| τὴν ἔνδειαν τῶν ζῴων εὐπειθεῖς ἔσχεν . Εὐρυσθεὺς δ ' ἀχθεισῶν πρὸς αὐτὸν τῶν ἵππων ταύτας μὲν ἱερὰς ἐποίησεν Ἥρας | ||
| διάμετρον εὑρεῖν . γεγονέτω , καὶ ἔστω ἡ ΓΘ . ἀχθεισῶν δὴ τεταγμένως τῶν ΔΖ , ΕΘ καὶ ἐκβληθεισῶν ἔσται |
| τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου . Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω εἰς | ||
| διὰ τοῦ κέντρου τῶν τομῶν , καὶ ἤχθω διάμετρος τῶν τομῶν ἡ ΑΗ , καὶ ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἤχθω ἡ |
| Ο μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΠΟ , καὶ τριῶν οὐσῶν περιφερειῶν ὁμοιογενῶν ἀνίσων τῶν ΚΘ , ΘΠ , ΗΘ εἰλήφθω | ||
| τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν δύο μὲν τῶν ΒΓ , ΕΖ περιφερειῶν , δύο δὲ τῶν ΗΒΓ , ΕΘΖ τομέων εἴληπται |
| πρὸς ἀλλήλους ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖς βάσεσι διαμέτρων . ἔστωσαν ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι , ὧν βάσεις | ||
| δηλονότι τὸ κέντρον αὐτοῦ , καὶ αὐτόθεν ἂν ἐφαίνετο τῶν διαμέτρων ὁ λόγος : ἐπεὶ δ ' ἐλάσσων ἐστὶν αὐτῆς |
| τὸ ἐγγράφεσθαι : τὸ μὲν γὰρ λέγεται ἐπὶ τῶν μὴ ἐφαπτομένων ἀλλήλων ὡς ἐπὶ τοῦδε # : τὸ δὲ ὅταν | ||
| ἀκτίνων ἀπὸ τοῦ κ τοῦ ΛΜΝ ἐπικύκλου ἡ μεταξὺ τῶν ἐφαπτομένων περιφέρεια ἔχουσα τὸ περίγειον ὅλη προσθετική ἐστιν , ἡ |
| οἶδα , ἐὰν ἡ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν ἐστιν ὀρθή , καὶ ποῦ τεθήσονται αἱ μετὰ τῶν | ||
| ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ὑπὸ εὐθειῶν περιεχομένην , ἐλάττονα δὲ τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς |
| ὑπὸ τὴν κλίσιν διάστημα , οὐ σωθήσονται αἱ τοιαῦται τῶν γωνιῶν διαφοραί , παρόσον ὑπερέχουσί τε ἀλλήλας καὶ ὑπερέχονται ὑπ | ||
| ' αὐτοῦ τὸν ἀπὸ τοῦ τετράδι ἐλάσσονος τοῦ πλήθους τῶν γωνιῶν , καὶ τὸν λοιπὸν μερίσαντες εἰς τὸν ηπλ . |
| , ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΓΘ τῇ ὑπὸ ΘΓΒ : ἡμικυκλίων γάρ . οὐκοῦν ἡ ὑπὸ ΗΓΔ ἐλάσσων τῆς ὑπὸ | ||
| γωνίαι ἡμικυκλίων ἴσων εἰσὶν γωνίαι : πᾶσαι αἱ τῶν ἴσων ἡμικυκλίων γωνίαι ἴσαι : αἱ ΑΓ , ΒΔ ἄρα γωνίαι |
| παύονται , ἢ πρόσθεν : οἵ τε κακοηθέστατοι καὶ ἐπὶ σημείων δεινοτάτων γιγνόμενοι τεταρταῖοι κτείνουσιν , ἢ πρόσθεν . Ἡ | ||
| ἐστὶν ἡμῖν , ὅτι οὐ παράδοξον εἰ τὰ τοιαῦτα τῶν σημείων πλειόνων ἐστὶ δηλωτικά : θεμένων γὰρ νόμους , ὥς |
| δύναμιν θέσθαι τὴν ἡμετέραν σπουδάσωμεν καὶ ὥσπερ ὑπ ' ὄψιν ἀγάγωμεν . Δείκνυσι γάρ σου περιφανῶς τὴν ψυχήν , περὶ | ||
| , καὶ γίνονται πεντάκις ε κε . ἐὰν τοίνυν διάμετρον ἀγάγωμεν ἐν τῷ τετραγώνῳ , ὅ ἐστι διαγώνιον , τὸ |
| ἐπὶ τῆς γωνίας πρόβλημα τῇ φύσει στερεὸν ὑπάρχον διὰ τῶν ἐπιπέδων ζητοῦντες οὐχ οἷοί τ ' ἦσαν εὑρίσκειν : οὐδέπω | ||
| , ἃ δὲ στερεά , ἃ δὲ γραμμικά , τῶν ἐπιπέδων ἀποκληρώσαντες τὰ πρὸς πολλὰ χρησιμώτερα ἔδειξαν τὰ προβλήματα ταῦτα |
| ὀκτώ . εἰκάζεται δὲ ὀκταέδρῳ , ὃ περιέχεται ὑπὸ ὀκτὼ τριγώνων ἰσοπλεύρων , ὧν ἕκαστον εἰς ἓξ ὀρθογώνια διαιρεῖται , | ||
| : ἐλάχιστον ἄρα τὸ ΕΑΖ πάντων τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων . πάλιν ἐπεὶ τῶν ΑΗΘ , ΑΓΔ τριγώνων αἵ |
| κύκλων λέγομεν περιέχεσθαι , ὅταν πόλῳ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν κύκλων καὶ διαστήματι τυχόντι γραφέντος κύκλου ἡ ἀπολαμβανομένη αὐτοῦ περιφέρεια | ||
| γδʹ αβδγʹ κύκλων : ὥστε καὶ ἑκάτερος τῶν αβʹ αβδγʹ κύκλων ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ηζθʹ : καὶ ἡ κοινὴ |
| κῶνοι πρὸς ἀλλήλους διπλασίονα λόγον ἔχωσιν ἤπερ τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα , ἰσοϋψεῖς ἔσονται οἱ κῶνοι . καταγεγράφθωσαν οἱ | ||
| καὶ ἐπεὶ τῶν ΚΗΓΔ , ΒΘΕΖ κώνων τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα τὰ ΚΓΔ , ΒΕΖ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν , |
| ἀνωμαλίας ἡ κατ ' ἐπίκυκλον ὑπόθεσις , ὡς ἔφαμεν , περιεχέτω τὸν τρόπον τοῦτον . νοείσθω γὰρ ἐν τῇ τῆς | ||
| ὃς καλείσθω ζῳδιακός . ἡ δὲ κλίσις τῶν ἐπιπέδων τούτων περιεχέτω γωνίαν τοιούτων κγ να κ , οἵων ἐστὶν ἡ |
| ΘΚ , ΚΗ ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ ΒΗΔ , διὰ δὲ τῶν Θ , Κ | ||
| περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων , διὰ δὲ τῶν γενομένων σημείων παράλληλοι κύκλοι γραφῶσιν |
| ἵππων βοῶν κυνῶν καὶ ἁπλῶς ὧν ἔστιν ἀριθμός , οἷον γραμμῶν ἐπιπέδων σωμάτων ἁπλῶς μεγέθους . καὶ γὰρ καὶ τούτων | ||
| καὶ τοῦ Σκορπίου ἑκάτερον ἐν λεʹ , δεικνυμένου διὰ τῶν γραμμῶν , ὅτι ταῦτα μὲν ἐν πλείοσι τῶν λεʹ χρόνων |
| πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Κ σημείου πρὸς τὴν ΠΛΡ περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν , αἰεὶ δ ' ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς | ||
| πρὸς τὴν μεταξὺ τῆς τε διαμέτρου καὶ τῆς παραλλήλου αὐτῇ προσπιπτουσῶν εὐθειῶν , ὡς ἑξῆς δείξομεν : ὥστε οὐδὲ διὰ |
| εἶναι τῇ ΠΡ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΑΠ πρὸς ΠΔ , ἡ ΘΑ πρὸς ΛΔ , ὡς | ||
| μὲν ἔχει λόγον ἡ ΑΛ πρὸς ΛΒ , ἐχέτω ἡ ΑΠ πρὸς ΠΒ , ὃν δὲ ἡ ΔΛ πρὸς ΛΓ |
| [ τοῦτο ] δυνατόν ἐστιν : δειχθήσεται γὰρ ἐπί τινων ὁριζόντων παρθένος μὲν λέοντος ὀρθοτέρα ἀναφερομένη , ἀνάπαλιν δὲ ὁ | ||
| αὐτοῦ ὑπὲρ γῆς ὁρᾶται , τῶν μὲν ἐκ τῶν χθαμαλῶν ὁριζόντων ἐπιπέδων ὄντων , τῶν δὲ ἐξ ὕψους ὁρωμένων κωνοειδῶν |
| γλαφυρίας οὐκ ἀσκόπως παρηδολεσχείσθω . Ἐπανιτέον δὲ ἐπὶ τὴν τῶν πολυγώνων θεωρίαν καὶ προσεκτέον πῶς καὶ καθ ' ὅλων αὐτῶν | ||
| τὰ δύο τρίγωνα ἢ τετράγωνα , ἢ ὡς ἐπὶ τῶν πολυγώνων τὸ τὰς γωνίας ἴσας ἔχειν καὶ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον |
| ἀπὸ τῶν ἴσων γωνιῶν ἐπὶ τὰς βάσεις κάθετοι εὐθεῖαι γραμμαὶ ἀχθῶσιν , ᾖ δέ , ὡς ἡ τοῦ πρώτου τριγώνου | ||
| τομῶν β σημεῖα ληφθῇ , καὶ ἀφ ' ἑκατέρου παράλληλοι ἀχθῶσιν , ὁμοίως ἴσα ἔσται τὰ γινόμενα ὑπ ' αὐτῶν |
| ἀπεδείξαμεν , μοιρῶν Ϙ . φανερὸν δ ' ἐκ τῶν προεφωδευμένων , ὅτι κατὰ τὸ ἀντικείμενον τμῆμα ἡ μὲν φαινομένη | ||
| ἀπογινώσκοντες τὸν δοκοῦντα ἀνίατα νοσεῖν , διὰ δὲ τὴν τῶν προεφωδευμένων πεῖραν εὐθαρσεῖς ὄντες : καὶ ἐπὶ τῶν προκειμένων ὡσαύτως |
| τὴν λυπέουσαν ἀπὸ τοῦ σώματος ἢ ἐν ἄλλῃ τινὶ τῶν περισσῶν ἡμερέων κατὰ τὸν πρότερον εἰρημένον λόγον : οὐ γὰρ | ||
| πάλιν αἱ διαλύσεις . Ἔτι δὲ τῇ μονάδι τῶν ἐφεξῆς περισσῶν γνωμόνων περιτιθεμένων , ὁ γινόμενος ἀεὶ τετράγωνός ἐστι τῶν |
| ΒΖ τῷ ΧΦΨ : καὶ ὁ ΧΦΨ ἄρα πρὸς τὸν ΞΚΟ κέκλιται ὡς ἐπὶ τὰ Ξ μέρη . καὶ ἐπεὶ | ||
