| τριγώνων πρίσματα ἰσουψῆ τῷ κυλίνδρῳ : καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ἀνασταθέντων πρισμάτων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθ | ||
| παραλληλογράμμου , ἀνασταθέντος πρίσματος . Ἐπειδὴ ἕκαστον τῶν πρισμάτων τῶν ἀνασταθέντων ἀφ ' ἑκάστου τῶν τριγώνων ἥμισύ ἐστιν ἑκάστου τῶν |
| ἐφ ' ἑκάστου τῶν ΑΕΒ , ΒΖΓ , ΓΗΔ , ΔΘΑ τριγώνων πυραμίδες τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσαι τῷ κώνῳ : | ||
| ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕΒ , ΒΖΓ , ΓΗΔ , ΔΘΑ . λοιπὸν ἄρα τὸ πρίσμα , οὗ βάσις μέν |
| ἤτοι ἐντὸς αὐτοῦ πεσεῖται ἢ ἐκτὸς ἢ παραλλάξει ὡς τὸ ΓΗΔ , καὶ κύκλος κύκλον τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ | ||
| καὶ ἀνεστάτω ἀφ ' ἑκάστου τῶν ΑΕΒ , ΒΖΓ , ΓΗΔ , ΔΘΑ τριγώνων πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ . ἑκάστη |
| καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία ἡ ΑΔ περιφέρεια τῆς ΗΜΘ περιφερείας , ἡ δὲ ΗΜΘ τῆς ΚΖΛ καὶ ἔτι | ||
| ΑΕΒ τῇ ὑπὸ ΑΖΒ ἐστιν ἴση , ἡ δὲ ὑπὸ ΗΜΘ τῇ ὑπὸ ΗΝΘ ἐστιν ἴση . ἔστι δὲ ὀρθὴ |
| κοινῆς θεωρίας τὸ ζητούμενον δείκνυσιν . διττῶν δὲ ὄντων τῶν ὀρθογωνίων τριγώνων , τῶν μὲν ἰσοσκελῶν , τῶν δὲ σκαληνῶν | ||
| ἀποφαίνεται : τὸ μὲν πῦρ ὑπὸ τεσσάρων καὶ εἴκοσι τριγώνων ὀρθογωνίων συμπληροῦται τέσσαρσιν ἰσοπλεύροις περιεχόμενον . ἕκαστον δὲ ἰσόπλευρον σύγκειται |
| πρὸς ΓΔ , οὕτως τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΓΔ ἰσοϋψὲς τρίγωνον , τὸ ἄρα ΑΓΔ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ | ||
| τὸ ΑΒΓΔ , καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου πρίσμα ἰσοϋψὲς τῷ κυλίνδρῳ . τὸ ἄρα ἀνεσταμένον πρίσμα μεῖζόν ἐστιν |
| Ἐν τούτῳ τῷ λεʹ παραδόξῳ θεωρήματι δείκνυται τὸ ποσὸν τῶν παραλληλογράμμων . ὀρθογωνίων μὲν συναμφοτέρων ὄντων τῶν παραλληλογράμμων δείκνυται τὸ | ||
| : λέγω , ὅτι πάντων τῶν παρὰ τὴν ΑΒ παραβαλλομένων παραλληλογράμμων καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι [ παραλληλογράμμοις ] ὁμοίοις τε καὶ |
| κῶνοι πρὸς ἀλλήλους διπλασίονα λόγον ἔχωσιν ἤπερ τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα , ἰσοϋψεῖς ἔσονται οἱ κῶνοι . καταγεγράφθωσαν οἱ | ||
| καὶ ἐπεὶ τῶν ΚΗΓΔ , ΒΘΕΖ κώνων τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα τὰ ΚΓΔ , ΒΕΖ ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν , |
| παρὰ δὲ τὸ αὐτὸ χαίρω χάρτης , χωρητικὸς ὢν τῶν ἐγγραφομένων . Φιλόξενος ἐν τῷ Περὶ μονοσυλλάβων ῥημάτων . . | ||
| ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων . Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ , καὶ εἰς τὸν |
| : καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΚ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΓΗΕ . ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΗΓΕ τῇ ὑπὸ ΒΓΚ | ||
| ΑΖ περιφέρεια δίχα τῷ Ε , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΒΑ ΓΗΕ : λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΕ γωνία |
| : τὸ Η ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῶν κύκλων . ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Η σημείου τῷ μὲν τοῦ ΓΔ κύκλου | ||
| . ἔστω δὲ ἡ δοθεῖσα γωνία πρότερον ὀρθή , καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τῆς ΑΒ ἐπίπεδον ὀρθὸν πρὸς τὸ ὑποκείμενον , |
| περιφέρεια τῇ ΓΔ , ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖΓ τῇ ὑπὸ ΓΖΔ . καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ | ||
| τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΓ , τουτέστιν τὰ ἀπὸ τῶν ΒΖΓ , τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ . ἐπεὶ οὖν δύο |
| τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΕΖΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΚΖΗ . ἀλλὰ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΖΔ ἴσον ἐδείχθη τὸ | ||
| ἡ ΛΝ τῇ ΝΖ . ἤχθωσαν τεταγμένως αἱ ΒΘ , ΚΖΗ , ΛΜΔ . ἐπεὶ οὖν διὰ τὰ δεδειγμένα ἐν |
| νοουμένων πραγμάτων κατὰ τὸ αὐτὸ παραλαμβάνεσθαι . ἡ ἐπαγγελία τῶν διαζευκτικῶν ἑνὸς ὕπαρξιν ἐπαγγέλλεται , τοῦ δ ' ὑπολειπομένου ἢ | ||
| τῶν πρὸς τὸν ἥλιον σχηματισμῶν ἐνίστασθαι καταφανήσεται , τῶν μὲν διαζευκτικῶν τόνων ἐφαρμοζομένων ταῖς τε ἀπὸ τῶν κρύψεων ἐπὶ τὰς |
| ἀποφαίνεται λέγων ὅτι τῶν ἑτερογενῶν καὶ μὴ ὑπ ' ἄλληλα τεταγμένων ἕτεραι τῷ εἴδει καὶ αἱ διαφοραί , τῶν δὲ | ||
| εἰ παραβάλλοιμεν αὐτὸ κριτηρίοις τισὶ τῶν ἰδίως ὑπ ' αὐτὸ τεταγμένων : ἐπὶ τὰ καθόλου πάντα προοδοποιεῖσθαι μάλιστα πέφυκε διὰ |
| ὀκτώ . εἰκάζεται δὲ ὀκταέδρῳ , ὃ περιέχεται ὑπὸ ὀκτὼ τριγώνων ἰσοπλεύρων , ὧν ἕκαστον εἰς ἓξ ὀρθογώνια διαιρεῖται , | ||
| : ἐλάχιστον ἄρα τὸ ΕΑΖ πάντων τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων . πάλιν ἐπεὶ τῶν ΑΗΘ , ΑΓΔ τριγώνων αἵ |
| , Ζ ἴσα εἰσίν . ὡσαύτως καὶ τὰ ΗΒ , ΘΔ ἴσα τοῖς Ε , Ζ . ὅσα ἄρα ἐστὶν | ||
| πλῆθος τῶν ΑΗ , ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΓΘ , ΘΔ . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΗ τῷ |
| ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ , ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΘ τῇ ὑπὸ ΔΓΚ ἐστιν ἴση . καὶ περιφέρεια ἄρα | ||
| καὶ ἔστω ὡς ὁ ΒΑΘ : μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΒΘ κύκλος : ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση |
| ΑΒΓ ὅλῳ τῷ ΔΕΖ ἐστὶν ὅμοιον . ηʹ . Θέσει δεδομένων τῶν ΑΒ ΑΓ , ἀγαγεῖν παρὰ θέσει τὴν ΔΕ | ||
| Ἕρμαρχος ζῇ . “ Ἐκ δὲ τῶν γινομένων προσόδων τῶν δεδομένων ἀφ ' ἡμῶν Ἀμυνομάχῳ καὶ Τιμοκράτει κατὰ τὸ δυνατὸν |
| τῆς ΔΒ καὶ τῆς ΒΘ καὶ ἔτι τῆς ΕΘ , καθέτων δ ' ἀγομένων ἐπὶ μὲν τὴν ΔΒ τῆς ΖΚ | ||
| κώνου , οὗ βάσις μὲν ὁ ὑπὸ τῶν πτώσεων τῶν καθέτων γραφόμενος κύκλος , κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ ἐξ |
| ἔστιν ἄρα καὶ ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων , οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους | ||
| , τὸ δὲ καὶ μετὰ κυνῶν . δύο γὰρ τῶν ἑπομένων ταῖς βουσίν , ὡς δὴ μακρὰν ἦσαν οὐχ ὁρῶντες |
| Ο μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΠΟ , καὶ τριῶν οὐσῶν περιφερειῶν ὁμοιογενῶν ἀνίσων τῶν ΚΘ , ΘΠ , ΗΘ εἰλήφθω | ||
| τεσσάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν δύο μὲν τῶν ΒΓ , ΕΖ περιφερειῶν , δύο δὲ τῶν ΗΒΓ , ΕΘΖ τομέων εἴληπται |
| τῇ ΓΔ ἐστιν ἴση : ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΔΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΑΓ ἐστιν ἴση : αἱ ἄρα | ||
| δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ , ΔΑΓ . ἀλλὰ ταῖς ὑπὸ ΓΔΑ , ΔΑΓ ἴση ἐστὶν ἡ ἐκτὸς ἡ ὑπὸ ΒΓΔ |
| ἀπὸ τοῦ γδ ἴσος ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν δβ , βγ μετὰ τοῦ δὶς ἐκ τῶν δβ , βγ , | ||
| ἀπὸ τῶν βγ , γα καὶ τῷ δὶς ἐκ τῶν βγ , γα , κοινὸς προσκείσθω ὁ ἀπὸ τοῦ αγ |
| , ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΓΘ τῇ ὑπὸ ΘΓΒ : ἡμικυκλίων γάρ . οὐκοῦν ἡ ὑπὸ ΗΓΔ ἐλάσσων τῆς ὑπὸ | ||
| γωνίαι ἡμικυκλίων ἴσων εἰσὶν γωνίαι : πᾶσαι αἱ τῶν ἴσων ἡμικυκλίων γωνίαι ἴσαι : αἱ ΑΓ , ΒΔ ἄρα γωνίαι |
| διήχθω γὰρ λόγου χάριν ἡ ΛΚ , καὶ κάθετος ἡ ΛΟ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ρ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν | ||
| ΧΕΤ . καὶ ἐπεὶ ζητῶ τίς ἡ ΖΘ περιφέρεια τῇ ΛΟ , τουτέστιν ἡ ΕΗ τῇ ΚΦ , ζητήσω ἄρα |
| δύο δοθεισῶν εὐθειῶν πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις τῶν ΑΓ , ΓΛ γεγράφθωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΖΑΗ , ΘΓΚ , ὧν διάμετρος μὲν | ||
| διὰ τοῦ Α καὶ ἑκατέρου τῶν Μ Ν μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν : ἥξουσιν δὴ καὶ διὰ τοῦ ἑτέρου πόλου . |
| ἄρα ἀπὸ τῆς ΜΓ ἔλασσόν ἐστι τοῦ δὶς ἀπὸ τῶν ΜΩ . τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΜΓ τοῦ ἀπὸ τῆς | ||
| τῶν ΓΩ , ΩΜ ἐλάσσονά ἐστι τοῦ δὶς ἀπὸ τῶν ΜΩ . ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῶν ΓΩ , ΩΜ ἴσον |
| ἴσα τμήματα ἴσων κύκλων τὰ ΑΒΓ , ΔΕΖ , καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΑΒ , ΔΕ , καὶ κάθετοι | ||
| δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ΑΕΓΔ , καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΑΔ , ΓΕ : κατὰ διάμετρον |
| ἀγοράν , ἔτι δὲ πύργων ἀξιολόγους κατασκευὰς καὶ κατὰ τάφους πυραμίδων πολλῶν καὶ μεγάλων διαφόρων ταῖς φιλοτεχνίαις . Ἐπ ' | ||
| τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος . τῶν ΑΒΓΗ , ΔΕΖΘ ἄρα πυραμίδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν . Ἀλλὰ δὴ τῶν |
| ἐν τριγώνῳ οὖν τῷ ΚΛΡ μείζων ἐστὶν ἡ ΛΚ τῆς ΛΡ : αὕτη δὲ τῆς ΛΠ μείζων . ὥστε καὶ | ||
| ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΛΡ : μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΡ τῆς ΡΜ : ἡ ἄρα ΛΜ τῆς ΜΡ μείζων |
| ΥΦ . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΒΧ , ΧΓ , ΓΦ ἑκατέρᾳ τῶν ΒΥ , ΥΦ | ||
| ἄρα ἡ ΧΑ πρὸς ΑΞ , οὕτως ἡ ΞΒ πρὸς ΒΧ . καὶ διελόντι ὡς ἡ ΧΞ πρὸς ΞΑ , |
| , ΗΠ , ΠΘ , ΘΡ , ΡΕ τριγώνων πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ . ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνεσταμένων πυραμίδων μείζων | ||
| τὸ ΕΖΗΘ , καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΕΖΗΘ τετραγώνου πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ . ἡ ἄρα ἀνεσταμένη πυραμὶς μεῖζόν ἐστιν |
| , καὶ ἄλλο τὸ συναμφότερον τοῦτο ὃ οὐκ ἔστιν ἐξ ὁμοταγῶν , οὐδὲ ἐκ στοιχείων , οὐδὲ ἐκ μερῶν , | ||
| ὑπερέχει τοῦ παραδείγματος ἡ ὁμοιότης . Ἡ μὲν δὴ τῶν ὁμοταγῶν ἐπίσης ἔχει πρὸς τὴν ἀντιστροφήν , ἡ δὲ τοῦ |
| δὲ ἓν εἶναι . Ἀλλὰ ἴσως σαφέστερα ταῦτα ἔσται κἀκείνων ἐγνωσμένων , ἢν τὰ γένη λάβωμεν ὁπόσα : οὕτω γὰρ | ||
| ὡς εἰπεῖν τῶν καὶ ἡμῖν καὶ τοῖς ἡμετέροις προγόνοις καλῶς ἐγνωσμένων ἐπίπροσθεν θέσθαι τοὺς τοῦ δεῖνος ἢ τοῦ δεῖνος φληνάφους |
| πρὸς ἀλλήλους ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἐν ταῖς βάσεσι διαμέτρων . ἔστωσαν ὅμοιοι κῶνοι καὶ κύλινδροι , ὧν βάσεις | ||
| δηλονότι τὸ κέντρον αὐτοῦ , καὶ αὐτόθεν ἂν ἐφαίνετο τῶν διαμέτρων ὁ λόγος : ἐπεὶ δ ' ἐλάσσων ἐστὶν αὐτῆς |
| καὶ ὑπηρέτῃ : ἢ ἡ γλῶττα τῷ κήρυκι τούτων τῶν ἀγγελιῶν , τουτέστι σοὶ τέμνεται : ἀντὶ τοῦ , εἴθε | ||
| μόνον τοῖς παροῦσιν , ἀλλὰ δὴ καὶ ταῖς χρησταῖς τῶν ἀγγελιῶν , ἕως ἔδει τούτους πράξειν κακῶς καὶ οὔπω παρῆν |
| καὶ ἰϲχνάνϲεωϲ ἀχροίαϲ τε καὶ ἀνορεξίαϲ , ἐποχῆϲ ἐμμήνων καὶ μαϲθῶν ὄγκοϲ , ὡϲ ὑπόνοιαν ϲυλλήψεωϲ ἐπί τινων γίνεϲθαι κατ | ||
| διορθοῦν δύναιτο . περὶ τοῦ τετυρωμένου γάλακτοϲ ἐν τῷ περὶ μαϲθῶν κατὰ τὸ τρίτον βιβλίον λεχθήϲεται . Πρώτην τροφὴν εἰϲφέρειν |
| ἡ δὲ ΝΧ τῆς ΔΦ διπλῆ , καὶ λοιπὴν τὴν ΧΓ ἕξομεν τοιούτων νε λδ , οἵων ἐστὶν ἡ ΝΧ | ||
| ἐπεὶ δύο αἱ ΒΥ , ΥΦ δυσὶ ταῖς ΒΧ , ΧΓ ἴσαι εἰσίν , καὶ βάσις ἡ ΒΦ βάσει τῇ |
| ιη με , ἡ δὲ λοιπὴ εἰς τὸ τεταρτημόριον ἡ ΘΑ τῶν αὐτῶν οα ιε . ἐπειδὴ οὖν κατὰ τὰ | ||
| τετράγωνον Μβ ͵εωμε νε , τὸ δ ' ἀπὸ τῆς ΘΑ ὁμοίως ͵γφξη δ , ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ |
| ' ἣν ἐνείματο , καὶ μεμαρτύρηται ὑμῖν : τῶν δὲ λήξεων τούτων ἀναγνώσεται ὑμῖν τὰς μαρτυρίας . λαβὲ τὰς μαρτυρίας | ||
| ἢ τῶν ἐκλείψεων . δύσεων , ἐκλείψεων . δύσεων , λήξεων . λήξεων . ἐπεθύμει . ὑποχειρίαν ποιῆσαι . εἰ |
| καὶ ἔστω ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΔΜ , τῶν ΗΓ ΜΔ ἐκβληθεισῶν καὶ συμπιπτουσῶν κατὰ τὸ Ν . ἐπεὶ οὖν τὸ | ||
| συμπτώσεως , τὸ δὲ ΔΕ ἐκτὸς τῆς συμπτώσεως . οὐκοῦν ἐκβληθεισῶν τῶν ὄψεων καθάπερ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις καὶ κυρτοῖς ἐνόπτροις |
| , διὰ δὲ τοῦ Κ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΝ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΘ ἐπὶ τὸ Ν . | ||
| τὸ Α ὄμμα ἐπὶ τὸ Ν , καὶ περὶ τὴν ΚΝ κύκλος γεγράφθω , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΡ , ΡΚ |
| τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου . Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω εἰς | ||
| διὰ τοῦ κέντρου τῶν τομῶν , καὶ ἤχθω διάμετρος τῶν τομῶν ἡ ΑΗ , καὶ ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἤχθω ἡ |
| ὁ Ἀρραβαίου , τοῦ Ἀμύντου ἀδελφός , τῶν παρὰ Δαρεῖον αὐτομολησάντων : τῶν δὲ Ἀλεξάνδρου στρατιωτῶν ἀπέθανον μὲν ἐς ἑκκαίδεκα | ||
| οὕτω καλουμένην . Ἀλεξάνδρῳ δὲ ὡς ἐξηγγέλθη ταῦτα πρός τινων αὐτομολησάντων ἐκ τοῦ ἔργου καὶ τὸ πῦρ πολὺ καθεώρα αὐτός |
| . διὰ τὰ αὐτὰ ἔσται , ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΜΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΥΙ , τὸ ὑπὸ ΞΡΓ πρὸς | ||
| δὲ ΛΤ τὰ ἴσα ἔγγιστα ὡσαύτως κη , τῆς δὲ ΜΥ ἑξηκοστὰ μ . ὧν τὰ μὲν τῆς αʹ καὶ |
| παύονται , ἢ πρόσθεν : οἵ τε κακοηθέστατοι καὶ ἐπὶ σημείων δεινοτάτων γιγνόμενοι τεταρταῖοι κτείνουσιν , ἢ πρόσθεν . Ἡ | ||
| ἐστὶν ἡμῖν , ὅτι οὐ παράδοξον εἰ τὰ τοιαῦτα τῶν σημείων πλειόνων ἐστὶ δηλωτικά : θεμένων γὰρ νόμους , ὥς |
| τὰ συσταθέντα τὰ ΑΖΓ ΓΗΕ ἅμα τῶν ἐξ ἀρχῆς ΑΒΓ ΓΔΕ : καὶ τοῦτο γὰρ δέδεικται πρὸ δύο . κοινοῦ | ||
| τῇ ὑπὸ ΔΓΕ , τὴν δὲ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ καὶ ἔτι τὴν ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΓΕΔ : |
| ΘΚΛ , τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΚΖΓΛ , ΛΓΗΘ , ΘΚΖΗ . καὶ φανερόν , ὅτι ἑκάτερον τῶν πρισμάτων , | ||
| δειχθήσεται . ὅτι μὲν οὖν ἰσόπλευρόν τε καὶ παραλληλόγραμμον τὸ ΘΚΖΗ τετράπλευρον , δῆλον : ὅτι δὲ καὶ ἰσογώνιον , |
| , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ , σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ | ||
| , οὕτως ἡ ΒΛ πρὸς ΛΗ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΘ πρὸς ΘΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΜ πρὸς |
| τῶν ΑΔ , ΔΒ τετράγωνα , τουτέστι ιε , γίνονται σκε καὶ τρὶς γ θ , ὁμοῦ σλδ , διπλάσιά | ||
| τῆς ΖΒ τὰ λοιπὰ τῶν υ τῶν ἀπὸ τῆς ΑΒ σκε , ἡ δὲ ΒΖ ιε , ἥτις ἐστὶ σύμμετρος |
| ἡμᾶϲ ἐμπειρικώτατοϲ ὀφθαλμικὸϲ καὶ διὰ ϲείϲεωϲ τῆϲ κεφαλῆϲ πολλοὺϲ τῶν ὑποπύων ἐθεράπευϲε , καθίζων μὲν αὐτοὺϲ ὀρθίουϲ ἐπὶ δίφρου , | ||
| πτερυγίων . ιθʹ . Περὶ ϲταφυλωμάτων . κʹ . Περὶ ὑποπύων ὀφθαλμῶν . καʹ . Περὶ ὑποχυμάτων . κβʹ . |
| . ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΝΜ τῷ ἀπὸ τῆς ΞΖ , τουτέστι τὸ ὑπὸ ΑΛ , ΛΜ μετὰ τοῦ | ||
| τὴν τῶν ΞΖ , ΖΜ ἀποστημάτων ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν ΞΖ , ΖΘ ὑπεροχήν , οὕτως τὴν τῶν κατὰ τοὺς |
| δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν : καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΒ , ΓΒΑ , ΓΑΒ ἄρα δυσίν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . Παντὸς | ||
| τῶν ΔΗΕ , περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν ΓΒΑ , ΕΔΗ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον , τῶν δὲ λοιπῶν |
| δὲ τὸ τῇ ἐναρμονίῳ . κοινὸν δὲ τὸ ἐκ τῶν ἑστώτων συγκείμενον , μικτὸν δὲ τό , ἐν ᾧ δύο | ||
| δὲ μέγεθος ὕστερον ἐν συνθέσει : καὶ ὁ μὲν ἀριθμὸς ἑστώτων , τὸ δὲ μέγεθος ἐν κινήσει . Ἀλλὰ ταῦτα |
| εἰς μέρη ιβ , καὶ καλεῖται κοινῶς μὲν ἕκαστον τῶν τμημάτων δωδεκατημόριον , ἰδίως δὲ ἀπὸ τῶν ἐμπεριεχομένων ἀστέρων ὑφ | ||
| ἐστιν ριε νϚ , καὶ ἡ ὑπ ' αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρα μγ μδ : ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΔΖ |
| ΔΑ παραλληλόγραμμα , καὶ ἀπ ' αὐτῶν ἀναστήσωμεν στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἰσοϋψῆ τῷ κυλίνδρῳ , ἑκάστου τῶν ἀνασταθέντων ἡμίση ἐστὶ τὰ | ||
| καί ἐστι τὰ ἀπ ' αὐτῶν ἀνιστάμενα στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρίσματα ἰσοϋψῆ : τὰ δὲ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα στερεὰ |
| τῇ Θ , ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔΕΘ τριγώνῳ : ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν | ||
| ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΚΓ , τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΔΕΘ , τῇ ὑπὸ ΑΒΓ . ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ |
| τὸ ΠΝ , καὶ διὰ τοῦ Π σημείου τετμήσθω ὁ ΕΟ κύλινδρος ἐπιπέδῳ τῷ ΤΥΣ παραλλήλῳ τοῖς τῶν ΕΖΗΘ , | ||
| ΟΣ , ΣΒ μείζους εἰσὶν ἀλλήλων ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΕΟ . καὶ ἐπεὶ αἱ ΓΝ , ΝΚ , ΚΗ |
| ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΞΑ πρὸς ΑΜ , οὕτως ἡ ΟΔ πρὸς ΔΝ . ἐπεὶ δέ ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ | ||
| τῇ ΔΩ παράλληλος ἤχθω ἡ ͵αΤϠ , καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΟΔ κατὰ τὸ ͵α , καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΩΨ , |
| ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς ὀρθὰς ἐφεστάτω : λέγω , ὅτι ἡ ΕΖ καὶ τῷ διὰ | ||
| ΑΕΒΤΓΥΔΦ πολύγωνον , κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον , τρίγωνον ἐφεστάτω τὸ ΛΣΒ , τῶν δὲ περιεχόντων τὴν πυραμίδα , |
| δὲ πλάτος δακτύλων β : ἀπέχεις οὗν καὶ τὴν τῶν μεσοστατῶν κατασκευήν . . τὰς δὲ καταζυγίδας - δεῖ διατεινούσας | ||
| δὲ καὶ ἐυεργέστερον ἀντὶ τοῦ ὀρθοῦ ἄξονος ἀπὸ τῆς τῶν μεσοστατῶν ἐπιζυγίδος ἀρτήματι κρεμάσαι τὸν κάμακα τοῦτον ὡς κριὸν , |
| ὀστοῦν ἐπὶ τῷ πέρατι τῆς γένυος , ἐν ᾧ τῶν τομέων ὀδόντων αἱ ῥίζαι τε καὶ φατνία περιέχονται . φαίνεται | ||
| καὶ τῶν ἐμβαδῶν αὐτῶν πρὸς τὰ τῶν ὑπὸ τὰς περιφερείας τομέων , καὶ τὸ μὲν τοῦ ΑΕΓΔ τομέως ἐμβαδὸν ἕξομεν |
| τὴν Εὔβοιαν μετὰ παντὸς τοῦ στόλου , καὶ τὴν τῶν Ἱστιαιέων πόλιν βίᾳ χειρωσάμενος καὶ διαρπάσας τὴν χώραν αὐτῶν ἐδῄωσεν | ||
| Ἀθηναίων ἐλθόντας τὸν Ὠρεὸν οἰκῆσαι , δῆμον ὄντα πρότερον τῶν Ἱστιαιέων . , : τίνες δὲ καὶ πόθεν , οὐδὲν |
| ΚΕΔ . ἀλλ ' ἡ μὲν ὑπὸ ΚΔΕ τῇ ὑπὸ ΔΚΛ ἐστὶν ἴση , ἡ δὲ ὑπὸ ΚΕΔ τῇ ὑπὸ | ||
| τῷ Ζ , διαστήματι δὲ τῷ ΖΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΚΛ : πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ Η , διαστήματι δὲ |
| παρηγοροῦσιν . [ Περὶ τῶν ὑφ ' αἱμόῤῥου καὶ διψάδος δεδηγμένων ] Αἱμόῤῥου καὶ διψάδος πρὸς τοῖς πλείστοις τῶν προγενομένων | ||
| τῶν ὑπὸ φαλαγγίων δεδηγμένων . ] Τοῖς δὲ ὑπὸ φαλαγγίων δεδηγμένων ταῦτα ἐπιτιθέναι δεῖ : τέφραν συκίνην σὺν ἁλσὶ λείοις |
| ٤٢ τὸ ΒΔ ٣ ٢٧ ٥٠ ٧ ١٨ τὸ ΛΘ ٣٢ ٣٢ ٩ ٥٢ ٤٢ ἡ ΖΘ ٩ ἡ ΚΘ | ||
| ἤτοι τῆς ἡμισείας τῆς ΑΗ ٢٧ ٢٦ ٣ ٣٨ ٥٨ ٣٢ ١٥ ἡ ΑΖ ٥ ١٧ ٢٨ ٢١ ١٧ ἡ |
| ΩΒ τῇ ΒΨ . καί ἐστι μέγιστος τῶν παραλλήλων ὁ ΒΗΔ , καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΩΚ , ΨΛ : | ||
| ΓΔ . ὁμοίως δὴ τοῖς πρὸ τούτου ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΗΔ γωνία ἡ λείπουσά ἐστιν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς τῆς |
| : τὸ μὲν γὰρ δὶς ἀπὸ ΑΒ , διὰ τῶν διχοτομιῶν , ἴσον ἐστὶν τῷ τε δὶς ὑπὸ ΑΔΓ καὶ | ||
| , τῶν δὲ ἄλλων οἱ μὲν ἴσον ἀπέχοντες ὁποτερασοῦν τῶν διχοτομιῶν ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι , αἰεὶ δὲ ὁ πορρώτερον τὴν |
| . . . . . ριζ ιδ Ψευδοστόμου ποταμοῦ ἐκβολαί ριζ γʹ ιδ Ποδοπέρουρα . . . . . . | ||
| . . . . . . . . . . ριζ κγ ∠ ʹ Πίσκα . . . . . |
| πονηρὸς ἔδοξεν , ὥστε μηδ ' ἐκεῖ ⌈ ⌉ τῶν ἴσων ἀξιοῦσθαι τοῖς ἄλλοις , ἀλλὰ κλέπτην ὥς φασι ληφθέντα | ||
| δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὰς ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένας γωνίας ἴσας : καὶ τὴν βάσιν ἄρα |
| εἶναι τῇ ΠΡ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΑΠ πρὸς ΠΔ , ἡ ΘΑ πρὸς ΛΔ , ὡς | ||
| μὲν ἔχει λόγον ἡ ΑΛ πρὸς ΛΒ , ἐχέτω ἡ ΑΠ πρὸς ΠΒ , ὃν δὲ ἡ ΔΛ πρὸς ΛΓ |
| . Ἀλλ ' ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ τὸ Ν τὴν ΝΒ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Β παραγίγνεται , ἡ ΑΕ | ||
| ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἡ ΜΒ τῆς τοῦ δωδεκαέδρου τῆς ΝΒ , δείξομεν οὕτως . Ἐπεὶ γὰρ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ |
| πρὸς τὴν ΓΔ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ | ||
| τὴν ΖΕ , συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν , ὡς ἡ ΜΕ πρὸς τὴν ΕΗ , οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν |
| ἐστιν ἴσον τὸ ΔΚ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ , τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ | ||
| ΛΟ , ΟΝ , καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΟ , ΟΝ [ ἄρα ] μέσα ἐστίν : καὶ αἱ ΛΟ |
| . ὥστε καὶ τὰ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ἀπὸ τῶν εἰρημένων πρισμάτων ἀναγραφόμενα ἰσοϋψῆ καὶ πρὸς ἄλληλα [ εἰσὶν ] ὡς | ||
| ἡμέρας ι καὶ μετὰ ταῦτα σμώμενα , λωτοῦ τοῦ δένδρου πρισμάτων ἀφέψημα . μελαίνας δὲ ποιεῖ σμώμενα κηκῖδος ἀπόβρεγμα καὶ |
| μοιραρχῶν τελειότερα καὶ ἐξηλλαγμένα , ὁμοίως δὲ καὶ τὰ τῶν μεραρχῶν πρὸς τὰ τῶν ὑπ ' αὐτοὺς μοιραρχῶν ἐνηλλαγμένα . | ||
| δὲ καὶ τὸ τοῦ ὑποστρατήγου βάνδον διαφορὰν πατὰ τὰ τῶν μεραρχῶν ἔχειν , ὥσπερ οὖν καὶ τὸ τοῦ στρατηγοῦ ἐπηλλαγμένον |
| ΘΚ , τῇ δὲ ΡΛ ἴση ἑκατέρα τῶν ΡΜ , ΡΝ : ἑκάστη ἄρα τῶν ΑΒ , ΒΓ , ΔΕ | ||
| : ἐπ ' εὐθείας ἄρα [ ἐστὶ ] καὶ ἡ ΡΝ τῇ ΝΟ . καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΣΠ τετράγωνον : |
| καὶ ὡς ἡ ΤΒ πρὸς τὴν ΒΛ , οὕτως ἡ ΟΖ πρὸς τὴν ΖΝ . δι ' ἴσου ἄρα ὡς | ||
| τὸ ὑπὸ ΓΞΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΕ καὶ τοῦ ἀπὸ ΟΖ , τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΕΘ , πρὸς τὸ ὑπὸ |
| τὰ παραγραφικὰ τὸ ἀντιθετικὸν , ὅτι δι ' ἀπορίαν τῶν λειτουργούντων ἀναγκαῖος ἦν ὁ νόμος : ἡ λύσις ἐκ μεταλήψεως | ||
| ἥκιστ ' ἂν λυμήναιτο παροφθὲν , ἐκ δὲ τῶν μὴ λειτουργούντων τὰ μέγιστ ' ἂν αἱ πόλεις βλαφθεῖεν . καὶ |
| δὴ ὑποκείσθω τὸ αὐτὸ σχῆμα , καὶ ἔστω τετραγώνου ἡ ΚΖ , καὶ ἴσαι ἀπειλήφθωσαν ἐπὶ τὰ Ζ Δ μέρη | ||
| ΔΖ πρὸς τὴν ΘΖ , οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΖ . Ὡς γὰρ αἱ γωνίαι , δι ' ὧν |
| τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΓ ΓΖ , ἔστιν δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΑ ΑΖ | ||
| : ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΑΕ βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν , οὕτως τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΔ |
| φέρε εἰπεῖν ὑπὸ δ τριγώνων καὶ θ τετραγώνων καὶ τριῶν πενταγώνων , ἔτι δὲ καὶ ἕτερον στερεὸν σχῆμα ὁμοίως περιέχεται | ||
| καὶ πάλιν τὰς πυραμίδας τὰς ἐχούσας πεντάγωνον βάσιν ἀπὸ τῶν πενταγώνων ποιεῖ , καὶ τὰς ἑξάγωνον ἐχούσας βάσιν ἀπὸ τῶν |
| ταῦτα ἐπὶ Τρωσὶ δικασταῖς . Οἶδα ἐγώ , ἥτις μου κατεδίκασεν : ἀλλ ' οὐ θέμις λέγειν τι περὶ τῶν | ||
| ἔθετο ἐψηφίσατο , γνῶσιν ἐξήνεγκεν , κατεψηφίσατο , κατέγνω , κατεδίκασεν , προσετίμησεν ἐπετίμησεν , ἐζημίωσεν , ἀπέγνω , ἀπεψηφίσατο |
| τὸ πεπερατωμένον σῶμα . εἰ οὖν φαμεν τὸ μεταξὺ τῶν πεπερατωμένων σωμάτων τόπον εἶναι , ἔσται σῶμα ὁ τόπος : | ||
| τὰ πεπερατωμένα τῶν πεπερατωμένων ἅψεται ἢ καὶ τὰ πεπερατωμένα τῶν πεπερατωμένων καὶ τὰ πέρατα τῶν περάτων , οἷον ἐπὶ τοῦ |
| δεδειγμένα ἄρα ἐν τῷ μγʹ θεωρήματι ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΘΝΖ τρίγωνον τῷ ΛΒΖΞ τετραπλεύρῳ , τὸ δὲ ΗΘΚ τρίγωνον | ||
| πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΣΝΡ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΘΝΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΞΝΖ . τὸ ἄρα ὑπὸ |
| , ἤγουν ἡ Εἱμαρμένη . . ΤΟΥΝΕΚ ' ΑΡ ' ΑΝΘΡΩΠΟΙΣΙ . Τούτου δὴ ἕνεκα , ἤγουν τῆς παρὰ τοῦ | ||
| , ἢ ἀπὸ τοῦ γέρας . . ΤΟΝ ΔΕ ΓΑΡ ΑΝΘΡΩΠΟΙΣΙ ΝΟΜΟΝ . Καὶ τοῦτο ἄξιον ποιητοῦ νικήσαντος Ὅμηρον . |
| τῷ ΑΔΕ τριγώνῳ , τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΑ πρὸς ΑΔ | ||
| τὸ ἀπὸ ΑΔ , οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ τρίγωνον . Ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον |
| δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . καὶ οὐδετέρα τῶν ΔΜ , ΜΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ | ||
| πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ , οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς ΔΜ . ἀλλ ' ἦν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ |
| ΑΞ ἄρα ἴση τῇ ΤΓ . ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ΑΧ ὅλῃ τῇ ΧΓ ἐστιν ἴση , ἐξ ὧν ἡ | ||
| δύο , ὅπερ δὴ καὶ ὁρᾶται : ἔστι γὰρ τοῦ ΑΧ ὄντος δευτέρου ξου [ ͵γχου ] δύο ἑξηκοστά . |
| κτέανα ταῦτα , οἷον τὰ ὀνείδη , διήξει μέχρι τῶν ἐπιγόνων . κτέανα δὲ εἶπεν ὡς ἐπὶ οὐσίας , οἷον | ||
| , φασι , Θηβαῖοι τὰ πρῶτα νικήσαντες ὕστερον ὑπὸ τῶν ἐπιγόνων ἡττήθησαν . Ἀρριανὸς μέντοι ἐν τοῖς Βιθυνιακοῖς , ὡς |
| ἄνευ γνώμης γεγονέναι . ἀλλ ' ἑνὸς τοῦ μεταξὺ κώλου συγκειμένου λεκτικῶς τοῦ ἥκειν Ἀριστοκράτους κατηγορήσοντα τουτουί τὸ συμπλεκόμενον τούτῳ | ||
| α , ποιῶν ⃞ον . καὶ ἐπεὶ ὁ ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν πλευρὰν δηλονότι ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ |
| τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΗΚΘ τῇ ὑπὸ ΟΛΗ , τουτέστιν ἡ ΠΘ περιφέρεια τῇ ΟΗ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΘΣ τῇ | ||
| ἀπὸ ΕΘ , ΘΗ : καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΠΘ λοιπῷ τῷ ἀπὸ ΘΡ ἴσον ἐστίν : ἴση ἄρα |
| ΔΘ μείζων ἐστὶν τῆς ΑΛ . καὶ ἔστιν ὅμοια τὰ ΔΗΘ ΑΚΛ τρίγωνα : ὡς ἄρα ἡ ΔΘ πρὸς ΘΗ | ||
| αὑτή ἐστιν τῇ ὑπὸ ΔΗΘ . δοθεῖσα οὖν ἡ ὑπὸ ΔΗΘ . ἀλλὰ καὶ ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Θ . |
| ὅτι ἐν πλείστῳ μὲν χρόνῳ δύνουσιν αἱ ΑΗ , ΜΓ περιφέρειαι , ἐν ἐλάσσονι δὲ αἱ ΗΘ , ΛΜ , | ||
| τὰ ΑΗΓ , ΔΘΖ , καὶ ἀπ ' αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν πρὸς τοῖς πέρασι τοῖς Α , Δ σημείοις |
| καὶ ἤχθωσαν αὐτῆς δύο συζυγεῖς διάμετροι , ὀρθία μὲν ἡ ΑΕΓ , πλαγία δὲ ἡ ΒΕΔ , καὶ παρὰ τὰς | ||
| ὁ ΑΒΓΔ περὶ κέντρον τὸ Ε καὶ διάμετρος αὐτοῦ ἡ ΑΕΓ ἐκβεβλημένη ἐπὶ τὸ Ζ κέντρον τοῦ διὰ μέσων τῶν |
| ἄρα ἔγγιόν ἐστι τῆς συναφῆς τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ ἤπερ ἡ ΠΔ . ὡσαύτως δὲ καὶ ἐν τῷ ἑτέρῳ ἡμικυκλίῳ αἱ | ||
| Π τὴν ΠΓ διελθὸν ἐπὶ τὸ Γ παραγίγνεται , ἡ ΠΔ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον : ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ |
| γεγράφθω κύκλος ὁ ΑΕΖΓ , καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΑΒΕ , ΑΔΖ , ΑΗΘ : ἴση ἄρα διὰ τὸ πρὸ τούτου | ||
| γωνία τὴν ἡμίσειαν αὐτῆς ὑποτείνουσα δεδομένη ἔσται καὶ ὅλον τὸ ΑΔΖ τρίγωνον , δῆλον : ἐπεὶ δὲ τῆς ΑΓ εὐθείας |
| κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΟΓ ΚΑ ἢ τὸ ὑπὸ Θ ΚΑ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς σφαιρικῆς τοῦ τμήματος ἐπιφανείας . ἀλλὰ | ||
| , οἵων ἐστὶν ἡ ΑΖ διάμετρος ρκ , ἡ δὲ ΚΑ τῶν αὐτῶν ργ νε : ὥστε καί , οἵων |
| ΕΘ εὐθεῖα ε ιη , τοιούτων ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΖΞ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐκκέντρου ξ , ἡ δὲ | ||
| τὸ τοῦ διὰ μέσων ἐπίπεδον αἱ ΔΜ καὶ ΕΝ καὶ ΖΞ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἵ τε ΘΜ καὶ ΚΝ καὶ |
| , ἤγουν τῶν β , καὶ ἕκτον τὰ ιη ὁμοίως ἑξαπλάσια τοῦ τετάρτου , τουτέστι τῶν γ . καὶ μιγέντα | ||
| τριπλάσια γὰρ ἀμφότερα ἀμφοτέρων . ἔστω καὶ πέμπτον τὰ ιβ ἑξαπλάσια τοῦ δευτέρου , ἤγουν τῶν β , καὶ ἕκτον |