| διδάσκει ἡμᾶς , ὅτι περὶ ἓν σημεῖον τόπος εἰς τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας γωνίας διανέμεται . Τὰς ἐφεξῆς γωνίας τῶν κατὰ | ||
| ΔΕΖ . Εἰ γὰρ παντὸς τριγώνου αἱ γ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν , ὡς ἐν τῷ λβʹ θεωρήματι τοῦ |
| τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΓΕ , ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν : ἐπ ' εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ | ||
| εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων ὦσι μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ , ἴσας γωνίας περιέξουσιν . Δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ , |
| τρίγωνον τῷ ΑΛΣ τριγώνῳ ἴσον ἔσται , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται , ὑφ ' ἃς | ||
| ἐπειδὴ δεδομέναι μέν εἰσιν αἱ ὑπὸ ΑΕΚ καὶ ὑπὸ ΒΕΞ γωνίαι , δέδοται δὲ καὶ ὁ τῆς ὑπὸ ΓΕΚ πρὸς |
| ἔσται ἅπαντα κατὰ τὰ αὐτά . Κείσθωσαν τῇ ΕΗ περιφερείᾳ ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΗΘ , ΘΚ , ΚΛ , ἡ | ||
| , ΗΘ , ΘΚ ἐπὶ τῆς τοῦ λοξοῦ κύκλου περιφερείας ἴσαι ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων |
| βάσεως τῆς ΣΤ μείζων , γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίας τῆς ὑπὸ ΣΞΤ μείζων ἐστίν . ἴση δὲ ἡ | ||
| Εὔδημος . Τὸν τὰ τρίγωνα κατὰ τὰς πλευρὰς καὶ τὰς γωνίας καὶ τὰ ἐμβαδὰ συγκρίνειν βουλόμενον ἀναγκαῖον ἢ μόνας τὰς |
| τὸ χωρίον πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἕξει δεδομένον . ἔστω τρίγωνον ὀξυγώνιον τὸ ΑΒΓ , ὀξεῖαν ἔχον γωνίαν δεδομένην τὴν | ||
| μαθημάτων : καὶ γὰρ ὁ γεωμέτρης διὰ τί μὲν τὸ τρίγωνον ἔχει τὰς τρεῖς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ζητεῖ , |
| δὲ τοῦ ὀϲτέου καὶ τοῦ ὄνυχοϲ ἀπαθῶν μεινάντων ἡ ἐκτὸϲ γωνία τοῦ ὄνυχοϲ ὑποδυομένη καὶ νύττουϲα τὴν ἐπιπεφυκυῖαν αὐτῇ ϲάρκα | ||
| βάσει τοῦ κυλίνδρου , καὶ ὑποκείσθω ἡ πρὸς τῷ Α γωνία ὀξεῖα , καὶ διὰ τοῦ Γ ἤχθω κάθετος ἐπὶ |
| ὡς τὰ πολλαχῶς καὶ ἀορίστως γινόμενα : δύναται γὰρ καὶ σκαληνὸν τρίγωνον μετρεῖσθαι ὑπὸ τοῦ προτεθέντος καὶ ὁρισθέντος ῥητοῦ μέτρου | ||
| τοῦ τρίγωνον εἶναι καθ ' αὑτὸ μᾶλλον ἢ ἐκ τοῦ σκαληνὸν ἀποδείκνυται . καὶ ὄντος τοῦ καθόλου γίνεται ἡ ἀπόδειξις |
| ἄρα πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ΔΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον . καὶ ἀνάπαλιν τὸ | ||
| αἱ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ ΒΑΓ ΓΑΕ , τουτέστιν αἱ ὑπὸ ΔΑΒ ΒΑΕ , τουτέστιν αἱ δύο ὀρθαὶ ἴσαι εἰσὶ ταῖς |
| , οἷον εἰ οὕτως ἔλεγεν ὁ στοιχειωτής : πᾶν τρίγωνον ἰσοσκελὲς ἴσας ἔχει τὰς πρὸς τῇ βάσει γωνίας . τούτων | ||
| . Καὶ μηδενὸς δὲ δεηθέντες καὶ ἡμεῖς ἄλλως συστήσομεν τρίγωνον ἰσοσκελὲς ὁμοίως μείζονα ἢ ἐλάττονα ἔχον τὴν βάσιν , εἰ |
| ἔδει δεῖξαι . Λῆμμα Ὅτι δὲ ἡ τοῦ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου πενταγώνου γωνία ὀρθή ἐστι καὶ πέμπτου , οὕτω δεικτέον | ||
| Παράλληλος γάρ ἐστιν ἡ ΕΚ . , ] πάλιν ὁμοίως ἰσογωνίου δεικνυμένου τοῦ ΚΖΓ τριγώνου τῷ ΕΖΒ τριγώνῳ καὶ μιᾶς |
| : δεῖ δὲ τὰς δύο τῆς λοιπῆς μείζονας εἶναι πάντῃ μεταλαμβανομένας [ διὰ τὸ καὶ παντὸς τριγώνου τὰς δύο πλευρὰς | ||
| παντὸς τριγώνου τὰς δύο πλευρὰς τῆς λοιπῆς μείζονας εἶναι πάντῃ μεταλαμβανομένας ] . Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖς εὐθεῖαι αἱ Α |
| ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΘΣ τῆς ΝΒ διπλῆ . καὶ συναμφότεραι ἄρα αἱ ΘΣ , ΠΡ τῆς ΝΒΜ ὅλης διπλασίους | ||
