| πόδας βʹ , ἔστω κανὼν ἔχων τὸ μῆκος πόδας [ δζʹ ] , τὸ δὲ πλάτος καὶ τὸ ὕψος πόδα | ||
| . Εἰ γὰρ μὴ ἔστιν ὁμοία ἡ γεʹ περιφέρεια τῇ δζʹ , ἔστω ὁμοία ἡ γεʹ τῇ δηʹ : ἐν |
| ιδ ∠ ʹιβ , καὶ διέστηκεν Ἀλεξανδρείας πρὸς δύσεις ὥρας γεʹ . Τῆς δὲ Ἀχαΐας αἱ μὲν Βοιώτιαι Θῆβαι τὴν | ||
| ἐνιαυτοῦ , ὁ χρόνος ἐστὶν ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν γεʹ περιφέρειαν διαπορεύεται . Καὶ ἐπεὶ τοῦ δʹ ἄστρου ἀνατέλλοντος |
| χρόνῳ τὸ δʹ τὴν δζʹ διαπορεύεται καὶ τὸ δʹ τὴν δηʹ : καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου : ἴση ἄρα | ||
| ἀνατέλλουσα οὐχ ὁρᾶται . Στρεφομένου δὲ τοῦ κόσμου ἡ μὲν δηʹ περιφέρεια ἑῴαν ἀνατολὴν ποιεῖται , ἡ δὲ δεʹ οὐχ |
| κάθετος ἡ ΕΝ : ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΝ τῇ ΝΘ . ἦν δὲ καὶ ἡ ΜΞ τῇ ΞΘ : | ||
| αὐτῶν ρκ ἔγγιστα : ὥστε καί , οἵων ἐστὶν ἡ ΝΘ εὐθεῖα ξδ ι , τοιούτων καὶ ἡ ΘΗ ἔσται |
| ὄντος πρὸς τῷ νʹ [ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ζηʹ περιφέρειαν τῇ λνʹ περιφερείᾳ ] : καὶ ἔσται ὁ | ||
| τῷ ηʹ ] : λέγω ὅτι τοῦ ἡλίου διαπορευομένου τὴν ζηʹ περιφέρειαν τὸ εʹ ἄστρον οὐ φαίνεται . Ἔστω γὰρ |
| ὀκταέδρου δὲ τρίγωνον τὸ ΣΡΠ ἔστω , καὶ ὁμοίως ἡ ΧΨ κάθετος , ἣν δεῖ ἐλάσσονα δεῖξαι τῆς ΥΩ καθέτου | ||
| ἀπὸ τῆς ΚΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβʹ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιεʹ τὰ ἀπὸ ΩΦ : ὥστε καὶ λϚʹ |
| τουτέστι ΔΕ , ΕΖ , ἐλάττους ἔσονται τῶν ΜΞ , ΞΛ , τουτέστι τῆς ΜΝ : ἀλλ ' ἡ ΜΝ | ||
| τουτέστιν αἱ ΔΕ , ΕΖ , δύο ταῖς ΜΞ , ΞΛ , τουτέστι τῇ ΜΝ , ἴσαι εἰσίν . ἀλλὰ |
| τὰ ηʹ πρὸς βʹ : καὶ τῆς ΘΚ ἄρα πρὸς ΘΣ λόγος ὃν ἔχει τὰ ηʹ πρὸς τὰ εʹ . | ||
| δὲ ἡ ΘΠ τῆς ΠΝ . διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΘΣ τῆς ΝΒ . καὶ ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΠΘ |
| τῆς δευτέρας συζυγοῦς διαμέτρου , ὡς δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΠΣ , ΣΑ , τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΓΣ , | ||
| δύσις ἡ Ρ , καὶ κείσθω τῇ ΡΝ ἴση ἡ ΠΣ [ καθ ' ὑπόθεσιν , καὶ ἔστω ἐπὶ τοῦ |
| διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεῖν ἔστιν εὐθεῖαν ἴσην τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ χρησάμενον τοῖς ἐπὶ τῆς ἕλικος εἰρημένοις θεωρήμασιν . Σοφίας | ||
| πάλιν , ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΘΗ περιφέρεια τῇ ΠΝ περιφερείᾳ , ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Θ ἐπὶ τὸ |
| ἡ ὑπὸ ΒΑΞ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση , ἡ δὲ ΞΟ τῇ ΘΚ , ἡ δὲ ΟΠ τῇ ΜΝ . | ||
| περὶ διάμετρον τὴν ΚΝ κύκλος γραφόμενος ὀρθὸς ὢν πρὸς τὴν ΞΟ ὁρίζων ἐστὶ τοῖς πρὸς τῷ Ε οἰκοῦσιν . Ἐπεὶ |
| φαινόμενα . οἷον ἐνηνέχθω τὸ μὲν κέντρον τοῦ ἐπικύκλου τεταρτημοριαίαν περιφέρειαν περὶ ἔγκεντρον κύκλον τὴν μο , καὶ μετενηνοχέτω τὸν | ||
| ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν : ὅπερ ἔδει δεῖξαι . Τὴν δοθεῖσαν περιφέρειαν δίχα τεμεῖν . Ἔστω ἡ δοθεῖσα περιφέρεια ἡ ΑΔΒ |
| ἴση δὲ ἡ μὲν ΩΦ τῇ ΨΧ , ἡ δὲ ΦΧ τῇ ΧΠ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΨΧ πρὸς | ||
| , ἡ δὲ ΧΒ ὅλη διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΦΧ τῇ ΦΘ τοιούτων ξδ κζ , οἵων καὶ ἡ |
