦ Θ ἐπίτριτος : φημὶ τὸν ΒΓ τοῦ Θ διπλάσιον εἶναι . | ||
| τὸ τρίτον αὐτοῦ , ἤγουν τὸ Γ . Ὁ Η ἐπίτριτος τοῦ Ϛʹ . Περιέχει γὰρ ὅλον τὸν Ϛʹ , |
| τοῦ ἰατροῦ ἀλλ ' ὁ σκυτοτόμος ἰατροῦ καὶ ὁ ἰατρὸς σκυτοτόμου , ὥστε φανερόν , ὅτι αἱ χάριτες τῶν ἀνομοίων | ||
| λεπτὰ εἴρηται ἐν Ποσειδίππου Πορνοβοσκῷ καὶ ξυστήρια . τὰ δὲ σκυτοτόμου σκεύη τομεὺς ἐν Πλάτωνος Ἀλκιβιάδῃ εἰρημένος , καὶ σμίλη |
| , ἐπεὶ ὁ ἀπὸ ʂ β Μο α ⃞ος ἐστι ΔΥ δ ʂ δ Μο α , ἐὰν ὁμοίως ἀφέλω | ||
| # ʂ β˙͵δφος : καὶ πάντων τὸ Δον . γίνεται ΔΥ α ΜΥ ρδ˙͵ηφος # ʂ ͵Ϛρμδ ἴσ . ⃞ῳ |
| δεῖ οὖν τὸν ι διελεῖν εἰς τρεῖς ⃞ους ὅπως ἑκάστου ⃞ου ἡ πλευρὰ πάρισος ᾖ Μο Ϛια / . ἀλλὰ | ||
| . καὶ γίνεται ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ ἐμβαδοῦ καὶ τοῦ ⃞ου , ΔΥ κϚ Μο ι : ταῦτα ικις : |
| ἀπέκτεινεν καὶ ἄλλον δεύτερον ἐπὶ τοῖς αὐτοῖς , ἕως ὁ τρίτος συνεὶς παραγενομένην ἔφη πάλαι τὴν θεὸν αὐτὸν ἀναμένειν . | ||
| Πτιαῦ ὁ πρῶτος , Ἀεὺ ὁ δεύτερος , Πτηβυοὺ ὁ τρίτος . ὁ γεννώμενος ἐπὶ τοῦ πρώτου ἔσται μέγας , |
| . Συντεθέντων γὰρ σὺν δύο καὶ ὑπὸ τοῦ λοιποῦ τρὶς πολλαπλασιασθέντων , ἀποτελεσθήσονται ρπ ζʹ , ρν ζʹ , ρκ | ||
| τοῦ τε τρίτου ὄντος τελείου καὶ τοῦ τετάρτου ὄντος γονίμου πολλαπλασιασθέντων καὶ συγκερασθέντων ἀποκυίσκεται . Τῶν οὖν ἐν τοῖς δώδεκα |
| οὕτως , οἱ δὲ Πυθαγόρειοι τὸ μὲν σημεῖον ἀνάλογον ἐλάμβανον μονάδι , δυάδι δὲ τὴν γραμμὴν καὶ τριάδι τὸ ἐπίπεδον | ||
| πρὸ γὰρ τοῦ ζ ὁ Ϛ , ὃς ἄρτιος : μονάδι οὖν διαφέρει τοῦ ἀρτίου . ὡσαύτως καὶ ὁ ἄρτιος |
| τοῦ δ . τὸ τετράγωνον οὖν τὸ γινόμενον ἐκ τοῦ πολυπλασιασμοῦ τοῦ δ πρὸς τὸν θ τετράκις τὰ ἐννέα , | ||
| καὶ πολυπλασιασθέντας ὑπὸ τοῦ μέσου διπλάσιον ἀποτελεῖν τοῦ ἐξ ἀλλήλων πολυπλασιασμοῦ . ἐκλήθη δὲ ἁρμονικὴ ἡ τοιαύτη μεσότης , ὅτι |
| ἦγον τοὺς μῆνας . ὁ δὲ τῆς σελήνης μήν ἐστιν εἰκοσιεννέα τέταρτον ἡμερῶν . τρίτῃ δὲ εἰκάδι . τοῦ πατριάρχου | ||
| ἡ σελήνη , ὁ καλούμενος μήν : ἔστι γοῦν ἡμερῶν εἰκοσιεννέα τέταρτον , ὥστε εὐλόγως τὴν τριακάδα κοινὴν γενέσθαι τῶν |
| τὲ ἡ τριγωνικὴ πλευρὰ συνέστηκεν , ἐκ τίνων δὲ ἡ τετραγωνικὴ καὶ ἡ ἑξαγωνικὴ ἐκ τίνων , καὶ δὴ καὶ | ||
| ἑκατοντάδων τε καὶ μυριάδων . οὐκέτι δὲ καὶ πλευρὰ ἔσται τετραγωνικὴ τοῦ χίλια ἀριθμοῦ ἡ ἑκατοντάς : οὐδὲ γὰρ τετράγωνός |
| ἐστὶν ἀποστηματώδης ἐκ παχέων χυμῶν , ἐν τοῖς σαρκώδεσι τόποις συνιστάμενος , ἐπιεικὴς μὲν ὑπάρχων , ὅτε ἐν αὐτῷ μόνῳ | ||
| τὸ πᾶν ἐστιν ὁ ἀήρ , καὶ οὗτος πυκνούμενος καὶ συνιστάμενος ὕδωρ καὶ γῆ γίνεται , ἀραιούμενος δὲ καὶ διαχεόμενος |
| οὐ γεννᾶι οὔτε γεννᾶται ὑπ ' ἄλλου ἀριθμοῦ πλὴν ὑπὸ μονάδος : διὸ καὶ καλεῖται ὑπὸ τῶν Πυθαγορείων παρθένος ἀμήτωρ | ||
| ιη , καὶ α καὶ ιθ . ἐπὶ μέντοι τῆς μονάδος οὐκέτι τοῦτο , ἀλλὰ τοῦ μὲν μετ ' αὐτὴν |
| φῶτα ἐν ἀρσενικοῖς ζῳδίοις τυχόντα καὶ ὁ ὡροσκόπος ὑπὸ ἀγαθοποιῶν θεωρούμενος εὐτοκίαν ποιοῦσιν , ἐπὶ δὲ θηλυκῆς γενέσεως δυστοκίαν ποιοῦσιν | ||
| ἀλλὰ δὲ καὶ βʹ τριγωνικὸς δεσπότης τοῦ ὑπογείου ὑπὸ κακοποιῶν θεωρούμενος ἢ κακῶς κείμενος δίχα Διὸς καὶ Ἀφροδίτης σίνος ἢ |
| τὸν ἰσημερινὸν πίπτοντος , τουτέστιν ἀπὸ τοῦ τεταρτημορίου ἀπέχοντος τοῦ ὁμοταγοῦς βορείου πόλου τοῦ ἰσημερινοῦ , μέχρι μοιρῶν ξγ τοῦ | ||
| ὁμογωνίου καὶ τοῦ ἀνωτάτου τριγώνου τοῦ [ μονάδι ἐλάττονος ] ὁμοταγοῦς παρ ' ἓν κειμένου . εἰκότως ἄρα στοιχεῖον πολυγώνων |
| ὁ γ συνεχὴς προσσωρευθεὶς καὶ ἐξαπλωθείς γε εἰς μονάδα καὶ συντεθεὶς τὸν Ϛ ἀποδίδωσι δεύτερον ἐνεργείᾳ τρίγωνον καὶ προσέτι σχηματογραφεῖ | ||
| δ ὁ ἀπὸ τοῦ αβ τετράγωνος , ὁ δὲ εη συντεθεὶς ἐκ δύο ἐπιπέδων ἀριθμῶν τῶν ἐκ τῶν αβ βγ |
| παρ ' οὐδέν . ὁ δ ' ὑπ ' αὐτὸν πεντάγωνος ὁ κβʹ σύστημα τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν τετραγώνου τοῦ ιϚʹ | ||
| ἐστιν , ὁ δὲ δ τετράγωνος , ὁ δὲ ε πεντάγωνος , ὁ δὲ Ϛ ἑξάγωνος , ὁ δὲ ζ |
| ἀλλὰ ποτὲ καὶ ἀόριστον ὄνομα ποτὲ δὲ λόγος ἐξ ὀνομάτων συνεστὼς πλειόνων . ἀλλ ' οὐχ οὕτω λέγεται ταῦτα σαφῶς | ||
| , τρόπου : εἰ μικρά τις τούτων ἐμπέσοι διαφορὰ , συνεστὼς ποιήσει τὸ ζήτημα , ἐπὶ προσώπου μὲν , εἰ |
| τετρὰς δὲ ὁ ΓΕ : καὶ ἐπεὶ ὁ ΑΒ ὢν πολύγωνος ἔχει γωνίας τοσαύτας ὅσος ἐστὶν ὁ ΒΓ , ὁ | ||
| τὸν ὀκταπλάσιον τοῦ ΚΒ : ὥστε εὑρετός ἐστιν ὁ ζητούμενος πολύγωνος . Ὁμοίως δὲ καὶ πολυγώνου δοθέντος εὑρήσομεν τὴν πλευρὰν |
| ' ὧν τὰ Β στερεὸς ἴσος ἐστὶν τῷ διὰ τῶν ἑκατοντάδων στερεῷ ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν πυθμένων στερεόν , τουτέστιν | ||
| καὶ τεσσαράκοντα γίνονται ἑκατόν , ὁμοίως δὲ καὶ χιλιάδα ἐξ ἑκατοντάδων καὶ μυριάδα ἐκ χιλιάδων , μονὰς δὲ καὶ δεκὰς |
| Ἀλλ ' εἰ εἰδοποιήσει αὐτὸ ὥσπερ ὕλην καὶ ἔσται παρουσίᾳ δεκάδος δέκα καὶ δεκάς , δεῖ πρότερον ἐφ ' ἑαυτῆς | ||
| ἔχει πρότερον ἔχων , ἀποβέβληκεν , αὐτὸ δηλαδὴ τὸ τῆς δεκάδος εἶδος : ὅσα δὲ μὴ ἔχει ᾗ ὅσα , |
| αη ηβ : καὶ ἐπεὶ τὸ γδ τοῦ εζ ἐστι τριπλάσιον , ἴσον δὲ τὸ αη τῷ γδ , καὶ | ||
| , πρῶτον διπλάσιον ἐν ἑνὶ στίχῳ , εἶτα ἐν δευτέρῳ τριπλάσιον , εἶτα τετραπλάσιον ἐν τρίτῳ καὶ μέχρι δεκαπλασίων , |
| ἀπὸ τῆς διαμέτρου μονάδι ἔλαττον ἢ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς : ἔστι γὰρ μθʹ πρὸς κεʹ . πάλιν εἰ | ||
| , ἢ ἕως τῆς Τενέδου , ἔχων ἐκ τῆς ἑτέρας πλευρᾶς τὴν Ἴμβρον νῆσον ὑπὸ τῆς Θρᾴκης . Ὅπου στενὸς |
| ἴσα ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ : τὰ γὰρ πεντάκις πέντε εἰκοσιπέντε . Ἔστω ἡ ΑΒ εὐθεῖα μονάδων ι | ||
| ΓΔΕ : τὸ ἄρα ἐννάκις ὑπὸ ΓΔΕ μεῖζόν ἐστιν τοῦ πεντάκις ὑπὸ ΓΔΕ καὶ τοῦ πεντάκις ὑπὸ ΔΓΕ , τουτέστιν |
| τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ κύβον . ἀλλ ' ὡς μὲν ἡ ΓΜ πρὸς ΜΗ | ||
| προσδήσαντες εἶτα μέντοι ἀπαλλάττονται , τοῦτο δήπου τὸ λεγόμενον ἀτεχνῶς κύβον ἀναρρίψαντες . οἱ δὲ τίγρεις ἐντυχόντες αὐταῖς , ἀθηρίᾳ |
| ὄφρα σφι πνοιή τε μένῃ ποτὶ βυσσὸν ἰοῦσιν ἀσκηθής , προτέροιο δ ' ἀναψύξωσι πόνοιο . ἀλλ ' ὅτ ' | ||
| ' ὁπότ ' ἀργιόδουσιν ὁμῶς συσὶ νήπια τέκνα σταθμοῦ ἀπὸ προτέροιο ποτὶ σταθμὸν ἄλλον ἄγωσιν ἀνέρες ἐγρομένῳ ὑπὸ χείματι , |
| αὐτοάνθρωπος καὶ ὁ ἄνθρωπος , τὸν αὐτὸν λόγον ᾗ ἄνθρωπος ἑκάτερος ἐπιδέξεται καὶ οὐδὲν ἀλλήλων ὡς ἄνθρωποι διοίσουσιν : εἰ | ||
| αὐτούς , ὄντων δυεῖν , ἐλευθερίαν τε καὶ δραχμὰς χιλίας ἑκάτερος ἔλαβεν ἐκ τοῦ δημοσίου . . Ἔσπευδε τὸν πόλεμον |
| γὰρ εἰκοσάεδρον καὶ τὸ ὀκτάεδρον καὶ ἡ πυραμὶς ἐκ τῶν ἰσοπλεύρων σύγκειται τριγώνων , ὁ δὲ κύβος ἐκ τῶν τετραγώνων | ||
| ἡ τοῦ ὅλου γένεσις κατὰ Πλάτωνα : ἐκ μὲν γὰρ ἰσοπλεύρων τριγώνων τρία σχήματα συνίσταται , πυραμὶς ὀκτάεδρον εἰκοσάεδρον , |
| γυρώσασα τὸν ἑαυτῆς τράχηλον ἐπειλημμένη αὐτοῦ , βλάψαι αὐτὸν οὐ κατισχύει τραχὺν ὄντα , τῶν ὀδόντων αὐτῆς ἀμβλυνομένων , ἡ | ||
| ἄλλος τοιοῦτος τόπος . ταῦτα μὲν οὖν κοινὰ πλειόνων ὄντα κατισχύει μᾶλλον ἐν τοῖς εἰρημένοις διὰ τὴν ἀσθένειαν . Τὸ |
| ἐπιφανείας τὴν ὄπισθεν : ὁ δὲ Κρητικὸς καὶ Περσικὸς καὶ χόριος , οὗτος δὲ τὸν αὐτὸν ἐπέχει τόπον τῆς φάλαγγος | ||
| ὁ μὲν Μακεδών , ὁ δὲ Λάκων , ὁ δὲ χόριος , ὁ δ ' αὐτὸς Κρητικὸς καὶ Περσικός . |
| ἐννέα ἐτυραννοκτόνησαν , καὶ ἐτιμήθησαν : ὁ πατὴρ τοῦ ἀναιρεθέντος προςαγγέλλει ἑαυτόν . Σκοπός ἐστι τῷ πατρὶ οὐκ ἀληθῶς ἀποθανεῖν | ||
| ἑαυτόν : ἀνέβλεψεν ὁ πατὴρ , καὶ μετὰ ταῦτα ἑαυτὸν προςαγγέλλει . Ἡ κατάστασις ἔχει τοῦ παιδὸς τὴν γένεσιν μετὰ |
| τὰ μέρη ἐπὶ τοῦ πρώτου , ἐπὶ δὲ τοῦ ἑξῆς ὄγδοα , εἶτα ἑνδέκατα , εἶτα τεσσαρεσκαιδέκατα , ἑξῆς ἀκολούθως | ||
| πλευραὶ ἦσαν ε δʹ . Εὑρέθη δὲ ὁ ἀριθμὸς ιζ ὄγδοα . Ἔσται ὁ λοιπὸς ε δʹ τῶν η : |
| τὰ δ ' ἄλλα ἀκατάληκτα , πλὴν τοῦ θʹ καὶ τελευταίου βραχυκαταλήκτων ἰθυφαλλικῶν . ἐπὶ τῷ τέλει κορωνίς . 〛 | ||
| ὥραν , προαποθνῄσκω πολλοὺς θανάτους ὑπομένων ἀνθ ' ἑνὸς τοῦ τελευταίου . ” πολλάκις δὲ ἐδειματοῦτο καὶ διεπτόητο καὶ φρίκῃ |
| τουτέστιν τῶν ιϚ ἑξηκοστοτετάρτων , ἥτις γέγονεν ἀπὸ τῶν τεσσάρων ὀγδόων πολλαπλασιασθέντων ἐφ ' ἑαυτά . Ἀφαιρεῖται ἀπὸ τῶν φοϚ | ||
| τοῦ ιβʹ τοῦ βου . Καὶ γίνεται ὁ Ϟὸς τεσσάρων ὀγδόων . Συνάγουσι τοίνυν αἱ μὲν θ μονάδες οβ ὄγδοα |
| Μο κα ἀφελεῖν Μο θ # ΔΥ α καὶ ποιεῖν ⃞ον . ἀλλ ' ἐὰν ἀπὸ Μο κα ἀφέλω Μο | ||
| Μο β , δεήσει καὶ ΔΥ λ ʂ ε εἶναι ⃞ον : οὐκ ἔστιν δέ . ἀπάγεται οὖν εἰς τὸ |
| , ἡ ΟΕ ἄρα δεκαγώνου ἐστὶ πλευρά . καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου . , ] ἴση γὰρ ὑπόκειται τῇ ἐκ τοῦ | ||
| ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ὡς ἡ ΦΨ , καὶ ἀφῃρήσθω ἑξαγώνου μὲν ἡ ΦΧ , δεκαγώνου δὲ ἑκατέρα τῶν ΦΨ |
| κακοτεχνία , ὁπόσον ἀστικοῦ στρατιώτου φιλοκέρδεια : ὑφ ' ὧν πολυπλασιάζεται τὰ δυσχερῆ . ταύτην παιδευθεὶς τὴν παιδείαν ἐπὶ τουτὶ | ||
| νοῦ συνάγοντες λέγομεν ὡς εἷς ὢν τὴν οὐσίαν καὶ ἀναλλοίωτος πολυπλασιάζεται τῇ σχέσει ταῖς ἐνεργείαις καὶ ταῖς δυνάμεσι . καὶ |
| . καὶ ὁσάκις μὲν ὁ Κ τὸν Μ μετρεῖ , τοσαυτάκις καὶ ἑκάτερος τῶν Θ , Η ἑκάτερον τῶν Ν | ||
| συγκυρήματος : ὁσάκις γὰρ ἂν ἀστράψῃ Ζεὺς ἢ βροντήσῃ , τοσαυτάκις ἀπὸ τῆς ἀκρωρείας διὰ φόβον κυλίεται , καθὼς ἱστορεῖ |
| εἴκειν γὰρ αὐτῷ δεήσει . καὶ οἱ ἀπὸ φιλίας : λήμματος γὰρ ὤνιος ἡ φιλία ἔσται . καὶ οἱ ἀπὸ | ||
| δι ' ἑνὸς μ γράφειν αὐτὸ πρὸς ἀντιδιαστολὴν τοῦ ἑτέρου λήμματος ὃ καὶ ἐπὶ τοῦ ἁπλῶς δώρου λαμβάνεται . λῆμα |
| μερῶν τι σημαντικόν ἐστιν ὡς φάσις , πρὸς διάκρισιν τῶν συντεθέντων μερῶν καὶ κατὰ ἀπόφανσιν ἤδη λεγομένων , ὡς ἂν | ||
| ὅτι , ἐὰν ἀπὸ τοῦ συγκειμένου λόγου εἷς ὁποιοσοῦν τῶν συντεθέντων ἀφαιρεθῇ , ἑνὸς τῶν ἄκρων ἀφανισθέντος ὁ λοιπὸς τῶν |
| τὰ μὲν ἐν τῇ ΑΒΓΔ πυραμίδι πρίσματα διπλάσιά ἐστι τοῦ πρίσματος , οὗ ἀπεναντίον ἐστὶ τὰ ΛΗΓ , ΖΘΚ ἐπίπεδα | ||
| κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου : καί ἐστιν ὁ κύλινδρος ἐλάττων τοῦ πρίσματος τοῦ ἀνασταθέντος ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον περιγραφέντος |
| . ἴση ἄρα ἡ ΔΞ τῇ ΔΖ . Κοινοῦ ἄρα προσληφθέντος λόγου τοῦ τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΔΖ , ἔσται | ||
| , σύστημα δύο τόνων καὶ τοῦ λεγομένου ἡμιτονίου . εἶτα προσληφθέντος ἄλλου τόνου , τουτέστι τοῦ μεσεμβοληθέντος , ἡ διὰ |
| , τοῦ δὲ Δ ἐπόγδοος ὁ Ε , τοῦ Ε ἐπόγδοος ὁ Ζ , τοῦ Ζ ἐπόγδοος ὁ Η : | ||
| δυνατοῦ δεῖξαι τὸ προκείμενον , ὅς ἐστι μονάδων ͵αφλϚʹ , ἐπόγδοος μὲν αὐτοῦ γίνεται ὁ τῶν ͵αψκηʹ , τούτου δὲ |