| δὴ ἐπὶ μὲν τῆς παραβολῆς ἴσον τὸ ΑΔΒΖ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΓΖ τριγώνῳ , καὶ κοινοῦ ἀφαιρουμένου τοῦ ΑΕΒΖ λοιπὸν τὸ | ||
| . ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΖΑ , ἡ ὑπὸ ΑΓΖ ἄρα ἐλάσσων ὀρθῆς . τὴν δὲ μείζονα γωνίαν ἡ |
| ἄρα ἐστὶν ἡ ΥΛ τῇ ΟΛΚ . Κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΟΛ : λοιπὴ ἄρα ἡ ΥΟ λοιπῇ τῇ ΚΛ ἐστὶν | ||
| ἡ μὲν ΠΟ τῆς ΟΚ , ἡ δὲ ΞΟ τῆς ΟΛ , ἴση ἐστὶ τῇ ΚΟ ἡ ΟΛ . διὰ |
| ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΓΞ πρὸς ΞΑ , ἡ ΓΠ πρὸς ΑΟ , καί ἐστιν ἡ μὲν ΓΠ τῆς | ||
| δευτέρας καταγραφῆς , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΞ , ΞΓ , ΓΠ . ἐπεὶ οὖν αἱ ΒΞΓ τῆς ΒΓ μείζους εἰσίν |
| καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπὸ τῆς παραλλήλου ἴσον ἔσται τῷ ἀπὸ ΓΧ . διὰ δὲ τοῦτό ἐστιν , ὡς ἡ ΤΧ | ||
| τοῦ Χ πρὸς ὁποιανοῦν τῶν τομῶν προσπιπτέτω τις εὐθεῖα ἡ ΓΧ , καὶ τῇ ΓΧ παράλληλος ἤχθω τέμνουσα τὰς ἐφεξῆς |
| ὀρθὴ πρὸς τὸ αὐτὸ ἐπίπεδον ἀντὶ τῆς ἰσημερινῆς διαμέτρου ἡ ΕΠ . ὅτι μὲν οὖν ὀρθῆς οὔσης καὶ τῆς ΛΜ | ||
| . καὶ ἔστιν τὸ μὲν ἀπὸ ΕΟ ἴσον τοῖς ἀπὸ ΕΠ ΠΟ , τὸ δὲ ἀπὸ ΤΟ τοῖς ἀπὸ ΤΠ |
| ΓΜ τῇ ΞΛ . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΣΞ τῇ ΜΡ παράλληλος : ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞΣ τρίγωνον τῷ | ||
| τριγώνῳ : ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΣΞ πρὸς τὴν ΜΡ , οὕτως ἡ ΣΛ πρὸς τὴν ΡΓ . ἀλλ |
| ἀλλήλων οἱ κύκλοι : ἐφάψεται ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος τοῦ ΕΒΖ κύκλου . διὰ ἄρα τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Β | ||
| τὸ ΓΑΔ πρὸς τὸ ΕΚΖ . εἶχε δὲ καὶ τὸ ΕΒΖ πρὸς τὸ ΕΚΖ διπλασίονα λόγον ἤπερ τὸ ΓΑΔ πρὸς |
| ἴση δὲ ἡ μὲν ΩΦ τῇ ΨΧ , ἡ δὲ ΦΧ τῇ ΧΠ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΨΧ πρὸς | ||
| , ἡ δὲ ΧΒ ὅλη διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΦΧ τῇ ΦΘ τοιούτων ξδ κζ , οἵων καὶ ἡ |
| ΔΟ τοῦ ὑπὸ τῶν ΘΟΚ , ἀνάλογον ἡ Λ πρὸς ΟΚ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΟ πρὸς ΟΔ . | ||
| περιφέρεια πρὸς τὴν ΞΟΠ . Καταληφθήσεται δὲ καὶ ἡ μὲν ΟΚ τοῦ μεσημβρινοῦ διάστασις , τουτέστιν ἡ ἀπὸ τοῦ διὰ |
| ἴση ἄρα καὶ ἡ ΒΜ τῇ ΜΘ . ὧν ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ ἴση ἐστίν : λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ | ||
| ἐπικύκλων εὐθεῖαι , ἐπὶ μὲν τὰ ἀπόγεια αἱ ΕΗ καὶ ΕΜ , ἐπὶ δὲ τὰ περίγεια αἱ ΕΚ καὶ ΕΞ |
| , καὶ ἡ ΤΩ # μβ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΡΥ τῶν αὐτῶν # μβ . καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ | ||
| ἡ μὲν ΖΡ τῇ ΡΣ , ἡ δὲ ΡΝ τῇ ΡΥ , δύο αἱ ΖΡΝ δυσὶ ταῖς ΣΡΥ ἴσαι εἰσίν |
| τῶν ΑΕ καὶ ΕΓ ὑπόκειται Ϛ , ἑκατέρα δὲ τῶν ΑΘ καὶ ΘΓ τῶν αὐτῶν Ϛ ι , καὶ ὀρθή | ||
| ἴση . ἔστω πρότερον μείζων : μείζων ἄρα καὶ ἡ ΑΘ τῆς ΘΔ . τετμήσθω ἡ ΑΔ δίχα κατὰ τὸ |
| ΟΗ , ὡς δὲ ἡ ΒΝ πρὸς ΝΖ , ἡ ΖΟ πρὸς ΟΘ : ἡ ἄρα ΑΒ πρὸς ΒΓ τὸν | ||
| ΖΟ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΟΘ . καί ἐστι παράλληλος ἡ ΖΟ τῇ ΑΔ : πλαγία μὲν ἄρα πλευρά ἐστιν ἡ |