| , οὕτως ἡ ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ , καὶ ἡ ΤΘ πρὸς τὴν ΘΡ , ” αὐτόθεν ἐλέγχεται τὸ ζητούμενον | ||
| ΘΣ , οὕτως ἡ ΣΘ πρὸς τὴν ΘΤ καὶ ἡ ΤΘ πρὸς τὴν ΘΦ , ὡς δὲ ἡ ΛΜ πρὸς |
| τριγώνῳ ἴσον ἔσται : ἴση ἄρα καὶ ἡ ΣΧ τῇ ΟΦ , ἡ δὲ ΒΦ τῇ ΚΧ . παράλληλος ἄρα | ||
| ἀπὸ μὲν τοῦ Ο ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος ἤχθω ἡ ΟΦ , ἀπὸ δὲ τοῦ Υ ἐπὶ τὴν ΜΞ ἡ |
| , ὥσπερ ἡ ἀπὸ τοῦ Ξ , κοινὴ τομὴ τῶν ΠΞ ΛΞ , καὶ ἐπ ' αὐτῆς τμῆμα ἐπισταθῇ , | ||
| ΞΚΟ , ΠΛΡ . λέγω , ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΠΞ περιφέρεια τῆς ΞΜ περιφερείας . γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ |
| , ἐν ᾗ τὴν τροπὴν ἐποιήσατο πρὸς τῷ Ε , ἀνατελλέτω κατὰ τὸ Ζ , καὶ ἔστω , καθ ' | ||
| τῆς ἀρχῆς τῶν Διδύμων ἔγγιστα χρόνων ἰσημερινῶν ιζ , καὶ ἀνατελλέτω πρῶτον ἡ ἀρχὴ τοῦ Κριοῦ , ἵνα μεσου - |
| : ὁ δὲ χρόνος , ἐν ᾧ τὸ Ψ τὴν ΨΧ διαπορεύεται , ὁ χρόνος ἐστίν , ἐν ᾧ τὸ | ||
| ὁ ἥλιος τὴν ΨΧ περιφέρειαν διαπορεύεται , καὶ ἔστιν τῆς ΨΧ ἡμίσεια ἡ Ψ͵Β , ἐν ἄρα τῷ ἡμίσει τῆς |
| ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΠΡ , ἴση δὲ ἡ ΠΡ τῇ ΗΘ , ἔστιν | ||
| περιφερείας , ἡ δὲ κατὰ τὸ Ο βορεία παράλλαξις τῆς ΠΡ , ἡ δὲ κατὰ τὸ Μ βορεία τῆς ΛΚ |
| λοξὸν κύκλον περιφέρειαι , ἥ τε ΡΔ ἐστὶν καὶ ἡ ΡΕ : γωνίαι δὲ ἥ τε Ζ καὶ ἡ Η | ||
| ΖΟ , ΟΗ , ΗΠ , ΠΘ , ΘΡ , ΡΕ , καὶ ἀνεστάτω ἀφ ' ἑκάστου τῶν ΕΞ , |
| ἧς ἔσται τότε δηλονότι διὰ τὴν ἰσοχρόνιον τῶν ΗΘ , ΖΝ εἰς τὰ ἐναντία συναποκατάστασιν τὸ κέντρον τοῦ ἐκκέντρου , | ||
| γὰρ αἵ τε ΛΚ ΚΜ ΜΞ καὶ αἱ ΜΖ ΖΞ ΖΝ ΖΛ καὶ ἔτι ἡ ΖΚ . ἐπεὶ οὖν διὰ |
| , ἐκεῖνον τὸν λόγον ἔδει ἔχειν καὶ τὴν ΑΓ πρὸς ΛΞ , καὶ τὰ λοιπὰ ὁμοίως κατασκευάζειν . [ καὶ | ||
| , ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ΔΘ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΛΞ , μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΞ . ἐπεὶ |
| ἄρα αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν : παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΠ τῇ ΘΟ . ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων | ||
| ἔστω τὸ ἐπιταχθὲν μέρος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ὑπὸ ΚΜ ΗΠ [ τοῦτο γὰρ προδέδεικται ] , καὶ τῇ ΚΜ |
| χρόνῳ ὁ ἥλιος τήν τε ΥΖ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὴν ΗΦ : ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ πρὸ τῆς Ζ | ||
| μείζων τῆς ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ Ψ , ἡ ΗΦ ἄρα περιφέρεια τῆς ΧΨ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία |
| ΘΠ τοῖς # δ , καὶ τῇ γενομένῃ διαστάσει τῆς ΘΠ τοῖς # μϚ ἴσην θῶμεν τὴν ΘΤ , καὶ | ||
| , καὶ τριῶν οὐσῶν περιφερειῶν ὁμοιογενῶν ἀνίσων τῶν ΚΘ , ΘΠ , ΗΘ εἰλήφθω τις περιφέρεια ἡ ΘΡ μείζων μὲν |
| ΥΚ , ΦΧ . ὥστε ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν ΘΝ διέρχεται , ἐν τούτῳ τότε Υ τὴν ΥΞ διαπορεύεται | ||
| ΚΖ , ΖΛ , ΛΗ , ΗΜ , ΜΘ , ΘΝ , ΝΕ . δύο οὖν μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων τοῦ |
| τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον ὁ ἥλιος μείζονά τινα περιφέρειαν τῆς ΜΝ διελεύσεται . Διερχέσθω τὴν ΝΞ : τοῦ ἄρα Ν ἐπὶ | ||
| τῷ ἡμίσει τῆς ἡμέρας χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν ΞΧ περιφέρειαν διελεύσεται : μέσου ἄρα ἡμέρας ἔσται πρὸς τῷ Χ : |
| ἡ ἡμέρα , ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΖΕΗ περιφέρειαν διαπορεύεται , μακροτάτη ἐστὶν πασῶν τῶν ἐν τῷ ἐνιαυτῷ ἡμερῶν | ||
| μὲν ἡμέρα , ἐν ᾗ ὁ ἥλιος τὴν ΥΤ περιφέρειαν διαπορεύεται , μείζων ἐστὶν πασῶν τῶν πρὸ αὐτῆς ἡμερῶν τῶν |
| κατασκευασθέντων , ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν , οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς | ||
| δεδύκασιν αἱ ΠΝ ΝΜ περιφέρειαι : ἅμα ἄρα δύνει ἡ ΝΠ περιφέρεια καὶ ἡ ΝΜ . ἐν ᾧ δὲ ἡ |
| Ἰστέον , ὡς τὰ μεγέθη τριχῶς : ἢ γὰρ ἐν γραμμῇ ἢ ἐν ἐπιφανείᾳ ἢ ἐν σώματι . ἐν γοῦν | ||
| δὲ τῷ τρίτῳ τῶν γεωγραφικῶν καθιστάμενος τὸν τῆς οἰκουμένης πίνακα γραμμῇ τινι διαιρεῖ δίχα ἀπὸ δύσεως ἐπ ' ἀνατολὴν παραλλήλῳ |
| Ψ τῇ ΚΞ παράλληλος ἡ ΨΩ , καὶ ἔστω ὡς ΛΜ πρὸς ΜΩ , οὕτως ἡ ΩΜ πρὸς ΜΑ͵ . | ||
| . ἀλλὰ καὶ διὰ τὸ τρεῖς εἶναι παραλλήλους τὰς ΔΕ ΛΜ ΗΘ ἴση γίνεται ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ . εἴη |
| , διότι ἡ τῆς ΜΓ ἀναφορὰ ἡ αὐτὴ λαμβάνεται τῇ ΝΞ οὐ προοδεύεται δὲ τὸ θεώρημα τοῦτο οὐκ - έτι | ||
| τουτέστιν τὰς καὶ ΠΝ , καὶ τὰς ἴσας αὐταῖς τὰς ΝΞ καὶ ΕΞ . καὶ πάλιν , ἐπεὶ δέδοται ἡ |
| τὸ ἀπὸ τῆς ΑΤ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΤ , ΤΡ , τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΤ , ΤΓ | ||
| βάσις καὶ τὸ ΨΥ στερεόν . καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΤΡ , ΡΥ δυσὶ ταῖς ΑΛ , ΛΒ ἴσαι εἰσίν |
| ἐστιν , ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΞ , οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΖ . ἐπεὶ | ||
| ΡΤ . ἐπεὶ δὲ ζητῶ τίς περιφέρεια ἡ ΕΚ τῇ ΚΞ , ζητήσω ἄρα τίς γωνία ἡ ὑπὸ ΕΟΚ τῇ |
| καὶ ἀπεναντίον περιφέρεια ἡ ΣΤ καὶ μεταξὺ τῶν ΞΗ , ΣΤ ὁ ἰση - μερινὸς ἔστω ὁ ΥΧΦ . καὶ | ||
| ΠΗΡ , ΣΘ , ΤΥΚ : μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΣΤ περιφέρεια τῆς ΣΠ περι - φερείας . ἀλλ ' |
| . τὰ δ ' αὐτὰ ὕψη ἐστὶ τῶν ΔΨ , ΒΤ στερεῶν καὶ τῶν ΔΓ , ΒΑ : ἔστιν ἄρα | ||
| , οὕτως τὸ τοῦ ΔΨ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΤ στερεοῦ ὕψος . ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΚ βάσις |
| ΜΚΘ : δι ' ἴσου ἄρα , ὡς τὸ ἀπὸ ΧΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΧΕΔ , τὸ ἀπὸ ΜΚ πρὸς | ||
| τρίγωνον τῷ ΗΜΚ . ἔστιν ἄρα , ὡς τὸ ἀπὸ ΧΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ , τὸ ἀπὸ ΜΚ πρὸς |
| ΓΜ τῇ ΞΛ . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΣΞ τῇ ΜΡ παράλληλος : ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞΣ τρίγωνον τῷ | ||
| τριγώνῳ : ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΣΞ πρὸς τὴν ΜΡ , οὕτως ἡ ΣΛ πρὸς τὴν ΡΓ . ἀλλ |
| ἀπεδείχθη μοιρῶν ρνζ ι ἔγγιστα : καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΒ τοῦ ἐπικύκλου περιφέρεια , ἣν ἀπεῖχεν ἡ σελήνη τοῦ | ||
| μείζων ἐστί , καί ἐστιν , ὡς ἡ ΕΛ πρὸς ΛΒ , οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς ΑΒ , καὶ συνθέντι |
| ἡμισφαίριον , ἀλλ ' ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΚΘΛ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον , τὸ μὲν Κ ἀρξάμενον ἀπὸ | ||
| ΘΚ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον . Ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἡ ΘΚ περιφέρεια , ὁ ἥλιος |
| ΓΑΔ . λέγω , ὅτι ἡ ΓΑΔ τῇ Β οὐ συμπεσεῖται . ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐφαπτομένη ἡ ΕΑΖ . | ||
| Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς ΑΒ τομῆς , ἡ ΓΖ συμπεσεῖται τῇ ΑΒ , εἴτε μή ἐστιν , ὑποκείσθω τὸ |
| . ἐπεὶ δὲ βούλονταί τινες ὑπεναντίαν ἀμφοτέραις ἀριθμητικῇ τε καὶ γεωμετρικῇ ταύτην ἐκδέχεσθαι , ἔφαμεν δὲ ἡμεῖς τῇ ἀριθμητικῇ μόνῃ | ||
| α˙ωιϚιγ˙τκα / . β . Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ἐν τῇ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ , ὅπως ἕκαστος αὐτῶν προσλαβὼν τὸν δοθέντα ποιῇ |
| ΒΛ πρὸς ΛΝ . ] ὡς δὲ ἡ ΓΛ πρὸς ΛΝ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΛ τετράγωνον πρὸς τὸ | ||
| ὁ μὲν ΓΜ κύλινδρος τῷ ΕΒ κυλίνδρῳ , ὁ δὲ ΛΝ ἄξων τῷ ΗΘ ἄξονι : ἔστιν ἄρα ὡς ὁ |
| τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΗΚΘ τῇ ὑπὸ ΟΛΗ , τουτέστιν ἡ ΠΘ περιφέρεια τῇ ΟΗ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΘΣ τῇ | ||
| ἀπὸ ΕΘ , ΘΗ : καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΠΘ λοιπῷ τῷ ἀπὸ ΘΡ ἴσον ἐστίν : ἴση ἄρα |
| ἀναφερομένης : ἡλίκη γάρ ἐστιν ἡ μεταξὺ τῶν μερῶν τούτων περιφέρεια τούτου ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος , τηλικαύτη ἐστὶν ἡ κατὰ | ||
| νβ , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΒΛ περιφέρεια τοιούτων β νβ , οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ |
| Ψ , Ω , Ι σημεῖα , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΤ , ΞΥ , ΥΦ , ΤΦ , ΧΨ , | ||
| . ἀλλ ' ὡς ἡ ΑΥ πρὸς ΥΗ , ἡ ΞΤ πρὸς ΤΣ , ὡς δὲ ἡ ΘΥ πρὸς ΥΑ |
| ἐπὶ τῆς ἐκκειμένης ἀποχῆς τῶν Ϙ λ μοιρῶν ἐδείξαμεν τὴν ΖΜ περιφέρειαν μοιρῶν οὖσαν ιβ α , ἵνα , ἐπειδήπερ | ||
| τῆς διχοτομίας τῆς μείζονος τῆς ΓΜ , ἐπεὶ ἔσται ἡ ΖΜ τῇ ΓΜ ἴση . οὐ μὴν οὐδὲ μεταξὺ τῶν |
| ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , ὧν αἱ τέσσαρες αἱ ΕΚ , ΚΗ , ΖΛ , ΛΘ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν [ ὁμοίως | ||
| πρὸς τὸ ΓΔΛ τρίγωνον , οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΗ , ἀλλ ' ὡς τὸ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ τρίγωνον |
| συμπίπτουσα τῇ ΗΑ κατὰ τὸ Κ , ἡ δὲ ΗΛ συμπίπτουσα τῇ ΒΚ κατὰ τὸ Μ . ἐπεὶ οὖν ἴση | ||
| ἀχθῇ πρὸς ὁποιανοῦν τῶν τομῶν , καὶ ταύτῃ παράλληλος ἀχθῇ συμπίπτουσα ταῖς ἐφεξῆς τρισὶ τομαῖς , τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν |
| ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ , ὡς δὲ ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ , οὕτως ἡ ΘΤ πρὸς ΘΦ , καὶ ἀφῃρήσθω | ||
| ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ , οὕτως ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ , ὡς δὲ ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ , οὕτως |
| μεγίστης τῆς ΛΡ : μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΡ τῆς ΡΜ : ἡ ἄρα ΛΜ τῆς ΜΡ μείζων ἐστὶν ἢ | ||
| ἴση ἐστὶν ἡ ΗΠ τῇ ΗΘ , μείζων ἐστὶν ἡ ΡΜ τῆς ΜΚ : πολλῷ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ΞΜ |
| , καλεῖται δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη . Ἡ ἄρα ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη : ὅπερ ἔδει δεῖξαι | ||
| μέσον λόγον , καί εἰσι μείζονα τμήματα αἱ ΗΓ , ΜΞ , ὡς ἄρα ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΓ , |
| ΘΚ , σύμμετρος δὲ τῇ ΗΘ , καὶ κείσθω τῇ ΘΡ ἴση ἡ ΣΗ , καὶ διὰ τῶν Σ , | ||
| ΞΖ , ΖΟ , ΟΗ , ΗΠ , ΠΘ , ΘΡ , ΡΕ τριγώνων πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ . ἑκάστη |
| , καὶ ἐφαπτόμεναι μὲν αἱ ΑΔΓ , ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΕΖΗ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ , καὶ διὰ τοῦ | ||
| ἔστω ὁ ΒΖΓ , ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΕΖΗ ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ ΛΚ , ΚΘ ἑξῆς ἐπὶ |
| . Ὁ δ ' Ὠρίων ἀνατέλλει μὲν ἐν ἀρχῇ ὀπώρας δύνει δ ' ἐν ἀρχῇ χειμῶνος , ὥστε διὰ τὸ | ||
| τοῦ ἄρα ἡλίου ἐπὶ τοῦ κʹ ὄντος τὸ ηʹ ἑσπέριον δύνει . Πάλιν ἐπεὶ τοῦ ἡλίου ὄντος ἐπὶ τοῦ λʹ |
| ΕΓ ἡ ΞΛΟ , καὶ τῇ ἴσαι κείσθωσαν ἥ τε ΞΠ καὶ ἡ ΡΜ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἡ ΕΚ καὶ | ||
| ΑΒ ἴση ἡ ΞΟ , τῇ δὲ ΒΓ ἴση ἡ ΞΠ , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΠ . καὶ ἐπεὶ ἴση |
| ἴση ἄρα καὶ ἡ ΒΜ τῇ ΜΘ . ὧν ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ ἴση ἐστίν : λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ | ||
| ἐπικύκλων εὐθεῖαι , ἐπὶ μὲν τὰ ἀπόγεια αἱ ΕΗ καὶ ΕΜ , ἐπὶ δὲ τὰ περίγεια αἱ ΕΚ καὶ ΕΞ |
| αἱ ΗΘ ΛΜ ΔΕ : ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΘΜ τῇ ΜΕ . ὧν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ ἐστὶν | ||
| ΑΚ , ΚΛ , τῇ δὲ ΕΘ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΘΜ , ΜΝ , καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΛΟ , ΚΦ |
| γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ ἐγγραφομένου εἰς τὸν μέγιστον κύκλον . καὶ ἐπεζεύχθωσαν | ||
| ἡμῶν δὲ εἷς [ καὶ ] ὁ κυβερνήτης , τρίγλης πλευρᾷ διαπαρεὶς τὸ μετάφρενον . ἐκείνην μὲν οὖν τὴν ἡμέραν |
| . ἐπεὶ γὰρ αἱ ΑΓ , ΒΔ ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν παράλληλοί εἰσι , διάμετρος μὲν ἡ ΑΒ , τεταγμένως δὲ | ||
| κατὰ πᾶσαν θέσιν ἀσύμπτωτοί εἰσιν ἀλλήλαις καὶ οὐ διὰ τοῦτο παράλληλοί εἰσιν . ἓν οὖν ἔστω τὸ ἐπίπεδον , καὶ |
| πρὸς ΖΘ , ὡς δὲ ὁ ΗΕΚ τομεὺς πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα , οὕτως ἡ ὑπὸ ΔΚΖ γωνία πρὸς τὴν | ||
| τοῦ ἐπικύκλου καὶ τὸ Θ κέντρον φερόμενον πάντοτε διὰ τοῦ ΗΘΚ ἐκκέντρου , καὶ τὸν ἀστέρα δὲ αὐτὸν κινούμενον ἐπὶ |
| τὸν ἰσημερινὸν οἰκήσεως : αὕτη δέ ἐστιν ἐν μέσῃ τῇ διακεκαυμένῃ ζώνῃ . Καί φησιν οἰκεῖσθαι τοὺς τόπους καὶ εὐκρατοτέραν | ||
| τε καὶ φωτισμῶν τοῦ ἀέρος . Ἐν μὲν γὰρ τῇ διακεκαυμένῃ ἴσαι διὰ παντὸς αἱ νύκτες ταῖς ἡμέραις , ἐν |
| διαγομένη εὐθεῖα μήτε τὴν τομὴν τέμνῃ κατὰ δύο σημεῖα μήτε παράλληλος ᾖ τῇ ἀσυμπτώτῳ , συμπεσεῖται μὲν τῇ ἀντικειμένῃ τομῇ | ||
| κατὰ μῆκος τῆς φάλαγγος δεύτερον ζυγόν , καὶ ὁ τούτῳ παράλληλος ὑπ ' αὐτὸν τρίτον , καὶ τέταρτόν ἐστι τὸ |
| , τεταγμένως δὲ ἐπ ' αὐτὴν κατηγμέναι αἱ ΚΛ , ΞΝ , ΗΖ : ἔσται οὖν , ὡς ἡ ΑΒ | ||
| , ΜΛ . καί ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΚΞ , ΞΝ μείζονα τῶν ἀπὸ τῶν ΚΜ , ΜΛ : ἡ |
| ΔΟ τοῦ ὑπὸ τῶν ΘΟΚ , ἀνάλογον ἡ Λ πρὸς ΟΚ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΟ πρὸς ΟΔ . | ||
| περιφέρεια πρὸς τὴν ΞΟΠ . Καταληφθήσεται δὲ καὶ ἡ μὲν ΟΚ τοῦ μεσημβρινοῦ διάστασις , τουτέστιν ἡ ἀπὸ τοῦ διὰ |
| ἐν τῷ ὑπὲρ γῆν αὐτὴν διελεύσεται : ὥστε καὶ τὴν ζαʹ : τοῦ ἄρα ἡλίου τὴν ζαʹ περιφέρειαν ἐν τῷ | ||
| ἄστρον καὶ δύσεται καὶ ἀνατελεῖ : ὥστε τοῦ ἡλίου τὴν ζαʹ περιφέ - ρειαν διαπορευομένου ἐν τῷ ὑπὸ γῆν , |
| ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ ἴση : καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΞΓ τῇ ΓΧ ἐστιν ἴση : ὥστε καὶ ἡ ΗΘ | ||
| τὰ ἀπὸ ΛΗ , ΚΖ : ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ ΞΓ τοῖς ἀπὸ ΗΛ , ΚΖ . ἴσον δὲ τὸ |
| παράλληλος ἤχθω ἡ ΧΨ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΞ τῇ ΦΧ , ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς | ||
| ἀπὸ τῆς ΔΓ τῷ ΑΠ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΞ τῷ ΑΟ . καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ |
| σημεῖον . Κείσθω γὰρ τῇ ΖΗ περιφερείᾳ ἴση περιφέρεια ἡ ΘΚ . Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ζ | ||
| , ΗΛ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν : ὁμοίως καὶ αἱ ΘΚ , ΛΜ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ |
| διὰ τῶν ΒΓ , ΔΕ . κύκλος ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΛΜΝ ἐπίπεδον . καὶ ἐπεὶ τὰ Δ , Ε , | ||
| μεῖζόν ἐστι τὸ ΗΒ τοῦ Γ , συνεστάτω ἴσον τὸ ΚΛΜΝ , ὅμοιον δὲ τῷ Δ , ἵνα ᾖ τὸ |
| καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ε κέντρου τῇ ΜΝ παράλληλος ἡ ΕΘ , καὶ κάθετος ἐπ ' αὐτὴν ἀπὸ τοῦ Λ | ||
| ἡ μὲν ΘΗ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση , ἡ δὲ ΕΘ τῆς ΔΗ διπλῆ , καὶ λοιπὴν τὴν ΓΘ ἕξομεν |
| τῇ ΚΜ . ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ , ΜΖ , καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ | ||
| λόγος ἐστὶ δοθείς : ὥστε καὶ τοῦ ΓΔ πρὸς τὸ ΓΜ λόγος ἐστὶ δοθείς . ἔστι δὲ τὸ ΓΜ τῷ |
| ἡ ΓΖ , καὶ ὁ ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ΖΕΗ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ | ||
| τῶν Ε Γ ἀνεστάτωσαν ὀρθαὶ τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου αἱ ΖΕΗ ΓΛ , καὶ ἑκατέρα μὲν τῶν ΕΘ ΓΛ ἑξαγώνου |
| τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΤΧ . καί ἐστιν ἡ ΣΞ ἔγγιον τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ ἤπερ ἡ ΤΧ . ἐν | ||
| , ΠΚ ἑξῆς ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , αἱ ΝΣ , ΣΞ ἄρα ἑξῆς ἀλλήλων μείζους εἰσὶν ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς |
| τὸ ΜΖ : πολλῷ ἄρα τὸ ΜΖ μεῖζόν ἐστι τοῦ ΞΚ . καὶ ἐπεὶ τὰ ΞΝ , ΝΛ , ΛΚ | ||
| , ἡ δὲ ΞΛ τῆς ΠΡ , ὅλη ἄρα ἡ ΞΚ ὅλης τῆς ΚΡ ἐστὶ διπλῆ . Πάλιν ἐπεὶ διπλῆ |
| ΒΓ , ΝΞ , ΔΜ , ΘΟ , ΗΠ , ΟΗ , ΗΡ . ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος | ||
| ΘΝΟΗ . λέγω , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΝΟ τῇ ΟΗ . κατήχθωσαν γὰρ τεταγμένως αἱ ΞΝΖ , ΒΛ , |
| καὶ ὡς ἡ ΤΒ πρὸς τὴν ΒΛ , οὕτως ἡ ΟΖ πρὸς τὴν ΖΝ . δι ' ἴσου ἄρα ὡς | ||
| τὸ ὑπὸ ΓΞΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΕ καὶ τοῦ ἀπὸ ΟΖ , τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΕΘ , πρὸς τὸ ὑπὸ |
| νόσους εἰκὸς εἶναι πολλάς . Τοῦ δὲ Ἅληκος ποταμοῦ τοῦ διορίζοντος τὴν Ῥηγίνην ἀπὸ τῆς Λοκρίδος βαθεῖαν φάραγγα διεξιόντος ἴδιόν | ||
| ΓΔ . ἡ ΓΔ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ κύκλου τοῦ διορίζοντος ἐν τῇ σελήνῃ τὸ σκιερὸν καὶ τὸ λαμπρόν . |
| ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΚΜα τῇ ΒΔ , ἡ δὲ ΚΡ τῇ ΑΒ , ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΚΘ , | ||
| τῇ μὲν ΑΓ ἴσην θῶμεν τὴν ΓΔ , τῇ δὲ ΚΡ ἴσην τὴν ΡΧ , καὶ τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν , |
| , τοιούτων ἡ μὲν ΗΜ δ λγ , ἡ δὲ ΜΒ β λζ λ . πάλιν , ἐπεὶ ἡ ὑπὸ | ||
| πενταγώνου ἐστὶν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου : εἰκοσαέδρου ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ . Καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΒ κύβου ἐστὶ πλευρά , |
| πολυχρονίως ἡ πανήγυρις τελεσθήσεται . ἄλλως : ἐν ταύτῃ πρῶτον ἀγομένῃ τῇ ἑορτῇ τῶν Ὀλυμπίων παρέστησαν αἱ Μοῖραι καὶ ὁ | ||
| Ω κάθετος ἀγομένη ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Χ καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον , τὰ Ω |
| , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ , σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ | ||
| , οὕτως ἡ ΒΛ πρὸς ΛΗ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΘ πρὸς ΘΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΜ πρὸς |
| . κατὰ πρόσληψιν δὲ καλεῖ ὁ Ἀριστοτέλης τὴν πρότασιν τὴν ἰσοδυναμοῦσαν συλλογισμῷ τὴν δύο ὅρους ἐνεργείᾳ ἔχουσαν καὶ ἕνα [ | ||
| να , εἰ μὲν ἡ προτεθεῖσα καταφατικὴ εἴη , τὴν ἰσοδυναμοῦσαν ἀποφατικὴν εἶναι καὶ κατὰ τὸ κατηγορούμενον : οὐδὲν δὲ |
| τομῆς κατὰ τὸ πέρας τῆς διαμέτρου παράλληλος ἔσται τῇ δίχα τεμνομένῃ εὐθείᾳ . ἔστωσαν ἀντικείμεναι τομαὶ αἱ Α , Β | ||
| συζυγὴς αὐτῇ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἀγομένη παράλληλος τῇ δίχα τεμνομένῃ . ἔστωσαν ἀντικείμεναι τομαὶ αἱ Α , Β , |
| ἐπὶ κλίνης τὰς φυσικὰς ἀνάγκας ἐπλήρου . Ἑνδεκάτῃ ἐπὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τὸ παρυφιστάμενον ἐνήχετο λευκὸν μέν , ὑπόγλισχρον δὲ καὶ | ||
| ὀρθὰς οὖσαν τῇ ΒΓ , καὶ πεποίηκε τομὴν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τὴν ΔΕΖ , ἡ δὲ διάμετρος ἡ ΜΕ ἐκβαλλομένη |
| . καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ , ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ , ὡς δὲ ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ | ||
| ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ , οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ . Δέδοται ἄρα . , ] ἐπεὶ οὖν δεδομέναι |
| . ὁμοῦ οὖν τῶν τεσσάρων ὅρων τάξει τούτων σκθʹ ρμθʹ ρλαʹ ρκαʹ ὁ μὲν πρῶτος καὶ δεύτερος συνάμφω ἔσονται τρίτου | ||
| τῶν τξʹ , ἀφαιρῶ τὸν αὐτὸν σκθʹ καὶ λείπεταί μοι ρλαʹ , ὅν φημι εἶναι τρίτον ὅρον ἐν τῇ ἐκθέσει |
| τὸ ἀπὸ ΜΚ τοῦ ὑπὸ ΜΚΘ , τὸ ἄρα ἀπὸ ΜΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ | ||
| οὕτως ἡ ΝΠ πρὸς ΟΠ , ἔσται καὶ ὡς ἡ ΜΚ πρὸς τὴν ΚΑ , τουτέστιν ὡς ἡ ΜΑ μετὰ |
| ἢ ἀντιμαρτυρουμένου κατά τινα κίνησιν ἐν ἡμῖν αὐτοῖς συνημμένην τῇ φανταστικῇ ἐπιβολῇ , διάληψιν δὲ ἔχουσαν , καθ ' ἣν | ||
| καὶ ἄλλην τινὰ κίνησιν ἐν ἡμῖν αὐτοῖς συνημμένην μὲν τῇ φανταστικῇ ἐπιβολῇ , διάληψιν δὲ ἔχουσαν : κατὰ δὲ ταύτην |
| ἀπὸ δὲ τῆς κορυφῆς εὐθεῖα ἀναχθῇ παρὰ τεταγμένως κατηγμένην καὶ συμπίπτῃ τῇ διὰ τῆς ἁφῆς καὶ τοῦ κέντρου ἠγμένῃ εὐθείᾳ | ||
| ἕν . εἰ δὲ ἡ ΒΓ τῇ Δ τομῇ μὴ συμπίπτῃ , ὡς ἐπὶ τοῦ τρίτου σχήματος , διὰ μὲν |
| λ . ὥστ ' ἐπεὶ καὶ τὸ μὲν Α σημεῖον ἀδιαφορεῖ τοῦ Κ κέντρου , ἡ δὲ ΖΗΘ περιφέρεια ἀδιαφόρῳ | ||
| πλύσιν ἀπολελυμένην . Καὶ πλύσις μυστικὴ ταὐτόν ἐστι , καὶ ἀδιαφορεῖ ἤ τις γίνεται διὰ τοῦ θείου ὕδατος . Ἡ |
| ΘΚΛ . λέγω , ὅτι ἡ μὲν ΕΗ περιφέρεια τῆς ΚΛ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία , ἡ δὲ ΘΚ | ||
| ἐπεζεύχθω ἡ ΗΚ : ἐπ ' εὐθείας ἄρα ἐστὶν τῇ ΚΛ πλευρᾷ τοῦ ἑξαγώνου , διὰ τὸ διμοίρου μὲν εἶναι |
| χρόνω δύνουσιν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ αἱ ΜΓ , ΑΗ περιφέρειαι ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν . καὶ | ||
| τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλου ] . δεῖ δὲ τὴν ἴσην τῇ ΜΓ ἀνατέλλουσαν μεταξὺ πάλιν εἶναι τῶν αὐτῶν παραλλήλων , διότι |
| δὴ λέγεται , ῥηθῆναι . Ποταμός ἐστι μέγας ἐν τῇ Ἀραβίῃ τῷ οὔνομα Κόρυς , ἐκδιδοῖ δὲ οὗτος ἐς τὴν | ||
| τόδε μὲν οὐκ ὄπωπεν , ὄπωπεν δὲ φοινικοβατέοντας ἢ ἐν Ἀραβίῃ ἢ ἐν Αἰγύπτῳ ἢ ἄλλοθί κου , οἶδε τὸ |
| . ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΝΜ τῷ ἀπὸ τῆς ΞΖ , τουτέστι τὸ ὑπὸ ΑΛ , ΛΜ μετὰ τοῦ | ||
| τὴν τῶν ΞΖ , ΖΜ ἀποστημάτων ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν ΞΖ , ΖΘ ὑπεροχήν , οὕτως τὴν τῶν κατὰ τοὺς |
| , Α , Μ σημεῖα παράλληλοι κύκλοι οἱ ΝΞ , ΟΠ , ΡΣ , ΤΥ . ἐπεὶ ἡ ΖΗ τῆς | ||
| ΛΞ τῆς ΞΟ : μείζων ἄρα καὶ ἡ ΛΜ τῆς ΟΠ . ἀλλὰ ἡ ΛΜ κεῖται τῇ ΑΓ ἴση : |
| καὶ ἀδυνάτου ὥρισται : καθόλου γὰρ ὧν ἀντιφάσεων θάτερα μόρια συναληθεύει , τούτων καὶ τὰ λοιπὰ συναληθεύει . ἔστωσαν γὰρ | ||
| τῷ α . οὐκοῦν εἰ ὁ λέγων ἔστιν ἄνθρωπος καλός συναληθεύει τῷ λέγοντι ἔστιν ἄνθρωπος οὐ καλός [ συναληθεύει τῷ |
| νʹ [ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ζηʹ περιφέρειαν τῇ λνʹ περιφερείᾳ ] : καὶ ἔσται ὁ χρόνος ἐν ᾧ | ||
| ἑκάστης νυκτὸς ὁρᾶται . Κείσθω γὰρ τῇ ζηʹ ἴση ἡ λνʹ , τῇ δὲ ζθʹ ἴση ἡ μξʹ : ἔσται |
| ἡ ΚΛ τῆς ὅλης περιφερείας , τὸ αὐτὸ καὶ ἡ ΘΟ τῆς ΘΟΛ . καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΘΟΛ τῇ | ||
| ΜΒ τῇ ΒΝ καὶ ἡ ΚΟ τῇ ΟΛ καὶ ἡ ΘΟ τῇ ΟΞ καὶ ἡ ΚΘ τῇ ΞΛ . ἐπεὶ |
| ΑΒ παραλληλόγραμμον . ἔστω δ ' ἐν αὐτῷ διὰ τῆς ΠΟ εὐθείας κατὰ μέσον σωλήν , ὥστε πελεκυνάριον ἐν αὐτῷ | ||
| ἤχθωσαν διὰ τῶν Κ , Λ παράλληλοι αἱ ΞΟ , ΠΟ . ἐπεὶ οὖν διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΠΟ τῆς |
| Ἠγείρετο δὲ πολὺς κτύπος τούτων μαχομένων . . . ΙΔΕΙ ΕΝ ΑΙΝΟΤΑΤΩι . Τὸν καιρὸν λέγει τῆς μάχης . Ἴδει | ||
| , ] πῶς ἔλασσον τὸ Ξ στερεὸν τῆς ἐν τῷ ΕΝ κώνῳ πυραμίδος ; δείξομεν οὕτως : ἐπεὶ ὁ ΕΝ |