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\newcommand{\comment}[1]{}
\begin{document}

\begin{center}
\fbox{%
\begin{tabular}
[c]{l}%
\textbf{Hopfalgebren und Quantengruppen}\\
\textbf{[Wintersemester 2008/2009 und Sommersemester 2009]}\\
\textbf{Vorlesung von Prof. Dr. Hans-J\"{u}rgen Schneider}\\
Unautoritative Mitschrift von Darij Grinberg mit Erg\"{a}nzungen\\
\textit{Version 0.1.98 vom 6. M\"{a}rz 2013}%
\end{tabular}
}
\end{center}

\"{U}bungsbl\"{a}tter zu der Vorlesung:

\texttt{http://www.mathematik.uni-muenchen.de/\symbol{126}%
hanssch/Hopfalgebren.html}

\"{U}bungsbl\"{a}tter zu einer anderen Vorlesung \"{u}ber Hopfalgebren:

\texttt{http://www.mathematik.uni-marburg.de/\symbol{126}%
heckenberger/hans.htm}

\newpage

\begin{center}
\fbox{\textbf{-1. Anmerkungen (DG)}}
\end{center}

Dies ist eine \textbf{Beta-Version}, die noch nie vollst\"{a}ndig
korrekturgelesen wurde. \textbf{Hinweise auf Fehler oder
Verst\"{a}ndnisfragen\footnote{bitte an \texttt{A@B.com}, wobei
\texttt{A=darijgrinberg} und \texttt{B=gmail}} sind willkommen!}

\textbf{TO-DO:}

\textbf{Einf\"{u}hrung:} fehlt v\"{o}llig (ich meine die ersten ca. 30 Minuten
der Vorlesung).

\textbf{Kapitel I.1:} abgleichen mit Scan pp. 5-6 und pp. 10-12.

\textbf{Kapitel I:} summenlose Sweedler-Notation besser erkl\"{a}ren.

\textbf{Kapitel I:} direkte Summe von Coalgebren einf\"{u}hren (Beweise?).

\textbf{Kapitel I:} Wedderburn-Artin-S\"{a}tze kompatibel machen.

\textbf{Kapitel I:} Shufflehopfalgebra beweisen.

\textbf{Kapitel II.1:} evtl. in Satz 1.4$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$
Liestruktur auf $\left(  A^{+}\diagup\left(  A^{+}\right)  ^{2}\right)
^{\ast}$ einf\"{u}hren, und bei 1.5. Beweis \textbf{g)} sch\"{o}ner machen.

\textbf{Kapitel II.2-4: }Einige Beweise brauchen Feinschliff.

\textbf{Kapitel III.5:} Noch nichts sinnvolles drin. Werde vielleicht eines
Tages daran weiterschreiben...

\textbf{Kapitel IV.4-7:} Hier fehlt mir ein Teil der Mitschrift.

\textbf{Ausblick auf Zweites Semester:} fehlt gr\"{o}\ss tenteils.

Dank geht an Johannes Flake f\"{u}r eine Mitschrift des 1. Kapitels, und an
Katharina Jochemko und Valentin Hans f\"{u}r eine Vielzahl von Fehlerkorrekturen.

\bigskip\newpage

\fbox{\textbf{Hinweis an den Leser}}

Das nachfolgende Skriptum setzt sich zusammen aus einer Mitschrift von Prof.
Schneiders Vorlesungen \"{u}ber Hopfalgebren und Quantengruppen auf der einen
Seite, und meinen eigenen Materialien auf der anderen. (Das Verh\"{a}ltnis
ersterer zu letzteren ist ungef\"{a}hr 2:1.) Dies f\"{u}hrt leider zu einer
merkbaren Inhomogenit\"{a}t im Schreibstil (meine Beweise sind in der Regel
detaillierter, aber auch deutlich schwerf\"{a}lliger und weniger optimiert)
und einer abenteuerlichen Nummerierung (wenn ich beispielsweise zwei neue
S\"{a}tze zwischen einem Satz 3.3 und einem Satz 3.4 anf\"{u}gen wollte, habe
ich sie Satz 3.1$\dfrac{\text{1}}{\text{3}}$ und Satz 3.1$\dfrac{\text{2}%
}{\text{3}}$ genannt).

Die Mitschrift von Prof. Schneiders Vorlesungen ist unvollst\"{a}ndig (es
fehlen: die Einleitung, der Ausblick auf das 2. Semester, Beispiel IV.2.6 und
Teile von Abschnitten IV.4, IV.5 und IV.6 und ggfls. sp\"{a}ter kommende
Abschnitte), aber sie ist in sich selbst abgeschlossen (d. h. auf den
fehlenden Teilen wird nicht aufgebaut).

Die zum Verst\"{a}ndnis des Skriptums ben\"{o}tigten Vorkenntnisse sind:

\begin{itemize}
\item \textbf{Lineare Algebra}, insbesondere \textbf{Tensorprodukte von
Vektorr\"{a}umen}. (Zwar werden in Kapitel I Tensorprodukte von $R$-Moduln
eingef\"{u}hrt, doch diese Einf\"{u}hrung ist kurz und nicht wirklich als
erste Einleitung geeignet, wenn man nicht bereits Tensorprodukte von
Vektorr\"{a}umen kennt. Ferner wird eine Reihe von Eigenschaften von
Tensorprodukten \"{u}ber das gesamte Skriptum hinweg ohne expliziten Verweis verwendet.)

\item \textbf{Algebra} im Umfang einer 1-Semester-Vorlesung. Vor allem die
grundlegenden Eigenschaften von Ringen sind notwendig. Galoistheorie wird eher
selten verwendet. Der Satz von Artin-Wedderburn wird allerdings in mehreren
verschiedenen Formen gebraucht!
\end{itemize}

\newpage

\begin{center}
\fbox{\textbf{0.\ Vorbemerkungen}}
\end{center}

\fbox{\textbf{Empfohlene Literatur}}

Diese Vorlesung folgt nicht exakt einem Buch, aber es werden folgende
B\"{u}cher zur Begleitlekt\"{u}re empfohlen:

\begin{itemize}
\item Christian Kassel: \textit{Quantum Groups}, New York 1995.

\item Jens Carsten Jantzen: \textit{Lectures on Quantum Groups}, Providence 1996.

\item George Lusztig: \textit{Introduction to Quantum Groups}, Birkh\"{a}user 2008.

\item Anatoli Klimyk, Konrad Schm\"{u}dgen: \textit{Quantum Groups and Their
Representations}, Berlin/Heidelberg 1997.

\item Eiichi Abe: \textit{Hopf Algebras}, Cambridge 1980.

\item Susan Montgomery: \textit{Hopf Algebras and Their Actions on Rings},
Providence 1993.

\item Moss E. Sweedler: \textit{Hopf Algebras}, New York 1969.
\end{itemize}

[...]

\bigskip

\fbox{\textbf{Notation}}

Bevor wir zu dem eigentlichen Skript kommen, wollen wir einige Schreibweisen
einf\"{u}hren, die in der Literatur nicht einheitlich benutzt, oder benutzt
aber nie definiert werden.

\begin{itemize}
\item Unter \textit{Ringen} verstehen wir immer Ringe mit $1,$ die im
Allgemeinen nicht kommutativ sein m\"{u}ssen. \textit{Ringhomomorphismen}
m\"{u}ssen die $1$ auf die $1$ abbilden.

\item Ist $T$ ein Term, in dem eine Variable $x$ vorkommt, und sind $C$ und
$D$ zwei Mengen, dann bezeichnen wir mit%
\[
C\rightarrow D,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto T
\]
die Abbildung $f:C\rightarrow D,$ die durch $f\left(  \xi\right)  =T\left[
x\diagup\xi\right]  $ f\"{u}r alle $\xi\in C$ definiert ist\footnote{Die
Abk\"{u}rzung $T\left[  x\diagup\xi\right]  $ bedeutet "das, was herauskommt,
wenn man jedes Vorkommen von $x$ im Term $T$ durch $\xi$ ersetzt".}%
.\footnote{\textit{Beispiel:} Die Abbildung%
\[
\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n\mapsto n^{2}%
\]
ist die Abbildung, die jeder ganzen Zahl ihr Quadrat zuordnet.} Wenn
unmi\ss verst\"{a}ndlich klar ist, was $C$ und $D$ sind, k\"{o}nnen wir diese
Abbildung $f$ auch einfach mit $x\mapsto T$ bezeichnen und $C\rightarrow D$
weglassen.\footnote{Wer den Lambda-Kalk\"{u}l aus der mathematischen Logik
kennt, soll unsere Notation%
\[
C\rightarrow D,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto T
\]
einfach als Synonym f\"{u}r die Notation $\lambda x.T:C\rightarrow D$
verstehen.}\newline Diese Notation setzt voraus, da\ss \ $x$ eine einzelne
Variable ist. Doch manchmal verwendet man auch eine gewisse Verallgemeinerung
dieser Notation, bei der an die Stelle der Variablen $x$ ein komplizierterer
Term $S$ treten kann. Das hei\ss t, wenn man zwei Terme $S$ und $T$ hat (in
denen wiederum Variablen vorkommen k\"{o}nnen), sowie zwei Mengen $C$ und $D,$
dann versteht man unter%
\[
C\rightarrow D,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S\mapsto T
\]
eine Abbildung $f:C\rightarrow D$, die f\"{u}r jede Variablenbelegung $\rho$
die Bedingung $f\left(  S\left(  \rho\right)  \right)  =T\left(  \rho\right)
$ erf\"{u}llt. Diese Definition macht nur Sinn, wenn klar ist, aus welchen
Mengen die Variablen im Term $S$ kommen, und wenn $S\left(  \rho\right)  \in
C$ und $T\left(  \rho\right)  \in D$ f\"{u}r jede sinnvolle Variablenbelegung
$\rho$ ist. Und selbst dann ist eine Abbildung%
\[
C\rightarrow D,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S\mapsto T
\]
weder notwendigerweise existent noch notwendigerweise eindeutig. Doch manchmal
erh\"{a}lt man Eindeutigkeit, wenn man zus\"{a}tzliche Eigenschaften von
dieser Abbildung verlangt. Ein Beispiel: Die Menge $\left\{  e_{1}%
,e_{2},...,e_{n}\right\}  $ ist eine Basis des $\mathbb{R}$-Vektorraumes
$\mathbb{R}^{n}$. Offensichtlich ist%
\[
\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ e_{i}\mapsto1
\]
keine wohldefinierte Abbildung, denn nur ihre Werte auf den Vektoren $e_{1},$
$e_{2},$ $...,$ $e_{n}$ sind vorgegeben, w\"{a}hrend die restlichen Werte
beliebig sein k\"{o}nnen. Doch die $\mathbb{R}$\textit{-lineare Abbildung}%
\[
\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ e_{i}\mapsto1
\]
ist wohldefiniert (d. h. sie existiert und ist eindeutig), denn es gibt genau
eine $\mathbb{R}$-lineare Abbildung $f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R},$
welche $f\left(  e_{i}\right)  =1$ f\"{u}r jedes $i\in\left\{
1,2,...,n\right\}  $ erf\"{u}llt.\newline Eine $\mathbb{R}$-lineare Abbildung%
\[
\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ e_{i}+e_{j}\mapsto
i-j
\]
existiert (f\"{u}r $n>1$) wiederum nicht, denn es gibt keine $\mathbb{R}%
$-lineare Abbildung $f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R},$ die $f\left(
e_{i}+e_{j}\right)  =i-j$ f\"{u}r alle $i,j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $
erf\"{u}llt. Es gibt auch keine Abbildung%
\[
\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n+m\mapsto nm,
\]
da eine solche Abbildung $1$ in $0$ \"{u}berf\"{u}hren m\"{u}sste (denn
$1=1+0$ und $1\cdot0=0$) und $1$ in $-2$ \"{u}berf\"{u}hren m\"{u}sste (denn
$1=\left(  -1\right)  +2$ und $\left(  -1\right)  \cdot2=-2$), was
einen\ Widerspruch darstellt. Es ist also klar, da\ss \ man jedesmal, wenn man
von einer Abbildung%
\[
C\rightarrow D,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S\mapsto T
\]
redet, sich bewusst machen muss, warum so eine Abbildung existiert und
eindeutig ist (denn es ist alles andere als garantiert).

\item Wir werden hin und wieder gewisse Abbildungen mit $\operatorname*{kan}$
bezeichnen. Welche Abbildung wir damit meinen, wird von Kontext zu Kontext
unterschiedlich sein. Die allgemeine Regel ist folgende: Sind $U$ und $V$ zwei
Mengen, dann bezeichnen wir mit $\operatorname*{kan}:U\rightarrow V$ die
\textit{naheliegendste} Abbildung von der Menge $U$ in die Menge $V$. Der
Begriff "naheliegend" ist dabei kein formal definierter Begriff, aber es wird
(hoffentlich!) aus dem Kontext klar sein, welche Abbildung wir jeweils meinen.
Indem wir die Abbildung mit $\operatorname*{kan}:U\rightarrow V$ bezeichnen,
werden wir uns ihre explizite Beschreibung ersparen; wir werden quasi die
Definition dieser Abbildung dem Leser als \"{U}bung \"{u}berlassen. Zwei
Beispiele:\newline\textit{Beispiel 1:} Ist $M$ eine Menge und ist $\sim$ eine
\"{A}quivalenzrelation auf der Menge $M$, dann wird die Menge aller
\"{A}quivalenzklassen von Elementen der Menge $M$ modulo der Relation $\sim$
als $M\diagup\sim$ bezeichnet. Wenn wir dann von der Abbildung
$\operatorname*{kan}:M\rightarrow M\diagup\sim$ reden, dann meinen wir damit
die Abbildung%
\[
M\rightarrow M\diagup\sim,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto\left(
\text{\"{A}quivalenzklasse des Elementes }x\in M\text{ modulo }\sim\right)
\]
(dies ist die Abbildung, die jedes Element $x\in M$ auf seine
\"{A}quivalenzklasse modulo $\sim$ abbildet). Es kann zwar auch andere
Abbildungen zwischen von der Menge $M$ in die Menge $M\diagup\sim$ geben, aber
diese eine Abbildung ist die einzige wirklich naheliegende, und deshalb
bezeichnen wir sie mit $\operatorname*{kan}:M\rightarrow M\diagup\sim
$.\newline\textit{Beispiel 2:} Sind $U$, $V$ und $W$ drei Mengen, dann
bezeichnen wir mit $\operatorname*{kan}:\left(  U\times V\right)  \times
W\rightarrow U\times\left(  V\times W\right)  $ die naheliegendste Abbildung
von $\left(  U\times V\right)  \times W$ nach $U\times\left(  V\times
W\right)  $. Dies ist die Abbildung%
\[
\left(  U\times V\right)  \times W\rightarrow U\times\left(  V\times W\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \left(  u,v\right)  ,w\right)  \mapsto\left(
u,\left(  v,w\right)  \right)  .
\]
\newline\textit{Bemerkung:} Abbildungen, die wir $\operatorname*{kan}$ nennen,
werden immer kanonische Abbildungen sein\footnote{Was der Begriff "kanonische
Abbildung" genau bedeutet, wird im Abschnitt "Nat\"{u}rliche Transformationen
zwischen Funktoren" erkl\"{a}rt.}, aber nicht jede kanonische Abbildung kann
mit $\operatorname*{kan}$ bezeichnet werden (denn "kanonisch" hei\ss t noch
lange nicht "naheliegend").

\item Abbildungen "wissen" immer, von welcher Menge in welche Menge sie gehen.
Das hei\ss t, wenn wir von einer Abbildung $f:A\rightarrow B$ sprechen, sind
nicht nur die Wertepaare $\left(  a,f\left(  a\right)  \right)  $ f\"{u}r alle
$a\in A,$ sondern auch die Mengen $A$ und $B$ Teil der Spezifikation der
Abbildung. Beispielsweise ist damit die Abbildung $\sin:\mathbb{R}%
\rightarrow\mathbb{R}$ nicht das gleiche wie die Abbildung $\sin
:\mathbb{R}\rightarrow\left[  -1,1\right]  ,$ auch wenn diese beiden
Abbildungen auf der gleichen Menge definiert sind und \"{u}berall die gleichen
Werte haben.

\item Sind $f$ und $g$ zwei Abbildungen, deren Verkettung $f\circ g$
wohldefiniert ist, dann schreiben wir f\"{u}r diese Verkettung $f\circ g$
gelegentlich auch $fg$. Ist $f$ eine Abbildung und $x$ ein Objekt, f\"{u}r das
$f\left(  x\right)  $ wohldefiniert ist, dann schreiben wir f\"{u}r $f\left(
x\right)  $ gelegentlich auch $fx$. Diese beiden Notationen ($fg$ f\"{u}r die
Verkettung $f\circ g$, und $fx$ f\"{u}r den Wert $f\left(  x\right)  $)
k\"{o}nnen in gewissen F\"{a}llen kollidieren; in diesen F\"{a}llen werden wir
auf diese Notationen verzichten.

\item Sind $p$ und $q$ zwei Objekte (Zahlen, Vektoren, Matrizen, Mengen, oder
was auch immer), dann definieren wir eine Zahl $\delta_{p,q}$ wie folgt:
$\delta_{p,q}=\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
1,\text{ wenn }p=q;\\
0,\text{ wenn }p\neq q
\end{array}
\right.  .$ Normalerweise sind dabei mit $1$ und $0$ die ganzen Zahlen $1$
bzw. $0$ gemeint, aber manchmal werden wir damit auch die Eins bzw. die Null
in einem bestimmten Ring meinen.

\item Wenn wir einen Begriff $U$ definiert haben, der von einem Objekt $O$
abh\"{a}ngt, dann k\"{o}nnen wir $U$ auch mit $U_{O}$ bezeichnen. Einige
Beispiele:\newline Eine abelsche (additive) Gruppe $G$ ist definiert als eine
Menge $M$ mit einer bestimmten Verkn\"{u}pfung $+.$ Diese Verkn\"{u}pfung
k\"{o}nnen wir dann auch als $+_{G}$ bezeichnen.\newline Oder: Ist $V$ ein
Modul \"{u}ber einem kommutativen Ring, dann gibt es einen kanonischen
Homomorphismus%
\[
\Psi:V\rightarrow V^{\ast\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{definiert durch }%
\Psi\left(  x\right)  =\left(  f\mapsto f\left(  x\right)  \right)  \text{
f\"{u}r alle }x\in V.
\]
Dieses $\Psi$ k\"{o}nnen wir dann auch als $\Psi_{V}$ bezeichnen.\newline Der
Sinn dieser Notation wird klar, wenn wir mehrere Objekte haben und die
entsprechenden Begriffe betrachten wollen, z. B. zwei Vektorr\"{a}ume $V$ und
$W$ und die entsprechenden kanonischen Homomorphismen $V\rightarrow
V^{\ast\ast}$ und $W\rightarrow W^{\ast\ast}.$ Wir k\"{o}nnen diese
Homomorphismen nicht beide mit $\Psi$ bezeichnen; deshalb nennen wir sie
$\Psi_{V}$ bzw. $\Psi_{W}.$

\item Die Abk\"{u}rzung $\dim$ steht f\"{u}r Dimension, und zwar f\"{u}r
Dimension von Vektorr\"{a}umen \"{u}ber einem Grundk\"{o}rper oder (etwas
allgemeiner) f\"{u}r Dimension von freien Moduln \"{u}ber
\textit{kommutativen} Ringen. (\"{U}ber nichtkommutativen Ringen ist auch
f\"{u}r freie Moduln die Dimension nicht eindeutig, d. h. ein Modul \"{u}ber
einem nichtkommutativen Ring kann Basen unterschiedlicher L\"{a}nge haben!)

\item Die $n\times n$-Einheitsmatrix bezeichnen wir mit $E_{n}$ oder (wenn
klar ist, welches $n$ gemeint ist) kurz mit $E.$

\item Unter der \textit{Skalarmultiplikation} auf einem Vektorraum verstehen
wir die Multiplikation eines Skalars (d. h. eines Elementes des
Grundk\"{o}rpers) mit einem Vektor des Vektorraums, und \textit{nicht} ein
etwaiges Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren. Statt "Skalarmultiplikation"
sagen wir auch "Wirkung des Grundk\"{o}rpers". Allgemein verstehen wir unter
der \textit{Wirkung eines Rings }$R$ \textit{auf einem }$R$\textit{-Linksmodul
}$M$ die Abbildung $R\times M\rightarrow M$, die jedes Paar $\left(
r,m\right)  $ auf $rm$ abbildet. (Analog f\"{u}r Rechtsmoduln.)

\item Wir werden f\"{u}r viele Begriffe eine etwas altert\"{u}mliche, an das
Lateinische angelehnte Schreibweise benutzen, bei der das Pr\"{a}fix "co/ko"
mit einem "c" geschrieben wird (z. B. "Coalgebra", "Comodul", "coassoziativ",
etc.). In der meisten modernen deutschsprachigen Literatur wird hingegen
dieses Pr\"{a}fix mit einem "k" geschrieben (d. h. diese Begriffe lauten
"Koalgebra", "Komodul", "koassoziativ", etc.).

\item Ich werde manchmal den Buchstaben $k$ in doppelter Bedeutung verwenden:
Zum einen bezeichne ich mit $k$ meistens den Grundk\"{o}rper oder Grundring,
\"{u}ber dem ich Vektorr\"{a}ume (bzw. Moduln), Algebren, Coalgebren usw.
betrachte\footnote{Manchmal werde ich den Grundk\"{o}rper auch anders nennen,
aber meistens wird er $k$ hei\ss en.}; zum anderen kann $k$ je nach Kontext
f\"{u}r etwas anderes (z. B. f\"{u}r eine nat\"{u}rliche Zahl, f\"{u}r einen
Summationsindex, o. \"{a}.) stehen. Ich hoffe, da\ss \ sich die
Mi\ss verst\"{a}ndnisse, die durch diese Doppelbelegung entstehen, in Grenzen
halten, da ein K\"{o}rper oder Ring meistens doch recht gut von einer Zahl zu
unterscheiden ist. Aber es ist schlechte Notation, die ich hier benutze. Wenn
ich dieses Skript nochmal schreiben w\"{u}rde, w\"{u}rde ich den
Grundk\"{o}rper bzw. Grundring anders nennen.

\item Das Symbol $\diagup$ hat in diesem Text immer Pr\"{a}zedenz \"{u}ber den
Symbolen $\times$ und $\otimes$. Das hei\ss t, $A\times B\diagup C$ ist als
$A\times\left(  B\diagup C\right)  $ zu lesen, und nicht als $\left(  A\times
B\right)  \diagup C$. Ferner ist $A\otimes B\diagup C$ ist als $A\otimes
\left(  B\diagup C\right)  $ zu lesen, und nicht als $\left(  A\otimes
B\right)  \diagup C$.

\item Sind $X$ und $Y$ zwei Mengen und ist $f:X\rightarrow Y$ eine Abbildung,
dann werden wir die Bildmenge der Abbildung $f$ mit $\operatorname{Im}f$ oder
auch mit $f\left(  X\right)  $ bezeichnen. Diese Bildmenge ist zu
unterscheiden von der \textit{Zielmenge} der Abbildung $f$, welche als $Y$
definiert ist (auch wenn nicht alle Elemente von $Y$ auch tats\"{a}chlich
Bilder unter $f$ sind!). Diese Unterscheidung ist dadurch m\"{o}glich,
da\ss \ (wie oben gesagt) nicht nur die Wertepaare $\left(  a,f\left(
a\right)  \right)  $, sondern auch die Mengen $X$ und $Y$ zur Spezifikation
der Abbildung $f$ geh\"{o}ren (sonst w\"{a}re der Begriff der Zielmenge nicht wohldefiniert).
\end{itemize}

\begin{center}
\fbox{\textbf{Erstes Semester}}

\fbox{\textbf{I. Kapitel: Grundlagen}}

\fbox{\textbf{1. Moduln, Algebren, Tensorprodukte, Kategorien, Funktoren}}
\end{center}

In diesem Abschnitt werden wir einige Grundlagen aus der Algebra bereitstellen.

\bigskip

\fbox{\textbf{Fundamentale Eigenschaften von Moduln}}

Diese Vorlesung baut auf der Theorie der Moduln \"{u}ber (nicht notwendig
kommutativen!) Ringen auf. Ein paar Konventionen im Voraus:

\begin{itemize}
\item Sei $R$ ein Ring. Ein $R$\textit{-Linksmodul} ist eine abelsche Gruppe
$M$ mit einer Linkswirkung von $R$ auf $M.$ Ein $R$\textit{-Rechtsmodul} ist
eine abelsche Gruppe $N$ mit einer Rechtswirkung von $R$ auf $N.$ Wirkungen
sind dabei immer assoziativ\footnote{Insofern kann man nicht aus jeder
Rechtswirkung eine Linkswirkung machen, indem man die Ringelemente "einfach"
links statt rechts schreibt! (Nat\"{u}rlich geht dies, falls der Ring
kommutativ ist.)}, distributiv (sowohl im Ringelement, als auch im
Modulelement) und unit\"{a}r (d. h. die $1$ des Ringes wirkt als Identit\"{a}t
auf dem Modul). Wir werden diese Definition sp\"{a}ter detaillierter
wiederholen, und zwei anderen (\"{a}quivalenten) Definitionen des Begriffes
"$R$-Linksmodul" gegen\"{u}berstellen.\newline\textit{Bemerkung:} Statt dem
Begriff "$R$-Linksmodul" benutzen viele Autoren auch das Synonym
"Links-$R$-Modul", und entsprechend "Rechts-$R$-Modul" statt "$R$%
-Rechtsmodul", und analoge Synonyme f\"{u}r Comoduln und Hopfmoduln (dies sind
Begriffe, die wir sp\"{a}ter einf\"{u}hren werden).

\item Unter einem $R$\textit{-Modul} verstehen wir ein Objekt, das ein
$R$-Linksmodul oder ein $R$-Rechtsmodul ist. (Genauso werden wir sp\"{a}ter
unter einem $C$\textit{-Comodul} ein Objekt verstehen, das ein $C$%
-Linkscomodul oder ein $C$-Rechtscomodul ist.)

\item Sei $R$ ein Ring. Ist $M$ ein $R$-Linksmodul, dann bezeichnet man den
$R$-Linksmodul $M$ auch mit $_{R}M$ (besonders, wenn man deutlich machen will,
da\ss \ man den $R$-Linksmodul $M$ und nicht nur die zugrundeliegende Menge
$M$ betrachtet). Ist $N$ ein $R$-Rechtsmodul, dann bezeichnet man den
$R$-Rechtsmodul $N$ auch mit $N_{R}.$

\item Seien $R$ und $S$ zwei Ringe. Ein $\left(  R,S\right)  $%
\textit{-Bimodul} ist eine abelsche Gruppe $M$ mit einer Linkswirkung von $R$
auf $M$ und einer Rechtswirkung von $S$ auf $M,$ die folgende Eigenschaft
erf\"{u}llen: F\"{u}r alle $r\in R,$ $s\in S$ und $x\in M$ gilt $\left(
rx\right)  s=r\left(  xs\right)  $ (diese Eigenschaft wird manchmal als
\textit{Kompatibilit\"{a}t} der beiden Modulstrukturen bezeichnet). Jeder
$\left(  R,S\right)  $-Bimodul hat eine kanonische Struktur als $R$-Linksmodul
(indem man die Rechtswirkung von $S$ auf $M$ vergisst) und eine kanonische
Struktur als $S$-Rechtsmodul (indem man die Linkswirkung von $R$ auf $M$ vergisst).

\item Seien $R$ und $S$ zwei Ringe. Ist $M$ ein $\left(  R,S\right)
$-Bimodul, dann bezeichnet man den $\left(  R,S\right)  $-Bimodul $M$ auch mit
$_{R}M_{S}$ (besonders, wenn man unterstreichen will, da\ss \ man den $\left(
R,S\right)  $-Bimodul $M$ meint, und nicht die zugrundeliegende Menge $M$).
Die kanonische $R$-Linksmodulstruktur auf $M$ hei\ss t dann $_{R}M,$ und die
kanonische $S$-Rechtsmodulstruktur $M_{S}.$\newline Es ist wichtig, $_{R}%
M_{S}$, $_{R}M$ und $M_{S}$ miteinander nicht zu verwechseln, obwohl die
zugrundeliegende Menge $M$ immer die gleiche ist! (Hier ist ein Beispiel
daf\"{u}r, warum wir es notwendig ist, $_{R}M_{S}$, $_{R}M$ und $M_{S}$
voneinander zu unterscheiden: Wenn wir zwei $\left(  R,S\right)  $-Bimoduln
$M$ und $N$ haben, und $\left.  _{R}M_{S}\right.  \cong\left.  _{R}%
N_{S}\right.  $ schreiben, dann meinen wir, da\ss \ $M$ und $N$ \textit{als
}$\left(  R,S\right)  $\textit{-Bimoduln isomorph sind}. Wenn wir aber
$\left.  _{R}M\right.  \cong\left.  _{R}N\right.  $ schreiben, dann meinen
wir, da\ss \ $M$ und $N$ \textit{als }$R$\textit{-Linksmoduln isomorph sind}.
Der Unterschied ist gewaltig.)

\item Sei $R$ ein Ring. Eine $R$\textit{-linkslineare Abbildung} ist ein
anderes Wort f\"{u}r einen Homomorphismus zwischen $R$-Linksmoduln.
Entsprechend ist eine $R$\textit{-rechtslineare Abbildung} nichts anderes als
ein Homomorphismus zwischen $R$-Rechtsmoduln. Eine $R$\textit{-lineare
Abbildung} ist ein Homomorphismus zwischen $R$-Moduln (Links- oder
Rechtsmoduln, je nachdem, was f\"{u}r Moduln die Definitionsmenge und die
Bildmenge sind).

\item F\"{u}r einen Ring $R$ sind "\textit{Homomorphismen zwischen }%
$R$-\textit{Moduln}" und "$R$\textit{-lineare Abbildungen}" Synonyme.
\end{itemize}

Wir rekapitulieren erstmal einige einfache Konstruktionen wie Produkte und
Coprodukte von Moduln:

\textbf{Erinnerung:} Sei $R$ ein Ring.

\textbf{1)} Ist $M$ ein $R$-Linksmodul, und $N\subseteq M$ ein Untermodul,
dann definiert man den $R$-Linksmodul $M\diagup N$ als Menge $\left\{
\overline{m}\mid m\in M\right\}  $ der \"{A}quivalenzklassen von Elementen von
$M$ bez\"{u}glich der Relation $\sim,$ die wie folgt definiert ist: F\"{u}r
zwei Elemente $m_{1}$ und $m_{2}$ von $M$ gilt $m_{1}\sim m_{2}$ genau dann,
wenn $m_{1}-m_{2}\in N$ ist. Dabei definiert man auf $M\diagup N$ die Addition
durch $\overline{m_{1}}+\overline{m_{2}}=\overline{m_{1}+m_{2}}$ f\"{u}r alle
$m_{1},m_{2}\in M$ und die Skalarmultiplikation durch $r\overline{m}%
=\overline{rm}$ f\"{u}r alle $r\in R$ und $m\in M.$ Der $R$-Linksmodul
$M\diagup N$ hei\ss t \textit{Faktormodul }des Moduls $M$ modulo $N.$

Die Abbildung $\operatorname*{kan}:M\rightarrow M\diagup N,$ die jedes $m\in
M$ auf die zugeh\"{o}rige \"{A}quivalenzklasse $\overline{m}\in M\diagup N$
abbildet, ist $R$-linear. Der $R$-Linksmodul $M\diagup N$ und die kanonische
Abbildung $\operatorname*{kan}$ besitzen folgende universelle Eigenschaft:

F\"{u}r jeden $R$-Linksmodul $X$ und jede $R$-lineare Abbildung
$f:M\rightarrow X$ mit $f\left(  N\right)  =0$ gibt es genau eine $R$-lineare
Abbildung $g:M\diagup N\rightarrow X,$ so dass das Diagramm%
\[
\xymatrix{
M \ar[r]^f \ar[d]_{\operatorname*{kan}} & X \\
M\slash N \ar@{.>}[ur]_{g}
}
\]
kommutiert.

\textbf{2)} Sei $I$ eine Menge, und $\left(  M_{i}\right)  _{i\in I}$ eine
Familie von $R$-Linksmoduln. Dann definiert man den $R$-Linksmodul
$\prod\limits_{i\in I}M_{i}$ als die Menge $\prod\limits_{i\in I}M_{i}$ (das
kartesische Produkt der Mengen $M_{i}$), ausgestattet mit komponentenweiser
Addition (also $\left(  m_{i}\right)  +\left(  m_{i}^{\prime}\right)  =\left(
m_{i}+m_{i}^{\prime}\right)  $ f\"{u}r alle $\left(  m_{i}\right)  ,\left(
m_{i}^{\prime}\right)  \in\prod\limits_{i\in I}M_{i}$) und komponentenweiser
Skalarmultiplikation (also $r\left(  m_{i}\right)  =\left(  rm_{i}\right)  $
f\"{u}r alle $r\in R$ und $\left(  m_{i}\right)  \in\prod\limits_{i\in I}%
M_{i}$). F\"{u}r jedes $j\in I$ l\"{a}\ss t sich eine Abbildung
$\operatorname*{pr}_{j}:\prod\limits_{i\in I}M_{i}\rightarrow M_{j}$
definieren durch $\operatorname*{pr}_{j}\left(  \left(  m_{i}\right)  \right)
=m_{j}$ f\"{u}r alle $\left(  m_{i}\right)  \in\prod\limits_{i\in I}M_{i}.$
Diese Abbildung $\operatorname*{pr}_{j}$ ist $R$-linear. Der $R$-Linksmodul
$\prod\limits_{i\in I}M_{i}$ hat zusammen mit den Abbildungen
$\operatorname*{pr}_{j}$ folgende universelle Eigenschaft:

Ist $X$ ein $R$-Linksmodul, und ist $f_{i}:X\rightarrow M_{i}$ eine
$R$-lineare Abbildung f\"{u}r jedes $i\in I,$ so gibt es genau eine
$R$-lineare Abbildung $f:X\rightarrow\prod\limits_{i\in I}M_{i},$ so dass das
Diagramm
\[
\xymatrix{
X \ar[r]^{f_j} \ar@{.>}[rd]_{f} & M_j \\
& \displaystyle \prod_{i\in I}M_i \ar[u]_{\operatorname*{pr}_j}
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }j\in I
\]
kommutiert (n\"{a}mlich die Abbildung $f,$ die durch $f\left(  x\right)
=\left(  f_{i}\left(  x\right)  \right)  $ f\"{u}r jedes $x\in X$ definiert
ist). Diese Abbildung $f$ nennt man $\prod\limits_{i\in I}f_{i}.$

Der $R$-Linksmodul $\prod\limits_{i\in I}M_{i}$ hei\ss t \textit{direktes
Produkt} der $R$-Linksmoduln $M_{i}.$

\textbf{3)} Sei $I$ eine Menge, und $\left(  M_{i}\right)  _{i\in I}$ eine
Familie von $R$-Linksmoduln. Dann definiert man den $R$-Linksmodul
$\coprod\limits_{i\in I}M_{i}$ als den $R$-Untermodul%
\[
\left\{  \left(  m_{i}\right)  \in\prod\limits_{i\in I}M_{i}\ \mid\ \text{es
gibt eine endliche Menge }J\subseteq I\text{ so, dass f\"{u}r alle }i\in
I\setminus J\text{ gilt: }m_{i}=0\right\}
\]
des $R$-Linksmoduls $\prod\limits_{i\in I}M_{i}.$

F\"{u}r jedes $j\in I$ l\"{a}\ss t sich eine Abbildung $\operatorname*{in}%
\nolimits_{j}:M_{j}\rightarrow\coprod\limits_{i\in I}M_{i}$ definieren durch
$\operatorname*{in}\nolimits_{j}\left(  m\right)  =\left(  \left\{
\begin{array}
[c]{c}%
m,\text{ wenn }i=j;\\
0,\text{ wenn }i\neq j
\end{array}
\right.  \right)  _{i\in I}$ f\"{u}r alle $m\in M_{j}.$ Diese Abbildung
$\operatorname*{in}\nolimits_{j}$ ist $R$-linear. Der $R$-Linksmodul
$\coprod\limits_{i\in I}M_{i}$ hat zusammen mit den Abbildungen
$\operatorname*{in}\nolimits_{j}$ folgende universelle Eigenschaft:

Ist $X$ ein $R$-Linksmodul, und ist $f_{i}:M_{i}\rightarrow X$ eine
$R$-lineare Abbildung f\"{u}r jedes $i\in I,$ so gibt es genau eine
$R$-lineare Abbildung $f:\coprod\limits_{i\in I}M_{i}\rightarrow X$, so dass
das Diagramm
\[
\xymatrix{
X & M_j \ar[l]_{f_j} \ar[d]^{\operatorname*{in}_j} \\
& \displaystyle \coprod_{i\in I}M_i \ar@{.>}[lu]^{f}
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }j\in I
\]
kommutiert (n\"{a}mlich die Abbildung $f,$ die durch $f\left(  \left(
m_{i}\right)  \right)  =\sum\limits_{i\in I}f_{i}\left(  m_{i}\right)  $
f\"{u}r jedes $\left(  m_{i}\right)  \in\coprod\limits_{i\in I}M_{i}$
definiert ist). Diese Abbildung $f$ nennt man $\coprod\limits_{i\in I}f_{i}.$

Der $R$-Linksmodul $\coprod\limits_{i\in I}M_{i}$ hei\ss t \textit{Coprodukt}
der $R$-Linksmoduln $M_{i}.$

F\"{u}r jedes $\left(  m_{i}\right)  \in\coprod\limits_{i\in I}M_{i}$ gilt
$\left(  m_{i}\right)  =\sum\limits_{i\in I}\operatorname*{in}_{i}\left(
m_{i}\right)  .$

\textbf{4)} Sei $I$ eine Menge, sei $M$ ein $R$-Linksmodul, und sei
$M_{i}\subseteq M$ ein Untermodul f\"{u}r jedes $i\in I.$

\textbf{a)} Wir schreiben kurz $\sum\limits_{i\in I}M_{i}$ f\"{u}r den
Untermodul%
\begin{align*}
&  \left\{  \sum_{i\in I}m_{i}\ \mid\ \left.
\begin{array}
[c]{c}%
m_{i}\in M_{i}\text{ f\"{u}r alle }i\in I,\text{ und es gibt eine endliche}\\
\text{Menge }J\subseteq I\text{ so, dass f\"{u}r alle }i\in I\setminus J\text{
gilt: }m_{i}=0
\end{array}
\right.  \right\} \\
&  =\left\{  \sum_{i\in I}m_{i}\ \mid\ \left(  m_{i}\right)  \in
\coprod\limits_{i\in I}M_{i}\right\}  =\left(  \coprod\limits_{i\in
I}\operatorname*{inc}\nolimits_{i}\right)  \left(  \coprod\limits_{i\in
I}M_{i}\right)
\end{align*}
von $M,$ wobei $\operatorname*{inc}\nolimits_{i}:M_{i}\rightarrow M$ die
kanonische Inklusion von $M_{i}$ in $M$ bedeutet.

\textbf{b)} In dem Fall, da\ss \ der Homomorphismus $\coprod\limits_{i\in
I}\operatorname*{inc}\nolimits_{i}:\coprod\limits_{i\in I}M_{i}\rightarrow M$
injektiv ist (mit anderen Worten: falls f\"{u}r jedes $\left(  m_{i}\right)
_{i\in I}\in\coprod\limits_{i\in I}M_{i}$ aus $\sum\limits_{i\in I}m_{i}=0$
sofort $m_{i}=0$ f\"{u}r alle $i\in I$ folgt; mit noch anderen Worten: falls
jedes Element von $\sum\limits_{i\in I}M_{i}$ eine \textit{eindeutige}
Darstellung als $\sum\limits_{i\in I}m_{i}$ f\"{u}r ein $\left(  m_{i}\right)
\in\coprod\limits_{i\in I}M_{i}$ besitzt), schreibt man auch $\bigoplus
\limits_{i\in I}M_{i}$ f\"{u}r $\sum\limits_{i\in I}M_{i},$ und bezeichnet den
Untermodul $\bigoplus\limits_{i\in I}M_{i}$ von $M$ als \textit{direkte Summe}
der Untermoduln $M_{i}.$

\textbf{5)} Im Fall \textbf{4)} \textbf{b)} (also in dem Fall,
da\ss \ $\coprod\limits_{i\in I}\operatorname*{inc}\nolimits_{i}$ injektiv
ist) gilt $\bigoplus\limits_{i\in I}M_{i}\cong\coprod\limits_{i\in I}M_{i}.$

Im Fall \textbf{3)} gilt wiederum $\coprod\limits_{i\in I}M_{i}=\bigoplus
\limits_{i\in I}M_{i}^{\prime},$ wobei $M_{i}^{\prime}=\operatorname*{in}%
_{i}M_{i}\cong M_{i}$ f\"{u}r alle $i\in I$ ist.

Somit sind Coprodukt ($\coprod\limits_{i\in I}M_{i}$) und direkte Summe
($\bigoplus\limits_{i\in I}M_{i}$) von Moduln "mehr oder weniger der gleiche
Begriff", nur mit dem Unterschied, da\ss \ man bei der direkten Summe bereits
im Voraus einen Modul $M$ kennen mu\ss , der alle $M_{i}$ umschlie\ss t.
Coprodukt und direkte Summe werden in der linearen Algebra auch \"{a}u\ss ere
direkte Summe bzw. innere direkte Summe genannt (was diesen Zusammenhang noch
deutlicher macht).

\textbf{Definition:} Sei $R$ ein Ring, und $M$ ein $R$-Linksmodul.

\textbf{1)} Sei $I$ eine Indexmenge, und f\"{u}r jedes $i\in I$ sei $m_{i}\in
M$ beliebig.

Die Familie $\left(  m_{i}\right)  $ hei\ss t $R$\textit{-linear
unabh\"{a}ngig}, wenn f\"{u}r jede endliche Menge $J\subseteq I$ und jede
Familie $\left(  r_{j}\right)  _{j\in J}$ mit $r_{j}\in R$ f\"{u}r alle $j\in
J$ gilt: Wenn $\sum\limits_{j\in J}r_{j}m_{j}=0,$ dann ist $r_{j}=0$ f\"{u}r
alle $j\in J.$

Die Familie $\left(  m_{i}\right)  $ hei\ss t ein $R$%
\textit{-Erzeugendensystem von }$M$, wenn f\"{u}r jedes $p\in M$ eine endliche
Menge $J\subseteq I$ und eine Familie $\left(  r_{j}\right)  _{j\in J}$ mit
$r_{j}\in R$ f\"{u}r alle $j\in J$ existiert, die $p=\sum\limits_{j\in J}%
r_{j}m_{j}$ erf\"{u}llt.

Die Familie $\left(  m_{i}\right)  $ hei\ss t $R$\textit{-Basis von }$M,$ wenn
sie $R$-linear unabh\"{a}nig und ein $R$-Erzeugendensystem von $M$ ist.

\textbf{2)} Der Modul $M$ hei\ss t ein \textit{freier Modul}, wenn er eine
$R$-Basis hat.

\textbf{1.1. Bemerkung:} \textbf{1)} Jeder Ring $R$ wird selber zu einem
$R$-Linksmodul, wenn man die Wirkung von $R$ auf $R$ durch Multiplikation definiert.

\textbf{2)} Sei $G$ eine Menge. Dann existiert ein $R$-Linksmodul mit Basis
$G,$ n\"{a}mlich der $R$-Linksmodul $\coprod\limits_{g\in G}R.$ In der Tat
kann man jedes Element $g\in G$ kanonisch mit dem Element $\left(
\delta_{g,h}\right)  _{h\in G}$ von $\coprod\limits_{g\in G}R$ identifizieren;
diese Elemente $\left(  \delta_{g,h}\right)  _{h\in G}$ f\"{u}r alle $g\in G$
bilden eine Basis von $\coprod\limits_{g\in G}R.$

Dieser Modul $\coprod\limits_{g\in G}R$ wird mit $R^{\left(  G\right)  }$
bezeichnet und \textit{freier }$R$\textit{-Linksmodul mit Basis }$G$ genannt.
Im Spezialfall $R=\mathbb{Z}$ nennt man $R^{\left(  G\right)  }=\mathbb{Z}%
^{\left(  G\right)  }$ auch die \textit{freie abelsche Gruppe mit Basis }$G.$

Der $R$-Linksmodul $\coprod\limits_{g\in G}R$ ist Untermodul des
$R$-Linksmoduls $\prod\limits_{g\in G}R.$ Jener Modul $\prod\limits_{g\in G}R$
wird auch mit $R^{G}$ bezeichnet.

Ist $G$ eine endliche Menge, dann ist $R^{\left(  G\right)  }=\coprod
\limits_{g\in G}R=\prod\limits_{g\in G}R=R^{G}$.

F\"{u}r jedes $g\in G$ schreiben wir $E_{g}$ f\"{u}r das Element
$\operatorname*{in}\nolimits_{g}1$ von $\coprod\limits_{g\in G}R$. Dann ist
$\left(  E_{g}\right)  _{g\in G}$ eine Basis des $R$-Linksmoduls
$\coprod\limits_{g\in G}R$. Wir werden allerdings oft $E_{g}$ einfach mit $g$
gleichsetzen (auch wenn dies strenggenommen ein Mi\ss brauch von Notation
ist); dann folgt hieraus, da\ss \ $\left(  g\right)  _{g\in G}$ eine Basis des
$R$-Linksmoduls $\coprod\limits_{g\in G}R$ ist, also da\ss \ $G$ selber eine
Basis des $R$-Linksmoduls $\coprod\limits_{g\in G}R$ ist. Dies verleiht dem
Begriff "freier $R$-Linksmodul mit Basis $G$" nachtr\"{a}glich Recht.

\textbf{3)} Ist $I$ eine Menge, und $M$ ein freier $R$-Linksmodul mit Basis
$\left\{  m_{i}\right\}  _{i\in I},$ dann ist $M=\bigoplus\limits_{i\in
I}Rm_{i}$ und $Rm_{i}\cong R$ f\"{u}r alle $i\in I$ (wobei das Zeichen $\cong$
f\"{u}r Isomorphie als $R$-Moduln steht).

\bigskip

\fbox{\textbf{Tensorielle Abbildungen und Tensorprodukte}}

Im Folgenden werden abelsche Gruppen immer additiv geschrieben. Somit
k\"{o}nnen wir die Begriffe "abelsche Gruppe" und "$\mathbb{Z}$-Modul" als
Synonyme verwenden (denn jede abelsche Gruppe ist kanonischerweise ein
$\mathbb{Z}$-Modul, und jeder $\mathbb{Z}$-Modul eine abelsche Gruppe).
Homomorphismen zwischen abelschen Gruppen sind das Gleiche wie $\mathbb{Z}%
$-lineare Abbildungen zwischen $\mathbb{Z}$-Moduln.

Wir werden nun eine Theorie der Tensorprodukte von Moduln \"{u}ber Ringen
entwickeln. Dabei arbeiten wir \"{u}ber allgemeinen, nicht notwendigerweise
kommutativen Ringen. Dies f\"{u}hrt zu einigen \"{U}berraschungen, die man
nicht erwarten w\"{u}rde, wenn man nur die Theorie der Tensorprodukte von
Moduln \"{u}ber \textit{kommutativen} Ringen kennt. So kann man \"{u}ber einem
allgemeinen Ring kein Tensorprodukt f\"{u}r zwei $R$-Linksmoduln definieren,
sondern nur ein Tensorprodukt von einem $R$-Rechtsmodul und einem
$R$-Linksmodul, und dieses Tensorprodukt selber ist weder ein $R$-Linksmodul
noch ein $R$-Rechtsmodul - sondern nur eine abelsche Gruppe (also ein
$\mathbb{Z}$-Modul). Eine st\"{a}rkere Struktur auf dem Tensorprodukt
erh\"{a}lt man nur, wenn man auf den zwei Tensoranden mehr Struktur festlegt.
Doch beginnen wir mit dem grundlegendsten Fall:

\textbf{Definition:} Sei $R$ ein Ring, sei $X$ ein $R$-Rechtsmodul, und sei
$Y$ ein $R$-Linksmodul.

\textbf{1)} Sei $M$ eine abelsche Gruppe, also ein $\mathbb{Z}$-Modul. Sei
$\varphi:X\times Y\rightarrow M$ eine Abbildung (eine Abbildung von Mengen;
sie mu\ss \ nicht $R$-linear sein!). Die Abbildung $\varphi$ hei\ss t
$R$\textit{-tensoriell} oder auch $R$\textit{-bilinear}, wenn gilt:%
\begin{align*}
\varphi\left(  x+x^{\prime},y\right)   &  =\varphi\left(  x,y\right)
+\varphi\left(  x^{\prime},y\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle
}x,x^{\prime}\in X\text{ und }y\in Y;\\
\varphi\left(  x,y+y^{\prime}\right)   &  =\varphi\left(  x,y\right)
+\varphi\left(  x,y^{\prime}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle
}x\in X\text{ und }y,y^{\prime}\in Y;\\
\varphi\left(  xr,y\right)   &  =\varphi\left(  x,ry\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in X,\text{ }y\in Y\text{ und }r\in
R.
\end{align*}


\textbf{2)} Sei $T$ eine abelsche Gruppe, und sei $\tau:X\times Y\rightarrow
T$ eine $R$-tensorielle Abbildung. Dann hei\ss t $\tau$ eine
\textit{universelle }$R$\textit{-tensorielle Abbildung}, wenn f\"{u}r jede
abelsche Gruppe $M$ und f\"{u}r jede $R$-tensorielle Abbildung $\varphi
:X\times Y\rightarrow M$ gilt: Es gibt genau eine $\mathbb{Z}$-lineare
Abbildung\footnote{d. h. Homomorphismus zwischen abelschen Gruppen}
$f:T\rightarrow M$ so, da\ss \ das Diagramm%
\[
\xymatrix{
X\times Y \ar[r]^-{\varphi} \ar[d]_{\tau} & M \\
T \ar@{.>}[ru]_{f}
}
\]
kommutativ ist. (Das hei\ss t, es gibt genau einen Gruppenhomomorphismus
$f:T\rightarrow M$ so, da\ss \ $\varphi=f\tau$ ist.)

\textbf{1.2. Bemerkung:} Es gibt, bis auf Isomorphie, nur eine universelle
$R$-tensorielle Abbildung. Hinter diesem kryptischen Satz verbirgt sich
folgende Aussage:

Seien $T$ eine abelsche Gruppe und $\tau:X\times Y\rightarrow T$ eine
universelle $R$-tensorielle Abbildung. Seien $T^{\prime}$ eine abelsche Gruppe
und $\tau^{\prime}:X\times Y\rightarrow T^{\prime}$ eine universelle
$R$-tensorielle Abbildung. Dann gibt es einen Isomorphismus $f:T\rightarrow
T^{\prime}$ von abelschen Gruppen (d. h. von $\mathbb{Z}$-Moduln) so,
da\ss \ das Diagramm%
\[
\xymatrixrowsep{4pc}\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
X\times Y \ar[d]_-{\tau^{\prime}} \ar[r]^-{\tau} & T \ar@{.>}[dl]_f^{\cong}\\
T^{\prime}
}
\]
kommutativ ist.\footnote{Eine \"{a}hnliche Eindeutigkeitsaussage (aber im
Allgemeinen keine Existenz!) gilt f\"{u}r alle sogenannten "universellen
Objekte" im Sinne der Kategorientheorie. Wir werden allerdings vermutlich
nicht die Zeit haben, auf diese Begriffe einzugehen.}

\textit{Beweis:} Da $\tau^{\prime}:X\times Y\rightarrow T^{\prime}$ eine
$R$-tensorielle Abbildung ist, und $\tau:X\times Y\rightarrow T$ eine
\textit{universelle} $R$-tensorielle Abbildung ist, gibt es genau eine
$\mathbb{Z}$-lineare Abbildung $f:T\rightarrow T^{\prime}$ so, da\ss \ das
Diagramm%
\[
\xymatrix{
X\times Y \ar[r]^-{\tau^{\prime}} \ar[d]_{\tau} & T^{\prime} \\
T \ar@{.>}[ru]_{f}
}
\]
kommutativ ist. Da $\tau:X\times Y\rightarrow T$ eine $R$-tensorielle
Abbildung ist, und $\tau^{\prime}:X\times Y\rightarrow T^{\prime}$ eine
\textit{universelle} $R$-tensorielle Abbildung ist, gibt es genau eine
$\mathbb{Z}$-lineare Abbildung $g:T^{\prime}\rightarrow T$ so, da\ss \ das
Diagramm%
\[
\xymatrix{
X\times Y \ar[r]^-{\tau} \ar[d]_{\tau^{\prime}} & T \\
T^{\prime} \ar@{.>}[ru]_{g}
}
\]
kommutativ ist.

Damit ergibt sich folgendes kommutatives Diagramm:%
\[
\xymatrixrowsep{4pc}\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
X\times Y \ar[r]^-{\tau} \ar[d]_-{\tau} \ar[dr]^{\tau^{\prime}} & T \\
T \ar[r]^f \ar@/_7pc/[ru]_{\operatorname*{id}} & T^{\prime} \ar[u]^g
}.
\]
Doch da $\tau:X\times Y\rightarrow T$ eine \textit{universelle} $R$%
-tensorielle Abbildung ist, gibt es genau eine $\mathbb{Z}$-lineare Abbildung
$u:T\rightarrow T$ so, da\ss \ das Diagramm%
\[
\xymatrix{
X\times Y \ar[r]^-{\tau} \ar[d]_{\tau} & T \\
T \ar@{.>}[ru]_{u}
}
\]
kommutativ ist. Laut obigem kommutativen Diagramm ist dies aber sowohl f\"{u}r
$u=\operatorname*{id},$ als auch f\"{u}r $u=gf$ erf\"{u}llt. Also ist
$gf=\operatorname*{id};$ genauer gesagt, $gf=\operatorname*{id}_{T}.$ Analog
ist $fg=\operatorname*{id}_{T^{\prime}}.$ Damit ist $f$ ein Isomorphismus, qed.

\textbf{1.3. Satz:} Sei $R$ ein Ring, sei $X$ ein $R$-Rechtsmodul, sei $Y$ ein
$R$-Linksmodul. Dann gibt es eine abelsche Gruppe $T$ so, da\ss \ es eine
universelle $R$-tensorielle Abbildung $\tau:X\times Y\rightarrow T$ gibt.

\textit{Beweis:} Sei $F=\mathbb{Z}^{\left(  X\times Y\right)  }$ die freie
abelsche Gruppe\footnote{d. h. der freie $\mathbb{Z}$-Modul} mit Basis
$X\times Y.$ Sei $N\subseteq F$ die Untergruppe, die erzeugt wird von allen
Elementen der Form%
\begin{equation}
\left.
\begin{array}
[c]{c}%
\left(  x+x^{\prime},y\right)  -\left(  x,y\right)  -\left(  x^{\prime
},y\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{mit }x,x^{\prime}\in X\text{ und }y\in
Y;\\
\left(  x,y+y^{\prime}\right)  -\left(  x,y\right)  -\left(  x,y^{\prime
}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{mit }x\in X\text{ und }y,y^{\prime}\in
Y;\\
\left(  xr,y\right)  -\left(  x,ry\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{mit }x\in
X,\text{ }y\in Y\text{ und }r\in R.
\end{array}
\right\}  \tag{1.0}%
\end{equation}
Sei nun $T=F\diagup N.$ Wir definieren eine Abbildung $\tau:X\times
Y\rightarrow T=F\diagup N$ durch $\tau\left(  x,y\right)  =\overline{\left(
x,y\right)  }$ f\"{u}r alle $x\in X$ und $y\in Y.$

Wir m\"{u}ssen jetzt zeigen, da\ss \ die Abbildung $\tau:X\times Y\rightarrow
T$ universell $R$-tensoriell ist.

Dazu beweisen wir zuerst, da\ss \ $\tau$ eine $R$-tensorielle Abbildung ist:

F\"{u}r alle $x,x^{\prime}\in X$ und $y\in Y$ gilt%
\begin{align*}
\tau\left(  x+x^{\prime},y\right)   &  =\overline{\left(  x+x^{\prime
},y\right)  }=\overline{\left(  x,y\right)  +\left(  x^{\prime},y\right)
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach der Definition von }T\text{ als
}F\diagup N\right) \\
&  =\overline{\left(  x,y\right)  }+\overline{\left(  x^{\prime},y\right)
}=\tau\left(  x,y\right)  +\tau\left(  x^{\prime},y\right)  .
\end{align*}
Analog zeigen wir $\tau\left(  x,y+y^{\prime}\right)  =\tau\left(  x,y\right)
+\tau\left(  x,y^{\prime}\right)  $ f\"{u}r alle $x\in X$ und $y,y^{\prime}\in
Y,$ sowie $\tau\left(  xr,y\right)  =\tau\left(  x,ry\right)  $ f\"{u}r alle
$x\in X,$ $y\in Y$ und $r\in R.$ Also ist $\tau$ eine $R$-tensorielle Abbildung.

Um zu zeigen, da\ss \ $\tau$ universell $R$-tensoriell ist, m\"{u}ssen wir
also nur noch folgende Aussage nachweisen:

\textbf{(*)} Sei $M$ eine abelsche Gruppe, und sei $\varphi:X\times
Y\rightarrow M$ eine $R$-tensorielle Abbildung. Dann gibt es genau eine
$\mathbb{Z}$-lineare Abbildung $f:T\rightarrow M$ mit $\varphi=f\tau.$

\textit{Beweis von \textbf{(*)}:} \textit{Existenz von }$f$\textit{:} Wir
definieren eine $\mathbb{Z}$-lineare Abbildung $f_{1}:F\rightarrow M$ durch
$f_{1}\left(  \left(  x,y\right)  \right)  =\varphi\left(  x,y\right)  $
f\"{u}r alle $x\in X$ und $y\in Y$ (diese Definition ist m\"{o}glich nach der
universellen Eigenschaft des Coproduktes, denn $F=\mathbb{Z}^{\left(  X\times
Y\right)  }=\coprod\limits_{\left(  x,y\right)  \in X\times Y}\mathbb{Z}$).

Dann gilt $f_{1}\left(  n\right)  =0$ f\"{u}r jedes Element $n\in N$ (denn $N$
wird von allen Elementen der Form (1.0) erzeugt, und f\"{u}r alle Elemente
$n\in N$ der Form (1.0) gilt $f_{1}\left(  n\right)  =0,$ wie man leicht
sieht:%
\[
f_{1}\left(  \left(  x+x^{\prime},y\right)  -\left(  x,y\right)  -\left(
x^{\prime},y\right)  \right)  =\varphi\left(  x+x^{\prime},y\right)
-\varphi\left(  x,y\right)  -\varphi\left(  x^{\prime},y\right)  =0
\]
(da $\varphi$ eine $R$-tensorielle Abbildung ist) und analog $f_{1}\left(
\left(  x,y+y^{\prime}\right)  -\left(  x,y\right)  -\left(  x,y^{\prime
}\right)  \right)  =0$ und $f_{1}\left(  \left(  xr,y\right)  -\left(
x,ry\right)  \right)  =0$). Das hei\ss t, $f_{1}\left(  N\right)  =0.$ Nach
der universellen Eigenschaft des Faktormoduls gibt es dann eine $\mathbb{Z}%
$-lineare Abbildung $f:T=F\diagup N\rightarrow M$ mit $f\left(  \overline
{a}\right)  =f_{1}\left(  a\right)  $ f\"{u}r alle $a\in F.$ Betrachte dieses
$f$. Nach Konstruktion der Abbildungen ist dann $\varphi=f\tau,$ denn f\"{u}r
alle $x\in X$ und $y\in Y$ ist%
\[
f\left(  \tau\left(  x,y\right)  \right)  =f\left(  \overline{\left(
x,y\right)  }\right)  =f_{1}\left(  \left(  x,y\right)  \right)
=\varphi\left(  x,y\right)  .
\]
Damit haben wir eine gew\"{u}nschte Abbildung $f$ f\"{u}r die Aussage
\textbf{(*)} konstruiert.

\textit{Eindeutigkeit von }$f$\textit{:} Jetzt werden wir zeigen, da\ss \ es
nur eine $\mathbb{Z}$-lineare Abbildung $f:T\rightarrow M$ mit $\varphi=f\tau$ gibt.

In der Tat seien $f:T\rightarrow M$ und $f^{\prime}:T\rightarrow M$ zwei
$\mathbb{Z}$-lineare Abbildungen, die $\varphi=f\tau$ und $\varphi=f^{\prime
}\tau$ erf\"{u}llen. Wir m\"{u}ssen dann zeigen, da\ss \ $f=f^{\prime}$ ist.

In der Tat ist $f\left(  \overline{\left(  x,y\right)  }\right)  =f\left(
\tau\left(  x,y\right)  \right)  =\varphi\left(  x,y\right)  $ f\"{u}r alle
$x\in X$ und $y\in Y,$ und analog $f^{\prime}\left(  \overline{\left(
x,y\right)  }\right)  =\varphi\left(  x,y\right)  .$ Also ist $f\left(
\overline{\left(  x,y\right)  }\right)  =f^{\prime}\left(  \overline{\left(
x,y\right)  }\right)  $ f\"{u}r alle $x\in X$ und $y\in Y.$ Doch $\left\{
\overline{\left(  x,y\right)  }\mid x\in X\text{ und }y\in Y\right\}  $ ist
ein Erzeugendensystem des $\mathbb{Z}$-Moduls $T$ (denn $T=F\diagup
N=\mathbb{Z}^{\left(  X\times Y\right)  }\diagup N$). Also sind die
Abbildungen $f$ und $f^{\prime}$ auf einem Erzeugendensystem von $T$
identisch. Da beide Abbildungen $f$ und $f^{\prime}$ au\ss erdem $\mathbb{Z}%
$-linear sind, folgt hieraus, da\ss \ $f=f^{\prime}$ \"{u}berall ist. Damit
ist die Eindeutigkeit von $f$ gezeigt.

Wir haben also nachgewiesen, da\ss \ eine die Aussage \textbf{(*)}
erf\"{u}llende Abbildung $f$ existiert und eindeutig ist. Damit ist Satz 1.3. bewiesen.

\textbf{Definition:} Sei $R$ ein Ring, sei $X$ ein $R$-Rechtsmodul, und sei
$Y$ ein $R$-Linksmodul. Die in Satz 1.3. definierte abelsche Gruppe $T$ wird
$X\otimes_{R}Y$ genannt und als das \textit{Tensorprodukt} der Moduln $X$ und
$Y$ bezeichnet. Die Moduln $X$ und $Y$ hei\ss en \textit{Tensoranden} dieses
Tensorproduktes; Elemente von $X\otimes_{R}Y$ hei\ss en \textit{Tensoren}.
F\"{u}r alle $x\in X$ und $y\in Y$ setzt man $x\otimes y=\tau\left(
x,y\right)  ,$ wobei $\tau:X\times Y\rightarrow X\otimes_{R}Y$ die in Satz
1.3. eingef\"{u}hrte universelle $R$-tensorielle Abbildung ist.

Auf diese Weise ist zwar die abelsche Gruppe $T=X\otimes_{R}Y$ nicht eindeutig
definiert! Doch nach Bemerkung 1.2. sind alle m\"{o}glichen abelschen Gruppen
$T,$ die als $X\otimes_{R}Y$ in Frage kommen, zueinander isomorph, und die
entsprechenden tensoriellen Abbildungen $\tau:X\times Y\rightarrow T$
vertragen sich mit den Isomorphismen. Deshalb k\"{o}nnen wir behaupten, wir
haben das Tensorprodukt $X\otimes_{R}Y$ "bis auf Isomorphie" eindeutig
definiert. Falls wir aber doch eine eindeutige Definition der abelschen Gruppe
$T=X\otimes_{R}Y$ und der Abbildung $\tau:X\times Y\rightarrow X\otimes_{R}Y$
(und nicht nur ihrer Isomorphieklasse) n\"{o}tig haben, definieren wir $T$ und
$\tau$ so, wie wir sie \textit{im Beweis von Satz 1.3} definiert haben - also
durch $T=F\diagup N,$ wobei $F=\mathbb{Z}^{\left(  X\times Y\right)  }$ ist
und $N\subseteq F$ von allen Elementen der Form (1.0) erzeugt ist, und durch
$\tau\left(  x,y\right)  =\overline{\left(  x,y\right)  }$ f\"{u}r alle $x\in
X$ und $y\in Y.$

Das Bilden eines Tensorproduktes hei\ss t auch \textit{Tensorieren}.

\textit{Bemerkung:} Der Operator $\otimes$ soll schw\"{a}cher binden als
Multiplikation; das hei\ss t, wenn wir $xr\otimes y$ schreiben, meinen wir
$\left(  xr\right)  \otimes y$ und nicht $x\left(  r\otimes y\right)  .$ Auch
soll der Operator $\otimes$ schw\"{a}cher binden als Anwendung von
Abbildungen; das hei\ss t, wenn wir $f\left(  x\right)  \otimes g\left(
y\right)  $ schreiben, meinen wir $\left(  f\left(  x\right)  \right)
\otimes\left(  g\left(  y\right)  \right)  $ und nicht etwa $f\left(  x\otimes
g\left(  y\right)  \right)  .$

\textbf{1.4. Bemerkung:} Sei $R$ ein Ring, sei $X$ ein $R$-Rechtsmodul und $Y$
ein $R$-Linksmodul.

\textbf{1)} In $X\otimes_{R}Y$ gilt%
\begin{align*}
\left(  x+x^{\prime}\right)  \otimes y  &  =x\otimes y+x^{\prime}\otimes
y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x,x^{\prime}\in X\text{ und }y\in
Y;\\
x\otimes\left(  y+y^{\prime}\right)   &  =x\otimes y+x\otimes y^{\prime
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in X\text{ und }y,y^{\prime}\in
Y;\\
xr\otimes y  &  =x\otimes ry\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in
X,\text{ }y\in Y\text{ und }r\in R.
\end{align*}


\textit{Beweis:} Dies folgt daraus, da\ss \ die Abbildung%
\[
X\times Y\rightarrow X\otimes_{R}Y,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  x,y\right)
\mapsto x\otimes y
\]
eine $R$-tensorielle Abbildung ist. In der Tat ist diese Abbildung einfach
$\tau$ (denn $\tau\left(  x,y\right)  =x\otimes y$), also eine universelle
$R$-tensorielle Abbildung.

\textbf{2)} \textbf{a)} Aus dem Beweis von Satz 1.3. folgt: Die Menge
$\left\{  x\otimes y\ \mid\ x\in X\text{ und }y\in Y\right\}  $ ist ein
$\mathbb{Z}$-Erzeugendensystem von $X\otimes_{R}Y.$ Das hei\ss t, jedes
Element von $X\otimes_{R}Y$ hat eine Darstellung in der Form $\sum
\limits_{i=1}^{n}z_{i}\left(  x_{i}\otimes y_{i}\right)  ,$ wobei $z_{i}%
\in\mathbb{Z},$ $x_{i}\in X$ und $y_{i}\in Y$ f\"{u}r jedes $i\in\left\{
1,2,...,n\right\}  $ ist. (So eine Darstellung ist nat\"{u}rlich nicht eindeutig.)

Man bezeichnet Elemente von $X\otimes_{R}Y$ der Form $x\otimes y$ f\"{u}r
$x\in X$ und $y\in Y$ als \textit{reine Tensoren}. Jeder Tensor in
$X\otimes_{R}Y$ ist also eine $\mathbb{Z}$-Linearkombination von reinen
Tensoren (also auch eine Summe von reinen Tensoren). Hieraus folgt:

\textbf{b)} Ist $M$ ein $\mathbb{Z}$-Modul, und sind $m:X\otimes
_{R}Y\rightarrow M$ und $n:X\otimes_{R}Y\rightarrow M$ zwei $\mathbb{Z}%
$-Modulhomomorphismen, die $m\left(  x\otimes y\right)  =n\left(  x\otimes
y\right)  $ f\"{u}r alle $x\in X$ und $y\in Y$ erf\"{u}llen, dann ist $m=n.$

\textit{Bemerkung:} Diese Aussage wird meistens folgenderma\ss en in Worte
gefasst: "Wenn zwei lineare Abbildungen aus einem Tensorprodukt in einen Modul
auf allen reinen Tensoren \"{u}bereinstimmen, dann sind sie identisch."

\textbf{3)} Tensorprodukte von Vektorr\"{a}umen sind recht intuitiv.
Tensorprodukte von Moduln \"{u}ber Ringen k\"{o}nnen sich dagegen sehr
unerwartet verhalten, auch wenn die Ringe kommutativ sind. So kann das
Tensorprodukt zweier von $0$ verschiedener Moduln $0$ sein. Hier ist ein Beispiel:

Sei $n$ eine positive ganze Zahl. Dann ist $\mathbb{Z}\diagup\left(  n\right)
\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}=0.$

\textit{Beweis:} F\"{u}r jedes $x\in\mathbb{Z}$ und jedes $q\in\mathbb{Q}$ ist
$\overline{x}\otimes q=\overline{x}\otimes n\cdot\dfrac{q}{n}%
=\underbrace{\overline{x}n}_{=0}\otimes\dfrac{q}{n}=0$ (wobei $\overline{x}$
die Restklasse von $x$ modulo $n$ bezeichnet). Also sind alle reinen Tensoren
in $\mathbb{Z}\diagup\left(  n\right)  \otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ gleich
$0.$ Da $\mathbb{Z}\diagup\left(  n\right)  \otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$
von reinen Tensoren erzeugt wird, ist also $\mathbb{Z}\diagup\left(  n\right)
\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}=0,$ was zu beweisen war.

\textbf{4)} Laut ihrer Definition haben das Tensorprodukt $X\otimes_{R}Y$
zweier Moduln $X$ und $Y$ und die in Satz 1.3. eingef\"{u}hrte universelle
$R$-tensorielle Abbildung $\tau:X\times Y\rightarrow X\otimes_{R}Y$ die
folgende Eigenschaft:

F\"{u}r jede abelsche Gruppe $M$ und f\"{u}r jede $R$-tensorielle Abbildung
$\varphi:X\times Y\rightarrow M$ gilt: Es gibt genau eine $\mathbb{Z}$-lineare
Abbildung\footnote{d. h. Homomorphismus zwischen abelschen Gruppen}
$f:X\otimes_{R}Y\rightarrow M$ so, da\ss \ das Diagramm%
\[
\xymatrix{
X\times Y \ar[r]^-{\varphi} \ar[d]_{\tau} & M \\
X\otimes_R Y \ar@{.>}[ru]_{f}
}
\]
kommutativ ist. (Das hei\ss t, es gibt genau einen Gruppenhomomorphismus
$f:X\otimes_{R}Y\rightarrow M$ so, da\ss \ $\varphi=f\tau$ ist.)

Diese Eigenschaft hei\ss t die \textit{universelle Eigenschaft des
Tensorproduktes}.

\textit{Bemerkung:} Der Nutzen des Tensorproduktes besteht oft darin,
da\ss \ man dadurch $R$-tensorielle Abbildungen in einen Zusammenhang mit
$\mathbb{Z}$-linearen Abbildungen bringen kann. Und zwar: Ist $R$ ein Ring,
ist $X$ ein $R$-Rechtsmodul und ist $Y$ ein $R$-Linksmodul, dann ist die
abelsche Gruppe aller $R$-tensoriellen Abbildungen $X\times Y\rightarrow M$
isomorph zur abelschen Gruppe aller $\mathbb{Z}$-linearen Abbildungen
$X\otimes_{R}Y\rightarrow M$. Der Isomorphismus ist dadurch gegeben,
da\ss \ man jede $\mathbb{Z}$-lineare Abbildung $f:X\otimes_{R}Y\rightarrow M$
auf die $R$-tensorielle Abbildung $f\tau:X\times Y\rightarrow M$ sendet. Diese
Zuordnung $f\mapsto f\tau$ ist injektiv und surjektiv wegen der universellen
Eigenschaft des Tensorproduktes.

\bigskip

\fbox{\textbf{Zusatzstruktur auf Tensorprodukten}}

Wir haben bislang das Tensorprodukt $X\otimes_{R}Y$ von einem $R$-Rechtsmodul
$X$ und einem $R$-Linksmodul $Y$ betrachtet; dieses Tensorprodukt hat nur die
Struktur einer abelschen Gruppe. Wenn allerdings $X$ und $Y$ zus\"{a}tzliche
Links- bzw. Rechtsmodulstrukturen tragen, so k\"{o}nnen wir auch auf
$X\otimes_{R}Y$ solche Strukturen definieren:

\textbf{1.5. Satz:} \textbf{1)} \textbf{a)} Seien $R$ und $S$ Ringe. Sei $X$
ein $\left(  S,R\right)  $-Bimodul, und sei $Y$ ein $R$-Linksmodul. Auf dem
Tensorprodukt $X\otimes_{R}Y$ ist dann kanonisch eine $S$-Linksmodulstruktur
definiert durch%
\[
s\left(  x\otimes y\right)  =sx\otimes y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle
}s\in S,\text{ }x\in X\text{ und }y\in Y.
\]


\textbf{b)} Seien $R$ und $T$ Ringe. Sei $X$ ein $R$-Rechtsmodul, und sei $Y$
ein $\left(  R,T\right)  $-Bimodul. Auf dem Tensorprodukt $X\otimes_{R}Y$ ist
dann kanonisch eine $T$-Rechtsmodulstruktur definiert durch%
\[
\left(  x\otimes y\right)  t=x\otimes yt\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle
}t\in T,\text{ }x\in X\text{ und }y\in Y.
\]


\textbf{c)} Seien $R,$ $S$ und $T$ Ringe. Sei $X$ ein $\left(  S,R\right)
$-Bimodul, und sei $Y$ ein $\left(  R,T\right)  $-Bimodul. Laut Satz 1.5
\textbf{1) a)} und \textbf{b)} sind auf dem Tensorprodukt $X\otimes_{R}Y$ eine
$S$-Linksmodulstruktur und eine $T$-Rechtsmodulstruktur gegeben. Diese zwei
Strukturen ergeben zusammen eine $\left(  S,T\right)  $-Bimodulstruktur.

(Diese Aussage kann man sich folgenderma\ss en veranschaulichen: Da $X$ ein
$\left(  S,R\right)  $-Bimodul ist, k\"{o}nnen wir $X$ als $_{S}X_{R}$
schreiben. Analog ist $Y=\left.  _{R}Y_{T}\right.  .$ Nun definiert Satz 1.5
\textbf{1)} \textbf{c)} auf $X\otimes_{R}Y$ die Struktur eines $\left(
S,T\right)  $-Bimoduls; wir k\"{o}nnen also $_{S}\left(  X\otimes_{R}Y\right)
_{T}$ schreiben. Satz 1.5 \textbf{1)} \textbf{c)} besagt also, anschaulich
gesprochen,%
\[
\left(  _{S}X_{R}\right)  \otimes_{R}\left(  _{R}Y_{T}\right)  =\left.
_{S}\left(  X\otimes_{R}Y\right)  _{T}\right.  .
\]
Wir k\"{o}nnen uns also vorstellen, beim Tensorieren von $_{S}X_{R}$ und
$_{R}Y_{T}$ gehen die zwei inneren $R$'s verloren, aber das $S$ ganz links und
das $T$ ganz rechts bleiben erhalten.)

\textbf{2)} Seien $R$ und $T$ Ringe. Sei $X$ ein $R$-Rechtsmodul, sei $Y$ ein
$\left(  R,T\right)  $-Bimodul, und sei $Z$ ein $T$-Linksmodul. Auf dem
Tensorprodukt $X\otimes_{R}Y$ ist laut Satz 1.5 \textbf{1)} \textbf{b)} dann
eine $T$-Rechtsmodulstruktur definiert, und auf dem Tensorprodukt
$Y\otimes_{T}Z$ laut Satz 1.5 \textbf{1)} \textbf{a)} eine $R$-Linksmodulstruktur.

Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus von abelschen Gruppen
\[
\operatorname*{kan}:\left(  X\otimes_{R}Y\right)  \otimes_{T}Z\rightarrow
X\otimes_{R}\left(  Y\otimes_{T}Z\right)  ,
\]
der durch
\[
\operatorname*{kan}\left(  \left(  x\otimes y\right)  \otimes z\right)
=x\otimes\left(  y\otimes z\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle
}x\in X\text{, }y\in Y\text{ und }z\in Z
\]
festgelegt ist.

\textbf{3)} \textbf{a)} Sei $R$ ein Ring, und $X$ ein $R$-Rechtsmodul. Es gibt
einen kanonischen Isomorphismus von $R$-Rechtsmoduln $\operatorname*{kan}%
:X\otimes_{R}R\rightarrow X,$ der durch $\operatorname*{kan}\left(  x\otimes
r\right)  =xr$ f\"{u}r alle $x\in X$ und $r\in R$ festgelegt ist. (Dabei wird
$R$ als $\left(  R,R\right)  $-Bimodul angesehen.)

\textbf{b)} Sei $R$ ein Ring, und $X$ ein $R$-Linksmodul. Es gibt einen
kanonischen Isomorphismus von $R$-Linksmoduln $\operatorname*{kan}%
:R\otimes_{R}X\rightarrow X,$ der durch $\operatorname*{kan}\left(  r\otimes
x\right)  =rx$ f\"{u}r alle $x\in X$ und $r\in R$ festgelegt ist. (Dabei wird
$R$ als $\left(  R,R\right)  $-Bimodul angesehen.)

\textbf{4)} Sei $R$ ein kommutativer Ring. Unter einem $R$\textit{-Modul}
verstehen wir eine abelsche Gruppe $X,$ die sowohl die Struktur eines
$R$-Linksmoduls, als auch die Struktur eines $R$-Rechtsmoduls tr\"{a}gt, und
die $rx=xr$ f\"{u}r alle $x\in X$ und $r\in R$ erf\"{u}llt. Dann k\"{o}nnen
wir jeden $R$-Linksmodul $X$ kanonisch auch als $R$-Modul betrachten, indem
wir $rx=xr$ f\"{u}r alle $x\in X$ und $r\in R$ setzen. Analog k\"{o}nnen wir
jeden $R$-Rechtsmodul $X$ auch als $R$-Modul betrachten.

Seien nun $M$ und $N$ zwei $R$-Moduln. Dann wird durch Satz 1.5 \textbf{1)}
\textbf{c)} auf $M\otimes_{R}N$ die Struktur eines $R$-Moduls definiert.
Analog ergibt sich auf $N\otimes_{R}M$ die Struktur eines $R$-Moduls. Es gibt
einen Isomorphismus von $R$-Moduln $\operatorname*{kan}:M\otimes
_{R}N\rightarrow N\otimes_{R}M,$ der durch $\operatorname*{kan}\left(
m\otimes n\right)  =n\otimes m$ f\"{u}r alle $m\in M$ und $n\in N$ festgelegt ist.

Wir lassen den \textit{Beweis} von Satz 1.5. aus (er ist nicht schwer;
Homomorphismen zwischen Tensorprodukten lassen sich aus tensoriellen
Abbildungen konstruieren).

Eine wichtige \textit{Schreibweise:} In der Situation von Satz 1.5.
\textbf{2)} sind die Tensorprodukte $\left(  X\otimes_{R}Y\right)  \otimes
_{T}Z$ und $X\otimes_{R}\left(  Y\otimes_{T}Z\right)  $ zueinander kanonisch
isomorph (nach Satz 1.5. \textbf{2)}). Der Isomorphismus $\operatorname*{kan}$
ist "derma\ss en kanonisch", da\ss \ wir im Folgenden diese beiden
Tensorprodukte $\left(  X\otimes_{R}Y\right)  \otimes_{T}Z$ und $X\otimes
_{R}\left(  Y\otimes_{T}Z\right)  $ einfach identifizieren werden, d. h. wir
bezeichnen sie beide mit $X\otimes_{R}Y\otimes_{T}Z$ (ohne Klammern). Statt
$\left(  x\otimes y\right)  \otimes z$ oder $x\otimes\left(  y\otimes
z\right)  $ schreiben wir dann einfach $x\otimes y\otimes z.$

Wir haben im Obigen gelernt, zwei Moduln zu tensorieren. Auch Homomorphismen
zwischen Moduln k\"{o}nnen tensoriert werden:

\textbf{Definition:} Sei $R$ ein Ring, seien $X$ und $X^{\prime}$ zwei
$R$-Rechtsmoduln, und seien $Y$ und $Y^{\prime}$ zwei $R$-Linksmoduln. Sei
$f:X\rightarrow X^{\prime}$ eine $R$-lineare Abbildung, und sei
$g:Y\rightarrow Y^{\prime}$ eine $R$-lineare Abbildung. Dann gibt es genau
eine $\mathbb{Z}$-lineare Abbildung $f\otimes g:X\otimes_{R}Y\rightarrow
X^{\prime}\otimes_{R}Y^{\prime},$ die%
\[
\left(  f\otimes g\right)  \left(  x\otimes y\right)  =f\left(  x\right)
\otimes g\left(  y\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in
X\text{ und }y\in Y
\]
erf\"{u}llt.

\textbf{1.6. Bemerkung:} \textbf{1)} Dies war eigentlich ein Satz, d. h. die
Existenz und Eindeutigkeit der $\mathbb{Z}$-linearen Abbildung $f\otimes g$
m\"{u}ssen wir eigentlich noch beweisen (dies folgt aber schnell aus der
universellen Eigenschaft des Tensorproduktes, da%
\[
X\times Y\rightarrow X^{\prime}\otimes Y^{\prime},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
x,y\right)  \mapsto f\left(  x\right)  \otimes g\left(  y\right)
\]
eine $R$-tensorielle Abbildung ist).

\textbf{2)} Die Abbildung $f\otimes g$ ist zwar laut obiger Definition nur
$\mathbb{Z}$-linear (d. h. ein Homomorphismus abelscher Gruppen), doch wenn
die Moduln zus\"{a}tzliche Struktur tragen, erh\"{a}lt auch $f\otimes g$ diese
Struktur. Dies bedeutet:

Ist $S$ ein Ring, sind $X$ und $X^{\prime}$ zwei $\left(  S,R\right)
$-Bimoduln, und ist $f$ gleichzeitig $R$-linear und $S$-linear, dann ist
$f\otimes g$ ein $S$-Linksmodulhomomorphismus.

Ist $T$ ein Ring, sind $Y$ und $Y^{\prime}$ zwei $\left(  R,T\right)
$-Bimoduln, und ist $g$ gleichzeitig $R$-linear und $T$-linear, dann ist
$f\otimes g$ ein $T$-Rechtsmodulhomomorphismus.

Hier noch einige weitere n\"{u}tzliche Eigenschaften des Tensorproduktes:

\textbf{1.7. Satz:} Sei $I$ eine Menge, und sei $\left(  X_{i}\right)  _{i\in
I}$ eine Familie von $R$-Rechtsmoduln. Sei $Y$ ein $R$-Linksmodul. Dann gibt
es einen kanonischen $\mathbb{Z}$-linearen Isomorphismus $\phi:\coprod
\limits_{i\in I}\left(  X_{i}\otimes_{R}Y\right)  \rightarrow\left(
\coprod\limits_{i\in I}X_{i}\right)  \otimes_{R}Y,$ der f\"{u}r jedes $j\in I$
ein kommutatives Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
X_j\otimes_R Y \ar[r]^-{\operatorname*{in}_j} \ar@/_3pc/[rr]_{\operatorname*{in}_j\otimes\operatorname*{id}} & \displaystyle\coprod_{i\in I} \left(X_i\otimes_R Y\right) \ar[r]^-{\phi} & \left(\displaystyle\coprod_{i\in I}X_i\right) \otimes_R Y
}
\]
induziert. (Hierbei bedeuten die zwei $\operatorname*{in}_{j}$ verschiedene -
aber auf gleiche Weise konstruierte - Abbildungen! Es sind beidesmal die
kanonischen Injektionen eines Moduls in ein Coprodukt dieses Moduls mit
anderen Moduln.)

\textit{Beweis:} Nach der universellen Eigenschaft des Coproduktes existiert
eine kanonische $\mathbb{Z}$-lineare Abbildung $\phi:\coprod\limits_{i\in
I}\left(  X_{i}\otimes_{R}Y\right)  \rightarrow\left(  \coprod\limits_{i\in
I}X_{i}\right)  \otimes_{R}Y,$ f\"{u}r welche f\"{u}r jedes $j\in I$ das obige
Diagramm kommutiert. Wir m\"{u}ssen nur noch beweisen, da\ss \ diese Abbildung
$\phi$ ein Isomorphismus ist.

Diese Abbildung $\phi$ erf\"{u}llt $\phi\circ\operatorname{in}_{j}%
=\operatorname*{in}\nolimits_{j}\otimes\operatorname*{id}$ f\"{u}r jedes $j\in
I$ (nach der Definition von $\phi$). Das hei\ss t, $\phi\circ\operatorname{in}%
_{i}=\operatorname{in}_{i}\otimes\operatorname{id}$ f\"{u}r jedes $i\in I$.

Definiere eine $\mathbb{Z}$-lineare Abbildung%
\begin{align*}
&  \psi:\left(  \coprod\limits_{i\in I}X_{i}\right)  \otimes_{R}%
Y\rightarrow\coprod\limits_{i\in I}\left(  X_{i}\otimes_{R}Y\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{durch}\\
&  \psi\left(  \left(  x_{i}\right)  _{i\in I}\otimes y\right)  =\left(
x_{i}\otimes y\right)  _{i\in I}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle
}\left(  x_{i}\right)  _{i\in I}\in\coprod\limits_{i\in I}X_{i}\text{ und
}y\in Y.
\end{align*}
So eine Abbildung $\psi$ existiert nach der universellen Eigenschaft des
Tensorproduktes. Dann ist $\phi\psi=\operatorname*{id},$ denn f\"{u}r alle
$\left(  x_{i}\right)  _{i\in I}\in\coprod\limits_{i\in I}X_{i}$ und $y\in Y$
ist%
\begin{align*}
\left(  \phi\psi\right)  \left(  \left(  x_{i}\right)  _{i\in I}\otimes
y\right)   &  =\phi\left(  \underbrace{\psi\left(  \left(  x_{i}\right)
_{i\in I}\otimes y\right)  }_{=\left(  x_{i}\otimes y\right)  _{i\in I}%
}\right)  =\phi\left(  \left(  x_{i}\otimes y\right)  _{i\in I}\right)
=\phi\left(  \sum_{i\in I}\operatorname*{in}\nolimits_{i}\left(  x_{i}\otimes
y\right)  \right) \\
&  =\sum_{i\in I}\underbrace{\phi\left(  \operatorname*{in}\nolimits_{i}%
\left(  x_{i}\otimes y\right)  \right)  }_{=\left(  \phi\circ
\operatorname*{in}\nolimits_{i}\right)  \left(  x_{i}\otimes y\right)  }%
=\sum_{i\in I}\underbrace{\left(  \phi\circ\operatorname*{in}\nolimits_{i}%
\right)  }_{=\operatorname*{in}\nolimits_{i}\otimes\operatorname*{id}}\left(
x_{i}\otimes y\right)  =\sum_{i\in I}\underbrace{\left(  \operatorname*{in}%
\nolimits_{i}\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  x_{i}\otimes y\right)
}_{=\operatorname*{in}\nolimits_{i}\left(  x_{i}\right)  \otimes y}\\
&  =\sum_{i\in I}\operatorname*{in}\nolimits_{i}\left(  x_{i}\right)  \otimes
y=\left(  \sum_{i\in I}\operatorname*{in}\nolimits_{i}\left(  x_{i}\right)
\right)  \otimes y=\left(  x_{i}\right)  _{i\in I}\otimes y.
\end{align*}
Ferner gilt f\"{u}r jedes $i\in I,$ f\"{u}r jedes $x_{i}\in X_{i}$ und f\"{u}r
jedes $y\in Y$ erstmal%
\begin{align*}
\left(  \psi\phi\operatorname*{in}\nolimits_{i}\right)  \left(  x_{i}\otimes
y\right)   &  =\psi\left(  \underbrace{\left(  \phi\operatorname*{in}%
\nolimits_{i}\right)  }_{=\operatorname*{in}\nolimits_{i}\otimes
\operatorname*{id}}\left(  x_{i}\otimes y\right)  \right)  =\psi\left(
\left(  \operatorname*{in}\nolimits_{i}\otimes\operatorname*{id}\right)
\left(  x_{i}\otimes y\right)  \right) \\
&  =\psi\left(  \operatorname*{in}\nolimits_{i}\left(  x_{i}\right)  \otimes
y\right)  =\psi\left(  \left(  \left\{
\begin{array}
[c]{c}%
x_{i},\text{ wenn }j=i;\\
0,\text{ wenn }j\neq i
\end{array}
\right.  \right)  _{j\in I}\otimes y\right) \\
&  =\left(  \left\{
\begin{array}
[c]{c}%
x_{i},\text{ wenn }j=i;\\
0,\text{ wenn }j\neq i
\end{array}
\right.  \otimes y\right)  _{j\in I}=\left(  \left\{
\begin{array}
[c]{c}%
x_{i}\otimes y,\text{ wenn }j=i;\\
0,\text{ wenn }j\neq i
\end{array}
\right.  \right)  _{j\in I}\\
&  =\operatorname*{in}\nolimits_{i}\left(  x_{i}\otimes y\right)  ,
\end{align*}
weshalb $\psi\phi\operatorname*{in}_{i}=\operatorname*{in}_{i}$ auf allen
reinen Tensoren in $X_{i}\otimes_{R}Y$ gilt, also $\psi\phi\operatorname*{in}%
_{i}=\operatorname*{in}_{i}$ auf allen Elementen von $X_{i}\otimes_{R}Y$ (denn
jedes Element von $X_{i}\otimes_{R}Y$ ist eine Summe von reinen Tensoren). Das
hei\ss t, $\psi\phi\mid_{\operatorname*{in}_{i}\left(  X_{i}\otimes
_{R}Y\right)  }=\operatorname*{id}\mid_{\operatorname*{in}_{i}\left(
X_{i}\otimes_{R}Y\right)  }$ f\"{u}r jedes $i\in I.$ Daher ist $\psi
\phi=\operatorname*{id}$ auf allen Elementen von $\coprod\limits_{i\in
I}\left(  X_{i}\otimes_{R}Y\right)  $ (denn jedes Element von $\coprod
\limits_{i\in I}\left(  X_{i}\otimes_{R}Y\right)  $ ist Summe von Bildern von
Elementen von $X_{i}\otimes_{R}Y$ unter den jeweiligen Abbildungen
$\operatorname*{in}_{i}$).

Wegen $\phi\psi=\operatorname*{id}$ und $\psi\phi=\operatorname*{id}$ ist
$\phi$ ein Isomorphismus, was zu beweisen war.

\textbf{1.8. Folgerung:} \textbf{1)} Sei $R$ ein Ring. Sei $X$ ein freier
$R$-Rechtsmodul mit Basis $\left(  x_{i}\right)  _{i\in I},$ und sei $Y$ ein
$R$-Linksmodul. Dann besitzt jedes Element von $X\otimes_{R}Y$ eine eindeutige
Darstellung in der Form $\sum\limits_{i\in I}x_{i}\otimes y_{i},$ wobei
$y_{i}\in Y$ f\"{u}r jedes $i\in I$ gilt, und $y_{i}\neq0$ nur f\"{u}r endlich
viele $i\in I$ erf\"{u}llt ist.

Analog k\"{o}nnen wir alle Elemente von $X\otimes_{R}Y$ als Summen darstellen,
wenn $Y$ eine Basis hat:

\textbf{2)} Sei $R$ ein Ring. Sei $X$ ein $R$-Rechtsmodul, und sei $Y$ ein
freier $R$-Linksmodul mit Basis $\left(  y_{i}\right)  _{i\in I}$. Dann
besitzt jedes Element von $X\otimes_{R}Y$ eine eindeutige Darstellung in der
Form $\sum\limits_{i\in I}x_{i}\otimes y_{i},$ wobei $x_{i}\in X$ f\"{u}r
jedes $i\in I$ gilt, und $x_{i}\neq0$ nur f\"{u}r endlich viele $i\in I$
erf\"{u}llt ist.

\textbf{3)} Ist $k$ ein K\"{o}rper, ist $V$ ein $k$-Vektorraum mit Basis
$\left(  v_{i}\right)  _{i\in I},$ und ist $W$ ein $k$-Vektorraum mit Basis
$\left(  w_{j}\right)  _{j\in J},$ dann ist $\left(  v_{i}\otimes
w_{j}\right)  _{\left(  i,j\right)  \in I\times J}$ eine $k$-Basis von
$V\otimes_{k}W.$ Insbesondere gilt $\dim\left(  V\otimes_{k}W\right)  =\dim
V\cdot\dim W,$ falls $\dim V<\infty$ und $\dim W<\infty$ ist.

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Zuerst ein Lemma:

\textit{Lemma 1:} Angenommen, f\"{u}r jedes $i\in I$ sei ein Element $y_{i}$
von $Y$ so gew\"{a}hlt, da\ss \ $y_{i}\neq0$ nur f\"{u}r endlich viele $i\in
I$ erf\"{u}llt ist, und da\ss \ $\sum\limits_{i\in I}x_{i}\otimes y_{i}=0$
gilt. Dann ist $y_{i}=0$ f\"{u}r alle $i\in I.$

\textit{Beweis des Lemmas 1:} F\"{u}r jedes $i\in I$ sei $\operatorname*{pr}%
_{i}:X\rightarrow R$ die $R$-lineare Abbildung, die $x_{j}$ auf $\delta_{i,j}$
f\"{u}r alle $j\in I$ schickt.\footnote{So eine Abbildung $\operatorname*{pr}%
_{i}$ existiert und ist eindeutig, weil $\left(  x_{i}\right)  _{i\in I}$ eine
Basis des $R$-Rechtsmoduls $X$ ist.} Dann ist $\sum\limits_{j\in I}%
x_{j}\otimes y_{j}=\sum\limits_{i\in I}x_{i}\otimes y_{i}=0,$ also%
\[
0=\left(  \operatorname*{pr}\nolimits_{i}\otimes\operatorname*{id}\right)
\left(  \sum\limits_{j\in I}x_{j}\otimes y_{j}\right)  =\sum\limits_{j\in
I}\underbrace{\operatorname*{pr}\nolimits_{i}\left(  x_{j}\right)  }%
_{=\delta_{i,j}}\otimes y_{j}=1\otimes y_{i}.
\]
Doch das Element $1\otimes y_{i}\in R\otimes_{R}Y$ ist das Bild des Elementes
$y_{i}\in Y$ beim kanonischen Isomorphismus $Y\rightarrow R\otimes_{R}Y$. Aus
$1\otimes y_{i}=0$ folgt also $y_{i}=0$. Damit ist Lemma 1 bewiesen.

Nun werden wir beweisen, da\ss \ jedes Element von $X\otimes_{R}Y$ eine
eindeutige Darstellung in der Form $\sum\limits_{i\in I}x_{i}\otimes y_{i}$
hat, wobei $y_{i}\in Y$ f\"{u}r jedes $i\in I$ gilt, und $y_{i}\neq0$ nur
f\"{u}r endlich viele $i\in I$ erf\"{u}llt ist.

\textit{Beweis der Existenz der Darstellung:} Wir wollen zeigen, da\ss \ jedes
Element von $X\otimes_{R}Y$ eine Darstellung in der Form $\sum\limits_{i\in
I}x_{i}\otimes y_{i}$ besitzt, wobei $y_{i}\in Y$ f\"{u}r jedes $i\in I$ gilt,
und $y_{i}\neq0$ nur f\"{u}r endlich viele $i\in I$ erf\"{u}llt ist.

Sei also $v\in X\otimes_{R}Y$. Da jeder Tensor in $X\otimes_{R}Y$ eine
$\mathbb{Z}$-Linearkombination von reinen Tensoren ist, gibt es also endlich
viele Elemente $u_{1},$ $u_{2},$ $...,$ $u_{n}$ von $X$ und genausoviele
Elemente $v_{1},$ $v_{2},$ $...,$ $v_{n}$ von $Y$ sowie ganze Zahlen
$\lambda_{1},$ $\lambda_{2},$ $...,$ $\lambda_{n}$ so, da\ss \ $v=\sum
\limits_{j=1}^{n}\lambda_{j}u_{j}\otimes v_{j}$ ist. Da $\left(  x_{i}\right)
_{i\in I}$ eine Basis von $X$ ist, gibt es f\"{u}r jedes $j\in\left\{
1,2,...,n\right\}  $ eine Familie $\left(  r_{j,i}\right)  _{i\in I}$ von
Elementen $r_{j,i}\in R$ so, da\ss \ $r_{j,i}\neq0$ nur f\"{u}r endlich viele
$i\in I$ gilt, und da\ss \ $u_{j}=\sum\limits_{i\in I}x_{i}\cdot r_{j,i}$ ist.
Somit ist%
\begin{align*}
v  &  =\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_{j}u_{j}\otimes v_{j}=\underbrace{\sum
\limits_{j=1}^{n}\lambda_{j}\sum\limits_{i\in I}x_{i}\cdot r_{j,i}}%
_{=\sum\limits_{i\in I}\sum\limits_{j=1}^{n}x_{i}\cdot\lambda_{j}r_{j,i}%
}\otimes v_{j}=\sum\limits_{i\in I}\sum\limits_{j=1}^{n}\underbrace{x_{i}%
\cdot\lambda_{j}r_{j,i}\otimes v_{j}}_{=x_{i}\otimes\lambda_{j}r_{j,i}v_{j}}\\
&  =\sum\limits_{i\in I}\sum\limits_{j=1}^{n}x_{i}\otimes\lambda_{j}%
r_{j,i}v_{j}=\sum\limits_{i\in I}x_{i}\otimes\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda
_{j}r_{j,i}v_{j}.
\end{align*}
Somit hat das Element $v$ eine Darstellung in der Form $\sum\limits_{i\in
I}x_{i}\otimes y_{i}$, wobei $y_{i}\in Y$ f\"{u}r jedes $i\in I$ gilt, und
$y_{i}\neq0$ nur f\"{u}r endlich viele $i\in I$ erf\"{u}llt ist. (Und zwar mit
$y_{i}=\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_{j}r_{j,i}v_{j}$ f\"{u}r jedes $i\in I$.)
Damit ist die Existenz der Darstellung gezeigt.

\textit{Beweis der Eindeutigkeit der Darstellung:} Nun wollen wir zeigen,
da\ss \ jedes Element von $X\otimes_{R}Y$ \textit{h\"{o}chstens eine}
Darstellung in der Form $\sum\limits_{i\in I}x_{i}\otimes y_{i}$ besitzt,
wobei $y_{i}\in Y$ f\"{u}r jedes $i\in I$ gilt, und $y_{i}\neq0$ nur f\"{u}r
endlich viele $i\in I$ erf\"{u}llt ist.

In der Tat nehmen wir an, da\ss \ ein gewisses Element $v\in X\otimes_{R}Y$
zwei solche Darstellungen hat: $v=\sum\limits_{i\in I}x_{i}\otimes y_{1,i}$
f\"{u}r irgendwelche $y_{1,i}\in Y$ (so, da\ss \ $y_{1,i}\neq0$ nur f\"{u}r
endlich viele $i\in I$ erf\"{u}llt ist) und $v=\sum\limits_{i\in I}%
x_{i}\otimes y_{2,i}$ f\"{u}r irgendwelche $y_{2,i}\in Y$ (so,
da\ss \ $y_{2,i}\neq0$ nur f\"{u}r endlich viele $i\in I$ erf\"{u}llt ist).
Wir wollen zeigen, da\ss \ beide Darstellungen gleich sind, also
da\ss \ $y_{1,i}=y_{2,i}$ f\"{u}r alle $i\in I$ gilt. In der Tat ist
$\sum\limits_{i\in I}x_{i}\otimes\left(  y_{1,i}-y_{2,i}\right)
=\underbrace{\sum\limits_{i\in I}x_{i}\otimes y_{1,i}}_{=v}-\underbrace{\sum
\limits_{i\in I}x_{i}\otimes y_{2,i}}_{=v}=0$. Nach Lemma 1 folgt hieraus
$y_{1,i}-y_{2,i}=0$ f\"{u}r alle $i\in I$, also $y_{1,i}=y_{2,i}$ f\"{u}r alle
$i\in I$, und damit ist die Eindeutigkeit der Darstellung bewiesen.

\textbf{2)} Analog zu \textbf{1)}.

\textbf{3)} \textit{Schritt 1:} Wir beweisen zuerst, da\ss \ $\left(
v_{i}\otimes w_{j}\right)  _{\left(  i,j\right)  \in I\times J}$ ein
Erzeugendensystem des $k$-Vektorraumes $V\otimes_{k}W$ ist.

\textit{Beweis:} Da jeder Tensor in $V\otimes_{k}W$ eine $\mathbb{Z}%
$-Linearkombination (und somit auch eine $k$-Linearkombination) von reinen
Tensoren ist\footnote{Dies folgt daraus, da\ss \ f\"{u}r jeden Ring $R$, jeden
$R$-Rechtsmodul $X$ und jeden $R$-Linksmodul $Y$ jeder Tensor in $X\otimes
_{R}Y$ eine $\mathbb{Z}$-Linearkombination von reinen Tensoren ist.}, reicht
es aus, zu beweisen, da\ss \ jeder reine Tensor in $V\otimes_{k}W$ in dem von
der Familie $\left(  v_{i}\otimes w_{j}\right)  _{\left(  i,j\right)  \in
I\times J}$ erzeugten $k$-Untervektorraum von $V\otimes_{k}W$ liegt.

Dies werden wir nun beweisen. Jeder reine Tensor in $V\otimes_{k}W$ hat die
Form $x\otimes y$ f\"{u}r ein $x\in V$ und ein $y\in W$. Seien also $x\in V$
und $y\in W$ beliebig gegeben. Wir wollen dann beweisen, da\ss \ der Tensor
$x\otimes y$ in dem von der Familie $\left(  v_{i}\otimes w_{j}\right)
_{\left(  i,j\right)  \in I\times J}$ erzeugten $k$-Untervektorraum von
$V\otimes_{k}W$ liegt.

Da $\left(  v_{i}\right)  _{i\in I}$ eine Basis des $k$-Vektorraumes $V$ ist,
gibt es eine Familie $\left(  \alpha_{i}\right)  _{i\in I}$ von Elementen
$\alpha_{i}\in k$ so, da\ss \ $\alpha_{i}\neq0$ nur f\"{u}r endlich viele
$i\in I$ gilt, und da\ss \ $x=\sum\limits_{i\in I}\alpha_{i}v_{i}$ ist. Da
$\left(  w_{j}\right)  _{j\in J}$ eine Basis des $k$-Vektorraumes $W$ ist,
gibt es eine Familie $\left(  \beta_{j}\right)  _{j\in J}$ von Elementen
$\beta_{j}\in k$ so, da\ss \ $\beta_{j}\neq0$ nur f\"{u}r endlich viele $j\in
J$ gilt, und da\ss \ $y=\sum\limits_{j\in J}\beta_{j}w_{j}$ ist. Damit ist%
\[
x\otimes y=\left(  \sum\limits_{i\in I}\alpha_{i}v_{i}\right)  \otimes\left(
\sum\limits_{j\in J}\beta_{j}w_{j}\right)  =\sum\limits_{i\in I}%
\sum\limits_{j\in J}\underbrace{\alpha_{i}v_{i}\otimes\beta_{j}w_{j}}%
_{=\alpha_{i}\beta_{j}v_{i}\otimes w_{j}}=\sum\limits_{i\in I}\sum
\limits_{j\in J}\alpha_{i}\beta_{j}v_{i}\otimes w_{j}.
\]
Somit liegt $x\otimes y$ in dem von der Familie $\left(  v_{i}\otimes
w_{j}\right)  _{\left(  i,j\right)  \in I\times J}$ erzeugten $k$%
-Untervektorraum von $V\otimes_{k}W$. Damit ist Schritt 1 bewiesen.

\textit{Schritt 2:} Jetzt werden wir beweisen, da\ss \ die Familie $\left(
v_{i}\otimes w_{j}\right)  _{\left(  i,j\right)  \in I\times J}$ linear
unabh\"{a}ngig ist.

\textit{Beweis:} Sei $\left(  \alpha_{i,j}\right)  _{\left(  i,j\right)  \in
I\times J}$ eine Familie von Elementen $\alpha_{i,j}\in k$ so,
da\ss \ $a_{i,j}\neq0$ nur f\"{u}r endlich viele Paare $\left(  i,j\right)
\in I\times J$ gilt, und da\ss \ $\sum\limits_{\left(  i,j\right)  \in I\times
J}\alpha_{i,j}v_{i}\otimes w_{j}=0$ ist. F\"{u}r jedes $u\in I$ sei
$\operatorname*{pr}_{u}:V\rightarrow k$ die $k$-lineare Abbildung, die $v_{i}$
auf $\delta_{u,i}$ f\"{u}r alle $i\in I$ schickt.\footnote{So eine Abbildung
$\operatorname*{pr}_{u}$ existiert und ist eindeutig, weil $\left(
v_{i}\right)  _{i\in I}$ eine Basis des $k$-Vektorraums $V$ ist.} F\"{u}r
jedes $v\in J$ sei $\operatorname*{pr}_{v}^{\prime}:W\rightarrow k$ die
$k$-lineare Abbildung, die $w_{j}$ auf $\delta_{v,j}$ f\"{u}r alle $j\in J$
schickt.\footnote{So eine Abbildung $\operatorname*{pr}_{v}^{\prime}$
existiert und ist eindeutig, weil $\left(  w_{j}\right)  _{j\in J}$ eine Basis
des $k$-Vektorraums $W$ ist.} F\"{u}r alle $u\in I$ und $v\in J$ ist dann%
\begin{align*}
0  &  =\left(  \operatorname*{pr}\nolimits_{u}\otimes\operatorname*{pr}%
\nolimits_{v}^{\prime}\right)  \left(  0\right)  =\left(  \operatorname*{pr}%
\nolimits_{u}\otimes\operatorname*{pr}\nolimits_{v}^{\prime}\right)  \left(
\sum\limits_{\left(  i,j\right)  \in I\times J}\alpha_{i,j}v_{i}\otimes
w_{j}\right) \\
&  =\sum\limits_{\left(  i,j\right)  \in I\times J}\alpha_{i,j}%
\underbrace{\operatorname*{pr}\nolimits_{u}\left(  v_{i}\right)  }%
_{=\delta_{u,i}}\otimes\underbrace{\operatorname*{pr}\nolimits_{v}^{\prime
}\left(  w_{j}\right)  }_{=\delta_{v,j}}=\sum\limits_{\left(  i,j\right)  \in
I\times J}\alpha_{i,j}\underbrace{\delta_{u,i}\delta_{v,j}}_{=\delta_{\left(
u,v\right)  ,\left(  i,j\right)  }}1\otimes1=\alpha_{u,v}1\otimes1
\end{align*}
in $k\otimes_{k}k$, also $\alpha_{u,v}=0$. Damit ist gezeigt, da\ss \ die
Familie $\left(  v_{i}\otimes w_{j}\right)  _{\left(  i,j\right)  \in I\times
J}$ linear unabh\"{a}ngig ist; das hei\ss t, Schritt 2 ist bewiesen.

\textit{Schritt 3:} Aus den Schritten 1 und 2 folgt, da\ss \ $\left(
v_{i}\otimes w_{j}\right)  _{\left(  i,j\right)  \in I\times J}$ eine
$k$-Basis von $V\otimes_{k}W$ ist. Also ist $\dim\left(  V\otimes_{k}W\right)
=\left\vert I\times J\right\vert =\left\vert I\right\vert \cdot\left\vert
J\right\vert $, w\"{a}hrend $\left\vert I\right\vert =\dim V$ und $\left\vert
J\right\vert =\dim W$ ist. Das hei\ss t, $\dim\left(  V\otimes_{k}W\right)
=\dim V\cdot\dim W$. Damit ist der Beweis von 1.8. vollst\"{a}ndig.

\textbf{1.9. Satz (Rechtsexaktheit von }$\otimes$\textbf{):} \textbf{1)} Sei
$R$ ein Ring, und sei
\[
\xymatrix{
A \ar[r]^f & B \ar[r]^g & C \ar[r] & 0
}
\]
eine exakte Folge von $R$-Linksmoduln (das hei\ss t, $A,$ $B$ und $C$ sind
$R$-Linksmoduln, und $f:A\rightarrow B$ und $g:B\rightarrow C$ sind
$R$-lineare Abbildungen mit $\operatorname{Im}f=\operatorname*{Ker}g,$ und $g$
ist ein Epimorphismus). Sei $X$ ein $R$-Rechtsmodul. Dann ist%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
X\otimes_R A \ar[r]^{\operatorname*{id}\otimes f} & X\otimes_R B \ar[r]^{\operatorname*{id}\otimes g} & X\otimes_R C \ar[r] & 0
}
\]
eine exakte Folge von abelschen Gruppen.

\textbf{2)} Analoges gilt f\"{u}r den anderen Tensoranden (also f\"{u}r
$A\otimes_{R}X$ statt $X\otimes_{R}A$ usw.).

Satz 1.9 fasst man oft folgenderma\ss en in Worte: "Tensorieren erh\"{a}lt die
rechten Endst\"{u}cke von exakten Sequenzen", oder auch "Tensorieren ist rechtsexakt".

\bigskip

\fbox{\textbf{Tensorprodukte \"{u}ber einem K\"{o}rper}}

Wir haben damit die Grundlagen der Theorie der Tensorprodukte von Moduln
\"{u}ber einem (allgemeinen) Ring kennengelernt. Wenn der Ring kommutativ oder
gar ein K\"{o}rper ist, erf\"{u}llen Tensorprodukte viele neue Eigenschaften,
die \"{u}ber allgemeinen Ringen nicht gelten.

Zuerst einmal kann man, wenn $k$ ein kommutativer Ring ist, jeden $k$-Modul
gleichzeitig als $k$-Linksmodul und als $k$-Rechtsmodul und als $\left(
k,k\right)  $-Bimodul betrachten. Dies erm\"{o}glicht es uns, das
Tensorprodukt zweier $k$-Moduln wieder als einen $k$-Modul anzusehen (man
vergleiche dies mit der Situation \"{u}ber allgemeinen Ringen: dort ist das
Tensorprodukt eines $R$-Rechtsmoduls mit einem $R$-Linksmodul einfach nur eine
abelsche Gruppe, ohne zus\"{a}tzliche $R$-Modulstruktur). Im Fall, da\ss \ $k$
ein K\"{o}rper ist, erh\"{a}lt man auf diese Weise den klassischen (aus der
Linearen Algebra bekannten) Begriff des Tensorproduktes zweier Vektorr\"{a}ume.

Wir erinnern uns an einige grundlegende Eigenschaften dieses Begriffes:

\textbf{1.9}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{20}}}$\textbf{. Satz
(Exaktheit von }$\otimes$\textbf{):} \textbf{1)} Sei $k$ ein K\"{o}rper, und
sei $\xymatrix{
A \ar[r]^f & B \ar[r]^g & C
}$ eine exakte Folge von $k$-Vektorr\"{a}umen (das hei\ss t, $A,$ $B$ und $C$
sind $k$-Vektorr\"{a}ume, und $f:A\rightarrow B$ und $g:B\rightarrow C$ sind
$k$-lineare Abbildungen mit $\operatorname{Im}f=\operatorname*{Ker}g$, aber im
Gegensatz zu Satz 1.9 braucht $g$ nicht notwendigerweise ein Epimorphismus zu
sein). Sei $X$ ein $k$-Vektorraum. Dann ist%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
X\otimes_k A \ar[r]^{\operatorname*{id}\otimes f} & X\otimes_k B \ar[r]^{\operatorname*{id}\otimes g} & X\otimes_k C
}
\]
eine exakte Folge von $k$-Vektorr\"{a}umen.

\textbf{2)} Analoges gilt f\"{u}r den anderen Tensoranden (also f\"{u}r
$A\otimes_{k}X$ statt $X\otimes_{k}A$ usw.).

Satz 1.9$\dfrac{\text{1}}{\text{20}}$ fasst man oft folgenderma\ss en in
Worte: "Tensorieren \"{u}ber einem K\"{o}rper erh\"{a}lt exakte Sequenzen",
oder auch "Tensorieren \"{u}ber einem K\"{o}rper ist exakt".

Eine weitere Eigenschaft von Tensorprodukten ist folgendes Lemma, das wir
vielfach verwenden werden:

\textbf{1.9}$\dfrac{\text{\textbf{2}}}{\text{\textbf{20}}}$\textbf{. Lemma:}
Sei $k$ ein K\"{o}rper, und seien $V$ und $W$ zwei $k$-Vektorr\"{a}ume. Seien
$\alpha$ und $\beta$ zwei Elemente von $V\otimes_{k}W$. Angenommen, f\"{u}r
jedes $g\in W^{\ast}$ ist $\left(  \operatorname*{id}\otimes g\right)  \left(
\alpha\right)  =\left(  \operatorname*{id}\otimes g\right)  \left(
\beta\right)  $ in $V\otimes_{k}k$. Dann gilt $\alpha=\beta$ in $V\otimes
_{k}W$.

\textit{Beweis von Lemma 1.9}$\dfrac{\text{\textit{2}}}{\text{\textit{20}}}%
$\textit{.} Sei $\gamma=\alpha-\beta$. Dann ist%
\[
\left(  \operatorname*{id}\otimes g\right)  \left(  \gamma\right)  =\left(
\operatorname*{id}\otimes g\right)  \left(  \alpha-\beta\right)
=\underbrace{\left(  \operatorname*{id}\otimes g\right)  \left(
\alpha\right)  }_{=\left(  \operatorname*{id}\otimes g\right)  \left(
\beta\right)  }-\left(  \operatorname*{id}\otimes g\right)  \left(
\beta\right)  =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }g\in W^{\ast}.
\]


Sei $\left(  y_{i}\right)  _{i\in I}$ eine Basis des $k$-Vektorraums $W$. Nach
Folgerung 1.8. \textbf{2)} (angewandt auf $k$, $V$ und $W$ statt $R$, $X$ bzw.
$Y$) besitzt dann jedes Element von $V\otimes_{k}W$ eine eindeutige
Darstellung in der Form $\sum\limits_{i\in I}x_{i}\otimes y_{i},$ wobei
$x_{i}\in V$ f\"{u}r jedes $i\in I$ gilt, und $x_{i}\neq0$ nur f\"{u}r endlich
viele $i\in I$ erf\"{u}llt ist. Insbesondere hat also das Element $\gamma$
eine eindeutige Darstellung in dieser Form. Seien also $x_{i}\in V$ f\"{u}r
jedes $i\in I$ so gew\"{a}hlt, da\ss \ $\gamma=\sum\limits_{i\in I}%
x_{i}\otimes y_{i}$ gilt, und $x_{i}\neq0$ nur f\"{u}r endlich viele $i\in I$
erf\"{u}llt ist.

F\"{u}r jedes $j\in I$ k\"{o}nnen wir nun eine $k$-lineare Abbildung
$g_{j}:W\rightarrow k$ definieren, indem wir%
\[
g_{j}\left(  y_{i}\right)  =\delta_{i,j}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle
}i\in I
\]
setzen (denn $\left(  y_{i}\right)  _{i\in I}$ ist eine Basis des
$k$-Vektorraums $W$). Da $\left(  \operatorname*{id}\otimes g\right)  \left(
\gamma\right)  =0$ f\"{u}r jedes $g\in W^{\ast}$ gilt, ist also insbesondere
$\left(  \operatorname*{id}\otimes g_{j}\right)  \left(  \gamma\right)  =0$
f\"{u}r jedes $j\in I$. F\"{u}r jedes $j\in I$ ist also%
\begin{align*}
0  &  =\left(  \operatorname*{id}\otimes g_{j}\right)  \left(  \gamma\right)
=\left(  \operatorname*{id}\otimes g_{j}\right)  \left(  \sum\limits_{i\in
I}x_{i}\otimes y_{i}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }%
\gamma=\sum\limits_{i\in I}x_{i}\otimes y_{i}\right) \\
&  =\sum\limits_{i\in I}\underbrace{\operatorname*{id}\left(  x_{i}\right)
}_{=x_{i}}\otimes\underbrace{g_{j}\left(  y_{i}\right)  }_{=\delta_{i,j}}%
=\sum\limits_{i\in I}x_{i}\delta_{i,j}=x_{j}%
\end{align*}
(denn in der Summe $\sum\limits_{i\in I}x_{i}\delta_{i,j}$ sind die Summanden
f\"{u}r $i\neq j$ alle gleich $0$ (weil $\delta_{i,j}=0$ f\"{u}r alle $i\neq
j$ gilt) und k\"{o}nnen daher weggelassen werden; es bleibt daher nur der
Summand $x_{j}\underbrace{\delta_{j,j}}_{=1}=x_{j}$). Das hei\ss t, $0=x_{i}$
f\"{u}r jedes $i\in I$. Damit gilt $\alpha-\beta=\gamma=\sum\limits_{i\in
I}\underbrace{x_{i}}_{=0}\otimes y_{i}=0$, also $\alpha=\beta$, und Lemma
1.9$\dfrac{\text{2}}{\text{20}}$ ist bewiesen.

\bigskip

\fbox{\textbf{Tensorprodukte von }$n$ \textbf{Moduln}}

Wenn $R$ und $T$ zwei Ringe sind, $X$ ein $R$-Rechtsmodul ist, $Y$ ein
$\left(  R,T\right)  $-Bimodul ist, und $Z$ ein $T$-Linksmodul ist, dann
besagt Satz 1.5. \textbf{2)}, da\ss \ man die Tensorprodukte $\left(
X\otimes_{R}Y\right)  \otimes_{T}Z$ und $X\otimes_{R}\left(  Y\otimes
_{T}Z\right)  $ im Wesentlichen miteinander gleichsetzen darf (denn die
Abbildung $\left(  X\otimes_{R}Y\right)  \otimes_{T}Z\rightarrow X\otimes
_{R}\left(  Y\otimes_{T}Z\right)  $ ist ein kanonischer Isomorphismus
dazwischen). Eine entsprechende Regel gilt f\"{u}r $n$ Moduln:

\textbf{1.9}$\dfrac{\text{\textbf{5}}}{\text{\textbf{10}}}$\textbf{. Satz:}
Sei $n\geq1$. Seien $R_{1}$, $R_{2}$, $...$, $R_{n-1}$ beliebige Ringe. Sei
$X_{1}$ ein $R_{1}$-Rechtsmodul. F\"{u}r jedes $i\in\left\{
2,3,...,n-1\right\}  $ sei $X_{i}$ ein $\left(  R_{i-1},R_{i}\right)
$-Bimodul. Schlie\ss lich sei $X_{n}$ ein $R_{n-1}$-Linksmodul. Dann sind alle
Tensorprodukte, die man durch Setzen von Klammern im Term $X_{1}\otimes
_{R_{1}}X_{2}\otimes_{R_{2}}X_{3}\otimes_{R_{3}}...\otimes_{R_{n-1}}X_{n}$
erh\"{a}lt, zueinander isomorph.\footnote{F\"{u}r den Fall $n=4$ bedeutet dies
beispielsweise%
\begin{align*}
\left(  \left(  X_{1}\otimes_{R_{1}}X_{2}\right)  \otimes_{R_{2}}X_{3}\right)
\otimes_{R_{3}}X_{4}  &  \cong\left(  X_{1}\otimes_{R_{1}}X_{2}\right)
\otimes_{R_{2}}\left(  X_{3}\otimes_{R_{3}}X_{4}\right)  \cong X_{1}%
\otimes_{R_{1}}\left(  X_{2}\otimes_{R_{2}}\left(  X_{3}\otimes_{R_{3}}%
X_{4}\right)  \right) \\
&  \cong\left(  X_{1}\otimes_{R_{1}}\left(  X_{2}\otimes_{R_{2}}X_{3}\right)
\right)  \otimes_{R_{3}}X_{4}\cong X_{1}\otimes_{R_{1}}\left(  \left(
X_{2}\otimes_{R_{2}}X_{3}\right)  \otimes_{R_{3}}X_{4}\right)  .
\end{align*}
} Sind zus\"{a}tzlich $R_{0}$ und $R_{n}$ zwei weitere Ringe, und ist $X_{1}$
ein $\left(  R_{0},R_{1}\right)  $-Bimodul und ist $X_{n}$ ein $\left(
R_{n-1},R_{n}\right)  $-Bimodul, dann sind diese Tensorprodukte sogar als
$\left(  R_{0},R_{n}\right)  $-Bimoduln zueinander isomorph.

Dieser Satz ist unschwer zu beweisen (genauso, wie man ausgehend von der
Assoziativit\"{a}t der Multiplikation in einer Algebra zeigt, da\ss \ man ein
Produkt von $n$ Elementen einer Algebra beliebig klammern kann und der Wert
immer der gleiche ist). Jedoch wird er selten in voller Allgemeinheit
verwendet. Meistens ben\"{o}tigt man ihn nur f\"{u}r den Fall, in dem alle
beteiligten Ringe einander gleich und kommutativ sind. In diesem Fall nimmt er
folgende Form an:

\textbf{1.9}$\dfrac{\text{\textbf{6}}}{\text{\textbf{10}}}$\textbf{. Satz:}
Sei $k$ ein kommutativer Ring. Sei $n\geq1$. Seien $X_{1}$, $X_{2}$, $...$,
$X_{n}$ beliebige $k$-Moduln. Dann sind alle Tensorprodukte, die man durch
Setzen von Klammern im Term $X_{1}\otimes X_{2}\otimes X_{3}\otimes...\otimes
X_{n}$ erh\"{a}lt (wobei das Zeichen $\otimes$ immer f\"{u}r $\otimes_{k}$
steht), zueinander isomorph als $k$-Moduln.

\textbf{Definition:} Sei $k$ ein kommutativer Ring. Sei $n\geq1$. Seien
$X_{1}$, $X_{2}$, $...$, $X_{n}$ beliebige $k$-Moduln. Unter dem
\textit{Tensorprodukt} dieser $k$-Moduln $X_{1}$, $X_{2}$, $...$, $X_{n}$
versteht man den $k$-Modul $T$, der auf eine der folgenden drei Weisen
definiert wird:

\textit{Erste Definition von }$T$\textit{: }Man klammere den Term
$X_{1}\otimes X_{2}\otimes X_{3}\otimes...\otimes X_{n}$ irgendwie, z. B.
linksassoziativ: $\left(  \left(  \left(  X_{1}\otimes X_{2}\right)  \otimes
X_{3}\right)  \otimes...\right)  \otimes X_{n}$. Der so entstandene $k$-Modul
ist (bis auf kanonische Isomorphie) von der Klammerung unabh\"{a}ngig (nach
Satz 1.9$\dfrac{\text{6}}{\text{10}}$), und wird als $k$-Modul $T$ gew\"{a}hlt.

\textit{Zweite Definition von }$T$\textit{:\ \ \ \ }\footnote{Diese Definition
von $T$ ist angelehnt an die Definition des Tensorproduktes $X\otimes Y$ von
\textit{zwei} Moduln $X$ und $Y$, die wir in Satz 1.3 gegeben haben.} Sei
$F=\mathbb{Z}^{\left(  X_{1}\times X_{2}\times...\times X_{n}\right)  }$ die
freie abelsche Gruppe mit Basis $X_{1}\times X_{2}\times...\times X_{n}$. Sei
$N\subseteq F$ die Untergruppe, die erzeugt wird von allen Elementen der Form%
\[
\left.
\begin{array}
[c]{l}%
\left(  x_{1},x_{2},...,x_{\ell-1},x_{\ell}+x_{\ell}^{\prime},x_{\ell
+1},...,x_{n}\right)  -\left(  x_{1},x_{2},...,x_{\ell-1},x_{\ell},x_{\ell
+1},...,x_{n}\right) \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\left(  x_{1},x_{2},...,x_{\ell-1},x_{\ell}^{\prime
},x_{\ell+1},...,x_{n}\right) \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{mit }\ell\in\left\{  1,2,...,n\right\}  \text{
und}\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  x_{1},x_{2},...,x_{\ell-1},x_{\ell},x_{\ell
}^{\prime},x_{\ell+1},...,x_{n}\right)  \in X_{1}\times X_{2}\times...\times
X_{\ell-1}\times X_{\ell}\times X_{\ell}\times X_{\ell+1}\times...\times
X_{n};\\
\left(  x_{1},x_{2},...,x_{\ell-1},rx_{\ell},x_{\ell+1},x_{\ell+2}%
,...,x_{n}\right)  -\left(  x_{1},x_{2},...,x_{\ell-1},x_{\ell},rx_{\ell
+1},x_{\ell+2},...,x_{n}\right) \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{mit }\ell\in\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \text{,
}\left(  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)  \in X_{1}\times X_{2}\times...\times
X_{n}\text{ und }r\in k.
\end{array}
\right\}
\]
Dann sei $T=F\diagup N$. Damit ist eine abelsche Gruppe $T$ definiert. Diese
Gruppe wird zum $k$-Modul, indem man%
\[
r\cdot\overline{\left(  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)  }=\overline{\left(
rx_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle
}r\in k\text{ und }\left(  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)  \in X_{1}\times
X_{2}\times...\times X_{n}%
\]
setzt. (Hierbei bedeutet f\"{u}r jedes $y\in F$ der Term $\overline{y}$ die
Restklasse von $y$ modulo $N$.)

\textit{Dritte Definition von }$T$\textit{:\ \ \ \ }\footnote{Diese Definition
von $T$ ist eine Variation der vorhin gegebenen Zweiten Definition von $T$.}
Sei $F_{k}=k^{\left(  X_{1}\times X_{2}\times...\times X_{n}\right)  }$ der
freie $k$-Modul mit Basis $X_{1}\times X_{2}\times...\times X_{n}$. Sei
$N_{k}\subseteq F_{k}$ der $k$-Untermodul von $F_{k}$, der erzeugt wird von
allen Elementen der Form%
\[
\left.
\begin{array}
[c]{l}%
\left(  x_{1},x_{2},...,x_{\ell-1},x_{\ell}+x_{\ell}^{\prime},x_{\ell
+1},...,x_{n}\right)  -\left(  x_{1},x_{2},...,x_{\ell-1},x_{\ell},x_{\ell
+1},...,x_{n}\right) \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\left(  x_{1},x_{2},...,x_{\ell-1},x_{\ell}^{\prime
},x_{\ell+1},...,x_{n}\right) \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{mit }\ell\in\left\{  1,2,...,n\right\}  \text{
und}\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  x_{1},x_{2},...,x_{\ell-1},x_{\ell},x_{\ell
}^{\prime},x_{\ell+1},...,x_{n}\right)  \in X_{1}\times X_{2}\times...\times
X_{\ell-1}\times X_{\ell}\times X_{\ell}\times X_{\ell+1}\times...\times
X_{n};\\
\left(  x_{1},x_{2},...,x_{\ell-1},rx_{\ell},x_{\ell+1},x_{\ell+2}%
,...,x_{n}\right)  -r\left(  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right) \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{mit }\ell\in\left\{  1,2,...,n\right\}  \text{,
}\left(  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)  \in X_{1}\times X_{2}\times...\times
X_{n}\text{ und }r\in k.
\end{array}
\right\}
\]
Dann sei $T=F_{k}\diagup N_{k}$. Damit ist ein $k$-Modul $T$ definiert.

Diese drei Definitionen von $T$ f\"{u}hren auf drei (technisch gesehen)
verschiedene $k$-Moduln $T$, die aber zueinander kanonisch isomorph sind.
Somit k\"{o}nnen wir sie gleichsetzen und mit $X_{1}\otimes X_{2}%
\otimes...\otimes X_{n}$ (ohne Klammern) bezeichnen. Wir nennen $X_{1}\otimes
X_{2}\otimes...\otimes X_{n}$ das Tensorprodukt der $k$-Moduln $X_{1}$,
$X_{2}$, $...$, $X_{n}$.

F\"{u}r jedes $\left(  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)  \in X_{1}\times
X_{2}\times...\times X_{n}$ k\"{o}nnen wir ein Element $x_{1}\otimes
x_{2}\otimes...\otimes x_{n}$ von $X_{1}\otimes X_{2}\otimes...\otimes X_{n}$
definieren. Die Definition h\"{a}ngt davon ab, wie genau wir das Tensorprodukt
$X_{1}\otimes X_{2}\otimes...\otimes X_{n}$ definiert haben (wir haben ja drei
verschiedene Definitionen von $X_{1}\otimes X_{2}\otimes...\otimes X_{n}=T$ gegeben):

\begin{itemize}
\item Wenn wir $X_{1}\otimes X_{2}\otimes...\otimes X_{n}$ nach der ersten
Definition von $T$ definiert haben, dann verstehen wir unter diesem Element
$x_{1}\otimes x_{2}\otimes...\otimes x_{n}$ das Element, das man erh\"{a}lt,
wenn man den Term $x_{1}\otimes x_{2}\otimes x_{3}\otimes...\otimes x_{n}$ so
klammert wie man den Term $X_{1}\otimes X_{2}\otimes X_{3}\otimes...\otimes
X_{n}$ geklammert hat\footnote{Dies bedeutet beispielsweise $\left(
x_{1}\otimes x_{2}\right)  \otimes\left(  x_{3}\otimes\left(  x_{4}\otimes
x_{5}\right)  \right)  $ in dem Fall, wenn $n=5$ und wir den Term
$X_{1}\otimes X_{2}\otimes X_{3}\otimes...\otimes X_{n}$ zu $\left(
X_{1}\otimes X_{2}\right)  \otimes\left(  X_{3}\otimes\left(  X_{4}\otimes
X_{5}\right)  \right)  $ geklammert haben.}.

\item Wenn wir $X_{1}\otimes X_{2}\otimes...\otimes X_{n}$ nach der zweiten
Definition von $T$ definiert haben, dann verstehen wir unter diesem Element
$x_{1}\otimes x_{2}\otimes...\otimes x_{n}$ die Projektion des Elementes
$\left(  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)  \in F$ auf $F\diagup N=T$.

\item Wenn wir $X_{1}\otimes X_{2}\otimes...\otimes X_{n}$ nach der dritten
Definition von $T$ definiert haben, dann verstehen wir unter diesem Element
$x_{1}\otimes x_{2}\otimes...\otimes x_{n}$ die Projektion des Elementes
$\left(  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)  \in F_{k}$ auf $F_{k}\diagup N_{k}=T$.
\end{itemize}

\textit{Bemerkung:} Die obige Definition des Tensorproduktes $X_{1}\otimes
X_{2}\otimes...\otimes X_{n}$ von $n$ beliebigen $k$-Moduln $X_{1}$, $X_{2}$,
$...$, $X_{n}$ wurde nur f\"{u}r den Fall $n\geq1$ formuliert. Doch man kann
auch das Tensorprodukt von null $k$-Moduln (also das leere Tensorprodukt von
$k$-Moduln) definieren; und zwar definiert man dieses Tensorprodukt als den
$k$-Modul $k$ selber. Genauso gut k\"{o}nnte man dieses Tensorprodukt
gem\"{a}\ss \ der (obigen) Dritten Definition von $T$ f\"{u}r $n=0$ definieren
(dann w\"{u}rde $F_{k}=k^{\left(  \text{leeres Produkt}\right)  }=k^{\left\{
\varnothing\right\}  }\cong k$ und $N_{k}=0$, also $T=F_{k}\diagup N_{k}\cong
k\diagup0=k$ herauskommen). Jedoch ergeben die (oben gegebenen) Erste und
Zweite Definition von $T$ im Fall $n=0$ keinen Sinn.

Das Tensorprodukt von null Elementen (also das leere Tensorprodukt von
Elementen von $k$-Moduln) ist definiert als das Element $1$ von $k$.

Damit sind sowohl das Tensorprodukt von $n$ beliebigen $k$-Moduln, als auch
das Tensorprodukt von $n$ Elementen dieser $k$-Moduln auch im Fall $n=0$
definiert. Nat\"{u}rlich ist dies kein besonders interessanter Fall und gewiss
nicht der Fall, f\"{u}r den der Begriff des Tensorproduktes urspr\"{u}nglich
erfunden wurde. Doch es ist oft hilfreich, eine sinnvolle Definition von
Tensorprodukten f\"{u}r diesen Fall zu kennen (unter anderem weil er sich in
vielen Induktionsbeweisen als Induktionsanfang gebrauchen l\"{a}\ss t, der
einfacher zu behandeln ist als der Fall $n=1$).

Mehr gibt es \"{u}ber den Fall $n=0$ nicht zu sagen; also zur\"{u}ck zum Fall
von allgemeinem $n\geq0$:

Das Tensorprodukt von $n$ Moduln hat folgende universelle Eigenschaft (in
Analogie zu der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes von zwei Moduln,
die wir in Bemerkung 1.4 \textbf{4)} gezeigt haben):

\textbf{1.9}$\dfrac{\text{\textbf{7}}}{\text{\textbf{10}}}$\textbf{. Satz
(universelle Eigenschaft des Tensorproduktes vieler Moduln):} Sei $k$ ein
kommutativer Ring. Sei $n\geq0$. Seien $X_{1}$, $X_{2}$, $...$, $X_{n}$
beliebige $k$-Moduln.

\textbf{1)} Sei $\tau:X_{1}\times X_{2}\times...\times X_{n}\rightarrow
X_{1}\otimes X_{2}\otimes...\otimes X_{n}$ die Abbildung, die jedes $\left(
x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)  \in X_{1}\times X_{2}\times...\times X_{n}$
\"{u}berf\"{u}hrt in $x_{1}\otimes x_{2}\otimes...\otimes x_{n}\in
X_{1}\otimes X_{2}\otimes...\otimes X_{n}$. Dann ist $\tau$ eine
$k$-multilineare Abbildung.\footnote{Hierbei hei\ss t eine Abbildung
$F:X_{1}\times X_{2}\times...\times X_{n}\rightarrow M$ (wobei $M$ ein
$k$-Modul ist) genau dann $k$\textit{-multilinear}, wenn sie $k$-linear in
jeder der Variablen ist, d. h. wenn f\"{u}r jedes $\ell\in\left\{
1,2,...,n\right\}  $ und f\"{u}r beliebige $\left(  x_{1},x_{2},...,x_{\ell
-1},x_{\ell+1},...,x_{n}\right)  \in X_{1}\times X_{2}\times...\times
X_{\ell-1}\times X_{\ell+1}\times...\times X_{n}$ die Abbildung%
\[
X_{\ell}\rightarrow M,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{\ell}\mapsto F\left(  x_{1}%
,x_{2},...,x_{n}\right)
\]
eine $k$-lineare Abbildung ist.}

\textbf{2)} F\"{u}r jeden $k$-Modul $M$ und jede $k$-multilineare Abbildung
$\varphi:X_{1}\times X_{2}\times...\times X_{n}\rightarrow M$ gibt es genau
eine $k$-lineare Abbildung $f:X_{1}\otimes X_{2}\otimes...\otimes
X_{n}\rightarrow M$ so, da\ss \ das Diagramm%
\[%
%TCIMACRO{\TeXButton{xymatrix}{\xymatrixcolsep{5pc}
%\xymatrix{
%X_1\times X_2\times...\times X_n \ar[r]^-{\varphi} \ar[d]_-{\tau} & M \\
%X_1 \otimes X_2 \otimes... \otimes X_n \ar@{.>}[ru]_-{f} &
%}}}%
%BeginExpansion
\xymatrixcolsep{5pc}
\xymatrix{
X_1\times X_2\times...\times X_n \ar[r]^-{\varphi} \ar[d]_-{\tau} & M \\
X_1 \otimes X_2 \otimes... \otimes X_n \ar@{.>}[ru]_-{f} &
}%
%EndExpansion
\]
kommutativ ist.

Man kann diesen Satz auch etwas allgemeiner formulieren (statt dem
kommutativen Ring $k$ kann man auch mehrere verschiedene nichtkommutative
Ringe zulassen), aber wir werden solche Allgemeinheit nicht n\"{o}tig haben.

\textbf{Definition:} Sei $n\in\mathbb{N}$. Ist $k$ ein kommutativer Ring, und
$X$ ein $k$-Modul, so bezeichnen wir das Tensorprodukt $\underbrace{X\otimes
X\otimes...\otimes X}_{n\text{ mal}}$ mit $X^{\otimes n}$ oder auch mit
$\otimes^{n}X$. F\"{u}r $n=0$ ist dabei das Tensorprodukt
$\underbrace{X\otimes X\otimes...\otimes X}_{n\text{ mal}}$ (und genauso jedes
Tensorprodukt von null $k$-Moduln) als der $k$-Modul $k$ zu deuten; das
hei\ss t, $X^{\otimes0}=\otimes^{0}X=k$.

Es ist anzumerken, da\ss \ diese Definition die Folge hat, da\ss \ die
Relation $\left(  \otimes^{a}X\right)  \otimes\left(  \otimes^{b}X\right)
=\otimes^{a+b}X$ f\"{u}r jeden $k$-Modul $X$ und je zwei nat\"{u}rliche Zahlen
$a$ und $b$ gilt. Das Gleichheitszeichen ist in dieser Relation allerdings
nicht als eine echte, mathematisch strenge Gleichheit zu deuten, sondern als
eine kanonische Isomorphie zwischen den $k$-Moduln $\left(  \otimes
^{a}X\right)  \otimes\left(  \otimes^{b}X\right)  $ und $\otimes^{a+b}X$, die
"derma\ss en kanonisch ist", da\ss \ man diese beiden $k$-Moduln miteinander
gleichsetzen kann, ohne da\ss \ man auf Schwierigkeiten st\"{o}\ss t. Deshalb
werden wir diese beiden $k$-Moduln auch miteinander gleichsetzen.

\bigskip

\fbox{\textbf{Zusatzstruktur auf }$\operatorname*{Hom}$}

Doch nun zur\"{u}ck zu der Situation \"{u}ber allgemeinen Ringen.

Wir haben oben f\"{u}r einen Ring $R,$ einen $R$-Rechtsmodul $X_{R}$ und einen
$R$-Linksmodul $_{R}Y$ das Tensorprodukt $X\otimes_{R}Y$ eingef\"{u}hrt -
dieses Tensorprodukt war zuerst nur eine abelsche Gruppe, doch wenn wir auf
$X$ und $Y$ zus\"{a}tzliche Strukturen voraussetzen, k\"{o}nnen wir laut 1.5.
auch das Tensorprodukt $X\otimes_{R}Y$ mit mehr Struktur ausstatten.

Etwas \"{a}hnliches l\"{a}\ss t sich mit dem $\operatorname*{Hom}$ zweier
Moduln machen. Ist $R$ ein Ring, und sind $_{R}X$ und $_{R}Y$ zwei
$R$-Linksmoduln, dann ist $\operatorname*{Hom}_{R}\left(  X,Y\right)  $ (die
Menge aller $R$-Linksmodulhomomorphismen von $X$ nach $Y$) kanonisch nur mit
der Struktur einer abelschen Gruppe ausgestattet. Doch wenn auf $X$ und $Y$
weitere Strukturen bekannt sind, lassen sie sich auch auf $\operatorname*{Hom}%
_{R}\left(  X,Y\right)  $ \"{u}bertragen:

\textbf{1.9}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{. Satz:}
\textbf{a)} Seien $R$ und $S$ Ringe. Sei $X$ ein $\left(  R,S\right)
$-Bimodul, und sei $Y$ ein $R$-Linksmodul. Auf der abelschen Gruppe
$\operatorname*{Hom}_{R}\left(  X,Y\right)  $ ist dann kanonisch eine
$S$-Linksmodulstruktur definiert durch%
\[
\left(  sf\right)  \left(  x\right)  =f\left(  xs\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }s\in S,\text{ }f\in\operatorname*{Hom}%
\nolimits_{R}\left(  X,Y\right)  \text{ und }x\in X.
\]


\textbf{b)} Seien $R$ und $T$ Ringe. Sei $X$ ein $R$-Linksmodul, und sei $Y$
ein $\left(  R,T\right)  $-Bimodul. Auf der abelschen Gruppe
$\operatorname*{Hom}_{R}\left(  X,Y\right)  $ ist dann kanonisch eine
$T$-Rechtsmodulstruktur definiert durch%
\[
\left(  ft\right)  \left(  x\right)  =f\left(  x\right)
t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }t\in T,\text{ }f\in
\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  X,Y\right)  \text{ und }x\in X.
\]


\textbf{c)} Seien $R,$ $S$ und $T$ Ringe. Sei $X$ ein $\left(  R,S\right)
$-Bimodul, und sei $Y$ ein $\left(  R,T\right)  $-Bimodul. Laut Satz
1.9$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{a)} und \textbf{b)} sind auf der
abelschen Gruppe $\operatorname*{Hom}_{R}\left(  X,Y\right)  $ eine
$S$-Linksmodulstruktur und eine $T$-Rechtsmodulstruktur gegeben. Diese zwei
Strukturen ergeben zusammen eine $\left(  S,T\right)  $-Bimodulstruktur.

(Diese Aussage kann man sich folgenderma\ss en veranschaulichen: Da $X$ ein
$\left(  R,S\right)  $-Bimodul ist, k\"{o}nnen wir $X$ als $_{R}X_{S}$
schreiben. Analog ist $Y=\left.  _{R}Y_{T}\right.  .$ Nun definiert Satz
1.9$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{c)} auf $\operatorname*{Hom}%
_{R}\left(  X,Y\right)  $ die Struktur eines $\left(  S,T\right)  $-Bimoduls;
wir k\"{o}nnen also $_{S}\left(  \operatorname*{Hom}_{R}\left(  X,Y\right)
\right)  _{T}$ schreiben. Satz 1.9$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{c)}
besagt also, anschaulich gesprochen,%
\[
\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  \left.  _{R}X_{S}\right.  ,\ \left.
_{R}Y_{T}\right.  \right)  =\left.  _{S}\left(  \operatorname*{Hom}%
\nolimits_{R}\left(  X,Y\right)  \right)  _{T}\right.  .
\]
Wir k\"{o}nnen uns also vorstellen, $\operatorname*{Hom}$ nehme bei den zwei
Argumenten $_{R}X_{S}$ und $_{R}Y_{T}$ die zwei linken $R$'s weg, aber das $S$
und das $T$ bleiben erhalten, und zwar bleibt das $S$ links und das $T$ rechts.)

Auf diese Weise k\"{o}nnen wir auf $\operatorname*{Hom}_{R}\left(  X,Y\right)
$ f\"{u}r zwei $R$-Linksmoduln $_{R}X$ und $_{R}Y$ Zusatzstrukturen
einf\"{u}hren, wenn wir auf $_{R}X$ und $_{R}Y$ welche kennen. Analog
k\"{o}nnen wir auch f\"{u}r zwei $R$-Rechtsmoduln $X_{R}$ und $Y_{R}$ mit
Zusatzstrukturen auch eine neue Struktur auf $\operatorname*{Hom}_{R}\left(
X,Y\right)  $ einf\"{u}hren. So behauptet das Analogon von Satz 1.9$\dfrac
{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{c)} f\"{u}r $R$-Rechtsmoduln, da\ss \ f\"{u}r je
drei Ringe $R,$ $S$ und $T,$ jeden $\left(  S,R\right)  $-Bimodul $X$ und
jeden $\left(  T,R\right)  $-Bimodul $Y$ eine kanonische $\left(  T,S\right)
$-Bimodulstruktur auf der abelschen Gruppe $\operatorname*{Hom}_{R}\left(
X,Y\right)  $ existiert. Anschaulich ausgedr\"{u}ckt hei\ss t dies
$\operatorname*{Hom}_{R}\left(  \left.  _{S}X_{R}\right.  ,\ \left.  _{T}%
Y_{R}\right.  \right)  =\left.  _{T}\left(  \operatorname*{Hom}_{R}\left(
X,Y\right)  \right)  _{S}\right.  .$

\textit{Bemerkung:} Strenggenommen m\"{u}ssten wir verschiedene Notationen
f\"{u}r "die Menge aller $R$-Linksmodulhomomorphismen aus einem $R$-Linksmodul
$X$ in einen $R$-Linksmodul $Y$" und "die Menge aller $R$%
-Rechtsmodulhomomorphismen aus einem $R$-Rechtsmodul $X$ in einen
$R$-Rechtsmodul $Y$" benutzen (anstatt beide Mengen mit $\operatorname*{Hom}%
\nolimits_{R}\left(  X,Y\right)  $ zu bezeichnen, wie wir es hier getan
haben), denn sonst kann es in gewissen Situationen passieren, da\ss \ die
Notation $\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  X,Y\right)  $ zweideutig ist
(und zwar ist sie dies genau dann, wenn $X$ und $Y$ beides $\left(
R,R\right)  $-Bimoduln sind - dann kann n\"{a}mlich $\operatorname*{Hom}%
\nolimits_{R}\left(  X,Y\right)  $ sowohl die Menge aller $R$%
-Linksmodulhomomorphismen von $X$ nach $Y$, als auch die Menge aller
$R$-Rechtsmodulhomomorphismen von $X$ nach $Y$ bedeuten). Doch wir wollen hier
darauf verzichten, da diese Art Situationen bei uns meistens nicht auftreten
(au\ss er im Falle, wenn $R$ kommutativ ist, und die $\left(  R,R\right)
$-Bimoduln symmetrisch sind\footnote{Ein $\left(  R,R\right)  $-Bimodul $M$
(f\"{u}r einen kommutativen Ring $R$) hei\ss t \textit{symmetrisch}, wenn er
$rm=mr$ f\"{u}r alle $m\in M$ und $r\in R$ erf\"{u}llt.} - aber in diesem
Falle sind $R$-Linksmodulhomomorphismen und $R$-Rechtsmodulhomomorphismen das
gleiche, und die zwei verschiedenen Bedeutungen von $\operatorname*{Hom}%
\nolimits_{R}\left(  X,Y\right)  $ sind gleich).

\bigskip

\fbox{\textbf{Algebren}}

Nun kommen wir zum Begriff einer Algebra \"{u}ber einem kommutativen Ring. Wir
stellen drei verschiedene Definitionen dieses Begriffes gegen\"{u}ber, die im
Wesentlichen \"{a}quivalent sind - d. h. sie definieren isomorphe Kategorien.
Um diese Begriffe dennoch voneinander zu unterscheiden, bezeichnen wir sie
vorl\"{a}ufig mit $k$-Algebra$_{1},$ $k$-Algebra$_{2}$ und $k$-Algebra$_{3}$
(auch wenn wir sp\"{a}ter sie wieder alle einfach als Algebren bezeichnen werden):

\textbf{Definition (Algebra}$_{1}$\textbf{)}: Sei $k$ ein kommutativer Ring.
Unter einer $k$-\textit{Algebra}$_{1}$ verstehen wir eine Menge $A$ mit einer
$k$-Modulstruktur und gleichzeitig mit einer Ringstruktur, wobei die Addition
im $k$-Modul $A$ und die Addition im Ring $A$ identisch sein sollen, und
f\"{u}r alle $\alpha\in k$ und $a,b\in A$ gelten soll: $\alpha\left(
ab\right)  =\left(  \alpha a\right)  \cdot b=a\cdot\left(  \alpha b\right)  .$

\textbf{Definition (Algebra}$_{2}$\textbf{):} Sei $k$ ein kommutativer Ring.
Unter einer $k$\textit{-Algebra}$_{2}$ verstehen wir ein Paar $\left(
A,\eta\right)  ,$ wobei $A$ ein Ring und $\eta:k\rightarrow A$ ein
Ringhomomorphismus ist, welcher $\operatorname{Im}\eta\subseteq Z\left(
A\right)  $ erf\"{u}llt. Dabei bezeichnen wir mit $Z\left(  A\right)  $ das
sogenannte \textit{Zentrum} des Ringes $A,$ definiert durch $Z\left(
A\right)  =\left\{  a\in A\mid\text{f\"{u}r alle }x\in A\text{ ist
}xa=ax\right\}  .$

\textbf{Definition (Algebra}$_{3}$\textbf{):} Sei $k$ ein kommutativer Ring.
Wir schreiben kurz $\otimes$ f\"{u}r $\otimes_{k}.$ Unter einer $k$%
\textit{-Algebra}$_{3}$ verstehen wir ein Tripel $\left(  A,\mu,\eta\right)
,$ wobei $A$ ein $k$-Modul ist, und $\mu:A\otimes A\rightarrow A$ und
$\eta:k\rightarrow A$ zwei $k$-lineare Abbildungen sind, f\"{u}r die folgende
drei Eigenschaften gelten:

\begin{itemize}
\item \textit{Assoziativit\"{a}t:} Das Diagramm
\begin{equation}
\xymatrix{ A\otimes A\otimes A \ar[r]^-{\mu\otimes\operatorname*{id}} \ar[d]_{\operatorname*{id}\otimes\mu} & A\otimes A \ar[d]^{\mu} \\ A\otimes A \ar[r]_{\mu} & A }
\tag{1.1}%
\end{equation}
ist kommutativ, wobei $\left(  A\otimes A\right)  \otimes A$ mit
$A\otimes\left(  A\otimes A\right)  $ identifiziert wird (wegen der
kanonischen Isomorphie $\left(  A\otimes A\right)  \otimes A\cong
A\otimes\left(  A\otimes A\right)  $).

\item \textit{Linke Eins:} Das Diagramm
\begin{equation}
\xymatrix{ k\otimes A \ar[r]^-{\eta\otimes\operatorname*{id}} \ar[d]^{\cong}_{\operatorname*{kan}} & A\otimes A \ar[ld]^{\mu} \\ A }
\tag{1.2}%
\end{equation}
ist kommutativ, wobei $\operatorname*{kan}:k\otimes A\rightarrow A$ der durch
$\operatorname*{kan}\left(  \lambda\otimes a\right)  =\lambda a$ f\"{u}r alle
$\lambda\in k$ und $a\in A$ definierte kanonische $k$-Modulisomorphismus ist.

\item \textit{Rechte Eins:} Das Diagramm
\begin{equation}
\xymatrix{ A\otimes k \ar[r]^-{\operatorname*{id}\otimes\eta} \ar[d]^{\cong}_{\operatorname*{kan}} & A\otimes A \ar[ld]^{\mu} \\ A }
\tag{1.3}%
\end{equation}
ist kommutativ, wobei $\operatorname*{kan}:A\otimes k\rightarrow A$ der durch
$\operatorname*{kan}\left(  a\otimes\lambda\right)  =\lambda a$ f\"{u}r alle
$\lambda\in k$ und $a\in A$ definierte kanonische $k$-Modulisomorphismus ist.
\end{itemize}

In den meisten elementaren Algebrakursen wird eine $k$-Algebra als eine
$k$-Algebra$_{1}$ definiert. Wir werden allerdings sp\"{a}ter sehen,
da\ss \ der Begriff der $k$-Algebra$_{3}$ eine "nat\"{u}rlichere" Definition
des $k$-Algebrabegriffes darstellt\footnote{Und zwar werden wir den Begriff
einer \textit{Coalgebra} kennenlernen, dessen Definition genau die Definition
einer Algebra$_{3},$ nur mit umgedrehten Pfeilen, ist.}. Nun zeigen wir
erstmal, da\ss \ die drei Begriffe $k$-Algebra$_{1},$ $k$-Algebra$_{2}$ und
$k$-Algebra$_{3}$ im Wesentlichen \"{a}quivalent sind; dies bedeutet
folgendes: F\"{u}r alle $i,j\in\left\{  1,2,3\right\}  $ kann man jede
$k$-Algebra$_{i}$ kanonisch als $k$-Algebra$_{j}$ auffassen (d. h. die
notwendige Struktur f\"{u}r eine $k$-Algebra$_{j}$ kanonisch hinzudefinieren);
wenn man diese $k$-Algebra$_{j}$ dann wieder als $k$-Algebra$_{i}$ betrachtet,
kommt wieder die urspr\"{u}ngliche $k$-Algebra$_{i}$ heraus.

\textit{Beweis:} \textbf{1)} F\"{u}r jede $k$-Algebra$_{1}$ $A$ gibt es einen
Ringhomomorphismus $\eta:k\rightarrow A,$ so da\ss \ $\left(  A,\eta\right)  $
eine $k$-Algebra$_{2}$ ist, und zus\"{a}tzlich eine $k$-lineare Abbildung
$\mu:A\otimes A\rightarrow A,$ so da\ss \ $\left(  A,\mu,\eta\right)  $ eine
$k$-Algebra$_{3}$ ist. In der Tat definiere man $\eta:k\rightarrow A$ durch
$\eta\left(  \alpha\right)  =\alpha\cdot1_{A}$ f\"{u}r alle $\alpha\in k,$ und
$\mu:A\otimes A\rightarrow A$ auf den reinen Tensoren durch $\mu\left(
a\otimes b\right)  =ab$ f\"{u}r alle $a,b\in A$\ \ \ \ \footnote{Dadurch
ergibt sich tats\"{a}chlich eine wohldefinierte $k$-lineare Abbildung $\mu$,
weil die Abbildung
\[
A\times A\rightarrow A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  a,b\right)  \mapsto ab
\]
tensoriell ist.}. (Tats\"{a}chlich ist dann $\eta$ ein
Ringhomomorphismus\footnote{denn $\eta\left(  1_{k}\right)  =1_{k}\cdot
1_{A}=1_{A}$, und f\"{u}r alle $\alpha\in k$ und $\beta\in k$ gilt%
\begin{align*}
\eta\left(  \alpha\beta\right)   &  =\alpha\beta\cdot1_{A}=\alpha
\underbrace{\beta\cdot\left(  1_{A}\cdot1_{A}\right)  }_{\substack{=1_{A}%
\cdot\left(  \beta1_{A}\right)  ,\\\text{denn }A\text{ ist }k\text{-Algebra}%
_{1}}}=\alpha\left(  1_{A}\cdot\left(  \beta1_{A}\right)  \right)
=\underbrace{\left(  \alpha1_{A}\right)  }_{=\eta\left(  \alpha\right)  }%
\cdot\underbrace{\left(  \beta1_{A}\right)  }_{=\eta\left(  \beta\right)
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }A\text{ ist }k\text{-Algebra}%
_{1}\right) \\
&  =\eta\left(  \alpha\right)  \cdot\eta\left(  \beta\right)
\end{align*}
} und erf\"{u}llt $\operatorname{Im}\eta\subseteq Z\left(  A\right)
\ \ \ \ $\footnote{denn f\"{u}r alle $\alpha\in k$ und $a\in A$ ist%
\begin{align*}
\eta\left(  \alpha\right)  \cdot a  &  =\left(  \alpha\cdot1_{A}\right)  \cdot
a=\alpha\left(  1_{A}\cdot a\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn
}A\text{ ist eine }k\text{-Algebra}_{1}\right) \\
&  =\alpha a
\end{align*}
und%
\begin{align*}
a\cdot\eta\left(  \alpha\right)   &  =a\cdot\left(  \alpha\cdot1_{A}\right)
=\alpha\left(  a\cdot1_{A}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn
}A\text{ ist eine }k\text{-Algebra}_{1}\right) \\
&  =\alpha a,
\end{align*}
also $\eta\left(  \alpha\right)  \cdot a=a\cdot\eta\left(  \alpha\right)  $},
und ferner sind $\eta$ und $\mu$ zwei $k$-lineare Abbildungen, und die
Diagramme (1.1), (1.2) und (1.3) kommutieren\footnote{Denn die
Kommutativit\"{a}t des Diagramms (1.1) ist \"{a}quivalent zur
Assoziativit\"{a}t der Multiplikation im Ring $A$ (denn die Kommutativit\"{a}t
des Diagramms (1.1) ist \"{a}quivalent dazu, da\ss \ $\mu\left(  \left(
\mu\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  v\right)  \right)  =\mu\left(
\left(  \operatorname*{id}\otimes\mu\right)  \left(  v\right)  \right)  $
f\"{u}r jeden Tensor $v\in A\otimes A\otimes A$ gilt; offensichtlich reicht es
aus, diese Gleichheit nur auf reinen Tensoren zu \"{u}berpr\"{u}fen, also nur
auf Tensoren $v$ der Form $v=a\otimes b\otimes c$ mit $a,b,c\in A$; doch in
diesem Fall ist%
\[
\mu\left(  \left(  \mu\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  v\right)
\right)  =\mu\left(  \left(  \mu\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
a\otimes b\otimes c\right)  \right)  =\mu\left(  \mu\left(  a\otimes b\right)
\otimes c\right)  =\mu\left(  ab\otimes c\right)  =\left(  ab\right)  c
\]
und%
\[
\mu\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\mu\right)  \left(  v\right)
\right)  =\mu\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\mu\right)  \left(
a\otimes b\otimes c\right)  \right)  =\mu\left(  a\otimes\mu\left(  b\otimes
c\right)  \right)  =\mu\left(  a\otimes bc\right)  =a\left(  bc\right)
\]
), die Kommutativit\"{a}t des Diagramms (1.2) ist \"{a}quivalent zu $\left(
\eta\left(  1_{k}\right)  \cdot a=a\text{ f\"{u}r alle }a\in A\right)  $ (was
aus $\eta\left(  1_{k}\right)  =1_{A}$ folgt), und die Kommutativit\"{a}t des
Diagramms (1.3) ist \"{a}quivalent zu $\left(  a\cdot\eta\left(  1_{k}\right)
=a\text{ f\"{u}r alle }a\in A\right)  $ (was wiederum aus $\eta\left(
1_{k}\right)  =1_{A}$ folgt).}.)

\textbf{2)} F\"{u}r jede $k$-Algebra$_{2}$ $\left(  A,\eta\right)  $ gibt es
eine $k$-Modulstruktur auf $A,$ soda\ss \ $A$ zusammen mit der gegebenen
Ringstruktur und dieser $k$-Modulstruktur eine $k$-Algebra$_{1}$ ist, und eine
$k$-lineare Abbildung $\mu:A\otimes A\rightarrow A,$ so da\ss \ $\left(
A,\mu,\eta\right)  $ eine $k$-Algebra$_{3}$ ist.

In der Tat definiert man die $k$-Modulstruktur auf $A$ durch $\alpha
a=\eta\left(  \alpha\right)  a$ f\"{u}r alle $\alpha\in k$ und $a\in
A$\ \ \ \ \footnote{Dies ist tats\"{a}chlich eine $k$-Modulstruktur auf $A,$
denn dies ist einfach diejenige $k$-Modulstruktur auf $A$, die sich
verm\"{o}ge dem Ringhomomorphismus $\eta:k\rightarrow A$ aus der kanonischen
$A$-Modulstruktur auf $A$ ergibt.}, und man definiert die $k$-lineare
Abbildung $\mu:A\otimes A\rightarrow A$ auf den reinen Tensoren durch
$\mu\left(  a\otimes b\right)  =ab$ f\"{u}r alle $a,b\in A$%
\ \ \ \ \footnote{Dadurch ergibt sich tats\"{a}chlich eine wohldefinierte
$k$-lineare Abbildung $\mu$, weil die Abbildung
\[
A\times A\rightarrow A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  a,b\right)  \mapsto ab
\]
tensoriell ist.}. (Tats\"{a}chlich gilt dann $\alpha\left(  ab\right)
=\left(  \alpha a\right)  \cdot b=a\cdot\left(  \alpha b\right)  $ f\"{u}r
alle $\alpha\in k$ und $a,b\in A$ \ \ \ \ \footnote{denn%
\begin{align*}
\alpha\left(  ab\right)   &  =\eta\left(  \alpha\right)  ab;\\
\left(  \alpha a\right)  \cdot b  &  =\left(  \eta\left(  \alpha\right)
a\right)  \cdot b=\eta\left(  \alpha\right)  ab;\\
a\cdot\left(  \alpha b\right)   &  =a\cdot\left(  \eta\left(  \alpha\right)
b\right)  =\underbrace{a\eta\left(  \alpha\right)  }_{\substack{=\eta\left(
\alpha\right)  a,\text{ da}\\\operatorname{Im}\eta\subseteq Z\left(  A\right)
}}b=\eta\left(  \alpha\right)  ab
\end{align*}
}, und ferner kommutieren die Diagramme (1.1), (1.2) und (1.3)
\ \ \ \ \footnote{Dies beweist man wie in \textbf{1)}.}.)

\textbf{3)} Jede $k$-Algebra$_{3}$ $\left(  A,\mu,\eta\right)  $ induziert
eine Ringstruktur auf $A$ so, da\ss \ $A$ zusammen mit dieser Ringstruktur und
der gegebenen $k$-Modulstruktur eine $k$-Algebra$_{1}$ ist; ferner ist
$\left(  A,\eta\right)  $ zusammen mit dieser Ringstruktur eine $k$%
-Algebra$_{2}.$

In der Tat definiert man die Ringstruktur auf $A$ wie folgt: Die
Multiplikation ist dabei durch%
\begin{equation}
A\times A\rightarrow A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  a,b\right)  \mapsto
\mu\left(  a\otimes b\right)  \tag{1.4}%
\end{equation}
gegeben, und die multiplikative Eins ist $\eta\left(  1\right)  .$ Dann ist
$A$ mit der Multiplikation (1.4) tats\"{a}chlich ein Ring\footnote{In der Tat
ist die Multiplikation (1.4) assoziativ (denn f\"{u}r alle $a,b,c\in A$ ist%
\begin{align*}
\left(  ab\right)  c  &  =\mu\left(  ab\otimes c\right)  =\mu\left(
\mu\left(  a\otimes b\right)  \otimes c\right)  =\mu\left(  \left(  \mu
\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  a\otimes b\otimes c\right)  \right)
=\underbrace{\left(  \mu\circ\left(  \mu\otimes\operatorname*{id}\right)
\right)  }_{\substack{=\mu\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes\mu\right)
,\text{ da das}\\\text{Diagramm (1.1) kommutiert}}}\left(  a\otimes b\otimes
c\right) \\
&  =\left(  \mu\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes\mu\right)  \right)
\left(  a\otimes b\otimes c\right)  =\mu\left(  \left(  \operatorname*{id}%
\otimes\mu\right)  \left(  a\otimes b\otimes c\right)  \right)  =\mu\left(
a\otimes\mu\left(  b\otimes c\right)  \right) \\
&  =\mu\left(  a\otimes bc\right)  =a\left(  bc\right)
\end{align*}
) und distributiv (denn f\"{u}r alle $a,b,c\in A$ ist%
\begin{align*}
\left(  a+b\right)  c  &  =\mu\left(  \left(  a+b\right)  \otimes c\right)
=\mu\left(  a\otimes c+b\otimes c\right)  =\mu\left(  a\otimes c\right)
+\mu\left(  b\otimes c\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }\mu\text{
linear ist}\right) \\
&  =ac+bc
\end{align*}
und analog $c\left(  a+b\right)  =ca+cb$), und $\eta\left(  1\right)  $ ist
tats\"{a}chlich das neutrale Element dieser Multiplikation (denn f\"{u}r alle
$a\in A$ gilt%
\[
\eta\left(  1\right)  a=\mu\left(  \eta\left(  1\right)  \otimes a\right)
=\mu\left(  \left(  \eta\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  1\otimes
a\right)  \right)  =\underbrace{\left(  \mu\circ\left(  \eta\otimes
\operatorname*{id}\right)  \right)  }_{\substack{=\operatorname*{kan}\text{,
da das Diagramm}\\\text{(1.2) kommutiert}}}\left(  1\otimes a\right)
=\operatorname*{kan}\left(  1\otimes a\right)  =a
\]
und%
\[
a\eta\left(  1\right)  =\mu\left(  a\otimes\eta\left(  1\right)  \right)
=\mu\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\eta\right)  \left(
a\otimes1\right)  \right)  =\underbrace{\left(  \mu\circ\left(
\operatorname*{id}\otimes\eta\right)  \right)  }%
_{\substack{=\operatorname*{kan}\text{, da das Diagramm}\\\text{(1.3)
kommutiert}}}\left(  a\otimes1\right)  =\operatorname*{kan}\left(
a\otimes1\right)  =a
\]
).}. Ferner ist\ $\eta$ ein Ringhomomorphismus\footnote{Dies zeigt man genauso
wie in \textbf{1)}, nachdem man festgestellt hat, da\ss \ $\eta\left(
\alpha\right)  =\alpha\cdot1_{A}$ f\"{u}r alle $\alpha\in k$ gilt (denn da
$\eta$ eine $k$-lineare Abbildung ist, gilt $\eta\left(  \alpha\right)
=\eta\left(  \alpha\cdot1\right)  =\alpha\eta\left(  1\right)  $, und wir
wissen $\eta\left(  1\right)  =1_{A}$).}, und es gilt\ $\operatorname{Im}%
\eta\subseteq Z\left(  A\right)  $\ \ \ \ \footnote{Dies zeigt man genauso wie
in \textbf{1)} unter Benutzung von $\eta\left(  \alpha\right)  =\alpha
\cdot1_{A}$ f\"{u}r alle $\alpha\in k$.}. Somit ist $\left(  A,\eta\right)  $
tats\"{a}chlich eine $k$-Algebra$_{2}.$ Man zeigt ebenfalls leicht,
da\ss \ $A$ zusammen mit der Ringstruktur und der gegebenen $k$-Modulstruktur
eine $k$-Algebra$_{1}$ ist (daf\"{u}r mu\ss \ man nur noch nachrechnen,
da\ss \ $\alpha\left(  ab\right)  =\left(  \alpha a\right)  \cdot
b=a\cdot\left(  \alpha b\right)  $ f\"{u}r alle $\alpha\in k$ und $a,b\in A$ ist).

Damit haben wir nachgewiesen, da\ss \ man f\"{u}r alle $i,j\in\left\{
1,2,3\right\}  $ aus jeder $k$-Algebra$_{i}$ kanonisch eine $k$-Algebra$_{j}$
erh\"{a}lt. Aus dem Beweis folgt relativ schnell, da\ss \ man, wenn man aus
dieser $k$-Algebra$_{j}$ dann wieder eine $k$-Algebra$_{i}$ erh\"{a}lt, damit
die urspr\"{u}ngliche $k$-Algebra$_{i}$ zur\"{u}ckgewinnt (der genauere Beweis
wird dem Leser \"{u}berlassen). $\blacksquare$

\textbf{Definition:} Nachdem wir jetzt gezeigt haben, da\ss \ $k$%
-Algebra$_{1},$ $k$-Algebra$_{2}$ und $k$-Algebra$_{3}$ eigentlich
\"{a}quivalente Begriffe sind, k\"{o}nnen wir in der Zukunft einfach von einer
$k$\textit{-Algebra} sprechen. Dabei definieren wir eine $k$\textit{-Algebra
}$A$ als eine $k$-Algebra$_{i}$ f\"{u}r irgendein $i\in\left\{  1,2,3\right\}
.$ Wir k\"{o}nnen diese $k$-Algebra $A$ dann automatisch als $k$-Algebra$_{j}$
f\"{u}r jedes $j\in\left\{  1,2,3\right\}  $ auffassen: Wenn wir z. B. von der
Multiplikation zweier Elemente von $A$ sprechen, fassen wir $A$ als
$k$-Algebra$_{1}$ oder $k$-Algebra$_{2}$ auf; wenn wir aber von der Abbildung
$\mu_{A}:A\otimes A\rightarrow A$ sprechen, betrachten wir $A$ als
$k$-Algebra$_{3}.$

Die Abbildung $\mu_{A}:A\otimes A\rightarrow A$ hei\ss t im \"{U}brigen die
\textit{Multiplikationsabbildung} der $k$-Algebra $A,$ und die Abbildung
$\eta_{A}:k\rightarrow A$ hei\ss t die \textit{Einsabbildung} der $k$-Algebra
$A.$

\textbf{1.10. Bemerkung:} Standardbeispiele f\"{u}r $k$-Algebren sind
$\operatorname*{M}_{n}\left(  k\right)  $ f\"{u}r $n\in\mathbb{N}$ und,
allgemeiner, $\operatorname*{End}_{k}V,$ wobei $V$ ein $k$-Modul ist. (Siehe
dazu Lineare Algebra.)

Auf dem kommutativen Ring $k$ selber ist eine kanonische $k$-Algebrastruktur
festgelegt: Als $k$-Algebra$_{1}$ ergibt sich diese Struktur aus der
kanonischen $k$-Modulstruktur auf $k$ und der vorgegebenen Ringstruktur auf
$k.$

\textbf{Definition:} Sei $k$ ein kommutativer Ring, und seien $A$ und $B$ zwei
$k$-Algebren. Wir schreiben wieder $\otimes$ f\"{u}r $\otimes_{k}.$ Dann gibt
es auf dem $k$-Modul $A\otimes B$ genau eine Struktur einer $k$-Algebra,
welche%
\[
\left(  a\otimes b\right)  \cdot\left(  a^{\prime}\otimes b^{\prime}\right)
=\left(  aa^{\prime}\right)  \otimes\left(  bb^{\prime}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }a,a^{\prime}\in A\text{ und
}b,b^{\prime}\in B
\]
erf\"{u}llt. Mit anderen Worten, der $k$-Modul $A\otimes B$ wird durch
komponentenweise Multiplikation eindeutig zur $k$-Algebra. Das Einselement
dieser $k$-Algebra ist $1_{A}\otimes1_{B}.$

\textbf{1.11. Proposition:} Obige Definition ist korrekt, d. h. es gibt
tats\"{a}chlich genau eine Struktur einer $k$-Algebra auf $A\otimes B$, welche%
\[
\left(  a\otimes b\right)  \cdot\left(  a^{\prime}\otimes b^{\prime}\right)
=\left(  aa^{\prime}\right)  \otimes\left(  bb^{\prime}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }a,a^{\prime}\in A\text{ und
}b,b^{\prime}\in B
\]
erf\"{u}llt, und das Einselement dieser $k$-Algebra ist $1_{A}\otimes1_{B}.$

\textit{Beweis:} Die Eindeutigkeit ist offensichtlich (denn durch Festlegung
der Multiplikation auf reinen Tensoren ist sie auf allen Tensoren festgelegt,
weil sich jeder Tensor als $k$-Linearkombination reiner Tensoren schreiben
l\"{a}\ss t). Die Existenz der $k$-Algebrastruktur zeigen wir wie folgt:

Seien $\mu_{A}:A\otimes A\rightarrow A$ und $\mu_{B}:B\otimes B\rightarrow B$
die kanonischen $k$-linearen Abbildungen, die entstehen, wenn man die Algebren
$A$ und $B$ als $k$-Algebren$_{3}$ auffasst (also $\mu_{A}\left(  a\otimes
a^{\prime}\right)  =aa^{\prime}$ f\"{u}r alle $a,a^{\prime}\in A$ und $\mu
_{B}\left(  b\otimes b^{\prime}\right)  =bb^{\prime}$ f\"{u}r alle
$b,b^{\prime}\in B$). Sei $\tau:B\otimes A\rightarrow A\otimes B$ der
kanonische $k$-Modulhomomorphismus, der durch $\tau\left(  b\otimes a\right)
=a\otimes b$ f\"{u}r alle $a\in A$ und $b\in B$ definiert ist (dieses $\tau$
existiert nur dank der Kommutativit\"{a}t von $k$ !). Wir definieren eine
$k$-lineare Abbildung $\mu:\left(  A\otimes B\right)  \otimes\left(  A\otimes
B\right)  \rightarrow A\otimes B$ durch folgendes kommutatives Diagramm:%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
\left(A\otimes B\right)\otimes\left(A\otimes B\right) \ar[r]^-{=} \ar[rrd]_{\mu} & A\otimes B\otimes A\otimes B \ar[r]^{\operatorname*{id}\otimes\tau\otimes\operatorname*{id}}_-{\cong} & A\otimes A\otimes B\otimes B \ar[d]^{\mu_A\otimes\mu_B} \\
& & A\otimes B
}.
\]
Dann sieht man leicht ein, da\ss
\[
\mu\left(  \left(  a\otimes b\right)  \otimes\left(  a^{\prime}\otimes
b^{\prime}\right)  \right)  =\left(  aa^{\prime}\right)  \otimes\left(
bb^{\prime}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }a,a^{\prime}\in
A\text{ und }b,b^{\prime}\in B
\]
ist\footnote{denn wegen $\mu=\left(  \mu_{A}\otimes\mu_{B}\right)
\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes\tau\otimes\operatorname*{id}\right)  $
ist%
\begin{align*}
\mu\left(  \left(  a\otimes b\right)  \otimes\left(  a^{\prime}\otimes
b^{\prime}\right)  \right)   &  =\left(  \mu_{A}\otimes\mu_{B}\right)  \left(
\underbrace{\left(  \operatorname*{id}\otimes\tau\otimes\operatorname*{id}%
\right)  \left(  \left(  a\otimes b\right)  \otimes\left(  a^{\prime}\otimes
b^{\prime}\right)  \right)  }_{=a\otimes\tau\left(  b\otimes a^{\prime
}\right)  \otimes b^{\prime}}\right)  =\left(  \mu_{A}\otimes\mu_{B}\right)
\left(  a\otimes\underbrace{\tau\left(  b\otimes a^{\prime}\right)
}_{=a^{\prime}\otimes b}\otimes b^{\prime}\right) \\
&  =\left(  \mu_{A}\otimes\mu_{B}\right)  \left(  a\otimes a^{\prime}\otimes
b\otimes b^{\prime}\right)  =\underbrace{\mu_{A}\left(  a\otimes a^{\prime
}\right)  }_{=aa^{\prime}}\otimes\underbrace{\mu_{B}\left(  b\otimes
b^{\prime}\right)  }_{=bb^{\prime}}=\left(  aa^{\prime}\right)  \otimes\left(
bb^{\prime}\right)
\end{align*}
}. Ferner legen wir eine $k$-lineare Abbildung $\eta:k\rightarrow A\otimes B$
durch $\eta\left(  1\right)  =1_{A}\otimes1_{B}$ fest. Dann l\"{a}\ss t sich
unschwer nachrechnen, da\ss \ der $\left(  A\otimes B,\mu,\eta\right)  $ eine
$k$-Algebra$_{3}$ ist. Damit wird $A\otimes B$ zu einer $k$-Algebra$_{1}$ mit
der Multiplikation%
\[
\left(  a\otimes b\right)  \cdot\left(  a^{\prime}\otimes b^{\prime}\right)
=\left(  aa^{\prime}\right)  \otimes\left(  bb^{\prime}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }a,a^{\prime}\in A\text{ und
}b,b^{\prime}\in B.
\]
Damit ist die Existenz der gew\"{u}nschten $k$-Algebrastruktur gezeigt; aus
diesem Argument folgt gleichzeitig, da\ss \ das Einselement dieser $k$-Algebra
$1_{A}\otimes1_{B}$ ist.

\textbf{1.11}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{.} Nachdem
wir oben drei verschiedene, aber \"{a}quivalente Begriffe einer $k$-Algebra
definiert haben, k\"{o}nnen wir f\"{u}r jeden dieser Begriffe eine
entsprechende Definition eines $k$\textit{-Algebrahomomorphismus} geben:

\textbf{Definition (Algebrahomomorphismus)}: Sei $k$ ein kommutativer Ring,
und $A$ und $B$ zwei $k$-Algebren. Sei $\varphi:A\rightarrow B$ eine Abbildung
(von Mengen).

\textbf{a)} Angenommen, die Algebren $A$ und $B$ sind als $k$-Algebren$_{1}$
gegeben, d. h. als Ringe und $k$-Moduln. Dann hei\ss t $\varphi$ genau dann
ein $k$\textit{-Algebrahomomorphismus}, wenn $\varphi$ ein Ringhomomorphismus
zwischen den Ringen $A$ und $B$ und gleichzeitig ein $k$-linearer
Homomorphismus zwischen den $k$-Moduln $A$ und $B$ ist.

\textbf{b)} Angenommen, die Algebren $A$ und $B$ sind als $k$-Algebren$_{2}$
gegeben, also als Ringe zusammen mit Ringhomomorphismen $\eta_{A}:k\rightarrow
A$ und $\eta_{B}:k\rightarrow B.$ Dann hei\ss t $\varphi$ genau dann ein
$k$\textit{-Algebrahomomorphismus}, wenn $\varphi$ ein Ringhomomorphismus
zwischen den Ringen $A$ und $B$ ist, und das Diagramm
\[
\xymatrix{
A \ar[r]^{\varphi} & B \\
k \ar[u]^{\eta_A} \ar[ur]_{\eta_B}
}
\]
kommutiert.

\textbf{c)} Angenommen, die Algebren $A$ und $B$ sind als $k$-Algebren$_{3}$
gegeben, also als $k$-Moduln zusammen mit $k$-Modulhomomorphismen $\mu
_{A}:A\otimes A\rightarrow A,$ $\eta_{A}:k\rightarrow A,$ $\mu_{B}:B\otimes
B\rightarrow B$ und $\eta_{B}:k\rightarrow B.$ Dann hei\ss t $\varphi$ genau
dann ein $k$\textit{-Algebrahomomorphismus}, wenn $\varphi$ ein $k$-linearer
Homomorphismus zwischen den $k$-Moduln $A$ und $B$ ist, und folgende zwei
Diagramme kommutieren:
\[
\xymatrix{
A\otimes A \ar[r]^-{\varphi\otimes\varphi} \ar[d]_{\mu_A} & B\otimes B \ar[d]^{\mu_B} \\
A \ar[r]_{\varphi} & B
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xymatrix{
A \ar[r]^{\varphi} & B \\
k \ar[u]^{\eta_A} \ar[ur]_{\eta_B}
}
\]


Diese drei Definitionen von $k$-Algebrahomomorphismus sind \"{a}quivalent, wie
man leicht einsieht.

\textbf{1.12. Bemerkung:} Seien $A,$ $A^{\prime},$ $B,$ $B^{\prime}$ vier
$k$-Algebren und $\varphi:A\rightarrow A^{\prime}$ und $\psi:B\rightarrow
B^{\prime}$ zwei $k$-Algebrahomomorphismen. Dann ist $\varphi\otimes
\psi:A\otimes B\rightarrow A^{\prime}\otimes B^{\prime}$ ebenfalls ein $k$-Algebrahomomorphismus.

Nun werden wir sogenannte \textit{Monoidalgebren} einf\"{u}hren, eine
Verallgemeinerung des bekannten Begriffes einer \textit{Gruppenalgebra}. Wir
werden dabei Monoide immer multiplikativ schreiben, wenn nicht explizit anders
gesagt. Monoide haben bei uns au\ss erdem immer eine Eins.

\textbf{Definition:} Sei $k$ ein kommutativer Ring, und sei $G$ ein Monoid (d.
h. eine Menge mit einer assoziativen Verkn\"{u}pfung mit einem neutralen
Element). Sei $kG$ der freie $k$-Modul mit Basis $G$. (Wir haben diesen freien
$k$-Modul fr\"{u}her mit $k^{\left(  G\right)  }$ bezeichnet, aber hier nennen
wir ihn $kG$.) Wir bezeichnen mit $k\left[  G\right]  $ die $k$-Algebra, die
entsteht, wenn wir auf $kG$ eine Multiplikation durch $g\cdot_{k\left[
G\right]  }h=g\cdot_{G}h$ f\"{u}r alle $g,h\in G$ definieren (das hei\ss t,
wir definieren die Multiplikationsabbildung $\mu:\left(  kG\right)
\otimes_{k}\left(  kG\right)  \rightarrow kG$ durch $\mu\left(  g\otimes
h\right)  =g\cdot_{G}h$ auf der Basis $\left\{  g\otimes h\ \mid\ g,h\in
G\right\}  $ von $\left(  kG\right)  \otimes_{k}\left(  kG\right)  ,$ und
setzen sie $k$-linear fort), und eine multiplikative Eins durch $1_{k\left[
G\right]  }=1_{G}$ definieren (das hei\ss t, die Eins von $k\left[  G\right]
$ soll einfach die Eins des Monoids $G$ sein). Diese $k$-Algebra auf $kG$
hei\ss t $k$-\textit{Monoidalgebra von }$G$ und wird mit $k\left[  G\right]  $
bezeichnet.\footnote{Manchmal schreibt man auch $kG$ statt $k\left[  G\right]
.$} Falls $G$ eine Gruppe ist, nennt man $k\left[  G\right]  $ auch die
$k$\textit{-Gruppenalgebra von }$G.$

\textit{Warnung:} Ist das Monoid $G$ additiv und nicht multiplikativ
geschrieben, dann gilt $g\cdot_{k\left[  G\right]  }h=g+_{G}h$ statt
$g\cdot_{k\left[  G\right]  }h=g\cdot_{G}h.$ Die Addition auf $G$ ist also die
Multiplikation in $k\left[  G\right]  ,$ nicht zu verwechseln mit der Addition
in $k\left[  G\right]  $ ! (Aus diesem Grund ist es ratsam, additive Monoide
erst multiplikativ umzuschreiben, bevor man ihre $k$-Monoidalgebra bildet.)

\textbf{1.13. Bemerkung:} Sei $k$ ein kommutativer Ring, und sei $G$ ein
Monoid. Dann erf\"{u}llen die Monoidalgebra $k\left[  G\right]  $ und die
kanonische Inklusion $i:G\rightarrow k\left[  G\right]  $ (gegeben durch
$i\left(  g\right)  =g$ f\"{u}r alle $g\in G$) die sogenannte
\textit{universelle Eigenschaft der Monoidalgebra}:

F\"{u}r jede $k$-Algebra $A$ und f\"{u}r jeden Monoidhomomorphismus
$\varphi:G\rightarrow A$ (wobei die Multiplikation auf $A$ kanonisch $A$ zu
einem Monoid mit Einselement $1_{A}$ macht) gibt es genau einen $k$%
-Algebrahomomorphismus $f:k\left[  G\right]  \rightarrow A,$ so da\ss \ das
Diagramm%
\[
\xymatrix{
G \ar[r]^{\varphi} \ar[d]_{i} & A \\
k\left[G\right] \ar@{.>}[ru]_{f}
}
\]
kommutativ ist.

\textit{Beweis:} \textit{Existenz von }$f$\textit{:} Da $k\left[  G\right]  $
als $k$-Modul einfach der freie $k$-Modul mit Basis $G$ ist, l\"{a}\ss t sich
jedes Element von $k\left[  G\right]  $ eindeutig in der Form $\sum
\limits_{g\in G}\alpha_{g}g$ schreiben, wobei $\left(  \alpha_{g}\right)
_{g\in G}\in k^{G}$ ist, und $\alpha_{g}\neq0$ nur f\"{u}r endlich viele $g\in
G$ gilt.

Wir definieren eine Abbildung $f:k\left[  G\right]  \rightarrow A$ durch
$f\left(  \sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}g\right)  =\sum\limits_{g\in G}%
\alpha_{g}\varphi\left(  g\right)  $ f\"{u}r jedes $\left(  \alpha_{g}\right)
_{g\in G}\in k^{G}$, f\"{u}r welches $\alpha_{g}\neq0$ nur f\"{u}r endlich
viele $g\in G$ gilt. Es ist klar, da\ss \ diese Abbildung $f$ ein
$k$-Modulhomomorphismus ist. Ferner ist%
\[
f\left(  1_{k\left[  G\right]  }\right)  =f\left(  1_{G}\right)  =f\left(
1\cdot1_{G}\right)  =1\cdot\varphi\left(  1_{G}\right)  =\varphi\left(
1_{G}\right)  =1_{A}%
\]
(denn $\varphi$ ist ein Monoidhomomorphismus), und f\"{u}r alle $\sum
\limits_{g\in G}\alpha_{g}g\in k\left[  G\right]  $ und $\sum\limits_{g\in
G}\beta_{g}g\in k\left[  G\right]  $ ist%
\begin{align*}
\left(  \sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}g\right)  \cdot\left(  \sum\limits_{g\in
G}\beta_{g}g\right)   &  =\left(  \sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}g\right)
\cdot\left(  \sum\limits_{h\in G}\beta_{h}h\right)  =\sum\limits_{g\in G}%
\sum\limits_{h\in G}\alpha_{g}\beta_{h}gh\\
&  =\sum_{n\in G}\left(  \sum_{\substack{\left(  g,h\right)  \in G^{2}%
;\\gh=n}}\alpha_{g}\beta_{h}\right)  n=\sum_{g\in G}\left(  \sum
_{\substack{\left(  u,v\right)  \in G^{2};\\uv=g}}\alpha_{u}\beta_{v}\right)
g
\end{align*}
und somit%
\begin{align*}
&  f\left(  \left(  \sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}g\right)  \cdot\left(
\sum\limits_{g\in G}\beta_{g}g\right)  \right) \\
&  =f\left(  \sum_{g\in G}\left(  \sum_{\substack{\left(  u,v\right)  \in
G^{2};\\uv=g}}\alpha_{u}\beta_{v}\right)  g\right)  =\sum_{g\in G}\left(
\sum_{\substack{\left(  u,v\right)  \in G^{2};\\uv=g}}\alpha_{u}\beta
_{v}\right)  \varphi\left(  g\right) \\
&  =\sum_{g\in G}\sum_{\substack{\left(  u,v\right)  \in G^{2};\\uv=g}}\left(
\alpha_{u}\beta_{v}\underbrace{\varphi\left(  g\right)  }_{=\varphi\left(
uv\right)  ,\text{ da }uv=g}\right)  =\sum_{g\in G}\sum_{\substack{\left(
u,v\right)  \in G^{2};\\uv=g}}\left(  \alpha_{u}\beta_{v}\underbrace{\varphi
\left(  uv\right)  }_{\substack{=\varphi\left(  u\right)  \varphi\left(
v\right)  \text{, denn }\varphi\text{ ist}\\\text{ein Monoidhomomorphismus}%
}}\right) \\
&  =\sum_{g\in G}\sum_{\substack{\left(  u,v\right)  \in G^{2};\\uv=g}}\left(
\alpha_{u}\beta_{v}\varphi\left(  u\right)  \varphi\left(  v\right)  \right)
=\sum_{\left(  u,v\right)  \in G^{2}}\alpha_{u}\beta_{v}\varphi\left(
u\right)  \varphi\left(  v\right) \\
&  =\left(  \sum_{u\in G}\alpha_{u}\varphi\left(  u\right)  \right)
\cdot\left(  \sum_{v\in G}\beta_{v}\varphi\left(  v\right)  \right)  =\left(
\sum_{g\in G}\alpha_{g}\varphi\left(  g\right)  \right)  \cdot\left(
\sum_{g\in G}\beta_{g}\varphi\left(  g\right)  \right) \\
&  =f\left(  \sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}g\right)  \cdot f\left(
\sum\limits_{g\in G}\beta_{g}g\right)  .
\end{align*}
Daher ist $f$ ein $k$-Algebrahomomorphismus. Das Diagramm%
\[
\xymatrix{
G \ar[r]^{\varphi} \ar[d]_{i} & A \\
k\left[G\right] \ar@{.>}[ru]_{f}
}
\]
kommutiert, da $f\left(  i\left(  g\right)  \right)  =f\left(  g\right)
=f\left(  1g\right)  =1\varphi\left(  g\right)  =\varphi\left(  g\right)  $
f\"{u}r jedes $g\in G$ ist. Somit ist die Existenz von $f$ bewiesen.

\textit{Eindeutigkeit von }$f$\textit{:} Jeder $k$-Algebrahomomorphismus
$f:k\left[  G\right]  \rightarrow A,$ f\"{u}r den\ das Diagramm%
\[
\xymatrix{
G \ar[r]^{\varphi} \ar[d]_{i} & A \\
k\left[G\right] \ar@{.>}[ru]_{f}
}
\]
kommutativ ist, erf\"{u}llt $f\left(  \sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}g\right)
=\sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}\varphi\left(  g\right)  $ f\"{u}r jedes
$\left(  \alpha_{g}\right)  _{g\in G}\in k^{G}$, f\"{u}r welches $\alpha
_{g}\neq0$ nur f\"{u}r endlich viele $g\in G$ gilt\footnote{Denn da $f$ eine
$k$-lineare Abbildung ist, ist
\[
f\left(  \sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}g\right)  =\sum\limits_{g\in G}%
\alpha_{g}f\left(  \underbrace{g}_{=i\left(  g\right)  }\right)
=\sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}\underbrace{f\left(  i\left(  g\right)
\right)  }_{\substack{=\varphi\left(  g\right)  \text{, wegen dem}%
\\\text{kommutativen Diagramm}}}=\sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}\varphi\left(
g\right)  .
\]
}. Somit ist der Wert von $f$ auf jedem Element von $k\left[  G\right]  $
eindeutig gegeben, und damit ist die Eindeutigkeit von $f$ gezeigt.

Damit ist Bemerkung 1.13. bewiesen.

\textbf{Beispiele:} Wir wollen kurz zwei bekannte Spezialf\"{a}lle von
Monoidalgebren erw\"{a}hnen, n\"{a}mlich Polynomalgebren und freie Algebren:

\textbf{1)} Sei $G$ das \textit{additive} Monoid $\mathbb{N}^{n}.$ Dann ist
die $k$-Monoidalgebra $k\left[  G\right]  $ kanonisch isomorph (als
$k$-Algebra) zu $k\left[  X_{1},X_{2},...,X_{n}\right]  ,$ der (kommutativen)
Polynomalgebra \"{u}ber $k$ in $n$ Unbestimmten $X_{1},$ $X_{2},$ $...,$
$X_{n}.$ Bei dieser Isomorphie geht jedes $\left(  i_{1},i_{2},...,i_{n}%
\right)  \in\mathbb{N}^{n}$ in $X_{1}^{i_{1}}X_{2}^{i_{2}}...X_{n}^{i_{n}}$ \"{u}ber.

\textbf{2)} Sei $X=\left\{  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right\}  $ eine Menge, wobei
$x_{1},$ $x_{2},$ $...,$ $x_{n}$ paarweise verschiedene Elemente sein sollen.
Dann k\"{o}nnen wir das sogenannte \textit{freie Monoid der Menge }$X$
definieren als%
\[
\left\{  \text{alle formalen W\"{o}rter }x_{i_{1}}x_{i_{2}}...x_{i_{m}}\text{
im Alphabet }X\text{ mit }m\geq0\text{ und }i_{1},i_{2},...,i_{m}\in\left\{
1,2,...,n\right\}  \right\}  ;
\]
die Multiplikation auf diesem Monoid werde durch Hintereinanderschreiben von
W\"{o}rtern gegeben, und die Eins soll das leere Wort $\left(  {}\right)  $
sein. Dieses Monoid nennen wir $\left\langle X\right\rangle .$

Dann ist $k\left[  \left\langle X\right\rangle \right]  $ die sogenannte
\textit{freie }$k$\textit{-Algebra in den Unbestimmen} $x_{1},$ $x_{2},$
$...,$ $x_{n};$ man bezeichnet diese $k$-Algebra auch mit $k\left\langle
x_{1},x_{2},...,x_{n}\right\rangle $ oder mit $k\left\langle X\right\rangle .$
Diese freie $k$-Algebra $k\left[  \left\langle X\right\rangle \right]  $ hat
folgende universelle Eigenschaft:

F\"{u}r jede $k$-Algebra $A$ und beliebige Elemente $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$
$a_{n}$ von $A$ gibt es genau einen $k$-Algebrahomomorphismus $f:k\left[
\left\langle X\right\rangle \right]  \rightarrow A,$ der $f\left(
x_{i}\right)  =a_{i}$ f\"{u}r alle $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ erf\"{u}llt.

Mit anderen Worten: F\"{u}r jede $k$-Algebra $A$ und jede Abbildung
$\varphi:X\rightarrow A$ gibt es genau einen $k$-Algebrahomomorphismus
$f:k\left[  \left\langle X\right\rangle \right]  \rightarrow A$ so,
da\ss \ das Diagramm%
\[
\xymatrix{
X \ar[r]^{\varphi} \ar[d]_{i} & A \\
k\left[\left<X\right>\right] \ar@{.>}[ru]_{f}
}
\]
kommutativ ist, wobei $i:X\rightarrow k\left[  \left\langle X\right\rangle
\right]  $ die kanonische Inklusion (gegeben durch $i\left(  x\right)  =x$
f\"{u}r alle $x\in X$) ist.

Dies alles l\"{a}\ss t sich auch auf unendliche Mengen $X$ erweitern.

\textbf{1.14. Bemerkung:} Sei $k$ ein kommutativer Ring, und sei $A$ eine
$k$-Algebra. Unter einem \textit{Ideal} (oder auch \textit{zweiseitigen
Ideal}) von $A$ verstehen wir eine Teilmenge $I\subseteq A,$ die $x+y\in I,$
$ax\in I$ und $xa\in I$ f\"{u}r alle $x,y\in I$ und $a\in A$
erf\"{u}llt.\footnote{Wir benutzen hier und im Folgenden das Wort "Ideal" als
Synonym f\"{u}r "zweiseitiges Ideal". Linksideale sind daher im Allgemeinen
keine Ideale, und Rechtsideale genausowenig.} Offensichtlich ist jedes Ideal
von $A$ auch ein $k$-Untermodul von $A$.

Sei $I$ ein Ideal von $A.$ Dann ist auf der Menge $A\diagup I$ kanonisch eine
$k$-Algebrastruktur definiert (durch $\overline{a}+\overline{b}=\overline
{a+b}$ f\"{u}r alle $a,b\in A,$ ferner $\lambda\overline{a}=\overline{\lambda
a}$ f\"{u}r alle $\lambda\in k$ und $a\in A,$ und $\overline{a}\cdot
\overline{b}=\overline{ab}$ f\"{u}r alle $a,b\in A$). Diese $k$-Algebra
$A\diagup I$ hei\ss t \textit{Faktoralgebra} (oder auch
\textit{Quotientenalgebra}) der $k$-Algebra $A$ modulo dem Ideal $I.$

Die kanonische Abbildung $\operatorname*{kan}:A\rightarrow A\diagup I,$
$a\mapsto\overline{a}$ ist dann ein $k$-Algebrahomomorphismus und hat folgende
universelle Eigenschaft (die sogenannte \textit{universelle Eigenschaft der
Faktoralgebra}):

F\"{u}r jede $k$-Algebra $B$ und jeden $k$-Algebrahomomorphismus
$\varphi:A\rightarrow B$ mit $\varphi\left(  I\right)  =0$ gibt es genau einen
$k$-Algebrahomomorphismus $f:A\diagup I\rightarrow B,$ f\"{u}r den das
Diagramm%
\[
\xymatrix{
A \ar[r]^{\varphi} \ar[d]_{\operatorname*{kan}} & B \\
A\slash I \ar@{.>}[ru]_{f} &
}
\]
kommutiert.

\textbf{Beispiel:} Oft interessieren uns nicht freie $k$-Algebren selber,
sondern ihre Quotienten. F\"{u}r solche hat sich die Bezeichnung
"\textit{Algebren mit Erzeugern und Relationen}" etabliert. Wir definieren sie
(nicht ganz formal) wie folgt:

Sei $X=\left\{  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right\}  $ eine Menge. Seien $u_{1},$
$u_{2},$ $...,$ $u_{k},$ $v_{1},$ $v_{2},$ $...,$ $v_{k}$ Elemente von
$k\left\langle X\right\rangle $ (siehe 1.13., Beispiel \textbf{2)} f\"{u}r die
Definition der $k$-Algebra $k\left\langle X\right\rangle $). Dann bezeichnen
wir die Faktor-$k$-Algebra $k\left\langle X\right\rangle \diagup\left(
u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2},...,u_{k}-v_{k}\right)  $ auch als%
\[
k\left\langle x_{1},x_{2},...,x_{n}\mid u_{1}=v_{1},\ u_{2}=v_{2}%
,\ ...,\ u_{k}=v_{k}\right\rangle ,
\]
und nennen sie die $k$\textit{-Algebra mit den Erzeugern }$x_{1},$ $x_{2},$
$...,$ $x_{n}$ \textit{und den Relationen }$u_{1}=v_{1},$ $u_{2}=v_{2},$
$...,$ $u_{k}=v_{k}.$ Dabei werden wir oft unsauber arbeiten, und die Elemente
$\overline{x_{1}},$ $\overline{x_{2}},$ $...,$ $\overline{x_{n}}$ der
$k$-Algebra
\[
k\left\langle x_{1},x_{2},...,x_{n}\mid u_{1}=v_{1},\ u_{2}=v_{2}%
,\ ...,\ u_{k}=v_{k}\right\rangle =k\left\langle X\right\rangle \diagup\left(
u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2},...,u_{k}-v_{k}\right)
\]
mit $x_{1},$ $x_{2},$ $...,$ $x_{n}$ bezeichnen (genauso wie die Elemente
$x_{1},$ $x_{2},$ $...,$ $x_{n}$ der $k$-Algebra $k\left\langle X\right\rangle
$). Der Vorteil dieser Notation ist, da\ss \ dann die Relationen $u_{1}%
=v_{1},$ $u_{2}=v_{2},$ $...,$ $u_{k}=v_{k}$ wirklich \textit{gelten},
zumindest wenn man $u_{1},$ $u_{2},$ $...,$ $u_{k},$ $v_{1},$ $v_{2},$ $...,$
$v_{k}$ als Terme mit Variablen $x_{1},$ $x_{2},$ $...,$ $x_{n}$ deutet und
diese Variablen $x_{1},$ $x_{2},$ $...,$ $x_{n}$ als "Abk\"{u}rzungen" f\"{u}r
$\overline{x_{1}},$ $\overline{x_{2}},$ $...,$ $\overline{x_{n}}$ versteht.
Der Nachteil dieser Notation ist, da\ss \ sie uneindeutig ist - entweder
d\"{u}rfen wir dann nicht mehr von $k\left\langle X\right\rangle $ sprechen
und m\"{u}ssen nur noch in der Faktor-$k$-Algebra $k\left\langle x_{1}%
,x_{2},...,x_{n}\mid u_{1}=v_{1},\ u_{2}=v_{2},\ ...,\ u_{k}=v_{k}%
\right\rangle $ rechnen, oder wir m\"{u}ssen bei jeder Formel, in der auch nur
einer der Terme $x_{1},$ $x_{2},$ $...,$ $x_{n},$ $u_{1},$ $u_{2},$ $...,$
$u_{k},$ $v_{1},$ $v_{2},$ $...,$ $v_{k}$ vorkommt, spezifizieren, ob sie in
$k\left\langle X\right\rangle $ oder in $k\left\langle x_{1},x_{2}%
,...,x_{n}\mid u_{1}=v_{1},\ u_{2}=v_{2},\ ...,\ u_{k}=v_{k}\right\rangle $
gemeint ist.

\bigskip

\fbox{\textbf{Kategorien und Funktoren}}

Wir werden jetzt eine kurze Einf\"{u}hrung in die Sprache der
Kategorientheorie geben. Dabei halten wir uns nicht lange mit technischen
Details auf (und Kategorientheorie besteht zum gr\"{o}\ss ten Teil aus
Technik), sondern f\"{u}hren nur die Begriffe ein, die wir im Folgenden auch
gebrauchen werden.

\textbf{Definition (Kategorie):} Angenommen, wir haben folgende Daten gegeben:

\textit{1.} Eine Klasse\footnote{"Klasse" ist eine Verallgemeinerung des
Begriffes "Menge". So k\"{o}nnen wir von der "Klasse aller Mengen" oder der
"Klasse aller Vektorr\"{a}ume" sprechen, w\"{a}hrend es keine Menge aller
Mengen oder Menge aller Vektorr\"{a}ume gibt. Wir werden uns allerdings nicht
mit mengentheoretischen Details besch\"{a}ftigen; in den \textit{meisten}
F\"{a}llen, wo wir Kategorien verwenden werden, k\"{o}nnen wir unsere
Resultate und Beweise so umformulieren, da\ss \ wir keine Klassen mehr
n\"{o}tig haben.}, genannt $\operatorname*{Ob}\mathcal{C}.$

\textit{2.} F\"{u}r je zwei Elemente $X,Y\in\operatorname*{Ob}\mathcal{C}$
eine Menge, genannt $\mathcal{C}\left(  X,Y\right)  .$

\textit{3.} F\"{u}r je drei Elemente $X,Y,Z\in\operatorname*{Ob}\mathcal{C}$
eine Abbildung $\mathcal{C}\left(  X,Y\right)  \times\mathcal{C}\left(
Y,Z\right)  \rightarrow\mathcal{C}\left(  X,Z\right)  .$ Das Bild von $\left(
f,g\right)  $ unter dieser Abbildung nennen wir im Folgenden einfach $gf$ oder
$g\circ f.$

Dann sagen wir, diese Daten bilden eine \textit{Kategorie} $\mathcal{C},$ wenn
folgende Eigenschaften erf\"{u}llt sind:

\textit{a)} Die Mengen $\mathcal{C}\left(  X,Y\right)  $ sind paarweise
disjunkt; das hei\ss t: Sind $X,Y,X^{\prime},Y^{\prime}\in\operatorname*{Ob}%
\mathcal{C},$ dann kann $\mathcal{C}\left(  X,Y\right)  \cap\mathcal{C}\left(
X^{\prime},Y^{\prime}\right)  \neq\varnothing$ nur f\"{u}r $\left(
X,Y\right)  =\left(  X^{\prime},Y^{\prime}\right)  $ gelten. Ferner gilt
$\mathcal{C}\left(  X,Y\right)  \cap\operatorname*{Ob}\mathcal{C}=\varnothing$
f\"{u}r alle $X,Y\in\operatorname*{Ob}\mathcal{C}.$\ \ \ \ \footnote{Wie sich
der Leser wohl denken kann, ist dies eine rein technische Voraussetzung. Der
Sinn dieser Voraussetzung ist folgender: Wir werden sp\"{a}ter oftmals die
Elemente $\mathcal{C}\left(  X,Y\right)  $ als bestimmte Abbildungen von einem
Objekt $X$ in ein Objekt $Y$ deuten k\"{o}nnen (ein Objekt ist meist eine
Menge mit bestimmter Zusatzstruktur), und die Disjunktheit der Mengen
$\mathcal{C}\left(  X,Y\right)  $ bedeutet, da\ss \ f\"{u}r uns Abbildungen
immer "wissen", aus welcher Menge in welche Menge sie gehen. Genau das haben
wir in Kapitel 0 gefordert. Die Bedingung $\mathcal{C}\left(  X,Y\right)
\cap\operatorname*{Ob}\mathcal{C}=\varnothing$ sorgt daf\"{u}r, da\ss \ wir
Abbildungen nicht mit Objekten verwechseln.}

\textit{b)} F\"{u}r jedes $X\in\operatorname*{Ob}\mathcal{C}$ gibt es ein
Element $i\in\mathcal{C}\left(  X,X\right)  ,$ so da\ss \ f\"{u}r jedes
$Y\in\operatorname*{Ob}\mathcal{C}$ und jedes $f\in\mathcal{C}\left(
X,Y\right)  $ die Relation $f=f\circ i$ gilt und f\"{u}r jedes $g\in
\mathcal{C}\left(  Y,X\right)  $ die Relation $g=i\circ g$ gilt. Dieses
Element $i\in\mathcal{C}\left(  X,X\right)  $ bezeichnen wir mit
$\operatorname*{id}_{X}$ (dieses Element $i$ ist n\"{a}mlich auch eindeutig,
was man leicht aus den anderen Axiomen herleiten kann).

\textit{c)} F\"{u}r beliebige $X,Y,Z,U\in\operatorname*{Ob}\mathcal{C}$ und
$f\in\mathcal{C}\left(  X,Y\right)  ,$ $g\in\mathcal{C}\left(  Y,Z\right)  $
und $h\in\mathcal{C}\left(  Z,U\right)  $ gilt: $\left(  hg\right)  f=h\left(
gf\right)  .$

Einige mit der obigen Definition verbundene \textit{Notationen:}

\begin{itemize}
\item Die Elemente von $\operatorname*{Ob}\mathcal{C}$ hei\ss en die
\textit{Objekte} der Kategorie $\mathcal{C}.$ F\"{u}r $X,Y\in
\operatorname*{Ob}\mathcal{C}$ bezeichnet man die Elemente von $\mathcal{C}%
\left(  X,Y\right)  $ als \textit{Morphismen} von $X$ nach $Y$ in
$\mathcal{C}.$ Die in der Definition geforderte Abbildung $\mathcal{C}\left(
X,Y\right)  \times\mathcal{C}\left(  Y,Z\right)  \rightarrow\mathcal{C}\left(
X,Z\right)  ,$ die $\left(  f,g\right)  $ in $gf$ \"{u}berf\"{u}hrt, hei\ss t
\textit{Verkettung} von Morphismen. Einen Morphismus $f\in\mathcal{C}\left(
X,Y\right)  $ bezeichnet man auch mit $f:X\rightarrow Y$ oder mit
$\xymatrix{
X \ar[r]^f & Y
}$. F\"{u}r jedes $X\in\mathcal{C}$ bezeichnet man den Morphismus
$\operatorname*{id}_{X}$ als \textit{Identit\"{a}t} auf $X.$ F\"{u}r
$X,Y\in\operatorname*{Ob}\mathcal{C}$ und $f\in\mathcal{C}\left(  X,Y\right)
$ bezeichnet man den Morphismus $f$ als \textit{Isomorphismus}, wenn es einen
Morphismus $g\in\mathcal{C}\left(  Y,X\right)  $ gibt mit
$fg=\operatorname*{id}_{Y}$ und $gf=\operatorname*{id}_{X}$%
.\ \ \ \ \footnote{Eine \textit{Warnung} an dieser Stelle: Der gerade
definierte Begriff eines "Isomorphismus" ist im Allgemeinen \textit{nicht}
\"{a}quivalent zu dem Begriff eines "bijektiven Morphismus". Zum einen ist er
dies schon deshalb nicht, weil die Morphismen einer Kategorie nicht
notwendigerweise Abbildungen sein m\"{u}ssen (und die Objekte nicht
notwendigerweise Mengen), und somit man nicht immer von einem "bijektiven
Morphismus" sprechen kann. Zum anderen gibt es Kategorien, in denen Objekte
Mengen sind und Morphismen Abbildungen (mit bestimmten Eigenschaften) sind,
und \textit{trotzdem} nicht jeder bijektive Morphismus ein Isomorphismus ist!
Ein Beispiel einer solchen Kategorie ist die Kategorie, deren Objekte die
topologischen R\"{a}ume sind und deren Morphismen die stetigen Abbildungen
sind. Die Isomorphismen in dieser Kategorie werden als
\textit{Hom\"{o}omorphismen} bezeichnet; nicht jeder bijektive Morphismus ist
ein Hom\"{o}omorphismus!\ (\textit{Beispiel:} Die Abbildung%
\[
\left[  0,2\pi\right[  \rightarrow S^{1},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi
\mapsto\left(  \cos\varphi,\sin\varphi\right)
\]
ist bijektiv und stetig (d. h. ein Morphismus in dieser Kategorie), aber kein
Hom\"{o}omorphismus.)}\newline Diese Schreibweisen haben alle den Vorteil,
da\ss \ sie die Intuition vermitteln, da\ss \ eine Kategorie so etwas wie
"eine Ansammlung von Mengen und von Abbildungen zwischen ihnen, die man
verketten kann" ist (wobei, grob gesagt, die Objekte der Kategorie die Mengen
sind, und die Morphismen die Abbildungen). Diese Intuition ist recht
n\"{u}tzlich, da viele Kategorien tats\"{a}chlich Ansammlungen von Mengen und
Abbildungen sind (siehe Beispiele 1.15. \textbf{a)}-\textbf{c)} f\"{u}r einige
Kategorien, die wirklich solche Ansammlungen sind), aber im Allgemeinen ist
eine Kategorie nicht notwendigerweise so eine Ansammlung.

\item Wir schreiben kurz $X\in\mathcal{C}$ f\"{u}r $X\in\operatorname*{Ob}%
\mathcal{C}.$
\end{itemize}

\textbf{1.15. Beispiele:} \textbf{a)} Die "einfachste" Kategorie ist die
Kategorie $\operatorname*{Me},$ die wie folgt definiert ist:

Die Klasse $\operatorname*{Ob}\left(  \operatorname*{Me}\right)  $ ist die
Klasse aller Mengen. F\"{u}r je zwei $X,Y\in\operatorname*{Me}$ bezeichnen wir
mit $\operatorname*{Me}\left(  X,Y\right)  $ die Menge aller Abbildungen von
$X$ nach $Y.$ Die Verkettung von Morphismen soll einfach Verkettung von
Abbildungen im \"{u}blichen Sinne sein.

Diese Kategorie $\operatorname*{Me}$ hei\ss t \textit{Kategorie der Mengen}.

\textbf{b)} Wir k\"{o}nnen auch eine \textit{Kategorie der Gruppen}
$\operatorname*{Gr}$ konstruieren. Die Klasse $\operatorname*{Ob}\left(
\operatorname*{Gr}\right)  $ ist dabei die Klasse aller Gruppen, die
Morphismen (also die Elemente von $\operatorname*{Gr}\left(  X,Y\right)  $
f\"{u}r $X,Y\in\operatorname*{Gr}$) sind Gruppenhomomorphismen, und Verkettung
von Morphismen ist wieder klassische Verkettung von Gruppenhomomorphismen.

\textbf{c)} Sei $R$ ein Ring. Dann k\"{o}nnen wir eine \textit{Kategorie der
}$R$\textit{-Linksmoduln} definieren, genannt $_{R}\mathcal{M}$. Die Klasse
$\operatorname*{Ob}\left(  _{R}\mathcal{M}\right)  $ ist dabei die Klasse
aller $R$-Linksmoduln; die Morphismen sind $R$-Linksmodulhomomorphismen (also
$R$-lineare Abbildungen zwischen $R$-Linksmoduln), und Verkettung von
Morphismen ist wieder einfach nur Verkettung von Abbildungen. Entsprechend
k\"{o}nnen wir eine \textit{Kategorie der }$R$\textit{-Rechtsmoduln}
$\mathcal{M}_{R}$ definieren, und f\"{u}r zwei Ringe $R$ und $S$ eine
\textit{Kategorie der }$\left(  R,S\right)  $\textit{-Bimoduln} $_{R}%
\mathcal{M}_{S}.$

Ist $k$ ein K\"{o}rper, dann k\"{o}nnen wir jede der beiden Kategorien
$_{k}\mathcal{M}$ und $\mathcal{M}_{k}$ einfach als Kategorie der
$k$-Vektorr\"{a}ume ansehen (aber $_{k}\mathcal{M}_{k}$ nicht!).

\textbf{d)} Die vorherigen drei Beispiele f\"{u}r Kategorien waren "gro\ss e
Kategorien" (sie haben viele Objekte, sogar so viele, da\ss \ sie echte
Klassen und keine Mengen bilden). Hier ist ein Beispiel f\"{u}r eine "kleine Kategorie":

Sei $M$ ein Monoid. Dann k\"{o}nnen wir eine Kategorie $\widetilde{M}$ wie
folgt definieren: Sei $\operatorname*{Ob}\widetilde{M}=\left\{  \varnothing
\right\}  ,$ sei $\widetilde{M}\left(  \varnothing,\varnothing\right)  =M,$
und sei die Verkettung von Morphismen als Multiplikation der entsprechenden
Elemente von $M$ definiert.\footnote{Bei der Setzung $\operatorname*{Ob}%
\widetilde{M}=\left\{  \varnothing\right\}  $ war nur entscheidend,
da\ss \ $\operatorname*{Ob}\widetilde{M}$ eine einelementige Menge ist. Ob das
Element $0,$ $\pi,$ $\mathbb{Q}$ oder, wie bei uns, $\varnothing$ ist, ist
egal.} Damit haben wir eine Kategorie mit nur einem Objekt eingef\"{u}hrt, die
aber trotzdem die gesamte Struktur des Monoids $M$ repr\"{a}sentiert.

Wir werden nun den Begriff eines \textit{Funktors} definieren, genauer gesagt
die Begriffe \textit{kovarianter} und \textit{kontravarianter Funktor}. In der
Praxis meint man einen kovarianten Funktor, wenn man einfach nur "Funktor"
sagt; kontravariante Funktoren f\"{u}hrt man entweder auf kovariante
zur\"{u}ck (indem man duale Kategorien bildet - auch dies werden wir
definieren), oder spricht explizit von "kontravarianten Funktoren". Wir
beginnen mit der Definition eines kovarianten Funktors:

\textbf{Definition (kovarianter Funktor):} Seien $\mathcal{C}$ und
$\mathcal{D}$ zwei Kategorien. Ein \textit{kovarianter Funktor} $F:\mathcal{C}%
\rightarrow\mathcal{D}$ besteht aus den folgenden Daten:

\textit{1.} einer Abbildung $\operatorname*{Ob}F:\operatorname*{Ob}%
\mathcal{C}\rightarrow\operatorname*{Ob}\mathcal{D};$

\textit{2.} f\"{u}r jede $X,Y\in\mathcal{C}$ einer Abbildung $F_{X,Y}%
:\mathcal{C}\left(  X,Y\right)  \rightarrow\mathcal{D}\left(  F\left(
X\right)  ,F\left(  Y\right)  \right)  ,$

die folgende Axiome erf\"{u}llen:

\textit{a)} F\"{u}r jedes $X\in\mathcal{C}$ ist $F_{X,X}\left(
\operatorname*{id}_{X}\right)  =\operatorname*{id}_{F\left(  X\right)
}.\ \ \ \ $\footnote{Dabei ist $F\left(  X\right)  $ eine abk\"{u}rzende
Schreibweise f\"{u}r $\left(  \operatorname*{Ob}F\right)  \left(  X\right)  $.
(Diese Schreibweise werden wir in K\"{u}rze noch einmal einf\"{u}hren.)}

\textit{b)} F\"{u}r beliebige $X,Y,Z\in\mathcal{C}$ und $f\in\mathcal{C}%
\left(  X,Y\right)  $ und $g\in\mathcal{C}\left(  Y,Z\right)  $ gilt
$F_{X,Z}\left(  gf\right)  =F_{Y,Z}\left(  g\right)  F_{X,Y}\left(  f\right)
.$

Nach dieser Definition k\"{o}nnen wir wieder eine \textit{vereinfachende
Notation} geben:

\begin{itemize}
\item F\"{u}r jedes $X\in\operatorname*{Ob}\mathcal{C}$ schreiben wir
$F\left(  X\right)  $ statt $\left(  \operatorname*{Ob}F\right)  \left(
X\right)  .$ F\"{u}r jedes $f\in\mathcal{C}\left(  X,Y\right)  $ schreiben wir
$F\left(  f\right)  $ statt $F_{X,Y}\left(  f\right)  .$ (Diese Notation ist
widerspruchsfrei, da alle $\mathcal{C}\left(  X,Y\right)  $ untereinander und
mit $\operatorname*{Ob}\mathcal{C}$ disjunkt sind.)
\end{itemize}

Insofern k\"{o}nnen wir sagen, da\ss \ ein kovarianter Funktor $F:\mathcal{C}%
\rightarrow\mathcal{D}$ durch die Werte von $F\left(  X\right)  $ auf jedem
Objekt $X\in\mathcal{C}$ und die Werte $F\left(  f\right)  $ f\"{u}r jeden
Morphismus $f\in\mathcal{C}\left(  X,Y\right)  $ f\"{u}r alle $X,Y\in
\mathcal{C}$ festgelegt ist (falls diese Daten die Axiome \textit{a)} und
\textit{b)} erf\"{u}llen).

Somit haben wir kovariante Funktoren definiert. Kontravariante Funktoren
definieren sich fast genauso; und zwar erh\"{a}lt man die Definition eines
kontravarianten Funktors, indem man in der obigen Definition eines kovarianten
Funktors den Term $\mathcal{D}\left(  F\left(  X\right)  ,F\left(  Y\right)
\right)  $ durch $\mathcal{D}\left(  F\left(  Y\right)  ,F\left(  X\right)
\right)  $ (in Datum \textit{2.}) ersetzt und die Gleichung $F_{X,Z}\left(
gf\right)  =F_{Y,Z}\left(  g\right)  F_{X,Y}\left(  f\right)  $ durch
$F_{X,Z}\left(  gf\right)  =F_{X,Y}\left(  f\right)  F_{Y,Z}\left(  g\right)
$ (in Axiom \textit{b)}) ersetzt. Das hei\ss t, die Definition eines
kontravarianten Funktors sieht folgenderma\ss en aus:

\textbf{Definition (kontravarianter Funktor):} Seien $\mathcal{C}$ und
$\mathcal{D}$ zwei Kategorien. Ein \textit{kontravarianter Funktor}
$F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ besteht aus den folgenden Daten:

\textit{1.} einer Abbildung $\operatorname*{Ob}F:\operatorname*{Ob}%
\mathcal{C}\rightarrow\operatorname*{Ob}\mathcal{D};$

\textit{2.} f\"{u}r jede $X,Y\in\mathcal{C}$ einer Abbildung $F_{X,Y}%
:\mathcal{C}\left(  X,Y\right)  \rightarrow\mathcal{D}\left(  F\left(
Y\right)  ,F\left(  X\right)  \right)  ,$

die folgende Axiome erf\"{u}llen:

\textit{a)} F\"{u}r jedes $X\in\mathcal{C}$ ist $F_{X,X}\left(
\operatorname*{id}_{X}\right)  =\operatorname*{id}_{F\left(  X\right)  }.$

\textit{b)} F\"{u}r beliebige $X,Y,Z\in\mathcal{C}$ und $f\in\mathcal{C}%
\left(  X,Y\right)  $ und $g\in\mathcal{C}\left(  Y,Z\right)  $ gilt
$F_{X,Z}\left(  gf\right)  =F_{X,Y}\left(  f\right)  F_{Y,Z}\left(  g\right)
.$

Wie schon gesagt, k\"{o}nnen wir kontravariante Funktoren auf kovariante
Funktoren zur\"{u}ckf\"{u}hren, indem wir \textit{duale Kategorien} definieren:

\textbf{Definition (duale Kategorie):} Sei $\mathcal{C}$ eine Kategorie. Die
\textit{duale Kategorie} $\mathcal{C}^{\operatorname*{op}}$ von $\mathcal{C}$
ist die wie folgt definierte Kategorie: Die Klasse $\operatorname*{Ob}\left(
\mathcal{C}^{\operatorname*{op}}\right)  $ soll einfach $\operatorname*{Ob}%
\mathcal{C}$ sein; f\"{u}r jede $X,Y\in\mathcal{C}$ setzen wir $\mathcal{C}%
^{\operatorname*{op}}\left(  X,Y\right)  =\mathcal{C}\left(  Y,X\right)  ,$
und Verkettung von Morphismen $f\in\mathcal{C}^{\operatorname*{op}}\left(
X,Y\right)  $ und $g\in\mathcal{C}^{\operatorname*{op}}\left(  Y,Z\right)  $
im Sinne der Kategorie $\mathcal{C}^{\operatorname*{op}}$ definieren wir durch
$gf=fg$ (wobei $fg$ die Verkettung der Morphismen $g$ und $f$ im Sinne der
Kategorie $\mathcal{C}$ bedeutet, denn $g\in\mathcal{C}\left(  Z,Y\right)  $
und $f\in\mathcal{C}\left(  Y,X\right)  $).

Da man Morphismen $f\in\mathcal{C}\left(  X,Y\right)  $ gerne auch in der Form
$\xymatrix{
X \ar[r]^f & Y
}$ schreibt, sagt man oft, die \textit{duale Kategorie} einer Kategorie
erh\"{a}lt man, indem man "alle Pfeile umdreht".

Nun k\"{o}nnen wir jeden kontravarianten Funktor $F:\mathcal{C}\rightarrow
\mathcal{D}$ f\"{u}r zwei Kategorien $\mathcal{C}$ und $\mathcal{D}$ auch als
kovarianten Funktor $F:\mathcal{C}^{\operatorname*{op}}\rightarrow\mathcal{D}$
deuten, und umgekehrt. (Und wir k\"{o}nnen jeden kontravarianten Funktor
$F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ auch als kovarianten Funktor
$F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}^{\operatorname*{op}}$ deuten, und
umgekehrt.) Deshalb gelten viele Eigenschaften kovarianter Funktoren auch
leicht abgewandelt f\"{u}r kontravariante Funktoren, und dies ist der Grund,
warum man S\"{a}tze meist nur f\"{u}r kovariante Funktoren formuliert und bei
"Funktoren" gew\"{o}hnlich an kovariante Funktoren denkt.

\textbf{Definition:} \textbf{a)} Sei $\mathcal{C}$ eine Kategorie. Unter dem
\textit{Identit\"{a}tsfunktor} $\operatorname*{id}\nolimits_{\mathcal{C}%
}:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{C}$ verstehen wir den durch%
\begin{align*}
\operatorname*{id}\nolimits_{\mathcal{C}}\left(  C\right)   &
=C\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes Objekt }C\in\mathcal{C}%
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\\
\operatorname*{id}\nolimits_{\mathcal{C}}\left(  f\right)   &
=f\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jeden Morphismus }f\in\mathcal{C}\left(
X,Y\right)  \text{ f\"{u}r jede }X,Y\in\mathcal{C}%
\end{align*}
definierten Funktor.

\textbf{b)} Seien $\mathcal{C},$ $\mathcal{D}$ und $\mathcal{E}$ drei
Kategorien, und $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ und $G:\mathcal{D}%
\rightarrow\mathcal{E}$ zwei Funktoren. Dann wird die \textit{Verkettung}
$G\circ F$ der Funktoren $G$ und $F$ definiert als der Funktor $H:\mathcal{C}%
\rightarrow\mathcal{E},$ der durch%
\begin{align*}
H\left(  C\right)   &  =G\left(  F\left(  C\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes Objekt }C\in\mathcal{C}%
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\\
H\left(  f\right)   &  =G\left(  F\left(  f\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jeden Morphismus }f\in\mathcal{C}\left(
X,Y\right)  \text{ f\"{u}r jede }X,Y\in\mathcal{C}%
\end{align*}
definiert ist. Statt $G\circ F$ schreiben wir auch $GF.$

Wir werden nun einige Beispiele f\"{u}r Funktoren (kovariante und
kontravariante) sehen:

\textbf{1.16. Beispiele:} \textbf{1)} Sei $k$ ein K\"{o}rper. Wie schon
gesagt, ist $_{k}\mathcal{M}$ die Kategorie der $k$-Vektorr\"{a}ume. Wir
k\"{o}nnen einen kontravarianten Funktor $\operatorname*{dual}:\left.
_{k}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.  _{k}\mathcal{M}\right.  $ (oder,
was hierzu \"{a}quivalent ist, einen kovarianten Funktor $\operatorname*{dual}%
:\left(  _{k}\mathcal{M}\right)  ^{\operatorname*{op}}\rightarrow\left.
_{k}\mathcal{M}\right.  $) definieren, indem wir%
\begin{align*}
\operatorname*{dual}\left(  V\right)   &  =V^{\ast}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jeden }k\text{-Vektorraum }%
V,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\\
\operatorname*{dual}\left(  f\right)   &  =f^{\ast}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }f\in\operatorname*{Hom}%
\nolimits_{k}\left(  X,Y\right)  \text{ f\"{u}r jede }X,Y\in\left.
_{k}\mathcal{M}\right.
\end{align*}
setzen (dabei bezeichnet $V^{\ast}$ den Dualraum von $V,$ und die Abbildung
$f^{\ast}$ ist definiert als die $k$-lineare Abbildung von $Y^{\ast}$ nach
$X^{\ast},$ die jedes $g\in Y^{\ast}$ auf $g\circ f$ abbildet).

\textbf{2)} Seien $R$ und $S$ Ringe, und sei $_{S}X_{R}$ ein $\left(
S,R\right)  $-Bimodul. Dann definieren wir einen (kovarianten) Funktor
$X\otimes_{R}-:\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.
_{S}\mathcal{M}\right.  $ \ \ \ \ \footnote{Ja, der Funktor hei\ss t wirklich
$X\otimes_{R}-.$ Der Strich soll kein Minus sein, sondern bedeutet "hier einen
$R$-Modul einsetzen".}\ durch%
\begin{align*}
\left(  X\otimes_{R}-\right)  \left(  Y\right)   &  =X\otimes_{R}%
Y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }Y\in\left.  _{R}\mathcal{M}\right.
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\\
\left(  X\otimes_{R}-\right)  \left(  f\right)   &  =\operatorname*{id}\otimes
f\in\operatorname*{Hom}\nolimits_{S}\left(  X\otimes_{R}Y,X\otimes
_{R}Y^{\prime}\right) \\
&  \left.
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
jedes }f\in\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  Y,Y^{\prime}\right)  \text{
f\"{u}r jede }Y,Y^{\prime}\in\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  .\right.
\end{align*}
Ebenso definieren wir einen (kovarianten) Funktor $-\otimes_{S}X:\mathcal{M}%
_{S}\rightarrow\mathcal{M}_{R}$ durch%
\begin{align*}
\left(  -\otimes_{S}X\right)  \left(  Y\right)   &  =Y\otimes_{S}%
X\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }Y\in\mathcal{M}_{S}%
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\\
\left(  -\otimes_{S}X\right)  \left(  f\right)   &  =f\otimes
\operatorname*{id}\in\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  Y\otimes
_{S}X,Y^{\prime}\otimes_{S}X\right) \\
&  \left.
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
jedes }f\in\operatorname*{Hom}\nolimits_{S}\left(  Y,Y^{\prime}\right)  \text{
f\"{u}r jede }Y,Y^{\prime}\in\mathcal{M}_{S}.\right.
\end{align*}
Diese beiden Funktoren sind meistens gemeint, wenn Algebraiker von
"Tensorieren als Funktor" oder kurz vom $\otimes$-Funktor sprechen (es sind
nat\"{u}rlich zwei verschiedene Funktoren, aber sie sind zueinander sehr
\"{a}hnlich\footnote{Im Falle, wenn $R$ und $S$ beide der gleiche kommutative
Ring sind, sind die beiden Funktoren $X\otimes_{R}-$ und $-\otimes_{S}X$ sogar
"mehr oder weniger gleich", d. h. isomorph (auch wenn wir erst sp\"{a}ter
definieren werden, was eine Isomorphie von Funktoren ist), wenn man
$R$-Linksmoduln mit $R$-Rechtsmoduln identifiziert.}). Grob gesprochen machen
diese Funktoren nichts anderes, als alle Moduln mit einem festen Modul $X$ zu
tensorieren, und Abbildungen zwischen Moduln durch Tensorieren mit der
Identit\"{a}tsabbildung $\operatorname*{id}_{X}$ in Abbildungen zwischen den
Tensorprodukten zu \"{u}berf\"{u}hren.

\textbf{3)} Sei $R$ ein Ring, und sei $X\in\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  .$
Dann definieren wir einen (kovarianten) Funktor $\operatorname*{Hom}%
_{R}\left(  X,-\right)  :\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.
_{\mathbb{Z}}\mathcal{M}\right.  $ durch%
\begin{align*}
\left(  \operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  X,-\right)  \right)  \left(
Y\right)   &  =\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  X,Y\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }Y\in\left.  _{R}\mathcal{M}\right.
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\\
\left(  \operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  X,-\right)  \right)  \left(
f\right)   &  =\left(  g\mapsto f\circ g\right)  \in\operatorname*{Hom}%
\nolimits_{\mathbb{Z}}\left(  \operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(
X,Y\right)  ,\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  X,Y^{\prime}\right)
\right) \\
&  \left.
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
jedes }f\in\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  Y,Y^{\prime}\right)  \text{
f\"{u}r jede }Y,Y^{\prime}\in\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  .\right.
\end{align*}
Ferner definieren wir einen kontravarianten Funktor $\operatorname*{Hom}%
_{R}\left(  -,X\right)  :\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.
_{\mathbb{Z}}\mathcal{M}\right.  $ durch%
\begin{align*}
\left(  \operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  -,X\right)  \right)  \left(
Y\right)   &  =\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  Y,X\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }Y\in\left.  _{R}\mathcal{M}\right.
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\\
\left(  \operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  -,X\right)  \right)  \left(
f\right)   &  =\left(  g\mapsto g\circ f\right)  \in\operatorname*{Hom}%
\nolimits_{\mathbb{Z}}\left(  \operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(
Y^{\prime},X\right)  ,\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  Y,X\right)
\right) \\
&  \left.
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
jedes }f\in\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  Y,Y^{\prime}\right)  \text{
f\"{u}r jede }Y,Y^{\prime}\in\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  .\right.
\end{align*}
Diese beiden Funktoren hei\ss en die $\operatorname*{Hom}$\textit{-Funktoren}.
(Im Gegensatz zu den zwei $\otimes$-Funktoren sind diese zwei
$\operatorname*{Hom}$-Funktoren nicht sehr \"{a}hnlich zueinander - einer von
ihnen ist kovariant, und der andere kontravariant, und auch sonst haben sie
unterschiedliche Eigenschaften.)

Auch f\"{u}r $R$-Rechtsmoduln lassen sich analog zwei $\operatorname*{Hom}%
$-Funktoren definieren.

\textbf{4)} Die gerade definierten $\operatorname*{Hom}$-Funktoren f\"{u}hren
von $_{R}\mathcal{M}$ nach $_{\mathbb{Z}}\mathcal{M};$ sie \"{u}berf\"{u}hren
also $R$-Linksmoduln in $\mathbb{Z}$-Linksmoduln (also abelsche Gruppen). In
Satz 1.9$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ haben wir gezeigt, wie wir aus
zus\"{a}tzlichen Strukturen auf $X$ und $Y$ eine zus\"{a}tzliche Struktur auf
$\operatorname*{Hom}_{R}\left(  X,Y\right)  $ erhalten; damit k\"{o}nnen wir
\textit{neue, "reichhaltigere" }$\operatorname*{Hom}$\textit{-Funktoren}
definieren. Aus Platzgr\"{u}nden f\"{u}hren wir hier nur einen solchen
$\operatorname*{Hom}$-Funktor ein:

Seien $R$ und $S$ Ringe, und sei $X\in\left.  _{R}\mathcal{M}_{S}\right.  .$
Dann definieren wir einen (kovarianten) Funktor $\operatorname*{Hom}%
_{R}\left(  _{R}X_{S},-\right)  :\left.  _{R}\mathcal{M}\right.
\rightarrow\left.  _{S}\mathcal{M}\right.  $ durch%
\begin{align*}
\left(  \operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  _{R}X_{S},-\right)  \right)
\left(  Y\right)   &  =\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  _{R}X_{S}%
,_{R}Y\right)  \text{ mit }S\text{-Linksmodulstruktur nach Satz 1.9}%
\dfrac{\text{1}}{\text{2}}\text{ \textbf{a)}}\\
&  \left.
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
jedes }Y\in\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  ,\text{ und}\right. \\
\left(  \operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  _{R}X_{S},-\right)  \right)
\left(  f\right)   &  =\left(  g\mapsto f\circ g\right)  \in
\operatorname*{Hom}\nolimits_{S}\left(  \operatorname*{Hom}\nolimits_{R}%
\left(  X,Y\right)  ,\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  X,Y^{\prime
}\right)  \right) \\
&  \left.
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
jedes }f\in\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  Y,Y^{\prime}\right)  \text{
f\"{u}r jede }Y,Y^{\prime}\in\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  .\right.
\end{align*}


Dieser Funktor $\operatorname*{Hom}_{R}\left(  _{R}X_{S},-\right)  :\left.
_{R}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.  _{S}\mathcal{M}\right.  $ ist etwas
anderes als der in Beispiel \textbf{3)} definierte Funktor
$\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  X,-\right)  :\left.  _{R}%
\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.  _{\mathbb{Z}}\mathcal{M}\right.  ,$
auch wenn $X$ beidesmal der gleiche $\left(  R,S\right)  $-Bimodul ist. Denn
f\"{u}r jedes $Y\in\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  $ ist $\left(
\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  _{R}X_{S},-\right)  \right)  \left(
Y\right)  $ ein $S$-Linksmodul, w\"{a}hrend $\left(  \operatorname*{Hom}%
\nolimits_{R}\left(  X,-\right)  \right)  \left(  Y\right)  $ nur eine
abelsche Gruppe ist. Insofern ist der Funktor $\operatorname*{Hom}_{R}\left(
_{R}X_{S},-\right)  :\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.
_{S}\mathcal{M}\right.  $ "reichhaltiger" als der Funktor $\operatorname*{Hom}%
\nolimits_{R}\left(  X,-\right)  :\left.  _{R}\mathcal{M}\right.
\rightarrow\left.  _{\mathbb{Z}}\mathcal{M}\right.  $ - allerdings um den
Preis, da\ss \ der erstere Funktor nur f\"{u}r $\left(  R,S\right)  $-Bimoduln
$X$ definiert ist, w\"{a}hrend der letztere f\"{u}r alle $R$-Linksmoduln $X$ existiert.

Analog k\"{o}nnen wir f\"{u}r je zwei Ringe $R$ und $T$ und jedes $X\in\left.
_{R}\mathcal{M}_{T}\right.  $ einen kontravarianten Funktor
$\operatorname*{Hom}_{R}\left(  -,_{R}X_{T}\right)  :\left.  _{R}%
\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.  \mathcal{M}_{T}\right.  ,$ und noch
weitere $\operatorname*{Hom}$-Funktoren konstruieren.

Wie schon gesagt, muss man diese neuen, "reichhaltigen" $\operatorname*{Hom}%
$-Funktoren von den $\operatorname*{Hom}$-Funktoren aus Beispiel \textbf{3)}
unterscheiden. Unter Algebraikern herrscht jedoch eine stillschweigende
Vereinbarung, da\ss \ man beispielsweise in dem Fall, wenn $X$ ein $\left(
R,S\right)  $-Bimodul ist, den Funktor $\operatorname*{Hom}_{R}\left(
_{R}X_{S},-\right)  :\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.
_{S}\mathcal{M}\right.  $ auch abk\"{u}rzend mit $\operatorname*{Hom}%
\nolimits_{R}\left(  X,-\right)  $ bezeichnet, obwohl $\operatorname*{Hom}%
\nolimits_{R}\left(  X,-\right)  $ \textit{eigentlich} f\"{u}r einen anderen
Funktor (n\"{a}mlich den Funktor $\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(
X,-\right)  :\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.  _{\mathbb{Z}%
}\mathcal{M}\right.  $ aus Beispiel \textbf{3)}) stehen \textit{sollte}. Das
liegt daran, da\ss \ man in dem Fall, da\ss \ $X$ ein $\left(  R,S\right)
$-Bimodul ist, den Funktor $\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(
X,-\right)  :\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.  _{\mathbb{Z}%
}\mathcal{M}\right.  $ aus Beispiel \textbf{3)} einfach nicht mehr benutzt,
weil es den "besseren" Funktor $\operatorname*{Hom}_{R}\left(  _{R}%
X_{S},-\right)  :\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.
_{S}\mathcal{M}\right.  $ gibt. Wenn "reichhaltigere" Funktoren existieren,
benutzt man also die alten Funktoren aus Beispiel \textbf{3)} nicht mehr, und
verwendet ihre Namen f\"{u}r die "reichhaltigeren" Funktoren.

Insbesondere in dem Fall, wenn $k$ ein kommutativer Ring ist, und $X$ ein
$k$-Modul ist, bedeutet also $\operatorname*{Hom}_{k}\left(  X,-\right)  $
immer den Funktor $\operatorname*{Hom}_{k}\left(  _{k}X_{k},-\right)  :\left.
_{k}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.  _{k}\mathcal{M}\right.  ,$ wobei
sowohl die $k$-Linksmodulstruktur als auch die $k$-Rechtsmodulstruktur auf $X$
einfach die gegebene $k$-Modulstruktur sind.

\bigskip

\fbox{\textbf{Nat\"{u}rliche Transformationen zwischen Funktoren}}

Der Begriff einer nat\"{u}rlichen Transformation ist vermutlich der erste
Begriff der Kategorientheorie, f\"{u}r den man nicht sofort eine Anschauung
hat. Nat\"{u}rliche Transformationen kommen aber sehr fr\"{u}h in der
Mathematik vor: Jedesmal, wenn man von einer "kanonischen Abbildung" spricht,
meint man eine nat\"{u}rliche Transformation (also strenggenommen keine
Abbildung, sondern eine Familie von Abbildungen mit bestimmten Eigenschaften).

\textbf{Definition:} Seien $\mathcal{C}$ und $\mathcal{D}$ zwei Kategorien,
und seien $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ und $G:\mathcal{C}%
\rightarrow\mathcal{D}$ zwei Funktoren. Eine \textit{nat\"{u}rliche
Transformation} $\varphi:F\rightarrow G$ ist eine Familie $\varphi=\left(
\varphi_{C}\right)  _{C\in\mathcal{C}}$ mit folgenden zwei Eigenschaften:

\textit{a)} F\"{u}r jedes $C\in\mathcal{C}$ ist $\varphi_{C}\in\mathcal{D}%
\left(  F\left(  C\right)  ,G\left(  C\right)  \right)  $ (das hei\ss t,
$\varphi_{C}$ ist ein Morphismus von $F\left(  C\right)  $ nach $G\left(
C\right)  $ in der Kategorie $\mathcal{D},$ also $\varphi_{C}:F\left(
C\right)  \rightarrow G\left(  C\right)  $).

\textit{b)} F\"{u}r jede $C,C^{\prime}\in\mathcal{C}$ und f\"{u}r jeden
Morphismus $f\in\mathcal{C}\left(  C,C^{\prime}\right)  $ ist folgendes
Diagramm von Morphismen in $\mathcal{D}$ kommutativ:%
\begin{equation}
\xymatrix{ F\left(C\right) \ar[r]^{\varphi_C} \ar[d]_{F\left(f\right)} & G\left(C\right) \ar[d]^{G\left(f\right)} \\ F\left(C^{\prime}\right) \ar[r]_{\varphi_{C^{\prime}}} & G\left(C^{\prime}\right) }.
\tag{1.5}%
\end{equation}


Einige \textit{Bemerkungen} zu dieser Definition:

\begin{itemize}
\item Diese Definition ist f\"{u}r kovariante Funktoren $F$ und $G$
geschrieben worden; man kann allerdings auch nat\"{u}rliche Transformationen
zwischen beliebigen (kovarianten oder kontravarianten) Funktoren $F$ und $G$
definieren, indem man in dieser Definition das Diagramm (1.5) entsprechend
anpasst. So muss beispielsweise in dem Fall, wenn $F$ ein kovarianter und $G$
ein kontravarianter Funktor ist, das Diagramm (1.5) durch folgendes Diagramm
ersetzt werden:%
\[
\xymatrix{ F\left(C\right) \ar[r]^{\varphi_C} \ar[d]_{F\left(f\right)} & G\left(C\right) \\ F\left(C^{\prime}\right) \ar[r]_{\varphi_{C^{\prime}}} & G\left(C^{\prime}\right) \ar[u]_{G\left(f\right)} }.
\]


\item Statt "nat\"{u}rliche Transformation $\varphi:F\rightarrow G$\ \ \ \ "
wird oft auch der Begriff "\textit{nat\"{u}rliche Transformation von }$F$
\textit{nach }$G$\ \ \ \ " oder der Begriff "\textit{Morphismus von }$F$
\textit{nach }$G$\ \ \ \ " verwendet.\footnote{Letzterer Begriff ist ein
Hinweis darauf, da\ss \ man Funktoren als Objekte und nat\"{u}rliche
Transformationen zwischen diesen Funktoren als Morphismen in einer bestimmten
Kategorie auffassen kann; und zwar kann man f\"{u}r je zwei Kategorien
$\mathcal{C}$ und $\mathcal{D}$ eine Kategorie $\operatorname*{Funct}\left(
\mathcal{C},\mathcal{D}\right)  $ einf\"{u}hren mit%
\begin{align*}
\operatorname*{Ob}\left(  \operatorname*{Funct}\left(  \mathcal{C}%
,\mathcal{D}\right)  \right)   &  =\left\{  F\ \mid\ F:\mathcal{C}%
\rightarrow\mathcal{D}\text{ ist Funktor}\right\}
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\\
\left(  \operatorname*{Funct}\left(  \mathcal{C},\mathcal{D}\right)  \right)
\left(  F,G\right)   &  =\left\{  \varphi\ \mid\ \varphi:F\rightarrow G\text{
ist nat\"{u}rliche Transformation}\right\}  \text{ f\"{u}r alle }%
F,G\in\operatorname*{Funct}\left(  \mathcal{C},\mathcal{D}\right)  .
\end{align*}
Die Verkettung von Morphismen in dieser Kategorie wird als die Verkettung
nat\"{u}rlicher Transformationen definiert. (Dabei verstehen wir unter der
\textit{Verkettung zweier nat\"{u}rlicher Transformationen} $\varphi
:F\rightarrow G$ und $\psi:G\rightarrow H$ (wobei $F$, $G$ und $H$ drei
Funktoren von $\mathcal{C}$ nach $\mathcal{D}$ sind) die nat\"{u}rliche
Transformation $\psi\circ\varphi:F\rightarrow H$, die durch
\[
\left(  \psi\circ\varphi\right)  _{C}=\psi_{C}\circ\varphi_{C}\text{ f\"{u}r
alle }C\in\mathcal{C}%
\]
definiert ist.)}

\item Der Begriff einer nat\"{u}rlichen Transformation ist die Formalisierung
des (von uns bislang nur intuitiv benutzten) Begriffes eines "kanonischen
(oder nat\"{u}rlichen) Morphismus". In der Tat ist es in der Algebra so,
da\ss \ wenn man sagt, ein Morphismus $\varphi_{C}:F\left(  C\right)
\rightarrow G\left(  C\right)  $ sei \textit{kanonisch} (oder auch
\textit{nat\"{u}rlich}, oder auch \textit{funktoriell}), man immer meint,
da\ss \ die Familie $\left(  \varphi_{C}\right)  _{C\in\mathcal{C}}$ eine
nat\"{u}rliche Transformation $F\rightarrow G$ ist. Insofern ist die
Sprechweise, ein Morphismus sei kanonisch, strenggenommen inkorrekt:
Kanonisch-Sein ist \textit{keine Eigenschaft des konkreten Morphismus
}$\varphi_{C}:F\left(  C\right)  \rightarrow G\left(  C\right)  $
\textit{f\"{u}r ein bestimmtes }$C\in\mathcal{C},$ \textit{sondern eine
Eigenschaft der gesamten Familie }$\left(  \varphi_{C}\right)  _{C\in
\mathcal{C}}.$

\item Eine nat\"{u}rliche Transformation $\varphi:F\rightarrow G$ wird als
\textit{nat\"{u}rlicher Isomorphismus} bezeichnet, wenn f\"{u}r jedes
$C\in\mathcal{C}$ der Morphismus $\varphi_{C}:F\left(  C\right)  \rightarrow
G\left(  C\right)  $ ein Isomorphismus ist.\footnote{Dabei erinnern wir uns
noch einmal: Ein Morphismus $f\in\mathcal{C}\left(  X,Y\right)  $ (wobei
$\mathcal{C}$ eine Kategorie und $X,Y\in\mathcal{C}$ zwei Objekte sind)
hei\ss t ein \textit{Isomorphismus}, wenn es einen Morphismus $g\in
\mathcal{C}\left(  Y,X\right)  $ gibt mit $fg=\operatorname*{id}\nolimits_{Y}$
und $gf=\operatorname*{id}\nolimits_{X}$.}
\end{itemize}

Man macht sich den Begriff einer nat\"{u}rlichen Transformation am besten an
Beispielen klar:

\textbf{1.17. Beispiele:} \textbf{1)} Sei $k$ ein K\"{o}rper. Auf der
Kategorie $_{k}\mathcal{M}$ der $k$-Vektorr\"{a}ume betrachten wir den
Identit\"{a}tsfunktor $\operatorname*{id}\nolimits_{_{k}\mathcal{M}}:\left.
_{k}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.  _{k}\mathcal{M}\right.  $ und den
Funktor $\operatorname*{dual}\circ\operatorname*{dual}:\left.  _{k}%
\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.  _{k}\mathcal{M}\right.  ,$ wobei der
kontravariante Funktor $\operatorname*{dual}$ wie in Beispiel 1.16.
\textbf{1)} definiert ist.\footnote{Diese Funktoren $\operatorname*{id}%
\nolimits_{_{k}\mathcal{M}}$ und $\operatorname*{dual}\circ
\operatorname*{dual}$ sind beide kovariant, obwohl $\operatorname*{dual}$
selber ein kontravarianter Funktor ist.} Dann k\"{o}nnen wir eine
nat\"{u}rliche Transformation $\varphi:\operatorname*{id}\nolimits_{_{k}%
\mathcal{M}}\rightarrow\operatorname*{dual}\circ\operatorname*{dual}$
definieren, indem wir f\"{u}r jeden Vektorraum $V\in\left.  _{k}%
\mathcal{M}\right.  $ den Morphismus \newline$\varphi_{V}\in
\operatorname*{Hom}_{k}\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{_{k}\mathcal{M}%
}\left(  V\right)  ,\left(  \operatorname*{dual}\circ\operatorname*{dual}%
\right)  \left(  V\right)  \right)  $ (das hei\ss t, $\varphi_{V}%
\in\operatorname*{Hom}_{k}\left(  V,V^{\ast\ast}\right)  $) wie folgt
definieren:%
\[
\varphi_{V}\left(  v\right)  =\left(  x\mapsto x\left(  v\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }v\in V.
\]
\footnote{Wie bereits in den Vorbemerkungen erkl\"{a}rt, bezeichnen wir mit
$x\mapsto x\left(  v\right)  $ diejenige $k$-lineare Abbildung $V^{\ast
}\rightarrow k$, die jedes $x\in V^{\ast}$ auf $x\left(  v\right)  \in k$
abbildet.} Um zu zeigen, da\ss \ $\varphi$ wirklich eine nat\"{u}rliche
Transformation ist, m\"{u}ssen wir beweisen, da\ss \ f\"{u}r je zwei
$k$-Vektorr\"{a}ume $V$ und $W$ und jedes $f\in\operatorname*{Hom}_{k}\left(
V,W\right)  $ folgendes Diagramm kommutiert:%
\[
\xymatrix{
V \ar[r]^{\varphi_V} \ar[d]_{f} & V^{\ast\ast} \ar[d]^{f^{\ast\ast}} \\
W \ar[r]_{\varphi_W} & W^{\ast\ast}
}.
\]
Dies ist aber eine \"{U}bungsaufgabe in Linearer Algebra.

Die (gerade bewiesene) Tatsache, da\ss \ die (oben definierten) Morphismen
$\varphi_{V}\in\operatorname*{Hom}_{k}\left(  V,V^{\ast\ast}\right)  $ f\"{u}r
alle $V\in\left.  _{k}\mathcal{M}\right.  $ eine nat\"{u}rliche Transformation
$\varphi$ induzieren, wird in der Algebra oftmals unformal wie folgt
formuliert: Der $k$-Vektorraumhomomorphismus $\varphi_{V}:V\rightarrow
V^{\ast\ast},$ der durch%
\[
\varphi_{V}\left(  v\right)  =\left(  x\mapsto x\left(  v\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }v\in V
\]
definiert ist, ist kanonisch. In dieser Form liest man die Aussage in
verschiedenen Texten, aber bevor man den Begriff einer nat\"{u}rlichen
Transformation kennt, wei\ss \ man in der Regel nicht genau, was das Wort
"kanonisch" eigentlich bedeutet. Und, wie schon gesagt, ist die Formulierung
mit dem Wort "kanonisch" nicht ganz korrekt, denn Kanonisch-Sein ist keine
Eigenschaft der Abbildung $\varphi_{V}$ f\"{u}r einen bestimmten Vektorraum
$V,$ sondern eine Eigenschaft der Familie $\left(  \varphi_{V}\right)
_{V\in\left.  _{k}\mathcal{M}\right.  }$ in ihrer Gesamtheit. Kanonisch ist
also eigentlich nicht die konkrete Abbildung $\varphi_{V},$ sondern
\textit{die Art, wie diese Abbildung }$\varphi_{V}$ \textit{in
Abh\"{a}ngigkeit vom Vektorraum }$V$ \textit{konstruiert wurde}. Aber in der
Algebra hat es sich eingeb\"{u}rgert, die Abbildung $\varphi_{V}$ als
kanonisch zu bezeichnen, und dabei stillschweigend an die Art, wie sie
konstruiert wurde, zu denken.

\"{U}brigens: Die nat\"{u}rliche Transformation $\varphi$ ist \textit{kein}
nat\"{u}rlicher Isomorphismus, denn f\"{u}r einige (unendlich-dimensionale)
Vektorr\"{a}ume $V$ ist $\varphi_{V}:V\rightarrow V^{\ast\ast}$ kein
Isomorphismus. Doch \textit{eingeschr\"{a}nkt auf die endlichdimensionalen
}$k$\textit{-Vektorr\"{a}ume} ist $\varphi$ ein nat\"{u}rlicher Isomorphismus;
genauer gesagt gilt folgendes: Bezeichnen wir mit $_{k}^{\operatorname*{fin}%
}\mathcal{M}$ die Kategorie aller endlichdimensionalen $k$-Vektorr\"{a}ume,
und konstruieren wir einen kontravarianten Funktor $\operatorname*{dual}%
^{\operatorname*{fin}}:\left.  _{k}^{\operatorname*{fin}}\mathcal{M}\right.
\rightarrow\left.  _{k}^{\operatorname*{fin}}\mathcal{M}\right.  $ genau so
wie $\operatorname*{dual}:\left.  _{k}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.
_{k}\mathcal{M}\right.  $ (aber eben auf $_{k}^{\operatorname*{fin}%
}\mathcal{M}$ statt auf $_{k}\mathcal{M}$) und eine nat\"{u}rliche
Transformation $\varphi^{\operatorname*{fin}}:\operatorname*{id}%
_{_{k}^{\operatorname*{fin}}\mathcal{M}}\rightarrow\operatorname*{dual}%
^{\operatorname*{fin}}\circ\operatorname*{dual}^{\operatorname*{fin}}$ genau
so wie $\varphi:\operatorname*{id}\nolimits_{_{k}\mathcal{M}}\rightarrow
\operatorname*{dual}\circ\operatorname*{dual}$ (aber wieder auf $_{k}%
^{\operatorname*{fin}}\mathcal{M}$ anstelle von $_{k}\mathcal{M}$), dann ist
$\varphi^{\operatorname*{fin}}$ ein nat\"{u}rlicher Isomorphismus. (Denn
f\"{u}r jeden endlichdimensionalen Vektorraum $V$ ist $\varphi_{V}%
^{\operatorname*{fin}}=\varphi_{V}:V\rightarrow V^{\ast\ast}$ ein Isomorphismus.)

\textbf{2)} Sei $k$ ein kommutativer Ring und $X$ ein $k$-Modul. Dann
k\"{o}nnen wir eine nat\"{u}rliche Transformation $\rho_{X}:\left(
X\otimes_{k}-\right)  \circ\operatorname*{dual}\rightarrow\operatorname*{Hom}%
_{k}\left(  -,X\right)  $ (gem\"{a}\ss \ der Vereinbarung in Beispiel 1.16.
\textbf{4)} steht hier $\operatorname*{Hom}_{k}\left(  -,X\right)  $ f\"{u}r
den "reichhaltigeren" Funktor $\operatorname*{Hom}_{k}\left(  -,_{k}%
X_{k}\right)  $) definieren, indem wir f\"{u}r jeden $k$-Modul $Y\in\left.
_{k}\mathcal{M}\right.  $ den Morphismus
\begin{align*}
\left(  \rho_{X}\right)  _{Y}  &  \in\operatorname*{Hom}\nolimits_{k}\left(
\left(  \left(  X\otimes_{k}-\right)  \circ\operatorname*{dual}\right)
\left(  Y\right)  ,\left(  \operatorname*{Hom}\nolimits_{k}\left(  -,X\right)
\right)  \left(  Y\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{also }\left(  \rho_{X}\right)  _{Y}%
\in\operatorname*{Hom}\nolimits_{k}\left(  X\otimes_{k}Y^{\ast}%
,\operatorname*{Hom}\nolimits_{k}\left(  Y,X\right)  \right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{definieren durch}\\
\left(  \rho_{X}\right)  _{Y}\left(  x\otimes f\right)   &  =\left(  y\mapsto
xf\left(  y\right)  \right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in
X\text{ und }f\in Y^{\ast}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{und durch lineare Fortsetzung auf ganz
}X\otimes_{k}Y^{\ast}\text{ erweitern}\right)  .
\end{align*}


Sei $k$ ein kommutativer Ring und $Y$ ein $k$-Modul. Dann k\"{o}nnen wir eine
nat\"{u}rliche Transformation $\rho_{Y}^{\prime}:\left(  -\otimes_{k}Y^{\ast
}\right)  \rightarrow\operatorname*{Hom}_{k}\left(  Y,-\right)  $ (wieder
steht $\operatorname*{Hom}_{k}\left(  Y,-\right)  $ f\"{u}r den
"reichhaltigeren" Funktor $\operatorname*{Hom}_{k}\left(  _{k}Y_{k},-\right)
$) definieren, indem wir f\"{u}r jeden $k$-Modul $X\in\left.  _{k}%
\mathcal{M}\right.  $ den Morphismus
\begin{align*}
\left(  \rho_{Y}^{\prime}\right)  _{X}  &  \in\operatorname*{Hom}%
\nolimits_{k}\left(  \left(  -\otimes_{k}Y^{\ast}\right)  \left(  X\right)
,\left(  \operatorname*{Hom}\nolimits_{k}\left(  Y,-\right)  \right)  \left(
X\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{also }\left(  \rho_{X}\right)  _{Y}%
\in\operatorname*{Hom}\nolimits_{k}\left(  X\otimes_{k}Y^{\ast}%
,\operatorname*{Hom}\nolimits_{k}\left(  Y,X\right)  \right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{definieren durch}\\
\left(  \rho_{Y}^{\prime}\right)  _{X}\left(  x\otimes f\right)   &  =\left(
y\mapsto xf\left(  y\right)  \right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle
}x\in X\text{ und }f\in Y^{\ast}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{und durch lineare Fortsetzung auf ganz
}X\otimes_{k}Y^{\ast}\text{ erweitern}\right)  .
\end{align*}


Die Tatsache, da\ss \ $\rho_{X}$ und $\rho_{Y}^{\prime}$ nat\"{u}rliche
Transformationen sind, wird von Algebraikern gerne folgenderma\ss en -
unformal, aber pr\"{a}gnant - ausgedr\"{u}ckt: F\"{u}r jeden kommutativen Ring
$k$ ist der f\"{u}r alle $X,Y\in\left.  _{k}\mathcal{M}\right.  $ definierte
$k$-Modulhomomorphismus%
\begin{align*}
X\otimes_{k}Y^{\ast}  &  \rightarrow\operatorname*{Hom}\nolimits_{k}\left(
Y,X\right)  ,\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{der }x\otimes f\text{ auf }\left(  y\mapsto
xf\left(  y\right)  \right)  \text{ abbildet f\"{u}r alle }x\in X\text{ und
}f\in Y^{\ast},
\end{align*}
\textit{kanonisch in} $X$ \textit{f\"{u}r festes }$Y$ \textit{und kanonisch in
}$Y$ \textit{f\"{u}r festes }$X,$ oder (kurz ausgedr\"{u}ckt)
\textit{kanonisch in beiden Variablen }$X$ \textit{und }$Y.$ (Die Aussage,
da\ss \ er kanonisch in $X$ f\"{u}r festes $Y$ ist, entspricht der
nat\"{u}rlichen Transformation $\rho_{Y}^{\prime},$ und die Aussage,
da\ss \ er kanonisch in $Y$ f\"{u}r festes $X$ ist, entspricht der
nat\"{u}rlichen Transformation $\rho_{X}.$)

\bigskip

\fbox{\textbf{Adjungierte Funktoren}}

Als n\"{a}chstes definieren wir die Begriffe von \textit{linksadjungierten
bzw. rechtsadjungierten Funktoren}. Zuerst eine Notation:

\textbf{Definition:} Sei $\mathcal{C}$ eine Kategorie, seien $X,X^{\prime
},Y,Y^{\prime}\in\mathcal{C}$ vier Objekte, und seien $f\in\mathcal{C}\left(
X^{\prime},X\right)  $ und $g\in\mathcal{C}\left(  Y,Y^{\prime}\right)  $ zwei
Morphismen\footnote{Man beachte die Reihenfolge: $f\in\mathcal{C}\left(
X^{\prime},X\right)  ,$ nicht $f\in\mathcal{C}\left(  X,X^{\prime}\right)  $
!}. Dann bezeichnen wir mit $\mathcal{C}\left(  f,g\right)  $ die Abbildung
von $\mathcal{C}\left(  X,Y\right)  $ nach $\mathcal{C}\left(  X^{\prime
},Y^{\prime}\right)  ,$ die jeden Morphismus $h\in\mathcal{C}\left(
X,Y\right)  $ in den Morphismus $ghf\in\mathcal{C}\left(  X^{\prime}%
,Y^{\prime}\right)  $ \"{u}berf\"{u}hrt.

Nun zu der Definition links- bzw. rechtsadjungierter Funktoren:

\textbf{Definition:} Seien $\mathcal{C}$ und $\mathcal{D}$ zwei Kategorien,
und $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ und $G:\mathcal{D}\rightarrow
\mathcal{C}$ zwei Funktoren. Dann hei\ss t der Funktor $F$
\textit{linksadjungiert} zu dem Funktor $G,$ wenn man f\"{u}r jedes
$C\in\mathcal{C}$ und jedes $D\in\mathcal{D}$ eine bijektive Abbildung
$\varphi_{C,D}:\mathcal{D}\left(  F\left(  C\right)  ,D\right)  \rightarrow
\mathcal{C}\left(  C,G\left(  D\right)  \right)  $ finden kann mit der
Eigenschaft, da\ss \ f\"{u}r beliebige Objekte $C,C^{\prime}\in\mathcal{C}$
und $D,D^{\prime}\in\mathcal{D}$ und f\"{u}r beliebige Morphismen
$f\in\mathcal{C}\left(  C,C^{\prime}\right)  $ und $g\in\mathcal{D}\left(
D,D^{\prime}\right)  $ die zwei Diagramme%
\begin{equation}
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{ \mathcal{D}\left(F\left(C\right),D\right) \ar[d]_{\mathcal{D}\left(\operatorname*{id},g\right)} \ar[r]^{\text{Bijektion}}_{\varphi_{C,D}} & \mathcal{C}\left(C,G\left(D\right)\right) \ar[d]^{\mathcal{C}\left(\operatorname*{id},G\left(g\right)\right)} \\ \mathcal{D}\left(F\left(C\right),D^{\prime}\right) \ar[r]^{\text{Bijektion}}_{\varphi_{C,D^{\prime}}} & \mathcal{C}\left(C,G\left(D^{\prime}\right)\right) }
\tag{1.6}%
\end{equation}
und%
\begin{equation}
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{ \mathcal{D}\left(F\left(C^{\prime}\right),D\right) \ar[d]_{\mathcal{D}\left(F\left(f\right),\operatorname*{id}\right)} \ar[r]^{\text{Bijektion}}_{\varphi_{C^{\prime},D}} & \mathcal{C}\left(C^{\prime},G\left(D\right)\right) \ar[d]^{\mathcal{C}\left(f,\operatorname*{id}\right)} \\ \mathcal{D}\left(F\left(C\right),D\right) \ar[r]^{\text{Bijektion}}_{\varphi_{C,D}} & \mathcal{C}\left(C,G\left(D\right)\right) }
\tag{1.7}%
\end{equation}
kommutativ sind.

Statt zu sagen, da\ss \ der Funktor $F$ linksadjungiert zu dem Funktor $G$
ist, kann man auch eine der zwei folgenden \"{a}quivalenten Sprechweisen verwenden:

\begin{itemize}
\item Der Funktor $G$ ist \textit{rechtsadjungiert} zu dem Funktor $F.$

\item Es gilt $\mathcal{C}\underset{G}{\overset{F}{\rightleftarrows}%
}\mathcal{D}.$
\end{itemize}

\textit{Bemerkung:} Die Bedingung, da\ss \ f\"{u}r beliebige Objekte
$C,C^{\prime}\in\mathcal{C}$ und $D,D^{\prime}\in\mathcal{D}$ und f\"{u}r
beliebige Morphismen $f\in\mathcal{C}\left(  C,C^{\prime}\right)  $ und
$g\in\mathcal{D}\left(  D,D^{\prime}\right)  $ die zwei Diagramme (1.6) und
(1.7) kommutativ sind, k\"{o}nnte man auch unformal wie folgt in Worte fassen:
Die f\"{u}r alle $C\in\mathcal{C}$ und f\"{u}r alle $D\in\mathcal{D}$
definierte Abbildung $\varphi_{C,D}$ ist kanonisch in beiden Variablen $C$ und
$D.$ (Der Begriff "kanonisch in beiden Variablen $C$ und $D$\ \ \ \ " ist
dabei genauso zu verstehen wie in Beispiel 1.17. \textbf{2)}; wir werden aber
hier keine formale Definition f\"{u}r diesen Begriff geben.) Somit l\"{a}\ss t
sich obige Definition wie folgt umformulieren: F\"{u}r zwei Kategorien
$\mathcal{C}$ und $\mathcal{D}$ und zwei Funktoren $F:\mathcal{C}%
\rightarrow\mathcal{D}$ und $G:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}$ hei\ss t der
Funktor $F$ \textit{linksadjungiert} zu dem Funktor $G,$ wenn man eine f\"{u}r
alle $C\in\mathcal{C}$ und alle $D\in\mathcal{D}$ definierte bijektive
Abbildung $\varphi_{C,D}:\mathcal{D}\left(  F\left(  C\right)  ,D\right)
\rightarrow\mathcal{C}\left(  C,G\left(  D\right)  \right)  $ angeben kann,
die kanonisch in beiden Variablen ist.

\textbf{1.18. Satz:} Seien $\mathcal{C}$ und $\mathcal{D}$ zwei Kategorien,
und seien $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ und $G:\mathcal{D}%
\rightarrow\mathcal{C}$ zwei Funktoren so, da\ss \ $F$ linksadjungiert zu $G$ ist.

F\"{u}r jedes $C\in\mathcal{C}$ sei ein Morphismus $\eta_{C}:C\rightarrow
G\left(  F\left(  C\right)  \right)  $ definiert als $\eta_{C}=\varphi
_{C,F\left(  C\right)  }\left(  \operatorname*{id}_{F\left(  C\right)
}\right)  $ (wobei die Abbildung $\varphi_{C,D}:\mathcal{D}\left(  F\left(
C\right)  ,D\right)  \rightarrow\mathcal{C}\left(  C,G\left(  D\right)
\right)  $ f\"{u}r alle $C\in\mathcal{C}$ und $D\in\mathcal{D}$ genauso
definiert ist wie in der Definition linksadjungierter Funktoren). Sei
$\eta=\left(  \eta_{C}\right)  _{C\in\mathcal{C}}.$

\textbf{a)} Dann ist $\eta$ eine nat\"{u}rliche Transformation von
$\operatorname*{id}_{\mathcal{C}}$ nach $GF.$

\textbf{b)} F\"{u}r jedes $C\in\mathcal{C},$ jedes $D\in\mathcal{D}$ und jeden
Morphismus $\varphi:C\rightarrow G\left(  D\right)  $ gibt es genau einen
Morphismus $f:F\left(  C\right)  \rightarrow D$ so, da\ss \ $\varphi
_{C,D}\left(  f\right)  =\varphi$ gilt und das Diagramm%
\[
\xymatrix{
C \ar[r]^-{\varphi} \ar[dr]_{\eta_C} & G\left(D\right) \\
& G\left(F\left(C\right)\right) \ar@{.>}[u]_{G\left(f\right)}
}
\]
kommutativ ist.

\textit{Beweis:} \textbf{a)} Wir m\"{u}ssen zeigen, da\ss \ f\"{u}r je zwei
$C,C^{\prime}\in\mathcal{C}$ und f\"{u}r jeden Morphismus $u:C\rightarrow
C^{\prime}$ das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
C \ar[r]^-{\eta_C} \ar[d]_u & G\left(F\left(C\right)\right) \ar[d]^{G\left(F\left(u\right)\right)} \\
C^{\prime} \ar[r]_-{\eta_{C^{\prime}}} & G\left(F\left(C^{\prime}\right)\right)
}
\]
kommutiert.

Doch dies folgt aus%
\begin{align*}
G\left(  F\left(  u\right)  \right)  \circ\eta_{C}  &  =\left(  \mathcal{C}%
\left(  \operatorname*{id},G\left(  F\left(  u\right)  \right)  \right)
\right)  \left(  \eta_{C}\right)  =\left(  \mathcal{C}\left(
\operatorname*{id},G\left(  F\left(  u\right)  \right)  \right)  \right)
\left(  \varphi_{C,F\left(  C\right)  }\left(  \operatorname*{id}%
\nolimits_{F\left(  C\right)  }\right)  \right) \\
&  =\left(  \mathcal{C}\left(  \operatorname*{id},G\left(  F\left(  u\right)
\right)  \right)  \circ\varphi_{C,F\left(  C\right)  }\right)  \left(
\operatorname*{id}\nolimits_{F\left(  C\right)  }\right)  =\left(
\varphi_{C,F\left(  C^{\prime}\right)  }\circ\mathcal{D}\left(
\operatorname*{id},F\left(  u\right)  \right)  \right)  \left(
\operatorname*{id}\nolimits_{F\left(  C\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{nach dem kommutativen Diagramm (1.6)}\\
\text{f\"{u}r }D=F\left(  C\right)  \text{, }D^{\prime}=F\left(  C^{\prime
}\right)  \text{ und }g=F\left(  u\right)
\end{array}
\right) \\
&  =\varphi_{C,F\left(  C^{\prime}\right)  }\left(  \underbrace{\mathcal{D}%
\left(  \operatorname*{id},F\left(  u\right)  \right)  \left(
\operatorname*{id}\nolimits_{F\left(  C\right)  }\right)  }_{=F\left(
u\right)  =\mathcal{D}\left(  F\left(  u\right)  ,\operatorname*{id}\right)
\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{F\left(  C^{\prime}\right)  }\right)
}\right)  =\varphi_{C,F\left(  C^{\prime}\right)  }\left(  \mathcal{D}\left(
F\left(  u\right)  ,\operatorname*{id}\right)  \left(  \operatorname*{id}%
\nolimits_{F\left(  C^{\prime}\right)  }\right)  \right) \\
&  =\left(  \varphi_{C,F\left(  C^{\prime}\right)  }\circ\mathcal{D}\left(
F\left(  u\right)  ,\operatorname*{id}\right)  \right)  \left(
\operatorname*{id}\nolimits_{F\left(  C^{\prime}\right)  }\right)  =\left(
\mathcal{C}\left(  u,\operatorname*{id}\right)  \circ\varphi_{C^{\prime
},F\left(  C^{\prime}\right)  }\right)  \left(  \operatorname*{id}%
\nolimits_{F\left(  C^{\prime}\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{nach dem kommutativen Diagramm (1.7)}\\
\text{f\"{u}r }D=F\left(  C^{\prime}\right)  \text{ und }f=u
\end{array}
\right) \\
&  =\mathcal{C}\left(  u,\operatorname*{id}\right)  \left(  \varphi
_{C^{\prime},F\left(  C^{\prime}\right)  }\left(  \operatorname*{id}%
\nolimits_{F\left(  C^{\prime}\right)  }\right)  \right)  =\mathcal{C}\left(
u,\operatorname*{id}\right)  \left(  \eta_{C^{\prime}}\right)  =\eta
_{C^{\prime}}\circ u.
\end{align*}


\textbf{b)} Da $\varphi_{C,D}$ bijektiv ist, gibt es genau einen Morphismus
$f:F\left(  C\right)  \rightarrow D$ so, da\ss \ $\varphi_{C,D}\left(
f\right)  =\varphi$ gilt. Wir m\"{u}ssen also nur noch zeigen, da\ss \ f\"{u}r
diesen Morphismus $f$ das Diagramm%
\[
\xymatrix{
C \ar[r]^-{\varphi} \ar[dr]_{\eta_C} & G\left(D\right) \\
& G\left(F\left(C\right)\right) \ar@{.>}[u]_{G\left(f\right)}
}
\]
kommutativ ist, also da\ss \ $G\left(  f\right)  \circ\eta_{C}=\varphi$ ist.

Da der Funktor $F$ zum Funktor $G$ linksadjungiert ist, ist das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{ \mathcal{D}\left(F\left(C\right),F\left(C\right)\right) \ar[d]_{\mathcal{D}\left(\operatorname*{id},f\right)} \ar[r]^{\text{Bijektion}}_{\varphi_{C,F\left(C\right)}} & \mathcal{C}\left(C,G\left(F\left(C\right)\right)\right) \ar[d]^{\mathcal{C}\left(\operatorname*{id},G\left(f\right)\right)} \\ \mathcal{D}\left(F\left(C\right),D\right) \ar[r]^{\text{Bijektion}}_{\varphi_{C,D}} & \mathcal{C}\left(C,G\left(D\right)\right) }
\]
kommutativ\footnote{Die Abbildung $\mathcal{D}\left(  \operatorname*{id}%
,f\right)  :\mathcal{D}\left(  F\left(  C\right)  ,F\left(  C\right)  \right)
\rightarrow\mathcal{D}\left(  F\left(  C\right)  ,D\right)  $
\"{u}berf\"{u}hrt dabei jeden Morphismus $g\in\mathcal{D}\left(  F\left(
C\right)  ,F\left(  C\right)  \right)  $ in $fg,$ und die Abbildung
$\mathcal{C}\left(  \operatorname*{id},G\left(  f\right)  \right)
:\mathcal{C}\left(  C,G\left(  F\left(  C\right)  \right)  \right)
\rightarrow\mathcal{C}\left(  C,G\left(  D\right)  \right)  $
\"{u}berf\"{u}hrt jeden Morphismus $h\in\mathcal{C}\left(  C,G\left(  F\left(
C\right)  \right)  \right)  $ in $G\left(  f\right)  h$.} (dies folgt aus dem
kommutativen Diagramm (1.6), angewandt auf $f$, $F\left(  C\right)  $ und $D$
statt $g$, $D$ bzw. $D^{\prime}$). Verfolgen wir den Weg des Elementes
$\operatorname*{id}_{F\left(  C\right)  }\in\mathcal{D}\left(  F\left(
C\right)  ,F\left(  C\right)  \right)  $ durch dieses Diagramm, dann erhalten
wir \newline$\left(  \mathcal{C}\left(  \operatorname*{id},G\left(  f\right)
\right)  \circ\varphi_{C,F\left(  C\right)  }\right)  \left(
\operatorname*{id}_{F\left(  C\right)  }\right)  =\left(  \varphi_{C,D}%
\circ\mathcal{D}\left(  \operatorname*{id},f\right)  \right)  \left(
\operatorname*{id}_{F\left(  C\right)  }\right)  .$ Doch wegen%
\begin{align*}
\left(  \mathcal{C}\left(  \operatorname*{id},G\left(  f\right)  \right)
\circ\varphi_{C,F\left(  C\right)  }\right)  \left(  \operatorname*{id}%
\nolimits_{F\left(  C\right)  }\right)   &  =\mathcal{C}\left(
\operatorname*{id},G\left(  f\right)  \right)  \left(  \underbrace{\varphi
_{C,F\left(  C\right)  }\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{F\left(
C\right)  }\right)  }_{=\eta_{C}}\right) \\
&  =\mathcal{C}\left(  \operatorname*{id},G\left(  f\right)  \right)  \left(
\eta_{C}\right)  =G\left(  f\right)  \circ\eta_{C}%
\end{align*}
und%
\[
\left(  \varphi_{C,D}\circ\mathcal{D}\left(  \operatorname*{id},f\right)
\right)  \left(  \operatorname*{id}\nolimits_{F\left(  C\right)  }\right)
=\varphi_{C,D}\left(  \left(  \mathcal{D}\left(  \operatorname*{id},f\right)
\right)  \left(  \operatorname*{id}\nolimits_{F\left(  C\right)  }\right)
\right)  =\varphi_{C,D}\left(  f\right)  =\varphi,
\]
vereinfacht sich dies zu $G\left(  f\right)  \circ\eta_{C}=\varphi,$ was zu
beweisen war.

Nun werden wir mehrere Aussagen zeigen, die Algebraiker in der Formulierung
"der $\otimes$-Funktor ist linksadjungiert zum $\operatorname*{Hom}$-Funktor"
subsumieren. Die genauen Formulierungen dieser Aussagen werden wir unten sehen
(1.19$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$. und 1.20$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$.);
zuerst einige Vorbereitungen:

\textbf{1.19. Satz:} Sei $R$ ein Ring, seien $X\in\mathcal{M}_{R}$ und
$Y\in\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  ,$ und sei $M\in\left.  _{\mathbb{Z}%
}\mathcal{M}\right.  $ (das hei\ss t, sei $M$ eine abelsche Gruppe).

\textbf{a)} Dann ist die Abbildung%
\begin{align*}
\left.  \varphi:\right.  \operatorname*{Hom}\nolimits_{\mathbb{Z}}\left(
X\otimes_{R}Y,M\right)   &  \rightarrow\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(
X,\operatorname*{Hom}\nolimits_{\mathbb{Z}}\left(  Y,M\right)  \right)  ,\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f  &  \mapsto\left(  x\mapsto\left(  y\mapsto f\left(
x\otimes y\right)  \right)  \right)
\end{align*}
ein nat\"{u}rlicher Isomorphismus von $\mathbb{Z}$-Moduln (das hei\ss t, ein
Isomorphismus von $\mathbb{Z}$-Moduln, der in jeder der drei Variablen $X,$
$Y$ und $M$ nat\"{u}rlich ist).

\textbf{b)} Ebenso ist die Abbildung%
\begin{align*}
\left.  \widetilde{\varphi}:\right.  \operatorname*{Hom}\nolimits_{\mathbb{Z}%
}\left(  X\otimes_{R}Y,M\right)   &  \rightarrow\operatorname*{Hom}%
\nolimits_{R}\left(  Y,\operatorname*{Hom}\nolimits_{\mathbb{Z}}\left(
X,M\right)  \right)  ,\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f  &  \mapsto\left(  y\mapsto\left(  x\mapsto f\left(
x\otimes y\right)  \right)  \right)
\end{align*}
ein nat\"{u}rlicher Isomorphismus von $\mathbb{Z}$-Moduln (das hei\ss t, ein
Isomorphismus von $\mathbb{Z}$-Moduln, der in jeder der drei Variablen $X,$
$Y$ und $M$ nat\"{u}rlich ist).

\textit{Beweis:} \textbf{a)} Die Umkehrabbildung $\varphi^{-1}$ von $\varphi$
l\"{a}\ss t sich wie folgt angeben: Sei $F\in\operatorname*{Hom}%
\nolimits_{R}\left(  X,\operatorname*{Hom}\nolimits_{\mathbb{Z}}\left(
Y,M\right)  \right)  .$ Dann ist%
\[
X\times Y\rightarrow M,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  x,y\right)  \mapsto\left(
F\left(  x\right)  \right)  \left(  y\right)
\]
eine $R$-tensorielle Abbildung, und faktorisiert daher (nach der universellen
Eigenschaft des Tensorproduktes) \"{u}ber das Tensorprodukt $X\otimes_{R}Y;$
die so entstandene $\mathbb{Z}$-lineare Abbildung $X\otimes_{R}Y\rightarrow M$
sei dann $\varphi^{-1}\left(  F\right)  .$

Die Details des Beweises sind dem Leser \"{u}berlassen (es sind im
Wesentlichen nur Rechnungen).\footnote{Die Idee hinter dem Beweis ist die
folgende: $\mathbb{Z}$-Modulhomomorphismen von $X\otimes_{R}Y$ nach $M$
entsprechen $R$-tensoriellen Abbildungen von $X\times Y$ nach $M,$ und diese
wiederum kann man durch "Currying" in $R$-lineare Abbildungen von $X$ nach
$\operatorname*{Hom}_{\mathbb{Z}}\left(  Y,M\right)  $ verwandeln. Unter
\textit{Currying} verstehen wir dabei die Umwandlung einer $R$-tensoriellen
Abbildung $f:X\times Y\rightarrow M$ in eine $R$-lineare Abbildung
$g:X\rightarrow\operatorname*{Hom}_{\mathbb{Z}}\left(  Y,M\right)  ,$ die
durch $g\left(  x\right)  =\left(  y\mapsto f\left(  x,y\right)  \right)  $
f\"{u}r alle $x\in X$ definiert wird.}

\textbf{b)} ist analog zu \textbf{a)} zu zeigen.

\textbf{1.19}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{.
Folgerung:} Sei $R$ ein Ring.

\textbf{a)} Sei $X\in\mathcal{M}_{R}.$ Dann ist der Funktor $X\otimes
_{R}-:\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.  _{\mathbb{Z}%
}\mathcal{M}\right.  $ linksadjungiert zu dem Funktor $\operatorname*{Hom}%
_{\mathbb{Z}}\left(  _{\mathbb{Z}}X_{R},-\right)  :\left.  _{\mathbb{Z}%
}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  .$

\textbf{b)} Sei $Y\in\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  .$ Dann ist der Funktor
$-\otimes_{R}Y:\mathcal{M}_{R}\rightarrow\mathcal{M}_{\mathbb{Z}}$
linksadjungiert zu dem Funktor $\operatorname*{Hom}_{\mathbb{Z}}\left(
_{R}Y_{\mathbb{Z}},-\right)  :\mathcal{M}_{\mathbb{Z}}\rightarrow
\mathcal{M}_{R}.$

\textit{Beweis:} \textbf{a)} F\"{u}r jedes $Y\in\left.  _{R}\mathcal{M}%
\right.  $ und jedes $M\in\left.  _{\mathbb{Z}}\mathcal{M}\right.  $ gibt es
gem\"{a}\ss \ 1.19. \textbf{b)} eine in beiden Variablen kanonische bijektive
Abbildung
\[
\widetilde{\varphi}_{Y,M}:\operatorname*{Hom}\nolimits_{\mathbb{Z}}\left(
X\otimes_{R}Y,M\right)  \rightarrow\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(
Y,\operatorname*{Hom}\nolimits_{\mathbb{Z}}\left(  X,M\right)  \right)  ,
\]
also eine in beiden Variablen kanonische bijektive Abbildung%
\[
\widetilde{\varphi}_{Y,M}:\left(  _{\mathbb{Z}}\mathcal{M}\right)  \left(
\left(  X\otimes_{R}-\right)  \left(  Y\right)  ,M\right)  \rightarrow\left(
_{R}\mathcal{M}\right)  \left(  Y,\left(  \operatorname*{Hom}%
\nolimits_{\mathbb{Z}}\left(  _{\mathbb{Z}}X_{R},-\right)  \right)  \left(
M\right)  \right)  .
\]
Doch dies besagt (laut der Definition von Linksadjungiertheit), da\ss \ der
Funktor $X\otimes_{R}-$ linksadjungiert zu dem Funktor $\operatorname*{Hom}%
_{\mathbb{Z}}\left(  _{\mathbb{Z}}X_{R},-\right)  $ ist.

\textbf{b)} zeigt man analog zu \textbf{a)} mithilfe von 1.19. \textbf{a)}
statt 1.19. \textbf{b)}.

Wir k\"{o}nnen die Resultate von 1.19. und 1.19$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$.
verallgemeinern, indem wir zus\"{a}tzlich zur gegebenen $R$-Linksmodul- bzw.
$R$-Rechtsmodulstruktur zus\"{a}tzliche Strukturen auf der anderen Seite
fordern. So verallgemeinert sich 1.19. zu:

\textbf{1.20. Satz:} \textbf{a)} Seien $R$ und $S$ Ringe, seien $X\in
\mathcal{M}_{R}$ und $Y\in\left.  _{R}\mathcal{M}_{S}\right.  ,$ und sei
$Z\in\mathcal{M}_{S}.$ Dann ist die Abbildung%
\begin{align*}
\left.  \varphi:\right.  \operatorname*{Hom}\nolimits_{S}\left(  X\otimes
_{R}Y,Z\right)   &  \rightarrow\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(
X,\operatorname*{Hom}\nolimits_{S}\left(  Y,Z\right)  \right)  ,\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f  &  \mapsto\left(  x\mapsto\left(  y\mapsto f\left(
x\otimes y\right)  \right)  \right)
\end{align*}
ein nat\"{u}rlicher Isomorphismus von $\mathbb{Z}$-Moduln (das hei\ss t, ein
Isomorphismus von $\mathbb{Z}$-Moduln, der in jeder der drei Variablen $X,$
$Y$ und $Z$ nat\"{u}rlich ist).

\textbf{b)} Seien $R$ und $S$ Ringe, seien $X\in\left.  _{S}\mathcal{M}%
_{R}\right.  $ und $Y\in\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  ,$ und sei
$Z\in\left.  _{S}\mathcal{M}\right.  .$ Dann ist die Abbildung%
\begin{align*}
\left.  \widetilde{\varphi}:\right.  \operatorname*{Hom}\nolimits_{S}\left(
X\otimes_{R}Y,Z\right)   &  \rightarrow\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(
Y,\operatorname*{Hom}\nolimits_{S}\left(  X,Z\right)  \right)  ,\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f  &  \mapsto\left(  y\mapsto\left(  x\mapsto f\left(
x\otimes y\right)  \right)  \right)
\end{align*}
ein nat\"{u}rlicher Isomorphismus von $\mathbb{Z}$-Moduln (das hei\ss t, ein
Isomorphismus von $\mathbb{Z}$-Moduln, der in jeder der drei Variablen $X,$
$Y$ und $Z$ nat\"{u}rlich ist).

Entsprechend l\"{a}\ss t sich 1.19$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$.
verallgemeinern zu:

\textbf{1.20}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{.
Folgerung:} Seien $R$ und $S$ zwei Ringe.

\textbf{a)} Sei $X\in\left.  _{S}\mathcal{M}_{R}\right.  .$ Dann ist der
Funktor $_{S}X\otimes_{R}-:\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.
_{S}\mathcal{M}\right.  $ linksadjungiert zu dem Funktor $\operatorname*{Hom}%
_{S}\left(  _{S}X_{R},-\right)  :\left.  _{S}\mathcal{M}\right.
\rightarrow\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  .$

\textbf{b)} Sei $Y\in\left.  _{R}\mathcal{M}_{S}\right.  .$ Dann ist der
Funktor $-\otimes_{R}Y_{S}:\mathcal{M}_{R}\rightarrow\mathcal{M}_{S}$
linksadjungiert zu dem Funktor $\operatorname*{Hom}_{S}\left(  _{R}%
Y_{S},-\right)  :\mathcal{M}_{S}\rightarrow\mathcal{M}_{R}.$

Die Resultate 1.19. und 1.19$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$. sind Sonderf\"{a}lle
der Resultate 1.20. bzw. 1.20$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$., die man
erh\"{a}lt, wenn man $S=\mathbb{Z}$ setzt (denn $\left.  _{R}\mathcal{M}%
_{\mathbb{Z}}\right.  =\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  $ und $\left.
_{\mathbb{Z}}\mathcal{M}_{R}\right.  =\mathcal{M}_{R},$ oder, um ganz
pedantisch zu sein, $\left.  _{R}\mathcal{M}_{\mathbb{Z}}\right.  \cong\left.
_{R}\mathcal{M}\right.  $ und $\left.  _{\mathbb{Z}}\mathcal{M}_{R}\right.
\cong\mathcal{M}_{R}$). Die Beweise von 1.20. bzw. 1.20$\dfrac{\text{1}%
}{\text{2}}$. verlaufen v\"{o}llig analog zu den Beweisen von 1.19. und
1.19$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$.

\textbf{1.21. Folgerung:} Sind $R$ und $S$ zwei Ringe, und ist $f:R\rightarrow
S$ ein Ringhomomorphismus\footnote{Dieser Homomorphismus kann z. B. die
kanonische Einbettung sein, wenn $R$ ein Unterring von $S$ ist. Dieser Fall
ist einer der h\"{a}ufigsten Anwendungsf\"{a}lle von 1.21.}, dann wird $S$
kanonisch zu einem $\left(  S,R\right)  $-Bimodul (die $S$-Linksmodulstruktur
ist trivial, und die $R$-Rechtsmodulstruktur ist durch $sr=s\cdot f\left(
r\right)  $ f\"{u}r alle $s\in S$ und $r\in R$ gegeben). Somit haben wir einen
Funktor $_{S}S\otimes_{R}-:\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.
_{S}\mathcal{M}\right.  ,$ der jedes $M\in\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  $ in
$S\otimes_{R}M$ \"{u}berf\"{u}hrt.

Andererseits erh\"{a}lt wegen dem Homomorphismus $f$ jeder $S$-Linksmodul auch
eine kanonische $R$-Linksmodulstruktur; das hei\ss t, es gibt einen Funktor
$\Phi:\left.  _{S}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.  _{R}\mathcal{M}%
\right.  ,$ der jeden $S$-Linksmodul $X$ in einen $R$-Linksmodul $\Phi\left(
X\right)  $ \"{u}berf\"{u}hrt (und zwar ist dieser $R$-Linksmodul $\Phi\left(
X\right)  $ als abelsche Gruppe identisch mit $X,$ w\"{a}hrend die
$R$-Linksmodulstruktur auf $\Phi\left(  X\right)  $ definiert ist durch
$rx=f\left(  r\right)  x$ f\"{u}r jedes $r\in R$ und jedes $x\in\Phi\left(
X\right)  $).\ \ \ \ \footnote{Meist bezeichnet man den $R$-Linksmodul
$\Phi\left(  X\right)  $ einfach mit $_{R}X;$ dieser Modul ist sozusagen "$X,$
als $R$-Linksmodul gesehen".} Dieser $R$-Linksmodul $\Phi\left(  X\right)  $
hei\ss t die \textit{Restriktion} (oder \textit{Einschr\"{a}nkung}) des
$S$-Linksmoduls $X$ verm\"{o}ge des Homomorphismus $f:R\rightarrow S$.

Der Funktor $_{S}S\otimes_{R}-:\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  \rightarrow
\left.  _{S}\mathcal{M}\right.  $ ist dann linksadjungiert zum Funktor
$\Phi:\left.  _{S}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.  _{R}\mathcal{M}%
\right.  .$

\textit{Beweis:} Dies folgt aus 1.20$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$. \textbf{a)},
denn der Funktor $\Phi$ ist isomorph zum Funktor $\operatorname*{Hom}%
_{S}\left(  _{S}S_{R},-\right)  :\left.  _{S}\mathcal{M}\right.
\rightarrow\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  .$ Letzteres wird klar, wenn man
folgenden nat\"{u}rlichen Isomorphismus $\nu:\Phi\rightarrow
\operatorname*{Hom}_{S}\left(  _{S}S_{R},-\right)  $ einf\"{u}hrt:

F\"{u}r jeden $S$-Linksmodul $X$ sei der $R$-Linksmodulhomomorphismus $\nu
_{X}:\Phi\left(  X\right)  \rightarrow\left(  \operatorname*{Hom}_{S}\left(
_{S}S_{R},-\right)  \right)  \left(  X\right)  $ gegeben durch $\nu_{X}\left(
a\right)  =\left(  s\mapsto sa\right)  $ f\"{u}r alle $a\in\Phi\left(
X\right)  .$ (Um diese Definition zu verstehen, sollte man sich klar machen,
da\ss \ $\Phi\left(  X\right)  $ einfach der Modul $X$ als $R$-Linksmodul ist,
und $\left(  \operatorname*{Hom}_{S}\left(  _{S}S_{R},-\right)  \right)
\left(  X\right)  =\operatorname*{Hom}_{S}\left(  _{S}S_{R},X\right)  $ ist.)
Bezeichnet man dann $\nu=\left(  \nu_{X}\right)  _{X\in\left.  _{S}%
\mathcal{M}\right.  },$ dann kann man leicht zeigen, da\ss \ $\nu$ ein
nat\"{u}rlicher Isomorphismus ist.

\bigskip

\fbox{\textbf{Quasiinverse \"{A}quivalenzen}}

Wir werden nun den Begriff von \textit{\"{a}quivalenten Kategorien}
einf\"{u}hren. Dieser Begriff ist eine schw\"{a}chere Form der Isomorphie
zweier Kategorien: Zwei zueinander \"{a}quivalente Kategorien m\"{u}ssen nicht
unbedingt zueinander isomorph sein, aber intuitiv gesehen gilt alles, was
f\"{u}r eine dieser Kategorien gilt, auch f\"{u}r die andere.

\textbf{Definition:} Seien $\mathcal{C}$ und $\mathcal{D}$ zwei Kategorien.

\textbf{1)} Seien $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ und $G:\mathcal{D}%
\rightarrow\mathcal{C}$ zwei Funktoren. Diese Funktoren $F$ und $G$ hei\ss en
zueinander \textit{quasiinverse \"{A}quivalenzen}, wenn $FG\cong%
\operatorname*{id}_{\mathcal{D}}$ und $GF\cong\operatorname*{id}_{\mathcal{C}%
}$ gilt, d. h. wenn es nat\"{u}rliche Isomorphismen $FG\rightarrow
\operatorname*{id}_{\mathcal{D}}$ und $GF\rightarrow\operatorname*{id}%
_{\mathcal{C}}$ gibt.

\textbf{2)} Ein Funktor $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ hei\ss t
\textit{\"{A}quivalenz} zwischen den Kategorien $\mathcal{C}$ und
$\mathcal{D},$ wenn es einen Funktor $G:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}$
gibt so, da\ss \ $F$ und $G$ zueinander quasiinverse \"{A}quivalenzen sind.

\textbf{3)} Die zwei Kategorien $\mathcal{C}$ und $\mathcal{D}$ hei\ss en
zueinander \textit{\"{a}quivalent}, wenn es zwei Funktoren $F:\mathcal{C}%
\rightarrow\mathcal{D}$ und $G:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}$ gibt so,
da\ss \ $F$ und $G$ zueinander quasiinverse \"{A}quivalenzen sind.

\textbf{1.22. Bemerkung:} \textbf{1)} Zwei Kategorien $\mathcal{C}$ und
$\mathcal{D}$ hei\ss en zueinander \textit{isomorph}, wenn es zwei Funktoren
$F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ und $G:\mathcal{D}\rightarrow
\mathcal{C}$ gibt mit $FG=\operatorname*{id}_{\mathcal{D}}$ und
$GF=\operatorname*{id}_{\mathcal{C}}.$ Es ist klar, da\ss \ zwei zueinander
isomorphe Kategorien stets zueinander \"{a}quivalent sind, aber die Umkehrung
gilt nicht.

\textbf{2)} Seien $\mathcal{C}$ und $\mathcal{D}$ zwei Kategorien, und
$F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ und $G:\mathcal{D}\rightarrow
\mathcal{C}$ zwei Funktoren so, da\ss \ $F$ und $G$ zueinander quasiinverse
\"{A}quivalenzen sind. Dann gilt $\mathcal{C}%
\underset{G}{\overset{F}{\rightleftarrows}}\mathcal{D}$ und $\mathcal{D}%
\underset{F}{\overset{G}{\rightleftarrows}}\mathcal{C}.$

\textit{Beweis:} Da $F$ und $G$ zueinander quasiinverse \"{A}quivalenzen sind,
gibt es einen Isomorphismus von Funktoren $u:\operatorname*{id}_{\mathcal{C}%
}\rightarrow GF$ und einen Isomorphismus von Funktoren $v:FG\rightarrow
\operatorname*{id}_{\mathcal{D}}.$ F\"{u}r jedes $C\in\mathcal{C}$ und jedes
$D\in\mathcal{D}$ definieren wir eine Abbildung $\varphi_{C,D}:\mathcal{D}%
\left(  F\left(  C\right)  ,D\right)  \rightarrow\mathcal{C}\left(  C,G\left(
D\right)  \right)  $ durch das kommutative Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrixrowsep{3pc} \xymatrix{
\mathcal{D}\left(F\left(C\right),D\right) \ar[dd]_{G_{F\left(C\right),D}} \ar[r]^-{\varphi_{C,D}} & \mathcal{C}\left(C,G\left(D\right)\right) \\
& \\
\mathcal{C}\left(G\left(F\left(C\right)\right),G\left(D\right)\right) \ar[ruu]_{\mathcal{C}\left(u_C,\operatorname*{id}_{G\left(D\right)}\right)} &
}.
\]
Diese Abbildung ist eine Bijektion, denn definieren wir zus\"{a}tzlich eine
Abbildung $\psi_{C,D}:\mathcal{C}\left(  C,G\left(  D\right)  \right)
\rightarrow\mathcal{D}\left(  F\left(  C\right)  ,D\right)  $ durch das
kommutative Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrixrowsep{3pc} \xymatrix{
& \mathcal{D}\left(F\left(C\right),F\left(G\left(D\right)\right)\right) \ar[ddl]_{\mathcal{D}\left(\operatorname*{id}_{F\left(C\right)},v_D\right)} \\
& \\
\mathcal{D}\left(F\left(C\right),D\right) & \mathcal{C}\left(C,G\left(D\right)\right) \ar[l]^-{\psi_{C,D}} \ar[uu]_{F_{C,G\left(D\right)}} \\
},
\]
dann ist $\psi_{C,D}\circ\varphi_{C,D}:\mathcal{D}\left(  F\left(  C\right)
,D\right)  \rightarrow\mathcal{D}\left(  F\left(  C\right)  ,D\right)  $ eine
Bijektion (denn f\"{u}r alle $x\in\mathcal{D}\left(  F\left(  C\right)
,D\right)  $ ist%
\begin{align*}
\left(  \psi_{C,D}\circ\varphi_{C,D}\right)  \left(  x\right)   &  =\left(
\mathcal{D}\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{F\left(  C\right)  }%
,v_{D}\right)  \circ F_{C,G\left(  D\right)  }\circ\mathcal{C}\left(
u_{C},\operatorname*{id}\nolimits_{G\left(  D\right)  }\right)  \circ
G_{F\left(  C\right)  ,D}\right)  \left(  x\right) \\
&  =\left(  \mathcal{D}\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{F\left(  C\right)
},v_{D}\right)  \circ F_{C,G\left(  D\right)  }\circ\mathcal{C}\left(
u_{C},\operatorname*{id}\nolimits_{G\left(  D\right)  }\right)  \right)
\left(  G\left(  x\right)  \right) \\
&  =\left(  \mathcal{D}\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{F\left(  C\right)
},v_{D}\right)  \circ F_{C,G\left(  D\right)  }\right)  \left(  G\left(
x\right)  \circ u_{C}\right) \\
&  =\left(  \mathcal{D}\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{F\left(  C\right)
},v_{D}\right)  \right)  \left(  F\left(  G\left(  x\right)  \circ
u_{C}\right)  \right)  =v_{D}\circ\left(  F\left(  G\left(  x\right)  \circ
u_{C}\right)  \right) \\
&  =v_{D}\circ F\left(  G\left(  x\right)  \right)  \circ F\left(
u_{C}\right)  =\underbrace{v_{D}\circ\left(  FG\right)  \left(  x\right)
}_{\substack{=x\circ v_{F\left(  C\right)  },\text{ da }v\\\text{eine
nat\"{u}rliche}\\\text{Transformation ist}}}\circ F\left(  u_{C}\right) \\
&  =x\circ v_{F\left(  C\right)  }\circ F\left(  u_{C}\right)  =\left(
\mathcal{D}\left(  v_{F\left(  C\right)  }\circ F\left(  u_{C}\right)
,\operatorname*{id}\nolimits_{D}\right)  \right)  \left(  x\right)  ,
\end{align*}
also $\psi_{C,D}\circ\varphi_{C,D}=\mathcal{D}\left(  v_{F\left(  C\right)
}\circ F\left(  u_{C}\right)  ,\operatorname*{id}\nolimits_{D}\right)  ,$ und
somit ist $\psi_{C,D}\circ\varphi_{C,D}$ eine Bijektion - die Umkehrabbildung
ist n\"{a}mlich $\mathcal{D}\left(  F\left(  u_{C}^{-1}\right)  \circ
v_{F\left(  C\right)  }^{-1},\operatorname*{id}\nolimits_{D}\right)  $), und
$\varphi_{C,D}\circ\psi_{C,D}:\mathcal{C}\left(  C,G\left(  D\right)  \right)
\rightarrow\mathcal{C}\left(  C,G\left(  D\right)  \right)  $ ist eine
Bijektion (denn f\"{u}r alle $x\in\mathcal{C}\left(  C,G\left(  D\right)
\right)  $ ist%
\begin{align*}
\left(  \varphi_{C,D}\circ\psi_{C,D}\right)  \left(  x\right)   &  =\left(
\mathcal{C}\left(  u_{C},\operatorname*{id}\nolimits_{G\left(  D\right)
}\right)  \circ G_{F\left(  C\right)  ,D}\circ\mathcal{D}\left(
\operatorname*{id}\nolimits_{F\left(  C\right)  },v_{D}\right)  \circ
F_{C,G\left(  D\right)  }\right)  \left(  x\right) \\
&  =\left(  \mathcal{C}\left(  u_{C},\operatorname*{id}\nolimits_{G\left(
D\right)  }\right)  \circ G_{F\left(  C\right)  ,D}\circ\mathcal{D}\left(
\operatorname*{id}\nolimits_{F\left(  C\right)  },v_{D}\right)  \right)
\left(  F\left(  x\right)  \right) \\
&  =\left(  \mathcal{C}\left(  u_{C},\operatorname*{id}\nolimits_{G\left(
D\right)  }\right)  \circ G_{F\left(  C\right)  ,D}\right)  \left(  v_{D}\circ
F\left(  x\right)  \right) \\
&  =\left(  \mathcal{C}\left(  u_{C},\operatorname*{id}\nolimits_{G\left(
D\right)  }\right)  \right)  \left(  G\left(  v_{D}\circ F\left(  x\right)
\right)  \right)  =G\left(  v_{D}\circ F\left(  x\right)  \right)  \circ
u_{C}\\
&  =G\left(  v_{D}\right)  \circ G\left(  F\left(  x\right)  \right)  \circ
u_{C}=G\left(  v_{D}\right)  \circ\underbrace{\left(  GF\right)  \left(
x\right)  \circ u_{C}}_{\substack{=u_{G\left(  D\right)  }\circ x,\text{ da
}u\\\text{eine nat\"{u}rliche}\\\text{Transformation ist}}}\\
&  =G\left(  v_{D}\right)  \circ u_{G\left(  D\right)  }\circ x=\left(
\mathcal{C}\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{C},G\left(  v_{D}\right)
\circ u_{G\left(  D\right)  }\right)  \right)  \left(  x\right)  ,
\end{align*}
also $\varphi_{C,D}\circ\psi_{C,D}=\mathcal{C}\left(  \operatorname*{id}%
\nolimits_{C},G\left(  v_{D}\right)  \circ u_{G\left(  D\right)  }\right)  ,$
und somit ist $\varphi_{C,D}\circ\psi_{C,D}$ eine Bijektion - die
Umkehrabbildung ist n\"{a}mlich $\mathcal{C}\left(  \operatorname*{id}%
\nolimits_{C},u_{G\left(  D\right)  }^{-1}\circ G\left(  v_{D}^{-1}\right)
\right)  $). Hieraus folgt $\mathcal{C}%
\underset{G}{\overset{F}{\rightleftarrows}}\mathcal{D}$ (denn die
Kommutativit\"{a}t der n\"{o}tigen Diagramme ist leicht
nachzurechnen\footnote{In der Tat ist das Diagramm (1.6) offensichtlicherweise
kommutativ, w\"{a}hrend die Kommutativit\"{a}t des Diagramms (1.7) aus der
Relation $u_{C^{\prime}}\circ f=G\left(  F\left(  f\right)  \right)  \circ
u_{C}$ f\"{u}r alle $f\in\mathcal{C}\left(  C,C^{\prime}\right)  $ folgt (die
wiederum klar ist, da $u$ eine nat\"{u}rliche Transformation ist).}); analog
beweist man $\mathcal{D}\underset{F}{\overset{G}{\rightleftarrows}}%
\mathcal{C}.$

\textbf{1.23. Beispiele:} \textbf{1)} Sei $k$ ein K\"{o}rper. Wir haben
fr\"{u}her die Kategorie der endlichdimensionalen $k$-Vektorr\"{a}ume mit
$_{k}^{\operatorname*{fin}}\mathcal{M}$ bezeichnet (man kann sie nat\"{u}rlich
auch mit $\mathcal{M}_{k}^{\operatorname*{fin}}$ bezeichnen). Dann k\"{o}nnen
wir einen Funktor $^{\operatorname*{fin}}\operatorname*{dual}:\left(
_{k}^{\operatorname*{fin}}\mathcal{M}\right)  ^{\operatorname*{op}}%
\rightarrow\left.  _{k}^{\operatorname*{fin}}\mathcal{M}\right.  $ definieren
durch%
\begin{align*}
^{\operatorname*{fin}}\operatorname*{dual}\left(  V\right)   &  =V^{\ast
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jeden }k\text{-Vektorraum }%
V,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\\
^{\operatorname*{fin}}\operatorname*{dual}\left(  f\right)   &  =f^{\ast
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }f\in\operatorname*{Hom}%
\nolimits_{k}\left(  X,Y\right)  \text{ f\"{u}r jede }X,Y\in\left.
_{k}\mathcal{M}\right.
\end{align*}
(dabei bezeichnet $V^{\ast}$ den Dualraum von $V,$ und die Abbildung $f^{\ast
}$ ist definiert als die $k$-lineare Abbildung von $Y^{\ast}$ nach $X^{\ast},$
die jedes $g\in Y^{\ast}$ auf $g\circ f$ abbildet).\footnote{Dieser Funktor
$^{\operatorname*{fin}}\operatorname*{dual}$ ist die Einschr\"{a}nkung des in
Beispiel 1.16. \textbf{1)} definierten Funktors $\operatorname*{dual}:\left(
_{k}\mathcal{M}\right)  ^{\operatorname*{op}}\rightarrow\left.  _{k}%
\mathcal{M}\right.  $ auf die endlichdimensionalen Vektorr\"{a}ume.} Dann ist
$^{\operatorname*{fin}}\operatorname*{dual}:\left(  _{k}^{\operatorname*{fin}%
}\mathcal{M}\right)  ^{\operatorname*{op}}\rightarrow\left.  _{k}%
^{\operatorname*{fin}}\mathcal{M}\right.  $ eine \"{A}quivalenz von
Kategorien.\footnote{Um dies zu zeigen, konstruiert man einen nat\"{u}rlichen
Isomorphismus $\varphi_{\operatorname*{fin}}:\operatorname*{id}_{_{k}%
^{\operatorname*{fin}}\mathcal{M}}\rightarrow\left.  ^{\operatorname*{fin}%
}\operatorname*{dual}\right.  \circ\left.  ^{\operatorname*{fin}%
}\operatorname*{dual}\right.  $ analog zu dem in Beispiel 1.17. \textbf{1)}
definierten nat\"{u}rlichen Homomorphismus $\varphi:\operatorname*{id}%
_{_{k}\mathcal{M}}\rightarrow\operatorname*{dual}\circ\operatorname*{dual}$
(aber nur f\"{u}r endlichdimensionale Vektorr\"{a}ume).}

\textbf{2)} Seien $R$ und $S$ zwei Ringe, und seien $P\in\left.
_{R}\mathcal{M}_{S}\right.  $ und $Q\in\left.  _{S}\mathcal{M}_{R}\right.  $
so, da\ss
\[
P\otimes_{S}Q\cong R\text{ in }\left.  _{R}\mathcal{M}_{R}\right.
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Q\otimes_{R}P\cong S\text{
in }\left.  _{S}\mathcal{M}_{S}\right.
\]
gilt. Dann sind die Funktoren $Q\otimes_{R}-:\left.  _{R}\mathcal{M}\right.
\rightarrow\left.  _{S}\mathcal{M}\right.  $ und $P\otimes_{S}-:\left.
_{S}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  $
zueinander quasiinverse \"{A}quivalenzen.

\textit{Beweis:}\footnote{Dies war Gegenstand von Aufgabe 1 auf dem
\"{U}bungsblatt 3.} Wir definieren eine nat\"{u}rliche Transformation
$\varphi:\left(  Q\otimes_{R}-\right)  \left(  P\otimes_{S}-\right)
\rightarrow\operatorname*{id}_{_{S}\mathcal{M}}$ durch $\varphi=\left(
\varphi_{M}\right)  _{M\in\left.  _{S}\mathcal{M}\right.  },$ wobei f\"{u}r
jedes $M\in\left.  _{S}\mathcal{M}\right.  $ der $S$-Linksmodulisomorphismus
$\varphi_{M}:\left(  \left(  Q\otimes_{R}-\right)  \left(  P\otimes
_{S}-\right)  \right)  \left(  M\right)  \rightarrow M$ definiert ist als
Resultat der folgenden Kette von Isomorphien:%
\begin{align*}
&  \left(  \left(  Q\otimes_{R}-\right)  \left(  P\otimes_{S}-\right)
\right)  \left(  M\right)  =\left(  Q\otimes_{R}-\right)  \left(  P\otimes
_{S}M\right)  =Q\otimes_{R}\left(  P\otimes_{S}M\right) \\
&  \cong\left(  Q\otimes_{R}P\right)  \otimes_{S}M\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{dies ist eine kanonische Isomorphie}\right) \\
&  \cong S\otimes_{S}M\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{wegen }Q\otimes
_{R}P\cong S;\text{ diese Isomorphie ist in }M\text{ kanonisch}\right) \\
&  \cong M\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{dies ist ebenfalls eine kanonische
Isomorphie}\right)  .
\end{align*}
Da dieser Isomorphismus $\varphi_{M}$ kanonisch ist, haben wir damit einen
nat\"{u}rlichen Isomorphismus $\left(  Q\otimes_{R}-\right)  \left(
P\otimes_{S}-\right)  \cong\operatorname*{id}_{_{S}\mathcal{M}}$ gefunden.
Analog ergibt sich ein nat\"{u}rlicher Isomorphismus $\left(  P\otimes
_{S}-\right)  \left(  Q\otimes_{R}-\right)  \cong\operatorname*{id}%
_{_{R}\mathcal{M}},$ und der Beweis ist fertig.

