| , κοινὴ προσκείσθω ἡ ΝΚΜ περιφέρεια : ὅλη ἄρα ἡ ΛΚΜ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΝΚΜΞ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση . ἡμικυκλίου | ||
| , καὶ διὰ τοῦ Κ ἤχθω πλευρὰ τοῦ κυλίνδρου ἡ ΛΚΜ εὐθεῖα πίπτουσα ἐπὶ τὰς ΕΗ , ΖΘ περιφερείας ἐκβαλλομένη |
| δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . καὶ οὐδετέρα τῶν ΔΜ , ΜΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ | ||
| πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ , οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς ΔΜ . ἀλλ ' ἦν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ |
| ΚΜ κάθετός ἐστιν ἡ ΕΛ . ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν ΚΜ ΕΛ ἐπίπεδον καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον | ||
| τῶν ὑπὸ ΟΚΛ ΟΚΜ , ἴση ἄρα καὶ ἡ μὲν ΚΜ τῇ ΚΛ , μείζων δὲ ἡ ΚΞ πολλῷ τῆς |
| ἡ μὲν ὑπὸ ΓΝΗ ὀξεῖα , ἡ δὲ ὑπὸ ΔΜΖ ἀμβλεῖα , ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ περιφέρεια τῆς ΔΖ | ||
| . στραγγεύομαι : τί ἐστιν ἡ ἐμὴ προθυμία νωθρὰ καὶ ἀμβλεῖα καὶ τρόπον τινὰ κατὰ στράγγα ; ἡ γὰρ μεταφορὰ |
| ἐστιν ἴση , λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ περιφέρεια λοιπῇ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση . πενταγώνου δὲ ἡ ΓΔ : δεκαγώνου | ||
| ἐστὶν ἴση . ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΔ , ἡ ΔΘ πρὸς ΘΖ , ἴση δὲ ἡ |
| ἀπὸ ΖΝ ΝΒ ὑπεροχῇ . ἀλλὰ ἡ τῶν ἀπὸ ΖΔ ΔΒ ὑπεροχή ἐστιν τὸ ὑπὸ ΑΒΔ : καὶ ἡ τῶν | ||
| ΑΓ , ΓΒ ἔλαττον τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΔ , ΔΒ , λείπεται τὰ ἀπὸ τῶν ΑΓ , ΓΒ τετράγωνα |
| εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ βάσις ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΕΗ ἴση ἐστί , γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ | ||
| τῆς ΔΗ ; ἢ διότι ἡ ΔΗ διπλασία ἐστὶ τῆς ΕΗ : δίχα γὰρ ἐτμήθη ἡ ΔΗ κατὰ τὸ Ε |
| τὸ ὀρθὸν ἑστάναι τὸν κύλινδρον . πιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΚΙ , καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ι ἐπὶ τὸ Α | ||
| . ὑπερπιπτέτω οὖν , εἰ δύνατον , καὶ ἔστω ἡ ΚΙ , καὶ τετμήσθω ἡ ΖΗ τῇ ΒΓ ὁμοίως κατὰ |
| , οὕτως ἡ ΚΔ πρὸς ΔΘ . ὡς δὲ ἡ ΚΔ πρὸς ΔΘ , οὕτως ἡ ΚΖ πρὸς ΘΗ : | ||
| ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς ἐφαπτομένας ἐστὶν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΔ , ἡ ΒΘ πρὸς ΘΔ , καὶ ἔστιν ἡ |
| τῶν ΑΕ καὶ ΕΓ ὑπόκειται Ϛ , ἑκατέρα δὲ τῶν ΑΘ καὶ ΘΓ τῶν αὐτῶν Ϛ ι , καὶ ὀρθή | ||
| ἴση . ἔστω πρότερον μείζων : μείζων ἄρα καὶ ἡ ΑΘ τῆς ΘΔ . τετμήσθω ἡ ΑΔ δίχα κατὰ τὸ |
| ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΓΕ , ΔΖ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ , ΖΒ , ΕΒ . καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν | ||
| ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ , οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΕ , δι ' ἴσου ἄρα ἐστὶν |
| ἡ ΕΚ ἄρα τεταρτημορίου ἐστίν : ἰσημερινὸς ἄρα ἐστὶν ὁ ΗΖΘ . καὶ ἐπεὶ αἱ ΕΚ , ΚΛ ἴσον ἀπέχουσι | ||
| ὑπὸ ΚΖΔ ἴση τῇ ὑπὸ ΗΖΘ : καὶ ἡ ὑπὸ ΗΖΘ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ . ἴση ἄρα |
| πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν , ὡς δὲ ἡ Κ πρὸς ΗΖ , ἡ ΘΗ πρὸς ΗΑ διὰ τὸ ἴσον εἶναι | ||
| τῇ ΚΖ : ὅπερ ἀδύνατον : ἡ γὰρ ΕΗ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση . οὐκ ἄρα διάμετρός ἐστιν ἡ ΑΘ |
| , τεταγμένως δὲ ἐπ ' αὐτὴν κατηγμέναι αἱ ΚΛ , ΞΝ , ΗΖ : ἔσται οὖν , ὡς ἡ ΑΒ | ||
| , ΜΛ . καί ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΚΞ , ΞΝ μείζονα τῶν ἀπὸ τῶν ΚΜ , ΜΛ : ἡ |
| τὴν ΜΖ : καὶ περὶ ὀρθὰς γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν ΔΚ , ΚΒ , ΜΝ , ΜΖ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν | ||
| ΚΜΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΜΔ ἴση : βάσις ἄρα ἡ ΔΚ βάσει τῇ ΔΒ ἴση ἐστίν . λέγω [ δή |
| ἀπεδείχθη μοιρῶν ρνζ ι ἔγγιστα : καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΒ τοῦ ἐπικύκλου περιφέρεια , ἣν ἀπεῖχεν ἡ σελήνη τοῦ | ||
| μείζων ἐστί , καί ἐστιν , ὡς ἡ ΕΛ πρὸς ΛΒ , οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς ΑΒ , καὶ συνθέντι |
| τῇ ΑΒ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ , ΒΔ , ΒΖ , ΒΚ , ἔστω δὲ πρότερον ἡ ΒΑ τῆς | ||
| ' ἡ ΖΒ τετραπλασία τῆς ΒΘ : καὶ ἔστιν τῆς ΒΖ διπλασίων ἡ ΖΓ : λόγος ἄρα τῆς ΖΓ πρὸς |
| ΔΗΒ , ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΖ , ἐὰν ἐπιζευχθῇ ἡ ΕΒ , τῇ ὑπὸ ΒΕΖ , τουτέστιν τῇ ὑπὸ ΒΓΗ | ||
| ΓΔ , καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΓΔΕ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ καὶ ΕΒ καὶ ΑΒ , κάθετοι δ ' ἤχθωσαν ἀπὸ μὲν |
| ΚΝΡ ἴση τῇ ὑπὸ ΔΕΖ : ἐλάσσων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ . ὥστε καὶ τὸ ΑΒ μέγεθος | ||
| μοίρας δ μϚ , ἃς ὑποθέμενος τοῦ μεγέθους τῆς ὑπὸ ΑΕΒ γωνίας ἐν τῷ θʹ θεωρήματι δείκνυσι διὰ τῶν ἀριθμῶν |
| τῶν ΔΖΕ , περὶ δὲ τὰς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ , ΔΖΕ γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον , ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ | ||
| τῷ ὑπὸ ΝΞΕ τὸ ὑπὸ ΘΜΕ , καὶ τὸ ὑπὸ ΔΖΕ ἄρα μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΘΜΕ , ὥστε καὶ |
| διὰ τοῦ Δ ἡμικύκλια , ἵνα ἡ ἐφαπτομένη ἑκάστου αὐτῶν προσεκβαλλομένη ἐπὶ τὴν τοῦ μείζονος ἡμικυκλίου περιφέρειαν τὴν μεταξὺ τῆς | ||
| ἣν ἄγονται καὶ τῆς παρ ' ἣν δύνανται , καὶ προσεκβαλλομένη ἕως τοῦ ἑτέρου μέρους τῆς τομῆς δίχα τμηθήσεται ὑπὸ |
| ἄρα ἐστὶν ἡ ΥΛ τῇ ΟΛΚ . Κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΟΛ : λοιπὴ ἄρα ἡ ΥΟ λοιπῇ τῇ ΚΛ ἐστὶν | ||
| ἡ μὲν ΠΟ τῆς ΟΚ , ἡ δὲ ΞΟ τῆς ΟΛ , ἴση ἐστὶ τῇ ΚΟ ἡ ΟΛ . διὰ |
| τὸ τρίγωνον τὸ ΑΖΕ κύκλος περιγεγράφθω , καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἡ ΑΛ καὶ ἡ ΑΚ . εἴτε δὲ ὀξεῖα εἴη ἡ | ||
| τῆς ΔΑ πρὸς ΑΖ δοθήσεται καὶ ὁ τῆς ΖΑ πρὸς ΑΛ , διὰ δὲ τοῦτο καὶ ἥ τε ὑπὸ ΑΖΔ |
| ἡ ΠΜ πρὸς τὴν ΒΛ , οὕτως ἡ ΜΑ πρὸς ΛΑ . μείζων δὲ ἡ ΜΑ τῆς ΛΑ : μείζων | ||
| ὡς ἄρα ἡ ΖΓ πρὸς ΓΑ , ἡ ΖΛ πρὸς ΛΑ . Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν ἡ ἀπὸ τοῦ σημείου |
| λ , ἡ δὲ ΔΕ ρκ , τοιούτων ἐστὶν ἡ ΓΕ εὐθεῖα α κ κγ . τῶν δὲ αὐτῶν ἐδείχθη | ||
| τῆς παρούσης καταγραφῆς τὸ ἕτερον εἶδός ἐστιν : ἡ γὰρ ΓΕ ἴση ἐστὶ τῇ ΔΒ . τέμνουσαν ἔλαβεν ὁ στοιχειωτὴς |
| ΒΛ πρὸς ΛΝ . ] ὡς δὲ ἡ ΓΛ πρὸς ΛΝ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΛ τετράγωνον πρὸς τὸ | ||
| ὁ μὲν ΓΜ κύλινδρος τῷ ΕΒ κυλίνδρῳ , ὁ δὲ ΛΝ ἄξων τῷ ΗΘ ἄξονι : ἔστιν ἄρα ὡς ὁ |
| ΑΞ ἄρα ἴση τῇ ΤΓ . ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ΑΧ ὅλῃ τῇ ΧΓ ἐστιν ἴση , ἐξ ὧν ἡ | ||
| δύο , ὅπερ δὴ καὶ ὁρᾶται : ἔστι γὰρ τοῦ ΑΧ ὄντος δευτέρου ξου [ ͵γχου ] δύο ἑξηκοστά . |
| ἐλάττονές εἰσιν , ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΕΓ , αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ , ΔΕΓ δύο ὀρθῶν | ||
| ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ . ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ |
| καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπὸ τῆς παραλλήλου ἴσον ἔσται τῷ ἀπὸ ΓΧ . διὰ δὲ τοῦτό ἐστιν , ὡς ἡ ΤΧ | ||
| τοῦ Χ πρὸς ὁποιανοῦν τῶν τομῶν προσπιπτέτω τις εὐθεῖα ἡ ΓΧ , καὶ τῇ ΓΧ παράλληλος ἤχθω τέμνουσα τὰς ἐφεξῆς |
| ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ , ΒΓ δυσὶ ταῖς ΚΘ , ΘΛ ἴσαι εἰσίν , καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ Β | ||
| καὶ ὡς ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΓΗ , οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΗΚ : ἴσων μὲν ἄρα οὐσῶν τῶν |
| τῆς ΑΒ ⸎ ٥٢ ٢٥ ٣٦ ١٦ ἡ ΓΖ ٢ ١٣ ٦ ٢٤ ٤ ἡ ΑΗ ٤ ٣٧ ٥٣ λοιπὸν | ||
| ٤٤ ٣ ἡ ΓΔ ٧ ١٥ ٣٣ ἡ ΔΖ ٥ ١٣ ٣٠ Ἡ ΓΖ ١ ٢٧ ٤٩ ٣٣ ἡ ΖΘ |
| ἴση ἡ ΔΕ , τῇ δὲ ΓΖ ἡ ΖΗ τῆς ΒΔΓ περιφερείας κατὰ τὸ Δ δίχα τετμημένης . λέγω , | ||
| ΒΑΓ . ἀλλὰ τῆς ὑπὸ ΓΕΒ μείζων ἐδείχθη ἡ ὑπὸ ΒΔΓ : πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΓ μείζων ἐστὶ τῆς |
| ἧς ἔσται τότε δηλονότι διὰ τὴν ἰσοχρόνιον τῶν ΗΘ , ΖΝ εἰς τὰ ἐναντία συναποκατάστασιν τὸ κέντρον τοῦ ἐκκέντρου , | ||
| γὰρ αἵ τε ΛΚ ΚΜ ΜΞ καὶ αἱ ΜΖ ΖΞ ΖΝ ΖΛ καὶ ἔτι ἡ ΖΚ . ἐπεὶ οὖν διὰ |
| ἡ ΛΜ μείζων ἐστίν : πολλῷ ἄρα ἡ ΜΛ τῆς ΝΟ μείζων ἐστίν . ἀλλὰ καὶ ἴση : ὅπερ ἐστὶν | ||
| ἐστὶν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΝΞ , ἡ ΚΜ πρὸς ΝΟ . καὶ τὰ τετράγωνα . καὶ ὡς ἓν πρὸς |
| : τὸ Ζ ἄρα σημεῖον ἐντὸς ἔσται τῶν ἀσυμπτώτων τῆς ΑΒΔ τομῆς . καί ἐστιν αὐτῆς ἀντικειμένη ἡ ΓΕ : | ||
| κύκλου , διὰ δὲ τοῦ Β εὐθεῖά τις ἦκται ἡ ΑΒΔ , ἡ ΑΒΔ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΕΖ κύκλου |
| . καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΒ , ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΒΝ , ἴση δὲ | ||
| ἔτυχεν , εὐθεῖα ἡ ΚΒ , καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΚΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Κ τῇ |
| ἡ ΚΒΛ . λέγω , ὅτι ἐστίν , ὡς ἡ ΑΚ πρὸς ΚΘ , οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΗΘ . | ||
| ἴση ἡ ΚΛ τῇ ΚΗ . ἐπεὶ οὖν τὰ ἀπὸ ΑΚ , ΚΗ τοῖς ἀπὸ ΑΒ , ΒΗ ἴσα ἐστί |
| διαγομένη εὐθεῖα μήτε τὴν τομὴν τέμνῃ κατὰ δύο σημεῖα μήτε παράλληλος ᾖ τῇ ἀσυμπτώτῳ , συμπεσεῖται μὲν τῇ ἀντικειμένῃ τομῇ | ||
| κατὰ μῆκος τῆς φάλαγγος δεύτερον ζυγόν , καὶ ὁ τούτῳ παράλληλος ὑπ ' αὐτὸν τρίτον , καὶ τέταρτόν ἐστι τὸ |
