| τριγώνου . ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΓ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ ἴση : καί εἰσιν ὑπὸ τὴν βάσιν . Τῶν | ||
| διὰ τῶν Γ Ζ [ ἐρχέσθω , καὶ ἔστω τὰ ΗΓΒ ΕΖΘ ] : ἤτοι δὴ ἐφάπτονται αἱ ΑΓ ΔΖ |
| . ὥστε καὶ γωνίαι ἡ ὑπὸ ΑΔΒ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΚΘ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΝΜ ἴσαι εἰσί . καὶ ἐπεὶ | ||
| τὴν ΔΗΘ καὶ ἀγάγωμεν τῇ ΕΖ πρὸς ὀρθὰς γωνίας τὴν ΑΚΘ , ἴσαι μὲν γίνονται ἥ τε ὑπὸ ΚΑΗ γωνία |
| καὶ παράλληλοί εἰσιν διὰ τὸ λγʹ τοῦ αʹ . τὸ ΚΒΟΣ ἄρα τετράπλευρον . , . ] τετράπλευρόν ἐστιν , | ||
| κύκλος . Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ ΚΒΟΣ τετραπλεύρου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΑΨ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ |
| ἐν τῇ νυκτὶ περιφέρεια ἡ εκʹ , καὶ τῇ εκʹ ἴση ἀπειλήφθω ἡ δλʹ , καὶ κοινὴ ἡ λεʹ : | ||
| . μείζων ἄρα ἡ ΓΔ τῆς ΑΒ φαίνεται . Τὰ ἴση μεγέθη καὶ παράλληλα ἄνισον διεστηκότα ἀπὸ τοῦ ὄμματος οὐκ |
| ὅτι δὲ ταῦτα οὐ μοναχῶς ἀλλ ' ὀλίγου δέω λέγειν ἀπειραχῶς ἐν τοῖς οὖσιν ἔστι , πάλαι καὶ πρόπαλαι θεολόγων | ||
| ΗΛ , τουτέστιν συναμφοτέρῳ τῇ ΕΒΓ ἴση , καὶ γίνεται ἀπειραχῶς . κϚʹ . Ἔστω δὴ νῦν ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ |
| μετὰ τοῦ ἀπὸ ΣΚ . ᾧ ἄρα διαφέρει τὸ ἀπὸ ΣΚ τοῦ ἀπὸ ΚΡ , τούτῳ διαφέρει τὸ ὑπὸ ΜΡΝ | ||
| ἑκατέρας τῶν ΣΚ , ΚΨ , μείζων ἄρα καὶ ἡ ΣΚ τῆς ΚΨ . ἀλλ ' ἡ μὲν ΣΚ τῇ |
| ἔσται ἅπαντα κατὰ τὰ αὐτά . Κείσθωσαν τῇ ΕΗ περιφερείᾳ ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΗΘ , ΘΚ , ΚΛ , ἡ | ||
| , ΗΘ , ΘΚ ἐπὶ τῆς τοῦ λοξοῦ κύκλου περιφερείας ἴσαι ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων |
| δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΝΕ περιφέρεια τῆς ΕΖ , τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΝΘΕ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΘΖ | ||
| ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΒ περιφέρεια τῆς ΒΓ περιφερείας , τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ὁ ΗΒΛ τομεὺς τοῦ ΗΒΓ τομέως . |
| οὔτε ἐφάψεται οὔτε τεμεῖ τὸ ΖΘΗ τμῆμα , ἀλλ ' ὑπερπεσεῖται . ὑπερπιπτέτω οὖν , εἰ δύνατον , καὶ ἔστω | ||
| διὰ τοῦ Κ ἐλεύσεται [ ὁ ΕΗΘ κύκλος ] ἢ ὑπερπεσεῖται τὸ Κ ὡς ἐπὶ τὰ Β μέρη : οὐδὲν |
| ἐκείνῳ ὑπεράνω ὄντι ἀφώτιστος ἂν εἴη τῷ ἑτέρῳ ἡμισφαιρίῳ , λείπουσα δὲ ἡμῖν ἐκείνῳ πλησίφως : ὥστε τὰ ἐναντία ποιεῖν | ||
| τῆς ΜΛ . τῆς ἄρα ὑπὸ ΜΚΛ γωνίας δοθείσης ἡ λείπουσα εἰς τὰς δύο ὀρθὰς ἡ κλίσις ἔσται τῶν ἐπιπέδων |
| : καὶ τῆς ὑπὸ ΓΗΑ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΔΘ γωνία : ὥστε μεῖζόν ἐστιν τὸ ὑπὸ ΔΒΓ τοῦ | ||
| κοιναὶ τομαὶ ἡ ΑΒ καὶ ἡ ΗΖ , τοῦ δὲ ΑΔΘ κύκλου καὶ τοῦ ΑΗΒΖ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΘ , |
| ΑΕ : ἀκολούθως δὲ αὐταῖς καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΔ καὶ ΒΑΕ γωνίαι . τῆς δὲ τοῦ ζῳδιακοῦ θέσεως ἐγκεκλιμένης , | ||
| ἡ ΔΕ , ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ . ἀλλ ' ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ ἐν τῷ |
| μέσην πάροδον τοῦ ἡλίου κατὰ μιᾶς καὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας συμπίπτουσιν ἀμφό - τεραι , ἐπὶ δὲ τῶν ἄλλων πασῶν | ||
