| παραλληλογράμμῳ τῷ ΠΒ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ [ ἐπειδήπερ τὸ ΠΒ τῷ ΗΠ ὅμοιόν ἐστιν ] : ὅπερ ἔδει ποιῆσαι | ||
| λόγον ἡ ΑΛ πρὸς ΛΒ , ἐχέτω ἡ ΑΠ πρὸς ΠΒ , ὃν δὲ ἡ ΔΛ πρὸς ΛΓ , ἡ |
| τὸ ΗΚ . ἴσον δή ἐστι τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΗΚ στερεῷ : ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν | ||
| ἄρα καὶ ἡ ΑΗ τῇ ΗΚ . ὥστε καὶ ἡ ΗΚ τῇ ΗΒ ἐστιν ἴση : ὅπερ ἀδύνατον . οὐκ |
| ἡ ὑπὸ ΒΑΞ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση , ἡ δὲ ΞΟ τῇ ΘΚ , ἡ δὲ ΟΠ τῇ ΜΝ . | ||
| περὶ διάμετρον τὴν ΚΝ κύκλος γραφόμενος ὀρθὸς ὢν πρὸς τὴν ΞΟ ὁρίζων ἐστὶ τοῖς πρὸς τῷ Ε οἰκοῦσιν . Ἐπεὶ |
| ἀπεδείχθη μοιρῶν ρνζ ι ἔγγιστα : καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΒ τοῦ ἐπικύκλου περιφέρεια , ἣν ἀπεῖχεν ἡ σελήνη τοῦ | ||
| μείζων ἐστί , καί ἐστιν , ὡς ἡ ΕΛ πρὸς ΛΒ , οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς ΑΒ , καὶ συνθέντι |
| ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι : ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ , προσαρμόζουσα δὲ ταύτῃ ἡ ΖΚ . ἤτοι δὴ | ||
| ΞΔ πρὸς ΔΜ . ἀλλ ' ὡς ἡ ΛΚ πρὸς ΚΘ , οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς ΚΒ : καὶ ὡς |
| τὸ ΝΓ πρὸς τὸ ΓΘ , τὸ ΓΡ πρὸς τὸ ΡΗ . καὶ ὡς ἓν πρὸς ἕν , οὕτως ἅπαντα | ||
| ὡς δὲ ἡ ΓΣ πρὸς ΣΗ , τὸ ΡΓ πρὸς ΡΗ : καὶ ὡς ἄρα τὸ ΝΓ πρὸς τὸ ΓΘ |
| , ΖΗ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΘ , ΒΗ : λέγω , ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον | ||
| ἴσῳ τριγώνῳ τῇ ΒΖ , γίνεται ὡς συναμφότερος ἡ ΖΒ ΒΗ πρὸς τὴν ΖΗ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΖ τετράγωνον |
| τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΗΚΘ τῇ ὑπὸ ΟΛΗ , τουτέστιν ἡ ΠΘ περιφέρεια τῇ ΟΗ . ἀλλὰ καὶ ἡ ΘΣ τῇ | ||
| ἀπὸ ΕΘ , ΘΗ : καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΠΘ λοιπῷ τῷ ἀπὸ ΘΡ ἴσον ἐστίν : ἴση ἄρα |
| ΑΓ , ΓΒ μέσα ἐστίν . μέσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΛ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΔΕ παραβέβληται : ῥητὴ | ||
| ἡ μὲν ΑΚ τῇ ΛΒ , ἡ δὲ ΓΚ τῇ ΔΛ , δύο δὴ αἱ ΑΚ , ΚΓ δύο ταῖς |
| , διότι ἡ τῆς ΜΓ ἀναφορὰ ἡ αὐτὴ λαμβάνεται τῇ ΝΞ οὐ προοδεύεται δὲ τὸ θεώρημα τοῦτο οὐκ - έτι | ||
| τουτέστιν τὰς καὶ ΠΝ , καὶ τὰς ἴσας αὐταῖς τὰς ΝΞ καὶ ΕΞ . καὶ πάλιν , ἐπεὶ δέδοται ἡ |
| , καὶ παράλληλος τῇ ΖΔ ἡ ΑΜ , καὶ τῶν ΒΜ , ΜΓ μέση ἀνάλογον ἔστω ἡ ΜΗ , καὶ | ||
| : διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΘ , ὀρθία δὲ ἡ ΒΜ . λέγω , ὅτι τὸ ὑπὸ ΔΑΖ ἴσον ἐστὶ |
| τὴν ΟΛ : δι ' ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΞ πρὸς ΞΚ , οὕτως ἡ ΕΟ πρὸς ΟΛ . | ||
| ἡ ΒΝ ἴση τῇ ΒΚ καὶ τῇ ΠΒ καὶ αἱ ΒΞ , ΞΑ ἴσαι ταῖς ΒΛ , ΛΑ καὶ ταῖς |
| ΔΜ , πέμπτον δὲ τὸ ΓΛ , ἕκτον δὲ τὸ ΒΚ , ἕβδομον δὲ τὸ ΑΘ , μόνα δὲ καὶ | ||
| ταῦτα γὰρ ἡμῖν πάντα προαποδέδεικται : τοιούτων καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΚ καὶ ΚΘ ἔσται ιε νε . πάλιν , ἐπεὶ |
| ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ , οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΠΡ , ἴση δὲ ἡ ΠΡ τῇ ΗΘ , ἔστιν | ||
| περιφερείας , ἡ δὲ κατὰ τὸ Ο βορεία παράλλαξις τῆς ΠΡ , ἡ δὲ κατὰ τὸ Μ βορεία τῆς ΛΚ |
| ἴση ἄρα καὶ ἡ ΒΜ τῇ ΜΘ . ὧν ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ ἴση ἐστίν : λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ | ||
| ἐπικύκλων εὐθεῖαι , ἐπὶ μὲν τὰ ἀπόγεια αἱ ΕΗ καὶ ΕΜ , ἐπὶ δὲ τὰ περίγεια αἱ ΕΚ καὶ ΕΞ |
| , Α , Μ σημεῖα παράλληλοι κύκλοι οἱ ΝΞ , ΟΠ , ΡΣ , ΤΥ . ἐπεὶ ἡ ΖΗ τῆς | ||
| ΛΞ τῆς ΞΟ : μείζων ἄρα καὶ ἡ ΛΜ τῆς ΟΠ . ἀλλὰ ἡ ΛΜ κεῖται τῇ ΑΓ ἴση : |
| τὸ θεώρημα τῆς δὲ ΑΒ ἐξ ἑτέρας παραλλήλους διὰ τὸ ΝΕ , ΖΔ σημεῖον . Ἡ ΑΒ Ϛ , ἡ | ||
| τομέως . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ ΝΕ περιφέρεια τῆς ΕΖ περιφερείας , τοσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ ὁ |
| ἀπὸ τῶν ΚΖ , ΖΕ , τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ : ἡ ΓΕ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΕΚ . | ||
| τῶν ΕΚ ΚΒ : ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ , οὕτως ἡ ΕΚ |
| ΟΔ , ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΛΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΞ , τὸ ἀπὸ ΖΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΔ : | ||
| ὡς ἄρα ἡ ΚΑ πρὸς ΑΔ , ἡ ΗΑ πρὸς ΑΞ . ἔστι δὲ καί , ὡς ἡ ΓΑ πρὸς |
| ὀρθία τοῦ παρὰ τὴν ΒΤ εἴδους . δίχα τετμήσθω ἡ ΜΝ κατὰ τὸ Π : ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ | ||
| καὶ πανσελήνους . ἐὰν γὰρ γράψωμεν περὶ τὸ Α τὸν ΜΝ ἐπίκυκλον , ὁ τῆς ΑΕ πρὸς τὴν ΑΜ λόγος |
| ἐπεί ἐστιν , ὡς ἡ ΓΞ πρὸς ΞΑ , ἡ ΓΠ πρὸς ΑΟ , καί ἐστιν ἡ μὲν ΓΠ τῆς | ||
| δευτέρας καταγραφῆς , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΞ , ΞΓ , ΓΠ . ἐπεὶ οὖν αἱ ΒΞΓ τῆς ΒΓ μείζους εἰσίν |
| , τοιούτων ἡ μὲν ΗΜ δ λγ , ἡ δὲ ΜΒ β λζ λ . πάλιν , ἐπεὶ ἡ ὑπὸ | ||
| πενταγώνου ἐστὶν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου : εἰκοσαέδρου ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ . Καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΒ κύβου ἐστὶ πλευρά , |
| Ψ τῇ ΚΞ παράλληλος ἡ ΨΩ , καὶ ἔστω ὡς ΛΜ πρὸς ΜΩ , οὕτως ἡ ΩΜ πρὸς ΜΑ͵ . | ||
| . ἀλλὰ καὶ διὰ τὸ τρεῖς εἶναι παραλλήλους τὰς ΔΕ ΛΜ ΗΘ ἴση γίνεται ἡ ΕΜ τῇ ΜΚ . εἴη |
| τῇ ΑΕ : μείζων ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΑΝ : ὅπερ ἀδύνατον . οὐκ ἄρα τὸ κέντρον τῆς | ||
| ἐστίν . ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΝΑ γωνία : ἡ ΑΝ ἄρα ὕψος ἐστὶ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου , |
| ΜΟ , ΕΣ . καί ἐστιν ἡ μὲν ΣΕ τῇ ΣΘ ἴση , ἡ δὲ ΣΘ τῇ ΟΠ : ἴσον | ||
| ὁμοίως δὴ δείξομεν , ὅτι καὶ ἡ ΝΛ περιφέρεια τῇ ΣΘ ἐστιν ἴση : ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΝΟ |
| ἐστιν ἴση , λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΗ περιφέρεια λοιπῇ τῇ ΗΔ ἐστιν ἴση . πενταγώνου δὲ ἡ ΓΔ : δεκαγώνου | ||
