| ΖΓ . καὶ ἐπεὶ μέγιστός ἐστιν ἑκάτερος τῶν ΖΓΗ , ΖΓΘ , δίχα ἄρα τέμνουσιν ἀλλήλους : ἑκάτερον ἄρα τῶν | ||
| σφαίρας , ἐπεὶ καὶ τῶν μεγίστων κύκλων τῶν ΖΓΗ , ΖΓΘ . ἀλλὰ καὶ ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ |
| τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου . Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω εἰς | ||
| διὰ τοῦ κέντρου τῶν τομῶν , καὶ ἤχθω διάμετρος τῶν τομῶν ἡ ΑΗ , καὶ ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἤχθω ἡ |
| τὸ ἐγγράφεσθαι : τὸ μὲν γὰρ λέγεται ἐπὶ τῶν μὴ ἐφαπτομένων ἀλλήλων ὡς ἐπὶ τοῦδε # : τὸ δὲ ὅταν | ||
| ἀκτίνων ἀπὸ τοῦ κ τοῦ ΛΜΝ ἐπικύκλου ἡ μεταξὺ τῶν ἐφαπτομένων περιφέρεια ἔχουσα τὸ περίγειον ὅλη προσθετική ἐστιν , ἡ |
| ὀργάνῳ : ἀπὸ γὰρ τῆς μεσότητος τὸ ξύλον ἐκ τῶν διαπηγμάτων ἀντιθέτοις ἕλιξι τέτμηται , ὥστε κατὰ ποιὰν τοῦ κοχλίου | ||
| μεσότητος ἐπὶ τὰ διαπήγματα ὁρμᾶν τὰς χελώνας ἢ ἀπὸ τῶν διαπηγμάτων εἰς τὸν μέσον τόπον συντρέχειν . ἔστι δὲ καὶ |
| τῇ ΓΛ , ἡ δὲ ὑπὸ ΖΚΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΛΓ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΓ τῇ ΓΛ | ||
| ΖΓΛ ἴση . δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΖΚΓ , ΖΛΓ τὰς δύο γωνίας ταῖς δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ |
| τομὴν καὶ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσαν , ἡ μεταξὺ τῆς συμπτώσεως καὶ τῆς τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνυούσης δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τῆς | ||
| ἐπ ' εὐθείας τῆς παρὰ τὴν πλαγίαν ἠγμένης μεταξὺ τῆς συμπτώσεως τῶν εὐθειῶν καὶ τῶν τομῶν τετράγωνα λόγον ἔχουσιν , |
| δείξομεν οὕτως : ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΝ τῆς ΝΖ , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΖΒΝ μεῖζόν ἐστι τοῦ | ||
| ΤΛ πρὸς τὴν ΛΒ , οὕτως ἡ ΟΝ πρὸς τὴν ΝΖ . τῶν ΛΤΒ , ΝΟΖ ἄρα τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν |
| γραφεισῶν περιφερειῶν αἱ ἀπὸ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπὶ τὰ κέντρα ἐπιζευγνύμεναι περιέξουσι τὴν λείπουσαν ὁμοίως εἰς τὰς δύο ὀρθὰς τῆς | ||
| καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΔ ὀρθή . Τῶν αὐτῶν ὄντων αἱ ἐπιζευγνύμεναι ἴσας ποιοῦσι γωνίας πρὸς ταῖς ἐφαπτομέναις . τῶν γὰρ |
| τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Ν καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐπίπεδον . ἀλλ | ||
| Θ παράλληλος ὀρθὴν γωνίαν περιέξει μετὰ τῆς ἀπὸ τοῦ Ζ καθέτου . πάλιν ἐὰν ἐπιζεύξωμεν ἀπὸ τῶν Ζ , Η |
| τῆς συμπτώσεως τῶν ἐφαπτομένων ἀχθῇ εὐθεῖα παρὰ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσαν , διὰ δὲ τῆς διχοτομίας τῆς τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνυούσης | ||
| διὰ τῆς συμπτώσεως ἀχθῇ τις εὐθεῖα παρὰ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσαν συμπίπτουσα ἑκατέρᾳ τῶν τομῶν , ἀχθῇ δέ τις ἑτέρα |
| , καὶ διὰ τοῦ Η ταῖς ΕΔ , ΔΖ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΗΘ , ΗΚ . λέγω , ὅτι ἴσον | ||
| διάμετρος ἡ ΒΓ , καὶ ἀπὸ τῶν Β , Γ ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς αἱ ΒΖ , ΓΛ , καὶ ἀπὸ |
| ΤΗ ἴσαι εἰσίν , ἄνισοι ἄρα εἰσὶν αἱ ΡΩ ΩΟ ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΡΩ . πάλιν ἐπεὶ αἱ ΘΨΚ | ||
| αἱ ΖΛ , ΛΞ , ΞΓ ἄρα μείζους εἰσὶν ἀλλήλων ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΖΛ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ |
| β μο α . ↑ οὖν τοῦ δευτέρου , ἤτοι Ϟῶν β μο α , γίνεται δυ μία , τουτέστι | ||
| β : ἔσται Ϛ δʹ . Ὁ δὲ ἕτερος ταχθεὶς Ϟῶν ι ἔσται λ δʹ . Καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς |
| θ μο , μο θ ↑ δυ μιᾶς , ἤτοι φξ ξδʹ καταλειφθήσονται , ἀπὸ δὲ τῶν κα μο , | ||
| δὲ τῶν κα μο , ἤτοι ͵ατμδ ξδʹ , τῶν φξ ξδʹ . καταλειφθήσονται ψπδ ξδʹ , ὅλος τετράγωνος . |
| , ὀρθότατος ἔσται πρὸς ἡμᾶς : ὅταν δὲ ἐπὶ τῆς διχοτομίας τοῦ ὑπὸ γῆν τμήματος τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ , ταπεινότατος | ||
| τυχὸν σημεῖον τὸ Γ . εἰ μὲν οὖν ἐπὶ τῆς διχοτομίας ἐστὶ τὸ Γ , φανερόν ἐστι τὸ ζητούμενον . |
| ἀντικειμένων δύο εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι συμπίπτωσι , καὶ διὰ μὲν τῶν ἁφῶν εὐθεῖα ἐκβληθῇ , διὰ δὲ τῆς συμπτώσεως τῶν ἐφαπτομένων | ||
| τῶν ἁφῶν παράλληλοι ἀχθῶσι ταῖς ἐφαπτομέναις , καὶ ἀπὸ τῶν ἁφῶν πρὸς τὸ αὐτὸ σημεῖον τῆς ἑτέρας τομῆς ἀχθῶσιν εὐθεῖαι |
| τῶν τεσσάρων , ΔΥ τοσούτων ὅσων ἐστὶ δπλ . τοῦ ἐμβαδοῦ , τὸν μὲν αον ΔΥ ͵δνϚ , τὸν δὲ | ||
| μεῖζον , τῶν δὲ μετ ' αὐτὴν ἡ περίμετρος τοῦ ἐμβαδοῦ ἐλάσσων . πρῶτος τετράγωνος καὶ ἐν ἀρτίοις πρώτη τετρακτύς |
| : τὸ μὲν γὰρ δὶς ἀπὸ ΑΒ , διὰ τῶν διχοτομιῶν , ἴσον ἐστὶν τῷ τε δὶς ὑπὸ ΑΔΓ καὶ | ||
| , τῶν δὲ ἄλλων οἱ μὲν ἴσον ἀπέχοντες ὁποτερασοῦν τῶν διχοτομιῶν ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι , αἰεὶ δὲ ὁ πορρώτερον τὴν |
| ΟΣ τῇ ΣΦ : τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ , ΣΦ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΒ : ὥστε | ||
| ὀρθὰς ἐπὶ τὰ ἐκτὸς μέρη τοῦ κύβου αἱ ΡΥ , ΣΦ , ΤΧ , καὶ κείσθωσαν ἴσαι ταῖς ΡΟ , |
| ΟΗ , ὡς δὲ ἡ ΒΝ πρὸς ΝΖ , ἡ ΖΟ πρὸς ΟΘ : ἡ ἄρα ΑΒ πρὸς ΒΓ τὸν | ||
| ΖΟ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΟΘ . καί ἐστι παράλληλος ἡ ΖΟ τῇ ΑΔ : πλαγία μὲν ἄρα πλευρά ἐστιν ἡ |
| δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . καὶ οὐδετέρα τῶν ΔΜ , ΜΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ | ||
| πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ , οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς ΔΜ . ἀλλ ' ἦν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ |
| γένοιτο τῆς ἰδιότητος πρὸς ἑτέραν μεμιγμένης καὶ συμπλεκομένης οὐχὶ συμφώνους ἁφάς ; εἶτα ἐπάγει . τὸ ταῦτα διορᾶν ἐστιν ἐμψύχου | ||
| ἔτι τῆς ἰδιότητος πρὸς ἑτέραν μεμιγμένης καὶ συμπλεκομένης οὐχὶ συμφώνους ἁφάς ; τὸ ταῦτα διορᾶν ἐστιν ἐμψύχου τέχνης , οὐ |
| ἡ ΧΦ τῇ ΣΟ , μείζων ἄρα ἡ ΚΒ τῆς ΣΟ . ἴση δὲ ἡ ΚΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΚΣ , | ||
| ἐστι διάμετρος ἡ ΞΗ τῇ ΒΤ , καὶ ὅτι ἡ ΣΟ παράλληλος οὖσα τῇ ΒΤ κατῆκται τεταγμένως ἐπὶ τὴν ΘΗΟ |
| δὴ καὶ ἑκάστη τῶν ΠΡ , ΡΣ , ΣΤ , ΤΥ πενταγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου τοῦ εἰς τὸν ΕΖΗΘΚ κύκλον ἐγγραφομένου | ||
| ταῖς βάσεσι τοῦ ΟΧ κυλίνδρου καὶ ποιείτωσαν τοὺς ΡΣ , ΤΥ κύκλους περὶ τὰ Ν , Ξ κέντρα . καὶ |
| , τοιούτων # λγ . τοσούτων ἐστὶν ἄρα καὶ ἡ ΛΤ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρεια . ἐπεὶ οὖν καὶ ἐπὶ τῆς | ||
| δὴ ἡ μὲν ΙΤ παρὰ τὴν ΔΠ , αἱ δὲ ΛΤ , ΜΥ παρὰ τὰς ΑΠ , ΟΡ . καὶ |
| ʂ α Μο α , καὶ γίνεται συναμφοτέρου τῆς τε ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν τὸ ἥμισυ ἐφ ' ἑαυτὸ | ||
| τῷ ἐμβαδῷ αὐτοῦ , λείψας τὸν ἐν συναμφοτέρῳ τῆς τε ὑποτεινούσης καὶ μιᾶς τῶν ὀρθῶν , ποιῇ δοθέντα ἀριθμόν . |
| εἰς μέρη ιβ , καὶ καλεῖται κοινῶς μὲν ἕκαστον τῶν τμημάτων δωδεκατημόριον , ἰδίως δὲ ἀπὸ τῶν ἐμπεριεχομένων ἀστέρων ὑφ | ||
| ἐστιν ριε νϚ , καὶ ἡ ὑπ ' αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρα μγ μδ : ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΔΖ |
| οἶδα , ἐὰν ἡ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν ἐστιν ὀρθή , καὶ ποῦ τεθήσονται αἱ μετὰ τῶν | ||
| ὑπό τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ὑπὸ εὐθειῶν περιεχομένην , ἐλάττονα δὲ τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς |
| ΜΡ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ , ἡ δὲ ΞΝ τῆς ΝΣ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῆ , ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ | ||
| μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία : καὶ ἡ ΘΚ ἄρα τῆς ΝΣ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία . καὶ εἰσὶ τοῦ αὐτοῦ |
| τῶν ἄλλων μενόντων τῶν αὐτῶν τὴν μὲν διπλῆν τῆς ΖΗ περιφερείας γίνεσθαι μοιρῶν ρλη νθ μβ καὶ τὴν ὑπ ' | ||
| κύκλῳ εὐθειῶν . ιβʹ . περὶ τῆς μεταξὺ τῶν τροπικῶν περιφερείας . ιγʹ . προλαμβανόμενα εἰς τὰς σφαιρικὰς δείξεις . |
| δὲ ἡ ΣΡ τῆς ΟΡ : διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΦΥ τῆς ΟΡ . ἴση δὲ ὑπόκειται ἡ ΟΡ τῇ | ||
| δύο τῶν διπλασίων τοῦ ἑνός . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΦΥ . , ] παραλληλόγραμμον γάρ ἐστι τὸ ΡΣΦΥ χωρίον |
| ἐλάσσων ἡ αδʹ , τοῦτο γὰρ φανερόν : ἡ ἄρα αδʹ εὐθεῖα ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ δʹ πρὸς | ||
| ὁρίζοντι . Συμβαλλέτω κατὰ τὸ λʹ σημεῖον καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ αδʹ δλʹ αγʹ . Ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ |
| ἠγμένῃ εὐθείᾳ , καὶ ποιηθῇ , ὡς τὸ τμῆμα τῆς ἐφαπτομένης τὸ μεταξὺ τῆς ἁφῆς καὶ τῆς ἀνηγμένης πρὸς τὸ | ||
| οὕτως τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν μεταξὺ τῆς τομῆς καὶ τῆς ἐφαπτομένης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἀπολαμβανομένης πρὸς τῇ ἁφῇ τετράγωνον |
| , τοὺς βουλευτὰς ᾐτησάμην . καὶ τοίνυν διοικήσεως νῦν πρῶτον ἀχθείσης πολλὰ ὑπὸ πολλῶν ἠδικημένος , ὥσπερ εἰκός ἐστι τὸν | ||
| τοῦ ἐκκέντρου πηλικότησιν . κατὰ ταὐτὰ δὲ καὶ ἐνθάδε καθέτου ἀχθείσης ἐπὶ τὴν ΔΒ τῆς ΑΛ , ἐάν τε τὴν |
| ΕΑΗ . ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΖΑΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑΗ , οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ : καὶ ὡς | ||
| , ἡ ἀνέκλειπτος περιφέρεια ἥ τε ἀπ ' ἄρκτων ἡ ΕΑΗ καὶ ἀπὸ μεσημβρίας ἡ ΖΓΘ , ἑκατέρα μοιρῶν ἐστιν |
| κοινῆς θεωρίας τὸ ζητούμενον δείκνυσιν . διττῶν δὲ ὄντων τῶν ὀρθογωνίων τριγώνων , τῶν μὲν ἰσοσκελῶν , τῶν δὲ σκαληνῶν | ||
| ἀποφαίνεται : τὸ μὲν πῦρ ὑπὸ τεσσάρων καὶ εἴκοσι τριγώνων ὀρθογωνίων συμπληροῦται τέσσαρσιν ἰσοπλεύροις περιεχόμενον . ἕκαστον δὲ ἰσόπλευρον σύγκειται |
| ἐν τριγώνῳ οὖν τῷ ΚΛΡ μείζων ἐστὶν ἡ ΛΚ τῆς ΛΡ : αὕτη δὲ τῆς ΛΠ μείζων . ὥστε καὶ | ||
| ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΛΡ : μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΡ τῆς ΡΜ : ἡ ἄρα ΛΜ τῆς ΜΡ μείζων |
| ἐδείχθη δὲ καὶ τὰ τέσσαρα τὰ ΓΚ , ΚΔ , ΗΡ , ΡΝ τοῦ ΓΚ τετραπλάσια : τὰ ἄρα ὀκτώ | ||
| κοινὴ δὲ αὐτῶν τομή ἐστιν ἡ ΗΡ : καὶ ἡ ΗΡ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον : καὶ |
| προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆς ὅλης πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου : ὅπερ ἔδει δεῖξαι . Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ | ||
| ἐνδεχομένου καὶ ἀναγκαίου , ὅτι πάντες ἀτελεῖς καὶ τὸ ἐξ ἡμισείας ἐνδεχόμενον συνάγουσι . Καὶ τελειοῦνται διὰ τῶν πρώτων σχημάτων |
| ' ὃ συμβάλλουσιν ἀλλήλαις , ἐπὶ τὰ κέντρα ἐπιζευγνύμεναι ὁμοίως περιέξουσι τὴν λείπουσαν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς τῆς κλίσεως τῶν | ||
| αἱ ἀπὸ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπὶ τὰ κέντρα ἐπιζευγνύμεναι εὐθεῖαι περιέξουσι τὴν λείπουσαν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς τῆς ἐπιζητουμένης κλίσεως |
| μείζων ἄρα ἡ ΥΡ τῆς ΡΞ . Ἴση δὲ ἡ ΥΡ τῇ ΡΟ : μείζων ἄρα ἡ ΟΡ τῆς ΡΞ | ||
| μείζων ἄρα ἡ ΨΥ , τουτέστιν ἡ ΤΥ , τῆς ΥΡ . Ἔστω τῆς ΤΡ ἡμίσεια ἡ Τ ↑ . |
| . καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΒ , ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΒΝ , ἴση δὲ | ||
| ἔτυχεν , εὐθεῖα ἡ ΚΒ , καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΚΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Κ τῇ |
| πλευρά ١ ٣١ ١ ١٤ τὸ ἀπὸ ταύτης ٢٨ ٤٩ ٥٤ ٥٦ ٢٦ ٤٦ ٤٠ ἡ τὸ χωρίον δυναμένη τὸ | ||
| ἡ πλευρὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν ١٤ ١٤ ٥٤ ἡ ΔΖ [ ٩ ٢٣ ٥٦ ٥٠ ] τὸ |
| διπλῆ ἡ ΦΧ : πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΩΨ τοῦ ἀπὸ τῆς ΧΦ . καὶ ἐπεὶ τετραπλῆ ἐστιν | ||
| δὲ ΣΟ τῇ ΨΥ ἴση , καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΩΨ , ΨΥ τριπλάσιά εἰσι τοῦ ἀπὸ τῆς ΟΝ . |
| . διὰ τὰ αὐτὰ ἔσται , ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΜΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΥΙ , τὸ ὑπὸ ΞΡΓ πρὸς | ||
| δὲ ΛΤ τὰ ἴσα ἔγγιστα ὡσαύτως κη , τῆς δὲ ΜΥ ἑξηκοστὰ μ . ὧν τὰ μὲν τῆς αʹ καὶ |
| προηγούμενα τῶν ζῳδίων μοίρας ια θ , αἷς ὑπερέχουσιν αἱ διπλασίονες τῆς ἀποχῆς μοῖραι κδ κγ τὰς τοῦ πλάτους ιγ | ||
| Τούτοις προστεθέντος καὶ τοῦ τρίτου , γίνονται οἱ τρεῖς ὁμοῦ διπλασίονες τοῦ τρίτου καὶ ἔτι ὑπερέχοντες μονάδων κ . Ἐὰν |
| γὰρ δείκνυται διὰ τοῦ αʹ τοῦ Ϛʹ στοιχείων , τετραγώνου ἀναγραφέντος ἀπὸ τῆς ΕΓ καὶ συμπληρωθέντος τοῦ ἐπὶ τῆς ΑΕ | ||
| ἐπιπέδων . ἀπὸ γὰρ τῆς πλευρᾶς τοῦ τριγώνου τοῦ εἰκοσαέδρου ἀναγραφέντος πενταγώνου ἐπιζευχθείσης τῆς ὑπὸ δύο πλευρὰς ὑποτεινούσης τοῦ πενταγώνου |
| ὀστοῦν ἐπὶ τῷ πέρατι τῆς γένυος , ἐν ᾧ τῶν τομέων ὀδόντων αἱ ῥίζαι τε καὶ φατνία περιέχονται . φαίνεται | ||
| καὶ τῶν ἐμβαδῶν αὐτῶν πρὸς τὰ τῶν ὑπὸ τὰς περιφερείας τομέων , καὶ τὸ μὲν τοῦ ΑΕΓΔ τομέως ἐμβαδὸν ἕξομεν |
| Ο μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΠΟ , καὶ τριῶν οὐσῶν περιφερειῶν ὁμοιογενῶν ἀνίσων τῶν ΚΘ , ΘΠ , ΗΘ εἰλήφθω | ||
| τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν δύο μὲν τῶν ΒΓ , ΕΖ περιφερειῶν , δύο δὲ τῶν ΗΒΓ , ΕΘΖ τομέων εἴληπται |
| , κοινὴ προσκείσθω ἡ ΝΚΜ περιφέρεια : ὅλη ἄρα ἡ ΛΚΜ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΝΚΜΞ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση . ἡμικυκλίου | ||
| , καὶ διὰ τοῦ Κ ἤχθω πλευρὰ τοῦ κυλίνδρου ἡ ΛΚΜ εὐθεῖα πίπτουσα ἐπὶ τὰς ΕΗ , ΖΘ περιφερείας ἐκβαλλομένη |
| κῶνοι πρὸς ἀλλήλους διπλασίονα λόγον ἔχωσιν ἤπερ τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα , ἰσοϋψεῖς ἔσονται οἱ κῶνοι . καταγεγράφθωσαν οἱ | ||
| καὶ ἐπεὶ τῶν ΚΗΓΔ , ΒΘΕΖ κώνων τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα τὰ ΚΓΔ , ΒΕΖ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν , |
| ΝΞ περὶ κέντρον τὸ Ζ ἴσος τῷ ΛΜ , καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς διὰ τῶν κέντρων διαμέτρου τῆς ΝΛΜ εἰλήφθω ἐπ | ||
| μεσημβρίας κατὰ τὸ Ω σημεῖον τῆς ἀκριβοῦς τοῦ ἡλίου ἐποχῆς ἐπιζευχθείσης τῆς ΕΥΩ εὐθείας , ἡ δὲ ΦΩ τῆς παραλλάξεως |
| ἀπὸ τῶν ἴσων γωνιῶν ἐπὶ τὰς βάσεις κάθετοι εὐθεῖαι γραμμαὶ ἀχθῶσιν , ᾖ δέ , ὡς ἡ τοῦ πρώτου τριγώνου | ||
| τομῶν β σημεῖα ληφθῇ , καὶ ἀφ ' ἑκατέρου παράλληλοι ἀχθῶσιν , ὁμοίως ἴσα ἔσται τὰ γινόμενα ὑπ ' αὐτῶν |
| ΥΦ . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΒΧ , ΧΓ , ΓΦ ἑκατέρᾳ τῶν ΒΥ , ΥΦ | ||
| ἄρα ἡ ΧΑ πρὸς ΑΞ , οὕτως ἡ ΞΒ πρὸς ΒΧ . καὶ διελόντι ὡς ἡ ΧΞ πρὸς ΞΑ , |
| ΑΞ ἄρα ἴση τῇ ΤΓ . ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ΑΧ ὅλῃ τῇ ΧΓ ἐστιν ἴση , ἐξ ὧν ἡ | ||
| δύο , ὅπερ δὴ καὶ ὁρᾶται : ἔστι γὰρ τοῦ ΑΧ ὄντος δευτέρου ξου [ ͵γχου ] δύο ἑξηκοστά . |
| καὶ ἀπὸ τοῦ Ρ ἐπὶ μὲν τὰς ΘΟ , ΚΠ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΡΝ , ΡΞ , ἐπὶ μὲν τὴν | ||
| , καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὰς ΑΒ , ΓΔ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΕΖ , ΕΗ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ |
| ὀρθίας καὶ λίθων πληροῦντα καὶ γῆς ὥστε μὴ ἅπτεσθαι τῆς σκαπάνης εἶτα ἄμμον ἐμβάλλοντα καὶ χοῦν : ἅπαντα γὰρ ταῦτα | ||
| καθαρὰς εἶναι τὰς πηγὰς καὶ δικαίας , ἅτε οὐχ ὑπὸ σκαπάνης ἢ δικέλλης ὀρωρυγμένας , ἀλλ ' ἔκ τινων ζοφερῶν |
| διὰ τοῦ Δ ἡμικύκλια , ἵνα ἡ ἐφαπτομένη ἑκάστου αὐτῶν προσεκβαλλομένη ἐπὶ τὴν τοῦ μείζονος ἡμικυκλίου περιφέρειαν τὴν μεταξὺ τῆς | ||
| ἣν ἄγονται καὶ τῆς παρ ' ἣν δύνανται , καὶ προσεκβαλλομένη ἕως τοῦ ἑτέρου μέρους τῆς τομῆς δίχα τμηθήσεται ὑπὸ |
| ٤ ٤٨ ٤٨ ٣٦ τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν ٢٣ ١٠ ٣ ١١ ٥٣ ٢٠ ἡ ΑΖ ١١ ٥١ | ||
| τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΓ ١٣ ١٩ ٥٥ ٢٣ ٨ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ٤ ٥٨ ٠ ٨ |
| τὸ Γ , καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΑΒ τομῆς τὸ Δ , καὶ δι ' αὐτοῦ ἤχθω παρὰ | ||
| ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ Δ ἐφάψεται τῆς ἀντικειμένης τομῆς . ἔστω γὰρ τὰ αὐτὰ , καὶ τὸ Δ |
| ἴσην θῶμεν τὴν ΓΔ , τῇ δὲ ΚΡ ἴσην τὴν ΡΧ , καὶ τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν , ἔσται ὡς ὁ | ||
| ΥΤ τὴν ΩΨ καὶ τὰς λοιπάς , καὶ ἐπιζεύξαντες τὰς ΡΧ ΥΩ ΤΨ ἕξομεν τὰς τῶν ὀδόντων λοξώσεις . καὶ |
| μὲν ἐγχειρήσωσι ταῖς ἐπιβολαῖς : ὑπὸ γὰρ τῆς πεπρω - μένης αὐτοῖς κεκυρῶσθαι πατρίδα τὴν Ἔνναν , οὖσαν ἀκρόπολιν ὅλης | ||
| , τῆς ΕΗ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνο - μένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΕΖ . ἔστι δὲ |
| ΒΛ πρὸς ΛΝ . ] ὡς δὲ ἡ ΓΛ πρὸς ΛΝ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΛ τετράγωνον πρὸς τὸ | ||
| ὁ μὲν ΓΜ κύλινδρος τῷ ΕΒ κυλίνδρῳ , ὁ δὲ ΛΝ ἄξων τῷ ΗΘ ἄξονι : ἔστιν ἄρα ὡς ὁ |
| τὴν ΩΨ καὶ τὰς λοιπάς , καὶ ἐπιζεύξαντες τὰς ΡΧ ΥΩ ΤΨ ἕξομεν τὰς τῶν ὀδόντων λοξώσεις . καὶ ἐπεὶ | ||
| ἐστὶν ἡ ΠΩ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΥΩ πενταγώνου ἐστίν , ἐπειδήπερ , ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὰς ΦΚ |
| τῇ ΖΗ : καὶ τῇ ΕΔ ἄρα παράλληλός ἐστιν ἡ ΝΚ , ἡ δὲ ΜΘ τῇ ΒΛ . ἐπεὶ οὖν | ||
| ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως σημεῖα ἐπιζευγνύουσαι παράλληλοι , καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΝΚ ΜΘ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Τ , καὶ διὰ |
| καὶ τοῦ κέντρου τῆς τομῆς , ἡ δὲ μεταξὺ τῆς κατηγμένης καὶ τῆς ἐφαπτομένης , ἕξει πρὸς αὐτὴν ἡ κατηγμένη | ||
| τῶν δύο εὐθειῶν , ὧν ἐστιν ἡ μὲν μεταξὺ τῆς κατηγμένης καὶ τοῦ κέντρου τῆς τομῆς , ἡ δὲ μεταξὺ |
| , καὶ ἡ ΤΩ # μβ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΡΥ τῶν αὐτῶν # μβ . καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ | ||
| ἡ μὲν ΖΡ τῇ ΡΣ , ἡ δὲ ΡΝ τῇ ΡΥ , δύο αἱ ΖΡΝ δυσὶ ταῖς ΣΡΥ ἴσαι εἰσίν |
| μο θ , ἤτοι τῶν φοϚ ξδων , καταλείπονται ιϚ ξδα ἅτινά εἰσι τετράγωνος . Αἱ δὲ κα μονάδες συνάγουσιν | ||
| ἀπὸ τῶν κα καὶ ποιῶν τοὺς λοιποὺς τετραγώνους , φξ ξδα , καὶ φανερὰ ἡ ἀπόδειξις . . Εἰς τὸ |
| ἀπὸ ΑΔ ] . Ἐὰν μιᾶς τῶν ἀντικειμένων δύο εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι συμπίπτωσι , διὰ δὲ τῶν ἁφῶν παράλληλοι ἀχθῶσι ταῖς | ||
| τῶν Α , Β , Γ , Δ σημείων ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου αἱ ΖΗ , ΗΘ , ΘΚ |
| ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ , ΒΓ δυσὶ ταῖς ΚΘ , ΘΛ ἴσαι εἰσίν , καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ Β | ||
| καὶ ὡς ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΓΗ , οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΗΚ : ἴσων μὲν ἄρα οὐσῶν τῶν |
| μϚ ιζ , ἕξομεν τὸ ἀπὸ ΔΚ τετράγωνον τῶν αὐτῶν Μμζ ͵δϠδ μϚ ιζ : καὶ μήκει ἄρα ἔσται ἡ | ||
| ἐὰν τὰ ͵γχ τοῦ ἀπ ' αὐτῆς τετραγώνου προσθῶμεν ταῖς Μμζ ͵βψ ε λβ , ἕξομεν τὸ ἀπὸ ΔΚ τετράγωνον |
| δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν : καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΒ , ΓΒΑ , ΓΑΒ ἄρα δυσίν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . Παντὸς | ||
| τῶν ΔΗΕ , περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν ΓΒΑ , ΕΔΗ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον , τῶν δὲ λοιπῶν |
| , Μ , Ν σημεῖα παράλληλοι κύκλοι οἱ ΟΠ , ΡΣ , ΤΥ , ΦΧ , καὶ γεγράφθωσαν διὰ τῶν | ||
| λόγον τέτμηται , καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΣ . ἴση δὲ ἡ ΡΣ τῇ ΥΦ : τῆς |
| δύο δοθεισῶν εὐθειῶν πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις τῶν ΑΓ , ΓΛ γεγράφθωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΖΑΗ , ΘΓΚ , ὧν διάμετρος μὲν | ||
| διὰ τοῦ Α καὶ ἑκατέρου τῶν Μ Ν μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν : ἥξουσιν δὴ καὶ διὰ τοῦ ἑτέρου πόλου . |
| καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπὸ τῆς παραλλήλου ἴσον ἔσται τῷ ἀπὸ ΓΧ . διὰ δὲ τοῦτό ἐστιν , ὡς ἡ ΤΧ | ||
| τοῦ Χ πρὸς ὁποιανοῦν τῶν τομῶν προσπιπτέτω τις εὐθεῖα ἡ ΓΧ , καὶ τῇ ΓΧ παράλληλος ἤχθω τέμνουσα τὰς ἐφεξῆς |
| . . . . . . . . . . ροθ ∠ ʹγ νότ . β Σάρατα . . . | ||
| ροϚ Περὶ καράβου ροζ Κάϲτοροϲ ὄρχιϲ ροη Κυνὸϲ ποταμίου ὄρχιϲ ροθ Κυνὸϲ χερσαίου ϲκύλαξ ρπ Κύκνου νεοττόϲ ρπα Κηρύκων ὄϲτρακα |
| ἀρχάς . . ΟΝΟΤΑΖΩΝ . Μεμφόμενος , ἐφυβρίζων . . ΠΑΡ ΔΙΙ ΠΑΤΡΙ ΚΑΘΕΖΟΜΕΝΗ . Ἢ τῇ Εἱμαρμένῃ , ὡς | ||
| ΕΙΣ ΙΑΜΒΟΝ ΟΙΟΝ ΕΝΘΑ ΔΗ ΠΟΙΚΙΛΩΝ ΑΝΘΕΩΝ ΑΜΒΡΟΤΟΙ ΛΙΜΑΚΕΣ ΒΑΘΥΣΚΙΟΝ ΠΑΡ ΑΛΣΟΣ ΑΒΡΟΠΑΡΘΕΝΟΥΣ ΕΥΙΩΤΑΣ ΧΟΡΟΥΣ ΑΓΚΑΛΑΙΣ ΔΕΧΟΝΤΑΙ ΕΝ ΤΟΥΤΩΙ ΓΑΡ |
| ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , καὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΜΓ τῆς ΥΟ , τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΜΓ τοῦ ἀπὸ τῆς | ||
| ἡ μὲν ΔΞ τῇ ΟΕ , ἡ δὲ ΞΥ τῇ ΥΟ , καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν , βάσις ἄρα ἡ |
| λοιπαὶ μείζους εἰσὶ πάντῃ μεταλαμβανόμεναι , τουτέστιν δυνατὸν ἐκ τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰς γωνίας πολύπλευρον συστήσασθαι . ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι τέσσαρες | ||
| τῷ ἐπιπέδῳ συνεστάτω τὸ ΘΚΛ , ἐκ τριῶν δὲ τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰ Δ Ε Ζ τὸ ΚΛΜ , ἐκ τριῶν |
| ιζ ηων . Ὁ ἄρα τῶν τετραγώνων εἷς ἔσται σπθ ξδων ἀπὸ πλευρᾶς ιζ ηων , ὁ δὲ λοιπὸς ρ | ||
| ξδων ἀπὸ πλευρᾶς ιζ ηων , ὁ δὲ λοιπὸς ρ ξδων ἀπὸ πλευρᾶς ι ηων . Ἐπεὶ γὰρ τῶν κε |
| τὰ καταλειφθέντα τῶν αὐτῶν ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσια ἢ ἴσα . ἀφῃρήσθωσαν τῶν μὲν ιβ η , τῶν δὲ θ Ϛ | ||
| ὁ ἀριθμὸς ἄρα μονάδων δ . Προσκείσθωσαν αἱ μονάδες καὶ ἀφῃρήσθωσαν . Ἡ δεῖξις προβαίνει . . Τοῦτο οὐκ ἔστι |
| ' ἀπὸ χώρων ποταμῶν τ ' ἐργομένα πενθεῖ μὲν οἶκτον ἠθέων , ξυντίθησι δὲ παιδὸς μόρον , ὡς αὐτοφόνως ὤλετο | ||
| ἀστῶν ἔλαβε πόθος τε καὶ οἶκτος τῆς πόλιος καὶ τῶν ἠθέων τῆς χώρης , ψευδόρκιοι δὲ γενόμενοι ἀπέπλεον ὀπίσω ἐς |
| ΕΛ ια λϚ ιη . , ٢٠ , ٤٠ , ٢٩ ٢٦ ٣٠ , ٢٩ ٢٦ ٣٠ καὶ ἡ ΑΕ | ||
| καὶ μέσον ٢٤ ٢٩ ٣٧ ٤٨ ٢ τὸ ΕΓ ٨ ٢٩ ٣٧ ٤٨ ٢ ἡ πλευρὰ τοῦ . . ٤ |
| κατὰ τὸ Ρ , καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΟ , τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΟΝ , ΝΡ τριπλάσιά | ||
| ἡ ΥΡ τῆς ΡΞ . Ἴση δὲ ἡ ΥΡ τῇ ΡΟ : μείζων ἄρα ἡ ΟΡ τῆς ΡΞ . Τετμήσθω |
| δεδομένῳ εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν , δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει . πρὸς θέσει γὰρ δεδομένῃ εὐθείᾳ τῇ | ||
| , ἡ δὲ ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν δευτέραν διάμετρον ἀχθεῖσα παράλληλος τῇ διαμέτρῳ δυνήσεται χωρίον , πρὸς ὃ τὸ |
| ἐπιθύουσι , παρ ' Ὁμήρῳ δὲ τέθειται καὶ ἐπὶ τῆς βάσεως , ἀπὸ τοῦ βεβηκέναι . Ἠὼς , λαμβάνεται παρ | ||
| : ὑψηλοῖς , μεγάλοις , παχυτάτοις , τοῖς λειπομένοις τῆς βάσεως . ὀψέ : μόλις , ἀργῶς . Πάντεσσιν : |
| μιᾶς ποιῇ τετράγωνον . Πάλιν , ζητοῦντες τὸν ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν ἀρθέντα ἀπὸ Μο α ποιεῖν ⃞ον , ἐὰν πάντα | ||
| οὕτως ἔχουσαν : ἑξῆς σημείων καὶ εὐθειῶν καὶ κύκλων τριῶν ὁποιωνοῦν θέσει δοθέντων κύκλον ἀγαγεῖν δι ' ἑκάστου τῶν δοθέντων |
| , ΑΖ μιᾷ σεληνιακῇ διαμέτρῳ καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τῆς διαμέτρου . Ἑκατέρας δὲ τῶν ΑΓ καὶ ΑΕ δʹ μέρει | ||
| τουτέστιν οὔτε τῶν ἐπὶ τῆς διαμέτρου οὔτε τῶν ἐκτὸς τῆς διαμέτρου . ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓΔ , διάμετρος δὲ |
| Καὶ ὁκόσοι ταχείης προσθέσιος δέονται , ὑγρὸν ἴημα ἐς ἀνάληψιν δυνάμιος κράτιστον : ὁκόσοι δὲ ἔτι ταχυτέρης , δι ' | ||
| δὲ τὰ ἕλεα ἔδοξέ σφι διῶξαι ψιλώσαντας τὰ πλεῖστα τῆς δυνάμιος , ἐκ δὲ τῶν ἑλέων ὁρμώμενον μὴ ἐπιμίσγεσθαι τῇ |
| ἐστιν ὁ ἀστήρ , διδοὺς ἑκάστῳ ζῳδίῳ μοίρας λ , καταλείπονται κγ . λέγομεν εἶναι τὸ δωδεκατημόριον τοῦ Ἑρμοῦ Λέοντος | ||
| ἴσαι : οὕτω δὲ μᾶλλον : αἵδε αἱ τοῦ ἰσοσκελοῦς καταλείπονται ἀπὸ ἴσων ἴσων ἀφῃρημένων : πάντα τὰ καταλειπόμενα μετὰ |
| ΑΗΘ . Ἐὰν μιᾶς τῶν κατὰ συζυγίαν ἀντικειμένων εὐθεῖαι ἐπιψαύουσαι συμπίπτωσι , καὶ διὰ τῶν ἁφῶν διάμετροι ἀχθῶσι , ληφθῇ | ||
| ἐπὶ ταὐτὰ τῷ κέντρῳ . Ἐὰν ἑκατέρᾳ τῶν ἀντικειμένων εὐθεῖαι συμπίπτωσι καθ ' ἓν ἐφαπτόμεναι ἢ κατὰ δύο τέμνουσαι , |
| ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ ' αὐτὸν κάθετος ἀχθῇ καὶ ἐκβληθῇ ἐπ ' ἀμφότερα τὰ μέρη , ἐπὶ | ||
| ' αὐτῆς σημεῖον ληφθῇ ὡς τὸ Γ , κάθετος δὲ ἀχθῇ ἡ ΓΔ , ἴσον εἶναι τὸ ὑπὸ Ρ , |
| μονάδες ρ , οἵτινές εἰσιν ἴσοι μονάσι ρκ . Καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια , ἤτοι ἀπὸ ἴσων ἴσα . | ||
| λοιπὸς περισσὸς ἔσται . Ἀπὸ γὰρ ἀρτίου τοῦ ΑΒ περισσὸς ἀφῃρήσθω ὁ ΒΓ : λέγω , ὅτι ὁ λοιπὸς ὁ |
| ὑπὸ κακοχυμίας , ἤτοι ἐξ ἥπατος εἰς αὐτὴν καταρρεούσης ἢ περιεχομένης ἐν τοῖς χιτῶσιν αὐτῆς . γεννᾶται δ ' ἐξ | ||
| ἐπεὶ γὰρ τὸ Δ ἐντός ἐστι τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης γωνίας , δυνατὸν ἀπὸ τοῦ Δ δύο ἐφαπτομένας ἀγαγεῖν |
| δύναμιν θέσθαι τὴν ἡμετέραν σπουδάσωμεν καὶ ὥσπερ ὑπ ' ὄψιν ἀγάγωμεν . Δείκνυσι γάρ σου περιφανῶς τὴν ψυχήν , περὶ | ||
| , καὶ γίνονται πεντάκις ε κε . ἐὰν τοίνυν διάμετρον ἀγάγωμεν ἐν τῷ τετραγώνῳ , ὅ ἐστι διαγώνιον , τὸ |
| δέδοται καὶ οὐχὶ ἡ ΕΖ καὶ τῶν γωνιῶν ἡ ὑπὸ ΕΒΓ καὶ οὐχὶ ἡ ὑπὸ ΕΖΓ . ἔνθεν καὶ πρὸς | ||
| τὰ τρίγωνα , καὶ ἡγούμενα μὲν εἶναι τὰ ΑΒΕ , ΕΒΓ , ΕΓΔ , ἑπόμενα δὲ αὐτῶν τὰ ΖΗΛ , |
| ΧΕ πρὸς τὴν ΕΔ , οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΗ . ἔστι δὲ καί , ὡς ἡ ΧΕ πρὸς | ||
| καὶ τοῦ ἐπικύκλου καταγραφῆς ἀποληφθείσης ἀπὸ τοῦ Θ περιγείου τῆς ΘΗ περιφερείας τῶν αὐτῶν μοιρῶν λ ἐπεζεύχθωσαν μὲν ἥ τε |
| μὲν ταῖς αὑτῶν χερσί , τὴν δὲ αὑτῶν ταῖς τῶν εἰλημμένων . αἱ δ ' αὖ διαφυγοῦσαι τὴν ἅλωσιν ἰσχύι | ||
| . δεῖ γὰρ καθόλου τὸ συμπέρασμα ἐκ τῶν ἄκρων τῶν εἰλημμένων ἐν ταῖς προτάσεσι ταῖς δύο συγκεῖσθαι . ἄκροι δέ |
| , ὥστε γενέσθαι πάντα τὸν ἐκ τῶν β ὀρθογωνίων ἀριθμὸν σνβ . τοσοῦτον δὲ φεν . . . . . | ||
| , ἃς ἐὰν ἀφέλωμεν ἀπὸ τῶν κατὰ τὴν τήρησιν μοιρῶν σνβ ζ , ἕξομεν ἐποχὴν εἰς τὸ αʹ ἔτος Ναβονασσάρου |
| ΚΝΡ ἴση τῇ ὑπὸ ΔΕΖ : ἐλάσσων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ΔΕΖ . ὥστε καὶ τὸ ΑΒ μέγεθος | ||
| μοίρας δ μϚ , ἃς ὑποθέμενος τοῦ μεγέθους τῆς ὑπὸ ΑΕΒ γωνίας ἐν τῷ θʹ θεωρήματι δείκνυσι διὰ τῶν ἀριθμῶν |
| τὸν κζ λόγον , ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμὸν τετραγώνων ἀμφοτέρων ὄντων καὶ τοῦ λϚ καὶ τοῦ κζ ; | ||
| τῆς ΑΓ ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΒ , ΒΑ τετραγώνων τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ |