Logik ist vielseitig einsetzbar, aber "die 'Logik' an sich" gibt es nicht ...
Vielmehr gibt es unterschiedliche Logik-Systeme. Zuerst einmal kann man die klassische von nichtklassischen Logiken unterscheiden! Die "Logik-Community" spaltet sich also in zwei Lager - das hat übrigens wiederum Auswirkungen auf die Mathematik (wer sich dafür interessiert informiere sich über mathematischem Konstruktivismus).
★ Klassisch bedeutet, dass man sich bei der sematischen Bewertung der logischen Ausdrücke lediglich der beiden Wahrheitswerte "wahr" oder "falsch" bedient.
★ Nichtklassisch ist dann jegliche Logik, die einen alternativen Weg beschreitet.
★ Die klassische Logik selbst lässt sich erneut aufteilen. Die Aussagenlogik beschäftigt sich mit Aussagesätzen und teilt diesen die klassischen Wahrheitswerte {0,1} bzw. {f,w} (0,f := falsch und 1,w := wahr) zu! Die Aussagen können logisch verknüpft werden (z.B. mit "und", "oder" ... - für die eigens formale Symbole, so genannte Junktoren, eingeführt werden).
Semantische Bewertungsregeln bilden diese Verknüpfungen (Formeln) in die Wahrheitswerte ab. Ein "und" z.B. soll genau dann wahr sein, wenn beide Teilformeln wahr sind.
Mathematisch lässt sich die Aussagenlogik auch verbandstheoretisch oder als boolesche Algebra betrachten.
Gottlob Frege und Guiseppe Peano können als Begründer der modernen klassischen Logik betrachtet werden. Vor allem Freges 2-dimensionale, formale Kunstsprache, die er Ende des 19 Jh. kreierte um die "Grundgesetze der Arithmetik" formal untersuchen zu können, ist der Ausgangspunkt für die heutige Prädikatenlogik.
Die klassische Aussagenlogik kann als Teil der Prädikatenlogik aufgefasst werden. Das bedeutet, dass die Sprache der Prädikatenlogik hinsichtlich ihrer Ausdrucksmöglichkeiten eine Obermenge zur Aussagenlogik darstellt.
Prädikatenlogik 1. Stufe (PL1) besteht aus Individuen eines Individuenbereichs (Universums), über die all- und existenzquantifiziert werden kann.
Beispiel: M(x) - hierbei ist M ein einstelliges, solange nicht in der Legende fixiert beliebig-interpretierbares, Prädikat und x eine Variable für Konstanten und Objekte aus dem Universum U auf welche M zutrifft. Rein mengentheoretisch betrachtet bedeutet "M(x)" also die Extension von M im Universum U. "x" ist eine freie Variabel und kann mit einem All- (Allabschluss) oder Existenzquantor (Existenzbehauptung) abgebunden werden. Sind alle Variablen einer Formel gebunden nennt man dies einen "Satz"! In endlichen Universen kann die Gültigkeit von Sätzen entschieden werden.
Der Zusatz "erststufig" sagt uns etwas über die Beschaffenheit des Universums U - es sind nur Variablen zugelassen, die über den Objektbereich, also das Universum laufen. Variablen für Prädikate sind in einer erststufigen Sprache nicht zugelassen! ...