| ἐστὶν ἴση . ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΔ , ἡ ΔΘ πρὸς ΘΖ , ἴση δὲ ἡ |
| Ἠγείρετο δὲ πολὺς κτύπος τούτων μαχομένων . . . ΙΔΕΙ ΕΝ ΑΙΝΟΤΑΤΩι . Τὸν καιρὸν λέγει τῆς μάχης . Ἴδει | ||
| , ] πῶς ἔλασσον τὸ Ξ στερεὸν τῆς ἐν τῷ ΕΝ κώνῳ πυραμίδος ; δείξομεν οὕτως : ἐπεὶ ὁ ΕΝ |
| ἑκατέρα μὲν τῶν ΑΒ , ΑΖ ἑκατέρας τῶν ΑΗ , ΑΜ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σελήνης , ἴση δὲ | ||
| ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΝΗ . καὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΜ τῇ ΝΒ , καὶ δύο διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΑΒ |
| , καλεῖται δὲ ἐκ δύο μέσων πρώτη . Ἡ ἄρα ΜΞ ἐκ δύο μέσων ἐστὶ πρώτη : ὅπερ ἔδει δεῖξαι | ||
| μέσον λόγον , καί εἰσι μείζονα τμήματα αἱ ΗΓ , ΜΞ , ὡς ἄρα ἡ ΔΗ πρὸς τὴν ΗΓ , |
| τῆς ΜΗ μείζων ἐστί . πάλιν ἐπεὶ ἡ ΚΘ τῆς ΜΘ ἐλάττων ἐστίν , ἡ δὲ ΜΘ τῆς ΜΗ ἐλάττων | ||
| : φανερὸν ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλει ἡ ΛΜ τῆς ΜΘ , ὡς προεδείχθη . Τῷ δὲ αὐτῷ τρόπῳ ἐφωδεύσαμεν |
| σημεῖον . Κείσθω γὰρ τῇ ΖΗ περιφερείᾳ ἴση περιφέρεια ἡ ΘΚ . Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ζ | ||
| , ΗΛ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν : ὁμοίως καὶ αἱ ΘΚ , ΛΜ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ |
| ΑΔ τῇ ΗΓ , λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΛ λοιπῇ τῇ ΛΗ ἐστὶν ἴση . καὶ εἰσὶ τρεῖς παράλληλοι αἱ ΔΕ | ||
| ἴση , ἡ δὲ ΑΛ τῇ ΔΕ , ἡ δὲ ΛΗ , τουτέστιν ἡ ΛΜ , τῇ ΕΖ , ὡς |
| ] Κ [ ] Κ ! ! ! [ ] ΤΑ ! [ ] ΠΙ [ ] ΡΙΤ [ ] | ||
| λευκοπώλῳ φέγγος ἡμέρᾳ φλέγειν . Καὶ τὰ λοιπά . . ΤΑ ΔΕ ΛΕΙΨΕΤΑΙ . Τουτέστι , τὸ τῶν κακῶν ἔσχατον |
| ἡ ΠΜ πρὸς τὴν ΒΛ , οὕτως ἡ ΜΑ πρὸς ΛΑ . μείζων δὲ ἡ ΜΑ τῆς ΛΑ : μείζων | ||
| ὡς ἄρα ἡ ΖΓ πρὸς ΓΑ , ἡ ΖΛ πρὸς ΛΑ . Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν ἡ ἀπὸ τοῦ σημείου |
| ΦϘΤ πεντάγωνον ἠγμένη , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΩΦ ΩϘ ΩΤ ΥΦ , ὀκταέδρου δὲ τρίγωνον τὸ ΣΡΠ ἔστω , καὶ | ||
| ἀγομένης ἐπὶ τὴν ΘΗ . ἀλλ ' ἡ ἴση τῇ ΥΦ καὶ πρὸς ἴσας γωνίας ἐπ ' αὐτὴν ἀγομένη κατὰ |
| τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς . Ἐπεὶ γὰρ αἱ τρεῖς αἱ ΛΚ , ΚΜ , ΚΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν , τὸ | ||
| τοῦ μὲν ΕΚ ἄξονος καὶ τοῦ ΒΗ κυλίνδρου ὅ τε ΛΚ ἄξων καὶ ὁ ΠΗ κύλινδρος , τοῦ δὲ ΚΖ |
| , Μ , Ν σημεῖα παράλληλοι κύκλοι οἱ ΟΠ , ΡΣ , ΤΥ , ΦΧ , καὶ γεγράφθωσαν διὰ τῶν | ||
| λόγον τέτμηται , καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΣ . ἴση δὲ ἡ ΡΣ τῇ ΥΦ : τῆς |
| ΑΒ παραλληλόγραμμον . ἔστω δ ' ἐν αὐτῷ διὰ τῆς ΠΟ εὐθείας κατὰ μέσον σωλήν , ὥστε πελεκυνάριον ἐν αὐτῷ | ||
| ἤχθωσαν διὰ τῶν Κ , Λ παράλληλοι αἱ ΞΟ , ΠΟ . ἐπεὶ οὖν διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΠΟ τῆς |
| ἐστιν , ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΞ , οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΖ . ἐπεὶ | ||
| ΡΤ . ἐπεὶ δὲ ζητῶ τίς περιφέρεια ἡ ΕΚ τῇ ΚΞ , ζητήσω ἄρα τίς γωνία ἡ ὑπὸ ΕΟΚ τῇ |
| ἢ τοῦ αὐτοῦ ἐφάπτονται τῶν παραλλήλων . ἤτοι γὰρ ὁ ΑΗΓ κύκλος διὰ τῶν πόλων ἐστὶ τῶν παραλλήλων ἢ οὔ | ||
| πολυγώνου περιμέτρου , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ γωνία τεσσάρων ὀρθῶν , ὁμοίως δὲ καί , ὃ |
| καὶ ΕΡ καὶ ΕΣΥ καὶ ΕΤΦ . ἡ μὲν τοίνυν ΖΛ περιφέρεια ἴση οὖσα τῇ τοῦ ἑκτημορίου καὶ ἔτι τῇ | ||
| ἐστιν ] ἴσον τῷ ΖΛ , ῥητὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΛ . καὶ παρὰ ῥητὴν τὴν ΕΖ παράκειται πλάτος ποιοῦν |
| ἐπιπέδῳ ὢν αὐτοῖς , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΟ : ἡ ΜΟ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ διορίζοντος ἐν τῇ σελήνῃ τό | ||
| τῷ ἀπὸ τῆς ΛΜ . ἡ ΛΜ ἄρα δύναται τὸ ΜΟ , ὃ παράκειται παρὰ τὴν ΘΕ πλάτος ἔχον τὴν |
| ΨΣ , κοινὴ δὲ ἡ ΨΟ , βάσις δὲ ἡ ΒΟ βάσεως τῆς ΣΟ μείζων ἐστίν , καὶ γωνία ἡ | ||
| ἐστὶ τῷ ΜΠ . καὶ κοινοῦ προστεθέντος ἢ ἀφαιρουμένου τοῦ ΒΟ τὸ ΒΠ ἴσον ἐστὶ τῷ ΞΣ . Ἐὰν ἐν |
| ὡς ἡ ΒΞ πρὸς ΞΗ , οὕτως ἡ ΕΟ πρὸς ΟΘ . ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΗΞ πρὸς ΞΚ , | ||
| κύκλων ἐπιπέδῳ οὖσα , καὶ ἤχθω διὰ τῶν ΟΠ , ΟΘ εὐθειῶν ἐπίπεδον : ποιήσει δὴ τομὴν ἐν τῷ κώνῳ |
| καὶ ἀπεναντίον περιφέρεια ἡ ΣΤ καὶ μεταξὺ τῶν ΞΗ , ΣΤ ὁ ἰση - μερινὸς ἔστω ὁ ΥΧΦ . καὶ | ||
| ΠΗΡ , ΣΘ , ΤΥΚ : μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΣΤ περιφέρεια τῆς ΣΠ περι - φερείας . ἀλλ ' |
| τὸ ἀπὸ ΜΚ τοῦ ὑπὸ ΜΚΘ , τὸ ἄρα ἀπὸ ΜΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ | ||
| οὕτως ἡ ΝΠ πρὸς ΟΠ , ἔσται καὶ ὡς ἡ ΜΚ πρὸς τὴν ΚΑ , τουτέστιν ὡς ἡ ΜΑ μετὰ |
| ΘΚΛ . λέγω , ὅτι ἡ μὲν ΕΗ περιφέρεια τῆς ΚΛ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία , ἡ δὲ ΘΚ | ||
| ἐπεζεύχθω ἡ ΗΚ : ἐπ ' εὐθείας ἄρα ἐστὶν τῇ ΚΛ πλευρᾷ τοῦ ἑξαγώνου , διὰ τὸ διμοίρου μὲν εἶναι |
| ἀπὸ τῶν ΕΖ , ΖΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ , τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΕΖ , ΖΛ ἴσον | ||
| ΓΔ : τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕ ΕΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΕ ΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΔ . ιθʹ . |
| εἶναι τῇ ΠΡ . ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΑΠ πρὸς ΠΔ , ἡ ΘΑ πρὸς ΛΔ , ὡς | ||
| μὲν ἔχει λόγον ἡ ΑΛ πρὸς ΛΒ , ἐχέτω ἡ ΑΠ πρὸς ΠΒ , ὃν δὲ ἡ ΔΛ πρὸς ΛΓ |
| κέντρου τοῦ κύκλου ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὴν ΘΒ καὶ ΚΓ ἐκβεβλημένας ἡ ΛΜ , ΛΝ : τέμνουσιν ἄρα ταύτας | ||
| ἡ ΚΒ πρὸς ὅλην τὴν ΒΗ ἐστιν , ὡς ἡ ΚΓ πρὸς ΖΗ , τουτέστιν ὡς ἡ ΔΘ πρὸς ΖΗ |
| ΧΕ πρὸς τὴν ΕΔ , οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΗ . ἔστι δὲ καί , ὡς ἡ ΧΕ πρὸς | ||
| καὶ τοῦ ἐπικύκλου καταγραφῆς ἀποληφθείσης ἀπὸ τοῦ Θ περιγείου τῆς ΘΗ περιφερείας τῶν αὐτῶν μοιρῶν λ ἐπεζεύχθωσαν μὲν ἥ τε |
| , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ , σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ἀπὸ | ||
| , οὕτως ἡ ΒΛ πρὸς ΛΗ . ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΘ πρὸς ΘΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΜ πρὸς |
| τὰ ηʹ πρὸς βʹ : καὶ τῆς ΘΚ ἄρα πρὸς ΘΣ λόγος ὃν ἔχει τὰ ηʹ πρὸς τὰ εʹ . | ||
| δὲ ἡ ΘΠ τῆς ΠΝ . διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΘΣ τῆς ΝΒ . καὶ ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΠΘ |
| ΘΚ , σύμμετρος δὲ τῇ ΗΘ , καὶ κείσθω τῇ ΘΡ ἴση ἡ ΣΗ , καὶ διὰ τῶν Σ , | ||
| ΞΖ , ΖΟ , ΟΗ , ΗΠ , ΠΘ , ΘΡ , ΡΕ τριγώνων πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ . ἑκάστη |
| καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΓΖ , ΖΑ τὸ ΖΚ : ἴση γὰρ ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ : τὸ | ||
| ἄρα ἐστὶν ταῖς ΑΔ ΒΕ , καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΚ τῇ ΚΗ . ἐπεὶ δὲ τρεῖς εἰσιν παράλληλοι αἱ |
| περιφέρειαι αἱ ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ , ΕΑ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν . ὑπὸ δὲ τὰς ἴσας περιφερείας | ||
| ΓΒ , τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑ ΓΒ , οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ |
| . καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ , ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ , ὡς δὲ ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ | ||
| ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ , οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ . Δέδοται ἄρα . , ] ἐπεὶ οὖν δεδομέναι |
| καὶ αὔξανε τὴν ὕβριν καὶ βλάβην καὶ ἀδικίαν . . ΟΥΔΕ ΜΕΝ ΕΣΘΛΟΣ . Οὐδὲ ὁ πάνυ ἀγαθὸς οἰστὴν νομίζει | ||
| δίκαιον ὁρίζοντες . Πορθήσει δὲ πόλιν ἑτέρου ἕτερος . . ΟΥΔΕ ΤΙΣ ΕΥΟΡΚΟΥ ΧΑΡΙΣ ΕΣΣΕΤΑΙ . Ἤγουν οὐδεμία δὲ εὐχαριστία |
| τμημάτων ριζ λα , καὶ πάλιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΖΒ μοιρῶν ξ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ξ | ||
| τῇ Ν . καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἡ ΚΖ τῇ ΖΒ , καὶ συνθέντι σύμμετρός ἐστιν ἡ ΚΒ τῇ ΖΒ |
| ιη με , ἡ δὲ λοιπὴ εἰς τὸ τεταρτημόριον ἡ ΘΑ τῶν αὐτῶν οα ιε . ἐπειδὴ οὖν κατὰ τὰ | ||
| τετράγωνον Μβ ͵εωμε νε , τὸ δ ' ἀπὸ τῆς ΘΑ ὁμοίως ͵γφξη δ , ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ |
| . ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΝΜ τῷ ἀπὸ τῆς ΞΖ , τουτέστι τὸ ὑπὸ ΑΛ , ΛΜ μετὰ τοῦ | ||
| τὴν τῶν ΞΖ , ΖΜ ἀποστημάτων ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν ΞΖ , ΖΘ ὑπεροχήν , οὕτως τὴν τῶν κατὰ τοὺς |
| ἴση δὲ ἡ μὲν ΩΦ τῇ ΨΧ , ἡ δὲ ΦΧ τῇ ΧΠ , ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΨΧ πρὸς | ||
| , ἡ δὲ ΧΒ ὅλη διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΦΧ τῇ ΦΘ τοιούτων ξδ κζ , οἵων καὶ ἡ |
| τῶν ΑΗ , ΓΛ ἴσων οὐσῶν καὶ κοινῆς ἀφαιρεθείσης τῆς ΓΗ , λοιπὴ ἡ ΑΓ τῇ ΗΛ ἴση ἐστίν . | ||
| τὰ ια λ , ὁ δὲ τῆς ΓΔ πρὸς τὴν ΓΗ ὁ τῶν οα λ πρὸς τὰ μη λ , |
| τῇ ΑΒ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ , ΒΔ , ΒΖ , ΒΚ , ἔστω δὲ πρότερον ἡ ΒΑ τῆς | ||
| ' ἡ ΖΒ τετραπλασία τῆς ΒΘ : καὶ ἔστιν τῆς ΒΖ διπλασίων ἡ ΖΓ : λόγος ἄρα τῆς ΖΓ πρὸς |
| , ἡ δὲ ΜΓ ὁμοίως # ιϚ , ἡ δὲ ΜΖ ὅλη ξ ιϚ , διὰ τοῦτο δὲ καὶ ἡ | ||
| . ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἄνισοί εἰσιν αἱ ΓΜ , ΜΖ , καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΜ |
| ΘΡΝ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΣΟ , ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΜΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΠ , τὸ ΞΜΑ τρίγωνον πρὸς | ||
| ἐναλλάξ , ὡς ἡ ΠΜ πρὸς ΒΛ , οὕτως ἡ ΜΑ πρὸς ΑΛ . μείζων δὲ ἡ ΠΜ τῆς ΒΛ |
| , ἴση δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΓΑ , τουτέστι τῇ ΤΠ , καὶ ἡ ΓΠ τῇ ΤΑ , ἴσον ἄρα | ||
| μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΠ . ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΟΕ πρὸς τὸ ἀπὸ |
| τῶν ΑΕ καὶ ΕΓ ὑπόκειται Ϛ , ἑκατέρα δὲ τῶν ΑΘ καὶ ΘΓ τῶν αὐτῶν Ϛ ι , καὶ ὀρθή | ||
| ἴση . ἔστω πρότερον μείζων : μείζων ἄρα καὶ ἡ ΑΘ τῆς ΘΔ . τετμήσθω ἡ ΑΔ δίχα κατὰ τὸ |
| ἧς ἔσται τότε δηλονότι διὰ τὴν ἰσοχρόνιον τῶν ΗΘ , ΖΝ εἰς τὰ ἐναντία συναποκατάστασιν τὸ κέντρον τοῦ ἐκκέντρου , | ||
| γὰρ αἵ τε ΛΚ ΚΜ ΜΞ καὶ αἱ ΜΖ ΖΞ ΖΝ ΖΛ καὶ ἔτι ἡ ΖΚ . ἐπεὶ οὖν διὰ |
| παρὰ τὴν ΗΘ εὐθεῖαν τῷ ΔΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΗΜ ἐν τῇ ὑπὸ ΗΘΜ γωνίᾳ , ἥ ἐστιν ἴση | ||
| συγκείμενον ἔχει λόγον ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΗ πρὸς ΗΜ καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΖΗ πρὸς ΗΛ |
| αἱ ΗΘ ΛΜ ΔΕ : ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΘΜ τῇ ΜΕ . ὧν ἡ ΒΜ τῇ ΜΚ ἐστὶν | ||
| ΑΚ , ΚΛ , τῇ δὲ ΕΘ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ ΘΜ , ΜΝ , καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΛΟ , ΚΦ |
| ἄρα ΣΤ ἐπὶ τὸ Τ παρῆκται διὰ τὸ καὶ τὴν ΜΣ παρῆχθαι ὡς ἐπὶ τὸ Τ μᾶλλον τῶν ἄλλων ἀκτίνων | ||
| τῇ ΜΣ . καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκάστη τῶν ΜΛ ΛΒ ΜΣ ΣΑ [ οὕτως καὶ ἡ ΖΗ ΔΕ καὶ ΒΛ |
| τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΑΒ στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΓΜ , ΓΝ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος , ὧν αἱ ἐφεστῶσαι αἱ | ||
| ὧν αὐτὸ ἔσται βαρύτατον , τὰ ΑΒ καὶ ΒΓ καὶ ΓΝ . Ὅτι μὲν οὖν παρακειμένης τοῖς διεζευγμένοις τελείοις συστήμασι |
| πρὸς τὴν ΣΤ , καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΣΤ τῷ ΗΝ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΣΤ . | ||
| ἄρα τὸ ΝΛΗ τρίγωνον τῷ εἴδει : λόγος ἄρα τῆς ΗΝ πρὸς ΝΛ δοθείς . καὶ δοθεῖσα ἡ ΗΝ : |
| ριδ ι , εἴη ἂν καὶ ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΔΗ περιφέρεια τοιούτων ριδ ι οἵων ἐστὶν ὁ περὶ τὸ | ||
| παράκειται πλάτος ποιοῦν τὴν ΔΗ : ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ καὶ ἀσύμμετρος τῇ ΔΙ μήκει . πάλιν , ἐπεὶ |
| . ἐκβεβλήσθω γὰρ ἐπ ' εὐθείας τῆς ΓΘ εὐθεῖα ἡ ΓΚ , καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ | ||
| , ὧν ὁ ΔΓ ἐστὶ δυάς , λοιπὸς ἄρα ὁ ΓΚ μείζων δυάδος τοῦ ΓΔ : ἡ ἄρα διχοτομία τοῦ |
| πρὸς τὴν ΓΔ . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΜΕ πρὸς τὸ ΝΗ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ | ||
| τὴν ΖΕ , συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν , ὡς ἡ ΜΕ πρὸς τὴν ΕΗ , οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν |
| τὸ ΓΕ ἄρα τοῦ ΕΔ ταπεινότερον φαίνεται , τὸ δὲ ΕΔ τοῦ ΔΒ . Τῶν εἰς τοὔμπροσθεν μῆκος ἐχόντων τὰ | ||
| ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΔΗΕ . τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΔ μοιρῶν ἐστιν ͵δοβ νε . ὧν πλευρὰ μοιρῶν ξγ |
| ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΒ πρὸς ΜΠ καὶ ἡ ΠΜ πρὸς ΒΓ , ἀλλ ' ὡς | ||
| τῷ ὑπὸ ΤΒ , ΜΝ , καὶ τὸ μὲν ὑπὸ ΜΠ , ΒΘ τέταρτον τοῦ ὑπὸ ΤΒ , ΜΝ , |
| ΓΜ τῇ ΞΛ . ἔστι δὲ καὶ ἡ ΣΞ τῇ ΜΡ παράλληλος : ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΞΣ τρίγωνον τῷ | ||
| τριγώνῳ : ἔστιν ἄρα , ὡς ἡ ΣΞ πρὸς τὴν ΜΡ , οὕτως ἡ ΣΛ πρὸς τὴν ΡΓ . ἀλλ |
| ΧΚ καὶ ἡ ΧΦ , καὶ ἀπὸ τοῦ Σ τῇ ΧΦ παράλληλος ἡ ΣΨ , ἀπὸ δὲ τοῦ Ψ τῇ | ||
| ἡ ΚΧ πρὸς τὴν ΧΑ : παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΧΦ τῇ ΚΒ . καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΟΦ , |
| , τεταγμένως δὲ ἐπ ' αὐτὴν κατηγμέναι αἱ ΚΛ , ΞΝ , ΗΖ : ἔσται οὖν , ὡς ἡ ΑΒ | ||
| , ΜΛ . καί ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΚΞ , ΞΝ μείζονα τῶν ἀπὸ τῶν ΚΜ , ΜΛ : ἡ |
| Λ , καὶ κείσθω τῇ ΛΖ περιφερείᾳ ἴση περιφέρεια ἡ ΜΗ . Ἐπεὶ οὖν ὁ ἥλιος ἀνατείλας κατὰ τὸ Ζ | ||
| ἀπὸ ΜΗ . κοινὸς προσκείσθω λόγος ὁ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ . ὁ ἄρα συγκείμενος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΜ |
| κατασκευασθέντων , ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν , οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς | ||
| δεδύκασιν αἱ ΠΝ ΝΜ περιφέρειαι : ἅμα ἄρα δύνει ἡ ΝΠ περιφέρεια καὶ ἡ ΝΜ . ἐν ᾧ δὲ ἡ |
| , οὕτως ἡ ΚΔ πρὸς ΔΘ . ὡς δὲ ἡ ΚΔ πρὸς ΔΘ , οὕτως ἡ ΚΖ πρὸς ΘΗ : | ||
| ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς ἐφαπτομένας ἐστὶν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΔ , ἡ ΒΘ πρὸς ΘΔ , καὶ ἔστιν ἡ |
| , ἐκεῖνον τὸν λόγον ἔδει ἔχειν καὶ τὴν ΑΓ πρὸς ΛΞ , καὶ τὰ λοιπὰ ὁμοίως κατασκευάζειν . [ καὶ | ||
| , ἐπεὶ μέσον ἐστὶ τὸ ΔΘ καί ἐστιν ἴσον τῷ ΛΞ , μέσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΛΞ . ἐπεὶ |
| ΒΛ πρὸς ΛΝ . ] ὡς δὲ ἡ ΓΛ πρὸς ΛΝ , οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΛ τετράγωνον πρὸς τὸ | ||
| ὁ μὲν ΓΜ κύλινδρος τῷ ΕΒ κυλίνδρῳ , ὁ δὲ ΛΝ ἄξων τῷ ΗΘ ἄξονι : ἔστιν ἄρα ὡς ὁ |
| οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ , ἔσται ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ | ||
| στερεὸν πρὸς τὸν ΑΒΓΔΛ κῶνον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΒΔ . ὡς δὲ τὸ Ξ στερεὸν |
| τὸ ΠΝ , καὶ διὰ τοῦ Π σημείου τετμήσθω ὁ ΕΟ κύλινδρος ἐπιπέδῳ τῷ ΤΥΣ παραλλήλῳ τοῖς τῶν ΕΖΗΘ , | ||
| ΟΣ , ΣΒ μείζους εἰσὶν ἀλλήλων ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΕΟ . καὶ ἐπεὶ αἱ ΓΝ , ΝΚ , ΚΗ |
| ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΚΜα τῇ ΒΔ , ἡ δὲ ΚΡ τῇ ΑΒ , ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΚΘ , | ||
| τῇ μὲν ΑΓ ἴσην θῶμεν τὴν ΓΔ , τῇ δὲ ΚΡ ἴσην τὴν ΡΧ , καὶ τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν , |
| ἐπὶ τῆς ἐκκειμένης ἀποχῆς τῶν Ϙ λ μοιρῶν ἐδείξαμεν τὴν ΖΜ περιφέρειαν μοιρῶν οὖσαν ιβ α , ἵνα , ἐπειδήπερ | ||
| τῆς διχοτομίας τῆς μείζονος τῆς ΓΜ , ἐπεὶ ἔσται ἡ ΖΜ τῇ ΓΜ ἴση . οὐ μὴν οὐδὲ μεταξὺ τῶν |
| δὲ δεύτερα ἐπὶ δεύτερα , τέταρτα : ἐὰν γὰρ τὰ ΑΡ , ΡΨ δεύτερα δύο ἐπὶ τὰ ΑΠ , ΠΗ | ||
| ἐπεὶ ὀρθογώνιά ἐστι τὰ τρίγωνα , ἡ δὲ ΠΑ τῆς ΑΡ μείζων : τριγώνου γὰρ τοῦ ΠΑΡ μείζων γωνία ἡ |
| δὴ ὑποκείσθω τὸ αὐτὸ σχῆμα , καὶ ἔστω τετραγώνου ἡ ΚΖ , καὶ ἴσαι ἀπειλήφθωσαν ἐπὶ τὰ Ζ Δ μέρη | ||
| ΔΖ πρὸς τὴν ΘΖ , οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΖ . Ὡς γὰρ αἱ γωνίαι , δι ' ὧν |
| σοι μοιχείας ἔχειν γραφὴν , ἀλλὰ καὶ φόνου κρίνεσθαι . ΤΗ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙ ΤΗΣ ΑΙΤΙΑΣ , Ο ΚΑΛΕΙΤΑΙ ΧΡΩΜΑ . Ἀλλ | ||
| Βατή τὸ τοῦ δήμου . . . . Τὰ εἰς ΤΗ παραληγόμενα τῷ Ε κύρια ὄντα βαρύνεται : Βρεμέτη Ὠκυπέτη |
| ΥΚ , ΦΧ . ὥστε ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν ΘΝ διέρχεται , ἐν τούτῳ τότε Υ τὴν ΥΞ διαπορεύεται | ||
| ΚΖ , ΖΛ , ΛΗ , ΗΜ , ΜΘ , ΘΝ , ΝΕ . δύο οὖν μεγεθῶν ἀνίσων ἐκκειμένων τοῦ |
| ἐπεὶ δύο αἱ ΑΒ , ΒΓ δυσὶ ταῖς ΚΘ , ΘΛ ἴσαι εἰσίν , καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ Β | ||
| καὶ ὡς ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΓΗ , οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΗΚ : ἴσων μὲν ἄρα οὐσῶν τῶν |
| ΑΡ ἄρα ἐπὶ τὴν ΡΞ κάθετός ἐστιν , καὶ ἡ ΑΟ ἐπὶ τὴν ΟΜ , καὶ ἡ ΑΠ ἐπὶ τὴν | ||
| , ΨΣ . καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΟ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΣ , ἴσον δέ ἐστι τὸ |
| ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΗΛ , ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΒΘ ΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔ ΓΘ συνῆπται λόγος ἔκ | ||
| ἄρα , ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΕΖ , οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΚΗ . ἐδείχθη δέ , ὡς ἡ ΓΔ |
| καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ε κέντρου τῇ ΜΝ παράλληλος ἡ ΕΘ , καὶ κάθετος ἐπ ' αὐτὴν ἀπὸ τοῦ Λ | ||
| ἡ μὲν ΘΗ τῇ ΗΖ ἐστιν ἴση , ἡ δὲ ΕΘ τῆς ΔΗ διπλῆ , καὶ λοιπὴν τὴν ΓΘ ἕξομεν |
| , ὅτι μεῖζον φανήσεται τοῦ ΓΔ . Διὰ τὸ τὴν ΛΓ ὑποτείνειν καὶ τὴν Μ μείζονα οὖσαν καὶ τῆς ΛΚ | ||
| ΞΝ πρὸς τὴν ΝΛ , οὕτως ἡ ΝΛ πρὸς τὴν ΛΓ . ἀλλ ' ἡ ΝΛ πρὸς τὴν ΛΓ μείζονα |
| ἡ ΚΒΛ . λέγω , ὅτι ἐστίν , ὡς ἡ ΑΚ πρὸς ΚΘ , οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΗΘ . | ||
| ἴση ἡ ΚΛ τῇ ΚΗ . ἐπεὶ οὖν τὰ ἀπὸ ΑΚ , ΚΗ τοῖς ἀπὸ ΑΒ , ΒΗ ἴσα ἐστί |