| ἡ ΧΦ τῇ ΣΟ , μείζων ἄρα ἡ ΚΒ τῆς ΣΟ . ἴση δὲ ἡ ΚΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΚΣ , | ||
| ἐστι διάμετρος ἡ ΞΗ τῇ ΒΤ , καὶ ὅτι ἡ ΣΟ παράλληλος οὖσα τῇ ΒΤ κατῆκται τεταγμένως ἐπὶ τὴν ΘΗΟ |
| ΞΝ τῆς ΜΟ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ β : καὶ ἡ ΣΛ ἄρα τῆς ΓΡ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ β : ὥστε | ||
| ΞΟ τῇ ΘΣ ἐστὶν ὁμοία , ἡ δὲ ΟΠ τῇ ΣΛ ἐστὶν ὁμοία , καὶ ἡ ΘΣ ἄρα τῇ ΣΛ |
| ΜΡ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ , ἡ δὲ ΞΝ τῆς ΝΣ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῆ , ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ | ||
| μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία : καὶ ἡ ΘΚ ἄρα τῆς ΝΣ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία . καὶ εἰσὶ τοῦ αὐτοῦ |
| δὲ ἡ ΣΡ τῆς ΟΡ : διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΦΥ τῆς ΟΡ . ἴση δὲ ὑπόκειται ἡ ΟΡ τῇ | ||
| δύο τῶν διπλασίων τοῦ ἑνός . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΦΥ . , ] παραλληλόγραμμον γάρ ἐστι τὸ ΡΣΦΥ χωρίον |
| , καὶ ἡ ΤΩ # μβ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΡΥ τῶν αὐτῶν # μβ . καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ | ||
| ἡ μὲν ΖΡ τῇ ΡΣ , ἡ δὲ ΡΝ τῇ ΡΥ , δύο αἱ ΖΡΝ δυσὶ ταῖς ΣΡΥ ἴσαι εἰσίν |
| μείζων ἄρα ἡ ΥΡ τῆς ΡΞ . Ἴση δὲ ἡ ΥΡ τῇ ΡΟ : μείζων ἄρα ἡ ΟΡ τῆς ΡΞ | ||
| μείζων ἄρα ἡ ΨΥ , τουτέστιν ἡ ΤΥ , τῆς ΥΡ . Ἔστω τῆς ΤΡ ἡμίσεια ἡ Τ ↑ . |
| ἡ ΛΜ μείζων ἐστίν : πολλῷ ἄρα ἡ ΜΛ τῆς ΝΟ μείζων ἐστίν . ἀλλὰ καὶ ἴση : ὅπερ ἐστὶν | ||
| ἐστὶν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΝΞ , ἡ ΚΜ πρὸς ΝΟ . καὶ τὰ τετράγωνα . καὶ ὡς ἓν πρὸς |
| ΝΞ περὶ κέντρον τὸ Ζ ἴσος τῷ ΛΜ , καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς διὰ τῶν κέντρων διαμέτρου τῆς ΝΛΜ εἰλήφθω ἐπ | ||
| μεσημβρίας κατὰ τὸ Ω σημεῖον τῆς ἀκριβοῦς τοῦ ἡλίου ἐποχῆς ἐπιζευχθείσης τῆς ΕΥΩ εὐθείας , ἡ δὲ ΦΩ τῆς παραλλάξεως |
| ἡ ΚΛ τῆς ὅλης περιφερείας , τὸ αὐτὸ καὶ ἡ ΘΟ τῆς ΘΟΛ . καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΘΟΛ τῇ | ||
| ΜΒ τῇ ΒΝ καὶ ἡ ΚΟ τῇ ΟΛ καὶ ἡ ΘΟ τῇ ΟΞ καὶ ἡ ΚΘ τῇ ΞΛ . ἐπεὶ |
| , τεταγμένως δὲ ἐπ ' αὐτὴν κατηγμέναι αἱ ΚΛ , ΞΝ , ΗΖ : ἔσται οὖν , ὡς ἡ ΑΒ | ||
| , ΜΛ . καί ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΚΞ , ΞΝ μείζονα τῶν ἀπὸ τῶν ΚΜ , ΜΛ : ἡ |
| τῶν ΑΕ καὶ ΕΓ ὑπόκειται Ϛ , ἑκατέρα δὲ τῶν ΑΘ καὶ ΘΓ τῶν αὐτῶν Ϛ ι , καὶ ὀρθή | ||
| ἴση . ἔστω πρότερον μείζων : μείζων ἄρα καὶ ἡ ΑΘ τῆς ΘΔ . τετμήσθω ἡ ΑΔ δίχα κατὰ τὸ |
| ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΠΡ , ἴση δὲ ἡ ΠΡ τῇ ΗΘ , ἔστιν | ||
| περιφερείας , ἡ δὲ κατὰ τὸ Ο βορεία παράλλαξις τῆς ΠΡ , ἡ δὲ κατὰ τὸ Μ βορεία τῆς ΛΚ |
| πάλιν ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπέζευκται ἡ ΟΕ , ἡ ὑπὸ ΚΕΟ γωνία ὀρθή ἐστιν . καὶ | ||
| τοῦ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Ο , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΕ . καὶ ἐπεὶ ἐπὶ τεταρτημορίου βέβηκεν , ἡ ὑπὸ |
| λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΨ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΨΚ ἴσον ἐστίν : ἴση ἄρα ἡ ΒΨ τῇ ΨΚ | ||
| ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΚΒ τῶν ἀπὸ τῶν ΒΨ , ΨΚ . ἴση δὲ ἡ ΒΨ τῇ ΨΚ : ὥστε |
| κύκλος ὁ ΗΘ , καὶ διῃρήσθω ἑκατέρα τῶν ΒΞ , ΔΞ εἰς τρία ἴσα κατὰ τὰ Κ , Λ , | ||
| . ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Δ τῇ ΑΕ παράλληλος ἡ ΔΞ . ἐπεὶ οὖν ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΑΒ καὶ διάμετρος |
| ΟΗ , ὡς δὲ ἡ ΒΝ πρὸς ΝΖ , ἡ ΖΟ πρὸς ΟΘ : ἡ ἄρα ΑΒ πρὸς ΒΓ τὸν | ||
| ΖΟ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΟΘ . καί ἐστι παράλληλος ἡ ΖΟ τῇ ΑΔ : πλαγία μὲν ἄρα πλευρά ἐστιν ἡ |
| ΒΛ πρὸς ΛΝ . ] ὡς δὲ ἡ ΓΛ πρὸς ΛΝ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΛ τετράγωνον πρὸς τὸ | ||
| ὁ μὲν ΓΜ κύλινδρος τῷ ΕΒ κυλίνδρῳ , ὁ δὲ ΛΝ ἄξων τῷ ΗΘ ἄξονι : ἔστιν ἄρα ὡς ὁ |
| διπλῆ ἡ ΦΧ : πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΩΨ τοῦ ἀπὸ τῆς ΧΦ . καὶ ἐπεὶ τετραπλῆ ἐστιν | ||
| δὲ ΣΟ τῇ ΨΥ ἴση , καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΩΨ , ΨΥ τριπλάσιά εἰσι τοῦ ἀπὸ τῆς ΟΝ . |
| Ν , Ο , Π τῇ ΑΒ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΝΥ , ΟΣ , ΤΠ : ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ | ||
| τῆς ΖΝ βάσεως , ὑπερέχει καὶ τὸ ΛΥ στερεὸν τοῦ ΝΥ [ στερεοῦ ] , καὶ εἰ ἴση , ἴσον |
| δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . καὶ οὐδετέρα τῶν ΔΜ , ΜΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ | ||
| πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ , οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς ΔΜ . ἀλλ ' ἦν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ |
| ΤΗ ἴσαι εἰσίν , ἄνισοι ἄρα εἰσὶν αἱ ΡΩ ΩΟ ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΡΩ . πάλιν ἐπεὶ αἱ ΘΨΚ | ||
| αἱ ΖΛ , ΛΞ , ΞΓ ἄρα μείζους εἰσὶν ἀλλήλων ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΖΛ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ |
| ΧΕ πρὸς τὴν ΕΔ , οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΗ . ἔστι δὲ καί , ὡς ἡ ΧΕ πρὸς | ||
| καὶ τοῦ ἐπικύκλου καταγραφῆς ἀποληφθείσης ἀπὸ τοῦ Θ περιγείου τῆς ΘΗ περιφερείας τῶν αὐτῶν μοιρῶν λ ἐπεζεύχθωσαν μὲν ἥ τε |
| πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν , ὡς δὲ ἡ Κ πρὸς ΗΖ , ἡ ΘΗ πρὸς ΗΑ διὰ τὸ ἴσον εἶναι | ||
| τῇ ΚΖ : ὅπερ ἀδύνατον : ἡ γὰρ ΕΗ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση . οὐκ ἄρα διάμετρός ἐστιν ἡ ΑΘ |
| ἡ ΨΟ : λοιπὴ ἄρα ἡ ͵ΑΨ ἴση ἐστὶν τῇ ΟΡ . Διπλῆ δὲ ἡ ΟΡ τῆς ΩΨ : διπλῆ | ||
| ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΟΡ , ἡ ΟΡ πρὸς τὴν ΡΝ , καὶ τὰ διπλάσια : τὰ |
| Λ , καὶ κείσθω τῇ ΛΖ περιφερείᾳ ἴση περιφέρεια ἡ ΜΗ . Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ζ | ||
| ἀπὸ ΜΗ . κοινὸς προσκείσθω λόγος ὁ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ . ὁ ἄρα συγκείμενος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΜ |
| , οὕτως ἡ ΚΔ πρὸς ΔΘ . ὡς δὲ ἡ ΚΔ πρὸς ΔΘ , οὕτως ἡ ΚΖ πρὸς ΘΗ : | ||
| ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς ἐφαπτομένας ἐστὶν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΔ , ἡ ΒΘ πρὸς ΘΔ , καὶ ἔστιν ἡ |