| . προσήκει μέντοι μηδὲ τοῦτ ' ἀγνοεῖν , ὅτι καιροὶ συμπίπτουσιν ἀβούλητοι πολλάκις , ἐν οἷς ἀνδροφονεῖ τις οὐκ ἐπὶ |
| νοήσωμεν μεσημβρινὸν κύκλον τὸν ΑΒΓΔ καὶ ζῳδιακοῦ μὲν ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΖΓ , ὁρίζοντος δὲ τὸ ΒΕΔ περὶ πόλον τὸ Η | ||
| διαστήματι δὲ ὁποτερῳοῦν τῶν ΒΑ , ΒΓ γεγράφθω κύκλος ὁ ΑΕΖΓ , καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΑΒΕ , ΑΔΖ , ΑΗΘ |
| γραφεῖσα ἡ ΖΗΘ τεμνέτω τὴν ΘΚΛ κατὰ τὸ Θ καὶ ἐπιζευχθείσῃ τῇ ΔΘ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΛ . δῆλον δ | ||
| ] . καὶ ἔσται παράλληλος ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΕΖ ἐπιζευχθείσῃ , ἡ δὲ ΕΖ τῇ ΚΘ , ἡ δὲ |
| Η , διαστήματι δὲ τῷ ΗΒ , κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΚΘ : παράλληλος ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΔΕ κύκλος τῷ ΒΚΘ | ||
| τῇ ΖΞ , ὅμοιόν ἐστι τὸ μὲν ΛΚΕ τρίγωνον τῷ ΒΚΘ , τὸ δὲ ΒΚΘ τῷ ΒΔΖ , καὶ ἔτι |
| τρίγωνον ὀρθογώνιον ὄν : ὥστε καὶ ἡ τοῦ κώνου κορυφὴ ὀρθογώνιός ἐστιν . εἰ δὲ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆς | ||
| κύκλος , ἀλλὰ τεταρτημορίου σφαίρας ἐστὶν ἐπιφάνεια , εἴπερ γε ὀρθογώνιός ἐστιν ὁ τῆς ὄψεως κῶνος ὡς ἐδείξαμεν . ἐπιβάλλομεν |
| , πρὶν παθεῖν , διδαχθῆναι , πηλίκον ἐστὶν ἡσυχία . Ϛγʹ . Νουμηνίῳ . Οὐ θρηνητέον οἵων φίλων ἐστερήθημεν , | ||
| γʹʹ , τῶν αὐτῶν ἔσται καὶ ἡ μὲν ΒΖ ὑποτείνουσα Ϛγʹ δεκάτου , ἡ δὲ ὑπὸ ΒΖΕ γωνία τοιούτων ρνʹ |
| ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Η Μ Κ : τοῦτο γὰρ προδέδεικται . ιγʹ . Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν αἱ ΑΒ | ||
| ΕΑ , ἐλαχίστη δὲ ἡ ΑΖ : ταῦτα γὰρ ἅπαντα προδέδεικται . ἡ ΕΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΖ μείζονα λόγον |
| ἀλλήλοις , καί ἐστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῷ πλήθει , ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ὁ ΛΚ ἄξων τοῦ ΕΚ ἄξονος , | ||
| γωνία τῆς ὑπὸ ΒΗΓ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΝΕ περιφέρεια τῆς ΕΖ , τοσαυταπλασίων ἐστὶ |
| . ἐπεὶ γὰρ αἱ ΑΓ , ΒΔ ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν παράλληλοί εἰσι , διάμετρος μὲν ἡ ΑΒ , τεταγμένως δὲ | ||
| κατὰ πᾶσαν θέσιν ἀσύμπτωτοί εἰσιν ἀλλήλαις καὶ οὐ διὰ τοῦτο παράλληλοί εἰσιν . ἓν οὖν ἔστω τὸ ἐπίπεδον , καὶ |
| ἔψαλλε . . , : Βλίτυρι καὶ σκινδαψός : ταῦτα παραπληρώματα λόγων , εἰσὶ δὲ καὶ παροιμιώδη . Ἰόβας δὲ | ||
| ΡΖ . ἀλλὰ τὸ ΜΠ τῷ ΠΛ ἐστιν ἴσον : παραπληρώματα γὰρ τοῦ ΜΛ παραλληλογράμμου : καὶ τὸ ΑΗ ἄρα |
| λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΔΛ τῆς ὑπὸ τῶν ΖΔΘ . προγράφεται δὲ τάδε . ληʹ . Ἔστω κύκλος | ||
| ΖΔΘ : ἡ ἄρα ὑπὸ ΚΔΛ μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ ΖΔΘ . μαʹ . Ἐὰν ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος προσπίπτουσα |
| που τοιόνδε : ποικίλαι κατὰ τοῦ νώτου παντὸς αὐτοῦ διήκουσι γραμμαί : ἔπειτα ἐὰν προσάψηται ἀνθρώπου σώματι , φρίκην τε | ||
| καὶ αἱ στιγμαί , δηλονότι καὶ αἱ ἐπιφάνειαι καὶ αἱ γραμμαί , οὐσίαι ὑπάρχουσιν ἢ οὐχ ὑπάρχουσιν : εἰ γὰρ |
| , ΒΕΓ τρίγωνα . ἔστιν ἄρα , ὡς τὸ ἀπὸ ΤΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΟ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΕ | ||
| διελθὸν ἐπὶ τὸ Ξ παραγίγνεται : ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΤΝ τῇ ΞΡ . Ἔστω τῆς μὲν ΤΜ ἡμίσεια ἡ |
| ΩΒ τῇ ΒΨ . καί ἐστι μέγιστος τῶν παραλλήλων ὁ ΒΗΔ , καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΩΚ , ΨΛ : | ||
| ΓΔ . ὁμοίως δὴ τοῖς πρὸ τούτου ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΗΔ γωνία ἡ λείπουσά ἐστιν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς τῆς |
| κζʹ . Γεγράφθω περὶ τὰς ΑΕ ΓΒ ἡμικύκλια τὰ ΑΖΕ ΓΖΒ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ ΓΖ ΔΖ ΕΖ ΒΖ | ||
| ὑπὸ ΖΒΕ δεδειγμένῃ τῶν αὐτῶν ιϚ μδ καὶ τῇ ὑπὸ ΓΖΒ ὑποκειμένῃ τῶν αὐτῶν πε λη , εἴη ἂν καὶ |
| ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒΕ , καὶ κείσθω ἡ ΒΕ ἴση τῇ ἡμισείᾳ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου , καὶ ἐν τῷ ὀρθῷ | ||
| αὐτὰς ἐνθέρμους καταβάπτομεν εἰς γλεῦκος καὶ θάλασσαν ἑψημένην ἐφ ' ἡμισείᾳ , καὶ ἀνελόμενοι ἐπιτιθέμεθα εἰς τὴν ληνὸν νύκτα καὶ |
| ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΓΞ πρὸς ΞΑ , ἡ ΓΠ πρὸς ΑΟ , καί ἐστιν ἡ μὲν ΓΠ τῆς | ||
| δευτέρας καταγραφῆς , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΞ , ΞΓ , ΓΠ . ἐπεὶ οὖν αἱ ΒΞΓ τῆς ΒΓ μείζους εἰσίν |
| ἀλλήλαις κείμεναι , ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν . Συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον , καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΔΓ ΔΑ | ||
| ΔΑ δύο μέσαι κατὰ τὸ συνεχὲς λαμβάνονται τρόπῳ τοιῷδε . Συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον , καὶ τετμήσθω δίχα ἑκατέρα τῶν |
| καὶ ΔΛ , κάθετοι δ ' ἤχθωσαν ἐπὶ μὲν τὴν ΓΖΘ ἐκβληθεῖσαν ἀπὸ τῶν Η καὶ Δ ἥ τε ΗΜ | ||
| καὶ τῷ μεγέθει ἡ ΓΠ , καὶ διηγμέναι αἱ ΠΖΚ ΓΖΘ , ὥστε παράλληλον εἶναι τῇ ΓΠ τὴν ΚΘ , |
| ἡ ΓΑ , ὀρθία δὲ ἡ ΓΛ , αἱ δὲ καταγόμεναι ἀπὸ τῶν τομῶν ἐπὶ τὴν ΓΑ καταχθήσονται ἐν τῇ | ||
| καὶ φανοῦνται παράλληλοι , αἱ δ ' ἐπὶ τὴν ΑΓ καταγόμεναι διαχθήσονται μὲν ἀπὸ τοῦ Κ , φανοῦνται δὲ τῇ |
| , οὗ βάσεις μὲν οἱ Α , Β κύκλοι , ἄξων δὲ ἡ ΑΒ εὐθεῖα , καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον | ||
| . ἔστω ἡ δοθεῖσα κώνου τομὴ πρότερον παραβολή , ἧς ἄξων ὁ ΑΒ , ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία ἡ Θ |
| δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΛΥΦ : καὶ δοθέντα τὰ ΛΥ : δοθὲν ἄρα τὸ Φ : ἀπῆκται οὖν εἰς | ||
| ΛΖ βάσις τῇ ΝΖ βάσει , ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τῷ ΝΥ στερεῷ , καὶ εἰ ὑπερέχει ἡ |
| τὴν ΖΛ . δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΒΑΕ , ΗΖΛ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ ΒΑΕ | ||
| πάλιν ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι , τὰ μὲν ΚΓΔ , ΗΖΛ ἡμικύκλια ἐνεχθήσεται κατὰ τῶν σφαιρῶν , τὸ δὲ ΑΖ |
| ὅλων , ἀπὸ δὲ τοῦ ἐξ ἀρχῆς κύκλου ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΑΛ , ΔΜ : ἡ ἄρα ἀπὸ | ||
| ὅλων , ἀπὸ δὲ τῶν ἐξ ἀρχῆς κύκλων ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΜΝ , ΠΡ , ἡ ἄρα ἀπὸ |
| τὸ δὲ μέλαν , τοσαῦται ἔσονται διαφοραὶ ὅσαι καὶ αἱ τομαὶ τοῦ πράγματος ὑπάρχουσιν . ὥστε φανερὸν ὅτι ὁρισμὸς οὐδέν | ||
| τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τετραγώνῳ . ἔστωσαν κατὰ συζυγίαν ἀντικείμεναι τομαὶ αἱ Α , Β , Γ , Δ , |
| ΘΚ , σύμμετρος δὲ τῇ ΗΘ , καὶ κείσθω τῇ ΘΡ ἴση ἡ ΣΗ , καὶ διὰ τῶν Σ , | ||
| ΞΖ , ΖΟ , ΟΗ , ΗΠ , ΠΘ , ΘΡ , ΡΕ τριγώνων πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ . ἑκάστη |
| περιφέρειαν . γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Η παράλληλος κύκλος ὁ ΝΗΞ , καὶ ἔστωσαν κοιναὶ τομαὶ τῶν ἐπιπέδων αἱ ΑΚ | ||
| ὁ ΑΒΓ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς ἕκαστον τῶν ΔΛΜ , ΝΗΞ , ΒΕΓ κύκλων . ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι |
| ὡς τὰ πολλαχῶς καὶ ἀορίστως γινόμενα : δύναται γὰρ καὶ σκαληνὸν τρίγωνον μετρεῖσθαι ὑπὸ τοῦ προτεθέντος καὶ ὁρισθέντος ῥητοῦ μέτρου | ||
| τοῦ τρίγωνον εἶναι καθ ' αὑτὸ μᾶλλον ἢ ἐκ τοῦ σκαληνὸν ἀποδείκνυται . καὶ ὄντος τοῦ καθόλου γίνεται ἡ ἀπόδειξις |
| τοὺς δὲ αἰσθητοὺς φθαρτούς , ἤδη διὰ τὸ ἀίδιον οἱ νοητοὶ παρακτικοὶ ὑπάρχουσι τῶν αἰσθητῶν , ὡς ἐν τῇ θεωρίᾳ | ||
| ἐκ τῆς αὐτῶν φύσεως κατασκευάσαι ἐδίδασκεν ἡμᾶς τὸ ὅτι εἰσὶ νοητοὶ τῆς σαρκὸς πόροι , κατά τινα τοιαύτην ἔφοδον : |
| ΚΛ ἄξονα , οὕτως ὅ τε ΑΒΗ κῶνος πρὸς τὸν ΓΔΚ κῶνον καὶ ὁ ΕΒ κύλινδρος πρὸς τὸν ΖΔ κύλινδρον | ||
| καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΒΖ κῶνος ἢ κύλινδρος πρὸς τὸν ΓΔΚ κῶνον ἢ κύλινδρον , οὕτως ὁ ΓΔΘ κῶνος ἢ |
| , τὸ ΜΛΓ πρὸς τὸ ΜΑΓ , καὶ τὸ διπλάσιον ΒΛΓ πρὸς τὸ ΒΑΓ : καὶ συνθέντι ἄρα πρὸς συγκείμενον | ||
| δὲ τὸ ΔΛ τετράπλευρον τῷ ΑΕΗ τριγώνῳ , τὸ δὲ ΒΛΓ τῷ ΑΓΘ : ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΖΕΔ πρὸς |
| ΒΓ τῇ ΣΛ , καὶ ὅμοιον τὸ ΘΓΒ τρίγωνον τῷ ΘΛΖ , καί ἐστιν , ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΓΒ | ||
| ἡ ΣΥ . λέγω , ὅτι τὸ ΣΛΥ τρίγωνον τοῦ ΘΛΖ τριγώνου μεῖζόν ἐστι τῷ ΘΓΒ . ἤχθω γὰρ διὰ |
| , καὶ ἀπὸ τοῦ Μ σημείου , καθ ' ὃ τέμνουσιν ἀλλήλους οἱ κύκλοι , ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΑ , ΜΒ | ||
| ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΩΒΓ , ΗΘΚ τέμνουσιν ἀλλήλους , διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν γέγραπται μέγιστος |
| , οὕτω καὶ νῦν εἰς τύχην ἀνάγει τὸν λόγον . ρπαʹ Τέχνῃ λαβεῖν Ἵνα τεχνικῶς τις διέλῃ πρῶτον εἰς δύο | ||
| ὁ λόγος ἐστὶ τῆς ΗΖ πρὸς τὴν ΖΘ ὁ τῶν ρπαʹ ∠ ʹʹγʹʹ πρὸς τὰ μϚʹ ∠ ʹʹ καὶ κʹʹ |
| καὶ ὑφ ' ἡμῶν διχῶς . Ἔστω γὰρ κύκλου τοῦ ΚΛΘ περιφέρεια ἡ ΛΘ , καὶ δέον ἔστω τεμεῖν αὐτὴν | ||
| τοῦ ΔΖ , τὸ δὲ ΗΘ τοῦ ΖΗ καὶ ὁ ΚΛΘ κύκλος μείζων τοῦ ΚΛΔ . Ἐπὶ τὰ προβλήματα πάλιν |
| εὐθείας κέντροις τοῖς πέρασιν αὐτῆς , διαστήματι δὲ τῇ ἀγομένῃ καθέτῳ ἀπὸ τῆς διχοτομίας αὐτῆς ἐπὶ τὴν παράλληλον αὐτῇ πλευρὰν | ||
| ὅπερ ἄτοπον . Ἐδείχθη γὰρ ἡ ΘΚ κάθετος τῇ ΜΝ καθέτῳ ἴση , αἵτινες κάθετοι ἤχθησαν ἀπὸ τῶν ἐπισταθεισῶν μετεώρων |
| ἀπέχουσα ἐν ἀρχῇ τοῦ Σκορπίου ὥρας ἰσημερινὰς δ , καὶ ἐκβληθεῖσαι αἱ ΓΔ , ΑΒ περιφέρειαι τεμνέτωσαν ἀλλήλας μὲν κατὰ | ||
| καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΚΕ , ΚΖ , ΚΗ , ΚΘ ἐκβληθεῖσαι προσπιπτέτωσαν ἐπιπέδῳ τινὶ παραλλήλῳ ὄντι τῷ ΑΒΓΔ κατὰ τὰ |
| τὸ θεώρημα τῆς δὲ ΑΒ ἐξ ἑτέρας παραλλήλους διὰ τὸ ΝΕ , ΖΔ σημεῖον . Ἡ ΑΒ Ϛ , ἡ | ||
| τομέως . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΝΕ περιφέρεια τῆς ΕΖ περιφερείας , τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ὁ |
| τοῖς ἐκκρινομένοις ἔσται : τεινεσμοὶ βίαιοι καὶ διεγείρονται πολλάκις μηδὲν ἐκκρίνοντες : οὔτε δὲ σφόδρα πυρέττουσιν οὔτε πεινῶσιν οὔτε διψῶσιν | ||
| : τέμνοντες γὰρ ᾗ λεπτότατον τὸ δέρμα καὶ τὸ ὑγρὸν ἐκκρίνοντες , διαιροῦμεν καὶ ἄλλαις ταὐτὸ σχῆμα ἐχούσαις τῇ προτέρᾳ |
| ΖΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ . καὶ βάσις ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΕΔ ἐστιν ἴση : τὸ γὰρ Ε σημεῖον | ||
| ὑπὸ ΔΗΖ ἴση : καὶ βάσις μὲν ἄρα ἡ ΒΖ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν , γωνία δὲ ἡ ὑπὸ |
| ΕΒ , ΒΝ πίπτουσιν . ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΚΕ ὀρθή : καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΔΕ ἐστὶν | ||
| ΘΓ ἐν τῷ ΑΠΘΓ τετραπλεύρῳ . κἂν τυχοῦσα κλασθῇ ἡ ΔΚΕ , αἱ τρεῖς ὁμοῦ αἱ ΔΚ ΚΕ ΕΖ τῶν |
| ΖΚ βάσις πρὸς τὴν ΞΡ βάσιν , οὕτως τὸ τοῦ ΔΨ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΤ στερεοῦ ὕψος . | ||
| στερεοῦ ὕψος . τὰ δ ' αὐτὰ ὕψη ἐστὶ τῶν ΔΨ , ΒΤ στερεῶν καὶ τῶν ΔΓ , ΒΑ : |
| ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΚΜα τῇ ΒΔ , ἡ δὲ ΚΡ τῇ ΑΒ , ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΚΘ , | ||
| τῇ μὲν ΑΓ ἴσην θῶμεν τὴν ΓΔ , τῇ δὲ ΚΡ ἴσην τὴν ΡΧ , καὶ τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν , |
| ἡ διὰ τῆς ιʹ μοίρας τῶν Χηλῶν καὶ τοῦ Κριοῦ διάμετρος ἡ ΑΖΒΓ , καὶ ὑποκείσθω καθάπερ ἐπὶ τῆς προτέρας | ||
| τετμημένον τῷ ἐπιπέδῳ , ὑφ ' οὗ γέγονεν ἡ ΕΔ διάμετρος τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς , ἔσται καὶ ἐν τῷ |
| καὶ ἀπεναντίον περιφέρεια ἡ ΣΤ καὶ μεταξὺ τῶν ΞΗ , ΣΤ ὁ ἰση - μερινὸς ἔστω ὁ ΥΧΦ . καὶ | ||
| ΠΗΡ , ΣΘ , ΤΥΚ : μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΣΤ περιφέρεια τῆς ΣΠ περι - φερείας . ἀλλ ' |
| δὲ τοῦ ὀϲτέου καὶ τοῦ ὄνυχοϲ ἀπαθῶν μεινάντων ἡ ἐκτὸϲ γωνία τοῦ ὄνυχοϲ ὑποδυομένη καὶ νύττουϲα τὴν ἐπιπεφυκυῖαν αὐτῇ ϲάρκα | ||
| βάσει τοῦ κυλίνδρου , καὶ ὑποκείσθω ἡ πρὸς τῷ Α γωνία ὀξεῖα , καὶ διὰ τοῦ Γ ἤχθω κάθετος ἐπὶ |
| Σ , Π , Ο ἄρα σημεῖα κέντρα ἐστὶ τῶν ΔΛΜ , ΝΗΞ , ΒΕΓ κύκλων . καὶ ἐπεὶ ἐπίπεδα | ||
| ΔΕΖ , οὗ δὲ ἐφάπτεται ὁ ΔΕΖ , ἔστω ὁ ΔΛΜ . λέγω , ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος πρὸς |
| σε πρῶτον , οὐχὶ καὶ οἱ ἀστέρες ἄρτιοί εἰσιν ; ἠρώτηκα δὲ τί σε πρῶτον : οὐκ ἄρα οἱ ἀστέρες | ||
| ἐρωτηθῆναι τὸ ἀποφατικὸν τῆς συμπλοκῆς , τῆς προσλήψεως ἀληθοῦς γενομένης ἠρώτηκα δέ τί σε πρῶτον , διὰ τὸ ἠρωτῆσθαι πρὸ |
| καὶ τῶν γωνιῶν ἡ ὑπὸ ΕΒΓ καὶ οὐχὶ ἡ ὑπὸ ΕΖΓ . ἔνθεν καὶ πρὸς τὸ ποιήσασθαί τινα κἂν μερικὴν | ||
| τῇ ὑπὸ ΗΖΑ γωνίᾳ : ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΖΓ ὅλῃ τῇ ὑπὸ τῶν ΓΖΗ γωνίᾳ ἴση ἐστίν : |
| τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΑΒ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΓΜ , ΓΝ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος , ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ | ||
| ὧν αὐτὸ ἔσται βαρύτατον , τὰ ΑΒ καὶ ΒΓ καὶ ΓΝ . Ὅτι μὲν οὖν παρακειμένης τοῖς διεζευγμένοις τελείοις συστήμασι |
| ἄρα ΑΒ , ΓΔ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον συμπεσοῦνται : οὐ συμπίπτουσι δὲ διὰ τὸ παραλλήλους αὐτὰς ὑποκεῖσθαι : οὐκ ἄρα | ||
| πρὸς ἀλλήλας αἱ ἑκατέρωθεν ἀκταί : προϊοῦσαι δὲ πλέον τελέως συμπίπτουσι κατὰ τὸ Ῥίον καὶ τὸ Ἀντίρριον , ὅσον δὴ |
| ἀεὶ παρὰ τὴν τοῦ συσταθέντος πλευρὰν τοῖς τριγώνοις ἴσα παραβάλλων παραλληλόγραμμα . ἐκ τούτου δέ φασι καὶ εἰς ζήτησιν τοῦ | ||
| εἰς δύο ποιεῖσθαι χρὴ τὴν πρώτην καὶ τὰ μὲν αὐτῶν παραλληλόγραμμα λέγειν , τὰ δ ' οὐ παραλληλόγραμμα , τῶν |
| ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΝΘΒ οὐ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΘΑΒ , ἡ ἄρα ΝΘ πρὸς ΘΒ ἐλάττονα λόγον ἔχει | ||
| . καί ἐστιν ἡ ΘΑ τῇ ΕΚΛ παράλληλος : ἡ ΘΑΒ διάμετρος ἄρα ἐστὶ τῆς τομῆς , αἱ δὲ ἐπ |
| διαγομένη εὐθεῖα μήτε τὴν τομὴν τέμνῃ κατὰ δύο σημεῖα μήτε παράλληλος ᾖ τῇ ἀσυμπτώτῳ , συμπεσεῖται μὲν τῇ ἀντικειμένῃ τομῇ | ||
| κατὰ μῆκος τῆς φάλαγγος δεύτερον ζυγόν , καὶ ὁ τούτῳ παράλληλος ὑπ ' αὐτὸν τρίτον , καὶ τέταρτόν ἐστι τὸ |
| πλευρὰ ἡ ΔΖ , αἱ δὲ καταγόμεναι ἀπὸ τῶν τομῶν καταχθήσονται ἐπὶ τὴν ΔΕ ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ : ἔσται | ||
| ἡ ΕΚ , αἱ δὲ καταγόμεναι ἀπὸ τῆς τομῆς τεταγμένως καταχθήσονται ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῇ Η . φανερὸν δή |
| , ἢ σὲ τὸν ἀτιμαστῆρα ἐκείνου τὸν ἀνδρηλάτην καὶ τὸν ἐξελάσαντα ἐκεῖνον ἀπὸ τῆς ἰδίας πατρίδος ζῶντα τίσασθαι καὶ τιμωρῆσαι | ||
| καὶ ἑαυτὸ συμφθείρει , καὶ ὃν τρόπον τὰ καθαρτικά , ἐξελάσαντα τῶν σωμάτων τὰ ὑγρά , καὶ αὑτὰ συνεκτίθησιν , |
| , κοινὴ προσκείσθω ἡ ΝΚΜ περιφέρεια : ὅλη ἄρα ἡ ΛΚΜ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΝΚΜΞ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση . ἡμικυκλίου | ||
| , καὶ διὰ τοῦ Κ ἤχθω πλευρὰ τοῦ κυλίνδρου ἡ ΛΚΜ εὐθεῖα πίπτουσα ἐπὶ τὰς ΕΗ , ΖΘ περιφερείας ἐκβαλλομένη |
| κτίσμα ἐν τῷ τόπῳ ἱδρυμένον τούτῳ , ὃς καλεῖται Ἐννέα ὁδοί : εἶτα Γαληψὸς καὶ Ἀπολλωνία , κατεσκαμμέναι ὑπὸ Φιλίππου | ||
| , ἐσχισμέναι πέτραι , κεχαραγμένοι τόποι , φωλεαὶ ἢ διεσχισμέναι ὁδοί . Ῥωγάδες : διεσχισμέναι , ἐκ παραλλήλου , ἐσχισμένοι |
| διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεῖν ἔστιν εὐθεῖαν ἴσην τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ χρησάμενον τοῖς ἐπὶ τῆς ἕλικος εἰρημένοις θεωρήμασιν . Σοφίας | ||
| πάλιν , ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΘΗ περιφέρεια τῇ ΠΝ περιφερείᾳ , ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Θ ἐπὶ τὸ |
| τρίγωνον τῷ ΑΛΣ τριγώνῳ ἴσον ἔσται , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται , ὑφ ' ἃς | ||
| ἐπειδὴ δεδομέναι μέν εἰσιν αἱ ὑπὸ ΑΕΚ καὶ ὑπὸ ΒΕΞ γωνίαι , δέδοται δὲ καὶ ὁ τῆς ὑπὸ ΓΕΚ πρὸς |
| τὰς ἐλλείψεις ὡς κακίας οὔσας μισεῖ . Καὶ αἱ ἀρεταὶ ἰσότητες λέγονται : μέσαι γὰρ δύο κακιῶν οὖσαι , ἑκάστη | ||
| εἰδὼς κωλύειν Ταράχου μακρὰν ἔσῃ καὶ κακῆς πλάνης . Ἀκρότητες ἰσότητες . Ἑρμηνεία . Πλοῦτος ὁ πολὺς καὶ πενία ? |
| ΛΟ , ἴση ἄρα ἔσται καὶ ἡ ΕΗ περιφέρεια τῇ ΚΦ , ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΣΤ τῇ ὑπὸ | ||
| αἱ ΘΜ , ΜΝ , καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΛΟ , ΚΦ , ΘΧ , ΜΣ παραλληλόγραμμα καὶ τὰ ΛΠ , |
| δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . καὶ οὐδετέρα τῶν ΔΜ , ΜΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ | ||
| πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ , οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς ΔΜ . ἀλλ ' ἦν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ |
| , ἃ δὲ ὑπομνηστικῶς , ὡς τὰ διὰ σημείων τινῶν καταλαμβανόμενα : ἐνδεικτικῶς δὲ οὐδὲν καταλαμβάνεται , οὔθ ' ἑτέρῳ | ||
| τοῦτο σύμμετρον καὶ ἄμετρον μὴ φαινόμενον , τὰ ἐκ τούτου καταλαμβανόμενα φαίνοιτ ' ἄν ; εἰ δὲ δὴ καὶ πρὸς |
| τρίγωνον ἐξ ἓξ τὸν ἀριθμὸν ὄντων γέγονεν . τρίγωνα δὲ ἰσόπλευρα συνιστάμενα τέτταρα κατὰ σύντρεις ἐπιπέδους γωνίας μίαν στερεὰν γωνίαν | ||
| ὡς τὰ ῥομβοειδῆ , τὰ δὲ ὀρθογώνια μέν , οὐκ ἰσόπλευρα δέ , ὡς τὰ ἑτερομήκη , τὰ δὲ ἔμπαλιν |
| ἴση ἡ ΔΕ , τῇ δὲ ΓΖ ἡ ΖΗ τῆς ΒΔΓ περιφερείας κατὰ τὸ Δ δίχα τετμημένης . λέγω , | ||
| ΒΑΓ . ἀλλὰ τῆς ὑπὸ ΓΕΒ μείζων ἐδείχθη ἡ ὑπὸ ΒΔΓ : πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΓ μείζων ἐστὶ τῆς |
| ὑπὲρ ἡμᾶς . μεσημβρινὸς δὲ καὶ ὁρίζων τῷ μὲν μεγέθει δεδομένοι , μέγιστοι γάρ , τῇ δὲ θέσει μεταπίπτοντες καθ | ||
| . καὶ δῆλον , ὅτι καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν δεδομένοι εἰσίν : ὁ γὰρ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΓ λόγος |
| ἴσαι , ἴσαι δὲ καὶ αἱ γωνίαι , καὶ τὰ τρίγωνα ἴσα ἂν εἴη , καὶ αἱ πλευραὶ καὶ αἱ | ||
| μὲν πυραμίδος ἐκ τεττάρων ἰσοπλεύρων τριγώνων συνεστώσης , εἰς ἓξ τρίγωνα σκαληνὰ τὰ εἰρημένα ἑκάστου διαιρουμένου : τοῦ δὲ ὀκταέδρου |
| ΛΘ , ΘΒ . ἐδείχθη δὲ καὶ ὅλος ὁ ΜΝΞ γνώμων ὅλῳ τῷ ΓΗ ἴσος : καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ | ||
| γνώμων τετραπλάσιός ἐστι τοῦ ΖΗ τετραγώνου . ὁ ΞΟΠ ἄρα γνώμων καὶ τὸ ΖΗ τετράγωνον πεντα - πλάσιός ἐστι τοῦ |
| ἡ ΛΚ τῇ ΚΕ , καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΛΚΕ γωνία , τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΛ διπλάσιόν ἐστι | ||
| τὸ μὲν ΘΚΕ ὅμοιόν ἐστι τῷ ΜΔΕ , τὸ δὲ ΛΚΕ τῷ ΞΔΕ : ἰσογώνιον ἄρα ἕκαστον ἑκάστῳ . ἔστιν |
| ἀπὸ τῶν ἴσων γωνιῶν ἐπὶ τὰς βάσεις κάθετοι εὐθεῖαι γραμμαὶ ἀχθῶσιν , ᾖ δέ , ὡς ἡ τοῦ πρώτου τριγώνου | ||
| τομῶν β σημεῖα ληφθῇ , καὶ ἀφ ' ἑκατέρου παράλληλοι ἀχθῶσιν , ὁμοίως ἴσα ἔσται τὰ γινόμενα ὑπ ' αὐτῶν |
| ὄντος πρὸς τῷ νʹ [ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ζηʹ περιφέρειαν τῇ λνʹ περιφερείᾳ ] : καὶ ἔσται ὁ | ||
| τῷ ηʹ ] : λέγω ὅτι τοῦ ἡλίου διαπορευομένου τὴν ζηʹ περιφέρειαν τὸ εʹ ἄστρον οὐ φαίνεται . Ἔστω γὰρ |
| δὲ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας . καὶ ὡς ἄρα δώδεκα πεντάγωνα πρὸς εἴκοσι τρίγωνα , οὕτως δώδεκα πυραμίδες πενταγώνους βάσεις | ||
| ἄρα εἰσὶν αἱ πυραμίδες αἱ βάσεις ἔχουσαι τὰ τοῦ δωδεκαέδρου πεντάγωνα καὶ αἱ βάσεις ἔχουσαι τὰ τοῦ εἰκοσαέδρου τρίγωνα . |
| καὶ οἱ ἰσάκις ἶσοι ἰσάκις ἅπαντες , τουτέστι κύβοι τριχῆ διαστατοὶ ὄντες καὶ ταυτότητος ἐπὶ πλεῖον δοκοῦντες μετέχειν ἔργον εἰσὶ | ||
| λϚ , μθ , ξδ καὶ οἱ ἑξῆς διχῆ ὄντες διαστατοὶ καὶ ἐν τῇ ἐπιπέδῳ σχηματογραφίᾳ μῆκος καὶ πλάτος μόνον |
| καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΖ . ἔσται δὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΖΒΕ γωνία ἡμίσεια ὀρθῆς . τετμήσθω ἡ ὑπὸ τῶν ΖΒΕ | ||
| κβ διὰ τὸ ἴσην αὐτὴν εἶναι συναμφοτέραις τῇ τε ὑπὸ ΖΒΕ δεδειγμένῃ τῶν αὐτῶν ιϚ μδ καὶ τῇ ὑπὸ ΓΖΒ |
| . πρόλογοι οἱ μείζονες , οἷον τριπλάσιος , ὑπόλογοι οἱ ἐλάσσονες , οἷον τριτημόριος . παρ ' οὐδὲν ἀντὶ τοῦ | ||
| οὐδεμίαν οὐδ ' οὗτοι , ὅτι ἀριθμῷ τε καὶ ἰσχύι ἐλάσσονες ἐμοὶ δοκεῖν ἢ κατὰ πόλεως ἦσαν οἰκισμόν . μετὰ |
| λόγον ἔχει ἤπερ ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν ἀντιπεπονθότως . καταγεγράφθωσαν οἱ κῶνοι , καὶ ἔστω , ὡς ὁ ΑΗΓΔ | ||