| ΒΓΖ τῇ ὑπὸ ΓΒΗ . ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ὑπὸ ΑΒΗ γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΖ γωνίᾳ ἐδείχθη ἴση , | ||
| ΑΒΗ τρίγωνον : καὶ τὸ ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΗ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ |
| Ψ͵Δ . καὶ ἐπεὶ αἱ ΖΤ ΤΥ ΥΗ ΗΦ ΦΘ ΘΧ ΧΨ ΨΚ περιφέρειαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , αἱ ἄρα | ||
| πλευρά . ἐπεὶ οὖν , ὡς ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΘΧ , οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΗΦ , ΦΘ πρὸς |
| ἧς ἔσται τότε δηλονότι διὰ τὴν ἰσοχρόνιον τῶν ΗΘ , ΖΝ εἰς τὰ ἐναντία συναποκατάστασιν τὸ κέντρον τοῦ ἐκκέντρου , | ||
| γὰρ αἵ τε ΛΚ ΚΜ ΜΞ καὶ αἱ ΜΖ ΖΞ ΖΝ ΖΛ καὶ ἔτι ἡ ΖΚ . ἐπεὶ οὖν διὰ |
| ΕΠ δυνάμεων νδ : περιέχεται γὰρ ὑπὸ τῶν ΕΒ , ΒΠ οὔσης τῆς ΕΒ θ , τῆς δὲ ΒΠ Ϛ | ||
| ἡ μὲν ΒΛ τῇ ΛΔ ἐστιν ἴση , ἡ δὲ ΒΠ τῇ ΠΔ . ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕΚ |
| ΝΞ περὶ κέντρον τὸ Ζ ἴσος τῷ ΛΜ , καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς διὰ τῶν κέντρων διαμέτρου τῆς ΝΛΜ εἰλήφθω ἐπ | ||
| μεσημβρίας κατὰ τὸ Ω σημεῖον τῆς ἀκριβοῦς τοῦ ἡλίου ἐποχῆς ἐπιζευχθείσης τῆς ΕΥΩ εὐθείας , ἡ δὲ ΦΩ τῆς παραλλάξεως |
| ΒΕ , ΓΖ : ὅμοια ἄρα ἐστὶ τὰ ΕΒΔ , ΓΖΔ ὀρθογώνια διὰ τὸ παραλλήλους εἶναι τὰς ΒΕ , ΖΓ | ||
| καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ ΒΕΑ , χειμερινὸς δὲ ὁ ΓΖΔ , ὁ δὲ τοῦ ἡλίου κύκλος θέσιν ἐχέτω ὡς |
| ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΒ πρὸς ΜΠ καὶ ἡ ΠΜ πρὸς ΒΓ , ἀλλ ' ὡς | ||
| τῷ ὑπὸ ΤΒ , ΜΝ , καὶ τὸ μὲν ὑπὸ ΜΠ , ΒΘ τέταρτον τοῦ ὑπὸ ΤΒ , ΜΝ , |
| ὡς συναμφότερος ἡ ΕΛΒ πρὸς ΒΛ , οὕτως συναμφότερος ἡ ΕΑΒ πρὸς ΒΑ , καὶ ἐναλλάξ : μείζων δὲ συναμφότερος | ||
| ἔχει ἢ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον : πολλῷ ἄρα ὁ ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν ΒΑΗ τομέα μείζονα λόγον ἔχει ἢ |
| τῇ ὑπὸ ΘΗΧ ἐστιν ἴση . παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΧ τῇ ΗΘ . πεποιήσθω δή , ὡς ἡ ΠΗ | ||
| ἐστὶν ἡ ΔΧ τῇ ΧΖ , ἴση ἄρα καὶ ἡ ΕΧ τῇ ΖΗ : ὥστε καὶ ἡ ΓΗ ἴση τῇ |
| ΒΓ , ΝΞ , ΔΜ , ΘΟ , ΗΠ , ΟΗ , ΗΡ . ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος | ||
| ΘΝΟΗ . λέγω , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΝΟ τῇ ΟΗ . κατήχθωσαν γὰρ τεταγμένως αἱ ΞΝΖ , ΒΛ , |
| ΚΛ δύνει ἤπερ ἡ ΛΞ . πάλιν , ἐπεὶ ἡ ΤΜ τῆς ΗΞ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία , ἔστω τῇ | ||
| μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ΛΤ τῆς ΝΧ , ἡ δὲ ΤΜ τῆς ΧΞ , ὅλη ἄρα ἡ ΛΜ ὅλης τῆς |
| , Μ , Ν σημεῖα παράλληλοι κύκλοι οἱ ΟΠ , ΡΣ , ΤΥ , ΦΧ , καὶ γεγράφθωσαν διὰ τῶν | ||
| λόγον τέτμηται , καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΣ . ἴση δὲ ἡ ΡΣ τῇ ΥΦ : τῆς |
| αὐτῶν μοιρῶν λ ἐπεζεύχθωσαν μὲν ἥ τε ΑΗ καὶ ἡ ΔΗΒ , κάθετος δὲ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΑΔ | ||
| ΓΕΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΒ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΕΖ , ΔΗΒ ἴσαι εἰσίν . ἐπεὶ γὰρ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΕΖ |
| ΒΛ πρὸς ΛΝ . ] ὡς δὲ ἡ ΓΛ πρὸς ΛΝ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΛ τετράγωνον πρὸς τὸ | ||
| ὁ μὲν ΓΜ κύλινδρος τῷ ΕΒ κυλίνδρῳ , ὁ δὲ ΛΝ ἄξων τῷ ΗΘ ἄξονι : ἔστιν ἄρα ὡς ὁ |
| ἡ ΚΛ τῆς ὅλης περιφερείας , τὸ αὐτὸ καὶ ἡ ΘΟ τῆς ΘΟΛ . καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΘΟΛ τῇ | ||
| ΜΒ τῇ ΒΝ καὶ ἡ ΚΟ τῇ ΟΛ καὶ ἡ ΘΟ τῇ ΟΞ καὶ ἡ ΚΘ τῇ ΞΛ . ἐπεὶ |
| , τεταγμένως δὲ ἐπ ' αὐτὴν κατηγμέναι αἱ ΚΛ , ΞΝ , ΗΖ : ἔσται οὖν , ὡς ἡ ΑΒ | ||
| , ΜΛ . καί ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΚΞ , ΞΝ μείζονα τῶν ἀπὸ τῶν ΚΜ , ΜΛ : ἡ |
| κέντρου τοῦ κύκλου ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὴν ΘΒ καὶ ΚΓ ἐκβεβλημένας ἡ ΛΜ , ΛΝ : τέμνουσιν ἄρα ταύτας | ||
| ἡ ΚΒ πρὸς ὅλην τὴν ΒΗ ἐστιν , ὡς ἡ ΚΓ πρὸς ΖΗ , τουτέστιν ὡς ἡ ΔΘ πρὸς ΖΗ |
| ΚΔΓ ἢ διπλῆ τῆς ὑπὸ ΓΔΕ . τῆς δὲ ὑπὸ ΔΓΒ ἐλάσσων ἢ διπλῆ ἡ αὐτὴ ἡ ὑπὸ ΚΔΓ : | ||
| ὑπὸ ΔΒΕ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι τῷ ΔΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΓΒ γωνίᾳ ἐστὶν ἴση . Ἐὰν ἄρα |
| κατὰ τὸ Ρ , καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΟ , τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΟΝ , ΝΡ τριπλάσιά | ||
| ἡ ΥΡ τῆς ΡΞ . Ἴση δὲ ἡ ΥΡ τῇ ΡΟ : μείζων ἄρα ἡ ΟΡ τῆς ΡΞ . Τετμήσθω |
| ΘΡΝ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΣΟ , ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΜΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΠ , τὸ ΞΜΑ τρίγωνον πρὸς | ||
| ἐναλλάξ , ὡς ἡ ΠΜ πρὸς ΒΛ , οὕτως ἡ ΜΑ πρὸς ΑΛ . μείζων δὲ ἡ ΠΜ τῆς ΒΛ |
| ΑΒ δύο τρίγωνα δεδομένα τῷ εἴδει ἀναγεγράφθω τὰ ΑΒΓ , ΑΔΒ : λέγω , ὅτι λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΓΒ πρὸς | ||
| ἐπίπεδον : τομὴν δὴ ποιήσει μέγιστον κύκλον . ποιείτω νὸν ΑΔΒ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ , ΑΒ , ΒΔ |
| πρὸς ΣΒ ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΣ ἐστι πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΣΓ , ὁ δὲ τῆς ΑΤ πρὸς ΤΞ μετὰ τοῦ | ||
| : ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΑΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΣΓ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΞΤΟ |
| ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΟ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΣ , ἴσον δέ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΟ τοῖς | ||
| περιέχει τὰ εἰς Ξ καὶ εἰς Ρ καὶ τὰ εἰς ΑΣ . Τὸ δὲ τρίτον τὴν εἰς ΗΣ κατάληξιν . |
| παράλληλος ἤχθω ἡ ΧΨ . καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΞ τῇ ΦΧ , ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς | ||
| ἀπὸ τῆς ΔΓ τῷ ΑΠ , τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΞ τῷ ΑΟ . καὶ ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ |
| ἐν τῇ νυκτὶ περιφέρεια ἡ εκʹ , καὶ τῇ εκʹ ἴση ἀπειλήφθω ἡ δλʹ , καὶ κοινὴ ἡ λεʹ : | ||
| . μείζων ἄρα ἡ ΓΔ τῆς ΑΒ φαίνεται . Τὰ ἴση μεγέθη καὶ παράλληλα ἄνισον διεστηκότα ἀπὸ τοῦ ὄμματος οὐκ |
| , ὥσπερ ἡ ἀπὸ τοῦ Ξ , κοινὴ τομὴ τῶν ΠΞ ΛΞ , καὶ ἐπ ' αὐτῆς τμῆμα ἐπισταθῇ , | ||