| ΓΜ τῇ ΞΛ . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΣΞ τῇ ΜΡ παράλληλος : ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞΣ τρίγωνον τῷ | ||
| τριγώνῳ : ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΣΞ πρὸς τὴν ΜΡ , οὕτως ἡ ΣΛ πρὸς τὴν ΡΓ . ἀλλ |
| ἑκατέρᾳ τῶν ΚΣ , ΒΟ : καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΚΣ , ΒΟ τῆς ΣΟ μείζων ἐστίν . καὶ ἐπεὶ | ||
| μία ἄρα τῶν ΘΚ , ΚΛ ἑκατέρας τῶν ΨΚ , ΚΣ μείζων ἐστίν . καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ὁ ΒΖΓ |
| ὑπὸ ΑΕΒ ὀρθή ἐστιν . καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΗΕΖ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς , ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΗΖ : | ||
| ΑΒΓ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς . ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία |
| , καλεῖται δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη . Ἡ ἄρα ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη : ὅπερ ἔδει δεῖξαι | ||
| μέσον λόγον , καί εἰσι μείζονα τμήματα αἱ ΗΓ , ΜΞ , ὡς ἄρα ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΓ , |
| κατὰ τὸ Ρ , καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΟ , τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΟΝ , ΝΡ τριπλάσιά | ||
| ἡ ΥΡ τῆς ΡΞ . Ἴση δὲ ἡ ΥΡ τῇ ΡΟ : μείζων ἄρα ἡ ΟΡ τῆς ΡΞ . Τετμήσθω |
| ἐπὶ τὰ Ζ , Ν μέρη , ὁμοία ἐστὶν ἡ ΝΡ περιφέρεια τῇ ΓΣ περιφερείᾳ : ἡ ΝΡ ἄρα τῆς | ||
| Μ Ν , καὶ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΜΞ ΜΟ ΝΠ ΝΡ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΒ ΝΔ : ἴση ἄρα |
| ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον . ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ ἡ ΛΘ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΘΝ : ἐδείχθη | ||
| ἐστίν , ὡς δὲ ἡ ΛΝ πρὸς ΝΞ , ἡ ΛΘ πρὸς ΘΜ : ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΖΘ γωνία |
| , Μ , Ν σημεῖα παράλληλοι κύκλοι οἱ ΟΠ , ΡΣ , ΤΥ , ΦΧ , καὶ γεγράφθωσαν διὰ τῶν | ||
| λόγον τέτμηται , καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΣ . ἴση δὲ ἡ ΡΣ τῇ ΥΦ : τῆς |
| κ , οἵων ἡ ΔΖ ὑποτείνουσα ρκ , ἡ δὲ ΖΗ τῶν αὐτῶν ριγ μγ : ὥστε καί , οἵων | ||
| ὡς μὲν ἡ ΖΔ πρὸς τὴν ΔΕ , οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ , ὡς δὲ ἡ ΜΔ πρὸς |
| ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ , ΒΓ δυσὶ ταῖς ΚΘ , ΘΛ ἴσαι εἰσίν , καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ Β | ||
| καὶ ὡς ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΓΗ , οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΗΚ : ἴσων μὲν ἄρα οὐσῶν τῶν |
| καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπὸ τῆς παραλλήλου ἴσον ἔσται τῷ ἀπὸ ΓΧ . διὰ δὲ τοῦτό ἐστιν , ὡς ἡ ΤΧ | ||
| τοῦ Χ πρὸς ὁποιανοῦν τῶν τομῶν προσπιπτέτω τις εὐθεῖα ἡ ΓΧ , καὶ τῇ ΓΧ παράλληλος ἤχθω τέμνουσα τὰς ἐφεξῆς |
| τὸ ΓΕ ἄρα τοῦ ΕΔ ταπεινότερον φαίνεται , τὸ δὲ ΕΔ τοῦ ΔΒ . Τῶν εἰς τοὔμπροσθεν μῆκος ἐχόντων τὰ | ||
| ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΗΕ . τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΔ μοιρῶν ἐστιν ͵δοβ νε . ὧν πλευρὰ μοιρῶν ξγ |
| . καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΒ , ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΒΝ , ἴση δὲ | ||
| ἔτυχεν , εὐθεῖα ἡ ΚΒ , καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΚΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Κ τῇ |
| ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι : ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ , προσαρμόζουσα δὲ ταύτῃ ἡ ΖΚ . ἤτοι δὴ | ||
| ΞΔ πρὸς ΔΜ . ἀλλ ' ὡς ἡ ΛΚ πρὸς ΚΘ , οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς ΚΒ : καὶ ὡς |
| , ὅτι μεῖζον φανήσεται τοῦ ΓΔ . Διὰ τὸ τὴν ΛΓ ὑποτείνειν καὶ τὴν Μ μείζονα οὖσαν καὶ τῆς ΛΚ | ||
| ΞΝ πρὸς τὴν ΝΛ , οὕτως ἡ ΝΛ πρὸς τὴν ΛΓ . ἀλλ ' ἡ ΝΛ πρὸς τὴν ΛΓ μείζονα |
| ΔΟ τοῦ ὑπὸ τῶν ΘΟΚ , ἀνάλογον ἡ Λ πρὸς ΟΚ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΟ πρὸς ΟΔ . | ||
| περιφέρεια πρὸς τὴν ΞΟΠ . Καταληφθήσεται δὲ καὶ ἡ μὲν ΟΚ τοῦ μεσημβρινοῦ διάστασις , τουτέστιν ἡ ἀπὸ τοῦ διὰ |
| ΚΜ κάθετός ἐστιν ἡ ΕΛ . ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν ΚΜ ΕΛ ἐπίπεδον καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον | ||
| τῶν ὑπὸ ΟΚΛ ΟΚΜ , ἴση ἄρα καὶ ἡ μὲν ΚΜ τῇ ΚΛ , μείζων δὲ ἡ ΚΞ πολλῷ τῆς |
| . ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α παρὰ τὴν ΒΖ ἡ ΑΥ . ἐπεὶ οὖν διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον τῆς | ||
| ἐπὶ τοῦ λοξοῦ τὰς ΓΔ , ΓΚ , ΑΠ , ΑΥ . καὶ γεγράφθωσαν μέγιστοι κύκλοι διὰ τῶν Δ , |
| κέντρου τοῦ κύκλου ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὴν ΘΒ καὶ ΚΓ ἐκβεβλημένας ἡ ΛΜ , ΛΝ : τέμνουσιν ἄρα ταύτας | ||
| ἡ ΚΒ πρὸς ὅλην τὴν ΒΗ ἐστιν , ὡς ἡ ΚΓ πρὸς ΖΗ , τουτέστιν ὡς ἡ ΔΘ πρὸς ΖΗ |
| πρὸς τὴν ΣΤ , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΣΤ τῷ ΗΝ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΣΤ . | ||
| ἄρα τὸ ΝΛΗ τρίγωνον τῷ εἴδει : λόγος ἄρα τῆς ΗΝ πρὸς ΝΛ δοθείς . καὶ δοθεῖσα ἡ ΗΝ : |
| δὴ ὑποκείσθω τὸ αὐτὸ σχῆμα , καὶ ἔστω τετραγώνου ἡ ΚΖ , καὶ ἴσαι ἀπειλήφθωσαν ἐπὶ τὰ Ζ Δ μέρη | ||
| ΔΖ πρὸς τὴν ΘΖ , οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΖ . Ὡς γὰρ αἱ γωνίαι , δι ' ὧν |
| τῶν ὁμολόγων πλευρῶν . τὸ ΒΔΜΛ ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ ΖΘΡΟ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν | ||
| ἑξαπλάσιον τὸ ΒΔΜΛ στερεόν , τῆς δὲ ΕΖΗΘ ἑξαπλάσιον τὸ ΖΘΡΟ στερεόν , ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΔΜΛ στερεὸν τῷ |
| μεγίστης τῆς ΛΡ : μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΡ τῆς ΡΜ : ἡ ἄρα ΛΜ τῆς ΜΡ μείζων ἐστὶν ἢ | ||
| ἴση ἐστὶν ἡ ΗΠ τῇ ΗΘ , μείζων ἐστὶν ἡ ΡΜ τῆς ΜΚ : πολλῷ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ΞΜ |
| σημεῖον . Κείσθω γὰρ τῇ ΖΗ περιφερείᾳ ἴση περιφέρεια ἡ ΘΚ . Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ζ | ||
| , ΗΛ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν : ὁμοίως καὶ αἱ ΘΚ , ΛΜ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ |
| δείξομεν οὕτως : ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΝ τῆς ΝΖ , τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΖΒΝ μεῖζόν ἐστι τοῦ | ||
| ΤΛ πρὸς τὴν ΛΒ , οὕτως ἡ ΟΝ πρὸς τὴν ΝΖ . τῶν ΛΤΒ , ΝΟΖ ἄρα τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν |
| ἑκατέρα μὲν τῶν ΑΒ , ΑΖ ἑκατέρας τῶν ΑΗ , ΑΜ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης , ἴση δὲ | ||
| ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΝΗ . καὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΜ τῇ ΝΒ , καὶ δύο διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΑΒ |
| αἱ ΡΛ , ΡΜ , ΡΝ . καὶ ἐπεὶ ἡ ΡΞ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΛΜΝ κύκλου ἐπίπεδον , | ||
| τις εὐθεῖα ἡ ΑΡ , ἡ ΑΡ ἄρα ἐπὶ τὴν ΡΞ κάθετός ἐστιν , καὶ ἡ ΑΟ ἐπὶ τὴν ΟΜ |
| δέδοται τῷ μεγέθει . δῆλον δ ' ὅτι καὶ ἡ συζυγὴς αὐτῇ : δέδοται γὰρ ὁ τῆς ΕΖ πλαγίας πρὸς | ||
| οὖσα καὶ τὸν τῆς ὕλης λόγον ἀναδεδεγμένη , καὶ ἐπεὶ συζυγὴς οὖσα τῇ μονάδι δι ' ἐκείνην ἐκωλύθη τῆς εἰρημένης |
| τὸ Τ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ δειχθήσεται καὶ ἡ ΜΤ ἴση τῇ ΤΔ καὶ ἡ ΤΔ τῇ . . | ||
| παραλληλογράμμου κύλινδρος περὶ ἄξονα τὸν ΝΤ πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΜΤ παραλληλογράμμου κύλινδρον περὶ τὸν αὐτὸν ἄξονα . ὁμοίως δὲ |
| , τὴν δὲ ΡΛ μοιρῶν νζ λ , τὴν δὲ ΡΚ μοιρῶν νε μ , τὴν δὲ ΡΘ , μοιρῶν | ||
| τὴν ΚΝ κύκλος γεγράφθω , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΡ , ΡΚ , ΝΣ , ΣΚ . οὐκοῦν αἱ ἀπὸ τοῦ |
| ΒΓ , ΝΞ , ΔΜ , ΘΟ , ΗΠ , ΟΗ , ΗΡ . ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος | ||
| ΘΝΟΗ . λέγω , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΝΟ τῇ ΟΗ . κατήχθωσαν γὰρ τεταγμένως αἱ ΞΝΖ , ΒΛ , |
| ριδ ι , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΔΗ περιφέρεια τοιούτων ριδ ι οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ | ||
| παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ : ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΙ μήκει . πάλιν , ἐπεὶ |
| περὶ τὸ ΒΘΝ ὀρθογώνιον κύκλος τξ , αὐτὴ δὲ ἡ ΒΝ εὐθεῖα τοιούτων ριη μγ , οἵων ἐστὶν ἡ ΒΘ | ||
| , ΒΝ , τὸ δὲ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ , ΒΝ ἴσον δέδεικται τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ |
| ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΒ πρὸς ΜΠ καὶ ἡ ΠΜ πρὸς ΒΓ , ἀλλ ' ὡς | ||
| τῷ ὑπὸ ΤΒ , ΜΝ , καὶ τὸ μὲν ὑπὸ ΜΠ , ΒΘ τέταρτον τοῦ ὑπὸ ΤΒ , ΜΝ , |
| τῇ ὑπὸ ΘΗΧ ἐστιν ἴση . παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΧ τῇ ΗΘ . πεποιήσθω δή , ὡς ἡ ΠΗ | ||
| ἐστὶν ἡ ΔΧ τῇ ΧΖ , ἴση ἄρα καὶ ἡ ΕΧ τῇ ΖΗ : ὥστε καὶ ἡ ΓΗ ἴση τῇ |
| , ἴση δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΓΑ , τουτέστι τῇ ΤΠ , καὶ ἡ ΓΠ τῇ ΤΑ , ἴσον ἄρα | ||
| μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΠ . ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΟΕ πρὸς τὸ ἀπὸ |
| , ἡ δὲ ΜΓ ὁμοίως # ιϚ , ἡ δὲ ΜΖ ὅλη ξ ιϚ , διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ | ||
| . ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ , ΜΖ , καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ |
| ἄρα ἐστὶν ἡ ΥΛ τῇ ΟΛΚ . Κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΟΛ : λοιπὴ ἄρα ἡ ΥΟ λοιπῇ τῇ ΚΛ ἐστὶν | ||
| ἡ μὲν ΠΟ τῆς ΟΚ , ἡ δὲ ΞΟ τῆς ΟΛ , ἴση ἐστὶ τῇ ΚΟ ἡ ΟΛ . διὰ |
| καὶ τοῦ κέντρου τῆς τομῆς , ἡ δὲ μεταξὺ τῆς κατηγμένης καὶ τῆς ἐφαπτομένης , ἕξει πρὸς αὐτὴν ἡ κατηγμένη | ||
| τῶν δύο εὐθειῶν , ὧν ἐστιν ἡ μὲν μεταξὺ τῆς κατηγμένης καὶ τοῦ κέντρου τῆς τομῆς , ἡ δὲ μεταξὺ |
| ἐστὶν τῇ ΜΒ περιφερείᾳ . καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΟΓ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΟ , ἐπὶ δὲ τῆς | ||
| ἀπὸ τῆς ΟΓ τετραγώνῳ . ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΟΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΓΦ , τῷ δὲ |
| καὶ ἡ ΚΟ δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τεμεῖ τὴν ΖΡ . τεμνέτω κατὰ τὸ Σ . καὶ ἐπεὶ ἡμίσους | ||
| ΡΥ , ΥΔ μείζους εἰσὶν ἀλλήλων ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΖΡ , καὶ ἔτι αἱ ΕΟ , ΟΣ , ΣΒ |
| τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται τῇ ΘΓ . δυεῖν ἄρα εὐθειῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἔσται : | ||
| ἀπὸ ΘΓ τοῦ ἀπὸ ΕΗ : μείζων ἄρα καὶ ἡ ΘΓ τῆς ΕΗ . καί εἰσι παράλληλοι : ἡ ΕΖ |
| ὁ ΛΜΝ γνώμων καὶ ] τὰ ΓΚ , ΘΗ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ΘΗ τετραγώνου . καί ἐστιν ὁ [ | ||
| ἡ ΝΟ : τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ , ΣΟ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ . ἴση δὲ ἡ |
| , Δ γωνίαι , καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΕ , δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΓΔΚ , ΕΖΚ τριπλεύρων | ||
| , ὡς ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΚΕ πρὸς τὴν ΔΒ . ῥητὴ δὲ ἡ ΚΕ καὶ |
| ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΓΕ , ΔΖ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ , ΖΒ , ΕΒ . καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν | ||
| ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ , οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΕ , δι ' ἴσου ἄρα ἐστὶν |
| ἀρχάς . . ΟΝΟΤΑΖΩΝ . Μεμφόμενος , ἐφυβρίζων . . ΠΑΡ ΔΙΙ ΠΑΤΡΙ ΚΑΘΕΖΟΜΕΝΗ . Ἢ τῇ Εἱμαρμένῃ , ὡς | ||
| ΕΙΣ ΙΑΜΒΟΝ ΟΙΟΝ ΕΝΘΑ ΔΗ ΠΟΙΚΙΛΩΝ ΑΝΘΕΩΝ ΑΜΒΡΟΤΟΙ ΛΙΜΑΚΕΣ ΒΑΘΥΣΚΙΟΝ ΠΑΡ ΑΛΣΟΣ ΑΒΡΟΠΑΡΘΕΝΟΥΣ ΕΥΙΩΤΑΣ ΧΟΡΟΥΣ ΑΓΚΑΛΑΙΣ ΔΕΧΟΝΤΑΙ ΕΝ ΤΟΥΤΩΙ ΓΑΡ |
| , καὶ παράλληλος τῇ ΖΔ ἡ ΑΜ , καὶ τῶν ΒΜ , ΜΓ μέση ἀνάλογον ἔστω ἡ ΜΗ , καὶ | ||
| : διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΘ , ὀρθία δὲ ἡ ΒΜ . λέγω , ὅτι τὸ ὑπὸ ΔΑΖ ἴσον ἐστὶ |
| τῇ ΖΗ : καὶ τῇ ΕΔ ἄρα παράλληλός ἐστιν ἡ ΝΚ , ἡ δὲ ΜΘ τῇ ΒΛ . ἐπεὶ οὖν | ||
| ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως σημεῖα ἐπιζευγνύουσαι παράλληλοι , καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΝΚ ΜΘ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Τ , καὶ διὰ |
| τῷ τῆς ΖΠ πρὸς τὴν ΠΡ , ὁ δὲ τῆς ΖΠ πρὸς τὴν ΠΡ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς | ||
| ὁ ἥλιος ἑκάστην αὐτῶν δίεισιν . ἐν ᾧ δὲ τὴν ΖΠ , κόσμου περιστροφή ἐστιν καὶ τῆς ΖΠ δύσις . |
| ἡ ΚΒΛ . λέγω , ὅτι ἐστίν , ὡς ἡ ΑΚ πρὸς ΚΘ , οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΗΘ . | ||
| ἴση ἡ ΚΛ τῇ ΚΗ . ἐπεὶ οὖν τὰ ἀπὸ ΑΚ , ΚΗ τοῖς ἀπὸ ΑΒ , ΒΗ ἴσα ἐστί |
| τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΛΑΒ , ὕψος δὲ ἡ ΓΟ , μείζων ἐστὶν τοῦ κώνου , οὗ ἡ μὲν | ||
| τὸ ΜΓΟΥ , καὶ τρεῖς αἱ ΥΜ , ΜΓ , ΓΟ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , καὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΜΓ |
| ἡ μὲν ΛΤ τῆς ΝΧ , ἡ δὲ ΤΜ τῆς ΧΞ , ὅλη ἄρα ἡ ΛΜ ὅλης τῆς ΝΞ μείζων | ||
| ΤΜ , ΜΥ , ΥΦ , ΦΝ , ΝΧ , ΧΞ ἄρα ἑξῆς ἀλλήλων μείζονές εἰσιν ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς |
| Ψ͵Δ . καὶ ἐπεὶ αἱ ΖΤ ΤΥ ΥΗ ΗΦ ΦΘ ΘΧ ΧΨ ΨΚ περιφέρειαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , αἱ ἄρα | ||
| πλευρά . ἐπεὶ οὖν , ὡς ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΘΧ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΗΦ , ΦΘ πρὸς |
| εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ βάσις ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΕΗ ἴση ἐστί , γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ | ||
| τῆς ΔΗ ; ἢ διότι ἡ ΔΗ διπλασία ἐστὶ τῆς ΕΗ : δίχα γὰρ ἐτμήθη ἡ ΔΗ κατὰ τὸ Ε |
| ΦϘΤ πεντάγωνον ἠγμένη , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΩΦ ΩϘ ΩΤ ΥΦ , ὀκταέδρου δὲ τρίγωνον τὸ ΣΡΠ ἔστω , καὶ | ||
| ἀγομένης ἐπὶ τὴν ΘΗ . ἀλλ ' ἡ ἴση τῇ ΥΦ καὶ πρὸς ἴσας γωνίας ἐπ ' αὐτὴν ἀγομένη κατὰ |
| ΖΒ , τὸ δὲ ὑπὸ ΕΖΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΕ ΖΓ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΖΓ . εἴχομεν δὲ καὶ | ||
| ΖΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ διαμέτρου τῆς τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συζυγοῦς ἑαυτῇ |
| τῷ ΖΜΞ τριγώνῳ : ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΣΚ πρὸς ΣΒ , οὕτως ἡ ΞΜ πρὸς ΞΖ . ἀλλὰ μὴν | ||
| , ὡς ἡ ΛΣ πρὸς τὴν ΝΞ , οὕτως ἡ ΣΒ πρὸς τὴν ΞΖ . ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ |
| Ψ τῇ ΚΞ παράλληλος ἡ ΨΩ , καὶ ἔστω ὡς ΛΜ πρὸς ΜΩ , οὕτως ἡ ΩΜ πρὸς ΜΑ͵ . | ||
| . ἀλλὰ καὶ διὰ τὸ τρεῖς εἶναι παραλλήλους τὰς ΔΕ ΛΜ ΗΘ ἴση γίνεται ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ . εἴη |
| ιη με , ἡ δὲ λοιπὴ εἰς τὸ τεταρτημόριον ἡ ΘΑ τῶν αὐτῶν οα ιε . ἐπειδὴ οὖν κατὰ τὰ | ||
| τετράγωνον Μβ ͵εωμε νε , τὸ δ ' ἀπὸ τῆς ΘΑ ὁμοίως ͵γφξη δ , ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ |
| ἠγμένῃ εὐθείᾳ , καὶ ποιηθῇ , ὡς τὸ τμῆμα τῆς ἐφαπτομένης τὸ μεταξὺ τῆς ἁφῆς καὶ τῆς ἀνηγμένης πρὸς τὸ | ||
| οὕτως τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν μεταξὺ τῆς τομῆς καὶ τῆς ἐφαπτομένης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἀπολαμβανομένης πρὸς τῇ ἁφῇ τετράγωνον |
| ἑκάστου τῶν τμημάτων τῶν δα , αγ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς δαγ καὶ τῆς αβ διὰ τὸ αʹ τοῦ | ||
| , οἱ δὲ ἐξ ὑποκειμένου ἢ τέλους ἢ ἐκ τοῦ συναμφοτέρου , ἐξ ὑποκειμένου καὶ τέλους , ταῖς ἐπιστήμαις καὶ |
| ἀπὸ ΖΔ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΕ . καὶ ἐναλλάξ , ὡς τὸ ὑπὸ ΒΖΑ πρὸς | ||
| : λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΘΖ ἔλασσόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΗΕ : ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΖ τῆς ΗΕ . |
| ΧΚ καὶ ἡ ΧΦ , καὶ ἀπὸ τοῦ Σ τῇ ΧΦ παράλληλος ἡ ΣΨ , ἀπὸ δὲ τοῦ Ψ τῇ | ||
| ἡ ΚΧ πρὸς τὴν ΧΑ : παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΧΦ τῇ ΚΒ . καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΟΦ , |
| . καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ , ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ , ὡς δὲ ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ | ||
| ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ , οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ . Δέδοται ἄρα . , ] ἐπεὶ οὖν δεδομέναι |
| τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΤΧ . καί ἐστιν ἡ ΣΞ ἔγγιον τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ ἤπερ ἡ ΤΧ . ἐν | ||
| , ΠΚ ἑξῆς ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , αἱ ΝΣ , ΣΞ ἄρα ἑξῆς ἀλλήλων μείζους εἰσὶν ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς |
| ΤΡΧ , τουτέστιν τῷ τοῦ ἀπὸ ΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΡ . ἔχει δὲ σύγκρισιν . ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ | ||
| τὸ ΝΘ : καὶ ὡς ἄρα τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΣΡ , οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ . τὸ |
| ἧς ἔσται τότε δηλονότι διὰ τὴν ἰσοχρόνιον τῶν ΗΘ , ΖΝ εἰς τὰ ἐναντία συναποκατάστασιν τὸ κέντρον τοῦ ἐκκέντρου , | ||
| γὰρ αἵ τε ΛΚ ΚΜ ΜΞ καὶ αἱ ΜΖ ΖΞ ΖΝ ΖΛ καὶ ἔτι ἡ ΖΚ . ἐπεὶ οὖν διὰ |
| ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΟ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΣ , ἴσον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΟ τοῖς | ||
| περιέχει τὰ εἰς Ξ καὶ εἰς Ρ καὶ τὰ εἰς ΑΣ . Τὸ δὲ τρίτον τὴν εἰς ΗΣ κατάληξιν . |
| τὸ ΑΔΖ τρίγωνον τῷ εἴδει : λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΖΑ πρὸς τὴν ΑΔ δοθείς : ἡ δὲ ΑΖ συναμφότερός | ||
| διὰ τὸ ἴσα εἶναι τά τε ἀπὸ τῶν ΒΖ , ΖΑ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΚ , ΚΑ τῷ ἀπὸ |
| ΒΑ ἐστί . Καὶ γεγραμμέναι εἰσὶν μεγίστων κύκλων περιφέρειαι αἱ ΨΥ , ΥΡ : μείζων ἄρα ἡ ΨΥ , τουτέστιν | ||
| ΡΥ , καὶ συμπεπληρώσθω ἥ τε ΡΧ βάσις καὶ τὸ ΨΥ στερεόν . καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΤΡ , ΡΥ |
| ἴση δὲ ἡ μὲν ΩΦ τῇ ΨΧ , ἡ δὲ ΦΧ τῇ ΧΠ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΨΧ πρὸς | ||
| , ἡ δὲ ΧΒ ὅλη διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΦΧ τῇ ΦΘ τοιούτων ξδ κζ , οἵων καὶ ἡ |
| ἐπιθύουσι , παρ ' Ὁμήρῳ δὲ τέθειται καὶ ἐπὶ τῆς βάσεως , ἀπὸ τοῦ βεβηκέναι . Ἠὼς , λαμβάνεται παρ | ||
| : ὑψηλοῖς , μεγάλοις , παχυτάτοις , τοῖς λειπομένοις τῆς βάσεως . ὀψέ : μόλις , ἀργῶς . Πάντεσσιν : |
| ΚΛ δύνει ἤπερ ἡ ΛΞ . πάλιν , ἐπεὶ ἡ ΤΜ τῆς ΗΞ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία , ἔστω τῇ | ||
| μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ΛΤ τῆς ΝΧ , ἡ δὲ ΤΜ τῆς ΧΞ , ὅλη ἄρα ἡ ΛΜ ὅλης τῆς |
| , τοιούτων # λγ . τοσούτων ἐστὶν ἄρα καὶ ἡ ΛΤ τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρεια . ἐπεὶ οὖν καὶ ἐπὶ τῆς | ||
| δὴ ἡ μὲν ΙΤ παρὰ τὴν ΔΠ , αἱ δὲ ΛΤ , ΜΥ παρὰ τὰς ΑΠ , ΟΡ . καὶ |
| τὰ ηʹ πρὸς βʹ : καὶ τῆς ΘΚ ἄρα πρὸς ΘΣ λόγος ὃν ἔχει τὰ ηʹ πρὸς τὰ εʹ . | ||
| δὲ ἡ ΘΠ τῆς ΠΝ . διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΘΣ τῆς ΝΒ . καὶ ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΠΘ |