| οἷον τὸ κα ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τῷ θ , τὸ παραβληθὲν οἷον τὸ κα ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ἐκ | ||
| μ παρὰ ῥητὴν τὴν οὖσαν τριῶν μονάδων ἤτοι τὴν ΓΔ παραβληθὲν πλάτος ποιεῖ τὴν ΕΔ ἤτοι μία θ ιϚ . |
| οὖν τῷ ἀπὸ τῆς ΚΗ τετραγώνῳ ἴσον παρὰ τὴν ΒΚ παραβέβληται ὑπερβάλλον τῷ ἀπὸ τῆς ΚΛ τετραγώνῳ , τὸ ἄρα | ||
| τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΖ ἴσον παρὰ τὴν ΓΜ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΚ , ΚΜ |
| ἐλευθεριωτέρων εἰς χρόνον καθ ' ὁμολογίαν μέντοι , οὐ μὴν ῥητήν , οἷον δέκα ἢ εἴκοσι ἤ τινα ἄλλον ἀριθμόν | ||
| μεγάλῃ ἀνέστρεψε . ταῦτα προειπόντες ἐν τῷ πλήθει , καὶ ῥητήν τινα ἀποδείξαντες ἡμέραν , ἐν ᾗ τέλος ἔφησαν ἐπιθήσειν |
| τὴν ἔγγιον τῆς ἀπωτέρω , ἐλαχίστην δὲ τὴν πρὸς τῇ ἐφαπτομένῃ , καθ ' ἣν ἡ μέση κίνησίς ἐστιν , | ||
| συμπτώσει τῶν ἐφαπτομένων διαφέρει τῷ ἀπολαμβανομένῳ τριγώνῳ πρός τε τῇ ἐφαπτομένῃ καὶ τῇ διὰ τῆς ἁφῆς ἀγομένῃ διαμέτρῳ . ἔστωσαν |
| παράκειται παρὰ τὴν ΑΗ τρίτην ἀνάλογον πλάτος ἔχον τὴν ΑΖ ἐλλεῖπον εἴδει τῷ ὑπὸ ΗΚΘ ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΗΑΒ . | ||
| παρὰ τὴν ζ καὶ τὴν γ παραλληλόγραμμον οἷον τὸ κα ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ τῷ θ , τὸ παραβληθὲν οἷον τὸ |
| συμπίπτουσα τῇ ΗΑ κατὰ τὸ Κ , ἡ δὲ ΗΛ συμπίπτουσα τῇ ΒΚ κατὰ τὸ Μ . ἐπεὶ οὖν ἴση | ||
| ἀχθῇ πρὸς ὁποιανοῦν τῶν τομῶν , καὶ ταύτῃ παράλληλος ἀχθῇ συμπίπτουσα ταῖς ἐφεξῆς τρισὶ τομαῖς , τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν |
| Ἰστέον , ὡς τὰ μεγέθη τριχῶς : ἢ γὰρ ἐν γραμμῇ ἢ ἐν ἐπιφανείᾳ ἢ ἐν σώματι . ἐν γοῦν | ||
| δὲ τῷ τρίτῳ τῶν γεωγραφικῶν καθιστάμενος τὸν τῆς οἰκουμένης πίνακα γραμμῇ τινι διαιρεῖ δίχα ἀπὸ δύσεως ἐπ ' ἀνατολὴν παραλλήλῳ |
| μήκη τίθησιν , εἴθ ' ὡς ἂν γωνίαν ποιοῦντα κατὰ Θάψακον , ἀλλ ' ὅτι γε οὐ παράλληλον οὐδέτερον τῷ | ||
| πορείαν ποιεῖσθαι : ὁδοιπορήσας δ ' ἡμέρας εἴκοσι παρεγενήθη πρὸς Θάψακον πόλιν , ἣ κεῖται παρὰ τὸν ποταμὸν τὸν Εὐφράτην |
| τῆς ὅλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ : τεσσαρεσκαιδεκάκι γὰρ ιδ ρϘϚ ποιοῦσι : δεκάκι γὰρ | ||
| ἀπὸ τοῦ γβ τετραγώνου ἴσος ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ γδ τετραγώνῳ . Ἔστω γὰρ ἀπὸ μὲν τοῦ γδ τετράγωνος ὁ |
| : ὁμοίως καὶ ἐὰν ὁ τοῦ μητρικοῦ κλῆρος ἐν τῷ διαμέτρῳ εὑρεθῇ καὶ ὁ τοῦ διαμέτρου τοῦ κλήρου τῆς μητρὸς | ||
| ἐστὶ τῷ ΑΖ . Ἐὰν παραβολῆς εὐθεῖα ἐπιψαύουσα συμπίπτῃ τῇ διαμέτρῳ , καὶ ἀπὸ τῆς ἁφῆς εὐθεῖα καταχθῇ ἐπὶ τὴν |
| ἐπέχουσα : τὸ δ ' ἑωθινὸν τῷ Ῥήνῳ ποταμῷ περιγραφομένη παράλληλον ἔχοντι τὸ ῥεῦμα τῇ Πυρήνῃ : τὸ δὲ νότιον | ||
| ἂν εἶεν καὶ οἱ ἀπὸ Μασσαλίας ἐπὶ τὸν διὰ Βορυσθένους παράλληλον , ὅς γε διὰ τῆς Κελτικῆς παρωκεανίτιδος ἂν εἴη |
| Δ , καὶ ἀπ ' αὐτοῦ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγὼν τῇ ΕΓ τὴν ΔΒ , καὶ ἐπιζεύξας τὴν ΕΒ , καὶ | ||
| ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ : ἐλάττων ἄρα ἡ ΔΕ τῆς ΕΓ : τὰ Γ , Δ ἄρα σημεῖα οὐκ ἴσον |
| δύο σημείων τῶν Β Ε κλάσαι τὴν ΒΝΞΕ καθόλου τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην τῶν κλασμάτων τὸ πλῆθος δοθὲν ἔχουσαν . | ||
| ΒΓ . Διὰ τοῦ δοθέντος ἄρα σημείου τοῦ Α τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ παράλληλος εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΕΑΖ |
| τὰ παρακείμενα ὀρθογώνια παρὰ τὴν ἑτέραν εὐθεῖαν πλάτος ἔχοντα τὴν ἀπολαμβανομένην ὑπ ' αὐτῶν πρὸς τῇ κορυφῇ τῆς τομῆς ἐλλείποντα | ||
| ἀνάλογον πλάτος ἔχον τὴν ὑπ ' αὐτῆς τῆς τεταγμένως ἀχθείσης ἀπολαμβανομένην πρὸς τῇ τομῇ ἐλλεῖπον εἴδει ὁμοίῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ |
| ἢ πολλαπλασία . Ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ , καὶ συνεστάτω τρίγωνον τὸ ΕΖΗ ἑκάστην πλευρὰν ἔχον ἑκάστης τῶν τοῦ | ||
| μείζων ἐστίν . ἔστω μείζων ἡ ὑπὸ ΑΒΓ . καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ |
| τῇ ΚΜ . ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ , ΜΖ , καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ | ||
| λόγος ἐστὶ δοθείς : ὥστε καὶ τοῦ ΓΔ πρὸς τὸ ΓΜ λόγος ἐστὶ δοθείς . ἔστι δὲ τὸ ΓΜ τῷ |
| γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ ἐγγραφομένου εἰς τὸν μέγιστον κύκλον . καὶ ἐπεζεύχθωσαν | ||
| ἡμῶν δὲ εἷς [ καὶ ] ὁ κυβερνήτης , τρίγλης πλευρᾷ διαπαρεὶς τὸ μετάφρενον . ἐκείνην μὲν οὖν τὴν ἡμέραν |
| τὸ ΜΖ : πολλῷ ἄρα τὸ ΜΖ μεῖζόν ἐστι τοῦ ΞΚ . καὶ ἐπεὶ τὰ ΞΝ , ΝΛ , ΛΚ | ||
| , ἡ δὲ ΞΛ τῆς ΠΡ , ὅλη ἄρα ἡ ΞΚ ὅλης τῆς ΚΡ ἐστὶ διπλῆ . Πάλιν ἐπεὶ διπλῆ |
| ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΔΓ πρὸς ΓΒ : πολλῷ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ΕΓ | ||
| καὶ τὸ ΕΖ . , ] ὅμοιον γάρ ἐστι τῷ ΔΓ δεδομένῳ . Καί ἐστιν ἴσον τοῖς ΑΓ , ΚΘ |
| , τοὺς βουλευτὰς ᾐτησάμην . καὶ τοίνυν διοικήσεως νῦν πρῶτον ἀχθείσης πολλὰ ὑπὸ πολλῶν ἠδικημένος , ὥσπερ εἰκός ἐστι τὸν | ||
| τοῦ ἐκκέντρου πηλικότησιν . κατὰ ταὐτὰ δὲ καὶ ἐνθάδε καθέτου ἀχθείσης ἐπὶ τὴν ΔΒ τῆς ΑΛ , ἐάν τε τὴν |
| ἀπεδείχθη μοιρῶν ρνζ ι ἔγγιστα : καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΒ τοῦ ἐπικύκλου περιφέρεια , ἣν ἀπεῖχεν ἡ σελήνη τοῦ | ||
| μείζων ἐστί , καί ἐστιν , ὡς ἡ ΕΛ πρὸς ΛΒ , οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς ΑΒ , καὶ συνθέντι |
| καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ε κέντρου τῇ ΜΝ παράλληλος ἡ ΕΘ , καὶ κάθετος ἐπ ' αὐτὴν ἀπὸ τοῦ Λ | ||
| ἡ μὲν ΘΗ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση , ἡ δὲ ΕΘ τῆς ΔΗ διπλῆ , καὶ λοιπὴν τὴν ΓΘ ἕξομεν |
| ἀντιπαρατείνουσα ταύταις ἡ Ναρβωνησία κεῖται . Πάλιν δὲ μετὰ τὴν Βελγικὴν πρόσεισιν ἐπ ' ἀνατολὰς συχνὸν ὅσον ἡ Γερμανία , | ||
| καταντικρὺ τῆς Κελτογαλατίας , παρά τε τὴν Λουγδουνησίαν καὶ τὴν Βελγικὴν μέχρι τῆς μεγάλης Γερμανίας ἐκτεινομένη . Οὐ γάρ ἐστι |
| δολιχόσκιον ἔγχος , καὶ βάλεν Ἀτρεΐδαο κατ ' ἀσπίδα πάντοσε ἴσην , οὐδ ' ἔρρηξεν χαλκός , ἀνεγνάμφθη δέ οἱ | ||
| [ . εἶναι τὴν σελήνην ] . , Π . ἴσην τῶι ἡλίωι [ . εἶναι τὴν σελήνην ] : |
| ὑπὸ ΒΑΔ , ἡ δὲ ΓΔ τὸ ΔΒΑΓ τμῆμα ἔχον δοθεῖσαν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΔΑΓ : δοθὲν ἄρα καὶ τὸ | ||
| κερατοειδῆ γωνίαν τεμεῖν . τὸ δὲ νῦν πρόβλημά ἐστι τὴν δοθεῖσαν εὐθύγραμμον γωνίαν δίχα τεμεῖν . χρῆται γὰρ ἐν τούτῳ |
| ἡ ΔΚ τεσσάρων μονάδων τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ١١٠ ١١٠ ٢٧ ١٠ ٤٩ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ ٢ ٤٧ ٣٣ | ||
| . ἡ ΑΒ ٢ ٢١ ٣٥ ἡ ΑΔ ١ ٤٠ ٢٧ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ٥ ٣٣ ١٨ ٤٠ ٢٥ |
| ἰσογώνιόν ἐστιν ἢ οὔ . ἔστω πρότερον ἰσογώνιον , καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΓΒ εὐθεῖαν τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον | ||
| καὶ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς Α ἴσον παρὰ τὴν ΓΔ παραβεβλήσθω τὸ ΓΕ πλάτος ποιοῦν τὴν ΓΖ : ἀποτομὴ ἄρα |
| ἐπὶ τῆς ἐκκειμένης ἀποχῆς τῶν Ϙ λ μοιρῶν ἐδείξαμεν τὴν ΖΜ περιφέρειαν μοιρῶν οὖσαν ιβ α , ἵνα , ἐπειδήπερ | ||
| τῆς διχοτομίας τῆς μείζονος τῆς ΓΜ , ἐπεὶ ἔσται ἡ ΖΜ τῇ ΓΜ ἴση . οὐ μὴν οὐδὲ μεταξὺ τῶν |
| τὸ Α σημεῖον , βάσις δὲ ὁ ΒΓ κύκλος , τέτμηται ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος , καὶ πεποίηκε τομὴν τὸ | ||
| ἡ ΖΗ : ἡ ΗΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Ε , καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ |
| τούτῳ δ ' ἀκολουθεῖν τὸ ἀφεστάναι ἴσον τὰς Κασπίους πύλας Θαψάκου τε καὶ τοῦ Κασπίου : τοῦ δὲ Κασπίου πολὺ | ||
| τεινούσης πλευρᾶς καὶ τῆς ἀπὸ Βαβυλῶνος καθέτου ἐπὶ τὴν διὰ Θαψάκου μεσημβρινὴν γραμμὴν ἠγμένης καὶ αὐτῆς τῆς διὰ Θαψάκου μεσημβρινῆς |
| εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ βάσις ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΕΗ ἴση ἐστί , γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ | ||
| τῆς ΔΗ ; ἢ διότι ἡ ΔΗ διπλασία ἐστὶ τῆς ΕΗ : δίχα γὰρ ἐτμήθη ἡ ΔΗ κατὰ τὸ Ε |
| τὸ ἀπὸ τῆς ΑΤ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΤ , ΤΡ , τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΤ , ΤΓ | ||
| βάσις καὶ τὸ ΨΥ στερεόν . καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΤΡ , ΡΥ δυσὶ ταῖς ΑΛ , ΛΒ ἴσαι εἰσίν |
| ٤٠ τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν ٢ ١٨ ٤ ٤٥ ١٨ ٤٥ οὗ ἡ πλευρά ١ ٣١ ١ ١٤ | ||
| ٢٢ ١٠ ٢٠ τὸ ὑπὸ ῥητῆς καὶ τῆς ΑΔ ١ ٤٥ ἡ ΔΗ ١٠ ١٨ ٥ ٤٠ ἡ ταύτης ἡμίσεια |
| Ζ ἐπὶ τὸ Ε ἐπιζεύξαντες τὴν ΖΓΕ , ἕξομεν τὴν ΓΒ μέσην τῶν ΑΒ ΒΗ . καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά | ||
| , ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . μετὰ γὰρ |
| ἧς ἔσται τότε δηλονότι διὰ τὴν ἰσοχρόνιον τῶν ΗΘ , ΖΝ εἰς τὰ ἐναντία συναποκατάστασιν τὸ κέντρον τοῦ ἐκκέντρου , | ||
| γὰρ αἵ τε ΛΚ ΚΜ ΜΞ καὶ αἱ ΜΖ ΖΞ ΖΝ ΖΛ καὶ ἔτι ἡ ΖΚ . ἐπεὶ οὖν διὰ |
| ἡ ΖΝ ١ ٢٦ ٤١ ٤٠ ٣٢ Τὸ ΓΕ ٥ ٥١ ١٨ ١٢ ἡ ΒΗ ١ ٤٤ ٣٠ ἡ ΑΒ | ||
| . ٥ ٢٨ ٣٨ ἡ πλευρὰ τοῦ ΕΓ ٢ ٥٤ ٥١ τὸ ΒΓ τὸ καὶ μέσον ٢٤ ٢٩ ٣٧ ٤٨ |
| αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ΑΔ πρὸς ΕΔ : καὶ τοῦ ΔΑ ἄρα πρὸς ΕΔ λόγος ἐστὶ δοθείς : καὶ ἀναστρέψαντι | ||
| , κοινὴ δὲ ἡ ΒΑ , καὶ ἔστιν βάσις ἡ ΔΑ βάσει τῇ ΑΖ ἴση , γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ |
| παρὰ τὴν ΗΘ εὐθεῖαν τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΜ ἐν τῇ ὑπὸ ΗΘΜ γωνίᾳ , ἥ ἐστιν ἴση | ||
| συγκείμενον ἔχει λόγον ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΗ πρὸς ΗΜ καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΖΗ πρὸς ΗΛ |
| ριδ ι , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΔΗ περιφέρεια τοιούτων ριδ ι οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ | ||
| παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ : ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΙ μήκει . πάλιν , ἐπεὶ |
| ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΓΕ , ΔΖ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ , ΖΒ , ΕΒ . καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν | ||
| ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ , οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΕ , δι ' ἴσου ἄρα ἐστὶν |
| δυάδι αὐτοῦ λειπόμενα , πρόσω μὲν ὡς τὸ ἐκ τῶν ββ συγκείμενον , ὀπίσω δὲ ὡς τὸ ἐκ τῶν γγ | ||
| τῇ δγ καὶ εα : ἡ μὲν γὰρ δγ τῆς ββ ὑπερέχει τῇ δγ , ἡ δὲ ββ τῆς εα |
| ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΓΑ ἀποτομή . Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ῥητὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ , ἑκάτερον τῶν τμημάτων | ||
| , καὶ τῇ Δ σύμμετρος ἔστω μήκει ἡ ΕΖ . ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΕΖ . καὶ γεγονέτω ὡς |
| ἐφάψεται δὴ τῶν δύο τομῶν καὶ συμπεσεῖται τῇ ΓΒ . συμπιπτέτω κατὰ τὸ Λ , καὶ γινέσθω , ὡς ἡ | ||
| Ε τῇ Δ οὐ συμπεσεῖται . εἰ γὰρ δυνατόν , συμπιπτέτω κατὰ τὸ Δ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ καὶ |
| ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ δοθεῖσαν εἶναι τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνίαν : καὶ τοῦ Δ ἄρα χωρίου πρὸς τὸ ὑπὸ | ||
| πλευραὶ ἄνισοι , καὶ ἡ μείζων ὑποτείνει τὴν δεδομένην μείζονα γωνίαν . εἰ γὰρ μή ἐστιν ἡ τὴν μείζονα γωνίαν |
| ٥٠ ἡ πλευρὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν ١٤ ١٤ ٥٤ ἡ ΔΖ [ ٩ ٢٣ ٥٦ ٥٠ ] | ||
| ٥ ٣٣ ١٨ ٤٠ ٢٥ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ ١ ١٤ ٣ ٢ ١٢ ١٥ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ , |
| ٤٢ ἡ ΓΔ ٤ ἡ ΓΖ ٣ ٣٩ ٥٠ ٣١ ٢١ ἡ ΒΗ ١ ٩ ٣٢ ἡ ΑΗ ٤ ٥٩ | ||
| ἡ ΖΗ ٢ ٣٠ ١٩ ٣٦ ἡ ΑΖ ١٠ ٣٥ ٢١ ٤ Ταύτην τὴν ῥητὴν λάμβανε , ἣν ἐξέθου ἐν |
| κ , οἵων ἡ ΔΖ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΖΗ τῶν αὐτῶν ριγ μγ : ὥστε καί , οἵων | ||
| ὡς μὲν ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΕ , οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ , ὡς δὲ ἡ ΜΔ πρὸς |
| ٣ ١٩ ٥٨ ٥٠ ٣٢ τὸ συναμφότερον τῶν ἀπό ٣٢ ١٢ ٤٣ ٥٦ ٥٠ ἡ ΕΜ ٨ ٣ ٤٠ ٥٩ | ||
| ٤ ἡ ΑΒ ٢ ٥٩ ٢٨ ἡ ΓΖ ٢ ١٤ ١٢ ٤ ١٢ ἡ ΒΗ ٢ ١٣ ٤٣ ἡ ΑΗ |
| Δ , Ε , ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ , ΕΑ περιφερείας : καὶ | ||
| τῆς ΒΠ πολλῷ μείζους εἰσίν . ἀλλὰ ἡ ΒΠ τῆς ΒΓ μείζων : αἱ ἄρα ΒΞ , ΞΟ , ΟΠ |
| συμμέτρων , καὶ τὰ ἑξῆς . Ἐὰν ῥητὸν παρὰ ῥητὴν παραβληθῇ , πλάτος ποιεῖ ῥητὴν καὶ σύμμετρον τῇ , παρ | ||
| τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος ἴσον παρὰ τὴν μείζονα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ , ἡ ἡμίσεια τῆς ἐλάσσονος μείζων |
| , ὅταν ἡ σελήνη ἐν τῇ πρὸς αὐτὸν συνόδῳ κατὰ κάθετον ὑπελθοῦσα ἐπισκοτήσῃ , εἰδὼς φαίνεται . προειπὼν γὰρ ὅτι | ||
| δύο κεραίαιϲ ταῖϲ πρὸϲ τῇ ὀρθῇ γραμμῇ [ ἢ κατὰ κάθετον ] δραχμὴν ϲημαίνουϲι , ⋖ , τὴν ϲυνωνύμωϲ καὶ |
| καὶ εἴδει , οἷον ὅταν ὀρθὴν λέγωμεν ἢ ὀξεῖαν ἢ ἀμβλεῖαν ἢ ὅλως εὐθύγραμμον ἢ μικτήν : δίδοται καὶ λόγῳ | ||
| πύργοι ἐν αὐτῇ κατασκευάζονται τὴν μὲν ὀξεῖαν , τὴν δὲ ἀμβλεῖαν γωνίαν ποιοῦντες τὰς προσηκούσας πρὸς τὸ τεῖχος : οὕτω |
| ΒΖ ] τῇ ΓΖ , καὶ τὸ [ ΔΕΒΖ ] παραλληλόγραμμον , καὶ ἡ διάμετρος ἴση [ τῷ ] διαστήματι | ||
| δέ : καὶ τοῦ ΓΚ ἄρα παραλληλογράμμου πρὸς τὸ ΛΖ παραλληλόγραμμον λόγος ἐστὶ δοθείς : ὥστε καὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου |
| τοῦ κέντρου ἀναγραφῇ εἴδη παραλληλόγραμμα ἰσογώνια , ἔχῃ δὲ ἡ κατηγμένη πλευρὰ πρὸς τὴν λοιπὴν τοῦ εἴδους πλευρὰν τὸν συγκείμενον | ||
| Ε παρὰ τὴν ΑΓ ἡ ΕΜ : τεταγμένως ἄρα ἔσται κατηγμένη ἐπὶ τὴν ΑΒ : καὶ ἔσται , ὡς ἡ |
| τῷ ἀπὸ ΓΧ : ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΚΧ παράλληλον ἄγωμεν , τὸ ὑπὸ τῆς ΤΧ καὶ τῆς | ||
| καὶ ἡ ΣΧ τῇ ΟΦ , ἡ δὲ ΒΦ τῇ ΚΧ . παράλληλος ἄρα . , ] ἐὰν γὰρ δύο |
| τὸ σύναμα ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ٣ ٥٩ οὐδέν ٣٥ ٥ ἡ ΔΗ ἤτοι τὸ πλάτος τοῦ ἀπό ٣ | ||
| ΑΙ παραλληλόγραμμον ١١٧ ٣٥ ٤٧ ٢٠ τὸ ΚΖ ٣ ٣٦ ٣٥ ٢٠ τὸ ΛΜ ١١٧ ٣٥ ٤٧ ٢٠ τὸ ΝΞ |
| , τῶν περὶ γεωμετρίαν ἀναστρεφομένων οἰομένους τὴν τοῦ κυλίνδρου πλαγίαν τομὴν ἑτέραν εἶναι τῆς τοῦ κώνου τομῆς τῆς καλουμένης ἐλλείψεως | ||
| τροπικοῖς προσούσης τῶν ζῳδίων κακὸν εἰς τὸ χειρούργημα καὶ πρὸς τομὴν ὑπάρχει : Σελήνη συνοδεύουσα Ἡλίῳ τόδε φέρει : τοῦτο |
| συνεχὲς εὑρεῖν , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΛ παραλληλόγραμμον , καὶ τετμήσθω δίχα ἑκατέρα τῶν ΑΒ ΒΓ τοῖς Δ Ε σημείοις | ||
| πλευρά . Ἑξαγώνου γὰρ ἡ ΔΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ , καὶ ἔστω μείζων ἡ ΔΓ |
| : ὁ δὲ χρόνος , ἐν ᾧ τὸ Ψ τὴν ΨΧ διαπορεύεται , ὁ χρόνος ἐστίν , ἐν ᾧ τὸ | ||
| ὁ ἥλιος τὴν ΨΧ περιφέρειαν διαπορεύεται , καὶ ἔστιν τῆς ΨΧ ἡμίσεια ἡ Ψ͵Β , ἐν ἄρα τῷ ἡμίσει τῆς |
| τῇ ΑΒ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ , ΒΔ , ΒΖ , ΒΚ , ἔστω δὲ πρότερον ἡ ΒΑ τῆς | ||
| ' ἡ ΖΒ τετραπλασία τῆς ΒΘ : καὶ ἔστιν τῆς ΒΖ διπλασίων ἡ ΖΓ : λόγος ἄρα τῆς ΖΓ πρὸς |
| εὐθείας κέντροις τοῖς πέρασιν αὐτῆς , διαστήματι δὲ τῇ ἀγομένῃ καθέτῳ ἀπὸ τῆς διχοτομίας αὐτῆς ἐπὶ τὴν παράλληλον αὐτῇ πλευρὰν | ||
| ὅπερ ἄτοπον . Ἐδείχθη γὰρ ἡ ΘΚ κάθετος τῇ ΜΝ καθέτῳ ἴση , αἵτινες κάθετοι ἤχθησαν ἀπὸ τῶν ἐπισταθεισῶν μετεώρων |
| κέντρου τοῦ κύκλου ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὴν ΘΒ καὶ ΚΓ ἐκβεβλημένας ἡ ΛΜ , ΛΝ : τέμνουσιν ἄρα ταύτας | ||
| ἡ ΚΒ πρὸς ὅλην τὴν ΒΗ ἐστιν , ὡς ἡ ΚΓ πρὸς ΖΗ , τουτέστιν ὡς ἡ ΔΘ πρὸς ΖΗ |
| τὴν ἁφὴν ἐπιζεύγνυται ἡ ΧΑ , ἡ δὲ παρὰ τὴν ἐφαπτομένην ἦκται ἡ ΓΧ , αἱ ΧΑ , ΓΧ ἄρα | ||
| παραβολή , ἧς ἄξων ὁ ΑΒ : δεῖ δὴ ἀγαγεῖν ἐφαπτομένην τῆς τομῆς , ἥτις πρὸς τῷ ΑΒ ἄξονι γωνίαν |
| δὲ τὸ Γ , ἐφαπτομένη δὲ ἡ ΔΕ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα - ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω ἐφ ' ἑκάτερα , καὶ | ||
| ἐπὶ τὸ τοῦ τριγώνου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΔΕ , καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΕ ἐκβεβλήσθω : ὅτι ἡ ΑΕ τῆς ΕΖ |
| τῇ ΒΖ κατὰ τὸ Θ , ἡ δὲ ΑΛ τῷ ΒΜΖ ἡμικυκλίῳ κατὰ τὸ Μ , ἐπεζεύχθωσαν δὲ καὶ αἱ | ||
| αἱ ΚΔ ΜΙ ΜΘ . ἐπεὶ οὖν ἑκάτερον τῶν ΔΚΑ ΒΜΖ ἡμικυκλίων ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον , καὶ |
| τουτέστι ΔΕ , ΕΖ , ἐλάττους ἔσονται τῶν ΜΞ , ΞΛ , τουτέστι τῆς ΜΝ : ἀλλ ' ἡ ΜΝ | ||
| τουτέστιν αἱ ΔΕ , ΕΖ , δύο ταῖς ΜΞ , ΞΛ , τουτέστι τῇ ΜΝ , ἴσαι εἰσίν . ἀλλὰ |
| ٢٠ τὸ ΛΜ ١١٧ ٣٥ ٤٧ ٢٠ τὸ ΝΞ ٣ ٣٦ ٣٥ ٢٠ ὑπὸ ῥητῆς . , ] ταύτης δηλονότι | ||
| ٤٢ Ἡ πλευρὰ τοῦ ΕΓ ٥ ٤٢ ١٤ τὸ ΒΓ ٣٦ ἡ ΖΗ ٤ τὸ ΕΓ ٣٢ ٣٢ ٩ ٥٢ |
| ΜΞ ἐστιν ἡ ῥητὸν καὶ μέσον δυναμένη . ἐπεὶ γὰρ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΗΕ , ἀσύμμετρον ἄρα ἐστὶ | ||
| εἰσὶ σύμμετροι αἱ ΜΝ , ΝΞ ] . καὶ ἐπεὶ ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ ΕΔ μήκει , ἀλλ ' |
| Λ διπλασίαν τῆς Δ οὖσαν ١٤ , τὴν δὲ Μ τριπλασίαν ٢١ , τὴν δὲ Ν ٢٨ καὶ τὴν Κ | ||
| οὖν γενομένης τῆς ναυμαχίας ὁ μὲν Δημήτριος ἄλλην μηχανὴν κατεσκεύασε τριπλασίαν τῷ ὕψει καὶ πλάτει τῆς πρότερον , προσάγοντος δ |
| Α , καὶ τῇ ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἐν τῇ ἑτέρᾳ τομῇ ἡ ΕΖ , καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Η | ||
| τυχόντα σημεῖα , καὶ ἀπ ' αὐτῶν ἀχθῶσιν ἐν τῇ τομῇ παρὰ τὰς ἐφαπτομένας τέμνουσαι ἀλλήλας τε καὶ τὴν γραμμήν |
| . ἐκβεβλήσθω γὰρ ἐπ ' εὐθείας τῆς ΓΘ εὐθεῖα ἡ ΓΚ , καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ | ||
| , ὧν ὁ ΔΓ ἐστὶ δυάς , λοιπὸς ἄρα ὁ ΓΚ μείζων δυάδος τοῦ ΓΔ : ἡ ἄρα διχοτομία τοῦ |
| , καὶ τῇ κοινῇ τομῇ αὐτῶν τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἐν τῷ ΓΝΔ ἐπιπέδῳ ἡ ΟΦ , ἡ ΟΦ | ||
| : τὸ μετεωρίζεσθαι καὶ ἐπαίρεσθαι καὶ γαυριᾶν : παρὰ τὸ ἦκται ἀκτός καὶ ῥῆμα ἀκτῶ , ἀφ ' οὗ ἀκταίνω |
| ΓΘΖ ἐστιν ἴση . ἡ δὲ ὑπὸ ΓΘΖ τῇ ὑπὸ ΔΘΗ ἴση : κατὰ κορυφὴν γάρ : καὶ ἡ ὑπὸ | ||
| Β τοῦ ΓΗΒ τριγώνου ἴση τῇ πρὸς τῷ Η τοῦ ΔΘΗ τριγώνου , ἡ δὲ πρὸς τῷ Β τῇ πρὸς |
| ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΚΜα τῇ ΒΔ , ἡ δὲ ΚΡ τῇ ΑΒ , ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΚΘ , | ||
| τῇ μὲν ΑΓ ἴσην θῶμεν τὴν ΓΔ , τῇ δὲ ΚΡ ἴσην τὴν ΡΧ , καὶ τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν , |
| . καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ , ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ , ὡς δὲ ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ | ||
| ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ , οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ . Δέδοται ἄρα . , ] ἐπεὶ οὖν δεδομέναι |
| σημεῖον . Κείσθω γὰρ τῇ ΖΗ περιφερείᾳ ἴση περιφέρεια ἡ ΘΚ . Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ζ | ||
| , ΗΛ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν : ὁμοίως καὶ αἱ ΘΚ , ΛΜ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ |
| ὄμμα ἐγγυτέρω καὶ ἔστω τὸ Η , ἀφ ' οὗ προσπιπτέτω ἀκτὶς διὰ τοῦ Γ ἡ ΗΘ . ἐπεὶ οὖν | ||
| ἐπιγνῶναι ὕψος , πόσον ἐστί , τὸ ΒΓ , καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡλίου διὰ τοῦ Β ἡ ΒΔ . οὐκοῦν |
| τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Ν καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐπίπεδον . ἀλλ | ||
| Θ παράλληλος ὀρθὴν γωνίαν περιέξει μετὰ τῆς ἀπὸ τοῦ Ζ καθέτου . πάλιν ἐὰν ἐπιζεύξωμεν ἀπὸ τῶν Ζ , Η |
| , ἡ δὲ ΜΓ ὁμοίως # ιϚ , ἡ δὲ ΜΖ ὅλη ξ ιϚ , διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ | ||
| . ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ , ΜΖ , καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ |
| ΘΚ , ἴσα ἀλλήλοις ἐστί . γεγράφθω περὶ τὴν ΒΓ διάμετρον κύκλος ὁ ΒΛΓΜ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΛ , | ||
| κατὰ σῶμα ἢ κατὰ σχῆμα , καὶ μάλιστα τετράγωνον ἢ διάμετρον , κακίστη γίνεται ἡ καταρχὴ ἐκείνη καὶ κλιμακτηριώδης , |
| τῶν ΑΕ καὶ ΕΓ ὑπόκειται Ϛ , ἑκατέρα δὲ τῶν ΑΘ καὶ ΘΓ τῶν αὐτῶν Ϛ ι , καὶ ὀρθή | ||
| ἴση . ἔστω πρότερον μείζων : μείζων ἄρα καὶ ἡ ΑΘ τῆς ΘΔ . τετμήσθω ἡ ΑΔ δίχα κατὰ τὸ |
| πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν , ὡς δὲ ἡ Κ πρὸς ΗΖ , ἡ ΘΗ πρὸς ΗΑ διὰ τὸ ἴσον εἶναι | ||
| τῇ ΚΖ : ὅπερ ἀδύνατον : ἡ γὰρ ΕΗ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση . οὐκ ἄρα διάμετρός ἐστιν ἡ ΑΘ |
| οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ , ἔσται ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ | ||
| στερεὸν πρὸς τὸν ΑΒΓΔΛ κῶνον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΒΔ . ὡς δὲ τὸ Ξ στερεὸν |
| ΕΒ λοιπῆς τῆς ΓΕ διπλῆ . ἀλλὰ ἡ ΒΕ τῇ ΕΛ ἐστὶν ἴση διὰ τὸ εἶναι ὡς τὴν ΒΓ πρὸς | ||
| οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΚΛ . μείζων δὲ ἡ ΕΛ τῆς ΕΔ : μείζων ἄρα καὶ ἡ ΚΛ τῆς |
| τὸ ΓΕ ἄρα τοῦ ΕΔ ταπεινότερον φαίνεται , τὸ δὲ ΕΔ τοῦ ΔΒ . Τῶν εἰς τοὔμπροσθεν μῆκος ἐχόντων τὰ | ||
| ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΗΕ . τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΔ μοιρῶν ἐστιν ͵δοβ νε . ὧν πλευρὰ μοιρῶν ξγ |
| πολυχρονίως ἡ πανήγυρις τελεσθήσεται . ἄλλως : ἐν ταύτῃ πρῶτον ἀγομένῃ τῇ ἑορτῇ τῶν Ὀλυμπίων παρέστησαν αἱ Μοῖραι καὶ ὁ | ||
| Ω κάθετος ἀγομένη ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Χ καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον , τὰ Ω |
| τμημάτων , ποιήσουσι δὲ πάντως ὀρθογώνιον ἓν ἔχον τὴν μίαν πλευρὰν τὸ ἓν τμῆμα τῆς εὐθείας καὶ τὴν ἑτέραν θάτερον | ||
| ἐκείνους ἀντέχειν ὑπ ' ἀμηχανίας ἀνασκιρτῶντας καὶ τῇ προνομαίᾳ τὴν πλευρὰν τύπτοντας ὡς καθιξομένους τῶν δρακόντων , εἶτα ἀεὶ κενουμένου |
| ἀπλανῆ σφαῖραν ἄτμητον φυλαχθῆναι , τὴν δ ' ἐντὸς ἑξαχῆ τμηθεῖσαν ἑπτὰ κύκλους τῶν λεγομένων πλανήτων ἀποτελέσαι : ὃ γάρ | ||
| ὄρει τρεφόμενον , καὶ ὄψει λαιμότομον , ἤγουν τὸν λαιμὸν τμηθεῖσαν , ἀπὸ τῶν ἐνταῦθα πεμπομένην πρὸς τὸ σκότος τῆς |
| δύναμιν θέσθαι τὴν ἡμετέραν σπουδάσωμεν καὶ ὥσπερ ὑπ ' ὄψιν ἀγάγωμεν . Δείκνυσι γάρ σου περιφανῶς τὴν ψυχήν , περὶ | ||
| , καὶ γίνονται πεντάκις ε κε . ἐὰν τοίνυν διάμετρον ἀγάγωμεν ἐν τῷ τετραγώνῳ , ὅ ἐστι διαγώνιον , τὸ |
| ٥٦ ٥٢ ١٥ ἡ αὐτῆς ἡμίσεια ٥ ١١ ٥ ⸎ ١٦ ٣٠ τὸ ἀπὸ ταύτης ἤτοι τῆς ἡμισείας τῆς ΑΗ | ||
| ٤٣ ἡ ΖΒ ١ ١٠ ٢١ ἡ ΑΖ ١ ١١ ١٦ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ , ΑΖ ٢ ٤٨ ١٠ |
| λ , ἡ δὲ ΔΕ ρκ , τοιούτων ἐστὶν ἡ ΓΕ εὐθεῖα α κ κγ . τῶν δὲ αὐτῶν ἐδείχθη | ||
| τῆς παρούσης καταγραφῆς τὸ ἕτερον εἶδός ἐστιν : ἡ γὰρ ΓΕ ἴση ἐστὶ τῇ ΔΒ . τέμνουσαν ἔλαβεν ὁ στοιχειωτὴς |
| ὀκταέδρου δὲ τρίγωνον τὸ ΣΡΠ ἔστω , καὶ ὁμοίως ἡ ΧΨ κάθετος , ἣν δεῖ ἐλάσσονα δεῖξαι τῆς ΥΩ καθέτου | ||
| ἀπὸ τῆς ΚΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβʹ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ ΩΦ : ὥστε καὶ λϚʹ |
| ἀπὸ τῆς Γ ἀφελεῖν . ἔστω αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ ΔΓΗ γωνία : ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΔ πρὸς τὴν | ||
| , ὧν κέντρον μὲν τὸ Γ , ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΔΓΗ , ΕΓΖ , καὶ διήχθω τις εὐθεῖα τέμνουσα ἑκατέραν |
| ἀδιάφορος οὖσα ὥσπερ καὶ ἡ κάθετος . διττὴ δὲ ἡ κάθετός ἐστιν , ἡ μὲν ἐπίπεδος , ἡ δὲ στερεά | ||
| ὅλως τὸ τῆς ὀρθῆς εἶδος . σύμβολον γὰρ καὶ ἡ κάθετός ἐστιν ἀρρεψίας καὶ ἀχράντου καθαρότητος καὶ μέτρου θείου καὶ |
| τῇ εὐθείᾳ τὸ βάρος ὥστε ἠρεμεῖν : λέγω δὴ ὅτι ἐκβληθεῖσα ἡ ΑΒ εὐθεῖα συμπεσεῖται τῇ πρότερον ἐναπειλημμένῃ . εἰ | ||
| γενέσθαι . ὁμοίως δὲ καὶ ἀπὸ τῆς χολῆς , ἥτις ἐκβληθεῖσα καὶ ἀνατιναγεῖσα πρὸς τὸ τῶν πολεμίων μέρος ἧτταν τούτων |
| μέσον τὸ ΓΕ . Ἡ πλευρὰ τοῦ . . ٥ ٢٨ ٣٨ ἡ πλευρὰ τοῦ ΕΓ ٢ ٥٤ ٥١ τὸ | ||
| ٢٩ ٣٧ ٤٨ ٢ ἡ πλευρὰ τοῦ . . ٤ ٢٨ ١٩ τὸ ΗΚ ١٦ ἡ δυναμένη αὐτό ٤ ΚΘ |
| πρὸς τὴν ΗΛ . καί ἐστι παράλληλος ἡ ΕΘ τῇ ΗΛ : εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ , | ||
| τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ τῇ ΓΔ πρὸς ὀρθὰς αἱ ΚΒ , ΗΛ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΛ . ἐπεὶ οὖν δύο |
| ἡμίσεια τῆς ΑΗ ٦ ٥٢ ٥٨ ٥٠ τὸ ἀπὸ ταύτης ٤٧ ٢٢ ١٩ ١٠ ٢٤ τὸ ΑΒ χωρίον ١٣ ٥١ | ||
| τῆς ΗΓ ١٠ ١٧ ٨ ٣٤ ١٧ ἡ ΒΓ ٢ ٤٧ ٣٥ ἡ ΗΓ ٣ ١٢ ٢٥ τὸ ἀπὸ τῆς |
| Λ , καὶ κείσθω τῇ ΛΖ περιφερείᾳ ἴση περιφέρεια ἡ ΜΗ . Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ζ | ||
| ἀπὸ ΜΗ . κοινὸς προσκείσθω λόγος ὁ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ . ὁ ἄρα συγκείμενος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΜ |
| τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΑΓ λόγος ἐστὶ δοθείς . τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ | ||
| δευτέρα ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ , αἱ ΑΓ , ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον |
| ΓΑΔ . λέγω , ὅτι ἡ ΓΑΔ τῇ Β οὐ συμπεσεῖται . ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐφαπτομένη ἡ ΕΑΖ . | ||
| Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς ΑΒ τομῆς , ἡ ΓΖ συμπεσεῖται τῇ ΑΒ , εἴτε μή ἐστιν , ὑποκείσθω τὸ |