| ἐστίν . ἡ δὲ ἔκθεσις αὐτὸ καθ ' αὑτὸ τὸ δεδομένον ἀποδιαλαβοῦσα προευτρεπίζει τῇ ζητήσει . ὁ δὲ διορισμὸς χωρὶς | ||
| ὑπὸ τῆς πόλεως δημοσίᾳ κατεσκευασμένον , εἰ δὲ μή , δεδομένον κατασκευάσασθαι . πάλιν δ ' ὅταν ἐξετάσῃ Πυθιονίκης τῆς |
| τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις : ὅπερ ἔδει δεῖξαι . Τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ὅμοιον καὶ ἄλλῳ τῷ δοθέντι ἴσον τὸ αὐτὸ | ||
| δὴ τὸ πλῆθος τῶν ΑΖ ΖΗ ΗΘ ΘΒ ἴσον τῷ δοθέντι , καὶ ἡ ἐκ πασῶν συγκειμένη εὐθεῖα ἴση τῇ |
| διπλάσιος , ὁ δὲ δεκαὲξ τοῦ δ τετραπλάσιος . Τὸ διπλασίονα λόγον ἔχει , ὡς πολλάκις πρόσθεν εἴρηται , ἴσον | ||
| δή , ὅτι ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΑΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ |
| δὲ τρία τῶν τεσσάρων πρῶτα . καὶ ἄλλως : πᾶν τετράγωνον εἰς δύο τρίγωνα ὀρθογώνια διαιρεῖται : ὥστε ἀναιρουμένου τοῦ | ||
| ʂ α . λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνον τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι Ϛπλ . : ΔΥ ἄρα |
| , ὧν διάμετρος ἡ ΑΒ , καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Γ , καὶ διὰ τοῦ Γ ἤχθω | ||
| ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒ ΚΛ , διὰ τὸ ἴσην εἶναι πάλιν τὴν ΔΟ |
| Δ , Ε , ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ , ΕΑ περιφερείας : καὶ | ||
| τῆς ΒΠ πολλῷ μείζους εἰσίν . ἀλλὰ ἡ ΒΠ τῆς ΒΓ μείζων : αἱ ἄρα ΒΞ , ΞΟ , ΟΠ |
| διάμετρον τεταγμένως , ληφθέντος δέ τινος ἐπὶ τῆς τομῆς σημείου καταχθῶσιν ἐπὶ τὴν διάμετρον δύο εὐθεῖαι , καὶ ἡ μὲν | ||
| πρὸς τὸ τέλος ὁρῶσιν , οἱ πλέοντες , ὅπως ἂν καταχθῶσιν : οὐ ζητοῦσιν οἱ νοσοῦντες τὸν τρόπον , ὅπως |
| τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ , ΑΓ λόγος ἐστὶ δοθείς . τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ | ||
| δευτέρα ἐστὶν ἡ ΑΒ διῃρημένη κατὰ τὸ Γ , αἱ ΑΓ , ΓΒ ἄρα μέσαι εἰσὶ δυνάμει μόνον σύμμετροι μέσον |
| καὶ διελόντι . γέγονεν οὖν τέμνειν τὴν ΓΘΔ περιφέρειαν εἰς δοθέντα λόγον κατὰ τὸ Θ : τοῦτο δὲ προγέγραπται . | ||
| ἐστιν ἀρχαῖον : ἀνακεῖσθαι δὲ ἐνταῦθα λέγουσιν ὅρμον Ἁρμονίᾳ μὲν δοθέντα ἐξ ἀρχῆς , καλούμενον δὲ Ἐριφύλης , ὅτι αὐτὴ |
| αη ηβ : καὶ ἐπεὶ τὸ γδ τοῦ εζ ἐστι τριπλάσιον , ἴσον δὲ τὸ αη τῷ γδ , καὶ | ||
| , πρῶτον διπλάσιον ἐν ἑνὶ στίχῳ , εἶτα ἐν δευτέρῳ τριπλάσιον , εἶτα τετραπλάσιον ἐν τρίτῳ καὶ μέχρι δεκαπλασίων , |
| τοῦ κέντρου ἀναγραφῇ εἴδη παραλληλόγραμμα ἰσογώνια , ἔχῃ δὲ ἡ κατηγμένη πλευρὰ πρὸς τὴν λοιπὴν τοῦ εἴδους πλευρὰν τὸν συγκείμενον | ||
| Ε παρὰ τὴν ΑΓ ἡ ΕΜ : τεταγμένως ἄρα ἔσται κατηγμένη ἐπὶ τὴν ΑΒ : καὶ ἔσται , ὡς ἡ |
| ἐπιμορίου καὶ τῶν λοιπῶν εἰδῶν ἐν αὐτῶι , καὶ οἱ γραμμικοὶ καὶ οἱ ἐπίπεδοι καὶ οἱ στερεοί . τὸ μὲν | ||
| ἐξ ἀρχῆς βάθος τι προσκτωμένου : οἷον καθ ' ὑποδιαίρεσιν γραμμικοὶ μέν εἰσιν ἀριθμοὶ ἁπλῶς ἅπαντες οἱ ἀπὸ δυάδος ἀρχόμενοι |
| τοῦ πέμπτου . ἐμπεριέχεται γὰρ . , ] ἐπειδὴ τὸ εὐθύγραμμόν ἐστι βάσις τῆς πυραμίδος , ὁ δὲ κύκλος βάσις | ||
| τούτου θεωρήματι . ἡ ΝΗΕΡ ἄρα τομὴ οὔτε κύκλος οὔτε εὐθύγραμμόν ἐστι : καὶ ἡ ΓΕΗΖ ἄρα τομὴ οὔτε εὐθύγραμμον |
| μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ ΛΘ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΔΕΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τοῦ ὑπὸ τῆς ΚΗ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ | ||
| ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ |
| τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι . Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ : δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν | ||
| . ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον , καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον . [ Περὶ τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον πεντάγωνον |
| ὑπὸ ΒΑΔ , ἡ δὲ ΓΔ τὸ ΔΒΑΓ τμῆμα ἔχον δοθεῖσαν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΔΑΓ : δοθὲν ἄρα καὶ τὸ | ||
| κερατοειδῆ γωνίαν τεμεῖν . τὸ δὲ νῦν πρόβλημά ἐστι τὴν δοθεῖσαν εὐθύγραμμον γωνίαν δίχα τεμεῖν . χρῆται γὰρ ἐν τούτῳ |
| . Καὶ διὰ τοῦτο φανερὰ ἡ ἀπόδειξις . . Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἀνίσους , καὶ πάλιν | ||
| ὁ ὑπὸ δύο ὁποιωνοῦν πρὸς τὸν τυχόντα λόγον ἔχῃ τὸν ἐπιταχθέντα . ἔστω ὁ τυχὼν Μο ε : καὶ ἐπεὶ |
| καί εἰσιν ὅμοιαι ἀλλήλαις : ὅπερ ἔδει δεῖξαι . Κυλίνδρου δοθέντος εὑρεῖν κῶνον καὶ τεμεῖν ἀμφοτέρους ἑνὶ ἐπιπέδῳ ποιοῦντι διὰ | ||
| τῶν ἀριθμῶν εἰσιν ὅμοια . . Ὁμοίως ἐπὶ τῆς προσθήκης δοθέντος μέρους τοῦ μεγίστου ᾧ ὑπερέχει ὁ μέσος τοῦ ἐλαχίστου |
| οὖρον περιήθημα πέφυκεν . Ἀποχρῶσαν ἂν οἶμαι κἀν ταῖς προγνώσεσιν ἀποδοθῆναι τῷ λόγῳ μέθοδον , ταῖς οἱαισδήτισι μεταβολαῖς τῶν χυμῶν | ||
| * οὖσα * , ὥς φησιν Ἑλλάνικος . Δοῦρις δὲ ἀποδοθῆναι αὐτήν φησι τεκοῦσαν τὴν Ἰφιγένειαν , ὡς ὄπισθεν εἶπον |
| ΒΖ ] τῇ ΓΖ , καὶ τὸ [ ΔΕΒΖ ] παραλληλόγραμμον , καὶ ἡ διάμετρος ἴση [ τῷ ] διαστήματι | ||
| δέ : καὶ τοῦ ΓΚ ἄρα παραλληλογράμμου πρὸς τὸ ΛΖ παραλληλόγραμμον λόγος ἐστὶ δοθείς : ὥστε καὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου |
| ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ δοθεῖσαν εἶναι τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνίαν : καὶ τοῦ Δ ἄρα χωρίου πρὸς τὸ ὑπὸ | ||
| πλευραὶ ἄνισοι , καὶ ἡ μείζων ὑποτείνει τὴν δεδομένην μείζονα γωνίαν . εἰ γὰρ μή ἐστιν ἡ τὴν μείζονα γωνίαν |
| εἴτε ὑπὸ πάθους ὡς πρὸς οἰκείους ἄνδρας , ἀκρατεῖς τῆς δεδομένης σφίσι τάξεως γενόμενοι , προσιοῦσι τοῖς Λευκιανοῖς οἷα συνεστρατευμένοις | ||
| τήν τε ἐσθῆτα τὴν στρατηγικὴν ἀπεδύσατο , ὡς παρὰ τυράννου δεδομένης ὑπερορῶν , καὶ τὸν Καίσαρα τύραννον ἐκάλει καὶ τοὺς |
| τὸ χωρίον πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἕξει δεδομένον . ἔστω τρίγωνον ὀξυγώνιον τὸ ΑΒΓ , ὀξεῖαν ἔχον γωνίαν δεδομένην τὴν | ||
| μαθημάτων : καὶ γὰρ ὁ γεωμέτρης διὰ τί μὲν τὸ τρίγωνον ἔχει τὰς τρεῖς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ζητεῖ , |
| : ὅπερ ἄτοπον . οὐκ ἄρα αἱ ΔΕΒ , ΔΖΒ εὐθεῖαί εἰσιν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι οὐδὲ ἄλλη | ||
| ἐγκεφάλου γνωρίϲματα περιττώματα πλείω κατὰ τὰϲ οἰκείαϲ ἐκροὰϲ καὶ τρίχεϲ εὐθεῖαί τε καὶ πυρραὶ καὶ μόνιμοι : καὶ ῥᾳδίωϲ ὑπὸ |
| ὁρίζοντές εἰσιν οἱ ΕΜΖ ΑΒΓ τούτῳ μόνον διαφέροντες τῷ τὸν ΑΒΓ πρὸς ἀνατολὰς μᾶλλον τετάχθαι ἤπερ τὸν ΕΜΖ , τὰ | ||
| : καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἄρα κάθετος ἐπὶ τὸ ΑΒΓ ἐπίπεδον δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ ΟΜΝ ἐπιπέδου . διὰ |
| . πάλιν δὴ τοὺς προειρημένους ὅρους διὰ τὰς αὐτὰς αἰτίας διπλασιάσαντες εὗρον καὶ τὰς διέσεις οὐ τεμνούσας διχῇ τὸ ἡμιτόνιον | ||
| μέση σελήνη τοῦ μέσου ἡλίου μοίρας τιε λβ , ἐὰν διπλασιάσαντες ταύτας ἀφέλωμεν κύκλον , ἕξομεν τὴν ἀπὸ τοῦ ἀπογείου |
| τι ὠνομάζετο , καὶ ἐκπερισπασμὸς ἄλλο , καὶ στοιχεῖν καὶ ζυγεῖν , καὶ ἐς ὀρθὸν ἀποδοῦναι καὶ ἐξελίσσειν καὶ διπλασιάζειν | ||
| τὰ ἓν παρ ' ἓν κείμενα . Ἐπεὶ δὲ συνέβη ζυγεῖν μέν , οὐ στοιχεῖν δέ , τοῦτο ἡμῶν φροντιζόντων |
| τοῦ μεσημβρινοῦ δὲ καύματος ἀκμάζει τῇ ψυχρότητι : πάλιν δὲ ἀνάλογον ἀπολήγει πρὸς τὴν ἑσπέραν καὶ τῆς νυκτὸς ἐπιλαβούσης ἀναθερμαίνεται | ||
| αὐτὸν πρὸς αὐτήν . μαθηματικὰ δὲ εὗρεν τὴν μέσην καλουμένην ἀνάλογον , περὶ ἧς ἐν τῇ Ἀποδεικτικῇ λόγον ἐποιησάμεθα . |
| ὡς τὰ πολλαχῶς καὶ ἀορίστως γινόμενα : δύναται γὰρ καὶ σκαληνὸν τρίγωνον μετρεῖσθαι ὑπὸ τοῦ προτεθέντος καὶ ὁρισθέντος ῥητοῦ μέτρου | ||
| τοῦ τρίγωνον εἶναι καθ ' αὑτὸ μᾶλλον ἢ ἐκ τοῦ σκαληνὸν ἀποδείκνυται . καὶ ὄντος τοῦ καθόλου γίνεται ἡ ἀπόδειξις |
| δεῖ οὖν τὸν ι διελεῖν εἰς τρεῖς ⃞ους ὅπως ἑκάστου ⃞ου ἡ πλευρὰ πάρισος ᾖ Μο Ϛια / . ἀλλὰ | ||
| . καὶ γίνεται ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ ἐμβαδοῦ καὶ τοῦ ⃞ου , ΔΥ κϚ Μο ι : ταῦτα ικις : |
| τῶν ρπ μοιρῶν τῆς ἀναφορᾶς συμπληρουμένης ἢ καὶ ἕως ἑτέρας τετραγώνου ἢ συμπληρουμένου παντὸς τοῦ κύκλου , ἢν δὲ καὶ | ||
| πλευρὰ μονὰς ἔσται πανταχόθι , ὅσηπερ καὶ ἡ τῆς δυνάμει τετραγώνου μονάδος . καθόλου δὲ ἕκαστος τετράγωνος ἓν μὲν ἐπίπεδόν |
| ἐκ τῶν ΑΓ Ε Ζ τρίγωνον συστήσασθαι . συνεστάτω τὸ ΑΓΔ * * * [ καὶ φανερὸν ὅτι εἰ μὲν | ||
| τομεὺς τοῦ ΑΓΕ τομέως : μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ ΑΓΔ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἤπερ ὁ ΑΓΕ τομεὺς |
| ΑΔΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ ΑΕΓ καὶ δὶς τῶν ἀπὸ ΒΔ ΒΕ τετραγώνων . Τοῦτο δὲ φανερόν : τὸ μὲν | ||
| , ἀφ ' ἧς ἐπὶ τὴν ΑΓ βάσιν ἤχθω ἡ ΒΔ . λέγω , ὅτι ἡ ΒΔ πρὸς ΔΓ μείζονα |
| τμημάτων , ποιήσουσι δὲ πάντως ὀρθογώνιον ἓν ἔχον τὴν μίαν πλευρὰν τὸ ἓν τμῆμα τῆς εὐθείας καὶ τὴν ἑτέραν θάτερον | ||
| ἐκείνους ἀντέχειν ὑπ ' ἀμηχανίας ἀνασκιρτῶντας καὶ τῇ προνομαίᾳ τὴν πλευρὰν τύπτοντας ὡς καθιξομένους τῶν δρακόντων , εἶτα ἀεὶ κενουμένου |
| ἐν τῷ προειρημένῳ λόγῳ ἐλάσσων πρὸς τὸν μείζονα ἐξεταζόμενος . πολλαπλασιεπιμόριος δέ ἐστι λόγος , ὅταν ὁ μείζων ὅρος δὶς | ||
| ἐλάσσονος μέρος : οἷον ὁ τῶν κϚʹ τοῦ τῶν ηʹ πολλαπλασιεπιμόριος λέγεται , ἐπειδήπερ ὁ ηʹ τρὶς καταμετρήσας τὸν κϚʹ |
| ' εὐθέως ἐξ ἀρχῆς οὕτως σκευάζειν : τῷ ὀξυμέλιτι μιγνύσθω τετραπλάσιον ὕδατος καλλίστου , κἄπειτα ἑψείσθω μετρίως , ἕως ἂν | ||
| ΚΓ , διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΚΓ . τετραπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ τοῦ ἀπὸ τῆς |
| ] τὸ τοιοῦτον τραπέζιον προσηγόρευσαν ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων τραπεζίων : τραπέζιον γὰρ λέγεται , ὅταν τριγώνου ἡ κορυφὴ ὑπὸ παραλλήλου | ||
| τῆς ΔΕ , οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖΗ τραπέζιον . Καὶ ἐὰν ᾖ [ δὲ ] τρίγωνον τὸ |
| οὗτος γάρ ἐστι πεντάκις πέντε : ἰδοὺ οὖν ὅτι αἱ πλευραὶ αὐτοῦ ἐκ πέντε εἰσίν : ἀπὸ ε οὖν ἀρχόμεθα | ||
| ιη καὶ η ὅμοιοί εἰσι , δῆλον : εἰσὶ γὰρ πλευραὶ τοῦ μὲν ιη ὁ Ϛ καὶ ὁ γ , |
| , οἷον εἰ οὕτως ἔλεγεν ὁ στοιχειωτής : πᾶν τρίγωνον ἰσοσκελὲς ἴσας ἔχει τὰς πρὸς τῇ βάσει γωνίας . τούτων | ||
| . Καὶ μηδενὸς δὲ δεηθέντες καὶ ἡμεῖς ἄλλως συστήσομεν τρίγωνον ἰσοσκελὲς ὁμοίως μείζονα ἢ ἐλάττονα ἔχον τὴν βάσιν , εἰ |
| τμημάτων ὁ μηνίσκος . ἔσται οὖν ἐλάττων ὁ μηνίσκος τοῦ τριγώνου τοῖς ὑπὸ τοῦ ἑξαγώνου ἀφαιρουμένοις τμήμασιν . ὁ ἄρα | ||
| καταγίνεται , ὡς γεωμετρία ἀποδεικνύουσα ἀεὶ τὰς τρεῖς γωνίας τοῦ τριγώνου δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι , ἢ ὡς ἐπὶ τὸ |
| ἐς βάθος τῷ ἀριθμῷ ἐνδέον : ὥστε ἤδη τινὲς καὶ τριπλασίονα τὸν ἀριθμὸν τῶν ἐν τῷ μήκει ταττομένων ἐποίησαν πρὸς | ||
| στερεὸν πολύεδρον πρὸς τὸ ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει , ἤπερ ἡ τῆς ΒΓΔΕ σφαίρας διάμετρος |
| χαίρουσαν . εἰ δὴ τοιαύτη τίς ἐστιν , ἐχέτω τὰ δεδομένα , καὶ τὴν παιδείαν καὶ τὸν εἱρμὸν λόγου πρὸς | ||
| ῥητὸν αὐτὸ εἶναι ἀπεφήναντο , ὥσπερ δοκεῖ ὁ Πτολεμαῖος , δεδομένα ἐκεῖνα προσαγορεύων , ὧν τὸ μέτρον ἐστὶ γνώρι - |
| κζʹ . ἐνθάδε Κρόνου ὄντος ἀποθανεῖται Παρθένῳ : τὸ γὰρ μοιρικὸν τετράγωνον τοῦτο . Ζεὺς Σκορπίου μοίρᾳ ιδʹ ὁρίοις Κρόνου | ||
| ὡροσκοπικὴν κέκτηται : ἄλλως τε τὸ ἀπὸ συνόδου ἐπὶ Σελήνην μοιρικὸν διάστημα κατὰ ἀναφορὰν λαβόντες καὶ ἀφελόντες ζῳδιακὸν διάστημα , |
| ἔκστασιν ἐπὶ τὸν Ἀδὰμ καὶ ὕπνωσιν καὶ ἔλαβεν μίαν τῶν πλευρῶν αὐτοῦ καὶ ἀνεπλήρωσεν σάρκα ἀντ ' αὐτῆς . καὶ | ||
| τοῦ ἀπὸ τῆς γδ . τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν τριῶν πλευρῶν τετράγωνα τῆς τε αγ καὶ γδ καὶ δβ ἐλάττονά |
| ἑτέρων ὄντα προπέπτωκεν εἰς τὸ Ἀτλαντικὸν πέλαγος , καὶ γίνεται ῥομβοειδὲς τὸ τῆς χώρας σχῆμα , τῶν μειζόνων πλευρῶν ἑκατέρου | ||
| ῥόμβος δὲ τὸ ἰσόπλευρον μέν , οὐκ ὀρθογώνιον δέ , ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας |
| τὸν ρμδ , ὅς ἐστι διπλάσιος τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων προμήκους , τοῦτ ' ἔστι τοῦ οβ . ἡ δὲ | ||
| πολυπλασιασθέντων διπλάσιον ἀποτελεῖσθαι τὸ γινόμενον τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων γινομένου προμήκους . ὀκτάκις γὰρ ἡ τῶν ἄκρων σύνθεσις τουτέστι τὰ |
| , καθ ' ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται . Ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος . Μέρος ἐστὶν | ||
| μερῶν ἐπιπέδῳ σὺν τῷ ἀπὸ τοῦ προειρημένου μέρους τετραγώνῳ . Ἀριθμὸς γὰρ ὁ αβ διῃρήσθω εἰς δύο ἀριθμοὺς τοὺς αγ |
| τῆς Β ζ μϚ λϚ ιε οὐδέν . ἀσύμμετρος τῇ ΓΔ μήκει . . , ] δυνάμει δὲ δηλονότι σύμμετρος | ||
| ἐστι . καὶ πάντα ἑξάκις . τὸ ἄρα τριακοντάκις ὑπὸ ΓΔ , ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ δωδεκαέδρου ἐπιφανείᾳ . |
| ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ , οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΖ , ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ , | ||
| , ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ οὐ συμπεσεῖται . ἡ ἄρα ΕΖ οὐδετέρᾳ τῶν ΑΒ , ΓΔ τομῶν συμπεσεῖται : κατὰ |
| δὲ βαρυτονήσωμεν , τὰς καταδύσεις μηνύει . θαυμάζω γενικῇ μὲν συνταττόμενον σημαίνει τὸ καταγινώσκω καὶ κατηγορῶ , οἷον θαυμάζω τῶν | ||
| τὸ μὲν γάρ ἐστιν Ἀττικὸν καθ ' ὅλον καὶ μέρος συνταττόμενον , οὕτω : στένω σε , ὦ Προμηθεῦ , |
| Ζ ἐπὶ τὸ Ε ἐπιζεύξαντες τὴν ΖΓΕ , ἕξομεν τὴν ΓΒ μέσην τῶν ΑΒ ΒΗ . καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά | ||
| , ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ . μετὰ γὰρ |
| Α σημεῖον , πρὸς τὴν ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ ὁμοιοταγῆ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει , ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς | ||
| ΑΔΕ βάσιν , οὕτως ἡ ΑΒΓΔΜ πυραμὶς πρὸς τὴν ΑΔΕΜ πυραμίδα . καὶ συνθέντι πάλιν , ὡς ἡ ΑΒΓΔΕ βάσις |
| περισσὸν καὶ ἄρτιον , τρίτον δὲ ἀπ ' ἀμφοτέρων μειχθέντων ἀρτιοπέριττον : ἑκατέρω δὲ τῶ εἴδεος πολλαὶ μορφαί , ἃς | ||
| , εἰ μὴ ἀμφοῖν τοῖν φυσέοιν μετεῖχε : διὸ καὶ ἀρτιοπέριττον καλεῖσθαι τὸ ἕν . συμφέρεται δὲ τούτοις καὶ Ἀ |
| πρὸς ἀλλήλας καὶ τοῦ ὑπ ' αὐτῶν γινομένου χωρίου τὴν τετραγωνικὴν πλευρὰν ἐκβαλόντες ἔχομεν μέσην τὴν β λζ νε : | ||
| τριγωνικὴν γωνίαν ὁ Φιλόλαος τέτταρσιν ἀνῆκεν θεοῖς , τὴν δὲ τετραγωνικὴν τρισίν , ἐνδεικνύμενος αὐτῶν τὴν δι ' ἀλλήλων χώρησιν |
| ἐν τῷ ιγʹ βιβλίῳ τῶν στοιχείων ἤτοι τῆς συστάσεως τοῦ δωδεκαέδρου , ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Κ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ | ||
| ποτε ζητοῦντες τὸ ὑπὸ Ἀπολλωνίου συγγραφὲν περὶ τῆς συγκρίσεως τοῦ δωδεκαέδρου καὶ τοῦ εἰκοσαέδρου τῶν εἰς τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐγγραφομένων |
| ἐστίν . μόνοι δὴ λοιπὸν δοκοῦσι καθικνεῖσθαι τῆς ἐννοίας τοῦ δεδομένου οἱ γνώριμον ἅμα καὶ πόριμον αὐτὸ εἶναι ἀποφηνάμενοι : | ||
| ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ γωνία . Ἐὰν κύκλου δεδομένου τῇ θέσει ἐπὶ τῆς περιφερείας δοθὲν σημεῖον ληφθῇ , |
| ΑΕ τῷ ὑπὸ ΛΟΣ : καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΕ , τὸ ὑπὸ ΠΜΘ πρὸς | ||
| ΔΒ : ὅτι γίνεται , ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ , οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ . ἐπεὶ |
| γου καὶ αου , προσλαβόντα συναμφότερον , ποιεῖν ⃞ον . τετάχθω ὁ γος ʂ α , καὶ γίνεται ὁ μὲν | ||
| μὲν οὖν , διότι βραδεῖα καὶ θηλυτέρα , δευτερεύουσαν τάξιν τετάχθω , | προνομία δ ' ἔστω τις ἐξαίρετος ὁράσει |
| ποταμοῦ κελάδοντος Ἀράξεω Φάσιδι συμφέρεται ἱερὸν ῥόον , οἱ δὲ συνάμφω Καυκασίην ἅλαδ ' εἰς ἓν ἐλαυνόμενοι προρέουσιν : δείματι | ||
| γὰρ ἂν ἐφαρμόττοι τῷ δὶς γενέσθαι τὴν παλίρροιαν κατὰ τὸν συνάμφω χρόνον , τὸν ἐξ ἡμέρας καὶ νυκτός , ἢ |
| Δομιτίου δ ' αὐτὴν ἱππεῦσι πολλοῖς καὶ ψιλοῖς εὐμαρῶς οἷα πλινθίον πυκνὸν κυκλώσαντος , οὔτε ἐκδραμεῖν ἔτι ἔχουσα οὔτε ἐξελίξαι | ||
| συνεστήσατο μάχην . οἱ δ ' Ἰλλυριοὶ συντάξαντες ἑαυτοὺς εἰς πλινθίον ἐρρωμένως ὑπεστήσαντο τὸν κίνδυνον . καὶ τὸ μὲν πρῶτον |
| . βʹ Ἐὰν ἀριθμὸς εἰς δύο ἀριθμοὺς διαιρεθῇ , δύο ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ γενόμενοι ἔκ τε τοῦ ὅλου καὶ ἑκατέρου | ||
| βέλεσιν αἱ βελοστάσεις κατασκευάζονται , αἱ μὲν [ ὀρυκταὶ ] ἐπίπεδοι [ καὶ κατώρυχοι ] , αἱ δὲ ὑπόγειοι πρὸς |
| μεῖζόν ἐστι τοῦ ΓΒ ἢ ἐν λόγῳ . Τὸ δὴ δοθέν . , ] ἐὰν γὰρ ἴσον ὑπάρχῃ τὸ δοθὲν | ||
| ἄρα ἐστὶ τὸ Α . ἔστιν δὲ καὶ τὸ Ε δοθέν : δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΔΑ ΑΕ τῇ |
| ἓν κείμενα . Ἐπεὶ δὲ συνέβη ζυγεῖν μέν , οὐ στοιχεῖν δέ , τοῦτο ἡμῶν φροντιζόντων , στοιχεῖν λέγεται εἴ | ||
| αὐτὸς νόμους θέμενος , ὥστε φανερῶς συγγίνεσθαι αὐταῖς καὶ μιᾷ στοιχεῖν , καὶ σχεδὸν εὑρὼν τὰς δύο φύσεις , τοῦ |
| , διὰ δὲ τῆς συμπτώσεως ἀχθῇ εὐθεῖα παρά τινα τῶν ἀσυμπτώτων τέμνουσα τήν τε τομὴν καὶ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσαν | ||
| ἀσύμπτωτόν ἐστι τῷ ΛΔΤΥ ἡμικυκλίῳ : αἱ ἄρα μεταξὺ τῶν ἀσυμπτώτων ἡμικυκλίων τῶν μεγίστων κύκλων οὖσαι τῶν παραλλήλων κύκλων περιφέρειαι |
| εἴκοσι πηχῶν , παρ ' οὓς εἰσόδους τρεῖς ἐκ τοῦ περιστύλου κατεσκευάσθαι , καθ ' ἃς οἶκον ὑπάρχειν ὑπόστυλον , | ||
| εἴκοσι πηχῶν , παρ ' οὓς εἰσόδους τρεῖς ἐκ τοῦ περιστύλου κατεσκευάσθαι , καθ ' ἃς οἶκον ὑπάρχειν ὑπόστυλον , |
| : τὸ Ζ ἄρα σημεῖον ἐντὸς ἔσται τῶν ἀσυμπτώτων τῆς ΑΒΔ τομῆς . καί ἐστιν αὐτῆς ἀντικειμένη ἡ ΓΕ : | ||
| κύκλου , διὰ δὲ τοῦ Β εὐθεῖά τις ἦκται ἡ ΑΒΔ , ἡ ΑΒΔ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΕΖ κύκλου |
| τὸν ἔρωτα γεννώσης εἴς τε ἀξίαν καὶ πρὸς οὐσίαν . Ἐχέτω δὴ ἡ μὲν ὅλη ὅλον , αἱ δ ' | ||
| νύκτας ἐξήλασε τῆς οἰκίας , καὶ οὐκ ἐφῆκα . ” Ἐχέτω μοι [ καὶ ] ταῦτα δήλωσιν βασιλέως τε πρᾴου |
| , ἀλλ ' ἰσοκρατῶς ἀμφότεροι πλευρικοί εἰσιν ἀριθμοὶ τοῦ Ϛʹ ἑτερομήκους ἐκ τοῦ δὶς τρία ἢ ἐκ τοῦ τρὶς βʹ | ||
| ἐπὶ τοῦ τετραγώνου καὶ τοῦ ῥόμβου , ἐπὶ δὲ τοῦ ἑτερομήκους καὶ τοῦ ῥομβοειδοῦς τὰ χωρία μόνον . καὶ ὅλως |
| ἀπό τινος σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένας παραλλήλους καταχθῶσιν εὐθεῖαι ἐν δεδομέναις γωνίαις ἤτοι ἀποτεμνοῦσαι πρὸς τοῖς ἐπ ' αὐτῶν δοθεῖσι | ||
| , ἤτοι ἐν ἴσαις γωνίαις ἢ ἐν ἀνίσοις μέν , δεδομέναις δέ , ἔσται ὡς ἡ τοῦ πρώτου πλευρὰ πρὸς |
| ἀπὸ τῆς διαμέτρου μονάδι ἔλαττον ἢ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς : ἔστι γὰρ μθʹ πρὸς κεʹ . πάλιν εἰ | ||
| , ἢ ἕως τῆς Τενέδου , ἔχων ἐκ τῆς ἑτέρας πλευρᾶς τὴν Ἴμβρον νῆσον ὑπὸ τῆς Θρᾴκης . Ὅπου στενὸς |
| ἴσαι , ἴσαι δὲ καὶ αἱ γωνίαι , καὶ τὰ τρίγωνα ἴσα ἂν εἴη , καὶ αἱ πλευραὶ καὶ αἱ | ||
| μὲν πυραμίδος ἐκ τεττάρων ἰσοπλεύρων τριγώνων συνεστώσης , εἰς ἓξ τρίγωνα σκαληνὰ τὰ εἰρημένα ἑκάστου διαιρουμένου : τοῦ δὲ ὀκταέδρου |
| δὲ διὰ καταρραφὴν ἢ καῦϲιν ἄτεχνον ἐκτρέπεται τὸ βλέφαρον . βελόνην τοίνυν λαβόντεϲ λίνον διπλοῦν ἔχουϲαν διαπείρωμεν τὸ ϲάρκωμα ἀπὸ | ||
| ' ὑπερβαίνονταϲ ἄμφω τὰ χείλη τοῦ περιτοναίου πάλιν ἀντιϲτρέφειν τὴν βελόνην ἔξωθεν ἔϲω δι ' ἀμφοτέρων τῶν χειλῶν τοῦ περιτοναίου |
| πυρηνομήλην διεκβαλόντεϲ δι ' αὐτῶν ἑτέραν ἐν τῷ μέϲῳ ποιήϲομεν ἐϲχάραν καίον - τεϲ , ἄχριϲ οὗ τὸ καυτήριον ἐντύχῃ | ||
| μόνην παρέχουϲι μείζονα κατ ' αὐτὸ τὸ ϲτόμα τῆϲ γαϲτρὸϲ ἐϲχάραν . ἕτεροι δὲ οὐδὲ ϲιδήρῳ καίουϲιν , ἀλλὰ ταῖϲ |
| δυνάμει πεφυκυῖα , δύο μεσότητας ἔχει , ἀριθμητικήν τε καὶ ἁρμονικήν , φαίνεταί τε τὰ μέρη αὐτῆς καὶ τὰ μεγέθη | ||
| δεύτερος πρὸς τὸν τρίτον , οἷον δʹ Ϛʹ θʹ , ἁρμονικήν δὲ ὅταν τριῶν ἀριθμῶν ἀνίσων , εἰ ὡς ὁ |
| ἰσοδυναμοῦν κατὰ τοῦτο ἐπίρρημα πρὸς τὴν ἑπομένην τῶν προτάσεων καὶ αὐτοτελῆ μεμενηκυῖαν συμφύεσθαι , καθάπερ ἔχει καὶ ἐπὶ τοῦ προκειμένου | ||
| διότι συνέβη τὸ βαδίζειν τῷ Σωκράτει . εἰ δὲ οὐκ αὐτοτελῆ τὸν λόγον ἀπεργάζεται , καλεῖται παρακατηγόρημα ἢ παρασύμβαμα , |
| μετρίως ἡψῆσθαι δοκῇ ἡ κράμβη , τὸ πρότερον ὕδωρ ἀποχέοντες ἐμβαλοῦμεν εὐθέως ἐν ἑτέρῳ θερμῷ , κἄπειτα πάλιν ἐν ἐκείνῳ | ||
| καὶ πυρέθρου ῥίζας κάχρυ τε καὶ τὰ παραπλήσια τούτοις : ἐμβαλοῦμεν δὲ καὶ ἔλαιον τῷ ὕδατι . διαφορητικὰ ποιήσομεν λουτρὰ |
| τῆς σφαίρας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΗ πλευρᾶς οὔσης τοῦ κύβου , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς τοῦ ΚΛΘ τριγώνου ἰσοπλεύρου | ||
| ὧν αἱ πλευραὶ Μο ι . Τετάχθω ἡ τοῦ αου κύβου πλ . ʂ α Μο ε τουτέστι τοῦ ∠ |
| τὴν ἁφὴν ἐπιζεύγνυται ἡ ΧΑ , ἡ δὲ παρὰ τὴν ἐφαπτομένην ἦκται ἡ ΓΧ , αἱ ΧΑ , ΓΧ ἄρα | ||
| παραβολή , ἧς ἄξων ὁ ΑΒ : δεῖ δὴ ἀγαγεῖν ἐφαπτομένην τῆς τομῆς , ἥτις πρὸς τῷ ΑΒ ἄξονι γωνίαν |
| πα Ϟ ρ ἐκ δὲ τῶν ἐπιμορίων οἵ τ ' ἐπιμερεῖς καὶ οἱ πολλαπλασιεπιμόριοι , πάλιν δ ' ἐκ τῶν | ||
| σπανιότητα τῶν ἐπιδεξομένων τὸ μόριον ἀριθμῶν καθ ' ὃ ἐπιμόριον ἐπιμερεῖς γενήσονται , πολὺ μᾶλλον σπανιώτεραι αἱ ἀναλογίαι γενήσονται διὰ |
| ΖΑ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΓ , ΖΑ παραλληλόγραμμον . ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ . , ] ἐπεὶ γὰρ ἡ ΕΖ | ||
| ὀρθογώνιον , ἑτερόμηκες δέ , ὃ ὀρθογώνιον μέν , οὐκ ἰσόπλευρον δέ , ῥόμβος δέ , ὃ ἰσόπλευρον μέν , |
| τοῦτο δὲ ἐνταῦθα μὲν ἀντιληπτικόν ἐστι : δύναται δὲ καὶ ὁρικῶς καὶ ἀντεγκληματικῶς καὶ μεταστατικῶς σχηματισθῆναι : ὁρικῶς μὲν οὕτως | ||
| : διὸ καί φησιν τὰ ἀπ ' ἀρχῆς ἄχρι τέλους ὁρικῶς ἐξετάζεσθαι ὡς ἤδη τῶν ση - μείων ἀδικημάτων ὄντων |
| ὑπὸ τὴν κλίσιν διάστημα , οὐ σωθήσονται αἱ τοιαῦται τῶν γωνιῶν διαφοραί , παρόσον ὑπερέχουσί τε ἀλλήλας καὶ ὑπερέχονται ὑπ | ||
| ' αὐτοῦ τὸν ἀπὸ τοῦ τετράδι ἐλάσσονος τοῦ πλήθους τῶν γωνιῶν , καὶ τὸν λοιπὸν μερίσαντες εἰς τὸν ηπλ . |
| πρὸς ΕΒ , ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ , αἱ δὲ ΑΕ , ΕΒ δυνάμει μόνον σύμμετροί εἰσιν , καὶ αἱ | ||
| οὕτω μία τῶν πλευρῶν ἡ ΑΒ πρὸς μέρος αὐτῆς τὴν ΑΕ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΑΕ λόγον |
| τὸ δίκην ὑπέχειν ἀγώγιμον εὐθὺς ἐποίησεν , καὶ παραβὰς τὸ διωρισμένον ἐκ τοῦ νόμου δικαστήριον , ἄκριτον τοῖς ἐπαιτιασαμένοις παρέδωκεν | ||
| τοῖς οὖσι συμβεβηκότα . ἀντὶ τοῦ τὸ συνεχὲς καὶ τὸ διωρισμένον : ταῦτα γὰρ αὐτοῖς συμβέβηκεν . ὅπερ ἐστὶ νοητῶν |
| κατ ' ἐπίνοιαν δὲ ἅπαντα ἀνέλωμεν , ὁ τόπος οὐκ ἀναιρεθήσεται ἐν ᾧ ἦν τὰ πάντα , ἀλλ ' ὑπομένει | ||
| παιδὸς νηπίου ὄντος οἱ μάντεις προέλεγον , ὅτι ὑπὸ κόρακος ἀναιρεθήσεται . διόπερ φοβουμένη λάρνακα μεγίστην κατασκευάσασα ἐν ταύτῃ αὐτὸν |
| Β τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν , τουτέστιν ἤπερ ὁ Γ ἀριθμὸς πρὸς τὸν | ||
| , ἅ τε ἁρμονία ἐπιστάμονα μὲν ποιεῖ τὰν ἀκοάν , ὁμόλογον δὲ τὰν φωνάν . φαμὶ δὴ ἐγὼ πᾶσαν κοινωνίαν |
| ἐπιτρίτου γίνεσθαι . πάλιν δὲ τὸ γεννηθὲν πρῶτον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου , ὅ ἐστι τὸ διπλάσιον , μετὰ τοῦ ἡμιολίου | ||
| : ἐξ ἡμιολίου ἄρα καὶ διπλασίου πρώτων εἰδῶν ἐπιμορίου καὶ πολλαπλασίου συνίσταται μιγέντων τὸ δεύτερον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου τὸ τριπλάσιον |
| , ΑΖ μιᾷ σεληνιακῇ διαμέτρῳ καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τῆς διαμέτρου . Ἑκατέρας δὲ τῶν ΑΓ καὶ ΑΕ δʹ μέρει | ||
| τουτέστιν οὔτε τῶν ἐπὶ τῆς διαμέτρου οὔτε τῶν ἐκτὸς τῆς διαμέτρου . ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓΔ , διάμετρος δὲ |
| ἂν δέκα μναῖ εἰσφορὰ γένηται , ὥσπερ ναυτικόν , σχεδὸν ἐπίπεμπτον αὐτῷ γίγνεται , τριώβολον τῆς ἡμέρας λαμβάνοντι : ᾧ | ||
| χρυσώματα ἔτι ἦν διδόναι . . . . . . ἐπίπεμπτον . . . ἐπεσκήψατο . Καὶ τοὺς μὲν τῶν |
| Μο ια . καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα . ιη . Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως σὺν δύο λαμβανόμενοι τοῦ λοιποῦ ὑπερέχωσι | ||
| Μο ε . καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά . ιθ . Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν |
| ΑΒΓ ὅλῳ τῷ ΔΕΖ ἐστὶν ὅμοιον . ηʹ . Θέσει δεδομένων τῶν ΑΒ ΑΓ , ἀγαγεῖν παρὰ θέσει τὴν ΔΕ | ||
| Ἕρμαρχος ζῇ . “ Ἐκ δὲ τῶν γινομένων προσόδων τῶν δεδομένων ἀφ ' ἡμῶν Ἀμυνομάχῳ καὶ Τιμοκράτει κατὰ τὸ δυνατὸν |
| πλευρά ١ ٣١ ١ ١٤ τὸ ἀπὸ ταύτης ٢٨ ٤٩ ٥٤ ٥٦ ٢٦ ٤٦ ٤٠ ἡ τὸ χωρίον δυναμένη τὸ | ||
| ἡ πλευρὰ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν ١٤ ١٤ ٥٤ ἡ ΔΖ [ ٩ ٢٣ ٥٦ ٥٠ ] τὸ |
| ἐπὶ τὰ τελείως συνεστηκότα ἔλθῃ . Καὶ πρῶτον μὲν τὸ ἑτεροῤῥεπὲς : ἑτεροῤῥεπὲς δέ ἐστιν , ὃ μήτε τοὺς αὐτοὺς | ||
| αὐτὸν ἀποσπᾷν , τουτὶ γὰρ μονομερὲς μὲν οὐκ ἔστιν , ἑτεροῤῥεπὲς δέ . Συριανοῦ . Τοῦτο πλησιάζει μὲν τῷ μονομερεῖ |
| ἡ ἀπὸ δεδομένου σημείου πρὸς θέσει εὐθείᾳ ἀγομένη εὐθεῖα ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ . ιεʹ . Παρὰ θέσει ἐστὶν ἡ διὰ | ||
| τοῦ βίου , καὶ ὅσα δὲ ἄλλα . πετεινὰ τῇ δεδομένῃ αὐτοῖς φωνῇ κελαδεῖ , καὶ οὐδέν ἐστιν ἄφωνον ἐν |
| ; Ποιοῦσι δὲ τὸν ἀπὸ τοῦ ξΚ , οὗ ἡ πλευρὰ ἡ ξΚ , λιποῦσα δυάδα τῆς ΝΚ , ποιεῖ | ||
| νῶτον τοῦ στρατοπέδου φράξασθαι τοῖς σταυροῖς , μετὰ δὲ τὰ πλευρὰ ἀμφότερα . ἐπεὶ δὲ ἥ τε νὺξ ἐπέλαβε καὶ |
| ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ . μείζων δὲ ἡ ΔΒ τῆς ΒΑ : μείζων ἄρα καὶ ἡ ΒΑ τῆς ΑΔ . | ||
| ὀξεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΞΑΗ γωνία . καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΑ τῆς ΑΓ οὔκ ἐστιν ἐλάττων , καὶ ἡ ὑπὸ |
| . ἰδοὺ γεγόνασιν ἐπιδιμερεῖς : ὁ γὰρ κε τοῦ ιε ἐπιδιμερής : ἔχει γὰρ αὐτὸν καὶ δύο αὐτοῦ μέρη : | ||
| πάλιν ὡς ἐν ἐπιμερέσι κατὰ τὴν οἰκειότητα τῆς δυάδος ὁ ἐπιδιμερής . εἰ δὲ οἱ πρῶτοι ἐν τριπλασίῳ λόγῳ , |
| τρόπον γένοιτο ἂν τετραγωνισμός . ἀπεδίδου δὲ τοῦτο περὶ τρίγωνον ὀρθογώνιόν τε καὶ ἰσοσκελὲς ἡμικύκλιον περιγράψας καὶ περὶ τὴν βάσιν | ||
| θ : ὥστε τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ , ΒΔ ὀρθογώνιόν ἐστιν ρμ : πεντάκις γὰρ ιδ ο , καὶ |
| ἐν δὲ τῷ προβλήματι τούτῳ κάθετον ἐπίπεδον προτίθεται ἀγαγεῖν ὁ στοιχειωτής : πρός τε γὰρ εὐθεῖάν ἐστιν ἡ ἀγωγή , | ||
| δεδομένον καὶ τὸ ζητούμενον , οἷον εἰ οὕτως ἔλεγεν ὁ στοιχειωτής : πᾶν τρίγωνον ἰσοσκελὲς ἴσας ἔχει τὰς πρὸς τῇ |
| τὸν ἐπίτριτον , καὶ ὁ ε πρὸς τὸν δ τὸν ἐπιτέταρτον , καὶ ἐφεξῆς ὡσαύτως . ἀπὸ δὲ τοῦ τρίτου | ||
| λόγου πρὸς ἡμιόλιον καὶ ἡμιολίου πρὸς ἐπίτριτον καὶ ἐπιτρίτου πρὸς ἐπιτέταρτον : ἐν μὲν γὰρ τοῖς βʹ δʹ Ϛʹ ὅροις |
| μὲν αβ τοῦ γδ διπλάσιον , τὸ δὲ γδ τοῦ εζ τριπλάσιον . ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν γδ τοῦ εζ | ||
| γδ λόγου πηλικότης πολλαπλασιασθῇ ἐπὶ τὴν τοῦ γδ πρὸς τὸ εζ λόγου πηλικότητα , ποιεῖ τὴν τοῦ αβ πρὸς εζ |