| τῶν ἁρμονικῶν λέγουσι βαρύτατον μὲν τὸν ὑποδώριον τῶν τόνων , ἡμιτονίῳ δὲ ὀξύτερον τούτου τὸν μιξολύδιον , τούτου δ ' | ||
| ἄλλο τι λεγόμενον συνημμένων , εὐθὺς τὴν ἑαυτοῦ τρίτην ἔχον ἡμιτονίῳ διεστῶσαν ἀπὸ τῆς μέσης , εἶτα μετὰ τόνον τὴν |
| τὸ μὲν γὰρ ἡμιτόνιον εἰς ἓξ δωδεκατημόρια , ἡ δὲ δίεσις , ἡ μὲν τεταρτημόριος εἰς τρία , ἡ δὲ | ||
| διάστημα τόνου ἢ διέσεως : ὁ γὰρ τόνος καὶ ἡ δίεσις ἀρχὴ μὲν συμφωνίας , οὔπω δὲ συμφωνία . ὁ |
| , οὗ αἱ διέσεις ἐφ ' ἑκάτερα τοῦ διατόνου ἀπὸ παρυπάτης μέσων ἐπὶ τρίτην συνημμένων , τρίτον δέ , οὗ | ||
| μὲν ὑπάτης καὶ παρυπάτης διάστημα ἡμιτονιαῖόν ἐστι , τὸ δὲ παρυπάτης καὶ λιχανοῦ ἐννέα δωδεκατημορίων ἀσύνθετον λαμβανομένων . δεύτερον δὲ |
| , διὰ τοῦ ἐμβρυοτόμου ἢ τοῦ πολυπικοῦ σπαθίου κρυπτομένου μεταξὺ λιχανοῦ καὶ τοῦ μικροῦ δακτύλου κατὰ τὴν ἔνθεσιν , εἰ | ||
| , οὗ τρίτος ὁ τόνος ἐπὶ τὸ ὀξύ , ἀπὸ λιχανοῦ ὑπατῶν ἐναρμονίου ἢ χρωματικῆς ἢ διατόνου ἐπὶ παρανήτην διεζευγμένων |
| ' ἴσων ἀφῄρηται . μετὰ δὲ τοῦτο τῷ τὸ ὀξύτερον δίτονον ἐπὶ τὸ βαρὺ ὁρίζοντι διὰ τεσσάρων εἰλήφθω ἐπὶ τὸ | ||
| , ἥ τε ἐπὶ τὸν τόνον καὶ ἡ ἐπὶ τὸ δίτονον , ἐπὶ δὲ τὸ ὀξὺ μία , ἡ ἐπὶ |
| τὸν γ καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ . ὡσαύτως ἐστὶ καὶ ἐπιτέταρτος καὶ ἐπίπεμπτος , καὶ ἐπ ' ἄπειρον οὕτως . | ||
| ἡμιόλιος , τρίτος δὲ τρίτου ἐπίτριτος , τέταρτος δὲ τετάρτου ἐπιτέταρτος , εἶτα ἐπίπεμπτος καὶ ἔφεκτος καὶ τοῦτο ἐπ ' |
| εἰς τὸν ἴσον , ἡ δὲ ἐκ πέντε εἰς τὸν ἡμιόλιον : αἱ δὲ τὴν ὀρθὴν περιέχουσαι δηλοῦσι τὸν ἐπίτριτον | ||
| λϚ . ὁ γὰρ λϚ πρὸς τὸν κδ ἔχει λόγον ἡμιόλιον , καὶ ὁ κδ πρὸς ιϚ ἔχει λόγον ἡμιόλιον |
| οὔτε δίτονον πρὸς διτόνῳ τεθήσεται οὔτε τόνος ἐπὶ τὸ βαρὺ διτόνου , ὥστε λείπεται τὸ πυκνόν . φανερὸν δὴ ὅτι | ||
| πρὸς αὐτῷ κατ ' οὐδέτερον τῶν τόπων οὔτε τόνος . διτόνου γὰρ οὕτω τιθεμένου ἤτοι βαρύτατος πυκνοῦ ἢ ὀξύτατος πεσεῖται |
| τὸ ὂν ἀγένητον ἀπολείπει : λέγει δὲ τὴν γῆν τοῦ πυκνοῦ καταρρυέντος [ ἀέρος ] γεγονέναι . . . καὶ | ||
| ἄστρα καὶ τὸν ἥλιον ἐκ πυρός φησι καὶ τοῦ πρώτου πυκνοῦ συγκεῖσθαι , τὴν δὲ σελήνην ἐκ τοῦ δευτέρου πυκνοῦ |
| τὸν αὐτὸν ἔλθῃ δεύτερον φθόγγον , εἶτα πάλιν ἀπὸ τοῦδε ἡμιτόνιον διαστήσασα τρίτον ὁρίσῃ φθόγγον ἄλλον , ἀπὸ τούτου κατὰ | ||
| νήτην διεζευγμένων τόνος , ἀπὸ νήτης διεζευγμένων ἐπὶ τρίτην ὑπερβολαίων ἡμιτόνιον , ἀπὸ τρίτης ὑπερβολαίων ἐπὶ ὑπερβολαίων διάτονον τόνος , |
| ταυτὶ μόνον θεωρεῖται σύμφωνα πρὸ τοῦ τελείου συστήματος : τὸ ἐπίτριτον τὸ ἡμιόλιον τὸ διπλάσιον . ἐπεὶ τοίνυν τὸ σύστημα | ||
| δὲ ΘΜ ἡμιολίαν καὶ πάλιν τῆς ΔΖ τὴν μὲν ΘΜ ἐπίτριτον , τὴν δὲ ΗΚ ἡμιολίαν καὶ ἔτι τὴν ΗΚ |
| ἐπογδόῳ , τὸ δ ' ἐπίτριτον διὰ τεσσάρων ἐκ δυεῖν ἐπογδόων καὶ τοῦ διεσιαίου λείμματος : καταπυκνωτέον αὐτὰ τοῖς ἐπογδόοις | ||
| ἴσῳ δὲ ὑπερεχομένην . ἡμιολίων δὲ διαστάσεων καὶ ἐπιτρίτων καὶ ἐπογδόων γενομένων ἐκ τούτων τῶν δεσμῶν ἐν ταῖς πρόσθεν διαστάσεσιν |
| περὶ τὰ ἀναγκαῖα . ὀρθογωνίου μὲν γὰρ τριγώνου ἢ διέσεως ἡμιτονίου οὐδεμίαν φύσει ἔννοιαν ἥκομεν ἔχοντες , ἀλλ ' ἔκ | ||
| ἀλλήλων τετάρτους τὸν διὰ τεσσάρων ἀλλήλοις διόλου συμφωνεῖν , τοῦ ἡμιτονίου κατὰ μετάβασιν τήν τε πρώτην καὶ τὴν μέσην καὶ |
| γὰρ πέντε κε . καὶ ὁ λ ἄρα τοῦ κε ἐπίπεμπτός ἐστιν , ὡς ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ | ||
| γὰρ πέντε κε . καὶ ὁ λ ἄρα τοῦ κε ἐπίπεμπτός ἐστιν , ὡς ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ |
| ὁ ἐπίτριτός ἐστιν . Ὁ δὲ διὰ πέντε , ὁ ἡμιόλιος . Ὁ δὲ διὰ πασῶν , ὁ διπλάσιος . | ||
| τὰ λοιπά . καὶ ἐγίνετο ἐκ μὲν τοῦ διπλασίου ὁ ἡμιόλιος , ἐκ δὲ τοῦ ἡμιολίου ὁ ἐπιμερής , καὶ |
| σπονδειασμὸς δὲ ἡ ταὐτοῦ διαστήματος ἐπίτασις , ἐκβολὴ δὲ ε διέσεων ἐπίτασις : ταῦτα δὲ καὶ πάθη τῶν διαστημάτων διὰ | ||
| καλεῖται μαλακὸν χρῶμα : τὸ δὲ τρίτον χαρακτηρίζεται μὲν ἐκ διέσεων ἡμιολίων τῆς ἐναρμονίου διέσεως , καλεῖται δὲ ἡμιολίου χρώματος |
| ὑπερέχοντες , παράλληλοι δὲ δύο τόνον , οἱ δὲ τρίτοι τριημιτόνιον : ἀναλόγως δὲ ἕξει καὶ ἐπὶ τῆς τῶν λοιπῶν | ||
| παρενθέσεως τῆς ἐν ὀκταχόρδῳ . ἀπεῖχε γὰρ αὕτη τῆς παρανεάτης τριημιτόνιον ἀσύνθετον , ἀφ ' οὗ διαστήματος ἡ μὲν παρεντεθεῖσα |
| ἀπὸ μὲν τοῦ σιϚ ἐπιτείνουσιν τόνον καὶ ποιοῦσι τὸν σμγ ἐπόγδοον ὄντα τοῦ σιϚ καὶ τῷ κζ ὑπερέχοντα . ἐπεὶ | ||
| ἐπιτείνουσι τόνον καὶ ποιοῦσι τὸ ἐπόγδοον αὐτοῦ τὸν ψκθ , ἐπόγδοον ὄντα τοῦ χμη , ἐπειδὴ περιέχει αὐτὸν καὶ τὸν |
| ἐπὶ τὴν αὐτὴν τάσιν ἀφίκωνται ἥ τε παρυπάτη καὶ ἡ λιχανός , ἡ μὲν ἐπιτεινομένη ἡ δ ' ἀνιεμένη , | ||
| . τὸ γὰρ δίτονον , ὅταν μὲν ὁρίζωσι μέση καὶ λιχανός , ἀσύνθετόν ἐστιν , ὅταν δὲ μέση καὶ παρυπάτη |
| ρξβ . δῆλον οὖν , ὅτι ὁ Α τοῦ Β ὑφημιόλιός ἐστι καὶ οὐ μετρεῖ αὐτόν . ὁμοίως καὶ οἱ | ||
| ὁ β τοῦ γ κοινῶς μὲν ὑποεπιμόριος , ἰδικῶς δὲ ὑφημιόλιός ἐστιν , ὡσαύτως δὲ ὁ γ τοῦ δ κοινῶς |
| , ἐπὶ μὲν τῶν περιττῶν ἐκθέσεων ὁ μέσος τῶν ἄκρων ὑποδιπλάσιος ἦν , ἐπὶ δὲ τῶν ἀρτίων ἴσοι οἱ μέσοι | ||
| σνϚʹ πρὸς σμγʹ , καὶ οἱ τούτοις ὑπεναντίοι ὅ τε ὑποδιπλάσιος καὶ ὁ ὑποτριπλάσιος καὶ ὁ ὑποτετραπλάσιος καὶ ὁ ὑφημιόλιος |
| τρία ἐστὶ καὶ αὐτά : ἓν μὲν τὸ πρῶτον καὶ ἀσύνθετον , ἕτερον δὲ τὸ δεύτερον καὶ σύνθετον , καὶ | ||
| μὲν ἑαυτὸ σύνθετον καὶ δεύτερον πρὸς δὲ ἄλλο πρῶτον καὶ ἀσύνθετον . εἰ δοκεῖ τοίνυν ἐξηγησόμεθα αὐτά . ὁ ἀρτιάκις |
| τῆς μονάδος ὂν λεπτῶν τριῶν . ἐπεὶ πάλιν ὁ μ πενταπλάσιός ἐστι τοῦ η , πολλαπλασιάζω τὸν τρία τὸ εἰκοστὸν | ||
| τῆς μονάδος ὂν λεπτῶν τριῶν . ἐπεὶ πάλιν ὁ μ πενταπλάσιός ἐστι τοῦ η , πολλαπλασιάζω τὸν τρία τὸ εἰκοστὸν |
| μὲν ἡμιτόνιον καὶ τόνον καὶ τόνον , λέγεται δὲ συντόνου διατόνου . ἵνα δὲ δῆλον ᾖ τὸ λεγόμενον , ἐπ | ||
| ἀπὸ παρυπάτης μέσων ἐπὶ μέσων διάτονον τόνος , ἀπὸ μέσων διατόνου ἐπὶ μέσην τόνος , ἀπὸ μέ - σης ἐπὶ |
| ' ἂν γένοιό γ ' ἀθλιωτάτη γυνή . ἴτω : περισσοὶ πάντες οὑν μέσωι λόγοι . ἀλλ ' εἶα χώρει | ||
| μὲν οὖν ἄρτιον δεῖ εἶναι , ὅπως ἴσοι ἐνῶσιν οἱ περισσοὶ καὶ ἄρτιοι καὶ μὴ ἑτερομερῶς : ἐπεὶ γὰρ πρότερος |
| ἐπιδείκνυται , ζῆλον ἅμα καὶ πόθον ἐνεργαζομένη τῆς ἀτρέπτου καὶ ἐναρμονίου τάξεως , ἣν οὐδέποτε λείπουσι πειθόμεναι τῷ ταξιάρχῳ . | ||
| βαρυτάτῳ καὶ ἑπόμενον διάστημα καὶ τὸ μέσον ἑκάτερον ποιεῖ διέσεως ἐναρμονίου , τὸ δὲ λοιπὸν καὶ ἡγούμενον δύο τόνων , |
| τινὰ δὲ καὶ διάφωνα . σύμφωνα μὲν , ἐπειδὴ οἱ περιέχοντες φθόγγοι διάφοροι τῷ μεγέθει ὄντες , ἅμα κρουσθέντες ἢ | ||
| σφισιν ἐφεστήκασι τρίποδες χαλκοῖ μέν , μνήμης δὲ ἄξια μάλιστα περιέχοντες εἰργασμένα . σάτυρος γάρ ἐστιν , ἐφ ' ᾧ |
| διέσεως καὶ διέσεως καὶ διτόνου καὶ τόνου καὶ διέσεως καὶ διέσεως καὶ διτόνου , τὸ δὲ φρύγιον ἐκ τόνου καὶ | ||
| ᾧ κινεῖται , τονιαῖος , ὁ δὲ τῆς παρυπάτης τόπος διέσεως ἐλαχίστης . Διαστημάτων εἰσὶ διαφοραὶ πέντε , πρώτη μέν |
| τῶν ἐπιτετάρτων οἱ ἐπιτετραμερεῖς , καὶ ἐφεξῆς . οἷόν εἰσιν ἡμιόλιοι δ , Ϛ , θ . λαβὲ ἀπὸ τῶν | ||
| πρὸς τὸ δεύτερον καὶ τὸ τρίτον πρὸς τὸ τέταρτον : ἡμιόλιοι γὰρ ἀμφότεροι ἀμφοτέρων . καὶ τὰ ἰσάκις τοίνυν πολλαπλάσια |
| : διὸ καὶ οὐ δύναται εἶναι ὁ θ τοῦ δ τετραπλάσιος , ὡς ὁ ιϚ τοῦ δ καὶ ὁ λϚ | ||
| δὲ ὦσι δύο ἀριθμοὶ ὁ μὲν ἕτερος αὐτῶν τοῦ αὐτοῦ τετραπλάσιος , ὁ δ ' ἕτερος διπλάσιος , ὁ τετραπλάσιος |
| ἀσύνθετον οὔτε πλείω ἑνὸς ἡμιτόνια κατὰ τὸ ἑξῆς ἐν τούτῳ μελῳδεῖται τῷ γένει : οὔτε μὴν κατὰ χρῶμα : πάλιν | ||
| δὲ παρυπάτης καὶ λιχανοῦ τῷ λιχανοῦ καὶ μέσης καὶ ἴσον μελῳδεῖται καὶ ἄνισον ἀμφοτέρως : ἴσον μὲν ἐν τῷ συντονωτέρῳ |
| . ἐπὶ δὲ τοῦ βʹ λήμματος ὁ ἑκατὸν τοῦ εἴκοσι πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸν ε , καὶ ὁ κ τοῦ | ||
| Γ πολλαπλάσιον εἶναι . ἐπεὶ γὰρ ὁ Β τοῦ Γ πολλαπλάσιός ἐστι , μετρεῖ ἄρα ὁ Γ τὸν Β . |
| , ποιήσεις τοὺς διπλασιεπιτετάρτους , οἷον ὁ θ τοῦ δ διπλασιεπιτέταρτός ἐστι , καὶ ὁ ιη τοῦ η καὶ ὁ | ||
| δὲ Β ιϚ . ὅ τε οὖν Γ τοῦ Δ διπλασιεπιτέταρτός ἐστι καὶ ὁ Α τοῦ Β . ἔχει οὖν |
| ὑπερβολαίων . Ἐν δὲ ἁρμονίᾳ οἵδε : προσλαμβανόμενος ὑπάτη ὑπάτων παρυπάτη ὑπάτων λιχανὸς ὑπάτων ἐναρμόνιος ὑπάτη μέσων παρυπάτη μέσων λιχανὸς | ||
| ὑπερβολαίων . Ἐν δὲ χρώματι οἵδε : προσλαμβανόμενος ὑπάτη ὑπάτων παρυπάτη ὑπάτων λιχανὸς ὑπάτων χρωματική ὑπάτη μέσων παρυπάτη μέσων λιχανὸς |
| κεχωρισμένοις τοῦ ἐντέρου διαίρεσιν ἐμβαλόντες ἱκανὴν παραδέξασθαι δάκτυλον καθήσομεν τὸν λιχανὸν καὶ κατ ' ἐπικόπου τοῦ δακτύλου διελοῦμεν τὸ περιτόναιον | ||
| οὔτε τὴν ἁρμονίαν ἁρμοττόνται , ὥστε τί μᾶλλον τὴν δίτονον λιχανὸν λεκτέον ἢ τὴν μικρῷ συντονωτέραν ; ἁρμονία μὲν γὰρ |
| κατὰ τέτταρα ἥμισυ καὶ δϲʹʹ καὶ κα , τὸ δὲ τονιαῖον χρῶμα κατὰ Ϛ καὶ Ϛ καὶ ιη , τὸ | ||
| , πλείω δ ' οὔ : ὁ γὰρ τὸ τέταρτον τονιαῖον ὁρίζων φθόγγος οὔτε τῷ τετάρτῳ διὰ τεσσάρων οὔτε τῷ |
| τὸν μὲν αὐτόθεν καθαρὸν κυάμου μέγεθος ἢ θέρμου , τοῦ ὀγδόου μέρους μόνον ἀφεψηθέντος , τὸν δὲ δεῖσθαι μὲν χωνείας | ||
| , ἑβδόμου τοῦ δʹ , τεσσαρακαιδεκάτου τοῦ βʹ , εἰκοστοῦ ὀγδόου τοῦ αʹ . ὑπερτέλειοι δέ εἰσιν ὧν τὰ μέρη |
| χρωματική , μέσων διάτονος , μέση , τρίτη συνημμένων , συνημμένων ἐναρμόνιος , συνημμένων χρωματική , παρανήτη συνημμένων , νήτη | ||
| ὑπερβολαίων λβ κρόνου , νήτη διεζευγμένων κδ διός , νήτη συνημμένων κα γʹ ἄρεως , παράμεσος ιη ἡλίου , μέση |
| , καὶ οἱ τούτοις ὑπεναντίοι ὅ τε ὑποδιπλάσιος καὶ ὁ ὑποτριπλάσιος καὶ ὁ ὑποτετραπλάσιος καὶ ὁ ὑφημιόλιος καὶ ὁ ὑπεπίτριτος | ||
| κ τὸ τρίτον αὐτῆς : ἀπὸ γὰρ τοῦ τρία ὁ ὑποτριπλάσιος παρωνόμασται . καὶ ποιῶ τὰ λ ἐπὶ τὰ κ |
| τοίνυν αὕτη διαφορά , δευτέρα δὲ ἐκείνη . λαβὲ πρῶτον ἑτερομήκη καὶ δεύτερον τετράγωνον καὶ τρίτον τετράγωνον καὶ δεύτερον ἑτερομήκη | ||
| ἕτερον ἐπὶ δυοῖν λέγει : ὅθεν καὶ οἱ γεννῶντες τὸν ἑτερομήκη δύο τέ εἰσιν ἀριθμοὶ καὶ μονάδι ἀλλήλων διαφέροντες . |
| ὁ ε τοῦ β διπλασιεφημιόλιος , ὁ ζ τοῦ γ διπλασιεπίτριτος , ὁ θ τοῦ δ διπλασιεπιτέταρτος , ὁ ια | ||
| τοῦ μείζονος ἐπιμερὴς ἤτοι τρισεπιτέταρτος , ἀπὸ δὲ τοῦ ἐλάσσονος διπλασιεπίτριτος , ὡς ἐκ τοῦ ιϚ , ιβ , θ |
| ὁ μὲν βαρύτερος ὀξύτατος ἐδείχθη πυκνοῦ ὁ δ ' ὀξύτερος βαρύτατος . ὥστ ' ἐπειδὴ τοσαῦτα μέν ἐστι μόνα τὰ | ||
| ὁ μὲν βαρύτερος ὀξύτατός ἐστι πυκνοῦ ὁ δ ' ὀξύτερος βαρύτατος . ἀναγκαῖον γὰρ ἐν τῇ συναφῇ τῶν πυκνῶν διὰ |
| πρὸς παράμεσον : ὑπάτη δὲ ὑπάτων , ὅτι τοῦ πρώτου τετραχόρδου πρώτη τίθεται : τὸ γὰρ πρῶτον ὕπατον ἐκάλουν οἱ | ||
| νήτη ὑπερβολαίων . Ὥσπερ οὖν ἐνταῦθα τὰ μὲν τοῦ ὑπατῶν τετραχόρδου κατὰ τρία γένη , τὰ δὲ μέσων , τὰ |
| ἦν πρῶτον τὸ διπλάσιον , εἶτα τὸ ἐπιμόριον καὶ τὸ ἐπιμερὲς καὶ τὰ λοιπά . καὶ ἐγίνετο ἐκ μὲν τοῦ | ||
| ε : τὸ γὰρ μεῖζον ἢ πολλαπλάσιον ἢ ἐπιμόριον ἢ ἐπιμερὲς ἢ πολλαπλασιεπιμόριον ἢ πολλαπλασιεπιμερές : ὡσαύτως καὶ τὸ ἔλαττον |
| : υ κάτω νεῦον καὶ ἡμίαλφα ⋏ ἀριστερὸν ἀνεστραμμένον # ὑπερβολαίων διάτονος : μῦ καὶ πῖ καθειλκυ - Μʹσμένον , | ||
| τυγχάνει κατὰ διαίρεσιν θεωρούμενα πέντε , ὑπάτων μέσων συνημμένων διεζευγμένων ὑπερβολαίων , πεντάχορδα δὲ σύμφωνα τρία , μέσων συνημμένων διεζευγμένων |
| συντονωτάτῳ διατόνῳ , δύο ἔσται μεγέθη μόνα ἐξ ὧν τὸ διάτονον συνεστηκὸς ἔσται . ἐὰν δὲ τὰ μὲν δύο ἴσα | ||
| καὶ δίεσιν καὶ δίτονον κινοῖτο , ἐναρμόνιον ποιεῖ γένος . διάτονον μὲν οὖν λέγεται , ἐπειδὴ κατὰ τὸ πλεῖον διὰ |
| τὸ δ ' ὑπ ' αὐτὰ αἰδοῖον . οὗ τὸ πρόμηκες , δι ' οὗ τὸ ἐκ κύστεως ὑγρὸν ἐπιρρεῖ | ||
| Σίνων σπερμάτιόν ἐστιν ἐν Συρίᾳ γεννώμενον , παρεοικὸς σελίνῳ , πρόμηκες , μέλαν , πυρωτικόν . Σίον φύεται ἐν τοῖς |
| λέγῃ ἡ ἡδονὴ σπουδαία ἐστιν , εἰ μὲν πρὸς τὴν γεωμετρικὴν ἡδονὴν ἀποβλέψας φησίν , οὐ τὸ προκείμενον συνάγεται : | ||
| . διὰ τοῦτο τὸν Βρύσωνος τετραγωνισμὸν οὐκ ἄν τις εἴποι γεωμετρικὴν ἀπόδειξιν : χρῆται γὰρ ἀξιώματι ἀληθεῖ μὲν κοινῷ δέ |
| ἢ τριπλάσιος . ἐδείχθη δέ , ὅτι οὐδὲ μείζων ἢ τριπλάσιος : τριπλάσιος ἄρα ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου : ὥστε | ||
| δὲ διπλάσιον τὸν τοῦ Ϛ : ἐὰν δὲ καὶ ὁ τριπλάσιος οὗτος δεύτερον εἶδος ὢν τοῦ πολλαπλασίου συντεθῇ ἐπιτρίτῳ δευτέρῳ |
| διάτονον . ἁρμονία μέν ἐστιν , ἐν ᾗ τὸ πυκνὸν ἡμιτονιαῖον . αὕτη δέ ἐστι μονοειδής . χρώματος δὲ εἴδη | ||
| τινος βαρυτέρου φθόγγου ἐπὶ τὸν ἑξῆς ὀξύτερον μεταβῇ τὸ λεγόμενον ἡμιτονιαῖον διάστημα ποιησαμένη κἄπειτ ' ἀπ ' αὐτοῦ τόνον διαστήσασα |
| ΒΓ τοῦ ΔΖ ἡμιόλιος , ὁ δὲ ΔΖ τοῦ Θ ἐπίτριτος : φημὶ τὸν ΒΓ τοῦ Θ διπλάσιον εἶναι . | ||
| τὸ τρίτον αὐτοῦ , ἤγουν τὸ Γ . Ὁ Η ἐπίτριτος τοῦ Ϛʹ . Περιέχει γὰρ ὅλον τὸν Ϛʹ , |
| τἆλλα κατὰ τὸ ἑξῆς εἴδη . ὑπόδειγμα δὲ πάντων εὐτάκτων πολυπλασίων σαφὲς ἕξομεν ἐὰν ἐκθέμενοι τὸν ἀπὸ μονάδος συνεχῆ ἀριθμὸν | ||
| ἀρτιοπερίττων δὲ πέντε , πάσας δὲ λόγων τῶν ἐν ἀριθμοῖς πολυπλασίων καὶ ἐπιμερῶν καὶ ὑποεπιμερῶν περιέχει , πάσας δ ' |
| ἔχει . ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ παρὰ τοῖς ἀρχαίοις κατὰ διέσεις ἁρμονία , ἕως κδ διέσεων τὸ πρότερον διάγουσα διὰ | ||
| τόνῳ , τὸν δὲ λύδιον ἀπὸ τοῦ φρυγίου πάλιν τρεῖς διέσεις ἀφιστᾶσιν , ὡσαύτως δὲ καὶ τὸν μιξολύδιον τοῦ λυδίου |
| αη ηβ : καὶ ἐπεὶ τὸ γδ τοῦ εζ ἐστι τριπλάσιον , ἴσον δὲ τὸ αη τῷ γδ , καὶ | ||
| , πρῶτον διπλάσιον ἐν ἑνὶ στίχῳ , εἶτα ἐν δευτέρῳ τριπλάσιον , εἶτα τετραπλάσιον ἐν τρίτῳ καὶ μέχρι δεκαπλασίων , |
| τῶν τετραπλασίων α δ ιϚ σνϚ : μετρεῖται γὰρ ὁ σνϚ καὶ ὑπὸ ἑτέρων ἀριθμῶν , οὐ μὴν ὑπὸ πρώτων | ||
| ٣ ١٠ ٤١ ἡ Θ ١٦ τὸ ἀπὸ τῆς Θ σνϚ ἡ ΚΛ ٨ ٢٦ ٥٤ ἡ ΖΒ ١٠ ١٨ |
| τοῦ διπλασίονος τοῦ τρίτου ὑπερέχουσι μο κ . Ὁ ἄρα διπλασίων τοῦ τρίτου ἔσται Ϟ β ↑ μο κ : | ||
| διπλασίου καὶ τοῦ τριπλασίου τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς συντιθεμένων , διπλασίων μὲν αʹ βʹ δʹ ηʹ : δ ' ἐστὶ |
| υπϚ . κζʹ ͵δχη σλδ . κηʹ ͵ερπδ φοϚ : ἁμιόλιος ͵ερπδ τοῦ κδʹ , ὃς ἦν ἁμιόλιος τοῦ κʹ | ||
| τρίτων ἅδ ' ἐστίν . ἁ δὲ μεγίστα ὀρθά , ἁμιόλιος μὲν τᾶς μέσας ἔασσα , τριπλατία δὲ τᾶς ἐλαχίστας |
| δὲ ἡμιτονίου , ὡς ἐλάχιστον μελῳδητὸν διάστημα , τῶν Πυθαγορείων δίεσιν καλούντων τὸ νῦν λεγόμενον ἡμιτόνιον . καλεῖσθαι δέ φησιν | ||
| τὸ δὲ ἡμιόλιον κατὰ δίεσιν ἡμιόλιον τῆς ἐναρμονίου διέσεως καὶ δίεσιν τὴν ἴσην καὶ ἑπτὰ τεταρτημορίων διέσεων ἀσύνθετον διάστημα . |
| εἶναι . ὁ δὲ ὡς τόπος φωνῆς , ὅταν λέγωμεν δώριον ἢ φρύγιον ἢ λύδιον ἢ τῶν ἄλλων τινά . | ||
| . ἁπλῶς γὰρ τοὺς τρεῖς τοὺς ἀρχαιοτάτους , καλουμένους δὲ δώριον καὶ φρύγιον καὶ λύδιον παρὰ τὰς ἀφ ' ὧν |
| καὶ ὄνομα οἰκεῖον πρόσκειται . οἱ μέν γε δύο λόχοι διλοχία καλεῖται , ἐξ ἀνδρῶν δύο καὶ τριάκοντα , καὶ | ||
| δὲ λόχον ἑξκαίδεκα . Ἔσονται δὴ οἱ μὲν δύο λόχοι διλοχία καὶ ὁ ἐπ ' αὐτοῖς ἄρχων διλοχίτης , οἱ |
| γὰρ τοὺς τρεῖς τοὺς ἀρχαιοτάτους , καλουμένους δὲ δώριον καὶ φρύγιον καὶ λύδιον παρὰ τὰς ἀφ ' ὧν ἤρξαντο ἐθνῶν | ||
| ὁ δὲ ὡς τόπος φωνῆς , ὅταν λέγωμεν δώριον ἢ φρύγιον ἢ λύδιον ἢ τῶν ἄλλων τινά . εἰσὶ δὲ |
| . βʹ Ἐὰν ἀριθμὸς εἰς δύο ἀριθμοὺς διαιρεθῇ , δύο ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ οἱ γενόμενοι ἔκ τε τοῦ ὅλου καὶ ἑκατέρου | ||
| βέλεσιν αἱ βελοστάσεις κατασκευάζονται , αἱ μὲν [ ὀρυκταὶ ] ἐπίπεδοι [ καὶ κατώρυχοι ] , αἱ δὲ ὑπόγειοι πρὸς |
| ἕξ : ὑπερλύδιον , ὑπεριάστιον , λύδιον , φρύγιον , ὑπολύδιον , ὑποφρύγιον . οἱ δὲ κιθαρῳδοὶ τέτρασι τούτοις ἁρμόζονται | ||
| διὰ πασῶν ἐν τῷ λυδίῳ , εἶτα τετράχορδον ὑποβαίνοντες τὸ ὑπολύδιον καὶ ἑξῆς ὁμοίως τετράχορδον ἀναβαίνοντες τὸν ὑπερλύδιον . Κεχυμέναι |
| γ . λέγω , ὅτι καὶ ὁ β τοῦ α ἐπιμόριός ἐστι κατὰ τὸ ὁμώνυμον μόριον τοῦ γ ἐναλλάξ , | ||
| μέτρου . ἄφελε ἴσον τῷ Θ τὸν ΗΖ καὶ ἐπεὶ ἐπιμόριός ἐστιν ὁ ΔΖ τοῦ Θ , ἡ ὑπεροχὴ ὁ |
| ὁ πολλαπλάσιός ἐστιν , εἶτα ὁ ἐπιμόριος , καὶ τοῦ ἐπιμορίου πρότερος ὁ ἡμιόλιος , εἶτα καὶ ὁ ἐπίτριτος , | ||
| δὲ καὶ τῶν ἀριθμῶν ἐπὶ πέντε τούτων εἰδῶν θεωροῦνται : ἐπιμορίου , ἐπιμεροῦς , πολλαπλασίου , πολλαπλασιεπιμορίου , πολλαπλασιοεπιμεροῦς , |
| λύδιον ἑτέρῳ τόνῳ : ἕτεροι δὲ πρὸς τοῖς εἰρημένοις τὸν ὑποφρύγιον αὐλὸν προστιθέασιν ἐπὶ τὸ βαρύ , οἱ δὲ αὖ | ||
| ὑπερλύδιον , ὑπεριάστιον , λύδιον , φρύγιον , ὑπολύδιον , ὑποφρύγιον . οἱ δὲ κιθαρῳδοὶ τέτρασι τούτοις ἁρμόζονται : ὑπεριαστίῳ |
| ὁ ἐκ πάντων συγκείμενος ὁ αζ τοῦ μέσου τοῦ γδ πολλαπλασίων ἐστὶ κατὰ τὸ πλῆθος αὐτῶν . ἐπεὶ γὰρ οἱ | ||
| καὶ τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια τοῦ πρώτου καὶ τρίτου τῶν ἰσάκις πολλαπλασίων τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου ἢ ἅμα ὑπερέχουσιν ἢ ἅμα |
| ὡς εἴρηται , ὀνομάζεται . ἔστι δὲ κώλων χοριαμβικῶν ἐπιμεμιγμένων ἐπιτρίτοις καὶ βακχείοις καὶ παλιμβάκχοις ζʹ , ὧν τὸ αʹ | ||
| καὶ τριπλασίοις καὶ συνόλως πολυπλασίοις καὶ πάλιν ἐν ἡμιολίοις καὶ ἐπιτρίτοις καὶ τοῖς παραπλησίοις , ἔτι μέντοι καὶ τὴν ἁρμονικήν |
| , τρὶς τρεῖς ἐννέα : ὑπὸ δυάδος γὰρ γίνεται ὁ διπλασιασμός . ἐπεὶ οὖν πάντα ἐκ τῆς ὕλης γίνονται διὰ | ||
| . προφάσεσι . ἴσως ἄν , ἴσως ] τεχνικὸς ὁ διπλασιασμός . οὔτε γὰρ φανερῶς ἀπεφήνατο οὔτε μόνῳ τῷ ἴσως |
| θʹ πρὸς τὰ ηʹ : καὶ πάλιν τούτῳ τῷ λόγῳ προστεθέντος ἐπιτρίτου λόγου τοῦ τῶν ιβʹ πρὸς τὰ θʹ συμπληροῦται | ||
| ληγούσης ον εἰς ω μέγα τρέψῃς τύπτω γίνεται , εἶτα προστεθέντος τοῦ ἐάν αἰτιολογικοῦ συνδέσμου ἐὰν τύπτω γίνεται : γίνωσκε |
| μὲν κατ ' ἀριθμὸν ὑπερέχουσαν , ἴσῳ δὲ ὑπερεχομένην : ἡμιολίων δὲ καὶ ἐπιτρίτων διαστάσεων διὰ πασῶν τῷ τοῦ ἐπογδόου | ||
| μαλακὸν χρῶμα : τὸ δὲ τρίτον χαρακτηρίζεται μὲν ἐκ διέσεων ἡμιολίων τῆς ἐναρμονίου διέσεως , καλεῖται δὲ ἡμιολίου χρώματος : |
| , τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ . καὶ ἐπεὶ τριπλασίων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ , ὡς δὲ ἡ | ||
| τριπλασίων ἢ ἐλάσσων ἢ τριπλασίων . ἔστω πρότερον μείζων ἢ τριπλασίων , καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον τὸ |
| τρίτη διεζευγμένων ἐναρμόνιος τρίτη διεζευγμένων χρωματικὴ καὶ διάτονος ἐναρμόνιος διεζευγμένων χρωματικὴ διεζευγμένων διάτονος διεζευγμένων νήτη διεζευγμένων τρίτη ὑπερβολαίων ἐναρμόνιος τρίτη | ||
| μέσων χρωματική μέσων διάτονος μέση τρίτη συνημμένων ἐναρμόνιος τρίτη συνημμένων χρωματικὴ καὶ διάτονος συνημμένων ἐναρμόνιος συνημμένων χρωματική συνημμένων διάτονος νήτη |
| ἡ δὲ σελήνη ἑβδόμη οὖσα τάξιν ἐπέχει φθόγγου τοῦ λεγομένου ὑπάτης μέσης . τὸ δὲ ἀπὸ γῆς διάστημα μέχρι τῆς | ||
| ἔχει λόγον , τὸν δὲ βαρὺν τὸν Κρόνον , εἴπερ ὑπάτης . Οἱ δὲ δὴ πρῶτοι ἀπὸ τῶν πρὸς ἡμᾶς |
| διάστασιν προβήσεται ὁ τοιοῦτος . διὰ τοῦτο δὲ αὐτὸν καὶ εὐθυμετρικόν τινες καλοῦσι , Θυμαρίδας δὲ καὶ εὐθυγραμμικόν : ἀπλατὴς | ||
| διάστασιν προβήσεται ὁ τοιοῦτος . διὰ τοῦτο δὲ αὐτὸν καὶ εὐθυμετρικόν τινες καλοῦσι , Θυμαρίδας δὲ καὶ εὐθυγραμμικόν : ἀπλατὴς |
| ἔχει τὸ ὑγιής : ὑγίεια τετρασύλλαβον , οὕτω ζητεῖ ἡ ἀναλογία : ὑγρός : ὑγρασία : καὶ εἴτι ὅμοιον . | ||
| ὀρθογραφίας . Εἰσὶ δὲ καὶ κανόνες τῆς ὀρθογραφίας τέσσαρες : ἀναλογία , διάλεκτος , ἐτυμολογία καὶ ἱστορία . Καὶ τὴν |
| ἂν δέκα μναῖ εἰσφορὰ γένηται , ὥσπερ ναυτικόν , σχεδὸν ἐπίπεμπτον αὐτῷ γίγνεται , τριώβολον τῆς ἡμέρας λαμβάνοντι : ᾧ | ||
| χρυσώματα ἔτι ἦν διδόναι . . . . . . ἐπίπεμπτον . . . ἐπεσκήψατο . Καὶ τοὺς μὲν τῶν |
| εἰσι ταῦτα τὰ στοιχεῖα , μεταξὺ δὲ δύο στερεῶν δύο μέσοι ἀνάλογοι γίνονται . ἐν δὲ ταῖς Πολιτείαις ζητεῖ εἰ | ||
| παρ ' Αἰολεῦσι τὸ μέσοι , γαίας καὶ νιφόεντος ὠράνω μέσοι : τῇδε ἔχει καὶ ἀπὸ τοῦ τηλόθι τὸ τήλοι |
| δὲ προστιθέμενος , κύβος ἀπὸ τοῦ η , τουτέστι ΚΥ φιβ # ʂ ε , καὶ προστεθεὶς ʂ ε , | ||
| ε : θέλομεν οὖν ταῦτα κυβικὴν εἶναι πλ . ΚΥ φιβ . ʂ ἄρα η ἴσοι εἰσὶ ΚΥ χλζ # |
| παρυπάτη μέσων , μέσων ἐναρμόνιος , μέσων χρωματική , μέσων διάτονος , μέση , τρίτη συνημμένων , συνημμένων ἐναρμόνιος , | ||
| τὸ ὑπατῶν , οἷον ὑπάτη ὑπατῶν , παρυπάτη ὑπατῶν , διάτονος ὑπατῶν ἢ λιχανὸς ὑπατῶν , οὐδὲν γὰρ διαφέρει ὁποτερωσοῦν |
| μέσην , ὅταν μὴ ὡς ἔθος εἶχεν ἐπὶ τὸ τῶν διεζευγμένων τετράχορδον ἔλθῃ κατὰ τὴν διὰ πέντε συμφωνίαν τῷ τῶν | ||
| ὑπερβολαίων λϚ ἀπλανῶν , νήτη ὑπερβολαίων λβ κρόνου , νήτη διεζευγμένων κδ διός , νήτη συνημμένων κα γʹ ἄρεως , |
| , ι : εἰ δὲ τριάδα παραλείποιεν , τετρὰς ἡ ὑπεροχή : καὶ εἰ τετράδα , πεντάς , καὶ ἐφεξῆς | ||
| , ἀφελόμενον ἀπὸ τοῦ κέρδους τοῦ ἠδικηκότος , ὅπερ ὡς ὑπεροχή ἐστιν αὐτοῦ πρὸς τὸν ἠδικημένον , καὶ προστεθὲν τῷ |
| γιγνόμενος ποιεῖ τὸν ἡμιόλιον λόγον , ἐξ ὧν ἀμφοτέρων ὁ διπλάσιος σύγκειται λόγος , τοῦ δʹ φμηὶ πρὸς τὸν βʹ | ||
| τῆς Α τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β τετράγωνον ἤτοι διπλάσιος ἤτοι δὶς δίς , ὅπερ ἐδήλωσεν εἰπών : τὰ |
| : διὰ τοῦτο αὐτὸν πολλαπλασιάζω τῇ τοῦ ὑστέρου εἰς τὴν σωρείαν ληφθέντος ποσότητι , τουτέστι τοῦ β , καὶ γεννᾶταί | ||
| μὲν τρίγωνος τοὺς μονάδι διαφέροντας , μηδὲν παραλείποντας εἰς τὴν σωρείαν δεχόμενος ἀπετελεῖτο , ὁ δὲ τετράγωνος τοὺς δυάδι μὲν |
| ταὐτὸν ἀγέτω δικαστήριον : ὅτι δ ' ἂν ὄφλῃ , τετραπλασίαν μὲν τούτου τίνειν , γιγνέσθω δὲ τὸ μὲν ἥμισυ | ||
| ἡμιόλιον τὴν διὰ πέντε καὶ διπλασίαν τὴν διὰ πασῶν καὶ τετραπλασίαν τὴν δὶς διὰ πασῶν , ἔχει δὲ καὶ τὸν |
| τρισκαιδεκακισμυριοστοτριακοσιοστοεικοστοπρώτων . Λείψει γοῦν τῶν ριβ τριακοσιοστοεξηκοστοπρώτων ἀναλυθέντων εἰς τετρακισμύρια υλβ τρισκαιδεκακισμυριοστοτριακοσιοστοεικοστόπρωτα , λοιπὰ πεντακισμύρια χίλια Ϡπδ , ἅτινά εἰσιν | ||
| τοῖς οὖν ἐν αὐτῷ γινομένοις μετρεῖται . τκδ τξδ τπδ υλβ υπϚ φιβ φοϚ χμη ψκθ ψξη ωξδ Ϡοβ ͵ακδ |
| εὔρυθμος μέν ἐστιν , ἐπειδὴ διαπεποίκιλταί τισιν ῥυθμοῖς , οὐκ ἔρρυθμος δέ , ἐπειδὴ οὐχὶ τοῖς αὐτοῖς οὐδὲ κατὰ τὸ | ||
| : τριῶν γὰρ λαμβανομένων λόγων ἐν τοῖς ἑπτὰ οὐδείς ἐστιν ἔρρυθμος : ὧν εἷς μέν ἐστιν ὁ τοῦ ἐπιτρίτου , |
| εἰς κύκλον κατακάμψας τῇ δυνάμει καὶ συνάψας τὴν ὑπερβολαίαν τῷ προσλαμβανομένῳ τοὺς δύο φθόγγους ἑνώσῃ , διαμετρήσει μὲν ἡ τοιαύτη | ||
| , δώριος ἔσται διὰ τὸ τὸν πρῶτον ἀκουστὸν φθόγγον δωρίου προσλαμβανομένῳ ὡρίσθαι : εἰ δὲ ἐξακούοιτο , θεω - ρῆσαι |
| . Λέγω , ὅτι , ὅταν ὁ ἥλιος τὸ ΑΕ τεταρτημόριον διαπορεύηται , νὺξ καὶ ἡμέρα τὸ συναμφότερον νυκτὶ καὶ | ||
| ὑπογείου μέχρι τοῦ ὡροσκόπου ἐστὶ βόρειον καὶ δηλοῖ τὸ δʹ τεταρτημόριον τοῦ ἔτους . δεῖ δὲ ὁρᾶν τὸν χρονοκράτορα καὶ |
| καὶ παρυπάτην ὑπάτων καὶ λιχανὸν ὑπάτων καὶ ὑπάτην μέσων καὶ παρυπάτην μέσων καὶ λιχανὸν μέσων , τοὺς δὲ μετὰ τὴν | ||
| διατόνου ἐπὶ ὑπάτην μέσων τόνος , ἀπὸ ὑπάτης μέσων ἐπὶ παρυπάτην μέσων ἡμιτόνιον , ἀπὸ παρυπάτης μέσων ἐπὶ μέσων διάτονον |
| : προσλαμβανόμενος , ὑπάτη ὑπάτων , παρυπάτη ὑπάτων , ὑπάτων ἐναρμόνιος , ὑπάτων χρωματική , ὑπάτων διάτονος , ὑπάτη μέσων | ||
| πάσχει ὑποκείμενος τῇ εἱμαρμένῃ . ὑπεράνω οὖν ὢν τῆς ἁρμονίας ἐναρμόνιος γέγονε δοῦλος ἀρρενόθηλυς δὲ ὤν , ἐξ ἀρρενοθήλεος ὢν |
| κατὰ μέγεθος , ἤτοι ὡς τά τε σύμφωνα καὶ ὁ τόνος ἢ ὡς τὰ τούτοις σύμμετρα , τὸ δὲ κατὰ | ||
| . δεύτερον τὸ ὑπὸ μεσοπύκνων περιεχόμενον , οὗ δεύτερος ὁ τόνος ἐπὶ τὸ ὀξύ : ἔστι δὲ ἀπὸ παρυπάτης ὑπάτων |
| σιϚʹ σμγʹ , κείσθω καὶ ὁ τοῦ ρϞβʹ ἐπίτριτος ὁ σνϚʹ , ἔσται τοῦτο τὸ ἐπίτριτον συμπεπληρωμένον ὑπὸ δύο τόνων | ||
| ἅμα καὶ κύβος : εἶτα ρκηʹ : μεθ ' ὃν σνϚʹ , ὅς ἐστι τετράγωνος : καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ |
| ἐπιτρίτου γίνεσθαι . πάλιν δὲ τὸ γεννηθὲν πρῶτον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου , ὅ ἐστι τὸ διπλάσιον , μετὰ τοῦ ἡμιολίου | ||
| : ἐξ ἡμιολίου ἄρα καὶ διπλασίου πρώτων εἰδῶν ἐπιμορίου καὶ πολλαπλασίου συνίσταται μιγέντων τὸ δεύτερον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου τὸ τριπλάσιον |
| , Β οἱ ΓΔ , ΕΖ : λέγω , ὅτι ἰσάκις ὁ ΓΔ τὸν Α μετρεῖ καὶ ὁ ΕΖ τὸν | ||
| ἔχον αὔξησιν τοιανδί , τουτέστιν ᾗ οὕτως ὑπερέχον , ἤγουν ἰσάκις : ποιότης γὰρ ὑπεροχῆς ἐστι τὸ ἰσάκις πολλαπλασιάζεσθαι . |
| προσκείσθωσαν αἱ ΕΖ , ΓΔ : ὅλη ἄρα ἡ ΑΕΖ περίμετρος ὅλης τῆς ΑΓΔ περιμέτρου ἐλάττων ἐστί . μείζων ἄρα | ||
| διήχθω τις ἡ ΔΕ . ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν , οὕτως ὁ |
| : ὁ ι πάλιν πρὸς τὸν Ϛ ἐπιμερής ἐστι καὶ ἐπιδίτριτος : ἔχει γὰρ αὐτὸν καὶ δύο αὐτοῦ τρίτα . | ||
| πρὸς τὸ τμῆμα τὸ πρὸς αὐτῇ πέμπτων θ ὂν ὡσαύτως ἐπιδίτριτος , πρὸς μέντοι τὴν ἑτέραν πλευρὰν εἴκοσι πέμπτων οὖσαν |
| δὴ τοσούτων εἶναι μονάδων τοὺς δύο πρώτους ἀριθμούς , οἵπερ διπλάσιοι ἔσονται τῶν λοιπῶν δύο , ὄντων δηλονότι καὶ αὐτῶν | ||
| , ὀγδοήκοντα δὲ ἐκ Μυκηνῶν καὶ ἐκ Φλιοῦντος διακόσιοι , διπλάσιοι δὲ τούτων Κορίνθιοι : παρεγένοντο δὲ καὶ Βοιωτῶν ἑπτακόσιοι |
| ἐν τῷ προειρημένῳ λόγῳ ἐλάσσων πρὸς τὸν μείζονα ἐξεταζόμενος . πολλαπλασιεπιμόριος δέ ἐστι λόγος , ὅταν ὁ μείζων ὅρος δὶς | ||
| ἐλάσσονος μέρος : οἷον ὁ τῶν κϚʹ τοῦ τῶν ηʹ πολλαπλασιεπιμόριος λέγεται , ἐπειδήπερ ὁ ηʹ τρὶς καταμετρήσας τὸν κϚʹ |
| ἐκεῖνος τὸν διπλάσιον αὑτοῦ μετρεῖ , ἐκεῖνος δὲ τὸν ἐκείνου διπλάσιον , ἐκεῖνός τε τὸν ἐκείνου διπλάσιον , καὶ ἀεὶ | ||
| ἄρα ὑπὸ ΖΒΝ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΖΝ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον τοῦ ὑπὸ ΒΖΝ . ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΖΒΝ |
| ἐστὶν τοῦ κορυφαίου , οἷον τοῦ βασιλέως , ἡ δὲ παρανήτη πλησίον μᾶλλον τῆς μέσης : ἔστι δὲ ἡ μέση | ||
| παραμέση τρίτη διεζευγμένων παρανήτη διεζευγμένων διάτονος νήτη διεζευγμένων τρίτη ὑπερβολαίων παρανήτη ὑπερβολαίων διάτονος νήτη ὑπερβολαίων . Ἐν δὲ χρώματι οἵδε |