| δ ' ἐπὶ τοῦ τριγώνου τῆς βάσεως αἱ εὐθεῖαι συνίστανται συναμφότεραι μείζους τῶν ἐκτὸς αἱ ἐντός , ἀλλὰ καὶ ἐπὶ |
| τριγώνῳ ἴσον ἐστίν , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται , ὑφ ' ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ | ||
| ἐπεὶ γὰρ τριγώνου τοῦ ΓΒΝ αἱ γ γωνίαι ταῖς τρισὶν γωνίαις τριγώνου τοῦ ΒΝΚ ἴσαι , ἐξ ὧν αἱ δύο |
| δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν : καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΒ , ΓΒΑ , ΓΑΒ ἄρα δυσίν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . Παντὸς | ||
| τῶν ΔΗΕ , περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν ΓΒΑ , ΕΔΗ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον , τῶν δὲ λοιπῶν |
| τῇ ὑπὸ ΕΖΔ . ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΖΔ τῇ ὑπὸ ΒΓΑ ἐστιν ἴση : τριγώνου δὴ τοῦ ΑΘΓ ἡ ἐκτὸς | ||
| τῇ ὑπὸ ΑΒΓ , ἡ δὲ ὑπὸ ΕΑΓ τῇ ὑπὸ ΒΓΑ : καὶ ἡ ΓΔ ἄρα πρὸς τὴν ΔΒ μείζονα |
| , ἄλλως δὲ καὶ ἄλλως τὸ αὐτὸ εἶναι ὁριστὸν καὶ ἀποδεικτὸν ἐνδέχοιτ ' ἄν , οἷον σελήνης ἔκλειψιν ἄλλως μὲν | ||
| τοῦ ἑνὸς ᾗ ἓν τοῦ ταὐτὸν εἶναι τὸ ἐπίστασθαι τὸ ἀποδεικτὸν τῷ ἔχειν τὴν ἀπόδειξιν . εἰ δὲ καὶ ὡς |
| Ἀριστοτέλους διάνοιαν , καθ ' ἣν ἀξιοῖ συναληθεύειν ἀλλήλαις τὰς ἀπροσδιορίστους προτάσεις , καὶ τὰ παρὰ τῶν ἀντιδιαταττομένων αὐτῷ περὶ | ||
| ἢ συναληθεύειν , λέγω δὴ τάς τε διαγωνίους καὶ τὰς ἀπροσδιορίστους , τὰς δὲ καθ ' ἕκαστα οὐκέτι . Γινέσθω |
| δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν : καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΕ , ΑΓΒ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . πρὸς δή τινι | ||
| : ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΓΔ μετὰ τῶν ὑπὸ ΓΒΔ , ΑΓΒ οὐ μείζονές εἰσι δυεῖν ὀρθῶν , ὅ ἐστιν αἱ |
| ὑπὸ ΕΘΗ ἴση , ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΔΚ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΕΗΘ ἴση : δύο δὴ τρίγωνά | ||
| ἡ ὑπὸ τῶν ΑΔΚ ἐστι δοθεῖσα : δέδοται ἄρα τὸ ΑΔΚ τρίγωνον τῷ εἴδει : λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΑΔ |
| Καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΓΒ , ΒΗ , ΗΘ ἀλλήλαις , ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ ΑΘΗ , ΑΗΒ , | ||
| , ἀνδρειοτέρας ἡγῇ τὰς γυναῖκας , ὅτι ἐγγύτατα μάχονται ἐπιπεσοῦσαι ἀλλήλαις ; ὁ δὲ Ἀχιλλεὺς ταῦτα ἀκούων ἅμα θυμοῦ καὶ |
| δὴ ταῦτά τις οὕτω διατείνοιτο , καὶ τὰς δύο ἀρχὰς ἀντικειμένας ποιῶν καὶ τὴν τοῦ ἑνὸς προτάττων ἀμφοῖν , ῥητέον | ||
| τρεῖς , καὶ ὅτι ταῦτα ἀντιτέτακται ἀλλήλοις καὶ ἐκείνας ὑποτίθεσθαι ἀντικειμένας , καὶ ὅτι πρὸ τοῦ πέρατος καὶ τῆς ἀπειρίας |
| πρὸς τὰς ἐκ μεταθέσεως παραβάλλοις , ταῖς μὲν ἀποφάσεσι τὰς καταφάσεις ἑπομένας εὑρήσεις , οὐκέτι μέντοι τὰς ἀποφάσεις ταῖς καταφάσεσιν | ||
| ὅτι ὁ μὴ ἀξιῶν τὰ μέρη τοῦ λόγου θεωρεῖν ὡς καταφάσεις , ἀλλ ' ὡς ἁπλᾶς φωνάς , πολλῷ δήπου |
| ὑπὸ τὸ ποιόν . οὐδ ' εἰ τὸ τρίγωνον δυοῖν ὀρθαῖν ἴσας ἔχει , συμβέβηκε δ ' αὐτῷ σχήματι εἶναι | ||
| ἀναβεβασμένοι ἵπποι : καὶ οἱ τοῖς ἀναβαίνουσι βοηθοῦντες ἀναφέρουσιν αὐτοὺς ὀρθαῖν ταῖν χεροῖν ἢ σιμαῖν ταῖν χεροῖν . καταβαίνει , |
| ΖΑ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΓ , ΖΑ παραλληλόγραμμον . ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ . , ] ἐπεὶ γὰρ ἡ ΕΖ | ||
| ὀρθογώνιον , ἑτερόμηκες δέ , ὃ ὀρθογώνιον μέν , οὐκ ἰσόπλευρον δέ , ῥόμβος δέ , ὃ ἰσόπλευρον μέν , |
