| ὅρους καὶ λεκτέον ὅτι ὁ μόνον ὑπ ' ἀρτίου περισσάκις ἀρτιοπέρισσος , ὁ δ ' οὐδέποτε μόνον θάτερον ἀλλ ' | ||
| Εὐκλείδου ῥητὸν προεκθέμενοι περὶ αὐτῶν . λέγει γὰρ οὕτως : ἀρτιοπέρισσος ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπ ' ἀρ - τίου ἀριθμοῦ |
| ; εἰ γὰρ μετρήσει αὐτὸν περισσάκις , ἔσται ὁ Α περισσάκις περισσός , πᾶς δὲ περισσάκις περισσὸς ἥμισυ οὐκ ἔχει | ||
| τε γὰρ ἀρτίου ἀρτιάκις μετρεῖται καὶ ὁ αὐτὸς ὑπὸ ἀρτίου περισσάκις , οὐδετέρῳ δὲ τῶν προτέρων τοῦθ ' ἅμα συμβέβηκεν |
| Ϛ , ἤτοι ϘϚ ιϚʹ , γίνεται πάλιν ὁ ὅλος Ϟὸς ρκα ιϚʹ , ὥστε ἀφαιρουμένων τῶν ϘϚ ιϚʹ , | ||
| γὰρ ἀπὸ τοῦ τρία καὶ δ ὑπερβάλλουσι τὸν κ . Ϟὸς μὲν εἷς μονάδες τρεῖς πολλαπλασιασθέντες ἐφ ' ἑαυτοὺς ποιοῦσι |
| , τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ . καὶ ἐπεὶ τριπλασίων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ , ὡς δὲ ἡ | ||
| τριπλασίων ἢ ἐλάσσων ἢ τριπλασίων . ἔστω πρότερον μείζων ἢ τριπλασίων , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον τὸ |
| τὰ τρία εἴδη ἄρτια καλοῦνται , καὶ γὰρ ὁ ἀρτιάκις ἄρτιος , ὁ ἀρτιοπέριττος καὶ ὁ περισσάρτιος . συμβέβηκε δὲ | ||
| εἶναι ἀριθμόν ; διότι πᾶς ἀριθμὸς ἢ περιττός ἐστιν ἢ ἄρτιος . καὶ πᾶς ἄρτιος δύναται εἶναι , ἡ δὲ |
| οἱ Γ Δ Ε , ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος , καὶ ἄλλοι πάλιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ | ||
| μετρούμενοι κοινῷ μέτρῳ . Σύνθετος ἀριθμός ἐστιν ὁ ἀριθμῷ τινι μετρούμενος . Σύνθετοι δὲ πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοί εἰσιν οἱ ἀριθμῷ |
| Ὅτι δὲ περιλέλειπται τῶν ἀναλόγων δύο , ἅπερ ἐστὶ τῆς ἑκατοντάδος , τοσαυτάκις αὐξήσομεν τὸν εἰρημένον ἀριθμόν , ὥστε εἶναι | ||
| ὁ μὲν Α ὑποκείσθω ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος , οἷον μονάδες φʹ , ὁ δὲ Β ἐλάσσων |
| , καθ ' ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται . Ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος . Μέρος ἐστὶν | ||
| μερῶν ἐπιπέδῳ σὺν τῷ ἀπὸ τοῦ προειρημένου μέρους τετραγώνῳ . Ἀριθμὸς γὰρ ὁ αβ διῃρήσθω εἰς δύο ἀριθμοὺς τοὺς αγ |
| παρ ' οὐδέν . ὁ δ ' ὑπ ' αὐτὸν πεντάγωνος ὁ κβʹ σύστημα τοῦ ὑπὲρ αὐτὸν τετραγώνου τοῦ ιϚʹ | ||
| ἐστιν , ὁ δὲ δ τετράγωνος , ὁ δὲ ε πεντάγωνος , ὁ δὲ Ϛ ἑξάγωνος , ὁ δὲ ζ |
| οὓς κῆρες φορέουσι μελαινάων ἐπὶ νηῶν . ἀθετεῖται , ὅτι περισσός : ἐν γὰρ τῷ κηρεσσιφορήτους τὸ αὐτὸ συντόμως εἴρηκεν | ||
| λοιπὸς ὁ ΓΑ ἄρτιός ἐστιν . Ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΒ περισσός ἐστιν , ἀφῃρήσθω μονὰς ἡ ΒΔ : λοιπὸς ἄρα |
| , οἱ πρῶτοι κατὰ πλάτος καὶ οἱ ὑπ ' αὐτοὺς τετραπλάσιοι πάντες εἰσίν , οἱ δὲ ὑποκάτω τῶν ἐπάνω ἐπιτέταρτοι | ||
| ' αὐτῶν ἐπίτριτοι καὶ ἀπὸ τούτων ἐπιτριμερεῖς , εἰ δὲ τετραπλάσιοι ἐπιτέταρτοί τε καὶ ἐπιτετραμερεῖς καὶ ἀεὶ οἱ ἑξῆς , |
| εὐθείας , τὸ λοιπὸν δείκνυσι νῦν , ὅτι πᾶς σύνθετος κατηγορικὸς συλλογισμὸς ὑπὸ τὰ τρία σχήματα ἀνάγεται διὰ μέσου τοῦ | ||
| εὐθείας κατηγορικός : ἐπ ' εὐθείας γὰρ ἀλλ ' οὐ κατηγορικὸς ὅδε : ἀριθμὸς ἢ ἄρτιος ἢ περιττός ἐστιν : |
| μακροῦ ὄντων , ἐπαρθεὶς ὁ στρατηγὸς αὐτῶν , ὅτι καὶ πενταπλάσιοι τῶν πολεμίων ἦσαν οἱ σφέτεροι , τήν τε παρεμβολὴν | ||
| τὸν ε οὕτως ὡς ὁ ε πρὸς τὴν μονάδα : πενταπλάσιοι γὰρ ἀμφότεροι . Καὶ διὰ τοῦτο ὅσων ἐστὶν ἡ |
| αἱ ἡμέραι πολυπλασιασθεῖσαι ἀποτελοῦσιν ὅλας ἡμέρας καὶ ὅλους μῆνας : ὀκτάκις δὲ πολυπλασιασθεῖσαι ἀποτελοῦσιν ἡμέρας μὲν Ϛ , μῆνας δὲ | ||
| ὑπεροχὴ τοῦ ἡλιακοῦ ἐνιαυτοῦ ἡμερῶν ια δʹ : αὗται δὲ ὀκτάκις πολυπλασιασθεῖσαι συνεπλήρουν ἂν τοὺς γ μῆνας τοὺς ἐμβολίμους . |
| συντετάχθωσαν οὕτως . λόχους μὲν καὶ ἐν τοῖς ψιλοῖς τάξομεν ͵ακδ , τοὺς ἴσους τοῖς ἐν τῇ φάλαγγι , ὥστε | ||
| ἱππέων φιβ : αἱ δὲ δύο ἱππαρχίαι ἐφιππαρχία , ἱππέων ͵ακδ : αἱ δὲ δύο ἐφιππαρχίαι τέλος , ἱππέων ͵βμη |
| : διὸ καὶ οὐ δύναται εἶναι ὁ θ τοῦ δ τετραπλάσιος , ὡς ὁ ιϚ τοῦ δ καὶ ὁ λϚ | ||
| δὲ ὦσι δύο ἀριθμοὶ ὁ μὲν ἕτερος αὐτῶν τοῦ αὐτοῦ τετραπλάσιος , ὁ δ ' ἕτερος διπλάσιος , ὁ τετραπλάσιος |
| τρισκαιδεκακισμυριοστοτριακοσιοστοεικοστοπρώτων . Λείψει γοῦν τῶν ριβ τριακοσιοστοεξηκοστοπρώτων ἀναλυθέντων εἰς τετρακισμύρια υλβ τρισκαιδεκακισμυριοστοτριακοσιοστοεικοστόπρωτα , λοιπὰ πεντακισμύρια χίλια Ϡπδ , ἅτινά εἰσιν | ||
| τοῖς οὖν ἐν αὐτῷ γινομένοις μετρεῖται . τκδ τξδ τπδ υλβ υπϚ φιβ φοϚ χμη ψκθ ψξη ωξδ Ϡοβ ͵ακδ |
| ὑπὸ τοῦ ὀγδόου τοῖς σνϚ . εʹ [ ἡμιόλιος ] φοϚ ξδ : ἔστι δὲ καὶ ἡμιόλιος τοῦ πράτου ὁ | ||
| ρμδ , μύστρα μεγάλα σπη , ὀξύβαφα τπδ , κυάθους φοϚ , χήμας μικρὰς ͵αρνβ : ὁ μὲν γὰρ χοῦς |
| ὁπλίτῃσι καὶ ψιλοῖσι τοῖσι μαχίμοισι ἕνδεκα μυριάδες ἦσαν , μιῆς χιλιάδος , πρὸς δὲ ὀκτακοσίων ἀνδρῶν καταδέουσαι . Σὺν δὲ | ||
| Ἴβηρος ” . ἀφ ' οὗ παρὰ Κουαδράτῳ ἐν Ῥωμαϊκῆς χιλιάδος εʹ ἐστὶν Ἰβήροισιν οὕτως ” καί τοι Λίγυσί θ |
| δὲ προστιθέμενος , κύβος ἀπὸ τοῦ η , τουτέστι ΚΥ φιβ # ʂ ε , καὶ προστεθεὶς ʂ ε , | ||
| ε : θέλομεν οὖν ταῦτα κυβικὴν εἶναι πλ . ΚΥ φιβ . ʂ ἄρα η ἴσοι εἰσὶ ΚΥ χλζ # |
| δὴ τοσούτων εἶναι μονάδων τοὺς δύο πρώτους ἀριθμούς , οἵπερ διπλάσιοι ἔσονται τῶν λοιπῶν δύο , ὄντων δηλονότι καὶ αὐτῶν | ||
| , ὀγδοήκοντα δὲ ἐκ Μυκηνῶν καὶ ἐκ Φλιοῦντος διακόσιοι , διπλάσιοι δὲ τούτων Κορίνθιοι : παρεγένοντο δὲ καὶ Βοιωτῶν ἑπτακόσιοι |
| ἀπὸ τῶν ρκ μονάδων καὶ τὰς ρ μονάδας . Ἐναπελείφθησαν Ϟοὶ ε ἴσοι μονάσιν κ . . Ἐπεὶ ἡ λεῖψις | ||
| ιβ . Κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις . δυ ἄρα γ Ϟοὶ λ μο θ ἴσα δυνάμεσι δ μονάσιν θ . |
| τῆς μονάδος ὂν λεπτῶν τριῶν . ἐπεὶ πάλιν ὁ μ πενταπλάσιός ἐστι τοῦ η , πολλαπλασιάζω τὸν τρία τὸ εἰκοστὸν | ||
| τῆς μονάδος ὂν λεπτῶν τριῶν . ἐπεὶ πάλιν ὁ μ πενταπλάσιός ἐστι τοῦ η , πολλαπλασιάζω τὸν τρία τὸ εἰκοστὸν |
| τοιούτων οὐδέν . τὸ γὰρ αὐτὸ εἶδος τοῦ διπλασίου καὶ τριπλασίου ἔν τε τοῖς ἐλάττοσι καὶ ἐν τοῖς πλείοσιν ἀριθμοῖς | ||
| ►βασιλικός αʹ τιμοκρατικός βʹ ὀλιγαρχικός γʹ δημοκρατικός θʹ τυραννος Ϛʹ◄ τριπλασίου ἄρα κτλ . εἰλήφθω κατὰ τὴν μονάδα αὐτὴν ὁ |
| ' ἂν γένοιό γ ' ἀθλιωτάτη γυνή . ἴτω : περισσοὶ πάντες οὑν μέσωι λόγοι . ἀλλ ' εἶα χώρει | ||
| μὲν οὖν ἄρτιον δεῖ εἶναι , ὅπως ἴσοι ἐνῶσιν οἱ περισσοὶ καὶ ἄρτιοι καὶ μὴ ἑτερομερῶς : ἐπεὶ γὰρ πρότερος |
| ἀναλογίαν σώζων γεωμετρικήν , πρόλογος μὲν πρὸς τὸν ἐλάττονα , ὑπόλογος δὲ πρὸς τὸν μείζονα , οὐδέποτε δὲ πλείονες : | ||
| ' ἑκάτερα αὐτοῦ ἀποκρίνηται , πρὸς μὲν τὸν μείζονα ὡς ὑπόλογος , πρὸς δὲ τὸν ἐλάσσονα ὡς πρόλογος , συνημμένη |
| , καὶ ὁ ἡγεμὼν πάλαι μὲν στρατηγός , νῦν δὲ φαλαγγάρχης : τὸ δὲ τῆς φαλαγγαρχίας ἤτοι ἀποτομῆς διπλοῦν διφαλαγγία | ||
| ὁ τῶν δύο καὶ τριάκοντα , ὁ δὲ τῶν διπλασιόνων φαλαγγάρχης , καὶ ὁμωνύμως τὸ σύστημα καθ ' ἑκάστην ἀρχὴν |
| , ἐπὶ μὲν τῶν περιττῶν ἐκθέσεων ὁ μέσος τῶν ἄκρων ὑποδιπλάσιος ἦν , ἐπὶ δὲ τῶν ἀρτίων ἴσοι οἱ μέσοι | ||
| σνϚʹ πρὸς σμγʹ , καὶ οἱ τούτοις ὑπεναντίοι ὅ τε ὑποδιπλάσιος καὶ ὁ ὑποτριπλάσιος καὶ ὁ ὑποτετραπλάσιος καὶ ὁ ὑφημιόλιος |
| αὐτὸν καὶ τὸν πα ἀριθμὸν , ὅς ἐστιν ὄγδοον τοῦ χμη . εἰς δὲ συμπλήρωσιν τοῦ ἡμιολίου ἀριθμοῦ τοῦ ψξη | ||
| γινομένοις μετρεῖται . τκδ τξδ τπδ υλβ υπϚ φιβ φοϚ χμη ψκθ ψξη ωξδ Ϡοβ ͵ακδ ͵αρνβ ͵ασϘϚ # ⌉ |
| δγ . καὶ ἐπεὶ ὁ δὶς ἐκ τῶν αδ , δβ μετὰ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν αδ , | ||
| δ κέντρου ἐπιζευχθεῖσαί εἰσιν εἰς αὐτὰς εὐθεῖαι αἱ δα , δβ , αἱ ἄρα ὑπὸ δαε , δβε ὀρθαί εἰσιν |
| τῶν τετραπλασίων α δ ιϚ σνϚ : μετρεῖται γὰρ ὁ σνϚ καὶ ὑπὸ ἑτέρων ἀριθμῶν , οὐ μὴν ὑπὸ πρώτων | ||
| ٣ ١٠ ٤١ ἡ Θ ١٦ τὸ ἀπὸ τῆς Θ σνϚ ἡ ΚΛ ٨ ٢٦ ٥٤ ἡ ΖΒ ١٠ ١٨ |
| β μο α . ↑ οὖν τοῦ δευτέρου , ἤτοι Ϟῶν β μο α , γίνεται δυ μία , τουτέστι | ||
| β : ἔσται Ϛ δʹ . Ὁ δὲ ἕτερος ταχθεὶς Ϟῶν ι ἔσται λ δʹ . Καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς |
| ἴσον καὶ μεμετρημένον ὀργυιᾷ . * περιβάλλεται : εἰκάζεται , μετρεῖται ἔχει εἰκάζεται * ὅσσον : πλάτος αἰγανέη δὲ τὸ | ||
| ἀπὸ τῆς πυγμῆς : ἐπεὶ μὴ ὥσπερ ὁ πῆχυς προτεταμένους μετρεῖται δακτύλους , οὕτω καὶ ὁ πυγὼν , ἀλλὰ συνεστρωμμένη |
| μέσα ἡσδηποτοῦν ἑξάδος ὡς ἐπὶ τῆς δευτέρας δεδήλωται ἀπαρτηθῇ ὁ τριακοστὸς ἀριθμός , οὐκέτι προσθήσομεν τὸν ιδʹ , ἀλλὰ πάλιν | ||
| . ἐπὶ τοίνυν τοῦ παρόντος δόξα αὐτῷ ἐστιν ὁ Ἀλκιμέδων τριακοστὸς νικητὴς ἀναδειχθείς . λέγεται γὰρ σὺν τούτῳ ἀλεῖψαι τριάκοντα |
| . ἰδοὺ γεγόνασιν ἐπιδιμερεῖς : ὁ γὰρ κε τοῦ ιε ἐπιδιμερής : ἔχει γὰρ αὐτὸν καὶ δύο αὐτοῦ μέρη : | ||
| πάλιν ὡς ἐν ἐπιμερέσι κατὰ τὴν οἰκειότητα τῆς δυάδος ὁ ἐπιδιμερής . εἰ δὲ οἱ πρῶτοι ἐν τριπλασίῳ λόγῳ , |
| ὥστε ἐπὶ τῶν ἀρτίων ἐκθέσεων κοινωνία τίς ἐστι τῶν τε ἀρτιοπερίττων καὶ τῶν ἀρτιάκις ἀρτίων , ὅτι κἀκεῖ τὸ ὑπὸ | ||
| μονάς , ἐπειδὴ αὕτη ἀρχὴ πάντων ἀρτίων καὶ περιττῶν καὶ ἀρτιοπερίττων , ὡς προείρηται , καὶ ἁπλοῦς ὁ ταύτης λόγος |
| ιζ ηων . Ὁ ἄρα τῶν τετραγώνων εἷς ἔσται σπθ ξδων ἀπὸ πλευρᾶς ιζ ηων , ὁ δὲ λοιπὸς ρ | ||
| ξδων ἀπὸ πλευρᾶς ιζ ηων , ὁ δὲ λοιπὸς ρ ξδων ἀπὸ πλευρᾶς ι ηων . Ἐπεὶ γὰρ τῶν κε |
| ποιείτω τὸν εζ , τὸν δὲ αὐτὸν αβ καὶ ὁ γβ πολλαπλασιάσας ποιείτω τὸν ζη . ἐπεὶ τοίνυν ὁ αγ | ||
| ἀπὸ δὲ τοῦ αγ ὁ εζ , ἀπὸ δὲ τοῦ γβ ὁ ηθ , ἐκ δὲ τῶν αγ , γβ |
| καὶ ὁ η καὶ ὁ ι καὶ πάντες οἱ εὐτάκτως ἄρτιοι . πρόλογος δὲ τοῦ μὲν β ὁ γ , | ||
| δὶς μέρος τὸν δὲ λβ δύναμιν : καὶ ἀμφότεροι ἀρτιάκις ἄρτιοι : καὶ πάλιν τὸν λβ ἐπὶ τὸν β πολλαπλασιάζεις |
| γὰρ πέντε κε . καὶ ὁ λ ἄρα τοῦ κε ἐπίπεμπτός ἐστιν , ὡς ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ | ||
| γὰρ πέντε κε . καὶ ὁ λ ἄρα τοῦ κε ἐπίπεμπτός ἐστιν , ὡς ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ |
| εἷς μο δ ἐφ ' ἑαυτοὺς πολλαπλασιασθέντες ποιοῦσι δύναμιν μίαν Ϟοὺς η μο ιϚ . Ἀφαιρουμένων οὖν τῶν δυνάμεων , | ||
| ἑτέρων ι μο . Καὶ τῆς δείξεως προβάσεως δεήσει τοὺς Ϟοὺς ιβ μο λϚ τριπλασίονας εἶναι μο Ϛ καὶ ἔτι |
| δὴ μεταξὺ τούτων τῶν τετραγώνων πείπτοντες ἀριθμοί εἰσιν προμήκεις : ἀνισάκις [ ] γὰρ ἄνισοι , ὡς οἱ ? μεταξὺ | ||
| ? [ ] οὖν ἀνισάκις ? ? ἄνισοι [ ] ἀνισάκις σφηνίσκοι [ καλοῦνται ] . , οἱ [ δέ |
| ὁ ἐπίτριτός ἐστιν . Ὁ δὲ διὰ πέντε , ὁ ἡμιόλιος . Ὁ δὲ διὰ πασῶν , ὁ διπλάσιος . | ||
| τὰ λοιπά . καὶ ἐγίνετο ἐκ μὲν τοῦ διπλασίου ὁ ἡμιόλιος , ἐκ δὲ τοῦ ἡμιολίου ὁ ἐπιμερής , καὶ |
| Ἰδοὺ Ῥόδος , ἰδοὺ καὶ πήδημα : ὅτι πᾶς λόγος πέριττος ἐστίν , ἂν μὴ πρόχειρος ἡ ἀπόδειξις τοῦ πράγματος | ||
| Ἰδοὺ Ῥόδος , ἰδοὺ καὶ πήδημα : ὅτι πᾶς λόγος πέριττος ἐστίν , ἂν μὴ πρόχειρος ἡ ἀπόδειξις τοῦ πράγματος |
| ' ὑποθετικοῦ συλλογισμοῦ χρεία . καὶ ἄλλως δὲ καθόλου πᾶς ὑποθετικός , ἐπ ' εὐθείας καὶ δι ' ἀδυνάτου , | ||
| εἶναι τὸ ἀδιαιρέτῳ εἶναι . ἔστιν οὖν τοιουτοτρόπως γινόμενος ὁ ὑποθετικός , ἐκ τριῶν συγκείμενος ὑποθέσεων , αἷς ἐπάγεται τὸ |
| αὐτοῦ τελάρχης . αἱ δὲ δύο μεραρχίαι φαλαγγαρχία , ἀνδρῶν ͵δϘϚ , λόχων σνϚ , καὶ ὁ τούτων ἀφηγούμενος φαλαγγάρχης | ||
| τεταγμένοι λοχαγοί , δῆλον , ὅτι τεταγμένοι μὲν καθέξουσι πήχεις ͵δϘϚ τοῦ μήκους , τοῦτ ' ἔστι στάδια δέκα καὶ |
| μερῶν τι σημαντικόν ἐστιν ὡς φάσις , πρὸς διάκρισιν τῶν συντεθέντων μερῶν καὶ κατὰ ἀπόφανσιν ἤδη λεγομένων , ὡς ἂν | ||
| ὅτι , ἐὰν ἀπὸ τοῦ συγκειμένου λόγου εἷς ὁποιοσοῦν τῶν συντεθέντων ἀφαιρεθῇ , ἑνὸς τῶν ἄκρων ἀφανισθέντος ὁ λοιπὸς τῶν |
| λδʹ ͵ηψμη Ϡοβ . λεʹ ͵θσιϚ υξη . λϚʹ ατξη ͵αρνβ . τὸ πᾶν τετράκις διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε | ||
| ' αὐτοῦ τῷ ρμδ ἀριθμῷ , ὅς ἐστιν ὄγδοον τοῦ ͵αρνβ . πάλιν τοίνυν ἀπὸ τοῦ ͵αρνβ ἀνίεμεν τόνον καὶ |
| πλευρᾶς σκη τριακοσιοστοεξηκοστοπρώτων . Ὁμοίως καὶ ↑ τῶν ἑκατὸν Ϙβ τριακοσιοστοεξηκοστοπρώτων ἀναλυθέντων καὶ αὐτῶν εἰς ἑξακισμύρια ἐννακισχίλια τριακόσια ιβ τρισκαιδεκακισμυριοστοτριακοσιοστοεικοστόπρωτα | ||
| Ἔσται ὁ μὲν πρῶτος , ἐπεὶ ιβ δυ , ρϘβ τριακοσιοστοεξηκοστοπρώτων , ὁ δὲ δεύτερος , ἐπεὶ δυνάμεων ἑπτά , |
| χάριν τοῦ σαφοῦς τὸ περιγραφὲν τετράγωνον ὀκτάπουν , ὁ δὲ περιεχόμενος ὑπ ' αὐτοῦ κύκλος ἑξάπους , τὸ δὲ ἐγγεγραμμένον | ||
| γε καὶ ὅστις ἂν ἐν κοίλῳ χωρίῳ πανταχόθεν ὄρεσιν ὑψηλοῖς περιεχόμενος μηδεμίαν αὖραν δέχηται . Ἀραιοῦν εἰώθασιν αἱ πυρίαι τὸ |
| , πενταπλάσιος δὲ ὁ τῶν ἄκρων . κἂν τετραπλάσιος , ἐπιτριμερὴς τετάρτων , ἑπταπλάσιος δὲ ὁ τῶν ἄκρων καὶ ἑξῆς | ||
| μετὰ δὲ τοῦτον ὁ τρία πρὸς τῷ ὅλῳ ἔχων κληθήσεται ἐπιτριμερὴς εἰδικῶς , καὶ μετὰ τοῦτον ἐπιτετραμερής , εἶτα ἐπιπενταμερής |
| , ἀλλ ' ἰσοκρατῶς ἀμφότεροι πλευρικοί εἰσιν ἀριθμοὶ τοῦ Ϛʹ ἑτερομήκους ἐκ τοῦ δὶς τρία ἢ ἐκ τοῦ τρὶς βʹ | ||
| ἐπὶ τοῦ τετραγώνου καὶ τοῦ ῥόμβου , ἐπὶ δὲ τοῦ ἑτερομήκους καὶ τοῦ ῥομβοειδοῦς τὰ χωρία μόνον . καὶ ὅλως |
| ἰδέα οὐδέποτε ἥξει . Οὐ δῆτα . Ἄμοιρα δὴ τοῦ ἀρτίου τὰ τρία . Ἄμοιρα . Ἀνάρτιος ἄρα ἡ τριάς | ||
| τοιούτοις . ἔοικε γὰρ ὁ γεωμέτρης πάντα ἀριθμὸν τὸν ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενον κατὰ ἄρτιον ἀριθμὸν ἀρτιάκις ἄρτιον ὀνομάζειν , |
| δοθείς : ἔστιν δὲ ὁ ΑΒ Μο α , καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΒΓ ἔστιν δοθείς : δοθὲν ἄρα καὶ | ||
| , ὧν ὁ ΑΗ τοῦ ΔΕ ἐστι διπλασίων , καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΗΓ λοιποῦ τοῦ ΕΓ ἐστι διπλασίων : |
| στερεῶν σωμάτων λόγοι δῆλοι , ἐπεὶ καὶ ὁ τοῦ αʹ κύβος τοῦ αὐτοῦ ἐστιν αʹ , ὁ δ ' ἀπὸ | ||
| οἱ ἕνα διαλείποντες πάντες , ὁ δὲ τέταρτος ὁ Γ κύβος καὶ οἱ δύο διαλείποντες πάντες , ὁ δὲ ἕβδομος |
| ἐν τῷ ἀπὸ τῆς μονάδος ἀριθμῷ εὐτάκτῳ τῶν ἐφεξῆς πάντων τριπλάσιοί εἰσι προχωροῦντες , ἐφ ' ὅσον βούλεταί τις παρακολουθεῖν | ||
| τὸ βάθος καὶ τὴν ὑποτείνουσαν . ἐκ μὲν γὰρ διπλασίων τριπλάσιοί τε καὶ ἡμιόλιοι φύσονται , ἐκ δὲ τριπλασίων τετραπλάσιοί |
| καὶ ἐφεξῆς ὁμοίως . ἀπὸ δὲ δυάδος τῶν ἐφεξῆς πάντων ἀρτίων . εἰ δὲ θέλεις εὑρεῖν πάντας τοὺς διπλασιεφημιολίους , | ||
| δύναμιν ἀρχῆς . Ὥστε ἐν τῷ διαιρεῖσθαι δίχα πολλοὶ τῶν ἀρτίων εἰς περισσοὺς τὴν ἀνάλυσιν λαμβάνουσιν , ὡς ὁ τεσσαρεσκαίδεκα |
| ἐπινοεῖται , κατὰ παλινωδίαν ἐπ ' αὐτόν πως ἀνακυκλεῖται : ἑκατοντὰς γὰρ δέκα δεκάδες καὶ χιλιὰς δέκα ἑκατοντάδες καὶ μυριὰς | ||
| ὅτι δευτέρα τῇ τάξει τῆς μονάδος . ὡσαύτως καὶ ἡ ἑκατοντὰς μονὰς καλεῖται ὅτι καὶ αὕτη τοσαῦτα δύναται ἕως χιλιάδος |
| ἐπειδὴ ἐν τῷ λόγῳ τῶν καλῶν τι ἡμῖν ἡ σωφροσύνη ὑπετέθη , καλὰ δὲ οὐχ ἧττον τὰ ταχέα τῶν ἡσυχίων | ||
| τε μετρηθῆναι . ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα . , ] ὑπετέθη γὰρ ἐξ ἀρχῆς ἐλάττων ὁ Δ . καὶ εἰλήφθωσαν |
| ἐλλείπει διαστολὴν μίαν ἢ καὶ δύο ἢ καὶ πλείους . σκθʹ . Παρεμπίπτων σφυγμός ἐστιν ὅταν μεταξὺ δυοῖν πληγῶν κατὰ | ||
| . ὁμοίως ἐπεὶ τρίτης συζυγίας ἐστὶ τὰ τνʹ , ἀφέλω σκθʹ , λείπω ρκαʹ καὶ ἴσχω τὸν τέταρτον . ὁμοῦ |
| γιγνόμενος ποιεῖ τὸν ἡμιόλιον λόγον , ἐξ ὧν ἀμφοτέρων ὁ διπλάσιος σύγκειται λόγος , τοῦ δʹ φμηὶ πρὸς τὸν βʹ | ||
| τῆς Α τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον ἤτοι διπλάσιος ἤτοι δὶς δίς , ὅπερ ἐδήλωσεν εἰπών : τὰ |
| ὑποδιαίρεσιν ἂν πειραθείης συγχωρήσας ἀνελεῖν , εἶτα ἀνελὼν ἐπενέγκοις , πολλαπλασιάσεις τὸν λόγον δριμέως λέγων οὕτως εἰ μὲν τόδε ἐποίησας | ||
| σμγ . Ὡσαύτως καὶ εἴτε τὸν κύβον ἐφ ' ἑαυτὸν πολλαπλασιάσεις , εἴτε τὴν πλευρὰν αὐτοῦ ἐπὶ τὸν δυναμόκυβον , |
| ἡ ΕΚ ἄρα τεταρτημορίου ἐστίν : ἰσημερινὸς ἄρα ἐστὶν ὁ ΗΖΘ . καὶ ἐπεὶ αἱ ΕΚ , ΚΛ ἴσον ἀπέχουσι | ||
| ὑπὸ ΚΖΔ ἴση τῇ ὑπὸ ΗΖΘ : καὶ ἡ ὑπὸ ΗΖΘ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ . ἴση ἄρα |
| καὶ διλοχίτης ὁ τούτου ἡγούμενος : οἱ δὲ τέσσαρες λόχοι τετραρχία , καὶ ὁ τούτου ἡγούμενος τετράρχης τεσσάρων καὶ ἑξήκοντα | ||
| διλοχία καὶ πόσων ἀνδρῶν καὶ τίς ὁ διλοχίτης . Τί τετραρχία καὶ τίς ὁ τετράρχης καὶ ὁπόσων ἀνδρῶν . Τί |
| ὅτι ὁ τριάκοντα ἀριθμὸς φυσικώτατός ἐστιν , ὃ γὰρ ἐν μονάσι τριάς , τοῦτο ἐν δεκάσι τριακοντάς . . . | ||
| λείψει ἀριθμοῦ ἐνός , ἰστέον ὅτι ἐπεὶ ταῖς μὲν κ μονάσι πρόσεστι καὶ ἀριθμὸς εἷς , ἀπὸ δὲ τῶν ρ |
| ἐν ἐπιφανεστάτῳ δὲ τῆς πόλεως τὸ Αἰάκειον καλούμενον , περίβολος τετράγωνος λευκοῦ λίθου . ἐπειργασμένοι δέ εἰσι κατὰ τὴν ἔσοδον | ||
| μήκει συμμέτρων εὐθειῶν τετράγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετρά - γωνον ἀριθμόν : καὶ τὰ |
| διὰ τί γίνεται . Τί ἐστιν ἀναστροφή . Τίς ἐστι περισπασμὸς καὶ τί ἐκπερισπασμός . Τί ἐστι στοιχεῖν . Τί | ||
| σύνταγμα τόπον πεπυκνωμένον πρὸ τοῦ γενέσθαι αὐτοῦ τὴν ἐπιστροφήν . περισπασμὸς δέ ἐστιν ἡ ἐκ δυεῖν ἐπιστροφῶν τοῦ τάγματος κίνησις |
| ἐκκειμένων τῶν εὐτάκτων ἐπιμορίων γεννῶνται διὰ τῶν αὐτῶν προσταγμάτων οἱ πολλαπλασιεπιμόριοι : διπλασιεφήμισυς μὲν ἐκ τοῦ πρώτου ἡμιολίου , διπλασιεπίτριτος | ||
| ' ἐπιτριμερὴς καὶ ἐπιτετραμερὴς καὶ ἑξῆς ἀκολούθως : αἱ δὲ πολλαπλασιεπιμόριοι ἀντιπεπονθότως δὶς μὲν τὸ μέτρον προσβάλλουσι πληρούντως , ἓν |
| πρῶτος λόγος τρίτων , ἐπιτριμερὴς δὲ ὁ δεύτερος τετάρτων καὶ ἐπιτετραμερὴς ὁ τρίτος πέμπτων καὶ ἑξῆς ὁμοίως . Αἱ δὲ | ||
| : ἐπιδιμερὴς γὰρ ἡ πρώτη , εἶτ ' ἐπιτριμερὴς καὶ ἐπιτετραμερὴς καὶ ἑξῆς ἀκολούθως : αἱ δὲ πολλαπλασιεπιμόριοι ἀντιπεπονθότως δὶς |
| ναῦν ἐπαγαγεῖν ἢ [ Ποσειδῶνος ] δεξιὰ ἀνέμοις ἁμιλλᾶσθαι ; πάρισος τίς εἷς τοσούτῳ πληρώματι ; συναπάξει σε ἡ ναῦς | ||
| ποταμὸς διέξεισι τὸ πεδίον Θερμώδων καλούμενος : ἄλλος δὲ τούτῳ πάρισος ῥέων ἐκ τῆς καλουμένης Φαναροίας τὸ αὐτὸ διέξεισι πεδίον |
| ιδ πρὸς τὸν δ καὶ ἁπλῶς οἱ καθ ' ἑβδομάδα προχωροῦντες πρὸς τοὺς ἀπὸ δυάδος εὐτάκτους ἀρτίους . εἶτα πάλιν | ||
| καὶ ἀπὸ ἑξαγώνου καὶ ἑπταγώνου βάσεως καὶ ἐπὶ πλεῖον ἀεὶ προχωροῦντες πυραμίδας συστησόμεθα τοὺς ἀναλογοῦντας ἑκάστῃ πολυγώνους ἐπισωρεύοντες ἀλλήλοις ἀπὸ |
| τὰ ἑξῆς . . . . : καὶ περιέχει ὁ δωδέκατος λόγος περί τε Ἀκώριος τοῦ Αἰγυπτίων βασιλέως ὡς πρός | ||
| : οἵ τε λοιποὶ δύο ὅ τε ἕκτος καὶ ὁ δωδέκατος κάκιστοι . Πρὸς τὸν Ἄρεα τρίγωνος ὢν ὁ Κρόνος |
| ΒΓ τοῦ ΔΖ ἡμιόλιος , ὁ δὲ ΔΖ τοῦ Θ ἐπίτριτος : φημὶ τὸν ΒΓ τοῦ Θ διπλάσιον εἶναι . | ||
| τὸ τρίτον αὐτοῦ , ἤγουν τὸ Γ . Ὁ Η ἐπίτριτος τοῦ Ϛʹ . Περιέχει γὰρ ὅλον τὸν Ϛʹ , |
| ὁμοίου . ὁ πέμπτος ὅμοιος τῷ γʹ . ὁ Ϛʹ ἀναπαιστικὸς δίμετρος βραχυκατάληκτος . ὁ ζʹ ἀσυνάρτητος ἐξ ἀναπαιστικῆς βάσεως | ||
| ποιητοῦ δὲ ὁ λόγος . κορωνίς : ὁ δὲ στίχος ἀναπαιστικὸς τετράμετρος καταληκτικός . κεκώλισται ἐκ τῶν Ἡλιοδώρου , παραγέγραπται |
| τὰ δὲ παʹ τρὶς σμγʹ : ηʹ θʹ ξδʹ οβʹ παʹ ρϞβʹ σιϚʹ σμγʹ : εἶτα προστίθεμεν τοῖς σμγʹ ἀπὸ | ||
| θʹ , κατὰ δὲ ἐμβαδομετρίαν ὡς ὁ κεʹ πρὸς τὸν παʹ , κατὰ δὲ στερεομετρίαν ὡς ὁ ρκεʹ πρὸς τὸν |
| ἐνίοις οὐ ψωριῶσι , καθάπερ οὐδὲ περὶ τὴν Αἰνείαν . Ἁλίσκεται δὲ συκῆ μάλιστα καὶ σφακελισμῷ καὶ κράδῳ . καλεῖται | ||
| τῷ Περὶ παθῶν , . , . . . . Ἁλίσκεται : καταλαμβάνεται , κρατεῖται . εἴρηται εἰς τὸ Ἁλῶ |
| οἰκεῖα πληρώματα ὁ νοῦς , ἐξ ὧν ὁ σύμπας ὁμοῦ συμπληροῦται , ἐπιδεὴς ἂν εἴη αὐτὸς ἑαυτοῦ , οὐ μόνον | ||
| περιττοῦ φύσιν ἔχουσι : μὴν δὲ καθ ' ἑβδομάδας τέσσαρας συμπληροῦται , τῇ μὲν πρώτῃ ἑβδομάδι διχοτόμου τῆς σελήνης ὁρωμένης |
| , καί εἰσι πάλιν ἀρτιάκις ἄρτιοι . γένεσις δὲ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου . περὶ τῆς γενέσεως τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου λέγει | ||
| ἓξ ἀριθμὸν ἔλεγον κρίσιν , ὃς καὶ ἔστιν ἀρτιοπέριττος . ἀρτιάκις γὰρ ἄρτιός ἐστιν ἀριθμὸς ὁ ἀναλυόμενος μέχρι μονάδος αὐτῆς |
| # , ἡ δὲ χειμερινὴ ση γʹ . ιθʹ . ἐννεακαιδέκατός ἐστιν παράλληλος , καθ ' ὃν ἂν γένοιτο ἡ | ||
| κλιμακτῆρες κάκιστοι ἐν ἔτεσι τοῦ βίου ἕβδομος , ὁ δωδέκατος ἐννεακαιδέκατός τε ὁ πρῶτός τε καὶ εἰκοστὸς , τούτων δὲ |
| τόσσα βροτῶν ἔχει ἔργα δαέντων . τρεῖς μέν οἱ πολίων ἑκατοντάδες ἐνδέδμηνται , τρεῖς δ ' ἄρα χιλιάδες τρισσαῖς ἐπὶ | ||
| συνάπαντες ἐόντες ἀριθμὸν τρεῖς τε μυριάδες καὶ ὀκτὼ χιλιάδες καὶ ἑκατοντάδες ἑπτά : ὁπλῖται μὲν οἱ πάντες συλλεγέντες ἐπὶ τὸν |
| ἀπὸ τῶν αγ , γδ . Ἐὰν ἄρα ἄρτιος ἀριθμὸς διαιρεθῇ δίχα , ἔτι δὲ διαιρεθῇ καὶ εἰς ἀνίσους ἀριθμούς | ||
| γβ τετραγώνῳ . Ἐὰν ἄρα ἄρτιος ἀριθμὸς διαιρεθῇ δίχα , διαιρεθῇ δὲ καὶ εἰς ἀνίσους ἀριθμούς , ὁ ἐκ τῶν |
| φοϚα . Πάλιν τὰ α̈ ͵εωοϚ τοιαῦτα μόρια προσλαβόντα τὰ τκδ φοϚʹ ἀναλυθέντα καὶ ταῦτα εἰς τοιαῦτα μόρια καὶ γεγονότα | ||
| δύναται μετρῆσαι , τοῖς οὖν ἐν αὐτῷ γινομένοις μετρεῖται . τκδ τξδ τπδ υλβ υπϚ φιβ φοϚ χμη ψκθ ψξη |
| καὶ δʹ διαστήματος : ὑπερέχει γὰρ αὐτοῦ τπδ . ιϚʹ ͵αψκη ρϘβ : ἁμιόλιος τοῦ ͵αρνβ , ὃς ἦν μέσος | ||
| κδʹ καὶ ἁρμονικὸς τῶν τελευταίων διαστημάτων : ὑπερέχει δὲ αὐτοῦ ͵αψκη . ὁ δ ' αὐτὸς κατ ' ἀριθμητικὰν μέσος |
| τὸ ἀντικείμενον τῷ ἡγουμένῳ , τότε ὁ τοιοῦτος γίνεται δεύτερος ἀναπόδεικτος , ὡς τὸ ” εἰ ἡμέρα ἔστι , φῶς | ||
| ἐστιν : περὶ γὰρ τούτων οὔτ ' ἀποδεικτικὸς οὔτ ' ἀναπόδεικτος ὑπ ' οὐδενὸς πώποτ ' εἴρηται λόγος . οὔσης |
| α # Μο β : ὅθεν ὁ ʂ γίνεται μονάδος δγ / . τὰ λοιπὰ δῆλα . κδ . Εὑρεῖν | ||
| , ὅτι ἡ δγ μείζων ἐστὶ τῆς εα τῇ τε δγ καὶ τῇ γζ . εἰ τοίνυν δεήσει τῶν ἄκρων |
| , ἀπό τε τοῦ μείζονος ἄκρου ὅτι πλεονάκις ἢ ἅπαξ διχοτομεῖται προστρέχει τῷ μέχρι μονάδος αὐτῷ , ἀφιστάμενος τοῦ ἅπαξ | ||
| ὡς δῆλον τυγχάνειν , ὅτι καὶ τὰ τμήματα τοῦ ζῳδιακοῦ διχοτομεῖται ὑπὸ τοῦ ὁρίζοντος ἐκ τοῦ τὰ αὐτὰ ἡμικύκλια ὅλα |
| ' αὖτ ' ἴθυνεν ὅθι ζωστῆρος ὀχῆες χρύσειοι σύνεχον καὶ διπλόος ἤντετο θώρηξ . ἐν δ ' ἔπεσε ζωστῆρι ἀρηρότι | ||
| Ἀχιλλεὺς νῶτα παραΐσσοντος , ὅθι ζωστῆρος ὀχῆες χρύσειοι σύνεχον καὶ διπλόος ἤντετο θώρηξ : ἀντικρὺ δὲ διέσχε παρ ' ὀμφαλὸν |
| κέκληνται . καὶ ὁ μὲν ἔχων τὸν αʹ ὡροσκοποῦντα ἔσται πρωτότοκος ἢ πρωτότροφος , φρόνιμος , βαθύς , πεπαιδευμένος , | ||
| αὐτοὺς ⌈ ἀπὸ τοῦ τείχους ⌉ ὁ υἱὸς Φαραὼ ὁ πρωτότοκος . Καὶ ἰδὼν τὴν Ἀσενὲθ ἐμμανὴς ἐγένετο ἐπ ' |
| νζʹ Κρόνῳ δίδωσιν , εἶτα Ἑρμῇ οϚʹ , εἶτα Ἀφροδίτῃ πβʹ , εἶτα Διὶ οθʹ , εἶτα Ἄρεϊ ξεʹ , | ||
| Συρακουσίων ἐπικρατησάντων τοὺς αὐτὴν ἔχοντας κατέστραπτο : εἶτα ἐν τῇ πβʹ Ὀλυμπιάδι , μεταξὺ τοῦ χρόνου , καθ ' ἣν |
| δύο καμπτῆρες ὅ τε γʹ καὶ ὁ δʹ , ιβʹ τετράκι γʹ ἀποτελεῖται . καὶ μὴν ἐκ τοῦ αʹ βʹ | ||
| τέσσαρές εἰσιν πλευραί , ὧν ἑκάστη - ἐστὶν πέντε , τετράκι τὰ πέντε εἴκοσι . καὶ λοιπὸν ἀεὶ προιόντι τὸ |
| ἢ τῆς αἰθομένης . τὴν ἀκρόπολιν . κατὰ κοινοῦ τὸ προὔδωκας : τέρμονά τε : τέρμονα νῦν λέγει τὴν τοῦ | ||
| - δὲν ἠδικηκέναι τὴν Ἀττικήν ; πόλεις ἢ τεῖχος οὐ προὔδωκας ; ὅρα πόσας ἂν εἰλήφαμεν χώρας , στρατηγοῦντος Ἀλκιβιάδου |
| κεʹ . Τέλειός ἐστιν ἰατρὸς ὁ ἐν θεωρίᾳ καὶ πράξει ἀπηρτισμένος . κστʹ . Ἄριστος ἰατρός ἐστιν ὁ πάντα πράττων | ||
| ὀργάνων , . , . * ? Ἀπήορος : ὁ ἀπηρτισμένος καὶ διεστώς : παρὰ τὸ ἀείρω ἀπάορος καὶ ἀπήορος |
| : πεντάκις γὰρ εʹ κεʹ , πεντάκις κεʹ ρκεʹ , ἑξάκις Ϛʹ λϚʹ , καὶ ἑξάκις λϚʹ σιϚʹ . τῶν | ||
| τῆς ΕΖ τετράγωνον μονάδων οὔσης ἓξ γίνεται μονάδων λϚ : ἑξάκις γὰρ τὰ Ϛ λϚ . ἔστι δὲ καὶ τὸ |
| τὸν γ καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ . ὡσαύτως ἐστὶ καὶ ἐπιτέταρτος καὶ ἐπίπεμπτος , καὶ ἐπ ' ἄπειρον οὕτως . | ||
| ἡμιόλιος , τρίτος δὲ τρίτου ἐπίτριτος , τέταρτος δὲ τετάρτου ἐπιτέταρτος , εἶτα ἐπίπεμπτος καὶ ἔφεκτος καὶ τοῦτο ἐπ ' |
| εἰ δὲ βούλει προσοδιακὸν δίμετρον καταληκτικὸν ἐκ χοριάμβου καὶ Ἰωνικοῦ καταληκτικοῦ . Τὸ θʹ προσοδιακὸν τρίμετρον ἀκατάληκτον : ὁ αʹ | ||
| τοῦ βʹ χοριάμβου , τοῦ γʹ Ἰωνικοῦ ἀπ ' ἐλάσσονος καταληκτικοῦ . τοῦτο καὶ ἀναπαιστικόν ἐστι δίμετρον ἀκατάληκτον , σπονδείου |
| μο οβ . Οἱ τρεῖς τρίς , θ , καὶ ἐννάκις ἐννέα , πα . . Ηὕρηνται ἄρα οἱ β | ||
| τοῦ τρὶς τρεῖς γίνεται θ τετράγωνος , καὶ ἐκ τοῦ ἐννάκις ἐννέα τοῦ μείζονος καὶ τριπλασίου ὁ τετράγωνος γίνεται μο |
| . , ὁ τροχαῖος τροχαλὸν ποιεῖ τὸν λόγον , διὸ τροχαῖος καλεῖται ὁ τῶν τρεχόντων ῥυθμός , ὥς φησιν Λογγῖνος | ||
| ποὺς ἁπλοῦς . τὸ βʹ προσοδιακὸν τρίμετρον ἀκατάληκτον : αʹ τροχαῖος τοῦ αʹ ποδὸς λελυμένου : εἶτα ἰωνικὸς ἀπὸ μείζονος |
| δύναμιν , ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον , κύβον , ἐπὶ δὲ κυβόκυβον , δυναμοδύναμιν . Κυβοστὸν δὲ ἐπὶ μὲν ἀριθμόν , | ||
| κύβον , ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον , δυναμοδύναμιν , ἐπὶ δὲ κυβόκυβον , δυναμόκυβον . Δυναμοστὸν δὲ ἐπὶ μὲν ἀριθμόν , |
| οὐκ ἄν προύβη τὰ τῆς ἀποδείξεως . Ὁ γὰρ ἀπὸ Ϟοῦ α ↑ μονάδων τριῶν τετράγωνος γίνεται δυ μία μο | ||
| , ὥστε οὐ προβήσεται ἡ ἀπόδειξις . Ἐὰν δὲ ἀπὸ Ϟοῦ ἑνὸς ↑ μο δ πλασθῇ ὁ τετράγωνος , ἡ |
| . Τίς ὁ χιλίαρχος . Τίς ἡ μεραρχία καὶ ὁ μεράρχης , τί τέλος καὶ τίς τελάρχης . Τίς ἡ | ||
| , εἰς μέσον ἀριστερόν , οὗ ἄρχει ὁ μέσος ἀριστερὸς μεράρχης ἤτοι στρατηλάτης , εἰς μέσον δεξιόν , οὗ ἄρχει |
| ' ὧν τὰ Β στερεὸς ἴσος ἐστὶν τῷ διὰ τῶν ἑκατοντάδων στερεῷ ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν πυθμένων στερεόν , τουτέστιν | ||
| καὶ τεσσαράκοντα γίνονται ἑκατόν , ὁμοίως δὲ καὶ χιλιάδα ἐξ ἑκατοντάδων καὶ μυριάδα ἐκ χιλιάδων , μονὰς δὲ καὶ δεκὰς |