| σε τούτων διαλανθάνῃ καὶ ἵνα σαφέστερον ἡμῖν ὁ λόγος γένηται καταγεγράφθωσαν πρῶτον πάντα τὰ δεκαεπτὰ σύμφωνα : Β . Γ |
| , Ε , Α , Ο ἔν τε γὰρ τῇ κωνικῇ ἐπιφανείᾳ ἐστὶ καὶ ἐν τῷ διὰ τοῦ ἄξονος ἐπιπέδῳ | ||
| ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς ΑΒ ἐν τῇ στροφῇ γινομένῃ κωνικῇ ἐπιφανείᾳ διὰ τὸ ιεʹ πάλιν Ἀρχιμήδους θεώρημα [ παντὸς |
| ἥμισυ πᾶν ὅσσων καρπὸν ἄρουρα φέρει . ὅτι δὲ καὶ συμπενθεῖν ἔκειτο αὐτοῖς ἀνάγκη , δεδήλωκεν ἐν τῷδε : δεσπότας | ||
| ταῖς ἐξόδοις συνέπεσθαι χωλοὺς ὁμοίως : ἄτοπον γὰρ εἶναι τὸ συμπενθεῖν μὲν καὶ [ τὸ ] συλλυπεῖσθαι καὶ τῶν ἄλλων |
| τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΕΖΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΚΖΗ . ἀλλὰ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΖΔ ἴσον ἐδείχθη τὸ | ||
| ἡ ΛΝ τῇ ΝΖ . ἤχθωσαν τεταγμένως αἱ ΒΘ , ΚΖΗ , ΛΜΔ . ἐπεὶ οὖν διὰ τὰ δεδειγμένα ἐν |
| ἡ μὲν ὑπὸ ΓΝΗ ὀξεῖα , ἡ δὲ ὑπὸ ΔΜΖ ἀμβλεῖα , ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ περιφέρεια τῆς ΔΖ | ||
| . στραγγεύομαι : τί ἐστιν ἡ ἐμὴ προθυμία νωθρὰ καὶ ἀμβλεῖα καὶ τρόπον τινὰ κατὰ στράγγα ; ἡ γὰρ μεταφορὰ |
| . Φέρεται ἔν τισιν ἀρχαία πρότασις τοιαύτη : ὑποκείσθω τρία ἡμικύκλια ἐφαπτόμενα ἀλλήλων τὰ ΑΒΓ ΑΔΕ ΕΖΓ , καὶ εἰς | ||
| περιφέρειαν ἴσαι εἰσίν . ἀλλὰ εἰ μιᾶς οὔσης διαμέτρου δύο ἡμικύκλια γίνεται , ἄπειροι δὲ αἱ διάμετροι , συμβήσεται τῶν |
| τὰ μὲν οὖν πλεῖστα τούτων φύσει ἔχουσι , τὰ δὲ ἠγμέναι ἀνεπιστημόνως δύσχρηστοί εἰσιν : αἱ τοιαῦται μὲν οὖν κύνες | ||
| καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τῷ ΑΒΓΔ [ ] δύο παράλληλοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΖ , ΓΔ , ἴση ἄρα ἐστὶν |
| τετράγωνος , τουτέστιν ὁ ε , ἴσος τοῖς ἀπὸ τῶν βδ , δγ τετραγώνοις μετὰ τοῦ δὶς ἐκ τῶν βδ | ||
| οὕτως ἔχει , καθὼς εἴρηται , φανερόν : ἡ γὰρ βδ ὑπερέχει τῆς γα τῇ γδ : ἡ δὲ γα |
| Ζ , τοῦ δὲ ΕΘΗ διχοτομία τὸ Θ : ὁ ΑΛΚ ἄρα προσαναπληρούμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν Ζ , Θ | ||
| τὸ ΞΓΠΔ . ἴσον δὲ τὸ μὲν ΛΓΡΖ τετράπλευρον τῷ ΑΛΚ τριγώνῳ , τὸ δὲ ΞΓΠΔ τῷ ΑΝΞ : ὡς |
| ΗΒΓ τρίγωνον : ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον ὅλῳ τῷ ΕΒΓΖ παραλληλογράμμῳ ἴσον ἐστίν . Τὰ ἄρα παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ | ||
| ΒΓ : λέγω , ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΕΒΓΖ παραλληλογράμμῳ . Ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ , |
| ἐφ ' ἧς τὸ μεῖζον ὄνομα σύμμετρόν ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ , δευτέραν δέ , ἐφ ' ἧς τὸ ἔλασσον | ||
| ἄλλαι εὐθεῖαι , αἳ μήκει μὲν ἀσύμμετροί εἰσι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ , δυνάμει δὲ μόνον σύμμετροι , καὶ διὰ τοῦτο |
| μὲν ΛΘ ἔσται γ νζ , ἡ δ ' ὑπὸ ΘΑΛ γωνία τῆς κατὰ τὸ πλάτος ἀποστάσεως , οἵων μέν | ||
| ἐστιν ἴση . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΘΑΛ τῇ ὑπὸ ΖΔΓ ἐστιν ἴση [ ἐπειδήπερ ἐὰν ἀπολάβωμεν |
| διδάσκει ἡμᾶς , ὅτι περὶ ἓν σημεῖον τόπος εἰς τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας γωνίας διανέμεται . Τὰς ἐφεξῆς γωνίας τῶν κατὰ | ||
| ΔΕΖ . Εἰ γὰρ παντὸς τριγώνου αἱ γ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν , ὡς ἐν τῷ λβʹ θεωρήματι τοῦ |