| ' ἂν γένοιό γ ' ἀθλιωτάτη γυνή . ἴτω : περισσοὶ πάντες οὑν μέσωι λόγοι . ἀλλ ' εἶα χώρει | ||
| μὲν οὖν ἄρτιον δεῖ εἶναι , ὅπως ἴσοι ἐνῶσιν οἱ περισσοὶ καὶ ἄρτιοι καὶ μὴ ἑτερομερῶς : ἐπεὶ γὰρ πρότερος |
| καὶ ὁ η καὶ ὁ ι καὶ πάντες οἱ εὐτάκτως ἄρτιοι . πρόλογος δὲ τοῦ μὲν β ὁ γ , | ||
| δὶς μέρος τὸν δὲ λβ δύναμιν : καὶ ἀμφότεροι ἀρτιάκις ἄρτιοι : καὶ πάλιν τὸν λβ ἐπὶ τὸν β πολλαπλασιάζεις |
| . βʹ Ἐὰν ἀριθμὸς εἰς δύο ἀριθμοὺς διαιρεθῇ , δύο ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ γενόμενοι ἔκ τε τοῦ ὅλου καὶ ἑκατέρου | ||
| βέλεσιν αἱ βελοστάσεις κατασκευάζονται , αἱ μὲν [ ὀρυκταὶ ] ἐπίπεδοι [ καὶ κατώρυχοι ] , αἱ δὲ ὑπόγειοι πρὸς |
| ἑκατέρου αὐτῶν καὶ μονάδος μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν ἀριθμοί , τοσοῦτοι καὶ εἰς αὐτοὺς μεταξὺ κατὰ τὸ συνεχὲς | ||
| τῷ ὀνόματι πέντε : γένη , εἴδη , ϲχήματα , ἀριθμοί , πτώϲειϲ . Γένη μὲν οὖν εἰϲι τρία : |
| δὴ τοσούτων εἶναι μονάδων τοὺς δύο πρώτους ἀριθμούς , οἵπερ διπλάσιοι ἔσονται τῶν λοιπῶν δύο , ὄντων δηλονότι καὶ αὐτῶν | ||
| , ὀγδοήκοντα δὲ ἐκ Μυκηνῶν καὶ ἐκ Φλιοῦντος διακόσιοι , διπλάσιοι δὲ τούτων Κορίνθιοι : παρεγένοντο δὲ καὶ Βοιωτῶν ἑπτακόσιοι |
| τετράκις δʹ ιϚʹ . οἱ μὲν οὖν τετράγωνοι πάντες τοὺς ἑτερομήκεις περιλαμβάνουσι κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν καὶ μέσους αὐτοὺς ποιοῦσι | ||
| πρὸς ἑαυτοὺς διαφορὰς τοὺς περισσοὺς μόνον ἔχουσιν , οἱ δὲ ἑτερομήκεις τοὺς ἀρτίους : ἂν δὲ καὶ τὸν πρῶτον ἑτερομήκη |
| ἀπὸ τῶν ρκ μονάδων καὶ τὰς ρ μονάδας . Ἐναπελείφθησαν Ϟοὶ ε ἴσοι μονάσιν κ . . Ἐπεὶ ἡ λεῖψις | ||
| ιβ . Κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις . δυ ἄρα γ Ϟοὶ λ μο θ ἴσα δυνάμεσι δ μονάσιν θ . |
| δὴ μεταξὺ τούτων τῶν τετραγώνων πείπτοντες ἀριθμοί εἰσιν προμήκεις : ἀνισάκις [ ] γὰρ ἄνισοι , ὡς οἱ ? μεταξὺ | ||
| ? [ ] οὖν ἀνισάκις ? ? ἄνισοι [ ] ἀνισάκις σφηνίσκοι [ καλοῦνται ] . , οἱ [ δέ |
| , οἱ πρῶτοι κατὰ πλάτος καὶ οἱ ὑπ ' αὐτοὺς τετραπλάσιοι πάντες εἰσίν , οἱ δὲ ὑποκάτω τῶν ἐπάνω ἐπιτέταρτοι | ||
| ' αὐτῶν ἐπίτριτοι καὶ ἀπὸ τούτων ἐπιτριμερεῖς , εἰ δὲ τετραπλάσιοι ἐπιτέταρτοί τε καὶ ἐπιτετραμερεῖς καὶ ἀεὶ οἱ ἑξῆς , |
| ιϚʹ κεʹ . μέσους δὲ ἔχουσι τοὺς ἑτερομήκεις οὕτως . τετράγωνοι δύο ἐφεξῆς ὅ τε αʹ καὶ δʹ : τούτων | ||
| ἄνω μὲν εἷς ὀδοὺς προσπέφυκε , κάτω δὲ ἄλλος , τετράγωνοι δὲ ἄμφω , πυγόνος δὲ τὸ μῆκος . τοσοῦτον |
| τούτων λαμβανομένων μέσων γίνονται αἱ τρεῖς μεσότητες : οἷον ἔστωσαν ἄκροι ὅ τε μ καὶ ὁ ι . ἐὰν μὲν | ||
| . Ἀλλὰ τριῶν ὄντων τοῦ γένους ἀρχηγετῶν , οἱ μὲν ἄκροι μετωνομάσθησαν , Ἀβραάμ τε καὶ Ἰακώβ , ὁ δὲ |
| εἰσι ταῦτα τὰ στοιχεῖα , μεταξὺ δὲ δύο στερεῶν δύο μέσοι ἀνάλογοι γίνονται . ἐν δὲ ταῖς Πολιτείαις ζητεῖ εἰ | ||
| παρ ' Αἰολεῦσι τὸ μέσοι , γαίας καὶ νιφόεντος ὠράνω μέσοι : τῇδε ἔχει καὶ ἀπὸ τοῦ τηλόθι τὸ τήλοι |
| κράσεων ἐννέα διαφοροὶ , τέσσαρες μὲν ἁπλαῖ , τέσσαρες δὲ σύνθετοι , καὶ πρὸς τούτοις ἡ εὔκρατος . καὶ τῶν | ||
| σῴζειν τὰς ἀναλογίας . Τῶν ῥυθμῶν τοίνυν οἱ μέν εἰσι σύνθετοι , οἱ δὲ ἀσύνθετοι , οἱ δὲ μικτοί , |
| ΒΔ . Ποιοῦσι δὲ τὰ αὐτὰ καὶ οἱ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσιοι . Τὸ γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον καὶ τὸ | ||
| ὁ ζη τῷ κν : οἱ γὰρ τοῦ αὐτοῦ ἰσάκις πολλαπλάσιοι ἴσοι ἀλλήλοις εἰσίν . ἔστι δὲ καὶ ὁ ηθ |
| τινὰ δὲ καὶ διάφωνα . σύμφωνα μὲν , ἐπειδὴ οἱ περιέχοντες φθόγγοι διάφοροι τῷ μεγέθει ὄντες , ἅμα κρουσθέντες ἢ | ||
| σφισιν ἐφεστήκασι τρίποδες χαλκοῖ μέν , μνήμης δὲ ἄξια μάλιστα περιέχοντες εἰργασμένα . σάτυρος γάρ ἐστιν , ἐφ ' ᾧ |
| , τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ . καὶ ἐπεὶ τριπλασίων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ , ὡς δὲ ἡ | ||
| τριπλασίων ἢ ἐλάσσων ἢ τριπλασίων . ἔστω πρότερον μείζων ἢ τριπλασίων , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον τὸ |
| εἶναι καὶ ἀριθμόν , συνάξει , ὅτι ἄρτιοί εἰσιν ἢ περιττοὶ οἱ ἀστέρες , οὔτε δὲ τὸ περιττοὺς αὐτοὺς εἶναι | ||
| εἰς περιττόν . καὶ οἱ ἄρτιοι δὲ ἵπποι δύνανται καὶ περιττοὶ γενέσθαι ἑτέρου προσθήκῃ . ἀλλὰ καὶ τὸ χρῶμα εἰ |
| γένωνται , πάθεσιν ἀκαθάρτοις καὶ παρὰ φύσιν ἡδοναῖς χρήσονται . ἑξάγωνοι δὲ πρὸς ἀλλήλους τὴν αὐτὴν ἀποτελεσματογραφίαν τοῖς τριγώνοις ἔχουσιν | ||
| πεντάγωνοι , ἐκ δὲ τῶν πενταγώνων καὶ τῶν τριγώνων οἱ ἑξάγωνοι , ἐκ δὲ τῶν ἑξαγώνων καὶ τῶν τριγώνων οἱ |
| αἱ διατριβαί . νεπόδεσσιν : ἰχθύσιν . ὁμοῖαι : καὶ ἴσοι , ἀττικόν . Οἱ μὲν γάρ : χωρισμὸς τῶν | ||
| ἴσοι οἱ κοινωνοὶ ἐν δημοκρατίᾳ , κατ ' ἀναλογίαν δὲ ἴσοι οἱ ἐν ταῖς ὀλιγαρχίαις καὶ οἱ ἐν ταῖς ἀριστοκρατικαῖς |
| . τὼς δ ' ἄρα καὶ διάμετροι . ἀτὰρ χαίρουσι τρίγωνοι , σχήμασι δ ' ἐν τούτοισιν ἀεὶ φιλομάντιας ἄνδρας | ||
| ἐλευθερωθῆναι . κυνοῦχος : θυλάκιον , μαρσίππιον . κύρβεις : τρίγωνοι πίνακες , ἐν οἷς οἱ περὶ τῶν ἱερῶν νόμοι |
| : διὸ καὶ οὐ δύναται εἶναι ὁ θ τοῦ δ τετραπλάσιος , ὡς ὁ ιϚ τοῦ δ καὶ ὁ λϚ | ||
| δὲ ὦσι δύο ἀριθμοὶ ὁ μὲν ἕτερος αὐτῶν τοῦ αὐτοῦ τετραπλάσιος , ὁ δ ' ἕτερος διπλάσιος , ὁ τετραπλάσιος |
| θέλω ἴσους εἶναι Μο π : ἀλλ ' οἱ δύο συντεθέντες ʂ εἰσι δ καὶ Μο δ . ʂ ἄρα | ||
| ἄρα ὁ αος ἔσται ʂ δ . καὶ οἱ τρεῖς συντεθέντες ποιοῦσι τὸν ἐπιταχθέντα ⃞ον , ΔΥ α ʂ β |
| καὶ οἱ λοιποί . λέγονται οὕτως ἐκεῖνοι μὲν πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοι , ἐπειδὴ ὑπὸ μόνης τῆν μονάδος μετροῦνται , ἐπεὶ | ||
| ὡσαύτως καὶ ὁ λθ καὶ ὅμως οὐκ εἰσὶ πρὸς ἀλλήλους ἀσύνθετοι , πρὸς δὲ ἑαυτοὺς σύνθετοι : ἀμφότεροι γὰρ ὑπὸ |
| κατὰ πλάτος τριπλάσιοι , οἱ δὲ ὑποκάτω τῶν ἐπάνω ὁμοταγῶν ἐπίτριτοι , ὁμοταγεῖς ὁμοταγῶν : ἐκ γὰρ τῶν τριπλασίων οἱ | ||
| κἀνταῦθα ἡ ἀναλογία κατὰ τάξιν . πάλιν γὰρ οἱ ἐφεξῆς ἐπίτριτοι ἔσονται καὶ ἐπιτέταρτοι καὶ ἐφεξῆς : λαβὲ γὰρ θ |
| τὸ ζῷον ὑλακτικόν ὑπάρχουσι δὲ καὶ ἕτεροι ἄνθρωποι πλείους , ὡρισμένοι μέντοι γε κατὰ τὸν ἀριθμόν : τίθεται γὰρ ἴδιον | ||
| ἢ ἔμπαλιν ὁ μὲν α ἀόριστος οἱ δὲ τελευταῖοι β ὡρισμένοι . τὰ δὲ παραδείγματα τούτων τῷ βουλομένῳ γράψαι σαφέστατα |
| τῶν εʹ : γίνονται ρπʹ . Ἐὰν δὲ Τόσοι πόδες εὐθυμετρικοὶ πόσοι πήχεις εὐθυμετρικοί ; ποίει τὸ ἀνάπαλιν . Ἐὰν | ||
| καὶ ὧν ἥμισυ γίνεται ρνʹ . Ἐὰν δὲ Τόσοι πόδες εὐθυμετρικοὶ πόσοι πήχεις εὐθυμετρικοί ; τὸ ἀνάπαλιν ποίει : δὶς |
| : ἤλπιζον γὰρ καὶ τοὺς μὴ προειδότας , εἰ καὶ ὁποσοιοῦν τολμήσειαν , ἐκ τοῦ παραχρῆμα ἔχοντάς γε ὅπλα ἐθελήσειν | ||
| ὁ ΑΕ : ὅπερ ἔδει δεῖξαι . Ἐὰν περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν , τὸ δὲ πλῆθος αὐτῶν ἄρτιον ᾖ , |
| ἀναδεχομένη καὶ ὑπομένουσα τὴν περίθεσιν , ἄνευ δὲ αὐτῆς οὐ φύσονται ἑτερομήκεις : εἴτε κατὰ τὸν αὐτὸν δίαυλον οἱ ἐφεξῆς | ||
| ὑποτείνουσαν . ἐκ μὲν γὰρ διπλασίων τριπλάσιοί τε καὶ ἡμιόλιοι φύσονται , ἐκ δὲ τριπλασίων τετραπλάσιοί τε καὶ ἐπίτριτοι , |
| γοῦνα φέρει . . ἡ διπλῆ ὅτι σαφῶς οἱ Τρῶες ἐλάττονες συνίστανται τῶν Ἑλλήνων , καὶ τῶν ἐπικούρων ἐξεληλυθότων . | ||
| τῆς ὑπὸ ΔΗΒ , τουτέστιν δύο τῶν ὑπὸ ΔΕΖ , ἐλάττονες γίνονται συναμφοτέραις τῇ τε ὑπὸ ΔΕΚ καὶ τῇ ὑπὸ |
| ; εἰ γὰρ μετρήσει αὐτὸν περισσάκις , ἔσται ὁ Α περισσάκις περισσός , πᾶς δὲ περισσάκις περισσὸς ἥμισυ οὐκ ἔχει | ||
| τε γὰρ ἀρτίου ἀρτιάκις μετρεῖται καὶ ὁ αὐτὸς ὑπὸ ἀρτίου περισσάκις , οὐδετέρῳ δὲ τῶν προτέρων τοῦθ ' ἅμα συμβέβηκεν |
| αὐτῷ , καὶ οἱ γραμμικοὶ καὶ οἱ ἐπίπεδοι καὶ οἱ στερεοί : τὸ μὲν γὰρ ἓν στιγμή , τὰ δὲ | ||
| . ἀντὶ τοῦ : μὴ παρείσαγε ἡμῖν θηλυδριώδη λόγον : στερεοί : νικητήριον : ἢ μὴ γενοίμαν : εἰς τῶν |
| ὑπεροχάς . . Ἐπεὶ ὁ τρίτος καὶ ὁ τέταρτος δὶς λαμβανόμενοι μετὰ τοῦ πρώτου καὶ δευτέρου ἅπαξ λαμβανομένων ὑπερέχουσι τοῦ | ||
| τῶν προτάσεων τὸ Δίων ἀληθεύει . ὅσον δὴ οἱ οὕτως λαμβανόμενοι τῶν ἐκείνως διαφέρουσι , τοσοῦτον καὶ οἱ κατηγορικοὶ συλλογισμοὶ |
| ληψόμεθα τὰς δύο μέσας ἀνάλογον ἐν τῇ συνεχεῖ ἀναλογίᾳ . ἐκκείσθωσαν γὰρ ταῖς ΕΔ ΔΖ ΔΜ ἴσαι αἱ ΕΔ ΔΖ | ||
| : ποδηγεῖ γὰρ πρὸς τὴν τοῦ ζητουμένου κατάληψιν . οἷον ἐκκείσθωσαν ταυταδὶ τὰ στοιχεῖα ἰσάριθμα ὄντα καὶ ἀναλογοῦντα τοῖς νοήμασι |
| τοίνυν αὕτη διαφορά , δευτέρα δὲ ἐκείνη . λαβὲ πρῶτον ἑτερομήκη καὶ δεύτερον τετράγωνον καὶ τρίτον τετράγωνον καὶ δεύτερον ἑτερομήκη | ||
| ἕτερον ἐπὶ δυοῖν λέγει : ὅθεν καὶ οἱ γεννῶντες τὸν ἑτερομήκη δύο τέ εἰσιν ἀριθμοὶ καὶ μονάδι ἀλλήλων διαφέροντες . |
| μετ ' αὐτοὺς πεντάγωνοι , εἶτα ἐπὶ τούτοις ἑξάγωνοι καὶ ἑπτάγωνοι καὶ ἐπ ' ἄπειρον : προσαγορεύονται δέ , ὡς | ||
| , μέχρις ἄν τις θέλῃ . οἱ δὲ τούτοις ἀκόλουθοι ἑπτάγωνοι τοὺς μὲν γνώμονας ἔχουσι πεντάδι μὲν διαφέροντας , τετράδι |
| καὶ διλοχίτης ὁ τούτου ἡγούμενος : οἱ δὲ τέσσαρες λόχοι τετραρχία , καὶ ὁ τούτου ἡγούμενος τετράρχης τεσσάρων καὶ ἑξήκοντα | ||
| διλοχία καὶ πόσων ἀνδρῶν καὶ τίς ὁ διλοχίτης . Τί τετραρχία καὶ τίς ὁ τετράρχης καὶ ὁπόσων ἀνδρῶν . Τί |
| οὓς κῆρες φορέουσι μελαινάων ἐπὶ νηῶν . ἀθετεῖται , ὅτι περισσός : ἐν γὰρ τῷ κηρεσσιφορήτους τὸ αὐτὸ συντόμως εἴρηκεν | ||
| λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν . Ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΒ περισσός ἐστιν , ἀφῃρήσθω μονὰς ἡ ΒΔ : λοιπὸς ἄρα |
| πελειάδες ἀμφὶς ἕκαστον χρύσειαι νεμέθοντο , δύω δ ' ὑπὸ πυθμένες ἦσαν , ἀκουστέον οὐ πυθμένας δύο , ἀλλ ' | ||
| γὰρ διπλασιεπιδιμεροῦς τρίτων ἐν πέμπτῳ μέρει τῶν διαφορῶν ἐνοφθήσονται οἱ πυθμένες , τῆς διπλασιεπιτριμεροῦς τετάρτων ἐν ἑβδόμῳ , τῆς δὲ |
| , οὐ μὴν ὅπερ τὸ ἀγαθὸν ἁπλῶς , ὥσπερ αἱ μονάδες ἢ ἑνάδες αἱ ἀπὸ τῆς πρωτίστης αἰτίας προελθοῦσαι : | ||
| ἡμῖν ἐν τρισὶν ὅροις ἶσοί τινες ἀριθμοί , πρῶτον μὲν μονάδες , εἶτα δυάδες ἐν ἄλλοις τρισίν , εἶτα τριάδες |
| Πυθαγόρας προσθεὶς τὴν διὰ πασῶν συνεστήσατο ἁρμονίαν . Πῶς οἱ ἀριθμητικοὶ τῶν φθόγγων λόγοι εὑρέθησαν . Περὶ τῆς κατὰ τὸ | ||
| τῶν δαπανημάτων : καὶ γὰρ τὸ ἁπλοῦν λογίζεσθαι , οἱ ἀριθμητικοὶ λογισταί . ἀπολογεῖσθαι δὲ ἐπὶ τοῦ λόγῳ τὴν κατηγορίαν |
| ἐφεξῆς ἀριθμοί , ἀπογεννῶντες τριγώνους ἢ τετραγώνους ἢ πολυγώνους , γνώμονες καλοῦνται . τοσούτων δὲ μονάδων ἕκαστον τρίγωνον ἔχει πλευρὰς | ||
| Ἐν Ἀλεξανδρείᾳ δὲ τῇ αὐτῇ ὥρᾳ ἀποβάλλουσιν οἱ τῶν ὡρολογίων γνώμονες σκιάν , ἅτε πρὸς ἄρκτῳ μᾶλλον τῆς Συήνης ταύτης |
| . ἐπὶ δὲ τοῦ βʹ λήμματος ὁ ἑκατὸν τοῦ εἴκοσι πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸν ε , καὶ ὁ κ τοῦ | ||
| Γ πολλαπλάσιον εἶναι . ἐπεὶ γὰρ ὁ Β τοῦ Γ πολλαπλάσιός ἐστι , μετρεῖ ἄρα ὁ Γ τὸν Β . |
| πα Ϟ ρ ἐκ δὲ τῶν ἐπιμορίων οἵ τ ' ἐπιμερεῖς καὶ οἱ πολλαπλασιεπιμόριοι , πάλιν δ ' ἐκ τῶν | ||
| σπανιότητα τῶν ἐπιδεξομένων τὸ μόριον ἀριθμῶν καθ ' ὃ ἐπιμόριον ἐπιμερεῖς γενήσονται , πολὺ μᾶλλον σπανιώτεραι αἱ ἀναλογίαι γενήσονται διὰ |
| κατὰ τοὺς κυνόδοντας ἐπῆρται , οἷς δὲ τὰ κατὰ τοὺς τομεῖς , κυνώδεις . Τῶν ἐρώντων ὑπάρχει σημεῖα τοιαῦτα : | ||
| τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἱ ΘΕΖ , ΘΖΜ , ΘΜΝ τομεῖς ἴσοι ἀλλήλοις εἰσίν . ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΒ |
| ἐν τῷ ἀπὸ τῆς μονάδος ἀριθμῷ εὐτάκτῳ τῶν ἐφεξῆς πάντων τριπλάσιοί εἰσι προχωροῦντες , ἐφ ' ὅσον βούλεταί τις παρακολουθεῖν | ||
| τὸ βάθος καὶ τὴν ὑποτείνουσαν . ἐκ μὲν γὰρ διπλασίων τριπλάσιοί τε καὶ ἡμιόλιοι φύσονται , ἐκ δὲ τριπλασίων τετραπλάσιοί |
| τοιούτοις οἱ σάτυροι καθηδύνουσι . λυρικοὶ δέ , οἱ καὶ κυκλικοὶ καὶ διθύραμβοι , ἢ ᾔνουν κυδαίνοντες ἀθλητὰς ἀγῶσι νικῶντας | ||
| ὁ αὐτός ἐστιν , ὁμοίως δὲ καὶ εἰ οἱ κοσμικοὶ κυκλικοὶ τῆς γενέσεως σύμφωνοι ἢ οἱ αὐτοί . πρὸς ἐπὶ |
| μακροῦ ὄντων , ἐπαρθεὶς ὁ στρατηγὸς αὐτῶν , ὅτι καὶ πενταπλάσιοι τῶν πολεμίων ἦσαν οἱ σφέτεροι , τήν τε παρεμβολὴν | ||
| τὸν ε οὕτως ὡς ὁ ε πρὸς τὴν μονάδα : πενταπλάσιοι γὰρ ἀμφότεροι . Καὶ διὰ τοῦτο ὅσων ἐστὶν ἡ |
| τῶν ἐπιτετάρτων οἱ ἐπιτετραμερεῖς , καὶ ἐφεξῆς . οἷόν εἰσιν ἡμιόλιοι δ , Ϛ , θ . λαβὲ ἀπὸ τῶν | ||
| πρὸς τὸ δεύτερον καὶ τὸ τρίτον πρὸς τὸ τέταρτον : ἡμιόλιοι γὰρ ἀμφότεροι ἀμφοτέρων . καὶ τὰ ἰσάκις τοίνυν πολλαπλάσια |
| καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως . ἀπὸ δὲ δυάδος τῶν ἐφεξῆς πάντων ἀρτίων . εἰ δὲ θέλεις εὑρεῖν πάντας τοὺς διπλασιεφημιολίους , | ||
| δύναμιν ἀρχῆς . Ὥστε ἐν τῷ διαιρεῖσθαι δίχα πολλοὶ τῶν ἀρτίων εἰς περισσοὺς τὴν ἀνάλυσιν λαμβάνουσιν , ὡς ὁ τεσσαρεσκαίδεκα |
| β μο α . ↑ οὖν τοῦ δευτέρου , ἤτοι Ϟῶν β μο α , γίνεται δυ μία , τουτέστι | ||
| β : ἔσται Ϛ δʹ . Ὁ δὲ ἕτερος ταχθεὶς Ϟῶν ι ἔσται λ δʹ . Καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς |
| καὶ ὄνομα οἰκεῖον πρόσκειται . οἱ μέν γε δύο λόχοι διλοχία καλεῖται , ἐξ ἀνδρῶν δύο καὶ τριάκοντα , καὶ | ||
| δὲ λόχον ἑξκαίδεκα . Ἔσονται δὴ οἱ μὲν δύο λόχοι διλοχία καὶ ὁ ἐπ ' αὐτοῖς ἄρχων διλοχίτης , οἱ |
| εἴκοσι ἀνδρῶν καὶ ἑκατόν . καθ ' ἑκάστην δὲ ἑκατονταρχίαν ἔκτακτοι ἄνδρες τέσσαρες ἔστων , σημειοφόρος καὶ σαλπιγκτὴς καὶ ὑπηρέτης | ||
| δὲ οὐραγοὶ οἵ τ ' ἐν τοῖς λόχοις καὶ οἱ ἔκτακτοι συνέσει τῶν ἄλλων διαφερέτωσαν , οἱ μέν , ἵνα |
| ἂν ἔχοι , εἰ δὲ αὐτοὶ , οὐ κυρίως εἰσὶν διπλοῖ , ἀλλ ' οἱ ἐπὶ δύο ἐγκλήμασιν ἔχοντες ἓν | ||
| ὁ τὸν ἄπολιν μελετῶν διαιρήσει . Καθόλου δὲ οἱ μὲν διπλοῖ τῶν ἁπλῶν διαφέρουσι τῷ ἔχειν ἁπλᾶ τὰ κεφάλαια , |
| , ὁ ὅλος ἄρτιος ἔσται . Συγκείσθωσαν γὰρ περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁσοιδηποτοῦν ἄρτιοι τὸ πλῆθος οἱ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ | ||
| πλῆθος τῶν αβ βγ γδ δε εζ . Ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ὅροι ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ , ἑξῆς ἀλλήλων κείμενοι , |
| καὶ οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες οὕτως ἐστίν : ὅτι ἀριθμῶν ἐκτεθέντων ἀπὸ μονάδος κατὰ ἀναλογίαν οἷον διπλάσιος ὡς ἡ μονὰς | ||
| τὸ πλῆθος αὐτῶν ποιοῦσιν ἀριθμὸν διπλάσιον τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν ἐκτεθέντων . Ἔστωσαν γὰρ ἀριθμοὶ ὁποσοιοῦν , οἱ Α , |
| ΙΑ πρὸς ΑΜ , διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων . τέσσαρες ἄρα αἱ ΔΑ ΑΚ ΑΙ ΑΜ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν | ||
| τῶν ἄκρων ἴσος ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων , οἱ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν : ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε |
| , ἐπὶ μὲν τῶν περιττῶν ἐκθέσεων ὁ μέσος τῶν ἄκρων ὑποδιπλάσιος ἦν , ἐπὶ δὲ τῶν ἀρτίων ἴσοι οἱ μέσοι | ||
| σνϚʹ πρὸς σμγʹ , καὶ οἱ τούτοις ὑπεναντίοι ὅ τε ὑποδιπλάσιος καὶ ὁ ὑποτριπλάσιος καὶ ὁ ὑποτετραπλάσιος καὶ ὁ ὑφημιόλιος |
| . Ἡ δὲ διαίρεσις ἰσθμοῖς ἢ πορθμοῖς . Καί εἰσιν ὅροι τῶν ἠπείρων , τῆς μὲν Εὐρώπης πρὸς τὴν Λιβύην | ||
| Καὶ γὰρ τὸ ζῷον τινὶ λευκῷ , τουτέστιν οἱ αὐτοὶ ὅροι καὶ ἐξ ἀνάγκης τινὶ ποιοῦσι καὶ ἐξ ἀνάγκης οὐ |
| δὲ τετράγωνοι , οἱ δὲ πεντάγωνοι καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς πολύγωνοι . γεννῶνται δὲ οἱ τρίγωνοι τὸν τρόπον τοῦτον . | ||
| , ὅσοιπέρ εἰσι τὸν ἀριθμὸν οἱ εἰς σύστασιν αὐτῆς συσσωρευθέντες πολύγωνοι . πάλιν γὰρ τὴν ιδ πυραμίδα συνόλην βάσιν ἔχουσαν |
| ' ἔφη τἀπόφθεγμα . Ἢ τρὶς ἓξ , ἢ τρεῖς κύβοι : ἐπὶ τῶν κινδυνευόντων : τὸ μὲν τρὶς ἓξ | ||
| δὲ καὶ παροιμία , ἀεὶ γὰρ εὖ πίπτουσιν οἱ Διὸς κύβοι . βοῦς ἐπὶ γλώσσῃ μέγας ] παροιμία ἐπὶ τῶν |
| καὶ τὰς αὐτὰς ὠδῖνας διαλυσάμενοι . Ξ ὁμοσπόροι ] οἱ ὁμογενεῖς . Ξ τεθνήκασιν ] ἀπέθανον . τεθνήκασιν ] + | ||
| , ὁμογενῆ ἀναγορεύεις τοῖς ἐφημέροις . Λέγω μὲν καὶ ὅτι ὁμογενεῖς αὐτοὺς ἔφην εἶναι , ὡς ἀμφοτέρους ἐκ προκαταρκτικῆς αἰτίας |
| δὲ τὴν πίστιν τῶν ἰδίων λόγων οἱ κοινοὶ λόγοι καὶ καθολικοί . ἀμφοτέρων δ ' ἦν ἐν τῷ ἐπιταφίῳ χρεία | ||
| περὶ τοῦ ἐπιμερίζοντος καὶ συνεπιμερίζοντός εἰσι θεμέλιά τινα καὶ κανόνες καθολικοί : εἴσι δὲ καὶ ἕτερά τινα σημαίνοντα τὰ μερικὰ |
| ἐπιμορίου καὶ τῶν λοιπῶν εἰδῶν ἐν αὐτῶι , καὶ οἱ γραμμικοὶ καὶ οἱ ἐπίπεδοι καὶ οἱ στερεοί . τὸ μὲν | ||
| ἐξ ἀρχῆς βάθος τι προσκτωμένου : οἷον καθ ' ὑποδιαίρεσιν γραμμικοὶ μέν εἰσιν ἀριθμοὶ ἁπλῶς ἅπαντες οἱ ἀπὸ δυάδος ἀρχόμενοι |
| τρίτην ἑκατέρας τῶν δυεῖν ἐλάσσονα , ἰσάκις ἴσοι ἐλαττονάκις , πλινθίδες ἐκλήθησαν : οἱ δὲ δύο μὲν ἴσας , τὴν | ||
| , ἢ ἰσάκις ἴσων ἀνισάκις , ἵνα ἢ δοκίδες ἢ πλινθίδες ὦσιν , εἴτε ἀνισάκις ἀνίσων ἀνισάκις , ἵνα σκαληνοί |
| χροιὴν μὲν ἀλίγκιος οὐκέτι κύκλος δινεῖται , τὰ δὲ μέτρα τόσοι πισύρων περ ἐόντων οἱ δύο , τοὶ δέ σφεων | ||
| ἤδη μύριοι , πηδῶσι δ ' ὑφ ' ἡδονῆς δὶς τόσοι καὶ διπλάσιοι τούτων καὶ τετραπλάσιοι καὶ πάντες οἱ ἐκείνῃ |
| ἑκάστους ἕκαστον μηκύνῃ ἢ ὑπὸ ἑκάστου μηκύνοιτο , ὁμοίως γενήσονται εὔτακτοι κύβοι . ἔτι οἱ περισσοὶ ἐπειδὴ ἔτι ὁμοποιοί εἰσι | ||
| τῶν ἀπὸ μονάδος ἑαυτὸν πολλαπλασιάσαντος καὶ τὸν ἐξ αὐτοῦ γίνονται εὔτακτοι κύβοι . καὶ εἰ τάξει οἱ ἀπὸ τετράδος τετράγωνοι |
| τῆς μονάδος ὂν λεπτῶν τριῶν . ἐπεὶ πάλιν ὁ μ πενταπλάσιός ἐστι τοῦ η , πολλαπλασιάζω τὸν τρία τὸ εἰκοστὸν | ||
| τῆς μονάδος ὂν λεπτῶν τριῶν . ἐπεὶ πάλιν ὁ μ πενταπλάσιός ἐστι τοῦ η , πολλαπλασιάζω τὸν τρία τὸ εἰκοστὸν |
| δὲ τῶν μὲν Ἑλλήνων ὥσπερ τροφέων ἐπιμελόμενοι , χεῖρά τε ὑπερέχοντες καὶ οἷον κειμένους ἀνιστάντες , τοὺς μὲν ἀρίστους καὶ | ||
| ὁ πίθων , οὕτω παρὰ τοῖς ἄφροσι καὶ κόλαξιν οἱ ὑπερέχοντες λέγονται σοφοὶ καὶ πάντα ἔχειν τὰ ἀγαθά : δεῖ |
| . Ἐπιτυχόντες δὲ τούτου , οὐκ ἐβούλοντο ἀπαλάσσεσθαι , ὡς συντιθέμενοι νύκτας καὶ ἡμέρας μένειν . Διὸ λέγεσθαι τοῦτο ἐπὶ | ||
| , καὶ μένουσι νεαροί . ὁμοίως δὲ καὶ ἐν ἅλμῃ συντιθέμενοι διαμένουσιν . Ἀκμαίους τοὺς σικύους φυλάξεις , ἐὰν ἐν |
| τοὺς οἰκείους μᾶλλον τῶν πολεμίων : λαβόντες δ ' αὐτὸν ἱππέες τινες εἷλκον ἐς τὸν Πομπήιον , ἐπιβλασφημούμενον ὑπὸ τῶν | ||
| τῆς ει διφθόγγου καὶ βασιλῆς ἀττικῶς διὰ τοῦ η , ἱππέες ἱππεῖς διὰ τῆς ει διφθόγγου καὶ ἱππῆς διὰ τοῦ |
| στερεῶν σωμάτων λόγοι δῆλοι , ἐπεὶ καὶ ὁ τοῦ αʹ κύβος τοῦ αὐτοῦ ἐστιν αʹ , ὁ δ ' ἀπὸ | ||
| οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες , ὁ δὲ τέταρτος ὁ Γ κύβος καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες , ὁ δὲ ἕβδομος |
| οὕτως , οἱ δὲ Πυθαγόρειοι τὸ μὲν σημεῖον ἀνάλογον ἐλάμβανον μονάδι , δυάδι δὲ τὴν γραμμὴν καὶ τριάδι τὸ ἐπίπεδον | ||
| πρὸ γὰρ τοῦ ζ ὁ Ϛ , ὃς ἄρτιος : μονάδι οὖν διαφέρει τοῦ ἀρτίου . ὡσαύτως καὶ ὁ ἄρτιος |
| τῶν τετραπλασίων α δ ιϚ σνϚ : μετρεῖται γὰρ ὁ σνϚ καὶ ὑπὸ ἑτέρων ἀριθμῶν , οὐ μὴν ὑπὸ πρώτων | ||
| ٣ ١٠ ٤١ ἡ Θ ١٦ τὸ ἀπὸ τῆς Θ σνϚ ἡ ΚΛ ٨ ٢٦ ٥٤ ἡ ΖΒ ١٠ ١٨ |
| τὰ μετάρσια δὲ ἐν αὐτῷ πολυπραγμοσύνη τὸν Εὐριπίδην ὁμολογεῖ . πρόλογοι δὲ διττοὶ φέρονται . ὁ γοῦν Δικαίαρχος ἐκτιθεὶς τὴν | ||
| : Οὕτως μὲν οὖν αἱ τῶν ἀμφοτέρων ἀρχαὶ ἤγουν οἱ πρόλογοι τὴν διαφωνίαν ἔχουσιν : ἀπ ' ἐντεῦθεν δὲ ὡς |
| ὁ ἐκ πάντων συγκείμενος ὁ αζ τοῦ μέσου τοῦ γδ πολλαπλασίων ἐστὶ κατὰ τὸ πλῆθος αὐτῶν . ἐπεὶ γὰρ οἱ | ||
| καὶ τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ πρώτου καὶ τρίτου τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου ἢ ἅμα ὑπερέχουσιν ἢ ἅμα |
| , Β οἱ ΓΔ , ΕΖ : λέγω , ὅτι ἰσάκις ὁ ΓΔ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ ΕΖ τὸν | ||
| ἔχον αὔξησιν τοιανδί , τουτέστιν ᾗ οὕτως ὑπερέχον , ἤγουν ἰσάκις : ποιότης γὰρ ὑπεροχῆς ἐστι τὸ ἰσάκις πολλαπλασιάζεσθαι . |
| εἷς μο δ ἐφ ' ἑαυτοὺς πολλαπλασιασθέντες ποιοῦσι δύναμιν μίαν Ϟοὺς η μο ιϚ . Ἀφαιρουμένων οὖν τῶν δυνάμεων , | ||
| ἑτέρων ι μο . Καὶ τῆς δείξεως προβάσεως δεήσει τοὺς Ϟοὺς ιβ μο λϚ τριπλασίονας εἶναι μο Ϛ καὶ ἔτι |
| κζ πολλαπλασιαζέτω τὸν κζ : εἰκοσιεπτάκις κζ : καὶ γίνονται ψκθ . καὶ ἐπεὶ ὁ ιη οὐ μετρεῖ τὸν ψκθ | ||
| μετρεῖται . τκδ τξδ τπδ υλβ υπϚ φιβ φοϚ χμη ψκθ ψξη ωξδ Ϡοβ ͵ακδ ͵αρνβ ͵ασϘϚ # ⌉ # |
| ὅπερ ἔδει δεῖξαι . Ἐὰν ἀριθμὸς μήτε τῶν ἀπὸ δυάδος διπλασιαζομένων ᾖ μήτε τὸν ἥμισυν ἔχῃ περισσόν , ἀρτιάκις τε | ||
| τέτταρες ἔσονται ἢ ἄλλο τι πλῆθος τῶν ἀφ ' ἑνὸς διπλασιαζομένων : τοσαῦτα δὲ καὶ τὰ εἴδη . ἔστι δ |
| τετράγωνοι , ἐκ δὲ τῶν τετραγώνων καὶ τῶν τριγώνων οἱ πεντάγωνοι , ἐκ δὲ τῶν πενταγώνων καὶ τῶν τριγώνων οἱ | ||
| μηδένα συντεθέντων τῶν γνωμόνων , τετράγωνοι δὲ παρὰ ἕνα , πεντάγωνοι δὲ παρὰ δύο καὶ ἀεὶ οὕτως . τὸν αὐτὸν |
| προφέρονται : ὑμεῖς δ ' , ὦ Μεγαρεῖς , οὔτε τρίτοι οὔτε τέταρτοι . ὡς καὶ Καλλίμαχος ἐν τοῖς Ἐπιγραμματίοις | ||
| στόματι . ὑμεῖς δ ' , ὦ Μεγαρεῖς , οὔτε τρίτοι οὔτε τέταρτοι οὔτε δυωδέκατοι οὔτ ' ἐν λόγωι οὔτ |
| εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ Ε , Ζ , Η ἐλάχιστοι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Α , Β | ||
| Τοῖς μὲν οὖν πλησίον τῆς διακεκαυμένης καὶ πρὸς μεσημβρίαν οἰκοῦσιν ἐλάχιστοι γίνονται οἱ ἀρκτικοὶ διὰ τὸ καὶ τὴν ἔγκλισιν τοῦ |
| δὲ προστιθέμενος , κύβος ἀπὸ τοῦ η , τουτέστι ΚΥ φιβ # ʂ ε , καὶ προστεθεὶς ʂ ε , | ||
| ε : θέλομεν οὖν ταῦτα κυβικὴν εἶναι πλ . ΚΥ φιβ . ʂ ἄρα η ἴσοι εἰσὶ ΚΥ χλζ # |
| χρονικαῖς γ κʹ . λέγω δὴ ὅτι τῶν ἐν τοῖς αβ βγ δωδεκατημορίοις τριακοστημορίων τῶν ἑξῆς ἀλλήλοις κειμένων [ ἀρχομένων | ||
| γβ ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας ποιείτω τὸν ζη . καὶ ἐπεὶ ὁ αβ τὸν γβ πολλαπλασιάσας ἐποίησε τὸν δ , ὁ ἄρα |
| , καθ ' ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται . Ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος . Μέρος ἐστὶν | ||
| μερῶν ἐπιπέδῳ σὺν τῷ ἀπὸ τοῦ προειρημένου μέρους τετραγώνῳ . Ἀριθμὸς γὰρ ὁ αβ διῃρήσθω εἰς δύο ἀριθμοὺς τοὺς αγ |
| τῶν ἑξῆς διὰ τεσσάρων συμφωνοῦντες συναφὴν ποιήσουσιν , οἱ δὲ πέμπτοι διὰ πέντε διάζευξιν . δεῖ δ ' ἕτερον πότερον | ||
| ἐν οὖν τῷ φυσικῷ ὕφει τοῦ ἀριθμοῦ εὑρεθήσονται οἱ ἀρτιοπέρισσοι πέμπτοι μὲν ἀπ ' ἀλλήλων , τετράδι δὲ ὑπερέχοντες , |
| τοῦ ὅλου φαντασίαν συμπληρωτικοί , καθάπερ καὶ οἱ διὰ πασῶν φθόγγοι τοῦ ἑνὸς κατὰ ὁμοίαν ἀντίληψιν ἀπεργαστικοί . Τὰ μὲν | ||
| . ἔμψυχον μὲν ἡ τῶν ζῴων φωνή , ἄψυχον δὲ φθόγγοι καὶ ἦχοι . τῆς τοῦ ἐμψύχου φωνῆς ἡ μέν |
| τριακοσιοστοεξηκοστοπρώτων , ὁ ἀπὸ συναμφοτέρου αὐτῶν ἐννέα μυριάδων δισχιλίων τετρακοσίων δεκαὲξ τρισκαιδεκακισμυριοστοτριακοσιοστοεικοστοπρώτων . Λείψει γοῦν τῶν ριβ τριακοσιοστοεξηκοστοπρώτων ἀναλυθέντων εἰς | ||
| ἦσαν οἱ χαρακτῆρες . Καὶ γὰρ αἱ ἐκφωνήσεις ἐπληροῦντο τῶν δεκαὲξ στοιχείων μετά τινων προσῳδιῶν . Φασὶ γάρ : πρὶν |
| . ἰδοὺ γεγόνασιν ἐπιδιμερεῖς : ὁ γὰρ κε τοῦ ιε ἐπιδιμερής : ἔχει γὰρ αὐτὸν καὶ δύο αὐτοῦ μέρη : | ||
| πάλιν ὡς ἐν ἐπιμερέσι κατὰ τὴν οἰκειότητα τῆς δυάδος ὁ ἐπιδιμερής . εἰ δὲ οἱ πρῶτοι ἐν τριπλασίῳ λόγῳ , |
| . - πα - - τα ˘˘ ] καὶ οὗτοι δίμετροι . . ἡγούμενον ] προπορευόμενον τοῖσι ] - σι | ||
| διάνοια . φρήν ] ὁ νοῦς μου . ἰαμβικοὶ τρεῖς δίμετροι . στένει ] στενάζει . πανδάκρυτε ] πολλῶν δακρύων |
| ὅρους καὶ λεκτέον ὅτι ὁ μόνον ὑπ ' ἀρτίου περισσάκις ἀρτιοπέρισσος , ὁ δ ' οὐδέποτε μόνον θάτερον ἀλλ ' | ||
| Εὐκλείδου ῥητὸν προεκθέμενοι περὶ αὐτῶν . λέγει γὰρ οὕτως : ἀρτιοπέρισσος ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπ ' ἀρ - τίου ἀριθμοῦ |
| τὰ τρία εἴδη ἄρτια καλοῦνται , καὶ γὰρ ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος , ὁ ἀρτιοπέριττος καὶ ὁ περισσάρτιος . συμβέβηκε δὲ | ||
| εἶναι ἀριθμόν ; διότι πᾶς ἀριθμὸς ἢ περιττός ἐστιν ἢ ἄρτιος . καὶ πᾶς ἄρτιος δύναται εἶναι , ἡ δὲ |
| πρῶτοι ἀριθμοὶ καὶ οὐ καθ ' αὑτοὺς οἱ κοινῷ μέτρῳ μετρούμενοι τῇ μονάδι , κἂν ὑπ ' ἄλλων τινῶν ἀριθμῶν | ||
| μὴ μετρούμενοι ὅλως πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοι , οἱ δὲ ἅπαξ μετρούμενοι πρὸς μὲν ἑαυτοὺς σύνθετοι , πρὸς δὲ ἀλλήλους ἀσύνθετοι |
| ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις . Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι παράλληλοι αἱ ΑΒ , ΓΔ , καὶ | ||
| ἀπάγεται γὰρ εἰς τὰ πτωτικὰ τοῦ ἑπτακαιδεκάτου . κγʹ . Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ ΑΒ ΓΔ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ |
| οὖν εἰσιν οἱ θρυλούμενοι ἀναπόδεικτοι , πάντες δέ μοι δοκοῦσιν ἀσύνακτοι εἶναι κατὰ παρολκήν . αὐτίκα γοῦν , ἵνα ἀπὸ | ||
| πάντες οἱ ἀποδεικτικοὶ λόγοι τῶν τε Στωικῶν καὶ τῶν Περιπατητικῶν ἀσύνακτοι τυγχάνουσιν ὄντες . ἐξ ἐπιμέτρου δὲ οὐ χεῖρον ἴσως |
| μὲν οὖν ἢ καὶ ἐπαναφερόμενοι οἱ ἀναιρέται εὐτονώτεροι καθίστανται , ἔκκεντροι δὲ ἐξασθενήσουσι . Ἔστω δὲ καὶ οὗτος ὁ λόγος | ||
| δὴ τὸ καθόλου τῶν ὑποθέσεων τοιοῦτον , ὅτι οἱ μὲν ἔκκεντροι κύκλοι τῶν ε πλανωμένων ἐγκεκλιμένοι τυγχάνουσιν πρὸς τὸ τοῦ |
| καὶ ὁ πολλαπλασιεπιμερής , ὡς τοῦ τρία ὁ ὀκτώ . ὑπόλογοι δέ εἰσιν οἱ ἐλάσσονες τῶν μειζόνων , ὑποπολλαπλάσιος , | ||
| πολλαπλάσια τῶν τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου , εἰ δὲ οἱ ὑπόλογοι προτάττονται , ὑπερέχουσι τὰ τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου ἰσάκις |
| παράκειται . ἰστέον ὅτι ἑτερόμηκες νῦν καλεῖ κοινότερον καὶ τοὺς προμήκεις κατὰ τὸν καθόλου γεωμετρικὸν κανόνα τὸν νῦν ἡμῖν δεδειγμένον | ||
| δυάδος μονάδι μόνῃ μείζων ἐστί : καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως . προμήκεις δέ εἰσιν οἱ πλείοσι μονάσιν ἔχοντες τὸ ἄνισον . |
| ιδ πρὸς τὸν δ καὶ ἁπλῶς οἱ καθ ' ἑβδομάδα προχωροῦντες πρὸς τοὺς ἀπὸ δυάδος εὐτάκτους ἀρτίους . εἶτα πάλιν | ||
| καὶ ἀπὸ ἑξαγώνου καὶ ἑπταγώνου βάσεως καὶ ἐπὶ πλεῖον ἀεὶ προχωροῦντες πυραμίδας συστησόμεθα τοὺς ἀναλογοῦντας ἑκάστῃ πολυγώνους ἐπισωρεύοντες ἀλλήλοις ἀπὸ |
| ἐκκειμένων τῶν εὐτάκτων ἐπιμορίων γεννῶνται διὰ τῶν αὐτῶν προσταγμάτων οἱ πολλαπλασιεπιμόριοι : διπλασιεφήμισυς μὲν ἐκ τοῦ πρώτου ἡμιολίου , διπλασιεπίτριτος | ||
| ' ἐπιτριμερὴς καὶ ἐπιτετραμερὴς καὶ ἑξῆς ἀκολούθως : αἱ δὲ πολλαπλασιεπιμόριοι ἀντιπεπονθότως δὶς μὲν τὸ μέτρον προσβάλλουσι πληρούντως , ἓν |
| : τὸ καρῶδες ἐπὶ τούτοισι , κάκιστον . Οἱ μὴ διαλείποντες , ἐφιδροῦντες πυκνὰ , μετὰ ὑποχονδρίου ἐντάσιος , ὡς | ||
| τοῦ νοσήματος καὶ παρακμάσαντος , παχύτερα γίνεται . Οἱ δὲ διαλείποντες πυρετοὶ γίνονται αἰτίᾳ τοιαύτῃ , ὡς ἡνίκα ἡ ὕλη |