| εὐθείας κέντροις τοῖς πέρασιν αὐτῆς , διαστήματι δὲ τῇ ἀγομένῃ καθέτῳ ἀπὸ τῆς διχοτομίας αὐτῆς ἐπὶ τὴν παράλληλον αὐτῇ πλευρὰν | ||
| ὅπερ ἄτοπον . Ἐδείχθη γὰρ ἡ ΘΚ κάθετος τῇ ΜΝ καθέτῳ ἴση , αἵτινες κάθετοι ἤχθησαν ἀπὸ τῶν ἐπισταθεισῶν μετεώρων |
| Α , καὶ τῇ ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἐν τῇ ἑτέρᾳ τομῇ ἡ ΕΖ , καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Η | ||
| τυχόντα σημεῖα , καὶ ἀπ ' αὐτῶν ἀχθῶσιν ἐν τῇ τομῇ παρὰ τὰς ἐφαπτομένας τέμνουσαι ἀλλήλας τε καὶ τὴν γραμμήν |
| τὴν ἔγγιον τῆς ἀπωτέρω , ἐλαχίστην δὲ τὴν πρὸς τῇ ἐφαπτομένῃ , καθ ' ἣν ἡ μέση κίνησίς ἐστιν , | ||
| συμπτώσει τῶν ἐφαπτομένων διαφέρει τῷ ἀπολαμβανομένῳ τριγώνῳ πρός τε τῇ ἐφαπτομένῃ καὶ τῇ διὰ τῆς ἁφῆς ἀγομένῃ διαμέτρῳ . ἔστωσαν |
| πολυχρονίως ἡ πανήγυρις τελεσθήσεται . ἄλλως : ἐν ταύτῃ πρῶτον ἀγομένῃ τῇ ἑορτῇ τῶν Ὀλυμπίων παρέστησαν αἱ Μοῖραι καὶ ὁ | ||
| Ω κάθετος ἀγομένη ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Χ καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον , τὰ Ω |
| Ἰστέον , ὡς τὰ μεγέθη τριχῶς : ἢ γὰρ ἐν γραμμῇ ἢ ἐν ἐπιφανείᾳ ἢ ἐν σώματι . ἐν γοῦν | ||
| δὲ τῷ τρίτῳ τῶν γεωγραφικῶν καθιστάμενος τὸν τῆς οἰκουμένης πίνακα γραμμῇ τινι διαιρεῖ δίχα ἀπὸ δύσεως ἐπ ' ἀνατολὴν παραλλήλῳ |
| ἐπὶ κλίνης τὰς φυσικὰς ἀνάγκας ἐπλήρου . Ἑνδεκάτῃ ἐπὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τὸ παρυφιστάμενον ἐνήχετο λευκὸν μέν , ὑπόγλισχρον δὲ καὶ | ||
| ὀρθὰς οὖσαν τῇ ΒΓ , καὶ πεποίηκε τομὴν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τὴν ΔΕΖ , ἡ δὲ διάμετρος ἡ ΜΕ ἐκβαλλομένη |
| , τῇ δὲ τούτων θεωρίᾳ συνεισφέρει καὶ τὴν περὶ τῶν τραπεζίων διδασκαλίαν : διῄρηται γὰρ τὸ τετράπλευρον εἴς τε τὸ | ||
| τὸ δὲ ῥομβοειδὲς πάντων ἔλαττον . πρῶτον δὲ ἐνταῦθα τῶν τραπεζίων ἐμνημόνευσε . περὶ τούτων δὲ ἐν ταῖς ὑποθέσεσιν ἐδίδαξεν |
| ' ὃ συμβάλλουσιν ἀλλήλαις , ἐπὶ τὰ κέντρα ἐπιζευγνύμεναι ὁμοίως περιέξουσι τὴν λείπουσαν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς τῆς κλίσεως τῶν | ||
| αἱ ἀπὸ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπὶ τὰ κέντρα ἐπιζευγνύμεναι εὐθεῖαι περιέξουσι τὴν λείπουσαν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς τῆς ἐπιζητουμένης κλίσεως |
| κεκλιμένοι . πάλιν , ἐπεὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ψ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς | ||
| ταπεινότατός ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ Ϡ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς |
| συμπίπτουσα τῇ ΗΑ κατὰ τὸ Κ , ἡ δὲ ΗΛ συμπίπτουσα τῇ ΒΚ κατὰ τὸ Μ . ἐπεὶ οὖν ἴση | ||
| ἀχθῇ πρὸς ὁποιανοῦν τῶν τομῶν , καὶ ταύτῃ παράλληλος ἀχθῇ συμπίπτουσα ταῖς ἐφεξῆς τρισὶ τομαῖς , τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν |
| τὴν οἰκουμένην ἐν σφαίρᾳ καταγράφειν . Ἔκθεσις τῶν ἐντασσομένων τῇ καταγραφῇ μεσημβρινῶν καὶ παραλλήλων . Μέθοδος εἰς τὴν ἐν ἐπιπέδῳ | ||
| γεωγραφήσοντα τὰ μὲν διὰ τῶν ἀκριβεστέρων τηρήσεων εἰλημμένα προϋποτίθεσθαι τῇ καταγραφῇ καθάπερ θεμελίους , τὰ δ ' ἀπὸ τῶν ἄλλων |
| , τοὺς βουλευτὰς ᾐτησάμην . καὶ τοίνυν διοικήσεως νῦν πρῶτον ἀχθείσης πολλὰ ὑπὸ πολλῶν ἠδικημένος , ὥσπερ εἰκός ἐστι τὸν | ||
| τοῦ ἐκκέντρου πηλικότησιν . κατὰ ταὐτὰ δὲ καὶ ἐνθάδε καθέτου ἀχθείσης ἐπὶ τὴν ΔΒ τῆς ΑΛ , ἐάν τε τὴν |
| διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεῖν ἔστιν εὐθεῖαν ἴσην τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ χρησάμενον τοῖς ἐπὶ τῆς ἕλικος εἰρημένοις θεωρήμασιν . Σοφίας | ||
| πάλιν , ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΘΗ περιφέρεια τῇ ΠΝ περιφερείᾳ , ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Θ ἐπὶ τὸ |
| γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ ἐγγραφομένου εἰς τὸν μέγιστον κύκλον . καὶ ἐπεζεύχθωσαν | ||
| ἡμῶν δὲ εἷς [ καὶ ] ὁ κυβερνήτης , τρίγλης πλευρᾷ διαπαρεὶς τὸ μετάφρενον . ἐκείνην μὲν οὖν τὴν ἡμέραν |
| : ὁμοίως καὶ ἐὰν ὁ τοῦ μητρικοῦ κλῆρος ἐν τῷ διαμέτρῳ εὑρεθῇ καὶ ὁ τοῦ διαμέτρου τοῦ κλήρου τῆς μητρὸς | ||
| ἐστὶ τῷ ΑΖ . Ἐὰν παραβολῆς εὐθεῖα ἐπιψαύουσα συμπίπτῃ τῇ διαμέτρῳ , καὶ ἀπὸ τῆς ἁφῆς εὐθεῖα καταχθῇ ἐπὶ τὴν |
| . ἐπεὶ γὰρ αἱ ΑΓ , ΒΔ ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν παράλληλοί εἰσι , διάμετρος μὲν ἡ ΑΒ , τεταγμένως δὲ | ||
| κατὰ πᾶσαν θέσιν ἀσύμπτωτοί εἰσιν ἀλλήλαις καὶ οὐ διὰ τοῦτο παράλληλοί εἰσιν . ἓν οὖν ἔστω τὸ ἐπίπεδον , καὶ |
| ΑΗΒ γωνία καθ ' ὑπόθεσιν ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΔΘΕ γωνίᾳ : ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΘ | ||
| περιέχωσι , τὸ δὲ Δ σημεῖον ᾖ ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης , ἡ ἀπὸ τῆς |
| τουτέστι ΔΕ , ΕΖ , ἐλάττους ἔσονται τῶν ΜΞ , ΞΛ , τουτέστι τῆς ΜΝ : ἀλλ ' ἡ ΜΝ | ||
| τουτέστιν αἱ ΔΕ , ΕΖ , δύο ταῖς ΜΞ , ΞΛ , τουτέστι τῇ ΜΝ , ἴσαι εἰσίν . ἀλλὰ |
| διὰ τῆς εὐθείας διδάσκουσι τήν τ ' εὐθεῖαν διὰ τοῦ ἐπιπέδου : εὐθεῖαν γὰρ εἶναί φασιν ἥτις εἰς πάντα τὰ | ||
| τοῖς στερεοῖς ἡ σφαιρική : τοῦ δὲ αἰθέρος μὴ ὄντος ἐπιπέδου , ἀλλὰ στερεοῦ , καταλείπεται αὐτὸν εἶναι σφαιροειδῆ . |
| τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Ν καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐπίπεδον . ἀλλ | ||
| Θ παράλληλος ὀρθὴν γωνίαν περιέξει μετὰ τῆς ἀπὸ τοῦ Ζ καθέτου . πάλιν ἐὰν ἐπιζεύξωμεν ἀπὸ τῶν Ζ , Η |
| δύο σημείων τῶν Β Ε κλάσαι τὴν ΒΝΞΕ καθόλου τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην τῶν κλασμάτων τὸ πλῆθος δοθὲν ἔχουσαν . | ||
| ΒΓ . Διὰ τοῦ δοθέντος ἄρα σημείου τοῦ Α τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ παράλληλος εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΕΑΖ |
| ἀπὸ τῶν ἴσων γωνιῶν ἐπὶ τὰς βάσεις κάθετοι εὐθεῖαι γραμμαὶ ἀχθῶσιν , ᾖ δέ , ὡς ἡ τοῦ πρώτου τριγώνου | ||
| τομῶν β σημεῖα ληφθῇ , καὶ ἀφ ' ἑκατέρου παράλληλοι ἀχθῶσιν , ὁμοίως ἴσα ἔσται τὰ γινόμενα ὑπ ' αὐτῶν |
| ἐφ ' ἑαυτόν , οὑτωσὶ καὶ τὸ τρίγωνον , ἀλλαχόθεν ἐπιζεύξαντες ἐπὶ τὰ πέρατα τῆς εὐθείας συγκροτοῦμεν ἐκ τούτων ἓν | ||
| ὑφ ' ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρά , καὶ ἐπιζεύξαντες καὶ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον κατασκευάσαντες δείξομεν τὸν διὰ |
| . Ἦν δὲ τὸ προκείμενον ὑγιέστερον προτεῖναι καὶ οὕτως . ὀρθογωνίου τυχόντος ὑποκειμένου τοῦ ΑΒΓ λαβεῖν τι σημεῖον ἐντὸς τοῦ | ||
| τὸ δὲ τοῦ ἀμβλυγωνίου ὕψος μὴ ἔλαττον ᾖ τοῦ τοῦ ὀρθογωνίου ὕψους , ἡ πρὸς τῇ κορυφῇ γωνία τοῦ ὀρθογωνίου |
| ΒΖ τῷ ΧΦΨ : καὶ ὁ ΧΦΨ ἄρα πρὸς τὸν ΞΚΟ κέκλιται ὡς ἐπὶ τὰ Ξ μέρη . καὶ ἐπεὶ | ||
| , ΒΖ κοινῇ τομῇ . ἡ δὲ κοινὴ τομὴ τῶν ΞΚΟ , ΒΖ ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Ο σημείου διάμετρος |
| οὐ χρή . ἔπειτα τὰϲ κόμαϲ ξυρῷ ἀφαιρέοντα ϲικύην τῇ κορυφῇ προϲβάλλειν προτέρην : τὴν δὲ ἑτέρην [ τὴν ] | ||
| , περιφανέστατα δὲ τῆς Αἰνειάδος Ἀφροδίτης ὁ βωμὸς ἐπὶ τῇ κορυφῇ τοῦ Ἐλύμου ἱδρυμένος καὶ ἱερὸν Αἰνείου ἱδρυμένον ἐν Αἰγέστῃ |
| συντονοῦνται , φίλων κούφων δούλων , μονογενῆ δὲ τῇ ἰδίᾳ εὐθείᾳ , πτερά πτερῶν , ξυρά ξυρῶν , ὀστᾶ ὀστῶν | ||
| . Πρὸς ἄρα τῷ δοθέντι σημείῳ τῷ Α τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ ἴση εὐθεῖα κεῖται ἡ ΑΛ : ὅπερ |
| ΖΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ . καὶ βάσις ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΕΔ ἐστιν ἴση : τὸ γὰρ Ε σημεῖον | ||
| ὑπὸ ΔΗΖ ἴση : καὶ βάσις μὲν ἄρα ἡ ΒΖ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν , γωνία δὲ ἡ ὑπὸ |
| ἐγγεγράφθω τὸ ΑΒΓΔΕ . λέγω , ὅτι ἡ τοῦ ΑΒΓΔΕ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ | ||
| καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸν τριγώνου μὲν πλευρὰ ἡ ΒΕ , πενταγώνου δὲ ἡ ΓΔ , καὶ ἔστωσαν παράλληλοι , καὶ |
| τὰ παρακείμενα ὀρθογώνια παρὰ τὴν ἑτέραν εὐθεῖαν πλάτος ἔχοντα τὴν ἀπολαμβανομένην ὑπ ' αὐτῶν πρὸς τῇ κορυφῇ τῆς τομῆς ἐλλείποντα | ||
| ἀνάλογον πλάτος ἔχον τὴν ὑπ ' αὐτῆς τῆς τεταγμένως ἀχθείσης ἀπολαμβανομένην πρὸς τῇ τομῇ ἐλλεῖπον εἴδει ὁμοίῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ |
| τομῆς ἀγαγεῖν ἐφαπτομένην , ἥτις πρὸς τῇ διὰ τῆς ἁφῆς ἠγμένῃ διαμέτρῳ ἴσην περιέξει γωνίαν τῇ δοθείσῃ ὀξείᾳ . ἔστω | ||
| τεταγμένως κατηγμένην συμπίπτῃ τῇ διὰ τῆς ἁφῆς καὶ τοῦ κέντρου ἠγμένῃ εὐθείᾳ , καὶ ποιηθῇ , ὡς τὸ τμῆμα τῆς |
| ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒΕ , καὶ κείσθω ἡ ΒΕ ἴση τῇ ἡμισείᾳ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου , καὶ ἐν τῷ ὀρθῷ | ||
| αὐτὰς ἐνθέρμους καταβάπτομεν εἰς γλεῦκος καὶ θάλασσαν ἑψημένην ἐφ ' ἡμισείᾳ , καὶ ἀνελόμενοι ἐπιτιθέμεθα εἰς τὴν ληνὸν νύκτα καὶ |
| μηρίνθου ἤτοι σχοίνου ἀνέρχομαι εἰς τὰς διεξόδους καὶ ὁδοὺς τῶν λοξῶν λογίων τῆς Κασάνδρας . ἄνειμι λοξῶν τουτέστιν ἀνέρχομαι καὶ | ||
| Λυκόφρων : ἐγὼ δ ' ἄκραν βαλβῖδα μηρίνθου σχάσας ἄνειμι λοξῶν ἐς διεξόδους ἐπῶν , παρὰ τὸ βῶ , τὸ |
| πλευρῶν , καὶ τὸ ἐμβαδὸν εἰς ἴσα διαιρεῖται κατὰ τὴν διαγώνιον διὰ τὴν κοινὴν ἰδιότητα τῶν παραλληλογράμμων . ἐπὶ δὲ | ||
| βάσιν τέμῃ ἐκ τῆς κορυφῆς δίχα κατὰ τὴν τοῦ τετραγώνου διαγώνιον τὴν ἀπὸ τῆς ὀρθῆς , ἔσονται δύο στερεαὶ πυραμίδες |
| : ὅπερ ἄτοπον . οὐκ ἄρα αἱ ΔΕΒ , ΔΖΒ εὐθεῖαί εἰσιν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδὲ ἄλλη | ||
| ἐγκεφάλου γνωρίϲματα περιττώματα πλείω κατὰ τὰϲ οἰκείαϲ ἐκροὰϲ καὶ τρίχεϲ εὐθεῖαί τε καὶ πυρραὶ καὶ μόνιμοι : καὶ ῥᾳδίωϲ ὑπὸ |
| μὲν τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου , ὕψους δὲ τοῦ ΝΠ κύλινδρος νενοήσθω ὁ ΕΣ . καὶ ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ ΑΞ | ||
| ΛΜ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΒ , ΜΚ , καὶ νενοήσθω κῶνος , οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Μ σημεῖον , |
| ἡ ΓΑ , ὀρθία δὲ ἡ ΓΛ , αἱ δὲ καταγόμεναι ἀπὸ τῶν τομῶν ἐπὶ τὴν ΓΑ καταχθήσονται ἐν τῇ | ||
| καὶ φανοῦνται παράλληλοι , αἱ δ ' ἐπὶ τὴν ΑΓ καταγόμεναι διαχθήσονται μὲν ἀπὸ τοῦ Κ , φανοῦνται δὲ τῇ |
| , καὶ ἐφαπτόμεναι μὲν αἱ ΑΔΓ , ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΕΖΗ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ , καὶ διὰ τοῦ | ||
| ἔστω ὁ ΒΖΓ , ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΕΖΗ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΛΚ , ΚΘ ἑξῆς ἐπὶ |
| ἐκ μὲν τῆς πρὸς μεσημβρίαν πλευρᾶς συνάπτει τῇ καταλεγομένῃ νῦν ζώνῃ ἀραιᾷ σφόδρα οὔσῃ κατὰ τὴν συναφήν , ἄρχεται δὲ | ||
| τῆς Αἰθιοπίας φεύγειν , αἰσθομένης δὲ τῆς μητρὸς καὶ τῇ ζώνῃ τὸν τράχηλον αὐτοῦ σφιγγούσης , ταύτῃ μηδὲ καθ ' |
| ἄρα αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν : παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΠ τῇ ΘΟ . ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων | ||
| ἔστω τὸ ἐπιταχθὲν μέρος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ὑπὸ ΚΜ ΗΠ [ τοῦτο γὰρ προδέδεικται ] , καὶ τῇ ΚΜ |
| , καὶ διὰ τοῦ Η ταῖς ΕΔ , ΔΖ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΗΘ , ΗΚ . λέγω , ὅτι ἴσον | ||
| διάμετρος ἡ ΒΓ , καὶ ἀπὸ τῶν Β , Γ ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς αἱ ΒΖ , ΓΛ , καὶ ἀπὸ |
| ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ δοθεῖσαν εἶναι τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνίαν : καὶ τοῦ Δ ἄρα χωρίου πρὸς τὸ ὑπὸ | ||
| πλευραὶ ἄνισοι , καὶ ἡ μείζων ὑποτείνει τὴν δεδομένην μείζονα γωνίαν . εἰ γὰρ μή ἐστιν ἡ τὴν μείζονα γωνίαν |
| ὄντος πρὸς τῷ νʹ [ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ζηʹ περιφέρειαν τῇ λνʹ περιφερείᾳ ] : καὶ ἔσται ὁ | ||
| τῷ ηʹ ] : λέγω ὅτι τοῦ ἡλίου διαπορευομένου τὴν ζηʹ περιφέρειαν τὸ εʹ ἄστρον οὐ φαίνεται . Ἔστω γὰρ |
| ἀδιάφορος οὖσα ὥσπερ καὶ ἡ κάθετος . διττὴ δὲ ἡ κάθετός ἐστιν , ἡ μὲν ἐπίπεδος , ἡ δὲ στερεά | ||
| ὅλως τὸ τῆς ὀρθῆς εἶδος . σύμβολον γὰρ καὶ ἡ κάθετός ἐστιν ἀρρεψίας καὶ ἀχράντου καθαρότητος καὶ μέτρου θείου καὶ |
| ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΚΜα τῇ ΒΔ , ἡ δὲ ΚΡ τῇ ΑΒ , ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΚΘ , | ||
| τῇ μὲν ΑΓ ἴσην θῶμεν τὴν ΓΔ , τῇ δὲ ΚΡ ἴσην τὴν ΡΧ , καὶ τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν , |
| τὸ ΜΖ : πολλῷ ἄρα τὸ ΜΖ μεῖζόν ἐστι τοῦ ΞΚ . καὶ ἐπεὶ τὰ ΞΝ , ΝΛ , ΛΚ | ||
| , ἡ δὲ ΞΛ τῆς ΠΡ , ὅλη ἄρα ἡ ΞΚ ὅλης τῆς ΚΡ ἐστὶ διπλῆ . Πάλιν ἐπεὶ διπλῆ |
| . καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ , ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ , ὡς δὲ ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ | ||
| ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ , οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ . Δέδοται ἄρα . , ] ἐπεὶ οὖν δεδομέναι |
| καὶ εἴδει , οἷον ὅταν ὀρθὴν λέγωμεν ἢ ὀξεῖαν ἢ ἀμβλεῖαν ἢ ὅλως εὐθύγραμμον ἢ μικτήν : δίδοται καὶ λόγῳ | ||
| πύργοι ἐν αὐτῇ κατασκευάζονται τὴν μὲν ὀξεῖαν , τὴν δὲ ἀμβλεῖαν γωνίαν ποιοῦντες τὰς προσηκούσας πρὸς τὸ τεῖχος : οὕτω |
| ἡ ΑΖ ἐφάψεται τῶν τομῶν ἀμφοτέρων , καὶ ἡ ΔΖ ἐκβαλλομένη τεμεῖ τὰς τομὰς μεταξὺ τῶν Α , Β κατὰ | ||
| καὶ συμπιπτέτω αὐτῇ εὐθεῖα ἡ ΓΔΕ κατὰ τὸ Δ καὶ ἐκβαλλομένη ἐφ ' ἑκάτερα ἐκτὸς πιπτέτω τῆς τομῆς . λέγω |
| τῆς δευτέρας συζυγοῦς διαμέτρου , ὡς δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΠΣ , ΣΑ , τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΓΣ , | ||
| δύσις ἡ Ρ , καὶ κείσθω τῇ ΡΝ ἴση ἡ ΠΣ [ καθ ' ὑπόθεσιν , καὶ ἔστω ἐπὶ τοῦ |
| , ὡς εἶναι τὸ μὲν ἑκούσιον . οἱ πύκται , κλίμαξ εἰσεφέρετο , ὥστε διαστάντας καὶ χώραν λαβόντας μένειν ἐν | ||
| καὶ λοξὰ τῇ θέσει ἔχουσα κλιμάκια , ἀλλ ' ἔστω κλίμαξ ἰσοπαχὴς ἔχουσα τετράγωνα τὰ κλιμάκια . χάριν δὲ τοῦ |
| γραφεισῶν περιφερειῶν αἱ ἀπὸ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπὶ τὰ κέντρα ἐπιζευγνύμεναι περιέξουσι τὴν λείπουσαν ὁμοίως εἰς τὰς δύο ὀρθὰς τῆς | ||
| καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΔ ὀρθή . Τῶν αὐτῶν ὄντων αἱ ἐπιζευγνύμεναι ἴσας ποιοῦσι γωνίας πρὸς ταῖς ἐφαπτομέναις . τῶν γὰρ |
| δύναμιν θέσθαι τὴν ἡμετέραν σπουδάσωμεν καὶ ὥσπερ ὑπ ' ὄψιν ἀγάγωμεν . Δείκνυσι γάρ σου περιφανῶς τὴν ψυχήν , περὶ | ||
| , καὶ γίνονται πεντάκις ε κε . ἐὰν τοίνυν διάμετρον ἀγάγωμεν ἐν τῷ τετραγώνῳ , ὅ ἐστι διαγώνιον , τὸ |
| πρὸς ΖΘ , ὡς δὲ ὁ ΗΕΚ τομεὺς πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα , οὕτως ἡ ὑπὸ ΔΚΖ γωνία πρὸς τὴν | ||
| τοῦ ἐπικύκλου καὶ τὸ Θ κέντρον φερόμενον πάντοτε διὰ τοῦ ΗΘΚ ἐκκέντρου , καὶ τὸν ἀστέρα δὲ αὐτὸν κινούμενον ἐπὶ |
| ὡς ἂν κάθετος ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν τοῦ ἀμβλυγωνίου : δῆλον οὖν , φησίν , ἐκ τῆς παιδικῆς | ||
| τὴν ἐπὶ πᾶν διάστασιν αὐτοῖς ἐνδίδωσι , καὶ ὁ τοῦ ἀμβλυγωνίου λόγος εἰς μέγεθος αὔξει καὶ παντοίαν ἔκτασιν τὰ εἴδη |
| τοὺς τειχομαχοῦντας ἐξωθοῦσι τοῦ τόπου : καὶ ἐὰν τὰ ἄκρα ἐπιζευχθῇ τῶν δυοῖν κριῶν ξύλῳ , ὁμοῦ πολλοὺς ἀπώσεται προεστῶ | ||
| σημείου ἐπὶ τὸ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ πέρας τῆς εὐθείας εὐθεῖα ἐπιζευχθῇ , ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῆς ἀχθείσης καὶ τῆς |
| Αἰγόκερῳ προσνεύσει Κριῷ , ἐν Ὑδροχόῳ προσνεύσει Ἰχθύσι . δευτέρᾳ διχοτομίᾳ ἀποκρούσασα ἐν Ἰχθύσι προσνεύσει Ὑδροχόῳ , ἐν Κριῷ προσνεύσει | ||
| οὕτως μὲν αἱ στερήσεις ποιήσουσι διαφοράν , ἐν δὲ τῇ διχοτομίᾳ οὐ ποιήσουσιν . Ὅτι δ ' οὐκ ἐνδέχεται τῶν |
| διαγομένη εὐθεῖα μήτε τὴν τομὴν τέμνῃ κατὰ δύο σημεῖα μήτε παράλληλος ᾖ τῇ ἀσυμπτώτῳ , συμπεσεῖται μὲν τῇ ἀντικειμένῃ τομῇ | ||
| κατὰ μῆκος τῆς φάλαγγος δεύτερον ζυγόν , καὶ ὁ τούτῳ παράλληλος ὑπ ' αὐτὸν τρίτον , καὶ τέταρτόν ἐστι τὸ |
| γὰρ δείκνυται διὰ τοῦ αʹ τοῦ Ϛʹ στοιχείων , τετραγώνου ἀναγραφέντος ἀπὸ τῆς ΕΓ καὶ συμπληρωθέντος τοῦ ἐπὶ τῆς ΑΕ | ||
| ἐπιπέδων . ἀπὸ γὰρ τῆς πλευρᾶς τοῦ τριγώνου τοῦ εἰκοσαέδρου ἀναγραφέντος πενταγώνου ἐπιζευχθείσης τῆς ὑπὸ δύο πλευρὰς ὑποτεινούσης τοῦ πενταγώνου |
| πλευρὰ ἡ ΔΖ , αἱ δὲ καταγόμεναι ἀπὸ τῶν τομῶν καταχθήσονται ἐπὶ τὴν ΔΕ ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ : ἔσται | ||
| ἡ ΕΚ , αἱ δὲ καταγόμεναι ἀπὸ τῆς τομῆς τεταγμένως καταχθήσονται ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῇ Η . φανερὸν δή |
| δεδομένῳ εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν , δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει . πρὸς θέσει γὰρ δεδομένῃ εὐθείᾳ τῇ | ||
| , ἡ δὲ ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν δευτέραν διάμετρον ἀχθεῖσα παράλληλος τῇ διαμέτρῳ δυνήσεται χωρίον , πρὸς ὃ τὸ |
| δυάδι αὐτοῦ λειπόμενα , πρόσω μὲν ὡς τὸ ἐκ τῶν ββ συγκείμενον , ὀπίσω δὲ ὡς τὸ ἐκ τῶν γγ | ||
| τῇ δγ καὶ εα : ἡ μὲν γὰρ δγ τῆς ββ ὑπερέχει τῇ δγ , ἡ δὲ ββ τῆς εα |
| ἡ μὲν ὑπὸ ΓΝΗ ὀξεῖα , ἡ δὲ ὑπὸ ΔΜΖ ἀμβλεῖα , ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ περιφέρεια τῆς ΔΖ | ||
| . στραγγεύομαι : τί ἐστιν ἡ ἐμὴ προθυμία νωθρὰ καὶ ἀμβλεῖα καὶ τρόπον τινὰ κατὰ στράγγα ; ἡ γὰρ μεταφορὰ |
| καὶ ἀπεναντίον περιφέρεια ἡ ΣΤ καὶ μεταξὺ τῶν ΞΗ , ΣΤ ὁ ἰση - μερινὸς ἔστω ὁ ΥΧΦ . καὶ | ||
| ΠΗΡ , ΣΘ , ΤΥΚ : μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΣΤ περιφέρεια τῆς ΣΠ περι - φερείας . ἀλλ ' |
| , ΒΕΓ τρίγωνα . ἔστιν ἄρα , ὡς τὸ ἀπὸ ΤΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΟ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΕ | ||
| διελθὸν ἐπὶ τὸ Ξ παραγίγνεται : ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΤΝ τῇ ΞΡ . Ἔστω τῆς μὲν ΤΜ ἡμίσεια ἡ |
| τὴν ἁφὴν ἐπιζεύγνυται ἡ ΧΑ , ἡ δὲ παρὰ τὴν ἐφαπτομένην ἦκται ἡ ΓΧ , αἱ ΧΑ , ΓΧ ἄρα | ||
| παραβολή , ἧς ἄξων ὁ ΑΒ : δεῖ δὴ ἀγαγεῖν ἐφαπτομένην τῆς τομῆς , ἥτις πρὸς τῷ ΑΒ ἄξονι γωνίαν |
| , καὶ τῇ κοινῇ τομῇ αὐτῶν τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἐν τῷ ΓΝΔ ἐπιπέδῳ ἡ ΟΦ , ἡ ΟΦ | ||
| : τὸ μετεωρίζεσθαι καὶ ἐπαίρεσθαι καὶ γαυριᾶν : παρὰ τὸ ἦκται ἀκτός καὶ ῥῆμα ἀκτῶ , ἀφ ' οὗ ἀκταίνω |
| ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς οὖσαι διὰ τὸ Ϛʹ αἱ αὐταὶ καὶ συμπίπτουσαι : ὅπερ ἀδύνατον . Ἀντιστρόφιον : ἐὰν ᾖ παράλληλα | ||
| ' αὐτοῖς αἱ ἐν τῶι αὐτῶι ἐπιπέδωι οὖσαι καὶ μὴ συμπίπτουσαι ἐπὶ μηδέτερα μέρη . σαφηνείας δὲ ἕνεκα ἐκ τοῦ |
| τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου . Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω εἰς | ||
| διὰ τοῦ κέντρου τῶν τομῶν , καὶ ἤχθω διάμετρος τῶν τομῶν ἡ ΑΗ , καὶ ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἤχθω ἡ |
| γὰρ δριμύ , ἀϲῶδεϲ : ὀδύνη κατ ' ὀϲφὺν ἐπὶ ῥάχει βαρεῖα : διάταϲιϲ τῶν μερέων , μᾶλλον δὲ τῶν | ||
| παραστάτην ὠνόμαζεν . ὁ δὲ στόμαχος πρόσκειται μὲν ἔνδοθεν τῇ ῥάχει , κατατείνει δ ' εἰς πνεύμονα , ὀνομάζεται δὲ |
| οἱ ΣΤ , ΡΥ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΣΗ τῇ ΘΡ , καὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΗΘ ἑκατέρᾳ | ||
| . Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΔΥ , ΥΕ , ΒΣ , ΣΗ . καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΞ τῇ ΟΕ |
| τὴν ἔνδειαν τῶν ζῴων εὐπειθεῖς ἔσχεν . Εὐρυσθεὺς δ ' ἀχθεισῶν πρὸς αὐτὸν τῶν ἵππων ταύτας μὲν ἱερὰς ἐποίησεν Ἥρας | ||
| διάμετρον εὑρεῖν . γεγονέτω , καὶ ἔστω ἡ ΓΘ . ἀχθεισῶν δὴ τεταγμένως τῶν ΔΖ , ΕΘ καὶ ἐκβληθεισῶν ἔσται |
| καὶ μέρει μέρους , τί κωλύει καὶ τὸ πᾶν τῇ ἀπλανεῖ τὴν πλανωμένην ὁρᾶν , καὶ ταύτῃ τὴν γῆν καὶ | ||
| ἐπὶ τὸ αὐτὸ ἀποκαταστήσεται , κατὰ τὰ αὐτὰ φερομένη τῇ ἀπλανεῖ : ἤτοι δὲ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐπὶ τὸ αὐτὸ |
| λι : τινὲϲ δὲ τὴν ἑτέραν τοῦ λ γραμμὴν ἄλλῃ λοξῇ τέμνοντεϲ δηλοῦϲι τὴν λίτραν , # . τὸ δὲ | ||
| οὕτω ] σφαιρῶν , ὁμαλῇ καὶ ἁπλῇ καὶ τεταγμένῃ , λοξῇ δὲ καὶ διὰ βραδυτῆτα μόνον ὑπολειπομένῃ τῶν ἀπλανῶν ἢ |
| τετράγωνος , τουτέστιν ὁ ε , ἴσος τοῖς ἀπὸ τῶν βδ , δγ τετραγώνοις μετὰ τοῦ δὶς ἐκ τῶν βδ | ||
| οὕτως ἔχει , καθὼς εἴρηται , φανερόν : ἡ γὰρ βδ ὑπερέχει τῆς γα τῇ γδ : ἡ δὲ γα |
| ληφθέντος δέ , οὗ ἔτυχεν , ἐπὶ τῆς τομῆς σημείου ἀχθῶσι δύο εὐθεῖαι ἐπὶ τὴν δευτέραν διάμετρον , ὧν ἡ | ||
| δύο εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι συμπίπτωσι , διὰ δὲ τῶν ἁφῶν παράλληλοι ἀχθῶσι ταῖς ἐφαπτομέναις , καὶ ἀπὸ τῶν ἁφῶν πρὸς τὸ |
| . τὰ δ ' αὐτὰ ὕψη ἐστὶ τῶν ΔΨ , ΒΤ στερεῶν καὶ τῶν ΔΓ , ΒΑ : ἔστιν ἄρα | ||
| , οὕτως τὸ τοῦ ΔΨ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΤ στερεοῦ ὕψος . ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΚ βάσις |
| , οὐδὲ ἄλλο τι τῶν τοιούτων . πρόδηλον οὖν ὡς ὁμόλογος ἥ τε ἀποκοπή , οὐδέν τε ἐμπόδιον ἐπιγινομένου τοῦ | ||
| καὶ ἔστιν οὕτως ἅπας ὁ περὶ εὐδαιμονίας λόγος πρὸς ἑαυτὸν ὁμόλογος , τῶν προηγουμένων καὶ ἐφεπομένων μηδαμῇ διαφωνούντων πρὸς ἄλληλα |
| ἴση ἄρα καὶ ἡ ΒΜ τῇ ΜΘ . ὧν ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ ἴση ἐστίν : λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ | ||
| ἐπικύκλων εὐθεῖαι , ἐπὶ μὲν τὰ ἀπόγεια αἱ ΕΗ καὶ ΕΜ , ἐπὶ δὲ τὰ περίγεια αἱ ΕΚ καὶ ΕΞ |
| ιδ ∠ ʹιβ , καὶ διέστηκεν Ἀλεξανδρείας πρὸς δύσεις ὥρας γεʹ . Τῆς δὲ Ἀχαΐας αἱ μὲν Βοιώτιαι Θῆβαι τὴν | ||
| ἐνιαυτοῦ , ὁ χρόνος ἐστὶν ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν γεʹ περιφέρειαν διαπορεύεται . Καὶ ἐπεὶ τοῦ δʹ ἄστρου ἀνατέλλοντος |
| τὰ οὖν ΗΘ ΘΙ τμήματα ἐλάττω ἐστὶ τοῦ περὶ τὴν ΗΙ τμήματος τοῖς τμήμασι [ καὶ ] τοῖς ὑπὸ τοῦ | ||
| τμήμασιν ἀπὸ τοῦ ἐντὸς κύκλου . τὸ γὰρ ἐπὶ τῆς ΗΙ τμῆμα ἴσον ἦν τοῖς τε ΗΘ ΘΙ τμήμασι καὶ |
| τὰ μὲν οὖν πλεῖστα τούτων φύσει ἔχουσι , τὰ δὲ ἠγμέναι ἀνεπιστημόνως δύσχρηστοί εἰσιν : αἱ τοιαῦται μὲν οὖν κύνες | ||
| καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τῷ ΑΒΓΔ [ ] δύο παράλληλοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΖ , ΓΔ , ἴση ἄρα ἐστὶν |
| τὰς αἰσθήσεις . ̈ . , Π . , Ἐμπεδοκλῆς ἐλλείψει τροφῆς τὴν ὄρεξιν [ . γίνεσθαι ] . . | ||
| : μὴ σπεῖραι παίδων ἄλοκα : παρὰ τὸ αὖλαξ : ἐλλείψει τοῦ υ : καὶ τροπῆ τοῦ α εἰς ο |
| ΘΠ τοῖς # δ , καὶ τῇ γενομένῃ διαστάσει τῆς ΘΠ τοῖς # μϚ ἴσην θῶμεν τὴν ΘΤ , καὶ | ||
| , καὶ τριῶν οὐσῶν περιφερειῶν ὁμοιογενῶν ἀνίσων τῶν ΚΘ , ΘΠ , ΗΘ εἰλήφθω τις περιφέρεια ἡ ΘΡ μείζων μὲν |
| καὶ ἡ ΑΕ τῇ Γ ἐστιν ἴση . Δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων τῶν ΑΒ , Γ ἀπὸ τῆς μείζονος | ||
| μείζων ἐστὶν τῆς ΕΒ ἡμισείας . ] Ἔστω δὲ νῦν δοθεισῶν τῶν ΖΒ ΒΓ τὴν μείζονα ἄκραν εὑρεῖν . Ἤχθω |
| τῶν πηγῶν τοῦ Ὤξου ποταμοῦ διὰ τῶν Καυκασίων ὀρῶν ἐκβαλλομένῃ μεσημβρινῇ γραμμῇ μέχρι πέρατος , οὗ ἡ θέσις ἐπέχει μοίρας | ||
| μὴ [ πρὸς ] ὀρθὰς δὲ τῇ διὰ Κασπίων πυλῶν μεσημβρινῇ , οὐδὲν ἂν ἐγίνετο πλέον πρὸς τὸν συλλογισμόν . |
| ΛΗ μοιρῶν κγ να ἔγγιστα . ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΞΔ μοιρῶν κγ μθ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΜΞ τῇ | ||
| . ἔσται τοίνυν διὰ τοῦ τῆς λοξώσεως κανονίου δοθεῖσα ἡ ΞΔ περιφέρεια μοιρῶν οὖσα κγ μθ : τοσαῦται γὰρ ἐπιβάλλουσιν |
| ἧς ἔσται τότε δηλονότι διὰ τὴν ἰσοχρόνιον τῶν ΗΘ , ΖΝ εἰς τὰ ἐναντία συναποκατάστασιν τὸ κέντρον τοῦ ἐκκέντρου , | ||
| γὰρ αἵ τε ΛΚ ΚΜ ΜΞ καὶ αἱ ΜΖ ΖΞ ΖΝ ΖΛ καὶ ἔτι ἡ ΖΚ . ἐπεὶ οὖν διὰ |