| σημεῖα τὰ Γ Δ : ὅτι , ἐὰν τὸ ἀπὸ ΑΔ καὶ τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ τὸν | ||
| γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΕΑΔ , θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ . . . Ἄλλως . Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΒΓ |
| αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ΑΔ πρὸς ΕΔ : καὶ τοῦ ΔΑ ἄρα πρὸς ΕΔ λόγος ἐστὶ δοθείς : καὶ ἀναστρέψαντι | ||
| , κοινὴ δὲ ἡ ΒΑ , καὶ ἔστιν βάσις ἡ ΔΑ βάσει τῇ ΑΖ ἴση , γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ |
| , ὁ δὲ ΒΛ τοῦ ΔΖ ἥμισυ , τοῦ ἄρα ΒΛ ἥμισυ ἔσται ὁ ΔΚ . ἦν δὲ ὁ ΒΛ | ||
| ΒΛ περιφερείᾳ : καὶ ἡ ΔΚ ἄρα ὁμοία ἐστὶ τῇ ΒΛ . Καὶ εἰσὶ τοῦ αὐτοῦ κύκλου : ἴση ἄρα |
| ἐπὶ τῆς ἐκκειμένης ἀποχῆς τῶν Ϙ λ μοιρῶν ἐδείξαμεν τὴν ΖΜ περιφέρειαν μοιρῶν οὖσαν ιβ α , ἵνα , ἐπειδήπερ | ||
| τῆς διχοτομίας τῆς μείζονος τῆς ΓΜ , ἐπεὶ ἔσται ἡ ΖΜ τῇ ΓΜ ἴση . οὐ μὴν οὐδὲ μεταξὺ τῶν |
| ἀπὸ τῶν ΕΖ , ΖΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ , τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΕΖ , ΖΛ ἴσον | ||
| ΓΔ : τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕ ΕΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΕ ΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΔ . ιθʹ . |
| , ΖΗ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΘ , ΒΗ : λέγω , ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον | ||
| ἴσῳ τριγώνῳ τῇ ΒΖ , γίνεται ὡς συναμφότερος ἡ ΖΒ ΒΗ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΖ τετράγωνον |
| οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ , ἔσται ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ | ||
| στερεὸν πρὸς τὸν ΑΒΓΔΛ κῶνον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΒΔ . ὡς δὲ τὸ Ξ στερεὸν |
| ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΔΓ πρὸς ΓΒ : πολλῷ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ΕΓ | ||
| καὶ τὸ ΕΖ . , ] ὅμοιον γάρ ἐστι τῷ ΔΓ δεδομένῳ . Καί ἐστιν ἴσον τοῖς ΑΓ , ΚΘ |
| ιη με , ἡ δὲ λοιπὴ εἰς τὸ τεταρτημόριον ἡ ΘΑ τῶν αὐτῶν οα ιε . ἐπειδὴ οὖν κατὰ τὰ | ||
| τετράγωνον Μβ ͵εωμε νε , τὸ δ ' ἀπὸ τῆς ΘΑ ὁμοίως ͵γφξη δ , ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ |
| τῇ ΑΕ : μείζων ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΑΝ : ὅπερ ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τὸ κέντρον τῆς | ||
| ἐστίν . ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΝΑ γωνία : ἡ ΑΝ ἄρα ὕψος ἐστὶ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου , |
| ΘΚΛ . λέγω , ὅτι ἡ μὲν ΕΗ περιφέρεια τῆς ΚΛ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία , ἡ δὲ ΘΚ | ||
| ἐπεζεύχθω ἡ ΗΚ : ἐπ ' εὐθείας ἄρα ἐστὶν τῇ ΚΛ πλευρᾷ τοῦ ἑξαγώνου , διὰ τὸ διμοίρου μὲν εἶναι |
| ΕΘ εὐθεῖα ε ιη , τοιούτων ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΖΞ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , ἡ δὲ | ||
| τὸ τοῦ διὰ μέσων ἐπίπεδον αἱ ΔΜ καὶ ΕΝ καὶ ΖΞ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἵ τε ΘΜ καὶ ΚΝ καὶ |
| δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν , εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ , ΒΗΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι , αἱ ἄρα ὑπὸ | ||
| κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ : λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση : καί εἰσιν |
| ἡ δὲ ΝΧ τῆς ΔΦ διπλῆ , καὶ λοιπὴν τὴν ΧΓ ἕξομεν τοιούτων νε λδ , οἵων ἐστὶν ἡ ΝΧ | ||
| ἐπεὶ δύο αἱ ΒΥ , ΥΦ δυσὶ ταῖς ΒΧ , ΧΓ ἴσαι εἰσίν , καὶ βάσις ἡ ΒΦ βάσει τῇ |
| ٤٠ τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν ٢ ١٨ ٤ ٤٥ ١٨ ٤٥ οὗ ἡ πλευρά ١ ٣١ ١ ١٤ | ||
| ٢٢ ١٠ ٢٠ τὸ ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ΑΔ ١ ٤٥ ἡ ΔΗ ١٠ ١٨ ٥ ٤٠ ἡ ταύτης ἡμίσεια |
| ΨΣ , κοινὴ δὲ ἡ ΨΟ , βάσις δὲ ἡ ΒΟ βάσεως τῆς ΣΟ μείζων ἐστίν , καὶ γωνία ἡ | ||
| ἐστὶ τῷ ΜΠ . καὶ κοινοῦ προστεθέντος ἢ ἀφαιρουμένου τοῦ ΒΟ τὸ ΒΠ ἴσον ἐστὶ τῷ ΞΣ . Ἐὰν ἐν |
| τῇ ΒΖ κατὰ τὸ Θ , ἡ δὲ ΑΛ τῷ ΒΜΖ ἡμικυκλίῳ κατὰ τὸ Μ , ἐπεζεύχθωσαν δὲ καὶ αἱ | ||
| αἱ ΚΔ ΜΙ ΜΘ . ἐπεὶ οὖν ἑκάτερον τῶν ΔΚΑ ΒΜΖ ἡμικυκλίων ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον , καὶ |
| , τοιούτων # λγ . τοσούτων ἐστὶν ἄρα καὶ ἡ ΛΤ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρεια . ἐπεὶ οὖν καὶ ἐπὶ τῆς | ||
| δὴ ἡ μὲν ΙΤ παρὰ τὴν ΔΠ , αἱ δὲ ΛΤ , ΜΥ παρὰ τὰς ΑΠ , ΟΡ . καὶ |
| τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ διαμέτρου , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΦΝ , ΝΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ : ὃ | ||
| τῇ ἀνατολῇ τμήματα ὅμοια εἶναι : ὁμοία ἄρα ἔσται ἡ ΦΝ τῇ ͵ΑΟ . Ἀλλ ' ἡ ΦΝ τῇ ΨΡ |
| καὶ ΕΡ καὶ ΕΣΥ καὶ ΕΤΦ . ἡ μὲν τοίνυν ΖΛ περιφέρεια ἴση οὖσα τῇ τοῦ ἑκτημορίου καὶ ἔτι τῇ | ||
| ἐστιν ] ἴσον τῷ ΖΛ , ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΛ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν |
| ΗΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ΖΛ : ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΛ τῷ ΖΛ . ὡς δὲ τὸ ΓΛ πρὸς τὸ | ||
| τῆς ΛΟ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ β . καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΛ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΒΛ , παράλληλος ἄρα ἐστὶν |
| Ψ τῇ ΚΞ παράλληλος ἡ ΨΩ , καὶ ἔστω ὡς ΛΜ πρὸς ΜΩ , οὕτως ἡ ΩΜ πρὸς ΜΑ͵ . | ||
| . ἀλλὰ καὶ διὰ τὸ τρεῖς εἶναι παραλλήλους τὰς ΔΕ ΛΜ ΗΘ ἴση γίνεται ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ . εἴη |
| ΧΕ πρὸς τὴν ΕΔ , οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΗ . ἔστι δὲ καί , ὡς ἡ ΧΕ πρὸς | ||
| καὶ τοῦ ἐπικύκλου καταγραφῆς ἀποληφθείσης ἀπὸ τοῦ Θ περιγείου τῆς ΘΗ περιφερείας τῶν αὐτῶν μοιρῶν λ ἐπεζεύχθωσαν μὲν ἥ τε |
| ΔΜ , πέμπτον δὲ τὸ ΓΛ , ἕκτον δὲ τὸ ΒΚ , ἕβδομον δὲ τὸ ΑΘ , μόνα δὲ καὶ | ||
| ταῦτα γὰρ ἡμῖν πάντα προαποδέδεικται : τοιούτων καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΚ καὶ ΚΘ ἔσται ιε νε . πάλιν , ἐπεὶ |
| κ , οἵων ἡ ΔΖ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΖΗ τῶν αὐτῶν ριγ μγ : ὥστε καί , οἵων | ||
| ὡς μὲν ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΕ , οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ , ὡς δὲ ἡ ΜΔ πρὸς |
| ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΥΞΧ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΥ , ΥΜ , καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΜΝ κατὰ τὸ Τ | ||
| ἡ ΥΜ περιφέρεια τῇ ΩΞ περιφερείᾳ . Ἀλλ ' ἡ ΥΜ τῇ ΣΟ ἐστὶν ὁμοία : καὶ ἡ ΣΟ ἄρα |
| ΖΒ , τὸ δὲ ὑπὸ ΕΖΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΖΓ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΖΓ . εἴχομεν δὲ καὶ | ||
| ΖΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ διαμέτρου τῆς τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς ἑαυτῇ |
| ἀλλήλων οἱ κύκλοι : ἐφάψεται ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος τοῦ ΕΒΖ κύκλου . διὰ ἄρα τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Β | ||
| τὸ ΓΑΔ πρὸς τὸ ΕΚΖ . εἶχε δὲ καὶ τὸ ΕΒΖ πρὸς τὸ ΕΚΖ διπλασίονα λόγον ἤπερ τὸ ΓΑΔ πρὸς |
| διήχθω γὰρ λόγου χάριν ἡ ΛΚ , καὶ κάθετος ἡ ΛΟ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ρ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν | ||
| ΧΕΤ . καὶ ἐπεὶ ζητῶ τίς ἡ ΖΘ περιφέρεια τῇ ΛΟ , τουτέστιν ἡ ΕΗ τῇ ΚΦ , ζητήσω ἄρα |
| δγ . καὶ ἐπεὶ ὁ δὶς ἐκ τῶν αδ , δβ μετὰ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν ἀπὸ τῶν αδ , | ||
| δ κέντρου ἐπιζευχθεῖσαί εἰσιν εἰς αὐτὰς εὐθεῖαι αἱ δα , δβ , αἱ ἄρα ὑπὸ δαε , δβε ὀρθαί εἰσιν |
| , καὶ διὰ τοῦ Η ταῖς ΕΔ , ΔΖ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΗΘ , ΗΚ . λέγω , ὅτι ἴσον | ||
| διάμετρος ἡ ΒΓ , καὶ ἀπὸ τῶν Β , Γ ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς αἱ ΒΖ , ΓΛ , καὶ ἀπὸ |
| ΔΘ μείζων ἐστὶν τῆς ΑΛ . καὶ ἔστιν ὅμοια τὰ ΔΗΘ ΑΚΛ τρίγωνα : ὡς ἄρα ἡ ΔΘ πρὸς ΘΗ | ||
| αὑτή ἐστιν τῇ ὑπὸ ΔΗΘ . δοθεῖσα οὖν ἡ ὑπὸ ΔΗΘ . ἀλλὰ καὶ ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Θ . |
| δέ εἰσιν ἄνισοι , ὥς φησιν , αἱ ΑΔ , ΛΔ . τὸ γὰρ ἀπὸ ΑΛ , τῶν # λ | ||
| ἄρα οὐκ ἐφάπτεται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου : πολλῷ ἄρα αἱ ΛΔ , ΔΝ οὐκ ἐφάπτονται τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου . ἐὰν |
| , καὶ ἡ ΤΩ # μβ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΡΥ τῶν αὐτῶν # μβ . καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ | ||
| ἡ μὲν ΖΡ τῇ ΡΣ , ἡ δὲ ΡΝ τῇ ΡΥ , δύο αἱ ΖΡΝ δυσὶ ταῖς ΣΡΥ ἴσαι εἰσίν |
| τοῦ ὑπὸ τὸ πλάτος ἡ ΔΖ ٢ ٤٧ ٤٢ ٣٥ ٤٤ Ἐκ τῆς εἰς ἄτοπον ἀπαγωγῆς . Ἡ ΑΒ ٢٠ | ||
| ἴσον εἶναι τῷ ΖΛ . Ἡ ΑΒ ٢ ٥ ⸎ ٤٤ ἡ ΓΔ ٤ ἡ ΒΗ ١ ٣٩ ٩ ἡ |
| Ν , Ο , Π τῇ ΑΒ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΝΥ , ΟΣ , ΤΠ : ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ | ||
| τῆς ΖΝ βάσεως , ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τοῦ ΝΥ [ στερεοῦ ] , καὶ εἰ ἴση , ἴσον |
| , καὶ τέτμηται δίχα ἡ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΗΑ τῇ ΗΛΜ εὐθείᾳ , βάσις ἄρα ἡ ΚΛ τῇ ΛΑ ἴση | ||
| αἱ ΝΞΗΟΠΡ , ΚΣΤ , παρὰ δὲ τὴν ΑΓ αἱ ΗΛΜ , ΚΟΦΙΧΨΩ . λέγω , ὅτι ἐστίν , ὡς |
| ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Η Μ Κ : τοῦτο γὰρ προδέδεικται . ιγʹ . Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν αἱ ΑΒ | ||
| ΕΑ , ἐλαχίστη δὲ ἡ ΑΖ : ταῦτα γὰρ ἅπαντα προδέδεικται . ἡ ΕΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΖ μείζονα λόγον |
| , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ , σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ | ||
| , οὕτως ἡ ΒΛ πρὸς ΛΗ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΘ πρὸς ΘΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΜ πρὸς |
| . καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ , ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ , ὡς δὲ ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ | ||
| ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ , οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ . Δέδοται ἄρα . , ] ἐπεὶ οὖν δεδομέναι |
| ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι : ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ , προσαρμόζουσα δὲ ταύτῃ ἡ ΖΚ . ἤτοι δὴ | ||
| ΞΔ πρὸς ΔΜ . ἀλλ ' ὡς ἡ ΛΚ πρὸς ΚΘ , οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς ΚΒ : καὶ ὡς |
| τῷ Ε , διαστήματι δὲ τῷ ΕΑ κύκλος γραφόμενος μὴ ἐρχέσθω διὰ τοῦ Γ , ἀλλ ' ὑπερπιπτέτω αὐτό : | ||
| ἤτοι διὰ τοῦ ἑτέρου αὐτῶν ἢ δι ' οὐδετέρου . ἐρχέσθω πρότερον διὰ τοῦ Κ καὶ τεμνέτω τὴν ΖΗ κατὰ |
| δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ΠΡ , ΡΣ , ΣΤ , ΤΥ πενταγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου τοῦ εἰς τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον ἐγγραφομένου | ||
| ταῖς βάσεσι τοῦ ΟΧ κυλίνδρου καὶ ποιείτωσαν τοὺς ΡΣ , ΤΥ κύκλους περὶ τὰ Ν , Ξ κέντρα . καὶ |
| ΕΛ ια λϚ ιη . , ٢٠ , ٤٠ , ٢٩ ٢٦ ٣٠ , ٢٩ ٢٦ ٣٠ καὶ ἡ ΑΕ | ||
| καὶ μέσον ٢٤ ٢٩ ٣٧ ٤٨ ٢ τὸ ΕΓ ٨ ٢٩ ٣٧ ٤٨ ٢ ἡ πλευρὰ τοῦ . . ٤ |
| ἡ ΚΛ τῆς ὅλης περιφερείας , τὸ αὐτὸ καὶ ἡ ΘΟ τῆς ΘΟΛ . καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΘΟΛ τῇ | ||
| ΜΒ τῇ ΒΝ καὶ ἡ ΚΟ τῇ ΟΛ καὶ ἡ ΘΟ τῇ ΟΞ καὶ ἡ ΚΘ τῇ ΞΛ . ἐπεὶ |
| ΑΓ , ΓΒ μέσα ἐστίν . μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παραβέβληται : ῥητὴ | ||
| ἡ μὲν ΑΚ τῇ ΛΒ , ἡ δὲ ΓΚ τῇ ΔΛ , δύο δὴ αἱ ΑΚ , ΚΓ δύο ταῖς |
| ΟΗ , ὡς δὲ ἡ ΒΝ πρὸς ΝΖ , ἡ ΖΟ πρὸς ΟΘ : ἡ ἄρα ΑΒ πρὸς ΒΓ τὸν | ||
| ΖΟ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΟΘ . καί ἐστι παράλληλος ἡ ΖΟ τῇ ΑΔ : πλαγία μὲν ἄρα πλευρά ἐστιν ἡ |
| Ο μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΠΟ , καὶ τριῶν οὐσῶν περιφερειῶν ὁμοιογενῶν ἀνίσων τῶν ΚΘ , ΘΠ , ΗΘ εἰλήφθω | ||
| τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν δύο μὲν τῶν ΒΓ , ΕΖ περιφερειῶν , δύο δὲ τῶν ΗΒΓ , ΕΘΖ τομέων εἴληπται |
| ΘΚ , σύμμετρος δὲ τῇ ΗΘ , καὶ κείσθω τῇ ΘΡ ἴση ἡ ΣΗ , καὶ διὰ τῶν Σ , | ||
| ΞΖ , ΖΟ , ΟΗ , ΗΠ , ΠΘ , ΘΡ , ΡΕ τριγώνων πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ . ἑκάστη |
| ὑπὸ ΕΑΒ . ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνα τὰ ΖΕΒ , ΖΑΒ ἐπὶ μιᾶς βάσεως συνέστηκε , καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ | ||
| ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν ΒΑΗ τομέα , οὕτως ἡ ὑπὸ ΖΑΒ πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ : καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ |
| παρὰ τὴν ΗΘ εὐθεῖαν τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΜ ἐν τῇ ὑπὸ ΗΘΜ γωνίᾳ , ἥ ἐστιν ἴση | ||
| συγκείμενον ἔχει λόγον ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΗ πρὸς ΗΜ καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΖΗ πρὸς ΗΛ |
| , καὶ ἐφαπτόμεναι μὲν αἱ ΑΔΓ , ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΕΖΗ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ , καὶ διὰ τοῦ | ||
| ἔστω ὁ ΒΖΓ , ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΕΖΗ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΛΚ , ΚΘ ἑξῆς ἐπὶ |
| ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΑΓ ἴση ἐστίν , καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν , καὶ αἱ | ||
| πρὸς ὅλην καὶ ἀναστρέψαντι καὶ χωρίον χωρίῳ τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΓΒΔ . Φανερὸν δὲ ὅτι |
| τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΛΑΒ , ὕψος δὲ ἡ ΓΟ , μείζων ἐστὶν τοῦ κώνου , οὗ ἡ μὲν | ||
| τὸ ΜΓΟΥ , καὶ τρεῖς αἱ ΥΜ , ΜΓ , ΓΟ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , καὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΜΓ |
| γὰρ ἀπὸ τῶν Κ , Β παρὰ τὴν ΑΖ αἱ ΚΠ , ΒΡ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν , ὡς τὸ | ||
| καὶ τῇ μὲν ΚΝ παράλληλος ἡ ΡΤ , τῇ δὲ ΚΠ ἡ ΩΜ , καὶ περὶ τὸ Β κέντρον περιφέρεια |
| ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ , ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΘ τῇ ὑπὸ ΔΓΚ ἐστιν ἴση . καὶ περιφέρεια ἄρα | ||
| καὶ ἔστω ὡς ὁ ΒΑΘ : μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΒΘ κύκλος : ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση |
| ΘΖ ٢ ١٨ ٩ ٣٦ ἡ ΖΚ ٢ ٣٢ ٣٠ ٥٦ ἡ ΚΕ ١ ١٣ ٣١ ٥٥ γεγονέτω ὡς . | ||
| τῶν τομῶν ١٤ ١٤ ٥٤ ἡ ΔΖ [ ٩ ٢٣ ٥٦ ٥٠ ] τὸ ΑΙ παραλληλόγραμμον ١١٧ ٣٥ ٤٧ ٢٠ |
| εἶναι τῇ ΠΡ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΑΠ πρὸς ΠΔ , ἡ ΘΑ πρὸς ΛΔ , ὡς | ||
| μὲν ἔχει λόγον ἡ ΑΛ πρὸς ΛΒ , ἐχέτω ἡ ΑΠ πρὸς ΠΒ , ὃν δὲ ἡ ΔΛ πρὸς ΛΓ |
| δὴ ὑποκείσθω τὸ αὐτὸ σχῆμα , καὶ ἔστω τετραγώνου ἡ ΚΖ , καὶ ἴσαι ἀπειλήφθωσαν ἐπὶ τὰ Ζ Δ μέρη | ||
| ΔΖ πρὸς τὴν ΘΖ , οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΖ . Ὡς γὰρ αἱ γωνίαι , δι ' ὧν |
| ٢٦ ٤٦ ٤٠ ἡ τὸ χωρίον δυναμένη τὸ ΑΒ ١ ١٩ ٢١ ἡ ΑΖ ٦ ٥٣ ١١ ٣٤ ἡ ΖΗ | ||
| ٤٨ ١ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ١٣ ١٩ ٥٥ ٢٣ ٨ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ٤ ٥٨ |
| μείζονος τμήματος ἤπερ ὁ ΟΠΡ . λέγω , ὅτι οἱ ΜΝΞ , ΒΖΓ , ΟΠΡ , ΣΤ , ΥΘ κύκλοι | ||
| ὀρθῷ πρὸς τὸ ΜΖΝ τρίγωνον , καὶ ποιεῖ τομὴν τὸν ΜΝΞ κύκλον , τέτμηται δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τῷ ὑποκειμένῳ |
| ٣ ١٢ ٢٥ τὸ ἀπὸ τῆς Θ ٢٥ ٤٢ ٥١ ٢٥ ٤٢ ٥٢ Ἡ Α μονάδων τεσσάρων , ἡ ΓΗ | ||
| ٤٦ τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ٥ ٣٥ ٢٥ ١١ ٢٨ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ |
| κεκλιμένοι . πάλιν , ἐπεὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ψ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς | ||
| ταπεινότατός ἐστιν . ἐπεὶ γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ Ϡ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς |