| ἀριθμὸν ἀποτελεῖν , ἀλλ ' οὖν ἐν τῇ τετράδι δύο δυάδας ὁμολογήσουσιν εἶναι παρὰ τὴν αὐτοδυάδα : εἰ δὲ τοῦτο | ||
| ἵνα μὴ πολλὰς ἰδέας τοῦ αὐτοῦ ποιεῖν ἀναγκασθῶσι καὶ ἀπολιμπάνειν δυάδας καὶ ἐν τετράδι καὶ πεντάδι καὶ ἑξάδι καὶ ὅλως |
| κοινὴ πάντων , ὀγδοάδα δὲ Ἀφροδίτη , ἐννεάδα δὲ καὶ δεκάδα ἥλιος Ἄρης Ἑρμῆς ὡροσκόπος , καὶ Ζεὺς δὲ τὴν | ||
| δέκα λέγομεν , ὅταν δὲ ἐκ πολλῶν γίνηται ἕν , δεκάδα , ὡς κἀκεῖ οὕτως . Ἀλλ ' εἰ οὕτως |
| οἳ ἐδόκουν λέγειν ἀριθμοὺς ἐκ τοῦ ἀνάλογον , οἷον δικαιοσύνην τετράδα καὶ ἄλλον ἄλλως : ἐκείνως δὲ μᾶλλον τῷ πλήθει | ||
| δὲ τριάδα παραλείποιεν , τετρὰς ἡ ὑπεροχή : καὶ εἰ τετράδα , πεντάς , καὶ ἐφεξῆς εὑρήσεις τοῦτο . μετέχει |
| , ἀλλὰ μεταπίπτει ἐν τῷ πολλαπλασιασμῷ , οἷον δυὰς ἐπὶ τριάδα καὶ τριὰς ἐπὶ τετράδα καὶ τετρὰς ἐπὶ πεντάδα : | ||
| λέγοντες οὕτως , οἷον τὴν γραμμὴν δυάδα , τὴν ἐπιφάνειαν τριάδα , τὸ δὲ στερεὸν τετράδα : καὶ τῶν παραδειγμάτων |
| μονάδες ὡς ὅλον ταῖς δυσὶ δυάσιν , ἢ ἑκατέρα τῶν δυάδων ταῖς τέσσαρσι μονάσι καθάπαξ οὐκ ἴσαι . καὶ πάλιν | ||
| δὲ προστάγμασι τούτοις πάλιν ἀπὸ ἰσότητος πρῶτον ἐκ μονάδων εἶτα δυάδων εἶτα τριάδων καὶ ἐφεξῆς : πρῶτον ἐκ πρώτου καὶ |
| τῶν δέκα πληρώσει ἀριθμόν : ὥστε ὁ ἀριθμὸς κατὰ μὲν μονάδα ἐν τοῖς δέκα κατὰ δὲ δύναμιν ἐν τοῖς τέσσαρσι | ||
| εὑρίσκεται ἔχων ὁλοκλήρως τὰς δ μονάδας καὶ ἐπέκεινα τούτων μίαν μονάδα , ἥ ἐστιν τῶν δ δʹ , καὶ διὰ |
| Ἀλλ ' εἰ εἰδοποιήσει αὐτὸ ὥσπερ ὕλην καὶ ἔσται παρουσίᾳ δεκάδος δέκα καὶ δεκάς , δεῖ πρότερον ἐφ ' ἑαυτῆς | ||
| ἔχει πρότερον ἔχων , ἀποβέβληκεν , αὐτὸ δηλαδὴ τὸ τῆς δεκάδος εἶδος : ὅσα δὲ μὴ ἔχει ᾗ ὅσα , |
| τὰς ἰδέας πρεσβεύοντες οἱ μὲν τὸ παράδειγμα τῆς γραμμῆς τὴν δυάδα λέγουσιν , οἱ δὲ τὴν ἰδέαν τῆς γραμμῆς . | ||
| ; ἢ τὰ δύο : καὶ μετὰ τὴν μονάδα τὴν δυάδα καὶ οὕτω γε τὸν λοιπὸν ἀριθμὸν προελθεῖν . Οὕτω |
| οὐ γεννᾶι οὔτε γεννᾶται ὑπ ' ἄλλου ἀριθμοῦ πλὴν ὑπὸ μονάδος : διὸ καὶ καλεῖται ὑπὸ τῶν Πυθαγορείων παρθένος ἀμήτωρ | ||
| ιη , καὶ α καὶ ιθ . ἐπὶ μέντοι τῆς μονάδος οὐκέτι τοῦτο , ἀλλὰ τοῦ μὲν μετ ' αὐτὴν |
| οὕτως , οἱ δὲ Πυθαγόρειοι τὸ μὲν σημεῖον ἀνάλογον ἐλάμβανον μονάδι , δυάδι δὲ τὴν γραμμὴν καὶ τριάδι τὸ ἐπίπεδον | ||
| πρὸ γὰρ τοῦ ζ ὁ Ϛ , ὃς ἄρτιος : μονάδι οὖν διαφέρει τοῦ ἀρτίου . ὡσαύτως καὶ ὁ ἄρτιος |
| δὲ πάτρα μὲν εἰς τὴν δευτέραν μετάβασιν ἐλθόντων ἡ κατὰ μόνας ἑκάστῳ πρότερον οὖσα συγγένεια , ἀπὸ τοῦ πρεσβυτάτου τε | ||
| φρέατος ἔνδον ψυχρότερον Ἀραρότος . ἢ μετὰ Πλάτωνος ἀδολεσχεῖν κατὰ μόνας μᾶλλον μᾶλλον ὁ συκοφάντης οὐ δικαίως τοὔνομα ἐν τοῖσι |
| ὡς τῆς ὕλης ὑποστατική , εἴπερ ἀνάλογον ἕστηκε τῇ ἀορίστῳ δυάδι . ἔπειτα τίς ἀνάγκη τῆς αὐτῆς ὕλης οὔσης τὰ | ||
| σνϚψκθ / . καὶ ἐὰν δυάδα μερίσωμεν εἰς τὸν τοῦδε δυάδι ἐλάσσονα , εὑρήσομεν τὸν ʂ μονάδος σιζφιβ / , |
| διὰ δʹ οὐκ ἀποκαθίσταται οὐδενί . ἑξῆς ἐπὶ τὸν τῆς ἐννεάδος κλιμακτῆρα : κυριεύσουσι δὲ τῆς ἐννεάδος Ἥλιος Ἄρης Ἑρμῆς | ||
| δεκάδος ἀξιοῦν ἀφαιρεῖσθαι μονάδα . καὶ μὴν ἀπὸ τῆς περιλειπομένης ἐννεάδος οὐκ ἂν εἴποιμεν ταύτην ἀφαιρεῖσθαι . εἰ γὰρ ἀπὸ |
| δὲ οὕτως ὥστε ἵστασθαι μέχρι τοῦ γένους . οἷον τῇ τριάδι ὑπάρχει μὲν [ ἀριθμὸς καὶ ] τὸ ὄν , | ||
| ἀριθμός ἐστιν , οἱ δὲ δεύτεροι κοινῇ μὲν διαφορᾷ χρώμενοι τριάδι , τάξει δὲ οἱ ἐπιμόριοι ἀφ ' ἡμιολίου ἀρχόμενοι |
| τὸ ἕν , ἀπὸ δὲ τῆς μονάδος καὶ τῆς ἀορίστου δυάδος τὰ δύο . δὶς γὰρ τὸ ἓν δύο , | ||
| αὐτὴν καλοῦσι καὶ πανδοχέα γε , ὡς παρεκτικὴν οὖσαν καὶ δυάδος τῆς κυρίως ὕλης καὶ πάντων χωρητικὴν λόγων , εἴ |
| τῇ αʹ . εἶτα ἀπ ' ἄλλης ἀρχῆς ἡ τρίτη ἑβδομὰς τὰς αὐτὰς διαθέσεις ποιεῖ τῇ ὑδατικῇ σφαίρᾳ , ἃς | ||
| ἑβδομάς . . . § : καλεῖται δ ' ἡ ἑβδομὰς ὑπὸ τῶν κυρίως τοῖς ὀνόμασιν εἰωθότων χρῆσθαι καὶ τελεσφόρος |
| ٩ τὸ ΓΔ ٢ ٤٧ ٣٣ ٢٤ ١٦ ἡ ΕΖ μονάδων τεσσάρων ἡ τὸ ΑΔ δυναμένη ٢ ٢١ ٥٥ ٤١ | ||
| μονάδων τʹ καὶ τοῦ Β μονάδων γʹ καὶ τοῦ Γ μονάδων δʹ καὶ τοῦ Δ μονάδων εʹ : ὁ μὲν |
| ὁ ἀνὴρ ὡς μοναδικῇ προσελθὼν τῇ παρὰ τῶν πρεσβυτέρων ἀνυμνηθείσῃ δεκάδι : ὥσπερ οὖν καὶ τὰ ἑξῆς αὐτῷ κατὰ τὴν | ||
| τοῦ δὶς τέσσαρα , γεννᾷ δ ' οὐδένα τῶν ἐν δεκάδι : ὁ δ ' αὖ τέσσαρα τὴν ἀμφοῖν καὶ |
| τριάδος καὶ ἡ δυὰς τῷ ἑαυτῆς ἡμίσει ὑπερέχεται ὑπὸ τῆς τριάδος . καὶ τοὺς ἄκρους δὲ συντεθέντας ἀλλήλοις καὶ ὑπὸ | ||
| τοῦ γ πρῶτος διπλασιεπίτριτος ἦν , λάμβανε πάντας τοὺς ἀπὸ τριάδος τριάδι διαφέροντας καὶ τοὺς ἀπὸ ἑπτάδος ἑπτάδι , καὶ |
| ἀφαιροῦμεν ἐκ τῶν ἀριθμῶν τῶν τριῶν καὶ μονάδων ξ , μονάδας ξ καὶ ἐκ τοῦ ἀριθμοῦ τοῦ ἑνὸς καὶ μονάδων | ||
| καὶ ἀπὸ τῶν β ἀριθμῶν καὶ τῶν μ μονάδων ὁμοίως μονάδας μ : ] λοιποὶ ʂ β ἴσοι Μο ξ |
| τὴν λυπέουσαν ἀπὸ τοῦ σώματος ἢ ἐν ἄλλῃ τινὶ τῶν περισσῶν ἡμερέων κατὰ τὸν πρότερον εἰρημένον λόγον : οὐ γὰρ | ||
| πάλιν αἱ διαλύσεις . Ἔτι δὲ τῇ μονάδι τῶν ἐφεξῆς περισσῶν γνωμόνων περιτιθεμένων , ὁ γινόμενος ἀεὶ τετράγωνός ἐστι τῶν |
| Σελήνην : ἔμπαλιν , οἱ δὲ ἀνάπαλιν , ἀπὸ ὡροσκόπου ἰσότητας ποι - εῖν καὶ τὸν ἀποβάντα κύριον τόπον συνορᾶν | ||
| ὡς εἶναι τελεσφόρον ὄντως τὸν ἕβδομον ἀριθμόν , ἀμφοτέρας τὰς ἰσότητας καταγγέλλοντα τήν τ ' ἐπίπεδον διὰ τετραγώνου κατὰ τὴν |
| : διὰ τοῦτο αὐτὸν πολλαπλασιάζω τῇ τοῦ ὑστέρου εἰς τὴν σωρείαν ληφθέντος ποσότητι , τουτέστι τοῦ β , καὶ γεννᾶταί | ||
| μὲν τρίγωνος τοὺς μονάδι διαφέροντας , μηδὲν παραλείποντας εἰς τὴν σωρείαν δεχόμενος ἀπετελεῖτο , ὁ δὲ τετράγωνος τοὺς δυάδι μὲν |
| εἰσιν , ἀμφότεροι γραμματικοὶ ὀνομάζονται , καθὸ ὑπέκειτο μέν τις δυὰς ἡ διὰ τοῦ ἀμφότεροι , τὸ δ ' ἐπιγεγενημένον | ||
| δὲ τὰ ἀναρίθμητα . Μονὰς ἀπὸ τοῦ μένω μονὰς , δυὰς ἀπὸ τοῦ δύω τὸ ὑπεισέρχομαι , τριὰς ἀπὸ τοῦ |
| ῥητὴν ἔχουσι τὴν πλευράν , καί ἐστιν ἐπὶ τῶν ἀρτίων ἀριθμῶν δεικνύμενον οὕτως : λαμβάνει τὸ ἥμισυ τοῦ προκειμένου αὐτῷ | ||
| τοῦ δευτέρου . † . Ἐὰν ἄρα ἀπὸ τῶν τριῶν ἀριθμῶν τὴν ὑπεροχὴν τῶν μονάδων κ καὶ ἀπὸ τοῦ δὶς |
| τὰ μὲν ιβʹ διχῆ διαιρεῖται εἰς Ϛʹ καὶ Ϛʹ , τριχῆ δὲ εἰς δʹ καὶ δʹ καὶ δʹ , τετραχῆ | ||
| . Εἰ δὲ πρὸς τὸ αὐτὸ καὶ ἓν ἐκλάβοιμεν τὸ τριχῆ διαιρούμενον , ἐροῦμεν ἢ συνεῖναι αὐτῷ , ἢ ἀπ |
| ὑποκειμένοις ἐπιβάλλουσα . Ἀλλὰ γὰρ καὶ τὴν τῶν πρώτων στοιχείων πεντάδα τούτοις ἀναλογοῦσαν εὑρήσομεν , τῷ μὲν ὑπάτων γῆν ὡς | ||
| καὶ ὀκτασήμου . μερίζω τὴν ὀκτάδα πάλιν εἰς τριάδα καὶ πεντάδα : οὐδ ' οὕτως ἔσται ῥυθμικὸς λόγος . τὸν |
| , ταύτην προτάττει , ἐπείπερ ἀπὸ μονάδος συντιθέντες μέχρι τῆς τετράδος πρώτως τὸν δέκα ἀριθμὸν ποιοῦμεν , οἷον ἓν δύο | ||
| ἄλλων θεῶν ἁψόμεθα συνουσιῶν ἐν τούτῳ δὴ τῷ μηνὶ τῆς τετράδος τὰ πρῶτα δεχομένης . Ἦλθον αὖθις ἡμῖν ἐπιστολαὶ παρ |
| καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως . ἀπὸ δὲ δυάδος τῶν ἐφεξῆς πάντων ἀρτίων . εἰ δὲ θέλεις εὑρεῖν πάντας τοὺς διπλασιεφημιολίους , | ||
| δύναμιν ἀρχῆς . Ὥστε ἐν τῷ διαιρεῖσθαι δίχα πολλοὶ τῶν ἀρτίων εἰς περισσοὺς τὴν ἀνάλυσιν λαμβάνουσιν , ὡς ὁ τεσσαρεσκαίδεκα |
| οἰκεῖον τῇ τετράδι . ἡ γὰρ πρώτη πυραμὶς ἐν τῇ τετράδι θεωρεῖται , τριγώνου μὲν βάσεως ὑποτεθείσης τοῦ τρία , | ||
| τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἔλαττόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τοῦ μέσου τετράδι . διὰ τί τετράδι ; ἐπειδὴ καὶ ἡ ὑπεροχὴ |
| ἡ μονὰς ἢ τῇ τετράδι ἢ τῇ ἐξ ἀμφοτέρων ἀποτελουμένῃ πεντάδι . οὔτε δὲ ἑαυτῇ προστίθεται διὰ τὸ τὸ μὲν | ||
| ἀπὸ μονάδος τετράδι διαφερόντων , καὶ ἑπταγωνικὸς ὁ ἐκ τῶν πεντάδι καὶ ἑξῆς ἀκολούθως , καὶ κατὰ δυάδος ὑπεροχὴν τῶν |
| ἤπερ γὰρ ἄλλος καλοῖτο ὁ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ ἄρτιον ὥσπερ τὸν κδ : ὑπὸ γὰρ ἀρτίου κατὰ ἄρτιον | ||
| , ἔχων ἄρρενα μὲν τὸν περιττόν , θῆλυν δὲ τὸν ἄρτιον , ἐξ ὧν εἰσιν αἱ γενέσεις κατὰ φύσεως θεσμοὺς |
| ζητουμένην εἰκάδα τοῦ μηνός , γίνονται ἡμέραι λθ . ταύτας μερίζομεν παρὰ τὸν ζʹ , πεντάκις ζ λε . λοιπαὶ | ||
| κύκλων λαμβάνομεν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου καὶ ποιοῦμεν ἑνδεκάκις καὶ μερίζομεν παρὰ ιδ , καὶ ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου |
| μέχρι τετάρτου συμφώνου : πρῶτον γὰρ ἐν αὐτῷ τὸ διὰ τεσσάρων , δεύτερον τὸ διὰ πέντε , τρίτον τὸ διὰ | ||
| πασῶν σύστημα ἠλέγχετο , ἤτοι τῆς διὰ πέντε καὶ διὰ τεσσάρων ἐν συναφῇ , ὡς ὁ διπλάσιος λόγος ἡμιολίου τε |
| διεζευγμένοις , εἰ δὲ τρεῖς , τετράς , εἰ δὲ τέσσαρας , πεντάς , καὶ τοῦτο ἐφ ' ὁποσονοῦν . | ||
| ἀκράτου . Φερεκράτης δ ' ἐν Κοριαννοῖ δύο ὕδατος πρὸς τέσσαρας οἴνου , λέγων ὧδε : ἄποτος , ὦ Γλύκη |
| ἐπέφλεγεν ] λαμπρῶς ἐπεῖχεν . ῥοθιάδος ] ἦχον ἐκ ῥοθίου ἀποτελούσης . ξυνεμβολῇ ] συγκρούσει . ἔπαισαν ] † ἔτυψαν | ||
| θροῦν καὶ βοὴν ποιουμένης . μιξοθρόου ] τῆς μεμιγμένον θροῦν ἀποτελούσης ἅτε ἐξ ἀνδρῶν καὶ γυναικῶν καὶ γερόντων καὶ παίδων |
| καὶ ὁ η καὶ ὁ ι καὶ πάντες οἱ εὐτάκτως ἄρτιοι . πρόλογος δὲ τοῦ μὲν β ὁ γ , | ||
| δὶς μέρος τὸν δὲ λβ δύναμιν : καὶ ἀμφότεροι ἀρτιάκις ἄρτιοι : καὶ πάλιν τὸν λβ ἐπὶ τὸν β πολλαπλασιάζεις |
| τετράκις δʹ ιϚʹ . οἱ μὲν οὖν τετράγωνοι πάντες τοὺς ἑτερομήκεις περιλαμβάνουσι κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν καὶ μέσους αὐτοὺς ποιοῦσι | ||
| πρὸς ἑαυτοὺς διαφορὰς τοὺς περισσοὺς μόνον ἔχουσιν , οἱ δὲ ἑτερομήκεις τοὺς ἀρτίους : ἂν δὲ καὶ τὸν πρῶτον ἑτερομήκη |
| ἔχομεν ἀπὸ ἐμπειρίας ἓξ μηνῶν τὴν ἡμέραν καὶ τὴν νύκτα ἓξ μηνῶν δεῖξαι . τινὲς δὲ ἱστοροῦσιν ηʹ ἡμερῶν ἔκτασιν | ||
| ὁ ὀκτὼ πρὸς τὸν ἕξ : καὶ γὰρ αὐτὸν τὸν ἓξ περιέσχηκε καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ , τουτέστι τὴν δυάδα |
| ποτὲ μὲν κατὰ μείωσιν ἢ ἀφαίρεσιν , ποτὲ δὲ κατὰ πρόσθεσιν ἢ αὔξησιν . οἱ οὖν τοιοῦτοι οἰκείως καλοῦνται μυουρίζοντες | ||
| , ταῖς τε προτάσεσι λέγω καὶ συμπεράσματι , τήν τε πρόσθεσιν καὶ τὴν ὑφαίρεσιν γίνεσθαι . οὐδὲν δὲ διαφέρει , |
| ' ἂν γένοιό γ ' ἀθλιωτάτη γυνή . ἴτω : περισσοὶ πάντες οὑν μέσωι λόγοι . ἀλλ ' εἶα χώρει | ||
| μὲν οὖν ἄρτιον δεῖ εἶναι , ὅπως ἴσοι ἐνῶσιν οἱ περισσοὶ καὶ ἄρτιοι καὶ μὴ ἑτερομερῶς : ἐπεὶ γὰρ πρότερος |
| πρόβλημα , παραβάλλον λοιπὸν τὴν ἀντίφασιν πρὸς τὴν τῶν ἐναντίων καταφάσεων ἀντίθεσιν . πρόεισι δὲ τοῦτον τὸν τρόπον . ἐπειδὴ | ||
| δύο ταῦτα θεωρήματα ζητῶν , πρῶτον μὲν πῶς ἀπὸ τῶν καταφάσεων γίνονται αἱ ἀποφάσεις , δεύτερον δὲ τίς ἡ ἀκολουθία |
| ἀπὸ τῶν ρκ μονάδων καὶ τὰς ρ μονάδας . Ἐναπελείφθησαν Ϟοὶ ε ἴσοι μονάσιν κ . . Ἐπεὶ ἡ λεῖψις | ||
| ιβ . Κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις . δυ ἄρα γ Ϟοὶ λ μο θ ἴσα δυνάμεσι δ μονάσιν θ . |
| ἀπὸ μὲν τοῦ σιϚ ἐπιτείνουσιν τόνον καὶ ποιοῦσι τὸν σμγ ἐπόγδοον ὄντα τοῦ σιϚ καὶ τῷ κζ ὑπερέχοντα . ἐπεὶ | ||
| ἐπιτείνουσι τόνον καὶ ποιοῦσι τὸ ἐπόγδοον αὐτοῦ τὸν ψκθ , ἐπόγδοον ὄντα τοῦ χμη , ἐπειδὴ περιέχει αὐτὸν καὶ τὸν |
| πρότερον τῶν τρόπων τόπου τέ τινος κοινωνεῖ τὰ τῶν ἑξῆς τετραχόρδων συστήματα καὶ ὅμοιά ἐστιν ἐξ ἀνάγκης , κατὰ δὲ | ||
| οὐδὲ τούτοις ὁμολογουμένως ταῖς αἰσθήσεσι διῄρηται τὰ πρῶτα γένη τῶν τετραχόρδων , πειραθῶμεν αὐτοὶ κἀνταῦθα διασῶσαι τὸ ταῖς τῶν ἐμμελειῶν |
| ὅτι ὁ τριάκοντα ἀριθμὸς φυσικώτατός ἐστιν , ὃ γὰρ ἐν μονάσι τριάς , τοῦτο ἐν δεκάσι τριακοντάς . . . | ||
| λείψει ἀριθμοῦ ἐνός , ἰστέον ὅτι ἐπεὶ ταῖς μὲν κ μονάσι πρόσεστι καὶ ἀριθμὸς εἷς , ἀπὸ δὲ τῶν ρ |
| καὶ οἱ λοιποί . λέγονται οὕτως ἐκεῖνοι μὲν πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοι , ἐπειδὴ ὑπὸ μόνης τῆν μονάδος μετροῦνται , ἐπεὶ | ||
| ὡσαύτως καὶ ὁ λθ καὶ ὅμως οὐκ εἰσὶ πρὸς ἀλλήλους ἀσύνθετοι , πρὸς δὲ ἑαυτοὺς σύνθετοι : ἀμφότεροι γὰρ ὑπὸ |
| . Τὸ δέ γε τοιοῦτον ἐκ πολλῶν μερῶν ὂν οὐ συμφωνήσει τῷ [ ὅλῳ ] λόγῳ . Μανθάνω . Πότερον | ||
| καὶ φανερὸν ὡς καθ ' ἑκατέραν τὴν ὑπόθεσιν τὰ αὐτὰ συμφωνήσει μέγιστα καὶ πάλιν ἐλάχιστα καὶ μέσα εἶναι ἀποστήματα . |
| οὐκ ἄν προύβη τὰ τῆς ἀποδείξεως . Ὁ γὰρ ἀπὸ Ϟοῦ α ↑ μονάδων τριῶν τετράγωνος γίνεται δυ μία μο | ||
| , ὥστε οὐ προβήσεται ἡ ἀπόδειξις . Ἐὰν δὲ ἀπὸ Ϟοῦ ἑνὸς ↑ μο δ πλασθῇ ὁ τετράγωνος , ἡ |
| τις ἑνάς , ὥσπερ ἐν χορῷ , ἀλλ ' ἡ δεκὰς αὕτη τῶν ἀνθρώπων ἐν σοὶ τῷ ἀριθμοῦντι τὴν ὑπόστασιν | ||
| ὁ μὲν δʹ , ὁ δὲ θʹ . ἡ μέντοι δεκὰς πάντα περαίνει τὸν ἀριθμόν , ἐμπεριέχουσα πᾶσαν φύσιν ἐντὸς |
| τἆλλα κατὰ τὸ ἑξῆς εἴδη . ὑπόδειγμα δὲ πάντων εὐτάκτων πολυπλασίων σαφὲς ἕξομεν ἐὰν ἐκθέμενοι τὸν ἀπὸ μονάδος συνεχῆ ἀριθμὸν | ||
| ἀρτιοπερίττων δὲ πέντε , πάσας δὲ λόγων τῶν ἐν ἀριθμοῖς πολυπλασίων καὶ ἐπιμερῶν καὶ ὑποεπιμερῶν περιέχει , πάσας δ ' |
| ἕκτον αὐτοῦ τῷ τρίτῳ , ἤτοι ιη ζʹ , καὶ μο ζʹ , ἤτοι μθ ζʹ , λαβὼν δὲ παρὰ | ||
| . Κείμενον . Αὐτὸς ἄρα ὁ τετράγωνος ἔσται δυνάμεων τεσσάρων μο θ ↑ Ϟ ιβ . Ταῦτα ἴσα δυνάμεσι τρισὶν |
| αὐξανομένη . πάλιν γὰρ μεταξὺ τοῦ Ϛ καὶ τοῦ ιβ ἑτερομηκῶν ὄντων ἀπόθου τὸν θ τετράγωνον : καὶ ἡ ὑπεροχὴ | ||
| ἡ διαγώνιος ἔσται μόνων τετραγώνων , ἑκάστου παρασπιζομένου ὑπὸ δύο ἑτερομηκῶν κατά τε μῆκος καὶ πλάτος , ὡς κἀνταῦθα σῴζεσθαι |
| διὰ ποιότητα καὶ διὰ μὲν τὴν περιουσίαν τῆς ὕλης ἢ ποσότητι ἢ ποιότητι ἢ τῷ συναμφοτέρῳ : ποσότητι μὲν ὡς | ||
| τὰ αὑτοῦ μέρη συντεθέντα πλείονα ἀποδίδωσιν αὐτοῦ καὶ ὑπερπαίοντα τῇ ποσότητι : διὰ τοῦτο γὰρ καὶ οὕτως ὠνόμασται , ὡς |
| ' ὧν τὰ Β στερεὸς ἴσος ἐστὶν τῷ διὰ τῶν ἑκατοντάδων στερεῷ ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν πυθμένων στερεόν , τουτέστιν | ||
| καὶ τεσσαράκοντα γίνονται ἑκατόν , ὁμοίως δὲ καὶ χιλιάδα ἐξ ἑκατοντάδων καὶ μυριάδα ἐκ χιλιάδων , μονὰς δὲ καὶ δεκὰς |
| τῆς δεκάδος κατ ' ἀφαίρεσιν τῆς μονάδος γίνεται μὲν ἡ ἐννεάς , φθείρεται δὲ ἡ δεκάς , καὶ πάλιν ἐπὶ | ||
| , οὐκ ὤφειλε μετὰ τὴν ἄρσιν αὐτῆς ὁλόκληρος θεωρεῖσθαι ἡ ἐννεάς : τὸ γὰρ ἀφ ' οὗ τι ἀφαιρεῖται , |
| δὲ τελευταῖον δι ' ἑνός . Ἐὰν δὲ καὶ τρεῖς τριάδας ποιήσωμεν τὴν μὲν πρώτην δίιον εὑρήσομεν : φιλόσοφος γὰρ | ||
| γὰρ ἦσαν παρ ' αὐτοῖς ἅπαντες πλὴν τοῦ μαθηματικοῦ : τριάδας δὲ καὶ πεμπάδας καὶ δεκάδας ἐν αὐτοῖς ἐθεώρουν κατὰ |
| καρποῦ τὸ κατὰ τὸν μέγαν δάκτυλον . ὑπὸ τούτων τῶν τριῶν καρπὸς ἐκτείνεται , κατὰ μὲν τὸν μικρὸν δάκτυλον ἐγκλινομένης | ||
| τι πρὸς ἀντιστρέφοντα οὐ λέγονται , καὶ ἰδοὺ ὡς ἐπὶ τριῶν ὑποθέσεων γυμνάζει τὸν λόγον , ἐπὶ κεφαλῆς καὶ ζῴου |
| ἐκ δὲ τῶν τριπλασίων οἱ ἐπίτριτοι , ἐκ δὲ τῶν τετραπλασίων ἐπιτέταρτοι , καὶ ἀεὶ ἑξῆς οὕτως . οἷον ἔστω | ||
| καὶ ὀκτάδος οὐκ ἔσται ῥυθμός : οὐ γὰρ ἔρρυθμος ὁ τετραπλασίων λόγος , ὥστ ' οὐδὲ ὁ δεκάσημος ἔσται ἐκ |
| ιʹ τῷ προκειμένῳ ἀριθμῷ . ἐὰν κατὰ τὰ μέσα ἡσδηποτοῦν ἑξάδος ὡς ἐπὶ τῆς δευτέρας δεδήλωται ἀπαρτηθῇ ὁ τριακοστὸς ἀριθμός | ||
| Διὸς ἀνατέλλοντος ἐν ταῖς μοίραις πλησίον : ἀπὸ δ ' ἑξάδος εἰκοστῆς καὶ μέχρι τριαντάδος ὁ Κρόνος ἐπαρέλαβεν , εἰ |
| πρὸς παράμεσον : ὑπάτη δὲ ὑπάτων , ὅτι τοῦ πρώτου τετραχόρδου πρώτη τίθεται : τὸ γὰρ πρῶτον ὕπατον ἐκάλουν οἱ | ||
| νήτη ὑπερβολαίων . Ὥσπερ οὖν ἐνταῦθα τὰ μὲν τοῦ ὑπατῶν τετραχόρδου κατὰ τρία γένη , τὰ δὲ μέσων , τὰ |
| , οὐ μὴν ὅπερ τὸ ἀγαθὸν ἁπλῶς , ὥσπερ αἱ μονάδες ἢ ἑνάδες αἱ ἀπὸ τῆς πρωτίστης αἰτίας προελθοῦσαι : | ||
| ἡμῖν ἐν τρισὶν ὅροις ἶσοί τινες ἀριθμοί , πρῶτον μὲν μονάδες , εἶτα δυάδες ἐν ἄλλοις τρισίν , εἶτα τριάδες |
| ἡ δεῖξις προβήσεται . Ἔστωσαν μείζονες αἱ ρ μο λείψει ἀριθμοῦ ἑνός , ἐλάσσονα δὲ τὸν κ καὶ τὸν Ϟόν | ||
| ἄπειρον αὐτὸν οὐ τῷ ἀδιεξιτήτῳ ἢ τοῦ μεγέθους ἢ τοῦ ἀριθμοῦ , ἀλλὰ τῷ ἀπεριλήπτῳ τῆς δυνάμεως . Ὅταν γὰρ |
| ] ⌈ κϘʹ . / [ εἰκοστὴ ἕκτη . ] τετρὰς ] ⌈ κζʹ . / [ εἰκοστὴ ζʹ . | ||
| , οὕτω καὶ ἡ τοῦ μεγίστου παρὰ τὸν μέσον διαφορὰ τετρὰς οὖσα πρὸς τὴν τοῦ μέσου παρὰ τὸν ἐλάχιστον δυάδα |
| ἡ διάκρισις τῶν ἀορίστων ὀνομάτων τε καὶ ῥημάτων ἀπὸ τῶν ἀποφάσεων , πρὸ ἐκείνου δὲ ἡ διδασκαλία τοῦ πῶς τῶν | ||
| καὶ ἐξ ἀμφοτέρων ψευδῶν συνάγεται . Ὅτι εἰπὼν ἐκ δύο ἀποφάσεων ἢ μερικῶν μὴ γίνεσθαι συλλογισμὸν μόνον τὸ δεύτερον ἐπεξεργάζεται |
| , τοὺς δὲ πλείστους καὶ τοὺς πεζοὺς εἰς λόχους καὶ δεκάδας καὶ τὰς ἄλλας ἀρχὰς διελὼν πεζεταίρους ὠνόμασεν , ὅπως | ||
| ὄγχναις ὅρα καὶ μῆλα ἐπὶ μήλοις σωρούς τε αὐτῶν καὶ δεκάδας , εὐώδη πάντα καὶ ὑπόχρυσα . τὸ δὲ ἐν |
| , δυάδα δὲ τῶν δυάδων μή , μηδὲ τριάδα τῶν τριάδων : τοῦ γὰρ αὐτοῦ λόγου πάντα ἐστίν . εἰ | ||
| εἶναι προτέρας καὶ ἄλλους ἀριθμοὺς ἄλλων ἀριθμῶν , οἷον τριάδας τριάδων προτέρας φαίνεσθαι . πῶς οὖν τοῦτο παρ ' αὐτῷ |
| τοιούτῳ ἀναπλασσομένῳ Ἑρμῇ . ἐπεὶ δὲ μονάδος ἀνὰ μέσον καὶ ἑβδομάδος κυβικῶν χωρίων κυβικὸς ὁ δʹ , εἰκότως , κρισίμου | ||
| λοιπάζονται πρὸς τὸ ἕβδομον ἀριθμόν εἰσιν ἀπὸ τῶν ἡμερῶν τῆς ἑβδομάδος . ἔπειτα ἵνα ἐπιδώσεις ἑνὶ ἑκάστῳ ἀστέρι μίαν περίοδον |
| τέτταρα τάλαντα : οἷς τὸ ἔργον ἂν προσθῆτ ' ἐπὶ δραχμῇ μόνον τῶν δέκ ' ἐτῶν , ὀκτὼ τάλανθ ' | ||
| κύτταροι μάλευρον νυμφόβας . ὁ Σιληνός πανόπτης Ζεύς ἀλιάποδα ? δραχμῇ παχείᾳ ? οἴνη θρηνῶν . . . τῶν Καρκίνου |
| πρώτη διμερὴς γερανίς . Περιειλήσαντες τὴν μονομερῆ γερανίδα ἄγομεν ἐκ περισσοῦ τὴν ἐπείλησιν , ἐγκύκλιον μὲν κατὰ στέρνου , βραχίονος | ||
| . Καὶ μὴν εἰς δύο διαιρουμένων ἴσα , τοῦ μὲν περισσοῦ μονὰς ἐν μέσῳ περίεστι , τοῦ δὲ ἀρτίου κενὴ |
| δὲ ἡ μονὰς κατὰ τὸν ἕνα θεόν : πᾶς γὰρ ἀριθμὸς νεώτερος κόσμου , ὡς καὶ χρόνος , ὁ δὲ | ||
| γὰρ ἄλλα πάντα τὸν ἀριθμὸν φαίνεται μιμούμενα , ὁ δὲ ἀριθμὸς παρ ' ἑαυτοῦ ἀρχὰς μονάδα καὶ δυάδα . ὡς |
| καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες οὕτως ἐστίν : ὅτι ἀριθμῶν ἐκτεθέντων ἀπὸ μονάδος κατὰ ἀναλογίαν οἷον διπλάσιος ὡς ἡ μονὰς | ||
| τὸ πλῆθος αὐτῶν ποιοῦσιν ἀριθμὸν διπλάσιον τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν ἐκτεθέντων . Ἔστωσαν γὰρ ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν , οἱ Α , |
| κρατούμενον . καὶ αὕτη συγγένειαν ἔχει πρὸς τὴν περὶ Ὠρωποῦ κινηθεῖσαν ἀντίθεσιν : ἀλλ ' ἐκείνη μὲν ἀπὸ τοῦ συμφέροντος | ||
| ἡ νῆσος πλωτή . Αὐτὸς μὲν ἔγωγε οὔτε πλέουσαν οὔτε κινηθεῖσαν εἶδον : τέθηπα δὲ ἀκούων εἰ νῆσος ἀληθέως ἐστὶ |
| χωρίζεται ταῦτα ; ὥστ ' εἴπερ ἀδύνατον ἐξ ἁφῶν ἢ στιγμῶν εἶναι τὰ μεγέθη , ἀνάγκη εἶναι σώματα ἀδιαίρετα καὶ | ||
| καὶ ἐξ ὧν τὸ σῶμα μονάδες τῶν ψυχικῶν μονάδων καὶ στιγμῶν , ἑνοῦται δὲ ψυχὴ σώματι , ἀνάγκη καὶ ταύτας |
| Μο κα ἀφελεῖν Μο θ # ΔΥ α καὶ ποιεῖν ⃞ον . ἀλλ ' ἐὰν ἀπὸ Μο κα ἀφέλω Μο | ||
| Μο β , δεήσει καὶ ΔΥ λ ʂ ε εἶναι ⃞ον : οὐκ ἔστιν δέ . ἀπάγεται οὖν εἰς τὸ |
| δι ' ἀλλήλων δύνασθαι μυριάδων πλῆθος τρισκαιδεκαπλῶν ρϘϚʹ , δωδεκαπλῶν τξηʹ , ἑνδεκαπλῶν ͵δωʹ , συμφώνως τοῖς ὑπὸ Ἀπολλωνίου κατὰ | ||
| μυριάδας ἐνναπλᾶς δέκα , ποιοῦσιν μυριάδας τρισκαιδεκαπλᾶς ρϘϚʹ , δωδεκαπλᾶς τξηʹ , ἑνδεκαπλᾶς ͵δωʹ . [ ἐνναπλαῖ γὰρ μυριάδες ἐπὶ |
| ἀκριβέστατα τὰς τέσσαρας ἀντιθέσεις , καὶ τούτων τὴν μὲν καλέσας ὑπεναντίαν , αἵτινες οὐκ ἀεὶ μερίζουσι τὸ ἀληθὲς καὶ τὸ | ||
| δὲ τῆς ἁρμονικῆς οὐκ ἴσῳ . ἐπεὶ δὲ βούλονταί τινες ὑπεναντίαν ἀμφοτέραις ἀριθμητικῇ τε καὶ γεωμετρικῇ ταύτην ἐκδέχεσθαι , ἔφαμεν |
| τῇ τέχνῃ , οἷον ἐξόχως . Πλάτων γοῦν ὁ φιλόσοφος διαιρούμενος τὰς πολιτείας τὴν μὲν πρώτως ἔχειν φησίν , τὴν | ||
| τοῦτο ἔστι διαφορά : ὁ μὲν γὰρ ἄρτιος εἰς ἄνισα διαιρούμενος ὁμοειδεῖς τοὺς ἀνίσους ποιεῖται , οἷον ὁ η εἰς |
| ὃς σύγκειται ἐκ δύο τετραγώνων , μεταδιελεῖν εἰς δύο ἑτέρους τετραγώνους . Ἔστω τὸν ιγ , συγκείμενον ἔκ τε τοῦ | ||
| τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν ποιῇ τοὺς δοθέντας τετραγώνους ἀριθμούς . Ἐὰν γὰρ ὦσιν οἱ δοθέντες τετράγωνοι , |
| μηνῶν καὶ ἡμερῶν καὶ ὡρῶν συνημμένων αὐτοῖς τῶν περιεχόντων τὰς διαστάσεις τῶν περὶ αὐτὸν τὸν ζῳδιακὸν ἀπλανῶν τῶν μέχρι δεκαμοίρου | ||
| ἐπεὶ διαστατὸν ἂν ὑπῆρχε , τοῦ σώματος τὰς τρεῖς ἔχοντος διαστάσεις . καὶ μὴν οὐδὲ ἀσώματον . εἰ γὰρ ἀσώματόν |
| σύμφωνον ἐν τῇ δευτέρᾳ καὶ τρίτῃ συλλαβῇ καὶ ὑπερβαίνειν τὴν τρισυλλαβίαν , καὶ τὴν τρίτην ἀπὸ τῆς ἀρχούσης συστέλλεσθαι , | ||
| αὐτὰς παρατηρήσεις φυλάττοντες , πλὴν ὅτι οὔτε πάντως ὑπερβαίνει τὴν τρισυλλαβίαν οὔτε συστέλλει τὴν δευτέραν , οἷον ὄπωπα ὄλωλα ὄρωρα |
| τοῦ μεσημβρινοῦ δὲ καύματος ἀκμάζει τῇ ψυχρότητι : πάλιν δὲ ἀνάλογον ἀπολήγει πρὸς τὴν ἑσπέραν καὶ τῆς νυκτὸς ἐπιλαβούσης ἀναθερμαίνεται | ||
| αὐτὸν πρὸς αὐτήν . μαθηματικὰ δὲ εὗρεν τὴν μέσην καλουμένην ἀνάλογον , περὶ ἧς ἐν τῇ Ἀποδεικτικῇ λόγον ἐποιησάμεθα . |
| : οὐκ ἐτάχθη δέ τι ἐκ τῶν μακρῶν , ὅτι μεταγενέστερά εἰσι τῶν βραχέων ὡς φθάσαντες εἴπομεν : ἐτάχθη δὲ | ||
| Ο συζεύξας , ἐσχημάτισε τὸ Ω μέγα , ὅθεν καὶ μεταγενέστερά εἰσι καὶ οὐκ ἔδει ἀπὸ τῶν μεταγενεστέρων ἄρξασθαι . |
| πα Ϟ ρ ἐκ δὲ τῶν ἐπιμορίων οἵ τ ' ἐπιμερεῖς καὶ οἱ πολλαπλασιεπιμόριοι , πάλιν δ ' ἐκ τῶν | ||
| σπανιότητα τῶν ἐπιδεξομένων τὸ μόριον ἀριθμῶν καθ ' ὃ ἐπιμόριον ἐπιμερεῖς γενήσονται , πολὺ μᾶλλον σπανιώτεραι αἱ ἀναλογίαι γενήσονται διὰ |
| ὑπολόγου γίνεται ἕξ , ὧν διπλάσιός ἐστιν ὁ ιβ πρῶτος πολυπλασιασμός . ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετον . , . ] | ||
| ὅτι ἡνίκα ἐν τοῖς ἀριθμοῖς τὴν ἐπί πρόθεσιν λέγομεν , πολυπλασιασμός ἐστιν , οἷον πέντε ἐπὶ πέντε εἰκοσιπέντε , καὶ |
| συνθέμενοι , διὰ τὴν ἐπιμιξίαν ταύτης ἔτυχον τῆς προσηγορίας . δυεῖν δ ' ἐθνῶν ἀλκίμων μιχθέντων καὶ χώρας ὑποκειμένης ἀγαθῆς | ||
| δ ' ἀπ ' ἀργυροῦ πίνακος ἄγοντος μνᾶν τάριχος ἐνίοτε δυεῖν ὀβολῶν ἔσθοντας ἢ τριωβόλου καὶ κάππαριν χαλκῶν τριῶν ἐν |
| . Ἡ δὲ ἐννεαδικὴ οὕτως εὑρίσκεται . τὰ πρῶτα ἔτη πολυπλασιάζω ἐπὶ τὸν εʹ δʹ , ἐπεὶ ἕκαστος ἐνιαυτὸς ἔχει | ||
| αὐτὰς μόνον τὰς τῇ ἐποχῇ παρακειμένας τοῦ πλάτους ιβʹ ιηʹ πολυπλασιάζω ἐπὶ τὸν ιεʹ : γίνονται ρπδʹ λʹ : ἀπολύω |
| , καί εἰσι πάλιν ἀρτιάκις ἄρτιοι . γένεσις δὲ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου . περὶ τῆς γενέσεως τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου λέγει | ||
| ἓξ ἀριθμὸν ἔλεγον κρίσιν , ὃς καὶ ἔστιν ἀρτιοπέριττος . ἀρτιάκις γὰρ ἄρτιός ἐστιν ἀριθμὸς ὁ ἀναλυόμενος μέχρι μονάδος αὐτῆς |
| τῶν πόλων τοῦ ζῳδιακοῦ γραφομένων ἢ ἐπὶ διαφόρων μέν , τριγώνους δὲ ἢ τετραγώνους ἢ ἑξαγώνους διαστάσεις ποιούντων , τουτέστιν | ||
| . ἐπεὶ οὖν δύο πυραμίδες εἰσὶν αἱ ΑΒΓΜ , ΑΓΔΜ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις καὶ ὕψος ἴσον , πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν |
| Ὑδροχόου , Ἓξ δ ' Ἀφροδίτη , Ζεὺς δὲ πάλιν ἑπτάδα , Ἄρης δὲ πέντε , πέντε δ ' αὖ | ||
| καὶ αἰωνίῳ μονῇ διακρατοῦντες τοσοῦτοί εἰσιν ἀστέρες . ὅτι τὴν ἑπτάδα οἱ Πυθαγόρειοι οὐχ ὁμοίαν τοῖς ἄλλοις φασὶν ἀριθμοῖς , |
| δοκεῖ , ἐφράσσετο σανίσιν ἡ ἀγορὰ , καὶ κατελείποντο εἴσοδοι δέκα , δι ' ὧν εἰσιόντες κατὰ φυλὰς ἐτίθεσαν τὰ | ||
| συμβουλευσάσης , ἄραντες ἐπὶ νώτων τὴν Ἀργὼ καὶ δύο καὶ δέκα ἡμέρας δι ' ἐρήμου γῆς πορευόμενοι , ἐν τῷ |
| εὖ ἀκρότητος . οἱ δὲ ἀποροῦντες πρὸς τὸ τὰς ἀρετὰς μεσότητας εἶναι καὶ λέγοντες , εἰ μήτε ἡ ὑπερβολὴ μήθ | ||
| τούτων , τὸ μὲν συμπληροῦν τὰ διαστήματα καὶ παρεντάττειν τὰς μεσότητας , εἰ καὶ μηδεὶς ἐτύγχανε πεποιηκὼς πρότερον , ὑμῖν |
| μὲν γὰρ ὁ λόγος μόνον καὶ ἡ σχέσις θεωρεῖται τῶν πεπερασμένων μεγεθῶν κατὰ τὸ μεῖζον καὶ ἔλαττον , ὅπου δὲ | ||
| δὲ καὶ ἄπειρα , ἡ δὲ ἐπιστήμη ἀιδίων τε καὶ πεπερασμένων ἐστὶ γνῶσις , ἀνήγαγον ἑαυτοὺς ἀπὸ τῶν κατὰ μέρος |
| ἔχοντα τὴν μείζονα καθόλου ἀποφατικὴν τὴν δ ' ἐλάττονα μερικὴν ἀποφατικήν . Τούτῳ γὰρ οὔτε παντί . πᾶν γὰρ ἐνδεχόμενον | ||
| καὶ ἓξ συλλογιστικοί , οἱ μὴ ἔχοντες τὴν ἐλάττονα ἀναγκαίαν ἀποφατικήν . καὶ τούτων δ ἀτελεῖς , οἱ ἔχοντες τὴν |
| στερεῶν σωμάτων λόγοι δῆλοι , ἐπεὶ καὶ ὁ τοῦ αʹ κύβος τοῦ αὐτοῦ ἐστιν αʹ , ὁ δ ' ἀπὸ | ||
| οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες , ὁ δὲ τέταρτος ὁ Γ κύβος καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες , ὁ δὲ ἕβδομος |
| λεγόμενον ἀρχισαγιττάτορα . Τὸ δὲ μένον δίμοιρον μέρος διανεῖμαι εἰς ἀκίας ἀπὸ ἀνδρῶν δεκαοκτὼ παλαιῶν καὶ νέων , ὥστε τοὺς | ||
| . Χρὴ ἀφορίζειν ἐκ τῶν περὶ τὸ βάνδον τασσομένων δύο ἀκίας , χρησίμους εἰς φυλακὴν τοῦ βάνδου ἐπὶ καιρῷ πολέμου |
| ἐκ τῶν πέντε συγκείμενον κινεῖται , πάντως καὶ ἕκτου προσελθόντος ἀμεροῦς κινήσεται , ἰσχυροτέρων ὄντων τῶν πέντε παρὰ τὸ ἕν | ||
| ὁ χρόνος εἴη διαιρετός , ἐν ᾧ κινεῖταί τι κατὰ ἀμεροῦς καὶ ἐλαχίστου , δῆλον ὡς ἐν τῷ μέρει τοῦ |
| τὰ τρία εἴδη ἄρτια καλοῦνται , καὶ γὰρ ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος , ὁ ἀρτιοπέριττος καὶ ὁ περισσάρτιος . συμβέβηκε δὲ | ||
| εἶναι ἀριθμόν ; διότι πᾶς ἀριθμὸς ἢ περιττός ἐστιν ἢ ἄρτιος . καὶ πᾶς ἄρτιος δύναται εἶναι , ἡ δὲ |
| ἑκατέρου αὐτῶν καὶ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί , τοσοῦτοι καὶ εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς | ||
| τῷ ὀνόματι πέντε : γένη , εἴδη , ϲχήματα , ἀριθμοί , πτώϲειϲ . Γένη μὲν οὖν εἰϲι τρία : |
| πάντα κατὰ συμφωνίαν . πῶς ; ἔστιν αὑτοῖς ἃ διὰ τεττάρων ἔχει κοινωνίαν , διὰ πέντε , διὰ πασῶν πάλιν | ||
| τετρακοσίων , τῶν δὲ μαγείρων οἱ διαφέροντες ὀψαρτυτικαῖς φιλοτεχνίαις ταλάντων τεττάρων , οἱ δὲ ταῖς εὐμορφίαις ἐκπρεπεῖς παράκοιτοι πολλῶν ταλάντων |
| περὶ αὐτόν , ἐπαινῶ : βουλοίμην δ ' ἂν λαμπρότερον δειχθῆναι τὴν εὔνοιαν , ὅπως τι καὶ τῶν γραμμάτων ἔργον | ||
| αὐτὸ συμπέρασμα ἐπὶ τοῖς αὐτοῖς ὅροις διὰ τῶν τριῶν σχημάτων δειχθῆναι οὕτως . οἷον ἔστω προκείμενον δειχθῆναι , ὅτι τις |