| ΞΚΟ , ΠΛΡ . λέγω , ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΠΞ περιφέρεια τῆς ΞΜ περιφερείας . γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ |
| τουτέστι ΔΕ , ΕΖ , ἐλάττους ἔσονται τῶν ΜΞ , ΞΛ , τουτέστι τῆς ΜΝ : ἀλλ ' ἡ ΜΝ | ||
| τουτέστιν αἱ ΔΕ , ΕΖ , δύο ταῖς ΜΞ , ΞΛ , τουτέστι τῇ ΜΝ , ἴσαι εἰσίν . ἀλλὰ |
| : τὸ Ζ ἄρα σημεῖον ἐντὸς ἔσται τῶν ἀσυμπτώτων τῆς ΑΒΔ τομῆς . καί ἐστιν αὐτῆς ἀντικειμένη ἡ ΓΕ : | ||
| κύκλου , διὰ δὲ τοῦ Β εὐθεῖά τις ἦκται ἡ ΑΒΔ , ἡ ΑΒΔ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΕΖ κύκλου |
| ἡ ΚΒΛ . λέγω , ὅτι ἐστίν , ὡς ἡ ΑΚ πρὸς ΚΘ , οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΗΘ . | ||
| ἴση ἡ ΚΛ τῇ ΚΗ . ἐπεὶ οὖν τὰ ἀπὸ ΑΚ , ΚΗ τοῖς ἀπὸ ΑΒ , ΒΗ ἴσα ἐστί |
| καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΖ . ἔσται δὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΖΒΕ γωνία ἡμίσεια ὀρθῆς . τετμήσθω ἡ ὑπὸ τῶν ΖΒΕ | ||
| κβ διὰ τὸ ἴσην αὐτὴν εἶναι συναμφοτέραις τῇ τε ὑπὸ ΖΒΕ δεδειγμένῃ τῶν αὐτῶν ιϚ μδ καὶ τῇ ὑπὸ ΓΖΒ |
| ἐστιν ἴση , λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ περιφέρεια λοιπῇ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση . πενταγώνου δὲ ἡ ΓΔ : δεκαγώνου | ||
| ἐστὶν ἴση . ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΔ , ἡ ΔΘ πρὸς ΘΖ , ἴση δὲ ἡ |
| τὰ ηʹ πρὸς βʹ : καὶ τῆς ΘΚ ἄρα πρὸς ΘΣ λόγος ὃν ἔχει τὰ ηʹ πρὸς τὰ εʹ . | ||
| δὲ ἡ ΘΠ τῆς ΠΝ . διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΘΣ τῆς ΝΒ . καὶ ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΠΘ |
| καὶ ΕΡ καὶ ΕΣΥ καὶ ΕΤΦ . ἡ μὲν τοίνυν ΖΛ περιφέρεια ἴση οὖσα τῇ τοῦ ἑκτημορίου καὶ ἔτι τῇ | ||
| ἐστιν ] ἴσον τῷ ΖΛ , ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΛ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν |
| ἐπ ' αὐτὴν κάθετος ἔσται [ . , ] . Μείζων ἄρα γωνία . , ] ἐπεὶ ὀρθογώνιά ἐστιν , | ||
| ἀποστάσεις διὰ τὸ ἀπ ' ἀλλήλων ἀποσχισθῆναι οὐχ ἅψονται . Μείζων δὲ πλευρὰ ἡ ΒΖ . , ] μείζων εὐλόγως |
| . καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ , ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ , ὡς δὲ ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ | ||
| ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ , οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ . Δέδοται ἄρα . , ] ἐπεὶ οὖν δεδομέναι |
| ἐπὶ τὰ Ζ , Ν μέρη , ὁμοία ἐστὶν ἡ ΝΡ περιφέρεια τῇ ΓΣ περιφερείᾳ : ἡ ΝΡ ἄρα τῆς | ||
| Μ Ν , καὶ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΜΞ ΜΟ ΝΠ ΝΡ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΒ ΝΔ : ἴση ἄρα |
| ἄρα πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ΔΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον . καὶ ἀνάπαλιν τὸ | ||
| αἱ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ ΒΑΓ ΓΑΕ , τουτέστιν αἱ ὑπὸ ΔΑΒ ΒΑΕ , τουτέστιν αἱ δύο ὀρθαὶ ἴσαι εἰσὶ ταῖς |
| τῷ ἀπὸ ΓΧ : ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΚΧ παράλληλον ἄγωμεν , τὸ ὑπὸ τῆς ΤΧ καὶ τῆς | ||
| καὶ ἡ ΣΧ τῇ ΟΦ , ἡ δὲ ΒΦ τῇ ΚΧ . παράλληλος ἄρα . , ] ἐὰν γὰρ δύο |
| τὰ κέντρα τὰ Ρ , Σ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΡΛ , ΡΜ , ΡΚ , ΡΝ , ΣΚ , | ||
