Deutschsprachige Aufsätze | Darij Grinberg
Bemerkung für Lehrer: Ich kann meine Notizen kaum für den Schulgebrauch empfehlen, die Darstellung ist sehr trocken und wenig ansprechend. Wenn Sie aber doch eine Möglichkeit gefunden haben, Teile meiner Texte irgendwo einzusetzen, so können Sie dies unbeschwert tun - die Texte sind Public Domain, dürfen also frei kopiert und verbreitet werden.
Hinweise, Verbesserungen, Bemerkungen und Kritik sind willkommen - meine Emailadresse ist A=gmail.com, wobei der Buchstabe A durch darijgrinberg ersetzt werden sollte und das Zeichen = durch das Zeichen @. (Dies soll gegen Spam schützen.)
Alle Zeichnungen in geometrischen Aufsätzen wurden mit Roland Mechlings Open-Source-Programm "Euklid DynaGeo" für dynamische Geometrie gezeichnet.
Darij Grinberg, Die Zahlen 1/n ∑d | n
φ(d) qn/d und ihr Gefolge.
(PDF-Datei) (Sourcecode.)
Im Aufbau; momentan sind nur Abschnitte
1-4 und der Anfang von 5 fertig.
Vermutlich enthält der Text eine Menge Fehler und Typos.
Jegliche Kommentare und Fehlermeldungen sind willkommen!
(an A@B.com, wobei A=darijgrinberg und B=gmail)
Sei n positiv ganz und q ganz. Warum ist die Summe von
φ(d) qn/d (wobei φ die Eulersche Phi-Funktion ist)
über alle (positiven) Teiler d von n durch n teilbar?
Oder, anders gefragt, warum ist die Summe von qggT(i, n)
über i = 1, 2, ..., n durch n teilbar? Eine Reihe
von teilweise recht kurzen Beweisen für diese
Teilbarkeit sind bekannt, doch die dahinter stehenden
Verallgemeinerungen, kombinatorischen Interpretationen
und Konzepte sind um einiges interessanter als die
Teilbarkeit selber. Das Ziel dieser Arbeit ist es,
unterschiedliche Beweisansätze zusammenzutragen, und
möglichst viele Analoga und Verallgemeinerungen aus
ihnen herauszuholen.
Im Moment sind nur die ersten 4 Abschnitte
fertiggestellt.
In Abschnitt 1 wird die bereits erwähnte Teilbarkeit
detaillierter vorgestellt.
Abschnitt 2 verallgemeinert diese und beweist die
Verallgemeinerung. Als Hilfsmittel werden die
Dirichlet-Faltung und die Möbiusfunktion erklärt und
einige ihrer Eigenschaften bewiesen.
In Abschnitt 3 werden formale Potenzreihen eingeführt
und damit ein alternativer Zugang zu einem Teil von
Abschnitt 2 gegeben.
Abschnitt 4 widmet sich einem Analogon der Teilbarkeit.
Dieses Analogon wird mithilfe der Verallgemeinerung aus
Abschnitt 2 bewiesen.
Abschnitt 5 bietet eine kombinatorische Interpretation
von 1/n * (Summe von qggT(i, n) über i = 1, 2, ...,
n), woraus natürlich die Ganzzahligkeit und damit die
eingangs formulierte Teilbarkeit folgt - allerdings nur
für nichtnegative q.
Planung:
Als Verallgemeinerung wird das Pólya-Burnsidesche
Abzählverfahren diskutiert.
Abschnitt 6 "flickt" den kombinatorischen
Beweis aus Abschnitt 5, damit er auch für negatives q
funktioniert und damit einen vollwertigen Beweis für die
Teilbarkeit ergibt.
Abschnitt 7 erweitert noch ein wenig das Resultat von
Abschnitt 2 und fügt einige kombinatorische Aspekte
hinzu.
Abschnitt 8 handelt von der Anzahl aller irreduziblen
Polynome n-ten Grades über dem Körper mit q Elementen.
Diese stellt sich als 1/n * (μ(d) q^(n/d) über alle
(positiven) Teiler d von n) heraus (wobei μ die
Möbiusfunktion ist).
Darij Grinberg, Alternierende Summen: Aufgaben
und Lösungen
(unfertig) (in German).
Sourcecode.
Eine Aufgabensammlung (Lösungshinweise sind im Werden)
über alternierende (d.h., vorzeichenbehaftete) Summen
in der Kombinatorik und (elementaren) Algebra.
Geschrieben für die deutsche IMO-Vorbereitung 2020.
Darij Grinberg, Einführung in algebraische
Ungleichungen I
(unfertig) (in German).
Sourcecode.
Ein Skript über Wettbewerbsungleichungen. Im Moment
ist nur das Kapitel über die AM-GM-Ungleichung und
ihre Anwendungen fertig.
Geschrieben für die deutsche IMO-Vorbereitung 2021.
Darij Grinberg, Deutsche AIMO 2022, Klausur 2 (in German).
Sourcecode.
Die zweite deutsche Auswahlklausur zur IMO 2022,
geschrieben in Bad Homburg im März 2022,
mit vollständingen Lösungen.
(Alle Aufgaben sind neu.)
QED-Mathematikolympiade
(QEDMO):
Mathematischer Teamwettbewerb innerhalb des QED-Vereins, bislang
immer organisiert von Daniel Harrer und mir.
Informationen sind auf einem den
AoPS-Thread zu finden. Folgende
Musterlösungen habe ich geschrieben (jeweils gezippte
PDF-Dateien):
1. QEDMO:
Lösungsbeispiele zu den
Geometrie- und Ungleichungsaufgaben der 1.
QED-Mathematik-Olympiade.
2. QEDMO:
Lösungsbeispiele zu den
Geometrie- und Ungleichungsaufgaben der 2.
QED-Mathematik-Olympiade.
3. QEDMO:
Lösungsbeispiele zu den
Algebraaufgaben der 3. QED-Mathematik-Olympiade.
Lösungsbeispiele zu den
Geometrieaufgaben der 3. QED-Mathematik-Olympiade.
4. QEDMO:
Lösungsbeispiele zu den
Algebraaufgaben der 4. QED-Mathematik-Olympiade.
Lösungsbeispiele zu den
Geometrieaufgaben der 4. QED-Mathematik-Olympiade.
6. QEDMO:
Aufgabe 3: Satz 1 in Konkurrente
Kreise durch drei von sechs Punkten. Der Beweis
verwendet orientierte Winkel modulo 180° (a. k. a.
Kreiswinkel), wie sie in Der
Neuberg-Mineurkreis oder Orientierte
Winkel modulo 180° und eine Lösung der WURZEL-Aufgabe
Kappa 22 von Wilfried Haag eingeführt sind.
Aufgabe 4: Lösung
(nicht korrekturgelesen). Englische
Version (viel schlechter lesbar, aber
korrekturgelesen).
Aufgabe 11: Satz 4 in Zum
Satz von Brianchon. Wer den Satz von Brianchon
oder projektive Geometrie nicht kennt, findet auf S.
13-14 einen alternativen Beweis, der Satz 3 aus Über Parallelen zu
Dreiecksseiten benutzt (dessen Beweis verwendet
nur die Formel (3) aus dem vorherigen Artikel; somit muss
man nur deren Beweis lesen und nicht alles davor).
Darij Grinberg, Der
Neuberg-Mineurkreis, deutsche
Version meines Artikels The
Neuberg-Mineur circle
(Mathematical Reflections 3/2007). (PDF-Datei)
In der Mathésis von 1931 bewiesen V. Thébault und A.
Mineur eine bemerkenswerte Eigenschaft von Vierecken:
Sei ABCD ein beliebiges Viereck, und seien X, Y, Z und W
die Punkte auf den Geraden AB, BC, CD bzw. DA, die die
Seiten AB, BC, CD bzw. DA jeweils äußerlich im
Verhältnis der Quadrate der beiden anliegenden Seiten
teilen, d. h. für die gilt:
AX / XB = - DA2 / BC2; BY / YC = -
AB2 / CD2; CZ / ZD = - BC2
/ DA2; DW / WA = - CD2 / AB2,
wobei die Streckenlängen gerichtet sind.
Dann liegen die Punkte X, Y, Z und W auf einem Kreis.
In der obigen Notiz beweise ich dieses Resultat (ob
dieser Beweis neu ist, kann ich nicht entscheiden, da ich
den Originalartikel nie gesehen habe) sowie einen
Zusatzfakt: Ist ABCD ein Sehnenviereck, dann entartet der
Kreis durch die Punkte X, Y, Z und W zu einer Geraden.
Dieser Zusatzfakt wird auf zwei Arten bewiesen, wobei
durch den zweiten Beweis die Gerade als eine Potenzgerade
charakterisiert wird.
Darij
Grinberg, Schließungssätze
in der ebenen Geometrie.
(PDF-Datei)
Stand 2004, 26 Seiten
Eine Facharbeit (für Kenner des baden-württembergischen Schulsystems: GFS), die - zumindest im Wesentlichen - auch Schülern zugänglich sein sollte. Es werden zwei sogenannte "Schließungssätze" aus der elementaren euklidischen Geometrie bewiesen und weitergehend untersucht, und anhand einem von ihnen wird das Konzept der projektiven Ebene anschaulich eingeführt. Dabei wird eine formale Definition der projektiven Ebene gegeben, die aber mathematisch gesehen recht unhandlich ist. Schließlich wird ein Satz aus der projektiven Geometrie - der Satz von Pascal - vorgestellt, allerdings ohne Beweis.
Inhaltsverzeichnis
§1. Einleitung Seite 1 §2. Der Satz von Thomsen Seite 1 §3. Die Ente im Kreis I Seite 6 §4. Die Ente im Kreis II Seite 14 §5. Etwas projektive Geometrie Seite 17 §6. Der Satz von Pascal Seite 22 Literaturhinweise Seite 26
Darij
Grinberg, Über
einige Sätze und Aufgaben aus der Dreiecksgeometrie.
(gezippte PDF-Datei)
Stand 10.8.2003, 38 Seiten
Dies ist eine Art Einführung in die Dreiecksgeometrie. Am Anfang werden schulische Kenntnisse über merkwürdige Punkte aufgefrischt. Dann führe ich einige weniger bekannte Sätze auf, teils mit Beweisen. Ursprünglich als Skript für einen Vortrag bei einem BWM-Seminar geschrieben.
Inhaltsverzeichnis
Klassische Eigenschaften von Dreiecken§1. Einleitung Seite 1 §2. Was sind merkwürdige Punkte? Seite 2 §3. Der Schwerpunkt Seite 2 §4. Der Inkreismittelpunkt Seite 3 §5. Der Höhenschnittpunkt Seite 4 §6. Der Umkreismittelpunkt Seite 5Vergessene/Neue Eigenschaften von Dreiecken§7. Einleitung Seite 6 §8. Die drei Ankreismittelpunkte Seite 6 §9. Der Schwerpunkt und Flächeninhalte Seite 8 §10. Der Lamoenkreis Seite 9 §11. Einige Besonderheiten der Höhen Seite 10 §12. Die Eulergerade Seite 10 §13. Der Feuerbachkreis Seite 12 §14. Der Satz von Feuerbach Seite 14 §15. Der Gergonnepunkt Seite 15 §16. Die Geraden AX, BY und CZ Seite 16 §17. Ein weiterer Satz Seite 18 §18. Über Spiegelbilder von Höhen, Seitenhalbierenden usw. Seite 18 §19. Der Lemoinepunkt Seite 19 §20. Die Spiegelbilder der Höhen an den Winkelhalbierenden Seite 21 §21. Isogonale Punkte Seite 22 §22. Spiegelbilder bei Höhen und Mittelsenkrechten Seite 23 §23. Das Antimedialdreieck und das Tangentendreieck Seite 26 §24. Eine Eigenschaft des Tangentendreiecks Seite 31 §25. Das Höhenfußpunktdreieck Seite 32 §26. Der Taylorkreis Seite 34 §27. Eine Aufgabe von Fred Lang Seite 36 §28. Schlußbemerkung Seite 37 Literaturhinweise Seite 37
Darij
Grinberg, Karl
Wilhelm Feuerbach, sein Kreis und die Dreiecksgeometrie.
(PDF-Datei)
Stand 4.10.2007, 28 Seiten
Nach einem kurzen Abriss der Biographie des Geometers Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834) wende ich mich dem nach ihm benannten Kreis zu und beweise seine wichtigsten Eigenschaften wie den berühmten (und komplizierten) "Satz von Feuerbach". Schließlich stelle ich eine Reihe von Eigenschaften des "Feuerbachberührpunktes" ohne und mit Beweis vor. Ursprünglich als Vortrag beim BWM-Kolloquium 2004 konzipiert.
Inhaltsverzeichnis
§1. Dreiecksgeometrie Seite 1 §2. Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834) Seite 1 §3. "Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte..." Seite 2 §4. Der "kleine Satz von Feuerbach" Seite 2 §5. Der Feuerbachkreis als Neunpunktekreis Seite 5 §6. Die Eulergerade Seite 6 §7. Der "große Satz von Feuerbach" Seite 9 §8. Beweis des Satzes Seite 10 §9. Merkwürdige Punkte Seite 15 §10. Weitere Eigenschaften des Feuerbachberührpunktes Seite 15 §11. Das Dreieckszentrum X12 Seite 22 §12. Ein Kreis durch zwei Feuerbachberührpunkte Seite 24 Literaturhinweise Seite 28
Darij
Grinberg, Orientierte Winkel
modulo 180° und eine Lösung der
WURZEL-Aufgabe Kappa 22 von Wilfried Haag.
(gezippte PDF-Datei)
Stand 17.9.2004, 28 Seiten
In dieser Notiz geht es vorrangig um Anwendungen des Konzeptes von orientierten Winkeln modulo 180° in der Elementargeometrie. Erst wird eine Erklärung dieses Winkeltyps gegeben, dann einige Eigenschaften, teils mit Beweisen, aufgeführt. Anschließend folgt eine Sammlung von 34 Aufgaben mit Lösungen oder Lösungshinweisen.
Eine stark gekürzte Fassung (ohne Aufgaben) wurde in der WURZEL veröffentlicht:
Darij Grinberg, Orientierte Winkel modulo 180° - Teil I, WURZEL 8/04, Seiten 170-176.
Darij Grinberg, Orientierte Winkel modulo 180° - Teil II, WURZEL 9+10/04, Seiten 226-229.
Bemerkung: Bei der Konvertierung des Artikels zur PDF-Datei konnten Fußnoten nicht als solche beibehalten werden; deshalb wurden sie als Text in eckigen Klammern dargestellt.
Darij
Grinberg, Einige Eigenschaften der
Potenzgeraden. (PDF-Datei)
Stand 3.7.2007, 17 Seiten
Deutsche Version von Radical axes revisited.
Diese Notiz behandelt einige metrische Eigenschaften der Potenzgeraden zweier Kreise. Als Anwendung ergeben sich ein Kriterium für die Koaxialität dreier Kreise (welches eine Verallgemeinerung des bekannten Satzes von Stewart darstellt) und eine Eigenschaft des Taylorkreises eines Dreiecks.
Darij
Grinberg, Aufgabe:
Umkreismittelpunkte und Kreise.
(PDF-Datei)
Stand 2005
oder früher
Darij Grinberg, Konkurrente
Kreise durch drei von sechs Punkten.
(PDF-Datei)
Stand 2005
oder früher
Darij Grinberg, Zum Satz von Brianchon.
(PDF-Datei)
Stand 2005
oder früher
Darij Grinberg, Über Parallelen zu
Dreiecksseiten. (PDF-Datei)
Stand 2005
oder früher
Darij Grinberg, Aufgabe: Spiegelung an
den Dreiecksseiten und Anti-Steinersche Punkte.
(PDF-Datei)
Stand 2005
oder früher
Veröffentlichungen in der WURZEL
Die WURZEL ist eine Zeitschrift für Mathematik aus Jena, die jeden Monat erscheint (zweimal pro Jahr Doppelausgaben).
Darij Grinberg, Lösung der Aufgabe Eta 32, WURZEL 3+4/01, Seite 66.
Darij Grinberg, Aufgabe Theta 14, WURZEL 3+4/01, Seite 87.
Darij Grinberg, Der verallgemeinerte Symmediansatz, WURZEL 5/01, Seiten 89 (Bild auf der Titelseite), 101 und 102.
Darij Grinberg, Einige Formeln für das konvexe Viereck, WURZEL 6/01, Seiten 127-133.
Darij
Grinberg, Der 1. Satz des Routh, WURZEL
8/01, Seiten 180-182.
Druckfehler: S. 182, im letzten Ausdruck
der letzten Formel soll der Nenner nicht
"(Fläche ABC)3",
sondern
"4 mal (Fläche ABC)3"
lauten.
Darij Grinberg, Aufgabe Theta 43, WURZEL 9+10/01, Seite 231.
Darij Grinberg, Nebenhöhen im Dreieck, WURZEL 11/01, Seiten 252-254.
Darij Grinberg, Die Ankreise eines Dreiecks und der Hadamard-Punkt, WURZEL 12/01, Seiten 258-262.
Darij
Grinberg, Satz von Carnot - Teil 2,
WURZEL 1/02, Seiten 6 und 7.
Dieser Artikel ist eine Ergänzung zum Artikel
"Satz von Carnot" von Oleg Faynshtein
in WURZEL 8/00.
Darij Grinberg, Die vier Ankreise eines Vierecks, WURZEL 2/02, Seiten 26-32.
Darij Grinberg, Inkreis, Ankreise, Umkreis: Der Schwerpunkt der vier Berührkreismittelpunkte, WURZEL 3+4/02, Seite 50-52.
Darij Grinberg, Verallgemeinerung des Satzes über die Winkelhalbierenden, WURZEL 5/02, Seite 107-109.
Darij Grinberg, Aufgabe Iota 31, WURZEL 7/02, Seite 167
Darij Grinberg, Aufgabe Iota 50, WURZEL 11/02, Seite 255.
Darij Grinberg, Der Steinersche Satz, WURZEL 2/03, Seiten 35-42.
Darij Grinberg, Aufgabe Kappa 54, WURZEL 11/03, Seite 255.
Darij Grinberg, Aufgabe Lambda 29-30, WURZEL 6/04, Seite 143.
Darij Grinberg, Orientierte Winkel modulo 180° - Teil I, WURZEL 8/04, Seiten 170-176.
Darij Grinberg, Lösung der Aufgabe Kappa 54, WURZEL 8/04, Seite 190.
Darij Grinberg, Orientierte Winkel modulo 180° - Teil II, WURZEL 9+10/04, Seiten 226-229.
Darij Grinberg, Eine Aufgabe über Sehnenvierecke aus dem BWM 2003, WURZEL 2/05, Seiten 35-41.
Darij
Grinberg, Aufgabe Mu 10, WURZEL 2/05,
Seite 47.
Diese Aufgabe entstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL-Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij Grinberg, Eine Aufgabe über Sehnenvierecke aus dem BWM 2003 - Teil II, WURZEL 3+4/05, Seiten 50-54.
Darij Grinberg, Neues von den Umkreisbogenmitten beim Dreieck, WURZEL 8/05, Seiten 176-179.
Darij
Grinberg, Aufgabe Mu 40, WURZEL 8/05,
Seite 191.
Diese Aufgabe entstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL-Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij
Grinberg, Aufgabe Mu 57, WURZEL 12/05,
Seite 287.
Diese Aufgabe entstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL-Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij Grinberg, Aufgabe Nu 10,
WURZEL 2/06, Seite 47.
Diese Aufgabe enstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL-Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij Grinberg, Aufgabe Nu 27,
WURZEL 6/06, Seite 143.
Diese Aufgabe enstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL-Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij Grinberg, Aufgabe Nu 31,
WURZEL 7/06, Seite 167.
Diese Aufgabe enstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL-Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij Grinberg, Aufgabe Nu 58,
WURZEL 12/06, Seite 287.
Diese Aufgabe enstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL-Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij Grinberg, Aufgabe Xi 4,
WURZEL 1/07, Seite 23.
Diese Aufgabe enstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL-Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij Grinberg, Aufgabe Xi 10,
WURZEL 2/07, Seite 47.
Diese Aufgabe enstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL-Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij Grinberg, Aufgabe Xi 16,
WURZEL 3+4/07, Seite 87.
Diese Aufgabe enstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL-Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij Grinberg, Aufgabe Xi 22,
WURZEL 5/07, Seite 111.
Diese Aufgabe enstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL-Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij Grinberg, Aufgabe Xi 32,
WURZEL 7/07, Seite 167.
Diese Aufgabe entstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL-Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Darij Grinberg, Aufgabe Xi 47,
WURZEL 9+10/07, Seite 231.
Diese Aufgabe entstammt der Arbeit Orientierte Winkel modulo
180° und eine Lösung der WURZEL-Aufgabe Kappa
22 von Wilfried Haag.
Einige kleinere Notizen (Der Satz von Archimedes, Die Eulergerade eines Sehnenvierecks, Neuer Zugang zum Feuerbachkreis, Aufgabe: Inzidenzsatz von Kroll, Neubergsche Kreise, Einige Sätze über isogonale Punkte, Eine Aufgabe aus dem Bundeswettbewerb Mathematik und der Nagelsche Punkt eines Dreiecks) finden Sie auf http://www.dynageo.de/discus/messages/5/112.html
Der Bundeswettbewerb Mathematik (BWM) ist eine deutsche Mathematikolympiade, die jährlich stattfindet und aus drei Runden besteht: Die beiden ersten Runden sind "Hausaufgaben"-Wettbewerbe (jeweils vier Aufgaben zur eigenständigen Bearbeitung), die dritte Runde ist ein Kolloquium.
Ich habe von 2000 bis 2006 am Bundeswettbewerb Mathematik teilgenommen. Meine Lösungen seit 2003 sind als gezippte PDF-Dateien zugänglich:
Lösungen der 1. Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik 2003 (Korrekturergebnis:
ohne Beanstandung)
Lösungen der 2. Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik 2003 (Korrekturergebnis:
ohne Beanstandung)
Lösungen der 1. Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik 2004 (Korrekturergebnis:
ohne Beanstandung)
Lösungen der 2. Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik 2004 (Korrekturergebnis:
ohne Beanstandung)
Lösungen der 1. Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 (Korrekturergbenis:
ohne Beanstandung, allerdings eine wohl noch
untertriebene Bemerkung zur Lösung von Aufgabe 1:
"Etwas arg aufwändig")
Lösungen der 2. Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 (Korrekturergbenis:
ohne Beanstandung, allerdings mit einem analogen
Kommentar)
Lösungen der 1. Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik 2006 (Korrekturergbenis:
ohne Beanstandung)
Lösungen der 2. Runde des
Bundeswettbewerbs Mathematik 2006 (Korrekturergbenis:
ohne Beanstandung)
Eine unvollständige Liste von Lösungen anderer Teilnehmer:
Peter Patzt: [Prop] Lösungen der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 ; [Prop] Lösungen der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 ; [Prop] Lösungen der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2006
Hanno Becker: [Prop] Lösungen der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 (außer Aufgabe 4 b)) ; [Prop] Lösungen der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2006.
Mirko Rösner: [Prop] Lösungen der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 ; [Prop] Lösungen der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005
Daniel Harrer: [Prop] Lösungen der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005 ; [Prop] Lösungen der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2006
Thomas Kremer / Lukas Reck: [Prop] Lösungen der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2004 (die eigentliche Seite ist offline, deshalb geht der Link auf www.archive.org)
Thomas Kremer: [Prop] Lösungen der 2. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2004
Dankrad Feist: [Prop] Lösungen des Bundeswettbewerbs Mathematik 2003, 2004 und 2005 und mehr
Yasin Zähringer: [Prop] Lösungen des Bundeswettbewerbs Mathematik 2003-2006
[Prop] Thread auf dem Matheplaneten über die 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2005
Deutschsprachige Aufsätze
Darij Grinberg