| , ΒΖ κοινῇ τομῇ . ἡ δὲ κοινὴ τομὴ τῶν ΞΚΟ , ΒΖ ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Ο σημείου διάμετρος |
| ΘΚΛ . λέγω , ὅτι ἡ μὲν ΕΗ περιφέρεια τῆς ΚΛ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία , ἡ δὲ ΘΚ | ||
| ἐπεζεύχθω ἡ ΗΚ : ἐπ ' εὐθείας ἄρα ἐστὶν τῇ ΚΛ πλευρᾷ τοῦ ἑξαγώνου , διὰ τὸ διμοίρου μὲν εἶναι |
| ἔκστασιν ἐπὶ τὸν Ἀδὰμ καὶ ὕπνωσιν καὶ ἔλαβεν μίαν τῶν πλευρῶν αὐτοῦ καὶ ἀνεπλήρωσεν σάρκα ἀντ ' αὐτῆς . καὶ | ||
| τοῦ ἀπὸ τῆς γδ . τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν τριῶν πλευρῶν τετράγωνα τῆς τε αγ καὶ γδ καὶ δβ ἐλάττονά |
| ἐπί γε τῶν ἀνακλάσεων ἴσας συνίστασθαι γωνίας ὑπὸ τῶν ἡλιακῶν ἀκτίνων ταῖς τῆς ἡμετέρας ὄψεως , ἥτις ἀποδέδεικται πρὸς ἴσας | ||
| . καθόλου δὲ περὶ ὁράσεως οὕτω διωριστέον , ὡς οὐκ ἀκτίνων ἐκπεμπομένων κωνικῶς ἢ σωματικῶς ἢ ἀσωμάτως , ὥς τινες |
| . Ἀλλ ' ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ τὸ Ν τὴν ΝΒ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Β παραγίγνεται , ἡ ΑΕ | ||
| ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἡ ΜΒ τῆς τοῦ δωδεκαέδρου τῆς ΝΒ , δείξομεν οὕτως . Ἐπεὶ γὰρ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ |
| μὲν αβ τοῦ γδ διπλάσιον , τὸ δὲ γδ τοῦ εζ τριπλάσιον . ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν γδ τοῦ εζ | ||
| γδ λόγου πηλικότης πολλαπλασιασθῇ ἐπὶ τὴν τοῦ γδ πρὸς τὸ εζ λόγου πηλικότητα , ποιεῖ τὴν τοῦ αβ πρὸς εζ |
| ΔΕΖ μεῖζον τοῦ ΓΑΒ . Εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν περιγραφομένων αὐτοῖς κύκλων τὰ Η Θ , κάθετοι ἤχθωσαν αἱ | ||
| τούτων μερισμός , ἤδη μέν πως διισταμένων , οὔπω δὲ περιγραφομένων . Ἀλλ ' εἰ ταῦτα οὕτω φύσει διέστηκεν , |
| [ τῶν ] ΔΩ , ΩΒ , ἀναγραφομένου ἀπὸ τῆς ΒΩ τετραγώνου καὶ συμπληρουμένου τοῦ ἐπὶ τῆς ΩΔ παραλληλογράμμου καὶ | ||
| Ω ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΩ διέρχεται , ἡ ΒΩ δύνει : ἐν ᾧ δὲ τὸ Ψ τὴν ΟΨ |
| . 〚 Καὶ 〛 Ἀναξίμανδρος ὑπὸ τῶν κύκλων καὶ τῶν σφαιρῶν , ἐφ ' ὧν ἕκαστος βέβηκε , φέρεσθαι . | ||
| τῶν τοῦ εἰκοσαέδρου , καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν κέντρων τῶν σφαιρῶν τῶν περιεχουσῶν τὰ στερεὰ σχήματα ἐπὶ τὰ ΔΕΖ ΑΒΓ |
| ΘΚ , σύμμετρος δὲ τῇ ΗΘ , καὶ κείσθω τῇ ΘΡ ἴση ἡ ΣΗ , καὶ διὰ τῶν Σ , | ||
| ΞΖ , ΖΟ , ΟΗ , ΗΠ , ΠΘ , ΘΡ , ΡΕ τριγώνων πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ . ἑκάστη |
| εἰς μέρη ιβ , καὶ καλεῖται κοινῶς μὲν ἕκαστον τῶν τμημάτων δωδεκατημόριον , ἰδίως δὲ ἀπὸ τῶν ἐμπεριεχομένων ἀστέρων ὑφ | ||
| ἐστιν ριε νϚ , καὶ ἡ ὑπ ' αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρα μγ μδ : ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΔΖ |
| ἀπεδείχθη μοιρῶν ρνζ ι ἔγγιστα : καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΒ τοῦ ἐπικύκλου περιφέρεια , ἣν ἀπεῖχεν ἡ σελήνη τοῦ | ||
| μείζων ἐστί , καί ἐστιν , ὡς ἡ ΕΛ πρὸς ΛΒ , οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς ΑΒ , καὶ συνθέντι |
| ΝΘ ἄρα πρὸς τὴν ΛΖ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΞ πρὸς τὴν ΖΜ . ἐὰν ἄρα ποιῶμεν , ὡς | ||
| ΞΔ μοιρῶν κγ μθ . μείζων ἄρα ἡ ΞΔ τῆς ΘΞ δευτέροις ἑξηκοστοῖς λ ἀνεπαισθήτοις . Πάλιν ὁ τῆς ὑπὸ |