| ΓΑΔ . λέγω , ὅτι ἡ ΓΑΔ τῇ Β οὐ συμπεσεῖται . ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐφαπτομένη ἡ ΕΑΖ . | ||
| Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς ΑΒ τομῆς , ἡ ΓΖ συμπεσεῖται τῇ ΑΒ , εἴτε μή ἐστιν , ὑποκείσθω τὸ |
| δ ' ὥσπερ ἡγεῖται σχεδόν . τὸ γὰρ παραθεῖναι κἀφελεῖν τεταγμένως ἕκαστα , καὶ τὸν καιρὸν ἐπὶ τούτοις ἰδεῖν , | ||
| ἔφασαν , τίνος ἕνεκα τοὺς παῖδας συνεθίζομεν προσφέρεσθαι τὴν τροφὴν τεταγμένως τε καὶ συμμέτρως , καὶ τὴν μὲν τάξιν καὶ |
| , ΑΖ μιᾷ σεληνιακῇ διαμέτρῳ καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τῆς διαμέτρου . Ἑκατέρας δὲ τῶν ΑΓ καὶ ΑΕ δʹ μέρει | ||
| τουτέστιν οὔτε τῶν ἐπὶ τῆς διαμέτρου οὔτε τῶν ἐκτὸς τῆς διαμέτρου . ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓΔ , διάμετρος δὲ |
| ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΓΞ πρὸς ΞΑ , ἡ ΓΠ πρὸς ΑΟ , καί ἐστιν ἡ μὲν ΓΠ τῆς | ||
| δευτέρας καταγραφῆς , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΞ , ΞΓ , ΓΠ . ἐπεὶ οὖν αἱ ΒΞΓ τῆς ΒΓ μείζους εἰσίν |
| ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΝΘΒ οὐ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΘΑΒ , ἡ ἄρα ΝΘ πρὸς ΘΒ ἐλάττονα λόγον ἔχει | ||
| . καί ἐστιν ἡ ΘΑ τῇ ΕΚΛ παράλληλος : ἡ ΘΑΒ διάμετρος ἄρα ἐστὶ τῆς τομῆς , αἱ δὲ ἐπ |
| σημείου δοθέντος τοῦ Ϡ , λαβεῖν δύο σημεῖα ὡς Ε͵ Ζ͵ , ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὴν ΔΗ πρὸς τὴν | ||
| τῆς ΔϠ , κἂν τὸ Θ͵ μεταξὺ βούληται πίπτειν τῶν Ζ͵ Ϡ . οὐδὲν γὰρ ἕξει καὶ ὧδε λέγειν ἀνασκευαστικόν |
| ἡ ΨΟ : λοιπὴ ἄρα ἡ ͵ΑΨ ἴση ἐστὶν τῇ ΟΡ . Διπλῆ δὲ ἡ ΟΡ τῆς ΩΨ : διπλῆ | ||
| ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΟΡ , ἡ ΟΡ πρὸς τὴν ΡΝ , καὶ τὰ διπλάσια : τὰ |
| περιέχουσιν ἴσας γωνίας : ὅμοιον ἄρα τὸ ΔΑΓ τρίγωνον τῷ ΗΑΒ τριγώνῳ ἐπιζευχθείσης τῆς ΒΗ . ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΓΔ | ||
| πρὸς ΗΒ . ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνα τὰ ΒΘΗ , ΗΑΒ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχει : ὀρθαὶ γὰρ |
| πενταγωνισμὸν ἀπὸ πενταγώνου βάσεως , εἶτα ἀνάλογον ἀπὸ ἑξαγώνου καὶ ἑπταγώνου καὶ ὀκταγώνου καὶ ἀεὶ ἐπ ' ἄπειρον . καθάπερ | ||
| η ∠ ʹ ιδʹ . τοσοῦτον ἔσται ἡ πλευρὰ τοῦ ἑπταγώνου . Ἐὰν θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς |
| καὶ διάμετρος ἐκβληθεῖσα ἡ ΑΓΔ , καὶ ἀπὸ τοῦ Δ διῆκται πρὸς τὴν κοίλην περιφέρειαν ἡ ΔΛΞ , περιφέρεια ἄρα | ||
| καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς εἰς τὸν κύκλον διῆκται εὐθεῖα ἡ ΑΓ , ἡ ἄρα ὑπὸ ΘΑΓ ἴση |
| τὸ Γ , καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΑΒ τομῆς τὸ Δ , καὶ δι ' αὐτοῦ ἤχθω παρὰ | ||
| ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ Δ ἐφάψεται τῆς ἀντικειμένης τομῆς . ἔστω γὰρ τὰ αὐτὰ , καὶ τὸ Δ |
| ΑΒ δύο τρίγωνα δεδομένα τῷ εἴδει ἀναγεγράφθω τὰ ΑΒΓ , ΑΔΒ : λέγω , ὅτι λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΓΒ πρὸς | ||
| ἐπίπεδον : τομὴν δὴ ποιήσει μέγιστον κύκλον . ποιείτω νὸν ΑΔΒ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ , ΑΒ , ΒΔ |
| ἡ ὑπὸ ΒΑΞ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση , ἡ δὲ ΞΟ τῇ ΘΚ , ἡ δὲ ΟΠ τῇ ΜΝ . | ||
| περὶ διάμετρον τὴν ΚΝ κύκλος γραφόμενος ὀρθὸς ὢν πρὸς τὴν ΞΟ ὁρίζων ἐστὶ τοῖς πρὸς τῷ Ε οἰκοῦσιν . Ἐπεὶ |