| ἐκτὸς αὐτῆς ἐστιν . Ἐπὶ τίνος οὖν ὀχούμενος τὴν γῆν ἐπικυκλοῖ ; πάντες γὰρ ὅσοι τοῦτο εἶπον ἀτόπως ὑπέθεντο . | ||
| ἐκτὸς αὐτῆς ἐστιν . Ἐπὶ τίνος οὖν ὀχούμενος τὴν γῆν ἐπικυκλοῖ ; πάντες γὰρ ὅσοι τοῦτο εἶπον ἀτόπως ὑπέθεντο . |
| πρὸς τὸ ΗΘΚΛΜ πολύγωνον : ὅπερ ἔδει δεῖξαι . Οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα | ||
| Ζ σημεῖα . λέγω , ὅτι οἱ ΑΒ , ΓΔ κύκλοι μέγιστοί εἰσιν . ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΕΖ : ἡ |
| ἴσα τμήματα ἴσων κύκλων τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ , καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΑΒ , ΔΕ , καὶ κάθετοι | ||
| δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ΑΕΓΔ , καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΑΔ , ΓΕ : κατὰ διάμετρον |
| , ἐπειδήπερ οἱ διὰ τῶν πόλων τοῦ ἑτέρου τῶν εἰρημένων γραφόμενοι μέγιστοι κύκλοι ἀνίσους ἀπολαμβάνουσιν ἐφ ' ἑκατέρου περιφερείας , | ||
| τῇ ΘΚ , καὶ οἱ διὰ τῶν Κ καὶ Η γραφόμενοι παράλληλοι ἴσον ἀπέχουσιν ἐφ ' ἑκάτερα τοῦ ἰσημερινοῦ , |
| τῶν δ ' ἀμφισβητούντων πρὸς ταύτας τὰς ζημίας αἱ κρίσεις ἔστωσαν ἐπὶ τοῦ δήμου . τοῦτον τὸν νόμον ἐπιψηφίσαντες οἱ | ||
| στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἀνάλογον ᾖ , καὶ αὗται ἀνάλογον ἔσονται . ἔστωσαν ὁσαιδηποτοῦν εὐθεῖαι ἀνάλογον ἡ ΑΒ , ΓΔ , ΕΖ |
| κύκλοι οἱ ΑΕΚΗΓΦΤ , ΒΖΛΘΔΥ ἑνὸς μὲν αὐτῶν τοῦ ΚΛ ἐφαπτόμενοι κατὰ τὰ Κ , Λ σημεῖα , τοὺς δὲ | ||
| γεγραμμένοι εἰσὶν κύκλοι μέγιστοι οἱ αβγʹ δβεγʹ ἑνὸς μὲν αὐτῶν ἐφαπτόμενοι τοῦ αδʹ , τὸν δὲ ηζθʹ τέμνοντες , καὶ |
| ποιῇ τοὺς δοθέντας τετραγώνους ἀριθμούς . Ἐὰν γὰρ ὦσιν οἱ δοθέντες τετράγωνοι , ὅ τε δ καὶ ὁ θ καὶ | ||
| τετράγωνον , ὃν δὲ πλευρὰν τοῦ τετραγώνου . Ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ ὅ τε σ καὶ ὁ ε : |
| τε πόλος ἐξαίρεται ὁ παρ ' ἡμῖν , καὶ οἱ ὁρίζοντες μεταπίπτουσι , καὶ ὁ ἄξων οὐδενὸς ἔτι διάμετρος γίνεται | ||
| προτιθέντες , ἐς δὲ τὸ ἑκατέροις που αἰεὶ ἡδονὴν ἔχον ὁρίζοντες , καὶ ἢ μετὰ ψήφου ἀδίκου καταγνώσεως ἢ χειρὶ |
| ] ὑπεστησάμην ὁρίζοντα τοιοῦτον μὴ μειζόνων ἐφαπτόμενον ἤπερ εἰσὶν οἱ τροπικοὶ κύκλοι , φανερὸν οὖν ὅτι διὰ τὸ προαποδεδειγμένον παρθένος | ||
| θερινός , τοῖς δὲ ὑπὸ τῷ ἰσημερινῷ οἰκοῦσιν οἱ δύο τροπικοὶ χειμερινοὶ τυγχάνουσιν , ἐπειδὴ μακρότατα ἀφίσταται αὐτῶν ὁ ἥλιος |
| . ἐπεὶ γὰρ αἱ ΑΓ , ΒΔ ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν παράλληλοί εἰσι , διάμετρος μὲν ἡ ΑΒ , τεταγμένως δὲ | ||
| κατὰ πᾶσαν θέσιν ἀσύμπτωτοί εἰσιν ἀλλήλαις καὶ οὐ διὰ τοῦτο παράλληλοί εἰσιν . ἓν οὖν ἔστω τὸ ἐπίπεδον , καὶ |
| δὲ χρὴ λαμβάνειν λεῖπον τὸ χρή . ὥσπερ δὲ οἱ γεωμέτραι προλαμβάνουσιν λήμματα ὧν δέονται , οὕτως καὶ οὗτος εἴωθεν | ||
| καὶ μερικὸν καὶ οὐδὲ κυρίως τέλος . εἰ δὲ οἱ γεωμέτραι μὴ χρῶνται τῇ τοῦ τέλους ἀποδόσει , δεικνύντες τὰ |
| ὅτι ἐν πλείστῳ μὲν χρόνῳ δύνουσιν αἱ ΑΗ , ΜΓ περιφέρειαι , ἐν ἐλάσσονι δὲ αἱ ΗΘ , ΛΜ , | ||
| τὰ ΑΗΓ , ΔΘΖ , καὶ ἀπ ' αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν πρὸς τοῖς πέρασι τοῖς Α , Δ σημείοις |
| τοὺς πόρους ἐπιφανείαις προσπίπτον ποιεῖν . ἀλλ ' αἵ γε ἐπιφάνειαί εἰσιν ἀσώματοι , καὶ τὸ ἀσώματον οὔτε ποιεῖν οὔτε | ||
| ἐν ταῖς τραγῳδίαις , μετ ' ἄλλας ἐπιδείξεις πολλάς , ἐπιφάνειαί τινες ἐπὶ τέλει ἐκ μηχανῆς τινὸς θεῶν ἀναδείκνυνται . |
| βάσις πρὸς τὴν ΓΔ . ἐπεὶ γὰρ ἴσοι εἰσὶν οἱ κῶνοι , ὡς ἄρα ὁ περὶ τὸ Η κέντρον κύκλος | ||
| γὰρ καὶ κατὰ τρίγωνα ὁρώσης τῆς ὄψεως , ὅταν οἱ κῶνοι ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ὀμμάτων ἐξίωσι καὶ προσβάλωσιν αἱ ὄψεις |
| δύο δοθεισῶν εὐθειῶν πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις τῶν ΑΓ , ΓΛ γεγράφθωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΖΑΗ , ΘΓΚ , ὧν διάμετρος μὲν | ||
| διὰ τοῦ Α καὶ ἑκατέρου τῶν Μ Ν μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν : ἥξουσιν δὴ καὶ διὰ τοῦ ἑτέρου πόλου . |
| λόγον ἔχει ἤπερ ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν ἀντιπεπονθότως . καταγεγράφθωσαν οἱ κῶνοι , καὶ ἔστω , ὡς ὁ ΑΗΓΔ | ||
| σε τούτων διαλανθάνῃ καὶ ἵνα σαφέστερον ἡμῖν ὁ λόγος γένηται καταγεγράφθωσαν πρῶτον πάντα τὰ δεκαεπτὰ σύμφωνα : Β . Γ |
| ' ὃ συμβάλλουσιν ἀλλήλαις , ἐπὶ τὰ κέντρα ἐπιζευγνύμεναι ὁμοίως περιέξουσι τὴν λείπουσαν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς τῆς κλίσεως τῶν | ||
| αἱ ἀπὸ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπὶ τὰ κέντρα ἐπιζευγνύμεναι εὐθεῖαι περιέξουσι τὴν λείπουσαν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς τῆς ἐπιζητουμένης κλίσεως |
| ΩΒ τῇ ΒΨ . καί ἐστι μέγιστος τῶν παραλλήλων ὁ ΒΗΔ , καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΩΚ , ΨΛ : | ||
| ΓΔ . ὁμοίως δὴ τοῖς πρὸ τούτου ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΗΔ γωνία ἡ λείπουσά ἐστιν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς τῆς |
| δὴ τοῦτο τὸ ὄργανον ἐὰν ἐκθώμεθα παραλληλόγραμμον ἁπλῶς ὡς τὸ ΑΒΓΔ καὶ νοήσωμεν τὰς μὲν ΑΒ καὶ ΓΔ κατὰ τὰ | ||
| διὰ τοῦ κέντρου εἰσὶν ὥστε τὸ Ε κέντρον εἶναι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου , φανερόν , ὅτι ἴσων οὐσῶν τῶν ΑΕ |
| , τὸν δ ' ὑπὸ δεικήλοισι δυώδεκα παμφαίνοντα Ζωδιακόν : λοξοὶ δ ' ἐπαμοιβαδὶς ἐζώσαντο οὐρανὸν ἀμφότεροι δίχα τέμνοντές σφεας | ||
| . ἔτι δὲ ὁ τοῦ γάλακτος κύκλος καὶ ὁ ζῳδιακὸς λοξοὶ ὄντες πρὸς τοὺς παραλλήλους κύκλους καὶ τέμνοντες ἀλλήλους ἐν |
| περιφέρειαν . γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Η παράλληλος κύκλος ὁ ΝΗΞ , καὶ ἔστωσαν κοιναὶ τομαὶ τῶν ἐπιπέδων αἱ ΑΚ | ||
| ὁ ΑΒΓ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς ἕκαστον τῶν ΔΛΜ , ΝΗΞ , ΒΕΓ κύκλων . ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι |
| τὸ δὲ μέλαν , τοσαῦται ἔσονται διαφοραὶ ὅσαι καὶ αἱ τομαὶ τοῦ πράγματος ὑπάρχουσιν . ὥστε φανερὸν ὅτι ὁρισμὸς οὐδέν | ||
| τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τετραγώνῳ . ἔστωσαν κατὰ συζυγίαν ἀντικείμεναι τομαὶ αἱ Α , Β , Γ , Δ , |
| , καὶ ἀπὸ τοῦ Μ σημείου , καθ ' ὃ τέμνουσιν ἀλλήλους οἱ κύκλοι , ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΑ , ΜΒ | ||
| ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΩΒΓ , ΗΘΚ τέμνουσιν ἀλλήλους , διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν γέγραπται μέγιστος |
| . Φέρεται ἔν τισιν ἀρχαία πρότασις τοιαύτη : ὑποκείσθω τρία ἡμικύκλια ἐφαπτόμενα ἀλλήλων τὰ ΑΒΓ ΑΔΕ ΕΖΓ , καὶ εἰς | ||
| περιφέρειαν ἴσαι εἰσίν . ἀλλὰ εἰ μιᾶς οὔσης διαμέτρου δύο ἡμικύκλια γίνεται , ἄπειροι δὲ αἱ διάμετροι , συμβήσεται τῶν |
| κύκλων λέγομεν περιέχεσθαι , ὅταν πόλῳ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν κύκλων καὶ διαστήματι τυχόντι γραφέντος κύκλου ἡ ἀπολαμβανομένη αὐτοῦ περιφέρεια | ||
| γδʹ αβδγʹ κύκλων : ὥστε καὶ ἑκάτερος τῶν αβʹ αβδγʹ κύκλων ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ηζθʹ : καὶ ἡ κοινὴ |
| γὰρ πλέον ἔσθ ' ὑπὸ γαῖαν : τοὺς δὲ μέσους τέμνουσι δύω κύκλοι ἄξονος αὐτοῦ ἄκρης ἀρχόμενοι κορυφῆς : αὐτοί | ||
| τῆς γραμμῆς τεταγμένως ἀχθεῖσαι ἐπὶ τὰς συζυγεῖς διαμέτρους ὁμοίως αὐτὰς τέμνουσι . τοιούτων δὲ γραμμῶν ὑφισταμένων καὶ ἐν ταῖς πλαγίαις |
| ἡ ΓΑ , ὀρθία δὲ ἡ ΓΛ , αἱ δὲ καταγόμεναι ἀπὸ τῶν τομῶν ἐπὶ τὴν ΓΑ καταχθήσονται ἐν τῇ | ||
| καὶ φανοῦνται παράλληλοι , αἱ δ ' ἐπὶ τὴν ΑΓ καταγόμεναι διαχθήσονται μὲν ἀπὸ τοῦ Κ , φανοῦνται δὲ τῇ |
| ἀπὸ τῶν ἴσων γωνιῶν ἐπὶ τὰς βάσεις κάθετοι εὐθεῖαι γραμμαὶ ἀχθῶσιν , ᾖ δέ , ὡς ἡ τοῦ πρώτου τριγώνου | ||
| τομῶν β σημεῖα ληφθῇ , καὶ ἀφ ' ἑκατέρου παράλληλοι ἀχθῶσιν , ὁμοίως ἴσα ἔσται τὰ γινόμενα ὑπ ' αὐτῶν |
| περιφέρεια τῇ ΓΔ , ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΓ τῇ ὑπὸ ΓΖΔ . καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ | ||
| τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΓ , τουτέστιν τὰ ἀπὸ τῶν ΒΖΓ , τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ . ἐπεὶ οὖν δύο |
| . Ἡ δὲ διαίρεσις ἰσθμοῖς ἢ πορθμοῖς . Καί εἰσιν ὅροι τῶν ἠπείρων , τῆς μὲν Εὐρώπης πρὸς τὴν Λιβύην | ||
| Καὶ γὰρ τὸ ζῷον τινὶ λευκῷ , τουτέστιν οἱ αὐτοὶ ὅροι καὶ ἐξ ἀνάγκης τινὶ ποιοῦσι καὶ ἐξ ἀνάγκης οὐ |
| συζυγίαν ἀντικειμένων εὐθεῖαι ἐπιψαύουσαι συμπίπτωσι , καὶ διὰ τῶν ἁφῶν διάμετροι ἀχθῶσι , ληφθῇ δέ τι σημεῖον ἐφ ' ὁποτέρας | ||
| αἱ δὲ διὰ τῶν ἁφῶν καὶ τοῦ κέντρου συζυγεῖς ἔσονται διάμετροι τῶν ἀντικειμένων . ἔστωσαν κατὰ συζυγίαν ἀντικείμεναι , ὧν |
| ληψόμεθα τὰς δύο μέσας ἀνάλογον ἐν τῇ συνεχεῖ ἀναλογίᾳ . ἐκκείσθωσαν γὰρ ταῖς ΕΔ ΔΖ ΔΜ ἴσαι αἱ ΕΔ ΔΖ | ||
| : ποδηγεῖ γὰρ πρὸς τὴν τοῦ ζητουμένου κατάληψιν . οἷον ἐκκείσθωσαν ταυταδὶ τὰ στοιχεῖα ἰσάριθμα ὄντα καὶ ἀναλογοῦντα τοῖς νοήμασι |
| ὕψεσιν , ἴσοι εἰσὶν ἐκεῖνοι . Ἔστωσαν ἴσοι κῶνοι καὶ κύλινδροι , ὧν βάσεις μὲν οἱ ΑΒΓΔ , ΕΖΗΘ κύκλοι | ||
| ΟΠΡΣ , ΤΥΦΧ ἴσοι ὄντες τοῖς ΑΒΓΔ , καὶ νενοήσθωσαν κύλινδροι οἱ ΠΡ , ΡΒ , ΔΤ , ΤΧ . |
| νοήσωμεν μεσημβρινὸν κύκλον τὸν ΑΒΓΔ καὶ ζῳδιακοῦ μὲν ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΖΓ , ὁρίζοντος δὲ τὸ ΒΕΔ περὶ πόλον τὸ Η | ||
| διαστήματι δὲ ὁποτερῳοῦν τῶν ΒΑ , ΒΓ γεγράφθω κύκλος ὁ ΑΕΖΓ , καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΑΒΕ , ΑΔΖ , ΑΗΘ |
| τὸ Θ σημεῖον , οἱ δὲ ΜΝΞ , ΟΠΡ ἴσον ἀπεχέτωσαν ὁποτερασοῦν τῶν διχοτομιῶν , ὁ δὲ ΤΣ πορρώτερον ἐχέτω | ||
| καθ ' ἕκαστον τοῦ σπέρματος κόκκους βʹ ἢ γʹ . ἀπεχέτωσαν δὲ οἱ βόθροι ἀπ ' ἀλλήλων διάστημα σπιθαμιαῖον . |
| καὶ τεσσάρων καὶ πέντε συμπληροῦσιν ἀριθμὸν τὸν δώδεκα , τοῦ ζῳοφόρου κύκλου παράδειγμα , διπλασιασθείσης . . . . . | ||
| τόπῳ αὐτῆς περὶ τὸ αὐτὸ στρεφομένης , ἐνεργούσης δὲ τὴν ζῳοφόρου κύκλου . . . , παραδιδοῦσα τὸ πᾶν τοῦτο |
| διοικῶν . ἄξονες καὶ κύρβεις διαφέρουσιν . οἱ μὲν γὰρ ἄξονες ἦσαν τετράγωνοι , οἱ δὲ κύρβεις τρίγωνοι . καὶ | ||
| , ὧν κορυφαὶ μὲν τὰ Α , Β σημεῖα , ἄξονες δὲ αἱ ΑΗ , ΒΘ εὐθεῖαι , τὰ δὲ |
| κέντρου τῆς σφαίρας ἤπερ ὁ ΠΗΡ , μείζων ἄρα ὁ ΧΦΨ κύκλος τοῦ ΠΗΡ κύκλου . ἐπεὶ οὖν δύο κύκλοι | ||
| Ε , Β μέρη . παράλληλος δὲ ὁ ΒΖ τῷ ΧΦΨ : καὶ ὁ ΧΦΨ ἄρα πρὸς τὸν ΞΚΟ κέκλιται |
| ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις . Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι παράλληλοι αἱ ΑΒ , ΓΔ , καὶ | ||
| ἀπάγεται γὰρ εἰς τὰ πτωτικὰ τοῦ ἑπτακαιδεκάτου . κγʹ . Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ ΑΒ ΓΔ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ |
| κύκλον μᾶλλον κέκλιται ἤπερ ὁ ΟΠΡ , ἔτι δὲ οἱ πόλοι αὐτῶν ἐπὶ ἑνός εἰσι κύκλου παραλλήλου τε καὶ ἐλάσσονος | ||
| ὅμοιαί εἰσιν . Ἔστω σφαῖρα ἧς ἄξων ὁ αβʹ , πόλοι δὲ τὰ αʹ βʹ σημεῖα , καὶ εἰλήφθω τινὰ |
| κύκλος ὁ ΛΕΝ . Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι ἐφάπτονται ἀλλήλων ὅ τε ΑΕΒ καὶ ὁ ΓΕΔ , διὰ | ||
| τὸ Ζ , ἀλλὰ κατὰ τὸ Η . ἐπεὶ οὖν ἐφάπτονται αἱ ΒΔ , ΔΑ , καὶ ἐπὶ τὰς ἁφάς |
| διὰ τῆς εὐθείας διδάσκουσι τήν τ ' εὐθεῖαν διὰ τοῦ ἐπιπέδου : εὐθεῖαν γὰρ εἶναί φασιν ἥτις εἰς πάντα τὰ | ||
| τοῖς στερεοῖς ἡ σφαιρική : τοῦ δὲ αἰθέρος μὴ ὄντος ἐπιπέδου , ἀλλὰ στερεοῦ , καταλείπεται αὐτὸν εἶναι σφαιροειδῆ . |
| , ὁ ὅλος ἄρτιος ἔσται . Συγκείσθωσαν γὰρ περισσοὶ ἀριθμοὶ ὁσοιδηποτοῦν ἄρτιοι τὸ πλῆθος οἱ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ | ||
| πλῆθος τῶν αβ βγ γδ δε εζ . Ἐὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ὅροι ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ , ἑξῆς ἀλλήλων κείμενοι , |
| ἐπιμορίου καὶ τῶν λοιπῶν εἰδῶν ἐν αὐτῶι , καὶ οἱ γραμμικοὶ καὶ οἱ ἐπίπεδοι καὶ οἱ στερεοί . τὸ μὲν | ||
| ἐξ ἀρχῆς βάθος τι προσκτωμένου : οἷον καθ ' ὑποδιαίρεσιν γραμμικοὶ μέν εἰσιν ἀριθμοὶ ἁπλῶς ἅπαντες οἱ ἀπὸ δυάδος ἀρχόμενοι |
| , ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΓΘ τῇ ὑπὸ ΘΓΒ : ἡμικυκλίων γάρ . οὐκοῦν ἡ ὑπὸ ΗΓΔ ἐλάσσων τῆς ὑπὸ | ||
| γωνίαι ἡμικυκλίων ἴσων εἰσὶν γωνίαι : πᾶσαι αἱ τῶν ἴσων ἡμικυκλίων γωνίαι ἴσαι : αἱ ΑΓ , ΒΔ ἄρα γωνίαι |
| ἀλλήλαις κείμεναι , ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν . Συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον , καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΔΓ ΔΑ | ||
| ΔΑ δύο μέσαι κατὰ τὸ συνεχὲς λαμβάνονται τρόπῳ τοιῷδε . Συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον , καὶ τετμήσθω δίχα ἑκατέρα τῶν |
| τεσσάρων ἄλλων ἀριθμῶν ἐκτεθέντων κατὰ τὴν αὐτὴν τάξιν τοῖς προτέροις ὁμοταγεῖς κατὰ συνδυασμὸν τὸν προειρημένον τῶν ὁμοιοτάτων , ἀντὶ μὲν | ||
| τομεύς , πρὸς τοὺς περιγραφομένους περὶ τὸ ΑΒΓ τμῆμα τοὺς ὁμοταγεῖς τῷ ΓΒΗ . τῷ δ ' αὐτῷ τρόπῳ δειχθήσεται |
| ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς οὖσαι διὰ τὸ Ϛʹ αἱ αὐταὶ καὶ συμπίπτουσαι : ὅπερ ἀδύνατον . Ἀντιστρόφιον : ἐὰν ᾖ παράλληλα | ||
| ' αὐτοῖς αἱ ἐν τῶι αὐτῶι ἐπιπέδωι οὖσαι καὶ μὴ συμπίπτουσαι ἐπὶ μηδέτερα μέρη . σαφηνείας δὲ ἕνεκα ἐκ τοῦ |
| τῶν περιφερειῶν αὐτῶν χωρίον , ὃ δὴ καλοῦσιν ἄρβηλον , ἐγγεγράφθωσαν κύκλοι ἐφαπτόμενοι τῶν τε ἡμικυκλίων καὶ ἀλλήλων ὁσοιδηποτοῦν , | ||
| , προγραφέντος τοῦδε : Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ , καὶ ἐγγεγράφθωσαν εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον πενταγώνου ἰσοπλεύρου πλευραὶ αἱ ΑΒ |
| που τοιόνδε : ποικίλαι κατὰ τοῦ νώτου παντὸς αὐτοῦ διήκουσι γραμμαί : ἔπειτα ἐὰν προσάψηται ἀνθρώπου σώματι , φρίκην τε | ||
| καὶ αἱ στιγμαί , δηλονότι καὶ αἱ ἐπιφάνειαι καὶ αἱ γραμμαί , οὐσίαι ὑπάρχουσιν ἢ οὐχ ὑπάρχουσιν : εἰ γὰρ |
| : ὅπερ ἄτοπον . οὐκ ἄρα αἱ ΔΕΒ , ΔΖΒ εὐθεῖαί εἰσιν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδὲ ἄλλη | ||
| ἐγκεφάλου γνωρίϲματα περιττώματα πλείω κατὰ τὰϲ οἰκείαϲ ἐκροὰϲ καὶ τρίχεϲ εὐθεῖαί τε καὶ πυρραὶ καὶ μόνιμοι : καὶ ῥᾳδίωϲ ὑπὸ |
| ἀπέχουσα ἐν ἀρχῇ τοῦ Σκορπίου ὥρας ἰσημερινὰς δ , καὶ ἐκβληθεῖσαι αἱ ΓΔ , ΑΒ περιφέρειαι τεμνέτωσαν ἀλλήλας μὲν κατὰ | ||
| καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΚΕ , ΚΖ , ΚΗ , ΚΘ ἐκβληθεῖσαι προσπιπτέτωσαν ἐπιπέδῳ τινὶ παραλλήλῳ ὄντι τῷ ΑΒΓΔ κατὰ τὰ |
| εὐθεῖαι ἐφάπτουσι τοῦ κύκλου , ἀπὸ δὲ τοῦ δ κέντρου ἐπιζευχθεῖσαί εἰσιν εἰς αὐτὰς εὐθεῖαι αἱ δα , δβ , | ||
| εὐθεῖαι ἐφάπτουσι τοῦ κύκλου , ἀπὸ δὲ τοῦ δ κέντρου ἐπιζευχθεῖσαί εἰσιν εἰς αὐτὰς εὐθεῖαι αἱ δα , δβ , |
| καὶ γραμματικὴν καὶ τὰς συγγενεῖς καλοῦμεν τέχνας καὶ γὰρ οἱ ἀποτελούμενοι δι ' αὐτῶν τεχνῖται λέγονται μουσικοί τε καὶ γραμματικοί | ||
| δοτῆρες γίνονται . καὶ οἱ μὲν διὰ τῶν παραιρέτων ἀστέρων ἀποτελούμενοι κλιμακτῆρες νόσων καὶ κινδύνων καὶ πένθους παραίτιοι χρηματίζουσιν , |
| . ἐὰν τὰ στελέχη τῶν ἀμπέλων κισσῷ δασεῖ περιδήσωμεν , εὑρεθήσονται μετ ' ὀλίγον οὐ μόνον οἱ μύρμηκες , ἀλλὰ | ||
| γὰρ οὐδέν ἐστι παρὰ τὰ γένη καὶ τὰ εἴδη , εὑρεθήσονται ἐκ τοῦ μηδαμῇ μηδαμῶς ὄντος προελθοῦσαι αἱ διαφοραὶ ἐν |
| παρ ' Εὐκλείδῃ λέγεται στοιχεῖα , τὰ μὲν περὶ τὰ ἐπίπεδα , τὰ δὲ περὶ τὰ στερεὰ τὴν πραγματείαν ἔχοντα | ||
| γὰρ ἔχει πλευράς , ηʹ δὲ γωνίας , Ϛʹ δὲ ἐπίπεδα : τούτων δ ' ἐφεξῆς τιθεμένων ιβʹ ηʹ Ϛʹ |
| ἐσπουδακόσιν ἀφθόνως ἅτε δὴ γνησίοις παισίν . οἱ κατατεταγμένοι ἔσονται κανόνες τῶν βʹ πλινθίων : πάλιν ἐν ἴσῳ διαστήματι τοῦ | ||
| : γραφῆς ὁ πρῶτος ἦν μαλακόφθαλμος κύκλῳ . ἔπειτα δισσοὶ κανόνες ἰσόμετροι πάνυ : τούτους δὲ πλάγιος διαμέτρου συνδεῖ κανών |
| μὲν τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου , ὕψους δὲ τοῦ ΝΠ κύλινδρος νενοήσθω ὁ ΕΣ . καὶ ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὁ ΑΞ | ||
| ΛΜ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΒ , ΜΚ , καὶ νενοήσθω κῶνος , οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Μ σημεῖον , |
| ἄλλοτε δύνων . Ἐν γὰρ τούτοις τὴν πάροδον ἀφορίζει τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλου , ἣν ποιεῖται κατὰ πλάτος ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς | ||
| ' ἥλιον καὶ σελήνην * * τὴν δὲ λόξωσιν τοῦ ζῳδιακοῦ γενέσθαι τῷ κεκλίσθαι τὴν γῆν πρὸς μεσημβρίαν : τὰ |
| καὶ τῆς σοφίας αἱ ἀρχαὶ ἀπὸ τῶν καθ ' ἕκαστα λαμβάνονται ; καὶ γὰρ καὶ τὴν σοφίαν , ἥτις περὶ | ||
| λοιπὰ ὁμοίως . Τινὰ δὲ τῶν θεϊκῶν ὀνομάτων καὶ πλεοναχῶς λαμβάνονται , ὥσπερ τὸ Ζεύς . Σημαίνει γάρ τινα βασιλέα |
| καὶ ἡ Κατακεκαυμένη καὶ Κνίδος καὶ Σμύρνα καὶ ἄλλοι ἀσημότεροι τόποι διαφόρως χρηστοινοῦσιν ἢ πρὸς ἀπόλαυσιν ἢ πρὸς διαίτας ἰατρικάς | ||
| τετρακοσίους ἄνδρας καὶ πλείους ἔτι , καθὼς ἂν ἐκποιῶσιν οἱ τόποι τό τ ' ἀπὸ τῶν πόλεων δέξασθαι καὶ τῶν |
| ἀριθμοῦ , αἱ δὲ διάφοροι , ὅσαι ἑτέρους καὶ ἑτέρους συμπληροῦσιν , οὐδ ' ὣς ἔσται ὁ εἰδητικὸς ἀριθμός , | ||
| καὶ τὸ ἀπὸ τῆς βάσεως ἤτοι τὰ ρμδ τὸν ρξθ συμπληροῦσιν ἀριθμόν : καί ἐστιν ἡ μέθοδος αὕτη Πυθαγόρου , |
| ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν καθέτῳ ἀγομένῃ περιφέρειαι γραφεῖσαι τεμνέτωσαν ἀλλήλας : καὶ αἱ ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὰ | ||
| πόλος ἔστω τῶν παραλλήλων τὸ Α σημεῖον , καὶ τοῦτον τεμνέτωσαν δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΒΖΓ , ΔΖΕ πρὸς ὀρθάς |
| δὲ τὸ Β , ὄψεις δὲ αἱ ΒΑ , ΒΓ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Ε , Δ , ὁρώμενον δὲ ἔστω | ||
| δὲ τὸ Β , ὄψεις δὲ αἱ ΒΓ , ΒΔ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Ε , Κ . οὐκοῦν φαίνεται ἐκβληθεισῶν |
| . καὶ διὰ τοῦ Θ καὶ τοῦ Ζ πόλου λοξοῦ κύκλου γεγράφθω μεγίστου κύκλου περιφέρεια ἡ ΖΘΗ . τὸ ἄρα | ||
| κατὰ τὸν τοῦ ὁρίζοντος πόλον ὑποκειμένου , καὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ζῳδιακοῦ πρὸς ὀρθὰς τῷ ΖΒΕ διαμένοντος . Ἐὰν δὲ |
| μὲν γὰρ ἐπιστημονικῶς τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν γραμμὴν εἰς ἴσα διαιρεῖν τμήματα , διαιροῦσι δὲ αὐτὴν εἰς ἄνισα . ὁ δὲ | ||
| ἐάσας παγῆναι , κατάτεμε τὸ αἷμα καλάμῳ ὀξεῖ εἰς πολλὰ τμήματα ἐν τῇ λοπάδι κείμενον καὶ σκεπάσας δικτύῳ πυκνῷ ἢ |
| ἐφεξῆς ἀριθμοί , ἀπογεννῶντες τριγώνους ἢ τετραγώνους ἢ πολυγώνους , γνώμονες καλοῦνται . τοσούτων δὲ μονάδων ἕκαστον τρίγωνον ἔχει πλευρὰς | ||
| Ἐν Ἀλεξανδρείᾳ δὲ τῇ αὐτῇ ὥρᾳ ἀποβάλλουσιν οἱ τῶν ὡρολογίων γνώμονες σκιάν , ἅτε πρὸς ἄρκτῳ μᾶλλον τῆς Συήνης ταύτης |
| καὶ μὴ πρότερον , ἀλλὰ νῦν γε εἰρημένον , οἱ μέγιστοι τῶν ἐν ταῖς τέχναις οὐχ ᾧ μετεσχήκασι τῆς τέχνης | ||
| πόλος δὲ ἔστω τῶν παραλλήλων ὁ Α , καὶ γεγράφθωσαν μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΜ ΑΝ ΑΞ : δεῖξαι ὅτι μείζων |
| Βυζαντίου τῷ διὰ Μασσαλίας , ὁ δ ' αὐτὸς καὶ μεσημβρινός ἐστιν ὁ διὰ Βυζαντίου τῷ διὰ Βορυσθένους , ὅπερ | ||
| καὶ ἐὰν μεταξὺ μύριοι στάδιοι ὑπάρχωσιν , ὁ αὐτὸς μένει μεσημβρινός , κατὰ δὲ τὴν ἀπ ' ἀνατολῆς πρὸς δύσιν |
| , τὸ δὲ ὄμμα κείσθω ἐπὶ τοῦ Β , καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΒ , ΒΔ , ΒΓ , ΒΖ | ||
| . κείσθω δὴ ὄμμα τὸ Δ , ἀφ ' οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΔΒ , ΔΓ , καὶ ἀπὸ τοῦ |
| ληφθέντος δέ , οὗ ἔτυχεν , ἐπὶ τῆς τομῆς σημείου ἀχθῶσι δύο εὐθεῖαι ἐπὶ τὴν δευτέραν διάμετρον , ὧν ἡ | ||
| δύο εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι συμπίπτωσι , διὰ δὲ τῶν ἁφῶν παράλληλοι ἀχθῶσι ταῖς ἐφαπτομέναις , καὶ ἀπὸ τῶν ἁφῶν πρὸς τὸ |
| καὶ ἡ ΑΕ τῇ Γ ἐστιν ἴση . Δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων τῶν ΑΒ , Γ ἀπὸ τῆς μείζονος | ||
| μείζων ἐστὶν τῆς ΕΒ ἡμισείας . ] Ἔστω δὲ νῦν δοθεισῶν τῶν ΖΒ ΒΓ τὴν μείζονα ἄκραν εὑρεῖν . Ἤχθω |
| τεταρτημορίου , διὰ τὸ τὸ Α σημεῖον πόλον εἶναι τοῦ ΒΕΔ ὁρίζοντος . ὀρθῆς δὲ οὔσης ἀεὶ διὰ τὴν αὐτὴν | ||
| προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΔΕ τετράγωνον : ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΕΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΕ τετραγώνῳ . ἀνάλογον καὶ ἀναστρέψαντι |
| ἐν τῇ κεφαλῇ τοίνυν τοῦ Κριοῦ τριῶν οἱ δύο οἱ βορειότεροι καὶ ὁ ἐν τῷ νοτίῳ γόνατι τοῦ Περσέως λαμπρὸς | ||
| σιμοὶ οὐχ ὡσαύτως οὐδὲ οὐλόκρανοι ὡς Αἰθίοπες . οἱ δὲ βορειότεροι τούτων κατ ' Αἰγυπτίους μάλιστα ἂν εἶεν τὰ σώματα |
| εἰ οὐδενί , καὶ οὐ παντί . Περὶ ὧν οἱ συλλογισμοί , τουτέστιν τῶν προβλημάτων : ἐπάγει γὰρ καὶ ποῖον | ||
| δοξαστικόν , ἀλλὰ τὸ διανοητικόν , καὶ περὶ τίνων οἱ συλλογισμοί , ὅτι οὐ περὶ τῶν νοητῶν , οὐ περὶ |
| : καὶ πικρία στόματος : αὐτοί τε τοὺς ὀφθαλμοὺς ταυρηδὸν σχηματίζοντες , πᾶσά τε ἀπειλὴ περὶ τὸ πρόσωπον , τάς | ||
| Καὶ τοῖς σχήμασι δὲ προσχρῶνται δυνάμεις ἔχουσι , καὶ αὑτοὺς σχηματίζοντες ὡδὶ ἐπάγουσιν ἐπ ' αὐτοὺς ἀψοφητὶ δυνάμεις ἐν ἑνὶ |
| λε ιε τοῖς λείπουσι πάλιν εἰς τοὺς καὶ τούτου τοῦ τεταρτημορίου χρόνους ρη με . καὶ φανερόν , ὅτι τὸν | ||
| μοίραις χρονικαῖς οεʹ : ὑπερέχει ἄρα ὁ τοῦ ηζ εδ τεταρτημορίου ἀναφορᾶς χρόνος τοῦ τῆς τοῦ δγ βα τεταρτημορίου ἀναφορᾶς |
| καὶ τετάρτης : καμφθέντος γὰρ τοῦ ἀγκῶνος , ἐπὶ πλεῖστον ἀσύμπτωτα μένει τὰ χείλη . Εἰ μὲν διὰ σφίγξιν βιαιοτέραν | ||
| οἱ υΗΩΧ , ΦΘΨ ἐφαπτόμενοι τοῦ τυΦ κύκλου , ὥστε ἀσύμπτωτα εἶναι τὰ ἀπὸ τῶν υ , Φ ἡμικύκλια ὡς |
| τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ ἰσημερινοῦ ἀπό τινος τμήματος ἤτοι τοῦ ὁρίζοντος ἢ τοῦ μεσημβρινοῦ ἐπὶ τὸ αὐτὸ ἀποκατάστασις , νυχθήμερον | ||
| αὐτὰ δειχθήσεται καὶ ὅταν ὁ πόλος τῶν παραλλήλων ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος ᾖ , καὶ γραφομένων διὰ τῶν Κ , Θ |
| Ζ κύκλοι οἱ ΓΝ , ΘΒ , ΑΛΗ . καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΒ , ΗΒ , ΗΛ , ΗΑ : | ||
| ΒΓ ΓΑ περιφερειῶν , καὶ ἔστω τὸ Δ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ ΔΒ ΔΓ . ἐπεὶ οὖν στερεὰ γωνία |
| καὶ οἱ ἰσάκις ἶσοι ἰσάκις ἅπαντες , τουτέστι κύβοι τριχῆ διαστατοὶ ὄντες καὶ ταυτότητος ἐπὶ πλεῖον δοκοῦντες μετέχειν ἔργον εἰσὶ | ||
| λϚ , μθ , ξδ καὶ οἱ ἑξῆς διχῆ ὄντες διαστατοὶ καὶ ἐν τῇ ἐπιπέδῳ σχηματογραφίᾳ μῆκος καὶ πλάτος μόνον |
| μένοντι ὡς οἱ κινούμενοι κῶνοι καὶ σφαῖραι περὶ τὸν ἴδιον ἄξονα . τῆς δ ' εἰς εὐθὺ φορᾶς πλείονά ἐστιν | ||
| . καὶ ὡς ἄρα ὁ ΗΘ ἄξων πρὸς τὸν ΚΛ ἄξονα , οὕτως ὅ τε ΑΒΗ κῶνος πρὸς τὸν ΓΔΚ |
| τοῦ ὅλου φαντασίαν συμπληρωτικοί , καθάπερ καὶ οἱ διὰ πασῶν φθόγγοι τοῦ ἑνὸς κατὰ ὁμοίαν ἀντίληψιν ἀπεργαστικοί . Τὰ μὲν | ||
| . ἔμψυχον μὲν ἡ τῶν ζῴων φωνή , ἄψυχον δὲ φθόγγοι καὶ ἦχοι . τῆς τοῦ ἐμψύχου φωνῆς ἡ μέν |
| ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΓΔ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον . λέγω , ὅτι ὁ | ||
| , κέντρον δὲ τὸ Γ , καὶ τῆς Α τομῆς ἐφαπτέσθω ἡ ΚΛ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΓ καὶ ἐκβεβλήσθω |
| Ἀλεξάνδρειαν . Ἐπεὶ οὖν μέγιστοι τῶν ἐν τῷ κόσμῳ οἱ μεσημβρινοί , δεῖ καὶ τοὺς ὑποκειμένους τούτοις τῆς γῆς κύκλους | ||
| τινὸς τῶν ἐπιζητουμένων , ὅταν διαφέρωσιν οἱ δι ' αὐτῶν μεσημβρινοί , λαμβάνειν ὀφείλομεν , ὅσας ἀπέχουσιν ἀλλήλων οὗτοι μοίρας |
| ἄρα αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν : παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΠ τῇ ΘΟ . ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων | ||
| ἔστω τὸ ἐπιταχθὲν μέρος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ὑπὸ ΚΜ ΗΠ [ τοῦτο γὰρ προδέδεικται ] , καὶ τῇ ΚΜ |
| ἀέρι διὰ παντὸς φαινόμενος , διὰ δὲ τὴν λευκόχροιαν ὀνομαζόμενος γαλαξίας . καὶ τῶν Πυθαγορείων τινὲς ἀστέρος εἶναι διάκαυσιν ἐκπεσόντος | ||
| μὲν γράφονται πρὸς αἴσθησιν , ὅ τε ζωιδιακὸς καὶ ὁ γαλαξίας , οἱ δὲ ὁρίζοντες ἐπινοίαι μόνον λαμβάνονται , τῶν |
| . Ἦν δὲ τὸ προκείμενον ὑγιέστερον προτεῖναι καὶ οὕτως . ὀρθογωνίου τυχόντος ὑποκειμένου τοῦ ΑΒΓ λαβεῖν τι σημεῖον ἐντὸς τοῦ | ||
| τὸ δὲ τοῦ ἀμβλυγωνίου ὕψος μὴ ἔλαττον ᾖ τοῦ τοῦ ὀρθογωνίου ὕψους , ἡ πρὸς τῇ κορυφῇ γωνία τοῦ ὀρθογωνίου |
| τῇ ΑΝ ἐστιν ἴση : καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΚΝ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΑΝ ἐστιν ἴση . ἀλλὰ ἡ | ||
| ποιήσει παράλληλον τὴν ΝΞ τῇ ΗΘ . ἐπεὶ οὖν τὸ ΛΚΝ τρίγωνον τέμνεται ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ΑΒΓΔ , ΛΝΞΜ |
| αἱ διατριβαί . νεπόδεσσιν : ἰχθύσιν . ὁμοῖαι : καὶ ἴσοι , ἀττικόν . Οἱ μὲν γάρ : χωρισμὸς τῶν | ||
| ἴσοι οἱ κοινωνοὶ ἐν δημοκρατίᾳ , κατ ' ἀναλογίαν δὲ ἴσοι οἱ ἐν ταῖς ὀλιγαρχίαις καὶ οἱ ἐν ταῖς ἀριστοκρατικαῖς |
| ΘΚ , ΚΗ ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ ΒΗΔ , διὰ δὲ τῶν Θ , Κ | ||
| περιφέρειαι ἀποληφθῶσιν ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων , διὰ δὲ τῶν γενομένων σημείων παράλληλοι κύκλοι γραφῶσιν |
| κέκλιται ὁ γδʹ κύκλος πρὸς τὸν αβγδʹ κύκλον : οἱ αβʹ γδʹ ἄρα κύκλοι ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι πρὸς τὸν αβγδʹ | ||
| ἑσπέριαι ἀνατολαὶ προηγοῦνται τῶν ἑσπερίων δύσεων . Ἔστω ὁρίζων ὁ αβʹ καὶ ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ γδʹ , καὶ |
| τοὺς ἀρκτικωτέρους τόπους καὶ τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ κύκλου μείζονες οἱ ἀρκτικοὶ κύκλοι γίνονται : πέρας δέ ἐστί τις χώρα πρὸς | ||
| ἡμῖν γινομένου ποτὲ δὲ ὑπὸ γῆς ὄντος , καὶ οἱ ἀρκτικοὶ συμμεταβάλλουσι , ποτὲ δὲ συνεκλείπουσι κατὰ τὰς τοιαύτας παραχωρήσεις |
| πλευρῶν , καὶ τὸ ἐμβαδὸν εἰς ἴσα διαιρεῖται κατὰ τὴν διαγώνιον διὰ τὴν κοινὴν ἰδιότητα τῶν παραλληλογράμμων . ἐπὶ δὲ | ||
| βάσιν τέμῃ ἐκ τῆς κορυφῆς δίχα κατὰ τὴν τοῦ τετραγώνου διαγώνιον τὴν ἀπὸ τῆς ὀρθῆς , ἔσονται δύο στερεαὶ πυραμίδες |
| δῆλον γάρ , ὅτι ὑπὸ ἀνίσων εὐθειῶν ὑποτείνονται : ὅτι ἄνισοι οἱ κύκλοι . εἰ γὰρ ἴσοι , ἄνισοι δὲ | ||
| μονάδες : αὗται γὰρ ἴσαι εἰσὶ μόνως μὴ δυνάμεναι γενέσθαι ἄνισοι : προσθήκην γὰρ λαμβάνουσα ἡ ἑτέρα μονὰς μείζων οὐ |
| γδʹ κμʹ λνʹ : ἐπεὶ ὁ ηζθʹ κύκλος τοὺς αβʹ γδʹ αβδγʹ κύκλους διὰ τῶν πόλων τέμνει , καὶ πρὸς | ||
| τῶν λνθʹ γωνία ἐστὶν ἡ κλίσις ἐν ᾗ κέκλιται ὁ γδʹ κύκλος πρὸς τὸν αβγδʹ κύκλον . Καὶ ἐπεὶ δύο |
| ὁ κόσμος ἀπὸ τῆς δʹ ἀνατολῆς ἐπὶ δύσιν τὴν γʹ στρεφέσθω , ὁ δὲ ἥλιος εἰς τὰ ἐναντία τῷ ζῳδιακῷ | ||
| , πόλοι δὲ αὐτῆς τὰ αʹ βʹ σημεῖα , καὶ στρεφέσθω ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα τὸν αβʹ : λέγω |
| ἀπὸ τοῦ νότου . Καλοῖτο δ ' ἂν ἡ γραμμὴ ἰσημερινὸς , ὡς ἐπὶ ταύτῃ ἀεὶ ἰσημερίας γινομένης , καὶ | ||
| δὲ τοῦ ἡλίου κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς τὴν ΖΕΗ , ἰσημερινὸς δὲ κύκλος ἔστω ὁ ΖΘΗ : τὸ ἄρα ἀπολαμβανόμενον |
| ἄτμητον φυλαχθῆναι , τὴν δ ' ἐντὸς ἑξαχῆ τμηθεῖσαν ἑπτὰ κύκλους τῶν λεγομένων πλανήτων ἀποτελέσαι : ὃ γάρ , οἶμαι | ||
| λόγων κεκαθαρμένων καὶ πρὸς εὐθύτητα ἀπεξεσμένων , ἐμβεβλημένων δὲ ξύλοις κύκλους ἀποτελοῦσιν : οἱ δὲ κύκλοι ἐκ τοῦ ἐδάφους ἀρχόμενοι |
| πενταγωνισμὸν ἀπὸ πενταγώνου βάσεως , εἶτα ἀνάλογον ἀπὸ ἑξαγώνου καὶ ἑπταγώνου καὶ ὀκταγώνου καὶ ἀεὶ ἐπ ' ἄπειρον . καθάπερ | ||
| η ∠ ʹ ιδʹ . τοσοῦτον ἔσται ἡ πλευρὰ τοῦ ἑπταγώνου . Ἐὰν θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς |
| τὴν ] ὀρθὴν γωνίαν εὐθείας περιστρεφόμενον τὸ τρίγωνον ποιεῖ τὴν κωνικὴν ἐπιφάνειαν ἡ ΘΛ [ ἀπὸ τοῦ ] Θ τῆς | ||
| ἄπειρον αὔξεται τῆς γραφούσης εὐθείας εἰς ἄπειρον προσεκβαλλομένης , καλῶ κωνικὴν ἐπιφάνειαν , κορυφὴν δὲ αὐτῆς τὸ μεμενηκὸς σημεῖον , |