| καὶ ἀπὸ τῶν ἁφῶν πρὸς τὸ αὐτὸ σημεῖον τῆς γραμμῆς διαχθῶσιν εὐθεῖαι τέμνουσαι τὰς παραλλήλους , τὸ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ὑπὸ | ||
| συντηρεῖν . λέγω γάρ , ὅτι , ἐὰν ἐν κύκλῳ διαχθῶσιν ἄνισοι δύο εὐθεῖαι , ἡ μείζων πρὸς τὴν ἐλάσσονα |
| : τὸ Ζ ἄρα σημεῖον ἐντὸς ἔσται τῶν ἀσυμπτώτων τῆς ΑΒΔ τομῆς . καί ἐστιν αὐτῆς ἀντικειμένη ἡ ΓΕ : | ||
| κύκλου , διὰ δὲ τοῦ Β εὐθεῖά τις ἦκται ἡ ΑΒΔ , ἡ ΑΒΔ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΕΖ κύκλου |
| τῶν μεταξὺ τῶν Β , Γ σημείων τὰς βάσεις ἐχόντων ἰσοσκελῶν . Ἐὰν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως δύο τρίγωνα συστῇ | ||
| . Ἰστέον , ὡς τὸ θεώρημα τοῦτο ἐπὶ μὲν τῶν ἰσοσκελῶν καὶ ἰσοπλεύρων τριγώνων σῴζει τὸ οἰκεῖον , ἐπὶ δὲ |
| τμημάτων ὁ μηνίσκος . ἔσται οὖν ἐλάττων ὁ μηνίσκος τοῦ τριγώνου τοῖς ὑπὸ τοῦ ἑξαγώνου ἀφαιρουμένοις τμήμασιν . ὁ ἄρα | ||
| καταγίνεται , ὡς γεωμετρία ἀποδεικνύουσα ἀεὶ τὰς τρεῖς γωνίας τοῦ τριγώνου δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι , ἢ ὡς ἐπὶ τὸ |
| δύο πυραμίδες ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος οὖσαι καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις τὰς ΑΒΓ , ΜΝΞ , κορυφὰς δὲ τὰ Δ | ||
| τὴν ἰδίαν κακοπραγίαν ὁ δείλαιος , πολλάκις δὲ καὶ τὰς βάσεις πρὸς τὸν δίφρον ἐξημμένος ἀνατραπεὶς ὕπτιος ἐπὶ νῶτα | |
| ὁ ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα ἤπερ τὸ ΔΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα . τὸ δὲ ΔΑΒ τρίγραμμον | ||
| ΑΗΒ τομέα , ὁ ἄρα ΔΘΕ τομεὺς πρὸς τὸ ΔΕΚ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ αὐτὸς τομεὺς πρὸς τὸν |
| ΓΒΑ , ΑΓΒ , ΒΑΓ , ΑΓΔ , ΓΔΑ , ΓΑΔ , ΑΔΒ , ΔΒΑ , ΒΑΔ ἓξ ὀρθαῖς ἴσαι | ||
| καὶ ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΓΑΔ : τεταρτημορίου ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ περιφέρεια . λέγω |
| δὲ ἀντικειμένας αὐταῖς ἀντιφατικῶς ἐνδέχεται συναληθεύειν . ” ἀντίκειται δὲ ἀντιφατικῶς τῇ μὲν πᾶς ἡ οὐ πᾶς τῇ δὲ οὐδεὶς | ||
| μὴ συνομολογούντων ἡμῶν πειρᾶται ἐλέγχειν , καὶ δὴ λήψεται τὸ ἀντιφατικῶς ἀντικείμενον τῆς ἡμετέρας προτάσεως μιμούμενος τὸν ἀληθῆ ἔλεγχον : |
| λογικῆς μετέχειν δυνάμεως ἐκεῖνο δὲ ἄλογον εἶναι , οὕτω πάλιν ἀδυνατήσει τὰς αἰσθήσεις καταλαμβάνεσθαι , ἐπείπερ ἄλογοί εἰσιν καὶ διὰ | ||
| γνώσεται ἐκεῖθεν γενόμενος καὶ ἃ δύναται κομισάμενος : εἰ δὲ ἀδυνατήσει ἰδεῖν σαφῶς ἐκεῖνον , ἐπειδὴ τὸ ἰδεῖν ἴσως αὐτό |
| οὗτος γάρ ἐστι πεντάκις πέντε : ἰδοὺ οὖν ὅτι αἱ πλευραὶ αὐτοῦ ἐκ πέντε εἰσίν : ἀπὸ ε οὖν ἀρχόμεθα | ||
| ιη καὶ η ὅμοιοί εἰσι , δῆλον : εἰσὶ γὰρ πλευραὶ τοῦ μὲν ιη ὁ Ϛ καὶ ὁ γ , |
| : ∼ ιηʹ . Ἔστω δύο ἡμικύκλια ὡς τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ , καὶ ἔστω ἴση ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ , | ||
| , καὶ ἴση ἔσται ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ , καὶ λοιπὴ δηλονότι ἡ πρὸς τῷ Γ λοιπῇ |
| οὐδενὶ καὶ παντὶ καὶ τινί . ὅτι δείκνυσιν τὰς καθόλου ἀντιστρεφούσας ἀλλήλαις καὶ τὰς μερικὰς ἀλλήλαις οὐ διὰ τοῦ ὅρου | ||
| . ἔστι δὲ ἡ ᾠδὴ μονόστροφος , αἱ δὲ μονόστροφοι ἀντιστρεφούσας ἔχουσι τὰς στροφὰς ἀλλήλαις , ὥστε ἴσα εἶναι τά |
| ΑΕ : ἀκολούθως δὲ αὐταῖς καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΔ καὶ ΒΑΕ γωνίαι . τῆς δὲ τοῦ ζῳδιακοῦ θέσεως ἐγκεκλιμένης , | ||
| ἡ ΔΕ , ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ . ἀλλ ' ἡ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ ἐν τῷ |
| ἐν τῇ νυκτὶ περιφέρεια ἡ εκʹ , καὶ τῇ εκʹ ἴση ἀπειλήφθω ἡ δλʹ , καὶ κοινὴ ἡ λεʹ : | ||
| . μείζων ἄρα ἡ ΓΔ τῆς ΑΒ φαίνεται . Τὰ ἴση μεγέθη καὶ παράλληλα ἄνισον διεστηκότα ἀπὸ τοῦ ὄμματος οὐκ |
| καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΖ . ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΗΒ , ΑΜΒ τομαὶ κατὰ τὰ Α , Β ἐφάπτονται , κατ | ||
| πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν : καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΜΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΝ , ἡ πλαγία πρὸς τὴν |
| τὴν ΖΓ , οὕτως ἡ ὑπὸ ΑΔΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΖΔΓ γωνίαν . τετραπλῆ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΔΓ τῆς ὑπὸ | ||
| . διπλῆ δὲ . , ] διὰ τὸ εἶναι τὸ ΖΔΓ τρίγωνον ἰσοσκελές : ἐπεὶ δὲ παντὸς τριγώνου ἡ ἐκτὸς |
| ΖΒ ἐστι πρὸς ὀρθάς . ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΒΖ τῇ ΕΖΔ διαμέτρῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς . Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ | ||
| : ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΑ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΖΔ . Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ μείζονα |
| ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰς ὑπὸ ΒΗΘ , ΗΘΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας : λέγω , ὅτι παράλληλός ἐστιν | ||
| τῇ ΓΔ . Πάλιν , ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΘ , ΗΘΔ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν , εἰσὶ δὲ καὶ αἱ |
| , ὁρῶσα οἰκέτην ἔνδον τρεφόμενον , καὶ τὰ μὲν ἐκείνῳ μαχομένη , τὰ δὲ αὐτὴ τρυφῶσα , ἐνοχλεῖν σε ἔμελλεν | ||
| κομιζόντων αὐτοὺς ἵππων . ἡ δὲ Σεμίραμις μετὰ στρατιωτῶν ἐπιλέκτων μαχομένη καὶ τῷ προτερήματι δεξιῶς χρησαμένη τοὺς Ἰνδοὺς ἐτρέψατο . |
| σχήματα ἐσιγήθη . Τὸ ἄρχον μέρος αἱ σύνθετοι κινοῦσαι πρόσωπα παριστᾶσιν , ὁμοίως ταῖς ἁπλαῖς , τὸ δὲ τέλος , | ||
| δέος μὲν ἐνεργάζονται τοῖς πολίταις , αἰσχύνην δ ' οὐ παριστᾶσιν : ἡνίκ ' ἂν οὖν ὁ ἀγὼν ἔλθῃ τοῦ |
| δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν , εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ , ΒΗΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι , αἱ ἄρα ὑπὸ | ||
| κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ : λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση : καί εἰσιν |
| τὸν καʹ καὶ τὸν κδʹ , μέσους τε αὐτῶν ἐν ἴσαις ὑπεροχαῖς τὸν κβʹ καὶ τὸν κγʹ , οὗ μὴ | ||
| . Τὸ μὲν ἁλῶναι καὶ ἀποφυγεῖν ἀμφοτέρας τὰς διώξεις ἐν ἴσαις ἐλπίσι θῶμεν αὐτῷ εἶναι . Μὴ παραχθῆναι δὲ τὴν |
| ἐπὶ ταῖς ΛΒ , ΛΕ περιφερείαις τοῦ περὶ τὸ ΒΕΛ τρίπλευρον γραφομένου κύκλου . ὥστε καὶ τῆς ΒΕ πρὸς ἑκατέραν | ||
| τοῦ μεσημβρινοῦ , ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον γίνεται τὸ ΓΔΕ τρίπλευρον τῷ ΓΔΗ , ὥστε καὶ τὴν ΓΕ τῇ ΓΗ |
| , τοιούτων δ μ , οἵων δ ' αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων β κ , ἃ καὶ παραθήσομεν | ||
| ἡ ὑπὸ ΞΘΖ γωνία , οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ , τοιούτων με ιγ , οἵων δ ' |
| Βαβυλῶνος τρισχιλίους τετρακοσίους , πάλιν ἀπὸ τῶν αὐτῶν ὁρμηθεὶς ὑποθέσεων ἀμβλυγώνιον τρίγωνον συνίστασθαί φησι πρός τε ταῖς Κασπίοις πύλαις καὶ | ||
| χωρίον πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἕξει δεδομένον . ἔστω τρίγωνον ἀμβλυγώνιον τὸ ΑΒΓ ἀμβλεῖαν γωνίαν ἔχον τὴν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ |
| ΒΗΘ : αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΗΘ , ΒΗΘ τῶν ὑπὸ ΒΗΘ , ΗΘΔ μείζονές εἰσιν . ἀλλὰ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ | ||
| τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστιν ἴση . κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ : αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΗΒ , ΒΗΘ ταῖς ὑπὸ |
| καὶ ἡ ἀνάγκη μὴ παντί , δῆλον ἐξ ὧν καὶ συναληθεύουσιν ἐπί τινων ὅρων ὡς ἐπὶ τοῦ περιπατεῖν καὶ τοῦ | ||
| τοίνυν εὑρεθῇ ὅτι ἐπὶ πάσης ὕλης καὶ ἐπὶ παντὸς χρόνου συναληθεύουσιν καὶ συμψεύδονται , δῆλον ὅτι οὐδὲν ἀλλήλων διαφέρουσιν . |
| μὲν ὅροι τέσσαρές τε καὶ ἄρτιοι ἔσονται , αἱ δὲ προτάσεις τρεῖς τε καὶ περιτταί : δύο γὰρ οὔσαις αὐταῖς | ||
| ἔξεστιν ὃν ἂν βούληταί τις προσαρμόττειν τρόπον , ἀλλὰ τὰς προτάσεις ὁτὲ μὲν ἀληθεῖς ὁτὲ δὲ ψευδεῖς γίνεσθαι συμβαίνει . |
| καθάπερ τινὲς τῶν ὕστερον γενομένων ἀνδριαντοποιῶν . Ἐκεῖνοί τε γὰρ ἀπομιμησάμενοι τοῦδε τοῦ ἀνδριάντος κεφαλήν , ἄλλου δὲ τὸ στέρνον | ||
| ἐκείνων οὐκέθ ' ὡς πατέρες ἀλλ ' ὡς πατρωοὶ προσηνέχθησαν ἀπομιμησάμενοι τὸ μητρυιῶν εἰς προγονοὺς δυσσεβὲς καὶ ὅλως ἑαυτοὺς καὶ |
| ΔΕΖ μίαν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ μιᾷ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴσην ἔχοντα , περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς | ||
| γωνίας , ἴσον δὲ ἔστω τὸ ὑπὸ ΒΑΓ τῷ ὑπὸ ΕΔΖ : ὅτι καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον |
| ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΑΓ ἴση ἐστίν , καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν , καὶ αἱ | ||
| πρὸς ὅλην καὶ ἀναστρέψαντι καὶ χωρίον χωρίῳ τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΓΒΔ . Φανερὸν δὲ ὅτι |
| γενική , ἔχει ὑπ ' αὐτὴν ἀναφερομένας τὰς ἐφεξῆς ἐνταῦθα λαμβανομένας , εὐβουλίαν ἀγχίνοιαν σύνεσιν συγγνώμην , περὶ ὧν ὁ | ||
| περιόδους τὰς πρὸς τὰ τροπικὰ καὶ ἰσημερινὰ σημεῖα τοῦ ζῳδιακοῦ λαμβανομένας τ , ἡ δὲ τῶν ἀπλανῶν σφαῖρα καὶ ἔτι |
| διάμετρος δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας . Κύβου γὰρ τοῦ ΑΖ τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων τῶν ΓΖ , ΑΘ αἱ πλευραὶ δίχα τετμήσθωσαν | ||
| . Ἐὰν στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἐπιπέδῳ τμηθῇ κατὰ τὰς διαγωνίους τῶν ἀπεναντίον ἐπιπέδων , δίχα τμηθήσεται τὸ στερεὸν ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου |
| ταῖς μὴ ἀναγκαίαις οὔτε αἱ ὑπερβολαί εἰσιν ἀναγκαῖαι οὔτε αἱ ἐλλείψεις . τὸ γὰρ μηδ ' ὅλως ἥδεσθαι ψεκτόν ἐστι | ||
| τοῖς δακτύλοις ἀτελὴς εἶναι : αἱ γὰρ ὑπερβολαὶ καὶ αἱ ἐλλείψεις κακίαι : ὅμοιον καὶ τοῦτο . νόμος τὸν καινὸν |
| καὶ διδασκαλίας . αὗται δὲ καὶ ἔννοιαι καλοῦνται μόναι καὶ προλήψεις : ὁ δὲ λόγος , καθ ' ὃν προσαγορευόμεθα | ||
| κατὰ πρόληψιν τὸν τύπον μαθόντες . ἐναργεῖς οὖν εἰσιν αἱ προλήψεις : καὶ τὸ δοξαστὸν ἀπὸ προτέρου τινὸς ἐναργοῦς ἤρτηται |
| ΘΚ ἐστιν ἴση ] , ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΗΘΚ τετράπλευρον . λέγω δή , ὅτι καὶ ὀρθογώνιον . ἐπεὶ | ||
| ἐστιν , ὡς μὲν τὸ ὑπὸ ΚΖΕ πρὸς τὸ ΖΞ τετράπλευρον , τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς ΓΠΒ , διὰ δὲ |
| ΔΘ μείζων ἐστὶν τῆς ΑΛ . καὶ ἔστιν ὅμοια τὰ ΔΗΘ ΑΚΛ τρίγωνα : ὡς ἄρα ἡ ΔΘ πρὸς ΘΗ | ||
| αὑτή ἐστιν τῇ ὑπὸ ΔΗΘ . δοθεῖσα οὖν ἡ ὑπὸ ΔΗΘ . ἀλλὰ καὶ ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Θ . |
| ἡμῖν ἀνωτέρω . ἐν οἷς καὶ ἡ παροῦσα πρᾶξις . Ἓξ δέ τινα κεφάλαια δεῖ προλαβεῖν τοῦ περὶ τῆς οὐσίας | ||
| τε συστατικαὶ καὶ αἱ διαιρετικαὶ ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ λαμβανόμεναι . Ἓξ οὖν εἰσι συζυγίαι ἐπὶ ταύτης τῆς διαιρέσεως : λογικὸν |
| ἐν αὐταῖς καταφάσεις , ἢ κατὰ δύναμιν , ὡς αἱ ἀποφάσεις : τὸ γὰρ οὐδεὶς ἄνθρωπος πᾶν ζῷον διὰ τοῦτο | ||
| μὲν αὐτὸς φανήσεσθαι , παραδοχῆς δὲ μᾶλλον ἀξιωθήσεσθαι τὰς ἐγκωμιαστικὰς ἀποφάσεις αὐτοῦ περὶ Φιλίππου . καὶ μὴν οὐδὲ περὶ τὰς |
| δεδεμέναι ὦσιν . καὶ Ὅμηρος δετὰς λέγει : καιόμεναί τε δεταί : ἴσως οὐκ αὐτάς , ἀλλὰ τὸ πῦρ τὸ | ||
| ἡ συνδεδεμένη ἐκ παπύρων . καὶ Ὅμηρος : καιόμεναί τε δεταί . Γ τὰς δετὰς ] τὰς λαμπάδας . τωθάσω |
| ἀδύνατον τὸ αὐτὸ εἶναι διπλάσιον καὶ μὴ διπλάσιον ; οὐχ ὁμολογητέον ὡς ἀδύνατον , ἀλλὰ συνθετέον , μὴ μέντοι ὡδὶ | ||
| , ἀμφισβητεῖν αὐτὸν δεῖ πρὸς τὰ λεχθέντα νῦν καὶ οὐχ ὁμολογητέον τὸν ἄνθρωπον ἀρχὴν εἶναι τῶν ἑαυτοῦ πράξεων . δοκεῖ |
| ἴσαι , ἴσαι δὲ καὶ αἱ γωνίαι , καὶ τὰ τρίγωνα ἴσα ἂν εἴη , καὶ αἱ πλευραὶ καὶ αἱ | ||
| μὲν πυραμίδος ἐκ τεττάρων ἰσοπλεύρων τριγώνων συνεστώσης , εἰς ἓξ τρίγωνα σκαληνὰ τὰ εἰρημένα ἑκάστου διαιρουμένου : τοῦ δὲ ὀκταέδρου |
| ὑπὸ ΒΑΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΔΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ : ἔστιν γὰρ διὰ τὴν | ||
| καὶ ἐπεὶ ἔχει διὰ τὸ προδειχθὲν λῆμμα μείζονα λόγον ὁ ΕΔΘ τομεὺς πρὸς τὸ ΕΔΚ τρίγραμμον ἤπερ ὀρθὴ γωνία , |
| συναληθεύουσαι καταλαμβάνονται , αἱ δέ γε προτάττουσαι τῶν τρόπων τὰς ἀρνήσεις σώζουσι τὸ ἀξίωμα τῆς ἀντιφάσεως μήτε ἅμα ἀληθεῖς μήτε | ||
| κανόνας τῷ κυριωτέρῳ πανταχοῦ τῆς προτάσεως μέρει δεῖν προσάγεσθαι τὰς ἀρνήσεις , ἵνα τὰς ἀποφάσεις ποιήσωμεν : ἐπὶ μὲν οὖν |
| ἐκ τῶν ΑΓ Ε Ζ τρίγωνον συστήσασθαι . συνεστάτω τὸ ΑΓΔ * * * [ καὶ φανερὸν ὅτι εἰ μὲν | ||
| τομεὺς τοῦ ΑΓΕ τομέως : μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ ΑΓΔ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἤπερ ὁ ΑΓΕ τομεὺς |
| γωνίαι ἐπίπεδοι , ὧν μιᾶς αἱ λοιπαὶ μείζους εἰσὶ πάντῃ μεταλαμβανόμεναι , περιέχωσι δὲ αὐτὰς ἴσαι εὐθεῖαι , λέγω , | ||
| τετράπλευρον , εἴπερ αἱ τρεῖς τῆς λοιπῆς μείζους εἰσὶ πάντῃ μεταλαμβανόμεναι . Ἐὰν ἔν τινι ἐπιπέδῳ ἀπό τινος μετεώρου σημείου |
| . . Πάμφιλος : Κλέπτης . κλαύσεται : Κλαύσει καὶ τιμωρηθήσεται . . ὁ Πάμφιλος δημαγωγὸς ἦν ἐν Ἀθήναις , | ||
| , οὗτος δὲ προδοὺς ὅλην τὴν πόλιν οὐχ ὅπως μὴ τιμωρηθήσεται ἀλλὰ καὶ ὅπως τιμήσεται παρασκευάζεται . καίτοι δικαίως γ |
| δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΖΒΓ , ΖΓΒ , τουτέστι τῇ ὑπὸ ΔΖΒ . Ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΑΓΒ . , ] | ||
| αὐτοῖς , μείζονά ἐστιν . Ἔστω ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα τὰ ΔΖΒ ΒΑΓ , καὶ ἐπὶ τῶν αὐτῶν βάσεων ἄλλα ἰσοσκελῆ |
| πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν , ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ ὑπὸ ΑΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΕ , ἡ πλαγία πρὸς τὴν | ||
| ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΑΗΒ κύκλου , ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὸ |
| ὀξέως ὑπηρετεῖν καὶ συμπράττειν εἰς δόξαν τῷ γενναίῳ Σευηριανῷ μακρὸν ποιούσας τῆς ἀρχῆς τὸν χρόνον τῷ μεγέθει τῆς δόξης . | ||
| . τὰςπληγὰς ] ἢ τὰς ἀπολλύναι δυναμένας καὶ ἐξ ἀνθρώπων ποιούσας ἢ ἃς οὐ γινώσκουσιν οἱ ἄνθρωποι ἢ ἃς εἰκὸς |
| κατάπλασσε : ἄλευρον λεπτὸν ὠοῖς ὠμοῖς μίξας ἐπιτίθει : ἐλαίας ἁλμάδας μετ ' ἀλφίτων λεάνας κατάπλασσε . πρὸς δὲ τὰ | ||
| πρεσβῦτα , πότερον φιλεῖς τὰς δρυπεπεῖς ἑταίρας ἢ τὰς ὑποπαρθένους ἁλμάδας ὡς ἐλαίας στιφράς ; ἤσθιον δὲ καὶ τέττιγας καὶ |
| που τοιόνδε : ποικίλαι κατὰ τοῦ νώτου παντὸς αὐτοῦ διήκουσι γραμμαί : ἔπειτα ἐὰν προσάψηται ἀνθρώπου σώματι , φρίκην τε | ||
| καὶ αἱ στιγμαί , δηλονότι καὶ αἱ ἐπιφάνειαι καὶ αἱ γραμμαί , οὐσίαι ὑπάρχουσιν ἢ οὐχ ὑπάρχουσιν : εἰ γὰρ |
| ἐμψύχου εἰς ἄψυχον . : ἀστρογείτονας ] Ὑπερβολικῶς : τὰς πλησιαζούσας τοῖς ἄστροις . : κορυφὰς ] Τὰς τοῦ Καυκάσου | ||
| ἔστιν δὲ καὶ τοῦτο , τὰς ἐγκύους τῶν γυναικῶν συνεχῶς πλησιαζούσας τοῖς ἀνδράσιν εὐκόπως καὶ ἀκακοπαθήτως τίκτειν . εἴρηκεν δὲ |
| ἔχον τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ , περὶ δὲ τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν αἱ πλευραί , τουτέστι συναμφότερος ἡ ΒΑΓ ὡς | ||
| ὑπὸ ΒΔΕ , ΒΑΓ : αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΔΕ , ΒΑΓ ἐλάττονές εἰσι δυοῖν ὀρθῶν . εἰσὶ δὲ αἱ ὑπὸ |
| γενέσεως καὶ φθορᾶς ταῦτα ὑπομένειν ἤγουν πάσχειν : τὰς δὲ στιγμὰς καὶ τὰς γραμμὰς καὶ τὰς ἐπιφανείας οὐκ ἐνδέχεται οὔτε | ||
| προσήκει καλεῖν , οὐχὶ μονάδας . ἐπειδὴ τοίνυν ἅπαν σῶμα στιγμὰς ἔχει καὶ πρὸ τῆς ψυχῆς , δῆλον ὅτι αἱ |
| ὑπὸ ΒΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΕΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΖ , τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΒΔΓ | ||
| ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΕΖ τετράγωνον : λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΓΔ καὶ τῷ ὑπὸ |
| ὅτι τὸν αὐτὸν ἀεὶ τόπον ἐπέχουσιν . ~ αἳ γὰρ περιέχουσαί εἰσιν εὐθεῖαι , τῇ θέσει δεδομέναι εἰσίν . Τὸν | ||
| ὅτι τὸν αὐτὸν ἀεὶ τόπον ἐπέχουσιν . ~ αἳ γὰρ περιέχουσαί εἰσιν εὐθεῖαι , τῇ θέσει δεδομέναι εἰσίν . Τὸν |
| μείζους , αἱ λοιπαὶ αἱ ὑπὸ ΒΖΗ , ΔΗΖ δύο ὀρθῶν ἐλάσσους . ἀλλὰ καὶ δύο ὀρθῶν μείζους αἱ αὐταί | ||
| ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ , ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ ' |
| ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΘ τῷ ΕΗ , ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον , τῶν ΓΘ , ΕΗ ἄρα ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ | ||
| μονὰς κορυφή , ἀλλ ' ἐπίπεδον αὐτῇ τὸ πέρας γίνεται ἰσογώνιον τῇ βάσει : ἐὰν δὲ πρὸς τῷ μὴ εἰς |
| πρῶτον αἴτιον ὑφ ' οὗ τὰ πάντα παράγονται . Εἰπὼν δυσὶν αἰτίαις αὐτὸν κεχρῆσθαι καὶ μνημονεύσας τῆς κατὰ τὸ εἶδος | ||
| κινούμενον καὶ φερόμενον : διὰ τοῦτ ' εἰκότως ταῖς προσαχθείσαις δυσὶν ἐπιστήμαις ἕτεραί τινες δύο συνεπέσχον καὶ συνεφήψαντο τῆς καθ |
| ταύτας , τὰ δὲ ἀνίσους , καὶ καλεῖται τὰ μὲν ἰσοσκελῆ τραπέζια , τὰ δὲ σκαληνὰ τραπέζια . τὸ ἄρα | ||
| ἐπὶ μόνων τῶν ὀρθογωνίων . ἐπεὶ δὲ τὰ ὀρθογώνια ἢ ἰσοσκελῆ εἰσιν ἢ σκαληνά , ἀδύνατον τοῦτο γίνεσθαι ἐπὶ τῶν |
| καὶ ἀλλοιοῖτο καὶ ἀλλοιοῖ , ὥστε ἅμα διδάσκοι ἂν καὶ μανθάνοι , καὶ ὑγιάζοι καὶ ὑγιάζοιτο τὴν αὐτὴν ὑγείαν . | ||
| , ἢ ἀλλοιοῖτο καὶ ἀλλοιοῖ , ὥστε διδάσκοι ἂν καὶ μανθάνοι ἅμα , καὶ ὑγιάζοι καὶ ὑγιάζοιτο τὴν αὐτὴν ὑγείαν |
| κατὰ τὰ Ε , Γ σημεῖα , καί ἐστιν ἡ ΕΗΓ γραμμὴ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας , ἡ ΕΘΓ | ||
| , ΖΔ γραμμάς . λέγω , ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΗΓ , ΔΖ γραμμῶν εὐθεῖά ἐστιν . εἰ γὰρ δυνατόν |
| προτάσεις καὶ ᾗ αὐτό ἐστιν : ἐκ μὲν γὰρ τοῦ ἑτεροκινήτου δείκνυται οὐ μόνον τὸ αὐτοκίνητον ἀεικίνητον , ἀλλὰ καὶ | ||
| ἀλλὰ πρῶτον μὲν κοινὸν τοῦτο ἔσται πάσης οὐσίας καὶ τῆς ἑτεροκινήτου λεγομένης , ἐπεὶ καὶ τὸ πῦρ οὕτως αὐτοκίνητον , |
| δῆλον ὅτι ἃς ἂν εὕρωμεν προτάσεις ἢ συμψευδομένας ποτὲ ἢ συναληθευούσας , ταύτας οὐκ ἂν εἴποιμεν ἀντιφατικῶς ἀντικεῖσθαι πρὸς ἀλλήλας | ||
| τὴν ὕλην ἀλλὰ κατ ' αὐτὴν τὴν τῶν προτάσεων δύναμιν συναληθευούσας , οἷον τὰς ἀδιορίστους ἢ τὰς κατὰ μέρος , |
| προτάσεων . κατὰ τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον καὶ ἐπὶ τῶν προσδιωρισμένων προτάσεων ἡ ἀκολουθία : πλήν γε αἱ κατὰ διάμετρον | ||
| ἀπροσδιορίστους τὸ αὐτὸ φθέγγεσθαι . τῶν μὲν οὖν καταφάσεων τῶν προσδιωρισμένων ἀναμφισβητήτως ἡ μερικὴ τῆς καθόλου χείρων , διόπερ ἀνάγκη |
| ποιεῖ τὴν ἀκμήν . διό , καθάπερ ἔφην , οὐδὲ ἀντακολουθοῦσιν : ὅπερ μὲν γὰρ ἂν ἀκμαῖον ᾖ , πάντως | ||
| προσγένωνται . Δόξης οὔσης κοινῆς παρὰ τοῖς σοφοῖς , ὅτι ἀντακολουθοῦσιν ἀλλήλαις αἱ ἀρεταί , ἀπορίαν πρὸς ταύτην τὴν γνῶσιν |
| ἡ ἁμαρτία , ὥσπερ εἴ τις ἐν δευτέρῳ σχήματι δύο καταφατικαῖς χρῷτο καὶ τῷ τοῖς ἄκροις ἀμφοτέροις τὸ μέσον ἕπεσθαι | ||
| ἀλλὰ τὴν αὐτὴν δύναμιν ἔχουσιν ταῖς μερικαῖς προτάσεσιν ἀποφατικαῖς καὶ καταφατικαῖς . ἐν οἷς τὸ πρῶτον ἐπιχείρημα . τὸ δὲ |
| Περσῶν βασιλεὺς , μήτηρ δὲ Ἄτοσσα . γίνωσκε δὲ ὅτι Δαρεῖοι τρεῖς εἰσι : πρῶτος δὲ τούτων ὁ Ὑστάσπου , | ||
| ἐκ τοῦ Δαρείου γεννηθείς . . . . σημείωσαι ὅτι Δαρεῖοι τρεῖς ἐγένοντο . τούτων δὲ πρῶτος ὁ Ὑστάσπου . |
| ὑπὸ ΕΑΒ . ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνα τὰ ΖΕΒ , ΖΑΒ ἐπὶ μιᾶς βάσεως συνέστηκε , καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ | ||
| ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν ΒΑΗ τομέα , οὕτως ἡ ὑπὸ ΖΑΒ πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ : καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ |
| τὸ πλημμελὲς ἐκ τοῦ συνεζευγμένου θνητοῦ τροπὰς καὶ μεταβολὰς εἰκότως ἐνδέχονται , ἄτρεπτα δὲ τὰ τῆς τῶν ὅλων ἐστὶ φύσεως | ||
| ἄλλως κεφαλαιωδέστεροι . οἱ δὲ ἕτεροι πλείστην καὶ μεγίστην διατριβὴν ἐνδέχονται . ὁ γοῦν Πλάτων ὕμνον τοῦ Παντὸς τὸν Τίμαιον |
| ἡ ὑπὸ ΛΘΗ , ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΛΗΘ : μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΛΘΗ τῆς ὑπὸ | ||
| τρίγωνον τῷ ΛΗΘ τριγώνῳ , τὸ ΕΒΓ ἄρα πρὸς τὸ ΛΗΘ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν |
| ὑπὸ τὴν κλίσιν διάστημα , οὐ σωθήσονται αἱ τοιαῦται τῶν γωνιῶν διαφοραί , παρόσον ὑπερέχουσί τε ἀλλήλας καὶ ὑπερέχονται ὑπ | ||
| ' αὐτοῦ τὸν ἀπὸ τοῦ τετράδι ἐλάσσονος τοῦ πλήθους τῶν γωνιῶν , καὶ τὸν λοιπὸν μερίσαντες εἰς τὸν ηπλ . |
| ἐπανορθωτικὸν δίκαιον καταγινομένων νῦν περὶ αὐτοῦ ποιεῖται τὸν λόγον καὶ ἐπαπορεῖ , λύει δὲ μάλα ἐπιστημόνως . φησὶ γὰρ ὅτι | ||
| , οὐδὲ ὁ βίος αὐτοῦ λοιπὸν ἡδίων ἔσται . Πάλιν ἐπαπορεῖ τε καὶ ἐπάγει ἀπορίαν οὐχ ἑαυτοῦ ἀλλ ' ἑτέρων |
| τοῦ τριγώνου . διὰ τὸ ἰσογώνιον γίνεσθαι . , ] ἰσογώνια γίνονται τὰ τρίγωνα διὰ τὸ Ϛʹ τοῦ Ϛʹ . | ||
| : ἴση ἄρα : ὅπερ ἔδει δεῖξαι . ] Τὰ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν |
| μείους ἐμπεριφερομένων , γραμμῶν δὲ τούτους ὀρθῶν τε καὶ λοξῶν τεμνουσῶν ἀπὸ τοῦ κέντρου μὲν ἠργμένων , ἔτι τὰ πέρατα | ||
| . τοῦτο τὸ θεώρημα δείκνυσιν , ὅτι δύο εὐθειῶν ἀλλήλας τεμνουσῶν αἱ κατὰ κορυφὴν γωνίαι ἴσαι εἰσίν , ηὑρημένον μέν |