| καὶ ἐπὶ μὲν τῶν πρακτικῶν καὶ ἐνιαυσιαίων ἀφέσεων κατά τινας ἁρμονικοὺς ἀριθμοὺς εἰς τοὺς αὐτοὺς τόπους ἢ καὶ τοὺς ἀστέρας | ||
| ᾗ προηγεῖται ἡ μονάς . τὴν δὲ τετάρτην ὡς τοὺς ἁρμονικοὺς περιέχουσαν λόγους καὶ τὸν διὰ τεσσάρων τὸν καὶ ἐπίτριτοντρία |
| , πρόσθησον ἄλλα ἐννέα καὶ τέλειον πάλιν ἀριθμὸν καὶ πάλιν ἑνδεκάδα : εἰ βάλλεις ἄλλα ἕνδεκα , γίνονται ἑξήντα τρία | ||
| Ἄρης Ἑρμῆς ὡροσκόπος , καὶ Ζεὺς δὲ τὴν δεκάδα καὶ ἑνδεκάδα , καὶ Ἀφροδίτη τὴν δωδεκάδα . ἄγει δὲ τὸ |
| τῇ αʹ . εἶτα ἀπ ' ἄλλης ἀρχῆς ἡ τρίτη ἑβδομὰς τὰς αὐτὰς διαθέσεις ποιεῖ τῇ ὑδατικῇ σφαίρᾳ , ἃς | ||
| ἑβδομάς . . . § : καλεῖται δ ' ἡ ἑβδομὰς ὑπὸ τῶν κυρίως τοῖς ὀνόμασιν εἰωθότων χρῆσθαι καὶ τελεσφόρος |
| . Οἱ τέσσαρες ἐπίτριτοι . ἐπίτριτοι δὲ λέγονται κατὰ λόγους ἀριθμητικούς : ὁ τέταρτος γὰρ τοῦ τρίτου ἐπίτριτος . ἐπειδὴ | ||
| τὸ μάθημα . τοὺς . . . δεινούς . τοὺς ἀριθμητικούς . αὐτὸ τὸ ἕν . τὴν μονάδα τὴν παρὰ |
| κατὰ μὲν ἑβδομάδα τασσομένου , τοῦ δὲ ψυχικοῦ καθ ' ἑξάδα , τὸ φυτικὸν ἀναγκαίως κατὰ τὴν πεντάδα πίπτει , | ||
| τὴν ὁλότητα . ὅτι ἑπτὰ τῶν σφαιρῶν οὐσῶν κατὰ τὴν ἑξάδα τὰ διαστήματά ἐστι : μονάδι γὰρ ἀεὶ ἐλάττονα . |
| , ἀλλὰ μεταπίπτει ἐν τῷ πολλαπλασιασμῷ , οἷον δυὰς ἐπὶ τριάδα καὶ τριὰς ἐπὶ τετράδα καὶ τετρὰς ἐπὶ πεντάδα : | ||
| λέγοντες οὕτως , οἷον τὴν γραμμὴν δυάδα , τὴν ἐπιφάνειαν τριάδα , τὸ δὲ στερεὸν τετράδα : καὶ τῶν παραδειγμάτων |
| οἳ ἐδόκουν λέγειν ἀριθμοὺς ἐκ τοῦ ἀνάλογον , οἷον δικαιοσύνην τετράδα καὶ ἄλλον ἄλλως : ἐκείνως δὲ μᾶλλον τῷ πλήθει | ||
| δὲ τριάδα παραλείποιεν , τετρὰς ἡ ὑπεροχή : καὶ εἰ τετράδα , πεντάς , καὶ ἐφεξῆς εὑρήσεις τοῦτο . μετέχει |
| εἰσιν , ἀμφότεροι γραμματικοὶ ὀνομάζονται , καθὸ ὑπέκειτο μέν τις δυὰς ἡ διὰ τοῦ ἀμφότεροι , τὸ δ ' ἐπιγεγενημένον | ||
| δὲ τὰ ἀναρίθμητα . Μονὰς ἀπὸ τοῦ μένω μονὰς , δυὰς ἀπὸ τοῦ δύω τὸ ὑπεισέρχομαι , τριὰς ἀπὸ τοῦ |
| ] ⌈ κϘʹ . / [ εἰκοστὴ ἕκτη . ] τετρὰς ] ⌈ κζʹ . / [ εἰκοστὴ ζʹ . | ||
| , οὕτω καὶ ἡ τοῦ μεγίστου παρὰ τὸν μέσον διαφορὰ τετρὰς οὖσα πρὸς τὴν τοῦ μέσου παρὰ τὸν ἐλάχιστον δυάδα |
| καὶ τῇ ὑστεραίῃ ἱδρὼς ἐγένετο , καὶ τὰς ἄλλας τὰς ἀρτίους ἐγένετο αἰεί . Ἔτι δὲ ὁ πυρετὸς εἶχεν : | ||
| ἐκθέσθαι δεῖ πάντας ἑξῆς ἀπὸ τριάδος , τοὺς δὲ ἀρτιάκις ἀρτίους αὐτοὺς ἐπὶ ἑαυτῶν καὶ γνώμονες ἀπὸ τετράδος τάξει , |
| . ἔστι τοίνυν ἡ μέθοδος γλαφυρά τις οὖσα τοιαύτη : ἐκθοῦ ἀπὸ μονάδος τοὺς ἀρτιάκις ἀρτίους ἕως οὗ βούλει καὶ | ||
| πλευρὰν τὴν κ : εἰκοσάκι γὰρ κ , υ : ἐκθοῦ τοίνυν μ , κ , ι , καὶ ἔστι |
| ἀποδείκνυσι λόγον . ἐπεὶ οὖν κατὰ Πυθαγόραν τὸν Σάμιον ἡ τριὰς εἰς γάμον συνελθοῦσα τῇ τετράδι ἀπεγέννησε τὴν ἑβδομάδα καὶ | ||
| τῷ τέλει τῆς στροφῆς καὶ ἀντιστροφῆς παράγραφος . ἔστι δὲ τριὰς ἐπῳδική . ἥκω σεβίζων ] αἱ ἑξῆς αὗται συστημάτων |
| ἥδε . Τῶν μερῶν τοῦ λόγου ἃ μὲν μετασχηματίζεται εἰς ἀριθμοὺς καὶ πτώσεις , ὡς τὸ ὄνομα καὶ τὰ ἄλλα | ||
| αὐτὰ ἄτοπα συμβαίνει καὶ εἴ τινες τῶν παρ ' ἡμῖν ἀριθμοὺς ὡς ἐπὶ τοῦ κροκοδείλου λαμβάνουσι τὴν ἑξηκοντάδα ὡς οἰκείαν |
| προσδοκῶσα σαρκικῶς αὐτῷ συμμιγῆναι , αὐτὸς δὲ ὡς ἰδίαν μητέρα περιλαμβάνων , καὶ τοῖς ὀφθαλμοῖς περιλάμπων οὓς ἐθήλασε μασθούς , | ||
| μὲν τοῦ φάναι ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμὸν ἐπλεόναζεν ὁ ὅρος περιλαμβάνων καὶ τὰ μὴ συμμέτρους ἔχοντα τὰς πλευράς , διὰ |
| τῇ τέχνῃ , οἷον ἐξόχως . Πλάτων γοῦν ὁ φιλόσοφος διαιρούμενος τὰς πολιτείας τὴν μὲν πρώτως ἔχειν φησίν , τὴν | ||
| τοῦτο ἔστι διαφορά : ὁ μὲν γὰρ ἄρτιος εἰς ἄνισα διαιρούμενος ὁμοειδεῖς τοὺς ἀνίσους ποιεῖται , οἷον ὁ η εἰς |
| ὑποκειμένοις ἐπιβάλλουσα . Ἀλλὰ γὰρ καὶ τὴν τῶν πρώτων στοιχείων πεντάδα τούτοις ἀναλογοῦσαν εὑρήσομεν , τῷ μὲν ὑπάτων γῆν ὡς | ||
| καὶ ὀκτασήμου . μερίζω τὴν ὀκτάδα πάλιν εἰς τριάδα καὶ πεντάδα : οὐδ ' οὕτως ἔσται ῥυθμικὸς λόγος . τὸν |
| τὰ τρία εἴδη ἄρτια καλοῦνται , καὶ γὰρ ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος , ὁ ἀρτιοπέριττος καὶ ὁ περισσάρτιος . συμβέβηκε δὲ | ||
| εἶναι ἀριθμόν ; διότι πᾶς ἀριθμὸς ἢ περιττός ἐστιν ἢ ἄρτιος . καὶ πᾶς ἄρτιος δύναται εἶναι , ἡ δὲ |
| τῶν δέκα πληρώσει ἀριθμόν : ὥστε ὁ ἀριθμὸς κατὰ μὲν μονάδα ἐν τοῖς δέκα κατὰ δὲ δύναμιν ἐν τοῖς τέσσαρσι | ||
| εὑρίσκεται ἔχων ὁλοκλήρως τὰς δ μονάδας καὶ ἐπέκεινα τούτων μίαν μονάδα , ἥ ἐστιν τῶν δ δʹ , καὶ διὰ |
| παροῦσα γὰρ ἐν τῷ εἶναι εὐθὺς εἰδοποιεῖ τὸ μετέχον . ὑφίστησι δὲ καὶ ἄλλο τελευταῖον ἀπὸ τῆς παρουσίας ἐξ ἑαυτῆς | ||
| καὶ περίληψιν ; ὡς γὰρ αὐτὸ τἀγαθὸν τὴν νόησιν καὶ ὑφίστησι καὶ ἑνοῖ πρὸς τὸ νοητόν , καὶ ὡς ὁ |
| . Εἰκοστὴ Θάσος . . . Σκύλαξ : Καρυανδεύς : μαθηματικὸς καὶ μουσικός . Περίπλουν τῶν ἐκτὸς τῶν Ἡρακλέους στηλῶν | ||
| παραγενόμενον αὐτόν , ἔφη : Οὐδὲν αὐτοῦ ἀχρωμότερον . Ἀφυὴς μαθηματικὸς μοιρολογῶν τινα ἔφη : Οὐκ ἦν σοι κατὰ γένος |
| Τίς μὲν ἡ δεκάτη , μικρὸν ἄνω εἴπομεν , ὅτι δεχάς τίς ἐστιν , ἤτοι κόσμος , ὁ πάντα τὰ | ||
| δέκα ἀριθμὸς ἐν ἑαυτῷ ἔχει πάντας τοὺς ἀριθμούς , οἷον δεχάς τις οὖσα . χρήσιμον οὖν αὐτῷ τὸ γνῶναι εἰς |
| ὑπεροχαὶ γὰρ αἱ αὐταί . εἰ δὲ τὸν κ ἡ γεωμετρική : ἡ αὐτὴ γὰρ ἀναλογία , διπλασία γάρ . | ||
| ἐλαττόνων , οἷον βʹ γʹ Ϛʹ . ►βʹ ἀριθμητική ) γεωμετρική ) ἁρμονική τριπλάσιος◄ ) ἐπὶ κόρρης . ἐπὶ κεφαλῆς |
| τὰς ἰδέας πρεσβεύοντες οἱ μὲν τὸ παράδειγμα τῆς γραμμῆς τὴν δυάδα λέγουσιν , οἱ δὲ τὴν ἰδέαν τῆς γραμμῆς . | ||
| ; ἢ τὰ δύο : καὶ μετὰ τὴν μονάδα τὴν δυάδα καὶ οὕτω γε τὸν λοιπὸν ἀριθμὸν προελθεῖν . Οὕτω |
| τὸν δέκα συνθῇς , μέσος εὑρεθήσεται ὁ εʹ κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν ἀναλογίαν , οἷον θʹ καὶ αʹ , ηʹ καὶ | ||
| εἰσὶν αἱ προηγούμεναι τῶν ἀναλογιῶν . πάλιν δὲ κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν παράδοσιν λέγονται λόγοι τῶν ἀριθμῶν , ὡς καὶ ὁ |
| διαιρετὸς καὶ ἀδιαίρετος : ἐπὶ μὲν τῶν ἀύλων εἰδῶν παντάπασιν ἀδιαίρετος ὅ τε χρόνος καὶ αὐτὸς ὁ νοῦς , ὅταν | ||
| ἀλλὰ μία ἐν ἑκάστῃ φύσει , πότερον ἀμέριστος αὕτη καὶ ἀδιαίρετος ἢ μεριστή τις καὶ πολυδύναμος . καὶ εἰ μὲν |
| δὲ ἡ μονὰς κατὰ τὸν ἕνα θεόν : πᾶς γὰρ ἀριθμὸς νεώτερος κόσμου , ὡς καὶ χρόνος , ὁ δὲ | ||
| γὰρ ἄλλα πάντα τὸν ἀριθμὸν φαίνεται μιμούμενα , ὁ δὲ ἀριθμὸς παρ ' ἑαυτοῦ ἀρχὰς μονάδα καὶ δυάδα . ὡς |
| , ἀφ ' ὧν λαμβάνεται πᾶσα μεσότης , ἀριθμητική , ἁρμονική , γεωμετρική . τούτων ἡ μὲν ἴσῳ ἀριθμῷ ὑπερέχει | ||
| τὸ ποιὸν ἀντὶ τοῦ περὶ τοὺς ὅρους . ἡ μέντοι ἁρμονική , ὡς περὶ ἑκάτερον ἔχουσα , διὰ τοῦτο τῶν |
| μάγαδιν , ὁ δὲ κλεψίαμβος , ἔτι δ ' ὁ τρίγωνος καὶ ὁ ἔλυμος καὶ τὸ ἐννεάχορδον ἀμαυρότερα τῇ χρείᾳ | ||
| : Ἄρεως δὲ ἐπιμαρτυρήσαντος μείζων ἡ ἐπίτασις . Σελήνη Ἀφροδίτῃ τρίγωνος ἐν ἰδίῳ οἴκῳ ἢ τετράγωνος , μάλιστα ἐπίκεντροι , |
| τις ἑνάς , ὥσπερ ἐν χορῷ , ἀλλ ' ἡ δεκὰς αὕτη τῶν ἀνθρώπων ἐν σοὶ τῷ ἀριθμοῦντι τὴν ὑπόστασιν | ||
| ὁ μὲν δʹ , ὁ δὲ θʹ . ἡ μέντοι δεκὰς πάντα περαίνει τὸν ἀριθμόν , ἐμπεριέχουσα πᾶσαν φύσιν ἐντὸς |
| γενεθλίοις , βωμοὶ δὲ ᾑμάττοντο , ἦγε δὲ πανήγυριν ὁ σύμπας οἶκος : δαίμων δέ , ὡς ἔοικεν , ἐπετώθασε | ||
| θυμίαμα συντίθεται , σύμβολα τῶν στοιχείων , ἐξ ὧν ἀπετελέσθη σύμπας ὁ κόσμος . στακτὴν μὲν γὰρ ὕδατι , γῇ |
| κοινὴ πάντων , ὀγδοάδα δὲ Ἀφροδίτη , ἐννεάδα δὲ καὶ δεκάδα ἥλιος Ἄρης Ἑρμῆς ὡροσκόπος , καὶ Ζεὺς δὲ τὴν | ||
| δέκα λέγομεν , ὅταν δὲ ἐκ πολλῶν γίνηται ἕν , δεκάδα , ὡς κἀκεῖ οὕτως . Ἀλλ ' εἰ οὕτως |
| μέσος τοῦ τε θʹ καὶ γʹ διαστήματος , καὶ οὗτος ἀριθμητικός : ὑπερέχει γὰρ καὶ ὑπερέχεται ͵αρνβ . καʹ ͵βφϘβ | ||
| ποιητικός , μουσικός , ἀστρονόμος ἀστρονομικός , γεωμέτρης γεωμετρικός , ἀριθμητικός , στατικός , ἰατρός ἰατρικός . καὶ τὰ ἐπιρρήματα |
| μὲν οὖν ἐπὶ μονάδα αἱ ἀφαιρέσεις περαιωθῶσι , πρώτους καὶ ἀσυνθέτους αὐτοὺς ἀποφαίνουσι πρὸς ἀλλήλους , ὅταν δὲ ἐπὶ ἕτερόν | ||
| ψεύστας , διαβόλους , ἐπιόρκους , βαθυπονήρους , ἐπιβουλευτικούς , ἀσυνθέτους , ἀδεξιάστους , νοθευτάς , γυναικῶν διαφθορέας καὶ παίδων |
| Ἰδοὺ Ῥόδος , ἰδοὺ καὶ πήδημα : ὅτι πᾶς λόγος πέριττος ἐστίν , ἂν μὴ πρόχειρος ἡ ἀπόδειξις τοῦ πράγματος | ||
| Ἰδοὺ Ῥόδος , ἰδοὺ καὶ πήδημα : ὅτι πᾶς λόγος πέριττος ἐστίν , ἂν μὴ πρόχειρος ἡ ἀπόδειξις τοῦ πράγματος |
| ὃς σύγκειται ἐκ δύο τετραγώνων , μεταδιελεῖν εἰς δύο ἑτέρους τετραγώνους . Ἔστω τὸν ιγ , συγκείμενον ἔκ τε τοῦ | ||
| τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν ποιῇ τοὺς δοθέντας τετραγώνους ἀριθμούς . Ἐὰν γὰρ ὦσιν οἱ δοθέντες τετράγωνοι , |
| καὶ Σελήνη ἑξάδα , ἡ δὲ ἑβδομὰς κοινὴ πάντων , ὀγδοάδα δὲ Ἀφροδίτη , ἐννεάδα δὲ καὶ δεκάδα ἥλιος Ἄρης | ||
| . Κρόνος δὲ καὶ Ζεὺς ἀνὰ μοίρας ἐννέα , Τὴν ὀγδοάδα δ ' ἔσχε τῶν μοιρῶν Ἄρης Ἔμπροσθεν καὶ ὄπισθεν |
| δοθέντων παραγινόμενον ἐφαπτόμενον δὲ ἑκάστης τῶν δεδομένων γραμμῶν . αὕτη περιέχει προβλημάτων ἤδη τὸ πλῆθος ἕξ : ἐκ τριῶν γὰρ | ||
| ἐπάγειν ἀσύμφορον . Τὸ δὲ προγύμνασμα τοῦτο πᾶσαν ἐν ἑαυτῷ περιέχει τὴν τῆς τέχνης ἰσχύν . Ποιηταῖς μὲν ἀντερεῖν ἄλογον |
| δὲ πάτρα μὲν εἰς τὴν δευτέραν μετάβασιν ἐλθόντων ἡ κατὰ μόνας ἑκάστῳ πρότερον οὖσα συγγένεια , ἀπὸ τοῦ πρεσβυτάτου τε | ||
| φρέατος ἔνδον ψυχρότερον Ἀραρότος . ἢ μετὰ Πλάτωνος ἀδολεσχεῖν κατὰ μόνας μᾶλλον μᾶλλον ὁ συκοφάντης οὐ δικαίως τοὔνομα ἐν τοῖσι |
| καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα . λα . Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἴσους τετραγώνῳ , ὅπως ὁ ὑπ ' αὐτῶν , ἐάν | ||
| ιϚ # ʂ ιϚ . βούλομαι τοὺς δύο λοιπὸν συντεθέντας ἴσους εἶναι Μο ιϚ . ΔΥ ἄρα ε Μο ιϚ |
| ῥήματι : πᾶσα γὰρ λέξις ῥηματικὴ ἢ ἁπλῆ ἐστι καὶ ἀσύνθετος ἤγουν μονόλεξος , ἢ σύνθετος καὶ δίλεξος , ἢ | ||
| ἀλλ ' ἐπισωρεύσεις τὸν ἑξῆς , ἐὰν δὲ πρῶτος καὶ ἀσύνθετος , τῷ ἐσχάτῳ εἰς τὴν σύνθεσιν παραληφθέντι πολλαπλασιάσεις αὐτὸν |
| τὰ μὲν ιβʹ διχῆ διαιρεῖται εἰς Ϛʹ καὶ Ϛʹ , τριχῆ δὲ εἰς δʹ καὶ δʹ καὶ δʹ , τετραχῆ | ||
| . Εἰ δὲ πρὸς τὸ αὐτὸ καὶ ἓν ἐκλάβοιμεν τὸ τριχῆ διαιρούμενον , ἐροῦμεν ἢ συνεῖναι αὐτῷ , ἢ ἀπ |
| ἀστραγάλων ἤ τινων ἄλλων ἐξετάζειν τὸν συμπαίζοντα πότερον ἀρτίους ἢ περισσοὺς κατέχει , ὡς καὶ Ἀριστοφάνης Πλούτῳ στατῆρσι δ ' | ||
| ὑπάρχον καὶ ταὐτὸν ἀεί . γεννᾶται δὲ δυάδος τοὺς τάξει περισσοὺς μηκυνούσης , ἵν ' ἐπειδὴ δυάδι οἱ γνώμονες ἀλλήλων |
| ἑτερομήκης , κατὰ δὲ τὸ δὶς Ϛʹ προμήκης . ἔτι προμήκης ἐστὶν ὁ κατὰ πάσας τὰς σχέσεις τῶν πολλαπλασιασμῶν πλέον | ||
| τριδακτύλων , μέγεθος ἀλεκτρυόνος μεγάλου , χρῶμα ὄρτυγος , κεφαλὴ προμήκης , ῥύγχος ὀξύ , τράχηλος λεπτός , ὀφθαλμοὶ μεγάλοι |
| οἰκεῖον τῇ τετράδι . ἡ γὰρ πρώτη πυραμὶς ἐν τῇ τετράδι θεωρεῖται , τριγώνου μὲν βάσεως ὑποτεθείσης τοῦ τρία , | ||
| τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἔλαττόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τοῦ μέσου τετράδι . διὰ τί τετράδι ; ἐπειδὴ καὶ ἡ ὑπεροχὴ |
| ἑζέσθην , Τρώων δὲ πρὸς οὐρανὸν εὐρὺν ἄερθεν . Ἡ ἑξὰς πρώτη τέλειος : τοῖς γὰρ αὑτῆς μέρεσιν ἀριθμεῖται , | ||
| ὑπεροχὴν ἔχῃ : οἷον Ϛʹ γʹ βʹ : ἡ γὰρ ἑξὰς πρὸς τὴν δυάδα τριπλασία ἐστί : καὶ ἡ ὑπεροχὴ |
| καὶ ψυχρῶν καὶ ξηρῶν καὶ ὑγρῶν ἀντιλαμβάνεται , καὶ ἔστι πεντὰς αὕτη συζυγιῶν ἀνώνυμος ἑνὶ καθάπερ εἶπον ὀνόματι . οὐ | ||
| ἀριθμητικὴν ἀναλογίαν , ὡς δηλοῖ τὸ διάγραμμα . ὅτι ἡ πεντὰς πρώτη μεσότητος τῆς ἀρίστης καὶ φυσικωτάτης ἐμφαντικὴ κατὰ διάζευξιν |
| , πῦρ δὲ οὐδαμοῦ : ἡ γὰρ φιλία καὶ ἡ σύγκρασις τῶν ἐναντίων καὶ τῶν ἀνομοίων φῶς γέγονε , καταλαμπόμενον | ||
| γένοιτο χωρὶς ἐσθλὰ καὶ κακά , ἀλλ ' ἔστι τις σύγκρασις , ὥστ ' ἔχειν καλῶς . ἃ μὴ γὰρ |
| , νῦν περὶ τοῦ περισσαρτίου διαλέγεται καί φησιν ὅτι ὁ περισσάρτιος ἀμφοτέροις κοινωνεῖ καὶ ἀμφοτέρων διαφέρει : τῷ μὲν γὰρ | ||
| περισσάρτιον , τρὶς γὰρ η κδ : ὁ κδ τοίνυν περισσάρτιος , ὃς πλείους διαιρέσεις ἐπιδέχεται ἄχρι τριάδος . ὡσαύτως |
| ἀλλαχοῦ κατ ' οἰκειότητα ἑκάστου . Ἰστέον δὲ ὅτι ἡ θεολογία οὐ μόνῳ τῷ Διὶ τῷ τῶν ἕνδεκα ἡγουμένῳ ἵππους | ||
| τὰ φυσικὰ καὶ περὶ φύσεως διαλέγεται , καὶ οὐκέτι ἐστὶ θεολογία ἡ πραγματεία . λέγομεν οὖν πρὸς τοῦτο ἢ ὅτι |
| ἡ τοιαύτη ἀρετὴ φιλίᾳ : πρότερον μὲν γὰρ ἐν τῇ διαγραφῇ κοινότερον αὐτὴν φιλίαν εἶπε , νῦν δὲ διαιρεῖ ὅτι | ||
| ἐφεπτακαιδέκατον : δι ' ἃ κἀν τῇ καθ ' ἡμιτόνιον διαγραφῇ διπλῆ γίνεται τῶν στοιχείων ἔκθεσις , ἵν ' ὅτε |
| ' ἐκάλεσαν ὅτι τῶν σχημάτων ὁ κύκλος ἀπήρτισται καὶ ἔστι τέλειος . καὶ τὸ ποτήριον οὖν τὸ δεχόμενον τὴν ὑγρὰν | ||
| καὶ ἀεὶ ἄλλη : ἡ δὲ κίνησις οὐκ ἦν ἡ τέλειος ἐνέργεια , καθάπερ εἴρηται πρότερον , ἀλλ ' ἡ |
| ἔφη : Κοινῶς ποιητὰς ἔθος ἐστὶν καλεῖν , καὶ τοὺς περιττοὺς τῇ φύσει καὶ τοὺς κακούς : ἔδει δὲ κρίνειν | ||
| δὲ ὅτι καὶ ἡ τοῦ μαθηματικοῦ ἀριθμοῦ ἀρχὴ πάντας τοὺς περιττοὺς καὶ τοὺς ἀρτίους διπλασιάζουσα τὸν ἄρτιον ὑφίστησι : καὶ |
| οὖν περὶ τὸν ἀστεῖον ἡ τροπὴ βραχεῖα , ἄτομος , ἀμερής , οὐκ αἰσθητή , | νοητὴ δὲ μόνον , | ||
| ὄντος συνεστὼς ἀνύπαρκτος ἔσται . ἄλλως τε , εἰ μὲν ἀμερής ἐστιν ὁ χρόνος , πῶς τὸ μέν τι αὐτοῦ |
| ἐνέδησεν . ἐνεφλεβοτόμησε : Βακχεῖος ἐν τρίτῃ φησίν , ὅτι διεῖλεν εἰς πλείους τόπους τὰς φλέβας καὶ οἷον ἐμέρισεν . | ||
| δεκάτην ἐξελόμενος εἰς κατασκευὴν ἱεροῦ τὰ λοιπὰ χρήματα τοῖς στρατιώταις διεῖλεν . οὕτω δ ' ἄρα πολὺς ὁ καταληφθεὶς ἄργυρός |
| καὶ τοὺς στεφανίτας ἀγῶνας τοὺς ἄριστα πεφυκότας καὶ τοῖς σώμασι προὔχοντας ἐγκριθέντας ἀσκεῖσθαι , τοὺς δὲ τῶν μεγίστων καὶ ἀληθινῶν | ||
| τε καὶ χειροπλήθη τριῶν οὐχ ἧττον ποδῶν σιδηροῦς ὀβελίσκους ἔχοντα προὔχοντας κατ ' εὐθεῖαν ἐκ θατέρου τῶν ἄκρων , μετρίοις |
| ῥητὴν ἔχουσι τὴν πλευράν , καί ἐστιν ἐπὶ τῶν ἀρτίων ἀριθμῶν δεικνύμενον οὕτως : λαμβάνει τὸ ἥμισυ τοῦ προκειμένου αὐτῷ | ||
| τοῦ δευτέρου . † . Ἐὰν ἄρα ἀπὸ τῶν τριῶν ἀριθμῶν τὴν ὑπεροχὴν τῶν μονάδων κ καὶ ἀπὸ τοῦ δὶς |
| οὕτως , οἱ δὲ Πυθαγόρειοι τὸ μὲν σημεῖον ἀνάλογον ἐλάμβανον μονάδι , δυάδι δὲ τὴν γραμμὴν καὶ τριάδι τὸ ἐπίπεδον | ||
| πρὸ γὰρ τοῦ ζ ὁ Ϛ , ὃς ἄρτιος : μονάδι οὖν διαφέρει τοῦ ἀρτίου . ὡσαύτως καὶ ὁ ἄρτιος |
| ἄτμητον φυλαχθῆναι , τὴν δ ' ἐντὸς ἑξαχῆ τμηθεῖσαν ἑπτὰ κύκλους τῶν λεγομένων πλανήτων ἀποτελέσαι : ὃ γάρ , οἶμαι | ||
| λόγων κεκαθαρμένων καὶ πρὸς εὐθύτητα ἀπεξεσμένων , ἐμβεβλημένων δὲ ξύλοις κύκλους ἀποτελοῦσιν : οἱ δὲ κύκλοι ἐκ τοῦ ἐδάφους ἀρχόμενοι |
| , καί εἰσι πάλιν ἀρτιάκις ἄρτιοι . γένεσις δὲ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου . περὶ τῆς γενέσεως τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου λέγει | ||
| ἓξ ἀριθμὸν ἔλεγον κρίσιν , ὃς καὶ ἔστιν ἀρτιοπέριττος . ἀρτιάκις γὰρ ἄρτιός ἐστιν ἀριθμὸς ὁ ἀναλυόμενος μέχρι μονάδος αὐτῆς |
| φύσιν , οἷον δὲ ὁρισμὸν αὐτοῦ ποιούντων , τὰς διαφορὰς ἐκθώμεθα . συγκεφαλαιούμενοι δὲ καὶ τούτων οἱ τρόποι εὐαρίθμητοι γίνονται | ||
| τὴν τοῦ ὅρου ἐξήγησιν ἡμῖν ἰτέον . καὶ πρῶτον αὐτὸν ἐκθώμεθα , εἶτα δείξομεν ὅτι οὐδὲν οὔτε περισσὸν ἔχει οὔτε |
| λέγῃ ἡ ἡδονὴ σπουδαία ἐστιν , εἰ μὲν πρὸς τὴν γεωμετρικὴν ἡδονὴν ἀποβλέψας φησίν , οὐ τὸ προκείμενον συνάγεται : | ||
| . διὰ τοῦτο τὸν Βρύσωνος τετραγωνισμὸν οὐκ ἄν τις εἴποι γεωμετρικὴν ἀπόδειξιν : χρῆται γὰρ ἀξιώματι ἀληθεῖ μὲν κοινῷ δέ |
| λόγους ὅλα μέρεσι τοῖς αὐτῶν συγκρίνουσα , τὸ δὲ διαστηματικὸν ἀριθμητικὴ γνωματεύουσα , μερίζουσα τὸ ὅλον , τὰς τῶν μερῶν | ||
| , Ϛʹ ηʹ ιβʹ , τουτέστι τῷ τρίτῳ : καὶ ἀριθμητικὴ δὲ μεσότης ληφθέντος τοῦ Ϛʹ ἡμιολίου μὲν λόγου τῶν |
| μονάδες κεῖνταί που καὶ τὴν ἐν σώματι θέσιν ἔχουσι . στιγμὴ γοῦν καὶ μονὰς ἐνταῦθα ταὐτόν . γραμμαὶ δ ' | ||
| : οὐδὲ γὰρ τὸ φερόμενον τῆς φορᾶς , οὐδὲ ἡ στιγμὴ τῆς γραμμῆς : γραμμῆς γὰρ μέρος γραμμὴ καὶ κινήσεως |
| τετράκις δʹ ιϚʹ . οἱ μὲν οὖν τετράγωνοι πάντες τοὺς ἑτερομήκεις περιλαμβάνουσι κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν καὶ μέσους αὐτοὺς ποιοῦσι | ||
| πρὸς ἑαυτοὺς διαφορὰς τοὺς περισσοὺς μόνον ἔχουσιν , οἱ δὲ ἑτερομήκεις τοὺς ἀρτίους : ἂν δὲ καὶ τὸν πρῶτον ἑτερομήκη |
| ' εἰ μὲν ὁ ἐλάττων διχῇ διαιροῖτο , ὁ μείζων τριχῇ , εἰ δὲ ὁ ἐλάττων τριχῇ , ὁ μείζων | ||
| Τί μήν ; Ὦ Πρώταρχε , πειρῶ δὲ αὐτὸ τοῦτο τριχῇ τέμνειν . Πῇ φῄς ; οὐ γὰρ μὴ δυνατὸς |
| οὐρανοῦ , νοητὴν δὲ τὴν πάντων τῶν ἐκτὸς οὐρανοῦ , δοξαστὴν δὲ καὶ σύνθετον τὴν αὐτοῦ τοῦ οὐρανοῦ : ὁρατὴ | ||
| οὐρανοῦ , νοητὴν δὲ τὴν πάντων τῶν ἐκτὸς οὐρανοῦ , δοξαστὴν δὲ καὶ σύνθετον τὴν αὐτοῦ τοῦ οὐρανοῦ : ὁρατὴ |
| οὐ γεννᾶι οὔτε γεννᾶται ὑπ ' ἄλλου ἀριθμοῦ πλὴν ὑπὸ μονάδος : διὸ καὶ καλεῖται ὑπὸ τῶν Πυθαγορείων παρθένος ἀμήτωρ | ||
| ιη , καὶ α καὶ ιθ . ἐπὶ μέντοι τῆς μονάδος οὐκέτι τοῦτο , ἀλλὰ τοῦ μὲν μετ ' αὐτὴν |
| στερεῶν σωμάτων λόγοι δῆλοι , ἐπεὶ καὶ ὁ τοῦ αʹ κύβος τοῦ αὐτοῦ ἐστιν αʹ , ὁ δ ' ἀπὸ | ||
| οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες , ὁ δὲ τέταρτος ὁ Γ κύβος καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες , ὁ δὲ ἕβδομος |
| ὡς τῆς ὕλης ὑποστατική , εἴπερ ἀνάλογον ἕστηκε τῇ ἀορίστῳ δυάδι . ἔπειτα τίς ἀνάγκη τῆς αὐτῆς ὕλης οὔσης τὰ | ||
| σνϚψκθ / . καὶ ἐὰν δυάδα μερίσωμεν εἰς τὸν τοῦδε δυάδι ἐλάσσονα , εὑρήσομεν τὸν ʂ μονάδος σιζφιβ / , |
| τὴν ὡρισμένην δυάδα δύο δυάδας ἐποίησε , τοῦ γὰρ ληφθέντος δυοποιὸς ἦν ” , εἴληπται μὲν ἐκ τῶν εἰωθότων παρ | ||
| προάγειν εἰς ἀπογέννησιν τῶν δευτέρων καὶ τρίτων ἀύλων εἰδῶν : δυοποιὸς δὲ εἴρηται , παρ ' ὅσον ἐν τῇ προόδῳ |
| ἄξων . ἀποδέδωκεν γὰρ ἂν αὐτὸ σὺν τῷ ἄξονι ὁ γεωμέτρης : ἀλλ ' εἴ τις ἄξων , οὗτος καὶ | ||
| ' ἀδυνάτου . οἷον ὡς ἐπὶ τοῦ παραδείγματος βουλόμενος ὁ γεωμέτρης δεῖξαι , ὅτι ἡ διάμετρος τῇ πλευρᾷ ἀσύμμετρός ἐστι |
| δὲ ἠθικόν : τὸ δὲ λογικόν . οὕτω δὲ πρῶτος διεῖλε Ζήνων ὁ Κιτιεὺς ἐν τῷ περὶ λόγου . . | ||
| σημαινομένων καὶ ἁπλῶς τὸ κοινότερον λεγόμενον ἴδιον λαβὼν εἰς τέσσαρα διεῖλε . τριῶν οὖν οὐσῶν ἀντιθέσεων , ἐξ ὧν τὰ |
| δεῖξαι . Αἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι πυραμίδες καὶ πολυγώνους ἔχουσαι βάσεις πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις . | ||
| ἐφεξῆς ἀπὸ μονάδος ἀριθμούς , οὕτως καὶ πυραμίδων τοὺς ἐφεξῆς πολυγώνους καθ ' ἕκαστον . ἀνάλογος δ ' ἔσται καὶ |
| τῷ τριπλασιασμῷ τῆς ἡμιτονιαίας διαστάσεως ἐπιδεικνύον : τὸ δ ' ἐναρμόνιον κατὰ δίεσιν καὶ δίεσιν καὶ δίτονον τοῖς μὲν διεσιαίοις | ||
| τίθεται , ἣν ὡς κατὰ τοὺς Πυθαγορικοὺς κύβον οὖσαν καὶ ἐναρμόνιον ἐπίηρον κατωνόμασεν . ὁ κύβος δὲ ἐναρμόνιον διὰ τοὺς |
| ἀλλ ' οἷον ἡ Πυλάδου πρὸς Ὀρέστην . ἡ δὲ ξενικὴ φιλία ἡ ἀπὸ συστάσεως καὶ διὰ γραμμάτων γινομένη πρὸς | ||
| ἡγεῖτο Ἀγάθων ὁ Τυρίμμα . ξυμπάντων δὲ ταύτῃ προετάχθη ἡ ξενικὴ ἵππος ἡ τῶν μισθοφόρων , ὧν Ἀνδρόμαχος ὁ Ἱέρωνος |
| ἐκείνῃ κινουμένη ἀπ ' ἀνατολῶν ἐπὶ δυσμάς : ὁ δὲ λοξὸς οὗτος κύκλος ἐγκεκλίσθαι πρὸς τὸν μέγιστον τῶν ἐν τῇ | ||
| οὗ ἐστιν τὰ Α , Γ σημεῖα : ὁ δὲ λοξὸς τῆς σελήνης ἐφ ' οὗ ἐστιν τὰ Δ , |
| γιγνόμενος ποιεῖ τὸν ἡμιόλιον λόγον , ἐξ ὧν ἀμφοτέρων ὁ διπλάσιος σύγκειται λόγος , τοῦ δʹ φμηὶ πρὸς τὸν βʹ | ||
| τῆς Α τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον ἤτοι διπλάσιος ἤτοι δὶς δίς , ὅπερ ἐδήλωσεν εἰπών : τὰ |
| ὀξυβελεῖς μεγίστους , εἰς δὲ τὰς ἀνωτάτας ὀξυβελεῖς τε τοὺς ἐλαχίστους καὶ πετροβόλων πλῆθος , ἄνδρας τε τοὺς χρησομένους τούτοις | ||
| ἐκ δὲ τῶν ἄλλων πολιτῶν , ἵν ' ὡς εἰς ἐλαχίστους τὴν βλασφημίαν ἀγάγω , τὸν μαθητήν , εἰ δὲ |
| αὗται ἐπὶ πολὺ προίασιν καὶ ἐπὶ πάντα . Διαιρεῖται τὰ ἀριθμητικὰ εἴς τε πρώτους καὶ συνθέτους καὶ τὸ βʹ εἰς | ||
| οὕτω διορίζεται : τέτταρες μὲν καὶ ταὶ σοφίας ἐπιβάθραι , ἀριθμητικὰ μωσικὰ γεωμετρία σφαιρικά , αʹ βʹ γʹ δʹ τεταγμέναι |
| τετρὰς δὲ ὁ ΓΕ : καὶ ἐπεὶ ὁ ΑΒ ὢν πολύγωνος ἔχει γωνίας τοσαύτας ὅσος ἐστὶν ὁ ΒΓ , ὁ | ||
| τὸν ὀκταπλάσιον τοῦ ΚΒ : ὥστε εὑρετός ἐστιν ὁ ζητούμενος πολύγωνος . Ὁμοίως δὲ καὶ πολυγώνου δοθέντος εὑρήσομεν τὴν πλευρὰν |
| τριήρεσι πολλαῖς ὁρῶν πεφραγμένον τὸν ἔσπλουν , τρεῖς δὲ τὰς ἐξωτάτω ἐφορμούσας τῷ στόματι τριήρεις προσπεσόντες οἱ Φοίνικες καὶ ἀντίπρωροι | ||
| κατὰ τὸν χειμερινόν . Ἀναξιμένης καὶ Παρμενίδης τὴν περιφορὰν τὴν ἐξωτάτω τῆς γῆς εἶναι τὸν οὐρανόν . Ἐμπεδοκλῆς στερέμνιον εἶναι |
| μὲν οὖν ὁ ἀνὴρ κατέχει πήχεις τέσσα - ρας , πεπυκνωμένος δὲ κατέχει πήχεις δύο , συνησπικὼς δὲ κατέχει πῆχυν | ||
| τὰ πάντα καταλέξω . σοφός τις ἐκ τῶν παλαιῶν ῥήτωρ πεπυκνωμένος , Ῥητόριος Αἰγύπτιος οὕτως ὠνομασμένος , πρὸς ἐπιστήμην ἔμπειρος |
| ἀναλογίαν σώζων γεωμετρικήν , πρόλογος μὲν πρὸς τὸν ἐλάττονα , ὑπόλογος δὲ πρὸς τὸν μείζονα , οὐδέποτε δὲ πλείονες : | ||
| ' ἑκάτερα αὐτοῦ ἀποκρίνηται , πρὸς μὲν τὸν μείζονα ὡς ὑπόλογος , πρὸς δὲ τὸν ἐλάσσονα ὡς πρόλογος , συνημμένη |
| ἐντὸς τῶν Ἡρακλείων στηλῶν ] κειμένης θαλάσσης , ἣν ὁ περιέχων τὴν γῆν ὠκεανὸς [ πρὸς ] ἑσπέρας ἐπιτελεῖ , | ||
| διὰ τὸ τὰς δεκάτας ἐπέχειν , περὶ τὰ υ που περιέχων ἔτη καταλαμβάνεται . Τούτοις δ ' ἀκολούθως ἐζητήσαμεν τὰς |
| τὸ τοῦ ἀστέρος λόγον ἔχειν , ὃν ἡ τοῦ ἡλίου μέση πάροδος , τουτέστιν ἥ τε κατὰ μῆκος καὶ ἡ | ||
| Ἶρόν φησι Μερμέρου παῖδα . . . : Χαονία , μέση τῆς Ἠπείρου . Οἱ οἰκήτορες Χάονες . Ἑλλάνικος Ἱερειῶν |
| ἂν μὴ λάβωσιν ; ἐχέτωσαν οὗτοι τὴν εἱμαρμένην : τοὺς πλανήτας προσκυνεῖν οὐ βούλομαι . τίς ἐστιν ὁ Βερενίκης πλόκαμος | ||
| * περίσημον : ἐμφανές * ἀπλανές : πολυπλανές διαστεῖλαν τοὺς πλανήτας * ἀστράσιν : ζῳδίοις * ἄστροις : γράφεται ἀστράσιν |
| ἦσαν τὰ ἐπίπεδα , ὡς ἐδείχθη . Πάλιν οὖν ἄνωθεν ἑτερομήκης ἀριθμὸς λέγεται , οὗ ἐπιπέδως σχηματογραφηθέντος τετράπλευρος μὲν καὶ | ||
| τῆς εἴλης τετράγωνον ᾖ , ὁ ἀριθμὸς τῶν ἱππέων γίνεται ἑτερομήκης . Δοκεῖ δὲ τὸ ῥομβοειδὲς σχῆμα ἀναγκαιότατον παρειλῆφθαι : |
| μουσικὴν καὶ ἀριθμητικήν . καὶ ἡ μὲν ἀριθμητικὴ τοὺς ἀριθμοὺς ἐπισκέπτεται , ἡ δὲ γεωμετρία τὰ μεγέθη καὶ τὰ σχήματα | ||
| διάνοια παρεῖται ἐξετάζεσθαι ἐν συλλογισμῷ , κατὰ δὲ τὸ λεληθὸς ἐπισκέπτεται καὶ αὐτή . Ζητοῦσι δέ τινες , τίνος χάριν |
| πολλαπλασιαζόμενοι ἑκάτερος τούτων καὶ εἰς ἀλλήλους παραβαλλόμενοι καὶ ἕτερος θάτερον πολλαπλασιάζων ποιοῦσι τὸ ὅλον ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου ἤγουν τοῦ ΑΔΕΒ | ||
| καὶ ἐφεξῆς οὕτω παρ ' ἕνα ποτὲ ἄρτιόν ποτε περιττὸν πολλαπλασιάζων , ποιήσεις τοὺς διπλασίους . τριπλάσιοι δὲ πάντες εἰσίν |
| χαλκεύς , οὐ ποιεῖ τὸν χαλκόν , οὕτως οὐδὲ τὴν σφαῖραν , τουτέστι τὸ εἶδος αὐτὸ καθ ' αὑτό , | ||
| ἑκάστῳ τῶν τριῶν πλανήτων Ἄρεος καὶ Ἀφροδίτης καὶ Ἑρμοῦ προσετίθει σφαῖραν , τίνος ἕνεκεν προσετίθει , συντόμως καὶ σαφῶς ὁ |
| ἐν θεοῖς ὁλοτελής ἐστι , πάντα ἐν ἑαυτῇ καὶ αὐτὴ περιέχουσα κατὰ τὸ ἑαυτῆς ἰδίωμα . Ἡ μὲν γὰρ ἐν | ||
| ἀριθμόν : ἡ γὰρ ὑστάτη τελειότης αὐτὸς ἦν ἡ πᾶν περιέχουσα ἐν ἑαυτῇ . τοῦ δὲ κενοῦ παράδειγμα μὲν ἐν |
| , τοὺς δὲ λοιποὺς ἰάμβους ἔχοντες , τέσσαρες δὲ δύο τροχαίους , ἴσους δὲ ἰάμβους , ἤτοι κατὰ τὸ ἑξῆς | ||
| ἐμπέσῃ . χαριεστέρα δ ' αὐτοῦ τομὴ ἡ εἰς τρεῖς τροχαίους : ἐπιδέχεται δὲ καὶ τὰς ἄλλας . Τὰ δ |
| ἐν τῷ θεάτρῳ : καὶ γὰρ ἡ φωνὴ ἐνέργειά ἐστιν ἀμέριστος πανταχοῦ ὅλη ἡ αὐτὴ χωριστῶς αὐτῷ παροῦσα , ἅτε | ||
| πρὸς τὰς ἄλλας ἀμέριστον ἕνωσιν . καὶ γὰρ αὕτη ἡ ἀμέριστος ἕνωσις τοῖς χωρὶς τῶν σωμάτων προσήκει εἴδεσιν . εἰ |
| . καί εἰσι μὲν τὸ μέγεθος τῶν παρὰ τοῖς Ἕλλησι διπλασίους , ὤκιστοι δὲ τὸ τάχος . εἰσὶ δὲ πυρρότριχες | ||
| τὸν ι . ἐκθοῦ οὖν ἐν τῷ δευτέρῳ στίχῳ τοὺς διπλασίους : β , δ , Ϛ , η , |
| διάνοιαν καὶ τοῖς ὀνόμασι διαφέρουσιν . Ἐπεὶ γοῦν δύο μὲν κανόνας τῶν εἰς ην ὀνομάτων , ὥς φαμεν , ὁ | ||
| φαίνεσθαι , ἃ δὴ καὶ φανδούρους καλοῦσιν οἱ πολλοὶ , κανόνας δ ' οἱ Πυθαγορικοὶ , καὶ τὰ τρίγωνα τῶν |
| αὐτῶν νοσημάτων : καὶ φανερῶς διὰ τῆς ἀνατομῆς δείκνυται τοὺς σπερματικοὺς ἔχον πόρους καὶ τὸ μέγιστον τοῦ σπερμαίνειν μαρτύριον αἱ | ||
| καθ ' ὥρας τὰς ἐτησίους ἐνεγκεῖν : φθάνει γὰρ τοὺς σπερματικοὺς ἅπαντας τόνους ἡ τοῦ ὕδατος πολλὴ καὶ βίαιος ἀποκλύσασα |
| οὗ τοῖς πολλοῖς τὸ εἶναι ὑπάρχει , ὥσπερ καὶ ἑνὰς νοητή , ἐξ ἧς ἡ συνέχεια πᾶσι τοῖς ἐνταῦθα . | ||
| εἴδη τῶν οὐσιῶν διατρίψει : τῶν δὲ οὐσιῶν ἡ μὲν νοητή τε καὶ ἀίδιος , ἡ δὲ αἰσθητή τε καὶ |
| ἡμέρας πρὸς λʹ . τίκτει τε ἅπαξ τοῦ ἔτους ᾠὰ δώδεκα : ταῦτα δὲ οὐκ εἰς ἅπαξ , ἀλλὰ παρ | ||
| Γελαχαῖοι , Χαλδαῖοι , Σύροι , κληρονομήσουσιν ἐν αἰχμαλωσίᾳ τὰ δώδεκα σκῆπτρα τοῦ Ἰσραήλ . Καὶ πάλιν μετὰ μῆνας ἑπτὰ |
| τριάδος καὶ ἡ δυὰς τῷ ἑαυτῆς ἡμίσει ὑπερέχεται ὑπὸ τῆς τριάδος . καὶ τοὺς ἄκρους δὲ συντεθέντας ἀλλήλοις καὶ ὑπὸ | ||
| τοῦ γ πρῶτος διπλασιεπίτριτος ἦν , λάμβανε πάντας τοὺς ἀπὸ τριάδος τριάδι διαφέροντας καὶ τοὺς ἀπὸ ἑπτάδος ἑπτάδι , καὶ |
| πᾶσιν ἐπίσης ἰσημερινός ἐστιν , οὐκέτι δὲ οὔτε ὁρίζων οὔτε ἀρκτικός . Καὶ τὰ μὲν κατὰ τὰς διαφορὰς τῶν κατὰ | ||
| ἐφ ' ἑκατέρωθεν τὸ ἔξαρμα καὶ τὸ ἀντέξαρμα ὁρίζοντες , ἀρκτικός τε καὶ ἀνταρκτικός , μικρότατοι μὲν τῷ μεγέθει , |
| δυνάμει πεφυκυῖα , δύο μεσότητας ἔχει , ἀριθμητικήν τε καὶ ἁρμονικήν , φαίνεταί τε τὰ μέρη αὐτῆς καὶ τὰ μεγέθη | ||
| δεύτερος πρὸς τὸν τρίτον , οἷον δʹ Ϛʹ θʹ , ἁρμονικήν δὲ ὅταν τριῶν ἀριθμῶν ἀνίσων , εἰ ὡς ὁ |