| καὶ ἡ ΠΚ πρὸς ΟΛ , καὶ ἡ ΚΡ πρὸς ΡΛ , καὶ ἡ ΟΚ πρὸς ΛΞ , τῶν ΑΓ |
| τῆς δευτέρας συζυγοῦς διαμέτρου , ὡς δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΠΣ , ΣΑ , τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΓΣ , | ||
| δύσις ἡ Ρ , καὶ κείσθω τῇ ΡΝ ἴση ἡ ΠΣ [ καθ ' ὑπόθεσιν , καὶ ἔστω ἐπὶ τοῦ |
| ΕΛ ια λϚ ιη . , ٢٠ , ٤٠ , ٢٩ ٢٦ ٣٠ , ٢٩ ٢٦ ٣٠ καὶ ἡ ΑΕ | ||
| καὶ μέσον ٢٤ ٢٩ ٣٧ ٤٨ ٢ τὸ ΕΓ ٨ ٢٩ ٣٧ ٤٨ ٢ ἡ πλευρὰ τοῦ . . ٤ |
| τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα : ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕΚ περιφέρεια τῇ ΚΗΓ περιφερείᾳ , ἡ δὲ ΑΝ τῇ | ||
| τῷ Ε σημείῳ τῇ ὑπὸ ΜΠΞ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΕΚ , καὶ διὰ τοῦ Κ ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἤχθω |
| , καὶ παράλληλος τῇ ΖΔ ἡ ΑΜ , καὶ τῶν ΒΜ , ΜΓ μέση ἀνάλογον ἔστω ἡ ΜΗ , καὶ | ||
| : διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΘ , ὀρθία δὲ ἡ ΒΜ . λέγω , ὅτι τὸ ὑπὸ ΔΑΖ ἴσον ἐστὶ |
| τι ἢ ἀπ ' ἄλλου τὸ αὐτό , οὐχ ἡ ἀντικειμένη , ἀλλ ' ἔσται ἐκείνης ἑτέρα , τοῦτο δέ | ||
| φερόμενον : ἡ γὰρ ὅλη φορὰ οὐθὲν ἧττον ἑκατέρα ἑκατέρᾳ ἀντικειμένη ἐπ ' ἄπειρον νοεῖται . Καὶ μὴν καὶ ἰσοταχεῖς |
| κατάφωροι γίνονται . ὅτι δὲ ἀντίκειται μᾶλλον τῇ μεγαλοψυχίᾳ ἡ μικροψυχία τῆς χαυνότητος καὶ δι ' ὅ , σαφῶς εἶπε | ||
| δικαιοσύνη , ἐλευθεριότης , ἀσωτία , ἀνελευθερία : μεγαλοψυχία , μικροψυχία , χαυνότης : μεγαλοπρέπεια , μικροπρέπεια , σαλακωνία . |
| ἐφαπτομένη παράλληλός ἐστι τῇ ΑΓ . ἔστω οὖν ἐφαπτομένη ἡ ΘΒΚ : συμπεσεῖται δὴ ταῖς ΕΔ , ΔΖ . ἐπεὶ | ||
| καθέτου διάμετρος ἡ ΔΓΒΕ , διήχθωσαν δὲ αἱ ΖΒΗ , ΘΒΚ ἴσας περιφερείας ἀπολαμβάνουσαι πρὸς τῇ ΕΔ τὰς ΚΔ , |
| ΥΑΦ ἴση ἐστίν : λοιπὴ ἄρα ἡ ΧΗ συναμφοτέρου τῆς ΦΘ ΥΚ μείζων ἐστίν . ἴση δὲ ἡ ΦΘ τῇ | ||
| να . πάλιν δ ' , ἐπεὶ καὶ ἡ μὲν ΦΘ τῇ ΦΧ ἴση ἐστίν , ἡ δὲ ΝΧ τῆς |
| ὑπὸ ΑΕΒ ὀρθή ἐστιν . καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΗΕΖ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς , ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΗΖ : | ||
| ΑΒΓ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς . ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνία |
| ΥΦ . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΒΧ , ΧΓ , ΓΦ ἑκατέρᾳ τῶν ΒΥ , ΥΦ | ||
| ἄρα ἡ ΧΑ πρὸς ΑΞ , οὕτως ἡ ΞΒ πρὸς ΒΧ . καὶ διελόντι ὡς ἡ ΧΞ πρὸς ΞΑ , |
| δέδοται τῷ μεγέθει . δῆλον δ ' ὅτι καὶ ἡ συζυγὴς αὐτῇ : δέδοται γὰρ ὁ τῆς ΕΖ πλαγίας πρὸς | ||
| οὖσα καὶ τὸν τῆς ὕλης λόγον ἀναδεδεγμένη , καὶ ἐπεὶ συζυγὴς οὖσα τῇ μονάδι δι ' ἐκείνην ἐκωλύθη τῆς εἰρημένης |
| , ΘΣ ἐστι μείζων , μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΡΘ περιφέρεια τῆς ΘΣ περιφερείας . ἀλλ ' ἡ μὲν | ||
| διαμέτρου τῆς ἀπὸ τοῦ Ρ τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέσταται τὸ ΡΘ καὶ τὸ τούτῳ συνεχές , καὶ ἀπείληπται περιφέρεια ἡ |
| ΜΡ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ , ἡ δὲ ΞΝ τῆς ΝΣ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῆ , ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ | ||
| μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία : καὶ ἡ ΘΚ ἄρα τῆς ΝΣ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία . καὶ εἰσὶ τοῦ αὐτοῦ |
| ΚΑΜ τῷ ὑπὸ ΛΒΝ : ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΓΔΘ τῷ ὑπὸ ΖΔΗ . ὁμοίως δὴ δειχθήσεται , κἂν | ||
| πρὸς τὸν ΓΔΚ κῶνον ἢ κύλινδρον . ὡς δὲ ὁ ΓΔΘ κῶνος ἢ κύλινδρος πρὸς τὸν ΓΔΚ κῶνον ἢ κύλινδρον |
| μᾶλλον δειλίας : τὸ γὰρ φεύγειν τὰ ἐπίπονα μαλακίας καὶ χαυνότητος . οὐ γὰρ αἱρεῖταί τις τὸν τοιοῦτον θάνατον ὅτι | ||
| . ὅτι δὲ ἀντίκειται μᾶλλον τῇ μεγαλοψυχίᾳ ἡ μικροψυχία τῆς χαυνότητος καὶ δι ' ὅ , σαφῶς εἶπε . καὶ |
| παρὰ τὴν ΗΘ εὐθεῖαν τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΜ ἐν τῇ ὑπὸ ΗΘΜ γωνίᾳ , ἥ ἐστιν ἴση | ||
| συγκείμενον ἔχει λόγον ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΗ πρὸς ΗΜ καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΖΗ πρὸς ΗΛ |
| ΑΔΕ γωνία λϚ νβ : καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΕ τῶν αὐτῶν ἐστιν ρμε νϚ . ὥστε καὶ ἡ | ||
| τοῦ Α ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν . ποιείτω τὴν ΔΑΕ : αἱ ἄρα ΑΒ , ΑΓ , ΔΑΕ εὐθεῖαι |
| ΨΧ πρὸς τὴν ΧΠ , οὕτως ἡ ΠΧ πρὸς τὴν ΧΩ . καὶ διὰ τοῦτο πάλιν ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΠΨ | ||
| καὶ ἀπὸ περισπωμένων : ἰαχήσω , στεναχήσω . Τὰ εἰς ΧΩ ὑπερδισύλλαβα φύσει βραχείᾳ παραληγόμενα , ἢ παρ ' ὄνομα |
| δὴ δείξομεν , ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔΖ περιφέρεια τῇ ΑΕΖ περιφερείᾳ . καὶ τετμήσθω ἡ ΑΖ περιφέρεια δίχα κατὰ | ||
| καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις : τὸ δὲ ΗΕΖ τῷ ΑΕΖ ἴσον : τὸ ἄρα ΑΓΔ τοῦ ΑΕΖ μεῖζόν ἐστιν |
| ΒΖ , ΔΓ : καὶ ἡ ΒΓ ἄρα ἀσύμμετρός ἐστι συναμφοτέραις ταῖς ΒΖ , ΔΓ . ὥστε καὶ λοιπῇ τῇ | ||
| ΘΒ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΑΓ , ἥ ἐστιν ἴση συναμφοτέραις ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ ΒΘΔ . καὶ ἔστι τοῦτο καθολικώτερον |
| σοι μοιχείας ἔχειν γραφὴν , ἀλλὰ καὶ φόνου κρίνεσθαι . ΤΗ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙ ΤΗΣ ΑΙΤΙΑΣ , Ο ΚΑΛΕΙΤΑΙ ΧΡΩΜΑ . Ἀλλ | ||
| Βατή τὸ τοῦ δήμου . . . . Τὰ εἰς ΤΗ παραληγόμενα τῷ Ε κύρια ὄντα βαρύνεται : Βρεμέτη Ὠκυπέτη |
| δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ μήκει . καὶ οὐδετέρα τῶν ΔΜ , ΜΗ σύμμετρός ἐστι τῇ ἐκκειμένῃ ῥητῇ τῇ ΔΕ | ||
| πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΖ , οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς ΔΜ . ἀλλ ' ἦν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ |
| ΨΣ , κοινὴ δὲ ἡ ΨΟ , βάσις δὲ ἡ ΒΟ βάσεως τῆς ΣΟ μείζων ἐστίν , καὶ γωνία ἡ | ||
| ἐστὶ τῷ ΜΠ . καὶ κοινοῦ προστεθέντος ἢ ἀφαιρουμένου τοῦ ΒΟ τὸ ΒΠ ἴσον ἐστὶ τῷ ΞΣ . Ἐὰν ἐν |
| , καλεῖται δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη . Ἡ ἄρα ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη : ὅπερ ἔδει δεῖξαι | ||
| μέσον λόγον , καί εἰσι μείζονα τμήματα αἱ ΗΓ , ΜΞ , ὡς ἄρα ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΓ , |
| ἀπεδείχθη μοιρῶν ρνζ ι ἔγγιστα : καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΒ τοῦ ἐπικύκλου περιφέρεια , ἣν ἀπεῖχεν ἡ σελήνη τοῦ | ||
| μείζων ἐστί , καί ἐστιν , ὡς ἡ ΕΛ πρὸς ΛΒ , οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς ΑΒ , καὶ συνθέντι |
| μεγίστης τῆς ΛΡ : μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΡ τῆς ΡΜ : ἡ ἄρα ΛΜ τῆς ΜΡ μείζων ἐστὶν ἢ | ||
| ἴση ἐστὶν ἡ ΗΠ τῇ ΗΘ , μείζων ἐστὶν ἡ ΡΜ τῆς ΜΚ : πολλῷ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ΞΜ |
| πρὸς τὴν ΣΤ , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΣΤ τῷ ΗΝ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΣΤ . | ||
| ἄρα τὸ ΝΛΗ τρίγωνον τῷ εἴδει : λόγος ἄρα τῆς ΗΝ πρὸς ΝΛ δοθείς . καὶ δοθεῖσα ἡ ΗΝ : |
| ΤΡΧ , τουτέστιν τῷ τοῦ ἀπὸ ΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΡ . ἔχει δὲ σύγκρισιν . ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ | ||
| τὸ ΝΘ : καὶ ὡς ἄρα τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΣΡ , οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ . τὸ |
| νοῦς : ὦ ἀκμή , ἄγγελε τῶν ἀφροδισίων : Ἱκέτας αἰακοῦ . τοῦτό φησι παρόσον αὐχμοῦ ποτε γεγονότος ἐν τῇ | ||
| αὐχμοῦ ποτε γεγονότος ἐν τῇ ἑλλάδι δι ' αὐτοῦ τοῦ αἰακοῦ εὐφράνθησαν , εὐξαμένου καὶ λύσαντος τὸν αὐχμόν : Ἐχθρὰ |
| διπλῆ ἡ ΦΧ : πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΩΨ τοῦ ἀπὸ τῆς ΧΦ . καὶ ἐπεὶ τετραπλῆ ἐστιν | ||
| δὲ ΣΟ τῇ ΨΥ ἴση , καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΩΨ , ΨΥ τριπλάσιά εἰσι τοῦ ἀπὸ τῆς ΟΝ . |
| ἴση ἑκατέρα τῶν ΞΛ , ΛΟ , καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΛΠ στερεόν . καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς | ||
| ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΟΛ , ΛΠ . ἐπεὶ δὲ οὔκ ἐστιν ἡ τομὴ ὑπεναντία , |
| δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν : καὶ αἱ ὑπὸ ΑΓΕ , ΑΓΒ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν . πρὸς δή τινι | ||
| : ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΓΔ μετὰ τῶν ὑπὸ ΓΒΔ , ΑΓΒ οὐ μείζονές εἰσι δυεῖν ὀρθῶν , ὅ ἐστιν αἱ |
| , οὕτως ἡ ΚΔ πρὸς ΔΘ . ὡς δὲ ἡ ΚΔ πρὸς ΔΘ , οὕτως ἡ ΚΖ πρὸς ΘΗ : | ||
| ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς ἐφαπτομένας ἐστὶν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΔ , ἡ ΒΘ πρὸς ΘΔ , καὶ ἔστιν ἡ |
| , Α , Μ σημεῖα παράλληλοι κύκλοι οἱ ΝΞ , ΟΠ , ΡΣ , ΤΥ . ἐπεὶ ἡ ΖΗ τῆς | ||
| ΛΞ τῆς ΞΟ : μείζων ἄρα καὶ ἡ ΛΜ τῆς ΟΠ . ἀλλὰ ἡ ΛΜ κεῖται τῇ ΑΓ ἴση : |
| ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΠΡ , ἴση δὲ ἡ ΠΡ τῇ ΗΘ , ἔστιν | ||
| περιφερείας , ἡ δὲ κατὰ τὸ Ο βορεία παράλλαξις τῆς ΠΡ , ἡ δὲ κατὰ τὸ Μ βορεία τῆς ΛΚ |
| Λ , καὶ κείσθω τῇ ΛΖ περιφερείᾳ ἴση περιφέρεια ἡ ΜΗ . Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ζ | ||
| ἀπὸ ΜΗ . κοινὸς προσκείσθω λόγος ὁ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ . ὁ ἄρα συγκείμενος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΜ |
| , ὅτι καὶ ὡς ἐπὶ τὰ Ζ , Β ἐκβαλλομένη συμπίπτει . ἡ ΓΔ ἄρα ἐκβαλλομένη ἐφ ' ἑκάτερα συμπεσεῖται | ||
| ' ἐκ παθημάτων τὸ στόμα τῆς κοιλίας στενόν ἐστι , συμπίπτει μὲν τὰ ὅμοια , λυομένων δὲ τῶν παθῶν ἀνὰ |
| τῇ ΑΕ : μείζων ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΑΝ : ὅπερ ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τὸ κέντρον τῆς | ||
| ἐστίν . ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΝΑ γωνία : ἡ ΑΝ ἄρα ὕψος ἐστὶ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου , |
| Αἰγόκερω μοίραις γ ι λοξώσεως . ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΕΞ τῶν τοῦ ἐξάρματος ἐν Ἀλεξανδρείᾳ μοιρῶν λ νη . | ||
| ΓΘ πρὸς τὴν ΕΞ : παραλλήλου οὔσης τῆς ΓΘ τῇ ΕΞ εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ Ξ Ζ |
| ἡ μὲν ΘΥ τῆς ΥΤ , ἡ δὲ ΥΤ τῆς ΤΞ , καὶ τῶν παραλλήλων ἄρα τῷ μεγίστῳ αἱ περιφέρειαι | ||
| ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΝΣ . ἀλλὰ τὸ ΤΥ τῷ ΤΞ ἐστιν ἴσον , κοινὸν δὲ τὸ ΤΣ : ὅλον |
| τῆς ἀληθείας ἐμμέτρως ἐπιβεβόηκέ σοι , εἰπὼν οὔτως : Εἰδωλοποιὲ Μάρκε , καὶ τερατοσκόπε , ἀστρολογικῆς ἔμπειρε καὶ μαγικῆς τεχνῆς | ||
| τὴν δ ' ἐξουσίαν τοῦ κωλύειν τοὺς ἀκοσμοῦντας , ὦ Μάρκε Ὁράτιε , παρὰ τοῦ δήμου λαβόντες ἔχομεν , ὅτε |
| τὴν ἔγγιον τῆς ἀπωτέρω , ἐλαχίστην δὲ τὴν πρὸς τῇ ἐφαπτομένῃ , καθ ' ἣν ἡ μέση κίνησίς ἐστιν , | ||
| συμπτώσει τῶν ἐφαπτομένων διαφέρει τῷ ἀπολαμβανομένῳ τριγώνῳ πρός τε τῇ ἐφαπτομένῃ καὶ τῇ διὰ τῆς ἁφῆς ἀγομένῃ διαμέτρῳ . ἔστωσαν |
| ΑΓ , ΓΒ μέσα ἐστίν . μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παραβέβληται : ῥητὴ | ||
| ἡ μὲν ΑΚ τῇ ΛΒ , ἡ δὲ ΓΚ τῇ ΔΛ , δύο δὴ αἱ ΑΚ , ΚΓ δύο ταῖς |
| τῇ ΒΖ κατὰ τὸ Θ , ἡ δὲ ΑΛ τῷ ΒΜΖ ἡμικυκλίῳ κατὰ τὸ Μ , ἐπεζεύχθωσαν δὲ καὶ αἱ | ||
| αἱ ΚΔ ΜΙ ΜΘ . ἐπεὶ οὖν ἑκάτερον τῶν ΔΚΑ ΒΜΖ ἡμικυκλίων ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον , καὶ |
| ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΘΣ τῆς ΝΒ διπλῆ . καὶ συναμφότεραι ἄρα αἱ ΘΣ , ΠΡ τῆς ΝΒΜ ὅλης διπλασίους | ||
| δ ' ἐπὶ τοῦ τριγώνου τῆς βάσεως αἱ εὐθεῖαι συνίστανται συναμφότεραι μείζους τῶν ἐκτὸς αἱ ἐντός , ἀλλὰ καὶ ἐπὶ |
| εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ , καὶ βάσις ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΕΗ ἴση ἐστί , γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίᾳ | ||
| τῆς ΔΗ ; ἢ διότι ἡ ΔΗ διπλασία ἐστὶ τῆς ΕΗ : δίχα γὰρ ἐτμήθη ἡ ΔΗ κατὰ τὸ Ε |
| χρόνω δύνουσιν . ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ αἱ ΜΓ , ΑΗ περιφέρειαι ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν . καὶ | ||
| τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλου ] . δεῖ δὲ τὴν ἴσην τῇ ΜΓ ἀνατέλλουσαν μεταξὺ πάλιν εἶναι τῶν αὐτῶν παραλλήλων , διότι |
| : δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΨΚ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΨΣ δοθεῖσά ἐστιν , ἐπεὶ καὶ ὡς ἡ ΦΚ πρὸς | ||
| τῷ ΡΣ κύκλῳ : ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΩ τῇ ΨΣ περιφερείᾳ . ἐπεὶ δὲ ἀσύμπτωτόν ἐστι τὸ ἀπὸ τοῦ |
| πρὸς ΖΘ , ὡς δὲ ὁ ΗΕΚ τομεὺς πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα , οὕτως ἡ ὑπὸ ΔΚΖ γωνία πρὸς τὴν | ||
| τοῦ ἐπικύκλου καὶ τὸ Θ κέντρον φερόμενον πάντοτε διὰ τοῦ ΗΘΚ ἐκκέντρου , καὶ τὸν ἀστέρα δὲ αὐτὸν κινούμενον ἐπὶ |