| σφαίρας τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΘ καθέτου ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ὀκταέδρου . τριπλάσιόν ἐστιν . μζʹ . Ἔστω τρίγωνον ἰσόπλευρον | ||
| πέντε ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου , ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἡ τοῦ ὀκταέδρου , ὑπὸ δὲ τριῶν ἡ τῆς πυραμίδος . δῆλον |
| τῆς σφαίρας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΗ πλευρᾶς οὔσης τοῦ κύβου , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς τοῦ ΚΛΘ τριγώνου ἰσοπλεύρου | ||
| ὧν αἱ πλευραὶ Μο ι . Τετάχθω ἡ τοῦ αου κύβου πλ . ʂ α Μο ε τουτέστι τοῦ ∠ |
| τρίγωνα ἰσόπλευρα εἶναι . ἔσται δὴ ἡ ΑΒΓΔΕ πυραμὶς μέρος εἰκοσαέδρου σχήματος . τετμήσθω μία πλευρὰ ἑνὸς τριγώνου ἡ ΖΓ | ||
| , οὕτως τὸ στερεὸν τοῦ δωδεκαέδρου πρὸς τὸ στερεὸν τοῦ εἰκοσαέδρου . Ἐπεὶ γὰρ ἴσοι κύκλοι περιλαμβάνουσι τό τε τοῦ |
| ἐν τῷ ιγʹ βιβλίῳ τῶν στοιχείων ἤτοι τῆς συστάσεως τοῦ δωδεκαέδρου , ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Κ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ | ||
| ποτε ζητοῦντες τὸ ὑπὸ Ἀπολλωνίου συγγραφὲν περὶ τῆς συγκρίσεως τοῦ δωδεκαέδρου καὶ τοῦ εἰκοσαέδρου τῶν εἰς τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐγγραφομένων |
| ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓΔΕ . λέγω , ὅτι ἡ τοῦ ΑΒΓΔΕ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ | ||
| καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸν τριγώνου μὲν πλευρὰ ἡ ΒΕ , πενταγώνου δὲ ἡ ΓΔ , καὶ ἔστωσαν παράλληλοι , καὶ |
| , ἐὰν εἰς τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐγγραφῇ δωδεκάεδρόν τε καὶ εἰκοσάεδρον , λόγον ἕξει εὐθείας ἡσδηποτοῦν ἄκρον καὶ μέσον λόγον | ||
| , ἐάν τις ἐρεῖ ἡμῖν : πόσας πλευρὰς ἔχει τὸ εἰκοσάεδρον ; φήσομεν οὕτως : φανερόν , ὅτι ὑπὸ εἴκοσι |
| δώδεκα πενταγώνων ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον , ὃ καλεῖται δωδεκάεδρον . Δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ | ||
| ἡ ΥΩ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸ δωδεκάεδρον ἐπὶ τὸ ΦϘΤ πεντάγωνον ἠγμένη , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ |
| διὰ τοῦ ἄξονος ἐπίπεδον πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῇ βάσει τοῦ κυλίνδρου . ἔστω κύλινδρος , οὗ βάσεις μὲν οἱ Α | ||
| ἴσον . μεῖζον δὲ ἡ πυραμὶς τοῦ τρίτου μέρους τοῦ κυλίνδρου , ὡς ἐδείχθη : μεῖζον ἄρα καὶ τὸ πρίσμα |
| τμημάτων ὁ μηνίσκος . ἔσται οὖν ἐλάττων ὁ μηνίσκος τοῦ τριγώνου τοῖς ὑπὸ τοῦ ἑξαγώνου ἀφαιρουμένοις τμήμασιν . ὁ ἄρα | ||
| καταγίνεται , ὡς γεωμετρία ἀποδεικνύουσα ἀεὶ τὰς τρεῖς γωνίας τοῦ τριγώνου δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι , ἢ ὡς ἐπὶ τὸ |
| γὰρ εἰκοσάεδρον καὶ τὸ ὀκτάεδρον καὶ ἡ πυραμὶς ἐκ τῶν ἰσοπλεύρων σύγκειται τριγώνων , ὁ δὲ κύβος ἐκ τῶν τετραγώνων | ||
| ἡ τοῦ ὅλου γένεσις κατὰ Πλάτωνα : ἐκ μὲν γὰρ ἰσοπλεύρων τριγώνων τρία σχήματα συνίσταται , πυραμὶς ὀκτάεδρον εἰκοσάεδρον , |
| . διὰ τοῦτο γραμμὴ μὲν ἄνευ ἐπιπέδου καὶ τοῦτο χωρὶς στερεοῦ θεωρεῖται , ἐν δὲ τῷ τελείῳ μεγέθει πάντα χρὴ | ||
| οὕτως τὸ τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΗΜΛ στερεοῦ ὕψος . ἀλλ ' ὡς ἡ ΒΜ βάσις πρὸς |
| τῶν ρπ μοιρῶν τῆς ἀναφορᾶς συμπληρουμένης ἢ καὶ ἕως ἑτέρας τετραγώνου ἢ συμπληρουμένου παντὸς τοῦ κύκλου , ἢν δὲ καὶ | ||
| πλευρὰ μονὰς ἔσται πανταχόθι , ὅσηπερ καὶ ἡ τῆς δυνάμει τετραγώνου μονάδος . καθόλου δὲ ἕκαστος τετράγωνος ἓν μὲν ἐπίπεδόν |
| δὲ δύο τῆς μιᾶς διπλασίους : ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ παραλληλογράμμου ἀνασταθεῖσα πυραμὶς ἰσουψὴς τῷ κώνῳ διπλασία τῆς ἀπὸ τοῦ | ||
| τῆς περιφερομένης εὐθείας γραφόμενος . Κύλινδρός ἐστιν , ὅταν ὀρθογωνίου παραλληλογράμμου μενούσης μιᾶς πλευρᾶς τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιενεχθὲν |
| δὲ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας . καὶ ὡς ἄρα δώδεκα πεντάγωνα πρὸς εἴκοσι τρίγωνα , οὕτως δώδεκα πυραμίδες πενταγώνους βάσεις | ||
| ἄρα εἰσὶν αἱ πυραμίδες αἱ βάσεις ἔχουσαι τὰ τοῦ δωδεκαέδρου πεντάγωνα καὶ αἱ βάσεις ἔχουσαι τὰ τοῦ εἰκοσαέδρου τρίγωνα . |
| οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος στερεὸν ἢ πρὸς μεῖζον . ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον | ||
| ἀπὸ δὲ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ ΗΕΚΛ . Ἔστω βάσις πυραμίδος τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , καὶ τετμήσθω ἡ μὲν ΑΒ |
| : ὅπερ ἔδει δεῖξαι . Λῆμμα Ὅτι δὲ ἡ τοῦ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου πενταγώνου γωνία ὀρθή ἐστι καὶ πέμπτου , | ||
| τετραγώνων πύργων προοικοδομεῖν δεῖ τριγώνους ἄλλους συνεχεῖς καὶ στερεοὺς ἀπὸ ἰσοπλεύρου τριγώνου , ἵνα περὶ τὴν ἐκκειμένην γωνίαν στερεὰν καὶ |
| πρόσωπον καὶ οἷον ζυγὸν τὰς εἰς τοὔμπροσθεν δύο πλευρὰς τοῦ ῥομβοειδοῦς , οἷον αθξτψαϚχσνη ↑ ↑ , λαβδοειδὲς σχῆμα , | ||
| πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας . αὐτὸς δὲ ἐπὶ τοῦ ῥομβοειδοῦς μόνον τοῦτο προσέθηκεν , ἵνα μὴ διὰ ψιλῶν αὐτὸ |
| ; Ποιοῦσι δὲ τὸν ἀπὸ τοῦ ξΚ , οὗ ἡ πλευρὰ ἡ ξΚ , λιποῦσα δυάδα τῆς ΝΚ , ποιεῖ | ||
| νῶτον τοῦ στρατοπέδου φράξασθαι τοῖς σταυροῖς , μετὰ δὲ τὰ πλευρὰ ἀμφότερα . ἐπεὶ δὲ ἥ τε νὺξ ἐπέλαβε καὶ |
| δὴ οὖν βρόχου αἱ ἀρχαὶ ὀφείλουσιν ἀποδίδοσθαι τῷ τύλῳ τοῦ ἄξονος , ἢ αὐτόθεν ἢ κατὰ μετάληψιν , ἵνα τῇ | ||
| τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελοῦς : τὸ ἄρα διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς οὐ πάντων μέγιστόν ἐστι τῶν εἰρημένων ἰσοσκελῶν . |
| διὰ τῆς εὐθείας διδάσκουσι τήν τ ' εὐθεῖαν διὰ τοῦ ἐπιπέδου : εὐθεῖαν γὰρ εἶναί φασιν ἥτις εἰς πάντα τὰ | ||
| τοῖς στερεοῖς ἡ σφαιρική : τοῦ δὲ αἰθέρος μὴ ὄντος ἐπιπέδου , ἀλλὰ στερεοῦ , καταλείπεται αὐτὸν εἶναι σφαιροειδῆ . |
| φέρε εἰπεῖν ὑπὸ δ τριγώνων καὶ θ τετραγώνων καὶ τριῶν πενταγώνων , ἔτι δὲ καὶ ἕτερον στερεὸν σχῆμα ὁμοίως περιέχεται | ||
| καὶ πάλιν τὰς πυραμίδας τὰς ἐχούσας πεντάγωνον βάσιν ἀπὸ τῶν πενταγώνων ποιεῖ , καὶ τὰς ἑξάγωνον ἐχούσας βάσιν ἀπὸ τῶν |
| . Ἦν δὲ τὸ προκείμενον ὑγιέστερον προτεῖναι καὶ οὕτως . ὀρθογωνίου τυχόντος ὑποκειμένου τοῦ ΑΒΓ λαβεῖν τι σημεῖον ἐντὸς τοῦ | ||
| τὸ δὲ τοῦ ἀμβλυγωνίου ὕψος μὴ ἔλαττον ᾖ τοῦ τοῦ ὀρθογωνίου ὕψους , ἡ πρὸς τῇ κορυφῇ γωνία τοῦ ὀρθογωνίου |
| ὡς τὰ πολλαχῶς καὶ ἀορίστως γινόμενα : δύναται γὰρ καὶ σκαληνὸν τρίγωνον μετρεῖσθαι ὑπὸ τοῦ προτεθέντος καὶ ὁρισθέντος ῥητοῦ μέτρου | ||
| τοῦ τρίγωνον εἶναι καθ ' αὑτὸ μᾶλλον ἢ ἐκ τοῦ σκαληνὸν ἀποδείκνυται . καὶ ὄντος τοῦ καθόλου γίνεται ἡ ἀπόδειξις |
| . Καὶ γὰρ ἐν τοῖς ὡρολογίοις τὸ ἄκρον τῆς τοῦ γνώμονος σκιᾶς τὰς αὐτὰς γράφει γραμμὰς ἐν τοῖς προειρημένοις ζῳδίοις | ||
| ταύτης βέβηκε περιφέρεια ἡ ἀπ ' ἄκρου τῆς σκιᾶς τοῦ γνώμονος ἐπὶ τὴν βάσιν αὐτοῦ περιαχθεῖσα , ἐπὶ δὲ τῆς |
| κάθετον ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ τοῦ δωδεκαέδρου πεντάγωνον καὶ τὸ τοῦ εἰκοσαέδρου τρίγωνον . γραπτέον δὲ καὶ | ||
| , ΥΦ εὐθείας διὰ ιηʹ τοῦ ιαʹ τελέως ἀποδεῖξαι τὸ πεντάγωνον ἐν ἑνὶ ὂν ἐπιπέδῳ ἢ διὰ αʹ τοῦ ιαʹ |
| ἐλάττονές εἰσιν , ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΓ , αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ , ΔΕΓ δύο ὀρθῶν | ||
| ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ . ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ |
| τοῦ κώνου . εἰ γὰρ μή ἐστιν ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου τριπλάσιος , ἔσται ἄρα ἤτοι μείζων ἢ τριπλάσιος ἢ | ||
| εἰ γάρ ἐστιν ἐκείνη γωνία , καὶ ἡ κορυφὴ τοῦ κώνου γωνία ἐστίν . ὥστε καὶ ὑπὸ δύο ἐπιφανειῶν καὶ |
| ἐπιθύουσι , παρ ' Ὁμήρῳ δὲ τέθειται καὶ ἐπὶ τῆς βάσεως , ἀπὸ τοῦ βεβηκέναι . Ἠὼς , λαμβάνεται παρ | ||
| : ὑψηλοῖς , μεγάλοις , παχυτάτοις , τοῖς λειπομένοις τῆς βάσεως . ὀψέ : μόλις , ἀργῶς . Πάντεσσιν : |
| τρίγωνον ἐξ ἓξ τὸν ἀριθμὸν ὄντων γέγονεν . τρίγωνα δὲ ἰσόπλευρα συνιστάμενα τέτταρα κατὰ σύντρεις ἐπιπέδους γωνίας μίαν στερεὰν γωνίαν | ||
| ὡς τὰ ῥομβοειδῆ , τὰ δὲ ὀρθογώνια μέν , οὐκ ἰσόπλευρα δέ , ὡς τὰ ἑτερομήκη , τὰ δὲ ἔμπαλιν |
| . Ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ὀκταέδρου κάθετος δυνάμει τρίτον μέρος | ||
| ἀριθμητικὴν συνεπιφέρεσθαι : ἅμα γὰρ ταύτῃ τρίγωνον ἢ τετράγωνον ἢ ὀκτάεδρον ἢ εἰκοσάεδρον ἢ διπλάσιον ἢ ὀκταπλάσιον ἢ ἡμιόλιον ἢ |
| ΖΑ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΓ , ΖΑ παραλληλόγραμμον . ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ . , ] ἐπεὶ γὰρ ἡ ΕΖ | ||
| ὀρθογώνιον , ἑτερόμηκες δέ , ὃ ὀρθογώνιον μέν , οὐκ ἰσόπλευρον δέ , ῥόμβος δέ , ὃ ἰσόπλευρον μέν , |
| πυραμίς , τοῦ δὲ ΕΘΠΟ παραλληλεπιπέδου ἕκτον μέρος ἡ ΔΕΖΘ πυραμίς : ἴση ἄρα ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι | ||
| γραμμή , τὰ δὲ γ τρίγωνον , τὰ δὲ δ πυραμίς : ταῦτα δὲ πάντα ἐστὶ πρῶτα καὶ ἀρχαὶ τῶν |
| γὰρ δείκνυται διὰ τοῦ αʹ τοῦ Ϛʹ στοιχείων , τετραγώνου ἀναγραφέντος ἀπὸ τῆς ΕΓ καὶ συμπληρωθέντος τοῦ ἐπὶ τῆς ΑΕ | ||
| ἐπιπέδων . ἀπὸ γὰρ τῆς πλευρᾶς τοῦ τριγώνου τοῦ εἰκοσαέδρου ἀναγραφέντος πενταγώνου ἐπιζευχθείσης τῆς ὑπὸ δύο πλευρὰς ὑποτεινούσης τοῦ πενταγώνου |
| νόσους εἰκὸς εἶναι πολλάς . Τοῦ δὲ Ἅληκος ποταμοῦ τοῦ διορίζοντος τὴν Ῥηγίνην ἀπὸ τῆς Λοκρίδος βαθεῖαν φάραγγα διεξιόντος ἴδιόν | ||
| ΓΔ . ἡ ΓΔ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ κύκλου τοῦ διορίζοντος ἐν τῇ σελήνῃ τὸ σκιερὸν καὶ τὸ λαμπρόν . |
| δὲ οἱ τριάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντες ἐν τῇ συνθέσει ἀπὸ μονάδος πενταγώνους ἀποτελοῦσιν , ἑξαγώνους δὲ οἱ τετράδι , ἀεί τε | ||
| πυραμίδας τριγώνους βάσεις ἐχούσας . καί εἰσι ιβ μὲν πυραμίδες πενταγώνους βάσεις ἔχουσαι τὸ στερεὸν τοῦ δωδεκαέδρου , εἴκοσι δὲ |
| τοῦ διπλασίονος τοῦ τρίτου ὑπερέχουσι μο κ . Ὁ ἄρα διπλασίων τοῦ τρίτου ἔσται Ϟ β ↑ μο κ : | ||
| διπλασίου καὶ τοῦ τριπλασίου τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς συντιθεμένων , διπλασίων μὲν αʹ βʹ δʹ ηʹ : δ ' ἐστὶ |
| τουτέστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς τοῦ διὰ τῆς ΑΖ ἰσοσκελοῦς : οὐκ ἄρα τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς μέγιστόν | ||
| διὰ τὸ ιεʹ πάλιν Ἀρχιμήδους θεώρημα [ παντὸς γὰρ κώνου ἰσοσκελοῦς ἡ ἐπιφάνεια , χωρὶς τῆς βάσεως , ἴση ἐστὶν |
| τῶν εὐθειῶν ἐφ ' αἷς ΕΖ ΖΗ ἀφαιρούμενα ἐντὸς τοῦ μηνίσκου ἀπὸ τοῦ εὐθυγράμμου τμήματα ἴσα ἐστὶ τοῖς ἐκτὸς τοῦ | ||
| οὐκ ἐπὶ τετραγωνικῆς πλευρᾶς δεῖξαί φησι τὸν Ἱπποκράτην τὸν τοῦ μηνίσκου τετραγωνισμόν , ἀλλὰ καθόλου , ὡς ἄν τις εἴποι |
| ἴσαι , ἴσαι δὲ καὶ αἱ γωνίαι , καὶ τὰ τρίγωνα ἴσα ἂν εἴη , καὶ αἱ πλευραὶ καὶ αἱ | ||
| μὲν πυραμίδος ἐκ τεττάρων ἰσοπλεύρων τριγώνων συνεστώσης , εἰς ἓξ τρίγωνα σκαληνὰ τὰ εἰρημένα ἑκάστου διαιρουμένου : τοῦ δὲ ὀκταέδρου |
| ὀκτώ . εἰκάζεται δὲ ὀκταέδρῳ , ὃ περιέχεται ὑπὸ ὀκτὼ τριγώνων ἰσοπλεύρων , ὧν ἕκαστον εἰς ἓξ ὀρθογώνια διαιρεῖται , | ||
| : ἐλάχιστον ἄρα τὸ ΕΑΖ πάντων τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων . πάλιν ἐπεὶ τῶν ΑΗΘ , ΑΓΔ τριγώνων αἵ |
| τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι . Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ : δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν | ||
| . ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον , καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον . [ Περὶ τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον πεντάγωνον |
| : ∼ ιηʹ . Ἔστω δύο ἡμικύκλια ὡς τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ , καὶ ἔστω ἴση ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ , | ||
| , καὶ ἴση ἔσται ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ , καὶ λοιπὴ δηλονότι ἡ πρὸς τῷ Γ λοιπῇ |
| ἔσχατος δὲ ὁ βορειότερος τῶν ἐν τῇ ἑπομένῃ πλευρᾷ τοῦ ῥόμβου . Μεσουρανοῦσι δὲ τῶν λοιπῶν ἀστέρων πρῶτοι μὲν ὅ | ||
| καὶ τούτῳ , καθόσον ἐστὶ παραλληλόγραμμον . ἐπὶ δὲ τοῦ ῥόμβου ἄνισοι μὲν αἱ διάμετροι , διχοτομοῦνται δὲ ὑπὸ τούτων |
| , οἷον εἰ οὕτως ἔλεγεν ὁ στοιχειωτής : πᾶν τρίγωνον ἰσοσκελὲς ἴσας ἔχει τὰς πρὸς τῇ βάσει γωνίας . τούτων | ||
| . Καὶ μηδενὸς δὲ δεηθέντες καὶ ἡμεῖς ἄλλως συστήσομεν τρίγωνον ἰσοσκελὲς ὁμοίως μείζονα ἢ ἐλάττονα ἔχον τὴν βάσιν , εἰ |
| τῶν τεσσάρων , ΔΥ τοσούτων ὅσων ἐστὶ δπλ . τοῦ ἐμβαδοῦ , τὸν μὲν αον ΔΥ ͵δνϚ , τὸν δὲ | ||
| μεῖζον , τῶν δὲ μετ ' αὐτὴν ἡ περίμετρος τοῦ ἐμβαδοῦ ἐλάσσων . πρῶτος τετράγωνος καὶ ἐν ἀρτίοις πρώτη τετρακτύς |
| ὅρου πρὸς ὅρον : εἶτα τούτων ἀμφοτέρων σύστημα τοῦ τε ἡμιολίου καὶ τοῦ ἐπιτρίτου ὁ διὰ πασῶν ἐφεξῆς αὐτοῖς κείμενος | ||
| ἀμφοτέρων ἅμα τὸν λόγον , σύστημα ὑπάρχων διπλασίου ἅμα καὶ ἡμιολίου , ὥσπερ τοῦ Ϛ πρὸς β , ὅρου πρὸς |
| μείζονος τμήματος ἤπερ ὁ ΟΠΡ . λέγω , ὅτι οἱ ΜΝΞ , ΒΖΓ , ΟΠΡ , ΣΤ , ΥΘ κύκλοι | ||
| ὀρθῷ πρὸς τὸ ΜΖΝ τρίγωνον , καὶ ποιεῖ τομὴν τὸν ΜΝΞ κύκλον , τέτμηται δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τῷ ὑποκειμένῳ |
| ὀρθότατος μὲν αὐτῶν ἐστιν ὁ ΒΖΓ , ταπεινότατος δὲ ὁ ΥΘ , οἱ δὲ ΜΝΞ , ΟΠΡ ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι | ||
| ὅτι οἱ ΜΝΞ , ΒΖΓ , ΟΠΡ , ΣΤ , ΥΘ κύκλοι κεκλιμένοι ἔσονται πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον , καὶ |
| ἐπὶ τῶν ΑΒ ΓΔ , καὶ ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΕΖΗ ΘΚΛ , ἔστω δὲ ὡς ἡ ΕΗ πρὸς ΗΖ , | ||
| δύο ὀρθῶν καὶ αὐταὶ κἀκεῖναι ] : ἔσται δὴ τὸ ΘΚΛ ἐπίπεδον κεκλιμένον πρὸς τὸ ΑΒΓΔ ἐν τῇ ὑπὸ ΘΓΑ |
| καὶ ἀπεναντίον περιφέρεια ἡ ΣΤ καὶ μεταξὺ τῶν ΞΗ , ΣΤ ὁ ἰση - μερινὸς ἔστω ὁ ΥΧΦ . καὶ | ||
| ΠΗΡ , ΣΘ , ΤΥΚ : μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΣΤ περιφέρεια τῆς ΣΠ περι - φερείας . ἀλλ ' |
| ἔχρῃζον : τὸ γὰρ ὅμως ἐναντιωτικὸν ὂν παρίστησι τὸν Ταλθύβιον πολοῦ τὴν ζωὴν τιμώμενον , ὅσα καὶ φίλαυτον γέροντα : | ||
| ἐν ἱεροῖς βλασφημούντων . Ῥωπικὸν ὤνιον : ἐπὶ τῶν εὐτελῶν πολοῦ πιπρασκομένων . Σαλαμινία ναῦς : ἐπὶ τῶν ταχέων : |
| περιφέρεια τῇ ΓΔ , ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΓ τῇ ὑπὸ ΓΖΔ . καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ | ||
| τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΓ , τουτέστιν τὰ ἀπὸ τῶν ΒΖΓ , τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ . ἐπεὶ οὖν δύο |
| ταύτας , τὰ δὲ ἀνίσους , καὶ καλεῖται τὰ μὲν ἰσοσκελῆ τραπέζια , τὰ δὲ σκαληνὰ τραπέζια . τὸ ἄρα | ||
| ἐπὶ μόνων τῶν ὀρθογωνίων . ἐπεὶ δὲ τὰ ὀρθογώνια ἢ ἰσοσκελῆ εἰσιν ἢ σκαληνά , ἀδύνατον τοῦτο γίνεσθαι ἐπὶ τῶν |
| ὁ ΑΖΓΘ τοῦ μὲν ΑΘΓ ὄντος τοῦ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικυκλίου , τοῦ δὲ ΓΖΑ τοῦ μετὰ τὸν αἰγόκερω , | ||
| ὅλη ἄρα ἡ ΓΒ ὅλῃ τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση . ἡμικυκλίου δέ ἐστιν ἡ ΓΒ : ἡμικυκλίου ἄρα καὶ ἡ |
| ἐπιτρίτου γίνεσθαι . πάλιν δὲ τὸ γεννηθὲν πρῶτον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου , ὅ ἐστι τὸ διπλάσιον , μετὰ τοῦ ἡμιολίου | ||
| : ἐξ ἡμιολίου ἄρα καὶ διπλασίου πρώτων εἰδῶν ἐπιμορίου καὶ πολλαπλασίου συνίσταται μιγέντων τὸ δεύτερον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου τὸ τριπλάσιον |
| , ἀλλ ' ἰσοκρατῶς ἀμφότεροι πλευρικοί εἰσιν ἀριθμοὶ τοῦ Ϛʹ ἑτερομήκους ἐκ τοῦ δὶς τρία ἢ ἐκ τοῦ τρὶς βʹ | ||
| ἐπὶ τοῦ τετραγώνου καὶ τοῦ ῥόμβου , ἐπὶ δὲ τοῦ ἑτερομήκους καὶ τοῦ ῥομβοειδοῦς τὰ χωρία μόνον . καὶ ὅλως |
| ἀρτία τε οὖσα καὶ περιττὴ καὶ ἀρτιοπέριττος καὶ γραμμὴ καὶ ἐπίπεδος καὶ στερεὰ κυβική τε καὶ σφαιρική . καὶ ἀπὸ | ||
| ' ἡμᾶς χρόνων ἐνοικοῦντες . ὁ γὰρ τῆς ἀκροπόλεως περίβολος ἐπίπεδος ὢν καὶ μέγας κρημνοῖς δυσπροσίτοις περιέχεται πανταχόθεν , ὥστε |
| τὰ ζητούμενα διὰ μεθόδων . Λαβόντες γὰρ τὴν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου , ἀεὶ διπλασιάσαντες , ἀφελοῦμεν μονάδα , καὶ τὸν | ||
| ἀπὸ τοῦ Η κέντρου ἤχθω ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ ΑΒΓΔΕ πολυγώνου ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος ἡ ΗΘ . ἐπεὶ οὖν |
| ἥμισυ τρήματος τὸ διὰ πασῶν σύμφωνον ἀποτελεῖται . τριχῆ δὲ διαιρεθέντος καὶ τῶν μὲν δυεῖν μερῶν ὄντων πρὸς τῇ γλωσσίδι | ||
| τῆς τοῦ κανονίου προσαγωγῆς εἰς ἓξ τοὺς ἐφεξῆς ἐπογδόους λόγους διαιρεθέντος παραφέρωμεν καθ ' ἕκαστον φθόγγον τὸ παραπλήσιον ὑπαγώγιον ἐπὶ |
| τῶι δὲ τετράγωνον , τῶι δὲ ἄλλο καὶ ἄλλο τῶν εὐθυγράμμων [ τῶν ] σχημάτων , ὣς δὲ καὶ μικτῶν | ||
| κατασκευὴν τοῦ μζʹ . ἰστέον δέ , ὅτι τῶν ἀρίστων εὐθυγράμμων δύο τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου καὶ ἰσοπλεύρου τετραγώνου γενέσεις παραδέδωκεν |
| τὰ οὖν ΗΘ ΘΙ τμήματα ἐλάττω ἐστὶ τοῦ περὶ τὴν ΗΙ τμήματος τοῖς τμήμασι [ καὶ ] τοῖς ὑπὸ τοῦ | ||
| τμήμασιν ἀπὸ τοῦ ἐντὸς κύκλου . τὸ γὰρ ἐπὶ τῆς ΗΙ τμῆμα ἴσον ἦν τοῖς τε ΗΘ ΘΙ τμήμασι καὶ |
| δὴ τοῦτο τὸ ὄργανον ἐὰν ἐκθώμεθα παραλληλόγραμμον ἁπλῶς ὡς τὸ ΑΒΓΔ καὶ νοήσωμεν τὰς μὲν ΑΒ καὶ ΓΔ κατὰ τὰ | ||
| διὰ τοῦ κέντρου εἰσὶν ὥστε τὸ Ε κέντρον εἶναι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου , φανερόν , ὅτι ἴσων οὐσῶν τῶν ΑΕ |
| ὁ πολλαπλάσιός ἐστιν , εἶτα ὁ ἐπιμόριος , καὶ τοῦ ἐπιμορίου πρότερος ὁ ἡμιόλιος , εἶτα καὶ ὁ ἐπίτριτος , | ||
| δὲ καὶ τῶν ἀριθμῶν ἐπὶ πέντε τούτων εἰδῶν θεωροῦνται : ἐπιμορίου , ἐπιμεροῦς , πολλαπλασίου , πολλαπλασιεπιμορίου , πολλαπλασιοεπιμεροῦς , |
| στερεῶν σωμάτων λόγοι δῆλοι , ἐπεὶ καὶ ὁ τοῦ αʹ κύβος τοῦ αὐτοῦ ἐστιν αʹ , ὁ δ ' ἀπὸ | ||
| οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες , ὁ δὲ τέταρτος ὁ Γ κύβος καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες , ὁ δὲ ἕβδομος |
| περὶ τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας : ἔσται ἄρα αὕτη ἡ ἐπιφάνεια , καὶ πολὺ μᾶλλον ἡ τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας | ||
| λοιπὸν ἐνεργείᾳ ἐστίν . οὕτως οὖν , φησί , καὶ ἐπιφάνεια δυνάμει ἐστὶν ἐν τῷ κύβῳ * * * ἡνίκα |
| , ΑΖ μιᾷ σεληνιακῇ διαμέτρῳ καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τῆς διαμέτρου . Ἑκατέρας δὲ τῶν ΑΓ καὶ ΑΕ δʹ μέρει | ||
| τουτέστιν οὔτε τῶν ἐπὶ τῆς διαμέτρου οὔτε τῶν ἐκτὸς τῆς διαμέτρου . ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓΔ , διάμετρος δὲ |
| ΒΛ πρὸς ΛΝ . ] ὡς δὲ ἡ ΓΛ πρὸς ΛΝ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΛ τετράγωνον πρὸς τὸ | ||
| ὁ μὲν ΓΜ κύλινδρος τῷ ΕΒ κυλίνδρῳ , ὁ δὲ ΛΝ ἄξων τῷ ΗΘ ἄξονι : ἔστιν ἄρα ὡς ὁ |
| ΩΒ τῇ ΒΨ . καί ἐστι μέγιστος τῶν παραλλήλων ὁ ΒΗΔ , καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΩΚ , ΨΛ : | ||
| ΓΔ . ὁμοίως δὴ τοῖς πρὸ τούτου ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΗΔ γωνία ἡ λείπουσά ἐστιν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς τῆς |
| ΦϘΤ πεντάγωνον ἠγμένη , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΩΦ ΩϘ ΩΤ ΥΦ , ὀκταέδρου δὲ τρίγωνον τὸ ΣΡΠ ἔστω , καὶ | ||
| ἀγομένης ἐπὶ τὴν ΘΗ . ἀλλ ' ἡ ἴση τῇ ΥΦ καὶ πρὸς ἴσας γωνίας ἐπ ' αὐτὴν ἀγομένη κατὰ |
| ὀρθαῖς αἱ γωνίαι ἴσαι , δευτέρως δὲ καὶ ὅτι τοῦ σκαληνοῦ , πολλοστῶς δὲ καὶ ἐσχάτως καὶ ὅτι τοῦδε τοῦ | ||
| ἴδιον τῆς αὐτοῦ μεσότητος εἰς ταύτην συγκεφαλαιοῦται , ἀλλὰ καὶ σκαληνοῦ ἡ πρωτίστη σωμάτωσις μέχρις αὐτῆς στερεοῦται , αʹ βʹ |
| ⊂ , πλάτος δὲ τρήματος α ⊂ πάχος δὲ ἡμίσους τρήματος καὶ ἔτι ὀγδόου : τοὺς δὲ μεσοστάτας μῆκος ἔχοντας | ||
| τῷ μεταξὺ διαστήματι τῶν τροχῶν , κεχωρισμένων δὲ τοῦ μέσου τρήματος . οὗτοι οἱ κάλοι εἴρονται : εἶθ ' ὅταν |
| ἡ διὰ τῆς ιʹ μοίρας τῶν Χηλῶν καὶ τοῦ Κριοῦ διάμετρος ἡ ΑΖΒΓ , καὶ ὑποκείσθω καθάπερ ἐπὶ τῆς προτέρας | ||
| τετμημένον τῷ ἐπιπέδῳ , ὑφ ' οὗ γέγονεν ἡ ΕΔ διάμετρος τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς , ἔσται καὶ ἐν τῷ |
| β μο α . ↑ οὖν τοῦ δευτέρου , ἤτοι Ϟῶν β μο α , γίνεται δυ μία , τουτέστι | ||
| β : ἔσται Ϛ δʹ . Ὁ δὲ ἕτερος ταχθεὶς Ϟῶν ι ἔσται λ δʹ . Καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς |
| ἡ δὲ λοιπὴ μικτὴ σχέσις ἡ πολλαπλασιεπιμερὴς γεννᾶται ἐκ τῆς ἐπιμεροῦς , καὶ ἐκ μὲν τῆς ἐπιδιμεροῦς ἢ δὶς ἐπιτρίτου | ||
| τῶν ἀριθμῶν ἐπὶ πέντε τούτων εἰδῶν θεωροῦνται : ἐπιμορίου , ἐπιμεροῦς , πολλαπλασίου , πολλαπλασιεπιμορίου , πολλαπλασιοεπιμεροῦς , ὧν ἕκαστον |
| Ε σημεῖα . ἐπεὶ μεῖζον τὸ ΑΓΒ τμῆμα τοῦ ΒΓ τμήματος , μείζων ἡ Ζ γωνία τῆς Θ γωνίας . | ||
| ὁ αὐτὸς δὲ γίνεται καὶ τοῦ περὶ τὴν γῆν ὁμοίου τμήματος πρὸς τὸν ἐν αὐτῇ μέγιστον κύκλον . Οἱ μὲν |
| ὄψις δὲ ἡ ΒΔ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ Α , καὶ ὁράσθω τὸ Α , κέντρον δὲ τῆς σφαίρας ἔστω τὸ | ||
| σχῆμα ὁτὲ μὲν κοῖλον , ὁτὲ δὲ κυρτὸν ποιεῖ . ὁράσθω γὰρ τὰ ΓΒΔ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Κ κειμένου |
| , καὶ ἄλλο τὸ συναμφότερον τοῦτο ὃ οὐκ ἔστιν ἐξ ὁμοταγῶν , οὐδὲ ἐκ στοιχείων , οὐδὲ ἐκ μερῶν , | ||
| ὑπερέχει τοῦ παραδείγματος ἡ ὁμοιότης . Ἡ μὲν δὴ τῶν ὁμοταγῶν ἐπίσης ἔχει πρὸς τὴν ἀντιστροφήν , ἡ δὲ τοῦ |
| ὑπεπίτριτος , τοῦ δὲ δώδεκα ὑποδιπλάσιος , μείζων δὲ ὁ ὑπεπίτριτος λόγος τοῦ ἡμίσεως . τὸ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ | ||
| Τ τὰ η : ὅ τε γὰρ ιη τοῦ κδ ὑπεπίτριτος καὶ ὁ Ϛ τοῦ η . Τὸ τοιοῦτον πολύγωνον |
| ἀναγεγράφθω κύκλος οὗ ἡ περίμετρος λγ : γίνεται αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν πϚ ∠ ʹ ηʹ . καὶ ὁμοίως ἀφαιρῶ τὰ | ||
| το - μέως δοθέντος , ἀφέλωμεν τὸ τοῦ ΑΓΘ τριγώνου ἐμβαδὸν δοθέν , ἕξομεν λοιπὸν τὸ περιεχόμενον τμῆμα ὑπό τε |
| , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ , σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ | ||
| , οὕτως ἡ ΒΛ πρὸς ΛΗ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΘ πρὸς ΘΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΜ πρὸς |
| ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου . καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΜΝΞ | ||
| ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου , ἴση περιφέρεια ἀπειλήφθω ἡ ΒΘ , καὶ πόλῳ |
| ἱρῷ , ὅτι Γάλλοι Ἥρῃ μὲν οὐδαμά , Ῥέῃ δὲ τέμνονται καὶ Ἄττεα μιμέονται . Τὰ δέ μοι εὐπρεπέα μὲν | ||
| ἀλλήλων διαφέρουσι τῇ φύσει τῆς διαιρέσεως : τοῖς γὰρ αὐτοῖς τέμνονται κεφαλαίοις : πλὴν τοῦ ὁμωνύμου αὐτῇ τῇ στάσει : |
| μὲν γὰρ ἐπιστημονικῶς τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν γραμμὴν εἰς ἴσα διαιρεῖν τμήματα , διαιροῦσι δὲ αὐτὴν εἰς ἄνισα . ὁ δὲ | ||
| ἐάσας παγῆναι , κατάτεμε τὸ αἷμα καλάμῳ ὀξεῖ εἰς πολλὰ τμήματα ἐν τῇ λοπάδι κείμενον καὶ σκεπάσας δικτύῳ πυκνῷ ἢ |
| γζʹ αἱ γʹ νικῶσιν . γηʹ αἱ ηʹ νικῶσιν . γθʹ αἱ γʹ νικῶσιν . δδʹ ὁ ἐγκαλούμενος νικᾷ καὶ | ||
| ἐστὶν ἡμίσους ζῳδίου . Καὶ ἀπειλήφθω ἡμίσους ζῳδίου περιφέρεια ἡ γθʹ , καὶ ἡ ηγκʹ , καὶ ἔτι ἥ τε |
| ΜΝΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ γῆν τοῦ ΟΕΡΠ κύκλου τῷ ΟΠΡ . πάλιν ἐπεὶ αἱ ΖΘ , ΕΗ ἴσαι τε | ||
| ΝΖ περιφέρεια τῇ ΖΠ περιφερείᾳ : οἱ ἄρα ΜΝΞ , ΟΠΡ κύκλοι ἴσον ἀπέχουσιν ὁποτερασοῦν τῶν διχοτομιῶν . οἱ δὲ |
| ἑτέρων ὄντα προπέπτωκεν εἰς τὸ Ἀτλαντικὸν πέλαγος , καὶ γίνεται ῥομβοειδὲς τὸ τῆς χώρας σχῆμα , τῶν μειζόνων πλευρῶν ἑκατέρου | ||
| ῥόμβος δὲ τὸ ἰσόπλευρον μέν , οὐκ ὀρθογώνιον δέ , ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας |
| , ἡ ΟΕ ἄρα δεκαγώνου ἐστὶ πλευρά . καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου . , ] ἴση γὰρ ὑπόκειται τῇ ἐκ τοῦ | ||
| ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ὡς ἡ ΦΨ , καὶ ἀφῃρήσθω ἑξαγώνου μὲν ἡ ΦΧ , δεκαγώνου δὲ ἑκατέρα τῶν ΦΨ |
| αἱ βάσεις . ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΖ κῶνος ἢ κύλινδρος πρὸς τὸν ΓΔΘ κῶνον ἢ κύλινδρον , οὕτως ἡ | ||
| ΑΞ κύλινδρος πρὸς τὸν ΕΣ κύλινδρον , οὕτως ὁ ΕΟ κύλινδρος πρὸς αὐτὸν τὸν ΕΣ κύλινδρον . τὰ δὲ πρὸς |
| ἀεὶ παρὰ τὴν τοῦ συσταθέντος πλευρὰν τοῖς τριγώνοις ἴσα παραβάλλων παραλληλόγραμμα . ἐκ τούτου δέ φασι καὶ εἰς ζήτησιν τοῦ | ||
| εἰς δύο ποιεῖσθαι χρὴ τὴν πρώτην καὶ τὰ μὲν αὐτῶν παραλληλόγραμμα λέγειν , τὰ δ ' οὐ παραλληλόγραμμα , τῶν |
| , τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ . καὶ ἐπεὶ τριπλασίων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ , ὡς δὲ ἡ | ||
| τριπλασίων ἢ ἐλάσσων ἢ τριπλασίων . ἔστω πρότερον μείζων ἢ τριπλασίων , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον τὸ |
| . Ταύρου θ νο α Ϛʹ τοῦ ἐν τῷ αὐχένι τετραπλεύρου τῆς προηγουμένης πλευρᾶς ὁ νοτιώτερος . . . . | ||
| τῶν ἐν τῇ κεφαλῇ , καὶ τοῦ ἐν τᾷ Κήτει τετραπλεύρου ὁ νοτιώτερος τῶν ἑπομένων . Δύνει δὲ ὁ Ἰχθὺς |
| δ τῆς δυάδος διπλάσιος : μεῖζον δὲ τὸ τριπλάσιον τοῦ διπλασίου . ὡσαύτως καὶ ἐπὶ πλειόνων , οἷον ἀπὸ β | ||
| ἀδιαιρέτου γοῦν τῆς μονάδος ὑποκειμένης . ἐπὶ μὲν γὰρ τοῦ διπλασίου λόγου τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ [ ἐν διπλασίῳ |
| ὑπὸ τὴν κλίσιν διάστημα , οὐ σωθήσονται αἱ τοιαῦται τῶν γωνιῶν διαφοραί , παρόσον ὑπερέχουσί τε ἀλλήλας καὶ ὑπερέχονται ὑπ | ||
| ' αὐτοῦ τὸν ἀπὸ τοῦ τετράδι ἐλάσσονος τοῦ πλήθους τῶν γωνιῶν , καὶ τὸν λοιπὸν μερίσαντες εἰς τὸν ηπλ . |
| ΑΒ δύο τρίγωνα δεδομένα τῷ εἴδει ἀναγεγράφθω τὰ ΑΒΓ , ΑΔΒ : λέγω , ὅτι λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΓΒ πρὸς | ||
| ἐπίπεδον : τομὴν δὴ ποιήσει μέγιστον κύκλον . ποιείτω νὸν ΑΔΒ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ , ΑΒ , ΒΔ |
| τὰ δ : τὰ γὰρ δ ἐστὶ τὸ ὕψος τοῦ περιλαμβάνοντος κυλίνδρου τὴν σφαῖραν , δύο ὄντων διαμέτρων τῆς σφαίρας | ||
| ὥστε ἡ ΑΛ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν τοῦ κύκλου τοῦ περιλαμβάνοντος τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου , ἡ δὲ ΚΛ ἡ |
| καὶ θεωρία ἐκεῖνο . Ἡ ἄρα πρᾶξις ἕνεκα θεωρίας καὶ θεωρήματος : ὥστε καὶ τοῖς πράττουσιν ἡ θεωρία τέλος , | ||
| ἀνεκλείπτου περιφερείας δεδειγμέναις μοίραις ρνζ , ὡς ἐπὶ τοῦ προκειμένου θεωρήματος σελήνης , ἑκατέρα τῶν ΕΓΗ , ΖΑΘ περιφερειῶν [ |
| τοῦ πέμπτου . ἐμπεριέχεται γὰρ . , ] ἐπειδὴ τὸ εὐθύγραμμόν ἐστι βάσις τῆς πυραμίδος , ὁ δὲ κύκλος βάσις | ||
| τούτου θεωρήματι . ἡ ΝΗΕΡ ἄρα τομὴ οὔτε κύκλος οὔτε εὐθύγραμμόν ἐστι : καὶ ἡ ΓΕΗΖ ἄρα τομὴ οὔτε εὐθύγραμμον |
| ΒΓ , ΝΞ , ΔΜ , ΘΟ , ΗΠ , ΟΗ , ΗΡ . ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος | ||
| ΘΝΟΗ . λέγω , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΝΟ τῇ ΟΗ . κατήχθωσαν γὰρ τεταγμένως αἱ ΞΝΖ , ΒΛ , |
| ΛΜΝ γνώμων ἐστὶ καὶ τὸ ΓΚ τετράγωνον : ὁ ἄρα ΛΜΝ γνώμων καὶ τὸ ΓΚ τετράγωνον διπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΚ | ||
| ΑΒ πρὸς ΑΛ , καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜΝ , καὶ ἐπὶ τῆς ΛΜΝ σημεῖον εἰλήφθω τὸ Μ |
| . ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α παρὰ τὴν ΒΖ ἡ ΑΥ . ἐπεὶ οὖν διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον τῆς | ||
| ἐπὶ τοῦ λοξοῦ τὰς ΓΔ , ΓΚ , ΑΠ , ΑΥ . καὶ γεγράφθωσαν μέγιστοι κύκλοι διὰ τῶν Δ , |
| ΒΓ τοῦ ΔΖ ἡμιόλιος , ὁ δὲ ΔΖ τοῦ Θ ἐπίτριτος : φημὶ τὸν ΒΓ τοῦ Θ διπλάσιον εἶναι . | ||
| τὸ τρίτον αὐτοῦ , ἤγουν τὸ Γ . Ὁ Η ἐπίτριτος τοῦ Ϛʹ . Περιέχει γὰρ ὅλον τὸν Ϛʹ , |