| ΑΗΒ γωνία καθ ' ὑπόθεσιν ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΔΘΕ γωνίᾳ : ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΘ | ||
| περιέχωσι , τὸ δὲ Δ σημεῖον ᾖ ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης , ἡ ἀπὸ τῆς |
| δὲ τοῦ ὀϲτέου καὶ τοῦ ὄνυχοϲ ἀπαθῶν μεινάντων ἡ ἐκτὸϲ γωνία τοῦ ὄνυχοϲ ὑποδυομένη καὶ νύττουϲα τὴν ἐπιπεφυκυῖαν αὐτῇ ϲάρκα | ||
| βάσει τοῦ κυλίνδρου , καὶ ὑποκείσθω ἡ πρὸς τῷ Α γωνία ὀξεῖα , καὶ διὰ τοῦ Γ ἤχθω κάθετος ἐπὶ |
| , καὶ ἐφαπτόμεναι μὲν αἱ ΑΔΓ , ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΕΖΗ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ , καὶ διὰ τοῦ | ||
| ἔστω ὁ ΒΖΓ , ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΕΖΗ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΛΚ , ΚΘ ἑξῆς ἐπὶ |
| ἢ πολλαπλασία . Ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , καὶ συνεστάτω τρίγωνον τὸ ΕΖΗ ἑκάστην πλευρὰν ἔχον ἑκάστης τῶν τοῦ | ||
| μείζων ἐστίν . ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΑΒΓ . καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ |
| δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν : καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΕ , ΑΓΒ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . πρὸς δή τινι | ||
| : ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΓΔ μετὰ τῶν ὑπὸ ΓΒΔ , ΑΓΒ οὐ μείζονές εἰσι δυεῖν ὀρθῶν , ὅ ἐστιν αἱ |
| ἔχον τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ , περὶ δὲ τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν αἱ πλευραί , τουτέστι συναμφότερος ἡ ΒΑΓ ὡς | ||
| ὑπὸ ΒΔΕ , ΒΑΓ : αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΔΕ , ΒΑΓ ἐλάττονές εἰσι δυοῖν ὀρθῶν . εἰσὶ δὲ αἱ ὑπὸ |
| ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΑΓ ἴση ἐστίν , καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν , καὶ αἱ | ||
| πρὸς ὅλην καὶ ἀναστρέψαντι καὶ χωρίον χωρίῳ τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΓΒΔ . Φανερὸν δὲ ὅτι |
| δύο σημείων τῶν Β Ε κλάσαι τὴν ΒΝΞΕ καθόλου τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην τῶν κλασμάτων τὸ πλῆθος δοθὲν ἔχουσαν . | ||
| ΒΓ . Διὰ τοῦ δοθέντος ἄρα σημείου τοῦ Α τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ παράλληλος εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΕΑΖ |
| : τὸ Ζ ἄρα σημεῖον ἐντὸς ἔσται τῶν ἀσυμπτώτων τῆς ΑΒΔ τομῆς . καί ἐστιν αὐτῆς ἀντικειμένη ἡ ΓΕ : | ||
| κύκλου , διὰ δὲ τοῦ Β εὐθεῖά τις ἦκται ἡ ΑΒΔ , ἡ ΑΒΔ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΕΖ κύκλου |
| πλευρὰ ἡ ΔΖ , αἱ δὲ καταγόμεναι ἀπὸ τῶν τομῶν καταχθήσονται ἐπὶ τὴν ΔΕ ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ : ἔσται | ||
| ἡ ΕΚ , αἱ δὲ καταγόμεναι ἀπὸ τῆς τομῆς τεταγμένως καταχθήσονται ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῇ Η . φανερὸν δή |
| περιέχουσιν ἴσας γωνίας : ὅμοιον ἄρα τὸ ΔΑΓ τρίγωνον τῷ ΗΑΒ τριγώνῳ ἐπιζευχθείσης τῆς ΒΗ . ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΓΔ | ||
| πρὸς ΗΒ . ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνα τὰ ΒΘΗ , ΗΑΒ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχει : ὀρθαὶ γὰρ |
| τὸ ΒΓ διὰ παντὸς φαίνεται τοῦ ὄμματος μεθισταμένου ἐπὶ τῆς ΒΓΔ περιφερείας . μγʹ . Ἔστι τις τόπος , οὗ | ||
| τῇ ὑπὸ ΒΓΖ . δύο δὴ τρίπλευρά ἐστιν τό τε ΒΓΔ καὶ τὸ ΒΓΖ τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς |
| τῶν ΔΖΕ , περὶ δὲ τὰς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ , ΔΖΕ γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον , ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ | ||
| τῷ ὑπὸ ΝΞΕ τὸ ὑπὸ ΘΜΕ , καὶ τὸ ὑπὸ ΔΖΕ ἄρα μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΘΜΕ , ὥστε καὶ |
| τῇ ὑπὸ ΕΓΖ , τὴν δὲ ὑπὸ ΒΑΚ τῇ ὑπὸ ΕΓΗ , τὴν δὲ ὑπὸ ΚΑΘ τῇ ὑπὸ ΗΓΖ : | ||
| περὶ τὸ ΓΕΗ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , ἡ δὲ ὑπὸ ΕΓΗ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ β ὀρθαὶ τξ |
| πρὸς ΖΘ , ὡς δὲ ὁ ΗΕΚ τομεὺς πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα , οὕτως ἡ ὑπὸ ΔΚΖ γωνία πρὸς τὴν | ||
| τοῦ ἐπικύκλου καὶ τὸ Θ κέντρον φερόμενον πάντοτε διὰ τοῦ ΗΘΚ ἐκκέντρου , καὶ τὸν ἀστέρα δὲ αὐτὸν κινούμενον ἐπὶ |
| ὑπὸ ΕΑΒ . ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνα τὰ ΖΕΒ , ΖΑΒ ἐπὶ μιᾶς βάσεως συνέστηκε , καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ | ||
| ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν ΒΑΗ τομέα , οὕτως ἡ ὑπὸ ΖΑΒ πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ : καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ |
| ΔΕΖ μίαν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ μιᾷ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴσην ἔχοντα , περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς | ||
| γωνίας , ἴσον δὲ ἔστω τὸ ὑπὸ ΒΑΓ τῷ ὑπὸ ΕΔΖ : ὅτι καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον |
| ἄρα πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ΔΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον . καὶ ἀνάπαλιν τὸ | ||
| αἱ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ ΒΑΓ ΓΑΕ , τουτέστιν αἱ ὑπὸ ΔΑΒ ΒΑΕ , τουτέστιν αἱ δύο ὀρθαὶ ἴσαι εἰσὶ ταῖς |
| ΖΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ . καὶ βάσις ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΕΔ ἐστιν ἴση : τὸ γὰρ Ε σημεῖον | ||
| ὑπὸ ΔΗΖ ἴση : καὶ βάσις μὲν ἄρα ἡ ΒΖ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν , γωνία δὲ ἡ ὑπὸ |
| ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ δοθεῖσαν εἶναι τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνίαν : καὶ τοῦ Δ ἄρα χωρίου πρὸς τὸ ὑπὸ | ||
| πλευραὶ ἄνισοι , καὶ ἡ μείζων ὑποτείνει τὴν δεδομένην μείζονα γωνίαν . εἰ γὰρ μή ἐστιν ἡ τὴν μείζονα γωνίαν |
| ἡ ἀπὸ δεδομένου σημείου πρὸς θέσει εὐθείᾳ ἀγομένη εὐθεῖα ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ . ιεʹ . Παρὰ θέσει ἐστὶν ἡ διὰ | ||
| τοῦ βίου , καὶ ὅσα δὲ ἄλλα . πετεινὰ τῇ δεδομένῃ αὐτοῖς φωνῇ κελαδεῖ , καὶ οὐδέν ἐστιν ἄφωνον ἐν |
| ΑΒ δύο τρίγωνα δεδομένα τῷ εἴδει ἀναγεγράφθω τὰ ΑΒΓ , ΑΔΒ : λέγω , ὅτι λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΓΒ πρὸς | ||
| ἐπίπεδον : τομὴν δὴ ποιήσει μέγιστον κύκλον . ποιείτω νὸν ΑΔΒ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ , ΑΒ , ΒΔ |
| δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν , εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ , ΒΗΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι , αἱ ἄρα ὑπὸ | ||
| κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ : λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση : καί εἰσιν |
| ΚΝΡ ἴση τῇ ὑπὸ ΔΕΖ : ἐλάσσων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ . ὥστε καὶ τὸ ΑΒ μέγεθος | ||
| μοίρας δ μϚ , ἃς ὑποθέμενος τοῦ μεγέθους τῆς ὑπὸ ΑΕΒ γωνίας ἐν τῷ θʹ θεωρήματι δείκνυσι διὰ τῶν ἀριθμῶν |
| εὐθείας κέντροις τοῖς πέρασιν αὐτῆς , διαστήματι δὲ τῇ ἀγομένῃ καθέτῳ ἀπὸ τῆς διχοτομίας αὐτῆς ἐπὶ τὴν παράλληλον αὐτῇ πλευρὰν | ||
| ὅπερ ἄτοπον . Ἐδείχθη γὰρ ἡ ΘΚ κάθετος τῇ ΜΝ καθέτῳ ἴση , αἵτινες κάθετοι ἤχθησαν ἀπὸ τῶν ἐπισταθεισῶν μετεώρων |
| ἐπὶ τῆς ἐκκειμένης ἀποχῆς τῶν Ϙ λ μοιρῶν ἐδείξαμεν τὴν ΖΜ περιφέρειαν μοιρῶν οὖσαν ιβ α , ἵνα , ἐπειδήπερ | ||
| τῆς διχοτομίας τῆς μείζονος τῆς ΓΜ , ἐπεὶ ἔσται ἡ ΖΜ τῇ ΓΜ ἴση . οὐ μὴν οὐδὲ μεταξὺ τῶν |
| ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΝΘΒ οὐ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΘΑΒ , ἡ ἄρα ΝΘ πρὸς ΘΒ ἐλάττονα λόγον ἔχει | ||
| . καί ἐστιν ἡ ΘΑ τῇ ΕΚΛ παράλληλος : ἡ ΘΑΒ διάμετρος ἄρα ἐστὶ τῆς τομῆς , αἱ δὲ ἐπ |
| ἄρα ἐστὶν ἡ ΥΛ τῇ ΟΛΚ . Κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΟΛ : λοιπὴ ἄρα ἡ ΥΟ λοιπῇ τῇ ΚΛ ἐστὶν | ||
| ἡ μὲν ΠΟ τῆς ΟΚ , ἡ δὲ ΞΟ τῆς ΟΛ , ἴση ἐστὶ τῇ ΚΟ ἡ ΟΛ . διὰ |
| τὸν αὐχένα κατὰ νῶτα δαφοινὸς καὶ γένεια καθιεὶς ὑπ ' ὀρθῇ καὶ πριονωτῇ τῇ λοφιᾷ βλέπων τε δεινῶς δεδορκὸς καὶ | ||
| ποιεῖν ἐμφερὲϲ ταῖϲ τοῦ Κ δύο κεραίαιϲ ταῖϲ πρὸϲ τῇ ὀρθῇ γραμμῇ ϲημαίνουϲι δραχμήν , ⋖ , τὴν ϲυνωνύμωϲ καὶ |
| καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπὸ τῆς παραλλήλου ἴσον ἔσται τῷ ἀπὸ ΓΧ . διὰ δὲ τοῦτό ἐστιν , ὡς ἡ ΤΧ | ||
| τοῦ Χ πρὸς ὁποιανοῦν τῶν τομῶν προσπιπτέτω τις εὐθεῖα ἡ ΓΧ , καὶ τῇ ΓΧ παράλληλος ἤχθω τέμνουσα τὰς ἐφεξῆς |
| τὴν ἔγγιον τῆς ἀπωτέρω , ἐλαχίστην δὲ τὴν πρὸς τῇ ἐφαπτομένῃ , καθ ' ἣν ἡ μέση κίνησίς ἐστιν , | ||
| συμπτώσει τῶν ἐφαπτομένων διαφέρει τῷ ἀπολαμβανομένῳ τριγώνῳ πρός τε τῇ ἐφαπτομένῃ καὶ τῇ διὰ τῆς ἁφῆς ἀγομένῃ διαμέτρῳ . ἔστωσαν |
| ἴση ἡ ΔΕ , τῇ δὲ ΓΖ ἡ ΖΗ τῆς ΒΔΓ περιφερείας κατὰ τὸ Δ δίχα τετμημένης . λέγω , | ||
| ΒΑΓ . ἀλλὰ τῆς ὑπὸ ΓΕΒ μείζων ἐδείχθη ἡ ὑπὸ ΒΔΓ : πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΓ μείζων ἐστὶ τῆς |
| ὁρίζοντι , ὅταν δὲ κατὰ τὸ Ο , δύνει τῷ ΔΒΓ ὁρίζοντι . Τὰ ἄρα ἀπλανῆ ἄστρα , ὅσα ἐστὶ | ||
| ΠΞ : μεσημβρινὸς γάρ ἐστιν ὁ ΔΑΠ ἐν ἑκατέρῳ τῶν ΔΒΓ ΑΒΓ ὁριζόντων : λοιπὴ ἄρα ἡ ΜΝ ἴση ἐστὶν |
| εἰσίν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΔ , ΔΓΒ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . Τῶν | ||
| δοθεῖσα γωνία ὀρθή , καὶ ἔστω αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΔ , καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε |
| ἔσται τῷ εὐθυγράμμῳ τῷ συγκειμένῳ ἐκ τῶν τριῶν τριγώνων τῶν ΒΖΗ ΒΖΚ ΕΚΖ . τὰ γὰρ ἀπὸ τῶν εὐθειῶν ἐφ | ||
| δὲ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση ἐστὶν τῇ ἐκτὸς τετραπλεύρου τῇ ὑπὸ ΒΖΗ : καὶ ἡ ὑπὸ ΘΖΒ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν |
| ἔσται ἅπαντα κατὰ τὰ αὐτά . Κείσθωσαν τῇ ΕΗ περιφερείᾳ ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΗΘ , ΘΚ , ΚΛ , ἡ | ||
| , ΗΘ , ΘΚ ἐπὶ τῆς τοῦ λοξοῦ κύκλου περιφερείας ἴσαι ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων |
| ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ , ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΘ τῇ ὑπὸ ΔΓΚ ἐστιν ἴση . καὶ περιφέρεια ἄρα | ||
| καὶ ἔστω ὡς ὁ ΒΑΘ : μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΒΘ κύκλος : ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση |
| πολυχρονίως ἡ πανήγυρις τελεσθήσεται . ἄλλως : ἐν ταύτῃ πρῶτον ἀγομένῃ τῇ ἑορτῇ τῶν Ὀλυμπίων παρέστησαν αἱ Μοῖραι καὶ ὁ | ||
| Ω κάθετος ἀγομένη ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Χ καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον , τὰ Ω |
| ὑπὸ ΒΗΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΘΖ , ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἐν κύκλῳ , ἡ | ||
| τῶν ΒΓ , ΕΖ , δύο δὲ γωνιῶν τῶν ὑπὸ ΒΗΓ , ΕΘΖ , εἴληπται τῆς μὲν ΒΓ περιφερείας καὶ |
| ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰς ὑπὸ ΒΗΘ , ΗΘΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας : λέγω , ὅτι παράλληλός ἐστιν | ||
| τῇ ΓΔ . Πάλιν , ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ , ΗΘΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν , εἰσὶ δὲ καὶ αἱ |
| . ἐπεὶ γὰρ αἱ ΑΓ , ΒΔ ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν παράλληλοί εἰσι , διάμετρος μὲν ἡ ΑΒ , τεταγμένως δὲ | ||
| κατὰ πᾶσαν θέσιν ἀσύμπτωτοί εἰσιν ἀλλήλαις καὶ οὐ διὰ τοῦτο παράλληλοί εἰσιν . ἓν οὖν ἔστω τὸ ἐπίπεδον , καὶ |
| οὖν παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΕΓ , ἡ ὑπὸ ΑΔΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΓΔ ἴση ἐστί . δοθεῖσα δὲ | ||
| κέντρον τὸ Β διὰ τῶν Α Γ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΔΓ , καὶ ἐκβε - βλήσθω ἡ ΑΒ ἐπὶ τὸ |
| πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν , ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ ὑπὸ ΑΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΕ , ἡ πλαγία πρὸς τὴν | ||
| ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΑΗΒ κύκλου , ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὸ |
| , καὶ τῇ κοινῇ τομῇ αὐτῶν τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἐν τῷ ΓΝΔ ἐπιπέδῳ ἡ ΟΦ , ἡ ΟΦ | ||
| : τὸ μετεωρίζεσθαι καὶ ἐπαίρεσθαι καὶ γαυριᾶν : παρὰ τὸ ἦκται ἀκτός καὶ ῥῆμα ἀκτῶ , ἀφ ' οὗ ἀκταίνω |
| ὀρθὴ πρὸς τὸ αὐτὸ ἐπίπεδον ἀντὶ τῆς ἰσημερινῆς διαμέτρου ἡ ΕΠ . ὅτι μὲν οὖν ὀρθῆς οὔσης καὶ τῆς ΛΜ | ||
| . καὶ ἔστιν τὸ μὲν ἀπὸ ΕΟ ἴσον τοῖς ἀπὸ ΕΠ ΠΟ , τὸ δὲ ἀπὸ ΤΟ τοῖς ἀπὸ ΤΠ |
| παρὰ τὴν ΗΘ εὐθεῖαν τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΜ ἐν τῇ ὑπὸ ΗΘΜ γωνίᾳ , ἥ ἐστιν ἴση | ||
| συγκείμενον ἔχει λόγον ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΗ πρὸς ΗΜ καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΖΗ πρὸς ΗΛ |
| τρίγωνον τῷ ΑΛΣ τριγώνῳ ἴσον ἔσται , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται , ὑφ ' ἃς | ||
| ἐπειδὴ δεδομέναι μέν εἰσιν αἱ ὑπὸ ΑΕΚ καὶ ὑπὸ ΒΕΞ γωνίαι , δέδοται δὲ καὶ ὁ τῆς ὑπὸ ΓΕΚ πρὸς |
| Α , καὶ τῇ ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἐν τῇ ἑτέρᾳ τομῇ ἡ ΕΖ , καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Η | ||
| τυχόντα σημεῖα , καὶ ἀπ ' αὐτῶν ἀχθῶσιν ἐν τῇ τομῇ παρὰ τὰς ἐφαπτομένας τέμνουσαι ἀλλήλας τε καὶ τὴν γραμμήν |
| ΔΘ μείζων ἐστὶν τῆς ΑΛ . καὶ ἔστιν ὅμοια τὰ ΔΗΘ ΑΚΛ τρίγωνα : ὡς ἄρα ἡ ΔΘ πρὸς ΘΗ | ||
| αὑτή ἐστιν τῇ ὑπὸ ΔΗΘ . δοθεῖσα οὖν ἡ ὑπὸ ΔΗΘ . ἀλλὰ καὶ ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Θ . |
| ἐπίπεδον . λέγω οὖν , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΞΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΛΟΕ γωνίᾳ . ἐπεὶ γὰρ αἱ | ||
| ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ , ἡ ἄρα ὑπὸ ΚΞΑ γωνία ἡ κλίσις ἐστίν , ἐν ᾗ κέκλιται τὸ |
| ἡ μὲν ὑπὸ ΓΝΗ ὀξεῖα , ἡ δὲ ὑπὸ ΔΜΖ ἀμβλεῖα , ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ περιφέρεια τῆς ΔΖ | ||
| . στραγγεύομαι : τί ἐστιν ἡ ἐμὴ προθυμία νωθρὰ καὶ ἀμβλεῖα καὶ τρόπον τινὰ κατὰ στράγγα ; ἡ γὰρ μεταφορὰ |
| : ∼ ιηʹ . Ἔστω δύο ἡμικύκλια ὡς τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ , καὶ ἔστω ἴση ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ , | ||
| , καὶ ἴση ἔσται ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ , καὶ λοιπὴ δηλονότι ἡ πρὸς τῷ Γ λοιπῇ |
| ἐκ τῶν ΑΓ Ε Ζ τρίγωνον συστήσασθαι . συνεστάτω τὸ ΑΓΔ * * * [ καὶ φανερὸν ὅτι εἰ μὲν | ||
| τομεὺς τοῦ ΑΓΕ τομέως : μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ ΑΓΔ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἤπερ ὁ ΑΓΕ τομεὺς |
| ΖΔΜ ὀρθογώνιον κύκλος τξ : ὥστε καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΒΖΔ γωνία τοιούτων ἐστὶν β μδ , οἵων αἱ β | ||
| εἰσὶν αἱ ΒΖ , ΖΔ περιέχουσαι ἀμβλεῖαν , ἡ ὑπὸ ΒΖΔ ἄρα γωνία ἡ λείπουσά ἐστιν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς |
| δὲ τὸ Β , ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΖΔ , ΒΗΕ . λέγω , ὅτι αἱ ΖΔ , ΕΗ οὔτε | ||
| ὑπὸ ΔΗΕ γωνίᾳ . ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΗΕ , ΔΗΕ γωνιῶν : ἡ ΕΗ ἄρα τῇ ΒΔ |
| δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν : καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΒ , ΓΒΑ , ΓΑΒ ἄρα δυσίν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . Παντὸς | ||
| τῶν ΔΗΕ , περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν ΓΒΑ , ΕΔΗ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον , τῶν δὲ λοιπῶν |
| τριγώνῳ ἴσον ἐστίν , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται , ὑφ ' ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ | ||
| ἐπεὶ γὰρ τριγώνου τοῦ ΓΒΝ αἱ γ γωνίαι ταῖς τρισὶν γωνίαις τριγώνου τοῦ ΒΝΚ ἴσαι , ἐξ ὧν αἱ δύο |
| τῇ ΑΕ : μείζων ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΑΝ : ὅπερ ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τὸ κέντρον τῆς | ||
| ἐστίν . ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΝΑ γωνία : ἡ ΑΝ ἄρα ὕψος ἐστὶ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου , |
| ] ΑΝΑΠΑΙΣΤΙΚΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ [ ] ΣΧΕΔΟΝ ΔΗΛΟΝ ΔΙΑ ΤΙ Δ ΟΥΚ ΑΝ ΓΙΓΝΟΙΤΟ [ ] [ ] ΚΑΙ ΤΟ ΑΝΤΕΣΤΡΑΜΜΕΝΟΝ | ||
| ἐν ἁπλοῖς τισιν οὕτω καταπαύσει τὴν κατάστασιν . ΠΑραγραφικῷ . ΟΥΚ ὀφείλω κρίνεσθαι ὑπὲρ ὧν ἄλλοι πεποιήκασιν . ΛΥσεις . |
| τῷ ἀπὸ ΓΧ : ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΚΧ παράλληλον ἄγωμεν , τὸ ὑπὸ τῆς ΤΧ καὶ τῆς | ||
| καὶ ἡ ΣΧ τῇ ΟΦ , ἡ δὲ ΒΦ τῇ ΚΧ . παράλληλος ἄρα . , ] ἐὰν γὰρ δύο |
| ΒΓΖ τῇ ὑπὸ ΓΒΗ . ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ὑπὸ ΑΒΗ γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΖ γωνίᾳ ἐδείχθη ἴση , | ||
| ΑΒΗ τρίγωνον : καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΗ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ |
| ὑπὸ τὴν κλίσιν διάστημα , οὐ σωθήσονται αἱ τοιαῦται τῶν γωνιῶν διαφοραί , παρόσον ὑπερέχουσί τε ἀλλήλας καὶ ὑπερέχονται ὑπ | ||
| ' αὐτοῦ τὸν ἀπὸ τοῦ τετράδι ἐλάσσονος τοῦ πλήθους τῶν γωνιῶν , καὶ τὸν λοιπὸν μερίσαντες εἰς τὸν ηπλ . |
| βάσεως τῆς ΣΤ μείζων , γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίας τῆς ὑπὸ ΣΞΤ μείζων ἐστίν . ἴση δὲ ἡ | ||
| Εὔδημος . Τὸν τὰ τρίγωνα κατὰ τὰς πλευρὰς καὶ τὰς γωνίας καὶ τὰ ἐμβαδὰ συγκρίνειν βουλόμενον ἀναγκαῖον ἢ μόνας τὰς |
| συμπίπτουσα τῇ ΗΑ κατὰ τὸ Κ , ἡ δὲ ΗΛ συμπίπτουσα τῇ ΒΚ κατὰ τὸ Μ . ἐπεὶ οὖν ἴση | ||
| ἀχθῇ πρὸς ὁποιανοῦν τῶν τομῶν , καὶ ταύτῃ παράλληλος ἀχθῇ συμπίπτουσα ταῖς ἐφεξῆς τρισὶ τομαῖς , τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν |
| ΑΚΓΜ κύκλους τινὰς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοὺς ΑΒΓΔ , ΒΚΔ διὰ τῶν πόλων τέμνει , δίχα τε αὐτοὺς τεμεῖ | ||
| , ὀρθὴ δὲ πάντοτε ἡ ὑπὸ ΑΒΕ , δίδοται τὰ ΒΚΔ καὶ ΒΛΕ ὀρθογώνια καὶ λόγος τῆς ΖΒ πρὸς τὰς |
| ἧς ἔσται τότε δηλονότι διὰ τὴν ἰσοχρόνιον τῶν ΗΘ , ΖΝ εἰς τὰ ἐναντία συναποκατάστασιν τὸ κέντρον τοῦ ἐκκέντρου , | ||
| γὰρ αἵ τε ΛΚ ΚΜ ΜΞ καὶ αἱ ΜΖ ΖΞ ΖΝ ΖΛ καὶ ἔτι ἡ ΖΚ . ἐπεὶ οὖν διὰ |
| ΓΖ : ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΜΑ τῷ ὑπὸ ΒΚΓ : ὡς ἄρα ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ , ἡ | ||
| ΚΔ . οὐκοῦν μείζων ἡ ὑπὸ ΔΚΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΚΓ γωνίας . τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα ἔγγιον |
| . καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ , ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ , ὡς δὲ ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ | ||
| ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ , οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ . Δέδοται ἄρα . , ] ἐπεὶ οὖν δεδομέναι |
| τῆς δευτέρας συζυγοῦς διαμέτρου , ὡς δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΠΣ , ΣΑ , τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΓΣ , | ||
| δύσις ἡ Ρ , καὶ κείσθω τῇ ΡΝ ἴση ἡ ΠΣ [ καθ ' ὑπόθεσιν , καὶ ἔστω ἐπὶ τοῦ |
| ὑπεροχή : ἴσον ἄρα τὸ μὲν ἀπὸ ΓΡ τῷ ὑπὸ ΜΡΝ , τὸ δὲ ἀπὸ ΛΣ τῷ ὑπὸ ΜΣΝ . | ||
| συνέσταται ἡ πρὸς τῷ Ρ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΡΜ , ΜΡΝ , ΛΡΝ γωνιῶν : ὅπερ ἔδει ποιῆσαι . Λῆμμα |
| ἡ ὑπὸ ΒΑΞ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση , ἡ δὲ ΞΟ τῇ ΘΚ , ἡ δὲ ΟΠ τῇ ΜΝ . | ||
| περὶ διάμετρον τὴν ΚΝ κύκλος γραφόμενος ὀρθὸς ὢν πρὸς τὴν ΞΟ ὁρίζων ἐστὶ τοῖς πρὸς τῷ Ε οἰκοῦσιν . Ἐπεὶ |
| ΒΗΘ : αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΗΘ , ΒΗΘ τῶν ὑπὸ ΒΗΘ , ΗΘΔ μείζονές εἰσιν . ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ | ||
| τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση . κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ : αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΗΒ , ΒΗΘ ταῖς ὑπὸ |
| ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ , ΒΓ δυσὶ ταῖς ΚΘ , ΘΛ ἴσαι εἰσίν , καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ Β | ||
| καὶ ὡς ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΓΗ , οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΗΚ : ἴσων μὲν ἄρα οὐσῶν τῶν |
| ἡ δὲ ΝΧ τῆς ΔΦ διπλῆ , καὶ λοιπὴν τὴν ΧΓ ἕξομεν τοιούτων νε λδ , οἵων ἐστὶν ἡ ΝΧ | ||
| ἐπεὶ δύο αἱ ΒΥ , ΥΦ δυσὶ ταῖς ΒΧ , ΧΓ ἴσαι εἰσίν , καὶ βάσις ἡ ΒΦ βάσει τῇ |
| μείζους , αἱ λοιπαὶ αἱ ὑπὸ ΒΖΗ , ΔΗΖ δύο ὀρθῶν ἐλάσσους . ἀλλὰ καὶ δύο ὀρθῶν μείζους αἱ αὐταί | ||
| ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ , ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ ' |
| τὴν ΟΛ : δι ' ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΞ πρὸς ΞΚ , οὕτως ἡ ΕΟ πρὸς ΟΛ . | ||
| ἡ ΒΝ ἴση τῇ ΒΚ καὶ τῇ ΠΒ καὶ αἱ ΒΞ , ΞΑ ἴσαι ταῖς ΒΛ , ΛΑ καὶ ταῖς |
| , ] δειχθήσεται δὲ ἑκατέρα τῶν ΒΧ , ΧΓ ἴση ἑκατέρᾳ τῶν ΒΥ , ΥΦ οὕτως : ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τῶν | ||
| ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ , σύμμετρός ἐστι καὶ ἡ ΑΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΗ , ΗΕ . ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ |
| Τῷ ἄρα δοθέντι τριγώνῳ τῷ ΑΒΓ ἴσον παραλληλό - γραμμον συνέσταται τὸ ΖΕΓΗ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΕΖ , ἥτις | ||
| τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ ὑπὸ ΔΓΕ ἴση γωνία εὐθύγραμμος συνέσταται ἡ ὑπὸ ΖΑΗ : ὅπερ ἔδει ποιῆσαι . Ἐὰν |
| , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΔ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΒΑ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Μ : λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ | ||
| καὶ ἐπιζευχθεῖσα μὲν ἡ ΔΛ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Η , τῇ δὲ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς |
| ΟΗ , ὡς δὲ ἡ ΒΝ πρὸς ΝΖ , ἡ ΖΟ πρὸς ΟΘ : ἡ ἄρα ΑΒ πρὸς ΒΓ τὸν | ||
| ΖΟ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΟΘ . καί ἐστι παράλληλος ἡ ΖΟ τῇ ΑΔ : πλαγία μὲν ἄρα πλευρά ἐστιν ἡ |
| τὴν τῆς ὁμαλῆς κινήσεως ὑποτείνει περιφέρειαν , ἡ δὲ ὑπὸ ΑΖΒ τὴν τῆς φαινομένης ἀνωμάλου , ὑπεροχὴ δὲ αὐτῶν ἐστιν | ||
| : τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕΛ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΖΒ καὶ τῷ ἀπὸ ΖΕ τετραγώνῳ . ἀλλὰ τὸ μὲν |
| τὰ παρακείμενα ὀρθογώνια παρὰ τὴν ἑτέραν εὐθεῖαν πλάτος ἔχοντα τὴν ἀπολαμβανομένην ὑπ ' αὐτῶν πρὸς τῇ κορυφῇ τῆς τομῆς ἐλλείποντα | ||
| ἀνάλογον πλάτος ἔχον τὴν ὑπ ' αὐτῆς τῆς τεταγμένως ἀχθείσης ἀπολαμβανομένην πρὸς τῇ τομῇ ἐλλεῖπον εἴδει ὁμοίῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ |
| τρίγωνον διὰ τὸ ἴσον εἶναι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΑΓΔ τριγώνῳ . ἐπισταθὲν δὲ ὁμοίως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κατὰ τὴν | ||
| ' αὑτὸ συμβεβηκότα τοῖς καθόλου ὑπάρχουσιν , οἷον τῷ ἁπλῶς τριγώνῳ τὸ ἔχειν τὰς τρεῖς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας : |
| καὶ τοῦ ΑΗΒΖ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΘ , τοῦ δὲ ΚΓΒ καὶ τοῦ ΑΗΒΖ κοινὴ τομὴ ἡ ΚΒ , τοῦ | ||
| ΓΒ , γωνίαν δὲ τὴν ὑπὸ ΘΓΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΓΒ ἴσην . ὥστε καὶ λοιπὴ μὲν ἡ ὑπὸ ΒΘΔ |
| καὶ τῶν γωνιῶν ἡ ὑπὸ ΕΒΓ καὶ οὐχὶ ἡ ὑπὸ ΕΖΓ . ἔνθεν καὶ πρὸς τὸ ποιήσασθαί τινα κἂν μερικὴν | ||
| τῇ ὑπὸ ΗΖΑ γωνίᾳ : ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΖΓ ὅλῃ τῇ ὑπὸ τῶν ΓΖΗ γωνίᾳ ἴση ἐστίν : |
| [ ] ὀρθὴ ἔσται . Κείσθω πρὸς τῷ Δ γωνία ὀρθὴ [ ἡ ΑΔΕ ] : διάμετρος ἄρα ἡ ΑΕ | ||
| καὶ θεωρίαν δοίημεν τῷ προβλήματι τούτῳ , ἔοικεν ἡ μὲν ὀρθὴ γωνία σύμβολον εἶναι ζωῆς κατ ' ἀρετὴν ἀνιούσης καὶ |
| χαλᾶν ἐμψύχουσι βοηθοῦνται , ὥσπερ τῷ τε σφαιρίῳ καὶ τῇ παρύγρῳ καὶ τῷ διὰ μολυβδαίνης , ἔτι δὲ καὶ τῷ | ||
| ἑφθῷ : ὅταν δ ' ἀποδαρῇ , χρῶ τῇ τρυφερᾷ παρύγρῳ μετὰ μέλιτος . σταφίδες ἀφῃρημένων τῶν γιγάρτων ἢ χλωρὸν |
| . τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὸ Ξ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΑ , ΞΒ , ΞΗ , ΞΓ : ἡ μὲν | ||
| ΕΑ πρὸς ΑΔ : διελόντι , ὡς ἡ ΓΞ πρὸς ΞΑ , ἡ ΕΔ πρὸς ΔΑ . ἐδείχθη δὲ καί |
| τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΗΚΘ τῇ ὑπὸ ΟΛΗ , τουτέστιν ἡ ΠΘ περιφέρεια τῇ ΟΗ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΘΣ τῇ | ||
| ἀπὸ ΕΘ , ΘΗ : καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΠΘ λοιπῷ τῷ ἀπὸ ΘΡ ἴσον ἐστίν : ἴση ἄρα |
| τουτέστι ΔΕ , ΕΖ , ἐλάττους ἔσονται τῶν ΜΞ , ΞΛ , τουτέστι τῆς ΜΝ : ἀλλ ' ἡ ΜΝ | ||
| τουτέστιν αἱ ΔΕ , ΕΖ , δύο ταῖς ΜΞ , ΞΛ , τουτέστι τῇ ΜΝ , ἴσαι εἰσίν . ἀλλὰ |
| τῇ ΑΒ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ , ΒΔ , ΒΖ , ΒΚ , ἔστω δὲ πρότερον ἡ ΒΑ τῆς | ||
| ' ἡ ΖΒ τετραπλασία τῆς ΒΘ : καὶ ἔστιν τῆς ΒΖ διπλασίων ἡ ΖΓ : λόγος ἄρα τῆς ΖΓ πρὸς |
| ὁρίζοντές εἰσιν οἱ ΕΜΖ ΑΒΓ τούτῳ μόνον διαφέροντες τῷ τὸν ΑΒΓ πρὸς ἀνατολὰς μᾶλλον τετάχθαι ἤπερ τὸν ΕΜΖ , τὰ | ||
| : καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἄρα κάθετος ἐπὶ τὸ ΑΒΓ ἐπίπεδον δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ ΟΜΝ ἐπιπέδου . διὰ |
| Ἰστέον , ὡς τὰ μεγέθη τριχῶς : ἢ γὰρ ἐν γραμμῇ ἢ ἐν ἐπιφανείᾳ ἢ ἐν σώματι . ἐν γοῦν | ||
| δὲ τῷ τρίτῳ τῶν γεωγραφικῶν καθιστάμενος τὸν τῆς οἰκουμένης πίνακα γραμμῇ τινι διαιρεῖ δίχα ἀπὸ δύσεως ἐπ ' ἀνατολὴν παραλλήλῳ |
| τῶν ζῳδίων κύκλου τὸ Ε , καὶ κέντρῳ τῷ Β γεγράφθω ὁ ἐπίκυκλος τῆς σελήνης ὁ ΖΗΘ , περιαγέσθω δ | ||
| πάλιν κέντρῳ τῷ Γ , διαστήματι δὲ τῷ ΓΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΚΒ , καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ Α , |
| ΑΔ τῇ ΗΓ , λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΛ λοιπῇ τῇ ΛΗ ἐστὶν ἴση . καὶ εἰσὶ τρεῖς παράλληλοι αἱ ΔΕ | ||
| ἴση , ἡ δὲ ΑΛ τῇ ΔΕ , ἡ δὲ ΛΗ , τουτέστιν ἡ ΛΜ , τῇ ΕΖ , ὡς |
| ἴση ἑκατέρα τῶν ΞΛ , ΛΟ , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΛΠ στερεόν . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς | ||
| ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΟΛ , ΛΠ . ἐπεὶ δὲ οὔκ ἐστιν ἡ τομὴ ὑπεναντία , |
| ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΘΣ τῆς ΝΒ διπλῆ . καὶ συναμφότεραι ἄρα αἱ ΘΣ , ΠΡ τῆς ΝΒΜ ὅλης διπλασίους | ||
| δ ' ἐπὶ τοῦ τριγώνου τῆς βάσεως αἱ εὐθεῖαι συνίστανται συναμφότεραι μείζους τῶν ἐκτὸς αἱ ἐντός , ἀλλὰ καὶ ἐπὶ |
| ὀρθὰς τῷ κύκλῳ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου βάσις ἔστω ἡ ΓΒΔ , καὶ ἤχθωσαν τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ | ||
| τῷ κύκλῳ τριγώνου διὰ τοῦ ἄξονος ἠγμένου βάσις ἔστω ἡ ΓΒΔ , καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἐλάττων ἔστω ὀρθῆς |
| κύνα καύμαϲιν , μετὰ δὲ τὰϲ μ ἡμέραϲ τῆϲ τοῦ κυνὸϲ ἐπιτολῆϲ λύϲαϲ εὑρήϲειϲ ἐξερρυηκὸϲ τὸ ϲῶμα τῆϲ ϲκίλληϲ : | ||
| θαρρῶν . ἐκ τοῦ οδ Θεοδώρου : τοῖϲ δεδηγμένοιϲ ὑπὸ κυνὸϲ λελυϲϲηκότοϲ περίαπτε χαμελαίαϲ ῥίζαν : ὡϲ θαυμαϲτῷ χρῶ . |
| μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ : ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑ ΛΡ καὶ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ | ||
| ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ . ἀλλὰ τῷ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑ ΛΡ , τουτέστιν τῷ ὑπὸ |
| δύναμιν θέσθαι τὴν ἡμετέραν σπουδάσωμεν καὶ ὥσπερ ὑπ ' ὄψιν ἀγάγωμεν . Δείκνυσι γάρ σου περιφανῶς τὴν ψυχήν , περὶ | ||
| , καὶ γίνονται πεντάκις ε κε . ἐὰν τοίνυν διάμετρον ἀγάγωμεν ἐν τῷ τετραγώνῳ , ὅ ἐστι διαγώνιον , τὸ |