| ΑΞ ἄρα ἴση τῇ ΤΓ . ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ΑΧ ὅλῃ τῇ ΧΓ ἐστιν ἴση , ἐξ ὧν ἡ | ||
| δύο , ὅπερ δὴ καὶ ὁρᾶται : ἔστι γὰρ τοῦ ΑΧ ὄντος δευτέρου ξου [ ͵γχου ] δύο ἑξηκοστά . |
| εὐθείας κέντροις τοῖς πέρασιν αὐτῆς , διαστήματι δὲ τῇ ἀγομένῃ καθέτῳ ἀπὸ τῆς διχοτομίας αὐτῆς ἐπὶ τὴν παράλληλον αὐτῇ πλευρὰν | ||
| ὅπερ ἄτοπον . Ἐδείχθη γὰρ ἡ ΘΚ κάθετος τῇ ΜΝ καθέτῳ ἴση , αἵτινες κάθετοι ἤχθησαν ἀπὸ τῶν ἐπισταθεισῶν μετεώρων |
| τοῦ ἀπὸ τῆς τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνυούσης τετραγώνου . ἔστω κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΒΓ καὶ ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΔ | ||
| ἐπίπεδα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ , καὶ ἡ κοινὴ τομὴ αὐτῶν τῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται : καὶ ἡ |
| σμύρνα , σίδιον αὖον . Ἕτερον : ἄνθος χαλκοῦ ὀπτὸν ἡμιμοίριον , σμύρνης δύο ἡμιμοίρια , κρόκου τρεῖς μοῖραι , | ||
| κατήντησεν . ἡ μεταφορὰ ἀπὸ τῶν καθορμιζομένων πλοίων εἴρηται . ἡμιμοίριον : τὸ ἥμισυ τῆς δραγμῆς . ἠρύγγη , πόλιον |
| ὅλων , ἀπὸ δὲ τοῦ ἐξ ἀρχῆς κύκλου ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΑΛ , ΔΜ : ἡ ἄρα ἀπὸ | ||
| ὅλων , ἀπὸ δὲ τῶν ἐξ ἀρχῆς κύκλων ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΜΝ , ΠΡ , ἡ ἄρα ἀπὸ |
| τῶι δὲ τετράγωνον , τῶι δὲ ἄλλο καὶ ἄλλο τῶν εὐθυγράμμων [ τῶν ] σχημάτων , ὣς δὲ καὶ μικτῶν | ||
| κατασκευὴν τοῦ μζʹ . ἰστέον δέ , ὅτι τῶν ἀρίστων εὐθυγράμμων δύο τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου καὶ ἰσοπλεύρου τετραγώνου γενέσεις παραδέδωκεν |
| σημείου δοθέντος τοῦ Ϡ , λαβεῖν δύο σημεῖα ὡς Ε͵ Ζ͵ , ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὴν ΔΗ πρὸς τὴν | ||
| τῆς ΔϠ , κἂν τὸ Θ͵ μεταξὺ βούληται πίπτειν τῶν Ζ͵ Ϡ . οὐδὲν γὰρ ἕξει καὶ ὧδε λέγειν ἀνασκευαστικόν |
| ٣ ١٩ ٥٨ ٥٠ ٣٢ τὸ συναμφότερον τῶν ἀπό ٣٢ ١٢ ٤٣ ٥٦ ٥٠ ἡ ΕΜ ٨ ٣ ٤٠ ٥٩ | ||
| ٤ ἡ ΑΒ ٢ ٥٩ ٢٨ ἡ ΓΖ ٢ ١٤ ١٢ ٤ ١٢ ἡ ΒΗ ٢ ١٣ ٤٣ ἡ ΑΗ |
| διαγομένη εὐθεῖα μήτε τὴν τομὴν τέμνῃ κατὰ δύο σημεῖα μήτε παράλληλος ᾖ τῇ ἀσυμπτώτῳ , συμπεσεῖται μὲν τῇ ἀντικειμένῃ τομῇ | ||
| κατὰ μῆκος τῆς φάλαγγος δεύτερον ζυγόν , καὶ ὁ τούτῳ παράλληλος ὑπ ' αὐτὸν τρίτον , καὶ τέταρτόν ἐστι τὸ |
| . περὶ τῶν πρὸς τὸν αὐτὸν κύκλον τοῦ διὰ τῶν πόλων τοῦ ὁρίζοντος γινομένων γωνιῶν καὶ περιφερειῶν . ιγʹ . | ||
| , ἐπειδὴ κατὰ τὰς τοιαύτας σχέσεις οἵ τε διὰ τῶν πόλων τοῦ ὁρίζοντος καὶ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης γραφόμενοι μέγιστοι |
| τὸ ΜΖ : πολλῷ ἄρα τὸ ΜΖ μεῖζόν ἐστι τοῦ ΞΚ . καὶ ἐπεὶ τὰ ΞΝ , ΝΛ , ΛΚ | ||
| , ἡ δὲ ΞΛ τῆς ΠΡ , ὅλη ἄρα ἡ ΞΚ ὅλης τῆς ΚΡ ἐστὶ διπλῆ . Πάλιν ἐπεὶ διπλῆ |
| , τοὺς βουλευτὰς ᾐτησάμην . καὶ τοίνυν διοικήσεως νῦν πρῶτον ἀχθείσης πολλὰ ὑπὸ πολλῶν ἠδικημένος , ὥσπερ εἰκός ἐστι τὸν | ||
| τοῦ ἐκκέντρου πηλικότησιν . κατὰ ταὐτὰ δὲ καὶ ἐνθάδε καθέτου ἀχθείσης ἐπὶ τὴν ΔΒ τῆς ΑΛ , ἐάν τε τὴν |
| Ἔννατον ἐπὶ τοῖς εἰρημένοις δεῖ ζητῆσαι κεφάλαιον , ἐκ πόσων κανόνων δεῖ θηρᾶν τὸν ἑκάστου διαλόγου σκοπόν . χρεία γάρ | ||
| βάσεων , σκελῶν , διαπηγμάτων , ἀγκώνων , ἀξόνων , κανόνων , χελωνῶν , κοχλιῶν , τυμπάνων , τύλων , |
| ٢٠ τὸ ΛΜ ١١٧ ٣٥ ٤٧ ٢٠ τὸ ΝΞ ٣ ٣٦ ٣٥ ٢٠ ὑπὸ ῥητῆς . , ] ταύτης δηλονότι | ||
| ٤٢ Ἡ πλευρὰ τοῦ ΕΓ ٥ ٤٢ ١٤ τὸ ΒΓ ٣٦ ἡ ΖΗ ٤ τὸ ΕΓ ٣٢ ٣٢ ٩ ٥٢ |
| ἐπὶ τῆς ἐκκειμένης ἀποχῆς τῶν Ϙ λ μοιρῶν ἐδείξαμεν τὴν ΖΜ περιφέρειαν μοιρῶν οὖσαν ιβ α , ἵνα , ἐπειδήπερ | ||
| τῆς διχοτομίας τῆς μείζονος τῆς ΓΜ , ἐπεὶ ἔσται ἡ ΖΜ τῇ ΓΜ ἴση . οὐ μὴν οὐδὲ μεταξὺ τῶν |
| , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ , σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ | ||
| , οὕτως ἡ ΒΛ πρὸς ΛΗ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΘ πρὸς ΘΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΜ πρὸς |
| ΓΘΖ ἐστιν ἴση . ἡ δὲ ὑπὸ ΓΘΖ τῇ ὑπὸ ΔΘΗ ἴση : κατὰ κορυφὴν γάρ : καὶ ἡ ὑπὸ | ||
| Β τοῦ ΓΗΒ τριγώνου ἴση τῇ πρὸς τῷ Η τοῦ ΔΘΗ τριγώνου , ἡ δὲ πρὸς τῷ Β τῇ πρὸς |
| . τὰ δ ' αὐτὰ ὕψη ἐστὶ τῶν ΔΨ , ΒΤ στερεῶν καὶ τῶν ΔΓ , ΒΑ : ἔστιν ἄρα | ||
| , οὕτως τὸ τοῦ ΔΨ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΤ στερεοῦ ὕψος . ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΚ βάσις |
| , διὰ δὲ τῆς συμπτώσεως ἀχθῇ εὐθεῖα παρά τινα τῶν ἀσυμπτώτων τέμνουσα τήν τε τομὴν καὶ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσαν | ||
| ἀσύμπτωτόν ἐστι τῷ ΛΔΤΥ ἡμικυκλίῳ : αἱ ἄρα μεταξὺ τῶν ἀσυμπτώτων ἡμικυκλίων τῶν μεγίστων κύκλων οὖσαι τῶν παραλλήλων κύκλων περιφέρειαι |
| ληφθέντος δέ , οὗ ἔτυχεν , ἐπὶ τῆς τομῆς σημείου ἀχθῶσι δύο εὐθεῖαι ἐπὶ τὴν δευτέραν διάμετρον , ὧν ἡ | ||
| δύο εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι συμπίπτωσι , διὰ δὲ τῶν ἁφῶν παράλληλοι ἀχθῶσι ταῖς ἐφαπτομέναις , καὶ ἀπὸ τῶν ἁφῶν πρὸς τὸ |
| κέντρου τῆς σφαίρας ἤπερ ὁ ΠΗΡ , μείζων ἄρα ὁ ΧΦΨ κύκλος τοῦ ΠΗΡ κύκλου . ἐπεὶ οὖν δύο κύκλοι | ||
| Ε , Β μέρη . παράλληλος δὲ ὁ ΒΖ τῷ ΧΦΨ : καὶ ὁ ΧΦΨ ἄρα πρὸς τὸν ΞΚΟ κέκλιται |
| ἡ ΚΒΛ . λέγω , ὅτι ἐστίν , ὡς ἡ ΑΚ πρὸς ΚΘ , οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΗΘ . | ||
| ἴση ἡ ΚΛ τῇ ΚΗ . ἐπεὶ οὖν τὰ ἀπὸ ΑΚ , ΚΗ τοῖς ἀπὸ ΑΒ , ΒΗ ἴσα ἐστί |
| καὶ ἡ ΑΕ τῇ Γ ἐστιν ἴση . Δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων τῶν ΑΒ , Γ ἀπὸ τῆς μείζονος | ||
| μείζων ἐστὶν τῆς ΕΒ ἡμισείας . ] Ἔστω δὲ νῦν δοθεισῶν τῶν ΖΒ ΒΓ τὴν μείζονα ἄκραν εὑρεῖν . Ἤχθω |
| κεκλιμένοι . πάλιν , ἐπεὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ψ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς | ||
| ταπεινότατός ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ Ϡ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς |
| , καὶ τῇ κοινῇ τομῇ αὐτῶν τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἐν τῷ ΓΝΔ ἐπιπέδῳ ἡ ΟΦ , ἡ ΟΦ | ||
| : τὸ μετεωρίζεσθαι καὶ ἐπαίρεσθαι καὶ γαυριᾶν : παρὰ τὸ ἦκται ἀκτός καὶ ῥῆμα ἀκτῶ , ἀφ ' οὗ ἀκταίνω |
| αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ΑΔ πρὸς ΕΔ : καὶ τοῦ ΔΑ ἄρα πρὸς ΕΔ λόγος ἐστὶ δοθείς : καὶ ἀναστρέψαντι | ||
| , κοινὴ δὲ ἡ ΒΑ , καὶ ἔστιν βάσις ἡ ΔΑ βάσει τῇ ΑΖ ἴση , γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ |
| τὴν ἁφὴν ἐπιζεύγνυται ἡ ΧΑ , ἡ δὲ παρὰ τὴν ἐφαπτομένην ἦκται ἡ ΓΧ , αἱ ΧΑ , ΓΧ ἄρα | ||
| παραβολή , ἧς ἄξων ὁ ΑΒ : δεῖ δὴ ἀγαγεῖν ἐφαπτομένην τῆς τομῆς , ἥτις πρὸς τῷ ΑΒ ἄξονι γωνίαν |
| , καὶ διὰ τοῦ Η ταῖς ΕΔ , ΔΖ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΗΘ , ΗΚ . λέγω , ὅτι ἴσον | ||
| διάμετρος ἡ ΒΓ , καὶ ἀπὸ τῶν Β , Γ ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς αἱ ΒΖ , ΓΛ , καὶ ἀπὸ |
| , μάλιστα δὲ τῶν τῆς σελήνης , ἀπὸ τῶν αὐτῶν λαμβανομένων , τὰς κατὰ μῆκος αὐτῶν ἀκριβεῖς ἐποχὰς διακρινοῦμεν ἀπό | ||
| δύο προτάσεων δείκνυταί τι , λέγειν καὶ διὰ πλειόνων προσεχῶν λαμβανομένων καὶ μηδὲν ἄλλο ἀλλ ' ἢ τὸ προκείμενον συμπέρασμα |
| παραδοξότερον φανεῖται τὸ μὴ μόνον συναμφότερον συναμφοτέρῳ , ἀλλὰ καὶ ἑκατέραν τῶν συνισταμένων ἐντὸς ἑκατέρᾳ τῶν ἐκτὸς καὶ ἴσην εἶναι | ||
| ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον , φανερὰ ἡ δεῖξις διὰ τὸ ἑκατέραν τῶν πρὸς τῷ Δ γίνεσθαι ὀρθήν . ἀλλὰ δὴ |
| ἐστιν ὡς ἡ ΟΞ πρὸς τὴν ΨΧ , οὕτως ἡ ΞΒ πρὸς ΒΧ : καὶ ὡς ἄρα ἡ ΧΑ πρὸς | ||
| ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ΛΜ . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΞΒ ἴση τῇ ΒΛ , διὰ τὸ τὸ Β σημεῖον |
| ΥΚ , ΦΧ . ὥστε ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν ΘΝ διέρχεται , ἐν τούτῳ τότε Υ τὴν ΥΞ διαπορεύεται | ||
| ΚΖ , ΖΛ , ΛΗ , ΗΜ , ΜΘ , ΘΝ , ΝΕ . δύο οὖν μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων τοῦ |
| ἐλάσσων ἡ αδʹ , τοῦτο γὰρ φανερόν : ἡ ἄρα αδʹ εὐθεῖα ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ δʹ πρὸς | ||
| ὁρίζοντι . Συμβαλλέτω κατὰ τὸ λʹ σημεῖον καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ αδʹ δλʹ αγʹ . Ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ |
| συμπίπτουσα τῇ ΗΑ κατὰ τὸ Κ , ἡ δὲ ΗΛ συμπίπτουσα τῇ ΒΚ κατὰ τὸ Μ . ἐπεὶ οὖν ἴση | ||
| ἀχθῇ πρὸς ὁποιανοῦν τῶν τομῶν , καὶ ταύτῃ παράλληλος ἀχθῇ συμπίπτουσα ταῖς ἐφεξῆς τρισὶ τομαῖς , τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν |
| , ᾗ ὑπερέχει ὁ κύλινδρος τοῦ τριπλασίου τοῦ κώνου . λελείφθω , καὶ ἔστω τὰ ΑΕ , ΕΒ , ΒΖ | ||
| τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου περιφερείας ὑπὸ τῆς ἴσης τῇ ΗΑʹ . λελείφθω καὶ ἔστω ἡ ΚΒ περιφέρεια . ἐλάσσων ἄρα καὶ |
| . Ἦν δὲ τὸ προκείμενον ὑγιέστερον προτεῖναι καὶ οὕτως . ὀρθογωνίου τυχόντος ὑποκειμένου τοῦ ΑΒΓ λαβεῖν τι σημεῖον ἐντὸς τοῦ | ||
| τὸ δὲ τοῦ ἀμβλυγωνίου ὕψος μὴ ἔλαττον ᾖ τοῦ τοῦ ὀρθογωνίου ὕψους , ἡ πρὸς τῇ κορυφῇ γωνία τοῦ ὀρθογωνίου |
| κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΟΓ ΚΑ ἢ τὸ ὑπὸ Θ ΚΑ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς σφαιρικῆς τοῦ τμήματος ἐπιφανείας . ἀλλὰ | ||
| , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΖ διάμετρος ρκ , ἡ δὲ ΚΑ τῶν αὐτῶν ργ νε : ὥστε καί , οἵων |
| ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς οὖσαι διὰ τὸ Ϛʹ αἱ αὐταὶ καὶ συμπίπτουσαι : ὅπερ ἀδύνατον . Ἀντιστρόφιον : ἐὰν ᾖ παράλληλα | ||
| ' αὐτοῖς αἱ ἐν τῶι αὐτῶι ἐπιπέδωι οὖσαι καὶ μὴ συμπίπτουσαι ἐπὶ μηδέτερα μέρη . σαφηνείας δὲ ἕνεκα ἐκ τοῦ |
| τῆς ΔΒ καὶ τῆς ΒΘ καὶ ἔτι τῆς ΕΘ , καθέτων δ ' ἀγομένων ἐπὶ μὲν τὴν ΔΒ τῆς ΖΚ | ||
| κώνου , οὗ βάσις μὲν ὁ ὑπὸ τῶν πτώσεων τῶν καθέτων γραφόμενος κύκλος , κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ ἐξ |
| ἧς ἔσται τότε δηλονότι διὰ τὴν ἰσοχρόνιον τῶν ΗΘ , ΖΝ εἰς τὰ ἐναντία συναποκατάστασιν τὸ κέντρον τοῦ ἐκκέντρου , | ||
| γὰρ αἵ τε ΛΚ ΚΜ ΜΞ καὶ αἱ ΜΖ ΖΞ ΖΝ ΖΛ καὶ ἔτι ἡ ΖΚ . ἐπεὶ οὖν διὰ |
| ] Κ [ ] Κ ! ! ! [ ] ΤΑ ! [ ] ΠΙ [ ] ΡΙΤ [ ] | ||
| λευκοπώλῳ φέγγος ἡμέρᾳ φλέγειν . Καὶ τὰ λοιπά . . ΤΑ ΔΕ ΛΕΙΨΕΤΑΙ . Τουτέστι , τὸ τῶν κακῶν ἔσχατον |
| ΕΖ ἄρα ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τῶν τροπικῶν συναφῶν ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλουσιν : ἀλλ ' ἐν ᾧ | ||
| τὰ φῶτα ἀλλήλων καὶ τῆς ὥρας ἀλλοτριωθῇ τῷ σχήματι τῶν συναφῶν πρὸς κακοποιοὺς γινομένων καὶ τῶν κέντρων ἢ τῶν ἐπαναφορῶν |
| ὡς μὲν τὴν ΔΗ πρὸς τὴν ΗΕ͵ , οὕτως τὴν ΗΕ͵ πρὸς ΗΖ͵ , καὶ τὴν ΗΖ͵ πρὸς τὴν ΗϠ | ||
| Ζ͵ , ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὴν ΔΗ πρὸς τὴν ΗΕ͵ , οὕτως τὴν ΗΕ͵ πρὸς ΗΖ͵ , καὶ τὴν |
| Βυζαντίου τῷ διὰ Μασσαλίας , ὁ δ ' αὐτὸς καὶ μεσημβρινός ἐστιν ὁ διὰ Βυζαντίου τῷ διὰ Βορυσθένους , ὅπερ | ||
| καὶ ἐὰν μεταξὺ μύριοι στάδιοι ὑπάρχωσιν , ὁ αὐτὸς μένει μεσημβρινός , κατὰ δὲ τὴν ἀπ ' ἀνατολῆς πρὸς δύσιν |
| κέντρου οὖσαν δίχα τέμνουσα : ὥστε καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τεμεῖ , καὶ ἐὰν πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνῃ , καὶ | ||
| τῶν πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτὸν καὶ πρὸς ὀρθὰς τεμεῖ . καί ἐστι κοινὴ τομὴ αὐτῶν ἡ ΒΓ : |
| δ ' ὥσπερ ἡγεῖται σχεδόν . τὸ γὰρ παραθεῖναι κἀφελεῖν τεταγμένως ἕκαστα , καὶ τὸν καιρὸν ἐπὶ τούτοις ἰδεῖν , | ||
| ἔφασαν , τίνος ἕνεκα τοὺς παῖδας συνεθίζομεν προσφέρεσθαι τὴν τροφὴν τεταγμένως τε καὶ συμμέτρως , καὶ τὴν μὲν τάξιν καὶ |
| ΑΒ παραλληλόγραμμον . ἔστω δ ' ἐν αὐτῷ διὰ τῆς ΠΟ εὐθείας κατὰ μέσον σωλήν , ὥστε πελεκυνάριον ἐν αὐτῷ | ||
| ἤχθωσαν διὰ τῶν Κ , Λ παράλληλοι αἱ ΞΟ , ΠΟ . ἐπεὶ οὖν διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΠΟ τῆς |
| πονηρὸς ἔδοξεν , ὥστε μηδ ' ἐκεῖ ⌈ ⌉ τῶν ἴσων ἀξιοῦσθαι τοῖς ἄλλοις , ἀλλὰ κλέπτην ὥς φασι ληφθέντα | ||
| δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὰς ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένας γωνίας ἴσας : καὶ τὴν βάσιν ἄρα |
| τὰ οὖν ΗΘ ΘΙ τμήματα ἐλάττω ἐστὶ τοῦ περὶ τὴν ΗΙ τμήματος τοῖς τμήμασι [ καὶ ] τοῖς ὑπὸ τοῦ | ||
| τμήμασιν ἀπὸ τοῦ ἐντὸς κύκλου . τὸ γὰρ ἐπὶ τῆς ΗΙ τμῆμα ἴσον ἦν τοῖς τε ΗΘ ΘΙ τμήμασι καὶ |
| πέρατος τοῦ Δ , τὴν ὑπὸ ΔΒΗ , ὑποτείνουσαν τοῦ ὁμοκέντρου τῷ ζῳδιακῷ περιφέρειαν μοιρῶν ιγ ιδ . Ἐπεὶ δὲ | ||
| πάροδος τῆς κατὰ τὴν ἀνωμαλίαν , τουτέστιν ἡ γινομένη τοῦ ὁμοκέντρου περιφέρεια τῆς τοῦ ἐπικύκλου : οὕτως γὰρ ἂν οὐ |
| , καὶ ἄλλο τὸ συναμφότερον τοῦτο ὃ οὐκ ἔστιν ἐξ ὁμοταγῶν , οὐδὲ ἐκ στοιχείων , οὐδὲ ἐκ μερῶν , | ||
| ὑπερέχει τοῦ παραδείγματος ἡ ὁμοιότης . Ἡ μὲν δὴ τῶν ὁμοταγῶν ἐπίσης ἔχει πρὸς τὴν ἀντιστροφήν , ἡ δὲ τοῦ |
| ἡ δὲ ΦΩ τῆς παραλλάξεως τοῦ ἡλίου , καὶ ἡ ΤΩ # μβ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΡΥ τῶν αὐτῶν | ||
| ἀνακειμένου , ὄτι μέγιστός ἐστιν ὁ ἀνδριὰς καὶ ἀξιοθαύμαστος . ΤΩ δεσπότῃ μου καὶ σοφῷ στεφηφόρῳ Λέοντι , τῷ κρατοῦντι |
| ΛΗ μοιρῶν κγ να ἔγγιστα . ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΞΔ μοιρῶν κγ μθ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΜΞ τῇ | ||
| . ἔσται τοίνυν διὰ τοῦ τῆς λοξώσεως κανονίου δοθεῖσα ἡ ΞΔ περιφέρεια μοιρῶν οὖσα κγ μθ : τοσαῦται γὰρ ἐπιβάλλουσιν |
| πενταγωνισμὸν ἀπὸ πενταγώνου βάσεως , εἶτα ἀνάλογον ἀπὸ ἑξαγώνου καὶ ἑπταγώνου καὶ ὀκταγώνου καὶ ἀεὶ ἐπ ' ἄπειρον . καθάπερ | ||
| η ∠ ʹ ιδʹ . τοσοῦτον ἔσται ἡ πλευρὰ τοῦ ἑπταγώνου . Ἐὰν θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς |
| ΕΒ , ΒΝ πίπτουσιν . ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΚΕ ὀρθή : καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΔΕ ἐστὶν | ||
| ΘΓ ἐν τῷ ΑΠΘΓ τετραπλεύρῳ . κἂν τυχοῦσα κλασθῇ ἡ ΔΚΕ , αἱ τρεῖς ὁμοῦ αἱ ΔΚ ΚΕ ΕΖ τῶν |
| ἡ ΓΑ , ὀρθία δὲ ἡ ΓΛ , αἱ δὲ καταγόμεναι ἀπὸ τῶν τομῶν ἐπὶ τὴν ΓΑ καταχθήσονται ἐν τῇ | ||
| καὶ φανοῦνται παράλληλοι , αἱ δ ' ἐπὶ τὴν ΑΓ καταγόμεναι διαχθήσονται μὲν ἀπὸ τοῦ Κ , φανοῦνται δὲ τῇ |
| τὸ Γ , καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΑΒ τομῆς τὸ Δ , καὶ δι ' αὐτοῦ ἤχθω παρὰ | ||
| ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ Δ ἐφάψεται τῆς ἀντικειμένης τομῆς . ἔστω γὰρ τὰ αὐτὰ , καὶ τὸ Δ |
| ὄντος πρὸς τῷ νʹ [ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ζηʹ περιφέρειαν τῇ λνʹ περιφερείᾳ ] : καὶ ἔσται ὁ | ||
| τῷ ηʹ ] : λέγω ὅτι τοῦ ἡλίου διαπορευομένου τὴν ζηʹ περιφέρειαν τὸ εʹ ἄστρον οὐ φαίνεται . Ἔστω γὰρ |
| ἐπιπέδῳ ὢν αὐτοῖς , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΟ : ἡ ΜΟ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ διορίζοντος ἐν τῇ σελήνῃ τό | ||
| τῷ ἀπὸ τῆς ΛΜ . ἡ ΛΜ ἄρα δύναται τὸ ΜΟ , ὃ παράκειται παρὰ τὴν ΘΕ πλάτος ἔχον τὴν |
| δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . καὶ οὐδετέρα τῶν ΔΜ , ΜΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ | ||
| πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ , οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς ΔΜ . ἀλλ ' ἦν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ |
| ἄνω κατὰ τὸ Γ . Τὰ πλάγια μήκη ἀπὸ τῶν κοίλων ἐνόπτρων , ὅσα μὲν ἐντὸς τῆς συμπτώσεως κεῖται τῶν | ||
| γὰρ κοιλότητα ἥ τε ἰκμὰς καὶ τὸ μέγεθος παραμυθοῦνται : κοίλων καὶ μικρῶν ἤθη δόλια , ἐπίβουλα ἐν ἀνθρώποις , |
| ἴσα τμήματα ἴσων κύκλων τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ , καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΑΒ , ΔΕ , καὶ κάθετοι | ||
| δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ΑΕΓΔ , καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΑΔ , ΓΕ : κατὰ διάμετρον |
| ἀπὸ τῶν ΚΖ , ΖΕ , τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ : ἡ ΓΕ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΕΚ . | ||
| τῶν ΕΚ ΚΒ : ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ , οὕτως ἡ ΕΚ |
| τῶν λεγομένων κύβων , δοκίδων , πλινθίδων , σφηνίσκων , σφαιρικῶν , παραλληλεπιπέδων , τὴν τῆς προβάσεως τάξιν ἔχουσα τοιαύτην | ||
| κύκλοι , δείκνυταί πως διὰ τοῦ Ϛʹ τοῦ πρώτου τῶν σφαιρικῶν : ὅτι δὲ καὶ ἐπὶ τὰ κέντρα τῶν κύκλων |