\bigskip

\begin{center}
\fbox{\textbf{2. Coalgebren, Bialgebren, Hopfalgebren}}
\end{center}

In diesem und den n\"{a}chsten Kapiteln werden wir Algebren und Coalgebren
immer \textit{\"{u}ber einem K\"{o}rper }$k$ betrachten.\footnote{Die
Anf\"{a}nge der Theorie w\"{u}rden auch f\"{u}r kommutative Ringe $k$ Sinn
ergeben, doch im Weiteren erg\"{a}ben sich gr\"{o}\ss ere Schwierigkeiten.}
Der K\"{o}rper $k$ bleibt dabei fest; deshalb werden wir ihn (der K\"{u}rze
halber) nicht mehr explizit angeben. Das hei\ss t, wir werden statt
"$k$-linear" \"{o}fters einfach "linear" schreiben, genauso "bilinear" statt
"$k$-bilinear", "Monoidalgebra" statt "$k$-Monoidalgebra", "Vektorraum" statt
"$k$-Vektorraum", und "Algebra" statt "$k$-Algebra", ferner $\otimes$ statt
$\otimes_{k},$ und $\operatorname*{Hom}$ statt $\operatorname*{Hom}_{k}.$ Mit
$\operatorname*{Hom}\left(  A,B\right)  $ ist immer der Vektorraum der
Homomorphismen zwischen den $k$-Vektorr\"{a}umen $A$ und $B$ gemeint (also der
$k$-linearen Abbildungen von $A$ nach $B$), auch wenn $A$ und $B$
zus\"{a}tzlich zu der Vektorraumstruktur noch z. B. eine Algebrastruktur
tragen. In letzterem Fall werden wir die Menge der
\textit{Algebrahomomorphismen} von $A$ nach $B$ mit $\operatorname*{Alg}%
\left(  A,B\right)  $ bezeichnen.

Da $k$ ein K\"{o}rper und damit insbesondere ein kommutativer Ring ist,
k\"{o}nnen wir die Kategorie $\mathcal{M}_{k}$ der $k$-Rechtsmoduln und die
Kategorie $_{k}\mathcal{M}$ der $k$-Linksmoduln miteinander identifizieren,
denn jeder $k$-Linksmodul $M$ wird zu einem $k$-Rechtsmodul $M$ durch die
Setzung $v\lambda=\lambda v$ f\"{u}r alle $v\in M$ und $\lambda\in k,$ und
analog umgekehrt. Beide Kategorien $\mathcal{M}_{k}$ und $_{k}\mathcal{M}$
sind einfach die Kategorie der $k$-Vektorr\"{a}ume.

Man beachte allerdings, da\ss \ $_{k}\mathcal{M}_{k}$ eine andere Kategorie
als $_{k}\mathcal{M}$ und $\mathcal{M}_{k}$ ist. Denn ein $\left(  k,k\right)
$-Bimodul ist eine abelsche Gruppe mit \textit{zwei} $k$-Vektorraumstrukturen,
und diese zwei $k$-Vektorraumstrukturen m\"{u}ssen nicht gleich sein (sie
m\"{u}ssen allerdings miteinander kommutieren). Doch jeder $k$-Vektorraum ist
kanonischerweise ein $\left(  k,k\right)  $-Bimodul. Somit k\"{o}nnen wir
$k$-Vektorr\"{a}ume auffassen als spezielle $\left(  k,k\right)  $-Bimoduln -
n\"{a}mlich als diejenigen $\left(  k,k\right)  $-Bimoduln, auf welchen die
$k$-Linksmodulstruktur und die $k$-Rechtsmodulstruktur identisch sind. Diese
Sichtweise macht klar, wieso man das Tensorprodukt zweier $k$-Vektorr\"{a}ume
auch wieder kanonisch als $k$-Vektorraum auffassen kann (denn das
Tensorprodukt zweier $\left(  k,k\right)  $-Bimoduln ist wieder ein $\left(
k,k\right)  $-Bimodul, und da\ss \ die $k$-Linksmodulstruktur und die
$k$-Rechtsmodulstruktur auf diesem identisch sind, ist leicht nachzupr\"{u}fen).

Die Isomorphie $\left(  X\otimes Y\right)  \otimes Z\cong X\otimes\left(
Y\otimes Z\right)  $ f\"{u}r je drei Vektorr\"{a}ume $X,$ $Y,$ $Z$ ist
"derma\ss en kanonisch", da\ss \ wir die zwei Vektorr\"{a}ume $\left(
X\otimes Y\right)  \otimes Z$ und $X\otimes\left(  Y\otimes Z\right)  $ im
Folgenden miteinander identifizieren werden, und einfach beide mit $X\otimes
Y\otimes Z$ bezeichnen werden. Gleichfalls identifizieren wir $k\otimes X,$
$X\otimes k$ und $X$ wegen den kanonischen Isomorphien $k\otimes X\cong X\cong
X\otimes k.$

\bigskip

\fbox{\textbf{Coalgebren}}

In Kapitel 1 haben wir den Begriff einer $k$-Algebra auf drei verschiedene
(aber \"{a}quivalente) Weisen definiert. Von diesen drei Definitionen hat die
Definition der $k$-Algebra$_{3}$ den Vorteil, da\ss \ sie nur den Begriff
eines $k$-Moduls und des Tensorproduktes von $k$-Moduln verwendet, und alle
Axiome als kommutative Diagramme formuliert. Wir k\"{o}nnen also versuchen,
diese Definition zu "dualisieren", indem wir in diesen kommutativen Diagrammen
alle Pfeile umkehren. Tun wir dieses, erhalten wir das Konzept einer
\textit{Coalgebra}:

\textbf{Definition (Coalgebra):} Unter einer $k$\textit{-Coalgebra} - oder
kurz \textit{Coalgebra} - verstehen wir ein Tripel $\left(  C,\Delta
,\varepsilon\right)  ,$ wobei $C$ ein $k$-Vektorraum ist, und $\Delta
:C\rightarrow C\otimes C$ und $\varepsilon:C\rightarrow k$ zwei $k$-lineare
Abbildungen sind, f\"{u}r die folgende drei Eigenschaften gelten:

\begin{itemize}
\item \textit{Coassoziativit\"{a}t:} Das Diagramm
\begin{equation}
\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{ C \ar[r]^-{\Delta} \ar[d]^{\Delta} & C\otimes C \ar[d]^{\operatorname*{id}\otimes\Delta} \\ C\otimes C \ar[r]^-{\Delta\otimes\operatorname*{id}} & C\otimes C\otimes C }
\tag{2.1}%
\end{equation}
ist kommutativ, wobei $\left(  C\otimes C\right)  \otimes C$ mit
$C\otimes\left(  C\otimes C\right)  $ identifiziert wird (wegen der
kanonischen Isomorphie $\left(  C\otimes C\right)  \otimes C\cong
C\otimes\left(  C\otimes C\right)  $).

\item \textit{Linke Coeins:} Das Diagramm
\begin{equation}
\xymatrix{ C \ar[r]^-{\Delta} \ar[d]^{\cong}_{\operatorname*{kan}} & C\otimes C \ar[ld]^{\varepsilon\otimes\operatorname*{id}} \\ k\otimes C }
\tag{2.2}%
\end{equation}
ist kommutativ.

\item \textit{Rechte Coeins:} Das Diagramm
\begin{equation}
\xymatrix{ C \ar[r]^-{\Delta} \ar[d]^{\cong}_{\operatorname*{kan}} & C\otimes C \ar[ld]^{\operatorname*{id}\otimes\varepsilon} \\ C\otimes k }
\tag{2.3}%
\end{equation}
ist kommutativ.
\end{itemize}

Diese Definition einer $k$-Coalgebra ist, wie schon gesagt, nichts anderes als
die Definition einer $k$-Algebra als $k$-Algebra$_{3}$ mit umgedrehten
Pfeilen\footnote{Wir haben hier Coalgebren nur f\"{u}r K\"{o}rper $k$
definiert, aber wir h\"{a}tten sie genauso gut auch f\"{u}r beliebige
kommutative Ringe $k$ definieren k\"{o}nnen.}.

Die Abbildung $\Delta$ in der obigen Definition bezeichnen wir als
\textit{Comultplikation} der Coalgebra $C,$ und die Abbildung $\varepsilon$
bezeichnet man als die \textit{Coeins} der Coalgebra $C.$

\textit{Bemerkung:} F\"{u}r jede Coalgebra $\left(  C,\Delta,\varepsilon
\right)  $ ist die Abbildung $\Delta$ injektiv (denn $\left(  \varepsilon
\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta$ ist der kanonische
Isomorphismus $C\rightarrow k\otimes C$).

Genauso wie wir die Definition einer Coalgebra durch Umdrehen aller Pfeile aus
der Definition einer Algebra$_{3}$ erhalten haben, k\"{o}nnen wir einen
Coalgebrahomomorphismus definieren, indem wir in der Definition eines
Algebrahomomorphismus f\"{u}r Algebren$_{3}$ (das ist Definition
1.11$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$. \textbf{c)}) alle Pfeile umdrehen:

\textbf{Definition:} \textbf{1)} Seien $C$ und $D$ Coalgebren, und sei
$f:C\rightarrow D$ eine $k$-lineare Abbildung. Dann hei\ss t $f$ ein
\textit{Coalgebrahomomorphismus}, wenn die Diagramme
\[
\xymatrix{
C \ar[r]^f \ar[d]_{\Delta_C} & D \ar[d]^{\Delta_D} \\
C\otimes C \ar[r]_{f\otimes f} & D\otimes D
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xymatrix{
C \ar[r]^f \ar[rd]_{\varepsilon_C} & D \ar[d]^{\varepsilon_D} \\
& k
}
\]
kommutieren.

Die Menge aller Coalgebrahomomorphismen von $C$ nach $D$ wird als
$\operatorname*{Coalg}\left(  C,D\right)  $ bezeichnet.

\textbf{2)} Sei $C$ eine Coalgebra, und $C^{\prime}$ ein Untervektorraum von
$C.$ Dann hei\ss t $C^{\prime}$ eine \textit{Untercoalgebra} von $C,$ wenn
$\Delta\left(  C^{\prime}\right)  \subseteq C^{\prime}\otimes C^{\prime}$ ist
(wobei $C^{\prime}\otimes C^{\prime}$ als Untervektorraum von $C\otimes C$
aufgefasst wird).

\textit{Bemerkung:} Ist $C$ ein Vektorraum und ist $\Delta:C\rightarrow
C\otimes C$ eine $k$-lineare Abbildung, so hei\ss t die Abbildung $\Delta$
\textit{coassoziativ}, wenn das Diagramm (2.1) kommutativ ist. Ist $C$ ein
Vektorraum und sind $\Delta:C\rightarrow C\otimes C$ und $\varepsilon
:C\rightarrow k$ zwei $k$-lineare Abbildungen, so hei\ss t die Abbildung
$\Delta$ \textit{counit\"{a}r} bez\"{u}glich $\varepsilon$, wenn die Diagramme
(2.2) und (2.3) kommutativ sind. Insofern kann man die Definition einer
Coalgebra auch wie folgt formulieren: Eine \textit{Coalgebra} wird definiert
als ein Tripel $\left(  C,\Delta,\varepsilon\right)  ,$ wobei $C$ ein
Vektorraum ist, $\Delta:C\rightarrow C\otimes C$ eine coassoziative Abbildung
ist, und $\varepsilon:C\rightarrow k$ eine Abbildung ist, bez\"{u}glich
welcher $\Delta$ counit\"{a}r ist.

\textbf{2.1. Beispiele:} Hier einige einfache Beispiele f\"{u}r Coalgebren:

\textbf{-1)} Der triviale Vektorraum $0$ wird zu einer Coalgebra, wenn man die
Abbildungen $\Delta:0\rightarrow0\otimes0$ und $\varepsilon:0\rightarrow k$
als die Nullabbildungen definiert (eine andere Wahl hat man sowieso nicht).

\textit{Beweis:} Wir m\"{u}ssen nachweisen, da\ss \ die Diagramme (2.1), (2.2)
und (2.3) kommutieren, wenn man $C=0$ setzt und die Abbildungen $\Delta$ und
$\varepsilon$ als Nullabbildungen definiert. Aber dies ist trivial.

\textbf{0)} Auf dem K\"{o}rper $k$ selber ist eine kanonische
Coalgebrastruktur festgelegt: Man definiere eine Abbildung $\Delta
:k\rightarrow k\otimes k$ als die kanonische $k$-lineare Abbildung von $k$
nach $k\otimes k$ (also die Abbildung $x\mapsto1\otimes x,$ oder,
\"{a}quivalent dazu, $x\mapsto x\otimes1$), und eine Abbildung $\varepsilon
:k\rightarrow k$ als die Identit\"{a}tsabbildung. Dann ist der Vektorraum $k$
zusammen mit diesen zwei Abbildungen $\Delta$ und $\varepsilon$ eine Coalgebra.

\textit{Beweis:} Wir m\"{u}ssen nachweisen, da\ss \ die Diagramme (2.1), (2.2)
und (2.3) kommutieren, wenn man $C=k$ setzt und die Abbildungen $\Delta$ und
$\varepsilon$ wie oben definiert. Aber dies ist beinahe trivial.

\textbf{1)} Sei $G$ eine Menge, und sei $C=k\left[  G\right]  $ der freie
$k$-Modul mit Basis $G$. (Wir haben diesen freien $k$-Modul fr\"{u}her
$k^{\left(  G\right)  }$ genannt, aber hier wollen wir ihn $k\left[  G\right]
$ nennen. Dieser $k$-Modul ist ein Vektorraum mit Basis $\left\{  E_{g}\mid
g\in G\right\}  $, wobei $E_{g}$ f\"{u}r jedes $g\in G$ ein Element von dem
Vektorraum ist; aber wir identifizieren $E_{g}$ mit $g$ f\"{u}r jedes $g\in
G$.) Dann k\"{o}nnen wir auf $C$ eine Coalgebrastruktur konstruieren, indem
wir die $k$-lineare Abbildung $\Delta:C\rightarrow C\otimes C$ durch%
\[
\Delta\left(  g\right)  =g\otimes g\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle
}g\in G
\]
definieren, und die $k$-lineare Abbildung $\varepsilon:C\rightarrow k$ durch
\[
\varepsilon\left(  g\right)  =1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }g\in G
\]
definieren.

\textit{Beweis:} F\"{u}r jedes $g\in G$ ist%
\begin{align*}
\left(  \left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\right)
\left(  g\right)   &  =\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
\Delta\left(  g\right)  \right)  =\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}%
\right)  \left(  g\otimes g\right)  =\Delta\left(  g\right)  \otimes g=\left(
g\otimes g\right)  \otimes g\\
&  =g\otimes g\otimes g
\end{align*}
und analog $\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)
\circ\Delta\right)  \left(  g\right)  =g\otimes g\otimes g,$ also $\left(
\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\right)  \left(
g\right)  =\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \circ
\Delta\right)  \left(  g\right)  .$ Da $G$ eine Basis von $C$ ist, ist also
$\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta=\left(
\operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \circ\Delta.$ Das hei\ss t, das
Diagramm (2.1) ist kommutativ.

Entsprechend zeigt man, da\ss \ das Diagramm (2.2) kommutativ ist, weil
f\"{u}r jedes $g\in G$ gilt:%
\[
\left(  \left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ
\Delta\right)  \left(  g\right)  =\left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}%
\right)  \left(  \Delta\left(  g\right)  \right)  =\left(  \varepsilon
\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  g\otimes g\right)  =\varepsilon
\left(  g\right)  \otimes g=1\otimes g=\operatorname*{kan}g.
\]
Analog zeigt man die Kommutativit\"{a}t des Diagramms (2.3). Nachdem alle drei
Diagramme (2.1), (2.2) und (2.3) kommutativ sind, folgt nun, da\ss \ $\left(
C,\Delta,\varepsilon\right)  $ eine Coalgebra ist.

\textbf{2)} Sei $C$ der freie $k$-Modul mit Basis $\left\{  x_{i,j}\mid1\leq
i,j\leq n\right\}  ,$ wobei $n\in\mathbb{N}$ fest ist, und die $x_{i,j}$
f\"{u}r $1\leq i,j\leq n$ lauter verschiedene Symbole sind. Dann wird $C$ zu
einer Coalgebra, wenn man die $k$-linearen Abbildungen $\Delta:C\rightarrow
C\otimes C$ und $\varepsilon:C\rightarrow k$ durch%
\begin{align*}
\Delta\left(  x_{i,j}\right)   &  =\sum_{l=1}^{n}x_{i,l}\otimes x_{l,j}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }1\leq i,j\leq n;\\
\varepsilon\left(  x_{i,j}\right)   &  =\delta_{i,j}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }1\leq i,j\leq n
\end{align*}
definiert.

\textit{Beweis:} F\"{u}r jede $1\leq i,j\leq n$ ist%
\begin{align*}
\left(  \left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\right)
\left(  x_{i,j}\right)   &  =\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)
\left(  \Delta\left(  x_{i,j}\right)  \right)  =\left(  \Delta\otimes
\operatorname*{id}\right)  \left(  \sum_{l=1}^{n}x_{i,l}\otimes x_{l,j}\right)
\\
&  =\sum_{l=1}^{n}\Delta\left(  x_{i,l}\right)  \otimes x_{l,j}=\sum_{k=1}%
^{n}\Delta\left(  x_{i,k}\right)  \otimes x_{k,j}\\
&  =\sum_{k=1}^{n}\left(  \sum_{l=1}^{n}x_{i,l}\otimes x_{l,k}\right)  \otimes
x_{k,j}=\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}x_{i,l}\otimes x_{l,k}\otimes x_{k,j}%
\end{align*}
und analog%
\[
\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \circ\Delta\right)
\left(  x_{i,j}\right)  =\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}x_{i,l}\otimes
x_{l,k}\otimes x_{k,j},
\]
also $\left(  \left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ
\Delta\right)  \left(  x_{i,j}\right)  =\left(  \left(  \operatorname*{id}%
\otimes\Delta\right)  \circ\Delta\right)  \left(  x_{i,j}\right)  .$ Damit
gilt $\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta=\left(
\operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \circ\Delta$ (denn $\left\{
x_{i,j}\mid1\leq i,j\leq n\right\}  $ ist eine Basis von $C$), und somit
kommutiert das Diagramm (2.1).

Entsprechend zeigt man, da\ss \ das Diagramm (2.2) kommutiert, denn f\"{u}r
jede $1\leq i,j\leq n$ ist%
\begin{align*}
\left(  \left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ
\Delta\right)  \left(  x_{i,j}\right)   &  =\left(  \varepsilon\otimes
\operatorname*{id}\right)  \left(  \Delta\left(  x_{i,j}\right)  \right)
=\left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  \sum_{l=1}%
^{n}x_{i,l}\otimes x_{l,j}\right) \\
&  =\sum_{l=1}^{n}\varepsilon\left(  x_{i,l}\right)  \otimes x_{l,j}%
=\sum_{l=1}^{n}\delta_{i,l}\otimes x_{l,j}=1\otimes x_{i,j}%
=\operatorname*{kan}\left(  x_{i,j}\right)  .
\end{align*}
Aus einem \"{a}hnlichen Grund kommutiert das Diagramm (2.3). Somit kommutieren
alle drei Diagramme (2.1), (2.2) und (2.3), und unser $C$ ist daher eine Coalgebra.

\textbf{3)} Sei $C$ der freie $k$-Modul mit Basis $\left\{  X_{n}\mid
n\in\mathbb{N}\right\}  ,$ wobei die $X_{i}$ lauter verschiedene Symbole sind.
Dann kann man $C$ zu einer Coalgebra machen, indem man $k$-lineare Abbildungen
$\Delta:C\rightarrow C\otimes C$ und $\varepsilon:C\rightarrow k$ durch%
\[
\Delta\left(  X_{n}\right)  =\sum_{i=0}^{n}X_{i}\otimes X_{n-i}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(
X_{n}\right)  =\delta_{0,n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }%
n\in\mathbb{N}%
\]
definiert.

\textit{Beweis:} F\"{u}r jedes $n\in\mathbb{N}$ ist%
\begin{align*}
\left(  \left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\right)
\left(  X_{n}\right)   &  =\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)
\left(  \Delta\left(  X_{n}\right)  \right)  =\left(  \Delta\otimes
\operatorname*{id}\right)  \left(  \sum_{i=0}^{n}X_{i}\otimes X_{n-i}\right)
\\
&  =\sum_{i=0}^{n}\Delta\left(  X_{i}\right)  \otimes X_{n-i}=\sum_{j=0}%
^{n}\Delta\left(  X_{j}\right)  \otimes X_{n-j}\\
&  =\sum_{j=0}^{n}\left(  \sum_{i=0}^{j}X_{i}\otimes X_{j-i}\right)  \otimes
X_{n-j}=\sum_{0\leq i\leq j\leq n}X_{i}\otimes X_{j-i}\otimes X_{n-j}%
\end{align*}
und%
\begin{align*}
\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \circ\Delta\right)
\left(  X_{n}\right)   &  =\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)
\left(  \Delta\left(  X_{n}\right)  \right)  =\left(  \operatorname*{id}%
\otimes\Delta\right)  \left(  \sum_{i=0}^{n}X_{i}\otimes X_{n-i}\right)
=\sum_{i=0}^{n}X_{i}\otimes\Delta\left(  X_{n-i}\right) \\
&  =\sum_{k=0}^{n}X_{k}\otimes\Delta\left(  X_{n-k}\right)  =\sum_{k=0}%
^{n}X_{k}\otimes\left(  \sum_{i=0}^{n-k}X_{i}\otimes X_{n-k-i}\right) \\
&  =\sum_{k=0}^{n}X_{k}\otimes\left(  \sum_{j=k}^{n}X_{j-k}\otimes
X_{n-j}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{hier haben wir }j=k+i\text{ gesetzt,}\\
\text{und }i\text{ als Summationsindex}\\
\text{durch }j\text{ ersetzt}%
\end{array}
\right) \\
&  =\sum_{0\leq k\leq j\leq n}X_{k}\otimes X_{j-k}\otimes X_{n-j}=\sum_{0\leq
i\leq j\leq n}X_{i}\otimes X_{j-i}\otimes X_{n-j},
\end{align*}
also $\left(  \left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ
\Delta\right)  \left(  X_{n}\right)  =\left(  \left(  \operatorname*{id}%
\otimes\Delta\right)  \circ\Delta\right)  \left(  X_{n}\right)  .$ Da
$\left\{  X_{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}  $ eine Basis von $C$ ist, gilt
also $\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta=\left(
\operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \circ\Delta,$ und somit kommutiert das
Diagramm (2.1).

Das Diagramm (2.2) kommutiert ebenfalls, denn f\"{u}r jedes $n\in\mathbb{N}$
ist%
\begin{align*}
\left(  \left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ
\Delta\right)  \left(  X_{n}\right)   &  =\left(  \varepsilon\otimes
\operatorname*{id}\right)  \left(  \Delta\left(  X_{n}\right)  \right)
=\left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  \sum_{i=0}%
^{n}X_{i}\otimes X_{n-i}\right) \\
&  =\sum_{i=0}^{n}\varepsilon\left(  X_{i}\right)  \otimes X_{n-i}=\sum
_{i=0}^{n}\delta_{0,i}\otimes X_{n-i}=1\otimes X_{n-0}=1\otimes X_{n}%
=\operatorname*{kan}\left(  X_{n}\right)  .
\end{align*}
Analog kommutiert das Diagramm (2.3). Daher kommutieren alle drei Diagramme
(2.1), (2.2) und (2.3), und es folgt, da\ss \ $C$ eine Coalgebra ist.

\textbf{4)} Sei $C$ der freie $k$-Modul mit Basis $\left\{  x,g,h\right\}  ,$
wobei $x,$ $g$ und $h$ drei Symbole sind. Dann k\"{o}nnen wir $C$ mit einer
Coalgebrastruktur ausstatten, indem wir zwei $k$-lineare Abbildungen
$\Delta:C\rightarrow C\otimes C$ und $\varepsilon:C\rightarrow k$ durch%
\begin{align*}
\Delta\left(  g\right)   &  =g\otimes g;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(
g\right)  =1;\\
\Delta\left(  h\right)   &  =h\otimes h;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(
h\right)  =1;\\
\Delta\left(  x\right)   &  =g\otimes x+x\otimes
h;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(  x\right)  =0
\end{align*}
festlegen.

\textit{Beweis:} Um zu beweisen, da\ss \ das Diagramm (2.1) kommutiert,
m\"{u}ssen wir beweisen, da\ss \ $\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}%
\right)  \circ\Delta=\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)
\circ\Delta$ ist. Dazu reicht es aus, zu zeigen, da\ss
\begin{align*}
\left(  \left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\right)
\left(  g\right)   &  =\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)
\circ\Delta\right)  \left(  g\right)  ;\\
\left(  \left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\right)
\left(  h\right)   &  =\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)
\circ\Delta\right)  \left(  h\right)  ;\\
\left(  \left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\right)
\left(  x\right)   &  =\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)
\circ\Delta\right)  \left(  x\right)
\end{align*}
gilt (denn $\left\{  x,g,h\right\}  $ ist eine Basis des Vektorraumes $C$).
Doch die erste dieser drei Gleichungen ergibt sich genauso wie in Beispiel
\textbf{1)}, die zweite ergibt sich v\"{o}llig analog dazu, und die dritte
folgt aus%
\begin{align*}
\left(  \left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\right)
\left(  x\right)   &  =\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
\Delta\left(  x\right)  \right)  =\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}%
\right)  \left(  g\otimes x+x\otimes h\right) \\
&  =\Delta\left(  g\right)  \otimes x+\Delta\left(  x\right)  \otimes
h=\left(  g\otimes g\right)  \otimes x+\left(  g\otimes x+x\otimes h\right)
\otimes h\\
&  =g\otimes g\otimes x+g\otimes x\otimes h+x\otimes h\otimes h\\
&  =g\otimes\left(  g\otimes x+x\otimes h\right)  +x\otimes\left(  h\otimes
h\right)  =g\otimes\Delta\left(  x\right)  +x\otimes\Delta\left(  h\right) \\
&  =\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \left(  g\otimes
x+x\otimes h\right)  =\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \left(
\Delta\left(  x\right)  \right)  =\left(  \left(  \operatorname*{id}%
\otimes\Delta\right)  \circ\Delta\right)  \left(  x\right)  .
\end{align*}
Damit ist gezeigt, da\ss \ das Diagramm (2.1) kommutiert.

Jetzt werden wir zeigen, da\ss \ das Diagramm (2.2) kommutiert. Dazu
m\"{u}ssen wir zeigen, da\ss \ $\left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}%
\right)  \circ\Delta=\operatorname*{kan}$ ist; hierzu reicht es wiederum aus,
nachzuweisen, da\ss
\begin{align*}
\left(  \left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ
\Delta\right)  \left(  g\right)   &  =\operatorname*{kan}g;\\
\left(  \left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ
\Delta\right)  \left(  h\right)   &  =\operatorname*{kan}h;\\
\left(  \left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ
\Delta\right)  \left(  x\right)   &  =\operatorname*{kan}x
\end{align*}
ist. Wieder l\"{a}\ss t sich die erste dieser drei Gleichungen wie in Beispiel
\textbf{1)} und die zweite v\"{o}llig analog beweisen; die dritte Gleichung
folgt aus%
\begin{align*}
\left(  \left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ
\Delta\right)  \left(  x\right)   &  =\left(  \varepsilon\otimes
\operatorname*{id}\right)  \left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  =\left(
\varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  g\otimes x+x\otimes
h\right)  =\varepsilon\left(  g\right)  \otimes x+\varepsilon\left(  x\right)
\otimes h\\
&  =1\otimes x+0\otimes h=1\otimes x=\operatorname*{kan}x.
\end{align*}
Also kommutiert das Diagramm (2.2). Analog kommutiert das Diagramm (2.3).
Zusammen mit dem kommutierenden Diagramm (2.1) ergibt sich also, da\ss \ $C$
eine Coalgebra ist.

\textbf{5)} Sei $V$ ein beliebiger Vektorraum. Unter dem \textit{Tensormodul}
des Vektorraums $V$ verstehen wir den Vektorraum $TV$, der durch%
\[
TV=V^{\otimes0}\oplus V^{\otimes1}\oplus V^{\otimes2}\oplus...
\]
definiert ist, wobei $V^{\otimes i}$ f\"{u}r alle $i\in\mathbb{N}$ durch
$V^{\otimes i}=\underbrace{V\otimes V\otimes...\otimes V}_{i\text{ mal}}$
definiert ist. (Hierbei ist das Tensorprodukt $\underbrace{V\otimes
V\otimes...\otimes V}_{i\text{ mal}}$ als $k$ zu verstehen, wenn $i=0$ ist.)

Dann l\"{a}\ss t sich auf dem Tensormodul $TV$ genau eine Coalgebrastruktur
definieren, die%
\begin{align}
\Delta\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)   &
=\sum_{i=0}^{n}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{i}\right)
\otimes\left(  v_{i+1}\otimes v_{i+2}\otimes...\otimes v_{n}\right)
\tag{2.6}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\nonumber\\
\varepsilon\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)   &
=\delta_{n,0} \tag{2.7}%
\end{align}
f\"{u}r alle $n\in\mathbb{N}$ und f\"{u}r alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$ erf\"{u}llt.

Die so erhaltene Coalgebra $TV$ hei\ss t die \textit{Tensorcoalgebra} von $V$
oder die \textit{Dekonkatenationscoalgebra} von $V$.

\textit{Beweis:} Wir wollen beweisen, da\ss \ man auf dem Tensormodul $TV$
genau eine Coalgebrastruktur definieren kann, die (2.6) und (2.7) f\"{u}r alle
$n\in\mathbb{N}$ und f\"{u}r alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$ erf\"{u}llt.
Da\ss \ es h\"{o}chstens eine solche Coalgebrastruktur $\left(  TV,\Delta
,\varepsilon\right)  $ gibt, ist klar (denn die Abbildungen $\Delta$ und
$\varepsilon$ sind eindeutig bestimmt durch die Vorgabe, da\ss \ sie
$k$-linear zu sein und (2.6) und (2.7) f\"{u}r alle $n\in\mathbb{N}$ und
f\"{u}r alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$ zu erf\"{u}llen haben\footnote{weil
der Vektorraum $TV$ von Elementen der Form $v_{1}\otimes v_{2}\otimes
...\otimes v_{n}$ mit $n\in\mathbb{N}$ und mit $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$
aufgespannt ist}). Somit bleibt es also nur noch zu zeigen, da\ss \ es
mindestens eine solche Coalgebrastruktur gibt. Wir werden dies dadurch
erreichen, da\ss \ wir

\begin{itemize}
\item zuerst eine $k$-lineare Abbildung $\Delta:TV\rightarrow\left(
TV\right)  \otimes\left(  TV\right)  $ konstruieren,

\item dann zeigen, da\ss \ diese Abbildung $\Delta$ die Gleichung (2.6)
f\"{u}r alle $n\in\mathbb{N}$ und f\"{u}r alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$ erf\"{u}llt,

\item dann eine $k$-lineare Abbildung $\varepsilon:TV\rightarrow k$ konstruieren,

\item dann zeigen, da\ss \ diese Abbildung $\varepsilon$ die Gleichung (2.7)
f\"{u}r alle $n\in\mathbb{N}$ und f\"{u}r alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$ erf\"{u}llt,

\item dann zeigen, da\ss \ $\left(  TV,\Delta,\varepsilon\right)  $ eine
Coalgebra ist (f\"{u}r diese Abbildungen).
\end{itemize}

Hier sind die Details dieses Procederes:

Sei $n\in\mathbb{N}$ beliebig. Wir definieren eine Abbildung $d_{n}%
:\underbrace{V\times V\times...\times V}_{n\text{ mal}}\rightarrow\left(
TV\right)  \otimes\left(  TV\right)  $ durch%
\begin{align*}
&  d_{n}\left(  v_{1},v_{2},...,v_{n}\right)  =\sum_{i=0}^{n}\left(
v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{i}\right)  \otimes\left(
v_{i+1}\otimes v_{i+2}\otimes...\otimes v_{n}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V.
\end{align*}
Diese Abbildung $d_{n}$ ist multilinear, und somit gibt es (nach der
universellen Eigenschaft des Tensorproduktes mehrerer Vektorr\"{a}ume) eine
lineare Abbildung $\Delta_{n}:\underbrace{V\otimes V\otimes...\otimes
V}_{n\text{ mal}}\rightarrow\left(  TV\right)  \otimes\left(  TV\right)  $
mit
\[
\Delta_{n}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)
=d_{n}\left(  v_{1},v_{2},...,v_{n}\right)  \text{ f\"{u}r alle }v_{1}%
,v_{2},...,v_{n}\in V.
\]
Wegen $\underbrace{V\otimes V\otimes...\otimes V}_{n\text{ mal}}=V^{\otimes
n}$ ist $\Delta_{n}$ also eine Abbildung von $V^{\otimes n}$ nach $\left(
TV\right)  \otimes\left(  TV\right)  $. Wir k\"{o}nnen die linearen
Abbildungen $\Delta_{n}:V^{\otimes n}\rightarrow\left(  TV\right)
\otimes\left(  TV\right)  $ (f\"{u}r verschiedene $n\in\mathbb{N}$) zu einer
linearen Abbildung $\Delta:TV\rightarrow\left(  TV\right)  \otimes\left(
TV\right)  $ zusammenfassen (denn $TV=V^{\otimes0}\oplus V^{\otimes1}\oplus
V^{\otimes2}\oplus...$). Diese Abbildung $\Delta$ erf\"{u}llt%
\begin{align*}
&  \Delta\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)  =\Delta
_{n}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes
v_{n}\in V^{\otimes n}\right) \\
&  =d_{n}\left(  v_{1},v_{2},...,v_{n}\right)  =\sum_{i=0}^{n}\left(
v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{i}\right)  \otimes\left(
v_{i+1}\otimes v_{i+2}\otimes...\otimes v_{n}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }n\in\mathbb{N}\text{ und f\"{u}r
alle }v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V.
\end{align*}
Das hei\ss t, die Abbildung $\Delta$ erf\"{u}llt die Gleichung (2.6) f\"{u}r
alle $n\in\mathbb{N}$ und f\"{u}r alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$.

Sei $\varepsilon:TV\rightarrow k$ die Projektionsabbildung aus der direkten
Summe $TV=V^{\otimes0}\oplus V^{\otimes1}\oplus V^{\otimes2}\oplus...$ auf den
direkten Summanden $V^{\otimes0}=k$. Dann ist $\varepsilon\left(  1\right)
=1$ (denn $1\in k$) und $\varepsilon\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes
...\otimes v_{n}\right)  =0$ f\"{u}r alle $n>0$ und f\"{u}r alle $v_{1}%
,v_{2},...,v_{n}\in V$ (denn $v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}$ liegt
im Summanden $V^{\otimes n}$ der direkten Summe $TV=V^{\otimes0}\oplus
V^{\otimes1}\oplus V^{\otimes2}\oplus...$, w\"{a}hrend $\varepsilon$ die
Projektion auf den Summanden $V^{\otimes0}$ ist, und das sind zwei
verschiedene Summanden). Das hei\ss t,%
\[
\varepsilon\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)
=\delta_{n,0}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }n\in\mathbb{N}\text{ und
f\"{u}r alle }v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V.
\]
Das hei\ss t, die Abbildung $\varepsilon$ erf\"{u}llt die Gleichung (2.7)
f\"{u}r alle $n\in\mathbb{N}$ und f\"{u}r alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$.

Wir m\"{u}ssen jetzt nur noch zeigen, da\ss \ die gerade definierten
Abbildungen $\Delta$ und $\varepsilon$ den Vektorraum $TV$ zu einer Coalgebra
machen. Das hei\ss t, wir m\"{u}ssen zeigen, da\ss \ die Diagramme (2.1),
(2.2) und (2.3) kommutativ sind, wobei $C=TV$ gesetzt wird. Setzen wir also
$C=TV$. F\"{u}r jedes $n\in\mathbb{N}$ und f\"{u}r alle $v_{1},v_{2}%
,...,v_{n}\in V$ gilt dann%
\begin{align*}
&  \left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \circ\Delta\right)
\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right) \\
&  =\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \left(  \Delta\left(
v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)  \right) \\
&  =\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \left(  \sum_{i=0}%
^{n}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{i}\right)  \otimes\left(
v_{i+1}\otimes v_{i+2}\otimes...\otimes v_{n}\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach (2.6)}\right) \\
&  =\sum_{i=0}^{n}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{i}\right)
\otimes\underbrace{\Delta\left(  v_{i+1}\otimes v_{i+2}\otimes...\otimes
v_{n}\right)  }_{\substack{=\sum\limits_{j=0}^{n-i}\left(  v_{i+1}\otimes
v_{i+2}\otimes...\otimes v_{i+j}\right)  \otimes\left(  v_{i+j+1}\otimes
v_{i+j+2}\otimes...\otimes v_{n}\right)  \\\text{(nach (2.6))}}}\\
&  =\sum_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{n-i}\left(  v_{1}\otimes v_{2}%
\otimes...\otimes v_{i}\right)  \otimes\left(  v_{i+1}\otimes v_{i+2}%
\otimes...\otimes v_{i+j}\right)  \otimes\left(  v_{i+j+1}\otimes
v_{i+j+2}\otimes...\otimes v_{n}\right) \\
&  =\sum\limits_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-k}\left(  v_{1}\otimes v_{2}%
\otimes...\otimes v_{k}\right)  \otimes\left(  v_{k+1}\otimes v_{k+2}%
\otimes...\otimes v_{k+j}\right)  \otimes\left(  v_{k+j+1}\otimes
v_{k+j+2}\otimes...\otimes v_{n}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{hier haben wir in der ersten Summe
}i\text{ in }k\text{ umbenannt}\right)
\end{align*}
und%
\begin{align*}
&  \left(  \left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\right)
\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right) \\
&  =\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  \Delta\left(
v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)  \right) \\
&  =\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  \sum_{i=0}%
^{n}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{i}\right)  \otimes\left(
v_{i+1}\otimes v_{i+2}\otimes...\otimes v_{n}\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach (2.6)}\right) \\
&  =\sum_{i=0}^{n}\underbrace{\Delta\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes
...\otimes v_{i}\right)  }_{\substack{=\sum\limits_{k=0}^{i}\left(
v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{k}\right)  \otimes\left(
v_{k+1}\otimes v_{k+2}\otimes...\otimes v_{i}\right)  \\\text{(nach (2.6))}%
}}\otimes\left(  v_{i+1}\otimes v_{i+2}\otimes...\otimes v_{n}\right) \\
&  =\sum_{i=0}^{n}\sum\limits_{k=0}^{i}\left(  v_{1}\otimes v_{2}%
\otimes...\otimes v_{k}\right)  \otimes\left(  v_{k+1}\otimes v_{k+2}%
\otimes...\otimes v_{i}\right)  \otimes\left(  v_{i+1}\otimes v_{i+2}%
\otimes...\otimes v_{n}\right) \\
&  =\sum\limits_{k=0}^{n}\sum_{i=k}^{n}\left(  v_{1}\otimes v_{2}%
\otimes...\otimes v_{k}\right)  \otimes\left(  v_{k+1}\otimes v_{k+2}%
\otimes...\otimes v_{i}\right)  \otimes\left(  v_{i+1}\otimes v_{i+2}%
\otimes...\otimes v_{n}\right) \\
&  =\sum\limits_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-k}\left(  v_{1}\otimes v_{2}%
\otimes...\otimes v_{k}\right)  \otimes\left(  v_{k+1}\otimes v_{k+2}%
\otimes...\otimes v_{k+j}\right)  \otimes\left(  v_{k+j+1}\otimes
v_{k+j+2}\otimes...\otimes v_{n}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{hier haben wir in der zweiten Summe
}i\text{ durch }k+j\text{ substituiert}\right)  ,
\end{align*}
also $\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \circ
\Delta\right)  \left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)
=\left(  \left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\right)
\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)  $ f\"{u}r jedes
$n\in\mathbb{N}$ und f\"{u}r alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$. Da Tensoren
der Form $v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}$ (mit $n\in\mathbb{N}$ und
$v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$) ein Erzeugendensystem des Tensormoduls $TV$
bilden, folgt hieraus $\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)
\circ\Delta=\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta$.
Somit ist das Diagramm (2.1) f\"{u}r $C=TV$ kommutativ.

F\"{u}r jedes $n\in\mathbb{N}$ und f\"{u}r alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$
ist%
\begin{align*}
&  \left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)  \circ
\Delta\right)  \left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right) \\
&  =\left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)  \left(  \Delta\left(
v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)  \right) \\
&  =\left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)  \left(  \sum
_{i=0}^{n}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{i}\right)
\otimes\left(  v_{i+1}\otimes v_{i+2}\otimes...\otimes v_{n}\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach (2.6)}\right) \\
&  =\sum_{i=0}^{n}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{i}\right)
\otimes\underbrace{\varepsilon\left(  v_{i+1}\otimes v_{i+2}\otimes...\otimes
v_{n}\right)  }_{=\delta_{n-i,0}\text{ (nach (2.7))}}\\
&  =\sum_{i=0}^{n}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{i}\right)
\otimes\delta_{n-i,0}=\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes
v_{n}\right)  \otimes1\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn in der Summe }\sum\limits_{i=0}^{n}\left(  v_{1}\otimes
v_{2}\otimes...\otimes v_{i}\right)  \otimes\delta_{n-i,0}\text{ sind alle
Summanden bis}\\
\text{auf (h\"{o}chstens) den f\"{u}r }n=i\text{ gleich }0
\end{array}
\right) \\
&  =\operatorname*{kan}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes
v_{n}\right)  ,
\end{align*}
wobei $\operatorname*{kan}$ die kanonische Abbildung $TV\rightarrow TV\otimes
k$ bezeichnet. Da Tensoren der Form $v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes
v_{n}$ (mit $n\in\mathbb{N}$ und $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$) ein
Erzeugendensystem des Tensormoduls $TV$ bilden, folgt hieraus $\left(
\operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)  \circ\Delta=\operatorname*{kan}$.
Somit ist das Diagramm (2.3) f\"{u}r $C=TV$ kommutativ. Analog zeigt man,
da\ss \ das Diagramm (2.2) f\"{u}r $C=TV$ ebenfalls kommutiert. Somit ist
gezeigt, da\ss \ $\left(  TV,\Delta,\varepsilon\right)  $ eine Coalgebra ist,
was zu beweisen war.

\textbf{6)} Eine Bemerkung: Ist $V$ ein eindimensionaler Vektorraum mit Basis
$\left(  v\right)  $, dann ist die in Beispiel \textbf{5)} konstruierte
Tensorcoalgebra $\left(  TV,\Delta,\varepsilon\right)  $ isomorph zur in
Beispiel \textbf{3)} definierten Coalgebra $C$. Ein Isomorphismus
$C\rightarrow TV$ wird gegeben durch
\[
X_{n}\mapsto\underbrace{v\otimes v\otimes...\otimes v}_{n\text{ mal }%
v}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }n\in\mathbb{N}.
\]


\textbf{7)} Die in Beispiel \textbf{5)} eingef\"{u}hrte Coalgebra $\left(
TV,\Delta,\varepsilon\right)  $ ist aber nicht die einzige sinnvolle
Coalgebrastruktur auf $TV$. Hier ist eine zweite:

F\"{u}r je zwei Zahlen $p\in\mathbb{N}$ und $q\in\mathbb{N}$ definieren wir
eine Menge $\operatorname*{Sh}\left(  p,q\right)  $ durch%
\[
\operatorname*{Sh}\left(  p,q\right)  =\left\{  \sigma\in S_{p+q}%
\ \mid\ \sigma\left(  1\right)  <\sigma\left(  2\right)  <...<\sigma\left(
p\right)  \text{ und }\sigma\left(  p+1\right)  <\sigma\left(  p+2\right)
<...<\sigma\left(  p+q\right)  \right\}  .
\]
Die Elemente dieser Menge $\operatorname*{Sh}\left(  p,q\right)  $ hei\ss en
$\left(  p,q\right)  $\textit{-Shuffles}.\footnote{Man beachte, da\ss \ wir
$0$ als Element von $\mathbb{N}$ ansehen, d. h. die Zahlen $p$ und $q$
k\"{o}nnen auch $0$ sein. Die Ungleichungskette $\sigma\left(  1\right)
<\sigma\left(  2\right)  <...<\sigma\left(  p\right)  $ wird im Falle von
$p=0$ einfach als eine Tautologie (d. h. eine wahre Aussage) verstanden, und
genauso die Ungleichungskette $\sigma\left(  p+1\right)  <\sigma\left(
p+2\right)  <...<\sigma\left(  p+q\right)  $ im Falle von $q=0$.}

Sei $V$ ein beliebiger Vektorraum. Dann l\"{a}\ss t sich der Tensormodul $TV$
zu einer Coalgebra $\left(  TV,\Delta^{\prime},\varepsilon\right)  $
machen\footnote{Wir bezeichnen hierbei die Comultiplikation mit $\Delta
^{\prime}$, um sie nicht mit der (anderen!) Comultiplikation $\Delta$ zu
verwechseln, welche in Beispiel \textbf{5)} eingef\"{u}hrt wurde. Die Coeins
$\varepsilon$ allerdings bezeichnen wir mit $\varepsilon$, weil sie identisch
mit der Coeins $\varepsilon$ aus Beispiel \textbf{5)} ist.}, die%
\begin{align}
\Delta^{\prime}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)   &
=\sum_{i=0}^{n}\sum_{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(  i,n-i\right)  }\left(
v_{\sigma\left(  1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(  2\right)  }%
\otimes...\otimes v_{\sigma\left(  i\right)  }\right)  \otimes\left(
v_{\sigma\left(  i+1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(  i+2\right)  }%
\otimes...\otimes v_{\sigma\left(  n\right)  }\right) \tag{2.8}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\nonumber\\
\varepsilon\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)   &
=\delta_{n,0} \tag{2.9}%
\end{align}
f\"{u}r alle $n\in\mathbb{N}$ und f\"{u}r alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$ erf\"{u}llt.

Die so erhaltene Coalgebra $TV$ hei\ss t die \textit{Shufflecoalgebra} von $V$.

\textit{Beweis:} Wir wollen beweisen, da\ss \ man auf dem Tensormodul $TV$
genau eine Coalgebrastruktur $\left(  TV,\Delta^{\prime},\varepsilon\right)  $
definieren kann, die (2.8) und (2.9) f\"{u}r alle $n\in\mathbb{N}$ und f\"{u}r
alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$ erf\"{u}llt. Da\ss \ es h\"{o}chstens eine
solche Coalgebrastruktur gibt, ist klar (denn die Abbildungen $\Delta^{\prime
}$ und $\varepsilon$ sind eindeutig bestimmt durch die Vorgabe, da\ss \ sie
$k$-linear zu sein und (2.8) und (2.9) f\"{u}r alle $n\in\mathbb{N}$ und
f\"{u}r alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$ zu erf\"{u}llen haben\footnote{weil
der Vektorraum $TV$ von Elementen der Form $v_{1}\otimes v_{2}\otimes
...\otimes v_{n}$ mit $n\in\mathbb{N}$ und mit $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$
aufgespannt ist}). Somit bleibt es also nur noch zu zeigen, da\ss \ es
mindestens eine solche Coalgebrastruktur gibt. Wir werden dies dadurch
erreichen, da\ss \ wir

\begin{itemize}
\item zuerst eine $k$-lineare Abbildung $\Delta^{\prime}:TV\rightarrow\left(
TV\right)  \otimes\left(  TV\right)  $ konstruieren,

\item dann zeigen, da\ss \ diese Abbildung $\Delta^{\prime}$ die Gleichung
(2.8) f\"{u}r alle $n\in\mathbb{N}$ und f\"{u}r alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in
V$ erf\"{u}llt,

\item dann eine $k$-lineare Abbildung $\varepsilon:TV\rightarrow k$ konstruieren,

\item dann zeigen, da\ss \ diese Abbildung $\varepsilon$ die Gleichung (2.9)
f\"{u}r alle $n\in\mathbb{N}$ und f\"{u}r alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$ erf\"{u}llt,

\item dann zeigen, da\ss \ $\left(  TV,\Delta^{\prime},\varepsilon\right)  $
eine Coalgebra ist (f\"{u}r diese Abbildungen).
\end{itemize}

Sei $n\in\mathbb{N}$ beliebig. Wir definieren eine Abbildung $d_{n}^{\prime
}:\underbrace{V\times V\times...\times V}_{n\text{ mal}}\rightarrow\left(
TV\right)  \otimes\left(  TV\right)  $ durch%
\begin{align*}
&  d_{n}^{\prime}\left(  v_{1},v_{2},...,v_{n}\right)  =\sum_{i=0}^{n}%
\sum_{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(  i,n-i\right)  }\left(  v_{\sigma
\left(  1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(  2\right)  }\otimes...\otimes
v_{\sigma\left(  i\right)  }\right)  \otimes\left(  v_{\sigma\left(
i+1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(  i+2\right)  }\otimes...\otimes
v_{\sigma\left(  n\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V.
\end{align*}
Diese Abbildung $d_{n}^{\prime}$ ist multilinear, und somit gibt es (nach der
universellen Eigenschaft des Tensorproduktes mehrerer Vektorr\"{a}ume) eine
lineare Abbildung $\Delta_{n}^{\prime}:\underbrace{V\otimes V\otimes...\otimes
V}_{n\text{ mal}}\rightarrow\left(  TV\right)  \otimes\left(  TV\right)  $
mit
\[
\Delta_{n}^{\prime}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)
=d_{n}^{\prime}\left(  v_{1},v_{2},...,v_{n}\right)  \text{ f\"{u}r alle
}v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V.
\]
Wegen $\underbrace{V\otimes V\otimes...\otimes V}_{n\text{ mal}}=V^{\otimes
n}$ ist $\Delta_{n}^{\prime}$ also eine Abbildung von $V^{\otimes n}$ nach
$\left(  TV\right)  \otimes\left(  TV\right)  $. Wir k\"{o}nnen die linearen
Abbildungen $\Delta_{n}^{\prime}:V^{\otimes n}\rightarrow\left(  TV\right)
\otimes\left(  TV\right)  $ (f\"{u}r verschiedene $n\in\mathbb{N}$) zu einer
linearen Abbildung $\Delta^{\prime}:TV\rightarrow\left(  TV\right)
\otimes\left(  TV\right)  $ zusammenfassen (denn $TV=V^{\otimes0}\oplus
V^{\otimes1}\oplus V^{\otimes2}\oplus...$). Diese Abbildung $\Delta^{\prime}$
erf\"{u}llt%
\begin{align*}
&  \Delta^{\prime}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)
=\Delta_{n}^{\prime}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes
v_{n}\in V^{\otimes n}\right) \\
&  =d_{n}^{\prime}\left(  v_{1},v_{2},...,v_{n}\right)  =\sum_{i=0}^{n}%
\sum_{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(  i,n-i\right)  }\left(  v_{\sigma
\left(  1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(  2\right)  }\otimes...\otimes
v_{\sigma\left(  i\right)  }\right)  \otimes\left(  v_{\sigma\left(
i+1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(  i+2\right)  }\otimes...\otimes
v_{\sigma\left(  n\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }n\in\mathbb{N}\text{ und f\"{u}r
alle }v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V.
\end{align*}
Mit anderen Worten: Die Abbildung $\Delta^{\prime}$ erf\"{u}llt die Gleichung
(2.8) f\"{u}r alle $n\in\mathbb{N}$ und f\"{u}r alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in
V$.

Sei ferner die Abbildung $\varepsilon:TV\rightarrow k$ genauso definiert wie
im Beweis von Beispiel \textbf{5)}. Wie in jenem Beweis zeigen wir dann,
da\ss
\[
\varepsilon\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)
=\delta_{n,0}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }n\in\mathbb{N}\text{ und
f\"{u}r alle }v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V
\]
ist. Das hei\ss t, die Abbildung $\varepsilon$ erf\"{u}llt die Gleichung (2.9)
f\"{u}r alle $n\in\mathbb{N}$ und f\"{u}r alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$.

Wir m\"{u}ssen jetzt nur noch zeigen, da\ss \ die gerade definierten
Abbildungen $\Delta^{\prime}$ und $\varepsilon$ den Vektorraum $TV$ zu einer
Coalgebra machen. Das hei\ss t, wir m\"{u}ssen zeigen, da\ss \ die Diagramme
(2.1), (2.2) und (2.3) kommutativ sind, wenn man in ihnen $C$ und $\Delta$
durch $TV$ bzw. $\Delta^{\prime}$ ersetzt.

Bevor wir das zeigen, leiten wir eine alternative Formel f\"{u}r die Abbildung
$\Delta^{\prime}$ her. Zuerst vereinbaren wir eine Notation:

\begin{itemize}
\item Sei $T$ eine endliche Menge nat\"{u}rlicher Zahlen. Unter einer
\textit{aufsteigenden Auflistung} der Menge $T$ verstehen wir dann eine Liste
$\left(  t_{1},t_{2},...,t_{k}\right)  $ von Elementen von $T$, die
$t_{1}<t_{2}<...<t_{k}$ und $\left\{  t_{1},t_{2},...,t_{k}\right\}  =T$
erf\"{u}llt. Es ist klar, da\ss \ jede endliche Menge $T$ nat\"{u}rlicher
Zahlen genau eine aufsteigende Auflistung hat; deshalb k\"{o}nnen wir von
"\textit{der} aufsteigenden Auflistung von $T$" sprechen.

\item Ist $T$ eine endliche Menge nat\"{u}rlicher Zahlen, und ist $\left(
u_{t}\right)  _{t\in T}$ eine Familie von Vektoren in $V$, dann bezeichnen wir
mit $\overrightarrow{u}_{T}$ den Tensor $u_{t_{1}}\otimes u_{t_{2}}%
\otimes...\otimes u_{t_{k}}$, wobei $\left(  t_{1},t_{2},...,t_{k}\right)  $
die aufsteigende Auflistung der Menge $T$ ist. Der Tensor $\overrightarrow{u}%
_{T}$ hei\ss t \textit{aufsteigendes Tensorprodukt} der Vektoren $u_{t}$
f\"{u}r $t\in T$ (und wird auch $\overrightarrow{\bigotimes\limits_{t\in T}%
}u_{t}$ genannt).
\end{itemize}

Beispielsweise ist also $\overrightarrow{v}_{\left\{  1,2,...,n\right\}
}=v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}$ f\"{u}r jedes $n\in\mathbb{N}$
und f\"{u}r alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$.

Jetzt behaupten wir: Ist $T$ eine endliche Menge nat\"{u}rlicher Zahlen, und
ist $\left(  u_{t}\right)  _{t\in T}$ eine Familie von Vektoren in $V$, dann
ist%
\begin{equation}
\Delta^{\prime}\left(  \overrightarrow{u}_{T}\right)  =\sum_{I\in
\mathcal{P}\left(  T\right)  }\overrightarrow{u}_{I}\otimes\overrightarrow{u}%
_{T\diagdown I}. \tag{2.10}%
\end{equation}
Wir beweisen zuerst einmal diese Formel:

\textit{Beweis von (2.10):} Sei $\left(  t_{1},t_{2},...,t_{k}\right)  $ die
aufsteigende Auflistung der Menge $T$. Dann ist $\overrightarrow{u}%
_{T}=u_{t_{1}}\otimes u_{t_{2}}\otimes...\otimes u_{t_{k}}$ (nach Definition)
und $t_{1}<t_{2}<...<t_{k}$ (denn $\left(  t_{1},t_{2},...,t_{k}\right)  $ ist
eine aufsteigende Auflistung). Betrachten wir nun die Abbildung%
\begin{align*}
\Phi:\bigcup_{j=0}^{k}\left(  \left\{  j\right\}  \times\operatorname*{Sh}%
\left(  j,k-j\right)  \right)   &  \rightarrow\mathcal{P}\left(  \left\{
1,2,...,k\right\}  \right)  ;\\
\left(  i,\sigma\right)   &  \mapsto\left\{  \sigma\left(  1\right)
,\sigma\left(  2\right)  ,...,\sigma\left(  i\right)  \right\}  \text{ (wobei
}\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(  i,k-i\right)  \text{).}%
\end{align*}
Diese Abbildung ist bijektiv\footnote{\textit{Beweis:} F\"{u}r jede Teilmenge
$T\in\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,k\right\}  \right)  $ gibt es genau
ein $\left(  i,\sigma\right)  \in\bigcup\limits_{j=0}^{k}\left(  \left\{
j\right\}  \times\operatorname*{Sh}\left(  j,k-j\right)  \right)  $ mit
$T=\left\{  \sigma\left(  1\right)  ,\sigma\left(  2\right)  ,...,\sigma
\left(  i\right)  \right\}  $. (Und zwar l\"{a}\ss t sich das $i$ eindeutig
als $\left\vert T\right\vert $ bestimmen, und die Permutation $\sigma
\in\operatorname*{Sh}\left(  i,k-i\right)  $ ist dann eindeutig bestimmt als
diejenige Permutation, die die Elemente $1,2,...,i$ auf die Elemente von $T$
(in aufsteigender Reihenfolge) abbildet und die Elemente $i+1,i+2,...,k$ auf
die Elemente von $\left\{  1,2,...,k\right\}  \diagdown T$ (ebenfalls in
aufsteigender Reihenfolge) abbildet.) Das hei\ss t, f\"{u}r jede Teilmenge
$T\in\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,k\right\}  \right)  $ gibt es genau
ein $\left(  i,\sigma\right)  \in\bigcup\limits_{j=0}^{k}\left(  \left\{
j\right\}  \times\operatorname*{Sh}\left(  j,k-j\right)  \right)  $ mit
$T=\Phi\left(  i,\sigma\right)  $. Folglich ist $\Phi$ bijektiv, qed.}. Wir
definieren nun $k$ Vektoren $v_{1},v_{2},...,v_{k}\in V$ durch $\left(
v_{j}=u_{t_{j}}\text{ f\"{u}r alle }j\in\left\{  1,2,...,k\right\}  \right)
$. Dann ist%
\begin{align*}
&  \Delta^{\prime}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{k}\right) \\
&  =\sum_{i=0}^{k}\sum_{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(  i,k-i\right)
}\underbrace{\left(  v_{\sigma\left(  1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(
2\right)  }\otimes...\otimes v_{\sigma\left(  i\right)  }\right)
}_{\substack{=\overrightarrow{v}_{\left\{  \sigma\left(  1\right)
,\sigma\left(  2\right)  ,...,\sigma\left(  i\right)  \right\}  }\\\text{(denn
}\left(  \sigma\left(  1\right)  ,\sigma\left(  2\right)  ,...,\sigma\left(
i\right)  \right)  \\\text{ist die aufsteigende Auflistung}\\\text{der Menge
}\left\{  \sigma\left(  1\right)  ,\sigma\left(  2\right)  ,...,\sigma\left(
i\right)  \right\}  \text{,}\\\text{weil }\sigma\left(  1\right)
<\sigma\left(  2\right)  <...<\sigma\left(  i\right)  \\\text{(denn }\sigma
\in\operatorname*{Sh}\left(  i,k-i\right)  \text{) ist)}}}\otimes
\underbrace{\left(  v_{\sigma\left(  i+1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(
i+2\right)  }\otimes...\otimes v_{\sigma\left(  k\right)  }\right)
}_{\substack{=\overrightarrow{v}_{\left\{  \sigma\left(  i+1\right)
,\sigma\left(  i+2\right)  ,...,\sigma\left(  k\right)  \right\}
}\\\text{(denn }\left(  \sigma\left(  i+1\right)  ,\sigma\left(  i+2\right)
,...,\sigma\left(  k\right)  \right)  \\\text{ist die aufsteigende
Auflistung}\\\text{der Menge }\left\{  \sigma\left(  i+1\right)
,\sigma\left(  i+2\right)  ,...,\sigma\left(  k\right)  \right\}
\text{,}\\\text{weil }\sigma\left(  i+1\right)  <\sigma\left(  i+2\right)
<...<\sigma\left(  k\right)  \\\text{(denn }\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(
i,k-i\right)  \text{) ist)}}}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach (2.8), angewandt auf }n=k\right) \\
&  =\underbrace{\sum_{i=0}^{k}\sum_{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(
i,k-i\right)  }}_{=\sum\limits_{\left(  i,\sigma\right)  \in\bigcup
\limits_{j=0}^{k}\left(  \left\{  j\right\}  \times\operatorname*{Sh}\left(
j,k-j\right)  \right)  }}\overrightarrow{v}_{\left\{  \sigma\left(  1\right)
,\sigma\left(  2\right)  ,...,\sigma\left(  i\right)  \right\}  }%
\otimes\underbrace{\overrightarrow{v}_{\left\{  \sigma\left(  i+1\right)
,\sigma\left(  i+2\right)  ,...,\sigma\left(  k\right)  \right\}  }%
}_{\substack{=\overrightarrow{v}_{\left\{  1,2,...,k\right\}  \diagdown
\left\{  \sigma\left(  1\right)  ,\sigma\left(  2\right)  ,...,\sigma\left(
i\right)  \right\}  }\\\text{(denn da }\sigma\text{ eine Permutation von
}\left\{  1,2,...,k\right\}  \text{ ist, gilt}\\\left\{  \sigma\left(
i+1\right)  ,\sigma\left(  i+2\right)  ,...,\sigma\left(  k\right)  \right\}
=\left\{  1,2,...,k\right\}  \diagdown\left\{  \sigma\left(  1\right)
,\sigma\left(  2\right)  ,...,\sigma\left(  i\right)  \right\}  \text{)}}}\\
&  =\sum\limits_{\left(  i,\sigma\right)  \in\bigcup\limits_{j=0}^{k}\left(
\left\{  j\right\}  \times\operatorname*{Sh}\left(  j,k-j\right)  \right)
}\underbrace{\overrightarrow{v}_{\left\{  \sigma\left(  1\right)
,\sigma\left(  2\right)  ,...,\sigma\left(  i\right)  \right\}  }%
}_{\substack{=\overrightarrow{v}_{\Phi\left(  i,\sigma\right)  }\\\text{(denn
}\left\{  \sigma\left(  1\right)  ,\sigma\left(  2\right)  ,...,\sigma\left(
i\right)  \right\}  =\Phi\left(  i,\sigma\right)  \text{)}}}\otimes
\underbrace{\overrightarrow{v}_{\left\{  1,2,...,k\right\}  \diagdown\left\{
\sigma\left(  1\right)  ,\sigma\left(  2\right)  ,...,\sigma\left(  i\right)
\right\}  }}_{\substack{=\overrightarrow{v}_{\left\{  1,2,...,k\right\}
\diagdown\Phi\left(  i,\sigma\right)  }\\\text{(denn }\left\{  \sigma\left(
1\right)  ,\sigma\left(  2\right)  ,...,\sigma\left(  i\right)  \right\}
=\Phi\left(  i,\sigma\right)  \text{)}}}\\
&  =\sum\limits_{\left(  i,\sigma\right)  \in\bigcup\limits_{j=0}^{k}\left(
\left\{  j\right\}  \times\operatorname*{Sh}\left(  j,k-j\right)  \right)
}\overrightarrow{v}_{\Phi\left(  i,\sigma\right)  }\otimes\overrightarrow{v}%
_{\left\{  1,2,...,k\right\}  \diagdown\Phi\left(  i,\sigma\right)  }%
=\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,k\right\}  \right)
}\overrightarrow{v}_{I}\otimes\overrightarrow{v}_{\left\{  1,2,...,k\right\}
\diagdown I}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{hier haben wir }\Phi\left(
i,\sigma\right)  \text{ durch }I\text{ substituiert, da }\Phi\text{ bijektiv
ist}\right)  .
\end{align*}
Sei nun $\Psi:\left\{  1,2,...,k\right\}  \rightarrow T$ die Abbildung, die
jedes $i\in\left\{  1,2,...,k\right\}  $ auf $t_{i}\in T$ abbildet. Dann ist
$\Psi$ eine Bijektion (denn $\left(  t_{1},t_{2},...,t_{k}\right)  $ ist die
aufsteigende Auflistung der Menge $T$) und streng monoton steigend (denn da
$\Psi\left(  i\right)  =t_{i}$ f\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,k\right\}
$ ist, l\"{a}\ss t sich $t_{1}<t_{2}<...<t_{k}$ als $\Psi\left(  1\right)
<\Psi\left(  2\right)  <...<\Psi\left(  k\right)  $ umschreiben). Die
Abbildung $\Psi$ induziert eine Abbildung $\mathcal{P}\left(  \Psi\right)
:\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,k\right\}  \right)  \rightarrow
\mathcal{P}\left(  T\right)  $, die jede Teilmenge $I\subseteq\left\{
1,2,...,k\right\}  $ auf die Teilmenge $\left\{  \Psi\left(  i\right)
\ \mid\ i\in I\right\}  $ von $T$ abbildet. F\"{u}r jede Teilmenge $I$ von
$\left\{  1,2,...,k\right\}  $ gilt $\overrightarrow{v}_{I}=\overrightarrow{u}%
_{\left(  \mathcal{P}\left(  \Psi\right)  \right)  \left(  I\right)  }%
$\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Sei $\left(  \alpha_{1},\alpha
_{2},...,\alpha_{i}\right)  $ die aufsteigende Auflistung der Menge $I$. Dann
ist $\alpha_{1}<\alpha_{2}<...<\alpha_{i}$ und $\left\{  \alpha_{1},\alpha
_{2},...,\alpha_{i}\right\}  =I$. Aus $\left\{  \alpha_{1},\alpha
_{2},...,\alpha_{i}\right\}  =I$ folgt $\left\{  \Psi\left(  \alpha
_{1}\right)  ,\Psi\left(  \alpha_{2}\right)  ,...,\Psi\left(  \alpha
_{i}\right)  \right\}  =\left\{  \Psi\left(  i\right)  \ \mid\ i\in I\right\}
=\left(  \mathcal{P}\left(  \Psi\right)  \right)  \left(  I\right)  $, und
zusammen mit $\Psi\left(  \alpha_{1}\right)  <\Psi\left(  \alpha_{2}\right)
<...<\Psi\left(  \alpha_{i}\right)  $ (denn $\alpha_{1}<\alpha_{2}%
<...<\alpha_{i}$ und $\Psi$ ist streng monoton steigend) ergibt dies,
da\ss \ $\left(  \Psi\left(  \alpha_{1}\right)  ,\Psi\left(  \alpha
_{2}\right)  ,...,\Psi\left(  \alpha_{i}\right)  \right)  $ die aufsteigende
Auflistung der Menge $\left(  \mathcal{P}\left(  \Psi\right)  \right)  \left(
I\right)  $ ist. Nach der Definition von $\overrightarrow{u}_{\left(
\mathcal{P}\left(  \Psi\right)  \right)  \left(  I\right)  }$ gilt somit
$\overrightarrow{u}_{\left(  \mathcal{P}\left(  \Psi\right)  \right)  \left(
I\right)  }=u_{\Psi\left(  \alpha_{1}\right)  }\otimes u_{\Psi\left(
\alpha_{2}\right)  }\otimes...\otimes u_{\Psi\left(  \alpha_{i}\right)  }$.
Wir haben nunmehr
\begin{align*}
\overrightarrow{v}_{I}  &  =v_{\alpha_{1}}\otimes v_{\alpha_{2}}%
\otimes...\otimes v_{\alpha_{i}}=u_{\Psi\left(  \alpha_{1}\right)  }\otimes
u_{\Psi\left(  \alpha_{2}\right)  }\otimes...\otimes u_{\Psi\left(  \alpha
_{i}\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn f\"{u}r jedes }j\in\left\{  1,2,...,k\right\}  \text{ ist}\\
v_{j}=u_{t_{j}}=u_{\Psi\left(  j\right)  }\text{ wegen }t_{j}=\Psi\left(
j\right)
\end{array}
\right) \\
&  =\overrightarrow{u}_{\left(  \mathcal{P}\left(  \Psi\right)  \right)
\left(  I\right)  },
\end{align*}
was zu zeigen war.}. Wenden wir dies auf $\left\{  1,2,...,k\right\}
\diagdown I$ statt $I$ an, so erhalten wir: F\"{u}r jede Teilmenge $I$ von
$\left\{  1,2,...,k\right\}  $ gilt $\overrightarrow{v}_{\left\{
1,2,...,k\right\}  \diagdown I}=\overrightarrow{u}_{\left(  \mathcal{P}\left(
\Psi\right)  \right)  \left(  \left\{  1,2,...,k\right\}  \diagdown I\right)
}$. Da $\left(  \mathcal{P}\left(  \Psi\right)  \right)  \left(  \left\{
1,2,...,k\right\}  \diagdown I\right)  =T\diagdown\left(  \mathcal{P}\left(
\Psi\right)  \right)  \left(  I\right)  $ ist (da $\Psi$ eine Bijektion ist),
vereinfacht sich dies zu $\overrightarrow{v}_{\left\{  1,2,...,k\right\}
\diagdown I}=\overrightarrow{u}_{T\diagdown\left(  \mathcal{P}\left(
\Psi\right)  \right)  \left(  I\right)  }$.

Da $\Psi$ eine Bijektion ist, ist auch $\mathcal{P}\left(  \Psi\right)  $ eine Bijektion.

Wir haben nun%
\begin{align*}
&  \Delta^{\prime}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{k}\right) \\
&  =\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,k\right\}  \right)
}\underbrace{\overrightarrow{v}_{I}}_{=\overrightarrow{u}_{\left(
\mathcal{P}\left(  \Psi\right)  \right)  \left(  I\right)  }}\otimes
\underbrace{\overrightarrow{v}_{\left\{  1,2,...,k\right\}  \diagdown I}%
}_{=\overrightarrow{u}_{T\diagdown\left(  \mathcal{P}\left(  \Psi\right)
\right)  \left(  I\right)  }}=\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{
1,2,...,k\right\}  \right)  }\overrightarrow{u}_{\left(  \mathcal{P}\left(
\Psi\right)  \right)  \left(  I\right)  }\otimes\overrightarrow{u}%
_{T\diagdown\left(  \mathcal{P}\left(  \Psi\right)  \right)  \left(  I\right)
}\\
&  =\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  T\right)  }\overrightarrow{u}%
_{I}\otimes\overrightarrow{u}_{T\diagdown I}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{hier haben wir }I\text{ f\"{u}r }\left(  \mathcal{P}\left(  \Psi\right)
\right)  \left(  I\right)  \text{ substituiert,}\\
\text{da }\mathcal{P}\left(  \Psi\right)  \text{ eine Bijektion ist}%
\end{array}
\right)  .
\end{align*}
Wegen
\begin{align*}
v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{k}  &  =u_{t_{1}}\otimes u_{t_{2}%
}\otimes...\otimes u_{t_{k}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }%
v_{j}=u_{t_{j}}\text{ f\"{u}r alle }j\in\left\{  1,2,...,k\right\}  \right) \\
&  =\overrightarrow{u}_{T}%
\end{align*}
vereinfacht sich dies zu $\Delta^{\prime}\left(  \overrightarrow{u}%
_{T}\right)  =\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  T\right)  }%
\overrightarrow{u}_{I}\otimes\overrightarrow{u}_{T\diagdown I}$, und damit ist
(2.10) bewiesen.

Wir k\"{o}nnen (2.10) folgenderma\ss en umschreiben: Ist $T$ eine endliche
Menge nat\"{u}rlicher Zahlen, und ist $\left(  u_{t}\right)  _{t\in T}$ eine
Familie von Vektoren in $V$, dann ist%
\begin{equation}
\Delta^{\prime}\left(  \overrightarrow{u}_{T}\right)  =\sum\limits_{I\in
\mathcal{P}\left(  T\right)  }\sum\limits_{\substack{J\in\mathcal{P}\left(
T\right)  ;\\I\cup J=T;\\I\cap J=\varnothing}}\overrightarrow{u}_{I}%
\otimes\overrightarrow{u}_{J}. \tag{2.11}%
\end{equation}
\footnote{\textit{Beweis:} Sei $I\in\mathcal{P}\left(  T\right)  $ beliebig
gew\"{a}hlt. F\"{u}r dieses $I$ gibt es genau eine Teilmenge $J\in
\mathcal{P}\left(  T\right)  $, welche $I\cup J=T$ und $I\cap J=\varnothing$
erf\"{u}llt - und zwar ist diese Teilmenge $T\diagdown I$. Somit besteht
f\"{u}r dieses $I$ die Summe $\sum\limits_{\substack{J\in\mathcal{P}\left(
T\right)  ;\\I\cup J=T;\\I\cap J=\varnothing}}\overrightarrow{u}_{I}%
\otimes\overrightarrow{u}_{J}$ aus genau einem Summanden - n\"{a}mlich aus dem
Summanden $\overrightarrow{u}_{I}\otimes\overrightarrow{u}_{T\diagdown I}$.
Wir haben also $\sum\limits_{\substack{J\in\mathcal{P}\left(  T\right)
;\\I\cup J=T;\\I\cap J=\varnothing}}\overrightarrow{u}_{I}\otimes
\overrightarrow{u}_{J}=\overrightarrow{u}_{I}\otimes\overrightarrow{u}%
_{T\diagdown I}$ f\"{u}r jedes $I\in\mathcal{P}\left(  T\right)  $. Also ist%
\[
\sum_{I\in\mathcal{P}\left(  T\right)  }\underbrace{\sum
\limits_{\substack{J\in\mathcal{P}\left(  T\right)  ;\\I\cup J=T;\\I\cap
J=\varnothing}}\overrightarrow{u}_{I}\otimes\overrightarrow{u}_{J}%
}_{=\overrightarrow{u}_{I}\otimes\overrightarrow{u}_{T\diagdown I}}=\sum
_{I\in\mathcal{P}\left(  T\right)  }\overrightarrow{u}_{I}\otimes
\overrightarrow{u}_{T\diagdown I}=\Delta^{\prime}\left(  \overrightarrow{u}%
_{T}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach (2.10)}\right)  .
\]
Damit ist (2.11) gezeigt.}

Jetzt wollen wir nachweisen, da\ss \ das Diagramm (2.1) kommutativ ist, wenn
man darin $C$ und $\Delta$ durch $TV$ bzw. $\Delta^{\prime}$ ersetzt.

Sei $n\in\mathbb{N}$ beliebig gew\"{a}hlt. Seien $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$
beliebig gew\"{a}hlt. Sei $N=\left\{  1,2,...,n\right\}  $. Dann ist $\left(
1,2,...,n\right)  $ eine aufsteigende Auflistung von $N$, und somit ist
$\overrightarrow{v}_{N}=v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}$ nach der
Definition von $\overrightarrow{v}_{N}$. Damit gilt%
\begin{align*}
&  \left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta^{\prime}\right)
\circ\Delta^{\prime}\right)  \left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes
v_{n}\right)  =\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta^{\prime
}\right)  \circ\Delta^{\prime}\right)  \left(  \overrightarrow{v}_{N}\right)
\\
&  =\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta^{\prime}\right)  \left(
\underbrace{\Delta^{\prime}\left(  \overrightarrow{v}_{N}\right)
}_{\substack{=\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  N\right)  }\sum
\limits_{\substack{J\in\mathcal{P}\left(  N\right)  ;\\I\cup J=N;\\I\cap
J=\varnothing}}\overrightarrow{v}_{I}\otimes\overrightarrow{v}_{J}%
\\\text{(nach (2.11))}}}\right)  =\left(  \operatorname*{id}\otimes
\Delta^{\prime}\right)  \left(  \sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  N\right)
}\sum\limits_{\substack{J\in\mathcal{P}\left(  N\right)  ;\\I\cup J=N;\\I\cap
J=\varnothing}}\overrightarrow{v}_{I}\otimes\overrightarrow{v}_{J}\right) \\
&  =\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  N\right)  }\sum\limits_{\substack{J\in
\mathcal{P}\left(  N\right)  ;\\I\cup J=N;\\I\cap J=\varnothing}%
}\overrightarrow{v}_{I}\otimes\Delta^{\prime}\left(  \overrightarrow{v}%
_{J}\right)  =\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  N\right)  }\sum
\limits_{\substack{L\in\mathcal{P}\left(  N\right)  ;\\I\cup L=N;\\I\cap
L=\varnothing}}\overrightarrow{v}_{I}\otimes\underbrace{\Delta^{\prime}\left(
\overrightarrow{v}_{L}\right)  }_{\substack{=\sum\limits_{J\in\mathcal{P}%
\left(  L\right)  }\sum\limits_{\substack{K\in\mathcal{P}\left(  L\right)
;\\J\cup K=L;\\J\cap K=\varnothing}}\overrightarrow{v}_{J}\otimes
\overrightarrow{v}_{K}\\\text{(nach (2.11))}}}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{hier haben wir }J\text{ in der zweiten
Summe in }L\text{ umbenannt}\right) \\
&  =\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  N\right)  }\sum\limits_{\substack{L\in
\mathcal{P}\left(  N\right)  ;\\I\cup L=N;\\I\cap L=\varnothing}%
}\underbrace{\sum\limits_{J\in\mathcal{P}\left(  L\right)  }}_{=\sum
\limits_{\substack{J\in\mathcal{P}\left(  N\right)  ;\\J\subseteq L}%
}}\underbrace{\sum\limits_{\substack{K\in\mathcal{P}\left(  L\right)  ;\\J\cup
K=L;\\J\cap K=\varnothing}}}_{=\sum\limits_{\substack{K\in\mathcal{P}\left(
N\right)  ;\\K\subseteq L\\J\cup K=L;\\J\cap K=\varnothing}}}%
\overrightarrow{v}_{I}\otimes\overrightarrow{v}_{J}\otimes\overrightarrow{v}%
_{K}\\
&  =\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  N\right)  }\sum\limits_{\substack{L\in
\mathcal{P}\left(  N\right)  ;\\I\cup L=N;\\I\cap L=\varnothing}%
}\sum\limits_{\substack{J\in\mathcal{P}\left(  N\right)  ;\\J\subseteq L}%
}\sum\limits_{\substack{K\in\mathcal{P}\left(  N\right)  ;\\K\subseteq
L\\J\cup K=L;\\J\cap K=\varnothing}}\overrightarrow{v}_{I}\otimes
\overrightarrow{v}_{J}\otimes\overrightarrow{v}_{K}\\
&  =\sum\limits_{\substack{\left(  I,L,J,K\right)  \in\mathcal{P}\left(
N\right)  \times\mathcal{P}\left(  N\right)  \times\mathcal{P}\left(
N\right)  \times\mathcal{P}\left(  N\right)  ;\\I\cup L=N;\ I\cap
L=\varnothing;\ J\cup K=L;\ J\cap K=\varnothing;\ J\subseteq L;\ K\subseteq
L}}\overrightarrow{v}_{I}\otimes\overrightarrow{v}_{J}\otimes
\overrightarrow{v}_{K}\\
&  =\sum\limits_{\substack{\left(  I,L,J,K\right)  \in\mathcal{P}\left(
N\right)  \times\mathcal{P}\left(  N\right)  \times\mathcal{P}\left(
N\right)  \times\mathcal{P}\left(  N\right)  ;\\I\cap J=\varnothing;\ J\cap
K=\varnothing;\ K\cap I=\varnothing;\ I\cup J\cup K=N;\ L=J\cup K}%
}\overrightarrow{v}_{I}\otimes\overrightarrow{v}_{J}\otimes\overrightarrow{v}%
_{K}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn f\"{u}r jedes Quadrupel }\left(  I,L,J,K\right)  \in\mathcal{P}%
\left(  N\right)  \times\mathcal{P}\left(  N\right)  \times\mathcal{P}\left(
N\right)  \times\mathcal{P}\left(  N\right) \\
\text{ist die Aussage}\\
\left(  I\cup L=N\text{ und}\ I\cap L=\varnothing\text{ und}\ J\cup K=L\text{
und}\ J\cap K=\varnothing\text{ und }J\subseteq L\text{ und }K\subseteq
L\right) \\
\text{\"{a}quivalent zu der Aussage}\\
\left(  I\cap J=\varnothing\text{ und}\ J\cap K=\varnothing\text{ und}\ K\cap
I=\varnothing\text{ und}\ I\cup J\cup K=N\text{ und}\ L=J\cup K\right)
\text{,}\\
\text{wie man sich schnell \"{u}berlegt}%
\end{array}
\right) \\
&  =\sum\limits_{\substack{\left(  I,J,K\right)  \in\mathcal{P}\left(
N\right)  \times\mathcal{P}\left(  N\right)  \times\mathcal{P}\left(
N\right)  ;\\I\cap J=\varnothing;\ J\cap K=\varnothing;\ K\cap I=\varnothing
;\ I\cup J\cup K=N}}\sum_{\substack{L\in\mathcal{P}\left(  N\right)
;\\L=J\cup K}}\overrightarrow{v}_{I}\otimes\overrightarrow{v}_{J}%
\otimes\overrightarrow{v}_{K}.
\end{align*}
Doch f\"{u}r jedes feste Tripel $\left(  I,J,K\right)  \in\mathcal{P}\left(
N\right)  \times\mathcal{P}\left(  N\right)  \times\mathcal{P}\left(
N\right)  $ gilt $\sum\limits_{\substack{L\in\mathcal{P}\left(  N\right)
;\\L=J\cup K}}\overrightarrow{v}_{I}\otimes\overrightarrow{v}_{J}%
\otimes\overrightarrow{v}_{K}=\overrightarrow{v}_{I}\otimes\overrightarrow{v}%
_{J}\otimes\overrightarrow{v}_{K}$\ \ \ \ \footnote{Denn f\"{u}r jedes feste
Tripel $\left(  I,J,K\right)  \in\mathcal{P}\left(  N\right)  \times
\mathcal{P}\left(  N\right)  \times\mathcal{P}\left(  N\right)  $ gibt es
genau ein $L\in\mathcal{P}\left(  N\right)  $, welches $L=J\cup K$
erf\"{u}llt, und somit besteht die Summe $\sum\limits_{\substack{L\in
\mathcal{P}\left(  N\right)  ;\\L=J\cup K}}\overrightarrow{v}_{I}%
\otimes\overrightarrow{v}_{J}\otimes\overrightarrow{v}_{K}$ aus genau einem
Summanden, und dieser ist gleich $\overrightarrow{v}_{I}\otimes
\overrightarrow{v}_{J}\otimes\overrightarrow{v}_{K}$.}. Somit ist%
\begin{align*}
\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta^{\prime}\right)  \circ
\Delta^{\prime}\right)  \left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes
v_{n}\right)   &  =\sum\limits_{\substack{\left(  I,J,K\right)  \in
\mathcal{P}\left(  N\right)  \times\mathcal{P}\left(  N\right)  \times
\mathcal{P}\left(  N\right)  ;\\I\cap J=\varnothing;\ J\cap K=\varnothing
;\ K\cap I=\varnothing;\ I\cup J\cup K=N}}\underbrace{\sum_{\substack{L\in
\mathcal{P}\left(  N\right)  ;\\L=J\cup K}}\overrightarrow{v}_{I}%
\otimes\overrightarrow{v}_{J}\otimes\overrightarrow{v}_{K}}%
_{=\overrightarrow{v}_{I}\otimes\overrightarrow{v}_{J}\otimes
\overrightarrow{v}_{K}}\\
&  =\sum\limits_{\substack{\left(  I,J,K\right)  \in\mathcal{P}\left(
N\right)  \times\mathcal{P}\left(  N\right)  \times\mathcal{P}\left(
N\right)  ;\\I\cap J=\varnothing;\ J\cap K=\varnothing;\ K\cap I=\varnothing
;\ I\cup J\cup K=N}}\overrightarrow{v}_{I}\otimes\overrightarrow{v}_{J}%
\otimes\overrightarrow{v}_{K}.
\end{align*}
Analog erh\"{a}lt man%
\[
\left(  \left(  \Delta^{\prime}\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ
\Delta^{\prime}\right)  \left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes
v_{n}\right)  =\sum\limits_{\substack{\left(  I,J,K\right)  \in\mathcal{P}%
\left(  N\right)  \times\mathcal{P}\left(  N\right)  \times\mathcal{P}\left(
N\right)  ;\\I\cap J=\varnothing;\ J\cap K=\varnothing;\ K\cap I=\varnothing
;\ I\cup J\cup K=N}}\overrightarrow{v}_{I}\otimes\overrightarrow{v}_{J}%
\otimes\overrightarrow{v}_{K}.
\]
Somit haben wir $\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta^{\prime
}\right)  \circ\Delta^{\prime}\right)  \left(  v_{1}\otimes v_{2}%
\otimes...\otimes v_{n}\right)  =\left(  \left(  \Delta^{\prime}%
\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta^{\prime}\right)  \left(
v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)  $ f\"{u}r jedes
$n\in\mathbb{N}$ und f\"{u}r alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$. Da Tensoren
der Form $v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}$ (mit $n\in\mathbb{N}$ und
$v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$) ein Erzeugendensystem des Tensormoduls $TV$
bilden, folgt hieraus $\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta^{\prime
}\right)  \circ\Delta^{\prime}=\left(  \Delta^{\prime}\otimes
\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta^{\prime}$. Somit ist das Diagramm (2.1)
kommutativ, wenn man darin $C$ und $\Delta$ durch $TV$ bzw. $\Delta^{\prime}$ ersetzt.

F\"{u}r jedes $n\in\mathbb{N}$ und f\"{u}r alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$
ist%
\begin{align*}
&  \left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)  \circ
\Delta^{\prime}\right)  \left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes
v_{n}\right) \\
&  =\left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)  \left(
\Delta^{\prime}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)
\right) \\
&  =\left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)  \left(  \sum
_{i=0}^{n}\sum_{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(  i,n-i\right)  }\left(
v_{\sigma\left(  1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(  2\right)  }%
\otimes...\otimes v_{\sigma\left(  i\right)  }\right)  \otimes\left(
v_{\sigma\left(  i+1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(  i+2\right)  }%
\otimes...\otimes v_{\sigma\left(  n\right)  }\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach (2.8)}\right) \\
&  =\sum_{i=0}^{n}\sum_{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(  i,n-i\right)
}\left(  v_{\sigma\left(  1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(  2\right)
}\otimes...\otimes v_{\sigma\left(  i\right)  }\right)  \otimes
\underbrace{\varepsilon\left(  v_{\sigma\left(  i+1\right)  }\otimes
v_{\sigma\left(  i+2\right)  }\otimes...\otimes v_{\sigma\left(  n\right)
}\right)  }_{=\delta_{n-i,0}\text{ (nach (2.9))}}\\
&  =\sum_{i=0}^{n}\sum_{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(  i,n-i\right)
}\left(  v_{\sigma\left(  1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(  2\right)
}\otimes...\otimes v_{\sigma\left(  i\right)  }\right)  \otimes\delta
_{n-i,0}\\
&  =\sum_{i=0}^{n}\left(  \sum_{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(
i,n-i\right)  }v_{\sigma\left(  1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(  2\right)
}\otimes...\otimes v_{\sigma\left(  i\right)  }\right)  \otimes\delta
_{n-i,0}=\sum_{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(  n,0\right)  }\left(
v_{\sigma\left(  1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(  2\right)  }%
\otimes...\otimes v_{\sigma\left(  n\right)  }\right)  \otimes1\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn in der Summe }\sum\limits_{i=0}^{n}\left(  \sum\limits_{\sigma
\in\operatorname*{Sh}\left(  i,n-i\right)  }v_{\sigma\left(  1\right)
}\otimes v_{\sigma\left(  2\right)  }\otimes...\otimes v_{\sigma\left(
i\right)  }\right)  \otimes\delta_{n-i,0}\text{ sind}\\
\text{alle Summanden bis auf (h\"{o}chstens) den f\"{u}r }n=i\text{ gleich }0
\end{array}
\right) \\
&  =\left(  v_{\operatorname*{id}\left(  1\right)  }\otimes
v_{\operatorname*{id}\left(  2\right)  }\otimes...\otimes
v_{\operatorname*{id}\left(  n\right)  }\right)  \otimes1\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\operatorname*{Sh}\left(  n,0\right)  =\left\{  \operatorname*{id}%
\right\}  \text{, weil jede Permutation }\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(
n,0\right)  \text{ die Relation}\\
\sigma\left(  1\right)  <\sigma\left(  2\right)  <...<\sigma\left(  n\right)
\text{ erf\"{u}llen mu\ss \ und deshalb gleich }\operatorname*{id}\text{ sein
mu\ss }%
\end{array}
\right) \\
&  =\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)  \otimes
1=\operatorname*{kan}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)
,
\end{align*}
wobei $\operatorname*{kan}$ die kanonische Abbildung $TV\rightarrow TV\otimes
k$ bezeichnet. Da Tensoren der Form $v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes
v_{n}$ (mit $n\in\mathbb{N}$ und $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$) ein
Erzeugendensystem des Tensormoduls $TV$ bilden, folgt hieraus $\left(
\operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)  \circ\Delta^{\prime
}=\operatorname*{kan}$. Somit ist das Diagramm (2.3) kommutativ, wenn man
darin $C$ und $\Delta$ durch $TV$ bzw. $\Delta^{\prime}$ ersetzt. Analog
beweist man selbiges f\"{u}r das Diagramm (2.2). Somit ist gezeigt,
da\ss \ $\left(  TV,\Delta^{\prime},\varepsilon\right)  $ eine Coalgebra ist,
was zu beweisen war.

\textbf{2.1}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{.
Bemerkung:} Eine wichtige Konsequenz der Coassoziativit\"{a}t in einer
Coalgebra ist folgende: F\"{u}r jede Coalgebra $C$ und jedes ganze $n\geq0$
k\"{o}nnen wir eine $k$-lineare Abbildung $\Delta^{n-1}:C\rightarrow
\otimes^{n}C$ definieren\footnote{Dabei ist der Exponent $n-1$ in der
Schreibweise $\Delta^{n-1}$ nicht als "$\left(  n-1\right)  $-fache
Hintereinanderausf\"{u}hrung" zu lesen, denn die Abbildung $\Delta$ kann man
(im Allgemeinen) nicht mit sich selbst hintereinanderausf\"{u}hren (da sie von
$C$ nach $C\otimes C$ f\"{u}hrt, und $C\neq C\otimes C$ im Allgemeinen ist).
Doch die Idee hinter der folgenden Definition von $\Delta^{n-1}$ ist eine
Abwandlung der $\left(  n-1\right)  $-fachen Hintereinanderausf\"{u}hrung.}.
Und zwar gehen wir dazu rekursiv vor:

F\"{u}r $n=0$ sei $\Delta^{-1}:C\rightarrow\otimes^{0}C$ einfach die Abbildung
$\varepsilon$ (denn $\otimes^{0}C$ ist nichts anderes als $k$). Wenn wir
f\"{u}r ein ganzes $n\geq0$ die Abbildung $\Delta^{n-1}:C\rightarrow
\otimes^{n}C$ definiert haben, dann definieren wir eine Abbildung $\Delta
^{n}:C\rightarrow\otimes^{n+1}C$ als Verkettung $\operatorname*{kan}%
\circ\left(  \Delta^{n-1}\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta$ der
Abbildungen $\Delta:C\rightarrow C\otimes C,$ $\Delta^{n-1}\otimes
\operatorname*{id}:C\otimes C\rightarrow\left(  \otimes^{n}C\right)  \otimes
C$ und $\operatorname*{kan}:\left(  \otimes^{n}C\right)  \otimes
C\rightarrow\otimes^{n+1}C$ (letztere Abbildung ist einfach die kanonische
Identifikation von $\left(  \otimes^{n}C\right)  \otimes C$ mit $\otimes
^{n+1}C$). Die gerade definierte Abbildung $\Delta^{n}$ ist nat\"{u}rlich $k$-linear.

Diese Abbildungen $\Delta^{n-1}$ haben folgende Eigenschaften:

\textbf{1)} Es gilt\ $\Delta^{0}=\operatorname*{id}:C\rightarrow C$ (man
beachte $\otimes^{1}C=C$) und $\Delta^{1}=\Delta$.

\textbf{2)} Ferner ist $\Delta^{2}=\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}%
\right)  \circ\Delta=\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)
\circ\Delta$ (wobei wir die kanonische Abbildung $\operatorname*{kan}$ nicht
mehr hinschreiben, sondern $\left(  \otimes^{n}C\right)  \otimes C$ einfach
mit $\otimes^{n+1}C$ gleichsetzen).

\textbf{3)} F\"{u}r jedes ganze $n\geq0$ kommutiert folgendes Diagramm:%
\begin{equation}
\xymatrixcolsep{6pc}\xymatrix{ C \ar[dr]^{\Delta} \ar@/_7pc/[ddrr]_{\Delta^n} & & \\ & C\otimes C \ar[r]^-{\operatorname*{id}\otimes\Delta^{n-1}} \ar[d]^{\Delta^{n-1}\otimes\operatorname*{id}} & C\otimes\left(\otimes^n C\right) \ar[d]^-{\operatorname*{kan}}_-{\cong}\\ & \left(\otimes^n C\right)\otimes C \ar[r]^-{\operatorname*{kan}}_-{\cong} & \otimes^{n+1} C }.
\tag{2.4}%
\end{equation}
Dieses Resultat bedeutet, da\ss \ man bei der rekursiven Definition von
$\Delta^{n}$ die Abbildung $\Delta^{n-1}\otimes\operatorname*{id}$ durch
$\operatorname*{id}\otimes\Delta^{n-1}$ ersetzen k\"{o}nnte, ohne da\ss \ sich
die Abbildung $\Delta^{n}$ dabei \"{a}ndern w\"{u}rde.

\textbf{4)} Seien $n\geq0$ und $\ell\in\left\{  0,1,...,n-1\right\}  $
beliebig. Dann ist $\Delta^{n}=\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes
^{\ell}C}\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{n-\ell-1}%
C}\right)  \circ\Delta^{n-1}$. \ \ \ \ \footnote{Insbesondere folgt hieraus:
Die Abbildung $\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\ell}C}%
\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{n-\ell-1}C}\right)
\circ\Delta^{n-1}:C\rightarrow\otimes^{n+1}C$ h\"{a}ngt nicht von der Wahl von
$\ell$ ab.}\ Hierbei betrachten wir die Abbildung
\[
\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\ell}C}\otimes\Delta\otimes
\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{n-\ell-1}C}:\left(  \otimes^{\ell
}C\right)  \otimes C\otimes\left(  \otimes^{n-\ell-1}C\right)  \rightarrow
\left(  \otimes^{\ell}C\right)  \otimes\left(  C\otimes C\right)
\otimes\left(  \otimes^{n-\ell-1}C\right)
\]
als eine Abbildung von $\otimes^{n}C$ nach $\otimes^{n+1}C$, indem wir
$\left(  \otimes^{a}C\right)  \otimes\left(  \otimes^{b}C\right)  $ mit
$\otimes^{a+b}C$ gleichsetzen f\"{u}r beliebige nat\"{u}rliche $a$ und
$b$\ \ \ \ \footnote{Dies bedeutet insbesondere, da\ss \ wir $\left(
\otimes^{\ell}C\right)  \otimes C\otimes\left(  \otimes^{n-\ell-1}C\right)  $
mit $\otimes^{\ell+1+\left(  n-\ell-1\right)  }C=\otimes^{n}C$ gleichsetzen,
und $\left(  \otimes^{\ell}C\right)  \otimes\left(  C\otimes C\right)
\otimes\left(  \otimes^{n-\ell-1}C\right)  $ mit $\otimes^{\ell+1+1+\left(
n-\ell-1\right)  }C=\otimes^{n+1}C$ gleichsetzen.}.

\textbf{5)} Seien $u\geq-1$ und $v\geq-1$ beliebig. Dann ist $\left(
\Delta^{u}\otimes\Delta^{v}\right)  \circ\Delta=\Delta^{u+v+1}$. Hierbei
betrachten wir%
\[
\Delta^{u}\otimes\Delta^{v}:C\otimes C\rightarrow\left(  \otimes
^{u+1}C\right)  \otimes\left(  \otimes^{v+1}C\right)
\]
als eine Abbildung von $C\otimes C$ nach $\otimes^{u+v+2}C$, indem wir
$\left(  \otimes^{a}C\right)  \otimes\left(  \otimes^{b}C\right)  $ mit
$\otimes^{a+b}C$ gleichsetzen f\"{u}r beliebige nat\"{u}rliche $a$ und
$b$\ \ \ \ \footnote{Dies bedeutet insbesondere, da\ss \ wir $\left(
\otimes^{u+1}C\right)  \otimes\left(  \otimes^{v+1}C\right)  $ mit
$\otimes^{u+v+2}C$ gleichsetzen.}.

\textit{Bemerkung:} Folgendes kommutatives Diagramm (in dem die Moduln der
\"{U}bersicht halber in K\"{a}stchen gesetzt wurden) zeigt sechs Ketten von
Abbildungen, von denen jede $\Delta^{3}$ ergibt (gem\"{a}\ss \ Bemerkung
2.1$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{4)}):

\begin{landscape}
\[
\xymatrixcolsep{0pc}
\xymatrixrowsep{4pc}
\xymatrix{
& & & \boxed{C} \ar[d]_{\Delta} \ar@/^3pc/[dddd]^{\Delta^3} & & & \\
& & & \boxed{C \otimes C} \ar[lld]^{\Delta\otimes\operatorname*{id}} \ar[rrd]^{\operatorname*{id}\otimes\Delta} & & & \\
& \boxed{\left(C\otimes C\right) \otimes C} \ar[ld]_{\left(\Delta\otimes\operatorname*{id}\right)\otimes\operatorname*{id}} \ar[d]^{\left(\operatorname*{id}\otimes\Delta\right)\otimes\operatorname*{id}} \ar[rd]^{\left(\operatorname*{id}\otimes\operatorname*{id}\right)\otimes\Delta} & & & & \boxed{C \otimes \left(C\otimes C\right)} \ar[ld]_{\Delta\otimes\left(\operatorname*{id}\otimes\operatorname*{id}\right)} \ar[d]^{\operatorname*{id}\otimes\left(\Delta\otimes\operatorname*{id}\right)} \ar[rd]^{\operatorname*{id}\otimes\left(\operatorname*{id}\otimes\Delta\right)} & \\
\boxed{\left(\left(C\otimes C\right)\otimes C\right)\otimes C} \ar[rrrd]^{\operatorname*{kan}}_{\cong} & \boxed{\left(C\otimes \left(C\otimes C\right)\right)\otimes C} \ar[rrd]^{\operatorname*{kan}}_{\cong} & \boxed{\left(C\otimes C\right)\otimes \left(C\otimes C\right)} \ar[rd]^{\operatorname*{kan}}_{\cong} & & \boxed{\left(C\otimes C\right)\otimes \left(C\otimes C\right)} \ar[ld]^{\operatorname*{kan}}_{\cong} & \boxed{C\otimes \left(\left(C\otimes C\right)\otimes C\right)} \ar[lld]^{\operatorname*{kan}}_{\cong}  & \boxed{C\otimes \left(C\otimes \left(C\otimes C\right)\right)} \ar[llld]^{\operatorname*{kan}}_{\cong} \\
& & & \boxed{\otimes^4 C} & & &
}
\]
\end{landscape}


\textit{Beweis von Bemerkung 2.1}$\dfrac{\text{\textit{1}}}{\text{\textit{2}}%
}$\textit{:} \textbf{1)} und \textbf{2)} sind leicht nachzurechnen.

\textbf{5)} Wir bemerken zuerst, da\ss \ wir $C\otimes k$ mit $C$ gleichsetzen
(denn wir setzen $\left(  \otimes^{a}C\right)  \otimes\left(  \otimes
^{b}C\right)  $ mit $\otimes^{a+b}C$ gleich f\"{u}r beliebige nat\"{u}rliche
$a$ und $b$). Somit ist die Abbildung $\operatorname{kan}:C\otimes
k\rightarrow C$, die im kommutativen Diagramm (2.3) auftritt, f\"{u}r uns
einfach die Identit\"{a}tsabbildung $\operatorname{id}:C\rightarrow C$. Da $C$
eine Coalgebra ist, gilt aber $\left(  \operatorname{id}\otimes\varepsilon
\right)  \circ\Delta=\operatorname{kan}$, also $\left(  \operatorname{id}%
\otimes\varepsilon\right)  \circ\Delta=\operatorname{id}$ (wegen
$\operatorname{kan}=\operatorname{id}$).

Wir werden Bemerkung 2.1$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{5)} durch
vollst\"{a}ndige Induktion nach $v$ beweisen:

\textit{Induktionsanfang:} F\"{u}r $v=-1$ ist%
\begin{align*}
\left(  \Delta^{u}\otimes\Delta^{v}\right)  \circ\Delta &  =\left(  \Delta
^{u}\otimes\underbrace{\Delta^{-1}}_{=\varepsilon}\right)  \circ
\Delta=\underbrace{\left(  \Delta^{u}\otimes\varepsilon\right)  }_{=\left(
\Delta^{u}\otimes\operatorname{id}\right)  \circ\left(  \operatorname{id}%
\otimes\varepsilon\right)  }\circ\Delta\\
&  =\underbrace{\left(  \Delta^{u}\otimes\operatorname{id}\right)
}_{\substack{=\Delta^{u}\text{ (denn wir setzen}\\C\otimes k\text{ mit
}C\text{ gleich)}}}\circ\underbrace{\left(  \operatorname{id}\otimes
\varepsilon\right)  \circ\Delta}_{=\operatorname{id}}=\Delta^{u}%
\circ\operatorname{id}=\Delta^{u}=\Delta^{u+v+1}%
\end{align*}
(denn wegen $v=-1$ ist $u=u+v+1$). Somit gilt Bemerkung 2.1$\dfrac{\text{1}%
}{\text{2}}$ \textbf{5)} f\"{u}r $v=-1$. Damit ist der Induktionsanfang erledigt.

\textit{Induktionsschritt:} Sei $w\in\mathbb{N}$. Angenommen, Bemerkung
2.1$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{5)} gilt f\"{u}r $v=w-1$. Wir
m\"{u}ssen nun zeigen, da\ss \ Bemerkung 2.1$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$
\textbf{5)} auch f\"{u}r $v=w$ gilt.

Da Bemerkung 2.1$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{5)} f\"{u}r $v=w-1$ gilt,
ist $\left(  \Delta^{u}\otimes\Delta^{w-1}\right)  \circ\Delta=\Delta
^{u+\left(  w-1\right)  +1}$, also $\left(  \Delta^{u}\otimes\Delta
^{w-1}\right)  \circ\Delta=\Delta^{u+w}$.

F\"{u}r jedes $n\in\mathbb{N}$ ist $\Delta^{n}=\operatorname{kan}\circ\left(
\Delta^{n-1}\otimes\operatorname{id}\right)  \circ\Delta$, wobei
$\operatorname{kan}$ der kanonische Isomorphismus $\left(  \otimes
^{n}C\right)  \otimes C\rightarrow\otimes^{n+1}C$ ist. Da wir $\left(
\otimes^{n}C\right)  \otimes C$ mit $\otimes^{n+1}C$ gleichsetzen (denn wir
setzen $\left(  \otimes^{a}C\right)  \otimes\left(  \otimes^{b}C\right)  $ mit
$\otimes^{a+b}C$ gleich f\"{u}r beliebige nat\"{u}rliche $a$ und $b$), ist
f\"{u}r uns dieser kanonische Isomorphismus $\operatorname{kan}$ gleich der
Identit\"{a}tsabbildung $\operatorname{id}:\otimes^{n+1}C\rightarrow
\otimes^{n+1}C$. Somit wird $\Delta^{n}=\operatorname{kan}\circ\left(
\Delta^{n-1}\otimes\operatorname{id}\right)  \circ\Delta$ zu $\Delta
^{n}=\operatorname{id}\circ\left(  \Delta^{n-1}\otimes\operatorname{id}%
\right)  \circ\Delta=\left(  \Delta^{n-1}\otimes\operatorname{id}\right)
\circ\Delta$. Wenden wir dies auf $n=w$ an, so erhalten wir $\Delta
^{w}=\left(  \Delta^{w-1}\otimes\operatorname{id}\right)  \circ\Delta$. Wenden
wir aber $\Delta^{n}=\left(  \Delta^{n-1}\otimes\operatorname{id}\right)
\circ\Delta$ auf $n=u+w+1$ an, so erhalten wir $\Delta^{u+w+1}=\left(
\Delta^{u+w+1-1}\otimes\operatorname{id}\right)  \circ\Delta$.

Nun ist%
\begin{align*}
&  \left(  \underbrace{\Delta^{u}}_{=\Delta^{u}\circ\operatorname{id}}%
\otimes\underbrace{\Delta^{w}}_{=\left(  \Delta^{w-1}\otimes\operatorname{id}%
\right)  \circ\Delta}\right)  \circ\Delta\\
&  =\left(  \underbrace{\left(  \Delta^{u}\circ\operatorname{id}\right)
\otimes\left(  \left(  \Delta^{w-1}\otimes\operatorname{id}\right)
\circ\Delta\right)  }_{=\left(  \Delta^{u}\otimes\left(  \Delta^{w-1}%
\otimes\operatorname{id}\right)  \right)  \circ\left(  \operatorname{id}%
\otimes\Delta\right)  }\right)  \circ\Delta\\
&  =\underbrace{\left(  \Delta^{u}\otimes\left(  \Delta^{w-1}\otimes
\operatorname{id}\right)  \right)  }_{=\left(  \Delta^{u}\otimes\Delta
^{w-1}\right)  \otimes\operatorname{id}}\circ\underbrace{\left(
\operatorname{id}\otimes\Delta\right)  \circ\Delta}_{\substack{=\left(
\Delta\otimes\operatorname{id}\right)  \circ\Delta\\\text{(denn das Diagramm
(2.1) kommutiert)}}}\\
&  =\underbrace{\left(  \left(  \Delta^{u}\otimes\Delta^{w-1}\right)
\otimes\operatorname{id}\right)  \circ\left(  \Delta\otimes\operatorname{id}%
\right)  }_{=\left(  \left(  \Delta^{u}\otimes\Delta^{w-1}\right)  \circ
\Delta\right)  \otimes\left(  \operatorname{id}\circ\operatorname{id}\right)
}\circ\Delta\\
&  =\left(  \underbrace{\left(  \left(  \Delta^{u}\otimes\Delta^{w-1}\right)
\circ\Delta\right)  }_{=\Delta^{u+w}=\Delta^{u+w+1-1}}\otimes
\underbrace{\left(  \operatorname{id}\circ\operatorname{id}\right)
}_{=\operatorname{id}}\right)  \circ\Delta=\left(  \Delta^{u+w+1-1}%
\otimes\operatorname{id}\right)  \circ\Delta=\Delta^{u+w+1}.
\end{align*}
Somit ist Bemerkung 2.1$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{5)} auch f\"{u}r
$v=w$ gezeigt. Damit ist der Induktionsschritt komplett. Bemerkung
2.1$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{5)} ist somit bewiesen.

\textbf{4)} \textit{Erster Beweis von Bemerkung 2.1}$\dfrac{\text{\textit{1}}%
}{\text{\textit{2}}}$\textit{ \textbf{4)}:} Seien $n\geq0$ und $\ell
\in\left\{  0,1,...,n-1\right\}  $ beliebig.

Nach Bemerkung 2.1$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{5)} (angewandt auf
$u=\ell-1$ und $v=n-\ell$) ist $\left(  \Delta^{\ell-1}\otimes\Delta^{n-\ell
}\right)  \circ\Delta=\Delta^{\left(  \ell-1\right)  +\left(  n-\ell\right)
+1}=\Delta^{n}$ (denn $\left(  \ell-1\right)  +\left(  n-\ell\right)  +1=n$).

Nach Bemerkung 2.1$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{5)} (angewandt auf
$u=\ell-1$ und $v=n-\ell-1$) ist $\left(  \Delta^{\ell-1}\otimes\Delta
^{n-\ell-1}\right)  \circ\Delta=\Delta^{\left(  \ell-1\right)  +\left(
n-\ell-1\right)  +1}=\Delta^{n-1}$ (denn $\left(  \ell-1\right)  +\left(
n-\ell-1\right)  +1=n-1$).

Nach Bemerkung 2.1$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{5)} (angewandt auf
$u=0$ und $v=n-\ell-2$) ist $\left(  \Delta^{0}\otimes\Delta^{n-\ell
-2}\right)  \circ\Delta=\Delta^{0+\left(  n-\ell-2\right)  +1}=\Delta
^{n-\ell-1}$ (denn $0+\left(  n-\ell-2\right)  +1=n-\ell-1$). Wegen
$\Delta^{0}=\operatorname{id}$ vereinfacht sich dies zu $\left(
\operatorname{id}\otimes\Delta^{n-\ell-2}\right)  \circ\Delta=\Delta
^{n-\ell-1}$.

Nach Bemerkung 2.1$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{5)} (angewandt auf
$u=1$ und $v=n-\ell-2$) ist $\left(  \Delta^{1}\otimes\Delta^{n-\ell
-2}\right)  \circ\Delta=\Delta^{1+\left(  n-\ell-2\right)  +1}=\Delta^{n-\ell
}$ (denn $1+\left(  n-\ell-2\right)  +1=n-\ell$). Wegen $\Delta^{1}=\Delta$
vereinfacht sich dies zu $\left(  \Delta\otimes\Delta^{n-\ell-2}\right)
\circ\Delta=\Delta^{n-\ell}$.

Nun ist%
\begin{align*}
&  \underbrace{\left(  \operatorname{id}_{\otimes^{\ell}C}\otimes\Delta
\otimes\operatorname{id}_{\otimes^{n-\ell-1}C}\right)  }_{=\operatorname{id}%
_{\otimes^{\ell}C}\otimes\left(  \Delta\otimes\operatorname{id}_{\otimes
^{n-\ell-1}C}\right)  }\circ\underbrace{\Delta^{n-1}}_{=\left(  \Delta
^{\ell-1}\otimes\Delta^{n-\ell-1}\right)  \circ\Delta}\\
&  =\underbrace{\left(  \operatorname{id}_{\otimes^{\ell}C}\otimes\left(
\Delta\otimes\operatorname{id}_{\otimes^{n-\ell-1}C}\right)  \right)
\circ\left(  \Delta^{\ell-1}\otimes\Delta^{n-\ell-1}\right)  }_{=\left(
\operatorname{id}_{\otimes^{\ell}C}\circ\Delta^{\ell-1}\right)  \otimes\left(
\left(  \Delta\otimes\operatorname{id}_{\otimes^{n-\ell-1}C}\right)
\circ\Delta^{n-\ell-1}\right)  }\circ\Delta\\
&  =\left(  \underbrace{\left(  \operatorname{id}_{\otimes^{\ell}C}\circ
\Delta^{\ell-1}\right)  }_{=\Delta^{\ell-1}}\otimes\left(  \left(
\Delta\otimes\operatorname{id}_{\otimes^{n-\ell-1}C}\right)  \circ
\underbrace{\Delta^{n-\ell-1}}_{=\left(  \operatorname{id}\otimes
\Delta^{n-\ell-2}\right)  \circ\Delta}\right)  \right)  \circ\Delta\\
&  =\left(  \Delta^{\ell-1}\otimes\left(  \underbrace{\left(  \Delta
\otimes\operatorname{id}_{\otimes^{n-\ell-1}C}\right)  \circ\left(
\operatorname{id}\otimes\Delta^{n-\ell-2}\right)  }_{=\left(  \Delta
\circ\operatorname{id}\right)  \otimes\left(  \operatorname{id}_{\otimes
^{n-\ell-1}C}\circ\Delta^{n-\ell-2}\right)  }\circ\Delta\right)  \right)
\circ\Delta\\
&  =\left(  \Delta^{\ell-1}\otimes\left(  \left(  \underbrace{\left(
\Delta\circ\operatorname{id}\right)  }_{=\Delta}\otimes\underbrace{\left(
\operatorname{id}_{\otimes^{n-\ell-1}C}\circ\Delta^{n-\ell-2}\right)
}_{=\Delta^{n-\ell-2}}\right)  \circ\Delta\right)  \right)  \circ\Delta\\
&  =\left(  \Delta^{\ell-1}\otimes\underbrace{\left(  \left(  \Delta
\otimes\Delta^{n-\ell-2}\right)  \circ\Delta\right)  }_{=\Delta^{n-\ell}%
}\right)  \circ\Delta=\left(  \Delta^{\ell-1}\otimes\Delta^{n-\ell}\right)
\circ\Delta=\Delta^{n}.
\end{align*}
Damit ist Bemerkung 2.1$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{4)} nachgewiesen.

\textit{Zweiter Beweis von Bemerkung 2.1}$\dfrac{\text{\textit{1}}%
}{\text{\textit{2}}}$\textit{ \textbf{4)}:} Wir wollen zeigen, da\ss \ f\"{u}r
jedes $n\geq0$ gilt:%
\begin{equation}
\left(  \text{f\"{u}r jedes }\ell\in\left\{  0,1,...,n-1\right\}  \text{ gilt
}\Delta^{n}=\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\ell}C}\otimes
\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{n-\ell-1}C}\right)
\circ\Delta^{n-1}\right)  . \tag{2.5}%
\end{equation}


Dies beweisen wir durch vollst\"{a}ndige Induktion nach $n$:

\textit{Induktionsanfang (der Induktion nach }$n$\textit{):} F\"{u}r $n=0$ ist
(2.5) trivialerweise erf\"{u}llt, weil es kein $\ell\in\left\{
0,1,...,n-1\right\}  $ gibt. Den Induktionsanfang (der Induktion nach $n$)
haben wir somit hinter uns.

\textit{Induktionsschritt (der Induktion nach }$n$\textit{):} Sei $N\geq1$
beliebig. Angenommen, (2.5) gilt f\"{u}r $n=N-1$. Wir m\"{u}ssen jetzt
beweisen, da\ss \ (2.5) auch f\"{u}r $n=N$ gilt. Das hei\ss t, wir m\"{u}ssen
beweisen, da\ss \ $\Delta^{N}=\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes
^{\ell}C}\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\ell-1}%
C}\right)  \circ\Delta^{N-1}$ f\"{u}r alle $\ell\in\left\{
0,1,...,N-1\right\}  $ gilt.

Dies beweisen wir wiederum durch vollst\"{a}ndige Induktion - diesmal nach
$\ell$:

\textit{Induktionsanfang (der Induktion nach }$\ell$\textit{):} F\"{u}r
$\ell=0$ ist $\Delta^{N}=\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\ell}%
C}\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\ell-1}%
C}\right)  \circ\Delta^{N-1}$ trivialerweise erf\"{u}llt, denn f\"{u}r
$\ell=0$ gilt%
\begin{align*}
\Delta^{N}  &  =\operatorname*{kan}\circ\left(  \Delta^{N-1}\otimes
\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach
der rekursiven Definition von }\Delta^{n}\right) \\
&  =\left(  \Delta^{N-1}\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn da wir }\left(  \otimes^{N}C\right)
\otimes C\text{ mit }\otimes^{N+1}C\text{ gleichsetzen, ist }%
\operatorname*{kan}=\operatorname*{id}\right) \\
&  =\left(  \underbrace{\left(  \left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes
^{0}C}\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-2}C}\right)
\circ\Delta^{N-2}\right)  \otimes\operatorname*{id}}_{=\left(  \left(
\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{0}C}\otimes\Delta\otimes
\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-2}C}\right)  \otimes\operatorname*{id}%
\right)  \circ\left(  \Delta^{N-2}\otimes\operatorname*{id}\right)  }\right)
\circ\Delta\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn da (2.5) f\"{u}r }n=N-1\text{ gilt, k\"{o}nnen wir (2.5)}\\
\text{auf }N-1\text{ und }0\text{ statt }n\text{ bzw. }\ell\text{ anwenden,
und erhalten}\\
\text{dadurch }\Delta^{N-1}=\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{0}%
C}\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-2}C}\right)
\circ\Delta^{N-2}%
\end{array}
\right) \\
&  =\left(  \underbrace{\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{0}%
C}\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-2}C}\right)
\otimes\operatorname*{id}}_{=\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{0}C}%
\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-2}C}%
\otimes\operatorname*{id}}\right)  \circ\left(  \Delta^{N-2}\otimes
\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\\
&  =\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{0}C}\otimes\Delta
\otimes\underbrace{\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-2}C}\otimes
\operatorname*{id}}_{\substack{=\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-1}%
C}\text{ (da wir }\left(  \otimes^{N-2}C\right)  \otimes C\\\text{mit }%
\otimes^{N-1}C\text{ gleichsetzen)}}}\right)  \circ\left(  \Delta^{N-2}%
\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\\
&  =\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{0}C}\otimes\Delta
\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-1}C}\right)  \circ\left(
\Delta^{N-2}\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta
\end{align*}
und%
\begin{align*}
&  \left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\ell}C}\otimes\Delta
\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\ell-1}C}\right)  \circ
\Delta^{N-1}\\
&  =\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{0}C}\otimes\Delta
\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-1}C}\right)  \circ\Delta
^{N-1}=\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{0}C}\otimes\Delta
\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-1}C}\right)  \circ\left(
\Delta^{N-2}\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn nach der rekursiven Definition von }\Delta^{n}\text{ ist}\\
\Delta^{N-1}=\operatorname*{kan}\circ\left(  \Delta^{N-2}\otimes
\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta=\left(  \Delta^{N-2}\otimes
\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\text{, weil}\\
\operatorname*{kan}=\operatorname*{id}\text{ ist (da wir }\left(  \otimes
^{N}C\right)  \otimes C\text{ mit }\otimes^{N+1}C\text{ gleichsetzen)}%
\end{array}
\right)  .
\end{align*}
Somit ist der Induktionsanfang (der Induktion nach $\ell$) geschafft.

\textit{Induktionsschritt (der Induktion nach }$\ell$\textit{):} Sei
$\lambda\in\left\{  1,2,...,N-1\right\}  $ beliebig. Angenommen, $\Delta
^{N}=\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\ell}C}\otimes\Delta
\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\ell-1}C}\right)  \circ
\Delta^{N-1}$ gilt f\"{u}r $\ell=\lambda-1$. Wir m\"{u}ssen dann zeigen,
da\ss \ $\Delta^{N}=\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\ell}%
C}\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\ell-1}%
C}\right)  \circ\Delta^{N-1}$ auch f\"{u}r $\ell=\lambda$ gilt.

Laut Annahme gilt $\Delta^{N}=\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes
^{\ell}C}\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\ell-1}%
C}\right)  \circ\Delta^{N-1}$ f\"{u}r $\ell=\lambda-1$. Das hei\ss t,
$\Delta^{N}=\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\lambda-1}C}%
\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\left(
\lambda-1\right)  -1}C}\right)  \circ\Delta^{N-1}$.

Doch da (2.5) f\"{u}r $n=N-1$ gilt, d\"{u}rfen wir (2.5) auf $N-1$ und
$\lambda-1$ statt $n$ bzw. $\lambda$ anwenden. Hierdurch erhalten wir
\[
\Delta^{N-1}=\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\lambda-1}C}%
\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\left(  N-1\right)
-\left(  \lambda-1\right)  -1}C}\right)  \circ\Delta^{\left(  N-1\right)
-1}=\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\lambda-1}C}\otimes
\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\lambda-1}C}\right)
\circ\Delta^{\left(  N-1\right)  -1}.
\]
Nun ist%
\begin{align*}
&  \left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\lambda}C}\otimes
\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\lambda-1}C}\right)
\circ\Delta^{N-1}\\
&  =\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\lambda-1}C}\otimes
\operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}%
\nolimits_{\otimes^{N-\lambda-1}C}\right)  \circ\underbrace{\Delta^{N-1}%
}_{=\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\lambda-1}C}\otimes
\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\lambda-1}C}\right)
\circ\Delta^{\left(  N-1\right)  -1}}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn da wir }\left(  \otimes^{\lambda
-1}C\right)  \otimes C\text{ mit }\otimes^{\lambda}C\text{ gleichsetzen, gilt
}\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\lambda}C}=\operatorname*{id}%
\nolimits_{\otimes^{\lambda-1}C}\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{C}\right)
\\
&  =\underbrace{\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\lambda-1}%
C}\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}%
\nolimits_{\otimes^{N-\lambda-1}C}\right)  \circ\left(  \operatorname*{id}%
\nolimits_{\otimes^{\lambda-1}C}\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}%
\nolimits_{\otimes^{N-\lambda-1}C}\right)  }_{\substack{=\left(
\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\lambda-1}C}\circ\operatorname*{id}%
\nolimits_{\otimes^{\lambda-1}C}\right)  \otimes\left(  \left(
\operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes\Delta\right)  \circ\Delta\right)
\otimes\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\lambda-1}C}%
\circ\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\lambda-1}C}\right)
\\\text{(dies folgt aus der Formel }\left(  a\otimes b\otimes c\right)
\circ\left(  d\otimes e\otimes f\right)  =\left(  a\circ d\right)
\otimes\left(  b\circ e\right)  \otimes\left(  c\circ f\right)  \text{,}%
\\\text{angewandt auf die Abbildungen }a=\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes
^{\lambda-1}C}\text{, }b=\operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes\Delta\text{,
}c=\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\lambda-1}C}\text{,}%
\\d=\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\lambda-1}C}\text{, }e=\Delta\text{
und }f=\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\lambda-1}C}\text{)}}%
}\circ\Delta^{\left(  N-1\right)  -1}\\
&  =\left(  \left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\lambda-1}C}%
\circ\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\lambda-1}C}\right)  \otimes
\underbrace{\left(  \left(  \operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes
\Delta\right)  \circ\Delta\right)  }_{\substack{=\left(  \Delta\otimes
\operatorname*{id}\nolimits_{C}\right)  \circ\Delta\\\text{(weil das Diagramm
(2.1)}\\\text{kommutiert)}}}\otimes\left(  \operatorname*{id}%
\nolimits_{\otimes^{N-\lambda-1}C}\circ\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes
^{N-\lambda-1}C}\right)  \right)  \circ\Delta^{\left(  N-1\right)  -1}\\
&  =\underbrace{\left(  \left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes
^{\lambda-1}C}\circ\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\lambda-1}C}\right)
\otimes\left(  \left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{C}\right)
\circ\Delta\right)  \otimes\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes
^{N-\lambda-1}C}\circ\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\lambda-1}%
C}\right)  \right)  }_{\substack{=\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes
^{\lambda-1}C}\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{C}%
\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\lambda-1}C}\right)
\circ\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\lambda-1}C}\otimes
\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\lambda-1}C}\right)
\\\text{(dies folgt aus der Formel }\left(  a\circ d\right)  \otimes\left(
b\circ e\right)  \otimes\left(  c\circ f\right)  =\left(  a\otimes b\otimes
c\right)  \circ\left(  d\otimes e\otimes f\right)  \text{,}\\\text{angewandt
auf die Abbildungen }a=\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\lambda-1}%
C}\text{, }b=\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{C}\text{,
}c=\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\lambda-1}C}\text{,}%
\\d=\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\lambda-1}C}\text{, }e=\Delta\text{
und }f=\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\lambda-1}C}\text{)}}%
}\circ\Delta^{\left(  N-1\right)  -1}\\
&  =\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\lambda-1}C}\otimes
\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes\operatorname*{id}%
\nolimits_{\otimes^{N-\lambda-1}C}\right)  \circ\underbrace{\left(
\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\lambda-1}C}\otimes\Delta\otimes
\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\lambda-1}C}\right)  \circ
\Delta^{\left(  N-1\right)  -1}}_{=\Delta^{N-1}}\\
&  =\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\lambda-1}C}\otimes
\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes\operatorname*{id}%
\nolimits_{\otimes^{N-\lambda-1}C}\right)  \circ\Delta^{N-1}\\
&  =\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\lambda-1}C}\otimes
\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\left(  \lambda-1\right)
-1}C}\right)  \circ\Delta^{N-1}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn da wir }C\otimes\left(  \otimes^{N-\lambda-1}C\right)  \text{ mit
}\otimes^{1+\left(  N-\lambda-1\right)  }C=\otimes^{N-\left(  \lambda
-1\right)  -1}C\\
\text{gleichsetzen, gilt }\operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes
\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\lambda-1}C}=\operatorname*{id}%
\nolimits_{\otimes^{N-\left(  \lambda-1\right)  -1}C}%
\end{array}
\right) \\
&  =\Delta^{N}.
\end{align*}
Wir haben also $\Delta^{N}=\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes
^{\lambda}C}\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes
^{N-\lambda-1}C}\right)  \circ\Delta^{N-1}$ gezeigt. Mit anderen Worten: Die
Gleichung $\Delta^{N}=\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\ell}%
C}\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\ell-1}%
C}\right)  \circ\Delta^{N-1}$ gilt auch f\"{u}r $\ell=\lambda$. Damit ist der
Induktionsschritt (der Induktion nach $\ell$) fertig, und der Induktionsbeweis
von $\Delta^{N}=\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{\ell}C}%
\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{\otimes^{N-\ell-1}C}\right)
\circ\Delta^{N-1}$ vollst\"{a}ndig.

Wir haben also gezeigt, da\ss \ $\Delta^{N}=\left(  \operatorname*{id}%
\nolimits_{\otimes^{\ell}C}\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}%
\nolimits_{\otimes^{N-\ell-1}C}\right)  \circ\Delta^{N-1}$ f\"{u}r alle
$\ell\in\left\{  0,1,...,N-1\right\}  $ gilt. Das hei\ss t, (2.5) gilt f\"{u}r
$n=N$. Somit ist der Induktionsschritt (der Induktion nach $n$) erledigt, und
(2.5) ist daher f\"{u}r alle $n\geq0$ gezeigt. Bemerkung 2.1$\dfrac{\text{1}%
}{\text{2}}$ \textbf{4)} ist damit bewiesen.

\textbf{3)} \textit{Erster Beweis von Bemerkung 2.1}$\dfrac{\text{\textit{1}}%
}{\text{\textit{2}}}$\textit{ \textbf{3)}:} Um Bemerkung 2.1$\dfrac{\text{1}%
}{\text{2}}$ \textbf{3)} zu beweisen, m\"{u}ssen wir zeigen, da\ss \ f\"{u}r
jedes $n\geq0$ das Diagramm (2.4) kommutiert. Mit anderen Worten: Wir
m\"{u}ssen zeigen, da\ss \ f\"{u}r jedes $n\geq0$ die Gleichungskette
$\Delta^{n}=\operatorname*{kan}\circ\left(  \Delta^{n-1}\otimes
\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta=\operatorname*{kan}\circ\left(
\operatorname*{id}\otimes\Delta^{n-1}\right)  \circ\Delta$ gilt. Da
$\Delta^{n}=\operatorname*{kan}\circ\left(  \Delta^{n-1}\otimes
\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta$ sofort aus der Definition von
$\Delta^{n}$ folgt, m\"{u}ssen wir also nur noch beweisen, da\ss \ f\"{u}r
jedes $n\geq0$ die Gleichung $\Delta^{n}=\operatorname*{kan}\circ\left(
\operatorname*{id}\otimes\Delta^{n-1}\right)  \circ\Delta$ gilt.

Wir setzen im Folgenden $\left(  \otimes^{a}C\right)  \otimes\left(
\otimes^{b}C\right)  $ mit $\otimes^{a+b}C$ gleich f\"{u}r beliebige
nat\"{u}rliche $a$ und $b$. Dann ist die Abbildung $\operatorname{kan}%
:C\otimes\left(  \otimes^{n}C\right)  \rightarrow\otimes^{n+1}C$ f\"{u}r uns
nichts anderes als die Abbildung $\operatorname{id}:\otimes^{n+1}%
C\rightarrow\otimes^{n+1}C$. Statt $\Delta^{n}=\operatorname*{kan}\circ\left(
\operatorname*{id}\otimes\Delta^{n-1}\right)  \circ\Delta$ zu zeigen, reicht
es also aus, $\Delta^{n}=\operatorname{id}\circ\left(  \operatorname*{id}%
\otimes\Delta^{n-1}\right)  \circ\Delta$ zu zeigen.

Nach Bemerkung 2.1$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{4)} (angewandt auf
$u=0$ und $v=n-1$) ist nun $\left(  \Delta^{0}\otimes\Delta^{n-1}\right)
\circ\Delta=\Delta^{0+\left(  n-1\right)  +1}=\Delta^{n}$. Damit ist
$\Delta^{n}=\left(  \underbrace{\Delta^{0}}_{=\operatorname{id}}\otimes
\Delta^{n-1}\right)  \circ\Delta=\left(  \operatorname{id}\otimes\Delta
^{n-1}\right)  \circ\Delta=\operatorname{id}\circ\left(  \operatorname*{id}%
\otimes\Delta^{n-1}\right)  \circ\Delta$. Damit ist Bemerkung 2.1$\dfrac
{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{3)} bewiesen.

\textit{Zweiter Beweis von Bemerkung 2.1}$\dfrac{\text{\textit{1}}%
}{\text{\textit{2}}}$ \textit{\textbf{3)}:} Um Bemerkung 2.1$\dfrac{\text{1}%
}{\text{2}}$ \textbf{3)} zu beweisen, m\"{u}ssen wir zeigen, da\ss \ f\"{u}r
jedes $n\geq0$ das Diagramm (2.4) kommutiert. Mit anderen Worten: Wir
m\"{u}ssen zeigen, da\ss \ f\"{u}r jedes $n\geq0$ die Gleichungskette
$\Delta^{n}=\operatorname*{kan}\circ\left(  \Delta^{n-1}\otimes
\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta=\operatorname*{kan}\circ\left(
\operatorname*{id}\otimes\Delta^{n-1}\right)  \circ\Delta$ gilt. Da
$\Delta^{n}=\operatorname*{kan}\circ\left(  \Delta^{n-1}\otimes
\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta$ sofort aus der Definition von
$\Delta^{n}$ folgt, m\"{u}ssen wir also nur noch beweisen, da\ss \ f\"{u}r
jedes $n\geq0$ die Gleichung $\Delta^{n}=\operatorname*{kan}\circ\left(
\operatorname*{id}\otimes\Delta^{n-1}\right)  \circ\Delta$ gilt.

Wir werden dies nun durch vollst\"{a}ndige Induktion nach $n$ beweisen:

\textit{Induktionsanfang:} F\"{u}r $n=0$ ist $\Delta^{n}=\operatorname*{kan}%
\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta^{n-1}\right)  \circ\Delta$
erf\"{u}llt, wie man sehr leicht einsieht (denn f\"{u}r $n=0$ ist $\left(
\operatorname*{id}\otimes\Delta^{n-1}\right)  \circ\Delta=\left(
\operatorname*{id}\otimes\underbrace{\Delta^{-1}}_{=\varepsilon}\right)
\circ\Delta=\left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)  \circ
\Delta=\operatorname*{kan}\nolimits^{-1}$ gem\"{a}\ss \ dem Diagramm (2.3),
wobei man bedenken mu\ss , da\ss \ unsere Abbildung $\operatorname*{kan}$ und
die Abbildung $\operatorname*{kan}$ aus dem Diagramm (2.3) zueinander invers
sind). Damit ist der Induktionsanfang fertig.

\textit{Induktionsschritt:} Sei $N\geq0$ beliebig. Angenommen, $\Delta
^{n}=\operatorname*{kan}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta
^{n-1}\right)  \circ\Delta$ gelte f\"{u}r $n=N$. Wir wollen nun beweisen,
da\ss \ $\Delta^{n}=\operatorname*{kan}\circ\left(  \operatorname*{id}%
\otimes\Delta^{n-1}\right)  \circ\Delta$ auch f\"{u}r $n=N+1$ gilt.

Da $\Delta^{n}=\operatorname*{kan}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes
\Delta^{n-1}\right)  \circ\Delta$ f\"{u}r $n=N$ gilt, ist $\Delta
^{N}=\operatorname*{kan}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta
^{N-1}\right)  \circ\Delta$. Andererseits gilt $\Delta^{N}=\operatorname*{kan}%
\circ\left(  \Delta^{N-1}\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta$ (nach
der rekursiven Definition von $\Delta^{n}$) und $\Delta^{N+1}%
=\operatorname*{kan}\circ\left(  \Delta^{N}\otimes\operatorname*{id}\right)
\circ\Delta$ (aus selbigem Grund).

Wir setzen fortan $\left(  \otimes^{a}C\right)  \otimes\left(  \otimes
^{b}C\right)  $ mit $\otimes^{a+b}C$ gleich f\"{u}r beliebige nat\"{u}rliche
$a$ und $b$. Dadurch werden die Abbildungen $\operatorname*{kan}:\left(
\otimes^{n}C\right)  \otimes C\rightarrow\otimes^{n+1}C$ und
$\operatorname*{kan}:C\otimes\left(  \otimes^{n}C\right)  \rightarrow
\otimes^{n+1}C$ zu Identit\"{a}tsabbildungen. Somit vereinfacht sich
$\Delta^{N}=\operatorname*{kan}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes
\Delta^{N-1}\right)  \circ\Delta$ zu $\Delta^{N}=\left(  \operatorname*{id}%
\otimes\Delta^{N-1}\right)  \circ\Delta$. Genauso vereinfachen sich
$\Delta^{N}=\operatorname*{kan}\circ\left(  \Delta^{N-1}\otimes
\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta$ und $\Delta^{N+1}=\operatorname*{kan}%
\circ\left(  \Delta^{N}\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta$ zu
$\Delta^{N}=\left(  \Delta^{N-1}\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta$
bzw. $\Delta^{N+1}=\left(  \Delta^{N}\otimes\operatorname*{id}\right)
\circ\Delta$.

Aus $\Delta^{N}=\left(  \Delta^{N-1}\otimes\operatorname*{id}\right)
\circ\Delta$ folgt\footnote{In der folgenden Rechnung bedeutet
$\operatorname*{id}$ stets die Identit\"{a}t $\operatorname*{id}\nolimits_{C}%
$.}
\begin{align*}
&  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta^{N}\right)  \circ\Delta\\
&  =\left(  \underbrace{\operatorname*{id}}_{=\operatorname*{id}%
\circ\operatorname*{id}}\otimes\left(  \left(  \Delta^{N-1}\otimes
\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\right)  \right)  \circ\Delta
=\underbrace{\left(  \left(  \operatorname*{id}\circ\operatorname*{id}\right)
\otimes\left(  \left(  \Delta^{N-1}\otimes\operatorname*{id}\right)
\circ\Delta\right)  \right)  }_{\substack{=\left(  \operatorname*{id}%
\otimes\left(  \Delta^{N-1}\otimes\operatorname*{id}\right)  \right)
\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \\\text{(nach der Formel
}\left(  a\circ b\right)  \otimes\left(  c\circ d\right)  =\left(  a\otimes
c\right)  \circ\left(  b\otimes d\right)  \text{,}\\\text{angewandt auf die
Abbildungen}\\a=\operatorname*{id}\text{, }b=\operatorname*{id}\text{,
}c=\Delta^{N-1}\otimes\operatorname*{id}\text{ und }d=\Delta\text{)}}%
}\circ\Delta\\
&  =\underbrace{\left(  \operatorname*{id}\otimes\left(  \Delta^{N-1}%
\otimes\operatorname*{id}\right)  \right)  }_{=\left(  \operatorname*{id}%
\otimes\Delta^{N-1}\right)  \otimes\operatorname*{id}}\circ\underbrace{\left(
\operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \circ\Delta}_{\substack{=\left(
\Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\\\text{(da das
Diagramm}\\\text{(2.1) kommutativ ist)}}}=\underbrace{\left(  \left(
\operatorname*{id}\otimes\Delta^{N-1}\right)  \otimes\operatorname*{id}%
\right)  \circ\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  }%
_{\substack{=\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta^{N-1}\right)
\circ\Delta\right)  \otimes\left(  \operatorname*{id}\circ\operatorname*{id}%
\right)  \\\text{(nach der Formel }\left(  a\otimes c\right)  \circ\left(
b\otimes d\right)  =\left(  a\circ b\right)  \otimes\left(  c\circ d\right)
\text{,}\\\text{angewandt auf die Abbildungen}\\a=\operatorname*{id}%
\otimes\Delta^{N-1}\text{, }b=\Delta\text{, }c=\operatorname*{id}\text{ und
}d=\operatorname*{id}\text{)}}}\circ\Delta\\
&  =\left(  \underbrace{\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta
^{N-1}\right)  \circ\Delta\right)  }_{=\Delta^{N}}\otimes\underbrace{\left(
\operatorname*{id}\circ\operatorname*{id}\right)  }_{=\operatorname*{id}%
}\right)  \circ\Delta=\left(  \Delta^{N}\otimes\operatorname*{id}\right)
\circ\Delta=\Delta^{N+1}.
\end{align*}
Wir haben damit $\Delta^{N+1}=\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta
^{N}\right)  \circ\Delta$ bewiesen. Dies l\"{a}\ss t sich umschreiben als
$\Delta^{N+1}=\operatorname*{kan}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes
\Delta^{N}\right)  \circ\Delta$ (denn f\"{u}r uns ist $\operatorname*{kan}$
die Identit\"{a}sabbildung). Somit haben wir gezeigt, da\ss \ $\Delta
^{n}=\operatorname*{kan}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta
^{n-1}\right)  \circ\Delta$ f\"{u}r $n=N+1$ gilt. Damit ist der
Induktionsschritt fertig, und wir haben mithilfe vollst\"{a}ndiger Induktion
gezeigt, da\ss \ f\"{u}r jedes $n\geq0$ die Gleichung $\Delta^{n}%
=\operatorname*{kan}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta^{n-1}\right)
\circ\Delta$ gilt. Wie bereits gesagt, folgt hieraus Bemerkung 2.1$\dfrac
{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{3)}.

\textit{Bemerkung:} Die rekursive Definition der Abbildungen $\Delta^{n-1}$
ist recht unanschaulich. Um eine Intuition f\"{u}r ihre Bedeutung zu erlangen,
kann man sich (ausgehend von der Analogie zwischen Algebren und Coalgebren)
fragen, was das Analogon der Abbildung $\Delta^{n-1}$ f\"{u}r Algebren statt
Coalgebren ist. Dieses Analogon ist f\"{u}r eine Algebra $A$ die Abbildung%
\[
\otimes^{n}A\rightarrow A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{1}\otimes x_{2}%
\otimes...\otimes x_{n}\mapsto\left(  \left(  \left(  \left(  x_{1}%
x_{2}\right)  x_{3}\right)  x_{4}\right)  ...\right)  x_{n},
\]
also die Abbildung, die einem reinen $n$-Tensor das Produkt seiner Tensoranden
(von links geklammert) zuordnet. Nun besagt ein bekanntes und elementares
Resultat, da\ss \ in einer Algebra das Produkt von $n$ Elementen nicht von der
Klammerung abh\"{a}ngt (da bei uns Algebren immer assoziativ sein m\"{u}ssen).
Wenn wir die Abbildung%
\[
\otimes^{n}A\rightarrow A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{1}\otimes x_{2}%
\otimes...\otimes x_{n}\mapsto\left(  \left(  \left(  \left(  x_{1}%
x_{2}\right)  x_{3}\right)  x_{4}\right)  ...\right)  x_{n}%
\]
mit $\mu^{n-1}$ bezeichnen, dann gilt insbesondere%
\begin{align*}
&  \mu^{n}\left(  x_{1}\otimes x_{2}\otimes...\otimes x_{n+1}\right)
=\mu^{n-1}\left(  x_{1}\otimes x_{2}\otimes...\otimes x_{n}\right)  \cdot
x_{n+1}=x_{1}\cdot\mu^{n-1}\left(  x_{2}\otimes x_{3}\otimes...\otimes
x_{n+1}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }n\in\mathbb{N}\text{ und alle
}x_{1},x_{2},...,x_{n+1}\in A
\end{align*}
und%
\begin{align*}
&  \mu^{n-1}\left(  x_{1}\otimes x_{2}\otimes...\otimes x_{\ell-1}%
\otimes\left(  x_{\ell}x_{\ell+1}\right)  \otimes x_{\ell+2}\otimes...\otimes
x_{n+1}\right)  =\mu^{n}\left(  x_{1}\otimes x_{2}\otimes...\otimes
x_{n+1}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }n\in\mathbb{N}\text{, alle }%
x_{1},x_{2},...,x_{n+1}\in A\text{ und jedes }\ell\in\left\{
1,2,...,n\right\}  ,
\end{align*}
und schlie\ss lich%
\begin{align*}
&  \mu^{a}\left(  x_{1}\otimes x_{2}\otimes...\otimes x_{a+1}\right)  \cdot
\mu^{b}\left(  x_{a+2}\otimes x_{a+3}\otimes...\otimes x_{a+b+2}\right)
=\mu^{a+b+1}\left(  x_{1}\otimes x_{2}\otimes...\otimes x_{a+b+2}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }a\geq-1\text{, }b\geq-1\text{ und
}x_{1},x_{2},...,x_{a+b+2}\in A.
\end{align*}
Diese drei Gleichungen sind genau die Algebren-Analoga der Aussagen von
Bemerkung 2.1$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{3)}, \textbf{4)} und
\textbf{5)}.

\bigskip

\fbox{\textbf{Summenlose} \textbf{Sweedler-Notation}}\footnote{Dieser
Abschnitt st\"{u}tzt sich weniger auf den Kurs, als auf den Wikipedia-Artikel
\[
\mathtt{http://de.wikipedia.org/wiki/Koalgebra\#Sweedler\_Notation}%
\]
\textit{Achtung: }Die Interpretationsregel f\"{u}r Sweedler-Notation am Ende
des Abschnittes stammt von mir und mag falsch sein!}

\textbf{2.1}$\dfrac{\text{\textbf{3}}}{\text{\textbf{4}}}$\textbf{.
Bemerkung:} Man kann in einer Algebra problemlos mit Elementen rechnen: Das
Produkt zweier Elemente einer Algebra ist wieder ein Element. In Coalgebren
ist dies nicht mehr so einfach: Die Comultiplikation $\Delta$
\"{u}berf\"{u}hrt ein Element einer Coalgebra (in der Regel) nicht in "zwei
Elemente", sondern in einen Tensor (der nicht unbedingt ein reiner Tensor
ist), und allgemeine Tensoren sind sehr unhandlich zu bedienen. Wir wollen
jetzt eine Notation einf\"{u}hren, die es uns erlaubt, "so zu tun", als
w\"{a}ren diese Tensoren allesamt reine Tensoren. Diese Notation (die eine
gewisse \"{A}hnlichkeit zur Einstein-Notation aufweist) wird anfangs f\"{u}r
Kopfschmerzen sorgen, aber auf Dauer viel Schreibarbeit ersparen. Es ist die
sogenannte \textit{summenlose Sweedler-Notation}. Wir werden dabei erst einmal
heuristisch vorgehen, und die Notation Schritt f\"{u}r Schritt einf\"{u}hren.
Am Ende werden wir dann eine genaue Regel aufstellen, wie ein in summenloser
Sweedler-Notation geschriebener Term zu entziffern ist. Wer der Heuristik
nicht folgen kann (oder will), sollte zuerst diese Regel und dann erst die
Heuristik durchlesen.

Wir entsinnen uns, da\ss \ f\"{u}r jedes Element $x$ einer Coalgebra $C$ das
Bild $\Delta\left(  x\right)  $ ein Element von $C\otimes C$ ist, also die
Form $\Delta\left(  x\right)  =\sum\limits_{i=1}^{r}x_{1i}\otimes x_{2i}$
f\"{u}r irgendwelche $r,$ $x_{1i}$ und $x_{2i}$ hat. Jetzt wollen wir
$\sum\limits_{i=1}^{r}x_{1i}\otimes x_{2i}$ symbolisch mit $\sum
\limits_{\left(  x\right)  }x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)
}$ abk\"{u}rzen; dies ist die sogenannte \textit{Sweedler-Notation}. Bei der
\textit{summenlosen Sweedler-Notation} gehen wir einen Schritt weiter und
lassen das Summenzeichen weg; d. h. wir schreiben nur noch $\Delta\left(
x\right)  =x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }.$ Diese
Notation werden wir im Folgenden des \"{o}fteren verwenden. (Wie gesagt,
werden wir sp\"{a}ter genauer ausf\"{u}hren, wie diese Notation zu lesen ist.)
\footnote{Man kann noch weitergehen und $x_{1}\otimes x_{2}$ statt $x_{\left(
1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }$ schreiben; dies wird in der
Vorlesung auch getan. Hier im Skript allerdings versuche ich, die Klammern in
Frieden zu lassen - wenn Sie in diesem Skript ungeklammerte Indizes bei
Sweedler-Notation vorfinden, melden Sie es mir bitte als Fehler!}.

Man beachte zweierlei:

\begin{itemize}
\item Bei $x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }$ handelt es
sich um eine Summe von Tensoren und nicht um einen reinen Tensor! Die Zeichen
$x_{\left(  1\right)  }$ und $x_{\left(  2\right)  }$ sind nur Symbole, keine
konkreten Vektoren, und ergeben nur gemeinsam Sinn! (Dies stimmt nur fast,
denn $x_{\left(  1\right)  }$ allein ergibt auch Sinn, wie wir noch sehen
werden, wenn wir die summenlose Sweedler-Notation ausweiten ($x_{\left(
2\right)  }$ ergibt wiederum alleine keinen Sinn). Doch $x_{\left(  1\right)
}$ allein bedeutet einfach $x$ und hat nichts mit dem $x_{\left(  1\right)  }$
in $x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }$ zu tun.)

\item Zwar ist die summenlose Sweedler-Notation $x_{\left(  1\right)  }\otimes
x_{\left(  2\right)  }$ als eine Abk\"{u}rzung f\"{u}r die Summe
$\sum\limits_{i=1}^{r}x_{1i}\otimes x_{2i}$ zu lesen, doch die Tensoren
$x_{1i}\otimes x_{2i}$, die in dieser Summe vorkommen, sind nicht eindeutig
bestimmt (und auch die Anzahl $r$ von diesen Tensoren ist nicht eindeutig
bestimmt). Im Allgemeinen kann man diese Tensoren auch nicht "kanonisch" w\"{a}hlen.
\end{itemize}

Die summenlose Sweedler-Notation beschr\"{a}nkt sich nicht auf Terme der Form
$x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }$, sondern erlaubt auch
andere Terme, in denen die "virtuellen" Tensoranden $x_{\left(  1\right)  }$
und $x_{\left(  2\right)  }$ vorkommen:

Ist $C$ eine Coalgebra, sind $D$ und $E$ zwei $k$-Moduln, und sind
$f:C\rightarrow D$ und $g:C\rightarrow E$ zwei $k$-lineare Abbildungen, dann
wollen wir $\left(  f\otimes g\right)  \left(  \Delta\left(  x\right)
\right)  $ mit $f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes g\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  $ abk\"{u}rzen.\footnote{Diese Notation ist
zwar nicht wirklich k\"{u}rzer als $\left(  f\otimes g\right)  \left(
\Delta\left(  x\right)  \right)  ,$ jedoch in einem gewissen Sinne
"anschaulicher": man sieht dem Term $f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
\otimes g\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  $ sofort an, da\ss \ er ein
$2$-Tensor ist, und da\ss \ $f$ immer auf die linke Tensorh\"{a}lfte und $g$
immer auf die zweite Tensorh\"{a}lfte angewandt wird. Nat\"{u}rlich darf man
aus der Schreibweise $f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes g\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  $ nicht schlie\ss en, da\ss \ $f\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes g\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
$ ein \textit{reiner} Tensor w\"{a}re.} Da\ss \ diese Notation nicht zu
Widerspr\"{u}chen f\"{u}hrt, liegt daran, da\ss \ $f\otimes g$ eine lineare
Abbildung ist, und man lineare Abbildungen aus Summen "ausklammern" kann.

Als Beispiel f\"{u}r die Anwendung der summenlosen Sweedler-Notation wollen
wir die beiden kommutativen Diagramme (2.2) und (2.3) mithilfe der
Sweedler-Notation umschreiben:

Das kommutative Diagramm (2.2) besagt, da\ss \ $\left(  \varepsilon
\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta=\operatorname*{kan}:C\rightarrow
k\otimes C$ ist, also da\ss \ $\left(  \left(  \varepsilon\otimes
\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\right)  \left(  x\right)  =1\otimes x$
f\"{u}r alle $x\in C$ ist. In der Tat k\"{o}nnen wir in der summenlosen
Sweedler-Notation schreiben:%
\[
\left(  \left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ
\Delta\right)  \left(  x\right)  =\left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}%
\right)  \left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  =\left(  \varepsilon
\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  x_{\left(  1\right)  }\otimes
x_{\left(  2\right)  }\right)  =\varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  \otimes x_{\left(  2\right)  }.
\]
Daher wird $\left(  \left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)
\circ\Delta\right)  \left(  x\right)  =1\otimes x$ zu $\varepsilon\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes x_{\left(  2\right)  }=1\otimes x.$
Wendet man auf diese Gleichung den Isomorphismus $\operatorname*{kan}%
^{-1}:k\otimes C\rightarrow C$ an, erh\"{a}lt man $\varepsilon\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot x_{\left(  2\right)  }=1\cdot x,$ also
$\varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot x_{\left(  2\right)
}=x.$

Das kommutative Diagramm (2.2) besagt also nichts anderes als $\varepsilon
\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot x_{\left(  2\right)  }=x$ f\"{u}r
alle $x\in C.$ Analog besagt das kommutative Diagramm (2.3),
da\ss \ $x_{\left(  1\right)  }\cdot\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  =x$ f\"{u}r alle $x\in C$ gilt.

Wir haben oben den Begriff eines Coalgebrahomomorphismus zwischen zwei
Coalgebren $C$ und $D$ definiert als eine $k$-lineare Abbildung
$f:C\rightarrow D,$ f\"{u}r welche die beiden Diagramme
\[
\xymatrix{
C \ar[r]^f \ar[d]_{\Delta_C} & D \ar[d]^{\Delta_D} \\
C\otimes C \ar[r]_{f\otimes f} & D\otimes D
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xymatrix{
C \ar[r]^f \ar[rd]_{\varepsilon_C} & D \ar[d]^{\varepsilon_D} \\
& k
}
\]
kommutieren. Mithilfe der summenlosen Sweedler-Notation sehen wir: Das erste
Diagramm kommutiert genau dann, wenn $\Delta\left(  f\left(  x\right)
\right)  =f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes f\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  $ f\"{u}r alle $x\in C$ ist; das zweite Diagramm
kommutiert genau dann, wenn $\varepsilon\left(  f\left(  x\right)  \right)
=\varepsilon\left(  x\right)  $ f\"{u}r alle $x\in C$ ist. Wir fassen zusammen:

\textbf{Proposition:} Seien $C$ und $D$ Coalgebren, und sei $f:C\rightarrow D$
eine $k$-lineare Abbildung. Dann ist $f$ genau dann ein
Coalgebrahomomorphismus, wenn
\[
\Delta\left(  f\left(  x\right)  \right)  =f\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  \otimes f\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(  f\left(
x\right)  \right)  =\varepsilon\left(  x\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in C
\]
gilt.

Der gr\"{o}\ss te Vorteil der summenlosen Sweedler-Notation wird deutlich,
wenn man diese Notation weiter ausdehnt. Wir k\"{o}nnen erstmal versuchen, das
kommutative Diagramm (2.1) umzudeuten. Dieses Diagramm besagt,
da\ss \ $\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \circ\Delta=\left(
\Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta:C\rightarrow C\otimes
C\otimes C$ ist, also da\ss \ $\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes
\Delta\right)  \circ\Delta\right)  \left(  x\right)  =\left(  \left(
\Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\right)  \left(  x\right)
$ f\"{u}r alle $x\in C$ ist. Nun k\"{o}nnen wir schreiben:%
\[
\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \circ\Delta\right)
\left(  x\right)  =\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \left(
\Delta\left(  x\right)  \right)  =\left(  \operatorname*{id}\otimes
\Delta\right)  \left(  x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)
}\right)  =x_{\left(  1\right)  }\otimes\Delta\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  .
\]
Analog ist $\left(  \left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)
\circ\Delta\right)  \left(  x\right)  =\Delta\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  \otimes x_{\left(  2\right)  }.$ Das kommutative Diagramm (2.1)
besagt also $x_{\left(  1\right)  }\otimes\Delta\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  =\Delta\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes x_{\left(
2\right)  }$ f\"{u}r alle $x\in C.$ Nun w\"{a}re es sehr naheliegend, in
dieser Gleichung jeden von den zwei Termen $\Delta\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  $ und $\Delta\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  $ selber in zwei
Teile aufzuspalten. Wir stellen fest, da\ss \ wir dies machen k\"{o}nnen,
indem wir sowohl den Term $x_{\left(  1\right)  }\otimes\Delta\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  ,$ als auch den Term $\Delta\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  \otimes x_{\left(  2\right)  }$ in der "symmetrischen"
Form $x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }\otimes x_{\left(
3\right)  }$ umschreiben. Und dies wird vor allem dadurch noch plausibler
gemacht, da\ss \ dieser Term gleich $\Delta^{2}\left(  x\right)  $ ist!

Um dies alles zu pr\"{a}zisieren, k\"{o}nnen wir wie folgt vorgehen:

F\"{u}r jedes ganze $n\geq0$ ist $\Delta^{n-1}\left(  x\right)  $ ein Element
von $\otimes^{n}C;$ daher gibt es ein ganzes $r$ sowie Elemente $x_{ki}\in C$
f\"{u}r alle $k\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ und $i\in\left\{
1,2,...,r\right\}  ,$ so da\ss \ $\Delta^{n-1}\left(  x\right)  =\sum
\limits_{i=1}^{r}x_{1i}\otimes x_{2i}\otimes...\otimes x_{ni}$ ist. Jetzt
k\"{u}rzen wir einfach $\sum\limits_{i=1}^{r}x_{1i}\otimes x_{2i}%
\otimes...\otimes x_{ni}$ symbolisch zu $x_{\left(  1\right)  }\otimes
x_{\left(  2\right)  }\otimes...\otimes x_{\left(  n\right)  }$ ab.

Nach dem kommutativen Diagramm (2.4) gilt dann%
\[
\Delta^{n}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes x_{\left(  2\right)
}=x_{\left(  1\right)  }\otimes\Delta^{n}\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  =\Delta^{n+1}\left(  x\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }x\in C.
\]
Aus Bemerkung 2.1$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{4)} folgt ferner,
da\ss \ f\"{u}r jedes $\ell\in\left\{  0,1,...,n-1\right\}  $ gilt:%
\[
x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }\otimes...\otimes
x_{\left(  \ell\right)  }\otimes\Delta\left(  x_{\left(  \ell+1\right)
}\right)  \otimes x_{\left(  \ell+2\right)  }\otimes...\otimes x_{\left(
n\right)  }=x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }%
\otimes...\otimes x_{\left(  n+1\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }x\in C.
\]
\footnote{Dabei soll man nicht meinen, die $x_{\left(  1\right)  },$
$x_{\left(  2\right)  },$ $...,$ $x_{\left(  n\right)  }$ auf der linken Seite
h\"{a}tten irgendetwas mit den $x_{\left(  1\right)  },$ $x_{\left(  2\right)
},$ $...,$ $x_{\left(  n\right)  }$ auf der rechten zu tun - es sind die
gleichen Symbole in verschiedenen Bedeutungen!} Hieraus folgt insbesondere:
Sind $f_{1},$ $f_{2},$ $...,$ $f_{\ell},$ $f_{\ell+2},$ $...,$ $f_{n}$ lineare
Abbildungen von $C$ in andere $k$-Vektorr\"{a}ume, so ist%
\begin{align*}
&  f_{1}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes f_{2}\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  \otimes...\otimes f_{\ell}\left(  x_{\left(  \ell\right)
}\right)  \otimes\Delta\left(  x_{\left(  \ell+1\right)  }\right)  \otimes
f_{\ell+2}\left(  x_{\left(  \ell+2\right)  }\right)  \otimes...\otimes
f_{n}\left(  x_{\left(  n\right)  }\right) \\
&  =f_{1}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes f_{2}\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes...\otimes f_{\ell}\left(  x_{\left(
\ell\right)  }\right)  \otimes x_{\left(  \ell+1\right)  }\otimes x_{\left(
\ell+2\right)  }\otimes f_{\ell+2}\left(  x_{\left(  \ell+3\right)  }\right)
\otimes...\otimes f_{n}\left(  x_{\left(  n+1\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.  \text{f\"{u}r alle }x\in
C\right.  .
\end{align*}
Diese Formel besagt im wesentlichen, da\ss \ wir ein in der summenlosen
Sweedler-Notation auftretendes $\Delta\left(  x_{\left(  \ell+1\right)
}\right)  $ zu einem $x_{\left(  \ell+1\right)  }\otimes x_{\left(
\ell+2\right)  }$ "expandieren" k\"{o}nnen, aber dann alle eingeklammerten
Indizes, die gr\"{o}\ss er als $\ell+2$ sind, um $1$ vergr\"{o}\ss ern ("nach
rechts verschieben") m\"{u}ssen. Entsprechend k\"{o}nnen wir ein in der
summenlosen Sweedler-Notation auftretendes $\varepsilon\left(  x_{\left(
\ell\right)  }\right)  $ mit einem rechts von ihm stehenden $x_{\left(
\ell+1\right)  }$ zu einem $x_{\left(  \ell\right)  }$ "k\"{u}rzen" (dank
$\varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes x_{\left(
2\right)  }=\varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(
2\right)  }=x$), m\"{u}ssen aber dann alle eingeklammerten Indizes, die
gr\"{o}\ss er als $\ell$ sind, um $1$ verkleinern ("nach links verschieben");
das hei\ss t: Sind $f_{1},$ $f_{2},$ $...,$ $f_{\ell-1},$ $f_{\ell+2},$ $...,$
$f_{n+1}$ lineare Abbildungen von $C$ in andere $k$-Vektorr\"{a}ume, so ist%
\begin{align*}
&  f_{1}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes f_{2}\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  \otimes...\otimes f_{\ell-1}\left(  x_{\left(
\ell-1\right)  }\right)  \otimes\varepsilon\left(  x_{\left(  \ell\right)
}\right)  \otimes x_{\left(  \ell+1\right)  }\otimes f_{\ell+2}\left(
x_{\left(  \ell+2\right)  }\right)  \otimes...\otimes f_{n+1}\left(
x_{\left(  n+1\right)  }\right) \\
&  =f_{1}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes f_{2}\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes...\otimes f_{\ell-1}\left(  x_{\left(
\ell-1\right)  }\right)  \otimes x_{\left(  \ell\right)  }\otimes f_{\ell
+2}\left(  x_{\left(  \ell+1\right)  }\right)  \otimes...\otimes
f_{n+1}\left(  x_{\left(  n\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.  \text{f\"{u}r alle }x\in
C\right.  .
\end{align*}


Noch eine kleine Erweiterung der summenlosen Sweedler-Notation:

Sei $f:\underbrace{C\times C\times...\times C}_{n\text{ mal}}\rightarrow X$
eine $n$-fach multilineare Abbildung, und sei $x\in C.$ Sei $\overline
{f}:\otimes^{n}C\rightarrow X$ die lineare Abbildung, die man aus $f$ durch
die universelle Eigenschaft der $n$-ten Tensorpotenz erh\"{a}lt, also die
Abbildung, f\"{u}r die das Diagramm%
\[
\xymatrix{
C^n \ar[r]^f \ar[d]_{\operatorname*{kan}} & X \\
\otimes^n C \ar[ur]_{\overline{f}}
}
\]
kommutiert. Dann definieren wir $f\left(  x_{\left(  1\right)  },x_{\left(
2\right)  },...,x_{\left(  n\right)  }\right)  $ als $\overline{f}\left(
\Delta^{n-1}\left(  x\right)  \right)  .$

Schlie\ss lich, um das Obige formaler zu machen, eine \textit{exakte
Erkl\"{a}rung, wie ein Term }$T$ \textit{auszuwerten ist, in dem summenlose
Sweedler-Notation vorkommt}:

\textbf{Definition:} Angenommen, ein Term $T$ enthalte die Unterterme
$x_{\left(  1\right)  },$ $x_{\left(  2\right)  },$ $...,$ $x_{\left(
n\right)  }$ (und kein $x_{\left(  \ell\right)  }$ f\"{u}r $\ell>n$), wobei
$x$ irgendein Term ist\footnote{Dieses $x$ muss nicht notwendigerweise eine
einzelne Variable sein - es kann auch ein komplizierterer Term sein (z. B.
kann $T=\left(  ab\right)  _{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  \left(
ab\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  $ sein; in diesem Fall ist $x=ab$).}.
Dann wird der Term $T$ wie folgt ausgewertet:

Werte zuerst den Term $x$ aus. Berechne dann den Tensor $\Delta^{n-1}\left(
x\right)  \in\otimes^{n}C$. Schreibe diesen Tensor $\Delta^{n-1}\left(
x\right)  \in\otimes^{n}C$ in der Form $\sum\limits_{i=1}^{r}x_{1i}\otimes
x_{2i}\otimes...\otimes x_{ni}$ f\"{u}r ein nat\"{u}rliches $r$ und
irgendwelche Elemente $x_{ji}\in C$ (mit $i\in\left\{  1,2,...,r\right\}  $
und $j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $) (so eine Darstellung existiert, ist
aber im Allgemeinen nicht eindeutig). F\"{u}r jedes $i\in\left\{
1,2,...,r\right\}  $ sei $T_{i}$ der Term, der entsteht, wenn man in $T$ jedes
Vorkommen des Unterterms $x_{\left(  \ell\right)  }$ durch $x_{\ell i}$
ersetzt. Werte jetzt die Summe $\sum\limits_{i=1}^{r}T_{i}$ aus. Das Ergebnis
sollte nicht von der konkreten Darstellung von $\Delta^{n-1}\left(  x\right)
$ als $\sum\limits_{i=1}^{r}x_{1i}\otimes x_{2i}\otimes...\otimes x_{ni}$
abh\"{a}ngen, sondern nur von $x$ (wenn es doch von der konkreten Darstellung
abh\"{a}ngt, ist der Term $T$ ung\"{u}ltig\footnote{So eine Ung\"{u}ltigkeit
kann z. B. dann entstehen, wenn im Term $T$ eine Anwendung einer nichtlinearen
Abbildung auf ein $x_{\left(  i\right)  }$ vorkommt.}). Dieses Ergebnis ist
dann das Resultat der Auswertung des Termes $T$.

[\textit{Beispiel:} Beispielsweise besagt diese Regel im Fall einer $n$-fach
multilinearen Abbildung $f:\underbrace{C\times C\times...\times C}_{n\text{
mal}}\rightarrow X,$ da\ss \ der Term $f\left(  x_{\left(  1\right)
},x_{\left(  2\right)  },...,x_{\left(  n\right)  }\right)  $ als
$\sum\limits_{i=1}^{r}f\left(  x_{1i},x_{2i},...,x_{ni}\right)  $ auszuwerten
ist, wobei $\Delta^{n-1}\left(  x\right)  =\sum\limits_{i=1}^{r}x_{1i}\otimes
x_{2i}\otimes...\otimes x_{ni}$ sein soll. Und tats\"{a}chlich ist diese Summe
$\sum\limits_{i=1}^{r}f\left(  x_{1i},x_{2i},...,x_{ni}\right)  $
unabh\"{a}ngig von der konkreten Wahl der Darstellung von $\Delta^{n-1}\left(
x\right)  $ als $\sum\limits_{i=1}^{r}x_{1i}\otimes x_{2i}\otimes...\otimes
x_{ni},$ sondern nur abh\"{a}ngig von $x,$ und ihr Wert ist $\overline
{f}\left(  \Delta^{n-1}\left(  x\right)  \right)  $ (wie schon in der
Heuristik weiter oben definiert).]

Wenn im Term $T$ mehrere Unterterme $x,$ $y,$ $z,$ $...$ mit eingeklammerten
Indizes vorkommen (wie $x_{\left(  1\right)  },$ $x_{\left(  2\right)  },$
$...,$ $y_{\left(  1\right)  },$ $y_{\left(  2\right)  },$ $...,$ $z_{\left(
1\right)  },$ $z_{\left(  2\right)  },$ $...$), wendet man obige Regel der
Reihe nach f\"{u}r jeden dieser Unterterme an; dann entstehen bei der
Auswertung von $T$ nat\"{u}rlich mehrere Summenzeichen.

\bigskip

\fbox{\textbf{Eindeutigkeit der Coeins}}

Folgende einfache Bemerkung ist ein Beispiel f\"{u}r die Anwendung der Sweedler-Notation:

\textbf{2.1}$\dfrac{\text{\textbf{7}}}{\text{\textbf{8}}}$\textbf{.
Proposition:} Sei $C$ ein $k$-Vektorraum, und seien $\Delta:C\rightarrow
C\otimes C$, $\varepsilon_{1}:C\rightarrow k$ und $\varepsilon_{2}%
:C\rightarrow k$ drei Abbildungen, f\"{u}r die gilt, da\ss \ $\left(
C,\Delta,\varepsilon_{1}\right)  $ eine Coalgebra ist und da\ss \ $\left(
C,\Delta,\varepsilon_{2}\right)  $ eine Coalgebra ist. Dann ist $\varepsilon
_{1}=\varepsilon_{2}$.

\textit{Bemerkung:} Diese Proposition 2.1$\dfrac{\text{7}}{\text{8}}$ sagt
aus, da\ss \ in einer Coalgebra die Coeins durch die Comultiplikation
eindeutig bestimmt ist. Dies ist ein Analogon zum bekannten Satz, da\ss \ in
einer Algebra die Eins durch die Multiplikation eindeutig bestimmt ist (d. h.
da\ss \ eine Multiplikation immer nur eine Eins haben kann).

Wir werden drei Beweise von Proposition 2.1$\dfrac{\text{7}}{\text{8}}$
zeigen: einen Ersten Beweis mithilfe der Sweedler-Notation, und einen Zweiten
und einen Dritten Beweis ohne Sweedler-Notation. Im Wesentlichen sind diese
drei Beweise aber \"{a}quivalent.

\textit{Erster Beweis von Proposition 2.1}$\dfrac{\text{\textit{7}}%
}{\text{\textit{8}}}$\textit{:} Um Proposition 2.1$\dfrac{\text{7}}{\text{8}}$
nachzuweisen, m\"{u}ssen wir zeigen, da\ss \ $\varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}$
gilt. Dazu m\"{u}ssen wir f\"{u}r jedes $x\in C$ beweisen,
da\ss \ $\varepsilon_{1}\left(  x\right)  =\varepsilon_{2}\left(  x\right)  $
gilt. Wir werden dies nun durch eine Rechnung erledigen, in der wir die
Sweedler-Notation verwenden. Einige Schritte in dieser Rechnung sind nicht
ganz trivial; ich werde sie nach der Rechnung kommentieren.

Hier erst einmal die Rechnung:%
\begin{align*}
\varepsilon_{1}\left(  \underbrace{x}_{\substack{=x_{\left(  1\right)
}\varepsilon_{2}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \\\text{(denn }\left(
C,\Delta,\varepsilon_{2}\right)  \text{ ist}\\\text{eine Coalgebra)}}}\right)
&  =\varepsilon_{1}\left(  x_{\left(  1\right)  }\varepsilon_{2}\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \right) \\
&  =\varepsilon_{1}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \varepsilon
_{2}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{denn }\varepsilon_{2}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \text{ ist
ein Skalar}\right) \\
&  =\varepsilon_{2}\left(  \underbrace{\varepsilon_{1}\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }}_{\substack{=x\\\text{(denn
}\left(  C,\Delta,\varepsilon_{1}\right)  \text{ ist}\\\text{eine Coalgebra)}%
}}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\varepsilon_{1}\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \text{ ist ein Skalar}\right) \\
&  =\varepsilon_{2}\left(  x\right)  .
\end{align*}


Nun erl\"{a}utern wir einige Schritte in dieser Rechnung:

\begin{itemize}
\item Wir haben in dieser Rechnung Sweedler-Notation verwendet.
Sweedler-Notation ist immer in Bezug auf eine bestimmte Coalgebra definiert.
Hier haben wir es mit zwei Coalgebren zu tun - n\"{a}mlich $\left(
C,\Delta,\varepsilon_{1}\right)  $ und $\left(  C,\Delta,\varepsilon
_{2}\right)  $. Daher m\"{u}\ss ten wir bei einem Term der Form $x_{\left(
1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }\otimes...\otimes x_{\left(
n\right)  }$ immer mit angeben, in bezug auf welche Coalgebra er ausgewertet
sind, weil er sonst doppeldeutig sein k\"{o}nnte. Zum Gl\"{u}ck sind unsere
Terme in der obigen Rechnung alle eindeutig, denn es kommen nur $x_{\left(
1\right)  }$ und $x_{\left(  2\right)  }$ darin vor, und $x_{\left(  1\right)
}\otimes x_{\left(  2\right)  }=\Delta\left(  x\right)  $ ist unabh\"{a}ngig
davon, in welcher Coalgebra wir rechnen (denn die beiden Coalgebren $\left(
C,\Delta,\varepsilon_{1}\right)  $ und $\left(  C,\Delta,\varepsilon
_{2}\right)  $ haben die gleiche Comultiplikation). Aber in anderen F\"{a}llen
k\"{o}nnten wir Doppeldeutigkeiten haben!

\item Die Begr\"{u}ndung "$\left(  \text{denn }\varepsilon_{2}\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \text{ ist ein Skalar}\right)  $" bedarf einer
Erl\"{a}uterung, denn nat\"{u}rlich ist $\varepsilon_{2}\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  $ strenggenommen \textit{kein} Skalar (\"{u}berhaupt hat
der Term $\varepsilon_{2}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  $ als
alleinstehender Term keinen wohldefinierten Sinn, da er $x_{\left(  2\right)
}$ aber nicht $x_{\left(  1\right)  }$ enth\"{a}lt). Was mit der
Begr\"{u}ndung "$\left(  \text{denn }\varepsilon_{2}\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  \text{ ist ein Skalar}\right)  $" in Wirklichkeit gemeint
ist, ist folgendes Argument: Wir k\"{o}nnen den Tensor $\Delta\left(
x\right)  =x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }$ in der Form
$\sum\limits_{i=1}^{r}x_{1i}\otimes x_{2i}$ f\"{u}r ein nat\"{u}rliches $r$
und irgendwelche $x_{11},x_{12},...,x_{1r}\in C$ und $x_{21},x_{22}%
,...,x_{2r}\in C$ schreiben. F\"{u}r dieses $r$ und diese $x_{11}%
,x_{12},...,x_{1r}\in C$ und $x_{21},x_{22},...,x_{2r}\in C$ gilt dann%
\begin{align*}
\varepsilon_{1}\left(  x_{\left(  1\right)  }\varepsilon_{2}\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  \right)   &  =\varepsilon_{1}\left(  \sum\limits_{i=1}%
^{r}x_{1i}\varepsilon_{2}\left(  x_{2i}\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }x_{\left(  1\right)  }\otimes
x_{\left(  2\right)  }=\sum\limits_{i=1}^{r}x_{1i}\otimes x_{2i}\right) \\
&  =\sum\limits_{i=1}^{r}\varepsilon_{1}\left(  x_{1i}\right)  \varepsilon
_{2}\left(  x_{2i}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\varepsilon_{1}\text{ ist }k\text{-linear, und f\"{u}r jedes}\\
i\in\left\{  1,2,...,r\right\}  \text{ ist }\varepsilon_{2}\left(
x_{2i}\right)  \text{ ein Skalar}%
\end{array}
\right) \\
&  =\varepsilon_{1}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \varepsilon
_{2}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{denn }\sum\limits_{i=1}^{r}x_{1i}\otimes x_{2i}=x_{\left(  1\right)
}\otimes x_{\left(  2\right)  }\right)  .
\end{align*}
Dies ist also die eigentliche Begr\"{u}ndung f\"{u}r den Rechenschritt
$\varepsilon_{1}\left(  x_{\left(  1\right)  }\varepsilon_{2}\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  =\varepsilon_{1}\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  \varepsilon_{2}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  $.
Aber da diese Begr\"{u}ndung langwierig und umst\"{a}ndlich ist, ziehen wir es
vor, sie mit den Worten "$\left(  \text{denn }\varepsilon_{2}\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \text{ ist ein Skalar}\right)  $"
abzuk\"{u}rzen.\newline Genauso ist die Begr\"{u}ndung "$\left(  \text{denn
}\varepsilon_{1}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \text{ ist ein
Skalar}\right)  $" eine Abk\"{u}rzung f\"{u}r eine l\"{a}ngere Begr\"{u}ndung.
(In diesem Fall hat der Term $\varepsilon_{1}\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  $ zwar auch als alleinstehender Term einen wohldefinierten Sinn
(n\"{a}mlich bedeutet er dann einfach $\varepsilon_{1}\left(  x\right)  $,
weil er au\ss er $x_{\left(  1\right)  }$ kein weiteres $x_{\left(  n\right)
}$ enth\"{a}lt), \textit{doch er ist in diesem Kontext hier \textbf{nicht} als
alleinstehender Term} \textit{zu lesen}, sondern als Teil der Terme
$\varepsilon_{1}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \varepsilon_{2}\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  $ und $\varepsilon_{2}\left(  \varepsilon
_{1}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }\right)  $
(und somit bedeutet er \textbf{nicht} $\varepsilon_{1}\left(  x\right)  $).)
\end{itemize}

Wir haben also durch die obige Rechnung gezeigt, da\ss \ $\varepsilon
_{1}\left(  x\right)  =\varepsilon_{2}\left(  x\right)  $ f\"{u}r jedes $x\in
C$ gilt. Also ist $\varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}$, und Proposition
2.1$\dfrac{\text{7}}{\text{8}}$ ist gezeigt.

\textit{Zweiter Beweis von Proposition 2.1}$\dfrac{\text{\textit{7}}%
}{\text{\textit{8}}}$\textit{:} Um Proposition 2.1$\dfrac{\text{7}}{\text{8}}$
nachzuweisen, m\"{u}ssen wir zeigen, da\ss \ $\varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}$
gilt. Dazu m\"{u}ssen wir f\"{u}r jedes $x\in C$ beweisen,
da\ss \ $\varepsilon_{1}\left(  x\right)  =\varepsilon_{2}\left(  x\right)  $ gilt.

Sei $\operatorname{kan}_{1}:C\rightarrow k\otimes C$ die naheliegende
Abbildung von $C$ nach $k\otimes C$ (also $x\mapsto1\otimes x$). Sei
$\operatorname{kan}_{2}:C\rightarrow C\otimes k$ die naheliegende Abbildung
von $C$ nach $C\otimes k$ (also $x\mapsto x\otimes1$). Es sei angemerkt,
da\ss \ $\operatorname{kan}_{1}$ genau die Abbildung ist, die im Diagramm
(2.2) mit $\operatorname{kan}$ bezeichnet wurde, w\"{a}hrend
$\operatorname{kan}_{2}$ genau die Abbildung ist, die im Diagramm (2.3) mit
$\operatorname{kan}$ bezeichnet wurde.

Sei $x\in C$ beliebig. Wir k\"{o}nnen den Tensor $\Delta\left(  x\right)  \in
C\otimes C$ in der Form $\sum\limits_{i=1}^{r}x_{1i}\otimes x_{2i}$ f\"{u}r
ein nat\"{u}rliches $r$ und irgendwelche $x_{11},x_{12},...,x_{1r}\in C$ und
$x_{21},x_{22},...,x_{2r}\in C$ schreiben. Betrachten wir dieses $r$ und diese
$x_{11},x_{12},...,x_{1r}\in C$ und $x_{21},x_{22},...,x_{2r}\in C$.

Das Diagramm (2.2), mit $\varepsilon$ und $\operatorname{kan}$ ersetzt durch
$\varepsilon_{1}$ bzw. $\operatorname{kan}_{1}$, ist kommutativ (da $\left(
C,\Delta,\varepsilon_{1}\right)  $ eine Coalgebra ist)\footnote{Denn
$\operatorname{kan}_{1}$ ist genau die Abbildung, die im Diagramm (2.2) mit
$\operatorname{kan}$ bezeichnet wurde.}. Somit ist%
\begin{align*}
\operatorname{kan}_{1}x  &  =\left(  \varepsilon_{1}\otimes\operatorname{id}%
\right)  \left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  =\left(  \varepsilon
_{1}\otimes\operatorname{id}\right)  \left(  \sum\limits_{i=1}^{r}%
x_{1i}\otimes x_{2i}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }%
\Delta\left(  x\right)  =\sum\limits_{i=1}^{r}x_{1i}\otimes x_{2i}\right) \\
&  =\sum\limits_{i=1}^{r}\underbrace{\varepsilon_{1}\left(  x_{1i}\right)
\otimes x_{2i}}_{\substack{=1\otimes\varepsilon_{1}\left(  x_{1i}\right)
x_{2i}\\\text{(denn }\varepsilon_{1}\left(  x_{1i}\right)  \text{ ist ein
Skalar)}}}=\sum\limits_{i=1}^{r}1\otimes\varepsilon_{1}\left(  x_{1i}\right)
x_{2i}\\
&  =1\otimes\sum\limits_{i=1}^{r}\varepsilon_{1}\left(  x_{1i}\right)
x_{2i}=\operatorname{kan}_{1}\left(  \sum\limits_{i=1}^{r}\varepsilon
_{1}\left(  x_{1i}\right)  x_{2i}\right)  ,
\end{align*}
also $x=\sum\limits_{i=1}^{r}\varepsilon_{1}\left(  x_{1i}\right)  x_{2i}$
(denn $\operatorname{kan}_{1}$ ist ein Isomorphismus und daher injektiv).

Andererseits ist das Diagramm (2.3), mit $\varepsilon$ und $\operatorname{kan}%
$ ersetzt durch $\varepsilon_{2}$ bzw. $\operatorname{kan}_{2}$, auch
kommutativ (da $\left(  C,\Delta,\varepsilon_{2}\right)  $ eine Coalgebra
ist). Folglich ist%
\begin{align*}
\operatorname{kan}_{2}x  &  =\left(  \operatorname{id}\otimes\varepsilon
_{2}\right)  \left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  =\left(
\operatorname{id}\otimes\varepsilon_{2}\right)  \left(  \sum\limits_{i=1}%
^{r}x_{1i}\otimes x_{2i}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn
}\Delta\left(  x\right)  =\sum\limits_{i=1}^{r}x_{1i}\otimes x_{2i}\right) \\
&  =\sum\limits_{i=1}^{r}\underbrace{x_{1i}\otimes\varepsilon_{2}\left(
x_{2i}\right)  }_{\substack{=x_{1i}\varepsilon_{2}\left(  x_{2i}\right)
\otimes1\\\text{(denn }\varepsilon_{2}\left(  x_{2i}\right)  \text{ ist ein
Skalar)}}}=\sum\limits_{i=1}^{r}x_{1i}\varepsilon_{2}\left(  x_{2i}\right)
\otimes1=\left(  \sum\limits_{i=1}^{r}x_{1i}\varepsilon_{2}\left(
x_{2i}\right)  \right)  \otimes1\\
&  =\operatorname{kan}_{2}\left(  \sum\limits_{i=1}^{r}x_{1i}\varepsilon
_{2}\left(  x_{2i}\right)  \right)  ,
\end{align*}
also $x=\sum\limits_{i=1}^{r}x_{1i}\varepsilon_{2}\left(  x_{2i}\right)  $
(denn $\operatorname{kan}_{2}$ ist ein Isomorphismus und daher injektiv).

Nun ist%
\begin{align*}
\varepsilon_{1}\left(  \underbrace{x}_{=\sum\limits_{i=1}^{r}x_{1i}%
\varepsilon_{2}\left(  x_{2i}\right)  }\right)   &  =\varepsilon_{1}\left(
\sum\limits_{i=1}^{r}x_{1i}\varepsilon_{2}\left(  x_{2i}\right)  \right) \\
&  =\sum\limits_{i=1}^{r}\varepsilon_{1}\left(  x_{1i}\right)  \varepsilon
_{2}\left(  x_{2i}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\varepsilon_{1}\text{ ist }k\text{-linear, und f\"{u}r jedes}\\
i\in\left\{  1,2,...,r\right\}  \text{ ist }\varepsilon_{2}\left(
x_{2i}\right)  \text{ ein Skalar}%
\end{array}
\right) \\
&  =\varepsilon_{2}\left(  \underbrace{\sum\limits_{i=1}^{r}\varepsilon
_{1}\left(  x_{1i}\right)  x_{2i}}_{=x}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\varepsilon_{2}\text{ ist }k\text{-linear, und f\"{u}r jedes}\\
i\in\left\{  1,2,...,r\right\}  \text{ ist }\varepsilon_{1}\left(
x_{1i}\right)  \text{ ein Skalar}%
\end{array}
\right) \\
&  =\varepsilon_{2}\left(  x\right)  .
\end{align*}
Da dies f\"{u}r alle $x\in C$ gilt, ist also $\varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}%
$. Damit ist Proposition 2.1$\dfrac{\text{7}}{\text{8}}$ nachgewiesen.

\textit{Dritter Beweis von Proposition 2.1}$\dfrac{\text{\textit{7}}%
}{\text{\textit{8}}}$\textit{:} Sei $\operatorname{kan}_{1}:C\rightarrow
k\otimes C$ die naheliegende Abbildung von $C$ nach $k\otimes C$ (also
$x\mapsto1\otimes x$). Sei $\operatorname{kan}_{2}:C\rightarrow C\otimes k$
die naheliegende Abbildung von $C$ nach $C\otimes k$ (also $x\mapsto
x\otimes1$). Es sei angemerkt, da\ss \ $\operatorname{kan}_{1}$ genau die
Abbildung ist, die im Diagramm (2.2) mit $\operatorname{kan}$ bezeichnet
wurde, w\"{a}hrend $\operatorname{kan}_{2}$ genau die Abbildung ist, die im
Diagramm (2.3) mit $\operatorname{kan}$ bezeichnet wurde.

Das Diagramm (2.2), mit $\varepsilon$ und $\operatorname{kan}$ ersetzt durch
$\varepsilon_{1}$ bzw. $\operatorname{kan}_{1}$, ist kommutativ (da $\left(
C,\Delta,\varepsilon_{1}\right)  $ eine Coalgebra ist)\footnote{Denn
$\operatorname{kan}_{1}$ ist genau die Abbildung, die im Diagramm (2.2) mit
$\operatorname{kan}$ bezeichnet wurde.}. Das hei\ss t, das Diagramm%
\begin{equation}
\xymatrix{ C \ar[r]^-{\Delta} \ar[d]^{\cong}_{\operatorname*{kan}_1} & C\otimes C \ar[ld]^{\varepsilon_1\otimes\operatorname*{id}} \\ k\otimes C }\nonumber
\end{equation}
ist kommutativ. Mit anderen Worten: $\left(  \varepsilon_{1}\otimes
\operatorname{id}\right)  \circ\Delta=\operatorname{kan}_{1}$.

Das Diagramm (2.3), mit $\varepsilon$ und $\operatorname{kan}$ ersetzt durch
$\varepsilon_{2}$ bzw. $\operatorname{kan}_{2}$, ist kommutativ (da $\left(
C,\Delta,\varepsilon_{2}\right)  $ eine Coalgebra ist)\footnote{Denn
$\operatorname{kan}_{2}$ ist genau die Abbildung, die im Diagramm (2.3) mit
$\operatorname{kan}$ bezeichnet wurde.}. Das hei\ss t, das Diagramm%
\begin{equation}
\xymatrix{ C \ar[r]^-{\Delta} \ar[d]^{\cong}_{\operatorname*{kan}_2} & C\otimes C \ar[ld]^{\operatorname*{id}\otimes\varepsilon_2} \\ C\otimes k }\nonumber
\end{equation}
ist kommutativ. Mit anderen Worten: $\left(  \operatorname{id}\otimes
\varepsilon_{2}\right)  \circ\Delta=\operatorname{kan}_{2}$.

Sei andererseits $\operatorname{kan}_{k}$ die kanonische Abbildung
$k\rightarrow k\otimes k$ (die jedes $\lambda\in k$ auf $\lambda
\otimes1=1\otimes\lambda=\lambda\cdot\left(  1\otimes1\right)  $ abbildet).
Aus den elementaren Eigenschaften des Tensorproduktes folgt dann,
da\ss \ $\left(  \phi\otimes\operatorname{id}\right)  \circ\operatorname{kan}%
_{2}=\operatorname{kan}_{k}\circ\phi=\left(  \operatorname{id}\otimes
\phi\right)  \circ\operatorname{kan}_{1}$ f\"{u}r jede $k$-lineare Abbildung
$\phi:C\rightarrow k$ ist. Angewandt auf $\phi=\varepsilon_{1}$ ergibt dies
$\left(  \varepsilon_{1}\otimes\operatorname{id}\right)  \circ
\operatorname{kan}_{2}=\operatorname{kan}_{k}\circ\varepsilon_{1}=\left(
\operatorname{id}\otimes\varepsilon_{1}\right)  \circ\operatorname{kan}_{1}$.
Andererseits k\"{o}nnen wir $\left(  \phi\otimes\operatorname{id}\right)
\circ\operatorname{kan}_{2}=\operatorname{kan}_{k}\circ\phi=\left(
\operatorname{id}\otimes\phi\right)  \circ\operatorname{kan}_{1}$ auf
$\phi=\varepsilon_{2}$ anwenden und erhalten $\left(  \varepsilon_{2}%
\otimes\operatorname{id}\right)  \circ\operatorname{kan}_{2}%
=\operatorname{kan}_{k}\circ\varepsilon_{2}=\left(  \operatorname{id}%
\otimes\varepsilon_{2}\right)  \circ\operatorname{kan}_{1}$.

Bekanntlich sind $\operatorname{kan}_{1}$, $\operatorname{kan}_{2}$ und
$\operatorname{kan}_{k}$ allesamt $k$-Vektorraumisomorphismen. Aus $\left(
\varepsilon_{1}\otimes\operatorname{id}\right)  \circ\operatorname{kan}%
_{2}=\operatorname{kan}_{k}\circ\varepsilon_{1}$ folgt also $\varepsilon
_{1}\circ\operatorname{kan}_{2}^{-1}=\operatorname{kan}_{k}^{-1}\circ\left(
\varepsilon_{1}\otimes\operatorname{id}\right)  $. Nun machen wir folgende
Rechnung:%
\begin{align*}
\varepsilon_{1}  &  =\varepsilon_{1}\circ\operatorname{kan}_{2}^{-1}%
\circ\underbrace{\operatorname{kan}_{2}}_{=\left(  \operatorname{id}%
\otimes\varepsilon_{2}\right)  \circ\Delta}=\underbrace{\varepsilon_{1}%
\circ\operatorname{kan}_{2}^{-1}}_{=\operatorname{kan}_{k}^{-1}\circ\left(
\varepsilon_{1}\otimes\operatorname{id}\right)  }\circ\left(
\operatorname{id}\otimes\varepsilon_{2}\right)  \circ\Delta=\operatorname{kan}%
_{k}^{-1}\circ\underbrace{\left(  \varepsilon_{1}\otimes\operatorname{id}%
\right)  \circ\left(  \operatorname{id}\otimes\varepsilon_{2}\right)
}_{\substack{=\varepsilon_{1}\otimes\varepsilon_{2}\\=\left(
\operatorname{id}\otimes\varepsilon_{2}\right)  \circ\left(  \varepsilon
_{1}\otimes\operatorname{id}\right)  }}\circ\Delta\\
&  =\operatorname{kan}_{k}^{-1}\circ\left(  \operatorname{id}\otimes
\varepsilon_{2}\right)  \circ\underbrace{\left(  \varepsilon_{1}%
\otimes\operatorname{id}\right)  \circ\Delta}_{=\operatorname{kan}_{1}%
}=\operatorname{kan}_{k}^{-1}\circ\underbrace{\left(  \operatorname{id}%
\otimes\varepsilon_{2}\right)  \circ\operatorname{kan}_{1}}%
_{=\operatorname{kan}_{k}\circ\varepsilon_{2}}=\underbrace{\operatorname{kan}%
_{k}^{-1}\circ\operatorname{kan}_{k}}_{=\operatorname{id}}\circ\varepsilon
_{2}=\varepsilon_{2}.
\end{align*}
Damit ist Proposition 2.1$\dfrac{\text{7}}{\text{8}}$ nachgewiesen.

\textit{Bemerkung:} Die drei Beweise von Proposition 2.1$\dfrac{\text{7}%
}{\text{8}}$, die wir oben gegeben haben, sind im Wesentlichen einer und
derselbe Beweis in drei Varianten: Der Erste Beweis und der Zweite Beweis
unterscheiden sich nur hinsichtlich der Verwendung der Sweedler-Notation (der
Erste Beweis verwendet sie, der Zweite nicht). Der Kern der ersten beiden
Beweise (die Rechnung, die $\varepsilon_{1}\left(  x\right)  =\varepsilon
_{2}\left(  x\right)  $ beweist) und der Kern des Dritten Beweises (die
Rechnung, die $\varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}$ beweist) sind im Grunde
genommen die gleiche Rechnung; der einzige Unterschied (bis auf einige
technische Details) ist, da\ss \ im Dritten Beweis direkt mit Abbildungen
gerechnet wurde, w\"{a}hrend in den ersten beiden Beweisen mit den Bildern
eines beliebigen Elementes unter den Abbildungen gerechnet wurde. Aber wenn
man in die Rechnung im Dritten Beweis ein Element $x\in C$ einsetzt,
erh\"{a}lt man sehr genau die Rechnung aus dem Ersten Beweis (zum Beispiel ist
$\left(  \varepsilon_{1}\circ\operatorname{kan}_{2}^{-1}\circ\left(
\operatorname{id}\otimes\varepsilon_{2}\right)  \circ\Delta\right)  \left(
x\right)  =\varepsilon_{1}\left(  x_{\left(  1\right)  }\varepsilon_{2}\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  $ und $\left(  \operatorname{kan}%
_{k}^{-1}\circ\left(  \varepsilon_{1}\otimes\operatorname{id}\right)
\circ\left(  \operatorname{id}\otimes\varepsilon_{2}\right)  \circ
\Delta\right)  \left(  x\right)  =\varepsilon_{1}\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  \varepsilon_{2}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  $) oder die
aus dem Zweiten (wenn man keine Sweedler-Notation verwendet).

\bigskip

\fbox{\textbf{Faltung und Algebrastruktur auf }$\operatorname*{Hom}\left(
C,A\right)  $}

\textbf{Definition:} Sei $A$ eine Algebra und $C$ eine Coalgebra. Seien
$f,g\in\operatorname*{Hom}\left(  C,A\right)  $ (hierbei verstehen wir unter
$\operatorname*{Hom}\left(  C,A\right)  $ die Menge aller $k$%
-Modulhomomorphismen von $C$ nach $A,$ also aller $k$-linearen Abbildungen
$C\rightarrow A$). Wir definieren die sogenannte \textit{Faltung} (auch
\textit{Konvolution} genannt) $f\ast g\in\operatorname*{Hom}\left(
C,A\right)  $ von $f$ und $g$ durch $f\ast g=\mu\circ\left(  f\otimes
g\right)  \circ\Delta.$

Mit anderen Worten: Die Faltung $f\ast g$ von $f$ und $g$ ist diejenige
$k$-lineare Abbildung von $C$ nach $A,$ f\"{u}r die das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
C \ar[r]^-{\Delta} \ar@/_2pc/[rrr]_{f\ast g} & C\otimes C \ar[r]^-{f\otimes g} & A\otimes A \ar[r]^-{\mu} & A
}
\]
kommutiert.

Mit der summenlosen Sweedler-Notation l\"{a}\ss t sich dies noch einmal
umformulieren: Die Faltung $f\ast g$ von $f$ und $g$ wird durch%
\[
\left(  f\ast g\right)  \left(  x\right)  =f\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  g\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in C
\]
definiert.

\textbf{2.2. Satz:} \textbf{1)} Ist $A$ eine Algebra und $C$ eine Coalgebra,
dann ist $\operatorname*{Hom}\left(  C,A\right)  $ eine Algebra mit Produkt
$\ast$ und $1$-Element $\eta\varepsilon.$

\textbf{2)} Seien $A$ und $B$ Algebren und $C$ und $D$ Coalgebren, sei
$\varphi:A\rightarrow B$ ein Algebrahomomorphismus, und sei $\psi:C\rightarrow
D$ ein Coalgebrahomomorphismus. Dann ist die induzierte Abbildung%
\[
\operatorname*{Hom}\left(  \operatorname*{id},\varphi\right)
:\operatorname*{Hom}\left(  C,A\right)  \rightarrow\operatorname*{Hom}\left(
C,B\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\mapsto\varphi f
\]
ein Algebrahomomorphismus, und%
\[
\operatorname*{Hom}\left(  \psi,\operatorname*{id}\right)
:\operatorname*{Hom}\left(  D,A\right)  \rightarrow\operatorname*{Hom}\left(
C,A\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\mapsto f\psi
\]
ein Algebrahomomorphismus.

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Offenbar ist $\ast:\operatorname*{Hom}\left(
C,A\right)  \times\operatorname*{Hom}\left(  C,A\right)  \rightarrow
\operatorname*{Hom}\left(  C,A\right)  $ bilinear. Die Assoziativit\"{a}t von
$\ast$ ergibt sich folgenderma\ss en: F\"{u}r $f,g,h\in\operatorname*{Hom}%
\left(  C,A\right)  $ und $x\in C$ gilt, zumindest wenn man der summenlosen
Sweedler-Notation vertraut:%
\begin{align*}
\left(  \left(  f\ast g\right)  \ast h\right)  \left(  x\right)   &  =\left(
f\ast g\right)  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  h\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  =\left(  f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  g\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  h\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)
\\
&  =f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \left(  g\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  h\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  \right)  =f\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \left(  g\ast h\right)  \left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  =\left(  f\ast\left(  g\ast h\right)  \right)  \left(
x\right)  .
\end{align*}
Somit gilt die Gleichung $\left(  f\ast g\right)  \ast h=f\ast\left(  g\ast
h\right)  $ f\"{u}r alle $f,g,h\in\operatorname*{Hom}\left(  C,A\right)  $.
Hier ist ein alternativer Beweis dieser Gleichung ohne Verwendung der
Sweedler-Notation:%
\begin{align*}
\left(  f\ast g\right)  \ast h  &  =\mu\circ\left(  \left(  f\ast g\right)
\otimes h\right)  \circ\Delta=\mu\circ\left(  \left(  \mu\circ\left(  f\otimes
g\right)  \circ\Delta\right)  \otimes h\right)  \circ\Delta\\
&  =\mu\circ\left(  \left(  \mu\circ\left(  f\otimes g\right)  \circ
\Delta\right)  \otimes\left(  \operatorname*{id}\circ h\circ\operatorname*{id}%
\right)  \right)  \circ\Delta\\
&  =\mu\circ\left(  \left(  \mu\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\left(
\left(  f\otimes g\right)  \otimes h\right)  \circ\left(  \Delta
\otimes\operatorname*{id}\right)  \right)  \circ\Delta\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\left(  \alpha\otimes\alpha^{\prime}\right)  \circ\left(
\beta\otimes\beta^{\prime}\right)  \circ\left(  \gamma\otimes\gamma^{\prime
}\right)  =\left(  \alpha\circ\beta\circ\gamma\right)  \otimes\left(
\alpha^{\prime}\circ\beta^{\prime}\circ\gamma^{\prime}\right) \\
\text{f\"{u}r beliebige }k\text{-lineare Abbildungen }\alpha\text{, }%
\beta\text{, }\gamma\text{, }\alpha^{\prime}\text{, }\beta^{\prime}\text{,
}\gamma^{\prime}\text{ (f\"{u}r die}\\
\text{diese Verkettungen einen Sinn ergeben)}%
\end{array}
\right) \\
&  =\left(  \mu\circ\left(  \mu\otimes\operatorname*{id}\right)  \right)
\circ\left(  \left(  f\otimes g\right)  \otimes h\right)  \circ\left(  \left(
\Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\right)
\end{align*}
und analog%
\[
f\ast\left(  g\ast h\right)  =\left(  \mu\circ\left(  \operatorname*{id}%
\otimes\mu\right)  \right)  \circ\left(  \left(  f\otimes g\right)  \otimes
h\right)  \circ\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)
\circ\Delta\right)  ,
\]
also $\left(  f\ast g\right)  \ast h=f\ast\left(  g\ast h\right)  $ (denn
$\mu\circ\left(  \mu\otimes\operatorname*{id}\right)  =\mu\circ\left(
\operatorname*{id}\otimes\mu\right)  ,$ $\left(  f\otimes g\right)  \otimes
h=f\otimes\left(  g\otimes h\right)  $ und $\left(  \Delta\otimes
\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta=\left(  \operatorname*{id}\otimes
\Delta\right)  \circ\Delta$).

Da\ss \ $\eta\varepsilon$ das $1$-Element ist, ist klar: F\"{u}r alle
$f\in\operatorname*{Hom}\left(  C,A\right)  $ und alle $x\in C$
ist\footnote{Hier und im Folgenden genie\ss t Verkettung von Abbildungen eine
h\"{o}here Operatorenpriorit\"{a}t als Konvolution. Das hei\ss t, ein Term wie
$\eta\varepsilon\ast f$ ist nicht als $\eta\left(  \varepsilon\ast f\right)  $
zu lesen, sondern als $\left(  \eta\varepsilon\right)  \ast f$.}%
\[
\left(  \eta\varepsilon\ast f\right)  \left(  x\right)  =\varepsilon\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot1\cdot f\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  =\varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  f\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  =f\left(  \underbrace{\varepsilon\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }}_{=x}\right)  =f\left(
x\right)  ,
\]
also $\eta\varepsilon\ast f=f$, und ebenso $f\ast\eta\varepsilon=f.$ (Auch
hier kommt man auch ohne Sweedler-Notation durch, wenn man will.)

\textbf{2)} F\"{u}r alle $f,g\in\operatorname*{Hom}\left(  C,A\right)  $ und
$x\in C$ ist%
\begin{align*}
&  \left(  \operatorname*{Hom}\left(  \operatorname*{id},\varphi\right)
\left(  f\ast g\right)  \right)  \left(  x\right) \\
&  =\varphi\left(  \left(  f\ast g\right)  \left(  x\right)  \right)
=\varphi\left(  f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  g\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  \right) \\
&  =\varphi\left(  f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)
\cdot\varphi\left(  g\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }\varphi\text{ ein Algebrahomomorphismus
ist}\right) \\
&  =\left(  \varphi f\right)  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
\cdot\left(  \varphi g\right)  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  =\left(
\varphi f\ast\varphi g\right)  \left(  x\right)  .
\end{align*}
Das hei\ss t, f\"{u}r alle $f,g\in\operatorname*{Hom}\left(  C,A\right)  $ ist%
\[
\operatorname*{Hom}\left(  \operatorname*{id},\varphi\right)  \left(  f\ast
g\right)  =\varphi f\ast\varphi g=\left(  \operatorname*{Hom}\left(
\operatorname*{id},\varphi\right)  \right)  \left(  f\right)  \ast\left(
\operatorname*{Hom}\left(  \operatorname*{id},\varphi\right)  \right)  \left(
g\right)  .
\]
Da au\ss erdem $\operatorname*{Hom}\left(  \operatorname*{id},\varphi\right)
\left(  \eta\varepsilon\right)  =\eta\varepsilon$ gilt (denn f\"{u}r jedes
$x\in C$ ist%
\[
\left(  \operatorname*{Hom}\left(  \operatorname*{id},\varphi\right)  \left(
\eta\varepsilon\right)  \right)  \left(  x\right)  =\varphi\left(
\underbrace{\eta\varepsilon\left(  x\right)  }_{=\varepsilon x\cdot1}\right)
=\varepsilon\left(  x\right)  \underbrace{\varphi\left(  1\right)  }_{=1}%
=\eta\left(  \varepsilon\left(  x\right)  \right)  =\left(  \eta
\varepsilon\right)  \left(  x\right)
\]
), folgt hieraus, da\ss \ $\operatorname*{Hom}\left(  \operatorname*{id}%
,\varphi\right)  $ ein Algebrahomomorphismus ist. Da\ss \ $\operatorname*{Hom}%
\left(  \psi,\operatorname*{id}\right)  $ ein Algebrahomomorphismus ist,
ergibt sich \"{a}hnlich: F\"{u}r alle $f,g\in\operatorname*{Hom}\left(
D,A\right)  $ und $x\in C$ gilt%
\begin{align*}
&  \left(  \operatorname*{Hom}\left(  \psi,\operatorname*{id}\right)  \left(
f\ast g\right)  \right)  \left(  x\right) \\
&  =\left(  f\ast g\right)  \left(  \psi\left(  x\right)  \right)  =f\left(
\left(  \psi\left(  x\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }\right)  g\left(
\left(  \psi\left(  x\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =f\left(  \psi\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  g\left(
\psi\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }\psi\text{ ein Coalgebrahomomorphismus
ist}\right) \\
&  =\left(  f\psi\ast g\psi\right)  \left(  x\right)  ,
\end{align*}
und%
\begin{align*}
&  \left(  \operatorname*{Hom}\left(  \psi,\operatorname*{id}\right)  \left(
\eta\varepsilon\right)  \right)  \left(  x\right) \\
&  =\left(  \eta\varepsilon\right)  \left(  \psi\left(  x\right)  \right)
=\eta\left(  \varepsilon\left(  \psi\left(  x\right)  \right)  \right)
=\eta\left(  \varepsilon\left(  x\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\psi\text{ ist ein
Coalgebrahomomorphismus, und somit ist }\varepsilon\left(  \psi\left(
x\right)  \right)  =\varepsilon\left(  x\right)  \right) \\
&  =\left(  \eta\varepsilon\right)  \left(  x\right)  .
\end{align*}


\bigskip

\fbox{\textbf{"Fast"-Dualit\"{a}t zwischen Algebren und Coalgebren}}

\textbf{2.3. Folgerung:} Ist $C$ eine Coalgebra, dann ist ihr Dualraum
$C^{\ast}=\operatorname*{Hom}\left(  C,k\right)  $ eine Algebra mit Produkt
$\ast.$

\textit{Beweis:} Spezialfall von 2.2 mit $A=k.$

\textbf{2.4. Beispiele:} \textbf{1)} Sei $C$ die Coalgebra mit der Basis
$\left\{  x_{0},x_{1},...\right\}  $ und%
\[
\Delta\left(  x_{n}\right)  =\sum_{i=0}^{n}x_{i}\otimes x_{n-i}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(
x_{n}\right)  =\delta_{n,0}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }n\geq0.
\]
Dann ist $C^{\ast}\cong k\left[  \left[  T\right]  \right]  .$ Hierbei
bezeichnet $k\left[  \left[  T\right]  \right]  $ den Potenzreihenring
\"{u}ber $k$ in einer Unbestimmten $T.$ Ein Algebraisomorphismus $\Phi
:C^{\ast}\rightarrow k\left[  \left[  T\right]  \right]  $ ist gegeben durch
$\Phi\left(  f\right)  =\sum\limits_{n=0}^{\infty}f\left(  x_{n}\right)
T^{n}$ f\"{u}r alle $f\in C^{\ast}.$

\textit{Beweis:} Diese Abbildung $\Phi$ ist offenbar ein Isomorphismus von
$k$-Vektorr\"{a}umen. Ferner ist $\Phi$ ein Algebrahomomorphismus, denn
f\"{u}r alle $f,g\in C^{\ast}$ ist%
\begin{align*}
\Phi\left(  f\right)  \Phi\left(  g\right)   &  =\sum_{n=0}^{\infty}f\left(
x_{n}\right)  T^{n}\sum_{m=0}^{\infty}g\left(  x_{m}\right)  T^{m}%
=\underbrace{\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}}_{=\sum\limits_{\left(
n,m\right)  \in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}}f\left(  x_{n}\right)  g\left(
x_{m}\right)  \underbrace{T^{n}T^{m}}_{=T^{n+m}}\\
&  =\sum\limits_{\left(  n,m\right)  \in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}f\left(
x_{n}\right)  g\left(  x_{m}\right)  T^{n+m}=\sum_{r=0}^{\infty}\left(
\sum_{\substack{\left(  n,m\right)  \in\mathbb{N}\times\mathbb{N}%
;\\n+m=r}}f\left(  x_{n}\right)  g\left(  x_{m}\right)  \right)  T^{r}\\
&  =\sum_{r=0}^{\infty}\sum_{\substack{n=0}}^{r}f\left(  x_{n}\right)
g\left(  x_{r-n}\right)  T^{r}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{hier haben wir }\left(  n,m\right)  \text{ in der zweiten Summe durch
}\left(  n,r-n\right) \\
\text{substituiert, da an }\left(  n,m\right)  \text{ die Bedingung
}n+m=r\text{ gestellt wurde}%
\end{array}
\right)
\end{align*}
und%
\begin{align*}
\Phi\left(  f\ast g\right)   &  =\sum_{r=0}^{\infty}\left(  f\ast g\right)
\left(  x_{r}\right)  T^{r}=\sum_{r=0}^{\infty}\mu\left(  f\otimes g\right)
\Delta\left(  x_{r}\right)  T^{r}=\sum_{r=0}^{\infty}\mu\left(  f\otimes
g\right)  \left(  \sum_{n=0}^{r}x_{n}\otimes x_{r-n}\right)  T^{r}\\
&  =\sum_{r=0}^{\infty}\mu\left(  \sum_{n=0}^{r}f\left(  x_{n}\right)  \otimes
g\left(  x_{r-n}\right)  \right)  T^{r}=\sum_{r=0}^{\infty}\sum
_{\substack{n=0}}^{r}f\left(  x_{n}\right)  g\left(  x_{r-n}\right)  T^{r},
\end{align*}
also $\Phi\left(  f\right)  \Phi\left(  g\right)  =\Phi\left(  f\ast g\right)
.$ Die Invarianz des $1$-Elementes ist noch einfacher zu zeigen (was aber
nicht einmal notwendig ist, da wir sie auch aus $\Phi\left(  f\right)
\Phi\left(  g\right)  =\Phi\left(  f\ast g\right)  $ und der Bijektivit\"{a}t
von $\Phi$ herleiten k\"{o}nnen).

\textbf{2)} Sei $n\in\mathbb{N}.$ Definiere eine Coalgebra $C$ mit der Basis
$\left(  x_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}$ durch%
\[
\Delta\left(  x_{i,j}\right)  =\sum_{l=1}^{n}x_{i,l}\otimes x_{l,j}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(
x_{i,j}\right)  =\delta_{i,j}.
\]
Definiere einen $k$-Vektorraumisomorphismus $\Phi:C^{\ast}\rightarrow
\operatorname*{M}_{n}\left(  k\right)  $ (hier ist $\operatorname*{M}%
_{n}\left(  k\right)  $ die Algebra der $n\times n$-Matrizen \"{u}ber $k$)
durch $\Phi\left(  f\right)  =\left(  f\left(  x_{i,j}\right)  \right)
_{1\leq i,j\leq n}$ f\"{u}r alle $f\in C^{\ast}.$ Dann ist $\Phi$ ein
Algebraisomorphismus mit $\Phi\left(  x_{i,j}^{\ast}\right)  =e_{i,j}$ f\"{u}r
alle $1\leq i,j\leq n,$ wobei wir mit $\left(  x_{i,j}^{\ast}\right)  _{1\leq
i,j\leq n}$ die duale Basis zu der Basis $\left(  x_{i,j}\right)  _{1\leq
i,j\leq n}$ von $C$ bezeichnen, und mit $\left(  e_{i,j}\right)  _{1\leq
i,j\leq n}$ die Standardbasis von $\operatorname*{M}_{n}\left(  k\right)  $
bezeichnen (das hei\ss t, $e_{i,j}\in\operatorname*{M}_{n}\left(  k\right)  $
ist die Matrix, deren Eintrag in Zeile $i$ und Spalte $j$ gleich $1$ ist, und
deren andere Eintr\"{a}ge alle $0$ sind).

\textit{Beweis:} Wieder ist klar, da\ss \ $\Phi$ ein $k$%
-Vektorraumisomorphismus ist. Jetzt zeigen wir, da\ss \ $\Phi$ ein
Algebraisomorphismus ist: F\"{u}r $f,g\in C^{\ast}$ ist $\Phi\left(  f\ast
g\right)  $ eine $n\times n$-Matrix, die an der Stelle $\left(  i,j\right)  $
den Eintrag%
\begin{align*}
\left(  f\ast g\right)  \left(  x_{i,j}\right)   &  =\mu\left(  f\otimes
g\right)  \Delta\left(  x_{i,j}\right)  =\mu\left(  f\otimes g\right)  \left(
\sum_{l=1}^{n}x_{i,l}\otimes x_{l,j}\right) \\
&  =\mu\left(  \sum_{l=1}^{n}f\left(  x_{i,l}\right)  \otimes g\left(
x_{l,j}\right)  \right)  =\sum_{l=1}^{n}f\left(  x_{i,l}\right)  g\left(
x_{l,j}\right)
\end{align*}
hat - dies ist aber genau der Eintrag der Matrix $\Phi\left(  f\right)
\Phi\left(  g\right)  $ an der Stelle $\left(  i,j\right)  $ (denn
$\Phi\left(  f\right)  =\left(  f\left(  x_{i,j}\right)  \right)  _{1\leq
i,j\leq n}$ und $\Phi\left(  g\right)  =\left(  g\left(  x_{i,j}\right)
\right)  _{1\leq i,j\leq n}$). Also ist $\Phi\left(  f\ast g\right)
=\Phi\left(  f\right)  \Phi\left(  g\right)  .$ Da\ss \ $\Phi$ das $1$-Element
von $C^{\ast}$ auf das $1$-Element von $\operatorname*{M}\nolimits_{n}\left(
k\right)  $ sendet, \"{u}berpr\"{u}ft man auch leicht. Somit ist $\Phi$ ein Algebraisomorphismus.

Da\ss \ $\Phi\left(  x_{i,j}^{\ast}\right)  =e_{i,j}$ f\"{u}r alle $1\leq
i,j\leq n$ gilt, ist leicht nachzupr\"{u}fen:%
\[
\Phi\left(  x_{i,j}^{\ast}\right)  =\left(  x_{i,j}^{\ast}\left(
x_{u,v}\right)  \right)  _{1\leq u,v\leq n}=\left(  \delta_{i,u}\delta
_{j,v}\right)  _{1\leq u,v\leq n}=e_{i,j}.
\]


\textbf{3)} Sei $G$ eine endliche Menge, sei $C=k\left[  G\right]  $ die
Coalgebra mit Basis $G$ und%
\[
\Delta\left(  g\right)  =g\otimes g\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(  g\right)
=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }g\in G.
\]
Dann ist $C^{\ast}\cong k^{G}$ als Algebren, wie man leicht nachweist.

\textbf{2.5. Bemerkung:} \textbf{1)} \textbf{a)} Seien $X$ und $Y$
Vektorr\"{a}ume. Dann ist die kanonische Abbildung $\operatorname*{kan}%
:X^{\ast}\otimes Y^{\ast}\rightarrow\left(  X\otimes Y\right)  ^{\ast},$ die
auf reinen Tensoren durch $\operatorname*{kan}\left(  f\otimes g\right)
=\left(  x\otimes y\mapsto f\left(  x\right)  \cdot g\left(  y\right)
\right)  $ definiert ist, injektiv.

\textbf{b)} Ist $\dim X<\infty$ oder $\dim Y<\infty,$ dann ist
$\operatorname*{kan}$ auch bijektiv.

\textit{Beweis:} \textbf{a)} Sei $\left\{  \left(  f_{i}\right)  _{i\in
I}\right\}  $ eine Basis des Vektorraums $X^{\ast}.$

Seien $g_{i}\in Y^{\ast}$ f\"{u}r alle $i\in I$ mit $g_{i}\neq0$ nur f\"{u}r
endlich viele $i\in I$ so, da\ss \ $\operatorname*{kan}\left(  \sum
\limits_{i\in I}f_{i}\otimes g_{i}\right)  =0.$ Um zu beweisen,
da\ss \ $\operatorname*{kan}$ ein Monomorphismus ist, m\"{u}ssen wir jetzt
zeigen, da\ss \ $\sum\limits_{i\in I}f_{i}\otimes g_{i}=0$ ist\footnote{Denn
jedes Element von $X^{\ast}\otimes Y^{\ast}$ hat die Form $\sum\limits_{i\in
I}f_{i}\otimes g_{i}$ f\"{u}r irgendwelche $g_{i}\in Y^{\ast}$ mit $g_{i}%
\neq0$ nur f\"{u}r endlich viele $i\in I.$}.

F\"{u}r alle $x\in X$ und $y\in Y$ ist $\sum\limits_{i\in I}f_{i}\left(
x\right)  g_{i}\left(  y\right)  =0$ (denn
\[
\sum\limits_{i\in I}f_{i}\left(  x\right)  g_{i}\left(  y\right)  =\left(
\underbrace{\operatorname*{kan}\left(  \sum\limits_{i\in I}f_{i}\otimes
g_{i}\right)  }_{=0}\right)  \left(  x\otimes y\right)  =0
\]
). F\"{u}r alle $y\in Y$ ist also $\sum\limits_{i\in I}f_{i}\cdot g_{i}\left(
y\right)  =0.$ Da $\left\{  \left(  f_{i}\right)  _{i\in I}\right\}  $ eine
Basis von $X^{\ast}$ ist, folgt hieraus f\"{u}r alle $y\in Y$ und alle $i\in
I,$ da\ss \ $g_{i}\left(  y\right)  =0$ ist. Also ist $g_{i}=0$ f\"{u}r alle
$i\in I,$ also auch $\sum\limits_{i\in I}f_{i}\otimes g_{i}=0.$ Also ist
gezeigt, da\ss \ $\operatorname*{kan}$ ein Monomorphismus ist.

\textbf{b)} Ohne Beschr\"{a}nkung der Allgemeinheit sei $\dim X<\infty$ (der
Fall $\dim Y<\infty$ ist analog).

Erstmal ist $\operatorname*{kan}$ ein Isomorphismus, falls $X=k$ ist (nach dem
kommutativen Diagramm
\[
\xymatrix{
k^{\ast}\otimes Y^{\ast} \ar[r]^{\operatorname*{kan}} \ar[d]^{\cong} & \left(k\otimes Y\right)^{\ast} \\
k\otimes Y^{\ast} \ar[r]^{\cong} & Y^{\ast} \ar[u]_{\cong}
}
\]
).

Sind $X_{1}$ und $X_{2}$ zwei Vektorr\"{a}ume, und sind die entsprechenden
kanonischen Abbildungen $\operatorname*{kan}_{X_{1}}:X_{1}^{\ast}\otimes
Y^{\ast}\rightarrow\left(  X_{1}\otimes Y\right)  ^{\ast}$ und
$\operatorname*{kan}_{X_{2}}:X_{2}^{\ast}\otimes Y^{\ast}\rightarrow\left(
X_{2}\otimes Y\right)  ^{\ast}$ Isomorphismen, dann ist auch
$\operatorname*{kan}_{X_{1}\oplus X_{2}}:\left(  X_{1}\oplus X_{2}\right)
^{\ast}\otimes Y^{\ast}\rightarrow\left(  \left(  X_{1}\oplus X_{2}\right)
\otimes Y\right)  ^{\ast}$ ein Isomorphismus, denn das Diagramm
\[%
%TCIMACRO{\TeXButton{xymatrix}{\xymatrixcolsep{5pc}}}%
%BeginExpansion
\xymatrixcolsep{5pc}%
%EndExpansion
\xymatrix{
\left(X_1\oplus X_2\right)^{\ast}\otimes Y^{\ast} \ar[r]^{\operatorname*{kan}_{X_1\oplus X_2}} \ar[d]^{\cong} & \left(\left(X_1\oplus X_2\right)\otimes Y\right)^{\ast} \\
\left(X_1^{\ast}\oplus X_2^{\ast}\right)\otimes Y^{\ast} \ar[d]^{\cong} & \left(\left(X_1\otimes Y\right)\oplus\left(X_2\otimes Y\right)\right)^{\ast} \ar[u]^{\cong} \\
\left(X_1^{\ast}\otimes Y^{\ast}\right)\oplus\left(X_2^{\ast}\otimes Y^{\ast}\right) \ar[r]^{\cong}_{\operatorname*{kan}_{X_1}\oplus \operatorname*{kan}_{X_2}} & \left(X_1\otimes Y\right)^{\ast}\oplus\left(X_2\otimes Y\right)^{\ast} \ar[u]^{\cong}
}
\]
kommutiert.

Jetzt kann man durch vollst\"{a}ndige Induktion nach $\dim X$ zeigen,
da\ss \ $\operatorname*{kan}$ ein Isomorphismus f\"{u}r $\dim X<\infty$ ist,
was zu beweisen war.

\textbf{2)} Sei $C$ eine Coalgebra, und sei $\operatorname*{kan}:C^{\ast
}\otimes C^{\ast}\rightarrow\left(  C\otimes C\right)  ^{\ast}$ die kanonische
Abbildung aus Bemerkung 2.5. \textbf{1)} \textbf{a)}. Sei ferner
$\operatorname*{kan}^{\prime}:k\rightarrow k^{\ast}$ die kanonische
$k$-lineare Abbildung von $k$ nach $k^{\ast}.$

Laut Folgerung 2.3. hat $C^{\ast}$ eine kanonische Algebrastruktur. Fasst man
diese Algebra $C^{\ast}$ als Algebra$_{3}$ auf, dann ist $\mu_{C^{\ast}%
}=\Delta^{\ast}\circ\operatorname*{kan}$ und $\eta_{C^{\ast}}=\varepsilon
^{\ast}\circ\operatorname*{kan}^{\prime}.$ Mit anderen Worten: Die
Multiplikationsabbildung dieser Algebra $C^{\ast}$ ist $C^{\ast}\otimes
C^{\ast}\overset{\operatorname*{kan}}{\hookrightarrow}\left(  C\otimes
C\right)  ^{\ast}\overset{\Delta^{\ast}}{\longrightarrow}C^{\ast},$ und ihre
Einsabbildung ist $k\overset{\operatorname*{kan}^{\prime}}{\longrightarrow
}k^{\ast}\overset{\varepsilon^{\ast}}{\longrightarrow}C^{\ast}.$

\textit{Beweis:} F\"{u}r alle $f,g\in C^{\ast}$ ist $\left(  \Delta^{\ast
}\circ\operatorname*{kan}\right)  \left(  f\otimes g\right)  =\left(
x\mapsto\underbrace{f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  g\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\left(  f\ast g\right)  \left(  x\right)
}\right)  =f\ast g=\mu_{C^{\ast}}\left(  f\otimes g\right)  .$ Also ist
$\mu_{C^{\ast}}=\Delta^{\ast}\circ\operatorname*{kan}.$ Da\ss \ $\eta
_{C^{\ast}}=\varepsilon^{\ast}\circ\operatorname*{kan}^{\prime}$ ist, ist klar
(denn $\eta_{C^{\ast}}\left(  1\right)  =1_{C^{\ast}}=\eta_{k}\varepsilon
=\operatorname*{id}_{k}\varepsilon=\varepsilon=\left(  \varepsilon^{\ast}%
\circ\operatorname*{kan}^{\prime}\right)  \left(  1\right)  $).

\textbf{2.6. Satz:} Sei $A$ eine Algebra mit $\dim A<\infty.$ Dann ist ihr
Dualraum $A^{\ast}$ eine Coalgebra, wobei die dazugeh\"{o}rigen Abbildungen
$\Delta:A^{\ast}\rightarrow A^{\ast}\otimes A^{\ast}$ und $\varepsilon
:A^{\ast}\rightarrow k$ wie folgt definiert sind:

Die Abbildung $\Delta:A^{\ast}\rightarrow A^{\ast}\otimes A^{\ast}$ definieren
wir als $\Delta=\operatorname*{kan}^{-1}\circ\mu^{\ast},$ wobei
$\operatorname*{kan}:A^{\ast}\otimes A^{\ast}\rightarrow\left(  A\otimes
A\right)  ^{\ast}$ der gem\"{a}\ss \ Bemerkung 2.5 \textbf{1)} konstruierte
kanonische Isomorphismus ist\footnote{Er ist ein Isomorphismus laut Bemerkung
2.5 \textbf{1) b)}, denn $\dim A<\infty.$}. Das hei\ss t, die Abbildung
$\Delta$ ist so definiert, da\ss \ folgendes Diagramm kommutiert:%
\[
\xymatrix{
A^{\ast} \ar[r]^-{\Delta} \ar[dr]_{\mu^{\ast}} &  A^{\ast}\otimes A^{\ast} \ar[d]^{\operatorname*{kan}} \\
& \left(A\otimes A\right)^{\ast}
}.
\]


Mithilfe summenloser Sweedler-Notation (hier in der Form $\Delta\left(
f\right)  =f_{\left(  1\right)  }\otimes f_{\left(  2\right)  }$) kann man
dies wie folgt umformulieren: F\"{u}r jedes $f\in A^{\ast}$ und alle $x,y\in
A$ gilt: $f_{\left(  1\right)  }\left(  x\right)  f_{\left(  2\right)
}\left(  y\right)  =f\left(  xy\right)  .$

Die Abbildung $\varepsilon:A^{\ast}\rightarrow k$ definiert man durch
$\varepsilon\left(  f\right)  =f\left(  1\right)  $ f\"{u}r jedes $f\in
A^{\ast}.$ (Dies ist \"{a}quivalent zu $\varepsilon=\left(
\operatorname*{kan}^{\prime}\right)  ^{-1}\circ\eta^{\ast},$ wobei
$\operatorname*{kan}^{\prime}:k\rightarrow k^{\ast}$ die kanonische
$k$-lineare Abbildung von $k$ nach $k^{\ast}$ ist.)

\textit{Beweis:} Die Coalgebraaxiome lassen sich unschwer nachpr\"{u}fen.

W\"{a}hrend Folgerung 2.3. eine M\"{o}glichkeit liefert, zu einer Coalgebra
eine "duale" Algebra zu finden, liefert Satz 2.6. die r\"{u}ckw\"{a}rtige
Richtung - allerdings nur f\"{u}r endlichdimensionale Algebren.

\textbf{2.7. Beispiel:} Sei $G$ ein endliches Monoid, und $A=k\left[
G\right]  $ die Monoidalgebra. Die Basis $G$ von $A$ hat im Dualraum $A^{\ast
}$ die duale Basis $\left\{  e_{g}\in A^{\ast}\mid g\in G\right\}  ,$ und
f\"{u}r diese duale Basis gilt%
\[
\Delta\left(  e_{g}\right)  =\sum_{\substack{a,b\in G;\\ab=g}}e_{a}\otimes
e_{b},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(  e_{g}\right)  =\delta_{g,1}%
\]
(wobei $1$ das $1$-Element von $G$ ist).

\textit{Beweis:} F\"{u}r alle $u,v\in G$ gilt $\sum\limits_{\substack{a,b\in
G;\\ab=g}}e_{a}\left(  u\right)  e_{b}\left(  v\right)  =e_{g}\left(
uv\right)  ,$ wie man leicht sieht.

Wir haben in Kapitel 1 das Tensorprodukt zweier Algebren eingef\"{u}hrt; auch
f\"{u}r Coalgebren l\"{a}\ss t sich ein Tensorprodukt definieren:

\textbf{Definition (Tensorprodukt zweier Coalgebren):} Seien $C$ und $D$ zwei
Coalgebren. Dann ist das \textit{Tensorprodukt} $C\otimes D$ der Coalgebren
$C$ und $D$ definiert als der $k$-Modul $C\otimes D,$ ausgestattet mit den
linearen Abbildungen $\Delta:C\otimes D\rightarrow\left(  C\otimes D\right)
\otimes\left(  C\otimes D\right)  $ und $\varepsilon:C\otimes D\rightarrow k,$
die mit summenloser Sweedler-Notation wie folgt definiert sind:%
\[
\Delta\left(  c\otimes d\right)  =c_{\left(  1\right)  }\otimes d_{\left(
1\right)  }\otimes c_{\left(  2\right)  }\otimes d_{\left(  2\right)
};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(  c\otimes d\right)  =\varepsilon
\left(  c\right)  \varepsilon\left(  d\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }c\in C\text{ und }d\in D.
\]


\textit{Bemerkung:} Man kann diese Definition auch folgenderma\ss en umformulieren:

Seien $C$ und $D$ zwei Coalgebren. Dann ist das \textit{Tensorprodukt}
$C\otimes D$ der Coalgebren $C$ und $D$ definiert als der $k$-Modul $C\otimes
D,$ ausgestattet mit den linearen Abbildungen $\Delta_{C\otimes D}:C\otimes
D\rightarrow\left(  C\otimes D\right)  \otimes\left(  C\otimes D\right)  $ und
$\varepsilon_{C\otimes D}:C\otimes D\rightarrow k,$ welche so definiert sind,
da\ss \ die Diagramme%
\begin{align*}
&
\xymatrixcolsep{6pc}\xymatrix{ C\otimes D \ar[r]^-{\Delta\otimes\Delta} \ar[rrd]_-{\Delta_{C\otimes D}} & C\otimes C\otimes D\otimes D \ar[r]^-{\operatorname*{id}\otimes\tau\otimes\operatorname*{id}}_-{\cong} & C\otimes D\otimes C\otimes D \ar[d]^{=} \\ & & \left(C\otimes D\right)\otimes\left(C\otimes D\right) }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xymatrixcolsep{6pc}\xymatrix{ C\otimes D \ar[rd]_-{\varepsilon_{C\otimes D}} \ar[r]^{\varepsilon\otimes \varepsilon} & k\otimes k\ar[d]^-{\mathrm{kan}}_{\cong} \\ & k }
\end{align*}
kommutativ sind, wobei die lineare Abbildung $\tau:C\otimes D\rightarrow
D\otimes C$ durch $\tau\left(  c\otimes d\right)  =d\otimes c$ f\"{u}r alle
$c\in C$ und $d\in D$ definiert ist, und die lineare Abbildung
$\operatorname*{kan}:k\otimes k\rightarrow k$ durch $\operatorname*{kan}%
\left(  1\otimes1\right)  =1$ definiert ist.

In dieser Form ist die Definition des Tensorproduktes zweier Coalgebren sehr
\"{a}hnlich zu der im Beweis von Proposition 1.11 gegebenen Definition des
Tensorproduktes zweier Algebren (es sind einmal wieder alle Pfeile umgedreht worden).

\textbf{2.8. Folgerung:} Es gibt quasiinverse \"{A}quivalenzen zwischen den
Kategorien%
\[
\left\{  C\ \mid\ C\text{ endlichdimensionale Coalgebra}\right\}
^{\operatorname*{op}}\rightleftarrows\left\{  A\text{\ }\mid\text{\ }A\text{
endlichdimensionale Algebra}\right\}  ,
\]
gegeben durch $C\mapsto C^{\ast}$ (von links nach rechts) und $A\mapsto
A^{\ast}$ (von rechts nach links). Diese \"{A}quivalenzen erhalten das
Tensorprodukt $\otimes.$

\textit{Beweis:} F\"{u}r jede endlichdimensionale Coalgebra $C$ existiert ein
kanonischer Isomorphismus $\operatorname*{kan}_{\operatorname*{Coalg}%
}:C\rightarrow C^{\ast\ast},$ definiert durch
\[
\operatorname*{kan}\nolimits_{\operatorname*{Coalg}}\left(  x\right)  =\left(
f\mapsto f\left(  x\right)  \right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes
}x\in C.
\]


F\"{u}r jede endlichdimensionale Algebra $A$ existiert ein kanonischer
Isomorphismus $\operatorname*{kan}_{\operatorname*{Alg}}:A\rightarrow
A^{\ast\ast},$ definiert durch%
\[
\operatorname*{kan}\nolimits_{\operatorname*{Alg}}\left(  x\right)  =\left(
f\mapsto f\left(  x\right)  \right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes
}x\in A.
\]


Au\ss erdem gibt es nach Bemerkung 2.5 \textbf{1)} \textbf{b)} einen
kanonischen Isomorphismus $X^{\ast}\otimes Y^{\ast}\cong\left(  X\otimes
Y\right)  ^{\ast}$ f\"{u}r beliebige endlichdimensionale Vektorr\"{a}ume $X$
und $Y$. Wenn $X$ und $Y$ Algebren sind, ist dieser Isomorphismus ein
Coalgebrahomomorphismus; wenn $X$ und $Y$ Coalgebren sind, ist er ein Algebrahomomorphismus.

\bigskip

\fbox{\textbf{Gruppen\"{a}hnliche und primitive Elemente}}

\textbf{Definition:} Sei $C$ eine Coalgebra.

\textbf{1)} Ein Element $g\in C$ hei\ss t \textit{gruppen\"{a}hnlich} oder
\textit{Gruppenelement}, wenn $\Delta\left(  g\right)  =g\otimes g$ und
$\varepsilon\left(  g\right)  =1$ ist.

\textbf{2)} Wir setzen $G\left(  C\right)  =\left\{  g\in C\ \mid\ g\text{ ist
gruppen\"{a}hnlich}\right\}  .$

\textbf{3)} Sei $x\in C$ und seien $g,h\in G\left(  C\right)  .$ Das Element
$x$ hei\ss t $\left(  g,h\right)  $\textit{-primitiv} oder $\left(
g,h\right)  $\textit{-schiefprimitiv}, wenn $\Delta\left(  x\right)  =g\otimes
x+x\otimes h$ ist.

\textbf{Bemerkung:} Sei $C$ eine Coalgebra.

\textbf{1)} Sei $g\in C$ mit $\Delta\left(  g\right)  =g\otimes g.$ Dann gilt
$\varepsilon\left(  g\right)  =1$ genau dann, wenn $\varepsilon\left(
g\right)  \neq0$ ist.

\textbf{2)} Seien $g,h\in G\left(  C\right)  ,$ und sei $x$ ein $\left(
g,h\right)  $-primitives Element. Dann ist $\varepsilon\left(  x\right)  =0.$

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Es ist $g\otimes g=\Delta\left(  g\right)  $,
also $\varepsilon\left(  g\right)  g=g$ (nach (2.2)), also $\varepsilon\left(
\varepsilon\left(  g\right)  g\right)  =\varepsilon\left(  g\right)  ,$ also
$\varepsilon\left(  g\right)  \cdot\varepsilon\left(  g\right)  =\varepsilon
\left(  g\right)  $ (denn $\varepsilon$ ist linear) und damit $\varepsilon
\left(  g\right)  \in\left\{  0,1\right\}  .$

\textbf{2)} Nach (2.2) ist $1\otimes x=\left(  \varepsilon\otimes
\operatorname*{id}\right)  \left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  =\left(
\varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  g\otimes x+x\otimes
h\right)  =\underbrace{\varepsilon\left(  g\right)  }_{=1}\otimes
x+\varepsilon\left(  x\right)  \otimes h,$ also $\varepsilon\left(  x\right)
\otimes h=0,$ also $\varepsilon\left(  x\right)  =0$ (denn $h\neq0,$ weil
sonst $\varepsilon\left(  h\right)  $ nicht $1$ w\"{a}re).

\textbf{2.9. Satz:} Sei $C$ eine Coalgebra. Dann ist die Menge $G\left(
C\right)  $ linear unabh\"{a}ngig.

\textit{Beweis:} Angenommen, $G\left(  C\right)  $ sei linear abh\"{a}ngig.
Dann gibt es Koeffizienten $\alpha_{1},$ $\alpha_{2},$ $...,$ $\alpha_{n}$ aus
$k\setminus\left\{  0\right\}  $ und paarweise verschiedene Gruppenelemente
$g_{1},$ $g_{2},$ $...,$ $g_{n}$ aus $G\left(  C\right)  $ mit $\sum
\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i}g_{i}=0,$ und mit $n$ minimal.

Offensichtlich mu\ss \ dabei $n\geq2$ gelten (denn $0\notin G\left(  C\right)
$). Dann k\"{o}nnen wir $g_{1}=\sum\limits_{i=2}^{n}\beta_{i}g_{i}$ schreiben,
wobei $\beta_{i}=-\dfrac{\alpha_{i}}{\alpha_{1}}$ f\"{u}r alle $i\in\left\{
2,3,...,n\right\}  $ ist. Anwendung von $\Delta$ ergibt%
\begin{align*}
&  \Delta\left(  g_{1}\right)  =\sum\limits_{i=2}^{n}\beta_{i}\Delta\left(
g_{i}\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{also}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g_{1}\otimes
g_{1}=\sum\limits_{i=2}^{n}\beta_{i}g_{i}\otimes g_{i}%
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{also}\\
&  \left(  \sum\limits_{i=2}^{n}\beta_{i}g_{i}\right)  \otimes\left(
\sum\limits_{i=2}^{n}\beta_{i}g_{i}\right)  =\sum\limits_{i=2}^{n}\beta
_{i}g_{i}\otimes g_{i},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{also}\\
&  \sum_{2\leq i,j\leq n}\beta_{i}\beta_{j}g_{i}\otimes g_{j}=\sum
\limits_{i=2}^{n}\beta_{i}g_{i}\otimes g_{i}.
\end{align*}
Wegen der Minimalit\"{a}t von $n$ sind aber die Vektoren $g_{2},$ $g_{3},$
$...,$ $g_{n}$ linear unabh\"{a}ngig, und somit ist $\left\{  g_{i}\otimes
g_{j}\mid2\leq i,j\leq n\right\}  $ eine linear unabh\"{a}ngige Teilmenge von
$C\otimes C.$ Aus obiger Gleichung folgt also schnell, da\ss \ $\beta_{i}%
\beta_{j}=0$ f\"{u}r alle $i,j\in\left\{  2,3,...,n\right\}  $ mit $i\neq j$
gilt\footnote{\textit{Beweis:} F\"{u}r jedes $i\in\left\{  2,3,...,n\right\}
$ sind alle Summanden der Summe $\sum\limits_{j=2}^{n}\delta_{i,j}\beta
_{i}g_{i}\otimes g_{j}$ gleich Null bis auf h\"{o}chstens den Summanden
f\"{u}r $j=i$ (denn f\"{u}r alle $j\neq i$ gilt $\underbrace{\delta_{i,j}%
}_{=0}\beta_{i}g_{i}\otimes g_{j}=0$). F\"{u}r jedes $i\in\left\{
2,3,...,n\right\}  $ vereinfacht sich also die Summe $\sum\limits_{j=2}%
^{n}\delta_{i,j}\beta_{i}g_{i}\otimes g_{j}$ zu $\delta_{i,i}\beta_{i}%
g_{i}\otimes g_{i}$. Wir haben damit $\sum\limits_{j=2}^{n}\delta_{i,j}%
\beta_{i}g_{i}\otimes g_{j}=\underbrace{\delta_{i,i}}_{=1}\beta_{i}%
g_{i}\otimes g_{i}=\beta_{i}g_{i}\otimes g_{i}$ f\"{u}r jedes $i\in\left\{
2,3,...,n\right\}  $. Nun ist
\[
\sum\limits_{2\leq i,j\leq n}\delta_{i,j}\beta_{i}g_{i}\otimes g_{j}%
=\sum_{i=2}^{n}\underbrace{\sum\limits_{j=2}^{n}\delta_{i,j}\beta_{i}%
g_{i}\otimes g_{j}}_{\substack{=\beta_{i}g_{i}\otimes g_{i}}}=\sum_{i=2}%
^{n}\beta_{i}g_{i}\otimes g_{i}.
\]
Somit ist%
\[
\sum\limits_{2\leq i,j\leq n}\left(  \beta_{i}\beta_{j}-\delta_{i,j}\beta
_{i}\right)  g_{i}\otimes g_{j}=\underbrace{\sum\limits_{2\leq i,j\leq n}%
\beta_{i}\beta_{j}g_{i}\otimes g_{j}}_{=\sum\limits_{i=2}^{n}\beta_{i}%
g_{i}\otimes g_{i}}-\underbrace{\sum\limits_{2\leq i,j\leq n}\delta_{i,j}%
\beta_{i}g_{i}\otimes g_{j}}_{=\sum\limits_{i=2}^{n}\beta_{i}g_{i}\otimes
g_{i}}=\sum\limits_{i=2}^{n}\beta_{i}g_{i}\otimes g_{i}-\sum\limits_{i=2}%
^{n}\beta_{i}g_{i}\otimes g_{i}=0.
\]
Da $\left\{  g_{i}\otimes g_{j}\mid2\leq i,j\leq n\right\}  $ eine linear
unabh\"{a}ngige Teilmenge von $C\otimes C$ ist, folgt hieraus, da\ss \ $\beta
_{i}\beta_{j}-\delta_{i,j}\beta_{i}=0$ f\"{u}r alle $i,j\in\left\{
2,3,...,n\right\}  $ gilt. F\"{u}r alle $i,j\in\left\{  2,3,...,n\right\}  $
mit $i\neq j$ mu\ss \ daher $\beta_{i}\beta_{j}=0$ gelten (denn wegen $i\neq
j$ ist $\delta_{i,j}=0$ und somit $\beta_{i}\beta_{j}-\underbrace{\delta
_{i,j}}_{=0}\beta_{i}=\beta_{i}\beta_{j}$, also $\beta_{i}\beta_{j}=\beta
_{i}\beta_{j}-\delta_{i,j}\beta_{i}=0$).}. Doch da alle $\beta_{i}$ von $0$
verschieden sind (denn alle $\alpha_{i}$ sind von $0$ verschieden), kann dies
nur f\"{u}r $n=2$ gelten. Also wird $g_{1}=\sum\limits_{i=2}^{n}\beta_{i}%
g_{i}$ zu $g_{1}=\beta_{2}g_{2}.$ Anwendung von $\varepsilon$ ergibt
$\underbrace{\varepsilon\left(  g_{1}\right)  }_{=1}=\beta_{2}%
\underbrace{\varepsilon\left(  g_{2}\right)  }_{=1},$ also $\beta_{2}=1.$ Also
wird $g_{1}=\beta_{2}g_{2}$ zu $g_{1}=g_{2},$ im Widerspruch zur paarweisen
Verschiedenheit der $g_{i}.$

\textbf{Definition:} Sei $C$ eine Coalgebra, und $I\subseteq C$ ein
Untervektorraum. Dann hei\ss t $I$ ein \textit{Coideal} von $C,$ wenn
$\Delta\left(  I\right)  \subseteq I\otimes C+C\otimes I$ und $\varepsilon
\left(  I\right)  =0$ ist.

Bei dieser Definition wird (wie stets) das Tensorprodukt von
Untervektorr\"{a}umen mit einem Untervektorraum des Tensorproduktes
identifiziert. Das hei\ss t, wenn $X$ und $Y$ Vektorr\"{a}ume sind und
$U\subseteq X$ und $V\subseteq Y$ Untervektorr\"{a}ume sind, dann betrachten
wir die Tensorprodukte $U\otimes Y$ und $X\otimes V$ als Untervektorr\"{a}ume
von $X\otimes Y$ (da die kanonischen Inklusionen $U\otimes Y\rightarrow
X\otimes Y$ und $X\otimes V\rightarrow X\otimes Y$ injektiv sind).

\textbf{2.10. Bemerkung:} Viele Eigenschaften von Coidealen in Coalgebren sind
Analoga bekannter Eigenschaften von Idealen in Algebren. So kann man eine
Faktorcoalgebra einer Coalgebra bilden, indem man sie durch ein Coideal
teilt\footnote{siehe Bemerkung 2.10 \textbf{2)} weiter unten} (genauso wie man
eine Faktoralgebra einer Algebra bilden kann, indem man sie durch ein Ideal
teilt), und der Kern eines Coalgebrahomomorphismus ist ein
Coideal\footnote{siehe Bemerkung 2.10 \textbf{3)} weiter unten} (genauso wie
der Kern eines Algebrahomomorphismus ein Ideal ist).

\textbf{0)} \textit{Achtung:} Diese Analogie gilt aber nicht unbeschr\"{a}nkt!
So sind f\"{u}r eine Algebra $A$ sowohl $0$, als auch $A$ Ideale von $A$ -
aber f\"{u}r eine Coalgebra $C$ ist $C$ selber kein Coideal von $C$ ! Auch die
Schnittmenge zweier Coideale einer Coalgebra ist nicht immer ein Coideal,
obwohl die Schnittmenge zweier Ideale einer Algebra immer ein Ideal ist.

\textbf{1)} Sind $C$ und $D$ zwei Coalgebren, und ist $\varphi:C\rightarrow D$
ein Coalgebrahomomorphismus, dann ist $\operatorname{Im}\varphi$ eine
Untercoalgebra von $D$. In dieser Situation ist die Abbildung $\varphi
^{\prime}:C\rightarrow\operatorname{Im}\varphi$, die durch%
\[
\varphi^{\prime}\left(  c\right)  =\varphi\left(  c\right)  \text{ f\"{u}r
alle }c\in C
\]
definiert wird (diese Abbildung unterscheidet sich von $\varphi$ nur in der
Zielmenge!), ein Coalgebrahomomorphismus.

\textit{Beweis:} F\"{u}r jedes $d\in\operatorname{Im}\varphi$ gilt
$\Delta\left(  d\right)  \in\left(  \operatorname{Im}\varphi\right)
\otimes\left(  \operatorname{Im}\varphi\right)  $ (denn da $d\in
\operatorname{Im}\varphi$ gilt, existiert ein $c\in C$ mit $d=\varphi\left(
c\right)  $, und f\"{u}r dieses $c$ gilt dann%
\begin{align*}
\Delta\left(  d\right)   &  =\Delta\left(  \varphi\left(  c\right)  \right)
=\left(  \varphi\otimes\varphi\right)  \left(  \underbrace{\Delta\left(
c\right)  }_{\in C\otimes C}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn
}\varphi\text{ ist ein Coalgebrahomomorphismus}\right) \\
&  \in\left(  \varphi\otimes\varphi\right)  \left(  C\otimes C\right)
=\underbrace{\varphi\left(  C\right)  }_{=\operatorname{Im}\varphi}%
\otimes\underbrace{\varphi\left(  C\right)  }_{=\operatorname{Im}\varphi
}=\left(  \operatorname{Im}\varphi\right)  \otimes\left(  \operatorname{Im}%
\varphi\right)
\end{align*}
). Das hei\ss t, $\Delta\left(  \operatorname{Im}\varphi\right)
\subseteq\left(  \operatorname{Im}\varphi\right)  \otimes\left(
\operatorname{Im}\varphi\right)  $. Somit ist $\operatorname{Im}\varphi$ eine
Untercoalgebra von $D$. Da\ss \ $\varphi^{\prime}$ ein Coalgebrahomomorphismus
ist, ist trivial.

\textbf{2)} Ist $C$ eine Coalgebra, und $I\subseteq C$ ein Coideal, dann ist
der Quotientenvektorraum $C\diagup I$ eine Coalgebra, wobei die Abbildung
$\Delta_{C\diagup I}:C\diagup I\rightarrow\left(  C\diagup I\right)
\otimes\left(  C\diagup I\right)  $ gegeben ist durch $\Delta_{C\diagup
I}\left(  \overline{c}\right)  =\overline{c_{\left(  1\right)  }}%
\otimes\overline{c_{\left(  2\right)  }}$ f\"{u}r alle $c\in C,$ und die
Abbildung $\varepsilon_{C\diagup I}:C\diagup I\rightarrow k$ gegeben ist durch
$\varepsilon_{C\diagup I}\left(  \overline{c}\right)  =\varepsilon\left(
c\right)  $ f\"{u}r alle $c\in C.$

\textit{Beweis:} Wir wollen zuerst beweisen, da\ss \ die Comultiplikation
$\Delta_{C\diagup I}$ auf $C\diagup I$ wohldefiniert ist. In der Tat haben wir
die Comultiplikation $\Delta_{C\diagup I}$ durch die Regel $\left(
\Delta_{C\diagup I}\left(  \overline{c}\right)  =\overline{c_{\left(
1\right)  }}\otimes\overline{c_{\left(  2\right)  }}\text{ f\"{u}r alle }c\in
C\right)  $ definiert; das hei\ss t, f\"{u}r jedes $u\in C\diagup I$ haben wir
das Element $\Delta_{C\diagup I}\left(  u\right)  \in\left(  C\diagup
I\right)  \otimes\left(  C\diagup I\right)  $ definiert als $\Delta_{C\diagup
I}\left(  u\right)  =\overline{c_{\left(  1\right)  }}\otimes\overline
{c_{\left(  2\right)  }}$, wobei $c\in C$ ein Repr\"{a}sentant der Restklasse
$u$ ist. Um zu beweisen, da\ss \ dies wohldefiniert ist, m\"{u}ssen wir
zeigen, da\ss \ der Wert von $\overline{c_{\left(  1\right)  }}\otimes
\overline{c_{\left(  2\right)  }}$ nicht von der Wahl des Repr\"{a}sentanten
$c$ abh\"{a}ngt (sondern h\"{o}chstens von $u$). Dazu seien $y\in C$ und $z\in
C$ zwei Repr\"{a}sentanten der Restklasse $u$. Dann ist $y\equiv
z\operatorname{mod}I$ und damit $y-z\in I$. Sei $t=y-z$. Dann ist $t=y-z\in I$
und $y=\left(  y-z\right)  +z=t+z$. Nun ist%
\begin{align*}
\underbrace{y_{\left(  1\right)  }\otimes y_{\left(  2\right)  }%
}_{\substack{=\Delta\left(  y\right)  =\Delta\left(  t+z\right)
\\=\Delta\left(  t\right)  +\Delta\left(  z\right)  }}-\underbrace{z_{\left(
1\right)  }\otimes z_{\left(  2\right)  }}_{=\Delta\left(  z\right)  }  &
=\Delta\left(  \underbrace{t}_{\in I}\right)  \in\Delta\left(  I\right)
\subseteq I\otimes C+C\otimes I\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }I\text{ ist ein Coideal von
}C\right)  .
\end{align*}
Bezeichnen wir mit $\pi$ die kanonische Projektion $C\rightarrow C\diagup I$,
dann folgt hieraus%
\begin{align*}
\left(  \pi\otimes\pi\right)  \left(  y_{\left(  1\right)  }\otimes y_{\left(
2\right)  }-z_{\left(  1\right)  }\otimes z_{\left(  2\right)  }\right)   &
\in\left(  \pi\otimes\pi\right)  \left(  I\otimes C+C\otimes I\right) \\
&  =\underbrace{\pi\left(  I\right)  }_{=0}\otimes\pi\left(  C\right)
+\pi\left(  C\right)  \otimes\underbrace{\pi\left(  I\right)  }_{=0}=0,
\end{align*}
also $\left(  \pi\otimes\pi\right)  \left(  y_{\left(  1\right)  }\otimes
y_{\left(  2\right)  }-z_{\left(  1\right)  }\otimes z_{\left(  2\right)
}\right)  =0$ und damit $\left(  \pi\otimes\pi\right)  \left(  y_{\left(
1\right)  }\otimes y_{\left(  2\right)  }\right)  =\left(  \pi\otimes
\pi\right)  \left(  z_{\left(  1\right)  }\otimes z_{\left(  2\right)
}\right)  $ (denn $\pi\otimes\pi$ ist linear). Doch wegen $\left(  \pi
\otimes\pi\right)  \left(  y_{\left(  1\right)  }\otimes y_{\left(  2\right)
}\right)  =\overline{y_{\left(  1\right)  }}\otimes\overline{y_{\left(
2\right)  }}$ und $\left(  \pi\otimes\pi\right)  \left(  z_{\left(  1\right)
}\otimes z_{\left(  2\right)  }\right)  =\overline{z_{\left(  1\right)  }%
}\otimes\overline{z_{\left(  2\right)  }}$ wird dies zu $\overline{y_{\left(
1\right)  }}\otimes\overline{y_{\left(  2\right)  }}=\overline{z_{\left(
1\right)  }}\otimes\overline{z_{\left(  2\right)  }}$.

Wir haben also gezeigt, da\ss \ $\overline{y_{\left(  1\right)  }}%
\otimes\overline{y_{\left(  2\right)  }}=\overline{z_{\left(  1\right)  }%
}\otimes\overline{z_{\left(  2\right)  }}$ f\"{u}r je zwei Repr\"{a}sentanten
$y\in C$ und $z\in C$ der Restklasse $u$ gilt. Daher h\"{a}ngt der Wert von
$\overline{c_{\left(  1\right)  }}\otimes\overline{c_{\left(  2\right)  }}$
nicht von der Wahl des Repr\"{a}sentanten $c$ ab, und somit ist die
Comultiplikation $\Delta_{C\diagup I}$ wohldefiniert. Der Beweis, da\ss \ die
Coeins $\varepsilon_{C\diagup I}$ wohldefiniert ist, verl\"{a}uft \"{a}hnlich
(aber noch einfacher), wobei man hier $\varepsilon\left(  I\right)  =0$
verwenden mu\ss . Um zu beweisen, da\ss \ $C\diagup I$ mit diesen beiden
Abbildungen $\Delta_{C\diagup I}$ und $\varepsilon_{C\diagup I}$ eine
Coalgebra ist, m\"{u}ssen wir jetzt noch zeigen, da\ss \ die Abbildung
$\Delta_{C\diagup I}$ coassoziativ und counit\"{a}r bez\"{u}glich
$\varepsilon_{C\diagup I}$ ist. Dies folgt aber sehr schnell aus den
Definitionen von $\Delta_{C\diagup I}$ und $\varepsilon_{C\diagup I}$ und aus
der Annahme, da\ss \ $C$ eine Coalgebra ist. Damit ist der Beweis vollst\"{a}ndig.

\textbf{3)} Umgekehrt: Sind $C$ und $D$ zwei Coalgebren, und ist
$\varphi:C\rightarrow D$ ein Coalgebrahomomorphismus, dann ist
$\operatorname*{Ker}\varphi$ ein Coideal in $C.$ Bezeichnet $\pi:C\rightarrow
C\diagup\left(  \operatorname*{Ker}\varphi\right)  $ die kanonische
Projektion, und betrachten wir $C\diagup\left(  \operatorname*{Ker}%
\varphi\right)  $ als Coalgebra nach Bemerkung \textbf{2)}, dann ist der
Vektorraumhomomorphismus $\varphi^{\prime}:C\diagup\left(  \operatorname*{Ker}%
\varphi\right)  \rightarrow\operatorname{Im}\varphi,$ f\"{u}r den das Diagramm%
\[
\xymatrix{
C \ar[r]^{\varphi} \ar[d]_{\pi} & \operatorname*{Im}\varphi \\
C \diagup \left(\operatorname*{Ker}\varphi\right) \ar[ur]_{\varphi^{\prime}}&
}
\]
kommutiert, ein Coalgebrahomomorphismus.

\textit{Beweis:}\footnote{Dies war Gegenstand von Aufgabe 1 auf
\"{U}bungsblatt 4.} F\"{u}r jedes $x\in\operatorname*{Ker}\varphi$ ist
$\varphi\left(  x\right)  =0,$ also $\left(  \varphi\otimes\varphi\right)
\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  =0$ (denn $\varphi$ ist ein
Coalgebrahomomorphismus, also $\left(  \varphi\otimes\varphi\right)  \left(
\Delta\left(  x\right)  \right)  =\Delta\left(  \varphi\left(  x\right)
\right)  $). Damit ist $\Delta\left(  x\right)  \in\operatorname*{Ker}\left(
\varphi\otimes\varphi\right)  $ f\"{u}r jedes $x\in\operatorname*{Ker}\varphi
$. Doch $\operatorname*{Ker}\left(  \varphi\otimes\varphi\right)
=\operatorname*{Ker}\varphi\otimes C+C\otimes\operatorname*{Ker}\varphi$ (dies
folgt aus Lemma 5.1 \textbf{(a)} in Kapitel II, angewandt auf $C$, $C$, $D$,
$D$, $\varphi$ und $\varphi$ statt $V$, $W$, $V^{\prime}$, $W^{\prime}$,
$\phi$ bzw. $\psi$). Daher ist $\Delta\left(  x\right)  \in\operatorname*{Ker}%
\varphi\otimes C+C\otimes\operatorname*{Ker}\varphi$ f\"{u}r jedes
$x\in\operatorname*{Ker}\varphi$. Mit anderen Worten: $\Delta\left(
\operatorname*{Ker}\varphi\right)  \subseteq\operatorname*{Ker}\varphi\otimes
C+C\otimes\operatorname*{Ker}\varphi$. Andererseits ist $\varepsilon\left(
\operatorname*{Ker}\varphi\right)  =0$ (denn da $\varphi$ ein
Coalgebrahomomorphismus ist, gilt $\varepsilon=\varepsilon\circ\varphi$ und
daher $\varepsilon\left(  \operatorname*{Ker}\varphi\right)  =\left(
\varepsilon\circ\varphi\right)  \left(  \operatorname*{Ker}\varphi\right)
=0$). Aus $\Delta\left(  \operatorname*{Ker}\varphi\right)  \subseteq
\operatorname*{Ker}\varphi\otimes C+C\otimes\operatorname*{Ker}\varphi$ und
$\varepsilon\left(  \operatorname*{Ker}\varphi\right)  =0$ folgt,
da\ss \ $\operatorname*{Ker}\varphi$ ein Coideal ist. Nach Bemerkung
\textbf{2)} ist also $C\diagup\left(  \operatorname*{Ker}\varphi\right)  $
eine Coalgebra. Da\ss \ $\varphi^{\prime}$ ein Coalgebrahomomorphismus ist,
ist straightforward.

\textbf{2.10}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{.
Bemerkung:\footnote{Dies ist ein Einschub von mir (Darij Grinberg).}}
\textbf{1)} Ein Lemma im Voraus: Sei $C$ ein endlichdimensionaler Vektorraum,
und sei $u$ ein Element von $C\otimes C.$ Genau dann gilt f\"{u}r alle
$f,f^{\prime}\in C^{\ast}$ die Gleichung $\left(  \mu\circ\left(  f\otimes
f^{\prime}\right)  \right)  \left(  u\right)  =0,$ wenn $u=0$ ist.

\textit{Beweis:} Aus $u=0$ folgt trivialerweise $\left(  \mu\circ\left(
f\otimes f^{\prime}\right)  \right)  \left(  u\right)  =0$ f\"{u}r alle
$f,f^{\prime}\in C^{\ast}.$ Die umgekehrte Richtung werden wir nun mithilfe
der Annahme $\dim C<\infty$ beweisen\footnote{obwohl sie auch ohne diese
Annahme gelten w\"{u}rde}: In der Tat sei $\left(  e_{1},e_{2},...,e_{n}%
\right)  $ eine Basis von $C,$ und $\left(  e_{1}^{\ast},e_{2}^{\ast
},...,e_{n}^{\ast}\right)  $ die zu ihr duale Basis von $C^{\ast}.$ Da
$\left(  \mu\circ\left(  f\otimes f^{\prime}\right)  \right)  \left(
u\right)  =0$ f\"{u}r alle $f,f^{\prime}\in C^{\ast}$ gilt, ist dann
insbesondere $\left(  \mu\circ\left(  e_{i}^{\ast}\otimes e_{j}^{\ast}\right)
\right)  \left(  u\right)  =0$ f\"{u}r alle $i$ und $j.$ Doch wenn wir
$u=\sum\limits_{k,l}\alpha_{k,l}e_{k}\otimes e_{l}$ schreiben, dann ist
$\left(  \mu\circ\left(  e_{i}^{\ast}\otimes e_{j}^{\ast}\right)  \right)
\left(  u\right)  =\alpha_{i,j};$ somit ist $\alpha_{i,j}=0$ f\"{u}r alle $i$
und $j,$ also $u=0,$ was zu beweisen war.

\textbf{2)} Sei $C$ eine endlichdimensionale Coalgebra. Die nat\"{u}rliche
Abbildung $\operatorname*{kan}:C\rightarrow C^{\ast\ast}$ (gegeben durch
$\operatorname*{kan}\left(  c\right)  =\left(  f\mapsto f\left(  c\right)
\right)  \in C^{\ast\ast}$ f\"{u}r alle $c\in C$) ist dann ein Isomorphismus.
Somit ist $\operatorname*{kan}\mid_{G\left(  C\right)  }$ injektiv, und
$\operatorname*{kan}\left(  G\left(  C\right)  \right)  =\operatorname*{Alg}%
\left(  C^{\ast},k\right)  $ (wobei $\operatorname*{Alg}\left(  C^{\ast
},k\right)  \subseteq C^{\ast\ast}$ ist, denn $\operatorname*{Alg}\left(
C^{\ast},k\right)  \subseteq\operatorname*{Hom}\left(  C^{\ast},k\right)
=C^{\ast\ast}$). Die Restriktion $\operatorname*{kan}\mid_{G\left(  C\right)
}$ induziert also eine Bijektion $G\left(  C\right)  \rightarrow
\operatorname*{Alg}\left(  C^{\ast},k\right)  .$\ \ \ \ \footnote{Dies war die
Aussage von Aufgabe 3 auf dem \"{U}bungsblatt 3.}

\textit{Beweis:} Da\ss \ $\operatorname*{kan}\mid_{G\left(  C\right)  }$
injektiv ist, ist klar (denn $\operatorname*{kan}$ ist injektiv). Wir
m\"{u}ssen also nur noch $\operatorname*{kan}\left(  G\left(  C\right)
\right)  =\operatorname*{Alg}\left(  C^{\ast},k\right)  $ zeigen. F\"{u}r
jedes $c\in C$ gilt folgende \"{A}quivalenz von Aussagen:%
\begin{align*}
&  \ \left(  \operatorname*{kan}\left(  c\right)  \in\operatorname*{Alg}%
\left(  C^{\ast},k\right)  \right)  \ \Longleftrightarrow\ \left(  \left(
f\mapsto f\left(  c\right)  \right)  \in\operatorname*{Alg}\left(  C^{\ast
},k\right)  \right) \\
\  &  \Longleftrightarrow\ \left(  \text{f\"{u}r alle }f,f^{\prime}\in
C^{\ast}\text{ ist }\left(  f\ast f^{\prime}\right)  \left(  c\right)
=f\left(  c\right)  f^{\prime}\left(  c\right)  ,\text{ und }\eta
\varepsilon\left(  c\right)  =1\right) \\
\  &  \Longleftrightarrow\ \left(  \text{f\"{u}r alle }f,f^{\prime}\in
C^{\ast}\text{ ist }\left(  \mu\circ\left(  f\otimes f^{\prime}\right)
\right)  \left(  \Delta\left(  c\right)  \right)  =\left(  \mu\circ\left(
f\otimes f^{\prime}\right)  \right)  \left(  c\otimes c\right)  ,\text{ und
}\varepsilon\left(  c\right)  =1\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\left(  f\ast f^{\prime}\right)  \left(  c\right)  =\left(
\mu\circ\left(  f\otimes f^{\prime}\right)  \right)  \left(  \Delta\left(
c\right)  \right)  \text{ nach Definition von }\Delta,\\
\text{ferner }f\left(  c\right)  f^{\prime}\left(  c\right)  =\left(  \mu
\circ\left(  f\otimes f^{\prime}\right)  \right)  \left(  c\otimes c\right)
\text{ nach Definition von}\\
\mu,\text{ und }\eta\varepsilon=\varepsilon\text{ weil }\eta:k\rightarrow
k\text{ die Identit\"{a}t ist}%
\end{array}
\right) \\
\  &  \Longleftrightarrow\ \left(  \text{f\"{u}r alle }f,f^{\prime}\in
C^{\ast}\text{ ist }\left(  \mu\circ\left(  f\otimes f^{\prime}\right)
\right)  \left(  \Delta\left(  c\right)  -c\otimes c\right)  =0,\text{ und
}\varepsilon\left(  c\right)  =1\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\mu\circ\left(  f\otimes f^{\prime
}\right)  \text{ ist }k\text{-linear}\right) \\
\  &  \Longleftrightarrow\ \left(  \Delta\left(  c\right)  -c\otimes
c=0,\text{ und }\varepsilon\left(  c\right)  =1\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach Bemerkung 2.10}\dfrac{\text{1}%
}{\text{2}}\text{ \textbf{1)}}\right) \\
\  &  \Longleftrightarrow\ \left(  \Delta\left(  c\right)  =c\otimes c\text{
und }\varepsilon\left(  c\right)  =1\right)  \ \Longleftrightarrow\ \left(
c\in G\left(  C\right)  \right)  ,
\end{align*}
also $\operatorname*{kan}^{-1}\left(  \operatorname*{Alg}\left(  C^{\ast
},k\right)  \right)  =G\left(  C\right)  .$ Da $\operatorname*{kan}$ bijektiv
ist, ist also $\operatorname*{kan}\left(  G\left(  C\right)  \right)
=\operatorname*{Alg}\left(  C^{\ast},k\right)  ,$ was zu beweisen war.

\textbf{3)} Mithilfe von Bemerkung 2.10$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$
\textbf{2)} ist Bemerkung 2.9. zumindest f\"{u}r endlichdimensionales $C$
\"{a}quivalent zu folgender Aussage:

Sei $C$ eine Coalgebra. Dann ist die Menge $\operatorname*{Alg}\left(
C^{\ast},k\right)  $ linear unabh\"{a}ngig.

Diese Aussage folgt aber aus der Tatsache, da\ss \ die Menge aller
Monoidhomomorphismen von einem Monoid in die multiplikative Gruppe eines
K\"{o}rpers stets linear unabh\"{a}ngig ist (in unserem Fall ist das Monoid
einfach das multiplikative Monoid von $C^{\ast},$ denn $C^{\ast}$ ist eine
Algebra). Diese Tatsache wiederum ist eine Verallgemeinerung des bekannten
Satzes von Dedekind (da\ss \ die Charaktere einer Gruppe stets linear
unabh\"{a}ngig sind) und l\"{a}\ss t sich genauso beweisen wie dieser Satz von
Dedekind. Somit haben wir einen alternativen Beweis f\"{u}r Bemerkung 2.9. in
dem Fall $\dim C<\infty$ erhalten.

\textbf{4)} L\"{a}\ss t man in \textbf{2)} die Voraussetzung, da\ss \ $C$
endlichdimensional ist, weg, dann ist die kanonische Abbildung
$\operatorname*{kan}:C\rightarrow C^{\ast\ast}$ nicht mehr notwendigerweise
ein Isomorphismus, aber zumindest immer injektiv. Statt $\operatorname*{kan}%
\left(  G\left(  C\right)  \right)  =\operatorname*{Alg}\left(  C^{\ast
},k\right)  $ gilt dann (im Allgemeinen) nur noch $\operatorname*{kan}\left(
G\left(  C\right)  \right)  \subseteq\operatorname*{Alg}\left(  C^{\ast
},k\right)  ,$ und somit induziert die Restriktion $\operatorname*{kan}%
\mid_{G\left(  C\right)  }$ eine Injektion $G\left(  C\right)  \rightarrow
\operatorname*{Alg}\left(  C^{\ast},k\right)  $ (im Allgemeinen aber keine
Bijektion mehr). Wenn wir jetzt (wie in \textbf{3)}) anwenden, da\ss \ die
Menge aller Monoidhomomorphismen von einem Monoid in die multiplikative Gruppe
eines K\"{o}rpers stets linear unabh\"{a}ngig ist, erhalten wir einen neuen
Beweis f\"{u}r Bemerkung 2.9. (im allgemeinen Fall, also nicht mehr wie in
\textbf{3)} nur im Fall $\dim C<\infty$).

\bigskip

\fbox{\textbf{Bialgebren}}

Wir wollen zun\"{a}chst den Begriff einer Bialgebra einf\"{u}hren. Daf\"{u}r
gibt es verschiedene M\"{o}glichkeiten, deren \"{A}quivalenz aber sehr leicht
nachzuweisen ist. Allen liegt der gemeinsame Gedanke zugrunde, da\ss \ eine
Bialgebra eine Menge mit einer Algebrastruktur und einer Coalgebrastruktur
ist, wobei diese beiden Strukturen in einem bestimmten Sinne miteinander
"vertr\"{a}glich sind". Was dies genau bedeutet, werden wir gleich sehen:

\textbf{Definition:} Sei $H$ ein Vektorraum. Seien $\mu:H\otimes H\rightarrow
H$ und $\eta:k\rightarrow H$ zwei $k$-lineare Abbildungen so, da\ss \ $\left(
H,\mu,\eta\right)  $ eine Algebra ist. Seien $\Delta:H\rightarrow H\otimes H$
und $\varepsilon:H\rightarrow k$ zwei $k$-lineare Abbildungen so,
da\ss \ $\left(  H,\Delta,\varepsilon\right)  $ eine Coalgebra ist. Dann
hei\ss t $\left(  H,\mu,\eta,\Delta,\varepsilon\right)  $ eine
\textit{Bialgebra}, wenn eine der folgenden \"{a}quivalenten Bedingungen gilt:

\textbf{a)} Die Abbildungen $\Delta:H\rightarrow H\otimes H$ und
$\varepsilon:H\rightarrow k$ sind Algebrahomomorphismen.

\textbf{b)} Die Abbildungen $\mu:H\otimes H\rightarrow H$ und $\eta
:k\rightarrow H$ sind Coalgebrahomomorphismen.

\textbf{c)} Folgende vier Diagramme sind kommutativ:%
\[
\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
H\otimes H \ar[rrr]^{\mu} \ar[d]_{\Delta\otimes\Delta} & & & H \ar[d]^{\Delta} \\
\left(H\otimes H\right)\otimes\left(H\otimes H\right) \ar[r]^-{=} & H\otimes H\otimes H\otimes H \ar[r]^{\operatorname*{id}\otimes\tau\otimes\operatorname*{id}} & H\otimes H\otimes H\otimes H \ar[r]^-{\mu\otimes\mu} & H\otimes H
},
\]%
\[
\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
k \ar[r]^{\eta} \ar[d]_{\Delta_k} & H \ar[d]^{\Delta} \\
k\otimes k \ar[r]^-{\eta\otimes\eta} & H\otimes H
},
\]%
\[
\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
H\otimes H \ar[r]^{\mu} \ar[d]_{\varepsilon\otimes\varepsilon} & H \ar[d]^{\varepsilon} \\
k\otimes k \ar[r]^-{\mu_k} & k
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
k \ar[r]^{\eta} \ar[dr]_{\operatorname*{id}} & H \ar[d]^{\varepsilon} \\
& k
},
\]
wobei $\Delta_{k}$ die kanonische $k$-lineare Abbildung von $k$ nach $k\otimes
k$ ist (also die Abbildung $x\mapsto1\otimes x$), und $\mu_{k}$ die kanonische
$k$-lineare Abbildung von $k\otimes k$ nach $k$ ist (also die Abbildung, die
jedes $x\otimes y$ auf $xy$ abbildet - \"{u}brigens die Umkehrung von
$\Delta_{k}$), und $\tau$ die durch $\tau\left(  a\otimes b\right)  =b\otimes
a$ f\"{u}r alle $a,b\in H$ definierte $k$-lineare Abbildung von $H\otimes H$
nach $H\otimes H$ ist.

\textbf{d)} F\"{u}r alle $x,y\in H$ gilt:%
\begin{align*}
\Delta\left(  xy\right)   &  =x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)
}\otimes x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  };\\
\Delta\left(  1\right)   &  =1\otimes1;\\
\varepsilon\left(  xy\right)   &  =\varepsilon\left(  x\right)  \varepsilon
\left(  y\right)  ;\\
\varepsilon\left(  1\right)   &  =1
\end{align*}
unter Verwendung der summenlosen
Sweedler-Notation.\footnote{\textit{Bemerkung:} Die ersten zwei dieser vier
Gleichungen zusammen besagen, da\ss \ $\Delta$ ein Algebrahomomorphismus ist.
Die letzten zwei Gleichungen zusammen besagen, da\ss \ $\varepsilon$ ein
Algebrahomomorphismus ist. Die erste und die dritte Gleichung zusammen
besagen, da\ss \ $\mu$ ein Coalgebrahomomorphismus ist. Die zweite und die
vierte Gleichung besagen zusammen, da\ss \ $\eta$ ein Coalgebrahomomorphismus
ist.}

Statt zu sagen, da\ss \ $\left(  H,\mu,\eta,\Delta,\varepsilon\right)  $ eine
Bialgebra ist, werden wir nat\"{u}rlich im Folgenden oftmals (formal gesehen
unkorrekt, aber kurz und pr\"{a}gnant) einfach nur sagen, da\ss \ $H$ eine
Bialgebra ist - zumindest wenn aus dem Kontext klar ist, welche Abbildungen
$\mu,$ $\eta,$ $\Delta$ und $\varepsilon$ sein sollen.

Ein wichtiges \textit{Beispiel} f\"{u}r eine Bialgebra ist der K\"{o}rper $k$
selber: Mit den kanonischen Abbildungen%
\begin{align*}
\mu_{k}  &  :k\otimes k\rightarrow k,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{definiert durch
}\mu_{k}\left(  x\otimes y\right)  =xy\text{ f\"{u}r alle }x,y\in k;\\
\eta_{k}  &  =\operatorname*{id}:k\rightarrow k;\\
\Delta_{k}  &  :k\rightarrow k\otimes k,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{definiert
durch }\Delta_{k}\left(  x\right)  =x\cdot1\otimes1=1\otimes x=x\otimes1\text{
f\"{u}r alle }x\in k;\\
\varepsilon_{k}  &  =\operatorname*{id}:k\rightarrow k
\end{align*}
ist $\left(  k,\mu_{k},\eta_{k},\Delta_{k},\varepsilon_{k}\right)  $ eine
Bialgebra. Dies ist die kanonische Bialgebrastruktur auf $k.$

\textbf{Bemerkung:} F\"{u}r jede Bialgebra $H$ ist das Einselement $1$ von $H$
gruppen\"{a}hnlich (denn da $\Delta$ ein Algebrahomomorphismus ist, ist
$\Delta\left(  1\right)  =1_{H\otimes H}=1\otimes1$, und da $\varepsilon$ ein
Algebrahomomorphismus ist, ist $\varepsilon\left(  1\right)  =1$).

Wir haben weiter oben (in einer Definition zwischen Folgerung 2.8 und Satz
2.9) den Begriff "$\left(  g,h\right)  $-schiefprimitives Element von $C$"
eingef\"{u}hrt, wobei $C$ eine Coalgebra ist und $g$ und $h$ zwei
gruppen\"{a}hnliche Elemente von $C$ sind. Wenn $H$ eine Bialgebra ist, dann
k\"{o}nnen wir also von "$\left(  1,1\right)  $-schiefprimitiven Elementen von
$H$" reden (denn $1$ ist ein gruppen\"{a}hnliches Element von $H$). Wir
bezeichnen $\left(  1,1\right)  $-schiefprimitive Elemente einer Bialgebra $H$
auch einfach als \textit{primitive} Elemente von $H$. Das hei\ss t, wir
definieren den Begriff eines "primitiven Elementes" folgenderma\ss en:

\textbf{Definition:} Sei $H$ eine Bialgebra. Ein Element $x$ von $H$ hei\ss t
\textit{primitiv}, wenn es $\left(  1,1\right)  $-schiefprimitiv ist. Mit
anderen Worten: Ein Element $x$ von $H$ hei\ss t \textit{primitiv}, wenn
$\Delta\left(  x\right)  =1\otimes x+x\otimes1$ ist.

\bigskip

\fbox{\textbf{Hopfalgebren}}

Nun werden wir eine wichtige Unterklasse der Bialgebren einf\"{u}hren,
n\"{a}mlich die \textit{Hopfalgebren}:

\textbf{Definition:} Sei $\left(  H,\mu,\eta,\Delta,\varepsilon\right)  $ eine
Bialgebra. Dann hei\ss t $H$ genau dann \textit{Hopfalgebra}, wenn es eine
$k$-lineare Abbildung $S:H\rightarrow H$ gibt, die eine der folgenden drei
\"{a}quivalenten Bedingungen erf\"{u}llt:

\textbf{a)} F\"{u}r alle $x\in H$ gilt:%
\[
x_{\left(  1\right)  }S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  =\varepsilon
\left(  x\right)  \cdot1_{H}=S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
x_{\left(  2\right)  }%
\]
unter Verwendung der summenlosen Sweedler-Notation.

\textbf{b)} Die Abbildungen $S$ und $\operatorname*{id}$ sind zueinander
invers in $\operatorname*{End}H$ bez\"{u}glich $\ast.$

\textbf{c)} Das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
& H \ar[dl]_-{\Delta} \ar[dr]^-{\Delta} \ar[dd]^{\varepsilon} & \\
H \otimes H \ar[dd]_{\operatorname*{id}\otimes S} & & H \otimes H \ar[dd]^{S\otimes\operatorname*{id}} \\
& k \ar[dd]^{\eta} & \\
H \otimes H \ar[dr]_{\mu} & & H \otimes H \ar[dl]^{\mu} \\
& H &
}
\]
ist kommutativ.

Falls diese Bedingungen erf\"{u}llt sind, hei\ss t $S$ die \textit{Antipode}
der Hopfalgebra $H.$ Dabei k\"{o}nnen wir wirklich von "der" Antipode einer
Hopfalgebra sprechen (und nicht nur von \textit{einer}\ m\"{o}glichen
Antipode), denn aus der Bedingung \textbf{b)} ist klar, da\ss \ diese Antipode
$S$ durch $\left(  H,\mu,\eta,\Delta,\varepsilon\right)  $ eindeutig bestimmt
ist, wenn sie existiert.

Wir werden im Folgenden eine Reihe von Eigenschaften von Hopfalgebren
ergr\"{u}nden; besonders im Fall von $\dim H<\infty$ gibt es einiges an
nichttrivialen Resultaten zu beweisen. Zuerst wollen wir uns mit dem
einfachsten Beispiel f\"{u}r Hopfalgebren befassen, n\"{a}mlich den
Gruppenalgebren. Wir wissen bereits aus Abschnitt 1, wie man eine
Gruppenalgebra $k\left[  G\right]  $ einer Gruppe $G$ definiert; wir werden
jetzt auf dieser Gruppenalgebra eine Hopfalgebrastruktur einf\"{u}hren:

\textbf{2.11. Beispiel:} \textbf{1)} Sei $G$ eine Gruppe. Dann ist die
Gruppenalgebra $k\left[  G\right]  $ zu $G$ eine Hopfalgebra, wenn man die
$k$-linearen Abbildungen $\Delta:k\left[  G\right]  \rightarrow k\left[
G\right]  \otimes k\left[  G\right]  $ und $\varepsilon:k\left[  G\right]
\rightarrow k$ festlegt durch%
\[
\Delta\left(  g\right)  =g\otimes g\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(  g\right)
=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }g\in G.
\]
Die Antipode $S$ ist dann die durch $S\left(  g\right)  =g^{-1}$ f\"{u}r alle
$g\in G$ definierte lineare Abbildung.

\textit{Beweis:} Das einzig Nichttriviale ist die \"{U}berpr\"{u}fung,
da\ss \ $S$ wirklich eine Antipode ist, also da\ss \ $S\ast\operatorname*{id}%
=\operatorname*{id}\ast S=\eta\varepsilon$ in $\operatorname*{End}\left(
k\left[  G\right]  \right)  $ gilt. Es reicht aus, diese Gleichheit nur auf
den Elementen einer $k$-Basis von $k\left[  G\right]  $ nachzupr\"{u}fen (d.
h. f\"{u}r irgendeine $k$-Basis $\left(  e_{i}\right)  _{i\in I}$ von
$k\left[  G\right]  $ nachzuweisen, da\ss \ $\left(  S\ast\operatorname*{id}%
\right)  \left(  e_{i}\right)  =\left(  \operatorname*{id}\ast S\right)
\left(  e_{i}\right)  =\eta\varepsilon\left(  e_{i}\right)  $ f\"{u}r alle
$i\in I$ ist). Doch dies ist einfach: Die Menge $\left\{  g\ \mid\ g\in
G\right\}  $ ist eine $k$-Basis von $k\left[  G\right]  ,$ und f\"{u}r alle
$g\in G$ ist $\Delta\left(  g\right)  =g\otimes g,$ also $\left(
\operatorname*{id}\ast S\right)  \left(  g\right)  =g\underbrace{S\left(
g\right)  }_{=g^{-1}}=1=\varepsilon\left(  g\right)  \cdot1=\left(
\eta\varepsilon\right)  \left(  g\right)  $ und $\left(  S\ast
\operatorname*{id}\right)  \left(  g\right)  =\underbrace{S\left(  g\right)
}_{=g^{-1}}g=1=\varepsilon\left(  g\right)  \cdot1=\left(  \eta\varepsilon
\right)  \left(  g\right)  .$ Damit ist gezeigt, da\ss \ $S$ tats\"{a}chlich
eine Antipode ist, und somit ist $k\left[  G\right]  $ (mit der
Comultiplikation $\Delta$ und der Coeins $\varepsilon$) tats\"{a}chlich eine
Hopfalgebra, was zu beweisen war.

Nun ist nicht jede Hopfalgebra $H$ so einfach strukturiert wie eine
Gruppenalgebra. Doch viele Hopfalgebren haben zumindest einen Teil, der wie
eine Gruppenalgebra "aussieht". Dieser l\"{a}\ss t sich wie folgt
konstruieren\footnote{Hier verwenden wir den Begriff eines
\textit{gruppen\"{a}hnlichen Elementes einer Coalgebra}. Dieser Begriff wurde
weiter oben eingef\"{u}hrt.}:

\textbf{2.11}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{.
Bemerkung: 1)} Ist $H$ eine Hopfalgebra, und $g\in G\left(  H\right)  ,$ dann
ist $S\left(  g\right)  =g^{-1}.$ Insbesondere ist $G\left(  H\right)  $ eine
Gruppe, und $k\left[  G\left(  H\right)  \right]  $ (die Gruppenalgebra von
$G\left(  H\right)  $) ist eine Unteralgebra von $H$ (genauer gesagt: man kann
die Hopfalgebra $k\left[  G\left(  H\right)  \right]  $ kanonisch mit einer
Unteralgebra von $H$ identifizieren).

\textit{Beweis:} F\"{u}r jedes $g\in G\left(  H\right)  $ ist $\Delta\left(
g\right)  =g\otimes g,$ und somit wird die Formel $x_{\left(  1\right)
}S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  =\varepsilon\left(  x\right)
\cdot1_{H}$ (angewandt auf $x=g$) zu $gS\left(  g\right)
=\underbrace{\varepsilon\left(  g\right)  }_{=1}\cdot1=1$ und analog $S\left(
g\right)  g=1,$ also $S\left(  g\right)  =g^{-1}.$ Da\ss \ $g^{-1}\in G\left(
H\right)  $ ist, ist nicht schwer zu sehen: Einerseits ist $\Delta\left(
g^{-1}\right)  $ das Inverse von $g\otimes g$ in $H\otimes H$ (denn
\begin{align*}
\Delta\left(  g^{-1}\right)  \cdot\left(  g\otimes g\right)   &
=\Delta\left(  g^{-1}\right)  \cdot\Delta\left(  g\right)  =\Delta\left(
g^{-1}g\right)  =\Delta\left(  1_{H}\right)  =1_{H\otimes H}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und analog}\\
\left(  g\otimes g\right)  \cdot\Delta\left(  g^{-1}\right)   &  =1_{H\otimes
H}%
\end{align*}
), doch andererseits ist $g^{-1}\otimes g^{-1}$ das Inverse von $g\otimes g$
in $H\otimes H$ (denn%
\begin{align*}
\left(  g^{-1}\otimes g^{-1}\right)  \cdot\left(  g\otimes g\right)   &
=g^{-1}g\otimes g^{-1}g=1_{H}\otimes1_{H}=1_{H\otimes H}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und analog}\\
\left(  g\otimes g\right)  \cdot\left(  g^{-1}\otimes g^{-1}\right)   &
=1_{H\otimes H}%
\end{align*}
), und somit ist $\Delta\left(  g^{-1}\right)  =g^{-1}\otimes g^{-1}$ (und
trivialerweise auch $\varepsilon\left(  g^{-1}\right)  =\left(
\underbrace{\varepsilon\left(  g\right)  }_{=1}\right)  ^{-1}=1$), also
$g^{-1}\in G\left(  H\right)  .$

Nach Satz 2.9 ist $G\left(  H\right)  $ au\ss erdem linear unabh\"{a}ngig.
Damit ist $k\left[  G\left(  H\right)  \right]  \subseteq H.$

\textbf{2)} Ist $H$ eine Hopfalgebra, und sind $g,h\in G\left(  H\right)  ,$
und ist $x\in H$ ein $\left(  g,h\right)  $-schiefprimitives Element, so ist
$\varepsilon\left(  x\right)  =0$ und $S\left(  x\right)  =-g^{-1}xh^{-1}.$

\textit{Beweis:} Wir haben $\varepsilon\left(  x\right)  =0$ bereits gezeigt.
Also ist $0=\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1=S\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  x_{\left(  2\right)  }=\underbrace{S\left(  g\right)  }_{=g^{-1}%
}x+S\left(  x\right)  h$ (denn $x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(
2\right)  }=\Delta\left(  x\right)  =g\otimes x+x\otimes h$), also $S\left(
x\right)  =-g^{-1}xh^{-1}.$

\textbf{3)} Ist $H$ eine Hopfalgebra, und ist $x\in H$ ein primitives Element,
so ist $\varepsilon\left(  x\right)  =0$ und $S\left(  x\right)  =-x.$

\textit{Beweis:} Dies folgt aus \textbf{2)} (angewandt auf $g=1$ und $h=1$).

\bigskip

\fbox{\textbf{Eigenschaften der Antipode}}

Erst einige vorbereitende Definitionen:

\textbf{Definition:} \textbf{1)} Sei $C$ eine Coalgebra. Sei $\tau:C\otimes
C\rightarrow C\otimes C$ der durch
\[
\tau\left(  x\otimes y\right)  =y\otimes x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }x,y\in C
\]
definierte Isomorphismus von Vektorr\"{a}umen. Die Coalgebra $C$ hei\ss t
\textit{cokommutativ}, wenn das Diagramm%
\[
\xymatrix{
C \ar[r]^-{\Delta} \ar[rd]_-{\Delta} & C\otimes C \ar[d]^-{\tau}_-{\cong} \\
& C\otimes C
}
\]
kommutiert.

\textbf{2)} Seien $A$ und $B$ zwei Algebren, und sei $\varphi:A\rightarrow B$
eine lineare Abbildung.

Die Abbildung $\varphi$ hei\ss t \textit{Antialgebrahomomorphismus}, wenn
f\"{u}r alle $x,y\in A$ gilt: $\varphi\left(  xy\right)  =\varphi\left(
y\right)  \varphi\left(  x\right)  $ und $\varphi\left(  1\right)
=1.$\ \ \ \ \footnote{Zum Vergleich: Die Abbildung $\varphi$ ist ein
Algebrahomomorphismus, wenn f\"{u}r alle $x,y\in A$ gilt: $\varphi\left(
xy\right)  =\varphi\left(  x\right)  \varphi\left(  y\right)  $ und
$\varphi\left(  1\right)  =1.$\ \ \ \ } (\"{A}quivalente Definition: Die
Abbildung $\varphi$ hei\ss t \textit{Antialgebrahomomorphismus}, wenn die
Diagramme%
\[
\xymatrix{
A \otimes A \ar[r]^-{\tau}_-{\cong} \ar[d]_{\mu_A} & A \otimes A \ar[rr]^-{\varphi\otimes\varphi} & & B \otimes B \ar[d]^{\mu_B} \\
A \ar[rrr]^{\varphi} & & & B
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xymatrix{
A \ar[r]^{\varphi} & B \\
k \ar[u]^{\eta_A} \ar[ur]_{\eta_B}
}
\]
kommutieren.)

\textbf{3)} Seien $C$ und $D$ zwei Coalgebren, und sei $f:C\rightarrow D$ eine
lineare Abbildung.

Die Abbildung $f$ hei\ss t \textit{Anticoalgebrahomomorphismus}, wenn f\"{u}r
alle $x\in C$ gilt: $\Delta\left(  f\left(  x\right)  \right)  =f\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
$ und $\varepsilon\left(  f\left(  x\right)  \right)  =\varepsilon\left(
x\right)  .\ \ \ \ $\footnote{Zum Vergleich: Die Abbildung $f$ ist ein
Coalgebrahomomorphismus, wenn f\"{u}r alle $x\in C$ gilt: $\Delta\left(
f\left(  x\right)  \right)  =f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes
f\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  $ und $\varepsilon\left(  f\left(
x\right)  \right)  =\varepsilon\left(  x\right)  .$} (\"{A}quivalente
Definition: Die Abbildung $f$ hei\ss t \textit{Anticoalgebrahomomorphismus},
wenn die Diagramme%
\[
\xymatrix{
C \ar[rrr]^f \ar[d]_{\Delta_C} & & & D \ar[d]^{\Delta_D} \\
C\otimes C \ar[r]_{\tau}^{\cong} & C\otimes C \ar[rr]_{f\otimes f} & & D\otimes D
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xymatrix{
C \ar[r]^f \ar[rd]_{\varepsilon_C} & D \ar[d]^{\varepsilon_D} \\
& k
}
\]
kommutieren.)

\textbf{4)} Seien $A$ und $B$ zwei Bialgebren, und sei $\varphi:A\rightarrow
B$ eine lineare Abbildung.

Die Abbildung $\varphi$ hei\ss t \textit{Bialgebrahomomorphismus}, wenn
$\varphi$ ein Algebrahomomorphismus und ein Coalgebrahomomorphismus ist.

\textbf{5)} Seien $A$ und $B$ zwei Hopfalgebren, und sei $\varphi:A\rightarrow
B$ eine lineare Abbildung.

Die Abbildung $\varphi$ hei\ss t \textit{Hopfalgebrahomomorphismus}, wenn
$\varphi$ ein Bialgebrahomomorphismus ist.\footnote{\textit{Bemerkung:} Diese
Definition erscheint merkw\"{u}rdig: Warum verlangen wir von einem
Hopfalgebrahomomorphismus nicht zus\"{a}tzlich, da\ss \ er $\varphi
S_{A}=S_{B}\varphi$ erf\"{u}llt? Die Antwort ist: Weil dies nichts \"{a}ndern
w\"{u}rde. Laut Folgerung 2.14 \textbf{1)} erf\"{u}llt jeder
Bialgebrahomomorphismus $\varphi:A\rightarrow B$ zwischen zwei Hopfalgebren
$A$ und $B$ automatisch $\varphi S_{A}=S_{B}\varphi$.}

\textbf{6)} F\"{u}r jede Algebra $A$ k\"{o}nnen wir eine Algebra
$A^{\operatorname*{op}}$ wie folgt definieren:

Der dieser Algebra $A^{\operatorname*{op}}$ zugrundeliegende $k$-Modul soll
identisch mit dem der Algebra $A$ zugrundeliegenden $k$-Modul (also
Vektorraum) sein. Die Ringstruktur auf $A^{\operatorname*{op}}$ wird
folgenderma\ss en definiert: Die multiplikative Eins von
$A^{\operatorname*{op}}$ soll die von $A$ sein (also $1_{A^{\operatorname*{op}%
}}=1_{A}$), und die Multiplikation auf $A^{\operatorname*{op}}$ ist durch
$b\cdot_{A^{\operatorname*{op}}}a=a\cdot_{A}b$ f\"{u}r alle $a,b\in A$
definiert (d. h. die Multiplikation auf $A^{\operatorname*{op}}$ ist
Multiplikation auf $A$ mit umgekehrter Reihenfolge der Faktoren).

Die so definierte Algebra $A^{\operatorname*{op}}$ unterscheidet sich von $A$
also nur in der Reihenfolge, wie Produkte geschrieben werden. Insofern ist
diese Algebra $A^{\operatorname*{op}}$ kein allzu interessantes Objekt; sie
erlaubt es aber, den Begriff "Antialgebrahomomorphismus" auf den Begriff des
Algebrahomomorphismus zur\"{u}ckzuf\"{u}hren. In der Tat gilt:

\textbf{Bemerkung:} Seien $A$ und $B$ zwei Algebren, und sei $\varphi
:A\rightarrow B$ eine Abbildung. Dann sind folgende Aussagen \"{a}quivalent:

\textit{a)} Die Abbildung $\varphi$ ist ein Antialgebrahomomorphismus
$A\rightarrow B.$

\textit{b)} Die Abbildung $\varphi$ ist ein Algebrahomomorphismus
$A^{\operatorname*{op}}\rightarrow B.$

\textit{c)} Die Abbildung $\varphi$ ist ein Algebrahomomorphismus
$A\rightarrow B^{\operatorname*{op}}.$

Eine weitere wichtige und triviale Eigenschaft der Algebra
$A^{\operatorname*{op}}$ besteht darin, da\ss \ $\left(  A^{\operatorname*{op}%
}\right)  ^{\operatorname*{op}}=A$ f\"{u}r jede Algebra $A$ gilt.\footnote{Das
Gleichheitszeichen in der Gleichung $\left(  A^{\operatorname*{op}}\right)
^{\operatorname*{op}}=A$ bedeutet echte Gleichheit; das hei\ss t, die Algebren
$\left(  A^{\operatorname*{op}}\right)  ^{\operatorname*{op}}$ und $A$ sind
als Mengen gleich und haben genau die gleiche Algebrastruktur. Dies ist
st\"{a}rker als kanonische Isomorphie!}

\textbf{2.13. Satz:} Sei $H$ eine Hopfalgebra mit Antipode $S.$

\textbf{1)} Die Antipode $S$ ist ein Antialgebrahomomorphismus.

\textbf{2)} Die Antipode $S$ ist ein Anticoalgebrahomomorphismus.

\textbf{3)} Folgende Aussagen sind \"{a}quivalent:

\textbf{a)} Es gilt $S^{2}=\operatorname*{id}.$

\textbf{b)} F\"{u}r alle $x\in H$ gilt $x_{\left(  2\right)  }S\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1.$

\textbf{c)} F\"{u}r alle $x\in H$ ist $S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
x_{\left(  1\right)  }=\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1.$

Insbesondere gilt $S^{2}=\operatorname*{id},$ falls $H$ kommutativ oder
cokommutativ ist.

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Wir m\"{u}ssen zeigen: F\"{u}r alle $x,y\in H$
ist $S\left(  xy\right)  =S\left(  y\right)  S\left(  x\right)  $ und
$S\left(  1\right)  =1.$

\textit{Beweis:} Seien $x,y\in H.$ Dann ist%
\[
x_{\left(  1\right)  }\underbrace{y_{\left(  1\right)  }S\left(  y_{\left(
2\right)  }\right)  }_{=\varepsilon\left(  y\right)  \cdot1}S\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  =x_{\left(  1\right)  }\left(  \varepsilon
\left(  y\right)  \cdot1\right)  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
=\underbrace{x_{\left(  1\right)  }S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
}_{=\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1}\cdot\varepsilon\left(  y\right)
\cdot1=\varepsilon\left(  x\right)  \cdot\varepsilon\left(  y\right)  \cdot1
\]
und%
\[
S\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \underbrace{S\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }}_{=\varepsilon\left(  x\right)
\cdot1}y_{\left(  2\right)  }=S\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \left(
\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1\right)  y_{\left(  2\right)  }%
=\varepsilon\left(  x\right)  \cdot\underbrace{S\left(  y_{\left(  1\right)
}\right)  y_{\left(  2\right)  }}_{=\varepsilon\left(  y\right)  \cdot
1}=\varepsilon\left(  x\right)  \cdot\varepsilon\left(  y\right)  \cdot1.
\]
Sei $f\in\operatorname*{Hom}\left(  H\otimes H,H\right)  $ definiert durch
\[
f\left(  x\otimes y\right)  =S\left(  y\right)  S\left(  x\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x,y\in H.
\]
In der Algebra $\operatorname*{Hom}\left(  H\otimes H,H\right)  $ (mit $\ast$
als Multiplikation) gilt also $\mu\ast f=\eta\varepsilon=f\ast\mu,$ denn
f\"{u}r alle $x,y\in H$ ist%
\begin{align*}
\left(  \mu\ast f\right)  \left(  x\otimes y\right)   &  =\mu\left(
\underbrace{\left(  x\otimes y\right)  _{\left(  1\right)  }}_{=x_{\left(
1\right)  }\otimes y_{\left(  1\right)  }}\right)  f\left(
\underbrace{\left(  x\otimes y\right)  _{\left(  2\right)  }}_{=x_{\left(
2\right)  }\otimes y_{\left(  2\right)  }}\right)  =\underbrace{\mu\left(
x_{\left(  1\right)  }\otimes y_{\left(  1\right)  }\right)  }_{=x_{\left(
1\right)  }y_{\left(  1\right)  }}\underbrace{f\left(  x_{\left(  2\right)
}\otimes y_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=S\left(  y_{\left(  2\right)
}\right)  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  }\\
&  =x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  }S\left(  y_{\left(  2\right)
}\right)  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  =\varepsilon\left(
x\right)  \cdot\varepsilon\left(  y\right)  \cdot1=\varepsilon\left(  x\otimes
y\right)  \cdot1=\left(  \eta\varepsilon\right)  \left(  x\otimes y\right)
\end{align*}
und analog $\left(  f\ast\mu\right)  \left(  x\otimes y\right)  =\left(
\eta\varepsilon\right)  \left(  x\otimes y\right)  .$

Definiere jetzt ein $g\in\operatorname*{Hom}\left(  H\otimes H,H\right)  $
durch
\[
g\left(  x\otimes y\right)  =S\left(  xy\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x,y\in H.
\]
F\"{u}r alle $x,y\in H$ ist dann%
\begin{align*}
\left(  \mu\ast g\right)  \left(  x\otimes y\right)   &  =\mu\left(
\underbrace{\left(  x\otimes y\right)  _{\left(  1\right)  }}_{=x_{\left(
1\right)  }\otimes y_{\left(  1\right)  }}\right)  g\left(
\underbrace{\left(  x\otimes y\right)  _{\left(  2\right)  }}_{=x_{\left(
2\right)  }\otimes y_{\left(  2\right)  }}\right)  =\underbrace{\mu\left(
x_{\left(  1\right)  }\otimes y_{\left(  1\right)  }\right)  }_{=x_{\left(
1\right)  }y_{\left(  1\right)  }}\underbrace{g\left(  x_{\left(  2\right)
}\otimes y_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=S\left(  x_{\left(  2\right)
}y_{\left(  2\right)  }\right)  }\\
&  =x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  }S\left(  x_{\left(  2\right)
}y_{\left(  2\right)  }\right)  =\left(  xy\right)  _{\left(  1\right)
}S\left(  \left(  xy\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  =\varepsilon\left(
xy\right)  \cdot1=\underbrace{\varepsilon\left(  x\right)  \cdot
\varepsilon\left(  y\right)  }_{=\varepsilon\left(  x\otimes y\right)  }%
\cdot1\\
&  =\varepsilon\left(  x\otimes y\right)  \cdot1=\left(  \eta\varepsilon
\right)  \left(  x\otimes y\right)
\end{align*}
und ebenso%
\[
\left(  g\ast\mu\right)  \left(  x\otimes y\right)  =\left(  \eta
\varepsilon\right)  \left(  x\otimes y\right)  .
\]
Also ist auch $\mu\ast g=\eta\varepsilon=g\ast\mu.$ Also sind $f$ und $g$
beide $\ast$-invers zu $\mu.$ Doch wegen der Eindeutigkeit des $\ast$-Inversen
folgt hieraus $f=g.$ Damit ist $S\left(  xy\right)  =S\left(  y\right)
S\left(  x\right)  $ bewiesen.

Jetzt zeigen wir $S\left(  1\right)  =1$: F\"{u}r alle $x\in H$ ist
$x_{\left(  1\right)  }S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  =\varepsilon
\left(  x\right)  \cdot1;$ f\"{u}r $x=1$ impliziert dies $1S\left(  1\right)
=1,$ also $S\left(  1\right)  =1.$

\textbf{2)} Wir m\"{u}ssen zeigen: F\"{u}r alle $x\in H$ ist $\Delta\left(
S\left(  x\right)  \right)  =S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes
S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  $ und $\varepsilon\left(  S\left(
x\right)  \right)  =\varepsilon\left(  x\right)  .$

\textit{Beweis:} F\"{u}r alle $x\in H$ ist%
\begin{align*}
\left(  x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }\right)  \left(
S\left(  x_{\left(  4\right)  }\right)  \otimes S\left(  x_{\left(  3\right)
}\right)  \right)   &  =x_{\left(  1\right)  }S\left(  x_{\left(  4\right)
}\right)  \otimes\underbrace{x_{\left(  2\right)  }S\left(  x_{\left(
3\right)  }\right)  }_{=\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
1}=x_{\left(  1\right)  }S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)
\otimes\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  1\\
&  =x_{\left(  1\right)  }S\left(  \underbrace{\varepsilon\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  x_{\left(  3\right)  }}_{=x_{\left(  2\right)  }}\right)
\otimes1=\underbrace{x_{\left(  1\right)  }S\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  }_{=\varepsilon\left(  x\right)  }\otimes1=\varepsilon\left(
x\right)  1\otimes1
\end{align*}
und ebenso%
\[
\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes S\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  \right)  \left(  x_{\left(  3\right)  }\otimes x_{\left(
4\right)  }\right)  =S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  x_{\left(
3\right)  }\otimes S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(
4\right)  }=\varepsilon\left(  x\right)  1\otimes1.
\]


Sei eine Abbildung $f\in\operatorname*{Hom}\left(  H,H\otimes H\right)  $
definiert durch
\[
f\left(  x\right)  =S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes S\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in
H.
\]
In $\operatorname*{Hom}\left(  H,H\otimes H\right)  $ ergibt sich dann
$f\ast\Delta=\eta\varepsilon=\Delta\ast f$, denn f\"{u}r jedes $x\in H$ ist%
\begin{align*}
\left(  f\ast\Delta\right)  \left(  x\right)   &  =\underbrace{f\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  }_{=S\left(  \left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  \otimes S\left(  \left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  }\underbrace{\Delta\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  }\otimes\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(
2\right)  }}\\
&  =\left(  S\left(  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(
2\right)  }\right)  \otimes S\left(  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \left(  \left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  _{\left(  1\right)  }\otimes\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes S\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \left(  x_{\left(  3\right)  }\otimes
x_{\left(  4\right)  }\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  1\otimes1=\left(
\eta\varepsilon\right)  \left(  x\right)
\end{align*}
und%
\begin{align*}
\left(  \Delta\ast f\right)  \left(  x\right)   &  =\underbrace{\Delta\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  }_{=\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  }\otimes\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(
2\right)  }}\underbrace{f\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=S\left(
\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  \otimes
S\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right)
}\\
&  =\left(  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)
}\otimes\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)
\left(  S\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(  2\right)
}\right)  \otimes S\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(
1\right)  }\right)  \right) \\
&  =\left(  x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }\right)
\left(  S\left(  x_{\left(  4\right)  }\right)  \otimes S\left(  x_{\left(
3\right)  }\right)  \right)  =\varepsilon\left(  x\right)  1\otimes1=\left(
\eta\varepsilon\right)  \left(  x\right)  .
\end{align*}


Sei nun eine Abbildung $g\in\operatorname*{Hom}\left(  H,H\otimes H\right)  $
definiert durch
\[
g\left(  x\right)  =\Delta\left(  S\left(  x\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in H.
\]
F\"{u}r alle $x\in H$ gilt dann%
\begin{align*}
\left(  g\ast\Delta\right)  \left(  x\right)   &  =\underbrace{g\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  }_{=\Delta\left(  S\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  \right)  }\Delta\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
=\Delta\left(  S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \Delta\left(
x_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =\Delta\left(  \underbrace{S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
x_{\left(  2\right)  }}_{=\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\Delta\text{ ist ein
Algebrahomomorphismus}\right) \\
&  =\varepsilon\left(  x\right)  \Delta\left(  1\right)  =\varepsilon\left(
x\right)  1\otimes1=\left(  \eta\varepsilon\right)  \left(  x\right)
\end{align*}
und%
\begin{align*}
\left(  \Delta\ast g\right)  \left(  x\right)   &  =\Delta\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  \underbrace{g\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
}_{=\Delta\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  }%
=\Delta\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \Delta\left(  S\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \right) \\
&  =\Delta\left(  \underbrace{x_{\left(  1\right)  }S\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  }_{=\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\Delta\text{ ist ein
Algebrahomomorphismus}\right) \\
&  =\varepsilon\left(  x\right)  \Delta\left(  1\right)  =\varepsilon\left(
x\right)  1\otimes1=\left(  \eta\varepsilon\right)  \left(  x\right)  .
\end{align*}
Dies bedeutet $g\ast\Delta=\eta\varepsilon=\Delta\ast g.$ Das hei\ss t, $f$
und $g$ sind beide $\ast$-invers zu $\Delta.$ Da jedes Element von
$\operatorname*{Hom}\left(  H,H\otimes H\right)  $ h\"{o}chstens ein $\ast
$-Inverses hat, folgt hieraus $f=g,$ und damit ist $\Delta\left(  S\left(
x\right)  \right)  =S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes S\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  $ bewiesen.

Es bleibt noch zu zeigen, da\ss \ $\varepsilon\left(  S\left(  x\right)
\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  $ f\"{u}r alle $x\in H$ gilt.

In der Tat ist f\"{u}r alle $x\in H$ offenbar $x_{\left(  1\right)  }S\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1$, also
(wenn wir $\varepsilon$ auf diese Gleichung anwenden)%
\[
\varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)  }S\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  =\varepsilon\left(  \varepsilon\left(  x\right)
\cdot1\right)  .
\]
Wegen%
\begin{align*}
\varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)  }S\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \right)   &  =\varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
\varepsilon\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
=\varepsilon\left(  S\left(  \underbrace{\varepsilon\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }}_{=x}\right)  \right)
=\varepsilon\left(  S\left(  x\right)  \right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}%
\\
\varepsilon\left(  \varepsilon\left(  x\right)  \cdot1\right)   &
=\varepsilon\left(  x\right)  \cdot\underbrace{\varepsilon\left(  1\right)
}_{=1}=\varepsilon\left(  x\right)
\end{align*}
ist damit $\varepsilon\left(  S\left(  x\right)  \right)  =\varepsilon\left(
x\right)  $ bewiesen.

\textbf{3)} \textit{Beweis von \textbf{a)} }$\Longrightarrow$\textit{
\textbf{c)}:} F\"{u}r alle $x\in H$ ist $S\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  x_{\left(  2\right)  }=\varepsilon\left(  x\right)  1.$ Nach
\textbf{a)} k\"{o}nnen wir $x_{\left(  2\right)  }$ durch $S^{2}\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  $ ersetzen, d. h. wir erhalten%
\begin{align*}
\varepsilon\left(  x\right)  1  &  =S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
x_{\left(  2\right)  }=S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  S^{2}\left(
x_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =S\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  x_{\left(  1\right)
}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }S\text{ ist
Antialgebrahomomorphismus}\right)  ,
\end{align*}
also $S\left(  \varepsilon\left(  x\right)  1\right)  =S^{2}\left(  S\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  x_{\left(  1\right)  }\right)  ,$ also
$\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1=S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
x_{\left(  1\right)  }$ (wieder wegen $S^{2}=\operatorname*{id}$), und
\textbf{c)} ist gezeigt.

\textit{Beweis von \textbf{c)} }$\Longrightarrow$\textit{ \textbf{a)}:}
F\"{u}r alle $x\in H$ ist $S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  x_{\left(
1\right)  }=\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1$ nach \textbf{c)}. Nach
Anwendung von $S$ wird dies zu $S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
S^{2}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  1.$
Also ist $S^{2}$ rechts-$\ast$-invers zu $S.$ Da $\operatorname*{id}$
ebenfalls $\ast$-invers zu $S$ ist, folgt hieraus $S^{2}=\operatorname*{id}.$

Damit ist \textbf{a)} $\Longleftrightarrow$ \textbf{c)} gezeigt. Analog
beweist man \textbf{a)} $\Longleftrightarrow$ \textbf{b)}.

Falls $H$ kommutativ oder cokommutativ ist, gelten \textbf{b)} und \textbf{c)}
trivial, und damit auch \textbf{a)}, also $S^{2}=\operatorname*{id}.$

\textbf{2.14. Folgerung:} \textbf{1)} Seien $K$ und $H$ zwei Hopfalgebren, und
$\varphi:K\rightarrow H$ ein Hopfalgebrahomomorphismus (d. h. ein
Bialgebrahomomorphismus). Dann ist $\varphi S=S\varphi$ (genauer gesagt,
$\varphi S_{K}=S_{H}\varphi$). Das hei\ss t, $\varphi\left(  S\left(
x\right)  \right)  =S\left(  \varphi\left(  x\right)  \right)  $ f\"{u}r alle
$x\in K.$

\textbf{2)} Sei $H$ eine Hopfalgebra, und sei $K\subseteq H$ eine
Unterbialgebra. Ist $K$ eine Hopfalgebra, dann ist $S_{K}=S_{H}\mid_{K}.$

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Wir werden zeigen, da\ss \ die Abbildung
$\varphi$ sowohl $\ast$-invers zu $\varphi S$ in $\operatorname*{Hom}\left(
K,H\right)  $, als auch $\ast$-invers zu $S\varphi$ in $\operatorname*{Hom}%
\left(  K,H\right)  $ ist. Hieraus wird nat\"{u}rlich $\varphi S=S\varphi$
folgen (denn ein Element von $\operatorname*{Hom}\left(  K,H\right)  $ kann
nur ein $\ast$-Inverses haben).

F\"{u}r alle $x\in K$ ist%
\begin{align*}
\varphi\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \varphi\left(  S\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)   &  =\varphi\left(
\underbrace{x_{\left(  1\right)  }S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
}_{=\varepsilon\left(  x\right)  1}\right)  =\varepsilon\left(  x\right)
1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und genauso}\\
\varphi\left(  S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \varphi\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)   &  =\varepsilon\left(  x\right)  1.
\end{align*}
Die Abbildung $\varphi S$ ist also $\ast$-invers zu $\varphi.$ Ferner ist%
\begin{align*}
\varphi\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  S\left(  \varphi\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)   &  =\left(  \varphi\left(  x\right)
\right)  _{\left(  1\right)  }S\left(  \left(  \varphi\left(  x\right)
\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  =\varepsilon\left(  \varphi\left(
x\right)  \right)  1=\varepsilon\left(  x\right)
1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und genauso}\\
S\left(  \varphi\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \varphi\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)   &  =\varepsilon\left(  x\right)  1.
\end{align*}
Die Abbildung $S\varphi$ ist daher $\ast$-invers zu $\varphi.$ Damit ist
sowohl $\varphi S$, als auch $S\varphi$ ein $\ast$-Inverses zu $\varphi$.
Hieraus folgt $\varphi S=S\varphi$. Damit ist \textbf{1)} bewiesen.

\textbf{2)} Sei $\varphi:K\rightarrow H$ die kanonische Inklusionsabbildung.
Dieses $\varphi$ ist ein Bialgebrahomomorphismus; nach \textbf{1)} ist also
$\varphi S=S\varphi.$ F\"{u}r alle $x\in K$ ist also $\varphi\left(
S_{K}\left(  x\right)  \right)  =S_{H}\left(  \varphi\left(  x\right)
\right)  ,$ also $S_{K}\left(  x\right)  =S_{H}\left(  x\right)  $ und damit
$S_{K}=S_{H}\mid_{K}.$

\textbf{2.15. Folgerung:} \textbf{1)} \textbf{a)} Sei $H$ eine Bialgebra, und
$A$ eine kommutative Algebra. Dann ist $\operatorname*{Alg}\left(  H,A\right)
=\left\{  \varphi:H\rightarrow A\ \mid\ \varphi\text{ ist ein
Algebrahomomorphismus}\right\}  $ ein Monoid bez\"{u}glich der Konvolution
$\ast$ (in $\operatorname*{Hom}\left(  H,A\right)  $).

\textbf{b)} Sei $H$ eine Hopfalgebra, und $A$ eine kommutative Algebra. Dann
ist $\operatorname*{Alg}\left(  H,A\right)  =\left\{  \varphi:H\rightarrow
A\ \mid\ \varphi\text{ ist ein Algebrahomomorphismus}\right\}  $ eine Gruppe
bez\"{u}glich der Konvolution $\ast$ (in $\operatorname*{Hom}\left(
H,A\right)  $).

\textbf{2)} \textbf{a)} Sei $H$ eine Bialgebra, und $C$ eine cokommutative
Coalgebra. Dann ist $\operatorname*{Coalg}\left(  C,H\right)  =\left\{
f:C\rightarrow H\ \mid\ f\text{ ist ein Coalgebrahomomorphismus}\right\}  $
ein Monoid bez\"{u}glich der Konvolution $\ast$ (in $\operatorname*{Hom}%
\left(  C,H\right)  $).

\textbf{b)} Sei $H$ eine Hopfalgebra, und $C$ eine cokommutative Coalgebra.
Dann ist $\operatorname*{Coalg}\left(  C,H\right)  =\left\{  f:C\rightarrow
H\ \mid\ f\text{ ist ein Coalgebrahomomorphismus}\right\}  $ eine Gruppe
bez\"{u}glich der Konvolution $\ast$ (in $\operatorname*{Hom}\left(
C,H\right)  $).

\textit{Beweis:} \textbf{1)} \textbf{a)} Das Element $\eta\varepsilon$ ist
offensichtlich das Einselement von $\operatorname*{Alg}\left(  H,A\right)  .$
Es bleibt daher nur noch zu zeigen: Wenn $\varphi,\psi\in\operatorname*{Alg}%
\left(  H,A\right)  ,$ dann ist auch $\varphi\ast\psi\in\operatorname*{Alg}%
\left(  H,A\right)  .$

\textit{Beweis:} F\"{u}r alle $x,y\in H$ ist%
\begin{align*}
&  \left(  \varphi\ast\psi\right)  \left(  xy\right) \\
&  =\varphi\left(  \left(  xy\right)  _{\left(  1\right)  }\right)
\psi\left(  \left(  xy\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  =\varphi\left(
x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  }\right)  \psi\left(  x_{\left(
2\right)  }y_{\left(  2\right)  }\right)  =\varphi\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  \varphi\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \psi\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  \psi\left(  y_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\varphi\text{ und }\psi\text{ sind
Algebrahomomorphismen}\right) \\
&  =\underbrace{\varphi\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \psi\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\left(  \varphi\ast\psi\right)  \left(
x\right)  }\underbrace{\varphi\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)
\psi\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\left(  \varphi\ast\psi\right)
\left(  y\right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }A\text{ kommutativ ist, konnten wir
hier die mittleren zwei Terme vertauschen}\right) \\
&  =\left(  \varphi\ast\psi\right)  \left(  x\right)  \cdot\left(  \varphi
\ast\psi\right)  \left(  y\right)  ,
\end{align*}
und au\ss erdem $\left(  \varphi\ast\psi\right)  \left(  1\right)
=\varphi\left(  1\right)  \psi\left(  1\right)  =1.$

\textbf{b)} Nachdem aus \textbf{1)} \textbf{a)} folgt,
da\ss \ $\operatorname*{Alg}\left(  H,A\right)  $ ein Monoid bez\"{u}glich
$\ast$ ist, m\"{u}ssen wir nur noch beweisen: F\"{u}r jedes $f\in
\operatorname*{Alg}\left(  H,A\right)  $ ist $fS$ ein Element von
$\operatorname*{Alg}\left(  H,A\right)  $ und $\ast$-invers zu $f.$

\textit{Beweis:} Erstmal ist $fS$ ein Algebrahomomorphismus, denn $\left(
fS\right)  \left(  1\right)  =f\left(  \underbrace{S\left(  1\right)  }%
_{=1}\right)  =1,$ und f\"{u}r alle $x,y\in H$ ist%
\begin{align*}
\left(  fS\right)  \left(  xy\right)   &  =f\left(  \underbrace{S\left(
xy\right)  }_{\substack{=S\left(  y\right)  S\left(  x\right)  \\\text{(nach
2.13. \textbf{1)})}}}\right)  =f\left(  S\left(  y\right)  \right)  f\left(
S\left(  x\right)  \right) \\
&  =f\left(  S\left(  x\right)  \right)  f\left(  S\left(  y\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }A\text{ kommutativ ist}\right) \\
&  =\left(  fS\right)  \left(  x\right)  \cdot\left(  fS\right)  \left(
y\right)  .
\end{align*}


Nun zeigen wir, da\ss \ $fS$ das $\ast$-inverse Element zu $f$ in
$\operatorname*{Alg}\left(  H,A\right)  $ ist. In der Tat ist%
\[
\left(  fS\ast f\right)  \left(  x\right)  =f\left(  S\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  \right)  f\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  =f\left(
\underbrace{S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }%
}_{=\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1}\right)  =\varepsilon\left(  x\right)
\cdot1
\]
und%
\[
\left(  f\ast fS\right)  \left(  x\right)  =f\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  f\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  =f\left(
\underbrace{x_{\left(  1\right)  }S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
}_{=\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1}\right)  =\varepsilon\left(  x\right)
\cdot1
\]
f\"{u}r alle $x\in H.$

\textbf{2)} \textbf{a)} Das Element $\eta\varepsilon$ ist offensichtlich das
Einselement von $\operatorname*{Coalg}\left(  C,H\right)  .$ Es bleibt daher
nur noch zu zeigen: Wenn $f,g\in\operatorname*{Coalg}\left(  C,H\right)  ,$
dann ist auch $f\ast g\in\operatorname*{Coalg}\left(  C,H\right)  .$

\textit{Beweis:} F\"{u}r alle $x\in C$ ist%
\begin{align*}
&  \left(  \left(  f\ast g\right)  \otimes\left(  f\ast g\right)  \right)
\left(  \Delta_{C}\left(  x\right)  \right) \\
&  =\left(  \left(  f\ast g\right)  \otimes\left(  f\ast g\right)  \right)
\left(  x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }\right)
=\underbrace{\left(  f\ast g\right)  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
}_{=f\left(  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)
}\right)  g\left(  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  2\right)
}\right)  }\otimes\underbrace{\left(  f\ast g\right)  \left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  }_{=f\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  }\right)  g\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
_{\left(  2\right)  }\right)  }\\
&  =f\left(  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)
}\right)  g\left(  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  2\right)
}\right)  \otimes f\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(
1\right)  }\right)  g\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(
2\right)  }\right) \\
&  =f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  g\left(  \left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \otimes f\left(  \left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  g\left(
x_{\left(  3\right)  }\right) \\
&  =f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  g\left(  \left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  \otimes f\left(  \left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  g\left(
x_{\left(  3\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn da }C\text{ cokommutativ ist, gilt
}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\otimes\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }=\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\otimes\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  _{\left(  1\right)  }\right) \\
&  =f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  g\left(  x_{\left(  3\right)
}\right)  \otimes f\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  g\left(  x_{\left(
4\right)  }\right)  =\left(  f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes
f\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  \left(  g\left(  x_{\left(
3\right)  }\right)  \otimes g\left(  x_{\left(  4\right)  }\right)  \right)
\end{align*}
und%
\begin{align*}
&  \Delta_{H}\left(  \left(  f\ast g\right)  \left(  x\right)  \right) \\
&  =\Delta_{H}\left(  f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  g\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \right) \\
&  =\Delta_{H}\left(  f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)
\cdot\Delta_{H}\left(  g\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\Delta_{H}\text{ ist ein
Algebrahomomorphismus}\right) \\
&  =\left(  f\otimes f\right)  \left(  \underbrace{\Delta_{C}\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  }_{=\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  }\otimes\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(
2\right)  }}\right)  \cdot\left(  g\otimes g\right)  \left(
\underbrace{\Delta_{C}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\otimes\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }f\text{ und }g\text{ sind
Coalgebrahomomorphismen}\right) \\
&  =\left(  f\otimes f\right)  \left(  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  }\otimes\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(
2\right)  }\right)  \cdot\left(  g\otimes g\right)  \left(  \left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\otimes\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  _{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =\left(  f\otimes f\right)  \left(  x_{\left(  1\right)  }\otimes
x_{\left(  2\right)  }\right)  \cdot\left(  g\otimes g\right)  \left(
x_{\left(  3\right)  }\otimes x_{\left(  4\right)  }\right)  =\left(  f\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes f\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
\right)  \left(  g\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  \otimes g\left(
x_{\left(  4\right)  }\right)  \right)  ,
\end{align*}
also $\left(  \left(  f\ast g\right)  \otimes\left(  f\ast g\right)  \right)
\left(  \Delta_{C}\left(  x\right)  \right)  =\Delta_{H}\left(  \left(  f\ast
g\right)  \left(  x\right)  \right)  $. Das hei\ss t, $\left(  \left(  f\ast
g\right)  \otimes\left(  f\ast g\right)  \right)  \circ\Delta_{C}=\Delta
_{H}\circ\left(  f\ast g\right)  $.

Ferner ist $\varepsilon_{H}\circ\left(  f\ast g\right)  =\varepsilon_{C}$,
denn jedes $x\in C$ erf\"{u}llt%
\begin{align*}
&  \varepsilon_{H}\left(  \left(  f\ast g\right)  \left(  x\right)  \right) \\
&  =\varepsilon_{H}\left(  f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  g\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  =\varepsilon_{H}\left(  f\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \varepsilon_{H}\left(  g\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\varepsilon_{H}\text{ ist ein
Algebrahomomorphismus}\right) \\
&  =\varepsilon_{C}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \varepsilon
_{C}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{denn }f\text{ und }g\text{ sind Coalgebrahomomorphismen}\right) \\
&  =\varepsilon_{C}\left(  \underbrace{x_{\left(  1\right)  }\varepsilon
_{C}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=x}\right)  =\varepsilon
_{C}\left(  x\right)  .
\end{align*}
Zusammen mit $\left(  \left(  f\ast g\right)  \otimes\left(  f\ast g\right)
\right)  \circ\Delta_{C}=\Delta_{H}\circ\left(  f\ast g\right)  $ ergibt dies,
da\ss \ $f\ast g$ ein Coalgebrahomomorphismus ist, d. h. es gilt $f\ast
g\in\operatorname*{Coalg}\left(  C,H\right)  $.

\textbf{b)} Nachdem aus \textbf{1)} \textbf{a)} folgt,
da\ss \ $\operatorname*{Coalg}\left(  C,H\right)  $ ein Monoid bez\"{u}glich
$\ast$ ist, m\"{u}ssen wir nur noch beweisen: F\"{u}r jedes $f\in
\operatorname*{Coalg}\left(  C,H\right)  $ ist $Sf$ ein Element von
$\operatorname*{Coalg}\left(  C,H\right)  $ und $\ast$-invers zu $f.$

\textit{Beweis:} Erstmal ist $Sf$ ein Coalgebrahomomorphismus, denn f\"{u}r
alle $x\in C$ gilt%
\begin{align*}
\Delta_{H}\left(  \left(  Sf\right)  \left(  x\right)  \right)   &
=\Delta_{H}\left(  S\left(  f\left(  x\right)  \right)  \right)  =S\left(
\left(  f\left(  x\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }\right)  \otimes
S\left(  \left(  f\left(  x\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }S\text{ ist ein
Anticoalgebrahomomorphismus laut Satz 2.13 \textbf{2)}}\right) \\
&  =S\left(  f\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  \otimes S\left(
f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn da }f\text{ ein Coalgebrahomomorphismus ist, gilt}\\
\left(  f\left(  x\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }\otimes\left(
f\left(  x\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }=f\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  \otimes f\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
\end{array}
\right) \\
&  =S\left(  f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \otimes S\left(
f\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn da }C\text{ cokommutativ ist, gilt
}x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }=x_{\left(  2\right)
}\otimes x_{\left(  1\right)  }\right) \\
&  =\left(  Sf\otimes Sf\right)  \left(  x_{\left(  1\right)  }\otimes
x_{\left(  2\right)  }\right)  =\left(  Sf\otimes Sf\right)  \left(
\Delta_{C}\left(  x\right)  \right)
\end{align*}
und%
\begin{align*}
\varepsilon_{H}\left(  \left(  Sf\right)  \left(  x\right)  \right)   &
=\varepsilon_{H}\left(  S\left(  f\left(  x\right)  \right)  \right)
=\varepsilon_{H}\left(  f\left(  x\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }S\text{ ist ein
Anticoalgebrahomomorphismus laut Satz 2.13 \textbf{2)}}\right) \\
&  =\varepsilon_{C}\left(  x\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn
}f\text{ ist ein Coalgebrahomomorphismus}\right)  .
\end{align*}


Nun zeigen wir, da\ss \ $Sf$ das $\ast$-inverse Element zu $f$ in
$\operatorname*{Coalg}\left(  C,H\right)  $ ist. In der Tat ist%
\begin{align*}
\left(  Sf\ast f\right)  \left(  x\right)   &  =S\left(  f\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  \right)  f\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  =S\left(
\left(  f\left(  x\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \left(
f\left(  x\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn da }f\text{ ein Coalgebrahomomorphismus ist, gilt}\\
f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes f\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  =\left(  f\left(  x\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }%
\otimes\left(  f\left(  x\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }%
\end{array}
\right) \\
&  =\varepsilon\left(  f\left(  x\right)  \right)  \cdot
1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }S\text{ die Antipode von }H\text{
ist}\right) \\
&  =\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da
}f\text{ ein Coalgebrahomomorphismus ist}\right)
\end{align*}
und%
\begin{align*}
\left(  f\ast Sf\right)  \left(  x\right)   &  =f\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  S\left(  f\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  =\left(
f\left(  x\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }S\left(  \left(  f\left(
x\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn da }f\text{ ein Coalgebrahomomorphismus ist, gilt}\\
f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes f\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  =\left(  f\left(  x\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }%
\otimes\left(  f\left(  x\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }%
\end{array}
\right) \\
&  =\varepsilon\left(  f\left(  x\right)  \right)  \cdot
1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }S\text{ die Antipode von }H\text{
ist}\right) \\
&  =\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da
}f\text{ ein Coalgebrahomomorphismus ist}\right)
\end{align*}
f\"{u}r alle $x\in C.$

\textit{Bemerkung:} Unser obiger Beweis von Folgerung 2.15 \textbf{2)} sah
viel komplizierter aus als der Beweis von Folgerung 2.15 \textbf{1)}. Dies
liegt aber daran, da\ss \ die Comultiplikation deutlich unhandlicher ist als
die Multiplikation, wenn man mit Elementen rechnet. W\"{u}rde man aber den
Beweis von Folgerung 2.15 \textbf{1)} und den Beweis von Folgerung 2.15
\textbf{2)} in "punktfreier" Notation umschreiben (also nur mit Abbildungen
rechnen, nicht mit konkreten Elementen von $H$ oder von $C$), w\"{u}rde man
sehen, da\ss \ diese beiden Beweise zueinander "dual" sind (d. h. sie ergeben
sich auseinander durch das Umkehren der Pfeile).

Als n\"{a}chstes wollen wir Kriterien angeben, wie man f\"{u}r eine Algebra
entscheidet, ob sie eine Bialgebra und ob sie eine Hopfalgebra ist, ohne die
Axiome f\"{u}r alle Elemente nachzupr\"{u}fen - n\"{a}mlich reicht es aus, die
Axiome nur auf einem Algebraerzeugendensystem nachzuweisen:

\textbf{2.16. Folgerung:} \textbf{1)} Sei $H$ eine Algebra, und seien
$\Delta:H\rightarrow H\otimes H$ und $\varepsilon:H\rightarrow k$ zwei
Algebrahomomorphismen. Sei $M\subseteq H$ eine Teilmenge, welche $H$ als
Algebra erzeugt. F\"{u}r alle $x\in M$ gelte%
\[
\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \left(  \Delta\left(
x\right)  \right)  =\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
\Delta\left(  x\right)  \right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)
\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  =x=\left(  \varepsilon\otimes
\operatorname*{id}\right)  \left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  .
\]
(Mit der summenlosen Sweedler-Notation $\Delta\left(  x\right)  =x_{\left(
1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }$ bedeutet dies%
\[
x_{\left(  1\right)  }\otimes\Delta\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
=\Delta\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes x_{\left(  2\right)
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{\left(  1\right)
}\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  =x=\varepsilon\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }.
\]
) Dann ist $\left(  H,\Delta,\varepsilon\right)  $ eine Bialgebra.

\textbf{2)} Sei $H$ eine Bialgebra, und sei $S:H\rightarrow H$ ein
Antialgebrahomomorphismus. Sei $M\subseteq H$ eine Teilmenge, welche $H$ als
Algebra erzeugt. F\"{u}r alle $x\in M$ gelte%
\[
x_{\left(  1\right)  }S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  =\varepsilon
\left(  x\right)  \cdot1=S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(
2\right)  }.
\]
Dann ist $H$ eine Hopfalgebra und $S$ die Antipode von $H.$

\textbf{3)} Sei $H$ eine Bialgebra. Sei $M\subseteq H$ eine Teilmenge, welche
$H$ als Algebra erzeugt. Sei $\tau:H\otimes H\rightarrow H\otimes H$ die durch%
\[
\tau\left(  x\otimes y\right)  =y\otimes x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }x,y\in H
\]
definierte $k$-lineare Abbildung. F\"{u}r alle $x\in M$ gelte $\tau\left(
\Delta\left(  x\right)  \right)  =\Delta\left(  x\right)  $. Dann ist $H$ eine
cokommutative Bialgebra.

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Wir m\"{u}ssen nur zeigen, da\ss \ $\left(
H,\Delta,\varepsilon\right)  $ eine Coalgebra ist. Dies zeigen wir wie folgt:
Die Diagramme%
\begin{align*}
&
\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{ H \ar[r]^-{\Delta} \ar[d]^{\Delta} & H\otimes H \ar[d]^{\operatorname*{id}\otimes\Delta} \\ H\otimes H \ar[r]^-{\Delta\otimes\operatorname*{id}} & H\otimes H\otimes H },\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xymatrix{ H \ar[r]^-{\Delta} \ar[d]^{\cong}_{\operatorname*{kan}} & H\otimes H \ar[ld]^{\varepsilon\otimes\operatorname*{id}} \\ k\otimes H }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xymatrix{ H \ar[r]^-{\Delta} \ar[d]^{\cong}_{\operatorname*{kan}} & H\otimes H \ar[ld]^{\operatorname*{id}\otimes\varepsilon} \\ H\otimes k }
\end{align*}
sind kommutativ, denn alle auftretenden Morphismen sind Algebrahomomorphismen,
und Gleichheit von Algebrahomomorphismen kann man auf Algebraerzeugenden
testen. Damit ist Folgerung 2.16 \textbf{1)} gezeigt.

\textbf{3)} Die Abbildungen $\Delta$ und $\tau$ sind Algebrahomomorphismen.
Folglich sind auch $\tau\circ\Delta$ und $\Delta$ Algebrahomomorphismen. Diese
Algebrahomomorphismen $\tau\circ\Delta$ und $\Delta$ sind auf der Menge $M$
gleich (denn f\"{u}r jedes $x\in M$ ist $\left(  \tau\circ\Delta\right)
\left(  x\right)  =\tau\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  =\Delta\left(
x\right)  $).

Nun ist aber bekannt, da\ss \ zwei Algebrahomomorphismen, die auf einem
Algebraerzeugendensystem gleich sind, auch \"{u}berall gleich sein m\"{u}ssen.
Angewandt auf die Algebrahomomorphismen $\tau\circ\Delta$ und $\Delta$ und das
Algebraerzeugendensystem $M$ ergibt dies: Die Algebrahomomorphismen $\tau
\circ\Delta$ und $\Delta$ sind \"{u}berall gleich (da sie auf dem
Algebraerzeugendensystem $M$ gleich sind). Mit anderen Worten: Die Coalgebra
$H$ ist cokommutativ. Folgerung 2.16 \textbf{3)} ist also bewiesen.

\textbf{2)} Sei $A=\left\{  x\in H\ \mid\ x_{\left(  1\right)  }S\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1=S\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }\right\}  .$

\textbf{a)} Wir werden zeigen: Die Menge $A$ ist ein Untervektorraum von $H.$

\textit{Beweis:} Wir haben%
\begin{align*}
A  &  =\left\{  x\in H\ \mid\ x_{\left(  1\right)  }S\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1=S\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }\right\} \\
&  =\left\{  x\in H\ \mid\ \underbrace{x_{\left(  1\right)  }S\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\mu\left(  \left(  \operatorname*{id}%
\otimes S\right)  \left(  x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  }=\underbrace{\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1}%
_{=\eta\varepsilon\left(  x\right)  }\right\}  \cap\left\{  x\in
H\ \mid\ \underbrace{S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(
2\right)  }}_{=\mu\left(  \left(  S\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
}=\underbrace{\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1}_{=\eta\varepsilon\left(
x\right)  }\right\} \\
&  =\left\{  x\in H\ \mid\ \mu\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes
S\right)  \left(  \underbrace{x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(
2\right)  }}_{=\Delta\left(  x\right)  }\right)  \right)  =\eta\varepsilon
\left(  x\right)  \right\} \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cap\left\{  x\in H\ \mid\ \mu\left(  \left(
S\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  \underbrace{x_{\left(  1\right)
}\otimes x_{\left(  2\right)  }}_{=\Delta\left(  x\right)  }\right)  \right)
=\eta\varepsilon\left(  x\right)  \right\} \\
&  =\left\{  x\in H\ \mid\ \underbrace{\mu\left(  \left(  \operatorname*{id}%
\otimes S\right)  \left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  \right)
}_{=\left(  \mu\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes S\right)  \circ
\Delta\right)  \left(  x\right)  }=\eta\varepsilon\left(  x\right)  \right\}
\cap\left\{  x\in H\ \mid\ \underbrace{\mu\left(  \left(  S\otimes
\operatorname*{id}\right)  \left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  \right)
}_{=\left(  \mu\circ\left(  S\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ
\Delta\right)  \left(  x\right)  }=\eta\varepsilon\left(  x\right)  \right\}
\\
&  =\underbrace{\left\{  x\in H\ \mid\ \left(  \mu\circ\left(
\operatorname*{id}\otimes S\right)  \circ\Delta\right)  \left(  x\right)
=\eta\varepsilon\left(  x\right)  \right\}  }_{=\operatorname*{Ker}\left(
\mu\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes S\right)  \circ\Delta-\eta
\varepsilon\right)  }\cap\underbrace{\left\{  x\in H\ \mid\ \left(  \mu
\circ\left(  S\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\right)  \left(
x\right)  =\eta\varepsilon\left(  x\right)  \right\}  }_{=\operatorname*{Ker}%
\left(  \mu\circ\left(  S\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta
-\eta\varepsilon\right)  }\\
&  =\operatorname*{Ker}\left(  \mu\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes
S\right)  \circ\Delta-\eta\varepsilon\right)  \cap\operatorname*{Ker}\left(
\mu\circ\left(  S\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta-\eta
\varepsilon\right)  .
\end{align*}
Da $\operatorname*{Ker}\left(  \mu\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes
S\right)  \circ\Delta-\eta\varepsilon\right)  $ und $\operatorname*{Ker}%
\left(  \mu\circ\left(  S\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta
-\eta\varepsilon\right)  $ Untervektorr\"{a}ume von $H$ sind (denn die
Abbildungen $\mu\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes S\right)  \circ
\Delta-\eta\varepsilon$ und $\mu\circ\left(  S\otimes\operatorname*{id}%
\right)  \circ\Delta-\eta\varepsilon$ sind $k$-linear, und der Kern jeder
$k$-linearen Abbildung ist ein Untervektorraum), ist also auch ihre
Schnittmenge $A$ ein Untervektorraum von $H$.

\textbf{b)} Wir zeigen: $1\in A,$ und f\"{u}r alle $x,y\in A$ ist $xy\in A.$

\textit{Beweis:} Da\ss \ $1\in A$ ist, ist klar. F\"{u}r alle $x,y\in A$ ist
$xy\in A$ (denn%
\begin{align*}
\left(  xy\right)  _{\left(  1\right)  }S\left(  \left(  xy\right)  _{\left(
2\right)  }\right)   &  =x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)
}\underbrace{S\left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }\right)
}_{\substack{=S\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)  S\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  \\\text{(denn }S\text{ ist ein}%
\\\text{Antialgebrahomomorphismus)}}}=x_{\left(  1\right)  }%
\underbrace{y_{\left(  1\right)  }S\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)
}_{=\varepsilon\left(  y\right)  \cdot1}S\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  =x_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  y\right)  S\left(
x_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =\varepsilon\left(  y\right)  \underbrace{x_{\left(  1\right)  }S\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\varepsilon\left(  x\right)  \cdot
1}=\varepsilon\left(  y\right)  \varepsilon\left(  x\right)  \cdot
1=\underbrace{\varepsilon\left(  x\right)  \varepsilon\left(  y\right)
}_{=\varepsilon\left(  xy\right)  }\cdot1=\varepsilon\left(  xy\right)  \cdot1
\end{align*}
und analog $S\left(  \left(  xy\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \left(
xy\right)  _{\left(  2\right)  }=\varepsilon\left(  xy\right)  \cdot1$).

\textbf{c)} F\"{u}r alle $x\in M$ gilt $x\in A$ (denn $x_{\left(  1\right)
}S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  =\varepsilon\left(  x\right)
\cdot1=S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }$). Somit
gilt $M\subseteq A$.

\textbf{d)} Aus \textbf{a)} und \textbf{b)} folgt, da\ss \ $A\subseteq H$ eine
Unteralgebra ist. Da $M\subseteq A$ ein Algebraerzeugendensystem von $H$ ist,
ist also $A=H.$ Wegen%
\[
A=\left\{  x\in H\ \mid\ x_{\left(  1\right)  }S\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1=S\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  x_{\left(  2\right)  }\right\}
\]
bedeutet dies, da\ss \ $x_{\left(  1\right)  }S\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1=S\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  x_{\left(  2\right)  }$ f\"{u}r jedes $x\in H$ gilt. Somit ist $H$
eine Hopfalgebra mit der Antipode $S$, was zu beweisen war.

\bigskip

\fbox{\textbf{Quotienten von Bialgebren und Hopfalgebren}}

Jetzt werden wir Quotienten von Bialgebren definieren:

\textbf{Definition:} \textbf{1)} Sei $H$ eine Bialgebra, und $I\subseteq H$
ein Untervektorraum. Dann hei\ss t $I$ ein \textit{Biideal} von $H,$ wenn $I$
ein Ideal und gleichzeitig ein Coideal von $H$ ist.

\textbf{2)} Sei $H$ eine Hopfalgebra mit Antipode $S,$ und $I\subseteq H$ ein
Untervektorraum. Dann hei\ss t $I$ ein \textit{Hopfideal} von $H,$ wenn $I$
ein Biideal von $H$ ist und $S\left(  I\right)  \subseteq I$ ist.

\textbf{2.17. Bemerkung:} \textbf{1)} Sei $H$ eine Bialgebra, und sei
$I\subseteq H$ ein Biideal. Dann ist $H\diagup I$ eine Bialgebra, wobei die
Multiplikation auf $H\diagup I$ durch $\overline{x}\cdot\overline{y}%
=\overline{x\cdot y}$ f\"{u}r alle $x,y\in H,$ das Einselement durch
$1_{H\diagup I}=\overline{1_{H}},$ die Comultiplikation durch $\Delta
_{H\diagup I}\left(  \overline{x}\right)  =\overline{x_{\left(  1\right)  }%
}\otimes\overline{x_{\left(  2\right)  }}$ f\"{u}r alle $x\in H,$ und die
Coeins durch $\varepsilon_{H\diagup I}\left(  \overline{x}\right)
=\varepsilon\left(  x\right)  $ f\"{u}r alle $x\in H$ gegeben ist.

\textit{Beweis:} Da $I$ ein Ideal von $H$ ist, ist (laut Bemerkung 1.14.) die
Multiplikation auf $H\diagup I$ wohldefiniert, und $H\diagup I$ ist mit dieser
Multiplikation (und dem Einselement $1_{H\diagup I}=\overline{1_{H}}$) auch
tats\"{a}chlich eine Algebra. Da $I$ ein Coideal von $H$ ist, sind (laut
Bemerkung 2.10. \textbf{2)}) die Comultiplikation $\Delta_{H\diagup I}$ und
die Coeins $\varepsilon_{H\diagup I}$ ebenfalls wohldefiniert, und $H\diagup
I$ wird zu einer Coalgebra. Jetzt m\"{u}ssen wir nur noch beweisen,
da\ss \ diese Algebrastruktur und diese Coalgebrastruktur auf $H\diagup I$
zusammen eine Bialgebra ergeben. Dies ist jedoch sehr
leicht\footnote{\textit{Beweis:} Sei $\pi:H\rightarrow H\diagup I$ die
kanonische Projektion. Dann ist $\pi$ linear, und jedes $t\in H$ erf\"{u}llt
$\overline{t}=\pi\left(  t\right)  $.
\par
F\"{u}r alle $a,b\in H\diagup I$ gilt $\Delta_{H\diagup I}\left(  ab\right)
=\Delta_{H\diagup I}\left(  a\right)  \Delta_{H\diagup I}\left(  b\right)  $
(denn f\"{u}r alle $a,b\in H\diagup I$ existieren $x,y\in H$ mit
$a=\overline{x}$ und $b=\overline{y}$, und diese $x,y$ erf\"{u}llen%
\begin{align*}
&  \Delta_{H\diagup I}\left(  \underbrace{a}_{=\overline{x}}\underbrace{b}%
_{=\overline{y}}\right) \\
&  =\Delta_{H\diagup I}\left(  \underbrace{\overline{x}\cdot\overline{y}%
}_{=\overline{xy}}\right)  =\Delta_{H\diagup I}\left(  \overline{xy}\right)
=\underbrace{\overline{\left(  xy\right)  _{\left(  1\right)  }}}_{=\pi\left(
\left(  xy\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  }\otimes\underbrace{\overline
{\left(  xy\right)  _{\left(  2\right)  }}}_{=\pi\left(  \left(  xy\right)
_{\left(  2\right)  }\right)  }\\
&  =\pi\left(  \left(  xy\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \otimes
\pi\left(  \left(  xy\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  =\left(
\pi\otimes\pi\right)  \left(  \left(  xy\right)  _{\left(  1\right)  }%
\otimes\left(  xy\right)  _{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =\left(  \pi\otimes\pi\right)  \left(  x_{\left(  1\right)  }y_{\left(
1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\left(  xy\right)  _{\left(
1\right)  }\otimes\left(  xy\right)  _{\left(  2\right)  }=x_{\left(
1\right)  }y_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }y_{\left(
2\right)  }\text{, da }H\text{ eine Bialgebra ist}\right) \\
&  =\underbrace{\pi\left(  x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)
}\right)  }_{=\overline{x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  }%
}=\overline{x_{\left(  1\right)  }}\cdot\overline{y_{\left(  1\right)  }}%
}\otimes\underbrace{\pi\left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)
}\right)  }_{=\overline{x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }%
}=\overline{x_{\left(  2\right)  }}\cdot\overline{y_{\left(  2\right)  }}%
}=\overline{x_{\left(  1\right)  }}\cdot\overline{y_{\left(  1\right)  }%
}\otimes\overline{x_{\left(  2\right)  }}\cdot\overline{y_{\left(  2\right)
}}=\underbrace{\left(  \overline{x_{\left(  1\right)  }}\otimes\overline
{x_{\left(  2\right)  }}\right)  }_{=\Delta_{H\diagup I}\left(  \overline
{x}\right)  }\underbrace{\left(  \overline{y_{\left(  1\right)  }}%
\otimes\overline{y_{\left(  2\right)  }}\right)  }_{=\Delta_{H\diagup
I}\left(  \overline{y}\right)  }\\
&  =\Delta_{H\diagup I}\left(  \underbrace{\overline{x}}_{=a}\right)
\Delta_{H\diagup I}\left(  \underbrace{\overline{y}}_{=b}\right)
=\Delta_{H\diagup I}\left(  a\right)  \Delta_{H\diagup I}\left(  b\right)
\end{align*}
) und $\varepsilon_{H\diagup I}\left(  ab\right)  =\varepsilon_{H\diagup
I}\left(  a\right)  \varepsilon_{H\diagup I}\left(  b\right)  $ (denn f\"{u}r
alle $a,b\in H\diagup I$ existieren $x,y\in H$ mit $a=\overline{x}$ und
$b=\overline{y}$, und diese $x,y$ erf\"{u}llen%
\begin{align*}
\varepsilon_{H\diagup I}\left(  \underbrace{a}_{=\overline{x}}\underbrace{b}%
_{=\overline{y}}\right)   &  =\varepsilon_{H\diagup I}\left(
\underbrace{\overline{x}\overline{y}}_{=\overline{xy}}\right)  =\varepsilon
_{H\diagup I}\left(  \overline{xy}\right)  =\varepsilon\left(  xy\right)
=\underbrace{\varepsilon\left(  x\right)  }_{=\varepsilon_{H\diagup I}\left(
\overline{x}\right)  }\underbrace{\varepsilon\left(  y\right)  }%
_{=\varepsilon_{H\diagup I}\left(  \overline{y}\right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }H\text{ ist eine Bialgebra}\right)
\\
&  =\varepsilon_{H\diagup I}\left(  \underbrace{\overline{x}}_{=a}\right)
\varepsilon_{H\diagup I}\left(  \underbrace{\overline{y}}_{=b}\right)
=\varepsilon_{H\diagup I}\left(  a\right)  \varepsilon_{H\diagup I}\left(
b\right)
\end{align*}
). Somit ist $H\diagup I$ eine Bialgebra.}. Damit ist der Beweis abgeschlossen.

%% BEGIN COMMENT
%%
%% Genauer @ Multiplikation:
%%
%% Wir wollen zuerst zeigen, da\ss \ die Multiplikation auf $H\diagup I$
%% wohldefiniert ist. Wir haben das Produkt zweier Elemente $u$ und $v$ von
%% $H\diagup I$ definiert als die Restklasse  $\overline{x\cdot y}$, wobei $x\in
%% H$ ein Repr\"{a}sentant der Restklasse $u$ ist, und $y\in H$ ein
%% Repr\"{a}sentant der Restklasse $v$ ist. Um zu zeigen, da\ss \ dieses Produkt
%% wohldefiniert ist, m\"{u}ssen wir nachweisen, da\ss \ die Restklasse
%% $\overline{x\cdot y}$ nicht von der Wahl der Repr\"{a}sentanten $x$ und $y$
%% (sondern h\"{o}chstens von $u$ und $v$ selber) abh\"{a}ngt. Doch dies ist
%% klar: Sind $x^{\prime}$ und $y^{\prime}$ zwei weitere Repr\"{a}sentanten der
%% Restklassen $u$ bzw. $v$, dann ist $x-x^{\prime}\in I$ (denn $x$ und
%% $x^{\prime}$ repr\"{a}sentieren die gleiche Restklasse modulo $I$, n\"{a}mlich
%% die Restklasse $u$) und analog $y-y^{\prime}\in I$, und somit%
%% \[
%% x\cdot y-x^{\prime}\cdot y^{\prime}=\underbrace{\left(  x-x^{\prime}\right)
%% }_{\in I}\cdot\underbrace{y}_{\in H}+\underbrace{x^{\prime}}_{\in H}%
%% \cdot\underbrace{\left(  y-y^{\prime}\right)  }_{\in I}\in
%% I\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }I\text{ ist ein Ideal von }H\right)
%% \]
%% [...]
%%
%% END COMMENT


\textbf{2)} Ist $H$ eine Hopfalgebra, und ist $I\subseteq H$ ein Hopfideal, so
ist $H\diagup I$ eine Hopfalgebra, wobei die Bialgebrastruktur wie in
\textbf{1)} definiert ist. Die Antipode $S$ von $H\diagup I$ erf\"{u}llt
$S_{H\diagup I}\left(  \overline{x}\right)  =\overline{S\left(  x\right)  }$
f\"{u}r alle $x\in H.$ Die kanonische Projektion $H\rightarrow H\diagup I$ ist
ein Hopfalgebrahomomorphismus.

\textit{Beweis:} Man definiere eine Abbildung $\overline{S}:H\diagup
I\rightarrow H\diagup I$ durch $\overline{S}\left(  \overline{x}\right)
=\overline{S\left(  x\right)  }$ f\"{u}r alle $x\in H$ (dazu muss man wieder
erst einmal zeigen, da\ss \ diese Abbildung $\overline{S}$ wohldefiniert ist,
aber dies folgt leicht aus $S\left(  I\right)  \subseteq I$), und zeige,
da\ss \ diese Abbildung $\overline{S}$ eine Antipode der Bialgebra $H\diagup
I$ ist (also die Axiome erf\"{u}llt, die eine Antipode erf\"{u}llen mu\ss ).

\textbf{3)} Sei $H$ eine Hopfalgebra, und sei $G\subseteq G\left(  H\right)  $
eine Teilmenge von $G\left(  H\right)  $. Dann ist das Ideal $\left(
g-1\ \mid\ g\in G\right)  $ (dies ist das von allen Elementen der Form $g-1$
mit $g\in G$ erzeugte (zweiseitige) Ideal in $H$) ein Hopfideal in $H.$

\textit{Beweis:} Erstmal ist $I=\sum\limits_{g\in G}k\left(  g-1\right)  $ ein
Coideal in $H,$ denn f\"{u}r alle $g\in G$ ist $\varepsilon\left(  g-1\right)
=0$ und $\Delta\left(  g-1\right)  =\Delta\left(  g\right)  -\Delta\left(
1\right)  =g\otimes g-1\otimes1=g\otimes\left(  g-1\right)  +\left(
g-1\right)  \otimes1\in H\otimes I+I\otimes H.$

Also folgt, da\ss \ $\left(  I\right)  $ (so bezeichnen wir das von $I$
erzeugte Ideal) ein Coideal von $H$ ist (denn $\left(  I\right)  $ ist der
$k$-$\operatorname*{span}$ von allen Elementen der Form $axb$ mit $a,b\in H$
und $x\in I,$ und f\"{u}r jedes solche Element gilt%
\[
\Delta\left(  axb\right)  =\Delta\left(  a\right)  \Delta\left(  x\right)
\Delta\left(  b\right)  \in\left(  H\otimes H\right)  \left(  H\otimes
I+I\otimes H\right)  \left(  H\otimes H\right)  \subseteq H\otimes I+I\otimes
H
\]
). Somit ist $\left(  I\right)  $ ein Biideal von $H.$ Au\ss erdem gilt
$S\left(  \left(  I\right)  \right)  \subseteq\left(  I\right)  ,$ da f\"{u}r
alle $g\in G$ gilt: $S\left(  g-1\right)  =g^{-1}-1=-g^{-1}\underbrace{\left(
g-1\right)  }_{\in I}\in I.$

\textbf{4)} Sei $H$ eine Bialgebra. Wir bezeichnen den Kern
$\operatorname*{Ker}\varepsilon$ des Algebrahomomorphismus $\varepsilon
:H\rightarrow k$ als das \textit{Augmentationsideal} von $H$ und nennen ihn
$H^{+}.$ Dann ist $H^{+}$ ein Biideal von $H,$ und f\"{u}r alle $x\in H^{+}$
gilt%
\[
\Delta\left(  x\right)  \in x\otimes1+1\otimes x+H^{+}\otimes H^{+}.
\]


\textit{Beweis:}\footnote{Dies war Gegenstand von Aufgabe 3 auf dem
\"{U}bungsblatt 4.} Da\ss \ $H^{+}=\operatorname*{Ker}\varepsilon$ ein
Untervektorraum und ein Ideal von $H$ ist, ist klar. Nun ist das Bild der
Abbildung $\operatorname*{id}-\eta\varepsilon:H\rightarrow H$ offensichtlich
in $H^{+}$ enthalten (denn f\"{u}r alle $y\in H$ ist
\[
\varepsilon\left(  \left(  \operatorname*{id}-\eta\varepsilon\right)  \left(
y\right)  \right)  =\left(  \varepsilon-\underbrace{\varepsilon\eta
}_{=\operatorname*{id}_{k}}\varepsilon\right)  \left(  y\right)  =\left(
\varepsilon-\varepsilon\right)  \left(  y\right)  =0,
\]
also $\left(  \operatorname*{id}-\eta\varepsilon\right)  \left(  y\right)
\in\operatorname*{Ker}\varepsilon=H^{+}$). Somit ist das Bild der Abbildung
$\left(  \operatorname*{id}-\eta\varepsilon\right)  \otimes\left(
\operatorname*{id}-\eta\varepsilon\right)  :H\otimes H\rightarrow H\otimes H$
in $H^{+}\otimes H^{+}$ enthalten. F\"{u}r jedes $x\in H$ ist also%
\[
\left(  \left(  \operatorname*{id}-\eta\varepsilon\right)  \otimes\left(
\operatorname*{id}-\eta\varepsilon\right)  \right)  \left(  \Delta\left(
x\right)  \right)  \in H^{+}\otimes H^{+}.
\]
Doch unter Verwendung der summenlosen Sweedler-Notation ist%
\begin{align*}
&  \left(  \left(  \operatorname*{id}-\eta\varepsilon\right)  \otimes\left(
\operatorname*{id}-\eta\varepsilon\right)  \right)  \left(  \Delta\left(
x\right)  \right)  =\left(  \operatorname*{id}\otimes\operatorname*{id}%
-\eta\varepsilon\otimes\operatorname*{id}-\operatorname*{id}\otimes
\eta\varepsilon+\eta\varepsilon\otimes\eta\varepsilon\right)  \left(
\Delta\left(  x\right)  \right) \\
&  =\Delta\left(  x\right)  -\left(  \eta\varepsilon\right)  \left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes x_{\left(  2\right)  }-x_{\left(
1\right)  }\otimes\left(  \eta\varepsilon\right)  \left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  +\left(  \eta\varepsilon\right)  \left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  \otimes\left(  \eta\varepsilon\right)  \left(  x_{\left(  2\right)
}\right) \\
&  =\Delta\left(  x\right)  -\varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
1\otimes x_{\left(  2\right)  }-x_{\left(  1\right)  }\otimes\varepsilon
\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  1+\varepsilon\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  1\otimes\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
1\\
&  =\Delta\left(  x\right)  -1\otimes\varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  x_{\left(  2\right)  }-x_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes1+\varepsilon\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  \varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
1\otimes1\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\varepsilon\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  \text{ und }\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \text{ sind Skalare}\right) \\
&  =\Delta\left(  x\right)  -1\otimes\underbrace{\varepsilon\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }}_{=x}-\underbrace{x_{\left(
1\right)  }\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=x}%
\otimes1+\varepsilon\left(  \underbrace{\varepsilon\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }}_{=x}\right)  1\otimes1\\
&  =\Delta\left(  x\right)  -1\otimes x-x\otimes1+\varepsilon\left(  x\right)
1\otimes1.
\end{align*}
Wir haben damit gezeigt, da\ss
\[
\Delta\left(  x\right)  -1\otimes x-x\otimes1+\varepsilon\left(  x\right)
1\otimes1\in H^{+}\otimes H^{+}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in H
\]
ist; das hei\ss t,%
\[
\Delta\left(  x\right)  \in x\otimes1+1\otimes x-\varepsilon\left(  x\right)
1\otimes1+H^{+}\otimes H^{+}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in H.
\]
Ist nun $x\in H^{+},$ so ist $\varepsilon\left(  x\right)  =0$ (denn $x\in
H^{+}=\operatorname*{Ker}\varepsilon$), und damit vereinfacht sich dies zu%
\[
\Delta\left(  x\right)  \in x\otimes1+1\otimes x+H^{+}\otimes H^{+}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in H^{+}.
\]
Aus dieser Gleichung folgt sofort, da\ss \ $H^{+}$ ein Coideal von $H$ ist
(denn f\"{u}r alle $x\in H^{+}$ ist%
\[
\Delta\left(  x\right)  \in\underbrace{x\otimes1}_{\in H^{+}\otimes
H}+\underbrace{1\otimes x}_{\in H\otimes H^{+}}+\underbrace{H^{+}\otimes
H^{+}}_{\subseteq H\otimes H^{+}}\subseteq H^{+}\otimes H+H\otimes H^{+},
\]
also $\Delta\left(  H^{+}\right)  \subseteq H^{+}\otimes H+H\otimes H^{+}$).
Damit ist $H^{+}$ zugleich ein Untervektorraum, ein Ideal und ein Coideal von
$H;$ somit ist $H^{+}$ ein Biideal von $H,$ und Bemerkung \textbf{4)} ist bewiesen.

\textbf{5)} Sei $H$ eine Hopfalgebra. Wir bezeichnen den Kern
$\operatorname*{Ker}\varepsilon$ des Algebrahomomorphismus $\varepsilon
:H\rightarrow k$ als das \textit{Augmentationsideal} von $H$ und nennen ihn
$H^{+}.$ Dann ist $H^{+}$ ein Hopfideal von $H.$

\textit{Beweis:} Laut \textbf{4)} ist $H^{+}$ ein Biideal von $H$, und ferner
ist $S\left(  H^{+}\right)  \subseteq H^{+}$ (denn f\"{u}r jedes $x\in H^{+}$
ist $\varepsilon\left(  x\right)  =0$, also $\varepsilon\left(  S\left(
x\right)  \right)  =\varepsilon\left(  x\right)  =0$ und damit $S\left(
x\right)  \in\operatorname*{Ker}\varepsilon=H^{+}$). Somit ist $H^{+}$ ein
Hopfideal von $H$, was zu beweisen war.

\textbf{6)} Seien $H$ und $H^{\prime}$ zwei Bialgebren, und sei
$f:H\rightarrow H^{\prime}$ ein Bialgebrahomomorphismus. Dann ist
$\operatorname*{Ker}f\subseteq H$ ein Biideal.

\textit{Beweis:} Offensichtlich ist $\operatorname*{Ker}f$ ein Ideal, und nach
2.10. \textbf{3)} ist $\operatorname*{Ker}f$ auch ein Coideal, was zu beweisen war.

\textbf{7)} Seien $H$ und $H^{\prime}$ zwei Hopfalgebren, und sei
$f:H\rightarrow H^{\prime}$ ein Bialgebrahomomorphismus. Dann ist
$\operatorname*{Ker}f\subseteq H$ ein Hopfideal.

\textit{Beweis:} Nach \textbf{6)} ist $\operatorname*{Ker}f$ ein Biideal. Es
bleibt also nur noch zu zeigen, da\ss \ $S\left(  \operatorname*{Ker}f\right)
\subseteq\operatorname*{Ker}f$ ist. Doch nach 2.14. \textbf{1)} ist $Sf=fS,$
und damit $f\left(  S\left(  \operatorname*{Ker}f\right)  \right)  =\left(
fS\right)  \left(  \operatorname*{Ker}f\right)  =\left(  Sf\right)  \left(
\operatorname*{Ker}f\right)  =0,$ also $S\left(  \operatorname*{Ker}f\right)
\subseteq\operatorname*{Ker}f,$ was zu beweisen war.

\textbf{8)} Sei $H$ eine Hopfalgebra, und sei $I\subseteq H$ ein Ideal (d. h.
ein zweiseitiges Ideal) der Algebra $H.$ Angenommen, $I\neq H$, $\Delta\left(
I\right)  \subseteq I\otimes H+H\otimes I$ und $S\left(  I\right)  \subseteq
I.$ Dann ist $I$ ein Hopfideal von $H.$

\textit{Beweis:} Wenn $1\in I$ w\"{a}re, dann w\"{a}re $I=H$ im Widerspruch zu
$I\neq H$. Also mu\ss \ $1\notin I$ gelten. Daher ist $k\cdot1\cap I=0.$
F\"{u}r jedes $x\in I$ ist aber%
\begin{align*}
\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1  &  =S\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  x_{\left(  2\right)  }\in\underbrace{S\left(  I\right)  }_{\subseteq
I}H+\underbrace{S\left(  H\right)  }_{\subseteq H}I\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }x_{\left(  1\right)  }\otimes
x_{\left(  2\right)  }=\Delta\left(  x\right)  \in\Delta\left(  I\right)
\subseteq I\otimes H+H\otimes I\right) \\
&  \subseteq IH+HI\subseteq I\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }I\text{ ein
Ideal von }H\text{ ist}\right)  ,
\end{align*}
also $\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1\in k\cdot1\cap I=0,$ und damit
$\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1=0,$ also $\varepsilon\left(  x\right)
=0.$ Damit ist $\varepsilon\left(  I\right)  =0,$ was zusammen mit
$\Delta\left(  I\right)  \subseteq I\otimes H+H\otimes I$ ergibt,
da\ss \ $I\subseteq H$ ein Coideal ist. Somit ist $I$ insgesamt ein Hopfideal
von $H,$ was zu zeigen war.

Wir wollen noch kurz anmerken, wie man aus zwei Bialgebren bzw. Hopfalgebren
eine neue durch Tensorieren bilden kann:

\textbf{2.17}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{. Satz:}
\textbf{1)} Sind $H$ und $H^{\prime}$ zwei Bialgebren, so wird auch $H\otimes
H^{\prime}$ kanonisch zu einer Bialgebra, indem man die Algebrastruktur auf
$H\otimes H^{\prime}$ gem\"{a}\ss \ Kapitel I.1 (Tensorprodukt zweier
Algebren) und die Coalgebrastruktur auf $H\otimes H^{\prime}$
gem\"{a}\ss \ Kapitel I.2 (Tensorprodukt zweier Coalgebren) einf\"{u}hrt.

\textbf{2)} Sind $H$ und $H^{\prime}$ zwei Hopfalgebren, dann ist die
gem\"{a}\ss \ \textbf{1)} definierte Bialgebra $H\otimes H^{\prime}$ ebenfalls
eine Hopfalgebra, und ihre Antipode ist $S_{H}\otimes S_{H^{\prime}}:H\otimes
H^{\prime}\rightarrow H\otimes H^{\prime}.$

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Seien $\Delta_{H}$ und $\Delta_{H^{\prime}}$ die
Comultiplikationen der Bialgebren $H$ bzw. $H^{\prime}$. Seien $\varepsilon
_{H}$ und $\varepsilon_{H^{\prime}}$ die Coeinsen der Bialgebren $H$ bzw.
$H^{\prime}$.

Da $H$ eine Bialgebra ist, ist die Comultiplikation $\Delta_{H}$ ein
Algebrahomomorphismus. Analog ist $\Delta_{H^{\prime}}$ ein Algebrahomomorphismus.

Die Comultiplikation der Coalgebra $H\otimes H^{\prime}$ ist bekanntlich
definiert als die Abbildung $\Delta_{H\otimes H^{\prime}}:H\otimes H^{\prime
}\rightarrow\left(  H\otimes H^{\prime}\right)  \otimes\left(  H\otimes
H^{\prime}\right)  $, f\"{u}r die das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{6pc}\xymatrix{ H\otimes H^{\prime} \ar[r]^-{\Delta_H\otimes\Delta_{H^{\prime}}} \ar[rrd]_-{\Delta_{H\otimes H^{\prime}}} & H\otimes H^{\prime}\otimes H\otimes H^{\prime} \ar[r]^-{\operatorname*{id}\otimes\tau\otimes\operatorname*{id}}_-{\cong} & H\otimes H^{\prime}\otimes H\otimes H^{\prime} \ar[d]^{=} \\ & & \left(H\otimes H^{\prime}\right)\otimes\left(H\otimes H^{\prime}\right) }
\]
kommutativ ist, wobei $\tau:H\otimes H^{\prime}\rightarrow H^{\prime}\otimes
H$ die durch
\[
\tau\left(  c\otimes d\right)  =d\otimes c\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }c\in H\text{ und }d\in H^{\prime}%
\]
definierte $k$-lineare Abbildung ist. Somit ist die Comultiplikation
$\Delta_{H\otimes H^{\prime}}$ die Verkettung $\left(  \operatorname{id}%
\otimes\tau\otimes\operatorname{id}\right)  \circ\left(  \Delta_{H}%
\otimes\Delta_{H^{\prime}}\right)  $.

Nun sind aber $\operatorname{id}$, $\tau$, $\Delta_{H}$ und $\Delta
_{H^{\prime}}$ Algebrahomomorphismen, und folglich sind auch
$\operatorname{id}\otimes\tau\otimes\operatorname{id}$ und $\Delta_{H}%
\otimes\Delta_{H^{\prime}}$ Algebrahomomorphismen (denn das Tensorprodukt
mehrerer Algebrahomomorphismen ist stets ein Algebrahomomorphismus). Folglich
ist auch die Verkettung $\left(  \operatorname{id}\otimes\tau\otimes
\operatorname{id}\right)  \circ\left(  \Delta_{H}\otimes\Delta_{H^{\prime}%
}\right)  $ ein Algebrahomomorphismus (denn die Verkettung zweier
Algebrahomomorphismen ist ein Algebrahomomorphismus). Wegen $\Delta_{H\otimes
H^{\prime}}=\left(  \operatorname{id}\otimes\tau\otimes\operatorname{id}%
\right)  \circ\left(  \Delta_{H}\otimes\Delta_{H^{\prime}}\right)  $ ist also
$\Delta_{H\otimes H^{\prime}}$ ein Algebrahomomorphismus.

Da $H$ eine Bialgebra ist, ist die Coeins $\varepsilon_{H}$ ein
Algebrahomomorphismus. Analog ist $\varepsilon_{H^{\prime}}$ ein Algebrahomomorphismus.

Die Coeins der Coalgebra $H\otimes H^{\prime}$ ist bekanntlich definiert als
die Abbildung $\varepsilon_{H\otimes H^{\prime}}:H\otimes H^{\prime
}\rightarrow k$, f\"{u}r die das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{6pc}\xymatrix{ H\otimes H^{\prime} \ar[rd]_-{\varepsilon_{H\otimes H^{\prime}}} \ar[r]^{\varepsilon_H\otimes \varepsilon_{H^{\prime}}} & k\otimes k\ar[d]^-{\mathrm{kan}}_{\cong} \\ & k }
\]
kommutativ ist. Das hei\ss t, die Coeins $\varepsilon_{H\otimes H^{\prime}}$
der Coalgebra $H\otimes H^{\prime}$ ist die Verkettung $\operatorname{kan}%
\circ\left(  \varepsilon_{H}\otimes\varepsilon_{H^{\prime}}\right)  $. Da aber
$\varepsilon_{H}$ und $\varepsilon_{H^{\prime}}$ Algebrahomomorphismen sind,
mu\ss \ auch das Tensorprodukt $\varepsilon_{H}\otimes\varepsilon_{H^{\prime}%
}$ ein Algebrahomomorphismus sein (denn das Tensorprodukt mehrerer
Algebrahomomorphismen ist stets ein Algebrahomomorphismus).

Da $\varepsilon_{H}\otimes\varepsilon_{H^{\prime}}$ und $\operatorname{kan}$
Algebrahomomorphismen sind, ist auch die Verkettung $\operatorname{kan}%
\circ\left(  \varepsilon_{H}\otimes\varepsilon_{H^{\prime}}\right)  $ ein
Algebrahomomorphismus (denn die Verkettung zweier Algebrahomomorphismen ist
ein Algebrahomomorphismus). Wegen $\varepsilon_{H\otimes H^{\prime}%
}=\operatorname{kan}\circ\left(  \varepsilon_{H}\otimes\varepsilon_{H^{\prime
}}\right)  $ ist also $\varepsilon_{H\otimes H^{\prime}}$ ein Algebrahomomorphismus.

Da nun sowohl die Comultiplikation $\Delta_{H\otimes H^{\prime}}$, als auch
die Coeins $\varepsilon_{H\otimes H^{\prime}}$ der Coalgebra $H\otimes
H^{\prime}$ Algebrahomomorphismen sind, mu\ss \ $H\otimes H^{\prime}$ eine
Bialgebra sein, was zu beweisen war.

\textbf{2)} Wir m\"{u}ssen zeigen, da\ss \ die Bialgebra $H\otimes H^{\prime}$
eine Hopfalgebra mit Antipode $S_{H}\otimes S_{H^{\prime}}$ ist. Um dies zu
beweisen, m\"{u}ssen wir (gem\"{a}\ss \ der Definition einer Antipode)
beweisen, da\ss \ $S_{H}\otimes S_{H^{\prime}}$ das $\ast$-Inverse der
Identit\"{a}t $\operatorname{id}:H\otimes H^{\prime}\rightarrow H\otimes
H^{\prime}$ ist, also da\ss \ $\left(  S_{H}\otimes S_{H^{\prime}}\right)
\ast\operatorname{id}=\eta\varepsilon=\operatorname{id}\ast\left(
S_{H}\otimes S_{H^{\prime}}\right)  $ ist.

Wir wollen zuerst zeigen, da\ss \ $\left(  S_{H}\otimes S_{H^{\prime}}\right)
\ast\operatorname{id}=\eta\varepsilon$ gilt. Dazu zeigen wir zun\"{a}chst,
da\ss \ $\left(  \left(  S_{H}\otimes S_{H^{\prime}}\right)  \ast
\operatorname{id}\right)  \left(  T\right)  =\left(  \eta\varepsilon\right)
\left(  T\right)  $ f\"{u}r jeden \textit{reinen} Tensor $T\in H\otimes
H^{\prime}$ gilt.

In der Tat sei $T\in H\otimes H^{\prime}$ ein reiner Tensor. Das hei\ss t, es
gibt ein $c\in H$ und ein $d\in H^{\prime}$ mit $T=c\otimes d$. Betrachte
diese $c$ und $d$. Nach der Definition des Tensorproduktes zweier Coalgebren
gilt dann%
\[
\Delta\left(  c\otimes d\right)  =c_{\left(  1\right)  }\otimes d_{\left(
1\right)  }\otimes c_{\left(  2\right)  }\otimes d_{\left(  2\right)
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(  c\otimes
d\right)  =\varepsilon\left(  c\right)  \varepsilon\left(  d\right)  .
\]
Nun ist%
\begin{align*}
&  \left(  \left(  S_{H}\otimes S_{H^{\prime}}\right)  \ast\operatorname{id}%
\right)  \left(  T\right) \\
&  =\left(  S_{H}\otimes S_{H^{\prime}}\right)  \left(  T_{\left(  1\right)
}\right)  \cdot T_{\left(  2\right)  }=\underbrace{\left(  S_{H}\otimes
S_{H^{\prime}}\right)  \left(  c_{\left(  1\right)  }\otimes d_{\left(
1\right)  }\right)  }_{=S_{H}\left(  c_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes
S_{H^{\prime}}\left(  d_{\left(  1\right)  }\right)  }\cdot\left(  c_{\left(
2\right)  }\otimes d_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }T_{\left(  1\right)  }\otimes
T_{\left(  2\right)  }=\Delta\left(  \underbrace{T}_{=c\otimes d}\right)
=\Delta\left(  c\otimes d\right)  =c_{\left(  1\right)  }\otimes d_{\left(
1\right)  }\otimes c_{\left(  2\right)  }\otimes d_{\left(  2\right)  }\right)
\\
&  =\left(  S_{H}\left(  c_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes S_{H^{\prime}%
}\left(  d_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \cdot\left(  c_{\left(
2\right)  }\otimes d_{\left(  2\right)  }\right)  =\underbrace{\left(
S_{H}\left(  c_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot c_{\left(  2\right)
}\right)  }_{\substack{=\left(  \eta\varepsilon\right)  \left(  c\right)
\\\text{(denn }H\text{ ist eine Hopfalgebra)}}}\otimes\underbrace{\left(
S_{H^{\prime}}\left(  d_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot d_{\left(
2\right)  }\right)  }_{\substack{=\left(  \eta\varepsilon\right)  \left(
d\right)  \\\text{(denn }H^{\prime}\text{ ist eine Hopfalgebra)}}}\\
&  =\underbrace{\left(  \eta\varepsilon\right)  \left(  c\right)
}_{=\varepsilon\left(  c\right)  \cdot1}\otimes\underbrace{\left(
\eta\varepsilon\right)  \left(  d\right)  }_{=\varepsilon\left(  d\right)
\cdot1}=\left(  \varepsilon\left(  c\right)  \cdot1\right)  \otimes\left(
\varepsilon\left(  d\right)  \cdot1\right)  =\underbrace{\varepsilon\left(
c\right)  \varepsilon\left(  d\right)  }_{=\varepsilon\left(  c\otimes
d\right)  }\cdot1_{H\otimes H^{\prime}}=\varepsilon\left(  c\otimes d\right)
\cdot1_{H\otimes H^{\prime}}\\
&  =\left(  \eta\varepsilon\right)  \left(  \underbrace{c\otimes d}%
_{=T}\right)  =\left(  \eta\varepsilon\right)  \left(  T\right)  .
\end{align*}


Wir haben also gezeigt: $\left(  \left(  S_{H}\otimes S_{H^{\prime}}\right)
\ast\operatorname{id}\right)  \left(  T\right)  =\left(  \eta\varepsilon
\right)  \left(  T\right)  $ f\"{u}r jeden \textit{reinen} Tensor $T\in
H\otimes H^{\prime}$. Die Abbildungen $\left(  S_{H}\otimes S_{H^{\prime}%
}\right)  \ast\operatorname{id}$ und $\eta\varepsilon$ stimmen also auf jedem
reinen Tensor \"{u}berein. Da diese beiden Abbildungen linear sind, m\"{u}ssen
sie folglich identisch sein (denn zwei lineare Abbildungen aus einem
Tensorprodukt, die auf jedem reinen Tensor \"{u}bereinstimmen, m\"{u}ssen
identisch sein).

Damit ist $\left(  S_{H}\otimes S_{H^{\prime}}\right)  \ast\operatorname{id}%
=\eta\varepsilon$ gezeigt. Analog zeigt man $\operatorname{id}\ast\left(
S_{H}\otimes S_{H^{\prime}}\right)  =\eta\varepsilon$. Daher ist $\left(
S_{H}\otimes S_{H^{\prime}}\right)  \ast\operatorname{id}=\eta\varepsilon
=\operatorname{id}\ast\left(  S_{H}\otimes S_{H^{\prime}}\right)  $. Wie
gesagt, folgt hieraus, da\ss \ die Bialgebra $H\otimes H^{\prime}$ eine
Hopfalgebra mit Antipode $S_{H}\otimes S_{H^{\prime}}$ ist, qed.

\bigskip

\fbox{\textbf{Beispiele f\"{u}r Hopfalgebren}}

Nachdem wir recht allgemeine Eigenschaften von Hopfalgebren untersucht haben,
ist es an der Zeit, einige Beispiele f\"{u}r Hopfalgebren zusammenzustellen.
Eine Reihe solcher Beispiele haben wir bereits weiter oben in 2.11 gegeben -
n\"{a}mlich die Gruppenalgebren. Es gibt aber viele andere Beispiele, wie etwa
folgende\footnote{Weitere Beispiele werden wir in 2.30 kennenlernen.}:

\textbf{2.18. Beispiele:} \textbf{1)} Wir betrachten $k\left[  T\right]  ,$
die Polynomalgebra in einer Unbestimmten $T$ \"{u}ber dem K\"{o}rper $k$. Auf
dieser Algebra $k\left[  T\right]  $ gibt es genau eine Hopfalgebrastruktur,
die%
\[
\Delta\left(  T\right)  =T\otimes1+1\otimes T,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon
\left(  T\right)  =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S\left(
T\right)  =-T
\]
erf\"{u}llt.

\textit{Beweis:} Definiere mit der universellen Eigenschaft der Polynomalgebra
Algebrahomomorphismen%
\begin{align*}
\Delta &  :k\left[  T\right]  \rightarrow k\left[  T\right]  \otimes k\left[
T\right]  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{durch}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta\left(
T\right)  =T\otimes1+1\otimes T,\\
\varepsilon &  :k\left[  T\right]  \rightarrow
k\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{durch}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(
T\right)  =0,\\
S  &  :k\left[  T\right]  \rightarrow k\left[  T\right]
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{durch}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S\left(  T\right)  =-T
\end{align*}
\footnote{Die Antipode $S$ soll zwar laut Definition einer Hopfalgebra ein
Antialgebrahomomorphismus sein, aber die Polynomalgebra $k\left[  T\right]  $
ist kommutativ, und daher ist ein Antialgebrahomomorphismus $k\left[
T\right]  \rightarrow k\left[  T\right]  $ nichts anderes als ein
Algebrahomomorphismus $k\left[  T\right]  \rightarrow k\left[  T\right]  .$}.
Nach Folgerung 2.16. \textbf{1)} und Folgerung 2.16 \textbf{2)} folgt,
da\ss \ damit $k\left[  T\right]  $ zu einer Hopfalgebra wird, wenn erstmal
die Hopfalgebraaxiome%
\begin{align*}
&  x_{\left(  1\right)  }\otimes\Delta\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
=\Delta\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes x_{\left(  2\right)
},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  =x=\varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
x_{\left(  2\right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{\left(  1\right)
}S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  =\varepsilon\left(  x\right)
\cdot1=S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }%
\end{align*}
f\"{u}r $x=T$ nachgepr\"{u}ft sind (denn $\left(  T\right)  $ ist
ein\ Algebraerzeugendensystem der $k$-Algebra $k\left[  T\right]  $). Doch
diese Axiome sind f\"{u}r $x=T$ leicht
nachzupr\"{u}fen\footnote{\textit{Beweis:} Sei $x=T$. Dann ist $x_{\left(
1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }=\Delta\left(  x\right)
=\Delta\left(  T\right)  =T\otimes1+1\otimes T$, und somit%
\begin{align*}
x_{\left(  1\right)  }\otimes\Delta\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)   &
=T\otimes\underbrace{\Delta\left(  1\right)  }_{=1}+1\otimes\underbrace{\Delta
\left(  T\right)  }_{=T\otimes1+1\otimes T}=T\otimes1\otimes1+1\otimes
T\otimes1+1\otimes1\otimes T;\\
\Delta\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes x_{\left(  2\right)  }
&  =\underbrace{\Delta\left(  T\right)  }_{=T\otimes1+1\otimes T}%
\otimes1+\underbrace{\Delta\left(  1\right)  }_{=1}\otimes1=T\otimes
1\otimes1+1\otimes T\otimes1+1\otimes1\otimes T;\\
x_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)   &
=T\underbrace{\varepsilon\left(  1\right)  }_{=1}+1\underbrace{\varepsilon
\left(  T\right)  }_{=0}=T\cdot1=T=x;\\
\varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }  &
=\underbrace{\varepsilon\left(  T\right)  }_{=0}1+\underbrace{\varepsilon
\left(  1\right)  }_{=1}T=1\cdot T=T=x;\\
x_{\left(  1\right)  }S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)   &
=T\underbrace{S\left(  1\right)  }_{=1}+1\underbrace{S\left(  T\right)
}_{=-T}=0;\\
S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }  &
=\underbrace{S\left(  T\right)  }_{=-T}1+\underbrace{S\left(  1\right)  }%
_{=1}T=0;\\
\underbrace{\varepsilon\left(  T\right)  }_{=0}\cdot1  &  =0,
\end{align*}
also%
\begin{align*}
x_{\left(  1\right)  }\otimes\Delta\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)   &
=T\otimes1\otimes1+1\otimes T\otimes1+1\otimes1\otimes T=\Delta\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes x_{\left(  2\right)  };\\
x_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)   &
=x=\varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  };\\
x_{\left(  1\right)  }S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)   &
=0=\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1=0=S\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  x_{\left(  2\right)  }.
\end{align*}
Folglich gelten alle drei Axiome%
\begin{align*}
&  x_{\left(  1\right)  }\otimes\Delta\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
=\Delta\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes x_{\left(  2\right)
},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  =x=\varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
x_{\left(  2\right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{\left(  1\right)
}S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  =\varepsilon\left(  x\right)
\cdot1=S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }%
\end{align*}
f\"{u}r $x=T$, was zu beweisen war.}. Somit ist $k\left[  T\right]  $ eine Hopfalgebra.

\textbf{2)} In der Hopfalgebra $k\left[  T\right]  $, welche in Beispiel
\textbf{1)} eingef\"{u}hrt wurde, gilt: F\"{u}r alle $n\geq0$ ist
$\Delta\left(  T^{n}\right)  =\sum\limits_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}T^{i}\otimes
T^{n-i}.$

\textit{Beweis:} Klar, da%
\begin{align*}
\Delta\left(  T^{n}\right)   &  =\left(  \Delta\left(  T\right)  \right)
^{n}=\left(  T\otimes1+1\otimes T\right)  ^{n}=\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}%
{i}\underbrace{\left(  T\otimes1\right)  ^{i}}_{=T^{i}\otimes1}%
\underbrace{\left(  1\otimes T\right)  ^{n-i}}_{=1\otimes T^{n-i}}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach der binomischen Formel, da }%
T\otimes1\text{ und }1\otimes T\text{ kommutieren}\right) \\
&  =\sum\limits_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}T^{i}\otimes T^{n-i}.
\end{align*}


\textbf{3)} Angenommen, $\operatorname*{char}k=p>0.$ Dann ist die Algebra
$k\left[  T\right]  \diagup\left(  T^{p}\right)  $ eine Quotienten-Hopfalgebra
von $k\left[  T\right]  ,$ denn $\left(  T^{p}\right)  $ ist ein Hopfideal.

\textit{Beweis:} Da $\dbinom{p}{i}=0$ in $k$ f\"{u}r alle $i\in\left\{
1,2,...,p-1\right\}  $ ist (denn wegen $p=\operatorname*{char}k>0$ ist $p$
prim), wird $\Delta\left(  T^{p}\right)  =\sum\limits_{i=0}^{p}\dbinom{p}%
{i}T^{i}\otimes T^{p-i}$ zu $\Delta\left(  T^{p}\right)  =1\otimes T^{p}%
+T^{p}\otimes1.$ Au\ss erdem ist $\varepsilon\left(  T^{p}\right)  =\left(
\varepsilon\left(  T\right)  \right)  ^{p}=0$ und $S\left(  T^{p}\right)
=\left(  -1\right)  ^{p}T^{p}.$ Daher ist $\left(  T^{p}\right)  $ ein
Hopfideal, qed.

\textbf{3}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{)} Angenommen,
$\operatorname*{char}k=p>0.$ Seien $n,m\geq1$ und $\alpha,\beta\in k.$ Dann
gibt es auf der Algebra $k\left\langle t\mid t^{p^{n+m}}=0\right\rangle $
genau eine Hopfalgebrastruktur, die%
\[
\Delta\left(  t\right)  =t\otimes1+1\otimes t+\alpha t^{p^{n}}\otimes
t^{p^{m}}+\beta t^{p^{m}}\otimes t^{p^{n}}%
\]
erf\"{u}llt; f\"{u}r diese Hopfalgebrastruktur gilt%
\[
\varepsilon\left(  t\right)  =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S\left(  t\right)  =\left(  \alpha+\beta\right)
t^{p^{n}+p^{m}}-t.
\]


\textit{Beweis:} Dies ist (ein Teil von) Aufgabe 3 auf dem \"{U}bungsblatt 6.

\textbf{4)} \textbf{a)} Ist $A$ eine kommutative Algebra, und betrachtet man
$k\left[  T\right]  $ als Hopfalgebra wie in \textbf{1)}, dann gilt
$\operatorname*{Alg}\left(  k\left[  T\right]  ,A\right)  \cong A$ als Gruppen
(via dem Gruppenisomorphismus%
\[
\operatorname*{Alg}\left(  k\left[  T\right]  ,A\right)  \rightarrow
A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi\mapsto\varphi\left(  T\right)
\]
), wobei $A$ eine Gruppe bez\"{u}glich $+$ ist, und $\operatorname*{Alg}%
\left(  k\left[  T\right]  ,A\right)  $ eine Gruppe nach Folgerung 2.15.
\textbf{1)} \textbf{b)} ist.

\textbf{b)} Sei $\operatorname*{char}k=p>0.$ Sei $A$ eine kommutative Algebra.
Dann ist $\alpha_{p}\left(  A\right)  =\left\{  a\in A\mid a^{p}=0\right\}  $
eine Gruppe bez\"{u}glich $+.$ Man betrachte $k\left[  T\right]
\diagup\left(  T^{p}\right)  $ als Hopfalgebra wie in \textbf{3)}. Dann gilt
$\operatorname*{Alg}\left(  k\left[  T\right]  \diagup\left(  T^{p}\right)
,A\right)  \cong\alpha_{p}\left(  A\right)  $ als Gruppen (via dem
Gruppenisomorphismus%
\[
\operatorname*{Alg}\left(  k\left[  T\right]  \diagup\left(  T^{p}\right)
,A\right)  \rightarrow\alpha_{p}\left(  A\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi
\mapsto\varphi\left(  \overline{T}\right)
\]
), wobei $\operatorname*{Alg}\left(  k\left[  T\right]  \diagup\left(
T^{p}\right)  ,A\right)  $ eine Gruppe nach Folgerung 2.15. \textbf{1)}
\textbf{b)} ist.

\textit{Beweis:} \textbf{a)} Die Abbildung%
\[
\operatorname*{Alg}\left(  k\left[  T\right]  ,A\right)  \rightarrow
A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi\mapsto\varphi\left(  T\right)
\]
ist bijektiv nach der universellen Eigenschaft der Polynomalgebra, und ein
Gruppenhomomorphismus da f\"{u}r alle $\varphi,\psi\in\operatorname*{Alg}%
\left(  k\left[  T\right]  ,A\right)  $ gilt:%
\[
\left(  \varphi\ast\psi\right)  \left(  T\right)  =\varphi\left(  T\right)
\underbrace{\psi\left(  1\right)  }_{=1}+\underbrace{\varphi\left(  1\right)
}_{=1}\psi\left(  T\right)  =\varphi\left(  T\right)  +\psi\left(  T\right)
.
\]


\textbf{b)} Die Abbildung%
\[
\operatorname*{Alg}\left(  k\left[  T\right]  \diagup\left(  T^{p}\right)
,A\right)  \rightarrow\alpha_{p}\left(  A\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi
\mapsto\varphi\left(  \overline{T}\right)
\]
ist bijektiv nach den universellen Eigenschaften des Polynomrings und des
Faktorringes, und ein Gruppenhomomorphismus aus gleichem Grund wie in
\textbf{a)}.

\textbf{5)} Sei $n\geq1,$ und sei $H=k\left[  T_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq
n}$ die (kommutative) Polynomalgebra in $n^{2}$ Unbestimmten. Dann l\"{a}\ss t
sich $H$ eindeutig zu einer Bialgebra mit%
\[
\Delta\left(  T_{i,j}\right)  =\sum_{l=1}^{n}T_{i,l}\otimes T_{l,j}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(
T_{i,j}\right)  =\delta_{i,j}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }i\text{
und }j
\]
machen.

Setzt man $d=\det\left(  \left(  T_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\right)
\in k\left[  T_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n},$ dann ist $d$ ein
Gruppenelement in $H.$

\textit{Beweis:} Nach der universellen Eigenschaft der Polynomalgebra sind die
Algebrahomomorphismen $\Delta$ und $\varepsilon$ durch obige Gleichungen
wohldefiniert und eindeutig. Wie man leicht einsieht, gelten die
Coalgebraaxiome f\"{u}r die Erzeuger $T_{i,j}$ f\"{u}r $1\leq i,j\leq n.$ Nach
Folgerung 2.16. \textbf{1)} folgt daraus, da\ss \ $H$ eine Bialgebra ist.

Nun ist $d=\det\left(  \left(  T_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\right)  $,
also%
\begin{align*}
\Delta\left(  d\right)   &  =\Delta\left(  \det\left(  \left(  T_{i,j}\right)
_{1\leq i,j\leq n}\right)  \right)  =\det\left(  \left(  \Delta\left(
T_{i,j}\right)  \right)  _{1\leq i,j\leq n}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\det\text{ ist ein Polynom und kommutiert daher mit}\\
\text{dem Algebrahomomorphismus }\Delta
\end{array}
\right) \\
&  =\det\left(  \left(  \sum_{l=1}^{n}T_{i,l}\otimes T_{l,j}\right)  _{1\leq
i,j\leq n}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\Delta\left(
T_{i,j}\right)  =\sum_{l=1}^{n}T_{i,l}\otimes T_{l,j}\right)  .
\end{align*}
Doch%
\[
\left(  \sum_{l=1}^{n}T_{i,l}\otimes T_{l,j}\right)  _{1\leq i,j\leq
n}=\left(  T_{i,l}\otimes1\right)  _{1\leq i,l\leq n}\left(  1\otimes
T_{l,j}\right)  _{1\leq l,j\leq n}=\left(  T_{i,j}\otimes1\right)  _{1\leq
i,j\leq n}\left(  1\otimes T_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}.
\]
Daher ist auch%
\begin{align*}
\Delta\left(  d\right)   &  =\det\left(  \left(  \sum_{l=1}^{n}T_{i,l}\otimes
T_{l,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\right)  =\det\left(  \left(  T_{i,j}%
\otimes1\right)  _{1\leq i,j\leq n}\left(  1\otimes T_{i,j}\right)  _{1\leq
i,j\leq n}\right) \\
&  =\underbrace{\det\left(  \left(  T_{i,j}\otimes1\right)  _{1\leq i,j\leq
n}\right)  }_{=\det\left(  \left(  T_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\right)
\otimes1=d\otimes1}\underbrace{\det\left(  \left(  1\otimes T_{i,j}\right)
_{1\leq i,j\leq n}\right)  }_{=1\otimes\det\left(  \left(  T_{i,j}\right)
_{1\leq i,j\leq n}\right)  =1\otimes d}=\left(  d\otimes1\right)  \left(
1\otimes d\right)  =d\otimes d.
\end{align*}
Ferner ist%
\begin{align*}
\varepsilon\left(  d\right)   &  =\varepsilon\left(  \det\left(  \left(
T_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\right)  \right)  =\det\left(  \left(
\varepsilon\left(  T_{i,j}\right)  \right)  _{1\leq i,j\leq n}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\det\text{ ist ein Polynom und kommutiert daher mit}\\
\text{dem Algebrahomomorphismus }\varepsilon
\end{array}
\right) \\
&  =\det\left(  \left(  \delta_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\right)  =1.
\end{align*}
Daher ist $d$ ein Gruppenelement, was zu beweisen war.

\textbf{6)} Eine \textit{Vorbemerkung} zu den n\"{a}chsten Beispielen: In der
Bialgebra $H=k\left[  T_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}$ aus Beispiel
\textbf{5)} definieren wir die Elemente%
\[
\widetilde{T}_{i,j}=\left(  -1\right)  ^{i+j}\det\left(  \left(
T_{r,s}\right)  _{\substack{1\leq r,s\leq n;\\r\neq j;\ s\neq i}}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }i,j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  .
\]
Dann ist die Matrix $\left(  \widetilde{T}_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}$
die Adjunkte\footnote{die Adjunkte im Sinne der Linearen Algebra (also
\textit{nicht} die komplex Konjugierte der Transponierten)} der Matrix
$\left(  T_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}$. Nach einer klassischen Formel
gilt somit%
\[
\left(  T_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\left(  \widetilde{T}_{i,j}\right)
_{1\leq i,j\leq n}=\left(
\begin{array}
[c]{cccc}%
d & 0 & \ddots & 0\\
0 & d & \ddots & \ddots\\
\ddots & \ddots & \ddots & 0\\
0 & \ddots & 0 & d
\end{array}
\right)
\]
(denn $d=\det\left(  \left(  T_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\right)  $).
Hieraus folgt $\det\left(  \left(  T_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\left(
\widetilde{T}_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\right)  =d^{n}$.

\textbf{7)} Jetzt betrachten wir die Quotientenalgebra $k\left[
T_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}\diagup\left(  d-1\right)  $ der
Polynomalgebra $k\left[  T_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}$ in Beispiel
\textbf{5)}.

Wir schreiben $t_{i,j}=\overline{T_{i,j}}$ f\"{u}r alle $i$ und $j$ (wobei
$\overline{T_{i,j}}$ die Restklasse von $T_{i,j}$ modulo dem Ideal $\left(
d-1\right)  $ bezeichnet). Dann ist $k\left[  T_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq
n}\diagup\left(  d-1\right)  =k\left[  t_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}.$

Dann ist $k\left[  t_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}$ eine Hopfalgebra, wobei
gilt:%
\begin{align*}
&  \Delta\left(  t_{i,j}\right)  =\sum_{l=1}^{n}t_{i,l}\otimes t_{l,j}%
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(  t_{i,j}\right)  =\delta_{i,j},\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S\left(  t_{i,j}\right)
=\left(  -1\right)  ^{i+j}\det\left(  \left(  t_{r,s}\right)
_{\substack{1\leq r,s\leq n;\\r\neq j;\ s\neq i}}\right)  =\widetilde{t}%
_{i,j}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }i\text{ und }j,
\end{align*}
wobei $\widetilde{t}_{i,j}$ als $\overline{\widetilde{T}_{i,j}}$ f\"{u}r alle
$i$ und $j$ definiert ist.

\textit{Beweis:} \textbf{a)} Da $d$ ein Gruppenelement ist, ist $\left(
d-1\right)  $ ein Biideal (laut 2.17. \textbf{3)}) mit $\Delta\left(
d-1\right)  =d\otimes\left(  d-1\right)  +\left(  d-1\right)  \otimes1.$ Laut
2.17. \textbf{2)} ist also $k\left[  T_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}%
\diagup\left(  d-1\right)  $ eine Bialgebra. F\"{u}r diese Bialgebra gilt
offensichtlich%
\[
\Delta\left(  t_{i,j}\right)  =\sum_{l=1}^{n}t_{i,l}\otimes t_{l,j}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(
t_{i,j}\right)  =\delta_{i,j}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }i\text{
und }j\text{.}%
\]


\textbf{b)} Wir wissen, da\ss \
\[
\left(  T_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\left(  \widetilde{T}_{i,j}\right)
_{1\leq i,j\leq n}=\left(
\begin{array}
[c]{cccc}%
d & 0 & \ddots & 0\\
0 & d & \ddots & \ddots\\
\ddots & \ddots & \ddots & 0\\
0 & \ddots & 0 & d
\end{array}
\right)
\]
in $k\left[  T_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}$ gilt. Projizieren wir diese
Identit\"{a}t auf $k\left[  t_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}$, dann erhalten
wir%
\[
\left(  t_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\left(  \widetilde{t}_{i,j}\right)
_{1\leq i,j\leq n}=\left(
\begin{array}
[c]{cccc}%
1 & 0 & \ddots & 0\\
0 & 1 & \ddots & \ddots\\
\ddots & \ddots & \ddots & 0\\
0 & \ddots & 0 & 1
\end{array}
\right)
\]
(denn die Projektion von $d\in k\left[  T_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}$
auf $k\left[  t_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}$ ist $1$, weil ja $k\left[
t_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}=k\left[  T_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq
n}\diagup\left(  d-1\right)  $ ist). Mit anderen Worten: $\left(
t_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\left(  \widetilde{t}_{i,j}\right)  _{1\leq
i,j\leq n}=E$ (wobei $E$ die Einheitsmatrix ist).

\textbf{c)} Definiere $S$ wie folgt: Definiere zun\"{a}chst einen
Algebrahomomorphismus $\widehat{S}:k\left[  T_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq
n}\rightarrow k\left[  T_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}$ durch
\[
\widehat{S}\left(  T_{i,j}\right)  =\left(  -1\right)  ^{i+j}\det\left(
\left(  T_{r,s}\right)  _{\substack{1\leq r,s\leq n;\\r\neq j;\ s\neq
i}}\right)  =\widetilde{T}_{i,j}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle
}i\text{ und }j.
\]
Betrachte nun die Verkettung%
\[
\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
k\left[T_{i,j}\right]_{1\leq i,j\leq n} \ar[r]^{\widehat{S}} & k\left[T_{i,j}\right]_{1\leq i,j\leq n} \ar[r]^-{\operatorname*{kan}} & k\left[T_{i,j}\right]_{1\leq i,j\leq n}\diagup\left(d-1\right)
},
\]


Diese Verkettung $\operatorname*{kan}\circ\widehat{S}$ faktorisiert \"{u}ber
$k\left[  T_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}\diagup\left(  d-1\right)  $ (denn%
\begin{align*}
d\widehat{S}\left(  d\right)   &  =\det\left(  \left(  T_{i,j}\right)  _{1\leq
i,j\leq n}\right)  \underbrace{\widehat{S}\left(  \det\left(  \left(
T_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\right)  \right)  }_{\substack{=\det\left(
\left(  \widehat{S}\left(  T_{i,j}\right)  \right)  _{1\leq i,j\leq n}\right)
\\\text{(denn }\det\text{ ist ein Polynom und}\\\text{kommutiert daher mit
dem}\\\text{Algebrahomomorphismus }\widehat{S}\text{)}}%
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }d=\det\left(  \left(  T_{i,j}\right)
_{1\leq i,j\leq n}\right)  \right) \\
&  =\det\left(  \left(  T_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\right)  \det\left(
\left(  \underbrace{\widehat{S}\left(  T_{i,j}\right)  }_{=\widetilde{T}%
_{i,j}}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\right) \\
&  =\det\left(  \left(  T_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\right)  \det\left(
\left(  \widetilde{T}_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\right)  =\det\left(
\left(  T_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\left(  \widetilde{T}_{i,j}\right)
_{1\leq i,j\leq n}\right)  =d^{n},
\end{align*}
also $\widehat{S}\left(  d\right)  =d^{n-1}$ (denn $k\left[  T_{i,j}\right]
_{1\leq i,j\leq n}$ ist ein Integrit\"{a}tsring), daher $\widehat{S}\left(
d-1\right)  =d^{n-1}-1\in\left(  d-1\right)  $ und somit $\left(
\operatorname*{kan}\circ\widehat{S}\right)  \left(  d-1\right)  =0$).

Daher k\"{o}nnen wir einen Algebrahomomorphismus $S$ durch das kommutative
Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
k\left[T_{i,j}\right]_{1\leq i,j\leq n} \ar[r]^{\widehat{S}} \ar[drr]_{\operatorname*{kan}} & k\left[T_{i,j}\right]_{1\leq i,j\leq n} \ar[r]^-{\operatorname*{kan}} & k\left[T_{i,j}\right]_{1\leq i,j\leq n}\diagup\left(d-1\right) \\
& & k\left[T_{i,j}\right]_{1\leq i,j\leq n}\diagup\left(d-1\right) \ar@{.>}[u]^{S}
}
\]
definieren. Es ist klar, da\ss \ dieser Homomorphismus $S$ die Gleichung%
\[
S\left(  t_{i,j}\right)  =\widetilde{t}_{i,j}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }i\text{ und }j
\]
erf\"{u}llt (denn $\widehat{S}\left(  T_{i,j}\right)  =\widetilde{T}_{i,j}$).

Wir werden nun zeigen, da\ss \ dieses $S$ das Antipodenaxiom erf\"{u}llt. Um
dies zu zeigen, gen\"{u}gt es (laut Folgerung 2.16. \textbf{2)}), dieses Axiom
auf den Erzeugern $t_{i,j}$ nachzuweisen. Doch f\"{u}r alle $i,j$ gilt:%
\begin{align*}
\left(  t_{i,j}\right)  _{\left(  1\right)  }\otimes\left(  t_{i,j}\right)
_{\left(  2\right)  }  &  =\Delta\left(  t_{i,j}\right)  =\sum_{l=1}%
^{n}t_{i,l}\otimes t_{l,j},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und daher}\\
\left(  t_{i,j}\right)  _{\left(  1\right)  }S\left(  \left(  t_{i,j}\right)
_{\left(  2\right)  }\right)   &  =\sum_{l=1}^{n}t_{i,l}\underbrace{S\left(
t_{l,j}\right)  }_{=\widetilde{t}_{l,j}}=\sum_{l=1}^{n}t_{i,l}\widetilde{t}%
_{l,j}=\delta_{i,j}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\left(
t_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\left(  \widetilde{t}_{i,j}\right)  _{1\leq
i,j\leq n}=E\right)  ,
\end{align*}
und analog%
\[
S\left(  \left(  t_{i,j}\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \left(
t_{i,j}\right)  _{\left(  2\right)  }=\sum_{l=1}^{n}S\left(  t_{i,l}\right)
t_{l,j}=\delta_{i,j}.
\]
Daher erf\"{u}llt $S$ das Antipodenaxiom auf den Erzeugern $t_{i,j}$ der
Algebra $k\left[  t_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}$. Folglich ist $S$ eine
Antipode der Bialgebra $k\left[  t_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}$, und
diese Bialgebra mithin eine Hopfalgebra, was zu beweisen war.

\textbf{8)} F\"{u}r die Hopfalgebra $H=k\left[  t_{i,j}\right]  _{1\leq
i,j\leq n}=k\left[  T_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}\diagup\left(
d-1\right)  $ aus Beispiel \textbf{7)} gilt:

F\"{u}r jede kommutative Algebra $A$ ist%
\[
\operatorname*{Alg}\left(  H,A\right)  \rightarrow\operatorname*{SL}%
\nolimits_{n}\left(  A\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi\mapsto\left(
\varphi\left(  t_{i,j}\right)  \right)  _{1\leq i,j\leq n}%
\]
ein Gruppenisomorphismus, wobei $\operatorname*{Alg}\left(  H,A\right)  $ eine
Gruppe bez\"{u}glich Faltung ist.

\textit{Beweis:} \textbf{a)} Die Abbildung%
\[
\operatorname*{Alg}\left(  H,A\right)  \rightarrow\operatorname*{SL}%
\nolimits_{n}\left(  A\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi\mapsto\left(
\varphi\left(  t_{i,j}\right)  \right)  _{1\leq i,j\leq n}%
\]
ist bijektiv nach den universellen Eigenschaften der Polynomalgebra $k\left[
T_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}$ und der Faktoralgebra; sie ist n\"{a}mlich
der untere Bijektions-Pfeil in folgendem kommutativen Diagramm:%
\[
\xymatrixcolsep{6pc}\xymatrix{
\operatorname*{Alg}\left(k\left[T_{i,j}\right]_{1\leq i,j\leq n},A\right) \ar[r]^-{\text{Bijektion}} & \operatorname*{M}_n\left(A\right) \\
\operatorname*{Alg}\left(k\left[T_{i,j}\right]_{1\leq i,j\leq n}\slash\left(d-1\right),A\right) \ar@{.>}[r]^-{\text{Bijektion}} \ar@{^{(}->}[u]_{\operatorname*{Hom}\left(\pi,\operatorname*{id}\right)} & \operatorname*{SL}_n\left(A\right)\ar@{^{(}->}[u]
},
\]
wobei der obere Bijektions-Pfeil durch die Abbildung $\phi\mapsto\left(
\phi\left(  T_{i,j}\right)  \right)  _{1\leq i,j\leq n}$ gegeben ist (nach der
universellen Eigenschaft der Polynomalgebra ist dies eine Bijektion), und
$\pi:k\left[  T_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}\rightarrow k\left[
T_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}\diagup\left(  d-1\right)  $ die kanonische
Projektion ist.

\textbf{b)} Die Abbildung%
\[
\operatorname*{Alg}\left(  H,A\right)  \rightarrow\operatorname*{SL}%
\nolimits_{n}\left(  A\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi\mapsto\left(
\varphi\left(  t_{i,j}\right)  \right)  _{1\leq i,j\leq n}%
\]
ist ein Gruppenhomomorphismus, denn f\"{u}r alle $\varphi,\psi\in
\operatorname*{Alg}\left(  H,A\right)  $ und f\"{u}r alle $i,j$ ist%
\begin{align*}
\left(  \varphi\ast\psi\right)  \left(  t_{i,j}\right)   &  =\sum_{l=1}%
^{n}\varphi\left(  t_{i,l}\right)  \psi\left(  t_{l,j}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{weil }\Delta\left(  t_{i,j}\right)
=\sum_{l=1}^{n}t_{i,l}\otimes t_{l,j}\right) \\
&  =\text{Koeffizient an der Stelle }\left(  i,j\right)  \text{ der Matrix
}\left(  \varphi\left(  t_{u,v}\right)  \right)  _{1\leq u,v\leq n}\left(
\psi\left(  t_{u,v}\right)  \right)  _{1\leq u,v\leq n}%
\end{align*}
und damit%
\[
\left(  \left(  \varphi\ast\psi\right)  \left(  t_{u,v}\right)  \right)
_{1\leq u,v\leq n}=\left(  \varphi\left(  t_{u,v}\right)  \right)  _{1\leq
u,v\leq n}\left(  \psi\left(  t_{u,v}\right)  \right)  _{1\leq u,v\leq n}.
\]


\textbf{9)} Sei $H=k\left\langle g,x\right\rangle $ die freie Algebra in den
Unbestimmten $g,$ $x.$ Dann wird $H$ zu einer Bialgebra, wenn man die
Algebrahomomorphismen $\Delta:H\rightarrow H\otimes H$ und $\varepsilon
:H\rightarrow k$ nach der universellen Eigenschaft der freien Algebra auf den
Erzeugern durch%
\[
\Delta\left(  g\right)  =g\otimes g,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(
g\right)  =1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta\left(  x\right)  =g\otimes
x+x\otimes1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(  x\right)  =0
\]
definiert.

\textit{Beweis:} Die Bialgebraaxiome gelten auf den Erzeugenden $g,x$ (siehe
die Rechnungen von 2.1. \textbf{4)} f\"{u}r $h=1$). Nach Folgerung 2.16.
\textbf{1)} m\"{u}ssen sie also \"{u}berall gelten.

\textbf{10)} Sei $q\in k,$ und sei $H=k\left\langle g,x\mid
gx=qxg\right\rangle .$ Dies ist die $k$-Algebra mit den Erzeugern $g$ und $x$
und der Relation $gx=qxg;$ das hei\ss t,%
\[
H=\underbrace{k\left\langle \mathbf{G},\mathbf{X}\right\rangle }_{\text{freie
Algebra}}\diagup\left(  \mathbf{GX}-q\mathbf{XG}\right)  .
\]
Dann ist $H$ eine Bialgebra mit $\Delta$ und $\varepsilon$ wie in \textbf{9)};
genauer gesagt: $H$ ist eine Faktorbialgebra von der Algebra $H$ in
\textbf{9)}.

\textit{Beweis:} Sei $k\left\langle \mathbf{G},\mathbf{X}\right\rangle $ die
Bialgebra $H$ aus Beispiel \textbf{9)}, wobei wir die Erzeuger, die wir in
Beispiel \textbf{1)} mit $g$ und $x$ bezeichnet hatten, diesmal $\mathbf{G}$
und $\mathbf{X}$ nennen.

Wir m\"{u}ssen nur zeigen, da\ss \ $\left(  \mathbf{GX}-q\mathbf{XG}\right)  $
ein Biideal in dieser Bialgebra $k\left\langle \mathbf{G},\mathbf{X}%
\right\rangle $ ist. Dies folgt aus%
\begin{align*}
\Delta\left(  \mathbf{GX}\right)   &  =\left(  \mathbf{G}\otimes
\mathbf{G}\right)  \left(  \mathbf{G}\otimes\mathbf{X}+\mathbf{X}%
\otimes1\right)  =\mathbf{G}^{2}\otimes\mathbf{GX}+\mathbf{GX}\otimes
\mathbf{G}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\\
\Delta\left(  q\mathbf{XG}\right)   &  =q\left(  \mathbf{G}\otimes
\mathbf{X}+\mathbf{X}\otimes1\right)  \left(  \mathbf{G}\otimes\mathbf{G}%
\right)  =q\mathbf{G}^{2}\otimes\mathbf{XG}+q\mathbf{XG}\otimes\mathbf{G}%
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{also}\\
\Delta\left(  \mathbf{GX}-q\mathbf{XG}\right)   &  =\mathbf{G}^{2}%
\otimes\left(  \mathbf{GX}-q\mathbf{XG}\right)  +\left(  \mathbf{GX}%
-q\mathbf{XG}\right)  \otimes\mathbf{G},
\end{align*}
und nat\"{u}rlich $\varepsilon\left(  \mathbf{GX}-q\mathbf{XG}\right)  =0$
(denn $\varepsilon\left(  \mathbf{X}\right)  =0$).

\textbf{11)} Sei weiterhin $q\in k$. Betrachte jetzt die Algebra
\[
H=k\left\langle g,h,x\mid gh=1=hg,\ gx=qxg\right\rangle
\]
(dabei ist $gh=1=hg$ nur eine Kurzschreibweise f\"{u}r $gh=1,\ hg=1$). Dieses
$H$ ist eine Hopfalgebra mit%
\begin{align*}
\Delta\left(  g\right)   &  =g\otimes g,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(
g\right)  =1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta\left(  h\right)  =h\otimes
h,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(  h\right)  =1,\\
\Delta\left(  x\right)   &  =g\otimes x+x\otimes
1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(  x\right)  =0,\\
S\left(  g\right)   &  =h,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S\left(  h\right)
=g,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S\left(  x\right)  =-hx.
\end{align*}
Au\ss erdem gilt $S^{2}\left(  x\right)  =q^{-1}x$, wenn $q\neq0$ gilt.

\textit{Beweis:} Die Wohldefiniertheit der Bialgebra zeigen wir wie in
\textbf{10)}. Sei nun $\widehat{S}:\underbrace{k\left\langle \mathbf{G}%
,\mathbf{H},\mathbf{X}\right\rangle }_{\text{freie Algebra}}\rightarrow H$ der
Antialgebrahomomorphismus mit%
\[
\widehat{S}\left(  \mathbf{G}\right)  =h,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \widehat{S}%
\left(  \mathbf{H}\right)  =g,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \widehat{S}\left(
\mathbf{X}\right)  =-hx.
\]
Dieses $\widehat{S}$ faktorisiert \"{u}ber $H$ (wobei wir $H$ als
Faktoralgebra der freien Algebra $k\left\langle \mathbf{G},\mathbf{H}%
,\mathbf{X}\right\rangle $ modulo dem Ideal $\left(  \mathbf{GH}%
-1,\mathbf{HG}-1,\mathbf{GX}-q\mathbf{XG}\right)  $ betrachten), denn
\begin{align*}
\widehat{S}\left(  \mathbf{GH}-1\right)   &
=gh-1=0;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \widehat{S}\left(  \mathbf{HG}-1\right)
=hg-1=0;\\
\widehat{S}\left(  \mathbf{GX}-q\mathbf{XG}\right)   &  =\widehat{S}\left(
\mathbf{X}\right)  \widehat{S}\left(  \mathbf{G}\right)  -q\widehat{S}\left(
\mathbf{G}\right)  \widehat{S}\left(  \mathbf{X}\right)  =-hxh-qh\left(
-hx\right)  =0\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }gx=qxg\Longrightarrow xh=qhx\text{
wegen }hg=1=gh\right)  .
\end{align*}
Somit induziert $\widehat{S}$ einen Antialgebrahomomorphismus $H\rightarrow
H$; wir bezeichnen diesen Homomorphismus mit $S$. Jetzt m\"{u}ssen wir
(gem\"{a}\ss \ Folgerung 2.16 \textbf{2)}) nur noch die Antipodenaxiome
f\"{u}r die Antialgebraabbildung $S:H\rightarrow H$ nachpr\"{u}fen. Dies
k\"{o}nnen wir schnell per Hand erledigen:

F\"{u}r $g$ ist%
\[
gS\left(  g\right)  =gh=1=\varepsilon\left(  g\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S\left(  g\right)  g=hg=1=\varepsilon\left(  g\right)  .
\]


F\"{u}r $h$ geht dies ebenso.

F\"{u}r $x$ ist $\Delta\left(  x\right)  =g\otimes x+x\otimes1,$ und%
\begin{align*}
g\underbrace{S\left(  x\right)  }_{=-hx}+x\underbrace{S\left(  1\right)
}_{=1}  &  =-ghx+x=-1x+x=0=\varepsilon\left(  x\right)  ,\\
\underbrace{S\left(  g\right)  }_{=h}x+\underbrace{S\left(  x\right)  }%
_{=-hx}1  &  =hx-hx=0=\varepsilon\left(  x\right)  .
\end{align*}
Im Falle $q\neq0$ gilt au\ss erdem%
\[
S^{2}\left(  x\right)  =S\left(  -hx\right)  =-S\left(  x\right)  S\left(
h\right)  =-\left(  -hx\right)  g=hxg=hq^{-1}gx=q^{-1}hgx=q^{-1}x.
\]


\textbf{12)} Sei $n\geq1,$ und sei $q\in k$ eine primitive $n$-te
Einheitswurzel (also eine $n$-te Einheitswurzel mit Ordnung $n$). Sei%
\[
H=k\left\langle g,x\mid g^{n}=1,\ x^{n}=0,\ gx=qxg\right\rangle .
\]
Dann ist $H$ eine Hopfalgebra mit
\begin{align*}
\Delta\left(  g\right)   &  =g\otimes g,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(
g\right)  =1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta\left(  x\right)  =g\otimes
x+x\otimes1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(  x\right)  =0,\\
S\left(  g\right)   &  =g^{-1}=g^{n-1},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S\left(  x\right)
=-g^{-1}x.
\end{align*}
Diese Hopfalgebra $H$ hei\ss t \textit{Taft-Hopfalgebra} \"{u}ber $k.$

\textit{Beweis:} \textbf{a)} Sei $\widehat{H}=k\left\langle \mathbf{G}%
,\mathbf{X}\right\rangle $ die freie Algebra, erzeugt von den zwei Elementen
$\mathbf{G}$ und $\mathbf{X}$.

\textit{Lemma 1:} Sei $\widehat{\Delta}:\widehat{H}\rightarrow H\otimes H$ der
Algebrahomomorphismus mit $\widehat{\Delta}\left(  \mathbf{G}\right)
=g\otimes g$ und $\widehat{\Delta}\left(  \mathbf{X}\right)  =g\otimes
x+x\otimes1.$ Dieser Homomorphismus $\widehat{\Delta}$ faktorisiert \"{u}ber
$H.$

\textit{Beweis:} Wir haben $\widehat{\Delta}\left(  \mathbf{G}^{n}\right)
=\left(  g\otimes g\right)  ^{n}=g^{n}\otimes g^{n}=1\otimes1,$ also
$\widehat{\Delta}\left(  \mathbf{G}^{n}-1\right)  =0.$

Jetzt wollen wir $\widehat{\Delta}\left(  \mathbf{X}^{n}\right)  =0$ zeigen.
Wir haben $\widehat{\Delta}\left(  \mathbf{X}^{n}\right)  =\left(  g\otimes
x+x\otimes1\right)  ^{n}.$ Bezeichnen wir $b=g\otimes x$ und $a=x\otimes1.$

In $H\otimes H$ gilt $ba=\underbrace{gx}_{=qxg}\otimes x$ und $ab=xg\otimes
x,$ also $ba=q\cdot ab.$ Nach Lemma 2.20 \textbf{2)} und wegen der Tatsache,
da\ss \ $q$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel ist, gilt also $\left(
a+b\right)  ^{n}=a^{n}+b^{n}.$ Damit ist%
\begin{align*}
\widehat{\Delta}\left(  \mathbf{X}^{n}\right)   &  =\left(  g\otimes
x+x\otimes1\right)  ^{n}=\left(  a+b\right)  ^{n}=a^{n}+b^{n}\\
&  =\left(  g\otimes x\right)  ^{n}+\left(  x\otimes1\right)  ^{n}%
=g^{n}\otimes\underbrace{x^{n}}_{=0}+\underbrace{x^{n}}_{=0}\otimes1^{n}=0.
\end{align*}


Schlie\ss lich zeigen wir $\widehat{\Delta}\left(  \mathbf{GX}-q\mathbf{XG}%
\right)  =g^{2}\otimes\left(  gx-qxg\right)  +\left(  gx-qxg\right)  \otimes
g$ (genau so, wie wir $\Delta\left(  \mathbf{GX}-q\mathbf{XG}\right)
=\mathbf{G}^{2}\otimes\left(  \mathbf{GX}-q\mathbf{XG}\right)  +\left(
\mathbf{GX}-q\mathbf{XG}\right)  \otimes\mathbf{G}$ in Beispiel \textbf{10)}
gezeigt haben); wegen $gx-qxg=0$ wird dies zu $\widehat{\Delta}\left(
\mathbf{GX}-q\mathbf{XG}\right)  =0.$ Damit ist Lemma 1 bewiesen.

\textit{Lemma 2:} Sei $\widehat{\varepsilon}:\widehat{H}\rightarrow k$ der
Algebrahomomorphismus mit $\widehat{\varepsilon}\left(  \mathbf{G}\right)  =1$
und $\widehat{\varepsilon}\left(  \mathbf{X}\right)  =0.$ Dieser
Homomorphismus $\widehat{\varepsilon}$ faktorisiert \"{u}ber $H.$

\textit{Beweis:} klar (wie oben).

\textit{Lemma 3:} Sei $\widehat{S}:\widehat{H}\rightarrow H$ der
Antialgebrahomomorphismus mit $\widehat{S}\left(  \mathbf{G}\right)  =g^{-1}$
und $\widehat{S}\left(  \mathbf{X}\right)  =-g^{-1}x.$ Dieser
Antialgebrahomomorphismus $\widehat{S}$ faktorisiert \"{u}ber $H.$

\textit{Beweis:} Wir m\"{u}ssen zeigen, da\ss \ $\widehat{S}\left(
\mathbf{G}^{n}\right)  =1,$ $\widehat{S}\left(  \mathbf{X}^{n}\right)  =0$ und
$\widehat{S}\left(  \mathbf{GX}-q\mathbf{XG}\right)  =0$ ist.

In der Tat ist%
\begin{align*}
\widehat{S}\left(  \mathbf{G}^{n}\right)   &  =\left(  g^{-1}\right)
^{n}=\left(  g^{n}\right)  ^{-1}=1^{-1}=1;\\
\widehat{S}\left(  \mathbf{X}^{n}\right)   &  =\left(  -g^{-1}x\right)
^{n}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach vielfach angewandter Relation
}gx=qxg\right)  ;\\
\widehat{S}\left(  \mathbf{GX}-q\mathbf{XG}\right)   &
=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{wie in Beispiel \textbf{11)},}%
\end{align*}
was zu beweisen war.

Nach Lemmata 1, 2 und 3 gibt es Algebrahomomorphismen $\Delta:H\rightarrow
H\otimes H$ und $\varepsilon:H\rightarrow k$ und einen
Antialgebrahomomorphismus $S:H\rightarrow H$ mit den geforderten Axiomen (denn
die Axiome gelten auf erzeugenden Elementen, wie man nachrechnen
kann\footnote{Wir haben die dazu notwendigen Rechnungen im Wesentlichen schon
gemacht: Die Bialgebraaxiome auf den Erzeugenden $g$ und $x$ pr\"{u}fen wir
wie in Beispiel 2.1. \textbf{4)}, mit $h$ durch $1$ ersetzt, nach, und das
Antipodenaxiom auf den Erzeugenden $g$ und $x$ beweisen wir wie in Beispiel
2.18. \textbf{11)}, mit $h$ durch $g^{-1}$ ersetzt.}). Damit haben wir
Beispiel \textbf{12)} bewiesen, aber wir sind den Beweis eines Lemmas schuldig
geblieben. Bevor wir dieses Lemma formulieren k\"{o}nnen, definieren wir die
sogenannten $q$\textit{-Binomialkoeffizienten}:

\textbf{Definition:} Sei $v$ eine Unbestimmte. Betrachte den K\"{o}rper
$\mathbb{Q}\left(  v\right)  $ der rationalen Funktionen in $v.$

F\"{u}r jedes $n\in\mathbb{N}$ definieren wir eine Funktion $\left(  n\right)
_{v}\in\mathbb{Q}\left(  v\right)  $ durch%
\[
\left(  n\right)  _{v}=1+v+v^{2}+...+v^{n-1}=\dfrac{v^{n}-1}{v-1},
\]
und eine weitere Funktion $\left(  n\right)  _{v}!\in\mathbb{Q}\left(
v\right)  $ durch%
\[
\left(  n\right)  _{v}!=\left(  1\right)  _{v}\left(  2\right)  _{v}...\left(
n\right)  _{v}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{das hei\ss t insbesondere
}\left(  0\right)  _{v}!=1\right)  .
\]
Schlie\ss lich legen wir f\"{u}r beliebige ganze $n\geq0$ und $i\in\left\{
0,1,...,n\right\}  $ eine Funktion $\dbinom{n}{i}_{v}\in\mathbb{Q}\left(
v\right)  $ durch%
\[
\dbinom{n}{i}_{v}=\dfrac{\left(  n\right)  _{v}!}{\left(  i\right)
_{v}!\left(  n-i\right)  _{v}!}%
\]
fest.

\textbf{2.19. Lemma:} F\"{u}r beliebige $n\in\mathbb{N}$ und $i\in\left\{
1,2,...,n-1\right\}  $ ist $\dbinom{n}{i}_{v}=\dbinom{n-1}{i-1}_{v}%
+v^{i}\dbinom{n-1}{i}_{v}.$ F\"{u}r alle ganzen $n\geq0$ und $i\in\left\{
0,1,...,n\right\}  $ ist $\dbinom{n}{i}_{v}\in\mathbb{Z}\left[  v\right]  .$

\textit{Beweis:} Die Gleichung $\dbinom{n}{i}_{v}=\dbinom{n-1}{i-1}_{v}%
+v^{i}\dbinom{n-1}{i}_{v}$ folgt aus einer simplen Rechnung:%
\begin{align*}
&  \dbinom{n-1}{i-1}_{v}+v^{i}\dbinom{n-1}{i}_{v}=\dfrac{\left(  n-1\right)
_{v}!}{\left(  i-1\right)  _{v}!\left(  n-i\right)  _{v}!}+v^{i}\dfrac{\left(
n-1\right)  _{v}!}{\left(  i\right)  _{v}!\left(  n-1-i\right)  _{v}!}\\
&  =\dfrac{\left(  i\right)  _{v}\left(  n-1\right)  _{v}!}{\left(  i\right)
_{v}\left(  i-1\right)  _{v}!\left(  n-i\right)  _{v}!}+v^{i}\dfrac{\left(
n-i\right)  _{v}\left(  n-1\right)  _{v}!}{\left(  i\right)  _{v}!\left(
n-i\right)  _{v}\left(  n-1-i\right)  _{v}!}\\
&  =\dfrac{\left(  i\right)  _{v}\left(  n-1\right)  _{v}!}{\left(  i\right)
_{v}!\left(  n-i\right)  _{v}!}+v^{i}\dfrac{\left(  n-i\right)  _{v}\left(
n-1\right)  _{v}!}{\left(  i\right)  _{v}!\left(  n-i\right)  _{v}!}%
=\dfrac{\left(  i\right)  _{v}\left(  n-1\right)  _{v}!+v^{i}\left(
n-i\right)  _{v}\left(  n-1\right)  _{v}!}{\left(  i\right)  _{v}!\left(
n-i\right)  _{v}!}.
\end{align*}
Wegen%
\begin{align*}
&  \left(  i\right)  _{v}\left(  n-1\right)  _{v}!+v^{i}\left(  n-i\right)
_{v}\left(  n-1\right)  _{v}!=\left(  n-1\right)  _{v}!\cdot\left(  \left(
i\right)  _{v}+v^{i}\left(  n-i\right)  _{v}\right) \\
&  =\left(  n-1\right)  _{v}!\cdot\left(  \dfrac{v^{i}-1}{v-1}+v^{i}%
\dfrac{v^{n-i}-1}{v-1}\right)  =\left(  n-1\right)  _{v}!\cdot\left(
\dfrac{v^{i}-1}{v-1}+\dfrac{v^{n}-v^{i}}{v-1}\right) \\
&  =\left(  n-1\right)  _{v}!\cdot\dfrac{v^{n}-1}{v-1}=\left(  n-1\right)
_{v}!\cdot\left(  n\right)  _{v}=\left(  n\right)  _{v}!
\end{align*}
wird dies zu%
\[
\dbinom{n-1}{i-1}_{v}+v^{i}\dbinom{n-1}{i}_{v}=\dfrac{\left(  n\right)  _{v}%
!}{\left(  i\right)  _{v}!\left(  n-i\right)  _{v}!}=\dbinom{n}{i}_{v}.
\]
Nachdem nun diese Gleichung gezeigt ist, ergibt sich $\dbinom{n}{i}_{v}%
\in\mathbb{Z}\left[  v\right]  $ f\"{u}r alle ganzen $n\geq0$ und
$i\in\left\{  0,1,...,n\right\}  $ durch vollst\"{a}ndige Induktion nach $n.$
Lemma 2.19. ist bewiesen.

\textbf{Definition:} Sei $q\in k.$ Dann k\"{o}nnen wir Elemente $\left(
n\right)  _{q},$ $\left(  n\right)  _{q}!$ und $\dbinom{n}{i}_{q}$ von $k$
durch Einsetzen von $q$ statt $v$ in die Polynome $\left(  n\right)  _{v},$
$\left(  n\right)  _{v}!$ und $\dbinom{n}{i}_{v}$ (formal gesprochen: durch
Anwenden des Ringhomomorphismus%
\[
\mathbb{Z}\left[  v\right]  \rightarrow k,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v\mapsto q
\]
auf diese Polynome) definieren. (Hier verwenden wir, da\ss \ $\left(
n\right)  _{v},$ $\left(  n\right)  _{v}!$ und $\dbinom{n}{i}_{v}$
tats\"{a}chlich Polynome sind; dies ist f\"{u}r $\left(  n\right)  _{v}$ und
$\left(  n\right)  _{v}!$ klar, w\"{a}hrend es f\"{u}r $\dbinom{n}{i}_{v}$ aus
Lemma 2.19. folgt).

\textbf{2.20. Lemma:} Sei $q\in k$ beliebig, sei $A$ eine Algebra, und seien
$a,b\in A$ zwei Elemente mit $ba=qab.$

\textbf{1)} Dann gilt $\left(  a+b\right)  ^{n}=\sum\limits_{i=0}^{n}%
\dbinom{n}{i}_{q}a^{i}b^{n-i}$ f\"{u}r alle ganzen $n\geq0.$

\textbf{2)} Ist $q$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, so ist $\left(
a+b\right)  ^{n}=a^{n}+b^{n}.$

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Wir f\"{u}hren vollst\"{a}ndige Induktion nach
$n$: F\"{u}r $n=0$ ist die Aussage trivial.

Der Induktionsschritt von $n-1$ auf $n$ beruht auf%
\begin{align*}
\left(  a+b\right)  ^{n}  &  =\left(  a+b\right)  \cdot\left(  a+b\right)
^{n-1}=\left(  a+b\right)  \cdot\sum\limits_{i=0}^{n-1}\dbinom{n-1}{i}%
_{q}a^{i}b^{n-1-i}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach Induktionsvoraussetzung}\right) \\
&  =a\sum\limits_{i=0}^{n-1}\dbinom{n-1}{i}_{q}a^{i}b^{n-1-i}+b\sum
\limits_{i=0}^{n-1}\dbinom{n-1}{i}_{q}a^{i}b^{n-1-i}\\
&  =\sum\limits_{i=0}^{n-1}\dbinom{n-1}{i}_{q}a^{i+1}b^{n-1-i}+\sum
\limits_{i=0}^{n-1}\dbinom{n-1}{i}_{q}ba^{i}b^{n-1-i}\\
&  =\sum\limits_{i=1}^{n}\dbinom{n-1}{i-1}_{q}a^{i}b^{n-i}+\sum\limits_{i=0}%
^{n-1}\dbinom{n-1}{i}_{q}\underbrace{ba^{i}b^{n-1-i}}_{\substack{=q^{i}%
a^{i}bb^{n-1-i},\\\text{da }ba^{i}=q^{i}a^{i}b\\\text{nach vielfacher}%
\\\text{Anwendung}\\\text{von }ba=qab}}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach Indexverschiebung in der ersten
Summe}\right) \\
&  =\sum\limits_{i=1}^{n}\dbinom{n-1}{i-1}_{q}a^{i}b^{n-i}+\sum\limits_{i=0}%
^{n-1}\dbinom{n-1}{i}_{q}q^{i}\underbrace{a^{i}bb^{n-1-i}}_{=a^{i}b^{n-i}}\\
&  =\sum\limits_{i=1}^{n}\dbinom{n-1}{i-1}_{q}a^{i}b^{n-i}+\sum\limits_{i=0}%
^{n-1}\dbinom{n-1}{i}_{q}q^{i}a^{i}b^{n-i}\\
&  =\sum\limits_{i=1}^{n-1}\underbrace{\left(  \dbinom{n-1}{i-1}_{q}%
+q^{i}\dbinom{n-1}{i}_{q}\right)  }_{=\dbinom{n}{i}_{q}\text{ nach Lemma
2.19.}}a^{i}b^{n-i}+a^{n}+b^{n}\\
&  =\sum\limits_{i=1}^{n-1}\dbinom{n}{i}_{q}a^{i}b^{n-i}+a^{n}+b^{n}%
=\sum\limits_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}_{q}a^{i}b^{n-i}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\sum\limits_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}_{q}a^{i}b^{n-i}=\sum
\limits_{i=1}^{n-1}\dbinom{n}{i}_{q}a^{i}b^{n-i}+\underbrace{\dbinom{n}{n}%
_{q}}_{=1}a^{n}\underbrace{b^{n-n}}_{=b^{0}=1}+\underbrace{\dbinom{n}{0}_{q}%
}_{=1}\underbrace{a^{0}}_{=1}\underbrace{b^{n-0}}_{=b^{n}}\\
=\sum\limits_{i=1}^{n-1}\dbinom{n}{i}_{q}a^{i}b^{n-i}+a^{n}+b^{n}%
\end{array}
\right)  .
\end{align*}


\textbf{2)} Wegen \textbf{1)} m\"{u}ssen wir nur noch zeigen, da\ss \ $\dbinom
{n}{i}_{q}=0$ f\"{u}r alle $i\in\left\{  1,2,...,n-1\right\}  $ ist.

Dies folgt aber aus $\dbinom{n}{i}_{q}\cdot\left(  i\right)  _{q}!\left(
n-i\right)  _{q}!=\left(  n\right)  _{q}!$ (denn $\dbinom{n}{i}_{v}%
=\dfrac{\left(  n\right)  _{v}!}{\left(  i\right)  _{v}!\left(  n-i\right)
_{v}!}$ ergibt $\dbinom{n}{i}_{v}\cdot\left(  i\right)  _{v}!\left(
n-i\right)  _{v}!=\left(  n\right)  _{v}!$), sowie $\left(  n\right)  _{q}!=0$
(weil $\left(  n\right)  _{q}=\dfrac{q^{n}-1}{q-1}=0$), aber $\left(
i\right)  _{q}!\neq0$ und $\left(  n-i\right)  _{q}!\neq0$ (denn $q$ ist eine
\textit{primitive} $n$-te Einheitswurzel).

Damit ist Lemma 2.20 gezeigt.

Was ist eigentlich $\dim H,$ wenn $H$ wie in 2.18. \textbf{12)} definiert ist?
Die Antwort f\"{u}r diese Frage wird in einem sp\"{a}teren Abschnitt (Beispiel
3.3. \textbf{4)}) abfallen.

\textbf{2.21. Folgerung:} Es gibt quasiinverse \"{A}quivalenzen zwischen den
Kategorien%
\[
\left\{  H\ \mid\ H\text{ endlichdimensionale Bialgebra}\right\}
^{\operatorname*{op}}\rightleftarrows\left\{  H\ \mid\ H\text{
endlichdimensionale Bialgebra}\right\}  ,
\]
gegeben durch $H\mapsto H^{\ast}$ (von links nach rechts) und $H\mapsto
H^{\ast}$ (von rechts nach links). Dabei ist f\"{u}r jede endlichdimensionale
Bialgebra $\left(  H,\mu,\eta,\Delta,\varepsilon\right)  $ die
Bialgebrastruktur auf $H^{\ast}$ durch%
\[
\left(  H^{\ast},\Delta^{\ast}\circ\operatorname*{kan},\varepsilon^{\ast}%
\circ\operatorname*{kan}\nolimits^{\prime},\operatorname*{kan}\nolimits^{-1}%
\circ\mu^{\ast},\left(  \operatorname*{kan}\nolimits^{\prime}\right)
^{-1}\circ\eta^{\ast}\right)
\]
gegeben, wobei $\operatorname*{kan}:C^{\ast}\otimes C^{\ast}\rightarrow\left(
C\otimes C\right)  ^{\ast}$ und $\operatorname*{kan}^{\prime}:k\rightarrow
k^{\ast}$ die kanonischen Isomorphismen sind. (Diese Bialgebrastruktur
entsteht aus den Algebra- und Coalgebrastrukturen von Folgerung 2.8.)

Ist $H$ eine Hopfalgebra mit Antipode $S,$ so ist diese Bialgebra $H^{\ast}$
ebenfalls eine Hopfalgebra, und die Antipode von $H^{\ast}$ ist die Abbildung
$S^{\ast}:H^{\ast}\rightarrow H^{\ast},$ die durch $S^{\ast}\left(  f\right)
\left(  x\right)  =f\left(  S\left(  x\right)  \right)  $ f\"{u}r alle $f\in
H^{\ast}$ und $x\in H$ gegeben ist.

\textit{Beweis:} Aufgabe auf \"{U}bungsblatt 5.

\bigskip

\fbox{$\operatorname*{op}$ \textbf{und }$\operatorname*{cop}$}

\textbf{Definition:} Sei $H$ eine Bialgebra. Wir definieren zwei neue
Bialgebrastrukturen $H^{\operatorname*{op}}$ und $H^{\operatorname*{cop}}$ auf
dem Vektorraum $H$:

\textbf{1)} Wir definieren eine Bialgebra $H^{\operatorname*{op}}$ wie folgt:
Als Coalgebra sei $H^{\operatorname*{op}}=H.$ F\"{u}r jedes Element $h\in H$
bezeichnen wir das entsprechende Element von $H^{\operatorname*{op}}$ mit
$h^{\operatorname*{op}}$ \ \ \ $\ $\footnote{Es gilt also
$h^{\operatorname*{op}}=h$ f\"{u}r jedes $h\in H.$ Aber wir sollten trotzdem
zwischen $h$ und $h^{\operatorname*{op}}$ unterscheiden, denn f\"{u}r zwei
Elemente $h_{1},h_{2}\in H$ meinen wir mit $h_{1}h_{2}$ das Produkt dieser
zwei Elemente in $H,$ w\"{a}hrend wir unter $h_{1}^{\operatorname*{op}}%
h_{2}^{\operatorname*{op}}$ das Produkt dieser zwei Elemente in
$H^{\operatorname*{op}}$ verstehen, und diese Produkte sind im Allgemeinen
nicht gleich, denn als Algebren sind $H$ und $H^{\operatorname*{op}}$ nicht
identisch.}. Die Algebrastruktur auf $H^{\operatorname*{op}}$ werde dadurch
festgelegt, da\ss \ man $x^{\operatorname*{op}}y^{\operatorname*{op}}=\left(
yx\right)  ^{\operatorname*{op}}$ f\"{u}r je zwei Elemente $x,y\in H$ setzt,
und $1^{\operatorname*{op}}$ als Eins von $H^{\operatorname*{op}}$ deklariert.

\textbf{2)} Wir definieren eine Bialgebra $H^{\operatorname*{cop}}$ wie folgt:
Als Algebra sei $H^{\operatorname*{cop}}=H.$ F\"{u}r jedes Element $h\in H$
bezeichnen wir das entsprechende Element von $H^{\operatorname*{cop}}$ mit
$h^{\operatorname*{cop}}$ \ \ \ $\ $\footnote{Es gilt also
$h^{\operatorname*{cop}}=h$ f\"{u}r jedes $h\in H.$ Aber wir sollten trotzdem
zwischen $h$ und $h^{\operatorname*{cop}}$ unterscheiden, denn f\"{u}r ein
$h\in H$ meinen wir mit $\Delta\left(  h\right)  $ das Bild von $h$ unter der
Comultiplikation $\Delta_{H}$ der Coalgebra $H,$ w\"{a}hrend $\Delta\left(
h^{\operatorname*{cop}}\right)  $ das Bild von $h$ unter der Comultiplikation
$\Delta_{H^{\operatorname*{cop}}}$ der Coalgebra $H^{\operatorname*{cop}}$
bedeutet, und diese Bilder sind im Allgemeinen nicht gleich, denn als
Coalgebren sind $H$ und $H^{\operatorname*{cop}}$ nicht identisch.}. Die
Coalgebrastruktur auf $H^{\operatorname*{cop}}$ werde dadurch festgelegt,
da\ss \ $\Delta_{H^{\operatorname*{cop}}}\left(  x^{\operatorname*{cop}%
}\right)  =\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  ^{\operatorname*{cop}%
}\otimes\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  ^{\operatorname*{cop}}$ und
$\varepsilon_{H^{\operatorname*{cop}}}\left(  x^{\operatorname*{cop}}\right)
=\varepsilon\left(  x\right)  $ f\"{u}r jedes $x\in H$ gesetzt wird (wobei,
wie immer, $x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }$ ein Synonym
f\"{u}r $\Delta_{H}\left(  x\right)  $ ist).

\textbf{2.21}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{.
Bemerkung:} Sei $H$ eine Bialgebra. Sei $\tau:H\otimes H\rightarrow H\otimes
H$ der Vektorraumisomorphismus, der $a\otimes b$ auf $b\otimes a$ schickt
f\"{u}r alle $a,b\in H.$

\textbf{1)} Die gem\"{a}\ss \ obiger Definition definierte Bialgebra
$H^{\operatorname*{op}}$ ist tats\"{a}chlich eine Bialgebra. Es gilt
$\mu_{H^{\operatorname*{op}}}=\mu\circ\tau,$ $\eta_{H^{\operatorname*{op}}%
}=\eta,$ $\Delta_{H^{\operatorname*{op}}}=\Delta$ und $\varepsilon
_{H^{\operatorname*{op}}}=\varepsilon.$

\textbf{2)} Die gem\"{a}\ss \ obiger Definition definierte Bialgebra
$H^{\operatorname*{cop}}$ ist tats\"{a}chlich eine Bialgebra. Es gilt
$\mu_{H^{\operatorname*{cop}}}=\mu,$ $\eta_{H^{\operatorname*{cop}}}=\eta,$
$\Delta_{H^{\operatorname*{cop}}}=\tau\circ\Delta$ und $\varepsilon
_{H^{\operatorname*{cop}}}=\varepsilon.$

\textbf{3)} Es gilt $H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}%
=H^{\operatorname*{cop}\operatorname*{op}}.\ \ \ \ $\footnote{Mit
$H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}=H^{\operatorname*{cop}%
\operatorname*{op}}$ meinen wir nicht nur, da\ss \ $H^{\operatorname*{op}%
\operatorname*{cop}}\cong H^{\operatorname*{cop}\operatorname*{op}}$ als
Bialgebren sind, sondern da\ss \ die Bialgebrastrukturen von
$H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}$ und $H^{\operatorname*{cop}%
\operatorname*{op}}$ auf dem Vektorraum $H$ wirklich identisch sind, also
da\ss \ $\mu_{H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}}=\mu
_{H^{\operatorname*{cop}\operatorname*{op}}},$ $\eta_{H^{\operatorname*{op}%
\operatorname*{cop}}}=\eta_{H^{\operatorname*{cop}\operatorname*{op}}},$
$\Delta_{H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}}=\Delta
_{H^{\operatorname*{cop}\operatorname*{op}}}$ und $\varepsilon
_{H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}}=\varepsilon
_{H^{\operatorname*{cop}\operatorname*{op}}}$ gilt.} Es gilt $\mu
_{H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}}=\mu\circ\tau,$ $\eta
_{H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}}=\eta,$ $\Delta
_{H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}}=\tau\circ\Delta$ und
$\varepsilon_{H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}}=\varepsilon.$

\textbf{4)} Genau dann ist die Hopfalgebra $H$ kommutativ, wenn
$H=H^{\operatorname*{op}}$ ist.

\textbf{5)} Genau dann ist die Hopfalgebra $H$ cokommutativ, wenn
$H=H^{\operatorname*{cop}}$ ist.

\textbf{6)} Ist $H$ eine Hopfalgebra, dann ist auch $H^{\operatorname*{op}%
\operatorname*{cop}}$ eine Hopfalgebra mit der gleichen Antipode wie $H.$

\textbf{7)} Ist $H$ eine Hopfalgebra mit bijektiver Antipode $S,$ dann sind
$H^{\operatorname*{op}}$ und $H^{\operatorname*{cop}}$ Hopfalgebren mit
bijektiver Antipode $S^{-1}.$

\textbf{8)} Ist $H$ eine Hopfalgebra, dann ist die Antipode $S:H\rightarrow H$
ein Hopfalgebrahomomorphismus von $H$ nach $H^{\operatorname*{op}%
\operatorname*{cop}}$.

\textit{Beweis:} \textbf{1)}-\textbf{5)} sind triviale Rechnungen.

\textbf{6)} Da $H$ eine Hopfalgebra ist, ist das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
& H \ar[dl]_-{\Delta} \ar[dr]^-{\Delta} \ar[dd]^{\varepsilon} & \\
H \otimes H \ar[dd]_{\operatorname*{id}\otimes S} & & H \otimes H \ar[dd]^{S\otimes\operatorname*{id}} \\
& k \ar[dd]^{\eta} & \\
H \otimes H \ar[dr]_{\mu} & & H \otimes H \ar[dl]^{\mu} \\
& H &
}
\]
kommutativ. Um zu zeigen, da\ss \ $H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}$
eine Hopfalgebra mit Antipode $S$ ist, m\"{u}ssen wir nachpr\"{u}fen,
da\ss \ das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
& H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}} \ar[dl]_-{\Delta_{H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}}} \ar[dr]^-{\Delta_{H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}}} \ar[dd]^{\varepsilon_{H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}}} & \\
H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}} \otimes H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}} \ar[dd]_{\operatorname*{id}\otimes S} & & H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}} \otimes H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}} \ar[dd]^{S\otimes\operatorname*{id}} \\
& k \ar[dd]^{\eta_{H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}}} & \\
H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}} \otimes H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}} \ar[dr]_{\mu_{H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}}} & & H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}} \otimes H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}} \ar[dl]^{\mu_{H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}}} \\
& H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}} &
}
\]
ebenfalls kommutativ ist. Da $H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}=H$ und
$H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}\otimes H^{\operatorname*{op}%
\operatorname*{cop}}=H\otimes H$ als Mengen (und sogar als Vektorr\"{a}ume)
gilt, und wegen \textbf{3)}, ist dies dazu \"{a}quivalent, da\ss \ das
Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
& H \ar[dl]_-{\tau\circ\Delta} \ar[dr]^-{\tau\circ\Delta} \ar[dd]^{\varepsilon} & \\
H \otimes H \ar[dd]_{\operatorname*{id}\otimes S} & & H \otimes H \ar[dd]^{S\otimes\operatorname*{id}} \\
& k \ar[dd]^{\eta} & \\
H \otimes H \ar[dr]_{\mu\circ\tau} & & H \otimes H \ar[dl]^{\mu\circ\tau} \\
& H &
}
\]
kommutativ ist. Doch dies ist wahr, denn%
\[
\left(  \mu\circ\tau\right)  \circ\left(  \operatorname*{id}\otimes S\right)
\circ\left(  \tau\circ\Delta\right)  =\mu\circ\left(  \underbrace{\tau
\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes S\right)  \circ\tau}_{=S\otimes
\operatorname*{id}}\right)  \circ\Delta=\mu\circ\left(  S\otimes
\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta=\eta\circ\varepsilon
\]
und%
\[
\left(  \mu\circ\tau\right)  \circ\left(  S\otimes\operatorname*{id}\right)
\circ\left(  \tau\circ\Delta\right)  =\mu\circ\left(  \underbrace{\tau
\circ\left(  S\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\tau}%
_{=\operatorname*{id}\otimes S}\right)  \circ\Delta=\mu\circ\left(
\operatorname*{id}\otimes S\right)  \circ\Delta=\eta\circ\varepsilon.
\]


\textbf{7)} Da $S$ ein Antialgebrahomomorphismus ist, ist auch $S^{-1}$ ein
solcher. Somit ist $\mu\circ\tau\circ\left(  S^{-1}\otimes S^{-1}\right)
=S^{-1}\circ\mu,$ also%
\[
\left(  \mu\circ\tau\right)  \circ\underbrace{\left(  \operatorname*{id}%
\otimes S^{-1}\right)  }_{=\left(  S^{-1}\otimes S^{-1}\right)  \circ\left(
S\otimes\operatorname*{id}\right)  }=\underbrace{\mu\circ\tau\circ\left(
S^{-1}\otimes S^{-1}\right)  }_{=S^{-1}\circ\mu}\circ\left(  S\otimes
\operatorname*{id}\right)  =S^{-1}\circ\mu\circ\left(  S\otimes
\operatorname*{id}\right)
\]
und%
\[
\left(  \mu\circ\tau\right)  \circ\underbrace{\left(  S^{-1}\otimes
\operatorname*{id}\right)  }_{=\left(  S^{-1}\otimes S^{-1}\right)
\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes S\right)  }=\underbrace{\mu\circ
\tau\circ\left(  S^{-1}\otimes S^{-1}\right)  }_{=S^{-1}\circ\mu}\circ\left(
\operatorname*{id}\otimes S\right)  =S^{-1}\circ\mu\circ\left(
\operatorname*{id}\otimes S\right)  .
\]


Da $H$ eine Hopfalgebra ist, ist das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
& H \ar[dl]_-{\Delta} \ar[dr]^-{\Delta} \ar[dd]^{\varepsilon} & \\
H \otimes H \ar[dd]_{\operatorname*{id}\otimes S} & & H \otimes H \ar[dd]^{S\otimes\operatorname*{id}} \\
& k \ar[dd]^{\eta} & \\
H \otimes H \ar[dr]_{\mu} & & H \otimes H \ar[dl]^{\mu} \\
& H &
}
\]
kommutativ. Um zu zeigen, da\ss \ $H^{\operatorname*{op}}$ eine Hopfalgebra
mit Antipode $S^{-1}$ ist, m\"{u}ssen wir nachpr\"{u}fen, da\ss \ das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
& H^{\operatorname*{op}} \ar[dl]_-{\Delta_{H^{\operatorname*{op}}}} \ar[dr]^-{\Delta_{H^{\operatorname*{op}}}} \ar[dd]^{\varepsilon_{H^{\operatorname*{op}}}} & \\
H^{\operatorname*{op}} \otimes H^{\operatorname*{op}} \ar[dd]_{\operatorname*{id}\otimes S^{-1}} & & H^{\operatorname*{op}} \otimes H^{\operatorname*{op}} \ar[dd]^{S^{-1}\otimes\operatorname*{id}} \\
& k \ar[dd]^{\eta_{H^{\operatorname*{op}}}} & \\
H^{\operatorname*{op}} \otimes H^{\operatorname*{op}} \ar[dr]_{\mu_{H^{\operatorname*{op}}}} & & H^{\operatorname*{op}} \otimes H^{\operatorname*{op}} \ar[dl]^{\mu_{H^{\operatorname*{op}}}} \\
& H^{\operatorname*{op}} &
}
\]
ebenfalls kommutativ ist. Da $H^{\operatorname*{op}}=H$ und
$H^{\operatorname*{op}}\otimes H^{\operatorname*{op}}=H\otimes H$ als Mengen
(sogar als Vektorr\"{a}ume) gilt, und wegen \textbf{1)}, ist dies dazu
\"{a}quivalent, da\ss \ das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
& H \ar[dl]_-{\Delta} \ar[dr]^-{\Delta} \ar[dd]^{\varepsilon} & \\
H \otimes H \ar[dd]_{\operatorname*{id}\otimes S^{-1}} & & H \otimes H \ar[dd]^{S^{-1}\otimes\operatorname*{id}} \\
& k \ar[dd]^{\eta} & \\
H \otimes H \ar[dr]_{\mu\circ\tau} & & H \otimes H \ar[dl]^{\mu\circ\tau} \\
& H &
}
\]
kommutativ ist. Doch dies ist leicht:%
\[
\underbrace{\left(  \mu\circ\tau\right)  \circ\left(  \operatorname*{id}%
\otimes S^{-1}\right)  }_{=S^{-1}\circ\mu\circ\left(  S\otimes
\operatorname*{id}\right)  }\circ\Delta=S^{-1}\circ\underbrace{\mu\circ\left(
S\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta}_{=\eta\circ\varepsilon}%
=S^{-1}\circ\eta\circ\varepsilon=\eta\circ\varepsilon
\]
(denn $S^{-1}\circ\eta=\eta,$ weil $S^{-1}$ ein Antialgebrahomomorphismus
ist), und%
\[
\underbrace{\left(  \mu\circ\tau\right)  \circ\left(  S^{-1}\otimes
\operatorname*{id}\right)  }_{=S^{-1}\circ\mu\circ\left(  \operatorname*{id}%
\otimes S\right)  }\circ\Delta=S^{-1}\circ\underbrace{\mu\circ\left(
\operatorname*{id}\otimes S\right)  \circ\Delta}_{=\eta\circ\varepsilon
}=S^{-1}\circ\eta\circ\varepsilon=\eta\circ\varepsilon
\]
(wieder wegen $S^{-1}\circ\eta=\eta$). Somit ist gezeigt,
da\ss \ $H^{\operatorname*{op}}$ eine Hopfalgebra mit Antipode $S^{-1}$ ist.
Analog beweist man die entsprechende Aussage f\"{u}r $H^{\operatorname*{cop}}$
(alternativ kann man auch $H^{\operatorname*{cop}}=\left(
H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}\right)  ^{\operatorname*{op}}$
benutzen und auf das bereits Bewiesene zur\"{u}ckgreifen).

\textbf{8)} Wir wissen (nach 2.13 \textbf{1)}), da\ss \ die Antipode $S$ von
$H$ ein Antialgebrahomomorphismus von $H$ nach $H$ ist. Mit anderen Worten:
Die Antipode $S$ ist ein Algebrahomomorphismus von $H$ nach
$H^{\operatorname*{op}}$. Da $H^{\operatorname*{op}}=H^{\operatorname*{op}%
\operatorname*{cop}}$ \textit{als Algebra} ist, l\"{a}\ss t sich dies
folgenderma\ss en umschreiben: Die Antipode $S$ ist ein Algebrahomomorphismus
von $H$ nach $H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}$. Analog erh\"{a}lt
man, da\ss \ $S$ ein Coalgebrahomomorphismus von $H$ nach
$H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}$ ist (denn $S$ ist ein
Anticoalgebrahomomorphismus von $H$ nach $H$, und $H^{\operatorname*{cop}%
}=H^{\operatorname*{op}\operatorname*{cop}}$ \textit{als Coalgebra}). Somit
ist $S$ ein Hopfalgebrahomomorphismus von $H$ nach $H^{\operatorname*{op}%
\operatorname*{cop}}$, was zu beweisen war.

\bigskip

\fbox{\textbf{Eine andere Charakterisierung von Hopfalgebren}}

Wir haben Hopfalgebren definiert als Bialgebren, die eine Antipode (d. h. eine
Abbildung mit bestimmten Eigenschaften) besitzen. Oft ist auch ein anderes
Kriterium f\"{u}r Hopfalgebren n\"{u}tzlich:

\textbf{2.21}$\dfrac{\text{\textbf{15}}}{\text{\textbf{20}}}$\textbf{. Satz:}
Sei $H$ eine Bialgebra. Genau dann ist $H$ eine Hopfalgebra, wenn die lineare
Abbildung%
\[
\Phi:H\otimes H\rightarrow H\otimes H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\otimes y\mapsto
xy_{\left(  1\right)  }\otimes y_{\left(  2\right)  }%
\]
ein Vektorraumisomorphismus ist.

\textit{Beweis (nur teilweise):} Zum Beweis dieses Satzes m\"{u}ssen wir
folgende zwei Aussagen zeigen:

\textit{Aussage 1:} Ist $H$ eine Hopfalgebra, dann ist $\Phi$ ein Vektorraumisomorphismus.

\textit{Aussage 2:} Ist $\Phi$ ein Vektorraumisomorphismus, dann ist $H$ eine Hopfalgebra.

Wir werden im Folgenden Aussage 1 komplett beweisen, w\"{a}hrend wir Aussage 2
nur f\"{u}r den Fall $\dim H<\infty$ nachweisen.\footnote{Sp\"{a}ter (in
Abschnitt 4.2$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$.) werden wir auch einen kompletten
Beweis von Aussage 2 liefern, und damit den Beweis von Satz 2.21$\dfrac
{\text{15}}{\text{20}}$. abschlie\ss en.}

Zum Beweis beider Aussagen f\"{u}hren wir folgende Notation ein: Ist
$f:H\rightarrow H$ eine lineare Abbildung, dann bezeichne $\Phi_{f}$ die
lineare Abbildung $H\otimes H\rightarrow H\otimes H,$ die durch%
\[
\Phi_{f}\left(  x\otimes y\right)  =xf\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)
\otimes y_{\left(  2\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x,y\in
H
\]
definiert ist. Offensichtlich ist $\Phi_{\operatorname*{id}}=\Phi.$ Es gilt:

\textit{Lemma 1:} Seien $f:H\rightarrow H$ und $g:H\rightarrow H$ zwei lineare
Abbildungen. Dann ist $\Phi_{f}\circ\Phi_{g}=\Phi_{g\ast f}.$ Ferner ist
$\Phi_{\eta\varepsilon}=\operatorname*{id}_{H\otimes H}.$

\textit{Beweis von Lemma 1:} F\"{u}r alle $x,y\in H$ ist%
\begin{align*}
\left(  \Phi_{f}\circ\Phi_{g}\right)  \left(  x\otimes y\right)   &  =\Phi
_{f}\left(  \Phi_{g}\left(  x\otimes y\right)  \right)  =\Phi_{f}\left(
xg\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes y_{\left(  2\right)  }\right)
\\
&  =xg\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  f\left(  \left(  y_{\left(
2\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \otimes\left(  y_{\left(
2\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }=xg\left(  y_{\left(  1\right)
}\right)  f\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes y_{\left(  3\right)
}\\
&  =x\left(  g\ast f\right)  \left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes
y_{\left(  2\right)  }=\Phi_{g\ast f}\left(  x\otimes y\right)  .
\end{align*}
Hieraus folgt $\Phi_{f}\circ\Phi_{g}=\Phi_{g\ast f}$ (denn zwei lineare
Abbildungen aus einem Tensorprodukt, die auf jedem reinen Tensor
\"{u}bereinstimmen, m\"{u}ssen identisch sein). Die Behauptung $\Phi
_{\eta\varepsilon}=\operatorname*{id}_{H\otimes H}$ folgt aus%
\[
\Phi_{\eta\varepsilon}\left(  x\otimes y\right)  =x\left(  \eta\varepsilon
\right)  \left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes y_{\left(  2\right)
}=\varepsilon\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  x\otimes y_{\left(
2\right)  }=x\otimes\varepsilon\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)
y_{\left(  2\right)  }=x\otimes y
\]
f\"{u}r alle $x,y\in H.$ Damit ist Lemma 1 gezeigt.

\textit{Beweis von Aussage 1:} Da $H$ eine Hopfalgebra ist, gibt es eine
lineare Abbildung $S:H\rightarrow H$ mit $S\ast\operatorname*{id}%
=\operatorname*{id}\ast S=\eta\varepsilon.$ Daraus folgt $\Phi_{S\ast
\operatorname*{id}}=\Phi_{\operatorname*{id}\ast S}=\Phi_{\eta\varepsilon}.$
Nach Lemma 1 wird dies zu $\Phi_{\operatorname*{id}}\circ\Phi_{S}=\Phi
_{S}\circ\Phi_{\operatorname*{id}}=\operatorname*{id}_{H\otimes H},$ und somit
ist $\Phi_{\operatorname*{id}}$ (also $\Phi$) ein Vektorraumisomorphismus.
Aussage 1 ist also gezeigt.

F\"{u}r unseren Teil-Beweis von Aussage 2 ben\"{o}tigen wir drei weitere Lemmata:

\textit{Lemma 2:} Seien $f:H\rightarrow H$ und $g:H\rightarrow H$ zwei lineare
Abbildungen. Dann ist $\Phi_{f}+\Phi_{g}=\Phi_{f+g}.$ F\"{u}r jede lineare
Abbildung $f:H\rightarrow H$ und jedes $\lambda\in k$ gilt $\lambda\Phi
_{f}=\Phi_{\lambda f}.$

\textit{Lemma 3:} Die Abbildung%
\[
\left(  \operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  \right)  ^{\operatorname*{op}%
}\rightarrow\operatorname*{End}\left(  H\otimes H\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\mapsto\Phi_{f}%
\]
ist ein injektiver Algebrahomomorphismus, wobei die Multiplikation auf
$\operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  $ die Faltung $\ast$ ist, w\"{a}hrend
die Multiplikation auf $\operatorname*{End}\left(  H\otimes H\right)  $ die
Verkettung $\circ$ ist.\footnote{Dies sind zwei unterschiedliche Arten von
Multiplikation! Dies ist auch der Grund, wieso wir $\operatorname*{Hom}\left(
H,H\right)  $ anstelle von $\operatorname*{End}H$ schreiben: Denn als
Vektorr\"{a}ume sind $\operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  $ und
$\operatorname*{End}H$ zwar identisch, doch die Notation $\operatorname*{End}%
H$ tr\"{a}gt eine starke \"{A}hnlichkeit zu $\operatorname*{End}\left(
H\otimes H\right)  ,$ und k\"{o}nnte daher nahelegen, da\ss \ wir die
Multiplikation auf $\operatorname*{End}H$ \"{a}hnlich zu der auf
$\operatorname*{End}\left(  H\otimes H\right)  $ definieren, was aber nicht
der Fall ist.}

\textit{Lemma 4:} Ist $V$ ein Vektorraum mit $\dim V<\infty,$ und ist
$f:V\rightarrow V$ ein Vektorraumisomorphismus, dann gibt es ein Polynom $P\in
k\left[  X\right]  $ mit $f^{-1}=P\left(  f\right)  ,$ wobei die
Multiplikation auf $\operatorname*{End}V$ die Verkettung $\circ$ sein soll.

\textit{Beweis von Lemma 2:} Trivial.

\textit{Beweis von Lemma 3:} Aus Lemmata 1 und 2 folgt, da\ss
\[
\left(  \operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  \right)  ^{\operatorname*{op}%
}\rightarrow\operatorname*{End}\left(  H\otimes H\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\mapsto\Phi_{f}%
\]
ein Algebrahomomorphismus ist. Dieser Homomorphismus ist injektiv, denn
f\"{u}r jedes $f\in\operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  $ gilt%
\begin{align*}
&  \left(  \operatorname*{id}\nolimits_{H}\otimes\varepsilon\right)  \left(
\Phi_{f}\left(  1\otimes y\right)  \right) \\
&  =\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{H}\otimes\varepsilon\right)  \left(
1f\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes y_{\left(  2\right)
}\right)  =1f\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes\varepsilon\left(
y_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =1f\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \varepsilon\left(  y_{\left(
2\right)  }\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{hier haben wir kanonisch
}H\otimes k\text{ mit }H\text{ identifiziert}\right) \\
&  =f\left(  y_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  y_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  =f\left(  y\right)
\end{align*}
f\"{u}r alle $y\in H,$ und aus $\Phi_{f}=0$ folgt somit $f=0.$

\textit{Beweis von Lemma 4:} Sei $n=\dim V.$ Nach dem Satz von Cayley-Hamilton
gilt $\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}f^{i}=0,$ wobei $\sum\limits_{i=0}^{n}%
a_{i}X^{i}\in k\left[  X\right]  $ das charakteristische Polynom von $f$ ist.
Da $f$ ein Isomorphismus ist, gilt $\det f\neq0,$ und somit ist $a_{0}\neq0$
(denn $a_{0}=\left(  -1\right)  ^{n}\det f$). Aus $\sum\limits_{i=0}^{n}%
a_{i}f^{i}=0$ wird aber $a_{0}f^{0}+\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}f^{i}=0,$ also
$\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}f^{i}=-a_{0}f^{0}=-a_{0},$ also $\sum
\limits_{i=1}^{n}a_{i}f^{i-1}=-a_{0}f^{-1}$ und damit%
\[
f^{-1}=-\underbrace{a_{0}^{-1}}_{\substack{\text{existiert,}\\\text{da }%
a_{0}\neq0}}\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}f^{i-1}=P\left(  f\right)  ,
\]
wobei $P\in k\left[  X\right]  $ das durch $P\left(  X\right)  =-a_{0}%
^{-1}\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}X^{i-1}$ definierte Polynom ist.

\textit{Beweis von Aussage 2 im Fall }$\dim H<\infty$\textit{:} Angenommen,
$\Phi$ ist ein Vektorraumisomorphismus, und $\dim H<\infty.$ Wir wollen
zeigen, da\ss \ $H$ eine Hopfalgebra ist.

Nach Lemma 4 gibt es ein Polynom $P\in k\left[  X\right]  $ mit $\Phi
^{-1}=P\left(  \Phi\right)  ,$ also $\Phi_{\operatorname*{id}}^{-1}=P\left(
\Phi_{\operatorname*{id}}\right)  .$ Nach Lemma 3 gilt $P\left(
\Phi_{\operatorname*{id}}\right)  =\Phi_{P\left(  \operatorname*{id}\right)
},$ wobei $P\left(  \operatorname*{id}\right)  $ als Element von $\left(
\operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  \right)  ^{\operatorname*{op}}$
angesehen wird. Wir haben also $\Phi_{\operatorname*{id}}^{-1}=\Phi_{P\left(
\operatorname*{id}\right)  },$ damit $\Phi_{\operatorname*{id}}\circ
\Phi_{P\left(  \operatorname*{id}\right)  }=\Phi_{P\left(  \operatorname*{id}%
\right)  }\circ\Phi_{\operatorname*{id}}=\operatorname*{id}_{H\otimes H}.$
Nach Lemma 1 wird dies zu $\Phi_{P\left(  \operatorname*{id}\right)
\ast\operatorname*{id}}=\Phi_{\operatorname*{id}\ast P\left(
\operatorname*{id}\right)  }=\Phi_{\eta\varepsilon}.$ Da die Abbildung%
\[
\left(  \operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  \right)  ^{\operatorname*{op}%
}\rightarrow\operatorname*{End}\left(  H\otimes H\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\mapsto\Phi_{f}%
\]
injektiv ist, folgt hieraus $P\left(  \operatorname*{id}\right)
\ast\operatorname*{id}=\operatorname*{id}\ast P\left(  \operatorname*{id}%
\right)  =\eta\varepsilon.$ Das hei\ss t, $P\left(  \operatorname*{id}\right)
$ ist ein $\ast$-Inverses zu $\operatorname*{id}.$ Somit ist $H$ eine
Hopfalgebra mit Antipode $P\left(  \operatorname*{id}\right)  ,$ und Aussage 2
ist im Fall $\dim H<\infty$ bewiesen.

\textit{Bemerkung:} Der vollst\"{a}ndige Beweis von Satz 2.21$\dfrac
{\text{15}}{\text{20}}$. war Gegenstand von Aufgabe 3 auf \"{U}bungsblatt 5.
Wir werden einen solchen Beweis in Abschnitt 4.2$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$. geben.

Satz 2.21$\dfrac{\text{15}}{\text{20}}$. hat eine Reihe von Anwendungen. Wir
beginnen mit einer, die Gegenstand von Aufgabe 4 auf \"{U}bungsblatt 6 war:

\textbf{2.21}$\dfrac{\text{\textbf{16}}}{\text{\textbf{20}}}$\textbf{. Satz:}
Seien $H$ eine Hopfalgebra und $H^{\prime}$ eine endlichdimensionale
Bialgebra. Angenommen, mindestens eine der folgenden beiden Bedingungen ist erf\"{u}llt:

\textit{a)} Es gilt $H^{\prime}\subseteq H,$ und die Inklusionsabbildung
$H^{\prime}\rightarrow H$ ist ein Bialgebrahomomorphismus (das hei\ss t,
$H^{\prime}$ ist eine Unterbialgebra von $H$).

\textit{b)} Es gibt einen surjektiven Bialgebrahomomorphismus $H\rightarrow
H^{\prime}.$

Dann ist $H^{\prime}$ eine Hopfalgebra.

\textit{Beweis:} Gem\"{a}\ss \ Satz 2.21$\dfrac{\text{15}}{\text{20}}$. ist
die lineare Abbildung%
\[
\Phi:H\otimes H\rightarrow H\otimes H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\otimes y\mapsto
xy_{\left(  1\right)  }\otimes y_{\left(  2\right)  }%
\]
ein Vektorraumisomorphismus, also injektiv und surjektiv.

Angenommen, die Bedingung \textit{a)} ist erf\"{u}llt. Dann k\"{o}nnen wir
$H^{\prime}\otimes H^{\prime}$ kanonisch als Untervektorraum von $H\otimes H$
auffassen. Dann ist die lineare Abbildung%
\[
H^{\prime}\otimes H^{\prime}\rightarrow H^{\prime}\otimes H^{\prime
},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\otimes y\mapsto xy_{\left(  1\right)  }\otimes
y_{\left(  2\right)  }%
\]
injektiv (denn sie ist einfach die Einschr\"{a}nkung der injektiven Abbildung
$\Phi$ auf $H^{\prime}\otimes H^{\prime}$), also ein Vektorraumisomorphismus
(denn $\dim H^{\prime}<\infty$ ergibt $\dim\left(  H^{\prime}\otimes
H^{\prime}\right)  <\infty,$ und somit ist jede injektive lineare Abbildung
$H^{\prime}\otimes H^{\prime}\rightarrow H^{\prime}\otimes H^{\prime}$ ein
Vektorraumisomorphismus). Nach Satz 2.21$\dfrac{\text{15}}{\text{20}}$. ist
$H^{\prime}$ also eine Hopfalgebra.

Jetzt vergessen wir Bedingung \textit{a)} und nehmen stattdessen an, die
Bedingung \textit{b)} sei erf\"{u}llt. Sei $p:H\rightarrow H^{\prime}$ ein
surjektiver Bialgebrahomomorphismus. Nat\"{u}rlich ist dann auch die Abbildung
$p\otimes p:H\otimes H\rightarrow H^{\prime}\otimes H^{\prime}$ surjektiv.
Definiere eine Abbildung $\Phi^{\prime}$ durch%
\[
\Phi^{\prime}:H^{\prime}\otimes H^{\prime}\rightarrow H^{\prime}\otimes
H^{\prime},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\otimes y\mapsto xy_{\left(  1\right)
}\otimes y_{\left(  2\right)  }.
\]
Dann ist%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
H\otimes H \ar[r]^{p\otimes p} \ar[d]^{\Phi} & H^{\prime}\otimes H^{\prime}\ar[d]^{\Phi^{\prime}} \\
H\otimes H \ar[r]^{p\otimes p} & H^{\prime}\otimes H^{\prime}
}
\]
ein kommutatives Diagramm (da $p$ ein Bialgebrahomomorphismus ist). Da $\Phi$
und $p\otimes p$ surjektiv sind, ist auch $\Phi^{\prime}\circ\left(  p\otimes
p\right)  =\left(  p\otimes p\right)  \circ\Phi$ surjektiv, und somit ist
$\Phi^{\prime}$ selber surjektiv, und damit ein Vektorraumisomorphismus (denn
$\dim H^{\prime}<\infty$ ergibt $\dim\left(  H^{\prime}\otimes H^{\prime
}\right)  <\infty,$ und somit ist jede surjektive lineare Abbildung
$H^{\prime}\otimes H^{\prime}\rightarrow H^{\prime}\otimes H^{\prime}$ ein
Vektorraumisomorphismus). Nach Satz 2.21$\dfrac{\text{15}}{\text{20}}$. ist
$H^{\prime}$ also eine Hopfalgebra.

Wir haben damit sowohl unter Bedingung \textit{a)}, als auch unter Bedingung
\textit{b)} nachgewiesen, da\ss \ $H^{\prime}$ eine Hopfalgebra ist. Damit ist
Satz 2.21$\dfrac{\text{16}}{\text{20}}$. gezeigt.

\textbf{2.21}$\dfrac{\text{\textbf{17}}}{\text{\textbf{20}}}$\textbf{.
Folgerung:} Sei $H$ eine Hopfalgebra, und sei $I$ ein Biideal von $H$ mit
$\dim\left(  H\diagup I\right)  <\infty$. Dann ist $I$ ein Hopfideal von $H$.

\textit{Beweis:} Gem\"{a}\ss \ 2.17. \textbf{1)} ist $H\diagup I$ eine
Bialgebra, und die kanonische Projektion $H\rightarrow H\diagup I$ ist ein
surjektiver Bialgebrahomomorphismus. Nach Satz 2.21$\dfrac{\text{16}%
}{\text{20}}$. ist also $H\diagup I$ eine Hopfalgebra (da $\dim\left(
H\diagup I\right)  <\infty$), und somit ist die kanonische Projektion
$H\rightarrow H\diagup I$ ein Hopfalgebrahomomorphismus. Nach 2.17.
\textbf{7)} ist also sein Kern (das hei\ss t, $I$) ein Hopfideal von $H,$ was
zu beweisen war.

Als Kuriosum sei angemerkt, da\ss \ sich Folgerung 2.21$\dfrac{\text{17}%
}{\text{20}}$ mit Bemerkung 2.17 \textbf{8)} "vermengen" l\"{a}\ss t:

\textbf{2.21}$\dfrac{\text{\textbf{18}}}{\text{\textbf{20}}}$\textbf{.
Bemerkung:} Sei $H$ eine Hopfalgebra, und sei $I$ ein Ideal von $H$, welches
$I\neq H$, $\dim\left(  H\diagup I\right)  <\infty$ und $\Delta\left(
I\right)  \subseteq I\otimes H+H\otimes I$ erf\"{u}llt. Dann ist $I$ ein
Hopfideal von $H$.

\textit{Beweis:} Wir wollen zun\"{a}chst zeigen, da\ss \ $\varepsilon\left(
I\right)  =0$ ist.

Wir f\"{u}hren den Beweis durch Widerspruch: Angenommen, $\varepsilon\left(
I\right)  \neq0$. Dann existiert ein $q\in I$, welches $\varepsilon\left(
q\right)  =1$ erf\"{u}llt\footnote{\textit{Beweis:} Wegen $\varepsilon\left(
I\right)  \neq0$ existiert ein $w\in I$, welches $\varepsilon\left(  w\right)
\neq0$ erf\"{u}llt. Betrachte dieses $w$. Da $k$ ein K\"{o}rper ist, ist
$\varepsilon\left(  w\right)  $ invertierbar (da $\varepsilon\left(  w\right)
\neq0$), und es gilt $\varepsilon\left(  \dfrac{1}{\varepsilon\left(
w\right)  }w\right)  =\dfrac{1}{\varepsilon\left(  w\right)  }\varepsilon
\left(  w\right)  =1$. Da $\dfrac{1}{\varepsilon\left(  w\right)  }w\in I$ ist
(denn $w\in I$), existiert also ein $q\in I$, welches $\varepsilon\left(
q\right)  =1$ erf\"{u}llt (n\"{a}mlich $q=\dfrac{1}{\varepsilon\left(
w\right)  }w$), qed.}. Betrachte dieses $q$.

Sei das Hopfideal $H^{+}$ von $H$ definiert wie in Bemerkung 2.17 \textbf{5)}.
Sei $I^{+}=I\cap H^{+}$. Da $I$ und $H^{+}$ Ideale von $H$ sind, ist auch
$I\cap H^{+}$ ein Ideal von $H$. Das hei\ss t, $I^{+}$ ist ein Ideal von $H$
(denn $I^{+}=I\cap H^{+}$).

Wir definieren nun eine Abbildung $\nu:H\rightarrow H$ durch%
\[
\left(  \nu\left(  x\right)  =x-\varepsilon\left(  x\right)  \cdot
q\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in H\right)  .
\]
Dann ist $\nu\left(  I\right)  \subseteq I^{+}$%
\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Sei $x\in I$. Aus $\nu\left(  x\right)
=\underbrace{x}_{\in I}-\varepsilon\left(  x\right)  \cdot\underbrace{q}_{\in
I}\in I-\varepsilon\left(  x\right)  \cdot I\subseteq I$ (da $I$ ein Ideal
ist) und $\nu\left(  x\right)  =x-\varepsilon\left(  x\right)  \cdot
q\in\operatorname*{Ker}\varepsilon$ (denn $\varepsilon\left(  x-\varepsilon
\left(  x\right)  \cdot q\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  -\varepsilon
\left(  x\right)  \cdot\underbrace{\varepsilon\left(  q\right)  }%
_{=1}=\varepsilon\left(  x\right)  -\varepsilon\left(  x\right)  =0$) folgt
$\nu\left(  x\right)  \in I\cap\underbrace{\left(  \operatorname*{Ker}%
\varepsilon\right)  }_{=H^{+}}=I\cap H^{+}=I^{+}$.
\par
Wir haben also gezeigt, da\ss \ $\nu\left(  x\right)  \in I^{+}$ f\"{u}r jedes
$x\in I$ ist. Mit anderen Worten: $\nu\left(  I\right)  \subseteq I^{+}$, was
zu beweisen war.}. F\"{u}r jedes $x\in I$ gilt nun%
\begin{align*}
&  \left(  \nu\otimes\nu\right)  \left(  \underbrace{\Delta\left(  x\right)
}_{=x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }}\right) \\
&  =\left(  \nu\otimes\nu\right)  \left(  x_{\left(  1\right)  }\otimes
x_{\left(  2\right)  }\right)  =\underbrace{\nu\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  }_{\substack{=x_{\left(  1\right)  }-\varepsilon\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  \cdot q\\\text{(nach der Definition von }\nu\text{)}%
}}\otimes\underbrace{\nu\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  }%
_{\substack{=x_{\left(  2\right)  }-\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \cdot q\\\text{(nach der Definition von }\nu\text{)}}}\\
&  =\left(  x_{\left(  1\right)  }-\varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  \cdot q\right)  \otimes\left(  x_{\left(  2\right)  }-\varepsilon
\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \cdot q\right) \\
&  =\underbrace{x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }}%
_{=\Delta\left(  x\right)  }-\underbrace{\varepsilon\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  \cdot q\otimes x_{\left(  2\right)  }}_{=q\otimes
\varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }%
}-\underbrace{x_{\left(  1\right)  }\otimes\varepsilon\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  \cdot q}_{=x_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes q}+\underbrace{\varepsilon\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot q\otimes\varepsilon\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  \cdot q}_{=\varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  \varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \cdot q\otimes
q}\\
&  =\Delta\left(  x\right)  -q\otimes\underbrace{\varepsilon\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }}_{=x}-\underbrace{x_{\left(
1\right)  }\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=x}\otimes
q+\underbrace{\varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \varepsilon
\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  }_{\substack{=\varepsilon\left(
x_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  \\\text{(da }x_{\left(  1\right)
}\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  =x\text{)}}}\cdot q\otimes
q\\
&  =\Delta\left(  x\right)  -q\otimes x-x\otimes q+\varepsilon\left(
x\right)  \cdot q\otimes q,
\end{align*}
also%
\begin{align*}
\Delta\left(  x\right)  -q\otimes x-x\otimes q+\varepsilon\left(  x\right)
\cdot q\otimes q  &  =\left(  \nu\otimes\nu\right)  \left(  \Delta\left(
\underbrace{x}_{\in I}\right)  \right)  \in\left(  \nu\otimes\nu\right)
\underbrace{\left(  \Delta\left(  I\right)  \right)  }_{\subseteq I\otimes
H+H\otimes I}\\
&  \subseteq\left(  \nu\otimes\nu\right)  \left(  I\otimes H+H\otimes
I\right)  \subseteq\underbrace{\nu\left(  I\right)  }_{\subseteq I^{+}}%
\otimes\underbrace{\nu\left(  H\right)  }_{\subseteq H}+\underbrace{\nu\left(
H\right)  }_{\subseteq H}\otimes\underbrace{\nu\left(  I\right)  }_{\subseteq
I^{+}}\\
&  \subseteq I^{+}\otimes H+H\otimes I^{+},
\end{align*}
also%
\[
\Delta\left(  x\right)  \in q\otimes x+x\otimes q-\varepsilon\left(  x\right)
\cdot q\otimes q+I^{+}\otimes H+H\otimes I^{+}.
\]
F\"{u}r jedes $x\in I^{+}$ gilt also%
\begin{align*}
\Delta\left(  x\right)   &  \in\underbrace{q}_{\in H}\otimes\underbrace{x}%
_{\in I^{+}}+\underbrace{x}_{\in I^{+}}\otimes\underbrace{q}_{\in
H}-\underbrace{\varepsilon\left(  x\right)  }_{\substack{=0\\\text{(da }x\in
I^{+}=I\cap H^{+}\subseteq H^{+}=\operatorname*{Ker}\varepsilon\text{)}}}\cdot
q\otimes q+I^{+}\otimes H+H\otimes I^{+}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da
}x\in I^{+}\subseteq I\right) \\
&  \subseteq H\otimes I^{+}+I^{+}\otimes H-\underbrace{0\cdot q\otimes q}%
_{=0}+I^{+}\otimes H+H\otimes I^{+}\\
&  =H\otimes I^{+}+I^{+}\otimes H+I^{+}\otimes H+H\otimes I^{+}%
=\underbrace{\left(  I^{+}\otimes H+I^{+}\otimes H\right)  }%
_{\substack{\subseteq I^{+}\otimes H\\\text{(da }I^{+}\otimes H\text{ ein
Vektorraum ist)}}}+\underbrace{\left(  H\otimes I^{+}+H\otimes I^{+}\right)
}_{\substack{\subseteq H\otimes I^{+}\\\text{(da }H\otimes I^{+}\text{ ein
Vektorraum ist)}}}\\
&  \subseteq I^{+}\otimes H+H\otimes I^{+}.
\end{align*}
Mit anderen Worten: $\Delta\left(  I^{+}\right)  \subseteq I^{+}\otimes
H+H\otimes I^{+}$. Zusammen mit $\varepsilon\left(  I^{+}\right)  =0$ (denn
$I^{+}=I\cap H^{+}\subseteq H^{+}=\operatorname*{Ker}\varepsilon$) beweist
dies, da\ss \ $I^{+}$ ein Coideal von $H$ ist. Da $I^{+}$ auch ein Ideal von
$H$ ist, folgt hieraus, da\ss \ $I^{+}$ ein Biideal von $H$ ist. Da
$I^{+}=I\cap\underbrace{H^{+}}_{=\operatorname*{Ker}\varepsilon}=I\cap\left(
\operatorname*{Ker}\varepsilon\right)  =\operatorname*{Ker}\left(
\varepsilon\mid_{I}\right)  $ gilt, ist $I\diagup I^{+}=I\diagup
\operatorname*{Ker}\left(  \varepsilon\mid_{I}\right)  \cong\left(
\varepsilon\mid_{I}\right)  \left(  I\right)  $ (nach dem Homomorphiesatz),
also $\dim\left(  I\diagup I^{+}\right)  =\dim\left(  \left(  \varepsilon
\mid_{I}\right)  \left(  I\right)  \right)  <\infty$ (da $\left(
\varepsilon\mid_{I}\right)  \left(  I\right)  $ ein Untervektorraum von $k$
und daher endlichdimensional ist). Nun ist $\dim\left(  H\diagup I^{+}\right)
=\underbrace{\dim\left(  H\diagup I\right)  }_{<\infty}+\underbrace{\dim
\left(  I\diagup I^{+}\right)  }_{<\infty}<\infty+\infty=\infty$. Nach
Folgerung 2.21$\dfrac{\text{17}}{\text{20}}$ (angewandt auf $I^{+}$ statt $I$)
ist also $I^{+}$ ein Hopfideal von $H$. Daher ist $S\left(  I^{+}\right)
\subseteq I^{+}$. Wegen $I^{+}\subseteq I\cap H^{+}\subseteq I$ folgt hieraus
$S\left(  I^{+}\right)  \subseteq I$.

Doch wir haben oben gesehen, da\ss
\[
\Delta\left(  x\right)  \in q\otimes x+x\otimes q-\varepsilon\left(  x\right)
\cdot q\otimes q+I^{+}\otimes H+H\otimes I^{+}%
\]
f\"{u}r jedes $x\in I$ ist. Angewandt auf $x=q$ ergibt dies, da\ss
\begin{align*}
\Delta\left(  q\right)   &  \in q\otimes q+q\otimes q-\underbrace{\varepsilon
\left(  q\right)  }_{=1}\cdot q\otimes q+I^{+}\otimes H+H\otimes I^{+}\\
&  =q\otimes q+q\otimes q-q\otimes q+I^{+}\otimes H+H\otimes I^{+}\\
&  =q\otimes q+I^{+}\otimes H+H\otimes I^{+}%
\end{align*}
gilt. Wenden wir die Abbildung $\mu\circ\left(  S\otimes\operatorname*{id}%
\right)  $ auf beide Seiten dieser Gleichung an, so erhalten wir%
\begin{align*}
\left(  \mu\circ\left(  S\otimes\operatorname*{id}\right)  \right)  \left(
\Delta\left(  q\right)  \right)   &  \in\left(  \mu\circ\left(  S\otimes
\operatorname*{id}\right)  \right)  \left(  q\otimes q+I^{+}\otimes H+H\otimes
I^{+}\right) \\
&  =\mu\left(  \left(  S\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  q\otimes
q+I^{+}\otimes H+H\otimes I^{+}\right)  \right) \\
&  =\mu\left(  \underbrace{\left(  S\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
q\otimes q\right)  }_{=S\left(  q\right)  \otimes\operatorname*{id}\left(
q\right)  }+\underbrace{\left(  S\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
I^{+}\otimes H\right)  }_{\subseteq S\left(  I^{+}\right)  \otimes
\operatorname*{id}\left(  H\right)  }+\underbrace{\left(  S\otimes
\operatorname*{id}\right)  \left(  H\otimes I^{+}\right)  }_{\subseteq
S\left(  H\right)  \otimes\operatorname*{id}\left(  I^{+}\right)  }\right) \\
&  =\mu\left(  \underbrace{S\left(  q\right)  }_{\in H}\otimes
\underbrace{\operatorname*{id}\left(  q\right)  }_{=q\in I}%
+\underbrace{S\left(  I^{+}\right)  }_{\subseteq I}\otimes
\underbrace{\operatorname*{id}\left(  H\right)  }_{\subseteq H}%
+\underbrace{S\left(  H\right)  }_{\subseteq H}\otimes
\underbrace{\operatorname*{id}\left(  I^{+}\right)  }_{=I^{+}\subseteq
I}\right) \\
&  \subseteq\mu\left(  H\otimes I+I\otimes H+H\otimes I\right)
=\underbrace{H\cdot I}_{\substack{\subseteq I\\\text{(denn }I\text{ ist ein
Ideal)}}}+\underbrace{I\cdot H}_{\substack{\subseteq I\\\text{(denn }I\text{
ist ein Ideal)}}}+\underbrace{H\cdot I}_{\substack{\subseteq I\\\text{(denn
}I\text{ ist ein Ideal)}}}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\mu\text{ ist die
Multiplikationsabbildung von }H\right) \\
&  \subseteq I+I+I\subseteq I\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }I\text{
ist ein Untervektorraum von }H\right)  .
\end{align*}
Doch wegen%
\begin{align*}
\left(  \mu\circ\left(  S\otimes\operatorname*{id}\right)  \right)  \left(
\Delta\left(  q\right)  \right)   &  =\underbrace{\left(  \mu\circ\left(
S\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\right)  }_{\substack{=\eta
\circ\varepsilon\\\text{(nach der Definition der Antipode)}}}\left(  q\right)
=\left(  \eta\circ\varepsilon\right)  \left(  q\right) \\
&  =\eta\left(  \underbrace{\varepsilon\left(  q\right)  }_{=1}\right)
=\eta\left(  1\right)  =1_{H}%
\end{align*}
vereinfacht sich dies zu $1_{H}\in I$. Da $I$ ein Ideal von $H$ ist, folgt
hieraus $I=H$, im Widerspruch zu $I\neq H$. Dieser Widerspruch zeigt,
da\ss \ unsere Annahme ($\varepsilon\left(  I\right)  \neq0$) falsch war.
Somit ist $\varepsilon\left(  I\right)  =0$. Zusammen mit $\Delta\left(
I\right)  \subseteq I\otimes H+H\otimes I$ ergibt dies, da\ss \ $I$ ein
Coideal von $H$ ist. Da $I$ auch ein Ideal von $H$ ist, f\"{u}hrt dies dazu,
da\ss \ $I$ ein Biideal von $H$ ist. Laut Folgerung 2.21$\dfrac{\text{17}%
}{\text{20}}$ ist $I$ also auch ein Hopfideal von $H$, was zu beweisen war.

\bigskip

\fbox{\textbf{Moduln \"{u}ber Hopfalgebren}}

Wir wollen nun zeigen, da\ss \ man mit Moduln \"{u}ber Bialgebren oder
Hopfalgebren "mehr machen kann" als mit Moduln \"{u}ber (nur) Algebren.

Ist $H$ eine Bialgebra, dann kann man auf dem Tensorprodukt $V\otimes W$
zweier $H$-Linksmoduln $V$ und $W$ selber kanonisch eine $H$%
-Linksmodulstruktur definieren - und zwar nicht nur die $H$%
-Linksmodulstruktur, die man gem\"{a}\ss \ Satz 1.5. \textbf{1)} \textbf{a)}
als Tensorprodukt des $\left(  H,k\right)  $-Bimoduls $V$ mit dem
$k$-Linksmodul $W$ erh\"{a}lt\footnote{Diese $H$-Linksmodulstruktur
l\"{a}\ss t sich zwar definieren (und hat ihren Nutzen), aber sie h\"{a}ngt
gar nicht von der $H$-Linksmodulstruktur auf $W$ ab, sondern nur von der auf
$V$.}, sondern auch eine zweite, "symmetrischere" $H$-Linksmodulstruktur - die
sogenannte \textit{Diagonalstruktur}. Wir werden auch auf $\operatorname*{Hom}%
\left(  V,W\right)  $ eine $H$-Linksmodulstruktur einf\"{u}hren k\"{o}nnen,
falls $H$ eine Hopfalgebra ist.

Bevor wir zu dieser Definition kommen, wollen wir kurz auffrischen, was ein
$A$-Modul f\"{u}r eine $k$-Algebra $A$ ist. Dies ist so gut wie das gleiche
wie ein $A$-Modul, wenn man $A$ nur als Ring betrachtet (statt als
$k$-Algebra) - aber der Unterschied reicht aus, um dar\"{u}ber zu stolpern.
Deshalb wollen wir die Definitionen der beiden Begriffe pr\"{a}zisieren.

Zuerst erinnern wir uns an die Definition eines Moduls \"{u}ber einem Ring. Es
gibt viele verschiedene Definitionen; hier ist diejenige, die wir in Abschnitt
1 von Kapitel I gegeben haben. Das ist die elementarste Definition:

\begin{quote}
\textbf{Definition (Modul \"{u}ber einem Ring):} Sei $R$ ein Ring, sei $V$
eine abelsche Gruppe, und sei $\operatorname*{act}:R\times V\rightarrow V$
eine Abbildung. Wir benutzen im Folgenden die Abk\"{u}rzung $rv$ f\"{u}r das
Element $\operatorname*{act}\left(  r,v\right)  $ von $V$, wobei $r\in R$ und
$v\in V$ beliebig sind.

Angenommen, diese Abbildung $\operatorname*{act}$ erf\"{u}llt folgende Axiome:%
\begin{align*}
r\left(  v+w\right)   &  =rv+rw\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }r\in
R\text{, }v\in V\text{ und }w\in V\text{ (Linksdistributivit\"{a}t);}\\
\left(  r+s\right)  v  &  =rv+sv\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }r\in
R\text{, }s\in R\text{ und }v\in V\text{ (Rechtsdistributivit\"{a}t);}\\
r\left(  sv\right)   &  =\left(  rs\right)  v\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }r\in R\text{, }s\in R\text{ und }v\in V\text{ (Assoziativit\"{a}t);}\\
1_{R}v  &  =v\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }v\in V\text{
(Unitalit\"{a}t).}%
\end{align*}
Dann hei\ss t die Gruppe $V$ zusammen mit der $\mathbb{Z}$-bilinearen
Abbildung $\operatorname*{act}$ ein $R$\textit{-Linksmodul}. Die Abbildung
$\operatorname*{act}$ hei\ss t die \textit{Wirkung} von $R$ auf diesem Modul
$V$.
\end{quote}

Wir k\"{o}nnen diese Definition ein wenig abstrakter umschreiben, wenn wir
bemerken, da\ss \ die ersten zwei unserer vier Axiome (n\"{a}mlich
Linksdistributivit\"{a}t und Rechtsdistributivit\"{a}t) im Wesentlichen
aussagen, da\ss \ $\operatorname*{act}$ eine $\mathbb{Z}$-bilineare Abbildung
ist, w\"{a}hrend die letzten beiden Axiome (Assoziativit\"{a}t und
Unitalit\"{a}t) als kommutative Diagramme umgeschrieben werden k\"{o}nnen.
Dadurch erhalten wir folgende \"{a}quivalente Umformulierung der obigen Definition:

\begin{quote}
\textbf{Definition (Modul \"{u}ber einem Ring):} Sei $R$ ein Ring, sei $V$
eine abelsche Gruppe, und sei $\operatorname*{act}:R\times V\rightarrow V$
eine $\mathbb{Z}$-bilineare Abbildung, f\"{u}r die die zwei Diagramme%
\[
\xymatrixcolsep{3pc} \xymatrix{
R\times R\times V \ar[r]^-{\operatorname*{id}\times\operatorname*{act}} \ar[d]_{\operatorname*{mult}\times\operatorname*{id}} & R\times V \ar[d]^{\operatorname*{act}} \\
R\times V \ar[r]_{\operatorname*{act}} & V
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xymatrix{
V & \mathbb{Z}\times V \ar[d]^{\eta_R\times\operatorname*{id}} \ar[l]_-{\operatorname*{kan}} \\
& R\times V \ar[ul]^{\operatorname*{act}}
}
\]
kommutativ sind\footnote{Die Kommutativit\"{a}t des ersten dieser beiden
Diagramme ist \"{a}quivalent zum Axiom der Assoziativit\"{a}t, und die
Kommutativit\"{a}t des zweiten ist \"{a}quivalent zum Axiom der
Unitalit\"{a}t.}, wobei die Abbildungen $\operatorname*{kan}:\mathbb{Z}\times
V\rightarrow V,$ $\operatorname*{mult}:R\times R\rightarrow R$ und $\eta
_{R}:\mathbb{Z}\rightarrow R$ wie folgt definiert sind:%
\begin{align*}
\operatorname*{kan}\left(  n,v\right)   &
=nv\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }n\in\mathbb{Z}\text{ und }v\in V;\\
\operatorname*{mult}\left(  a,b\right)   &
=ab\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }a,b\in R;\\
\eta_{R}\left(  n\right)   &  =n\cdot1_{R}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }n\in\mathbb{Z}.
\end{align*}


Dann hei\ss t die Gruppe $V$ zusammen mit der $\mathbb{Z}$-bilinearen
Abbildung $\operatorname*{act}$ ein $R$\textit{-Linksmodul}. Man schreibt kurz
$rv$ f\"{u}r das Element $\operatorname*{act}\left(  r,v\right)  $ von $V$,
wobei $r\in R$ und $v\in V$ beliebig sind. Die Abbildung $\operatorname*{act}$
hei\ss t die \textit{Wirkung} von $R$ auf diesem Modul $V$.
\end{quote}

Wir k\"{o}nnen diese Definition noch ein wenig umformulieren, indem wir die
$\mathbb{Z}$-bilineare Abbildung $\operatorname*{act}:R\times V\rightarrow V$
durch eine $\mathbb{Z}$-lineare Abbildung $\mu:R\otimes V\rightarrow V$
ersetzen (verm\"{o}ge der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes). Wir
erhalten dadurch folgende \"{a}quivalente Definition\footnote{die den Vorteil
hat, da\ss \ wir in ihr nur die Pfeile umzudrehen brauchen, um aus ihr die
Definition eines Comoduls zu erhalten (was wir sp\"{a}ter tun werden)}:

\begin{quote}
\textbf{Definition (Modul \"{u}ber einem Ring):} Sei $R$ ein Ring, sei $V$
eine abelsche Gruppe, und sei $\mu:R\otimes V\rightarrow V$ (wobei $\otimes$
das Tensorprodukt $\otimes_{\mathbb{Z}}$ bezeichnet) ein Homomorphismus
abelscher Gruppen\footnote{In dieser Definition ist das Tensorprodukt
$\otimes$ immer als Tensorprodukt von abelschen Gruppen gemeint. Zwar haben
wir f\"{u}r die Definition des Tensorproduktes abelscher Gruppen bereits den
Begriff "Modul" verwendet (wir haben n\"{a}mlich gleich das Tensorprodukt von
$R$-Moduln definiert), aber wir h\"{a}tten genauso gut erstmal das
Tensorprodukt nur f\"{u}r abelsche Gruppen (d. h. f\"{u}r $\mathbb{Z}$-Moduln)
definieren k\"{o}nnen, ohne den Begriff eines Moduls zu benutzen. Insofern
d\"{u}rfen wir hier bei der Definition eines Moduls das Tensorprodukt
abelscher Gruppen verwenden.}, f\"{u}r den die zwei Diagramme%
\[
\xymatrixcolsep{3pc} \xymatrix{
R\otimes R\otimes V \ar[r]^-{\operatorname*{id}\otimes\mu} \ar[d]_{\mu_R\otimes\operatorname*{id}} & R\otimes V \ar[d]^{\mu} \\
R\otimes V \ar[r]_{\mu} & V
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xymatrix{
V & \mathbb{Z}\otimes V \ar[d]^{\eta_R\otimes\operatorname*{id}} \ar[l]_-{\operatorname*{kan}} \\
& R\otimes V \ar[ul]^{\mu}
}
\]
kommutativ sind, wobei die Gruppenhomomorphismen $\operatorname*{kan}%
:\mathbb{Z}\otimes V\rightarrow V,$ $\mu_{R}:R\otimes R\rightarrow R$ und
$\eta_{R}:\mathbb{Z}\rightarrow R$ wie folgt definiert sind:%
\begin{align*}
\operatorname*{kan}\left(  n\otimes v\right)   &
=nv\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }n\in\mathbb{Z}\text{ und }v\in V;\\
\mu_{R}\left(  a\otimes b\right)   &  =ab\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }a,b\in R;\\
\eta_{R}\left(  n\right)   &  =n\cdot1_{R}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }n\in\mathbb{Z}.
\end{align*}
(Der Gruppenhomomorphismus $\operatorname*{kan}$ ist ein Isomorphismus. Die
Gruppenhomomorphismen $\mu_{R}$ und $\eta_{R}$ sind einfach die Homomorphismen
$\mu_{R}$ und $\eta_{R},$ wenn man $R$ als $\mathbb{Z}$-Algebra$_{3}$ auffasst.)

Dann hei\ss t die Gruppe $V$ zusammen mit dem Homomorphismus $\mu$ ein
$R$\textit{-Linksmodul}. Man schreibt kurz $rv$ f\"{u}r das Element
$\mu\left(  r\otimes v\right)  $ von $V$, wobei $r\in R$ und $v\in V$ beliebig sind.
\end{quote}

Wir haben damit drei Definitionen f\"{u}r den Begriff "$R$-Linksmodul"
gegeben. Diese drei Definitionen sind zueinander \"{a}quivalent: So kommt man
von einem Homomorphismus $\mu:R\otimes V\rightarrow V$ zu der Wirkung
$\operatorname*{act}:R\times V\rightarrow V$ von $R$ auf $V,$ indem man
$\operatorname*{act}\left(  r,v\right)  =\mu\left(  r\otimes v\right)  $
f\"{u}r alle $r\in R$ und $v\in V$ setzt, und umgekehrt kommt man von der
Wirkung $\operatorname*{act}:R\times V\rightarrow V$ von $R$ auf $V$ zum
Homomorphismus $\mu:R\otimes V\rightarrow V,$ indem man $\mu\left(  r\otimes
v\right)  =\operatorname*{act}\left(  r,v\right)  $ f\"{u}r alle $r\in R$ und
$v\in V$ festlegt. (Man m\"{u}sste nat\"{u}rlich noch beweisen, da\ss \ dies
alles wohldefiniert ist, aber dies ist sehr einfach.)

Jetzt definieren wir v\"{o}llig analog zur obigen (dritten) Definition eines
Moduls \"{u}ber einem Ring einen Modul \"{u}ber einer $k$-Algebra:

\begin{quote}
\textbf{Definition (Modul \"{u}ber einer }$k$\textbf{-Algebra):} Sei $k$ ein
K\"{o}rper, und sei $R$ eine $k$-Algebra. Sei $V$ ein $k$-Vektorraum, und sei
$\mu:R\otimes V\rightarrow V$ (wobei $\otimes$ das Tensorprodukt $\otimes_{k}$
bezeichnet) ein Homomorphismus von $k$-Vektorr\"{a}umen, f\"{u}r den die zwei
Diagramme%
\[
\xymatrixcolsep{3pc} \xymatrix{
R\otimes R\otimes V \ar[r]^-{\operatorname*{id}\otimes\mu} \ar[d]_{\mu_R\otimes\operatorname*{id}} & R\otimes V \ar[d]^{\mu} \\
R\otimes V \ar[r]_{\mu} & V
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xymatrix{
V & k\otimes V \ar[d]^{\eta_R\otimes\operatorname*{id}} \ar[l]_-{\operatorname*{kan}} \\
& R\otimes V \ar[ul]^{\mu}
}
\]
kommutativ sind, wobei die Vektorraumhomomorphismen $\operatorname*{kan}%
:k\otimes V\rightarrow V,$ $\mu_{R}:R\otimes R\rightarrow R$ und $\eta
_{R}:k\rightarrow R$ wie folgt definiert sind:%
\begin{align*}
\operatorname*{kan}\left(  \alpha\otimes v\right)   &  =\alpha
v\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }\alpha\in k\text{ und }v\in V;\\
\mu_{R}\left(  a\otimes b\right)   &  =ab\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }a,b\in R;\\
\eta_{R}\left(  \alpha\right)   &  =\alpha\cdot1_{R}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }\alpha\in k.
\end{align*}
(Dabei ist wieder $\operatorname*{kan}$ ist ein Isomorphismus. Die
$k$-Algebrahomomorphismen $\mu_{R}$ und $\eta_{R}$ sind einfach die
Homomorphismen $\mu_{R}$ und $\eta_{R},$ wenn man die $k$-Algebra $R$ als
$k$-Algebra$_{3}$ auffasst.)

Dann hei\ss t der $k$-Vektorraum $V$ zusammen mit dem Homomorphismus $\mu$ ein
$\left(  R\right)  _{k}$\textit{-Linksmodul}. Man schreibt kurz $rv$ f\"{u}r
das Element $\mu\left(  r\otimes v\right)  $ von $V$, wobei $r\in R$ und $v\in
V$ beliebig sind.
\end{quote}

Der Index $k$ in der Notation "$\left(  R\right)  _{k}$-Linksmodul" soll dabei
daran erinnern, da\ss \ diese Definition von $k$ abh\"{a}ngig ist.

\textbf{2.21}$\dfrac{\text{\textbf{19}}}{\text{\textbf{20}}}$\textbf{.
Bemerkung:} Wenn $k$ ein K\"{o}rper und $R$ eine $k$-Algebra ist, dann haben
wir jetzt zwei verschiedene Begriffe von "Linksmoduln" definiert: den Begriff
des "$R$-Linksmoduls" (wobei $R$ hier nur als Ring eine Rolle spielt), und den
Begriff des "$\left(  R\right)  _{k}$-Linksmoduls" (wobei wir hier verwenden,
da\ss \ $R$ eine $k$-Algebra ist). Diese Begriffe sind nicht exakt
identisch\footnote{Ihre Definitionen sind zueinander analog, aber
unterscheiden sich z. B. darin, da\ss \ in der Definition des ersteren
Begriffes Tensorprodukte \"{u}ber $\mathbb{Z}$ benutzt werden, w\"{a}hrend in
der Definition des zweiteren Begriffes Tensorprodukte \"{u}ber $k$ an deren
Stelle treten. Man kann sich leicht einen $k$-Vektorraum $V$ vorstellen, der
als abelsche Gruppe ein $R$-Linksmodul ist, aber kein $\left(  R\right)  _{k}%
$-Linksmodul ist.}, doch sie sind in einer gewissen Weise zueinander \"{a}quivalent:

\begin{itemize}
\item Ist $k$ ein K\"{o}rper und $R$ eine $k$-Algebra, dann kann man jede
abelsche Gruppe $V,$ die ein $R$-Linksmodul ist, kanonisch zu einem
$k$-Vektorraum, der ein $\left(  R\right)  _{k}$-Linksmodul ist, machen -
indem man eine $k$-Vektorraumstruktur auf $V$ durch $\alpha v=\mu\left(
\alpha\cdot1_{R}\otimes v\right)  $ f\"{u}r alle $\alpha\in k$ und $v\in V$
definiert. Diese $k$-Vektorraumstruktur bezeichnen wir als die
\textit{kanonische }$k$\textit{-Vektorraumstruktur} auf dem $R$-Linksmodul $V$.

\item Und umgekehrt ist jeder $k$-Vektorraum, der ein $\left(  R\right)  _{k}%
$-Linksmodul ist, automatisch auch ein $R$-Linksmodul als abelsche Gruppe.
\end{itemize}

Insofern sind die Begriffe "$\left(  R\right)  _{k}$-Linksmodul" und
"$R$-Linksmodul" \"{a}quivalent - man muss nur folgendes Problem beachten:
Wenn man auf einem $k$-Vektorraum $V$ eine $R$-Linksmodulstruktur definiert,
kann es passieren, da\ss \ $V$ dadurch \textit{nicht} zu einem $\left(
R\right)  _{k}$-Linksmodul wird. Der Grund daf\"{u}r ist folgender: Ein
$\left(  R\right)  _{k}$-Linksmodul $V$ mu\ss \ immer die Relation%
\[
\left(  \lambda1_{R}\right)  v=\lambda v\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle
}\lambda\in k\text{ und }v\in V
\]
erf\"{u}llen (d. h. die vorgegebene $k$-Vektorraumstruktur auf $V$ mu\ss \ mit
der kanonischen $k$-Vektorraumstruktur auf dem $R$-Linksmodul $V\ \ \ \ $%
\footnote{Zur Erinnerung: Die kanonische $k$-Vektorraumstruktur auf dem
$R$-Linksmodul $V$ ist die durch $\alpha v=\mu\left(  \alpha\cdot1_{R}\otimes
v\right)  $ f\"{u}r alle $\alpha\in k$ und $v\in V$ definierte $k$%
-Vektorraumstruktur auf $V$, wobei das Zeichen $\otimes$ hier f\"{u}r
$\otimes_{\mathbb{Z}}$ steht, und die Abbildung $\mu$ von der $R$%
-Linksmodulstruktur auf $V$ kommt.} identisch sein), w\"{a}hrend ein
$k$-Vektorraum $V$ mit einer (zuf\"{a}lligen) $R$-Linksmodulstruktur diese
Relation nicht unbedingt erf\"{u}llt. Mit anderen Worten: Man kann zwar jede
abelsche Gruppe $V,$ die ein $R$-Linksmodul ist, kanonisch zu einem $\left(
R\right)  _{k}$-Linksmodul machen, indem man ihr die kanonische $k$%
-Vektorraumstruktur verleiht; doch wenn diese Gruppe $V$ bereits im Vorhinein
eine andere $k$-Vektorraumstruktur hatte, ist nat\"{u}rlich nicht zu
garantieren, da\ss \ sie mit dieser anderen Vektorraumstruktur ein $\left(
R\right)  _{k}$-Linksmodul wird, d. h. es kann passieren, da\ss \ man auf
einmal zwei verschiedene $k$-Vektorraumstrukturen auf der gleichen abelschen
Gruppe $V$ erh\"{a}lt (einerseits die vorgegebene $k$-Vektorraumstruktur auf
$V$; andererseits die durch die Setzung $\alpha v=\mu\left(  \alpha\cdot
1_{R}\otimes v\right)  $ f\"{u}r alle $\alpha\in k$ und $v\in V$ entstandene),
und nur mit der zweiten davon wird $V$ auch wirklich zu einem $\left(
R\right)  _{k}$-Linksmodul.

Wir werden allerdings mit diesem Fall nie in Ber\"{u}hrung kommen. Daher
werden wir salopp den Begriff "$R$-Linksmodul" als Synonym f\"{u}r "$\left(
R\right)  _{k}$-Linksmodul" benutzen (im Fall, wenn $R$ eine $k$-Algebra ist).
Im Zweifelsfall sind S\"{a}tze der Art "Wir machen den $k$-Vektorraum $V$ zu
einem $R$-Linksmodul" (wobei $R$ eine $k$-Algebra ist) immer als "Wir machen
den $k$-Vektorraum $V$ zu einem $\left(  R\right)  _{k}$-Linksmodul" zu lesen,
weil wir meistens keinen Grund haben, eine $R$-Linksmodulstruktur auf einem
$k$-Vektorraum $V$ zu definieren, die nicht gleichzeitig eine $\left(
R\right)  _{k}$-Linksmodulstruktur auf $V$ ist. Wenn wir aber doch einmal eine
$R$-Linksmodulstruktur auf $V$ einf\"{u}hren wollen, die keine $\left(
R\right)  _{k}$-Linksmodulstruktur ist, dann werden wir hierauf explizit hinweisen.

\"{A}hnlich zum Begriff eines $R$-Linksmoduls wird der Begriff eines
$R$-Rechtsmoduls definiert, und \"{a}hnlich zum Begriff eines $\left(
R\right)  _{k}$-Linksmoduls wird der Begriff eines $\left(  R\right)  _{k}%
$-Rechtsmoduls eingef\"{u}hrt. Ferner k\"{o}nnen wir genauso, wie wir $\left(
R\right)  _{k}$-Linksmoduln definiert haben, auch den Begriff eines $\left(
A,B\right)  _{k}$-Bimoduls einf\"{u}hren, wobei $A$ und $B$ zwei $k$-Algebren
sind. Doch mit Bimoduln sollten wir noch vorsichtiger sein als mit einseitigen
Moduln, denn:

Laut Bemerkung 2.21$\dfrac{\text{19}}{\text{20}}$ sind die Begriffe
"$R$-Linksmodul" und "$\left(  R\right)  _{k}$-Linksmodul" \"{a}quivalent, und
aus dem gleichen Grund sind die Begriffe "$R$-Rechtsmodul" und "$\left(
R\right)  _{k}$-Rechtsmodul" \"{a}quivalent. Doch die Begriffe "$\left(
A,B\right)  $-Bimodul" und "$\left(  A,B\right)  _{k}$-Bimodul" sind
\textit{nicht} \"{a}quivalent, denn ist $M$ ein $\left(  A,B\right)  _{k}%
$-Bimodul, dann mu\ss \ notwendigerweise $\left(  \lambda1_{A}\right)
m=m\left(  \lambda1_{B}\right)  $ f\"{u}r jedes $m\in M$ und $\lambda\in k$
gelten (denn die Abbildungen $A\otimes M\rightarrow M$ und $M\otimes
B\rightarrow M$ sind $k$-linear), aber ist $M$ ein $\left(  A,B\right)
$-Bimodul, dann gilt dies nicht notwendigerweise\footnote{Hier ein
\textit{Beispiel} f\"{u}r einen der F\"{a}lle, wo dies \textit{nicht} gilt:
\par
Bezeichnen wir mit $\mathbb{H}$ den Ring der Quaternionen, dann ist
$\mathbb{H}$ ein $\left(  \mathbb{C},\mathbb{C}\right)  $-Bimodul (wobei die
Linkswirkung von $\mathbb{C}$ auf $\mathbb{H}$ durch $z\cdot h=\underbrace{zh}%
_{\text{Produkt in }\mathbb{H}}$ f\"{u}r alle $z\in\mathbb{C}$ und
$h\in\mathbb{H}$ gegeben ist, und die Rechtswirkung von $\mathbb{C}$ auf
$\mathbb{H}$ durch $h\cdot z=\underbrace{hz}_{\text{Produkt in }\mathbb{H}}$
f\"{u}r alle $z\in\mathbb{C}$ und $h\in\mathbb{H}$ gegeben ist), und sogar ein
$\left(  \mathbb{C},\mathbb{C}\right)  _{\mathbb{R}}$-Bimodul, aber
\textit{kein} $\left(  \mathbb{C},\mathbb{C}\right)  _{\mathbb{C}}$-Bimodul
(zumindest nicht mit den gerade definierten Links- und Rechtswirkungen),
obwohl man $\mathbb{H}$ zu einem $\left(  \mathbb{C}\right)  _{\mathbb{C}}%
$-Linksmodul und zu einem $\left(  \mathbb{C}\right)  _{\mathbb{C}}%
$-Rechtsmodul machen k\"{o}nnte. (Da\ss \ $\mathbb{H}$ kein $\left(
\mathbb{C},\mathbb{C}\right)  _{\mathbb{C}}$-Bimodul ist, erkennt man daran,
da\ss \ $\left(  \lambda1_{\mathbb{C}}\right)  m=m\left(  \lambda
1_{\mathbb{C}}\right)  $ nicht f\"{u}r jedes $m\in\mathbb{H}$ und $\lambda
\in\mathbb{C}$ erf\"{u}llt ist (zum Beispiel nicht f\"{u}r $m=j$ und
$\lambda=i$).)}. Man kann also nicht jede abelsche Gruppe mit einer $\left(
A,B\right)  $-Bimodulstruktur automatisch zu einem $\left(  A,B\right)  _{k}%
$-Bimodul machen!

Genug der Trivialit\"{a}ten, jetzt werden wir (wie versprochen) $H$%
-Linksmodulstrukturen auf $V\otimes W,$ $k$ und $\operatorname*{Hom}\left(
V,W\right)  $ f\"{u}r Bialgebren bzw. Hopfalgebren $H$ definieren:

\textbf{Definition (Diagonalstruktur, }$\varepsilon$\textbf{-Modulstruktur,
Hom-Struktur):} Sei $H$ eine Bialgebra. Wir bezeichnen mit $_{H}\mathcal{M}$
die Kategorie der $H$-Linksmoduln, wobei wir $H$ als $k$-Algebra ansehen (die
zus\"{a}tzliche Coalgebrastruktur auf $H$ ignorieren wir erst einmal), und
jeden $H$-Linksmodul betrachten wir als $k$-Vektorraum mit der (oben
eingef\"{u}hrten) kanonischen $k$-Vektorraumstruktur.

\textbf{1)} \footnote{Diese Definition ist recht abstrakt. Eine alternative
(konkretere) Definition der Diagonalstruktur ist weiter unten (zwischen
Bemerkung 2.23 und Bemerkung 2.24) zu finden.} Seien $V,W\in\left.
_{H}\mathcal{M}\right.  $. Dann k\"{o}nnen wir auf dem Vektorraum $V\otimes W$
eine kanonische $H$-Linksmodulstruktur konstruieren, indem wir die kanonische
$\left(  H\otimes H\right)  $-Linksmodulstruktur auf $V\otimes W$ (diese
$\left(  H\otimes H\right)  $-Linksmodulstruktur ist definiert durch $\left(
x\otimes y\right)  \left(  v\otimes w\right)  =xv\otimes yw$ f\"{u}r alle
$x,y\in H,$ $v\in V$ und $w\in W$) verm\"{o}ge des Algebrahomomorphismus
$\Delta:H\rightarrow H\otimes H$ zu einer $H$-Linksmodulstruktur einschr\"{a}nken.

Diese $H$-Linksmodulstruktur hei\ss t \textit{Diagonalstruktur} auf $V\otimes
W$. Wir schreiben also $V\otimes W\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  .$

\textbf{2)} Ferner k\"{o}nnen wir den Vektorraum $k$ zu einem $H$-Linksmodul
machen, und zwar verm\"{o}ge des Algebrahomomorphismus $\varepsilon
:H\rightarrow k$. Das hei\ss t, auf dem Vektorraum $k$ ist eine $H$%
-Linksmodulstruktur definiert durch $h\cdot\lambda=\varepsilon\left(
h\right)  \cdot\lambda$ f\"{u}r alle $h\in H$ und $\lambda\in k$. Diese
$H$-Linksmodulstruktur wird als $\varepsilon$\textit{-Modulstruktur} oder auch
als \textit{triviale }$1$\textit{-dimensionale Darstellung} von $H$
bezeichnet. Wir haben also $k\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  $.

\textit{Bemerkung:} Der $H$-Linksmodul $k$ mit der gerade definierten
$\varepsilon$-Modulstruktur wird auch \"{o}fters mit $_{\varepsilon}k$
bezeichnet (um zu betonen, da\ss \ die $H$-Linksmodulstruktur auf ihm von der
Abbildung $\varepsilon$ herstammt).

\textbf{3)} Seien $V,W\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  $. Ist $H$ eine
Hopfalgebra, dann k\"{o}nnen wir auch auf dem Vektorraum $\operatorname*{Hom}%
\left(  V,W\right)  $ eine $H$-Linksmodulstruktur definieren durch
\[
\left(  hf\right)  \left(  v\right)  =h_{\left(  1\right)  }f\left(  S\left(
h_{\left(  2\right)  }\right)  v\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }h\in H\text{, }f\in\operatorname*{Hom}\left(  V,W\right)  \text{ und
}v\in V
\]
(wobei wir die summenlose Sweedler-Notation verwenden). Wir bezeichnen diese
$H$-Linksmodulstruktur als \textit{Hom-Struktur} auf $V\otimes W$. Mithilfe
dieser Struktur wird $\operatorname*{Hom}\left(  V,W\right)  $ zu einem
$H$-Linksmodul, d. h. wir k\"{o}nnen $\operatorname*{Hom}\left(  V,W\right)
\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  $ schreiben. Im Falle von $W=k$ ergibt dies
insbesondere eine $H$-Linksmodulstruktur auf $V^{\ast}$ mit $\left(
hf\right)  \left(  v\right)  =f\left(  S\left(  h\right)  v\right)  $ f\"{u}r
alle $h\in H,$ $f\in V^{\ast}$ und $v\in V.$ Wir k\"{o}nnen damit auch
$V^{\ast}\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  $ schreiben.

\textbf{2.22. Bemerkung:} Wir m\"{u}ssen zeigen, da\ss \ diese Definition
korrekt ist.

\textbf{1)} Ist $H$ eine Bialgebra, und sind $V,W\in\left.  _{H}%
\mathcal{M}\right.  ,$ dann ist die oben definierte Diagonalstruktur auf
$V\otimes W$ tats\"{a}chlich eine $H$-Linksmodulstruktur.

\textit{Beweis:} F\"{u}r \textit{jede} Algebra $H$ (nicht notwendigerweise
eine Bialgebra) ist eine kanonische $\left(  H\otimes H\right)  $%
-Linksmodulstruktur $V\otimes W\in\left.  _{H\otimes H}\mathcal{M}\right.  $
definiert durch $\left(  x\otimes y\right)  \left(  v\otimes w\right)
=xv\otimes yw$ f\"{u}r alle $x,y\in H,$ $v\in V$ und $w\in W.$ Da f\"{u}r
unsere Bialgebra $H$ aber $\Delta:H\rightarrow H\otimes H$ ein
Algebrahomomorphismus ist, k\"{o}nnen wir diese Struktur verm\"{o}ge des
Algebrahomomorphismus $\Delta:H\rightarrow H\otimes H$ zu einer $H$%
-Linksmodulstruktur einschr\"{a}nken.

\textbf{2)} Ist $H$ eine Bialgebra, dann ist die oben definierte $\varepsilon
$-Modulstruktur auf $k$ tats\"{a}chlich eine $H$-Linksmodulstruktur.

\textit{Beweis:} Trivial.

\textbf{3)} Ist $H$ eine Hopfalgebra, und sind $V,W\in\left.  _{H}%
\mathcal{M}\right.  ,$ dann ist die oben definierte Hom-Struktur auf
$\operatorname*{Hom}\left(  V,W\right)  $ tats\"{a}chlich eine $H$-Linksmodulstruktur.

\textit{Beweis:} Diese mutma\ss liche Modulstruktur erf\"{u}llt alle Axiome,
die eine Modulstruktur erf\"{u}llen soll. Denn:

\begin{itemize}
\item Sie ist assoziativ, denn f\"{u}r alle $x,y\in H$ und $f\in
\operatorname*{Hom}\left(  V,W\right)  $ ist $x\left(  yf\right)  =\left(
xy\right)  f$ (denn f\"{u}r jedes $v\in V$ ist%
\begin{align*}
\left(  x\left(  yf\right)  \right)  \left(  v\right)   &  =x_{\left(
1\right)  }\underbrace{\left(  yf\right)  \left(  S\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  v\right)  }_{=y_{\left(  1\right)  }f\left(  S\left(
y_{\left(  2\right)  }\right)  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
v\right)  }=x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  }f\left(
\underbrace{S\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)  S\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  }_{=S\left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)
}\right)  }v\right) \\
&  =x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  }f\left(  S\left(  x_{\left(
2\right)  }y_{\left(  2\right)  }\right)  v\right)  =\left(  xy\right)
_{\left(  1\right)  }f\left(  S\left(  \left(  xy\right)  _{\left(  2\right)
}\right)  v\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }x_{\left(  1\right)  }y_{\left(
1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }=\left(
xy\right)  _{\left(  1\right)  }\otimes\left(  xy\right)  _{\left(  2\right)
}\right) \\
&  =\left(  \left(  xy\right)  f\right)  \left(  v\right)
\end{align*}
).

\item F\"{u}r alle $f\in\operatorname*{Hom}\left(  V,W\right)  $ ist
$1_{H}f=f$ (denn f\"{u}r jedes $v\in V$ ist $\left(  1_{H}f\right)  \left(
v\right)  =\left(  1_{H}\right)  _{\left(  1\right)  }f\left(  S\left(
\left(  1_{H}\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  v\right)  =1f\left(
\underbrace{S\left(  1\right)  }_{=1}v\right)  =f\left(  v\right)  $).

\item F\"{u}r jede $h,g\in H$ und jedes $f\in\operatorname*{Hom}\left(
V,W\right)  $ gilt $\left(  h+g\right)  f=hf+gf$. (Dies ist leicht zu sehen.)

\item F\"{u}r jede $h\in H$ und $\lambda\in k$ und jedes $f\in
\operatorname*{Hom}\left(  V,W\right)  $ gilt $\left(  \lambda h\right)
f=\lambda\cdot hf$. (Dies ist leicht zu sehen.)

\item F\"{u}r jedes $h\in H$ und jede $f,f^{\prime}\in\operatorname*{Hom}%
\left(  V,W\right)  $ gilt $h\left(  f+f^{\prime}\right)  =hf+hf^{\prime}$.
(Dies ist leicht zu sehen.)

\item F\"{u}r jede $h\in H$ und $\lambda\in k$ und jedes $f\in
\operatorname*{Hom}\left(  V,W\right)  $ gilt $h\left(  \lambda f\right)
=\lambda\cdot hf$. (Dies ist leicht zu sehen.)
\end{itemize}

Damit ist 2.22 \textbf{3)} bewiesen.

In der obigen Definition haben wir die Diagonalstruktur auf $V\otimes W$ recht
abstrakt eingef\"{u}hrt; folgenderma\ss en k\"{o}nnen wir sie explizit beschreiben:

\textbf{2.23. Bemerkung:} \textbf{1)} Ist $H$ eine Bialgebra, und sind
$V,W\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  ,$ dann gilt die Identit\"{a}t%
\[
h\left(  v\otimes w\right)  =h_{\left(  1\right)  }v\otimes h_{\left(
2\right)  }w\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }h\in H\text{, }v\in
V\text{ und }w\in W
\]
(wobei wir die summenlose Sweedler-Notation verwenden).

\textbf{2)} Durch diese Identit\"{a}t ist die Diagonalstruktur auf $V\otimes
W$ eindeutig festgelegt. Das hei\ss t, die einzige $H$-Linksmodulstruktur auf
$V\otimes W$, die
\[
h\left(  v\otimes w\right)  =h_{\left(  1\right)  }v\otimes h_{\left(
2\right)  }w\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }h\in H\text{, }v\in
V\text{ und }w\in W
\]
erf\"{u}llt, ist die Diagonalstruktur.

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Wir haben die Diagonalstruktur auf $V\otimes W$
konstruiert, indem wir die kanonische $\left(  H\otimes H\right)
$-Linksmodulstruktur auf $V\otimes W$ (diese $\left(  H\otimes H\right)
$-Linksmodulstruktur ist definiert durch $\left(  x\otimes y\right)  \left(
v\otimes w\right)  =xv\otimes yw$ f\"{u}r alle $x,y\in H,$ $v\in V$ und $w\in
W$) verm\"{o}ge des Algebrahomomorphismus $\Delta:H\rightarrow H\otimes H$ zu
einer $H$-Linksmodulstruktur eingeschr\"{a}nkt haben. Somit ist $ht=\left(
\Delta\left(  h\right)  \right)  t$ f\"{u}r alle $h\in H$ und $t\in V\otimes
W$. Angewandt auf $t=v\otimes w$ ergibt dies also%
\[
h\left(  v\otimes w\right)  =\left(  \underbrace{\Delta\left(  h\right)
}_{=h_{\left(  1\right)  }\otimes h_{\left(  2\right)  }}\right)  \left(
v\otimes w\right)  =\left(  h_{\left(  1\right)  }\otimes h_{\left(  2\right)
}\right)  \left(  v\otimes w\right)  =h_{\left(  1\right)  }v\otimes
h_{\left(  2\right)  }w,
\]
was zu beweisen war.

\textbf{2)} Es kann nur eine $H$-Linksmodulstruktur auf $V\otimes W$ geben,
welche die Identit\"{a}t%
\[
h\left(  v\otimes w\right)  =h_{\left(  1\right)  }v\otimes h_{\left(
2\right)  }w\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }h\in H\text{, }v\in
V\text{ und }w\in W
\]
erf\"{u}llt (denn diese Identit\"{a}t gibt die Wirkung von jedem $h\in H$ auf
jedem reinen Tensor $v\otimes w\in V\otimes W$ vor, und (wegen der
Linearit\"{a}t der Wirkung) ist dadurch auch die Wirkung von jedem $h\in H$
auf jedem (nicht notwendigerweise reinen) Tensor in $V\otimes W$ eindeutig
bestimmt). Da die Diagonalstruktur auf $V\otimes W$ diese Identit\"{a}t
erf\"{u}llt, gilt also: Die einzige $H$-Linksmodulstruktur auf $V\otimes W$,
die
\[
h\left(  v\otimes w\right)  =h_{\left(  1\right)  }v\otimes h_{\left(
2\right)  }w\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }h\in H\text{, }v\in
V\text{ und }w\in W
\]
erf\"{u}llt, ist die Diagonalstruktur. Qed.

Wegen Bemerkung 2.23 \textbf{2)} h\"{a}tten wir die Diagonalstruktur auf
$V\otimes W$ also auch folgenderma\ss en definieren k\"{o}nnen:

\textbf{Alternative Definition:} Sei $H$ eine Bialgebra, und seien
$V,W\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  $. Dann gibt es genau eine
$H$-Linksmodulstruktur auf $V\otimes W$, die%
\[
h\left(  v\otimes w\right)  =h_{\left(  1\right)  }v\otimes h_{\left(
2\right)  }w\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }h\in H\text{, }v\in
V\text{ und }w\in W
\]
erf\"{u}llt. Diese $H$-Linksmodulstruktur auf $V\otimes W$ hei\ss t
\textit{Diagonalstruktur}.

\textbf{2.24.} \textbf{Beispiel:} Sei $G$ eine Gruppe. Die Gruppenalgebra
$k\left[  G\right]  $ ist dann eine Hopfalgebra (mit der in Beispiel 2.11
\textbf{1)} definierten Hopfalgebrastruktur). Wir k\"{o}nnen dann unsere
obigen Definitionen (Diagonalstruktur, $\varepsilon$-Modulstruktur,
Hom-Struktur) auf den Fall $H=k\left[  G\right]  $ anwenden. Hier sind die Details:

\textbf{1)} Sind $V$ und $W$ zwei Darstellungen von $G$, dann kann man $V$ und
$W$ kanonisch als $k\left[  G\right]  $-Linksmoduln betrachten. Die
Diagonalstruktur auf dem Tensorprodukt $V\otimes W$ macht dann den Vektorraum
$V\otimes W$ ebenfalls zu einer Darstellung von $G$, und diese erf\"{u}llt
$g\left(  v\otimes w\right)  =gv\otimes gw$ f\"{u}r alle $g\in G$, $v\in V$
und $w\in W$ (denn nach 2.23. \textbf{1)} ist $g\left(  v\otimes w\right)
=g_{\left(  1\right)  }v\otimes g_{\left(  2\right)  }w$, was aber wegen
$g_{\left(  1\right)  }\otimes g_{\left(  2\right)  }=\Delta\left(  g\right)
=g\otimes g$ zu $g\left(  v\otimes w\right)  =gv\otimes gw$ wird). Diese
Darstellung der Gruppe $G$ auf dem Vektorraum $V\otimes W$ ist das sogenannte
\textit{innere Tensorprodukt der Darstellungen} $V$ und $W$.

\textbf{2)} Die $\varepsilon$-Modulstruktur auf $k$ macht den Vektorraum $k$
zu einer Darstellung von $G$. Diese Darstellung erf\"{u}llt $g\cdot
\lambda=\lambda$ f\"{u}r alle $g\in G$ und $\lambda\in k$ (denn $g\cdot
\lambda=\underbrace{\varepsilon\left(  g\right)  }_{=1}\cdot\lambda=\lambda$),
und wird als \textit{die triviale Darstellung von }$G$ bezeichnet.

\textbf{3)} Sind $V$ und $W$ zwei Darstellungen von $G$, dann kann man $V$ und
$W$ kanonisch als $k\left[  G\right]  $-Linksmoduln betrachten. Die
Hom-Struktur auf $\operatorname*{Hom}\left(  V,W\right)  $ macht dann den
Vektorraum $\operatorname*{Hom}\left(  V,W\right)  $ ebenfalls zu einer
Darstellung von $G$, und diese erf\"{u}llt $\left(  gf\right)  \left(
v\right)  =gf\left(  g^{-1}v\right)  $ f\"{u}r alle $g\in G$, $f\in
\operatorname*{Hom}\left(  V,W\right)  $ und $v\in V$ (denn nach der
Definition der Hom-Struktur ist $\left(  gf\right)  \left(  v\right)
=g_{\left(  1\right)  }f\left(  S\left(  g_{\left(  2\right)  }\right)
v\right)  $, was aber wegen $g_{\left(  1\right)  }\otimes g_{\left(
2\right)  }=g\otimes g$ und $S\left(  g\right)  =g^{-1}$ zu $\left(
gf\right)  \left(  v\right)  =gf\left(  g^{-1}v\right)  $ wird). Diese
Darstellung der Gruppe $G$ ist genau diejenige Darstellung, die Algebraiker
meinen, wenn sie von der "Darstellung $\operatorname*{Hom}\left(  V,W\right)
$ der Gruppe $G$" reden.

\textit{Bemerkung:} Ein aufmerksamer Leser wird festgestellt haben,
da\ss \ wir f\"{u}r die Definitionen der Diagonalstruktur, der $\varepsilon
$-Modulstruktur und der Hom-Struktur nur eine Algebra $H$ und drei
Algebrahomomorphismen $\Delta:H\rightarrow H\otimes H,$ $\varepsilon
:H\rightarrow k$ und $S:H^{\operatorname*{op}}\rightarrow H$ benutzt haben,
\textit{nicht} aber die Tatsache, da\ss \ diese drei Homomorphismen die Axiome
einer Hopfalgebra erf\"{u}llen. Wir haben also weder gebraucht,
da\ss \ $\Delta$ coassoziativ ist, noch da\ss \ $\Delta$ bez\"{u}glich
$\varepsilon$ counit\"{a}r ist, noch da\ss \ $S$ wirklich eine Antipode ist.
Doch diese Eigenschaften werden alle n\"{o}tig, wenn wir wollen, da\ss \ die
Diagonalstruktur, die $\varepsilon$-Modulstruktur und die Hom-Struktur einige
naheliegende Eigenschaften erf\"{u}llen: zum Beispiel mu\ss \ $\Delta$
coassoziativ sein, damit der kanonische $k$-Vektorraumisomorphismus
$U\otimes\left(  V\otimes W\right)  \underset{\cong%
}{\overset{\operatorname*{kan}}{\longrightarrow}}\left(  U\otimes V\right)
\otimes W$ eine $H$-linkslineare Abbildung f\"{u}r alle $U,V,W\in\left.
_{H}\mathcal{M}\right.  $ ist. Genauer:

\textbf{2.25. Bemerkung:} Sei $H$ eine beliebige Algebra (nicht
notwendigerweise Hopfalgebra) mit Algebrahomomorphismen $\Delta:H\rightarrow
H\otimes H,$ $\varepsilon:H\rightarrow k$ und $S:H^{\operatorname*{op}%
}\rightarrow H.$ F\"{u}r alle $V,W\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  $ gilt
dann: $k\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  $ verm\"{o}ge $\varepsilon,$ ferner
$V\otimes W\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  $ verm\"{o}ge $\Delta,$ und
schlie\ss lich $\operatorname*{Hom}\left(  V,W\right)  \in\left.
_{H}\mathcal{M}\right.  $ verm\"{o}ge $\Delta$ und $S.$

Dann gilt (unter Verwendung der summenlosen Sweedler-Notation $\Delta\left(
x\right)  =x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }$ f\"{u}r alle
$x\in H,$ auch wenn $H$ nicht unbedingt eine Hopfalgebra ist):

\textbf{a)} Genau dann ist f\"{u}r alle $U,V,W\in\left.  _{H}\mathcal{M}%
\right.  $ der kanonische $k$-Vektorraumisomorphismus $U\otimes\left(
V\otimes W\right)  \underset{\cong}{\overset{\operatorname*{kan}%
}{\longrightarrow}}\left(  U\otimes V\right)  \otimes W$ eine $H$-linkslineare
Abbildung, wenn $\Delta$ coassoziativ ist (d. h. wenn f\"{u}r alle $x\in H$
gilt: $\Delta\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes x_{\left(
2\right)  }=x_{\left(  1\right)  }\otimes\Delta\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  $).

\textbf{b)} Genau dann sind f\"{u}r alle $V\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.
$ die kanonischen $k$-Vektorraumisomorphismen $V\otimes k\underset{\cong%
}{\overset{\operatorname*{kan}}{\longrightarrow}}V$ und $k\otimes
V\underset{\cong}{\overset{\operatorname*{kan}}{\longrightarrow}}V$ beide
$H$-linkslinear, wenn $\Delta$ bez\"{u}glich $\varepsilon$ counit\"{a}r ist
(d. h. wenn f\"{u}r alle $x\in H$ gilt: $x_{\left(  1\right)  }\varepsilon
\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  =x=\varepsilon\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }$).

\textbf{c)} Genau dann ist f\"{u}r alle $V\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  $
der kanonische $k$-Vektorraumhomomorphismus $V^{\ast}\otimes
V\overset{\operatorname*{ev}}{\longrightarrow}k$ (definiert durch
$\operatorname*{ev}\left(  f\otimes v\right)  =f\left(  v\right)  $ f\"{u}r
alle $f\in V^{\ast}$ und $v\in V$) eine $H$-linkslineare Abbildung, wenn
f\"{u}r alle $x\in H$ gilt: $S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
x_{\left(  2\right)  }=\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1.$

\textbf{d)} Genau dann ist f\"{u}r alle $V\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  $
der kanonische $k$-Vektorraumhomomorphismus $k\rightarrow\operatorname*{End}V$
(der $1$ auf $\operatorname*{id}$ abbildet) $H$-linkslinear\footnote{Dabei ist
$\operatorname*{End}V$ ein $H$-Linksmodul, da $\operatorname*{End}%
V=\operatorname*{Hom}\left(  V,V\right)  $ ist.}, wenn f\"{u}r alle $x\in H$
gilt: $x_{\left(  1\right)  }S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
=\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1.$

\textit{Warnung:} Im Allgemeinen sind $V^{\ast}\otimes V$ und $V\otimes
V^{\ast}$ \textit{nicht isomorph als }$H$\textit{-Moduln, auch wenn }$H$
\textit{eine Hopfalgebra ist}! Auch der kanonische $k$%
-Vektorraumhomomorphismus $V\otimes V^{\ast}\overset{\operatorname*{ev}%
}{\longrightarrow}k$ (definiert durch $\operatorname*{ev}\left(  v\otimes
f\right)  =f\left(  v\right)  $ f\"{u}r alle $f\in V^{\ast}$ und $v\in V$) ist
nicht immer eine $H$-linkslineare Abbildung, wenn $H$ (nur) eine Hopfalgebra ist.

\textbf{e)} Genau dann ist f\"{u}r alle $V,W\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.
$ der kanonische $k$-Vektorraumisomorphismus $V\otimes W\underset{\cong%
}{\overset{\tau}{\longrightarrow}}W\otimes V$ (definiert durch $\tau\left(
v\otimes w\right)  =w\otimes v$ f\"{u}r alle $v\in V$ und $w\in W$) eine
$H$-linkslineare Abbildung, wenn $x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(
2\right)  }=x_{\left(  2\right)  }\otimes x_{\left(  1\right)  }$ f\"{u}r alle
$x\in H$ gilt.

\textit{Beweis:} \textbf{a)} $\Longleftarrow:$ F\"{u}r alle $x\in H,$ $u\in
U,$ $v\in V$ und $w\in W$ gilt%
\[
x\left(  u\otimes\left(  v\otimes w\right)  \right)  =x_{\left(  1\right)
}u\otimes\underbrace{x_{\left(  2\right)  }\left(  v\otimes w\right)
}_{=\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }%
v\otimes\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }%
w}=x_{\left(  1\right)  }u\otimes\left(  \left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  _{\left(  1\right)  }v\otimes\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
_{\left(  2\right)  }w\right)  ,
\]
also%
\[
\operatorname*{kan}\left(  x\left(  u\otimes\left(  v\otimes w\right)
\right)  \right)  =\left(  x_{\left(  1\right)  }u\otimes\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }v\right)  \otimes\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }w,
\]
aber%
\begin{align*}
x\operatorname*{kan}\left(  u\otimes\left(  v\otimes w\right)  \right)   &
=x\left(  \left(  u\otimes v\right)  \otimes w\right)  =x_{\left(  1\right)
}\left(  u\otimes v\right)  \otimes x_{\left(  2\right)  }\left(  w\right) \\
&  =\left(  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)
}u\otimes\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }v\right)
\otimes x_{\left(  2\right)  }w.
\end{align*}
Da $\Delta$ coassoziativ ist, ist aber $x_{\left(  1\right)  }\otimes\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\otimes\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }=\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  _{\left(  1\right)  }\otimes\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
_{\left(  2\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }$ und somit%
\[
\left(  x_{\left(  1\right)  }u\otimes\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  }v\right)  \otimes\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
_{\left(  2\right)  }w=\left(  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  }u\otimes\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(
2\right)  }v\right)  \otimes x_{\left(  2\right)  }w,
\]
und damit $\operatorname*{kan}\left(  x\left(  u\otimes\left(  v\otimes
w\right)  \right)  \right)  =x\operatorname*{kan}\left(  u\otimes\left(
v\otimes w\right)  \right)  $ (denn $\operatorname*{kan}\left(  x\left(
u\otimes\left(  v\otimes w\right)  \right)  \right)  =\left(  x_{\left(
1\right)  }u\otimes\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(  1\right)
}v\right)  \otimes\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(  2\right)
}w$ und $x\operatorname*{kan}\left(  u\otimes\left(  v\otimes w\right)
\right)  =\left(  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)
}u\otimes\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }v\right)
\otimes x_{\left(  2\right)  }w$). Das hei\ss t, $\operatorname*{kan}$ ist
$H$-linkslinear, was zu beweisen war.

$\Longrightarrow:$ Setze $U=V=W=H.$

\textbf{b)} $\Longleftarrow:$ Da\ss \ $\operatorname*{kan}:V\otimes
k\overset{\cong}{\longrightarrow}V$ eine $H$-linkslineare Abbildung ist,
bedeutet, da\ss \ f\"{u}r alle $x\in H$ und $v\in V$ gilt:
$\operatorname*{kan}\left(  x\left(  v\otimes1\right)  \right)  =xv.$ Doch
letzteres ist klar, da%
\[
\operatorname*{kan}\left(  x\left(  v\otimes1\right)  \right)
=\operatorname*{kan}\left(  x_{\left(  1\right)  }v\otimes x_{\left(
2\right)  }1\right)  =x_{\left(  1\right)  }v\cdot\underbrace{x_{\left(
2\right)  }1}_{=\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
1}=x_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
v=xv.
\]


Ebenso zeigt man, da\ss \ $\operatorname*{kan}:k\otimes V\overset{\cong%
}{\longrightarrow}V$ eine $H$-linkslineare Abbildung ist.

$\Longrightarrow:$ Setze $V=H.$

\textbf{c)} $\Longleftarrow:$ Der $k$-Vektorraumhomomorphismus
$\operatorname*{ev}:V^{\ast}\otimes V\rightarrow k$ ist genau dann
$H$-linkslinear, wenn f\"{u}r alle $x\in H,$ $f\in V^{\ast}$ und $v\in V$
gilt: $\operatorname*{ev}\left(  x\left(  f\otimes v\right)  \right)
=x\operatorname*{ev}\left(  f\otimes v\right)  .$ Doch letzteres folgt aus%
\begin{align*}
\operatorname*{ev}\left(  x\left(  f\otimes v\right)  \right)   &
=\operatorname*{ev}\left(  x_{\left(  1\right)  }f\otimes x_{\left(  2\right)
}v\right)  =\left(  x_{\left(  1\right)  }f\right)  \left(  x_{\left(
2\right)  }v\right)  =f\left(  \underbrace{S\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  x_{\left(  2\right)  }}_{=\varepsilon\left(  x\right)  1}v\right) \\
&  =\varepsilon\left(  x\right)  f\left(  v\right)  =xf\left(  v\right)
=x\operatorname*{ev}\left(  f\otimes v\right)  .
\end{align*}
Der Homomorphismus $\operatorname*{ev}$ ist also $H$-linkslinear, was zu
beweisen war.

$\Longrightarrow:$ Setze $V=H.$ Da $\operatorname*{ev}:V^{\ast}\otimes
V\rightarrow k$ eine $H$-linkslineare Abbildung ist, gilt f\"{u}r alle $f\in
H^{\ast},$ $v\in H$ und $x\in H$ die Gleichung $\operatorname*{ev}\left(
x\left(  f\otimes v\right)  \right)  =x\operatorname*{ev}\left(  f\otimes
v\right)  ,$ also%
\begin{align*}
f\left(  S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)
}v\right)   &  =\left(  x_{\left(  1\right)  }f\right)  \left(  x_{\left(
2\right)  }v\right)  =\operatorname*{ev}\left(  x_{\left(  1\right)  }f\otimes
x_{\left(  2\right)  }v\right)  =\operatorname*{ev}\left(  x\left(  f\otimes
v\right)  \right) \\
&  =x\underbrace{\operatorname*{ev}\left(  f\otimes v\right)  }_{=f\left(
v\right)  }=xf\left(  v\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  f\left(
v\right)  =f\left(  \varepsilon\left(  x\right)  v\right)  .
\end{align*}
F\"{u}r $v=1$ wird dies zu $f\left(  S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
x_{\left(  2\right)  }\right)  =f\left(  \varepsilon\left(  x\right)  \right)
.$ Da dies \textit{f\"{u}r alle }$f\in H^{\ast}$ gilt, mu\ss \ also
$\varepsilon\left(  x\right)  =S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
x_{\left(  2\right)  }$ sein\footnote{Denn ist $X$ ein Vektorraum, und sind
$v$ und $w$ zwei Elemente von $X$ so, da\ss \ f\"{u}r alle $f\in X^{\ast}$ die
Gleichung $f\left(  v\right)  =f\left(  w\right)  $ gilt, dann ist $v=w.$ Dies
folgt daraus, da\ss \ die kanonische Abbildung $X\rightarrow X^{\ast\ast}$
injektiv ist.}, was zu beweisen war.

\textbf{d)} $\Longleftarrow:$ Der $k$-Vektorraumhomomorphismus $k\rightarrow
\operatorname*{End}V$ (der $1$ auf $\operatorname*{id}$ abbildet) ist genau
dann $H$-linkslinear, wenn f\"{u}r alle $x\in H$ gilt: $\varepsilon\left(
x\right)  \operatorname*{id}=x\cdot\operatorname*{id}$ (wobei
$\operatorname*{id}$ die Eins von $\operatorname*{End}V$ ist). Doch letzteres
ist klar, da $\varepsilon\left(  x\right)  v=x_{\left(  1\right)  }S\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  v=x_{\left(  1\right)  }\operatorname*{id}%
\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  v\right)  =\left(
x\cdot\operatorname{id}\right)  v$ f\"{u}r alle $v\in V$ gilt.

$\Longrightarrow:$ Setze $V=H$ und $v=1.$

\textbf{e)} $\Longleftarrow:$ F\"{u}r alle $h\in H,$ $v\in V$ und $w\in W$ ist%
\begin{align*}
h\left(  \underbrace{\tau\left(  v\otimes w\right)  }_{=w\otimes v}\right)
&  =h\left(  w\otimes v\right)  =h_{\left(  1\right)  }w\otimes h_{\left(
2\right)  }v=\tau\left(  h_{\left(  2\right)  }v\otimes h_{\left(  1\right)
}w\right)  =\tau\left(  \underbrace{h_{\left(  1\right)  }v\otimes h_{\left(
2\right)  }w}_{=h\left(  v\otimes w\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }h_{\left(  2\right)  }\otimes
h_{\left(  1\right)  }=h_{\left(  1\right)  }\otimes h_{\left(  2\right)
}\right) \\
&  =\tau\left(  h\left(  v\otimes w\right)  \right)  ,
\end{align*}
und somit ist $\tau$ ein $H$-linkslinearer Homomorphismus, was zu zeigen war.

$\Longrightarrow:$ Setze $V=H$ und $W=H$ und wende $h\left(  \tau\left(
v\otimes w\right)  \right)  =\tau\left(  h\left(  v\otimes w\right)  \right)
$ auf $v=w=1$ an.

Die Teile \textbf{a)}, \textbf{b)}, \textbf{c)} und \textbf{d)} von Bemerkung
2.25 zeigen, da\ss \ die Axiome einer Hopfalgebra nat\"{u}rlicher sind, als
sie bei der Definition der Hopfalgebra aussahen. Die Axiome besagen im
Wesentlichen, da\ss \ die wichtigsten kanonischen Vektorraumabbildungen
f\"{u}r $H$-Moduln auch $H$-linkslinear, d. h. Homomorphismen von $H$-Moduln
sind. Teil \textbf{e)} von Bemerkung 2.25 beleuchtet die Frage, ob\ eine
Hopfalgebra $H$ cokommutativ ist, vom\ Standpunkt der $H$-Linksmoduln.

\bigskip

\fbox{\textbf{Graduierte Strukturen}}

Wir wollen nun einige Bemerkungen \"{u}ber graduierte Vektorr\"{a}ume,
Algebren, Coalgebren, Bialgebren und Hopfalgebren geben. Zun\"{a}chst
definieren wir all diese Begriffe:

\textbf{Definition:} Ein \textit{graduierter Vektorraum} ist ein Paar $\left(
V,\left(  V_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ aus einem Vektorraum $V$ und einer
Familie $\left(  V_{n}\right)  _{n\geq0}$ von Untervektorr\"{a}umen von $V$,
die $V=\bigoplus\limits_{n\geq0}V_{n}$ erf\"{u}llen.\footnote{Es sei
angemerkt, da\ss \ der gerade definierte Begriff eines "graduierten
Vektorraumes" nicht mit dem Begriff eines "graduierten Vektorraumes", den
manche Algebraiker verwenden, \"{u}bereinstimmt. Dies liegt daran, da\ss \ sie
diesen Begriff deutlich weiter fassen als wir (sie definieren einen
graduierten Vektorraum als ein Paar $\left(  V,\left(  V_{i}\right)  _{i\in
I}\right)  $ aus einem Vektorraum $V$ und einer Familie $\left(  V_{i}\right)
_{i\in I}$ von Untervektorr\"{a}umen von $V$, die $V=\bigoplus\limits_{i\in
I}V_{i}$ erf\"{u}llen, wobei $I$ irgendeine Menge ist). Das, was wir einen
"graduierten Vektorraum" nennen, bezeichnen sie hingegen als einen
"$\mathbb{N}$-graduierten Vektorraum".
\par
Eine analoge Diskrepanz von Begriffen sollte man bei den weiter unten
definierten Begriffen "graduierte Algebra", "graduierte Coalgebra",
"graduierte Bialgebra" und "graduierte Hopfalgebra" beachten.}

Statt zu sagen, da\ss \ $\left(  V,\left(  V_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $
ein graduierter Vektorraum ist, werden wir oft abk\"{u}rzend behaupten,
da\ss \ $V$ ein graduierter Vektorraum ist. Dies ist nicht ganz formal
korrekt, aber wenn aus dem Kontext heraus sich eindeutig ergibt, welche
Familie $\left(  V_{n}\right)  _{n\geq0}$ gemeint ist, werden wir diese
Formulierung benutzen.

Unter der \textit{Graduierung} eines graduierten Vektorraumes $\left(
V,\left(  V_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ verstehen wir die Familie $\left(
V_{n}\right)  _{n\geq0}$.

\textbf{Definition:} Sind $\left(  V,\left(  V_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $
und $\left(  W,\left(  W_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ zwei graduierte
Vektorr\"{a}ume, dann ist auch $\left(  V\otimes W,\left(  \sum\limits_{\ell
=0}^{n}V_{\ell}\otimes W_{n-\ell}\right)  _{n\geq0}\right)  $ ein graduierter
Vektorraum (dies l\"{a}\ss t sich sehr leicht nachpr\"{u}fen). Man bezeichnet
diesen graduierten Vektorraum als \textit{Tensorprodukt} der graduierten
Vektorr\"{a}ume $\left(  V,\left(  V_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ und
$\left(  W,\left(  W_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $.

\textbf{Definition:} Wenn wir vom \textit{trivial-graduierten Vektorraum }$k$
reden, meinen wir damit immer den Vektorraum $\left(  k,\left(  \left\{
\begin{array}
[c]{c}%
k\text{, wenn }n=0;\\
0\text{, wenn }n>0
\end{array}
\right.  \right)  _{n\geq0}\right)  $.

\textbf{Definition:} Seien $\left(  V,\left(  V_{n}\right)  _{n\geq0}\right)
$ und $\left(  W,\left(  W_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ zwei graduierte
Vektorr\"{a}ume. Eine Abbildung $f:V\rightarrow W$ hei\ss e \textit{graduiert}%
, wenn $f\left(  V_{n}\right)  \subseteq W_{n}$ f\"{u}r alle $n\geq0$ gilt.

Jetzt definieren wir den Begriff einer graduierten Algebra. Daf\"{u}r gibt es
zwei Definitionen. Hier ist erstmal die klassische Definition:

\textbf{Definition:} Eine \textit{graduierte Algebra} ist ein graduierter
Vektorraum $\left(  A,\left(  A_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ zusammen mit
einer Algebrastruktur auf $A$, die%
\[
k\cdot1_{A}\subseteq A_{0}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  A_{n}A_{m}\subseteq A_{n+m}\text{ f\"{u}r alle
}n,m\geq0\right)
\]
erf\"{u}llt.

Und hier ist eine zu ihr \"{a}quivalente Definition:

\textbf{Definition:} Eine \textit{graduierte Algebra} ist ein graduierter
Vektorraum $\left(  A,\left(  A_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ zusammen mit
einer Algebrastruktur auf $A$, f\"{u}r die gilt: Die Multiplikationsabbildung
$\mu_{A}:A\otimes A\rightarrow A$ und die Einsabbildung $\eta_{A}:k\rightarrow
A$ sind graduiert.

Hierbei ist zu beachten, da\ss \ $A\otimes A$ und $k$ zwei graduierte
Vektorr\"{a}ume sind (und zwar ist $A\otimes A$ das Tensorprodukt der
graduierten Vektorr\"{a}ume $\left(  A,\left(  A_{n}\right)  _{n\geq0}\right)
$ und $\left(  A,\left(  A_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $, und $k$ ist der
vorhin definierte trivial-graduierte Vektorraum $k$).

Die letztere Definition einer graduierten Algebra hat den Vorteil, da\ss \ man
analog zu ihr den Begriff einer graduierten Coalgebra definieren kann:

\textbf{Definition:} Eine \textit{graduierte Coalgebra} ist ein graduierter
Vektorraum $\left(  C,\left(  C_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ zusammen mit
einer Coalgebrastruktur auf $C$, f\"{u}r die gilt: Die Comultiplikation
$\Delta_{C}:C\rightarrow C\otimes C$ und die Coeins $\varepsilon
_{C}:C\rightarrow k$ sind graduiert.

Wieder sind dabei $C\otimes C$ und $k$ als graduierte Vektorr\"{a}ume zu
verstehen (analog zu $A\otimes A$ und $k$ weiter oben).

Man kann diese Definition auch elementarer umformulieren:

\textbf{Definition:} Eine \textit{graduierte Coalgebra} ist ein graduierter
Vektorraum $\left(  C,\left(  C_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ zusammen mit
einer Coalgebrastruktur auf $C$, f\"{u}r die gilt:
\[
\Delta_{C}\left(  C_{n}\right)  \subseteq\sum\limits_{\ell=0}^{n}C_{\ell
}\otimes C_{n-\ell}\text{ }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }n\geq0
\]
und $\varepsilon_{C}\left(  C_{n}\right)  =0$ f\"{u}r alle $n\geq1$.

Desweiteren k\"{o}nnen wir graduierte Bialgebren einf\"{u}hren:

\textbf{Definition:} Eine \textit{graduierte Bialgebra} ist ein graduierter
Vektorraum $\left(  H,\left(  H_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ zusammen mit
einer Algebrastruktur und einer Coalgebrastruktur auf $H$, f\"{u}r die gilt:
Die Multiplikationsabbildung $\mu_{H}:H\otimes H\rightarrow H$, die
Einsabbildung $\eta_{H}:k\rightarrow H$, die Comultiplikation $\Delta
_{H}:H\rightarrow H\otimes H$ und die Coeins $\varepsilon_{H}:H\rightarrow k$
sind graduiert.

Dieselbe Definition, anders ausgedr\"{u}ckt:

\textbf{Definition:} Eine \textit{graduierte Bialgebra} ist ein graduierter
Vektorraum $\left(  H,\left(  H_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ zusammen mit
einer Algebrastruktur und einer Coalgebrastruktur auf $H$, f\"{u}r die gilt:
$\left(  H,\left(  H_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ ist eine graduierte
Algebra und eine graduierte Coalgebra.

Schlie\ss lich lassen sich graduierte Hopfalgebren definieren:

\textbf{Definition:} Eine \textit{graduierte Hopfalgebra} ist eine graduierte
Bialgebra $\left(  H,\left(  H_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $, f\"{u}r die
gilt: Die Bialgebra $H$ hat eine Antipode $S$, und diese Antipode
$S:H\rightarrow H$ ist graduiert.

Schlie\ss lich definieren wir eine Unterklasse der graduierten Algebren:

\textbf{Definition:} Eine graduierte Algebra $\left(  A,\left(  A_{n}\right)
_{n\geq0}\right)  $ hei\ss t \textit{zusammenh\"{a}ngend}, wenn $A_{0}%
=k\cdot1_{A}$ ist.

Da jede graduierte Bialgebra immer auch eine graduierte Algebra ist, kann man
den Begriff "zusammenh\"{a}ngend" auch auf graduierte Bialgebren \"{u}bertragen:

\textbf{Definition:} Eine graduierte Bialgebra $\left(  H,\left(
H_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ hei\ss t \textit{zusammenh\"{a}ngend}, wenn
sie als graduierte Algebra zusammenh\"{a}ngend ist (d. h., wenn $H_{0}%
=k\cdot1_{H}$ ist).

\textbf{2.40. Beispiele:} \textbf{1)} F\"{u}r jeden Vektorraum $V$ l\"{a}\ss t
sich ein graduierter Vektorraum $\operatorname*{Triv}V$ definieren durch
$\operatorname*{Triv}V=\left(  V,\left(  \left\{
\begin{array}
[c]{c}%
V\text{, wenn }n=0;\\
0\text{, wenn }n>0
\end{array}
\right.  \right)  _{n\geq0}\right)  $. Dieser Vektorraum $\operatorname*{Triv}%
V$ hei\ss t \textit{trivial-graduierter Vektorraum }$V$. (F\"{u}r $V=k$ haben
wir diesen Begriff bereits weiter oben definiert.) Die Graduierung $\left(
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
V\text{, wenn }n=0;\\
0\text{, wenn }n>0
\end{array}
\right.  \right)  _{n\geq0}$ hei\ss t \textit{triviale Graduierung}.

Ist $V$ eine Algebra, eine Coalgebra, eine Bialgebra oder eine Hopfalgebra, so
ist entsprechend auch $\operatorname*{Triv}V$ eine graduierte Algebra, eine
graduierte Coalgebra, eine graduierte Bialgebra bzw. eine graduierte
Hopfalgebra. Doch dies sind nicht die interessanten F\"{a}lle von graduierten
Algebren, Coalgebren, Bialgebren bzw. Hopfalgebren.

\textbf{2)} F\"{u}r jeden Vektorraum $V$ l\"{a}\ss t sich der Tensormodul $TV$
(der in 2.1. \textbf{5)} definiert wurde) zu einem graduierten Vektorraum
$\left(  TV,\left(  V^{\otimes n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ machen. Die in
2.1. \textbf{5)} definierte Tensorcoalgebra $\left(  TV,\Delta,\varepsilon
\right)  $ ist eine zusammenh\"{a}ngende graduierte Coalgebra, und die in 2.1.
\textbf{7)} definierte Shufflecoalgebra $\left(  TV,\Delta^{\prime
},\varepsilon\right)  $ ist ebenfalls eine zusammenh\"{a}ngende graduierte Coalgebra.

\textbf{3)} Die in 2.18. \textbf{1)} definierte Hopfalgebra $k\left[
T\right]  $ wird zu einer zusammenh\"{a}ngenden graduierten Hopfalgebra
$\left(  k\left[  T\right]  ,\left(  P_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $, wenn
man $P_{n}$ als die Menge aller homogenen Polynome in $k\left[  T\right]  $
von Grad $n$ definiert. (Dabei mu\ss \ man $0$ als ein homogenes Polynom von
Grad $n$ f\"{u}r jedes $n\geq0$ betrachten.)

\textbf{4)} Auch die in 2.18. \textbf{3)} definierte Hopfalgebra $k\left[
T\right]  \diagup\left(  T^{p}\right)  $ ist eine zusammenh\"{a}ngende
graduierte Hopfalgebra (wobei die Graduierung durch Faktorbildung aus der
Graduierung $\left(  P_{n}\right)  _{n\geq0}$ von $k\left[  T\right]  $ entsteht).

\textbf{5)} Die in 2.18. \textbf{3}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}%
}}$\textbf{)} definierte Hopfalgebra $k\left\langle t\mid t^{p^{n+m}%
}=0\right\rangle $ ist (zumindest mit der naheliegenden Graduierung, also der
Graduierung $\left(  Q_{\ell}\right)  _{\ell\geq0}$, wobei $Q_{\ell}$ die
Menge aller homogenen Polynome in $t$ von Grad $\ell$ ist) \textit{keine}
graduierte Hopfalgebra, da ihre Comultiplikation $\Delta$ und ihre Antipode
$S$ nicht graduiert sind.

\textbf{6)} Die in 2.18. \textbf{5)} definierte Bialgebra $k\left[
T_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}$ l\"{a}\ss t sich nicht zu einer
graduierten Bialgebra machen, au\ss er durch die triviale Graduierung.

\bigskip

\fbox{\textbf{Zusammenh\"{a}ngende graduierte Bialgebren}}

Zusammenh\"{a}ngende graduierte Bialgebren haben eine Reihe n\"{u}tzlicher
Eigenschaften. Unter anderem sind sie stets graduierte Hopfalgebren, wie
folgender Satz zeigt:

\textbf{2.45. Satz:} Sei $\left(  H,\left(  H_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $
eine zusammenh\"{a}ngende graduierte Bialgebra. Dann gilt:

\textbf{1)} F\"{u}r jedes $i\geq1$ ist $\varepsilon\left(  H_{i}\right)  =0$.

\textbf{2)} Jedes Element von $H_{1}$ ist in $H$ primitiv.

\textbf{3)} F\"{u}r jedes $n\geq0$ und jedes $x\in H_{n}$ gilt $\Delta\left(
x\right)  -x\otimes1\in\sum\limits_{\ell=0}^{n-1}H_{\ell}\otimes H_{n-\ell}$.

\textbf{4)} F\"{u}r jedes $n\geq1$ und jedes $x\in H_{n}$ gilt $\Delta\left(
x\right)  -x\otimes1-1\otimes x\in\sum\limits_{\ell=1}^{n-1}H_{\ell}\otimes
H_{n-\ell}$.

\textbf{5)} F\"{u}r jede graduierte Abbildung $f:H\rightarrow H$, die
$f\mid_{H_{0}}=\operatorname*{id}\nolimits_{H_{0}}$ erf\"{u}llt, existiert ein
$\ast$-Inverses $g:H\rightarrow H$ von $f$, und dieses $\ast$-Inverse $g$ ist
ebenfalls graduiert.

\textbf{6)} Die graduierte Bialgebra $\left(  H,\left(  H_{n}\right)
_{n\geq0}\right)  $ ist auch eine graduierte Hopfalgebra (d. h. die Bialgebra
$H$ hat eine graduierte Antipode).

\textbf{7)} Sei $S$ die Antipode der Hopfalgebra $H$. F\"{u}r jedes $n\geq0$
sei $E_{n}:H_{n}\rightarrow H_{n}$ die Abbildung, die jedes $x\in H_{n}$ auf
$nx\in H_{n}$ abbildet. Sei $E$ die direkte Summe $\bigoplus\limits_{n\geq
0}E_{n}:\bigoplus\limits_{n\geq0}H_{n}\rightarrow\bigoplus\limits_{n\geq
0}H_{n}$ dieser Abbildungen. Wegen $H=\bigoplus\limits_{n\geq0}H_{n}$ (weil
$\left(  H,\left(  H_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ eine graduierte Bialgebra
ist) ist also $E$ eine Abbildung von $H$ nach $H$.

F\"{u}r je zwei Elemente $x$ und $y$ von $H$ bezeichnen wir mit $\left[
x,y\right]  $ die Differenz $xy-yx$.

F\"{u}r jedes $n\geq1$ und beliebige $n$ Elemente $x_{1}$, $x_{2}$, $...$,
$x_{n}$ von $H_{1}$ gilt dann%
\[
\left(  E\ast S\right)  \left(  x_{1}x_{2}...x_{n}\right)  =\left[
x_{1},\left[  x_{2},\left[  x_{3},...,\left[  x_{n-1},x_{n}\right]  \right]
\right]  \right]  .
\]
\footnote{Hierbei ist der Term $\left[  x_{1},\left[  x_{2},\left[
x_{3},...,\left[  x_{n-1},x_{n}\right]  \right]  \right]  \right]  $ als
$x_{1}$ zu verstehen, wenn $n=1$ ist.}

\textit{Beweis von Satz 2.45:} \textbf{1)} Da $\left(  H,\left(  H_{n}\right)
_{n\geq0}\right)  $ eine graduierte Bialgebra ist, ist die Coeins
$\varepsilon:H\rightarrow k$ graduiert. F\"{u}r jedes $i\geq0$ ist also
$\varepsilon\left(  H_{i}\right)  \subseteq\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
k\text{, wenn }i=0;\\
0\text{, wenn }i>0
\end{array}
\right.  $ (denn die Graduierung von $k$ ist die triviale Graduierung $\left(
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
k\text{, wenn }n=0;\\
0\text{, wenn }n>0
\end{array}
\right.  \right)  _{n\geq0}$). Im Fall $i>0$ vereinfacht sich dies zu
$\varepsilon\left(  H_{i}\right)  \subseteq0$. Also ist $\varepsilon\left(
H_{i}\right)  =0$ f\"{u}r alle $i>0$, was zu beweisen war.

\textbf{3)} Seien $n\geq0$ und $x\in H_{n}$ beliebig. Da $\left(  H,\left(
H_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ eine graduierte Bialgebra ist, ist die
Comultiplikation $\Delta:H\rightarrow H\otimes H$ graduiert. Somit gilt
$\Delta\left(  H_{n}\right)  \subseteq\sum\limits_{\ell=0}^{n}H_{\ell}\otimes
H_{n-\ell}$ (denn die Graduierung auf dem Tensorprodukt $H\otimes H$ ist laut
Definition gegeben durch $\left(  \sum\limits_{\ell=0}^{n}H_{\ell}\otimes
H_{n-\ell}\right)  _{n\geq0}$). Aus $x\in H_{n}$ folgt also%
\[
\Delta\left(  x\right)  \in\Delta\left(  H_{n}\right)  \subseteq
\sum\limits_{\ell=0}^{n}H_{\ell}\otimes H_{n-\ell}=\sum\limits_{\ell=0}%
^{n-1}H_{\ell}\otimes H_{n-\ell}+H_{n}\otimes H_{0}.
\]
Somit gibt es ein $\alpha\in H_{n}\otimes H_{0}$ mit $\Delta\left(  x\right)
\in\sum\limits_{\ell=0}^{n-1}H_{\ell}\otimes H_{n-\ell}+\alpha$. F\"{u}r
dieses $\alpha$ ist also $\Delta\left(  x\right)  -\alpha\in\sum
\limits_{\ell=0}^{n-1}H_{\ell}\otimes H_{n-\ell}$ und damit%
\begin{align*}
\left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)  \left(  \Delta\left(
x\right)  -\alpha\right)   &  \in\left(  \operatorname*{id}\otimes
\varepsilon\right)  \left(  \sum\limits_{\ell=0}^{n-1}H_{\ell}\otimes
H_{n-\ell}\right)  =\sum\limits_{\ell=0}^{n-1}\operatorname*{id}\left(
H_{\ell}\right)  \otimes\underbrace{\varepsilon\left(  H_{n-\ell}\right)
}_{\substack{=0\text{ (denn aus }\ell\leq n-1\\\text{folgt }n-\ell\neq0\text{
und somit}\\\varepsilon\left(  H_{n-\ell}\right)  =0\text{ (nach \textbf{1)}%
,}\\\text{angewandt auf }i=n-\ell\text{))}}}\\
&  =\sum\limits_{\ell=0}^{n-1}\operatorname*{id}\left(  H_{\ell}\right)
\otimes0=0,
\end{align*}
also $\left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)  \left(
\Delta\left(  x\right)  -\alpha\right)  =0$. Wenn wir mit $\operatorname*{kan}%
:H\rightarrow H\otimes k$ die kanonische Abbildung von $H$ nach $H\otimes k$
bezeichnen, dann gilt also%
\[
0=\left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)  \left(  \Delta\left(
x\right)  -\alpha\right)  =\underbrace{\left(  \operatorname*{id}%
\otimes\varepsilon\right)  \left(  \Delta\left(  x\right)  \right)
}_{=\operatorname*{kan}x\text{ (da }H\text{ eine Coalgebra ist)}}-\left(
\operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)  \left(  \alpha\right)
=\operatorname*{kan}x-\left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)
\left(  \alpha\right)  ,
\]
also $\operatorname*{kan}x=\left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon
\right)  \left(  \alpha\right)  $. Da $\left(  H,\left(  H_{n}\right)
_{n\geq0}\right)  $ zusammenh\"{a}ngend ist, gilt $H_{0}=k\cdot1_{H}$, und
somit ist der Homomorphismus $\varepsilon\mid_{H_{0}}:H_{0}\rightarrow k$ ein
Isomorphismus (da er $1_{H}$ auf $1$ abbildet). Folglich ist der
Homomorphismus $\operatorname*{id}\otimes\varepsilon\mid_{H_{0}}:H_{n}\otimes
H_{0}\rightarrow H_{n}\otimes k$ ein Isomorphismus. Aus%
\begin{align*}
\underbrace{\left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\mid_{H_{0}}\right)
}_{=\left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)  \mid_{H_{n}\otimes
H_{0}}}\left(  \alpha\right)   &  =\left(  \left(  \operatorname*{id}%
\otimes\varepsilon\right)  \mid_{H_{n}\otimes H_{0}}\right)  \left(
\alpha\right)  =\left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)  \left(
\alpha\right)  =\operatorname*{kan}x=x\otimes\underbrace{1}_{=\left(
\varepsilon\mid_{H_{0}}\right)  \left(  1_{H}\right)  }\\
&  =x\otimes\left(  \varepsilon\mid_{H_{0}}\right)  \left(  1_{H}\right)
=\left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\mid_{H_{0}}\right)  \left(
x\otimes1_{H}\right)
\end{align*}
folgt somit $\alpha=x\otimes1_{H}$, also kurz $\alpha=x\otimes1$. Somit wird
$\Delta\left(  x\right)  -\alpha\in\sum\limits_{\ell=0}^{n-1}H_{\ell}\otimes
H_{n-\ell}$ zu $\Delta\left(  x\right)  -x\otimes1\in\sum\limits_{\ell
=0}^{n-1}H_{\ell}\otimes H_{n-\ell}$, und Satz 2.45 \textbf{3)} ist somit gezeigt.

\textbf{4)} Seien $n\geq1$ und $x\in H_{n}$ beliebig. Nach \textbf{3)} gilt%
\[
\Delta\left(  x\right)  -x\otimes1\in\sum\limits_{\ell=0}^{n-1}H_{\ell}\otimes
H_{n-\ell}=H_{0}\otimes H_{n}+\sum\limits_{\ell=1}^{n-1}H_{\ell}\otimes
H_{n-\ell}.
\]
Somit gibt es ein $\beta\in H_{0}\otimes H_{n}$ mit $\Delta\left(  x\right)
-x\otimes1\in\beta+\sum\limits_{\ell=1}^{n-1}H_{\ell}\otimes H_{n-\ell}$.
F\"{u}r dieses $\beta$ gilt also $\Delta\left(  x\right)  -x\otimes1-\beta
\in\sum\limits_{\ell=1}^{n-1}H_{\ell}\otimes H_{n-\ell}$ und damit%
\begin{align*}
\left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  \Delta\left(
x\right)  -x\otimes1-\beta\right)   &  \in\left(  \varepsilon\otimes
\operatorname*{id}\right)  \left(  \sum\limits_{\ell=1}^{n-1}H_{\ell}\otimes
H_{n-\ell}\right) \\
&  =\sum\limits_{\ell=1}^{n-1}\underbrace{\varepsilon\left(  H_{\ell}\right)
}_{\substack{=0\text{ (denn aus }\ell\geq1\\\text{folgt }\ell\neq0\text{ und
somit}\\\varepsilon\left(  H_{\ell}\right)  =0\text{ (nach \textbf{1)}%
,}\\\text{angewandt auf }i=\ell\text{))}}}\otimes\operatorname*{id}\left(
H_{n-\ell}\right)  =\sum\limits_{\ell=1}^{n-1}0\otimes\operatorname*{id}%
\left(  H_{n-\ell}\right)  =0,
\end{align*}
also $\left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
\Delta\left(  x\right)  -x\otimes1-\beta\right)  =0$. Wenn wir mit
$\operatorname*{kan}:H\rightarrow k\otimes H$ die kanonische Abbildung von $H$
nach $k\otimes H$ bezeichnen, dann gilt also%
\begin{align*}
0  &  =\left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
\Delta\left(  x\right)  -x\otimes1-\beta\right) \\
&  =\underbrace{\left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
\Delta\left(  x\right)  \right)  }_{=\operatorname*{kan}x\text{ (da }H\text{
eine Coalgebra ist)}}-\underbrace{\left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}%
\right)  \left(  x\otimes1\right)  }_{=\varepsilon\left(  x\right)  \otimes
1}-\left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  \beta\right)
\\
&  =\operatorname*{kan}x-\underbrace{\varepsilon\left(  x\right)
}_{\substack{=0\text{ (denn aus }n\geq1\\\text{folgt }n\neq0\text{ und
somit}\\\varepsilon\left(  H_{n}\right)  =0\text{ (nach \textbf{1)}%
,}\\\text{angewandt auf }i=n\text{),}\\\text{also }\varepsilon\left(
x\right)  =0\text{ (da }x\in H_{n}\text{))}}}\otimes1-\left(  \varepsilon
\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  \beta\right)  =\operatorname*{kan}%
x-0\otimes1-\left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
\beta\right) \\
&  =\operatorname*{kan}x-\left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)
\left(  \beta\right)  ,
\end{align*}
also $\operatorname*{kan}x=\left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}%
\right)  \left(  \beta\right)  $.

Da $\left(  H,\left(  H_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ zusammenh\"{a}ngend
ist, gilt $H_{0}=k\cdot1_{H}$, und somit ist der Homomorphismus $\varepsilon
\mid_{H_{0}}:H_{0}\rightarrow k$ ein Isomorphismus (da er $1_{H}$ auf $1$
abbildet). Folglich ist der Homomorphismus $\varepsilon\mid_{H_{0}}%
\otimes\operatorname*{id}:H_{0}\otimes H_{n}\rightarrow k\otimes H_{n}$ ein
Isomorphismus. Aus%
\begin{align*}
\underbrace{\left(  \varepsilon\mid_{H_{0}}\otimes\operatorname*{id}\right)
}_{=\left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \mid_{H_{0}\otimes
H_{n}}}\left(  \beta\right)   &  =\left(  \left(  \varepsilon\otimes
\operatorname*{id}\right)  \mid_{H_{0}\otimes H_{n}}\right)  \left(
\beta\right)  =\left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
\beta\right)  =\operatorname*{kan}x=\underbrace{1}_{=\left(  \varepsilon
\mid_{H_{0}}\right)  \left(  1_{H}\right)  }\otimes x\\
&  =\left(  \varepsilon\mid_{H_{0}}\right)  \left(  1_{H}\right)  \otimes
x=\left(  \varepsilon\mid_{H_{0}}\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
1_{H}\otimes x\right)
\end{align*}
folgt somit $\beta=1_{H}\otimes x$, also kurz $\beta=1\otimes x$. Somit wird
$\Delta\left(  x\right)  -x\otimes1-\beta\in\sum\limits_{\ell=1}^{n-1}H_{\ell
}\otimes H_{n-\ell}$ zu $\Delta\left(  x\right)  -x\otimes1-1\otimes x\in
\sum\limits_{\ell=1}^{n-1}H_{\ell}\otimes H_{n-\ell}$, und Satz 2.45
\textbf{4)} ist somit gezeigt.

\textbf{2)} Sei $x\in H_{1}$. Nach \textbf{4)} (angewandt auf $n=1$) ist dann
$\Delta\left(  x\right)  -x\otimes1-1\otimes x\in\sum\limits_{\ell=1}%
^{0}H_{\ell}\otimes H_{1-\ell}=\left(  \text{leere Summe}\right)  =0$, also
$\Delta\left(  x\right)  -x\otimes1-1\otimes x=0$ und damit $\Delta\left(
x\right)  =x\otimes1+1\otimes x$. Folglich ist $x$ primitiv. Somit ist
gezeigt, da\ss \ jedes Element von $H_{1}$ primitiv ist, was zu beweisen war.

\textbf{5)} Da $\left(  H,\left(  H_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ eine
graduierte Bialgebra ist, gilt $H=\bigoplus\limits_{n\geq0}H_{n}$ und somit
$H\otimes H=\left(  \bigoplus\limits_{n\geq0}H_{n}\right)  \otimes\left(
\bigoplus\limits_{n\geq0}H_{n}\right)  =\bigoplus\limits_{\left(  i,j\right)
\in\mathbb{N}^{2}}H_{i}\otimes H_{j}$. F\"{u}r jedes $\left(  u,v\right)
\in\mathbb{N}^{2}$ sei $\pi_{u,v}$ die Projektion von der direkten Summe
$\bigoplus\limits_{\left(  i,j\right)  \in\mathbb{N}^{2}}H_{i}\otimes
H_{j}=H\otimes H$ auf ihren Summanden $H_{u}\otimes H_{v}$. F\"{u}r jedes
$y\in H\otimes H$ ist dann $y=\sum\limits_{\left(  u,v\right)  \in
\mathbb{N}^{2}}\pi_{u,v}\left(  y\right)  $.

Sei $f:H\rightarrow H$ eine graduierte Abbildung, die $f\mid_{H_{0}%
}=\operatorname*{id}\nolimits_{H_{0}}$ erf\"{u}llt.

Wir werden jetzt eine Abbildung $g_{n}:H_{n}\rightarrow H_{n}$ f\"{u}r jedes
$n\geq0$ definieren. Dies tun wir durch Rekursion nach $n$:

Wir definieren eine Abbildung $g_{0}:H_{0}\rightarrow H_{0}$ durch
$g_{0}=\operatorname*{id}\nolimits_{H_{0}}$.

Sei nun $n\geq1$ beliebig. Angenommen, wir haben bereits eine Abbildung
$g_{m}:H_{m}\rightarrow H_{m}$ f\"{u}r jedes $m\in\left\{
0,1,...,n-1\right\}  $ definiert. Jetzt definieren wir eine Abbildung
$g_{n}:H_{n}\rightarrow H_{n}$ durch%
\begin{equation}
g_{n}=-\sum\limits_{i=0}^{n-1}\mu\circ\left(  g_{i}\otimes f\right)  \circ
\pi_{i,n-i}\circ\Delta. \tag{2.50}%
\end{equation}
\footnote{Da\ss \ diese Abbildung $g_{n}$ wohldefiniert ist, ist leicht zu
sehen:
\par
Sei $i\in\left\{  0,1,...,n-1\right\}  $. Die Abbildung $\pi_{i,n-i}%
\circ\Delta$ sendet $H_{i}$ nach $H_{i}\otimes H_{n-i}$. Die Abbildung
$g_{i}\otimes f$ sendet $H_{i}\otimes H_{n-i}$ nach $H_{i}\otimes H_{n-i}$
(denn $g_{i}$ sendet $H_{i}$ nach $H_{i}$, und $f$ sendet $H_{n-i}$ nach
$H_{n-i}$ (da $f$ graduiert ist)). Die Abbildung $\mu$ ist graduiert und
sendet daher $H_{i}\otimes H_{n-i}$ nach $H_{i+\left(  n-i\right)  }=H_{n}$.
All dies zusammen zeigt, da\ss \ die Abbildung $\mu\circ\left(  g_{i}\otimes
f\right)  \circ\pi_{i,n-i}\circ\Delta$ den Raum $H_{i}$ nach $H_{i}$ sendet.
Da dies f\"{u}r alle $i\in\left\{  0,1,...,n-1\right\}  $ gilt, folgt hieraus,
da\ss \ die Abbildung $\sum\limits_{i=0}^{n-1}\mu\circ\left(  g_{i}\otimes
f\right)  \circ\pi_{i,n-i}\circ\Delta$ den Raum $H_{i}$ nach $H_{i}$ sendet.
Daher ist $g_{n}$ wohldefiniert.}

Auf diese Weise haben wir eine Abbildung $g_{n}:H_{n}\rightarrow H_{n}$
f\"{u}r jedes $n\geq0$ definiert. Diese Abbildungen lassen sich zu einer
Abbildung $\bigoplus\limits_{n\geq0}g_{n}:\bigoplus\limits_{n\geq0}%
H_{n}\rightarrow\bigoplus\limits_{n\geq0}H_{n}$ zusammenbauen. Wir bezeichnen
diese Abbildung $\bigoplus\limits_{n\geq0}g_{n}$ mit $g$. Wegen $\bigoplus
\limits_{n\geq0}H_{n}=H$ ist also $g$ eine Abbildung von $H$ nach $H$. Da
$g=\bigoplus\limits_{n\geq0}g_{n}$ ist, gilt $g\mid_{H_{\ell}}=g_{\ell}$
f\"{u}r alle $\ell\geq0$. Insbesondere gilt $g\mid_{H_{0}}=g_{0}%
=\operatorname*{id}\nolimits_{H_{0}}$.

Wir werden jetzt zeigen, da\ss \ $g\ast f=\operatorname*{id}$ ist.

Dazu w\"{a}hlen wir zuerst ein beliebiges $n\geq0$ und ein beliebiges $x\in
H_{n}$.

Laut \textbf{3)} gilt $\Delta\left(  x\right)  -x\otimes1\in\sum
\limits_{\ell=0}^{n-1}H_{\ell}\otimes H_{n-\ell}$ und damit%
\begin{align*}
&  \pi_{n,0}\left(  \Delta\left(  x\right)  -x\otimes1\right) \\
&  \in\pi_{n,0}\left(  \sum\limits_{\ell=0}^{n-1}H_{\ell}\otimes H_{n-\ell
}\right)  =\sum\limits_{\ell=0}^{n-1}\pi_{n,0}\left(  H_{\ell}\otimes
H_{n-\ell}\right)  =\sum\limits_{\ell=0}^{n-1}0\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn f\"{u}r jedes }\ell\in\left\{  0,1,...,n-1\right\}  \text{ ist }%
\pi_{n,0}\left(  H_{\ell}\otimes H_{n-\ell}\right)  =0\text{ (denn wegen}\\
\ell\in\left\{  0,1,...,n-1\right\}  \text{ ist }\ell\neq n\text{, und somit
sind }H_{\ell}\otimes H_{n-\ell}\text{ und }H_{n}\otimes H_{0}\\
\text{zwei verschiedene Summanden der direkten Summe }\bigoplus
\limits_{\left(  i,j\right)  \in\mathbb{N}^{2}}H_{i}\otimes H_{j}\text{,
und}\\
\text{somit \"{u}berf\"{u}hrt die Projektion }\pi_{n,0}\text{ auf den
Summanden }H_{n}\otimes H_{0}\text{ den}\\
\text{Summanden }H_{\ell}\otimes H_{n-\ell}\text{ in }0\text{)}%
\end{array}
\right) \\
&  =0,
\end{align*}
also $\pi_{n,0}\left(  \Delta\left(  x\right)  -x\otimes1\right)  =0$. Das
hei\ss t, $\pi_{n,0}\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  =\pi_{n,0}\left(
x\otimes1\right)  $. Wegen $\pi_{n,0}\left(  x\otimes1\right)  =x\otimes1$
(denn wegen $x\in H_{n}$ und $1\in H_{0}$ ist $x\otimes1\in H_{n}\otimes
H_{0}$, und somit \"{u}berf\"{u}hrt die Projektion $\pi_{n,0}$ auf den
Summanden $H_{n}\otimes H_{0}$ das Element $x\otimes1$ in sich selbst) wird
dies zu $\pi_{n,0}\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  =x\otimes1$. Nun
ist%
\begin{align*}
&  \left(  \mu\circ\left(  g_{n}\otimes f\right)  \circ\pi_{n,0}\circ
\Delta\right)  \left(  x\right) \\
&  =\mu\left(  \left(  g_{n}\otimes f\right)  \left(  \underbrace{\pi
_{n,0}\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  }_{=x\otimes1}\right)  \right)
=\mu\left(  \underbrace{\left(  g_{n}\otimes f\right)  \left(  x\otimes
1\right)  }_{=g_{n}\left(  x\right)  \otimes f\left(  1\right)  }\right) \\
&  =\mu\left(  g_{n}\left(  x\right)  \otimes f\left(  1\right)  \right)
=g_{n}\left(  x\right)  \cdot\underbrace{f\left(  1\right)  }%
_{\substack{=\left(  f\mid_{H_{0}}\right)  \left(  1\right)  \\\text{(denn
}1\in H_{0}\text{)}}}=g_{n}\left(  x\right)  \cdot\underbrace{\left(
f\mid_{H_{0}}\right)  }_{=\operatorname*{id}\nolimits_{H_{0}}}\left(
1\right)  =g_{n}\left(  x\right)  .
\end{align*}


Nun ist $\Delta\left(  x\right)  \in\Delta\left(  H_{n}\right)  \subseteq
\sum\limits_{\ell=0}^{n}H_{\ell}\otimes H_{n-\ell}$. Somit ist $\pi
_{u,v}\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  =0$ f\"{u}r jedes $\left(
u,v\right)  \in\mathbb{N}^{2}$ mit $u+v\neq n$ (denn f\"{u}r jedes $\ell
\in\left\{  0,1,...,n\right\}  $ ist $\pi_{u,v}\left(  H_{\ell}\otimes
H_{n-\ell}\right)  =0$\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Wegen $u+v\neq
n=\ell+\left(  n-\ell\right)  $ ist $\left(  u,v\right)  \neq\left(
\ell,n-\ell\right)  $, und somit sind $H_{\ell}\otimes H_{n-\ell}$ und
$H_{u}\otimes H_{v}$ zwei verschiedene Summanden der direkten Summe
$\bigoplus\limits_{\left(  i,j\right)  \in\mathbb{N}^{2}}H_{i}\otimes H_{j}$,
und somit \"{u}berf\"{u}hrt die Projektion $\pi_{u,v}$ auf den Summanden
$H_{u}\otimes H_{v}$ den Summanden $H_{\ell}\otimes H_{n-\ell}$ in $0$. Das
hei\ss t, $\pi_{u,v}\left(  H_{\ell}\otimes H_{n-\ell}\right)  =0$.}). Daher
ist%
\begin{align*}
\Delta\left(  x\right)   &  =\sum\limits_{\left(  u,v\right)  \in
\mathbb{N}^{2}}\pi_{u,v}\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }y=\sum\limits_{\left(  u,v\right)
\in\mathbb{N}^{2}}\pi_{u,v}\left(  y\right)  \text{ f\"{u}r jedes }y\in
H\otimes H\right) \\
&  =\sum\limits_{\substack{\left(  u,v\right)  \in\mathbb{N}^{2};\\u+v\neq
n}}\underbrace{\pi_{u,v}\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  }_{=0\text{
(da }u+v\neq n\text{)}}+\sum\limits_{\substack{\left(  u,v\right)
\in\mathbb{N}^{2};\\u+v=n}}\pi_{u,v}\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)
=\underbrace{\sum\limits_{\substack{\left(  u,v\right)  \in\mathbb{N}%
^{2};\\u+v\neq n}}0}_{=0}+\sum\limits_{\substack{\left(  u,v\right)
\in\mathbb{N}^{2};\\u+v=n}}\pi_{u,v}\left(  \Delta\left(  x\right)  \right) \\
&  =\sum\limits_{\substack{\left(  u,v\right)  \in\mathbb{N}^{2};\\u+v=n}%
}\pi_{u,v}\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  =\sum\limits_{\ell=0}%
^{n}\pi_{\ell,n-\ell}\left(  \Delta\left(  x\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{hier haben wir }\left(  u,v\right)  \text{ durch }\left(  \ell
,n-\ell\right)  \text{ substituiert, da nur}\\
\text{\"{u}ber }\left(  u,v\right)  \text{ mit }u+v=n\text{ summiert wurde}%
\end{array}
\right)  .
\end{align*}


F\"{u}r jedes $\ell\in\left\{  0,1,...,n\right\}  $ ist
\begin{align*}
\pi_{\ell,n-\ell}\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)   &  \in H_{\ell
}\otimes H_{n-\ell}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\pi_{\ell,n-\ell
}\text{ ist eine Projektion auf }H_{\ell}\otimes H_{n-\ell}\right) \\
&  \subseteq H_{\ell}\otimes H
\end{align*}
und damit
\begin{align*}
\left(  g\otimes f\right)  \left(  \pi_{\ell,n-\ell}\left(  \Delta\left(
x\right)  \right)  \right)   &  =\underbrace{\left(  \left(  g\otimes
f\right)  \mid_{H_{\ell}\otimes H}\right)  }_{=g\mid_{H_{\ell}}\otimes
f}\left(  \pi_{\ell,n-\ell}\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  \right) \\
&  =\left(  \underbrace{g\mid_{H_{\ell}}}_{=g_{\ell}}\otimes f\right)  \left(
\pi_{\ell,n-\ell}\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  \right)  =\left(
g_{\ell}\otimes f\right)  \left(  \pi_{\ell,n-\ell}\left(  \Delta\left(
x\right)  \right)  \right)  .
\end{align*}


Nehmen wir nun an, da\ss \ $n\geq1$ ist. Nach der Definition der Faltung
$\ast$ gilt $g\ast f=\mu\circ\left(  g\otimes f\right)  \circ\Delta$. Also ist%
\begin{align*}
\left(  g\ast f\right)  \left(  x\right)   &  =\left(  \mu\circ\left(
g\otimes f\right)  \circ\Delta\right)  \left(  x\right)  =\mu\left(  \left(
g\otimes f\right)  \left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  \right) \\
&  =\mu\left(  \left(  g\otimes f\right)  \left(  \sum\limits_{\ell=0}^{n}%
\pi_{\ell,n-\ell}\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  \right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\Delta\left(  x\right)  =\sum
\limits_{\ell=0}^{n}\pi_{\ell,n-\ell}\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)
\right) \\
&  =\sum\limits_{\ell=0}^{n}\mu\left(  \underbrace{\left(  g\otimes f\right)
\left(  \pi_{\ell,n-\ell}\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  \right)
}_{=\left(  g_{\ell}\otimes f\right)  \left(  \pi_{\ell,n-\ell}\left(
\Delta\left(  x\right)  \right)  \right)  }\right)  =\sum\limits_{\ell=0}%
^{n}\mu\left(  \left(  g_{\ell}\otimes f\right)  \left(  \pi_{\ell,n-\ell
}\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  \right)  \right) \\
&  =\left(  \sum\limits_{\ell=0}^{n}\mu\circ\left(  g_{\ell}\otimes f\right)
\circ\pi_{\ell,n-\ell}\circ\Delta\right)  \left(  x\right)  =\left(
\sum_{i=0}^{n}\mu\circ\left(  g_{i}\otimes f\right)  \circ\pi_{i,n-i}%
\circ\Delta\right)  \left(  x\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{hier haben wir in der Summe }\ell\text{
in }i\text{ umbenannt}\right) \\
&  =\left(  \sum_{i=0}^{n-1}\mu\circ\left(  g_{i}\otimes f\right)  \circ
\pi_{i,n-i}\circ\Delta+\mu\circ\left(  g_{n}\otimes f\right)  \circ\pi
_{n,0}\circ\Delta\right)  \left(  x\right) \\
&  =\left(  \underbrace{\sum_{i=0}^{n-1}\mu\circ\left(  g_{i}\otimes f\right)
\circ\pi_{i,n-i}\circ\Delta}_{=-g_{n}\text{ (nach (2.50))}}\right)  \left(
x\right)  +\underbrace{\left(  \mu\circ\left(  g_{n}\otimes f\right)  \circ
\pi_{n,0}\circ\Delta\right)  \left(  x\right)  }_{=g_{n}\left(  x\right)  }\\
&  =-g_{n}\left(  x\right)  +g_{n}\left(  x\right)  =0=\eta\left(
\varepsilon\left(  x\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn nach \textbf{1)} (angewandt auf }i=n\text{) ist }\varepsilon\left(
H_{n}\right)  =0\\
\text{und somit }\varepsilon\left(  x\right)  =0\text{ (weil }x\in
H_{n}\text{)}%
\end{array}
\right) \\
&  =\left(  \eta\circ\varepsilon\right)  \left(  x\right)  .
\end{align*}


Wir haben also gezeigt: F\"{u}r jedes $n\geq1$ gilt $\left(  g\ast f\right)
\left(  x\right)  =\left(  \eta\circ\varepsilon\right)  \left(  x\right)  $
f\"{u}r jedes $x\in H_{n}$. Doch auch f\"{u}r $n=0$ gilt dies (wie man sich
leicht \"{u}berlegt, da $H_{0}=k\cdot1_{H}$ und $f\mid_{H_{0}}=g\mid_{H_{0}%
}=\operatorname*{id}\nolimits_{H_{0}}$ gilt). Somit wissen wir: F\"{u}r jedes
$n\geq0$ gilt $\left(  g\ast f\right)  \left(  x\right)  =\left(  \eta
\circ\varepsilon\right)  \left(  x\right)  $ f\"{u}r jedes $x\in H_{n}$. Da
die Vektoren $x\in H_{n}$ f\"{u}r $n\geq0$ den Vektorraum $H$ erzeugen (denn
$H=\bigoplus\limits_{n\geq0}H_{n}$), folgt hieraus, da\ss \ $g\ast f=\eta
\circ\varepsilon$.

Somit hat das Element $f\in\operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  $ ein
Linksinverses bez\"{u}glich der Konvolution $\ast$. Analog zeigt man,
da\ss \ das Element $f$ auch ein Rechtsinverses bez\"{u}glich $\ast$ hat.
Somit hat das Element $f$ ein Inverses bez\"{u}glich $\ast$ (denn ein Element
eines Monoids, das sowohl ein Linksinverses als auch ein Rechtsinverses hat,
mu\ss \ ein Inverses haben), und dieses Inverse ist $g$ (wegen $g\ast
f=\eta\circ\varepsilon$). Somit ist dieses Inverse graduiert (denn $g$ ist
graduiert, weil $g=\bigoplus\limits_{n\geq0}g_{n}$ ist und die Abbildungen
$g_{n}$ jeweils von $H_{n}$ nach $H_{n}$ gehen). Damit ist Satz 2.45
\textbf{5)} bewiesen.

\textbf{6)} Die Abbildung $\operatorname*{id}:H\rightarrow H$ ist graduiert
und erf\"{u}llt $\operatorname*{id}\mid_{H_{0}}=\operatorname*{id}\mid_{H_{0}%
}$. Nach \textbf{5)} (angewandt auf $f=\operatorname*{id}$) existiert also ein
$\ast$-Inverses von $\operatorname*{id}$, und dieses $\ast$-Inverse ist
graduiert. Mit anderen Worten: Die Bialgebra $H$ hat eine Antipode, und diese
Antipode ist graduiert. Damit ist $\left(  H,\left(  H_{n}\right)  _{n\geq
0}\right)  $ eine graduierte Hopfalgebra, was zu beweisen war.

\textbf{7)} Wir zeigen zuallererst Hilfsaussagen \"{u}ber die Abbildung $E$:

\textbf{a)} F\"{u}r jedes $v\in H_{1}$ und $t\in H$ ist $E\left(  vt\right)
=vE\left(  t\right)  +vt$.

\textit{Beweis:} Sei $v\in H_{1}$ beliebig. Sei $L_{v}:H\rightarrow H$ die
Abbildung%
\[
L_{v}:H\rightarrow H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto vx.
\]
Sei $R_{v}:H\rightarrow H$ die Abbildung%
\[
R_{v}:H\rightarrow H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto vx.
\]
Beide Abbildungen $L_{v}$ und $R_{v}$ sind $k$-linear.

Sei $n\geq0$ beliebig. Sei $x\in H_{n}$ beliebig. Dann ist $\underbrace{v}%
_{\in H_{1}}\underbrace{x}_{\in H_{n}}\in H_{1}H_{n}\subseteq H_{1+n}$ (denn
$\left(  H,\left(  H_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ ist eine graduierte
Algebra). Wegen $E=\bigoplus\limits_{n\geq0}E_{n}$ f\"{u}hrt dies auf
$E\left(  vx\right)  =E_{1+n}\left(  vx\right)  =E_{n+1}\left(  vx\right)
=\left(  n+1\right)  vx$ (nach der Definition von $E_{n+1}$). Andererseits ist
$x\in H_{n}$ und damit $E\left(  x\right)  =E_{n}\left(  x\right)  $ (weil
$E=\bigoplus\limits_{n\geq0}E_{n}$), was zu $E\left(  x\right)  =nx$ wird
(denn $E_{n}\left(  x\right)  =nx$ nach der Definition von $E_{n}$). Somit
ist
\begin{align*}
&  \left(  E\circ L_{v}-L_{v}\circ E-L_{v}\right)  \left(  x\right) \\
&  =\left(  E\circ L_{v}\right)  \left(  x\right)  -\left(  L_{v}\circ
E\right)  \left(  x\right)  -L_{v}\left(  x\right)  =E\left(
\underbrace{L_{v}\left(  x\right)  }_{=vx}\right)  -\underbrace{L_{v}\left(
E\left(  x\right)  \right)  }_{\substack{=vE\left(  x\right)  \\\text{(nach
der}\\\text{Definition von }L_{v}\text{)}}}-\underbrace{L_{v}\left(  x\right)
}_{\substack{=vx\\\text{(nach der}\\\text{Definition von }L_{v}\text{)}}}\\
&  =\underbrace{E\left(  vx\right)  }_{=\left(  n+1\right)  vx}%
-v\underbrace{E\left(  x\right)  }_{=nx}-vx=\left(  n+1\right)  vx-vnx-vx=0,
\end{align*}
also $x\in\operatorname*{Ker}\left(  E\circ L_{v}-L_{v}\circ E-L_{v}\right)
$. Wir haben damit gezeigt: F\"{u}r jedes $n\geq0$ gilt $x\in
\operatorname*{Ker}\left(  E\circ L_{v}-L_{v}\circ E-L_{v}\right)  $ f\"{u}r
jedes $x\in H_{n}$. Das hei\ss t: F\"{u}r jedes $n\geq0$ ist $H_{n}%
\subseteq\operatorname*{Ker}\left(  E\circ L_{v}-L_{v}\circ E-L_{v}\right)  $.

Da $E\circ L_{v}-L_{v}\circ E-L_{v}$ eine $k$-lineare Abbildung ist (denn $E$
und $L_{v}$ sind $k$-linear), ist aber $\operatorname*{Ker}\left(  E\circ
L_{v}-L_{v}\circ E-L_{v}\right)  $ ein Untervektorraum von $H$.

Da $\left(  H,\left(  H_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ ein graduierter
Vektorraum ist, ist
\begin{align*}
H  &  =\bigoplus\limits_{n\geq0}H_{n}=\sum\limits_{n\geq0}\underbrace{H_{n}%
}_{\subseteq\operatorname*{Ker}\left(  E\circ L_{v}-L_{v}\circ E-L_{v}\right)
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn direkte Summen sind Summen}\right) \\
&  \subseteq\sum\limits_{n\geq0}\operatorname*{Ker}\left(  E\circ L_{v}%
-L_{v}\circ E-L_{v}\right)  =\operatorname*{Ker}\left(  E\circ L_{v}%
-L_{v}\circ E-L_{v}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\operatorname*{Ker}\left(  E\circ
L_{v}-L_{v}\circ E-L_{v}\right)  \text{ ist ein Untervektorraum von }H\right)
,
\end{align*}
also $E\circ L_{v}-L_{v}\circ E-L_{v}=0$. Das hei\ss t, $E\circ L_{v}%
=L_{v}\circ E+L_{v}$. F\"{u}r jedes $t\in H$ ist also $\left(  E\circ
L_{v}\right)  \left(  t\right)  =\left(  L_{v}\circ E+L_{v}\right)  \left(
t\right)  $. Wegen $\left(  E\circ L_{v}\right)  \left(  t\right)  =E\left(
\underbrace{L_{v}\left(  t\right)  }_{=vt}\right)  =E\left(  vt\right)  $ und
$\left(  L_{v}\circ E+L_{v}\right)  \left(  t\right)  =\left(  L_{v}\circ
E\right)  \left(  t\right)  +L_{v}\left(  t\right)  =\underbrace{L_{v}\left(
E\left(  t\right)  \right)  }_{=vE\left(  t\right)  }+\underbrace{L_{v}\left(
t\right)  }_{=vt}=vE\left(  t\right)  +vt$ wird dies zu $E\left(  vt\right)
=vE\left(  t\right)  +vt$.

Damit ist \textbf{a)} bewiesen.

\textbf{b)} F\"{u}r jedes $v\in H_{1}$ und $s\in H$ ist $S\left(  vs\right)
=-S\left(  s\right)  v$.

\textit{Beweis:} Wegen $v\in H_{1}$ ist $v$ primitiv (nach \textbf{1)}), also
$\left(  1,1\right)  $-primitiv. Nach 2.11$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$
\textbf{2)} (angewandt auf $g=1$ und $h=1$) folgt hieraus $S\left(  v\right)
=-1^{-1}v1^{-1}=-v$.

Da $S$ ein Antialgebrahomomorphismus ist, gilt aber $S\left(  vs\right)
=S\left(  s\right)  \underbrace{S\left(  v\right)  }_{=-v}=S\left(  s\right)
\cdot\left(  -v\right)  =-S\left(  s\right)  v$. Damit ist \textbf{b)} bewiesen.

\textbf{c)} F\"{u}r jedes $v\in H_{1}$ und jedes $T\in H\otimes H$ gilt
\[
\left(  \mu\circ\left(  E\otimes S\right)  \right)  \left(  \Delta\left(
v\right)  \cdot T\right)  =\left[  v,\left(  \mu\circ\left(  E\otimes
S\right)  \right)  \left(  T\right)  \right]  +v\cdot\left(  \mu\circ\left(
\operatorname*{id}\otimes S\right)  \right)  \left(  T\right)  .
\]


\textit{Beweis:} Sei $v\in H_{1}$. Dann ist $v$ primitiv (laut \textbf{1)}).
Das hei\ss t, $\Delta\left(  v\right)  =v\otimes1+1\otimes v$.

Wir definieren eine Abbildung $\Phi_{1}:H\otimes H\rightarrow H$ durch%
\[
\Phi_{1}\left(  T\right)  =\left(  \mu\circ\left(  E\otimes S\right)  \right)
\left(  \Delta\left(  v\right)  \cdot T\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }T\in H\otimes H.
\]
Ferner definieren wir eine Abbildung $\Phi_{2}:H\otimes H\rightarrow H$ durch%
\[
\Phi_{2}\left(  T\right)  =\left[  v,\left(  \mu\circ\left(  E\otimes
S\right)  \right)  \left(  T\right)  \right]  +v\cdot\left(  \mu\circ\left(
\operatorname*{id}\otimes S\right)  \right)  \left(  T\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }T\in H\otimes H.
\]
Diese Abbildungen $\Phi_{1}$ und $\Phi_{2}$ sind beide $k$-linear (denn die
Abbildungen $\mu$, $E\otimes S$, $\operatorname*{id}\otimes S$ und auch die
Abbildung $H\rightarrow H$, $x\mapsto\left[  v,x\right]  $ sowie die Abbildung
$H\otimes H\rightarrow H\otimes H$, $x\mapsto\Delta\left(  v\right)  \cdot x$
sind alle $k$-linear).

Wir werden nun zeigen: F\"{u}r jede $t\in H$ und $s\in H$ gilt $\Phi
_{1}\left(  t\otimes s\right)  =\Phi_{2}\left(  t\otimes s\right)  $. In der
Tat ist%
\begin{align*}
\Phi_{1}\left(  t\otimes s\right)   &  =\left(  \mu\circ\left(  E\otimes
S\right)  \right)  \left(  \underbrace{\Delta\left(  v\right)  }%
_{=v\otimes1+1\otimes v}\cdot\left(  t\otimes s\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach der Definition von }\Phi_{1}\right)
\\
&  =\left(  \mu\circ\left(  E\otimes S\right)  \right)  \left(
\underbrace{\left(  v\otimes1+1\otimes v\right)  \cdot\left(  t\otimes
s\right)  }_{=\left(  v\otimes1\right)  \cdot\left(  t\otimes s\right)
+\left(  1\otimes v\right)  \cdot\left(  t\otimes s\right)  }\right) \\
&  =\left(  \mu\circ\left(  E\otimes S\right)  \right)  \left(
\underbrace{\left(  v\otimes1\right)  \cdot\left(  t\otimes s\right)
}_{=vt\otimes s}+\underbrace{\left(  1\otimes v\right)  \cdot\left(  t\otimes
s\right)  }_{=t\otimes vs}\right) \\
&  =\left(  \mu\circ\left(  E\otimes S\right)  \right)  \left(  vt\otimes
s+t\otimes vs\right)  =\mu\left(  \underbrace{\left(  E\otimes S\right)
\left(  vt\otimes s+t\otimes vs\right)  }_{=E\left(  vt\right)  \otimes
S\left(  s\right)  +E\left(  t\right)  \otimes S\left(  vs\right)  }\right) \\
&  =\mu\left(  E\left(  vt\right)  \otimes S\left(  s\right)  +E\left(
t\right)  \otimes S\left(  vs\right)  \right) \\
&  =\underbrace{E\left(  vt\right)  }_{\substack{=vE\left(  t\right)
+vt\\\text{(nach \textbf{a)})}}}S\left(  s\right)  +E\left(  t\right)
\underbrace{S\left(  vs\right)  }_{\substack{=-S\left(  s\right)
v\\\text{(nach \textbf{b)})}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }\mu\text{
die Multiplikationsabbildung ist}\right) \\
&  =\left(  vE\left(  t\right)  +vt\right)  S\left(  s\right)  +E\left(
t\right)  \left(  -S\left(  s\right)  v\right)  =\left(  vE\left(  t\right)
+vt\right)  S\left(  s\right)  -E\left(  t\right)  S\left(  s\right)  v\\
&  =vE\left(  t\right)  S\left(  s\right)  +vtS\left(  s\right)  -E\left(
t\right)  S\left(  s\right)  v=\underbrace{vE\left(  t\right)  S\left(
s\right)  -E\left(  t\right)  S\left(  s\right)  v}_{=\left[  v,E\left(
t\right)  S\left(  s\right)  \right]  }+vtS\left(  s\right) \\
&  =\left[  v,E\left(  t\right)  S\left(  s\right)  \right]  +vtS\left(
s\right)
\end{align*}
und%
\begin{align*}
\Phi_{2}\left(  t\otimes s\right)   &  =\left[  v,\underbrace{\left(  \mu
\circ\left(  E\otimes S\right)  \right)  \left(  t\otimes s\right)  }%
_{=\mu\left(  \left(  E\otimes S\right)  \left(  t\otimes s\right)  \right)
}\right]  +v\cdot\underbrace{\left(  \mu\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes
S\right)  \right)  \left(  t\otimes s\right)  }_{=\mu\left(  \left(
\operatorname*{id}\otimes S\right)  \left(  t\otimes s\right)  \right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach der Definition von }\Phi_{2}\right)
\\
&  =\left[  v,\mu\left(  \underbrace{\left(  E\otimes S\right)  \left(
t\otimes s\right)  }_{=E\left(  t\right)  \otimes S\left(  s\right)  }\right)
\right]  +v\cdot\mu\left(  \underbrace{\left(  \operatorname*{id}\otimes
S\right)  \left(  t\otimes s\right)  }_{=t\otimes S\left(  s\right)  }\right)
\\
&  =\left[  v,\underbrace{\mu\left(  E\left(  t\right)  \otimes S\left(
s\right)  \right)  }_{\substack{=E\left(  t\right)  S\left(  s\right)
\\\text{(denn }\mu\text{ ist die}\\\text{Multiplikationsabbildung)}}}\right]
+v\cdot\underbrace{\mu\left(  t\otimes S\left(  s\right)  \right)
}_{\substack{=tS\left(  s\right)  \\\text{(denn }\mu\text{ ist die}%
\\\text{Multiplikationsabbildung)}}}\\
&  =\left[  v,E\left(  t\right)  S\left(  s\right)  \right]  +vtS\left(
s\right)  ,
\end{align*}
und folglich ist $\Phi_{1}\left(  t\otimes s\right)  =\Phi_{2}\left(  t\otimes
s\right)  $.

Nun sind $\Phi_{1}$ und $\Phi_{2}$ zwei lineare Abbildungen von $H\otimes H$
nach $H$, die auf jedem reinen Tensor \"{u}bereinstimmen (denn $\Phi
_{1}\left(  t\otimes s\right)  =\Phi_{2}\left(  t\otimes s\right)  $ f\"{u}r
jede $t\in H$ und $s\in H$). Somit m\"{u}ssen diese Abbildungen $\Phi_{1}$ und
$\Phi_{2}$ gleich sein (denn zwei lineare Abbildungen aus einem Tensorprodukt,
die auf jedem reinen Tensor \"{u}bereinstimmen, m\"{u}ssen gleich sein). Das
hei\ss t, $\Phi_{1}=\Phi_{2}$. F\"{u}r jedes $T\in H\otimes H$ gilt also%
\[
\left(  \mu\circ\left(  E\otimes S\right)  \right)  \left(  \Delta\left(
v\right)  \cdot T\right)  =\underbrace{\Phi_{1}}_{=\Phi_{2}}\left(  T\right)
=\Phi_{2}\left(  T\right)  =\left[  v,\left(  \mu\circ\left(  E\otimes
S\right)  \right)  \left(  T\right)  \right]  +v\cdot\left(  \mu\circ\left(
\operatorname*{id}\otimes S\right)  \right)  \left(  T\right)  .
\]
Damit ist \textbf{c)} gezeigt.

Jetzt wollen wir zum eigentlichen Beweis von \textbf{7)} kommen. Wir stellen
dazu erst einmal fest, da\ss \ die Elemente $x_{1}$, $x_{2}$, $...$, $x_{n}$
von $H$ alle primitiv sind (laut \textbf{1)}, denn sie liegen in $H_{1}$). Das
hei\ss t, $\Delta\left(  x_{i}\right)  =x_{i}\otimes1+1\otimes x_{i}$ f\"{u}r
alle $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $. Ferner ist
\begin{align*}
E\left(  1\right)   &  =E_{0}\left(  1\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{denn }E=\bigoplus\limits_{n\geq0}E_{n}\text{ und }1\in H_{0}\right) \\
&  =0\cdot1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach der Definition von }%
E_{0}\right) \\
&  =0
\end{align*}
und%
\begin{align*}
E\left(  x_{i}\right)   &  =E_{1}\left(  x_{i}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }E=\bigoplus\limits_{n\geq0}E_{n}\text{
und }x_{i}\in H_{1}\right) \\
&  =1\cdot x_{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach der Definition von
}E_{1}\right) \\
&  =x_{i}%
\end{align*}
f\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $.

Jetzt werden wir zeigen: F\"{u}r jedes $\ell\in\left\{  0,1,...,n-1\right\}  $
gilt%
\begin{equation}
\left(  E\ast S\right)  \left(  x_{n-\ell}x_{n-\ell+1}...x_{n}\right)
=\left[  x_{n-\ell},\left[  x_{n-\ell+1},\left[  x_{n-\ell+2},...,\left[
x_{n-1},x_{n}\right]  \right]  \right]  \right]  . \tag{2.51}%
\end{equation}


\textit{Beweis von (2.51):} Wir zeigen (2.51) durch vollst\"{a}ndige Induktion
nach $\ell$:

\textit{Induktionsanfang:} F\"{u}r $\ell=0$ ist (2.51) trivial zu zeigen (denn
f\"{u}r $\ell=0$ vereinfacht sich (2.51) zu $\left(  E\ast S\right)  \left(
x_{n}\right)  =x_{n}$, und dies folgt daraus, da\ss
\begin{align*}
\left(  E\ast S\right)  \left(  x_{n}\right)   &  =\left(  \mu\circ\left(
E\otimes S\right)  \circ\Delta\right)  \left(  x_{n}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }E\ast S=\mu\circ\left(  E\otimes S\right)  \circ\Delta\text{
nach}\\
\text{der Definition der Faltung }\ast
\end{array}
\right) \\
&  =\mu\left(  \left(  E\otimes S\right)  \left(  \underbrace{\Delta\left(
x_{n}\right)  }_{\substack{=x_{n}\otimes1+1\otimes x_{n}\\\text{(denn }%
\Delta\left(  x_{i}\right)  =x_{i}\otimes1+1\otimes x_{i}\\\text{f\"{u}r alle
}i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  \text{)}}}\right)  \right)  =\mu\left(
\underbrace{\left(  E\otimes S\right)  \left(  x_{n}\otimes1+1\otimes
x_{n}\right)  }_{=E\left(  x_{n}\right)  \otimes S\left(  1\right)  +E\left(
1\right)  \otimes S\left(  x_{n}\right)  }\right) \\
&  =\mu\left(  E\left(  x_{n}\right)  \otimes S\left(  1\right)  +E\left(
1\right)  \otimes S\left(  x_{n}\right)  \right)  =\underbrace{E\left(
x_{n}\right)  }_{\substack{=x_{n}\\\text{(denn }E\left(  x_{i}\right)
=x_{i}\text{ f\"{u}r}\\\text{alle }i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  \text{)}%
}}\cdot\underbrace{S\left(  1\right)  }_{=1}+\underbrace{E\left(  1\right)
}_{=0}\cdot S\left(  x_{n}\right) \\
&  =x_{n}\cdot1+0\cdot S\left(  x_{n}\right)  =x_{n}%
\end{align*}
gilt). Damit ist der Induktionsanfang erledigt.

\textit{Induktionsschritt:} Sei $j\in\left\{  1,2,...,n-1\right\}  $ beliebig.
Angenommen, (2.51) gilt f\"{u}r $\ell=j-1$. Wir m\"{u}ssen nun zeigen,
da\ss \ (2.51) auch f\"{u}r $\ell=j$ gilt.

Da (2.51) f\"{u}r $\ell=j-1$ gilt, ist%
\begin{equation}
\left(  E\ast S\right)  \left(  x_{n-\left(  j-1\right)  }x_{n-\left(
j-1\right)  +1}...x_{n}\right)  =\left[  x_{n-\left(  j-1\right)  },\left[
x_{n-\left(  j-1\right)  +1},\left[  x_{n-\left(  j-1\right)  +2},...,\left[
x_{n-1},x_{n}\right]  \right]  \right]  \right]  . \tag{2.52}%
\end{equation}
Bezeichnen wir das Element $x_{n-\left(  j-1\right)  }x_{n-\left(  j-1\right)
+1}...x_{n}\in H$ mit $x$. Sei ferner $i=n-j$. Schlie\ss lich setzen wir
$v=x_{i}$ (dies ist erlaubt, denn $x_{i}\in H_{1}$).

Da $\Delta$ ein Algebrahomomorphismus ist, gilt $\Delta\left(  vx\right)
=\Delta\left(  v\right)  \cdot\Delta\left(  x\right)  $.

F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ ist $x_{i}$ primitiv (nach
\textbf{1)}, da $x_{i}\in H_{1}$), also $\left(  1,1\right)  $-schiefprimitiv.
Nach 2.11$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{2)} folgt hieraus $\varepsilon
\left(  x_{i}\right)  =0$. Wegen $x=x_{n-\left(  j-1\right)  }x_{n-\left(
j-1\right)  +1}...x_{n}$ ist also%
\begin{align*}
\varepsilon\left(  x\right)   &  =\varepsilon\left(  x_{n-\left(  j-1\right)
}x_{n-\left(  j-1\right)  +1}...x_{n}\right)  =\underbrace{\varepsilon\left(
x_{n-\left(  j-1\right)  }\right)  }_{=0}\underbrace{\varepsilon\left(
x_{n-\left(  j-1\right)  +1}\right)  }_{=0}...\underbrace{\varepsilon\left(
x_{n}\right)  }_{=0}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\varepsilon\text{ ist ein
Algebrahomomorphismus}\right) \\
&  =\underbrace{0\cdot0\cdot...\cdot0}_{j\text{ Nullen}}%
=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }j\geq1\right)  .
\end{align*}


Da $E\ast S=\mu\circ\left(  E\otimes S\right)  \circ\Delta$ nach der
Definition der Faltung $\ast$ ist, gilt%
\begin{align*}
&  \left(  E\ast S\right)  \left(  vx\right) \\
&  =\left(  \mu\circ\left(  E\otimes S\right)  \circ\Delta\right)  \left(
vx\right)  =\left(  \mu\circ\left(  E\otimes S\right)  \right)  \left(
\underbrace{\Delta\left(  vx\right)  }_{=\Delta\left(  v\right)  \cdot
\Delta\left(  x\right)  }\right)  =\left(  \mu\circ\left(  E\otimes S\right)
\right)  \left(  \Delta\left(  v\right)  \cdot\Delta\left(  x\right)  \right)
\\
&  =\left[  v,\underbrace{\left(  \mu\circ\left(  E\otimes S\right)  \right)
\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  }_{=\left(  \mu\circ\left(  E\otimes
S\right)  \circ\Delta\right)  \left(  x\right)  }\right]  +v\cdot
\underbrace{\left(  \mu\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes S\right)
\right)  \left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  }_{=\left(  \mu\circ\left(
\operatorname*{id}\otimes S\right)  \circ\Delta\right)  \left(  x\right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach \textbf{c)}, angewandt auf }%
T=\Delta\left(  x\right)  \right) \\
&  =\left[  v,\underbrace{\left(  \mu\circ\left(  E\otimes S\right)
\circ\Delta\right)  }_{=E\ast S}\left(  x\right)  \right]  +v\cdot
\underbrace{\left(  \mu\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes S\right)
\circ\Delta\right)  }_{=\eta\varepsilon\text{ (denn }H\text{ ist eine
Hopfalgebra)}}\left(  x\right) \\
&  =\left[  \underbrace{v}_{\substack{=x_{i}=x_{n-j}\\\text{(da }%
i=n-j\text{)}}},\left(  E\ast S\right)  \left(  x\right)  \right]  +v\cdot
\eta\underbrace{\varepsilon\left(  x\right)  }_{=0}=\left[  x_{n-j},\left(
E\ast S\right)  \left(  x\right)  \right]  +\underbrace{v\cdot\eta\left(
0\right)  }_{=0}\\
&  =\left[  x_{n-j},\left(  E\ast S\right)  \left(  x\right)  \right]
=\left[  x_{n-j},\left(  E\ast S\right)  \left(  x_{n-\left(  j-1\right)
}x_{n-\left(  j-1\right)  +1}...x_{n}\right)  \right] \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }x=x_{n-\left(  j-1\right)
}x_{n-\left(  j-1\right)  +1}...x_{n}\right) \\
&  =\left[  x_{n-j},\left[  \underbrace{x_{n-\left(  j-1\right)  }%
}_{=x_{n-j+1}},\left[  \underbrace{x_{n-\left(  j-1\right)  +1}}_{=x_{n-j+2}%
},\left[  \underbrace{x_{n-\left(  j-1\right)  +2}}_{=x_{n-j+3}},...,\left[
x_{n-1},x_{n}\right]  \right]  \right]  \right]  \right]
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach (2.52)}\right) \\
&  =\left[  x_{n-j},\left[  x_{n-j+1},\left[  x_{n-j+2},...,\left[
x_{n-1},x_{n}\right]  \right]  \right]  \right]  .
\end{align*}
Das hei\ss t, (2.51) gilt auch f\"{u}r $\ell=j$. Somit ist der
Induktionsschritt gemacht, und der Induktionsbeweis von (2.51) ist fertig.

Anwendung von (2.51) auf $\ell=n-1$ liefert $\left(  E\ast S\right)  \left(
x_{1}x_{2}...x_{n}\right)  =\left[  x_{1},\left[  x_{2},\left[  x_{3}%
,...,\left[  x_{n-1},x_{n}\right]  \right]  \right]  \right]  $ (denn f\"{u}r
$\ell=n-1$ ist $n-\ell=1$). Damit ist Satz 2.45 \textbf{7)} bewiesen.

\bigskip

\fbox{\textbf{Die Tensorhopfalgebra}}

Wir werden jetzt eine Familie von graduierten Hopfalgebren vorstellen, die
sogenannten \textit{Tensorhopfalgebren}:

\textbf{2.50. Beispiel:} Sei $V$ ein beliebiger Vektorraum. In Beispiel 2.1.
\textbf{5)} wurde der Tensormodul $TV$ des Vektorraums $V$ definiert. (Zur
Wiederholung: Er wurde definiert als der Vektorraum $V^{\otimes0}\oplus
V^{\otimes1}\oplus V^{\otimes2}\oplus...$)

Bekanntlich l\"{a}\ss t sich dieser Tensormodul $TV$ zu einer $k$-Algebra
machen, indem man%
\begin{align*}
&  \left(  a_{1}\otimes a_{2}\otimes...\otimes a_{n}\right)  \cdot\left(
b_{1}\otimes b_{2}\otimes...\otimes b_{m}\right)  =a_{1}\otimes a_{2}%
\otimes...\otimes a_{n}\otimes b_{1}\otimes b_{2}\otimes...\otimes b_{m}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }n,m\in\mathbb{N}\text{ und alle
}a_{1},a_{2},...,a_{n}\in V\text{ und alle }b_{1},b_{2},...,b_{m}\in V
\end{align*}
setzt. Diese $k$-Algebra hei\ss t die \textit{Tensoralgebra} des Vektorraums
$V$, und wir bezeichnen sie mit $T^{\otimes}V$. (In den meisten Texten wird
diese Algebra einfach mit $TV$ oder mit $\otimes V$ bezeichnet; jedoch ziehen
wir hier die Notation $T^{\otimes}V$ vor, um sie von einer anderen $k$-Algebra
zu unterscheiden, die ebenfalls als Vektorraum gleich $TV$ ist (und die wir in
Beispiel 2.60 untersuchen werden).) Als $k$-Vektorraum ist nat\"{u}rlich
$T^{\otimes}V=TV$.

Wir bezeichnen die Multiplikationsabbildung $\left(  TV\right)  \otimes\left(
TV\right)  \rightarrow TV$ der $k$-Algebra $T^{\otimes}V$ mit $\mu$, und wir
bezeichnen die Einsabbildung $k\rightarrow TV$ der $k$-Algebra $T^{\otimes}V$
mit $\varepsilon$.

Betrachten wir ferner die in Beispiel 2.1. \textbf{7)} definierten Abbildungen
$\Delta^{\prime}:TV\rightarrow\left(  TV\right)  \otimes\left(  TV\right)  $
und $\varepsilon:TV\rightarrow k$, welche (2.8) und (2.9) f\"{u}r alle
$n\in\mathbb{N}$ und alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$ erf\"{u}llen. Laut
Beispiel 2.1. \textbf{7)} ist dann $\left(  TV,\Delta^{\prime},\varepsilon
\right)  $ eine Coalgebra.

Wir behaupten nun:

\textbf{1)} Das $5$-Tupel $\left(  TV,\mu,\eta,\Delta^{\prime},\varepsilon
\right)  $ ist eine cokommutative Hopfalgebra.

Wir bezeichnen diese Hopfalgebra mit $T^{\otimes}V$ und nennen sie die
\textit{Tensorhopfalgebra} von $V$.

\textbf{2)} Das Paar $\left(  T^{\otimes}V,\left(  V^{\otimes n}\right)
_{n\geq0}\right)  $ ist eine zusammenh\"{a}ngende graduierte Hopfalgebra
(wobei $T^{\otimes}V$ als die Tensorhopfalgebra von $V$ zu verstehen ist, also
als das $5$-Tupel $\left(  TV,\mu,\eta,\Delta^{\prime},\varepsilon\right)  $).

\textbf{3)} Sei $S$ die Antipode der Hopfalgebra $T^{\otimes}V=\left(
TV,\mu,\eta,\Delta^{\prime},\varepsilon\right)  $. Dann gilt%
\[
S\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)  =\left(  -1\right)
^{n}v_{n}\otimes v_{n-1}\otimes...\otimes v_{1}%
\]
f\"{u}r alle $n\in\mathbb{N}$ und alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$.

\textbf{4)} Sei $S$ die Antipode der Hopfalgebra $T^{\otimes}V=\left(
TV,\mu,\eta,\Delta^{\prime},\varepsilon\right)  $. F\"{u}r jedes $n\geq0$ sei
$E_{n}:V^{\otimes n}\rightarrow V^{\otimes n}$ die Abbildung, die jedes $x\in
V^{\otimes n}$ auf $nx\in V^{\otimes n}$ abbildet. Sei $E$ die direkte Summe
$\bigoplus\limits_{n\geq0}E_{n}:\bigoplus\limits_{n\geq0}V^{\otimes
n}\rightarrow\bigoplus\limits_{n\geq0}V^{\otimes n}$ dieser Abbildungen. Wegen
$\bigoplus\limits_{n\geq0}V^{\otimes n}=V^{\otimes0}\oplus V^{\otimes1}\oplus
V^{\otimes2}\oplus...=TV$ ist also $E$ eine Abbildung von $TV$ nach $TV$.

F\"{u}r je zwei Elemente $x$ und $y$ von $T^{\otimes}V$ bezeichnen wir mit
$\left[  x,y\right]  $ die Differenz $xy-yx$.

F\"{u}r jedes $n\geq1$ und beliebige $n$ Elemente $x_{1}$, $x_{2}$, $...$,
$x_{n}$ von $V$ gilt dann%
\[
\left(  E\ast S\right)  \left(  x_{1}x_{2}...x_{n}\right)  =\left[
x_{1},\left[  x_{2},\left[  x_{3},...,\left[  x_{n-1},x_{n}\right]  \right]
\right]  \right]
\]
(wobei wir Elemente von $V$ als Elemente von $T^{\otimes}V$ auffassen, da
$V=V^{\otimes1}\subseteq V^{\otimes0}\oplus V^{\otimes1}\oplus V^{\otimes
2}\oplus...=TV=T^{\otimes}V$ ist).

\textit{Bemerkung:} Laut Beispiel 2.50. \textbf{1)} ist $\left(  TV,\mu
,\eta,\Delta^{\prime},\varepsilon\right)  $ eine cokommutative Hopfalgebra.
Wir werden weiter unten in Beispiel 2.60. \textbf{1)} eine weitere Hopfalgebra
$\left(  TV,\mu^{\prime},\eta,\Delta,\varepsilon\right)  $ kennenlernen, die
ebenfalls $TV$ als zugrundeliegenden Vektorraum hat. Diese Hopfalgebra
unterscheidet sich von der Hopfalgebra $\left(  TV,\mu,\eta,\Delta^{\prime
},\varepsilon\right)  $ sowohl in ihrer Comultiplikation, als auch in ihrer
Multiplikation. Die Comultiplikation $\Delta$ ist die in Beispiel 2.1.
\textbf{5)} definierte Abbildung $\Delta$, w\"{a}hrend die Multiplikation
$\mu^{\prime}$ das sogenannte Shuffleprodukt ist. Diese Hopfalgebra $\left(
TV,\mu^{\prime},\eta,\Delta,\varepsilon\right)  $ ist im\ Allgemeinen nicht
mehr cokommutativ, aber daf\"{u}r kommutativ.

Bevor wir Beispiel 2.50 beweisen, zeigen wir ein Lemma (welches als eine
Verallgemeinerung der binomischen Formel betrachtet werden kann):

\textbf{2.51. Lemma:} Sei $A$ ein Ring. Sei $k\geq0$ eine nat\"{u}rliche Zahl.
Seien $a_{1},a_{2},...,a_{k}$ beliebige Elemente von $A$, und seien
$b_{1},b_{2},...,b_{k}$ beliebige Elemente von $A$ so, da\ss \ $a_{i}%
b_{j}=b_{j}a_{i}$ f\"{u}r alle $i,j\in\left\{  1,2,...,k\right\}  $ gilt. Dann
ist%
\[
\left(  a_{1}+b_{1}\right)  \left(  a_{2}+b_{2}\right)  ...\left(  a_{k}%
+b_{k}\right)  =\sum_{i=0}^{k}\sum_{\substack{\sigma\in\operatorname*{Sh}%
\left(  i,k-i\right)  }}a_{\sigma\left(  1\right)  }a_{\sigma\left(  2\right)
}...a_{\sigma\left(  i\right)  }\cdot b_{\sigma\left(  i+1\right)  }%
b_{\sigma\left(  i+2\right)  }...b_{\sigma\left(  k\right)  }.
\]
Hierbei ist bez\"{u}glich der Definition von $\operatorname*{Sh}\left(
i,k-i\right)  $ (und, allgemeiner, bez\"{u}glich der Definition von
$\operatorname*{Sh}\left(  p,q\right)  $ f\"{u}r beliebige $p\in\mathbb{N}$
und $q\in\mathbb{N}$) auf Beispiel 2.1. \textbf{7)} zu verweisen.

\textit{Beweis von Lemma 2.51:}

Zuerst vereinbaren wir eine Notation:

\begin{itemize}
\item Sei $T$ eine endliche Menge nat\"{u}rlicher Zahlen. Unter einer
\textit{aufsteigenden Auflistung} der Menge $T$ verstehen wir dabei eine Liste
$\left(  t_{1},t_{2},...,t_{k}\right)  $ von Elementen von $T$, die
$t_{1}<t_{2}<...<t_{k}$ und $\left\{  t_{1},t_{2},...,t_{k}\right\}  =T$
erf\"{u}llt. Es ist klar, da\ss \ jede endliche Menge $T$ nat\"{u}rlicher
Zahlen genau eine aufsteigende Auflistung hat; deshalb k\"{o}nnen wir von
"\textit{der} aufsteigenden Auflistung von $T$" sprechen.

\item Ist $T$ eine endliche Menge nat\"{u}rlicher Zahlen, und ist $\left(
u_{t}\right)  _{t\in T}$ eine Familie von Elementen von $A$, dann bezeichnen
wir mit $\overrightarrow{u}_{T}$ das Produkt $u_{t_{1}}u_{t_{2}}...u_{t_{k}}$,
wobei $\left(  t_{1},t_{2},...,t_{k}\right)  $ die aufsteigende Auflistung der
Menge $T$ ist. Dieses Produkt $\overrightarrow{u}_{T}$ hei\ss t
\textit{aufsteigendes Produkt} der Elemente $u_{t}$ f\"{u}r $t\in T$ (und wird
auch $\overrightarrow{\prod\limits_{t\in T}}u_{t}$ genannt).
\end{itemize}

Beispielsweise ist also $\overrightarrow{v}_{\left\{  1,2,...,n\right\}
}=v_{1}v_{2}...v_{n}$ f\"{u}r jedes $n\in\mathbb{N}$ und f\"{u}r alle
$v_{1},v_{2},...,v_{n}\in A$.

Wir definieren die Abbildung%
\begin{align*}
\Phi:\bigcup_{j=0}^{k}\left(  \left\{  j\right\}  \times\operatorname*{Sh}%
\left(  j,k-j\right)  \right)   &  \rightarrow\mathcal{P}\left(  \left\{
1,2,...,k\right\}  \right)  ;\\
\left(  i,\sigma\right)   &  \mapsto\left\{  \sigma\left(  1\right)
,\sigma\left(  2\right)  ,...,\sigma\left(  i\right)  \right\}  \text{ (wobei
}\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(  i,k-i\right)  \text{).}%
\end{align*}
Diese Abbildung ist bijektiv (wie bereits im Beweis von Beispiel 2.1.
\textbf{7)} bewiesen wurde).

F\"{u}r jedes $i\in\left\{  0,1,...,k\right\}  $ und jedes $\sigma
\in\operatorname*{Sh}\left(  i,k-i\right)  $ ist nun%
\begin{align*}
&  a_{\sigma\left(  1\right)  }a_{\sigma\left(  2\right)  }...a_{\sigma\left(
i\right)  }\\
&  =\overrightarrow{a}_{\left\{  \sigma\left(  1\right)  ,\sigma\left(
2\right)  ,...,\sigma\left(  i\right)  \right\}  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\left(  \sigma\left(  1\right)  ,\sigma\left(  2\right)
,...,\sigma\left(  i\right)  \right)  \text{ ist die aufsteigende Auflistung
der Menge}\\
\left\{  \sigma\left(  1\right)  ,\sigma\left(  2\right)  ,...,\sigma\left(
i\right)  \right\}  \text{, weil}\\
\sigma\left(  1\right)  <\sigma\left(  2\right)  <...<\sigma\left(  i\right)
\text{ (denn }\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(  i,k-i\right)  \text{) ist}%
\end{array}
\right) \\
&  =\overrightarrow{a}_{\Phi\left(  i,\sigma\right)  }%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\left\{  \sigma\left(  1\right)
,\sigma\left(  2\right)  ,...,\sigma\left(  i\right)  \right\}  =\Phi\left(
i,\sigma\right)  \right)
\end{align*}
und%
\begin{align*}
&  b_{\sigma\left(  i+1\right)  }b_{\sigma\left(  i+2\right)  }...b_{\sigma
\left(  k\right)  }\\
&  =\overrightarrow{b}_{\left\{  \sigma\left(  i+1\right)  ,\sigma\left(
i+2\right)  ,...,\sigma\left(  k\right)  \right\}  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\left(  \sigma\left(  i+1\right)  ,\sigma\left(  i+2\right)
,...,\sigma\left(  k\right)  \right)  \text{ ist die aufsteigende
Auflistung}\\
\text{der Menge }\left\{  \sigma\left(  i+1\right)  ,\sigma\left(  i+2\right)
,...,\sigma\left(  k\right)  \right\}  \text{, weil}\\
\sigma\left(  i+1\right)  <\sigma\left(  i+2\right)  <...<\sigma\left(
k\right)  \text{ (denn }\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(  i,k-i\right)
\text{) ist}%
\end{array}
\right) \\
&  =\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,k\right\}  \diagdown\Phi\left(
i,\sigma\right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn da }\sigma\text{ eine Permutation von }\left\{  1,2,...,k\right\}
\text{ ist, gilt}\\
\left\{  \sigma\left(  i+1\right)  ,\sigma\left(  i+2\right)  ,...,\sigma
\left(  k\right)  \right\}  =\left\{  1,2,...,k\right\}  \diagdown
\underbrace{\left\{  \sigma\left(  1\right)  ,\sigma\left(  2\right)
,...,\sigma\left(  i\right)  \right\}  }_{=\Phi\left(  i,\sigma\right)  }\\
=\left\{  1,2,...,k\right\}  \diagdown\Phi\left(  i,\sigma\right)
\end{array}
\right)  .
\end{align*}
Folglich ist%
\begin{align}
&  \underbrace{\sum_{i=0}^{k}\sum_{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(
i,k-i\right)  }}_{=\sum\limits_{\left(  i,\sigma\right)  \in\bigcup
\limits_{j=0}^{k}\left(  \left\{  j\right\}  \times\operatorname*{Sh}\left(
j,k-j\right)  \right)  }}\underbrace{a_{\sigma\left(  1\right)  }%
a_{\sigma\left(  2\right)  }...a_{\sigma\left(  i\right)  }}%
_{=\overrightarrow{a}_{\Phi\left(  i,\sigma\right)  }}\cdot
\underbrace{b_{\sigma\left(  i+1\right)  }b_{\sigma\left(  i+2\right)
}...b_{\sigma\left(  k\right)  }}_{=\overrightarrow{b}_{\left\{
1,2,...,k\right\}  \diagdown\Phi\left(  i,\sigma\right)  }}\nonumber\\
&  =\sum\limits_{\left(  i,\sigma\right)  \in\bigcup\limits_{j=0}^{k}\left(
\left\{  j\right\}  \times\operatorname*{Sh}\left(  j,k-j\right)  \right)
}\overrightarrow{a}_{\Phi\left(  i,\sigma\right)  }\cdot\overrightarrow{b}%
_{\left\{  1,2,...,k\right\}  \diagdown\Phi\left(  i,\sigma\right)  }%
=\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,k\right\}  \right)
}\overrightarrow{a}_{I}\cdot\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,k\right\}
\diagdown I}\nonumber\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{hier haben wir }\Phi\left(
i,\sigma\right)  \text{ durch }I\text{ substituiert, da }\Phi\text{ bijektiv
ist}\right)  . \tag{2.59}%
\end{align}


Jetzt werden wir nachweisen, da\ss \
\[
\left(  a_{1}+b_{1}\right)  \left(  a_{2}+b_{2}\right)  ...\left(  a_{k}%
+b_{k}\right)  =\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{
1,2,...,k\right\}  \right)  }\overrightarrow{a}_{I}\cdot\overrightarrow{b}%
_{\left\{  1,2,...,k\right\}  \diagdown I}%
\]
gilt.

Dazu zeigen wir die (augenscheinlich allgemeinere) Aussage, da\ss
\begin{equation}
\left(  a_{1}+b_{1}\right)  \left(  a_{2}+b_{2}\right)  ...\left(  a_{\nu
}+b_{\nu}\right)  =\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,\nu
\right\}  \right)  }\overrightarrow{a}_{I}\cdot\overrightarrow{b}_{\left\{
1,2,...,\nu\right\}  \diagdown I} \tag{2.60}%
\end{equation}
f\"{u}r jedes $\nu\in\left\{  0,1,...,k\right\}  $ ist.

\textit{Beweis von (2.60):} Wir beweisen (2.60) durch vollst\"{a}ndige
Induktion nach $\nu$:

\textit{Induktionsanfang:} F\"{u}r $\nu=0$ ist $\left(  a_{1}+b_{1}\right)
\left(  a_{2}+b_{2}\right)  ...\left(  a_{\nu}+b_{\nu}\right)  =\left(
\text{leeres Produkt}\right)  =1$ und
\[
\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,\nu\right\}  \right)
}\overrightarrow{a}_{I}\cdot\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,\nu\right\}
\diagdown I}=\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,0\right\}
\right)  }\overrightarrow{a}_{I}\cdot\overrightarrow{b}_{\left\{
1,2,...,0\right\}  \diagdown I}=\underbrace{\overrightarrow{a}_{\varnothing}%
}_{=1}\cdot\underbrace{\overrightarrow{b}_{\varnothing}}_{=1}=1.
\]
Daher gilt (2.60) f\"{u}r $\nu=0$. Damit ist der Induktionsanfang erledigt.

\textit{Induktionsschritt:} Sei $n\in\left\{  1,2,...,k\right\}  $ beliebig.
Angenommen, (2.60) g\"{a}lte f\"{u}r $\nu=n-1$. Wir m\"{u}ssen dann zeigen,
da\ss \ (2.60) auch f\"{u}r $\nu=n$ gilt.

Sei $\mathcal{P}_{+n}\left(  \left\{  1,2,...,n\right\}  \right)  $ die Menge
aller Teilmengen von $\left\{  1,2,...,n\right\}  $, welche $n$ enthalten. Sei
$\mathcal{P}_{-n}\left(  \left\{  1,2,...,n\right\}  \right)  $ die Menge
aller Teilmengen von $\left\{  1,2,...,n\right\}  $, welche $n$ nicht
enthalten. Dann ist $\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,n\right\}  \right)
=\mathcal{P}_{+n}\left(  \left\{  1,2,...,n\right\}  \right)  \cup
\mathcal{P}_{-n}\left(  \left\{  1,2,...,n\right\}  \right)  $ (denn jede
Teilmenge von $\left\{  1,2,...,n\right\}  $ ist entweder eine Teilmenge von
$\left\{  1,2,...,n\right\}  $, welche $n$ enth\"{a}lt, oder eine Teilmenge
von $\left\{  1,2,...,n\right\}  $, welche $n$ nicht enth\"{a}lt) und
$\mathcal{P}_{+n}\left(  \left\{  1,2,...,n\right\}  \right)  \cap
\mathcal{P}_{-n}\left(  \left\{  1,2,...,n\right\}  \right)  =\varnothing$
(denn es gibt keine Teilmenge von $\left\{  1,2,...,n\right\}  $, welche
gleichzeitig $n$ enth\"{a}lt und $n$ nicht enth\"{a}lt). Die Mengen
$\mathcal{P}_{+n}\left(  \left\{  1,2,...,n\right\}  \right)  $ und
$\mathcal{P}_{-n}\left(  \left\{  1,2,...,n\right\}  \right)  $ bilden also
eine Partition der Menge $\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,n\right\}
\right)  $. Folglich ist%
\begin{align}
&  \sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,n\right\}  \right)
}\overrightarrow{a}_{I}\cdot\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,n\right\}
\diagdown I}\nonumber\\
&  =\sum\limits_{I\in\mathcal{P}_{+n}\left(  \left\{  1,2,...,n\right\}
\right)  }\overrightarrow{a}_{I}\cdot\overrightarrow{b}_{\left\{
1,2,...,n\right\}  \diagdown I}+\sum\limits_{I\in\mathcal{P}_{-n}\left(
\left\{  1,2,...,n\right\}  \right)  }\overrightarrow{a}_{I}\cdot
\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,n\right\}  \diagdown I}. \tag{2.61}%
\end{align}


Nun ist $\mathcal{P}_{-n}\left(  \left\{  1,2,...,n\right\}  \right)
=\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,n-1\right\}  \right)  $ (denn die
Teilmengen von $\left\{  1,2,...,n\right\}  $, welche $n$ nicht enthalten,
sind nichts anderes als die Teilmengen von $\left\{  1,2,...,n-1\right\}  $).

Andererseits ist die Abbildung $\varrho:\mathcal{P}\left(  \left\{
1,2,...,n-1\right\}  \right)  \rightarrow\mathcal{P}_{+n}\left(  \left\{
1,2,...,n\right\}  \right)  $, die durch%
\[
\varrho\left(  I\right)  =I\cup\left\{  n\right\}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }I\in\mathcal{P}\left(  \left\{
1,2,...,n-1\right\}  \right)
\]
definiert ist, eine Bijektion\footnote{\textit{Beweis:} Betrachte die
Abbildung $\varrho^{\prime}:\mathcal{P}_{+n}\left(  \left\{
1,2,...,n\right\}  \right)  \rightarrow\mathcal{P}\left(  \left\{
1,2,...,n-1\right\}  \right)  $, die durch%
\[
\varrho^{\prime}\left(  J\right)  =J\diagdown\left\{  n\right\}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }J\in\mathcal{P}\left(  \left\{
1,2,...,n-1\right\}  \right)
\]
definiert ist. F\"{u}r jedes $I\in\mathcal{P}\left(  \left\{
1,2,...,n-1\right\}  \right)  $ ist dann
\begin{align*}
\left(  \varrho^{\prime}\circ\varrho\right)  \left(  I\right)   &
=\varrho^{\prime}\left(  \underbrace{\varrho\left(  I\right)  }_{=I\cup
\left\{  n\right\}  }\right)  =\varrho^{\prime}\left(  I\cup\left\{
n\right\}  \right)  =\left(  I\cup\left\{  n\right\}  \right)  \diagdown
\left\{  n\right\}  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach der Definition von
}\varrho^{\prime}\right) \\
&  =I\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }I\in\mathcal{P}\left(  \left\{
1,2,...,n-1\right\}  \right)  \text{ und daher }n\notin I\right)  .
\end{align*}
Das hei\ss t, $\varrho^{\prime}\circ\varrho=\operatorname*{id}$. F\"{u}r jedes
$J\in\mathcal{P}_{+n}\left(  \left\{  1,2,...,n\right\}  \right)  $ ist aber
\begin{align*}
\left(  \varrho\circ\varrho^{\prime}\right)  \left(  J\right)   &
=\varrho\left(  \underbrace{\varrho^{\prime}\left(  J\right)  }_{=J\diagdown
\left\{  n\right\}  }\right)  =\varrho\left(  J\diagdown\left\{  n\right\}
\right)  =\left(  J\diagdown\left\{  n\right\}  \right)  \cup\left\{
n\right\}  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach der Definition von }%
\varrho\right) \\
&  =J\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }n\in J\text{ (denn }J\in\mathcal{P}_{+n}\left(  \left\{
1,2,...,n\right\}  \right)  \text{, doch }\mathcal{P}_{+n}\left(  \left\{
1,2,...,n\right\}  \right) \\
\text{ist die Menge aller Teilmengen von }\left\{  1,2,...,n\right\}  \text{,
welche }n\text{ enthalten)}%
\end{array}
\right)  .
\end{align*}
Das hei\ss t, $\varrho\circ\varrho^{\prime}=\operatorname*{id}$. Zusammen mit
$\varrho^{\prime}\circ\varrho=\operatorname*{id}$ ergibt dies, da\ss \ die
Abbildungen $\varrho$ und $\varrho^{\prime}$ zueinander invers sind. Folglich
ist $\varrho$ bijektiv, was zu beweisen war.}. Folglich ist%
\begin{align}
&  \sum\limits_{I\in\mathcal{P}_{+n}\left(  \left\{  1,2,...,n\right\}
\right)  }\overrightarrow{a}_{I}\cdot\overrightarrow{b}_{\left\{
1,2,...,n\right\}  \diagdown I}\nonumber\\
&  =\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,n-1\right\}  \right)
}\overrightarrow{a}_{\varrho\left(  I\right)  }\cdot\overrightarrow{b}%
_{\left\{  1,2,...,n\right\}  \diagdown\left(  \varrho\left(  I\right)
\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{hier haben wir }I\text{ durch }\varrho\left(  I\right)  \text{
substituiert,}\\
\text{denn }\varrho\text{ ist eine Bijektion}%
\end{array}
\right) \nonumber\\
&  =\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,n-1\right\}  \right)
}\overrightarrow{a}_{I\cup\left\{  n\right\}  }\cdot
\underbrace{\overrightarrow{b}_{\left(  \left\{  1,2,...,n-1\right\}
\cup\left\{  n\right\}  \right)  \diagdown\left(  I\cup\left\{  n\right\}
\right)  }}_{\substack{=\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}
\diagdown I}\\\text{(denn wegen }\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \cap\left\{
n\right\}  =\varnothing\text{ ist}\\\left(  \left\{  1,2,...,n-1\right\}
\cup\left\{  n\right\}  \right)  \diagdown\left(  I\cup\left\{  n\right\}
\right)  =\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I\text{)}}}\nonumber\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\varrho\left(  I\right)
=I\cup\left\{  n\right\}  \text{ und }\left\{  1,2,...,n\right\}  =\left\{
1,2,...,n-1\right\}  \cup\left\{  n\right\}  \right) \nonumber\\
&  =\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,n-1\right\}  \right)
}\overrightarrow{a}_{I\cup\left\{  n\right\}  }\cdot\overrightarrow{b}%
_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I}. \tag{2.62}%
\end{align}


Da (2.60) f\"{u}r $\nu=n-1$ gilt (laut Annahme), ist%
\begin{equation}
\left(  a_{1}+b_{1}\right)  \left(  a_{2}+b_{2}\right)  ...\left(
a_{n-1}+b_{n-1}\right)  =\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{
1,2,...,n-1\right\}  \right)  }\overrightarrow{a}_{I}\cdot\overrightarrow{b}%
_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I}.\nonumber
\end{equation}
Nun ist%
\begin{align}
&  \left(  a_{1}+b_{1}\right)  \left(  a_{2}+b_{2}\right)  ...\left(
a_{n}+b_{n}\right) \nonumber\\
&  =\underbrace{\left(  a_{1}+b_{1}\right)  \left(  a_{2}+b_{2}\right)
...\left(  a_{n-1}+b_{n-1}\right)  }_{=\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(
\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \right)  }\overrightarrow{a}_{I}\cdot
\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I}}\left(
a_{n}+b_{n}\right) \nonumber\\
&  =\left(  \sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,n-1\right\}
\right)  }\overrightarrow{a}_{I}\cdot\overrightarrow{b}_{\left\{
1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I}\right)  \left(  a_{n}+b_{n}\right)
\nonumber\\
&  =\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,n-1\right\}  \right)
}\overrightarrow{a}_{I}\cdot\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}
\diagdown I}\cdot a_{n}+\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{
1,2,...,n-1\right\}  \right)  }\overrightarrow{a}_{I}\cdot\overrightarrow{b}%
_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I}\cdot b_{n}. \tag{2.63}%
\end{align}


Wir stellen nun folgendes fest:

\begin{itemize}
\item F\"{u}r jedes $I\in\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,n-1\right\}
\right)  $ gilt $\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown
I}\cdot a_{n}=a_{n}\cdot\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}
\diagdown I}$.\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Sei $\left(  u_{1}%
,u_{2},...,u_{\alpha}\right)  $ die aufsteigende Auflistung der Menge
$\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I$. Laut der Definition von
$\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I}$ ist dann
$\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I}=b_{u_{1}%
}b_{u_{2}}...b_{u_{\alpha}}$. Nun kommutiert $b_{u_{\tau}}$ mit $a_{n}$
f\"{u}r jedes $\tau\in\left\{  1,2,...,\alpha\right\}  $ (denn da $a_{i}%
b_{j}=b_{j}a_{i}$ f\"{u}r alle $i,j\in\left\{  1,2,...,k\right\}  $ gilt, gilt
insbesondere $a_{n}b_{u_{\tau}}=b_{u_{\tau}}a_{n}$). Folglich kommutiert auch
das Produkt $b_{u_{1}}b_{u_{2}}...b_{u_{\alpha}}$ mit $a_{n}$ (denn jeder der
Faktoren $b_{u_{\tau}}$ von diesem Produkt kommutiert mit $a_{n}$). Das
hei\ss t, $\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I}$
kommutiert mit $a_{n}$ (denn $b_{u_{1}}b_{u_{2}}...b_{u_{\alpha}%
}=\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I}$). Das
hei\ss t, $\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I}\cdot
a_{n}=a_{n}\cdot\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown
I}$.}

\item F\"{u}r jedes $I\in\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,n-1\right\}
\right)  $ gilt $\overrightarrow{a}_{I}\cdot a_{n}=\overrightarrow{a}%
_{I\cup\left\{  n\right\}  }$.\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Sei $\left(
u_{1},u_{2},...,u_{\alpha}\right)  $ die aufsteigende Auflistung der Menge
$I$. Laut der Definition von $\overrightarrow{a}_{I}$ ist dann
$\overrightarrow{a}_{I}=a_{u_{1}}a_{u_{2}}...a_{u_{\alpha}}$. Nun ist aber
$\left(  u_{1},u_{2},...,u_{\alpha},n\right)  $ die aufsteigende Auflistung
der Menge $I\cup\left\{  n\right\}  $ (denn $\left(  u_{1},u_{2}%
,...,u_{\alpha}\right)  $ ist die aufsteigende Auflistung der Menge $I$, und
das Element $n$ ist gr\"{o}\ss er als jedes der Elemente $u_{1}$, $u_{2}$,
$...$, $u_{\alpha}$). Somit ist $\overrightarrow{a}_{I\cup\left\{  n\right\}
}=a_{u_{1}}a_{u_{2}}...a_{u_{\alpha}}a_{n}$ nach der Definition von
$\overrightarrow{a}_{I\cup\left\{  n\right\}  }$. Das hei\ss t,
$\overrightarrow{a}_{I\cup\left\{  n\right\}  }=\underbrace{a_{u_{1}}a_{u_{2}%
}...a_{u_{\alpha}}}_{=\overrightarrow{a}_{I}}\cdot a_{n}=\overrightarrow{a}%
_{I}\cdot a_{n}$.}

\item F\"{u}r jedes $I\in\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,n-1\right\}
\right)  $ gilt $\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown
I}\cdot b_{n}=\overrightarrow{b}_{\left(  \left\{  1,2,...,n-1\right\}
\diagdown I\right)  \cup\left\{  n\right\}  }$%
.\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Sei $\left(  u_{1},u_{2},...,u_{\alpha
}\right)  $ die aufsteigende Auflistung der Menge $\left\{
1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I$. Laut der Definition von $\overrightarrow{b}%
_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I}$ ist dann $\overrightarrow{b}%
_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I}=b_{u_{1}}b_{u_{2}}...b_{u_{\alpha
}}$. Nun ist aber $\left(  u_{1},u_{2},...,u_{\alpha},n\right)  $ die
aufsteigende Auflistung der Menge $\left(  \left\{  1,2,...,n-1\right\}
\diagdown I\right)  \cup\left\{  n\right\}  $ (denn $\left(  u_{1}%
,u_{2},...,u_{\alpha}\right)  $ ist die aufsteigende Auflistung der Menge
$\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I$, und das Element $n$ ist
gr\"{o}\ss er als jedes der Elemente $u_{1}$, $u_{2}$, $...$, $u_{\alpha}$).
Folglich ist $\overrightarrow{b}_{\left(  \left\{  1,2,...,n-1\right\}
\diagdown I\right)  \cup\left\{  n\right\}  }=b_{u_{1}}b_{u_{2}}%
...b_{u_{\alpha}}b_{n}$. Das hei\ss t, $\overrightarrow{b}_{\left(  \left\{
1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I\right)  \cup\left\{  n\right\}
}=\underbrace{b_{u_{1}}b_{u_{2}}...b_{u_{\alpha}}}_{=\overrightarrow{b}%
_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I}}\cdot b_{n}=\overrightarrow{b}%
_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I}\cdot b_{n}$.}
\end{itemize}

Aus (2.63) wird nun%
\begin{align*}
&  \left(  a_{1}+b_{1}\right)  \left(  a_{2}+b_{2}\right)  ...\left(
a_{n}+b_{n}\right) \\
&  =\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,n-1\right\}  \right)
}\overrightarrow{a}_{I}\cdot\underbrace{\overrightarrow{b}_{\left\{
1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I}\cdot a_{n}}_{=a_{n}\cdot\overrightarrow{b}%
_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I}}+\sum\limits_{I\in\mathcal{P}%
\left(  \left\{  1,2,...,n-1\right\}  \right)  }\overrightarrow{a}_{I}%
\cdot\underbrace{\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown
I}\cdot b_{n}}_{=\overrightarrow{b}_{\left(  \left\{  1,2,...,n-1\right\}
\diagdown I\right)  \cup\left\{  n\right\}  }}\\
&  =\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,n-1\right\}  \right)
}\underbrace{\overrightarrow{a}_{I}\cdot a_{n}}_{=\overrightarrow{a}%
_{I\cup\left\{  n\right\}  }}\cdot\overrightarrow{b}_{\left\{
1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{
1,2,...,n-1\right\}  \right)  }\overrightarrow{a}_{I}\cdot
\underbrace{\overrightarrow{b}_{\left(  \left\{  1,2,...,n-1\right\}
\diagdown I\right)  \cup\left\{  n\right\}  }}_{\substack{=\overrightarrow{b}%
_{\left(  \left\{  1,2,...,n-1\right\}  \cup\left\{  n\right\}  \right)
\diagdown I}\\\text{(denn wegen }I\in\mathcal{P}\left(  \left\{
1,2,...,n-1\right\}  \right)  \\\text{ist }n\notin I\text{, also }%
I\cap\left\{  n\right\}  =\varnothing\text{, und somit}\\\left(  \left\{
1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I\right)  \cup\left\{  n\right\}  =\left(
\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \cup\left\{  n\right\}  \right)  \diagdown
I\text{)}}}\\
&  =\underbrace{\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{
1,2,...,n-1\right\}  \right)  }\overrightarrow{a}_{I\cup\left\{  n\right\}
}\cdot\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \diagdown I}%
}_{\substack{=\sum\limits_{I\in\mathcal{P}_{+n}\left(  \left\{
1,2,...,n\right\}  \right)  }\overrightarrow{a}_{I}\cdot\overrightarrow{b}%
_{\left\{  1,2,...,n\right\}  \diagdown I}\\\text{(nach (2.62))}}}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\underbrace{\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(
\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \right)  }}_{=\sum\limits_{\substack{I\in
\mathcal{P}_{-n}\left(  \left\{  1,2,...,n\right\}  \right)  \\\text{(weil
}\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,n-1\right\}  \right)  =\mathcal{P}%
_{-n}\left(  \left\{  1,2,...,n\right\}  \right)  \text{)}}}}%
\overrightarrow{a}_{I}\cdot\underbrace{\overrightarrow{b}_{\left(  \left\{
1,2,...,n-1\right\}  \cup\left\{  n\right\}  \right)  \diagdown I}%
}_{\substack{=\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,n\right\}  \diagdown
I}\\\text{(da }\left\{  1,2,...,n-1\right\}  \cup\left\{  n\right\}  =\left\{
1,2,...,n\right\}  \text{)}}}\\
&  =\sum\limits_{I\in\mathcal{P}_{+n}\left(  \left\{  1,2,...,n\right\}
\right)  }\overrightarrow{a}_{I}\cdot\overrightarrow{b}_{\left\{
1,2,...,n\right\}  \diagdown I}+\sum\limits_{I\in\mathcal{P}_{-n}\left(
\left\{  1,2,...,n\right\}  \right)  }\overrightarrow{a}_{I}\cdot
\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,n\right\}  \diagdown I}\\
&  =\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{  1,2,...,n\right\}  \right)
}\overrightarrow{a}_{I}\cdot\overrightarrow{b}_{\left\{  1,2,...,n\right\}
\diagdown I}%
\end{align*}
(nach (2.61)). Mit anderen Worten: Die Gleichung (2.60) gilt f\"{u}r $\nu=n$.
Damit ist der Induktionsschritt fertig, und die Gleichung (2.60) ist f\"{u}r
alle $\nu\in\left\{  0,1,...,k\right\}  $ bewiesen.

Somit k\"{o}nnen wir (2.60) auf $\nu=k$ anwenden, und erhalten%
\[
\left(  a_{1}+b_{1}\right)  \left(  a_{2}+b_{2}\right)  ...\left(  a_{k}%
+b_{k}\right)  =\sum\limits_{I\in\mathcal{P}\left(  \left\{
1,2,...,k\right\}  \right)  }\overrightarrow{a}_{I}\cdot\overrightarrow{b}%
_{\left\{  1,2,...,k\right\}  \diagdown I}.
\]


Vergleichen wir dies mit (2.59), bekommen wir%
\[
\left(  a_{1}+b_{1}\right)  \left(  a_{2}+b_{2}\right)  ...\left(  a_{k}%
+b_{k}\right)  =\sum_{i=0}^{k}\sum_{\substack{\sigma\in\operatorname*{Sh}%
\left(  i,k-i\right)  }}a_{\sigma\left(  1\right)  }a_{\sigma\left(  2\right)
}...a_{\sigma\left(  i\right)  }\cdot b_{\sigma\left(  i+1\right)  }%
b_{\sigma\left(  i+2\right)  }...b_{\sigma\left(  k\right)  }.
\]
Damit ist Lemma 2.51 bewiesen.

Jetzt noch ein weiteres Lemma:

\textbf{2.52. Lemma:} Seien $A$ und $B$ zwei $k$-Algebren, und sei
$\zeta:A\rightarrow B$ eine $k$-lineare Abbildung. Sei $M$ ein
Algebraerzeugendensystem der $k$-Algebra $A$. Angenommen, f\"{u}r jedes
$n\in\mathbb{N}$ und jede $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in M$ gilt%
\begin{equation}
\zeta\left(  v_{1}v_{2}...v_{n}\right)  =\zeta\left(  v_{1}\right)  \cdot
\zeta\left(  v_{2}\right)  \cdot...\cdot\zeta\left(  v_{n}\right)  .
\tag{2.70}%
\end{equation}
(Im Falle von $n=0$ bedeutet diese Gleichung, da\ss \ $\zeta\left(  1\right)
=1$ ist!) Dann ist $\zeta$ ein $k$-Algebrahomomorphismus.

\textit{Beweis von Lemma 2.52:} \textbf{a)} Erstmal ist $\zeta\left(
1\right)  =1$ (denn (2.70) (angewandt auf $n=0$) ergibt $\zeta\left(
\text{leeres Produkt}\right)  =\left(  \text{leeres Produkt}\right)  $, also
$\zeta\left(  1\right)  =1$ (weil das leere Produkt gleich $1$ ist)).

\textbf{b)} Da $M$ ein Algebraerzeugendensystem der $k$-Algebra $A$ ist, gilt
$A=\sum\limits_{\ell=0}^{\infty}M^{\ell}$, wobei $M^{\ell}$ den
Untervektorraum $\left\langle m_{1}m_{2}...m_{\ell}\ \mid\ m_{1}%
,m_{2},...,m_{\ell}\in M\right\rangle $ von $A$ bezeichnet.

F\"{u}r jedes $\ell\in\mathbb{N}$ sei $M_{\operatorname*{pure}}^{\ell}$ die
Teilmenge $\left\{  m_{1}m_{2}...m_{\ell}\ \mid\ m_{1},m_{2},...,m_{\ell}\in
M\right\}  $ von $A$. Dann ist%
\begin{align*}
M^{\ell}  &  =\left\langle m_{1}m_{2}...m_{\ell}\ \mid\ m_{1},m_{2}%
,...,m_{\ell}\in M\right\rangle \\
&  =\left\langle \underbrace{\left\{  m_{1}m_{2}...m_{\ell}\ \mid\ m_{1}%
,m_{2},...,m_{\ell}\in M\right\}  }_{=M_{\operatorname*{pure}}^{\ell}%
}\right\rangle =\left\langle M_{\operatorname*{pure}}^{\ell}\right\rangle
\end{align*}
f\"{u}r jedes $\ell\in\mathbb{N}$. Folglich ist%
\[
A=\sum\limits_{\ell=0}^{\infty}\underbrace{M^{\ell}}_{=\left\langle
M_{\operatorname*{pure}}^{\ell}\right\rangle }=\sum\limits_{\ell=0}^{\infty
}\left\langle M_{\operatorname*{pure}}^{\ell}\right\rangle =\left\langle
\bigcup\limits_{\ell=0}^{\infty}M_{\operatorname*{pure}}^{\ell}\right\rangle
\]
(denn sind $S_{0}$, $S_{1}$, $S_{2}$, $...$ irgendwelche Teilmengen eines
$k$-Vektorraums $W$, dann gilt immer $\sum\limits_{\ell=0}^{\infty
}\left\langle S_{\ell}\right\rangle =\left\langle \bigcup\limits_{\ell
=0}^{\infty}S_{\ell}\right\rangle $).

\textbf{c)} Wir werden jetzt zeigen, da\ss
\begin{equation}
\zeta\left(  ab\right)  =\zeta\left(  a\right)  \cdot\zeta\left(  b\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }a\in\bigcup\limits_{\ell=0}^{\infty
}M_{\operatorname*{pure}}^{\ell}\text{ und }b\in\bigcup\limits_{\ell
=0}^{\infty}M_{\operatorname*{pure}}^{\ell} \tag{2.71}%
\end{equation}
gilt.

\textit{Beweis von (2.71):} Seien $a\in\bigcup\limits_{\ell=0}^{\infty
}M_{\operatorname*{pure}}^{\ell}$ und $b\in\bigcup\limits_{\ell=0}^{\infty
}M_{\operatorname*{pure}}^{\ell}$ beliebig.

Wegen $a\in\bigcup\limits_{\ell=0}^{\infty}M_{\operatorname*{pure}}^{\ell}$
gibt es ein $\alpha\in\mathbb{N}$ mit $a\in M_{\operatorname*{pure}}^{\alpha}%
$. Betrachten wir dieses $\alpha$. Dann ist $a\in M_{\operatorname*{pure}%
}^{\alpha}=\left\{  m_{1}m_{2}...m_{\alpha}\ \mid\ m_{1},m_{2},...,m_{\alpha
}\in M\right\}  $ (nach Definition von $M_{\operatorname*{pure}}^{\alpha}$).
Das hei\ss t, es gibt Elemente $x_{1},x_{2},...,x_{\alpha}\in M$ mit
$a=x_{1}x_{2}...x_{\alpha}$. Betrachten wir diese $x_{1},x_{2},...,x_{\alpha}$.

Wegen $b\in\bigcup\limits_{\ell=0}^{\infty}M_{\operatorname*{pure}}^{\ell}$
gibt es ein $\beta\in\mathbb{N}$ mit $b\in M_{\operatorname*{pure}}^{\beta}$.
Betrachten wir dieses $\beta$. Dann ist $b\in M_{\operatorname*{pure}}^{\beta
}=\left\{  m_{1}m_{2}...m_{\beta}\ \mid\ m_{1},m_{2},...,m_{\beta}\in
M\right\}  $ (nach Definition von $M_{\operatorname*{pure}}^{\beta}$). Das
hei\ss t, es gibt Elemente $y_{1},y_{2},...,y_{\beta}\in M$ mit $b=y_{1}%
y_{2}...y_{\beta}$. Betrachten wir diese $y_{1},y_{2},...,y_{\beta}$.

F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,\alpha+\beta\right\}  $ definiere man ein
Element $z_{i}$ von $M$ durch $z_{i}=\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
x_{i}\text{, wenn }i\leq\alpha;\\
y_{i-\alpha}\text{, wenn }i>\alpha
\end{array}
\right.  $.

F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,\alpha\right\}  $ ist dann $z_{i}=\left\{
%
\begin{array}
[c]{c}%
x_{i}\text{, wenn }i\leq\alpha;\\
y_{i-\alpha}\text{, wenn }i>\alpha
\end{array}
\right.  =x_{i}$ (da $i\leq\alpha$). Das hei\ss t, die Gleichungen
$z_{1}=x_{1}$, $z_{2}=x_{2}$, $...$, $z_{\alpha}=x_{\alpha}$ gelten.
Multiplizieren wir diese Gleichungen miteinander, so erhalten wir $z_{1}%
z_{2}...z_{\alpha}=x_{1}x_{2}...x_{\alpha}$. Vergleichen wir dies mit
$a=x_{1}x_{2}...x_{\alpha}$, dann erhalten wir $z_{1}z_{2}...z_{\alpha}=a$.

F\"{u}r jedes $j\in\left\{  1,2,...,\beta\right\}  $ gilt ferner $z_{\alpha
+j}=y_{j}$\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Wir setzen $i=\alpha+j$. Dann
gilt $i\in\left\{  \alpha+1,\alpha+2,...,\alpha+\beta\right\}  $ und
$i>\alpha$, und somit ist $z_{i}=\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
x_{i}\text{, wenn }i\leq\alpha;\\
y_{i-\alpha}\text{, wenn }i>\alpha
\end{array}
\right.  =y_{i-\alpha}$ (da $i>\alpha$), also%
\begin{align*}
z_{\alpha+j}  &  =z_{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\alpha
+j=i\right) \\
&  =y_{i-\alpha}=y_{j}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }i=\alpha+j\text{
ergibt }i-\alpha=j\right)  .
\end{align*}
}. Das hei\ss t, die Gleichungen $z_{\alpha+1}=y_{1}$, $z_{\alpha+2}=y_{2}$,
$...$, $z_{\alpha+\beta}=y_{\beta}$ gelten. Multiplizieren wir diese
Gleichungen miteinander, so erhalten wir $z_{\alpha+1}z_{\alpha+2}%
...z_{\alpha+\beta}=y_{1}y_{2}...y_{\beta}$. Vergleichen wir dies mit
$b=y_{1}y_{2}...y_{\beta}$, dann bekommen wir $z_{\alpha+1}z_{\alpha
+2}...z_{\alpha+\beta}=b$.

Anwendung von (2.70) auf $n=\alpha$ und $\left(  v_{1},v_{2},...,v_{n}\right)
=\left(  z_{1},z_{2},...,z_{\alpha}\right)  $ ergibt $\zeta\left(  z_{1}%
z_{2}...z_{\alpha}\right)  =\zeta\left(  z_{1}\right)  \cdot\zeta\left(
z_{2}\right)  \cdot...\cdot\zeta\left(  z_{\alpha}\right)  $.

Anwendung von (2.70) auf $n=\beta$ und $\left(  v_{1},v_{2},...,v_{n}\right)
=\left(  z_{\alpha+1},z_{\alpha+2},...,z_{\alpha+\beta}\right)  $ ergibt
$\zeta\left(  z_{\alpha+1}z_{\alpha+2}...z_{\alpha+\beta}\right)
=\zeta\left(  z_{\alpha+1}\right)  \cdot\zeta\left(  z_{\alpha+2}\right)
\cdot...\cdot\zeta\left(  z_{\alpha+\beta}\right)  $.

Anwendung von (2.70) auf $n=\alpha+\beta$ und $\left(  v_{1},v_{2}%
,...,v_{n}\right)  =\left(  z_{1},z_{2},...,z_{\alpha+\beta}\right)  $ ergibt
$\zeta\left(  z_{1}z_{2}...z_{\alpha+\beta}\right)  =\zeta\left(
z_{1}\right)  \cdot\zeta\left(  z_{2}\right)  \cdot...\cdot\zeta\left(
z_{\alpha+\beta}\right)  $.

Wegen $a=z_{1}z_{2}...z_{\alpha}$ und $b=z_{\alpha+1}z_{\alpha+2}%
...z_{\alpha+\beta}$ ist nun $ab=\left(  z_{1}z_{2}...z_{\alpha}\right)
\left(  z_{\alpha+1}z_{\alpha+2}...z_{\alpha+\beta}\right)  =z_{1}%
z_{2}...z_{\alpha+\beta}$ und damit%
\begin{align*}
\zeta\left(  ab\right)   &  =\zeta\left(  z_{1}z_{2}...z_{\alpha+\beta
}\right)  =\zeta\left(  z_{1}\right)  \cdot\zeta\left(  z_{2}\right)
\cdot...\cdot\zeta\left(  z_{\alpha+\beta}\right) \\
&  =\underbrace{\left(  \zeta\left(  z_{1}\right)  \cdot\zeta\left(
z_{2}\right)  \cdot...\cdot\zeta\left(  z_{\alpha}\right)  \right)  }%
_{=\zeta\left(  z_{1}z_{2}...z_{\alpha}\right)  }\cdot\underbrace{\left(
\zeta\left(  z_{\alpha+1}\right)  \cdot\zeta\left(  z_{\alpha+2}\right)
\cdot...\cdot\zeta\left(  z_{\alpha+\beta}\right)  \right)  }_{=\zeta\left(
z_{\alpha+1}z_{\alpha+2}...z_{\alpha+\beta}\right)  }\\
&  =\zeta\left(  \underbrace{z_{1}z_{2}...z_{\alpha}}_{=a}\right)  \cdot
\zeta\left(  \underbrace{z_{\alpha+1}z_{\alpha+2}...z_{\alpha+\beta}}%
_{=b}\right)  =\zeta\left(  a\right)  \cdot\zeta\left(  b\right)  .
\end{align*}
Damit ist (2.71) bewiesen.

\textbf{d)} Wir werden nun zeigen, da\ss
\begin{equation}
\zeta\left(  ab\right)  =\zeta\left(  a\right)  \cdot\zeta\left(  b\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }a\in A\text{ und }b\in A \tag{2.72}%
\end{equation}
gilt.

\textit{Beweis von (2.72):} Seien $a\in A$ und $b\in A$ beliebig.

Wegen $a\in A=\left\langle \bigcup\limits_{\ell=0}^{\infty}%
M_{\operatorname*{pure}}^{\ell}\right\rangle $ ist $a$ eine $k$%
-Linearkombination von Elementen von $\bigcup\limits_{\ell=0}^{\infty
}M_{\operatorname*{pure}}^{\ell}$. Das hei\ss t, es gibt ein $\alpha
\in\mathbb{N}$ sowie Elemente $\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{\alpha}$
von $k$ und Elemente $a_{1},a_{2},...,a_{\alpha}$ von $\bigcup\limits_{\ell
=0}^{\infty}M_{\operatorname*{pure}}^{\ell}$, welche $a=\sum\limits_{i=1}%
^{\alpha}\lambda_{i}a_{i}$ erf\"{u}llen. Betrachten wir dieses $\alpha$, diese
Elemente $\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{\alpha}$ und diese Elemente
$a_{1},a_{2},...,a_{\alpha}$.

Wegen $b\in A=\left\langle \bigcup\limits_{\ell=0}^{\infty}%
M_{\operatorname*{pure}}^{\ell}\right\rangle $ ist $b$ eine $k$%
-Linearkombination von Elementen von $\bigcup\limits_{\ell=0}^{\infty
}M_{\operatorname*{pure}}^{\ell}$. Das hei\ss t, es gibt ein $\beta
\in\mathbb{N}$ sowie Elemente $\mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{\beta}$ von $k$ und
Elemente $b_{1},b_{2},...,b_{\beta}$ von $\bigcup\limits_{\ell=0}^{\infty
}M_{\operatorname*{pure}}^{\ell}$, welche $b=\sum\limits_{j=1}^{\beta}\mu
_{j}b_{j}$ erf\"{u}llen. Betrachten wir dieses $\beta$, diese Elemente
$\mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{\beta}$ und diese Elemente $b_{1},b_{2}%
,...,b_{\beta}$.

Aus $a=\sum\limits_{i=1}^{\alpha}\lambda_{i}a_{i}$ und $b=\sum\limits_{j=1}%
^{\beta}\mu_{j}b_{j}$ erhalten wir $ab=\sum\limits_{i=1}^{\alpha}\lambda
_{i}a_{i}\cdot\sum\limits_{j=1}^{\beta}\mu_{j}b_{j}=\sum\limits_{i=1}^{\alpha
}\sum\limits_{j=1}^{\beta}\lambda_{i}\mu_{j}a_{i}b_{j}$ und damit%
\begin{align*}
\zeta\left(  ab\right)   &  =\zeta\left(  \sum\limits_{i=1}^{\alpha}%
\sum\limits_{j=1}^{\beta}\lambda_{i}\mu_{j}a_{i}b_{j}\right)  =\sum
\limits_{i=1}^{\alpha}\sum\limits_{j=1}^{\beta}\lambda_{i}\mu_{j}%
\underbrace{\zeta\left(  a_{i}b_{j}\right)  }_{\substack{=\zeta\left(
a_{i}\right)  \cdot\zeta\left(  b_{j}\right)  \\\text{(nach (2.71) (angewandt
auf}\\a_{i}\text{ und }b_{j}\text{ statt }a\text{ bzw. }b\text{))}%
}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\zeta\text{ ist }k\text{-linear}%
\right) \\
&  =\sum\limits_{i=1}^{\alpha}\sum\limits_{j=1}^{\beta}\lambda_{i}\mu_{j}%
\zeta\left(  a_{i}\right)  \cdot\zeta\left(  b_{j}\right)  =\underbrace{\sum
\limits_{i=1}^{\alpha}\lambda_{i}\zeta\left(  a_{i}\right)  }%
_{\substack{=\zeta\left(  \sum\limits_{i=1}^{\alpha}\lambda_{i}a_{i}\right)
\\\text{(denn }\zeta\text{ ist }k\text{-linear)}}}\cdot\underbrace{\sum
\limits_{j=1}^{\beta}\mu_{j}\zeta\left(  b_{j}\right)  }_{\substack{=\zeta
\left(  \sum\limits_{j=1}^{\beta}\mu_{j}b_{j}\right)  \\\text{(denn }%
\zeta\text{ ist }k\text{-linear)}}}\\
&  =\zeta\left(  \underbrace{\sum\limits_{i=1}^{\alpha}\lambda_{i}a_{i}}%
_{=a}\right)  \cdot\zeta\left(  \underbrace{\sum\limits_{j=1}^{\beta}\mu
_{j}b_{j}}_{=b}\right)  =\zeta\left(  a\right)  \cdot\zeta\left(  b\right)  .
\end{align*}
Damit ist (2.72) bewiesen.

\textbf{e)} Aus $\zeta\left(  1\right)  =1$ und (2.72) folgt, da\ss \ $\zeta$
ein $k$-Algebrahomomorphismus ist. Damit ist Lemma 2.52 gezeigt.

\textit{Beweis von Beispiel 2.50:} \textbf{a)} Wir betrachten im Folgenden $V$
als Untervektorraum von $T^{\otimes}V$ (verm\"{o}ge der Inklusion
$V=V^{\otimes1}\subseteq V^{\otimes0}\oplus V^{\otimes1}\oplus V^{\otimes
2}\oplus...=TV=T^{\otimes}V$). Somit wird jedes Element von $V$ auch als ein
Element von $T^{\otimes}V$ angesehen. Dies ist manchmal (aber nicht immer!)
n\"{u}tzlich. Konkret legen wir folgendes fest:

\begin{itemize}
\item Wenn wir von dem Produkt mehrerer Elemente von $V$ sprechen, dann
betrachten wir diese Elemente als Elemente der $k$-Algebra $T^{\otimes}V$
(denn sonst w\"{a}re das Produkt nicht definiert). Das hei\ss t: Ist $\tau
\in\mathbb{N}$ und sind $v_{1},v_{2},...,v_{\tau}$ Elemente von $V$, dann
verstehen wir unter $v_{1}v_{2}...v_{\tau}$ das Produkt der Elemente
$v_{1},v_{2},...,v_{\tau}$, das man erh\"{a}lt, wenn man sie als Elemente der
$k$-Algebra $T^{\otimes}V$ betrachtet.

\item Wenn wir aber vom \textit{Tensorprodukt} mehrerer Elemente von $V$
sprechen, dann betrachten wir diese Elemente als Elemente des Vektorraums $V$
und \textit{nicht} als Elemente der $k$-Algebra $T^{\otimes}V$. Das hei\ss t:
Ist $\tau\in\mathbb{N}$ und sind $v_{1},v_{2},...,v_{\tau}$ Elemente von $V$,
dann verstehen wir unter $v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{\tau}$ das
Tensorprodukt der Elemente $v_{1},v_{2},...,v_{\tau}$, das man erh\"{a}lt,
wenn man sie als Elemente des Vektorraums $V$ (und nicht der $k$-Algebra
$T^{\otimes}V$) betrachtet. Dieses Tensorprodukt $v_{1}\otimes v_{2}%
\otimes...\otimes v_{\tau}$ ist dann ein Element der Tensorpotenz
$V^{\otimes\tau}$, die wiederum ein Summand der direkten Summe $V^{\otimes
0}\oplus V^{\otimes1}\oplus V^{\otimes2}\oplus...=TV=T^{\otimes}V$ ist.
\end{itemize}

\textbf{b)} F\"{u}r jedes $\tau\in\mathbb{N}$ und beliebige Elemente
$v_{1},v_{2},...,v_{\tau}$ von $V$ gilt $v_{1}v_{2}...v_{\tau}=v_{1}\otimes
v_{2}\otimes...\otimes v_{\tau}$. (Hierbei sind die Terme $v_{1}%
v_{2}...v_{\tau}$ und $v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{\tau}$
gem\"{a}\ss \ der Festlegungen in Punkt \textbf{a)} zu verstehen.)

\textit{Beweis:} Dies folgt nach Induktion \"{u}ber $\tau$ aus der Definition
der Multiplikation auf der $k$-Algebra $T^{\otimes}V$.

\textbf{c)} Nun wollen wir zeigen: F\"{u}r jedes $v\in V$ ist $\Delta^{\prime
}\left(  v\right)  =v\otimes1+1\otimes v$. Hierbei wird $v$ als Element von
$TV$ betrachtet (gem\"{a}\ss \ Punkt \textbf{a)).}

\textit{Beweis:} Sei $v_{1}=v$. Nach (2.8) (angewandt auf $n=1$) ist dann%
\begin{align*}
\Delta^{\prime}\left(  v_{1}\right)   &  =\sum_{i=0}^{1}\sum_{\sigma
\in\operatorname*{Sh}\left(  i,n-i\right)  }\left(  v_{\sigma\left(  1\right)
}\otimes v_{\sigma\left(  2\right)  }\otimes...\otimes v_{\sigma\left(
i\right)  }\right)  \otimes\left(  v_{\sigma\left(  i+1\right)  }\otimes
v_{\sigma\left(  i+2\right)  }\otimes...\otimes v_{\sigma\left(  1\right)
}\right) \\
&  =\sum_{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(  0,1\right)  }\underbrace{\left(
v_{\sigma\left(  1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(  2\right)  }%
\otimes...\otimes v_{\sigma\left(  0\right)  }\right)  }_{=\left(
\text{leeres Produkt}\right)  =1}\otimes\underbrace{\left(  v_{\sigma\left(
1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(  2\right)  }\otimes...\otimes
v_{\sigma\left(  1\right)  }\right)  }_{=v_{\sigma\left(  1\right)  }}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\sum_{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(  1,0\right)
}\underbrace{\left(  v_{\sigma\left(  1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(
2\right)  }\otimes...\otimes v_{\sigma\left(  1\right)  }\right)
}_{=v_{\sigma\left(  1\right)  }}\otimes\underbrace{\left(  v_{\sigma\left(
2\right)  }\otimes v_{\sigma\left(  3\right)  }\otimes...\otimes
v_{\sigma\left(  1\right)  }\right)  }_{=\left(  \text{leeres Produkt}\right)
=1}\\
&  =\underbrace{\sum_{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(  0,1\right)  }1\otimes
v_{\sigma\left(  1\right)  }}_{\substack{=1\otimes v_{\operatorname*{id}%
\left(  1\right)  }\\\text{(denn die Menge }\operatorname*{Sh}\left(
0,1\right)  \\\text{enth\"{a}lt nur ein Element, n\"{a}mlich }%
\operatorname*{id}\text{)}}}+\underbrace{\sum_{\sigma\in\operatorname*{Sh}%
\left(  1,0\right)  }v_{\sigma\left(  1\right)  }\otimes1}%
_{\substack{=v_{\operatorname*{id}\left(  1\right)  }\otimes1\\\text{(denn die
Menge }\operatorname*{Sh}\left(  1,0\right)  \\\text{enth\"{a}lt nur ein
Element, n\"{a}mlich }\operatorname*{id}\text{)}}}\\
&  =1\otimes\underbrace{v_{\operatorname*{id}\left(  1\right)  }}_{=v_{1}%
=v}+\underbrace{v_{\operatorname*{id}\left(  1\right)  }}_{=v_{1}=v}%
\otimes1=1\otimes v+v\otimes1=v\otimes1+1\otimes v.
\end{align*}
Wegen $v_{1}=v$ wird dies zu $\Delta^{\prime}\left(  v\right)  =v\otimes
1+1\otimes v$, was zu beweisen war.

\textbf{d)} Nun wollen wir zeigen: F\"{u}r jedes $n\in\mathbb{N}$ und jede
$v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$ gilt%
\[
\Delta^{\prime}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)
=\Delta^{\prime}\left(  v_{1}\right)  \cdot\Delta^{\prime}\left(
v_{2}\right)  \cdot...\cdot\Delta^{\prime}\left(  v_{n}\right)  .
\]
Hierbei ist die Multiplikation auf der rechten Seite als die Multiplikation in
der Algebra $\left(  T^{\otimes}V\right)  \otimes\left(  T^{\otimes}V\right)
$ zu lesen.

\textit{Beweis:} F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ definiere
man zwei Elemente $a_{i}$ und $b_{i}$ von $\left(  T^{\otimes}V\right)
\otimes\left(  T^{\otimes}V\right)  $ durch $a_{i}=v_{i}\otimes1$ und
$b_{i}=1\otimes v_{i}$. Dann gilt $a_{i}b_{j}=b_{j}a_{i}$ f\"{u}r alle
$i,j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ (denn $\underbrace{a_{i}}_{=v_{i}%
\otimes1}\underbrace{b_{j}}_{=1\otimes v_{j}}=\left(  v_{i}\otimes1\right)
\left(  1\otimes v_{j}\right)  =v_{i}\otimes v_{j}=\underbrace{\left(
1\otimes v_{j}\right)  }_{=b_{j}}\underbrace{\left(  v_{i}\otimes1\right)
}_{=a_{i}}=b_{j}a_{i}$). Laut Lemma 2.51 (angewandt auf $A=\left(  T^{\otimes
}V\right)  \otimes\left(  T^{\otimes}V\right)  $ und $k=n$) gilt also%
\[
\left(  a_{1}+b_{1}\right)  \left(  a_{2}+b_{2}\right)  ...\left(  a_{n}%
+b_{n}\right)  =\sum_{i=0}^{n}\sum_{\substack{\sigma\in\operatorname*{Sh}%
\left(  i,n-i\right)  }}a_{\sigma\left(  1\right)  }a_{\sigma\left(  2\right)
}...a_{\sigma\left(  i\right)  }\cdot b_{\sigma\left(  i+1\right)  }%
b_{\sigma\left(  i+2\right)  }...b_{\sigma\left(  n\right)  }.
\]


Doch f\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ gilt%
\[
\underbrace{a_{i}}_{=v_{i}\otimes1}+\underbrace{b_{i}}_{=1\otimes v_{i}}%
=v_{i}\otimes1+1\otimes v_{i}=\Delta^{\prime}\left(  v_{i}\right)
\]
(denn \textbf{c)} (angewandt auf $v=v_{i}$) ergibt $\Delta^{\prime}\left(
v_{i}\right)  =v_{i}\otimes1+1\otimes v_{i}$). Das hei\ss t, es gelten die
Gleichungen $a_{1}+b_{1}=\Delta^{\prime}\left(  v_{1}\right)  $, $a_{2}%
+b_{2}=\Delta^{\prime}\left(  v_{2}\right)  $, $...$, $a_{n}+b_{n}%
=\Delta^{\prime}\left(  v_{n}\right)  $. Multiplizieren wir diese Gleichungen
miteinander, so erhalten wir%
\[
\left(  a_{1}+b_{1}\right)  \left(  a_{2}+b_{2}\right)  ...\left(  a_{n}%
+b_{n}\right)  =\Delta^{\prime}\left(  v_{1}\right)  \cdot\Delta^{\prime
}\left(  v_{2}\right)  \cdot...\cdot\Delta^{\prime}\left(  v_{n}\right)  .
\]


Nun ist $a_{\sigma\left(  1\right)  }a_{\sigma\left(  2\right)  }%
...a_{\sigma\left(  i\right)  }=\left(  v_{\sigma\left(  1\right)  }%
v_{\sigma\left(  2\right)  }...v_{\sigma\left(  i\right)  }\right)  \otimes1$
f\"{u}r jedes $i\in\left\{  0,1,...,n\right\}  $%
.\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Sei $i\in\left\{  0,1,...,n\right\}  $
beliebig. Dann gelten die Gleichungen $a_{\sigma\left(  1\right)  }%
=v_{\sigma\left(  1\right)  }\otimes1$, $a_{\sigma\left(  2\right)
}=v_{\sigma\left(  2\right)  }\otimes1$, $...$, $a_{\sigma\left(  i\right)
}=v_{\sigma\left(  i\right)  }\otimes1$. Multiplizieren wir diese Gleichungen
miteinander, dann ergibt sich%
\[
a_{\sigma\left(  1\right)  }a_{\sigma\left(  2\right)  }...a_{\sigma\left(
i\right)  }=\left(  v_{\sigma\left(  1\right)  }\otimes1\right)  \left(
v_{\sigma\left(  2\right)  }\otimes1\right)  ...\left(  v_{\sigma\left(
i\right)  }\otimes1\right)  =\left(  v_{\sigma\left(  1\right)  }%
v_{\sigma\left(  2\right)  }...v_{\sigma\left(  i\right)  }\right)  \otimes1.
\]
}

Ferner ist $b_{\sigma\left(  i+1\right)  }b_{\sigma\left(  i+2\right)
}...b_{\sigma\left(  n\right)  }=1\otimes\left(  v_{\sigma\left(  i+1\right)
}v_{\sigma\left(  i+2\right)  }...v_{\sigma\left(  n\right)  }\right)  $
f\"{u}r jedes $i\in\left\{  0,1,...,n\right\}  $%
.\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Sei $i\in\left\{  0,1,...,n\right\}  $
beliebig. Dann gelten die Gleichungen $b_{\sigma\left(  i+1\right)  }=1\otimes
v_{\sigma\left(  i+1\right)  }$, $b_{\sigma\left(  i+2\right)  }=1\otimes
v_{\sigma\left(  i+2\right)  }$, $...$, $b_{\sigma\left(  n\right)  }=1\otimes
v_{\sigma\left(  n\right)  }$. Multiplizieren wir diese Gleichungen
miteinander, dann ergibt sich%
\[
b_{\sigma\left(  i+1\right)  }b_{\sigma\left(  i+2\right)  }...b_{\sigma
\left(  n\right)  }=\left(  1\otimes v_{\sigma\left(  i+1\right)  }\right)
\left(  1\otimes v_{\sigma\left(  i+2\right)  }\right)  ...\left(  1\otimes
v_{\sigma\left(  n\right)  }\right)  =1\otimes\left(  v_{\sigma\left(
i+1\right)  }v_{\sigma\left(  i+2\right)  }...v_{\sigma\left(  n\right)
}\right)  .
\]
}

Nun ist%
\begin{align*}
&  \Delta^{\prime}\left(  v_{1}\right)  \cdot\Delta^{\prime}\left(
v_{2}\right)  \cdot...\cdot\Delta^{\prime}\left(  v_{n}\right) \\
&  =\left(  a_{1}+b_{1}\right)  \left(  a_{2}+b_{2}\right)  ...\left(
a_{n}+b_{n}\right) \\
&  =\sum_{i=0}^{n}\sum_{\substack{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(
i,n-i\right)  }}\underbrace{a_{\sigma\left(  1\right)  }a_{\sigma\left(
2\right)  }...a_{\sigma\left(  i\right)  }}_{=\left(  v_{\sigma\left(
1\right)  }v_{\sigma\left(  2\right)  }...v_{\sigma\left(  i\right)  }\right)
\otimes1}\cdot\underbrace{b_{\sigma\left(  i+1\right)  }b_{\sigma\left(
i+2\right)  }...b_{\sigma\left(  n\right)  }}_{=1\otimes\left(  v_{\sigma
\left(  i+1\right)  }v_{\sigma\left(  i+2\right)  }...v_{\sigma\left(
n\right)  }\right)  }\\
&  =\sum_{i=0}^{n}\sum_{\substack{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(
i,n-i\right)  }}\underbrace{\left(  \left(  v_{\sigma\left(  1\right)
}v_{\sigma\left(  2\right)  }...v_{\sigma\left(  i\right)  }\right)
\otimes1\right)  \cdot\left(  1\otimes\left(  v_{\sigma\left(  i+1\right)
}v_{\sigma\left(  i+2\right)  }...v_{\sigma\left(  n\right)  }\right)
\right)  }_{=\left(  v_{\sigma\left(  1\right)  }v_{\sigma\left(  2\right)
}...v_{\sigma\left(  i\right)  }\right)  \otimes\left(  v_{\sigma\left(
i+1\right)  }v_{\sigma\left(  i+2\right)  }...v_{\sigma\left(  n\right)
}\right)  }\\
&  =\sum_{i=0}^{n}\sum_{\substack{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(
i,n-i\right)  }}\underbrace{\left(  v_{\sigma\left(  1\right)  }%
v_{\sigma\left(  2\right)  }...v_{\sigma\left(  i\right)  }\right)
}_{\substack{=v_{\sigma\left(  1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(  2\right)
}\otimes...\otimes v_{\sigma\left(  i\right)  }\\\text{(nach \textbf{b)})}%
}}\otimes\underbrace{\left(  v_{\sigma\left(  i+1\right)  }v_{\sigma\left(
i+2\right)  }...v_{\sigma\left(  n\right)  }\right)  }_{\substack{=v_{\sigma
\left(  i+1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(  i+2\right)  }\otimes...\otimes
v_{\sigma\left(  n\right)  }\\\text{(nach \textbf{b)})}}}\\
&  =\sum_{i=0}^{n}\sum_{\substack{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(
i,n-i\right)  }}\left(  v_{\sigma\left(  1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(
2\right)  }\otimes...\otimes v_{\sigma\left(  i\right)  }\right)
\otimes\left(  v_{\sigma\left(  i+1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(
i+2\right)  }\otimes...\otimes v_{\sigma\left(  n\right)  }\right) \\
&  =\Delta^{\prime}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)
\end{align*}
(nach (2.8)), was zu beweisen war.

\textbf{e)} F\"{u}r jedes $n\in\mathbb{N}$ sei $V_{\operatorname*{pure}%
}^{\otimes n}$ die Teilmenge von $V^{\otimes n}$, die aus allen reinen
$n$-Tensoren (also allen Tensoren der Form $v_{1}\otimes v_{2}\otimes
...\otimes v_{n}$ f\"{u}r irgendwelche $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$) in
$V^{\otimes n}$ besteht. Dann ist $V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}$ ein
Erzeugendensystem des $k$-Vektorraums $V^{\otimes n}$ (weil die $n$-fache
Tensorpotenz $V^{\otimes n}$ bekanntlich von den reinen $n$-Tensoren erzeugt
ist). Da dies f\"{u}r alle $n\in\mathbb{N}$ gilt, ist also $\bigcup
\limits_{n\in\mathbb{N}}V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}$ ein
Erzeugendensystem des $k$-Vektorraums $\bigoplus\limits_{n\in\mathbb{N}%
}V^{\otimes n}=V^{\otimes0}\oplus V^{\otimes1}\oplus V^{\otimes2}%
\oplus...=TV=T^{\otimes}V$ (denn um ein Erzeugendensystem der direkten Summe
mehrerer Vektorr\"{a}ume zu finden, reicht es aus, die Vereinigung von
Erzeugendensystemen dieser Vektorr\"{a}ume zu nehmen).

\textbf{f)} Die Teilmenge $V$ von $T^{\otimes}V$ ist ein
Algebraerzeugendensystem der $k$-Algebra $T^{\otimes}V$.

\textit{Beweis:} Sei $a\in T^{\otimes}V$ beliebig. Dann ist $a\in T^{\otimes
}V=\left\langle \bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}V_{\operatorname*{pure}%
}^{\otimes n}\right\rangle $ (denn nach \textbf{e)} ist $\bigcup
\limits_{n\in\mathbb{N}}V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}$ ein
Erzeugendensystem des $k$-Vektorraums $T^{\otimes}V$). Folglich gibt es ein
$\kappa\in\mathbb{N}$ sowie Elemente $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha
_{\kappa}$ von $k$ und Elemente $p_{1},p_{2},...,p_{\kappa}$ von
$\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}$, die
$a=\sum\limits_{i=1}^{\kappa}\alpha_{i}p_{i}$ erf\"{u}llen. Betrachten wir
dieses $\kappa$ und diese Elemente $\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{\kappa}$
und $p_{1},p_{2},...,p_{\kappa}$.

F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,\kappa\right\}  $ ist $p_{i}$ ein Produkt
von Elementen von $V$ (wobei wir Elemente von $V$ als Elemente von
$T^{\otimes}V$ betrachten (gem\"{a}\ss \ Punkt \textbf{a)}%
)).\footnote{\textit{Beweis:} Sei $i\in\left\{  1,2,...,\kappa\right\}  $
beliebig. Dann existiert ein $\tau\in\mathbb{N}$ mit $p_{i}\in
V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes\tau}$ (denn $p_{i}\in\bigcup\limits_{n\in
\mathbb{N}}V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}$). Betrachten wir dieses
$\tau$. Wegen $p_{i}\in V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes\tau}$ ist $p_{i}$
ein reiner $\tau$-Tensor in $V^{\otimes\tau}$. Das hei\ss t, es gibt Elemente
$v_{1},v_{2},...,v_{\tau}$ von $V$ mit $p_{i}=v_{1}\otimes v_{2}%
\otimes...\otimes v_{\tau}$. Betrachten wir diese Elemente $v_{1}%
,v_{2},...,v_{\tau}$. Nach \textbf{b)} ist $v_{1}\otimes v_{2}\otimes
...\otimes v_{\tau}=v_{1}v_{2}...v_{\tau}$, und damit $p_{i}=v_{1}\otimes
v_{2}\otimes...\otimes v_{\tau}=v_{1}v_{2}...v_{\tau}$. Somit ist $p_{i}$ ein
Produkt von Elementen von $V$ (denn $v_{1},v_{2},...,v_{\tau}$ sind Elemente
von $V$), was zu beweisen war.} Da $a$ eine $k$-Linearkombination der Elemente
$p_{i}$ ist (denn $a=\sum\limits_{i=1}^{\kappa}\alpha_{i}p_{i}$), ist also $a$
eine $k$-Linearkombination von Produkten von Elementen von $V$.

Da dies f\"{u}r alle $a\in T^{\otimes}V$ gilt, ist also gezeigt, da\ss \ jedes
Element von $T^{\otimes}V$ eine $k$-Linearkombination von Produkten von
Elementen von $V$ ist. Folglich ist die Teilmenge $V$ von $T^{\otimes}V$ ein
Algebraerzeugendensystem der $k$-Algebra $T^{\otimes}V$, was zu beweisen war.

\textbf{g)} F\"{u}r alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$ gilt
\[
\Delta^{\prime}\left(  \underbrace{v_{1}v_{2}...v_{n}}_{\substack{=v_{1}%
\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\\\text{(nach \textbf{b)})}}}\right)
=\Delta^{\prime}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)
=\Delta^{\prime}\left(  v_{1}\right)  \cdot\Delta^{\prime}\left(
v_{2}\right)  \cdot...\cdot\Delta^{\prime}\left(  v_{n}\right)
\]
(nach \textbf{d)}). Nach Lemma 2.52 (angewandt auf $\Delta^{\prime}$,
$T^{\otimes}V$, $\left(  T^{\otimes}V\right)  \otimes\left(  T^{\otimes
}V\right)  $ und $V$ statt $\zeta$, $A$, $B$ bzw. $M$) folgt hieraus,
da\ss \ $\Delta^{\prime}$ ein $k$-Algebrahomomorphismus ist (denn nach
\textbf{f)} ist $V$ ein Algebraerzeugendensystem der $k$-Algebra $T^{\otimes
}V$).

\textbf{h)} F\"{u}r alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$ gilt%
\[
\varepsilon\left(  v_{1}v_{2}...v_{n}\right)  =\varepsilon\left(
v_{1}\right)  \cdot\varepsilon\left(  v_{2}\right)  \cdot...\cdot
\varepsilon\left(  v_{n}\right)  .
\]
\footnote{\textit{Beweis:} Seien $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$ beliebig.
F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ gilt dann $\varepsilon\left(
v_{i}\right)  =0$ (denn (2.9) ergibt $\varepsilon\left(  v_{i}\right)
=\delta_{1,0}=0$). Das hei\ss t, die Gleichungen $\varepsilon\left(
v_{1}\right)  =0$, $\varepsilon\left(  v_{2}\right)  =0$, $...$,
$\varepsilon\left(  v_{n}\right)  =0$ gelten. Multiplizieren wir diese
Gleichungen miteinander, dann erhalten wir $\varepsilon\left(  v_{1}\right)
\cdot\varepsilon\left(  v_{2}\right)  \cdot...\cdot\varepsilon\left(
v_{n}\right)  =\underbrace{0\cdot0\cdot...\cdot0}_{n\text{ mal}}=\delta_{n,0}%
$. Andererseits ist%
\begin{align*}
\varepsilon\left(  \underbrace{v_{1}v_{2}...v_{n}}_{\substack{=v_{1}\otimes
v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\\\text{(nach \textbf{b)})}}}\right)   &
=\varepsilon\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)
=\delta_{n,0}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach (2.9)}\right) \\
&  =\varepsilon\left(  v_{1}\right)  \cdot\varepsilon\left(  v_{2}\right)
\cdot...\cdot\varepsilon\left(  v_{n}\right)  .
\end{align*}
} Nach Lemma 2.52 (angewandt auf $\varepsilon$, $T^{\otimes}V$, $k$ und $V$
statt $\zeta$, $A$, $B$ bzw. $M$) folgt hieraus, da\ss \ $\varepsilon$ ein
$k$-Algebrahomomorphismus ist (denn nach \textbf{f)} ist $V$ ein
Algebraerzeugendensystem der $k$-Algebra $T^{\otimes}V$).

\textbf{i)} Wir wissen, da\ss \ $T^{\otimes}V=\left(  TV,\mu,\eta\right)  $
eine $k$-Algebra ist. Wir wissen ferner, da\ss \ $\left(  TV,\Delta^{\prime
},\varepsilon\right)  $ eine $k$-Coalgebra ist (laut Beispiel 2.1.
\textbf{7)}). Da wir ferner wissen, da\ss \ $\Delta^{\prime}$ und
$\varepsilon$ zwei $k$-Algebrahomomorphismen sind (laut \textbf{g)} und
\textbf{h)}), folgt hieraus, da\ss \ $\left(  TV,\mu,\eta,\Delta^{\prime
},\varepsilon\right)  $ eine $k$-Bialgebra ist.

\textbf{j)} Bezeichnen wir fortan mit $T^{\otimes}V$ die $k$-Bialgebra
$\left(  TV,\mu,\eta,\Delta^{\prime},\varepsilon\right)  $.

Bekanntlich ist $\left(  T^{\otimes}V,\left(  V^{\otimes n}\right)  _{n\geq
0}\right)  =\left(  \left(  TV,\mu,\eta\right)  ,\left(  V^{\otimes n}\right)
_{n\geq0}\right)  $ eine graduierte $k$-Algebra.

\textbf{k)} Wir werden nun zeigen, da\ss \ $\left(  T^{\otimes}V,\left(
V^{\otimes n}\right)  _{n\geq0}\right)  =\left(  \left(  TV,\Delta^{\prime
},\varepsilon\right)  ,\left(  V^{\otimes n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ eine
graduierte $k$-Coalgebra ist. (Dies haben wir bereits in Beispiel 2.40.
\textbf{2)} behauptet, dort aber nicht bewiesen.)

\textit{Beweis:} Wir m\"{u}ssen zeigen, da\ss \ $\left(  \left(
TV,\Delta^{\prime},\varepsilon\right)  ,\left(  V^{\otimes n}\right)
_{n\geq0}\right)  $ eine graduierte $k$-Coalgebra ist. Dazu m\"{u}ssen wir
nachweisen, da\ss \ $\Delta^{\prime}\left(  V^{\otimes n}\right)
\subseteq\sum\limits_{\ell=0}^{n}V^{\otimes\ell}\otimes V^{\otimes\left(
n-\ell\right)  }$ f\"{u}r alle $n\geq0$ ist, und da\ss \ $\varepsilon\left(
V^{\otimes n}\right)  =0$ f\"{u}r alle $n\geq1$ ist.

Sei $n\in\mathbb{N}$ beliebig.

Wir betrachten $V^{\otimes n}$ als Untervektorraum von $TV$ (verm\"{o}ge der
Inklusion $V^{\otimes n}\subseteq V^{\otimes0}\oplus V^{\otimes1}\oplus
V^{\otimes2}\oplus...=TV$). Es gilt $V^{\otimes n}=\left\langle
V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}\right\rangle $ (denn
$V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}$ ist ein Erzeugendensystem des
$k$-Vektorraums $V^{\otimes n}$). Da $\Delta^{\prime}$ eine $k$-lineare
Abbildung ist, gilt $\Delta^{\prime}\left(  \left\langle
V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}\right\rangle \right)  =\left\langle
\Delta^{\prime}\left(  V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}\right)
\right\rangle $.

Wir wollen nun zeigen, da\ss \
\begin{equation}
x\in\sum\limits_{\ell=0}^{n}V^{\otimes\ell}\otimes V^{\otimes\left(
n-\ell\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }x\in\Delta^{\prime
}\left(  V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}\right)  \tag{2.75}%
\end{equation}
gilt.

\textit{Beweis von (2.75):} In der Tat sei $x\in\Delta^{\prime}\left(
V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}\right)  $ beliebig. Dann gibt es ein
$\xi\in V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}$ mit $x=\Delta^{\prime}\left(
\xi\right)  $. Betrachte dieses $\xi$. Wegen $\xi\in V_{\operatorname*{pure}%
}^{\otimes n}$ ist $\xi$ ein reiner $n$-Tensor. Das hei\ss t, es gibt Elemente
$v_{1},v_{2},...,v_{n}$ von $V$ mit $\xi=v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes
v_{n}$. Betrachte diese Elemente $v_{1},v_{2},...,v_{n}$. Nun ist%
\begin{align*}
&  x=\Delta^{\prime}\left(  \underbrace{\xi}_{=v_{1}\otimes v_{2}%
\otimes...\otimes v_{n}}\right)  =\Delta^{\prime}\left(  v_{1}\otimes
v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right) \\
&  =\sum_{i=0}^{n}\sum_{\substack{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(
i,n-i\right)  }}\underbrace{\left(  v_{\sigma\left(  1\right)  }\otimes
v_{\sigma\left(  2\right)  }\otimes...\otimes v_{\sigma\left(  i\right)
}\right)  }_{\in V^{\otimes i}}\otimes\underbrace{\left(  v_{\sigma\left(
i+1\right)  }\otimes v_{\sigma\left(  i+2\right)  }\otimes...\otimes
v_{\sigma\left(  n\right)  }\right)  }_{\in V^{\otimes\left(  n-i\right)  }}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach (2.8)}\right) \\
&  \in\sum_{i=0}^{n}\underbrace{\sum_{\substack{\sigma\in\operatorname*{Sh}%
\left(  i,n-i\right)  }}V^{\otimes i}\otimes V^{\otimes\left(  n-i\right)  }%
}_{\substack{\subseteq V^{\otimes i}\otimes V^{\otimes\left(  n-i\right)
}\\\text{(denn }V^{\otimes i}\otimes V^{\otimes\left(  n-i\right)  }\text{ ist
ein Vektorraum)}}}\subseteq\sum_{i=0}^{n}V^{\otimes i}\otimes V^{\otimes
\left(  n-i\right)  }=\sum\limits_{\ell=0}^{n}V^{\otimes\ell}\otimes
V^{\otimes\left(  n-\ell\right)  }%
\end{align*}
(hier haben wir den Summationsindex $i$ in $\ell$ umbenannt). Wir haben damit
(2.75) bewiesen.

Aus (2.75) folgt $\Delta^{\prime}\left(  V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes
n}\right)  \subseteq\sum\limits_{\ell=0}^{n}V^{\otimes\ell}\otimes
V^{\otimes\left(  n-\ell\right)  }$. Nun ist%
\begin{align*}
\Delta^{\prime}\left(  \underbrace{V^{\otimes n}}_{=\left\langle
V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}\right\rangle }\right)   &  =\Delta
^{\prime}\left(  \left\langle V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}%
\right\rangle \right)  =\left\langle \underbrace{\Delta^{\prime}\left(
V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}\right)  }_{\subseteq\sum\limits_{\ell
=0}^{n}V^{\otimes\ell}\otimes V^{\otimes\left(  n-\ell\right)  }}\right\rangle
\subseteq\left\langle \sum\limits_{\ell=0}^{n}V^{\otimes\ell}\otimes
V^{\otimes\left(  n-\ell\right)  }\right\rangle \\
&  \subseteq\sum\limits_{\ell=0}^{n}V^{\otimes\ell}\otimes V^{\otimes\left(
n-\ell\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\sum\limits_{\ell
=0}^{n}V^{\otimes\ell}\otimes V^{\otimes\left(  n-\ell\right)  }\text{ ist ein
Vektorraum}\right)  .
\end{align*}


Wir haben damit gezeigt, da\ss \ $\Delta^{\prime}\left(  V^{\otimes n}\right)
\subseteq\sum\limits_{\ell=0}^{n}V^{\otimes\ell}\otimes V^{\otimes\left(
n-\ell\right)  }$ f\"{u}r alle $n\geq0$ ist.

Jetzt werden wir zeigen, da\ss \ $\varepsilon\left(  V^{\otimes n}\right)  =0$
f\"{u}r alle $n\geq1$ ist. Dazu sei $n\in\mathbb{N}$ mit $n\geq1$ beliebig.

Wieder betrachten wir $V^{\otimes n}$ als Untervektorraum von $TV$. Wieder
gilt $V^{\otimes n}=\left\langle V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes
n}\right\rangle $. Da $\varepsilon$ eine $k$-lineare Abbildung ist, gilt
$\varepsilon\left(  \left\langle V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes
n}\right\rangle \right)  =\left\langle \varepsilon\left(
V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}\right)  \right\rangle $.

Wir wollen nun zeigen, da\ss \
\begin{equation}
x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }x\in\varepsilon\left(
V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}\right)  \tag{2.76}%
\end{equation}
gilt.

\textit{Beweis von (2.76):} In der Tat sei $x\in\varepsilon\left(
V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}\right)  $ beliebig. Dann gibt es ein
$\xi\in V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}$ mit $x=\varepsilon\left(
\xi\right)  $. Betrachte dieses $\xi$. Wegen $\xi\in V_{\operatorname*{pure}%
}^{\otimes n}$ ist $\xi$ ein reiner $n$-Tensor. Das hei\ss t, es gibt Elemente
$v_{1},v_{2},...,v_{n}$ von $V$ mit $\xi=v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes
v_{n}$. Betrachte diese Elemente $v_{1},v_{2},...,v_{n}$. Nun ist%
\begin{align*}
&  x=\varepsilon\left(  \underbrace{\xi}_{=v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes
v_{n}}\right)  =\varepsilon\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes
v_{n}\right)  =\delta_{n,0}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach
(2.9)}\right) \\
&  =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }n\geq1\text{ ergibt }%
n\neq0\right)  .
\end{align*}
Damit ist (2.76) bewiesen.

Aus (2.76) folgt $\varepsilon\left(  V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes
n}\right)  =0$. Daher ist%
\[
\varepsilon\left(  \underbrace{V^{\otimes n}}_{=\left\langle
V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}\right\rangle }\right)  =\varepsilon
\left(  \left\langle V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}\right\rangle
\right)  =\left\langle \underbrace{\varepsilon\left(  V_{\operatorname*{pure}%
}^{\otimes n}\right)  }_{=0}\right\rangle =\left\langle 0\right\rangle =0.
\]


Wir haben damit gezeigt, da\ss \ $\varepsilon\left(  V^{\otimes n}\right)  =0$
f\"{u}r alle $n\geq1$ ist. Zusammen mit der bereits gezeigten Tatsache,
da\ss \ $\Delta^{\prime}\left(  V^{\otimes n}\right)  \subseteq\sum
\limits_{\ell=0}^{n}V^{\otimes\ell}\otimes V^{\otimes\left(  n-\ell\right)  }$
f\"{u}r alle $n\geq0$ ist, ergibt dies, da\ss \ $\left(  \left(
TV,\Delta^{\prime},\varepsilon\right)  ,\left(  V^{\otimes n}\right)
_{n\geq0}\right)  $ eine graduierte $k$-Coalgebra ist, was zu beweisen war.

\textbf{l)} Betrachten wir die $k$-Bialgebra $T^{\otimes}V=\left(  TV,\mu
,\eta,\Delta^{\prime},\varepsilon\right)  $. Laut \textbf{j)} ist $\left(
T^{\otimes}V,\left(  V^{\otimes n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ eine graduierte
$k$-Algebra, und laut \textbf{k)} ist $\left(  T^{\otimes}V,\left(  V^{\otimes
n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ eine graduierte $k$-Coalgebra. Somit ist
$\left(  T^{\otimes}V,\left(  V^{\otimes n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ eine
graduierte $k$-Bialgebra. Diese graduierte $k$-Bialgebra ist ferner
zusammenh\"{a}ngend, da $V^{\otimes0}=k=k\cdot1_{T^{\otimes}V}$ gilt.

Laut Satz 2.45 \textbf{6)} (angewandt auf $\left(  H,\left(  H_{n}\right)
_{n\geq0}\right)  =\left(  T^{\otimes}V,\left(  V^{\otimes n}\right)
_{n\geq0}\right)  $) ist also $\left(  T^{\otimes}V,\left(  V^{\otimes
n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ eine graduierte Hopfalgebra. Damit ist Beispiel
2.50 \textbf{2)} bewiesen.

\textbf{m)} Wenden wir Satz 2.45 \textbf{7)} auf $\left(  H,\left(
H_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  =\left(  T^{\otimes}V,\left(  V^{\otimes
n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ an, dann erhalten wir direkt die Aussage von
Beispiel 2.50 \textbf{4)} (denn f\"{u}r $\left(  H,\left(  H_{n}\right)
_{n\geq0}\right)  =\left(  T^{\otimes}V,\left(  V^{\otimes n}\right)
_{n\geq0}\right)  $ gilt $H_{1}=V^{\otimes1}=V$). Damit ist auch Beispiel 2.50
\textbf{4)} bewiesen.

\textbf{n)} Wir wollen jetzt zeigen, da\ss \ die Coalgebra $\left(
TV,\Delta^{\prime},\varepsilon\right)  $ cokommutativ ist.

\textit{Beweis:} Wir betrachten $V$ als Teilmenge von $T^{\otimes}V$
verm\"{o}ge der Inklusion $V=V^{\otimes1}\subseteq V^{\otimes0}\oplus
V^{\otimes1}\oplus V^{\otimes2}\oplus...=TV=T^{\otimes}V$. Laut \textbf{f)}
ist die Teilmenge $V$ von $T^{\otimes}V$ ein Algebraerzeugendensystem der
$k$-Algebra $T^{\otimes}V$.

Nach \textbf{c)} gilt $\Delta^{\prime}\left(  v\right)  =v\otimes1+1\otimes v$
f\"{u}r alle $v\in V$.

Sei $\tau:\left(  T^{\otimes}V\right)  \otimes\left(  T^{\otimes}V\right)
\rightarrow\left(  T^{\otimes}V\right)  \otimes\left(  T^{\otimes}V\right)  $
die durch%
\[
\tau\left(  x\otimes y\right)  =y\otimes x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }x,y\in T^{\otimes}V
\]
definierte $k$-lineare Abbildung. F\"{u}r alle $v\in V$ gilt dann%
\begin{align*}
\tau\left(  \underbrace{\Delta^{\prime}\left(  v\right)  }_{=v\otimes
1+1\otimes v}\right)   &  =\tau\left(  v\otimes1+1\otimes v\right)
=\underbrace{\tau\left(  v\otimes1\right)  }_{=1\otimes v}+\underbrace{\tau
\left(  1\otimes v\right)  }_{=v\otimes1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{denn }\tau\text{ ist }k\text{-linear}\right) \\
&  =1\otimes v+v\otimes1=v\otimes1+1\otimes v=\Delta^{\prime}\left(  v\right)
.
\end{align*}
Benennen wir in diesem Resultat $v$ in $x$ um, so erhalten wir: F\"{u}r alle
$x\in V$ gilt $\tau\left(  \Delta^{\prime}\left(  x\right)  \right)
=\Delta^{\prime}\left(  x\right)  $.

Gem\"{a}\ss \ Folgerung 2.16 \textbf{3)} (angewandt auf $T^{\otimes}V$,
$\Delta^{\prime}$ und $V$ statt $H$, $\Delta$ bzw. $M$) folgt hieraus,
da\ss \ $T^{\otimes}V$ eine cokommutative Bialgebra ist. Da wir wissen,
da\ss \ $T^{\otimes}V$ eine Hopfalgebra ist (denn laut \textbf{l)} ist
$\left(  T^{\otimes}V,\left(  V^{\otimes n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ eine
graduierte Hopfalgebra), erhalten wir also, da\ss \ $T^{\otimes}V$ eine
cokommutative Hopfalgebra ist. Damit ist Beispiel 2.50 \textbf{1)} bewiesen.

\textbf{o)} Sei $S$ die Antipode der Hopfalgebra $T^{\otimes}V$. Sei
$n\in\mathbb{N}$.

F\"{u}r beliebige $n$ Elemente $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ von $V$ gilt
$v_{1}v_{2}...v_{n}=v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}$
(gem\"{a}\ss \ \textbf{b)}, angewandt auf $n$ statt $\tau$) und $v_{n}%
v_{n-1}...v_{1}=v_{n}\otimes v_{n-1}\otimes...\otimes v_{1}$
(gem\"{a}\ss \ \textbf{b)}, angewandt auf die Zahl $n$ und die Vektoren
$v_{n},v_{n-1},...,v_{1}$ statt der Zahl $\tau$ und den Vektoren $v_{1}%
,v_{2},...,v_{\tau}$).

F\"{u}r jedes $v\in V$ ist $v$ ein primitives Element der Hopfalgebra
$T^{\otimes}V$ (denn nach \textbf{c)} ist $\Delta^{\prime}\left(  v\right)
=v\otimes1+1\otimes v$) und erf\"{u}llt somit $S\left(  v\right)  =-v$ (nach
Folgerung 2.11$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{3)}, angewandt auf $x=v$).
Hieraus folgt $S\left(  v_{i}\right)  =-v_{i}$ f\"{u}r jedes $i\in\left\{
1,2,...,n\right\}  $ (denn $v_{i}\in V$). Also gelten die Gleichungen
$S\left(  v_{n}\right)  =-v_{n}$, $S\left(  v_{n-1}\right)  =-v_{n-1}$, $...$,
$S\left(  v_{1}\right)  =-v_{1}$. Multiplizieren wir diese Gleichungen
miteinander, dann erhalten wir $S\left(  v_{n}\right)  S\left(  v_{n-1}%
\right)  ...S\left(  v_{1}\right)  =\left(  -v_{n}\right)  \left(
-v_{n-1}\right)  ...\left(  -v_{1}\right)  =\left(  -1\right)  ^{n}%
v_{n}v_{n-1}...v_{1}$.

Nun ist%
\begin{align*}
S\left(  \underbrace{v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}}_{=v_{1}%
v_{2}...v_{n}}\right)   &  =S\left(  v_{1}v_{2}...v_{n}\right)  =S\left(
v_{n}\right)  S\left(  v_{n-1}\right)  ...S\left(  v_{1}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }S\text{ ist ein
Antialgebrahomomorphismus}\right) \\
&  =\left(  -1\right)  ^{n}\underbrace{v_{n}v_{n-1}...v_{1}}_{=v_{n}\otimes
v_{n-1}\otimes...\otimes v_{1}}=\left(  -1\right)  ^{n}v_{n}\otimes
v_{n-1}\otimes...\otimes v_{1}.
\end{align*}
Dies beweist Beispiel 2.50. \textbf{3)}.

Damit ist Beispiel 2.50 komplett bewiesen.

\bigskip

\fbox{\textbf{Die Shufflehopfalgebra}}

In Beispiel 2.50 haben wir die Tensoralgebra $\left(  TV,\mu,\eta\right)  $
eines Vektorraumes $V$ mit seiner Shufflecoalgebra $\left(  TV,\Delta^{\prime
},\varepsilon\right)  $ verkn\"{u}pft und eine Hopfalgebra bekommen - die
Tensorhopfalgebra $T^{\otimes}V$. Man kann sich nun fragen, ob \"{a}hnliches
mit der Tensorcoalgebra $\left(  TV,\Delta,\varepsilon\right)  $ (die in
Beispiel 2.1. \textbf{5)} konstruiert wurde) m\"{o}glich ist. Wenn wir die
Tensoralgebra $\left(  TV,\mu,\eta\right)  $ mit der Tensorcoalgebra $\left(
TV,\Delta,\varepsilon\right)  $ verkn\"{u}pfen, erhalten wir \textit{keine}
Hopfalgebra (nicht einmal eine Bialgebra), au\ss er wenn $V=0$ ist. Doch es
gibt eine andere $k$-Algebrastruktur auf dem Vektorraum $TV$, die wir mit der
Tensorcoalgebra $\left(  TV,\Delta,\varepsilon\right)  $ verkn\"{u}pfen
k\"{o}nnen und eine Hopfalgebra erhalten:

\textbf{2.60. Beispiel:} Sei $V$ ein beliebiger Vektorraum. In Beispiel 2.1.
\textbf{5)} wurde der Tensormodul $TV$ des Vektorraums $V$ definiert. (Zur
Wiederholung: Er wurde definiert als der Vektorraum $V^{\otimes0}\oplus
V^{\otimes1}\oplus V^{\otimes2}\oplus...$)

\textbf{1)} Es gibt genau eine $k$-lineare Abbildung $\mu_{\operatorname{shf}%
}:\left(  TV\right)  \otimes\left(  TV\right)  \rightarrow TV$, welche%
\begin{align}
&  \mu_{\operatorname{shf}}\left(  \left(  a_{1}\otimes a_{2}\otimes...\otimes
a_{i}\right)  \otimes\left(  a_{i+1}\otimes a_{i+2}\otimes...\otimes
a_{n}\right)  \right) \nonumber\\
&  =\sum_{\substack{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(  i,n-i\right)
}}a_{\sigma^{-1}\left(  1\right)  }\otimes a_{\sigma^{-1}\left(  2\right)
}\otimes...\otimes a_{\sigma^{-1}\left(  n\right)  }\tag{2.80}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }n\in\mathbb{N}\text{, alle }%
i\in\left\{  0,1,...,n\right\}  \text{ und alle }a_{1},a_{2},...,a_{n}\in
V\nonumber
\end{align}
erf\"{u}llt (wobei $a_{1}\otimes a_{2}\otimes...\otimes a_{i}$ und
$a_{i+1}\otimes a_{i+2}\otimes...\otimes a_{n}$ als Elemente von $TV$ zu
verstehen sind, und daher $\left(  a_{1}\otimes a_{2}\otimes...\otimes
a_{i}\right)  \otimes\left(  a_{i+1}\otimes a_{i+2}\otimes...\otimes
a_{n}\right)  $ als ein Element von $\left(  TV\right)  \otimes\left(
TV\right)  $ zu lesen ist). Diese $k$-lineare Abbildung $\mu
_{\operatorname{shf}}$ macht den Vektorraum $TV$ zu einer kommutativen
$k$-Algebra mit dem Einselement $1$. Mit anderen Worten: Das Tripel $\left(
TV,\mu_{\operatorname{shf}},\eta\right)  $ ist eine $k$-Algebra, wobei $\eta$
die Abbildung $k\rightarrow TV$, $\lambda\mapsto\lambda\cdot1$ ist.

Wir bezeichnen diese $k$-Algebra mit $T^{\operatorname{shf}}V$ (um sie von der
Tensoralgebra $T^{\otimes}V$ zu unterscheiden, welche als Vektorraum (aber
nicht als Algebra) identisch mit $T^{\operatorname{shf}}V$ ist) und nennen sie
die \textit{Shufflealgebra} des Vektorraums $V$.

Betrachten wir ferner die in Beispiel 2.1. \textbf{5)} definierten Abbildungen
$\Delta:TV\rightarrow\left(  TV\right)  \otimes\left(  TV\right)  $ und
$\varepsilon:TV\rightarrow k$, welche (2.6) und (2.7) f\"{u}r alle
$n\in\mathbb{N}$ und alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$ erf\"{u}llen. Laut
Beispiel 2.1. \textbf{5)} ist dann $\left(  TV,\Delta,\varepsilon\right)  $
eine Coalgebra.

Wir behaupten nun:

\textbf{2)} Das $5$-Tupel $\left(  TV,\mu_{\operatorname{shf}},\eta
,\Delta,\varepsilon\right)  $ ist eine kommutative Hopfalgebra.

Wir bezeichnen diese Hopfalgebra mit $T^{\operatorname{shf}}V$ und nennen sie
die \textit{Shufflehopfalgebra} von $V$.

\textbf{3)} Das Paar $\left(  T^{\operatorname{shf}}V,\left(  V^{\otimes
n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ ist eine zusammenh\"{a}ngende graduierte
Hopfalgebra (wobei $T^{\operatorname{shf}}V$ als die Shufflehopfalgebra von
$V$ zu verstehen ist, also als das $5$-Tupel $\left(  TV,\mu
_{\operatorname{shf}},\eta,\Delta,\varepsilon\right)  $).

\textbf{4)} Sei $S$ die Antipode der Hopfalgebra $T^{\operatorname{shf}%
}V=\left(  TV,\mu_{\operatorname{shf}},\eta,\Delta,\varepsilon\right)  $. Dann
gilt%
\[
S\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{n}\right)  =\left(  -1\right)
^{n}v_{n}\otimes v_{n-1}\otimes...\otimes v_{1}%
\]
f\"{u}r alle $n\in\mathbb{N}$ und alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$.

Es gibt zwei Methoden, diese Eigenschaften zu beweisen. Wir werden die erste
nur sehr grob skizzieren, die zweite aber ausf\"{u}hren.

\textit{Erster Beweis von Beispiel 2.60 (skizziert):} Zuerst mu\ss \ alles auf
den Fall $\dim V<\infty$ zur\"{u}ckgef\"{u}hrt werden (dies ist nicht schwer,
da $T^{\operatorname{shf}}$ ein Funktor ist, und man lauter Gleichungen
beweisen muss in denen nur endlich viele Elemente von $V$ vorkommen - sodass
man eigentlich immer in endlich erzeugten Untervektorr\"{a}umen von $V$
arbeitet). In dem Fall $\dim V<\infty$ zeigt man dann, da\ss \ $TV$ das
graduierte Duale zu $TV^{\ast}$ ist\footnote{Unter dem "graduierten Dualen"
eines graduierten Vektorraumes $\left(  P,\left(  P_{n}\right)  _{n\geq
0}\right)  $ verstehen wir die direkte Summe $\bigoplus\limits_{n\geq0}%
P_{n}^{\ast}$ (die wiederum als graduierter Vektorraum anzusehen ist, mit
Graduierung $\left(  P_{n}^{\ast}\right)  _{n\geq0}$). Diese direkte Summe
l\"{a}\ss t sich kanonisch in den Dualraum $P^{\ast}$ einbetten (indem f\"{u}r
jedes $n\in\mathbb{N}$ der Vektorraum $P_{n}^{\ast}$ mit dem Untervektorraum
$\left\{  f\in P^{\ast}\ \mid\ f\left(  P_{m}\right)  =0\text{ f\"{u}r jedes
}m\in\mathbb{N}\diagdown\left\{  n\right\}  \right\}  $ von $P^{\ast}$
identifiziert wird), und wird dadurch als Untervektorraum von $P^{\ast}$
betrachtet. Dieser Untervektorraum ist oft wesentlich handlicher als der ganze
Raum $P^{\ast}$. So ist beispielsweise das graduierte Duale des graduierten
Dualen von $P$ isomorph zu $P$, falls $P_{n}$ f\"{u}r jedes $n\geq0$
endlichdimensional ist. W\"{a}hrenddessen gilt $P^{\ast\ast}\cong P$ nur, wenn
$P$ selber endlichdimensional ist (und dies ist eine deutlich st\"{a}rkere
Bedingung als die Endlichdimensionalit\"{a}t von $P_{n}$ f\"{u}r jedes
$n\geq0$). Eine weitere n\"{u}tzliche Eigenschaft des graduierten Dualen ist:
Ist $\left(  H,\left(  H_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ eine graduierte
Hopfalgebra, und ist $H_{n}$ f\"{u}r jedes $n\geq0$ endlichdimensional, dann
wird auch das graduierte Duale von $H$ kanonisch zu einer graduierten
Hopfalgebra. Diese Eigenschaft erm\"{o}glicht es uns hier, durch Betrachtung
von $TV$ als das graduierte Duale zu $T^{\ast}V$ eine Hopfalgebrastruktur auf
$TV$ zu bekommen.}, und die Shufflehopfalgebra von $V$ (wir wissen noch nicht,
da\ss \ sie eine Hopfalgebra ist) graduiert dual zur Tensorhopfalgebra von
$V^{\ast}$ ist - und damit kann man \textbf{1)}, \textbf{2)} und \textbf{3)}
durch Dualit\"{a}t ableiten. Auch \textbf{4)} kann man mit etwas Arbeit aus
dieser Dualit\"{a}t erhalten. Ein alternatives Argument f\"{u}r \textbf{4)}
ist folgendes: Man definiere eine $k$-lineare Abbildung $S^{\prime
}:TV\rightarrow TV$ durch $S^{\prime}\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes
...\otimes v_{n}\right)  =\left(  -1\right)  ^{n}v_{n}\otimes v_{n-1}%
\otimes...\otimes v_{1}$ f\"{u}r alle $n\in\mathbb{N}$ und alle $v_{1}%
,v_{2},...,v_{n}\in V$, und zeige, da\ss \ $S^{\prime}\ast\operatorname{id}%
=\operatorname{id}\ast S^{\prime}=\eta\varepsilon$ ist. Dazu pr\"{u}fe man
nach, da\ss
\begin{align*}
&  \sum\limits_{\ell=0}^{n}\left(  -1\right)  ^{\ell}\mu_{\operatorname{shf}%
}\left(  \left(  v_{\ell}\otimes v_{\ell-1}\otimes...\otimes v_{1}\right)
\otimes\left(  v_{\ell+1}\otimes v_{\ell+2}\otimes...\otimes v_{n}\right)
\right) \\
&  =\sum\limits_{\ell=0}^{n}\left(  -1\right)  ^{n-\ell}\mu
_{\operatorname{shf}}\left(  \left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes
v_{\ell}\right)  \otimes\left(  v_{n}\otimes v_{n-1}\otimes...\otimes v_{\ell
}\right)  \right)  =0
\end{align*}
f\"{u}r alle $n\geq1$ und alle $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$ ist. Dazu zeigt
man (mithilfe elementarer Kombinatorik), da\ss \ in jedem dieser Produkte nach
Ausmultiplikation jeder Tensor doppelt vorkommt, und zwar mit
entgegengesetzten Vorzeichen. Geht das einfacher?

\textit{Zweiter Beweis von Beispiel 2.60:} Wir werden Beispiel 2.60 Schritt
f\"{u}r Schritt beweisen. Wir beginnen mit vorbereitenden Schritten:

\textbf{a)} Es ist eins unserer Ziele, auf dem Vektorraum $TV$ eine
Algebrastruktur einzuf\"{u}hren, die \textit{nicht} mit der Algebrastruktur
auf $T^{\otimes}V$ \"{u}bereinstimmt. Doch dies wird uns nicht daran hindern,
folgende Festlegung zu machen:

\begin{itemize}
\item Wenn $a$ und $b$ zwei Elemente von $TV$ sind, dann bezeichnen wir mit
$a\cdot b$ (oder auch mit $ab$) das Produkt der Elemente $a$ und $b$
\textit{bez\"{u}glich der Algebrastruktur auf }$T^{\otimes}V$ (und nicht
bez\"{u}glich der Algebrastruktur auf $T^{\operatorname{shf}}V$, die wir
sp\"{a}ter einf\"{u}hren werden).
\end{itemize}

Diese Festlegung f\"{u}hrt nat\"{u}rlich dazu, da\ss \ wir das Produkt zweier
Elemente $a$ und $b$ von $TV$ \textit{bez\"{u}glich der Algebrastruktur auf
}$T^{\operatorname{shf}}V$ (wenn diese Algebrastruktur erst einmal definiert
ist) nicht mehr mit $a\cdot b$ oder mit $ab$ bezeichnen k\"{o}nnen, sondern
anders nennen werden m\"{u}ssen. (Und zwar werden wir es $a\Cup b$ nennen.)

\textbf{b)} Wir betrachten im Folgenden $V$ als Untervektorraum von
$T^{\otimes}V$ (verm\"{o}ge der Inklusion $V=V^{\otimes1}\subseteq
V^{\otimes0}\oplus V^{\otimes1}\oplus V^{\otimes2}\oplus...=TV=T^{\otimes}V$).
Somit wird jedes Element von $V$ auch als ein Element von $T^{\otimes}V$
angesehen. Dies ist manchmal (aber nicht immer!) n\"{u}tzlich. Konkret legen
wir folgendes fest:

\begin{itemize}
\item Wenn wir von dem Produkt mehrerer Elemente von $V$ sprechen, dann
betrachten wir diese Elemente als Elemente der $k$-Algebra $T^{\otimes}V$
(denn sonst w\"{a}re das Produkt nicht definiert). Das hei\ss t: Ist $\tau
\in\mathbb{N}$ und sind $v_{1},v_{2},...,v_{\tau}$ Elemente von $V$, dann
verstehen wir unter $v_{1}v_{2}...v_{\tau}$ das Produkt der Elemente
$v_{1},v_{2},...,v_{\tau}$, das man erh\"{a}lt, wenn man sie als Elemente der
$k$-Algebra $T^{\otimes}V$ betrachtet.

\item Wenn wir aber vom \textit{Tensorprodukt} mehrerer Elemente von $V$
sprechen, dann betrachten wir diese Elemente als Elemente des Vektorraums $V$
und \textit{nicht} als Elemente der $k$-Algebra $T^{\otimes}V$. Das hei\ss t:
Ist $\tau\in\mathbb{N}$ und sind $v_{1},v_{2},...,v_{\tau}$ Elemente von $V$,
dann verstehen wir unter $v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{\tau}$ das
Tensorprodukt der Elemente $v_{1},v_{2},...,v_{\tau}$, das man erh\"{a}lt,
wenn man sie als Elemente des Vektorraums $V$ (und nicht der $k$-Algebra
$T^{\otimes}V$) betrachtet. Dieses Tensorprodukt $v_{1}\otimes v_{2}%
\otimes...\otimes v_{\tau}$ ist dann ein Element der Tensorpotenz
$V^{\otimes\tau}$, die wiederum ein Summand der direkten Summe $V^{\otimes
0}\oplus V^{\otimes1}\oplus V^{\otimes2}\oplus...=TV=T^{\otimes}V$ ist.
\end{itemize}

Diese beiden Festlegungen sind genau die gleichen, die wir bereits in Punkt
\textbf{b)} des Beweises von Beispiel 2.50 gemacht haben.

\textbf{c)} F\"{u}r jedes $\tau\in\mathbb{N}$ und beliebige Elemente
$v_{1},v_{2},...,v_{\tau}$ von $V$ gilt $v_{1}v_{2}...v_{\tau}=v_{1}\otimes
v_{2}\otimes...\otimes v_{\tau}$. (Hierbei sind die Terme $v_{1}%
v_{2}...v_{\tau}$ und $v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{\tau}$
gem\"{a}\ss \ der Festlegungen in Punkt \textbf{b)} zu verstehen.)

\textit{Beweis:} Siehe Punkt \textbf{b)} des Beweises von Beispiel 2.50.

\textbf{d)} Nun wollen wir zeigen: F\"{u}r jedes $v\in V$ ist $\Delta\left(
v\right)  =v\otimes1+1\otimes v$. Hierbei wird $v$ als Element von $TV$
betrachtet (gem\"{a}\ss \ Punkt \textbf{b)).}

\textit{Beweis:} Sei $v_{1}=v$. Nach (2.6) (angewandt auf $n=1$) ist dann%
\begin{align*}
\Delta\left(  v_{1}\right)   &  =\sum_{i=0}^{1}\left(  v_{1}\otimes
v_{2}\otimes...\otimes v_{i}\right)  \otimes\left(  v_{i+1}\otimes
v_{i+2}\otimes...\otimes v_{n}\right) \\
&  =\underbrace{\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{0}\right)
}_{=\left(  \text{leeres Produkt}\right)  =1}\otimes\underbrace{\left(
v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{1}\right)  }_{=v_{1}=v}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\underbrace{\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes
...\otimes v_{1}\right)  }_{=v_{1}=v}\otimes\underbrace{\left(  v_{2}\otimes
v_{3}\otimes...\otimes v_{1}\right)  }_{=\left(  \text{leeres Produkt}\right)
=1}\\
&  =1\otimes v+v\otimes1=v\otimes1+1\otimes v.
\end{align*}
Wegen $v_{1}=v$ wird dies zu $\Delta^{\prime}\left(  v\right)  =v\otimes
1+1\otimes v$, was zu beweisen war.

\textbf{e)} F\"{u}r jedes $n\in\mathbb{N}$ sei $V_{\operatorname*{pure}%
}^{\otimes n}$ die Teilmenge von $V^{\otimes n}$, die aus allen reinen
$n$-Tensoren (also allen Tensoren der Form $v_{1}\otimes v_{2}\otimes
...\otimes v_{n}$ f\"{u}r irgendwelche $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$) in
$V^{\otimes n}$ besteht. Dann ist $V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}$ ein
Erzeugendensystem des $k$-Vektorraums $V^{\otimes n}$ (weil die $n$-fache
Tensorpotenz $V^{\otimes n}$ bekanntlich von den reinen $n$-Tensoren erzeugt
ist). Da dies f\"{u}r alle $n\in\mathbb{N}$ gilt, ist also $\bigcup
\limits_{n\in\mathbb{N}}V_{\operatorname*{pure}}^{\otimes n}$ ein
Erzeugendensystem des $k$-Vektorraums $\bigoplus\limits_{n\in\mathbb{N}%
}V^{\otimes n}=V^{\otimes0}\oplus V^{\otimes1}\oplus V^{\otimes2}%
\oplus...=TV=T^{\otimes}V$ (denn um ein Erzeugendensystem der direkten Summe
mehrerer Vektorr\"{a}ume zu finden, reicht es aus, die Vereinigung von
Erzeugendensystemen dieser Vektorr\"{a}ume zu nehmen).

\textbf{f)} Die Teilmenge $V$ von $T^{\otimes}V$ ist ein
Algebraerzeugendensystem der $k$-Algebra $T^{\otimes}V$.

\textit{Beweis:} Siehe Punkt \textbf{f)} des Beweises von Beispiel 2.50.

\textbf{g)} Wir wollen jetzt zeigen, da\ss \ es genau eine $k$-lineare
Abbildung $\mu_{\operatorname*{shf}}:\left(  TV\right)  \otimes\left(
TV\right)  \rightarrow TV$ gibt, welche (2.80) erf\"{u}llt.Zuallererst

Seien $n\geq0$ und $i\in\left\{  0,1,...,n\right\}  $ beliebig. Dann
definieren wir eine Abbildung $\operatorname*{shf}\nolimits_{n,i}:V^{\otimes
n}\rightarrow V^{\otimes n}$ durch%
\[
\operatorname*{shf}\nolimits_{n,i}\left(  a_{1}\otimes a_{2}\otimes...\otimes
a_{n}\right)  =\sum_{\substack{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(
i,n-i\right)  }}a_{\sigma^{-1}\left(  1\right)  }\otimes a_{\sigma^{-1}\left(
2\right)  }\otimes...\otimes a_{\sigma^{-1}\left(  n\right)  }%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }a_{1},a_{2},...,a_{n}\in V.
\]
(Diese Abbildung $\operatorname*{shf}\nolimits_{n,i}$ ist hierdurch
wohldefiniert, denn die rechte Seite $\sum\limits_{\substack{\sigma
\in\operatorname*{Sh}\left(  i,n-i\right)  }}a_{\sigma^{-1}\left(  1\right)
}\otimes a_{\sigma^{-1}\left(  2\right)  }\otimes...\otimes a_{\sigma
^{-1}\left(  n\right)  }$ h\"{a}ngt multilinear von $\left(  a_{1}%
,a_{2},...,a_{n}\right)  $ ab.) Ferner definieren wir eine Abbildung
$\mu_{\operatorname*{shf},n,i}:V^{\otimes i}\otimes V^{\otimes\left(
n-i\right)  }\rightarrow V^{\otimes n}$ durch%

\begin{align}
&  \mu_{\operatorname{shf}}\left(  \left(  a_{1}\otimes a_{2}\otimes...\otimes
a_{i}\right)  \otimes\left(  a_{i+1}\otimes a_{i+2}\otimes...\otimes
a_{n}\right)  \right) \nonumber\\
&  =\sum_{\substack{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(  i,n-i\right)
}}a_{\sigma^{-1}\left(  1\right)  }\otimes a_{\sigma^{-1}\left(  2\right)
}\otimes...\otimes a_{\sigma^{-1}\left(  n\right)  }\tag{2.80}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }n\in\mathbb{N}\text{, alle }%
i\in\left\{  0,1,...,n\right\}  \text{ und alle }a_{1},a_{2},...,a_{n}\in
V\nonumber
\end{align}


[...]

\bigskip

\begin{center}
\fbox{\textbf{3. }$H$\textbf{-Modulalgebren und Smash-Produkt}}
\end{center}

Wir betrachten weiterhin Algebren, Coalgebren, Bialgebren und Hopfalgebren
\"{u}ber dem festen K\"{o}rper $k.$

\bigskip

\fbox{$H$\textbf{-Modulalgebren}}

Wir werden nun eine Operation von Bialgebren auf Algebren definieren, die
\"{a}hnlich zur Operation von Gruppen auf Mengen ist:

\textbf{Definition:} \textbf{a)} Sei $H$ eine Bialgebra, und sei $A$ eine
Algebra. Angenommen, $A$ ist ein $H$-Linksmodul. Betrachten wir dann die
$k$-lineare Abbildung $H\otimes A\rightarrow A,$ die $h\otimes a$ auf $h\cdot
a$ abbildet f\"{u}r alle $h\in H$ und $a\in A.$ Dabei bezeichnen wir mit
$h\cdot a$ das Bild von $a$ unter der Wirkung von $h$ auf $A.$ Falls wir
dieses Bild nicht mit $h\cdot a$ bezeichnen k\"{o}nnen (z. B. weil $A=H$ ist
und $h\cdot a$ als Produkt der Elemente $h$ und $a$ mi\ss verstanden werden
k\"{o}nnte), schreiben wir stattdessen $h\rhd a.$

Man nennt die Algebra $A$ (zusammen mit der $H$-Linksmodulstruktur auf $A$)
eine $H$\textit{-Linksmodulalgebra}, wenn folgende zwei Axiome erf\"{u}llt sind:

\begin{itemize}
\item F\"{u}r alle $x\in H$ und $a,b\in A$ ist $x\cdot\left(  ab\right)
=\left(  x_{\left(  1\right)  }\cdot a\right)  \left(  x_{\left(  2\right)
}\cdot b\right)  .$

\item F\"{u}r alle $x\in H$ ist $x\cdot1=\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1.$
\end{itemize}

Die $k$-lineare Abbildung $H\otimes A\rightarrow A,$ die $h\otimes a$ auf
$h\cdot a$ abbildet, hei\ss t die \textit{Strukturabbildung} der
$H$-Linksmodulalgebra $A.$

\textbf{b)} Seien $A$ und $A^{\prime}$ zwei Algebren. Sind $\sigma,\tau
\in\operatorname*{Alg}\left(  A,A^{\prime}\right)  ,$ und ist $\delta
\in\operatorname*{Hom}\left(  A,A^{\prime}\right)  ,$ dann hei\ss t $\delta$
eine $\left(  \sigma,\tau\right)  $\textit{-Derivation}, wenn f\"{u}r alle
$a,b\in A$ gilt: $\delta\left(  ab\right)  =\sigma\left(  a\right)
\delta\left(  b\right)  +\delta\left(  a\right)  \tau\left(  b\right)  .$ Im
Falle von $A^{\prime}=A$ und $\sigma=\tau=\operatorname*{id}$ nennt man
$\left(  \sigma,\tau\right)  $-Derivationen auch einfach \textit{Derivationen}.

\textbf{3.1. Bemerkung:} \textbf{0)} Sind $A$ und $A^{\prime}$ zwei Algebren,
und sind $\sigma,\tau\in\operatorname*{Alg}\left(  A,A^{\prime}\right)  ,$ und
ist $\delta\in\operatorname*{Hom}\left(  A,A^{\prime}\right)  $ eine $\left(
\sigma,\tau\right)  $-Derivation, dann ist $\delta\left(  1\right)  =0.$

\textit{Beweis:} Da $\delta$ eine $\left(  \sigma,\tau\right)  $-Derivation
ist, gilt $\delta\left(  ab\right)  =\sigma\left(  a\right)  \delta\left(
b\right)  +\delta\left(  a\right)  \tau\left(  b\right)  $ f\"{u}r $a=b=1$,
also%
\[
\delta\left(  1\cdot1\right)  =\underbrace{\sigma\left(  1\right)  }%
_{=1}\delta\left(  1\right)  +\delta\left(  1\right)  \underbrace{\tau\left(
1\right)  }_{=1}=2\delta\left(  1\right)  ,
\]
also $\delta\left(  1\right)  =2\delta\left(  1\right)  ,$ also $\delta\left(
1\right)  =0.$

\textbf{1)} Sind $A$ und $A^{\prime}$ zwei Algebren, und sind $\sigma,\tau
\in\operatorname*{Alg}\left(  A,A^{\prime}\right)  ,$ und ist $\delta
\in\operatorname*{Hom}\left(  A,A^{\prime}\right)  ,$ dann gilt:

Genau dann ist $\delta$ eine $\left(  \sigma,\tau\right)  $-Derivation, wenn
die Abbildung $\varphi_{\delta}:A\rightarrow\operatorname*{M}_{2}\left(
A^{\prime}\right)  ,$ die durch%
\[
\varphi_{\delta}\left(  a\right)  =\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
\sigma\left(  a\right)  & \delta\left(  a\right) \\
0 & \tau\left(  a\right)
\end{array}
\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }a\in A
\]
definiert ist, ein Algebrahomomorphismus ist.

\textit{Beweis:} \textbf{a)} Da\ss \ $\varphi_{\delta}$ stets eine $k$-lineare
Abbildung ist, ist klar.

\textbf{b)} Genau dann ist\ $\varphi_{\delta}\left(  1\right)  =1$, wenn
$\delta\left(  1\right)  =0$ ist. (Dies ist klar, denn $\sigma\left(
1\right)  =\tau\left(  1\right)  =1.$)

\textbf{c)} Genau dann gilt\ $\varphi_{\delta}\left(  ab\right)
=\varphi_{\delta}\left(  a\right)  \varphi_{\delta}\left(  b\right)  $ f\"{u}r
alle $a,b\in A$, wenn $\delta\left(  ab\right)  =\sigma\left(  a\right)
\delta\left(  b\right)  +\delta\left(  a\right)  \tau\left(  b\right)  $
f\"{u}r alle $a,b\in A$ gilt (denn%
\[
\varphi_{\delta}\left(  a\right)  \varphi_{\delta}\left(  b\right)  =\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
\sigma\left(  a\right)  & \delta\left(  a\right) \\
0 & \tau\left(  a\right)
\end{array}
\right)  \left(
\begin{array}
[c]{cc}%
\sigma\left(  b\right)  & \delta\left(  b\right) \\
0 & \tau\left(  b\right)
\end{array}
\right)  =\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
\sigma\left(  a\right)  \sigma\left(  b\right)  & \sigma\left(  a\right)
\delta\left(  b\right)  +\delta\left(  a\right)  \tau\left(  b\right) \\
0 & \tau\left(  a\right)  \tau\left(  b\right)
\end{array}
\right)
\]
und%
\[
\varphi_{\delta}\left(  ab\right)  =\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
\sigma\left(  ab\right)  & \delta\left(  ab\right) \\
0 & \tau\left(  ab\right)
\end{array}
\right)  =\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
\sigma\left(  a\right)  \sigma\left(  b\right)  & \delta\left(  ab\right) \\
0 & \tau\left(  a\right)  \tau\left(  b\right)
\end{array}
\right)
\]
).

Zum Beweis von \textbf{1)} m\"{u}ssen wir nun zwei Aussagen beweisen:

\textit{Aussage 1:} Ist $\delta$ eine $\left(  \sigma,\tau\right)
$-Derivation, dann ist $\varphi_{\delta}$ ein Algebrahomomorphismus.

\textit{Aussage 2:} Ist $\varphi_{\delta}$ ein Algebrahomomorphismus, dann ist
$\delta$ eine $\left(  \sigma,\tau\right)  $-Derivation.

\textit{Beweis von Aussage 1:} Angenommen, $\delta$ ist eine $\left(
\sigma,\tau\right)  $-Derivation. Dann gilt $\delta\left(  1\right)  =0$ (nach
\textbf{0)}) und $\delta\left(  ab\right)  =\sigma\left(  a\right)
\delta\left(  b\right)  +\delta\left(  a\right)  \tau\left(  b\right)  $
f\"{u}r alle $a,b\in A$, und nach \textbf{b)} und \textbf{c)} folgt daraus,
da\ss \ $\varphi_{\delta}\left(  1\right)  =1$ und $\varphi_{\delta}\left(
ab\right)  =\varphi_{\delta}\left(  a\right)  \varphi_{\delta}\left(
b\right)  $ f\"{u}r alle $a,b\in A$ gilt. Somit ist $\varphi_{\delta}$ ein
Algebrahomomorphismus. Aussage 1 ist damit bewiesen.

\textit{Beweis von Aussage 2:} Angenommen, $\varphi_{\delta}$ ist ein
Algebrahomomorphismus. Dann gilt $\varphi_{\delta}\left(  ab\right)
=\varphi_{\delta}\left(  a\right)  \varphi_{\delta}\left(  b\right)  $ f\"{u}r
alle $a,b\in A.$ Nach \textbf{c)} folgt hieraus $\delta\left(  ab\right)
=\sigma\left(  a\right)  \delta\left(  b\right)  +\delta\left(  a\right)
\tau\left(  b\right)  $ f\"{u}r alle $a,b\in A.$ Somit ist $\delta$ eine
$\left(  \sigma,\tau\right)  $-Derivation, und Aussage 2 ist bewiesen.

Damit ist der Beweis von \textbf{1)} abgeschlossen.

\textbf{2)} Sei $H$ eine Bialgebra, und $A$ eine $H$-Linksmodulalgebra.

\textbf{a)} Sei $g\in G\left(  H\right)  .$ Dann operiert $g$ als
Algebraendomorphismus auf $A.$ Das hei\ss t, $g\cdot\left(  ab\right)
=\left(  g\cdot a\right)  \left(  g\cdot b\right)  $ f\"{u}r alle $a,b\in A,$
und $g\cdot1=1.$ Ist $H$ eine Hopfalgebra, so operiert $g$ sogar als Algebraautomorphismus.

\textbf{b)} Seien $g,h\in G\left(  H\right)  ,$ und sei $x\in H$ ein $\left(
g,h\right)  $-schiefprimitives Element (also $\Delta\left(  x\right)
=g\otimes x+x\otimes h$). Dann operiert $x$ auf $A$ als eine $\left(
\sigma,\tau\right)  $-Derivation, wobei $\sigma=g\cdot$ und $\tau=h\cdot$ ist
(wobei $g\cdot$ die Multiplikation mit $g$ von links bezeichnet, und $h\cdot$
die Multiplikation mit $h$ von links). Das hei\ss t, f\"{u}r alle $a,b\in A$
ist $x\cdot\left(  ab\right)  =\left(  g\cdot a\right)  \left(  x\cdot
b\right)  +\left(  x\cdot a\right)  \left(  h\cdot b\right)  .$

\textit{Beweis:} \textbf{a)} Da $g\in G\left(  H\right)  $ ist, gilt
$\Delta\left(  g\right)  =g\otimes g.$ F\"{u}r alle $a,b\in A$ gilt also
$g\cdot\left(  ab\right)  =\left(  g\cdot a\right)  \left(  g\cdot b\right)
,$ und $g\cdot1=1.$ Ist $H$ eine Hopfalgebra, dann pr\"{u}ft man leicht nach,
da\ss \ $g$ und $g^{-1}=S\left(  g\right)  $ invers operieren.

\textbf{b)} Da $\Delta\left(  x\right)  =g\otimes x+x\otimes h$ ist, gilt
f\"{u}r alle $a,b\in A$ die Gleichung $x\cdot\left(  ab\right)  =\left(
g\cdot a\right)  \left(  x\cdot b\right)  +\left(  x\cdot a\right)  \left(
h\cdot b\right)  .$

\textbf{3)} Sei $H$ eine Bialgebra. Sei $A$ gleichzeitig ein $H$-Linksmodul
und eine $k$-Algebra. Sei $M\subseteq H$ ein Erzeugendensystem von $H$ als
Algebra. F\"{u}r alle $x\in M$ und $a,b\in A$ gelte:%
\[
x\cdot\left(  ab\right)  =\left(  x_{\left(  1\right)  }\cdot a\right)
\left(  x_{\left(  2\right)  }\cdot b\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\cdot1=\varepsilon\left(  x\right)  .
\]
Dann ist $A$ eine $H$-Linksmodulalgebra.

\textit{Beweis:} Sei%
\[
H^{\prime}=\left\{  x\in H\ \mid\ \text{f\"{u}r alle }a,b\in A\text{ gilt
}x\cdot\left(  ab\right)  =\left(  x_{\left(  1\right)  }\cdot a\right)
\left(  x_{\left(  2\right)  }\cdot b\right)  \ \text{und }x\cdot
1=\varepsilon\left(  x\right)  \right\}  .
\]
Wir wollen zun\"{a}chst zeigen, da\ss \ $H^{\prime}$ eine Unteralgebra von $H$ ist.

In der Tat ist $H^{\prime}\subseteq H$ ein Untervektorraum\footnote{Denn
f\"{u}r jede festen $a,b\in A$ sind die Abbildungen
\begin{align*}
H  &  \rightarrow A,\\
x  &  \mapsto x\cdot\left(  ab\right)
\end{align*}
und%
\begin{align*}
H  &  \rightarrow A,\\
x  &  \mapsto\left(  x_{\left(  1\right)  }\cdot a\right)  \left(  x_{\left(
2\right)  }\cdot b\right)
\end{align*}
beide $k$-linear (f\"{u}r $x\mapsto x\cdot\left(  ab\right)  $ ist dies klar,
und $x\mapsto\left(  x_{\left(  1\right)  }\cdot a\right)  \left(  x_{\left(
2\right)  }\cdot b\right)  $ ist $k$-linear als Verkettung der $k$-linearen
Abbildungen \xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
H \ar[r]^-{\Delta} & H\otimes H \ar[r]^{\left(\cdot a\right)\otimes\left(\cdot b\right)} & A\otimes A \ar[r]^-{\mu} & A
}).}.

Au\ss erdem gilt $1\in H^{\prime}$ (wie man leicht einsieht), und f\"{u}r alle
$x,y\in H^{\prime}$ ist auch $xy\in H^{\prime}$ (denn f\"{u}r alle $a,b\in A$
ist%
\begin{align*}
\left(  xy\right)  \cdot\left(  ab\right)   &  =x\cdot\underbrace{\left(
y\cdot\left(  ab\right)  \right)  }_{\substack{=\left(  y_{\left(  1\right)
}\cdot a\right)  \left(  y_{\left(  2\right)  }\cdot b\right)  \\\text{(denn
}y\in H^{\prime}\text{)}}}=x\cdot\left(  \left(  y_{\left(  1\right)  }\cdot
a\right)  \left(  y_{\left(  2\right)  }\cdot b\right)  \right) \\
&  =\left(  x_{\left(  1\right)  }\cdot\left(  y_{\left(  1\right)  }\cdot
a\right)  \right)  \left(  x_{\left(  2\right)  }\cdot\left(  y_{\left(
2\right)  }\cdot b\right)  \right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn
}x\in H^{\prime}\right) \\
&  =\left(  \left(  x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot
a\right)  \left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }\right)
\cdot b\right)  =\left(  \left(  xy\right)  _{\left(  1\right)  }\cdot
a\right)  \left(  \left(  xy\right)  _{\left(  2\right)  }\cdot b\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }x_{\left(  1\right)  }y_{\left(
1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }=\left(
xy\right)  _{\left(  1\right)  }\otimes\left(  xy\right)  _{\left(  2\right)
}\right)
\end{align*}
und%
\[
\left(  xy\right)  \cdot1=x\cdot\underbrace{\left(  y\cdot1\right)
}_{\substack{=\varepsilon\left(  y\right)  \\\text{(denn }y\in H^{\prime
}\text{)}}}=x\cdot\varepsilon\left(  y\right)  =\varepsilon\left(  y\right)
\cdot\underbrace{x\cdot1}_{\substack{=\varepsilon\left(  x\right)
\\\text{(denn }x\in H^{\prime}\text{)}}}=\varepsilon\left(  y\right)
\cdot\varepsilon\left(  x\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  \varepsilon
\left(  y\right)  =\varepsilon\left(  xy\right)
\]
). Somit ist $H^{\prime}$ eine Unteralgebra von $H$.

Nun ist aber $M\subseteq H^{\prime}$ (denn laut Annahme gilt%
\[
x\cdot\left(  ab\right)  =\left(  x_{\left(  1\right)  }\cdot a\right)
\left(  x_{\left(  2\right)  }\cdot b\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\cdot1=\varepsilon\left(  x\right)  .
\]
f\"{u}r alle $x\in M$ und $a,b\in A$). Die Unteralgebra $H^{\prime}$ von $H$
enth\"{a}lt also $M$ als Teilmenge. Somit mu\ss \ $H^{\prime}$ auch $H$ als
Teilmenge enthalten (denn $M$ ist ein Erzeugendensystem von $H$ als Algebra).
F\"{u}r alle $x\in H$ und $a,b\in A$ gilt also
\[
x\cdot\left(  ab\right)  =\left(  x_{\left(  1\right)  }\cdot a\right)
\left(  x_{\left(  2\right)  }\cdot b\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\cdot1=\varepsilon\left(  x\right)
\]
(denn $x\in H\subseteq M$). Mit anderen Worten: $A$ ist eine $H$%
-Linksmodulalgebra. Damit ist der Beweis abgeschlossen.

\bigskip

\fbox{\textbf{Smash-Produkte}}

\textbf{Definition:} Sei $H$ eine Bialgebra, und sei $A$ eine $H$-Linksmodulalgebra.

Dann definieren wir eine Algebra $A\sharp H$ als Vektorraum $A\otimes H$ mit
folgender Algebrastruktur\footnote{Das ist (im Allgemeinen) \textit{nicht} die
in Kapitel 1 (Proposition 1.11) definierte Algebrastruktur auf $A\otimes H.$}:

Wir schreiben $a\sharp h$ f\"{u}r das Element $a\otimes h$ von $A\sharp H$
f\"{u}r alle $a\in A$ und $h\in H.$ F\"{u}r alle $a,b\in A$ und $g,h\in H$
definieren wir jetzt%
\[
\left(  a\sharp g\right)  \left(  b\sharp h\right)  =a\left(  g_{\left(
1\right)  }\cdot b\right)  \sharp g_{\left(  2\right)  }h.
\]
Auf diese Weise haben wir auf einem Erzeugendensystem des Vektorraumes
$A\sharp H$ eine Multiplikation definiert. Diese Multiplikation setzen wir
$k$-linear zu einer Multiplikation auf ganz $A\sharp H$ fort. Damit wird
$A\sharp H$ zu einer Algebra. Diese Algebra nennen wir das
\textit{Smash-Produkt }von $A$ und $H.$

\textit{Bemerkung zur Notation:} Solange wir nur von der Vektorraumstruktur
und nicht von der Algebrastruktur auf $A\otimes H$ und auf $A\sharp H$ reden,
k\"{o}nnen wir $A\otimes H$ und $A\sharp H$ als Synonyme betrachten. Doch die
Algebra $A\otimes H$ ist (im Allgemeinen) nicht mehr das Gleiche wie die
Algebra $A\sharp H.$ \"{A}hnliches m\"{u}ssen wir beachten, wenn wir mit
Elementen von $A\otimes H$ arbeiten: Laut Definition ist $a\sharp h$ eine
andere Schreibweise f\"{u}r das Element $a\otimes h$ von $A\sharp H,$ und
solange wir solche Elemente nur addieren und mit Skalaren multiplizieren,
k\"{o}nnen wir $a\sharp h$ und $a\otimes h$ als Synonyme betrachten. Doch das
Produkt $\left(  a\sharp g\right)  \left(  b\sharp h\right)  $ (mit $a,b\in A$
und $g,h\in H$) ist im Allgemeinen nicht gleich dem Produkt $\left(  a\otimes
g\right)  \left(  b\otimes h\right)  $, weil die Multiplikation in der Algebra
$A\sharp H$ nicht die gleiche wie die von $A\otimes H$ ist.

\textbf{3.2. Bemerkung:} \textbf{1)} Sei $A$ eine $H$-Linksmodulalgebra. Dann
ist $A\sharp H$ eine Algebra, und es gilt:%
\begin{align*}
\left(  a\sharp1\right)  \left(  b\sharp h\right)   &  =ab\sharp
h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }a,b\in A\text{ und }h\in H;\\
\left(  a\sharp g\right)  \left(  1\sharp h\right)   &  =a\sharp
gh\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }a\in A\text{ und }g,h\in H.
\end{align*}
Ferner ist $1\sharp1$ das $1$-Element der Algebra $A\sharp H.$

Oft wird $a\sharp1$ mit $a$ f\"{u}r alle $a\in A$ identifiziert, und $1\sharp
g$ mit $g$ f\"{u}r alle $g\in H$ identifiziert. F\"{u}r alle $a\in A$ und
$g\in H$ k\"{o}nnen wir daher auch $ag$ statt $a\sharp g$ schreiben (denn
$a\sharp g=\left(  a\sharp1\right)  \left(  1\sharp g\right)  $). Dann gilt
die Regel $ha=\left(  h_{\left(  1\right)  }\cdot a\right)  h_{\left(
2\right)  }$ f\"{u}r alle $a\in A$ und $h\in H.$ Wir m\"{u}ssen bei unserer
Notation aufpassen, da\ss \ wir $ga$ (eine Abk\"{u}rzung f\"{u}r $\left(
1\sharp g\right)  \left(  a\sharp1\right)  $) nicht mit $g\cdot a$ (der
Wirkung von $g$ auf $a$) verwechseln.

\textit{Beweis:} Die $k$-lineare Multiplikationsabbildung%
\[
\left(  A\sharp H\right)  \otimes\left(  A\sharp H\right)  \rightarrow A\sharp
H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  a\sharp g\right)  \otimes\left(  b\sharp
h\right)  \mapsto a\left(  g_{\left(  1\right)  }\cdot b\right)  \sharp
g_{\left(  2\right)  }h
\]
ist wohldefiniert. Es gilt%
\begin{align*}
\left(  a\sharp1\right)  \left(  b\sharp h\right)   &  =a\underbrace{\left(
1\cdot b\right)  }_{=b}\sharp\underbrace{1h}_{=h}=ab\sharp
h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\\
\left(  a\sharp g\right)  \left(  1\sharp h\right)   &  =a\left(
\underbrace{g_{\left(  1\right)  }\cdot1}_{=\varepsilon\left(  g_{\left(
1\right)  }\right)  \cdot1}\right)  \sharp g_{\left(  2\right)  }%
h=a\sharp\underbrace{\varepsilon\left(  g_{\left(  1\right)  }\right)
g_{\left(  2\right)  }}_{=g}h=a\sharp gh.
\end{align*}
Da\ss \ die Multiplikation assoziativ ist, k\"{o}nnen wir nachrechnen: F\"{u}r
alle $a,b,c\in A$ und $g,h,k\in H$ ist%
\[
\left(  \left(  a\sharp g\right)  \left(  b\sharp h\right)  \right)  \left(
c\sharp k\right)  =\left(  a\left(  g_{\left(  1\right)  }\cdot b\right)
\sharp g_{\left(  2\right)  }h\right)  \left(  c\sharp k\right)  =a\left(
g_{\left(  1\right)  }\cdot b\right)  \left(  \left(  g_{\left(  2\right)
}h_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot c\right)  \sharp g_{\left(  3\right)
}h_{\left(  2\right)  }k
\]
und%
\begin{align*}
\left(  a\sharp g\right)  \left(  \left(  b\sharp h\right)  \left(  c\sharp
k\right)  \right)   &  =\left(  a\sharp g\right)  \left(  b\left(  h_{\left(
1\right)  }\cdot c\right)  \sharp h_{\left(  2\right)  }k\right)  =a\left(
g_{\left(  1\right)  }\cdot\left(  b\left(  h_{\left(  1\right)  }\cdot
c\right)  \right)  \right)  \sharp g_{\left(  2\right)  }h_{\left(  2\right)
}k\\
&  =a\left(  g_{\left(  1\right)  }\cdot b\right)  \left(
\underbrace{g_{\left(  2\right)  }\cdot\left(  h_{\left(  1\right)  }\cdot
c\right)  }_{=\left(  g_{\left(  2\right)  }h_{\left(  1\right)  }\right)
\cdot c}\right)  \sharp g_{\left(  3\right)  }h_{\left(  2\right)  }k.
\end{align*}


Da\ss \ $1\sharp1$ das $1$-Element der Algebra $A\sharp H$ ist, ist sehr
leicht nachzurechnen.

Die Regel $ha=\left(  h_{\left(  1\right)  }\cdot a\right)  h_{\left(
2\right)  }$ folgt aus $ha=\left(  h\sharp1\right)  \left(  a\sharp1\right)
=h_{\left(  1\right)  }\cdot a\sharp h_{\left(  2\right)  }$.

\textbf{2)} Man kann die Definition der Algebra $A\sharp H$ auch
folgenderma\ss en umformulieren:

Sei $\tau:H\otimes A\rightarrow A\otimes H$ die $k$-lineare Abbildung, die
durch $\tau\left(  x\otimes y\right)  =y\otimes x$ f\"{u}r alle $x\in H$ und
$y\in A$ festgelegt ist.

Sei $m_{A}:H\otimes A\rightarrow A$ die Strukturabbildung der $H$%
-Linksmodulalgebra $A$ (das hei\ss t, $m_{A}\left(  h\otimes a\right)  =ha$
f\"{u}r alle $h\in H$ und $a\in A$).

Die Algebra $A\sharp H$ ist dann der Vektorraum $A\otimes H$ mit einer
Multiplikationsabbildung $\mu_{A\sharp H}:\left(  A\otimes H\right)
\otimes\left(  A\otimes H\right)  \rightarrow A\otimes H$, die als Verkettung%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
A\otimes H\otimes A\otimes H \ar[r]^-{\operatorname*{id}\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}\otimes\operatorname*{id}} & A\otimes H\otimes H\otimes A\otimes H \ar[r]^{\operatorname*{id}\otimes\operatorname*{id}\otimes\tau\otimes\operatorname*{id}} & A\otimes H\otimes A\otimes H\otimes H \ar[d]_{\operatorname*{id}\otimes m_A\otimes\operatorname*{id}\otimes\operatorname*{id}} \\
& A\otimes H & A\otimes A\otimes H\otimes H \ar[l]^{\mu_A\otimes\mu_H}
}
\]
definiert wird, und mit der Einsabbildung%
\[
\eta_{A\sharp H}:k\rightarrow A\otimes H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \lambda
\mapsto\lambda\cdot1\otimes1.
\]


(Diese Einsabbildung $\eta_{A\sharp H}$ stimmt mit der Einsabbildung
$\eta_{A\otimes H}$ der Algebra $A\otimes H$ \"{u}berein, aber die
Multiplikationsabbildung $\mu_{A\sharp H}$ ist (im Allgemeinen) ungleich der
Multiplikationsabbildung $\mu_{A\otimes H}$ der Algebra $A\otimes H.$)

\textit{Beweis:} Da\ss
\[
\eta_{A\sharp H}:k\rightarrow A\otimes H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \lambda
\mapsto\lambda\cdot1\otimes1
\]
wirklich die Einsabbildung der Algebra $A\sharp H$ ist, folgt daraus
da\ss \ $1\otimes1=1\sharp1$ die Eins der Algebra $A\sharp H$ ist (was wir in
\textbf{1)} nachgewiesen haben).

Wir m\"{u}ssen also nur noch beweisen, da\ss \ die Verkettung%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
A\otimes H\otimes A\otimes H \ar[r]^-{\operatorname*{id}\otimes\Delta\otimes\operatorname*{id}\otimes\operatorname*{id}} & A\otimes H\otimes H\otimes A\otimes H \ar[r]^{\operatorname*{id}\otimes\operatorname*{id}\otimes\tau\otimes\operatorname*{id}} & A\otimes H\otimes A\otimes H\otimes H \ar[d]_{\operatorname*{id}\otimes m_A\otimes\operatorname*{id}\otimes\operatorname*{id}} \\
& A\otimes H & A\otimes A\otimes H\otimes H \ar[l]^{\mu_A\otimes\mu_H}
}
\]
tats\"{a}chlich die Multiplikationsabbildung der Algebra $A\sharp H$ ist, also
mit der Abbildung%
\[
\left(  A\sharp H\right)  \otimes\left(  A\sharp H\right)  \rightarrow A\sharp
H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  a\sharp g\right)  \otimes\left(  b\sharp
h\right)  \mapsto a\left(  g_{\left(  1\right)  }\cdot b\right)  \sharp
g_{\left(  2\right)  }h
\]
\"{u}bereinstimmt (wobei wir $A\sharp H$ und $A\otimes H$ als Synonyme
verwenden, solange wir nur die Vektorraumstrukturen und nicht die
Algebrastrukturen auf $A\sharp H$ und $A\otimes H$ ben\"{o}tigen). Wir
m\"{u}ssen also zeigen: F\"{u}r alle $a,b\in A$ und $g,h\in H$ gilt%
\begin{align*}
&  \left(  \mu_{A}\otimes\mu_{H}\right)  \left(  \operatorname*{id}\otimes
m_{A}\otimes\operatorname*{id}\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
\operatorname*{id}\otimes\operatorname*{id}\otimes\tau\otimes
\operatorname*{id}\right)  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta
\otimes\operatorname*{id}\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  a\otimes
g\otimes b\otimes h\right) \\
&  =a\left(  g_{\left(  1\right)  }\cdot b\right)  \otimes g_{\left(
2\right)  }h.
\end{align*}
Doch dies folgt aus%
\begin{align*}
&  \left(  \mu_{A}\otimes\mu_{H}\right)  \left(  \operatorname*{id}\otimes
m_{A}\otimes\operatorname*{id}\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
\operatorname*{id}\otimes\operatorname*{id}\otimes\tau\otimes
\operatorname*{id}\right)  \underbrace{\left(  \operatorname*{id}\otimes
\Delta\otimes\operatorname*{id}\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
a\otimes g\otimes b\otimes h\right)  }_{=a\otimes g_{\left(  1\right)
}\otimes g_{\left(  2\right)  }\otimes b\otimes h}\\
&  =\left(  \mu_{A}\otimes\mu_{H}\right)  \left(  \operatorname*{id}\otimes
m_{A}\otimes\operatorname*{id}\otimes\operatorname*{id}\right)
\underbrace{\left(  \operatorname*{id}\otimes\operatorname*{id}\otimes
\tau\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  a\otimes g_{\left(  1\right)
}\otimes g_{\left(  2\right)  }\otimes b\otimes h\right)  }_{=a\otimes
g_{\left(  1\right)  }\otimes b\otimes g_{\left(  2\right)  }\otimes h}\\
&  =\left(  \mu_{A}\otimes\mu_{H}\right)  \underbrace{\left(
\operatorname*{id}\otimes m_{A}\otimes\operatorname*{id}\otimes
\operatorname*{id}\right)  \left(  a\otimes g_{\left(  1\right)  }\otimes
b\otimes g_{\left(  2\right)  }\otimes h\right)  }_{=a\otimes g_{\left(
1\right)  }\cdot b\otimes g_{\left(  2\right)  }\otimes h}\\
&  =\left(  \mu_{A}\otimes\mu_{H}\right)  \left(  a\otimes g_{\left(
1\right)  }\cdot b\otimes g_{\left(  2\right)  }\otimes h\right)  =a\left(
g_{\left(  1\right)  }\cdot b\right)  \otimes g_{\left(  2\right)  }h.
\end{align*}
Damit ist \textbf{2)} bewiesen.

\textbf{3)} Mithilfe von Smash-Produkten lassen sich die sogenannten
\textit{Ore-Erweiterungen} definieren. Dazu betrachten wir einen Sonderfall
des Smash-Produktes:

Sei $H=k\left\langle g,x\right\rangle $ die freie Algebra in zwei Variablen
$g$ und $x.$ Wir k\"{o}nnen auf $H$ eine Bialgebrastruktur einf\"{u}hren durch%
\begin{align*}
\Delta\left(  g\right)   &  =g\otimes g;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(
g\right)  =1;\\
\Delta\left(  x\right)   &  =g\otimes x+x\otimes
1;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(  x\right)  =0.
\end{align*}
(Diese Bialgebra haben wir in Beispiel 2.18. \textbf{9)} eingef\"{u}hrt.)

Sei $A$ eine Algebra, sei $\sigma:A\rightarrow A$ ein Algebrahomomorphismus,
und sei $\delta:A\rightarrow A$ eine $\left(  \sigma,\operatorname*{id}%
\right)  $-Derivation (das hei\ss t, f\"{u}r alle $a,b\in A$ gilt:
$\delta\left(  ab\right)  =\sigma\left(  a\right)  \delta\left(  b\right)
+\delta\left(  a\right)  b$).

Dann ist $A$ eine $H$-Linksmodulalgebra durch $g\cdot a=\sigma\left(
a\right)  $ und $x\cdot a=\delta\left(  a\right)  $ f\"{u}r alle $a\in A.$

Dann ist $A\sharp k\left[  x\right]  \subseteq A\sharp H$ eine Unteralgebra,
wobei $k\left[  x\right]  $ den \textit{kommutativen} Polynomring in einer
Variablen $x$ \"{u}ber $k$ bezeichnet. (Denn $\Delta\left(  k\left[  x\right]
\right)  \subseteq H\otimes k\left[  x\right]  .$)

Die Algebraerweiterung $A\subseteq A\sharp k\left[  x\right]  $ (eigentlich
eine Injektion von $A$ nach $A\sharp k\left[  x\right]  ,$ gegeben durch
$a\mapsto a\sharp1$) hei\ss t eine \textit{Ore-Erweiterung} von $A$ und wird
mit $A\left[  x;\sigma,\delta\right]  $ bezeichnet.

In $A\sharp k\left[  x\right]  $ verwendet man, wie oben, die Kurzschreibweise
$a$ f\"{u}r $a\sharp1$ und $ax^{n}$ f\"{u}r $a\sharp x^{n},$ wobei $x^{n}$
wiederum kurz f\"{u}r $\underbrace{x\cdot x\cdot...\cdot x}_{n\text{ mal}}$ steht.

Jedes Element von $A\left[  x;\sigma,\delta\right]  $ hat eine eindeutige
Darstellung der Form $\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ mit $a_{0}%
,a_{1},...,a_{n}\in A.$ Man bezeichnet die Elemente von $A\left[
x;\sigma,\delta\right]  $ deshalb als \textit{Linkspolynome} in einer
Unbestimmten mit Koeffizienten in $A.$ Sie verhalten sich allerdings nicht wie
gew\"{o}hnliche Polynome \"{u}ber kommutativen Ringen, denn $ax$ ist im
Allgemeinen nicht gleich $xa.$ Stattdessen gilt die
\textit{Vertauschungsregel}: F\"{u}r alle $a\in A$ gilt $xa=\sigma\left(
a\right)  x+\delta\left(  a\right)  .$

\textit{Beweis:} Erstmal ist $A$ ein $H$-Linksmodul durch $g\cdot
a=\sigma\left(  a\right)  $ und $x\cdot a=\delta\left(  a\right)  $ f\"{u}r
alle $a\in A,$ denn wir k\"{o}nnen einen Algebrahomomorphismus $H\rightarrow
\operatorname*{End}A$ definieren durch $g\mapsto\sigma$ und $x\mapsto\delta$
(denn $H=k\left\langle g,x\right\rangle $ ist eine freie Algebra). Somit ist
$A$ eine $H$-Linksmodulalgebra wegen 3.1. \textbf{3)}, denn die Axiome einer
$H$-Linksmodulalgebra gelten f\"{u}r die Erzeugenden $g$ und $x$ (denn f\"{u}r
alle $a\in A$ und $b\in A$ ist%
\begin{align*}
g\cdot\left(  ab\right)   &  =\sigma\left(  ab\right)  =\sigma\left(
a\right)  \sigma\left(  b\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }%
\sigma\text{ ein Algebrahomomorphismus ist}\right) \\
&  =\left(  g\cdot a\right)  \left(  g\cdot b\right)  =\left(  g_{\left(
1\right)  }\cdot a\right)  \left(  g_{\left(  2\right)  }\cdot b\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }g\otimes g=\Delta\left(  g\right)
=g_{\left(  1\right)  }\otimes g_{\left(  1\right)  }\right)
\end{align*}
und%
\begin{align*}
x\cdot\left(  ab\right)   &  =\delta\left(  ab\right)  =\sigma\left(
a\right)  \delta\left(  b\right)  +\delta\left(  a\right)  \operatorname*{id}%
\left(  b\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\delta\text{ ist
eine }\left(  \sigma,\operatorname*{id}\right)  \text{-Derivation}\right) \\
&  =\left(  g\cdot a\right)  \left(  x\cdot b\right)  +\left(  x\cdot
a\right)  \left(  1\cdot b\right)  =\left(  x_{\left(  1\right)  }\cdot
a\right)  \left(  x_{\left(  2\right)  }\cdot b\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }g\otimes x+x\otimes1=\Delta\left(
x\right)  =x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }\right)
\end{align*}
).

Elemente in $A\sharp H$ haben die Form $\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}\sharp
x^{i}$ mit $a_{0},a_{1},...,a_{n}\in A.$

Wegen $\Delta\left(  x\right)  =g\otimes x+x\otimes1\in H\otimes k\left[
x\right]  $ gilt $\Delta\left(  k\left[  x\right]  \right)  \subseteq H\otimes
k\left[  x\right]  .$ Also ist $\left(  a\sharp g\right)  \left(  b\sharp
h\right)  =a\left(  g_{\left(  1\right)  }\cdot b\right)  \sharp\left(
g_{\left(  2\right)  }\cdot h\right)  \in A\sharp k\left[  x\right]  $ f\"{u}r
alle $a,b\in A$ und $g,h\in k\left[  x\right]  .$ Zusammen mit $1\in A\sharp
k\left[  x\right]  $ ergibt dies, da\ss \ $A\sharp k\left[  x\right]  $ eine
Unteralgebra der Algebra $A\sharp H$ ist.

Die Vertauschungsregel ergibt sich aus%
\[
\left(  1\sharp x\right)  \left(  a\sharp1\right)  =x_{\left(  1\right)
}\cdot a\sharp x_{\left(  2\right)  }=\underbrace{g\cdot a}_{=\sigma\left(
a\right)  }\sharp x+\underbrace{x\cdot a}_{=\delta\left(  a\right)  }%
\sharp1=\sigma\left(  a\right)  \sharp x+\delta\left(  a\right)  \sharp1,
\]
also in abk\"{u}rzender Schreibweise $xa=\sigma\left(  a\right)
x+\delta\left(  a\right)  .$

\textbf{3.3. Beispiele:} \textbf{1)} Die Algebra $k\left\langle x,t\ \mid
\ xt=tx+1\right\rangle $ hei\ss t \textit{Weyl-Algebra}. Betrachten wir
$k\left[  t\right]  $ (die Polynomalgebra \"{u}ber $k$ in einer Unbestimmten
$t$). Sei der Endomorphismus $\sigma$ von $k\left[  t\right]  $ durch
$\sigma=\operatorname*{id}$ gegeben, und sei $\delta:k\left[  t\right]
\rightarrow k\left[  t\right]  $ die formale Ableitung nach $t$ (also
$\delta=\dfrac{d}{dt}$). Dann ist $\delta$ eine Derivation (d. h. eine
$\left(  \operatorname*{id},\operatorname*{id}\right)  $-Derivation). Nach
Bemerkung 3.2. \textbf{3)} ist dann eine Ore-Erweiterung $k\left[  t\right]
\left[  x;\operatorname*{id},\delta\right]  $ definiert.

Dann gibt es einen Algebraisomorphismus $k\left\langle x,t\ \mid
\ xt=tx+1\right\rangle \rightarrow k\left[  t\right]  \left[
x;\operatorname*{id},\delta\right]  ,$ gegeben durch $x\mapsto x$ und
$t\mapsto t.$ Insbesondere ist $\left\{  t^{i}x^{j}\mid i,j\geq0\right\}  $
eine $k$-Basis der Weyl-Algebra.

\textit{Beweis:} Da in der Ore-Erweiterung gilt: $xt=\underbrace{\sigma\left(
t\right)  }_{=t}x+\underbrace{\delta\left(  t\right)  }_{=1}=tx+1,$ existiert
ein Algebrahomomorphismus $k\left\langle x,t\ \mid\ xt=tx+1\right\rangle
\rightarrow k\left[  t\right]  \left[  x;\operatorname*{id},\delta\right]  $
mit $x\mapsto x$ und $t\mapsto t.$ Dieser Algebrahomomorphismus ist surjektiv
(da $x$ und $t$ Algebraerzeugende sind). Er ist auch injektiv, denn in der
Weyl-Algebra ist offenbar $\left\{  t^{i}x^{j}\mid i,j\geq0\right\}  $ ein
$k$-Erzeugendensystem, und in der Ore-Erweiterung ist $\left\{  t^{i}x^{j}\mid
i,j\geq0\right\}  $ eine linear unabh\"{a}ngige Menge. Letzteres Argument
zeigt auch, da\ss \ in der Weyl-Algebra $\left\{  t^{i}x^{j}\mid
i,j\geq0\right\}  $ eine $k$-Basis ist.

\textbf{2)} Sei $q\in k.$ Die Algebra $k\left\langle g,x\ \mid
\ gx=qxg\right\rangle $ hei\ss t eine \textit{Quantenebene}.

Betrachte $k\left[  x\right]  $ (die Polynomalgebra in einer Variablen $x$)
als Algebra, und betrachte $k\left[  g\right]  $ (die Polynomalgebra in einer
Variablen $g$) als Bialgebra mit $\Delta\left(  g\right)  =g\otimes g.$

Dann ist $k\left[  x\right]  $ eine $k\left[  g\right]  $-Linksmodulalgebra
mit $g\cdot x=qx.$ (Genauer gesagt: Es gibt genau eine $k\left[  g\right]
$-Linksmodulalgebrastruktur auf $k\left[  x\right]  ,$ die $g\cdot x=qx$
erf\"{u}llt.\footnote{Diese Struktur ist durch $g\cdot x^{k}=q^{k}x^{k}$
f\"{u}r alle $k\in\left\{  0,1,2,...\right\}  $ definiert.})

Dann ist der durch $g\mapsto1\sharp g$ und $x\mapsto x\sharp1$ definierte
Algebrahomomorphismus $k\left\langle g,x\ \mid\ gx=qxg\right\rangle
\rightarrow k\left[  x\right]  \sharp k\left[  g\right]  $ ein Algebraisomorphismus.

Und $k\left[  x\right]  \sharp k\left[  g\right]  =k\left[  x\right]  \left[
g,\sigma,0\right]  $ ist eine Ore-Erweiterung, wobei $\sigma$ durch
$\sigma\left(  x\right)  =qx$ definiert ist.

\textit{Beweis:} Die Algebraabbildung $k\left[  g\right]  \rightarrow
\operatorname*{End}\left(  k\left[  x\right]  \right)  ,$ die $k\left[
x\right]  $ zu einem $k\left[  g\right]  $-Modul macht, wird durch
$g\mapsto\left(  x\mapsto qx\right)  $ eindeutig festgelegt. Da\ss \ $k\left[
x\right]  $ eine $k\left[  g\right]  $-Linksmodulalgebra ist, pr\"{u}ft man
wieder nach 3.1. Die Behauptung folgt wie in \textbf{1)}.

\textbf{3)} Sei $q\in k$ von $0$ verschieden, und sei $H=k\left\langle
g,h,x\ \mid\ gh=1,\ hg=1,\ gx=qxg\right\rangle .$ Dann ist $H$ eine
Hopfalgebra wie in Beispiel 2.18 \textbf{11)}.

Dann operiert $k\left[  g,h\right]  \ $\ \ \ \footnote{Hier meinen wir mit
$k\left[  g,h\right]  $ \textit{nicht} eine Polynomalgebra in zwei Variablen
\"{u}ber $k,$ sondern die von $g$ und $h$ erzeugte Unteralgebra von $H.$}\ auf
$k\left[  x\right]  $ wie in \textbf{2)} durch $g\cdot x=qx$ und $h\cdot
x=q^{-1}x.$ (Es sei angemerkt, da\ss \ $k\left[  g,h\right]  \cong k\left[
\mathbb{Z}\right]  $ ist, und $k\left[  x\right]  $ isomorph zur
Polynomalgebra \"{u}ber $k$ in einer Variablen ist.)

Wieder ist dann der Algebrahomomorphismus%
\[
k\left\langle g,h,x\ \mid\ gh=1,\ hg=1,\ gx=qxg\right\rangle \rightarrow
k\left[  x\right]  \sharp k\left[  g,h\right]  ,
\]
der durch $g\mapsto1\sharp g,$ $h\mapsto1\sharp h$ und $x\mapsto x\sharp1$
definiert ist, ein Algebraisomorphismus.

Insbesondere ist $\left(  x^{i}g^{j}\right)  _{i\in\mathbb{N},\ j\in
\mathbb{Z}}$ eine $k$-Basis von $H.$

\textbf{4)} Sei $n\geq1,$ und sei $q\in k$ eine primitive $n$-te
Einheitswurzel (also eine $n$-te Einheitswurzel mit Ordnung $n$). Sei
$H=k\left\langle g,x\mid g^{n}=1,\ x^{n}=0,\ gx=qxg\right\rangle $ die in
Beispiel 2.18. \textbf{12)} eingef\"{u}hrte Taft-Hopfalgebra.

Die Hopfalgebra $k\left[  G\right]  \diagup\left(  G^{n}-1\right)  \cong
k\left[  \mathbb{Z}\diagup\left(  n\right)  \right]  $ operiert auf $k\left[
X\right]  \diagup\left(  X^{n}\right)  $ als Modulalgebra durch $\overline
{G}\cdot\overline{X}=q\overline{X}$, und dies f\"{u}hrt zu einem
Algebraisomorphismus%
\[
k\left\langle g,x\mid g^{n}=1,\ x^{n}=0,\ gx=qxg\right\rangle \rightarrow
k\left[  X\right]  \diagup\left(  X^{n}\right)  \ \sharp\ k\left[  G\right]
\diagup\left(  G^{n}-1\right)
\]
mit $g\mapsto1\sharp\overline{G}$ und $x\mapsto\overline{X}\sharp1.$
Insbesondere folgt hieraus $\dim H=n^{2}.$

\textbf{5)} \textbf{a)} In \textbf{4)} ist $H^{\prime}=k\left[  g\right]  $
eine Unterhopfalgebra der Hopfalgebra $H,$ und es gibt einen surjektiven
Hopfalgebrahomomorphismus $\pi:H\rightarrow H^{\prime}$ mit $\pi\left(
x\right)  =0$ und $\pi\left(  g\right)  =g$, und das Diagramm%
\[
\xymatrix{
& H^{\prime} \ar[dl]_{\iota} \ar[d]^= \\
H \ar[r]_{\pi} & H^{\prime}
}
\]
ist kommutativ, wobei $\iota:H^{\prime}\rightarrow H$ die kanonische
Inklusionsabbildung ist. (Dies ist die gleiche Situation wie beim semidirekten
Produkt von Gruppen.)

\textbf{b)} Eine analoge Eigenschaft gilt f\"{u}r Beispiel \textbf{3)} statt
Beispiel \textbf{4)}:

In \textbf{3)} ist $H^{\prime}=k\left[  g,h\right]  $ eine Unterhopfalgebra
der Hopfalgebra $H,$ und es gibt einen surjektiven Hopfalgebrahomomorphismus
$\pi:H\rightarrow H^{\prime}$ mit $\pi\left(  x\right)  =0$, $\pi\left(
g\right)  =g$ und $\pi\left(  h\right)  =h$, und das Diagramm%
\[
\xymatrix{
& H^{\prime} \ar[dl]_{\iota} \ar[d]^= \\
H \ar[r]_{\pi} & H^{\prime}
}
\]
ist kommutativ, wobei $\iota:H^{\prime}\rightarrow H$ die kanonische
Inklusionsabbildung ist.

\textbf{6)} Sei $q\in k\setminus\left\{  0,1,-1\right\}  .$ Unter
$\operatorname*{U}_{q}\left(  \mathfrak{sl}_{2}\right)  $ verstehen wir die
Hopfalgebra%
\begin{align*}
\operatorname*{U}\nolimits_{q}\left(  \mathfrak{sl}_{2}\right)   &
=k\left\langle E,F,K,K^{-1}\ \mid\ KK^{-1}=1=K^{-1}K,\ KEK^{-1}=q^{2}E,\right.
\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.  KFK^{-1}=q^{-2}F,\ EF-FE=\dfrac{K-K^{-1}%
}{q-q^{-1}}\right\rangle
\end{align*}
\footnote{Hierbei ist $K^{-1}$ erst einmal als ein (von $E$, $F$ und $K$
unabh\"{a}ngiger) Variablenbezeichner zu deuten, der aber durch die Relation
$KK^{-1}=1=K^{-1}K$ seinen Namen rechtfertigt.} mit%
\begin{align*}
\Delta\left(  K\right)   &  =K\otimes K,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(
K\right)  =1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S\left(  K\right)  =K^{-1},\\
\Delta\left(  K^{-1}\right)   &  =K^{-1}\otimes K^{-1}%
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(  K^{-1}\right)
=1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S\left(  K^{-1}\right)  =K,\\
\Delta\left(  E\right)   &  =K\otimes E+E\otimes
1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(  E\right)
=0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S\left(  E\right)  =-K^{-1}E,\\
\Delta\left(  F\right)   &  =1\otimes F+F\otimes K^{-1}%
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(  F\right)
=0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S\left(  F\right)  =-FK.
\end{align*}


Sei $A=k\left\langle K,K^{-1},F\ \mid\ KK^{-1}=1=K^{-1}K,\ KFK^{-1}%
=q^{-2}F\right\rangle .$

Dann gibt es einen Algebrahomomorphismus $\sigma:A\rightarrow A$ mit
$\sigma\left(  F\right)  =F$ und $\sigma\left(  K\right)  =q^{-2}K.$ Sei
$\delta:A\rightarrow A$ die $\left(  \sigma,\operatorname*{id}\right)
$-Derivation mit $\delta\left(  K\right)  =0=\delta\left(  K^{-1}\right)  $
und $\delta\left(  F\right)  =\dfrac{K-K^{-1}}{q-q^{-1}}.$

Dann gibt es einen Algebraisomorphismus $\operatorname*{U}_{q}\left(
\mathfrak{sl}_{2}\right)  \rightarrow A\left[  E;\sigma,\delta\right]  $ mit
$F\mapsto F,$ $E\mapsto E,$ $K\mapsto K$ und $K^{-1}\mapsto K^{-1}.$ Dabei ist
$A\left[  E;\sigma,\delta\right]  $ eine Ore-Erweiterung von $A,$ wobei $E$
statt dem Symbol $x$ geschrieben wird. Insbesondere ist $\left(  F^{i}%
K^{j}E^{l}\right)  _{i,l\in\mathbb{N},\ j\in\mathbb{Z}}$ eine $k$-Basis von
$\operatorname*{U}_{q}\left(  \mathfrak{sl}_{2}\right)  .$

\textit{Beweis:} Da\ss \ $\operatorname*{U}_{q}\left(  \mathfrak{sl}%
_{2}\right)  $ eine Bialgebra ist, ist leicht nachzurechnen. Da\ss \ $\sigma$
ein wohldefinierter Algebrahomomorphismus ist, gleichfalls. Da\ss \ $\delta$
eine wohldefinierte $\left(  \sigma,\operatorname*{id}\right)  $-Derivation
ist, folgt (gem\"{a}\ss \ Bemerkung 3.1. \textbf{1)}) daraus, da\ss \ die
Abbildung $\varphi_{\delta}:A\rightarrow\operatorname*{M}_{2}\left(  A\right)
,$ die durch%
\[
\varphi_{\delta}\left(  a\right)  =\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
\sigma\left(  a\right)  & \delta\left(  a\right) \\
0 & a
\end{array}
\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }a\in A
\]
definiert ist, ein Algebrahomomorphismus ist; auch das folgt aus einer
Rechnung.\footnote{In der Tat ist $\varphi_{\delta}\left(  K\right)  =\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
q^{-2}K & 0\\
0 & K
\end{array}
\right)  ,$ $\varphi_{\delta}\left(  K^{-1}\right)  =\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
q^{2}K^{-1} & 0\\
0 & K^{-1}%
\end{array}
\right)  $ und $\varphi_{\delta}\left(  F\right)  =\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
F & \dfrac{K-K^{-1}}{q-q^{-1}}\\
0 & F
\end{array}
\right)  .$ Dann ist offensichtlich $\varphi_{\delta}\left(  K\right)
\varphi_{\delta}\left(  K^{-1}\right)  =E=\varphi_{\delta}\left(
K^{-1}\right)  \varphi_{\delta}\left(  K\right)  ,$ ferner%
\[
\varphi_{\delta}\left(  K\right)  \varphi_{\delta}\left(  F\right)  =\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
q^{-2}K & 0\\
0 & K
\end{array}
\right)  \left(
\begin{array}
[c]{cc}%
F & \dfrac{K-K^{-1}}{q-q^{-1}}\\
0 & F
\end{array}
\right)  =\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
q^{-2}KF & q^{-2}K\dfrac{K-K^{-1}}{q-q^{-1}}\\
0 & KF
\end{array}
\right)
\]
und%
\[
q^{-2}\varphi_{\delta}\left(  F\right)  \varphi_{\delta}\left(  K\right)
=q^{-2}\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
F & \dfrac{K-K^{-1}}{q-q^{-1}}\\
0 & F
\end{array}
\right)  \left(
\begin{array}
[c]{cc}%
q^{-2}K & 0\\
0 & K
\end{array}
\right)  =q^{-2}\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
q^{-2}FK & \dfrac{K-K^{-1}}{q-q^{-1}}K\\
0 & FK
\end{array}
\right)  ,
\]
also $\varphi_{\delta}\left(  K\right)  \varphi_{\delta}\left(  F\right)
=q^{-2}\varphi_{\delta}\left(  F\right)  \varphi_{\delta}\left(  K\right)  $
wegen $KF=q^{-2}FK.$} Auch da\ss \ die definierenden Relationen von
$\operatorname*{U}_{q}\left(  \mathfrak{sl}_{2}\right)  $ in der
Ore-Erweiterung $A\left[  E;\sigma,\delta\right]  $ gelten, k\"{o}nnen wir
direkt nachrechnen: F\"{u}r $KK^{-1}=1,$ $K^{-1}K=1$ und $KF=q^{-2}FK$ ist
dies klar. F\"{u}r $KE=q^{2}EK$ folgt dies aus der Gleichung $E\underbrace{K}%
_{\in A}=\underbrace{\sigma\left(  K\right)  }_{=q^{-2}K}E+\underbrace{\delta
\left(  K\right)  }_{=0},$ die in der Ore-Erweiterung gilt (laut der
Vertauschungsregel). Die Gleichung $EF-FE=\dfrac{K-K^{-1}}{q-q^{-1}}$ gilt,
denn in der Ore-Erweiterung ist $E\underbrace{F}_{\in A}=\underbrace{\sigma
\left(  F\right)  }_{=F}E+\underbrace{\delta\left(  F\right)  }_{=\left(
K-K^{-1}\right)  \diagup\left(  q-q^{-1}\right)  }$ (laut der Vertauschungsregel).

Da\ss \ der Algebrahomomorphismus $\operatorname*{U}_{q}\left(  \mathfrak{sl}%
_{2}\right)  \rightarrow A\left[  E;\sigma,\delta\right]  $ mit $F\mapsto F,$
$E\mapsto E,$ $K\mapsto K$ und $K^{-1}\mapsto K^{-1}$ ein Algebraisomorphismus
ist, folgt daraus, da\ss \ die Bilder der Vektorraumerzeuger $F^{i}K^{j}E^{l}$
eine Basis der Ore-Erweiterung bilden.

\textit{Bemerkung:} Die Algebra $\operatorname*{U}_{q}\left(  \mathfrak{sl}%
_{2}\right)  $ ist eine sogenannte "Quantendeformation" (eine Art
Quanten-Analogon) der Hopfalgebra $\operatorname*{U}\left(  \mathfrak{sl}%
_{2}\right)  .$ Um diese Hopfalgebra $\operatorname*{U}\left(  \mathfrak{sl}%
_{2}\right)  $ zu definieren, betrachten wir zuerst die Liealgebra
$\mathfrak{sl}_{2}$ (siehe Kapitel II weiter unten f\"{u}r den Begriff einer Liealgebra):

Diese Liealgebra $\mathfrak{sl}_{2}=\left\{  A\in\operatorname*{M}_{2}\left(
k\right)  \ \mid\ \operatorname*{Tr}A=0\right\}  $ hat die Basis%
\[
\left(  e=\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 1\\
0 & 0
\end{array}
\right)  ,\ f=\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 0\\
1 & 0
\end{array}
\right)  ,\ h=\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right)  \right)
\]
und eine durch $\left[  A,B\right]  =AB-BA$ f\"{u}r alle $A,B\in
\mathfrak{sl}_{2}$ definierte Lie-Klammer. Diese Lie-Klammer ist eine
Bilinearform\footnote{aber nicht assoziativ - deshalb ist $\mathfrak{sl}_{2}$
nur eine Liealgebra, keine Algebra!} und erf\"{u}llt%
\[
\left[  h,e\right]  =2e,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[  h,f\right]
=-2f,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[  e,f\right]  =h.
\]
F\"{u}r die universelle Einh\"{u}llende $\operatorname*{U}\left(
\mathfrak{sl}_{2}\right)  $ gilt (siehe unten f\"{u}r den Begriff der
universellen Einh\"{u}llenden):%
\[
\operatorname*{U}\left(  \mathfrak{sl}_{2}\right)  =k\left\langle
e,f,h\ \mid\ ef-fe=h,\ he-eh=2e,\ hf-fh=-2f\right\rangle
\]
ist eine cokommutative Hopfalgebra, wobei $e,$ $f$ und $h$ primitiv sind (das
hei\ss t, $\Delta\left(  e\right)  =e\otimes1+1\otimes e$ und analog f\"{u}r
$f$ und $h$).

\begin{center}
\fbox{\textbf{4. Comoduln und }$H$\textbf{-Comodulalgebren}}
\end{center}

\fbox{\textbf{Comoduln}}

\textbf{Definition:} Sei $C$ eine Coalgebra.

\textbf{1)} Sei $V$ ein Vektorraum; sei $\delta:V\rightarrow V\otimes C$ eine
$k$-lineare Abbildung. Wir schreiben $\delta\left(  v\right)  =v_{\left(
0\right)  }\otimes v_{\left(  1\right)  }$ f\"{u}r alle $v\in V$ \"{a}hnlich
zur summenlosen Sweedler-Notation (nur mit Indizes $0$ und $1$ statt $1$ und
$2$).

Dann hei\ss t $\left(  V,\delta\right)  $ ein $C$\textit{-Rechtscomodul}, wenn
f\"{u}r alle $v\in V$ gilt: $\delta\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)
\otimes v_{\left(  1\right)  }=v_{\left(  0\right)  }\otimes\Delta\left(
v_{\left(  1\right)  }\right)  $ (mit anderen Worten: $\left(  v_{\left(
0\right)  }\right)  _{\left(  0\right)  }\otimes\left(  v_{\left(  0\right)
}\right)  _{\left(  1\right)  }\otimes v_{\left(  1\right)  }=v_{\left(
0\right)  }\otimes\Delta\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  $) und
$v=v_{\left(  0\right)  }\varepsilon\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  .$
Die Abbildung $\delta$ hei\ss t dann die $C$\textit{-Rechtscomodulstruktur}
(oder auch kurz \textit{Comodulstruktur} oder \textit{Costruktur}) dieses $C$-Rechtscomoduls.

Entsprechend sind $C$-Linkscomoduln definiert: Dies sind Vektorr\"{a}ume $V$
mit einer $k$-linearen Abbildung $\delta:V\rightarrow C\otimes V$ und
\"{a}hnlichen Axiomen. F\"{u}r $C$-Linkscomoduln schreibt man $\delta\left(
v\right)  =v_{\left(  -1\right)  }\otimes v_{\left(  0\right)  }$ f\"{u}r alle
$v\in V.$

\textit{Bemerkung:} Ist $V$ ein Vektorraum, und ist $\delta:V\rightarrow
V\otimes C$ eine $k$-lineare Abbildung, dann hei\ss t die Abbildung $\delta$
\textit{coassoziativ}, wenn $\delta\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)
\otimes v_{\left(  1\right)  }=v_{\left(  0\right)  }\otimes\Delta\left(
v_{\left(  1\right)  }\right)  $ f\"{u}r alle $v\in V$ gilt, und $\delta$
hei\ss t \textit{counit\"{a}r}, wenn $v=v_{\left(  0\right)  }\varepsilon
\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  $ f\"{u}r alle $v\in V$ gilt (wobei wir
$\delta\left(  v\right)  =v_{\left(  0\right)  }\otimes v_{\left(  1\right)
}$ f\"{u}r alle $v\in V$ schreiben, \"{a}hnlich zur summenlosen
Sweedler-Notation). Somit ist $\left(  V,\delta\right)  $ genau dann ein
$C$-Rechtscomodul, wenn die Abbildung $\delta$ coassoziativ und counit\"{a}r ist.

\textbf{2)} Seien $V$ und $W$ zwei $C$-Rechtscomoduln, und $f:V\rightarrow W$
eine lineare Abbildung. Dann hei\ss t $f$ eine $C$\textit{-rechtscolineare
Abbildung} (auch $C$\textit{-colineare Abbildung} oder auch ein $C$%
\textit{-Comodulhomomorphismus} genannt), wenn f\"{u}r alle $v\in V$ die
Gleichung $\delta_{W}\left(  f\left(  v\right)  \right)  =f\left(  v_{\left(
0\right)  }\right)  \otimes v_{\left(  1\right)  }$ gilt.

Mit anderen Worten: Genau dann ist $f$ eine $C$-rechtscolineare Abbildung,
wenn $\delta_{W}\circ f=\left(  f\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ
\delta_{V}$ ist.

Analog definieren wir $C$-linkscolineare Abbildungen zwischen $C$-Linkscomoduln.

\textbf{3)} Wir bezeichnen die Kategorie der $C$-Rechtscomoduln (mit
$C$-Comodulhomomorphismen als Morphismen) mit $\mathcal{M}^{C}.$ Ebenso sei
$^{C}\mathcal{M}$ die Kategorie der $C$-Linkscomoduln.

\textbf{4)} Ist $V\in\mathcal{M}^{C},$ und ist $V^{\prime}$ ein
Untervektorraum von $V,$ so nennen wir $V^{\prime}$ einen
\textit{Untercomodul} von $V,$ wenn f\"{u}r alle $v\in V^{\prime}$ gilt:
$\delta\left(  v\right)  \in V^{\prime}\otimes C.$

Mit anderen Worten: Ist $V\in\mathcal{M}^{C},$ und ist $V^{\prime}$ ein
Untervektorraum von $V,$ so nennen wir $V^{\prime}$ einen
\textit{Untercomodul} von $V,$ wenn $\delta\left(  V^{\prime}\right)
\subseteq V^{\prime}\otimes C$ ist (also wenn $V^{\prime}$ ein $C$%
-Rechtscomodul ist und die Inklusion $V^{\prime}\rightarrow V$ eine
$C$-colineare Abbildung ist).

\textbf{5)} Sei $V$ ein Vektorraum; sei $\delta:V\rightarrow V\otimes C$ eine
$k$-lineare Abbildung. Die Abbildung $\delta$ hei\ss t eine $C$%
\textit{-Rechtscomodulstruktur}, wenn $\left(  V,\delta\right)  $ ein
$C$-Rechtscomodul ist. Mit anderen Worten: Die Abbildung $\delta$ hei\ss t
eine $C$\textit{-Rechtscomodulstruktur}, wenn sie coassoziativ und
counit\"{a}r ist.

Analog definieren wir den Begriff einer $C$-Linkscomodulstruktur.

\textbf{4.1. Bemerkung:} \textbf{1)} Seien $C$ und $D$ zwei Coalgebren, sei
$\varphi:C\rightarrow D$ ein Coalgebrahomomorphismus, und sei $V$ ein
$C$-Rechtscomodul. Dann wird $V$ zu einem $D$-Rechtscomodul, wenn man die
Abbildung $\delta_{\varphi}:V\rightarrow V\otimes D$ als $\left(
\operatorname*{id}\otimes\varphi\right)  \circ\delta_{V}$ definiert (also als
Verkettung der Abbildungen \xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
V \ar[r]_-{\delta_V} \ar@/^3pc/[rr]^-{\delta_{\varphi}} & V\otimes C \ar[r]_-{\operatorname*{id}\otimes\varphi} & V\otimes D
}).

\textbf{2)} Ist $H$ eine Bialgebra, und sind $V,W\in\mathcal{M}^{H},$ dann
wird auch $V\otimes W$ zu einem $H$-Rechtscomodul durch die $k$-lineare
Abbildung $\delta_{V\otimes W}:V\otimes W\rightarrow V\otimes W\otimes H,$
welche definiert wird durch%
\[
\delta_{V\otimes W}\left(  v\otimes w\right)  =v_{\left(  0\right)  }\otimes
w_{\left(  0\right)  }\otimes v_{\left(  1\right)  }w_{\left(  1\right)
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }v\in V\text{ und }w\in W.
\]
Au\ss erdem wird $k$ zu einem $H$-Rechtscomodul durch die $k$-lineare
Abbildung $\delta:k\rightarrow k\otimes H,$ die $1$ auf $1\otimes1$ abbildet.

\textbf{3)} Man kann obige Definition eines $C$-Rechtscomoduls auch mit
kommutativen Diagrammen umformulieren:

Sei $C$ eine Coalgebra. Sei $V$ ein Vektorraum; sei $\delta:V\rightarrow
V\otimes C$ eine $k$-lineare Abbildung. Dann hei\ss t $\left(  V,\delta
\right)  $ ein $C$\textit{-Rechtscomodul}, wenn die Diagramme%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
V \ar[d]_{\delta} \ar[r]^-{\delta} & V\otimes C \ar[d]^{\delta\otimes\operatorname*{id}} \\
V\otimes C\ar[r]_-{\operatorname*{id}\otimes\Delta} & V\otimes C\otimes C
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xymatrix{
V \ar[d]^{\cong}_{\operatorname*{kan}} \ar[r]^-{\delta} & V\otimes C \ar[dl]^{\operatorname*{id}\otimes\varepsilon} \\
V \otimes k
}
\]
kommutativ sind. Man kann analog den Begriff eines Moduls \"{u}ber kommutative
Diagramme definieren, und man erkennt, da\ss \ es genau die gleichen Diagramme
sind, mit dem einzigen Unterschied, da\ss \ die Pfeile in die umgekehrte
Richtung weisen (daher auch der Name "Comodul").

\textbf{4)} Sei $C$ eine Coalgebra, und seien $V$ und $W$ zwei $C$%
-Rechtscomoduln. Sei $f:V\rightarrow W$ eine $C$-colineare Abbildung. Sei
$W^{\prime}\subseteq W$ ein Untercomodul von $W.$ Dann ist $f^{-1}\left(
W^{\prime}\right)  $ ein Untercomodul von $V.$

\textit{Beweis:} Da $W^{\prime}$ ein Untercomodul von $W$ ist, gilt
$\delta_{W}\left(  W^{\prime}\right)  \subseteq W^{\prime}\otimes C.$

Wir werden zuerst zeigen, da\ss \ $\left(  f\otimes\operatorname*{id}\right)
^{-1}\left(  W^{\prime}\otimes C\right)  =f^{-1}\left(  W^{\prime}\right)
\otimes C$ ist.

Dazu sei $\pi$ der kanonische Epimorphismus $W\rightarrow W\diagup W^{\prime
}.$ Die Folge%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
0 \ar[r] & f^{-1}\left(W^{\prime}\right) \ar@{^{(}->}[r] & V \ar[r]^{\pi f} & W\slash W^{\prime}
}
\]
ist exakt, denn $\operatorname*{Ker}\left(  \pi f\right)  =f^{-1}\left(
\underbrace{\operatorname*{Ker}\pi}_{=W^{\prime}}\right)  =f^{-1}\left(
W^{\prime}\right)  .$ Da Tensorieren \"{u}ber einem K\"{o}rper exakt ist, ist
daher auch die Folge%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
0 \ar[r] & f^{-1}\left(W^{\prime}\right)\otimes C \ar@{^{(}->}[r] & V\otimes C \ar[r]^{\pi f\otimes\operatorname*{id}} & \left(W\slash W^{\prime}\right)\otimes C
}
\]
exakt. Das hei\ss t,%
\begin{align*}
f^{-1}\left(  W^{\prime}\right)  \otimes C  &  =\operatorname*{Ker}\left(  \pi
f\otimes\operatorname*{id}\right)  =\operatorname*{Ker}\left(  \left(
\pi\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  f\otimes\operatorname*{id}%
\right)  \right) \\
&  =\left(  f\otimes\operatorname*{id}\right)  ^{-1}\left(
\operatorname*{Ker}\left(  \pi\otimes\operatorname*{id}\right)  \right)
=\left(  f\otimes\operatorname*{id}\right)  ^{-1}\left(  W^{\prime}\otimes
C\right)
\end{align*}
(denn $\operatorname*{Ker}\left(  \pi\otimes\operatorname*{id}\right)
=W^{\prime}\otimes C,$ weil $\left(  W\diagup W^{\prime}\right)  \otimes C$
kanonisch isomorph zu $\left(  W\otimes C\right)  \diagup\left(  W^{\prime
}\otimes C\right)  $ ist).

Nun ist%
\begin{align*}
\delta_{V}\left(  f^{-1}\left(  W^{\prime}\right)  \right)   &  \subseteq
\left(  f\otimes\operatorname*{id}\right)  ^{-1}\left(  \underbrace{\left(
\left(  f\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\delta_{V}\right)  }%
_{=\delta_{W}\circ f}\left(  f^{-1}\left(  W^{\prime}\right)  \right)  \right)
\\
&  =\left(  f\otimes\operatorname*{id}\right)  ^{-1}\left(  \delta_{W}\left(
\underbrace{f\left(  f^{-1}\left(  W^{\prime}\right)  \right)  }_{\subseteq
W^{\prime}}\right)  \right)  \subseteq\left(  f\otimes\operatorname*{id}%
\right)  ^{-1}\left(  \underbrace{\delta_{W}\left(  W^{\prime}\right)
}_{\subseteq W^{\prime}\otimes C}\right) \\
&  \subseteq\left(  f\otimes\operatorname*{id}\right)  ^{-1}\left(  W^{\prime
}\otimes C\right)  =f^{-1}\left(  W^{\prime}\right)  \otimes C.
\end{align*}
Somit ist $f^{-1}\left(  W^{\prime}\right)  $ ein Untercomodul von $V,$ was zu
beweisen war.

\textbf{4.2. Lemma:} Sei $C$ eine Coalgebra, und sei $V$ ein
endlichdimensionaler Vektorraum mit Basis $v_{1},v_{2},...,v_{n}.$

\textbf{1)} Sei $\delta:V\rightarrow V\otimes C$ eine $k$-lineare Abbildung.
Dann sind folgende zwei Aussagen \"{a}quivalent:

\textit{a)} Die Abbildung $\delta$ ist eine $C$-Rechtscomodulstruktur auf $V$
(das hei\ss t, $\left(  V,\delta\right)  $ ist ein $C$-Rechtscomodul).

\textit{b)} Die Matrix $\left(  c_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}%
\in\operatorname*{M}_{n}\left(  C\right)  ,$ die durch $\delta\left(
v_{j}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}\otimes c_{i,j}$ f\"{u}r alle
$j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ definiert ist\footnote{Diese Formulierung
ist sinnvoll, denn f\"{u}r jedes $j$ existiert genau ein $n$-Tupel $\left(
c_{1,j},c_{2,j},...,c_{n,j}\right)  ,$ das $\delta\left(  v_{j}\right)
=\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}\otimes c_{i,j}$ erf\"{u}llt.}, erf\"{u}llt%
\[
\Delta\left(  c_{i,j}\right)  =\sum_{l=1}^{n}c_{i,l}\otimes c_{l,j}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(
c_{i,j}\right)  =\delta_{i,j}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }1\leq
i,j\leq n.
\]


\textbf{2)} Die Abbildung%
\begin{align*}
\left\{  \delta:V\rightarrow V\otimes C\ \mid\ \delta\text{ ist eine
}C\text{-Rechtscomodulstruktur auf }V\right\}   &  \rightarrow
\operatorname*{Coalg}\left(  \operatorname*{M}\nolimits_{n}\left(  k\right)
^{\ast},C\right)  ,\\
\delta &  \mapsto\left(  x_{i,j}\mapsto c_{i,j}\right)  ,
\end{align*}
wobei die $c_{i,j}$ wie in Aussage \textbf{1)} definiert werden, ist bijektiv.

Hierbei bedeutet $\operatorname*{Coalg}\left(  \operatorname*{M}%
\nolimits_{n}\left(  k\right)  ^{\ast},C\right)  $ die Menge aller
Coalgebrahomomorphismen von $\operatorname*{M}\nolimits_{n}\left(  k\right)
^{\ast}$ nach $C,$ und unter $\operatorname*{M}\nolimits_{n}\left(  k\right)
^{\ast}$ verstehen wir die Coalgebra $C$ aus Beispiel 2.1. \textbf{2)}
(da\ss \ wir sie mit $\operatorname*{M}_{n}\left(  k\right)  ^{\ast}$
bezeichnen, kommt daher, da\ss \ sie dual zu der Matrixalgebra
$\operatorname*{M}_{n}\left(  k\right)  $ ist, wie wir in Beispiel 2.4.
\textbf{2)} gesehen haben).

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Sei $\delta:V\rightarrow V\otimes C$ eine
$k$-lineare Abbildung, und sei $\delta\left(  v_{j}\right)  =\sum
\limits_{i=1}^{n}v_{i}\otimes c_{i,j}$ f\"{u}r alle $j\in\left\{
1,2,...,n\right\}  .$

Die Axiome eines Comoduls m\"{u}ssen nur auf einer Basis des Vektorraums $V$
\"{u}berpr\"{u}ft werden - gelten sie n\"{a}mlich auf einer Basis, dann gelten
sie (wegen der Linearit\"{a}t von $\delta$) auch auf ganz $V.$ Hieraus folgt:
Genau dann ist $\delta$ eine $C$-Comodulstruktur auf $V$, wenn f\"{u}r jedes
$j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ gilt:%
\begin{align*}
\underbrace{\sum_{i=1}^{n}\delta\left(  v_{i}\right)  \otimes c_{i,j}}%
_{=\sum\limits_{i,l}v_{l}\otimes c_{l,i}\otimes c_{i,j}}  &  =\underbrace{\sum
_{i=1}^{n}v_{i}\otimes\Delta\left(  c_{i,j}\right)  }_{=\sum\limits_{l=1}%
^{n}v_{l}\otimes\Delta\left(  c_{l,j}\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}%
\\
\sum_{i=1}^{n}v_{i}\varepsilon\left(  c_{i,j}\right)   &  =v_{j}.
\end{align*}
Aber diese zwei Gleichungen sind \"{a}quivalent zu Aussage \textit{b)} (da
$v_{1},v_{2},...,v_{n}$ eine Basis von $V$ ist).

Damit ist die Aussage \textbf{1)} bewiesen. Die Aussage \textbf{2)} ist eine
Umformulierung von \textbf{1)}.

\textbf{4.2}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{.
Bemerkung:} Der Begriff eines Comoduls erm\"{o}glicht es uns, den Beweis von
Satz 2.21$\dfrac{\text{15}}{\text{20}}$. zu Ende zu f\"{u}hren. Wir erinnern
uns an die Aussage des Satzes:

Sei $H$ eine Bialgebra. Genau dann ist $H$ eine Hopfalgebra, wenn die lineare
Abbildung%
\[
\Phi:H\otimes H\rightarrow H\otimes H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\otimes y\mapsto
xy_{\left(  1\right)  }\otimes y_{\left(  2\right)  }%
\]
ein Vektorraumisomorphismus ist.

Wir haben zum Beweis dieses Satzes folgende zwei Aussagen formuliert:

\textit{Aussage 1:} Ist $H$ eine Hopfalgebra, dann ist $\Phi$ ein Vektorraumisomorphismus.

\textit{Aussage 2:} Ist $\Phi$ ein Vektorraumisomorphismus, dann ist $H$ eine Hopfalgebra.

Aussage 1 haben wir bereits vollst\"{a}ndig nachgewiesen; Aussage 2 allerdings
nur im Fall $\dim H<\infty$. Um den Beweis von 2.21$\dfrac{\text{15}%
}{\text{20}}$. abzuschlie\ss en, m\"{u}ssen wir Aussage 2 nun auch im
allgemeinen Fall beweisen.

\textit{Beweis von Aussage 2:} Wir erinnern uns an eine Definition, die wir in
2.21$\dfrac{\text{15}}{\text{20}}$. gegeben haben:

Ist $f:H\rightarrow H$ eine lineare Abbildung, dann bezeichne $\Phi_{f}$ die
lineare Abbildung $H\otimes H\rightarrow H\otimes H,$ die durch%
\[
\Phi_{f}\left(  x\otimes y\right)  =xf\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)
\otimes y_{\left(  2\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x,y\in
H
\]
definiert ist. Offensichtlich ist $\Phi_{\operatorname*{id}}=\Phi$. Wir haben
in 2.21$\dfrac{\text{15}}{\text{20}}$. folgende Lemmata bewiesen:

\textit{Lemma 1:} Seien $f:H\rightarrow H$ und $g:H\rightarrow H$ zwei lineare
Abbildungen. Dann ist $\Phi_{f}\circ\Phi_{g}=\Phi_{g\ast f}.$ Ferner ist
$\Phi_{\eta\varepsilon}=\operatorname*{id}_{H\otimes H}.$

\textit{Lemma 2:} Seien $f:H\rightarrow H$ und $g:H\rightarrow H$ zwei lineare
Abbildungen. Dann ist $\Phi_{f}+\Phi_{g}=\Phi_{f+g}.$ F\"{u}r jede lineare
Abbildung $f:H\rightarrow H$ und jedes $\lambda\in k$ gilt $\lambda\Phi
_{f}=\Phi_{\lambda f}.$

\textit{Lemma 3:} Die Abbildung%
\[
\left(  \operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  \right)  ^{\operatorname*{op}%
}\rightarrow\operatorname*{End}\left(  H\otimes H\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\mapsto\Phi_{f}%
\]
ist ein injektiver Algebrahomomorphismus, wobei die Multiplikation auf
$\operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  $ die Faltung $\ast$ ist, w\"{a}hrend
die Multiplikation auf $\operatorname*{End}\left(  H\otimes H\right)  $ die
Verkettung $\circ$ ist.\footnote{Dies sind zwei unterschiedliche Arten von
Multiplikation! Dies ist auch der Grund, wieso wir $\operatorname*{Hom}\left(
H,H\right)  $ anstelle von $\operatorname*{End}H$ schreiben: Denn als
Vektorr\"{a}ume sind $\operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  $ und
$\operatorname*{End}H$ zwar identisch, doch die Notation $\operatorname*{End}%
H$ tr\"{a}gt eine starke \"{A}hnlichkeit zu $\operatorname*{End}\left(
H\otimes H\right)  ,$ und k\"{o}nnte daher nahelegen, da\ss \ wir die
Multiplikation auf $\operatorname*{End}H$ \"{a}hnlich zu der auf
$\operatorname*{End}\left(  H\otimes H\right)  $ definieren, was aber nicht
der Fall ist.}

Nun betrachten wir auf dem Vektorraum $H\otimes H$ die $H$-Linksmodulstruktur,
die durch%
\[
tv=\left(  t\otimes1\right)  v\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }t\in
H\text{ und }v\in H\otimes H
\]
definiert ist. Ferner betrachten wir auf dem Vektorraum $H\otimes H$ die
$H$-Rechtscomodulstruktur%
\[
\operatorname*{id}\otimes\Delta:H\otimes H\rightarrow H\otimes H\otimes H.
\]
(Mit der Sweedler-Notation ausgedr\"{u}ckt ist $\operatorname*{id}%
\otimes\Delta$ diejenige lineare Abbildung $H\otimes H\rightarrow H\otimes
H\otimes H$, die jeden reinen Tensor $x\otimes y\in H\otimes H$ auf $x\otimes
y_{\left(  1\right)  }\otimes y_{\left(  2\right)  }$ abbildet. Es ist leicht
zu sehen, da\ss \ $\operatorname*{id}\otimes\Delta$ wirklich eine
$H$-Rechtscomodulstruktur ist.)

Sei $_{H}\operatorname*{End}\nolimits^{H}\left(  H\otimes H\right)  $ die
Menge aller Vektorraumendomorphismen von $H\otimes H$, welche gleichzeitig
$H$-Linksmodulendomorphismen und $H$-Rechtscomodulendomorphismen sind. Es ist
leicht zu sehen, da\ss \ $_{H}\operatorname*{End}\nolimits^{H}\left(  H\otimes
H\right)  $ eine Algebra (bez\"{u}glich der Verkettung $\circ$) ist. Wir
zeigen nun eine Verst\"{a}rkung von Lemma 3:

\textit{Lemma 5:} Die Abbildung%
\[
\left(  \operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  \right)  ^{\operatorname*{op}%
}\rightarrow\left.  _{H}\operatorname*{End}\nolimits^{H}\left(  H\otimes
H\right)  \right.  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\mapsto\Phi_{f}%
\]
ist ein Algebraisomorphismus, wobei die Multiplikation auf
$\operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  $ die Faltung $\ast$ ist, w\"{a}hrend
die Multiplikation auf $_{H}\operatorname*{End}\nolimits^{H}\left(  H\otimes
H\right)  $ die Verkettung $\circ$ ist.\footnote{Dies sind zwei
unterschiedliche Arten von Multiplikation! Dies ist auch der Grund, wieso wir
$\operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  $ anstelle von $\operatorname*{End}H$
schreiben: Denn als Vektorr\"{a}ume sind $\operatorname*{Hom}\left(
H,H\right)  $ und $\operatorname*{End}H$ zwar identisch, doch die Notation
$\operatorname*{End}H$ tr\"{a}gt eine starke \"{A}hnlichkeit zu
$\operatorname*{End}\left(  H\otimes H\right)  ,$ und k\"{o}nnte daher
nahelegen, da\ss \ wir die Multiplikation auf $\operatorname*{End}H$
\"{a}hnlich zu der auf $\operatorname*{End}\left(  H\otimes H\right)  $
definieren, was aber nicht der Fall ist.}

\textit{Beweis von Lemma 5:} \textbf{(a)} Erstmal m\"{u}ssen wir zeigen,
da\ss \ die Abbildung%
\[
\left(  \operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  \right)  ^{\operatorname*{op}%
}\rightarrow\left.  _{H}\operatorname*{End}\nolimits^{H}\left(  H\otimes
H\right)  \right.  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\mapsto\Phi_{f}%
\]
\"{u}berhaupt wohldefiniert ist, d. h. da\ss \ $\Phi_{f}\in\left.
_{H}\operatorname*{End}\nolimits^{H}\left(  H\otimes H\right)  \right.  $
f\"{u}r jedes $f\in\left(  \operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  \right)
^{\operatorname*{op}}$ ist.

In der Tat sei $f\in\left(  \operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  \right)
^{\operatorname*{op}}$ beliebig. Wir wollen dann erstmal zeigen,
da\ss \ $\Phi_{f}$ ein $H$-Linksmodulhomomorphismus ist. Dazu m\"{u}ssen wir
nachpr\"{u}fen, da\ss \ $\Phi_{f}\left(  tv\right)  =t\Phi_{f}\left(
v\right)  $ f\"{u}r alle $t\in H$ und $v\in H\otimes H$ gilt. Um diese
Gleichung zu beweisen, reicht es (wegen ihrer Linearit\"{a}t in $v$) aus, sie
nur f\"{u}r den Fall $v=x\otimes y$, wobei $x\in H$ und $y\in H$ gilt,
nachzupr\"{u}fen (denn jeder Tensor $v=H\otimes H$ ist eine Linearkombination
reiner Tensoren der Form $x\otimes y$ mit $x\in H$ und $y\in H$). In diesem
Fall folgt sie aber aus%
\begin{align*}
\Phi_{f}\left(  tv\right)   &  =\Phi_{f}\left(  t\left(  x\otimes y\right)
\right)  =\Phi_{f}\left(  tx\otimes y\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn nach der Definition der }H\text{-Linksmodulstruktur auf }H\otimes
H\\
\text{ist }t\left(  x\otimes y\right)  =\left(  t\otimes1\right)  \left(
x\otimes y\right)  =tx\otimes y
\end{array}
\right) \\
&  =txf\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes y_{\left(  2\right)
}=\left(  t\otimes1\right)  \underbrace{\left(  xf\left(  y_{\left(  1\right)
}\right)  \otimes y_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\Phi_{f}\left(  x\otimes
y\right)  }=\left(  t\otimes1\right)  \Phi_{f}\left(  x\otimes y\right) \\
&  =t\Phi_{f}\left(  x\otimes y\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{wieder nach der Definition der
}H\text{-Linksmodulstruktur auf }H\otimes H\right) \\
&  =t\Phi_{f}\left(  v\right)  .
\end{align*}
Somit ist $\Phi_{f}\left(  tv\right)  =t\Phi_{f}\left(  v\right)  $ f\"{u}r
alle $t\in H$ und $v\in H\otimes H$ nachgewiesen. Das hei\ss t, die Abbildung
$\Phi_{f}$ ist ein $H$-Linksmodulhomomorphismus.

Jetzt wollen wir zeigen, da\ss \ $\Phi_{f}$ ein $H$%
-Rechtscomodulhomomorphismus ist. Dazu m\"{u}ssen wir nachweisen,
da\ss \ f\"{u}r alle $v\in H\otimes H$ die Gleichung $\left(
\operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \left(  \Phi_{f}\left(  v\right)
\right)  =\left(  \Phi_{f}\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  \right)
\otimes v_{\left(  1\right)  }$ gilt. Da diese Gleichung in $v$ linear ist,
reicht es wieder aus, sie nur f\"{u}r den Fall $v=x\otimes y$, wobei $x\in H$
und $y\in H$ gilt, nachzupr\"{u}fen (denn jeder Tensor $v=H\otimes H$ ist eine
Linearkombination reiner Tensoren der Form $x\otimes y$ mit $x\in H$ und $y\in
H$). In diesem Fall folgt sie aber aus%
\begin{align*}
&  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \left(  \Phi_{f}\left(
v\right)  \right) \\
&  =\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \left(  \underbrace{\Phi
_{f}\left(  x\otimes y\right)  }_{=xf\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)
\otimes y_{\left(  2\right)  }}\right)  =\left(  \operatorname*{id}%
\otimes\Delta\right)  \left(  xf\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes
y_{\left(  2\right)  }\right)  =xf\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)
\otimes\Delta\left(  y_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =\underbrace{xf\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes y_{\left(
2\right)  }}_{=\Phi_{f}\left(  x\otimes y_{\left(  1\right)  }\right)
}\otimes y_{\left(  3\right)  }=\left(  \Phi_{f}\left(  x\otimes y_{\left(
1\right)  }\right)  \right)  \otimes y_{\left(  2\right)  }=\left(  \Phi
_{f}\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  \right)  \otimes v_{\left(
1\right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\left(  x\otimes y_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes y_{\left(
2\right)  }=\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)
\underbrace{\left(  x\otimes y\right)  }_{=v}=\left(  \operatorname*{id}%
\otimes\Delta\right)  v=v_{\left(  0\right)  }\otimes v_{\left(  1\right)
}\text{,}\\
\text{da }\operatorname*{id}\otimes\Delta\text{ die }%
H\text{-Rechtscomodulstruktur auf }H\otimes H\text{ ist}%
\end{array}
\right)  .
\end{align*}
Damit ist $\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \left(  \Phi
_{f}\left(  v\right)  \right)  =\left(  \Phi_{f}\left(  v_{\left(  0\right)
}\right)  \right)  \otimes v_{\left(  1\right)  }$ f\"{u}r alle $v\in H\otimes
H$ gezeigt, und hieraus folgt, da\ss \ $\Phi_{f}$ ein $H$%
-Rechtscomodulhomomorphismus ist.

Wir haben also gezeigt, da\ss \ $\Phi_{f}$ gleichzeitig ein $H$%
-Linksmodulendomorphismus und ein $H$-Rechtscomodulendomorphismus ist. Somit
ist $\Phi_{f}\in\left.  _{H}\operatorname*{End}\nolimits^{H}\left(  H\otimes
H\right)  \right.  $ (laut der Definition von $\left.  _{H}\operatorname*{End}%
\nolimits^{H}\left(  H\otimes H\right)  \right.  $).

Damit ist bewiesen, da\ss \ die Abbildung
\[
\left(  \operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  \right)  ^{\operatorname*{op}%
}\rightarrow\left.  _{H}\operatorname*{End}\nolimits^{H}\left(  H\otimes
H\right)  \right.  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\mapsto\Phi_{f}%
\]
wohldefiniert ist.

\textbf{(b)} Diese Abbildung ist ein Algebrahomomorphismus (nach Lemma 3).

\textbf{(c)} Diese Abbildung ist injektiv (nach Lemma 3).

\textbf{(d)} Jetzt wollen wir beweisen, da\ss \ diese Abbildung surjektiv ist.
Dazu m\"{u}ssen wir zeigen: F\"{u}r jedes $\Psi\in\left.  _{H}%
\operatorname*{End}\nolimits^{H}\left(  H\otimes H\right)  \right.  $ gibt es
ein $f\in\left(  \operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  \right)
^{\operatorname*{op}}$ mit $\Psi=\Phi_{f}$.

In der Tat sei $\Psi\in\left.  _{H}\operatorname*{End}\nolimits^{H}\left(
H\otimes H\right)  \right.  $ beliebig. Sei $\iota_{1}:H\rightarrow H\otimes
H$ die durch $x\mapsto1\otimes x$ definierte Abbildung, und sei $f=\left(
\operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)  \circ\Psi\circ\iota_{1}$. Wir
wollen nun zeigen, da\ss \ $\Psi=\Phi_{f}$ ist.

Da $\Psi\in\left.  _{H}\operatorname*{End}\nolimits^{H}\left(  H\otimes
H\right)  \right.  $ ist, ist $\Psi$ ein $H$-Rechtscomodulendomorphismus, d.
h. es gilt $\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \left(
\Psi\left(  v\right)  \right)  =\left(  \Psi\left(  v_{\left(  0\right)
}\right)  \right)  \otimes v_{\left(  1\right)  }$ f\"{u}r alle $v\in H\otimes
H$. Sei nun $y\in H$. Anwendung der Gleichung $\left(  \operatorname*{id}%
\otimes\Delta\right)  \left(  \Psi\left(  v\right)  \right)  =\left(
\Psi\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  \right)  \otimes v_{\left(
1\right)  }$ auf $v=1\otimes y$ ergibt
\[
\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \left(  \Psi\left(  1\otimes
y\right)  \right)  =\left(  \Psi\left(  1\otimes y_{\left(  1\right)
}\right)  \right)  \otimes y_{\left(  2\right)  }%
\]
(denn f\"{u}r $v=1\otimes y$ ist $v_{\left(  0\right)  }\otimes v_{\left(
1\right)  }=\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \left(  v\right)
=\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \left(  1\otimes y\right)
=1\otimes y_{\left(  1\right)  }\otimes y_{\left(  2\right)  }$). Dies ist
eine Gleichung zwischen zwei Elementen von $H\otimes H\otimes H$. Wenden wir
die Abbildung $\operatorname*{id}\otimes\varepsilon\otimes\operatorname*{id}$
auf beide Seiten dieser Gleichung an, so erhalten wir%
\[
\left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)
\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \left(  \Psi\left(
1\otimes y\right)  \right)  \right)  =\left(  \operatorname*{id}%
\otimes\varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  \Psi\left(
1\otimes y_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes y_{\left(  2\right)  }\right)
.
\]
Wegen
\begin{align*}
&  \left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\otimes\operatorname*{id}%
\right)  \left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \left(
\Psi\left(  1\otimes y\right)  \right)  \right) \\
&  =\left(  \underbrace{\left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon
\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\left(  \operatorname*{id}\otimes
\Delta\right)  }_{=\operatorname*{id}\otimes\left(  \left(  \varepsilon
\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\right)  }\right)  \left(
\Psi\left(  1\otimes y\right)  \right) \\
&  =\left(  \operatorname*{id}\otimes\underbrace{\left(  \left(
\varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta\right)
}_{=\operatorname*{id}\text{ (denn }H\text{ ist eine Coalgebra)}}\right)
\left(  \Psi\left(  1\otimes y\right)  \right)  =\Psi\left(  1\otimes
y\right)
\end{align*}
und%
\begin{align*}
&  \left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\otimes\operatorname*{id}%
\right)  \left(  \Psi\left(  1\otimes y_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes
y_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =\left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)  \left(  \Psi\left(
1\otimes y_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \otimes y_{\left(  2\right)
}\\
&  =\underbrace{\left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)  \left(
\Psi\left(  \iota_{1}\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \right)
}_{=\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)  \circ
\Psi\circ\iota_{1}\right)  \left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  }\otimes
y_{\left(  2\right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn nach der Definition von }\iota
_{1}\text{ ist }1\otimes y_{\left(  1\right)  }=\iota_{1}\left(  y_{\left(
1\right)  }\right)  \right) \\
&  =\underbrace{\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)
\circ\Psi\circ\iota_{1}\right)  }_{=f}\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)
\otimes y_{\left(  2\right)  }=f\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes
y_{\left(  2\right)  }%
\end{align*}
wird dies zu%
\[
\Psi\left(  1\otimes y\right)  =f\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)
\otimes y_{\left(  2\right)  }.
\]


F\"{u}r alle $x\in H$ und $y\in H$ ist nun%
\begin{align*}
\Psi\left(  x\otimes y\right)   &  =\Psi\left(  x\left(  1\otimes y\right)
\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn nach der Definition der }H\text{-Linksmodulstruktur auf }H\otimes
H\text{ ist}\\
x\left(  1\otimes y\right)  =\left(  x\otimes1\right)  \left(  1\otimes
y\right)  =x\otimes y\text{, also }\Psi\left(  x\left(  1\otimes y\right)
\right)  =\Psi\left(  x\otimes y\right)
\end{array}
\right) \\
&  =x\Psi\left(  1\otimes y\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\Psi\in\left.  _{H}\operatorname*{End}\nolimits^{H}\left(
H\otimes H\right)  \right.  \text{, und somit ist }\Psi\text{ ein}\\
H\text{-Linksmodulendomorphismus}%
\end{array}
\right) \\
&  =xf\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes y_{\left(  2\right)
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\Psi\left(  1\otimes y\right)
=f\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes y_{\left(  2\right)  }\right)
\\
&  =\Phi_{f}\left(  x\otimes y\right)  .
\end{align*}
Da die reinen Tensoren der Form $x\otimes y$ mit $x\in H$ und $y\in H$ den
gesamten Vektorraum $H\otimes H$ erzeugen, folgt hieraus, da\ss \ $\Psi
=\Phi_{f}$ ist. Wir haben damit gezeigt, da\ss \ es f\"{u}r jedes $\Psi
\in\left.  _{H}\operatorname*{End}\nolimits^{H}\left(  H\otimes H\right)
\right.  $ ein $f\in\left(  \operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  \right)
^{\operatorname*{op}}$ mit $\Psi=\Phi_{f}$ gibt. Daher ist die Abbildung
\[
\left(  \operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  \right)  ^{\operatorname*{op}%
}\rightarrow\left.  _{H}\operatorname*{End}\nolimits^{H}\left(  H\otimes
H\right)  \right.  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\mapsto\Phi_{f}%
\]
surjektiv.

Insgesamt wissen wir nun: Die Abbildung%
\[
\left(  \operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  \right)  ^{\operatorname*{op}%
}\rightarrow\left.  _{H}\operatorname*{End}\nolimits^{H}\left(  H\otimes
H\right)  \right.  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\mapsto\Phi_{f}%
\]
ist wohldefiniert (gem\"{a}\ss \ \textbf{(a)}), ein Algebrahomomorphismus
(gem\"{a}\ss \ \textbf{(b)}), injektiv (gem\"{a}\ss \ \textbf{(c)}) und
surjektiv (gem\"{a}\ss \ \textbf{(d)}).\ Somit ist diese Abbildung ein
Algebraisomorphismus, und Lemma 5 ist bewiesen.

Ein beinahe triviales Lemma:

\textit{Lemma 6:} Ist $\Gamma$ ein Element von $\left.  _{H}%
\operatorname*{End}\nolimits^{H}\left(  H\otimes H\right)  \right.  $ und
gleichzeitig ein Vektorraumisomorphismus, dann ist auch das Inverse
$\Gamma^{-1}$ ein Element von $\left.  _{H}\operatorname*{End}\nolimits^{H}%
\left(  H\otimes H\right)  \right.  $.

\textit{Beweis von\ Lemma 6:} Dies ist klar, denn das Inverse eines
$H$-Linksmodulendomorphismus ist wieder ein $H$-Linksmodulendomorphismus, und
das Inverse eines $H$-Rechtscomodulhomomorphismus ist wieder ein $H$-Rechtscomodulhomomorphismus.

Nun zum eigentlichen und endg\"{u}ltigen \textit{Beweis von Aussage 2:}
Angenommen, $\Phi$ ist ein Vektorraumisomorphismus. Wir wollen zeigen,
da\ss \ $H$ eine Hopfalgebra ist.

Nach Lemma 5 ist $\Phi_{\operatorname*{id}}\in\left.  _{H}\operatorname*{End}%
\nolimits^{H}\left(  H\otimes H\right)  \right.  $ (denn $\Phi
_{\operatorname*{id}}$ ist das Bild von $\operatorname*{id}\in\left(
\operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  \right)  ^{\operatorname*{op}}$ unter
der Abbildung%
\[
\left(  \operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  \right)  ^{\operatorname*{op}%
}\rightarrow\left.  _{H}\operatorname*{End}\nolimits^{H}\left(  H\otimes
H\right)  \right.  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\mapsto\Phi_{f}%
\]
). Wegen $\Phi_{\operatorname*{id}}=\Phi$ ist also $\Phi\in\left.
_{H}\operatorname*{End}\nolimits^{H}\left(  H\otimes H\right)  \right.  $.
Somit ist auch $\Phi^{-1}\in\left.  _{H}\operatorname*{End}\nolimits^{H}%
\left(  H\otimes H\right)  \right.  $ (nach Lemma 6, angewandt auf
$\Gamma=\Phi$). Somit gibt es ein $f\in\left(  \operatorname*{Hom}\left(
H,H\right)  \right)  ^{\operatorname*{op}}$ mit $\Phi^{-1}=\Phi_{f}$ (denn
nach Lemma 5 ist die Abbildung%
\[
\left(  \operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  \right)  ^{\operatorname*{op}%
}\rightarrow\left.  _{H}\operatorname*{End}\nolimits^{H}\left(  H\otimes
H\right)  \right.  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\mapsto\Phi_{f}%
\]
surjektiv). Wir haben also $\Phi_{\operatorname*{id}}^{-1}=\Phi^{-1}=\Phi_{f}%
$, und daher $\Phi_{\operatorname*{id}}\circ\Phi_{f}=\Phi_{f}\circ
\Phi_{\operatorname*{id}}=\operatorname*{id}\nolimits_{H\otimes H}$. Nach
Lemma 1 wird dies zu $\Phi_{f\ast\operatorname*{id}}=\Phi_{\operatorname*{id}%
\ast f}=\Phi_{\eta\varepsilon}$. Da die Abbildung%
\[
\left(  \operatorname*{Hom}\left(  H,H\right)  \right)  ^{\operatorname*{op}%
}\rightarrow\left.  _{H}\operatorname*{End}\nolimits^{H}\left(  H\otimes
H\right)  \right.  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\mapsto\Phi_{f}%
\]
injektiv ist, folgt hieraus $f\ast\operatorname*{id}=\operatorname*{id}\ast
f=\eta\varepsilon$. Das hei\ss t, $f$ ist ein $\ast$-Inverses zu
$\operatorname*{id}$. Somit ist $H$ eine Hopfalgebra mit Antipode $f$, und
Aussage 2 ist bewiesen. Mithin ist der Beweis von Satz 2.21$\dfrac{\text{15}%
}{\text{20}}$ komplett.

\bigskip

\fbox{\textbf{Der Endlichkeitssatz}}

Eine wichtige Eigenschaft von Comoduln und Coalgebren, die \textit{keine}
Entsprechung bei Moduln und Algebren findet, ist eine Art automatische Endlichkeitseigenschaft:

\textbf{4.3. Satz (Endlichkeitssatz):} Sei $C$ eine Coalgebra, und
$V\in\mathcal{M}^{C}.$

\textbf{1)} \textit{a)} F\"{u}r jedes $v\in V$ gibt es einen
endlichdimensionalen Untercomodul $V^{\prime}$ von $V$ mit $v\in V^{\prime}.$

\textit{b)} Es gilt%
\[
V=\bigcup_{\substack{V^{\prime}\subseteq V\\\text{endlichdimensionaler}%
\\\text{Untercomodul}}}V^{\prime}.
\]


\textbf{2)} \textit{a)} F\"{u}r jedes $c\in C$ gibt es eine
endlichdimensionale\footnote{Wie immer bedeutet "Dimension" die Dimension
eines Vektorraumes \"{u}ber $k.$} Untercoalgebra\footnote{F\"{u}r die
Definition einer Untercoalgebra siehe den Anfang von Kapitel 2.} $C^{\prime}$
von $C$ mit $c\in C^{\prime}.$

\textit{b)} Es gilt%
\[
C=\bigcup_{\substack{C^{\prime}\subseteq C\\\text{endlichdimensionale}%
\\\text{Untercoalgebra}}}C^{\prime}.
\]


\textit{Beweis:} \textbf{1)} \textit{a)} Sei $\left(  c_{i}\right)  _{i\in I}$
eine Basis von $C,$ und sei $\delta\left(  v\right)  =\sum\limits_{i\in
I}v_{i}\otimes c_{i},$ wobei $v_{i}\in V$ f\"{u}r alle $i\in I,$ und
$v_{i}\neq0$ nur f\"{u}r endlich viele $i.$ Dann ist
\begin{align*}
\sum\limits_{j\in I}\delta\left(  v_{j}\right)  \otimes c_{j}  &
=\sum\limits_{i\in I}\delta\left(  v_{i}\right)  \otimes c_{i}=\delta\left(
v_{\left(  0\right)  }\right)  \otimes v_{\left(  1\right)  }%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\sum\limits_{i\in I}v_{i}\otimes
c_{i}=\delta\left(  v\right)  =v_{\left(  0\right)  }\otimes v_{\left(
1\right)  }\right) \\
&  =v_{\left(  0\right)  }\otimes\Delta\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }V\text{ ist ein }%
C\text{-Rechtscomodul}\right) \\
&  =\sum\limits_{i\in I}v_{i}\otimes\Delta\left(  c_{i}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }v_{\left(  0\right)  }\otimes
v_{\left(  1\right)  }=\sum\limits_{i\in I}v_{i}\otimes c_{i}\right)  .
\end{align*}
Schreiben wir den Tensor $\Delta\left(  c_{i}\right)  \in C\otimes C$ in der
Form $\Delta\left(  c_{i}\right)  =\sum\limits_{j\in I}c_{i,j}\otimes c_{j}$
f\"{u}r jedes $i\in I,$ wobei $c_{i,j}\in C$ f\"{u}r alle $j\in I$ und
$c_{i,j}\neq0$ nur f\"{u}r endlich viele $j$ (bei festem $i$). Dann wird
$\sum\limits_{j\in I}\delta\left(  v_{j}\right)  \otimes c_{j}=\sum
\limits_{i\in I}v_{i}\otimes\Delta\left(  c_{i}\right)  $ zu $\sum
\limits_{j\in I}\delta\left(  v_{j}\right)  \otimes c_{j}=\sum\limits_{i,j\in
I}v_{i}\otimes c_{i,j}\otimes c_{j}.$ Da $\left(  c_{i}\right)  _{i\in I}$
eine Basis von $C$ ist, ergibt sich aus dieser Gleichung durch
Koeffizientenvergleich\footnote{Mit "Koeffizientenvergleich" meinen wir
hierbei die Anwendung von Folgerung 1.8 \textbf{2)} aus Kapitel I (und zwar
wenden wir in diesem Fall die Eindeutigkeit der Darstellung an).},
da\ss \ $\delta\left(  v_{j}\right)  =\sum\limits_{i\in I}v_{i}\otimes
c_{i,j}$ f\"{u}r alle $j\in I$ gilt.

Wegen $\delta\left(  v\right)  =\sum\limits_{i\in I}v_{i}\otimes c_{i}$ ist
$v=\sum\limits_{i\in I}v_{i}\varepsilon\left(  c_{i}\right)  $ (denn da $V$
ein $C$-Rechtscomodul ist, gilt $v=v_{\left(  0\right)  }\varepsilon\left(
v_{\left(  1\right)  }\right)  $).

Setze nun $V^{\prime}=\sum\limits_{i\in I}kv_{i}.$ Dann ist $V^{\prime}$ ein
Untercomodul von $V$ (denn f\"{u}r jedes $j\in I$ ist $\delta\left(
v_{j}\right)  =\sum\limits_{i\in I}\underbrace{v_{i}}_{\in V^{\prime}}%
\otimes\underbrace{c_{i,j}}_{\in C}\in V^{\prime}\otimes C$) und erf\"{u}llt
$v=\sum\limits_{i\in I}v_{i}\varepsilon\left(  c_{i}\right)  \in V^{\prime}.$
Ferner ist $\dim V^{\prime}<\infty,$ denn nur endlich viele $i$ erf\"{u}llen
$v_{i}\neq0.$ Damit ist Satz \textbf{1)} \textit{a)} gezeigt.

\textbf{1)} \textit{b)} ist nur eine Umformulierung von \textbf{1)}
\textit{a)}.

\textbf{2)} \textit{a)} Betrachten wir $C$ als $C$-Rechtscomodul verm\"{o}ge
$\delta_{C}=\Delta.$ Laut Satz \textbf{1)} \textit{a)} gibt es einen
endlichdimensionalen $C$-Rechtsuntercomodul $C^{\prime}$ von $C$ mit $c\in
C^{\prime}.$ Sei $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ eine Basis von $C^{\prime}.$

Da $\Delta\left(  C^{\prime}\right)  =\delta_{C}\left(  C^{\prime}\right)
\subseteq C^{\prime}\otimes C$ gilt, folgt hieraus: Es gibt f\"{u}r jedes
$j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ Elemente $c_{i,j}\in C$ f\"{u}r alle $1\leq
i\leq n$ so, da\ss \ $\Delta\left(  v_{j}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}%
v_{i}\otimes c_{i,j}$ gilt (und f\"{u}r jedes $j\in\left\{  1,2,...,n\right\}
$ nur endlich viele $c_{i,j}$ von $0$ verschieden sind). Betrachten wir diese
Elemente $c_{i,j}\in C$.

F\"{u}r jedes $j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ ist $\Delta\left(
v_{j}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}\otimes c_{i,j}$. Mit anderen Worten:
F\"{u}r jedes $l\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ ist $\Delta\left(
v_{l}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}\otimes c_{i,l}$. F\"{u}r jedes
$j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ ist nun%
\begin{align*}
\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}\otimes\left(  \sum\limits_{l=1}^{n}c_{i,l}\otimes
c_{l,j}\right)   &  =\sum\limits_{l=1}^{n}\underbrace{\sum_{i=1}^{n}%
v_{i}\otimes c_{i,l}}_{=\Delta\left(  v_{l}\right)  }\otimes c_{l,j}%
=\sum\limits_{l=1}^{n}\Delta\left(  v_{l}\right)  \otimes c_{l,j}=\left(
\Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \underbrace{\left(  \sum_{l=1}%
^{n}v_{l}\otimes c_{l,j}\right)  }_{=\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}\otimes
c_{i,j}=\Delta\left(  v_{j}\right)  }\\
&  =\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  \Delta\left(
v_{j}\right)  \right)  =\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)
\left(  \Delta\left(  v_{j}\right)  \right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{denn }C\text{ ist eine Coalgebra}\right) \\
&  =\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \left(  \sum
\limits_{i=1}^{n}v_{i}\otimes c_{i,j}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{denn }\Delta\left(  v_{j}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}\otimes
c_{i,j}\right) \\
&  =\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}\otimes\Delta\left(  c_{i,j}\right)  .
\end{align*}
Da $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ eine Basis von $C^{\prime}$ ist, liefert
Koeffizientenvergleich hieraus, da\ss \ $\Delta\left(  c_{i,j}\right)
=\sum\limits_{l=1}^{n}c_{i,l}\otimes c_{l,j}$ f\"{u}r alle $i\in\left\{
1,2,...,n\right\}  $ und alle $j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $
gilt.\footnote{An dieser Stelle kann man eine weitere (aber nicht mehr zum
Beweis notwendige) Eigenschaft der $c_{i,j}$ zeigen: F\"{u}r alle
$i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ und alle $j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $
ist $\varepsilon\left(  c_{i,j}\right)  =\delta_{i,j}$.
\par
\textit{Beweis:} F\"{u}r jedes $j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ ist%
\begin{align*}
\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}\varepsilon\left(  c_{i,j}\right)   &  =\left(
\operatorname*{kan}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)
\right)  \left(  \underbrace{\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}\otimes c_{i,j}%
}_{=\Delta\left(  v_{j}\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{wobei }\operatorname*{kan}\text{ den
kanonischen Isomorphismus }C\otimes k\rightarrow C\text{ bezeichnet}\right) \\
&  =\left(  \operatorname*{kan}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes
\varepsilon\right)  \right)  \left(  \Delta\left(  v_{j}\right)  \right)
=\underbrace{\left(  \operatorname*{kan}\circ\left(  \operatorname*{id}%
\otimes\varepsilon\right)  \circ\Delta\right)  }_{=\operatorname*{id}\text{
(denn }C\text{ ist eine Coalgebra)}}\left(  v_{j}\right)  =\operatorname*{id}%
\left(  v_{j}\right)  =v_{j}\\
&  =\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}\delta_{i,j}.
\end{align*}
Da $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ eine Basis von $C^{\prime}$ ist, folgt hieraus,
da\ss \ $\varepsilon\left(  c_{i,j}\right)  =\delta_{i,j}$ f\"{u}r alle
$i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ und alle $j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $
ist.}

Sei nun $C^{\prime\prime}=\sum\limits_{i=1}^{n}kv_{i}+\sum\limits_{i,j}%
kc_{i,j}\subseteq C$. Dann ist $\Delta\left(  v_{j}\right)  =\sum
\limits_{i=1}^{n}\underbrace{v_{i}}_{\in C^{\prime\prime}}\otimes
\underbrace{c_{i,j}}_{\in C^{\prime\prime}}\in C^{\prime\prime}\otimes
C^{\prime\prime}$ f\"{u}r jedes $j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $, und
$\Delta\left(  c_{i,j}\right)  =\sum\limits_{l=1}^{n}\underbrace{c_{i,l}}_{\in
C^{\prime\prime}}\otimes\underbrace{c_{l,j}}_{\in C^{\prime\prime}}\in
C^{\prime\prime}\otimes C^{\prime\prime}$ f\"{u}r alle $i\in\left\{
1,2,...,n\right\}  $ und alle $j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $. Somit ist
$C^{\prime\prime}=\sum\limits_{i=1}^{n}kv_{i}+\sum\limits_{i,j}kc_{i,j}$ eine
Untercoalgebra von $C$ mit $c\in C^{\prime}\subseteq C^{\prime\prime}$ und
$\dim C^{\prime\prime}<\infty$ (weil wieder nur endlich viele $v_{i}$ und auch
endlich viele $c_{i,j}$ ungleich $0$ sind).

\textbf{2)} \textit{b)} ist wieder nur eine Umformulierung von \textbf{2)}
\textit{a)}.

\bigskip

\fbox{$H$\textbf{-Comodulalgebren}}

In Kapitel 3 haben wir $H$-Modulalgebren definiert. Nachdem wir nun Comoduln
kennen, k\"{o}nnen wir eine analoge Struktur auf Comoduln einf\"{u}hren:

\textbf{Definition:} Sei $H$ eine Bialgebra, und sei $A$ eine Algebra.
Angenommen, $A$ ist ein $H$-Rechtscomodul;\ das hei\ss t, es gibt eine
$k$-lineare Abbildung $\delta:A\rightarrow A\otimes H,$ die eine
$H$-Rechtscomodulstruktur auf $A$ ist. Dann bezeichnet man $\left(
A,\delta\right)  $ oder kurz auch $A$ als eine $H$%
\textit{-Rechtscomodulalgebra}, wenn $\delta$ ein Algebrahomomorphismus ist.

Wir werden gleich eine alternative Definition von $H$-Rechtscomodulalgebren
geben (und dabei gleich noch eine alternative Definition von $H$%
-Linksmodulalgebren); daf\"{u}r ben\"{o}tigen wir einen Begriff:

Wir sagen, auf einer Kategorie $\mathcal{C}$ sei ein \textit{Tensorprodukt}
definiert, wenn es eine Abbildung $\otimes:\operatorname*{Ob}\mathcal{C}%
\times\operatorname*{Ob}\mathcal{C\rightarrow}\operatorname*{Ob}\mathcal{C}$
gibt, die je zwei Objekten $X,Y\in\operatorname*{Ob}\mathcal{C}$ ein
"Tensorprodukt" $X\otimes Y\in\operatorname*{Ob}\mathcal{C}$ zuordnet, sowie
ein ausgew\"{a}hltes Objekt $k\in\operatorname*{Ob}\mathcal{C}$ existiert, und
diese Abbildung $\otimes$ und dieses Objekt $k$ einige bestimmte Eigenschaften
erf\"{u}llen (n\"{a}mlich soll es \textit{kanonische} Isomorphismen $\left(
X\otimes Y\right)  \otimes Z\cong X\otimes\left(  Y\otimes Z\right)  $ und
$X\otimes k\cong X\cong k\otimes X$ geben, und f\"{u}r diese Isomorphismen
sollen einige Diagramme kommutieren\footnote{Wir wollen an dieser Stelle nicht
genauer spezifizieren, was f\"{u}r Diagramme wir dabei meinen, denn in unserem
Fall wird das Tensorprodukt $\otimes$ sowieso immer das ganz gew\"{o}hnliche
Tensorprodukt von $k$-Moduln sein.}). Wir wollen uns nicht tiefer in die
Details dieser Definition begeben, denn in unserem Falle wird dieses
Tensorprodukt $\otimes$ immer einfach das Tensorprodukt von $k$-Moduln sein.

Angenommen, wir haben nun eine Kategorie $\mathcal{C}$ mit einem Tensorprodukt
$\otimes$ (also eine Kategorie $\mathcal{C},$ auf der ein Tensorprodukt
$\otimes$ definiert ist). Unter einer \textit{Algebra} in der Kategorie
$\mathcal{C}$ verstehen wir dann ein Tripel $\left(  A,\mu,\eta\right)  ,$
wobei $A$ ein Objekt von $\mathcal{C}$ ist, und $\mu:A\otimes A\rightarrow A$
und $\eta:k\rightarrow A$ Morphismen sind so, da\ss \ die Diagramme (1.1),
(1.2) und (1.3) kommutativ sind.

Offensichtlich ist dieser Begriff einer "Algebra in der Kategorie
$\mathcal{C}$" an den Begriff einer Algebra (genauer gesagt, einer
$k$-Algebra$_{3},$ so wie wir sie in Kapitel 1 definiert haben) \"{u}ber einem
kommutativen Ring $k$ angelehnt. Und in der Tat ist letzterer Begriff ein
Sonderfall des ersteren - denn $k$-Algebren$_{3}$ \"{u}ber einem kommutativen
Ring $k$ sind nichts anderes als Algebren in der Kategorie $\mathcal{M}_{k}$
(mit dem gew\"{o}hnlichen Tensorprodukt $\otimes$).

Nun k\"{o}nnen wir alternative Definitionen von $H$-Linksmodulalgebren und
$H$-Rechtscomodulalgebren angeben:

\textbf{4.4. Bemerkung:} \textbf{1)} Sei $H$ eine Bialgebra, und sei $A$ eine
Algebra. Dann ist $A$ genau dann eine $H$-Linksmodulalgebra, wenn $A$ eine
Algebra in $_{H}\mathcal{M}$ bez\"{u}glich $\otimes$ (wie oben) ist. Ferner
ist $A$ genau dann eine $H$-Rechtscomodulalgebra, wenn $A$ eine Algebra in
$\mathcal{M}^{H}$ bez\"{u}glich $\otimes$ (wie oben) ist. Dabei ist auf jeder
der Kategorien $_{H}\mathcal{M}$ und $\mathcal{M}^{H}$ ein Tensorprodukt
$\otimes$ definiert - n\"{a}mlich das gew\"{o}hnliche Tensorprodukt von
$k$-Moduln, mit einer (f\"{u}r $_{H}\mathcal{M}$ in Bemerkung 2.22.
\textbf{1)} und f\"{u}r $\mathcal{M}^{H}$ in Bemerkung 4.1. \textbf{2)}
definierten) zus\"{a}tzlichen Struktur.

\textit{Beweis:} Trivial (man schreibe beide Definitionen explizit hin und
\"{u}berzeuge sich, da\ss \ sie dann identisch sind).

\textbf{2)} Sei $H$ eine Bialgebra, und sei $A$ eine Algebra. Sei
$\delta:A\rightarrow A\otimes H$ ein Algebrahomomorphismus. Dann gilt: Genau
dann ist $A$ eine $H$-Rechtscomodulalgebra, wenn die Comodulaxiome f\"{u}r die
Elemente eines Algebraerzeugendensystems von $A$ gelten (d. h. wenn es ein
Algebraerzeugendensystem $\left(  u_{i}\right)  _{i\in I}$ von $A$ gibt so,
da\ss \ $\delta\left(  \left(  u_{i}\right)  _{\left(  0\right)  }\right)
\otimes\left(  u_{i}\right)  _{\left(  1\right)  }=\left(  u_{i}\right)
_{\left(  0\right)  }\otimes\Delta\left(  \left(  u_{i}\right)  _{\left(
1\right)  }\right)  $ und $u_{i}=\left(  u_{i}\right)  _{\left(  0\right)
}\varepsilon\left(  \left(  u_{i}\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  $
f\"{u}r jedes $i\in I$ gelten).

\textit{Beweis:} klar.

\textbf{3)} Sind $H$ und $H^{\prime}$ Bialgebren, ist $\varphi:H\rightarrow
H^{\prime}$ ein Bialgebrahomomorphismus, und ist $A$ eine $H$%
-Rechtscomodulalgebra, dann wird $A$ zu einer $H^{\prime}$%
-Rechtscomodulalgebra, wenn man die Abbildung $\delta^{\prime}:A\rightarrow
A\otimes H^{\prime}$ als $\left(  \operatorname*{id}\otimes\varphi\right)
\circ\delta$ definiert (also als Verkettung der Abbildungen
\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
A \ar[r]_-{\delta} \ar@/^3pc/[rr]^-{\delta^{\prime}} & A\otimes H \ar[r]_-{\operatorname*{id}\otimes\varphi} & A\otimes H^{\prime}
}).

\textit{Warnung:} Eine $H$-Rechtscomodulalgebra ist (trotz des etwas
irref\"{u}hrenden Namens) im Allgemeinen keine $H$-Algebra, sondern nur eine
$k$-Algebra!

\textbf{4.5. Beispiele:} \textbf{1)} Sei $H$ eine Bialgebra, und sei $A$ eine
$H$-Linksmodulalgebra. Dann ist $A\sharp H$ eine $H$-Rechtscomodulalgebra
verm\"{o}ge%
\[
\delta=\operatorname*{id}\otimes\Delta:A\sharp H\rightarrow\left(  A\sharp
H\right)  \otimes H.
\]


\textit{Beweis:} Offensichtlich ist $\delta$ eine $H$-Rechtscomodulstruktur.
Da\ss \ $\delta$ ein Algebrahomomorphismus ist, zeigen wir folgenderma\ss en:
F\"{u}r alle $a,b\in A$ und $g,h\in H$ ist%
\[
\delta\left(  \underbrace{\left(  a\sharp g\right)  \left(  b\sharp h\right)
}_{=a\left(  g_{\left(  1\right)  }\cdot b\right)  \sharp g_{\left(  2\right)
}h}\right)  =\left(  a\left(  g_{\left(  1\right)  }\cdot b\right)
\ \sharp\ g_{\left(  2\right)  }h_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes
g_{\left(  3\right)  }h_{\left(  2\right)  }%
\]
und%
\begin{align*}
\delta\left(  a\sharp g\right)  \delta\left(  b\sharp h\right)   &  =\left(
\left(  a\sharp g_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes g_{\left(  2\right)
}\right)  \cdot\left(  \left(  b\sharp h_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes
h_{\left(  2\right)  }\right)  =\left(  a\sharp g_{\left(  1\right)  }\right)
\left(  b\sharp h_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes g_{\left(  2\right)
}h_{\left(  2\right)  }\\
&  =\left(  a\left(  g_{\left(  1\right)  }\cdot b\right)  \ \sharp
\ g_{\left(  2\right)  }h_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes g_{\left(
3\right)  }h_{\left(  2\right)  }.
\end{align*}
Au\ss erdem ist $\delta\left(  1\right)  =\left(  1\sharp1\right)  \otimes1.$

\textbf{2)} Sei $G$ eine Gruppe, und sei $N\vartriangleleft G.$ Betrachte die
Gruppenalgebra $A=k\left[  G\right]  $ von $G$ (als Algebra), und betrachte
$H=k\left[  G\diagup N\right]  $ als Bialgebra. Dann ist $A$ eine
$H$-Rechtscomodulalgebra verm\"{o}ge der linearen Abbildung $\delta:k\left[
G\right]  \rightarrow k\left[  G\right]  \otimes k\left[  G\diagup N\right]
,$ die durch $\delta\left(  g\right)  =g\otimes\overline{g}$ f\"{u}r alle
$g\in G$ definiert ist.

\textit{Beweis:} Klar.

\textbf{3)} Sind $H$ und $H^{\prime}$ zwei Bialgebren, und ist $\varphi
:H\rightarrow H^{\prime}$ ein Bialgebrahomomorphismus, dann ist $H$ eine
$H^{\prime}$-Rechtscomodulalgebra verm\"{o}ge der linearen Abbildung
$\delta:H\rightarrow H\otimes H^{\prime},$ die durch $\delta\left(  x\right)
=x_{\left(  1\right)  }\otimes\varphi\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  $
f\"{u}r alle $x\in H$ definiert ist.

\textit{Beweis:} Folgt aus Bemerkung 4.4. \textbf{3)}, da $\left(
H,\Delta\right)  $ eine $H$-Rechtscomodulalgebra ist.

\textbf{4)} Sei $n\geq1.$ Setze $A=k\left[  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right]  $
(die kommutative Polynomalgebra \"{u}ber $k$ in $n$ Variablen). Sei
$H=k\left[  X_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}$ (eine kommutative
Polynomalgebra \"{u}ber $k$ in $n^{2}$ Variablen) eine Bialgebra verm\"{o}ge%
\[
\Delta\left(  X_{i,j}\right)  =\sum_{l=1}^{n}X_{i,l}\otimes X_{l,j}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(
X_{i,j}\right)  =\delta_{i,j}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }1\leq
i,j\leq n.
\]
Dann wird $A$ zu einer $H$-Rechtscomodulalgebra verm\"{o}ge des
Algebrahomomorphismus $\delta:k\left[  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right]
\rightarrow k\left[  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right]  \otimes k\left[
X_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n},$ welcher durch%
\[
\delta\left(  x_{j}\right)  =\sum_{i=1}^{n}x_{i}\otimes X_{i,j}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }j\in\left\{  1,2,...,n\right\}
\]
definiert ist.

\textit{Beweis:} Nachrechnen mit Bemerkung 4.4. \textbf{2)} und Lemma 4.2.

\textbf{5)} Betrachten wir in Beispiel \textbf{4)} zus\"{a}tzlich die
Hopfalgebra%
\[
k\left[  x_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}=k\left[  X_{i,j}\right]  _{1\leq
i,j\leq n}\diagup\left(  \det\left(  \left(  X_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq
n}\right)  -1\right)
\]
(wobei $x_{i,j}=\overline{X_{i,j}}$), dann wird $A=k\left[  x_{1}%
,x_{2},...,x_{n}\right]  $ auch zu einer $k\left[  x_{i,j}\right]  _{1\leq
i,j\leq n}$-Rechtscomodulalgebra verm\"{o}ge des Algebrahomomorphismus
$\widetilde{\delta}:k\left[  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right]  \rightarrow
k\left[  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right]  \otimes k\left[  x_{i,j}\right]
_{1\leq i,j\leq n},$ welcher durch%
\[
\widetilde{\delta}\left(  x_{j}\right)  =\sum_{i=1}^{n}x_{i}\otimes
x_{i,j}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }j\in\left\{  1,2,...,n\right\}
\]
definiert ist.

\bigskip

\fbox{\textbf{Adjungierte Modul- und Comodulstrukturen}}

Wir werden nun sehen, da\ss \ die Begriffe "Comodul" und "Modul" so
unterschiedlich nicht sind - zumindest f\"{u}r endlichdimensionale Coalgebren
bzw. Algebren werden wir sehen, da\ss \ es dazwischen eine Isomorphie gibt.

\textbf{Definition:} Sei $C$ eine Coalgebra. Sei $V$ ein $C$-Rechtscomodul,
also ein Vektorraum mit einer linearen Abbildung $\delta:V\rightarrow V\otimes
C.$ Wir schreiben $\delta\left(  v\right)  =v_{\left(  0\right)  }\otimes
v_{\left(  1\right)  }$ gem\"{a}\ss \ der summenlosen Sweedler-Notation.

Dann l\"{a}\ss t sich eine lineare Abbildung $\mu:C^{\ast}\otimes V\rightarrow
V$ durch
\[
\mu\left(  f\otimes v\right)  =v_{\left(  0\right)  }f\left(  v_{\left(
1\right)  }\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }f\in C^{\ast
}\text{ und }v\in V
\]
definieren.\footnote{Dieses $\mu$ ist nicht zu verwechseln mit $\mu_{C^{\ast}%
},$ der Multiplikationsabbildung von $C^{\ast}.$} Diese lineare Abbildung
$\mu$ hei\ss t die \textit{zu }$\delta$ \textit{adjungierte }$C^{\ast}%
$\textit{-Modulstruktur}.

Wir werden in Satz 4.6 \textbf{a)} zeigen, da\ss \ diese lineare Abbildung
$\mu$ den Vektorraum $V$ zu einem $C^{\ast}$-Linksmodul macht. Diesen
$C^{\ast}$-Linksmodul bezeichnen wir mit $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V$.
Dieser $C^{\ast}$-Linksmodul $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V$ ist also als
Vektorraum gleich $V$, und die Wirkung von $C^{\ast}$ ist gegeben durch%
\[
f\cdot v=v_{\left(  0\right)  }f\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }f\in C^{\ast}\text{ und }%
v\in\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V.
\]


\textbf{4.6. Satz:} \textbf{a)} Die lineare Abbildung $\mu$ aus der vorigen
Definition macht $V$ zu einem $C^{\ast}$-Linksmodul.

\textbf{b)} Sind $V$ und $W$ zwei $C$-Rechtscomoduln, dann ist $\mathcal{M}%
^{C}\left(  V,W\right)  =\operatorname*{Hom}_{C^{\ast}}\left(
\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V,\operatorname*{adj}\nolimits_{C}W\right)  $.
Hierbei bezeichnet $\mathcal{M}^{C}\left(  V,W\right)  $ (wie immer) die Menge
der $C$-Rechtscomodulhomomorphismen von $V$ nach $W.$

\textit{Beweis von Satz 4.6:} \textbf{a)} Die Modulaxiome sind erf\"{u}llt,
denn f\"{u}r alle $f,g\in C^{\ast}$ und $v\in V$ ist%
\begin{align*}
f\cdot\underbrace{\left(  g\cdot v\right)  }_{=v_{\left(  0\right)  }g\left(
v_{\left(  1\right)  }\right)  }  &  =f\cdot\left(  v_{\left(  0\right)
}g\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  =\underbrace{\left(  f\cdot
v_{\left(  0\right)  }\right)  }_{=\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)
_{\left(  0\right)  }f\left(  \left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  _{\left(
1\right)  }\right)  }g\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  =\left(
v_{\left(  0\right)  }\right)  _{\left(  0\right)  }f\left(  \left(
v_{\left(  0\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  g\left(
v_{\left(  1\right)  }\right) \\
&  =v_{\left(  0\right)  }f\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  g\left(
v_{\left(  2\right)  }\right)  =v_{\left(  0\right)  }\underbrace{\left(
fg\right)  }_{\substack{\text{das hei\ss t}\\\text{hier }f\ast g}}\left(
v_{\left(  1\right)  }\right)  =\left(  fg\right)  \cdot v,
\end{align*}
und f\"{u}r alle $v\in V$ ist $\underbrace{1_{C^{\ast}}}_{=\varepsilon}\cdot
v=\varepsilon v=v_{\left(  0\right)  }\varepsilon\left(  v_{\left(  1\right)
}\right)  =v$. Satz 4.6 \textbf{a)} ist also gezeigt.

\textbf{b)} Sei $F\in\operatorname*{Hom}\left(  V,W\right)  .$ Wir m\"{u}ssen
zeigen, da\ss \ $F$ genau dann $C$-colinear ist (als Abbildung zwischen den
$C$-Rechtscomoduln $V$ und $W$), wenn $F$ eine $C^{\ast}$-lineare Abbildung
ist (als Abbildung zwischen den $C^{\ast}$-Linksmoduln $\operatorname*{adj}%
\nolimits_{C}V$ und $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}W$).

\textit{Beweis:} Genau dann ist $F$ eine $C$-colineare Abbildung, wenn das
Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
V \ar[d]_{\delta_V} \ar[r]^F & W \ar[d]^{\delta_W} \\
V\otimes C \ar[r]^{F\otimes\operatorname*{id}} & W\otimes C
}
\]
kommutativ ist, d. h. wenn f\"{u}r alle $v\in V$ gilt: $\delta\left(  F\left(
v\right)  \right)  =F\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  \otimes v_{\left(
1\right)  }.$ Wegen $\delta\left(  F\left(  v\right)  \right)  =\left(
F\left(  v\right)  \right)  _{\left(  0\right)  }\otimes\left(  F\left(
v\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }$ l\"{a}\ss t sich dies umschreiben
als $\left(  F\left(  v\right)  \right)  _{\left(  0\right)  }\otimes\left(
F\left(  v\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }=F\left(  v_{\left(
0\right)  }\right)  \otimes v_{\left(  1\right)  }.$ Doch genau dann gilt
$\left(  F\left(  v\right)  \right)  _{\left(  0\right)  }\otimes\left(
F\left(  v\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }=F\left(  v_{\left(
0\right)  }\right)  \otimes v_{\left(  1\right)  }$ f\"{u}r alle $v\in V,$
wenn $\left(  F\left(  v\right)  \right)  _{\left(  0\right)  }f\left(
\left(  F\left(  v\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }\right)  =F\left(
v_{\left(  0\right)  }\right)  f\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  $
f\"{u}r alle $v\in V$ und $f\in C^{\ast}$ ist\footnote{Dies folgt aus Lemma
1.9$\dfrac{\text{2}}{\text{20}}$ (angewandt auf $f$, $C$, $\left(  F\left(
v\right)  \right)  _{\left(  0\right)  }\otimes\left(  F\left(  v\right)
\right)  _{\left(  1\right)  }$ und $F\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)
\otimes v_{\left(  1\right)  }$ statt $g$, $W$, $\alpha$ bzw. $\beta$).}. Doch
wegen%
\begin{align*}
F\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  f\left(  v_{\left(  1\right)
}\right)   &  =F\left(  \underbrace{v_{\left(  0\right)  }f\left(  v_{\left(
1\right)  }\right)  }_{=f\cdot v}\right)  =F\left(  f\cdot v\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\\
\left(  F\left(  v\right)  \right)  _{\left(  0\right)  }f\left(  \left(
F\left(  v\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }\right)   &  =f\cdot F\left(
v\right)
\end{align*}
ist dies wiederum \"{a}quivalent dazu, da\ss \ $f\cdot F\left(  v\right)
=F\left(  f\cdot v\right)  $ f\"{u}r alle $v\in V$ und $f\in C^{\ast}$ ist,
und dies bedeutet nichts anderes, als da\ss \ $F$ eine $C^{\ast}$-lineare
Abbildung ist. Damit ist Satz 4.6 \textbf{b)} gezeigt.

Man kann die zu $\delta$ adjungierte $C^{\ast}$-Modulstruktur auch ein wenig
abstrakter beschreiben:

\textbf{4.7. Bemerkung:} Sei $C$ eine Coalgebra. Sei $V$ ein $C$%
-Rechtscomodul, also ein Vektorraum mit einer linearen Abbildung
$\delta:V\rightarrow V\otimes C.$ Definiere eine $k$-lineare Abbildung%
\[
\Phi:\operatorname*{Hom}\left(  V,V\otimes C\right)  \rightarrow
\operatorname*{Hom}\left(  C^{\ast}\otimes V,V\right)
\]
durch
\[
\Phi\left(  F\right)  =\left(  f\otimes x\mapsto\left(  \operatorname*{kan}%
\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes f\right)  \circ F\right)  \left(
x\right)  \right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }F\in
\operatorname*{Hom}\left(  V,V\otimes C\right)  ,
\]
wobei $\operatorname*{kan}:V\otimes k\rightarrow V$ die kanonische Abbildung
ist. Dann ist die zu $\delta$ adjungierte $C^{\ast}$-Modulstruktur die
Abbildung $\Phi\left(  \delta\right)  :C^{\ast}\otimes V\rightarrow V$.

\textit{Beweis:} Die zu $\delta$ adjungierte $C^{\ast}$-Modulstruktur wurde
definiert als die lineare Abbildung $\mu:C^{\ast}\otimes V\rightarrow V$, die%
\[
\mu\left(  f\otimes v\right)  =v_{\left(  0\right)  }f\left(  v_{\left(
1\right)  }\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }f\in C^{\ast
}\text{ und }v\in V
\]
erf\"{u}llt. Wir m\"{u}ssen nun zeigen, da\ss \ diese Abbildung $\mu$ mit der
Abbildung $\Phi\left(  \delta\right)  $ identisch ist.

In der Tat erf\"{u}llt diese Abbildung $\mu$ die Eigenschaft%
\begin{align*}
\mu\left(  f\otimes v\right)   &  =v_{\left(  0\right)  }f\left(  v_{\left(
1\right)  }\right)  =\operatorname*{kan}\left(  v_{\left(  0\right)  }\otimes
f\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  \right) \\
&  =\operatorname*{kan}\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes f\right)
\underbrace{\left(  v_{\left(  0\right)  }\otimes v_{\left(  1\right)
}\right)  }_{=\delta\left(  v\right)  }\right)  =\left(  \operatorname*{kan}%
\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes f\right)  \circ\delta\right)  \left(
v\right)
\end{align*}
f\"{u}r alle $f\in C^{\ast}$ und $v\in V$. Das hei\ss t, $\mu$ ist die
$k$-lineare Abbildung%
\[
C^{\ast}\otimes V\rightarrow V,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\otimes x\mapsto\left(
\operatorname*{kan}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes f\right)
\circ\delta\right)  \left(  x\right)  .
\]
Nach der Definition von $\Phi$ ist aber $\Phi\left(  \delta\right)  $ die
$k$-lineare Abbildung%
\[
C^{\ast}\otimes V\rightarrow V,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\otimes x\mapsto\left(
\operatorname*{kan}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes f\right)
\circ\delta\right)  \left(  x\right)  .
\]
Somit ist $\mu=\Phi\left(  \delta\right)  $. Da $\mu$ die zu $\delta$
adjungierte $C^{\ast}$-Modulstruktur ist, erhalten wir also: Die zu $\delta$
adjungierte $C^{\ast}$-Modulstruktur ist $\Phi\left(  \delta\right)  $. Damit
ist Bemerkung 4.7 bewiesen.

Wir werden sp\"{a}ter zeigen:

\textbf{4.8. Satz:} \textbf{1)} Sei $C$ eine endlichdimensionale Coalgebra,
und $V$ ein Vektorraum. Dann ist die Abbildung%
\begin{align*}
&  \left\{  \delta:V\rightarrow V\otimes C\ \mid\ \delta\text{ ist eine
}C\text{-Rechtscomodulstruktur auf }V\right\} \\
&  \rightarrow\left\{  \mu:C^{\ast}\otimes V\rightarrow V\ \mid\ \mu\text{ ist
eine }C^{\ast}\text{-Linksmodulstruktur auf }V\right\}  ,
\end{align*}
die jeder $C$-Rechtscomodulstruktur $\delta$ auf $V$ die zu $\delta$
adjungierte $C^{\ast}$-Modulstruktur $\mu$ zuordnet, bijektiv.

\textbf{2)} Sei $H$ eine endlichdimensionale Bialgebra, und $A$ ein
Vektorraum. Dann ist die Abbildung%
\begin{align*}
&  \left\{  \delta:A\rightarrow A\otimes H\ \mid\ \delta\text{ ist eine
}H\text{-Rechtscomodulalgebrastruktur auf }A\right\} \\
&  \rightarrow\left\{  \mu:H^{\ast}\otimes A\rightarrow A\ \mid\ \mu\text{ ist
eine }H^{\ast}\text{-Linksmodulalgebrastruktur auf }A\right\}  ,
\end{align*}
die jeder $H$-Rechtscomodulalgebrastruktur $\delta$ auf $A$ die zu $\delta$
adjungierte $H^{\ast}$-Modulstruktur $\mu$ zuordnet, wohldefiniert (d. h.:
f\"{u}r jede $H$-Rechtscomodulalgebrastruktur $\delta$ auf $A$ ist die zu
$\delta$ adjungierte $H^{\ast}$-Modulstruktur $\mu$ auch tats\"{a}chlich eine
$H^{\ast}$-Linksmodulalgebrastruktur!) und bijektiv.

Um dies zu beweisen, wollen wir die weiter oben gegebene Definition der zu
$\delta$ adjungierten $C^{\ast}$-Modulstruktur umkehren, und aus $C^{\ast}%
$-Linksmoduln $C$-Rechtscomoduln machen. Dies ist aber nur m\"{o}glich, wenn
$C$ endlichdimensional ist (Satz 4.8 w\"{a}re ohne diese Bedingung auch nicht
richtig), und selbst dann ist es nicht mehr so einfach. Wir brauchen folgendes
Lemma aus der Linearen Algebra:

\textbf{4.9. Lemma:} Seien $X,$ $Y$ und $Z$ drei Vektorr\"{a}ume, wobei $Z$
endlichdimensional ist. Sei $\operatorname*{kan}:Y\otimes k\rightarrow Y$ die
kanonische Abbildung. Definiere eine $k$-lineare Abbildung%
\[
\Phi:\operatorname*{Hom}\left(  X,Y\otimes Z\right)  \rightarrow
\operatorname*{Hom}\left(  Z^{\ast}\otimes X,Y\right)
\]
durch
\[
\Phi\left(  F\right)  =\left(  f\otimes x\mapsto\left(  \operatorname*{kan}%
\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes f\right)  \circ F\right)  \left(
x\right)  \right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }F\in
\operatorname*{Hom}\left(  X,Y\otimes Z\right)  ,
\]
wobei $\operatorname*{kan}:V\otimes k\rightarrow V$ die kanonische Abbildung
ist. Dann ist diese Abbildung $\Phi$ bijektiv.

\textit{Erster Beweis des Lemmas 4.9:} Sei $z_{1},z_{2},...,z_{n}$ eine Basis
von $Z,$ und sei $f_{1},f_{2},...,f_{n}$ die zu ihr duale Basis von $Z^{\ast
}.$

F\"{u}r jedes Element $F$ von $\operatorname*{Hom}\left(  X,Y\otimes Z\right)
$ lassen sich eindeutig $n$ lineare Abbildungen $F_{1},$ $F_{2},$ $...,$
$F_{n}$ von $X$ nach $Y$ finden, die\ $F\left(  x\right)  =\sum\limits_{i=1}%
^{n}F_{i}\left(  x\right)  \otimes z_{i}$ f\"{u}r alle $x\in X$
erf\"{u}llen.\footnote{Denn da $z_{1},z_{2},...,z_{n}$ eine Basis von $Z$ ist,
haben wir einen Isomorphismus $Z\cong k^{n}$, und damit $Y\otimes Z\cong
Y\otimes k^{n}\cong Y^{n}$, also $\operatorname*{Hom}\left(  X,Y\otimes
Z\right)  \cong\operatorname*{Hom}\left(  X,Y^{n}\right)  \cong\left(
\operatorname*{Hom}\left(  X,Y\right)  \right)  ^{n}$. Die $n$ linearen
Abbildungen $F_{1},$ $F_{2},$ $...,$ $F_{n}$ erhalten wir nun als die $n$
Komponenten des Bildes von $F\in\operatorname*{Hom}\left(  X,Y\otimes
Z\right)  $ unter diesem Isomorphismus $\operatorname*{Hom}\left(  X,Y\otimes
Z\right)  \rightarrow\left(  \operatorname*{Hom}\left(  X,Y\right)  \right)
^{n}$.} Wir nennen diese Abbildungen $F_{1},$ $F_{2},$ $...,$ $F_{n}$ die
\textit{Komponentenabbildungen} der Abbildung $F\in\operatorname*{Hom}\left(
X,Y\otimes Z\right)  $.

Wir haben $\Phi\left(  F\right)  =\left(  f\otimes x\mapsto\left(
\operatorname*{kan}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes f\right)  \circ
F\right)  \left(  x\right)  \right)  $. F\"{u}r alle $f\in Z^{\ast}$ und $x\in
X$ ist also%
\begin{align*}
\left(  \Phi\left(  F\right)  \right)  \left(  f\otimes x\right)   &  =\left(
\operatorname*{kan}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes f\right)  \circ
F\right)  \left(  x\right)  =\operatorname*{kan}\left(  \left(
\operatorname*{id}\otimes f\right)  \left(  F\left(  x\right)  \right)
\right) \\
&  =\operatorname*{kan}\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes f\right)
\left(  \sum\limits_{i=1}^{n}F_{i}\left(  x\right)  \otimes z_{i}\right)
\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }F\left(  x\right)
=\sum\limits_{i=1}^{n}F_{i}\left(  x\right)  \otimes z_{i}\right) \\
&  =\operatorname*{kan}\left(  \sum\limits_{i=1}^{n}F_{i}\left(  x\right)
\otimes f\left(  z_{i}\right)  \right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}F_{i}\left(
x\right)  f\left(  z_{i}\right)  .
\end{align*}


Wir wollen nun zeigen, da\ss \ die Abbildung $\Phi$ injektiv und surjektiv ist.

\textit{Beweis der Injektivit\"{a}t von }$\Phi$\textit{:} Sei $F\in
\operatorname*{Hom}\left(  X,Y\otimes Z\right)  $ gegeben, das $\Phi\left(
F\right)  =0$ erf\"{u}llt. Damit ist auch $0=\left(  \Phi\left(  F\right)
\right)  \left(  f\otimes x\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}F_{i}\left(
x\right)  f\left(  z_{i}\right)  $ f\"{u}r alle $f\in Z^{\ast}$ und $x\in X$.
Wenn wir hier $f=f_{k}$ f\"{u}r irgendein $k\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $
einsetzen, dann erhalten wir%
\begin{align*}
0  &  =\sum\limits_{i=1}^{n}F_{i}\left(  x\right)  f_{k}\left(  z_{i}\right)
=\sum\limits_{i=1}^{n}F_{i}\left(  x\right)  \delta_{k,i}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }f_{k}\left(  z_{i}\right)  =\delta_{k,i}\text{, weil }z_{1}%
,z_{2},...,z_{n}\text{ und}\\
f_{1},f_{2},...,f_{n}\text{ duale Basen sind}%
\end{array}
\right) \\
&  =F_{k}\left(  x\right)  .
\end{align*}
Da dies f\"{u}r alle $k\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ gilt, ist also
$F\left(  x\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}\underbrace{F_{i}\left(  x\right)
}_{=0}\otimes z_{i}=0$ f\"{u}r alle $x\in X$, also $F=0$.

Wir haben damit gezeigt: F\"{u}r jedes $F\in\operatorname*{Hom}\left(
X,Y\otimes Z\right)  $, das $\Phi\left(  F\right)  =0$ erf\"{u}llt, ist $F=0$.
Folglich ist die Abbildung $\Phi$ injektiv.

\textit{Beweis der Surjektivit\"{a}t von }$\Phi$\textit{:} Sei $G\in
\operatorname*{Hom}\left(  Z^{\ast}\otimes X,Y\right)  $ beliebig. F\"{u}r
jedes $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ definieren wir eine Abbildung
$G_{i}:X\rightarrow Y$ durch%
\[
G_{i}\left(  x\right)  =G\left(  f_{i}\otimes x\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in X.
\]
Diese Abbildung $G_{i}$ ist offensichtlich $k$-linear.

Sei nun eine Abbildung $F:X\rightarrow Y\otimes Z$ definiert durch%
\[
F\left(  x\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}G_{i}\left(  x\right)  \otimes
z_{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in X.
\]
Auch diese Abbildung $F$ ist trivialerweise $k$-linear; das hei\ss t,
$F\in\operatorname*{Hom}\left(  X,Y\otimes Z\right)  $. Aus der Formel
$F\left(  x\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}G_{i}\left(  x\right)  \otimes
z_{i}$ folgt, da\ss \ die Abbildungen $G_{1},$ $G_{2},$ $...,$ $G_{n}$ die
Komponentenabbildungen der Abbildung $F$ sind. Damit k\"{o}nnen wir die weiter
oben gezeigte Formel%
\[
\left(  \Phi\left(  F\right)  \right)  \left(  f\otimes x\right)
=\sum\limits_{i=1}^{n}F_{i}\left(  x\right)  f\left(  z_{i}\right)
\]
auf $G_{1},$ $G_{2},$ $...,$ $G_{n}$ statt $F_{1},$ $F_{2},$ $...,$ $F_{n}$
anwenden, und erhalten%
\[
\left(  \Phi\left(  F\right)  \right)  \left(  f\otimes x\right)
=\sum\limits_{i=1}^{n}G_{i}\left(  x\right)  f\left(  z_{i}\right)
\]
f\"{u}r alle $f\in Z^{\ast}$ und $x\in X$. Damit ist%
\begin{align*}
\left(  \Phi\left(  F\right)  \right)  \left(  f\otimes x\right)   &
=\sum\limits_{i=1}^{n}\underbrace{G_{i}\left(  x\right)  }_{=G\left(
f_{i}\otimes x\right)  }f\left(  z_{i}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}G\left(
f_{i}\otimes x\right)  f\left(  z_{i}\right) \\
&  =\sum\limits_{i=1}^{n}G\left(  f_{i}f\left(  z_{i}\right)  \otimes
x\right)  =G\left(  \sum\limits_{i=1}^{n}f_{i}f\left(  z_{i}\right)  \otimes
x\right)  =G\left(  f\otimes x\right)
\end{align*}
(denn da $z_{1},z_{2},...,z_{n}$ und $f_{1},f_{2},...,f_{n}$ duale Basen sind,
gilt $\sum\limits_{i=1}^{n}f_{i}f\left(  z_{i}\right)  =f$). Da dies f\"{u}r
alle $f\in Z^{\ast}$ und $x\in X$ gilt, ist also $\Phi\left(  F\right)  =G$.

Wir haben damit gezeigt: F\"{u}r jedes $G\in\operatorname*{Hom}\left(
Z^{\ast}\otimes X,Y\right)  $ gibt es ein $F\in\operatorname*{Hom}\left(
X,Y\otimes Z\right)  $ mit $\Phi\left(  F\right)  =G$. Daher ist $\Phi$ surjektiv.

Nachdem wir jetzt wissen, da\ss \ $\Phi$ injektiv und surjektiv ist, folgt,
da\ss \ $\Phi$ bijektiv ist, und Lemma 4.9 ist gezeigt.

%(old pieces of the proof:)
%Jedes Element $G$ von $\operatorname*{Hom}\left(  Z^{\ast}\otimes X,Y\right)
%$ l\"{a}\ss t sich eindeutig chrakterisieren durch die Werte $G\left(
%f_{i}\otimes x\right)  =G_{i}\left(  x\right)  $ f\"{u}r alle $i\in\left\{
%1,2,...,n\right\}  $ und $x\in X$.
%F\"{u}r jedes $F\in\operatorname*{Hom}\left(  X,Y\otimes Z\right)  $ gilt nun%
%\[
%\Phi\left(  F\right)  \left(  f_{i}\otimes x\right)  =F_{i}\left(  x\right)  ,
%\]
%wobei $F\left(  x\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}F_{i}\left(  x\right)  \otimes
%z_{i}$ f\"{u}r alle $x$ wie oben ist.


\textit{Zweiter Beweis des Lemmas 4.9 (skizziert):} Es gibt eine Kette
kanonischer Isomorphismen:%
\begin{align*}
&  \operatorname*{Hom}\left(  Z^{\ast}\otimes X,Y\right) \\
&  \cong\operatorname*{Hom}\left(  Z^{\ast},\operatorname*{Hom}\left(
X,Y\right)  \right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach Satz 1.20}\right)
\\
&  \cong\left(  Z^{\ast}\right)  ^{\ast}\otimes\operatorname*{Hom}\left(
X,Y\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }Z^{\ast}\text{ ist
endlichdimensional}\right) \\
&  \cong Z\otimes\operatorname*{Hom}\left(  X,Y\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }Z\text{ ist endlichdimensional, also
}\left(  Z^{\ast}\right)  ^{\ast}\cong Z\right) \\
&  \cong\operatorname*{Hom}\left(  X,Y\right)  \otimes Z\cong%
\operatorname*{Hom}\left(  X,Y\right)  \otimes\operatorname*{Hom}\left(
k,Z\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }Z\cong\operatorname*{Hom}%
\left(  k,Z\right)  \right) \\
&  \cong\operatorname*{Hom}\left(  X\otimes k,Y\otimes Z\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }k\text{ und }Z\text{ sind
endlichdimensional}\right) \\
&  \cong\operatorname*{Hom}\left(  X,Y\otimes Z\right)  ,
\end{align*}
und man sieht leicht, da\ss \ der resultierende Isomorphismus genau der in
Lemma 4.9. angegebene ist.

Hierbei haben wir die Tatsache benutzt, da\ss \ f\"{u}r je vier
Vektorr\"{a}ume $A,$ $B,$ $C$ und $D$ mit $\dim C<\infty$ und $\dim D<\infty$
gilt:%
\[
\operatorname*{Hom}\left(  A,B\right)  \otimes\operatorname*{Hom}\left(
C,D\right)  \cong\operatorname*{Hom}\left(  A\otimes C,B\otimes D\right)  .
\]


Nachdem wir jetzt Lemma 4.9 gezeigt haben, folgt unsere Definition:

\textbf{Definition:} Sei $C$ eine endlichdimensionale Coalgebra. Sei $V$ ein
$C^{\ast}$-Linksmodul, also ein Vektorraum mit einer linearen Abbildung
$\mu_{V}:C^{\ast}\otimes V\rightarrow V$. Definiere eine $k$-lineare Abbildung%
\[
\Phi:\operatorname*{Hom}\left(  V,V\otimes C\right)  \rightarrow
\operatorname*{Hom}\left(  C^{\ast}\otimes V,V\right)
\]
durch
\[
\Phi\left(  F\right)  =\left(  f\otimes x\mapsto\left(  \operatorname*{kan}%
\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes f\right)  \circ F\right)  \left(
x\right)  \right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }F\in
\operatorname*{Hom}\left(  V,V\otimes C\right)  ,
\]
wobei $\operatorname*{kan}:V\otimes k\rightarrow V$ die kanonische Abbildung
ist. Dann ist diese Abbildung $\Phi$ bijektiv (laut Lemma 4.9). Sei also
$\delta_{V}:V\rightarrow V\otimes C$ definiert durch $\delta_{V}=\Phi
^{-1}\left(  \mu_{V}\right)  $. Diese lineare Abbildung $\delta_{V}$ hei\ss t
die \textit{zu }$\mu_{V}$ \textit{adjungierte }$C$%
\textit{-Rechtscomodulstruktur}.

Wir werden in Satz 4.10 \textbf{a)} zeigen, da\ss \ diese lineare Abbildung
$\delta_{V}$ den Vektorraum $V$ zu einem $C$-Rechtscomodul macht. Diesen
$C$-Rechtscomodul bezeichnen wir mit $\operatorname*{adj}\nolimits^{C}V$.

\textbf{4.10. Satz:} \textbf{a)} Die lineare Abbildung $\delta_{V}$ aus der
vorigen Definition macht $V$ zu einem $C$-Rechtscomodul.

\textbf{b)} Sind $V$ und $W$ zwei $C^{\ast}$-Linksmoduln, dann ist
$\operatorname*{Hom}_{C^{\ast}}\left(  V,W\right)  =\mathcal{M}^{C}\left(
\operatorname*{adj}\nolimits^{C}V,\operatorname*{adj}\nolimits^{C}W\right)  $.
Hierbei bezeichnet $\mathcal{M}^{C}\left(  \operatorname*{adj}\nolimits^{C}%
V,\operatorname*{adj}\nolimits^{C}W\right)  $ (wie immer) die Menge der
$C$-Rechtscomodulhomomorphismen von $\operatorname*{adj}\nolimits^{C}V$ nach
$\operatorname*{adj}\nolimits^{C}W.$

\textit{Beweis von Satz 4.10:} \textbf{a)} Wir m\"{u}ssen beweisen,
da\ss \ die Abbildung $\delta_{V}:V\rightarrow V\otimes C$ den Vektorraum $V$
zu einem $C$-Rechtscomodul macht. Dazu m\"{u}ssen wir zeigen, da\ss \ f\"{u}r
jedes $v\in V$ die Gleichungen%
\[
\delta_{V}\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  \otimes v_{\left(  1\right)
}=v_{\left(  0\right)  }\otimes\Delta\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v=v_{\left(  0\right)
}\varepsilon\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
\]
gelten, wobei wir wieder (wie bei der Sweedler-Notation) $v_{\left(  0\right)
}\otimes v_{\left(  1\right)  }$ f\"{u}r den Tensor $\delta_{V}\left(
v\right)  $ schreiben\footnote{Wir sollten jedoch mit dieser Notation darauf
achten, da\ss \ wir nicht den$\ $Term $v_{\left(  0\right)  }\varepsilon
\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  $ zu $v$ "vereinfachen", oder die Terme
$\delta_{V}\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  \otimes v_{\left(  1\right)
}$ und $v_{\left(  0\right)  }\otimes\Delta\left(  v_{\left(  1\right)
}\right)  $ beide zu $v_{\left(  0\right)  }\otimes v_{\left(  1\right)
}\otimes v_{\left(  2\right)  }$ "vereinfachen". Denn wir haben \textit{noch
nicht bewiesen}, da\ss \ $v_{\left(  0\right)  }\varepsilon\left(  v_{\left(
1\right)  }\right)  =v$ und $\delta_{V}\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)
\otimes v_{\left(  1\right)  }=v_{\left(  0\right)  }\otimes\Delta\left(
v_{\left(  1\right)  }\right)  $ ist!} (denn so wurde der Begriff eines
Comoduls definiert).

Wir haben $\delta_{V}$ durch $\delta_{V}=\Phi^{-1}\left(  \mu_{V}\right)  $
definiert, wobei $\Phi$ die durch%
\[
\Phi\left(  F\right)  =\left(  f\otimes x\mapsto\left(  \operatorname*{kan}%
\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes f\right)  \circ F\right)  \left(
x\right)  \right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }F\in
\operatorname*{Hom}\left(  V,V\otimes C\right)
\]
definierte $k$-lineare Abbildung von $\operatorname*{Hom}\left(  V,V\otimes
C\right)  $ nach $\operatorname*{Hom}\left(  C^{\ast}\otimes V,V\right)  $
ist, und $\operatorname*{kan}:V\otimes k\rightarrow V$ die kanonische
Abbildung ist. Daher ist
\[
\mu_{V}=\Phi\left(  \delta_{V}\right)  =\left(  f\otimes x\mapsto\left(
\operatorname*{kan}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes f\right)
\circ\delta_{V}\right)  \left(  x\right)  \right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{nach der Definition von }\Phi\right)  .
\]
F\"{u}r alle $g\in C^{\ast}$ und $v\in V$ ist also%
\begin{align*}
\mu_{V}\left(  g\otimes v\right)   &  =\left(  \operatorname*{kan}\circ\left(
\operatorname*{id}\otimes g\right)  \circ\delta_{V}\right)  \left(  v\right)
=\left(  \operatorname*{kan}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes g\right)
\right)  \left(  \underbrace{\delta_{V}\left(  v\right)  }_{=v_{\left(
0\right)  }\otimes v_{\left(  1\right)  }}\right) \\
&  =\operatorname*{kan}\left(  \underbrace{\left(  \operatorname*{id}\otimes
g\right)  \left(  v_{\left(  0\right)  }\otimes v_{\left(  1\right)  }\right)
}_{=v_{\left(  0\right)  }\otimes g\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
}\right)  =v_{\left(  0\right)  }g\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  .
\end{align*}
F\"{u}r alle $h,g\in C^{\ast}$ und $v\in V$ ist nun%
\begin{align*}
h\cdot gv  &  =\mu_{V}\left(  h\otimes gv\right)  =\left(  \operatorname*{kan}%
\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes h\right)  \circ\delta_{V}\right)
\left(  gv\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\mu_{V}=\left(  f\otimes
x\mapsto\left(  \operatorname*{kan}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes
f\right)  \circ\delta_{V}\right)  \left(  x\right)  \right)  \right) \\
&  =\left(  \operatorname*{kan}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes
h\right)  \right)  \left(  \delta_{V}\left(  \underbrace{gv}_{=\mu_{V}\left(
g\otimes v\right)  =v_{\left(  0\right)  }g\left(  v_{\left(  1\right)
}\right)  }\right)  \right)  =\left(  \operatorname*{kan}\circ\left(
\operatorname*{id}\otimes h\right)  \right)  \left(  \underbrace{\delta
_{V}\left(  v_{\left(  0\right)  }g\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
\right)  }_{=\delta_{V}\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  g\left(
v_{\left(  1\right)  }\right)  }\right) \\
&  =\left(  \operatorname*{kan}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes
h\right)  \right)  \left(  \delta_{V}\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)
g\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  =\operatorname*{kan}\left(
\left(  \operatorname*{id}\otimes h\right)  \left(  \delta_{V}\left(
v_{\left(  0\right)  }\right)  g\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
\right)  \right)  ,
\end{align*}
aber andererseits%
\begin{align*}
h\cdot gv  &  =\left(  hg\right)  \cdot v\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{denn }V\text{ ist ein }C^{\ast}\text{-Linksmodul}\right) \\
&  =\mu_{V}\left(  hg\otimes v\right)  =\left(  \operatorname*{kan}%
\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes hg\right)  \circ\delta_{V}\right)
\left(  v\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\mu_{V}=\left(  f\otimes
x\mapsto\left(  \operatorname*{kan}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes
f\right)  \circ\delta_{V}\right)  \left(  x\right)  \right)  \right) \\
&  =\operatorname*{kan}\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes hg\right)
\left(  \underbrace{\delta_{V}\left(  v\right)  }_{=v_{\left(  0\right)
}\otimes v_{\left(  1\right)  }}\right)  \right)  =\operatorname*{kan}\left(
\underbrace{\left(  \operatorname*{id}\otimes hg\right)  \left(  v_{\left(
0\right)  }\otimes v_{\left(  1\right)  }\right)  }_{=v_{\left(  0\right)
}\otimes\left(  hg\right)  \left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  }\right) \\
&  =\operatorname*{kan}\left(  v_{\left(  0\right)  }\otimes
\underbrace{\left(  hg\right)  \left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
}_{\substack{=h\left(  \left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(
1\right)  }\right)  g\left(  \left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(
2\right)  }\right)  \text{,}\\\text{denn }hg=h\ast g\text{ ist die
Konvolution}}}\right)  =\operatorname*{kan}\left(  v_{\left(  0\right)
}\otimes\underbrace{h\left(  \left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(
1\right)  }\right)  g\left(  \left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(
2\right)  }\right)  }_{=h\left(  \left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  }g\left(  \left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(
2\right)  }\right)  \right)  }\right) \\
&  =\operatorname*{kan}\left(  \underbrace{v_{\left(  0\right)  }\otimes
h\left(  \left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }g\left(
\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  \right)
}_{=\left(  \operatorname*{id}\otimes h\right)  \left(  v_{\left(  0\right)
}\otimes\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }g\left(
\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  \right)
}\right)  =\operatorname*{kan}\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes
h\right)  \left(  v_{\left(  0\right)  }\otimes\left(  v_{\left(  1\right)
}\right)  _{\left(  1\right)  }g\left(  \left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  \right)  .
\end{align*}
Daher ist%
\[
\operatorname*{kan}\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes h\right)  \left(
\delta_{V}\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  g\left(  v_{\left(  1\right)
}\right)  \right)  \right)  =\operatorname*{kan}\left(  \left(
\operatorname*{id}\otimes h\right)  \left(  v_{\left(  0\right)  }%
\otimes\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }g\left(
\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  \right)
\right)  .
\]
Da $\operatorname*{kan}$ injektiv ist (denn $\operatorname*{kan}$ ist ein
Isomorphismus), folgt hieraus%
\[
\left(  \operatorname*{id}\otimes h\right)  \left(  \delta_{V}\left(
v_{\left(  0\right)  }\right)  g\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
\right)  =\left(  \operatorname*{id}\otimes h\right)  \left(  v_{\left(
0\right)  }\otimes\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)
}g\left(  \left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)
\right)  .
\]
Da dies \textit{f\"{u}r alle} $h\in C^{\ast}$ gilt, folgt hieraus
\[
\delta_{V}\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  g\left(  v_{\left(  1\right)
}\right)  =v_{\left(  0\right)  }\otimes\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  }g\left(  \left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(
2\right)  }\right)
\]
(denn sind $\alpha$ und $\beta$ zwei Elemente von $V\otimes C$, die $\left(
\operatorname*{id}\otimes h\right)  \left(  \alpha\right)  =\left(
\operatorname*{id}\otimes h\right)  \left(  \beta\right)  $ \textit{f\"{u}r
alle} $h\in C^{\ast}$ erf\"{u}llen, dann gilt $\alpha=\beta$%
\ \ \ \ \footnote{Dies folgt aus Lemma 1.9$\dfrac{\text{2}}{\text{20}}$
(angewandt auf $C$ und $h$ statt $W$ bzw. $g$).}). Definieren wir die
kanonische lineare Abbildung%
\[
\operatorname*{kan}\nolimits^{\prime}:V\otimes C\otimes k\rightarrow V\otimes
C,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p\otimes\lambda\mapsto p\lambda
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{wobei }p\in V\otimes C\right)  ,
\]
dann ist $\operatorname*{kan}\nolimits^{\prime}$ ein Isomorphismus, und wir
haben%
\begin{align*}
&  \operatorname*{kan}\nolimits^{\prime}\left(  \underbrace{\left(
\operatorname*{id}\nolimits_{V\otimes C}\otimes g\right)  \left(  \delta
_{V}\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  \otimes v_{\left(  1\right)
}\right)  }_{=\delta_{V}\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  \otimes
g\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  }\right) \\
&  =\operatorname*{kan}\nolimits^{\prime}\left(  \delta_{V}\left(  v_{\left(
0\right)  }\right)  \otimes g\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  \right)
=\delta_{V}\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  g\left(  v_{\left(
1\right)  }\right)  =v_{\left(  0\right)  }\otimes\left(  v_{\left(  1\right)
}\right)  _{\left(  1\right)  }g\left(  \left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =\operatorname*{kan}\nolimits^{\prime}\left(  \underbrace{v_{\left(
0\right)  }\otimes\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)
}\otimes g\left(  \left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  2\right)
}\right)  }_{=\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{V\otimes C}\otimes
g\right)  \left(  v_{\left(  0\right)  }\otimes\left(  v_{\left(  1\right)
}\right)  _{\left(  1\right)  }\otimes\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
_{\left(  2\right)  }\right)  }\right) \\
&  =\operatorname*{kan}\nolimits^{\prime}\left(  \left(  \operatorname*{id}%
\nolimits_{V\otimes C}\otimes g\right)  \underbrace{\left(  v_{\left(
0\right)  }\otimes\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)
}\otimes\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)
}_{=v_{\left(  0\right)  }\otimes\Delta\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
}\right)  =\operatorname*{kan}\nolimits^{\prime}\left(  \left(
\operatorname*{id}\nolimits_{V\otimes C}\otimes g\right)  \left(  v_{\left(
0\right)  }\otimes\Delta\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  \right)
\right)  .
\end{align*}
Da $\operatorname*{kan}\nolimits^{\prime}$ injektiv ist (denn
$\operatorname*{kan}\nolimits^{\prime}$ ist ein Isomorphismus), folgt hieraus%
\[
\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{V\otimes C}\otimes g\right)  \left(
\delta_{V}\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  \otimes v_{\left(  1\right)
}\right)  =\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{V\otimes C}\otimes g\right)
\left(  v_{\left(  0\right)  }\otimes\Delta\left(  v_{\left(  1\right)
}\right)  \right)  .
\]
Da dies \textit{f\"{u}r alle} $g\in C^{\ast}$ gilt, folgt hieraus
\[
\delta_{V}\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  \otimes v_{\left(  1\right)
}=v_{\left(  0\right)  }\otimes\Delta\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
\]
(denn sind $\alpha$ und $\beta$ zwei Elemente von $V\otimes C\otimes C$, die
$\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{V\otimes C}\otimes g\right)  \left(
\alpha\right)  =\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{V\otimes C}\otimes
g\right)  \left(  \beta\right)  $ \textit{f\"{u}r alle} $g\in C^{\ast}$
erf\"{u}llen, dann gilt $\alpha=\beta$\ \ \ \ \footnote{Dies folgt aus Lemma
1.9$\dfrac{\text{2}}{\text{20}}$ (angewandt auf $C$ und $V\otimes C$ statt $W$
bzw. $V$).}).

Wir haben damit gezeigt, da\ss \ $\delta_{V}\left(  v_{\left(  0\right)
}\right)  \otimes v_{\left(  1\right)  }=v_{\left(  0\right)  }\otimes
\Delta\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  $ f\"{u}r alle $v\in V$ ist. Es
bleibt uns nur noch zu zeigen, da\ss \ $v=v_{\left(  0\right)  }%
\varepsilon\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  $ f\"{u}r alle $v\in V$ ist.
Dies ist aber einfach: Wir haben oben gezeigt, da\ss \ $\mu_{V}\left(
g\otimes v\right)  =v_{\left(  0\right)  }g\left(  v_{\left(  1\right)
}\right)  $ f\"{u}r alle $g\in C^{\ast}$ und $v\in V$ ist. Angewandt auf
$g=\varepsilon$ ergibt dies $\mu_{V}\left(  \varepsilon\otimes v\right)
=v_{\left(  0\right)  }\varepsilon\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  $.
Doch wegen $\mu_{V}\left(  \varepsilon\otimes v\right)  =\varepsilon\cdot v=v$
(denn $\varepsilon$ ist die Eins der Algebra $C^{\ast}$) wird dies zu
$v=v_{\left(  0\right)  }\varepsilon\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  $.
Damit ist gezeigt, da\ss \ \ die Abbildung $\delta_{V}:V\rightarrow V\otimes
C$ den Vektorraum $V$ zu einem $C$-Rechtscomodul macht. Das hei\ss t, Satz
4.10 \textbf{a)} ist bewiesen.

Bevor wir Satz 4.10 \textbf{b)} beweisen, lassen wir die Katze aus dem Sack,
und zeigen, da\ss \ $\operatorname*{adj}\nolimits^{C}$ und
$\operatorname*{adj}\nolimits_{C}$ zueinander inverse Isomorphismen von
Kategorien sind:

\textbf{4.11. Satz:} \textbf{a)} Sei $C$ eine endlichdimensionale Coalgebra.
Sei $V$ ein $C^{\ast}$-Linksmodul. Dann ist $\operatorname*{adj}%
\nolimits_{C}\left(  \operatorname*{adj}\nolimits^{C}V\right)  =V$ als
$C^{\ast}$-Linksmoduln (das hei\ss t, $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}\left(
\operatorname*{adj}\nolimits^{C}V\right)  $ und $V$ sind der gleiche
Vektorraum mit derselben $C^{\ast}$-Linksmodulstruktur).

\textbf{b)} Sei $C$ eine endlichdimensionale Coalgebra. Sei $V$ ein
$C$-Rechtscomodul. Dann ist $\operatorname*{adj}\nolimits^{C}\left(
\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V\right)  =V$ als $C$-Rechtscomoduln (das
hei\ss t, $\operatorname*{adj}\nolimits^{C}\left(  \operatorname*{adj}%
\nolimits_{C}V\right)  $ und $V$ sind der gleiche Vektorraum mit derselben $C$-Rechtscomodulstruktur).

\textit{Beweis von Satz 4.11:} \textbf{a)} Als Vektorraum ist
$\operatorname*{adj}\nolimits^{C}V=V$ (laut Definition) und (ebenfalls laut
Definition) $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}\left(  \operatorname*{adj}%
\nolimits^{C}V\right)  =\operatorname*{adj}\nolimits^{C}V$, also
$\operatorname*{adj}\nolimits_{C}\left(  \operatorname*{adj}\nolimits^{C}%
V\right)  =\operatorname*{adj}\nolimits^{C}V=V$. Jetzt m\"{u}ssen wir nur noch
zeigen, da\ss \ die $C^{\ast}$-Linksmodulstrukturen auf $\operatorname*{adj}%
\nolimits_{C}\left(  \operatorname*{adj}\nolimits^{C}V\right)  $ und auf $V$
identisch sind.

Sei $\mu_{V}:C^{\ast}\otimes V\rightarrow V$ die vorgegebene $C^{\ast}%
$-Linksmodulstruktur auf $V$. Die $C$-Rechtscomodulstruktur auf
$\operatorname*{adj}\nolimits^{C}V$ ist dann (laut Definition von
$\operatorname*{adj}\nolimits^{C}V$) die zu $\mu_{V}$ adjungierte
$C$-Rechtscomodulstruktur, d. h. die durch $\delta_{V}=\Phi^{-1}\left(
\mu_{V}\right)  $ definierte Abbildung $\delta_{V}:V\rightarrow V\otimes C$,
wobei die $k$-lineare Abbildung%
\[
\Phi:\operatorname*{Hom}\left(  V,V\otimes C\right)  \rightarrow
\operatorname*{Hom}\left(  C^{\ast}\otimes V,V\right)
\]
durch
\[
\Phi\left(  F\right)  =\left(  f\otimes x\mapsto\left(  \operatorname*{kan}%
\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes f\right)  \circ F\right)  \left(
x\right)  \right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }F\in
\operatorname*{Hom}\left(  V,V\otimes C\right)
\]
definiert ist. Die $C^{\ast}$-Linksmodulstruktur auf $\operatorname*{adj}%
\nolimits_{C}\left(  \operatorname*{adj}\nolimits^{C}V\right)  $ ist dann die
zu $\delta_{V}$ adjungierte $C^{\ast}$-Modulstruktur, also
(gem\"{a}\ss \ Bemerkung 4.7, angewandt auf $\operatorname*{adj}%
\nolimits_{C}V$ statt $V$) die Abbildung $\Phi\left(  \delta_{V}\right)  $. Da
aber $\Phi\left(  \delta_{V}\right)  =\mu_{V}$ die $C^{\ast}$%
-Linksmodulstruktur auf $V$ ist (denn $\delta_{V}=\Phi^{-1}\left(  \mu
_{V}\right)  $), bedeutet dies: Die $C^{\ast}$-Linksmodulstruktur auf
$\operatorname*{adj}\nolimits_{C}\left(  \operatorname*{adj}\nolimits^{C}%
V\right)  $ ist die $C^{\ast}$-Linksmodulstruktur auf $V$. Damit haben wir
gezeigt, da\ss \ $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}\left(  \operatorname*{adj}%
\nolimits^{C}V\right)  =V$ ist, und Satz 4.11 \textbf{a)} ist bewiesen.

\textbf{b)} Als Vektorraum ist $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V=V$ (laut
Definition) und (ebenfalls laut Definition) $\operatorname*{adj}%
\nolimits^{C}\left(  \operatorname*{adj}\nolimits_{C}V\right)
=\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V$, also $\operatorname*{adj}\nolimits^{C}%
\left(  \operatorname*{adj}\nolimits_{C}V\right)  =\operatorname*{adj}%
\nolimits_{C}V=V$. Jetzt m\"{u}ssen wir nur noch zeigen, da\ss \ die
$C$-Rechtscomodulstrukturen auf $\operatorname*{adj}\nolimits^{C}\left(
\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V\right)  $ und auf $V$ identisch sind.

Sei $\delta_{V}:V\rightarrow V\otimes C$ die vorgegebene $C$%
-Rechtscomodulstruktur auf $V$. Die $C^{\ast}$-Linksmodulstruktur auf
$\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V$ ist dann die zu $\delta_{V}$ adjungierte
$C^{\ast}$-Modulstruktur, also (laut Bemerkung 4.7) die Abbildung $\Phi\left(
\delta_{V}\right)  $, wobei die $k$-lineare Abbildung%
\[
\Phi:\operatorname*{Hom}\left(  V,V\otimes C\right)  \rightarrow
\operatorname*{Hom}\left(  C^{\ast}\otimes V,V\right)
\]
durch
\[
\Phi\left(  F\right)  =\left(  f\otimes x\mapsto\left(  \operatorname*{kan}%
\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes f\right)  \circ F\right)  \left(
x\right)  \right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }F\in
\operatorname*{Hom}\left(  V,V\otimes C\right)
\]
definiert ist. Die $C$-Rechtscomodulstruktur auf $\operatorname*{adj}%
\nolimits^{C}\left(  \operatorname*{adj}\nolimits_{C}V\right)  $ ist dann
(laut Definition von $\operatorname*{adj}\nolimits^{C}\left(
\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V\right)  $) die zu $\Phi\left(  \delta
_{V}\right)  $ adjungierte $C$-Rechtscomodulstruktur, d. h. die durch
$\delta_{\operatorname*{adj}\nolimits^{C}\left(  \operatorname*{adj}%
\nolimits_{C}V\right)  }=\Phi^{-1}\left(  \Phi\left(  \delta_{V}\right)
\right)  $ definierte Abbildung $\delta_{\operatorname*{adj}\nolimits^{C}%
\left(  \operatorname*{adj}\nolimits_{C}V\right)  }:V\rightarrow V\otimes C$.
Wir haben also:%
\begin{align*}
&  \left(  \text{die }C\text{-Rechtscomodulstruktur auf }\operatorname*{adj}%
\nolimits^{C}\left(  \operatorname*{adj}\nolimits_{C}V\right)  \right) \\
&  =\delta_{\operatorname*{adj}\nolimits^{C}\left(  \operatorname*{adj}%
\nolimits_{C}V\right)  }=\Phi^{-1}\left(  \Phi\left(  \delta_{V}\right)
\right)  =\delta_{V}=\left(  \text{die }C\text{-Rechtscomodulstruktur auf
}V\right)  .
\end{align*}
Damit ist gezeigt, da\ss \ $\operatorname*{adj}\nolimits^{C}\left(
\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V\right)  =V$ ist. Auch Satz 4.11 \textbf{b)}
ist also gezeigt.

Jetzt holen wir den \textit{Beweis von Satz 4.10 \textbf{b)}} nach: Nach Satz
4.6 \textbf{b)} (angewandt auf $\operatorname*{adj}\nolimits^{C}V$ und
$\operatorname*{adj}\nolimits^{C}W$ statt $V$ bzw. $W$) ist%
\[
\mathcal{M}^{C}\left(  \operatorname*{adj}\nolimits^{C}V,\operatorname*{adj}%
\nolimits^{C}W\right)  =\operatorname*{Hom}\nolimits_{C^{\ast}}\left(
\operatorname*{adj}\nolimits_{C}\left(  \operatorname*{adj}\nolimits^{C}%
V\right)  ,\operatorname*{adj}\nolimits_{C}\left(  \operatorname*{adj}%
\nolimits^{C}W\right)  \right)  .
\]
Da $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}\left(  \operatorname*{adj}\nolimits^{C}%
V\right)  =V$ und $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}\left(  \operatorname*{adj}%
\nolimits^{C}W\right)  =W$ ist (nach Satz 4.11 \textbf{a)}), vereinfacht sich
dies zu $\mathcal{M}^{C}\left(  \operatorname*{adj}\nolimits^{C}%
V,\operatorname*{adj}\nolimits^{C}W\right)  =\operatorname*{Hom}_{C^{\ast}%
}\left(  V,W\right)  $. Damit ist Satz 4.10 \textbf{b)} gezeigt.

\textbf{4.12. Satz:} Sei $H$ eine endlichdimensionale Bialgebra, und $A$ ein
Vektorraum. Sei $\delta:A\rightarrow A\otimes H$ eine $H$%
-Rechtscomodulstruktur auf $A$, und sei $\mu:H^{\ast}\otimes A\rightarrow A$
die zu $\delta$ adjungierte $H^{\ast}$-Modulstruktur.

Genau dann ist $\left(  A,\delta\right)  $ eine $H$-Rechtscomodulalgebra, wenn
$\left(  A,\mu\right)  $ eine $H^{\ast}$-Linksmodulalgebra ist.

\textit{Beweis von Satz 4.12:} $\Longrightarrow:$ Angenommen, $\left(
A,\delta\right)  $ ist eine $H$-Rechtscomodulalgebra. Gem\"{a}\ss \ der
Definition einer $H$-Rechtscomodulalgebra bedeutet dies, da\ss \ $\delta
:A\rightarrow A\otimes H$ ein Algebrahomomorphismus ist.

F\"{u}r alle $f\in H^{\ast}$ und $v\in A$ ist $f\cdot v=v_{\left(  0\right)
}f\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  $ (gem\"{a}\ss \ der Definition der
zu $\delta$ adjungierten $H^{\ast}$-Modulstruktur). F\"{u}r alle $x\in
H^{\ast}$ und alle $a,b\in A$ ist somit%
\begin{align*}
&  x\cdot\left(  ab\right) \\
&  =\left(  ab\right)  _{\left(  0\right)  }x\left(  \left(  ab\right)
_{\left(  1\right)  }\right)  =a_{\left(  0\right)  }b_{\left(  0\right)
}x\left(  a_{\left(  1\right)  }b_{\left(  1\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\left(  ab\right)  _{\left(
0\right)  }\otimes\left(  ab\right)  _{\left(  1\right)  }=a_{\left(
0\right)  }b_{\left(  0\right)  }\otimes a_{\left(  1\right)  }b_{\left(
1\right)  }\text{, weil }\delta\text{ ein Algebrahomomorphismus ist}\right) \\
&  =a_{\left(  0\right)  }b_{\left(  0\right)  }x_{\left(  1\right)  }\left(
a_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }\left(  b_{\left(
1\right)  }\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }x\left(  a_{\left(  1\right)  }b_{\left(  1\right)  }\right)
=x_{\left(  1\right)  }\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot x_{\left(
2\right)  }\left(  b_{\left(  1\right)  }\right)  \text{, weil}\\
\text{so die Comultiplikation auf }H^{\ast}\text{ definiert ist}%
\end{array}
\right) \\
&  =\underbrace{\left(  a_{\left(  0\right)  }x_{\left(  1\right)  }\left(
a_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  }_{\substack{=x_{\left(  1\right)
}\cdot a\text{ (denn }v_{\left(  0\right)  }f\left(  v_{\left(  1\right)
}\right)  =f\cdot v\\\text{f\"{u}r alle }f\in H^{\ast}\text{ und }v\in
A\text{)}}}\underbrace{\left(  b_{\left(  0\right)  }x_{\left(  2\right)
}\left(  b_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  }_{\substack{=x_{\left(
2\right)  }\cdot b\text{ (denn }v_{\left(  0\right)  }f\left(  v_{\left(
1\right)  }\right)  =f\cdot v\\\text{f\"{u}r alle }f\in H^{\ast}\text{ und
}v\in A\text{)}}}=\left(  x_{\left(  1\right)  }\cdot a\right)  \left(
x_{\left(  2\right)  }\cdot b\right)  .
\end{align*}
F\"{u}r alle $x\in H^{\ast}$ ist ferner%
\begin{align*}
x\cdot1  &  =1_{\left(  0\right)  }x\left(  1_{\left(  1\right)  }\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }f\cdot v=v_{\left(  0\right)
}f\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  \text{ f\"{u}r alle }f\in H^{\ast
}\text{ und }v\in A\right) \\
&  =1x\left(  1\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }1_{\left(
0\right)  }\otimes1_{\left(  1\right)  }=1\text{, weil }\delta\text{ ein
Algebrahomomorphismus ist}\right) \\
&  =1\varepsilon\left(  x\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn
}\varepsilon\left(  x\right)  =x\left(  1\right)  \text{ nach der Definition
der Coeins }\varepsilon\text{ auf }H^{\ast}\right) \\
&  =\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1.
\end{align*}
Somit ist $\left(  A,\mu\right)  $ eine $H^{\ast}$-Linksmodulalgebra (denn die
beiden dazu notwendigen Axiome:%
\begin{align*}
x\cdot\left(  ab\right)   &  =\left(  x_{\left(  1\right)  }\cdot a\right)
\left(  x_{\left(  2\right)  }\cdot b\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in H^{\ast}\text{ und }a,b\in A;\\
x\cdot1  &  =\varepsilon\left(  x\right)  \cdot
1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in H^{\ast}%
\end{align*}
sind beide erf\"{u}llt). Damit ist die $\Longrightarrow$-Richtung von Satz
4.12 bewiesen.

$\Longleftarrow:$ Angenommen, $\left(  A,\mu\right)  $ ist eine $H^{\ast}%
$-Linksmodulalgebra. Gem\"{a}\ss \ der Definition einer $H^{\ast}%
$-Linksmodulalgebra bedeutet dies, da\ss \ die zwei Axiome%
\begin{align*}
x\cdot\left(  ab\right)   &  =\left(  x_{\left(  1\right)  }\cdot a\right)
\left(  x_{\left(  2\right)  }\cdot b\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in H^{\ast}\text{ und }a,b\in A;\\
x\cdot1  &  =\varepsilon\left(  x\right)  \cdot
1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in H^{\ast}%
\end{align*}
gelten.

Sei $\operatorname*{kan}:A\otimes k\rightarrow A$ der kanonische
Algebraisomorphismus. Dann ist $\operatorname*{kan}$ insbesondere injektiv.
Seien $a,b\in A$. Wir wollen beweisen, da\ss \ $\delta\left(  a\right)
\delta\left(  b\right)  =\delta\left(  ab\right)  $ ist.

F\"{u}r alle $f\in H^{\ast}$ und $v\in A$ ist $f\cdot v=v_{\left(  0\right)
}f\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  $ (gem\"{a}\ss \ der Definition der
zu $\delta$ adjungierten $H^{\ast}$-Modulstruktur). F\"{u}r alle $x\in
H^{\ast}$ ist somit%
\begin{align*}
x\cdot\left(  ab\right)   &  =\left(  ab\right)  _{\left(  0\right)  }x\left(
\left(  ab\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  =\operatorname*{kan}\left(
\underbrace{\left(  ab\right)  _{\left(  0\right)  }\otimes x\left(  \left(
ab\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  }_{=\left(  \operatorname*{id}\otimes
x\right)  \left(  \left(  ab\right)  _{\left(  0\right)  }\otimes\left(
ab\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  }\right)  =\operatorname*{kan}\left(
\left(  \operatorname*{id}\otimes x\right)  \left(  \underbrace{\left(
ab\right)  _{\left(  0\right)  }\otimes\left(  ab\right)  _{\left(  1\right)
}}_{=\delta\left(  ab\right)  }\right)  \right) \\
&  =\operatorname*{kan}\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes x\right)
\left(  \delta\left(  ab\right)  \right)  \right)  .
\end{align*}
Nun ist%
\begin{align*}
&  \operatorname*{kan}\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes x\right)
\left(  \underbrace{\delta\left(  a\right)  }_{=a_{\left(  0\right)  }\otimes
a_{\left(  1\right)  }}\underbrace{\delta\left(  b\right)  }_{=b_{\left(
0\right)  }\otimes b_{\left(  1\right)  }}\right)  \right)
=\operatorname*{kan}\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes x\right)
\left(  \left(  a_{\left(  0\right)  }\otimes a_{\left(  1\right)  }\right)
\left(  b_{\left(  0\right)  }\otimes b_{\left(  1\right)  }\right)  \right)
\right) \\
&  =\operatorname*{kan}\left(  \underbrace{\left(  \operatorname*{id}\otimes
x\right)  \left(  \left(  a_{\left(  0\right)  }b_{\left(  0\right)  }\otimes
a_{\left(  1\right)  }b_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  }_{=a_{\left(
0\right)  }b_{\left(  0\right)  }\otimes x\left(  a_{\left(  1\right)
}b_{\left(  1\right)  }\right)  }\right)  =\operatorname*{kan}\left(
a_{\left(  0\right)  }b_{\left(  0\right)  }\otimes x\left(  a_{\left(
1\right)  }b_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  =a_{\left(  0\right)
}b_{\left(  0\right)  }x\left(  a_{\left(  1\right)  }b_{\left(  1\right)
}\right) \\
&  =a_{\left(  0\right)  }b_{\left(  0\right)  }x_{\left(  1\right)  }\left(
a_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }\left(  b_{\left(
1\right)  }\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }x\left(  a_{\left(  1\right)  }b_{\left(  1\right)  }\right)
=x_{\left(  1\right)  }\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot x_{\left(
2\right)  }\left(  b_{\left(  1\right)  }\right)  \text{, weil}\\
\text{so die Comultiplikation auf }H^{\ast}\text{ definiert ist}%
\end{array}
\right) \\
&  =\underbrace{\left(  a_{\left(  0\right)  }x_{\left(  1\right)  }\left(
a_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  }_{\substack{=x_{\left(  1\right)
}\cdot a\text{ (denn }v_{\left(  0\right)  }f\left(  v_{\left(  1\right)
}\right)  =f\cdot v\\\text{f\"{u}r alle }f\in H^{\ast}\text{ und }v\in
A\text{)}}}\underbrace{\left(  b_{\left(  0\right)  }x_{\left(  2\right)
}\left(  b_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  }_{\substack{=x_{\left(
2\right)  }\cdot b\text{ (denn }v_{\left(  0\right)  }f\left(  v_{\left(
1\right)  }\right)  =f\cdot v\\\text{f\"{u}r alle }f\in H^{\ast}\text{ und
}v\in A\text{)}}}=\left(  x_{\left(  1\right)  }\cdot a\right)  \left(
x_{\left(  2\right)  }\cdot b\right)  =x\cdot\left(  ab\right) \\
&  =\operatorname*{kan}\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes x\right)
\left(  \delta\left(  ab\right)  \right)  \right)  .
\end{align*}
Da $\operatorname*{kan}$ injektiv ist, folgt hieraus $\left(
\operatorname*{id}\otimes x\right)  \left(  \delta\left(  a\right)
\delta\left(  b\right)  \right)  =\left(  \operatorname*{id}\otimes x\right)
\left(  \delta\left(  ab\right)  \right)  $. Da dies f\"{u}r alle $x\in
H^{\ast}$ gilt, folgt hieraus $\delta\left(  a\right)  \delta\left(  b\right)
=\delta\left(  ab\right)  $ (nach Lemma 1.9$\dfrac{\text{2}}{\text{20}}$,
angewandt auf $V=A$, $W=H$, $g=x$, $\alpha=\delta\left(  a\right)
\delta\left(  b\right)  $ und $\beta=\delta\left(  ab\right)  $).

F\"{u}r alle $x\in H^{\ast}$ ist ferner%
\begin{align*}
&  \operatorname*{kan}\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes x\right)
\left(  \underbrace{\delta\left(  1\right)  }_{=1_{\left(  0\right)  }%
\otimes1_{\left(  1\right)  }}\right)  \right)  =\operatorname*{kan}\left(
\underbrace{\left(  \operatorname*{id}\otimes x\right)  \left(  1_{\left(
0\right)  }\otimes1_{\left(  1\right)  }\right)  }_{=1_{\left(  0\right)
}\otimes x\left(  1_{\left(  1\right)  }\right)  }\right)  =1_{\left(
0\right)  }x\left(  1_{\left(  1\right)  }\right) \\
&  =x\cdot1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }v_{\left(  0\right)
}f\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  =f\cdot v\text{ f\"{u}r alle }f\in
H^{\ast}\text{ und }v\in A\right) \\
&  =\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1=x\left(  1\right)  \cdot
1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\varepsilon\left(  x\right)
=x\left(  1\right)  \text{ nach der Definition der Coeins }\varepsilon\text{
auf }H^{\ast}\right) \\
&  =\operatorname*{kan}\left(  \underbrace{1\otimes x\left(  1\right)
}_{=\left(  \operatorname*{id}\otimes x\right)  \left(  1\otimes1\right)
}\right)  =\operatorname*{kan}\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes
x\right)  \left(  1\otimes1\right)  \right)  .
\end{align*}
Da $\operatorname*{kan}$ injektiv ist, bedeutet dies $\left(
\operatorname*{id}\otimes x\right)  \left(  \delta\left(  1\right)  \right)
=\left(  \operatorname*{id}\otimes x\right)  \left(  1\otimes1\right)  $. Da
dies f\"{u}r alle $x\in H^{\ast}$ gilt, folgt hieraus $\delta\left(  1\right)
=1\otimes1$ (nach Lemma 1.9$\dfrac{\text{2}}{\text{20}}$, angewandt auf $V=A$,
$W=H$, $g=x$, $\alpha=\delta\left(  1\right)  $ und $\beta=1\otimes1$). Das
hei\ss t, $\delta\left(  1\right)  =1_{H\otimes A}$. Zusammen mit dem bereits
bewiesenen Faktum, da\ss \ $\delta\left(  a\right)  \delta\left(  b\right)
=\delta\left(  ab\right)  $ f\"{u}r alle $a,b\in A$ gilt, ergibt dies,
da\ss \ $\delta$ ein Algebrahomomorphismus ist. Also ist $\left(
A,\delta\right)  $ eine $H$-Rechtscomodulalgebra. Damit ist die
$\Longleftarrow$-Richtung von Satz 4.12 bewiesen. Der Beweis von Satz 4.12 ist
nun vollst\"{a}ndig.

\textit{Beweis von Satz 4.8:} \textbf{1)} Die Abbildung%
\begin{align*}
&  \left\{  \delta:V\rightarrow V\otimes C\ \mid\ \delta\text{ ist eine
}C\text{-Rechtscomodulstruktur auf }V\right\} \\
&  \rightarrow\left\{  \mu:C^{\ast}\otimes V\rightarrow V\ \mid\ \mu\text{ ist
eine }C^{\ast}\text{-Linksmodulstruktur auf }V\right\}  ,
\end{align*}
die jeder $C$-Rechtscomodulstruktur $\delta$ auf $V$ die zu $\delta$
adjungierte $C^{\ast}$-Modulstruktur $\mu$ zuordnet, ist bijektiv, denn ihre
Umkehrung ist die Abbildung%
\begin{align*}
&  \left\{  \mu:C^{\ast}\otimes V\rightarrow V\ \mid\ \mu\text{ ist eine
}C^{\ast}\text{-Linksmodulstruktur auf }V\right\} \\
&  \rightarrow\left\{  \delta:V\rightarrow V\otimes C\ \mid\ \delta\text{ ist
eine }C\text{-Rechtscomodulstruktur auf }V\right\}  ,
\end{align*}
die jeder $C^{\ast}$-Linksmodulstruktur $\mu$ auf $V$ die zu $\mu$ adjungierte
$C$-Rechtscomodulstruktur $\delta$ zuordnet (gem\"{a}\ss \ Satz 4.11).

\textbf{2)} Dies folgt aus \textbf{1)} und Satz 4.12.

\bigskip

\fbox{\textbf{Direkte Summen von Comoduln}}

Wie auch schon f\"{u}r Moduln lassen sich f\"{u}r Comoduln direkte Summen definieren:

\textbf{Definition:} Sei $C$ eine Coalgebra, sei $n\in\mathbb{N}$, und seien
$V_{1}$, $V_{2}$, $...$, $V_{n}$ beliebige $C$-Rechtscomoduln. Dann definieren
wir auf der direkten Summe $\bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}$ folgenderma\ss en
eine $C$-Rechtscomodulstruktur:

F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ sei $\delta_{i}%
:V_{i}\rightarrow V_{i}\otimes C$ die $C$-Rechtscomodulstruktur des
$C$-Rechtscomoduls $V_{i}$. Auf diese Weise haben wir eine Abbildung
$\delta_{i}:V_{i}\rightarrow V_{i}\otimes C$ f\"{u}r jedes $i\in\left\{
1,2,...,n\right\}  $ erhalten. Aus diesen $n$ Abbildungen l\"{a}\ss t sich
eine Abbildung $\bigoplus\limits_{i=1}^{n}\delta_{i}:\bigoplus\limits_{i=1}%
^{n}V_{i}\rightarrow\bigoplus\limits_{i=1}^{n}\left(  V_{i}\otimes C\right)  $
zusammenbauen. Bezeichnen wir mit $\operatorname*{kan}$ den kanonischen
Isomorphismus $\bigoplus\limits_{i=1}^{n}\left(  V_{i}\otimes C\right)
\rightarrow\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}\right)  \otimes C$, und
definieren wir eine Abbildung $\delta_{\oplus}:\bigoplus\limits_{i=1}^{n}%
V_{i}\rightarrow\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}\right)  \otimes C$
durch $\delta_{\oplus}=\operatorname*{kan}\circ\left(  \bigoplus
\limits_{i=1}^{n}\delta_{i}\right)  $, dann ist (wie wir in Bemerkung 4.20
beweisen werden) $\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i},\delta_{\oplus
}\right)  $ ein $C$-Rechtscomodul. Dieser $C$-Rechtscomodul hei\ss t die
\textit{direkte Summe} der $C$-Rechtscomoduln $V_{1}$, $V_{2}$, $...$, $V_{n}$.

\textbf{4.20. Bemerkung:} Um diese Definition zu rechtfertigen, m\"{u}ssen wir
zeigen, da\ss \ $\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i},\delta_{\oplus
}\right)  $ tats\"{a}chlich ein $C$-Rechtscomodul ist. Dies werden wir jetzt erledigen:

Sei $C$ eine Coalgebra, sei $n\in\mathbb{N}$, und seien $V_{1}$, $V_{2}$,
$...$, $V_{n}$ beliebige $C$-Rechtscomoduln. Unser Ziel ist es zu beweisen,
da\ss \ $\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i},\delta_{\oplus}\right)  $ ein
$C$-Rechtscomodul ist, wobei $\delta_{\oplus}$ wie vorhin definiert ist. Dazu
m\"{u}ssen wir nachweisen, da\ss \ $\delta_{\oplus}\left(  v_{\left(
0\right)  }\right)  \otimes v_{\left(  1\right)  }=v_{\left(  0\right)
}\otimes\Delta\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  $ und $v=v_{\left(
0\right)  }\varepsilon\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  $ f\"{u}r jedes
$v\in\bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}$ gilt, wobei wir $v_{\left(  0\right)
}\otimes v_{\left(  1\right)  }$ f\"{u}r $\delta_{\oplus}\left(  v\right)  $ schreiben.

F\"{u}r jedes $j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ sei $\operatorname*{in}%
\nolimits_{j}:V_{j}\rightarrow\bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}$ die kanonische
Inklusion von $V_{j}$ in die direkte Summe $\bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}$,
und $\operatorname*{in}\nolimits_{j}^{C}:V_{j}\otimes C\rightarrow
\bigoplus\limits_{i=1}^{n}\left(  V_{i}\otimes C\right)  $ die kanonische
Inklusion von $V_{j}\otimes C$ in die direkte Summe $\bigoplus\limits_{i=1}%
^{n}\left(  V_{i}\otimes C\right)  $. F\"{u}r jedes $j\in\left\{
1,2,...,n\right\}  $ ist dann $\operatorname*{in}\nolimits_{j}\otimes
\operatorname*{id}\nolimits_{C}=\operatorname*{kan}\circ\operatorname*{in}%
\nolimits_{j}^{C}$ (denn so wird $\operatorname*{kan}$ definiert) und $\left(
\bigoplus\limits_{i=1}^{n}\delta_{i}\right)  \circ\operatorname*{in}%
\nolimits_{j}=\operatorname*{in}\nolimits_{j}^{C}\circ\delta_{j}$ (denn so
wird die direkte Summe $\bigoplus\limits_{i=1}^{n}\delta_{i}$ definiert) und
daher%
\[
\underbrace{\delta_{\oplus}}_{=\operatorname*{kan}\circ\left(  \bigoplus
\limits_{i=1}^{n}\delta_{i}\right)  }\circ\operatorname*{in}\nolimits_{j}%
=\operatorname*{kan}\circ\underbrace{\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}%
\delta_{i}\right)  \circ\operatorname*{in}\nolimits_{j}}_{=\operatorname*{in}%
\nolimits_{j}^{C}\circ\delta_{j}}=\underbrace{\operatorname*{kan}%
\circ\operatorname*{in}\nolimits_{j}^{C}}_{=\operatorname*{in}\nolimits_{j}%
\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{C}}\circ\delta_{j}=\left(
\operatorname*{in}\nolimits_{j}\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{C}\right)
\circ\delta_{j}.
\]


Sei nun $v\in\bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}$ beliebig. Dann ist $v=\left(
w_{1},w_{2},...,w_{n}\right)  $ f\"{u}r irgendwelche $w_{i}\in V_{i}$. Mit
anderen Worten: $v=\sum\limits_{j=1}^{n}\operatorname*{in}\nolimits_{j}\left(
w_{j}\right)  $. Folglich ist
\begin{align*}
\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}\delta_{i}\right)  \left(  v\right)   &
=\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}\delta_{i}\right)  \left(  \sum
\limits_{j=1}^{n}\operatorname*{in}\nolimits_{j}\left(  w_{j}\right)  \right)
=\sum\limits_{j=1}^{n}\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}\delta_{i}\right)
\left(  \operatorname*{in}\nolimits_{j}\left(  w_{j}\right)  \right)
=\sum\limits_{j=1}^{n}\left(  \underbrace{\left(  \bigoplus\limits_{i=1}%
^{n}\delta_{i}\right)  \circ\operatorname*{in}\nolimits_{j}}%
_{=\operatorname*{in}\nolimits_{j}^{C}\circ\delta_{j}}\right)  \left(
w_{j}\right) \\
&  =\sum\limits_{j=1}^{n}\left(  \operatorname*{in}\nolimits_{j}^{C}%
\circ\delta_{j}\right)  \left(  w_{j}\right)  =\sum\limits_{j=1}%
^{n}\operatorname*{in}\nolimits_{j}^{C}\left(  \delta_{j}\left(  w_{j}\right)
\right)  .
\end{align*}
Wegen $\delta_{\oplus}=\operatorname*{kan}\circ\left(  \bigoplus
\limits_{i=1}^{n}\delta_{i}\right)  $ ist nun%
\begin{align*}
\delta_{\oplus}\left(  v\right)   &  =\operatorname*{kan}\left(
\underbrace{\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}\delta_{i}\right)  \left(
v\right)  }_{=\sum\limits_{j=1}^{n}\operatorname*{in}\nolimits_{j}^{C}\left(
\delta_{j}\left(  w_{j}\right)  \right)  }\right)  =\operatorname*{kan}\left(
\sum\limits_{j=1}^{n}\operatorname*{in}\nolimits_{j}^{C}\left(  \delta
_{j}\left(  w_{j}\right)  \right)  \right)  =\sum\limits_{j=1}^{n}%
\operatorname*{kan}\left(  \operatorname*{in}\nolimits_{j}^{C}\left(
\delta_{j}\left(  w_{j}\right)  \right)  \right) \\
&  =\sum\limits_{j=1}^{n}\underbrace{\left(  \operatorname*{kan}%
\circ\operatorname*{in}\nolimits_{j}^{C}\right)  }_{=\operatorname*{in}%
\nolimits_{j}\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{C}}\left(  \underbrace{\delta
_{j}\left(  w_{j}\right)  }_{=\left(  w_{j}\right)  _{\left(  0\right)
}\otimes\left(  w_{j}\right)  _{\left(  1\right)  }}\right)  =\sum
\limits_{j=1}^{n}\left(  \operatorname*{in}\nolimits_{j}\otimes
\operatorname*{id}\nolimits_{C}\right)  \left(  \left(  w_{j}\right)
_{\left(  0\right)  }\otimes\left(  w_{j}\right)  _{\left(  1\right)  }\right)
\\
&  =\sum\limits_{j=1}^{n}\operatorname*{in}\nolimits_{j}\left(  \left(
w_{j}\right)  _{\left(  0\right)  }\right)  \otimes\left(  w_{j}\right)
_{\left(  1\right)  }.
\end{align*}
Damit ist%
\[
v_{\left(  0\right)  }\otimes v_{\left(  1\right)  }=\delta_{\oplus}\left(
v\right)  =\sum\limits_{j=1}^{n}\operatorname*{in}\nolimits_{j}\left(  \left(
w_{j}\right)  _{\left(  0\right)  }\right)  \otimes\left(  w_{j}\right)
_{\left(  1\right)  }.
\]
Hieraus folgt einerseits%
\begin{align*}
\delta_{\oplus}\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  \otimes v_{\left(
1\right)  }  &  =\sum\limits_{j=1}^{n}\delta_{\oplus}\left(
\operatorname*{in}\nolimits_{j}\left(  \left(  w_{j}\right)  _{\left(
0\right)  }\right)  \right)  \otimes\left(  w_{j}\right)  _{\left(  1\right)
}=\sum\limits_{j=1}^{n}\underbrace{\left(  \delta_{\oplus}\circ
\operatorname*{in}\nolimits_{j}\right)  }_{=\left(  \operatorname*{in}%
\nolimits_{j}\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{C}\right)  \circ\delta_{j}%
}\left(  \left(  w_{j}\right)  _{\left(  0\right)  }\right)  \otimes\left(
w_{j}\right)  _{\left(  1\right)  }\\
&  =\sum\limits_{j=1}^{n}\left(  \left(  \operatorname*{in}\nolimits_{j}%
\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{C}\right)  \circ\delta_{j}\right)  \left(
\left(  w_{j}\right)  _{\left(  0\right)  }\right)  \otimes\left(
w_{j}\right)  _{\left(  1\right)  }\\
&  =\sum\limits_{j=1}^{n}\left(  \operatorname*{in}\nolimits_{j}%
\otimes\operatorname*{id}\nolimits_{C}\right)  \left(  \delta_{j}\left(
\left(  w_{j}\right)  _{\left(  0\right)  }\right)  \right)  \otimes\left(
w_{j}\right)  _{\left(  1\right)  }\\
&  =\underbrace{\left(  \left(  \operatorname*{in}\nolimits_{j}\otimes
\operatorname*{id}\nolimits_{C}\right)  \otimes\operatorname*{id}%
\nolimits_{C}\right)  }_{=\operatorname*{in}\nolimits_{j}\otimes
\operatorname*{id}\nolimits_{C\otimes C}}\left(  \sum\limits_{j=1}%
^{n}\underbrace{\delta_{j}\left(  \left(  w_{j}\right)  _{\left(  0\right)
}\right)  \otimes\left(  w_{j}\right)  _{\left(  1\right)  }}%
_{\substack{=\left(  w_{j}\right)  _{\left(  0\right)  }\otimes\Delta\left(
\left(  w_{j}\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \\\text{(denn }w_{j}\in
V_{j}\text{, und }V_{j}\text{ ist ein }C\text{-Comodul)}}}\right) \\
&  =\left(  \operatorname*{in}\nolimits_{j}\otimes\operatorname*{id}%
\nolimits_{C\otimes C}\right)  \left(  \sum\limits_{j=1}^{n}\left(
w_{j}\right)  _{\left(  0\right)  }\otimes\Delta\left(  \left(  w_{j}\right)
_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  =\sum\limits_{j=1}^{n}%
\operatorname*{in}\nolimits_{j}\left(  \left(  w_{j}\right)  _{\left(
0\right)  }\right)  \otimes\Delta\left(  \left(  w_{j}\right)  _{\left(
1\right)  }\right)  ,
\end{align*}
andererseits aber%
\[
v_{\left(  0\right)  }\otimes\Delta\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
=\sum\limits_{j=1}^{n}\operatorname*{in}\nolimits_{j}\left(  \left(
w_{j}\right)  _{\left(  0\right)  }\right)  \otimes\Delta\left(  \left(
w_{j}\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  ,
\]
und daher $\delta_{\oplus}\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  \otimes
v_{\left(  1\right)  }=v_{\left(  0\right)  }\otimes\Delta\left(  v_{\left(
1\right)  }\right)  $.

Aus $v_{\left(  0\right)  }\otimes v_{\left(  1\right)  }=\sum\limits_{j=1}%
^{n}\operatorname*{in}\nolimits_{j}\left(  \left(  w_{j}\right)  _{\left(
0\right)  }\right)  \otimes\left(  w_{j}\right)  _{\left(  1\right)  }$ folgt
ferner%
\[
v_{\left(  0\right)  }\varepsilon\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
=\sum\limits_{j=1}^{n}\operatorname*{in}\nolimits_{j}\left(  \left(
w_{j}\right)  _{\left(  0\right)  }\right)  \varepsilon\left(  \left(
w_{j}\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  =\sum\limits_{j=1}^{n}%
\operatorname*{in}\nolimits_{j}\left(  \underbrace{\left(  w_{j}\right)
_{\left(  0\right)  }\varepsilon\left(  \left(  w_{j}\right)  _{\left(
1\right)  }\right)  }_{\substack{=w_{j}\text{ (denn }w_{j}\in V_{j}\text{, und
}V_{j}\\\text{ist ein }C\text{-Comodul)}}}\right)  =\sum\limits_{j=1}%
^{n}\operatorname*{in}\nolimits_{j}\left(  w_{j}\right)  =v.
\]


Wir haben damit gezeigt: F\"{u}r jedes $v\in\bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}$
gilt $\delta_{\oplus}\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  \otimes v_{\left(
1\right)  }=v_{\left(  0\right)  }\otimes\Delta\left(  v_{\left(  1\right)
}\right)  $ und $v=v_{\left(  0\right)  }\varepsilon\left(  v_{\left(
1\right)  }\right)  $, wobei wir $v_{\left(  0\right)  }\otimes v_{\left(
1\right)  }$ f\"{u}r $\delta_{\oplus}\left(  v\right)  $ schreiben. Somit ist
bewiesen, da\ss \ $\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i},\delta_{\oplus
}\right)  $ tats\"{a}chlich ein $C$-Rechtscomodul ist. Unsere obige Definition
ist also gerechtfertigt.

\textbf{4.21. Bemerkung:} Sei $C$ eine Coalgebra, sei $n\in\mathbb{N}$, und
seien $V_{1}$, $V_{2}$, $...$, $V_{n}$ beliebige $C$-Rechtscomoduln. F\"{u}r
jedes $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ sei $\delta_{i}:V_{i}\rightarrow
V_{i}\otimes C$ die $C$-Rechtscomodulstruktur des $C$-Rechtscomoduls $V_{i}$.

Wir haben weiter oben auf der direkten Summe $\bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}$
eine $C$-Rechtscomodulstruktur $\delta_{\oplus}$ definiert. Diese
$C$-Rechtscomodulstruktur $\delta_{\oplus}$ induziert eine $C^{\ast}%
$-Linksmodulstruktur auf $\bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}$, n\"{a}mlich die zu
$\delta_{\oplus}$ adjungierte $C^{\ast}$-Linksmodulstruktur. Auf diese Weise
erhalten wir einen $C^{\ast}$-Linksmodul $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}%
\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}\right)  $.

Andererseits ist f\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ eine
$C^{\ast}$-Linksmodulstruktur auf dem Vektorraum $V_{i}$ gegeben, n\"{a}mlich
die zu $\delta_{i}$ adjungierte $C^{\ast}$-Linksmodulstruktur. Auf diese Weise
erhalten wir einen $C^{\ast}$-Linksmodul $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}%
V_{i}$. Somit ist auch die direkte Summe $\bigoplus\limits_{i=1}%
^{n}\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V_{i}$ ein $C^{\ast}$-Linksmodul.

Die beiden $C^{\ast}$-Linksmoduln $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}\left(
\bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}\right)  $ und $\bigoplus\limits_{i=1}%
^{n}\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V_{i}$ sind identisch (d. h. sie sind der
gleiche Vektorraum mit der gleichen $C^{\ast}$-Linksmodulstruktur).

\textit{Beweis von Bemerkung 4.21:} Da\ss \ $\operatorname*{adj}%
\nolimits_{C}\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}\right)  $ und
$\bigoplus\limits_{i=1}^{n}\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V_{i}$ als
Vektorr\"{a}ume identisch sind, ist klar (denn als Vektorr\"{a}ume sind
$\operatorname*{adj}\nolimits_{C}\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}%
V_{i}\right)  =\bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}$ und $\bigoplus\limits_{i=1}%
^{n}\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V_{i}=\bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}$).
Um Bemerkung 4.21 nachzuweisen, m\"{u}ssen wir also nur noch zeigen,
da\ss \ die $C^{\ast}$-Linksmodulstrukturen auf $\operatorname*{adj}%
\nolimits_{C}\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}\right)  $ und
$\bigoplus\limits_{i=1}^{n}\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V_{i}$ gleich sind.

Sei $\mu_{\oplus}$ die $C^{\ast}$-Linksmodulstruktur auf $\operatorname*{adj}%
\nolimits_{C}\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}\right)  $, und sei $\mu$
die $C^{\ast}$-Linksmodulstruktur auf $\bigoplus\limits_{i=1}^{n}%
\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V_{i}$. Wir wollen also zeigen, da\ss \ $\mu
=\mu_{\oplus}$ ist.

F\"{u}r jedes $j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ sei $\operatorname*{in}%
\nolimits_{j}:V_{j}\rightarrow\bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}$ die kanonische Einbettung.

F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ sei $\mu_{i}$ die $C^{\ast}%
$-Linksmodulstruktur auf $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V_{i}$. Dann ist die
$C^{\ast}$-Linksmodulstruktur $\mu$ auf $\bigoplus\limits_{i=1}^{n}%
\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V_{i}$ definiert durch%
\begin{align*}
&  \mu\left(  f\otimes\left(  w_{1},w_{2},...,w_{n}\right)  \right)
=\sum_{i=1}^{n}\operatorname*{in}\nolimits_{i}\left(  \mu_{i}\left(  f\otimes
w_{i}\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }f\in C^{\ast}\text{ und jedes
}\left(  w_{1},w_{2},...,w_{n}\right)  \in\bigoplus\limits_{i=1}%
^{n}\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V_{i}.
\end{align*}
Doch $\mu_{i}$ ist die $C^{\ast}$-Linksmodulstruktur auf $\operatorname*{adj}%
\nolimits_{C}V_{i}$, also (nach der Definition von $\operatorname*{adj}%
\nolimits_{C}V_{i}$) die zu $\delta_{i}$ adjungierte $C^{\ast}$%
-Linksmodulstruktur. Das hei\ss t,%
\[
\mu_{i}\left(  f\otimes w\right)  =w_{\left(  0\right)  }f\left(  w_{\left(
1\right)  }\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }f\in C^{\ast
}\text{ und }w\in V_{i}%
\]
(denn so wurde die zu $\delta_{i}$ adjungierte $C^{\ast}$-Linksmodulstruktur definiert).

Andererseits ist $\mu_{\oplus}$ die $C^{\ast}$-Linksmodulstruktur auf
$\operatorname*{adj}\nolimits_{C}\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}%
V_{i}\right)  $, also (nach der Definition von $\operatorname*{adj}%
\nolimits_{C}\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}\right)  $) die zu
$\delta_{\oplus}$ adjungierte $C^{\ast}$-Linksmodulstruktur. Das hei\ss t,%
\[
\mu_{\oplus}\left(  f\otimes v\right)  =v_{\left(  0\right)  }f\left(
v_{\left(  1\right)  }\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }f\in
C^{\ast}\text{ und }v\in\bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}%
\]
(denn so wurde die zu $\delta_{\oplus}$ adjungierte $C^{\ast}$%
-Linksmodulstruktur definiert).

Seien $f\in C^{\ast}$ und $v\in\bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}$ beliebig
gew\"{a}hlt. Wegen $v\in\bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}$ k\"{o}nnen wir $v$ in
der Form $v=\left(  w_{1},w_{2},...,w_{n}\right)  $ schreiben f\"{u}r
irgendwelche $w_{i}\in V_{i}$. Daher ist%
\begin{align*}
\mu\left(  f\otimes v\right)   &  =\mu\left(  f\otimes\left(  w_{1}%
,w_{2},...,w_{n}\right)  \right)  =\sum_{i=1}^{n}\operatorname*{in}%
\nolimits_{i}\left(  \underbrace{\mu_{i}\left(  f\otimes w_{i}\right)
}_{\substack{=\left(  w_{i}\right)  _{\left(  0\right)  }f\left(  \left(
w_{i}\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \\\text{(da }\mu_{i}\left(
f\otimes w\right)  =w_{\left(  0\right)  }f\left(  w_{\left(  1\right)
}\right)  \\\text{f\"{u}r alle }w\in V_{i}\text{)}}}\right) \\
&  =\sum_{i=1}^{n}\operatorname*{in}\nolimits_{i}\left(  \left(  w_{i}\right)
_{\left(  0\right)  }f\left(  \left(  w_{i}\right)  _{\left(  1\right)
}\right)  \right)  =\sum_{i=1}^{n}\operatorname*{in}\nolimits_{i}\left(
\left(  w_{i}\right)  _{\left(  0\right)  }\right)  f\left(  \left(
w_{i}\right)  _{\left(  1\right)  }\right) \\
&  =\sum_{j=1}^{n}\operatorname*{in}\nolimits_{j}\left(  \left(  w_{j}\right)
_{\left(  0\right)  }\right)  f\left(  \left(  w_{j}\right)  _{\left(
1\right)  }\right)
\end{align*}
(hier haben wir $i$ in der Summe durch $j$ substituiert). Doch genauso wie im
Beweis von Bemerkung 4.20 k\"{o}nnen wir zeigen, da\ss \
\[
v_{\left(  0\right)  }\otimes v_{\left(  1\right)  }=\sum\limits_{j=1}%
^{n}\operatorname*{in}\nolimits_{j}\left(  \left(  w_{j}\right)  _{\left(
0\right)  }\right)  \otimes\left(  w_{j}\right)  _{\left(  1\right)  }%
\]
ist, und hieraus folgt%
\[
v_{\left(  0\right)  }f\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  =\sum
\limits_{j=1}^{n}\operatorname*{in}\nolimits_{j}\left(  \left(  w_{j}\right)
_{\left(  0\right)  }\right)  f\left(  \left(  w_{j}\right)  _{\left(
1\right)  }\right)  .
\]
Damit haben wir%
\[
\mu\left(  f\otimes v\right)  =\sum\limits_{j=1}^{n}\operatorname*{in}%
\nolimits_{j}\left(  \left(  w_{j}\right)  _{\left(  0\right)  }\right)
f\left(  \left(  w_{j}\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  =v_{\left(
0\right)  }f\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  =\mu_{\oplus}\left(
f\otimes v\right)  .
\]
Da dies f\"{u}r alle $f\in C^{\ast}$ und $v\in\bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}$
gilt, haben wir damit gezeigt: Die Abbildungen $\mu$ und $\mu_{\oplus}$
stimmen auf jedem reinen Tensor \"{u}berein. Da aber $\mu$ und $\mu_{\oplus}$
zwei lineare Abbildungen sind, muss somit $\mu=\mu_{\oplus}$ gelten (denn zwei
lineare Abbildungen, die auf jedem reinen Tensor \"{u}bereinstimmen,
m\"{u}ssen gleich sein (wegen Bemerkung 1.4 \textbf{2)} \textbf{b)})). Da
$\mu_{\oplus}$ die $C^{\ast}$-Linksmodulstruktur auf $\operatorname*{adj}%
\nolimits_{C}\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}\right)  $ ist, und $\mu$
die $C^{\ast}$-Linksmodulstruktur auf $\bigoplus\limits_{i=1}^{n}%
\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V_{i}$ ist, bedeutet dies: Die $C^{\ast}%
$-Linksmodulstruktur auf $\bigoplus\limits_{i=1}^{n}\operatorname*{adj}%
\nolimits_{C}V_{i}$ ist gleich der $C^{\ast}$-Linksmodulstruktur auf
$\operatorname*{adj}\nolimits_{C}\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}%
V_{i}\right)  $. Also sind die $C^{\ast}$-Linksmoduln $\operatorname*{adj}%
\nolimits_{C}\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}V_{i}\right)  $ und
$\bigoplus\limits_{i=1}^{n}\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V_{i}$ identisch,
und Bemerkung 4.21 ist bewiesen.

\textbf{4.22. Folgerung:} Sei $C$ eine Coalgebra, sei $n\in\mathbb{N}$, und
sei $V$ ein $C$-Rechtscomodul. Wie wir wissen, ist dann ein $C^{\ast}%
$-Linksmodul $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V$ definiert.

Wir bezeichnen mit $V^{n}$ die direkte Summe $\bigoplus\limits_{i=1}^{n}V$ der
$C$-Rechtscomoduln $\underbrace{V,V,...,V}_{n\text{ mal}}$. Dann ist $V^{n}$
ein $C$-Rechtscomodul (gem\"{a}\ss \ unserer obigen Definition der direkten
Summe von $C$-Rechtscomoduln). Daher ist $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}%
\left(  V^{n}\right)  $ wiederum ein $C^{\ast}$-Linksmodul.

Die beiden $C^{\ast}$-Linksmoduln $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}\left(
V^{n}\right)  $ und $\left(  \operatorname*{adj}\nolimits_{C}V\right)  ^{n}$
sind identisch.

\textit{Beweis von Folgerung 4.22:} Gem\"{a}\ss \ Bemerkung 4.21, angewandt
auf $V_{i}=V$, sind die beiden $C^{\ast}$-Linksmoduln $\operatorname*{adj}%
\nolimits_{C}\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}V\right)  $ und $\bigoplus
\limits_{i=1}^{n}\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V$ identisch. Wegen
$\bigoplus\limits_{i=1}^{n}V=V^{n}$ und $\bigoplus\limits_{i=1}^{n}%
\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V=\left(  \operatorname*{adj}\nolimits_{C}%
V\right)  ^{n}$ bedeutet dies: Die beiden $C^{\ast}$-Linksmoduln
$\operatorname*{adj}\nolimits_{C}\left(  V^{n}\right)  $ und $\left(
\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V\right)  ^{n}$ sind identisch. Damit ist
Folgerung 4.22 gezeigt.

\bigskip

\fbox{\textbf{Direkte Summen von Coalgebren}}

Bekanntlich kann man die direkte Summe (oder, was das gleiche bedeutet, das
direkte Produkt) von endlich vielen Algebren definieren (dies ist als
Vektorraum die direkte Summe, und die Algebrastruktur ist koordinatenweise).
Auch f\"{u}r Coalgebren gibt es eine direkte Summe bzw. ein direktes Produkt
(da wir nur den Fall endlich vieler Coalgebren betrachten, ist f\"{u}r uns der
Unterschied unwesentlich):

\textbf{Definition:} Sei $n\in\mathbb{N}$, und seien $C_{1}$, $C_{2}$, $...$,
$C_{n}$ Coalgebren. Dann definieren wir auf der direkten Summe $\bigoplus
\limits_{i=1}^{n}C_{i}$ folgenderma\ss en eine Coalgebrastruktur:

F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ bezeichnen wir (wie schon
immer) die Comultiplikation der Coalgebra $C_{i}$ mit $\Delta_{C_{i}}%
:C_{i}\rightarrow C_{i}\otimes C_{i}$, und die Coeins dieser Coalgebra mit
$\varepsilon_{C_{i}}:C_{i}\rightarrow k$.

F\"{u}r jedes $j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ sei $\operatorname*{in}%
\nolimits_{j}:C_{j}\rightarrow\bigoplus\limits_{i=1}^{n}C_{i}$ die kanonische
Inklusion des $j$-ten Summanden in die direkte Summe.

Wir definieren eine Comultiplikation auf $\bigoplus\limits_{i=1}^{n}C_{i}$ als
die Abbildung%
\[
\sum\limits_{j=1}^{n}\left(  \operatorname*{in}\nolimits_{j}\otimes
\operatorname*{in}\nolimits_{j}\right)  \circ\Delta_{C_{j}}:\bigoplus
\limits_{i=1}^{n}C_{i}\rightarrow\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}%
C_{i}\right)  \otimes\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}C_{i}\right)
\]
(d. h. als die Summe der Abbildungen $\left(  \operatorname*{in}%
\nolimits_{j}\otimes\operatorname*{in}\nolimits_{j}\right)  \circ\Delta
_{C_{j}}:C_{j}\rightarrow\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}C_{i}\right)
\otimes\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{n}C_{i}\right)  $) und eine Coeins auf
$\bigoplus\limits_{i=1}^{n}C_{i}$ als die Abbildung $\sum\limits_{j=1}%
^{n}\varepsilon_{C_{j}}:\bigoplus\limits_{i=1}^{n}C_{i}\rightarrow k$ (d. h.
als die Summe der Abbildungen $\varepsilon_{C_{j}}:C_{j}\rightarrow k$). Auf
diese Weise wird $\bigoplus\limits_{i=1}^{n}C_{i}$ zu einer
Coalgebra.\footnote{Der Beweis hiervon ist naheliegend und wird dem Leser
\"{u}berlassen.} Diese Coalgebra nennen wir die \textit{direkte Summe} oder
das \textit{direkte Produkt} der Coalgebren $C_{1}$, $C_{2}$, $...$, $C_{n}$.

\bigskip

\begin{center}
\fbox{\textbf{5. Affine Schemata und affine Gruppen}}
\end{center}

Nun werden wir einen ganz neuen Zugang zu Hopfalgebren zeigen, zumindest zu
den kommutativen - n\"{a}mlich Grothendiecks Zugang \"{u}ber die sogenannten
\textit{Gruppenschemata}. Folgende Literatur wird zu diesem Thema empfohlen:

\begin{itemize}
\item William Waterhouse: \textit{Introduction to affine group schemes},
Berlin, New York 1979.

\item Michel Demazure, Peter Gabriel: \textit{Introduction to algebraic
geometry and algebraic groups}, 1980.

\item Jens Carsten Jantzen: \textit{Representations of Algebraic Groups}, 2nd
Edition 2003.
\end{itemize}

\bigskip

\fbox{\textbf{Das Yoneda-Lemma}}

Um Grothendiecks Zugang zu verstehen, ben\"{o}tigen wir ein sehr universelles
Prinzip der Mathematik - das Yoneda-Lemma aus der Kategorientheorie. Wir
beginnen mit ein paar Begriffen:

\textbf{Definition:} Sei $\mathcal{C}$ eine Kategorie. Wir bezeichnen mit
$\operatorname*{Me}$ (immer noch) die Kategorie der Mengen.

\textbf{1)} F\"{u}r jedes Objekt $C\in\mathcal{C}$ l\"{a}\ss t sich ein
Funktor $\mathcal{C}\left(  C,-\right)  :\mathcal{C}\rightarrow
\operatorname*{Me}$ definieren durch%
\begin{align*}
\left(  \mathcal{C}\left(  C,-\right)  \right)  \left(  D\right)   &
=\mathcal{C}\left(  C,D\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }%
D\in\mathcal{C},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\\
\left(  \mathcal{C}\left(  C,-\right)  \right)  \left(  f\right)   &
=\mathcal{C}\left(  C,f\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }%
f\in\mathcal{C}\left(  D,E\right)  ,\text{ wobei }D,E\in\mathcal{C}.
\end{align*}
Dabei verstehen wir unter $\mathcal{C}\left(  C,f\right)  $ die Abbildung von
$\mathcal{C}\left(  C,D\right)  $ nach $\mathcal{C}\left(  C,E\right)  ,$ die
jedem Morphismus $g\in\mathcal{C}\left(  C,D\right)  $ den Morphismus
$fg\in\mathcal{C}\left(  C,E\right)  $ zuordnet. (Diese Abbildung
$\mathcal{C}\left(  C,f\right)  $ ist genau die Abbildung $\mathcal{C}\left(
\operatorname*{id}_{C},f\right)  $ aus dem Abschnitt \"{u}ber Adjungierte
Funktoren in Kapitel 1.)

Dieser Funktor $\mathcal{C}\left(  C,-\right)  $ hei\ss t der
$\operatorname*{Hom}$\textit{-Funktor} von $C.$\ \ \ \ \footnote{Wir erinnern
daran, da\ss \ "Funktor" bei uns immer "kovarianter Funktor" bedeutet,
au\ss er es steht das Adjektiv "kontravarianter" davor. Es gibt auch einen
\textit{kontravarianten }$\operatorname*{Hom}$\textit{-Funktor} von $C,$
n\"{a}mlich den kontravarianten Funktor $\mathcal{C}\left(  -,C\right)  ,$
aber dieser wird uns im Folgenden nicht interessieren.}

\textbf{2)} Sei $F:\mathcal{C}\rightarrow\operatorname*{Me}$ ein Funktor. Der
Funktor $F$ hei\ss t \textit{darstellbar}, wenn es ein Objekt $C\in
\mathcal{C}$ mit $F\cong\mathcal{C}\left(  C,-\right)  $ gibt. (Dabei
hei\ss en zwei Funktoren isomorph, wenn es einen nat\"{u}rlichen Isomorphismus
zwischen ihnen gibt.)

\textbf{5.1. Satz (Yoneda-Lemma):} Sei $\mathcal{C}$ eine Kategorie. Wir
bezeichnen mit $\operatorname*{Mor}\left(  U,V\right)  $ die Menge aller
nat\"{u}rlichen Transformationen von $U$ nach $V,$ wenn $U$ und $V$ zwei
Funktoren sind.

\textbf{1)} Sei $C\in\mathcal{C}$. F\"{u}r jeden Funktor $F:\mathcal{C}%
\rightarrow\operatorname*{Me}$ ist die Abbildung%
\begin{align*}
\operatorname*{Mor}\left(  \mathcal{C}\left(  C,-\right)  ,F\right)   &
\rightarrow F\left(  C\right)  ,\\
\alpha &  \mapsto\alpha_{C}\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{C}\right)
\end{align*}
eine Bijektion. Die Umkehrabbildung $F\left(  C\right)  \rightarrow
\operatorname*{Mor}\left(  \mathcal{C}\left(  C,-\right)  ,F\right)  $ von
dieser Bijektion sendet jedes Element $a\in F\left(  C\right)  $ auf die
nat\"{u}rliche Transformation $\left(  \alpha_{D}:\mathcal{C}\left(
C,D\right)  \rightarrow F\left(  D\right)  \right)  _{D\in\mathcal{C}}$ von
$\mathcal{C}\left(  C,-\right)  $ nach $F,$ wobei $\alpha_{D}$ durch
\[
\alpha_{D}\left(  f\right)  =F\left(  f\right)  \left(  a\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle Morphismen }f\in\mathcal{C}\left(
C,D\right)
\]
definiert ist.

\textbf{2)} Seien $C\in\mathcal{C}$ und $D\in\mathcal{C}$. Die Abbildung%
\begin{align*}
\mathcal{C}\left(  D,C\right)   &  \rightarrow\operatorname*{Mor}\left(
\mathcal{C}\left(  C,-\right)  ,\mathcal{C}\left(  D,-\right)  \right)  ,\\
a  &  \mapsto\mathcal{C}\left(  a,-\right)
\end{align*}
ist bijektiv. Dabei verstehen wir unter $\mathcal{C}\left(  a,-\right)  $ die
nat\"{u}rliche Transformation $\left(  \mathcal{C}\left(  a,E\right)  \right)
_{E\in\mathcal{C}},$ wobei $\mathcal{C}\left(  a,E\right)  :\mathcal{C}\left(
C,E\right)  \rightarrow\mathcal{C}\left(  D,E\right)  $ die Abbildung ist, die
jedem Morphismus $f\in\mathcal{C}\left(  C,E\right)  $ den Morphismus
$fa\in\mathcal{C}\left(  D,E\right)  $ zuordnet.

\textit{Beweis:} \textbf{1)} \textbf{a)} \textit{Zeige:} Die Abbildung%
\begin{align*}
\operatorname*{Mor}\left(  \mathcal{C}\left(  C,-\right)  ,F\right)   &
\rightarrow F\left(  C\right)  ,\\
\alpha &  \mapsto\alpha_{C}\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{C}\right)
\end{align*}
ist injektiv.

\textit{Beweis:} Sei $\alpha\in\operatorname*{Mor}\left(  \mathcal{C}\left(
C,-\right)  ,F\right)  $. F\"{u}r alle $D\in\mathcal{C}$ und $f\in
\mathcal{C}\left(  C,D\right)  $ ist dann das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
\mathcal{C}\left(C,C\right) \ar[d]_{\mathcal{C}\left(C,f\right)} \ar[r]^-{\alpha_C} & F\left(C\right) \ar[d]^{F\left(f\right)} \\
\mathcal{C}\left(C,D\right) \ar[r]_-{\alpha_D} & F\left(D\right)
}
\]
kommutativ. Das Element $\operatorname*{id}_{C}$ von $\mathcal{C}\left(
C,C\right)  $ wird durch dieses Diagramm folgenderma\ss en transformiert:%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
\operatorname*{id}_C \ar@{|->}[d]_{\mathcal{C}\left(C,f\right)} \ar@{|->}[r]^-{\alpha_C} & \alpha_C\left(\operatorname*{id}_C\right) \ar@{|->}[d]^{F\left(f\right)} \\
f \ar@{|->}[r]_-{\alpha_D} & \alpha_D\left(f\right)=F\left(f\right)\left(\alpha_C\left(\operatorname*{id}_C\right)\right)
}.
\]
F\"{u}r jede $D\in\mathcal{C}$ und $f\in\mathcal{C}\left(  C,D\right)  $ ist
also $\alpha_{D}\left(  f\right)  =F\left(  f\right)  \left(  \alpha
_{C}\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{C}\right)  \right)  $. Damit ist
$\alpha_{D}$ durch $\alpha_{C}\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{C}\right)
$ eindeutig bestimmt; daher die Injektivit\"{a}t.

\textbf{b)} \textit{Zeige:} Die Abbildung%
\begin{align*}
\operatorname*{Mor}\left(  \mathcal{C}\left(  C,-\right)  ,F\right)   &
\rightarrow F\left(  C\right)  ,\\
\alpha &  \mapsto\alpha_{C}\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{C}\right)
\end{align*}
ist surjektiv.

\textit{Beweis:} Sei $a\in F\left(  C\right)  .$ Definiere eine nat\"{u}rliche
Transformation $\alpha=\left(  \alpha_{D}\right)  _{D\in\mathcal{C}%
}:\mathcal{C}\left(  C,-\right)  \rightarrow F,$ wobei f\"{u}r jedes
$D\in\mathcal{C}$ die Abbildung $\alpha_{D}:\mathcal{C}\left(  C,D\right)
\rightarrow F\left(  D\right)  $ durch $\alpha_{D}\left(  f\right)  =F\left(
f\right)  \left(  a\right)  $ f\"{u}r alle $f\in\mathcal{C}\left(  C,D\right)
$ definiert ist. Diese Transformation $\alpha$ erf\"{u}llt dann $\alpha
_{C}\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{C}\right)  =a$ (denn $\alpha
_{C}\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{C}\right)  =F\left(
\operatorname*{id}\nolimits_{C}\right)  \left(  a\right)  =a$).

\textbf{c)} Die Abbildung%
\begin{align*}
\operatorname*{Mor}\left(  \mathcal{C}\left(  C,-\right)  ,F\right)   &
\rightarrow F\left(  C\right)  ,\\
\alpha &  \mapsto\alpha_{C}\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{C}\right)
\end{align*}
ist eine Bijektion (wegen \textbf{a)} und \textbf{b)}). Die Umkehrabbildung
$F\left(  C\right)  \rightarrow\operatorname*{Mor}\left(  \mathcal{C}\left(
C,-\right)  ,F\right)  $ von dieser Bijektion sendet jedes Element $a\in
F\left(  C\right)  $ auf die nat\"{u}rliche Transformation $\left(  \alpha
_{D}:\mathcal{C}\left(  C,D\right)  \rightarrow F\left(  D\right)  \right)
_{D\in\mathcal{C}}$ von $\mathcal{C}\left(  C,-\right)  $ nach $F,$ wobei
$\alpha_{D}$ durch
\[
\alpha_{D}\left(  f\right)  =F\left(  f\right)  \left(  a\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle Morphismen }f\in\mathcal{C}\left(
C,D\right)
\]
definiert ist. (Dies geht aus dem Beweis von \textbf{b)} hervor.) Damit ist
5.1. \textbf{1)} gezeigt.

\textbf{2)} folgt aus \textbf{1)}: Sei $F=\mathcal{C}\left(  D,-\right)  .$
Nach \textbf{1)} ist dann%
\begin{align*}
F\left(  C\right)   &  \rightarrow\operatorname*{Mor}\left(  \mathcal{C}%
\left(  C,-\right)  ,F\right)  ,\\
a  &  \mapsto\left(  \alpha_{E}:\mathcal{C}\left(  C,E\right)  \rightarrow
F\left(  E\right)  \right)  _{E\in\mathcal{C}},\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ wobei }\alpha_{E}\left(
f\right)  =F\left(  f\right)  \left(  a\right)  \text{ f\"{u}r alle }%
f\in\mathcal{C}\left(  C,E\right)  \text{ f\"{u}r alle }E\in\mathcal{C}%
\end{align*}
eine Bijektion. Mit anderen Worten: Wir haben eine Bijektion%
\begin{align*}
\mathcal{C}\left(  D,C\right)   &  \rightarrow\operatorname*{Mor}\left(
\mathcal{C}\left(  C,-\right)  ,\mathcal{C}\left(  D,-\right)  \right)  ,\\
a  &  \mapsto\left(  \alpha_{E}:\mathcal{C}\left(  C,E\right)  \rightarrow
\mathcal{C}\left(  D,E\right)  \right)  _{E\in\mathcal{C}},\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ wobei }\alpha_{E}\left(
f\right)  =\mathcal{C}\left(  a,E\right)  \left(  f\right)  \text{ f\"{u}r
alle }f\in\mathcal{C}\left(  C,E\right)  \text{ f\"{u}r alle }E\in\mathcal{C}%
\end{align*}
(denn $F\left(  f\right)  \left(  a\right)  =\left(  \mathcal{C}\left(
D,-\right)  \right)  \left(  f\right)  \left(  a\right)  =\mathcal{C}\left(
D,f\right)  \left(  a\right)  =fa=\mathcal{C}\left(  a,E\right)  \left(
f\right)  $). Das hei\ss t,%
\begin{align*}
\mathcal{C}\left(  D,C\right)   &  \rightarrow\operatorname*{Mor}\left(
\mathcal{C}\left(  C,-\right)  ,\mathcal{C}\left(  D,-\right)  \right)  ,\\
a  &  \mapsto\mathcal{C}\left(  a,-\right)
\end{align*}
ist eine Bijektion, was zu beweisen war.

\textbf{5.2. Bemerkung:} \textbf{1)} Nach 5.1. \textbf{2)} ist der
kontravariante Funktor%
\begin{align*}
\mathcal{C}  &  \rightarrow\mathcal{C}\operatorname*{Me},\\
C  &  \mapsto\mathcal{C}\left(  C,-\right)
\end{align*}
volltreu. Dabei bedeutet $\mathcal{C}\operatorname*{Me}$ die Kategorie aller
Funktoren von $\mathcal{C}$ nach $\operatorname*{Me}$ mit nat\"{u}rlichen
Transformationen zwischen Funktoren als Morphismen.

Hierbei hei\ss t ein Funktor $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$
\textit{volltreu}, wenn f\"{u}r alle $C_{1},C_{2}\in\mathcal{C}$ die Abbildung%
\begin{align*}
\mathcal{C}\left(  C_{1},C_{2}\right)   &  \rightarrow\mathcal{D}\left(
F\left(  C_{1}\right)  ,F\left(  C_{2}\right)  \right)  ,\\
f  &  \mapsto F\left(  f\right)
\end{align*}
bijektiv ist. Dabei sollen $\mathcal{C}$ und $\mathcal{D}$ zwei beliebige
Kategorien sein.

Volltreue Abbildungen sind "fast" \"{A}quivalenzen; genauer gesagt gilt
folgendes Resultat (Beweis in den \"{U}bungen): Sind $\mathcal{C}$ und
$\mathcal{D}$ zwei Kategorien, und ist $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$
ein Funktor, dann ist $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ genau dann eine
\"{A}quivalenz, wenn $F$ volltreu ist und f\"{u}r jedes $D\in\mathcal{D}$ ein
$C\in\mathcal{C}$ mit\ $F\left(  C\right)  \cong D$ existiert.

\textbf{2)} Nach \textbf{1)} ist also der Funktor%
\begin{align*}
\mathcal{C}^{\operatorname*{op}}  &  \rightarrow\left\{  F:\mathcal{C}%
\rightarrow\operatorname*{Me}\ \mid\ F\text{ ist darstellbar}\right\}  ,\\
C  &  \mapsto\mathcal{C}\left(  C,-\right)  .
\end{align*}
eine \"{A}quivalenz von Kategorien.

\bigskip

\fbox{\textbf{Affine Schemata und affine Gruppen}}

\textbf{Definition:} Sei $\mathcal{A}_{k}$ die Kategorie der kommutativen
$k$-Algebren (mit Algebrahomomorphismen als Morphismen).

\textbf{1)} Sei $F:\mathcal{A}_{k}\rightarrow\operatorname*{Me}$ ein Funktor.
Der Funktor $F$ hei\ss t \textit{affines Schema} - oder, ausf\"{u}hrlicher,
\textit{affines }$k$\textit{-Schema} -, wenn $F$ darstellbar ist.

\textbf{2)} Sei $\operatorname*{Mon}$ die Kategorie der Monoide (mit
Monoidhomomorphismen als Morphismen) und $\operatorname*{Gr}$ die Kategorie
der Gruppen (mit Gruppenhomomorphismen als Morphismen).

Ein Funktor $G:\mathcal{A}_{k}\rightarrow\operatorname*{Mon}$ hei\ss t
\textit{affines Monoid} - oder, ausf\"{u}hrlicher, \textit{affines }%
$k$\textit{-Monoid} -, wenn die Verkettung $\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
\mathcal{A}_k \ar[r]^-{G} & \operatorname*{Mon} \ar[r]^-{\operatorname*{Vergiss}} & \operatorname*{Me}
}$ ein affines Schema ist. Dabei bezeichnet $\operatorname*{Vergiss}$ den
Funktor $\operatorname*{Mon}\rightarrow\operatorname*{Me},$ der jedem Monoid
die zugrundeliegende Menge zuordnet.

Ein Funktor $G:\mathcal{A}_{k}\rightarrow\operatorname*{Gr}$ hei\ss t
\textit{affine Gruppe} - oder, ausf\"{u}hrlicher, \textit{affine }%
$k$\textit{-Gruppe} -, wenn die Verkettung $\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
\mathcal{A}_k \ar[r]^-{G} & \operatorname*{Gr} \ar[r]^-{\operatorname*{Vergiss}} & \operatorname*{Me}
}$ ein affines Schema ist. Dabei bezeichnet $\operatorname*{Vergiss}$ den
Funktor $\operatorname*{Gr}\rightarrow\operatorname*{Me},$ der jeder Gruppe
die zugrundeliegende Menge zuordnet.

\textbf{3)} Sei $\operatorname*{Sch}_{k}$ die Kategorie der affinen Schemata,
wobei die Morphismen von $\operatorname*{Sch}_{k}$ die nat\"{u}rlichen
Transformationen zwischen den affinen Schemata sein sollen (affine Schemata
sind ja Funktoren). Entsprechend sei $\operatorname*{Mon}_{k}$ die Kategorie
der affinen Monoide, und $\operatorname*{Gr}_{k}$ die Kategorie der affinen Gruppen.

\textbf{4)} Sei $A\in\mathcal{A}_{k}$. Dann ist der Funktor
$\operatorname*{Alg}\left(  A,-\right)  :\mathcal{A}_{k}\rightarrow
\operatorname*{Me}$ identisch mit dem Funktor $\mathcal{A}_{k}\left(
A,-\right)  :\mathcal{A}_{k}\rightarrow\operatorname*{Me}$%
\ \ \ \ \footnote{denn f\"{u}r jedes $D\in\mathcal{A}_{k}$ ist
$\operatorname*{Alg}\left(  A,D\right)  =\mathcal{A}_{k}\left(  A,D\right)  $,
und auch auf Morphismen wirken diese beiden Funktoren gleich}, und ist daher
darstellbar, d. h. ein affines $k$-Schema. Das affine Schema
$\operatorname*{Alg}\left(  A,-\right)  :\mathcal{A}_{k}\rightarrow
\operatorname*{Me}$ wird auch mit $\operatorname*{Sp}A$ bezeichnet und das
\textit{Spektrum} von $A$ genannt. Sind $A,B\in\mathcal{A}_{k},$ und ist
$f:A\rightarrow B$ ein Algebrahomomorphismus, so definieren wir eine
nat\"{u}rliche Transformation $\operatorname*{Sp}f:\operatorname*{Sp}%
B\rightarrow\operatorname*{Sp}A$ durch
\[
\left(  \operatorname*{Sp}f\right)  \left(  X\right)  =\operatorname*{Alg}%
\left(  f,X\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }X\in
\mathcal{A}_{k}%
\]
\footnote{Zur Erinnerung: Der Morphismus $\operatorname*{Alg}\left(
f,X\right)  :\operatorname*{Alg}\left(  B,X\right)  \rightarrow
\operatorname*{Alg}\left(  A,X\right)  $ ist definiert durch $\left(
\operatorname*{Alg}\left(  f,X\right)  \right)  \left(  h\right)  =h\circ f$
f\"{u}r jedes $h\in\operatorname*{Alg}\left(  B,X\right)  .$}. Damit haben wir
einen kontravarianten Funktor $\operatorname*{Sp}$ von $\mathcal{A}_{k}$ in
die Kategorie aller Funktoren von $\mathcal{A}_{k}$ nach $\operatorname*{Me}$ festgelegt.

\textbf{5.3. Beispiele:} \textbf{1)} F\"{u}r jedes $n\geq1$ kann man einen
Funktor $\mathbb{A}^{n}:\mathcal{A}_{k}\rightarrow\operatorname*{Me}$ wie
folgt definieren: F\"{u}r jedes $R\in\mathcal{A}_{k}$ sei $\mathbb{A}%
^{n}\left(  R\right)  =R^{n}$ (dies ist der $n$-dimensionale affine Raum
\"{u}ber $R$), und f\"{u}r je zwei $R,S\in\mathcal{A}_{k}$ und jeden
Algebrahomomorphismus $\varphi:R\rightarrow S$ sei $\mathbb{A}^{n}\left(
\varphi\right)  :\mathbb{A}^{n}\left(  R\right)  \rightarrow\mathbb{A}%
^{n}\left(  S\right)  $ einfach die Abbildung $\varphi^{n}:R^{n}\rightarrow
S^{n}$ (wobei $\varphi^{n}$ hier nicht die $n$-fache Verkettung $\varphi
\circ\varphi\circ...\circ\varphi$, sondern das $n$-fache kartesische Produkt
$\varphi\times\varphi\times...\times\varphi$ bedeutet).

Wir werden jetzt zeigen, da\ss \ $\mathbb{A}^{n}$ ein affines Schema ist:

Sei $k\left[  T_{1},T_{2},...,T_{n}\right]  $ die Polynomalgebra in $n$
Variablen $T_{1}$, $T_{2}$, $...$, $T_{n}$ \"{u}ber $k$. Dann gibt es einen
nat\"{u}rlichen Isomorphismus $\mathbb{A}^{n}\cong\operatorname*{Alg}\left(
k\left[  T_{1},T_{2},...,T_{n}\right]  ,-\right)  $ (denn f\"{u}r jedes
$R\in\mathcal{A}_{k}$ ist die Abbildung
\[
\operatorname*{Alg}\left(  k\left[  T_{1},T_{2},...,T_{n}\right]  ,R\right)
\rightarrow R^{n},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi\mapsto\left(  \varphi\left(
T_{1}\right)  ,\varphi\left(  T_{2}\right)  ,...,\varphi\left(  T_{n}\right)
\right)
\]
eine nat\"{u}rliche Bijektion\footnote{\textit{Beweis:} Sie ist eine Bijektion
gem\"{a}\ss \ der universellen Eigenschaft der Polynomrings $k\left[
T_{1},T_{2},...,T_{n}\right]  $. Sie ist nat\"{u}rlich, denn f\"{u}r je zwei
$R,S\in\mathcal{A}_{k}$ und jeden Algebrahomomorphismus $\rho:R\rightarrow S$
ist das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
\operatorname*{Alg} \left(k\left[T_1,T_2,...,T_n\right],R\right) \ar[d]_{\operatorname*{Alg}\left(\operatorname*{id},\rho\right)} \ar[r]^-{\text{Bijektion}} & R^n \ar[d]^{\rho^n} \\
\operatorname*{Alg} \left(k\left[T_1,T_2,...,T_n\right],S\right) \ar[r]^-{\text{Bijektion}} & S^n
}
\]
kommutativ.}). Daher ist der Funktor $\mathbb{A}^{n}$ darstellbar. Das
hei\ss t, $\mathbb{A}^{n}$ ist ein affines Schema.

\textbf{2)} F\"{u}r jedes $n\geq1$ kann man einen Funktor $\operatorname*{GL}%
_{n}:\mathcal{A}_{k}\rightarrow\operatorname*{Gr}$ wie folgt definieren:
F\"{u}r jedes $R\in\mathcal{A}_{k}$ sei das Bild von $R$ unter dem Funktor
$\operatorname*{GL}_{n}$ die Matrixgruppe $\operatorname*{GL}_{n}\left(
R\right)  $; f\"{u}r je zwei $R,S\in\mathcal{A}_{k}$ und jeden
Algebrahomomorphismus $\rho:R\rightarrow S$ sei $\operatorname*{GL}_{n}\left(
\rho\right)  :\operatorname*{GL}_{n}\left(  R\right)  \rightarrow
\operatorname*{GL}_{n}\left(  S\right)  $ diejenige Abbildung, die jede Matrix
$\left(  r_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\in\operatorname*{GL}%
\nolimits_{n}\left(  R\right)  $ auf die Matrix $\left(  \rho\left(
r_{i,j}\right)  \right)  _{1\leq i,j\leq n}$ abbildet\footnote{Diese Abbildung
$\operatorname*{GL}_{n}\left(  \rho\right)  $ ist ein Gruppenhomomorphismus,
weil $\rho$ ein Algebrahomomorphismus ist.}.

Dieser Funktor $\operatorname*{GL}_{n}$ ist eine affine Gruppe, denn der
"zugeh\"{o}rige Mengenfunktor" (also die Verkettung
$\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
\mathcal{A}_k \ar[r]^-{\operatorname*{GL}_n} & \operatorname*{Gr} \ar[r]^-{\operatorname*{Vergiss}} & \operatorname*{Me}
}$) ist ein darstellbarer Funktor, denn f\"{u}r jedes $R\in\mathcal{A}_{k}$
gibt es eine nat\"{u}rliche Bijektion%
\[
\operatorname*{Alg}\left(  k\left[  T_{i,j},d^{-1}\ \mid\ 1\leq i,j\leq
n\right]  ,R\right)  \rightarrow\operatorname*{GL}\nolimits_{n}\left(
R\right)
\]
von Mengen, wobei $d=\det\left(  \left(  T_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq
n}\right)  .$ (Dabei bezeichnen wir mit $k\left[  T_{i,j},d^{-1}\ \mid\ 1\leq
i,j\leq n\right]  $ den Ring, der aus dem Polynomring $k\left[  T_{i,j}%
\ \mid\ 1\leq i,j\leq n\right]  $ durch Lokalisierung an der multiplikativen
Teilmenge $\left\{  d^{i}\mid i\geq0\right\}  $ entsteht.)

\textbf{3)} Wir k\"{o}nnen einen Funktor $\operatorname*{G}_{\operatorname*{a}%
}:\mathcal{A}_{k}\rightarrow\operatorname*{Gr}$ definieren, der jeder
kommutativen $k$-Algebra $R$ die additive Gruppe von $R$ zuordnet, und
Morphismen zwischen kommutativen $k$-Algebren einfach als Morphismen zwischen
ihren additiven Gruppen uminterpretiert.\footnote{Dieser Funktor
$\operatorname*{G}_{\operatorname*{a}}$ ist ein sogenannter "Vergissfunktor" -
so nennt man Funktoren, die ein Objekt mit viel Struktur nehmen, und einen
Teil dieser Struktur "vergessen". So wird hier eine kommutative $k$-Algebra
genommen, und ihre $k$-Vektorraumstruktur und Ringstruktur vergessen - es
bleibt eine additive Gruppenstruktur \"{u}brig.}

Auch dieser Funktor $\operatorname*{G}_{\operatorname*{a}}$ ist eine affine
Gruppe, denn f\"{u}r jedes $R\in\mathcal{A}_{k}$ gibt es eine kanonische
Bijektion%
\[
\operatorname*{Alg}\left(  k\left[  T\right]  ,R\right)  \rightarrow
R,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi\mapsto\varphi\left(  T\right)
\]
von Mengen.

Diese affine Gruppe $\operatorname*{G}_{\operatorname*{a}}$ hei\ss t
\textit{additive Gruppe}.

\textbf{4)} Angenommen, $\operatorname*{char}k=p>0.$ Sei ferner $n\geq0$ eine
ganze Zahl. Dann k\"{o}nnen wir einen Funktor $\alpha_{p^{n}}:\mathcal{A}%
_{k}\rightarrow\operatorname*{Gr}$ definieren mit%
\[
\alpha_{p^{n}}\left(  R\right)  =\left\{  r\in R\mid r^{p^{n}}=0\right\}
\text{ als additive Gruppe}%
\]
f\"{u}r alle $R\in\mathcal{A}_{k}$ (und Morphismen zwischen kommutativen
$k$-Algebren gehen in ihre Restriktionen auf die Gruppen $\left\{  r\in R\mid
r^{p^{n}}=0\right\}  $ \"{u}ber).

Auch dieser Funktor $\alpha_{p^{n}}$ ist eine affine Gruppe, denn f\"{u}r
jedes $R\in\mathcal{A}_{k}$ ist%
\[
\operatorname*{Alg}\left(  k\left[  T\right]  \diagup\left(  T^{p^{n}}\right)
,R\right)  \rightarrow\alpha_{p^{n}}\left(  R\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi\mapsto\varphi\left(  \overline{T}\right)
\]
eine nat\"{u}rliche Bijektion von Mengen.

Wir werden jetzt einen wichtigen Satz zeigen, der jeder kommutativen Bialgebra
ein affines Monoid zuordnet und umgekehrt, und jeder kommutativen Hopfalgebra
eine affine Gruppe und umgekehrt. Dies wirft ein ganz neues Licht auf
kommutative Bialgebren und Hopfalgebren.

\textbf{5.4. Satz:} \textbf{1)} \textbf{a)} Sei $A$ eine kommutative
Bialgebra. Dann bekommt das affine Schema $G=\operatorname*{Sp}A$ wie folgt
die Struktur eines affinen Monoids: F\"{u}r jedes $R\in\mathcal{A}_{k}$ ist
$G\left(  R\right)  =\operatorname*{Alg}\left(  A,R\right)  $ ein Monoid mit
Konvolution als Produkt und $1$-Element $\eta\varepsilon\in G\left(  R\right)
.$ (Hierbei bezeichnet $\eta$ die Abbildung $\eta_{R}:k\rightarrow R,$ und
$\varepsilon$ bezeichnet die Abbildung $\varepsilon_{A}:A\rightarrow k.$)

Hierbei gilt: In $G\left(  A\otimes A\right)  $ ist $\Delta=i_{1}\ast i_{2},$
wobei die Abbildungen $i_{1}$ und $i_{2}$ durch%
\begin{align*}
i_{1}  &  :A\rightarrow A\otimes A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto a\otimes1,\\
i_{2}  &  :A\rightarrow A\otimes A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto1\otimes a
\end{align*}
definiert sind.

In $G\left(  k\right)  $ ist $\varepsilon$ das $1$-Element.

\textbf{b)} Sei $A$ eine kommutative Hopfalgebra. Dann bekommt das affine
Schema $G=\operatorname*{Sp}A$ wie folgt die Struktur einer affinen Gruppe:
F\"{u}r jedes $R\in\mathcal{A}_{k}$ ist $G\left(  R\right)
=\operatorname*{Alg}\left(  A,R\right)  $ eine Gruppe mit Konvolution als
Produkt und $1$-Element $\eta\varepsilon\in G\left(  R\right)  ,$ und f\"{u}r
jedes $f\in G\left(  R\right)  $ ist $f^{-1}=fS.$

Hierbei gilt zus\"{a}tzlich zu den Ergebnissen von \textbf{1)} \textbf{a)}
noch: In $G\left(  A\right)  $ ist $S=\operatorname*{id}^{-1}.$

\textbf{2)} \textbf{a)} Ist $G$ ein affines Monoid, dann gibt es eine
kommutative Bialgebra $A$ so, da\ss \ $G\cong\operatorname*{Sp}A$ als affines
Monoid ist (wobei die Struktur eines affinen Monoids auf $\operatorname*{Sp}A$
nach \textbf{1)} definiert ist).

\textbf{b)} Ist $G$ eine affine Gruppe, dann gibt es eine kommutative
Hopfalgebra $A$ so, da\ss \ $G\cong\operatorname*{Sp}A$ als affine Gruppe ist
(wobei die Struktur einer affinen Gruppe auf $\operatorname*{Sp}A$ nach
\textbf{1)} definiert ist).

\textit{Beweis:} \textbf{1)} F\"{u}r jedes $R\in\mathcal{A}_{k}$ haben wir
schon mit Folgerung 2.15. \textbf{1)} gezeigt, da\ss \ $G\left(  R\right)
=\operatorname*{Alg}\left(  A,R\right)  $ ein Monoid bzw. ein Gruppe mit
Konvolution als Produkt ist (je nachdem, ob $A$ eine kommutative Bialgebra
oder eine kommutative Hopfalgebra ist). Dann gilt: In $G\left(  A\otimes
A\right)  $ ist%
\[
\left(  i_{1}\ast i_{2}\right)  \left(  a\right)  =i_{1}\left(  a_{\left(
1\right)  }\right)  i_{2}\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  =\left(
a_{\left(  1\right)  }\otimes1\right)  \left(  1\otimes a_{\left(  2\right)
}\right)  =a_{\left(  1\right)  }\otimes a_{\left(  2\right)  }=\Delta\left(
a\right)
\]
f\"{u}r alle $a\in A$. Somit ist $i_{1}\ast i_{2}=\Delta$ in $G\left(
A\otimes A\right)  $. In $G\left(  k\right)  $ ist $\varepsilon$
offensichtlich das $1$-Element. F\"{u}r kommutative Hopfalgebren $A$ ist
$S=\operatorname*{id}^{-1}$ in $G\left(  A\right)  $ nach Definition der
Antipode, da $A$ kommutativ ist (siehe oben).

\textbf{2)} Erst einmal einige Lemmata:

\textit{Lemma 1:} In der Kategorie $\mathcal{A}_{k}$ ist $\otimes$ das Coprodukt.

\textit{Beweis:} Seien $A,B\in\mathcal{A}_{k}.$ Betrachte die
Algebrahomomorphismen%
\begin{align*}
i_{1}  &  :A\rightarrow A\otimes B,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto a\otimes1;\\
i_{2}  &  :B\rightarrow A\otimes B,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b\mapsto1\otimes b.
\end{align*}
F\"{u}r jedes $X\in\mathcal{A}_{k}$ und beliebige Algebrahomomorphismen
$\varphi:A\rightarrow X$ und $\psi:B\rightarrow X$ gibt es dann genau einen
Algebrahomomorphismus $\Phi:A\otimes B\rightarrow X$ mit $\Phi i_{1}=\varphi$
und $\Phi i_{2}=\psi.$ Und zwar definiert man diesen Homomorphismus $\Phi$
durch $\Phi\left(  a\otimes b\right)  =\varphi\left(  a\right)  \psi\left(
b\right)  $ f\"{u}r alle $a\in A$ und $b\in B$ (da\ss \ $\Phi$ dabei ein
Algebrahomomorphismus ist, ben\"{o}tigt die Kommutativit\"{a}t von $X$), und
die Eindeutigkeit von $\Phi$ folgt aus der Tatsache, da\ss \
\[
\Phi\left(  a\otimes b\right)  =\Phi\left(  \left(  a\otimes1\right)
\cdot\left(  1\otimes b\right)  \right)  =\Phi\left(  \underbrace{a\otimes
1}_{=i_{1}\left(  a\right)  }\right)  \Phi\left(  \underbrace{1\otimes
b}_{=i_{2}\left(  b\right)  }\right)  =\underbrace{\left(  \Phi i_{1}\right)
}_{=\varphi}\left(  a\right)  \underbrace{\left(  \Phi i_{2}\right)  }_{=\psi
}\left(  b\right)  =\varphi\left(  a\right)  \psi\left(  b\right)
\]
f\"{u}r alle $a\in A$ und $b\in B$ gilt.

\textit{Lemma 2:} F\"{u}r beliebige $A,B\in\mathcal{A}_{k}$ gilt
$\operatorname*{Sp}\left(  A\otimes B\right)  \cong\operatorname*{Sp}%
A\times\operatorname*{Sp}B.$ Dabei ist f\"{u}r je zwei affine Schemata $F$ und
$G$ das affine Schema $F\times G\in\operatorname*{Sch}_{k}$ definiert durch
\[
\left(  F\times G\right)  \left(  R\right)  =F\left(  R\right)  \times
G\left(  R\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }R\in\mathcal{A}%
_{k}\text{.}%
\]


\textit{Beweis:} Nach Lemma 1 ist $\otimes$ das Coprodukt in $\mathcal{A}%
_{k}.$ F\"{u}r alle $R\in\mathcal{A}_{k}$ ist nun%
\[
\left(  \operatorname*{Sp}A\right)  \left(  R\right)  \times\left(
\operatorname*{Sp}B\right)  \left(  R\right)  \rightarrow\left(
\operatorname*{Sp}\left(  A\otimes B\right)  \right)  \left(  R\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \varphi,\psi\right)  \mapsto\left(  a\otimes
b\mapsto\varphi\left(  a\right)  \psi\left(  b\right)  \right)
\]
eine kanonische Bijektion; in der Tat ist diese Abbildung einfach die
Abbildung%
\[
\operatorname*{Alg}\left(  A,R\right)  \times\operatorname*{Alg}\left(
B,R\right)  \rightarrow\operatorname*{Alg}\left(  A\otimes B,R\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \varphi,\psi\right)  \mapsto\left(  a\otimes
b\mapsto\varphi\left(  a\right)  \psi\left(  b\right)  \right)
\]
(denn $\left(  \operatorname*{Sp}A\right)  \left(  R\right)
=\operatorname*{Alg}\left(  A,R\right)  ,$ $\left(  \operatorname*{Sp}%
B\right)  \left(  R\right)  =\operatorname*{Alg}\left(  B,R\right)  $ und
$\left(  \operatorname*{Sp}\left(  A\otimes B\right)  \right)  \left(
R\right)  =\operatorname*{Alg}\left(  A\otimes B,R\right)  $), und somit eine
Bijektion (weil $\otimes$ das Coprodukt in $\mathcal{A}_{k}$ ist). Damit ist
Lemma 2 bewiesen.

\textbf{a)} Wir werden nun die Behauptung von \textbf{2)} \textbf{a)} aus
Lemma 2 nach dem Yoneda-Lemma (Satz 5.1.) herleiten. Und zwar
folgenderma\ss en: Da $G$ ein affines Schema ist, ist $G$ darstellbar, d. h.
es gibt ein $A\in\mathcal{A}_{k},$ f\"{u}r welches $G\cong\operatorname*{Sp}A$
als Mengenfunktoren (d. h. als affine Schemata) ist. F\"{u}r alle
$R\in\mathcal{A}_{k}$ ist also%
\[
G\left(  R\right)  \cong\left(  \operatorname*{Sp}A\right)  \left(  R\right)
=\operatorname*{Alg}\left(  A,R\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ein
nat\"{u}rlicher Isomorphismus von Mengenfunktoren.}%
\]
Wir werden jetzt auf der kommutativen Algebra $A$ eine bestimmte
Bialgebrastruktur einf\"{u}hren, und zeigen, da\ss \ dann $G$ und
$\operatorname*{Sp}A$ auch als affine Monoide (und nicht nur als affine
Schemata) zueinander isomorph sind.

Da $G$ ein affines Monoid ist, gibt es eine nat\"{u}rliche Transformation
$\mu:G\times G\rightarrow G$ von Mengenfunktoren, wobei f\"{u}r alle
$R\in\mathcal{A}_{k}$ der Morphismus $\mu_{R}:G\left(  R\right)  \times
G\left(  R\right)  \rightarrow G\left(  R\right)  $ einfach die
Multiplikationsabbildung im Monoid $G\left(  R\right)  $ ist. Wegen
$G\cong\operatorname*{Sp}A$ k\"{o}nnen wir also eindeutig eine nat\"{u}rliche
Transformation $\widetilde{\mu}:\operatorname*{Sp}A\times\operatorname*{Sp}%
A\rightarrow\operatorname*{Sp}A$ konstruieren, so da\ss \ das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
G\times G \ar[d]_{\cong} \ar[r]^{\mu} & G \ar[d]^{\cong} \\
\operatorname*{Sp} A\times \operatorname*{Sp} A \ar[r]_-{\widetilde{\mu}} & \operatorname*{Sp} A
}
\]
von nat\"{u}rlichen Transformationen zwischen Funktoren kommutiert.

Nach dem Yoneda-Lemma und wegen $\operatorname*{Sp}A\times\operatorname*{Sp}%
A\cong\operatorname*{Sp}\left(  A\otimes A\right)  $ gibt es nun einen
Algebrahomomorphismus $\Delta:A\rightarrow A\otimes A$ so, da\ss \ das
Diagramm
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
G\times G \ar[d]_{\cong} \ar[r]^{\mu} & G \ar[d]^{\cong} \\
\operatorname*{Sp} A\times \operatorname*{Sp} A \ar[d]_{\cong} \ar[r]^-{\widetilde{\mu}} & \operatorname*{Sp} A \\
\operatorname*{Sp}\left(A\otimes A\right) \ar@{.>}[ur]_{\operatorname*{Sp}\Delta} &
}
\]
kommutiert.\footnote{Genauer: Die Verkettung von $\widetilde{\mu}$ und dem
kanonischen Isomorphismus $\operatorname*{Sp}\left(  A\otimes A\right)
\rightarrow\operatorname*{Sp}A\times\operatorname*{Sp}A$ ist eine
nat\"{u}rliche Transformation von $\operatorname*{Sp}\left(  A\otimes
A\right)  $ nach $\operatorname*{Sp}A.$ Doch nach 5.1. \textbf{2)}, angewandt
auf $\mathcal{C}=\mathcal{A}_{k}$, $D=A$ und $C=A\otimes A$, ist die Abbildung%
\begin{align*}
\operatorname*{Sp}:\mathcal{A}_{k}\left(  A,A\otimes A\right)   &
\rightarrow\operatorname*{Mor}\left(  \mathcal{A}_{k}\left(  A\otimes
A,-\right)  ,\mathcal{A}_{k}\left(  A,-\right)  \right)  ,\\
a  &  \mapsto\mathcal{A}_{k}\left(  a,-\right)
\end{align*}
bijektiv. Wegen $\mathcal{A}_{k}\left(  A,A\otimes A\right)
=\operatorname*{Alg}\left(  A,A\otimes A\right)  $, $\mathcal{A}_{k}\left(
A\otimes A,-\right)  =\operatorname*{Alg}\left(  A\otimes A,-\right)
=\operatorname*{Sp}\left(  A\otimes A\right)  $, $\mathcal{A}_{k}\left(
A,-\right)  =\operatorname*{Alg}\left(  A,-\right)  =\operatorname*{Sp}A$ und
$\mathcal{A}_{k}\left(  a,-\right)  =\operatorname*{Alg}\left(  a,-\right)
=\operatorname*{Sp}a$ l\"{a}\ss t sich dies folgenderma\ss en umschreiben: Die
Abbildung%
\begin{align*}
\operatorname*{Sp}:\operatorname*{Alg}\left(  A,A\otimes A\right)   &
\rightarrow\operatorname*{Mor}\left(  \operatorname*{Sp}\left(  A\otimes
A\right)  ,\operatorname*{Sp}A\right)  ,\\
a  &  \mapsto\operatorname*{Sp}a
\end{align*}
ist bijektiv, insbesondere also surjektiv. Daher gibt es ein $\Delta
\in\operatorname*{Alg}\left(  A,A\otimes A\right)  $ so, da\ss \ unsere
nat\"{u}rliche Transformation $\operatorname*{Sp}\left(  A\otimes A\right)
\rightarrow\operatorname*{Sp}A$ die Form $\operatorname*{Sp}\Delta$ hat.}

Da $G$ ein affines Monoid ist, ist das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
G\times G\times G \ar[d]^{\operatorname*{id}\times\mu} \ar[r]^-{\mu\times\operatorname*{id}} & G\times G \ar[d]^{\mu} \\
G\times G \ar[r]_{\mu} & G
}
\]
kommutativ (die Pfeile dieses Diagramms sind nat\"{u}rliche Transformationen
zwischen Funktoren). Wegen $G\cong\operatorname*{Sp}A$ und $\mu\cong%
\operatorname*{Sp}\Delta$ (und wegen $\operatorname*{Sp}\left(  A\otimes
B\right)  =\operatorname*{Sp}A\times\operatorname*{Sp}B$) l\"{a}\ss t sich
dieses Diagramm erweitern zu einem kommutativen Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
\operatorname*{Sp}\left(A\otimes A\otimes A\right) \ar[ddd]_{\operatorname*{Sp}\left(\operatorname*{id}\otimes\Delta\right)} \ar[rrr]^-{\operatorname*{Sp}\left(\Delta\otimes\operatorname*{id}\right)} & & & \operatorname*{Sp}\left(A\otimes A\right) \ar[ddd]^{\operatorname*{Sp}\Delta} \\
& G\times G\times G \ar[lu]^{\cong} \ar[d]^{\operatorname*{id}\times\mu} \ar[r]^-{\mu\times\operatorname*{id}} & G\times G \ar[d]^{\mu} \ar[ru]^{\cong} & \\
& G\times G \ar[ld]^{\cong} \ar[r]_{\mu} & G \ar[rd]^{\cong} & \\
\operatorname*{Sp}\left(A\otimes A\right) \ar[rrr]_{\operatorname*{Sp}\Delta} & & & \operatorname*{Sp}A
}.
\]
Das "\"{a}u\ss ere Rechteck" dieses Diagramms ergibt mithilfe des
Yoneda-Lemmas ein kommutatives Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
A \ar[d]_{\Delta} \ar[r]^{\Delta} & A\otimes A \ar[d]^{\Delta\otimes\operatorname*{id}} \\
A\otimes A \ar[r]_{\operatorname*{id}\otimes\Delta} & A\otimes A\otimes A
};
\]
dieses Diagramm bedeutet, da\ss \ die Abbildung $\Delta:A\rightarrow A\otimes
A$ coassoziativ ist.

Wir haben hiermit (ausgehend von der nat\"{u}rlichen Transformation
$\mu:G\times G\rightarrow G,$ die der Multiplikation auf $G$ entspricht) einen
Algebrahomomorphismus $\Delta:A\rightarrow A\otimes A$ konstruiert, der das
Axiom der Coassoziativit\"{a}t erf\"{u}llt. Jetzt werden wir auf \"{a}hnliche
Weise (ausgehend von dem "Einselement" von $G$) einen Algebrahomomorphismus
$\varepsilon:A\rightarrow k$ konstruieren, und $A$ wird damit zu einer
kommutativen Bialgebra. Im Detail verl\"{a}uft unser Beweis folgenderma\ss en:

Wir werden im Folgenden die Abk\"{u}rzung $1$ in unterschiedlicher Bedeutung
verwenden. Und zwar bezeichnen wir mit $1$ die triviale Gruppe, sowie auch die
triviale affine Gruppe (d. h. die affine Gruppe, die durch $1\left(  R\right)
=1$ f\"{u}r jedes $R\in\mathcal{A}_{k}$ definiert ist). Dann gilt die
kanonische Isomorphie $1\cong\operatorname*{Sp}k.$

Da $G$ ein affines Monoid ist, gibt es eine nat\"{u}rliche Transformation
$\eta:1\rightarrow G$ von Mengenfunktoren, wobei f\"{u}r alle $R\in
\mathcal{A}_{k}$ der Morphismus $\eta_{R}:1\left(  R\right)  \rightarrow
G\left(  R\right)  $ einfach die Abbildung ist, die das einzige Element von
$1\left(  R\right)  $ auf das Einselement von $G\left(  R\right)  $ abbildet.
Wegen $G\cong\operatorname*{Sp}A$ und $1\cong\operatorname*{Sp}k$ k\"{o}nnen
wir also eindeutig eine nat\"{u}rliche Transformation $\widetilde{\eta
}:\operatorname*{Sp}k\rightarrow\operatorname*{Sp}A$ konstruieren, so
da\ss \ das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
1 \ar[d]_{\cong} \ar[r]^{\eta} & G \ar[d]^{\cong} \\
\operatorname*{Sp} k \ar[r]_{\widetilde{\eta}} & \operatorname*{Sp} A
}
\]
von nat\"{u}rlichen Transformationen zwischen Funktoren kommutiert. Nach dem
Yoneda-Lemma gibt es einen Algebrahomomorphismus $\varepsilon:A\rightarrow k$
mit $\widetilde{\eta}=\operatorname*{Sp}\varepsilon.$ Also kommutiert das
Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
1 \ar[d]_{\cong} \ar[r]^{\eta} & G \ar[d]^{\cong} \\
\operatorname*{Sp} k \ar[r]_{\operatorname*{Sp}\varepsilon} & \operatorname*{Sp} A
}.
\]


Es gibt einen kanonischen Isomorphismus von Funktoren $\zeta:1\times
G\rightarrow G,$ gegeben durch%
\[
\zeta_{R}:\underbrace{\left(  1\times G\right)  \left(  R\right)  }_{=1\times
G\left(  R\right)  }\rightarrow G\left(  R\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  1,g\right)  \mapsto g
\]
f\"{u}r alle $R\in\mathcal{A}_{k}.$ Wegen $G\cong\operatorname*{Sp}A$ und
$1\cong\operatorname*{Sp}k$ entspricht dieser kanonische Isomorphismus einem
kanonischen Isomorphismus $\operatorname*{Sp}k\times\operatorname*{Sp}%
A\rightarrow\operatorname*{Sp}A,$ also einem kanonischen Isomorphismus
$\operatorname*{Sp}\left(  k\otimes A\right)  \rightarrow\operatorname*{Sp}A$
(denn $\operatorname*{Sp}\left(  k\otimes A\right)  \cong\operatorname*{Sp}%
k\times\operatorname*{Sp}A$ nach Lemma 2), und dieser Isomorphismus ist
einfach $\operatorname*{Sp}\operatorname*{kan},$ wobei%
\[
\operatorname*{kan}:A\rightarrow k\otimes A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto
1\otimes x
\]
der kanonische Algebrahomomorphismus ist.

Da $G$ ein affines Monoid ist, ist das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
1\times G \ar[d]_{\eta\times\operatorname*{id}} \ar[rd]_{\zeta}^-{\cong}  \\
G\times G \ar[r]_{\mu} & G
}
\]
kommutativ (die Pfeile dieses Diagramms sind nat\"{u}rliche Transformationen
zwischen Funktoren). Wegen $G\cong\operatorname*{Sp}A$, $\mu\cong%
\operatorname*{Sp}\Delta$, $1\cong\operatorname*{Sp}k$, $\eta\cong%
\operatorname*{Sp}\varepsilon$ und $\zeta\cong\operatorname*{Sp}%
\operatorname*{kan}$ (und wegen $\operatorname*{Sp}\left(  A\otimes B\right)
=\operatorname*{Sp}A\times\operatorname*{Sp}B$) l\"{a}\ss t sich dieses
Diagramm erweitern zu einem kommutativen Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
\operatorname*{Sp}\left(k\otimes A\right) \ar@/^4pc/[dddrrr]^{\operatorname*{Sp}\operatorname*{kan}} \ar[ddd]^{\operatorname*{Sp}\left(\varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)}  \\
& 1\times G \ar[lu]^{\cong} \ar[d]_{\eta\times\operatorname*{id}} \ar[rd]_{\zeta}^-{\cong} \\
& G\times G \ar[ld]^{\cong} \ar[r]_{\mu} & G \ar[rd]^{\cong} & \\
\operatorname*{Sp}\left(A\otimes A\right) \ar[rrr]_{\operatorname*{Sp}\Delta} & & & \operatorname*{Sp}A
}.
\]
Das "\"{a}u\ss ere Dreieck" dieses Diagramms ergibt mithilfe des Yoneda-Lemmas
ein kommutatives Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
A \ar[r]^{\Delta} \ar[d]^{\cong}_{\operatorname*{kan}} & A\otimes A \ar[dl]^{\varepsilon\otimes\operatorname*{id}} \\
k\otimes A &
}.
\]
Analog beweist man, da\ss \ das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
A \ar[r]^{\Delta} \ar[d]^{\cong}_{\operatorname*{kan}} & A\otimes A \ar[dl]^{\operatorname*{id}\otimes\varepsilon} \\
A\otimes k &
}
\]
kommutativ ist, wobei $\operatorname*{kan}$ dieses Mal nicht mehr den
kanonischen Homomorphismus $A\rightarrow k\otimes A$, sondern den kanonischen
Homomorphismus $A\rightarrow A\otimes k$ bezeichnet. Somit ist die Abbildung
$\Delta$ bez\"{u}glich $\varepsilon$ counit\"{a}r.

Insgesamt ist damit gezeigt, da\ss \ $\left(  A,\Delta,\varepsilon\right)  $
eine Coalgebra ist. Da $\Delta$ und $\varepsilon$ Algebrahomomorphismen sind,
ist $A$ damit sogar eine Bialgebra. Wir wissen also, da\ss \ $A$ eine
Bialgebra ist, und da\ss \ $G\cong\operatorname*{Sp}A$ als affine Schemata
gilt. Was wir zum Beweis von \textbf{2)} \textbf{a)} noch zeigen m\"{u}ssen,
ist, da\ss \ $G\cong\operatorname*{Sp}A$ \textit{als affine Monoide} gilt. Wir
m\"{u}ssen also zeigen: Die Abbildung $\widetilde{\mu}_{R}$ hat f\"{u}r jedes
$R\in\mathcal{A}_{k}$ die Form%
\[
\widetilde{\mu}_{R}:\operatorname*{Alg}\left(  A,R\right)  \times
\operatorname*{Alg}\left(  A,R\right)  \longrightarrow\operatorname*{Alg}%
\left(  A,R\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \varphi,\psi\right)
\mapsto\varphi\ast\psi,
\]
wobei $\ast$ die Konvolution (bez\"{u}glich der Coalgebrastruktur auf $A$)
ist, und die Abbildung $\widetilde{\eta}_{R}$ hat f\"{u}r jedes $R\in
\mathcal{A}_{k}$ die Form%
\[
\widetilde{\eta}_{R}:\operatorname*{Alg}\left(  k,R\right)  \rightarrow
\operatorname*{Alg}\left(  A,R\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \tau\mapsto
\tau\circ\varepsilon.
\]
Aber beides folgt trivialerweise daraus, wie wir $\Delta$ und $\varepsilon$
definiert haben (denn nach der Definition von $\Delta$ ist $\widetilde{\mu
}_{R}\left(  \varphi,\psi\right)  =\operatorname*{mult}\left(  \varphi
\otimes\psi\right)  \Delta$ f\"{u}r alle $R\in\mathcal{A}_{k}$ und
$\varphi,\psi\in\operatorname*{Alg}\left(  A,R\right)  ,$ wobei
$\operatorname*{mult}:R\otimes R\rightarrow R$ die Multiplikationsabbildung
von $R$ ist\footnote{Das hei\ss t, $\operatorname*{mult}$ ist die Abbildung
$\mu_{R},$ wenn man $R$ als $k$-Algebra$_{3}$ auffasst. Allerdings d\"{u}rfen
wir diese Abbildung hier \textit{nicht} mit $\mu_{R}$ bezeichnen, denn
$\mu_{R}$ bezeichnet bei uns bereits eine ganz andere Abbildung.}, und somit
hat $\widetilde{\mu}_{R}$ die gew\"{u}nschte Form; ferner hat $\widetilde{\eta
}_{R}$ die gew\"{u}nschte Form, da $\widetilde{\eta}=\operatorname*{Sp}%
\varepsilon$ ist).

\textbf{b)} Nach \textbf{2)} \textbf{a)} wissen wir, da\ss \ es eine
kommutative Bialgebra $A$ gibt so, da\ss \ $G\cong\operatorname*{Sp}A$ als
affine Monoide ist. Dabei wurde die Comultiplikation $\Delta:A\rightarrow
A\otimes A$ auf $A$ mithilfe des Lemmas von Yoneda aus der
Multiplikationsabbildung $\mu:G\times G\rightarrow G$ konstruiert, und die
Coeins $\varepsilon:A\rightarrow k$ auf $A$ wurde mithilfe des Lemmas von
Yoneda aus dem Einselement $\eta:1\rightarrow G$ konstruiert. Jetzt werden wir
eine Antipode $S:A\rightarrow A$ von $A$ finden, indem wir das Lemma von
Yoneda auf die Inversionsabbildung $\left(  {}\right)  ^{-1}:G\rightarrow G$
anwenden. Genauer gesagt machen wir folgendes:

Da $G$ eine affine Gruppe ist, gibt es eine nat\"{u}rliche Transformation
$\left(  {}\right)  ^{-1}:G\rightarrow G$ zwischen Mengenfunktoren, die%
\[
\left(  \left(  {}\right)  ^{-1}\right)  _{R}:G\left(  R\right)  \rightarrow
G\left(  R\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g\mapsto g^{-1}%
\]
f\"{u}r alle $R\in\mathcal{A}_{k}$ erf\"{u}llt.

Wegen $G\cong\operatorname*{Sp}A$ gibt es also genau eine nat\"{u}rliche
Transformation $\widetilde{\left(  {}\right)  ^{-1}}:\operatorname*{Sp}%
A\rightarrow\operatorname*{Sp}A$ zwischen Mengenfunktoren so, da\ss \ das
Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
G \ar[d]_{\cong} \ar[r]^{\left(\right)^{-1}} & G \ar[d]^{\cong} \\
\operatorname*{Sp} A \ar[r]_{\widetilde{\left(\right)^{-1}}} & \operatorname*{Sp} A
}
\]
von nat\"{u}rlichen Transformationen zwischen Funktoren kommutiert. Nach dem
Yoneda-Lemma gibt es einen Algebrahomomorphismus $S:A\rightarrow A$ mit
$\widetilde{\left(  {}\right)  ^{-1}}=\operatorname*{Sp}S.$ Also kommutiert
das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
G \ar[d]_{\cong} \ar[r]^{\left(\right)^{-1}} & G \ar[d]^{\cong} \\
\operatorname*{Sp} A \ar[r]_{\operatorname*{Sp}S} & \operatorname*{Sp} A
}.
\]


Wir wollen jetzt zeigen, da\ss \ die Abbildung $S:A\rightarrow A$ eine
Antipode der Bialgebra $A$ ist. Dazu m\"{u}ssen wir nachweisen, da\ss \ das
Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
& A \ar[dl]_-{\Delta} \ar[dr]^-{\Delta} \ar[dd]^{\varepsilon} & \\
A \otimes A \ar[dd]_{\operatorname*{id}\otimes S} & & A \otimes A \ar[dd]^{S\otimes\operatorname*{id}} \\
& k \ar[dd]^{\eta_!} & \\
A \otimes A \ar[dr]_{\mu_!} & & A \otimes A \ar[dl]^{\mu_!} \\
& A &
}
\]
kommutativ ist, wobei die $k$-linearen Abbildungen $\mu_{!}:A\otimes
A\rightarrow A$ und $\eta_{!}:k\rightarrow A$ durch%
\begin{align*}
\mu_{!}\left(  x\otimes y\right)   &  =xy\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }x,y\in A,\text{ und}\\
\eta_{!}\left(  1\right)   &  =1_{A}%
\end{align*}
definiert sind (diese Abbildungen $\mu_{!}$ und $\eta_{!}$ w\"{u}rden wir
normalerweise mit $\mu$ und $\eta$ oder mit $\mu_{A}$ bzw. $\eta_{A}$
bezeichnen, aber leider haben wir die Bezeichnungen $\mu,$ $\eta$, $\mu_{A}$
und $\eta_{A}$ bereits f\"{u}r etwas anderes belegt!).

Aus der Definition von $\left(  {}\right)  ^{-1}$ folgt, da\ss \ das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
& G \ar@{<-}[dl]_-{\mu} \ar@{<-}[dr]^-{\mu} \ar@{<-}[dd]^{\eta} & \\
G \times G \ar@{<-}[dd]_{\operatorname*{id}\times \left(\right)^{-1}} & & G \times G \ar@{<-}[dd]^{\left(\right)^{-1}\times\operatorname*{id}} \\
& 1 \ar@{<-}[dd]^{\xi} & \\
G \times G \ar@{<-}[dr]_{\blacktriangle} & & G \times G \ar@{<-}[dl]^{\blacktriangle} \\
& G &
}
\]
von nat\"{u}rlichen Transformationen zwischen Funktoren kommutiert, wobei die
nat\"{u}rliche Transformation $\xi:G\rightarrow1$ definiert ist durch%
\[
\xi_{R}:G\left(  R\right)  \rightarrow1\left(  R\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g\mapsto1
\]
f\"{u}r alle $R\in\mathcal{A}_{k},$ und die nat\"{u}rliche Transformation
$\blacktriangle:G\rightarrow G\times G$ definiert ist durch%
\[
\blacktriangle_{R}:G\left(  R\right)  \rightarrow G\left(  R\right)  \times
G\left(  R\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g\mapsto\left(  g,g\right)
\]
f\"{u}r alle $R\in\mathcal{A}_{k}.$

Nutzen wir jetzt die Isomorphien $G\cong\operatorname*{Sp}A$ und
$1\cong\operatorname*{Sp}k$ und Lemma 2, sowie die Kommutativit\"{a}t der
Diagramme%
\begin{align*}
&  \xymatrixcolsep{4pc}
\xymatrix{ G\times G \ar[d]_{\cong} \ar[r]^{\mu} & G \ar[d]^{\cong} \\ \operatorname*{Sp} A\times \operatorname*{Sp} A \ar[d]_{\cong} & \operatorname*{Sp} A \\ \operatorname*{Sp}\left(A\otimes A\right) \ar[ur]_{\operatorname*{Sp}\Delta} & };\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xymatrix{ 1 \ar[d]_{\cong} \ar[r]^{\eta} & G \ar[d]^{\cong} \\ \operatorname*{Sp} k \ar[r]_{\operatorname*{Sp}\varepsilon} & \operatorname*{Sp} A };\\
&
\xymatrix{ G\times G \ar[d]_{\cong} \ar@{<-}[r]^{\blacktriangle} & G \ar[d]^{\cong} \\ \operatorname*{Sp} A\times \operatorname*{Sp} A \ar[d]_{\cong} & \operatorname*{Sp} A \\ \operatorname*{Sp}\left(A\otimes A\right) \ar@{<-}[ur]_{\operatorname*{Sp}\mu_!} & };\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xymatrix{ 1 \ar[d]_{\cong} \ar@{<-}[r]^{\xi} & G \ar[d]^{\cong} \\ \operatorname*{Sp} k \ar@{<-}[r]_{\operatorname*{Sp}\eta_!} & \operatorname*{Sp} A };\\
&
\xymatrix{ G \ar[d]_{\cong} \ar[r]^{\left(\right)^{-1}} & G \ar[d]^{\cong} \\ \operatorname*{Sp} A \ar[r]_{\operatorname*{Sp}S} & \operatorname*{Sp} A }
\end{align*}
aus, so erhalten wir hieraus das kommutative Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
& \operatorname*{Sp}A \ar@{<-}[dl]_-{\operatorname*{Sp}\Delta} \ar@{<-}[dr]^-{\operatorname*{Sp}\Delta} \ar@{<-}[dd]^{\operatorname*{Sp}\varepsilon} & \\
\operatorname*{Sp}\left(A\otimes A\right) \ar@{<-}[dd]_{\operatorname*{Sp}\left(\operatorname*{id}\otimes S\right)} & & \operatorname*{Sp}\left(A\otimes A\right) \ar@{<-}[dd]^{\operatorname*{Sp}\left(S\otimes\operatorname*{id}\right)} \\
& \operatorname*{Sp}k \ar@{<-}[dd]^{\operatorname*{Sp}\eta_!} & \\
\operatorname*{Sp}\left(A\otimes A\right) \ar@{<-}[dr]_{\operatorname*{Sp}\mu_!} & & \operatorname*{Sp}\left(A\otimes A\right) \ar@{<-}[dl]^{\operatorname*{Sp}\mu_!} \\
& \operatorname*{Sp}A &
}.
\]
Nach dem Yoneda-Lemma folgt hieraus, da\ss \ das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
& A \ar[dl]_-{\Delta} \ar[dr]^-{\Delta} \ar[dd]^{\varepsilon} & \\
A \otimes A \ar[dd]_{\operatorname*{id}\otimes S} & & A \otimes A \ar[dd]^{S\otimes\operatorname*{id}} \\
& k \ar[dd]^{\eta_!} & \\
A \otimes A \ar[dr]_{\mu_!} & & A \otimes A \ar[dl]^{\mu_!} \\
& A &
}
\]
kommutiert. Folglich ist $S$ eine Antipode der Bialgebra $A,$ und $A$ ist
daher eine Hopfalgebra. Daher ist $\operatorname*{Sp}A$ eine affine Gruppe,
und somit ist auch $G\cong\operatorname*{Sp}A$ als affine Gruppe (denn
$G\cong\operatorname*{Sp}A$ als affines Monoid nach \textbf{2)} \textbf{a)}).

Der Beweis von 5.4. ist damit vollst\"{a}ndig.

\textbf{5.5. Folgerung:} Wir haben folgende \"{A}quivalenzen von Kategorien:%
\begin{align*}
\mathcal{A}_{k}^{\operatorname*{op}}  &  \cong\operatorname*{Sch}%
\nolimits_{k};\\
\left\{  \text{kommutative Bialgebren}\right\}  ^{\operatorname*{op}}  &
\cong\operatorname*{Mon}\nolimits_{k};\\
\left\{  \text{kommutative Hopfalgebren}\right\}  ^{\operatorname*{op}}  &
\cong\operatorname*{Gr}\nolimits_{k}.
\end{align*}


\textbf{5.6. Bemerkung:} \textbf{1)} Wir k\"{o}nnen die \"{A}quivalenz
\[
\left\{  \text{kommutative Hopfalgebren}\right\}  ^{\operatorname*{op}}%
\cong\operatorname*{Gr}\nolimits_{k}%
\]
auch auf eine abstraktere Weise aus der \"{A}quivalenz $\mathcal{A}%
_{k}^{\operatorname*{op}}\cong\operatorname*{Sch}\nolimits_{k}$ herleiten,
indem wir den Begriff einer Gruppe in einer Kategorie verwenden:

Die Kategorie $\operatorname*{Sch}_{k}$ ist eine Kategorie mit endlichen
direkten Produkten und Endobjekt. Also sind Gruppen in der Kategorie
$\operatorname*{Sch}_{k}$ definiert (als Objekte $G$ mitsamt Morphismen
$G\times G\overset{\mu}{\longrightarrow}G,$ $1\overset{\eta}{\longrightarrow
}G$ und $G\overset{\operatorname*{inv}}{\longrightarrow}G$, f\"{u}r welche die
naheliegenden Diagramme kommutativ sind). Nach dem Yoneda-Lemma gilt%
\[
\underbrace{\left\{  \text{Gruppen in }\mathcal{A}_{k}^{\operatorname*{op}%
}\right\}  }_{\cong\left\{  \text{kommutative Hopfalgebren}\right\}
^{\operatorname*{op}}}\cong\underbrace{\left\{  \text{Gruppen in
}\operatorname*{Sch}\nolimits_{k}\right\}  }_{\cong\operatorname*{Gr}%
\nolimits_{k}}.
\]


Analog k\"{o}nnte man aus der \"{A}quivalenz $\mathcal{A}_{k}%
^{\operatorname*{op}}\cong\operatorname*{Sch}\nolimits_{k}$ auch die
\"{A}quivalenz
\[
\left\{  \text{kommutative Bialgebren}\right\}  ^{\operatorname*{op}}%
\cong\operatorname*{Mon}\nolimits_{k}%
\]
herleiten, indem man den Begriff eines Monoids in einer Kategorie benutzt.

\textbf{2)} Man kann einen Funktor $\mathcal{O}:\operatorname*{Sch}%
\nolimits_{k}\rightarrow\mathcal{A}_{k}^{\operatorname*{op}}$ definieren,
indem man $\mathcal{O}\left(  X\right)  =\operatorname*{Mor}\left(
X,\mathbb{A}^{1}\right)  $ (mit punktweiser Algebrastruktur) f\"{u}r jedes
$X\in\operatorname*{Sch}\nolimits_{k}$ setzt. Dann sind $\operatorname*{Sp}%
:\mathcal{A}_{k}^{\operatorname*{op}}\rightarrow\operatorname*{Sch}%
\nolimits_{k}$ und $\mathcal{O}:\operatorname*{Sch}\nolimits_{k}%
\rightarrow\mathcal{A}_{k}^{\operatorname*{op}}$ quasiinverse \"{A}quivalenzen.

\textbf{5.7. Satz:} Sei $V$ ein Vektorraum mit $\dim V=n<\infty.$ Sei
$v_{1},v_{2},...,v_{n}$ eine Basis von $V.$ Sei $A$ eine kommutative
Hopfalgebra, und $G\cong\operatorname*{Sp}A$ eine affine Gruppe. Dann
k\"{o}nnen wir wie folgt eine nat\"{u}rliche Bijektion%
\[
\varphi:\left\{  \delta_{V}:V\rightarrow V\otimes A\ \mid\ \delta_{V}\text{
ist eine }A\text{-Comodulstruktur auf }V\right\}  \longrightarrow
\operatorname*{Gr}\nolimits_{k}\left(  G,\operatorname*{GL}\nolimits_{n}%
\right)
\]
definieren: Sei $\delta_{V}:V\rightarrow V\otimes A$ eine $A$-Comodulstruktur
auf $V.$ Nach Lemma 4.2. \textbf{1)} gibt es dann eine Matrix $\left(
a_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\in\operatorname*{M}\nolimits_{n}\left(
A\right)  $ so, da\ss \ $\delta\left(  v_{j}\right)  =\sum\limits_{i=1}%
^{n}v_{i}\otimes a_{i,j}$ f\"{u}r alle $j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $
gilt, und diese Matrix erf\"{u}llt\ $\Delta\left(  a_{i,j}\right)
=\sum\limits_{l=1}^{n}a_{i,l}\otimes a_{l,j}$ und $\varepsilon\left(
a_{i,j}\right)  =\delta_{i,j}$ f\"{u}r alle $1\leq i,j\leq n$. Dann ist der
Algebrahomomorphismus%
\[
k\left[  T_{i,j},d^{-1}\ \mid\ 1\leq i,j\leq n\right]  \rightarrow
A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T_{i,j}\mapsto a_{i,j}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{wobei }d=\det\left(  \left(  T_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\right)
\right)
\]
ein Hopfalgebrahomomorphismus\footnote{Dabei verstehen wir unter $k\left[
T_{i,j},d^{-1}\ \mid\ 1\leq i,j\leq n\right]  $ die darstellende Hopfalgebra
von $\operatorname*{GL}_{n}$. Diese Hopfalgebra wird definiert als die Algebra
$k\left[  T_{i,j},d^{-1}\ \mid\ 1\leq i,j\leq n\right]  $, die in Beispiel 5.3
\textbf{2)} eingef\"{u}hrt wurde, versehen mit der Comultiplikation $\Delta$,
die durch%
\[
\Delta\left(  T_{i,j}\right)  =\sum\limits_{l=1}^{n}T_{i,l}\otimes
T_{l,j}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }1\leq i,j\leq n
\]
definiert wird (und wir verlangen nat\"{u}rlich, da\ss \ $\Delta$ ein
Algebrahomomorphismus ist), und mit der Coeins $\varepsilon$, die durch%
\[
\varepsilon\left(  T_{i,j}\right)  =\delta_{i,j}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }1\leq i,j\leq n
\]
definiert wird (und wieder verlangen wir, da\ss \ $\varepsilon$ ein
Algebrahomomorphismus ist). Dabei bezeichnet $d$ die Determinante $\det\left(
\left(  T_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\right)  $.}, und induziert nach
5.5. einen Homomorphismus $G\rightarrow\operatorname*{GL}_{n}$ von affinen
Gruppen. Diesen Homomorphismus $G\rightarrow\operatorname*{GL}_{n}$ nennen wir
dann $\varphi\left(  \delta_{V}\right)  .$

\textit{Beweis:} Wir haben%
\begin{align*}
&  \left\{  \delta_{V}:V\rightarrow V\otimes A\ \mid\ \delta_{V}\text{ ist
eine }A\text{-Comodulstruktur auf }V\right\} \\
&  \cong\left\{  \left(  a_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\in
\operatorname*{M}\nolimits_{n}\left(  A\right)  \ \mid\ \Delta\left(
a_{i,j}\right)  =\sum_{l=1}^{n}a_{i,l}\otimes a_{l,j}\text{ und }%
\varepsilon\left(  a_{i,j}\right)  =\delta_{i,j}\text{ f\"{u}r alle }1\leq
i,j\leq n\right\} \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{diese Isomorphie ergibt sich nach Lemma 4.2. \textbf{1)} via }\delta
_{V}\mapsto\left(  a_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n},\text{ wobei}\\
\text{die }a_{i,j}\text{ so gew\"{a}hlt sind, da\ss \ }\delta\left(
v_{j}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}\otimes a_{i,j}\text{ f\"{u}r alle
}j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  \text{ gilt}%
\end{array}
\right) \\
&  \cong\operatorname*{Bialg}\left(  k\left[  T_{i,j},d^{-1}\ \mid\ 1\leq
i,j\leq n\right]  ,A\right)  .
\end{align*}
\footnote{Dabei ist der Isomorphismus%
\begin{align*}
&  \left\{  \left(  a_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\in\operatorname*{M}%
\nolimits_{n}\left(  A\right)  \ \mid\ \Delta\left(  a_{i,j}\right)
=\sum_{l=1}^{n}a_{i,l}\otimes a_{l,j}\text{ und }\varepsilon\left(
a_{i,j}\right)  =\delta_{i,j}\text{ f\"{u}r alle }1\leq i,j\leq n\right\} \\
&  \rightarrow\operatorname*{Bialg}\left(  k\left[  T_{i,j},d^{-1}%
\ \mid\ 1\leq i,j\leq n\right]  ,A\right)
\end{align*}
dadurch gegeben, da\ss \ man jeder Matrix $\left(  a_{i,j}\right)  _{1\leq
i,j\leq n}\in\operatorname*{M}\nolimits_{n}\left(  A\right)  $, welche
$\Delta\left(  a_{i,j}\right)  =\sum\limits_{l=1}^{n}a_{i,l}\otimes a_{l,j}$
und $\varepsilon\left(  a_{i,j}\right)  =\delta_{i,j}$ f\"{u}r alle $1\leq
i,j\leq n$ erf\"{u}llt, einen Bialgebrahomomorphismus von $k\left[
T_{i,j},d^{-1}\ \mid\ 1\leq i,j\leq n\right]  $ nach $A$ zuordnet - und zwar
denjenigen, der $T_{i,j}$ auf $a_{i,j}$ abbildet f\"{u}r alle $1\leq i,j\leq
n$. Dieser Isomorphismus ist wohldefiniert, denn jede Matrix $\left(
a_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\in\operatorname*{M}\nolimits_{n}\left(
A\right)  $, welche $\Delta\left(  a_{i,j}\right)  =\sum\limits_{l=1}%
^{n}a_{i,l}\otimes a_{l,j}$ und $\varepsilon\left(  a_{i,j}\right)
=\delta_{i,j}$ f\"{u}r alle $1\leq i,j\leq n$ erf\"{u}llt,
mu\ss \ invertierbar sein (denn $\sum\limits_{l=1}^{n}a_{i,l}S\left(
a_{l,j}\right)  =\varepsilon\left(  a_{i,j}\right)  =\delta_{i,j}$ f\"{u}r
alle $i,j$, und somit ist $\left(  a_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\left(
S\left(  a_{i,j}\right)  \right)  _{1\leq i,j\leq n}=E$).} Au\ss erdem:%
\begin{align*}
\operatorname*{Bialg}\left(  k\left[  T_{i,j},d^{-1}\ \mid\ 1\leq i,j\leq
n\right]  ,A\right)   &  \cong\operatorname*{Hopf}\left(  k\left[
T_{i,j},d^{-1}\ \mid\ 1\leq i,j\leq n\right]  ,A\right) \\
&  \cong\operatorname*{Gr}\nolimits_{k}\left(  G,\operatorname*{GL}%
\nolimits_{n}\right)
\end{align*}
(die letzte Isomorphie folgt dabei aus 5.5.). Somit ist%
\[
\left\{  \delta_{V}:V\rightarrow V\otimes A\ \mid\ \delta_{V}\text{ ist eine
}A\text{-Comodulstruktur auf }V\right\}  \cong\operatorname*{Gr}%
\nolimits_{k}\left(  G,\operatorname*{GL}\nolimits_{n}\right)  ,
\]
was zu beweisen war.

\textbf{Definition:} \textbf{1)} Sei $X$ ein affines Schema, d. h. ein Funktor
$X:\mathcal{A}_{k}\rightarrow\operatorname*{Me}$ mit $X\cong\operatorname*{Sp}%
A$ f\"{u}r eine kommutative Algebra $A.$ Dann hei\ss t $X$
\textit{algebraisch}, wenn $A$ eine Algebra von endlichem Typ (d. h. endlich
erzeugt als $k$-Algebra) ist, d. h. wenn $A$ eine Faktoralgebra eines
Polynomrings \"{u}ber $k$ in endlich vielen Variablen ist.

Ist $G$ eine affine Gruppe, dann hei\ss t $G$ \textit{algebraisch}, wenn $G$
als affines Schema (d. h. ohne Beachtung der Gruppenstruktur) algebraisch ist.

\textbf{2)} Seien $X$ und $Y$ zwei affine Schemata, d. h. sei $X\cong%
\operatorname*{Sp}A$ und $Y\cong\operatorname*{Sp}B$ f\"{u}r zwei kommutative
Algebren $A$ und $B.$ Sei $\varphi:B\rightarrow A$ ein Algebrahomomorphismus,
und sei $\alpha:X\rightarrow Y$ der "dazugeh\"{o}rige" Homomorphismus von
Schemata (das hei\ss t, $\alpha$ ist der eindeutige Homomorphismus von
Schemata, f\"{u}r den das Diagramm $\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
X \ar[r]_{\alpha} \ar[d]^{\cong} & Y \ar[d]^{\cong} \\
\operatorname*{Sp}A \ar[r]^{\operatorname*{Sp}\varphi} & \operatorname*{Sp}B
}$ kommutiert).

Dann hei\ss t $\alpha$ eine \textit{abgeschlossene Einbettung}, wenn $\varphi$
surjektiv ist.

\textbf{5.8. Bemerkung:} \textbf{1)} Sei $\alpha:X\rightarrow Y$ eine
abgeschlossene Einbettung von affinen Schemata. Dann folgt: F\"{u}r jedes
$R\in\mathcal{A}_{k}$ ist $\alpha_{R}:X\left(  R\right)  \rightarrow Y\left(
R\right)  $ injektiv.

\textit{Beweis:} Seien $A$ und $B$ zwei kommutative Algebren mit
$X\cong\operatorname*{Sp}A$ und $Y\cong\operatorname*{Sp}B,$ und sei
$\varphi:B\rightarrow A$ der Algebrahomomorphismus, f\"{u}r den das Diagramm
$\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
X \ar[r]_{\alpha} \ar[d]^{\cong} & Y \ar[d]^{\cong} \\
\operatorname*{Sp}A \ar[r]^{\operatorname*{Sp}\varphi} & \operatorname*{Sp}B
}$ kommutiert. Da $\alpha$ eine abgeschlossene Einbettung ist,
mu\ss \ $\varphi$ surjektiv sein.

F\"{u}r alle $R\in\mathcal{A}_{k}$ ist dann die Abbildung%
\[
\operatorname*{Alg}\left(  A,R\right)  \rightarrow\operatorname*{Alg}\left(
B,R\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \psi\mapsto\psi\varphi
\]
injektiv, da $\varphi$ surjektiv ist.

\textbf{2)} Die Umkehrung von \textbf{1)} gilt nicht: Die kanonische
Inklusionsabbildung $\varphi:k\left[  T\right]  \hookrightarrow k\left(
T\right)  $ ist nicht surjektiv (wobei $k\left[  T\right]  $ der Polynomring
in einer Variablen, und $k\left(  T\right)  $ sein Quotientenk\"{o}rper ist).
Aber f\"{u}r alle $R\in\mathcal{A}_{k}$ ist die Abbildung%
\[
\operatorname*{Alg}\left(  k\left(  T\right)  ,R\right)  \rightarrow
\operatorname*{Alg}\left(  k\left[  T\right]  ,R\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \psi\mapsto\psi\mid_{k\left[  T\right]  }%
\]
injektiv.

\textbf{5.9. Satz:} Sei $G$ eine algebraische affine Gruppe. Dann gibt es ein
$n\in\mathbb{N}$ und einen Morphismus $\varphi:G\rightarrow\operatorname*{GL}%
_{n}$ von affinen Gruppen so, da\ss \ $\varphi$ (als Morphismus von affinen
Schemata) eine abgeschlossene Einbettung ist.

(Mit etwas mehr Fachterminologie w\"{u}rde man dies wie folgt formulieren:
Jede algebraische affine Gruppe $G$ ist isomorph zu einer abgeschlossenen
Untergruppe von $\operatorname*{GL}_{n}$.)

\textit{Beweis:} Nach 5.4. \textbf{2)} \textbf{b)} ist $G\cong%
\operatorname*{Sp}A$ f\"{u}r eine kommutative Hopfalgebra $A$ von endlichem
Typ. Man kann schreiben $A=k\left[  x_{1},x_{2},...,x_{m}\right]  ,$ wobei
$x_{1},x_{2},...,x_{m}$ Erzeuger von $A$ sind (solche Erzeuger existieren,
denn $A$ ist von endlichem Typ\footnote{Diese Erzeuger sind aber im
Allgemeinen keine freien Variablen, d. h. die Algebra $A$ muss keine
Polynomalgebra sein.}). Nach Satz 4.3. \textbf{1)} \textit{a)} gibt es also
einen endlichdimensionalen $A$-Rechtsuntercomodul $V\subseteq A$ mit
$x_{1},x_{2},...,x_{m}\in V$\ \ \ \ \footnote{Denn nach Satz 4.3. \textbf{1)}
\textit{a)} liegt jedes $x_{i}$ in einem endlichdimensionalen $A$%
-Rechtsuntercomodul $V_{i}$ von $A;$ also liegen alle diese Elemente $x_{1},$
$x_{2},$ $...,$ $x_{m}$ in der Summe $V_{1}+V_{2}+...+V_{m}$ dieser
$A$-Rechtsuntercomoduln, und die Summe von $A$-Rechtsuntercomoduln ist wieder
ein $A$-Rechtsuntercomodul.}.

Sei $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ eine Basis von $V.$ Nach 4.2. \textbf{1)} gibt es
dann eine Matrix $\left(  a_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\in
\operatorname*{M}_{n}\left(  A\right)  $ so, da\ss
\begin{align*}
\Delta\left(  a_{i,j}\right)   &  =\sum_{l=1}^{n}a_{i,l}\otimes a_{l,j}%
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(  a_{i,j}\right)  =\delta_{i,j}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }1\leq i,j\leq n,\\
\text{sowie }\delta\left(  v_{j}\right)   &  =\sum\limits_{i=1}^{n}%
v_{i}\otimes a_{i,j}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }1\leq j\leq n
\end{align*}
ist. Nach 5.7. ist dann%
\[
\varphi:k\left[  T_{i,j},d^{-1}\ \mid\ 1\leq i,j\leq n\right]  \rightarrow
A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T_{i,j}\mapsto a_{i,j}%
\]
ein Hopfalgebrahomomorphismus. Dieser Homomorphismus $\varphi$ ist surjektiv,
denn f\"{u}r alle $i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ gilt: $x_{i}%
\in\operatorname{Im}\varphi$ (da $x_{i}\in V$ und $V\subseteq\operatorname{Im}%
\varphi$\ \ \ \ \footnote{Da\ss \ $V\subseteq\operatorname{Im}\varphi$ ist,
ist hierbei klar, denn f\"{u}r jedes $j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ ist
\[
v_{j}=\left(  \varepsilon\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
\underbrace{\Delta\left(  v_{j}\right)  }_{=\delta\left(  v_{j}\right)
=\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}\otimes a_{i,j}}\right)  =\sum\limits_{i=1}%
^{n}\varepsilon\left(  v_{i}\right)  a_{i,j}=\varphi\left(  \sum
\limits_{i=1}^{n}\varepsilon\left(  v_{i}\right)  T_{i,j}\right)
\in\operatorname{Im}\varphi.
\]
}). Nach 5.7. folgt die Behauptung.

Nun definieren wir den Begriff einer \textit{Operation} einer affinen Gruppe
auf einem affinen Schema. Dies wird einfach ein Morphismus affiner Schemata
sein, der "punktweise" eine Operation einer (ganz gew\"{o}hnlichen) Gruppe auf
einer Menge ist:

\textbf{Definition:} Sei $X$ ein affines Schema, und $G$ eine affine Gruppe.
Sei $\mu:X\times G\rightarrow X$ ein Morphismus affiner Schemata (d. h. eine
nat\"{u}rliche Transformation von Mengenfunktoren).

Dann hei\ss t $\left(  X,\mu\right)  $ ein $G$\textit{-Schema}, wenn f\"{u}r
alle $R\in\mathcal{A}_{k}$ gilt: Die Abbildung $\mu_{R}:X\left(  R\right)
\times G\left(  R\right)  \rightarrow X\left(  R\right)  $ ist eine Operation
der Gruppe $G\left(  R\right)  $ auf der Menge $X\left(  R\right)  $ (also
assoziativ und unit\"{a}r).

Statt zu sagen, da\ss \ $\left(  X,\mu\right)  $ ein $G$-Schema ist, kann man
auch sagen, da\ss \ $\mu$ eine \textit{Operation} der affinen Gruppe $G$ auf
dem affinen Schema $X$ ist.

\textbf{5.10. Beispiel:} Wir k\"{o}nnen eine Operation $\rho:\mathbb{A}%
^{n}\times\operatorname*{SL}_{n}\rightarrow\mathbb{A}^{n}$ der affinen Gruppe
$\operatorname*{SL}_{n}$ auf dem affinen Schema $\mathbb{A}^{n}$ definieren,
indem wir f\"{u}r jedes $R\in\mathcal{A}_{k}$ die Abbildung $\rho_{R}$ wie
folgt definieren:%
\begin{align*}
&  \rho_{R}:\underbrace{\mathbb{A}^{n}\left(  R\right)  }_{=R^{n}}%
\times\operatorname*{SL}\nolimits_{n}\left(  R\right)  \rightarrow
\underbrace{\mathbb{A}^{n}\left(  R\right)  }_{=R^{n}},\\
&  \left(  \underbrace{\left(  r_{1},r_{2},...,r_{n}\right)  }_{\in R^{n}%
},\underbrace{\left(  r_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}}_{\in
\operatorname*{SL}_{n}\left(  R\right)  }\right)  \mapsto\left(  r_{1}%
,r_{2},...,r_{n}\right)  \cdot\left(  r_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq
n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{Matrizenprodukt}\right)  .
\end{align*}
Nun haben wir kanonische Isomorphismen $\mathbb{A}^{n}\left(  R\right)
\cong\operatorname*{Alg}\left(  k\left[  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right]
,R\right)  $ und $\operatorname*{SL}\nolimits_{n}\left(  R\right)
\cong\operatorname*{Alg}\left(  k\left[  x_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq
n},R\right)  $ (nach 2.18. \textbf{7)}), wobei $k\left[  x_{1},x_{2}%
,...,x_{n}\right]  $ die Polynomalgebra in $n$ Variablen \"{u}ber $k$ ist, und%
\[
k\left[  x_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}=\underbrace{k\left[
X_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}}_{\text{Polynomalgebra}}\diagup\left(
\det\left(  \left(  X_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq n}\right)  -1\right)
\]
ist. Also gibt es eine nat\"{u}rliche Transformation%
\[
\alpha:\operatorname*{Sp}\left(  k\left[  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right]
\otimes k\left[  x_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}\right)  \rightarrow
\operatorname*{Sp}\left(  k\left[  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right]  \right)
\]
mit $\alpha_{R}:\operatorname*{Alg}\left(  k\left[  x_{1},x_{2},...,x_{n}%
\right]  \otimes k\left[  x_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n},R\right)
\rightarrow\operatorname*{Alg}\left(  k\left[  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right]
,R\right)  $ so, da\ss
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
\mathbb{A}^n\left(R\right)\times\operatorname*{SL}_n\left(R\right) \ar[d]^{\cong} \ar[r]^{\rho_R} & \mathbb{A}^n\left(R\right) \ar[d]^{\cong} \\
\operatorname*{Alg}\left(k\left[x_1,x_2,...,x_n\right],R\right)\times\operatorname*{Alg}\left(k\left[x_{i,j}\right]_{1\leq i,j\leq n},R\right) \ar[r] \ar[d]^{\cong} & \operatorname*{Alg}\left(k\left[x_1,x_2,...,x_n\right],R\right) \\
\operatorname*{Alg}\left(k\left[x_1,x_2,...,x_n\right]\otimes k\left[x_{i,j}\right]_{1\leq i,j\leq n},R\right) \ar[ru]_{\alpha_R} &
}
\]
ein kommutatives Diagramm ist.

Nach dem Yoneda-Lemma gibt es dann einen Algebrahomomorphismus%
\[
\delta:k\left[  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right]  \rightarrow k\left[  x_{1}%
,x_{2},...,x_{n}\right]  \otimes k\left[  x_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}%
\]
so, da\ss \ $\alpha=\operatorname*{Sp}\delta$ ist. Das hei\ss t, f\"{u}r jedes
$R\in\mathcal{A}_{k}$ und jedes \newline$\varphi\in\operatorname*{Alg}\left(
k\left[  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right]  \otimes k\left[  x_{i,j}\right]
_{1\leq i,j\leq n},R\right)  $ gilt:%
\[
\alpha_{R}\left(  \varphi\right)  =\varphi\delta.
\]
Dann gilt $\delta\left(  x_{j}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\otimes
x_{i,j}.$

Dieses $\delta$ ist eine $k\left[  x_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}%
$-Comodulalgebrastruktur auf $k\left[  x_{1},x_{2},...,x_{n}\right]  ,$ und
zwar die gleiche, wie die in Beispiel 4.5. \textbf{5)} definierte $k\left[
x_{i,j}\right]  _{1\leq i,j\leq n}$-Comodulalgebrastruktur $\widetilde{\delta
}.$

\textbf{5.11. Satz:} Sei $H$ eine kommutative Bialgebra, sei $A$ eine
kommutative Algebra, sei $G\cong\operatorname*{Sp}H$ ein affines Monoid, und
sei $X\cong\operatorname*{Sp}A$ ein affines Schema. Dann gibt es eine
nat\"{u}rliche Bijektion%
\begin{align*}
&  \left\{  \mu:X\times G\rightarrow X\ \mid\ \mu\text{ ist eine Operation von
}G\text{ auf }X\right\} \\
&  \longrightarrow\left\{  \delta:A\rightarrow A\otimes H\ \mid\ \delta\text{
ist eine }H\text{-Rechtscomodulalgebrastruktur auf }A\right\}  .
\end{align*}


\textit{Beweis:} Nach dem Yoneda-Lemma wie im vorigen Beispiel, da Operationen
und Comodulalgebrastrukturen jeweils durch einander entsprechende kommutative
Diagramme definiert sind.

\bigskip

\begin{center}
\fbox{\textbf{6. Einschub: Einige Resultate aus der Algebra}}\footnote{Dieser
Abschnitt stammt von mir (Darij).}
\end{center}

Der folgende 6. Abschnitt von Kapitel I hat nichts mit Hopfalgebren zu tun,
aber fasst einige Resultate aus der Algebra zusammen, die wir sp\"{a}ter
mehrmals verwenden werden.

\bigskip

\fbox{\textbf{Das Jacobson-Radikal}}

Die ersten dieser Resultate handeln vom sogenannten \textit{Jacobson-Radikal}
eines Ringes.

\textbf{6.1. Satz:} Sei $R$ ein (nicht notwendigerweise kommutativer) Ring.
Dann sind die folgenden elf Teilmengen von $R$ alle identisch:

\textbf{a)} Die Schnittmenge aller maximalen Rechtsideale von $R$.

\textbf{b)} Die Schnittmenge aller maximalen Linksideale von $R$.

\textbf{c)} Die Menge aller $r\in R$, f\"{u}r die gilt: f\"{u}r jeden
einfachen\footnote{Hierbei hei\ss t ein $R$-Rechtsmodul $M$ \textit{einfach},
wenn $M\neq0$ ist und wenn jeder $R$-Untermodul von $M$ entweder gleich $0$
oder gleich $M$ ist.} $R$-Rechtsmodul $M$ ist $Mr=0$.

\textbf{d)} Die Menge aller $r\in R$, f\"{u}r die gilt: f\"{u}r jeden
einfachen\footnote{Hierbei hei\ss t ein $R$-Linksmodul $M$ \textit{einfach},
wenn $M\neq0$ ist und wenn jeder $R$-Untermodul von $M$ entweder gleich $0$
oder gleich $M$ ist.} $R$-Linksmodul $M$ ist $rM=0$.

\textbf{e)} Die Menge aller $r\in R$, f\"{u}r die gilt: f\"{u}r alle $s\in R$
ist das Element $1-rs$ von $R$ invertierbar.

\textbf{f)} Die Menge aller $r\in R$, f\"{u}r die gilt: f\"{u}r alle $s\in R$
ist das Element $1-sr$ von $R$ invertierbar.

\textbf{a')} Die Menge aller $r\in R$, f\"{u}r die gilt: f\"{u}r jedes
Rechtsideal $I$ von $R$ mit $I+rR=R$ gilt $I=R$.

\textbf{b')} Die Menge aller $r\in R$, f\"{u}r die gilt: f\"{u}r jedes
Linksideal $I$ von $R$ mit $I+Rr=R$ gilt $I=R$.

\textbf{c')} Die Menge aller $r\in R$, f\"{u}r die gilt: f\"{u}r jeden endlich
erzeugten $R$-Rechtsmodul $M$ mit $MrR=M$ ist $M=0$.

\textbf{d')} Die Menge aller $r\in R$, f\"{u}r die gilt: f\"{u}r jeden endlich
erzeugten $R$-Linksmodul $M$ mit $RrM=M$ ist $M=0$.

\textbf{g)} Die Menge aller $r\in R$, f\"{u}r die gilt:$\ $f\"{u}r alle $s\in
R$ und $t\in R$ ist das Element $1-srt$ von $R$ invertierbar.

\textbf{Definition:} Sei $R$ ein (nicht notwendigerweise kommutativer) Ring.
Das \textit{Jacobson-Radikal} von $R$ wird definiert als eine der elf
Teilmengen von $R$, die in Satz 6.1 genannt wurden (und laut Satz 6.1
identisch sind). Wir bezeichnen das Jacobson-Radikal von $R$ mit
$\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $.

Somit ist%
\begin{align}
&  \operatorname*{Ra}\left(  R\right) \nonumber\\
&  =\left(  \text{Jacobson-Radikal von }R\right) \tag{I.6.1}\\
&  =\left(  \text{die Schnittmenge aller maximalen Rechtsideale von }R\right)
\tag{I.6.2}\\
&  =\left(  \text{die Schnittmenge aller maximalen Linksideale von }R\right)
\tag{I.6.3}\\
&  =\left\{  r\in R\ \mid\ \text{f\"{u}r jeden einfachen }R\text{-Rechtsmodul
}M\text{ ist }Mr=0\right\} \tag{I.6.4}\\
&  =\left\{  r\in R\ \mid\ \text{f\"{u}r jeden einfachen }R\text{-Linksmodul
}M\text{ ist }rM=0\right\} \tag{I.6.5}\\
&  =\left\{  r\in R\ \mid\ \text{f\"{u}r alle }s\in R\text{ ist das Element
}1-rs\text{ von }R\text{ invertierbar}\right\} \tag{I.6.6}\\
&  =\left\{  r\in R\ \mid\ \text{f\"{u}r alle }s\in R\text{ ist das Element
}1-sr\text{ von }R\text{ invertierbar}\right\} \tag{I.6.7}\\
&  =\left\{  r\in R\ \mid\ \text{f\"{u}r jedes Rechtsideal }I\text{ von
}R\text{ mit }I+rR=R\text{ gilt }I=R\right\} \nonumber\\
&  =\left\{  r\in R\ \mid\ \text{f\"{u}r jedes Linksideal }I\text{ von
}R\text{ mit }I+Rr=R\text{ gilt }I=R\right\} \nonumber\\
&  =\left\{  r\in R\ \mid\ \text{f\"{u}r jeden endlich erzeugten
}R\text{-Rechtsmodul }M\text{ mit }MrR=M\text{ ist }M=0\right\} \nonumber\\
&  =\left\{  r\in R\ \mid\ \text{f\"{u}r jeden endlich erzeugten
}R\text{-Linksmodul }M\text{ mit }RrM=M\text{ ist }M=0\right\} \nonumber\\
&  =\left\{  r\in R\ \mid\ \text{f\"{u}r alle }s\in R\text{ und }t\in R\text{
ist das Element }1-srt\text{ von }R\text{ invertierbar}\right\}  .\nonumber
\end{align}


In jedem guten Algebratext werden zumindest Teile von Satz 6.1 bewiesen. Wir
wollen diesen Satz komplett beweisen, und dabei m\"{o}glichst konstruktiv
vorgehen. Gewisse Teile von Satz 6.1 kann man konstruktiv nicht beweisen, weil
sie das Auswahlaxiom und das Tertium Non Datur verwenden (was man am Vorkommen
von maximalen Idealen erkennt), doch die Gleichheit der Mengen \textbf{a')},
\textbf{b')}, \textbf{c')}, \textbf{d')}, \textbf{e)}, \textbf{f)} und
\textbf{g)} werden wir v\"{o}llig konstruktiv zeigen.

\textit{Beweis von Satz 6.1:} Wir definieren Mengen $A$, $B$, $C$, $D$, $E$,
$F$, $A^{\prime}$, $B^{\prime}$, $C^{\prime}$, $D^{\prime}$ und $G$ durch
\begin{align*}
A  &  =\left(  \text{die Schnittmenge aller maximalen Rechtsideale von
}R\right)  ;\\
B  &  =\left(  \text{die Schnittmenge aller maximalen Linksideale von
}R\right)  ;\\
C  &  =\left\{  r\in R\ \mid\ \text{f\"{u}r jeden einfachen }%
R\text{-Rechtsmodul }M\text{ ist }Mr=0\right\}  ;\\
D  &  =\left\{  r\in R\ \mid\ \text{f\"{u}r jeden einfachen }%
R\text{-Linksmodul }M\text{ ist }rM=0\right\}  ;\\
E  &  =\left\{  r\in R\ \mid\ \text{f\"{u}r alle }s\in R\text{ ist das Element
}1-rs\text{ von }R\text{ invertierbar}\right\}  ;\\
F  &  =\left\{  r\in R\ \mid\ \text{f\"{u}r alle }s\in R\text{ ist das Element
}1-sr\text{ von }R\text{ invertierbar}\right\}  ;\\
A^{\prime}  &  =\left\{  r\in R\ \mid\ \text{f\"{u}r jedes Rechtsideal
}I\text{ von }R\text{ mit }I+rR=R\text{ gilt }I=R\right\}  ;\\
B^{\prime}  &  =\left\{  r\in R\ \mid\ \text{f\"{u}r jedes Linksideal }I\text{
von }R\text{ mit }I+Rr=R\text{ gilt }I=R\right\}  ;\\
C^{\prime}  &  =\left\{  r\in R\ \mid\ \text{f\"{u}r jeden endlich erzeugten
}R\text{-Rechtsmodul }M\text{ mit }MrR=M\text{ ist }M=0\right\}  ;\\
D^{\prime}  &  =\left\{  r\in R\ \mid\ \text{f\"{u}r jeden endlich erzeugten
}R\text{-Linksmodul }M\text{ mit }RrM=M\text{ ist }M=0\right\}  ;\\
G  &  =\left\{  r\in R\ \mid\ \text{f\"{u}r alle }s\in R\text{ und }t\in
R\text{ ist das Element }1-srt\text{ von }R\text{ invertierbar}\right\}  .
\end{align*}
Die Aussage von Satz 6.1 besteht dann darin, da\ss \ $A=B=C=D=A^{\prime
}=B^{\prime}=C^{\prime}=D^{\prime}=E=F=G$ gilt. Um Satz 6.1 zu beweisen,
m\"{u}ssen wir also nachpr\"{u}fen, da\ss \ $A=B=C=D=A^{\prime}=B^{\prime
}=C^{\prime}=D^{\prime}=E=F=G$ gilt. Dies erledigen wir in vielen kleinen Schritten:

\textit{Beweis von }$E\subseteq F$\textit{:} Sei $r\in E$ beliebig. Nach der
Definition von $E$ gilt dann: F\"{u}r alle $s\in R$ ist das Element $1-rs$ von
$R$ invertierbar (denn $r\in E$). Sei $s\in R$ beliebig. Das Element $1-rs$
von $R$ ist also invertierbar; sei $x$ das Inverse. Dann ist $\left(
1-rs\right)  x=x\left(  1-rs\right)  =1$.

Nun ist%
\[
\left(  1-sr\right)  \left(  1+sxr\right)  =1-sr+\underbrace{sxr-srsxr}%
_{=s\left(  1-rs\right)  xr}=1-sr+s\underbrace{\left(  1-rs\right)  x}%
_{=1}r=1-sr+sr=1
\]
und%
\[
\left(  1+sxr\right)  \left(  1-sr\right)  =1-sr+\underbrace{sxr-sxrsr}%
_{=sx\left(  1-rs\right)  r}=1-sr+s\underbrace{x\left(  1-rs\right)  }%
_{=1}r=1-sr+sr=1.
\]
Somit ist das Element $1-sr$ von $R$ invertierbar (und zwar ist sein Inverses
$1+sxr$).

Wir haben also gezeigt: F\"{u}r alle $s\in R$ ist das Element $1-sr$ von $R$
invertierbar. Gem\"{a}\ss \ der Definition von $F$ bedeutet dies,
da\ss \ $r\in F$ ist.

Damit haben wir bewiesen: F\"{u}r jedes $r\in E$ ist $r\in F$. Das hei\ss t,
$E\subseteq F$.

\textit{Beweis von }$F\subseteq E$\textit{:} Die Aussage $F\subseteq E$ ist
nichts anderes als die Aussage $E\subseteq F$, angewandt auf den Ring
$R^{\operatorname*{op}}$ statt dem Ring $R$.

\textit{Beweis von }$E\subseteq G$\textit{:} Sei $r\in E$ beliebig. Sei $t\in
R$ beliebig.

Nach der Definition von $E$ ist f\"{u}r alle $s\in R$ das Element $1-rs$ von
$R$ invertierbar (denn $r\in E$). Wenden wir dies auf $ts$ statt $s$ an, so
erhalten wir: F\"{u}r alle $s\in R$ ist das Element $1-rts$ von $R$
invertierbar. Das hei\ss t, $rt\in E$ (wiederum nach der Definition von $E$).
Wegen $E\subseteq F$ ist also $rt\in F$. Nach der Definition von $F$ bedeutet
dies: F\"{u}r alle $s\in R$ ist das Element $1-srt$ von $R$ invertierbar. Da
wir dies f\"{u}r alle $t\in R$ gezeigt haben, erhalten wir hieraus: F\"{u}r
alle $s\in R$ und $t\in R$ ist das Element $1-srt$ von $R$ invertierbar. Nach
der Definition von $G$ bedeutet dies aber genau, da\ss \ $r\in G$ ist.

Wir haben damit bewiesen, da\ss \ $r\in G$ f\"{u}r jedes $r\in E$ gilt. Also
ist $E\subseteq G$ gezeigt.

\textit{Beweis von }$G\subseteq F$\textit{:} Sei $r\in G$ beliebig. Nach der
Definition von $G$ folgt hieraus: F\"{u}r alle $s\in R$ und $t\in R$ ist das
Element $1-srt$ von $R$ invertierbar. Angewandt auf $t=1$ bedeutet dies:
F\"{u}r alle $s\in R$ ist das Element $1-sr$ von $R$ invertierbar. Doch dies
bedeutet genau, da\ss \ $r\in F$ ist (nach der Definition von $F$). Da wir
dies f\"{u}r jedes $r\in G$ gezeigt haben, ist also $G\subseteq F$.

\textit{Beweis von }$E=F=G$\textit{:} Wir haben nun gezeigt,
da\ss \ $E\subseteq F$ und $F\subseteq E$ ist. Hieraus folgt $E=F$.\ Wir haben
ferner gezeigt, da\ss \ $E\subseteq G$ und $G\subseteq F$ ist. Wegen $E=F$
wird dies zu $F\subseteq G$ und $G\subseteq F$. Das hei\ss t, $F=G$. Insgesamt
wissen wir jetzt also, da\ss \ $E=F=G$ gilt.

\textit{Beweis, da\ss \ }$E$ \textit{ein Rechtsideal ist:} Wir wollen jetzt
zeigen, da\ss \ $E$ ein Rechtsideal von $R$ ist.

In der Tat gilt:

\begin{itemize}
\item F\"{u}r alle $r\in E$ und alle $t\in R$ ist $rt\in E$%
.\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Aus $r\in E$ folgt: F\"{u}r alle $s\in R$
ist das Element $1-rs$ von $R$ invertierbar (laut der Definition von $E$).
Wenden wir dies auf $ts$ statt $s$ an, so erhalten wir: F\"{u}r alle $s\in R$
ist das Element $1-rts$ von $R$ invertierbar. Nach der Definition von $E$
bedeutet dies aber genau, da\ss \ $rt\in E$ ist.}

\item F\"{u}r alle $r\in E$ und alle $r^{\prime}\in E$ ist $r+r^{\prime}\in
E$.\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Aus $r\in E$ folgt, da\ss \ f\"{u}r alle
$s\in R$ das Element $1-rs$ von $R$ invertierbar ist (laut der Definition von
$E$). Sei $x_{s}\in R$ das Inverse von $1-rs$. Dann ist $\left(  1-rs\right)
x_{s}=x_{s}\left(  1-rs\right)  =1$.
\par
Aus $r^{\prime}\in E$ folgt, da\ss \ f\"{u}r alle $s\in R$ das Element
$1-r^{\prime}s$ von $R$ invertierbar ist (laut der Definition von $E$).
Angewandt auf $sx_{s}$ statt $s$ ergibt dies: F\"{u}r alle $s\in R$ ist das
Element $1-r^{\prime}sx_{s}$ von $R$ invertierbar. Bezeichnen wir mit
$y_{s}\in R$ das Inverse von $1-r^{\prime}sx_{s}$. Dann ist $\left(
1-r^{\prime}sx_{s}\right)  y_{s}=y_{s}\left(  1-r^{\prime}sx_{s}\right)  =1$.
\par
F\"{u}r jedes $s\in R$ gilt nun%
\[
\left(  \underbrace{1-\left(  r+r^{\prime}\right)  s}_{=\left(  1-rs\right)
-r^{\prime}s}\right)  x_{s}y_{s}=\left(  \left(  1-rs\right)  -r^{\prime
}s\right)  x_{s}y_{s}=\left(  \underbrace{\left(  1-rs\right)  x_{s}}%
_{=1}-r^{\prime}sx_{s}\right)  y_{s}=\left(  1-r^{\prime}sx_{s}\right)
y_{s}=1.
\]
Da $x_{s}y_{s}$ invertierbar ist (denn $x_{s}$ und $y_{s}$ sind invertierbar,
weil $\left(  1-rs\right)  x_{s}=x_{s}\left(  1-rs\right)  =1$ und $\left(
1-r^{\prime}sx_{s}\right)  y_{s}=y_{s}\left(  1-r^{\prime}sx_{s}\right)  =1$),
folgt hieraus, da\ss \ $1-\left(  r+r^{\prime}\right)  s$ das Inverse von
$x_{s}y_{s}$ ist. Folglich ist das Element $1-\left(  r+r^{\prime}\right)  s$
invertierbar (und zwar ist $x_{s}y_{s}$ sein Inverses) f\"{u}r jedes $s\in R$.
Nach der Definition von $E$ bedeutet dies aber nichts anderes, als
da\ss \ $r+r^{\prime}\in E$ gilt. Wir haben damit $r+r^{\prime}\in E$
bewiesen.}
\end{itemize}

Diese beiden Eigenschaften ergeben, da\ss \ $E$ ein Rechtsideal von $R$ ist.

\textit{Beweis, da\ss \ }$F$ \textit{ein Linksideal ist:} Wenden wir die
(bereits bewiesene) Tatsache, da\ss \ $E$ ein Rechtsideal von $R$ ist, auf den
Ring $R^{\operatorname*{op}}$ statt dem Ring $R$ an, so erhalten wir sehr
schnell, da\ss \ $F$ ein Linksideal von $R$ ist.

\textit{Beweis, da\ss \ }$F$ \textit{ein beidseitiges Ideal ist:} Da wir
wissen, da\ss \ $E$ ein Rechtsideal von $R$ ist, k\"{o}nnen wir aus $E=F$
folgern, da\ss \ $F$ ein Rechtsideal von $R$ ist. Andererseits wissen wir,
da\ss \ $F$ ein Linksideal von $R$ ist. Zusammengefasst ergibt dies,
da\ss \ $F$ ein beidseitiges Ideal von $R$ ist.

%Hier sind ein paar nicht mehr benötigte Beweisteile:
%\textit{Beweis von }$E\subseteq A^{\prime}$\textit{:} Sei $r\in E$ beliebig.
%Nach der Definition von $E$ ist dann f\"{u}r alle $s\in R$ ist das Element
%$1-rs$ von $R$ invertierbar (denn $r\in E$). Sei $I$ ein Rechtsideal von $R$
%mit $I+rR=R$. Wir werden nun zeigen, da\ss \ $I=R$ ist.
%In der Tat ist $1\in R=I+rR$. Somit gibt es ein $i\in I$ und ein $s\in R$ mit
%$1=i+rs$. Daher ist $i=1-rs$. Da $1-rs$ invertierbar ist, ist also $i$
%invertierbar, d. h. es gibt ein $n\in R$ mit $in=1$. Damit ist $1=in\in I$
%(denn $i\in I$, und $I$ ist ein Rechtsideal), und somit ist $I=R$.
%Wir haben also gezeigt: F\"{u}r jedes Rechtsideal $I$ von $R$ mit $I+rR=R$
%gilt $I=R$. Gem\"{a}\ss \ der Definition von $A^{\prime}$ bedeutet dies,
%da\ss \ $r\in A^{\prime}$ ist. Da wir dies f\"{u}r jedes $r\in E$ gezeigt
%haben, ist also $E\subseteq A^{\prime}$ bewiesen.
%\textit{Beweis von }$F\subseteq B^{\prime}$\textit{:} Die Aussage $F\subseteq
%B^{\prime}$ ist nichts anderes als die Aussage $E\subseteq A^{\prime}$,
%angewandt auf den Ring $R^{\operatorname*{op}}$ statt dem Ring $R$.


\textit{Beweis von }$F\subseteq C^{\prime}$\textit{:} Sei $r\in F$ beliebig.

Sei nun $M$ ein endlich erzeugter $R$-Rechtsmodul mit $MrR=M$. Wir wollen
zeigen, da\ss \ $M=0$ ist.

Aus $r\in F$ folgt $rR\subseteq F$ (denn $F$ ist ein Rechtsideal von $R$).
Somit ist $M=M\underbrace{rR}_{\subseteq F}\subseteq MF$. Zusammen mit
$MF\subseteq M$ (was klar ist, da $M$ ein $R$-Rechtsmodul ist) ergibt dies
$MF=M$.

Wir sind also in folgender Situation: Wir haben einen endlich erzeugten
$R$-Rechtsmodul $M$ mit $MF=M$. Wir wollen zeigen, da\ss \ $M=0$ ist.

Sei $\left(  e_{1},e_{2},...,e_{n}\right)  $ ein endliches Erzeugendensystem
des $R$-Rechtsmoduls $M$ (so ein Erzeugendensystem existiert, da $M$ endlich
erzeugt ist). Dann ist $M=e_{1}R+e_{2}R+...+e_{n}R$. Wir werden nun durch
vollst\"{a}ndige Induktion nach $i$ beweisen, da\ss \ $M=e_{1}R+e_{2}%
R+...+e_{n-i}R$ f\"{u}r alle $i\in\left\{  0,1,...,n\right\}  $ gilt.

\textit{Beweis von }$M=e_{1}R+e_{2}R+...+e_{n-i}R$\textit{ f\"{u}r alle }%
$i\in\left\{  0,1,...,n\right\}  $ \textit{durch vollst\"{a}ndige Induktion
nach }$i$\textit{:}

\textit{Induktionsanfang:} F\"{u}r $i=0$ ist $M=e_{1}R+e_{2}R+...+e_{n-i}R$
trivialerweise erf\"{u}llt (denn $M=e_{1}R+e_{2}R+...+e_{n}R$). Damit ist der
Induktionsanfang erledigt.

\textit{Induktionsschritt:} Sei $j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ beliebig.
Angenommen, $M=e_{1}R+e_{2}R+...+e_{n-i}R$ gelte f\"{u}r $i=j-1$. Wir
m\"{u}ssen dann beweisen, da\ss \ $M=e_{1}R+e_{2}R+...+e_{n-i}R$ auch f\"{u}r
$i=j$ gilt.

Sei $M^{\prime}=e_{1}R+e_{2}R+...+e_{n-j}R$.

Da $M=e_{1}R+e_{2}R+...+e_{n-i}R$ f\"{u}r $i=j-1$ ist, gilt%
\begin{align*}
M  &  =e_{1}R+e_{2}R+...+e_{n-\left(  j-1\right)  }R=e_{1}R+e_{2}%
R+...+e_{n-j+1}R\\
&  =\underbrace{\left(  e_{1}R+e_{2}R+...+e_{n-j}R\right)  }_{=M^{\prime}%
}+e_{n-j+1}R=M^{\prime}+e_{n-j+1}R,
\end{align*}
also%
\[
MF=\left(  M^{\prime}+e_{n-j+1}R\right)  F=\underbrace{M^{\prime}F}_{\subseteq
M^{\prime}}+e_{n-j+1}RF\subseteq M^{\prime}+e_{n-j+1}RF.
\]
Wegen $MF=M$ und $RF=F$ (letzteres weil $F$ ein Linksideal von $R$ ist)
vereinfacht sich dies zu $M\subseteq M^{\prime}+e_{n-j+1}F$.

Wegen $e_{n-j+1}\in M\subseteq M^{\prime}+e_{n-j+1}F$ gibt es nun ein $\rho\in
F$ mit $e_{n-j+1}\in M^{\prime}+e_{n-j+1}\rho$. Laut der Definition von $F$
gilt f\"{u}r dieses $\rho\in F$ also: F\"{u}r alle $s\in R$ ist das Element
$1-s\rho$ von $R$ invertierbar. Angewandt auf $s=1$ ergibt dies, da\ss \ das
Element $1-\rho$ von $R$ invertierbar ist. Sei $x\in R$ das Inverse von
$1-\rho$ (dieses $x$ existiert, denn, wie wir wissen, ist $1-\rho$
invertierbar). Dann ist $\left(  1-\rho\right)  x=1$.

Doch $e_{n-j+1}\left(  1-\rho\right)  =e_{n-j+1}-e_{n-j+1}\rho\in M^{\prime}$
(denn $e_{n-j+1}\in M^{\prime}+e_{n-j+1}\rho$). Also ist $e_{n-j+1}\left(
1-\rho\right)  x\in M^{\prime}$ (denn $M^{\prime}$ ist ein $R$-Rechtsmodul).
Wegen $e_{n-j+1}\underbrace{\left(  1-\rho\right)  x}_{=1}=e_{n-j+1}$ wird
dies zu $e_{n-j+1}\in M^{\prime}$. Folglich ist $e_{n-j+1}R\subseteq
M^{\prime}$ (denn $M^{\prime}$ ist ein $R$-Rechtsmodul), und damit wird
$M=M^{\prime}+e_{n-j+1}R$ zu $M\subseteq M^{\prime}+M^{\prime}=M^{\prime}$
(wieder weil $M^{\prime}$ ein $R$-Rechtsmodul ist). Wegen $M^{\prime}%
=e_{1}R+e_{2}R+...+e_{n-j}R$ bedeutet dies $M=e_{1}R+e_{2}R+...+e_{n-j}R$. Das
hei\ss t, $M=e_{1}R+e_{2}R+...+e_{n-i}R$ gilt f\"{u}r $i=j$. Damit ist der
Induktionsschritt komplett.

Wir haben also durch Induktion nach $i$ gezeigt, da\ss \ $M=e_{1}%
R+e_{2}R+...+e_{n-i}R$ f\"{u}r alle $i\in\left\{  0,1,...,n\right\}  $ gilt.
Angewandt auf $i=n$ ergibt dies $M=\left(  \text{leere Summe}\right)  =0$.

Damit ist gezeigt: F\"{u}r jeden endlich erzeugten $R$-Rechtsmodul $M$ mit
$MrR=M$ ist $M=0$. Nach der Definition von $C^{\prime}$ bedeutet dies nichts
anderes, als da\ss \ $r\in C^{\prime}$ gilt. Wir haben also gezeigt: F\"{u}r
jedes $r\in F$ ist $r\in C^{\prime}$. Damit ist $F\subseteq C^{\prime}$ bewiesen.

\textit{Beweis von }$E\subseteq D^{\prime}$\textit{:} Die Aussage $E\subseteq
D^{\prime}$ ist nichts anderes als die Aussage $F\subseteq C^{\prime}$,
angewandt auf den Ring $R^{\operatorname*{op}}$ statt dem Ring $R$.

\textit{Beweis von }$C^{\prime}\subseteq A^{\prime}$\textit{:} Sei $r\in
C^{\prime}$ beliebig gew\"{a}hlt. Laut der Definition von $C^{\prime}$
mu\ss \ dieses $r$ dann die Eigenschaft haben, da\ss \ $M=0$ f\"{u}r jeden
endlich erzeugten $R$-Rechtsmodul $M$ mit $MrR=M$ gilt.

Sei $I$ ein beliebiges Rechtsideal von $R$ mit $I+rR=R$. Dann ist $1\in
R=I+rR$. Das hei\ss t, es gibt ein $s\in R$ mit $1\in I+rs$. F\"{u}r dieses
$s$ gilt also $1-rs\in I$.

Sei $M$ der $R$-Rechtsmodul $R\diagup I$. Dann ist $M$ endlich erzeugt (und
zwar ist $\left(  \overline{1}\right)  $ ein Erzeugendensystem von $M$) und
erf\"{u}llt $MrR=M$.\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Sei $m\in M$. Dann ist
$m=\overline{\rho}$ f\"{u}r irgendein $\rho\in R$ (denn $M=R\diagup I$).
F\"{u}r dieses $\rho$ mu\ss \ dann $\rho-rs\rho=\left(  1-rs\right)  \rho\in
I$ gelten (denn $1-rs\in I$, und $I$ ist ein Rechtsideal), also $\rho\equiv
rs\rho\operatorname{mod}I$. In $R\diagup I=M$ gilt also $\overline{\rho
}=\overline{rs\rho}$. Wir haben also $m=\overline{\rho}=\overline{rs\rho
}=\overline{1rs\rho}=\underbrace{\overline{1}}_{\in M}\cdot r\underbrace{s\rho
}_{\in R}\in MrR$. Da dies f\"{u}r jedes $m\in M$ gilt, ist also $M\subseteq
MrR$. Da trivialerweise $MrR\subseteq M$ gilt, ist also $MrR=M$.} Wie wir
wissen, folgt hieraus $M=0$, also $R\diagup I=M=0$ und damit $I=R$.

Unser Element $r$ hat also folgende Eigenschaft: F\"{u}r jedes Rechtsideal $I$
von $R$ mit $I+rR=R$ gilt $I=R$. Also ist $r\in A^{\prime}$ (laut der
Definition von $A^{\prime}$).

Wir haben damit gezeigt, da\ss \ $r\in A^{\prime}$ f\"{u}r jedes $r\in
C^{\prime}$ gilt. Also ist $C^{\prime}\subseteq A^{\prime}$ bewiesen.

\textit{Beweis von }$D^{\prime}\subseteq B^{\prime}$\textit{:} Die Aussage
$D^{\prime}\subseteq B^{\prime}$ ist \"{a}quivalent zur Aussage $C^{\prime
}\subseteq A^{\prime}$, angewandt auf den Ring $R^{\operatorname*{op}}$ statt
dem Ring $R$.

\textit{Beweis von }$A^{\prime}\subseteq E$\textit{:} Sei $r\in A^{\prime}$
beliebig. Gem\"{a}\ss \ der Definition von $A^{\prime}$ bedeutet dies: F\"{u}r
jedes Rechtsideal $I$ von $R$ mit $I+rR=R$ gilt $I=R$.

Sei $s\in R$ beliebig.

Sei $I_{1}$ das Rechtsideal $\left(  1-rs\right)  R$ von $R$. Dann ist
$1=\underbrace{\left(  1-rs\right)  }_{\in I_{1}}+r\underbrace{s}_{\in R}\in
I_{1}+rR$, und somit ist $\rho=\underbrace{1}_{\in I_{1}+rR}\cdot\rho\in
I_{1}+rR$ f\"{u}r jedes $\rho\in R$ (weil $I_{1}+rR$ ein Rechtsideal von $R$
ist). Das hei\ss t, $I_{1}+rR=R$.

Wir wissen nun: F\"{u}r jedes Rechtsideal $I$ von $R$ mit $I+rR=R$ gilt $I=R$.
Wenden wir dies auf $I=I_{1}$ an, so erhalten wir $I_{1}=R$. Daraus folgt
$1\in R=I_{1}=\left(  1-rs\right)  R$. Somit gibt es ein $x\in R$ mit
$1=\left(  1-rs\right)  x$.

Sei $I_{2}$ das Rechtsideal $xR$ von $R$. Dann ist $1=\left(  1-rs\right)
x=\underbrace{x}_{\in I_{2}}-r\underbrace{sx}_{\in R}\in I_{2}+rR$, und somit
ist $\rho=\underbrace{1}_{\in I_{2}+rR}\cdot\rho\in I_{2}+rR$ f\"{u}r jedes
$\rho\in R$ (weil $I_{2}+rR$ ein Rechtsideal von $R$ ist). Das hei\ss t,
$I_{2}+rR=R$.

Wir wissen nun: F\"{u}r jedes Rechtsideal $I$ von $R$ mit $I+rR=R$ gilt $I=R$.
Wenden wir dies auf $I=I_{2}$ an, so erhalten wir $I_{2}=R$. Daraus folgt
$1\in R=I_{2}=xR$. Somit gibt es ein $y\in R$ mit $1=xy$.

Nun ist $\underbrace{\left(  1-rs\right)  x}_{=1}y=y$ und $\left(
1-rs\right)  \underbrace{xy}_{=1}=1-rs$, also $y=\left(  1-rs\right)
xy=1-rs$. Aus $1=xy$ wird also $1=x\left(  1-rs\right)  $. Zusammen mit
$\left(  1-rs\right)  x=1$ ergibt dies, da\ss \ das Element $1-rs$
invertierbar ist (sein Inverses ist $x$).

Wir haben damit gezeigt: F\"{u}r jedes $s\in R$ ist das Element $1-rs$ von $R$
invertierbar. Laut der Definition von $E$ bedeutet dies, da\ss \ $r\in E$ ist.

Wir haben also nachgewiesen, da\ss \ $r\in E$ f\"{u}r jedes $r\in A^{\prime}$
gilt. Also ist $A^{\prime}\subseteq E$.

\textit{Beweis von }$B^{\prime}\subseteq F$\textit{:} Die Aussage $B^{\prime
}\subseteq F$ ist \"{a}quivalent zur Aussage $A^{\prime}\subseteq E$,
angewandt auf den Ring $R^{\operatorname*{op}}$ statt dem Ring $R$.

\textit{Beweis von }$A^{\prime}=B^{\prime}=C^{\prime}=D^{\prime}%
=E=F=G$\textit{:} Wir wissen nun insgesamt, da\ss \ $E=F=G$, $F\subseteq
C^{\prime}$, $E\subseteq D^{\prime}$, $C^{\prime}\subseteq A^{\prime}$,
$D^{\prime}\subseteq B^{\prime}$, $A^{\prime}\subseteq E$ und $B^{\prime
}\subseteq F$ ist. Also haben wir $F\subseteq C^{\prime}\subseteq A^{\prime
}\subseteq E\subseteq D^{\prime}\subseteq B^{\prime}\subseteq F$. Aus dieser
Kette von Inklusionen folgt $F=C^{\prime}=A^{\prime}=E=D^{\prime}=B^{\prime
}=F$. Zusammen mit $E=F=G$ f\"{u}hrt dies auf $A^{\prime}=B^{\prime}%
=C^{\prime}=D^{\prime}=E=F=G$.

Jetzt m\"{u}ssen wir nur noch $A=A^{\prime}$, $B=B^{\prime}$, $C=C^{\prime}$
und $D=D^{\prime}$ beweisen. Im Gegensatz zu $A^{\prime}=B^{\prime}=C^{\prime
}=D^{\prime}=E=F=G$ lassen sich diese Identit\"{a}ten nicht mehr konstruktiv beweisen.

\textit{Beweis von }$A^{\prime}\subseteq A$\textit{:} Sei $r\in A^{\prime}$
beliebig. F\"{u}r jedes Rechtsideal $I$ von $R$ mit $I+rR=R$ gilt dann $I=R$
(nach der Definition von $A^{\prime}$).

Sei nun $I$ ein maximales Rechtsideal von $R$. Das Rechtsideal $I+rR$ des
Rings $R$ enth\"{a}lt das Rechtsideal $I$, und mu\ss \ folglich entweder
$I+rR=I$ oder $I+rR=R$ erf\"{u}llen (denn $I$ ist ein maximales Ideal). Da
$I+rR=R$ nicht m\"{o}glich ist (denn w\"{a}re $I+rR=R$, dann w\"{u}rde $I=R$
folgen, im Widerspruch dazu, da\ss \ $I$ ein maximales Ideal von $R$ ist),
mu\ss \ also $I+rR=I$ gelten. Hieraus folgt $r\in rR\subseteq I+rR=I$.

Wir haben damit gezeigt: $r\in I$ f\"{u}r jedes maximale Rechtsideal $I$ von
$R$. Somit liegt das Element $r$ in der Schnittmenge aller maximalen
Rechtsideale von $R$. Mit anderen Worten: $r\in A$ (denn die Schnittmenge
aller maximalen Rechtsideale von $R$ ist $A$).

Da wir dies f\"{u}r jedes $r\in A^{\prime}$ gezeigt haben, ist also
$A^{\prime}\subseteq A$ bewiesen.

\textit{Beweis von }$A\subseteq A^{\prime}$\textit{:} Sei $r\in A$ beliebig.
Da $A$ die Schnittmenge aller maximalen Rechtsideale von $R$ ist, liegt also
$r$ in der Schnittmenge aller maximalen Rechtsideale von $R$. Das hei\ss t,
$r$ liegt in jedem maximalen Rechtsideal von $R$.

Sei nun $I$ ein Rechtsideal von $R$ mit $I+rR=R$. Angenommen, $I\neq R$. Dann
gibt es ein maximales Rechtsideal von $R$, das das Rechtsideal $I$
enth\"{a}lt\footnote{Dies kann man mithilfe des Zornschen Lemmas beweisen
(genauso wie man in der Kommutativen Algebra beweist, da\ss \ f\"{u}r jeden
kommutativen Ring $K$ und jedes von $K$ verschiedene Ideal $\mathfrak{a}$ des
Ringes $K$ ein maximales Ideal von $K$ existiert, welches $\mathfrak{a}$
enth\"{a}lt).}. Sei $J$ ein solches maximales Rechtsideal. Dann ist $r\in J$
(denn $r$ liegt in jedem maximalen Rechtsideal von $R$), also $rR\subseteq J$
(denn $J$ ist ein Rechtsideal), und somit $R=\underbrace{I}_{\subseteq
J}+\underbrace{rR}_{\subseteq J}\subseteq J+J=J$ (denn $J$ ist ein
Rechtsideal), im Widerspruch dazu, da\ss \ $J$ ein maximales Rechtsideal von
$R$ ist. Dieser Widerspruch zeigt, da\ss \ unsere Annahme $I\neq R$ falsch
war. Es mu\ss \ also $I=R$ gelten.

Wir haben damit gezeigt: F\"{u}r jedes Rechtsideal $I$ von $R$ mit $I+rR=R$
gilt $I=R$. Mit anderen Worten: $r\in A^{\prime}$ (denn so wurde die Menge
$A^{\prime}$ definiert).

Da wir dies f\"{u}r alle $r\in A$ gezeigt haben, ist damit $A\subseteq
A^{\prime}$ bewiesen.

\textit{Beweis von }$A=A^{\prime}$\textit{:} Wir wissen nun,
da\ss \ $A\subseteq A^{\prime}$ und $A^{\prime}\subseteq A$ ist. Also ist
$A=A^{\prime}$.

\textit{Beweis von }$B=B^{\prime}$\textit{:} Die Aussage $B=B^{\prime}$ ist
\"{a}quivalent zur Aussage $A=A^{\prime}$, angewandt auf den Ring
$R^{\operatorname*{op}}$ statt dem Ring $R$.

\textit{Beweis von }$C^{\prime}\subseteq C$\textit{:} Sei $r\in C^{\prime}$
beliebig. F\"{u}r jeden endlich erzeugten $R$-Rechtsmodul $M$ mit $MrR=M$ ist
dann $M=0$ (gem\"{a}\ss \ der Definition von $C^{\prime}$).

Sei nun $M$ ein einfacher $R$-Rechtsmodul. Dann gibt es ein $m\in M$ mit
$m\neq0$. F\"{u}r dieses $m$ ist $mR$ ein Untermodul von $M$, und
mu\ss \ somit $mR=0$ oder $mR=M$ erf\"{u}llen (denn $M$ ist ein einfacher
$R$-Rechtsmodul). Doch da $mR=0$ unm\"{o}glich ist (da $m\neq0$), ist also
$mR=M$, und somit ist der Modul $M$ endlich erzeugt (n\"{a}mlich ist $\left(
m\right)  $ ein Erzeugendensystem von $M$).

Nun ist $MrR$ ein Untermodul von $M$, und mu\ss \ somit $MrR=0$ oder $MrR=M$
erf\"{u}llen (denn $M$ ist ein einfacher $R$-Rechtsmodul). Da $MrR=M$ nicht
gelten kann (denn aus $MrR=M$ w\"{u}rde $M=0$ folgen, im Widerspruch dazu,
da\ss \ $M$ einfach ist), mu\ss \ also $MrR=0$ sein. Daher ist $Mr\subseteq
MrR=0$, also $Mr=0$.

Wir haben damit gezeigt: F\"{u}r jeden einfachen $R$-Rechtsmodul $M$ ist
$Mr=0$. Das hei\ss t, $r\in C$ (nach der Definition von $C$).

Nunmehr wissen wir, da\ss \ $r\in C$ f\"{u}r alle $r\in C^{\prime}$ gilt. Also
ist $C^{\prime}\subseteq C$.

\textit{Beweis von }$C\subseteq A$\textit{:} Sei $r\in C$ willk\"{u}rlich
gew\"{a}hlt. Nach der Definition von $C$ ist dann $Mr=0$ f\"{u}r jeden
einfachen $R$-Rechtsmodul $M$.

Sei nun $I$ ein maximales Rechtsideal von $R$. Wir wollen dann zeigen,
da\ss \ $r\in I$ ist.

Sei $M$ der $R$-Rechtsmodul $R\diagup I$. Dann ist $M$
einfach.\footnote{\textit{Beweis:} Sei $N$ ein $R$-Untermodul von $M$ mit
$N\neq0$. Sei $\pi:R\rightarrow R\diagup I$ die kanonische Projektion von $R$
auf $R\diagup I$. Dann ist $\pi$ ein $R$-Rechtsmodulhomomorphismus, und somit
ist $\pi^{-1}\left(  N\right)  $ ein $R$-Untermodul von $R$ (da $N$ ein
$R$-Untermodul von $M$ ist), also ein Rechtsideal von $R$. Wegen
$I=\operatorname*{Ker}\pi\subseteq\pi^{-1}\left(  N\right)  $ mu\ss \ also
$\pi^{-1}\left(  N\right)  =I$ oder $\pi^{-1}\left(  N\right)  =R$ gelten
(denn $I$ ist ein maximales Rechtsideal von $R$). Da aber $\pi^{-1}\left(
N\right)  =I$ unm\"{o}glich ist (denn w\"{a}re $\pi^{-1}\left(  N\right)  =I$,
dann w\"{a}re $N=\pi\left(  I\right)  $ (weil $\pi$ surjektiv ist) und somit
$N=0$ (denn $\pi\left(  I\right)  =0$) im Widerspruch zu $N\neq0$),
mu\ss \ also $\pi^{-1}\left(  N\right)  =R$ gelten. Daraus folgt $\pi\left(
R\right)  \subseteq N$, also $M\subseteq N$ (denn $M=R\diagup I=\pi\left(
R\right)  $) und damit $N=M$ (denn $N\subseteq M$).
\par
Wir haben damit gezeigt: F\"{u}r jeden $R$-Untermodul $N$ von $M$ mit $N\neq0$
gilt $N=M$. Mit anderen Worten: F\"{u}r jeden $R$-Untermodul $N$ von $M$ gilt
$N=0$ oder $N=M$. Das hei\ss t, $M$ ist ein einfacher $R$-Rechtsmodul.} Somit
ist $Mr=0$. Folglich gilt $\overline{1}r=0$, wobei $\overline{1}$ die
Restklasse von $1\in R$ modulo dem Ideal $I$ bezeichnet. Das hei\ss t,
$0=\overline{1}r=\overline{r}$ in $R\diagup I$, also $0\equiv
r\operatorname{mod}I$. Mit anderen Worten: $r\in I$.

Wir haben also gezeigt: F\"{u}r jedes maximale Rechtsideal $I$ von $R$ gilt
$r\in I$. Das hei\ss t, das Element $r$ liegt in der Schnittmenge aller
maximalen Rechtsideale von $R$. Mit anderen Worten: $r\in A$ (denn die
Schnittmenge aller maximalen Rechtsideale von $R$ ist $A$).

Da wir dies f\"{u}r jedes $r\in C$ gezeigt haben, ist also $C\subseteq A$ bewiesen.

\textit{Beweis von }$C=C^{\prime}$\textit{:} Aus $C\subseteq A$, $A=A^{\prime
}$ und $A^{\prime}=C^{\prime}$ folgt $C\subseteq C^{\prime}$. Zusammen mit
$C^{\prime}\subseteq C$ f\"{u}hrt dies auf $C=C^{\prime}$.

\textit{Beweis von }$D=D^{\prime}$\textit{:} Die Aussage $D=D^{\prime}$ ist
\"{a}quivalent zur Aussage $C=C^{\prime}$, angewandt auf den Ring
$R^{\operatorname*{op}}$ statt dem Ring $R$.

\textit{Beweis von }$A=B=C=D=A^{\prime}=B^{\prime}=C^{\prime}=D^{\prime
}=E=F=G$\textit{:} Insgesamt haben wir nun bewiesen, da\ss \ $A^{\prime
}=B^{\prime}=C^{\prime}=D^{\prime}=E=F=G$, $A=A^{\prime}$, $B=B^{\prime}$,
$C=C^{\prime}$ und $D=D^{\prime}$ gilt. Wenn wir diese Gleichheiten
zusammenf\"{u}hren, erhalten wir $A=B=C=D=A^{\prime}=B^{\prime}=C^{\prime
}=D^{\prime}=E=F=G$. Damit ist Satz 6.1 bewiesen.

Nun einige weitere Eigenschaften von $\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $:

\textbf{6.2. Bemerkung:} Sei $R$ ein Ring.

\textbf{a)} Dann ist $\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $ ein beidseitiges
Ideal von $R$, und $R\diagup\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $ ist ein
Faktorring von $R$.

\textbf{b)} Dieser Faktorring erf\"{u}llt $\operatorname*{Ra}\left(
R\diagup\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  \right)  =0$.

\textbf{c)} F\"{u}r jedes $n\in\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $ ist das
Element $1-n$ von $R$ invertierbar.

\textit{Beweis von Bemerkung 6.2:} \textbf{a)} \textit{Erster Beweis von
Bemerkung 6.2 \textbf{a)}:} Nach (I.6.2) ist $\operatorname*{Ra}\left(
R\right)  $ ist die Schnittmenge aller maximalen Rechtsideale von $R$. Somit
ist $\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $ ein Rechtsideal von $R$ (denn die
Schnittmenge von Rechtsidealen ist stets ein Rechtsideal). Analog ist
$\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $ ein Linksideal von $R$. Folglich ist
$\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $ ein beidseitiges Ideal von $R$, und
somit ist $R\diagup\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $ ein Faktorring von
$R$.

\textit{Zweiter Beweis von Bemerkung 6.2 \textbf{a)}:} Im Beweis von Satz 6.1
wurde gezeigt, da\ss \ $F$ ein beidseitiges Ideal von $R$ ist, wobei $F$ die
Menge $F$ ist, die in jenem Beweis eingef\"{u}hrt wurde. Wie wir (aus der
Definition von $\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $) wissen, ist diese Menge
$F$ gleich $\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $. Somit ist
$\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $ ein beidseitiges Ideal von $R$, und
daher ist $R\diagup\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $ ein Faktorring von
$R$.

\textbf{c)} Wir haben%
\[
n\in\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  =\left\{  r\in R\ \mid\ \text{f\"{u}r
alle }s\in R\text{ ist das Element }1-sr\text{ von }R\text{ invertierbar}%
\right\}
\]
(nach (I.6.7)). Somit ist f\"{u}r alle $s\in R$ das Element $1-sn$ von $R$
invertierbar. Angewandt auf $s=1$ ergibt dies, da\ss \ das Element $1-n$ von
$R$ invertierbar ist. Bemerkung 6.2 \textbf{c)} ist also gezeigt.

\textbf{b)} Sei $J=\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $. Da $J$ ein Ideal von
$R$ ist, ist $R\diagup J$ ein Ring.

Sei $t\in\operatorname*{Ra}\left(  R\diagup J\right)  $. Dann gibt es
nat\"{u}rlich ein $\rho\in R$ mit $\overline{\rho}=t$ (wobei $\overline{r}$
die Restklasse von $r$ modulo dem Ideal $J$ bezeichnet). Nun ist aber
\begin{align*}
t  &  \in\operatorname*{Ra}\left(  R\diagup J\right) \\
&  =\left\{  r\in R\diagup J\ \mid\ \text{f\"{u}r alle }s\in R\diagup J\text{
ist das Element }1-sr\text{ von }R\diagup J\text{ invertierbar}\right\}
\end{align*}
(nach (I.6.7), angewandt auf $R\diagup J$ statt $R$), und somit ist f\"{u}r
alle $u\in R\diagup J$ das Element $1-tu$ von $R\diagup J$ invertierbar.

Wir werden nun beweisen, da\ss \ f\"{u}r alle $s\in R$ das Element $1-\rho s$
von $R$ invertierbar ist. Dazu sei $s\in R$ beliebig gew\"{a}hlt. Sei
$u=\overline{s}$. Dann ist das Element $1-tu$ von $R\diagup J$ invertierbar,
d. h. es gibt ein $p\in R\diagup J$ mit $\left(  1-tu\right)  p=p\left(
1-tu\right)  =1$ in $R\diagup J$. Offensichtlich existiert ein $q\in R$ mit
$p=\overline{q}$. Wir haben nun $t=\overline{\rho}$, $u=\overline{s}$ und
$p=\overline{q}$. Damit ist $\left(  1-tu\right)  p=\left(  1-\overline{\rho
}\overline{s}\right)  \overline{q}=\overline{\left(  1-\rho s\right)  q}$ und
$p\left(  1-tu\right)  =\overline{q}\left(  1-\overline{\rho}\overline
{s}\right)  =\overline{q\left(  1-\rho s\right)  }.$ Somit wird $\left(
1-tu\right)  p=p\left(  1-tu\right)  =1$ zu $\overline{\left(  1-\rho
s\right)  q}=\overline{q\left(  1-\rho s\right)  }=1$. Das bedeutet: $\left(
1-\rho s\right)  q\equiv q\left(  1-\rho s\right)  \equiv1\operatorname{mod}%
J$. Folglich ist $1-\left(  1-\rho s\right)  q\in J$ und $1-q\left(  1-\rho
s\right)  \in J$.

Anwendung von 6.2 \textbf{c)} auf $n=1-\left(  1-\rho s\right)  q$ ergibt,
da\ss \ das Element $1-\left(  1-\left(  1-\rho s\right)  q\right)  $ von $R$
invertierbar ist (denn $1-\left(  1-\rho s\right)  q\in J=\operatorname{Ra}%
\left(  R\right)  $). Wegen $1-\left(  1-\left(  1-\rho s\right)  q\right)
=\left(  1-\rho s\right)  q$ bedeutet dies, da\ss \ $\left(  1-\rho s\right)
q$ invertierbar ist. Es gibt also ein $v\in R$ mit $\left(  1-\rho s\right)
qv=1$. Daher hat das Element $1-\rho s$ ein Rechtsinverses (n\"{a}mlich $qv$).

Anwendung von 6.2 \textbf{c)} auf $n=1-q\left(  1-\rho s\right)  $ ergibt,
da\ss \ das Element $1-\left(  1-q\left(  1-\rho s\right)  \right)  $ von $R$
invertierbar ist (denn $1-q\left(  1-\rho s\right)  \in J=\operatorname{Ra}%
\left(  R\right)  $). Wegen $1-\left(  1-q\left(  1-\rho s\right)  \right)
=q\left(  1-\rho s\right)  $ bedeutet dies, da\ss \ $q\left(  1-\rho s\right)
$ invertierbar ist. Es gibt also ein $w\in R$ mit $wq\left(  1-\rho s\right)
=1$. Daher hat das Element $1-\rho s$ ein Linksinverses (n\"{a}mlich $wq$).

Das Element $1-\rho s$ hat also sowohl ein Rechtsinverses, als auch ein
Linksinverses. Folglich ist dieses Element $1-\rho s$ in $R$ invertierbar. Da
dies f\"{u}r alle $s\in R$ gilt, haben wir also:%
\[
\rho\in\left\{  r\in R\ \mid\ \text{f\"{u}r alle }s\in R\text{ ist das Element
}1-rs\text{ von }R\text{ invertierbar}\right\}  =\operatorname*{Ra}\left(
R\right)
\]
(nach (I.6.6)). Daher ist $t=\overline{\rho}=0$ (da $\rho\in\operatorname*{Ra}%
\left(  R\right)  =J$). F\"{u}r jedes $t\in\operatorname*{Ra}\left(  R\diagup
J\right)  $ haben wir also gezeigt, da\ss \ $t=0$ ist. Damit ist
$\operatorname*{Ra}\left(  R\diagup J\right)  =0$. Wegen $J=\operatorname*{Ra}%
\left(  R\right)  $ wird dies zu $\operatorname*{Ra}\left(  R\diagup
\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  \right)  =0$. Bemerkung 6.2 \textbf{b)}
ist damit bewiesen.

Nun eine Definition:

\textbf{Definition:} \textbf{1)} Ein (nicht notwendigerweise kommutativer)
Ring $R$ hei\ss t \textit{linksartinsch}, wenn er folgendes Axiom erf\"{u}llt:
F\"{u}r jede Familie $\left(  I_{n}\right)  _{n\geq0}$ von Linksidealen
$I_{n}$ von $R$, die $I_{0}\supseteq I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq...$
erf\"{u}llt, gibt es ein $n\in\mathbb{N}$ mit $I_{n}=I_{n+1}$.

\textbf{2)} Ein (nicht notwendigerweise kommutativer) Ring $R$ hei\ss t
\textit{rechtsartinsch}, wenn er folgendes Axiom erf\"{u}llt: F\"{u}r jede
Familie $\left(  J_{n}\right)  _{n\geq0}$ von Rechtsidealen $J_{n}$ von $R$,
die $J_{0}\supseteq J_{1}\supseteq J_{2}\supseteq...$ erf\"{u}llt, gibt es ein
$n\in\mathbb{N}$ mit $J_{n}=J_{n+1}$.

\textbf{3)} Ein (nicht notwendigerweise kommutativer) Ring $R$ hei\ss t
\textit{artinsch}, wenn er linksartinsch und rechtsartinsch ist.

Es ist offensichtlich, da\ss \ f\"{u}r jeden K\"{o}rper $k$ jede
endlichdimensionale $k$-Algebra artinsch ist\footnote{\textit{Beweis:} Dies
folgt aus den folgenden zwei offensichtlichen Tatsachen:
\par
\begin{itemize}
\item Jedes Linksideal und jedes Rechtsideal einer endlichdimensionalen
$k$-Algebra ist stets ein Untervektorraum dieser Algebra.
\par
\item F\"{u}r jede Familie $\left(  U_{n}\right)  _{n\geq0}$ von
Untervektorr\"{a}umen einer endlichdimensionalen $k$-Algebra, die
$U_{0}\supseteq U_{1}\supseteq U_{2}\supseteq...$ erf\"{u}llt, gibt es ein
$n\in\mathbb{N}$ mit $U_{n}=U_{n+1}$.
\end{itemize}
}. Aber es gibt auch viele artinsche Ringe, die keine endlichdimensionalen
Vektorr\"{a}ume \"{u}ber K\"{o}rpern sind (z. B. alle endlichen Ringe).

Nun formulieren wir den \textbf{Satz von Artin-Wedderburn}, oder zumindest
eine Version von diesem Satz (es gibt auch eine Reihe von anderen, teilweise
st\"{a}rkeren Versionen):

\textbf{6.3. Satz (Artin-Wedderburn):} Sei $R$ ein artinscher Ring. Dann gibt
es ein $r\in\mathbb{N}$ sowie $r$ Schiefk\"{o}rper $D_{1}$, $D_{2}$, $...$,
$D_{r}$ und $r$ positive ganze Zahlen $n_{1}$, $n_{2}$, $...$, $n_{r}$, die%
\[
R\diagup\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  \cong\operatorname*{M}%
\nolimits_{n_{1}}\left(  D_{1}\right)  \times\operatorname*{M}\nolimits_{n_{2}%
}\left(  D_{2}\right)  \times...\times\operatorname*{M}\nolimits_{n_{r}%
}\left(  D_{r}\right)
\]
(als Ringe) erf\"{u}llen.

Wir werden nun einige Resultate \"{u}ber einfache Ringe verwenden. Zuerst
definieren wir den Begriff eines einfachen Ringes:

\textbf{Definition:} Ein Ring $S$ hei\ss t \textit{einfach}, wenn $S\neq0$ ist
und jedes Ideal $J$ von $S$ die Aussage $\left(  J=0\text{ oder }J=S\right)  $ erf\"{u}llt.

Der gerade definierte Begriff eines einfachen Ringes hat folgende Eigenschaft:

\textbf{6.4. Lemma:} Sei $R$ ein Ring, und sei $I\subseteq R$ ein
Ideal\footnote{Wir erinnern uns nochmal daran, da\ss \ "Ideal" f\"{u}r uns
immer "zweiseitiges Ideal" bedeutet.}. Genau dann ist $I$ ein maximales Ideal
von $R$, wenn $R\diagup I$ ein einfacher Ring ist.

\textit{Beweis von Lemma 6.4:} $\Longrightarrow:$ Angenommen, $I$ ist ein
maximales Ideal von $R$. Wir wollen zeigen, da\ss \ $R\diagup I$ ein einfacher
Ring ist.

Offensichtlich ist $R\diagup I\neq0$ (denn $I$ ist ein maximales Ideal von
$R$, also nicht ganz $R$).

Sei $U$ ein Ideal des Rings $R\diagup I$. Wir wollen zeigen, da\ss \ $U=0$
oder $U=R\diagup I$ ist.

\textit{Beweis:} Sei $\pi:R\rightarrow R\diagup I$ die kanonische Projektion.
Dann ist $\pi$ ein Ringhomomorphismus, und somit ist $\pi^{-1}\left(
U\right)  $ ein Ideal des Rings $R$. Da $I\subseteq\pi^{-1}\left(  U\right)  $
ist (denn $\pi\left(  I\right)  =0\subseteq U$), folgt hieraus, da\ss \ $\pi
^{-1}\left(  U\right)  =I$ oder $\pi^{-1}\left(  U\right)  =R$ ist (denn $I$
ist ein maximales Ideal).

Es sind also zwei F\"{a}lle m\"{o}glich: der Fall $\pi^{-1}\left(  U\right)
=I$ und der Fall $\pi^{-1}\left(  U\right)  =R$. Doch in beiden diesen
F\"{a}llen gilt $U=0$ oder $U=R\diagup I$ (denn im Fall $\pi^{-1}\left(
U\right)  =I$ gilt $U=0$\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Angenommen,
$\pi^{-1}\left(  U\right)  =I$. Da $\pi$ surjektiv ist, gilt dann
$U=\pi\left(  \underbrace{\pi^{-1}\left(  U\right)  }_{=I}\right)  =\pi\left(
I\right)  =0$.}, und im Fall $\pi^{-1}\left(  U\right)  =R$ gilt $U=R\diagup
I$\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Angenommen, $\pi^{-1}\left(  U\right)
=R$. Dann ist $R\diagup I=\pi\left(  \underbrace{R}_{=\pi^{-1}\left(
U\right)  }\right)  =\pi\left(  \pi^{-1}\left(  U\right)  \right)  \subseteq
U$, also $U=R\diagup I$.}). Damit haben wir gezeigt, da\ss \ $U=0$ oder
$U=R\diagup I$ in jedem Fall gilt.

Wir haben also gezeigt: Der Ring $R\diagup I$ erf\"{u}llt $R\diagup I\neq0$,
und f\"{u}r jedes Ideal $U$ des Rings $R\diagup I$ ist $U=0$ oder $U=R\diagup
I$. Dies bedeutet, da\ss \ $R\diagup I$ ein einfacher Ring ist. Die
$\Longrightarrow$-Richtung von Lemma 6.4 ist also bewiesen.

$\Longleftarrow:$ Angenommen, $R\diagup I$ ist ein einfacher Ring. Wir
m\"{u}ssen dann nachweisen, da\ss \ $I$ ein maximales Ideal von $R$ ist.

Da $R\diagup I$ einfach ist, ist $R\diagup I\neq0$ und damit $I\neq R$.

Sei $J$ ein Ideal von $R$ mit $I\subseteq J$. Sei $\pi:R\rightarrow R\diagup
I$ die kanonische Projektion. Da $\pi$ ein surjektiver Ringhomomorphismus und
$J$ ein Ideal von $R$ ist, ist $\pi\left(  J\right)  $ ein Ideal von $R\diagup
I$. Da $R\diagup I$ ein einfacher Ring ist, gilt folglich $\pi\left(
J\right)  =0$ oder $\pi\left(  J\right)  =R\diagup I$.

Es sind also zwei F\"{a}lle m\"{o}glich: der Fall $\pi\left(  J\right)  =0$
und der Fall $\pi\left(  J\right)  =R\diagup I$. Doch in beiden diesen
F\"{a}llen gilt $J=I$ oder $J=R$ (denn im Fall $\pi\left(  J\right)  =0$ gilt
$J=I$\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Angenommen, $\pi\left(  J\right)  =0$.
Dann ist $J\subseteq\pi^{-1}\left(  \underbrace{\pi\left(  J\right)  }%
_{=0}\right)  =\operatorname*{Ker}\pi=I$, also $J=I$ (denn $I\subseteq J$ und
$J\subseteq I$).}, und im Fall $\pi\left(  J\right)  =R\diagup I$ gilt
$J=R$\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Angenommen, $\pi\left(  J\right)
=R\diagup I$. Da $\pi$ die Projektionsabbildung vom Ring $R$ in den Faktorring
$R\diagup I$ ist, k\"{o}nnen wir $\pi\left(  J\right)  $ auch als $J\diagup I$
schreiben, wobei wir $J\diagup I$ kanonisch mit einem Ideal von $R\diagup I$
identifizieren. Nach den Isomorphies\"{a}tzen gilt $\left(  R\diagup I\right)
\diagup\left(  J\diagup I\right)  \cong R\diagup J$. Wegen $\left(  R\diagup
I\right)  \diagup\underbrace{\left(  J\diagup I\right)  }_{=\pi\left(
J\right)  =R\diagup I}=0$ ist also $R\diagup J=0$ und damit $J=R$.}). Damit
haben wir gezeigt, da\ss \ $J=I$ oder $J=R$ in jedem Fall gilt.

Wir haben also gezeigt: Das Ideal $I$ erf\"{u}llt $I\neq R$, und f\"{u}r jedes
Ideal $J$ von $R$ mit $I\subseteq J$ ist $J=I$ oder $J=R$. Dies bedeutet,
da\ss \ $I$ ein maximales Ideal von $R$ ist. Die $\Longleftarrow$-Richtung von
Lemma 6.4 ist also bewiesen.

Somit ist der Beweis von Lemma 6.4 fertig.

Wir haben ferner:

\textbf{6.4}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{3}}}$\textbf{.
Proposition:} Sei $D$ ein Schiefk\"{o}rper. Sei $r\in\mathbb{N}$ eine positive
ganze Zahl. Dann ist $\operatorname*{M}\nolimits_{r}\left(  D\right)  $ ein
einfacher Ring.

Wir werden diese Proposition nicht beweisen; sie ist allerdings nicht schwer
und wird in g\"{a}ngigen Algebratexten gezeigt. Zumindest f\"{u}r artinsche
Ringe hat diese Proposition eine Umkehrung:

\textbf{6.4}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{.
Proposition:} Sei $R$ ein artinscher einfacher Ring. Dann gibt es einen
Schiefk\"{o}rper $D$ und eine positive ganze Zahl $r$, die $R\cong%
\operatorname*{M}\nolimits_{r}\left(  D\right)  $ (als Ringe) erf\"{u}llen.

Aus Satz 6.3 k\"{o}nnen wir nun folgende Konsequenz ziehen:

\textbf{6.4}$\dfrac{\text{\textbf{2}}}{\text{\textbf{3}}}$\textbf{.
Folgerung:} Sei $R$ ein artinscher Ring. Dann gibt es ein $r\in\mathbb{N}$
sowie $r$ einfache Ringe $E_{1}$, $E_{2}$, $...$, $E_{r}$, die $R\diagup
\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  \cong E_{1}\times E_{2}\times...\times
E_{r}$ (als Ringe) erf\"{u}llen.

\textit{Beweis von Folgerung 6.4}$\dfrac{\text{\textit{2}}}{\text{\textit{3}}%
}$\textit{:} Nach Satz 6.3 gibt es ein $r\in\mathbb{N}$ sowie $r$
Schiefk\"{o}rper $D_{1}$, $D_{2}$, $...$, $D_{r}$ und $r$ positive ganze
Zahlen $n_{1}$, $n_{2}$, $...$, $n_{r}$, die%
\[
R\diagup\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  \cong\operatorname*{M}%
\nolimits_{n_{1}}\left(  D_{1}\right)  \times\operatorname*{M}\nolimits_{n_{2}%
}\left(  D_{2}\right)  \times...\times\operatorname*{M}\nolimits_{n_{r}%
}\left(  D_{r}\right)
\]
(als Ringe) erf\"{u}llen. Betrachten wir dieses $r$, diese Schiefk\"{o}rper
$D_{1}$, $D_{2}$, $...$, $D_{r}$ und diese positiven ganzen Zahlen $n_{1}$,
$n_{2}$, $...$, $n_{r}$. F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,r\right\}  $ sei
$E_{i}=\operatorname*{M}\nolimits_{n_{i}}\left(  D_{i}\right)  $. F\"{u}r
jedes $i\in\left\{  1,2,...,r\right\}  $ ist dann $E_{i}$ ein einfacher Ring
(denn Proposition 6.4$\dfrac{\text{1}}{\text{3}}$ (angewandt auf $D=D_{i}$ und
$r=n_{i}$) ergibt, da\ss \ $\operatorname*{M}\nolimits_{n_{i}}\left(
D_{i}\right)  $ ein einfacher Ring ist). Da $E_{i}=\operatorname*{M}%
\nolimits_{n_{i}}\left(  D_{i}\right)  $ f\"{u}r alle $i\in\left\{
1,2,...,r\right\}  $ gilt, ist $\operatorname*{M}\nolimits_{n_{1}}\left(
D_{1}\right)  \times\operatorname*{M}\nolimits_{n_{2}}\left(  D_{2}\right)
\times...\times\operatorname*{M}\nolimits_{n_{r}}\left(  D_{r}\right)
=E_{1}\times E_{2}\times...\times E_{r}$. Wir haben also%
\[
R\diagup\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  \cong\operatorname*{M}%
\nolimits_{n_{1}}\left(  D_{1}\right)  \times\operatorname*{M}\nolimits_{n_{2}%
}\left(  D_{2}\right)  \times...\times\operatorname*{M}\nolimits_{n_{r}%
}\left(  D_{r}\right)  =E_{1}\times E_{2}\times...\times E_{r}.
\]
Damit ist Folgerung 6.4$\dfrac{\text{2}}{\text{3}}$ gezeigt.

Nun aber weiter mit einem elementaren Satz:

\textbf{6.5. Satz (Lemma von Nakayama f\"{u}r nichtkommutative Ringe):} Sei
$R$ ein Ring, und sei $M$ ein endlich erzeugter $R$-Rechtsmodul. Wenn
$M\cdot\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  =M$ ist, dann ist $M=0$.

\textit{Beweis von Satz 6.5:} Dies haben wir eigentlich bereits im Beweis von
Satz 6.1 (genauer gesagt, im Beweis von $F\subseteq C^{\prime}$) nachgewiesen
(wobei wir dort $\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $ mit $F$ bezeichnet haben).

\textbf{6.6. Satz:} Sei $R$ ein rechtsartinscher Ring. Dann ist
$\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $ ein nilpotentes Ideal (d. h. es gibt
ein $N\in\mathbb{N}$ mit $\left(  \operatorname*{Ra}\left(  R\right)  \right)
^{N}=0$).

Wir werden diesen Satz hier nicht vollst\"{a}ndig beweisen\footnote{Einen
Beweis von 6.6. findet man in "Algebra: A Graduate Course" von Isaacs (als
Theorem (14.2)). Dieser ist aber nichtkonstruktiv und verwendet das
Auswahlaxiom.}, sondern nur einen Sonderfall (der f\"{u}r unsere Zwecke
allerdings vollst\"{a}ndig ausreicht):

\textbf{6.7. Lemma:} Sei $R$ ein rechtsartinscher Ring.

\textbf{(a)} Sei $J$ eine endlich erzeugte Untergruppe von $\left(
\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  ,+\right)  $. Dann gibt es ein
$N\in\mathbb{N}$ mit $J^{N}=0$. Hierbei verwenden wir folgende Notation:

\begin{itemize}
\item Sind $U$ und $V$ zwei Untergruppen von $\left(  R,+\right)  $, dann
bezeichne $UV$ die Untergruppe von $\left(  R,+\right)  $, die von den
Elementen $uv$ mit $\left(  u,v\right)  \in U\times V$ erzeugt wird.

\item Ist $U$ eine Untergruppe von $\left(  R,+\right)  $, und $n$ eine
nat\"{u}rliche Zahl, so bezeichne $U^{n}$ die Untergruppe $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\underbrace{UU...U}_{n\text{ mal}}\text{, wenn }n\geq1;\\
\mathbb{Z}_{R}\text{, wenn }n=0
\end{array}
\right.  $ von $\left(  R,+\right)  $. Dabei bedeutet $\mathbb{Z}_{R}$ die
Untergruppe von $\left(  R,+\right)  $, die von der Eins von $R$ erzeugt wird.
\end{itemize}

\textbf{(b)} Jedes Element $a$ von $\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $ ist nilpotent.

\textit{Beweis von Lemma 6.7:} \textbf{(a)} Wir betrachten die Familie
$\left(  J^{n}R\right)  _{n\geq0}$ von Rechtsidealen von $R$. Diese Familie
erf\"{u}llt $J^{0}R\supseteq J^{1}R\supseteq J^{2}R\supseteq...$, und somit
gibt es ein $n\in\mathbb{N}$ mit $J^{n}R=J^{n+1}R$ (denn der Ring $R$ ist
rechtsartinsch). Bezeichnen wir dieses $n$ mit $N$; dann ist also
$J^{N}R=J^{N+1}R$. Bezeichnen wir den $R$-Rechtsmodul $J^{N}R$ mit $M$, dann
ist%
\begin{align*}
M  &  =J^{N}R=J^{N+1}R=J^{N}JR\subseteq\underbrace{J^{N}R}_{=M}%
JR\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }J^{N}\subseteq J^{N}R\right) \\
&  =MJR\subseteq M\cdot\operatorname*{Ra}\left(  R\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }J\subseteq\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  \text{ ergibt
}JR\subseteq\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  \cdot R\subseteq
\operatorname*{Ra}\left(  R\right) \\
\text{(da }\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  \text{ ein Ideal ist)}%
\end{array}
\right)  .
\end{align*}
Zusammen mit $M\cdot\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  \subseteq M$ (was
offensichtlich ist) ergibt dies $M\cdot\operatorname*{Ra}\left(  R\right)
=M$, und laut Satz 6.5 folgt hieraus $M=0$ (denn der $R$-Rechtsmodul
$M=J^{N}R$ ist endlich erzeugt, da die abelsche Gruppe $J^{N}$ endlich erzeugt
ist\footnote{Da\ss \ die abelsche Gruppe $J^{N}$ endlich erzeugt ist, folgt
schnell aus der Bedingung, da\ss \ die abelsche Gruppe $J$ endlich erzeugt
ist.}). Also ist $J^{N}\subseteq J^{N}R=M=0$. Lemma 6.7 \textbf{(a)} ist damit bewiesen.

\textbf{(b)} Sei $J$ die von $a$ erzeugte Untergruppe von $\left(
\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  ,+\right)  $. Dann ist $J$ eine endlich
erzeugte Untergruppe von $\left(  \operatorname*{Ra}\left(  R\right)
,+\right)  $ (denn $a\in\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $). Laut Lemma 6.7
\textbf{(a)} gibt es also ein $N\in\mathbb{N}$ mit $J^{N}=0$. F\"{u}r dieses
$N$ gilt wegen $a\in J$ offensichtlich $a^{N}\in J^{N}=0$, also $a^{N}=0$. Das
hei\ss t, $a$ ist nilpotent. Somit ist Lemma 6.7 \textbf{(b)} bewiesen.

(Wenn wir Satz 6.6 bewiesen h\"{a}tten, k\"{o}nnten wir nat\"{u}rlich auch
einen schnelleren Beweis von Lemma 6.7 \textbf{(b)} liefern:

\textit{Zweiter Beweis von Lemma 6.7 \textbf{(b)}:} Nach Satz 6.6 ist
$\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $ ein nilpotentes Rechtsideal von $R$;
das hei\ss t, es gibt ein $N\in\mathbb{N}$ mit $\left(  \operatorname*{Ra}%
\left(  R\right)  \right)  ^{N}=0$. F\"{u}r dieses $N$ gilt $a^{N}\in\left(
\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  \right)  ^{N}=0$, also $a^{N}=0$. Das
hei\ss t, $a$ ist nilpotent. Somit ist Lemma 6.7 \textbf{(b)} bewiesen.

Dieser Beweis von Lemma 6.7 \textbf{(b)} ist ein wenig k\"{u}rzer als der
vorher gegebene, doch er verwendet Satz 6.6, welchen wir nicht bewiesen haben,
und welcher auch deutlich schwieriger zu zeigen ist als Lemma 6.7 \textbf{(a)}.)

\textbf{6.8. Folgerung:} Sei $R$ ein artinscher Ring. Dann ist die
Schnittmenge aller maximalen Ideale von $R$ gleich $\operatorname*{Ra}\left(
R\right)  $.

\textit{Beweis von Folgerung 6.8:} \textbf{a)} Nach Folgerung 6.4$\dfrac
{\text{2}}{\text{3}}$ gibt es ein $r\in\mathbb{N}$ sowie $r$ einfache Ringe
$E_{1}$, $E_{2}$, $...$, $E_{r}$, die%
\[
R\diagup\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  \cong E_{1}\times E_{2}%
\times...\times E_{r}%
\]
erf\"{u}llen. Betrachten wir dieses $r$ und diese einfachen Ringe $E_{1}$,
$E_{2}$, $...$, $E_{r}$.

Wegen $R\diagup\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  \cong E_{1}\times
E_{2}\times...\times E_{r}$ gibt es einen Ringisomorphismus $\iota
:R\diagup\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  \rightarrow E_{1}\times
E_{2}\times...\times E_{r}$. Sei ferner $\pi:R\rightarrow R\diagup
\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $ die kanonische Projektion. F\"{u}r jedes
$i\in\left\{  1,2,...,r\right\}  $ sei $\pi_{i}$ die kanonische Projektion aus
dem direkten Produkt $E_{1}\times E_{2}\times...\times E_{r}$ auf den Faktor
$E_{i}$. Offensichtlich ist%
\[
\left\{  y\in E_{1}\times E_{2}\times...\times E_{r}\ \mid\ \pi_{i}\left(
y\right)  =0\text{ f\"{u}r alle }i\in\left\{  1,2,...,r\right\}  \right\}
=0.
\]
F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,r\right\}  $ ist ferner $\pi_{i}\circ
\iota\circ\pi:R\rightarrow E_{i}$ ein surjektiver Ringhomomorphismus (denn
$\pi_{i}$, $\iota$ und $\pi$ sind surjektive Ringhomomorphismen). Nach dem
Homomorphiesatz ist also $R\diagup\operatorname*{Ker}\left(  \pi_{i}\circ
\iota\circ\pi\right)  \cong E_{i}$ als Ringe. Folglich ist der Ring
$R\diagup\operatorname*{Ker}\left(  \pi_{i}\circ\iota\circ\pi\right)  $
einfach (denn er ist isomorph zum einfachen Ring $E_{i}$). Laut Lemma 6.4
(angewandt auf $I=\operatorname*{Ker}\left(  \pi_{i}\circ\iota\circ\pi\right)
$) bedeutet dies, da\ss \ $\operatorname*{Ker}\left(  \pi_{i}\circ\iota
\circ\pi\right)  $ ein maximales Ideal von $R$ ist. Nun haben wir%
\begin{align*}
&  \bigcap_{i=1}^{r}\underbrace{\operatorname*{Ker}\left(  \pi_{i}\circ
\iota\circ\pi\right)  }_{=\left\{  x\in R\ \mid\ \left(  \pi_{i}\circ
\iota\circ\pi\right)  \left(  x\right)  =0\right\}  }\\
&  =\bigcap_{i=1}^{r}\left\{  x\in R\ \mid\ \left(  \pi_{i}\circ\iota\circ
\pi\right)  \left(  x\right)  =0\right\}  =\left\{  x\in R\ \mid
\ \underbrace{\left(  \pi_{i}\circ\iota\circ\pi\right)  \left(  x\right)
}_{=\pi_{i}\left(  \iota\left(  \pi\left(  x\right)  \right)  \right)
}=0\text{ f\"{u}r alle }i\in\left\{  1,2,...,r\right\}  \right\} \\
&  =\left\{  x\in R\ \mid\ \pi_{i}\left(  \iota\left(  \pi\left(  x\right)
\right)  \right)  =0\text{ f\"{u}r alle }i\in\left\{  1,2,...,r\right\}
\right\} \\
&  =\pi^{-1}\left(  \iota^{-1}\left(  \underbrace{\left\{  y\in E_{1}\times
E_{2}\times...\times E_{r}\ \mid\ \pi_{i}\left(  y\right)  =0\text{ f\"{u}r
alle }i\in\left\{  1,2,...,r\right\}  \right\}  }_{=0}\right)  \right) \\
&  =\pi^{-1}\left(  \underbrace{\iota^{-1}\left(  0\right)  }_{=0\text{ (denn
}\iota\text{ ist ein Isomorphismus)}}\right)  =\operatorname*{Ker}%
\pi=\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  .
\end{align*}
Damit ist%
\[
\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  =\bigcap_{i=1}^{r}\operatorname*{Ker}%
\left(  \pi_{i}\circ\iota\circ\pi\right)  \supseteq\bigcap
_{\substack{\mathfrak{m}\text{ ist ein maximales}\\\text{Ideal von }%
R}}\mathfrak{m}.
\]
(denn f\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,r\right\}  $ ist
$\operatorname*{Ker}\left(  \pi_{i}\circ\iota\circ\pi\right)  $ ein maximales
Ideal von $R$).

\textbf{b)} Sei $\mathfrak{m}$ ein maximales Ideal von $R$. Dann ist
$\mathfrak{m}\neq R$ und somit $1\notin\mathfrak{m}$ (denn sonst w\"{a}re
$\mathfrak{m}=R$). Somit kann $\mathfrak{m}$ kein invertierbares Element
enthalten (denn sonst w\"{a}re mit diesem inventierbaren Element auch sein
Vielfaches $1$ in $\mathfrak{m}$ enthalten, im Widerspruch zu $1\notin%
\mathfrak{m}$).

Wir werden nun zeigen, da\ss \ $\operatorname*{Ra}\left(  R\right)
\subseteq\mathfrak{m}$ gilt.

In der Tat ist $\mathfrak{m}+\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $ ein Ideal
von $R$, welches $\mathfrak{m}$ enth\"{a}lt. Da $\mathfrak{m}$ maximal ist,
ist also entweder $\mathfrak{m}+\operatorname*{Ra}\left(  R\right)
=\mathfrak{m}$ oder $\mathfrak{m}+\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  =R$. Da
aber $\mathfrak{m}+\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  =R$ unm\"{o}glich
ist\footnote{\textit{Beweis, da\ss \ }$\mathfrak{m}+\operatorname*{Ra}\left(
R\right)  =R$ \textit{unm\"{o}glich ist:} Angenommen, $\mathfrak{m}%
+\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  =R$. Dann ist $1\in R=\mathfrak{m}%
+\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $, also $1=m+a$ f\"{u}r ein
$m\in\mathfrak{m}$ und $a\in\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $. Folglich
ist $m=1-a$ invertierbar (laut Bemerkung 6.2 \textbf{c)}, angewandt auf
$n=a$), im Widerspruch dazu, da\ss \ $\mathfrak{m}$ kein invertierbares
Element enthalten kann.}, mu\ss \ also $\mathfrak{m}+\operatorname*{Ra}\left(
R\right)  =\mathfrak{m}$ sein, und damit $\operatorname*{Ra}\left(  R\right)
\subseteq\mathfrak{m}$.

Da dies f\"{u}r jedes maximale Ideal $\mathfrak{m}$ von $R$ gilt, ist also
$\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $ enthalten in der Schnittmenge aller
maximalen Ideale von $R$.

Umgekehrt ist aber die Schnittmenge aller maximalen Ideale von $R$ enthalten
in $\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $ (denn $\operatorname*{Ra}\left(
R\right)  \supseteq\bigcap\limits_{\substack{\mathfrak{m}\text{ ist ein
maximales}\\\text{Ideal von }R}}\mathfrak{m}$, wie wir in \textbf{a)} bewiesen
haben). Somit ist die Schnittmenge aller maximalen Ideale von $R$ gleich
$\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $. Folgerung 6.8 ist nun bewiesen.

Wir wollen noch eine einfache Konsequenz aus Satz 6.5 ziehen, die wir
sp\"{a}ter brauchen werden:

\textbf{6.9. Folgerung:} Sei $R$ ein Ring, und sei $V$ ein endlich erzeugter
$R$-Rechtsmodul. Seien $v_{1}$, $v_{2}$, $...$, $v_{n}$ irgendwelche Elemente
von $V$, und seien $\overline{v_{1}}$, $\overline{v_{2}}$, $...$,
$\overline{v_{n}}$ die Restklassen dieser Elemente modulo dem Untermodul
$V\cdot\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $. Wenn die Restklassen
$\overline{v_{1}}$, $\overline{v_{2}}$, $...$, $\overline{v_{n}}$ den
$R$-Rechtsmodul $V\diagup\left(  V\cdot\operatorname*{Ra}\left(  R\right)
\right)  $ erzeugen, dann erzeugen die Elemente $v_{1}$, $v_{2}$, $...$,
$v_{n}$ den $R$-Rechtsmodul $V$.

\textit{Beweis von Folgerung 6.9:} Angenommen, die Restklassen $\overline
{v_{1}}$, $\overline{v_{2}}$, $...$, $\overline{v_{n}}$ erzeugen den
$R$-Rechtsmodul $V\diagup\left(  V\cdot\operatorname*{Ra}\left(  R\right)
\right)  $.

Sei $W$ der $R$-Untermodul $v_{1}R+v_{2}R+...+v_{n}R$ von $V$. Sei $M$ der
$R$-Rechtsmodul $V\diagup W$. Dann ist $M\cdot\operatorname*{Ra}\left(
R\right)  =M$\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Sei $\pi:V\rightarrow V\diagup
W$ die kanonische Projektion. Offensichtlich ist diese Projektion $\pi$
surjektiv; das hei\ss t, $\pi\left(  V\right)  =V\diagup W$.
\par
Sei $m\in M$ beliebig. Da $m\in M=V\diagup W=\pi\left(  V\right)  $ ist, gibt
es ein $v\in V$ mit $m=\pi\left(  v\right)  $. Bezeichnen wir mit
$\overline{v}$ die Restklasse dieses Elementes $v$ modulo dem Untermodul
$V\cdot\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $, dann ist $\overline{v}\in
V\diagup\left(  V\cdot\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  \right)  $. Da die
Restklassen $\overline{v_{1}}$, $\overline{v_{2}}$, $...$, $\overline{v_{n}}$
den $R$-Rechtsmodul $V\diagup\left(  V\cdot\operatorname*{Ra}\left(  R\right)
\right)  $ erzeugen, gibt es also Elemente $r_{1}$, $r_{2}$, $...$, $r_{n}$
von $R$ mit $\overline{v}=\overline{v_{1}}r_{1}+\overline{v_{2}}%
r_{2}+...+\overline{v_{n}}r_{n}$. F\"{u}r diese Elemente $r_{1}$, $r_{2}$,
$...$, $r_{n}$ gilt nun $\overline{v}=\overline{v_{1}}r_{1}+\overline{v_{2}%
}r_{2}+...+\overline{v_{n}}r_{n}=\overline{v_{1}r_{1}+v_{2}r_{2}%
+...+v_{n}r_{n}}$. Mit anderen Worten: $v\equiv v_{1}r_{1}+v_{2}%
r_{2}+...+v_{n}r_{n}\operatorname{mod}V\cdot\operatorname*{Ra}\left(
R\right)  $. Das hei\ss t, es gibt ein Element $w$ von $V\cdot
\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $, das $v=\left(  v_{1}r_{1}+v_{2}%
r_{2}+...+v_{n}r_{n}\right)  +w$ erf\"{u}llt. Daher ist $v\equiv
w\operatorname{mod}W$ (denn $v_{1}r_{1}+v_{2}r_{2}+...+v_{n}r_{n}\in
v_{1}R+v_{2}R+...+v_{n}R=W$). Es gilt also $\pi\left(  v\right)  =\pi\left(
w\right)  $ (da $\pi$ die kanonische Projektion von $V$ auf $V\diagup W$ ist).
Doch $w\in V\cdot\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $ f\"{u}hrt auf
$\pi\left(  w\right)  \in\pi\left(  V\cdot\operatorname*{Ra}\left(  R\right)
\right)  =\pi\left(  V\right)  \cdot\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $
(denn $\pi$ ist ein $R$-Rechtsmodulhomomorphismus). Wir haben also%
\[
m=\pi\left(  v\right)  =\pi\left(  w\right)  \in\underbrace{\pi\left(
V\right)  }_{=V\diagup W=M}\cdot\operatorname*{Ra}\left(  R\right)
=M\cdot\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  .
\]
Da wir dies f\"{u}r jedes $m\in M$ gezeigt haben, ist also $M\subseteq
M\cdot\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $. Zusammen mit der trivialen
Inklusion $M\cdot\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  \subseteq M$ erhalten wir
also $M\cdot\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  =M$.}. Der $R$-Rechtsmodul
$M=V\diagup W$ ist endlich erzeugt (denn der $R$-Rechtsmodul $V$ ist endlich
erzeugt). Laut Satz 6.5 ist also $M=0$. Damit ist $V\diagup W=M=0$, also
$V=W=v_{1}R+v_{2}R+...+v_{n}R$. Mit anderen Worten: Die Elemente $v_{1}$,
$v_{2}$, $...$, $v_{n}$ erzeugen den $R$-Rechtsmodul $V$. Damit ist Folgerung
6.9 bewiesen.

Ein weiteres Korollar aus dem Obigen:

\textbf{6.10. Folgerung:} Sei $R$ ein Ring. Sei $I$ ein nilpotentes Ideal von
$R$, und sei $M$ ein maximales Ideal von $R$. Dann ist $I\subseteq M$.

\textit{Beweis von Folgerung 6.10:} Nach Lemma 6.4 (angewandt auf $I$ statt
$M$) ist $R\diagup M$ ein einfacher Ring (da $M$ ein maximales Ideal von $R$
ist). Sei $\pi$ die kanonische Projektion von $R$ auf $R\diagup M$. Dann ist
$\pi\left(  I\right)  =I\diagup M$ ein Ideal des Rings $R\diagup M$. Da $I$
nilpotent ist, mu\ss \ auch $\pi\left(  I\right)  $ nilpotent sein (denn $\pi$
ist ein Ringhomomorphismus\footnote{da $\pi$ die kanonische Projektion von $R$
auf $R\diagup M$ ist}).

Da $\pi\left(  I\right)  $ ein Ideal von $R\diagup M$ ist, gilt entweder
$\pi\left(  I\right)  =0$ oder $\pi\left(  I\right)  =R\diagup M$ (da
$R\diagup M$ ein einfacher Ring ist). Doch $\pi\left(  I\right)  =R\diagup M$
ist unm\"{o}glich (denn $\pi\left(  I\right)  $ ist nilpotent, w\"{a}hrend
$R\diagup M$ nicht nilpotent ist (da $1\in R\diagup M$ und $R\diagup M\neq
0$)). Somit mu\ss \ $\pi\left(  I\right)  =0$ gelten, also $I\subseteq
\operatorname{Ker}\pi=M$. Folgerung 6.10 ist nunmehr gezeigt.

\bigskip

\fbox{\textbf{Der Satz von Krull-Remak-Schmidt}}

Im folgenden kurzen Abschnitt wollen wir die Zerlegung von Moduln in
unzerlegbare Moduln studieren. Erstmal eine (sehr naheliegende) Definition:

\textbf{Definition:} Sei $A$ eine Algebra \"{u}ber einem K\"{o}rper $k$.

Ein $A$-Modul hei\ss t \textit{unzerlegbar}, wenn er nicht als direkte Summe
zweier von $0$ verschiedener Untermoduln geschrieben werden kann.

Als n\"{a}chstes zitieren wir ein bekanntes Resultat der Modultheorie, den
sogenannten \textbf{Satz von Krull-Remak-Schmidt}, meistens kurz \textbf{Satz
von Krull-Schmidt} genannt. Dieses Resultat existiert in unterschiedlich
starken Formen; wir werden eine der schw\"{a}chsten verwenden:

\textbf{6.30. Satz (Satz von Krull-Remak-Schmidt):} Sei $A$ eine Algebra
\"{u}ber einem K\"{o}rper $k$.

\textbf{(a)} F\"{u}r jeden endlichdimensionalen\footnote{Zur Erinnerung: Wenn
wir von einem "endlichdimensionalen" Modul sprechen, meinen wir immer einen
Modul, der als $k$\textit{-Vektorraum} endlichdimensional ist.} $A$-Linksmodul
$V$ gibt es ein $N\in\mathbb{N}$ sowie $N$ unzerlegbare $A$-Untermoduln
$V_{1}$, $V_{2}$, $...$, $V_{N}$ von $V$ mit $V=V_{1}\oplus V_{2}%
\oplus...\oplus V_{N}$.

\textbf{(b)} Sei $m$ eine positive ganze Zahl; seien $V_{1},$ $V_{2},$ $...,$
$V_{m}$ beliebige unzerlegbare endlichdimensionale $A$-Linksmoduln. Sei ferner
$n$ eine positive ganze Zahl; seien $W_{1}$, $W_{2}$, $...$, $W_{n}$
unzerlegbare endlichdimensionale $A$-Linksmoduln.

Angenommen, $V_{1}\oplus V_{2}\oplus...\oplus V_{m}\cong W_{1}\oplus
W_{2}\oplus...\oplus W_{n}$ als $A$-Linksmoduln.

Dann gilt\ $m=n$, und es gibt\ eine Permutation $\pi\in S_{m}$, die\ $V_{i}%
\cong W_{\pi\left(  i\right)  }$ (als $A$-Linksmoduln) f\"{u}r alle
$i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ erf\"{u}llt.

Wir wollen diesen Satz nicht beweisen, sondern verweisen auf die klassische
Algebraliteratur. Dort wird dieser Satz zuweilen in allgemeineren Versionen
formuliert; diese ben\"{o}tigen wir aber nicht.

\bigskip

\fbox{\textbf{K\"{u}rzung f\"{u}r }$A$\textbf{-Linksmoduln}}

Wir wollen jetzt K\"{u}rzungss\"{a}tze f\"{u}r $A$-Linksmoduln studieren.

Zuerst treffen wir eine \textit{Vereinbarung}: Wenn $A$ eine Algebra \"{u}ber
einem K\"{o}rper $k$ ist, und $V$ und $W$ zwei $A$-Linksmoduln sind, dann
verstehen wir unter "$V\cong W$" die Aussage "$V$ und $W$ sind zueinander
isomorph als $A$-Linskmoduln" (und nicht die deutlich schw\"{a}chere Aussage
"$V$ und $W$ sind zueinander isomorph als $k$-Vektorr\"{a}ume"). Diese
Vereinbarung ist von hier an bis zum Ende des Beweises von Satz 6.44 g\"{u}ltig.

Nun unser erster K\"{u}rzungssatz:

\textbf{6.40. Satz (Potenzk\"{u}rzungssatz f\"{u}r }$A$\textbf{-Linksmoduln):}
Sei $A$ eine Algebra \"{u}ber einem K\"{o}rper $k$.

Seien $V$ und $W$ zwei endlichdimensionale $A$-Linksmoduln. Sei $t\geq1$ eine
nat\"{u}rliche Zahl. Angenommen, $V^{t}\cong W^{t}$ als $A$-Linksmoduln. Dann
ist $V\cong W$ als $A$-Linksmoduln.

Bevor wir diesen Satz beweisen, eine einfache Definition:

\textbf{Definition:} Sei $A$ eine Algebra \"{u}ber einem K\"{o}rper $k$. Sei
$V$ ein endlichdimensionaler $A$-Linksmodul.

\textbf{(a)} Unter einer \textit{vollst\"{a}ndigen Zerlegung} von $V$
verstehen wir eine Liste $\left(  V_{1},V_{2},...,V_{N}\right)  $ von
unzerlegbaren $A$-Untermoduln $V_{1}$, $V_{2}$, $...$, $V_{N}$ von $V$, die
$V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus...\oplus V_{N}$ erf\"{u}llen. Laut Satz 6.30
\textbf{(a)} hat $V$ eine vollst\"{a}ndige Zerlegung. (Im Allgemeinen ist
diese aber nicht eindeutig festgelegt.)

\textbf{(b)} Sei $E$ ein endlichdimensionaler unzerlegbarer $A$-Linksmodul.
Wir definieren eine Zahl $\operatorname*{mult}\left(  E,V\right)
\in\mathbb{N}$ wie folgt:

F\"{u}r jede vollst\"{a}ndige Zerlegung $\left(  V_{1},V_{2},...,V_{N}\right)
$ von $V$ bezeichnen wir mit $\operatorname*{mult}\nolimits_{E}\left(
V_{1},V_{2},...,V_{N}\right)  $ die Anzahl aller $i\in\left\{
1,2,...,N\right\}  $, welche $V_{i}\cong E$ erf\"{u}llen\footnote{Wie
vereinbart, verstehen wir unter $V_{i}\cong E$ die Aussage "$V_{i}$ und $E$
sind zueinander isomorph als $A$-Linksmoduln".}. Diese Anzahl
$\operatorname*{mult}\nolimits_{E}\left(  V_{1},V_{2},...,V_{N}\right)  $
h\"{a}ngt nur von $E$ und $V$ ab und nicht von der konkreten Wahl der
vollst\"{a}ndigen Zerlegung $\left(  V_{1},V_{2},...,V_{N}\right)
$\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Wir m\"{u}ssen nachweisen, da\ss \ f\"{u}r
je zwei vollst\"{a}ndige Zerlegungen $\left(  V_{1},V_{2},...,V_{m}\right)  $
und $\left(  W_{1},W_{2},...,W_{n}\right)  $ des $A$-Linksmoduls $V$
notwendigerweise $\operatorname*{mult}_{E}\left(  V_{1},V_{2},...,V_{m}%
\right)  =\operatorname*{mult}_{E}\left(  W_{1},W_{2},...,W_{n}\right)  $
gelten muss.
\par
Dies beweisen wir folgenderma\ss en:
\par
Da $\left(  V_{1},V_{2},...,V_{m}\right)  $ eine vollst\"{a}ndige Zerlegung
von $V$ ist, sind $V_{1},$ $V_{2},$ $...,$ $V_{m}$ unzerlegbare Untermoduln
von $V$, die $V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus...\oplus V_{m}$ erf\"{u}llen. Diese
Moduln $V_{1},$ $V_{2},$ $...,$ $V_{m}$ sind ferner endlichdimensional (weil
sie Untermoduln von $V$ sind).
\par
Da $\left(  W_{1},W_{2},...,W_{n}\right)  $ eine vollst\"{a}ndige Zerlegung
von $V$ ist, sind $W_{1},$ $W_{2},$ $...,$ $W_{n}$ unzerlegbare Untermoduln
von $V$, die $V=W_{1}\oplus W_{2}\oplus...\oplus W_{n}$ erf\"{u}llen. Diese
Moduln $W_{1},$ $W_{2},$ $...,$ $W_{n}$ sind ferner endlichdimensional (weil
sie Untermoduln von $V$ sind).
\par
Ferner gilt $V_{1}\oplus V_{2}\oplus...\oplus V_{m}=V=W_{1}\oplus W_{2}%
\oplus...\oplus W_{n}$. Aus Satz 6.30 \textbf{(b)} folgt somit, da\ss \ $m=n$
gilt, und da\ss \ es\ eine Permutation $\pi\in S_{m}$ gibt, die\ $V_{i}\cong
W_{\pi\left(  i\right)  }$ (als $A$-Linksmoduln) f\"{u}r alle $i\in\left\{
1,2,...,m\right\}  $ erf\"{u}llt. Diese Permutation $\pi$ ist eine Bijektion
(wie jede Permutation).
\par
Nach der Definition von $\operatorname*{mult}_{E}\left(  V_{1},V_{2}%
,...,V_{m}\right)  $ ist
\begin{align*}
\operatorname*{mult}\nolimits_{E}\left(  V_{1},V_{2},...,V_{m}\right)   &
=\left(  \text{die Anzahl aller }i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  \text{,
welche }V_{i}\cong E\text{ erf\"{u}llen}\right) \\
&  =\left\vert \left\{  i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  \ \mid\ V_{i}\cong
E\right\}  \right\vert .
\end{align*}
Analog ist%
\[
\operatorname*{mult}\nolimits_{E}\left(  W_{1},W_{2},...,W_{n}\right)
=\left\vert \left\{  i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  \ \mid\ W_{i}\cong
E\right\}  \right\vert .
\]
Nun ist%
\begin{align*}
&  \operatorname*{mult}\nolimits_{E}\left(  V_{1},V_{2},...,V_{m}\right) \\
&  =\left\vert \left\{  i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  \ \mid\ V_{i}\cong
E\right\}  \right\vert =\left\vert \left\{  i\in\left\{  1,2,...,m\right\}
\ \mid\ W_{\pi\left(  i\right)  }\cong E\right\}  \right\vert \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn wegen }V_{i}\cong W_{\pi\left(
i\right)  }\text{ ist }V_{i}\cong E\text{ \"{a}quivalent zu }W_{\pi\left(
i\right)  }\cong E\right) \\
&  =\left\vert \underbrace{\left\{  i\in\left\{  1,2,...,m\right\}
\ \mid\ W_{\pi\left(  i\right)  }\cong E\right\}  }_{=\pi^{-1}\left(  \left\{
i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  \ \mid\ W_{i}\cong E\right\}  \right)
}\right\vert =\left\vert \pi^{-1}\left(  \left\{  i\in\left\{
1,2,...,n\right\}  \ \mid\ W_{i}\cong E\right\}  \right)  \right\vert \\
&  =\left\vert \left\{  i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  \ \mid\ W_{i}\cong
E\right\}  \right\vert \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn die Abbildung
}\pi\text{ ist eine Bijektion}\right) \\
&  =\operatorname*{mult}\nolimits_{E}\left(  W_{1},W_{2},...,W_{n}\right)  ,
\end{align*}
was zu beweisen war.}; somit k\"{o}nnen wir diese Anzahl mit
$\operatorname*{mult}\left(  E,V\right)  $ bezeichnen.

Diese Anzahl $\operatorname*{mult}\left(  E,V\right)  $ hei\ss t die
\textit{Vielfachheit} des $A$-Linksmoduls $E$ im $A$-Linksmodul $V$. Nach
ihrer Definition ist also%
\begin{align}
\operatorname*{mult}\left(  E,V\right)   &  =\operatorname*{mult}%
\nolimits_{E}\left(  V_{1},V_{2},...,V_{N}\right) \nonumber\\
&  =\left(  \text{die Anzahl aller }i\in\left\{  1,2,...,N\right\}  \text{,
welche }V_{i}\cong E\text{ erf\"{u}llen}\right)  \tag{I.6.39}%
\end{align}
f\"{u}r jede vollst\"{a}ndige Zerlegung $\left(  V_{1},V_{2},...,V_{N}\right)
$ von $V$.

\textbf{6.41. Bemerkung:} Sei $A$ eine Algebra \"{u}ber einem K\"{o}rper $k$.
Seien $V$ und $W$ zwei endlichdimensionale $A$-Linksmoduln. Genau dann gilt
$V\cong W$, wenn jeder endlichdimensionale unzerlegbare $A$-Linksmodul $E$ die
Gleichung $\operatorname*{mult}\left(  E,V\right)  =\operatorname*{mult}%
\left(  E,W\right)  $ erf\"{u}llt.

\textit{Beweis von Bemerkung 6.41:} $\Longrightarrow:$ Angenommen, $V\cong W$.
Dann gibt es einen $A$-Linksmodulisomorphismus $\phi:V\rightarrow W$.

Sei $E$ ein endlichdimensionaler unzerlegbarer $A$-Linksmodul.

Sei $\left(  V_{1},V_{2},...,V_{N}\right)  $ eine vollst\"{a}ndige Zerlegung
von $V$. Dann ist $\left(  \phi\left(  V_{1}\right)  ,\phi\left(
V_{2}\right)  ,...,\phi\left(  V_{N}\right)  \right)  $ eine vollst\"{a}ndige
Zerlegung von $W$ (denn $\phi$ ist ein $A$-Linksmodulisomorphismus). Nach
(I.6.39) (angewandt auf den $A$-Linksmodul $W$ mit der vollst\"{a}ndigen
Zerlegung $\left(  \phi\left(  V_{1}\right)  ,\phi\left(  V_{2}\right)
,...,\phi\left(  V_{N}\right)  \right)  $ statt des $A$-Linksmoduls $V$ mit
der vollst\"{a}ndigen Zerlegung $\left(  V_{1},V_{2},...,V_{N}\right)  $) gilt
also
\begin{align*}
\operatorname*{mult}\left(  E,W\right)   &  =\left(  \text{die Anzahl aller
}i\in\left\{  1,2,...,N\right\}  \text{, welche }\phi\left(  V_{i}\right)
\cong E\text{ erf\"{u}llen}\right) \\
&  =\left(  \text{die Anzahl aller }i\in\left\{  1,2,...,N\right\}  \text{,
welche }V_{i}\cong E\text{ erf\"{u}llen}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn f\"{u}r jedes }i\in\left\{  1,2,...,N\right\}  \text{ ist }%
\phi\left(  V_{i}\right)  \cong E\text{ \"{a}quivalent zu }V_{i}\cong E\\
\text{(denn da }\phi\text{ ein }A\text{-Linksmodulisomorphismus ist, gilt
}\phi\left(  V_{i}\right)  \cong V_{i}\text{)}%
\end{array}
\right) \\
&  =\operatorname*{mult}\left(  E,V\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{nach (I.6.39)}\right)  .
\end{align*}
Also erf\"{u}llt jeder endlichdimensionale unzerlegbare $A$-Linksmodul $E$ die
Gleichung $\operatorname*{mult}\left(  E,V\right)  =\operatorname*{mult}%
\left(  E,W\right)  $. Damit ist die $\Longrightarrow$-Richtung von Bemerkung
6.41 gezeigt.

$\Longleftarrow:$ Angenommen, jeder endlichdimensionale unzerlegbare
$A$-Linksmodul $E$ erf\"{u}llt die Gleichung $\operatorname*{mult}\left(
E,V\right)  =\operatorname*{mult}\left(  E,W\right)  $.

Sei $\left(  V_{1},V_{2},...,V_{N}\right)  $ eine vollst\"{a}ndige Zerlegung
von $V$. Dann sind die $A$-Linksmoduln $V_{1}$, $V_{2}$, $...$, $V_{N}$
unzerlegbar und erf\"{u}llen $V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus...\oplus V_{N}$.
Folglich sind die $A$-Linksmoduln $V_{1}$, $V_{2}$, $...$, $V_{N}$
endlichdimensional (da sie Untermoduln des endlichdimensionalen $A$%
-Linksmoduls $V$ sind).

Sei ferner $\left(  W_{1},W_{2},...,W_{M}\right)  $ eine vollst\"{a}ndige
Zerlegung von $W$. Dann sind die $A$-Linksmoduln $W_{1}$, $W_{2}$, $...$,
$W_{M}$ unzerlegbar und erf\"{u}llen $W=W_{1}\oplus W_{2}\oplus...\oplus
W_{M}$. Folglich sind die $A$-Linksmoduln $W_{1}$, $W_{2}$, $...$, $W_{M}$
endlichdimensional (da sie Untermoduln des endlichdimensionalen $A$%
-Linksmoduls $W$ sind).

Sei $\mathcal{P}$ die Menge $\left\{  V_{1},V_{2},...,V_{N}\right\}
\cup\left\{  W_{1},W_{2},...,W_{M}\right\}  $. Dann gilt $\left\{  V_{1}%
,V_{2},...,V_{N}\right\}  \subseteq\mathcal{P}$ und $\left\{  W_{1}%
,W_{2},...,W_{M}\right\}  \subseteq\mathcal{P}$. Ferner ist jedes Element von
$\mathcal{P}$ ein endlichdimensionaler unzerlegbarer $A$-Linksmodul (denn die
$A$-Linksmoduln $V_{1}$, $V_{2}$, $...$, $V_{N}$ sind endlichdimensional und
unzerlegbar, und selbiges gilt f\"{u}r die $A$-Linksmoduln $W_{1}$, $W_{2}$,
$...$, $W_{M}$).

Die Relation $\cong$ (Isomorphie von $A$-Linksmoduln) ist eine
\"{A}quivalenzrelation auf der Menge $\mathcal{P}$. Die Faktormenge
$\mathcal{P}\diagup\cong$ besteht aus den \"{A}quivalenzklassen von
$A$-Linksmoduln aus der Menge $\mathcal{P}$ modulo der Relation $\cong$ (also
modulo Isomorphie). F\"{u}r jedes Element $e\in\mathcal{P}\diagup\cong$ sei
$R\left(  e\right)  $ ein Repr\"{a}sentant der \"{A}quivalenzklasse $e$.
Dadurch ist eine Abbildung $R:\left.  \mathcal{P}\diagup\cong\right.
\rightarrow\mathcal{P}$ definiert. Sei $K:\mathcal{P\rightarrow}\left.
\mathcal{P}\diagup\cong\right.  $ die kanonische Projektion von $\mathcal{P}$
auf $\mathcal{P}\diagup\cong$, die jedem Element von $P$ seine
\"{A}quivalenzklasse modulo $\cong$ zuordnet. Sei $\mathcal{Q}$ die Teilmenge
$R\left(  K\left(  \mathcal{P}\right)  \right)  $ von $\mathcal{P}$. Diese
Menge $\mathcal{Q}$ hat dann folgende Eigenschaften:

\begin{itemize}
\item F\"{u}r je zwei $E\in\mathcal{Q}$ und $E^{\prime}\in\mathcal{Q}$ mit
$E\cong E^{\prime}$ muss $E=E^{\prime}$ gelten.\footnote{\textit{Beweis:}
Wegen $E\in\mathcal{Q}=R\left(  K\left(  \mathcal{P}\right)  \right)  $ ist
$E=R\left(  K\left(  F\right)  \right)  $ f\"{u}r irgendein $F\in\mathcal{P}$.
Analog ist $E^{\prime}=R\left(  K\left(  F^{\prime}\right)  \right)  $ f\"{u}r
irgendein $F^{\prime}\in\mathcal{P}$. Wir haben nun $R\left(  K\left(
F\right)  \right)  \cong F$, weil $R\left(  K\left(  F\right)  \right)  $ und
$F$ zwei Repr\"{a}sentanten einer und dergleichen \"{A}quivalenzklasse modulo
$\cong$ (n\"{a}mlich der \"{A}quivalenzklasse $K\left(  F\right)  $) sind.
Analog gilt $R\left(  K\left(  F^{\prime}\right)  \right)  \cong F^{\prime}$.
Also ist $F\cong R\left(  K\left(  F\right)  \right)  =E\cong E^{\prime
}=R\left(  K\left(  F^{\prime}\right)  \right)  \cong F^{\prime}$. Das
hei\ss t, $F$ und $F^{\prime}$ liegen in der gleichen \"{A}quivalenzklasse
bez\"{u}glich $\cong$. Mit anderen Worten, $K\left(  F\right)  =K\left(
F^{\prime}\right)  $, und somit ist $E=R\left(  \underbrace{K\left(  F\right)
}_{=K\left(  F^{\prime}\right)  }\right)  =R\left(  K\left(  F^{\prime
}\right)  \right)  =E^{\prime}$.}

\item F\"{u}r jedes $F\in\mathcal{P}$ gibt es ein $E\in\mathcal{Q}$ mit
$F\cong E$. Und zwar ist dieses $E$ gegeben durch $E=R\left(  K\left(
F\right)  \right)  $ (denn $F\cong R\left(  K\left(  F\right)  \right)  $,
weil $F$ und $R\left(  K\left(  F\right)  \right)  $ zwei Repr\"{a}sentanten
einer und dergleichen \"{A}quivalenzklasse modulo $\cong$ (n\"{a}mlich der
\"{A}quivalenzklasse $K\left(  F\right)  $) sind).
\end{itemize}

Hieraus folgt:%
\begin{equation}
\text{F\"{u}r jedes }F\in\mathcal{P}\text{ gibt es genau ein }E\in
\mathcal{Q}\text{ mit }F\cong E. \tag{I.6.40}%
\end{equation}
\footnote{\textit{Beweis von (I.6.40):} Sei $F\in\mathcal{P}$ beliebig. Dann
gibt es (wie wir wissen) ein $E\in\mathcal{Q}$ mit $F\cong E$. Andererseits
ist dieses $E$ eindeutig, denn f\"{u}r je zwei $E\in\mathcal{Q}$ und
$E^{\prime}\in\mathcal{Q}$ mit $F\cong E$ und $F\cong E^{\prime}$ gilt
$E=E^{\prime}$ (weil $F\cong E$ und $F\cong E^{\prime}$ zu $E\cong F\cong
E^{\prime}$ f\"{u}hren, und wie wir wissen, folgt hieraus $E=E^{\prime}$).
Somit existiert genau ein $E\in\mathcal{Q}$ mit $F\cong E.$ Damit ist (I.6.40)
bewiesen.}

Wir stellen nun fest:%
\begin{align}
&  \text{Ist }r\in\mathbb{N}\text{ und sind }L_{1}\text{, }L_{2}\text{,
}...\text{, }L_{r}\text{ irgendwelche }A\text{-Linksmoduln, die}\nonumber\\
&  \left\{  L_{1},L_{2},...,L_{r}\right\}  \subseteq\mathcal{P}\text{
erf\"{u}llen, dann ist }L_{1}\oplus L_{2}\oplus...\oplus L_{r}\cong%
\bigoplus_{E\in\mathcal{Q}}\bigoplus_{\substack{i\in\left\{
1,2,...,r\right\}  ;\\L_{i}\cong E}}E. \tag{I.6.41}%
\end{align}


\textit{Beweis von\ (I.6.41):} Wir haben%
\[
L_{1}\oplus L_{2}\oplus...\oplus L_{r}=\bigoplus_{i\in\left\{
1,2,...,r\right\}  }L_{i}\cong\bigoplus_{i\in\left\{  1,2,...,r\right\}
}\bigoplus_{\substack{E\in\mathcal{Q};\\L_{i}\cong E}}E
\]
(denn f\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,r\right\}  $ ist $L_{i}%
\cong\bigoplus\limits_{\substack{E\in\mathcal{Q};\\L_{i}\cong E}%
}E$\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Sei $i\in\left\{  1,2,...,r\right\}  $
beliebig. Dann ist $L_{i}\in\left\{  L_{1},L_{2},...,L_{r}\right\}
\subseteq\mathcal{P}$. Daher gibt es genau ein $E\in\mathcal{Q}$ mit
$L_{i}\cong E$ (nach (I.6.40), angewandt auf $L_{i}$ statt $F$). Bezeichnen
wir dieses $E$ mit $E_{1}$. Somit ist $\bigoplus\limits_{\substack{E\in
\mathcal{Q};\\L_{i}\cong E}}E=E_{1}\cong L_{i}$ (denn $L_{i}\cong E_{1}$ nach
der Definition von $E_{1}$), was zu zeigen war.}). Somit ist%
\[
L_{1}\oplus L_{2}\oplus...\oplus L_{r}\cong\bigoplus_{i\in\left\{
1,2,...,r\right\}  }\bigoplus_{\substack{E\in\mathcal{Q};\\L_{i}\cong
E}}E\cong\bigoplus_{E\in\mathcal{Q}}\bigoplus_{\substack{i\in\left\{
1,2,...,r\right\}  ;\\L_{i}\cong E}}E,
\]
womit (I.6.41) bewiesen ist.

Schlie\ss lich ist jedes $E\in\mathcal{Q}$ ein endlichdimensionaler
unzerlegbarer $A$-Linksmodul (denn $\mathcal{Q}\subseteq\mathcal{P}$, und
jedes Element von $\mathcal{P}$ ist ein endlichdimensionaler unzerlegbarer
$A$-Linksmodul). Somit erf\"{u}llt jedes $E\in\mathcal{Q}$ die Gleichung
$\operatorname*{mult}\left(  E,V\right)  =\operatorname*{mult}\left(
E,W\right)  $ (denn jeder endlichdimensionale unzerlegbare $A$-Linksmodul $E$
erf\"{u}llt die Gleichung $\operatorname*{mult}\left(  E,V\right)
=\operatorname*{mult}\left(  E,W\right)  $).

F\"{u}r jedes $E\in\mathcal{Q}$ ist nun%
\begin{align*}
E^{\operatorname*{mult}\left(  E,V\right)  }  &  =E^{\left(  \text{die Anzahl
aller }i\in\left\{  1,2,...,N\right\}  \text{, welche }V_{i}\cong E\text{
erf\"{u}llen}\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach (I.6.39)}\right)
\\
&  \cong\bigoplus_{\substack{i\in\left\{  1,2,...,N\right\}  ;\\V_{i}\cong
E}}E.
\end{align*}
Da $\left(  V_{1},V_{2},...,V_{N}\right)  $ eine vollst\"{a}ndige Zerlegung
des $A$-Linksmoduls $V$ ist, gilt aber%
\begin{align*}
V  &  =V_{1}\oplus V_{2}\oplus...\oplus V_{N}\cong\bigoplus_{E\in\mathcal{Q}%
}\underbrace{\bigoplus_{\substack{i\in\left\{  1,2,...,N\right\}
;\\V_{i}\cong E}}E}_{\cong E^{\operatorname*{mult}\left(  E,V\right)  }%
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach (I.6.41), angewandt auf }r=N\text{ und
}L_{i}=V_{i}\right) \\
&  \cong\bigoplus_{E\in\mathcal{Q}}E^{\operatorname*{mult}\left(  E,V\right)
}.
\end{align*}
Wenden wir genau das gleiche Argument auf den $A$-Linksmodul $W$ mit der
vollst\"{a}ndigen Zerlegung $\left(  W_{1},W_{2},...,W_{M}\right)  $ anstelle
des $A$-Linksmoduls $V$ mit der vollst\"{a}ndigen Zerlegung $\left(
V_{1},V_{2},...,V_{N}\right)  $ an, so erhalten wir:%
\[
W\cong\bigoplus_{E\in\mathcal{Q}}E^{\operatorname*{mult}\left(  E,W\right)
}.
\]
Damit erhalten wir%
\begin{align*}
V  &  \cong\bigoplus_{E\in\mathcal{Q}}E^{\operatorname*{mult}\left(
E,V\right)  }=\bigoplus_{E\in\mathcal{Q}}E^{\operatorname*{mult}\left(
E,W\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\operatorname*{mult}%
\left(  E,V\right)  =\operatorname*{mult}\left(  E,W\right)  \text{ f\"{u}r
jedes }E\in\mathcal{Q}\right) \\
&  \cong W,
\end{align*}
und damit ist die $\Longleftarrow$-Richtung von Bemerkung 6.41 nachgewiesen.

Also sind nun beide Richtungen von Bemerkung 6.41 gezeigt, und der Beweis ist komplett.

\textbf{6.42. Bemerkung:} Sei $A$ eine Algebra \"{u}ber einem K\"{o}rper $k$.
Seien $V$ und $W$ zwei endlichdimensionale $A$-Linksmoduln. Sei $E$ ein
endlichdimensionaler unzerlegbarer $A$-Linksmodul. Dann ist
$\operatorname*{mult}\left(  E,V\oplus W\right)  =\operatorname*{mult}\left(
E,V\right)  +\operatorname*{mult}\left(  E,W\right)  $.

\textit{Beweis von Bemerkung 6.42:} Sei $\left(  V_{1},V_{2},...,V_{N}\right)
$ eine vollst\"{a}ndige Zerlegung von $V$. Dann sind die $A$-Linksmoduln
$V_{1}$, $V_{2}$, $...$, $V_{N}$ unzerlegbar und erf\"{u}llen $V=V_{1}\oplus
V_{2}\oplus...\oplus V_{N}=\bigoplus\limits_{i=1}^{N}V_{i}$.

Sei ferner $\left(  W_{1},W_{2},...,W_{M}\right)  $ eine vollst\"{a}ndige
Zerlegung von $W$. Dann sind die $A$-Linksmoduln $W_{1}$, $W_{2}$, $...$,
$W_{M}$ unzerlegbar und erf\"{u}llen $W=W_{1}\oplus W_{2}\oplus...\oplus
W_{M}=\bigoplus\limits_{i=1}^{M}W_{i}=\bigoplus\limits_{i=N+1}^{N+M}W_{i-N}$
(hier haben wir $i-N$ f\"{u}r $i$ in der Summe substituiert).

Wir definieren f\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,N+M\right\}  $ einen
Untermodul $P_{i}$ des $A$-Linksmoduls $V\oplus W$ durch $P_{i}=\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
V_{i}\oplus0,\text{ wenn }i\leq N;\\
0\oplus W_{i-N}\text{, wenn }i>N
\end{array}
\right.  $ (wobei $V_{i}\oplus0$ als das Bild von $V_{i}$ unter der
kanonischen Einbettung $V\rightarrow V\oplus W$ zu verstehen ist, und $0\oplus
W_{i-N}$ als das Bild von $W_{i-N}$ unter der kanonischen Einbettung
$W\rightarrow V\oplus W$ zu verstehen ist). Dann ist%
\begin{align*}
&  P_{1}\oplus P_{2}\oplus...\oplus P_{N+M}\\
&  =\bigoplus\limits_{i=1}^{N+M}P_{i}=\bigoplus\limits_{i=1}^{N+M}\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
V_{i}\oplus0,\text{ wenn }i\leq N;\\
0\oplus W_{i-N}\text{, wenn }i>N
\end{array}
\right.  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }P_{i}=\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
V_{i}\oplus0,\text{ wenn }i\leq N;\\
0\oplus W_{i-N}\text{, wenn }i>N
\end{array}
\right.  \right) \\
&  =\underbrace{\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{N}\left(  V_{i}\oplus0\right)
\right)  }_{=\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{N}V_{i}\right)  \oplus0}%
\oplus\underbrace{\left(  \bigoplus\limits_{i=N+1}^{N+M}0\oplus W_{i-N}%
\right)  }_{=0\oplus\left(  \bigoplus\limits_{i=N+1}^{N+M}W_{i-N}\right)
}=\left(  \underbrace{\left(  \bigoplus\limits_{i=1}^{N}V_{i}\right)  }%
_{=V}\oplus0\right)  \oplus\left(  0\oplus\underbrace{\left(  \bigoplus
\limits_{i=N+1}^{N+M}W_{i-N}\right)  }_{=W}\right) \\
&  =\left(  V\oplus0\right)  \oplus\left(  0\oplus W\right)  =V\oplus W.
\end{align*}


Die $A$-Linksmoduln $V_{1}$, $V_{2}$, $...$, $V_{N}$ sind unzerlegbar, und
selbiges gilt f\"{u}r die $A$-Linksmoduln $W_{1}$, $W_{2}$, $...$, $W_{M}$.
Folglich ist der $A$-Linksmodul $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
V_{i},\text{ wenn }i\leq N;\\
W_{i-N}\text{, wenn }i>N
\end{array}
\right.  $ unzerlegbar f\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,N+M\right\}  $. Da
$P_{i}=\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
V_{i}\oplus0,\text{ wenn }i\leq N;\\
0\oplus W_{i-N}\text{, wenn }i>N
\end{array}
\right.  \cong\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
V_{i},\text{ wenn }i\leq N;\\
W_{i-N}\text{, wenn }i>N
\end{array}
\right.  $ f\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,N+M\right\}  $ gilt, ist also
der $A$-Linksmodul $P_{i}$ unzerlegbar f\"{u}r jedes $i\in\left\{
1,2,...,N+M\right\}  $. Mit anderen Worten: Die $A$-Linksmoduln $P_{1}$,
$P_{2}$, $...$, $P_{N+M}$ sind unzerlegbar.

Somit ist $\left(  P_{1},P_{2},...,P_{N+M}\right)  $ eine Liste von
unzerlegbaren $A$-Untermoduln von $V\oplus W$, die $V\oplus W=P_{1}\oplus
P_{2}\oplus...\oplus P_{N+M}$ erf\"{u}llt. Mit anderen Worten: $\left(
P_{1},P_{2},...,P_{N+M}\right)  $ ist eine vollst\"{a}ndige Zerlegung von
$V\oplus W$. Nach (I.6.39) (angewandt auf den $A$-Linksmodul $V\oplus W$ mit
der vollst\"{a}ndigen Zerlegung $\left(  P_{1},P_{2},...,P_{N+M}\right)  $
anstelle des $A$-Linksmoduls $V$ mit der vollst\"{a}ndigen Zerlegung $\left(
V_{1},V_{2},...,V_{N}\right)  $) gilt nun%
\begin{align*}
\operatorname*{mult}\left(  E,V\oplus W\right)   &  =\left(  \text{die Anzahl
aller }i\in\left\{  1,2,...,N+M\right\}  \text{, welche }P_{i}\cong E\text{
erf\"{u}llen}\right) \\
&  =\left\vert \left\{  i\in\left\{  1,2,...,N+M\right\}  \ \mid\ P_{i}\cong
E\right\}  \right\vert \\
&  =\left\vert \left\{  i\in\left\{  1,2,...,N\right\}  \ \mid\ P_{i}\cong
E\right\}  \right\vert +\left\vert \left\{  i\in\left\{
N+1,N+2,...,N+M\right\}  \ \mid\ P_{i}\cong E\right\}  \right\vert
\end{align*}
(denn die Menge $\left\{  i\in\left\{  1,2,...,N+M\right\}  \ \mid\ P_{i}\cong
E\right\}  $ ist die Vereinigung ihrer disjunkten Teilmengen $\left\{
i\in\left\{  1,2,...,N\right\}  \ \mid\ P_{i}\cong E\right\}  $ und $\left\{
i\in\left\{  N+1,N+2,...,N+M\right\}  \ \mid\ P_{i}\cong E\right\}  $).

Doch%
\begin{align*}
&  \left\vert \left\{  i\in\left\{  1,2,...,N\right\}  \ \mid\ P_{i}\cong
E\right\}  \right\vert \\
&  =\left\vert \left\{  i\in\left\{  1,2,...,N\right\}  \ \mid\ V_{i}\cong
E\right\}  \right\vert \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn f\"{u}r alle }i\in\left\{  1,2,...,N\right\}  \text{ gilt }%
P_{i}\cong\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
V_{i},\text{ wenn }i\leq N;\\
W_{i-N}\text{, wenn }i>N
\end{array}
\right.  =V_{i}\text{,}\\
\text{und somit ist }P_{i}\cong E\text{ \"{a}quivalent zu }V_{i}\cong E
\end{array}
\right) \\
&  =\left(  \text{die Anzahl aller }i\in\left\{  1,2,...,N\right\}  \text{,
welche }V_{i}\cong E\text{ erf\"{u}llen}\right)  =\operatorname*{mult}\left(
E,V\right)
\end{align*}
(nach (I.6.39)) und%
\begin{align*}
&  \left\vert \left\{  i\in\left\{  N+1,N+2,...,N+M\right\}  \ \mid
\ P_{i}\cong E\right\}  \right\vert \\
&  =\left\vert \left\{  i\in\left\{  N+1,N+2,...,N+M\right\}  \ \mid
\ W_{i-N}\cong E\right\}  \right\vert \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn f\"{u}r alle }i\in\left\{  N+1,N+2,...,N+M\right\}  \text{ ist
}P_{i}\cong\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
V_{i},\text{ wenn }i\leq N;\\
W_{i-N}\text{, wenn }i>N
\end{array}
\right.  =W_{i-N}\text{,}\\
\text{und somit ist }P_{i}\cong E\text{ \"{a}quivalent zu }W_{i-N}\cong E
\end{array}
\right) \\
&  =\left\vert \left\{  i\in\left\{  1,2,...,M\right\}  \ \mid\ W_{i}\cong
E\right\}  \right\vert \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn die Abbildung}\\
\left\{  i\in\left\{  1,2,...,M\right\}  \ \mid\ W_{i}\cong E\right\}
\rightarrow\left\{  i\in\left\{  N+1,N+2,...,N+M\right\}  \ \mid\ W_{i-N}\cong
E\right\}  \text{,}\\
i\mapsto i+N\text{ ist eine Bijektion}%
\end{array}
\right) \\
&  =\left(  \text{die Anzahl aller }i\in\left\{  1,2,...,M\right\}  \text{,
welche }W_{i}\cong E\text{ erf\"{u}llen}\right)  =\operatorname*{mult}\left(
E,W\right)
\end{align*}
(nach (I.6.39), angewandt auf den $A$-Linksmodul $W$ mit der vollst\"{a}ndigen
Zerlegung $\left(  W_{1},W_{2},...,W_{M}\right)  $ anstelle des $A$%
-Linksmoduls $V$ mit der vollst\"{a}ndigen Zerlegung $\left(  V_{1}%
,V_{2},...,V_{N}\right)  $). Somit haben wir%
\begin{align*}
\operatorname*{mult}\left(  E,V\oplus W\right)   &  =\underbrace{\left\vert
\left\{  i\in\left\{  1,2,...,N\right\}  \ \mid\ P_{i}\cong E\right\}
\right\vert }_{=\operatorname*{mult}\left(  E,V\right)  }%
+\underbrace{\left\vert \left\{  i\in\left\{  N+1,N+2,...,N+M\right\}
\ \mid\ P_{i}\cong E\right\}  \right\vert }_{=\operatorname*{mult}\left(
E,W\right)  }\\
&  =\operatorname*{mult}\left(  E,V\right)  +\operatorname*{mult}\left(
E,W\right)  .
\end{align*}
Damit ist Bemerkung 6.42 bewiesen.

\textbf{6.43. Folgerung:} Sei $A$ eine Algebra \"{u}ber einem K\"{o}rper $k$.
Sei $E$ ein endlichdimensionaler unzerlegbarer $A$-Linksmodul. Sei
$t\in\mathbb{N}$.

\textbf{(a)} Seien $V_{1}$, $V_{2}$, $...$, $V_{t}$ endlichdimensionale
$A$-Linksmoduln. Dann ist $\operatorname*{mult}\left(  E,\bigoplus
\limits_{i=1}^{t}V_{i}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{t}\operatorname*{mult}%
\left(  E,V_{i}\right)  $.

\textbf{(b)} Sei $V$ ein endlichdimensionaler $A$-Linksmodul. Dann ist
$\operatorname*{mult}\left(  E,V^{t}\right)  =t\cdot\operatorname*{mult}%
\left(  E,V\right)  $.

\textit{Beweis von Folgerung 6.43:} Folgerung 6.43 \textbf{(a)} folgt aus
Bemerkung 6.42 durch vollst\"{a}ndige Induktion nach $t$. Folgerung 6.43
\textbf{(b)} folgt aus Folgerung 6.43 \textbf{(a)} (angewandt auf $V_{1}=V$,
$V_{2}=V$, $...$, $V_{t}=V$). Damit ist Folgerung 6.43 bewiesen.

\textit{Beweis von Satz 6.40:} Wenden wir Bemerkung 6.41 auf $V^{t}$ und
$W^{t}$ statt $V$ bzw. $W$ an, so erhalten wir: Genau dann gilt $V^{t}\cong
W^{t}$, wenn jeder endlichdimensionale unzerlegbare $A$-Linksmodul $E$ die
Gleichung $\operatorname*{mult}\left(  E,V^{t}\right)  =\operatorname*{mult}%
\left(  E,W^{t}\right)  $ erf\"{u}llt. Da wir $V^{t}\cong W^{t}$ laut Annahme
wissen, folgern wir also hieraus, da\ss \ jeder endlichdimensionale
unzerlegbare $A$-Linksmodul $E$ die Gleichung $\operatorname*{mult}\left(
E,V^{t}\right)  =\operatorname*{mult}\left(  E,W^{t}\right)  $ erf\"{u}llt.
Nach Folgerung 6.43 \textbf{(b)} ist aber $\operatorname*{mult}\left(
E,V^{t}\right)  =t\cdot\operatorname*{mult}\left(  E,V\right)  $, und
Anwendung von Folgerung 6.43 \textbf{(b)} auf $W$ statt $V$ ergibt
$\operatorname*{mult}\left(  E,W^{t}\right)  =t\cdot\operatorname*{mult}%
\left(  E,W\right)  $. Folglich erf\"{u}llt jeder endlichdimensionale
unzerlegbare $A$-Linksmodul $E$ die Gleichung $\operatorname*{mult}\left(
E,V\right)  =\operatorname*{mult}\left(  E,W\right)  $ (denn $t\cdot
\operatorname*{mult}\left(  E,V\right)  =\operatorname*{mult}\left(
E,V^{t}\right)  =\operatorname*{mult}\left(  E,W^{t}\right)  =t\cdot
\operatorname*{mult}\left(  E,W\right)  $, und wegen $t\neq0$ kann man diese
Gleichung durch $t$ teilen). Laut Bemerkung 6.41 ist diese Aussage aber
\"{a}quivalent zu $V\cong W$. Somit erhalten wir $V\cong W$, und Satz 6.40 ist bewiesen.

Bevor wir weitergehen, wollen wir ein zu Satz 6.40 \"{a}hnliches Resultat
beweisen (das wir allerdings nur wegen seiner Kuriosit\"{a}t beweisen; mir ist
keine Anwendung bekannt):

\textbf{6.44. Satz (Summenk\"{u}rzungssatz f\"{u}r }$A$\textbf{-Linksmoduln):}
Sei $A$ eine Algebra \"{u}ber einem K\"{o}rper $k$.

Seien $U$, $V$ und $W$ drei endlichdimensionale $A$-Linksmoduln. Angenommen,
$V\oplus U\cong W\oplus U$ als $A$-Linksmoduln. Dann ist $V\cong W$ als $A$-Linksmoduln.

\textit{Beweis von Satz 6.44:} Wenden wir Bemerkung 6.41 auf $V\oplus U$ und
$W\oplus U$ statt $V$ bzw. $W$ an, so erhalten wir: Genau dann gilt $V\oplus
U\cong W\oplus U$, wenn jeder endlichdimensionale unzerlegbare $A$-Linksmodul
$E$ die Gleichung $\operatorname*{mult}\left(  E,V\oplus U\right)
=\operatorname*{mult}\left(  E,W\oplus U\right)  $ erf\"{u}llt. Da wir
$V\oplus U\cong W\oplus U$ laut Annahme wissen, folgern wir also hieraus,
da\ss \ jeder endlichdimensionale unzerlegbare $A$-Linksmodul $E$ die
Gleichung $\operatorname*{mult}\left(  E,V\oplus U\right)
=\operatorname*{mult}\left(  E,W\oplus U\right)  $ erf\"{u}llt. Nach Folgerung
6.42 (angewandt auf $V$ und $U$ statt $V$ und $W$) ist aber
$\operatorname*{mult}\left(  E,V\oplus U\right)  =\operatorname*{mult}\left(
E,V\right)  +\operatorname*{mult}\left(  E,U\right)  $, und Anwendung von
Folgerung 6.42 auf $W$ und $U$ statt $V$ und $W$ ergibt $\operatorname*{mult}%
\left(  E,W\oplus U\right)  =\operatorname*{mult}\left(  E,W\right)
+\operatorname*{mult}\left(  E,U\right)  $. Folglich erf\"{u}llt jeder
endlichdimensionale unzerlegbare $A$-Linksmodul $E$ die Gleichung
$\operatorname*{mult}\left(  E,V\right)  =\operatorname*{mult}\left(
E,W\right)  $ (denn $\operatorname*{mult}\left(  E,V\right)
+\operatorname*{mult}\left(  E,U\right)  =\operatorname*{mult}\left(
E,V\oplus U\right)  =\operatorname*{mult}\left(  E,W\oplus U\right)
=\operatorname*{mult}\left(  E,W\right)  +\operatorname*{mult}\left(
E,U\right)  $). Laut Bemerkung 6.41 ist diese Aussage aber \"{a}quivalent zu
$V\cong W$. Somit erhalten wir $V\cong W$, und Satz 6.44 ist bewiesen.

Ab dieser Stelle bedeutet "$V\cong W$" nicht mehr notwendigerweise "$V$ und
$W$ sind zueinander isomorph als $A$-Linksmoduln" (sondern, je nach Kontext,
unterschiedliche Arten von Isomorphie - es kann auch Isomorphie als
$A$-Linksmoduln sein).

Die meisten Anwendungen von Satz 6.40 gehen \"{u}ber folgendes Korollar:

\textbf{6.45. Satz (endlicher Noether-Deuring-Satz):} Sei $A$ eine Algebra
\"{u}ber einem K\"{o}rper $k$. Sei $K\diagup k$ eine endliche
K\"{o}rpererweiterung. Bekanntlich l\"{a}\ss t sich dann f\"{u}r jeden
$A$-Linksmodul $U$ ein $A\otimes_{k}K$-Linksmodul $U\otimes_{k}K$ definieren
(die Modulstruktur ist dabei gegeben durch $\left(  a\otimes_{k}\ell\right)
\left(  u\otimes_{k}\ell^{\prime}\right)  =au\otimes_{k}\ell\ell^{\prime}$
f\"{u}r alle $a\in A$, $\ell\in K$, $u\in U$ und $\ell^{\prime}\in K$).

Seien $V$ und $W$ zwei endlichdimensionale $A$-Linksmoduln. Angenommen,
$V\otimes_{k}K\cong W\otimes_{k}K$ als $A\otimes_{k}K$-Linksmoduln. Dann ist
$V\cong W$ als $A$-Linksmoduln.

\textit{Beweis von Satz 6.45:} Verm\"{o}ge des $k$-Algebrenhomomorphismus%
\[
A\rightarrow A\otimes_{k}K,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto a\otimes_{k}1
\]
wird jeder $A\otimes_{k}K$-Linksmodul zu einem $A$-Linksmodul. Da
$V\otimes_{k}K\cong W\otimes_{k}K$ als $A\otimes_{k}K$-Linksmoduln gilt, ist
also auch $V\otimes_{k}K\cong W\otimes_{k}K$ als $A$-Linksmoduln. Doch als
$A$-Linksmoduln ist
\begin{align*}
V\otimes_{k}K  &  \cong V\otimes_{k}k^{\left[  K:k\right]  }%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }K\cong k^{\left[  K:k\right]  }\text{
als }k\text{-Vektorraum}\right) \\
&  \cong V^{\left[  K:k\right]  }%
\end{align*}
und analog $W\otimes_{k}K\cong W^{\left[  K:k\right]  }$. Es gilt also
$V^{\left[  K:k\right]  }\cong V\otimes_{k}K\cong W\otimes_{k}K\cong
W^{\left[  K:k\right]  }$ als $A$-Linksmoduln. Laut Satz 6.40 (angewandt auf
$t=\left[  K:k\right]  $) folgt hieraus $V\cong W$ als $A$-Linksmoduln, und
Satz 6.45 ist bewiesen.

Man kann Satz 6.45 auch auf unendliche K\"{o}rpererweiterungen ausdehnen, was
wir hier aber nicht machen (es ist nicht schwer, aber ben\"{o}tigt eine neue
Idee). Es ist jedoch sehr leicht, Satz 6.45 auf algebraische
K\"{o}rpererweiterungen auszudehnen.

Die Hauptanwendung von Satz 6.45 besteht darin, da\ss \ man mit seiner Hilfe
die Isomorphie zweier Darstellungen \"{u}ber einem K\"{o}rper $k$ beweisen
kann, indem man ihre Isomorphie \"{u}ber \textit{einem gr\"{o}\ss eren
K\"{o}rper} als $k$ beweist, idealerweise dem algebraischen Abschluss von $k$
(der zwar im Allgemeinen keine endliche, aber doch eine algebraische
Erweiterung von $k$ ist). Viele Standardmethoden der Darstellungstheorie
funktionieren nur \"{u}ber algebraisch abgeschlossenen K\"{o}rpern, und durch
Resultate wie Satz 6.45 kann man Isomorphien von Darstellungen von algebraisch
abgeschlossenen K\"{o}rpern auf beliebige K\"{o}rper "herunterprojizieren".
Satz 6.45 ist einer der ersten S\"{a}tze aus der sogenannten Galois-Abstiegstheorie.

\bigskip

\fbox{\textbf{K\"{u}rzung f\"{u}r mehrfache Linksmoduln}}

Mit Satz 6.40 haben wir ein Kriterium f\"{u}r die Isomorphie zweier
$A$-Linksmoduln formuliert. Wir wollen jetzt dieses Kriterium verallgemeinern
- n\"{a}mlich zu einem Kriterium daf\"{u}r, wann zwei Vektorr\"{a}ume
\textit{mit mehreren gleichzeitigen Linksmodulstrukturen} zueinander isomorph sind.

An dieser Stelle wollen wir an eine notationelle Vereinbarung erinnern, die
wir vor l\"{a}ngerem (in Bemerkung 2.21$\dfrac{\text{19}}{\text{20}}$)
getroffen haben: Wenn $k$ ein K\"{o}rper ist, wenn $R$ eine $k$-Algebra und
$V$ ein $k$-Vektorraum ist, dann verstehen wir unter einer "$R$%
-Linksmodulstruktur auf $V$" eigentlich eine $\left(  R\right)  _{k}%
$-Linksmodulstruktur auf $V$. Eine solche Linksmodulstruktur mu\ss \ (im
Unterschied zu unserem urspr\"{u}nglichen Begriff von "$R$-Linksmodulstruktur
auf $V$") stets
\[
\left(  \lambda\cdot1_{R}\right)  v=\lambda v\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }\lambda\in k\text{ und }v\in V
\]
erf\"{u}llen.

Dies f\"{u}hrt insbesondere dazu, da\ss \ ein Vektorraum $V$, auf dem
gleichzeitig $A_{i}$-Linksmodulstrukturen f\"{u}r mehrere $k$-Algebren $A_{1}%
$, $A_{2}$, $...$, $A_{n}$ definiert sind, stets%
\[
\left(  \lambda\cdot1_{A_{1}}\right)  v=\left(  \lambda\cdot1_{A_{2}}\right)
v=...=\left(  \lambda\cdot1_{A_{n}}\right)  v\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }\lambda\in k\text{ und }v\in V
\]
erf\"{u}llen mu\ss \ (denn $\left(  \lambda\cdot1_{A_{i}}\right)  v=\lambda v$
f\"{u}r alle $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $). W\"{u}rden wir den Begriff
"$A_{i}$-Linksmodulstruktur" nicht als "$\left(  A_{i}\right)  _{k}%
$-Linksmodulstruktur" lesen, sondern im urspr\"{u}nglichen Sinne (also im
Sinne einer Linksmodulstruktur \"{u}ber dem \textit{Ring} $A_{i}$, ohne
da\ss \ die $k$-Algebrastruktur auf $A_{i}$ eine Rolle spielt), dann w\"{u}rde
dies nicht immer erf\"{u}llt sein, und einige der folgenden Resultate
w\"{a}ren falsch.

Wir beginnen mit einer Verallgemeinerung von Satz 6.40:

\textbf{6.50. Satz:} Sei $n\in\mathbb{N}$. Seien $A_{1}$, $A_{2}$, $...$,
$A_{n}$ beliebige Algebren \"{u}ber einem K\"{o}rper $k$.

Seien $V$ und $W$ zwei endlichdimensionale $k$-Vektorr\"{a}ume. Angenommen,
f\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ haben wir auf dem Vektorraum
$V$ eine $A_{i}$-Linksmodulstruktur, und auf dem Vektorraum $W$ eine $A_{i}%
$-Linksmodulstruktur gegeben.

Sei $t\geq1$ eine nat\"{u}rliche Zahl. Angenommen, es gibt einen Isomorphismus
$\Phi:V^{t}\rightarrow W^{t}$ von Vektorr\"{a}umen, der f\"{u}r jedes
$i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ ein Isomorphismus von $A_{i}$-Linksmoduln
ist. Dann gibt es einen Isomorphismus $\phi:V\rightarrow W$ von
Vektorr\"{a}umen, der f\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ ein
Isomorphismus von $A_{i}$-Linksmoduln ist.

Bevor wir diesen Satz beweisen, eine kurze Definition:

\textbf{Definition:} Sei $R$ eine Algebra \"{u}ber einem K\"{o}rper $k$. Sei
$V$ ein $R$-Linksmodul. Dann bezeichnen wir mit $\rho_{R,V}$ die Abbildung
$R\rightarrow\operatorname*{End}V$ (wobei $\operatorname*{End}V$ hier f\"{u}r
$\operatorname*{End}\nolimits_{k}V$ steht), die durch%
\[
\rho_{R,V}\left(  r\right)  =\left(  V\rightarrow
V,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v\mapsto rv\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }r\in R
\]
definiert ist. Diese Abbildung $\rho_{R,V}$ nennen wir auch die
\textit{Darstellungsabbildung} des $R$-Linksmoduls $V$.

Bekanntlich ist diese Darstellungsabbildung $\rho_{R,V}$ ein $k$%
-Algebrahomomorphismus. Seine wichtigste Eigenschaft ist $\left(  \rho
_{R,V}\left(  r\right)  \right)  v=rv$ f\"{u}r alle $r\in R$ und $v\in V$
(dies folgt sofort aus der Definition von $\rho_{R,V}$).

\textit{Beweis von Satz 6.50:} Im Verlauf des nachfolgenden Beweises werden
wir die Bezeichnung $\operatorname*{End}$ immer als Abk\"{u}rzung f\"{u}r
$\operatorname*{End}\nolimits_{k}$ verwenden (wie immer).

F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ sei $v_{i}$ die
Darstellungsabbildung $\rho_{A_{i},V}$ des $A_{i}$-Linksmoduls $V$, und sei
$w_{i}$ die Darstellungsabbildung $\rho_{A_{i},W}$ des $A_{i}$-Linksmoduls
$W$. Diese Abbildungen $v_{i}$ und $w_{i}$ sind $k$-Algebrahomomorphismen
f\"{u}r alle $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ (denn wir wissen,
da\ss \ $\rho_{R,V}$ ein $k$-Algebrahomomorphismus ist f\"{u}r jede
$k$-Algebra $R$ und jeden $R$-Linksmodul $V$).

F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ sei $p_{i}$ die $k$-lineare
Abbildung $A_{i}\rightarrow\operatorname*{End}V\times\operatorname*{End}W$,
die durch%
\[
p_{i}\left(  a\right)  =\left(  v_{i}\left(  a\right)  ,w_{i}\left(  a\right)
\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }a\in A_{i}%
\]
definiert ist. Es ist leicht einzusehen, da\ss \ $p_{i}$ ein $k$%
-Algebrahomomorphismus ist (denn $v_{i}$ und $w_{i}$ sind $k$-Algebrahomomorphismen).

Sei $P$ die Unteralgebra von $\operatorname*{End}V\times\operatorname*{End}W$,
die erzeugt ist von den Untervektorr\"{a}umen $p_{1}\left(  A_{1}\right)  $,
$p_{2}\left(  A_{2}\right)  $, $...$, $p_{n}\left(  A_{n}\right)  $.
Offensichtlich ist dann $p_{i}\left(  A_{i}\right)  \subseteq P$ f\"{u}r alle
$i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $.

Der Vektorraum $V$ ist ein $\operatorname*{End}V\times\operatorname*{End}%
W$-Linksmodul, wobei die Linkswirkung durch
\[
\left(  F,G\right)  v=F\left(  v\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }\left(  F,G\right)  \in\operatorname*{End}V\times\operatorname*{End}%
W\text{ und }v\in V
\]
gegeben ist.

Der Vektorraum $W$ ist ein $\operatorname*{End}V\times\operatorname*{End}%
W$-Linksmodul, wobei die Linkswirkung durch%
\[
\left(  F,G\right)  w=G\left(  w\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }\left(  F,G\right)  \in\operatorname*{End}V\times\operatorname*{End}%
W\text{ und }w\in W
\]
gegeben ist.

Die Vektorr\"{a}ume $V$ und $W$ sind also zwei $\operatorname*{End}%
V\times\operatorname*{End}W$-Linksmoduln. Durch Restriktion werden $V$ und $W$
also zu $P$-Linksmoduln (denn $P$ ist eine Unteralgebra von
$\operatorname*{End}V\times\operatorname*{End}W$). Somit werden auch $V^{t}$
und $W^{t}$ zu $P$-Linksmoduln.

Wir wollen nun beweisen, da\ss \ $\Phi:V^{t}\rightarrow W^{t}$ ein
$P$-Linksmodulhomomorphismus ist.

Dazu wollen wir zuerst zeigen:%
\begin{equation}
\text{F\"{u}r jedes }x\in V\text{, jedes }i\in\left\{  1,2,...,n\right\}
\text{ und jedes }a\in A_{i}\text{ gilt }\left(  p_{i}\left(  a\right)
\right)  x=ax. \tag{I.6.48}%
\end{equation}
Dabei ist der Term $\left(  p_{i}\left(  a\right)  \right)  x$ als die
Linkswirkung des Elementes $p_{i}\left(  a\right)  \in P$ auf dem Element $x$
des $P$-Linksmoduls $V$ zu verstehen, und der Term $ax$ ist als die
Linkswirkung des Elementes $a\in A_{i}$ auf dem Element $x$ des $A_{i}%
$-Linksmoduls $V$ zu verstehen.

\textit{Beweis von (I.6.48):} Aus $p_{i}\left(  a\right)  =\left(
v_{i}\left(  a\right)  ,w_{i}\left(  a\right)  \right)  $ folgt%
\begin{align*}
\left(  p_{i}\left(  a\right)  \right)  \left(  x\right)   &  =\left(
v_{i}\left(  a\right)  ,w_{i}\left(  a\right)  \right)  \left(  x\right)
=\left(  \underbrace{v_{i}}_{=\rho_{A_{i},V}}\left(  a\right)  \right)
\left(  x\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn so wirkt
}\operatorname*{End}V\times\operatorname*{End}W\text{ auf }V\right) \\
&  =\left(  \rho_{A_{i},V}\left(  a\right)  \right)  \left(  x\right)  =ax,
\end{align*}
und (I.6.48) ist bewiesen.

Analog zu (I.6.48) zeigt man:%
\begin{equation}
\text{F\"{u}r jedes }y\in W\text{, jedes }i\in\left\{  1,2,...,n\right\}
\text{ und jedes }a\in A_{i}\text{ gilt }\left(  p_{i}\left(  a\right)
\right)  y=ay. \tag{I.6.49}%
\end{equation}
Dabei ist der Term $\left(  p_{i}\left(  a\right)  \right)  y$ als die
Linkswirkung des Elementes $p_{i}\left(  a\right)  \in P$ auf dem Element $y$
des $P$-Linksmoduls $W$ zu verstehen, und der Term $ay$ ist als die
Linkswirkung des Elementes $a\in A_{i}$ auf dem Element $y$ des $A_{i}%
$-Linksmoduls $W$ zu verstehen.

Als n\"{a}chstes zeigen wir:%
\begin{equation}
\text{F\"{u}r jedes }\xi\in V^{t}\text{, jedes }i\in\left\{
1,2,...,n\right\}  \text{ und jedes }a\in A_{i}\text{ gilt }\left(
p_{i}\left(  a\right)  \right)  \xi=a\xi. \tag{I.6.50}%
\end{equation}
Dabei ist der Term $\left(  p_{i}\left(  a\right)  \right)  \xi$ als die
Linkswirkung des Elementes $p_{i}\left(  a\right)  \in P$ auf dem Element
$\xi$ des $P$-Linksmoduls $V^{t}$ zu verstehen.

\textit{Beweis von (I.6.50):} Da $\xi\in V^{t}$ ist, k\"{o}nnen wir $\xi$ in
der Form $\left(  \xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{t}\right)  $ mit $\xi_{1},\xi
_{2},...,\xi_{t}\in V$ schreiben. Daher ist
\begin{align*}
\left(  p_{i}\left(  a\right)  \right)  \xi &  =\left(  p_{i}\left(  a\right)
\right)  \left(  \xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{t}\right)  =\left(  \left(
p_{i}\left(  a\right)  \right)  \left(  \xi_{1}\right)  ,\left(  p_{i}\left(
a\right)  \right)  \left(  \xi_{2}\right)  ,...,\left(  p_{i}\left(  a\right)
\right)  \left(  \xi_{t}\right)  \right) \\
&  =\left(  a\xi_{1},a\xi_{2},...,a\xi_{t}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
%
\begin{array}
[c]{c}%
\text{da }\left(  p_{i}\left(  a\right)  \right)  \left(  \xi_{i}\right)
=a\xi_{i}\text{ f\"{u}r jedes }i\in\left\{  1,2,...,t\right\} \\
\text{(nach (I.6.48), angewandt auf }x=\xi_{i}\text{)}%
\end{array}
\right) \\
&  =a\underbrace{\left(  \xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{t}\right)  }_{=\xi}=a\xi,
\end{align*}
und (I.6.50) ist gezeigt.

Analog zu (I.6.50) l\"{a}\ss t sich zeigen:%
\begin{equation}
\text{F\"{u}r jedes }\eta\in W^{t}\text{, jedes }i\in\left\{
1,2,...,n\right\}  \text{ und jedes }a\in A_{i}\text{ gilt }\left(
p_{i}\left(  a\right)  \right)  \eta=a\eta. \tag{I.6.51}%
\end{equation}
Dabei ist der Term $\left(  p_{i}\left(  a\right)  \right)  \eta$ als die
Linkswirkung des Elementes $p_{i}\left(  a\right)  \in P$ auf dem Element
$\eta$ des $P$-Linksmoduls $W^{t}$ zu verstehen.

Wir betrachten nun die Darstellungsabbildung $\rho_{P,V^{t}}$ des
$P$-Linksmoduls $V^{t}$, und die Darstellungsabbildung $\rho_{P,W^{t}}$ des
$P$-Linksmoduls $W^{t}$. Diese beiden Abbildungen $\rho_{P,V^{t}}$ und
$\rho_{P,W^{t}}$ sind $k$-Algebrahomomorphismen (denn $\rho_{R,V}$ ist ein
$k$-Algebrahomomorphismus f\"{u}r jede $k$-Algebra $R$ und jeden
$R$-Linksmodul $V$), also insbesondere $k$-linear.

Sei eine Teilmenge $Z$ der Algebra $P$ definiert durch%
\[
Z=\left\{  r\in P\ \mid\ \rho_{P,W^{t}}\left(  r\right)  \circ\Phi=\Phi
\circ\rho_{P,V^{t}}\left(  r\right)  \right\}  .
\]
Es ist sehr leicht zu sehen, da\ss \ $Z$ der Kern einer $k$-linearen Abbildung
ist (denn die Abbildung%
\[
P\rightarrow\operatorname*{Hom}\left(  V^{t},W^{t}\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r\mapsto\rho_{P,W^{t}}\left(  r\right)  \circ\Phi
-\Phi\circ\rho_{P,V^{t}}\left(  r\right)
\]
ist $k$-linear (weil $\rho_{P,W^{t}}$ und $\rho_{P,V^{t}}$ beide $k$-linear
sind), und $Z$ ist der Kern dieser Abbildung). Folglich ist $Z$ ein
Untervektorraum von $P$. Ferner ist $1_{P}\in Z$ (nach der Definition von $Z$,
denn $\rho_{P,W^{t}}\left(  1_{P}\right)  \circ\Phi=\Phi\circ\rho_{P,V^{t}%
}\left(  1_{P}\right)  $\ \ \ \ \footnote{Denn da $\rho_{P,W^{t}}$ ein
$k$-Algebrahomomorphismus ist, ist $\rho_{P,W^{t}}\left(  1_{P}\right)
=\operatorname*{id}$, und analog ist $\rho_{P,V^{t}}\left(  1_{P}\right)  =
\operatorname*{id} $, und somit ist $\rho_{P,W^{t}}\left(  1_{P}\right)
\circ\Phi=\Phi\circ\rho_{P,V^{t}}\left(  1_{P}\right)  $ trivial.}), und
f\"{u}r alle $r\in Z$ und $r^{\prime}\in Z$ gilt $rr^{\prime}\in
Z$\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Aus $r\in Z$ folgt $\rho_{P,W^{t}}\left(
r\right)  \circ\Phi=\Phi\circ\rho_{P,V^{t}}\left(  r\right)  $ (nach der
Definition von $Z$). Aus $r^{\prime}\in Z$ folgt $\rho_{P,W^{t}}\left(
r^{\prime}\right)  \circ\Phi=\Phi\circ\rho_{P,V^{t}}\left(  r^{\prime}\right)
$ (nach der Definition von $Z$). Da $\rho_{P,V^{t}}$ ein $k$%
-Algebrahomomorphismus ist, gilt $\rho_{P,V^{t}}\left(  rr^{\prime}\right)
=\rho_{P,V^{t}}\left(  r\right)  \circ\rho_{P,V^{t}}\left(  r^{\prime}\right)
$, und analog ist $\rho_{P,W^{t}}\left(  rr^{\prime}\right)  =\rho_{P,W^{t}%
}\left(  r\right)  \circ\rho_{P,W^{t}}\left(  r^{\prime}\right)  $. Daher ist%
\begin{align*}
\underbrace{\rho_{P,W^{t}}\left(  rr^{\prime}\right)  }_{=\rho_{P,W^{t}%
}\left(  r\right)  \circ\rho_{P,W^{t}}\left(  r^{\prime}\right)  }\circ\Phi &
=\rho_{P,W^{t}}\left(  r\right)  \circ\underbrace{\rho_{P,W^{t}}\left(
r^{\prime}\right)  \circ\Phi}_{=\Phi\circ\rho_{P,V^{t}}\left(  r^{\prime
}\right)  }=\underbrace{\rho_{P,W^{t}}\left(  r\right)  \circ\Phi}_{=\Phi
\circ\rho_{P,V^{t}}\left(  r\right)  }\circ\rho_{P,V^{t}}\left(  r^{\prime
}\right) \\
&  =\Phi\circ\underbrace{\rho_{P,V^{t}}\left(  r\right)  \circ\rho_{P,V^{t}%
}\left(  r^{\prime}\right)  }_{=\rho_{P,V^{t}}\left(  rr^{\prime}\right)
}=\Phi\circ\rho_{P,V^{t}}\left(  rr^{\prime}\right)  .
\end{align*}
Nach der Definition von $Z$ bedeutet dies aber genau, da\ss \ $rr^{\prime}\in
Z$ ist. Damit ist $rr^{\prime}\in Z$ gezeigt.}. Somit ist der $k$%
-Untervektorraum $Z$ von $P$ eine $k$-Unteralgebra von $P$.

Wir wollen nun zeigen, da\ss \ $p_{i}\left(  A_{i}\right)  \subseteq Z$
f\"{u}r alle $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ gilt.

In der Tat sei $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ beliebig. Sei $a\in A_{i}$
beliebig. Wir werden nun zeigen, da\ss \ $p_{i}\left(  a\right)  \in Z$ ist.

F\"{u}r jedes $\xi\in V^{t}$ gilt%
\begin{align*}
\left(  \rho_{P,W^{t}}\left(  p_{i}\left(  a\right)  \right)  \circ
\Phi\right)  \left(  \xi\right)   &  =\left(  \rho_{P,W^{t}}\left(
p_{i}\left(  a\right)  \right)  \right)  \left(  \Phi\left(  \xi\right)
\right)  =\left(  p_{i}\left(  a\right)  \right)  \left(  \Phi\left(
\xi\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{nach der Gleichung }\left(  \rho_{R,V}\left(  r\right)  \right)
v=rv\text{, angewandt auf}\\
P\text{, }W^{t}\text{, }p_{i}\left(  a\right)  \text{ und }\Phi\left(
\xi\right)  \text{ statt }R\text{, }V\text{, }r\text{ und }v
\end{array}
\right) \\
&  =a\Phi\left(  \xi\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach (I.6.51),
angewandt auf }\eta=\Phi\left(  \xi\right)  \right) \\
&  =\Phi\left(  a\xi\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }%
\Phi\text{ ist ein Homomorphismus von }A_{i}\text{-Linksmoduln}\right) \\
&  =\Phi\left(  \left(  p_{i}\left(  a\right)  \right)  \xi\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn (I.6.50) ergibt }a\xi=\left(
p_{i}\left(  a\right)  \right)  \xi\right) \\
&  =\Phi\left(  \left(  \rho_{P,V^{t}}\left(  p_{i}\left(  a\right)  \right)
\right)  \xi\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn die Gleichung }\left(  \rho_{R,V}\left(  r\right)  \right)
v=rv\text{ (angewandt auf}\\
P\text{, }V^{t}\text{, }p_{i}\left(  a\right)  \text{ und }\xi\text{ statt
}R\text{, }V\text{, }r\text{ und }v\text{) ergibt}\\
\left(  \rho_{P,V^{t}}\left(  p_{i}\left(  a\right)  \right)  \right)
\xi=\left(  p_{i}\left(  a\right)  \right)  \xi\text{, also }\Phi\left(
\left(  \rho_{P,V^{t}}\left(  p_{i}\left(  a\right)  \right)  \right)
\xi\right)  =\Phi\left(  \left(  p_{i}\left(  a\right)  \right)  \xi\right)
\end{array}
\right) \\
&  =\left(  \Phi\circ\rho_{P,V^{t}}\left(  p_{i}\left(  a\right)  \right)
\right)  \left(  \xi\right)  .
\end{align*}
Also ist $\rho_{P,W^{t}}\left(  p_{i}\left(  a\right)  \right)  \circ\Phi
=\Phi\circ\rho_{P,V^{t}}\left(  p_{i}\left(  a\right)  \right)  $. Das
hei\ss t, \newline$p_{i}\left(  a\right)  \in\left\{  r\in P\ \mid
\ \rho_{P,W^{t}}\left(  r\right)  \circ\Phi=\Phi\circ\rho_{P,V^{t}}\left(
r\right)  \right\}  =Z$.

Da dies f\"{u}r alle $a\in A_{i}$ gilt, ist also $p_{i}\left(  A_{i}\right)
\subseteq Z$. Da dies f\"{u}r alle $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ gilt,
enth\"{a}lt die $k$-Algebra $Z$ also die Untervektorr\"{a}ume $p_{1}\left(
A_{1}\right)  $, $p_{2}\left(  A_{2}\right)  $, $...$, $p_{n}\left(
A_{n}\right)  $. Somit ist%
\begin{align*}
Z  &  \supseteq\left(  \text{die kleinste Unteralgebra von }%
\operatorname*{End}V\times\operatorname*{End}W\text{, die }\right. \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.  \text{die Untervektorr\"{a}ume }p_{1}\left(
A_{1}\right)  \text{, }p_{2}\left(  A_{2}\right)  \text{, }...\text{, }%
p_{n}\left(  A_{n}\right)  \text{ enth\"{a}lt}\right) \\
&  =\left(  \text{die Unteralgebra von }\operatorname*{End}V\times
\operatorname*{End}W\text{, die erzeugt ist}\right. \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.  \text{von den Untervektorr\"{a}umen }%
p_{1}\left(  A_{1}\right)  \text{, }p_{2}\left(  A_{2}\right)  \text{,
}...\text{, }p_{n}\left(  A_{n}\right)  \right) \\
&  =P.
\end{align*}


F\"{u}r jedes $p\in P$ ist also $p\in Z=\left\{  r\in P\ \mid\ \rho_{P,W^{t}%
}\left(  r\right)  \circ\Phi=\Phi\circ\rho_{P,V^{t}}\left(  r\right)
\right\}  $, also $\rho_{P,W^{t}}\left(  p\right)  \circ\Phi=\Phi\circ
\rho_{P,V^{t}}\left(  p\right)  $. Hieraus folgt: Die Abbildung $\Phi
:V^{t}\rightarrow W^{t}$ ist ein Homomorphismus von $P$-Linksmoduln. Da $\Phi$
ferner ein Vektorraumisomorphismus ist, ist also $\Phi$ ein Isomorphismus von
$P$-Linksmoduln. Damit gilt $V^{t}\cong W^{t}$ als $P$-Linksmoduln. Nach Satz
6.40 (angewandt auf $P$ statt $A$) ist also $V\cong W$ als $P$-Linksmoduln.
Das hei\ss t, es gibt einen Isomorphismus $\phi:V\rightarrow W$ von $P$-Linksmoduln.

Wir werden jetzt beweisen, da\ss \ $\phi$ ein Isomorphismus von $A_{i}%
$-Linksmoduln f\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ ist.

Sei $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ beliebig, und sei $a\in A_{i}$
beliebig. Dann ist $p_{i}\left(  a\right)  \in p_{i}\left(  A_{i}\right)
\subseteq P$. F\"{u}r jedes $x\in V$ ist somit $\phi\left(  \left(
p_{i}\left(  a\right)  \right)  x\right)  =\left(  p_{i}\left(  a\right)
\right)  \left(  \phi\left(  x\right)  \right)  $ (denn $\phi$ ist ein
Homomorphismus von $P$-Linksmoduln). Doch wegen $\left(  p_{i}\left(
a\right)  \right)  x=ax$ (nach (I.6.48)) und $\left(  p_{i}\left(  a\right)
\right)  \left(  \phi\left(  x\right)  \right)  =a\phi\left(  x\right)  $
(nach (I.6.49), angewandt auf $y=\phi\left(  x\right)  $) vereinfacht sich
dies zu $\phi\left(  ax\right)  =a\phi\left(  x\right)  $. Da dies f\"{u}r
alle $a\in A_{i}$ gilt, ist also $\phi$ ein Homomorphismus von $A_{i}%
$-Linksmoduln. Da $\phi$ ein Vektorraumisomorphismus ist, bedeutet dies,
da\ss \ $\phi$ ein Isomorphismus von $A_{i}$-Linksmoduln ist.

Wir haben also gezeigt: Es gibt einen Isomorphismus $\phi:V\rightarrow W$ von
Vektorr\"{a}umen, der f\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ ein
Isomorphismus von $A_{i}$-Linksmoduln ist. Damit ist Satz 6.50 bewiesen.

Aus Satz 6.50 folgt sofort:

\textbf{6.51. Folgerung:} Seien $A$ und $B$ zwei Algebren \"{u}ber einem
K\"{o}rper $k$.

Seien $V$ und $W$ zwei endlichdimensionale $k$-Vektorr\"{a}ume. Angenommen,
auf jedem der Vektorr\"{a}ume $V$ und $W$ sind gleichzeitig eine
$A$-Linksmodulstruktur und eine $B$-Linksmodulstruktur gegeben.

Sei $t\geq1$ eine nat\"{u}rliche Zahl. Angenommen, es gibt einen Isomorphismus
$\Phi:V^{t}\rightarrow W^{t}$ von Vektorr\"{a}umen, der gleichzeitig ein
$A$-Linksmodulisomorphismus und ein $B$-Linksmodulisomorphismus ist. Dann gibt
es einen Isomorphismus $\phi:V\rightarrow W$ von Vektorr\"{a}umen, der
gleichzeitig ein $A$-Linksmodulisomorphismus und ein $B$%
-Linksmodulisomorphismus ist.

\textit{Beweis von Folgerung 6.51:} Dies folgt direkt aus Satz 6.50 (angewandt
auf $n=2$, $A_{1}=A$ und $A_{2}=B$).

Wir wollen nun eine Variante von Folgerung 6.51 zeigen, die statt zwei
Algebren von einer Algebra und einer Coalgebra handelt:

\textbf{6.52. Folgerung:} Sei $k$ ein K\"{o}rper. Sei $A$ eine $k$-Algebra,
und $C$ eine $k$-Coalgebra.

Seien $V$ und $W$ zwei endlichdimensionale $k$-Vektorr\"{a}ume. Angenommen,
auf jedem der Vektorr\"{a}ume $V$ und $W$ sind gleichzeitig eine
$A$-Linksmodulstruktur und eine $C$-Rechtscomodulstruktur gegeben.

Sei $t\geq1$ eine nat\"{u}rliche Zahl. Angenommen, es gibt einen Isomorphismus
$\Phi:V^{t}\rightarrow W^{t}$ von Vektorr\"{a}umen, der gleichzeitig ein
$A$-Linksmodulisomorphismus und ein $C$-Rechtscomodulisomorphismus
ist.\footnote{Die $C$-Rechtscomodulstrukturen auf $V^{t}$ und $W^{t}$ sind
dabei genauso definiert wie die $C$-Rechtsmodulstruktur auf $V^{n}$ in
Folgerung 4.22.} Dann gibt es einen Isomorphismus $\phi:V\rightarrow W$ von
Vektorr\"{a}umen, der gleichzeitig ein $A$-Linksmodulisomorphismus und ein
$C$-Rechtscomodulisomorphismus ist.

\textit{Beweis von Folgerung 6.52:} Sei $B$ die Algebra $C^{\ast}$.

Da $V$ ein $C$-Rechtscomodul ist, ist $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V$ ein
$C^{\ast}$-Linksmodul, also ein $B$-Linksmodul. Wir bezeichnen diesen
$B$-Linksmodul $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V$ im Folgenden einfach mit
$V$ (denn als Vektorraum ist $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V=V$). (Durch
diese Bezeichnung kann keine Verwechslungsgefahr entstehen, denn diese
$B$-Linksmodulstruktur ist die einzige $B$-Linksmodulstruktur, die wir bislang
auf $V$ eingef\"{u}hrt haben.) Aus analogen Gr\"{u}nden bezeichnen wir den
$B$-Linksmodul $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}W$ im Folgenden einfach mit
$W$.

Nach Folgerung 4.22 (angewandt auf $t$ statt $n$) sind die beiden $C^{\ast}%
$-Linksmoduln $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}\left(  V^{t}\right)  $ und
$\left(  \operatorname*{adj}\nolimits_{C}V\right)  ^{t}$ identisch. Nach
Folgerung 4.22 (angewandt auf $t$ und $W$ statt $n$ und $V$) sind die beiden
$C^{\ast}$-Linksmoduln $\operatorname*{adj}\nolimits_{C}\left(  W^{t}\right)
$ und $\left(  \operatorname*{adj}\nolimits_{C}W\right)  ^{t}$ identisch. Nach
Satz 4.6 \textbf{b)} (angewandt auf $V^{t}$ und $W^{t}$ statt $V$ und $W$) ist
aber%
\begin{align*}
\mathcal{M}^{C}\left(  V^{t},W^{t}\right)   &  =\operatorname*{Hom}%
\nolimits_{C^{\ast}}\left(  \underbrace{\operatorname*{adj}\nolimits_{C}%
\left(  V^{t}\right)  }_{=\left(  \operatorname*{adj}\nolimits_{C}V\right)
^{t}},\underbrace{\operatorname*{adj}\nolimits_{C}\left(  W^{t}\right)
}_{=\left(  \operatorname*{adj}\nolimits_{C}W\right)  ^{t}}\right)
=\operatorname*{Hom}\nolimits_{C^{\ast}}\left(  \left(  \operatorname*{adj}%
\nolimits_{C}V\right)  ^{t},\left(  \operatorname*{adj}\nolimits_{C}W\right)
^{t}\right) \\
&  =\operatorname*{Hom}\nolimits_{B}\left(  \left(
\underbrace{\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V}_{=V}\right)  ^{t},\left(
\underbrace{\operatorname*{adj}\nolimits_{C}W}_{=W}\right)  ^{t}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }C^{\ast}=B\right) \\
&  =\operatorname*{Hom}\nolimits_{B}\left(  V^{t},W^{t}\right)  .
\end{align*}
Aus $\Phi\in\mathcal{M}^{C}\left(  V^{t},W^{t}\right)  $ (denn $\Phi
:V^{t}\rightarrow W^{t}$ ist ein $C$-Rechtscomodulhomomorphismus) folgt also
$\Phi\in\operatorname*{Hom}\nolimits_{B}\left(  V^{t},W^{t}\right)  $. Das
hei\ss t, $\Phi$ ist ein $B$-Linksmodulhomomorphismus von $V^{t}$ nach $W^{t}%
$. Da $\Phi$ ein Vektorraumisomorphismus ist, ist also $\Phi$ ein
$B$-Linksmodulisomorphismus von $V^{t}$ nach $W^{t}$. Laut Folgerung 6.51 gibt
es also einen Isomorphismus $\phi:V\rightarrow W$ von Vektorr\"{a}umen, der
gleichzeitig ein $A$-Linksmodulisomorphismus und ein $B$%
-Linksmodulisomorphismus ist. F\"{u}r diesen Isomorphismus $\phi$ gilt also
$\phi\in\operatorname*{Hom}\nolimits_{B}\left(  V,W\right)  $ (denn $\phi$ ist
ein $B$-Linksmodulisomorphismus). Nach Satz 4.6 \textbf{b)} ist aber%
\begin{align*}
\mathcal{M}^{C}\left(  V,W\right)   &  =\operatorname*{Hom}\nolimits_{C^{\ast
}}\left(  \operatorname*{adj}\nolimits_{C}V,\operatorname*{adj}\nolimits_{C}%
W\right)  =\operatorname*{Hom}\nolimits_{B}\left(
\underbrace{\operatorname*{adj}\nolimits_{C}V}_{=V}%
,\underbrace{\operatorname*{adj}\nolimits_{C}W}_{=W}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }C^{\ast}=B\right) \\
&  =\operatorname*{Hom}\nolimits_{B}\left(  V,W\right)  .
\end{align*}
Damit wird $\phi\in\operatorname*{Hom}\nolimits_{B}\left(  V,W\right)  $ zu
$\phi\in\mathcal{M}^{C}\left(  V,W\right)  $. Somit ist $\phi$ ein
$C$-Rechtscomodulhomomorphismus. Da $\phi$ au\ss erdem ein
Vektorraumisomorphismus ist, ist also $\phi$ ein $C$-Rechtscomodulisomorphismus.

Insgesamt wissen wir jetzt, da\ss \ $\phi$ ein $A$-Linksmodulisomorphismus und
ein $C$-Rechtscomodulisomorphismus ist. Damit ist Folgerung 6.52 bewiesen.

\bigskip

\begin{center}
\fbox{\textbf{II. Kapitel: Struktur cokommutativer Hopfalgebren}}
\end{center}

Nun werden wir eine weniger allgemeine, aber daf\"{u}r inhaltsreichere (vor
allem schwierigere) Theorie aufbauen, n\"{a}mlich eine Strukturtheorie f\"{u}r
cokommutative Hopfalgebren. Zuerst f\"{u}hren wir Liealgebren ein.

\begin{center}
\fbox{\textbf{1. Liealgebren und ihre universellen Einh\"{u}llenden}}
\end{center}

\fbox{\textbf{Liealgebren}}

\textbf{Definition:} Sei $\mathfrak{g}$ ein $k$-Vektorraum, und sei $\left[
,\right]  :\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}$ eine
$k$-bilineare Abbildung (die seltsame Schreibweise bedeutet, da\ss \ wir das
Bild eines Paares $\left(  a,b\right)  $ unter der Abbildung $\left[
,\right]  $ mit $\left[  a,b\right]  $ bezeichnen). Wir bezeichnen dann das
Paar $\left(  \mathfrak{g},\left[  ,\right]  \right)  $ (oder kurz einfach
$\mathfrak{g},$ wenn klar ist, welche Abbildung $\left[  ,\right]  $ gemeint
ist) als eine \textit{Liealgebra}, wenn folgende zwei Axiome erf\"{u}llt sind:

\begin{itemize}
\item F\"{u}r jedes $x\in\mathfrak{g}$ gilt $\left[  x,x\right]  =0.$

\item F\"{u}r jede $x,y,z\in\mathfrak{g}$ gilt $\left[  \left[  x,y\right]
,z\right]  +\left[  \left[  y,z\right]  ,x\right]  +\left[  \left[
z,x\right]  ,y\right]  =0.$ (Dieses zweite Axiom hei\ss t die
\textit{Jacobi-Identit\"{a}t}.)
\end{itemize}

(Achtung: Liealgebren sind keine Algebren - zumindest nicht, wenn man unter
Algebren automatisch assoziative Algebren versteht!\footnote{Und wir verstehen
normalerweise unter Algebren automatisch assoziative Algebren.})

F\"{u}r eine Liealgebra $\mathfrak{g}$ bezeichnet man die Abbildung $\left[
,\right]  $ als \textit{Lieklammer} von $\mathfrak{g}.$

\textbf{1.1. Bemerkung:} \textbf{1)} F\"{u}r jede Liealgebra $\mathfrak{g}$
und alle $x,y\in\mathfrak{g}$ ist $\left[  x,y\right]  =-\left[  y,x\right]
.$

\textit{Beweis:} Wir haben $0=\left[  x+y,x+y\right]  =\underbrace{\left[
x,x\right]  }_{=0}+\left[  x,y\right]  +\left[  y,x\right]
+\underbrace{\left[  y,y\right]  }_{=0}=\left[  x,y\right]  +\left[
y,x\right]  .$

\textbf{2)} Jeden Vektorraum $V$ kann man kanonisch zu einer Liealgebra
machen, indem man $\left[  x,y\right]  =0$ f\"{u}r alle $x,y\in V$ setzt (dies
ist eine sogenannte \textit{abelsche Liealgebra}).

\textbf{3)} Ist $A$ eine Algebra (dies bedeutet bei uns: assoziative Algebra),
dann k\"{o}nnen wir eine Liealgebra $A^{-}$ wie folgt definieren: Als
Vektorraum sei $A^{-}$ identisch zu $A;$ die Abbildung $\left[  ,\right]
:A^{-}\times A^{-}\rightarrow A^{-}$ wird durch $\left[  x,y\right]  =xy-yx$
f\"{u}r alle $x,y\in A^{-}$ definiert. Dann ist $\left(  A^{-},\left[
,\right]  \right)  $ eine Liealgebra.

\textit{Beweis:} F\"{u}r alle $x,y,z\in A$ ist $\left[  x,x\right]  =xx-xx=0$
und%
\begin{align*}
&  \left[  \left[  x,y\right]  ,z\right]  +\left[  \left[  y,z\right]
,x\right]  +\left[  \left[  z,x\right]  ,y\right] \\
&  =\left(  xy-yx\right)  z-z\left(  xy-yx\right)  +\left(  yz-zy\right)
x-x\left(  yz-zy\right)  +\left(  zx-xz\right)  y-y\left(  zx-xz\right) \\
&  =xyz-yxz-zxy+zyx+yzx-zyx-xyz+xzy+zxy-xzy-yzx+yxz=0,
\end{align*}
was zu beweisen war.

\textit{Bemerkung:} Wir sehen hiermit, da\ss \ wir auf jeder (assoziativen)
Algebra kanonisch eine Liealgebra definieren k\"{o}nnen, indem wir die
Lieklammer $\left[  ,\right]  $ als Kommutator definieren. So entstehen viele
Liealgebren, aber nicht alle - es gibt auch Liealgebren, deren Lieklammern
keine Kommutatoren einer assoziativen Multiplikation sind (zumindest nicht von
einer assoziativen Multiplikation auf der Liealgebra selber).

\textbf{Definition:} Sei $\mathfrak{g}$ eine Liealgebra.

\textbf{1)} Ist $\mathfrak{g}^{\prime}$ eine Liealgebra, und ist
$f:\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}^{\prime}$ eine $k$-lineare Abbildung,
dann hei\ss t $f$ genau dann ein \textit{Liealgebrahomomorphismus}, wenn
f\"{u}r alle $x,y\in\mathfrak{g}$ die Gleichung $f\left(  \left[  x,y\right]
\right)  =\left[  f\left(  x\right)  ,f\left(  y\right)  \right]  $ gilt.

\textbf{2)} Sei $\mathfrak{a}\subseteq\mathfrak{g}$ ein Untervektorraum. Dann
hei\ss t $\mathfrak{a}$ eine \textit{Unterliealgebra} von $\mathfrak{g},$ wenn
f\"{u}r alle $x,y\in\mathfrak{a}$ gilt: $\left[  x,y\right]  \in\mathfrak{a}.$

(\"{A}quivalent k\"{o}nnte man Unterliealgebren wie folgt definieren: Sei
$\mathfrak{a}\subseteq\mathfrak{g}$ ein Untervektorraum. Dann hei\ss t
$\mathfrak{a}$ eine \textit{Unterliealgebra} von $\mathfrak{g},$ wenn
$\mathfrak{a}$ selbst eine Liealgebra ist, und die kanonische Inklusion
$\mathfrak{a}\rightarrow\mathfrak{g}$ ein Liealgebrahomomorphismus ist.)

Au\ss erdem hei\ss t $\mathfrak{a}$ ein \textit{Ideal} von $\mathfrak{g},$
wenn f\"{u}r alle $x\in\mathfrak{a}$ und alle $y\in\mathfrak{g}$ gilt:
$\left[  x,y\right]  \in\mathfrak{a}.$ Statt zu sagen, da\ss \ $\mathfrak{a}$
ein Ideal von $\mathfrak{g}$ ist, schreibt man auch $\mathfrak{a}%
\vartriangleleft\mathfrak{g}.$

Nat\"{u}rlich ist jedes Ideal von $\mathfrak{g}$ auch eine Unterliealgebra von
$\mathfrak{g}.$

Wir bezeichnen mit $\operatorname*{Lie}$ die Kategorie aller Liealgebren (die
Morphismen sollen dabei nat\"{u}rlich die Liealgebrahomomorphismen sein).

\textbf{1.2. Bemerkung:} \textbf{1)} Sei $\mathfrak{g}$ eine Liealgebra, und
$\mathfrak{a}\vartriangleleft\mathfrak{g}.$ Dann wird der Quotientenvektorraum
$\mathfrak{g}\diagup\mathfrak{a}$ kanonisch zu einer Liealgebra, wenn man
$\left[  \overline{x},\overline{y}\right]  =\overline{\left[  x,y\right]  }$
f\"{u}r alle $x,y\in\mathfrak{g}$ setzt.

\textbf{2)} Seien $\mathfrak{g}$ und $\mathfrak{g}^{\prime}$ zwei Liealgebren,
und $f:\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}^{\prime}$ ein
Liealgebrahomomorphismus. Dann ist $\operatorname*{Ker}f\vartriangleleft
\mathfrak{g}$ und $\mathfrak{g}\diagup\operatorname*{Ker}f\cong%
\operatorname{Im}f$ (Isomorphie als Liealgebren), wobei die Liealgebrastruktur
auf $\operatorname{Im}f$ von $\mathfrak{g}$ vererbt wird (mit dieser
Liealgebrastruktur wird $\operatorname{Im}f$ zu einer Unterliealgebra von
$\mathfrak{g}^{\prime}$).

\textit{Beweis:} Wie f\"{u}r Ringe.

\textbf{1.3. Bemerkung:} \textbf{1)} Sei $A$ eine beliebige nicht notwendig
assoziative Algebra\footnote{Wenn wir von einer "nicht notwendig assoziativen
Algebra" reden, meinen wir \textit{nicht} eine Algebra im Sinne des I.
Kapitels.}, d. h. ein Vektorraum zusammen mit einer $k$-linearen Abbildung
$\mu:A\times A\rightarrow A$ (die wir als Multiplikation schreiben; das
hei\ss t, wir schreiben $uv$ f\"{u}r $\mu\left(  u,v\right)  $).

Sei $d:A\rightarrow A$ eine $k$-lineare Abbildung. Dann hei\ss t $d$ eine
\textit{Derivation} von $A,$ wenn f\"{u}r alle $x,y\in A$ gilt: $d\left(
xy\right)  =xd\left(  y\right)  +d\left(  x\right)  y.$

F\"{u}r jede nicht notwendig assoziative Algebra $A$ definieren wir eine Menge
$\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  $ durch%
\[
\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  =\left\{  d:A\rightarrow A\ \mid
\ d\text{ ist eine Derivation von }A\right\}  .
\]


Dann ist $\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  $ eine Unterliealgebra von
$\left(  \operatorname*{End}A\right)  ^{-}.$

\textit{Beweis:} Wir m\"{u}ssen nur zeigen, da\ss \ f\"{u}r je zwei
Derivationen $d,\widetilde{d}\in\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  $ gilt:
$d\widetilde{d}-\widetilde{d}d\in\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  $
(wobei das Produkt von Derivationen einfach ihre Verkettung ist - mit anderen
Worten, $d$ und $\widetilde{d}$ werden als Elemente von $\operatorname*{End}A$
multipliziert). Dies ist aber klar, da%
\begin{align*}
\left(  d\widetilde{d}-\widetilde{d}d\right)  \left(  xy\right)   &  =d\left(
\widetilde{d}\left(  xy\right)  \right)  -\widetilde{d}\left(  d\left(
xy\right)  \right)  =d\left(  x\widetilde{d}\left(  y\right)  +\widetilde{d}%
\left(  x\right)  y\right)  -\widetilde{d}\left(  xd\left(  y\right)
+d\left(  x\right)  y\right) \\
&  =xd\left(  \widetilde{d}\left(  y\right)  \right)  +d\left(  x\right)
\widetilde{d}\left(  y\right)  +\widetilde{d}\left(  x\right)  d\left(
y\right)  +d\left(  \widetilde{d}\left(  x\right)  \right)  y\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x\widetilde{d}\left(  d\left(  y\right)  \right)
-\widetilde{d}\left(  x\right)  d\left(  y\right)  -d\left(  x\right)
\widetilde{d}\left(  y\right)  -\widetilde{d}\left(  d\left(  x\right)
\right)  y\\
&  =x\left(  d\left(  \widetilde{d}\left(  y\right)  \right)  -\widetilde{d}%
\left(  d\left(  y\right)  \right)  \right)  +\left(  d\left(  \widetilde{d}%
\left(  x\right)  \right)  -\widetilde{d}\left(  d\left(  x\right)  \right)
\right)  y\\
&  =x\left(  d\widetilde{d}-\widetilde{d}d\right)  \left(  y\right)  +\left(
d\widetilde{d}-\widetilde{d}d\right)  \left(  x\right)  y
\end{align*}
f\"{u}r alle $x,y\in A$ gilt.

\textit{Warnung:} Wir haben damit gezeigt: F\"{u}r alle $d,\widetilde{d}%
\in\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  $ ist $d\widetilde{d}-\widetilde{d}%
d\in\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  .$ Doch im Allgemeinen gilt
\textit{nicht} $d\widetilde{d}\in\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  .$ Die
Lieklammer $\left[  ,\right]  $ auf $\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  $
ist im Allgemeinen kein Kommutator einer assoziativen Multiplikation auf dem
Vektorraum $\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  $ - obwohl sie der
Kommutator der assoziativen Multiplikation einer \textit{gr\"{o}\ss eren}
Algebra (n\"{a}mlich $\operatorname*{End}A$) ist!

\textbf{2)} Sei $\mathfrak{g}$ eine Liealgebra. F\"{u}r alle $x\in
\mathfrak{g}$ k\"{o}nnen wir dann eine $k$-lineare Abbildung
$\operatorname*{ad}x:\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}$ definieren durch
$\left(  \operatorname*{ad}x\right)  \left(  y\right)  =\left[  x,y\right]  $
f\"{u}r alle $y\in\mathfrak{g}.$ Dann gilt:

\textbf{a)} F\"{u}r alle $x\in\mathfrak{g}$ ist $\operatorname*{ad}%
x\in\operatorname*{Der}\left(  \mathfrak{g},\mathfrak{g}\right)  .$

\textbf{b)} Die Abbildung%
\[
\operatorname*{ad}:\mathfrak{g}\rightarrow\operatorname*{Der}\left(
\mathfrak{g},\mathfrak{g}\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto
\operatorname*{ad}x
\]
ist ein Liealgebrahomomorphismus.

Diese Abbildung $\operatorname*{ad}$ hei\ss t die \textit{adjungierte
Darstellung} von $\mathfrak{g}.$

\textit{Beweis:} \textbf{a)} F\"{u}r alle $x\in\mathfrak{g}$ ist
$\operatorname*{ad}x$ eine Derivation auf $\mathfrak{g},$ weil f\"{u}r alle
$y,z\in\mathfrak{g}$ gilt:%
\[
\left(  \operatorname*{ad}x\right)  \left[  y,z\right]  =\left[  y,\left(
\operatorname*{ad}x\right)  \left(  z\right)  \right]  +\left[  \left(
\operatorname*{ad}x\right)  \left(  y\right)  ,z\right]
\]
(denn wegen $\left[  a,b\right]  =-\left[  b,a\right]  $ f\"{u}r alle
$a,b\in\mathfrak{g}$ ist%
\begin{align*}
&  -\left(  \operatorname*{ad}x\right)  \left[  y,z\right]  +\left[  y,\left(
\operatorname*{ad}x\right)  \left(  z\right)  \right]  +\left[  \left(
\operatorname*{ad}x\right)  \left(  y\right)  ,z\right] \\
&  =-\left[  x,\left[  y,z\right]  \right]  +\left[  y,\left[  x,z\right]
\right]  +\left[  \left[  x,y\right]  ,z\right]  =\left[  \left[  y,z\right]
,x\right]  -\left[  \left[  x,z\right]  ,y\right]  +\left[  \left[
x,y\right]  ,z\right] \\
&  =\left[  \left[  y,z\right]  ,x\right]  +\left[  \left[  z,x\right]
,y\right]  +\left[  \left[  x,y\right]  ,z\right]  =0
\end{align*}
nach der Jacobi-Identit\"{a}t).

\textbf{b)} F\"{u}r alle $x,y\in\mathfrak{g}$ ist $\operatorname*{ad}\left[
x,y\right]  =\left[  \operatorname*{ad}x,\operatorname*{ad}y\right]  ,$ denn
f\"{u}r jedes $z\in\mathfrak{g}$ ist%
\begin{align*}
\left(  \operatorname*{ad}\left[  x,y\right]  \right)  \left(  z\right)   &
=\left[  \left[  x,y\right]  ,z\right]  =-\left[  \left[  y,z\right]
,x\right]  -\left[  \left[  z,x\right]  ,y\right] \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach der Jacobi-Identit\"{a}t }\left[
\left[  y,z\right]  ,x\right]  +\left[  \left[  z,x\right]  ,y\right]
+\left[  \left[  x,y\right]  ,z\right]  =0\right) \\
&  =\underbrace{\left[  x,\left[  y,z\right]  \right]  }_{=\left(
\operatorname*{ad}x\right)  \left(  \left(  \operatorname*{ad}y\right)
\left(  z\right)  \right)  }-\underbrace{\left[  y,\left[  x,z\right]
\right]  }_{=\left(  \operatorname*{ad}y\right)  \left(  \left(
\operatorname*{ad}x\right)  \left(  z\right)  \right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{wieder unter Verwendung von }\left[
a,b\right]  =-\left[  b,a\right]  \text{ f\"{u}r alle }a,b\in\mathfrak{g}%
\right) \\
&  =\left(  \operatorname*{ad}x\right)  \left(  \left(  \operatorname*{ad}%
y\right)  \left(  z\right)  \right)  -\left(  \operatorname*{ad}y\right)
\left(  \left(  \operatorname*{ad}x\right)  \left(  z\right)  \right)
=\left(  \operatorname*{ad}x\circ\operatorname*{ad}y\right)  \left(  z\right)
-\left(  \operatorname*{ad}y\circ\operatorname*{ad}x\right)  \left(  z\right)
\\
&  =\left(  \operatorname*{ad}x\circ\operatorname*{ad}y-\operatorname*{ad}%
y\circ\operatorname*{ad}x\right)  \left(  z\right)  =\left[
\operatorname*{ad}x,\operatorname*{ad}y\right]  \left(  z\right)  .
\end{align*}
Daher ist $\operatorname*{ad}$ ein Liealgebrahomomorphismus.

\textbf{3)} Ist $H$ eine Bialgebra, dann ist die Menge%
\[
P\left(  H\right)  =\left\{  x\in H\ \mid\text{ }x\text{ ist primitiv}%
\right\}  =\left\{  x\in H\ \mid\text{ }\Delta\left(  x\right)  =x\otimes
1+1\otimes x\right\}  \subseteq H^{-}%
\]
eine Unterliealgebra von $H^{-}$ (mit der von $H^{-}$ vererbten Lieklammer).

Falls $\operatorname*{char}k=p>0,$ dann gilt $x^{p}\in P\left(  H\right)  $
f\"{u}r alle $x\in P\left(  H\right)  .$

\textit{Beweis:} \textbf{a)} F\"{u}r alle $x,y\in P\left(  H\right)  $ ist%
\begin{align*}
\Delta\left(  xy-yx\right)   &  =\Delta\left(  x\right)  \Delta\left(
y\right)  -\Delta\left(  y\right)  \Delta\left(  x\right) \\
&  =\left(  x\otimes1+1\otimes x\right)  \left(  y\otimes1+1\otimes y\right)
-\left(  y\otimes1+1\otimes y\right)  \left(  x\otimes1+1\otimes x\right) \\
&  =\left(  xy\otimes1+x\otimes y+y\otimes x+1\otimes xy\right)  -\left(
yx\otimes1+y\otimes x+x\otimes y+1\otimes yx\right) \\
&  =xy\otimes1+1\otimes xy-yx\otimes1-1\otimes yx=\left(  xy-yx\right)
\otimes1+1\otimes\left(  xy-yx\right)  ,
\end{align*}
also $xy-yx\in P\left(  H\right)  $. Somit ist $P\left(  H\right)  $ eine
Unterliealgebra von $H^{-}$ (mit der von $H^{-}$ vererbten Lieklammer).

\textbf{b)} Falls $\operatorname*{char}k=p>0$ und $x\in P\left(  H\right)  ,$
dann ist%
\begin{align*}
\Delta\left(  x^{p}\right)   &  =\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)
^{p}=\left(  x\otimes1+1\otimes x\right)  ^{p}=\left(  x\otimes1\right)
^{p}+\left(  1\otimes x\right)  ^{p}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }x\otimes1\text{ und }1\otimes
x\text{ kommutieren, und }p\cdot1\otimes1=0\right) \\
&  =x^{p}\otimes1+1\otimes x^{p},
\end{align*}
also $x^{p}\in P\left(  H\right)  .$

\textbf{4)} Sei $A$ eine Bialgebra. Sei%
\begin{align*}
&  \operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right) \\
&  =\left\{  d:A\rightarrow k\ \mid\ d\text{ ist eine }\left(  \varepsilon
,\varepsilon\right)  \text{-Derivation}\right\} \\
&  =\left\{  d:A\rightarrow k\ \mid\ d\text{ ist }k\text{-linear und
erf\"{u}llt }d\left(  xy\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  d\left(
y\right)  +d\left(  x\right)  \varepsilon\left(  y\right)  \text{ f\"{u}r alle
}x,y\in A\right\}  .
\end{align*}
\footnote{Hierbei verwenden wir den Begriff einer $\left(  \sigma,\tau\right)
$\textit{-Derivation}; dieser Begriff wurde in Abschnitt 3 von Kapitel I
eingef\"{u}hrt.} Dann ist $\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(
A,k\right)  \subseteq\left(  A^{\ast}\right)  ^{-}$ eine Unterliealgebra.

(Statt "$\left(  \varepsilon,\varepsilon\right)  $-Derivation" sagt man auch
\"{o}fters "$\varepsilon$-Derivation".)

\textit{Beweis:} Wir m\"{u}ssen nur zeigen, da\ss \ f\"{u}r alle
$d,\widetilde{d}\in\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(
A,k\right)  $ gilt: $d\ast\widetilde{d}-\widetilde{d}\ast d\in
\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)  .$

In der Tat gilt f\"{u}r alle $x,y\in A$ mit der summenlosen Sweedler-Notation%
\begin{align*}
\left(  d\ast\widetilde{d}-\widetilde{d}\ast d\right)  \left(  xy\right)   &
=d\left(  x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  }\right)  \widetilde{d}%
\left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }\right)  -\widetilde{d}%
\left(  x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  }\right)  d\left(
x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =\left(  \varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  d\left(
y_{\left(  1\right)  }\right)  +d\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
\varepsilon\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \left(
\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \widetilde{d}\left(
y_{\left(  2\right)  }\right)  +\widetilde{d}\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \varepsilon\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\left(  \text{das gleiche Produkt mit }d\text{ und
}\widetilde{d}\text{ vertauscht}\right) \\
&  =\varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \varepsilon\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  d\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)
\widetilde{d}\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)  +\varepsilon\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \varepsilon\left(  y_{\left(  2\right)
}\right)  d\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \widetilde{d}\left(
x_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\varepsilon\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)
\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  d\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  \widetilde{d}\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)
+\varepsilon\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \varepsilon\left(
y_{\left(  2\right)  }\right)  d\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
\widetilde{d}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\left(  \text{die gleiche Summe mit }d\text{ und
}\widetilde{d}\text{ vertauscht}\right) \\
&  =\left(  \varepsilon\left(  x\right)  \left(  d\ast\widetilde{d}\right)
\left(  y\right)  +d\left(  y\right)  \widetilde{d}\left(  x\right)  +d\left(
x\right)  \widetilde{d}\left(  y\right)  +\varepsilon\left(  y\right)  \left(
d\ast\widetilde{d}\right)  \left(  x\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\left(  \varepsilon\left(  x\right)  \left(
\widetilde{d}\ast d\right)  \left(  y\right)  +\widetilde{d}\left(  y\right)
d\left(  x\right)  +\widetilde{d}\left(  x\right)  d\left(  y\right)
+\varepsilon\left(  y\right)  \left(  \widetilde{d}\ast d\right)  \left(
x\right)  \right) \\
&  =\varepsilon\left(  x\right)  \left(  \left(  d\ast\widetilde{d}\right)
\left(  y\right)  -\left(  \widetilde{d}\ast d\right)  \left(  y\right)
\right)  +\varepsilon\left(  y\right)  \left(  \left(  d\ast\widetilde{d}%
\right)  \left(  x\right)  -\left(  \widetilde{d}\ast d\right)  \left(
x\right)  \right) \\
&  =\varepsilon\left(  x\right)  \cdot\left(  d\ast\widetilde{d}%
-\widetilde{d}\ast d\right)  \left(  y\right)  +\varepsilon\left(  y\right)
\cdot\left(  d\ast\widetilde{d}-\widetilde{d}\ast d\right)  \left(  x\right)
\\
&  =\varepsilon\left(  x\right)  \cdot\left(  d\ast\widetilde{d}%
-\widetilde{d}\ast d\right)  \left(  y\right)  +\left(  d\ast\widetilde{d}%
-\widetilde{d}\ast d\right)  \left(  x\right)  \cdot\varepsilon\left(
y\right)
\end{align*}
(wir haben in dieser Rechnung mehrfach verwendet, da\ss \ die Bilder von $d$
und $\widetilde{d}$ Skalare sind und daher kommutieren!).

\textbf{5)} Sp\"{a}ter (in Kapitel IV, Abschnitt 3) definieren wir f\"{u}r
eine Bialgebra $A$ die sogenannte \textit{duale Bialgebra} $A^{0}\subseteq
A^{\ast}$ (f\"{u}r endlichdimensionale $A$ gilt sogar $A^{0}=A^{\ast}$), und
es gilt $\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)
=P\left(  A^{0}\right)  .$ Insofern kann man Bemerkung \textbf{4)} auch aus
Bemerkung \textbf{3)} herleiten.

\textbf{6)}\footnote{Bemerkungen \textbf{6)} und \textbf{7)} stammen von mir
(Darij Grinberg) und orientieren sich an
\par
William C. Waterhouse: \textit{Introduction to Affine Group Schemes}, New York
1979, \S 12.1-2
\par
(wo sie allerdings nur f\"{u}r kommutative Bialgebren $A$ gezeigt wurden).}
Sei $A$ eine Bialgebra. In \textbf{1) }haben wir eine Liealgebra
$\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  $ definiert. Eine lineare Abbildung
$K:A\rightarrow A$ hei\ss e \textit{linksinvariant}, wenn $\Delta\circ
K=\left(  \operatorname*{id}\otimes K\right)  \circ\Delta$ gilt. (Mit anderen
Worten: Eine lineare Abbildung $K:A\rightarrow A$ ist genau dann
linksinvariant, wenn $\left(  K\left(  x\right)  \right)  _{\left(  1\right)
}\otimes\left(  K\left(  x\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }=x_{\left(
1\right)  }\otimes K\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  $ f\"{u}r alle
$x\in A$ ist.)

Sei
\[
\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  ^{\text{linksinv}}=\left\{
D\in\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  \ \mid\ D\text{ ist linksinvariant}%
\right\}  .
\]
Dann ist $\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  ^{\text{linksinv}}$ eine
Unterliealgebra von $\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  .$

\textit{Beweis:} F\"{u}r alle $D,E\in\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)
^{\text{linksinv}}$ und alle $\lambda\in k$ ist $D+E\in\operatorname*{Der}%
\left(  A,A\right)  ^{\text{linksinv}}$, $\lambda D\in\operatorname*{Der}%
\left(  A,A\right)  ^{\text{linksinv}}$ und $\left[  D,E\right]  =D\circ
E-E\circ D\in\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  ^{\text{linksinv}}.$ Die
ersten zwei von diesen drei Tatsachen sind klar; die dritte folgt daraus,
da\ss \ $D\circ E$ linksinvariant ist, da%
\begin{align*}
&  \left(  \left(  D\circ E\right)  \left(  x\right)  \right)  _{\left(
1\right)  }\otimes\left(  \left(  D\circ E\right)  \left(  x\right)  \right)
_{\left(  2\right)  }=\left(  D\left(  E\left(  x\right)  \right)  \right)
_{\left(  1\right)  }\otimes\left(  D\left(  E\left(  x\right)  \right)
\right)  _{\left(  2\right)  }\\
&  =\left(  E\left(  x\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }\otimes D\left(
\left(  E\left(  x\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }D\text{ linksinvariant ist}\right) \\
&  =x_{\left(  1\right)  }\otimes D\left(  E\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{da }\left(  E\left(  x\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }%
\otimes\left(  E\left(  x\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }=x_{\left(
1\right)  }\otimes E\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  ,\\
\text{weil }E\text{ linksinvariant ist}%
\end{array}
\right) \\
&  =x_{\left(  1\right)  }\otimes\left(  D\circ E\right)  \left(  x_{\left(
2\right)  }\right)
\end{align*}
f\"{u}r alle $x\in A$ ist, und analog $E\circ D$ linksinvariant ist.

\textbf{7)} Sei $A$ eine Bialgebra. In \textbf{6) }haben wir eine Liealgebra
$\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  ^{\text{linksinv}}$ definiert, und in
\textbf{4)} eine Liealgebra $\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(
A,k\right)  .$

Nun behaupten wir: Die Abbildungen%
\[
F:\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  ^{\text{linksinv}}\rightarrow
\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ D\mapsto\varepsilon\circ D
\]
und%
\[
G:\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)  \rightarrow
\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  ^{\text{linksinv}}%
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d\mapsto\left(  x\mapsto x_{\left(  1\right)  }d\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
\]
sind zueinander inverse Liealgebraisomorphismen.

\textit{Beweis:} \textbf{a)} Erstmal m\"{u}ssen wir nachpr\"{u}fen,
da\ss \ die beiden Abbildungen $F$ und $G$ wohldefiniert sind. Wir m\"{u}ssen
also zeigen:

\textbf{aa)} F\"{u}r jedes $D\in\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)
^{\text{linksinv}}$ ist $\varepsilon\circ D\in\operatorname*{Der}%
\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)  .$\ \ \ \ \footnote{Dies gilt sogar
f\"{u}r jedes $D\in\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  .$}

\textbf{ab)} F\"{u}r jedes $d\in\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon
}\left(  A,k\right)  $ liegt die Abbildung
\[
A\rightarrow A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto x_{\left(  1\right)  }d\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)
\]
in $\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  ^{\text{linksinv}}.$

\textit{Beweis von \textbf{aa)}:} F\"{u}r alle $x,y\in A$ ist%
\[
\left(  \varepsilon\circ D\right)  \left(  xy\right)  =\varepsilon\left(
\underbrace{D\left(  xy\right)  }_{\substack{=xD\left(  y\right)  +D\left(
x\right)  y,\\\text{da }D\in\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  }}\right)
=\varepsilon\left(  x\right)  \varepsilon\left(  D\left(  y\right)  \right)
+\varepsilon\left(  D\left(  x\right)  \right)  \varepsilon\left(  y\right)
=\varepsilon\left(  x\right)  \left(  \varepsilon\circ D\right)  \left(
y\right)  +\left(  \varepsilon\circ D\right)  \left(  x\right)  \varepsilon
\left(  y\right)  ,
\]
also $\varepsilon\circ D\in\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(
A,k\right)  ,$ und somit ist \textbf{aa)} gezeigt.

\textit{Beweis von \textbf{ab)}:} F\"{u}r alle $x,y\in A$ ist%
\begin{align*}
\left(  xy\right)  _{\left(  1\right)  }d\left(  \left(  xy\right)  _{\left(
2\right)  }\right)   &  =x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)
}\underbrace{d\left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }\right)
}_{\substack{=\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  d\left(
y_{\left(  2\right)  }\right)  +d\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
\varepsilon\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)  ,\\\text{da }d\in
\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)  }}\\
&  =x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  d\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)  +x_{\left(
1\right)  }y_{\left(  1\right)  }d\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
\varepsilon\left(  y_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =\underbrace{x_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  }_{=x}y_{\left(  1\right)  }d\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)
+x_{\left(  1\right)  }d\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
\underbrace{y_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  y_{\left(  2\right)
}\right)  }_{=y}=xy_{\left(  1\right)  }d\left(  y_{\left(  2\right)
}\right)  +x_{\left(  1\right)  }d\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  y,
\end{align*}
und somit ist die Abbildung%
\[
A\rightarrow A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto x_{\left(  1\right)  }d\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)
\]
eine Derivation. Sie ist ferner linksinvariant, denn f\"{u}r alle $x\in A$ ist%
\begin{align*}
\left(  x_{\left(  1\right)  }d\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
_{\left(  1\right)  }\otimes\left(  x_{\left(  1\right)  }d\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }  &  =\Delta\left(
x_{\left(  1\right)  }d\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
=\Delta\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  d\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  =x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }d\left(
x_{\left(  3\right)  }\right) \\
&  =x_{\left(  1\right)  }\otimes\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  }d\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(
2\right)  }\right)  .
\end{align*}
Somit liegt sie in $\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  ^{\text{linksinv}%
},$ womit \textbf{ab)} bewiesen ist.

\textbf{b)} Es ist klar, da\ss \ $F$ und $G$ Vektorraumhomomorphismen sind.
Wir werden jetzt zeigen, da\ss \ $F\circ G=\operatorname*{id}$ und $G\circ
F=\operatorname*{id}$ ist.

\textit{Beweis:} F\"{u}r jedes $D\in\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)
^{\text{linksinv}}$ und jedes $x\in A$ ist%
\begin{align*}
\left(  G\left(  F\left(  D\right)  \right)  \right)  \left(  x\right)   &
=\left(  G\left(  \varepsilon\circ D\right)  \right)  \left(  x\right)
=x_{\left(  1\right)  }\left(  \varepsilon\circ D\right)  \left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  =x_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  D\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \right) \\
&  =\left(  \operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)  \left(
\underbrace{x_{\left(  1\right)  }\otimes D\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  }_{\substack{=\left(  D\left(  x\right)  \right)  _{\left(
1\right)  }\otimes\left(  D\left(  x\right)  \right)  _{\left(  2\right)
},\\\text{da }D\text{ linksinvariant ist}}}\right)  =\left(  D\left(
x\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  \left(  D\left(
x\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }\right)  =D\left(  x\right)  ,
\end{align*}
also $G\left(  F\left(  D\right)  \right)  =D$ und damit $G\circ
F=\operatorname*{id}.$

F\"{u}r jedes $d\in\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(
A,k\right)  $ und jedes $x\in A$ ist%
\begin{align*}
\left(  F\left(  G\left(  d\right)  \right)  \right)  \left(  x\right)   &
=\left(  \varepsilon\circ\left(  G\left(  d\right)  \right)  \right)  \left(
x\right)  =\varepsilon\left(  \left(  G\left(  d\right)  \right)  \left(
x\right)  \right)  =\varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)  }d\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn wegen }G\left(  d\right)  =\left(  x\mapsto x_{\left(  1\right)
}d\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  \text{ ist}\\
\left(  G\left(  d\right)  \right)  \left(  x\right)  =x_{\left(  1\right)
}d\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
\end{array}
\right) \\
&  =\varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  d\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  =d\left(  \varepsilon\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  x_{\left(  2\right)  }\right)  =d\left(  x\right)  ,
\end{align*}
also $F\left(  G\left(  d\right)  \right)  =d$ und damit $F\circ
G=\operatorname*{id}.$

\textbf{c)} Die Abbildung $G$ ist ein Liealgebraisomorphismus.

\textit{Beweis:} F\"{u}r alle $d,e\in\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon
}\left(  A,k\right)  $ und alle $x\in A$ ist%
\begin{align*}
\left[  G\left(  d\right)  ,G\left(  e\right)  \right]  \left(  x\right)   &
=\left(  G\left(  d\right)  \circ G\left(  e\right)  -G\left(  e\right)  \circ
G\left(  d\right)  \right)  \left(  x\right) \\
&  =\left(  G\left(  d\right)  \right)  \left(  \left(  G\left(  e\right)
\right)  \left(  x\right)  \right)  -\left(  G\left(  e\right)  \right)
\left(  \left(  G\left(  d\right)  \right)  \left(  x\right)  \right) \\
&  =\left(  G\left(  d\right)  \right)  \left(  x_{\left(  1\right)  }e\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  -\left(  G\left(  e\right)  \right)
\left(  x_{\left(  1\right)  }d\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
\\
&  =\left(  G\left(  d\right)  \right)  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
e\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  -\left(  G\left(  e\right)  \right)
\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  d\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
\\
&  =\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }d\left(
\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  e\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  -\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  }e\left(  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(
2\right)  }\right)  d\left(  x_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =x_{\left(  1\right)  }d\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  e\left(
x_{\left(  3\right)  }\right)  -x_{\left(  1\right)  }e\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  d\left(  x_{\left(  3\right)  }\right) \\
&  =x_{\left(  1\right)  }\left(  d\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
e\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  -e\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  d\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  \right)  =x_{\left(
1\right)  }\left(  d\ast e-e\ast d\right)  \left(  x_{\left(  2\right)
}\right) \\
&  =x_{\left(  1\right)  }\left[  d,e\right]  \left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  =\left(  G\left(  \left[  d,e\right]  \right)  \right)  \left(
x\right)  ,
\end{align*}
also $\left[  G\left(  d\right)  ,G\left(  e\right)  \right]  =G\left(
\left[  d,e\right]  \right)  ,$ und somit ist $G$ ein
Liealgebrahomomorphismus, also (wegen \textbf{b)}) ein Liealgebraisomorphismus.

\textbf{d)} Nach \textbf{b)} sind $F$ und $G$ zueinander inverse
Vektorraumhomomorphismen. Nach \textbf{c)} ist $G$ ein
Liealgebraisomorphismus. Somit ist auch $F$ ein solcher. Der Beweis ist damit fertig.

\textbf{1.4. Beispiele:} \textbf{1)} F\"{u}r jedes $n\geq1$ ist%
\[
\mathfrak{sl}_{n}:=\left\{  X\in\operatorname*{M}\nolimits_{n}\left(
k\right)  \ \mid\ \underbrace{\operatorname*{Tr}X}_{=\text{Spur von }%
X}=0\right\}  \subseteq\operatorname*{M}\nolimits_{n}\left(  k\right)  ^{-}%
\]
eine Unterliealgebra.

\textit{Beweis:} F\"{u}r $X,Y\in\mathfrak{sl}_{n}$ ist $XY-YX\in
\mathfrak{sl}_{n},$ denn wegen $\operatorname*{Tr}\left(  XY\right)
=\operatorname*{Tr}\left(  YX\right)  $ ist $\operatorname*{Tr}\left(
XY-YX\right)  =0$. Folglich ist $\mathfrak{sl}_{n}$ eine Unterliealgebra, was
zu beweisen war. (Es gilt sogar allgemeiner: F\"{u}r $X,Y\in\operatorname*{M}%
\nolimits_{n}\left(  k\right)  $ ist $XY-YX\in\mathfrak{sl}_{n}$.)

\textbf{2)} Sei $Q\in\operatorname*{M}_{n}\left(  k\right)  $ eine Matrix.
Dann ist $\mathfrak{o}\left(  Q\right)  :=\left\{  X\in\operatorname*{M}%
_{n}\left(  k\right)  \mid QX+X^{T}Q=0\right\}  \subseteq\operatorname*{M}%
_{n}\left(  k\right)  ^{-}$ eine Unterliealgebra.

Zwei bekannte Sonderf\"{a}lle dieser Konstruktion sind die orthogonale
Liealgebra $\mathfrak{o}_{n}=\mathfrak{o}\left(  E_{n}\right)  \subseteq
\operatorname*{M}_{n}\left(  k\right)  ^{-}$ und die symplektische Liealgebra
$\mathfrak{sp}_{2n}=\mathfrak{o}\left(  \underbrace{\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & E_{n}\\
-E_{n} & 0
\end{array}
\right)  }_{\in\operatorname*{M}_{2n}\left(  k\right)  }\right)
\subseteq\operatorname*{M}_{2n}\left(  k\right)  ^{-}.$

\textit{Beweis:} Seien $X,Y\in\mathfrak{o}\left(  Q\right)  .$ Dann ist
$QX=-X^{T}Q$ (denn aus $X\in\mathfrak{o}\left(  Q\right)  $ folgt
$QX+X^{T}Q=0$) und analog $QY=-Y^{T}Q$, und somit
\begin{align*}
Q\left(  XY-YX\right)  +\left(  XY-YX\right)  ^{T}Q  &  =\underbrace{QX}%
_{=-X^{T}Q}Y-\underbrace{QY}_{=-Y^{T}Q}X+Y^{T}\underbrace{X^{T}Q}_{=-QX}%
-X^{T}\underbrace{Y^{T}Q}_{=-QY}\\
&  =-X^{T}QY+Y^{T}QX-Y^{T}QX+X^{T}QY=0,
\end{align*}
also $XY-YX\in\mathfrak{o}\left(  Q\right)  .$ Folglich ist $\mathfrak{o}%
\left(  Q\right)  $ eine Unterliealgebra von $\operatorname*{M}_{n}\left(
k\right)  ^{-}$.

\textbf{3)} Die Liealgebra $\mathfrak{sl}_{2}$ hat (als Vektorraum) die Basis%
\[
e=\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 1\\
0 & 0
\end{array}
\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f=\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
0 & 0\\
1 & 0
\end{array}
\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h=\left(
\begin{array}
[c]{cc}%
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}
\right)  ,
\]
und es gilt%
\[
\left[  e,f\right]  =h,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[  h,e\right]
=2e,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[  h,f\right]  =-2f.
\]


\textit{Beweis:} Nachrechnen. (Man verwende dazu die Gleichung $e_{i,j}%
e_{k,l}=\delta_{j,k}e_{i,l}$ f\"{u}r die Matrixeinheiten; hier ist $e=e_{1,2}$
und $f=e_{2,1}$ und $h=e_{1,1}-e_{2,2}$.)

\textbf{4)} Wir betrachten $H=k\left[  T\right]  $ (die Polynomalgebra
\"{u}ber $k$ in einer Variablen) als Hopfalgebra mit primitivem $T.$ Sei
$\operatorname*{char}k=0.$ Nach \"{U}bungsblatt 4 Aufgabe 5 \textbf{c)} ist
$P\left(  H\right)  =k\cdot T$ ein $1$-dimensionaler Vektorraum.

Wir werden jetzt eine Methode kennenlernen, Liealgebren aus affinen Gruppen
(also aus kommutativen Hopfalgebren - denn nach Folgerung 5.5 in Kapitel I
entsprechen diese eineindeutig den affinen Gruppen) zu erhalten. Zuerst eine Vorbereitung:

\textbf{1.4}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{. Satz:} Sei
$A$ eine Bialgebra. Sei $A^{+}=\operatorname*{Ker}\varepsilon$ (das
Augmentationsideal von $A,$ wie in 2.17. \textbf{4)} definiert).

\textbf{1)} F\"{u}r jedes $d\in\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon
}\left(  A,k\right)  $ ist $d\left(  \left(  A^{+}\right)  ^{2}\right)  =0$
(wobei $\left(  A^{+}\right)  ^{2}$ das Produktideal $A^{+}\cdot A^{+}$ von
$A$ bedeutet).

\textbf{2)} F\"{u}r jedes $d\in\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon
}\left(  A,k\right)  $ existiert genau eine $k$-lineare Abbildung von
$A^{+}\diagup\left(  A^{+}\right)  ^{2}$ nach $k$, die $\overline{a}$ auf
$d\left(  a\right)  $ abbildet f\"{u}r jedes $a\in A^{+}$ (wobei wir mit
$\overline{a}$ die Projektion von $a\in A^{+}$ auf den Faktorraum
$A^{+}\diagup\left(  A^{+}\right)  ^{2}$ bezeichnen). Wir bezeichnen diese
Abbildung kurz mit $\overline{a}\mapsto d\left(  a\right)  $.

\textbf{3)} Die Abbildung
\[
\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)  \rightarrow
\left(  A^{+}\diagup\left(  A^{+}\right)  ^{2}\right)  ^{\ast}%
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d\mapsto\left(  \overline{a}\mapsto d\left(  a\right)
\right)
\]
(diese Abbildung ist gem\"{a}\ss \ \textbf{2)} wohldefiniert) ist ein
Isomorphismus von Vektorr\"{a}umen.

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Wir m\"{u}ssen $d\left(  \left(  A^{+}\right)
^{2}\right)  =0$ zeigen. Da $d$ eine $k$-lineare Abbildung ist, und da das
Ideal $\left(  A^{+}\right)  ^{2}$ von den Produkten $\alpha\beta$ mit
$\alpha\in A^{+}$ und $\beta\in A^{+}$ erzeugt ist, reicht es daf\"{u}r aus,
zu beweisen, da\ss \ $d\left(  \alpha\beta\right)  =0$ f\"{u}r alle $\alpha\in
A^{+}$ und $\beta\in A^{+}$ ist.\ Doch dies ist sehr leicht: Wegen $\alpha\in
A^{+}=\operatorname*{Ker}\varepsilon$ ist $\varepsilon\left(  \alpha\right)
=0$, analog $\varepsilon\left(  \beta\right)  =0$, und aus $d\in
\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)  $ folgt nun
$d\left(  \alpha\beta\right)  =\underbrace{\varepsilon\left(  \alpha\right)
}_{=0}d\left(  \beta\right)  +d\left(  \alpha\right)  \underbrace{\varepsilon
\left(  \beta\right)  }_{=0}=0$, was zu beweisen war.

\textbf{2)} Sei $d\in\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(
A,k\right)  $ beliebig gew\"{a}hlt. Laut \textbf{1)} ist dann $d\left(
\left(  A^{+}\right)  ^{2}\right)  =0$, also $\left(  d\mid_{A^{+}}\right)
\left(  \left(  A^{+}\right)  ^{2}\right)  =0$. Laut der universellen
Eigenschaft des Faktorvektorraums faktorisiert also die $k$-lineare Abbildung
$d\mid_{A^{+}}:A^{+}\rightarrow k$ \"{u}ber den Quotientenvektorraum
$A^{+}\diagup\left(  A^{+}\right)  ^{2}$. Das hei\ss t, es existiert genau
eine $k$-lineare Abbildung von $A^{+}\diagup\left(  A^{+}\right)  ^{2}$ nach
$k$, die $\overline{a}$ auf $d\left(  a\right)  $ abbildet f\"{u}r jedes $a\in
A^{+}$. Damit ist Satz 1.4$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{2)} bewiesen.

\textbf{3)} Wir bezeichnen die Abbildung%
\[
\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)  \rightarrow
\left(  A^{+}\diagup\left(  A^{+}\right)  ^{2}\right)  ^{\ast}%
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d\mapsto\left(  \overline{a}\mapsto d\left(  a\right)
\right)
\]
mit $\operatorname*{res}\nolimits_{\operatorname*{aug}}$. Trivialerweise ist
diese Abbildung $\operatorname*{res}\nolimits_{\operatorname*{aug}}$ linear.
Um zu zeigen, da\ss \ sie ein Isomorphismus von Vektorr\"{a}umen ist,
m\"{u}ssen wir nur noch ein Inverses zu ihr finden.

In der Tat sei $\pi:A\rightarrow A^{+}$ die Projektion, die durch $\pi\left(
a\right)  =a-\varepsilon\left(  a\right)  \cdot1$ f\"{u}r alle $a\in A$
definiert ist (wobei $1$ die Eins der Algebra $A$ bezeichnet). Sei
$\pi^{\prime}:A^{+}\rightarrow A^{+}\diagup\left(  A^{+}\right)  ^{2}$ die
kanonische Projektion, die jedes $a\in A^{+}$ auf $\overline{a}\in
A^{+}\diagup\left(  A^{+}\right)  ^{2}$ abbildet. Wir definieren eine
Abbildung%
\[
Q:\left(  A^{+}\diagup\left(  A^{+}\right)  ^{2}\right)  ^{\ast}%
\rightarrow\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)
\]
durch%
\[
Q\left(  f\right)  =f\circ\pi^{\prime}\circ\pi
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }f\in\left(  A^{+}\diagup\left(
A^{+}\right)  ^{2}\right)  ^{\ast}.
\]
Diese Abbildung $Q$ ist wohldefiniert, denn f\"{u}r alle $f\in\left(
A^{+}\diagup\left(  A^{+}\right)  ^{2}\right)  ^{\ast}$ ist $f\circ\pi
^{\prime}\circ\pi\in\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(
A,k\right)  $.\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Sei $F=f\circ\pi^{\prime
}\circ\pi$. Dann ist $F\left(  1\right)  =0$ (denn $\pi\left(  1\right)
=1-\varepsilon\left(  1\right)  \cdot1=1-1=0$) und $F\left(  \left(
A^{+}\right)  ^{2}\right)  =0$ (denn da $\pi$ eine Projektion auf $A^{+}$ ist,
und da $\left(  A^{+}\right)  ^{2}$ eine Teilmenge von $A^{+}$ ist, gilt
$\left(  \pi^{\prime}\circ\pi\right)  \left(  \left(  A^{+}\right)
^{2}\right)  =\pi^{\prime}\left(  \left(  A^{+}\right)  ^{2}\right)  =0$). Wir
wollen nun zeigen, da\ss \ $F\in\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon
}\left(  A,k\right)  $ ist. Dazu m\"{u}ssen wir nur nachweisen, da\ss \
\[
F\left(  ab\right)  =\varepsilon\left(  a\right)  \cdot F\left(  b\right)
+F\left(  a\right)  \cdot\varepsilon\left(  b\right)
\]
f\"{u}r alle $a,b\in A$ ist. Dies folgt aber aus%
\begin{align*}
&  F\left(  ab\right)  -\left(  \varepsilon\left(  a\right)  \cdot F\left(
b\right)  +F\left(  a\right)  \cdot\varepsilon\left(  b\right)  \right) \\
&  =F\left(  ab\right)  -\left(  \varepsilon\left(  a\right)  \cdot F\left(
b\right)  +F\left(  a\right)  \cdot\varepsilon\left(  b\right)  \right)
+\varepsilon\left(  a\right)  \varepsilon\left(  b\right)  \cdot F\left(
1\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{hier haben wir einen Summanden }\varepsilon\left(  a\right)
\varepsilon\left(  b\right)  \cdot F\left(  1\right)  \text{ in die Summe
eingef\"{u}gt,}\\
\text{dadurch aber nicht die Summe ver\"{a}ndert, denn }F\left(  1\right)  =0
\end{array}
\right) \\
&  =F\left(  ab-\varepsilon\left(  a\right)  b-\varepsilon\left(  b\right)
a+\varepsilon\left(  a\right)  \varepsilon\left(  b\right)  \cdot1\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }F\text{ ist linear}\right) \\
&  =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }ab-\varepsilon\left(  a\right)  b-\varepsilon\left(  b\right)
a+\varepsilon\left(  a\right)  \varepsilon\left(  b\right)  \cdot
1=\underbrace{\left(  a-\varepsilon\left(  a\right)  \right)  }_{=\pi\left(
a\right)  \in A^{+}}\underbrace{\left(  b-\varepsilon\left(  b\right)
\right)  }_{=\pi\left(  b\right)  \in A^{+}}\in A^{+}A^{+}=\left(
A^{+}\right)  ^{2}\\
\text{ergibt }F\left(  ab-\varepsilon\left(  a\right)  b-\varepsilon\left(
b\right)  a+\varepsilon\left(  a\right)  \varepsilon\left(  b\right)
\cdot1\right)  \in F\left(  \left(  A^{+}\right)  ^{2}\right)  =0
\end{array}
\right)  .
\end{align*}
Wir haben also gezeigt, da\ss \ $F\in\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon
}\left(  A,k\right)  $ ist. Wegen $F=f\circ\pi^{\prime}\circ\pi$ ist also
$f\circ\pi^{\prime}\circ\pi\in\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon
}\left(  A,k\right)  $ f\"{u}r alle $f\in\left(  A^{+}\diagup\left(
A^{+}\right)  ^{2}\right)  ^{\ast}$. Das hei\ss t, die Abbildung $Q$ ist
wohldefiniert.} Nun ist $\operatorname*{res}\nolimits_{\operatorname*{aug}%
}\circ Q=\operatorname*{id}$, denn f\"{u}r jedes $f\in\left(  A^{+}%
\diagup\left(  A^{+}\right)  ^{2}\right)  ^{\ast}$ und jedes $a\in A^{+}$ ist%
\begin{align*}
\left(  \left(  \operatorname*{res}\nolimits_{\operatorname*{aug}}\circ
Q\right)  \left(  f\right)  \right)  \left(  \overline{a}\right)   &  =\left(
\operatorname*{res}\nolimits_{\operatorname*{aug}}\left(  Q\left(  f\right)
\right)  \right)  \left(  \overline{a}\right)  =\left(  \underbrace{Q\left(
f\right)  }_{=f\circ\pi^{\prime}\circ\pi}\right)  \left(  a\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach der Definition von }\operatorname*{res}%
\nolimits_{\operatorname*{aug}}\right) \\
&  =\left(  f\circ\pi^{\prime}\circ\pi\right)  \left(  a\right)  =f\left(
\pi^{\prime}\left(  \pi\left(  a\right)  \right)  \right)  =f\left(
\underbrace{\pi^{\prime}\left(  a\right)  }_{=\overline{a}}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }a\in A^{+}\text{ ergibt }\pi\left(
a\right)  =a\text{, weil }\pi\text{ eine Projektion auf }A^{+}\text{
ist}\right) \\
&  =f\left(  \overline{a}\right)  .
\end{align*}
Ferner ist $Q\circ\operatorname*{res}\nolimits_{\operatorname*{aug}%
}=\operatorname*{id}$, denn f\"{u}r jedes $d\in\operatorname*{Der}%
\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)  $ und jedes $a\in A$ ist%
\begin{align*}
\left(  \left(  Q\circ\operatorname*{res}\nolimits_{\operatorname*{aug}%
}\right)  \left(  d\right)  \right)  \left(  a\right)   &  =\left(
\underbrace{Q\left(  \operatorname*{res}\nolimits_{\operatorname*{aug}}\left(
d\right)  \right)  }_{\substack{=\left(  \operatorname*{res}%
\nolimits_{\operatorname*{aug}}\left(  d\right)  \right)  \circ\pi^{\prime
}\circ\pi\\\text{(nach der Definition von }Q\text{)}}}\right)  \left(
a\right)  =\left(  \left(  \operatorname*{res}\nolimits_{\operatorname*{aug}%
}\left(  d\right)  \right)  \circ\pi^{\prime}\circ\pi\right)  \left(  a\right)
\\
&  =\left(  \operatorname*{res}\nolimits_{\operatorname*{aug}}\left(
d\right)  \right)  \left(  \underbrace{\pi^{\prime}\left(  \pi\left(
a\right)  \right)  }_{=\overline{\pi\left(  a\right)  }}\right)  =\left(
\operatorname*{res}\nolimits_{\operatorname*{aug}}\left(  d\right)  \right)
\left(  \overline{\pi\left(  a\right)  }\right) \\
&  =d\left(  \underbrace{\pi\left(  a\right)  }_{=a-\varepsilon\left(
a\right)  \cdot1}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{laut der
Definition von }\operatorname*{res}\nolimits_{\operatorname*{aug}}\right) \\
&  =d\left(  a\right)  -\varepsilon\left(  a\right)  d\left(  1\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }d\text{ ist linear}\right) \\
&  =d\left(  a\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }d\left(
1\right)  =0\text{, weil }d\text{ eine }\left(  \varepsilon,\varepsilon
\right)  \text{-Derivation ist}\right)  .
\end{align*}
Somit haben wir $\operatorname*{res}\nolimits_{\operatorname*{aug}}\circ
Q=\operatorname*{id}$ und $Q\circ\operatorname*{res}%
\nolimits_{\operatorname*{aug}}=\operatorname*{id}$ bewiesen. Daraus folgt,
da\ss \ die Vektorraumhomomorphismen $\operatorname*{res}%
\nolimits_{\operatorname*{aug}}$ und $Q$ zueinander invers, und daher
Vektorraumisomorphismen sind. F\"{u}r $\operatorname*{res}%
\nolimits_{\operatorname*{aug}}$ ist dies aber genau die Aussage, die wir
beweisen wollten. Der Beweis von Satz 1.4$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$
\textbf{3)} ist damit abgeschlossen.

\textbf{1.4}$\dfrac{\text{\textbf{3}}}{\text{\textbf{4}}}$\textbf{.
Bemerkung:} Satz 1.4$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ gilt auch dann noch, wenn man
"Sei $A$ eine Bialgebra" durch die deutlich schw\"{a}chere Forderung "Sei $A$
eine Algebra, und sei $\varepsilon:A\rightarrow k$ ein Algebrahomomorphismus"
ersetzt. Denn im Beweis von Satz 1.4$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ wurde die
Comultiplikation $\Delta$ nie verwendet.

Nun wollen wir die Liealgebra einer affinen Gruppe einf\"{u}hren:

\textbf{1.5. Satz:} Sei $A$ eine kommutative Hopfalgebra. Sei
$G=\operatorname*{Sp}A.$ (Somit ist $G$ eine affine Gruppe.) Sei
$A^{+}=\operatorname*{Ker}\varepsilon$ (das Augmentationsideal von $A,$ wie in
2.17. \textbf{4)} definiert).

Wir definieren eine $k$-Algebra $k\left[  \tau\right]  $ durch $k\left[
\tau\right]  =k\left[  T\right]  \diagup\left(  T^{2}\right)  $ (hierbei ist
$T$ eine Unbestimmte), und setzen dabei $\tau=\overline{T}$. (Dann ist
nat\"{u}rlich $\tau^{2}=\overline{T^{2}}=0$.) Sei $\pi:k\left[  \tau\right]
\rightarrow k$ der durch $\pi\left(  \tau\right)  =0$ festgelegte
Algebrahomomorphismus. Wir definieren einen Vektorraum $\operatorname*{Lie}G$
(sp\"{a}ter werden wir aus diesem Vektorraum eine Lie-Algebra machen) durch%
\[
\operatorname*{Lie}G=\operatorname*{Ker}\left(  G\left(  k\left[  \tau\right]
\right)  \overset{G\left(  \pi\right)  }{\longrightarrow}G\left(  k\right)
\right)  .
\]


Dann ist die Abbildung%
\[
\Omega:\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)
\rightarrow\operatorname*{Lie}G,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d\mapsto\varepsilon+d\tau
\]
bijektiv (wobei $\varepsilon+d\tau$ eine Kurzschreibweise f\"{u}r die
Abbildung%
\[
A\rightarrow k\left[  \tau\right]  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto
\varepsilon\left(  a\right)  +d\left(  a\right)  \tau
\]
ist). Diese Abbildung $\Omega$ ist ein Liealgebraisomorphismus, wobei die
Liealgebrastruktur auf $\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(
A,k\right)  $ die in Beispiel 1.3. \textbf{4)} definierte ist, w\"{a}hrend die
Liealgebrastruktur auf $\operatorname*{Lie}G=\operatorname*{Ker}\left(
G\left(  k\left[  \tau\right]  \right)  \overset{G\left(  \pi\right)
}{\longrightarrow}G\left(  k\right)  \right)  $ wie folgt definiert wird:

\begin{itemize}
\item F\"{u}r alle $x,y\in\operatorname*{Lie}G$ sei%
\[
x+y=x\ast y
\]
(wobei $\ast$ die Multiplikation in $G\left(  k\left[  \tau\right]  \right)
$, also die Faltung in $G\left(  k\left[  \tau\right]  \right)
=\operatorname*{Alg}\left(  A,k\left[  \tau\right]  \right)  $ bezeichnet);

\item f\"{u}r alle $x\in\operatorname*{Lie}G$ und $\alpha\in k$ sei
\[
\alpha x=G\left(  f_{\alpha}\right)  \left(  x\right)
\]
wobei $f_{\alpha}:k\left[  \tau\right]  \rightarrow k\left[  \tau\right]  $
der durch $f_{\alpha}\left(  \tau\right)  =\alpha\tau$ festgelegte
Algebrahomomorphismus ist;

\item f\"{u}r alle $x,y\in\operatorname*{Lie}G$ sei $\left[  x,y\right]
\in\operatorname*{Lie}G$ definiert als das Element $z\in\operatorname*{Lie}G$,
welches%
\[
\left(  G\left(  \Delta\right)  \right)  \left(  z\right)  =\left[  \left(
G\left(  i_{1}\right)  \right)  \left(  x\right)  ,\left(  G\left(
i_{2}\right)  \right)  \left(  y\right)  \right]
\]
erf\"{u}llt (so ein Element existiert und ist eindeutig bestimmt, wie wir im
Beweis sehen werden). Hierbei sind%
\begin{align*}
\Delta &  :k\left[  \tau\right]  \rightarrow k\left[  \tau\right]  \otimes
k\left[  \tau\right]  ,\\
i_{1}  &  :k\left[  \tau\right]  \rightarrow k\left[  \tau\right]  \otimes
k\left[  \tau\right]  ,\\
i_{2}  &  :k\left[  \tau\right]  \rightarrow k\left[  \tau\right]  \otimes
k\left[  \tau\right]
\end{align*}
die durch $\Delta\left(  \tau\right)  =\tau\otimes\tau,$ $i_{1}\left(
\tau\right)  =\tau\otimes1$ und $i_{2}\left(  \tau\right)  =1\otimes\tau$
festgelegten Algebrahomomorphismen\footnote{Es sei angemerkt, da\ss \ dieses
$\Delta$ nichts mit der Comultiplikation $\Delta_{A}$ auf $A$ zu tun hat. (Man
kann allerdings $\Delta$ als eine Comultiplikation auf $k\left[  \tau\right]
$ auffassen; jedoch wird $k\left[  \tau\right]  $ auf diese Weise nicht zu
einer Bialgebra. Wir werden es auch nicht n\"{o}tig haben, $\Delta$ als
Comultiplikation aufzufassen.)}, und f\"{u}r je zwei Elemente $u$ und $v$ der
Gruppe $G\left(  k\left[  \tau\right]  \otimes k\left[  \tau\right]  \right)
$ (dies ist eine Gruppe bez\"{u}glich der Konvolution $\ast$) ist der
Kommutator $\left[  u,v\right]  $ als $\left[  u,v\right]  =u\ast v\ast
u^{-1}\ast v^{-1}$ definiert (hierbei bedeutet $^{-1}$ das Inverse
bez\"{u}glich der Konvolution $\ast$).
\end{itemize}

Auf diese Weise haben wir auf $\operatorname*{Lie}G$ eine Liealgebrastruktur eingef\"{u}hrt.

\textit{Beweis:} \textbf{a)} Der erste Schritt des Beweises wird darin
bestehen, zu zeigen, da\ss \ die Abbildung%
\[
\Omega:\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)
\rightarrow\operatorname*{Lie}G,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d\mapsto\varepsilon+d\tau
\]
\"{u}berhaupt wohldefiniert ist, also da\ss \ $\varepsilon+d\tau$
tats\"{a}chlich in $\operatorname*{Lie}G$ liegt f\"{u}r jedes $d\in
\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)  $.

\textit{Beweis:} Sei $d\in\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(
A,k\right)  $. Dann ist die Abbildung%
\[
\varepsilon+d\tau:A\rightarrow k\left[  \tau\right]
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto\varepsilon\left(  a\right)  +d\left(  a\right)
\tau
\]
ein $k$-Algebrahomomorphismus (denn f\"{u}r alle $a,b\in A$ ist%
\begin{align*}
\underbrace{\left(  \varepsilon+d\tau\right)  \left(  a\right)  }%
_{=\varepsilon\left(  a\right)  +d\left(  a\right)  \tau}\cdot
\underbrace{\left(  \varepsilon+d\tau\right)  \left(  b\right)  }%
_{=\varepsilon\left(  b\right)  +d\left(  b\right)  \tau}  &  =\left(
\varepsilon\left(  a\right)  +d\left(  a\right)  \tau\right)  \left(
\varepsilon\left(  b\right)  +d\left(  b\right)  \tau\right) \\
&  =\underbrace{\varepsilon\left(  a\right)  \varepsilon\left(  b\right)
}_{=\varepsilon\left(  ab\right)  }+\underbrace{\varepsilon\left(  a\right)
d\left(  b\right)  \tau+d\left(  a\right)  \varepsilon\left(  b\right)  \tau
}_{=\left(  \varepsilon\left(  a\right)  d\left(  b\right)  +d\left(
a\right)  \varepsilon\left(  b\right)  \right)  \tau}+d\left(  a\right)
d\left(  b\right)  \underbrace{\tau^{2}}_{=0}\\
&  =\varepsilon\left(  ab\right)  +\underbrace{\left(  \varepsilon\left(
a\right)  d\left(  b\right)  +d\left(  a\right)  \varepsilon\left(  b\right)
\right)  }_{\substack{=d\left(  ab\right)  \\\text{(denn }d\in
\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)  \text{)}}}\tau\\
&  =\varepsilon\left(  ab\right)  +d\left(  ab\right)  \tau=\left(
\varepsilon+d\tau\right)  \left(  ab\right)
\end{align*}
(nach der Definition von $\varepsilon+d\tau$), und ferner ist%
\begin{align*}
\left(  \varepsilon+d\tau\right)  \left(  1\right)   &  =\varepsilon\left(
1\right)  +d\left(  1\right)  \tau=\varepsilon\left(  1\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn da }d\text{ eine }\left(
\varepsilon,\varepsilon\right)  \text{-Derivation ist, gilt }d\left(
1\right)  =0\text{ gem\"{a}\ss \ Bemerkung I.3.1. \textbf{0)}}\right) \\
&  =1
\end{align*}
), also ein Element von $G\left(  k\left[  \tau\right]  \right)  $. Ferner
erf\"{u}llt diese Abbildung die Gleichung $\left(  G\left(  \pi\right)
\right)  \left(  \varepsilon+d\tau\right)  =\pi\circ\left(  \varepsilon
+d\tau\right)  =\varepsilon$ (denn f\"{u}r jedes $a\in A$ ist%
\[
\left(  \pi\circ\left(  \varepsilon+d\tau\right)  \right)  \left(  a\right)
=\pi\left(  \underbrace{\left(  \varepsilon+d\tau\right)  \left(  a\right)
}_{=\varepsilon\left(  a\right)  +d\left(  a\right)  \tau}\right)  =\pi\left(
\varepsilon\left(  a\right)  +d\left(  a\right)  \tau\right)  =\varepsilon
\left(  a\right)  ,
\]
weil $\pi:k\left[  \tau\right]  \rightarrow k$ der durch $\pi\left(
\tau\right)  =0$ definierte $k$-Algebrahomomorphismus ist). Da $\varepsilon$
das neutrale Element der Gruppe $G\left(  k\right)  $ ist, ist also%
\[
\varepsilon+d\tau\in\operatorname*{Ker}\left(  G\left(  k\left[  \tau\right]
\right)  \overset{G\left(  \pi\right)  }{\longrightarrow}G\left(  k\right)
\right)  =\operatorname*{Lie}G.
\]
Wir haben damit gezeigt: F\"{u}r jedes $d\in\operatorname*{Der}%
\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)  $ ist $\varepsilon+d\tau
\in\operatorname*{Lie}G$. Die Abbildung%
\[
\Omega:\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)
\rightarrow\operatorname*{Lie}G,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d\mapsto\varepsilon+d\tau
\]
ist somit wohldefiniert.

\textbf{b)} Als n\"{a}chstes wollen wir beweisen, da\ss \ die Abbildung
$\Omega:\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)
\rightarrow\operatorname*{Lie}G$ surjektiv ist. Dazu sei $\ell\in
\operatorname*{Lie}G$ ein beliebiges Element. Wegen $\operatorname*{Lie}%
G=\operatorname*{Ker}\left(  G\left(  k\left[  \tau\right]  \right)
\overset{G\left(  \pi\right)  }{\longrightarrow}G\left(  k\right)  \right)  $
ist also $\ell\in G\left(  k\left[  \tau\right]  \right)  =\operatorname*{Alg}%
\left(  A,k\left[  \tau\right]  \right)  $ und $\left(  G\left(  \pi\right)
\right)  \ell=\varepsilon$ (denn $\varepsilon$ ist das neutrale Element der
Gruppe $G\left(  k\right)  $).

Sei nun $\pi^{\prime}:k\left[  \tau\right]  \rightarrow k$ der $k$%
-Vektorraumhomomorphismus (kein $k$-Algebrahomomorphismus), der durch
$\pi^{\prime}\left(  1\right)  =0$ und $\pi^{\prime}\left(  \tau\right)  =1$
definiert ist (dadurch ist er wohldefiniert, denn $1,\tau$ ist eine Basis des
$k$-Vektorraums $k\left[  \tau\right]  $). Sei $d=\pi^{\prime}\circ\ell$. Wir
werden nun zeigen, da\ss \ $d\in\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon
}\left(  A,k\right)  $ und $\ell=\Omega\left(  d\right)  $ ist.

Zuerst zeigen wir aber, da\ss \ $\ell\left(  a\right)  =\varepsilon\left(
a\right)  +d\left(  a\right)  \tau$ f\"{u}r alle $a\in A$ ist. In der Tat ist
$\pi\circ\ell=\left(  G\left(  \pi\right)  \right)  \ell=\varepsilon$ und
damit $\pi\left(  \ell\left(  a\right)  \right)  =\underbrace{\left(  \pi
\circ\ell\right)  }_{=\varepsilon}\left(  a\right)  =\varepsilon\left(
a\right)  $. Da $1,\tau$ eine Basis des $k$-Vektorraums $k\left[  \tau\right]
$ ist, k\"{o}nnen wir das Element $\ell\left(  a\right)  \in k\left[
\tau\right]  $ in der Form $\ell\left(  a\right)  =\alpha_{1}1+\alpha_{2}\tau$
f\"{u}r $\alpha_{1}\in k$ und $\alpha_{2}\in k$ schreiben. Nun ist%
\begin{align*}
\varepsilon\left(  a\right)   &  =\pi\left(  \ell\left(  a\right)  \right)
=\pi\left(  \alpha_{1}1+\alpha_{2}\tau\right)  =\alpha_{1}\underbrace{\pi
\left(  1\right)  }_{=1}+\alpha_{2}\underbrace{\pi\left(  \tau\right)  }%
_{=0}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\pi\text{ ist }k\text{-linear}%
\right) \\
&  =\alpha_{1}%
\end{align*}
und%
\begin{align*}
d\left(  a\right)   &  =\left(  \pi^{\prime}\circ\ell\right)  \left(
a\right)  =\pi^{\prime}\left(  \ell\left(  a\right)  \right)  =\pi^{\prime
}\left(  \alpha_{1}1+\alpha_{2}\tau\right)  =\alpha_{1}\underbrace{\pi
^{\prime}\left(  1\right)  }_{=0}+\alpha_{2}\underbrace{\pi^{\prime}\left(
\tau\right)  }_{=1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\pi^{\prime}\text{
ist }k\text{-linear}\right) \\
&  =\alpha_{2},
\end{align*}
also $\ell\left(  a\right)  =\underbrace{\alpha_{1}}_{=\varepsilon\left(
a\right)  }1+\underbrace{\alpha_{2}}_{=d\left(  a\right)  }\tau=\varepsilon
\left(  a\right)  +d\left(  a\right)  \tau$.

Wir haben damit gezeigt, da\ss \ $\ell\left(  a\right)  =\varepsilon\left(
a\right)  +d\left(  a\right)  \tau$ f\"{u}r alle $a\in A$ ist. F\"{u}r je zwei
Elemente $a,b\in A$ ist mithin%
\begin{align*}
\underbrace{\ell\left(  a\right)  }_{=\varepsilon\left(  a\right)  +d\left(
a\right)  \tau}\cdot\underbrace{\ell\left(  b\right)  }_{=\varepsilon\left(
b\right)  +d\left(  b\right)  \tau}  &  =\left(  \varepsilon\left(  a\right)
+d\left(  a\right)  \tau\right)  \left(  \varepsilon\left(  b\right)
+d\left(  b\right)  \tau\right) \\
&  =\underbrace{\varepsilon\left(  a\right)  \varepsilon\left(  b\right)
}_{=\varepsilon\left(  ab\right)  }+\underbrace{\varepsilon\left(  a\right)
d\left(  b\right)  \tau+d\left(  a\right)  \varepsilon\left(  b\right)  \tau
}_{=\left(  \varepsilon\left(  a\right)  d\left(  b\right)  +d\left(
a\right)  \varepsilon\left(  b\right)  \right)  \tau}+d\left(  a\right)
d\left(  b\right)  \underbrace{\tau^{2}}_{=0}\\
&  =\varepsilon\left(  ab\right)  +\left(  \varepsilon\left(  a\right)
d\left(  b\right)  +d\left(  a\right)  \varepsilon\left(  b\right)  \right)
\tau,
\end{align*}
aber auch $\ell\left(  ab\right)  =\varepsilon\left(  ab\right)  +d\left(
ab\right)  \tau$. Also ist%
\begin{align*}
\varepsilon\left(  ab\right)  +d\left(  ab\right)  \tau &  =\ell\left(
ab\right)  =\ell\left(  a\right)  \cdot\ell\left(  b\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\ell\text{ ist ein }%
k\text{-Algebrahomomorphismus}\right) \\
&  =\varepsilon\left(  ab\right)  +\left(  \varepsilon\left(  a\right)
d\left(  b\right)  +d\left(  a\right)  \varepsilon\left(  b\right)  \right)
\tau.
\end{align*}
Da $1,\tau$ eine Basis des $k$-Vektorraums $k\left[  \tau\right]  $ ist, folgt
hieraus $\varepsilon\left(  ab\right)  =\varepsilon\left(  ab\right)  $ und
$d\left(  ab\right)  =\varepsilon\left(  a\right)  d\left(  b\right)
+d\left(  a\right)  \varepsilon\left(  b\right)  $. Folglich ist
$d\in\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)  $. Und
nat\"{u}rlich ist $\ell=\Omega\left(  d\right)  $, denn f\"{u}r jedes $a\in A$
ist $\ell\left(  a\right)  =\varepsilon\left(  a\right)  +d\left(  a\right)
\tau=\underbrace{\left(  \varepsilon+d\tau\right)  }_{=\Omega\left(  d\right)
}\left(  a\right)  =\left(  \Omega\left(  d\right)  \right)  \left(  a\right)
$.

Wir haben also gezeigt, da\ss \ f\"{u}r jedes $\ell\in\operatorname*{Lie}G$
ein $d\in\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)  $
existiert, das $\ell=\Omega\left(  d\right)  $ erf\"{u}llt. Damit ist die
Abbildung $\Omega$ surjektiv.

\textbf{c)} Jetzt werden wir beweisen, da\ss \ die Abbildung $\Omega$ injektiv
ist. Da wir noch nicht wissen, da\ss \ $\Omega$ eine $k$-lineare Abbildung ist
(und da\ss \ $\operatorname*{Lie}G$ \"{u}berhaupt ein Vektorraum ist!), reicht
es dazu \textit{nicht} aus, f\"{u}r jedes $d\in\operatorname*{Der}%
\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)  $ mit $\Omega\left(  d\right)
=\varepsilon$ (man vergesse nicht: das neutrale Element von
$\operatorname*{Lie}G$ bez\"{u}glich der Addition ist $\varepsilon$) die
Gleichheit $d=0$ nachzuweisen. Stattdessen m\"{u}ssen wir beweisen, da\ss \ je
zwei Elemente $d,e\in\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(
A,k\right)  $, welche $\Omega\left(  d\right)  =\Omega\left(  e\right)  $
erf\"{u}llen, auch $d=e$ erf\"{u}llen.

Dies ist aber sehr einfach einzusehen: Seien $d,e\in\operatorname*{Der}%
\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)  $ zwei Elemente, welche
$\Omega\left(  d\right)  =\Omega\left(  e\right)  $ erf\"{u}llen. F\"{u}r
jedes $a\in A$ ist dann $\left(  \underbrace{\Omega\left(  d\right)
}_{=\varepsilon+d\tau}\right)  \left(  a\right)  =\left(  \varepsilon
+d\tau\right)  \left(  a\right)  =\varepsilon\left(  a\right)  +d\left(
a\right)  \tau$ und analog $\left(  \Omega\left(  e\right)  \right)  \left(
a\right)  =\varepsilon\left(  a\right)  +e\left(  a\right)  \tau$. Wegen
$\Omega\left(  d\right)  =\Omega\left(  e\right)  $ ist also $d\left(
a\right)  \tau=e\left(  a\right)  \tau$ f\"{u}r alle $a\in A$. Da $1,\tau$
eine $k$-Basis des Vektorraums $k\left[  \tau\right]  $ ist, folgt hieraus
$d\left(  a\right)  =e\left(  a\right)  $ f\"{u}r alle $a\in A$, und somit ist
$d=e$. Wir haben damit gezeigt, da\ss \ die Abbildung $\Omega$ injektiv ist.

\textbf{d)} Die Abbildung $\Omega$ ist wohldefiniert (nach \textbf{a)}),
surjektiv (nach \textbf{b)}) und injektiv (nach \textbf{c)}). Somit ist sie bijektiv.

\textbf{e)} Wir wollen nun zeigen, da\ss
\[
\Omega\left(  d+e\right)  =\Omega\left(  d\right)  +\Omega\left(  e\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }d,e\in\operatorname*{Der}%
\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)
\]
gilt. Dabei ist zu beachten, da\ss \ wir $\Omega\left(  d\right)
+\Omega\left(  e\right)  $ als $\Omega\left(  d\right)  \ast\Omega\left(
e\right)  $ definiert haben, wobei $\ast$ die Multiplikation in $G\left(
k\left[  \tau\right]  \right)  $ bedeutet!

\textit{Beweis:} F\"{u}r jedes $a\in A$ ist%
\[
\left(  \underbrace{\Omega\left(  d+e\right)  }_{=\varepsilon+\left(
d+e\right)  \tau}\right)  \left(  a\right)  =\left(  \varepsilon+\left(
d+e\right)  \tau\right)  \left(  a\right)  =\varepsilon\left(  a\right)
+\left(  d+e\right)  \left(  a\right)  \tau
\]
und%
\begin{align*}
&  \left(  \underbrace{\Omega\left(  d\right)  +\Omega\left(  e\right)
}_{=\Omega\left(  d\right)  \ast\Omega\left(  e\right)  }\right)  \left(
a\right)  =\left(  \Omega\left(  d\right)  \ast\Omega\left(  e\right)
\right)  \left(  a\right)  =\left(  \underbrace{\Omega\left(  d\right)
}_{=\varepsilon+d\tau}\right)  \left(  a_{\left(  1\right)  }\right)
\cdot\left(  \underbrace{\Omega\left(  e\right)  }_{=\varepsilon+e\tau
}\right)  \left(  a_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =\left(  \varepsilon+d\tau\right)  \left(  a_{\left(  1\right)  }\right)
\cdot\left(  \varepsilon+e\tau\right)  \left(  a_{\left(  2\right)  }\right)
=\left(  \varepsilon\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  +d\left(
a_{\left(  1\right)  }\right)  \tau\right)  \cdot\left(  \varepsilon\left(
a_{\left(  2\right)  }\right)  +e\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)
\tau\right) \\
&  =\underbrace{\varepsilon\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)
\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\varepsilon\left(
a\right)  }+\left(  \underbrace{\varepsilon\left(  a_{\left(  1\right)
}\right)  e\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=e\left(  \varepsilon
\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  a_{\left(  2\right)  }\right)
=e\left(  a\right)  }+\underbrace{d\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)
\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=d\left(  a_{\left(
1\right)  }\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
=d\left(  a\right)  }\right)  \tau+d\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)
e\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \underbrace{\tau^{2}}_{=0}\\
&  =\varepsilon\left(  a\right)  +\underbrace{\left(  e\left(  a\right)
+d\left(  a\right)  \right)  }_{=\left(  d+e\right)  \left(  a\right)  }%
\tau+\underbrace{d\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  e\left(  a_{\left(
2\right)  }\right)  0}_{=0}\\
&  =\varepsilon\left(  a\right)  +\left(  d+e\right)  \left(  a\right)
\tau+0=\varepsilon\left(  a\right)  +\left(  d+e\right)  \left(  a\right)
\tau,
\end{align*}
also $\left(  \Omega\left(  d+e\right)  \right)  \left(  a\right)  =\left(
\Omega\left(  d\right)  +\Omega\left(  e\right)  \right)  \left(  a\right)  $.
Daraus folgt $\Omega\left(  d+e\right)  =\Omega\left(  d\right)
+\Omega\left(  e\right)  $.

\textbf{f)} Jetzt werden wir zeigen, da\ss
\[
\Omega\left(  \alpha d\right)  =\alpha\Omega\left(  d\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }\alpha\in k\text{ und }d\in
\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)
\]
gilt. Hierbei sollte man sich im Klaren sein, da\ss \ $\alpha\Omega\left(
d\right)  $ als $G\left(  f_{\alpha}\right)  \left(  \Omega\left(  d\right)
\right)  $ definiert wurde, wobei $f_{\alpha}:k\left[  \tau\right]
\rightarrow k\left[  \tau\right]  $ der durch $f_{\alpha}\left(  \tau\right)
=\alpha\tau$ festgelegte Algebrahomomorphismus ist.

\textit{Beweis:} F\"{u}r jedes $a\in A$ ist%
\[
\left(  \underbrace{\Omega\left(  \alpha d\right)  }_{=\varepsilon+\left(
\alpha d\right)  \tau}\right)  \left(  a\right)  =\left(  \varepsilon+\left(
\alpha d\right)  \tau\right)  \left(  a\right)  =\varepsilon\left(  a\right)
+\underbrace{\left(  \alpha d\right)  \left(  a\right)  }_{=\alpha d\left(
a\right)  =d\left(  a\right)  \alpha}\tau=\varepsilon\left(  a\right)
+d\left(  a\right)  \alpha\tau
\]
und%
\begin{align*}
\left(  \underbrace{G\left(  f_{\alpha}\right)  \left(  \Omega\left(
d\right)  \right)  }_{=f_{\alpha}\circ\left(  \Omega\left(  d\right)  \right)
}\right)  \left(  a\right)   &  =\left(  f_{\alpha}\circ\left(  \Omega\left(
d\right)  \right)  \right)  \left(  a\right)  =f_{\alpha}\left(
\underbrace{\left(  \Omega\left(  d\right)  \right)  }_{=\varepsilon+d\tau
}\left(  a\right)  \right)  =f_{\alpha}\left(  \left(  \varepsilon
+d\tau\right)  \left(  a\right)  \right)  =f_{\alpha}\left(  \varepsilon
\left(  a\right)  +d\left(  a\right)  \tau\right) \\
&  =\varepsilon\left(  a\right)  +d\left(  a\right)  f_{\alpha}\left(
\tau\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }f_{\alpha}\text{ ist ein
}k\text{-Algebrahomomorphismus}\right) \\
&  =\varepsilon\left(  a\right)  +d\left(  a\right)  \alpha\tau
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }f_{\alpha}\left(  \tau\right)
=\alpha\tau\right)  ,
\end{align*}
also $\left(  \Omega\left(  \alpha d\right)  \right)  \left(  a\right)
=\left(  G\left(  f_{\alpha}\right)  \left(  \Omega\left(  d\right)  \right)
\right)  \left(  a\right)  $. Daraus folgt $\Omega\left(  \alpha d\right)
=\alpha\Omega\left(  d\right)  $.

\textbf{g)} Als n\"{a}chstes werden wir beweisen, da\ss
\[
\Delta\circ\left(  \Omega\left(  \left[  d,e\right]  \right)  \right)
=\left[  i_{1}\circ\Omega\left(  d\right)  ,i_{2}\circ\Omega\left(  e\right)
\right]  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }d,e\in\operatorname*{Der}%
\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)
\]
gilt (man erinnere sich an die Definitionen der Abbildungen $\Delta$, $i_{1}$
und $i_{2}$; diese Definitionen wurden am Ende von Satz 1.5 gegeben).

\textit{Beweis:} Seien $d,e\in\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon
}\left(  A,k\right)  $.

Aus der Definition von $i_{1}$ folgt leicht, da\ss \ $i_{1}\left(  p\right)
=p\otimes1$ f\"{u}r alle $p\in k\left[  \tau\right]  $ ist. Analog ist
$i_{2}\left(  q\right)  =1\otimes q$ f\"{u}r alle $q\in k\left[  \tau\right]
$. F\"{u}r alle $p,q\in k\left[  \tau\right]  $ ist also%
\begin{align*}
i_{2}\left(  q\right)  i_{1}\left(  p\right)   &  =\left(  1\otimes q\right)
\left(  p\otimes1\right)  =p\otimes q\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\\
i_{1}\left(  p\right)  i_{2}\left(  q\right)   &  =\left(  p\otimes1\right)
\left(  1\otimes q\right)  =p\otimes q.
\end{align*}
Wir bezeichnen diese beiden Formeln als $\left(  i_{1},i_{2}\right)
$\textit{-Produktrelationen}.

F\"{u}r jedes $a\in A$ ist nun%
\begin{align*}
&  \left(  \Delta\circ\left(  \Omega\left(  \left[  d,e\right]  \right)
\right)  \ast\left(  i_{2}\circ\Omega\left(  e\right)  \right)  \ast\left(
i_{1}\circ\Omega\left(  d\right)  \right)  \right)  \left(  a\right) \\
&  =\left(  \Delta\circ\left(  \underbrace{\Omega\left(  \left[  d,e\right]
\right)  }_{=\varepsilon+\left[  d,e\right]  \tau}\right)  \right)  \left(
a_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot\left(  i_{2}\circ\underbrace{\Omega
\left(  e\right)  }_{=\varepsilon+e\tau}\right)  \left(  a_{\left(  2\right)
}\right)  \cdot\left(  i_{1}\circ\underbrace{\Omega\left(  d\right)
}_{=\varepsilon+d\tau}\right)  \left(  a_{\left(  3\right)  }\right) \\
&  =\underbrace{\left(  \Delta\circ\left(  \varepsilon+\left[  d,e\right]
\tau\right)  \right)  \left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  }_{=\Delta\left(
\left(  \varepsilon+\left[  d,e\right]  \tau\right)  \left(  a_{\left(
1\right)  }\right)  \right)  }\cdot\underbrace{\left(  i_{2}\circ\left(
\varepsilon+e\tau\right)  \right)  \left(  a_{\left(  2\right)  }\right)
}_{=i_{2}\left(  \left(  \varepsilon+e\tau\right)  \left(  a_{\left(
2\right)  }\right)  \right)  }\cdot\underbrace{\left(  i_{1}\circ\left(
\varepsilon+d\tau\right)  \right)  \left(  a_{\left(  3\right)  }\right)
}_{=i_{1}\left(  \left(  \varepsilon+d\tau\right)  \left(  a_{\left(
3\right)  }\right)  \right)  }\\
&  =\Delta\left(  \left(  \varepsilon+\left[  d,e\right]  \tau\right)  \left(
a_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \cdot\underbrace{i_{2}\left(  \left(
\varepsilon+e\tau\right)  \left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
\cdot i_{1}\left(  \left(  \varepsilon+d\tau\right)  \left(  a_{\left(
3\right)  }\right)  \right)  }_{\substack{=\left(  \varepsilon+d\tau\right)
\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)  \otimes\left(  \varepsilon
+e\tau\right)  \left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \\\text{(nach der ersten
der }\left(  i_{1},i_{2}\right)  \text{-Produktrelationen)}}}\\
&  =\Delta\left(  \underbrace{\left(  \varepsilon+\left[  d,e\right]
\tau\right)  \left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  }_{=\varepsilon\left(
a_{\left(  1\right)  }\right)  +\left[  d,e\right]  \left(  a_{\left(
1\right)  }\right)  \tau}\right)  \cdot\left(  \underbrace{\left(
\varepsilon+d\tau\right)  \left(  a_{\left(  3\right)  }\right)
}_{=\varepsilon\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)  +d\left(  a_{\left(
3\right)  }\right)  \tau}\otimes\underbrace{\left(  \varepsilon+e\tau\right)
\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\varepsilon\left(  a_{\left(
2\right)  }\right)  +e\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \tau}\right) \\
&  =\underbrace{\Delta\left(  \varepsilon\left(  a_{\left(  1\right)
}\right)  +\left[  d,e\right]  \left(  a_{\left(  1\right)  }\right)
\tau\right)  }_{\substack{=\varepsilon\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)
+\left[  d,e\right]  \left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  \tau\otimes
\tau\\\text{(denn }\Delta:k\left[  \tau\right]  \rightarrow k\left[
\tau\right]  \otimes k\left[  \tau\right]  \text{ ist ein}%
\\\text{Algebrahomomorphismus mit }\Delta\left(  \tau\right)  =\tau\otimes
\tau\text{)}}}\cdot\left(  \left(  \varepsilon\left(  a_{\left(  3\right)
}\right)  +d\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)  \tau\right)  \otimes\left(
\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  +e\left(  a_{\left(
2\right)  }\right)  \tau\right)  \right) \\
&  =\left(  \varepsilon\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  +\left[
d,e\right]  \left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  \tau\otimes\tau\right)
\cdot\left(  \left(  \varepsilon\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)
+d\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)  \tau\right)  \otimes\left(
\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  +e\left(  a_{\left(
2\right)  }\right)  \tau\right)  \right) \\
&  =\varepsilon\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot\left(  \left(
\varepsilon\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)  +d\left(  a_{\left(
3\right)  }\right)  \tau\right)  \otimes\left(  \varepsilon\left(  a_{\left(
2\right)  }\right)  +e\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \tau\right)
\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\underbrace{\left[  d,e\right]  \left(  a_{\left(
1\right)  }\right)  \tau\otimes\tau\cdot\left(  \left(  \varepsilon\left(
a_{\left(  3\right)  }\right)  +d\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)
\tau\right)  \otimes\left(  \varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)
+e\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \tau\right)  \right)  }%
_{\substack{\text{wenn man dieses Produkt ausmultipliziert, fallen alle Terme
bis auf}\\\left[  d,e\right]  \left(  a_{\left(  1\right)  }\right)
\tau\otimes\tau\cdot\varepsilon\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)
\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \text{ weg, denn in all
diesen Termen kommt ein }\tau^{2}\text{ vor (und }\tau^{2}=0\text{)}}}\\
&  =\varepsilon\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot\left(
\underbrace{\left(  \varepsilon\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)
+d\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)  \tau\right)  \otimes\left(
\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  +e\left(  a_{\left(
2\right)  }\right)  \tau\right)  }_{=\varepsilon\left(  a_{\left(  3\right)
}\right)  \otimes\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)
+\varepsilon\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)  \otimes e\left(  a_{\left(
2\right)  }\right)  \tau+d\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)  \tau
\otimes\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  +d\left(  a_{\left(
3\right)  }\right)  \tau\otimes e\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \tau
}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\underbrace{\left[  d,e\right]  \left(  a_{\left(
1\right)  }\right)  \tau\otimes\tau\cdot\varepsilon\left(  a_{\left(
3\right)  }\right)  \varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)
}_{=\left[  d,e\right]  \left(  a_{1}\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)
}\varepsilon\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)  \right)  \right)
\tau\otimes\tau}\\
&  =\varepsilon\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot\left(
\underbrace{\varepsilon\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)  \otimes
\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  }_{\substack{=\varepsilon
\left(  \varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  a_{\left(  3\right)
}\right)  1\otimes1\\=\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)
1\otimes1}}+\underbrace{\varepsilon\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)
\otimes e\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \tau}_{\substack{=e\left(
a_{\left(  2\right)  }\varepsilon\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)
\right)  1\otimes\tau\\=e\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  1\otimes\tau
}}+\underbrace{d\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)  \tau\otimes
\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  }_{\substack{=d\left(
\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  a_{\left(  3\right)
}\right)  \tau\otimes1\\=d\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \tau\otimes
1}}+\underbrace{d\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)  \tau\otimes e\left(
a_{\left(  2\right)  }\right)  \tau}_{\substack{=e\left(  a_{\left(  2\right)
}\right)  d\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)  \tau\otimes\tau\\=\left(
e\ast d\right)  \left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \tau\otimes\tau
}}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\underbrace{\left[  d,e\right]  }_{=d\ast e-e\ast
d}\left(  a_{1}\varepsilon\left(  \underbrace{a_{\left(  2\right)
}\varepsilon\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)  }_{=a_{\left(  2\right)  }%
}\right)  \right)  \tau\otimes\tau
\end{align*}%
\begin{align*}
&  =\varepsilon\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot\left(
\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  1\otimes1+e\left(
a_{\left(  2\right)  }\right)  1\otimes\tau+d\left(  a_{\left(  2\right)
}\right)  \tau\otimes1+\left(  e\ast d\right)  \left(  a_{\left(  2\right)
}\right)  \tau\otimes\tau\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\left(  d\ast e-e\ast d\right)  \left(  a_{1}%
\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  \tau\otimes\tau\\
&  =\left(  \varepsilon\left(  \underbrace{\varepsilon\left(  a_{\left(
1\right)  }\right)  a_{\left(  2\right)  }}_{=a}\right)  1\otimes1+e\left(
\underbrace{\varepsilon\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  a_{\left(
2\right)  }}_{=a}\right)  1\otimes\tau+d\left(  \underbrace{\varepsilon\left(
a_{\left(  1\right)  }\right)  a_{\left(  2\right)  }}_{=a}\right)
\tau\otimes1+\left(  e\ast d\right)  \left(  \underbrace{\varepsilon\left(
a_{\left(  1\right)  }\right)  a_{\left(  2\right)  }}_{=a}\right)
\tau\otimes\tau\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\left(  d\ast e-e\ast d\right)  \left(
\underbrace{a_{1}\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  }%
_{=a}\right)  \tau\otimes\tau\\
&  =\varepsilon\left(  a\right)  1\otimes1+e\left(  a\right)  1\otimes
\tau+d\left(  a\right)  \tau\otimes1+\underbrace{\left(  e\ast d\right)
\left(  a\right)  \tau\otimes\tau+\left(  d\ast e-e\ast d\right)  \left(
a\right)  \tau\otimes\tau}_{=\left(  e\ast d+d\ast e-e\ast d\right)  \left(
a\right)  \tau\otimes\tau=\left(  d\ast e\right)  \left(  a\right)
\tau\otimes\tau}\\
&  =\varepsilon\left(  a\right)  1\otimes1+e\left(  a\right)  1\otimes
\tau+d\left(  a\right)  \tau\otimes1+\left(  d\ast e\right)  \left(  a\right)
\tau\otimes\tau
\end{align*}
und%
\begin{align*}
&  \left(  \left(  i_{1}\circ\Omega\left(  d\right)  \right)  \ast\left(
i_{2}\circ\Omega\left(  e\right)  \right)  \right)  \left(  a\right) \\
&  =\left(  i_{1}\circ\underbrace{\Omega\left(  d\right)  }_{=\varepsilon
+d\tau}\right)  \left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot\left(  i_{2}%
\circ\underbrace{\Omega\left(  e\right)  }_{=\varepsilon+e\tau}\right)
\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  =\underbrace{\left(  i_{1}\circ\left(
\varepsilon+d\tau\right)  \right)  \left(  a_{\left(  1\right)  }\right)
}_{=i_{1}\left(  \left(  \varepsilon+d\tau\right)  \left(  a_{\left(
1\right)  }\right)  \right)  }\cdot\underbrace{\left(  i_{2}\circ\left(
\varepsilon+e\tau\right)  \right)  \left(  a_{\left(  2\right)  }\right)
}_{=i_{2}\left(  \left(  \varepsilon+d\tau\right)  \left(  a_{\left(
2\right)  }\right)  \right)  }\\
&  =i_{1}\left(  \left(  \varepsilon+d\tau\right)  \left(  a_{\left(
1\right)  }\right)  \right)  \cdot i_{2}\left(  \left(  \varepsilon
+e\tau\right)  \left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  =\left(
\varepsilon+d\tau\right)  \left(  a_{\left(  1\right)  }\right)
\otimes\left(  \varepsilon+e\tau\right)  \left(  a_{\left(  2\right)  }\right)
\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach der zweiten der }\left(  i_{1}%
,i_{2}\right)  \text{-Produktrelationen}\right) \\
&  =\left(  \varepsilon\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  +d\left(
a_{\left(  1\right)  }\right)  \tau\right)  \otimes\left(  \varepsilon\left(
a_{\left(  2\right)  }\right)  +e\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)
\tau\right) \\
&  =\underbrace{\varepsilon\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)
\otimes\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\varepsilon
\left(  a_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  1\otimes1}+\underbrace{\varepsilon\left(  a_{\left(
1\right)  }\right)  \otimes e\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \tau
}_{=e\left(  \varepsilon\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  a_{\left(
2\right)  }\right)  1\otimes\tau}+\underbrace{d\left(  a_{\left(  1\right)
}\right)  \tau\otimes\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)
}_{=d\left(  a_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  \tau\otimes1}+\underbrace{d\left(  a_{\left(  1\right)
}\right)  \tau\otimes e\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \tau}_{=d\left(
a_{\left(  1\right)  }\right)  e\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)
\tau\otimes\tau}\\
&  =\varepsilon\left(  \underbrace{a_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(
a_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=a}\right)  1\otimes1+e\left(
\underbrace{\varepsilon\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  a_{\left(
2\right)  }}_{=a}\right)  1\otimes\tau+d\left(  \underbrace{a_{\left(
1\right)  }\varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=a}\right)
\tau\otimes1+\underbrace{d\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  e\left(
a_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\left(  d\ast e\right)  \left(  a\right)
}\tau\otimes\tau\\
&  =\varepsilon\left(  a\right)  1\otimes1+e\left(  a\right)  1\otimes
\tau+d\left(  a\right)  \tau\otimes1+\left(  d\ast e\right)  \left(  a\right)
\tau\otimes\tau,
\end{align*}
also
\[
\left(  \Delta\circ\left(  \Omega\left(  \left[  d,e\right]  \right)  \right)
\ast\left(  i_{2}\circ\Omega\left(  e\right)  \right)  \ast\left(  i_{1}%
\circ\Omega\left(  d\right)  \right)  \right)  \left(  a\right)  =\left(
\left(  i_{1}\circ\Omega\left(  d\right)  \right)  \ast\left(  i_{2}%
\circ\Omega\left(  e\right)  \right)  \right)  \left(  a\right)  .
\]
Da dies f\"{u}r jedes $a\in A$ gilt, ist also%
\[
\Delta\circ\left(  \Omega\left(  \left[  d,e\right]  \right)  \right)
\ast\left(  i_{2}\circ\Omega\left(  e\right)  \right)  \ast\left(  i_{1}%
\circ\Omega\left(  d\right)  \right)  =\left(  i_{1}\circ\Omega\left(
d\right)  \right)  \ast\left(  i_{2}\circ\Omega\left(  e\right)  \right)  .
\]
Da Elemente einer Gruppe stets invertierbar sind, k\"{o}nnen wir diese
Gleichung von rechts mit $\left(  i_{1}\circ\Omega\left(  d\right)  \right)
^{-1}$ und $\left(  i_{2}\circ\Omega\left(  e\right)  \right)  ^{-1}$
multiplizieren, und erhalten%
\begin{align*}
\Delta\circ\left(  \Omega\left(  \left[  d,e\right]  \right)  \right)   &
=\left(  i_{1}\circ\Omega\left(  d\right)  \right)  \ast\left(  i_{2}%
\circ\Omega\left(  e\right)  \right)  \ast\left(  i_{1}\circ\Omega\left(
d\right)  \right)  ^{-1}\ast\left(  i_{2}\circ\Omega\left(  e\right)  \right)
^{-1}\\
&  =\left[  i_{1}\circ\Omega\left(  d\right)  ,i_{2}\circ\Omega\left(
e\right)  \right]  .
\end{align*}


\textbf{h)} Jetzt erinnern wir uns an die komplizierte Definition der
Lieklammer auf $\operatorname*{Lie}G$. Wir wollen zeigen, da\ss \ diese
Definition \"{u}berhaupt Sinn ergibt; damit meinen wir nicht, da\ss \ diese
Lieklammer tats\"{a}chlich die Axiome einer Lieklammer (also $k$%
-Bilinearit\"{a}t, $\left[  x,x\right]  =0$ f\"{u}r alle $x\in V$ und
Jacobi-Identit\"{a}t) erf\"{u}llt (dies werden wir sp\"{a}ter beweisen),
sondern da\ss \ f\"{u}r alle $x,y\in\operatorname*{Lie}G$ tats\"{a}chlich
genau ein $z\in\operatorname*{Lie}G$ existiert, das
\[
\left(  G\left(  \Delta\right)  \right)  \left(  z\right)  =\left[  \left(
G\left(  i_{1}\right)  \right)  \left(  x\right)  ,\left(  G\left(
i_{2}\right)  \right)  \left(  y\right)  \right]
\]
erf\"{u}llt.

\textit{Beweis:} So ein $z$ existiert\footnote{\textit{Beweis:} Da $\Omega$
surjektiv ist (laut \textbf{b)}), gibt es ein $d\in\operatorname*{Der}%
\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)  $ mit $\Omega\left(  d\right)  =x$,
und ein $e\in\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)  $
mit $\Omega\left(  e\right)  =y$. Setzen wir nun $z=\Omega\left(  \left[
d,e\right]  \right)  $, dann ist%
\[
\Delta\circ z=\Delta\circ\left(  \Omega\left(  \left[  d,e\right]  \right)
\right)  =\left[  i_{1}\circ\Omega\left(  d\right)  ,i_{2}\circ\Omega\left(
e\right)  \right]
\]
(nach \textbf{g)}). Wegen $\Delta\circ z=\left(  G\left(  \Delta\right)
\right)  \left(  z\right)  $, $i_{1}\circ\underbrace{\Omega\left(  d\right)
}_{=x}=i_{1}\circ x=\left(  G\left(  i_{1}\right)  \right)  \left(  x\right)
$ und $i_{2}\circ\underbrace{\Omega\left(  e\right)  }_{=y}=i_{2}\circ
y=\left(  G\left(  i_{2}\right)  \right)  \left(  y\right)  $ vereinfacht sich
dies zu
\[
\left(  G\left(  \Delta\right)  \right)  \left(  z\right)  =\left[  \left(
G\left(  i_{1}\right)  \right)  \left(  x\right)  ,\left(  G\left(
i_{2}\right)  \right)  \left(  y\right)  \right]  .
\]
Es existiert also ein $z$, das $\left(  G\left(  \Delta\right)  \right)
\left(  z\right)  =\left[  \left(  G\left(  i_{1}\right)  \right)  \left(
x\right)  ,\left(  G\left(  i_{2}\right)  \right)  \left(  y\right)  \right]
$ erf\"{u}llt.} und ist eindeutig bestimmt\footnote{denn man kann einen
Algebrahomomorphismus $\phi:A\rightarrow k\left[  \tau\right]  $ eindeutig aus
$\left(  G\left(  \Delta\right)  \right)  \left(  \phi\right)  $
zur\"{u}ckgewinnen (in der Tat ist $\left(  G\left(  \Delta\right)  \right)
\left(  \phi\right)  =\Delta\circ\phi,$ und $\Delta$ ist injektiv)}. Damit
ergibt die Definition der Lieklammer auf $\operatorname*{Lie}G$, die wir in
Satz 1.5 gegeben haben, tats\"{a}chlich Sinn.

\textbf{i)} Als n\"{a}chstes werden wir beweisen, da\ss
\[
\Omega\left(  \left[  d,e\right]  \right)  =\left[  \Omega\left(  d\right)
,\Omega\left(  e\right)  \right]  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle
}d,e\in\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)
\]
gilt. Dabei mu\ss \ der Term $\left[  \Omega\left(  d\right)  ,\Omega\left(
e\right)  \right]  $ gem\"{a}\ss \ unserer komplizierten Definition der
Lieklammer auf $\operatorname*{Lie}G$ interpretiert werden.\footnote{Seit
\textbf{h)} wissen wir ja, da\ss \ diese Definition Sinn ergibt.}

\textit{Beweis:} Seien $d,e\in\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon
}\left(  A,k\right)  $. Wir m\"{u}ssen beweisen, da\ss \ $\Omega\left(
\left[  d,e\right]  \right)  =\left[  \Omega\left(  d\right)  ,\Omega\left(
e\right)  \right]  $ ist.

Wir haben die Lieklammer $\left[  x,y\right]  $ f\"{u}r alle $x,y\in
\operatorname*{Lie}G$ als das Element $z\in\operatorname*{Lie}G$ definiert,
welches $\left(  G\left(  \Delta\right)  \right)  \left(  z\right)  =\left[
\left(  G\left(  i_{1}\right)  \right)  \left(  x\right)  ,\left(  G\left(
i_{2}\right)  \right)  \left(  y\right)  \right]  $ erf\"{u}llt. Somit ist%
\[
\left(  G\left(  \Delta\right)  \right)  \left(  \left[  x,y\right]  \right)
=\left[  \left(  G\left(  i_{1}\right)  \right)  \left(  x\right)  ,\left(
G\left(  i_{2}\right)  \right)  \left(  y\right)  \right]
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x,y\in\operatorname*{Lie}G.
\]
Wegen $\left(  G\left(  \Delta\right)  \right)  \left(  \left[  x,y\right]
\right)  =\Delta\circ\left[  x,y\right]  $, $\left(  G\left(  i_{1}\right)
\right)  \left(  x\right)  =i_{1}\circ x$ und $\left(  G\left(  i_{2}\right)
\right)  \left(  y\right)  =i_{2}\circ y$ vereinfacht sich dies zu
\[
\Delta\circ\left[  x,y\right]  =\left[  i_{1}\circ x,i_{2}\circ y\right]
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x,y\in\operatorname*{Lie}G.
\]
Angewandt auf $x=\Omega\left(  d\right)  $ und $y=\Omega\left(  e\right)  $
ist also%
\[
\Delta\circ\left[  \Omega\left(  d\right)  ,\Omega\left(  e\right)  \right]
=\left[  i_{1}\circ\Omega\left(  d\right)  ,i_{2}\circ\Omega\left(  e\right)
\right]  =\Delta\circ\left(  \Omega\left(  \left[  d,e\right]  \right)
\right)
\]
(nach \textbf{g)}). Da die Abbildung $\Delta:k\left[  \tau\right]  \rightarrow
k\left[  \tau\right]  \otimes k\left[  \tau\right]  $ injektiv ist, folgt
hieraus $\left[  \Omega\left(  d\right)  ,\Omega\left(  e\right)  \right]
=\Omega\left(  \left[  d,e\right]  \right)  $. Damit ist $\Omega\left(
\left[  d,e\right]  \right)  =\left[  \Omega\left(  d\right)  ,\Omega\left(
e\right)  \right]  $ f\"{u}r alle $d,e\in\operatorname*{Der}%
\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)  $ bewiesen.

\textbf{j)} Wir sind nun mit dem Beweis fast fertig. Wenn wir jetzt
w\"{u}ssten, da\ss \ $\operatorname*{Lie}G$ (mit den in Satz 1.5 definierten
Verkn\"{u}pfungen) eine Liealgebra ist, w\"{u}rde aus \textbf{e)}, \textbf{f)}
und \textbf{i)} n\"{a}mlich folgen, da\ss \ $\Omega$ ein
Liealgebrahomomorphismus ist. Wir wissen allerdings noch nicht,
da\ss \ $\operatorname*{Lie}G$ eine Liealgebra ist. Zum Gl\"{u}ck ist dies mit
folgendem Hilfssatz sehr leicht zu zeigen:

\begin{quote}
\textit{Hilfssatz:} Sei $U$ eine Liealgebra, und sei $V$ eine Menge.
Angenommen, wir haben drei Abbildungen festgelegt:
\end{quote}

\begin{itemize}
\item eine Abbildung $\operatorname*{add}:V\times V\rightarrow V$, die wir als
Addition schreiben (das hei\ss t, wir schreiben $v+w$ f\"{u}r
$\operatorname*{add}\left(  v,w\right)  $), obwohl wir (noch) nicht wissen, ob
sie auch tats\"{a}chlich die von einer Addition verlangten Axiome (wie z. B.
Assoziativit\"{a}t oder die Existenz eines Nullelements) erf\"{u}llt;

\item eine Abbildung $\operatorname*{smult}:k\times V\rightarrow V$, die wir
als Wirkung schreiben (das hei\ss t, wir schreiben $\alpha v$ f\"{u}r das
$\operatorname*{smult}\left(  \alpha,v\right)  $), obwohl wir (noch) nicht
wissen, ob sie auch tats\"{a}chlich die von einer Wirkung verlangten Axiome
(wie z. B. $\left(  a+b\right)  v=av+bv$) erf\"{u}llt;

\item eine Abbildung $\operatorname*{lie}:V\times V\rightarrow V$, die wir als
Lieklammer schreiben (das hei\ss t, wir schreiben $\left[  v,w\right]  $
f\"{u}r $\operatorname*{lie}\left(  v,w\right)  $), obwohl wir (noch) nicht
wissen, ob sie auch tats\"{a}chlich die von einer Lieklammer verlangten Axiome
(also $k$-Bilinearit\"{a}t, $\left[  x,x\right]  =0$ f\"{u}r alle $x\in V$ und
Jacobi-Identit\"{a}t) erf\"{u}llt;
\end{itemize}

\begin{quote}
Angenommen, wir haben ferner eine Bijektion $\omega:U\rightarrow V$, die
folgende Eigenschaften hat:

\textit{Eigenschaft 1:} F\"{u}r alle $d,e\in U$ ist $\omega\left(  d+e\right)
=\omega\left(  d\right)  +\omega\left(  e\right)  $.

\textit{Eigenschaft 2:} F\"{u}r alle $\alpha\in k$ und $d\in U$ ist
$\omega\left(  \alpha d\right)  =\alpha\omega\left(  d\right)  $.

\textit{Eigenschaft 3:} F\"{u}r alle $d,e\in U$ ist $\omega\left(  \left[
d,e\right]  \right)  =\left[  \omega\left(  d\right)  ,\omega\left(  e\right)
\right]  $.

Dann ist $V$ eine Liealgebra; das hei\ss t, unsere drei Abbildungen, die wir
als Addition, als Wirkung bzw. als Lieklammer schreiben, erf\"{u}llen
tats\"{a}chlich die Axiome, die man f\"{u}r eine Addition, eine Wirkung bzw.
eine Lieklammer verlangt.\footnote{\textit{Beweis des Hilfssatzes:} Alle
Axiome, die eine Liealgebra erf\"{u}llen mu\ss , lassen sich f\"{u}r $V$ sehr
schnell nachpr\"{u}fen, indem man die entsprechenden Axiome f\"{u}r $U$ durch
die Bijektion $\omega$ "nach $V$ \"{u}bersetzt". Beispiel: Die Addition auf
$V$ ist assoziativ, denn f\"{u}r alle $u,v,w\in V$ ist%
\begin{align*}
&  \underbrace{u}_{=\omega\left(  \omega^{-1}\left(  u\right)  \right)
}+\underbrace{\left(  v+w\right)  }_{\substack{=\omega\left(  \omega
^{-1}\left(  v\right)  \right)  +\omega\left(  \omega^{-1}\left(  w\right)
\right)  \\=\omega\left(  \omega^{-1}\left(  v\right)  +\omega^{-1}\left(
w\right)  \right)  }}\\
&  =\omega\left(  \omega^{-1}\left(  u\right)  \right)  +\omega\left(
\omega^{-1}\left(  v\right)  +\omega^{-1}\left(  w\right)  \right)
=\omega\left(  \omega^{-1}\left(  u\right)  +\left(  \omega^{-1}\left(
v\right)  +\omega^{-1}\left(  w\right)  \right)  \right) \\
&  =\omega\left(  \left(  \omega^{-1}\left(  u\right)  +\omega^{-1}\left(
v\right)  \right)  +\omega^{-1}\left(  w\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn die Addition auf }U\text{ ist
assoziativ}\right) \\
&  =\underbrace{\omega\left(  \omega^{-1}\left(  u\right)  +\omega^{-1}\left(
v\right)  \right)  }_{\substack{=\omega\left(  \omega^{-1}\left(  u\right)
\right)  +\omega\left(  \omega^{-1}\left(  v\right)  \right)  \\=u+v}%
}+\underbrace{\omega\left(  \omega^{-1}\left(  w\right)  \right)  }%
_{=w}=\left(  u+v\right)  +w.
\end{align*}
Entsprechend kann man alle anderen Axiome, die eine Liealgebra erf\"{u}llen
mu\ss , f\"{u}r die Menge $V$ nachweisen.}
\end{quote}

Nun k\"{o}nnen wir diesen Hilfssatz auf $U=\operatorname*{Der}%
\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)  $, $V=\operatorname*{Lie}G$ und
$\omega=\Omega$ anwenden, und erhalten, da\ss \ $\operatorname*{Lie}G$ (mit
den in Satz 1.5 definierten Verkn\"{u}pfungen) eine Liealgebra ist (denn die
Eigenschaften 1, 2 und 3 gelten ja wegen \textbf{e)}, \textbf{f)} und
\textbf{i)}). Aus \textbf{e)}, \textbf{f)} und \textbf{i)} folgt nun,
da\ss \ $\Omega$ ein Liealgebrahomomorphismus ist. Da $\Omega$ bijektiv ist
(laut \textbf{d)}), ist $\Omega$ also ein Liealgebraisomorphismus, und Satz
1.5 ist bewiesen.

\textbf{1.5}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{.
Zusammenfassung:} Die in Satz 1.5 definierte Liealgebra $\operatorname*{Lie}G$
hei\ss t die \textit{Liealgebra der affinen Gruppe }$G$. Wenn
$G=\operatorname*{Sp}A$ ist, dann haben wir folgende Isomorphismen von
Liealgebren:%
\begin{align*}
&  \operatorname*{Ker}\left(  G\left(  k\left[  \tau\right]  \right)
\overset{G\left(  \pi\right)  }{\longrightarrow}G\left(  k\right)  \right) \\
&  =\operatorname*{Lie}G\cong\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(
A,k\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{gem\"{a}\ss \ Satz 1.5}\right)
\\
&  \cong\left(  A^{+}\diagup\left(  A^{+}\right)  ^{2}\right)  ^{\ast}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{gem\"{a}\ss \ Satz 1.4}\dfrac{\text{1}}{\text{2}}\text{ \textbf{3)},
wobei wir die Liealgebrastruktur auf }\left(  A^{+}\diagup\left(
A^{+}\right)  ^{2}\right)  ^{\ast}\text{ verm\"{o}ge}\\
\text{des Isomorphismus }\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(
A,k\right)  \cong\left(  A^{+}\diagup\left(  A^{+}\right)  ^{2}\right)
^{\ast}\text{ und der Liealgebrastruktur auf}\\
\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)  \text{
definieren}%
\end{array}
\right) \\
&  \cong\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)
\cong\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  ^{\operatorname*{linksinv}%
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{gem\"{a}\ss \ Bemerkung 1.3 \textbf{7)}%
}\right)  .
\end{align*}
Diese Isomorphismen sind alle kanonisch. Wenn wir also mit der Liealgebra
$\operatorname*{Lie}G$ einer affinen Gruppe $G$ arbeiten wollen, k\"{o}nnen
wir in jedem ihrer "Avatare" $\operatorname*{Ker}\left(  G\left(  k\left[
\tau\right]  \right)  \overset{G\left(  \pi\right)  }{\longrightarrow}G\left(
k\right)  \right)  $, $\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(
A,k\right)  $, $\left(  A^{+}\diagup\left(  A^{+}\right)  ^{2}\right)  ^{\ast
}$ und $\operatorname*{Der}\left(  A,A\right)  ^{\operatorname*{linksinv}}$ arbeiten.

\textbf{1.6. Folgerung:} Sei $G\subseteq\operatorname*{GL}_{n}$ eine
abgeschlossene Untergruppe. Dann ist $\operatorname*{Lie}G$ isomorph zu einer
Unterliealgebra von $\operatorname*{M}_{n}\left(  k\right)  ^{-}%
\cong\operatorname*{Lie}\left(  \operatorname*{GL}_{n}\right)  .$

\textit{Beweis:} \textbf{1)} \textit{Behauptung 1:} Seien $A$ und
$\overline{A}$ Bialgebren, und sei $\varphi:A\rightarrow\overline{A}$ ein
surjektiver Bialgebrahomomorphismus. Dann ist
\[
\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  \overline{A},k\right)
\rightarrow\operatorname*{Der}\nolimits_{\varepsilon}\left(  A,k\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d\mapsto d\circ\varphi
\]
ein injektiver Liealgebrahomomorphismus.

\textit{Beweis:} Klar.

\textit{Behauptung 2:} Es gilt $\operatorname*{Lie}\left(  \operatorname*{GL}%
_{n}\right)  \cong\operatorname*{M}_{n}\left(  k\right)  ^{-}.$

\textit{Beweis:} Nach der Definition von $\operatorname*{Lie}$ (die wir in
1.5. gegeben haben) ist%
\[
\operatorname*{Lie}\left(  \operatorname*{GL}\nolimits_{n}\right)
=\operatorname*{Ker}\left(  \operatorname*{GL}\nolimits_{n}\left(  k\left[
\tau\right]  \right)  \overset{\operatorname*{GL}\nolimits_{n}\left(
\pi\right)  }{\longrightarrow}\operatorname*{GL}\nolimits_{n}\left(  k\right)
\right)  =\left\{  E+\tau A\mid A\in\operatorname*{M}\nolimits_{n}\left(
k\right)  \right\}  ,
\]
wobei $\left(  E+\tau A\right)  ^{-1}=E-\tau A$ wegen $\tau^{2}=0.$

F\"{u}r beliebige $A,B\in\operatorname*{M}_{n}\left(  k\right)  $ und
$\alpha\in k$ gilt nun%
\begin{align*}
\left(  E+\tau A\right)  \left(  E+\tau B\right)   &  =E+\tau A+\tau
B+\underbrace{\tau^{2}}_{=0}AB=E+\tau\left(  A+B\right)  ;\\
\operatorname*{GL}\nolimits_{n}\left(  f_{\alpha}\right)  \left(  E+\tau
A\right)   &  =E+\tau\alpha A.
\end{align*}
Schreibe $\tau_{1}=\tau\otimes1$ und $\tau_{2}=1\otimes\tau$ in $k\left[
\tau\right]  \otimes k\left[  \tau\right]  .$ Dann ist%
\begin{align*}
&  \left(  E+\tau_{1}A\right)  \left(  E+\tau_{2}B\right)  \underbrace{\left(
E+\tau_{1}A\right)  ^{-1}}_{=E-\tau_{1}A}\underbrace{\left(  E+\tau
_{2}B\right)  ^{-1}}_{=E-\tau_{2}B}\\
&  =\underbrace{\left(  E+\tau_{1}A\right)  \left(  E+\tau_{2}B\right)
}_{=E+\tau_{2}B+\tau_{1}A+\tau_{1}\tau_{2}AB}\underbrace{\left(  E-\tau
_{1}A\right)  \left(  E-\tau_{2}B\right)  }_{=E-\tau_{2}B-\tau_{1}A+\tau
_{1}\tau_{2}AB}\\
&  =E-\tau_{2}B-\tau_{1}A+\tau_{1}\tau_{2}AB+\tau_{2}B-\tau_{1}\tau_{2}%
BA+\tau_{1}A-\tau_{1}\tau_{2}AB+\tau_{1}\tau_{2}AB\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{da }\tau_{1}^{2}=\tau_{2}^{2}=0\right) \\
&  =E+\underbrace{\tau_{1}\tau_{2}}_{\substack{=\tau\otimes\tau\\=\Delta
\left(  \tau\right)  }}\left(  AB-BA\right)  .
\end{align*}


Somit ist%
\[
\operatorname*{M}\nolimits_{n}\left(  k\right)  ^{-}\rightarrow
\operatorname*{Lie}\left(  \operatorname*{GL}\nolimits_{n}\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A\mapsto E+\tau A
\]
ein Isomorphismus von Liealgebren. Damit ist Behauptung 2 gezeigt.

Aus den Behauptungen 1 und 2 folgt 1.6.

\bigskip

\fbox{\textbf{Die universelle Einh\"{u}llende einer Liealgebra}}

Wir haben mit Bemerkung 1.3. \textbf{3)} eine M\"{o}glichkeit kennengelernt,
aus einer Hopfalgebra heraus eine Liealgebra zu bilden. Nun werden wir eine
umgekehrte Richtung angeben: Ausgehend von einer Liealgebra wollen wir die
sogenannte \textit{universelle Einh\"{u}llende} dieser Liealgebra
konstruieren, auf der eine kanonische Hopfalgebrastruktur definiert ist.

Bald kommen wir zur eigentlichen Definition der universellen Einh\"{u}llenden;
zuerst noch ein Begriff:

\textbf{Definition:} Die \textit{Tensoralgebra} $T\left(  V\right)  $ eines
Vektorraumes $V$ ist definiert als die Algebra%
\[
T\left(  V\right)  =k\oplus V\oplus\left(  V\otimes V\right)  \oplus\left(
V\otimes V\otimes V\right)  \oplus...=\bigoplus_{n\geq0}\left(  \otimes
^{n}V\right)  .
\]
Die Multiplikation auf $T\left(  V\right)  $ wird definiert durch%
\begin{align*}
\left(  v_{1}\otimes v_{2}\otimes...\otimes v_{k}\right)  \cdot\left(
w_{1}\otimes w_{2}\otimes...\otimes w_{l}\right)   &  =v_{1}\otimes
v_{2}\otimes...\otimes v_{k}\otimes w_{1}\otimes w_{2}\otimes...\otimes
w_{l}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }v_{1},v_{2},...,v_{k}\in V\text{
und }w_{1},w_{2},...,w_{l}\in V
\end{align*}
(und durch lineare Fortsetzung). Das Einselement von $T\left(  V\right)  $ ist
$1\in k.$

\textbf{1.7. Bemerkung:} \textbf{1)} Die Tensoralgebra $T\left(  V\right)  $
ist isomorph (als Algebra) zur freien Algebra $k\left\langle x_{i}\mid i\in
I\right\rangle $ (der freien Algebra in den Variablen $x_{i}$), wobei $\left(
v_{i}\right)  _{i\in I}$ eine Basis von $V$ ist. (Ein Isomorphismus $T\left(
V\right)  \rightarrow k\left\langle x_{i}\mid i\in I\right\rangle $ ist durch
$v_{i}\mapsto x_{i}$ gegeben.)

\textbf{2)} Die Tensoralgebra $T\left(  V\right)  $ eines Vektorraumes $V$ hat
folgende universelle Eigenschaft:

F\"{u}r jede Algebra $A$ und f\"{u}r jede $k$-lineare Abbildung
$f:V\rightarrow A$ gibt es genau einen Algebrahomomorphismus $\varphi:T\left(
V\right)  \rightarrow A$ so, da\ss \ das Diagramm%
\[
\xymatrix{
V \ar[r]^f \ar[dr]_{\text{Inklusion}} & A \\
& T\left(V\right) \ar@{.>}[u]_{\varphi}
}
\]
kommutiert.

\textbf{Definition:} Sei $\mathfrak{g}$ eine Liealgebra. Sei $T\left(
\mathfrak{g}\right)  $ die Tensoralgebra des Vektorraums $\mathfrak{g}.$
Definiere eine (assoziative, aber im Allgemeinen nicht kommutative) Algebra
$U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ durch%
\[
U\left(  \mathfrak{g}\right)  =T\left(  \mathfrak{g}\right)  \diagup\left(
x\otimes y-y\otimes x-\left[  x,y\right]  \mid x,y\in\mathfrak{g}\right)
\]
(wobei mit $\left(  x\otimes y-y\otimes x-\left[  x,y\right]  \mid
x,y\in\mathfrak{g}\right)  $ das zweiseitige Ideal von $T\left(
\mathfrak{g}\right)  $ gemeint ist, das von der Menge $\left\{  x\otimes
y-y\otimes x-\left[  x,y\right]  \mid x,y\in\mathfrak{g}\right\}  $ erzeugt ist).

Diese Faktoralgebra $U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ hei\ss t die
\textit{universelle Einh\"{u}llende} der Liealgebra $\mathfrak{g}.$

Der Vektorraumhomomorphismus $\sigma:\mathfrak{g}\rightarrow U\left(
\mathfrak{g}\right)  ,$ $x\mapsto\overline{x}$ hei\ss t
\textit{Restklassenabbildung}.

\textbf{1.8. Bemerkung:} \textbf{1)} Ist $\mathfrak{g}$ eine Liealgebra mit
Basis $\left(  x_{i}\right)  _{i\in I},$ und schreiben wir%
\[
\left[  x_{i},x_{j}\right]  =\sum_{l\in I}\alpha_{i,j}^{l}x_{l}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }i,j\in I,
\]
wobei $\alpha_{i,j}^{l}\in k$ f\"{u}r alle $l$ und $\alpha_{i,j}^{l}\neq0$ nur
f\"{u}r endlich viele $l\in I,$ dann ist%
\[
U\left(  \mathfrak{g}\right)  \cong k\left\langle \left\{  x_{i}\mid i\in
I\right\}  \ \mid\ x_{i}x_{j}-x_{j}x_{i}=\sum_{l\in I}\alpha_{i,j}^{l}%
x_{l}\text{ f\"{u}r alle }i,j\in I\right\rangle .
\]


\textit{Beweis:} Wegen 1.7. \textbf{1)}.

\textbf{2)} Ein Beispiel: Sei $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_{2}.$ Bekanntlich
hat dann $\mathfrak{g}$ eine Basis $e,f,h$ mit den Relationen%
\[
\left[  h,e\right]  =2e,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[  h,f\right]
=-2f,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[  e,f\right]  =h.
\]
Dann ist%
\[
U\left(  \mathfrak{sl}_{2}\right)  \cong k\left\langle e,f,h\mid
ef-fe=h,\ he-eh=2e,\ hf-fh=-2f\right\rangle .
\]


\textbf{1.9. Satz (Universelle Eigenschaft von }$U\left(  \mathfrak{g}\right)
$\textbf{):} Sei $\mathfrak{g}$ eine Liealgebra.

\textbf{1)} Die kanonische Abbildung $\sigma:\mathfrak{g}\rightarrow U\left(
\mathfrak{g}\right)  ^{-}$ ist ein Liealgebrahomomorphismus.

\textbf{2)} F\"{u}r jede (assoziative) Algebra $A$ und jeden
Liealgebrahomomorphismus $f:\mathfrak{g}\rightarrow A^{-}$ existiert genau ein
Algebrahomomorphismus $\varphi:U\left(  \mathfrak{g}\right)  \rightarrow A$
so, da\ss \ das Diagramm%
\[
\xymatrix{
\mathfrak{g} \ar[r]^f \ar[dr]_{\sigma} & A^- \\
& U\left(\mathfrak{g}\right)^- \ar@{.>}[u]_{\varphi}
}
\]
kommutativ ist. Also ist%
\[
\operatorname*{Alg}\left(  U\left(  \mathfrak{g}\right)  ,A\right)
\rightarrow\operatorname*{Lie}\left(  \mathfrak{g},A^{-}\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi\mapsto\varphi\sigma
\]
eine Bijektion.

\textit{Beweis:} \textbf{1)} F\"{u}r alle $x,y\in\mathfrak{g}$ ist%
\[
\sigma\left(  \left[  x,y\right]  \right)  =\overline{\left[  x,y\right]
}=\overline{x\otimes y-y\otimes x}=\overline{x}\cdot\overline{y}-\overline
{y}\cdot\overline{x}=\sigma\left(  x\right)  \sigma\left(  y\right)
-\sigma\left(  y\right)  \sigma\left(  x\right)  =\left[  \sigma\left(
x\right)  ,\sigma\left(  y\right)  \right]  .
\]


\textbf{2)} Sei $A$ eine assoziative Algebra, und $f:\mathfrak{g}\rightarrow
A^{-}$ ein Liealgebrahomomorphismus. Definiere einen Algebrahomomorphismus
$\widetilde{f}:T\left(  \mathfrak{g}\right)  \rightarrow A$ durch
$\widetilde{f}\left(  x\right)  =f\left(  x\right)  $ f\"{u}r alle
$x\in\mathfrak{g}$ (dies ist m\"{o}glich nach der universellen Eigenschaft der
Tensoralgebra, also 1.7. \textbf{2)}). Dann gilt $\widetilde{f}\left(
x\otimes y-y\otimes x-\left[  x,y\right]  \right)  =0$ f\"{u}r alle
$x,y\in\mathfrak{g},$ denn%
\[
\widetilde{f}\left(  x\otimes y-y\otimes x-\left[  x,y\right]  \right)
=f\left(  x\right)  f\left(  y\right)  -f\left(  y\right)  f\left(  x\right)
-\underbrace{f\left(  \left[  x,y\right]  \right)  }_{\substack{=f\left(
x\right)  f\left(  y\right)  -f\left(  y\right)  f\left(  x\right)
,\\\text{denn }f\text{ ist ein}\\\text{Liealgebrahomomorphismus}}}=0.
\]
Daher faktorisiert $\widetilde{f}$ \"{u}ber $U\left(  \mathfrak{g}\right)  ;$
das hei\ss t, es gibt einen Algebrahomomorphismus $\varphi:U\left(
\mathfrak{g}\right)  \rightarrow A$ mit $\varphi\left(  \sigma\left(
x\right)  \right)  =f\left(  x\right)  $ f\"{u}r alle $x\in\mathfrak{g}.$

Damit ist die Existenz von $\varphi$ gezeigt. Au\ss erdem ist $\varphi$ mit
dieser Eigenschaft eindeutig bestimmt, da die Elemente $\sigma\left(
x\right)  $ mit $x\in\mathfrak{g}$ ein Algebraerzeugendensystem von $U\left(
\mathfrak{g}\right)  $ bilden.

\textbf{1.10. Folgerung:} Sei $\mathfrak{g}$ eine Liealgebra.

\textbf{1)} Dann erh\"{a}lt $U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ kanonisch eine
Struktur einer cokommutativen Hopfalgebra durch Algebrahomomorphismen
$\Delta:U\left(  \mathfrak{g}\right)  \rightarrow U\left(  \mathfrak{g}%
\right)  \otimes U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ und $\varepsilon:U\left(
\mathfrak{g}\right)  \rightarrow k$ sowie einen Antialgebrahomomorphismus
$S:U\left(  \mathfrak{g}\right)  \rightarrow U\left(  \mathfrak{g}\right)  ,$
welche wie folgt definiert sind:%
\begin{align*}
\Delta\left(  \sigma\left(  x\right)  \right)   &  =\sigma\left(  x\right)
\otimes1+1\otimes\sigma\left(  x\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }x\in\mathfrak{g};\\
\varepsilon\left(  \sigma\left(  x\right)  \right)   &
=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in\mathfrak{g};\\
S\left(  \sigma\left(  x\right)  \right)   &  =-\sigma\left(  x\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in\mathfrak{g}.
\end{align*}
Es gilt $\sigma\left(  \mathfrak{g}\right)  \subseteq P\left(  U\left(
\mathfrak{g}\right)  \right)  .$

\textbf{2)} Diese Hopfalgebra $U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ besitzt
folgende universelle Eigenschaft:

Sei $H$ eine Bialgebra, und sei $f:\mathfrak{g}\rightarrow P\left(  H\right)
$ ein Liealgebrahomomorphismus.\footnote{Siehe 1.3. \textbf{3)} f\"{u}r eine
Definition der Liealgebra $P\left(  H\right)  .$} Dann gibt es genau einen
Bialgebrahomomorphismus $\varphi:U\left(  \mathfrak{g}\right)  \rightarrow H$
so, da\ss \ das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
\mathfrak{g} \ar[r]^f \ar[dr]_{\sigma} & P\left(H\right) \ar[r]^{\text{Inklusion}} & H \\
& U\left(\mathfrak{g}\right) \ar@{.>}[ru]_{\varphi} &
}
\]
kommutativ ist. Also ist die Abbildung%
\[
\operatorname*{Bialg}\left(  U\left(  \mathfrak{g}\right)  ,H\right)
\rightarrow\operatorname*{Lie}\left(  \mathfrak{g},P\left(  H\right)  \right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi\mapsto\varphi\sigma
\]
bijektiv. Diese Abbildung ist ferner kanonisch in beiden Variablen
$\mathfrak{g}$ und $H.$

\textit{Beweis:} \textbf{1)} \textbf{i)} Wir werden folgende Aussagen zeigen:

\textbf{a)} Die Abbildung%
\[
\mathfrak{g}\rightarrow\left(  U\left(  \mathfrak{g}\right)  \otimes U\left(
\mathfrak{g}\right)  \right)  ^{-},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto\sigma\left(
x\right)  \otimes1+1\otimes\sigma\left(  x\right)
\]
ist ein Liealgebrahomomorphismus.

\textbf{b)} Die Abbildung%
\[
\mathfrak{g}\rightarrow k^{-},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto0
\]
ist ein Liealgebrahomomorphismus.

\textbf{c)} Die Abbildung%
\[
\mathfrak{g}\rightarrow\left(  U\left(  \mathfrak{g}\right)
^{\operatorname*{op}}\right)  ^{-},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto-\sigma\left(
x\right)
\]
ist ein Liealgebrahomomorphismus.

\textit{Beweis von \textbf{a)}:} F\"{u}r alle $x,y\in\mathfrak{g}$ ist%
\begin{align*}
&  \left[  \sigma\left(  x\right)  \otimes1+1\otimes\sigma\left(  x\right)
,\ \sigma\left(  y\right)  \otimes1+1\otimes\sigma\left(  y\right)  \right] \\
&  =\left(  \sigma\left(  x\right)  \otimes1+1\otimes\sigma\left(  x\right)
\right)  \left(  \sigma\left(  y\right)  \otimes1+1\otimes\sigma\left(
y\right)  \right)  -\left(  \sigma\left(  y\right)  \otimes1+1\otimes
\sigma\left(  y\right)  \right)  \left(  \sigma\left(  x\right)
\otimes1+1\otimes\sigma\left(  x\right)  \right) \\
&  =\left(  \sigma\left(  x\right)  \sigma\left(  y\right)  \otimes
1+\sigma\left(  x\right)  \otimes\sigma\left(  y\right)  +1\otimes
\sigma\left(  x\right)  \sigma\left(  y\right)  +\sigma\left(  y\right)
\otimes\sigma\left(  x\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\left(  \sigma\left(  y\right)  \sigma\left(
x\right)  \otimes1+\sigma\left(  y\right)  \otimes\sigma\left(  x\right)
+1\otimes\sigma\left(  y\right)  \sigma\left(  x\right)  +\sigma\left(
x\right)  \otimes\sigma\left(  y\right)  \right) \\
&  =\sigma\left(  x\right)  \sigma\left(  y\right)  \otimes1+1\otimes
\sigma\left(  x\right)  \sigma\left(  y\right)  -\sigma\left(  y\right)
\sigma\left(  x\right)  \otimes1-1\otimes\sigma\left(  y\right)  \sigma\left(
x\right) \\
&  =\left(  \underbrace{\sigma\left(  x\right)  \sigma\left(  y\right)
-\sigma\left(  y\right)  \sigma\left(  x\right)  }_{=\sigma\left(  \left[
x,y\right]  \right)  }\right)  \otimes1+1\otimes\left(  \underbrace{\sigma
\left(  x\right)  \sigma\left(  y\right)  -\sigma\left(  y\right)
\sigma\left(  x\right)  }_{=\sigma\left(  \left[  x,y\right]  \right)
}\right)  =\sigma\left(  \left[  x,y\right]  \right)  \otimes1+1\otimes
\sigma\left(  \left[  x,y\right]  \right)  .
\end{align*}


\textit{Beweis von \textbf{b)}:} Trivial.

\textit{Beweis von \textbf{c)}:} Im Folgenden bedeute Multiplikation immer
Multiplikation in $U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ (und nicht in $U\left(
\mathfrak{g}\right)  ^{\operatorname*{op}}$); ferner bedeute $\left[
u,v\right]  $ die Lieklammer von $U\left(  \mathfrak{g}\right)  ^{-}$,
w\"{a}hrend $\left[  u,v\right]  ^{\operatorname*{op}}$ die Lieklammer von
$\left(  U\left(  \mathfrak{g}\right)  ^{\operatorname*{op}}\right)  ^{-}$
bedeuten soll.

F\"{u}r alle $x,y\in\mathfrak{g}$ ist%
\begin{align*}
\left[  -\sigma\left(  x\right)  ,-\sigma\left(  y\right)  \right]
^{\operatorname*{op}}  &  =\left[  -\sigma\left(  y\right)  ,-\sigma\left(
x\right)  \right]  =\left(  -\sigma\left(  y\right)  \right)  \left(
-\sigma\left(  x\right)  \right)  -\left(  -\sigma\left(  x\right)  \right)
\left(  -\sigma\left(  y\right)  \right) \\
&  =\sigma\left(  y\right)  \sigma\left(  x\right)  -\sigma\left(  x\right)
\sigma\left(  y\right)  =-\sigma\left(  \left[  x,y\right]  \right)  .
\end{align*}


\textbf{ii)} Aus den drei Aussagen von \textbf{i)} ergeben sich
gem\"{a}\ss \ der universellen Eigenschaft von $U\left(  \mathfrak{g}\right)
$ (siehe 1.9. \textbf{2)}) drei Algebrahomomorphismen $\Delta:U\left(
\mathfrak{g}\right)  \rightarrow U\left(  \mathfrak{g}\right)  \otimes
U\left(  \mathfrak{g}\right)  ,$ $\varepsilon:U\left(  \mathfrak{g}\right)
\rightarrow k$ und $S:U\left(  \mathfrak{g}\right)  \rightarrow U\left(
\mathfrak{g}\right)  ^{\operatorname*{op}}$ (man beachte das
$\operatorname*{op}$) mit den Eigenschaften%
\begin{align*}
\Delta\left(  \sigma\left(  x\right)  \right)   &  =\sigma\left(  x\right)
\otimes1+1\otimes\sigma\left(  x\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }x\in\mathfrak{g};\\
\varepsilon\left(  \sigma\left(  x\right)  \right)   &
=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in\mathfrak{g};\\
S\left(  \sigma\left(  x\right)  \right)   &  =-\sigma\left(  x\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in\mathfrak{g}.
\end{align*}


Um zu zeigen, da\ss \ $U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ mit der
Comultiplikation $\Delta,$ der Coeins $\varepsilon$ und der Antipode $S$ eine
Hopfalgebra wird, m\"{u}ssen wir die Axiome einer Hopfalgebra nachpr\"{u}fen.
Diese Axiome brauchen wir (laut Folgerung I.2.16 \textbf{1)} und Folgerung
I.2.16 \textbf{2)}) nur auf Algebraerzeugenden von $U\left(  \mathfrak{g}%
\right)  $ nachzupr\"{u}fen, also am Besten auf den Elementen von $\left\{
\sigma\left(  g\right)  \mid g\in\mathfrak{g}\right\}  .$ Die
Cokommutativit\"{a}t ist ebenfalls auf diesen Elementen klar (nach der
Definition von $\Delta$), und somit k\"{o}nnen wir sie
(gem\"{a}\ss \ Folgerung I.2.16 \textbf{3)}) auf ganz $U\left(  \mathfrak{g}%
\right)  $ \"{u}bertragen. Da\ss \ $\sigma\left(  \mathfrak{g}\right)
\subseteq P\left(  U\left(  \mathfrak{g}\right)  \right)  $ gilt, folgt aus
der Definition von $\sigma.$

\textbf{2)} Sei $H$ eine Bialgebra, und sei $f:\mathfrak{g}\rightarrow
P\left(  H\right)  $ ein Liealgebrahomomorphismus. Dann induziert $f$ einen
Liealgebrahomomorphismus von $\mathfrak{g}$ nach $H^{-},$ n\"{a}mlich die
Verkettung $\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
\mathfrak{g} \ar[r]^f & P\left(H\right) \ar[r]^{\text{Inklusion}} & H^-
}.$ Nach der universellen Eigenschaft von $U\left(  \mathfrak{g}\right)  $
(siehe 1.9. \textbf{2)}) gibt es dann einen Algebrahomomorphismus
$\varphi:U\left(  \mathfrak{g}\right)  \rightarrow H,$ f\"{u}r den das
Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
\mathfrak{g} \ar[r]^f \ar[dr]_{\sigma} & P\left(H\right) \ar[r]^{\text{Inklusion}} & H \\
& U\left(\mathfrak{g}\right) \ar@{.>}[ru]_{\varphi} &
}
\]
kommutativ ist. (Die Eindeutigkeit von $\varphi$ ist klar, da $\sigma\left(
\mathfrak{g}\right)  $ die Algebra $U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ erzeugt.)

Wir m\"{u}ssen jetzt nur noch zeigen, da\ss \ $\varphi$ ein
Bialgebrahomomorphismus ist. Dies beweisen wir folgenderma\ss en:

\textbf{a)} Wir zeigen erstmal, da\ss \ das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc}\xymatrix{
U\left(\mathfrak{g}\right) \ar[r]^{\varphi} \ar[d]_{\Delta} & H \ar[d]^{\Delta} \\
U\left(\mathfrak{g}\right)\otimes U\left(\mathfrak{g}\right) \ar[r]_-{\varphi\otimes\varphi} & H\otimes H
}
\]
kommutativ ist.

\textit{Beweis:} F\"{u}r alle $x\in\mathfrak{g}$ gilt%
\[
\Delta\left(  \underbrace{\varphi\left(  \sigma\left(  x\right)  \right)
}_{=f\left(  x\right)  }\right)  =\Delta\left(  f\left(  x\right)  \right)
=f\left(  x\right)  \otimes1+1\otimes f\left(  x\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }f\left(  x\right)  \in P\left(
H\right)  \right)
\]
und%
\begin{align*}
\left(  \varphi\otimes\varphi\right)  \left(  \Delta\left(  \sigma\left(
x\right)  \right)  \right)   &  =\left(  \varphi\otimes\varphi\right)  \left(
\sigma\left(  x\right)  \otimes1+1\otimes\sigma\left(  x\right)  \right)
=\underbrace{\varphi\left(  \sigma\left(  x\right)  \right)  }_{=f\left(
x\right)  }\otimes\underbrace{\varphi\left(  1\right)  }_{=1}%
+\underbrace{\varphi\left(  1\right)  }_{=1}\otimes\underbrace{\varphi\left(
\sigma\left(  x\right)  \right)  }_{=f\left(  x\right)  }\\
&  =f\left(  x\right)  \otimes1+1\otimes f\left(  x\right)  ,
\end{align*}
also $\Delta\left(  \varphi\left(  \sigma\left(  x\right)  \right)  \right)
=\left(  \varphi\otimes\varphi\right)  \left(  \Delta\left(  \sigma\left(
x\right)  \right)  \right)  .$ Also ist das Diagramm kommutativ (denn es ist
ein Diagramm von Algebrahomomorphismen, und $\sigma\left(  \mathfrak{g}%
\right)  $ erzeugt die Algebra $U\left(  \mathfrak{g}\right)  $).

\textbf{b)} Wir zeigen nun, da\ss \ das Diagramm%
\[
\xymatrix{
U\left(\mathfrak{g}\right) \ar[r]^{\varphi} \ar[d]_{\varepsilon} & H \ar[dl]^{\varepsilon} \\
k &
}
\]
kommutativ ist.

\textit{Beweis:} F\"{u}r alle $x\in\mathfrak{g}$ ist $\varepsilon\left(
\underbrace{\varphi\left(  \sigma\left(  x\right)  \right)  }_{=f\left(
x\right)  }\right)  =\varepsilon\left(  f\left(  x\right)  \right)  =0$ (da
$f\left(  x\right)  \in P\left(  H\right)  $) und $\varepsilon\left(
\sigma\left(  x\right)  \right)  =0,$ also $\varepsilon\left(  \varphi\left(
\sigma\left(  x\right)  \right)  \right)  =\varepsilon\left(  \sigma\left(
x\right)  \right)  .$ Genauso wie in \textbf{a)} folgt hieraus die Behauptung.

\textbf{1.11. Bemerkung:} \textbf{1)} Wir k\"{o}nnen einen Funktor
$U:\operatorname*{Lie}\rightarrow\operatorname*{Alg}$ definieren durch
$\mathfrak{g}\mapsto U\left(  \mathfrak{g}\right)  ,$ wobei f\"{u}r je zwei
Liealgebren $\mathfrak{g}_{1}$ und $\mathfrak{g}_{2}$ und jeden
Liealgebrahomomorphismus $f:\mathfrak{g}_{1}\rightarrow\mathfrak{g}_{2}$ der
Algebrahomomorphismus $U\left(  f\right)  :U\left(  \mathfrak{g}_{1}\right)
\rightarrow U\left(  \mathfrak{g}_{2}\right)  $ durch das kommutative Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
\mathfrak{g}_1 \ar[r]^f \ar[d]_{\sigma} & \mathfrak{g}_2 \ar[d]^{\sigma} \\
U\left(\mathfrak{g}_1\right) \ar[r]^{U\left(f\right)} & U\left(\mathfrak{g}_2\right)
}
\]
definiert ist (so ein $U\left(  f\right)  $ existiert und ist eindeutig nach
1.9. \textbf{2)}, denn $\xymatrix{
\mathfrak{g}_1 \ar[r]^f & \mathfrak{g}_2 \ar[r]^{\sigma} & U\left(\mathfrak{g}_2\right)^-
}$ ist ein Liealgebrahomomorphismus).

Nach 1.9. \textbf{2)} ist dieser Funktor $U:\operatorname*{Lie}\rightarrow
\operatorname*{Alg}$ linksadjungiert zu dem Funktor $\left(  {}\right)
^{-}:\operatorname{Alg}\rightarrow\operatorname*{Lie}$, welcher jede Algebra
$A$ auf die Liealgebra $A^{-}$ abbildet und jeden Algebrahomomorphismus
$f:A\rightarrow B$ auf den Liealgebrahomomorphismus $f:A^{-}\rightarrow B^{-}$ abbildet.

\textbf{2)} Wir k\"{o}nnen aber (nach 1.10.) auch genauso einen Funktor
$U:\operatorname*{Lie}\rightarrow\operatorname*{Bialg}$ definieren. (Wir
nennen diesen Funktor auch $U$, obwohl er nicht mit dem Funktor $U$ aus
Bemerkung \textbf{1)} zu verwechseln ist.)

Nach 1.10. \textbf{2)} ist dieser Funktor $U:\operatorname*{Lie}%
\rightarrow\operatorname*{Bialg}$ linksadjungiert zu dem Funktor
$P:\operatorname*{Bialg}\rightarrow\operatorname*{Lie}.$

Wir definieren jetzt den Begriff eines Moduls \"{u}ber einer Liealgebra, nur
um dann (in Bemerkung 1.12.) festzustellen, da\ss \ $\mathfrak{g}$-Moduln
(f\"{u}r eine Liealgebra $\mathfrak{g}$) im Wesentlichen nichts anderes als
$U\left(  \mathfrak{g}\right)  $-Moduln sind:

\textbf{Definition: }Sei $\mathfrak{g}$ eine Liealgebra.

\textbf{1)} Sei $V$ ein Vektorraum, und sei $\mu:\mathfrak{g}\times
V\rightarrow V$ eine $k$-bilineare Abbildung. Dann nennen wir $\left(
V,\mu\right)  $ (oder kurz $V,$ wenn die Abbildung $\mu$ klar ist) einen
$\mathfrak{g}$\textit{-Modul}, wenn f\"{u}r alle $x,y\in\mathfrak{g}$ und
jedes $v\in V$ gilt:%
\[
\left[  x,y\right]  v=x\left(  yv\right)  -y\left(  xv\right)  .
\]
(Hierbei verwenden wir die Kurzschreibweise $zv$ f\"{u}r $\mu\left(
z,v\right)  $, wobei $z$ ein Element von $\mathfrak{g}$ und $v$ ein Element
von $V$ sind.)

\textbf{2)} Seien $V$ und $W$ zwei $\mathfrak{g}$-Moduln, und sei
$f:V\rightarrow W$ eine $k$-lineare Abbildung. Dann hei\ss t $f$ ein
\textit{Homomorphismus von }$\mathfrak{g}$\textit{-Moduln} (oder auch ein
$\mathfrak{g}$\textit{-Modulhomomorphismus}, oder auch eine $\mathfrak{g}%
$\textit{-lineare Abbildung}), wenn f\"{u}r alle $x\in\mathfrak{g}$ und alle
$v\in V$ gilt: $f\left(  xv\right)  =xf\left(  v\right)  .$

\textbf{1.12. Bemerkung:} \textbf{1)} Sei $\mathfrak{g}$ eine Liealgebra, sei
$V$ ein Vektorraum, und sei $\mu:\mathfrak{g}\times V\rightarrow V$ eine
$k$-bilineare Abbildung. Genau dann ist $\left(  V,\mu\right)  $ ein
$\mathfrak{g}$-Modul, wenn die Abbildung%
\[
\rho:\mathfrak{g}\rightarrow\left(  \operatorname*{End}V\right)
^{-},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto\left(  v\mapsto xv\right)
\]
ein Liealgebrahomomorphismus ist. (Diese Abbildung $\rho$ hei\ss t dann auch
\textit{Darstellung} von $\mathfrak{g}$.)

\textit{Beweis:} Dies ist nur eine Umschreibung der Definition eines
$\mathfrak{g}$-Moduls.

\textbf{2)} Jeden $\mathfrak{g}$-Modul $V$ kann man als einen $U\left(
\mathfrak{g}\right)  $-Modul betrachten, indem man den Vektorraum $V$ mit der
$U\left(  \mathfrak{g}\right)  $-Modulstruktur, die $\sigma\left(  x\right)
v=xv$ f\"{u}r alle $x\in\mathfrak{g}$ und $v\in V$ erf\"{u}llt\footnote{So
eine $U\left(  \mathfrak{g}\right)  $-Modulstruktur existiert und ist
eindeutig, denn wenn wir sie als Algebrahomomorphismus $\varphi:U\left(
\mathfrak{g}\right)  \rightarrow\operatorname*{End}V$ betrachten, vereinfacht
sich die Bedingung "$\left(  \sigma\left(  x\right)  v=xv\text{ f\"{u}r alle
}x\in\mathfrak{g}\text{ und }v\in V\right)  $" zu "$\left(  \varphi\circ
\sigma=\rho\right)  $", wobei $\rho$ der in \textbf{1)} definierte
Liealgebrahomomorphismus ist, und laut 1.9 \textbf{2)} (angewandt auf $\rho$
statt $f$) gibt es genau einen Algebrahomomorphismus $\varphi:U\left(
\mathfrak{g}\right)  \rightarrow\operatorname*{End}V$, der $\varphi\circ
\sigma=\rho$ erf\"{u}llt.}, versieht.

Der Funktor%
\begin{align*}
\left\{  V\ \mid\ V\text{ ist ein }\mathfrak{g}\text{-Modul}\right\}   &
\rightarrow\left.  _{U\left(  \mathfrak{g}\right)  }\mathcal{M}\right.  ,\\
V  &  \mapsto V\text{ als Vektorraum mit der (eindeutigen) }U\left(
\mathfrak{g}\right)  \text{-Modulstruktur,}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{die }\left.  \sigma\left(
x\right)  v=xv\right.  \text{ f\"{u}r alle }\left.  x\in\mathfrak{g}\right.
\text{ und }\left.  v\in V\right.  \text{ erf\"{u}llt}%
\end{align*}
ist eine Kategorien\"{a}quivalenz und sogar ein Isomorphismus von Kategorien.
Also werden die Begriffe "$\mathfrak{g}$-Modul" und "$U\left(  \mathfrak{g}%
\right)  $-Linksmodul" h\"{a}ufig miteinander identifiziert.

\textit{Beweis:} F\"{u}r jeden Vektorraum $V$ gibt es nach 1.9. eine
kanonische Bijektion
\[
\operatorname*{Lie}\left(  \mathfrak{g},\left(  \operatorname*{End}V\right)
^{-}\right)  \rightarrow\operatorname*{Alg}\left(  U\left(  \mathfrak{g}%
\right)  ,\operatorname*{End}V\right)  .
\]


\bigskip

\begin{center}
\fbox{\textbf{2. Satz von Poincar\'{e}-Birkhoff-Witt}}
\end{center}

Der Satz von Poincar\'{e}-Birkhoff-Witt wird die Struktur von $U\left(
\mathfrak{g}\right)  $ etwas n\"{a}her beleuchten - zumindest wird er eine
"recht sch\"{o}ne" Basis von $U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ \textit{als
Vektorraum} aufzeigen. Die Algebrastruktur von $U\left(  \mathfrak{g}\right)
$ wird dadurch allerdings nicht erkl\"{a}rt.

\textbf{2.1. Satz, der Satz von Poincar\'{e}-Birkhoff-Witt:} Sei
$\mathfrak{g}$ eine Liealgebra, und sei $\left(  x_{i}\right)  _{i\in I}$ eine
$k$-Basis von $\mathfrak{g}.$ Sei $\left(  I,\leq\right)  $ total geordnet.
Dann ist die Multimenge%
\[
\left\{  \sigma\left(  x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}}\right)
...\sigma\left(  x_{i_{n}}\right)  \ \mid\ n\geq0,\text{ }i_{1},i_{2}%
,...,i_{n}\in I,\ i_{1}\leq i_{2}\leq...\leq i_{n}\right\}
\]
eine $k$-Basis von $U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ (inbesondere ist diese
Multimenge eine Menge, d. h. enth\"{a}lt kein Element mehrfach).

Bevor wir diesen Satz beweisen, definieren wir zun\"{a}chst den Begriff einer
filtrierten Algebra:

\textbf{Definition:} \textbf{1)} Sei $A$ eine Algebra, und seien
$A_{0}\subseteq A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq...$ Untervektorr\"{a}ume von
$A.$ Dann hei\ss t $\left(  A,\left(  A_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ eine
\textit{filtrierte Algebra}, wenn folgende drei Eigenschaften gelten:

\textbf{a)} Es ist $1\in A_{0}.$

\textbf{b)} F\"{u}r alle $n,m\geq0$ ist $A_{n}A_{m}\subseteq A_{n+m}.$

\textbf{c)} Es gilt $\bigcup\limits_{n\geq0}A_{n}=A.$

In diesem Fall nennt man $\left(  A_{n}\right)  _{n\geq0}$ auch eine
\textit{Algebrafiltrierung} von $A$ (oder eine \textit{Filtrierung} der
Algebra $A$).

\textbf{2)} Sei $\left(  A,\left(  A_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ eine
filtrierte Algebra. Dann definieren wir eine graduierte Algebra
$\operatorname*{gr}A,$ indem wir erstmal den ihr zugrundeliegenden
\textit{Vektorraum} $\operatorname*{gr}A$ durch%
\[
\operatorname*{gr}A=\bigoplus_{n\geq0}A_{n}\diagup A_{n-1}%
\]
definieren\footnote{Hier ist das Zeichen $\bigoplus$ als Synonym f\"{u}r
$\coprod$ (also f\"{u}r "Coprodukt") zu verstehen; die Vektorr\"{a}ume
$A_{n}\diagup A_{n-1}$ sind nicht a priori Unterr\"{a}ume eines einzigen
festen Vektorraumes (aber werden isomorph zu solchen, sobald man
$\operatorname*{gr}A$ einf\"{u}hrt).}, wobei $A_{-1}=0$ gesetzt wird
(wohlgemerkt h\"{a}ngt dieses $\operatorname*{gr}A$ nicht nur von der Algebra
$A,$ sondern auch von der Filtrierung $\left(  A_{n}\right)  _{n\geq0}$ ab,
auch wenn wir dies bei der Notation $\operatorname*{gr}A$ unterschlagen!). Die
Algebrastruktur auf $\operatorname*{gr}A$ wird definiert durch%
\begin{align*}
\left(  A_{n}\diagup A_{n-1}\right)  \times\left(  A_{m}\diagup A_{m-1}%
\right)   &  \rightarrow\left(  A_{n+m}\diagup A_{n+m-1}\right)  ,\\
\left(  \overline{x},\overline{y}\right)   &  \mapsto\overline{xy}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{wobei }x\in A_{n}\text{ und }y\in
A_{m}\text{ und daher }xy\in A_{n+m}\right)
\end{align*}
f\"{u}r alle $n,m\geq0$ (dabei meinen wir mit $\overline{x}$ die
\"{A}quivalenzklasse des Elementes $x\in A_{n}$ modulo $A_{n-1},$ ferner
meinen wir mit $\overline{y}$ die \"{A}quivalenzklasse des Elementes $y\in
A_{m}$ modulo $A_{m-1},$ und schlie\ss lich meinen wir mit $\overline{xy}$ die
\"{A}quivalenzklasse des Elementes $xy\in A_{n+m}$ modulo $A_{n+m-1}$) und
durch lineare Fortsetzung. Diese graduierte Algebra $\operatorname*{gr}A$
bezeichnen wir auch als $\operatorname*{gr}\left(  A,\left(  A_{n}\right)
_{n\geq0}\right)  $ (diese Schreibweise ist im Gegensatz zur Notation
$\operatorname*{gr}A$ auch formal korrekt, denn $\operatorname*{gr}\left(
A,\left(  A_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ h\"{a}ngt nicht nur von $A,$
sondern auch von der Filtrierung $\left(  A_{n}\right)  _{n\geq0}$ ab).

\textbf{2.2. Beispiele:} \textbf{1)} Sei $A$ eine beliebige Algebra (damit
meinen wir, wie immer, eine assoziative Algebra). Sei $\left(  x_{i}\right)
_{i\in I}$ ein Algebraerzeugendensystem von $A.$

F\"{u}r alle $n\geq0$ sei $A_{n}$ der Untervektorraum von $A,$ der von allen
$x_{i_{1}}x_{i_{2}}...x_{i_{m}}$ mit $0\leq m\leq n$ und $i_{1},i_{2}%
,...,i_{m}\in I$ aufgespannt wird. (Insbesondere ist also $A_{0}=k\cdot1$.)
Dann ist $\left(  A_{n}\right)  _{n\geq0}$ eine Filtrierung von $A,$ die
sogenannte \textit{nat\"{u}rliche Filtrierung} der Algebra $A$ bez\"{u}glich
dem Algebraerzeugendensystem $\left(  x_{i}\right)  _{i\in I}.$

\textbf{2)} Ist $\mathfrak{g}$ eine Liealgebra, und ist $\left(  x_{i}\right)
_{i\in I}$ ein Vektorraum-Erzeugendensystem von $\mathfrak{g}$, dann sei
$\left(  U_{n}\left(  \mathfrak{g}\right)  \right)  _{n\geq0}$ die
nat\"{u}rliche Filtrierung der Algebra $U\left(  \mathfrak{g}\right)  $
bez\"{u}glich dem Algebraerzeugendensystem $\left(  \sigma\left(
x_{i}\right)  \right)  _{i\in I}$. (Diese Filtrierung $\left(  U_{n}\left(
\mathfrak{g}\right)  \right)  _{n\geq0}$ h\"{a}ngt nicht von der Wahl des
Erzeugendensystems $\left(  x_{i}\right)  _{i\in I}$ ab, weil man sie auch
unabh\"{a}ngig von dem Erzeugendensystem $\left(  x_{i}\right)  _{i\in I}$
beschreiben k\"{o}nnte\footnote{und zwar folgenderma\ss en: F\"{u}r jedes
$k\in\mathbb{N}$ ist $U_{k}\left(  \mathfrak{g}\right)  $ der Untervektorraum
$\sum\limits_{i=0}^{k}\left\langle \sigma\left(  \alpha_{1}\right)
\sigma\left(  \alpha_{2}\right)  ...\sigma\left(  \alpha_{i}\right)
\ \mid\ \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{i}\in\mathfrak{g}\right\rangle $ von
$U\left(  \mathfrak{g}\right)  $.}.) Ferner bezeichnen wir die graduierte
Algebra $\operatorname*{gr}\left(  U\left(  \mathfrak{g}\right)  ,\left(
U_{n}\left(  \mathfrak{g}\right)  \right)  _{n\geq0}\right)  $ auch kurz mit
$\operatorname*{gr}U\left(  \mathfrak{g}\right)  .$ Wir haben also%
\[
\operatorname*{gr}U\left(  \mathfrak{g}\right)  =\bigoplus_{n\geq0}\left(
U_{n}\left(  \mathfrak{g}\right)  \right)  \diagup\left(  U_{n-1}\left(
\mathfrak{g}\right)  \right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{als
\textit{Vektorraum},}%
\]
wobei $U_{-1}\left(  \mathfrak{g}\right)  =0.$

Nun kommen wir zum Beweis von 2.1.; wir beginnen mit einem Lemma:

\textbf{2.3. Lemma:} Sei $\mathfrak{g}$ eine Liealgebra mit
Vektorraum-Erzeugendensystem $\left(  x_{i}\right)  _{i\in I},$ und sei
$\left(  I,\leq\right)  $ total geordnet.

\textbf{1)} Dann ist $\operatorname*{gr}U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ kommutativ.

\textbf{2)} F\"{u}r jedes $n\geq0$, jede Permutation $\pi\in S_{n}$ und jede
$y_{1},y_{2},...,y_{n}\in\mathfrak{g}$ gilt $\overline{\sigma\left(
y_{1}\right)  \sigma\left(  y_{2}\right)  ...\sigma\left(  y_{n}\right)
}=\overline{\sigma\left(  y_{\pi\left(  1\right)  }\right)  \sigma\left(
y_{\pi\left(  2\right)  }\right)  ...\sigma\left(  y_{\pi\left(  n\right)
}\right)  }$. Hierbei bezeichnen wir mit $\overline{\sigma\left(
y_{1}\right)  \sigma\left(  y_{2}\right)  ...\sigma\left(  y_{n}\right)  }$
und $\overline{\sigma\left(  y_{\pi\left(  1\right)  }\right)  \sigma\left(
y_{\pi\left(  2\right)  }\right)  ...\sigma\left(  y_{\pi\left(  n\right)
}\right)  }$ die Restklassen der Elemente $\sigma\left(  y_{1}\right)
\sigma\left(  y_{2}\right)  ...\sigma\left(  y_{n}\right)  $ bzw.
$\sigma\left(  y_{\pi\left(  1\right)  }\right)  \sigma\left(  y_{\pi\left(
2\right)  }\right)  ...\sigma\left(  y_{\pi\left(  n\right)  }\right)  $
modulo $U_{n-1}\left(  \mathfrak{g}\right)  $.

\textbf{3)} F\"{u}r alle $n\geq0$ wird der Vektorraum $U_{n}\left(
\mathfrak{g}\right)  \diagup U_{n-1}\left(  \mathfrak{g}\right)  $ erzeugt von
allen $\overline{\sigma\left(  x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}%
}\right)  ...\sigma\left(  x_{i_{n}}\right)  }$ mit $i_{1},i_{2},...,i_{n}\in
I$ und $i_{1}\leq i_{2}\leq...\leq i_{n}$ (wobei $\overline{\sigma\left(
x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}}\right)  ...\sigma\left(  x_{i_{n}%
}\right)  }$ die Restklasse des Elementes $\sigma\left(  x_{i_{1}}\right)
\sigma\left(  x_{i_{2}}\right)  ...\sigma\left(  x_{i_{n}}\right)  $ modulo
$U_{n-1}\left(  \mathfrak{g}\right)  $ bezeichnet).

\textbf{4)} F\"{u}r alle $n\geq0$ ist $U_{n}\left(  \mathfrak{g}\right)  $ der
Untervektorraum von $U\left(  \mathfrak{g}\right)  ,$ der erzeugt ist von
allen $\sigma\left(  x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}}\right)
...\sigma\left(  x_{i_{m}}\right)  $ mit $0\leq m\leq n$ und $i_{1}\leq
i_{2}\leq...\leq i_{m}$ in $I$.\ \ \ \ \footnote{Mit "$i_{1}\leq i_{2}%
\leq...\leq i_{m}$ in $I$" meinen wir dabei "$i_{1},i_{2},...,i_{m}\in I$ und
$i_{1}\leq i_{2}\leq...\leq i_{m}$".}

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Die graduierte Algebra $\operatorname*{gr}%
U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ wird als Algebra erzeugt von $\left(
\overline{\sigma\left(  x_{i}\right)  }\right)  _{i\in I}$, wobei f\"{u}r
jedes $i\in I$ das Element $\sigma\left(  x_{i}\right)  \in U\left(
\mathfrak{g}\right)  $ in $U_{1}\left(  \mathfrak{g}\right)  $ liegt, und
$\overline{\sigma\left(  x_{i}\right)  }$ die \"{A}quivalenzklasse dieses
Elementes modulo $U_{0}\left(  \mathfrak{g}\right)  $ ist. Wir m\"{u}ssen also
nur noch beweisen, da\ss \ $\overline{\sigma\left(  x_{i}\right)  }%
\cdot\overline{\sigma\left(  x_{j}\right)  }=\overline{\sigma\left(
x_{j}\right)  }\cdot\overline{\sigma\left(  x_{i}\right)  }$ f\"{u}r alle
$i,j$ gilt. Doch dies folgt aus%
\[
\sigma\left(  x_{i}\right)  \cdot\sigma\left(  x_{j}\right)  -\sigma\left(
x_{j}\right)  \cdot\sigma\left(  x_{i}\right)  =\left[  \sigma\left(
x_{i}\right)  ,\sigma\left(  x_{j}\right)  \right]  =\sigma\left(  \left[
x_{i},x_{j}\right]  \right)  \in U_{1}\left(  \mathfrak{g}\right)  ,
\]
also $\overline{\sigma\left(  x_{i}\right)  \cdot\sigma\left(  x_{j}\right)
}=\overline{\sigma\left(  x_{j}\right)  \cdot\sigma\left(  x_{i}\right)  }$ in
$U_{2}\left(  \mathfrak{g}\right)  \diagup U_{1}\left(  \mathfrak{g}\right)
,$ also $\overline{\sigma\left(  x_{i}\right)  }\cdot\overline{\sigma\left(
x_{j}\right)  }=\overline{\sigma\left(  x_{j}\right)  }\cdot\overline
{\sigma\left(  x_{i}\right)  }$ in $U_{2}\left(  \mathfrak{g}\right)  \diagup
U_{1}\left(  \mathfrak{g}\right)  ,$ was zu beweisen war.

\textbf{2)} Die Behauptung von \textbf{2)} folgt aus%
\begin{align*}
&  \overline{\sigma\left(  y_{1}\right)  \sigma\left(  y_{2}\right)
...\sigma\left(  y_{n}\right)  }\\
&  =\overline{\sigma\left(  y_{1}\right)  }\cdot\overline{\sigma\left(
y_{2}\right)  }\cdot...\cdot\overline{\sigma\left(  y_{n}\right)
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{wobei }\overline{\sigma\left(  y_{1}\right)  },\ \overline{\sigma\left(
y_{2}\right)  },\ ...,\text{ }\overline{\sigma\left(  y_{n}\right)  }\text{
die Restklassen}\\
\text{der Elemente }\sigma\left(  y_{1}\right)  ,\ \sigma\left(  y_{2}\right)
,\ ...,\text{ }\sigma\left(  y_{n}\right) \\
\text{modulo }U_{0}\left(  \mathfrak{g}\right)  \text{ bezeichnen}%
\end{array}
\right) \\
&  =\overline{\sigma\left(  y_{\pi\left(  1\right)  }\right)  }\cdot
\overline{\sigma\left(  y_{\pi\left(  2\right)  }\right)  }\cdot
...\cdot\overline{\sigma\left(  y_{\pi\left(  n\right)  }\right)
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{wobei }\overline{\sigma\left(  y_{\pi\left(  1\right)  }\right)
},\ \overline{\sigma\left(  y_{\pi\left(  2\right)  }\right)  },\ ...,\text{
}\overline{\sigma\left(  y_{\pi\left(  n\right)  }\right)  }\\
\text{die Restklassen der Elemente}\\
\sigma\left(  y_{\pi\left(  1\right)  }\right)  ,\ \sigma\left(  y_{\pi\left(
2\right)  }\right)  ,\ ...,\text{ }\sigma\left(  y_{\pi\left(  n\right)
}\right) \\
\text{modulo }U_{0}\left(  \mathfrak{g}\right)  \text{ bezeichnen}%
\end{array}
\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn nach \textbf{1)} ist }%
\operatorname*{gr}U\left(  \mathfrak{g}\right)  \text{ kommutativ}\right) \\
&  =\overline{\sigma\left(  y_{\pi\left(  1\right)  }\right)  \sigma\left(
y_{\pi\left(  2\right)  }\right)  ...\sigma\left(  y_{\pi\left(  n\right)
}\right)  }.
\end{align*}


\textbf{3)} Sei $n\geq0$ beliebig. In diesem Beweis werden wir f\"{u}r jedes
$T\in U_{n}\left(  \mathfrak{g}\right)  $ die Restklasse von $T$ modulo
$U_{n-1}\left(  \mathfrak{g}\right)  $ mit $\overline{T}$ bezeichnen. Wenn $T$
ein Element von $U_{n-1}\left(  \mathfrak{g}\right)  $ ist, ist also
$\overline{T}=0$.

Sei $W$ der Untervektorraum von $U_{n}\left(  \mathfrak{g}\right)  \diagup
U_{n-1}\left(  \mathfrak{g}\right)  $, welcher erzeugt von allen
$\overline{\sigma\left(  x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}}\right)
...\sigma\left(  x_{i_{n}}\right)  }$ mit $i_{1},i_{2},...,i_{n}\in I$ und
$i_{1}\leq i_{2}\leq...\leq i_{n}$. Wir wollen zeigen, da\ss \ $W=U_{n}\left(
\mathfrak{g}\right)  \diagup U_{n-1}\left(  \mathfrak{g}\right)  $ ist.

F\"{u}r beliebige $i_{1},i_{2},...,i_{n}\in I$ gilt $\overline{\sigma\left(
x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}}\right)  ...\sigma\left(  x_{i_{n}%
}\right)  }\in W$\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Seien $i_{1}%
,i_{2},...,i_{n}\in I$ beliebig. Dann gibt es eine Permutation $\pi\in S_{n}$,
die $i_{\pi\left(  1\right)  }\leq i_{\pi\left(  2\right)  }\leq...\leq
i_{\pi\left(  n\right)  }$ erf\"{u}llt. F\"{u}r diese Permutation gilt
$\overline{\sigma\left(  x_{i_{\pi\left(  1\right)  }}\right)  \sigma\left(
x_{i_{\pi\left(  2\right)  }}\right)  ...\sigma\left(  x_{i_{\pi\left(
n\right)  }}\right)  }\in W$ (nach der Definition von $W$). Doch nach
\textbf{2)} (angewandt auf $\left(  y_{1},y_{2},...,y_{n}\right)  =\left(
x_{i_{1}},x_{i_{2}},...,x_{i_{n}}\right)  $) gilt $\overline{\sigma\left(
x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}}\right)  ...\sigma\left(  x_{i_{n}%
}\right)  }=\overline{\sigma\left(  x_{i_{\pi\left(  1\right)  }}\right)
\sigma\left(  x_{i_{\pi\left(  2\right)  }}\right)  ...\sigma\left(
x_{i_{\pi\left(  n\right)  }}\right)  }$. Aus $\overline{\sigma\left(
x_{i_{\pi\left(  1\right)  }}\right)  \sigma\left(  x_{i_{\pi\left(  2\right)
}}\right)  ...\sigma\left(  x_{i_{\pi\left(  n\right)  }}\right)  }\in W$ wird
also $\overline{\sigma\left(  x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}%
}\right)  ...\sigma\left(  x_{i_{n}}\right)  }\in W$, was zu beweisen war.}.

Gem\"{a}\ss \ der Definition von $U_{n}\left(  \mathfrak{g}\right)  $ wird der
Vektorraum $U_{n}\left(  \mathfrak{g}\right)  $ erzeugt von allen
$\sigma\left(  x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}}\right)
...\sigma\left(  x_{i_{\ell}}\right)  $ mit $0\leq\ell\leq n$ und $i_{1}%
,i_{2},...,i_{\ell}\in I$. Somit wird der Vektorraum $U_{n}\left(
\mathfrak{g}\right)  \diagup U_{n-1}\left(  \mathfrak{g}\right)  $ erzeugt von
allen $\overline{\sigma\left(  x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}%
}\right)  ...\sigma\left(  x_{i_{\ell}}\right)  }$ mit $0\leq\ell\leq n$ und
$i_{1},i_{2},...,i_{\ell}\in I$.\ \ \ \ \footnote{Man beachte hierbei,
da\ss \ $\overline{\sigma\left(  x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}%
}\right)  ...\sigma\left(  x_{i_{\ell}}\right)  }$ die Restklasse von
$\sigma\left(  x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}}\right)
...\sigma\left(  x_{i_{\ell}}\right)  $ modulo $U_{n-1}\left(  \mathfrak{g}%
\right)  $ bezeichnet (und nicht modulo $U_{\ell-1}\left(  \mathfrak{g}%
\right)  $).} Unter diesen Erzeugenden sind aber alle diejenigen, die $\ell<n$
erf\"{u}llen, gleich $0$ (denn f\"{u}r $\ell<n$ ist $\sigma\left(  x_{i_{1}%
}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}}\right)  ...\sigma\left(  x_{i_{\ell}%
}\right)  \in U_{\ell}\left(  \mathfrak{g}\right)  \subseteq U_{n-1}\left(
\mathfrak{g}\right)  $ und somit $\overline{\sigma\left(  x_{i_{1}}\right)
\sigma\left(  x_{i_{2}}\right)  ...\sigma\left(  x_{i_{\ell}}\right)  }=0$),
und k\"{o}nnen daher weggelassen werden. Wir erhalten somit: Der Vektorraum
$U_{n}\left(  \mathfrak{g}\right)  \diagup U_{n-1}\left(  \mathfrak{g}\right)
$ wird erzeugt von allen $\overline{\sigma\left(  x_{i_{1}}\right)
\sigma\left(  x_{i_{2}}\right)  ...\sigma\left(  x_{i_{\ell}}\right)  }$ mit
$\ell=n$ und $i_{1},i_{2},...,i_{\ell}\in I$. Mit anderen Worten: Der
Vektorraum $U_{n}\left(  \mathfrak{g}\right)  \diagup U_{n-1}\left(
\mathfrak{g}\right)  $ wird erzeugt von allen $\overline{\sigma\left(
x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}}\right)  ...\sigma\left(  x_{i_{n}%
}\right)  }$ mit $i_{1},i_{2},...,i_{n}\in I$. Da all diese Erzeugenden in $W$
liegen\footnote{Denn wir wissen: F\"{u}r beliebige $i_{1},i_{2},...,i_{n}\in
I$ gilt $\overline{\sigma\left(  x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}%
}\right)  ...\sigma\left(  x_{i_{n}}\right)  }\in W$.}, ist also $U_{n}\left(
\mathfrak{g}\right)  \diagup U_{n-1}\left(  \mathfrak{g}\right)  =W$. Nach der
Definition von $W$ bedeutet dies: Der Vektorraum $U_{n}\left(  \mathfrak{g}%
\right)  \diagup U_{n-1}\left(  \mathfrak{g}\right)  $ wird erzeugt von allen
$\overline{\sigma\left(  x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}}\right)
...\sigma\left(  x_{i_{n}}\right)  }$ mit $i_{1},i_{2},...,i_{n}\in I$ und
$i_{1}\leq i_{2}\leq...\leq i_{n}$. Mit anderen Worten: Der Vektorraum
$U_{n}\left(  \mathfrak{g}\right)  \diagup U_{n-1}\left(  \mathfrak{g}\right)
$ wird erzeugt von allen $\overline{\sigma\left(  x_{i_{1}}\right)
\sigma\left(  x_{i_{2}}\right)  ...\sigma\left(  x_{i_{n}}\right)  }$ mit
$i_{1}\leq i_{2}\leq...\leq i_{n}$ in $I$. Damit ist die Behauptung von
\textbf{3)} bewiesen.

\textbf{4)} Die Behauptung von \textbf{4)} folgt aus \textbf{3)} durch
Induktion nach $n.$

\textbf{2.4. Vorbereitungen zum Beweis von 2.1:} Mit Lemma 2.3. haben wir den
einfacheren Teil von Satz 2.1. bewiesen. Nun kommt die eigentliche Arbeit.

\textbf{1)} Sei $\left(  x_{i}\right)  _{i\in I}$ eine Basis des Vektorraums
$\mathfrak{g}$. Nach 2.3. \textbf{4)} ist
\[
\left\{  \sigma\left(  x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}}\right)
...\sigma\left(  x_{i_{n}}\right)  \mid n\geq0\text{ und }i_{1}\leq i_{2}%
\leq...\leq i_{n}\text{ in }I\right\}
\]
ein Vektorraumerzeugendensystem von $U\left(  \mathfrak{g}\right)  .$ Wir
m\"{u}ssen nur noch zeigen, da\ss \ dieses System linear unabh\"{a}ngig ist.

\textbf{2)} Wir vereinbaren erstmal einige Notationen, die mit geordneten
Tupeln von Elementen von $I$ zu tun haben:

Sei $\mathfrak{M}=\left\{  \left(  i_{1},i_{2},...,i_{n}\right)  \ \mid
\ n\geq0\text{ und }i_{1}\leq i_{2}\leq...\leq i_{n}\text{ in }I\right\}  .$
(Mit anderen Worten: Sei $\mathfrak{M}$ die Menge aller monoton steigenden
endlichen Folgen von Elementen von $I$. Hierbei setzen wir den Begriff "Folge
der L\"{a}nge $n$"\ mit dem\ Begriff "$n$-Tupel" gleich.)

F\"{u}r jedes $i\in I$ und jedes $n$-Tupel $M=\left(  i_{1},i_{2}%
,...,i_{n}\right)  \in\mathfrak{M}$ sei ein $\left(  n+1\right)  $-Tupel
$i\sharp M\in\mathfrak{M}$ definiert als%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
\left(  i,i_{1},i_{2},...,i_{n}\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{falls
}i\leq i_{1};\\
\left(  i_{1},i_{2},...,i_{l},i,i_{l+1},i_{l+2},...,i_{n}\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{falls }i_{l}<i\leq i_{l+1}\text{ f\"{u}r ein }%
l\in\left\{  1,2,...,n-1\right\}  ;\\
\left(  i_{1},i_{2},...,i_{n},i\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{falls
}i_{n}<i
\end{array}
\right.  .
\]
\footnote{Anschaulich gesprochen ist $i\sharp M$ einfach definiert als das
$\left(  n+1\right)  $-Tupel, wenn man das Element $i$ an der richtigen Stelle
ins $n$-Tupel $M$ einf\"{u}gt (so, da\ss \ die Monotonie erhalten bleibt).}

Wir schreiben $i\leq M$ genau dann, wenn $i\leq i_{1}$ oder $M=\varnothing$
ist. Hierbei bezeichnen wir mit $\varnothing$ das leere Tupel.

Falls $i\leq M$ ist, schreiben wir auch $iM$ f\"{u}r das $\left(  n+1\right)
$-Tupel $i\sharp M=\left(  i,i_{1},i_{2},...,i_{n}\right)  .$

F\"{u}r jedes $M=\left(  i_{1},i_{2},...,i_{n}\right)  \in\mathfrak{M}$
bezeichnen wir die Zahl $n$ mit $\left\vert M\right\vert $. (Mit
anderen\ Worten: Wir bezeichnen mit $\left\vert M\right\vert $ die L\"{a}nge
der Folge $M$.)

F\"{u}r jedes $M=\left(  i_{1},i_{2},...,i_{n}\right)  \in\mathfrak{M}$ sei
$\sigma\left(  M\right)  =\sigma\left(  x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(
x_{i_{2}}\right)  ...\sigma\left(  x_{i_{n}}\right)  \in U\left(
\mathfrak{g}\right)  .$ Dann ist die Familie%
\[
\left(  \sigma\left(  M\right)  \right)  _{M\in\mathfrak{M}}=\left(
\sigma\left(  x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}}\right)  ...\sigma
\left(  x_{i_{n}}\right)  \right)  _{n\geq0,\text{\ }i_{1}\leq i_{2}%
\leq...\leq i_{n}\text{ in }I}%
\]
ein Erzeugendensystem des Vektorraums $U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ (wie
wir bereits wissen).

\textbf{3)} Unser Ziel ist es nun, zu beweisen, da\ss \ diese Familie $\left(
\sigma\left(  M\right)  \right)  _{M\in\mathfrak{M}}$ linear unabh\"{a}ngig
ist. Bevor wir mit diesem Beweis anfangen, \textbf{wollen wir} der Motivation
halber \textbf{annehmen, da\ss \ wir dies bereits gezeigt haben}, und uns
ansehen, was daraus folgt:

Wir wissen, da\ss \ $\left(  \sigma\left(  M\right)  \right)  _{M\in
\mathfrak{M}}$ ein Erzeugendensystem des Vektorraums $U\left(  \mathfrak{g}%
\right)  $ ist, und wir haben zus\"{a}tzlich angenommen, da\ss \ wir auch
wissen, da\ss \ es linear unabh\"{a}ngig ist. Somit ist $\left(  \sigma\left(
M\right)  \right)  _{M\in\mathfrak{M}}$ eine Basis des Vektorraums $U\left(
\mathfrak{g}\right)  $. Wenn wir nun den Vektorraum $U\left(  \mathfrak{g}%
\right)  $ mit $V$ bezeichnen, ferner den Untervektorraum $U_{n}\left(
\mathfrak{g}\right)  $ mit $V_{n}$ f\"{u}r alle $n\geq0,$ und schlie\ss lich
$\sigma\left(  M\right)  $ mit $v_{M}$ f\"{u}r alle $M\in\mathfrak{M}$, dann
ist $V=U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ ein $\mathfrak{g}$-Modul mit Basis
$\left(  v_{M}=\sigma\left(  M\right)  \right)  _{M\in\mathfrak{M}},$ wobei
die Wirkung von $\mathfrak{g}$ auf $V$ durch%
\[
\mathfrak{g}\times V\rightarrow V,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  x,v_{M}\right)
\mapsto xv_{M}=\sigma\left(  x\right)  \sigma\left(  M\right)
\]
gegeben wird. Diese Wirkung erf\"{u}llt folgende Eigenschaften:

\textbf{(1)} F\"{u}r alle $i\in I$ und $M\in\mathfrak{M}$ mit $i\leq M$ ist
$x_{i}v_{M}=v_{iM}$ (also insbesondere $x_{i}v_{\varnothing}=v_{\left(
i\right)  }$, wobei $\left(  i\right)  $ das $1$-Tupel mit dem einzigen
Eintrag $i$ ist).

\textbf{(2)} F\"{u}r alle $i,j\in I$ und $N\in\mathfrak{M}$ mit $j<i$ und
$j\leq N$ gilt $x_{i}v_{jN}=x_{j}\left(  x_{i}v_{N}\right)  +\left[
x_{i},x_{j}\right]  v_{N}.$\ \ \ \ \footnote{Die Bedingungen $j<i$ und $j\leq
N$ sind sogar unn\"{o}tig, d. h. es gilt st\"{a}rker: F\"{u}r alle $i,j\in I$
und $N\in\mathfrak{M}$ ist $\left[  x_{i},x_{j}\right]  v_{N}=x_{i}\left(
x_{j}v_{N}\right)  -x_{j}\left(  x_{i}v_{N}\right)  $ (dies folgt
trivialerweise aus der Tatsache, da\ss \ $U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ ein
$\mathfrak{g}$-Modul ist).
\par
Aber wir werden diese st\"{a}rkere Eigenschaft nie gebrauchen.}

\textbf{(3)} F\"{u}r alle $i\in I$ und alle $M\in\mathfrak{M}$ gilt:
$x_{i}v_{M}\equiv v_{i\sharp M}\ \operatorname{mod}V_{\left\vert M\right\vert
}.$ Dabei ist $V_{n}$ der Untervektorraum von $V$, der erzeugt ist von allen
$v_{P}$ mit $P\in\mathfrak{M}$ und $\left\vert P\right\vert \leq n$ (d. h. von
allen $v_{\left(  i_{1},i_{2},...,i_{k}\right)  }$ mit $0\leq k\leq n$ und
$i_{1}\leq i_{2}\leq...\leq i_{k}$ in $I$).

\textit{Beweis:} Die Eigenschaften \textbf{(1)} und \textbf{(2)} sind klar
f\"{u}r $V=U\left(  \mathfrak{g}\right)  ,$ und \textbf{(3)} folgt aus 2.3.
\textbf{2)} und \textbf{4)}.

\textbf{4)} \textbf{Wir vergessen jetzt wieder die Annahme, da\ss \ wir die
lineare Unabh\"{a}ngigkeit der Familie }$\left(  \sigma\left(  M\right)
\right)  _{M\in\mathfrak{M}}$\textbf{ bereits gezeigt h\"{a}tten. Stattdessen
nehmen wir an, wir haben irgendeinen} $\mathfrak{g}$\textbf{-Modul} $V$
\textbf{mit einer Basis }$\left(  v_{M}\right)  _{M\in\mathfrak{M}}$
\textbf{gefunden, die die Eigenschaften (1), (2) und (3) erf\"{u}llt.} Dabei
mu\ss \ $V$ diesmal nicht mehr notwendigerweise $U\left(  \mathfrak{g}\right)
$ sein, und dementsprechend m\"{u}ssen auch die $v_{M}$ nicht mehr unbedingt
durch $v_{M}=\sigma\left(  M\right)  $ definiert sein. Wir k\"{o}nnen nun
unter dieser Annahme Satz 2.1 schnell herleiten, und zwar wie folgt:

Da $V$ ein $\mathfrak{g}$-Modul ist, wird $V$ kanonisch zu einem $U\left(
\mathfrak{g}\right)  $-Modul. Seien nun $\alpha_{M}\in k$ f\"{u}r alle
$M\in\mathfrak{M}$ so gegeben, da\ss \ $\sum\limits_{M\in\mathfrak{M}}%
\alpha_{M}\sigma\left(  M\right)  =0$ in $U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ ist
(und $\alpha_{M}\neq0$ nur f\"{u}r endlich viele $M$'s gilt). Dann ist%
\[
0=\sum\limits_{M\in\mathfrak{M}}\alpha_{M}\sigma\left(  M\right)
v_{\varnothing}=\sum\limits_{M\in\mathfrak{M}}\alpha_{M}v_{M}%
\]
(denn $\sigma\left(  M\right)  v_{\varnothing}=v_{M},$ denn f\"{u}r $M=\left(
i_{1},i_{2},...,i_{n}\right)  $ ist%
\begin{align*}
\sigma\left(  M\right)  v_{\varnothing}  &  =\sigma\left(  x_{i_{1}}\right)
\sigma\left(  x_{i_{2}}\right)  ...\sigma\left(  x_{i_{n}}\right)
v_{\varnothing}=x_{i_{1}}x_{i_{2}}...x_{i_{n}}v_{\varnothing}\\
&  =v_{i_{1}\left(  i_{2}\left(  ...\left(  i_{n}\varnothing\right)  \right)
\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach mehrfacher Anwendung von
\textbf{(1)}}\right) \\
&  =v_{\left(  i_{1},i_{2},...,i_{n}\right)  }%
\end{align*}
), also $\alpha_{M}=0$ f\"{u}r alle $M\in\mathfrak{M}$ (denn $\left(
v_{M}\right)  _{M\in\mathfrak{M}}$ ist eine Basis von $V$). Somit ist die
Familie $\left(  \sigma\left(  M\right)  \right)  _{M\in\mathfrak{M}}$ linear
unabh\"{a}ngig. Mit anderen Worten: Die Multimenge $\left\{  \sigma\left(
x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}}\right)  ...\sigma\left(  x_{i_{n}%
}\right)  \mid n\geq0\text{ und }i_{1}\leq i_{2}\leq...\leq i_{n}\text{ in
}I\right\}  $ ist linear unabh\"{a}ngig\footnote{denn die Familie $\left(
\sigma\left(  M\right)  \right)  _{M\in\mathfrak{M}}$ ist nichts anderes als
die Multimenge
\[
\left\{  \sigma\left(  x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}}\right)
...\sigma\left(  x_{i_{n}}\right)  \mid n\geq0\text{ und }i_{1}\leq i_{2}%
\leq...\leq i_{n}\text{ in }I\right\}
\]
}. Da nach 2.3. \textbf{4)} diese Multimenge den Vektorraum $U\left(
\mathfrak{g}\right)  $ erzeugt, ist sie also eine Basis von $U\left(
\mathfrak{g}\right)  $, und Satz 2.1. ist bewiesen.\footnote{Wir haben hierbei
nur Eigenschaft \textbf{(1)} f\"{u}r den $\mathfrak{g}$-Modul $V$ verwendet,
und nicht die Eigenschaften \textbf{(2)} und \textbf{(3)}.}

Damit haben wir Satz 2.1 nachgewiesen unter der Annahme, da\ss \ wir einen
$\mathfrak{g}$-Modul $V$ mit einer Basis $\left(  v_{M}\right)  _{M\in
\mathfrak{M}}$ kennen, die die Eigenschaften \textbf{(1)}, \textbf{(2)} und
\textbf{(3)} erf\"{u}llt. Zum endg\"{u}ltigen Beweis von Satz 2.1 m\"{u}ssen
wir also nur noch einen $\mathfrak{g}$-Modul $V$ mit einer Basis $\left(
v_{M}\right)  _{M\in\mathfrak{M}}$ mit den Eigenschaften \textbf{(1)},
\textbf{(2)} und \textbf{(3)} finden.

\textit{Beweis von Satz 2.1.:} Sei $V$ der freie $k$-Modul mit Basis $\left(
v_{M}\right)  _{M\in\mathfrak{M}}$ (wobei diese $v_{M}$ nicht, wie in
Bemerkung 2.4. \textbf{3)}, die $\sigma\left(  M\right)  $ sind, sondern
erstmal nur irgendwelche abstrakten Objekte!). Wie vorhin gesagt, gen\"{u}gt
es zum Beweis von Satz 2.1., die Existenz einer $\mathfrak{g}$-Modulstruktur
auf diesem Vektorraum $V$ mit den Eigenschaften \textbf{(1)}, \textbf{(2)} und
\textbf{(3)} zu zeigen. So eine $\mathfrak{g}$-Modulstruktur konstruieren wir
im folgenden Lemma\footnote{In Lemma 2.5. werden wir sie konstruieren, aber
erst in Lemma 2.6. werden wir zeigen, da\ss \ sie auch wirklich eine
$\mathfrak{g}$-Modulstruktur ist.}:

\textbf{2.5. Lemma:} Es gibt eine $k$-bilineare Abbildung $\mu:\mathfrak{g}%
\times V\rightarrow V,$ geschrieben $\left(  x,v\right)  \mapsto xv,$ so, da\ss \ gilt:

\textbf{(1)} F\"{u}r alle $i\in I$ und $M\in\mathfrak{M}$ mit $i\leq M$ ist
$x_{i}v_{M}=v_{iM}$ (also insbesondere $x_{i}v_{\varnothing}=v_{\left(
i\right)  }$, wobei $\left(  i\right)  $ das $1$-Tupel mit dem einzigen
Eintrag $i$ ist).

\textbf{(2)} F\"{u}r alle $i,j\in I$ und $N\in\mathfrak{M}$ mit $j<i$ und
$j\leq N$ gilt $x_{i}v_{jN}=x_{j}\left(  x_{i}v_{N}\right)  +\left[
x_{i},x_{j}\right]  v_{N}.$

\textbf{(3)} F\"{u}r alle $i\in I$ und alle $M\in\mathfrak{M}$ gilt:
$x_{i}v_{M}\equiv v_{i\sharp M}\ \operatorname{mod}V_{\left\vert M\right\vert
}.$ Hierbei bezeichnen wir f\"{u}r jedes $n\in\mathbb{N}$ mit $V_{n}$ den
Untervektorraum von $V,$ der erzeugt ist von allen $v_{P}$ mit $P\in
\mathfrak{M}$ und $\left\vert P\right\vert \leq n$.

\textit{Beweis:} Wir werden induktiv $k$-bilineare Abbildungen $\mu
_{n}:\mathfrak{g}\times V_{n}\rightarrow V_{n+1}$ f\"{u}r alle $n\geq0$
konstruieren - mit dem Ziel, am Ende aus ihnen eine $k$-bilineare Abbildung
$\mu:\mathfrak{g}\times V\rightarrow V$ zusammenzusetzen, welche dann die
gew\"{u}nschte $\mathfrak{g}$-Modulstruktur auf dem Vektorraum $V$ sein wird.

Die Konstruktion der $k$-bilineare Abbildungen $\mu_{n}:\mathfrak{g}\times
V_{n}\rightarrow V_{n+1}$ verl\"{a}uft durch Induktion nach $n$
folgenderma\ss en\footnote{Wir werden bei dieser Konstruktion jedesmal, wenn
wir eine Abbildung $\mu_{n}:\mathfrak{g}\times V_{n}\rightarrow V_{n+1}$
einf\"{u}hren, die Kurzschreibweise $xv$ f\"{u}r $\mu_{n}\left(  x,v\right)  $
verwenden (wobei $x\in\mathfrak{g}$ und $v\in V_{n}$ ist).}:

\textit{Induktionsanfang:} Erstmal sei eine $k$-bilineare Abbildung $\mu
_{0}:\mathfrak{g}\times V_{0}\rightarrow V_{1}$ definiert durch $x_{i}%
v_{\varnothing}=v_{\left(  i\right)  }.$ Dann gelten die Eigenschaften
\textbf{(1)} und \textbf{(3)} f\"{u}r alle $M\in\mathfrak{M}$ mit $\left\vert
M\right\vert =0.$ (Die Eigenschaft \textbf{(2)} ist bislang noch inhaltsleer,
da wir $\mu_{n}$ nur f\"{u}r $n=0$ definiert haben.)

\textit{Induktionsschritt:} Angenommen, wir haben bereits eine $k$-bilineare
Abbildung $\mu_{n-1}:\mathfrak{g}\times V_{n-1}\rightarrow V_{n}$ definiert,
welche\ die Eigenschaften \textbf{(1)} und \textbf{(3)} f\"{u}r alle
$M\in\mathfrak{M}$ mit $\left\vert M\right\vert \leq n-1$ erf\"{u}llt und die
Eigenschaft \textbf{(2)} f\"{u}r alle $N\in\mathfrak{M}$ mit $\left\vert
N\right\vert \leq n-2$ erf\"{u}llt.

Wir wollen nun diese Abbildung $\mu_{n-1}:\mathfrak{g}\times V_{n-1}%
\rightarrow V_{n}$ zu einer $k$-bilinearen Abbildung $\mu_{n}:\mathfrak{g}%
\times V_{n}\rightarrow V_{n+1}$ fortsetzen. Da der Vektorraum $\mathfrak{g}$
die Basis $\left(  x_{i}\right)  _{i\in I}$ hat und der Vektorraum $V_{n}$ die
Basis $\left(  v_{M}\right)  _{M\in\mathfrak{M},\text{\ }\left\vert
M\right\vert \leq n}$ hat, m\"{u}ssen wir dazu die Werte von $x_{i}v_{M}$
(dies ist, wie gesagt, eine Kurzschreibweise f\"{u}r $\mu_{n}\left(
x_{i},v_{M}\right)  $) f\"{u}r alle $i\in I$ und alle $M\in\mathfrak{M}$ mit
$\left\vert M\right\vert \leq n$ festlegen. Doch bei den $M\in\mathfrak{M}$
mit $\left\vert M\right\vert <n$ haben wir keine Wahl (denn die zu
definierende Abbildung $\mu_{n}:\mathfrak{g}\times V_{n}\rightarrow V_{n+1}$
soll ja nicht willk\"{u}rlich sein, sondern die bereits festgelegte Abbildung
$\mu_{n-1}:\mathfrak{g}\times V_{n-1}\rightarrow V_{n}$ fortsetzen). Wir
m\"{u}ssen also nur noch die Werte von $x_{i}v_{M}$ f\"{u}r alle $i\in I$ und
alle $M\in\mathfrak{M}$ mit $\left\vert M\right\vert =n$ festlegen. Dies tun
wir folgenderma\ss en:

Sei $M\in\mathfrak{M}$ mit $\left\vert M\right\vert =n$ gegeben, und sei $i\in
I.$

\textit{1. Fall:} Es gilt $i\leq M.$ Dann definiere $x_{i}v_{M}=v_{iM}.$

\textit{2. Fall:} Es gilt \textit{nicht} $i\leq M.$ Dann ist $M=jN$ f\"{u}r
ein gewisses $j\in I$ mit $j<i$, und ein gewisses $N\in\mathfrak{M}$ mit
$\left\vert N\right\vert \leq n-1$ und $j\leq N$.

Wir m\"{u}ssen $x_{i}v_{M}$ definieren, und wir wollen es so machen,
da\ss \ $x_{i}v_{M}=x_{i}\left(  x_{j}v_{N}\right)  =x_{j}\left(  x_{i}%
v_{N}\right)  +\left[  x_{i},x_{j}\right]  v_{N}$ gilt (damit Eigenschaft
\textbf{(2)} erf\"{u}llt ist!). Da laut Induktionsvoraussetzung die
Eigenschaft \textbf{(3)} f\"{u}r alle $M\in\mathfrak{M}$ mit $\left\vert
M\right\vert \leq n-1$ erf\"{u}llt ist, gibt es ein $w\in V_{n-1}$ mit
$x_{i}v_{N}=v_{i\sharp N}+w$ (denn laut Eigenschaft \textbf{(3)}, angewandt
auf $N$ statt $M$, ist $x_{i}v_{N}\equiv v_{i\sharp N}\ \operatorname{mod}%
V_{n-1}$). Also sollte gelten: $x_{j}\left(  x_{i}v_{N}\right)  =x_{j}%
v_{i\sharp N}+x_{j}w=v_{j\left(  i\sharp N\right)  }+x_{j}w$ (dabei
mu\ss \ $x_{j}v_{i\sharp N}=v_{j\left(  i\sharp N\right)  }$ gelten, um
\textbf{(1)} zu befriedigen).

Definiere also $x_{i}v_{M}$ als $x_{i}v_{M}=v_{j\left(  i\sharp N\right)
}+x_{j}w+\left[  x_{i},x_{j}\right]  v_{N}$.

Dann gelten die Eigenschaften \textbf{(1)} und \textbf{(3)} f\"{u}r alle
$M\in\mathfrak{M}$ mit $\left\vert M\right\vert \leq n$, und Eigenschaft
\textbf{(2)} f\"{u}r alle $N\in\mathfrak{M}$ mit $\left\vert N\right\vert \leq
n-1$.\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Da\ss \ die Eigenschaft \textbf{(1)}
f\"{u}r alle $M\in\mathfrak{M}$ mit $\left\vert M\right\vert \leq n$ gilt, ist
klar (denn im Falle von $\left\vert M\right\vert <n$ wissen wir dies bereits
aus der Induktionsannahme, und im Falle von $\left\vert M\right\vert =n$ folgt
dies aus unserer Definition von $x_{i}v_{M}$ im 1. Fall).
\par
Jetzt werden wir zeigen, da\ss \ die Eigenschaft \textbf{(2)} f\"{u}r alle
$N\in\mathfrak{M}$ mit $\left\vert N\right\vert \leq n-1$ gilt. Im Falle von
$\left\vert N\right\vert <n-1$ folgt dies aus der Induktionsannahme;
betrachten wir also fortan den Fall von $\left\vert N\right\vert =n-1$. In
diesem Fall setzen wir $M=jN$. Laut der Definition von $x_{i}v_{M}$ ist dann
$x_{i}v_{M}=v_{j\left(  i\sharp N\right)  }+x_{j}w+\left[  x_{i},x_{j}\right]
v_{N}$, wobei $w\in V_{n-1}$ so gew\"{a}hlt ist, da\ss \ $x_{i}v_{N}%
=v_{i\sharp N}+w$ gilt. Nun ist%
\[
x_{j}v_{i\sharp N}=v_{j\left(  i\sharp N\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{dies folgt aus der Definition von }\mu_{n}\text{ (denn }j<i\text{ und
somit }j\leq i\sharp N\text{;}\\
\text{das hei\ss t, wir sind im 1. Fall der Definition)}%
\end{array}
\right)  ,
\]
also%
\begin{align*}
x_{j}\underbrace{\left(  x_{i}v_{N}\right)  }_{=v_{i\sharp N}+w}+\left[
x_{i},x_{j}\right]  v_{N}  &  =x_{j}\left(  v_{i\sharp N}+w\right)  +\left[
x_{i},x_{j}\right]  v_{N}=\underbrace{x_{j}v_{i\sharp N}}_{=v_{j\left(
i\sharp N\right)  }}+x_{j}w+\left[  x_{i},x_{j}\right]  v_{N}=v_{j\left(
i\sharp N\right)  }+x_{j}w+\left[  x_{i},x_{j}\right]  v_{N}\\
&  =v_{j\left(  i\sharp N\right)  }+x_{j}w,
\end{align*}
und damit ist Eigenschaft \textbf{(2)} f\"{u}r alle $N\in\mathfrak{M}$ mit
$\left\vert N\right\vert \leq n-1$ nachgewiesen.
\par
Nun bleibt es noch, Eigenschaft \textbf{(3)} f\"{u}r alle $M\in\mathfrak{M}$
mit $\left\vert M\right\vert \leq n$ zu beweisen. F\"{u}r den Fall $\left\vert
M\right\vert <n$ ist dies wieder aus der Induktionsannahme klar;
beschr\"{a}nken wir uns also nur noch auf den Fall $\left\vert M\right\vert
=n$. In diesem Fall k\"{o}nnen wir o. B. d. A. annehmen,
da\ss \ \textit{nicht} $i\leq M$ gilt (denn wenn $i\leq M$ gilt, dann ist
$x_{i}v_{M}$ als $v_{iM}$ definiert, und somit $x_{i}v_{M}=v_{iM}=v_{i\sharp
M}$, und Eigenschaft \textbf{(3)} gilt trivialerweise). Wenn wir dies
annehmen, dann ist $x_{i}v_{M}$ definiert durch $x_{i}v_{M}=v_{j\left(
i\sharp N\right)  }+x_{j}w+\left[  x_{i},x_{j}\right]  v_{N}$, wobei $M=jN$
f\"{u}r ein gewisses $j\in I$ mit $j<i$ und ein $N\in\mathfrak{M}$ mit
$\left\vert N\right\vert \leq n-1$ und $j\leq N$ gilt, und wobei $w\in
V_{n-1}$ so gew\"{a}hlt ist, da\ss \ $x_{i}v_{N}=v_{i\sharp N}+w$ gilt.
Folglich ist $x_{i}v_{M}\equiv v_{j\left(  i\sharp N\right)  }%
\operatorname{mod}V_{\left\vert M\right\vert }$ (denn $x_{j}w$ und $\left[
x_{i},x_{j}\right]  v_{N}$ liegen beide in $V_{n}=V_{\left\vert M\right\vert
}$). Wegen $j\left(  i\sharp N\right)  =i\sharp\underbrace{\left(  jN\right)
}_{=M}=i\sharp M$ wird dies zu $x_{i}v_{M}\equiv v_{i\sharp M}%
\operatorname{mod}V_{\left\vert M\right\vert }$. Somit ist auch Eigenschaft
\textbf{(3)} f\"{u}r alle $M\in\mathfrak{M}$ mit $\left\vert M\right\vert \leq
n$ bewiesen.}

Damit haben wir induktiv f\"{u}r jedes $n\in\mathbb{N}$ eine $k$-bilineare
Abbildung $\mu_{n}:\mathfrak{g}\times V_{n}\rightarrow V_{n+1}$ definiert, und
gleichzeitig - in derselben Induktion - die Eigenschaften \textbf{(1)},
\textbf{(2)} und \textbf{(3)} f\"{u}r diese Abbildungen bewiesen.

Die auf diese Weise rekursiv definierten Abbildungen $\mu_{n}:\mathfrak{g}%
\times V_{n}\rightarrow V_{n+1}$ setzen einander fort; sie ergeben also
zusammen eine $k$-bilineare Abbildung $\mu:\mathfrak{g}\times V\rightarrow V.$
Damit ist Lemma 2.5. gezeigt.

\textbf{2.6. Lemma:} Sei die Abbildung $\mu$ wie in Lemma 2.5. definiert. Dann
gilt%
\[
\left[  x_{i},x_{j}\right]  v_{N}=x_{i}\left(  x_{j}v_{N}\right)
-x_{j}\left(  x_{i}v_{N}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle
}i,j\in I\text{ und }N\in\mathfrak{M}.
\]


\textit{Beweis:} Wir f\"{u}hren eine Induktion nach $\left\vert N\right\vert $:

\textit{Induktionsanfang:} F\"{u}r $\left\vert N\right\vert =0$ m\"{u}ssen wir
nur zeigen, da\ss \ f\"{u}r alle $i,j\in I$ gilt:%
\[
\left[  x_{i},x_{j}\right]  v_{\varnothing}=x_{i}\left(  \underbrace{x_{j}%
v_{\varnothing}}_{=v_{j}}\right)  -x_{j}\left(  \underbrace{x_{i}%
v_{\varnothing}}_{=v_{i}}\right)  .
\]
Dies ist aber richtig nach \textbf{(1)} und \textbf{(2)} von 2.5. (genauer
gesagt, folgt es aus \textbf{(1)} und \textbf{(2)} von 2.5. f\"{u}r $j<i;$ im
Falle von $j>i$ muss man $i$ und $j$ vertauschen, da $\left[  x_{j}%
,x_{i}\right]  =-\left[  x_{i},x_{j}\right]  $ gilt, und im Falle von $i=j$
ist die Aussage sowieso trivial).

\textit{Induktionsschritt:} Sei $n>0$. Angenommen, Lemma 2.6 sei f\"{u}r alle
$N\in\mathfrak{M}$ mit $\left\vert N\right\vert <n$ bereits bewiesen. Wir
m\"{u}ssen dann zeigen, da\ss \ Lemma 2.6 auch f\"{u}r alle $N\in\mathfrak{M}$
mit $\left\vert N\right\vert =n$ gilt.

Zuerst wollen wir die Induktionsannahme auf eine bequemere Form bringen. Und
zwar folgt aus der Induktionsannahme schnell (mithilfe von Linearit\"{a}t),
da\ss
\begin{equation}
\left[  x,y\right]  v=x\left(  yv\right)  -y\left(  xv\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x,y\in\mathfrak{g}\text{ und }v\in
V_{n-1} \tag{2.6.1}%
\end{equation}
gilt.\footnote{\textit{Beweis:} Der Vektorraum $V_{n-1}$ ist (laut seiner
Definition) erzeugt von allen $v_{P}$ mit $P\in\mathfrak{M}$ und $\left\vert
P\right\vert \leq n-1$. Wegen $v\in V_{n-1}$ ist also $v=\sum
\limits_{\substack{P\in\mathfrak{M},\\\left\vert P\right\vert \leq n-1}%
}\alpha_{P}v_{P}$ f\"{u}r irgendwelche Skalare $\alpha_{P}$. Da $\left(
x_{i}\right)  _{i\in I}$ eine Basis des Vektorraums $\mathfrak{g}$ ist, ist
$x=\sum\limits_{i\in I}\beta_{i}x_{i}$ f\"{u}r irgendwelche Skalare $\beta
_{i}$, und $y=\sum\limits_{j\in I}\gamma_{j}x_{j}$ f\"{u}r irgendwelche
Skalare $\gamma_{j}$. F\"{u}r jedes $P\in\mathfrak{M}$ mit $\left\vert
P\right\vert \leq n-1$ gilt aber%
\[
\left[  x_{i},x_{j}\right]  v_{P}=x_{i}\left(  x_{j}v_{P}\right)
-x_{j}\left(  x_{i}v_{P}\right)
\]
(nach Lemma 2.6, angewandt auf $P$ statt $N$, denn laut
Induktionsvoraussetzung ist Lemma 2.6 f\"{u}r alle $N$ mit $\left\vert
N\right\vert <n$ bereits bewiesen). Wegen $x=\sum\limits_{i\in I}\beta
_{i}x_{i}$, $y=\sum\limits_{j\in I}\gamma_{j}x_{j}$ und $v=\sum
\limits_{\substack{P\in\mathfrak{M},\\\left\vert P\right\vert \leq n-1}%
}\alpha_{P}v_{P}$ ist nun%
\begin{align*}
\left[  x,y\right]  v  &  =\left[  \sum\limits_{i\in I}\beta_{i}x_{i}%
,\sum\limits_{j\in I}\gamma_{j}x_{j}\right]  \left(  \sum
\limits_{\substack{P\in\mathfrak{M},\\\left\vert P\right\vert \leq n-1}%
}\alpha_{P}v_{P}\right)  =\sum\limits_{i\in I}\sum\limits_{j\in I}%
\sum\limits_{\substack{P\in\mathfrak{M},\\\left\vert P\right\vert \leq
n-1}}\beta_{i}\gamma_{j}\alpha_{P}\underbrace{\left[  x_{i},x_{j}\right]
v_{P}}_{=x_{i}\left(  x_{j}v_{P}\right)  -x_{j}\left(  x_{i}v_{P}\right)  }\\
&  =\sum\limits_{i\in I}\sum\limits_{j\in I}\sum\limits_{\substack{P\in
\mathfrak{M},\\\left\vert P\right\vert \leq n-1}}\beta_{i}\gamma_{j}\alpha
_{P}\left(  x_{i}\left(  x_{j}v_{P}\right)  -x_{j}\left(  x_{i}v_{P}\right)
\right) \\
&  =\sum\limits_{i\in I}\sum\limits_{j\in I}\sum\limits_{\substack{P\in
\mathfrak{M},\\\left\vert P\right\vert \leq n-1}}\beta_{i}\gamma_{j}\alpha
_{P}x_{i}\left(  x_{j}v_{P}\right)  -\sum\limits_{i\in I}\sum\limits_{j\in
I}\sum\limits_{\substack{P\in\mathfrak{M},\\\left\vert P\right\vert \leq
n-1}}\beta_{i}\gamma_{j}\alpha_{P}x_{j}\left(  x_{i}v_{P}\right) \\
&  =\underbrace{\left(  \sum\limits_{i\in I}\beta_{i}x_{i}\right)  }%
_{=x}\left(  \underbrace{\left(  \sum\limits_{j\in I}\gamma_{j}x_{j}\right)
}_{=y}\underbrace{\left(  \sum\limits_{\substack{P\in\mathfrak{M},\\\left\vert
P\right\vert \leq n-1}}\alpha_{P}v_{P}\right)  }_{=v}\right)
-\underbrace{\left(  \sum\limits_{j\in I}\gamma_{j}x_{j}\right)  }_{=y}\left(
\underbrace{\left(  \sum\limits_{i\in I}\beta_{i}x_{i}\right)  }%
_{=x}\underbrace{\left(  \sum\limits_{\substack{P\in\mathfrak{M},\\\left\vert
P\right\vert \leq n-1}}\alpha_{P}v_{P}\right)  }_{=v}\right) \\
&  =x\left(  yv\right)  -y\left(  xv\right)  ,
\end{align*}
was zu zeigen war.}

Jetzt wollen wir die Induktionsbehauptung bewiesen, also beweisen,
da\ss \ \ Lemma 2.6 auch f\"{u}r alle $N\in\mathfrak{M}$ mit $\left\vert
N\right\vert =n$ gilt. In der Tat sei $N\in\mathfrak{M}$ mit $\left\vert
N\right\vert =n$ beliebig, und seien $i,j\in I$ willk\"{u}rlich gew\"{a}hlt.
Wir m\"{u}ssen dann nachweisen, da\ss
\[
\left[  x_{i},x_{j}\right]  v_{N}=x_{i}\left(  x_{j}v_{N}\right)
-x_{j}\left(  x_{i}v_{N}\right)
\]
ist.

Wir unterscheiden drei F\"{a}lle:

\textit{1. Fall:} Es gilt $j\leq N.$

In diesem Fall sind drei Unterf\"{a}lle m\"{o}glich: die F\"{a}lle $j<i$,
$j=i$ und $j>i$.

Falls $j<i,$ dann gilt
\begin{align*}
\left[  x_{i},x_{j}\right]  v_{N}  &  =x_{i}v_{jN}-x_{j}\left(  x_{i}%
v_{N}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach 2.5. \textbf{(2)}}\right)
\\
&  =x_{i}\left(  x_{j}v_{N}\right)  -x_{j}\left(  x_{i}v_{N}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }v_{jN}=x_{j}v_{N}\text{ nach 2.5.
\textbf{(1)} (angewandt auf }j\text{ und }N\text{ statt }i\text{ und
}M\text{)}\right)  .
\end{align*}


Falls $j=i,$ dann ist die Behauptung trivial.

Falls $j>i,$ vertausche $i$ und $j$ und f\"{u}hre damit (wegen $\left[
x_{j},x_{i}\right]  =-\left[  x_{i},x_{j}\right]  $) die Behauptung auf den
Fall $j<i$ zur\"{u}ck (aus $j\leq N$ und $j>i$ folgt sicherlich $i\leq N$).

Insgesamt haben wir damit im 1. Fall gezeigt, da\ss \ $\left[  x_{i}%
,x_{j}\right]  v_{N}=x_{i}\left(  x_{j}v_{N}\right)  -x_{j}\left(  x_{i}%
v_{N}\right)  $ gilt.

\textit{2. Fall:} Es gilt $i\leq N.$

Dieser Fall folgt genau so wie der 1. Fall.

\textit{3. Fall:} Es gilt weder $i\leq N,$ noch $j\leq N.$

Sei $N=kL$ f\"{u}r ein $L\in\mathfrak{M}$ mit $\left\vert L\right\vert =n-1$
und ein $k\in I$ mit $k\leq L$. Dann ist $k<i$ und $k<j$ (denn sonst w\"{a}re
$i\leq N$ oder $j\leq N$). Ferner ist $v_{L}\in V_{n-1}$ (denn $\left\vert
L\right\vert =n-1$), und nach 2.5. \textbf{(1)} gilt $v_{kL}=x_{k}v_{L}$, also
$v_{N}=v_{kL}=x_{k}v_{L}$. Berechne nun $x_{i}\left(  x_{j}v_{N}\right)
=x_{i}\left(  x_{j}\left(  x_{k}v_{L}\right)  \right)  $: Nach der
Induktionsvoraussetzung ist%
\begin{align*}
\left[  x_{j},x_{k}\right]  v_{L}  &  =x_{j}\left(  x_{k}v_{L}\right)
-x_{k}\left(  x_{j}v_{L}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn
}\left\vert L\right\vert =n-1<n\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{also}\\
x_{j}\left(  x_{k}v_{L}\right)   &  =x_{k}\left(  x_{j}v_{L}\right)  +\left[
x_{j},x_{k}\right]  v_{L},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{also}\\
x_{i}\left(  x_{j}\left(  x_{k}v_{L}\right)  \right)   &  =x_{i}\left(
x_{k}\left(  x_{j}v_{L}\right)  \right)  +x_{i}\left(  \left[  x_{j}%
,x_{k}\right]  v_{L}\right)  .
\end{align*}
Nun ist aber $x_{j}v_{L}\equiv v_{j\sharp L}\operatorname{mod}V_{n-1}$ (nach
2.5. \textbf{(3)}), also $x_{j}v_{L}=v_{j\sharp L}+w$ f\"{u}r ein $w\in
V_{n-1}$. Wegen $k\leq j\sharp L$ (da $k<j$ und $k\leq L$) gilt Lemma 2.6
f\"{u}r $x_{i},$ $x_{k}$ und $v_{j\sharp L}$ statt $x_{i},$ $x_{j}$ und
$v_{N}$ (denn damit ist man im 1. Fall, und im 1. Fall haben wir Lemma 2.6
bereits bewiesen); das hei\ss t:%
\[
\left[  x_{i},x_{k}\right]  v_{j\sharp L}=x_{i}\left(  x_{k}v_{j\sharp
L}\right)  -x_{k}\left(  x_{i}v_{j\sharp L}\right)  .
\]
Andererseits ist%
\[
\left[  x_{i},x_{k}\right]  w=x_{i}\left(  x_{k}w\right)  -x_{k}\left(
x_{i}w\right)
\]
(nach (2.6.1), angewandt auf $x=x_{i}$, $y=x_{k}$ und $v=w$). Damit ist%
\begin{align*}
\left[  x_{i},x_{k}\right]  \left(  \underbrace{x_{j}v_{L}}_{=v_{j\sharp L}%
+w}\right)   &  =\underbrace{\left[  x_{i},x_{k}\right]  v_{j\sharp L}%
}_{=x_{i}\left(  x_{k}v_{j\sharp L}\right)  -x_{k}\left(  x_{i}v_{j\sharp
L}\right)  }+\underbrace{\left[  x_{i},x_{k}\right]  w}_{=x_{i}\left(
x_{k}w\right)  -x_{k}\left(  x_{i}w\right)  }\\
&  =\left(  x_{i}\left(  x_{k}v_{j\sharp L}\right)  -x_{k}\left(
x_{i}v_{j\sharp L}\right)  \right)  +\left(  x_{i}\left(  x_{k}w\right)
-x_{k}\left(  x_{i}w\right)  \right) \\
&  =x_{i}\left(  x_{k}\underbrace{\left(  v_{j\sharp L}+w\right)  }%
_{=x_{j}v_{L}}\right)  -x_{k}\left(  x_{i}\underbrace{\left(  v_{j\sharp
L}+w\right)  }_{=x_{j}v_{L}}\right)  =x_{i}\left(  x_{k}\left(  x_{j}%
v_{L}\right)  \right)  -x_{k}\left(  x_{i}\left(  x_{j}v_{L}\right)  \right)
,
\end{align*}
also%
\[
x_{i}\left(  x_{k}\left(  x_{j}v_{L}\right)  \right)  =x_{k}\left(
x_{i}\left(  x_{j}v_{L}\right)  \right)  +\left[  x_{i},x_{k}\right]  \left(
x_{j}v_{L}\right)  .
\]
Daher ist%
\begin{align*}
x_{i}\left(  x_{j}v_{N}\right)   &  =x_{i}\left(  x_{j}\left(  x_{k}%
v_{L}\right)  \right)  =x_{i}\left(  x_{k}\left(  x_{j}v_{L}\right)  \right)
+x_{i}\left(  \left[  x_{j},x_{k}\right]  v_{L}\right) \\
&  =x_{k}\left(  x_{i}\left(  x_{j}v_{L}\right)  \right)  +\left[  x_{i}%
,x_{k}\right]  \left(  x_{j}v_{L}\right)  +x_{i}\left(  \left[  x_{j}%
,x_{k}\right]  v_{L}\right) \\
&  =x_{k}\left(  x_{i}\left(  x_{j}v_{L}\right)  \right)  +\left[  x_{i}%
,x_{k}\right]  \left(  x_{j}v_{L}\right)  +\left[  x_{j},x_{k}\right]  \left(
x_{i}v_{L}\right)  +\left[  x_{i},\left[  x_{j},x_{k}\right]  \right]  v_{L},
\end{align*}
denn $x_{i}\left(  \left[  x_{j},x_{k}\right]  v_{L}\right)  =\left[
x_{j},x_{k}\right]  \left(  x_{i}v_{L}\right)  +\left[  x_{i},\left[
x_{j},x_{k}\right]  \right]  v_{L}$ (nach (2.6.1), angewandt auf $x=x_{i}$,
$y=\left[  x_{j},x_{k}\right]  $ und $v=v_{L}$, denn $v_{L}\in V_{n-1}$).
Ebenso gilt nach Vertauschung von $i$ und $j$ die Formel%
\[
x_{j}\left(  x_{i}v_{N}\right)  =x_{k}\left(  x_{j}\left(  x_{i}v_{L}\right)
\right)  +\left[  x_{j},x_{k}\right]  \left(  x_{i}v_{L}\right)  +\left[
x_{i},x_{k}\right]  \left(  x_{j}v_{L}\right)  +\left[  x_{j},\left[
x_{i},x_{k}\right]  \right]  v_{L}.
\]
Subtraktion dieser beiden Formeln ergibt (nach K\"{u}rzen von vier Summanden
und Ausklammern)%
\begin{align*}
x_{i}\left(  x_{j}v_{N}\right)  -x_{j}\left(  x_{i}v_{N}\right)   &
=x_{k}\left(  x_{i}\left(  x_{j}v_{L}\right)  -x_{j}\left(  x_{i}v_{L}\right)
\right)  +\left(  \underbrace{\left[  x_{i},\left[  x_{j},x_{k}\right]
\right]  -\left[  x_{j},\left[  x_{i},x_{k}\right]  \right]  }%
_{\substack{=-\left[  x_{k},\left[  x_{i},x_{j}\right]  \right]  \text{ nach
der}\\\text{Jacobi-Identit\"{a}t}}}\right)  v_{L}\\
&  =x_{k}\left(  x_{i}\left(  x_{j}v_{L}\right)  -x_{j}\left(  x_{i}%
v_{L}\right)  \right)  -\left[  x_{k},\left[  x_{i},x_{j}\right]  \right]
v_{L}.
\end{align*}
Nach (2.6.1) (angewandt auf $x=x_{i}$, $y=x_{j}$ und $v=v_{L}$) ist aber
$x_{i}\left(  x_{j}v_{L}\right)  -x_{j}\left(  x_{i}v_{L}\right)  =\left[
x_{i},x_{j}\right]  v_{L}$. Also wird dies zu%
\[
x_{i}\left(  x_{j}v_{N}\right)  -x_{j}\left(  x_{i}v_{N}\right)  =x_{k}\left(
\left[  x_{i},x_{j}\right]  v_{L}\right)  -\left[  x_{k},\left[  x_{i}%
,x_{j}\right]  \right]  v_{L}.
\]
Doch nach (2.6.1) (angewandt auf $x=x_{k}$, $y=\left[  x_{i},x_{j}\right]  $
und $v=v_{L}$) ist%
\[
\left[  x_{k},\left[  x_{i},x_{j}\right]  \right]  v_{L}=x_{k}\left(  \left[
x_{i},x_{j}\right]  v_{L}\right)  -\left[  x_{i},x_{j}\right]  \left(
x_{k}v_{L}\right)  .
\]
Wir haben also%
\begin{align*}
x_{i}\left(  x_{j}v_{N}\right)  -x_{j}\left(  x_{i}v_{N}\right)   &
=x_{k}\left(  \left[  x_{i},x_{j}\right]  v_{L}\right)  -\underbrace{\left[
x_{k},\left[  x_{i},x_{j}\right]  \right]  v_{L}}_{=x_{k}\left(  \left[
x_{i},x_{j}\right]  v_{L}\right)  -\left[  x_{i},x_{j}\right]  \left(
x_{k}v_{L}\right)  }\\
&  =\left[  x_{i},x_{j}\right]  \left(  \underbrace{x_{k}v_{L}}_{=v_{N}%
}\right)  =\left[  x_{i},x_{j}\right]  v_{N},
\end{align*}
was zu beweisen war.

Damit ist die Behauptung von Lemma 2.6 in allen drei F\"{a}llen gezeigt. Der
Induktionsschritt ist damit vollst\"{a}ndig, und der Beweis von Lemma 2.6 vollendet.

Gem\"{a}\ss \ Lemma 2.6. ist also $\mu:\mathfrak{g}\times V\rightarrow V$ eine
$\mathfrak{g}$-Modulstruktur auf $V$.\ Da diese Struktur (gem\"{a}\ss \ Lemma
2.5.) die Eigenschaften \textbf{(1)}, \textbf{(2)} und \textbf{(3)}
erf\"{u}llt, haben wir also die gew\"{u}nschte $\mathfrak{g}$-Modulstruktur
auf $V$ gefunden, und der Beweis von Satz 2.1. ist damit fertig
(gem\"{a}\ss \ Vorbereitung 2.4. \textbf{4)}).

\textbf{2.7. Folgerung:} Sei $\mathfrak{g}$ eine Liealgebra mit Basis $\left(
x_{i}\right)  _{i\in I}.$ Sei $\left(  I,\leq\right)  $ total geordnet. Wir
verwenden die Notationen von 2.1..

\textbf{1)} Die lineare Abbildung $\sigma:\mathfrak{g}\rightarrow U\left(
\mathfrak{g}\right)  $ ist injektiv.

\textbf{2)} Die lineare Abbildung%
\[
\underbrace{k\left[  T_{i}\mid i\in I\right]  }_{\text{Polynomalgebra}%
}\rightarrow\operatorname*{gr}U\left(  \mathfrak{g}\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T_{i}\mapsto\overline{\sigma\left(  x_{i}\right)  }\in
U_{1}\left(  \mathfrak{g}\right)  \diagup U_{0}\left(  \mathfrak{g}\right)
\]
ist ein Algebraisomorphismus.

\textit{Hinweis:} Wegen 2.7. \textbf{1)} werden wir ab jetzt die lineare
Abbildung $\sigma:\mathfrak{g}\rightarrow U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ als
Inklusion ansehen. Das hei\ss t, f\"{u}r jedes $x\in\mathfrak{g}$ schreiben
wir einfach $x$ statt $\sigma\left(  x\right)  .$

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Dies ist klar, da $\left\{  \sigma\left(
x_{i}\right)  \mid i\in I\right\}  $ Teilmenge der (in 2.1. eingef\"{u}hrten)
Basis%
\[
\left\{  \sigma\left(  x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}}\right)
...\sigma\left(  x_{i_{n}}\right)  \ \mid\ n\geq0,\text{ }i_{1},i_{2}%
,...,i_{n}\in I,\ i_{1}\leq i_{2}\leq...\leq i_{n}\right\}
\]
von $U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ ist.

\textbf{2)} F\"{u}r alle $n\geq0$ ist die Abbildung%
\begin{align*}
\left\{  F\in k\left[  T_{i}\mid i\in I\right]  \ \mid\ F\text{ homogen mit
}\deg F=n\right\}   &  \rightarrow U_{n}\left(  \mathfrak{g}\right)  \diagup
U_{n-1}\left(  \mathfrak{g}\right)  ,\\
T_{i_{1}}T_{i_{2}}...T_{i_{n}}  &  \mapsto\overline{\sigma\left(  x_{i_{1}%
}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}}\right)  ...\sigma\left(  x_{i_{n}}\right)  }%
\end{align*}
ein Vektorraumisomorphismus (wegen 2.1.)\footnote{Die Wohldefiniertheit dieser
Abbildung folgt dabei aus 2.3. \textbf{2)}.}. Insgesamt ist die lineare
Abbildung%
\[
\underbrace{k\left[  T_{i}\mid i\in I\right]  }_{\text{Polynomalgebra}%
}\rightarrow\operatorname*{gr}U\left(  \mathfrak{g}\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T_{i_{1}}T_{i_{2}}...T_{i_{n}}\mapsto\overline
{\sigma\left(  x_{i_{1}}\right)  \sigma\left(  x_{i_{2}}\right)
...\sigma\left(  x_{i_{n}}\right)  }%
\]
also ein Vektorraumisomorphismus, und trivialerweise auch ein
Algebraisomorphismus (da $\operatorname*{gr}U\left(  \mathfrak{g}\right)  $
kommutativ ist), was zu beweisen war.

Wir zeigen jetzt ein Lemma, das es uns erlaubt, gewisse Eigenschaften einer
filtrierten Algebra $\left(  A,\left(  A_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ aus
den entsprechenden Eigenschaften der (meistens einfacheren!) graduierten
Algebra $\operatorname*{gr}A$ herzuleiten. Doch erst eine Definition:

\textbf{Definition:} \textbf{1)} Sei $\left(  A,\left(  A_{n}\right)
_{n\geq0}\right)  $ eine filtrierte Algebra. Sei $M$ ein $A$-Rechtsmodul
(analog geht diese Definition f\"{u}r $A$-Linksmoduln), und sei $M_{n}%
\subseteq M$ ein Untervektorraum f\"{u}r jedes $n\geq0.$ Dann hei\ss t
$\left(  M,\left(  M_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ ein \textit{filtrierter
}$A$\textit{-Rechtsmodul}, wenn folgende zwei Eigenschaften gelten:

\textbf{a)} F\"{u}r alle $n,m\geq0$ ist $M_{n}A_{m}\subseteq M_{n+m}.$

\textbf{b)} Es gilt $\bigcup\limits_{n\geq0}M_{n}=M.$

In diesem Fall nennt man $\left(  M_{n}\right)  _{n\geq0}$ auch eine
\textit{Filtrierung} von $M.$

\textbf{2)} Sei $\left(  M,\left(  M_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ ein
filtrierter $A$-Rechtsmodul. Dann definieren wir einen graduierten
$\operatorname*{gr}A$-Rechtsmodul $\operatorname*{gr}M,$ indem wir erstmal den
ihm zugrundeliegenden \textit{Vektorraum} $\operatorname*{gr}M$ durch%
\[
\operatorname*{gr}M=\bigoplus_{n\geq0}M_{n}\diagup M_{n-1}%
\]
definieren, wobei $M_{-1}=0$ gesetzt wird (wohlgemerkt h\"{a}ngt dieses
$\operatorname*{gr}M$ nicht nur von dem Modul $M,$ sondern auch von der
Filtrierung $\left(  M_{n}\right)  _{n\geq0}$ ab, auch wenn wir dies bei der
Notation $\operatorname*{gr}M$ unterschlagen!). Die Rechtswirkung von
$\operatorname*{gr}A$ auf $\operatorname*{gr}M$ wird definiert durch%
\begin{align*}
\left(  M_{n}\diagup M_{n-1}\right)  \times\left(  A_{m}\diagup A_{m-1}%
\right)   &  \rightarrow\left(  M_{n+m}\diagup M_{n+m-1}\right)  ,\\
\left(  \overline{x},\overline{y}\right)   &  \mapsto\overline{xy}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{wobei }x\in M_{n}\text{ und }y\in
A_{m}\text{ und daher }xy\in M_{n+m}\right)
\end{align*}
f\"{u}r alle $n,m\geq0$ (dabei meinen wir mit $\overline{x}$ die
\"{A}quivalenzklasse des Elementes $x\in M_{n}$ modulo $M_{n-1},$ ferner
meinen wir mit $\overline{y}$ die \"{A}quivalenzklasse des Elementes $y\in
A_{m}$ modulo $A_{m-1},$ und schlie\ss lich meinen wir mit $\overline{xy}$ die
\"{A}quivalenzklasse des Elementes $xy\in M_{n+m}$ modulo $M_{n+m-1}$). Dieser
graduierte $\operatorname*{gr}A$-Rechtsmodul $\operatorname*{gr}M$ wird auch
$\operatorname*{gr}\left(  M,\left(  M_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ genannt
(diese Schreibweise ist im Gegensatz zur Notation $\operatorname*{gr}M$ auch
formal korrekt, denn $\operatorname*{gr}\left(  M,\left(  M_{n}\right)
_{n\geq0}\right)  $ h\"{a}ngt nicht nur von $M,$ sondern auch von der
Filtrierung $\left(  M_{n}\right)  _{n\geq0}$ ab).

\textbf{2.8. Lemma:} Sei $\left(  A,\left(  A_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $
eine filtrierte Algebra.

\textbf{1)} Ist $\operatorname*{gr}A$ ein rechts- bzw. linksnoetherscher Ring,
dann ist auch $A$ ein rechts- bzw. linksnoetherscher Ring.

\textbf{2)} Ist $\operatorname*{gr}A$ ein Integrit\"{a}tsring, dann ist $A$
ein Integrit\"{a}tsring.

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Wir beweisen nur die Aussage mit
rechtsnoetherschen Ringen; die Aussage mit linksnoetherschen Ringen ergibt
sich analog.

Sei $I\subseteq A$ ein Rechtsideal. Dann ist $\left(  I\cap A_{n}\right)
_{n\geq0}$ eine Filtrierung des $A$-Rechtsmoduls $I.$ Diese Filtrierung
induziert den graduierten $\operatorname*{gr}A$-Rechtsmodul%
\[
\operatorname*{gr}I=\bigoplus_{n\geq0}\left(  I\cap A_{n}\right)
\diagup\left(  I\cap A_{n-1}\right)  .
\]
Wegen $\left(  I\cap A_{n}\right)  \diagup\left(  I\cap A_{n-1}\right)
\cong\left(  \left(  I\cap A_{n}\right)  +A_{n-1}\right)  \diagup
A_{n-1}\subseteq A_{n}\diagup A_{n-1}$ f\"{u}r alle $n\geq0$ k\"{o}nnen wir
also $\operatorname*{gr}I$ als ein homogenes Rechtsideal in
$\operatorname*{gr}A$ auffassen. Da $\operatorname*{gr}A$ rechtsnoethersch
ist, hat dieses Rechtsideal $\operatorname*{gr}I$ endlich viele Erzeugende,
also auch endlich viele homogene Erzeugende\footnote{Denn um homogene
Erzeugende zu erhalten, nehmen wir irgendein endliches Erzeugendensystem von
$\operatorname*{gr}I,$ und zerlegen jede Erzeugende darin in ihre homogenen
Komponenten.}. Das hei\ss t, es gibt ein $N\in\mathbb{N}$ und ein $n_{i}%
\in\mathbb{N}$ sowie ein $a_{i}\in I\cap A_{n_{i}}$ f\"{u}r jedes $1\leq i\leq
N$ so, da\ss \ die Elemente $\overline{a_{i}}\in\left(  I\cap A_{n_{i}%
}\right)  \diagup\left(  I\cap A_{n_{i}-1}\right)  $ das Ideal
$\operatorname*{gr}I$ erzeugen.

Durch Induktion nach $n$ werden wir nun zeigen, da\ss \ $I\cap A_{n}%
\subseteq\sum\limits_{i=1}^{N}a_{i}A$ f\"{u}r jedes $n\in\mathbb{N}$ gilt.

\textit{Beweis:} Der Induktionsanfang ($n=-1$) ist trivial. F\"{u}r den
Induktionsschritt (von $n-1$ auf $n$) sei $x\in I\cap A_{n}.$ Wir betrachten
die \"{A}quivalenzklasse $\overline{x}\in\left(  I\cap A_{n}\right)
\diagup\left(  I\cap A_{n-1}\right)  .$ Dann ist $\overline{x}\in
\operatorname*{gr}I$. Somit gibt es $y_{1},y_{2},...,y_{N}\in
\operatorname*{gr}A$ mit $\overline{x}=\sum\limits_{i=1}^{N}\overline{a_{i}%
}y_{i}$ (da die Elemente $\overline{a_{i}}$ f\"{u}r $1\leq i\leq N$ das Ideal
$\operatorname*{gr}I$ erzeugen). Wegen $\overline{x}\in\left(  I\cap
A_{n}\right)  \diagup\left(  I\cap A_{n-1}\right)  \subseteq A_{n}\diagup
A_{n-1}$ (genauer gesagt haben wir $\left(  I\cap A_{n}\right)  \diagup\left(
I\cap A_{n-1}\right)  $ mit einer Teilmenge von $A_{n}\diagup A_{n-1}$
identifiziert) k\"{o}nnen wir ohne Beschr\"{a}nkung der Allgemeinheit davon
ausgehen, da\ss \ $y_{i}\in A_{n-n_{i}}\diagup A_{n-n_{i}-1}$ f\"{u}r alle
$1\leq i\leq N$ ist\footnote{In der Tat k\"{o}nnen wir jedes $y_{i}$ durch
seinen homogenen Teil im Grad $n-n_{i}$ ersetzen, und die Gleichung
$\overline{x}=\sum\limits_{i=1}^{N}\overline{a_{i}}y_{i}$ bleibt erf\"{u}llt
(denn $\overline{x}\in A_{n}\diagup A_{n-1}$ hat Grad $n$, und $\overline
{a}_{i}\in A_{n_{i}}\diagup A_{n_{i}-1}$ hat Grad $n_{i}$).}. Sei
$y_{i}=\overline{b_{i}}$ f\"{u}r ein $b_{i}\in A_{n-n_{i}}.$ Dann ist
$\overline{x}=\sum\limits_{i=1}^{N}\overline{a_{i}}y_{i}=\sum\limits_{i=1}%
^{N}\overline{a_{i}}\overline{b_{i}}=\overline{\sum\limits_{i=1}^{N}a_{i}%
b_{i}}$ in $A_{n}\diagup A_{n-1}$, also $x-\sum\limits_{i=1}^{N}a_{i}b_{i}\in
A_{n-1}.$ Andererseits ist $x-\sum\limits_{i=1}^{N}a_{i}b_{i}\in I$ (da $x\in
I$ und $a_{i}\in I$ f\"{u}r alle $i$). Somit ist%
\[
x-\sum\limits_{i=1}^{N}a_{i}b_{i}\in I\cap A_{n-1}\subseteq\sum\limits_{i=1}%
^{N}a_{i}A\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach Induktionsannahme}\right)  ,
\]
also$\ x\in\sum\limits_{i=1}^{N}a_{i}A.$ Damit ist der Induktionsschritt komplett.

Wir haben also gezeigt, da\ss \ $I\cap A_{n}\subseteq\sum\limits_{i=1}%
^{N}a_{i}A$ f\"{u}r jedes $n\in\mathbb{N}$ gilt. Damit ist $I=I\cap
A=I\cap\left(  \bigcup\limits_{n\geq0}A_{n}\right)  =\bigcup\limits_{n\geq
0}\left(  I\cap A_{n}\right)  \subseteq\sum\limits_{i=1}^{N}a_{i}A,$ also
$I=\sum\limits_{i=1}^{N}a_{i}A$ (da $\sum\limits_{i=1}^{N}a_{i}A\subseteq I$),
und somit ist das Rechtsideal $I$ endlich erzeugt. Der Ring $A$ ist also
rechtsnoethersch, was zu beweisen war.

\textbf{2)} Seien $0\neq x,y\in A.$ Dann gibt es ein $n\geq0$ mit $x\in A_{n}$
und $x\notin A_{n-1},$ und ein $m\geq0$ mit $y\in A_{m}$ und $y\notin
A_{m-1}.$ Daher ist $0\neq\overline{x},\overline{y}$ in $\operatorname*{gr}A;$
genauer gesagt, ist $0\neq\overline{x}\in A_{n}\diagup A_{n-1}$ und
$0\neq\overline{y}\in A_{m}\diagup A_{m-1}.$ Also ist auch $\overline{xy}%
\neq0,$ da $\operatorname*{gr}A$ ein Integrit\"{a}tsring ist. Somit ist auch
$xy\neq0.$ Folglich ist $A$ ein Integrit\"{a}tsring.

\textbf{Definition:} \textbf{1)} Sei $C$ eine Coalgebra, und sei $\left(
C_{n}\right)  _{n\geq0}$ eine Familie von Untervektorr\"{a}umen von $C.$

Dann nennen wir $\left(  C,\left(  C_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ (oder
auch kurz $C,$ wenn die Familie $\left(  C_{n}\right)  _{n\geq0}$ aus dem
Kontext heraus klar ist) eine \textit{filtrierte Coalgebra}, wenn folgende
drei Eigenschaften gelten:

\textbf{a)} Es gilt $C_{0}\subseteq C_{1}\subseteq C_{2}\subseteq....$

\textbf{b)} Es gilt $\bigcup\limits_{n\geq0}C_{n}=C.$

\textbf{c)} F\"{u}r alle $n\geq0$ und $x\in C_{n}$ ist $\Delta\left(
x\right)  \in\sum\limits_{i=0}^{n}C_{i}\otimes C_{n-i}.$

\textbf{2)} Sei $C$ eine Coalgebra, und sei $\left(  C_{n}\right)  _{n\geq0}$
eine Familie von Untervektorr\"{a}umen von $C.$

Diese Familie $\left(  C_{n}\right)  _{n\geq0}$ hei\ss t eine
\textit{Coalgebrafiltrierung} der Coalgebra $C$, wenn $\left(  C,\left(
C_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ eine filtrierte Coalgebra ist.

\textbf{3)} Sei $H$ eine Bialgebra, und sei $\left(  H_{n}\right)  _{n\geq0}$
eine Familie von Untervektorr\"{a}umen von $H.$

Dann hei\ss t $\left(  H,\left(  H_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ eine
\textit{filtrierte Bialgebra}, wenn $\left(  H,\left(  H_{n}\right)  _{n\geq
0}\right)  $ eine filtrierte Algebra und eine filtrierte Coalgebra ist.

\textbf{4)} Sei $H$ eine Hopfalgebra, und sei $\left(  H_{n}\right)  _{n\geq
0}$ eine Familie von Untervektorr\"{a}umen von $H.$

Dann hei\ss t $\left(  H,\left(  H_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ eine
\textit{filtrierte Hopfalgebra}, wenn $\left(  H,\left(  H_{n}\right)
_{n\geq0}\right)  $ eine filtrierte Bialgebra ist und $S\left(  H_{n}\right)
\subseteq H_{n}$ f\"{u}r alle $n\geq0$ ist.

\textit{Bemerkung:} Ist $\left(  C,\left(  C_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $
eine filtrierte Coalgebra, so ist $C_{n}$ eine Untercoalgebra von $C$ f\"{u}r
jedes $n\geq0$\ \ \ \ \footnote{denn f\"{u}r jedes $x\in C_{n}$ ist%
\begin{align*}
\Delta\left(  x\right)   &  \in\sum\limits_{i=0}^{n}C_{i}\otimes C_{n-i}\\
&  \subseteq\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}\otimes C_{n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{denn }C_{0}\subseteq C_{1}\subseteq C_{2}\subseteq...\text{ ergibt
}C_{i}\subseteq C_{n}\text{ und }C_{n-i}\subseteq C_{n}\right) \\
&  \subseteq C_{n}\otimes C_{n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }%
C_{n}\otimes C_{n}\text{ ist ein Vektorraum}\right)
\end{align*}
}.

\textbf{2.9. Folgerung:} Sei $\mathfrak{g}$ eine Liealgebra.

\textbf{1)} Dann ist $\left(  U\left(  \mathfrak{g}\right)  ,\left(
U_{n}\left(  \mathfrak{g}\right)  \right)  _{n\geq0}\right)  $ eine filtrierte Hopfalgebra.

\textbf{2)} Die Algebra $U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ ist ein Integrit\"{a}tsring.

\textbf{3)} Ist $\dim\mathfrak{g}<\infty,$ so ist $U\left(  \mathfrak{g}%
\right)  $ ein links- und rechtsnoetherscher Integrit\"{a}tsring.

\textit{Beweis:} \textbf{2)} Dies folgt aus Lemma 2.8. \textbf{2)}, denn (nach
2.3. \textbf{1)} und 2.1.) ist $\operatorname*{gr}\left(  U\left(
\mathfrak{g}\right)  \right)  $ eine Polynomalgebra \"{u}ber $k,$ also ein Integrit\"{a}tsring.

\textbf{3)} Nach 2.3. \textbf{1)} und 2.1. ist $\operatorname*{gr}\left(
U\left(  \mathfrak{g}\right)  \right)  $ eine Polynomalgebra \"{u}ber $k$ in
endlich vielen Variablen (n\"{a}mlich in $\dim\mathfrak{g}$ Variablen), also
ein links- und rechtsnoetherscher Ring. Nach Lemma 2.8. \textbf{1)} ist also
auch $U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ ein links- und rechtsnoetherscher Ring.

\textbf{1)} Da\ss \ $\left(  U\left(  \mathfrak{g}\right)  ,\left(
U_{n}\left(  \mathfrak{g}\right)  \right)  _{n\geq0}\right)  $ eine filtrierte
Algebra ist, wissen wir aus Beispiel 2.2. \textbf{2)}. Wir werden nun zeigen,
da\ss \ $\left(  U\left(  \mathfrak{g}\right)  ,\left(  U_{n}\left(
\mathfrak{g}\right)  \right)  _{n\geq0}\right)  $ eine filtrierte Coalgebra ist.

Sei $n\geq0$ und $x\in U_{n}\left(  \mathfrak{g}\right)  .$ Wir m\"{u}ssen
zeigen, da\ss \ $\Delta\left(  x\right)  \in\sum\limits_{i=0}^{n}U_{i}\left(
\mathfrak{g}\right)  \otimes U_{n-i}\left(  \mathfrak{g}\right)  .$

Ohne Beschr\"{a}nkung der Allgemeinheit nehmen wir an, da\ss \ $x=x_{1}%
x_{2}...x_{n}$ f\"{u}r $x_{1},x_{2},...,x_{n}\in\mathfrak{g}$ ist
(strengenommen ist dies ein Induktionsargument). Nun zeigen wir: F\"{u}r jedes
$n\geq0$ und alle $x_{1},x_{2},...,x_{n}\in\mathfrak{g}$ ist%
\[
\Delta\left(  x_{1}x_{2}...x_{n}\right)  =\sum_{\nu=0}^{n}\sum_{\substack{\tau
\in S_{n},\\\tau\left(  1\right)  <\tau\left(  2\right)  <...<\tau\left(
\nu\right)  ,\\\tau\left(  \nu+1\right)  <\tau\left(  \nu+2\right)
<...<\tau\left(  n\right)  }}\underbrace{x_{\tau\left(  1\right)  }%
x_{\tau\left(  2\right)  }...x_{\tau\left(  \nu\right)  }}_{\in U_{\nu}\left(
\mathfrak{g}\right)  }\otimes\underbrace{x_{\tau\left(  \nu+1\right)  }%
x_{\tau\left(  \nu+2\right)  }...x_{\tau\left(  n\right)  }}_{\in U_{n-\nu
}\left(  \mathfrak{g}\right)  }.
\]


\textit{Beweis:} F\"{u}r alle $1\leq i\leq n$ ist $\Delta\left(  x_{i}\right)
=x_{i}\otimes1+1\otimes x_{i},$ also%
\begin{align*}
&  \Delta\left(  x_{1}x_{2}...x_{n}\right)  =\Delta\left(  x_{1}\right)
\cdot\Delta\left(  x_{2}\right)  \cdot...\cdot\Delta\left(  x_{n}\right) \\
&  =\left(  x_{1}\otimes1+1\otimes x_{1}\right)  \cdot\left(  x_{2}%
\otimes1+1\otimes x_{2}\right)  \cdot...\cdot\left(  x_{n}\otimes1+1\otimes
x_{n}\right) \\
&  =\sum_{\nu=0}^{n}\sum_{\substack{\tau\in S_{n},\\\tau\left(  1\right)
<\tau\left(  2\right)  <...<\tau\left(  \nu\right)  ,\\\tau\left(
\nu+1\right)  <\tau\left(  \nu+2\right)  <...<\tau\left(  n\right)  }}\left(
x_{\tau\left(  1\right)  }\otimes1\right)  \left(  x_{\tau\left(  2\right)
}\otimes1\right)  ...\left(  x_{\tau\left(  \nu\right)  }\otimes1\right)
\cdot\left(  1\otimes x_{\tau\left(  \nu+1\right)  }\right)  \left(  1\otimes
x_{\tau\left(  \nu+2\right)  }\right)  ...\left(  1\otimes x_{\tau\left(
n\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{nach dem (nachfolgenden) Lemma 2.10 (angewandt auf}\\
A=U\left(  \mathfrak{g}\right)  \otimes U\left(  \mathfrak{g}\right)  \text{,
}a_{i}=x_{i}\otimes1\text{ und }b_{i}=1\otimes x_{i}\text{),}\\
\text{denn alle }i,j\text{ erf\"{u}llen }\left(  x_{i}\otimes1\right)  \left(
1\otimes x_{j}\right)  =\left(  1\otimes x_{j}\right)  \left(  x_{i}%
\otimes1\right)
\end{array}
\right) \\
&  =\sum_{\nu=0}^{n}\sum_{\substack{\tau\in S_{n},\\\tau\left(  1\right)
<\tau\left(  2\right)  <...<\tau\left(  \nu\right)  ,\\\tau\left(
\nu+1\right)  <\tau\left(  \nu+2\right)  <...<\tau\left(  n\right)
}}\underbrace{x_{\tau\left(  1\right)  }x_{\tau\left(  2\right)  }%
...x_{\tau\left(  \nu\right)  }}_{\in U_{\nu}\left(  \mathfrak{g}\right)
}\otimes\underbrace{x_{\tau\left(  \nu+1\right)  }x_{\tau\left(  \nu+2\right)
}...x_{\tau\left(  n\right)  }}_{\in U_{n-\nu}\left(  \mathfrak{g}\right)  }.
\end{align*}


Damit ist gezeigt, da\ss \ $\left(  U\left(  \mathfrak{g}\right)  ,\left(
U_{n}\left(  \mathfrak{g}\right)  \right)  _{n\geq0}\right)  $ eine filtrierte
Coalgebra ist. Somit ist $\left(  U\left(  \mathfrak{g}\right)  ,\left(
U_{n}\left(  \mathfrak{g}\right)  \right)  _{n\geq0}\right)  $ auch eine
filtrierte Bialgebra. Wir m\"{u}ssen jetzt nur noch beweisen, da\ss \ $\left(
U\left(  \mathfrak{g}\right)  ,\left(  U_{n}\left(  \mathfrak{g}\right)
\right)  _{n\geq0}\right)  $ eine filtrierte Hopfalgebra ist; dazu m\"{u}ssen
wir nur noch beweisen, da\ss \ f\"{u}r alle $n\geq0$ und alle $x_{1}%
,x_{2},...,x_{n}\in\mathfrak{g}$ gilt: $S\left(  x_{1}x_{2}...x_{n}\right)
\in U_{n}\left(  \mathfrak{g}\right)  .$ Dies folgt aber sofort aus%
\[
S\left(  x_{1}x_{2}...x_{n}\right)  =S\left(  x_{n}\right)  S\left(
x_{n-1}\right)  ...S\left(  x_{1}\right)  =\left(  -x_{n}\right)  \left(
-x_{n-1}\right)  ...\left(  -x_{1}\right)  =\left(  -1\right)  ^{n}%
x_{n}x_{n-1}...x_{1}.
\]
Somit ist der Beweis von 2.9. fertig.

\textbf{2.10. Lemma:} Sei $A$ eine Algebra, sei $n\geq0,$ und seien
$a_{1},a_{2},...,a_{n},b_{1},b_{2},...,b_{n}\in A$ so, da\ss \ $a_{i}%
b_{j}=b_{j}a_{i}$ f\"{u}r alle $i,j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ gilt. Dann
ist%
\[
\left(  a_{1}+b_{1}\right)  \left(  a_{2}+b_{2}\right)  ...\left(  a_{n}%
+b_{n}\right)  =\sum_{\nu=0}^{n}\sum_{\substack{\tau\in S_{n},\\\tau\left(
1\right)  <\tau\left(  2\right)  <...<\tau\left(  \nu\right)  ,\\\tau\left(
\nu+1\right)  <\tau\left(  \nu+2\right)  <...<\tau\left(  n\right)  }%
}a_{\tau\left(  1\right)  }a_{\tau\left(  2\right)  }...a_{\tau\left(
\nu\right)  }\cdot b_{\tau\left(  \nu+1\right)  }b_{\tau\left(  \nu+2\right)
}...b_{\tau\left(  n\right)  }.
\]


\textit{Beweis:} Wir definieren die Menge $\operatorname*{Sh}\left(
p,q\right)  $ f\"{u}r beliebige $p\in\mathbb{N}$ und $q\in\mathbb{N}$ wie in
Beispiel 2.1. \textbf{7)}. Laut Lemma 2.51 von Kapitel I (angewandt auf $n$
statt $k$) ist dann%
\begin{align*}
&  \left(  a_{1}+b_{1}\right)  \left(  a_{2}+b_{2}\right)  ...\left(
a_{n}+b_{n}\right) \\
&  =\sum_{i=0}^{n}\sum_{\substack{\sigma\in\operatorname*{Sh}\left(
i,n-i\right)  }}a_{\sigma\left(  1\right)  }a_{\sigma\left(  2\right)
}...a_{\sigma\left(  i\right)  }\cdot b_{\sigma\left(  i+1\right)  }%
b_{\sigma\left(  i+2\right)  }...b_{\sigma\left(  n\right)  }\\
&  =\sum_{\nu=0}^{n}\sum_{\tau\in\operatorname*{Sh}\left(  \nu,n-\nu\right)
}a_{\tau\left(  1\right)  }a_{\tau\left(  2\right)  }...a_{\tau\left(
\nu\right)  }\cdot b_{\tau\left(  \nu+1\right)  }b_{\tau\left(  \nu+2\right)
}...b_{\tau\left(  n\right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{hier haben wir die Summationsindizes
}i\text{ und }\sigma\text{ in }\nu\text{ und }\tau\text{ umbenannt}\right) \\
&  =\sum_{\nu=0}^{n}\sum_{\substack{\tau\in S_{n},\\\tau\left(  1\right)
<\tau\left(  2\right)  <...<\tau\left(  \nu\right)  ,\\\tau\left(
\nu+1\right)  <\tau\left(  \nu+2\right)  <...<\tau\left(  n\right)  }%
}a_{\tau\left(  1\right)  }a_{\tau\left(  2\right)  }...a_{\tau\left(
\nu\right)  }\cdot b_{\tau\left(  \nu+1\right)  }b_{\tau\left(  \nu+2\right)
}...b_{\tau\left(  n\right)  }%
\end{align*}
(hier haben wir die Summation $\sum\limits_{\tau\in\operatorname*{Sh}\left(
\nu,n-\nu\right)  }$ durch die Summation $\sum\limits_{\substack{\tau\in
S_{n},\\\tau\left(  1\right)  <\tau\left(  2\right)  <...<\tau\left(
\nu\right)  ,\\\tau\left(  \nu+1\right)  <\tau\left(  \nu+2\right)
<...<\tau\left(  n\right)  }}$ ersetzt, denn $\operatorname*{Sh}\left(
\nu,n-\nu\right)  $ ist (definitionsgem\"{a}\ss ) die Menge aller $\tau\in
S_{n}$, welche $\tau\left(  1\right)  <\tau\left(  2\right)  <...<\tau\left(
\nu\right)  $ und $\tau\left(  \nu+1\right)  <\tau\left(  \nu+2\right)
<...<\tau\left(  n\right)  $ erf\"{u}llen). Damit ist Lemma 2.10 bewiesen.

\bigskip

\fbox{\textbf{Einige Eigenschaften in Bezug auf Untercoalgebren}}

\textbf{Definition:} Sei $C$ eine Coalgebra.

\textbf{1)} Die Coalgebra $C$ hei\ss t \textit{einfach}, wenn $C\neq0$ ist und
f\"{u}r alle Untercoalgebren $C^{\prime}\subseteq C$ gilt: $C^{\prime}=0$ oder
$C^{\prime}=C.$

\textbf{2)} Das \textit{Coradikal} $C_{0}$ von $C$ ist definiert als
$C_{0}=\sum\limits_{\substack{D\subseteq C\\\text{einfache}%
\\\text{Untercoalgebra}}}D.$

\textbf{3)} Die Coalgebra $C$ hei\ss t \textit{punktiert}, wenn jede einfache
Untercoalgebra von $C$ eindimensional ist.

\textbf{4)} Die Coalgebra $C$ hei\ss t \textit{irreduzibel}, wenn $C$ genau
eine einfache Untercoalgebra besitzt.

\textit{Bemerkung:} Man erkennt leicht, da\ss \ jede von $0$ verschiedene
Coalgebra $C$ eine einfache Untercoalgebra besitzt.\footnote{F\"{u}r $\dim
C<\infty$ folgt dies aus einem trivialen Induktionsargument; den Fall $\dim
C=\infty$ f\"{u}hrt man mithilfe des Endlichkeitssatzes auf den Fall $\dim
C<\infty$ zur\"{u}ck.}

\textbf{2.11. Bemerkung:} \textbf{1)} Sei $C$ eine Coalgebra. Dann ist%
\begin{align*}
\left\{  D\subseteq C\text{ eindimensionale Coalgebra}\right\}   &  =\left\{
D\subseteq C\text{ einfache eindimensionale Coalgebra}\right\} \\
&  =\left\{  kg\mid g\in G\left(  C\right)  \right\}  .
\end{align*}


\textit{Beweis:} \textbf{a)} Da\ss \ jede eindimensionale Coalgebra einfach
ist, ist klar.

\textbf{b)} F\"{u}r jedes $g\in G\left(  C\right)  $ ist $kg$ eine einfache
Untercoalgebra von $C$ (denn $\Delta\left(  g\right)  =g\otimes g$).

\textbf{c)} Ist $D\subseteq C$ eine eindimensionale Coalgebra, dann gibt es
ein $g\in G\left(  C\right)  $ mit $D=kg$. (\textit{Beweis:} Da $D$
eindimensional ist, gibt es ein $0\neq d\in D$ mit $D=kd,$ und es
mu\ss \ damit $\Delta\left(  d\right)  =\alpha d\otimes d$ f\"{u}r ein
$\alpha\in k$ sein (denn $D$ ist eine eindimensionale Coalgebra). Nach den
Axiomen einer Coalgebra folgt hieraus $d=\alpha d\varepsilon\left(  d\right)
,$ also $\alpha\varepsilon\left(  d\right)  =1$ (da $d\neq0$) und somit
$\alpha\neq0$. Sei nun $g=\alpha d$. Dann ist $\Delta\left(  g\right)
=\alpha\Delta\left(  d\right)  =\alpha\left(  \alpha d\otimes d\right)
=\alpha d\otimes\alpha d=g\otimes g$ und $\varepsilon\left(  g\right)
=\alpha\varepsilon\left(  d\right)  =1$. Somit ist $g\in G\left(  C\right)  $.
Ferner ist $D=kg$, denn $g=\alpha d$ (mit $\alpha\neq0$) und $D=kd$.)

\textbf{2)} Sei $C$ eine einfache Coalgebra. Dann ist $\dim C<\infty.$ Ferner
ist $C^{\ast}$ eine einfache Algebra. Falls $k$ algebraisch abgeschlossen ist,
gibt es ein $n\geq1$ mit $C\cong\operatorname*{M}_{n}\left(  k\right)  ^{\ast
}$ als Coalgebren.

\textit{Beweis:} Da\ss \ $\dim C<\infty$ ist, folgt aus dem Endlichkeitssatz
4.3. \textbf{2)} von Kapitel I.

Da\ss \ $C^{\ast}$ eine einfache Algebra ist, ist klar, denn jede
Faktoralgebra $\neq0$ von $C^{\ast}$ ist kanonisch isomorph zu $C^{\ast}$
(denn jede Untercoalgebra $\neq0$ von $C$ stimmt mit $C$ \"{u}berein), d. h.
jedes Ideal von $C^{\ast}$ ist $=0$ oder $=C^{\ast}.$

Sei jetzt $k$ algebraisch abgeschlossen. Da $C^{\ast}$ endlichdimensional und
einfach ist, folgt nach dem Satz von Wedderburn-Artin, da\ss \ es ein $n$ gibt
mit $C^{\ast}\cong\operatorname*{M}_{n}\left(  k\right)  $ als Algebren. Also
ist $C\cong\operatorname*{M}_{n}\left(  k\right)  ^{\ast}$ als Coalgebren.

\textbf{3)} Sei $k$ algebraisch abgeschlossen. Sei $C$ eine cokommutative
Coalgebra. Dann ist $C$ punktiert.

\textit{Beweis:} Sei $D\subseteq C$ eine einfache Untercoalgebra. Dann ist
$D^{\ast}$ eine endlichdimensionale einfache kommutative Algebra (nach
\textbf{2)}). Nach Wedderburn-Artin (siehe \textbf{2)}) ist also $D^{\ast
}\cong\operatorname*{M}_{n}\left(  k\right)  $ f\"{u}r irgendein
$n\in\mathbb{N}$. Da $D^{\ast}$ kommutativ ist, mu\ss \ dieses $n$ gleich $1$
sein, und somit ist $D^{\ast}$ eindimensional; daher ist auch $D$ eindimensional.

\textbf{2.12. Satz:} Sei $\left(  C,\left(  \widetilde{C}_{n}\right)
_{n\geq0}\right)  $ eine filtrierte Coalgebra\footnote{Der Grund, warum wir
die Filtrierung mit $\left(  \widetilde{C}_{n}\right)  _{n\geq0}$ und nicht
einfach mit $\left(  C_{n}\right)  _{n\geq0}$ bezeichnen, liegt darin,
da\ss \ wir mit $C_{0}$ bereits das Coradikal von $C$ bezeichnet haben.}. Dann
ist $C_{0}\subseteq\widetilde{C}_{0}$ (wobei $C_{0}$ das Coradikal von $C$ bezeichnet).

\textit{Beweis:} Wir werden zuerst zeigen: F\"{u}r jede Untercoalgebra $0\neq
D\subseteq C$ ist $D\cap\widetilde{C}_{0}\neq0.$

Um dies zu zeigen, nehmen wir an, da\ss \ $D\cap\widetilde{C}_{0}=0.$ Doch
wegen $D\neq0$ gibt es ein $n\geq1$ mit $D\cap\widetilde{C}_{n}\neq0$ (weil
$\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}\left(  D\cap\widetilde{C}_{n}\right)
=D\cap\underbrace{\left(  \bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}\widetilde{C}%
_{n}\right)  }_{=C}=D\cap C=D\neq0$ ist). W\"{a}hlen wir das kleinste solche
$n;$ dann ist $D\cap\widetilde{C}_{n}\neq0,$ aber $D\cap\widetilde{C}%
_{n-1}=0.$

Sei $d\in D\cap\widetilde{C}_{n}$ ein von $0$ verschiedenes Element. Dann ist
$\Delta\left(  d\right)  \notin C\otimes\widetilde{C}_{0}$ (sonst w\"{a}re
$d=\varepsilon\left(  d_{\left(  1\right)  }\right)  d_{\left(  2\right)  }%
\in\widetilde{C}_{0}$ und daher $d\in D\cap\widetilde{C}_{0}$ im Widerspruch
zu $D\cap\widetilde{C}_{0}=0$). Es gibt also ein $\varphi\in C^{\ast}$ mit
$\varphi\left(  \widetilde{C}_{0}\right)  =0$ und $d_{\left(  1\right)
}\varphi\left(  d_{\left(  2\right)  }\right)  \neq0$ (dies folgt unschwer aus
Linearer Algebra\footnote{\textit{Beweis:} Da $\widetilde{C}_{0}$ ein
Untervektorraum von $C$ ist, existiert (gem\"{a}\ss \ Linearer Algebra) ein
Untervektorraum $K$ von $C$ mit $C=\widetilde{C}_{0}\oplus K$. Betrachten wir
ein solches $K$. Sei $\pi:C\rightarrow K$ die kanonische Projektion von $C$
auf den Untervektorraum $K$ entlang $\widetilde{C}_{0}$. Dann ist
$\operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes\pi:C\otimes C\rightarrow C\otimes K$
die kanonische Projektion von $C\otimes C$ auf den Untervektorraum $C\otimes
K$ entlang $C\otimes\widetilde{C}_{0}$. (Hierbei betrachten wir $C\otimes K$
und $C\otimes\widetilde{C}_{0}$ als Untervektorr\"{a}ume von $C\otimes C$,
weil $C=\widetilde{C}_{0}\oplus K$ auf $C\otimes C=C\otimes\left(
\widetilde{C}_{0}\oplus K\right)  \cong\left(  C\otimes\widetilde{C}%
_{0}\right)  \oplus\left(  C\otimes K\right)  $ f\"{u}hrt.) Daher ist
$\operatorname*{Ker}\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes\pi\right)
=C\otimes\widetilde{C}_{0}$. Wegen $\Delta\left(  d\right)  \notin
C\otimes\widetilde{C}_{0}$ ist also $\Delta\left(  d\right)  \notin%
\operatorname*{Ker}\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes\pi\right)  $
und damit $\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes\pi\right)  \left(
\Delta\left(  d\right)  \right)  \neq0$. Sei $\alpha=\left(
\operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes\pi\right)  \left(  \Delta\left(
d\right)  \right)  $. Dann ist also $\alpha\neq0$.
\par
Nun gibt es ein $g\in K^{\ast}$ mit $\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{C}%
\otimes g\right)  \left(  \alpha\right)  \neq0$. (Denn sonst w\"{a}re $\left(
\operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes g\right)  \left(  \alpha\right)
=0=\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes g\right)  \left(  0\right)
$ f\"{u}r jedes $g\in K^{\ast}$, und laut Lemma 1.9$\dfrac{\text{2}}%
{\text{20}}$ aus Kapitel I (angewandt auf $C$, $K$ und $0$ statt $V$, $W$ bzw.
$\beta$) w\"{u}rde hieraus folgen, da\ss \ $\alpha=0$ ist, im Widerspruch zu
$\alpha\neq0$.) Betrachten wir so ein $g$. Dann ist $g\circ\pi\in C^{\ast}$
und $\left(  g\circ\pi\right)  \left(  \widetilde{C}_{0}\right)  =g\left(
\underbrace{\pi\left(  \widetilde{C}_{0}\right)  }_{=0}\right)  =g\left(
0\right)  =0$. Ferner ist%
\begin{align*}
d_{\left(  1\right)  }\left(  g\circ\pi\right)  \left(  d_{\left(  2\right)
}\right)   &  =d_{\left(  1\right)  }g\left(  \pi\left(  d_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  =\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes g\right)
\left(  \underbrace{d_{\left(  1\right)  }\otimes\pi\left(  d_{\left(
2\right)  }\right)  }_{=\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes
\pi\right)  \left(  d_{\left(  1\right)  }\otimes d_{\left(  2\right)
}\right)  }\right)  =\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes g\right)
\left(  \left(  \operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes\pi\right)
\underbrace{\left(  d_{\left(  1\right)  }\otimes d_{\left(  2\right)
}\right)  }_{=\Delta\left(  d\right)  }\right) \\
&  =\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes g\right)  \left(
\underbrace{\left(  \operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes\pi\right)  \left(
\Delta\left(  d\right)  \right)  }_{=\alpha}\right)  =\left(
\operatorname*{id}\nolimits_{C}\otimes g\right)  \left(  \alpha\right)  \neq0.
\end{align*}
\par
Somit gibt es ein $\varphi\in C^{\ast}$ mit $\varphi\left(  \widetilde{C}%
_{0}\right)  =0$ und $d_{\left(  1\right)  }\varphi\left(  d_{\left(
2\right)  }\right)  \neq0$ (n\"{a}mlich $\varphi=g\circ\pi$), was zu beweisen
war.}). F\"{u}r ein solches $\varphi$ gilt dann%
\begin{align*}
0  &  \neq d_{\left(  1\right)  }\varphi\left(  d_{\left(  2\right)  }\right)
\in\sum_{i+j=n}\widetilde{C}_{i}\varphi\left(  \widetilde{C}_{j}\right)
=\sum_{\substack{i+j=n,\\j\geq1}}\widetilde{C}_{i}\varphi\left(
\widetilde{C}_{j}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }\varphi\left(
\widetilde{C}_{0}\right)  =0\right) \\
&  \subseteq\widetilde{C}_{n-1},
\end{align*}
aber auch $d_{\left(  1\right)  }\varphi\left(  d_{\left(  2\right)  }\right)
\in D,$ im Widerspruch zu $D\cap\widetilde{C}_{n-1}=0.$ Dieser Widerspruch
zeigt, da\ss \ unsere Annahme $D\cap\widetilde{C}_{0}=0$ falsch war. Es
mu\ss \ also $D\cap\widetilde{C}_{0}\neq0$ gelten.

Wir haben also gezeigt: F\"{u}r jede Untercoalgebra $0\neq D\subseteq C$ ist
$D\cap\widetilde{C}_{0}\neq0.$

F\"{u}r jede einfache Untercoalgebra $D$ von $C$ ist somit $D\cap
\widetilde{C}_{0}\neq0$ (denn da $D$ einfach ist, gilt $0\neq D$).

Hieraus folgt schnell: F\"{u}r jede einfache Untercoalgebra $D$ von $C$ ist
$D\subseteq\widetilde{C}_{0}$.\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Sei $D$ eine
einfache Untercoalgebra von $C$. Wie wir wissen, ist dann $D\cap
\widetilde{C}_{0}\neq0$. Nun sind $D$ und $\widetilde{C}_{0}$ aber
Untercoalgebren von $C;$ also mu\ss \ (nach \"{U}bungsblatt 8 Aufgabe 2) auch
$D\cap\widetilde{C}_{0}$ eine Untercoalgebra von $C$ sein. Daraus folgt
$D\cap\widetilde{C}_{0}=D$ (denn da $D$ einfach ist, ist die einzige von $0$
verschiedene Untercoalgebra von $D$ die Coalgebra $D$ selber). Das hei\ss t,
$D\subseteq\widetilde{C}_{0}$, qed.} Nach der Definition von $C_{0}$ bedeutet
dies, da\ss \ $C_{0}\subseteq\widetilde{C}_{0}$ ist.

\textbf{Definition:} Sei $I$ eine Menge. Sei $a\in\mathbb{N}^{\left(
I\right)  }.$ (Wir schreiben $a=\left(  a\left(  i\right)  \right)  _{i\in
I};$ dabei ist $a\left(  i\right)  \in\mathbb{N}$ f\"{u}r jedes $i\in I,$ und
$a\left(  i\right)  \neq0$ gilt nur f\"{u}r endlich viele $i\in I.$) Wir
definieren $\left\vert a\right\vert $ als $\left\vert a\right\vert
=\sum\limits_{i\in I}a\left(  i\right)  .$

F\"{u}r alle $a,b\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }$ definiere man ein Element
$a+b\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }$ durch $\left(  a+b\right)  \left(
i\right)  =a\left(  i\right)  +b\left(  i\right)  $ f\"{u}r alle $i\in I.$

\textbf{2.13. Satz:} Sei $\operatorname*{char}k=0,$ und sei $\mathfrak{g}$
eine Liealgebra mit Basis $\left(  x_{i}\right)  _{i\in I},$ wobei $\left(
I,\leq\right)  $ total geordnet ist.

F\"{u}r jedes $a\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }$ definieren wir ein Element
$e_{a}\in U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ durch $e_{a}=\dfrac{x_{i_{1}%
}^{a\left(  i_{1}\right)  }x_{i_{2}}^{a\left(  i_{2}\right)  }...x_{i_{n}%
}^{a\left(  i_{n}\right)  }}{a\left(  i_{1}\right)  !a\left(  i_{2}\right)
!...a\left(  i_{n}\right)  !}$, wobei die Elemente $i_{1},i_{2},...,i_{n}\in
I$ durch die Bedingungen $\left\{  i_{1},i_{2},...,i_{n}\right\}  =\left\{
i\in I\mid a\left(  i\right)  \neq0\right\}  $ und $i_{1}<i_{2}<...<i_{n}$
definiert sind.

\textbf{1)} Dann ist $\left(  e_{a}\right)  _{a\in\mathbb{N}^{\left(
I\right)  }}$ eine $k$-Basis von $U\left(  \mathfrak{g}\right)  .$

\textbf{2)} F\"{u}r alle $a\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }$ gilt
$\Delta\left(  e_{a}\right)  =\sum\limits_{b+c=a}e_{b}\otimes e_{c}.$ Falls
$a\neq0$ ist, dann ist%
\[
\Delta\left(  e_{a}\right)  -e_{a}\otimes1-1\otimes e_{a}=\sum
\limits_{\substack{b+c=a;\\b,c\neq0}}e_{b}\otimes e_{c}.
\]


\textbf{3)} F\"{u}r jede Bialgebra $H$ und f\"{u}r jeden injektiven
Liealgebrahomomorphismus $\varphi:\mathfrak{g}\rightarrow P\left(  H\right)  $
ist der (nach der universellen Eigenschaft von $U\left(  \mathfrak{g}\right)
$) induzierte Bialgebrahomomorphismus $\psi:U\left(  \mathfrak{g}\right)
\rightarrow H,$ f\"{u}r den das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
\mathfrak{g} \ar[r]^{\varphi} \ar@{^{(}->}[dr] & P\left(H\right) \ar[r]^{\text{Inklusion}} & H \\
& U\left(\mathfrak{g}\right) \ar@{.>}[ru]_{\psi} &
}
\]
kommutativ ist, injektiv.

\textbf{4)} Die Algebra $k\left[  \left[  T_{i}\mid i\in I\right]  \right]  $
(ein Potenzreihenring in den Unbestimmten $T_{i}$ mit $i\in I$) ist isomorph
zur Algebra $U\left(  \mathfrak{g}\right)  ^{\ast}.$

\textbf{5)} Es gilt $P\left(  U\left(  \mathfrak{g}\right)  \right)
=\mathfrak{g}.$

\textbf{2.14. Satz:} Sei $\mathfrak{g}$ eine Liealgebra. Dann ist $U\left(
\mathfrak{g}\right)  $ eine cokommutative irreduzible
Hopfalgebra.\footnote{\textit{Hinweis:} Hier und im Folgenden verstehen wir
unter einer "irreduziblen Hopfalgebra" stets eine Hopfalgebra, die als
Coalgebra irreduzibel ist.}

\textit{Beweis von 2.13.:} \textbf{1)} Klar nach Satz 2.1. (Satz von Poincar\'{e}-Birkhoff-Witt).

\textbf{2)} Sei $a\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }$ beliebig.

Seien $i_{1},i_{2},...,i_{n}\in I$ so definiert, da\ss \ $\left\{  i_{1}%
,i_{2},...,i_{n}\right\}  =\left\{  i\in I\mid a\left(  i\right)
\neq0\right\}  $ und $i_{1}<i_{2}<...<i_{n}.$ Sei $r_{l}=a\left(
i_{l}\right)  $ f\"{u}r alle $l.$ Dann ist $e_{a}=\dfrac{x_{i_{1}}^{a\left(
i_{1}\right)  }x_{i_{2}}^{a\left(  i_{2}\right)  }...x_{i_{n}}^{a\left(
i_{n}\right)  }}{a\left(  i_{1}\right)  !a\left(  i_{2}\right)  !...a\left(
i_{n}\right)  !}=\dfrac{x_{i_{1}}^{r_{1}}x_{i_{2}}^{r_{2}}...x_{i_{n}}^{r_{n}%
}}{r_{1}!r_{2}!...r_{n}!}$ (denn $a\left(  i_{l}\right)  =r_{l}$ f\"{u}r alle
$l$).

Definiere eine Menge $\mathfrak{S}$ durch
\[
\mathfrak{S}=\left\{  \left(  \mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)
\in\mathbb{N}^{n}\ \mid\ \mu_{l}\leq r_{l}\text{ f\"{u}r alle }l\in\left\{
1,2,...,n\right\}  \right\}  .
\]


Wir werden nun zeigen, da\ss
\[
\sum\limits_{b+c=a}e_{b}\otimes e_{c}=\sum_{\left(  \mu_{1},\mu_{2}%
,...,\mu_{n}\right)  \in\mathfrak{S}}\dfrac{x_{i_{1}}^{\mu_{1}}}{\mu_{1}%
!}\cdot\dfrac{x_{i_{2}}^{\mu_{2}}}{\mu_{2}!}\cdot...\cdot\dfrac{x_{i_{n}}%
^{\mu_{n}}}{\mu_{n}!}\otimes\dfrac{x_{i_{1}}^{r_{1}-\mu_{1}}}{\left(
r_{1}-\mu_{1}\right)  !}\cdot\dfrac{x_{i_{2}}^{r_{2}-\mu_{2}}}{\left(
r_{2}-\mu_{2}\right)  !}\cdot...\cdot\dfrac{x_{i_{n}}^{r_{n}-\mu_{n}}}{\left(
r_{n}-\mu_{n}\right)  !}%
\]
ist.

Wir definieren eine Abbildung $\mathfrak{b}:\mathfrak{S}\rightarrow
\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }$ folgenderma\ss en: F\"{u}r jedes $\left(
\mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  \in\mathfrak{S}$ sei $\mathfrak{b}\left(
\mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  \in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }$
definiert durch%
\[
\left(  \mathfrak{b}\left(  \mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  \right)
\left(  i\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
0\text{, wenn }i\notin I;\\
\mu_{l}\text{, wenn }i=i_{l}\text{ f\"{u}r irgendein }l\in\left\{
1,2,...,n\right\}
\end{array}
\right.  .
\]


Wir definieren eine Abbildung $\mathfrak{c}:\mathfrak{S}\rightarrow
\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }$ folgenderma\ss en: F\"{u}r jedes $\left(
\mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  \in\mathfrak{S}$ sei $\mathfrak{c}\left(
\mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  \in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }$
definiert durch%
\[
\left(  \mathfrak{c}\left(  \mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  \right)
\left(  i\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
0\text{, wenn }i\notin I;\\
r_{l}-\mu_{l}\text{, wenn }i=i_{l}\text{ f\"{u}r irgendein }l\in\left\{
1,2,...,n\right\}
\end{array}
\right.  .
\]


Es ist leicht einzusehen, da\ss \ f\"{u}r jedes $\left(  \mu_{1},\mu
_{2},...,\mu_{n}\right)  \in\mathfrak{S}$ gilt: $\mathfrak{b}\left(  \mu
_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  +\mathfrak{c}\left(  \mu_{1},\mu_{2}%
,...,\mu_{n}\right)  =a$. Die Abbildung%
\begin{align*}
\mathfrak{S}  &  \rightarrow\left\{  \left(  b,c\right)  \in\mathbb{N}%
^{\left(  I\right)  }\times\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }\ \mid
\ b+c=a\right\}  ,\\
\left(  \mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)   &  \mapsto\left(  \mathfrak{b}%
\left(  \mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  ,\mathfrak{c}\left(  \mu_{1}%
,\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  \right)
\end{align*}
ist somit wohldefiniert. Diese Abbildung ist au\ss erdem eine Bijektion, wie
man leicht erkennt.\footnote{\textit{Beweis:} F\"{u}r jedes Paar $\left(
b,c\right)  \in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }\times\mathbb{N}^{\left(
I\right)  }$ mit $b+c=a$ gibt es genau ein $\left(  \mu_{1},\mu_{2}%
,...,\mu_{n}\right)  \in\mathfrak{S}$, welches $\left(  b,c\right)  =\left(
\mathfrak{b}\left(  \mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  ,\mathfrak{c}\left(
\mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  \right)  $ erf\"{u}llt (n\"{a}mlich ist
dieses $\left(  \mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  $ durch%
\[
\mu_{l}=b\left(  i_{l}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }%
l\in\left\{  1,2,...,n\right\}
\]
gegeben). Somit ist die Abbildung%
\begin{align*}
\mathfrak{S}  &  \rightarrow\left\{  \left(  b,c\right)  \in\mathbb{N}%
^{\left(  I\right)  }\times\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }\ \mid
\ b+c=a\right\}  ,\\
\left(  \mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)   &  \mapsto\left(  \mathfrak{b}%
\left(  \mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  ,\mathfrak{c}\left(  \mu_{1}%
,\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  \right)
\end{align*}
bijektiv.} Somit k\"{o}nnen wir in der Summe $\sum\limits_{b+c=a}e_{b}\otimes
e_{c}$ die Substitution $\left(  b,c\right)  \mapsto\left(  \mathfrak{b}%
\left(  \mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  ,\mathfrak{c}\left(  \mu_{1}%
,\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  \right)  $ durchf\"{u}hren, und erhalten%
\[
\sum\limits_{b+c=a}e_{b}\otimes e_{c}=\sum\limits_{\left(  \mu_{1},\mu
_{2},...,\mu_{n}\right)  \in\mathfrak{S}}e_{\mathfrak{b}\left(  \mu_{1}%
,\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  }\otimes e_{\mathfrak{c}\left(  \mu_{1},\mu
_{2},...,\mu_{n}\right)  }.
\]
Doch f\"{u}r jedes $\left(  \mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  \in
\mathfrak{S}$ ist%
\begin{align*}
e_{\mathfrak{b}\left(  \mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  }  &
=\dfrac{x_{i_{1}}^{\mu_{1}}x_{i_{2}}^{\mu_{2}}...x_{i_{n}}^{\mu_{n}}}{\mu
_{1}!\mu_{2}!...\mu_{n}!}=\dfrac{x_{i_{1}}^{\mu_{1}}}{\mu_{1}!}\cdot
\dfrac{x_{i_{2}}^{\mu_{2}}}{\mu_{2}!}\cdot...\cdot\dfrac{x_{i_{n}}^{\mu_{n}}%
}{\mu_{n}!}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\\
e_{\mathfrak{c}\left(  \mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  }  &
=\dfrac{x_{i_{1}}^{r_{1}-\mu_{1}}x_{i_{2}}^{r_{2}-\mu_{2}}...x_{i_{n}}%
^{r_{n}-\mu_{n}}}{\left(  r_{1}-\mu_{1}\right)  !\left(  r_{2}-\mu_{2}\right)
!...\left(  r_{n}-\mu_{n}\right)  !}=\dfrac{x_{i_{1}}^{r_{1}-\mu_{1}}}{\left(
r_{1}-\mu_{1}\right)  !}\cdot\dfrac{x_{i_{2}}^{r_{2}-\mu_{2}}}{\left(
r_{2}-\mu_{2}\right)  !}\cdot...\cdot\dfrac{x_{i_{n}}^{r_{n}-\mu_{n}}}{\left(
r_{n}-\mu_{n}\right)  !}.
\end{align*}
Somit haben wir%
\begin{align*}
\sum\limits_{b+c=a}e_{b}\otimes e_{c}  &  =\sum\limits_{\left(  \mu_{1}%
,\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  \in\mathfrak{S}}\underbrace{e_{\mathfrak{b}%
\left(  \mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  }}_{=\dfrac{x_{i_{1}}^{\mu_{1}}%
}{\mu_{1}!}\cdot\dfrac{x_{i_{2}}^{\mu_{2}}}{\mu_{2}!}\cdot...\cdot
\dfrac{x_{i_{n}}^{\mu_{n}}}{\mu_{n}!}}\otimes\underbrace{e_{\mathfrak{c}%
\left(  \mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  }}_{=\dfrac{x_{i_{1}}^{r_{1}%
-\mu_{1}}}{\left(  r_{1}-\mu_{1}\right)  !}\cdot\dfrac{x_{i_{2}}^{r_{2}%
-\mu_{2}}}{\left(  r_{2}-\mu_{2}\right)  !}\cdot...\cdot\dfrac{x_{i_{n}%
}^{r_{n}-\mu_{n}}}{\left(  r_{n}-\mu_{n}\right)  !}}\\
&  =\sum_{\left(  \mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  \in\mathfrak{S}}%
\dfrac{x_{i_{1}}^{\mu_{1}}}{\mu_{1}!}\cdot\dfrac{x_{i_{2}}^{\mu_{2}}}{\mu
_{2}!}\cdot...\cdot\dfrac{x_{i_{n}}^{\mu_{n}}}{\mu_{n}!}\otimes\dfrac
{x_{i_{1}}^{r_{1}-\mu_{1}}}{\left(  r_{1}-\mu_{1}\right)  !}\cdot
\dfrac{x_{i_{2}}^{r_{2}-\mu_{2}}}{\left(  r_{2}-\mu_{2}\right)  !}%
\cdot...\cdot\dfrac{x_{i_{n}}^{r_{n}-\mu_{n}}}{\left(  r_{n}-\mu_{n}\right)
!}.
\end{align*}


Da $\Delta$ ein Algebrahomomorphismus ist, gilt nun%
\begin{align*}
&  \Delta\left(  e_{a}\right)  =\dfrac{\Delta\left(  x_{i_{1}}\right)
^{r_{1}}\Delta\left(  x_{i_{2}}\right)  ^{r_{2}}...\Delta\left(  x_{i_{n}%
}\right)  ^{r_{n}}}{r_{1}!r_{2}!...r_{n}!}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{denn }e_{a}=\dfrac{x_{i_{1}}^{r_{1}}x_{i_{2}}^{r_{2}}...x_{i_{n}}%
^{r_{n}}}{r_{1}!r_{2}!...r_{n}!}\right) \\
&  =\dfrac{\Delta\left(  x_{i_{1}}\right)  ^{r_{1}}}{r_{1}!}\dfrac
{\Delta\left(  x_{i_{2}}\right)  ^{r_{2}}}{r_{2}!}...\dfrac{\Delta\left(
x_{i_{n}}\right)  ^{r_{n}}}{r_{n}!}\\
&  =\dfrac{\sum\limits_{\mu_{1}=0}^{r_{1}}\dbinom{r_{1}}{\mu_{1}}x_{i_{1}%
}^{\mu_{1}}\otimes x_{i_{1}}^{r_{1}-\mu_{1}}}{r_{1}!}\cdot\dfrac
{\sum\limits_{\mu_{2}=0}^{r_{2}}\dbinom{r_{2}}{\mu_{2}}x_{i_{2}}^{\mu_{2}%
}\otimes x_{i_{2}}^{r_{2}-\mu_{2}}}{r_{2}!}\cdot...\cdot\dfrac{\sum
\limits_{\mu_{n}=0}^{r_{n}}\dbinom{r_{n}}{\mu_{n}}x_{i_{n}}^{\mu_{n}}\otimes
x_{i_{n}}^{r_{n}-\mu_{n}}}{r_{n}!}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn f\"{u}r alle }i\in I\text{ ist }\Delta\left(  x_{i}\right)
=x_{i}\otimes1+1\otimes x_{i}\text{, und f\"{u}r alle}\\
l\in\left\{  1,2,...,n\right\}  \text{ gilt folglich}\\
\Delta\left(  x_{i_{l}}\right)  ^{r_{l}}=\left(  x_{i_{l}}\otimes1+1\otimes
x_{i_{l}}\right)  ^{r_{l}}=\sum\limits_{\mu_{l}=0}^{r_{l}}\dbinom{r_{l}}%
{\mu_{l}}x_{i_{l}}^{\mu_{l}}\otimes x_{i_{l}}^{r_{l}-\mu_{l}}\\
\text{(nach der binomischen Formel)}%
\end{array}
\right) \\
&  =\left(  \sum\limits_{\mu_{1}=0}^{r_{1}}\dfrac{x_{i_{1}}^{\mu_{1}}}{\mu
_{1}!}\otimes\dfrac{x_{i_{1}}^{r_{1}-\mu_{1}}}{\left(  r_{1}-\mu_{1}\right)
!}\right)  \cdot\sum\limits_{\mu_{2}=0}^{r_{2}}\left(  \dfrac{x_{i_{2}}%
^{\mu_{2}}}{\mu_{2}!}\otimes\dfrac{x_{i_{2}}^{r_{2}-\mu_{2}}}{\left(
r_{2}-\mu_{2}\right)  !}\right)  \cdot...\cdot\sum\limits_{\mu_{n}=0}^{r_{n}%
}\left(  \dfrac{x_{i_{n}}^{\mu_{n}}}{\mu_{n}!}\otimes\dfrac{x_{i_{n}}%
^{r_{n}-\mu_{n}}}{\left(  r_{n}-\mu_{n}\right)  !}\right) \\
&  =\sum_{\left(  \mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  \in\mathfrak{S}}\left(
\dfrac{x_{i_{1}}^{\mu_{1}}}{\mu_{1}!}\otimes\dfrac{x_{i_{1}}^{r_{1}-\mu_{1}}%
}{\left(  r_{1}-\mu_{1}\right)  !}\right)  \cdot\left(  \dfrac{x_{i_{2}}%
^{\mu_{2}}}{\mu_{2}!}\otimes\dfrac{x_{i_{2}}^{r_{2}-\mu_{2}}}{\left(
r_{2}-\mu_{2}\right)  !}\right)  \cdot...\cdot\left(  \dfrac{x_{i_{n}}%
^{\mu_{n}}}{\mu_{n}!}\otimes\dfrac{x_{i_{n}}^{r_{n}-\mu_{n}}}{\left(
r_{n}-\mu_{n}\right)  !}\right) \\
&  =\sum_{\left(  \mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n}\right)  \in\mathfrak{S}}%
\dfrac{x_{i_{1}}^{\mu_{1}}}{\mu_{1}!}\cdot\dfrac{x_{i_{2}}^{\mu_{2}}}{\mu
_{2}!}\cdot...\cdot\dfrac{x_{i_{n}}^{\mu_{n}}}{\mu_{n}!}\otimes\dfrac
{x_{i_{1}}^{r_{1}-\mu_{1}}}{\left(  r_{1}-\mu_{1}\right)  !}\cdot
\dfrac{x_{i_{2}}^{r_{2}-\mu_{2}}}{\left(  r_{2}-\mu_{2}\right)  !}%
\cdot...\cdot\dfrac{x_{i_{n}}^{r_{n}-\mu_{n}}}{\left(  r_{n}-\mu_{n}\right)
!}=\sum\limits_{b+c=a}e_{b}\otimes e_{c}.
\end{align*}
Falls $a\neq0$ ist, folgt hieraus $\Delta\left(  e_{a}\right)  -e_{a}%
\otimes1-1\otimes e_{a}=\sum\limits_{\substack{b+c=a;\\b,c\neq0}}e_{b}\otimes
e_{c}$.

\textbf{3)} Nach \textbf{1)} gen\"{u}gt es zu zeigen, da\ss \ $\left(
\psi\left(  e_{a}\right)  \right)  _{a\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }}$ ein
linear unabh\"{a}ngiges System ist. Um dies zu beweisen, werden wir durch
Induktion nach $n$ nachweisen, da\ss \ $\left(  \psi\left(  e_{a}\right)
\right)  _{\left\vert a\right\vert \leq n}$ ein linear unabh\"{a}ngiges System
ist f\"{u}r jedes $n\geq0.$

\textit{Induktionsanfang:} F\"{u}r $n=1$ folgt dies aus der Injektivit\"{a}t
von $\varphi$ (sowie daraus, da\ss \ $1\in H$ kein primitives Element ist).

\textit{Induktionsschritt von }$n-1$ \textit{auf }$n$\textit{:} Sei $n\geq2$.
Wir nehmen an, da\ss \ $\left(  \psi\left(  e_{a}\right)  \right)
_{\left\vert a\right\vert \leq n}$ linear abh\"{a}ngig ist. Dann gibt es ein
$r_{a}\in k$ f\"{u}r jedes $a\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }$ mit
$\left\vert a\right\vert =n$ sowie ein $s_{b}\in k$ f\"{u}r jedes
$b\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }$ mit $\left\vert b\right\vert <n$ so,
da\ss \ gilt:%
\[
\sum\limits_{\left\vert a\right\vert =n}r_{a}\psi\left(  e_{a}\right)
=\sum\limits_{\left\vert b\right\vert <n}s_{b}\psi\left(  e_{b}\right)  ,
\]
und dabei gibt es ein $a\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }$ mit $\left\vert
a\right\vert =n$ und $r_{a}\neq0$ (denn sonst w\"{a}re bereits das System
$\left(  \psi\left(  e_{a}\right)  \right)  _{\left\vert a\right\vert \leq
n-1}$ linear abh\"{a}ngig, aber dies widerspr\"{a}che der
Induktionsvoraussetzung). Wir bezeichnen%
\[
h=\sum\limits_{\left\vert a\right\vert =n}r_{a}\psi\left(  e_{a}\right)
=\sum\limits_{\left\vert b\right\vert <n}s_{b}\psi\left(  e_{b}\right)  .
\]
Wenden wir nun die Abbildung
\[
H\rightarrow H\otimes H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto\Delta\left(  x\right)
-x\otimes1-1\otimes x
\]
auf diese Gleichung an, dann erhalten wir%
\begin{align*}
\Delta\left(  h\right)  -h\otimes1-1\otimes h  &  =\sum_{\left\vert
a\right\vert =n}r_{a}\left(  \Delta\left(  \psi\left(  e_{a}\right)  \right)
-\psi\left(  e_{a}\right)  \otimes1-1\otimes\psi\left(  e_{a}\right)  \right)
\\
&  =\sum_{\left\vert b\right\vert <n}s_{b}\left(  \Delta\left(  \psi\left(
e_{b}\right)  \right)  -\psi\left(  e_{b}\right)  \otimes1-1\otimes\psi\left(
e_{b}\right)  \right)  .
\end{align*}
Wegen%
\begin{align*}
&  \underbrace{\Delta\left(  \psi\left(  e_{a}\right)  \right)  }%
_{\substack{=\left(  \psi\otimes\psi\right)  \left(  \Delta\left(
e_{a}\right)  \right)  \\\text{(denn }\psi\text{ ist ein}%
\\\text{Coalgebrahomomorphismus)}}}-\psi\left(  e_{a}\right)  \otimes
\underbrace{1}_{=\psi\left(  1\right)  }-\underbrace{1}_{=\psi\left(
1\right)  }\otimes\psi\left(  e_{a}\right) \\
&  =\left(  \psi\otimes\psi\right)  \left(  \Delta\left(  e_{a}\right)
\right)  -\psi\left(  e_{a}\right)  \otimes\psi\left(  1\right)  -\psi\left(
1\right)  \otimes\psi\left(  e_{a}\right) \\
&  =\left(  \psi\otimes\psi\right)  \left(  \Delta\left(  e_{a}\right)
-e_{a}\otimes1-1\otimes e_{a}\right)  =\left(  \psi\otimes\psi\right)  \left(
\sum\limits_{\substack{b+c=a;\\b,c\neq0}}e_{b}\otimes e_{c}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{gem\"{a}\ss \ der Formel }\Delta\left(  e_{a}\right)  -e_{a}%
\otimes1-1\otimes e_{a}=\sum\limits_{\substack{b+c=a;\\b,c\neq0}}e_{b}\otimes
e_{c}\text{, die wir}\\
\text{in \textbf{2)} bewiesen haben}%
\end{array}
\right) \\
&  =\sum\limits_{\substack{b+c=a;\\b,c\neq0}}\psi\left(  e_{b}\right)
\otimes\psi\left(  e_{c}\right)  =\sum_{\substack{r+s=a,\\r,s\neq0}%
}\psi\left(  e_{r}\right)  \otimes\psi\left(  e_{s}\right)
\end{align*}
und%
\[
\Delta\left(  \psi\left(  e_{b}\right)  \right)  -\psi\left(  e_{b}\right)
\otimes1-1\otimes\psi\left(  e_{b}\right)  =\sum_{\substack{p+q=b,\\p,q\neq
0}}\psi\left(  e_{p}\right)  \otimes\psi\left(  e_{q}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{aus analogem Grund}\right)
\]
vereinfacht sich dies zu%
\[
\Delta\left(  h\right)  -h\otimes1-1\otimes h=\sum_{\left\vert a\right\vert
=n}r_{a}\sum_{\substack{r+s=a,\\r,s\neq0}}\psi\left(  e_{r}\right)
\otimes\psi\left(  e_{s}\right)  =\sum_{\left\vert b\right\vert <n}s_{b}%
\sum_{\substack{p+q=b,\\p,q\neq0}}\psi\left(  e_{p}\right)  \otimes\psi\left(
e_{q}\right)  .
\]
Mit anderen Worten:%
\[
\Delta\left(  h\right)  -h\otimes1-1\otimes h=\sum\limits_{\substack{r,s\in
\mathbb{N}^{\left(  I\right)  },\\\left\vert r+s\right\vert =n,\\r,s\neq
0}}r_{r+s}\psi\left(  e_{r}\right)  \otimes\psi\left(  e_{s}\right)
=\sum\limits_{\substack{p,q\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  },\\\left\vert
p+q\right\vert <n,\\p,q\neq0}}s_{p+q}\psi\left(  e_{p}\right)  \otimes
\psi\left(  e_{q}\right)  .
\]
Nach Induktionsvoraussetzung ist aber die Familie $\left(  \psi\left(
e_{a}\right)  \right)  _{\left\vert a\right\vert <n}$ linear unabh\"{a}ngig.
Folglich ist auch die Familie $\left(  \psi\left(  e_{b}\right)  \otimes
\psi\left(  e_{c}\right)  \right)  _{\left\vert b\right\vert <n,\ \left\vert
c\right\vert <n}$ von Tensoren in $H\otimes H$ linear unabh\"{a}ngig. Also
sind alle $\psi\left(  e_{r}\right)  \otimes\psi\left(  e_{s}\right)  $ mit
$\left\vert r+s\right\vert =n$ und $r,s\neq0$ und alle $\psi\left(
e_{p}\right)  \otimes\psi\left(  e_{q}\right)  $ mit $\left\vert
p+q\right\vert <n$ und $p,q\neq0$ linear unabh\"{a}ngig (und zwar unter sich
und untereinander). Die beiden Summen $\sum\limits_{\substack{r,s\in
\mathbb{N}^{\left(  I\right)  },\\\left\vert r+s\right\vert =n,\\r,s\neq
0}}r_{r+s}\psi\left(  e_{r}\right)  \otimes\psi\left(  e_{s}\right)  $ und
$\sum\limits_{\substack{p,q\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  },\\\left\vert
p+q\right\vert <n,\\p,q\neq0}}s_{p+q}\psi\left(  e_{p}\right)  \otimes
\psi\left(  e_{q}\right)  $ k\"{o}nnen folglich nur dann gleich sein, wenn
alle in diesen Summen vorkommenden Koeffizienten $r_{r+s}$ und $s_{p+q}$
gleich $0$ sind. Aus
\[
\sum\limits_{\substack{r,s\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  },\\\left\vert
r+s\right\vert =n,\\r,s\neq0}}r_{r+s}\psi\left(  e_{r}\right)  \otimes
\psi\left(  e_{s}\right)  =\sum\limits_{\substack{p,q\in\mathbb{N}^{\left(
I\right)  },\\\left\vert p+q\right\vert <n,\\p,q\neq0}}s_{p+q}\psi\left(
e_{p}\right)  \otimes\psi\left(  e_{q}\right)
\]
folgt somit, da\ss \ alle in diesen Summen vorkommenden Koeffizienten
$r_{r+s}$ und $s_{p+q}$ gleich $0$ sind. Das hei\ss t insbesondere:
$r_{r+s}=0$ f\"{u}r alle $r\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }$ und
$s\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }$ mit $\left\vert r+s\right\vert =n$ und
$r,s\neq0$. Hieraus ergibt sich $r_{a}=0$ f\"{u}r alle $a\in\mathbb{N}%
^{\left(  I\right)  }$ mit $\left\vert a\right\vert =n$ (denn f\"{u}r jedes
$a\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }$ mit $\left\vert a\right\vert =n$ gibt es
zwei Elemente $r\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }$ und $s\in\mathbb{N}%
^{\left(  I\right)  }$ mit $\left\vert r+s\right\vert =n$ und $r,s\neq0$, die
$r+s=a$ erf\"{u}llen\footnote{Dies folgt aus $n\geq2$.}). Dies ist ein
Widerspruch dazu, da\ss \ es ein $a\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }$ gibt
mit $\left\vert a\right\vert =n$ und $r_{a}\neq0$.

\textbf{4)} Wir definieren eine $k$-lineare Abbildung%
\begin{align*}
U\left(  \mathfrak{g}\right)  ^{\ast}  &  \rightarrow k\left[  \left[
T_{i}\mid i\in I\right]  \right]  ,\\
f  &  \mapsto\sum_{a\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }}f\left(  e_{a}\right)
T^{a},
\end{align*}
wobei $T^{a}=T_{i_{1}}^{a\left(  i_{1}\right)  }T_{i_{2}}^{a\left(
i_{2}\right)  }...T_{i_{n}}^{a\left(  i_{n}\right)  }$ f\"{u}r $\left\{
i_{1},i_{2},...,i_{n}\right\}  =\left\{  i\in I\mid a\left(  i\right)
\neq0\right\}  $ mit $i_{1}<i_{2}<...<i_{n}$ ist.

Diese Abbildung ist ein Algebrahomomorphismus nach \textbf{2)} und ein
$k$-Vektorraumisomorphismus nach \textbf{1)}. Also ist sie ein
Algebraisomorphismus. Daraus folgt $U\left(  \mathfrak{g}\right)  ^{\ast}\cong
k\left[  \left[  T_{i}\mid i\in I\right]  \right]  $ als $k$-Algebren.

\textbf{5)} Sei $x=\sum\limits_{a\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }}r_{a}%
e_{a}\in U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ mit $r_{a}\in k$ f\"{u}r alle
$a\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }.$ Sei $x$ primitiv. Wir m\"{u}ssen dann
zeigen, da\ss \ $x\in\mathfrak{g}$ ist.

In der Tat ist $\Delta\left(  x\right)  =x\otimes1+1\otimes x$. Wegen
$x=\sum\limits_{a\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }}r_{a}e_{a}$ wird dies zu
$\sum\limits_{a\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }}r_{a}\Delta\left(
e_{a}\right)  =\sum\limits_{a\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }}r_{a}%
e_{a}\otimes1+\sum\limits_{a\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }}r_{a}1\otimes
e_{a}$. Wegen $\Delta\left(  e_{a}\right)  =\sum\limits_{\substack{b,c\in
\mathbb{N}^{\left(  I\right)  },\\b+c=a}}e_{b}\otimes e_{c}$ und $1=e_{0}$
l\"{a}\ss t sich dies zu%
\[
\sum\limits_{a\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }}\sum\limits_{\substack{b,c\in
\mathbb{N}^{\left(  I\right)  },\\b+c=a}}r_{a}e_{b}\otimes e_{c}%
=\sum\limits_{a\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }}r_{a}e_{a}\otimes e_{0}%
+\sum\limits_{a\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }}r_{a}e_{0}\otimes e_{a}%
\]
umformen. Also ist $r_{a}=0$ f\"{u}r alle $a\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)
}$ mit $\left\vert a\right\vert >1$ (denn f\"{u}r jedes solche $a$ gibt es
$b,c\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  }$ mit $b+c=a$ und $\left\vert
b\right\vert ,\left\vert c\right\vert >0;$ und dann kommt der Vektor
$e_{b}\otimes e_{c}$ nur auf der linken Seite, aber nicht auf der rechten
Seite der Gleichung vor). Also ist $x=\sum\limits_{\substack{a\in
\mathbb{N}^{\left(  I\right)  },\\\left\vert a\right\vert \leq1}}r_{a}e_{a}.$
Nach Anwendung von $\varepsilon$ folgt hieraus $r_{0}=0$ (denn da $x$ primitiv
ist, gilt $\varepsilon\left(  x\right)  =0$), also $x=\sum
\limits_{\substack{a\in\mathbb{N}^{\left(  I\right)  },\\\left\vert
a\right\vert =1}}r_{a}e_{a},$ und damit $x\in\mathfrak{g}.$

\textit{Beweis von 2.14.:} Folgt aus der Filtrierung $\left(  U_{n}\left(
\mathfrak{g}\right)  \right)  $ und 2.12., da $U_{0}\left(  \mathfrak{g}%
\right)  $ eindimensional ist (das hei\ss t, $k\cdot1$ ist die einzige
einfache Untercoalgebra von $U\left(  \mathfrak{g}\right)  $).

\bigskip

\begin{center}
\fbox{\textbf{3. Irreduzible cokommutative Hopfalgebren in Charakteristik }%
$0$}
\end{center}

Unser n\"{a}chstes Ziel ist nun der Beweis eines Satzes, der alle\textit{
irreduziblen} cokommutativen Hopfalgebren in Charakteristik $0$ charakterisiert:

\textbf{3.1. Satz:} Sei $\operatorname*{char}k=0.$ Dann sind die Funktoren%
\begin{align*}
\left\{  \mathfrak{g}\ \mid\ \mathfrak{g}\text{ Liealgebra}\right\}   &
\rightarrow\left\{  H\ \mid\ H\text{ irreduzible cokommutative Hopfalgebra}%
\right\}  ,\\
\mathfrak{g}  &  \mapsto U\left(  \mathfrak{g}\right)
\end{align*}
und%
\begin{align*}
\left\{  H\ \mid\ H\text{ irreduzible cokommutative Hopfalgebra}\right\}   &
\rightarrow\left\{  \mathfrak{g}\ \mid\ \mathfrak{g}\text{ Liealgebra}%
\right\}  ,\\
H  &  \mapsto P\left(  H\right)
\end{align*}
zueinander quasiinverse \"{A}quivalenzen von Kategorien.

\textit{Beweis von 3.1.:} \textbf{1)} Nach 2.13. \textbf{5)} gilt: F\"{u}r
jede Liealgebra $\mathfrak{g}$ ist $\mathfrak{g}\rightarrow P\left(  U\left(
\mathfrak{g}\right)  \right)  $ ein nat\"{u}rlicher Isomorphismus von Liealgebren.

\textbf{2)} Nun werden wir zeigen: Ist $H$ eine irreduzible cokommutative
Hopfalgebra, so gibt es einen nat\"{u}rlichen Isomorphismus $U\left(  P\left(
H\right)  \right)  \rightarrow H$ von Hopfalgebren.

\textit{Beweis:} Nach der universellen Eigenschaft von $U\left(  P\left(
H\right)  \right)  $ (also nach Folgerung 1.10. \textbf{2)}, angewandt auf
$P\left(  H\right)  $ und $\operatorname*{id}$ statt $\mathfrak{g}$ und $f$)
gibt es einen Bialgebrahomomorphismus $\psi:U\left(  P\left(  H\right)
\right)  \rightarrow H$ mit $\psi\left(  x\right)  =x$ f\"{u}r alle $x\in
P\left(  H\right)  .$ Nach 2.13. \textbf{3)} ist dieser Homomorphismus $\psi$
injektiv. Da $U\left(  P\left(  H\right)  \right)  $ und $H$ Hopfalgebren
sind, ist dieser Bialgebrahomomorphismus $\psi$ ein Hopfalgebrahomomorphismus.

Wir wollen nun beweisen, da\ss \ $\psi$ surjektiv ist. Dazu m\"{u}ssen wir
erst ausholen und einige daf\"{u}r n\"{o}tige Resultate beweisen. Damit werden
wir den gesamten Rest des Abschnittes II.3 verbringen.

\textbf{Definition:} Sei $\mathcal{E}_{k}$ die Kategorie der
endlichdimensionalen cokommutativen $k$-Coalgebren. Sei $\mathcal{C}_{k}$ die
Kategorie aller cokommutativen $k$-Coalgebren.

F\"{u}r jedes $C\in\mathcal{C}_{k}$ sei ein kontravarianter Funktor
$\operatorname*{Cosp}C:\mathcal{E}_{k}^{\operatorname*{op}}\rightarrow
\operatorname*{Me}$ definiert durch%
\begin{align*}
\left(  \operatorname*{Cosp}C\right)  \left(  E\right)   &
=\operatorname*{Coalg}\left(  E,C\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }E\in\mathcal{E}_{k},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{sowie}\\
\left(  \operatorname*{Cosp}C\right)  \left(  f\right)   &  =\left(
\begin{array}
[c]{c}%
\operatorname*{Coalg}\left(  E_{2},C\right)  \rightarrow\operatorname*{Coalg}%
\left(  E_{1},C\right)  ,\\
g\mapsto gf
\end{array}
\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }f\in\mathcal{E}_{k}\left(
E_{1},E_{2}\right)  \text{ f\"{u}r alle }E_{1},E_{2}\in\mathcal{E}_{k}.
\end{align*}


\textbf{3.2. Bemerkung:} \textbf{1)} Wir betrachten ab jetzt Coalgebren nicht
nur (wie vorhin) \"{u}ber einem K\"{o}rper $k,$ sondern auch \"{u}ber
beliebigen kommutativen Ringen $R;$ diese Coalgebren hei\ss en dann
logischerweise $R$\textit{-Coalgebren}. Nat\"{u}rlich gelten dann nicht mehr
alle S\"{a}tze, die wir bislang f\"{u}r Coalgebren \"{u}ber einem K\"{o}rper
$k$ bewiesen haben!\footnote{Aber wenn wir im Folgenden einfach nur
"Coalgebra" (nicht "$T$-Coalgebra" f\"{u}r irgendeinen Ring $T$) schreiben,
meinen wir immer noch eine $k$-Coalgebra! Wenn wir von $T$-Coalgebren f\"{u}r
$T\neq k$ reden, werden wir das $T$ auch immer mitangeben.}

\textbf{a)} Sei $C\in\mathcal{C}_{k},$ und sei $R$ eine kommutative
endlichdimensionale Algebra. Dann ist $R\otimes C$ eine $R$-Coalgebra mit der
Comultiplikation $\Delta_{R\otimes C}:R\otimes C\rightarrow\left(  R\otimes
C\right)  \otimes_{R}\left(  R\otimes C\right)  ,$ die durch das kommutative
Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
R\otimes C \ar[r]^-{\Delta_{R\otimes C}} \ar@/_3pc/[rr]_{\operatorname*{id}\otimes\Delta_C} & \left(R\otimes C\right)\otimes_R \left(R\otimes C\right) \ar[r]^-{\cong} & R\otimes C\otimes C
}
\]
definiert ist, und der Coeins%
\begin{align*}
\varepsilon_{R\otimes C}:R\otimes C  &  \rightarrow R,\\
r\otimes c  &  \mapsto r\varepsilon_{C}\left(  c\right)  .
\end{align*}
(Wir werden im Folgenden \"{o}fters $\Delta$ und $\varepsilon$ statt
$\Delta_{R\otimes C}$ bzw. $\varepsilon_{R\otimes C}$ schreiben, wenn (in
Betracht der Elemente, auf die diese Abbildungen angewendet werden) klar ist,
um was f\"{u}r Abbildungen es geht.) Die Abbildung%
\begin{align*}
\Phi:G\left(  R\otimes C\right)   &  \rightarrow\operatorname*{Coalg}\left(
R^{\ast},C\right)  =\left(  \operatorname*{Cosp}C\right)  \left(  R^{\ast
}\right)  ,\\
\sum_{i}r_{i}\otimes c_{i}  &  \mapsto\left(  f\mapsto\sum_{i}f\left(
r_{i}\right)  c_{i}\right)
\end{align*}
ist eine nat\"{u}rliche Bijektion, wobei die Menge $G\left(  R\otimes
C\right)  $ f\"{u}r die $R$-Coalgebra $R\otimes C$ genauso definiert wird wie
die Menge $G\left(  C\right)  $ f\"{u}r eine $k$-Coalgebra $C$ (also durch%
\begin{align*}
G\left(  R\otimes C\right)   &  =\left\{  g\in R\otimes C\ \mid\ \Delta\left(
g\right)  =g\otimes g,\ \varepsilon\left(  g\right)  =1\right\} \\
&  =\text{Menge aller Gruppenelemente von }R\otimes C
\end{align*}
).

\textbf{b)} Diese Bijektion ist ein nat\"{u}rlicher Isomorphismus von Gruppen,
falls $C=H$ f\"{u}r eine Hopfalgebra $H$ ist, wobei die Gruppenstruktur in
$G\left(  R\otimes H\right)  $ die Multiplikation in der Algebra $R\otimes H$
ist, und die Gruppenstruktur in $\operatorname*{Coalg}\left(  R^{\ast
},H\right)  $ die Konvolution ist.

\textbf{Beweis:} \textbf{a)} Man rechnet leicht nach, da\ss \ $R\otimes C$
eine $R$-Coalgebra ist.

Jetzt wollen wir beweisen, da\ss \ die Abbildung%
\begin{align*}
\Phi:G\left(  R\otimes C\right)   &  \rightarrow\operatorname*{Coalg}\left(
R^{\ast},C\right)  =\left(  \operatorname*{Cosp}C\right)  \left(  R^{\ast
}\right)  ,\\
\sum_{i}r_{i}\otimes c_{i}  &  \mapsto\left(  f\mapsto\sum_{i}f\left(
r_{i}\right)  c_{i}\right)
\end{align*}
wohldefiniert ist (d. h. da\ss \ $\Phi\left(  x\right)  \in
\operatorname*{Coalg}\left(  R^{\ast},C\right)  $ f\"{u}r jedes $x\in G\left(
R\otimes C\right)  $ gilt) und eine nat\"{u}rliche Bijektion ist. Dazu gehen
wir folgenderma\ss en vor:

Wir betrachten die Abbildung:%
\[
\widetilde{\Phi}:R\otimes C\rightarrow\operatorname*{Hom}\left(  R^{\ast
},C\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r\otimes c\mapsto\left(  f\mapsto f\left(
r\right)  c\right)  .
\]
Es ist klar, da\ss \ diese Abbildung $\widetilde{\Phi}$ ein
Vektorraumisomorphismus ist. Jetzt werden wir zeigen, da\ss \ $\widetilde{\Phi
}\left(  G\left(  R\otimes C\right)  \right)  =\operatorname*{Coalg}\left(
R^{\ast},C\right)  $ gilt.

\textit{Beweis:} Sei $x=\sum\limits_{i}r_{i}\otimes c_{i}\in R\otimes C$
beliebig gew\"{a}hlt, und sei $\varphi=\widetilde{\Phi}\left(  x\right)
:R^{\ast}\rightarrow C$.

Wir werden nun nachpr\"{u}fen, da\ss \ $x\in G\left(  R\otimes C\right)  $
genau dann gilt, wenn $\varphi\in\operatorname*{Coalg}\left(  R^{\ast
},C\right)  $ gilt. In der Tat gilt%
\[
\varphi=\widetilde{\Phi}\left(  x\right)  =\widetilde{\Phi}\left(
\sum\limits_{i}r_{i}\otimes c_{i}\right)  =\sum\limits_{i}%
\underbrace{\widetilde{\Phi}\left(  r_{i}\otimes c_{i}\right)  }_{=\left(
f\mapsto f\left(  r_{i}\right)  c_{i}\right)  }=\sum\limits_{i}\left(
f\mapsto f\left(  r_{i}\right)  c_{i}\right)  =\left(  f\mapsto\sum
\limits_{i}f\left(  r_{i}\right)  c_{i}\right)  .
\]
Das hei\ss t, $\varphi\left(  f\right)  =\sum\limits_{i}f\left(  r_{i}\right)
c_{i}$ f\"{u}r jedes $f\in R^{\ast}$. Somit gilt folgende \"{A}quivalenz:%
\begin{align*}
&  \ \left(  \Delta\left(  \underbrace{\varphi\left(  f\right)  }%
_{=\sum\limits_{i}f\left(  r_{i}\right)  c_{i}}\right)  =\underbrace{\varphi
\left(  f_{\left(  1\right)  }\right)  }_{=\sum\limits_{p}f_{\left(  1\right)
}\left(  r_{p}\right)  c_{p}}\otimes\underbrace{\varphi\left(  f_{\left(
2\right)  }\right)  }_{=\sum\limits_{q}f_{\left(  2\right)  }\left(
r_{q}\right)  c_{q}}\ \text{f\"{u}r jedes }f\in R^{\ast}\right) \\
\Longleftrightarrow\  &  \left(  \sum\limits_{i}f\left(  r_{i}\right)
\Delta\left(  c_{i}\right)  =\sum_{p,q}\underbrace{f_{\left(  1\right)
}\left(  r_{p}\right)  f_{\left(  2\right)  }\left(  r_{q}\right)
}_{=f\left(  r_{p}r_{q}\right)  }c_{p}\otimes c_{q}\ \text{f\"{u}r jedes }f\in
R^{\ast}\right) \\
\Longleftrightarrow\  &  \left(  \sum\limits_{i}f\left(  r_{i}\right)
\Delta\left(  c_{i}\right)  =\sum_{p,q}f\left(  r_{p}r_{q}\right)
c_{p}\otimes c_{q}\ \text{f\"{u}r jedes }f\in R^{\ast}\right) \\
\Longleftrightarrow\  &  \left(  \sum_{i}r_{i}\otimes\Delta\left(
c_{i}\right)  =\sum_{p,q}r_{p}r_{q}\otimes c_{p}\otimes c_{q}\right)
\end{align*}
(hierbei haben wir im letzten Schritt Lemma 1.9$\dfrac{\text{2}}{\text{20}}$
von Kapitel I verwendet). Andererseits gilt die \"{A}quivalenz%
\begin{align*}
&  \ \ \left(  \Delta_{R\otimes C}\left(  x\right)  =x\otimes x\right)
\ \ \Longleftrightarrow\ \ \left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes
\Delta\right)  \left(  \sum\limits_{i}r_{i}\otimes c_{i}\right)  =\sum
_{p,q}r_{p}r_{q}\otimes c_{p}\otimes c_{q}\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \ \left(  \sum_{i}r_{i}\otimes\Delta\left(
c_{i}\right)  =\sum_{p,q}r_{p}r_{q}\otimes c_{p}\otimes c_{q}\right)  .
\end{align*}
Somit gilt die \"{A}quivalenz%
\begin{align*}
&  \ \ \left(  \Delta\left(  \varphi\left(  f\right)  \right)  =\varphi\left(
f_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes\varphi\left(  f_{\left(  2\right)
}\right)  \ \text{f\"{u}r jedes }f\in R^{\ast}\right) \\
\  &  \Longleftrightarrow\ \left(  \sum_{i}r_{i}\otimes\Delta\left(
c_{i}\right)  =\sum_{p,q}r_{p}r_{q}\otimes c_{p}\otimes c_{q}\right)
\ \Longleftrightarrow\ \left(  \Delta_{R\otimes C}\left(  x\right)  =x\otimes
x\right)  .
\end{align*}
Ferner gilt die \"{A}quivalenz%
\begin{align*}
&  \ \ \left(  \varepsilon\left(  \varphi\left(  f\right)  \right)
=\varepsilon_{R^{\ast}}\left(  f\right)  \text{ f\"{u}r jedes }f\in R^{\ast
}\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \ \left(  \varepsilon\left(  \sum_{i}f\left(
r_{i}\right)  c_{i}\right)  =f\left(  1\right)  \text{ f\"{u}r jedes }f\in
R^{\ast}\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \ \left(  \sum_{i}f\left(  r_{i}\right)
\varepsilon\left(  c_{i}\right)  =f\left(  1\right)  \text{ f\"{u}r jedes
}f\in R^{\ast}\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \ \left(  \sum_{i}r_{i}\otimes\varepsilon\left(
c_{i}\right)  =1\right)  \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \left(  \varepsilon
_{R\otimes C}\left(  x\right)  =1\right)  .
\end{align*}
Aus den letzten zwei \"{A}quivalenzen folgt, da\ss \ $x\in G\left(  R\otimes
C\right)  $ genau dann gilt, wenn $\varphi\in\operatorname*{Coalg}\left(
R^{\ast},C\right)  $ ist. Da $\varphi=\widetilde{\Phi}\left(  x\right)  $ ist,
bedeutet dies: Genau dann gilt $x\in G\left(  R\otimes C\right)  $, wenn
$\widetilde{\Phi}\left(  x\right)  \in\operatorname*{Coalg}\left(  R^{\ast
},C\right)  $ ist. Somit ist $\widetilde{\Phi}\left(  G\left(  R\otimes
C\right)  \right)  =\operatorname*{Coalg}\left(  R^{\ast},C\right)  $.

Folglich kann man die Bijektion $\widetilde{\Phi}:R\otimes C\rightarrow
\operatorname*{Hom}\left(  R^{\ast},C\right)  $ auf die Teilmenge $G\left(
R\otimes C\right)  $ einschr\"{a}nken, und erh\"{a}lt eine Bijektion $G\left(
R\otimes C\right)  \rightarrow\operatorname*{Coalg}\left(  R^{\ast},C\right)
$. Hieraus folgt nat\"{u}rlich sofort, da\ss \ die Abbildung%
\begin{align*}
\Phi:G\left(  R\otimes C\right)   &  \rightarrow\operatorname*{Coalg}\left(
R^{\ast},C\right)  =\left(  \operatorname*{Cosp}C\right)  \left(  R^{\ast
}\right)  ,\\
\sum_{i}r_{i}\otimes c_{i}  &  \mapsto\left(  f\mapsto\sum_{i}f\left(
r_{i}\right)  c_{i}\right)
\end{align*}
wohldefiniert ist und eine Bijektion ist (weil sie genau die Bijektion ist,
die man erh\"{a}lt, wenn man die Bijektion $\widetilde{\Phi}:R\otimes
C\rightarrow\operatorname*{Hom}\left(  R^{\ast},C\right)  $ auf die Teilmenge
$G\left(  R\otimes C\right)  $ einschr\"{a}nkt). Damit ist \textbf{1)}
\textbf{a)} bewiesen.

\textbf{b)} Wir zeigen nun: F\"{u}r jede Hopfalgebra $H$ ist $\Phi:G\left(
R\otimes H\right)  \rightarrow\operatorname*{Coalg}\left(  R^{\ast},H\right)
$ ein Gruppenisomorphismus.

\textit{Beweis:} Seien $\sum\limits_{i}r_{i}\otimes c_{i}=x$ und
$\sum\limits_{j}s_{j}\otimes d_{j}=y$ zwei Elemente von $G\left(  R\otimes
H\right)  .$ Dann ist $xy\in G\left(  R\otimes H\right)  ,$ da $\Delta\left(
xy\right)  =\Delta\left(  x\right)  \Delta\left(  y\right)  =\left(  x\otimes
x\right)  \left(  y\otimes y\right)  =xy\otimes xy.$ Wir m\"{u}ssen nun
zeigen, da\ss \ $\Phi\left(  xy\right)  =\Phi\left(  x\right)  \ast\Phi\left(
y\right)  $ ist. In der Tat ist%
\[
\Phi\left(  xy\right)  \left(  f\right)  =\sum_{i,j}f\left(  r_{i}%
s_{j}\right)  c_{i}d_{j}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn wegen }x=\sum\limits_{i}r_{i}\otimes c_{i}\text{ und }%
y=\sum\limits_{j}s_{j}\otimes d_{j}\text{ ist}\\
xy=\left(  \sum\limits_{i}r_{i}\otimes c_{i}\right)  \left(  \sum
\limits_{j}s_{j}\otimes d_{j}\right)  =\sum_{i,j}r_{i}s_{j}\otimes c_{i}d_{j}%
\end{array}
\right)
\]
und%
\begin{align*}
\left(  \Phi\left(  x\right)  \ast\Phi\left(  y\right)  \right)  \left(
f\right)   &  =\Phi\left(  x\right)  \left(  f_{\left(  1\right)  }\right)
\Phi\left(  y\right)  \left(  f_{\left(  2\right)  }\right)  =\sum
_{i}f_{\left(  1\right)  }\left(  r_{i}\right)  c_{i}\sum_{j}f_{\left(
2\right)  }\left(  s_{j}\right)  d_{j}\\
&  =\sum_{i,j}\underbrace{f_{\left(  1\right)  }\left(  r_{i}\right)
f_{\left(  2\right)  }\left(  s_{j}\right)  }_{=f\left(  r_{i}s_{j}\right)
}c_{i}d_{j}=\sum_{i,j}f\left(  r_{i}s_{j}\right)  c_{i}d_{j}%
\end{align*}
f\"{u}r jedes $f\in R^{\ast}$.

\textbf{2)} Sei $C\in\mathcal{C}_{k}.$ F\"{u}r je zwei endlichdimensionale
kommutative Algebren $R$ und $S$ gilt%
\[
G\left(  \left(  R\times S\right)  \otimes C\right)  \cong G\left(  R\otimes
C\right)  \times G\left(  S\otimes C\right)  .
\]


\textit{Beweis:} Nach \textbf{1)} ist%
\begin{align*}
G\left(  \left(  R\times S\right)  \otimes C\right)   &  \cong%
\operatorname*{Coalg}\left(  \underbrace{\left(  R\times S\right)  ^{\ast}%
}_{\cong R^{\ast}\oplus S^{\ast}},C\right)  \cong\operatorname*{Coalg}\left(
R^{\ast},C\right)  \times\operatorname*{Coalg}\left(  S^{\ast},C\right) \\
&  \cong G\left(  R\otimes C\right)  \times G\left(  S\otimes C\right)  ,
\end{align*}
wobei wir $G\left(  R\otimes C\right)  \cong\operatorname*{Coalg}\left(
R^{\ast},C\right)  $ und $G\left(  S\otimes C\right)  \cong%
\operatorname*{Coalg}\left(  S^{\ast},C\right)  $ benutzt haben (diese
Isomorphien folgen beide aus \textbf{1)}).

\textbf{3)} Seien $C,D\in\mathcal{C}_{k}.$ Sei $f:C\rightarrow D$ ein Coalgebrahomomorphismus.

Wenn f\"{u}r jede endlichdimensionale kommutative Algebra $R$ die Abbildung%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
G\left(R\otimes C\right) \ar[r]^{\left(\operatorname*{id}\otimes f\right)\mid _{G\left(R\otimes C\right)}} & G\left(R\otimes D\right)
}
\]
bijektiv ist, so ist $f$ ein Isomorphismus.

\textit{Beweis:} Wir k\"{o}nnen dies mithilfe des Endlichkeitssatzes f\"{u}r
Coalgebren beweisen (siehe \"{U}bungsaufgabe), aber wir werden nur den Fall
verwenden, wenn $f$ injektiv ist. In diesem Fall ist die Behauptung
\"{a}quivalent zum folgenden Lemma:

\textbf{Lemma:} Sei $C$ eine cokommutative Coalgebra, und $D\subseteq C$ eine
Untercoalgebra. Wenn f\"{u}r jede endlichdimensionale kommutative Algebra $R$
die von der Inklusionsabbildung $i:D\rightarrow C$ induzierte Abbildung
$G\left(  R\otimes D\right)  \rightarrow G\left(  R\otimes C\right)  $ eine
Bijektion ist (nach 3.2. \textbf{1)} ist dies \"{a}quivalent dazu,
da\ss \ f\"{u}r jede endlichdimensionale cokommutative Coalgebra $E$ die
Abbildung%
\[
\operatorname*{Coalg}\left(  E,D\right)  \rightarrow\operatorname*{Coalg}%
\left(  E,C\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varphi\mapsto i\varphi
\]
bijektiv ist), so ist $D=C.$

\textit{Beweis des Lemmas:} Sei $c\in C.$ Dann gibt es nach dem
Endlichkeitssatz f\"{u}r Coalgebren eine endlichdimensionale Untercoalgebra
$E\subseteq C$ mit $c\in E.$ Nach Voraussetzung hat dann die kanonische
Inklusionsabbildung $j:E\rightarrow C$ die Form $j=i\gamma$ f\"{u}r einen
Coalgebrahomomorphismus $\gamma\in\operatorname*{Coalg}\left(  E,D\right)  $
(das hei\ss t, es gibt ein $\gamma\in\operatorname*{Coalg}\left(  E,D\right)
$ so, da\ss \ das Diagramm $\xymatrix{
& E \ar@{.>}[dl]_{\gamma} \ar@{^{(}->}[d]^j \\
D \ar@{^{(}->}[r]_i & C
}$ kommutativ ist), also $c=i\left(  \gamma\left(  c\right)  \right)
=\gamma\left(  c\right)  \in D$. Damit ist das Lemma bewiesen.

\textbf{3.3. Lemma:} Sei $H$ eine irreduzible cokommutative Hopfalgebra. Sei
$R$ eine endlichdimensionale kommutative Algebra. Dann ist%
\[
G\left(  R\otimes H\right)  =\left\{  g\in1\otimes1+\left(  \operatorname*{Ra}%
R\right)  \otimes H\ \mid\ \Delta_{R\otimes H}\left(  g\right)  =g\otimes
g\right\}  .
\]
Hierbei bezeichnet $\operatorname*{Ra}R$ das Jacobson-Radikal von $R.$

\textit{Beweis:} \textbf{a)} Wir zeigen zuerst:%
\[
G\left(  R\otimes H\right)  =\operatorname*{Ker}\left(
\begin{array}
[c]{c}%
G\left(  R\otimes H\right)  \rightarrow G\left(  \left(  R\diagup
\operatorname*{Ra}R\right)  \otimes H\right)  ,\\
\sum\limits_{i}r_{i}\otimes x_{i}\mapsto\sum\limits_{i}\overline{r_{i}}\otimes
x_{i}%
\end{array}
\right)  .
\]
Wir zeigen sogar st\"{a}rker, da\ss \ die Gruppe $G\left(  \left(
R\diagup\operatorname*{Ra}R\right)  \otimes H\right)  $ nur ein Element hat.

\textit{Beweis:} Es gibt endlich viele K\"{o}rpererweiterungen $k\subseteq
K_{i}$ mit $1\leq i\leq n$ so, da\ss \ $R\diagup\operatorname*{Ra}R\cong
K_{1}\times K_{2}\times...\times K_{n}$\ \ \ \ \footnote{Denn seien $M_{1},$
$M_{2},$ $...,$ $M_{t}$ paarweise verschiedene maximale Ideale in $R.$ Nach
dem chinesischen Restsatz ist dann $R\diagup\bigcap\limits_{i=1}^{t}M_{i}%
\cong\left(  R\diagup M_{1}\right)  \times\left(  R\diagup M_{2}\right)
\times...\times\left(  R\diagup M_{t}\right)  .$ Hieraus folgt erstmal,
da\ss \ $\operatorname*{Max}R$ endlich ist (denn f\"{u}r je $t$ paarweise
verschiedene maximale Ideale $M_{1},$ $M_{2},$ $...,$ $M_{t}$ von $R$ gilt%
\[
\dim R\geq\dim\left(  R\diagup\bigcap\limits_{i=1}^{t}M_{i}\right)
=\dim\left(  R\diagup M_{1}\right)  +\dim\left(  R\diagup M_{2}\right)
+...+\dim\left(  R\diagup M_{t}\right)  ,
\]
wobei jeder Summand $\dim\left(  R\diagup M_{i}\right)  $ mindestens $1$
betr\"{a}gt; somit ist $t$ beschr\"{a}nkt, da $\dim R<\infty$ ist). Da
bekanntlich $\operatorname*{Ra}R=\bigcap\limits_{M\in\operatorname*{Max}R}M$
gilt (laut Folgerung 6.8 von Kapitel I), gibt es also endlich viele maximale
Ideale $M_{1},$ $M_{2},$ $...,$ $M_{t}$ von $R$ mit $\operatorname*{Ra}%
R=\bigcap\limits_{i=1}^{t}M_{i},$ also%
\[
R\diagup\operatorname*{Ra}R=R\diagup\bigcap\limits_{i=1}^{t}M_{i}\cong\left(
R\diagup M_{1}\right)  \times\left(  R\diagup M_{2}\right)  \times
...\times\left(  R\diagup M_{t}\right)  .
\]
Nat\"{u}rlich ist $R\diagup M_{i}$ eine K\"{o}rpererweiterung von $k$ f\"{u}r
jedes $i$ (denn $R$ ist kommutativ).}.

Nach Bemerkung 3.2. \textbf{2)} gilt:%
\begin{align*}
G\left(  \left(  R\diagup\operatorname*{Ra}R\right)  \otimes H\right)   &
\cong G\left(  \left(  K_{1}\times K_{2}\times...\times K_{n}\right)  \otimes
H\right) \\
&  \cong G\left(  K_{1}\otimes H\right)  \times G\left(  K_{2}\otimes
H\right)  \times...\times G\left(  K_{n}\otimes H\right)  .
\end{align*}
F\"{u}r jede K\"{o}rpererweiterung $k\subseteq K$ ist aber $K\otimes H$ als
$K$-Hopfalgebra irreduzibel (denn $H$ ist als $k$-Hopfalgebra irreduzibel,
also punktiert und irreduzibel, und jetzt wenden wir die Folgerung 4.8. an,
die wir erst wesentlich sp\"{a}ter beweisen werden), also $\left\vert G\left(
K\otimes H\right)  \right\vert =1.$ Hieraus folgt $\left\vert G\left(  \left(
R\diagup\operatorname*{Ra}R\right)  \otimes H\right)  \right\vert =1,$ was zu
beweisen war.

\textbf{b)} Nach \textbf{a)} folgt $G\left(  R\otimes H\right)  \subseteq
\left\{  x\in1\otimes1+\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes
H\ \mid\ \Delta\left(  x\right)  =x\otimes x\right\}  ,$ denn%
\[
\operatorname*{Ker}\left(  R\otimes H\rightarrow\left(  R\diagup
\operatorname*{Ra}R\right)  \otimes H\right)  =\left(  \operatorname*{Ra}%
R\right)  \otimes H
\]
(denn Tensorieren \"{u}ber dem Grundk\"{o}rper $k$ ist exakt).

\textbf{c)} Jetzt werden wir zeigen, da\ss \ $\left\{  x\in1\otimes1+\left(
\operatorname*{Ra}R\right)  \otimes H\ \mid\ \Delta\left(  x\right)  =x\otimes
x\right\}  \subseteq G\left(  R\otimes H\right)  $ ist, also da\ss \ f\"{u}r
jedes $x\in1\otimes1+\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes H$ mit
$\Delta\left(  x\right)  =x\otimes x$ gilt: $x\in G\left(  R\otimes H\right)
.$ In der Tat f\"{u}hrt $x\in1\otimes1+\left(  \operatorname*{Ra}R\right)
\otimes H$ auf $\varepsilon\left(  x\right)  \in1+\operatorname*{Ra}R;$ somit
ist $\varepsilon\left(  x\right)  $ invertierbar. Wegen $x=\varepsilon\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }=\varepsilon\left(
x\right)  x$ ist aber $\varepsilon\left(  x\right)  =\varepsilon\left(
x\right)  \varepsilon\left(  x\right)  ,$ und wegen der Invertierbarkeit von
$\varepsilon\left(  x\right)  $ folgt hieraus $\varepsilon\left(  x\right)
=1.$ Zusammen mit $\Delta\left(  x\right)  =x\otimes x$ ergibt dies $x\in
G\left(  R\otimes H\right)  $. Also ist $\left\{  x\in1\otimes1+\left(
\operatorname*{Ra}R\right)  \otimes H\ \mid\ \Delta\left(  x\right)  =x\otimes
x\right\}  \subseteq G\left(  R\otimes H\right)  $ gezeigt.

Damit ist Lemma 3.3. bewiesen.

\textit{Bemerkung:} Falls $k$ algebraisch abgeschlossen ist, wird der Beweis
von 3.3. noch einfacher, weil man $K_{i}=k$ f\"{u}r alle $i$ hat, und damit
auch ohne Verweis auf Folgerung 4.8 klar ist, da\ss \ $K_{i}\otimes H$
irreduzibel ist.

\textbf{3.4. Satz:} Sei $\operatorname*{char}k=0.$ Sei $H$ eine cokommutative
irreduzible Hopfalgebra. F\"{u}r jede endlichdimensionale kommutative Algebra
$R$ ist dann die Abbildung%
\begin{align*}
\exp:\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes P\left(  H\right)   &
\rightarrow G\left(  R\otimes H\right)  ,\\
x  &  \mapsto\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}%
\end{align*}
bijektiv und ein in $R$ und $H$ nat\"{u}rlicher Isomorphismus von Mengen.
(Diese Abbildung $\exp$ ist wohldefiniert, da alle Elemente von $\left(
\operatorname*{Ra}R\right)  \otimes P\left(  H\right)  $ nilpotent
sind\footnote{Dies folgt daraus, da\ss \ alle Elemente von $\left(
\operatorname*{Ra}R\right)  \otimes H$ nilpotent sind (denn
gem\"{a}\ss \ Lemma 6.7 \textbf{(a)} ist $\operatorname*{Ra}R$ ein nilpotentes
Rechtsideal, weil $R$ endlichdimensional ist).}.)

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Wir zeigen zuerst, da\ss \ die Abbildung%
\begin{align*}
\exp:\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes H  &  \rightarrow
1\otimes1+\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes H,\\
x  &  \mapsto\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}%
\end{align*}
bijektiv und nat\"{u}rlich in $R$ und $H$ ist. (Dies ist eine Erweiterung der
vorher definierten Abbildung $\exp:\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes
P\left(  H\right)  \rightarrow G\left(  R\otimes H\right)  .$ Wir bezeichnen
aber trotzdem beide Abbildungen mit $\exp$.)

\textit{Beweis:} Die Abbildung%
\begin{align*}
\log:1\otimes1+\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes H  &
\rightarrow\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes H,\\
1+x  &  \mapsto\sum_{n=1}^{\infty}\left(  -1\right)  ^{n+1}\dfrac{x^{n}}{n}%
\end{align*}
ist eine Umkehrabbildung. In der Tat sind beide Abbildungen $\exp$ und $\log$
wohldefiniert, da jedes $x\in\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes H$
nilpotent ist (denn $\operatorname*{Ra}R$ ist nilpotent), und als formale
Potenzreihen sind bekanntlich $x\mapsto\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}%
}{n!}$ und $1+x\mapsto\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(  -1\right)
^{n+1}\dfrac{x^{n}}{n}$ Umkehrreihen.

\textbf{2)} Au\ss erdem ist $\exp$ funktoriell in $R,$ denn f\"{u}r jeden
Algebrahomomorphismus $\varphi:R\rightarrow S$ zwischen zwei
endlichdimensionalen kommutativen Algebren $R$ und $S$ gilt $\varphi\left(
\operatorname*{Ra}R\right)  \subseteq\operatorname*{Ra}S$ (denn f\"{u}r jede
endlichdimensionale kommutative Algebra $T$ ist bekanntlich%
\[
\operatorname*{Ra}T=\left\{  t\in T\ \mid\ t\text{ ist nilpotent}\right\}
=\text{gr\"{o}\ss tes nilpotentes Ideal in }T
\]
), und $\varphi\otimes\operatorname*{id}:R\otimes H\rightarrow S\otimes H$ ist
ein Ringhomomorphismus. Ferner ist $\exp$ funktoriell in $H,$ denn f\"{u}r
jeden Algebrahomomorphismus $\varphi:H_{1}\rightarrow H_{2}$ ist
$\operatorname*{id}\otimes\varphi:R\otimes H_{1}\rightarrow R\otimes H_{2}$
ein Ringhomomorphismus.

\textbf{3)} Die Abbildung $\exp:\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes
P\left(  H\right)  \rightarrow G\left(  R\otimes H\right)  $ ist die
Einschr\"{a}nkung der Abbildung $\exp:\left(  \operatorname*{Ra}R\right)
\otimes H\rightarrow1\otimes1+\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes H$
auf $\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes P\left(  H\right)  .$ Nur
m\"{u}ssen wir, um sie zu definieren, erstmal beweisen, da\ss \ $\exp\left(
\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes P\left(  H\right)  \right)
\subseteq G\left(  R\otimes H\right)  $ ist, und um zu zeigen, da\ss \ sie
eine Bijektion ist, m\"{u}ssen wir sogar zeigen, da\ss \ $\exp\left(  \left(
\operatorname*{Ra}R\right)  \otimes P\left(  H\right)  \right)  =G\left(
R\otimes H\right)  $ gilt.

\textbf{a)} Wir zeigen zuerst, da\ss \
\[
\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes P\left(  H\right)  =\left\{
x\in\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes H\ \mid\ \Delta\left(
x\right)  =x\otimes1+1\otimes x\right\}
\]
ist. (Das $\Delta$ ist in dieser Gleichung ist nat\"{u}rlich als
$\Delta_{R\otimes H}$ zu verstehen.)

\textit{Beweis:} Die Sequenz%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
0 \ar[r] & P\left(H\right) \ar@{^{(}->}[r] & H \ar[r]^-{\Delta -f} & H\otimes H
}
\]
ist exakt, wobei $f:H\rightarrow H\otimes H$ die durch $f\left(  x\right)
=x\otimes1+1\otimes x$ f\"{u}r alle $x\in H$ definierte lineare Abbildung ist.

Da Tensorieren \"{u}ber $k$ exakt ist, folgt hieraus, da\ss \ auch die Sequenz%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
0 \ar[r] & \left(\operatorname*{Ra} R\right)\otimes P\left(H\right) \ar@{^{(}->}[r] & \left(\operatorname*{Ra} R\right)\otimes H \ar[r]^-{\operatorname*{id}\otimes\left(\Delta -f\right)} & \left(\operatorname*{Ra} R\right)\otimes H\otimes H
}
\]
exakt ist. Wegen $\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes H\otimes
H\subseteq R\otimes H\otimes H$ ist also auch die Sequenz%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
0 \ar[r] & \left(\operatorname*{Ra} R\right)\otimes P\left(H\right) \ar@{^{(}->}[r] & \left(\operatorname*{Ra} R\right)\otimes H \ar[r]^-{\iota\otimes\left(\Delta -f\right)} & R\otimes H\otimes H
}
\]
exakt, wobei $\iota:\operatorname*{Ra}R\rightarrow R$ die kanonische Inklusion
ist. Andererseits ist das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
\left(\operatorname*{Ra} R\right)\otimes H \ar[rd]_{\Delta_{R\otimes H}-f_{R\otimes H}} \ar[r]^-{\iota\otimes\left(\Delta -f\right)} & R\otimes H\otimes H \ar[d]^u_{\cong} \\
& \left(R\otimes H\right)\otimes_R \left(R\otimes H\right)
}
\]
kommutativ, wobei $f_{R\otimes H}:R\otimes H\rightarrow\left(  R\otimes
H\right)  \otimes_{R}\left(  R\otimes H\right)  $ die durch $f\left(
x\right)  =x\otimes1+1\otimes x$ f\"{u}r alle $x\in R\otimes H$ definierte
lineare Abbildung ist, und $u:R\otimes H\otimes H\rightarrow\left(  R\otimes
H\right)  \otimes_{R}\left(  R\otimes H\right)  $ der durch $u\left(  r\otimes
h\otimes h^{\prime}\right)  =\left(  r\otimes h\right)  \otimes_{R}\left(
1\otimes h^{\prime}\right)  $ f\"{u}r alle $r\in R,$ $h\in H$ und $h^{\prime
}\in H$ definierte Vektorraumisomorphismus ist.\footnote{Denn f\"{u}r alle
$r\in\operatorname*{Ra}R$ und $h\in H$ ist%
\begin{align*}
&  u\left(  \iota\otimes\left(  \Delta-f\right)  \right)  \left(  r\otimes
h\right)  =u\left(  r\otimes\left(  \Delta-f\right)  \left(  h\right)
\right)  =\underbrace{u\left(  r\otimes\Delta\left(  h\right)  \right)
}_{\substack{=\Delta_{R\otimes H}\left(  r\otimes h\right)  \\\text{nach
Definition}\\\text{von }\Delta_{R\otimes H}}}-\underbrace{u\left(  r\otimes
f\left(  h\right)  \right)  }_{=u\left(  r\otimes\left(  h\otimes1+1\otimes
h\right)  \right)  }\\
&  =\Delta_{R\otimes H}\left(  r\otimes h\right)  -u\left(  r\otimes\left(
h\otimes1+1\otimes h\right)  \right)  =\Delta_{R\otimes H}\left(  r\otimes
h\right)  -u\left(  r\otimes h\otimes1+r\otimes1\otimes h\right) \\
&  =\Delta_{R\otimes H}\left(  r\otimes h\right)  -\left(  r\otimes h\right)
\otimes_{R}\left(  1\otimes1\right)  -\underbrace{\left(  r\otimes1\right)
\otimes_{R}\left(  1\otimes h\right)  }_{\substack{=\left(  1\otimes1\right)
\otimes_{R}\left(  r\otimes h\right)  ,\\\text{denn }r\text{ ist f\"{u}r
}\otimes_{R}\\\text{ein Skalar}}}\\
&  =\Delta_{R\otimes H}\left(  r\otimes h\right)  -f_{R\otimes H}\left(
r\otimes h\right)  =\left(  \Delta_{R\otimes H}-f_{R\otimes H}\right)  \left(
r\otimes h\right)  .
\end{align*}
} Somit ist die Sequenz%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
0 \ar[r] & \left(\operatorname*{Ra} R\right)\otimes P\left(H\right) \ar@{^{(}->}[r] & \left(\operatorname*{Ra} R\right)\otimes H \ar[r]^-{\Delta_{R\otimes H}-f_{R\otimes H}} & \left(R\otimes H\right)\otimes_R \left(R\otimes H\right)
}
\]
exakt, und es folgt%
\[
\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes P\left(  H\right)
=\operatorname*{Ker}\left(  \left(  \Delta_{R\otimes H}-f_{R\otimes H}\right)
\mid_{\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes H}\right)  =\left\{
x\in\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes H\ \mid\ \Delta\left(
x\right)  =x\otimes1+1\otimes x\right\}  .
\]


\textbf{b)} Nach 3.3. gilt:%
\[
\left\{  g\in1\otimes1+\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes
H\ \mid\ \Delta_{R\otimes H}\left(  g\right)  =g\otimes g\right\}  =G\left(
R\otimes H\right)  .
\]


\textbf{c)} Wegen \textbf{1)}, \textbf{a)} und \textbf{b)} m\"{u}ssen wir
jetzt nur noch beweisen: F\"{u}r alle $x\in\left(  \operatorname*{Ra}R\right)
\otimes H$ ist%
\[
\Delta\left(  x\right)  =x\otimes1+1\otimes x\ \Longleftrightarrow
\ \Delta\left(  \exp x\right)  =\exp x\otimes\exp x.
\]


\textit{Beweis:} Da $\exp$ injektiv ist, ist $\Delta\left(  x\right)
=x\otimes1+1\otimes x$ \"{a}quivalent zu $\exp\left(  \Delta\left(  x\right)
\right)  =\exp\left(  x\otimes1+1\otimes x\right)  .$ Nun ist%
\begin{align*}
\exp\left(  x\otimes1+1\otimes x\right)   &  =\exp\left(  x\otimes1\right)
\exp\left(  1\otimes x\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }%
x\otimes1\text{ und }1\otimes x\text{ kommutieren}\right) \\
&  =\left(  \exp x\otimes1\right)  \left(  1\otimes\exp x\right)  =\exp
x\otimes\exp x
\end{align*}
und $\exp\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  =\Delta\left(  \exp
x\right)  $ (da $\Delta$ ein Algebrahomomorphismus ist). Somit ist
$\Delta\left(  x\right)  =x\otimes1+1\otimes x\ \Longleftrightarrow
\ \Delta\left(  \exp x\right)  =\exp x\otimes\exp x,$ was zu beweisen war.

\textit{Bemerkung:} Die multiplikative Gruppenstruktur in $G\left(  R\otimes
H\right)  $ in 3.4. induziert eine Gruppenstruktur auf $\left(
\operatorname*{Ra}R\right)  \otimes P\left(  H\right)  .$ F\"{u}r alle
$x,y\in\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes P\left(  H\right)  $ ist
die Multiplikation in dieser Gruppenstruktur gegeben durch%
\[
x\cdot y=\log\left(  \exp x\exp y\right)  =x+y+\dfrac{1}{2}\left[  x,y\right]
+\dfrac{1}{12}\left(  \left[  \left[  y,x\right]  ,x\right]  +\left[
y,\left[  y,x\right]  \right]  \right)  +\text{h\"{o}here Terme,}%
\]
wobei $\left[  ,\right]  $ die Lieklammer der Liealgebra $\left(
\operatorname*{Ra}R\right)  \otimes P\left(  H\right)  $ ist\footnote{Dabei
ist die Liealgebra $\left(  \operatorname*{Ra}R\right)  \otimes P\left(
H\right)  $ folgenderma\ss en definiert:
\par
F\"{u}r jede $k$-Liealgebra $\mathfrak{g}$ und jede kommutative $k$-Algebra
$A$ sei die $k$-Liealgebra $A\otimes\mathfrak{g}$ definiert als der Vektorraum
$A\otimes\mathfrak{g}$ mit der Lieklammer, die durch%
\[
\left[  a\otimes v,b\otimes w\right]  =ab\otimes\left[  v,w\right]
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }a\in A\text{, }b\in A\text{, }%
v\in\mathfrak{g}\text{ und }w\in\mathfrak{g}%
\]
gegeben ist. (Da\ss \ diese Liealgebra $A\otimes\mathfrak{g}$ tats\"{a}chlich
wohldefiniert ist, ist leicht nachzuweisen - hier wird die Kommutativit\"{a}t
von $A$ verwendet.) Angewandt auf $A=\operatorname*{Ra}R$ und $\mathfrak{g}%
=P\left(  H\right)  $ ergibt diese Definition eine Liealgebra $\left(
\operatorname*{Ra}R\right)  \otimes P\left(  H\right)  $.}. (Dies ist die
sogenannte \textit{Campbell-Hausdorff-Formel}, und man kann die h\"{o}heren
Terme auch explizit angeben.)

\textit{Fortsetzung des Beweises von 3.1.:} Wir haben bereits gezeigt (in dem
bereits gegebenen Teil des Beweises zu 3.1.), da\ss \ ein injektiver
Hopfalgebrahomomorphismus $\psi:U\left(  P\left(  H\right)  \right)
\rightarrow H$ existiert, der $\psi\left(  x\right)  =x$ f\"{u}r alle $x\in
P\left(  H\right)  $ erf\"{u}llt.

Wir werden nun beweisen, da\ss \ $\psi$ surjektiv ist. Die Einschr\"{a}nkung%
\[
P\left(  \psi\right)  :P\left(  U\left(  P\left(  H\right)  \right)  \right)
\rightarrow P\left(  H\right)
\]
der Abbildung $\psi$ auf $P\left(  U\left(  P\left(  H\right)  \right)
\right)  $ ist bijektiv (nach 2.13. \textbf{5)}). Wir wollen hieraus
herleiten, da\ss \ die Abbildung $\psi$ selber surjektiv ist. Dazu sei $R$
eine kommutative Algebra. Setze $\widetilde{H}=U\left(  P\left(  H\right)
\right)  $. Das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
\left(\operatorname*{Ra} R\right)\otimes P\left(\widetilde{H}\right) \ar[r]^-{\cong}_-{\exp} \ar[d]_{\operatorname*{id}\otimes P\left(\psi\right)} & G\left(R\otimes\widetilde{H}\right) \ar[d]^{\operatorname*{id}\otimes\psi} \\
\left(\operatorname*{Ra} R\right)\otimes P\left(H\right) \ar[r]^-{\cong}_-{\exp} & G\left(R\otimes H\right)
}
\]
ist kommutativ. Da $P\left(  \psi\right)  $ bijektiv ist, folgt hieraus,
da\ss \ die Abbildung $\operatorname*{id}\otimes\psi:G\left(  R\otimes
\widetilde{H}\right)  \rightarrow G\left(  R\otimes H\right)  $ bijektiv ist.
Nach 3.2. \textbf{3)} folgt hieraus, da\ss \ $\psi$ bijektiv ist. Damit ist
Satz 3.1. bewiesen - bis auf die Tatsache, da\ss \ wir den Beweis eines
Hilfsresultates schuldig geblieben sind (n\"{a}mlich der Irreduzibilit\"{a}t
der $K$-Hopfalgebra $K\otimes H$ f\"{u}r jede K\"{o}rpererweiterung
$k\subseteq K;$ aber im Falle eines algebraisch abgeschlossenen K\"{o}rpers
$k$ ist dieses Resultat unn\"{o}tig).

\bigskip

\begin{center}
\fbox{\textbf{4. Struktur cokommutativer Hopfalgebren in Charakteristik }$0$}
\end{center}

Nachdem Satz 3.1. bewiesen ist, wenden wir uns nun einem weiteren Ziel zu: Wir
wollen jetzt \textit{alle} cokommutativen Hopfalgebren \"{u}ber einem
K\"{o}rper $k$ mit $\operatorname*{char}k=0$ (nicht nur die irreduziblen wie
in 3.1.) charakterisieren. Dazu werden wir zuerst den Begriff des
Smashproduktes ausdehnen - indem wir n\"{a}mlich in gewissen F\"{a}llen eine
Hopfalgebrastruktur auf selbigem definieren:

\textbf{4.1. Bemerkung:} Sei $H$ eine Hopfalgebra und sei $G$ eine Gruppe. Sei
$H$ eine $k\left[  G\right]  $-Linksmodulalgebra mit Strukturabbildung%
\[
k\left[  G\right]  \otimes H\rightarrow H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g\otimes
x\mapsto g\cdot x\text{ f\"{u}r alle }g\in G\text{ und }x\in H.
\]
Angenommen, f\"{u}r alle $g\in G$ ist%
\[
\widehat{g}:H\rightarrow H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto g\cdot x
\]
ein Coalgebrahomomorphismus. Dann ist $H\sharp k\left[  G\right]  $ eine
Hopfalgebra mit der in Kapitel I.3 definierten Algebrastruktur und mit
komponentenweiser Coalgebrastruktur (das hei\ss t, f\"{u}r alle $x\in H$ und
$g\in G$ ist $\Delta\left(  x\sharp g\right)  =\left(  x_{\left(  1\right)
}\sharp g\right)  \otimes\left(  x_{\left(  2\right)  }\sharp g\right)  $ und
$\varepsilon\left(  x\sharp g\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  $), und
mit der Antipode%
\[
S\left(  x\sharp g\right)  =\left(  1\sharp g^{-1}\right)  \left(  S\left(
x\right)  \sharp1\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in H\text{
und }g\in G.
\]


\textit{Beweis:} Nach Definition des\ Smash-Produktes gilt f\"{u}r alle
$x,y\in H$ und $a,b\in G$ die Gleichung $\left(  x\sharp a\right)  \left(
y\sharp b\right)  =x\left(  a\cdot y\right)  \sharp ab.$ Also ist
$\Delta:H\sharp k\left[  G\right]  \rightarrow\left(  H\sharp k\left[
G\right]  \right)  \otimes\left(  H\sharp k\left[  G\right]  \right)  $ ein
Algebrahomomorphismus, denn f\"{u}r alle $x,y\in H$ und $a,b\in G$ gilt%
\begin{align*}
\Delta\left(  x\sharp a\right)  \Delta\left(  y\sharp b\right)   &  =\left(
\left(  x_{\left(  1\right)  }\sharp a\right)  \otimes\left(  x_{\left(
2\right)  }\sharp a\right)  \right)  \left(  \left(  y_{\left(  1\right)
}\sharp b\right)  \otimes\left(  y_{\left(  2\right)  }\sharp b\right)
\right) \\
&  =\underbrace{\left(  x_{\left(  1\right)  }\sharp a\right)  \left(
y_{\left(  1\right)  }\sharp b\right)  }_{=x_{\left(  1\right)  }\left(
a\cdot y_{\left(  1\right)  }\right)  \sharp ab}\otimes\underbrace{\left(
x_{\left(  2\right)  }\sharp a\right)  \left(  y_{\left(  2\right)  }\sharp
b\right)  }_{=x_{\left(  2\right)  }\left(  a\cdot y_{\left(  2\right)
}\right)  \sharp ab}%
\end{align*}
und%
\begin{align*}
\Delta\left(  \left(  x\sharp a\right)  \left(  y\sharp b\right)  \right)   &
=\Delta\left(  x\left(  a\cdot y\right)  \sharp ab\right)  =\left(  x_{\left(
1\right)  }\underbrace{\left(  a\cdot y\right)  _{\left(  1\right)  }%
}_{=a\cdot y_{\left(  1\right)  }}\sharp ab\right)  \otimes x_{\left(
2\right)  }\underbrace{\left(  a\cdot y\right)  _{\left(  2\right)  }%
}_{=a\cdot y_{\left(  2\right)  }}\sharp ab\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{hierbei }\left(  a\cdot y\right)  _{\left(  1\right)  }=a\cdot
y_{\left(  1\right)  }\text{ und }\left(  a\cdot y\right)  _{\left(  2\right)
}=a\cdot y_{\left(  2\right)  },\text{ da }\widehat{a}\\
\text{ein Coalgebrahomomorphismus ist}%
\end{array}
\right)  ,
\end{align*}
also $\Delta\left(  x\sharp a\right)  \Delta\left(  y\sharp b\right)
=\Delta\left(  \left(  x\sharp a\right)  \left(  y\sharp b\right)  \right)  $
(und $\Delta\left(  1\right)  =1$ ist klar). Ferner ist $\varepsilon:H\sharp
k\left[  G\right]  \rightarrow k$ ein Algebrahomomorphismus, denn f\"{u}r alle
$x,y\in H$ und $a,b\in G$ ist%
\begin{align*}
\varepsilon\left(  \left(  x\sharp a\right)  \left(  y\sharp b\right)
\right)   &  =\varepsilon\left(  x\left(  a\cdot y\right)  \sharp ab\right)
=\varepsilon\left(  x\left(  a\cdot y\right)  \right)  =\varepsilon\left(
x\right)  \varepsilon\left(  a\cdot y\right)  =\varepsilon\left(  x\right)
\varepsilon\left(  y\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{hierbei }\varepsilon\left(  a\cdot
y\right)  =\varepsilon\left(  y\right)  ,\text{ da }\widehat{a}\text{ ein
Coalgebrahomomorphismus ist}\right) \\
&  =\varepsilon\left(  x\sharp a\right)  \varepsilon\left(  y\sharp b\right)
\end{align*}
(und wieder ist $\varepsilon\left(  1\right)  =1$ klar).

Es bleibt, f\"{u}r die Abbildung $S$ das Antipodenaxiom nachzupr\"{u}fen.
F\"{u}r alle $x\in H$ und $g\in G$ ist%
\[
\left(  x_{\left(  1\right)  }\sharp g\right)  S\left(  x_{\left(  2\right)
}\sharp g\right)  =\underbrace{\left(  x_{\left(  1\right)  }\sharp g\right)
\left(  1\sharp g^{-1}\right)  }_{=x_{\left(  1\right)  }\sharp gg^{-1}%
=x_{\left(  1\right)  }\sharp1}\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
\sharp1\right)  =x_{\left(  1\right)  }S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
\sharp1=\varepsilon\left(  x\right)  1\sharp1
\]
und%
\[
S\left(  x_{\left(  1\right)  }\sharp g\right)  \left(  x_{\left(  2\right)
}\sharp g\right)  =\left(  1\sharp g^{-1}\right)  \underbrace{\left(  S\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \sharp1\right)  \left(  x_{\left(  2\right)
}\sharp g\right)  }_{=S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(
2\right)  }\sharp g}=S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(
2\right)  }\sharp\underbrace{g^{-1}g}_{=1}=\varepsilon\left(  x\right)
1\sharp1;
\]
somit erf\"{u}llt $S$ das Antipodenaxiom, und der Beweis ist abgeschlossen.

Unser Vorhaben ist nun zu zeigen:

Sei $k$ algebraisch abgeschlossen mit $\operatorname*{char}k=0.$ Dann hat jede
cokommutative Hopfalgebra die Form $H\sharp k\left[  G\right]  $ (wie in
4.1.), wobei $G$ eine Gruppe und $H=U\left(  \mathfrak{g}\right)  $ f\"{u}r
eine Liealgebra $\mathfrak{g}$ ist.

Zuerst aber ein weiterer Begriff:

\textbf{Definition:} Sei $C$ eine Coalgebra, und sei $D\subseteq C$ eine
Untercoalgebra. Dann hei\ss t $D$ eine \textit{irreduzible Komponente} von
$C,$ wenn $D$ eine maximale irreduzible Untercoalgebra von $C$ ist. ("Maximal"
hei\ss t hier, wie immer, "maximal bez\"{u}glich Inklusion".)

Wir zeigen einige Hilfsresultate \"{u}ber allgemeine (nicht unbedingt
cokommutative) Coalgebren:

\textbf{4.2. Lemma:} Sei $C$ eine Coalgebra. Sei $\left(  C_{i}\right)  _{i\in
I}$ eine Familie von Untercoalgebren von $C.$ Sei $E\subseteq\sum\limits_{i\in
I}C_{i}$ eine einfache Untercoalgebra. Dann gibt es ein $i\in I$ mit
$E\subseteq C_{i}.$

\textit{Beweis:} Da $E$ endlichdimensional ist, d\"{u}rfen wir o. B. d. A.
annehmen, da\ss \ $I$ endlich ist. Also m\"{u}ssen wir nur noch zeigen: Wenn
$E\subseteq C_{i}+C_{j}$ f\"{u}r zwei $i,j\in I$ gilt, und $E\nsubseteq
C_{i},$ dann gilt $E\subseteq C_{j}.$

Dies beweisen wir wie folgt: Da $E$ einfach ist und $E\nsubseteq C_{i}$ ist,
ist $E\cap C_{i}=0.$ Also gibt es ein $f\in C^{\ast}$ mit $f\mid
_{E}=\varepsilon\mid_{E}$ und $f\mid_{C_{i}}=0.$

Sei $x\in E;$ dann gibt es $y\in C_{i}$ und $z\in C_{j}$ mit $x=y+z.$ Also ist
$x=x_{\left(  1\right)  }\underbrace{\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  }_{=f\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  }=x_{\left(  1\right)
}f\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  =y_{\left(  1\right)  }%
\underbrace{f\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=0}+z_{\left(
1\right)  }f\left(  z_{\left(  2\right)  }\right)  =z_{\left(  1\right)
}f\left(  z_{\left(  2\right)  }\right)  \in C_{j}.$ Damit ist $E\subseteq
C_{j}.$

\textbf{4.3. Satz:} Sei $C$ eine Coalgebra.

\textbf{1)} Jede Summe von paarweise verschiedenen einfachen Untercoalgebren
von $C$ ist direkt.

\textbf{2)} Jede irreduzible Untercoalgebra von $C$ liegt in genau einer
irreduziblen Komponente von $C.$

\textbf{3)} Jede Summe von paarweise verschiedenen irreduziblen Komponenten
von $C$ ist direkt.

\textbf{4)} Ist $C$ cokommutativ, so ist $C=\bigoplus
\limits_{\substack{D\subseteq C\\\text{irreduzible}\\\text{Komponente}%
\\\text{von }C}}D.$

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Seien $\left(  C_{i}\right)  _{i\in I}$ einfache
Untercoalgebren von $C$ mit $C_{i}\neq C_{j}$ f\"{u}r alle $i\neq j.$

\textit{Annahme:} Die Summe $\sum\limits_{i\in I}C_{i}$ sei nicht direkt. Dann
gibt es ein $i\in I$ mit $C_{i}\cap\sum\limits_{\substack{j\in I,\\j\neq
i}}C_{j}\neq0.$ Dann ist $C_{i}\subseteq\sum\limits_{\substack{j\in I,\\j\neq
i}}C_{j}$ (da $C_{i}$ einfach ist). Nach 4.2. gibt es also ein $j\neq i$ mit
$C_{i}\subseteq C_{j}.$ Da $C_{j}$ einfach ist, ist also $C_{i}=C_{j},$ im
Widerspruch zu $C_{i}\neq C_{j}.$ Also war die Annahme falsch, qed.

\textbf{2)} Sei $D$ eine irreduzible Untercoalgebra von $C.$ Wir m\"{u}ssen
nur zeigen: $\sum\limits_{\substack{C^{\prime}\text{ irreduzible}%
\\\text{Coalgebra mit}\\D\subseteq C^{\prime}\subseteq C}}C^{\prime}$ ist irreduzibel.

\textit{Beweis:} Sei $E\subseteq D$ die eindeutig bestimmte einfache
Untercoalgebra von $D.$ F\"{u}r alle irreduziblen Untercoalgebren $C^{\prime}$
von $C$ mit $D\subseteq C^{\prime}\subseteq C$ folgt dann, da\ss \ $E$ die
eindeutig bestimmte einfache Untercoalgebra von $C^{\prime}$ ist. Sei nun
$\widetilde{E}$ eine einfache Untercoalgebra von $\sum
\limits_{\substack{C^{\prime}\text{ irreduzible}\\\text{Coalgebra
mit}\\D\subseteq C^{\prime}\subseteq C}}C^{\prime}.$ Nach 4.2. gibt es dann
eine irreduzible Coalgebra $C^{\prime}$ mit $D\subseteq C^{\prime}\subseteq C$
mit $\widetilde{E}\subseteq C^{\prime}.$ Aber da $E$ die eindeutig bestimmte
einfache Untercoalgebra von $C^{\prime}$ ist, bedeutet dies $\widetilde{E}=E.$
Damit ist $\sum\limits_{\substack{C^{\prime}\text{ irreduzible}%
\\\text{Coalgebra mit}\\D\subseteq C^{\prime}\subseteq C}}C^{\prime}$
irreduzibel, was zu beweisen war.

\textbf{3)} Seien $\left(  C_{i}\right)  _{i\in I}$ irreduzible Komponenten
von $C$ mit $C_{i}\neq C_{j}$ f\"{u}r alle $i\neq j.$

\textit{Annahme:} Die Summe $\sum\limits_{i\in I}C_{i}$ sei nicht direkt. Dann
gibt es ein $i\in I$ mit $C_{i}\cap\sum\limits_{\substack{j\in I,\\j\neq
i}}C_{j}\neq0.$

Sei $E$ die eindeutig bestimmte einfache Untercoalgebra von $C_{i}.$ Aus
$C_{i}\cap\sum\limits_{\substack{j\in I,\\j\neq i}}C_{j}\neq0$ folgt dann
$E\subseteq\sum\limits_{\substack{j\in I,\\j\neq i}}C_{j}$%
\ \ \ \ \footnote{Denn wegen $C_{i}\cap\sum\limits_{\substack{j\in I,\\j\neq
i}}C_{j}\neq0$ hat $C_{i}\cap\sum\limits_{\substack{j\in I,\\j\neq i}}C_{j}$
eine einfache Untercoalgebra; diese mu\ss \ dann eine einfache Untercoalgebra
von $C_{i}$ sein, also mit $E$ \"{u}bereinstimmen.}. Nach 4.2. gibt es also
ein $j\neq i$ mit $E\subseteq C_{j}.$ Somit ist $C_{j}$ die (nach \textbf{2)}
eindeutig bestimmte!) irreduzible Komponente von $C,$ die $E$ enth\"{a}lt,
aber das ist $C_{i}$ auch. Also ist $C_{i}=C_{j},$ was einen Widerspruch zu
$C_{i}\neq C_{j}$ darstellt. Die Annahme war damit falsch.

\textbf{4)} Wir m\"{u}ssen (wegen \textbf{3)}) nur zeigen, da\ss \ $C$ eine
Summe irreduzibler Untercoalgebren ist. Nach dem Endlichkeitssatz f\"{u}r
Coalgebren reicht es aus, dies nur f\"{u}r den Fall von $\dim C<\infty$ zu
zeigen. Wir nehmen also o. B. d. A. an, da\ss \ $\dim C<\infty$ ist. Dann ist
$C^{\ast}$ eine endlichdimensionale kommutative Algebra. Nach Bemerkung 4.4.
weiter unten gibt es also endlich viele lokale\footnote{Hierbei hei\ss t ein
Ring \textit{lokal}, wenn er genau ein maximales Linksideal hat. (Hierzu
\"{a}quivalent ist folgende Definition: Ein Ring hei\ss t \textit{lokal}, wenn
er genau ein maximales Rechtsideal hat.)} kommutative Algebren $A_{1},$
$A_{2},$ $...,$ $A_{n}$ mit $C^{\ast}\cong A_{1}\times A_{2}\times...\times
A_{n}$ als Algebra. Dann ist $C\cong A_{1}^{\ast}\oplus A_{2}^{\ast}%
\oplus...\oplus A_{n}^{\ast}$ als Coalgebren; dabei sind $A_{1}^{\ast},$
$A_{2}^{\ast},$ $...,$ $A_{n}^{\ast}$ irreduzible Untercoalgebren von $C$ (da
f\"{u}r jede endlichdimensionale kommutative Algebra $A$ gilt: genau dann ist
$A$ lokal, wenn $A^{\ast}$ irreduzibel ist\footnote{\textit{Beweis:} Sei $A$
eine endlichdimensionale kommutative Algebra. Nach der Definition von lokalen
Ringen gilt: Genau dann ist $A$ lokal, wenn $A$ genau ein maximales Ideal hat
(denn da $A$ eine kommutative Algebra ist, bedeutet "Linksideal von $A$" das
gleiche wie "Ideal von $A$"). Doch genau dann hat $A$ genau ein maximales
Ideal, wenn die Coalgebra $A^{\ast}$ genau eine einfache Untercoalgebra hat
(denn laut Bemerkung 4.5 \textbf{1)} (angewandt auf $C=A^{\ast}$) stehen die
maximalen Ideale von $A^{\ast\ast}\cong A$ in Bijektion zu den einfachen
Untercoalgebren von $A^{\ast}$), also irreduzibel ist. Verkn\"{u}pfen wir
diese beiden \"{A}quivalenzen, so erhalten wir: Genau dann ist $A$ lokal, wenn
die Coalgebra $A^{\ast}$ irreduzibel ist. Qed.}).

\textbf{4.4. Bemerkung:} Nach Algebra II gilt f\"{u}r jede endlichdimensionale
Algebra $A$: Es gibt ein $n\in\mathbb{N}$ sowie direkt unzerlegbare
$A$-Linksuntermoduln $A_{i}\subseteq A$ f\"{u}r alle $i\in\left\{
1,2,...,n\right\}  $ so, da\ss \ $A=A_{1}\oplus A_{2}\oplus...\oplus A_{n}$
gilt und der Ring $\operatorname*{End}_{A}\left(  A_{i}\right)  $ lokal ist
f\"{u}r alle $i.$

Sei $1=e_{1}+e_{2}+...+e_{n},$ wobei $e_{i}\in A_{i}$ f\"{u}r jedes $i$ ist.
Dann ist $e_{i}^{2}=e_{i}$ und $A_{i}=Ae_{i}$ f\"{u}r jedes $i,$ also
$\operatorname*{End}_{A}\left(  A_{i}\right)  =\operatorname*{End}_{A}\left(
Ae_{i}\right)  \cong e_{i}Ae_{i}$ (denn es gibt den Isomorphismus $e_{i}%
Ae_{i}\rightarrow\operatorname*{End}_{A}\left(  Ae_{i}\right)  ,$ der jedes
$x$ auf die Rechtsmultiplikation mit $x$ abbildet).

Falls $A$ au\ss erdem kommutativ ist, folgt: $A=Ae_{1}\oplus Ae_{2}%
\oplus...\oplus Ae_{n},$ wobei $Ae_{i}$ lokaler Ring mit Eins $e_{i}$ ist
f\"{u}r alle $i.$

\textbf{Definition:} Sei $V$ ein Vektorraum.

\textbf{(a)} F\"{u}r jeden Untervektorraum $X\subseteq V$ definieren wir einen
Untervektorraum $X^{\perp}\subseteq V^{\ast}$ durch%
\[
X^{\perp}=\left\{  f\in V^{\ast}\ \mid\ \text{f\"{u}r alle }x\in X\text{ ist
}f\left(  x\right)  =0\right\}  .
\]


\textbf{(b)} F\"{u}r jeden Untervektorraum $Y\subseteq V^{\ast}$ definieren
wir einen Untervektorraum $Y^{\top}\subseteq V$ durch%
\[
Y^{\top}=\left\{  v\in V\ \mid\ \text{f\"{u}r alle }f\in Y\text{ ist }f\left(
v\right)  =0\right\}  .
\]


\textit{Bemerkung:} Ist $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum, dann ist $V$
kanonisch isomorph zu $V^{\ast\ast}$, und wenn wir auf diese Weise $V$ mit
$V^{\ast\ast}$ identifizieren, wird f\"{u}r jeden Untervektorraum $Y\subseteq
V^{\ast}$ der Vektorraum $Y^{\top}\subseteq V$ identisch mit dem Vektorraum
$Y^{\perp}\subseteq V^{\ast\ast}$. Doch wir wollen hier nicht $V$ mit
$V^{\ast\ast}$ identifizieren, weil wir nicht nur \"{u}ber endlichdimensionale
Vektorr\"{a}ume $V$ reden.

Wir beweisen jetzt ein Resultat, das die Aufgaben 1 und 2 von \"{U}bungsblatt
12 beinhaltet:

\textbf{4.5. Bemerkung:} Sei $C$ eine endlichdimensionale Coalgebra. Dann gilt:

\textbf{1)} Die Abbildungen%
\begin{align*}
\left\{  X\subseteq C\ \mid\ X\text{ ist Untervektorraum}\right\}   &
\rightarrow\left\{  Y\subseteq C^{\ast}\ \mid\ Y\text{ ist Untervektorraum}%
\right\}  ,\\
X  &  \mapsto X^{\perp}%
\end{align*}
und%
\begin{align*}
\left\{  Y\subseteq C^{\ast}\ \mid\ Y\text{ ist Untervektorraum}\right\}   &
\rightarrow\left\{  X\subseteq C\ \mid\ X\text{ ist Untervektorraum}\right\}
,\\
Y  &  \mapsto Y^{\top}%
\end{align*}
sind zueinander inverse Bijektionen und induzieren Bijektionen zwischen der
Teilmenge
\[
\left\{  X\subseteq C\ \mid\ X\text{ ist eine einfache Untercoalgebra von
}C\right\}  \text{ von }\left\{  X\subseteq C\ \mid\ X\text{ ist
Untervektorraum}\right\}
\]
und der Teilmenge%
\[
\left\{  Y\subseteq C^{\ast}\ \mid\ Y\text{ ist ein maximales Ideal von
}C^{\ast}\right\}  \text{ von }\left\{  Y\subseteq C^{\ast}\ \mid\ Y\text{ ist
Untervektorraum}\right\}  .
\]


\textbf{2)} Das Jacobson-Radikal $\operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast}\right)  $
von $C^{\ast}$ erf\"{u}llt $\operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast}\right)
=C_{0}^{\perp}.$ (Hierbei bezeichnet $C_{0}$ das Coradikal von $C.$)

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Wir bezeichnen mit $\operatorname*{orc}%
\nolimits_{1}$ die Abbildung%
\begin{align*}
\left\{  X\subseteq C\ \mid\ X\text{ ist Untervektorraum}\right\}   &
\rightarrow\left\{  Y\subseteq C^{\ast}\ \mid\ Y\text{ ist Untervektorraum}%
\right\}  ,\\
X  &  \mapsto X^{\perp},
\end{align*}
und wir bezeichnen mit $\operatorname*{orc}\nolimits_{2}$ die Abbildung%
\begin{align*}
\left\{  Y\subseteq C^{\ast}\ \mid\ Y\text{ ist Untervektorraum}\right\}   &
\rightarrow\left\{  X\subseteq C\ \mid\ X\text{ ist Untervektorraum}\right\}
,\\
Y  &  \mapsto Y^{\top}.
\end{align*}
Die Abbildungen $\operatorname*{orc}\nolimits_{1}$ und $\operatorname*{orc}%
\nolimits_{2}$ sind zueinander inverse Bijektionen (dies ist ein fundamentales
Resultat aus der Linearen Algebra, und ben\"{o}tigt nicht die
Coalgebrastruktur auf $C$; es reicht aus, da\ss \ $C$ ein endlichdimensionaler
Vektorraum ist). Wir m\"{u}ssen jetzt zeigen, da\ss \ diese Bijektionen auch
Bijektionen zwischen der Teilmenge
\[
\left\{  X\subseteq C\ \mid\ X\text{ ist eine einfache Untercoalgebra von
}C\right\}  \text{ von }\left\{  X\subseteq C\ \mid\ X\text{ ist
Untervektorraum}\right\}
\]
und der Teilmenge%
\[
\left\{  Y\subseteq C^{\ast}\ \mid\ Y\text{ ist ein maximales Ideal von
}C^{\ast}\right\}  \text{ von }\left\{  Y\subseteq C^{\ast}\ \mid\ Y\text{ ist
Untervektorraum}\right\}  .
\]
induzieren. Das hei\ss t, wir m\"{u}ssen zeigen, da\ss \ folgendes gilt:
F\"{u}r einen Untervektorraum $X\subseteq C$ ist genau dann $X$ eine einfache
Untercoalgebra von $C$, wenn $\operatorname*{orc}\nolimits_{1}X$ ein maximales
Ideal von $C^{\ast}$ ist.

\textbf{(a)} F\"{u}r einen Untervektorraum $X\subseteq C$ ist genau dann $X$
eine Untercoalgebra von $C$, wenn $X^{\perp}$ ein Ideal von $C^{\ast}$ ist.
(Dieses Resultat werden wir erst in Abschnitt 5 beweisen, wo es als Satz 5.9
auftauchen wird. Aber es ist ein einfaches Resultat und der Leser sollte keine
M\"{u}he haben, es selber herzuleiten.)

\textbf{(b)} Jetzt werden wir zeigen: F\"{u}r einen Untervektorraum
$X\subseteq C$ ist genau dann $X$ eine einfache Untercoalgebra von $C$, wenn
$X^{\perp}$ ein maximales Ideal von $C^{\ast}$ ist.

$\Longrightarrow:$ Angenommen, $X$ ist eine einfache Untercoalgebra von $C$.
Gem\"{a}\ss \ \textbf{(a)} ist also $X^{\perp}$ ein Ideal von $C^{\ast}$. Es
gilt $X^{\perp}\neq C^{\ast}$ (denn sonst w\"{a}re $X^{\perp}=C^{\ast}$ und
damit $\left(  X^{\perp}\right)  ^{\top}=\left(  C^{\ast}\right)  ^{\top}$,
also $X=\left(  X^{\perp}\right)  ^{\top}=\left(  C^{\ast}\right)  ^{\top}=0$
im Widerspruch zur Einfachheit von $X$). F\"{u}r jedes Ideal $Y$ von $C^{\ast
}$, das $X^{\perp}\subseteq Y$ erf\"{u}llt, gilt entweder $Y=C^{\ast}$ oder
$Y=X^{\perp}$\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Aus $X^{\perp}\subseteq Y$
folgt $\left(  X^{\perp}\right)  ^{\top}\supseteq Y^{\top}$, was wegen
$\left(  X^{\perp}\right)  ^{\top}=X$ zu $X\supseteq Y^{\top}$ f\"{u}hrt.
Ferner ist $Y^{\top}$ eine Untercoalgebra von $C$ (gem\"{a}\ss \ \textbf{(a)},
denn $\left(  Y^{\top}\right)  ^{\perp}=Y$ ist ein Ideal von $C^{\ast}$), also
eine Untercoalgebra von $X$ (da $X\supseteq Y^{\top}$). Da $X$ einfach ist,
ist also entweder $Y^{\top}=0$ oder $Y^{\top}=X$. Hieraus folgt entweder
$\left(  Y^{\top}\right)  ^{\perp}=0^{\perp}$ oder $\left(  Y^{\top}\right)
^{\perp}=X^{\perp}$. Wegen $\left(  Y^{\top}\right)  ^{\perp}=Y$ und
$0^{\perp}=C^{\ast}$ hei\ss t dies: entweder $Y=C^{\ast}$ oder $Y=X^{\perp}$%
.}. Somit ist $X^{\perp}$ ein maximales Ideal von $C^{\ast}$.

$\Longleftarrow:$ Angenommen, $X^{\perp}$ ist ein maximales Ideal von
$C^{\ast}$. Gem\"{a}\ss \ \textbf{(a)} ist dann $X$ eine Untercoalgebra von
$C$. Es gilt $X\neq0$ (denn sonst w\"{a}re $X=0$ und damit $X^{\perp}%
=0^{\perp}=C^{\ast},$ im Widerspruch dazu, da\ss \ $X^{\perp}$ ein maximales
Ideal von $C^{\ast}$ ist). F\"{u}r jede Untercoalgebra $Y$ von $X$ gilt nun
entweder $Y=0$ oder $Y=X$\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Da $Y$ eine
Untercoalgebra von $X$ ist, ist $Y$ eine Untercoalgebra von $C$, und nach
\textbf{(a)} ist also $Y^{\perp}$ ein Ideal von $C^{\ast}$. Aus $Y\subseteq X$
folgt $Y^{\perp}\supseteq X^{\perp}$, und da $X^{\perp}$ ein maximales Ideal
von $C^{\ast}$ ist, folgt hieraus entweder $Y^{\perp}=C^{\ast}$ oder
$Y^{\perp}=X^{\perp}$ (denn $Y^{\perp}$ ist ein Ideal von $C^{\ast}$).
Folglich ist entweder $\left(  Y^{\perp}\right)  ^{\top}=\left(  C^{\ast
}\right)  ^{\top}$ oder $\left(  Y^{\perp}\right)  ^{\top}=\left(  X^{\perp
}\right)  ^{\top}$. Wegen $\left(  Y^{\perp}\right)  ^{\top}=Y,$ $\left(
C^{\ast}\right)  ^{\top}=0$ und $\left(  X^{\perp}\right)  ^{\top}=X$ bedeutet
dies: entweder $Y=0$ oder $Y=X$.}. Somit ist $X$ eine einfache Untercoalgebra
von $C$.

Damit sind beide Richtungen bewiesen, und \textbf{(b)} ist gezeigt.

\textbf{(c)} Aus \textbf{(b)} folgt direkt die zu beweisende Aussage, denn
$X^{\perp}$ ist nichts anderes als $\operatorname*{orc}\nolimits_{1}X$.

\textbf{2)} \textbf{(a)} Laut Folgerung 6.8 in Kapitel I gilt:

Ist $R$ ein artinscher Ring, dann ist die Schnittmenge aller maximalen Ideale
von $R$ gleich $\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $. Das hei\ss t,
$\bigcap\limits_{\substack{\mathfrak{m}\text{ maximales}\\\text{Ideal von }%
R}}\mathfrak{m}=\operatorname*{Ra}\left(  R\right)  $.

\textbf{(b)} Jetzt beweisen wir 4.5. \textbf{2)}:

Laut \textbf{1)} induziert die Abbildung
\begin{align*}
\left\{  X\subseteq C\ \mid\ X\text{ ist Untervektorraum}\right\}   &
\rightarrow\left\{  Y\subseteq C^{\ast}\ \mid\ Y\text{ ist Untervektorraum}%
\right\}  ,\\
X  &  \mapsto X^{\perp}%
\end{align*}
eine Bijektion zwischen der Teilmenge
\[
\left\{  X\subseteq C\ \mid\ X\text{ ist eine einfache Untercoalgebra von
}C\right\}  \text{ von }\left\{  X\subseteq C\ \mid\ X\text{ ist
Untervektorraum}\right\}
\]
und der Teilmenge%
\[
\left\{  Y\subseteq C^{\ast}\ \mid\ Y\text{ ist ein maximales Ideal von
}C^{\ast}\right\}  \text{ von }\left\{  Y\subseteq C^{\ast}\ \mid\ Y\text{ ist
Untervektorraum}\right\}  .
\]
Somit ist%
\begin{align*}
\bigcap_{\substack{\mathfrak{m}\text{ maximales}\\\text{Ideal von }C^{\ast}%
}}\mathfrak{m}  &  =\bigcap_{\substack{X\text{ einfache}\\\text{Untercoalgebra
von }C}}X^{\perp}=\left(  \underbrace{\sum_{\substack{X\text{ einfache}%
\\\text{Untercoalgebra von }C}}X}_{=C_{0}}\right)  ^{\perp}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach Linearer Algebra}\right) \\
&  =C_{0}^{\perp}.
\end{align*}
Wegen $\bigcap\limits_{\substack{\mathfrak{m}\text{ maximales}\\\text{Ideal
von }C^{\ast}}}\mathfrak{m}=\operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast}\right)  $
(gem\"{a}\ss \ \textbf{(a)}, denn der Ring $C^{\ast}$ ist
artinsch\footnote{Denn $C^{\ast}$ ist eine endlichdimensionale $k$-Algebra.})
ist also $\operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast}\right)  =C_{0}^{\perp}$, und
damit ist 4.5. \textbf{2)} gezeigt.

\textit{Bemerkung:} \"{U}brigens gilt 4.5. \textbf{2)} auch f\"{u}r
unendlichdimensionale Coalgebren $C.$

\textbf{4.6. Satz:} Seien $C$ und $D$ zwei Coalgebren.

\textbf{1)} Dann ist $\left(  C\otimes D\right)  _{0}\subseteq C_{0}\otimes
D_{0}.$

\textbf{2)} Insbesondere ist $C\otimes D$ punktiert, falls $C$ und $D$
punktiert sind.

\textbf{3)} Insbesondere ist $C\otimes D$ punktiert und irreduzibel, falls $C$
und $D$ punktiert und irreduzibel sind.

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Nach dem Endlichkeitssatz f\"{u}r Coalgebren
nehmen wir o. B. d. A. an, da\ss \ $C$ und $D$ endlichdimensional sind. Also
gibt es eine kanonische Isomorphie $C^{\ast}\otimes D^{\ast}\cong\left(
C\otimes D\right)  ^{\ast}.$

Sei $I=C_{0}^{\perp}\otimes D^{\ast}+C^{\ast}\otimes D_{0}^{\perp}\subseteq
C^{\ast}\otimes D^{\ast};$ offenbar ist $I$ ein Ideal in $C^{\ast}\otimes
D^{\ast}.$

\textbf{a)} Wir zeigen jetzt, da\ss \ $\left(  C\otimes D\right)
_{0}\subseteq I^{\top}$ ist (wobei $I$ als Untervektorraum von $\left(
C\otimes D\right)  ^{\ast}$ aufgefasst wird).

\textit{Beweis:} Nach Bemerkung 4.5. \textbf{2)} ist $\operatorname*{Ra}%
\left(  C^{\ast}\right)  =C_{0}^{\perp}$ und $\operatorname*{Ra}\left(
D^{\ast}\right)  =D_{0}^{\perp};$ beide Radikale $\operatorname*{Ra}\left(
C^{\ast}\right)  =C_{0}^{\perp}$ und $\operatorname*{Ra}\left(  D^{\ast
}\right)  =D_{0}^{\perp}$ sind nilpotent (da $C$ und $D$ endlichdimensional
sind). Daher sind auch die Ideale $C_{0}^{\perp}\otimes D^{\ast}$ und
$C^{\ast}\otimes D_{0}^{\perp}$ der Algebra $C^{\ast}\otimes D^{\ast}%
\cong\left(  C\otimes D\right)  ^{\ast}$ nilpotent. Folglich ist auch das
Ideal $I=C_{0}^{\perp}\otimes D^{\ast}+C^{\ast}\otimes D_{0}^{\perp}$
nilpotent (denn die Summe zweier nilpotenter Ideale ist nilpotent). F\"{u}r
jedes maximale Ideal $M\vartriangleleft\left(  C\otimes D\right)  ^{\ast}$ ist
somit $I\subseteq M\ \ \ \ $\footnote{Dies folgt aus Folgerung 6.10 von
Kapitel I (angewandt auf $R=\left(  C\otimes D\right)  ^{\ast}$).}. Also ist
$M^{\top}\subseteq I^{\top}$ f\"{u}r jedes maximale Ideal $M\vartriangleleft
\left(  C\otimes D\right)  ^{\ast}.$ Nach 4.5. \textbf{1)} bedeutet dies:
$E\subseteq I^{\top}$ f\"{u}r jede einfache Untercoalgebra $E\subseteq
C\otimes D.$ Das hei\ss t, $\left(  C\otimes D\right)  _{0}\subseteq I^{\top
}.$

\textbf{b)} Nun zeigen wir, da\ss \ $I^{\top}\subseteq C_{0}\otimes D_{0}.$

\textit{Beweis:} Zuerst werden wir beweisen, da\ss \ $I^{\top}\subseteq
C_{0}\otimes D$ gilt. Dazu betrachten wir ein beliebiges Element
$x=\sum\limits_{i=1}^{n}c_{i}\otimes d_{i}\in I^{\top},$ wobei $\left(
d_{i}\right)  _{i}$ linear unabh\"{a}ngig sind. Da $I^{\top}\subseteq\left(
C_{0}^{\perp}\otimes D^{\ast}\right)  ^{\top}$ ist (denn $C_{0}^{\perp}\otimes
D^{\ast}\subseteq I$), ist also $x\in\left(  C_{0}^{\perp}\otimes D^{\ast
}\right)  ^{\top},$ und daher gilt f\"{u}r alle $f\in C_{0}^{\perp}$ und alle
$g\in D^{\ast}$ die Gleichung $0=\left(  f\otimes g\right)  \left(  x\right)
=\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(  c_{i}\right)  \otimes g\left(  d_{i}\right)  .$
W\"{a}hle nun zu jedem $l$ ein $g_{l}\in D^{\ast}$ mit $g_{l}\left(
d_{j}\right)  =\delta_{l,j}$ f\"{u}r alle $j.$ Dann folgt also $0=\sum
\limits_{i=1}^{n}f\left(  c_{i}\right)  \otimes g_{l}\left(  d_{i}\right)
=f\left(  c_{l}\right)  .$ Da dies f\"{u}r alle $f\in C_{0}^{\perp}$ gilt, ist
also $c_{l}\in\left(  C_{0}^{\perp}\right)  ^{\top}=C_{0}$ f\"{u}r alle $l.$
Damit ist $x=\sum\limits_{i=1}^{n}\underbrace{c_{i}}_{\in C_{0}}%
\otimes\underbrace{d_{i}}_{\in D}\in C_{0}\otimes D$. Somit ist $I^{\top
}\subseteq C_{0}\otimes D$ gezeigt. Analog beweist man $I^{\top}\subseteq
C\otimes D_{0}.$ Somit ist $I^{\top}\subseteq\left(  C_{0}\otimes D\right)
\cap\left(  C\otimes D_{0}\right)  =C_{0}\otimes D_{0}$ (dies folgt aus Lemma
5.8 \textbf{(b)} weiter unten), was zu beweisen war.

Aus \textbf{a)} und \textbf{b)} folgt $\left(  C\otimes D\right)
_{0}\subseteq I^{\top}\subseteq C_{0}\otimes D_{0},$ und damit ist \textbf{1)} bewiesen.

\textbf{2)} Wenn $C$ und $D$ punktiert sind, dann ist $\left(  C\otimes
D\right)  _{0}$ punktiert, weil $C_{0}\otimes D_{0}$ punktiert ist und
$\left(  C\otimes D\right)  _{0}\subseteq C_{0}\otimes D_{0}$ gilt (nach
\textbf{1)}).\footnote{\textit{Anmerkung von Darij:} Hier wird verwendet,
da\ss \ die Coalgebra $C_{0}\otimes D_{0}$ punktiert ist. Hier ist ein Beweis
f\"{u}r diese Tatsache:
\par
Wir haben $C_{0}=\sum\limits_{\substack{X\subseteq C\\\text{einfache}%
\\\text{Untercoalgebra}}}X.$ Da $C$ punktiert ist, sind aber alle einfachen
Untercoalgebren von $C$ eindimensional. Daher ist $C_{0}$ eine Summe
eindimensionaler Untercoalgebren. Analog ist $D_{0}$ eine Summe
eindimensionaler Untercoalgebren. Somit ist auch $C_{0}\otimes D_{0}$ eine
Summe eindimensionaler Untercoalgebren (denn das Tensorprodukt zweier
eindimensionaler Coalgebren ist wieder eindimensional). Nach 4.2. ist also
jede einfache Untercoalgebra von $C_{0}\otimes D_{0}$ in einer dieser
eindimensionalen Coalgebren enthalten, und damit selber eindimensional (denn
ein Untervektorraum eines eindimensionalen Vektorraumes ist stets selbst
eindimensional oder $0$). Daher ist $C_{0}\otimes D_{0}$ punktiert.} Nach 4.2.
folgt hieraus, da\ss \ $C\otimes D$ punktiert ist.

\textbf{3)} Analog zu \textbf{2)}.

\textbf{Definition:} Sei $C$ eine Coalgebra.

F\"{u}r alle $n\geq0$ definieren wir rekursiv einen Untervektorraum $C_{n}$
von $C$ wie folgt: Wie immer sei $C_{0}$ das Coradikal von $C.$ F\"{u}r jedes
$n\geq1$ definiere man $C_{n}$ durch $C_{n}=\Delta^{-1}\left(  C\otimes
C_{n-1}+C_{0}\otimes C\right)  .$

Dann ist $\left(  C_{n}\right)  _{n\geq0}$ eine Familie von
Untervektorr\"{a}umen des Vektorraums $C.$ Sie hei\ss t die
\textit{Coradikalfiltrierung} von $C.$ (Dieser Begriff ist ein wenig
gef\"{a}hrlich, denn wir wissen noch nicht, da\ss \ $\left(  C_{n}\right)
_{n\geq0}$ eine Filtrierung ist; aber dies ist die Aussage von Satz 4.7 und
wird sp\"{a}ter bewiesen.)

Wir wollen jetzt ein Resultat zitieren, das wir erst in Abschnitt 5 beweisen werden:

\textbf{4.7. Satz:} Sei $C$ eine Coalgebra. Dann ist die Coradikalfiltrierung
$\left(  C_{n}\right)  _{n\geq0}$ eine Coalgebrafiltrierung der Coalgebra $C$.

\textbf{4.8. Folgerung:} Sei $C$ eine Coalgebra, und sei $k\subseteq K$ eine
K\"{o}rpererweiterung. Dann ist $\left(  K\otimes C\right)  _{0}\subseteq
K\otimes C_{0}.$

Insbesondere ist $K\otimes C$ punktiert, falls $C$ punktiert ist. Ferner ist
$K\otimes C$ punktiert und irreduzibel, falls $C$ punktiert und irreduzibel ist.

\textit{Beweis:} Betrachte die Coradikalfiltrierung $C_{0}\subseteq
C_{1}\subseteq C_{2}\subseteq...$ von $C.$ Nach 4.7. ist dann $C_{0}\subseteq
C_{1}\subseteq C_{2}\subseteq...$ eine Coalgebrafiltrierung von $C$, und somit
$K\otimes C_{0}\subseteq K\otimes C_{1}\subseteq K\otimes C_{2}\subseteq...$
eine Coalgebrafiltrierung von $K\otimes C.$ Nach 2.12. ist dann $\left(
K\otimes C\right)  _{0}\subseteq K\otimes C_{0}.$

\textbf{4.9. Folgerung:} Seien $C$ und $D$ zwei Coalgebren. Sei
$f:C\rightarrow D$ ein surjektiver Coalgebrahomomorphismus. Dann ist $f\left(
C_{0}\right)  \supseteq D_{0}.$

\textit{Beweis:} Betrachte die Coradikalfiltrierung $C_{0}\subseteq
C_{1}\subseteq C_{2}\subseteq...$ von $C.$ Dann ist $C_{0}\subseteq
C_{1}\subseteq C_{2}\subseteq...$ eine Coalgebrafiltrierung von $C$ (laut Satz
4.7). Somit ist $f\left(  C_{0}\right)  \subseteq f\left(  C_{1}\right)
\subseteq f\left(  C_{2}\right)  \subseteq...$ eine Coalgebrafiltrierung von
$D.$ Nach 2.12. ist dann $D_{0}\subseteq f\left(  C_{0}\right)  .$

\textbf{4.9}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{.
Folgerung:} Seien $C$ und $D$ zwei Coalgebren. Sei $f:C\rightarrow D$ ein Coalgebrahomomorphismus.

\textbf{a)} Ist $C$ punktiert, so ist auch $f\left(  C\right)  $ punktiert.

\textbf{b)} Ist $C$ punktiert und irreduzibel, so ist auch $f\left(  C\right)
$ punktiert und irreduzibel.

\textit{Beweis:}\footnote{Der nachfolgende Beweis stammt von mir (Darij) und
ist vermutlich unn\"{o}tig lang.} Ohne Beschr\"{a}nkung der Allgemeinheit
nehmen wir an, da\ss \ $f$ surjektiv ist, d. h. da\ss \ $f\left(  C\right)
=D$ ist (sonst ersetzen wir einfach $D$ durch $f\left(  C\right)  $). Nach
4.9. ist dann $f\left(  C_{0}\right)  \supseteq D_{0}.$

\textbf{a)} Jede einfache Untercoalgebra von $D$ ist im Coradikal $D_{0}$
enthalten, also auch in $f\left(  C_{0}\right)  $ (da $f\left(  C_{0}\right)
\supseteq D_{0}$). Doch da $C$ punktiert ist, sind alle einfachen
Untercoalgebren von $C$ eindimensional, und somit ist $C_{0}$ eine Summe von
eindimensionalen Coalgebren (denn $C_{0}=\sum\limits_{\substack{E\subseteq
C\\\text{einfache}\\\text{Untercoalgebra}}}E$). Also ist auch $f\left(
C_{0}\right)  $ eine Summe von eindimensionalen Coalgebren (denn das Bild
einer eindimensionalen Coalgebra unter $f$ ist entweder eindimensional oder
$0$). Sei nun $E$ eine einfache Untercoalgebra von $D.$ Wie wir wissen, ist
dann $E\subseteq f\left(  C_{0}\right)  .$ Da $f\left(  C_{0}\right)  $ eine
Summe von eindimensionalen Coalgebren ist, gibt es (laut 4.2.) also eine
eindimensionale Coalgebra $G\subseteq f\left(  C_{0}\right)  $ mit $E\subseteq
G.$ Da $G$ eindimensional ist, mu\ss \ also $E$ eindimensional sein (denn
$E\neq0$). Damit ist gezeigt, da\ss \ jede einfache Untercoalgebra von $D$
eindimensional ist; daher ist $D$ punktiert, was zu beweisen war.

\textbf{b)} Da $C$ irreduzibel ist, hat $C$ genau eine einfache
Untercoalgebra. Wegen $C_{0}=\sum\limits_{\substack{E\subseteq
C\\\text{einfache}\\\text{Untercoalgebra}}}E$ mu\ss \ also $C_{0}$ diese
einfache Untercoalgebra sein. Da $C$ punktiert ist, ist jede einfache
Untercoalgebra von $C$ eindimensional; also ist $C_{0}$ eindimensional. Daher
ist $f\left(  C_{0}\right)  $ eindimensional oder gleich $0$ (denn das Bild
einer eindimensionalen Coalgebra unter $f$ ist entweder eindimensional oder
$0$). Wegen $f\left(  C_{0}\right)  \supseteq D_{0}$ ist also auch $D_{0}$
eindimensional oder gleich $0.$ Doch $D_{0}\neq0$ (denn sonst h\"{a}tte $D$
keine einfachen Untercoalgebren, weil $D_{0}=\sum\limits_{\substack{F\subseteq
D\\\text{einfache}\\\text{Untercoalgebra}}}F$). Also ist $D_{0}$ eindimensional.

Da jede einfache Untercoalgebra von $D$ in $D_{0}$ enthalten ist (denn
$D_{0}=\sum\limits_{\substack{F\subseteq D\\\text{einfache}%
\\\text{Untercoalgebra}}}F$), mu\ss \ also jede einfache Untercoalgebra von
$D$ gleich $D_{0}$ sein (denn ein eindimensionaler Vektorraum enth\"{a}lt nur
zwei Vektorr\"{a}ume: sich selbst und $0$). Ferner ist $D_{0}$ selbst einfach
(weil eindimensional). Somit besitzt $D$ genau eine einfache Untercoalgebra,
n\"{a}mlich $D_{0}.$ Daher ist $D$ irreduzibel, und nach \textbf{a)} auch
punktiert, was zu beweisen war.

\textbf{4.10. Bemerkung:} Sei $G$ eine Gruppe. Sei $H$ eine Hopfalgebra. Eine
$k\left[  G\right]  $-Linksmodulalgebrastruktur auf $H$ mit den Axiomen von
4.1. entspricht eineindeutig einer Vorgabe eines Gruppenhomomorphismus
$\rho:G\rightarrow\operatorname*{Hopfaut}H$ (wobei wir mit
$\operatorname*{Hopfaut}H$ die Gruppe aller Hopfalgebraautomorphismen von $H$
bezeichnen). Ausgehend von der $k\left[  G\right]  $-Linksmodulalgebrastruktur
auf $H$ erh\"{a}lt man den Gruppenhomomorphismus $\rho$ durch $\rho\left(
g\right)  \left(  x\right)  =g\cdot x$ f\"{u}r alle $g\in G$ und $x\in H.$

Insbesondere induziert f\"{u}r jede Liealgebra $\mathfrak{g}$ jeder
Gruppenhomomorphismus $\rho:G\rightarrow\operatorname*{Lieaut}\mathfrak{g}%
$\ \ \ \ \footnote{Hierbei bezeichnen wir mit $\operatorname*{Lieaut}%
\mathfrak{g}$ die Gruppe aller Liealgebraautomorphismen der Liealgebra
$\mathfrak{g}$.} einen Gruppenhomomorphismus $G\rightarrow
\operatorname*{Lieaut}\mathfrak{g}\rightarrow\operatorname*{Hopfaut}\left(
U\left(  \mathfrak{g}\right)  \right)  $.

Falls $\operatorname*{char}k=0,$ dann gilt nach 2.13. \textbf{5)} aber
$\operatorname*{Lieaut}\mathfrak{g}\cong\operatorname*{Hopfaut}\left(
U\left(  \mathfrak{g}\right)  \right)  .$

\textbf{4.11. Satz (Cartier-Kostant):} Sei $H$ eine Hopfalgebra. Sei
$G=G\left(  H\right)  .$ F\"{u}r jedes $g\in G$ sei $H^{g}$ die irreduzible
Komponente von $H,$ die $g$ enth\"{a}lt. Sei $H^{\prime}=\sum\limits_{g\in
G}H^{g}.$

\textbf{1)} Dann ist%
\[
\rho:G\rightarrow\operatorname*{Hopfaut}H^{\prime},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rho
\left(  g\right)  \left(  x\right)  =gxg^{-1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }g\in G\text{ und }x\in H^{\prime},
\]
ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus.

%Dieser Gruppenhomomorphismus ergibt einen Gruppenhomomorphismus
%$G\rightarrow\operatorname*{Hopfaut}H^{\prime}\rightarrow
%\operatorname*{Algaut}H^{\prime}$ (wobei $\operatorname*{Algaut}H^{\prime}$
%die Gruppe aller Algebraautomorphismen der Algebra $H^{\prime}$ bezeichnet),
%also eine $k\left[  G\right]  $-Linksmodulstruktur auf $H^{\prime}$. Dadurch
%wird $H^{\prime}$ zu einer $k\left[  G\right]  $-Linksmodulalgebra.


Ferner ist%
\[
H^{1}\sharp k\left[  G\right]  \rightarrow H^{\prime}%
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\sharp g\mapsto xg
\]
ein Hopfalgebraisomorphismus, wobei die Hopfalgebrastruktur auf $H^{1}\sharp
k\left[  G\right]  $ wie in Bemerkung 4.1. verm\"{o}ge $\rho$ definiert ist.

\textbf{2)} Falls $H$ punktiert und cokommutativ ist, so gilt $H^{1}\sharp
k\left[  G\right]  \cong H.$

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Wir wollen nicht beweisen, da\ss \ $\rho$ ein
wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist, denn dies ist beinahe trivial.

%Auch ist leicht nachzurechnen, da\ss \ $H^{\prime}$ zu einer $k\left[
%G\right]  $-Linksmodulalgebra wird.


\textbf{a)} Wir zeigen zuerst: F\"{u}r alle $g\in G$ ist $H^{g}=gH^{1}%
=H^{1}g.$

\textit{Beweis:} Sei $g\in G,$ und sei%
\[
\phi:H\rightarrow H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto gx.
\]
Dann ist $\phi$ ein Coalgebraisomorphismus. Also ist $\phi\left(
H^{1}\right)  $ eine irreduzible Komponente von $H,$ die $\phi\left(
1\right)  $ enth\"{a}lt (denn $H^{1}$ ist eine irreduzible Komponente von $H,$
die $1$ enth\"{a}lt). Wegen $\phi\left(  1\right)  =g$ bedeutet dies,
da\ss \ $\phi\left(  H^{1}\right)  $ eine irreduzible Komponente von $H$ ist,
die $g$ enth\"{a}lt. Also ist $\phi\left(  H^{1}\right)  =H^{g}.$ Das
hei\ss t, $gH^{1}=H^{g}.$ Ebenso ist $H^{1}g=H^{g}.$

\textbf{b)} Jetzt zeigen wir: F\"{u}r alle $g\in G$ ist $S\left(
H^{g}\right)  \subseteq H^{g^{-1}}.$

\textit{Beweis:} Da $S:H^{\operatorname*{cop}}\rightarrow H$ ein
Coalgebrahomomorphismus ist, ist $S\left(  H^{g}\right)  $ punktiert und
irreduzibel (nach 4.9$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$., denn $H^{g}$ ist punktiert
und irreduzibel) und erf\"{u}llt $g^{-1}=S\left(  g\right)  \in S\left(
H^{g}\right)  .$ Daher ist $S\left(  H^{g}\right)  \subseteq H^{g^{-1}}.$

\textbf{c)} Nun zeigen wir, da\ss \ $\left(  H^{1}\right)  ^{2}=H^{1}$ ist
(wobei $\left(  H^{1}\right)  ^{2}=\left\langle xy\mid x,y\in H^{1}%
\right\rangle $ als Vektorraum).

\textit{Beweis:} Da $H^{1}$ punktiert und irreduzibel ist, folgt aus 4.6.,
da\ss \ $H^{1}\otimes H^{1}$ punktiert und irreduzibel ist. Nach
4.9$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$. \textbf{b)} ist also $\left(  H^{1}\right)
^{2}=\operatorname{Im}\left(  H^{1}\otimes H^{1}\overset{\mu}{\rightarrow
}H\right)  $ punktiert und irreduzibel (denn $\mu$ ist ein
Coalgebrahomomorphismus). Da $1\in\left(  H^{1}\right)  ^{2}$ ist (dies folgt
aus $1\in H^{1}$), folgt hieraus $\left(  H^{1}\right)  ^{2}\subseteq H^{1}.$
Also ist $\left(  H^{1}\right)  ^{2}=H^{1}$ (denn $1\in H^{1}$ ergibt
$H^{1}=H^{1}\cdot\underbrace{1}_{\in H^{1}}\subseteq H^{1}\cdot H^{1}=\left(
H^{1}\right)  ^{2}$).

\textbf{d)} Nach 4.3. \textbf{3)} ist $H^{\prime}=\bigoplus\limits_{g\in
G}H^{g}.$ Nach \textbf{a)} ist $H^{1}\otimes kg\overset{\mu}{\rightarrow}%
H^{g}$ ein Isomorphismus f\"{u}r jedes $g\in G$. Nach \textbf{a)}, \textbf{b)}
und \textbf{c)} sind $H^{1}$ und $H^{\prime}$ Unterhopfalgebren von $H$ (denn
wegen \textbf{a)} gilt $H^{a}H^{b}=a\underbrace{H^{1}b}_{=bH^{1}}%
H^{1}=ab\underbrace{\left(  H^{1}\right)  ^{2}}_{\substack{=H^{1}\\\text{(nach
\textbf{c)})}}}=abH^{1}=H^{ab}$ f\"{u}r alle $a,b\in G$).

Also ist%
\[
H^{1}\otimes k\left[  G\right]  \rightarrow H^{\prime}%
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\otimes g\mapsto xg
\]
ein Vektorraumisomorphismus. Durch \"{U}bertragung der Hopfalgebrastruktur von
$H^{\prime}$ auf $H^{1}\otimes k\left[  G\right]  $ ergibt sich die
Hopfalgebrastruktur $H^{1}\sharp k\left[  G\right]  ,$ denn f\"{u}r alle $x\in
H$ und $g\in G$ ist $\Delta\left(  xg\right)  =x_{\left(  1\right)  }g\otimes
x_{\left(  2\right)  }g,$ und f\"{u}r alle $x,y\in H^{1}$ und $a,b\in G$ ist
$\left(  xa\right)  \left(  yb\right)  =x\underbrace{\left(  aya^{-1}\right)
}_{\in H^{1}\text{ nach \textbf{a)}}}ab.$ Damit ist \textbf{1)} gezeigt.

\textbf{2)} Folgt aus \textbf{1)} nach 4.3. \textbf{4)}.

\textbf{4.12. Satz (Cartier-Kostant):} Sei $k$ algebraisch abgeschlossen mit
$\operatorname*{char}k=0$. Sei $H$ eine cokommutative Hopfalgebra, sei
$G=G\left(  H\right)  $ als Gruppe, und sei $\mathfrak{g}=P\left(  H\right)  $
als Liealgebra. Definiere einen Gruppenhomomorphismus
\[
\rho:G\rightarrow\operatorname*{Lieaut}\mathfrak{g},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rho
\left(  g\right)  \left(  x\right)  =gxg^{-1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }x\in\mathfrak{g}\text{ und }g\in G.
\]
Dann ist%
\[
U\left(  \mathfrak{g}\right)  \sharp k\left[  G\right]  \rightarrow H
\]
ein Hopfalgebraisomorphismus, wobei die Hopfalgebrastruktur auf $U\left(
\mathfrak{g}\right)  \sharp k\left[  G\right]  $ wie in Bemerkung 4.10.
verm\"{o}ge $\rho$ definiert ist.

\textit{Beweis:} Folgt aus 4.11. und 3.1.. (Man verwendet dabei 2.11.
\textbf{3)}, um zu sehen, da\ss \ $H$ punktiert ist.)

\textbf{4.13. Folgerung:} Sei $k$ algebraisch abgeschlossen mit
$\operatorname*{char}k=0$. Sei $H$ eine cokommutative Hopfalgebra mit $\dim
H<\infty.$ Dann ist $H\cong k\left[  G\left(  H\right)  \right]  .$

\textit{Beweis:} Dies folgt aus 4.12, sobald wir zeigen k\"{o}nnen,
da\ss \ $P\left(  H\right)  =0$ ist. Warum ist $P\left(  H\right)  =0$ ?

Dies folgt aus einer \"{U}bungsaufgabe, die folgendes aussagt: Wenn $H$ eine
Bialgebra \"{u}ber einem K\"{o}rper $k$ der Charakteristik $0$ ist, und $x\in
P\left(  H\right)  $ ist, dann sind die Elemente $1,x,x^{2},x^{3},...$ von $H$
linear unabh\"{a}ngig.

\textit{Bemerkung:} Einen anderen Beweis von Folgerung 4.13 werden in Kapitel
III, 3.12 geben.

\bigskip

\begin{center}
\fbox{\textbf{5. Hilfss\"{a}tze \"{u}ber die duale Algebra einer Coalgebra}%
}\footnote{Dieser Abschnitt stammt von mir (Darij).}
\end{center}

In diesem Abschnitt werden wir einige elementare Eigenschaften der dualen
Algebra einer endlichdimensionalen Coalgebra zeigen, und die Beweise von
einigen S\"{a}tzen nachholen, die wir weiter oben verwendet aber nicht
bewiesen haben (insbesondere 4.7).

\bigskip

\fbox{\textbf{Lemmata aus der Linearen Algebra}}

Zun\"{a}chst erinnern wir uns an eine Notation, die wir im vorigen Abschnitt
eingef\"{u}hrt haben:

\textbf{Definition:} Sei $V$ ein Vektorraum.

\textbf{(a)} F\"{u}r jeden Untervektorraum $X\subseteq V$ definieren wir einen
Untervektorraum $X^{\perp}\subseteq V^{\ast}$ durch%
\[
X^{\perp}=\left\{  f\in V^{\ast}\ \mid\ \text{f\"{u}r alle }x\in X\text{ ist
}f\left(  x\right)  =0\right\}  .
\]


\textbf{(b)} F\"{u}r jeden Untervektorraum $Y\subseteq V^{\ast}$ definieren
wir einen Untervektorraum $Y^{\top}\subseteq V$ durch%
\[
Y^{\top}=\left\{  v\in V\ \mid\ \text{f\"{u}r alle }f\in Y\text{ ist }f\left(
v\right)  =0\right\}  .
\]


Aus der linearen Algebra wissen wir, da\ss 

\begin{itemize}
\item f\"{u}r jeden endlichdimensionalen Vektorraum $V$ und jeden
Untervektorraum $X\subseteq V$ gilt: $\left(  X^{\perp}\right)  ^{\top}=X$.

\item f\"{u}r jeden endlichdimensionalen Vektorraum $V$ und jeden
Untervektorraum $Y\subseteq V^{\ast}$ gilt: $\left(  Y^{\top}\right)  ^{\perp
}=Y$.
\end{itemize}

Sind $V$ und $W$ zwei endlichdimensionale Vektorr\"{a}ume, dann k\"{o}nnen wir
den Dualraum $\left(  V\otimes W\right)  ^{\ast}$ mit dem Tensorprodukt
$V^{\ast}\otimes W^{\ast}$ identifizieren. Insbesondere betrachten wir jedes
Element von $V^{\ast}\otimes W^{\ast}$ als ein Element von $\left(  V\otimes
W\right)  ^{\ast}$, also als eine lineare Abbildung $V\otimes W\rightarrow k$.

Wir zeigen nun erst einmal ein Lemma \"{u}ber Vektorr\"{a}ume:

\textbf{5.1. Lemma:} Seien $V$, $W$, $V^{\prime}$ und $W^{\prime}$ vier
Vektorr\"{a}ume, und seien $\phi:V\rightarrow V^{\prime}$ und $\psi
:W\rightarrow W^{\prime}$ zwei lineare Abbildungen.

\textbf{(a)} F\"{u}r die Abbildung $\phi\otimes\psi:V\otimes W\rightarrow
V^{\prime}\otimes W^{\prime}$ gilt dann%
\[
\operatorname*{Ker}\left(  \phi\otimes\psi\right)  =\operatorname*{Ker}%
\phi\otimes W+V\otimes\operatorname*{Ker}\psi,
\]
wobei wir $\operatorname*{Ker}\phi\otimes W$ und $V\otimes\operatorname*{Ker}%
\psi$ als Untervektorr\"{a}ume von $V\otimes W$ betrachten.

\textbf{(b) }F\"{u}r die Abbildung $\phi\otimes\psi:V\otimes W\rightarrow
V^{\prime}\otimes W^{\prime}$ gilt ferner
\[
\operatorname*{Ker}\phi\otimes\operatorname*{Ker}\psi=\left(
\operatorname*{Ker}\phi\otimes W\right)  \cap\left(  V\otimes
\operatorname*{Ker}\psi\right)  ,
\]
wobei wir $\operatorname*{Ker}\phi\otimes\operatorname*{Ker}\psi$,
$\operatorname*{Ker}\phi\otimes W$ und $V\otimes\operatorname*{Ker}\psi$ als
Untervektorr\"{a}ume von $V\otimes W$ betrachten.

Es gibt viele Methoden, dieses Lemma zu beweisen. Wir wollen hier die
abstrakteste geben; sie verwendet im Wesentlichen folgende allgemeine Aussage:

\textbf{5.2. Lemma:} Sei $R$ ein Ring, und sei%
\begin{equation}%
%TCIMACRO{\TeXButton{xymatrix}{\xymatrixcolsep{5pc}}}%
%BeginExpansion
\xymatrixcolsep{5pc}%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{xymatrix}{\xymatrix{
%0 \ar[r]  & A_1 \ar[r]^{a_1} \ar[d]_{u_1}   & A_2 \ar[r]^{a_2} \ar[d]_{u_2}
%& A_3 \ar[r] \ar[d]_{u_3}                   & 0 \\
%0 \ar[r]  & B_1 \ar[r]^{b_1} \ar[d]_{v_1}   & B_2 \ar[r]^{b_2} \ar[d]_{v_2}
%& B_3 \ar[r] \ar[d]_{v_3}                   & 0 \\
%0 \ar[r]  & C_1 \ar[r]^{c_1}              & C_2 \ar[r]^{c_2}
%& C_3 \ar[r]                              & 0
%}} }%
%BeginExpansion
\xymatrix{
0 \ar[r]  & A_1 \ar[r]^{a_1} \ar[d]_{u_1}   & A_2 \ar[r]^{a_2} \ar[d]_{u_2}
& A_3 \ar[r] \ar[d]_{u_3}                   & 0 \\
0 \ar[r]  & B_1 \ar[r]^{b_1} \ar[d]_{v_1}   & B_2 \ar[r]^{b_2} \ar[d]_{v_2}
& B_3 \ar[r] \ar[d]_{v_3}                   & 0 \\
0 \ar[r]  & C_1 \ar[r]^{c_1}              & C_2 \ar[r]^{c_2}
& C_3 \ar[r]                              & 0
}
%EndExpansion
\tag{II.5.1}%
\end{equation}
ein kommutatives Diagramm von $R$-Linksmoduln, dessen Zeilen und dessen
Spalten allesamt exakte Sequenzen von $R$-Linksmoduln sind.

\textbf{(a)} Dann ist%
\[
\operatorname*{Ker}\left(  c_{2}\circ v_{2}\right)  =\operatorname*{Ker}%
\left(  v_{3}\circ b_{2}\right)  =b_{1}\left(  B_{1}\right)  +u_{2}\left(
A_{2}\right)  .
\]


\textbf{(b)} Ferner ist%
\[
\left(  b_{1}\circ u_{1}\right)  \left(  A_{1}\right)  =\left(  u_{2}\circ
a_{1}\right)  \left(  A_{1}\right)  =\operatorname*{Ker}b_{2}\cap
\operatorname*{Ker}v_{2}.
\]


\textit{Beweis von Lemma 5.2:} \textbf{(a)} Es gilt $\operatorname*{Ker}%
\left(  c_{2}\circ v_{2}\right)  =\operatorname*{Ker}\left(  v_{3}\circ
b_{2}\right)  $ (denn $c_{2}\circ v_{2}=v_{3}\circ b_{2}$). Es bleibt also nur
noch zu zeigen, da\ss \ $\operatorname*{Ker}\left(  v_{3}\circ b_{2}\right)
=b_{1}\left(  B_{1}\right)  +u_{2}\left(  A_{2}\right)  $ ist. Da
$b_{1}\left(  B_{1}\right)  +u_{2}\left(  A_{2}\right)  \subseteq
\operatorname*{Ker}\left(  v_{3}\circ b_{2}\right)  $ offensichtlich ist
(denn
\begin{align*}
&  \left(  v_{3}\circ b_{2}\right)  \left(  b_{1}\left(  B_{1}\right)
+u_{2}\left(  A_{2}\right)  \right) \\
&  =v_{3}\left(  b_{2}\left(  b_{1}\left(  B_{1}\right)  +u_{2}\left(
A_{2}\right)  \right)  \right)  =\underbrace{v_{3}\left(  b_{2}\left(
b_{1}\left(  B_{1}\right)  \right)  \right)  }_{=v_{3}\left(  \left(
b_{2}\circ b_{1}\right)  \left(  B_{1}\right)  \right)  }+\underbrace{v_{3}%
\left(  b_{2}\left(  u_{2}\left(  A_{2}\right)  \right)  \right)  }_{=\left(
v_{3}\circ b_{2}\circ u_{2}\right)  \left(  A_{2}\right)  }\\
&  =v_{3}\left(  \underbrace{\left(  b_{2}\circ b_{1}\right)  }_{=0}\left(
B_{1}\right)  \right)  +\left(  v_{3}\circ\underbrace{b_{2}\circ u_{2}%
}_{=u_{3}\circ a_{2}}\right)  \left(  A_{2}\right)  =\underbrace{v_{3}\left(
0\left(  B_{1}\right)  \right)  }_{=0}+\left(  \underbrace{v_{3}\circ u_{3}%
}_{=0}\circ a_{2}\right)  \left(  A_{2}\right) \\
&  =0+\left(  0\circ a_{2}\right)  \left(  A_{2}\right)  =0
\end{align*}
), m\"{u}ssen wir hierzu nur noch zeigen, da\ss \ $\operatorname*{Ker}\left(
v_{3}\circ b_{2}\right)  \subseteq b_{1}\left(  B_{1}\right)  +u_{2}\left(
A_{2}\right)  $ gilt.

Sei $t\in\operatorname*{Ker}\left(  v_{3}\circ b_{2}\right)  $ beliebig. Dann
ist $\left(  v_{3}\circ b_{2}\right)  \left(  t\right)  =0$, also
$v_{3}\left(  b_{2}\left(  t\right)  \right)  =0$ und damit $b_{2}\left(
t\right)  \in\operatorname*{Ker}v_{3}=u_{3}\left(  A_{3}\right)  $ (denn die
Spalten des Diagramms (II.5.1) sind exakt). Es gibt also ein $x\in A_{3}$ mit
$b_{2}\left(  t\right)  =u_{3}\left(  x\right)  $. Da $a_{2}:A_{2}\rightarrow
A_{3}$ surjektiv ist (denn die Zeilen des Diagramms (II.5.1) sind exakt), ist
$x=a_{2}\left(  x^{\prime}\right)  $ f\"{u}r irgendein $x^{\prime}\in A_{2}$.
Nun ist%
\[
b_{2}\left(  t-u_{2}\left(  x^{\prime}\right)  \right)  =\underbrace{b_{2}%
\left(  t\right)  }_{=u_{3}\left(  x\right)  }-\underbrace{b_{2}\left(
u_{2}\left(  x^{\prime}\right)  \right)  }_{=\left(  b_{2}\circ u_{2}\right)
\left(  x^{\prime}\right)  }=u_{3}\left(  x\right)  -\underbrace{\left(
b_{2}\circ u_{2}\right)  }_{=u_{3}\circ a_{2}}\left(  x^{\prime}\right)
=u_{3}\left(  x\right)  -u_{3}\left(  \underbrace{a_{2}\left(  x^{\prime
}\right)  }_{=x}\right)  =0,
\]
also $t-u_{2}\left(  x^{\prime}\right)  \in\operatorname*{Ker}b_{2}%
=b_{1}\left(  B_{1}\right)  $ (denn die Zeilen des Diagramms (II.5.1) sind
exakt). Daher ist $t=\underbrace{t-u_{2}\left(  x^{\prime}\right)  }_{\in
b_{1}\left(  B_{1}\right)  }+\underbrace{u_{2}\left(  x^{\prime}\right)
}_{\in u_{2}\left(  A_{2}\right)  }\in b_{1}\left(  B_{1}\right)
+u_{2}\left(  A_{2}\right)  $. Da wir dies f\"{u}r jedes $t\in
\operatorname*{Ker}\left(  v_{3}\circ b_{2}\right)  $ gezeigt haben, erhalten
wir also $\operatorname*{Ker}\left(  v_{3}\circ b_{2}\right)  \subseteq
b_{1}\left(  B_{1}\right)  +u_{2}\left(  A_{2}\right)  $. Damit ist der Beweis
von Lemma 5.2 \textbf{(a)} vollst\"{a}ndig.

\textbf{(b)} Aus $b_{1}\circ u_{1}=u_{2}\circ a_{1}$ folgt sofort $\left(
b_{1}\circ u_{1}\right)  \left(  A_{1}\right)  =\left(  u_{2}\circ
a_{1}\right)  \left(  A_{1}\right)  $. Es bleibt also nur noch zu beweisen,
da\ss \ $\left(  u_{2}\circ a_{1}\right)  \left(  A_{1}\right)
=\operatorname*{Ker}b_{2}\cap\operatorname*{Ker}v_{2}$ gilt. Da $\left(
u_{2}\circ a_{1}\right)  \left(  A_{1}\right)  \subseteq\operatorname*{Ker}%
b_{2}\cap\operatorname*{Ker}v_{2}$ offensichtlich ist (denn wegen%
\[
b_{2}\left(  \left(  u_{2}\circ a_{1}\right)  \left(  A_{1}\right)  \right)
=\left(  \underbrace{b_{2}\circ u_{2}}_{=u_{3}\circ a_{2}}\circ a_{1}\right)
\left(  A_{1}\right)  =\left(  u_{3}\circ\underbrace{a_{2}\circ a_{1}}%
_{=0}\right)  \left(  A_{1}\right)  =\left(  u_{3}\circ0\right)  \left(
A_{1}\right)  =0
\]
ist $\left(  u_{2}\circ a_{1}\right)  \left(  A_{1}\right)  \subseteq
\operatorname*{Ker}b_{2}$, und wegen%
\[
v_{2}\left(  \left(  u_{2}\circ a_{1}\right)  \left(  A_{1}\right)  \right)
=\left(  \underbrace{v_{2}\circ u_{2}}_{=0}\circ a_{1}\right)  \left(
A_{1}\right)  =\left(  0\circ a_{1}\right)  \left(  A_{1}\right)  =0
\]
ist $\left(  u_{2}\circ a_{1}\right)  \left(  A_{1}\right)  \subseteq
\operatorname*{Ker}v_{2}$), m\"{u}ssen wir hierzu nur noch nachweisen,
da\ss \ $\operatorname*{Ker}b_{2}\cap\operatorname*{Ker}v_{2}\subseteq\left(
u_{2}\circ a_{1}\right)  \left(  A_{1}\right)  $ gilt.

Sei $t\in\operatorname*{Ker}b_{2}\cap\operatorname*{Ker}v_{2}$ beliebig. Dann
ist $t\in\operatorname*{Ker}b_{2}\cap\operatorname*{Ker}v_{2}\subseteq
\operatorname*{Ker}b_{2}=b_{1}\left(  B_{1}\right)  $ (da die Zeilen des
Diagramms (II.5.1) exakt sind). Folglich gibt es ein $x\in B_{1}$ mit
$t=b_{1}\left(  x\right)  $. Wegen $b_{1}\left(  x\right)  =t\in
\operatorname*{Ker}b_{2}\cap\operatorname*{Ker}v_{2}\subseteq
\operatorname*{Ker}v_{2}$ ist nun $v_{2}\left(  b_{1}\left(  x\right)
\right)  =0$, also $0=v_{2}\left(  b_{1}\left(  x\right)  \right)
=\underbrace{\left(  v_{2}\circ b_{1}\right)  }_{=c_{1}\circ v_{1}}\left(
x\right)  =c_{1}\left(  v_{1}\left(  x\right)  \right)  $, und damit
$0=v_{1}\left(  x\right)  $ (denn die Abbildung $c_{1}$ ist injektiv, weil die
Zeilen des Diagramms (II.5.1) exakt sind). Das hei\ss t, $x\in
\operatorname*{Ker}v_{1}=u_{1}\left(  A_{1}\right)  $ (da die Spalten des
Diagramms (II.5.1) exakt sind). Somit ist%
\[
t=b_{1}\left(  \underbrace{x}_{\in u_{1}\left(  A_{1}\right)  }\right)  \in
b_{1}\left(  u_{1}\left(  A_{1}\right)  \right)  =\left(  b_{1}\circ
u_{1}\right)  \left(  A_{1}\right)  =\left(  u_{2}\circ a_{1}\right)  \left(
A_{1}\right)  .
\]
Da dies f\"{u}r alle $t\in\operatorname*{Ker}b_{2}\cap\operatorname*{Ker}%
v_{2}$ gilt, ist damit gezeigt, da\ss \ $\operatorname*{Ker}b_{2}%
\cap\operatorname*{Ker}v_{2}\subseteq\left(  u_{2}\circ a_{1}\right)  \left(
A_{1}\right)  $ gilt. Der Beweis von Lemma 5.2 \textbf{(b)} ist also vollst\"{a}ndig.

\textit{Beweis von Lemma 5.1:} Ohne Beschr\"{a}nkung der Allgemeinheit nehmen
wir an, da\ss \ die Abbildung $\psi:W\rightarrow W^{\prime}$ surjektiv ist
(sonst ersetzen wir einfach den Vektorraum $W^{\prime}$ durch $\psi\left(
W\right)  $; dabei nutzen wir aus, da\ss \ das Tensorprodukt der
Identit\"{a}tsabbildung $V^{\prime}\rightarrow V^{\prime}$ mit der kanonischen
Inklusion $\psi\left(  W\right)  \rightarrow W^{\prime}$ eine Injektion
$V^{\prime}\otimes\psi\left(  W\right)  \rightarrow V^{\prime}\otimes
W^{\prime}$ ist).

Sei $V_{0}=\operatorname*{Ker}\phi$ und $W_{0}=\operatorname*{Ker}\psi$, und
seien $i_{V}:V_{0}\rightarrow V$ und $i_{W}:W_{0}\rightarrow W$ die
kanonischen Inklusionen. Wir betrachten das kommutative Diagramm%
\begin{equation}%
%TCIMACRO{\TeXButton{xymatrix}{\xymatrixcolsep{5pc}}}%
%BeginExpansion
\xymatrixcolsep{5pc}%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{xymatrix}{\xymatrix{
%0 \ar[r]  & V_0\otimes W_0 \ar[r]^{\operatorname*{id}\otimes i_W}
%\ar[d]_{i_V\otimes\operatorname*{id}}
%& V_0\otimes W \ar[r]^{\operatorname*{id}\otimes\psi} \ar[d]_{i_V\otimes
%\operatorname*{id}}
%& V_0\otimes W^{\prime} \ar[r] \ar[d]_{i_V\otimes\operatorname*{id}}
%& 0 \\
%0 \ar[r]  & V\otimes W_0 \ar[r]^{\operatorname*{id}\otimes i_W} \ar
%[d]_{\phi\otimes\operatorname*{id}}   & V\otimes W \ar[r]^{\operatorname
%*{id}\otimes\psi}
%\ar[d]_{\phi\otimes\operatorname*{id}}
%& V\otimes W^{\prime} \ar[r] \ar[d]_{\phi\otimes\operatorname*{id}}
%& 0 \\
%0 \ar[r]  & V^{\prime}\otimes W_0 \ar[r]^{\operatorname*{id}\otimes i_W}
%& V^{\prime}\otimes W \ar[r]^{\operatorname*{id}\otimes\psi}
%& V^{\prime}\otimes W^{\prime} \ar[r]                              & 0
%}}}%
%BeginExpansion
\xymatrix{
0 \ar[r]  & V_0\otimes W_0 \ar[r]^{\operatorname*{id}\otimes i_W}
\ar[d]_{i_V\otimes\operatorname*{id}}
& V_0\otimes W \ar[r]^{\operatorname*{id}\otimes\psi} \ar[d]_{i_V\otimes
\operatorname*{id}}
& V_0\otimes W^{\prime} \ar[r] \ar[d]_{i_V\otimes\operatorname*{id}}
& 0 \\
0 \ar[r]  & V\otimes W_0 \ar[r]^{\operatorname*{id}\otimes i_W} \ar
[d]_{\phi\otimes\operatorname*{id}}   & V\otimes W \ar[r]^{\operatorname
*{id}\otimes\psi}
\ar[d]_{\phi\otimes\operatorname*{id}}
& V\otimes W^{\prime} \ar[r] \ar[d]_{\phi\otimes\operatorname*{id}}
& 0 \\
0 \ar[r]  & V^{\prime}\otimes W_0 \ar[r]^{\operatorname*{id}\otimes i_W}
& V^{\prime}\otimes W \ar[r]^{\operatorname*{id}\otimes\psi}
& V^{\prime}\otimes W^{\prime} \ar[r]                              & 0
}%
%EndExpansion
. \tag{II.5.2}%
\end{equation}
Die Zeilen dieses Diagramms sind allesamt exakte Sequenzen\footnote{denn $%
%TCIMACRO{\TeXButton{xymatrix}{\xymatrix{
%0 \ar[r] & W_0 \ar[r]^{i_W} & W \ar[r]^{\psi} & W^{\prime} \ar[r] & 0
%}}}%
%BeginExpansion
\xymatrix{
0 \ar[r] & W_0 \ar[r]^{i_W} & W \ar[r]^{\psi} & W^{\prime} \ar[r] & 0
}%
%EndExpansion
$ ist eine exakte Sequenz, und \"{u}ber dem K\"{o}rper $k$ ist Tensorieren
exakt}, und ebenso die Spalten\footnote{denn $%
%TCIMACRO{\TeXButton{xymatrix}{\xymatrix{
%V_0 \ar[r]^{i_V} & V \ar[r]^{\phi} & V^{\prime}
%}}}%
%BeginExpansion
\xymatrix{
V_0 \ar[r]^{i_V} & V \ar[r]^{\phi} & V^{\prime}
}%
%EndExpansion
$ ist eine exakte Sequenz, und \"{u}ber dem K\"{o}rper $k$ ist Tensorieren
exakt}. Somit l\"{a}\ss t sich Lemma 5.2 auf dieses kommutative Diagramm
anwenden; aus Lemma 5.2 \textbf{(a)} folgt%
\[
\operatorname*{Ker}\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\psi\right)
\circ\left(  \phi\otimes\operatorname*{id}\right)  \right)
=\operatorname*{Ker}\left(  \left(  \phi\otimes\operatorname*{id}\right)
\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes\psi\right)  \right)  =\left(
\operatorname*{id}\otimes i_{W}\right)  \left(  V\otimes W_{0}\right)
+\left(  i_{V}\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  V_{0}\otimes W\right)
.
\]
Wir haben also%
\begin{align*}
\operatorname*{Ker}\underbrace{\left(  \phi\otimes\psi\right)  }_{=\left(
\phi\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\left(  \operatorname*{id}%
\otimes\psi\right)  }  &  =\operatorname*{Ker}\left(  \left(  \phi
\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\left(  \operatorname*{id}\otimes
\psi\right)  \right)  =\underbrace{\left(  \operatorname*{id}\otimes
i_{W}\right)  \left(  V\otimes W_{0}\right)  }_{\substack{=V\otimes
W_{0}\text{ (denn }\operatorname*{id}\otimes i_{W}\text{ ist}\\\text{nur eine
Inklusionsabbildung)}}}+\underbrace{\left(  i_{V}\otimes\operatorname*{id}%
\right)  \left(  V_{0}\otimes W\right)  }_{\substack{=V_{0}\otimes W\text{
(denn }i_{V}\otimes\operatorname*{id}\text{ ist}\\\text{nur eine
Inklusionsabbildung)}}}\\
&  =V\otimes\underbrace{W_{0}}_{=\operatorname*{Ker}\psi}+\underbrace{V_{0}%
}_{=\operatorname*{Ker}\phi}\otimes W=V\otimes\operatorname*{Ker}%
\psi+\operatorname*{Ker}\phi\otimes W.
\end{align*}
Damit ist Lemma 5.1 \textbf{(a)} bewiesen.

Aus Lemma 5.2 \textbf{(b)} (angewandt auf das Diagramm (II.5.2)) folgt indes%
\[
\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes i_{W}\right)  \circ\left(
i_{V}\otimes\operatorname*{id}\right)  \right)  \left(  V_{0}\otimes
W_{0}\right)  =\left(  \left(  i_{V}\otimes\operatorname*{id}\right)
\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes i_{W}\right)  \right)  \left(
V_{0}\otimes W_{0}\right)  =\operatorname*{Ker}\left(  \operatorname*{id}%
\otimes\psi\right)  \cap\operatorname*{Ker}\left(  \phi\otimes
\operatorname*{id}\right)  .
\]
Nun ist $\left(  \left(  i_{V}\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\left(
\operatorname*{id}\otimes i_{W}\right)  \right)  \left(  V_{0}\otimes
W_{0}\right)  =V_{0}\otimes W_{0}$ (denn $i_{V}\otimes\operatorname*{id}$ und
$\operatorname*{id}\otimes i_{W}$ sind einfach die Inklusionsabbildungen).
Nach Lemma 5.1 \textbf{(a)} (angewandt auf $W$ und $\operatorname*{id}$ statt
$W^{\prime}$ bzw. $\psi$) ist indessen $\operatorname*{Ker}\left(  \phi
\otimes\operatorname*{id}\right)  =\operatorname*{Ker}\phi\otimes
W+V\otimes\underbrace{\operatorname*{Ker}\operatorname*{id}}_{=0}%
=\operatorname*{Ker}\phi\otimes W$. Analog ist $\operatorname*{Ker}\left(
\operatorname*{id}\otimes\psi\right)  =V\otimes\operatorname*{Ker}\psi$. Wir
haben also%
\begin{align*}
\operatorname*{Ker}\phi\otimes\operatorname*{Ker}\psi &  =V_{0}\otimes
W_{0}=\left(  \left(  i_{V}\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\left(
\operatorname*{id}\otimes i_{W}\right)  \right)  \left(  V_{0}\otimes
W_{0}\right) \\
&  =\underbrace{\operatorname*{Ker}\left(  \operatorname*{id}\otimes
\psi\right)  }_{=V\otimes\operatorname*{Ker}\psi}\cap
\underbrace{\operatorname*{Ker}\left(  \phi\otimes\operatorname*{id}\right)
}_{=\operatorname*{Ker}\phi\otimes W}=\left(  V\otimes\operatorname*{Ker}%
\psi\right)  \cap\left(  \operatorname*{Ker}\phi\otimes W\right) \\
&  =\left(  \operatorname*{Ker}\phi\otimes W\right)  \cap\left(
V\otimes\operatorname*{Ker}\psi\right)  .
\end{align*}
Damit ist Lemma 5.1 \textbf{(b)} gezeigt.

Der Beweis von Lemma 5.1 ist nunmehr vollst\"{a}ndig.

Ein weiteres Lemma, das wir aus 5.1 herleiten werden, ist folgendes:

\textbf{5.3. Lemma:} Seien $V$ und $W$ zwei endlichdimensionale
Vektorr\"{a}ume. Sei $A$ ein Untervektorraum von $V$, und sei $B$ ein
Untervektorraum von $W$. Wir betrachten $A\otimes W$, $V\otimes B$ und
$A\otimes B$ als Untervektorr\"{a}ume von $V\otimes W$.

\textbf{(a)} Dann gilt%
\[
\left(  A\otimes B\right)  ^{\perp}=A^{\perp}\otimes W^{\ast}+V^{\ast}\otimes
B^{\perp}%
\]
als Untervektorr\"{a}ume von $\left(  V\otimes W\right)  ^{\ast}=V^{\ast
}\otimes W^{\ast}$.

\textbf{(b) }Ferner gilt%
\[
\left(  V\otimes B+A\otimes W\right)  ^{\perp}=A^{\perp}\otimes B^{\perp}%
\]
als Untervektorr\"{a}ume von $\left(  V\otimes W\right)  ^{\ast}=V^{\ast
}\otimes W^{\ast}$.

\textit{Beweis von Lemma 5.3:} Seien $i_{V}:A\rightarrow V$ und $i_{W}%
:B\rightarrow W$ die kanonischen Inklusionen.

Wir haben $A^{\perp}=\operatorname*{Ker}i_{V}^{\ast}$\ \ \ \ \footnote{denn
f\"{u}r jedes $f\in V^{\ast}$ gilt folgende \"{A}quivalenz von Aussagen:%
\begin{align*}
\left(  f\in\operatorname*{Ker}i_{V}^{\ast}\right)   &  \Longleftrightarrow
\left(  \underbrace{i_{V}^{\ast}\left(  f\right)  }_{=f\circ i_{V}}=0\right)
\Longleftrightarrow\left(  f\circ i_{V}=0\right)  \Longleftrightarrow\left(
f\mid_{i_{V}\left(  A\right)  }=0\right)  \Longleftrightarrow\left(  f\mid
_{A}=0\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }i_{V}\left(  A\right)  =A\text{, da
}i_{V}\text{ die Inklusion ist}\right) \\
&  \Longleftrightarrow\left(  f\left(  x\right)  =0\text{ f\"{u}r alle }x\in
A\right)  \Longleftrightarrow\left(  f\in A^{\perp}\right)  .
\end{align*}
}. Analog ist $B^{\perp}=\operatorname*{Ker}i_{W}^{\ast}$.

Da $i_{V}:A\rightarrow V$ und $i_{W}:B\rightarrow W$ die kanonischen
Inklusionen sind, ist $i_{V}\otimes i_{W}$ die kanonische Inklusion von
$A\otimes B$ nach $V\otimes W$. Also ist $\left(  i_{V}\otimes i_{W}\right)
\left(  A\otimes B\right)  =A\otimes B$.

F\"{u}r die Abbildung $i_{V}^{\ast}\otimes i_{W}^{\ast}:V^{\ast}\otimes
W^{\ast}\rightarrow A^{\ast}\otimes B^{\ast}$ gilt%
\[
\operatorname*{Ker}\left(  i_{V}^{\ast}\otimes i_{W}^{\ast}\right)  =\left(
A\otimes B\right)  ^{\perp}%
\]
\footnote{denn f\"{u}r jedes $f\in V^{\ast}\otimes W^{\ast}$ gilt folgende
\"{A}quivalenz von Aussagen:%
\begin{align*}
\left(  f\in\operatorname*{Ker}\left(  i_{V}^{\ast}\otimes i_{W}^{\ast
}\right)  \right)   &  \Longleftrightarrow\left(  \underbrace{\left(
i_{V}^{\ast}\otimes i_{W}^{\ast}\right)  }_{=\left(  i_{V}\otimes
i_{W}\right)  ^{\ast}}\left(  f\right)  =0\right)  \Longleftrightarrow\left(
\underbrace{\left(  i_{V}\otimes i_{W}\right)  ^{\ast}\left(  f\right)
}_{=f\circ\left(  i_{V}\otimes i_{W}\right)  }=0\right) \\
&  \Longleftrightarrow\left(  f\circ\left(  i_{V}\otimes i_{W}\right)
=0\right)  \Longleftrightarrow\left(  f\mid_{\left(  i_{V}\otimes
i_{W}\right)  \left(  A\otimes B\right)  }=0\right)  \Longleftrightarrow
\left(  f\mid_{A\otimes B}=0\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\left(  i_{V}\otimes i_{W}\right)
\left(  A\otimes B\right)  =A\otimes B\right) \\
&  \Longleftrightarrow\left(  f\left(  x\right)  =0\text{ f\"{u}r alle }x\in
A\otimes B\right)  \Longleftrightarrow\left(  f\in\left(  A\otimes B\right)
^{\perp}\right)
\end{align*}
}. Nach Lemma 5.1 \textbf{(a)} (angewandt auf $V^{\ast}$, $W^{\ast}$,
$A^{\ast}$, $B^{\ast}$, $i_{V}^{\ast}$ und $i_{W}^{\ast}$ statt $V$, $W$,
$V^{\prime}$, $W^{\prime}$, $\phi$ bzw. $\psi$) gilt nun%
\[
\operatorname*{Ker}\left(  i_{V}^{\ast}\otimes i_{W}^{\ast}\right)
=\underbrace{\operatorname*{Ker}i_{V}^{\ast}}_{=A^{\perp}}\otimes W^{\ast
}+V^{\ast}\otimes\underbrace{\operatorname*{Ker}i_{W}^{\ast}}_{=B^{\perp}%
}=A^{\perp}\otimes W^{\ast}+V^{\ast}\otimes B^{\perp}.
\]
Wegen $\operatorname*{Ker}\left(  i_{V}^{\ast}\otimes i_{W}^{\ast}\right)
=\left(  A\otimes B\right)  ^{\perp}$ bedeutet dies $\left(  A\otimes
B\right)  ^{\perp}=A^{\perp}\otimes W^{\ast}+V^{\ast}\otimes B^{\perp}$, und
Lemma 5.3 \textbf{(a)} ist bewiesen.

Lemma 5.1 \textbf{(a)} (diesmal angewandt auf $V^{\ast}$, $W^{\ast}$,
$A^{\ast}$, $W^{\ast}$, $i_{V}^{\ast}$ und $\operatorname*{id}$ statt $V$,
$W$, $V^{\prime}$, $W^{\prime}$, $\phi$ bzw. $\psi$) ergibt aber auch%
\[
\operatorname*{Ker}\left(  i_{V}^{\ast}\otimes\operatorname*{id}\right)
=\underbrace{\operatorname*{Ker}i_{V}^{\ast}}_{=A^{\perp}}\otimes W^{\ast
}+V^{\ast}\otimes\underbrace{\operatorname*{Ker}\operatorname*{id}}%
_{=0}=A^{\perp}\otimes W^{\ast}+\underbrace{V^{\ast}\otimes0}_{=0}=A^{\perp
}\otimes W^{\ast}.
\]
Andererseits ist aber%
\[
\operatorname*{Ker}\left(  i_{V}^{\ast}\otimes\operatorname*{id}\right)
=\left(  A\otimes W\right)  ^{\perp}%
\]
\footnote{denn f\"{u}r jedes $f\in V^{\ast}\otimes W^{\ast}$ gilt folgende
\"{A}quivalenz von Aussagen:%
\begin{align*}
\left(  f\in\operatorname*{Ker}\left(  i_{V}^{\ast}\otimes\operatorname*{id}%
\right)  \right)   &  \Longleftrightarrow\left(  \underbrace{\left(
i_{V}^{\ast}\otimes\operatorname*{id}\right)  }_{=\left(  i_{V}\otimes
\operatorname*{id}\right)  ^{\ast}}\left(  f\right)  =0\right)
\Longleftrightarrow\left(  \underbrace{\left(  i_{V}\otimes\operatorname*{id}%
\right)  ^{\ast}\left(  f\right)  }_{=f\circ\left(  i_{V}\otimes
\operatorname*{id}\right)  }=0\right) \\
&  \Longleftrightarrow\left(  f\circ\left(  i_{V}\otimes\operatorname*{id}%
\right)  =0\right)  \Longleftrightarrow\left(  f\mid_{\left(  i_{V}%
\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  A\otimes W\right)  }=0\right)
\Longleftrightarrow\left(  f\mid_{A\otimes W}=0\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\left(  i_{V}\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  A\otimes
W\right)  =A\otimes W\text{, weil}\\
i_{V}\otimes\operatorname*{id}:A\otimes W\rightarrow V\otimes W\text{ die
Inklusionsabbildung ist,}\\
\text{da }i_{V}:A\rightarrow V\text{ die Inklusionsabbildung ist}%
\end{array}
\right) \\
&  \Longleftrightarrow\left(  f\left(  x\right)  =0\text{ f\"{u}r alle }x\in
A\otimes W\right)  \Longleftrightarrow\left(  f\in\left(  A\otimes W\right)
^{\perp}\right)
\end{align*}
}. Wir haben also%
\[
\underbrace{\operatorname*{Ker}i_{V}^{\ast}}_{=A^{\perp}}\otimes W^{\ast
}=A^{\perp}\otimes W^{\ast}=\operatorname*{Ker}\left(  i_{V}^{\ast}%
\otimes\operatorname*{id}\right)  =\left(  A\otimes W\right)  ^{\perp}%
\]
und analog $V^{\ast}\otimes\operatorname*{Ker}i_{W}^{\ast}=\left(  V\otimes
B\right)  ^{\perp}$.

Nach Lemma 5.1 \textbf{(b)} (angewandt auf $V^{\ast}$, $W^{\ast}$, $A^{\ast}$,
$B^{\ast}$, $i_{V}^{\ast}$ und $i_{W}^{\ast}$ statt $V$, $W$, $V^{\prime}$,
$W^{\prime}$, $\phi$ bzw. $\psi$) gilt%
\[
\operatorname*{Ker}i_{V}^{\ast}\otimes\operatorname*{Ker}i_{W}^{\ast}=\left(
\operatorname*{Ker}i_{V}^{\ast}\otimes W^{\ast}\right)  \cap\left(  V^{\ast
}\otimes\operatorname*{Ker}i_{W}^{\ast}\right)  .
\]
Wir haben also%
\begin{align*}
\underbrace{A^{\perp}}_{=\operatorname*{Ker}i_{V}^{\ast}}\otimes
\underbrace{B^{\perp}}_{=\operatorname*{Ker}i_{W}^{\ast}}  &
=\operatorname*{Ker}i_{V}^{\ast}\otimes\operatorname*{Ker}i_{W}^{\ast
}=\underbrace{\left(  \operatorname*{Ker}i_{V}^{\ast}\otimes W^{\ast}\right)
}_{=\left(  A\otimes W\right)  ^{\perp}}\cap\underbrace{\left(  V^{\ast
}\otimes\operatorname*{Ker}i_{W}^{\ast}\right)  }_{=\left(  V\otimes B\right)
^{\perp}}\\
&  =\left(  A\otimes W\right)  ^{\perp}\cap\left(  V\otimes B\right)  ^{\perp
}=\left(  A\otimes W+V\otimes B\right)  ^{\perp}=\left(  V\otimes B+A\otimes
W\right)  ^{\perp}.
\end{align*}
Damit ist Lemma 5.3 \textbf{(b)} nachgewiesen.

Ein anderes linear-algebraisches Resultat, was wir benutzen werden, ist folgendes:

\textbf{5.4. Lemma:} Sei $n\in\mathbb{N}$.

Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum, und sei $V_{k}$ ein
Untervektorraum von $V$ f\"{u}r alle $k\in\left\{  0,1,2,...,n\right\}  $.
Angenommen, $V_{0}\supseteq V_{1}\supseteq V_{2}\supseteq...\supseteq V_{n}$
und $V_{0}=V$.

Sei $W$ ein endlichdimensionaler Vektorraum, und sei $W_{k}$ ein
Untervektorraum von $W$ f\"{u}r alle $k\in\left\{  0,1,2,...,n\right\}  $.
Angenommen, $W_{0}\supseteq W_{1}\supseteq W_{2}\supseteq...\supseteq W_{n}$
und $W_{0}=W$.

Dann ist%
\[
\bigcap\limits_{k=0}^{n}\left(  V_{k}\otimes W_{n-k}\right)  ^{\perp}%
=\sum\limits_{\ell=1}^{n}V_{\ell}^{\perp}\otimes W_{n+1-\ell}^{\perp}%
\]
(dies ist eine Gleichheit zwischen Untervektorr\"{a}umen von $V^{\ast}\otimes
W^{\ast}=\left(  V\otimes W\right)  ^{\ast}$).

\textit{Beweis von Lemma 5.4:} Zuerst einmal ist klar, da\ss \ $V_{0}=V$ zu
$V_{0}^{\perp}=V^{\perp}=0$ f\"{u}hrt. Analog ist $W_{0}^{\perp}=0$.

Wir zeigen nun erst einmal: F\"{u}r alle $k\in\left\{  0,1,...,n\right\}  $
und $\ell\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ ist
\begin{equation}
V_{\ell}^{\perp}\otimes W_{n+1-\ell}^{\perp}\subseteq\left(  V_{k}\otimes
W_{n-k}\right)  ^{\perp}. \tag{II.5.3}%
\end{equation}


\textit{Beweis von (II.5.3):} F\"{u}r alle $f\in V_{\ell}^{\perp}$, $g\in
W_{n+1-\ell}^{\perp}$, $v\in V_{k}$ und $w\in W_{n-k}$ gilt
\begin{equation}
\left(  f\otimes g\right)  \left(  v\otimes w\right)  =0 \tag{II.5.4}%
\end{equation}
\footnote{\textit{Beweis:} Wir unterscheiden drei F\"{a}lle:
\par
\textit{Fall 1:} Es gilt $\ell\leq k$.
\par
\textit{Fall 2:} Es gilt $n+1-\ell\leq n-k$.
\par
\textit{Fall 3:} Es gilt weder $\ell\leq k$ noch $n+1-\ell\leq n-k$.
\par
Wir werden zeigen, da\ss \ in beiden F\"{a}llen 1 und 2 die Gleichung $\left(
f\otimes g\right)  \left(  v\otimes w\right)  =0$ erf\"{u}llt wird, und Fall 3
gar nicht eintreten kann.
\par
In Fall 1 ist $V_{k}\subseteq V_{\ell}$ (denn $V_{0}\supseteq V_{1}\supseteq
V_{2}\supseteq...\supseteq V_{n}$ und $\ell\leq k$) und damit $v\in V_{\ell}$
(denn $v\in V_{k}$), also $f\left(  v\right)  =0$ (denn $f\in V_{\ell}^{\perp
}$) und somit $\left(  f\otimes g\right)  \left(  v\otimes w\right)
=\underbrace{f\left(  v\right)  }_{=0}g\left(  w\right)  =0$.
\par
Im Fall 2 ist $W_{n-k}\subseteq W_{n+1-\ell}$ (denn $W_{0}\supseteq
W_{1}\supseteq W_{2}\supseteq...\supseteq W_{n}$ und $n+1-\ell\leq n-k$) und
damit $w\in W_{n+1-\ell}$ (denn $w\in W_{n-k}$), also $g\left(  w\right)  =0$
(denn $g\in W_{n+1-\ell}^{\perp}$) und somit $\left(  f\otimes g\right)
\left(  v\otimes w\right)  =f\left(  v\right)  \underbrace{g\left(  w\right)
}_{=0}=0$.
\par
Im Fall 3 ist $\ell>k$ und $n+1-\ell>n-k$ (denn in Fall 3 darf weder $\ell\leq
k$ noch $n+1-\ell\leq n-k$ gelten), also $\ell\geq k+1$ (denn $\ell>k$), also
$n+1=\underbrace{\ell}_{\geq k+1}+\underbrace{\left(  n+1-\ell\right)
}_{>n-k}>\left(  k+1\right)  +\left(  n-k\right)  =n+1$, was ein Widerspruch
ist. Dieser Widerspruch zeigt, da\ss \ Fall 3 gar nicht eintreten kann.
Deshalb mu\ss \ immer entweder Fall 1 oder Fall 2 eintreten. Da wir in beiden
F\"{a}llen 1 und 2 die Gleichung $\left(  f\otimes g\right)  \left(  v\otimes
w\right)  =0$ nachgewiesen haben, ist also der Beweis von $\left(  f\otimes
g\right)  \left(  v\otimes w\right)  =0$ komplett.}.

F\"{u}r jedes $t_{1}\in V_{\ell}^{\perp}\otimes W_{n+1-\ell}^{\perp}$ und
jedes $t_{2}\in V_{k}\otimes W_{n-k}$ gilt nun $t_{1}\left(  t_{2}\right)
=0$\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Wir k\"{o}nnen den Tensor $t_{1}\in
V_{\ell}^{\perp}\otimes W_{n+1-\ell}^{\perp}$ als Linearkombination
$t_{1}=\sum\limits_{i=1}^{r}\alpha_{i}f_{i}\otimes g_{i}$ von reinen Tensoren
(wobei $r\in\mathbb{N}$ ist, und $\alpha_{i}\in k$, $f_{i}\in V_{\ell}^{\perp
}$ und $g_{i}\in W_{n+1-\ell}^{\perp}$ f\"{u}r alle $i$ gilt) schreiben.
Ferner k\"{o}nnen wir den Tensor $t_{2}\in V_{k}\otimes W_{n-k}$ als
Linearkombination $t_{2}=\sum\limits_{j=1}^{s}\beta_{j}v_{j}\otimes w_{j}$ von
reinen Tensoren (wobei $s\in\mathbb{N}$ ist, und $\beta_{j}\in k$, $v_{j}\in
V_{k}$ und $w_{j}\in W_{n-k}$ f\"{u}r alle $j$ gilt) schreiben. Damit ist%
\[
t_{1}\left(  t_{2}\right)  =\left(  \sum\limits_{i=1}^{r}\alpha_{i}%
f_{i}\otimes g_{i}\right)  \left(  \sum\limits_{j=1}^{s}\beta_{j}v_{j}\otimes
w_{j}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{r}\sum\limits_{j=1}^{s}\alpha_{i}\beta
_{j}\underbrace{\left(  f_{i}\otimes g_{i}\right)  \left(  v_{j}\otimes
w_{j}\right)  }_{\substack{=0\text{ (nach (II.5.4), angewandt auf}%
\\f=f_{i}\text{, }g=g_{i}\text{, }v=v_{j}\text{ und }w=w_{j}\text{)}}}=0,
\]
was zu beweisen war.}. F\"{u}r jedes $t_{1}\in V_{\ell}^{\perp}\otimes
W_{n+1-\ell}^{\perp}$ ist also $t_{1}\in\left(  V_{k}\otimes W_{n-k}\right)
^{\perp}$. Das hei\ss t, $V_{\ell}^{\perp}\otimes W_{n+1-\ell}^{\perp
}\subseteq\left(  V_{k}\otimes W_{n-k}\right)  ^{\perp}$, und damit ist
(II.5.3) gezeigt.

F\"{u}r jedes $\ell\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ gilt nun%
\[
V_{\ell}^{\perp}\otimes W_{n+1-\ell}^{\perp}\subseteq\bigcap\limits_{k=0}%
^{n}\left(  V_{k}\otimes W_{n-k}\right)  ^{\perp}%
\]
(nach (II.5.3)). Summieren wir dies \"{u}ber alle $\ell\in\left\{
1,2,...,n\right\}  $, dann erhalten wir%
\begin{equation}
\sum\limits_{\ell=1}^{n}V_{\ell}^{\perp}\otimes W_{n+1-\ell}^{\perp}%
\subseteq\sum\limits_{\ell=1}^{n}\bigcap\limits_{k=0}^{n}\left(  V_{k}\otimes
W_{n-k}\right)  ^{\perp}\subseteq\bigcap\limits_{k=0}^{n}\left(  V_{k}\otimes
W_{n-k}\right)  ^{\perp} \tag{II.5.5}%
\end{equation}
(denn $\bigcap\limits_{k=0}^{n}\left(  V_{k}\otimes W_{n-k}\right)  ^{\perp}$
ist ein Vektorraum).

Um Lemma 5.4 zu beweisen, m\"{u}ssen wir also nur noch zeigen, da\ss
\begin{equation}
\bigcap\limits_{k=0}^{n}\left(  V_{k}\otimes W_{n-k}\right)  ^{\perp}%
\subseteq\sum\limits_{\ell=1}^{n}V_{\ell}^{\perp}\otimes W_{n+1-\ell}^{\perp}
\tag{II.5.6}%
\end{equation}
gilt.

\textit{Beweis von (II.5.6):} Setze $V_{n+1}=0$ und $W_{n+1}=0$.

Aus $V_{0}\supseteq V_{1}\supseteq V_{2}\supseteq...\supseteq V_{n}$ und
$V_{n}\supseteq0=V_{n+1}$ folgt $V_{0}\supseteq V_{1}\supseteq V_{2}%
\supseteq...\supseteq V_{n+1}$, also $V_{0}^{\perp}\subseteq V_{1}^{\perp
}\subseteq...\subseteq V_{n+1}^{\perp}$. Das hei\ss t, $V_{\alpha}^{\perp
}\subseteq V_{\alpha+1}^{\perp}$ f\"{u}r jedes $\alpha\in\left\{
0,1,...,n\right\}  $. Analog gilt $W_{\beta}^{\perp}\subseteq W_{\beta
+1}^{\perp}$ f\"{u}r jedes $\beta\in\left\{  0,1,...,n\right\}  $.

F\"{u}r jedes $\alpha\in\left\{  0,1,...,n\right\}  $ gibt es einen
Untervektorraum $X_{\alpha}$ von $V_{\alpha+1}^{\perp}$ mit $V_{\alpha
+1}^{\perp}=V_{\alpha}^{\perp}\oplus X_{\alpha}$ (denn $V_{\alpha}^{\perp
}\subseteq V_{\alpha+1}^{\perp}$, und laut einem Satz der linearen Algebra hat
jeder Untervektorraum eines Vektorraums ein Komplement). Analog gibt es
f\"{u}r jedes $\beta\in\left\{  0,1,...,n\right\}  $ einen Untervektorraum
$Y_{\beta}$ von $W_{\beta+1}^{\perp}$ mit $W_{\beta+1}^{\perp}=W_{\beta
}^{\perp}\oplus Y_{\beta}$.

F\"{u}r jedes $\alpha\in\left\{  0,1,...,n+1\right\}  $ gilt
\begin{equation}
V_{\alpha}^{\perp}=\bigoplus\limits_{p=0}^{\alpha-1}X_{p} \tag{II.5.7}%
\end{equation}
$\ \ \ \ $\footnote{Dies beweist man durch Induktion nach $\alpha$: Der
Induktionsfang, $\alpha=0$, ergibt sich aus $V_{0}^{\perp}=0$. Der
Induktionsschritt verwendet $V_{\alpha+1}^{\perp}=V_{\alpha}^{\perp}\oplus
X_{\alpha}$.}. Analog gilt
\begin{equation}
W_{\beta}^{\perp}=\bigoplus\limits_{q=0}^{\beta-1}Y_{q} \tag{II.5.8}%
\end{equation}
f\"{u}r jedes $\beta\in\left\{  0,1,...,n+1\right\}  $. Angewandt auf
$\beta=n+1$ ergibt dies $W_{n+1}^{\perp}=\bigoplus\limits_{q=0}^{n}Y_{q}$.
Wegen $W_{n+1}^{\perp}=W^{\ast}$ (denn $W_{n+1}=0$) wird dies zu $W^{\ast
}=\bigoplus\limits_{q=0}^{n}Y_{q}$. Analog ist $V^{\ast}=\bigoplus
\limits_{p=0}^{n}X_{p}$. Aus diesen beiden Gleichheiten folgt%
\[
V^{\ast}\otimes W^{\ast}=\left(  \bigoplus\limits_{p=0}^{n}X_{p}\right)
\otimes\left(  \bigoplus\limits_{q=0}^{n}Y_{q}\right)  =\bigoplus
\limits_{p=0}^{n}\bigoplus\limits_{q=0}^{n}X_{p}\otimes Y_{q}=\bigoplus
\limits_{\left(  p,q\right)  \in\left\{  0,1,...,n\right\}  ^{2}}X_{p}\otimes
Y_{q}.
\]
Der Vektorraum $V^{\ast}\otimes W^{\ast}$ ist also die direkte Summe
$\bigoplus\limits_{\left(  p,q\right)  \in\left\{  0,1,...,n\right\}  ^{2}%
}X_{p}\otimes Y_{q}$. Somit gibt es f\"{u}r jedes Paar $\left(  i,j\right)
\in\left\{  0,1,...,n\right\}  ^{2}$ eine Projektion $\pi_{i,j}:V^{\ast
}\otimes W^{\ast}\rightarrow X_{i}\otimes Y_{j}$ (da es von einer direkten
Summe auf jeden Summanden eine Projektion gibt), und diese Projektionen
erf\"{u}llen%
\[
\left(  r=\sum\limits_{\left(  i,j\right)  \in\left\{  0,1,...,n\right\}
^{2}}\pi_{i,j}\left(  r\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }r\in
V^{\ast}\otimes W^{\ast}\right)  .
\]


Da $\pi_{i,j}$ die Projektion der direkten Summe $\bigoplus\limits_{\left(
p,q\right)  \in\left\{  0,1,...,n\right\}  ^{2}}X_{p}\otimes Y_{q}$ auf den
Summanden $X_{i}\otimes Y_{j}$ ist, \"{u}berf\"{u}hrt $\pi_{i,j}$ alle anderen
Summanden dieser Summe nach $0$. Das hei\ss t,
\begin{equation}
\pi_{i,j}\left(  X_{p}\otimes Y_{q}\right)
=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }\left(  p,q\right)  \in\left\{
0,1,...,n\right\}  ^{2}\text{ mit }\left(  p,q\right)  \neq\left(  i,j\right)
. \tag{II.5.9}%
\end{equation}


Sei nun $r\in\bigcap\limits_{k=0}^{n}\left(  V_{k}\otimes W_{n-k}\right)
^{\perp}$. Unser Ziel ist es, zu zeigen, da\ss \ $r\in\sum\limits_{\ell=1}%
^{n}V_{\ell}^{\perp}\otimes W_{n+1-\ell}^{\perp}$ ist.

Aus $r\in\bigcap\limits_{k=0}^{n}\left(  V_{k}\otimes W_{n-k}\right)  ^{\perp
}$ folgt, da\ss \ $r\in\left(  V_{k}\otimes W_{n-k}\right)  ^{\perp}$ f\"{u}r
jedes $k\in\left\{  0,1,...,n\right\}  $ gilt. Nach Lemma 5.3 \textbf{(a)}
(angewandt auf $V_{k}$ und $W_{n-k}$ statt $A$ bzw. $B$) ist aber%
\begin{align*}
\left(  V_{k}\otimes W_{n-k}\right)  ^{\perp}  &  =V_{k}^{\perp}\otimes
W^{\ast}+V^{\ast}\otimes W_{n-k}^{\perp}=\left(  \bigoplus\limits_{p=0}%
^{k-1}X_{p}\right)  \otimes\left(  \bigoplus\limits_{q=0}^{n}Y_{q}\right)
+\left(  \bigoplus\limits_{p=0}^{n}X_{p}\right)  \otimes\left(  \bigoplus
\limits_{q=0}^{n-k-1}Y_{q}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }V_{k}^{\perp}=\bigoplus\limits_{p=0}^{k-1}X_{p}\text{ (nach
(II.5.7)), }W^{\ast}=\bigoplus\limits_{q=0}^{n}Y_{q}\text{, }V^{\ast
}=\bigoplus\limits_{p=0}^{n}X_{p}\\
\text{und }W_{n-k}^{\perp}=\bigoplus\limits_{q=0}^{n-k-1}Y_{q}\text{ (nach
(II.5.8))}%
\end{array}
\right) \\
&  =\bigoplus\limits_{p=0}^{k-1}\bigoplus\limits_{q=0}^{n}X_{p}\otimes
Y_{q}+\bigoplus\limits_{p=0}^{n}\bigoplus\limits_{q=0}^{n-k-1}X_{p}\otimes
Y_{q}\\
&  =\sum\limits_{p=0}^{k-1}\sum\limits_{q=0}^{n}X_{p}\otimes Y_{q}%
+\sum\limits_{p=0}^{n}\sum\limits_{q=0}^{n-k-1}X_{p}\otimes Y_{q}.
\end{align*}


Wir zeigen nun, da\ss \ $\pi_{i,j}\left(  r\right)  =0$ f\"{u}r alle $\left(
i,j\right)  \in\left\{  0,1,...,n\right\}  ^{2}$ mit $i+j>n-1$ gilt.

In der Tat sei ein Paar $\left(  i,j\right)  \in\left\{  0,1,...,n\right\}
^{2}$ mit $i+j>n-1$ beliebig gew\"{a}hlt. Aus $i+j>n-1$ folgt $i+j\geq n$
(denn $i+j$ und $n-1$ sind ganze Zahlen). Folglich gibt es ein $k\in\left\{
0,1,...,n\right\}  $ mit $k\leq i$ und $n-k\leq j$ (beispielsweise kann man
$k=i$ nehmen). Wegen $r\in\left(  V_{k}\otimes W_{n-k}\right)  ^{\perp}%
=\sum\limits_{p=0}^{k-1}\sum\limits_{q=0}^{n}X_{p}\otimes Y_{q}+\sum
\limits_{p=0}^{n}\sum\limits_{q=0}^{n-k-1}X_{p}\otimes Y_{q}$ erf\"{u}llt
dieses $k$ nun%
\begin{align*}
\pi_{i,j}\left(  r\right)   &  \in\pi_{i,j}\left(  \sum\limits_{p=0}^{k-1}%
\sum\limits_{q=0}^{n}X_{p}\otimes Y_{q}+\sum\limits_{p=0}^{n}\sum
\limits_{q=0}^{n-k-1}X_{p}\otimes Y_{q}\right) \\
&  \subseteq\sum\limits_{p=0}^{k-1}\sum\limits_{q=0}^{n}\underbrace{\pi
_{i,j}\left(  X_{p}\otimes Y_{q}\right)  }_{\substack{=0\text{ nach
(II.5.9)}\\\text{(denn wegen }p<k\leq i\\\text{ist }\left(  p,q\right)
\neq\left(  i,j\right)  \text{)}}}+\sum\limits_{p=0}^{n}\sum\limits_{q=0}%
^{n-k-1}\underbrace{\pi_{i,j}\left(  X_{p}\otimes Y_{q}\right)  }%
_{\substack{=0\text{ nach (II.5.9)}\\\text{(denn wegen }q<n-k\leq j\\\text{ist
}\left(  p,q\right)  \neq\left(  i,j\right)  \text{)}}%
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\pi_{i,j}\text{ ist linear}\right) \\
&  =\sum\limits_{p=0}^{k-1}\sum\limits_{q=0}^{n}0+\sum\limits_{p=0}^{n}%
\sum\limits_{q=0}^{n-k-1}0=0,
\end{align*}
also $\pi_{i,j}\left(  r\right)  =0$.

Nun ist%
\begin{align*}
r  &  =\sum\limits_{\left(  i,j\right)  \in\left\{  0,1,...,n\right\}  ^{2}%
}\pi_{i,j}\left(  r\right)  =\sum\limits_{\substack{\left(  i,j\right)
\in\left\{  0,1,...,n\right\}  ^{2};\\i+j>n-1}}\underbrace{\pi_{i,j}\left(
r\right)  }_{\substack{=0\text{ (wie wir vorhin}\\\text{gezeigt haben)}}%
}+\sum\limits_{\substack{\left(  i,j\right)  \in\left\{  0,1,...,n\right\}
^{2};\\i+j\leq n-1}}\pi_{i,j}\left(  r\right) \\
&  =\underbrace{\sum\limits_{\substack{\left(  i,j\right)  \in\left\{
0,1,...,n\right\}  ^{2};\\i+j>n-1}}0}_{=0}+\sum\limits_{\substack{\left(
i,j\right)  \in\left\{  0,1,...,n\right\}  ^{2};\\i+j\leq n-1}}\underbrace{\pi
_{i,j}\left(  r\right)  }_{\in X_{i}\otimes Y_{j}}\in\underbrace{\sum
\limits_{\substack{\left(  i,j\right)  \in\left\{  0,1,...,n\right\}
^{2};\\i+j\leq n-1}}}_{=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sum\limits_{j=0}^{n-1-i}}%
X_{i}\otimes Y_{j}\\
&  =\sum_{i=0}^{n-1}\sum\limits_{j=0}^{n-1-i}X_{i}\otimes Y_{j}=\sum
_{i=0}^{n-1}\left(  X_{i}\otimes\sum\limits_{j=0}^{n-1-i}Y_{j}\right)  .
\end{align*}
Da aber $\sum\limits_{j=0}^{n-1-i}Y_{j}=W_{n-i}^{\perp}$ f\"{u}r alle
$i\in\left\{  0,1,...,n-1\right\}  $ ist (denn nach (II.5.8) (angewandt auf
$\beta=n-i$) ist $W_{n-i}^{\perp}=\bigoplus\limits_{q=0}^{n-i-1}Y_{q}%
=\sum\limits_{q=0}^{n-i-1}Y_{q}=\sum\limits_{j=0}^{n-i-1}Y_{j}=\sum
\limits_{j=0}^{n-1-i}Y_{j}$), vereinfacht sich dies zu $r\in\sum
\limits_{i=0}^{n-1}X_{i}\otimes W_{n-i}^{\perp}$. Da $X_{i}\subseteq
V_{i+1}^{\perp}$ ist (denn laut Definition von $X_{\alpha}$ gilt $X_{\alpha
}\subseteq V_{\alpha+1}^{\perp}$ f\"{u}r jedes $\alpha\in\left\{
0,1,...,n\right\}  $), erhalten wir also%
\[
r\in\sum\limits_{i=0}^{n-1}\underbrace{X_{i}}_{\subseteq V_{i+1}^{\perp}%
}\otimes W_{n-i}^{\perp}\subseteq\sum\limits_{i=0}^{n-1}V_{i+1}^{\perp}\otimes
W_{n-i}^{\perp}=\sum\limits_{\ell=1}^{n}V_{\ell}^{\perp}\otimes W_{n+1-\ell
}^{\perp}%
\]
(hier haben wir $i+1$ durch $\ell$ substituiert). Da wir dies f\"{u}r jedes
$r\in\bigcap\limits_{k=0}^{n}\left(  V_{k}\otimes W_{n-k}\right)  ^{\perp}$
gezeigt haben, ist also $\bigcap\limits_{k=0}^{n}\left(  V_{k}\otimes
W_{n-k}\right)  ^{\perp}\subseteq\sum\limits_{\ell=1}^{n}V_{\ell}^{\perp
}\otimes W_{n+1-\ell}^{\perp}$, und somit ist (II.5.6) nachgewiesen. Wie wir
wissen, ist damit der Beweis von Lemma 5.4 abgeschlossen.

Kommen wir wieder zu einfacheren Tatsachen:

\textbf{5.5. Lemma:} Seien $V$, $P$ und $Q$ drei Vektorr\"{a}ume, und
$f:V\rightarrow P$ und $g:V\rightarrow Q$ zwei lineare Abbildungen.
Angenommen, $\operatorname*{Ker}g\subseteq\operatorname*{Ker}f$. Dann gibt es
eine lineare Abbildung $h:Q\rightarrow P$ mit $f=h\circ g$.

\textit{Beweis von Lemma 5.5:} Sei $\psi:V\rightarrow V\diagup
\operatorname*{Ker}g$ die kanonische Projektion.

Wegen $\operatorname*{Ker}g\subseteq\operatorname*{Ker}f$ ist $f\left(
\operatorname*{Ker}g\right)  \subseteq f\left(  \operatorname*{Ker}f\right)
=0$, also $f\left(  \operatorname*{Ker}g\right)  =0$. Somit gibt es eine
lineare Abbildung $f^{\prime}:V\diagup\operatorname*{Ker}g\rightarrow P$ mit
$f=f^{\prime}\circ\psi$ (laut der universellen Eigenschaft des
Faktorvektorraums). Andererseits induziert die Abbildung $g$ einen kanonischen
Vektorraumisomorphismus $g^{\prime}:V\diagup\operatorname*{Ker}g\rightarrow
g\left(  V\right)  $ mit $g=g^{\prime}\circ\psi$. Also ist $\left(  g^{\prime
}\right)  ^{-1}\circ g=\psi$.

Sei $\tau:Q\rightarrow g\left(  V\right)  $ eine beliebige Projektion des
Vektorraums $Q$ auf seinen Untervektorraum $g\left(  V\right)  $ (so eine
Projektion existiert, denn von jedem Vektorraum kann man auf jeden seinen
Untervektorraum eine Projektion finden). Da $\tau$ eine Projektion ist, ist
$\tau\left(  x\right)  =x$ f\"{u}r alle $x\in g\left(  V\right)  $. Folglich
ist $\tau\circ g=g$ (denn f\"{u}r jedes $v\in V$ ist $\left(  \tau\circ
g\right)  \left(  v\right)  =\tau\left(  g\left(  v\right)  \right)  =g\left(
v\right)  $, weil $g\left(  v\right)  \in g\left(  V\right)  $).

Sei die lineare Abbildung $h:Q\rightarrow P$ definiert durch $h=f^{\prime
}\circ\left(  g^{\prime}\right)  ^{-1}\circ\tau$. Um Lemma 5.5 zu beweisen,
m\"{u}ssen wir nur noch zeigen, da\ss \ diese Abbildung $h$ die Gleichung
$f=h\circ g$ erf\"{u}llt.

In der Tat ist $h=f^{\prime}\circ\left(  g^{\prime}\right)  ^{-1}\circ\tau$
und damit%
\[
h\circ g=f^{\prime}\circ\left(  g^{\prime}\right)  ^{-1}\circ\underbrace{\tau
\circ g}_{=g}=f^{\prime}\circ\underbrace{\left(  g^{\prime}\right)  ^{-1}\circ
g}_{=\psi}=f^{\prime}\circ\psi=f,
\]
und somit ist Lemma 5.5 gezeigt.

\textbf{5.6. Lemma:} Seien $V$ und $U$ zwei Vektorr\"{a}ume, und sei
$\Delta:V\rightarrow U$ eine lineare Abbildung. Sei $B$ ein Untervektorraum
von $U$. F\"{u}r die zu $\Delta$ adjungierte Abbildung $\Delta^{\ast}:U^{\ast
}\rightarrow V^{\ast}$ gilt dann%
\[
\left(  \Delta^{-1}\left(  B\right)  \right)  ^{\perp}=\Delta^{\ast}\left(
B^{\perp}\right)
\]
als Untervektorr\"{a}ume von $V^{\ast}$.

\textit{Beweis von Lemma 5.6:} Es ist klar, da\ss \ $\Delta^{\ast}\left(
B^{\perp}\right)  \subseteq\left(  \Delta^{-1}\left(  B\right)  \right)
^{\perp}$ ist (denn f\"{u}r jedes $f\in\Delta^{\ast}\left(  B^{\perp}\right)
$ ist $f\in\left(  \Delta^{-1}\left(  B\right)  \right)  ^{\perp}%
$\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Wegen $f\in\Delta^{\ast}\left(  B^{\perp
}\right)  $ gibt es ein $g\in B^{\perp}$ mit $f=\Delta^{\ast}\left(  g\right)
$. Somit ist%
\[
f\left(  x\right)  =\left(  \Delta^{\ast}\left(  g\right)  \right)  \left(
x\right)  =g\left(  \underbrace{\Delta\left(  x\right)  }_{\in B\text{, da
}x\in\Delta^{-1}\left(  B\right)  }\right)  =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{denn wegen }g\in B^{\perp}\text{ ist }g\left(  u\right)  =0\text{
f\"{u}r alle }u\in B\right)
\]
f\"{u}r alle $x\in\Delta^{-1}\left(  B\right)  $. Das hei\ss t, $f\in\left\{
\phi\in V^{\ast}\ \mid\ \phi\left(  x\right)  =0\text{ f\"{u}r alle }%
x\in\Delta^{-1}\left(  B\right)  \right\}  =\left(  \Delta^{-1}\left(
B\right)  \right)  ^{\perp}$.}). Zum Beweis von Lemma 5.6 ist also nur noch zu
zeigen, da\ss \ $\left(  \Delta^{-1}\left(  B\right)  \right)  ^{\perp
}\subseteq\Delta^{\ast}\left(  B^{\perp}\right)  $ ist.

Sei $f\in\left(  \Delta^{-1}\left(  B\right)  \right)  ^{\perp}$ beliebig
gew\"{a}hlt. Dann ist
\[
f\in\left(  \Delta^{-1}\left(  B\right)  \right)  ^{\perp}=\left\{  \phi\in
V^{\ast}\ \mid\ \phi\left(  x\right)  =0\text{ f\"{u}r alle }x\in\Delta
^{-1}\left(  B\right)  \right\}  ,
\]
also $f\left(  x\right)  =0$ f\"{u}r alle $x\in\Delta^{-1}\left(  B\right)  $.
Das hei\ss t, $f\left(  \Delta^{-1}\left(  B\right)  \right)  =0$, also
$\Delta^{-1}\left(  B\right)  \subseteq\operatorname*{Ker}f$.

Sei $\pi:U\rightarrow U\diagup B$ die kanonische Projektion. Dann ist
$\operatorname*{Ker}\pi=B$.

Sei eine lineare Abbildung $g:V\rightarrow U\diagup B$ definiert durch
$g=\pi\circ\Delta$. Dann ist $\operatorname*{Ker}g=\operatorname*{Ker}\left(
\pi\circ\Delta\right)  =\left(  \pi\circ\Delta\right)  ^{-1}\left(  0\right)
=\Delta^{-1}\left(  \underbrace{\pi^{-1}\left(  0\right)  }%
_{=\operatorname*{Ker}\pi=B}\right)  =\Delta^{-1}\left(  B\right)
\subseteq\operatorname*{Ker}f$. Nach Lemma 5.5 (angewandt auf $P=k$ und
$Q=U\diagup B$) gibt es also eine lineare Abbildung $h:U\diagup B\rightarrow
k$ mit $f=h\circ g$. Damit ist%
\[
f=h\circ\underbrace{g}_{=\pi\circ\Delta}=h\circ\pi\circ\Delta=\Delta^{\ast
}\left(  h\circ\pi\right)  \in\Delta^{\ast}\left(  B^{\perp}\right)
\]
(denn $h\circ\pi\in B^{\perp}$, denn f\"{u}r jedes $\beta\in B$ ist $\left(
h\circ\pi\right)  \left(  \beta\right)  =h\left(  \underbrace{\pi\left(
\beta\right)  }_{=0\text{, denn }\beta\in B=\operatorname*{Ker}\pi}\right)
=h\left(  0\right)  =0$). Da wir dies f\"{u}r jedes $f\in\left(  \Delta
^{-1}\left(  B\right)  \right)  ^{\perp}$ gezeigt haben, gilt also $\left(
\Delta^{-1}\left(  B\right)  \right)  ^{\perp}\subseteq\Delta^{\ast}\left(
B^{\perp}\right)  $, und der Beweis von Lemma 5.6 ist komplett.

Schlie\ss lich dualisieren wir Lemma 5.3:

\textbf{5.7. Lemma:} Sei $n\in\mathbb{N}$.

Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum, und sei $I_{k}$ ein
Untervektorraum von $V^{\ast}$ f\"{u}r alle $k\in\left\{  0,1,2,...,n\right\}
$. Angenommen, $I_{0}\supseteq I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq...\supseteq
I_{n}$ und $I_{0}=V^{\ast}$.

Sei $W$ ein endlichdimensionaler Vektorraum, und sei $J_{k}$ ein
Untervektorraum von $W^{\ast}$ f\"{u}r alle $k\in\left\{  0,1,2,...,n\right\}
$. Angenommen, $J_{0}\supseteq J_{1}\supseteq J_{2}\supseteq...\supseteq
J_{n}$ und $J_{0}=W^{\ast}$.

Dann ist%
\[
\bigcap\limits_{k=0}^{n}\left(  I_{k}\otimes J_{n-k}\right)  ^{\top}%
=\sum\limits_{\ell=1}^{n}I_{\ell}^{\top}\otimes J_{n+1-\ell}^{\top}%
\]
(dies ist eine Gleichheit zwischen Untervektorr\"{a}umen von $V\otimes W$).

\textit{Beweis von Lemma 5.7:} Sei $\Phi:V\rightarrow V^{\ast\ast}$ der
kanonische Homomorphismus von Vektorr\"{a}umen, der durch%
\[
\Phi\left(  v\right)  =\left(  f\mapsto f\left(  v\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }v\in V
\]
definiert ist. Da $V$ endlichdimensional ist, ist $\Phi$ ein Isomorphismus.
Bekanntlich ist $\Phi\left(  X\right)  =\left(  X^{\perp}\right)  ^{\perp}$
f\"{u}r jeden Untervektorraum $X$ von $V$. F\"{u}r jeden Untervektorraum $P$
von $V^{\ast}$ ist somit $\Phi\left(  P^{\top}\right)  =\left(
\underbrace{\left(  P^{\top}\right)  ^{\perp}}_{=P}\right)  ^{\perp}=P^{\perp
}$.

Sei $\Psi:W\rightarrow W^{\ast\ast}$ der kanonische Homomorphismus von
Vektorr\"{a}umen, der durch%
\[
\Psi\left(  w\right)  =\left(  g\mapsto g\left(  w\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }w\in W
\]
definiert ist. Da $W$ endlichdimensional ist, ist $\Psi$ ein Isomorphismus.
Bekanntlich ist $\Psi\left(  Y\right)  =\left(  Y^{\perp}\right)  ^{\perp}$
f\"{u}r jeden Untervektorraum $Y$ von $W$. F\"{u}r jeden Untervektorraum $Q$
von $W^{\ast}$ ist somit $\Psi\left(  Q^{\top}\right)  =\left(
\underbrace{\left(  Q^{\top}\right)  ^{\perp}}_{=Q}\right)  ^{\perp}=Q^{\perp
}$.

Sei $\Gamma:V\otimes W\rightarrow\left(  V\otimes W\right)  ^{\ast\ast}$ der
kanonische Homomorphismus von Vektorr\"{a}umen, der durch%
\[
\Gamma\left(  u\right)  =\left(  h\mapsto h\left(  u\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }u\in V\otimes W
\]
definiert ist. Da $V\otimes W$ endlichdimensional ist, ist $\Gamma$ ein
Isomorphismus. Bekanntlich ist $\Gamma\left(  Z\right)  =\left(  Z^{\perp
}\right)  ^{\perp}$ f\"{u}r jeden Untervektorraum $Z$ von $V\otimes W$.
F\"{u}r jeden Untervektorraum $R$ von $V^{\ast}\otimes W^{\ast}=\left(
V\otimes W\right)  ^{\ast}$ ist somit $\Gamma\left(  R^{\top}\right)  =\left(
\underbrace{\left(  R^{\top}\right)  ^{\perp}}_{=R}\right)  ^{\perp}=R^{\perp
}$.

Verm\"{o}ge der Identifikation $V^{\ast\ast}\otimes W^{\ast\ast}=\left(
\underbrace{V^{\ast}\otimes W^{\ast}}_{=\left(  V\otimes W\right)  ^{\ast}%
}\right)  ^{\ast}=\left(  V\otimes W\right)  ^{\ast\ast}$ k\"{o}nnen wir
behaupten, da\ss \ der Isomorphismus $\Gamma:V\otimes W\rightarrow\left(
V\otimes W\right)  ^{\ast\ast}$ identisch mit dem Isomorphismus $\Phi
\otimes\Psi:V\otimes W\rightarrow V^{\ast\ast}\otimes W^{\ast\ast}$ ist. Und
wir k\"{o}nnen dies auch beweisen:

\textit{Beweis:} F\"{u}r jeden reinen Tensor $t\in V\otimes W$ gilt
$\Gamma\left(  t\right)  =\left(  \Phi\otimes\Psi\right)  \left(  t\right)
\ \ \ \ $\footnote{\textit{Beweis:} Da $t$ ein reiner Tensor ist, gilt
$t=v\otimes w$ f\"{u}r ein $v\in V$ und ein $w\in W$. Somit ist%
\[
\underbrace{\left(  \Gamma\left(  t\right)  \right)  }_{=\left(  h\mapsto
h\left(  t\right)  \right)  }\left(  f\otimes g\right)  =\left(  f\otimes
g\right)  \left(  \underbrace{t}_{=v\otimes w}\right)  =\left(  f\otimes
g\right)  \left(  v\otimes w\right)  =f\left(  v\right)  \otimes g\left(
w\right)
\]
f\"{u}r alle $f\in V^{\ast}$ und $g\in W^{\ast}$. Andererseits ist%
\begin{align*}
\left(  \left(  \Phi\otimes\Psi\right)  \left(  \underbrace{t}_{=v\otimes
w}\right)  \right)  \left(  f\otimes g\right)   &  =\left(  \left(
\Phi\otimes\Psi\right)  \left(  v\otimes w\right)  \right)  \left(  f\otimes
g\right)  =\underbrace{\left(  \Phi\left(  v\right)  \right)  \left(
f\right)  }_{\substack{=f\left(  v\right)  \text{ (nach der}\\\text{Definition
von }\Phi\text{)}}}\otimes\underbrace{\left(  \Psi\left(  w\right)  \right)
\left(  g\right)  }_{\substack{=g\left(  w\right)  \text{ (nach der}%
\\\text{Definition von }\Psi\text{)}}}\\
&  =f\left(  v\right)  \otimes g\left(  w\right)  =\left(  \Gamma\left(
t\right)  \right)  \left(  f\otimes g\right)
\end{align*}
f\"{u}r alle $f\in V^{\ast}$ und $g\in W^{\ast}$. Die linearen Abbildungen
$\Gamma\left(  t\right)  :V^{\ast}\otimes W^{\ast}\rightarrow k$ und $\left(
\Phi\otimes\Psi\right)  \left(  t\right)  :V^{\ast}\otimes W^{\ast}\rightarrow
k$ stimmen also auf jedem reinen Tensor \"{u}berein. Folglich sind diese
Abbildungen identisch (denn zwei lineare Abbildungen, die auf jedem reinen
Tensor \"{u}bereinstimmen, m\"{u}ssen identisch sein). Wir haben also
$\Gamma\left(  t\right)  =\left(  \Phi\otimes\Psi\right)  \left(  t\right)
$.}. Die linearen Abbildungen $\Gamma:V\otimes W\rightarrow\left(  V\otimes
W\right)  ^{\ast\ast}$ und $\Phi\otimes\Psi:V\otimes W\rightarrow V^{\ast\ast
}\otimes W^{\ast\ast}$ stimmen also auf jedem reinen Tensor \"{u}berein.
Folglich sind diese Abbildungen $\Gamma$ und $\Phi\otimes\Psi$ identisch (denn
zwei lineare Abbildungen, die auf jedem reinen Tensor \"{u}bereinstimmen,
m\"{u}ssen identisch sein). Damit ist $\Gamma=\Phi\otimes\Psi$ bewiesen.

Laut Lemma 5.4 (angewandt auf $V^{\ast}$, $W^{\ast}$, $I_{k}$ und $J_{k}$
statt $V$, $W$, $V_{k}$ bzw. $W_{k}$) ist nun%
\[
\bigcap\limits_{k=0}^{n}\left(  I_{k}\otimes J_{n-k}\right)  ^{\perp}%
=\sum\limits_{\ell=1}^{n}I_{\ell}^{\perp}\otimes J_{n+1-\ell}^{\perp}%
\]
(dies ist eine Gleichheit zwischen Untervektorr\"{a}umen von $V^{\ast\ast
}\otimes W^{\ast\ast}=\left(  V^{\ast}\otimes W^{\ast}\right)  ^{\ast}$). Da
aber $\Gamma$ ein Isomorphismus ist, gilt%
\[
\Gamma\left(  \bigcap\limits_{k=0}^{n}\left(  I_{k}\otimes J_{n-k}\right)
^{\top}\right)  =\bigcap\limits_{k=0}^{n}\underbrace{\Gamma\left(  \left(
I_{k}\otimes J_{n-k}\right)  ^{\top}\right)  }_{\substack{=\left(
I_{k}\otimes J_{n-k}\right)  ^{\perp}\\\text{(denn }\Gamma\left(  P^{\top
}\right)  =P^{\perp}\text{ f\"{u}r jeden}\\\text{Untervektorraum }P\text{ von
}V^{\ast}\otimes W^{\ast}\text{)}}}=\bigcap\limits_{k=0}^{n}\left(
I_{k}\otimes J_{n-k}\right)  ^{\perp}=\sum\limits_{\ell=1}^{n}I_{\ell}^{\perp
}\otimes J_{n+1-\ell}^{\perp}.
\]
Andererseits ist%
\begin{align*}
\underbrace{\Gamma}_{=\Phi\otimes\Psi}\left(  \sum\limits_{\ell=1}^{n}I_{\ell
}^{\top}\otimes J_{n+1-\ell}^{\top}\right)   &  =\left(  \Phi\otimes
\Psi\right)  \left(  \sum\limits_{\ell=1}^{n}I_{\ell}^{\top}\otimes
J_{n+1-\ell}^{\top}\right) \\
&  =\sum\limits_{\ell=1}^{n}\underbrace{\Phi\left(  I_{\ell}^{\top}\right)
}_{\substack{=I_{\ell}^{\perp}\text{ (denn}\\\Phi\left(  P^{\top}\right)
=P^{\perp}\text{ f\"{u}r jeden}\\\text{Untervektorraum }P\text{ von }V^{\ast
}\text{)}}}\otimes\underbrace{\Psi\left(  J_{n+1-\ell}^{\top}\right)
}_{\substack{=J_{n+1-\ell}^{\perp}\text{ (denn}\\\Psi\left(  Q^{\top}\right)
=Q^{\perp}\text{ f\"{u}r jeden}\\\text{Untervektorraum }Q\text{ von }W^{\ast
}\text{)}}}\\
&  =\sum\limits_{\ell=1}^{n}I_{\ell}^{\perp}\otimes J_{n+1-\ell}^{\perp
}=\Gamma\left(  \bigcap\limits_{k=0}^{n}\left(  I_{k}\otimes J_{n-k}\right)
^{\top}\right)  .
\end{align*}
Da $\Gamma$ injektiv ist (denn $\Gamma$ ist ein Isomorphismus), gilt also%
\[
\sum\limits_{\ell=1}^{n}I_{\ell}^{\top}\otimes J_{n+1-\ell}^{\top}%
=\bigcap\limits_{k=0}^{n}\left(  I_{k}\otimes J_{n-k}\right)  ^{\top},
\]
und Lemma 5.7 ist bewiesen.

Ein weiteres Lemma \"{u}ber Tensorprodukte und ihre Unterr\"{a}ume:

\textbf{5.8. Lemma:} Seien $V$ und $W$ zwei Vektorr\"{a}ume. Seien $A$ und $P$
zwei Untervektorr\"{a}ume von $V$, und seien $B$ und $Q$ zwei
Untervektorr\"{a}ume von $W$.

\textbf{(a)} Dann ist%
\[
\left(  P\otimes Q\right)  \cap\left(  V\otimes B+A\otimes W\right)
=P\otimes\left(  B\cap Q\right)  +\left(  A\cap P\right)  \otimes Q
\]
(dies ist eine Gleichheit zwischen Untervektorr\"{a}umen von $V\otimes W$).
Hierbei betrachten wir $P\otimes Q$, $V\otimes B$, $A\otimes W$,
$P\otimes\left(  B\cap Q\right)  $ und $\left(  A\cap P\right)  \otimes Q$ als
Untervektorr\"{a}ume von $V\otimes W$.

\textbf{(b)} Ferner ist%
\[
\left(  P\otimes Q\right)  \cap\left(  A\otimes B\right)  =\left(  P\cap
A\right)  \otimes\left(  Q\cap B\right)
\]
(dies ist eine Gleichheit zwischen Untervektorr\"{a}umen von $V\otimes W$).
Hierbei betrachten wir $P\otimes Q$, $A\otimes B$, und $\left(  P\cap
A\right)  \otimes\left(  Q\cap B\right)  $ als Untervektorr\"{a}ume von
$V\otimes W$.

\textit{Bemerkung:} Dieses Lemma bringt manchen auf die Mutma\ss ung,
da\ss \ auch eine Aussage der Form%
\[
\left(  V\otimes Q+P\otimes W\right)  \cap\left(  V\otimes B+A\otimes
W\right)  =V\otimes\left(  B\cap Q\right)  +\left(  A\cap P\right)  \otimes W
\]
gelten sollte. Aber dies ist im Allgemeinen falsch.

\textit{Beweis von Lemma 5.8:} Seien $\phi:V\rightarrow V\diagup A$ und
$\psi:W\rightarrow W\diagup B$ die kanonischen Projektionen. Dann ist
$\operatorname*{Ker}\phi=A$ und $\operatorname*{Ker}\psi=B$.

\textbf{(a)} Nach Lemma 5.1 \textbf{(a)} (angewandt auf $V\diagup A$ und
$W\diagup B$ statt $V^{\prime}$ bzw. $W^{\prime}$) gilt nun%
\[
\operatorname*{Ker}\left(  \phi\otimes\psi\right)
=\underbrace{\operatorname*{Ker}\phi}_{=A}\otimes W+V\otimes
\underbrace{\operatorname*{Ker}\psi}_{=B}=A\otimes W+V\otimes B=V\otimes
B+A\otimes W,
\]
und somit%
\[
\left(  P\otimes Q\right)  \cap\underbrace{\left(  V\otimes B+A\otimes
W\right)  }_{=\operatorname*{Ker}\left(  \phi\otimes\psi\right)  }=\left(
P\otimes Q\right)  \cap\operatorname*{Ker}\left(  \phi\otimes\psi\right)
=\operatorname*{Ker}\left(  \left(  \phi\otimes\psi\right)  \mid_{P\otimes
Q}\right)  .
\]
Seien nun $i_{P}:P\rightarrow V$ und $i_{Q}:Q\rightarrow W$ die kanonischen
Inklusionen. Dann ist $i_{P}\otimes i_{Q}$ die kanonische Inklusion von
$P\otimes Q$ nach $V\otimes W$. Somit ist $\left(  \phi\otimes\psi\right)
\mid_{P\otimes Q}=\left(  \phi\otimes\psi\right)  \circ\left(  i_{P}\otimes
i_{Q}\right)  =\left(  \phi\circ i_{P}\right)  \otimes\left(  \psi\circ
i_{Q}\right)  $.

Doch nach Lemma 5.1 \textbf{(a)} (angewandt auf $P$, $Q$, $V\diagup A$,
$W\diagup B$, $\phi\circ i_{P}$ und $\psi\circ i_{Q}$ statt $V$, $W$,
$V^{\prime}$, $W^{\prime}$, $\phi$ bzw. $\psi$) ist%
\[
\operatorname*{Ker}\left(  \left(  \phi\circ i_{P}\right)  \otimes\left(
\psi\circ i_{Q}\right)  \right)  =\operatorname*{Ker}\left(  \phi\circ
i_{P}\right)  \otimes Q+P\otimes\operatorname*{Ker}\left(  \psi\circ
i_{Q}\right)  .
\]
Wegen%
\begin{align*}
\operatorname*{Ker}\left(  \phi\circ i_{P}\right)   &  =\operatorname*{Ker}%
\left(  \phi\mid_{P}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }%
i_{P}:P\rightarrow V\text{ ist die Inklusion, und somit ist }\phi\circ
i_{P}=\phi\mid_{P}\right) \\
&  =\underbrace{\operatorname*{Ker}\phi}_{=A}\cap P=A\cap P
\end{align*}
und der analog zu beweisenden Gleichheit $\operatorname*{Ker}\left(  \psi\circ
i_{Q}\right)  =B\cap Q$ wird dies zu%
\begin{align*}
\operatorname*{Ker}\left(  \left(  \phi\circ i_{P}\right)  \otimes\left(
\psi\circ i_{Q}\right)  \right)   &  =\underbrace{\operatorname*{Ker}\left(
\phi\circ i_{P}\right)  }_{=A\cap P}\otimes Q+P\otimes
\underbrace{\operatorname*{Ker}\left(  \psi\circ i_{Q}\right)  }_{=B\cap
Q}=\left(  A\cap P\right)  \otimes Q+P\otimes\left(  B\cap Q\right) \\
&  =P\otimes\left(  B\cap Q\right)  +\left(  A\cap P\right)  \otimes Q.
\end{align*}
Insgesamt haben wir also%
\begin{align*}
\left(  P\otimes Q\right)  \cap\left(  V\otimes B+A\otimes W\right)   &
=\operatorname*{Ker}\left(  \underbrace{\left(  \phi\otimes\psi\right)
\mid_{P\otimes Q}}_{=\left(  \phi\circ i_{P}\right)  \otimes\left(  \psi\circ
i_{Q}\right)  }\right)  =\operatorname*{Ker}\left(  \left(  \phi\circ
i_{P}\right)  \otimes\left(  \psi\circ i_{Q}\right)  \right) \\
&  =P\otimes\left(  B\cap Q\right)  +\left(  A\cap P\right)  \otimes Q,
\end{align*}
und Lemma 5.8 \textbf{(a)} ist bewiesen.

\textbf{(b)} Nach Lemma 5.1 \textbf{(b)} (angewandt auf $V\diagup A$ und
$W\diagup B$ statt $V^{\prime}$ bzw. $W^{\prime}$) gilt%
\[
\operatorname*{Ker}\phi\otimes\operatorname*{Ker}\psi=\left(
\operatorname*{Ker}\phi\otimes W\right)  \cap\left(  V\otimes
\operatorname*{Ker}\psi\right)  .
\]
Wegen $\operatorname*{Ker}\phi=A$ und $\operatorname*{Ker}\psi=B$ vereinfacht
sich dies zu%
\[
A\otimes B=\left(  A\otimes W\right)  \cap\left(  V\otimes B\right)  .
\]
Nach Lemma 5.8 \textbf{(a)} (angewandt auf $0$ statt $B$) ist%
\[
\left(  P\otimes Q\right)  \cap\left(  V\otimes0+A\otimes W\right)
=P\otimes\left(  0\cap Q\right)  +\left(  A\cap P\right)  \otimes Q,
\]
was sich (wegen $V\otimes0=0$ und $P\otimes\left(  0\cap Q\right)  =0$) zu
\[
\left(  P\otimes Q\right)  \cap\left(  A\otimes W\right)  =\left(  A\cap
P\right)  \otimes Q
\]
vereinfacht. Nach Lemma 5.8 \textbf{(a)} (angewandt auf $A\cap P$ und $0$
statt $P$ bzw. $A$) ist ferner%
\[
\left(  \left(  A\cap P\right)  \otimes Q\right)  \cap\left(  V\otimes
B+0\otimes W\right)  =\left(  A\cap P\right)  \otimes\left(  B\cap Q\right)
+\left(  0\cap\left(  A\cap P\right)  \right)  \otimes Q,
\]
was sich (wegen $0\otimes W=0$ und $\underbrace{\left(  0\cap\left(  A\cap
P\right)  \right)  }_{=0}\otimes Q=0$) zu%
\[
\left(  \left(  A\cap P\right)  \otimes Q\right)  \cap\left(  V\otimes
B\right)  =\left(  A\cap P\right)  \otimes\left(  B\cap Q\right)
\]
vereinfacht. Somit ist%
\begin{align*}
\left(  P\otimes Q\right)  \cap\underbrace{\left(  A\otimes B\right)
}_{=\left(  A\otimes W\right)  \cap\left(  V\otimes B\right)  }  &
=\underbrace{\left(  P\otimes Q\right)  \cap\left(  A\otimes W\right)
}_{=\left(  A\cap P\right)  \otimes Q}\cap\left(  V\otimes B\right)  =\left(
\left(  A\cap P\right)  \otimes Q\right)  \cap\left(  V\otimes B\right) \\
&  =\left(  A\cap P\right)  \otimes\left(  B\cap Q\right)  .
\end{align*}
Damit ist Lemma 5.8 \textbf{(b)} nachgewiesen.

\bigskip

\fbox{\textbf{Anwendung auf die duale Algebra}}

Wir haben jetzt genug reine lineare Algebra betrieben. Es wird an der Zeit,
diese Lemmata auf Coalgebren anzuwenden. Wie wir wissen, wird f\"{u}r jede
Coalgebra $C$ der Dualraum $C^{\ast}$ zu einer Algebra bez\"{u}glich der
Faltung $\ast$. F\"{u}r endlichdimensionale Coalgebren kann man recht viele
Eigenschaften dieser dualen Algebra $C^{\ast}$ mit Eigenschaften der Coalgebra
$C$ in Verbindung bringen. Wir beginnen mit der folgenden:

\textbf{5.9. Satz:} Sei $C$ eine endlichdimensionale Coalgebra, und sei $X$
ein Untervektorraum von $C$.

Genau dann ist $X$ eine Untercoalgebra von $C$, wenn $X^{\perp}$ ein Ideal von
$C^{\ast}$ ist.

\textit{Beweis von Satz 5.9:} $\Longrightarrow:$ Angenommen, $X$ ist eine
Untercoalgebra von $C$. Dann ist $\Delta\left(  X\right)  \subseteq X\otimes
X$. F\"{u}r beliebige $f\in C^{\ast}$, $g\in X^{\perp}$ und $x\in X$ ist nun%
\[
\left(  f\ast g\right)  \left(  x\right)  =\left(  f\otimes g\right)  \left(
\underbrace{\Delta\left(  x\right)  }_{\in\Delta\left(  X\right)  \subseteq
X\otimes X}\right)  \in\left(  f\otimes g\right)  \left(  X\otimes X\right)
\subseteq f\left(  X\right)  \underbrace{g\left(  X\right)  }_{=0\text{, denn
}g\in X^{\perp}}=0,
\]
also $\left(  f\ast g\right)  \left(  x\right)  =0$. Das hei\ss t, f\"{u}r
alle $f\in C^{\ast}$ und $g\in X^{\perp}$ ist%
\[
f\ast g\in\left\{  \varphi\in C^{\ast}\ \mid\ \varphi\left(  x\right)
=0\text{ f\"{u}r alle }x\in X\right\}  =X^{\perp}.
\]
Somit ist $X^{\perp}$ ein Linksideal der Algebra $C^{\ast}$. Analog ist
$X^{\perp}$ ein Rechtsideal von $C^{\ast}$. Somit ist $X^{\perp}$ ein
(beidseitiges) Ideal von $C^{\ast}$.

$\Longleftarrow:$ Angenommen, $X^{\perp}$ ist ein Ideal von $C^{\ast}$. Wir
wollen beweisen, da\ss \ dann $X$ eine Untercoalgebra von $C$ ist. Dazu zeigen
wir, da\ss \ $\Delta\left(  X\right)  \subseteq X\otimes X$ ist.

\textit{Erster Beweis von }$\Delta\left(  X\right)  \subseteq X\otimes
X$\textit{:} Sei $x_{1},x_{2},...,x_{\alpha}$ eine Basis des Vektorraums $X$.
Sei $x_{1},x_{2},...,x_{\alpha},x_{\alpha+1},...,x_{\beta}$ eine Basis des
Vektorraums $C$, die diese Basis $x_{1},x_{2},...,x_{\alpha}$ fortsetzt. Sei
$f_{1},f_{2},...,f_{\beta}$ die zur Basis $x_{1},x_{2},...,x_{\beta}$ von $C$
duale Basis des Vektorraums $C^{\ast}$. Da $X=\left\langle x_{1}%
,x_{2},...,x_{\alpha}\right\rangle $ ist, ist dann $X^{\perp}=\left\langle
f_{\alpha+1},f_{\alpha+2},...,f_{\beta}\right\rangle $.

Sei $x\in X$ beliebig. Dann ist das Element $\Delta\left(  x\right)  \in
C\otimes C$ in der Form $\Delta\left(  x\right)  =\sum\limits_{i=1}^{\beta
}\sum\limits_{j=1}^{\beta}\lambda_{i,j}x_{i}\otimes x_{j}$ (mit $\lambda
_{i,j}\in k$) darstellbar, denn $\left(  x_{i}\otimes x_{j}\right)  _{1\leq
i\leq\beta,\ 1\leq j\leq\beta}$ ist eine Basis des Vektorraums $C\otimes C$
(weil $\left(  x_{i}\right)  _{1\leq i\leq\beta}=\left(  x_{1},x_{2}%
,...,x_{\beta}\right)  $ eine Basis des Vektorraums $C$ ist).

F\"{u}r jedes $u\in\left\{  1,2,...,\beta\right\}  $ und jedes $v\in\left\{
\alpha+1,\alpha+2,...,\beta\right\}  $ ist nun $f_{u}\ast f_{v}\in X^{\perp}$
(denn $f_{v}\in\left\langle f_{\alpha+1},f_{\alpha+2},...,f_{\beta
}\right\rangle =X^{\perp}$, und $X^{\perp}$ ist ein Ideal von $C^{\ast}$),
also $\left(  f_{u}\ast f_{v}\right)  \left(  x\right)  =0$ (denn $x\in X$).
Doch wegen%
\begin{align*}
\left(  f_{u}\ast f_{v}\right)  \left(  x\right)   &  =\left(  f_{u}\otimes
f_{v}\right)  \left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  =\left(  f_{u}\otimes
f_{v}\right)  \left(  \sum\limits_{i=1}^{\beta}\sum\limits_{j=1}^{\beta
}\lambda_{i,j}x_{i}\otimes x_{j}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{\beta}%
\sum\limits_{j=1}^{\beta}\lambda_{i,j}\underbrace{f_{u}\left(  x_{i}\right)
}_{=\delta_{u,i}}\otimes\underbrace{f_{v}\left(  x_{j}\right)  }%
_{=\delta_{v,j}}\\
&  =\lambda_{u,v}%
\end{align*}
bedeutet dies $\lambda_{u,v}=0$. Wir haben damit gezeigt:

\textit{Lemma A:} F\"{u}r jedes $u\in\left\{  1,2,...,\beta\right\}  $ und
jedes $v\in\left\{  \alpha+1,\alpha+2,...,\beta\right\}  $ ist $\lambda
_{u,v}=0$.

Analog l\"{a}\ss t sich sehen:

\textit{Lemma B:} F\"{u}r jedes $u\in\left\{  \alpha+1,\alpha+2,...,\beta
\right\}  $ und jedes $v\in\left\{  1,2,...,\beta\right\}  $ ist
$\lambda_{u,v}=0$.

Damit gilt%
\begin{align*}
\Delta\left(  x\right)   &  =\sum\limits_{i=1}^{\beta}\sum\limits_{j=1}%
^{\beta}\lambda_{i,j}x_{i}\otimes x_{j}=\sum\limits_{i=1}^{\alpha}%
\sum\limits_{j=1}^{\beta}\lambda_{i,j}x_{i}\otimes x_{j}+\sum\limits_{i=\alpha
+1}^{\beta}\sum\limits_{j=1}^{\beta}\underbrace{\lambda_{i,j}}_{=0\text{ (nach
Lemma B)}}x_{i}\otimes x_{j}\\
&  =\sum\limits_{i=1}^{\alpha}\sum\limits_{j=1}^{\beta}\lambda_{i,j}%
x_{i}\otimes x_{j}=\sum\limits_{i=1}^{\alpha}\sum\limits_{j=1}^{\alpha}%
\lambda_{i,j}x_{i}\otimes x_{j}+\sum\limits_{i=1}^{\alpha}\sum
\limits_{j=\alpha+1}^{\beta}\underbrace{\lambda_{i,j}}_{=0\text{ (nach Lemma
A)}}x_{i}\otimes x_{j}\\
&  =\sum\limits_{i=1}^{\alpha}\sum\limits_{j=1}^{\alpha}\lambda_{i,j}%
x_{i}\otimes x_{j}\in\left\langle x_{1},x_{2},...,x_{\alpha}\right\rangle
\otimes\left\langle x_{1},x_{2},...,x_{\alpha}\right\rangle =X\otimes X\text{
(denn }\left\langle x_{1},x_{2},...,x_{\alpha}\right\rangle =X\text{).}%
\end{align*}
Wir haben damit gezeigt, da\ss \ $\Delta\left(  x\right)  \in X\otimes X$
f\"{u}r alle $x\in X$ gilt. Das hei\ss t, $\Delta\left(  X\right)  \subseteq
X\otimes X$.

\textit{Zweiter Beweis von }$\Delta\left(  X\right)  \subseteq X\otimes
X$\textit{:} Nach Lemma 5.3 (angewandt auf $C$, $C$, $X$ und $X$ statt $V$,
$W$, $A$ bzw. $B$) gilt $\left(  X\otimes X\right)  ^{\perp}=X^{\perp}\otimes
C^{\ast}+C^{\ast}\otimes X^{\perp}$.

%Daher ist $\left(  \left(  X\otimes
%X\right)  ^{\perp}\right)  ^{\top}=\left(  X^{\perp}\otimes C^{\ast}+C^{\ast
%}\otimes X^{\perp}\right)  ^{\top}$.
%Wegen $\left(  \left(  X\otimes X\right)^{\perp}\right)  ^{\top}=X\otimes X$
%wird dies zu
%$ X\otimes X=\left(  X^{\perp}\otimes C^{\ast}+C^{\ast}\otimes X^{\perp}\right)^{\top}$.


F\"{u}r jedes $t\in\Delta\left(  X\right)  $ und alle $f\in X^{\perp}$ und
$g\in C^{\ast}$ ist nun $\left(  f\otimes g\right)  \left(  t\right)
=0$\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Wegen $t\in\Delta\left(  X\right)  $
gibt es ein $x\in X$ mit $t=\Delta\left(  x\right)  $. Nach der Definition der
Konvolution ist $\left(  f\ast g\right)  \left(  x\right)  =\left(  \mu
_{k}\circ\left(  f\otimes g\right)  \circ\Delta\right)  \left(  x\right)  $,
wobei $\mu_{k}:k\otimes k\rightarrow k$ die kanonische
Multiplikationsabbildung ist. Da aber $X^{\perp}$ ein Ideal ist, ist $f\ast
g\in X^{\perp}$ (denn $f\in X^{\perp}$) und somit $\left(  f\ast g\right)
\left(  x\right)  =0$ (wegen $x\in X$). Daher ist $0=\left(  f\ast g\right)
\left(  x\right)  =\left(  \mu_{k}\circ\left(  f\otimes g\right)  \circ
\Delta\right)  \left(  x\right)  =\mu_{k}\left(  \left(  f\otimes g\right)
\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  \right)  $. Da $\mu_{k}$ injektiv
ist, folgt hieraus $0=\left(  f\otimes g\right)  \left(  \underbrace{\Delta
\left(  x\right)  }_{=t}\right)  =\left(  f\otimes g\right)  \left(  t\right)
$, was zu beweisen war.}. Das hei\ss t, f\"{u}r alle $f\in X^{\perp}$ und
$g\in C^{\ast}$ ist $f\otimes g\in\left(  \Delta\left(  X\right)  \right)
^{\perp}$. Da $\left(  \Delta\left(  X\right)  \right)  ^{\perp}$ ein
Vektorraum ist, ist also auch $\left\langle f\otimes g\ \mid\ f\in X^{\perp
}\text{ und }g\in C^{\ast}\right\rangle \subseteq\left(  \Delta\left(
X\right)  \right)  ^{\perp}$. Wegen $\left\langle f\otimes g\ \mid\ f\in
X^{\perp}\text{ und }g\in C^{\ast}\right\rangle =X^{\perp}\otimes C^{\ast}$
vereinfacht sich dies zu $X^{\perp}\otimes C^{\ast}\subseteq\left(
\Delta\left(  X\right)  \right)  ^{\perp}$. Analog zeigt man $C^{\ast}\otimes
X^{\perp}\subseteq\left(  \Delta\left(  X\right)  \right)  ^{\perp}$. Daher
ist%
\[
\left(  X\otimes X\right)  ^{\perp}=\underbrace{X^{\perp}\otimes C^{\ast}%
}_{\subseteq\left(  \Delta\left(  X\right)  \right)  ^{\perp}}%
+\underbrace{C^{\ast}\otimes X^{\perp}}_{\subseteq\left(  \Delta\left(
X\right)  \right)  ^{\perp}}\subseteq\left(  \Delta\left(  X\right)  \right)
^{\perp}+\left(  \Delta\left(  X\right)  \right)  ^{\perp}=\left(
\Delta\left(  X\right)  \right)  ^{\perp}%
\]
(denn $\left(  \Delta\left(  X\right)  \right)  ^{\perp}$ ist ein Vektorraum),
und somit ist $\left(  \left(  X\otimes X\right)  ^{\perp}\right)  ^{\top
}\supseteq\left(  \left(  \Delta\left(  X\right)  \right)  ^{\perp}\right)
^{\top}$. Wegen $\left(  \left(  X\otimes X\right)  ^{\perp}\right)  ^{\top
}=X\otimes X$ und $\left(  \left(  \Delta\left(  X\right)  \right)  ^{\perp
}\right)  ^{\top}=\Delta\left(  X\right)  $ vereinfacht sich dies zu $X\otimes
X\supseteq\Delta\left(  X\right)  $, also zu $\Delta\left(  X\right)
\subseteq X\otimes X$.

Wir haben nun auf zwei Arten bewiesen, da\ss \ $\Delta\left(  X\right)
\subseteq X\otimes X$ ist. Also ist $X$ eine Untercoalgebra von $C$.

Damit sind beide Richtungen gezeigt, und Satz 5.9 ist daher bewiesen.

\textbf{5.10. Lemma:} Sei $C$ eine endlichdimensionale Coalgebra. Seien $A$
und $B$ zwei Untervektorr\"{a}ume von $C$.

\textbf{(a)} Dann ist%
\[
\left(  \Delta^{-1}\left(  C\otimes B+A\otimes C\right)  \right)  ^{\perp
}=A^{\perp}\cdot B^{\perp}.
\]
Hierbei ist $A^{\perp}\cdot B^{\perp}$ definiert als der Untervektorraum
$\left\langle a\ast b\mid a\in A^{\perp},\ b\in B^{\perp}\right\rangle $ der
Algebra $C^{\ast}$.

\textbf{(b)} Ferner ist%
\[
\left(  \Delta^{-1}\left(  A\otimes B\right)  \right)  ^{\perp}=A^{\perp}\cdot
C^{\ast}+C^{\ast}\cdot B^{\perp}.
\]


\textbf{(c)} Sind $A$ und $B$ zwei Untercoalgebren von $C$, dann gilt $\left(
\Delta^{-1}\left(  A\otimes B\right)  \right)  ^{\perp}=A^{\perp}+B^{\perp}$.

\textit{Beweis von Lemma 5.10:} \textbf{(a)} Nach Lemma 5.6 (angewandt auf
$C$, $C\otimes C$ und $C\otimes B+A\otimes C$ statt $V$, $U$ bzw. $B$) gilt%
\begin{align*}
\left(  \Delta^{-1}\left(  C\otimes B+A\otimes C\right)  \right)  ^{\perp}  &
=\Delta^{\ast}\left(  \left(  C\otimes B+A\otimes C\right)  ^{\perp}\right)
=\Delta^{\ast}\left(  A^{\perp}\otimes B^{\perp}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\left(  C\otimes B+A\otimes C\right)  ^{\perp}=A^{\perp}\otimes
B^{\perp}\text{ nach Lemma 5.3 \textbf{(b)}}\\
\text{(angewandt auf }V=C\text{ und }W=C\text{)}%
\end{array}
\right) \\
&  =A^{\perp}\cdot B^{\perp}%
\end{align*}
(denn $\Delta^{\ast}$ ist die Multiplikationsabbildung der Algebra $C^{\ast}%
$). Damit ist Lemma 5.10 \textbf{(a)} gezeigt.

\textbf{(b)} Nach Lemma 5.6 (angewandt auf $C$, $C\otimes C$ und $A\otimes B$
statt $V$, $U$ bzw. $B$) gilt%
\begin{align*}
\left(  \Delta^{-1}\left(  A\otimes B\right)  \right)  ^{\perp}  &
=\Delta^{\ast}\left(  \left(  A\otimes B\right)  ^{\perp}\right)
=\Delta^{\ast}\left(  A^{\perp}\otimes C^{\ast}+C^{\ast}\otimes B^{\perp
}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\left(  A\otimes B\right)  ^{\perp}=A^{\perp}\otimes W^{\ast
}+V^{\ast}\otimes B^{\perp}\text{ nach Lemma 5.3 \textbf{(a)}}\\
\text{(angewandt auf }V=C\text{ und }W=C\text{)}%
\end{array}
\right) \\
&  =A^{\perp}\cdot C^{\ast}+C^{\ast}\cdot B^{\perp}%
\end{align*}
(denn $\Delta^{\ast}$ ist die Multiplikationsabbildung der Algebra $C^{\ast}%
$). Damit ist Lemma 5.10 \textbf{(b)} gezeigt.

\textbf{(c)} Angenommen, $A$ und $B$ sind zwei Untercoalgebren von $C$. Dann
sind $A^{\perp}$ und $B^{\perp}$ Ideale der Algebra $C^{\ast}$
(gem\"{a}\ss \ Satz 5.9), und somit gilt $A^{\perp}\cdot C^{\ast}=A^{\perp}$
und $C^{\ast}\cdot B^{\perp}=B^{\perp}$. Nach Lemma 5.10 \textbf{(b)} gilt nun
$\left(  \Delta^{-1}\left(  A\otimes B\right)  \right)  ^{\perp}%
=\underbrace{A^{\perp}\cdot C^{\ast}}_{=A^{\perp}}+\underbrace{C^{\ast}\cdot
B^{\perp}}_{=B^{\perp}}=A^{\perp}+B^{\perp}$, und Lemma 5.10 \textbf{(c)} ist gezeigt.

Aus diesem Lemma k\"{o}nnen wir eine Folgerung \"{u}ber Untercoalgebren ziehen:

\textbf{5.11. Folgerung:} Sei $C$ eine endlichdimensionale Coalgebra, und
seien $A$ und $B$ zwei Untercoalgebren von $C$. Dann ist auch $A\cap B$ eine
Untercoalgebra von $C$, und erf\"{u}llt $A\cap B=\Delta^{-1}\left(  A\otimes
B\right)  $.

\textit{Beweis von Folgerung 5.11:} Wir haben $\left(  A\cap B\right)
^{\perp}=A^{\perp}+B^{\perp}=\left(  \Delta^{-1}\left(  A\otimes B\right)
\right)  ^{\perp}$ (nach Lemma 5.10 \textbf{(c)}) und damit%
\[
A\cap B=\left(  \underbrace{\left(  A\cap B\right)  ^{\perp}}_{=\left(
\Delta^{-1}\left(  A\otimes B\right)  \right)  ^{\perp}}\right)  ^{\top
}=\left(  \left(  \Delta^{-1}\left(  A\otimes B\right)  \right)  ^{\perp
}\right)  ^{\top}=\Delta^{-1}\left(  A\otimes B\right)  .
\]


Nun sind sind $A^{\perp}$ und $B^{\perp}$ Ideale der Algebra $C^{\ast}$
(gem\"{a}\ss \ Satz 5.9), weil $A$ und $B$ Untercoalgebren von $C$ sind. Daher
ist auch $\left(  A\cap B\right)  ^{\perp}=A^{\perp}+B^{\perp}$ ein Ideal von
$C^{\ast}$ (denn die Summe zweier Ideale ist ein Ideal). Laut Satz 5.9
(angewandt auf $X=A\cap B$) folgt hieraus, da\ss \ $A\cap B$ eine
Untercoalgebra von $C$ ist. Damit ist Folgerung 5.11 gezeigt.

Nun eine Definition:

\textbf{Definition:} Sei $A$ eine Algebra, und sei $\left(  I_{n}\right)
_{n\geq0}$ eine Familie von Untervektorr\"{a}umen von $A$. Dann hei\ss t
$\left(  I_{n}\right)  _{n\geq0}$ eine \textit{Idealfiltrierung} von $A$, wenn
folgende vier Eigenschaften gelten:

\textbf{1)} Es ist $I_{0}=A$.

\textbf{2)} F\"{u}r alle $n,m\geq0$ ist $I_{n}I_{m}\subseteq I_{n+m}$.

\textbf{3)} Es gilt $\bigcap\limits_{n\geq0}I_{n}=0$.

\textbf{4)} Es gilt $I_{0}\supseteq I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq...$.

\textit{Bemerkung:} Wie leicht zu erkennen ist, ist $I_{n}$ ein Ideal von $A$
f\"{u}r jedes $n\geq0$, falls $\left(  I_{n}\right)  _{n\geq0}$ eine
Idealfiltrierung von $A$ ist. (So kommt die Idealfiltrierung zu ihrem Namen.)

Unser n\"{a}chster Satz bringt die Begriffe einer Coalgebrafiltrierung (dieser
Begriff wurde in Abschnitt 2 definiert) und einer Idealfiltrierung miteinander
in Verbindung:

\textbf{5.12. Satz:} Sei $C$ eine endlichdimensionale Coalgebra. Sei $\left(
\widetilde{C}_{n}\right)  _{n\geq0}$ eine Familie von Untervektorr\"{a}umen
von $C$. Sei $\left(  I_{n}\right)  _{n\geq0}$ die Familie von
Untervektorr\"{a}umen von $C^{\ast}$, die durch%
\[
I_{n}=\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
C^{\ast}\text{, wenn }n=0;\\
\widetilde{C}_{n-1}^{\perp}\text{, wenn }n\geq1
\end{array}
\right.  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }n\geq0
\]
definiert ist. Genau dann ist $\left(  \widetilde{C}_{n}\right)  _{n\geq0}$
eine Coalgebrafiltrierung von $C$, wenn $\left(  I_{n}\right)  _{n\geq0}$ eine
Idealfiltrierung von $C^{\ast}$ ist.

\textit{Beweis von Satz 5.12:} $\Longrightarrow:$ Angenommen, $\left(
\widetilde{C}_{n}\right)  _{n\geq0}$ sei eine Coalgebrafiltrierung von $C$.
Wir wollen dann beweisen, da\ss \ $\left(  I_{n}\right)  _{n\geq0}$ eine
Idealfiltrierung von $C^{\ast}$ ist.

Zuerst einmal ist $I_{0}=C^{\ast}$ (nach der Definition von $I_{n}$).

Da $\left(  \widetilde{C}_{n}\right)  _{n\geq0}$ eine Coalgebrafiltrierung von
$C$ ist, ist $\left(  C,\left(  \widetilde{C}_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $
eine filtrierte Coalgebra. Laut der Definition einer filtrierten Coalgebra
bedeutet dies, da\ss \ folgende drei Eigenschaften erf\"{u}llt sind:%
\begin{align}
\widetilde{C}_{0}  &  \subseteq\widetilde{C}_{1}\subseteq\widetilde{C}%
_{2}\subseteq...;\tag{II.5.28}\\
\bigcup_{n\geq0}\widetilde{C}_{n}  &  =C;\nonumber\\
&  \left(  \text{f\"{u}r alle }n\geq0\text{ und }x\in\widetilde{C}_{n}\text{
gilt }\Delta\left(  x\right)  \in\sum\limits_{i=0}^{n}\widetilde{C}_{i}%
\otimes\widetilde{C}_{n-i}\right)  . \tag{II.5.29}%
\end{align}


F\"{u}r jedes $n\geq1$ ist $I_{n}=\widetilde{C}_{n-1}^{\perp}$
(gem\"{a}\ss \ der Definition von $I_{n}$). Da $\widetilde{C}_{n-1}$ eine
Untercoalgebra von $C$ ist (denn $\left(  C,\left(  \widetilde{C}_{n}\right)
_{n\geq0}\right)  $ ist eine filtrierte Coalgebra), ist aber $\widetilde{C}%
_{n-1}^{\perp}$ ein Ideal von $C^{\ast}$ (nach Satz 5.9, angewandt auf
$X=\widetilde{C}_{n-1}$). Wir haben also f\"{u}r jedes $n\geq1$ gezeigt,
da\ss \ $\widetilde{C}_{n-1}^{\perp}$ ein Ideal von $C^{\ast}$ ist. Wegen
$\widetilde{C}_{n-1}^{\perp}=I_{n}$ wissen wir damit: F\"{u}r jedes $n\geq1$
ist $I_{n}$ ein Ideal von $C^{\ast}$. Dies ist aber auch f\"{u}r $n=0$
erf\"{u}llt (wegen $I_{0}=C^{\ast}$). Somit ist $I_{n}$ ein Ideal von
$C^{\ast}$ f\"{u}r alle $n\geq0$.

Jetzt wollen wir zeigen, da\ss
\begin{equation}
I_{n}I_{m}\subseteq I_{n+m}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }n,m\geq0
\tag{II.5.30}%
\end{equation}
gilt.

\textit{Beweis von (II.5.30):} Wir unterscheiden drei F\"{a}lle:

\textit{Fall 1:} Es gilt $n=0$.

\textit{Fall 2:} Es gilt $m=0$.

\textit{Fall 3:} Es gilt $n>0$ und $m>0$.

(Diese drei F\"{a}lle sch\"{o}pfen alle M\"{o}glichkeiten aus, denn $n\geq0$
und $m\geq0$).

Im Fall 1 ist%
\begin{align*}
I_{n}I_{m}  &  =\underbrace{I_{0}}_{=C^{\ast}}I_{m}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{denn }n=0\right) \\
&  =C^{\ast}I_{m}=I_{m}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }I_{m}\text{ ist
ein Ideal von }C^{\ast}\right) \\
&  =I_{n+m}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }n=0\text{ ergibt
}m=n+m\right)  ,
\end{align*}
und damit ist (II.5.30) im Fall 1 bewiesen. Analog l\"{a}\ss t sich (II.5.30)
im Fall 2 zeigen.

Ab jetzt konzentrieren wir uns auf den Fall 3. In diesem Fall ist
$I_{n}=\widetilde{C}_{n-1}^{\perp}$ (nach der Definition von $I_{n}$) und
$I_{m}=\widetilde{C}_{m-1}^{\perp}$ (analog) und $I_{n+m}=\widetilde{C}%
_{n+m-1}^{\perp}$ (ebenfalls analog, denn $n>0$ ergibt $n+m>0$).

Seien $u\in I_{n}$, $v\in I_{m}$ und $x\in\widetilde{C}_{n+m-1}$ beliebig
gew\"{a}hlt. Aus $u\in I_{n}=\widetilde{C}_{n-1}^{\perp}=\left\{  \phi\in
C^{\ast}\ \mid\ \phi\left(  c\right)  =0\text{ f\"{u}r alle }c\in
\widetilde{C}_{n-1}\right\}  $ folgt $u\left(  c\right)  =0$ f\"{u}r alle
$c\in\widetilde{C}_{n-1}$, also $u\left(  \widetilde{C}_{n-1}\right)  =0$.
Analog ist $v\left(  \widetilde{C}_{m-1}\right)  =0$. Aus (II.5.29) (angewandt
auf $n+m-1$ statt $n$) folgt aber $\Delta\left(  x\right)  \in\sum
\limits_{i=0}^{n+m-1}\widetilde{C}_{i}\otimes\widetilde{C}_{n+m-1-i}$. Wenn
wir nun die Multiplikationsabbildung auf der Algebra $C^{\ast}$ mit $\mu$
bezeichnen, dann ist (laut der Definition der Faltung)%
\begin{align*}
\left(  u\ast v\right)  \left(  x\right)   &  =\left(  \mu\circ\left(
u\otimes v\right)  \circ\Delta\right)  \left(  x\right)  =\left(  \mu
\circ\left(  u\otimes v\right)  \right)  \left(  \Delta\left(  x\right)
\right)  \in\left(  \mu\circ\left(  u\otimes v\right)  \right)  \left(
\sum\limits_{i=0}^{n+m-1}\widetilde{C}_{i}\otimes\widetilde{C}_{n+m-1-i}%
\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\Delta\left(  x\right)  \in
\sum\limits_{i=0}^{n+m-1}\widetilde{C}_{i}\otimes\widetilde{C}_{n+m-1-i}%
\right) \\
&  =\sum\limits_{i=0}^{n+m-1}\left(  \mu\circ\left(  u\otimes v\right)
\right)  \left(  \widetilde{C}_{i}\otimes\widetilde{C}_{n+m-1-i}\right)
=\sum\limits_{i=0}^{n+m-1}\mu\left(  \underbrace{\left(  u\otimes v\right)
\left(  \widetilde{C}_{i}\otimes\widetilde{C}_{n+m-1-i}\right)  }_{\subseteq
u\left(  \widetilde{C}_{i}\right)  \otimes v\left(  \widetilde{C}%
_{n+m-1-i}\right)  }\right) \\
&  \subseteq\sum\limits_{i=0}^{n+m-1}\underbrace{\mu\left(  u\left(
\widetilde{C}_{i}\right)  \otimes v\left(  \widetilde{C}_{n+m-1-i}\right)
\right)  }_{\substack{=u\left(  \widetilde{C}_{i}\right)  \cdot v\left(
\widetilde{C}_{n+m-1-i}\right)  \text{ (denn }\mu\\\text{ist die
Multiplikationsabbildung)}}}=\sum\limits_{i=0}^{n+m-1}u\left(  \widetilde{C}%
_{i}\right)  \cdot v\left(  \widetilde{C}_{n+m-1-i}\right) \\
&  =\sum\limits_{i=0}^{n-1}u\left(  \underbrace{\widetilde{C}_{i}%
}_{\substack{\subseteq\widetilde{C}_{n-1}\\\text{(nach (II.5.28),}%
\\\text{wegen }i\leq n-1\text{)}}}\right)  \cdot v\left(  \widetilde{C}%
_{n+m-1-i}\right)  +\sum\limits_{i=n}^{n+m-1}u\left(  \widetilde{C}%
_{i}\right)  \cdot v\left(  \underbrace{\widetilde{C}_{n+m-1-i}}%
_{\substack{\subseteq\widetilde{C}_{m-1}\\\text{(nach (II.5.28),
denn}\\\text{aus }i\geq n\text{ folgt }n+m-1-i\leq m-1\text{)}}}\right) \\
&  \subseteq\sum\limits_{i=0}^{n-1}\underbrace{u\left(  \widetilde{C}%
_{n-1}\right)  }_{=0}\cdot v\left(  \widetilde{C}_{n+m-1-i}\right)
+\sum\limits_{i=n}^{n+m-1}u\left(  \widetilde{C}_{i}\right)  \cdot
\underbrace{v\left(  \widetilde{C}_{m-1}\right)  }_{=0}\\
&  =\sum\limits_{i=0}^{n-1}0\cdot v\left(  \widetilde{C}_{n+m-1-i}\right)
+\sum\limits_{i=n}^{n+m-1}u\left(  \widetilde{C}_{i}\right)  \cdot0=0,
\end{align*}
also $\left(  u\ast v\right)  \left(  x\right)  =0$. Da dies f\"{u}r alle
$x\in\widetilde{C}_{n+m-1}$ gilt, ist also%
\[
u\ast v\in\left\{  \phi\in C^{\ast}\ \mid\ \phi\left(  x\right)  =0\text{
f\"{u}r alle }x\in\widetilde{C}_{n+m-1}\right\}  =\widetilde{C}_{n+m-1}%
^{\perp}=I_{n+m}.
\]
Wir haben also gezeigt: $u\ast v\in I_{n+m}$ f\"{u}r alle $u\in I_{n}$ und
$v\in I_{m}$. Damit ist auch $\left\langle u\ast v\ \mid\ u\in I_{n}\text{ und
}v\in I_{m}\right\rangle \subseteq I_{n+m}$ (da $I_{n+m}$ ein Vektorraum ist).
Da $\left\langle u\ast v\ \mid\ u\in I_{n}\text{ und }v\in I_{m}\right\rangle
=I_{n}I_{m}$ ist, wird dies zu $I_{n}I_{m}\subseteq I_{n+m}$. Damit ist
(II.5.30) auch in Fall 3 erf\"{u}llt.

Somit gilt (II.5.30) in allen drei F\"{a}llen, und ist somit bewiesen.

Schlie\ss lich haben wir%
\begin{align*}
\bigcap_{n\geq1}\underbrace{I_{n}}_{\substack{=\widetilde{C}_{n-1}^{\perp
}\text{ (nach der}\\\text{Definition von }I_{n}\text{)}}}  &  =\bigcap
_{n\geq1}\widetilde{C}_{n-1}^{\perp}=\bigcap_{n\geq0}\widetilde{C}_{n}^{\perp
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{hier haben wir }n\text{ f\"{u}r }n-1\text{
substituiert}\right) \\
&  =\left(  \sum_{n\geq0}\widetilde{C}_{n}\right)  ^{\perp}=C^{\perp}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\sum_{n\geq0}\widetilde{C}%
_{n}\supseteq\bigcup_{n\geq0}\widetilde{C}_{n}=C\text{ und }\sum_{n\geq
0}\widetilde{C}_{n}\subseteq C\text{ ergeben }\sum_{n\geq0}\widetilde{C}%
_{n}=C\right) \\
&  =0,
\end{align*}
also $\bigcap\limits_{n\geq0}I_{n}\subseteq\bigcap\limits_{n\geq1}I_{n}=0$ und
damit $\bigcap\limits_{n\geq0}I_{n}=0$.

Schlie\ss lich gilt $\widetilde{C}_{0}\subseteq\widetilde{C}_{1}%
\subseteq\widetilde{C}_{2}\subseteq...$ (nach (II.5.28)) und damit
$\widetilde{C}_{0}^{\perp}\supseteq\widetilde{C}_{1}^{\perp}\supseteq
\widetilde{C}_{2}^{\perp}\supseteq...$; dies l\"{a}\ss t sich als
$I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq I_{3}\supseteq...$ umschreiben (denn nach der
Definition von $I_{n}$ ist $I_{n}=\widetilde{C}_{n-1}^{\perp}$ f\"{u}r alle
$n\geq1$). Da $I_{0}=C^{\ast}\supseteq I_{1}$ gilt, folgt hieraus
$I_{0}\supseteq I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq...$.

Insgesamt hat die Familie $\left(  I_{n}\right)  _{n\geq0}$ also folgende vier Eigenschaften:

\textbf{1)} Es ist $I_{0}=C^{\ast}$.

\textbf{2)} F\"{u}r alle $n,m\geq0$ ist $I_{n}I_{m}\subseteq I_{n+m}$.

\textbf{3)} Es gilt $\bigcap\limits_{n\geq0}I_{n}=0$.

\textbf{4)} Es gilt $I_{0}\supseteq I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq...$.

Hieraus folgt (laut der Definition einer Idealfiltrierung), da\ss \ $\left(
I_{n}\right)  _{n\geq0}$ eine Idealfiltrierung von $C^{\ast}$ ist. Damit ist
die $\Longrightarrow$-Richtung von Satz 5.12 bewiesen.

$\Longleftarrow:$ Angenommen, $\left(  I_{n}\right)  _{n\geq0}$ ist eine
Idealfiltrierung von $C^{\ast}$. Nach der Definition einer Idealfiltrierung
bedeutet dies, da\ss \ folgende vier Eigenschaften gelten:

\textbf{1)} Es ist $I_{0}=C^{\ast}$.

\textbf{2)} F\"{u}r alle $n,m\geq0$ ist $I_{n}I_{m}\subseteq I_{n+m}$.

\textbf{3)} Es gilt $\bigcap\limits_{n\geq0}I_{n}=0$.

\textbf{4)} Es gilt $I_{0}\supseteq I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq...$.

Die Relation $I_{0}\supseteq I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq...$ f\"{u}hrt zu
$I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq I_{3}\supseteq...$. Da $I_{n}=\widetilde{C}%
_{n-1}^{\perp}$ f\"{u}r alle $n\geq1$ gilt (laut der Definition von $I_{n}$),
l\"{a}\ss t sich dies umschreiben als $\widetilde{C}_{0}^{\perp}%
\supseteq\widetilde{C}_{1}^{\perp}\supseteq\widetilde{C}_{2}^{\perp}%
\supseteq...$. Hieraus folgt $\left(  \widetilde{C}_{0}^{\perp}\right)
^{\top}\subseteq\left(  \widetilde{C}_{1}^{\perp}\right)  ^{\top}%
\subseteq\left(  \widetilde{C}_{2}^{\perp}\right)  ^{\top}\subseteq...$. Da
$\left(  \widetilde{C}_{k}^{\perp}\right)  ^{\top}=\widetilde{C}_{k}$ f\"{u}r
alle $k\geq0$ gilt, vereinfacht sich dies zu $\widetilde{C}_{0}\subseteq
\widetilde{C}_{1}\subseteq\widetilde{C}_{2}\subseteq...$.

Ferner ist
\begin{align*}
0  &  =\bigcap\limits_{n\geq0}I_{n}=\underbrace{I_{0}}_{=C^{\ast}}\cap
\bigcap\limits_{n\geq1}\underbrace{I_{n}}_{=\widetilde{C}_{n-1}^{\perp}%
}=C^{\ast}\cap\bigcap\limits_{n\geq1}\widetilde{C}_{n-1}^{\perp}%
=\bigcap\limits_{n\geq1}\widetilde{C}_{n-1}^{\perp}=\left(  \sum_{n\geq
1}\widetilde{C}_{n-1}\right)  ^{\perp}\\
&  =\left(  \sum_{n\geq0}\widetilde{C}_{n}\right)  ^{\perp}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{hier haben wir }n-1\text{ durch }n\text{
substituiert}\right)  ,
\end{align*}
also $0^{\top}=\left(  \left(  \sum\limits_{n\geq0}\widetilde{C}_{n}\right)
^{\perp}\right)  ^{\top}=\sum\limits_{n\geq0}\widetilde{C}_{n}$. Das hei\ss t,
$\sum\limits_{n\geq0}\widetilde{C}_{n}=0^{\top}=C$.

F\"{u}r jedes $n\geq1$ gilt $I_{n}=\widetilde{C}_{n-1}^{\perp}$ und daher
$I_{n}^{\top}=\left(  \widetilde{C}_{n-1}^{\perp}\right)  ^{\top
}=\widetilde{C}_{n-1}$. Wenn wir die Variable $n$ hier in $s$ umbenennen,
erhalten wir also: F\"{u}r jedes $s\geq1$ ist $I_{s}^{\top}=\widetilde{C}%
_{s-1}$.

Sei nun $n\geq0$ beliebig, und sei $x\in\widetilde{C}_{n}$. Wir werden jetzt
zeigen, da\ss \
\begin{equation}
\Delta\left(  x\right)  \in\left(  I_{k}\otimes I_{n+1-k}\right)  ^{\top
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }k\in\left\{  0,1,...,n+1\right\}
\tag{II.5.31}%
\end{equation}
ist.

\textit{Beweis von (II.5.31):} Seien $p\in I_{k}$ und $q\in I_{n+1-k}$
beliebig. Dann ist%
\begin{align*}
p\ast q  &  \in I_{k}I_{n+1-k}\subseteq I_{k+\left(  n+1-k\right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach der Formel }I_{n}I_{m}\subseteq
I_{n+m}\text{, angewandt auf }k\text{ und }n+1-k\text{ statt }n\text{ bzw.
}m\right) \\
&  =I_{n+1}=\widetilde{C}_{n}^{\perp}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach
der Definition von }I_{n+1}\right) \\
&  =\left\{  \phi\in C^{\ast}\ \mid\ \phi\left(  t\right)  =0\text{ f\"{u}r
alle }t\in\widetilde{C}_{n}\right\}  .
\end{align*}
Aus $x\in\widetilde{C}_{n}$ folgt hiermit $\left(  p\ast q\right)  \left(
x\right)  =0$. Doch $\left(  p\ast q\right)  \left(  x\right)  =\left(
p\otimes q\right)  \left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  $, und somit ist
\begin{equation}
\left(  p\otimes q\right)  \left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  =0.
\tag{II.5.32}%
\end{equation}
Somit ist $t\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)  =0$ f\"{u}r alle $t\in
I_{k}\otimes I_{n+1-k}$ (denn wir k\"{o}nnen das Element $t\in I_{k}\otimes
I_{n+1-k}$ als Summe $t=\sum\limits_{i=1}^{\xi}p_{i}\otimes q_{i}$ von reinen
Tensoren schreiben, und somit ist $t\left(  \Delta\left(  x\right)  \right)
=\left(  \sum\limits_{i=1}^{\xi}p_{i}\otimes q_{i}\right)  \left(
\Delta\left(  x\right)  \right)  =\sum\limits_{i=1}^{\xi}\underbrace{\left(
p_{i}\otimes q_{i}\right)  \left(  \Delta\left(  x\right)  \right)
}_{=0\text{ (nach (II.5.32))}}=0$). Das hei\ss t,%
\[
\Delta\left(  x\right)  \in\left\{  \phi\in C\otimes C\ \mid\ t\left(
\phi\right)  =0\text{ f\"{u}r alle }t\in I_{k}\otimes I_{n+1-k}\right\}
=\left(  I_{k}\otimes I_{n+1-k}\right)  ^{\top}.
\]
Damit ist (II.5.31) gezeigt.

Aus (II.5.31) folgt%
\[
\Delta\left(  x\right)  \in\bigcap\limits_{k=0}^{n+1}\left(  I_{k}\otimes
I_{n+1-k}\right)  ^{\top}.
\]
Anwendung von Lemma 5.7 auf $C$, $C$, $I_{k}$, $I_{k}$ und $n+1$ statt $V$,
$W$, $I_{k}$, $J_{k}$ bzw. $n$ ergibt aber%
\begin{align*}
\bigcap\limits_{k=0}^{n+1}\left(  I_{k}\otimes I_{n+1-k}\right)  ^{\top}  &
=\sum\limits_{\ell=1}^{n+1}I_{\ell}^{\top}\otimes I_{n+1+1-\ell}^{\top}%
=\sum\limits_{i=0}^{n}I_{i+1}^{\top}\otimes I_{n+1-i}^{\top}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{hier haben wir }i\text{ f\"{u}r }%
\ell-1\text{ in der Summe substituiert}\right)  .
\end{align*}
Da $I_{s}^{\top}=\widetilde{C}_{s-1}$ f\"{u}r jedes $s\geq1$ gilt, ist aber
$I_{i+1}^{\top}=\widetilde{C}_{\left(  i+1\right)  -1}=\widetilde{C}_{i}$ und
$I_{n+1-i}^{\top}=\widetilde{C}_{\left(  n+1-i\right)  -1}=\widetilde{C}%
_{n-i}$. Wir haben also insgesamt%
\[
\Delta\left(  x\right)  \in\bigcap\limits_{k=0}^{n+1}\left(  I_{k}\otimes
I_{n+1-k}\right)  ^{\top}=\sum\limits_{i=0}^{n}\underbrace{I_{i+1}^{\top}%
}_{=\widetilde{C}_{i}}\otimes\underbrace{I_{n+1-i}^{\top}}_{=\widetilde{C}%
_{n-i}}=\sum\limits_{i=0}^{n}\widetilde{C}_{i}\otimes\widetilde{C}_{n-i}.
\]


Zusammenfassend k\"{o}nnen wir feststellen, da\ss \ wir folgendes gezeigt haben:

\textbf{a)} Es gilt $\widetilde{C}_{0}\subseteq\widetilde{C}_{1}%
\subseteq\widetilde{C}_{2}\subseteq...$.

\textbf{b)} Es gilt $\bigcup\limits_{n\geq0}\widetilde{C}_{n}=C$.

\textbf{c)} F\"{u}r alle $n\geq0$ und $x\in\widetilde{C}_{n}$ gilt
$\Delta\left(  x\right)  \in\sum\limits_{i=0}^{n}\widetilde{C}_{i}%
\otimes\widetilde{C}_{n-i}$.

Somit ist $\left(  C,\left(  \widetilde{C}_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $
eine filtrierte Coalgebra. Das hei\ss t, $\left(  \widetilde{C}_{n}\right)
_{n\geq0}$ ist eine Coalgebrafiltrierung von $C$. Damit ist die
$\Longleftarrow$-Richtung von Satz 5.12 bewiesen, und der Beweis von Satz 5.12
ist vollst\"{a}ndig.

Noch eine Kleinigkeit, die wir eigentlich schon seit l\"{a}ngerem bewiesen
haben sollten:

\textbf{5.13. Satz:} \textbf{(a)} Sind $A$ und $B$ zwei Untercoalgebren einer
Coalgebra $C$, dann ist auch $A\cap B$ eine Untercoalgebra von $C$.

\textbf{(b)} Sind $A$ und $B$ zwei Untercoalgebren einer Coalgebra $C$, dann
ist auch $A+B$ eine Untercoalgebra von $C$.

\textbf{(c)} Die Schnittmenge endlich vieler Untercoalgebren einer Coalgebra
$C$ ist stets selber eine Untercoalgebra von $C$.

\textbf{(d)} Die Summe endlich vieler Untercoalgebren einer Coalgebra $C$ ist
stets selber eine Untercoalgebra von $C$.

\textit{Beweis von Satz 5.13:} \textbf{(a)} Da $A$ eine Untercoalgebra von $C$
ist, gilt $\Delta\left(  A\right)  \subseteq A\otimes A$, und analog ist
$\Delta\left(  B\right)  \subseteq B\otimes B$. Nun ist%
\[
\Delta\left(  A\cap B\right)  \subseteq\underbrace{\Delta\left(  A\right)
}_{\subseteq A\otimes A}\cap\underbrace{\Delta\left(  B\right)  }_{\subseteq
B\otimes B}\subseteq\left(  A\otimes A\right)  \cap\left(  B\otimes B\right)
=\left(  A\cap B\right)  \otimes\left(  A\cap B\right)
\]
(nach Lemma 5.8 \textbf{(b)}, angewandt auf $C$, $C$, $A$, $B$, $A$ und $B$
statt $V$, $W$, $P$, $A$, $Q$ bzw. $B$), und somit ist $A\cap B$ eine
Untercoalgebra von $C$. Satz 5.13 \textbf{(a)} ist damit bewiesen.

\textbf{(b)} Da $A$ eine Untercoalgebra von $C$ ist, gilt $\Delta\left(
A\right)  \subseteq\underbrace{A}_{\subseteq A+B}\otimes\underbrace{A}%
_{\subseteq A+B}\subseteq\left(  A+B\right)  \otimes\left(  A+B\right)  $, und
analog ist $\Delta\left(  B\right)  \subseteq\left(  A+B\right)
\otimes\left(  A+B\right)  $. Nun ist%
\begin{align*}
\Delta\left(  A+B\right)   &  \subseteq\underbrace{\Delta\left(  A\right)
}_{\subseteq\left(  A+B\right)  \otimes\left(  A+B\right)  }%
+\underbrace{\Delta\left(  B\right)  }_{\subseteq\left(  A+B\right)
\otimes\left(  A+B\right)  }\subseteq\left(  A+B\right)  \otimes\left(
A+B\right)  +\left(  A+B\right)  \otimes\left(  A+B\right) \\
&  \subseteq\left(  A+B\right)  \otimes\left(  A+B\right)
\end{align*}
(denn $\left(  A+B\right)  \otimes\left(  A+B\right)  $ ist ein Vektorraum).
Somit ist $A+B$ eine Untercoalgebra von $C$. Satz 5.13 \textbf{(b)} ist damit bewiesen.

\textbf{(c)} Satz 5.13 \textbf{(c)} folgt aus Satz 5.13 \textbf{(a)} durch Induktion.

\textbf{(d)} Satz 5.13 \textbf{(d)} folgt aus Satz 5.13 \textbf{(b)} durch Induktion.

Damit ist Satz 5.13 komplett bewiesen.

\bigskip

\fbox{\textbf{Die Coradikalfiltrierung: Lemmata}}

Wir erinnern uns an eine Definition, die wir in Abschnitt 4 gegeben haben:

\textbf{Definition:} Sei $C$ eine Coalgebra.

F\"{u}r alle $n\geq0$ definieren wir rekursiv einen Untervektorraum $C_{n}$
von $C$ wie folgt: Wie immer sei $C_{0}$ das Coradikal von $C.$ F\"{u}r jedes
$n\geq1$ definiere man $C_{n}$ durch $C_{n}=\Delta^{-1}\left(  C\otimes
C_{n-1}+C_{0}\otimes C\right)  $.

Dann ist $\left(  C_{n}\right)  _{n\geq0}$ eine Familie von
Untervektorr\"{a}umen des Vektorraums $C.$ Sie hei\ss t die
\textit{Coradikalfiltrierung} von $C.$

Wir haben immer noch nicht gezeigt, da\ss \ $\left(  C_{n}\right)  _{n\geq0}$
auch wirklich eine Filtrierung ist; aber dies werden wir jetzt nachholen.

Wir erinnern uns erstmal daran, da\ss
\[
C_{0}=\left(  \text{das Coradikal von }C\right)  =\sum
\limits_{\substack{D\subseteq C\\\text{einfache}\\\text{Untercoalgebra}%
}}D\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach der Definition des Coradikals}%
\right)
\]
ist.

\textbf{5.20. Lemma:} Sei $C$ eine Coalgebra, und $C^{\prime}$ eine
Untercoalgebra von $C$. Sei $\left(  C_{n}\right)  _{n\geq0}$ die
Coradikalfiltrierung von $C$, und sei $\left(  C_{n}^{\prime}\right)
_{n\geq0}$ die Coradikalfiltrierung von $C^{\prime}$. Dann ist $C_{n}^{\prime
}\subseteq C_{n}$ f\"{u}r alle $n\geq0$.

\textit{Beweis von Lemma 5.20:} Wir beweisen Lemma 5.20 durch vollst\"{a}ndige
Induktion nach $n$:

\textit{Induktionsanfang:} Wir haben $C_{0}=\sum\limits_{\substack{D\subseteq
C\\\text{einfache}\\\text{Untercoalgebra}}}D$. Analog ist $C_{0}^{\prime}%
=\sum\limits_{\substack{D\subseteq C^{\prime}\\\text{einfache}%
\\\text{Untercoalgebra}}}D$. Da jede einfache Untercoalgebra $D$ von
$C^{\prime}$ auch eine einfache Untercoalgebra $D$ von $C$ ist, ist also
$C_{0}^{\prime}=\sum\limits_{\substack{D\subseteq C^{\prime}\\\text{einfache}%
\\\text{Untercoalgebra}}}D\subseteq\sum\limits_{\substack{D\subseteq
C\\\text{einfache}\\\text{Untercoalgebra}}}D=C_{0}$. Damit ist Lemma 5.20
f\"{u}r $n=0$ bewiesen, d. h. der Induktionsanfang ist fertig.

\textit{Induktionsschritt:} Sei $m\geq1$ beliebig. Angenommen, Lemma 5.20 gilt
f\"{u}r $n=m-1$. Wir wollen zeigen, da\ss \ Lemma 5.20 auch f\"{u}r $n=m$ gilt.

Da Lemma 5.20 f\"{u}r $n=m-1$ gilt, ist $C_{m-1}^{\prime}\subseteq C_{m-1}$.
Nach der Definition von $C_{m}$ ist nun aber $C_{m}=\Delta^{-1}\left(
C\otimes C_{m-1}+C_{0}\otimes C\right)  $, und analog ist $C_{m}^{\prime
}=\Delta^{-1}\left(  C^{\prime}\otimes C_{m-1}^{\prime}+C_{0}^{\prime}\otimes
C^{\prime}\right)  $. Daher ist%
\[
C_{m}^{\prime}=\Delta^{-1}\left(  \underbrace{C^{\prime}}_{\subseteq C}%
\otimes\underbrace{C_{m-1}^{\prime}}_{\subseteq C_{m-1}}+\underbrace{C_{0}%
^{\prime}}_{\subseteq C_{0}}\otimes\underbrace{C^{\prime}}_{\subseteq
C}\right)  \subseteq\Delta^{-1}\left(  C\otimes C_{m-1}+C_{0}\otimes C\right)
=C_{m}.
\]
Das hei\ss t, Lemma 5.20 gilt auch f\"{u}r $n=m$. Damit ist der
Induktionsschritt fertig, und Lemma 5.20 ist durch Induktion bewiesen.

\textbf{5.21. Lemma:} Sei $C$ eine Coalgebra, und sei $\left(  C_{n}\right)
_{n\geq0}$ die Coradikalfiltrierung von $C$. Dann ist $C_{n-1}\subseteq C_{n}$
f\"{u}r jedes $n\geq1$.

\textit{Beweis von Lemma 5.21:} Wir werden Lemma 5.21 durch vollst\"{a}ndige
Induktion nach $n$ beweisen:

\textit{Induktionsanfang:} Wir wollen Lemma 5.21 f\"{u}r $n=1$ beweisen.

Wir haben $C_{0}=\sum\limits_{\substack{D\subseteq C\\\text{einfache}%
\\\text{Untercoalgebra}}}D$. F\"{u}r jede einfache Untercoalgebra $D\subseteq
C$ gilt also $D\subseteq C_{0}$. F\"{u}r jede Untercoalgebra $D\subseteq C$
gilt aber $\Delta\left(  D\right)  \subseteq D\otimes D$. F\"{u}r jede
einfache Untercoalgebra $D\subseteq C$ gilt also $\Delta\left(  D\right)
\subseteq\underbrace{D}_{\subseteq C_{0}}\otimes\underbrace{D}_{\subseteq
C_{0}}\subseteq C_{0}\otimes C_{0}$. Somit ist%
\begin{align*}
\Delta\left(  C_{0}\right)   &  =\Delta\left(  \sum
\limits_{\substack{D\subseteq C\\\text{einfache}\\\text{Untercoalgebra}%
}}D\right)  =\sum\limits_{\substack{D\subseteq C\\\text{einfache}%
\\\text{Untercoalgebra}}}\underbrace{\Delta\left(  D\right)  }_{\subseteq
C_{0}\otimes C_{0}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\Delta\text{ ist
linear}\right) \\
&  \subseteq\sum\limits_{\substack{D\subseteq C\\\text{einfache}%
\\\text{Untercoalgebra}}}C_{0}\otimes C_{0}\subseteq C_{0}\otimes
C_{0}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }C_{0}\otimes C_{0}\text{ ist ein
Vektorraum}\right) \\
&  \subseteq C\otimes C_{0}+C_{0}\otimes C,
\end{align*}
also $C_{0}\subseteq\Delta^{-1}\left(  C\otimes C_{0}+C_{0}\otimes C\right)
$. Da $C_{1}=\Delta^{-1}\left(  C\otimes C_{0}+C_{0}\otimes C\right)  $ (nach
der Definition von $C_{1}$) ist, wird dies zu $C_{0}\subseteq C_{1}$. Mit
anderen Worten: Lemma 5.21 gilt f\"{u}r $n=1$. Damit ist der Induktionsanfang vollbracht.

\textit{Induktionsschritt:} Sei $m\geq1$ beliebig. Angenommen, Lemma 5.21 gilt
f\"{u}r $n=m$. Wir wollen zeigen, da\ss \ Lemma 5.21 auch f\"{u}r $n=m+1$ gilt.

Da Lemma 5.21 f\"{u}r $n=m$ gilt, ist $C_{m-1}\subseteq C_{m}$. Nach der
Definition von $C_{m}$ ist nun aber $C_{m}=\Delta^{-1}\left(  C\otimes
C_{m-1}+C_{0}\otimes C\right)  $, und nach der Definition von $C_{m+1}$ ist
$C_{m+1}=\Delta^{-1}\left(  C\otimes C_{m}+C_{0}\otimes C\right)  $. Somit ist%
\[
C_{m}=\Delta^{-1}\left(  C\otimes\underbrace{C_{m-1}}_{\subseteq C_{m}}%
+C_{0}\otimes C\right)  \subseteq\Delta^{-1}\left(  C\otimes C_{m}%
+C_{0}\otimes C\right)  =C_{m+1}.
\]
Das hei\ss t, Lemma 5.21 gilt auch f\"{u}r $n=m+1$. Damit ist der
Induktionsschritt fertig, und Lemma 5.21 ist durch Induktion bewiesen.

\textbf{5.22. Satz:} Sei $C$ eine endlichdimensionale Coalgebra, und sei
$\left(  C_{n}\right)  _{n\geq0}$ die Coradikalfiltrierung von $C$. Sei
$\left(  I_{n}\right)  _{n\geq0}$ die Familie von Untervektorr\"{a}umen von
$C^{\ast}$, die durch%
\[
I_{n}=\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
C^{\ast}\text{, wenn }n=0;\\
C_{n-1}^{\perp}\text{, wenn }n\geq1
\end{array}
\right.  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }n\geq0
\]
definiert ist. Dann ist $I_{n}=\left(  \operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast
}\right)  \right)  ^{n}$ f\"{u}r alle $n\geq0.$

\textit{Beweis von Satz 5.22:} Wir beweisen Satz 5.22 durch vollst\"{a}ndige
Induktion nach $n$:

\textit{Induktionsanfang:} Der Induktionsanfang von diesem Induktionsbeweis
wird ein wenig ungew\"{o}hnlich sein: wir werden Satz 5.22 sowohl f\"{u}r
$n=0$ als auch f\"{u}r $n=1$ beweisen m\"{u}ssen. F\"{u}r $n=0$ ist Satz 5.22
trivial (denn $I_{0}$ wurde als $C^{\ast}$ definiert, und damit ist
offensichtlich $I_{0}=\left(  \operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast}\right)
\right)  ^{0}$; das hei\ss t, Satz 5.22 gilt f\"{u}r $n=0$). F\"{u}r $n=1$
l\"{a}\ss t sich Satz 5.22 folgenderma\ss en aus Bemerkung 4.5 folgern: Laut
der Definition von $C_{0}$ ist $C_{0}$ das Coradikal von $C$, und nach
Bemerkung 4.5. \textbf{2)} folgt hieraus $\operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast
}\right)  =C_{0}^{\perp}$. Da $I_{1}$ als $C_{0}^{\perp}$ definiert wurde, ist
nun $I_{1}=C_{0}^{\perp}=\operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast}\right)  =\left(
\operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast}\right)  \right)  ^{1}$. Das hei\ss t, Satz
5.22 gilt f\"{u}r $n=1$.

Wir haben damit Satz 5.22 f\"{u}r $n=0$ und f\"{u}r $n=1$ nachgewiesen. Der
Induktionsanfang ist vollendet.

\textit{Induktionsschritt:} Sei $m\geq1$ beliebig. Angenommen, Satz 5.22 gilt
f\"{u}r $n=m$. Wir wollen zeigen, da\ss \ Satz 5.22 auch f\"{u}r $n=m+1$ gilt.

Da Satz 5.22 f\"{u}r $n=m$ gilt, ist $I_{m}=\left(  \operatorname*{Ra}\left(
C^{\ast}\right)  \right)  ^{m}$. Nach der Definition von $I_{m}$ ist aber
$I_{m}=C_{m-1}^{\perp}$ (denn $m\geq1$), und nach der Definition von $I_{m+1}$
ist $I_{m+1}=C_{m}^{\perp}$ (denn $m+1\geq1$). Da $C_{m}$ als $\Delta
^{-1}\left(  C\otimes C_{m-1}+C_{0}\otimes C\right)  $ definiert wurde, ist
nun%
\begin{align*}
C_{m}^{\perp}  &  =\left(  \Delta^{-1}\left(  C\otimes C_{m-1}+C_{0}\otimes
C\right)  \right)  ^{\perp}=C_{0}^{\perp}\cdot C_{m-1}^{\perp}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach Lemma 5.10, angewandt auf }%
A=C_{0}\text{ und }B=C_{m-1}\right) \\
&  =\left(  \operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast}\right)  \right)  \cdot\left(
\operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast}\right)  \right)  ^{m}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }C_{m-1}^{\perp}=I_{m}=\left(
\operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast}\right)  \right)  ^{m}\text{ und }%
C_{0}^{\perp}=\operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast}\right)  \right) \\
&  =\left(  \operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast}\right)  \right)  ^{m+1}.
\end{align*}
Das hei\ss t, $I_{m+1}=C_{m}^{\perp}=\left(  \operatorname*{Ra}\left(
C^{\ast}\right)  \right)  ^{m+1}$. Mit anderen Worten: Satz 5.22 gilt auch
f\"{u}r $n=m+1$. Damit ist der Induktionsschritt fertig, und Satz 5.22 ist
durch Induktion bewiesen.

\bigskip

\fbox{\textbf{Die Coradikalfiltrierung: Beweis von 4.7}}

Jetzt k\"{o}nnen wir endlich die eigentlich interessante Aussage zeigen: Satz
4.7. Zun\"{a}chst beweisen wir ihn f\"{u}r den Fall, wenn $C$
endlichdimensional ist.

\textit{Beweis von Satz 4.7 f\"{u}r den Fall, wenn }$C$\textit{
endlichdimensional ist:} Wir definieren die Familie $\left(  I_{n}\right)
_{n\geq0}$ wie in Satz 5.22. Gem\"{a}\ss \ Satz 5.22 gilt dann $I_{n}=\left(
\operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast}\right)  \right)  ^{n}$ f\"{u}r alle
$n\geq0$. Hieraus folgt sofort, da\ss \ $I_{0}=C^{\ast}$ gilt, da\ss \ $I_{n}%
I_{m}\subseteq I_{n+m}$ f\"{u}r alle $n,m\geq0$ gilt (denn $I_{n}I_{m}=\left(
\operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast}\right)  \right)  ^{n}\left(
\operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast}\right)  \right)  ^{m}\subseteq\left(
\operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast}\right)  \right)  ^{n+m}=I_{n+m}$), und
da\ss \ $I_{0}\supseteq I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq...$ gilt. Ferner gibt es
ein $N\in\mathbb{N}$, das $\left(  \operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast}\right)
\right)  ^{N}=0$ erf\"{u}llt (denn da die Algebra $C^{\ast}$
endlichdimensional und daher Artinsch ist, ist ihr Jacobson-Radikal
$\operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast}\right)  $ nilpotent), und f\"{u}r dieses
$N$ gilt somit $I_{N}=\left(  \operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast}\right)
\right)  ^{N}=0$, also $\bigcap\limits_{n\geq0}I_{n}=0$ (denn $\bigcap
\limits_{n\geq0}I_{n}\subseteq I_{N}=0$). Wir haben also folgende vier
Aussagen gezeigt:

\textbf{1)} Es ist $I_{0}=C^{\ast}$.

\textbf{2)} F\"{u}r alle $n,m\geq0$ ist $I_{n}I_{m}\subseteq I_{n+m}$.

\textbf{3)} Es gilt $\bigcap\limits_{n\geq0}I_{n}=0$.

\textbf{4)} Es gilt $I_{0}\supseteq I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq...$.

Diese vier Aussagen bedeuten, da\ss \ $\left(  I_{n}\right)  _{n\geq0}$ eine
Idealfiltrierung der Algebra $C^{\ast}$ ist.

Wenn wir aber Satz 5.12 auf die Familie $\left(  C_{n}\right)  _{n\geq0}$
anstelle der Familie $\left(  \widetilde{C}_{n}\right)  _{n\geq0}$ anwenden,
dann erhalten wir: Genau dann ist $\left(  C_{n}\right)  _{n\geq0}$ eine
Coalgebrafiltrierung von $C$, wenn $\left(  I_{n}\right)  _{n\geq0}$ eine
Idealfiltrierung von $C^{\ast}$ ist. Da wir wissen, da\ss \ $\left(
I_{n}\right)  _{n\geq0}$ eine Idealfiltrierung der Algebra $C^{\ast}$ ist,
k\"{o}nnen wir hieraus folgern, da\ss \ $\left(  C_{n}\right)  _{n\geq0}$ eine
Coalgebrafiltrierung von $C$ ist. Damit ist Satz 4.7 im Fall einer
endlichdimensionalen Coalgebra $C$ bewiesen.

Bevor wir den allgemeinen Fall (wenn $C$ nicht mehr notwendigerweise
endlichdimensional sein mu\ss ) behandeln, leiten wir ein technisches Lemma
her - eine Verst\"{a}rkung des Endlichkeitssatzes:

\textbf{5.23. Lemma:} Sei $C$ eine Coalgebra, und sei $\left(  C_{n}\right)
_{n\geq0}$ die Coradikalfiltrierung von $C$. F\"{u}r jedes $m\geq0$ und jedes
$c\in C_{m}$ gibt es eine endlichdimensionale Untercoalgebra $C^{\prime}$ von
$C$, die $c\in C_{m}^{\prime}$ erf\"{u}llt, wobei $\left(  C_{n}^{\prime
}\right)  _{n\geq0}$ die Coradikalfiltrierung von $C^{\prime}$ bezeichnet.

\textit{Beweis von Lemma 5.23:} Wir beweisen Lemma 5.23 durch vollst\"{a}ndige
Induktion nach $m$:

\textit{Induktionsanfang:} Sei $m=0$. Sei $c\in C_{0}$ beliebig. Wegen $c\in
C_{0}=\sum\limits_{\substack{D\subseteq C\\\text{einfache}%
\\\text{Untercoalgebra}}}D$ k\"{o}nnen wir das Element $c$ in der Form
$c=d_{1}+d_{2}+...+d_{k}$ schreiben, wobei $k\in\mathbb{N}$ und
\[
\left(  d_{i}\in D_{i}\text{ f\"{u}r eine einfache Untercoalgebra }D_{i}\text{
von }C\text{ f\"{u}r jedes }i\in\left\{  1,2,...,k\right\}  \right)
\]
gilt. Sei nun $C^{\prime}=D_{1}+D_{2}+...+D_{k}$. Dann ist $C^{\prime}$ eine
Untercoalgebra von $C$ (nach Satz 5.13 \textbf{(d)}, denn $C^{\prime}$ ist die
Summe der Untercoalgebren $D_{1}$, $D_{2}$, $...$, $D_{k}$ von $C$). F\"{u}r
jedes $i\in\left\{  1,2,...,k\right\}  $ ist die Coalgebra $D_{i}$
endlichdimensional (weil sie einfach ist, und jede einfache Coalgebra
endlichdimensional ist); somit ist auch die Summe $C^{\prime}=D_{1}%
+D_{2}+...+D_{k}$ dieser Coalgebren endlichdimensional. Wir haben ferner
\begin{align*}
c  &  =d_{1}+d_{2}+...+d_{k}\in D_{1}+D_{2}+...+D_{k}\subseteq\sum
\limits_{\substack{D\subseteq C^{\prime}\\\text{einfache}%
\\\text{Untercoalgebra}}}D\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }D_{1}\text{, }D_{2}\text{,
}...\text{, }D_{k}\text{ sind einfache Untercoalgebren von }C^{\prime}\right)
\\
&  =\left(  \text{Coradikal von }C^{\prime}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn das Coradikal von }C^{\prime}\text{ ist
als }\sum\limits_{\substack{D\subseteq C^{\prime}\\\text{einfache}%
\\\text{Untercoalgebra}}}D\text{ definiert}\right) \\
&  =C_{0}^{\prime}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{laut der Definition von
}C_{0}^{\prime}\right)  .
\end{align*}
Wir haben also gezeigt: F\"{u}r jedes $c\in C_{0}$ gibt es eine
endlichdimensionale Untercoalgebra $C^{\prime}$ von $C$, die $c\in
C_{0}^{\prime}$ erf\"{u}llt, wobei $\left(  C_{n}^{\prime}\right)  _{n\geq0}$
die Coradikalfiltrierung von $C^{\prime}$ bezeichnet. Das hei\ss t, Lemma 5.23
ist f\"{u}r $m=0$ bewiesen. Der Induktionsanfang ist damit komplett.

\textit{Induktionsschritt:} Sei $M\geq1$ beliebig. Angenommen, Lemma 5.23 gilt
f\"{u}r den Fall $m=M-1$. Wir werden dann zeigen, da\ss \ Lemma 5.23 auch
f\"{u}r den Fall $m=M$ gilt.

Da wir angenommen haben, da\ss \ Lemma 5.23 f\"{u}r den Fall $m=M-1$ gilt,
haben wir folgenden Fakt: F\"{u}r jedes $c\in C_{M-1}$ gibt es eine
endlichdimensionale Untercoalgebra $C^{\prime}$ von $C$, die $c\in
C_{M-1}^{\prime}$ erf\"{u}llt, wobei $\left(  C_{n}^{\prime}\right)  _{n\geq
0}$ die Coradikalfiltrierung von $C^{\prime}$ bezeichnet.

Wenn wir in diesem Fakt $c$ in $x$ umbenennen, lautet er folgenderma\ss en:%
\begin{align}
&  \text{F\"{u}r jedes }x\in C_{M-1}\text{ gibt es eine endlichdimensionale
Untercoalgebra }C^{\prime}\text{ von }C\text{,}\nonumber\\
&  \text{die }x\in C_{M-1}^{\prime}\text{ erf\"{u}llt, wobei }\left(
C_{n}^{\prime}\right)  _{n\geq0}\text{ die Coradikalfiltrierung von }%
C^{\prime}\text{ bezeichnet.} \tag{II.5.35}%
\end{align}


Da wir den Induktionsanfang bereits hinter uns haben, wissen wir ferner,
da\ss \ Lemma 5.23 f\"{u}r den Fall $m=0$ gilt. Das hei\ss t: F\"{u}r jedes
$c\in C_{0}$ gibt es eine endlichdimensionale Untercoalgebra $C^{\prime}$ von
$C$, die $c\in C_{0}^{\prime}$ erf\"{u}llt, wobei $\left(  C_{n}^{\prime
}\right)  _{n\geq0}$ die Coradikalfiltrierung von $C^{\prime}$ bezeichnet.

Wenn wir in diesem Fakt $c$ in $x$ umbenennen, lautet er folgenderma\ss en:%
\begin{align}
&  \text{F\"{u}r jedes }x\in C_{0}\text{ gibt es eine endlichdimensionale
Untercoalgebra }C^{\prime}\text{ von }C\text{,}\nonumber\\
&  \text{die }x\in C_{0}^{\prime}\text{ erf\"{u}llt, wobei }\left(
C_{n}^{\prime}\right)  _{n\geq0}\text{ die Coradikalfiltrierung von }%
C^{\prime}\text{ bezeichnet.} \tag{II.5.36}%
\end{align}


Sei nun $c\in C_{M}$ beliebig. Nach der Definition von $C_{M}$ ist
$C_{M}=\Delta^{-1}\left(  C\otimes C_{M-1}+C_{0}\otimes C\right)  $. Also ist
$c\in C_{M}=\Delta^{-1}\left(  C\otimes C_{M-1}+C_{0}\otimes C\right)  $ und
damit $\Delta\left(  c\right)  \in C\otimes C_{M-1}+C_{0}\otimes C$. Mit
anderen Worten: $\Delta\left(  c\right)  =p+q$ f\"{u}r ein $p\in C\otimes
C_{M-1}$ und ein $q\in C_{0}\otimes C$.

Nun k\"{o}nnen wir den Tensor $p$ als Summe reiner Tensoren schreiben:%
\[
p=\sum\limits_{i=1}^{u}p_{i}^{\prime}\otimes p_{i}%
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{wobei }u\in\mathbb{N}\text{, sowie }p_{i}^{\prime
}\in C\text{ und }p_{i}\in C_{M-1}\text{ f\"{u}r alle }i\in\left\{
1,2,...,u\right\}  .
\]


Auch den Tensor $q$ k\"{o}nnen wir als Summe reiner Tensoren schreiben:%
\[
q=\sum\limits_{j=1}^{v}q_{j}\otimes q_{j}^{\prime}%
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{wobei }v\in\mathbb{N}\text{, sowie }q_{j}\in
C_{0}\text{ und }q_{j}^{\prime}\in C\text{ f\"{u}r alle }j\in\left\{
1,2,...,v\right\}  .
\]


F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,u\right\}  $ k\"{o}nnen wir (II.5.35) auf
$x=p_{i}$ anwenden, und erhalten: F\"{u}r jedes $i\in\left\{
1,2,...,u\right\}  $ gibt es eine endlichdimensionale Untercoalgebra
$C^{\prime}$ von $C$, die $p_{i}\in C_{M-1}^{\prime}$ erf\"{u}llt, wobei
$\left(  C_{n}^{\prime}\right)  _{n\geq0}$ die Coradikalfiltrierung von
$C^{\prime}$ bezeichnet. Bezeichnen wir diese Untercoalgebra $C^{\prime}$ mit
$P^{i}$\ \ \ \ \footnote{dabei meinen wir mit $P^{i}$ nicht die $i$-te Potenz
von irgendeinem $P$, sondern ein $P$ mit einem hochgestelltem Index $i$}, dann
ist $P^{i}$ also eine endlichdimensionale Untercoalgebra von $C$, die
$p_{i}\in P_{M-1}^{i}$ erf\"{u}llt, wobei $\left(  P_{n}^{i}\right)  _{n\geq
0}$ die Coradikalfiltrierung von $P^{i}$ bezeichnet.

F\"{u}r jedes $j\in\left\{  1,2,...,v\right\}  $ k\"{o}nnen wir (II.5.36) auf
$x=q_{j}$ anwenden, und erhalten: F\"{u}r jedes $j\in\left\{
1,2,...,v\right\}  $ gibt es eine endlichdimensionale Untercoalgebra
$C^{\prime}$ von $C$, die $q_{j}\in C_{0}^{\prime}$ erf\"{u}llt, wobei
$\left(  C_{n}^{\prime}\right)  _{n\geq0}$ die Coradikalfiltrierung von
$C^{\prime}$ bezeichnet. Bezeichnen wir diese Untercoalgebra $C^{\prime}$ mit
$Q^{j}$\ \ \ \ \footnote{dabei meinen wir mit $Q^{j}$ nicht die $j$-te Potenz
von irgendeinem $Q$, sondern ein $Q$ mit einem hochgestelltem Index $j$}, dann
ist $Q^{j}$ also eine endlichdimensionale Untercoalgebra von $C$, die
$q_{j}\in Q_{0}^{j}$ erf\"{u}llt, wobei $\left(  Q_{n}^{j}\right)  _{n\geq0}$
die Coradikalfiltrierung von $Q^{j}$ bezeichnet.

Nach Satz 4.3 \textbf{2)} \textit{a)} in Kapitel I gibt es eine
endlichdimensionale Untercoalgebra $C^{\prime}$ von $C$ mit $c\in C^{\prime}$.
Wir bezeichnen diese Untercoalgebra $C^{\prime}$ mit $T$. Dann ist also $c\in
T$.

Sei nun $C^{\prime}=\sum\limits_{i=1}^{u}P^{i}+\sum\limits_{j=1}^{v}Q^{j}+T$.
Dann ist $C^{\prime}$ eine Untercoalgebra von $C$ (laut Satz 5.13
\textbf{(d)}, denn $C^{\prime}$ ist die Summe der Untercoalgebren $P^{1}%
,P^{2},...,P^{u},Q^{1},Q^{2},...,Q^{v},T$ von $C$). Ferner ist $C^{\prime}$
endlichdimensional (denn $C^{\prime}=\sum\limits_{i=1}^{u}P^{i}+\sum
\limits_{j=1}^{v}Q^{j}+T$, doch alle $P^{i}$ und alle $Q^{j}$ sowie $T$ sind
endlichdimensional). Aus $C^{\prime}=\sum\limits_{i=1}^{u}P^{i}+\sum
\limits_{j=1}^{v}Q^{j}+T$ folgt ferner, da\ss \ $P^{i}\subseteq C^{\prime}$
f\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,u\right\}  $ ist, da\ss \ $Q^{j}\subseteq
C^{\prime}$ f\"{u}r jedes $j\in\left\{  1,2,...,v\right\}  $ ist, und
da\ss \ $T\subseteq C^{\prime}$ ist.

Nun bezeichne $\left(  C_{n}^{\prime}\right)  _{n\geq0}$ die
Coradikalfiltrierung der Coalgebra $C^{\prime}$. F\"{u}r jedes $i\in\left\{
1,2,...,u\right\}  $ ist dann $P_{M-1}^{i}\subseteq C_{M-1}^{\prime}$ (nach
Lemma 5.20, angewandt auf $M-1$, $P^{i}$ und $C^{\prime}$ statt $n$,
$C^{\prime}$ bzw. $C$). F\"{u}r jedes $j\in\left\{  1,2,...,v\right\}  $ ist
ferner $Q_{0}^{j}\subseteq C_{0}^{\prime}$ (nach Lemma 5.20, angewandt auf
$0$, $Q^{j}$ und $C^{\prime}$ statt $n$, $C^{\prime}$ bzw. $C$).

Wegen $p=\sum\limits_{i=1}^{u}p_{i}^{\prime}\otimes p_{i}$ und $q=\sum
\limits_{j=1}^{v}q_{j}\otimes q_{j}^{\prime}$ wird nun $\Delta\left(
c\right)  =p+q$ zu%
\begin{align*}
\Delta\left(  c\right)   &  =\sum\limits_{i=1}^{u}\underbrace{p_{i}^{\prime}%
}_{\in C}\otimes\underbrace{p_{i}}_{\in P_{M-1}^{i}\subseteq C_{M-1}^{\prime}%
}+\sum\limits_{j=1}^{v}\underbrace{q_{j}}_{\in Q_{0}^{j}\subseteq
C_{0}^{\prime}}\otimes\underbrace{q_{j}^{\prime}}_{\in C}\in\sum
\limits_{i=1}^{u}C\otimes C_{M-1}^{\prime}+\sum\limits_{j=1}^{v}C_{0}^{\prime
}\otimes C\\
&  \subseteq C\otimes C_{M-1}^{\prime}+C_{0}^{\prime}\otimes
C\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }C\otimes C_{M-1}^{\prime}\text{ und
}C_{0}^{\prime}\otimes C\text{ sind Vektorr\"{a}ume}\right)  .
\end{align*}
Andererseits ist $c\in T\subseteq C^{\prime}$ und damit $\Delta\left(
c\right)  \in C^{\prime}\otimes C^{\prime}$ (denn $C^{\prime}$ ist eine
Coalgebra). Zusammen mit $\Delta\left(  c\right)  \in C\otimes C_{M-1}%
^{\prime}+C_{0}^{\prime}\otimes C$ ergibt dies%
\begin{align*}
\Delta\left(  c\right)   &  \in\left(  C^{\prime}\otimes C^{\prime}\right)
\cap\left(  C\otimes C_{M-1}^{\prime}+C_{0}^{\prime}\otimes C\right)
=C^{\prime}\otimes\left(  C_{M-1}^{\prime}\cap C^{\prime}\right)  +\left(
C_{0}^{\prime}\cap C^{\prime}\right)  \otimes C^{\prime}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{nach Lemma 5.8 \textbf{(a)}, angewandt auf }C\text{, }C\text{,
}C^{\prime}\text{, }C^{\prime}\text{, }C_{0}^{\prime}\text{ und }%
C_{M-1}^{\prime}\\
\text{statt }V\text{, }W\text{, }P\text{, }Q\text{, }A\text{ bzw. }B
\end{array}
\right) \\
&  =C^{\prime}\otimes C_{M-1}^{\prime}+C_{0}^{\prime}\otimes C^{\prime}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn aus }C_{M-1}^{\prime}\subseteq
C^{\prime}\text{ folgt }C_{M-1}^{\prime}\cap C^{\prime}=C_{M-1}^{\prime
}\text{, und aus }C_{0}^{\prime}\subseteq C^{\prime}\text{ folgt }%
C_{0}^{\prime}\cap C^{\prime}=C_{0}^{\prime}\right)  ,
\end{align*}
also%
\[
c\in\Delta^{-1}\left(  C^{\prime}\otimes C_{M-1}^{\prime}+C_{0}^{\prime
}\otimes C^{\prime}\right)  .
\]
Doch da $C_{M}^{\prime}=\Delta^{-1}\left(  C^{\prime}\otimes C_{M-1}^{\prime
}+C_{0}^{\prime}\otimes C^{\prime}\right)  $ ist (nach der Definition von
$C_{M}^{\prime}$), wird hieraus $c\in C_{M}^{\prime}$.

Wir haben also gezeigt: F\"{u}r jedes $c\in C_{M}$ gibt es eine
endlichdimensionale Untercoalgebra $C^{\prime}$ von $C$, die $c\in
C_{M}^{\prime}$ erf\"{u}llt, wobei $\left(  C_{n}^{\prime}\right)  _{n\geq0}$
die Coradikalfiltrierung von $C^{\prime}$ bezeichnet. Das hei\ss t, Lemma 5.23
gilt f\"{u}r $m=M$. Damit ist der Induktionsschritt fertig, und Lemma 5.23 ist
durch Induktion bewiesen.

\textit{Beweis von Satz 4.7 im allgemeinen Fall:} Betrachten wir nun den
allgemeinen Fall, in dem wir nicht mehr fordern, da\ss \ $C$
endlichdimensional ist. Wir wollen zeigen, da\ss \ $\left(  C_{n}\right)
_{n\geq0}$ eine Coalgebrafiltrierung von $C$ ist. Dies ist gleichbedeutend
damit, da\ss \ $\left(  C,\left(  C_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ eine
filtrierte Coalgebra ist, d. h. da\ss \ folgende drei Eigenschaften gelten:

\textbf{a)} Es gilt $C_{0}\subseteq C_{1}\subseteq C_{2}\subseteq....$

\textbf{b)} Es gilt $\bigcup\limits_{n\geq0}C_{n}=C.$

\textbf{c)} F\"{u}r alle $n\geq0$ und $x\in C_{n}$ ist $\Delta\left(
x\right)  \in\sum\limits_{i=0}^{n}C_{i}\otimes C_{n-i}.$

Wir werden diese drei Eigenschaften jetzt beweisen.

\textit{Beweis von Eigenschaft \textbf{a)}:} Die Eigenschaft \textbf{a)} folgt
sofort aus Lemma 5.21.

\textit{Beweis von Eigenschaft \textbf{b)}:} Um die Eigenschaft \textbf{b)} zu
beweisen, m\"{u}ssen wir zeigen, da\ss \ jedes $x\in C$ auch $x\in
\bigcup\limits_{n\geq0}C_{n}$ erf\"{u}llt. Dazu w\"{a}hlen wir ein beliebiges
$x\in C$. Nach Satz 4.3. \textbf{1)} \textit{a)} in Kapitel I gibt es dann
eine endlichdimensionale Untercoalgebra $C^{\prime}$ von $C$ mit $x\in
C^{\prime}$. Bezeichnen wir mit $\left(  C_{n}^{\prime}\right)  _{n\geq0}$ die
Coradikalfiltrierung dieser Coalgebra $C^{\prime}$. Da $C^{\prime}$
endlichdimensional ist, k\"{o}nnen wir Satz 4.7 auf $C^{\prime}$ statt $C$
anwenden (denn f\"{u}r den Fall, wenn $C$ endlichdimensional ist, haben wir
Satz 4.7 bereits bewiesen), und erhalten, da\ss \ $\left(  C_{n}^{\prime
}\right)  _{n\geq0}$ eine Coalgebrafiltrierung von $C^{\prime}$ ist. Das
hei\ss t, $\left(  C^{\prime},\left(  C_{n}^{\prime}\right)  _{n\geq0}\right)
$ ist eine filtrierte Coalgebra. Laut der Definition einer filtrierten
Coalgebra folgt hieraus unter anderem, da\ss \ $\bigcup\limits_{n\geq0}%
C_{n}^{\prime}=C^{\prime}$ ist. Somit ist $x\in C^{\prime}=\bigcup
\limits_{n\geq0}\underbrace{C_{n}^{\prime}}_{\subseteq C_{n}\text{ (nach Lemma
5.20)}}\subseteq\bigcup\limits_{n\geq0}C_{n}$. Wir haben damit gezeigt:
F\"{u}r jedes $x\in C$ gilt $x\in\bigcup\limits_{n\geq0}C_{n}$. Daraus folgt
$C\subseteq\bigcup\limits_{n\geq0}C_{n}$, also $C=\bigcup\limits_{n\geq0}%
C_{n}$ (denn $\bigcup\limits_{n\geq0}C_{n}\subseteq C$ ist klar). Damit ist
Eigenschaft \textbf{b)} bewiesen.

\textit{Beweis von Eigenschaft \textbf{c)}:} Seien $n\geq0$ und $y\in C_{n}$
beliebig gew\"{a}hlt. Nach Lemma 5.23 (angewandt auf $m=n$ und $c=y$) gibt es
eine endlichdimensionale Untercoalgebra $C^{\prime}$ von $C$, die $y\in
C_{n}^{\prime}$ erf\"{u}llt, wobei $\left(  C_{n}^{\prime}\right)  _{n\geq0}$
die Coradikalfiltrierung von $C^{\prime}$ bezeichnet. Da $C^{\prime}$
endlichdimensional ist, k\"{o}nnen wir Satz 4.7 auf $C^{\prime}$ statt $C$
anwenden (denn f\"{u}r den Fall, wenn $C$ endlichdimensional ist, haben wir
Satz 4.7 bereits bewiesen), und erhalten, da\ss \ $\left(  C_{n}^{\prime
}\right)  _{n\geq0}$ eine Coalgebrafiltrierung von $C^{\prime}$ ist. Das
hei\ss t, $\left(  C^{\prime},\left(  C_{n}^{\prime}\right)  _{n\geq0}\right)
$ ist eine filtrierte Coalgebra. Laut der Definition einer filtrierten
Coalgebra folgt hieraus unter anderem, da\ss \ $\Delta\left(  x\right)
\in\sum\limits_{i=0}^{n}C_{i}^{\prime}\otimes C_{n-i}^{\prime}$ f\"{u}r alle
$n\geq0$ und $x\in C_{n}^{\prime}$ gilt. Angewandt auf $x=y$ ergibt dies%
\[
\Delta\left(  y\right)  \in\sum\limits_{i=0}^{n}\underbrace{C_{i}^{\prime}%
}_{\subseteq C_{i}\text{ (nach Lemma 5.20)}}\otimes\underbrace{C_{n-i}%
^{\prime}}_{\subseteq C_{n-i}\text{ (nach Lemma 5.20)}}\subseteq
\sum\limits_{i=0}^{n}C_{i}\otimes C_{n-i}.
\]


Wir haben also gezeigt: F\"{u}r alle $n\geq0$ und $y\in C_{n}$ ist
$\Delta\left(  y\right)  \in\sum\limits_{i=0}^{n}C_{i}\otimes C_{n-i}$. Wenn
wir in diesem Faktum $y$ in $x$ umbenennen, erhalten wir: F\"{u}r alle
$n\geq0$ und $x\in C_{n}$ ist $\Delta\left(  x\right)  \in\sum\limits_{i=0}%
^{n}C_{i}\otimes C_{n-i}$. Damit ist Eigenschaft \textbf{c)} bewiesen.

Wir haben nun alle drei Eigenschaften \textbf{a)}, \textbf{b)} und \textbf{c)}
bewiesen (im allgemeinen Fall). Damit haben wir gezeigt, da\ss \ $\left(
C,\left(  C_{n}\right)  _{n\geq0}\right)  $ eine filtrierte Coalgebra ist, d.
h. da\ss \ $\left(  C_{n}\right)  _{n\geq0}$ eine Coalgebrafiltrierung von $C$
ist. Satz 4.7 ist somit auch im allgemeinen Fall bewiesen.

\bigskip

\fbox{\textbf{Die Coradikalfiltrierung: Weitere Eigenschaften}}

Wir k\"{o}nnen ein klein wenig mehr feststellen:

\textbf{5.24. Satz:} Sei $C$ eine Coalgebra, und sei $\left(  C_{n}\right)
_{n\geq0}$ die Coradikalfiltrierung von $C$.

\textbf{(a)} F\"{u}r alle $n\geq0$ und $m\geq0$ ist $\Delta^{-1}\left(
C\otimes C_{n}+C_{m}\otimes C\right)  =C_{n+m+1}$.

\textbf{(b)} F\"{u}r alle $n\geq0$ ist $\Delta^{-1}\left(  C\otimes
C_{n}\right)  =\Delta^{-1}\left(  C_{n}\otimes C\right)  =C_{n}$.

Wie auch im Falle von Satz 4.7 werden wir zuerst einen Beweis geben, der nur
im Fall, wenn $C$ endlichdimensional ist, funktioniert:

\textit{Beweis von Satz 5.24 f\"{u}r den Fall, wenn }$C$\textit{
endlichdimensional ist:} Wir werden \textbf{(a)} und \textbf{(b)} in einem
Sto\ss \ beweisen. Dazu definieren wir einen Untervektorraum $C_{-1}$ von $C$
durch $C_{-1}=0$. Wir definieren ferner die Familie $\left(  I_{n}\right)
_{n\geq0}$ wie in Satz 5.22.

Dann gilt $I_{n}=C_{n-1}^{\perp}$ f\"{u}r alle ganzen $n\geq0$ (denn f\"{u}r
alle $n\geq1$ ist $I_{n}=C_{n-1}^{\perp}$ gem\"{a}\ss \ der Definition von
$I_{n}$, und f\"{u}r $n=0$ folgt $I_{n}=C_{n-1}^{\perp}$ aus $I_{n}%
=I_{0}=C^{\ast}$ und $C_{n-1}=C_{-1}=0$). Wenn wir in dieser Tatsache $n-1$
durch $\ell$ substituieren, erhalten wir: Es gilt $I_{\ell+1}=C_{\ell}^{\perp
}$ f\"{u}r alle ganzen $\ell\geq-1$.

Seien nun $n\geq-1$ und $m\geq-1$ beliebig. Nach Lemma 5.10 \textbf{(a)}
(angewandt auf $A=C_{m}$ und $B=C_{n}$) gilt dann%
\[
\left(  \Delta^{-1}\left(  C\otimes C_{n}+C_{m}\otimes C\right)  \right)
^{\perp}=C_{m}^{\perp}\cdot C_{n}^{\perp}.
\]
Andererseits gilt $I_{n+m+2}=C_{n+m+1}^{\perp}$ (nach der Formel $I_{\ell
+1}=C_{\ell}^{\perp}$, angewandt auf $\ell=n+m+1$), und somit
\begin{align*}
C_{n+m+1}^{\perp}  &  =I_{n+m+2}=\left(  \operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast
}\right)  \right)  ^{n+m+2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach Satz
5.22}\right) \\
&  =\left(  \operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast}\right)  \right)  ^{\left(
m+1\right)  +\left(  n+1\right)  }=\underbrace{\left(  \operatorname*{Ra}%
\left(  C^{\ast}\right)  \right)  ^{m+1}}_{=I_{m+1}\text{ (nach Satz 5.22)}%
}\cdot\underbrace{\left(  \operatorname*{Ra}\left(  C^{\ast}\right)  \right)
^{n+1}}_{=I_{n+1}\text{\ (nach Satz 5.22)}}\\
&  =\underbrace{I_{m+1}}_{=C_{m}^{\perp}}\cdot\underbrace{I_{n+1}}%
_{=C_{n}^{\perp}}=C_{m}^{\perp}\cdot C_{n}^{\perp}=\left(  \Delta^{-1}\left(
C\otimes C_{n}+C_{m}\otimes C\right)  \right)  ^{\perp}.
\end{align*}
Hieraus folgt%
\[
\left(  C_{n+m+1}^{\perp}\right)  ^{\top}=\left(  \left(  \Delta^{-1}\left(
C\otimes C_{n}+C_{m}\otimes C\right)  \right)  ^{\perp}\right)  ^{\top},
\]
was sich zu%
\[
C_{n+m+1}=\Delta^{-1}\left(  C\otimes C_{n}+C_{m}\otimes C\right)
\]
vereinfacht (denn f\"{u}r jeden Untervektorraum $X$ von $C$ gilt $\left(
X^{\perp}\right)  ^{\top}=X$, weil $C$ endlichdimensional ist).

Wir haben damit gezeigt, da\ss \ $\Delta^{-1}\left(  C\otimes C_{n}%
+C_{m}\otimes C\right)  =C_{n+m+1}$ f\"{u}r alle $n\geq-1$ und $m\geq-1$ gilt.
Hieraus folgt sofort Satz 5.24 \textbf{(a)} (nat\"{u}rlich nur im Fall, wenn
$C$ endlichdimensional ist). Ferner gilt f\"{u}r alle $n\geq0$ die Gleichung
$\Delta^{-1}\left(  C\otimes C_{n}\right)  =C_{n}$, denn Anwendung von
$\Delta^{-1}\left(  C\otimes C_{n}+C_{m}\otimes C\right)  =C_{n+m+1}$ auf
$m=-1$ ergibt $\Delta^{-1}\left(  C\otimes C_{n}+C_{-1}\otimes C\right)
=C_{n+\left(  -1\right)  +1}$, was sich (wegen $\underbrace{C_{-1}}%
_{=0}\otimes C=0$ und $n+\left(  -1\right)  +1=n$) zu $\Delta^{-1}\left(
C\otimes C_{n}\right)  =C_{n}$ vereinfacht. Analog gilt $\Delta^{-1}\left(
C_{n}\otimes C\right)  =C_{n}$ f\"{u}r alle $n\geq0$. Wir haben damit auch
Satz 5.24 \textbf{(b)} gezeigt (ebenfalls nur im Fall, wenn $C$
endlichdimensional ist).

Im Fall, wenn $C$ endlichdimensional ist, ist damit Satz 5.24 bewiesen.

\textit{Beweis von Satz 5.24 im allgemeinen Fall:} Wir wollen den Beweis von
Satz 5.24 im allgemeinen Fall nicht ausf\"{u}hren, aber er ist sehr
\"{a}hnlich zu dem Beweis von Satz 4.7 im allgemeinen Fall.

\bigskip

\begin{center}
\fbox{\textbf{Ausblick aufs zweite Semester}}
\end{center}

\fbox{\textbf{Ausblick}}

Mit 4.12. haben wir die Struktur aller cokommutativen Hopfalgebren \"{u}ber
einem algebraisch abgeschlossenen K\"{o}rper $k$ mit $\operatorname*{char}k=0$
klassifiziert. \"{U}ber einem algebraisch abgeschlossenen K\"{o}rper sind
cokommutative Hopfalgebren stets punktiert (und ferner kennen wir viele
weitere punktierte Hopfalgebren). Wir k\"{o}nnen uns also allgemeiner fragen,
wie punktierte Hopfalgebren aussehen. Insbesondere k\"{o}nnen wir nach
Strukturs\"{a}tzen f\"{u}r punktierte Hopfalgebren suchen.

Sei $H$ eine \textit{punktierte} Hopfalgebra, z. B. \"{u}ber $\mathbb{C}.$ Wie
kann $H$ aussehen?

Idee: Sei $H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq H_{2}\subseteq...$ die
Coradikalfiltrierung. Dann ist $\operatorname*{gr}H=\bigoplus\limits_{n=0}%
^{\infty}H_{n}\diagup H_{n-1}$ (mit $H_{-1}=0$) eine $\mathbb{N}$-graduierte
Hopfalgebra; dabei ist $H_{0}=k\left[  G\right]  $ die Gruppenalgebra. Dann
ist [...]

[Falls jemand die nachfolgende halbe Stunde(?) Vorlesung im Detail
mitgeschrieben hat, w\"{a}re ich daran interessiert, sie zu bekommen. Sie ist
ein Ausblick auf die sp\"{a}ten Teile von Kapitel IV: braided categories,
Nicholsalgebren, Yetter-Drinfeld-Moduln.]

\bigskip

\begin{center}
\fbox{\textbf{Zweites Semester}}

\fbox{\textbf{III. Kapitel: Endlichdimensionale Hopfalgebren}}

\fbox{\textbf{1. Hopfmoduln und Integrale}}
\end{center}

\bigskip

\fbox{\textbf{Hopfmoduln und ihre coinvarianten Elemente}}

In diesem Kapitel werden wir einige tiefliegende (und teils neue) S\"{a}tze
\"{u}ber allgemeine endlichdimensionale Hopfalgebren kennenlernen. Ein
Hilfsmittel zum Beweis dieser S\"{a}tze ist der Begriff der
\textit{Hopfmoduln}.

\textbf{Definition:} Sei $H$ eine Hopfalgebra.

Unter einem $H$\textit{-Rechtshopfmodul} verstehen wir einen Vektorraum $V$
mit einer $H$-Rechtsmodulstruktur und einer $H$-Rechtscomodulstruktur
$\delta_{V}:V\rightarrow V\otimes H,$ die eine der folgenden zwei
\"{a}quivalenten Bedingungen $\mathcal{B}_{1}$ und $\mathcal{B}_{2}$ erf\"{u}llen:

\textit{Bedingung }$\mathcal{B}_{1}$\textit{:} Die Abbildung $\delta_{V}$ ist
$H$-rechtslinear, wobei die $H$-Rechtsmodulstruktur auf dem Tensorprodukt
$V\otimes H$ als die Diagonalstruktur definiert ist.\footnote{Hierbei
verwenden wir die sogenannte \textit{Diagonalstruktur}. Diese haben wir zwar
bislang nur f\"{u}r zwei $H$-Linksmoduln eingef\"{u}hrt, aber f\"{u}r
$H$-Rechtsmoduln definiert man sie analog:
\par
Sind $V$ und $W$ zwei $H$-Rechtsmoduln, dann definiert man auf dem Vektorraum
$V\otimes W$ eine $H$-Rechtsmodulstruktur durch $\left(  v\otimes w\right)
h=vh_{\left(  1\right)  }\otimes wh_{\left(  2\right)  }$ f\"{u}r alle $h\in
H,$ $v\in V$ und $w\in W$ (wobei wir die summenlose Sweedler-Notation
verwenden). Diese Struktur hei\ss t \textit{Diagonalstruktur} auf $V\otimes
W.$}

\textit{Bedingung }$\mathcal{B}_{2}$\textit{:} F\"{u}r alle $v\in V$ und $h\in
H$ gilt $\delta_{V}\left(  vh\right)  =v_{\left(  0\right)  }h_{\left(
1\right)  }\otimes v_{\left(  1\right)  }h_{\left(  2\right)  },$ wobei wir
wie \"{u}blich die Sweedler-Notation $v_{\left(  0\right)  }\otimes v_{\left(
1\right)  }=\delta_{V}\left(  v\right)  $ verwenden.

Ein $H$\textit{-Rechtshopfmodulhomomorphismus} ist ein
Vektorraumhomomorphismus zwischen zwei $H$-Rechtshopfmoduln, der sowohl
$H$-linear, als auch $H$-colinear ist.

Sei $\mathcal{M}_{H}^{H}$ die Kategorie, deren Objekte die $H$%
-Rechtshopfmoduln und deren Morphismen die $H$-Rechtshopfmodulhomomorphismen sind.

\textbf{Bemerkung:} Die Definition von Hopfmoduln l\"{a}\ss t sich auf viele
F\"{a}lle verallgemeinern. Zum Beispiel sei $H$ eine Hopfalgebra, und $A$ eine
$H$-Rechtscomodulalgebra, gegeben durch die Abbildung $\delta_{A}:A\rightarrow
A\otimes H,$ $a\mapsto a_{\left(  0\right)  }\otimes a_{\left(  1\right)  }.$

Ein $\left(  A,H\right)  $\textit{-Hopfmodul} ist dann definiert als ein
Vektorraum $V$ mit einer $A$-Rechtsmodulstruktur und einer $H$%
-Rechtscomodulstruktur $\delta_{V}:V\rightarrow V\otimes H,$ die eine der
folgenden zwei \"{a}quivalenten Bedingungen $\mathcal{C}_{1}$ und
$\mathcal{C}_{2}$ erf\"{u}llen:

\textit{Bedingung }$\mathcal{C}_{1}$\textit{:} Die Abbildung $\delta_{V}$ ist
$A$-rechtslinear, wobei die $A$-Rechtsmodulstruktur auf dem Tensorprodukt
$V\otimes H$ dadurch definiert wird, da\ss \ $V\otimes H$ als $A\otimes
H$-Rechtsmodul aufgefasst wird (weil $V$ ein $A$-Rechtsmodul ist), und aus
dieser $A\otimes H$-Rechtsmodulstruktur eine $A$-Rechtsmodulstruktur gewonnen
wird (durch die Algebraabbildung $\delta_{A}:A\rightarrow A\otimes H,$
$a\mapsto a_{\left(  0\right)  }\otimes a_{\left(  1\right)  }$).

\textit{Bedingung }$\mathcal{C}_{2}$\textit{:} F\"{u}r alle $v\in V$ und $a\in
A$ gilt $\delta_{V}\left(  va\right)  =v_{\left(  0\right)  }a_{\left(
0\right)  }\otimes v_{\left(  1\right)  }a_{\left(  1\right)  },$ wobei wir
wie \"{u}blich die Sweedler-Notation $v_{\left(  0\right)  }\otimes v_{\left(
1\right)  }=\delta_{V}\left(  v\right)  $ verwenden.

Wir werden jedoch im Folgenden erstmal nur $H$-Hopfmoduln betrachten, und erst
sp\"{a}ter $\left(  A,H\right)  $-Hopfmoduln untersuchen.

\textbf{Definition:} F\"{u}r jeden $H$-Rechtshopfmodul $V$ definieren wir
einen Untervektorraum $V^{\operatorname*{Co}H}$ von $V$ durch%
\[
V^{\operatorname*{Co}H}=\left\{  v\in V\mid\delta_{V}\left(  v\right)
=v\otimes1\right\}  .
\]
Wir bezeichnen die Elemente von $V^{\operatorname*{Co}H}$ als $H$%
\textit{-coinvariante Elemente} von $V.$

\textbf{1.0. Bemerkung:} Sei $H$ eine Hopfalgebra.

\textbf{1)} Es ist klar, da\ss \ f\"{u}r jeden $H$%
-Rechtshopfmodulhomomorphismus $f$ von einem $H$-Rechtshopfmodul $V$ in einen
$H$-Rechtshopfmodul $W$ gilt: $f\left(  V^{\operatorname*{Co}H}\right)
\subseteq W^{\operatorname*{Co}H}.$

Den Funktor $\mathcal{M}_{H}^{H}\rightarrow\mathcal{M}_{k},$ der jedes Objekt
$V\in\mathcal{M}_{H}^{H}$ in den Vektorraum $V^{\operatorname*{Co}H}$
\"{u}berf\"{u}hrt, und der jeden Morphismus $f:V\rightarrow W$ in den
Vektorraumhomomorphismus $f\mid_{V^{\operatorname*{Co}H}}%
:V^{\operatorname*{Co}H}\rightarrow W^{\operatorname*{Co}H}$
\"{u}berf\"{u}hrt, bezeichnen wir kurz mit $V\mapsto V^{\operatorname*{Co}H}.$

\textbf{2)} F\"{u}r jeden Vektorraum $W\in\mathcal{M}_{k}$ k\"{o}nnen wir den
Vektorraum $W\otimes H$ zu einem $H$-Rechtshopfmodul machen, indem wir die
$H$-Rechtsmodulstruktur auf $W\otimes H$ durch%
\[
\operatorname*{id}\otimes\mu:W\otimes H\otimes H\rightarrow W\otimes
H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ w\otimes x\otimes h\mapsto w\otimes xh
\]
festlegen, und die $H$-Rechtscomodulstruktur auf $W\otimes H$ durch%
\[
\operatorname*{id}\otimes\Delta:W\otimes H\rightarrow W\otimes H\otimes
H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ w\otimes h\mapsto w\otimes h_{\left(  1\right)  }\otimes
h_{\left(  2\right)  }%
\]
festlegen. Den Funktor $\mathcal{M}_{k}\rightarrow\mathcal{M}_{H}^{H},$ der
jedes Objekt $W\in\mathcal{M}_{k}$ in den so definierten $H$-Rechtshopfmodul
$W\otimes H$ \"{u}berf\"{u}hrt, und der jeden Vektorraumhomomorphismus
$f:V\rightarrow W$ in den $H$-Rechtshopfmodulhomomorphismus $f\otimes
\operatorname*{id}:V\otimes H\rightarrow W\otimes H$ \"{u}berf\"{u}hrt,
bezeichnen wir kurz mit $W\mapsto W\otimes H.$

\textbf{1.1. Satz:} Sei $H$ eine Hopfalgebra. Dann sind die Funktoren%
\begin{align*}
W  &  \mapsto W\otimes H:\mathcal{M}_{k}\rightarrow\mathcal{M}_{H}%
^{H}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\\
V  &  \mapsto V^{\operatorname*{Co}H}:\mathcal{M}_{H}^{H}\rightarrow
\mathcal{M}_{k}%
\end{align*}
quasiinverse \"{A}quivalenzen von Kategorien.

Genauer gilt:

\textbf{1)} F\"{u}r jeden Vektorraum $W\in\mathcal{M}_{k}$ ist die Abbildung
$W\rightarrow\left(  W\otimes H\right)  ^{\operatorname*{Co}H},$ $w\mapsto
w\otimes1$ ein kanonischer Isomorphismus von Vektorr\"{a}umen.

\textbf{2)} F\"{u}r jeden $H$-Rechtshopfmodul $V\in\mathcal{M}_{H}^{H}$ ist
die Abbildung $V^{\operatorname*{Co}H}\otimes H\rightarrow V,$ $v\otimes
h\mapsto vh$ ein kanonischer Isomorphismus von $H$-Rechtshopfmoduln. Ihre
Umkehrabbildung ist $V\rightarrow V^{\operatorname*{Co}H}\otimes H,$
$v\mapsto\varphi\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  \otimes v_{\left(
1\right)  },$ wobei $\varphi$ die Abbildung $V\rightarrow
V^{\operatorname*{Co}H},$ $v\mapsto v_{\left(  0\right)  }S\left(  v_{\left(
1\right)  }\right)  $ ist.

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Sei $W\in\mathcal{M}_{k}.$ Wir m\"{u}ssen zeigen,
da\ss \ die Abbildung $W\rightarrow\left(  W\otimes H\right)
^{\operatorname*{Co}H},$ $w\mapsto w\otimes1$ ein Isomorphismus von
Vektorr\"{a}umen und funktoriell in $W$ ist.

\textit{Beweis:} Es ist klar, da\ss \ diese Abbildung wohldefiniert, injektiv
und funktoriell in $W$ ist. Es bleibt also nur noch zu beweisen, da\ss \ sie
surjektiv ist. Dazu betrachten wir ein Element $\sum\limits_{i=1}^{n}%
w_{i}\otimes h_{i}\in\left(  W\otimes H\right)  ^{\operatorname*{Co}H},$ wobei
$w_{i}\in W$ und $h_{i}\in H$ f\"{u}r jedes $i$ ist. Dann ist%
\[
\sum\limits_{i=1}^{n}w_{i}\otimes\left(  h_{i}\right)  _{\left(  1\right)
}\otimes\left(  h_{i}\right)  _{\left(  2\right)  }=\delta_{W\otimes H}\left(
\sum\limits_{i=1}^{n}w_{i}\otimes h_{i}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}%
w_{i}\otimes h_{i}\otimes1
\]
(denn $\sum\limits_{i=1}^{n}w_{i}\otimes h_{i}\in\left(  W\otimes H\right)
^{\operatorname*{Co}H}$). Anwendung von $\operatorname*{id}\otimes
\varepsilon\otimes\operatorname*{id}$ auf diese Gleichung ergibt%
\[
\sum\limits_{i=1}^{n}w_{i}\otimes\underbrace{\varepsilon\left(  \left(
h_{i}\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \left(  h_{i}\right)  _{\left(
2\right)  }}_{=h_{i}}=\sum\limits_{i=1}^{n}w_{i}\otimes\varepsilon\left(
h_{i}\right)  1=\sum\limits_{i=1}^{n}w_{i}\varepsilon\left(  h_{i}\right)
\otimes1.
\]
Daher ist $\sum\limits_{i=1}^{n}w_{i}\otimes h_{i}$ das Bild von
$\sum\limits_{i=1}^{n}w_{i}\varepsilon\left(  h_{i}\right)  $ unter der
Abbildung $W\rightarrow\left(  W\otimes H\right)  ^{\operatorname*{Co}H},$
$w\mapsto w\otimes1$. Somit ist diese Abbildung surjektiv, was zu beweisen war.

\textbf{2)} Sei $V\in\mathcal{M}_{H}^{H}.$ Wir m\"{u}ssen zeigen:

\textbf{a)} Die Abbildung $\varphi:V\rightarrow V^{\operatorname*{Co}H},$
$v\mapsto v_{\left(  0\right)  }S\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  $ ist
wohldefiniert und $k$-linear.

\textbf{b)} Die Abbildungen $V^{\operatorname*{Co}H}\otimes H\rightarrow V,$
$v\otimes h\mapsto vh$ und $V\rightarrow V^{\operatorname*{Co}H}\otimes H,$
$v\mapsto\varphi\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  \otimes v_{\left(
1\right)  }$ sind zueinander inverse Isomorphismen von Vektorr\"{a}umen und
funktoriell in $V.$

\textit{Beweis:} \textbf{a)} Sei $v\in V.$ Dann ist%
\begin{align*}
\delta_{V}\left(  v_{\left(  0\right)  }S\left(  v_{\left(  1\right)
}\right)  \right)   &  =\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  _{\left(
0\right)  }\left(  S\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  _{\left(
1\right)  }\otimes\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  _{\left(  1\right)
}\left(  S\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  _{\left(  2\right)
}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{gem\"{a}\ss \ Bedingung }\mathcal{B}%
_{2}\text{ in der Definition eines Hopfmoduls}\right) \\
&  =\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  _{\left(  0\right)  }S\left(
\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)
\otimes\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }S\left(
\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }S\text{ ist ein
Anticoalgebrahomomorphismus}\right) \\
&  =v_{\left(  0\right)  }S\left(  v_{\left(  3\right)  }\right)  \otimes
v_{\left(  1\right)  }S\left(  v_{\left(  2\right)  }\right)  =v_{\left(
0\right)  }S\left(  v_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes\underbrace{\left(
v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }S\left(  \left(
v_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\varepsilon
\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  1}\\
&  =v_{\left(  0\right)  }S\left(  \underbrace{\varepsilon\left(  v_{\left(
1\right)  }\right)  v_{\left(  2\right)  }}_{=v_{\left(  1\right)  }}\right)
\otimes1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\varepsilon\left(  v_{\left(
1\right)  }\right)  \text{ ist ein Skalar}\right) \\
&  =v_{\left(  0\right)  }S\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes1,
\end{align*}
also $v_{\left(  0\right)  }S\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  \in
V^{\operatorname*{Co}H}.$ Daher ist die Abbildung $\varphi$ wohldefiniert. Die
$k$-Linearit\"{a}t von $\varphi$ ist klar (denn abstrakt gesehen ist
$\varphi=\mu_{V}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes S\right)  \circ
\delta_{V},$ wobei die Abbildung $\mu_{V}:V\otimes H\rightarrow V$ die
$H$-Rechtsmodulstruktur auf $V$ beschreibt).

\textbf{b)} \textbf{i)} Sei $v\in V^{\operatorname*{Co}H}$ und $h\in H.$ Dann
ist%
\begin{align*}
\varphi\left(  \left(  vh\right)  _{\left(  0\right)  }\right)  \otimes\left(
vh\right)  _{\left(  1\right)  }  &  =\varphi\left(  v_{\left(  0\right)
}h_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes v_{\left(  1\right)  }h_{\left(
2\right)  }\\
&  =\varphi\left(  vh_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes h_{\left(
2\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }v\in V^{\operatorname*{Co}%
H}\text{ ergibt }v_{\left(  0\right)  }\otimes v_{\left(  1\right)  }%
=v\otimes1\right) \\
&  =\left(  vh_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  0\right)  }S\left(
\left(  vh_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \otimes
h_{\left(  2\right)  }=v_{\left(  0\right)  }h_{\left(  1\right)  }S\left(
v_{\left(  1\right)  }h_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes h_{\left(
3\right)  }\\
&  =v\underbrace{h_{\left(  1\right)  }S\left(  h_{\left(  2\right)  }\right)
}_{=\varepsilon\left(  h_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot1}\otimes
h_{\left(  3\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{schon wieder nach
}v_{\left(  0\right)  }\otimes v_{\left(  1\right)  }=v\otimes1\right) \\
&  =v\varepsilon\left(  h_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot1\otimes
h_{\left(  2\right)  }=v\otimes\underbrace{\varepsilon\left(  h_{\left(
1\right)  }\right)  h_{\left(  2\right)  }}_{=h}=v\otimes h.
\end{align*}
Damit ist gezeigt: Wendet man auf ein Element von $V^{\operatorname*{Co}%
H}\otimes H$ zuerst die Abbildung $V^{\operatorname*{Co}H}\otimes H\rightarrow
V,$ $v\otimes h\mapsto vh,$ und dann die Abbildung $V\rightarrow
V^{\operatorname*{Co}H}\otimes H,$ $v\mapsto\varphi\left(  v_{\left(
0\right)  }\right)  \otimes v_{\left(  1\right)  }$ an, dann erh\"{a}lt man
wieder das urspr\"{u}ngliche Element.

\textbf{ii)} F\"{u}r jedes $v\in V$ ist $\varphi\left(  v_{\left(  0\right)
}\right)  v_{\left(  1\right)  }=v_{\left(  0\right)  }\underbrace{S\left(
v_{\left(  1\right)  }\right)  v_{\left(  2\right)  }}_{=\varepsilon\left(
v_{\left(  1\right)  }\right)  }=v_{\left(  0\right)  }\varepsilon\left(
v_{\left(  1\right)  }\right)  =v.$

Damit ist gezeigt: Wendet man auf ein Element von $V$ zun\"{a}chst die
Abbildung $V\rightarrow V^{\operatorname*{Co}H}\otimes H,$ $v\mapsto
\varphi\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  \otimes v_{\left(  1\right)  },$
und dann die Abbildung $V^{\operatorname*{Co}H}\otimes H\rightarrow V,$
$v\otimes h\mapsto vh$ an, dann erh\"{a}lt man wieder das urspr\"{u}ngliche Element.

Aus \textbf{i)} und \textbf{ii)} folgt, da\ss \ die Abbildungen
$V^{\operatorname*{Co}H}\otimes H\rightarrow V,$ $v\otimes h\mapsto vh$ und
$V\rightarrow V^{\operatorname*{Co}H}\otimes H,$ $v\mapsto\varphi\left(
v_{\left(  0\right)  }\right)  \otimes v_{\left(  1\right)  }$ zueinander
invers sind. Ferner sind sie Vektorraumhomomorphismen (wie man leicht
einsieht, wenn man sie abstrakt aufschreibt), also Vektorraumisomorphismen (da
sie zueinander invers sind). Schlie\ss lich sind diese Abbildungen funktoriell
in $V$ (das folgt aus ihren Definitionen). Damit ist 1.1. bewiesen.

\textbf{1.1}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{.
Erinnerung:} Ist $H$ eine Algebra, dann sind auf ihrem Dualraum $H^{\ast
}=\operatorname*{Hom}\left(  H,k\right)  $ kanonisch eine $H$%
-Linksmodulstruktur und eine $H$-Rechtsmodulstruktur gegeben. Und zwar ist die
$H$-Linksmodulstruktur $\left(  h,f\right)  \mapsto hf$ auf $H^{\ast}$
definiert durch $\left(  hf\right)  \left(  x\right)  =f\left(  xh\right)  $
f\"{u}r alle $f\in H^{\ast}$ und $x,h\in H,$ und die $H$-Rechtsmodulstruktur
$\left(  h,f\right)  \mapsto fh$ auf $H^{\ast}$ ist definiert durch $\left(
fh\right)  \left(  x\right)  =f\left(  hx\right)  $ f\"{u}r alle $f\in
H^{\ast}$ und $x,h\in H.$ Diese beiden Strukturen erg\"{a}nzen sich zu einer
$\left(  H,H\right)  $-Bimodulstruktur auf $H^{\ast}.$

\textit{Achtung:} Wir werden in 1.2. eine andere $H$-Rechtsmodulstruktur auf
$H^{\ast}$ einf\"{u}hren!

\textbf{1.2. Hauptlemma:} Sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra. Dann
ist $H^{\ast}$ kanonisch ein $H$-Rechtshopfmodul mit folgender Struktur:

Die $H$-Rechtscomodulstruktur auf $H^{\ast}$ sei einfach die zur (durch
Multiplikation gegebenen) $H^{\ast}$-Linksmodulstruktur\footnote{Dies ist
diejenige $H^{\ast}$-Linksmodulstruktur auf $H^{\ast},$ die von der
Multiplikationsabbildung $H^{\ast}\otimes H^{\ast}\rightarrow H^{\ast}$
herr\"{u}hrt.} auf $H^{\ast}$ adjungierte $H$-Rechtscomodulstruktur. Mit
anderen Worten: Die $H$-Rechtscomodulstruktur auf $H^{\ast}$ wird durch die
Abbildung $\delta_{H^{\ast}}:H^{\ast}\rightarrow H^{\ast}\otimes H$
festgelegt, wobei diese Abbildung $\delta_{H^{\ast}}$ dadurch festgelegt ist,
da\ss \ f\"{u}r jedes $p\in H^{\ast}$ gilt: f\"{u}r jedes $f\in H^{\ast}$ ist
$p_{\left(  0\right)  }f\left(  p_{\left(  1\right)  }\right)  =f\cdot p$
(wobei wir wieder die Sweedler-Notation $p_{\left(  0\right)  }\otimes
p_{\left(  1\right)  }=\delta_{H^{\ast}}\left(  p\right)  $ verwenden; dabei
ist $p_{\left(  0\right)  }\in H^{\ast}$ und $p_{\left(  1\right)  }\in H$).

Die $H$-Rechtsmodulstruktur $\left(  p,h\right)  \mapsto p\vartriangleleft h$
auf $H^{\ast}$ sei definiert durch $p\vartriangleleft h=S\left(  h\right)  p$
f\"{u}r alle $p\in H^{\ast}$ und $h\in H$ (wobei $S\left(  h\right)  p$
wiederum im Sinne der oben definierten $H$-Linksmodulstruktur auf $H^{\ast}$
zu verstehen ist, also durch $\left(  S\left(  h\right)  p\right)  \left(
x\right)  =p\left(  xS\left(  h\right)  \right)  $ f\"{u}r alle $x\in H$
definiert ist).\footnote{Man kann diese $H$-Rechtsmodulstruktur nat\"{u}rlich
auch als eine lineare Abbildung $H^{\ast}\otimes H\rightarrow H^{\ast},$
$p\otimes h\mapsto p\vartriangleleft h=S\left(  h\right)  p$ auffassen.} Mit
anderen Worten: Die $H$-Rechtsmodulstruktur auf $H^{\ast}$ ist so festgelegt,
da\ss \ $\left(  p\vartriangleleft h\right)  \left(  x\right)  =p\left(
xS\left(  h\right)  \right)  $ f\"{u}r alle $p\in H^{\ast}$ und $h,x\in H$
ist. Es ist zu beachten, da\ss \ diese $H$-Rechtsmodulstruktur $\left(
p,h\right)  \mapsto p\vartriangleleft h=S\left(  h\right)  p$ auf $H^{\ast}$
nicht mit der oben (in 1.1$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$.) definierten
$H$-Rechtsmodulstruktur $\left(  p,h\right)  \mapsto ph$ auf $H^{\ast}$
\"{u}bereinstimmt! Im Allgemeinen sind also $p\vartriangleleft h$ und $ph$
verschiedene Elemente von $H^{\ast}$.

Die $H$-Rechtscomodulstruktur $\delta_{H^{\ast}}:H^{\ast}\rightarrow H^{\ast
}\otimes H$ auf $H^{\ast}$ und die $H$-Rechtsmodulstruktur $\left(
p,h\right)  \mapsto p\vartriangleleft h$ auf $H^{\ast}$ bilden zusammen eine
$H$-Hopfmodulstruktur auf $H^{\ast}.$

\textit{Beweis:} Wir m\"{u}ssen zeigen: F\"{u}r alle $p\in H^{\ast}$ und $h\in
H$ gilt $\delta_{H^{\ast}}\left(  p\vartriangleleft h\right)  =\left(
p_{\left(  0\right)  }\vartriangleleft h_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes
p_{\left(  1\right)  }h_{\left(  2\right)  }.$

\textit{Beweis:} Wir formen die Behauptung \"{a}quivalent um:%
\begin{align*}
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \delta_{H^{\ast}}\left(  p\vartriangleleft
h\right)  =\left(  p_{\left(  0\right)  }\vartriangleleft h_{\left(  1\right)
}\right)  \otimes p_{\left(  1\right)  }h_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{f\"{u}r alle }f\in
H^{\ast}\text{ ist }\left(  p_{\left(  0\right)  }\vartriangleleft h_{\left(
1\right)  }\right)  \underbrace{f\left(  p_{\left(  1\right)  }h_{\left(
2\right)  }\right)  }_{\text{ein Skalar}}=f\cdot\left(  p\vartriangleleft
h\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\left(
p\vartriangleleft h\right)  _{\left(  0\right)  }f\left(  \left(
p\vartriangleleft h\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  =f\cdot\left(
p\vartriangleleft h\right)  \text{ nach der Definition von }\delta_{H^{\ast}%
}\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{f\"{u}r alle }f\in
H^{\ast}\text{ und }x\in H\text{ ist }\underbrace{\left(  p_{\left(  0\right)
}\vartriangleleft h_{\left(  1\right)  }\right)  \left(  x\right)
}_{=p_{\left(  0\right)  }\left(  xS\left(  h_{\left(  1\right)  }\right)
\right)  }\underbrace{f\left(  p_{\left(  1\right)  }h_{\left(  2\right)
}\right)  }_{=\left(  h_{\left(  2\right)  }f\right)  \left(  p_{\left(
1\right)  }\right)  }=\underbrace{\left(  f\cdot\left(  p\vartriangleleft
h\right)  \right)  \left(  x\right)  }_{=f\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  \left(  p\vartriangleleft h\right)  \left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  }\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{f\"{u}r alle }f\in
H^{\ast}\text{ und }x\in H\text{ ist }p_{\left(  0\right)  }\left(  xS\left(
h_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \cdot\left(  h_{\left(  2\right)
}f\right)  \left(  p_{\left(  1\right)  }\right)  =f\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  \underbrace{\left(  p\vartriangleleft h\right)  \left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=p\left(  x_{\left(  2\right)  }S\left(
h\right)  \right)  }\right)  .
\end{align*}
Nach der Definition von $\delta_{H^{\ast}}$ gilt aber $p_{\left(  0\right)
}\cdot\left(  h_{\left(  2\right)  }f\right)  \left(  p_{\left(  1\right)
}\right)  =\left(  h_{\left(  2\right)  }f\right)  \cdot p.$ Dies ist eine
Gleichheit in $H^{\ast};$ wenden wir sie auf $xS\left(  h_{\left(  1\right)
}\right)  \in H$ an, so erhalten wir
\begin{align*}
&  p_{\left(  0\right)  }\left(  xS\left(  h_{\left(  1\right)  }\right)
\right)  \cdot\left(  h_{\left(  2\right)  }f\right)  \left(  p_{\left(
1\right)  }\right)  =\left[  \left(  h_{\left(  2\right)  }f\right)  \cdot
p\right]  \left(  xS\left(  h_{\left(  1\right)  }\right)  \right) \\
&  =\left(  h_{\left(  2\right)  }f\right)  \left(  \left(  xS\left(
h_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \cdot
p\left(  \left(  xS\left(  h_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  _{\left(
2\right)  }\right) \\
&  =\left(  h_{\left(  2\right)  }f\right)  \left(  x_{\left(  1\right)
}\left(  S\left(  h_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  _{\left(  1\right)
}\right)  \cdot p\left(  x_{\left(  2\right)  }\left(  S\left(  h_{\left(
1\right)  }\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =\left(  h_{\left(  2\right)  }f\right)  \left(  x_{\left(  1\right)
}S\left(  \left(  h_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)
\right)  \cdot p\left(  x_{\left(  2\right)  }S\left(  \left(  h_{\left(
1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{weil }\left(  S\left(  h_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  _{\left(
1\right)  }\otimes\left(  S\left(  h_{\left(  1\right)  }\right)  \right)
_{\left(  2\right)  }=S\left(  \left(  h_{\left(  1\right)  }\right)
_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes S\left(  \left(  h_{\left(  1\right)
}\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  ,\\
\text{denn }S\text{ ist ein Anticoalgebrahomomorphismus}%
\end{array}
\right) \\
&  =\underbrace{\left(  h_{\left(  3\right)  }f\right)  \left(  x_{\left(
1\right)  }S\left(  h_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  }%
_{\substack{=f\left(  x_{\left(  1\right)  }S\left(  h_{\left(  2\right)
}\right)  h_{\left(  3\right)  }\right)  \\=f\left(  x_{\left(  1\right)
}\varepsilon\left(  h_{\left(  2\right)  }\right)  \cdot1\right)  \\=f\left(
\varepsilon\left(  h_{\left(  2\right)  }\right)  x_{\left(  1\right)
}\right)  }}\cdot p\left(  x_{\left(  2\right)  }S\left(  h_{\left(  1\right)
}\right)  \right)  =f\left(  \varepsilon\left(  h_{\left(  2\right)  }\right)
x_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot p\left(  x_{\left(  2\right)  }S\left(
h_{\left(  1\right)  }\right)  \right) \\
&  =f\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot p\left(  x_{\left(
2\right)  }S\left(  \underbrace{h_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(
h_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=h}\right)  \right)  =f\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  \cdot p\left(  x_{\left(  2\right)  }S\left(  h\right)
\right)  ,
\end{align*}
und gem\"{a}\ss \ der \"{A}quivalenzumformung folgt hieraus $\delta_{H^{\ast}%
}\left(  p\vartriangleleft h\right)  =\left(  p_{\left(  0\right)
}\vartriangleleft h_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes p_{\left(  1\right)
}h_{\left(  2\right)  },$ was zu beweisen war.

\bigskip

\fbox{\textbf{Integrale}}

Unser weiterer Plan besteht nun darin, zu zeigen, da\ss \ in jeder
endlichdimensionalen Hopfalgebra $H$ die Antipode $S$ bijektiv ist. Dazu
werden wir nachweisen, da\ss \ die Abbildung%
\begin{align*}
H^{\ast\operatorname*{Co}H}\otimes H  &  \rightarrow H^{\ast},\\
p\otimes h  &  \mapsto S\left(  h\right)  p=p\vartriangleleft h
\end{align*}
ein Isomorphismus von $k$-Vektorr\"{a}umen ist. Diese Abbildung ist aber die
Verkettung%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
H^{\ast\operatorname*{Co}H}\otimes H \ar[r]^{\operatorname*{id}\otimes S} & H^{\ast\operatorname*{Co}H}\otimes H \ar[r]^-{p\otimes h\mapsto hp} & H^{\ast}
}.
\]
Somit mu\ss \ die Abbildung $\operatorname*{id}\otimes S:H^{\ast
\operatorname*{Co}H}\otimes H\rightarrow H^{\ast\operatorname*{Co}H}\otimes H$
injektiv sein, also auch bijektiv (da $\dim\left(  H^{\ast\operatorname*{Co}%
H}\otimes H\right)  <\infty$), und somit mu\ss \ auch $S$ bijektiv sein (denn
$H^{\ast\operatorname*{Co}H}\neq0$).

Um diesen Plan zu erf\"{u}llen (also zu beweisen, da\ss \ die genannte
Abbildung ein Isomorphismus ist), werden wir erstmal zwei Begriffe einf\"{u}hren:

\textbf{Definition:} \textbf{1)} Sei $H$ eine Algebra, und $\varepsilon
:H\rightarrow k$ ein Algebrahomomorphismus. (Ein solches Paar $\left(
H,\varepsilon\right)  $ hei\ss t auch \textit{augmentierte Algebra}.)

Sei $\Lambda\in H.$ Dann hei\ss t $\Lambda$ ein \textit{Linksintegral} von
$\left(  H,\varepsilon\right)  ,$ wenn f\"{u}r jedes $h\in H$ die Gleichung
$h\Lambda=\varepsilon\left(  h\right)  \Lambda$ gilt. Ferner hei\ss t
$\Lambda$ ein \textit{Rechtsintegral} von $\left(  H,\varepsilon\right)  ,$
wenn f\"{u}r jedes $h\in H$ die Gleichung $\Lambda h=\varepsilon\left(
h\right)  \Lambda$ gilt.

Wir bezeichnen mit $\operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)  $ die Menge
$\left\{  \Lambda\in H\ \mid\ \Lambda\text{ ist ein Linksintegral von
}H\right\}  ,$ und wir bezeichnen mit $\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)
$ die Menge $\left\{  \Lambda\in H\ \mid\ \Lambda\text{ ist ein Rechtsintegral
von }H\right\}  .$ Offensichtlich sind $\operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)
$ und $\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  $ Vektorr\"{a}ume.

\textbf{2)} Sei $H$ eine Hopfalgebra. Unter den \textit{Linksintegralen} und
den \textit{Rechtsintegralen} der Hopfalgebra $H$ versteht man dann die
Linksintegrale bzw. die Rechtsintegrale von $\left(  H,\varepsilon\right)  ,$
wobei $\varepsilon$ die Coeins der Hopfalgebra $H$ ist. Au\ss erdem definieren
wir die \textit{Linksintegrale} und die \textit{Rechtsintegrale} von $H^{\ast
}$ als die Linksintegrale bzw. die Rechtsintegrale von $\left(  H^{\ast}%
,\eta^{\ast}\right)  .$ Dabei mu\ss \ $H^{\ast}$ nicht notwendigerweise eine
Hopfalgebra sein (f\"{u}r $\dim H<\infty$ ist $H^{\ast}$ eine Hopfalgebra mit
der Coeins $\eta^{\ast}$, aber auch f\"{u}r $\dim H=\infty$ sind
Linksintegrale und Rechtsintegrale von $H^{\ast}$ wohldefiniert).\footnote{Wir
erinnern daran, da\ss \ $\eta:k\rightarrow H$ der durch $\eta\left(  t\right)
=t\cdot1_{H}$ f\"{u}r alle $t\in k$ definierte Algebrahomomorphismus ist.
Somit ist $\eta^{\ast}:H^{\ast}\rightarrow k$ die Abbildung, die jedem $p\in
H^{\ast}$ den Wert $p\left(  1_{H}\right)  $ zuordnet.}

\textbf{1.2}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{.
Beispiele:} \textbf{1)} Sei $G$ eine endliche Gruppe, und sei $H=k\left[
G\right]  $ ihre Gruppenalgebra. Dann ist $\operatorname*{I}_{l}\left(
H\right)  =\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  =k\cdot\Lambda,$ wobei
$\Lambda=\sum\limits_{g\in G}g\in H$ ist. (Dabei bedeutet $k\cdot\Lambda$ den
von dem Vektor $\Lambda$ erzeugten Untervektorraum des $k$-Vektorraums $H$).

\textit{Beweis:} Sei $\Gamma\in H$ beliebig gew\"{a}hlt. Schreibe $\Gamma$ in
der Form $\Gamma=\sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}g,$ wobei $\alpha_{g}\in k$
f\"{u}r jedes $g\in G$ ist. Dann gilt folgende \"{A}quivalenz von Aussagen:%
\begin{align*}
\left(  \Gamma\in\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H\right)  \right)  \
&  \Longleftrightarrow\ \left(  h\Gamma=\varepsilon\left(  h\right)
\Gamma\text{ f\"{u}r jedes }h\in H\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  h\Gamma=\varepsilon\left(  h\right)
\Gamma\text{ f\"{u}r jedes }h\in G\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn die Gruppe }G\text{ erzeugt }H\text{
als }k\text{-Vektorraum}\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  h\sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}%
g=\underbrace{\varepsilon\left(  h\right)  }_{\substack{=1,\text{ da}\\h\in
G}}\sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}g\text{ f\"{u}r jedes }h\in G\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  \sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}hg=\sum
\limits_{g\in G}\alpha_{g}g\text{ f\"{u}r jedes }h\in G\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  \sum\limits_{g\in G}\alpha_{h^{-1}g}%
g=\sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}g\text{ f\"{u}r jedes }h\in G\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  \alpha_{h^{-1}g}=\alpha_{g}\text{ f\"{u}r
jedes }h\in G\text{ und jedes }g\in G\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  \alpha_{g}=\alpha_{e}\text{ f\"{u}r jedes
}g\in G,\text{ wobei }e\text{ das neutrale Element von }G\text{ ist}\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  \sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}g=\sum
\limits_{g\in G}\alpha_{e}g\right)  \ \Longleftrightarrow\ \left(
\sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}g\in k\sum\limits_{g\in G}g\right)
\ \Longleftrightarrow\ \left(  \Gamma\in k\cdot\Lambda\right)  .
\end{align*}
Somit ist $\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H\right)  =k\cdot\Lambda.$
Analog zeigt man $\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  =k\cdot\Lambda.$

\textbf{2)} Sei $q$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel in $k$. Sei%
\[
H=k\left\langle g,x\mid g^{n}=1,\ x^{n}=0,\ gxg^{-1}=qx\right\rangle
\]
die Taft-Hopfalgebra (aus Kapitel I, 2.18. \textbf{12)}). Sei $\Lambda
=\sum\limits_{i=0}^{n-1}g^{i}x^{n-1}$ und sei $\Gamma=\sum\limits_{i=0}%
^{n-1}q^{i}g^{i}x^{n-1}.$ Dann ist $0\neq\Lambda\in\operatorname*{I}%
_{l}\left(  H\right)  ,$ $0\neq\Gamma\in\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)
$ und $\Lambda\notin\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  .$

\textit{Beweis:} Die Familie $\left(  g^{i}x^{j}\right)  _{0\leq i,j\leq n-1}$
ist eine Basis des $k$-Vektorraums $H$ (dies folgt z. B. aus Kapitel I, 3.3.
\textbf{4)}). Hieraus folgt sofort $\Lambda\neq0$ und $\Gamma\neq0.$

Jetzt wollen wir nachpr\"{u}fen, da\ss \ $\Lambda\in\operatorname*{I}%
_{l}\left(  H\right)  $ ist, also da\ss \ $h\Lambda=\varepsilon\left(
h\right)  \Lambda$ f\"{u}r jedes $h\in H$ ist. Dazu reicht es aus,
nachzuweisen, da\ss \ $g\Lambda=\varepsilon\left(  g\right)  \Lambda$ und
$x\Lambda=\varepsilon\left(  x\right)  \Lambda$ ist (denn $\left(  g,x\right)
$ ist ein Algebraerzeugendensystem von $H,$ und um zu zeigen, da\ss \ die
Gleichung $h\Lambda=\varepsilon\left(  h\right)  \Lambda$ f\"{u}r jedes $h\in
H$ gilt, reicht es aus, sie auf einem Algebraerzeugendensystem von $H$
nachzupr\"{u}fen). Dies ist leicht einzusehen:%
\begin{align*}
g\Lambda &  =\underbrace{g\sum\limits_{i=0}^{n-1}g^{i}}_{\substack{=\sum
\limits_{i=1}^{n}g^{i}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}g^{i},\\\text{da }g^{n}=1=g^{0}%
}}x^{n-1}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}g^{i}x^{n-1}=\Lambda=\varepsilon\left(
g\right)  \Lambda;\\
x\Lambda &  =x\sum\limits_{i=0}^{n-1}g^{i}x^{n-1}=\sum\limits_{i=0}%
^{n-1}\underbrace{xg^{i}}_{=q^{-i}g^{i}x}x^{n-1}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}%
q^{-i}g^{i}\underbrace{x^{n}}_{=0}=0=\varepsilon\left(  x\right)  \Lambda.
\end{align*}
Da\ss \ $\Gamma\in\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  $ ist, folgt
gleicherma\ss en aus%
\begin{align*}
\Gamma g  &  =\sum\limits_{i=0}^{n-1}q^{i}g^{i}\underbrace{x^{n-1}%
g}_{\substack{=q^{-\left(  n-1\right)  }gx^{n-1}\\=qgx^{n-1},\text{
da}\\q^{-\left(  n-1\right)  }=q,\\\text{weil }q^{n}=1}}=\sum\limits_{i=0}%
^{n-1}q^{i}g^{i}qgx^{n-1}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}q^{i+1}g^{i+1}x^{n-1}\\
&  =\sum\limits_{i=1}^{n}q^{i}g^{i}x^{n-1}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}q^{i}%
g^{i}x^{n-1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }q^{n}=1=q^{0}\text{ und
}g^{n}=1=g^{0}\right) \\
&  =\Gamma=\varepsilon\left(  g\right)  \Gamma;\\
\Gamma x  &  =\sum\limits_{i=0}^{n-1}q^{i}g^{i}\underbrace{x^{n-1}x}%
_{=x^{n}=0}=0=\varepsilon\left(  x\right)  \Gamma.
\end{align*}
Da\ss \ $\Lambda\notin\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  $ ist, folgt aus%
\[
\Lambda g=\sum\limits_{i=0}^{n-1}g^{i}\underbrace{x^{n-1}g}%
_{\substack{=qgx^{n-1},\\\text{wie oben}\\\text{gezeigt}}}=\sum\limits_{i=0}%
^{n-1}g^{i}qgx^{n-1}=q\sum\limits_{i=0}^{n-1}g^{i+1}x^{n-1}=q\underbrace{\sum
\limits_{i=1}^{n}g^{i}}_{\substack{=\sum\limits_{i=0}^{n-1}g^{i},\text{
da}\\g^{n}=1=g^{0}}}x^{n-1}=q\sum\limits_{i=0}^{n-1}g^{i}x^{n-1}=q\Lambda
\neq\Lambda.
\]


\textbf{1.3. Lemma:} Sei $H$ eine Hopfalgebra, und sei $\lambda\in H^{\ast}.$
Dann sind folgende zwei Aussagen zueinander \"{a}quivalent:

\textbf{1)} Es gilt $\lambda\in\operatorname*{I}_{l}\left(  H^{\ast}\right)
.$

\textbf{2)} F\"{u}r jedes $h\in H$ ist $h_{\left(  1\right)  }\lambda\left(
h_{\left(  2\right)  }\right)  =1\cdot\lambda\left(  h\right)  .$

\textit{Beweis:} Wir haben folgende Kette \"{a}quivalenter Aussagen:%
\begin{align*}
\left(  \lambda\in\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H^{\ast}\right)
\right)  \  &  \Longleftrightarrow\ \left(  \text{f\"{u}r alle }p\in H^{\ast
}\text{ ist }p\lambda=\eta^{\ast}\left(  p\right)  \lambda\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  \text{f\"{u}r alle }p\in H^{\ast}\text{ ist
}p\lambda=p\left(  1\right)  \lambda\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  \text{f\"{u}r alle }p\in H^{\ast}\text{ und
alle }h\in H\text{ ist }\left(  p\lambda\right)  \left(  h\right)  =\left(
p\left(  1\right)  \lambda\right)  \left(  h\right)  \right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  \text{f\"{u}r alle }p\in H^{\ast}\text{ und
alle }h\in H\text{ ist }p\left(  h_{\left(  1\right)  }\lambda\left(
h_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  =p\left(  1\cdot\lambda\left(
h\right)  \right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\left(  p\lambda\right)  \left(  h\right)  =p\left(  h_{\left(
1\right)  }\right)  \lambda\left(  h_{\left(  2\right)  }\right)  =p\left(
h_{\left(  1\right)  }\lambda\left(  h_{\left(  2\right)  }\right)  \right) \\
\text{und }\left(  p\left(  1\right)  \lambda\right)  \left(  h\right)
=p\left(  1\right)  \lambda\left(  h\right)  =p\left(  1\cdot\lambda\left(
h\right)  \right)
\end{array}
\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  \text{f\"{u}r alle }h\in H\text{ ist
}h_{\left(  1\right)  }\lambda\left(  h_{\left(  2\right)  }\right)
=1\cdot\lambda\left(  h\right)  \right)  .
\end{align*}


\textbf{1.4. Satz (Larson-Sweedler):} Sei $H$ eine endlichdimensionale
Hopfalgebra. Dann ist die Abbildung%
\begin{align*}
\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H^{\ast}\right)  \otimes H  &
\rightarrow H^{\ast},\\
\lambda\otimes x  &  \mapsto S\left(  x\right)  \lambda
\end{align*}
ein Isomorphismus von Vektorr\"{a}umen\footnote{und sogar ein Isomorphismus
von $H$-Hopfmoduln, wobei die $H$-Hopfmodulstruktur auf $\operatorname*{I}%
_{l}\left(  H^{\ast}\right)  \otimes H$ gem\"{a}\ss \ 1.0. \textbf{2)}
definiert ist, und die $H$-Hopfmodulstruktur auf $H^{\ast}$ gem\"{a}\ss \ 1.2.
definiert ist.}.

\textit{Beweis:} Nach 1.2. ist $H^{\ast}\in\mathcal{M}_{H}^{H}.$ Nach 1.1.
\textbf{2)} ist%
\begin{align*}
H^{\ast\operatorname*{Co}H}\otimes H  &  \rightarrow H^{\ast},\\
\lambda\otimes x  &  \mapsto\lambda\vartriangleleft x=S\left(  x\right)
\lambda
\end{align*}
ein Isomorphismus von $H$-Hopfmoduln. Wir m\"{u}ssen also nur noch zeigen,
da\ss \ $H^{\ast\operatorname*{Co}H}=\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(
H^{\ast}\right)  $ ist.

F\"{u}r jedes $\lambda\in H^{\ast}$ gilt folgende Kette von \"{A}quivalenzen:%
\begin{align*}
\left(  \lambda\in H^{\ast\operatorname*{Co}H}\right)  \  &
\Longleftrightarrow\ \left(  \delta_{H^{\ast}}\left(  \lambda\right)
=\lambda\otimes1\right)  \ \Longleftrightarrow\ \left(  \text{f\"{u}r alle
}f\in H^{\ast}\text{ ist }\lambda f\left(  1\right)  =f\lambda\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach der Definition von }\delta_{H^{\ast
}}\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  \text{f\"{u}r alle }f\in H^{\ast}\text{ ist
}\lambda\eta^{\ast}\left(  f\right)  =f\lambda\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  \text{f\"{u}r alle }f\in H^{\ast}\text{ ist
}f\lambda=\eta^{\ast}\left(  f\right)  \lambda\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  \lambda\text{ ist ein Linksintegral von
}\left(  H^{\ast},\eta^{\ast}\right)  \right)  \ \Longleftrightarrow\ \left(
\lambda\in\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H^{\ast}\right)  \right)  ,
\end{align*}
was zu beweisen war.

\textbf{1.5. Folgerung:} Sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra.

\textbf{1)} Dann sind die Vektorr\"{a}ume $\operatorname*{I}_{l}\left(
H\right)  $ und $\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  $ eindimensional.

\textbf{2)} Die Abbildung $S:H\rightarrow H$ ist bijektiv.

\textbf{3)} Ist $\lambda\neq0$ ein Element von $H^{\ast},$ welches $\lambda
\in\operatorname*{I}_{l}\left(  H^{\ast}\right)  $ \textit{oder }$\lambda
\in\operatorname*{I}_{r}\left(  H^{\ast}\right)  $ erf\"{u}llt, dann sind die
Abbildungen%
\[
H\rightarrow H^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h\mapsto h\lambda
\]
und%
\[
H\rightarrow H^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h\mapsto\lambda h
\]
Vektorraumisomorphismen.

\textbf{4)} Es gilt $S\left(  \operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)  \right)
=\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  $ und $S\left(  \operatorname*{I}%
_{r}\left(  H\right)  \right)  =\operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)  $.

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Nach 1.4. ist $\dim\left(  \operatorname*{I}%
\nolimits_{l}\left(  H^{\ast}\right)  \otimes H\right)  =\dim\left(  H^{\ast
}\right)  ,$ also $\dim\left(  \operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H^{\ast
}\right)  \right)  \cdot\dim H=\dim\left(  H^{\ast}\right)  .$ Wegen $\dim
H=\dim\left(  H^{\ast}\right)  \neq0$ wird dies zu $\dim\left(
\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H^{\ast}\right)  \right)  =1.$ Angewandt
auf die Hopfalgebra $H^{\ast}$ anstatt von $H$ ergibt dies $\dim\left(
\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H^{\ast\ast}\right)  \right)  =1.$ Da
$H^{\ast\ast}\cong H$ als Hopfalgebren (nach Kapitel I, 2.21), f\"{u}hrt dies
auf $\dim\left(  \operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H\right)  \right)  =1.$
Analog ist $\dim\left(  \operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  \right)  =1.$

\textbf{2)} Nach 1.4. ist die Abbildung%
\begin{align*}
\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H^{\ast}\right)  \otimes H  &
\rightarrow H^{\ast},\\
\lambda\otimes x  &  \mapsto S\left(  x\right)  \lambda
\end{align*}
bijektiv, also insbesondere injektiv. Diese Abbildung ist aber nichts anderes
als die Verkettung%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
\operatorname*{I}_l\left(H^{\ast}\right)\otimes H \ar[r]^-{\operatorname*{id}\otimes S} & \operatorname*{I}_l\left(H^{\ast}\right) \otimes H \ar[r]^-{\lambda\otimes x\mapsto x\lambda} & H^{\ast}
}.
\]
Somit mu\ss \ auch die Abbildung $\operatorname*{id}\otimes S$ injektiv sein.
Also ist $S$ injektiv (denn aus $\dim\left(  \operatorname*{I}\nolimits_{l}%
\left(  H^{\ast}\right)  \right)  =1$ folgt $\operatorname*{I}\nolimits_{l}%
\left(  H^{\ast}\right)  \neq0$). Da $S$ ein Endomorphismus des
endlichdimensionalen Vektorraumes $H$ ist, folgt aus der Injektivit\"{a}t aber
sofort die Bijektivit\"{a}t, d. h. die Abbildung $S$ ist bijektiv.

\textbf{3)} Betrachten wir erstmal den Fall, wenn $\lambda\in\operatorname*{I}%
_{l}\left(  H^{\ast}\right)  $ ist. Da $\lambda\neq0$ und $\dim\left(
\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H^{\ast}\right)  \right)  =1$ (nach dem
Beweis zu \textbf{1)}) gilt, ist also $\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(
H^{\ast}\right)  =k\cdot\lambda$ (das hei\ss t, der Vektorraum
$\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H^{\ast}\right)  $ ist erzeugt von dem
Element $\lambda$). Somit ist der Vektorraumhomomorphismus%
\[
H\rightarrow\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H^{\ast}\right)  \otimes
H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto\lambda\otimes x
\]
bijektiv. Daher ist auch der Vektorraumhomomorphismus%
\[
H\rightarrow\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H^{\ast}\right)  \otimes
H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto\lambda\otimes S^{-1}\left(  x\right)
\]
bijektiv (denn nach \textbf{2)} ist $S$ bijektiv). Nach 1.4. ist aber auch die
Abbildung%
\begin{align*}
\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H^{\ast}\right)  \otimes H  &
\rightarrow H^{\ast},\\
\lambda\otimes x  &  \mapsto S\left(  x\right)  \lambda
\end{align*}
bijektiv. Somit ist auch die Verkettung dieser zwei Abbildungen, also die
Abbildung%
\[
H\rightarrow H^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto x\lambda
\]
bijektiv.

Wenden wir dies auf die Hopfalgebra $H^{\operatorname*{op}}$ anstelle von $H$
an (welche ebenfalls eine endlichdimensionale Hopfalgebra ist\footnote{Dies
folgt aus Bemerkung 2.21$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$. \textbf{7)} in Kapitel
I, weil $S$ bijektiv ist.}, und f\"{u}r die ebenfalls $\lambda\in
\operatorname*{I}_{l}\left(  H^{\operatorname*{op}\ast}\right)  $
gilt\footnote{da sowohl die Multiplikation als auch die Coeins in
$H^{\operatorname*{op}\ast}$ dieselben sind wie in $H^{\ast}$}), so erhalten
wir, da\ss \ die Abbildung%
\[
H^{\operatorname*{op}}\rightarrow H^{\operatorname*{op}\ast}%
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^{\operatorname*{op}}\mapsto x^{\operatorname*{op}%
}\lambda^{\operatorname*{op}}%
\]
bijektiv ist. Wegen $H^{\operatorname*{op}}=H$ als Vektorr\"{a}ume und
$H^{\operatorname*{op}\ast}=H^{\ast}$ als Vektorr\"{a}ume, und da
$x^{\operatorname*{op}}\lambda^{\operatorname*{op}}=\left(  \lambda x\right)
^{\operatorname*{op}}$ gilt, k\"{o}nnen wir dies auch wie folgt
ausdr\"{u}cken: Die Abbildung%
\[
H\rightarrow H^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto\lambda x
\]
ist bijektiv.

Damit haben wir die gew\"{u}nschten Behauptungen im Fall $\lambda
\in\operatorname*{I}_{l}\left(  H^{\ast}\right)  $ bewiesen. Anwendung auf
$H^{\operatorname*{cop}}$ ergibt die analogen Behauptungen f\"{u}r den Fall
$\lambda\in\operatorname*{I}_{r}\left(  H^{\ast}\right)  $ (denn $H^{\ast}$
und $H^{\operatorname*{cop}\ast}$ sind als Vektorr\"{a}ume identisch, und
$\operatorname*{I}_{r}\left(  H^{\ast}\right)  $ und $\operatorname*{I}%
_{l}\left(  H^{\operatorname*{cop}\ast}\right)  $ sind der gleiche
Untervektorraum dieses Vektorraumes). Damit ist 1.5. \textbf{3)} gezeigt.

\textbf{4)} Sei $\Lambda\in H$ beliebig. Wir haben nun folgende \"{A}quivalenz
von Aussagen:%
\begin{align*}
\left(  \Lambda\in\operatorname*{I}\nolimits_{r}\left(  H\right)  \right)  \
&  \Longleftrightarrow\ \left(  \Lambda\text{ ist ein Rechtsintegral von
}\left(  H,\varepsilon\right)  \right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  \Lambda g=\varepsilon\left(  g\right)
\Lambda\text{ f\"{u}r jedes }g\in H\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{nach der Definition eines Rechtsintegrals}\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  S\left(  \Lambda g\right)  =S\left(
\varepsilon\left(  g\right)  \Lambda\right)  \text{ f\"{u}r jedes }g\in
H\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn nach \textbf{2)} ist }S\text{
bijektiv}\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  S\left(  g\right)  S\left(  \Lambda\right)
=\varepsilon\left(  S\left(  g\right)  \right)  S\left(  \Lambda\right)
\text{ f\"{u}r jedes }g\in H\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }S\left(  \Lambda g\right)  =S\left(  g\right)  S\left(
\Lambda\right)  \text{ (weil }S\text{ ein Antialgebrahomomorphismus ist)}\\
\text{und }S\left(  \varepsilon\left(  g\right)  \Lambda\right)
=\underbrace{\varepsilon}_{=\varepsilon\circ S}\left(  g\right)  S\left(
\Lambda\right)  =\left(  \varepsilon\circ S\right)  \left(  g\right)  S\left(
\Lambda\right)  =\varepsilon\left(  S\left(  g\right)  \right)  S\left(
\Lambda\right)
\end{array}
\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  hS\left(  \Lambda\right)  =\varepsilon\left(
h\right)  S\left(  \Lambda\right)  \text{ f\"{u}r jedes }h\in H\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{hier haben wir }h\text{ f\"{u}r }S\left(
g\right)  \text{ substituiert, denn nach \textbf{2)} ist }S\text{
bijektiv}\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  S\left(  \Lambda\right)  \text{ ist ein
Linksintegral von }\left(  H,\varepsilon\right)  \right)
\ \Longleftrightarrow\ \left(  S\left(  \Lambda\right)  \in\operatorname*{I}%
\nolimits_{l}\left(  H\right)  \right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  \Lambda\in S^{-1}\left(  \operatorname*{I}%
\nolimits_{l}\left(  H\right)  \right)  \right)  .
\end{align*}
Daher ist $\operatorname*{I}\nolimits_{r}\left(  H\right)  =S^{-1}\left(
\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H\right)  \right)  $, also $S\left(
\operatorname*{I}\nolimits_{r}\left(  H\right)  \right)  =\operatorname*{I}%
\nolimits_{l}\left(  H\right)  $ (da $S$ bijektiv ist). Analog gilt $S\left(
\operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)  \right)  =\operatorname*{I}_{r}\left(
H\right)  $. Damit ist 1.5. \textbf{4)} gezeigt.

\textbf{1.6. Folgerung:} Sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra. Sei
$0\neq\lambda\in\operatorname*{I}_{l}\left(  H^{\ast}\right)  ,$ und sei
$\Lambda\in H$ so gew\"{a}hlt, da\ss \ $\lambda\Lambda=\varepsilon$ ist. (So
ein $\Lambda$ existiert nach 1.5. \textbf{3)}.)

\textbf{1)} Dann ist $\left(  \Lambda\right)  $ eine $k$-Basis des
(eindimensionalen) Vektorraums $\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  ,$ und
$\left(  S\left(  \Lambda\right)  \right)  $ ist eine $k$-Basis des
(eindimensionalen) Vektorraums $\operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)  .$

\textbf{2)} F\"{u}r alle $x\in H$ gilt $x=S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)
}\right)  \lambda\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }x\right)  .$

\textbf{3)} F\"{u}r alle $x\in H$ gilt $x=\lambda\left(  xS\left(
\Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \Lambda_{\left(  2\right)  }.$

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Aus $\lambda\Lambda=\varepsilon$ folgt
$\lambda\left(  \Lambda\right)  =\left(  \lambda\Lambda\right)  \left(
1\right)  =\varepsilon\left(  1\right)  =1,$ also insbesondere $\Lambda\neq0.$

F\"{u}r alle $x,y\in H$ gilt
\begin{align*}
\left(  \lambda\Lambda x\right)  \left(  y\right)   &  =\left(  \lambda
\Lambda\right)  \left(  xy\right)  =\varepsilon\left(  xy\right)
=\varepsilon\left(  x\right)  \varepsilon\left(  y\right)
=\underbrace{\varepsilon}_{=\lambda\Lambda}\left(  \varepsilon\left(
x\right)  y\right) \\
&  =\left(  \lambda\Lambda\right)  \left(  \varepsilon\left(  x\right)
y\right)  =\lambda\left(  \Lambda\varepsilon\left(  x\right)  y\right)
=\left(  \lambda\varepsilon\left(  x\right)  \Lambda\right)  \left(  y\right)
.
\end{align*}
F\"{u}r alle $x\in H$ ist also $\lambda\Lambda x=\lambda\varepsilon\left(
x\right)  \Lambda.$ Nach 1.5. \textbf{3)} ist aber die Abbildung%
\[
H\rightarrow H^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h\mapsto\lambda h
\]
ein Isomorphismus. Aus $\lambda\Lambda x=\lambda\varepsilon\left(  x\right)
\Lambda$ folgt also $\Lambda x=\varepsilon\left(  x\right)  \Lambda$ f\"{u}r
alle $x\in H.$ Somit ist $\Lambda\in\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  .$
Da $\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  $ eindimensional ist, und
$\Lambda\neq0$ ist, bedeutet dies, da\ss \ $\left(  \Lambda\right)  $ eine
$k$-Basis des (eindimensionalen) Vektorraums $\operatorname*{I}_{r}\left(
H\right)  $ ist.

Aus $\Lambda\neq0$ folgt nat\"{u}rlich $S\left(  \Lambda\right)  \neq0$ (denn
$S$ ist bijektiv). Da $S$ bijektiv ist, gilt ferner%
\begin{align*}
xS\left(  \Lambda\right)   &  =S\left(  S^{-1}\left(  x\right)  \right)
S\left(  \Lambda\right)  =S\left(  \underbrace{\Lambda S^{-1}\left(  x\right)
}_{\substack{=\varepsilon\left(  S^{-1}\left(  x\right)  \right)
\Lambda\\\text{(da }\Lambda\in\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  \text{)}%
}}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }S\text{ ist ein
Antialgebrahomomorphismus}\right) \\
&  =S\left(  \varepsilon\left(  S^{-1}\left(  x\right)  \right)
\Lambda\right)  =\varepsilon\left(  S^{-1}\left(  x\right)  \right)  S\left(
\Lambda\right) \\
&  =\varepsilon\left(  x\right)  S\left(  \Lambda\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\varepsilon\circ S^{-1}=\varepsilon,\text{ da }\varepsilon\circ
S=\varepsilon,\text{ weil }S\text{ ein}\\
\text{Anticoalgebrahomomorphismus ist}%
\end{array}
\right)
\end{align*}
f\"{u}r alle $x\in H.$ Somit ist $S\left(  \Lambda\right)  \in
\operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)  .$ Zusammen mit $S\left(
\Lambda\right)  \neq0$ und $\dim\operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)  =1$
ergibt dies, da\ss \ $\left(  S\left(  \Lambda\right)  \right)  $ eine
$k$-Basis des (eindimensionalen) Vektorraums $\operatorname*{I}_{l}\left(
H\right)  $ ist.

\textbf{2)} F\"{u}r jedes $x\in H$ ist%
\begin{align*}
S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \lambda\left(  \Lambda_{\left(
2\right)  }x\right)   &  =S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)
\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }x\right)  _{\left(  1\right)  }%
\lambda\left(  \left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }x\right)  _{\left(
2\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }1\cdot\lambda\left(  \Lambda
_{\left(  2\right)  }x\right)  =\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }x\right)
_{\left(  1\right)  }\lambda\left(  \left(  \Lambda_{\left(  2\right)
}x\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  \text{ nach 1.3., da }\lambda
\in\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H^{\ast}\right)  \right) \\
&  =\underbrace{S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \Lambda_{\left(
2\right)  }}_{=\varepsilon\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)
}x_{\left(  1\right)  }\lambda\left(  \Lambda_{\left(  3\right)  }x_{\left(
2\right)  }\right)  =\varepsilon\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)
x_{\left(  1\right)  }\lambda\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }x_{\left(
2\right)  }\right) \\
&  =x_{\left(  1\right)  }\lambda\left(  \underbrace{\varepsilon\left(
\Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \Lambda_{\left(  2\right)  }}_{=\Lambda
}x_{\left(  2\right)  }\right)  =x_{\left(  1\right)  }\underbrace{\lambda
\left(  \Lambda x_{\left(  2\right)  }\right)  }_{\substack{=\left(
\lambda\Lambda\right)  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \\=\varepsilon
\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  }}=x_{\left(  1\right)  }%
\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  =x.
\end{align*}


\textbf{3)} Anwendung von \textbf{2)} auf $x=S\left(  \Lambda\right)  $ ergibt%
\begin{align*}
S\left(  \Lambda\right)   &  =S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)
\lambda\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }S\left(  \Lambda\right)  \right)
=S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \lambda\left(  \varepsilon
\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  S\left(  \Lambda\right)  \right)
\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn nach \textbf{1)} ist }S\left(
\Lambda\right)  \in\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H\right)  ,\text{
also }\Lambda_{\left(  2\right)  }S\left(  \Lambda\right)  =\varepsilon\left(
\Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  S\left(  \Lambda\right)  \right) \\
&  =S\left(  \underbrace{\Lambda_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(
\Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\Lambda}\right)  \lambda\left(
S\left(  \Lambda\right)  \right)  =S\left(  \Lambda\right)  \lambda\left(
S\left(  \Lambda\right)  \right)  ,
\end{align*}
also $\lambda\left(  S\left(  \Lambda\right)  \right)  =1$ (da $S\left(
\Lambda\right)  \neq0$ nach \textbf{1)}).

F\"{u}r jedes $x\in H$ ist nun%
\begin{align*}
\lambda\left(  xS\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \right)
\Lambda_{\left(  2\right)  }  &  =\left(  xS\left(  \Lambda_{\left(  1\right)
}\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }\lambda\left(  \left(  xS\left(
\Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }\right)
\Lambda_{\left(  2\right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }1\cdot\lambda\left(  xS\left(  \Lambda_{\left(  1\right)
}\right)  \right)  =\left(  xS\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)
\right)  _{\left(  1\right)  }\lambda\left(  \left(  xS\left(  \Lambda
_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }\right) \\
\text{nach 1.3., da }\lambda\in\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H^{\ast
}\right)
\end{array}
\right) \\
&  =x_{\left(  1\right)  }S\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\right)
\lambda\left(  x_{\left(  2\right)  }S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)
}\right)  \right)  \Lambda_{\left(  3\right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }S\text{ ist ein
Anticoalgebrahomomorphismus}\right) \\
&  =x_{\left(  1\right)  }\lambda\left(  x_{\left(  2\right)  }S\left(
\Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \underbrace{S\left(
\Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  \Lambda_{\left(  3\right)  }%
}_{=\varepsilon\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  \cdot1}=x_{\left(
1\right)  }\lambda\left(  x_{\left(  2\right)  }S\left(  \Lambda_{\left(
1\right)  }\right)  \right)  \varepsilon\left(  \Lambda_{\left(  2\right)
}\right) \\
&  =x_{\left(  1\right)  }\lambda\left(  x_{\left(  2\right)  }S\left(
\underbrace{\Lambda_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  \Lambda_{\left(
2\right)  }\right)  }_{=\Lambda}\right)  \right)  =x_{\left(  1\right)
}\lambda\left(  x_{\left(  2\right)  }S\left(  \Lambda\right)  \right)
=x_{\left(  1\right)  }\lambda\left(  \varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  S\left(  \Lambda\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn nach \textbf{1)} ist }S\left(
\Lambda\right)  \in\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H\right)  ,\text{
also }x_{\left(  2\right)  }S\left(  \Lambda\right)  =\varepsilon\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  S\left(  \Lambda\right)  \right) \\
&  =\underbrace{x_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  }_{=x}\underbrace{\lambda\left(  S\left(  \Lambda\right)  \right)
}_{=1}=x.
\end{align*}


\bigskip

\fbox{\textbf{Frobeniusalgebren}}

Sei $A$ eine $k$-Algebra. Wie in 1.1$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$. k\"{o}nnen
wir auf dem Dualraum $A^{\ast}=\operatorname*{Hom}\left(  A,k\right)  $ der
Algebra $A$ kanonisch eine $A$-Linksmodulstruktur und eine $A$%
-Rechtsmodulstruktur definieren. Und zwar sei die $A$-Linksmodulstruktur
$\left(  a,f\right)  \mapsto af$ auf $A^{\ast}$ definiert durch
\[
\left(  af\right)  \left(  x\right)  =f\left(  xa\right)  \text{ f\"{u}r alle
}f\in A^{\ast}\text{ und }a,x\in A,
\]
und die $A$-Rechtsmodulstruktur $\left(  a,f\right)  \mapsto fa$ auf $A^{\ast
}$ sei definiert durch
\[
\left(  fa\right)  \left(  x\right)  =f\left(  ax\right)  \text{ f\"{u}r alle
}f\in A^{\ast}\text{ und }x,a\in A.
\]
Diese beiden Strukturen zusammen ergeben eine $\left(  A,A\right)
$-Bimodulstruktur auf $A^{\ast}.$

In diesem Abschnitt werden wir sogenannte \textit{Frobeniusalgebren}
untersuchen; dies sind endlichdimensionale $k$-Algebren, bei denen diese
beiden Strukturen auf $A^{\ast}$ besondere Eigenschaften haben.

\textbf{1.7. Satz:} Sei $A$ eine endlichdimensionale $k$-Algebra, und sei
$f\in A^{\ast}=\operatorname*{Hom}\left(  A,k\right)  .$ Dann sind folgende
vier Aussagen zueinander \"{a}quivalent:

\textbf{1)} Die lineare Abbildung%
\[
A\rightarrow A^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto af
\]
ist bijektiv.

\textbf{2)} Die lineare Abbildung%
\[
A\rightarrow A^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto fa
\]
ist bijektiv.

\textbf{3)} Es gibt ein $n\geq1$ sowie Elemente $x_{i},y_{i}\in A$ f\"{u}r
alle $1\leq i\leq n$ derart, da\ss \ f\"{u}r jedes $x\in A$ gilt:
$x=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}f\left(  y_{i}x\right)  .$

\textbf{4)} Es gibt ein $n\geq1$ sowie Elemente $x_{i},y_{i}\in A$ f\"{u}r
alle $1\leq i\leq n$ derart, da\ss \ f\"{u}r jedes $x\in A$ gilt:
$x=\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(  xx_{i}\right)  y_{i}.$

\textbf{Definition:} Sei $A$ eine endlichdimensionale $k$-Algebra. Genau dann
hei\ss t $A$ eine \textit{Frobeniusalgebra}, wenn ein $f\in A^{\ast
}=\operatorname*{Hom}\left(  A,k\right)  $ existiert, welches die vier
\"{a}quivalenten Aussagen \textbf{1)}, \textbf{2)}, \textbf{3)} und
\textbf{4)} in Satz 1.7. erf\"{u}llt. In diesem Fall bezeichnet man ein
solches $f$ als \textit{Frobeniushomomorphismus} der Frobeniusalgebra
$A.$\ \ \ \ \footnote{Man sollte anmerken, da\ss \ eine Frobeniusalgebra $A$
zuweilen auch mehrere unterschiedliche Frobeniushomomorphismen $f$ haben
kann.}

\textbf{1.8. Bemerkung:} \textbf{1)} In Satz 1.7. gilt die \"{A}quivalenz
\textbf{3)} $\Longleftrightarrow$ \textbf{4)} sogar dann, wenn man die
$n,x_{i},y_{i}$ fixiert. Das hei\ss t, es gilt folgende st\"{a}rkere Aussage:

Sei $A$ eine endlichdimensionale $k$-Algebra, und sei $f\in A^{\ast
}=\operatorname*{Hom}\left(  A,k\right)  .$ Sei $n\geq1,$ und seien Elemente
$x_{i},y_{i}\in A$ f\"{u}r alle $1\leq i\leq n$ gew\"{a}hlt.

Genau dann gilt $x=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}f\left(  y_{i}x\right)  $ f\"{u}r
alle $x\in A,$ wenn $x=\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(  xx_{i}\right)  y_{i}$
f\"{u}r alle $x\in A$ gilt.

\textbf{2)} Sei $A$ eine endlichdimensionale $k$-Algebra.

\textbf{a)} Genau dann gilt die Isomorphie $_{A}A\cong\left.  _{A}A^{\ast
}\right.  $ in der Kategorie $_{A}\mathcal{M},$ wenn $A$ eine Frobeniusalgebra ist.

\textbf{b)} Genau dann gilt die Isomorphie $A_{A}\cong\left.  A^{\ast}\right.
_{A}$ in der Kategorie $\mathcal{M}_{A},$ wenn $A$ eine Frobeniusalgebra ist.

\textbf{Definition:} Sei $A$ eine Frobeniusalgebra, und $f\in A^{\ast}$ ein
Frobeniushomomorphismus der Frobeniusalgebra $A.$ Ist $n\geq1$ eine
nat\"{u}rliche Zahl, und ist $\left(  x_{i},y_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}$
ein $2n$-Tupel von Elementen von $A,$ welches die zwei \"{a}quivalenten
Aussagen%
\[
\left(  x=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}f\left(  y_{i}x\right)  \text{ f\"{u}r
alle }x\in A\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
x=\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(  xx_{i}\right)  y_{i}\text{ f\"{u}r alle }x\in
A\right)
\]
\footnote{Die \"{A}quivalenz dieser zwei Aussagen folgt aus 1.8. \textbf{1)}.}
erf\"{u}llt, dann bezeichnet man das $2n$-Tupel $\left(  x_{i},y_{i}\right)
_{1\leq i\leq n}$ als \textit{duale Erzeugendensysteme} (oder auch
\textit{duale Basen}\footnote{Die Bezeichnung "duale Basen" ist sehr
ungl\"{u}cklich, und wird hier nur deshalb erw\"{a}hnt, weil sie verbreitet
ist. Im Allgemeinen braucht bei dualen Erzeugendensystemen $\left(
x_{i},y_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}$ weder $\left(  x_{i}\right)  _{1\leq
i\leq n}$, noch $\left(  y_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}$ eine Basis von $A$ zu
sein. Insofern handelt es sich bei dualen Basen nicht unbedingt um Basen.})
der Frobeniusalgebra $A$ zum Frobeniushomomorphismus $f,$ und das Element
$\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}$ als \textit{Casimir-Element} der
Frobeniusalgebra $A$ zum Frobeniushomomorphismus $f.$ F\"{u}r jede feste
Frobeniusalgebra $A$ und jeden festen Frobeniushomomorphismus $f\in A^{\ast}$
gibt es unendlich viele $2n$-Tupel $\left(  x_{i},y_{i}\right)  _{1\leq i\leq
n},$ die duale Erzeugendensysteme von $A$ sind, aber diese $2n$-Tupel
f\"{u}hren alle auf das gleiche Casimir-Element (denn das Casimir-Element
l\"{a}\ss t sich unabh\"{a}ngig von den $x_{i}$ und $y_{i}$ beschreiben -
siehe Bemerkung 1.8$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$. weiter unten f\"{u}r eine
solche Beschreibung). Eine feste Frobeniusalgebra $A$ hat also zu jedem festen
Frobeniushomomorphismus $f\in A^{\ast}$ genau ein Casimir-Element.

\textbf{1.8}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{.
Bemerkung:} Sei $A$ eine Frobeniusalgebra, und $f\in A^{\ast}$ ein
Frobeniushomomorphismus der Frobeniusalgebra $A.$ Seien $\left(  x_{i}%
,y_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}$ duale Erzeugendensysteme der Frobeniusalgebra
$A$ zum Frobeniushomomorphismus $f.$

Die lineare Abbildung%
\[
F:A\rightarrow A^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto af
\]
ist bijektiv und hat eine ebenfalls lineare Umkehrabbildung $F^{-1}:A^{\ast
}\rightarrow A.$

Betrachte jetzt den kanonischen Vektorraumhomomorphismus%
\begin{align*}
A\otimes A  &  \rightarrow\operatorname*{Hom}\left(  A^{\ast},A\right)  ,\\
x\otimes y  &  \mapsto\left(  p\mapsto xp\left(  y\right)  \right)  .
\end{align*}
Dieser Homomorphismus ist ein Isomorphismus, und $\sum\limits_{i=1}^{n}%
x_{i}\otimes y_{i}\in A\otimes A$ ist das Urbild von $F^{-1}\in
\operatorname*{Hom}\left(  A^{\ast},A\right)  $ unter diesem Isomorphismus.

\textit{Beweis von 1.7.:} \textit{Beweis von \textbf{1)} }$\Longrightarrow
$\textit{ \textbf{3)}:} Nach \textbf{1)} ist die lineare Abbildung%
\[
F:A\rightarrow A^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto af
\]
bijektiv. Also hat sie eine ebenfalls lineare Umkehrabbildung $F^{-1}:A^{\ast
}\rightarrow A.$

Betrachte jetzt den kanonischen Vektorraumhomomorphismus%
\begin{align*}
A\otimes A  &  \rightarrow\operatorname*{Hom}\left(  A^{\ast},A\right)  ,\\
x\otimes y  &  \mapsto\left(  p\mapsto xp\left(  y\right)  \right)  .
\end{align*}
Dieser Homomorphismus ist ein Isomorphismus\footnote{Dies sieht man schnell
ein, wenn man eine Basis $\left(  a_{i}\right)  $ von $A$ und die zu ihr duale
Basis $\left(  p_{i}\right)  $ von $A^{\ast}$ w\"{a}hlt, und dann feststellt,
da\ss \ dieser Homomorphismus das Basiselement $a_{i}\otimes a_{j}$ von
$A\otimes A$ auf $p_{\ell}\mapsto\underbrace{a_{i}p_{\ell}\left(
a_{j}\right)  }_{=a_{i}\delta_{\ell,j}}$ schickt f\"{u}r alle $i$ und $j.$}.
Sei jetzt $\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}\in A\otimes A$ das Urbild
von $F^{-1}\in\operatorname*{Hom}\left(  A^{\ast},A\right)  $ unter diesem
Isomorphismus. Dann ist $F^{-1}$ das Bild von $\sum\limits_{i=1}^{n}%
x_{i}\otimes y_{i}$ unter diesem Isomorphismus. Mit anderen Worten: $F^{-1}$
ist die Abbildung
\[
A^{\ast}\rightarrow A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p\mapsto\sum\limits_{i=1}^{n}%
x_{i}p\left(  y_{i}\right)  .
\]
Das hei\ss t, $F^{-1}\left(  p\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}p\left(
y_{i}\right)  $ f\"{u}r alle $p\in A^{\ast}$.

F\"{u}r alle $x\in A$ gilt nun%
\begin{align*}
x  &  =F^{-1}\left(  xf\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn
}F\left(  x\right)  =xf\right) \\
&  =\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\underbrace{\left(  xf\right)  \left(
y_{i}\right)  }_{=f\left(  y_{i}x\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{denn }F^{-1}\left(  p\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}p\left(
y_{i}\right)  \text{ f\"{u}r alle }p\in A^{\ast}\right) \\
&  =\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}f\left(  y_{i}x\right)  ,
\end{align*}
und \textbf{3)} ist bewiesen.

\textit{Beweis von \textbf{3)} }$\Longrightarrow$\textit{ \textbf{1)}:} Nach
\textbf{3)} gilt $x=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}f\left(  y_{i}x\right)
=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\left(  xf\right)  \left(  y_{i}\right)  $ f\"{u}r
jedes $x\in A$. Somit kann man ein Element $x\in A$ eindeutig aus $xf$
rekonstruieren. Das hei\ss t, die lineare Abbildung%
\[
A\rightarrow A^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto af
\]
ist injektiv. Da $\dim A=\dim A^{\ast}<\infty$ ist, ist sie folglich auch
bijektiv\footnote{Denn eine injektive lineare Abbildung zwischen zwei
Vektorr\"{a}umen von gleicher endlicher Dimension mu\ss \ stets bijektiv
sein.}, und \textbf{1)} ist nachgewiesen.

\textit{Beweis von \textbf{1)} }$\Longrightarrow$\textit{ \textbf{2)}:} Nach
\textbf{1)} ist die lineare Abbildung%
\[
F:A\rightarrow A^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto af
\]
bijektiv. Daher ist auch die zu ihr adjungierte Abbildung $F^{\ast}%
:A^{\ast\ast}\rightarrow A^{\ast}$ bijektiv. Wir wollen zeigen, da\ss \ die
lineare Abbildung%
\[
G:A\rightarrow A^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto fa
\]
auch bijektiv ist. Dazu f\"{u}hren wir den kanonischen Vektorraumisomorphismus
$\operatorname*{kan}:A\rightarrow A^{\ast\ast}$ ein, der durch
$\operatorname*{kan}x=\left(  p\mapsto p\left(  x\right)  \right)  $ f\"{u}r
alle $x\in A$ definiert ist (er ist ein Isomorphismus, da $\dim A<\infty$
ist). Dann kommutiert das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
A \ar[r]^{\cong}_{\operatorname*{kan}} \ar@/^2pc/[rr]^G & A^{\ast\ast} \ar[r]^{\cong}_{F^{\ast}} & A^{\ast}
}
\]
(denn f\"{u}r jedes $x\in A$ ist%
\begin{align*}
\left(  \left(  F^{\ast}\circ\operatorname*{kan}\right)  \left(  x\right)
\right)  \left(  a\right)   &  =\left(  F^{\ast}\left(  \operatorname*{kan}%
x\right)  \right)  \left(  a\right)  =\left(  \operatorname*{kan}x\right)
\left(  F\left(  a\right)  \right)  =\left(  F\left(  a\right)  \right)  x\\
&  =\left(  af\right)  \left(  x\right)  =f\left(  xa\right)  =\left(
fx\right)  \left(  a\right)  =\left(  G\left(  x\right)  \right)  \left(
a\right)
\end{align*}
f\"{u}r jedes $a\in A,$ also $\left(  F^{\ast}\circ\operatorname*{kan}\right)
\left(  x\right)  =G\left(  x\right)  ,$ und damit $F^{\ast}\circ
\operatorname*{kan}=G$). Da $\operatorname*{kan}$ und $F^{\ast}$ bijektiv
sind, ist also auch $G$ bijektiv. Damit ist \textbf{2)} bewiesen.

\textit{Beweis von \textbf{2)} }$\Longrightarrow$\textit{ \textbf{1)}:} Ebenso
wie der Beweis von \textbf{1)} $\Longrightarrow$ \textbf{2)}, nur umgekehrt.

\textit{Beweis von \textbf{3)} }$\Longrightarrow$\textit{ \textbf{4)}:} Wir
haben bereits bewiesen, da\ss \ \textbf{3)} $\Longrightarrow$ \textbf{1)} und
\textbf{1)} $\Longrightarrow$ \textbf{2)}. Also k\"{o}nnen wir \textbf{2)}
benutzen, und erhalten, da\ss \ die lineare Abbildung%
\[
A\rightarrow A^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto fa
\]
bijektiv ist. Zum Beweis von \textbf{4)} reicht es also, nachzuweisen,
da\ss \ f\"{u}r jedes $x\in A$ gilt: $fx=f\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(
xx_{i}\right)  y_{i}.$

Doch f\"{u}r jedes $y\in A$ ist%
\begin{align*}
\left(  f\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(  xx_{i}\right)  y_{i}\right)  \left(
y\right)   &  =\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(  xx_{i}\right)  f\left(
y_{i}y\right)  =f\left(  \sum\limits_{i=1}^{n}xx_{i}f\left(  y_{i}y\right)
\right)  =f\left(  x\underbrace{\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}f\left(
y_{i}y\right)  }_{=y\text{ nach \textbf{3)}}}\right) \\
&  =f\left(  xy\right)  =\left(  fx\right)  \left(  y\right)  ;
\end{align*}
somit ist $f\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(  xx_{i}\right)  y_{i}=fx$, was zu
beweisen war.

\textit{Beweis von \textbf{4)} }$\Longrightarrow$\textit{ \textbf{2)}:} Nach
\textbf{4)} gilt $x=\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(  xx_{i}\right)  y_{i}%
=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(  fx\right)  \left(  x_{i}\right)  y_{i}$ f\"{u}r
jedes $x\in A.$ Somit kann man ein Element $x\in A$ eindeutig aus $fx$
rekonstruieren. Das hei\ss t, die lineare Abbildung%
\[
A\rightarrow A^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto fa
\]
ist injektiv. Da $\dim A=\dim A^{\ast}<\infty$ ist, ist sie folglich auch
bijektiv\footnote{Denn eine injektive lineare Abbildung zwischen zwei
Vektorr\"{a}umen von gleicher endlicher Dimension mu\ss \ stets bijektiv
sein.}, und \textbf{2)} ist nachgewiesen.

Insgesamt haben wir nun die Implikationen \textbf{1)} $\Longrightarrow$
\textbf{3)}, \textbf{3)} $\Longrightarrow$ \textbf{1)}, \textbf{1)}
$\Longrightarrow$ \textbf{2)}, \textbf{2)} $\Longrightarrow$ \textbf{1)},
\textbf{3)} $\Longrightarrow$ \textbf{4)} und \textbf{4)} $\Longrightarrow$
\textbf{2)} bewiesen. Aus diesen Implikationen folgt die \"{A}quivalenz aller
vier Aussagen \textbf{1)}, \textbf{2)}, \textbf{3)} und \textbf{4)}, und damit
Satz 1.7. Wir wollen aber noch zus\"{a}tzlich einen alternativen Beweis der
Implikation \textbf{4)} $\Longrightarrow$ \textbf{3)} vorstellen, da er eine
st\"{a}rkere Aussage zeigt:

\textit{Beweis von \textbf{4)} }$\Longrightarrow$\textit{ \textbf{3)}:} Wir
haben bereits bewiesen, da\ss \ \textbf{4)} $\Longrightarrow$ \textbf{2)} und
\textbf{2)} $\Longrightarrow$ \textbf{1)}. Also k\"{o}nnen wir \textbf{1)}
anwenden, und erhalten: Die lineare Abbildung%
\[
A\rightarrow A^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto af
\]
ist bijektiv. Um \textbf{3)} zu beweisen, reicht es also aus zu beweisen,
da\ss \ $xf=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}f\left(  y_{i}x\right)  f$ f\"{u}r alle
$x\in A$ gilt.

Doch f\"{u}r jedes $y\in A$ ist%
\begin{align*}
\left(  \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}f\left(  y_{i}x\right)  f\right)  \left(
y\right)   &  =\sum\limits_{i=1}^{n}\underbrace{\left(  x_{i}f\left(
y_{i}x\right)  f\right)  \left(  y\right)  }_{\substack{=f\left(
yx_{i}f\left(  y_{i}x\right)  \right)  \\=f\left(  yx_{i}\right)  f\left(
y_{i}x\right)  \\=f\left(  f\left(  yx_{i}\right)  y_{i}x\right)  }%
}=\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(  f\left(  yx_{i}\right)  y_{i}x\right)
=f\left(  \underbrace{\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(  yx_{i}\right)  y_{i}%
}_{=y\text{ (nach \textbf{3)})}}x\right) \\
&  =f\left(  yx\right)  =\left(  xf\right)  \left(  y\right)  ,
\end{align*}
und daraus folgt $\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}f\left(  y_{i}x\right)  f=xf,$ was
zu beweisen war.

\textit{Beweis von 1.8.:} \textbf{1)} Im Beweis von 1.7. (n\"{a}mlich beim
Beweis von \textbf{3)} $\Longrightarrow$ \textbf{4)}) haben wir gezeigt: Wenn
$x=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}f\left(  y_{i}x\right)  $ f\"{u}r alle $x\in A$
gilt, dann gilt auch $x=\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(  xx_{i}\right)  y_{i}$
f\"{u}r alle $x\in A.$ Ebenfalls im Beweis von 1.7. (n\"{a}mlich beim
alternativen Beweis von \textbf{4)} $\Longrightarrow$ \textbf{3)}) haben wir
gezeigt: Wenn $x=\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(  xx_{i}\right)  y_{i}$ f\"{u}r
alle $x\in A$ gilt, dann gilt auch $x=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}f\left(
y_{i}x\right)  $ f\"{u}r alle $x\in A.$ Damit ist 1.8. \textbf{1)} bewiesen.

\textbf{2)} \textbf{a)} $\Longrightarrow:$ Wir nehmen an, da\ss \ $_{A}%
A\cong\left.  _{A}A^{\ast}\right.  $ in der Kategorie $_{A}\mathcal{M}$ gilt.
Sei $F:A\rightarrow A^{\ast}$ ein Isomorphismus zwischen den $A$-Linksmoduln
$_{A}A$ und $_{A}A^{\ast}.$ Sei $f=F\left(  1\right)  \in A^{\ast}.$ Dann ist
$F\left(  a\right)  =F\left(  a\cdot1\right)  =aF\left(  1\right)  =af$
f\"{u}r jedes $a\in A.$ Somit ist der Isomorphismus $F$ identisch mit der
linearen Abbildung%
\[
A\rightarrow A^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto af.
\]
Folglich ist diese lineare Abbildung bijektiv; das hei\ss t, die Aussage
\textbf{1)} von Satz 1.7. ist erf\"{u}llt, und somit ist $A$ eine Frobeniusalgebra.

$\Longleftarrow:$ Wir nehmen an, da\ss \ $A$ eine Frobeniusalgebra ist. Dann
erf\"{u}llt sie die Aussage \textbf{1)} von Satz 1.7., und somit ist die
lineare Abbildung%
\[
A\rightarrow A^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto af
\]
bijektiv. Diese lineare Abbildung ist aber trivialerweise $A$-linkslinear, und
damit ein $A$-Linksmodulisomorphismus. Daher ist $_{A}A\cong\left.
_{A}A^{\ast}\right.  $ in der Kategorie $_{A}\mathcal{M}.$

\textbf{b)} Analog zu \textbf{a)} (unter Verwendung von Aussage \textbf{2)}
von Satz 1.7. statt Aussage \textbf{1)}).

\textit{Beweis von 1.8}$\dfrac{\text{\textit{1}}}{\text{\textit{2}}}%
$\textit{.:} Da\ss \ die lineare Abbildung $F$ bijektiv ist, folgt aus Aussage
\textbf{1)} von Satz 1.7 (welche erf\"{u}llt ist, da $A$ eine Frobeniusalgebra
ist). Da die lineare Abbildung $F$ bijektiv ist, hat sie eine ebenfalls
lineare Umkehrabbildung $F^{-1}:A^{\ast}\rightarrow A.$ Da\ss \ der kanonische
Vektorraumhomomorphismus%
\begin{align*}
A\otimes A  &  \rightarrow\operatorname*{Hom}\left(  A^{\ast},A\right)  ,\\
x\otimes y  &  \mapsto\left(  p\mapsto xp\left(  y\right)  \right)
\end{align*}
ein Isomorphismus ist, wurde schon im Beweis von 1.7. (Beweis von \textbf{1)}
$\Longrightarrow$ \textbf{3)}) nachgepr\"{u}ft. Es bleibt nur noch zu zeigen,
da\ss \ $\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}\in A\otimes A$ das Urbild von
$F^{-1}\in\operatorname*{Hom}\left(  A^{\ast},A\right)  $ unter diesem
Isomorphismus ist. Dies ist \"{a}quivalent dazu, da\ss \ $F^{-1}$ das Bild von
$\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}$ unter diesem Isomorphismus ist, also
da\ss \ $F^{-1}=\left(  p\mapsto\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}p\left(
y_{i}\right)  \right)  $ ist. Dazu m\"{u}ssen wir nachpr\"{u}fen,
da\ss \ $F\left(  \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}p\left(  y_{i}\right)  \right)
=p$ f\"{u}r jedes $p\in A^{\ast}$ ist. Doch%
\begin{align*}
\left(  F\left(  \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}p\left(  y_{i}\right)  \right)
\right)  \left(  x\right)   &  =\left(  \left(  \sum\limits_{i=1}^{n}%
x_{i}p\left(  y_{i}\right)  \right)  f\right)  \left(  x\right)  =f\left(
x\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}p\left(  y_{i}\right)  \right)  =\sum
\limits_{i=1}^{n}f\left(  xx_{i}p\left(  y_{i}\right)  \right) \\
&  =\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(  xx_{i}\right)  p\left(  y_{i}\right)
=p\left(  \underbrace{\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(  xx_{i}\right)  y_{i}%
}_{\substack{=x,\text{ da }\left(  x_{i},y_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}\text{
duale}\\\text{Erzeugendensysteme sind}}}\right)  =p\left(  x\right)
\end{align*}
f\"{u}r alle $x\in A,$ und damit $F\left(  \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}p\left(
y_{i}\right)  \right)  =p$, was zu beweisen war.

\textbf{1.9. Folgerung:} Sei $A$ eine Frobeniusalgebra, und $f\in A^{\ast}$
ein Frobeniushomomorphismus der Frobeniusalgebra $A.$ Seien $\left(
x_{i},y_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}$ duale Erzeugendensysteme der
Frobeniusalgebra $A$ zum Frobeniushomomorphismus $f.$

F\"{u}r jedes $x\in A$ gilt dann $\sum\limits_{i=1}^{n}xx_{i}\otimes
y_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}x.$

\textit{Beweis:} Sei $g\in A^{\ast}.$ Nach der Aussage \textbf{1)} von Satz
1.7. (welche erf\"{u}llt ist, da $A$ eine Frobeniusalgebra ist) ist die
lineare Abbildung%
\[
A\rightarrow A^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto af
\]
bijektiv. Somit gibt es ein $y\in A$ mit $g=yf.$ Dann ist%
\[
\sum\limits_{i=1}^{n}xx_{i}g\left(  y_{i}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}%
xx_{i}\left(  yf\right)  \left(  y_{i}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}%
xx_{i}f\left(  y_{i}y\right)  =x\underbrace{\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}f\left(
y_{i}y\right)  }_{\substack{=y,\text{ da }\left(  x_{i},y_{i}\right)  _{1\leq
i\leq n}\text{ duale}\\\text{Erzeugendensysteme sind}}}=xy
\]
und%
\[
\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}g\left(  y_{i}x\right)  =\underbrace{\sum
\limits_{i=1}^{n}x_{i}f\left(  y_{i}xy\right)  }_{\substack{=xy,\text{ da
}\left(  x_{i},y_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}\text{ duale}%
\\\text{Erzeugendensysteme sind}}}=xy,
\]
also%
\[
\sum\limits_{i=1}^{n}xx_{i}g\left(  y_{i}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}%
x_{i}g\left(  y_{i}x\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }g\in
A^{\ast}.
\]
Hieraus folgt $\sum\limits_{i=1}^{n}xx_{i}\otimes y_{i}=\sum\limits_{i=1}%
^{n}x_{i}\otimes y_{i}x\ \ \ \ $\footnote{Hier haben wir folgenden Satz aus
der linearen Algebra verwendet:\newline
\par
Ist $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum, ist $n\geq1,$ und sind $u_{i}$,
$v_{i}$, $u_{i}^{\prime}$, $v_{i}^{\prime}$ Elemente von $V$ f\"{u}r alle
$1\leq i\leq n,$ die $\sum\limits_{i=1}^{n}u_{i}g\left(  v_{i}\right)
=\sum\limits_{i=1}^{n}u_{i}^{\prime}g\left(  v_{i}^{\prime}\right)  $ f\"{u}r
alle $g\in V^{\ast}$ erf\"{u}llen, dann gilt $\sum\limits_{i=1}^{n}%
u_{i}\otimes v_{i}=$ $\sum\limits_{i=1}^{n}u_{i}^{\prime}\otimes v_{i}%
^{\prime}.$}, was zu beweisen war.

\bigskip

\fbox{\textbf{Endlichdimensionale Hopfalgebren als Frobeniusalgebren}}

\textbf{1.10. Folgerung:} Sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra. Sei
$0\neq\lambda\in\operatorname*{I}_{l}\left(  H^{\ast}\right)  ,$ und sei
$\Lambda\in H$ so gew\"{a}hlt, da\ss \ $\lambda\Lambda=\varepsilon$ ist. (So
ein $\Lambda$ existiert nach 1.5. \textbf{3)}.)

\textbf{1)} Dann ist $H$ eine Frobeniusalgebra, und $\lambda$ ist ein
Frobeniushomomorphismus von $H.$

\textbf{2)} Schreibt man das Element $\Delta\left(  \Lambda\right)  \in
H\otimes H$ in der Form $\Delta\left(  \Lambda\right)  =\sum\limits_{i=1}%
^{n}\Lambda_{1i}\otimes\Lambda_{2i}$, wobei $\Lambda_{1i}$ und $\Lambda_{2i}$
Elemente von $H$ sind f\"{u}r alle $1\leq i\leq n,$ dann sind $\left(
S\left(  \Lambda_{1i}\right)  ,\Lambda_{2i}\right)  _{1\leq i\leq n}$ duale
Erzeugendensysteme der Frobeniusalgebra $H$ zum Frobeniushomomorphismus
$\lambda.$

Diese Aussage wird oft auch folgenderma\ss en abgek\"{u}rzt formuliert:
$\left(  S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  ,\Lambda_{\left(
2\right)  }\right)  $ sind duale Erzeugendensysteme der Frobeniusalgebra $H$
zum Frobeniushomomorphismus $\lambda.$

\textbf{3)} Die lineare Abbildung%
\[
H\rightarrow H^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto a\lambda
\]
ist bijektiv.

\textbf{4)} Die lineare Abbildung%
\[
H\rightarrow H^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto\lambda a
\]
ist bijektiv.

\textbf{5)} F\"{u}r jedes $x\in H$ gilt $xS\left(  \Lambda_{\left(  1\right)
}\right)  \otimes\Lambda_{\left(  2\right)  }=S\left(  \Lambda_{\left(
1\right)  }\right)  \otimes\Lambda_{\left(  2\right)  }x.$

\textit{Beweis:} \textbf{1)}-\textbf{2)} Dies folgt daraus, da\ss \ Aussage
\textbf{4)} von Satz 1.7. f\"{u}r $A=H$, $f=\lambda$ und $\left(  x_{i}%
,y_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}=\left(  S\left(  \Lambda_{1i}\right)
,\Lambda_{2i}\right)  _{1\leq i\leq n}$ erf\"{u}llt ist (denn diese Aussage
ist genau Folgerung 1.6. \textbf{3)}).\footnote{Alternativ kann man dies auch
aus Folgerung 1.6. \textbf{2)} herleiten.}

\textbf{3)}-\textbf{4)} Dies folgt aus den Aussagen \textbf{1)} und
\textbf{2)} von Satz 1.7. (welche erf\"{u}llt sind, weil $H$ eine
Frobeniusalgebra und $\lambda$ ein Frobeniushomomorphismus von $H$ sind).

\textbf{5)} Dies folgt aus 1.9., angewandt auf $A=H$, $f=\lambda$ und $\left(
x_{i},y_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}=\left(  S\left(  \Lambda_{1i}\right)
,\Lambda_{2i}\right)  _{1\leq i\leq n}.$

\begin{center}
\fbox{\textbf{2. Die Ordnung der Antipode}}
\end{center}

Wir n\"{a}hern uns nun dem Beweis, da\ss \ die Antipode einer
endlichdimensionalen Hopfalgebra endliche Ordnung hat.

\textbf{2.1. Bemerkung:} \textbf{1)} Sei $H$ eine Hopfalgebra. Dann ist
$\operatorname*{ord}S\in\left\{  1\right\}  \cup\left\{  \infty\right\}
\cup\left\{  \text{gerade ganze Zahlen}\right\}  .$

\textit{Beweis:} Wir m\"{u}ssen nur zeigen: Falls $\operatorname*{ord}S$ eine
ungerade ganze Zahl ist, dann ist $\operatorname*{ord}S=1.$

In der Tat nehmen wir an, da\ss \ $\operatorname*{ord}S$ eine ungerade ganze
Zahl ist. Dann ist also $S^{2n+1}=\operatorname*{id}$ f\"{u}r ein
$n\in\mathbb{N}.$ Da $S$ ein Antialgebrahomomorphismus ist, ist aber auch
$S^{2n+1}$ ein Antialgebrahomomorphismus. Das hei\ss t, $\operatorname*{id}$
ist ein Antialgebrahomomorphismus. Folglich ist $xy=yx$ f\"{u}r alle $x,y\in
H.$ Das hei\ss t, $H$ ist kommutativ. Nach Kapitel I, 2.13. \textbf{3)} folgt
hieraus $S^{2}=\operatorname*{id}.$ Zusammen mit $S^{2n+1}=\operatorname*{id}$
f\"{u}hrt dies auf $S=\operatorname*{id},$ also $\operatorname*{ord}S=1,$ was
zu beweisen war.

\textbf{2)} Als Ordnungen von $S^{2}$ k\"{o}nnen alle nat\"{u}rlichen Zahlen
und $\infty$ vorkommen (wenn man den Grundk\"{o}rper $k$ passend w\"{a}hlt).

\textit{Beweisskizze:} \textbf{a)} Sei $n\geq1,$ und sei $q\in k$ eine
primitive $n$-te Einheitswurzel. F\"{u}r die in Kapitel I, 2.18. \textbf{12)}
definierte Taft-Hopfalgebra $H$ ist dann $\operatorname*{ord}S^{2}=n.$

\textbf{b)} Sei jetzt $q$ eine Nicht-Einheitswurzel in $k,$ die von $0$
verschieden ist. Die in Kapitel I, 2.18. \textbf{11)} definierte Hopfalgebra%
\[
H=k\left\langle g,h,x\ \mid\ gh=1=hg,\ gx=qxg\right\rangle
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{mit}%
\]%
\begin{align*}
\Delta\left(  g\right)   &  =g\otimes g,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(
g\right)  =1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta\left(  h\right)  =h\otimes
h,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(  h\right)  =1,\\
\Delta\left(  x\right)   &  =g\otimes x+x\otimes
1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(  x\right)  =0,\\
S\left(  g\right)   &  =h,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S\left(  h\right)
=g,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S\left(  x\right)  =-hx
\end{align*}
erf\"{u}llt dann $\operatorname*{ord}S^{2}=\infty.$

\textbf{Definition:} Sei $A$ eine Frobeniusalgebra, und $f\in A^{\ast}$ ein
Frobeniushomomorphismus der Frobeniusalgebra $A.$ Eine Abbildung
$\rho:A\rightarrow A,$ die $f\left(  xy\right)  =f\left(  y\rho\left(
x\right)  \right)  $ f\"{u}r alle $x,y\in A$ erf\"{u}llt, hei\ss t
\textit{Nakayamaautomorphismus} der Frobeniusalgebra $A$ bez\"{u}glich des
Frobeniushomomorphismus $f.$

\textbf{2.2. Bemerkung:} Sei $A$ eine Frobeniusalgebra, und $f\in A^{\ast}$
ein Frobeniushomomorphismus der Frobeniusalgebra $A.$ Dann existiert genau ein
Nakayamaautomorphismus $\rho$ der Frobeniusalgebra $A$ bez\"{u}glich $f.$
Dieser Nakayamaautomorphismus $\rho$ ist ein Algebraautomorphismus von $A.$

\textit{Beweis:} Nach Aussage \textbf{1)} von Satz 1.7. (welche gilt, da $A$
eine Frobeniusalgebra ist) ist die lineare Abbildung%
\[
F:A\rightarrow A^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto af
\]
bijektiv, und hat somit eine lineare Umkehrabbildung $F^{-1}$. Nach Aussage
\textbf{2)} von Satz 1.7. ist die lineare Abbildung%
\[
G:A\rightarrow A^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto fa
\]
bijektiv, und hat somit eine lineare Umkehrabbildung $G^{-1}$.

Sei nun $\rho:A\rightarrow A$ eine Abbildung. Dann gilt folgende Kette von
\"{A}quivalenzen:%
\begin{align*}
&  \ \left(  \rho\text{ ist ein Nakayamaautomorphismus der Frobeniusalgebra
}A\text{ bez\"{u}glich }f\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  f\left(  xy\right)  =f\left(  y\rho\left(
x\right)  \right)  \text{ f\"{u}r alle }x,y\in A\right)  \ \Longleftrightarrow
\ \left(  \left(  fx\right)  \left(  y\right)  =\left(  \rho\left(  x\right)
f\right)  \left(  y\right)  \text{ f\"{u}r alle }x,y\in A\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  fx=\rho\left(  x\right)  f\text{ f\"{u}r alle
}x\in A\right)  \ \Longleftrightarrow\ \left(  G\left(  x\right)  =F\left(
\rho\left(  x\right)  \right)  \text{ f\"{u}r alle }x\in A\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  G=F\circ\rho\right)  \ \Longleftrightarrow
\ \left(  \rho=F^{-1}\circ G\right)  .
\end{align*}
Somit existiert genau ein Nakayamaautomorphismus $\rho$ der Frobeniusalgebra
$A$ bez\"{u}glich $f,$ n\"{a}mlich die Abbildung $\rho=F^{-1}\circ G.$ Diese
Abbildung $\rho$ ist $k$-linear und bijektiv (denn $\rho=F^{-1}\circ G,$ und
beide Abbildungen $F^{-1}$ und $G$ sind $k$-linear und bijektiv) und ein
Algebraendomorphismus von $A$ (denn f\"{u}r alle $x,y\in A$ gilt%
\begin{align*}
F\left(  \rho\left(  x\right)  \cdot\rho\left(  y\right)  \right)   &
=F\left(  \left(  F^{-1}\circ G\right)  \left(  x\right)  \cdot\left(
F^{-1}\circ G\right)  \left(  y\right)  \right)  =F\left(  F^{-1}\left(
G\left(  x\right)  \right)  \cdot F^{-1}\left(  G\left(  y\right)  \right)
\right) \\
&  =F\left(  F^{-1}\left(  fx\right)  \cdot F^{-1}\left(  fy\right)  \right)
=F^{-1}\left(  fx\right)  F^{-1}\left(  fy\right)  f=F^{-1}\left(  fx\right)
F\left(  F^{-1}\left(  fy\right)  \right) \\
&  =F^{-1}\left(  fx\right)  fy=F\left(  F^{-1}\left(  fx\right)  \right)
y=fxy=G\left(  xy\right) \\
&  =F\left(  \left(  F^{-1}\circ G\right)  \left(  xy\right)  \right)
=F\left(  \rho\left(  xy\right)  \right)  ,
\end{align*}
und wegen der Bijektivit\"{a}t von $F$ f\"{u}hrt dies auf $\rho\left(
x\right)  \cdot\rho\left(  y\right)  =\rho\left(  xy\right)  $). Also ist
$\rho$ ein Algebraautomorphismus von $A,$ was zu beweisen war.

\textbf{Definition:} Sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra. Sei
$0\neq\lambda\in\operatorname*{I}_{l}\left(  H^{\ast}\right)  $ und sei
$0\neq\Gamma\in\operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)  .$

Ein Element $a\in G\left(  H\right)  $ hei\ss t \textit{modulares Element} von
$H$ genau dann, wenn $\lambda p=p\left(  a\right)  \lambda$ f\"{u}r jedes
$p\in H^{\ast}$ gilt.

Ein Element $\alpha\in G\left(  H^{\ast}\right)  =\operatorname*{Alg}\left(
H,k\right)  $ hei\ss t \textit{modulare Funktion} von $H$ genau dann, wenn
$\Gamma h=\alpha\left(  h\right)  \Gamma$ f\"{u}r jedes $h\in H$ gilt.

\textbf{2.3. Bemerkung:} \textbf{1)} F\"{u}r jede endlichdimensionale
Hopfalgebra $H$ und beliebige $0\neq\lambda\in\operatorname*{I}_{l}\left(
H^{\ast}\right)  $ und $0\neq\Gamma\in\operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)  $
gibt es genau ein modulares Element $a\in G\left(  H\right)  $ und genau eine
modulare Funktion $\alpha\in G\left(  H^{\ast}\right)  .$ Au\ss erdem sind
diese Elemente $a$ und $\alpha$ unabh\"{a}ngig von der Wahl von $\lambda$ und
$\Gamma$; deshalb kann man sie wirklich als "das modulare Element" und "die
modulare Funktion" von $H$ bezeichnen, ohne dabei $\lambda$ und $\Gamma$
erw\"{a}hnen zu m\"{u}ssen.

\textit{Beweis:} \textbf{a)} W\"{a}hle ein $0\neq\Gamma\in\operatorname*{I}%
_{l}\left(  H\right)  .$ F\"{u}r jedes $h\in H$ ist $\Gamma h\in
\operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)  ,$ denn f\"{u}r jedes $x\in H$ ist
$x\Gamma h=\varepsilon\left(  x\right)  \Gamma h.$ Doch $\dim\operatorname*{I}%
_{l}\left(  H\right)  =1$ und $0\neq\Gamma\in\operatorname*{I}_{l}\left(
H\right)  $ zusammen ergeben $\operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)
=k\cdot\Gamma,$ und somit gibt es f\"{u}r jedes $h\in H$ genau ein
$\alpha\left(  h\right)  \in k$ mit $\Gamma h=\alpha\left(  h\right)  \Gamma$
(denn $\Gamma h\in\operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)  =k\cdot\Gamma$).
Offenbar ist die so definierte Abbildung $\alpha:H\rightarrow k$ ein
Algebrahomomorphismus. Au\ss erdem ist sie von der Wahl des Basiselementes
$\Gamma$ von $\operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)  $ unabh\"{a}ngig (denn
f\"{u}r jedes $h\in H$ ist $\alpha\left(  h\right)  $ definiert durch $\Gamma
h=\alpha\left(  h\right)  \Gamma,$ und da sich alle m\"{o}glichen Werte von
$\Gamma$ nur um einen skalaren Faktor unterscheiden, f\"{u}hren sie alle auf
dasselbe $\alpha\left(  h\right)  $).

\textbf{b)} W\"{a}hle ein $0\neq\lambda\in\operatorname*{I}_{l}\left(
H^{\ast}\right)  .$ Genauso wie in \textbf{a)} folgt, da\ss \ es f\"{u}r jedes
$p\in H^{\ast}$ genau ein $\varphi\left(  p\right)  \in k$ gibt, das $\lambda
p=\varphi\left(  p\right)  \lambda$ erf\"{u}llt. Damit ist ein
Algebrahomomorphismus $\varphi:H^{\ast}\rightarrow k$ definiert. Nun ist
$\operatorname*{Alg}\left(  H^{\ast},k\right)  =G\left(  H^{\ast\ast}\right)
\cong G\left(  H\right)  ;$ somit gibt es genau ein $a\in G\left(  H\right)  $
so, da\ss \ $\varphi\left(  p\right)  =p\left(  a\right)  $ f\"{u}r alle $p\in
H^{\ast}$ ist. Damit ist ein modulares Element $a\in G\left(  H\right)  $
gefunden und seine Eindeutigkeit gezeigt. Da\ss \ dieses Element von der Wahl
von $\lambda$ unabh\"{a}ngig ist, folgt daraus, da\ss \ sich alle
m\"{o}glichen Werte von $\lambda$ nur um einen skalaren Faktor unterscheiden
und daher f\"{u}r jedes $p\in H^{\ast}$ auf dasselbe $\varphi\left(  p\right)
$ f\"{u}hren.

\textbf{2)} F\"{u}r jedes $0\neq\Lambda\in\operatorname*{I}_{r}\left(
H\right)  $ und jedes $h\in H$ gilt: $h\Lambda=\alpha\left(  S\left(
h\right)  \right)  \Lambda,$ wobei $\alpha$ die modulare Funktion von $H$ ist.

\textit{Beweis:} Wegen $\Lambda\in\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  $ ist
$S\left(  \Lambda\right)  \in\operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)  $ (nach
1.5. \textbf{4)}), und somit $S\left(  \Lambda\right)  S\left(  h\right)
=\alpha\left(  S\left(  h\right)  \right)  S\left(  \Lambda\right)  $ (nach
der Definition der modularen Funktion $\alpha$). Mit anderen Worten: $S\left(
h\Lambda\right)  =S\left(  \alpha\left(  S\left(  h\right)  \right)
\Lambda\right)  .$ Da $S$ bijektiv ist, folgt hieraus $h\Lambda=\alpha\left(
S\left(  h\right)  \right)  \Lambda.$

\textbf{2.4. Satz:} Sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra. Sei
$0\neq\lambda\in\operatorname*{I}_{l}\left(  H^{\ast}\right)  $ und sei
$\Lambda\in\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  $ mit $\lambda
\Lambda=\varepsilon.$ Nach 1.10. ist $H$ eine Frobeniusalgebra, und $\lambda$
ein Frobeniushomomorphismus von $H.$

Sei $\rho$ der Nakayamaautomorphismus von $H$ bez\"{u}glich des
Frobeniushomomorphismus $\lambda$.

Dann gilt:

\textbf{1)} Das Paar $\left(  S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)
,\Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  $ sind duale Erzeugendensysteme
bez\"{u}glich $\lambda.$

\textbf{2)} Das Paar $\left(  S\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\right)
,aS^{2}\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  $ sind duale
Erzeugendensysteme bez\"{u}glich $\lambda,$ wobei $a\in G\left(  H\right)  $
das modulare Element von $H$ ist.\footnote{Diese Aussage ist nur eine
abk\"{u}rzende Formulierung f\"{u}r folgende Aussage:
\par
Schreibt man das Element $\Delta\left(  \Lambda\right)  \in H\otimes H$ in der
Form $\Delta\left(  \Lambda\right)  =\sum_{i=1}^{n}\Lambda_{1i}\otimes
\Lambda_{2i}$, wobei $\Lambda_{1i}$ und $\Lambda_{2i}$ Elemente von $H$ sind
f\"{u}r alle $1\leq i\leq n$, dann sind $\left(  S\left(  \Lambda_{2i}\right)
,aS^{2}\left(  \Lambda_{1i}\right)  \right)  $ duale Erzeugendensysteme der
Frobeniusalgebra $H$ zum Frobeniushomomorphismus $\lambda$, wobei $a\in
G\left(  H\right)  $ das modulare Element von $H$ ist.}

\textbf{3)} F\"{u}r jedes $x\in H$ gilt $\rho\left(  x\right)  =S^{2}\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \alpha\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  ,$ wobei $\alpha\in G\left(  H^{\ast}\right)  $ die
modulare Funktion von $H$ ist.

\textbf{4)} F\"{u}r jedes $x\in H$ gilt $\rho\left(  x\right)  =a^{-1}%
\alpha\left(  S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  S^{-2}\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  a.$

\textit{Beweis:} Zuerst zeigen wir einige Hilfsaussagen:

\textbf{a)} F\"{u}r jedes $h\in H$ gilt $\lambda\left(  h_{\left(  1\right)
}\right)  h_{\left(  2\right)  }=\lambda\left(  h\right)  a.$

\textbf{b)} F\"{u}r jedes $h\in H$ gilt $h\Lambda=\alpha\left(  S\left(
h\right)  \right)  \Lambda.$

\textbf{c)} Es gilt $S\left(  \Lambda\right)  \lambda=\varepsilon.$

\textit{Beweis:} \textbf{a)} Nach der Definition von $a$ gilt f\"{u}r jedes
$p\in H^{\ast}$ die Beziehung $\lambda p=p\left(  a\right)  \lambda.$ F\"{u}r
jedes $h\in H$ ist somit%
\[
p\left(  \lambda\left(  h_{\left(  1\right)  }\right)  h_{\left(  2\right)
}\right)  =\lambda\left(  h_{\left(  1\right)  }\right)  p\left(  h_{\left(
2\right)  }\right)  =\left(  \underbrace{\lambda p}_{=p\left(  a\right)
\lambda}\right)  \left(  h\right)  =\left(  p\left(  a\right)  \lambda\right)
\left(  h\right)  =p\left(  a\right)  \lambda\left(  h\right)  =p\left(
a\lambda\left(  h\right)  \right)  .
\]
Hieraus folgt $\lambda\left(  h_{\left(  1\right)  }\right)  h_{\left(
2\right)  }=a\lambda\left(  h\right)  ,$ und \textbf{a)} ist bewiesen.

\textbf{b)} Dies folgt aus 2.3. \textbf{2)}.

\textbf{c)} Nach 1.6. \textbf{3)} gilt $x=\lambda\left(  xS\left(
\Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \Lambda_{\left(  2\right)  }$
f\"{u}r jedes $x\in H.$ Anwendung von $\varepsilon$ auf diese Gleichung ergibt
$\varepsilon\left(  x\right)  =\lambda\left(  xS\left(  \Lambda_{\left(
1\right)  }\right)  \right)  \varepsilon\left(  \Lambda_{\left(  2\right)
}\right)  =\lambda\left(  xS\left(  \underbrace{\Lambda_{\left(  1\right)
}\varepsilon\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\Lambda}\right)
\right)  =\lambda\left(  xS\left(  \Lambda\right)  \right)  =\left(  S\left(
\Lambda\right)  \lambda\right)  \left(  x\right)  ,$ und \textbf{c)} ist bewiesen.

Nun zum eigentlichen Beweis von 2.4.:

\textbf{1)} Dies wissen wir bereits (1.10. \textbf{2)}).

\textbf{2)} F\"{u}r jedes $x\in H$ ist%
\begin{align*}
&  \lambda\left(  xS\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
aS^{2}\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right) \\
&  =\lambda\left(  x_{\left(  1\right)  }S\left(  \Lambda_{\left(  3\right)
}\right)  \right)  x_{\left(  2\right)  }\underbrace{S\left(  \Lambda_{\left(
2\right)  }\right)  S^{2}\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)
}_{=S\left(  S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \Lambda_{\left(
2\right)  }\right)  =S\left(  \varepsilon\left(  \Lambda\right)
\cdot1\right)  =\varepsilon\left(  \Lambda\right)  \cdot1}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn nach \textbf{a)} (angewandt auf }h=xS\left(  \Lambda_{\left(
2\right)  }\right)  \text{) ist}\\
\lambda\left(  \left(  xS\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
_{\left(  1\right)  }\right)  \left(  xS\left(  \Lambda_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }=\lambda\left(  xS\left(
\Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  a\text{, also}\\
\lambda\left(  xS\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
a=\lambda\left(  \left(  xS\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\right)
\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \left(  xS\left(  \Lambda_{\left(
2\right)  }\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }=\lambda\left(  x_{\left(
1\right)  }S\left(  \Lambda_{\left(  3\right)  }\right)  \right)  x_{\left(
2\right)  }S\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\right)
\end{array}
\right) \\
&  =\lambda\left(  x_{\left(  1\right)  }S\left(  \Lambda_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  x_{\left(  2\right)  }\cdot\varepsilon\left(
\Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot1=\lambda\left(  x_{\left(
1\right)  }S\left(  \underbrace{\varepsilon\left(  \Lambda_{\left(  1\right)
}\right)  \Lambda_{\left(  2\right)  }}_{=\Lambda}\right)  \right)  x_{\left(
2\right)  }=\lambda\left(  x_{\left(  1\right)  }S\left(  \Lambda\right)
\right)  x_{\left(  2\right)  }\\
&  =\left(  S\left(  \Lambda\right)  \lambda\right)  \left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }=\varepsilon\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{nach \textbf{c)}}\right) \\
&  =x.
\end{align*}


\textbf{3)} Nach \textbf{1)} ist%
\begin{align*}
\rho\left(  x\right)   &  =S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)
\underbrace{\lambda\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\rho\left(  x\right)
\right)  }_{=\lambda\left(  x\Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  }%
=\lambda\left(  x\Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  S\left(  \Lambda
_{\left(  1\right)  }\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{also}\\
S^{-2}\left(  \rho\left(  x\right)  \right)   &  =\lambda\left(
x\Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  S^{-1}\left(  \Lambda_{\left(  1\right)
}\right)  =x_{\left(  1\right)  }\Lambda_{\left(  2\right)  }\lambda\left(
x_{\left(  2\right)  }\Lambda_{\left(  3\right)  }\right)  S^{-1}\left(
\Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach
1.3, da }\lambda\in\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H^{\ast}\right)
\right) \\
&  =x_{\left(  1\right)  }\underbrace{\Lambda_{\left(  2\right)  }%
S^{-1}\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  }_{\substack{=S^{-1}\left(
\Lambda_{\left(  1\right)  }S\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\right)
\right)  \\=S^{-1}\left(  \varepsilon\left(  \Lambda\right)  \cdot1\right)
\\=\varepsilon\left(  \Lambda\right)  \cdot1}}\lambda\left(  x_{\left(
2\right)  }\Lambda_{\left(  3\right)  }\right)  =x_{\left(  1\right)
}\varepsilon\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \lambda\left(
x_{\left(  2\right)  }\Lambda_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =x_{\left(  1\right)  }\lambda\left(  x_{\left(  2\right)  }\varepsilon
\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \Lambda_{\left(  2\right)
}\right)  =x_{\left(  1\right)  }\lambda\left(  x_{\left(  2\right)  }%
\Lambda\right)  =x_{\left(  1\right)  }\lambda\left(  \alpha\left(  S\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  \Lambda\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach \textbf{b)}}\right) \\
&  =x_{\left(  1\right)  }\alpha\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\lambda\left(
\Lambda\right)  =\left(  \lambda\Lambda\right)  \left(  1\right)
=\varepsilon\left(  1\right)  =1\right)  .
\end{align*}


\textbf{4)} Nach \textbf{2)} ist%
\[
\rho\left(  x\right)  =S\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\right)
\lambda\left(  aS^{2}\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \rho\left(
x\right)  \right)  =S\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\right)
\lambda\left(  xaS^{2}\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \right)
=\lambda\left(  xaS^{2}\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \right)
S\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  ,
\]
also%
\begin{align*}
aS^{2}\left(  \rho\left(  x\right)  \right)   &  =a\lambda\left(
xaS^{2}\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  S^{3}\left(
\Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  =\lambda\left(  xaS^{2}\left(
\Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  aS^{3}\left(  \Lambda_{\left(
2\right)  }\right) \\
&  =\lambda\left(  x_{\left(  1\right)  }a_{\left(  1\right)  }S^{2}\left(
\Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  x_{\left(  2\right)  }a_{\left(
2\right)  }\underbrace{S^{2}\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\right)
S^{3}\left(  \Lambda_{\left(  3\right)  }\right)  }_{\substack{=S^{2}\left(
\Lambda_{\left(  2\right)  }S\left(  \Lambda_{\left(  3\right)  }\right)
\right)  \\=S^{2}\left(  \varepsilon\left(  \Lambda_{\left(  2\right)
}\right)  \cdot1\right)  \\=\varepsilon\left(  \Lambda_{\left(  2\right)
}\right)  \cdot1}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach \textbf{a)}}\right)
\\
&  =\lambda\left(  x_{\left(  1\right)  }a_{\left(  1\right)  }%
\underbrace{\varepsilon\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  \cdot
S^{2}\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  }_{\substack{=S^{2}\left(
\Lambda_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  \Lambda_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  \\=S^{2}\left(  \Lambda\right)  }}\right)  x_{\left(
2\right)  }a_{\left(  2\right)  }=\lambda\left(  x_{\left(  1\right)
}a_{\left(  1\right)  }S^{2}\left(  \Lambda\right)  \right)  x_{\left(
2\right)  }a_{\left(  2\right)  }\\
&  =\lambda\left(  x_{\left(  1\right)  }aS^{2}\left(  \Lambda\right)
\right)  x_{\left(  2\right)  }a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }a\in
G\left(  H\right)  ,\text{ also }a_{\left(  1\right)  }\otimes a_{\left(
2\right)  }=a\otimes a\right)  .
\end{align*}
Doch $aS^{2}\left(  \Lambda\right)  =\Lambda,$ denn nach \textbf{2)} gilt
f\"{u}r jedes $x$ die Beziehung $x=\lambda\left(  xS\left(  \Lambda_{\left(
2\right)  }\right)  \right)  aS^{2}\left(  \Lambda_{\left(  1\right)
}\right)  $, also%
\[
\Lambda=\underbrace{\lambda\left(  \Lambda S\left(  \Lambda_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  }_{\substack{=\left(  \lambda\Lambda\right)  \left(
S\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  \\=\varepsilon\left(
S\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  \\=\varepsilon\left(
\Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  }}aS^{2}\left(  \Lambda_{\left(
1\right)  }\right)  =aS^{2}\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\varepsilon
\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  =aS^{2}\left(
\Lambda\right)  .
\]
Also ist%
\begin{align*}
aS^{2}\left(  \rho\left(  x\right)  \right)   &  =\lambda\left(  x_{\left(
1\right)  }\Lambda\right)  x_{\left(  2\right)  }a=\underbrace{\lambda\left(
\alpha\left(  S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \Lambda\right)
}_{\substack{=\left(  \lambda\Lambda\right)  \left(  \alpha\left(  S\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \cdot1\right)  \\=\varepsilon\left(
\alpha\left(  S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \cdot1\right)
\\=\alpha\left(  S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  }}x_{\left(
2\right)  }a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach \textbf{b)}}\right) \\
&  =\alpha\left(  S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  x_{\left(
2\right)  }a,
\end{align*}
und damit $S^{2}\left(  \rho\left(  x\right)  \right)  =\alpha\left(  S\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  a^{-1}x_{\left(  2\right)  }a,$ also
$\rho\left(  x\right)  =\alpha\left(  S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
\right)  a^{-1}S^{-2}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  a.$

\textbf{2.5. Bemerkung:} Sei $H$ eine Hopfalgebra. Dann kann man auf dem
Vektorraum $H$ eine $H^{\ast}$-Linksmodulstruktur $\rightharpoonup:H^{\ast
}\otimes H\rightarrow H$ definieren durch
\[
p\rightharpoonup x=x_{\left(  1\right)  }p\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in H\text{ und }p\in
H^{\ast},
\]
sowie eine $H^{\ast}$-Rechtsmodulstruktur $\leftharpoonup:H\otimes H^{\ast
}\rightarrow H$ definieren durch
\[
x\leftharpoonup p=p\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in H\text{ und }p\in H^{\ast}.
\]
Diese beiden Strukturen zusammen machen $H$ zu einem $\left(  H^{\ast}%
,H^{\ast}\right)  $-Bimodul.

(Diese beiden Strukturen sind \"{u}brigens die zu der $H$%
-Rechtscomodulstruktur bzw. zu der $H$-Linkscomodulstruktur auf $H$
verm\"{o}ge $\Delta$ adjungierten $H^{\ast}$-Modulstrukturen.)

Au\ss erdem gilt: F\"{u}r alle $\varphi,\psi\in\operatorname*{Alg}\left(
H,k\right)  =G\left(  H^{\ast}\right)  $ und alle $g\in G\left(  H\right)  $
ist%
\[
\varphi\rightharpoonup\left(  gxg^{-1}\right)  \leftharpoonup\psi=g\left(
\varphi\rightharpoonup x\leftharpoonup\psi\right)  g^{-1}.
\]


\textbf{2.6. Satz (Radford 1976):} Sei $H$ eine endlichdimensionale
Hopfalgebra. Sei $a$ das modulare Element von $H,$ und sei $\alpha$ die
modulare Funktion von $H.$ F\"{u}r alle $x\in H$ ist dann%
\begin{align*}
S^{4}\left(  x\right)   &  =\alpha\rightharpoonup\left(  a^{-1}xa\right)
\leftharpoonup\alpha^{-1}=a^{-1}\left(  \alpha\rightharpoonup x\leftharpoonup
\alpha^{-1}\right)  a\\
&  =a^{-1}\alpha\left(  S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)
x_{\left(  2\right)  }\alpha\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  a.
\end{align*}


\textit{Beweis von 2.5.:} F\"{u}r alle $p,q\in H^{\ast}$ und alle $x\in H$ ist%
\[
\left(  p\rightharpoonup x\right)  \leftharpoonup q=\left(  x_{\left(
1\right)  }p\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  \leftharpoonup
q=q\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }p\left(
x_{\left(  3\right)  }\right)  =p\rightharpoonup\left(  q\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }\right)  =p\rightharpoonup\left(
x\leftharpoonup q\right)  .
\]
Somit ergeben die $H^{\ast}$-Linksmodulstruktur $\rightharpoonup$ und die
$H^{\ast}$-Rechtsmodulstruktur $\leftharpoonup$ zusammen eine $\left(
H^{\ast},H^{\ast}\right)  $-Bimodulstruktur auf $H.$

F\"{u}r alle $\varphi,\psi\in\operatorname*{Alg}\left(  H,k\right)  =G\left(
H^{\ast}\right)  $ und alle $g\in G\left(  H\right)  $ ist%
\begin{align*}
\varphi\rightharpoonup\left(  gxg^{-1}\right)  \leftharpoonup\psi &
=\underbrace{\psi\left(  gx_{\left(  1\right)  }g^{-1}\right)  }%
_{\substack{=\psi\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  ,\text{ denn }%
\psi\text{ ist}\\\text{Algebrahomomorphismus}}}gx_{\left(  2\right)  }%
g^{-1}\underbrace{\varphi\left(  gx_{\left(  3\right)  }g^{-1}\right)
}_{\substack{=\varphi\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  ,\text{ denn
}\varphi\text{ ist}\\\text{Algebrahomomorphismus}}}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{hier haben wir }g_{\left(  1\right)
}\otimes g_{\left(  2\right)  }=g\otimes g\text{ benutzt, weil }g\in G\left(
H\right)  \right) \\
&  =g\psi\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }%
\varphi\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  g^{-1}=g\left(  \varphi
\rightharpoonup x\leftharpoonup\psi\right)  g^{-1}.
\end{align*}


\textit{Beweis von 2.6.:} Nach 2.4. \textbf{3)} gilt: F\"{u}r jedes $x\in H$
ist $\rho\left(  x\right)  =S^{2}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
\alpha\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  $ (nach 2.4.
\textbf{3)}) und $\rho\left(  x\right)  =a^{-1}\alpha\left(  S\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  S^{-2}\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  a$ (nach 2.4. \textbf{4)}), also%

\[
S^{2}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \alpha\left(  S\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  \right)  =a^{-1}\alpha\left(  S\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  \right)  S^{-2}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  a.
\]
Nach Multiplikation mit $\alpha\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  $ (von
rechts) ergibt dies%
\[
\underbrace{S^{2}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \underbrace{\alpha
\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  \alpha\left(
x_{\left(  3\right)  }\right)  }_{\substack{=\alpha\left(  S\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  x_{\left(  3\right)  }\right)  ,\\\text{da }\alpha\in
G\left(  H^{\ast}\right)  =\operatorname*{Alg}\left(  H,k\right)  }%
}}_{\substack{=S^{2}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \alpha\left(
S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  x_{\left(  3\right)  }\right)
=S^{2}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \alpha\left(  \varepsilon\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \cdot1\right)  \\=S^{2}\left(  x_{\left(
1\right)  }\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
\alpha\left(  1\right)  =S^{2}\left(  x\right)  \alpha\left(  1\right)
=S^{2}\left(  x\right)  }}=a^{-1}\alpha\left(  S\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  \right)  S^{-2}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  a\alpha\left(
x_{\left(  3\right)  }\right)  ,
\]
also%
\[
S^{2}\left(  x\right)  =a^{-1}\alpha\left(  S\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  \right)  S^{-2}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  a\alpha\left(
x_{\left(  3\right)  }\right)  .
\]
Anwendung von $S^{2}$ auf diese Gleichung ergibt%
\begin{align*}
S^{4}\left(  x\right)   &  =a^{-1}\alpha\left(  S\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  \right)  x_{\left(  2\right)  }a\alpha\left(  x_{\left(  3\right)
}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }S^{2}\left(  a\right)  =a,\text{ da
}a\in G\left(  H\right)  \text{ und }S\left(  h\right)  =h^{-1}\text{ f\"{u}r
alle }h\in G\left(  H\right)  \right) \\
&  =a^{-1}\alpha\left(  S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)
x_{\left(  2\right)  }\alpha\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)
a=a^{-1}\left(  \alpha\rightharpoonup x\leftharpoonup\alpha^{-1}\right)
a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }\alpha^{-1}=\alpha\circ S\right) \\
&  =\alpha\rightharpoonup\left(  a^{-1}xa\right)  \leftharpoonup\alpha
^{-1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach 2.5.}\right)  .
\end{align*}


\textbf{2.7. Folgerung:} Sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra. Dann
hat die Abbildung $S$ eine endliche Ordnung (als Automorphismus des
Vektorraumes $H$).\ \ \ \ \footnote{Man kann sogar st\"{a}rker zeigen,
da\ss \ $S^{4\dim H}=\operatorname*{id}$ ist, aber dies ist schwieriger zu
beweisen.}

\textit{Beweis:} Die Gruppen $G\left(  H\right)  $ und $G\left(  H^{\ast
}\right)  $ sind beide endlich (genauer gesagt, haben sie jeweils
h\"{o}chstens $\dim H$ Elemente, denn Gruppenelemente einer Coalgebra sind
stets linear unabh\"{a}ngig). Also gibt es ein positives $\ell\in\mathbb{N}$
mit $a^{\ell}=1$ und $\alpha^{\ell}=\varepsilon$ (denn $a\in G\left(
H\right)  $ und $\alpha\in G\left(  H^{\ast}\right)  ;$ genauer kann man sogar
erreichen, da\ss \ $\ell\leq\left(  \dim H\right)  ^{2}$ ist, weil die Gruppen
$G\left(  H\right)  $ und $G\left(  H^{\ast}\right)  $ jeweils h\"{o}chstens
$\dim H$ Elemente haben).

Wir werden zeigen, da\ss \ $S^{4\ell}=\operatorname*{id}$ ist.

Dazu reicht es aus, zu beweisen, da\ss \ f\"{u}r jedes $n\geq1$ und jedes
$x\in H$ die Gleichung%
\[
S^{4n}\left(  x\right)  =\alpha^{n}\rightharpoonup\left(  a^{-n}xa^{n}\right)
\leftharpoonup\alpha^{-n}%
\]
erf\"{u}llt ist. Dies beweist man am einfachsten durch Induktion nach $n$:
F\"{u}r $n=1$ folgt dies aus 2.6.. Der Induktionsschritt von $n$ auf $n+1$ ist
dadurch gesichert, da\ss \ f\"{u}r jedes $x\in H$ gilt:%
\begin{align*}
S^{4\left(  n+1\right)  }\left(  x\right)   &  =S^{4}\left(  S^{4n}\left(
x\right)  \right)  =S^{4}\left(  \alpha^{n}\rightharpoonup\left(  a^{-n}%
xa^{n}\right)  \leftharpoonup\alpha^{-n}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{nach Induktionsvoraussetzung}\right) \\
&  =\alpha\rightharpoonup\underbrace{\left(  a^{-1}\left(  \alpha
^{n}\rightharpoonup\left(  a^{-n}xa^{n}\right)  \leftharpoonup\alpha
^{-n}\right)  a\right)  }_{=\alpha^{n}\rightharpoonup\left(  a^{-n-1}%
xa^{n+1}\right)  \leftharpoonup\alpha^{-n}}\leftharpoonup\alpha
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach 2.6.}\right) \\
&  =\alpha^{n+1}\rightharpoonup\left(  a^{-n-1}xa^{n+1}\right)  \leftharpoonup
\alpha^{-n-1},
\end{align*}
was zu beweisen war.

\textbf{Definition:} Eine endlichdimensionale Hopfalgebra $H$ hei\ss t
\textit{unimodular}, wenn $\operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)
=\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  $ gilt.

Mit anderen Worten: Eine endlichdimensionale Hopfalgebra $H$ hei\ss t
\textit{unimodular}, wenn $\alpha=\varepsilon$ ist (wobei $\alpha$ die
modulare Funktion von $H$ ist).

\textbf{2.8. Folgerung (Larson 1971):} Sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra.

\textbf{1)} Ist $H$ unimodular, dann ist $S^{4}$ ein innerer Automorphismus
der Algebra $H$ (und zwar der durch $S^{4}\left(  h\right)  =a^{-1}ha$ f\"{u}r
alle $h\in H$ gegebene).

\textbf{2)} Sind $H$ und $H^{\ast}$ beide unimodular, dann ist $S^{4}%
=\operatorname*{id}.$

\begin{center}
\fbox{\textbf{3. Halbeinfache Hopfalgebren}}
\end{center}

\textbf{Definition:} Sei $R$ ein Ring. Sei $P$ ein $R$%
-Linksmodul.\footnote{Analoges gilt f\"{u}r $R$-Rechtsmoduln.} Dann hei\ss t
$P$ \textit{projektiv}, wenn f\"{u}r beliebige $X,Y\in\left.  _{R}%
\mathcal{M}\right.  $, f\"{u}r jeden Epimorphismus $f:X\rightarrow Y$ und
jeden Homomorphismus $g:P\rightarrow Y$ ein Homomorphismus $h:P\rightarrow X$
existiert, welcher $fh=g$ erf\"{u}llt, d. h. f\"{u}r welchen das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
& P \ar@{.>}[dl]_{h} \ar[d]^g \\
X \ar@{->>}[r]_{f} & Y
}
\]
kommutiert. (Unter Homomorphismen verstehen wir dabei immer Homomorphismen von
$R$-Linksmoduln.)

\textbf{3.1. Bemerkung:} Sei $R$ ein Ring, und sei $P\in\left.  _{R}%
\mathcal{M}\right.  .$ Dann sind folgende drei Aussagen \"{a}quivalent:

\textbf{1)} Der $R$-Linksmodul $P$ ist projektiv.

\textbf{2)} Der Funktor $\operatorname*{Hom}_{R}\left(  P,-\right)  :\left.
_{R}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.  _{\mathbb{Z}}\mathcal{M}\right.  $
(der jeden $R$-Linksmodul $X$ auf $\operatorname*{Hom}_{R}\left(  P,X\right)
$ abbildet) ist exakt.

\textbf{3)} Es gibt einen freien $R$-Linksmodul $F\in\left.  _{R}%
\mathcal{M}\right.  $ so, dass $P$ isomorph zu einem direkten Summanden von
$F$ ist.

\textit{Beweis:} \textit{\textbf{Beweis von 1)} }$\Longleftrightarrow$\textit{
\textbf{2)}:} Da der Funktor $\operatorname*{Hom}_{R}\left(  P,-\right)
:\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  \rightarrow\left.  _{\mathbb{Z}}%
\mathcal{M}\right.  $ linksexakt ist, ist die Aussage \textbf{2)}
\"{a}quivalent dazu, da\ss \ f\"{u}r jeden Epimorphismus $f:X\rightarrow Y$
die Abbildung%
\[
\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  P,X\right)  \rightarrow
\operatorname*{Hom}\nolimits_{R}\left(  P,Y\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h\mapsto fh
\]
surjektiv ist; aber dies ist genau die Aussage \textbf{1)}. Somit sind die
Aussagen \textbf{1)} und \textbf{2)} zueinander \"{a}quivalent.

\textit{\textbf{Beweis von 3)} }$\Longrightarrow$\textit{ \textbf{1)}:}
\textbf{a)} Wir werden zeigen: Ist $F$ ein freier $R$-Linksmodul, dann ist $F$ projektiv.

\textit{Beweis:} Sei $F$ ein freier $R$-Linksmodul mit Basis $\left(
p_{i}\right)  _{i\in I}.$ Sei $f:X\rightarrow Y$ ein Epimorphismus von
$R$-Linksmoduln, und sei $g:F\rightarrow Y$ ein Homomorphismus von
$R$-Linksmoduln. F\"{u}r jedes $i\in I$ w\"{a}hle ein $x_{i}\in X$ so,
da\ss \ $f\left(  x_{i}\right)  =g\left(  p_{i}\right)  $ ist\footnote{So ein
$x_{i}\in X$ existiert, weil $f$ ein Epimorphismus ist.}. Definiere einen
Homomorphismus von $R$-Linksmoduln $h:F\rightarrow X$ durch $h\left(
p_{i}\right)  =x_{i}$ f\"{u}r jedes $i\in I.$ Dann gilt $fh=g$ (weil $\left(
fh\right)  \left(  p_{i}\right)  =f\left(  \underbrace{h\left(  p_{i}\right)
}_{=x_{i}}\right)  =f\left(  x_{i}\right)  =g\left(  p_{i}\right)  $ f\"{u}r
alle $i\in I$ ist), was zu beweisen war.

\textbf{b)} Wir werden zeigen: Ist $F$ ein projektiver $R$-Linksmodul, und
sind $P$ und $Q$ zwei Untermoduln von $F$ mit $P\oplus Q=F,$ dann ist auch $P$ projektiv.

\textit{Beweis:} Sei $f:X\rightarrow Y$ ein Epimorphismus, und sei
$g:P\rightarrow Y$ ein Homomorphismus von $R$-Linksmoduln. Setze $g$ fort zu
einem $R$-Linksmodulhomomorphismus $\widetilde{g}:F\rightarrow Y$ mit
$\widetilde{g}\mid_{P}=g$ und $\widetilde{g}\mid_{Q}=0.$ Da $F$ projektiv ist,
gibt es dann einen $R$-Linksmodulhomomorphismus $h:F\rightarrow X$ mit
$fh=\widetilde{g}.$ Daraus folgt $fh^{\prime}=g,$ wobei $h^{\prime}=h\mid_{P}$
ist (denn $fh^{\prime}=fh\mid_{P}=\widetilde{g}\mid_{P}=g$), was zu beweisen war.

Aus \textbf{a)} und \textbf{b)} folgt \textbf{3) }$\Longrightarrow$\textbf{
1)}.

\textit{\textbf{Beweis von 1)} }$\Longrightarrow$\textit{ \textbf{3)}:} Es
gibt einen freien Modul $F\in\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  $ und einen
Epimorphismus $f:F\rightarrow P$; und zwar k\"{o}nnen wir solche $F$ und $f$
wie folgt konstruieren:

Sei $\left(  p_{i}\right)  _{i\in I}$ ein Erzeugendensystem von $P$ (zum
Beispiel $\left\{  p_{i}\mid i\in I\right\}  =P$). Sei $F=R^{\left(  I\right)
}$ der freie $R$-Linksmodul mit Basis $\left(  e_{i}\right)  _{i\in I}.$
Definiere einen $R$-Linksmodulhomomorphismus $f:F\rightarrow P$ durch
$f\left(  e_{i}\right)  =p_{i}$ f\"{u}r alle $i\in I.$ Dann ist $f$ ein
Epimorphismus. Da $P$ projektiv ist, folgt hieraus, da\ss \ es einen
$R$-Linksmodulhomomorphismus $h:P\rightarrow F$ gibt, f\"{u}r den das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
& P \ar@{.>}[dl]_{h} \ar[d]^{\operatorname*{id}} \\
F \ar@{->>}[r]_{f} & P
}
\]
kommutiert. Daraus folgt $F=\operatorname{Im}h\oplus\operatorname*{Ker}%
f$\ \ \ \ \footnote{Denn f\"{u}r jedes $x\in F$ ist $x=h\left(  f\left(
x\right)  \right)  +\left(  x-h\left(  f\left(  x\right)  \right)  \right)
\in\operatorname{Im}h+\operatorname*{Ker}f$ (wobei $h\left(  f\left(
x\right)  \right)  \in\operatorname{Im}h$ trivial ist, und $x-h\left(
f\left(  x\right)  \right)  \in\operatorname*{Ker}f$ wegen $f\left(
x-h\left(  f\left(  x\right)  \right)  \right)  =f\left(  x\right)  -f\left(
h\left(  f\left(  x\right)  \right)  \right)  =f\left(  x\right)
-\underbrace{\left(  f\circ h\right)  }_{=\operatorname*{id}}\left(  f\left(
x\right)  \right)  =f\left(  x\right)  -f\left(  x\right)  =0$ gilt), also
$F=\operatorname{Im}h+\operatorname*{Ker}f,$ aber andererseits ist
$\operatorname{Im}h\cap\operatorname*{Ker}f=0$ (denn $\operatorname{Im}%
h\cap\operatorname*{Ker}f=\operatorname{Im}\left(  h\mid_{\operatorname*{Ker}%
\left(  fh\right)  }\right)  =\operatorname{Im}\left(  h\mid
_{\operatorname*{Ker}\operatorname*{id}}\right)  =\operatorname{Im}\left(
h\mid_{0}\right)  =0$), und somit gilt $F=\operatorname{Im}h\oplus
\operatorname*{Ker}f.$}, und somit ist $h$ ein Monomorphismus, also
$P\cong\operatorname{Im}h.$

\textbf{3.1}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{.
Bemerkung:} Sei $R$ ein Ring, und sei $P\in\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  $
ein endlich erzeugter projektiver $R$-Linksmodul. Dann gibt es einen freien
$R$-Linksmodul $F$ mit endlicher Basis so, dass $P$ isomorph zu einem direkten
Summanden von $F$ ist.

\textit{Beweis von Bemerkung 3.1}$\dfrac{\text{\textit{1}}}{\text{\textit{2}}%
}$\textit{:} Um Bemerkung 3.1$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ nachzuweisen,
verfahre man genauso wie im Beweis von \textbf{1)} $\Longrightarrow$
\textbf{3)} w\"{a}hrend des Beweises von Bemerkung 3.1, mit dem einzigen
Unterschied, da\ss \ man das Erzeugendensystem $\left(  p_{i}\right)  _{i\in
I}$ von $P$ nicht mehr beliebig w\"{a}hlen darf, sondern so w\"{a}hlen muss,
da\ss \ es endlich ist (dies ist m\"{o}glich, da $P$ endlich erzeugt ist).
Dies hat zur Folge, da\ss \ $F$ ein freier $R$-Linksmodul mit endlicher Basis
ist. Bemerkung 3.1$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ ist damit gezeigt.

\textbf{3.2. Beispiele:} \textbf{1)} Sei $R=\mathbb{Z},$ und sei $P$ ein
endlich erzeugter $\mathbb{Z}$-Modul. Dann ist $P$ genau dann projektiv, wenn
$P$ frei ist.

\textit{Beweis:} Nach dem Hauptsatz \"{u}ber endlich erzeugte abelsche Gruppen
ist jede endlich erzeugte abelsche Gruppe eine direkte Summe einer freien
abelschen Gruppe und einer Torsionsgruppe. Somit ist jede torsionsfreie
endlich erzeugte abelsche Gruppe frei. Daher ist ein direkter Summand einer
freien endlich erzeugten abelschen Gruppe wiederum frei (denn er ist
offensichtlich torsionsfrei); das hei\ss t, jede projektive endlich erzeugte
abelsche Gruppe ist frei\footnote{Denn laut Bemerkung 3.1$\dfrac{\text{1}%
}{\text{2}}$ ist jede projektive endlich erzeugte abelsche Gruppe ein direkter
Summand einer freien endlich erzeugten abelschen Gruppe.}. Die Umkehrrichtung
ist trivial.

\textbf{2)} Es gibt einen Ring $R$ und einen projektiven Modul $P\in\left.
_{R}\mathcal{M}\right.  ,$ der nicht frei ist.

\textit{Beweis:} F\"{u}r jeden Ring $R$ und jedes Element $e\in R$ mit
$e^{2}=e$ ist der $R$-Linksmodul $Re$ projektiv (denn $Re\oplus R\left(
1-e\right)  =R$). Aber frei ist $Re$ im Allgemeinen nicht.\footnote{Falls $R$
kommutativ ist, ist der $R$-Modul $Re$ genau dann frei, wenn $e=0$ oder $e=1$
ist.}

Zum Beispiel seien $A$ und $B$ Ringe, und sei $R=A\times B$ und $P=A\times
0=Re$, wobei $e=\left(  1,0\right)  \in R.$ Dann ist $P$ projektiv, aber nicht
frei (solange $A$ und $B$ von $0$ verschieden sind - denn $\left(  0,1\right)
P=0$).

\textbf{Definition:} Sei $A$ eine Algebra (wie immer, bedeutet dies eine
$k$-Algebra, wobei $k$ unser fester Grundk\"{o}rper ist). Wir definieren eine
Algebra $A^{\operatorname*{e}}$ durch $A^{\operatorname*{e}}=A\otimes
A^{\operatorname*{op}}$ (zu verstehen als Tensorprodukt von Algebren). (Diese
Algebra $A^{\operatorname*{e}}$ hei\ss t \textit{"enveloping algebra"} von $A$.)

Dann ist $A$ ein $A^{\operatorname*{e}}$-Linksmodul verm\"{o}ge $\left(
x\otimes y^{\operatorname*{op}}\right)  \cdot a=xay$ f\"{u}r alle $x,y,a\in
A.$

Die Algebra $A$ hei\ss t eine \textit{separable Algebra}, wenn $A$ als
$A^{\operatorname*{e}}$-Linksmodul projektiv ist.

\textbf{3.3. Bemerkung:} Sei $A$ eine Algebra. Dann ist $A$ tats\"{a}chlich
(wie oben definiert) ein $A^{\operatorname*{e}}$-Linksmodul, und die Abbildung
$\mu:A^{\operatorname*{e}}\rightarrow A,$ $x\otimes y^{\operatorname*{op}%
}\mapsto xy$ ist $A^{\operatorname*{e}}$-linkslinear.

\textit{Beweis:} F\"{u}r $x,y,u,v,a\in A$ gilt%
\[
\left(  u\otimes v^{\operatorname*{op}}\right)  \left(  \left(  x\otimes
y^{\operatorname*{op}}\right)  a\right)  =\left(  u\otimes
v^{\operatorname*{op}}\right)  xay=uxayv=\underbrace{\left(  ux\otimes\left(
yv\right)  ^{\operatorname*{op}}\right)  }_{\substack{=ux\otimes
v^{\operatorname*{op}}y^{\operatorname*{op}}\\=\left(  u\otimes
v^{\operatorname*{op}}\right)  \left(  x\otimes y^{\operatorname*{op}}\right)
}}a=\left(  \left(  u\otimes v^{\operatorname*{op}}\right)  \left(  x\otimes
y^{\operatorname*{op}}\right)  \right)  a.
\]
Daher ist $A$ tats\"{a}chlich ein $A^{\operatorname*{e}}$-Linksmodul.

F\"{u}r $x,y,u,v\in A$ gilt%
\[
\mu\left(  \underbrace{\left(  u\otimes v^{\operatorname*{op}}\right)  \left(
x\otimes y^{\operatorname*{op}}\right)  }_{\substack{=ux\otimes
v^{\operatorname*{op}}y^{\operatorname*{op}}\\=ux\otimes\left(  yv\right)
^{\operatorname*{op}}}}\right)  =uxyv=\left(  u\otimes v^{\operatorname*{op}%
}\right)  \cdot xy=\left(  u\otimes v^{\operatorname*{op}}\right)  \cdot
\mu\left(  x\otimes y^{\operatorname*{op}}\right)  .
\]
Somit ist $\mu$ eine $A^{\operatorname*{e}}$-linkslineare Abbildung.

\textbf{3.4. Satz:} Sei $A$ eine $k$-Algebra.

\textbf{a)} Dann sind folgende drei Aussagen \textbf{1)}, \textbf{2)} und
\textbf{3)} zueinander \"{a}quivalent:

\textbf{1)} Die Algebra $A$ ist separabel.

\textbf{2)} Es gibt eine $A^{\operatorname*{e}}$-linkslineare Abbildung
$f:A\rightarrow A^{\operatorname*{e}}$, die $\mu f=\operatorname*{id}$
erf\"{u}llt, d. h. f\"{u}r die das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
& A \ar@{.>}[dl]_{f} \ar[d]^{\operatorname*{id}} \\
A^{\operatorname*{e}} \ar@{->>}[r]_{\mu} & A
}
\]
kommutiert.

\textbf{3)} Es gibt ein $n\geq1$ und Elemente $x_{i},y_{i}\in A$ f\"{u}r alle
$i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ so, dass f\"{u}r jedes $x\in A$ gilt:
$\sum\limits_{i=1}^{n}xx_{i}\otimes y_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\otimes
y_{i}x$ und $\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=1.$

\textbf{b)} Au\ss erdem gilt f\"{u}r die Elemente $x_{i},y_{i}$ aus Aussage
\textbf{3)}, da\ss \ $\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}%
^{\operatorname*{op}}$ ein Idempotent in $A^{\operatorname*{op}}$ ist (ein
sogenanntes \textit{Separabilit\"{a}tsidempotent}).

\textit{Beweis:} \textbf{a)} Um die \"{A}quivalenz der drei Aussagen
\textbf{1)}, \textbf{2)} und \textbf{3)} zu beweisen, reicht es aus, die
Implikationen \textbf{1)} $\Longrightarrow$ \textbf{2)}, \textbf{2)}
$\Longrightarrow$ \textbf{1)}, \textbf{2)} $\Longrightarrow$ \textbf{3)} und
\textbf{3)} $\Longrightarrow$ \textbf{2)} zu \"{u}berpr\"{u}fen. Tun wir dies also:

\textit{\textbf{Beweis von 1)} }$\Longrightarrow$\textit{ \textbf{2)}:}
Angenommen, Aussage \textbf{1)} sei erf\"{u}llt. Die Algebra $A$ sei also
separabel. Das bedeutet, da\ss \ $A$ als $A^{\operatorname*{e}}$-Linksmodul
projektiv ist. Da $\mu:A^{\operatorname*{e}}\rightarrow A$ ein Epimorphismus
von $A^{\operatorname*{e}}$-Linksmoduln ist, folgt hieraus Aussage \textbf{2)}
(nach der Definition von "projektiv").\ Wir haben also Aussage \textbf{2)} aus
Aussage \textbf{1)} hergeleitet. Damit ist \textbf{1) }$\Longrightarrow
$\textbf{ 2)} gezeigt.

\textit{\textbf{Beweis von 2)} }$\Longrightarrow$\textit{ \textbf{1)}:}
Angenommen, Aussage \textbf{2)} gelte. Laut \textbf{2)} ist
$A^{\operatorname*{e}}=f\left(  A\right)  \oplus\operatorname*{Ker}\mu$, und
da $f\left(  A\right)  $ und $\operatorname*{Ker}\mu$ beides Untermoduln des
$A^{\operatorname*{e}}$-Linksmoduls $A^{\operatorname*{e}}$ sind, ist also
$f\left(  A\right)  $ ein direkter Summand des $A^{\operatorname*{e}}%
$-Linksmoduls $A^{\operatorname*{e}}$. Somit ist $f\left(  A\right)  $ ein
direkter Summand eines freien $A^{\operatorname*{e}}$-Linksmoduls. Das
hei\ss t, $f\left(  A\right)  $ ist ein projektiver $A^{\operatorname*{e}}%
$-Linksmodul. Da $f\left(  A\right)  \cong A$ als $A^{\operatorname*{e}}%
$-Linksmodul ist (denn $f:A\rightarrow A^{\operatorname*{e}}$ ist ein
$A^{\operatorname*{e}}$-Linksmodulhomomorphismus, der wegen $\mu
f=\operatorname*{id}$ auch noch injektiv ist), ist also $A$ ein projektiver
$A^{\operatorname*{e}}$-Linksmodul. Das hei\ss t, $A$ ist separabel. Damit ist
\textbf{2)} $\Longrightarrow$ \textbf{1)} nachgewiesen.

\textit{\textbf{Beweis von 2)} }$\Longrightarrow$\textit{ \textbf{3)}:}
Angenommen, Aussage \textbf{2)} gelte. Wir w\"{a}hlen ein $n\in\mathbb{N}$
sowie Elemente $x_{i},y_{i}\in A$ f\"{u}r alle $i\in\left\{
1,2,...,n\right\}  $ so, dass $f\left(  1\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}%
x_{i}\otimes y_{i}^{\operatorname*{op}}$. Dann ist%
\[
\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=\mu\left(  \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\otimes
y_{i}^{\operatorname*{op}}\right)  =\mu\left(  f\left(  1\right)  \right)
=1.
\]
F\"{u}r alle $x\in A$ ist%
\begin{align*}
f\left(  x\right)   &  =f\left(  \left(  x\otimes1^{\operatorname*{op}%
}\right)  \cdot1\right)  =\left(  x\otimes1^{\operatorname*{op}}\right)
f\left(  1\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }f\text{ ist
}A^{\operatorname*{e}}\text{-linkslinear}\right) \\
&  =\left(  x\otimes1^{\operatorname*{op}}\right)  \sum\limits_{i=1}^{n}%
x_{i}\otimes y_{i}^{\operatorname*{op}}=\sum\limits_{i=1}^{n}xx_{i}\otimes
y_{i}^{\operatorname*{op}}%
\end{align*}
und%
\begin{align*}
f\left(  x\right)   &  =f\left(  \left(  1\otimes x^{\operatorname*{op}%
}\right)  \cdot1\right)  =\left(  1\otimes x^{\operatorname*{op}}\right)
f\left(  1\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }f\text{ ist
}A^{\operatorname*{e}}\text{-linkslinear}\right) \\
&  =\left(  1\otimes x^{\operatorname*{op}}\right)  \sum\limits_{i=1}^{n}%
x_{i}\otimes y_{i}^{\operatorname*{op}}=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}%
\otimes\underbrace{x^{\operatorname*{op}}y_{i}^{\operatorname*{op}}}_{=\left(
y_{i}x\right)  ^{\operatorname*{op}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\otimes\left(
y_{i}x\right)  ^{\operatorname*{op}},
\end{align*}
also $\sum\limits_{i=1}^{n}xx_{i}\otimes y_{i}^{\operatorname*{op}}%
=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\otimes\left(  y_{i}x\right)  ^{\operatorname*{op}%
}$. Mit anderen Worten: $\sum\limits_{i=1}^{n}xx_{i}\otimes y_{i}%
=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}x$. Damit ist \textbf{2)}
$\Longrightarrow$ \textbf{3)} nachgewiesen.

\textit{\textbf{Beweis von 3)} }$\Longrightarrow$\textit{ \textbf{2)}:}
Angenommen, Aussage \textbf{3)} sei wahr. Definiere eine Abbildung
$f:A\rightarrow A^{\operatorname*{e}}$ durch $f\left(  x\right)
=\sum\limits_{i=1}^{n}xx_{i}\otimes y_{i}^{\operatorname*{op}}$ f\"{u}r alle
$x\in A.$ Dann folgt $\mu f=\operatorname*{id}$ (da $\left(  \mu f\right)
\left(  x\right)  =\mu\left(  \sum\limits_{i=1}^{n}xx_{i}\otimes
y_{i}^{\operatorname*{op}}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}xx_{i}y_{i}%
=x\underbrace{\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}_{=1}=x$ f\"{u}r alle $x\in A$).
Au\ss erdem ist diese Abbildung $f$ eine $A^{\operatorname*{e}}$-linkslineare
Abbildung, denn f\"{u}r alle $x,y\in A$ und $a\in A$ gilt%
\[
f\left(  \left(  x\otimes y^{\operatorname*{op}}\right)  a\right)  =f\left(
xay\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}xayx_{i}\otimes y_{i}^{\operatorname*{op}}%
\]
und%
\[
\left(  x\otimes y^{\operatorname*{op}}\right)  f\left(  a\right)  =\left(
x\otimes y^{\operatorname*{op}}\right)  \sum\limits_{i=1}^{n}ax_{i}\otimes
y_{i}^{\operatorname*{op}}=\sum\limits_{i=1}^{n}xax_{i}\otimes
\underbrace{y^{\operatorname*{op}}y_{i}^{\operatorname*{op}}}_{=\left(
y_{i}y\right)  ^{\operatorname*{op}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}xax_{i}%
\otimes\left(  y_{i}y\right)  ^{\operatorname*{op}}=\sum\limits_{i=1}%
^{n}xayx_{i}\otimes y_{i}^{\operatorname*{op}},
\]
da $\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}y=\sum\limits_{i=1}^{n}%
yx_{i}\otimes y_{i}$. Wir haben also \textbf{3)} $\Longrightarrow$ \textbf{2)} gezeigt.

Somit ist die \"{A}quivalenz der drei Aussagen \textbf{1)}, \textbf{2)} und
\textbf{3)} bewiesen. Wir haben damit Satz 3.4 \textbf{a)} gezeigt.

\textbf{b)} \textit{\textbf{Beweis von b)}:} F\"{u}r $\left(  x_{i}%
,y_{i}\right)  $ wie in \textbf{3)} definiere man $f$ so wie im obigen Beweis
von \textbf{3)} $\Longrightarrow$ \textbf{2)}, und man setze $e=\sum
\limits_{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}^{\operatorname*{op}}.$ Dann ist $f\left(
1\right)  =e,$ also%
\[
e=f\left(  1\right)  =f\left(  e\cdot1\right)  =ef\left(  1\right)  =e^{2}.
\]


\textbf{Definition:} Sei $R$ ein Ring. Dann hei\ss t $R$ \textit{halbeinfach},
wenn f\"{u}r alle $X\in\left.  _{R}\mathcal{M}\right.  $ gilt: Jeder
Untermodul $Y$ von $X$ ist ein direkter Summand von $X$ (als $R$-Linksmodul).

\textit{Bemerkung:} Man kann leicht nachweisen: Genau dann ist $R$
halbeinfach, wenn jeder $R$-Linksmodul projektiv ist.

\"{A}quivalenterweise gilt: Genau dann ist $R$ halbeinfach, wenn jede kurze
exakte Folge von $R$-Linksmoduln zerf\"{a}llt.

Nach Wedderburn-Artin gilt: Genau dann ist $R$ halbeinfach, wenn es endlich
viele Schiefk\"{o}rper $D_{1},$ $D_{2},$ $...,$ $D_{t}$ und ganze Zahlen
$n_{i}\geq1$ f\"{u}r alle $i\in\left\{  1,2,...,t\right\}  $ gibt, f\"{u}r die
$R\cong\prod\limits_{i=1}^{t}\operatorname*{M}_{n_{i}}\left(  D_{i}\right)  $ gilt.

Au\ss erdem gilt: Genau dann ist $R$ halbeinfach, wenn f\"{u}r alle
$X\in\mathcal{M}_{R}$ gilt: Jeder Untermodul $Y$ von $X$ ist ein direkter
Summand von $X.$ (Das hei\ss t, wir k\"{o}nnen in der Definition des Begriffes
"halbeinfach" Linksmoduln durch Rechtsmoduln ersetzen, und der Begriff bleibt
der Gleiche. Diese Tatsache wird \"{o}fters auch als "$R$ linkshalbeinfach
$\Longleftrightarrow$ $R$ rechtshalbeinfach" formuliert.)

\textbf{3.5. Satz:} Sei $A$ eine Algebra. Ist $A$ separabel, dann ist $A$ halbeinfach.

\textit{Beweis:} Sei $X\in\left.  _{A}\mathcal{M}\right.  ,$ und sei
$Y\subseteq X$ ein Untermodul. Da $Y$ ein direkter Summand von $X$ \textit{als
}$k$\textit{-Vektorraum} ist, gibt es eine $k$-lineare Abbildung
$f:X\rightarrow Y,$ f\"{u}r die das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
Y \ar@{^{(}->}[r] \ar[d]_= & X \ar[dl]^f \\
Y &
}
\]
kommutativ ist. Betrachten wir diese Abbildung $f$.

Da $A$ separabel ist, gibt es (gem\"{a}\ss \ Satz 3.4 \textbf{a)}) ein
$n\geq1$ und Elemente $x_{i},y_{i}\in A$ f\"{u}r alle $i\in\left\{
1,2,...,n\right\}  $ so, dass f\"{u}r jedes $x\in A$ gilt: $\sum
\limits_{i=1}^{n}xx_{i}\otimes y_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}x$
und $\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=1$. Wir w\"{a}hlen ein solches $n$ und
solche Elemente $x_{i},y_{i}\in A.$

F\"{u}r jedes $a\in A$ gilt dann $\sum\limits_{i=1}^{n}ax_{i}\otimes
y_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}a$ (denn dies ist nur eine
Umschreibung der Aussage, da\ss \ $\sum\limits_{i=1}^{n}xx_{i}\otimes
y_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}x$ f\"{u}r jedes $x\in A$ ist).

Definiere eine Abbildung $\widetilde{f}:X\rightarrow Y$ durch $\widetilde{f}%
\left(  x\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}f\left(  y_{i}x\right)  $ f\"{u}r
alle $x\in X.$ Dann ist $\widetilde{f}$ eine wohldefinierte Abbildung (denn
$Y\subseteq X$ ist ein $A$-Untermodul). Ferner ist $\widetilde{f}$ eine
$A$-linkslineare Abbildung, denn f\"{u}r alle $a\in A$ und $x\in X$ ist%
\begin{align*}
\widetilde{f}\left(  ax\right)   &  =\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}f\left(
y_{i}ax\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}ax_{i}f\left(  y_{i}x\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\sum\limits_{i=1}^{n}ax_{i}\otimes y_{i}=\sum\limits_{i=1}%
^{n}x_{i}\otimes y_{i}a\text{,}\\
\text{also }\sum\limits_{i=1}^{n}ax_{i}\otimes y_{i}x=\sum\limits_{i=1}%
^{n}x_{i}\otimes y_{i}ax
\end{array}
\right) \\
&  =a\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}f\left(  y_{i}x\right)  =a\widetilde{f}\left(
x\right)  .
\end{align*}
Au\ss erdem ist $\widetilde{f}\mid_{Y}=\operatorname*{id},$ denn f\"{u}r alle
$y\in Y$ ist%
\[
\widetilde{f}\left(  y\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\underbrace{f\left(
y_{i}y\right)  }_{\substack{=y_{i}y,\text{ da}\\y_{i}y\in Y\text{ und}%
\\f\mid_{Y}=\operatorname*{id}}}=\underbrace{\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}%
}_{=1}y=y.
\]
Daher ist das Diagramm
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
Y \ar@{^{(}->}[r] \ar[d]_= & X \ar[dl]^{\widetilde{f}} \\
Y &
}
\]
kommutativ, und es folgt, da\ss \ $Y$ ein direkter Summand von $X$ ist, was zu
beweisen war.

\textbf{3.6. Satz:} \textbf{a)} Sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra.
Sei $0\neq\Lambda\in\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  .$ Dann sind
folgende drei Aussagen zueinander \"{a}quivalent:

\textbf{1)} Die Algebra $H$ ist halbeinfach.

\textbf{2)} Die Algebra $H$ ist separabel.

\textbf{3)} Es gilt $\varepsilon\left(  \Lambda\right)  \neq0.$

\textbf{b)} Wenn die \"{a}quivalenten Aussagen \textbf{1)}, \textbf{2)} und
\textbf{3)} gelten, dann ist $H$ unimodular.

\textit{Beweis:} \textbf{a)} \textit{\textbf{Beweis von 1)} }$\Longrightarrow
$\textit{ \textbf{3)}:} Wir betrachten $k$ als einen $H$-Linksmodul
verm\"{o}ge $\varepsilon$ (die $H$-Linksmodulstruktur auf $k$ ist also gegeben
durch $h\cdot1=\varepsilon\left(  h\right)  \cdot1$ f\"{u}r alle $h\in H$).
Diesen $H$-Linksmodul nennen wir $_{\varepsilon}k.$

Dann ist $\varepsilon:H\rightarrow\left.  _{\varepsilon}k\right.  $ eine
$H$-linkslineare Abbildung. Da $\operatorname*{Ker}\varepsilon$ ein direkter
Summand von $H$ \textit{als }$H$\textit{-Linksmodul} ist (denn $H$ ist
halbeinfach), und da der $H$-Linksmodulepimorphismus $\varepsilon
:H\rightarrow\left.  _{\varepsilon}k\right.  $ einen $H$%
-Linksmodulisomorphismus $H\diagup\operatorname*{Ker}\varepsilon
\rightarrow\left.  _{\varepsilon}k\right.  $ induziert, gibt es also eine
$H$-linkslineare Abbildung $f:\left.  _{\varepsilon}k\right.  \rightarrow H,$
f\"{u}r die das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
& \ _{\varepsilon}k \ar@{.>}[dl]_{f} \ar[d]_{=}^{\operatorname*{id}} \\
H \ar@{->>}[r]_{\varepsilon} & \ _{\varepsilon}k
}
\]
kommutativ ist. Also ist $f\left(  1\right)  \in\left.  \operatorname*{I}%
_{l}\left(  H\right)  \right.  $ (denn f\"{u}r jedes $h\in H$ ist $hf\left(
1\right)  =f\left(  h\cdot1\right)  =\varepsilon\left(  h\right)  f\left(
1\right)  $).

Au\ss erdem ist $\varepsilon\left(  f\left(  1\right)  \right)  =1,$ also
$\varepsilon\left(  \operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)  \right)  \neq0.$
Wegen $\varepsilon\left(  \operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)  \right)
=\varepsilon\left(  \operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  \right)  $ (laut
dem 1. Abschnitt) ist also auch $\varepsilon\left(  \operatorname*{I}%
_{r}\left(  H\right)  \right)  \neq0$, also $\varepsilon\left(  \Lambda
\right)  \neq0$ (denn laut Folgerung 1.5. \textbf{1)} ist $\operatorname*{I}%
_{r}\left(  H\right)  $ eindimensional, also $\operatorname*{I}_{r}\left(
H\right)  =k\cdot\Lambda$).

\textit{\textbf{Beweis von 3)} }$\Longrightarrow$\textit{ \textbf{2)}:} Nach
1.10. \textbf{5)} gilt f\"{u}r alle $x\in H$ die Gleichung $xS\left(
\Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes\Lambda_{\left(  2\right)
}=S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes\Lambda_{\left(
2\right)  }x.$ Au\ss erdem ist $S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)
\Lambda_{\left(  2\right)  }=\varepsilon\left(  \Lambda\right)  \cdot1\neq0.$
Nach 3.4. \textbf{a)} folgt hieraus, da\ss \ $H$ separabel ist (man
mu\ss \ nur noch $\Lambda$ so normieren, da\ss \ $\varepsilon\left(
\Lambda\right)  =1$ wird).

\textit{\textbf{Beweis von 2)} }$\Longrightarrow$\textit{ \textbf{1)}:} Nach 3.5.

\textbf{b)} Sei $0\neq\Gamma\in\operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)  ,$ und
sei $\alpha$ modulare Funktion von $H.$ F\"{u}r alle $h\in H$ ist dann $\Gamma
h=\alpha\left(  h\right)  \Gamma.$ Anwendung von $\varepsilon$ auf diese
Gleichung ergibt $\varepsilon\left(  \Gamma\right)  \varepsilon\left(
h\right)  =\alpha\left(  h\right)  \varepsilon\left(  \Gamma\right)  .$ Nach
\textbf{3)} ist aber $\varepsilon\left(  \Gamma\right)  \neq0.$ Also folgt
hieraus $\varepsilon\left(  h\right)  =\alpha\left(  h\right)  .$ Das
hei\ss t, $\varepsilon=\alpha,$ was zu beweisen war.

\textbf{3.7. Folgerung (Maschke):} Sei $G$ eine endliche Gruppe, und sei
$k\left[  G\right]  $ die Gruppenalgebra von $G.$ Dann sind folgende zwei
Aussagen \"{a}quivalent:

\textbf{1)} Die Algebra $k\left[  G\right]  $ ist halbeinfach.

\textbf{2)} Es gilt $\left\vert G\right\vert \cdot1_{k}\neq0.$ Mit anderen
Worten: es gilt $\operatorname*{char}k=0$ oder $\operatorname*{char}k=p>0$
f\"{u}r ein $p\nmid\left\vert G\right\vert .$

\textit{Bemerkung:} Trivialerweise ist die Algebra $\left(  k\left[  G\right]
\right)  ^{\ast}\cong k^{G}$ (wobei wir hier die Hopfalgebrastruktur auf
$k\left[  G\right]  $ verwenden) immer halbeinfach.

\textbf{3.8. Bemerkung:} Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum. Die
sogenannte \textit{Spurabbildung }$\operatorname*{Tr}_{V}$ wird definiert als
die Abbildung von $\operatorname{End}V$ nach $k$, die jedem Endomorphismus von
$V$ die Spur dieses Endomorphismus zuordnet.

Hier sind zwei Eigenschaften dieser Spurabbildung $\operatorname*{Tr}_{V}$:

\textbf{(a)} Die $k$-lineare Abbildung $V^{\ast}\otimes V\rightarrow
\operatorname*{Hom}\left(  V,V\right)  ,$ $f\otimes v\mapsto\left(  x\mapsto
f\left(  x\right)  v\right)  $ ist ein Isomorphismus von Vektorr\"{a}umen.
Bezeichnen wir dessen Umkehrabbildung mit $\phi:\operatorname*{Hom}\left(
V,V\right)  \rightarrow V^{\ast}\otimes V,$ dann ist die Komposition%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
\operatorname*{Hom}\left(V,V\right) \ar[r]^{\phi} & V^{\ast}\otimes V \ar[r]^-{\text{Auswertung:}}_-{f\otimes v\mapsto f\left(v\right)} & k
}
\]
die Spurabbildung $\operatorname*{Tr}_{V}$.

\textbf{(b)} Sei $f\in\operatorname{End}V$ beliebig. Sei $n\in\mathbb{N}$.
F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ seien $f_{i}\in V^{\ast}$ und
$v_{i}\in V$ beliebig. Angenommen, f\"{u}r alle $v\in V$ gilt $f\left(
v\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}f_{i}\left(  v\right)  v_{i}$. Dann ist die
Spur des Endomorphismus $f\in\operatorname{End}V$ gleich $\operatorname*{Tr}%
_{V}f=\sum\limits_{i=1}^{n}f_{i}\left(  v_{i}\right)  $.

\textit{Beweis:} Laut Definition von $\phi$ ist $\phi$ die Umkehrabbildung der
$k$-linearen Abbildung $V^{\ast}\otimes V\rightarrow\operatorname*{Hom}\left(
V,V\right)  ,$ $f\otimes v\mapsto\left(  x\mapsto f\left(  x\right)  v\right)
$. Die Umkehrabbildung $\phi^{-1}$ von $\phi$ ist also wiederum die
$k$-lineare Abbildung $V^{\ast}\otimes V\rightarrow\operatorname*{Hom}\left(
V,V\right)  ,$ $f\otimes v\mapsto\left(  x\mapsto f\left(  x\right)  v\right)
$. Das hei\ss t, $\phi^{-1}\left(  f\otimes v\right)  =\left(  x\mapsto
f\left(  x\right)  v\right)  $ f\"{u}r alle $f\in V^{\ast}$ und $v\in V$. Wenn
wir in diesem Resultat $f$ und $v$ in $g$ und $w$ umbenennen, dann erhalten
wir: $\phi^{-1}\left(  g\otimes w\right)  =\left(  x\mapsto g\left(  x\right)
w\right)  $ f\"{u}r alle $g\in V^{\ast}$ und $w\in V$.

Sei $\operatorname{ev}:V^{\ast}\otimes V\rightarrow k$ die durch%
\[
\operatorname{ev}\left(  f\otimes v\right)  =f\left(  v\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }f\in V^{\ast}\text{ und }v\in V
\]
definierte $k$-lineare Abbildung. Dies ist die Abbildung, die in Bemerkung 3.8
\textbf{(a)} als "Auswertung" bezeichnet wurde.

\textbf{(a)} Um Bemerkung 3.8 \textbf{(a)} zu beweisen, m\"{u}ssen wir zeigen,
da\ss \ $\operatorname{ev}\circ\phi=\operatorname*{Tr}_{V}$ gilt (denn
$\operatorname{ev}$ ist die Abbildung $V^{\ast}\otimes V\rightarrow k$, die in
Bemerkung 3.8 \textbf{(a)} als "Auswertung" bezeichnet wurde).

Zuerst bemerken wir, da\ss \ $\operatorname{End}V=\operatorname{Hom}\left(
V,V\right)  $ ist; deshalb haben $\operatorname*{Tr}_{V}$ und $\phi$ die
gleiche Definitionsmenge.

Sei $f\in\operatorname{End}V$ beliebig.

Sei $\left(  w_{1},w_{2},...,w_{m}\right)  $ eine Basis von $V$, und sei
$\left(  e_{1},e_{2},...,e_{m}\right)  $ die zu ihr duale Basis von $V^{\ast}%
$. Dann ist $\left(  e_{i}\left(  f\left(  w_{j}\right)  \right)  \right)
_{1\leq i,j\leq m}$ die darstellende Matrix der Abbildung $f\in
\operatorname{End}V$ bez\"{u}glich der Basis $\left(  w_{1},w_{2}%
,...,w_{m}\right)  $. Somit ist die Spur von $f$ gleich der Spur dieser
Matrix. Das hei\ss t, die Spur von $f$ ist gleich $\operatorname*{Tr}\left(
\left(  e_{i}\left(  f\left(  w_{j}\right)  \right)  \right)  _{1\leq i,j\leq
m}\right)  =\sum\limits_{j=1}^{m}e_{j}\left(  f\left(  w_{j}\right)  \right)
$. Da $\operatorname*{Tr}_{V}f$ die Spur von $f$ ist, gilt also:
$\operatorname*{Tr}_{V}f=\sum\limits_{j=1}^{m}e_{j}\left(  f\left(
w_{j}\right)  \right)  $.

F\"{u}r jedes $j\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ sei nun $g_{j}\in V^{\ast}$
definiert durch $g_{j}=e_{j}\circ f$. Dann ist%
\begin{align*}
\phi^{-1}\left(  g_{j}\otimes w_{j}\right)   &  =\left(  x\mapsto
\underbrace{g_{j}}_{=e_{j}\circ f}\left(  x\right)  w_{j}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn f\"{u}r alle }g\in V^{\ast}\text{
und }w\in V\text{ gilt }\phi^{-1}\left(  g\otimes w\right)  =\left(  x\mapsto
g\left(  x\right)  w\right)  \right) \\
&  =\left(  x\mapsto\underbrace{\left(  e_{j}\circ f\right)  \left(  x\right)
}_{=e_{j}\left(  f\left(  x\right)  \right)  }w_{j}\right)  =\left(  x\mapsto
e_{j}\left(  f\left(  x\right)  \right)  w_{j}\right)
\end{align*}
f\"{u}r alle $j\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $. Also ist%
\begin{align*}
\phi^{-1}\left(  \sum_{j=1}^{m}g_{j}\otimes w_{j}\right)   &  =\sum_{j=1}%
^{m}\underbrace{\phi^{-1}\left(  g_{j}\otimes w_{j}\right)  }_{=\left(
x\mapsto e_{j}\left(  f\left(  x\right)  \right)  w_{j}\right)  }%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\phi^{-1}\text{ ist }k\text{-linear}%
\right) \\
&  =\sum_{j=1}^{m}\left(  x\mapsto e_{j}\left(  f\left(  x\right)  \right)
w_{j}\right)  =\left(  x\mapsto\underbrace{\sum_{j=1}^{m}e_{j}\left(  f\left(
x\right)  \right)  w_{j}}_{\substack{=f\left(  x\right)  \\\text{(denn
}\left(  w_{1},w_{2},...,w_{m}\right)  \text{ und}\\\left(  e_{1}%
,e_{2},...,e_{m}\right)  \text{ sind zueinander}\\\text{duale Basen)}%
}}\right)  =\left(  x\mapsto f\left(  x\right)  \right)  =f.
\end{align*}
Also ist $\sum\limits_{j=1}^{m}g_{j}\otimes w_{j}=\phi\left(  f\right)  $. Nun
ist%
\begin{align*}
\left(  \operatorname{ev}\circ\phi\right)  \left(  f\right)   &
=\operatorname{ev}\left(  \underbrace{\phi\left(  f\right)  }_{=\sum
\limits_{j=1}^{m}g_{j}\otimes w_{j}}\right)  =\operatorname{ev}\left(
\sum\limits_{j=1}^{m}g_{j}\otimes w_{j}\right) \\
&  =\sum\limits_{j=1}^{m}\underbrace{\operatorname{ev}\left(  g_{j}\otimes
w_{j}\right)  }_{\substack{=g_{j}\left(  w_{j}\right)  \\\text{(nach der
Definition von }\operatorname{ev}\text{)}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{denn }\operatorname{ev}\text{ ist }k\text{-linear}\right) \\
&  =\sum\limits_{j=1}^{m}\underbrace{g_{j}}_{=e_{j}\circ f}\left(
w_{j}\right)  =\sum\limits_{j=1}^{m}\underbrace{\left(  e_{j}\circ f\right)
\left(  w_{j}\right)  }_{=e_{j}\left(  f\left(  w_{j}\right)  \right)  }%
=\sum\limits_{j=1}^{m}e_{j}\left(  f\left(  w_{j}\right)  \right)
=\operatorname*{Tr}\nolimits_{V}f.
\end{align*}
Da dies f\"{u}r alle $f\in\operatorname{End}V$ bewiesen wurde, gilt also
$\operatorname{ev}\circ\phi=\operatorname*{Tr}_{V}$. Damit ist Bemerkung 3.8
\textbf{(a)} gezeigt.

\textbf{(b)} Nach Bemerkung 3.8 \textbf{(a)} gilt $\operatorname{ev}\circ
\phi=\operatorname*{Tr}_{V}$ (denn $\operatorname{ev}$ ist die Abbildung
$V^{\ast}\otimes V\rightarrow k$, die in Bemerkung 3.8 \textbf{(a)} als
"Auswertung" bezeichnet wurde). F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}
$ ist%
\begin{align*}
\phi^{-1}\left(  f_{i}\otimes v_{i}\right)   &  =\left(  x\mapsto f_{i}\left(
x\right)  v_{i}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn f\"{u}r alle }g\in V^{\ast}\text{
und }w\in V\text{ gilt }\phi^{-1}\left(  g\otimes w\right)  =\left(  x\mapsto
g\left(  x\right)  w\right)  \right) \\
&  =\left(  v\mapsto f_{i}\left(  v\right)  v_{i}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{hier haben wir }x\text{ durch }v\text{
substituiert}\right)  .
\end{align*}
Nun ist%
\begin{align*}
\phi^{-1}\left(  \sum\limits_{i=1}^{n}f_{i}\otimes v_{i}\right)   &
=\sum\limits_{i=1}^{n}\underbrace{\phi^{-1}\left(  f_{i}\otimes v_{i}\right)
}_{=\left(  v\mapsto f_{i}\left(  v\right)  v_{i}\right)  }%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\phi^{-1}\text{ ist }k\text{-linear}%
\right) \\
&  =\sum\limits_{i=1}^{n}\left(  v\mapsto f_{i}\left(  v\right)  v_{i}\right)
=\left(  v\mapsto\underbrace{\sum\limits_{i=1}^{n}f_{i}\left(  v\right)
v_{i}}_{=f\left(  v\right)  }\right)  =\left(  v\mapsto f\left(  v\right)
\right)  =f,
\end{align*}
also $\sum\limits_{i=1}^{n}f_{i}\otimes v_{i}=\phi\left(  f\right)  $.

Nach der Definition von $\operatorname*{Tr}_{V}$ ist nun%
\begin{align*}
&  \left(  \text{Spur des Endomorphismus }f\right) \\
&  =\underbrace{\operatorname*{Tr}\nolimits_{V}}_{=\operatorname{ev}\circ\phi
}f=\left(  \operatorname{ev}\circ\phi\right)  \left(  f\right)
=\operatorname{ev}\left(  \underbrace{\phi\left(  f\right)  }_{=\sum
\limits_{i=1}^{n}f_{i}\otimes v_{i}}\right)  =\operatorname{ev}\left(
\sum\limits_{i=1}^{n}f_{i}\otimes v_{i}\right) \\
&  =\sum\limits_{i=1}^{n}\underbrace{\operatorname{ev}\left(  f_{i}\otimes
v_{i}\right)  }_{\substack{=f_{i}\left(  v_{i}\right)  \\\text{(nach der
Definition von }\operatorname{ev}\text{)}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{denn }\operatorname{ev}\text{ ist }k\text{-linear}\right) \\
&  =\sum\limits_{i=1}^{n}f_{i}\left(  v_{i}\right)  .
\end{align*}
Damit ist Bemerkung 3.8 \textbf{(b)} bewiesen.

\textbf{3.8}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{.
Bemerkung:} Bemerkung 3.8 ist uns deshalb wichtig, weil wir sie im Beweis von
Lemma 3.9 verwenden werden. Sie hat allerdings auch eine weitere wichtige
Bedeutung in der Algebra: Durch Bemerkung 3.8 \textbf{(a)} l\"{a}\ss t sich
der Begriff der Spur eines Endomorphismus eines endlich erzeugten projektiven
Moduls \"{u}ber einem kommutativen Ring definieren. Genauer:

Die Spur eines Endomorphismus $f$ eines endlichdimensionalen Vektorraumes $V$
\"{u}ber einem K\"{o}rper $k$ wird bekanntlich definiert als die Summe der
Diagonalelemente der darstellenden Matrix von $f$ bez\"{u}glich einer Basis
von $V$. Diese Definition l\"{a}\ss t sich nicht auf den Fall eines endlich
erzeugten projektiven Moduls \"{u}ber einem kommutativen Ring \"{u}bertragen,
da projektive Moduln im Allgemeinen keine Basen haben. F\"{u}r projektive
Moduln definiert man die Spur daher folgenderma\ss en:

Ist $R$ ein kommutativer Ring, und $P$ ein endlich erzeugter projektiver
$R$-Modul, dann ist die $R$-lineare Abbildung%
\[
P^{\ast}\otimes_{R}P\rightarrow\operatorname{Hom}_{R}\left(  P,P\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\otimes v\mapsto\left(  x\mapsto f\left(  x\right)
v\right)
\]
ein Isomorphismus von $R$-Moduln, wobei $P^{\ast}$ den $R$-Modul
$\operatorname{Hom}_{R}\left(  P,R\right)  $ bezeichnet.\footnote{Allgemeiner
gilt: Ist $R$ ein kommutativer Ring, und sind $P$ und $Q$ zwei $R$-Moduln, von
denen mindestens einer endlich erzeugt und projektiv ist, dann ist die
Abbildung%
\[
P^{\ast}\otimes_{R}Q\rightarrow\operatorname{Hom}_{R}\left(  P,Q\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\otimes v\mapsto\left(  x\mapsto f\left(  x\right)
v\right)
\]
ein Isomorphismus von $R$-Moduln. Wir wollen dies hier nicht beweisen.}
Bezeichnen wir dessen Umkehrabbildung mit $\phi_{P}:\operatorname{Hom}%
_{R}\left(  P,P\right)  \rightarrow P^{\ast}\otimes_{R}P,$ dann bezeichnet man
die Komposition%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
\operatorname*{Hom}_R\left(P,P\right) \ar[r]^{\phi_P} & P^{\ast}\otimes_R P \ar[r]^-{\text{Auswertung:}}_-{f\otimes v\mapsto f\left(v\right)} & R
}
\]
als die \textit{Spurabbildung} $\operatorname*{Tr}_{P}$. Diese Definition der
Spurabbildung $\operatorname*{Tr}_{P}$ steht nicht im Konflikt mit der
Definition der Spurabbildung $\operatorname*{Tr}_{V}$ in Bemerkung 3.8, denn
(gem\"{a}\ss \ Bemerkung 3.8 \textbf{(a)}) sind diese beiden Definitionen im
Falle eines endlichdimensionalen Vektorraumes \"{u}ber einem K\"{o}rper
zueinander \"{a}quivalent. Bemerkung 3.8 \textbf{(b)} verallgemeinert sich auf
den Fall eines endlich erzeugten projektiven Moduls \"{u}ber einem
kommutativen Ring.

\textbf{3.9. Lemma:} Sei $H$ eine Frobeniusalgebra mit Frobeniushomomorphismus
$f$ und dualen Erzeugendensystemen $\left(  x_{i},y_{i}\right)  _{1\leq i\leq
n}.$

\textbf{1)} Ist $\varphi\in\operatorname*{End}_{k}H,$ dann ist
$\operatorname*{Tr}\varphi=\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(  \varphi\left(
y_{i}\right)  x_{i}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(  y_{i}\varphi\left(
x_{i}\right)  \right)  .$

\textbf{2)} Seien $\alpha\in k$ und $e\in H$ so gew\"{a}hlt, da\ss \ $e^{2}%
=\alpha e$ ist. Sei $\varphi\in\operatorname*{End}_{k}\left(  eH\right)  .$
Dann ist $\alpha\operatorname*{Tr}_{eH}\varphi=\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(
\varphi\left(  ey_{i}\right)  x_{i}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(
y_{i}\varphi\left(  ex_{i}\right)  \right)  $.

\textit{Beweis:} \textbf{1)} ist offensichtlich ein Spezialfall von
\textbf{2)} (f\"{u}r $e=1$ und $\alpha=1$).

\textit{Beweis von \textbf{2)}:} F\"{u}r alle $x\in H$ ist $ex=\sum
\limits_{i=1}^{n}x_{i}f\left(  y_{i}ex\right)  $ (da $\left(  x_{i}%
,y_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}$ duale Erzeugendensysteme sind).
Multiplikation dieser Gleichung mit $e$ ergibt%
\[
\underbrace{e^{2}}_{=\alpha e}x=\sum\limits_{i=1}^{n}ex_{i}f\left(
y_{i}ex\right)  .
\]
Auf beide Seiten dieser Gleichung k\"{o}nnen wir nun $\varphi$ anwenden, und
bekommen%
\[
\alpha\varphi\left(  ex\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi\left(
ex_{i}\right)  f\left(  y_{i}ex\right)  .
\]
Hieraus folgt, da\ss
\[
\alpha\varphi\left(  v\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi\left(
ex_{i}\right)  f\left(  y_{i}v\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle
}v\in eH
\]
(denn jedes $v\in eH$ l\"{a}\ss t sich in der Form $v=ex$ f\"{u}r ein $x\in H$
schreiben). Nach 3.8. \textbf{(b)} (angewandt auf $eH$, $\alpha\varphi$,
$x\mapsto f\left(  y_{i}x\right)  $ und $\varphi\left(  ex_{i}\right)  $ statt
$V$, $f$, $f_{i}$ und $v_{i}$) folgt hieraus $\operatorname*{Tr}_{eH}\left(
\alpha\varphi\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(  y_{i}\varphi\left(
ex_{i}\right)  \right)  ,$ also $\alpha\operatorname*{Tr}_{eH}\varphi
=\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(  y_{i}\varphi\left(  ex_{i}\right)  \right)  .$

Ebenso zeigt man f\"{u}r alle $x\in H$ die Gleichung $ex=\sum\limits_{i=1}%
^{n}f\left(  exx_{i}\right)  y_{i}$ und folgert daraus $\alpha
\operatorname*{Tr}_{eH}\varphi=\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(  \varphi\left(
ey_{i}\right)  x_{i}\right)  .$ Damit ist 3.9. bewiesen.

\textbf{3.9}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{. Lemma:}
Sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra. Sei $0\neq\lambda\in
\operatorname*{I}_{l}\left(  H^{\ast}\right)  ,$ und sei $\Lambda\in H$ so
gew\"{a}hlt, da\ss \ $\lambda\Lambda=\varepsilon$ ist. (So ein $\Lambda$
existiert nach 1.5. \textbf{3)}.)

\textbf{1)} Ist $\varphi\in\operatorname*{End}_{k}H,$ dann ist
$\operatorname*{Tr}\varphi=\lambda\left(  \varphi\left(  \Lambda_{\left(
2\right)  }\right)  S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \right)
=\lambda\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\varphi\left(  S\left(
\Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \right)  .$

\textbf{2)} Seien $\alpha\in k$ und $e\in H$ so gew\"{a}hlt, da\ss \ $e^{2}%
=\alpha e$ ist. Sei $\varphi\in\operatorname*{End}_{k}\left(  eH\right)  .$
Dann ist $\alpha\operatorname*{Tr}_{eH}\varphi=\lambda\left(  \varphi\left(
e\Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)
}\right)  \right)  =\lambda\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\varphi\left(
eS\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \right)  $.

\textit{Beweis:} Nach Folgerung 1.10. ist $H$ eine Frobeniusalgebra, und
$\lambda$ ein Frobeniushomomorphismus von $H$ mit dualen Erzeugendensystemen
$\left(  S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  ,\Lambda_{\left(
2\right)  }\right)  $. Somit folgen s\"{a}mtliche Aussagen von Lemma
3.9$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ aus Lemma 3.9 (angewandt auf $\lambda$ und
$\left(  S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  ,\Lambda_{\left(
2\right)  }\right)  $ statt $f$ und $\left(  x_{i},y_{i}\right)  _{1\leq i\leq
n}$).

\textbf{3.10. Satz:} Sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra. Sei
$0\neq\lambda\in\operatorname*{I}_{l}\left(  H^{\ast}\right)  ,$ und sei
$\Lambda\in H$ so gew\"{a}hlt, da\ss \ $\lambda\Lambda=\varepsilon$ ist. (So
ein $\Lambda$ existiert nach 1.5. \textbf{3)}.)

\textbf{1)} Dann ist $\operatorname*{Tr}_{H}\left(  S^{2}\right)
=\lambda\left(  1\right)  \varepsilon\left(  \Lambda\right)  .$ (Dies ist
bekannt als die \textit{1. Spurformel}.)

\textbf{2)} F\"{u}r alle $e\in H$ und $\alpha\in k,$ die $e^{2}=\alpha e$ und
$S^{2}\left(  e\right)  =e$ erf\"{u}llen, gilt $\alpha\operatorname*{Tr}%
_{eH}\left(  S^{2}\mid_{eH}\right)  =\varepsilon\left(  \Lambda\right)
\lambda\left(  e\right)  .$

\textit{Beweis:} \textbf{1)} folgt aus \textbf{2)} f\"{u}r $e=1$ und
$\alpha=1.$

\textit{Beweis von \textbf{2)}:} Nach Lemma 3.9$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$.
\textbf{2)} (angewandt auf $\varphi=S^{2}\mid_{eH}$) ist%
\begin{align*}
\alpha\operatorname*{Tr}\nolimits_{eH}\left(  S^{2}\mid_{eH}\right)   &
=\lambda\left(  \underbrace{S^{2}\left(  e\Lambda_{\left(  2\right)  }\right)
}_{=S^{2}\left(  e\right)  S^{2}\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\right)
}S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  =\lambda\left(
\underbrace{S^{2}\left(  e\right)  }_{=e}\underbrace{S^{2}\left(
\Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)
}\right)  }_{=S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }S\left(  \Lambda_{\left(
2\right)  }\right)  \right)  }\right) \\
&  =\lambda\left(  eS\left(  \underbrace{\Lambda_{\left(  1\right)  }S\left(
\Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\varepsilon\left(  \Lambda\right)
\cdot1}\right)  \right)  =\lambda\left(  e\varepsilon\left(  \Lambda\right)
\right)  =\varepsilon\left(  \Lambda\right)  \lambda\left(  e\right)  ,
\end{align*}
was zu beweisen war.

\textbf{3.11. Folgerung:} Sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra.

\textbf{1)} Dann ist $\operatorname*{Tr}_{H}\left(  S^{2}\right)  \neq0$ genau
dann, wenn $H$ und $H^{\ast}$ halbeinfach sind.

\textbf{2)} Wenn $\left(  \dim H\right)  \cdot1_{k}\neq0$ und $S_{H}%
^{2}=\operatorname*{id}$, dann sind $H$ und $H^{\ast}$ halbeinfach.

\textit{Beweis:} \textbf{1)} W\"{a}hle ein $0\neq\lambda\in\operatorname*{I}%
\nolimits_{l}\left(  H^{\ast}\right)  $. (So ein $\lambda$ existiert laut
Folgerung 1.5. \textbf{1)} (angewandt auf $H^{\ast}$ statt $H$).) W\"{a}hle
nun ein $\Lambda\in H$, das $\lambda\Lambda=\varepsilon$ erf\"{u}llt. (So ein
$\Lambda$ existiert nach Folgerung 1.5. \textbf{3)}.) Nach Folgerung 1.6.
\textbf{1)} ist dann $0\neq\Lambda\in\operatorname*{I}\nolimits_{r}\left(
H\right)  $.

Gem\"{a}\ss \ Folgerung 1.5. \textbf{4)} (angewandt auf $H^{\ast}$ statt $H$)
ist $S_{H^{\ast}}\left(  \operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H^{\ast
}\right)  \right)  =\operatorname*{I}\nolimits_{r}\left(  H^{\ast}\right)  $.
Aus $\lambda\in\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H^{\ast}\right)  $ folgt
nun $S_{H^{\ast}}\left(  \lambda\right)  \in S_{H^{\ast}}\left(
\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H^{\ast}\right)  \right)
=\operatorname*{I}\nolimits_{r}\left(  H^{\ast}\right)  $. Da $S_{H^{\ast}%
}\left(  \lambda\right)  =\lambda\circ S_{H}$ ist, ist also $\lambda\circ
S_{H}\in\operatorname*{I}\nolimits_{r}\left(  H^{\ast}\right)  $.

Gem\"{a}\ss \ Satz 3.6. \textbf{a)} ist $H$ genau dann halbeinfach, wenn
$\varepsilon\left(  \Lambda\right)  \neq0$ ist.

Doch bekanntlich ist $\eta^{\ast}:H^{\ast}\rightarrow k$ die Coeins der
Hopfalgebra $H^{\ast}$, wobei $\eta:k\rightarrow H$ die Einsabbildung der
Hopfalgebra $H$ ist. Gem\"{a}\ss \ Satz 3.6. \textbf{a)} (angewandt auf
$H^{\ast}$ und $\lambda\circ S_{H}$ statt $H$ und $\Lambda$) ist also
$H^{\ast}$ genau dann halbeinfach, wenn $\eta^{\ast}\left(  \lambda\circ
S_{H}\right)  \neq0$ ist (denn wegen $\lambda\neq0$ ist $\lambda\circ
S_{H}\neq0$, und wir wissen da\ss \ $\lambda\circ S_{H}\in\operatorname*{I}%
\nolimits_{r}\left(  H^{\ast}\right)  $ ist). Da $\eta^{\ast}\left(
\lambda\circ S_{H}\right)  =\left(  \lambda\circ S_{H}\right)  \left(
1\right)  =\lambda\left(  \underbrace{S_{H}\left(  1\right)  }_{=1}\right)
=\lambda\left(  1\right)  $ ist, wissen wir damit: Genau dann ist $H^{\ast}$
halbeinfach, wenn $\lambda\left(  1\right)  \neq0$ ist.

Wir wissen damit insgesamt: Genau dann sind $H$ und $H^{\ast}$ halbeinfach,
wenn $\varepsilon\left(  \Lambda\right)  \neq0$ und $\lambda\left(  1\right)
\neq0$ ist. Das hei\ss t: Genau dann sind $H$ und $H^{\ast}$ halbeinfach, wenn
$\lambda\left(  1\right)  \varepsilon\left(  \Lambda\right)  \neq0$ ist. Da
nun aber $\operatorname*{Tr}_{H}\left(  S^{2}\right)  =\lambda\left(
1\right)  \varepsilon\left(  \Lambda\right)  $ gilt (nach 3.10. \textbf{1)}),
ist damit Folgerung 3.11 \textbf{1)} gezeigt.

\textbf{2)} Dies folgt aus \textbf{1)}, denn $\operatorname*{Tr}%
\nolimits_{H}\operatorname*{id}=\left(  \dim H\right)  \cdot1_{k}$.

\textbf{3.12. Bemerkung:} Aus 3.11. folgt ein Spezialfall des Struktursatzes
cokommutativer Hopfalgebren (Folgerung 4.13 aus Kapitel II):

Ist $k$ ein algebraisch abgeschlossener K\"{o}rper mit $\operatorname*{char}%
k=0,$ und ist $H$ eine endlichdimensionale cokommutative Hopfalgebra, dann
gibt es eine endliche Gruppe $G$, f\"{u}r die $H$ isomorph zur Gruppenalgebra
$k\left[  G\right]  $ ist.

\textit{Beweis:} Da $H^{\ast}$ eine endlichdimensionale kommutative
Hopfalgebra ist, gilt $S_{H^{\ast}}^{2}=\operatorname*{id}.$ Ferner ist
$\left(  \dim H\right)  \cdot1_{k}\neq0$ (denn $\operatorname*{char}k=0$).
Nach 3.11. \textbf{2)} ist also $H^{\ast}$ halbeinfach. Nach Wedderburn-Artin
folgt daraus $H^{\ast}\cong k^{n}$ als Algebren, wobei $n=\dim H$ (weil $k$
algebraisch abgeschlossen ist). Wegen $G\left(  H\right)  \cong%
\operatorname*{Alg}\left(  H^{\ast},k\right)  $ ist also $\left\vert G\left(
H\right)  \right\vert =\left\vert \operatorname*{Alg}\left(  H^{\ast
},k\right)  \right\vert =\left\vert \operatorname*{Alg}\left(  k^{n},k\right)
\right\vert =n=\dim H,$ und somit ist $H=k\left[  G\left(  H\right)  \right]
$ (denn $G\left(  H\right)  $ ist linear unabh\"{a}ngig).

\textbf{N\"{a}chste Ziele:} Als n\"{a}chstes haben wir vor, zu beweisen:

\textbf{A)} Sind $H$ und $H^{\ast}$ halbeinfach, dann ist $\left(  \dim
H\right)  \cdot1_{k}\neq0.$

\textbf{B)} Wenn $\operatorname*{char}k=0$ ist, dann sind folgende Aussagen \"{a}quivalent:

\textbf{a)} Die Algebra $H$ ist halbeinfach.

\textbf{b)} Die Algebra $H^{\ast}$ ist halbeinfach.

\textbf{c)} Es gilt $S^{2}=\operatorname*{id}.$

F\"{u}r die Beweise dieser Resultate brauchen wir die Theorie der Charaktere.

\textbf{Definition:} Sei $H$ eine Algebra, und sei $V\in\left.  _{H}%
\mathcal{M}\right.  $ ein (\"{u}ber $k$) endlichdimensionaler $H$-Linksmodul.
Dann definieren wir ein $\chi_{V}\in H^{\ast}$ wie folgt: F\"{u}r jedes $h\in
H$ sei $\chi_{V}\left(  h\right)  =\operatorname*{Tr}_{V}L_{h},$ wobei
$L_{h}:V\rightarrow V$ die Linksmultiplikation mit $h$ ist (also die
$k$-lineare Abbildung $V\rightarrow V,$ $v\mapsto hv$). (Man bezeichnet
$L_{h}$ auch \"{o}fters mit $\widehat{h}.$)

Dieses Element $\chi_{V}\in H^{\ast}$ hei\ss t \textit{Charakter} von $V.$

\textbf{3.13. Lemma:} Sei $H$ eine Hopfalgebra, und seien $V,W\in\left.
_{H}\mathcal{M}\right.  $ zwei (\"{u}ber $k$) endlichdimensionale $H$-Linksmoduln.

\textbf{1)} Wenn $V\cong W$ als $H$-Linksmoduln gilt, dann ist $\chi_{V}%
=\chi_{W}$.

\textbf{2)} Es gilt $\chi_{V}\left(  1\right)  =\dim V.$

\textbf{3)} Es gilt $\chi_{V\oplus W}=\chi_{V}+\chi_{W}.$

\textbf{4)} Es gilt $\chi_{V\otimes W}=\chi_{V}\chi_{W}$ in $H^{\ast}$ (wobei
das Produkt in $H^{\ast},$ wie immer, die Konvolution ist).

\textbf{5)} F\"{u}r jedes $\varphi\in\operatorname*{End}_{k}V$ ist
$\operatorname*{Tr}_{V}\varphi=\operatorname*{Tr}_{V^{\ast}}\left(
\varphi^{\ast}\right)  .$

\textbf{6)} Es gilt $\chi_{V^{\ast}}=\chi_{V}\circ S=S^{\ast}\left(  \chi
_{V}\right)  .$ (Falls $\dim H<\infty$ ist, gilt $S^{\ast}=S_{H^{\ast}}.$)

\textbf{7)} F\"{u}r den $H$-Linksmodul $k$ gilt $\chi_{k}=\varepsilon$.

\textit{Bemerkung:} Die Umkehrung der Aussage \textbf{1)} gilt nicht immer,
aber unter manchen Bedingungen doch. (Beispielsweise gilt: Sind $V$ und $W$
zwei $H$-Linksmoduln mit $\chi_{V}=\chi_{W},$ und ist $H$ halbeinfach und gilt
$\operatorname*{char}k=0,$ dann gilt $V\cong W$ als $H$-Linksmoduln.)

\textit{Beweis von Lemma 3.13.:} \textbf{1)}, \textbf{2)}, \textbf{3)} und
\textbf{7)} sind klar.

\textbf{4)} \textbf{a)} Zeige: F\"{u}r jede $\varphi\in\operatorname*{End}%
_{k}V$ und $\psi\in\operatorname*{End}_{k}W$ ist $\operatorname*{Tr}_{V\otimes
W}\left(  \varphi\otimes\psi\right)  =\operatorname*{Tr}_{V}\varphi
\cdot\operatorname*{Tr}_{W}\psi.$

\textit{Beweis:} Sei $\left(  v_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}$ eine Basis von
$V,$ und sei $\left(  w_{j}\right)  _{1\leq j\leq m}$ eine Basis von $W.$ Sei
$\varphi\left(  v_{j}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i,j}v_{i}$ und
$\psi\left(  w_{l}\right)  =\sum\limits_{k=1}^{m}\beta_{k,l}w_{k}.$ Dann ist%
\[
\left(  \varphi\otimes\psi\right)  \left(  v_{j}\otimes w_{l}\right)
=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{k=1}^{m}\alpha_{i,j}v_{i}\otimes\beta
_{k,l}w_{k}=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{k=1}^{m}\alpha_{i,j}\beta
_{k,l}v_{i}\otimes w_{k}.
\]
Also ist%
\[
\operatorname*{Tr}\nolimits_{V\otimes W}\left(  \varphi\otimes\psi\right)
=\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{l=1}^{m}\alpha_{j,j}\beta_{l,l}%
=\underbrace{\sum\limits_{j=1}^{n}\alpha_{j,j}}_{=\operatorname*{Tr}%
\nolimits_{V}\varphi}\underbrace{\sum\limits_{l=1}^{m}\beta_{l,l}%
}_{=\operatorname*{Tr}\nolimits_{W}\psi}=\operatorname*{Tr}\nolimits_{V}%
\varphi\cdot\operatorname*{Tr}\nolimits_{W}\psi.
\]


\textbf{b)} Nach \textbf{a)} gilt f\"{u}r alle $h\in H$ die Beziehung%
\[
\operatorname*{Tr}\nolimits_{V\otimes W}\left(  L_{h_{\left(  1\right)  }%
}\otimes L_{h_{\left(  2\right)  }}\right)  =\operatorname*{Tr}\nolimits_{V}%
L_{h_{\left(  1\right)  }}\cdot\operatorname*{Tr}\nolimits_{W}L_{h_{\left(
2\right)  }}=\chi_{V}\left(  h_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot\chi
_{W}\left(  h_{\left(  2\right)  }\right)  =\left(  \chi_{V}\chi_{W}\right)
\left(  h\right)  ,
\]
aber andererseits ist%
\begin{align*}
\operatorname*{Tr}\nolimits_{V\otimes W}\left(  L_{h_{\left(  1\right)  }%
}\otimes L_{h_{\left(  2\right)  }}\right)   &  =\operatorname*{Tr}%
\nolimits_{V\otimes W}\left(  V\otimes W\rightarrow V\otimes W,\ v\otimes
w\mapsto\left(  h_{\left(  1\right)  }\otimes h_{\left(  2\right)  }\right)
\left(  v\otimes w\right)  \right) \\
&  =\operatorname*{Tr}\nolimits_{V\otimes W}L_{h_{\left(  1\right)  }\otimes
h_{\left(  2\right)  }}=\operatorname*{Tr}\nolimits_{V\otimes W}L_{h},
\end{align*}
was zu beweisen war.

\textbf{5)} Sei $\left(  v_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}$ eine Basis von $V.$
Sei $\varphi\left(  v_{j}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i,j}v_{i}.$
Sei $\left(  f_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}$ die zu $\left(  v_{i}\right)
_{1\leq i\leq n}$ duale Basis von $V^{\ast}.$ Dann ist%
\begin{align*}
\left(  \varphi^{\ast}\left(  f_{l}\right)  \right)  \left(  v_{j}\right)   &
=f_{l}\left(  \underbrace{\varphi\left(  v_{j}\right)  }_{=\sum\limits_{i=1}%
^{n}\alpha_{i,j}v_{i}}\right)  =f_{l}\left(  \sum\limits_{i=1}^{n}\alpha
_{i,j}v_{i}\right) \\
&  =\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i,j}\underbrace{f_{l}\left(  v_{i}\right)
}_{\substack{=\delta_{l,i}\text{ (da }\left(  f_{i}\right)  _{1\leq i\leq
n}\text{ die zu}\\\left(  v_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}\text{ duale Basis von
}V^{\ast}\text{ ist)}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i,j}\delta_{l,i}%
=\alpha_{l,j}.
\end{align*}
Also ist $\varphi^{\ast}\left(  f_{l}\right)  =\sum\limits_{k=1}^{n}%
\alpha_{l,k}f_{k},$ und damit $\operatorname*{Tr}_{V^{\ast}}\left(
\varphi^{\ast}\right)  =\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_{k,k}=\operatorname*{Tr}%
_{V}\varphi.$

\textbf{6)} Sei $h\in H.$ Dann ist $\chi_{V^{\ast}}\left(  h\right)
=\operatorname*{Tr}\nolimits_{V^{\ast}}\left(  L_{h}:V^{\ast}\rightarrow
V^{\ast}\right)  .$ Die Abbildung $L_{h}:V^{\ast}\rightarrow V^{\ast}$ bildet
dabei jedes $f\in V^{\ast}$ auf $hf\in V^{\ast}$ ab, wobei $hf:V\rightarrow k$
die lineare Abbildung ist, die jedes $v\in V$ in $f\left(  S\left(  h\right)
v\right)  $ \"{u}berf\"{u}hrt. Wir haben also $L_{h}=L_{S\left(  h\right)
}^{\ast}.$ Damit ist%
\begin{align*}
\chi_{V^{\ast}}\left(  h\right)   &  =\operatorname*{Tr}\nolimits_{V^{\ast}%
}\left(  L_{h}:V^{\ast}\rightarrow V^{\ast}\right) \\
&  =\operatorname*{Tr}\nolimits_{V^{\ast}}\left(  L_{S\left(  h\right)
}^{\ast}:V^{\ast}\rightarrow V^{\ast}\right)  =\operatorname*{Tr}%
\nolimits_{V}\left(  L_{S\left(  h\right)  }:V\rightarrow V\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach \textbf{5)}}\right) \\
&  =\chi_{V}\left(  S\left(  h\right)  \right)  ,
\end{align*}
was zu beweisen war.

\textbf{Definition:} Sei $H$ eine Hopfalgebra. Die Menge $R\left(  H\right)
=\left\{  \chi_{V}\mid V\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  \text{ mit }\dim
V<\infty\right\}  $ ist ein Unterring von $H^{\ast}$ und hei\ss t
\textit{Charakterring} von $H.$

\textbf{3.14. Bemerkung:} Da\ss \ $R\left(  H\right)  $ tats\"{a}chlich ein
Unterring von $H^{\ast}$ ist, folgt aus 3.13. (genauer gesagt, aus 3.13.
\textbf{3)}, \textbf{4)} und \textbf{7)}).

Eine wichtige Strategie bei der Untersuchung halbeinfacher Hopfalgebren
besteht darin, von Eigenschaften des Charakterrings $R\left(  H\right)  $ auf
Eigenschaften von $H$ zu schlie\ss en.

\textbf{3.15. Lemma:} Sei $H$ eine Hopfalgebra, und sei $V\in\left.
_{H}\mathcal{M}\right.  .$ Sei $_{\varepsilon}V$ der triviale $H$-Modul auf
dem Vektorraum $V$ (das hei\ss t, als Vektorraum ist $_{\varepsilon}V=V,$ aber
jedes $h\in H$ operiert auf $_{\varepsilon}V$ durch $hv=\varepsilon\left(
h\right)  v$ f\"{u}r alle $v\in\left.  _{\varepsilon}V\right.  $).

\textbf{1)} Dann ist%
\begin{align*}
H\otimes\left.  _{\varepsilon}V\right.   &  \rightarrow H\otimes V,\\
h\otimes v  &  \mapsto h_{\left(  1\right)  }\otimes h_{\left(  2\right)  }v
\end{align*}
ein Isomorphismus von $H$-Linksmoduln.

\textbf{2)} F\"{u}r jeden projektiven $H$-Linksmodul $P$ ist der
$H$-Linksmodul $P\otimes V$ ebenfalls projektiv.

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Die Abbildung
\begin{align*}
H\otimes\left.  _{\varepsilon}V\right.   &  \rightarrow H\otimes V,\\
h\otimes v  &  \mapsto h_{\left(  1\right)  }\otimes h_{\left(  2\right)  }v
\end{align*}
ist offenbar $H$-linear.

Die Umkehrabbildung ist%
\begin{align*}
H\otimes V  &  \rightarrow H\otimes\left.  _{\varepsilon}V\right.  ,\\
h\otimes v  &  \mapsto h_{\left(  1\right)  }\otimes S\left(  h_{\left(
2\right)  }\right)  v,
\end{align*}
denn Hintereinanderausf\"{u}hrung ergibt%
\begin{align*}
h\otimes v  &  \mapsto h_{\left(  1\right)  }\otimes h_{\left(  2\right)
}v\mapsto h_{\left(  1\right)  }\otimes S\left(  h_{\left(  2\right)
}\right)  h_{\left(  3\right)  }v=h\otimes v\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\\
h\otimes v  &  \mapsto h_{\left(  1\right)  }\otimes S\left(  h_{\left(
2\right)  }\right)  v\mapsto h_{\left(  1\right)  }\otimes h_{\left(
2\right)  }S\left(  h_{\left(  3\right)  }\right)  v=h\otimes v.
\end{align*}


\textbf{2)} folgt aus \textbf{1)}, denn: Seien $P,Q\in\left.  _{H}%
\mathcal{M}\right.  $ so, da\ss \ $P\oplus Q\cong H^{\left(  I\right)  }$ ein
freier $H$-Modul ist. Dann ist%
\begin{align*}
\left(  P\otimes V\right)  \oplus\left(  Q\otimes V\right)   &  \cong%
\underbrace{\left(  P\oplus Q\right)  }_{\cong H^{\left(  I\right)  }}\otimes
V\cong H^{\left(  I\right)  }\otimes V\cong\left(  H\otimes V\right)
^{\left(  I\right)  }\\
&  \cong\left(  H\otimes\left.  _{\varepsilon}V\right.  \right)  ^{\left(
I\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach \textbf{1)}}\right) \\
&  \cong H^{\left(  I\right)  }\otimes\underbrace{\left.  _{\varepsilon
}V\right.  }_{\cong k^{\left(  \dim V\right)  }}\cong H^{\left(  I\right)
}\otimes k^{\left(  \dim V\right)  }\cong\left(  H^{\left(  I\right)
}\right)  ^{\left(  \dim V\right)  }%
\end{align*}
(wobei die $H$-Linksmodulstruktur auf $k$ durch $h\cdot\lambda=\varepsilon
\left(  h\right)  \cdot\lambda$ f\"{u}r alle $h\in H$ und $\lambda\in k$
definiert ist), und somit ist $P\otimes V$ projektiv.

\textbf{3.16. Lemma:} Sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra. Sei
$\chi_{H}$ der Charakter der regul\"{a}ren Darstellung, also des kanonischen
$H$-Linksmoduls $H.$

\textbf{1)} Dann gilt $\chi_{H}^{2}=\dim H\cdot\chi_{H}.$

\textbf{2)} Ferner gilt $S_{H^{\ast}}^{2}\left(  \chi_{H}\right)  =\chi
_{H}\circ S^{2}=\chi_{H}.$

\textbf{3)} F\"{u}r alle $\Lambda\in\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  $
und $\Gamma\in\operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)  $ ist $\chi_{H}\left(
\Lambda\right)  =\varepsilon\left(  \Lambda\right)  $ und $\chi_{H}\left(
\Gamma\right)  =\varepsilon\left(  \Gamma\right)  .$

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Nach 3.15. \textbf{1)} ist $H\otimes\left.
_{\varepsilon}H\right.  \cong H\otimes H$ in $_{H}\mathcal{M}.$ Aber
$H\otimes\left.  _{\varepsilon}H\right.  \cong H^{\dim H}$ in $_{H}%
\mathcal{M}$ (denn der $H$-Linksmodul $\left.  _{\varepsilon}H\right.  $ ist
trivial, also eine direkte Summe von $\dim H$ Untermoduln, die jeweils
isomorph zu $_{\varepsilon}k$ sind, und $H\otimes\left.  _{\varepsilon
}k\right.  \cong H$ in $_{H}\mathcal{M}$). Also ist $H^{\dim H}\cong H\otimes
H$ in $_{H}\mathcal{M}.$ Nach 3.13. \textbf{1)} ist also $\chi_{H^{\dim H}%
}=\chi_{H\otimes H}$. Nach 3.13. \textbf{3)} ist aber $\chi_{H^{\dim H}}=\dim
H\cdot\chi_{H}$, und nach 3.13. \textbf{4)} ist $\chi_{H\otimes H}=\chi
_{H}^{2}.$ Daraus folgt $\dim H\cdot\chi_{H}=\chi_{H}^{2}.$

\textbf{2)} Allgemeiner gilt f\"{u}r jeden Algebraautomorphismus
$\varphi:H\rightarrow H$ die Gleichung $\chi_{H}\circ\varphi=\chi_{H}.$

\textit{Beweis:} Sei $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ eine Basis von $H.$ Sei $h\in H.$
Sei $hv_{j}=\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i,j}v_{i}$ f\"{u}r alle $j.$ Dann
ergibt sich $\varphi\left(  hv_{j}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha
_{i,j}\varphi\left(  v_{i}\right)  $. Da $\varphi$ ein Algebraautomorphismus
ist, ist nun $\varphi\left(  h\right)  \varphi\left(  v_{j}\right)
=\varphi\left(  hv_{j}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i,j}%
\varphi\left(  v_{i}\right)  $. Da $\varphi\left(  v_{1}\right)
,\varphi\left(  v_{2}\right)  ,...,\varphi\left(  v_{n}\right)  $ eine Basis
von $H$ ist, folgt hieraus $\chi_{H}\left(  \varphi\left(  h\right)  \right)
=\chi_{H}\left(  h\right)  .$ Da dies f\"{u}r alle $h\in H$ gilt, ist damit
$\chi_{H}\circ\varphi=\chi_{H}$ bewiesen.

Anwendung von $\chi_{H}\circ\varphi=\chi_{H}$ auf $\varphi=S^{2}$ ergibt
$\chi_{H}\circ S^{2}=\chi_{H}.$ Ferner ist offensichtlich $S_{H^{\ast}}%
^{2}\left(  \chi_{H}\right)  =\left(  S^{\ast}\right)  ^{2}\left(  \chi
_{H}\right)  =\chi_{H}\circ S^{2}.$

\textbf{3)} \textbf{a)} Sei $\Lambda\in\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)
$ beliebig. Wir wollen zeigen, da\ss \ $\chi_{H}\left(  \Lambda\right)
=\varepsilon\left(  \Lambda\right)  $ gilt.

\textit{Beweis:} Gem\"{a}\ss \ Folgerung 1.5. \textbf{1)} (angewandt auf
$H^{\ast}$ statt $H$) ist der Vektorraum $\operatorname*{I}\nolimits_{l}%
\left(  H^{\ast}\right)  $ eindimensional. Es existiert also ein
$0\neq\widetilde{\lambda}\in\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H^{\ast
}\right)  $. Betrachte dieses $\widetilde{\lambda}$. Laut Folgerung 1.5.
\textbf{3)} (angewandt auf $\widetilde{\lambda}$ statt $\lambda$) ist nun die
Abbildung%
\[
H\rightarrow H^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h\mapsto\widetilde{\lambda}h
\]
ein Vektorraumisomorphismus. Somit existiert ein $\widetilde{\Lambda}\in H$
mit $\widetilde{\lambda}\widetilde{\Lambda}=\varepsilon$. Betrachte dieses
$\widetilde{\Lambda}$. Aus $\widetilde{\lambda}\widetilde{\Lambda}%
=\varepsilon$ folgt $\widetilde{\lambda}\left(  \widetilde{\Lambda}\right)
=\underbrace{\left(  \widetilde{\lambda}\widetilde{\Lambda}\right)
}_{=\varepsilon}\left(  1\right)  =\varepsilon\left(  1\right)  =1$.

Nach Folgerung 1.6. \textbf{1)} (angewandt auf $\widetilde{\Lambda}$ und
$\widetilde{\lambda}$ statt $\Lambda$ und $\lambda$) ist $\left(
\widetilde{\Lambda}\right)  $ eine Basis des (eindimensionalen) Vektorraums
$\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  $. Also ist $\widetilde{\Lambda}$ Rechtsintegral.

Nun ist
\begin{align*}
\chi_{H}\left(  \Lambda\right)   &  =\operatorname*{Tr}\nolimits_{H}\left(
L_{\Lambda}\right)  =\widetilde{\lambda}\left(  \widetilde{\Lambda}_{\left(
2\right)  }L_{\Lambda}\left(  S\left(  \widetilde{\Lambda}_{\left(  1\right)
}\right)  \right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach Lemma 3.9}\dfrac{\text{1}}{\text{2}%
}\text{. (angewandt auf }\widetilde{\lambda}\text{, }\widetilde{\Lambda}\text{
und }L_{\Lambda}\text{ statt }\lambda\text{, }\Lambda\text{ und }%
\varphi\text{)}\right) \\
&  =\widetilde{\lambda}\left(  \widetilde{\Lambda}_{\left(  2\right)  }\Lambda
S\left(  \widetilde{\Lambda}_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  .
\end{align*}
Da $\Lambda$ ein Rechtsintegral ist, ist aber $\widetilde{\Lambda}_{\left(
2\right)  }\Lambda S\left(  \widetilde{\Lambda}_{\left(  1\right)  }\right)
=\widetilde{\Lambda}_{\left(  2\right)  }\varepsilon\left(  S\left(
\widetilde{\Lambda}_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \Lambda
=\underbrace{\widetilde{\Lambda}_{\left(  2\right)  }\varepsilon\left(
\widetilde{\Lambda}_{\left(  1\right)  }\right)  }_{=\widetilde{\Lambda}%
}\Lambda=\widetilde{\Lambda}\Lambda=\varepsilon\left(  \Lambda\right)
\widetilde{\Lambda}$ (da $\widetilde{\Lambda}$ ein Rechtsintegral ist), also
$\chi_{H}\left(  \Lambda\right)  =\widetilde{\lambda}\left(
\widetilde{\Lambda}_{\left(  2\right)  }\Lambda S\left(  \widetilde{\Lambda
}_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  =\lambda\left(  \varepsilon\left(
\Lambda\right)  \widetilde{\Lambda}\right)  =\varepsilon\left(  \Lambda
\right)  \underbrace{\widetilde{\lambda}\left(  \widetilde{\Lambda}\right)
}_{=1}=\varepsilon\left(  \Lambda\right)  .$

\textbf{b)} Sei $\Gamma\in\operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)  $ beliebig.
Wir wollen zeigen, da\ss \ $\chi_{H}\left(  \Gamma\right)  =\varepsilon\left(
\Gamma\right)  $ gilt.

\textit{Beweis:} Gem\"{a}\ss \ Folgerung 1.5. \textbf{1)} (angewandt auf
$H^{\ast}$ statt $H$) ist der Vektorraum $\operatorname*{I}\nolimits_{l}%
\left(  H^{\ast}\right)  $ eindimensional. Es existiert also ein $0\neq
\lambda\in\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H^{\ast}\right)  $. Betrachte
dieses $\lambda$. Laut Folgerung 1.5. \textbf{3)} ist nun die Abbildung%
\[
H\rightarrow H^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h\mapsto\lambda h
\]
ein Vektorraumisomorphismus. Somit existiert ein $\Lambda\in H$ mit
$\lambda\Lambda=\varepsilon$. Betrachte dieses $\Lambda$.

Nach der Aussage \textbf{c)} im Beweis von Satz 2.4 ist $S\left(
\Lambda\right)  \lambda=\varepsilon$. Also ist $\lambda\left(  S\left(
\Lambda\right)  \right)  =\underbrace{\left(  S\left(  \Lambda\right)
\lambda\right)  }_{=\varepsilon}\left(  1\right)  =\varepsilon\left(
1\right)  =1$.

Nach Folgerung 1.6. \textbf{1)} ist $\left(  \Lambda\right)  $ eine Basis des
(eindimensionalen) Vektorraums $\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  $. Also
ist $\left(  S\left(  \Lambda\right)  \right)  $ eine Basis des
(eindimensionalen) Vektorraums $S\left(  \operatorname*{I}_{r}\left(
H\right)  \right)  =\operatorname*{I}\nolimits_{l}\left(  H\right)  $ (nach
Folgerung 1.5. \textbf{4)}).

Nun ist
\begin{align*}
\chi_{H}\left(  \Gamma\right)   &  =\operatorname*{Tr}\nolimits_{H}\left(
L_{\Gamma}\right)  =\lambda\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }L_{\Gamma
}\left(  S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach Lemma 3.9}\dfrac{\text{1}}{\text{2}%
}\text{. \textbf{1)} (angewandt auf }L_{\Gamma}\text{ statt }\varphi
\text{)}\right) \\
&  =\lambda\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\Gamma S\left(  \Lambda
_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  .
\end{align*}
Da $\Gamma$ ein Linksintegral ist, ist aber $\Lambda_{\left(  2\right)
}\Gamma S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  =\varepsilon\left(
\Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  \Gamma S\left(  \Lambda_{\left(
1\right)  }\right)  =\Gamma S\left(  \underbrace{\Lambda_{\left(  1\right)
}\varepsilon\left(  \Lambda_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\Lambda}\right)
=\Gamma S\left(  \Lambda\right)  =\varepsilon\left(  \Gamma\right)  S\left(
\Lambda\right)  $ (denn $S\left(  \Lambda\right)  $ ist ein Linksintegral),
also $\chi_{H}\left(  \Gamma\right)  =\lambda\left(  \Lambda_{\left(
2\right)  }\Gamma S\left(  \Lambda_{\left(  1\right)  }\right)  \right)
=\lambda\left(  \varepsilon\left(  \Gamma\right)  S\left(  \Lambda\right)
\right)  =\varepsilon\left(  \Gamma\right)  \underbrace{\lambda\left(
S\left(  \Lambda\right)  \right)  }_{=1}=\varepsilon\left(  \Gamma\right)  $.

\textbf{3.17. Satz (Larson-Radford 1988):} Sei $H$ eine endlichdimensionale
Hopfalgebra. Dann ist $\operatorname*{Tr}\left(  S^{2}\right)  =\dim
H\cdot\operatorname*{Tr}_{\chi_{H}H^{\ast}}\left(  S_{H^{\ast}}^{2}\mid
_{\chi_{H}H^{\ast}}\right)  $. (Dies ist die sogenannte \textit{2. Spurformel}.)

\textit{Beweis:} Nach 3.16. ist $S_{H^{\ast}}^{2}\left(  \chi_{H}\right)
=\chi_{H}$ und $\chi_{H}^{2}=\dim H\cdot\chi_{H}.$

Sei $0\neq\Gamma\in\operatorname*{I}_{l}\left(  H\right)  .$ Sei
$\widetilde{\Gamma}\in\operatorname*{I}_{l}\left(  \left(  H^{\ast}\right)
^{\ast}\right)  ,$ wobei $\widetilde{\Gamma}:H^{\ast}\rightarrow k$ die durch
$\widetilde{\Gamma}\left(  p\right)  =p\left(  \Gamma\right)  $ f\"{u}r alle
$p\in H^{\ast}$ definierte $k$-lineare Abbildung ist.

Sei $\gamma\in H^{\ast}$ mit $\widetilde{\Gamma}\gamma=\varepsilon_{H^{\ast}%
}.$ Dann ist $\widetilde{\Gamma}$ Frobeniushomomorphismus von $H^{\ast},$ und
$\left(  S\left(  \gamma_{\left(  1\right)  }\right)  ,\gamma_{\left(
2\right)  }\right)  $ sind duale Erzeugendensysteme.

Jetzt wenden wir 3.10. \textbf{2)} an auf $\chi_{H}$ statt $e,$ $\dim H$ statt
$\alpha,$ $H^{\ast}$ statt $H,$ $\gamma$ statt $\Lambda$ und
$\widetilde{\Gamma}$ statt $\lambda$. Wir erhalten $\dim H\cdot
\operatorname*{Tr}\left(  S_{H^{\ast}}^{2}\mid_{\chi_{H}H^{\ast}}\right)
=\varepsilon_{H^{\ast}}\left(  \gamma\right)  \widetilde{\Gamma}\left(
\chi_{H}\right)  .$ Wegen
\begin{align*}
\widetilde{\Gamma}\left(  \chi_{H}\right)   &  =\chi_{H}\left(  \Gamma\right)
=\varepsilon\left(  \Gamma\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach
3.16.}\right) \\
&  =\widetilde{\Gamma}\left(  \underbrace{\varepsilon_{H}}_{=1_{H^{\ast}}%
}\right)  =\widetilde{\Gamma}\left(  1_{H^{\ast}}\right)
\end{align*}
wird dies aber zu
\begin{align*}
\dim H\cdot\operatorname*{Tr}\left(  S_{H^{\ast}}^{2}\mid_{\chi_{H}H^{\ast}%
}\right)   &  =\varepsilon_{H^{\ast}}\left(  \gamma\right)  \widetilde{\Gamma
}\left(  1_{H^{\ast}}\right)  =\widetilde{\Gamma}\left(  1_{H^{\ast}}\right)
\varepsilon_{H^{\ast}}\left(  \gamma\right) \\
&  =\operatorname*{Tr}\nolimits_{H^{\ast}}\left(  S_{H^{\ast}}^{2}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{nach 3.10. \textbf{1)} (angewandt auf }H^{\ast}\text{, }S_{H^{\ast}%
}\text{,}\\
\widetilde{\Gamma}\text{ und }\gamma\text{ statt }H\text{, }S\text{, }%
\lambda\text{ und }\Lambda\text{)}%
\end{array}
\right) \\
&  =\operatorname*{Tr}\nolimits_{H^{\ast}}\left(  \left(  S^{\ast}\right)
^{2}\right)  =\operatorname*{Tr}\nolimits_{H}\left(  S^{2}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach 3.13. \textbf{5)}}\right)  .
\end{align*}


\textbf{3.18. Folgerung:} Sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra.
Angenommen, $H$ und $H^{\ast}$ sind beide halbeinfach. Dann ist $\dim
H\cdot1_{k}\neq0.$ Das hei\ss t, $p\nmid\dim H,$ falls $\operatorname*{char}%
k=p>0.$

\textit{Beweis:} Nach 3.10. \textbf{1)} ist $0\neq\operatorname*{Tr}\left(
S^{2}\right)  ,$ da $H$ und $H^{\ast}$ halbeinfach sind. Nach 3.17. folgt
hieraus $\dim H\cdot1_{k}\neq0.$

\textbf{Definition:} Sei $C$ eine Coalgebra. Dann nennen wir $C$
\textit{cohalbeinfach}, wenn $C=C_{0}$ gilt, d. h. wenn $C$ die Summe der
einfachen Untercoalgebren von $C$ ist. (Dabei bezeichnet $C_{0}$ das Coradikal
von $C.$)

\textbf{3.19. Bemerkung:} \textbf{1)} Sei $C$ eine endlichdimensionale
Coalgebra. Dann sind folgende zwei Aussagen \"{a}quivalent:

\textbf{a)} Die Coalgebra $C$ ist cohalbeinfach.

\textbf{b)} Die Algebra $C^{\ast}$ ist halbeinfach.

\textit{Beweis:} Nach Kapitel II, 4.3. \textbf{1)}, ist Aussage \textbf{a)}
\"{a}quivalent dazu, da\ss \ es einfache Untercoalgebren $C_{i}\subseteq C$
gibt mit $1\leq i\leq t$ (wobei $t\in\mathbb{N}$), die $C=\bigoplus
\limits_{i=1}^{t}C_{i}$ erf\"{u}llen. Dies ist wiederum \"{a}quivalent dazu,
da\ss \ $C^{\ast}=\bigoplus\limits_{i=1}^{t}C_{i}^{\ast}$ ist, wobei
$C_{i}^{\ast}$ einfache Algebren sind f\"{u}r alle $1\leq i\leq t.$ Nach
Wedderburn-Artin (siehe Bemerkung 3.19. \textbf{2)} unten) ist dies aber
\"{a}quivalent zu \textbf{b)}.

\textbf{2)} Da wir ihn jetzt mehrmals verwendet haben, sollten wir den Satz
von Wedderburn-Artin auch einmal formulieren:

\textbf{Satz von Wedderburn-Artin:} Sei $A$ eine endlichdimensionale Algebra.

\textbf{a)} Genau dann ist $A$ halbeinfach, wenn es ein $t\geq1$ und
$k$-Algebren $D_{i}$ f\"{u}r alle $1\leq i\leq t$ gibt so, da\ss \ jedes
$D_{i}$ ein Schiefk\"{o}rper ist, und $A\cong\prod\limits_{i=1}^{t}%
\operatorname*{M}_{n_{i}}\left(  D_{i}\right)  $ als $k$-Algebren gilt f\"{u}r
bestimmte ganze Zahlen $n_{i}\geq1$ f\"{u}r alle $1\leq i\leq t.$

\textbf{b)} Die Algebra $A$ ist genau dann einfach, wenn es eine $k$-Algebra
$D$ gibt, die ein Schiefk\"{o}rper ist, und $A\cong\operatorname*{M}%
_{n}\left(  D\right)  $ f\"{u}r eine ganze Zahl $n\geq1$ gilt.

\textbf{c)} Falls die Algebra $A$ einfach ist, dann gibt es einen einfachen
$A$-Linksmodul $E$, f\"{u}r den gilt: F\"{u}r jedes $M\in\left.
_{A}\mathcal{M}\right.  $ gibt es eine Menge $I$ so, da\ss \ $M\cong
E^{\left(  I\right)  }$ (und damit insbesondere $M\cong E^{n}$ f\"{u}r ein
eindeutig bestimmtes $n\in\mathbb{N},$ falls $\dim M<\infty$ ist).

\textbf{3)} Sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra, und sei
$k\subseteq\ell$ eine K\"{o}rpererweiterung. Dann sind folgende zwei Aussagen \"{a}quivalent:

\textbf{a)} Die Algebra $H$ ist halbeinfach.

\textbf{b)} Die Algebra $\ell\otimes_{k}H$ ist (als $\ell$-Algebra) halbeinfach.

\textit{Beweis:} Wir definieren wie in Kapitel II, 3.2. \textbf{1)} eine
$\ell$-Hopfalgebrastruktur auf $\ell\otimes_{k}H$.\ \ \ \ \footnote{Genauer
gesagt wurde in Kapitel II, 3.2. \textbf{1)} eine $\ell$-Coalgebrastruktur auf
$\ell\otimes_{k}H$ definiert. Wenn wir diese Struktur mit der kanonischen
$\ell$-Algebrastruktur auf $\ell\otimes_{k}H$ verkn\"{u}pfen, erhalten wir
eine $\ell$-Bialgebrastruktur auf $\ell\otimes_{k}H$, und wenn wir zudem noch
eine Antipode $S_{\ell\otimes_{k}H}$ auf $\ell\otimes_{k}H$ durch
$S_{\ell\otimes_{k}H}=\ell\otimes S_{H}:\ell\otimes_{k}H\rightarrow\ell
\otimes_{k}H$ definieren, so bekommen wir eine $\ell$-Hopfalgebrastruktur auf
$\ell\otimes_{k}H$. Dies ist die $\ell$-Hopfalgebrastruktur, um die es hier
geht.}

Sei $0\neq\Lambda\in\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)  $. Dann ist
$0\neq1\otimes\Lambda\in\operatorname*{I}_{r}\left(  \ell\otimes_{k}H\right)
,$ denn f\"{u}r alle $\alpha\in\ell$ und $h\in H$ ist%
\begin{align*}
\left(  1\otimes\Lambda\right)  \left(  \alpha\otimes h\right)   &
=\alpha\otimes\underbrace{\Lambda h}_{\substack{=\Lambda\varepsilon\left(
h\right)  \\\text{(da }\Lambda\in\operatorname*{I}_{r}\left(  H\right)
\text{)}}}=\alpha\otimes\Lambda\varepsilon\left(  h\right)  =\left(
1\otimes\Lambda\right)  \alpha\varepsilon\left(  h\right)  \otimes1\\
&  =\underbrace{\varepsilon\left(  h\right)  \alpha}_{=\varepsilon
_{\ell\otimes H}\left(  \alpha\otimes h\right)  }\otimes\Lambda=\varepsilon
_{\ell\otimes H}\left(  \alpha\otimes h\right)  \cdot\left(  1\otimes
\Lambda\right)  .
\end{align*}
Ferner ist $\varepsilon_{\ell\otimes H}\left(  1\otimes\Lambda\right)
=\varepsilon\left(  \Lambda\right)  $. Nach 3.6. \textbf{a)} folgt hieraus die Behauptung.

\textit{Bemerkung:} Obwohl in Bemerkung \textbf{3)} beide Aussagen \textbf{a)}
und \textbf{b)} nur von der Algebrastruktur auf $H$ abh\"{a}ngen (und nicht
etwa von der Coalgebrastruktur), w\"{u}rde Bemerkung \textbf{3)} nicht mehr
gelten, wenn man "Hopfalgebra" durch "Algebra" ersetzen
w\"{u}rde!\footnote{\textit{Allerdings:} In dem Fall, wenn
$\operatorname*{char}k=0$ ist, gilt Bemerkung \textbf{3)} auch dann, wenn $H$
nur eine Algebra (und keine Hopfalgebra) ist. Dies ist ein bekannter Satz aus
der Darstellungstheorie von Algebren.}

\textbf{3.20. Satz (Larson-Radford 1988):} Sei $\operatorname*{char}k=0,$ und
sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra. Dann sind folgende drei Aussagen \"{a}quivalent:

\textbf{1)} Die Algebra $H$ ist halbeinfach.

\textbf{2)} Die Algebra $H$ ist cohalbeinfach.

\textbf{3)} Es gilt $S^{2}=\operatorname*{id}.$

\textit{Beweis:} Nach 3.19. \textbf{3)} k\"{o}nnen wir o. B. d. A. annehmen,
da\ss \ $k$ algebraisch abgeschlossen ist.

\textit{Beweis von \textbf{3)} }$\Longrightarrow$\textit{ \textbf{1)} und
\textbf{2)}:} Folgt aus 3.11. \textbf{2)}, wobei $\dim H\cdot1_{k}\neq0$ wegen
$\operatorname*{char}k=0,$ und 3.19. \textbf{1)}.

\textit{Beweis von \textbf{1)} und \textbf{2)}} $\Longrightarrow$\textit{
\textbf{3)}:} Wegen \textbf{1)} und \textbf{2)} gelten (nach 3.6. \textbf{b)})
f\"{u}r das modulare Element $a\in H$ und die modulare Funktion $\alpha\in
H^{\ast}$ die Gleichungen $a=1$ und $\alpha=\varepsilon.$ Nach dem Satz von
Radford (2.6.) folgt hieraus $S^{4}=\operatorname*{id}.$ F\"{u}r
$S^{2}:H\rightarrow H$ gilt also $\operatorname*{Tr}\left(  S^{2}\right)
=\sum\limits_{i=1}^{n}\mu_{i},$ wobei $n=\dim H$ und $\mu_{i}\in\left\{
1,-1\right\}  $ f\"{u}r alle $1\leq i\leq n$ (denn schreibt man $S^{2}%
:H\rightarrow H$ als eine Matrix, dann hat diese Matrix (wegen $\left(
S^{2}\right)  ^{2}=S^{4}=\operatorname*{id}$) die Eigenwerte $1$ und $-1$
(m\"{o}glicherweise mehrfach), und die Spur einer Matrix ist ja die Summe
ihrer Eigenwerte).

Ebenso gibt es ein $1\leq m\leq n$ mit $\operatorname*{Tr}\left(  S_{H^{\ast}%
}^{2}\mid_{\chi_{H}H^{\ast}}\right)  =\sum\limits_{j=1}^{m}\nu_{j}$ wobei
$m=\dim\left(  \chi_{H}H^{\ast}\right)  $ und $\nu_{j}\in\left\{
1,-1\right\}  $ f\"{u}r alle $1\leq j\leq m$ (denn $\left(  S_{H^{\ast}}%
^{2}\mid_{\chi_{H}H^{\ast}}\right)  ^{2}=\operatorname*{id}$). Folglich ist
$\operatorname*{Tr}\left(  S_{H^{\ast}}^{2}\mid_{\chi_{H}H^{\ast}}\right)
\in\mathbb{Z}.$

Nach der 2. Spurformel gilt aber $\operatorname*{Tr}\left(  S^{2}\right)
=\underbrace{\dim H}_{=n}\cdot\underbrace{\operatorname*{Tr}\nolimits_{\chi
_{H}H^{\ast}}\left(  S_{H^{\ast}}^{2}\mid_{\chi_{H}H^{\ast}}\right)  }%
_{\in\mathbb{Z}}\in n\mathbb{Z},$ also $\sum\limits_{i=1}^{n}\mu
_{i}=\operatorname*{Tr}\left(  S^{2}\right)  \in n\mathbb{Z}.$ Ferner ist
$\sum\limits_{i=1}^{n}\mu_{i}=\operatorname*{Tr}\left(  S^{2}\right)  \neq0$
(denn nach der 1. Spurformel gilt $\operatorname*{Tr}\left(  S^{2}\right)
=\underbrace{\lambda\left(  1\right)  }_{\neq0\text{ wegen \textbf{2)}}%
}\underbrace{\varepsilon\left(  \Lambda\right)  }_{\neq0\text{ wegen
\textbf{1)}}}$). Aber $\mu_{i}\in\left\{  1,-1\right\}  $ f\"{u}r alle $1\leq
i\leq n$. Somit ist entweder $\mu_{i}=1$ f\"{u}r alle $1\leq i\leq n,$ oder
$\mu_{i}=-1$ f\"{u}r alle $1\leq i\leq n$ (denn eine Summe von $n$ Zahlen aus
der Menge $\left\{  1,-1\right\}  ,$ die nicht gleich $0$ ist, kann nur dann
durch $n$ teilbar sein, wenn entweder alle diese Zahlen gleich $1$ oder alle
diese Zahlen gleich $-1$ sind). In ersterem Fall ist $S^{2}=\operatorname*{id}%
,$ und in zweiterem $S^{2}=-\operatorname*{id}$ (denn $S^{2}$ ist
diagonalisierbar, weil $\operatorname*{char}k=0$ und $S^{4}=\operatorname*{id}%
$ ist). Doch $S^{2}=-\operatorname*{id}$ kann nicht eintreten (denn
$S^{2}\left(  1\right)  =1\neq-1$). Also mu\ss \ $S^{2}=\operatorname*{id}$
sein, und \textbf{3)} ist bewiesen.

\textit{Beweis von \textbf{2)} }$\Longrightarrow$\textit{ \textbf{1)}:} Nach
3.10. und 3.6. reicht es aus zu zeigen: Wenn $H$ cohalbeinfach ist, dann ist
$\operatorname*{Tr}_{H}\left(  S^{2}\right)  \neq0.$

\textit{Beweis:} Da $H$ cohalbeinfach ist, gibt es einfache Untercoalgebren
$C_{1},$ $C_{2},$ $...,$ $C_{n}$ von $H$ mit $C_{i}\neq k\cdot1$ f\"{u}r alle
$i$ und $C_{i}\neq C_{j}$ f\"{u}r alle $i\neq j$ so, da\ss \ $H=k\cdot
1\oplus\bigoplus\limits_{i=1}^{n}C_{i}$ ist.

Nach 3.21. \textbf{3)} (weiter unten) gilt $S^{2}\left(  C_{i}\right)  =C_{i}$
f\"{u}r jedes $i.$ Somit ist $S^{2}\mid_{C_{i}}:C_{i}\rightarrow C_{i}$ ein
Coalgebraautomorphismus f\"{u}r jedes $i.$ Folglich ist $\left(  S^{2}%
\mid_{C_{i}}\right)  ^{\ast}:C_{i}^{\ast}\rightarrow C_{i}^{\ast}$ ein
Algebraautomorphismus f\"{u}r jedes $i.$ Nenne $\varphi_{i}=\left(  S^{2}%
\mid_{C_{i}}\right)  ^{\ast}.$ Man bedenke, da\ss \ dieses $\varphi_{i}$ ein
Automorphismus endlicher Ordnung ist (denn $S^{4}=\operatorname*{id}$ nach Radford).

Wir suchen jetzt $\operatorname*{Tr}\varphi_{i}=\operatorname*{Tr}\left(
\left(  S^{2}\mid_{C_{i}}\right)  ^{\ast}\right)  .$

Aus $H=k\cdot1\oplus\bigoplus\limits_{i=1}^{n}C_{i}$ folgt%
\begin{align*}
\operatorname*{Tr}\nolimits_{H}\left(  S^{2}\right)   &  =1+\sum
\limits_{i=1}^{m}\operatorname*{Tr}\nolimits_{C_{i}}\left(  S^{2}\mid_{C_{i}%
}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }S^{2}\left(  k\cdot1\right)
=k\cdot1\text{ und }S^{2}\left(  C_{i}\right)  =C_{i}\text{ f\"{u}r jedes
}i\right) \\
&  =1+\sum\limits_{i=1}^{m}\operatorname*{Tr}\underbrace{\left(  \left(
S^{2}\mid_{C_{i}}\right)  ^{\ast}\right)  }_{=\varphi_{i}}=1+\sum
\limits_{i=1}^{m}\operatorname*{Tr}\varphi_{i}.
\end{align*}


Sei $i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ beliebig. Nach Wedderburn-Artin ist
$C_{i}^{\ast}\cong\operatorname*{M}_{n_{i}}\left(  k\right)  \cong%
\operatorname*{End}_{_{k}\mathcal{M}}\left(  k^{n_{i}}\right)  $ als Algebra
f\"{u}r passendes $n_{i}$. Es gibt also einen Algebraisomorphismus
$\Upsilon_{i}:C_{i}^{\ast}\rightarrow\operatorname*{End}_{_{k}\mathcal{M}%
}\left(  k^{n_{i}}\right)  $. Der Algebraautomorphismus $\varphi_{i}$ von
$C_{i}^{\ast}$ ergibt damit einen Algebraautomorphismus $\Upsilon_{i}%
\circ\varphi_{i}\circ\Upsilon_{i}^{-1}$ von $\operatorname*{End}%
_{_{k}\mathcal{M}}\left(  k^{n_{i}}\right)  $. Dieser Algebraautomorphismus
$\Upsilon_{i}\circ\varphi_{i}\circ\Upsilon_{i}^{-1}$ hat endliche Ordnung (da
$\varphi_{i}$ endliche Ordnung hat). Nach Satz 3.22 \textbf{2)} (weiter unten)
gibt es also $n_{i}$ Einheitswurzeln $\lambda_{i,j}$ f\"{u}r $1\leq j\leq
n_{i}$ mit $\operatorname*{Tr}\left(  \Upsilon_{i}\circ\varphi_{i}%
\circ\Upsilon_{i}^{-1}\right)  =\sum\limits_{j=1}^{n_{i}}\lambda_{i,j}%
\cdot\sum\limits_{j=1}^{n_{i}}\lambda_{i,j}^{-1}$. Da $\operatorname*{Tr}%
\left(  \Upsilon_{i}\circ\varphi_{i}\circ\Upsilon_{i}^{-1}\right)
=\operatorname*{Tr}\varphi_{i}$ ist, vereinfacht sich dies zu
$\operatorname*{Tr}\varphi_{i}=\sum\limits_{j=1}^{n_{i}}\lambda_{i,j}\cdot
\sum\limits_{j=1}^{n_{i}}\lambda_{i,j}^{-1}$.

Wir haben damit gezeigt: F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ gibt
es $n_{i}$ Einheitswurzeln $\lambda_{i,j}$ f\"{u}r $1\leq j\leq n_{i}$ mit
$\operatorname*{Tr}\varphi_{i}=\sum\limits_{j=1}^{n_{i}}\lambda_{i,j}\cdot
\sum\limits_{j=1}^{n_{i}}\lambda_{i,j}^{-1}$.

Da die $\lambda_{i,j}$ endlich viele Einheitswurzeln in $k$ sind, und
$\operatorname*{char}k=0$ ist, gibt es einen K\"{o}rperhomomorphismus
$\sigma:\underset{%
\begin{array}
[c]{c}%
\text{ein Unterk\"{o}rper}\\
\text{von }k
\end{array}
}{\underbrace{\mathbb{Q}\left(  \lambda_{i,j}\mid i,j\right)  }}%
\rightarrow\mathbb{C}.$ Da ein K\"{o}rperhomomorphismus stets Einheitswurzeln
in Einheitswurzeln \"{u}berf\"{u}hrt, ist $\sigma\left(  \lambda_{i,j}\right)
$ eine Einheitswurzel f\"{u}r jedes $1\leq i\leq m$ und jedes $1\leq j\leq
n_{i}$.

Da $\sigma$ ein K\"{o}rperhomomorphismus ist, und $\operatorname*{Tr}%
\nolimits_{H}\left(  S^{2}\right)  =1+\sum\limits_{i=1}^{m}\operatorname*{Tr}%
\varphi_{i}$ gilt, ist%
\begin{align*}
\sigma\left(  \operatorname*{Tr}\nolimits_{H}\left(  S^{2}\right)  \right)
&  =1+\sigma\left(  \sum\limits_{i=1}^{m}\operatorname*{Tr}\varphi_{i}\right)
=1+\sum\limits_{i=1}^{m}\left(  \sum\limits_{j=1}^{n_{i}}\sigma\left(
\lambda_{i,j}\right)  \cdot\sum\limits_{j=1}^{n_{i}}\left(  \sigma\left(
\lambda_{i,j}\right)  \right)  ^{-1}\right) \\
&  =1+\sum\limits_{i=1}^{m}\left(  \underbrace{\sum\limits_{j=1}^{n_{i}}%
\sigma\left(  \lambda_{i,j}\right)  \cdot\overline{\sum\limits_{j=1}^{n_{i}%
}\sigma\left(  \lambda_{i,j}\right)  }}_{\geq0}\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn Einheitswurzeln }z\in\mathbb{C}%
\text{ erf\"{u}llen }z^{-1}=\overline{z}\right) \\
&  \neq0,
\end{align*}
also $\operatorname*{Tr}_{H}\left(  S^{2}\right)  \neq0.$ Nach 3.11.
\textbf{1)} folgt hieraus \textbf{1)}.

\textit{Beweis von \textbf{1)} }$\Longrightarrow$\textit{ \textbf{2)}:} Wir
haben \textbf{2) }$\Longrightarrow$\textbf{ 1)} bewiesen. Durch Dualit\"{a}t
folgt hieraus auch \textbf{1) }$\Longrightarrow$\textbf{ 2)} (denn nach
Bemerkung 3.19. \textbf{1)} ist eine endlichdimensionale Coalgebra genau dann
cohalbeinfach, wenn ihre duale Algebra halbeinfach ist).

\textbf{3.21. Satz:} Sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra, und sei
$0\neq\lambda\in\operatorname*{I}_{l}\left(  H^{\ast}\right)  .$

Sei eine bilineare Form $\left\langle ,\right\rangle :H\times H\rightarrow k$
definiert durch $\left\langle x,y\right\rangle =\lambda\left(  xS\left(
y\right)  \right)  $ f\"{u}r alle $x,y\in H.$ Dann folgt:

\textbf{1)} F\"{u}r alle $x,y\in H$ und $p\in H^{\ast}$ ist $\left\langle
x\leftharpoonup p,y\right\rangle =\left\langle x,p\rightharpoonup
y\right\rangle .$

\textbf{2)} Es gilt die sogenannte \textit{Orthogonalit\"{a}tsrelation:} Sind
$C$ und $D$ zwei Untercoalgebren von $H$ mit $C\cap D=0,$ dann ist
$\left\langle C,D\right\rangle =0.$

\textbf{3)} Ist $H$ cohalbeinfach, und ist $C\subseteq H$ eine einfache
Untercoalgebra, dann ist $S^{2}\left(  C\right)  =C.$

\textit{Zur Erinnerung:} Die Linksoperation $\rightharpoonup$ von $H^{\ast}$
auf $H$ ist definiert durch $p\rightharpoonup x=x_{\left(  1\right)  }p\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  $ f\"{u}r alle $x\in H$ und $p\in H^{\ast}.$
Die Rechtsoperation $\leftharpoonup$ von $H^{\ast}$ auf $H$ ist definiert
durch $x\leftharpoonup p=p\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(
2\right)  }$ f\"{u}r alle $x\in H$ und $p\in H^{\ast}.$

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Nach Larson-Sweedler und 1.4. ist%
\[
\phi:H\rightarrow H^{\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto S\left(  x\right)
\lambda
\]
ein Isomorphismus in $\mathcal{M}_{H}^{H},$ also insbesondere $H$-colinear,
also $H^{\ast}$-linkslinear. Letzteres bedeutet: F\"{u}r alle $p\in H^{\ast}$
und $x\in H$ ist $\phi\left(  p\rightharpoonup x\right)  =\underbrace{p\cdot
\phi\left(  x\right)  }_{\substack{\text{Multiplikation}\\\text{in }H^{\ast}%
}}.$ F\"{u}r alle $x,y\in H$ und $p\in H^{\ast}$ gilt nun%
\begin{align*}
\left\langle y,p\rightharpoonup x\right\rangle  &  =\lambda\left(  yS\left(
p\rightharpoonup x\right)  \right)  =\left(  \underbrace{S\left(
p\rightharpoonup x\right)  \lambda}_{\substack{=\phi\left(  p\rightharpoonup
x\right)  \\\text{(nach der Definition von }\phi\text{)}}}\right)  \left(
y\right)  =\underbrace{\left(  \phi\left(  p\rightharpoonup x\right)  \right)
}_{=p\cdot\phi\left(  x\right)  }\left(  y\right) \\
&  =\left(  p\cdot\underbrace{\phi\left(  x\right)  }_{\substack{=S\left(
x\right)  \lambda\\\text{(nach der Definition von }\phi\text{)}}}\right)
\left(  y\right)  =\left(  p\cdot\left(  S\left(  x\right)  \lambda\right)
\right)  \left(  y\right)  =p\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)
\underbrace{\left(  S\left(  x\right)  \lambda\right)  \left(  y_{\left(
2\right)  }\right)  }_{=\lambda\left(  y_{\left(  2\right)  }S\left(
x\right)  \right)  }\\
&  =p\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \lambda\left(  y_{\left(
2\right)  }S\left(  x\right)  \right)  =\lambda\left(  \underbrace{p\left(
y_{\left(  1\right)  }\right)  y_{\left(  2\right)  }}_{=y\leftharpoonup
p}S\left(  x\right)  \right)  =\lambda\left(  \left(  y\leftharpoonup
p\right)  S\left(  x\right)  \right)  =\left\langle y\leftharpoonup
p,x\right\rangle .
\end{align*}
%% Alte Begründung: $\underbrace{\left(  S\left(  p\rightharpoonup x\right)
%% \lambda\right)  \left(  y\right)  }_{\substack{=\lambda\left(  yS\left(
%% x_{\left(  1\right)  }\right)  p\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
%% \right)  \\=\left\langle y,p\rightharpoonup x\right\rangle }}=\underbrace
%% {p\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \left(  S\left(  x\right)
%% \lambda\right)  \left(  y_{\left(  2\right)  }\right)  }_{\substack{=\lambda
%% \left(  y_{\left(  2\right)  }p\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  S\left(
%% x\right)  \right)  \\=\left\langle y\leftharpoonup p,x\right\rangle }}$
Vertauschen wir in dieser Gleichheit $x$ und $y,$ haben wir damit
$\left\langle x,p\rightharpoonup y\right\rangle =\left\langle x\leftharpoonup
p,y\right\rangle ,$ qed.

\textbf{2)} W\"{a}hle einen Untervektorraum $X\subseteq H$ so,
da\ss \ $H=C\oplus D\oplus X$ ist. W\"{a}hle ein $p\in H^{\ast}$ mit
$p\mid_{C}=\varepsilon\mid_{C},$ $p\mid_{D}=0$ und $p\mid_{X}=0.$ F\"{u}r alle
$c\in C$ und $d\in D$ ist dann $c=c\leftharpoonup p,$ also%
\begin{align*}
\left\langle c,d\right\rangle  &  =\left\langle c\leftharpoonup
p,d\right\rangle =\left\langle c,\underbrace{p\rightharpoonup d}%
_{=0}\right\rangle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach \textbf{1)}}\right)
\\
&  =0.
\end{align*}


\textbf{3)} Wir nehmen an, da\ss \ $S^{2}\left(  C\right)  \neq C$ ist. Da $C$
und damit auch $S^{2}\left(  C\right)  $ einfache Coalgebren sind, ist also
$S^{2}\left(  C\right)  \cap C=0.$ Nach \textbf{2)} ist also $\left\langle
S^{2}\left(  x\right)  ,y\right\rangle =0$ f\"{u}r alle $x,y\in C.$ Doch
$\left\langle S^{2}\left(  x\right)  ,y\right\rangle =\lambda\left(
S^{2}\left(  x\right)  S\left(  y\right)  \right)  =\left(  \lambda\circ
S\right)  \left(  yS\left(  x\right)  \right)  .$ Andererseits ist
$\lambda\circ S\in\operatorname*{I}_{r}\left(  H^{\ast}\right)
=\operatorname*{I}_{l}\left(  H^{\ast}\right)  $ (denn $H^{\ast}$ ist
halbeinfach, also unimodular), also $\lambda\circ S=\beta\lambda$ f\"{u}r ein
$0\neq\beta\in k$ (denn $\lambda\circ S\in\operatorname*{I}_{l}\left(
H^{\ast}\right)  =k\lambda$). Insgesamt haben wir also $0=\left\langle
S^{2}\left(  x\right)  ,y\right\rangle =\underbrace{\left(  \lambda\circ
S\right)  }_{=\beta\lambda}\left(  yS\left(  x\right)  \right)  =\beta
\lambda\left(  yS\left(  x\right)  \right)  .$ Also gilt $\lambda\left(
yS\left(  x\right)  \right)  =0$ f\"{u}r alle $x,y\in C$ (denn $\beta\neq0$).

Hieraus folgt $0=\lambda\left(  \underbrace{x_{\left(  1\right)  }S\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\varepsilon\left(  x\right)  \cdot
1}\right)  $ f\"{u}r alle $x\in C.$ Also $0=\lambda\left(  \varepsilon\left(
x\right)  \cdot1\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  \cdot
\underbrace{\lambda\left(  1\right)  }_{\substack{\neq0,\text{ da
}H\\\text{cohalbeinfach}\\\text{ist}}}.$ Wir erhalten damit $\varepsilon
\left(  x\right)  =0$ f\"{u}r alle $x\in C.$ Da $C$ eine Coalgebra ist, folgt
hieraus $x=x_{\left(  1\right)  }\underbrace{\varepsilon\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  }_{=0}=0$ f\"{u}r alle $x\in C,$ also $C=0,$ was ein
Widerspruch ist.

\textbf{3.22. Satz:} Sei $V$ ein $k$-Vektorraum mit $\dim V=d<\infty.$ Sei
$\operatorname*{char}k=0$ (diese Bedingung ist strenggenommen unn\"{o}tig,
aber sie vereinfacht unseren Beweis). Sei $\varphi:\operatorname*{End}%
V\rightarrow\operatorname*{End}V$ ein Algebraautomorphismus. Dann gilt:

\textbf{1) (Satz von Skolem-Noether)} Der Algebraautomorphismus $\varphi$ ist
ein innerer Automorphismus. Das hei\ss t, es gibt ein $q\in\operatorname*{Aut}%
V$ so, da\ss \ f\"{u}r alle $p\in\operatorname*{End}V$ gilt: $\varphi\left(
p\right)  =qpq^{-1}.$

\textbf{2)} Ist $k$ algebraisch abgeschlossen, und ist $\varphi$ ein
Automorphismus endlicher Ordnung $n,$ dann gibt es Einheitswurzeln
$\lambda_{j}\in k$ f\"{u}r $1\leq j\leq d$ mit $\operatorname*{Tr}\varphi
=\sum\limits_{j=1}^{d}\lambda_{j}\cdot\sum\limits_{j=1}^{d}\lambda_{j}^{-1}$
und $\lambda_{j}^{n}=1$ f\"{u}r alle $1\leq j\leq d.$

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Betrachte $V$ als $\operatorname*{End}%
V$-Linksmodul durch $pv=p\left(  v\right)  $ f\"{u}r jedes $p\in
\operatorname*{End}V$ und jedes $v\in V.$

Wir definieren einen $\operatorname*{End}V$-Linksmodul $_{\varphi}V$ wie
folgt: Als Vektorraum sei $_{\varphi}V=V.$ Die $\operatorname*{End}%
V$-Linksmodulstruktur auf $_{\varphi}V$ sei definiert durch $p\cdot_{\varphi
}v=\varphi\left(  p\right)  v$ f\"{u}r jedes $p\in\operatorname*{End}V$ und
jedes $v\in V.$

Wir wissen (nach der \"{U}bungsaufgabe 2 von Blatt 3 von vorigem Semester),
da\ss \ jeder endlichdimensionale $\operatorname*{End}V$-Linksmodul isomorph
zu $U^{t}$ f\"{u}r ein $t\in\mathbb{N}$ ist, wobei $U$ der (bis auf Isomorphie
einzige) einfache $\operatorname*{End}V$-Linksmodul ist, n\"{a}mlich $U=V$.
Folglich sind zwei endlichdimensionale $\operatorname*{End}V$-Linksmoduln
bereits dann isomorph, wenn sie die gleiche Dimension haben.

Also ist $V\cong\left.  _{\varphi}V\right.  $ als $\operatorname*{End}%
V$-Moduln. Das hei\ss t, es gibt ein $q\in\operatorname*{Aut}V$ so,
da\ss \ f\"{u}r jedes $p\in\operatorname*{End}V$ und jedes $v\in V$ gilt:
$q\left(  pv\right)  =\left(  \varphi\left(  p\right)  \right)  \left(
q\left(  v\right)  \right)  .$

Das hei\ss t, $qp=\varphi\left(  p\right)  q$ f\"{u}r jedes $p\in
\operatorname*{End}V.$ Mit anderen Worten, $qpq^{-1}=\varphi\left(  p\right)
$ f\"{u}r jedes $p\in\operatorname*{End}V,$ was zu beweisen war.

\textbf{2)} Nach \textbf{1)} gibt es ein $q\in\operatorname*{Aut}V$ so,
da\ss \ f\"{u}r alle $p\in\operatorname*{End}V$ gilt: $\varphi\left(
p\right)  =qpq^{-1}.$ Wegen $\operatorname*{ord}\varphi=n$ folgt hieraus
$q^{n}pq^{-n}=p$ f\"{u}r alle $p\in\operatorname*{End}V.$ Daher ist $q^{n}\in
Z\left(  \operatorname*{End}V\right)  =k\cdot\operatorname*{id}.$ Also gibt es
ein $0\neq\beta\in k$ mit $q^{n}=\beta\cdot\operatorname*{id}.$

Da $k$ algebraisch abgeschlossen ist, gibt es ein $\alpha\in k$ mit
$\beta=\alpha^{n}.$ Daraus folgt $\left(  \alpha^{-1}q\right)  ^{n}%
=\operatorname*{id}.$ Wir k\"{o}nnen also o. B. d. A. den Automorphismus $q$
durch $\alpha^{-1}q$ ersetzen, und haben dann $q^{n}=\operatorname*{id}.$ Dann
ist $q$ diagonalisierbar (wiederum weil $k$ algebraisch abgeschlossen ist, und
weil $\operatorname*{char}k=0$ ist). Also gibt es eine Basis $v_{1},...,v_{d}$
von $V$, die aus Eigenvektoren von $q$ besteht. Betrachten wir diese Basis
$v_{1},...,v_{d}$. F\"{u}r jedes $j\in\left\{  1,2,...,d\right\}  $ sei
$\lambda_{j}\in k$ der Eigenwert von $q$ zum Eigenvektor $v_{j}$. Dann ist
$q\left(  v_{j}\right)  =\lambda_{j}v_{j}$ f\"{u}r alle $1\leq j\leq d$.
Hieraus folgt $\lambda_{j}^{n}=1$ (da $q^{n}=\operatorname*{id}$) und
$q^{-1}\left(  v_{j}\right)  =\lambda_{j}^{-1}v_{j}$ f\"{u}r alle $1\leq j\leq
d$.

Nun ist aber $\left(  p_{i,j}\right)  _{1\leq i,j\leq d}$ eine Basis von
$\operatorname*{End}V$, wobei $p_{i,j}\in\operatorname*{End}V$ so definiert
ist, da\ss \ $p_{i,j}\left(  v_{l}\right)  =\delta_{i,l}v_{j}$ f\"{u}r jedes
$l$ gilt.

F\"{u}r alle $i,j,l$ gilt also
\begin{align*}
\left(  \varphi\left(  p_{i,j}\right)  \right)  \left(  v_{l}\right)   &
=\left(  qp_{i,j}q^{-1}\right)  \left(  v_{l}\right)  =\left(  qp_{i,j}%
\right)  \left(  \underbrace{q^{-1}\left(  v_{l}\right)  }_{=\lambda_{l}%
^{-1}v_{l}}\right)  =\left(  qp_{i,j}\right)  \left(  \lambda_{l}^{-1}%
v_{l}\right) \\
&  =q\left(  \lambda_{l}^{-1}\delta_{i,l}v_{j}\right)  =\underbrace{\lambda
_{l}^{-1}\delta_{i,l}}_{=\lambda_{i}^{-1}\delta_{i,l}}\lambda_{j}v_{j}%
=\lambda_{i}^{-1}\delta_{i,l}\lambda_{j}v_{j}=\lambda_{i}^{-1}\lambda
_{j}\underbrace{\delta_{i,l}v_{j}}_{=p_{i,j}\left(  v_{l}\right)  }%
=\lambda_{i}^{-1}\lambda_{j}p_{i,j}\left(  v_{l}\right)  .
\end{align*}
Somit gilt $\varphi\left(  p_{i,j}\right)  =\lambda_{i}^{-1}\lambda_{j}%
p_{i,j}$ f\"{u}r alle $i$ und $j.$ Damit ist $\operatorname*{Tr}\varphi
=\sum\limits_{i,j}\lambda_{i}^{-1}\lambda_{j}=\sum\limits_{j=1}^{d}\lambda
_{j}\cdot\sum\limits_{j=1}^{d}\lambda_{j}^{-1}.$

Wir werden die Eigenschaften halbeinfacher Hopfalgebren und der Moduln
\"{u}ber ihnen in Kapitel III.5 weiter untersuchen. Wir werden wir aber
zun\"{a}chst zur\"{u}ckgehen zu allgemeinen endlichdimensionalen Hopfalgebren.
Bevor wir dies jedoch tun, wollen wir der Vollst\"{a}ndigkeit halber zeigen,
wie Satz 3.22 auch ohne die Bedingung $\operatorname*{char}k=0$ gezeigt werden
kann. Dazu ben\"{o}tigen wir ein Lemma aus der linearen Algebra:

\textbf{3.30. Lemma:} Sei $V$ ein $k$-Vektorraum mit $\dim V=d<\infty$. Seien
$q,r\in\operatorname*{End}V$ beliebig. Sei $\varphi:\operatorname*{End}%
V\rightarrow\operatorname*{End}V$ die Abbildung, die durch%
\[
\varphi\left(  p\right)  =qpr\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }%
p\in\operatorname*{End}V
\]
definiert ist. Dann ist $\varphi$ eine $k$-lineare Abbildung mit
$\operatorname*{Tr}\varphi=\left(  \operatorname*{Tr}q\right)  \cdot\left(
\operatorname*{Tr}r\right)  $.

\textit{Beweis von Lemma 3.30:} Da\ss \ $\varphi$ eine $k$-lineare Abbildung
ist, ist klar. Es bleibt also nur noch zu zeigen, da\ss \ $\operatorname*{Tr}%
\varphi=\left(  \operatorname*{Tr}q\right)  \cdot\left(  \operatorname*{Tr}%
r\right)  $ ist.

Sei $\left(  e_{1},e_{2},...,e_{d}\right)  $ eine Basis des Vektorraums $V$.
Sei $\operatorname*{mat}:\operatorname*{End}V\rightarrow\operatorname*{M}%
\nolimits_{d}\left(  k\right)  $ die Abbildung, die durch%
\[
\operatorname*{mat}f=\left(  \text{darstellende Matrix von }f\text{
bez\"{u}glich der Basis }\left(  e_{1},e_{2},...,e_{d}\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r jedes }f\in\operatorname*{End}V
\]
definiert ist. F\"{u}r jedes $f\in\operatorname*{End}V$ ist dann%
\[
\operatorname*{Tr}\left(  \operatorname*{mat}f\right)  =\operatorname*{Tr}%
\left(  \text{darstellende Matrix von }f\text{ bez\"{u}glich der Basis
}\left(  e_{1},e_{2},...,e_{d}\right)  \right)  =\operatorname*{Tr}f.
\]
Bekanntlich ist $\operatorname*{mat}$ ein $k$-Algebraisomorphismus.

Sei $Q=\operatorname*{mat}q$ und $R=\operatorname*{mat}r$. Da
$\operatorname*{Tr}\left(  \operatorname*{mat}f\right)  =\operatorname*{Tr}f$
f\"{u}r jedes $f\in\operatorname*{End}V$ gilt, gilt insbesondere
$\operatorname*{Tr}\left(  \operatorname*{mat}q\right)  =\operatorname*{Tr}q$.
Wegen $\operatorname*{mat}q=Q$ wird dies zu $\operatorname*{Tr}%
Q=\operatorname*{Tr}q$. Analog ist $\operatorname*{Tr}R=\operatorname*{Tr}r$.

Sei $\widetilde{\varphi}:\operatorname*{M}\nolimits_{d}\left(  k\right)
\rightarrow\operatorname*{M}\nolimits_{d}\left(  k\right)  $ die Abbildung,
die durch $\widetilde{\varphi}=\operatorname*{mat}\circ\varphi\circ
\operatorname*{mat}\nolimits^{-1}$ definiert ist. Dann ist $\widetilde{\varphi
}$ eine $k$-lineare Abbildung und erf\"{u}llt $\operatorname*{Tr}%
\widetilde{\varphi}=\operatorname*{Tr}\left(  \operatorname*{mat}\circ
\varphi\circ\operatorname*{mat}\nolimits^{-1}\right)  =\operatorname*{Tr}%
\varphi$\ \ \ \ \footnote{An dieser Stelle verwenden wir ein Standardresultat
aus der linearen Algebra:
\par
Sind $A$ und $B$ zwei endlichdimensionale $k$-Vektorr\"{a}ume, und ist
$f:A\rightarrow B$ ein Vektorraumisomorphismus, dann gilt $\operatorname*{Tr}%
\left(  f\circ\rho\circ f^{-1}\right)  =\operatorname*{Tr}\rho$ f\"{u}r jedes
$\rho\in\operatorname*{End}A$.}. Ferner ist%
\begin{align*}
\widetilde{\varphi}\left(  P\right)   &  =\left(  \operatorname*{mat}%
\circ\varphi\circ\operatorname*{mat}\nolimits^{-1}\right)  \left(  P\right)
=\operatorname*{mat}\left(  \underbrace{\varphi\left(  \operatorname*{mat}%
\nolimits^{-1}\left(  P\right)  \right)  }_{=q\circ\operatorname*{mat}%
\nolimits^{-1}\left(  P\right)  \circ r}\right)  =\operatorname*{mat}\left(
q\circ\operatorname*{mat}\nolimits^{-1}\left(  P\right)  \circ r\right) \\
&  =\underbrace{\left(  \operatorname*{mat}q\right)  }_{=Q}\cdot
\underbrace{\left(  \operatorname*{mat}\left(  \operatorname*{mat}%
\nolimits^{-1}\left(  P\right)  \right)  \right)  }_{=P}\cdot
\underbrace{\left(  \operatorname*{mat}r\right)  }_{=R}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\operatorname*{mat}\text{ ist ein
}k\text{-Algebrahomomorphismus}\right) \\
&  =QPR\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }P\in\operatorname*{M}%
\nolimits_{d}\left(  k\right)  .
\end{align*}


F\"{u}r jede $i,j\in\left\{  1,2,...,d\right\}  $ sei $E_{i,j}\in
\operatorname*{M}\nolimits_{d}\left(  k\right)  $ die Matrix, die eine $1$ an
der $\left(  i,j\right)  $-ten Stelle und eine $0$ an jeder anderen Stelle
hat. Dann ist $\left(  E_{i,j}\right)  _{i,j\in\left\{  1,2,...,d\right\}  }$
eine Basis des $k$-Vektorraums $\operatorname*{M}\nolimits_{d}\left(
k\right)  $. Die zu dieser Basis $\left(  E_{i,j}\right)  _{i,j\in\left\{
1,2,...,d\right\}  }$ duale Basis von $\left(  \operatorname*{M}%
\nolimits_{d}\left(  k\right)  \right)  ^{\ast}$ ist dann $\left(
F_{i,j}\right)  _{i,j\in\left\{  1,2,...,d\right\}  }$, wobei $F_{i,j}$
(f\"{u}r beliebige $i,j\in\left\{  1,2,...,d\right\}  $) als diejenige
Abbildung $\operatorname*{M}\nolimits_{d}\left(  k\right)  \rightarrow k$
definiert ist, die jede $d\times d$-Matrix $A$ auf den $\left(  i,j\right)
$-ten Eintrag von $A$ abbildet. Somit gilt%
\[
\operatorname*{Tr}\widetilde{\varphi}=\sum_{i,j\in\left\{  1,2,...,d\right\}
}F_{i,j}\left(  \widetilde{\varphi}\left(  E_{i,j}\right)  \right)
\]
(nach der Definition der Spur oder nach Bemerkung 3.8 \textbf{(b)}). Doch da%
\begin{align*}
F_{i,j}\left(  \widetilde{\varphi}\left(  E_{i,j}\right)  \right)   &
=\left(  \text{der }\left(  i,j\right)  \text{-te Eintrag der Matrix
}\widetilde{\varphi}\left(  E_{i,j}\right)  \right) \\
&  =\left(  \text{der }\left(  i,j\right)  \text{-te Eintrag der Matrix
}QE_{i,j}R\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\widetilde{\varphi}\left(
E_{i,j}\right)  =QE_{i,j}R\text{ (denn }\widetilde{\varphi}\left(  P\right)
=QPR\text{ f\"{u}r alle }P\in\operatorname*{M}\nolimits_{d}\left(  k\right)
\text{)}\right) \\
&  =\left(  \text{der }\left(  i,i\right)  \text{-te Eintrag der Matrix
}Q\right)  \cdot\left(  \text{der }\left(  j,j\right)  \text{-te Eintrag der
Matrix }R\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach der Definition von }E_{i,j}\text{
und des Produktes von Matrizen}\right)
\end{align*}
f\"{u}r jede $i,j\in\left\{  1,2,...,d\right\}  $ gilt, vereinfacht sich dies
zu%
\begin{align*}
\operatorname*{Tr}\widetilde{\varphi}  &  =\sum_{i,j\in\left\{
1,2,...,d\right\}  }\left(  \text{der }\left(  i,i\right)  \text{-te Eintrag
der Matrix }Q\right)  \cdot\left(  \text{der }\left(  j,j\right)  \text{-te
Eintrag der Matrix }R\right) \\
&  =\underbrace{\sum_{i\in\left\{  1,2,...,d\right\}  }\left(  \text{der
}\left(  i,i\right)  \text{-te Eintrag der Matrix }Q\right)  }%
_{=\operatorname*{Tr}Q=\operatorname*{Tr}q}\cdot\underbrace{\sum_{j\in\left\{
1,2,...,d\right\}  }\left(  \text{der }\left(  j,j\right)  \text{-te Eintrag
der Matrix }R\right)  }_{=\operatorname*{Tr}R=\operatorname*{Tr}r}\\
&  =\left(  \operatorname*{Tr}q\right)  \cdot\left(  \operatorname*{Tr}%
r\right)  .
\end{align*}
Wegen $\operatorname*{Tr}\widetilde{\varphi}=\operatorname*{Tr}\varphi$ wird
dies zu $\operatorname*{Tr}\varphi=\left(  \operatorname*{Tr}q\right)
\cdot\left(  \operatorname*{Tr}r\right)  $. Damit ist Lemma 3.30 bewiesen.

\textbf{3.31. Folgerung:} Satz 3.22 gilt auch ohne die Bedingung
$\operatorname*{char}k=0$.

\textit{Beweis von Folgerung 3.31:} \textbf{1)} Im Beweis von Satz 3.22
\textbf{1)} haben wir nirgendwo benutzt, da\ss \ $\operatorname*{char}k=0$
ist. Also gilt Satz 3.22 \textbf{1)} auch ohne die Bedingung
$\operatorname*{char}k=0$.

\textbf{2)} Um Satz 3.22 ohne die Bedingung $\operatorname*{char}k=0$ zu
beweisen, verfahren wir genauso wie im Beweis von Satz 3.22 weiter oben, bis
zu der Stelle, an der behauptet wird, da\ss \ $q$ diagonalisierbar ist. Diese
Behauptung k\"{o}nnen wir hier nicht mehr machen, da wir nicht mehr
$\operatorname*{char}k=0$ voraussetzen. Jedoch k\"{o}nnen wir
folgenderma\ss en weiterargumentieren:

Nach Lemma 3.30 (angewandt auf $r=q^{-1}$) ist $\operatorname*{Tr}%
\varphi=\left(  \operatorname*{Tr}q\right)  \cdot\left(  \operatorname*{Tr}%
\left(  q^{-1}\right)  \right)  $.

Seien nun $\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{d}$ die Eigenwerte von $q$
(mit ihren algebraischen Vielfachheiten). Bekanntlich mu\ss \ ein Polynom, das
einen Endomorphismus eines Vektorraumes annihiliert, auch jeden seiner
Eigenwerte annihilieren. Somit gilt $\lambda_{i}^{n}=1$ f\"{u}r jedes
$i\in\left\{  1,2,...,d\right\}  $ (denn $q^{n}=1$). Ferner sind $\lambda
_{1}^{-1},\lambda_{2}^{-1},...,\lambda_{d}^{-1}$ die Eigenwerte von $q^{-1}$
(da $\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{d}$ die Eigenwerte von $q$ sind).
Folglich ist $\operatorname*{Tr}\left(  q^{-1}\right)  =\sum\limits_{j=1}%
^{d}\lambda_{j}^{-1}$. Andererseits ist $\operatorname*{Tr}q=\sum
\limits_{j=1}^{d}\lambda_{j}$ (da $\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{d}$
die Eigenwerte von $q$ sind). Somit wird $\operatorname*{Tr}\varphi=\left(
\operatorname*{Tr}q\right)  \cdot\left(  \operatorname*{Tr}\left(
q^{-1}\right)  \right)  $ zu $\operatorname*{Tr}\varphi=\sum\limits_{j=1}%
^{d}\lambda_{j}\cdot\sum\limits_{j=1}^{d}\lambda_{j}^{-1}$. Somit gilt Satz
3.22 \textbf{2)} auch ohne die Bedingung $\operatorname*{char}k=0$.

\bigskip

\begin{center}
\fbox{\textbf{4. Die S\"{a}tze von Nichols-Zoeller und Skryabin}}
\end{center}

In diesem Abschnitt werden wir uns mit der L\"{o}sung einer \textbf{Vermutung
von Kaplansky (1975)} besch\"{a}ftigen:

Ist $H$ eine Hopfalgebra, und ist $A\subseteq H$ eine Unterhopfalgebra von
$H,$ dann ist $H$ als $A$-Linksmodul und als $A$-Rechtsmodul frei.

Diese Vermutung ist, so wie sie formuliert ist, \textit{falsch} - auch
\"{u}ber dem Grundk\"{o}rper $\mathbb{C}.$ Der \textbf{Satz von
Nichols-Zoeller} (1989) besagt aber: Ist $H$ eine endlichdimensionale
Hopfalgebra, und ist $A\subseteq H$ eine Unterhopfalgebra von $H,$ dann ist
$H$ als $A$-Linksmodul und als $A$-Rechtsmodul frei.

Der \textbf{Satz von Skryabin} (2006) beantwortet einen anderen Sonderfall von
Kaplanskys Vermutung positiv, sogar etwas verallgemeinert: Ist $H$ eine
endlichdimensionale Hopfalgebra, und ist $A\subseteq H$ eine
Rechtscoidealunteralgebra, dann ist $H$ als $A$-Linksmodul und als
$A$-Rechtsmodul frei. Dabei verwenden wir den folgenden Begriff:

\textbf{Definition:} Sei $H$ eine Hopfalgebra, und sei $A$ eine Unteralgebra
von $H.$ Genau dann hei\ss t $A$ eine \textit{Rechtscoidealunteralgebra} von
$H,$ wenn $\Delta\left(  A\right)  \subseteq A\otimes H$ ist. Genau dann
hei\ss t $A$ eine \textit{Linkscoidealunteralgebra} von $H,$ wenn
$\Delta\left(  A\right)  \subseteq H\otimes A$ ist.

\bigskip

\fbox{\textbf{Einf\"{u}hrendes Beispiel: Gruppenalgebren}}

Wir werden im Folgenden den Beweis des Satzes von Skryabin nachvollziehen.
Zuerst jedoch sehen wir uns einen Sonderfall an: n\"{a}mlich wenn $H$ die
Gruppenalgebra einer Gruppe $G$ ist und $A$ die Gruppenalgebra einer
Untergruppe $G^{\prime}$ von $G$.

\textbf{4.1. Bemerkung:} Sei $G$ eine Gruppe, und sei $G^{\prime}\subseteq G$
eine Untergruppe. Wir schreiben die Gruppe $G$ in der Form $G=\bigcup
\limits_{i\in I}g_{i}\cdot G^{\prime}$ mit $g_{i}\in G$ f\"{u}r alle $i\in I$,
wobei $\left(  g_{i}\cdot G^{\prime}\right)  \cap\left(  g_{j}\cdot G^{\prime
}\right)  =\varnothing$ f\"{u}r alle $i\neq j$ ist.

Sei $G\diagup G^{\prime}=\left\{  g\cdot G^{\prime}\mid g\in G\right\}
=\left\{  g_{i}\cdot G^{\prime}\mid i\in I\right\}  =\left\{  \overline{g_{i}%
}\mid i\in I\right\}  $.

Die Sequenz von Mengen%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
G\times G^{\prime} \ar@{=>}[r]^{\operatorname*{mult}}_{\operatorname*{pr}_1} & G \ar[r]^{\operatorname*{kan}} & G\slash G^{\prime}
}
\]
ist exakt (im Sinne des Differenzcokerns), wobei $\operatorname*{mult}:G\times
G^{\prime}\rightarrow G$ die Multiplikationsabbildung ist (definiert durch
$\operatorname*{mult}\left(  g,g^{\prime}\right)  =gg^{\prime}$ f\"{u}r alle
$g\in G$ und $g^{\prime}\in G^{\prime}$), und $\operatorname*{pr}_{1}:G\times
G^{\prime}\rightarrow G$ die Projektion auf die erste Koordinate ist
(definiert durch $\operatorname*{pr}_{1}\left(  g,g^{\prime}\right)  =g$
f\"{u}r alle $g\in G$ und $g^{\prime}\in G^{\prime}$).

\textbf{1)} In Beispiel 2.1 \textbf{1)} von Kapitel I haben wir eine Coalgebra
$k\left[  S\right]  $ f\"{u}r jede Menge $S$ definiert\footnote{Wir erinnern
uns noch einmal an die Definition, die wir in Beispiel 2.1 \textbf{1)} von
Kapitel I (dort allerdings mit anderer Notation) gegeben haben:
\par
\textbf{Definition:} Sei $S$ eine beliebige Menge. Dann definieren wir
folgenderma\ss en eine Coalgebra $k\left[  S\right]  $: Sei $k\left[
S\right]  $ der freie $k$-Modul mit Basis $S$. Sei $\Delta:k\left[  S\right]
\rightarrow k\left[  S\right]  \otimes k\left[  S\right]  $ die $k$-lineare
Abbildung, die%
\[
\Delta\left(  s\right)  =s\otimes s\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle
}s\in S
\]
erf\"{u}llt. Sei $\varepsilon:k\left[  S\right]  \rightarrow k$ die
$k$-lineare Abbildung, die%
\[
\varepsilon\left(  s\right)  =1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }s\in S
\]
erf\"{u}llt. Dann ist $\left(  k\left[  S\right]  ,\Delta,\varepsilon\right)
$ eine Coalgebra. Diese Coalgebra bezeichnen wir kurz mit $k\left[  S\right]
$.}. Gem\"{a}\ss \ dieser Definition seien die drei Coalgebren $k\left[
G\right]  $, $k\left[  G^{\prime}\right]  $ und $k\left[  G\diagup G^{\prime
}\right]  $ definiert.

Wir betrachten $k\left[  G^{\prime}\right]  $ als Untercoalgebra von $k\left[
G\right]  $ (indem wir jedes $g\in G^{\prime}$ mit dem enstprechenden
Basiselement $g\in G$ identifizieren). Sei $\operatorname*{mult}:k\left[
G\right]  \otimes k\left[  G^{\prime}\right]  \rightarrow k\left[  G\right]  $
die $k$-lineare Abbildung, die $\operatorname*{mult}\left(  g\otimes
g^{\prime}\right)  =gg^{\prime}$ f\"{u}r alle $g\in G$ und $g^{\prime}\in
G^{\prime}$ erf\"{u}llt.

\textbf{a)} Die Sequenz von Coalgebren%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
k\left[G\right]\otimes k\left[G^{\prime}\right] \ar@{=>}[r]^{\operatorname*{mult}}_{\operatorname*{id}\otimes\varepsilon} & k\left[G\right] \ar[r]^{\operatorname*{kan}} & k\left[G\slash G^{\prime}\right] \ar[r] & 0
}
\]
ist exakt (im Sinne des Differenzcokerns)\footnote{Der Coalgebrahomomorphismus
$\operatorname*{id}\otimes\varepsilon:k\left[  G\right]  \otimes k\left[
G^{\prime}\right]  \rightarrow k\left[  G\right]  $ \"{u}berf\"{u}hrt
$g\otimes g^{\prime}$ nach $g$ f\"{u}r alle $g\in G$ und $g^{\prime}\in
G^{\prime}.$}. Hierbei ist die kanonische Abbildung $\operatorname*{kan}%
:k\left[  G\right]  \rightarrow k\left[  G\diagup G^{\prime}\right]  $ durch
$\operatorname*{kan}g=\overline{g}$ f\"{u}r alle $g\in G$ definiert; diese
Abbildung ist ein Coalgebrahomomorphismus.

\textbf{b)} Wir definieren ferner eine $k\left[  G\right]  $%
-Linksmodulstruktur auf $k\left[  G\diagup G^{\prime}\right]  $ durch
$g\cdot\overline{g_{i}}=\overline{gg_{i}}$ f\"{u}r jedes $g\in G$ und $i\in
I.$ (Diese $k\left[  G\right]  $-Linksmodulstruktur erf\"{u}llt allgemeiner
$g\cdot\overline{h}=\overline{gh}$ f\"{u}r jedes $g\in G$ und $h\in G$; sie
ist also unabh\"{a}ngig von der Wahl der $g_{i}$.) Dann induziert obige exakte
Sequenz einen kanonischen Isomorphismus $k\left[  G\right]  \diagup\left(
k\left[  G\right]  \left(  k\left[  G^{\prime}\right]  \right)  ^{+}\right)
\rightarrow k\left[  G\diagup G^{\prime}\right]  $ von $k\left[  G\right]  $-Linksmoduln.

\textit{Beweis:} \textbf{a)} F\"{u}r jedes $\sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}g\in
k\left[  G\right]  ,$ mit $\alpha_{g}\in k$ f\"{u}r alle $g\in G,$ gilt
folgende \"{A}quivalenz von Aussagen:%
\begin{align*}
\left(  0=\operatorname*{kan}\left(  \sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}g\right)
\right)  \  &  \Longleftrightarrow\ \left(  0=\sum\limits_{g\in G}\alpha
_{g}\overline{g}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }%
\operatorname*{kan}\left(  \sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}g\right)
=\sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}\overline{g}\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  \text{f\"{u}r jedes }i\text{ ist }%
\sum\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}\alpha_{g_{i}g^{\prime}}=0\right)  .
\end{align*}
Das hei\ss t,%
\[
\operatorname*{Ker}\left(  \operatorname*{kan}:k\left[  G\right]  \rightarrow
k\left[  G\diagup G^{\prime}\right]  \right)  =\left\{  \sum\limits_{g\in
G}\alpha_{g}g\in k\left[  G\right]  \mid\text{f\"{u}r jedes }i\text{ ist }%
\sum\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}\alpha_{g_{i}g^{\prime}}=0\right\}  .
\]


Andererseits ist $\left(  k\left[  G^{\prime}\right]  \right)  ^{+}%
=\operatorname*{Ker}\left(  \varepsilon:k\left[  G^{\prime}\right]
\rightarrow k\right)  =\sum\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}k\left(
g^{\prime}-1\right)  .$\ \ \ \ \footnote{\bigskip Wir haben hier verwendet,
da\ss \ $\operatorname*{Ker}\left(  \varepsilon:k\left[  G^{\prime}\right]
\rightarrow k\right)  =\sum\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}k\left(
g^{\prime}-1\right)  $ ist. Dies ist eine bekannte Tatsache, aber der
\textit{Beweis} ist einfach: Da\ss \ $\operatorname*{Ker}\left(
\varepsilon:k\left[  G^{\prime}\right]  \rightarrow k\right)  \supseteq
\sum\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}k\left(  g^{\prime}-1\right)  $ ist, ist
klar. Um $\operatorname*{Ker}\left(  \varepsilon:k\left[  G^{\prime}\right]
\rightarrow k\right)  \subseteq\sum\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}k\left(
g^{\prime}-1\right)  $ zu zeigen, sei $\sum\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}%
}\alpha_{g^{\prime}}g^{\prime}\in\operatorname*{Ker}\left(  \varepsilon
:k\left[  G^{\prime}\right]  \rightarrow k\right)  ;$ dann ist $\sum
\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}\alpha_{g^{\prime}}=0$ (denn $\sum
\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}\alpha_{g^{\prime}}$ ist das Bild von
$\sum\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}\alpha_{g^{\prime}}g^{\prime}$ unter
der Abbildung $\varepsilon:k\left[  G^{\prime}\right]  \rightarrow k$) und
damit $\sum\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}\alpha_{g^{\prime}}g^{\prime
}=\sum\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}\alpha_{g^{\prime}}g^{\prime}%
-\sum\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}\alpha_{g^{\prime}}=\sum
\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}\alpha_{g^{\prime}}\left(  g^{\prime
}-1\right)  \in\sum\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}k\left(  g^{\prime
}-1\right)  $. Damit ist $\operatorname*{Ker}\left(  \varepsilon:k\left[
G^{\prime}\right]  \rightarrow k\right)  \subseteq\sum\limits_{g^{\prime}\in
G^{\prime}}k\left(  g^{\prime}-1\right)  $ gezeigt. Somit ist
$\operatorname*{Ker}\left(  \varepsilon:k\left[  G^{\prime}\right]
\rightarrow k\right)  =\sum\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}k\left(
g^{\prime}-1\right)  $ bewiesen.} Also ist $k\left[  G\right]  \left(
k\left[  G^{\prime}\right]  \right)  ^{+}=\sum\limits_{g^{\prime}\in
G^{\prime}}k\left[  G\right]  \left(  g^{\prime}-1\right)  .$ Doch%
\[
\sum\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}k\left[  G\right]  \left(  g^{\prime
}-1\right)  =\left\{  \sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}g\in k\left[  G\right]
\mid\text{f\"{u}r jedes }i\text{ ist }\sum\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}%
}\alpha_{g_{i}g^{\prime}}=0\right\}
\]
(dies ist leicht zu zeigen). Also ist%
\begin{align*}
\sum\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}k\left[  G\right]  \left(  g^{\prime
}-1\right)   &  =\left\{  \sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}g\in k\left[
G\right]  \mid\text{f\"{u}r jedes }i\text{ ist }\sum\limits_{g^{\prime}\in
G^{\prime}}\alpha_{g_{i}g^{\prime}}=0\right\} \\
&  =\operatorname*{Ker}\left(  \operatorname*{kan}:k\left[  G\right]
\rightarrow k\left[  G\diagup G^{\prime}\right]  \right)  .
\end{align*}
Da $\sum\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}k\left[  G\right]  \left(
g^{\prime}-1\right)  =\left(  \operatorname*{kan}-\operatorname*{id}%
\otimes\varepsilon\right)  \left(  k\left[  G\right]  \otimes k\left[
G^{\prime}\right]  \right)  $ ist (wie man leicht sieht), ist also
\[
\left(  \operatorname*{kan}-\operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)
\left(  k\left[  G\right]  \otimes k\left[  G^{\prime}\right]  \right)
=\operatorname*{Ker}\left(  \operatorname*{kan}:k\left[  G\right]  \rightarrow
k\left[  G\diagup G^{\prime}\right]  \right)  .
\]
Das hei\ss t, die Sequenz%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
k\left[G\right]\otimes k\left[G^{\prime}\right] \ar@{=>}[r]^{\operatorname*{mult}}_{\operatorname*{id}\otimes\varepsilon} & k\left[G\right] \ar[r]^{\operatorname*{kan}} & k\left[G\slash G^{\prime}\right] \ar[r] & 0
}
\]
ist exakt.

\textbf{b)} Die obige Sequenz ist (wie man leicht zeigt) nicht nur eine
Sequenz von Coalgebren, sondern auch eine Sequenz von $k\left[  G\right]
$-Linksmoduln. Da sie exakt ist, induziert sie also einen kanonischen
Isomorphismus $k\left[  G\right]  \diagup\left(  \operatorname*{Ker}\left(
\operatorname*{kan}:k\left[  G\right]  \rightarrow k\left[  G\diagup
G^{\prime}\right]  \right)  \right)  \rightarrow k\left[  G\diagup G^{\prime
}\right]  $ von $k\left[  G\right]  $-Linksmoduln. Wegen $\operatorname*{Ker}%
\left(  \operatorname*{kan}:k\left[  G\right]  \rightarrow k\left[  G\diagup
G^{\prime}\right]  \right)  =\sum\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}k\left[
G\right]  \left(  g^{\prime}-1\right)  =k\left[  G\right]  \left(  k\left[
G^{\prime}\right]  \right)  ^{+}$ ist dies also ein kanonischer Isomorphismus
$k\left[  G\right]  \diagup\left(  k\left[  G\right]  \left(  k\left[
G^{\prime}\right]  \right)  ^{+}\right)  \rightarrow k\left[  G\diagup
G^{\prime}\right]  $ von $k\left[  G\right]  $-Linksmoduln, was zu beweisen war.

\textbf{2)} Wir haben $k\left[  G^{\prime}\right]  =k\left[  G\right]
^{\operatorname*{Co}\left(  k\left[  G\diagup G^{\prime}\right]  \right)  }$,
wobei $k\left[  G\right]  ^{\operatorname*{Co}\left(  k\left[  G\diagup
G^{\prime}\right]  \right)  }$ durch%
\[
k\left[  G\right]  ^{\operatorname*{Co}\left(  k\left[  G\diagup G^{\prime
}\right]  \right)  }=\left\{  x\in k\left[  G\right]  \mid x_{\left(
1\right)  }\otimes\operatorname*{kan}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
=x\otimes1\text{ in }k\left[  G\right]  \otimes k\left[  G\diagup G^{\prime
}\right]  \right\}
\]
definiert ist. (Hier meinen wir mit $1$ das Element $\operatorname*{kan}1\in
k\left[  G\diagup G^{\prime}\right]  $, wobei $1$ das neutrale Element von $G$ ist.)

\textit{Beweis:} F\"{u}r jedes $x=\sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}g\in k\left[
G\right]  $ gilt $x_{\left(  1\right)  }\otimes\operatorname*{kan}\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  =\sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}g\otimes
\overline{g}$ und $x\otimes1=\sum\limits_{g\in G}\alpha_{g}g\otimes1.$ Also
gilt $x_{\left(  1\right)  }\otimes\operatorname*{kan}\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  =x\otimes1$ genau dann, wenn $\alpha_{g}\overline
{g}=\alpha_{g}\overline{1}$ f\"{u}r alle $g\in G$ ist, also wenn $x\in
k\left[  G^{\prime}\right]  $ ist.

\textbf{3)} Die Abbildung%
\begin{align*}
k\left[  G\right]   &  \rightarrow k\left[  G\diagup G^{\prime}\right]
\otimes k\left[  G^{\prime}\right]  ,\\
g  &  \mapsto\overline{g_{i}}\otimes g^{\prime},\text{ wobei }i\in I\text{ und
}g^{\prime}\in G^{\prime}\text{ so gew\"{a}hlt sind, da\ss \ }g=g_{i}%
g^{\prime}\text{ gilt}%
\end{align*}
ist ein Isomorphismus von Coalgebren, und ferner $k\left[  G^{\prime}\right]
$-rechtslinear und $k\left[  G\diagup G^{\prime}\right]  $%
-linkscolinear\footnote{Dabei wird die $k\left[  G\diagup G^{\prime}\right]
$-Linkscomodulstruktur auf $k\left[  G\right]  $ definiert durch
$\delta\left(  g\right)  =\overline{g}\otimes g$ f\"{u}r alle $g\in G.$}.

Also ist $\left(  g_{i}\right)  _{i\in I}$ eine Basis von $k\left[  G\right]
$ als $k\left[  G^{\prime}\right]  $-Rechtsmodul.

Dies folgt direkt aus der Restklassenzerlegung von $G$ modulo $G^{\prime}$
(man vergleiche mit dem Satz von Lagrange aus der Gruppentheorie).

\textbf{4.2. Bemerkung:} Seien $G^{\prime}\subseteq G$ und $G\diagup
G^{\prime}$ wie in 4.1., und sei ferner die Gruppe $G$ endlich. Betrachten wir
$k\left[  G\right]  $ und $k\left[  G^{\prime}\right]  $ jetzt nicht mehr nur
als Coalgebren, sondern als Hopfalgebren.

Sei $\pi:k^{G}\rightarrow k^{G^{\prime}}$ die Restriktionsabbildung, die jedes
Element von $k^{G}$ (das ja eine Funktion von $G$ nach $k$ ist) auf
$G^{\prime}$ einschr\"{a}nkt. Sei $\iota=\operatorname*{kan}\nolimits^{\ast
}:k\left[  G\diagup G^{\prime}\right]  ^{\ast}\rightarrow k\left[  G\right]
^{\ast}$, wobei $\operatorname*{kan}:k\left[  G\right]  \rightarrow k\left[
G\diagup G^{\prime}\right]  $ wie in 4.1. definiert ist. Sei $i_{1}%
:k^{G}\rightarrow k^{G}\otimes k^{G^{\prime}}$ die lineare Abbildung, die
$i_{1}\left(  x\right)  =x\otimes1$ f\"{u}r jedes $x\in k^{G}$ erf\"{u}llt.

Durch Dualisieren der Sequenz%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
k\left[G\right]\otimes k\left[G^{\prime}\right] \ar@{=>}[r]^{\operatorname*{mult}}_{\operatorname*{id}\otimes\varepsilon} & k\left[G\right] \ar[r]^{\operatorname*{kan}} & k\left[G\slash G^{\prime}\right] \ar[r] & 0
}
\]
folgt die exakte Sequenz%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
k\left[G\slash G^{\prime}\right]^{\ast} \ar@{^{(}->}[r]^{\iota} \ar[d]^= & k\left[G\right]^{\ast} \ar@{=>}[r] \ar[d]^= & k\left[G\right]^{\ast}\otimes k\left[G^{\prime}\right]^{\ast} \ar[d]^= \\
k^{G\slash G^{\prime}} \ar@{^{(}->}[r]^{\iota} & k^G \ar@{=>}[r]^{\left(\operatorname*{id}\otimes\pi\right)\Delta}_{i_1} & k^G\otimes k^{G^{\prime}}
},
\]
wobei $\left(  \operatorname*{id}\otimes\pi\right)  \Delta\left(  x\right)
=x_{\left(  1\right)  }\otimes\pi\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  $
f\"{u}r alle $x\in k^{G}$ ist.

Also ist $\pi:k^{G}\rightarrow k^{G^{\prime}}$ eine surjektive Abbildung von
Hopfalgebren und $\left(  k^{G}\right)  ^{\operatorname*{Co}k^{G^{\prime}}%
}=\operatorname{Im}\iota.$

Hierbei gilt: $\left(  e_{g}\right)  _{g\in G}$ ist eine $k$-Basis von
$k^{G}\cong k\left[  G\right]  ^{\ast},$ und zwar die duale Basis zur Basis
$\left(  g\right)  _{g\in G}$ von $k\left[  G\right]  .$ Das hei\ss t,
$e_{g}\left(  h\right)  =\delta_{g,h}$ f\"{u}r alle $g,h\in G.$ F\"{u}r jedes
$g\in G$ ist $\Delta\left(  e_{g}\right)  =\sum\limits_{\substack{a,b\in
G,\\ab=g}}e_{a}\otimes e_{b}.$

F\"{u}r jedes $i$ ist $\iota\left(  e_{\overline{g_{i}}}\right)
=\sum\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}e_{g_{i}g^{\prime}}.$ Sei nun
$A=\operatorname{Im}\iota.$ Bezeichne ferner die Hopfalgebra $k^{G}$ als $H.$
Dann ist $A\subseteq H$ eine Unteralgebra mit $\Delta\left(  A\right)
\subseteq H\otimes A.$ Das hei\ss t, $A$ ist eine Linkscoidealunteralgebra von
$H.$ Genau dann ist $A\subseteq H$ eine Unterhopfalgebra, wenn $G^{\prime
}\vartriangleleft G$ ist.

\textit{Beweis:} Da $\operatorname*{kan}$ ein Coalgebrahomomorphismus ist, ist
$\iota$ ein Algebrahomomorphismus (denn $\iota=\operatorname*{kan}%
\nolimits^{\ast}$). Also ist $A$ eine Unteralgebra von $H$ (da
$A=\operatorname{Im}\iota$).

F\"{u}r alle $i$ definiere $a_{i}\in A$ als $a_{i}=\sum\limits_{g^{\prime}\in
G^{\prime}}e_{g_{i}g^{\prime}}.$ Dann hat $A$ die $k$-Basis $\left(
a_{i}\right)  _{i\in I}.$ F\"{u}r alle $i$ ist%
\[
\Delta\left(  a_{i}\right)  =\sum\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}%
\Delta\left(  e_{g_{i}g^{\prime}}\right)  =\sum\limits_{g^{\prime}\in
G^{\prime}}\sum\limits_{\substack{a,b\in G,\\ab=g_{i}g^{\prime}}}e_{a}\otimes
e_{b}=\sum\limits_{\substack{g^{\prime}\in G^{\prime},\\a\in G}}e_{a}\otimes
e_{a^{-1}g_{i}g^{\prime}}=\sum_{a\in G}e_{a}\otimes\sum\limits_{g^{\prime}\in
G^{\prime}}e_{a^{-1}g_{i}g^{\prime}}\in H\otimes A.
\]
Andererseits ist%
\[
\Delta\left(  a_{i}\right)  =\sum\limits_{g^{\prime}\in G^{\prime}}%
\Delta\left(  e_{g_{i}g^{\prime}}\right)  =\sum\limits_{g^{\prime}\in
G^{\prime}}\sum\limits_{\substack{a,b\in G,\\ab=g_{i}g^{\prime}}}e_{a}\otimes
e_{b}=\sum\limits_{\substack{g^{\prime}\in G^{\prime},\\b\in G}}e_{g_{i}%
g^{\prime}b^{-1}}\otimes e_{b},
\]
und somit gilt $\Delta\left(  a_{i}\right)  \in A\otimes H$ genau dann, wenn
$G^{\prime}\vartriangleleft G$ ist.

Soweit zum Fall, da\ss \ $H$ die Gruppenalgebra einer Gruppe ist. Dieses ist
einer der einfachsten F\"{a}lle (Gruppenalgebren sind eine der einfachsten
Klassen von Hopfalgebren). Jetzt kommen wir zur\"{u}ck zum allgemeinen Fall
einer beliebigen Hopfalgebra.

\bigskip

\fbox{\textbf{Linkscoidealunteralgebren vs. Coideale-und-Rechtsideale}}

\textbf{4.3. Bemerkung:} Sei $H$ eine Hopfalgebra.

\textbf{1)} Definiere eine Menge $\operatorname*{LCISA}H$ durch
\[
\operatorname*{LCISA}H=\left\{  K\subseteq H\ \mid\ K\text{ ist eine
Linkscoidealunteralgebra}\right\}  .
\]
Definiere eine Menge $\operatorname*{CRI}H$ durch%
\[
\operatorname*{CRI}H=\left\{  I\subseteq H\ \mid\ I\text{ ist ein Coideal und
ein Rechtsideal von }H\right\}  .
\]


Dann sind die Abbildungen%
\begin{align*}
\operatorname*{LCISA}H  &  \rightarrow\operatorname*{CRI}H,\\
K  &  \mapsto K^{+}H
\end{align*}
und%
\begin{align*}
\operatorname*{CRI}H  &  \rightarrow\operatorname*{LCISA}H,\\
I  &  \mapsto H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup I\right)  }%
\end{align*}
wohldefiniert, wobei $K^{+}=\operatorname*{Ker}\left(  \varepsilon\mid
_{K}\right)  =\operatorname*{Ker}\varepsilon\cap K$ und \newline%
$H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup I\right)  }=\left\{  x\in
H\ \mid\ x_{\left(  1\right)  }\otimes\overline{x_{\left(  2\right)  }%
}=x\otimes\overline{1}\text{ in }H\otimes H\diagup I\right\}  $ (dies ist eine
gewisse Erweiterung unseres Begriffes von $V^{\operatorname*{Co}H}$).

\textbf{2)} Diese beiden Abbildungen induzieren Bijektionen auf den
Teilmengen, f\"{u}r die $H$ als $K$-Linksmodul treuflach ist, und $H$ links
treucoflach \"{u}ber $H\diagup I$ ist. Wir werden dies hier nicht beweisen,
und nicht einmal definieren, was "treuflach" und "treucoflach" bedeuten, aber
wir werden etwas schw\"{a}cheres beweisen:

\textbf{3)} Sei $K\subseteq H$ eine Linkscoidealunteralgebra. Sei $I=K^{+}H.$
Dann ist $K\subseteq H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup I\right)  }.$

\textit{Beweis von \textbf{1)}:} \textbf{a)} Sei $K\subseteq H$ eine
Linkscoidealunteralgebra. Zeige: $K^{+}H\subseteq H$ ist ein Coideal und ein Rechtsideal.

\textit{Beweis:} F\"{u}r jedes $x\in K^{+}$ ist $\Delta\left(  x\right)  \in
x\otimes1+H\otimes K^{+}$ (denn da $K\subseteq H$ eine
Linkscoidealunteralgebra ist, gilt $\Delta\left(  K\right)  \subseteq H\otimes
K;$ somit ist $\Delta\left(  x\right)  =x_{\left(  1\right)  }\otimes
x_{\left(  2\right)  }$ mit $x_{\left(  2\right)  }\in K,$ und daher
\begin{align*}
\Delta\left(  x\right)   &  =x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(
2\right)  }=x_{\left(  1\right)  }\otimes\varepsilon\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  \cdot1+x_{\left(  1\right)  }\otimes\left(  x_{\left(
2\right)  }-\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \cdot1\right) \\
&  =\underbrace{x_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  }_{=x}\otimes1+x_{\left(  1\right)  }\otimes\underbrace{\left(
x_{\left(  2\right)  }-\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
\cdot1\right)  }_{\substack{\in\operatorname*{Ker}\varepsilon\text{ und }\in
K,\\\text{also }\in\operatorname*{Ker}\varepsilon\cap K=K^{+}}}\in
x\otimes1+H\otimes K^{+}%
\end{align*}
). Somit ist $\Delta\left(  K^{+}H\right)  \subseteq K^{+}H\otimes H+H\otimes
K^{+}H$ (und nat\"{u}rlich $\varepsilon\left(  K^{+}H\right)  =0$), weshalb
$K^{+}H$ ein Coideal ist. Da\ss \ $K^{+}H$ ein Rechtsideal ist, ist sowieso klar.

\textbf{b)} Sei $I\subseteq H$ ein Coideal und ein Rechtsideal. Sei
$K=H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup I\right)  }.$ Zeige: $K\subseteq H$
ist eine Linkscoidealunteralgebra.

\textit{Beweis:} \textbf{ba)} Zeige: $\Delta\left(  K\right)  \subseteq
H\otimes K.$

\textit{Beweis:} Sei $x\in K.$ Dann ist $x_{\left(  1\right)  }\otimes
\overline{x_{\left(  2\right)  }}=x\otimes\overline{1}$ in $H\otimes H\diagup
I,$ wobei $\overline{y}$ das kanonische Bild von $y$ in $H\diagup I$
bezeichnet (f\"{u}r jedes $y\in H$).

Anwendung von $\Delta\otimes\operatorname*{id}$ auf $x_{\left(  1\right)
}\otimes\overline{x_{\left(  2\right)  }}=x\otimes\overline{1}$ ergibt
$x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }\otimes\overline
{x_{\left(  3\right)  }}=x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)
}\otimes\overline{1}$ in $H\otimes H\otimes H\diagup I,$ also $x_{\left(
1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }\in\operatorname*{Ker}\left(
\operatorname*{id}\otimes\varphi\right)  $, wobei $\varphi:H\rightarrow
H\otimes H\diagup I$ die durch%
\[
\varphi\left(  y\right)  =y_{\left(  1\right)  }\otimes\overline{y_{\left(
2\right)  }}-y\otimes\overline{1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }y\in
H
\]
definierte lineare Abbildung ist. Doch $\operatorname*{Ker}\left(
\operatorname*{id}\otimes\varphi\right)  =H\otimes
\underbrace{\operatorname*{Ker}\varphi}_{=K}=H\otimes K.$ Also ist $x_{\left(
1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }\in H\otimes K,$ und somit ist
$\Delta\left(  K\right)  \subseteq H\otimes K.$

(Alternativer Beweis: $K=\operatorname*{Ker}\varphi,$ und $\varphi$ ist $H$-linkscolinear.)

\textbf{bb)} Zeige: $K\subseteq H$ ist eine Unteralgebra.

\textit{Beweis:} Seien $x,y\in K.$ Dann ist auch $xy\in K,$ denn%
\begin{align*}
\left(  xy\right)  _{\left(  1\right)  }\otimes\overline{\left(  xy\right)
_{\left(  2\right)  }}  &  =x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)
}\otimes\overline{x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }}=x_{\left(
1\right)  }y_{\left(  1\right)  }\otimes\overline{x_{\left(  2\right)  }%
}y_{\left(  2\right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn da }I\text{ ein Rechtsideal ist, ist
}H\diagup I\text{ kanonisch ein }H\text{-Rechtsmodul}\right) \\
&  =\underbrace{\left(  x_{\left(  1\right)  }\otimes\overline{x_{\left(
2\right)  }}\right)  }_{=x\otimes\overline{1}\text{\ (denn }x\in K\text{)}%
}\left(  y_{\left(  1\right)  }\otimes y_{\left(  2\right)  }\right)  =\left(
x\otimes\overline{1}\right)  \left(  y_{\left(  1\right)  }\otimes y_{\left(
2\right)  }\right)  =xy_{\left(  1\right)  }\otimes\overline{1}y_{\left(
2\right)  }\\
&  =xy_{\left(  1\right)  }\otimes\overline{y_{\left(  2\right)  }}=\left(
x\otimes\overline{1}\right)  \underbrace{\left(  y_{\left(  1\right)  }%
\otimes\overline{y_{\left(  2\right)  }}\right)  }_{=y\otimes\overline
{1}\text{ (da }y\in K\text{)}}=\left(  x\otimes\overline{1}\right)  \left(
y\otimes\overline{1}\right)  =xy\otimes\overline{1}.
\end{align*}
Zusammen mit $1\in K$ ergibt dies, da\ss \ $K\subseteq H$ eine Unteralgebra ist.

\textbf{c)} Die Abbildung%
\begin{align*}
\operatorname*{LCISA}H  &  \rightarrow\operatorname*{CRI}H,\\
K  &  \mapsto K^{+}H
\end{align*}
ist wohldefiniert (denn laut \textbf{a)} (und gem\"{a}\ss \ den Definitionen
von $\operatorname*{CRI}H$ und $\operatorname*{LCISA}H$) ist $K^{+}%
H\in\operatorname*{CRI}H$ f\"{u}r jedes $K\in\operatorname*{LCISA}H$). Die
Abbildung
\begin{align*}
\operatorname*{CRI}H  &  \rightarrow\operatorname*{LCISA}H,\\
I  &  \mapsto H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup I\right)  }%
\end{align*}
ist wohldefiniert (denn laut \textbf{b)} (und gem\"{a}\ss \ den Definitionen
von $\operatorname*{CRI}H$ und $\operatorname*{LCISA}H$) ist
$H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup I\right)  }\in\operatorname*{LCISA}H$
f\"{u}r jedes $I\in\operatorname*{CRI}H$)

\textit{Beweis von \textbf{2)}:} Siehe Seminar.

\textit{Beweis von \textbf{3)}:} F\"{u}r alle $y\in K$ ist $\overline
{y}=\varepsilon\left(  y\right)  \cdot\overline{1}$ in $H\diagup I$ (weil
$y-\varepsilon\left(  y\right)  \cdot1\in K^{+}\subseteq K^{+}H=I$).

Sei $x\in K$. Dann ist $x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)
}=\Delta\left(  x\right)  \in\Delta\left(  K\right)  \subseteq H\otimes K$
(denn $K$ ist eine Linkscoidealunteralgebra), und somit k\"{o}nnen wir o. B.
d. A. annehmen, da\ss \ $x_{\left(  2\right)  }\in K$ ist\footnote{Diese
Aussage ist formal gesehen Humbug, denn ein allein stehendes $x_{\left(
2\right)  }$ (ohne ein $x_{\left(  1\right)  }$ im selben Term) ist sinnlos.
Doch was wir eigentlich mit der Aussage "wir k\"{o}nnen o. B. d. A. annehmen,
da\ss \ $x_{\left(  2\right)  }\in K$ ist" meinen, ist folgendes: Wir
k\"{o}nnen den Tensor $\Delta\left(  x\right)  $ als eine Linearkombination
$\sum\limits_{i=1}^{u}\alpha_{i}x_{1i}\otimes x_{2i}$ von reinen Tensoren
$x_{1i}\otimes x_{2i}$ schreiben, die $x_{2i}\in K$ f\"{u}r alle $i\in\left\{
1,2,...,u\right\}  $ erf\"{u}llen.}. Somit gilt%
\begin{align*}
x_{\left(  1\right)  }\otimes\overline{x_{\left(  2\right)  }}  &  =x_{\left(
1\right)  }\otimes\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
\cdot\overline{1}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn f\"{u}r alle }y\in K\text{ ist }\overline{y}=\varepsilon\left(
y\right)  \cdot\overline{1}\text{ in }H\diagup I\text{,}\\
\text{und wegen }x_{\left(  2\right)  }\in K\text{ ergibt dies }%
\overline{x_{\left(  2\right)  }}=\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \cdot\overline{1}%
\end{array}
\right) \\
&  =\underbrace{x_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  }_{=x}\otimes\overline{1}=x\otimes\overline{1}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{in }H\otimes H\diagup I,
\end{align*}
also $x\in H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup I\right)  }$.

Damit ist gezeigt: F\"{u}r jedes $x\in K$ ist $x\in H^{\operatorname*{Co}%
\left(  H\diagup I\right)  }$. Also gilt $K\subseteq H^{\operatorname*{Co}%
\left(  H\diagup I\right)  }$, was zu beweisen war.

\bigskip

\fbox{\textbf{Hilfsmittel aus der Algebra}}

Wir werden uns jetzt auf den Beweis des Satzes von Skryabin vorbereiten, indem
wir einige algebraische Resultate rekapitulieren.

\textbf{Definition:} Ein Ring $A$ hei\ss t \textit{linkshalbeinfach}, wenn
f\"{u}r jeden $A$-Linksmodul $X\in\left.  _{A}\mathcal{M}\right.  $ und jeden
Untermodul $Y\subseteq X$ gilt: $Y$ ist ein direkter Summand von $X.$ Analog
definiert man \textit{rechtshalbeinfache} Ringe, indem man Linksmoduln durch
Rechtsmoduln ersetzt.

\textbf{4.4. Bemerkung:} Sei $A$ ein Ring.

\textbf{1)} Folgende f\"{u}nf Aussagen sind zueinander \"{a}quivalent:

\textbf{a)} Der Ring $A$ ist linkshalbeinfach.

\textbf{b)} Der Ring $A$ ist rechtshalbeinfach.

\textbf{c)} Der Modul $_{A}A$ ist artinsch, und $\operatorname*{Ra}A=0.$

\textbf{d)} Der Modul $A_{A}$ ist artinsch, und $\operatorname*{Ra}A=0.$

\textbf{e)} Es gibt ein $t\geq1$ und Schiefk\"{o}rper $D_{1},$ $D_{2},$ $...,$
$D_{t}$ sowie ganze Zahlen $n_{1},n_{2},...,n_{t}\geq1,$ f\"{u}r die gilt:
$A\cong\operatorname*{M}_{n_{1}}\left(  D_{1}\right)  \times\operatorname*{M}%
_{n_{2}}\left(  D_{2}\right)  \times...\times\operatorname*{M}_{n_{t}}\left(
D_{t}\right)  .$

Wenn diese f\"{u}nf \"{a}quivalenten Aussagen gelten, nennt man den Ring $A$
auch einfach \textit{halbeinfach}.

\textit{Beweis:} Standard (evtl. sp\"{a}ter).

\textbf{2)} Der Ring $A$ hei\ss t \textit{semilokal}, wenn $A\diagup
\operatorname*{Ra}A$ halbeinfach ist, also $A\diagup\operatorname*{Ra}%
A\cong\operatorname*{M}_{n_{1}}\left(  D_{1}\right)  \times\operatorname*{M}%
_{n_{2}}\left(  D_{2}\right)  \times...\times\operatorname*{M}_{n_{t}}\left(
D_{t}\right)  $ nach \textbf{1)}.

\textbf{Satz:} Sei $A$ eine endlichdimensionale $k$-Algebra. Dann ist $A$
linksartinsch und rechtsartinsch, und $\operatorname*{Ra}A$ ist nilpotent. Die
Algebra $A\diagup\operatorname*{Ra}A$ ist halbeinfach, da artinsch und
$\operatorname*{Ra}\left(  A\diagup\operatorname*{Ra}A\right)  =0.$ Nach
Wedderburn-Artin gibt es also ein $t\geq1$ und Schiefk\"{o}rper $D_{1},$
$D_{2},$ $...,$ $D_{t}$ sowie ganze Zahlen $n_{1},n_{2},...,n_{t}\geq1,$
f\"{u}r die gilt: $A\diagup\operatorname*{Ra}A\cong\operatorname*{M}_{n_{1}%
}\left(  D_{1}\right)  \times\operatorname*{M}_{n_{2}}\left(  D_{2}\right)
\times...\times\operatorname*{M}_{n_{t}}\left(  D_{t}\right)  ,$ wobei
$D_{1},$ $D_{2},$ $...,$ $D_{t}$ au\ss erdem noch endlichdimensionale
$k$-Algebren sind.

Sei $\operatorname*{Max}A=\left\{  P\subseteq A\text{\ }\mid\text{ }P\text{
ist ein maximales Ideal}\right\}  $ (wobei wir unter \textit{Idealen}
zweiseitige Ideale verstehen). Dann ist%
\begin{align*}
&  \operatorname*{Max}\left(  A\diagup\operatorname*{Ra}A\right)
=\operatorname*{Max}\left(  \operatorname*{M}\nolimits_{n_{1}}\left(
D_{1}\right)  \times\operatorname*{M}\nolimits_{n_{2}}\left(  D_{2}\right)
\times...\times\operatorname*{M}\nolimits_{n_{t}}\left(  D_{t}\right)  \right)
\\
&  =\left\{  0\times A_{2}\times...\times A_{t},A_{1}\times0\times A_{3}%
\times...\times A_{t},...,A_{1}\times A_{2}\times...\times A_{t-1}%
\times0\right\}  ,
\end{align*}
wobei $A_{i}=\operatorname*{M}\nolimits_{n_{i}}\left(  D_{i}\right)  $ f\"{u}r
alle $i\in\left\{  1,2,...,t\right\}  $ sein soll. Somit ist
$\operatorname*{Max}A$ eine endliche Menge mit $t$ Elementen (denn
$\operatorname*{Max}\left(  A\diagup\operatorname*{Ra}A\right)  $ ist
kanonisch isomorph zu $\operatorname*{Max}A$). F\"{u}r jedes $P\in
\operatorname*{Max}A$ ist $A\diagup P\cong\operatorname*{M}_{n_{i}}\left(
D_{i}\right)  $ f\"{u}r ein $i\in\left\{  1,2,...,t\right\}  .$ Also gibt es
(bis auf Isomorphie) genau einen endlichdimensionalen einfachen $A\diagup
P$-Linksmodul $U\in\left.  _{A\diagup P}\mathcal{M}\right.  $ (n\"{a}mlich
$D_{i}^{n_{i}}$ als Spaltenraum), und dieser $A\diagup P$-Linksmodul $U$
erf\"{u}llt folgende Eigenschaft: F\"{u}r jeden endlich erzeugten $A\diagup
P$-Linksmodul $M\in\left.  _{A\diagup P}\mathcal{M}\right.  $ existiert genau
ein $n\in\mathbb{N}$ mit $M\cong U^{n}.$

\textbf{Definition:} Dieses $n$ hei\ss t \textit{L\"{a}nge} von $M$ und wird
mit $\ell_{A\diagup P}\left(  M\right)  $ bezeichnet.

F\"{u}r je zwei endlich erzeugte $A\diagup P$-Linksmoduln $M,N\in\left.
_{A\diagup P}\mathcal{M}\right.  $ gilt also: Genau dann ist $M\cong N,$ wenn
$\ell_{A\diagup P}\left(  M\right)  =\ell_{A\diagup P}\left(  N\right)  $ ist.
Genau dann gibt es einen Epimorphismus $M\rightarrow N,$ wenn $\ell_{A\diagup
P}\left(  M\right)  \geq\ell_{A\diagup P}\left(  N\right)  $ ist.

\textbf{Definition:} Sei $A$ eine endlichdimensionale $k$-Algebra. Sei
$M\in\left.  _{A}\mathcal{M}\right.  $ ein endlich erzeugter $A$-Linksmodul.

F\"{u}r jedes $P\in\operatorname*{Max}A$ definiere den sogenannten
$P$\textit{-Rang} $r_{P}\left(  M\right)  \in\mathbb{Q}$ von $M$ durch
$r_{P}\left(  M\right)  =\dfrac{\ell_{A\diagup P}\left(  M\diagup MP\right)
}{\ell_{A\diagup P}\left(  A\diagup P\right)  }.$

Alles Obige l\"{a}\ss t sich ebenso f\"{u}r Rechtsmoduln statt Linksmoduln ausf\"{u}hren.

\textbf{4.5. Lemma:} Sei $A$ eine endlichdimensionale $k$-Algebra. Sei
$V\in\mathcal{M}_{A}$ ein endlich erzeugter $A$-Rechtsmodul mit $V\neq0.$

\textbf{1)} Sei $P\in\operatorname*{Max}A,$ und sei $n\in\mathbb{N}.$ Genau
dann ist $r_{P}\left(  V\right)  =n,$ wenn $V\diagup VP\cong\left(  A\diagup
P\right)  ^{n}$ (der freie $\left(  A\diagup P\right)  $-Rechtsmodul mit Rang
$n$) ist.

\textbf{2)} Sei $P\in\operatorname*{Max}A,$ und sei $n\in\mathbb{N}.$ Angenommen,

\textbf{a)} es gelte $r_{P}\left(  V\right)  =n,$ und

\textbf{b)} es gelte $r_{P}\left(  V\right)  \geq r_{Q}\left(  V\right)  $
f\"{u}r alle $Q\in\operatorname*{Max}A.$

Dann gibt es Elemente $v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V,$ welche $V$ als
$A$-Rechtsmodul erzeugen, und f\"{u}r die $\overline{v_{1}},\overline{v_{2}%
},...,\overline{v_{n}}$ eine Basis des $A\diagup P$-Rechtsmoduls $V\diagup VP$ ist.

\textit{Beweis:} \textbf{1)} $\Longrightarrow:$ Nach Voraussetzung ist
$n=r_{P}\left(  V\right)  =\dfrac{\ell_{A\diagup P}\left(  V\diagup VP\right)
}{\ell_{A\diagup P}\left(  A\diagup P\right)  },$ also $\ell_{A\diagup
P}\left(  V\diagup VP\right)  =n\ell_{A\diagup P}\left(  A\diagup P\right)
=\ell_{A\diagup P}\left(  \left(  A\diagup P\right)  ^{n}\right)  ,$ also
$V\diagup VP\cong\left(  A\diagup P\right)  ^{n}.$

$\Longleftarrow:$ Wenn $V\diagup VP\cong\left(  A\diagup P\right)  ^{n},$ dann
ist%
\[
r_{P}\left(  V\right)  =\dfrac{\ell_{A\diagup P}\left(  V\diagup VP\right)
}{\ell_{A\diagup P}\left(  A\diagup P\right)  }=\dfrac{\ell_{A\diagup
P}\left(  \left(  A\diagup P\right)  ^{n}\right)  }{\ell_{A\diagup P}\left(
A\diagup P\right)  }=\dfrac{n\ell_{A\diagup P}\left(  A\diagup P\right)
}{\ell_{A\diagup P}\left(  A\diagup P\right)  }=n.
\]


\textbf{2)} F\"{u}r alle $Q\in\operatorname*{Max}A$ ist $n=r_{P}\left(
V\right)  \geq r_{Q}\left(  V\right)  =\dfrac{\ell_{A\diagup Q}\left(
V\diagup VQ\right)  }{\ell_{A\diagup Q}\left(  A\diagup Q\right)  },$ also
$n\ell_{A\diagup Q}\left(  A\diagup Q\right)  \geq\ell_{A\diagup Q}\left(
V\diagup VQ\right)  .$ Wegen $n\ell_{A\diagup Q}\left(  A\diagup Q\right)
=\ell_{A\diagup Q}\left(  \left(  A\diagup Q\right)  ^{n}\right)  $ hei\ss t
dies $\ell_{A\diagup Q}\left(  \left(  A\diagup Q\right)  ^{n}\right)
\geq\ell_{A\diagup Q}\left(  V\diagup VQ\right)  .$ F\"{u}r jedes
$Q\in\operatorname*{Max}A$ gibt es also einen $A\diagup Q$-Epimorphismus
$f_{Q}:\left(  A\diagup Q\right)  ^{n}\rightarrow V\diagup VQ,$ wobei
$f_{P}:\left(  A\diagup P\right)  ^{n}\rightarrow V\diagup VP$ ein
Isomorphismus ist.

Daher gibt es ein kommutatives Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrixrowsep{4pc}\xymatrix{
V\slash V\operatorname*{Ra} A \ar[r]^{\cong} & \prod\limits_{Q\in\operatorname*{Max}A}V\slash VQ \ar[r]^{\operatorname*{Pr}_Q}& V\slash VQ \\
\left(A\slash \operatorname*{Ra} A\right)^n \ar[u]^f \ar[r]^{\cong} & \prod\limits_{Q\in\operatorname*{Max}A} \left(A\slash Q\right)^n \ar[u]^{\prod\limits_{Q\in\operatorname*{Max}A}f_Q} \ar[r]^{\operatorname*{Pr}_Q}& \left(A\slash Q\right)^n \ar[u]^{f_Q}
},
\]
wobei der Isomorphismus $V\diagup V\operatorname*{Ra}A\rightarrow
\prod\limits_{Q\in\operatorname*{Max}A}V\diagup VQ$ definiert ist durch
$\overline{v}\mapsto\left(  \pi_{Q}\left(  \overline{v}\right)  \right)
_{Q\in\operatorname*{Max}A},$ wobei%
\[
\pi_{Q}:V\diagup V\operatorname*{Ra}A\rightarrow V\diagup
VQ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \overline{v}\mapsto\pi_{Q}\left(  v\right)
=\text{Restklasse von }v\text{ in }V\diagup VQ
\]
die kanonischen Epimorphismen sind, und ferner $A\diagup\operatorname*{Ra}%
A\rightarrow\prod\limits_{Q\in\operatorname*{Max}A}A\diagup Q$ der
Isomorphismus aus Bemerkung 4.6. (unten) ist. Hierbei ist die Abbildung
$f:\left(  A\diagup\operatorname*{Ra}A\right)  ^{n}\rightarrow V\diagup
V\operatorname*{Ra}A$ durch dieses Diagramm definiert; dieses $f$ ist ein
$A$-Rechtsmodulepimorphismus (da $f_{Q}$ ein Epimorphismus f\"{u}r jedes
$Q\in\operatorname*{Max}A$ ist).

Sei $e_{1},e_{2},...,e_{n}$ die Standardbasis von $\left(  A\diagup
\operatorname*{Ra}A\right)  ^{n}.$ Da $f$ ein Epimorphismus ist, gibt es also
$v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$ so, da\ss \ $\overline{v_{1}},\overline{v_{2}%
},...,\overline{v_{n}}$ ein Erzeugendensystem vom $A$-Rechtsmodul $V\diagup
V\operatorname*{Ra}A$ ist. Hieraus folgt (gem\"{a}\ss \ Folgerung 6.9 von
Kapitel I, angewandt auf $A$ statt $R$), da\ss \ $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ ein
Erzeugendensystem des $A$-Rechtsmoduls $V$ ist.

Au\ss erdem folgt, da\ss \ $\overline{v_{1}},\overline{v_{2}},...,\overline
{v_{n}}$ eine Basis des $A\diagup P$-Rechtsmoduls $V\diagup VP$ ist, denn:

Die untere Zeile%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
\left(A\slash \operatorname*{Ra} A\right)^n \ar[r]^-{\cong} & \left(\prod\limits_{Q\in\operatorname*{Max}A} A\slash Q\right)^n\cong \prod\limits_{Q\in\operatorname*{Max}A} \left(A\slash Q\right)^n \ar[r]^-{\operatorname*{Pr}_Q}& \left(A\slash Q\right)^n
}
\]
des obigen kommutativen Diagramms \"{u}berf\"{u}hrt ein $\left(
\overline{a_{i}}\right)  _{1\leq i\leq n}\in\left(  A\diagup\operatorname*{Ra}%
A\right)  ^{n}$ zuerst in $\left(  \left(  \pi_{Q}\left(  \overline{a_{i}%
}\right)  \right)  _{1\leq i\leq n}\right)  _{Q\in\operatorname*{Max}A}%
\in\prod\limits_{Q\in\operatorname*{Max}A}\left(  A\diagup Q\right)  ^{n}$ und
danach in $\left(  \pi_{Q}\left(  \overline{a_{i}}\right)  \right)  _{1\leq
i\leq n};$ daher wird eine Standardbasis stets auf eine Standardbasis
abgebildet, und wegen der Kommutativit\"{a}t des Diagramms (und da $f_{P}$ ein
Isomorphismus ist) folgt somit, da\ss \ $\overline{v_{1}},\overline{v_{2}%
},...,\overline{v_{n}}$ eine Basis des $A\diagup P$-Rechtsmoduls $V\diagup VP$ ist.

\textbf{4.6. Bemerkung:} Wir haben in 4.5. folgende Resultate verwendet:

\textbf{1)} Sei $A$ eine endlichdimensionale Algebra, und sei $\left\{
P_{1},P_{2},...,P_{t}\right\}  =\operatorname*{Max}A,$ wobei $P_{i}\neq P_{j}$
f\"{u}r alle $i\neq j$ ist. Dann sind $P_{i}$ und $P_{j}$ relativ prim f\"{u}r
alle $i\neq j$ (das hei\ss t, $P_{i}+P_{j}=A$), und $\bigcap\limits_{i=1}%
^{t}P_{i}=\operatorname*{Ra}A.$

\textit{Beweis:} Da\ss \ $P_{i}$ und $P_{j}$ relativ prim f\"{u}r alle $i\neq
j$ sind, ist klar.

Die Beziehung $\bigcap\limits_{i=1}^{t}P_{i}=\operatorname*{Ra}A$ folgt aus
$A\diagup\operatorname*{Ra}A\cong\operatorname*{M}_{n_{1}}\left(
D_{1}\right)  \times\operatorname*{M}_{n_{2}}\left(  D_{2}\right)
\times...\times\operatorname*{M}_{n_{t}}\left(  D_{t}\right)  $ in 4.4.

\textbf{2)} Allgemein gilt:

\textbf{Chinesischer Restsatz f\"{u}r Moduln:} Ist $A$ ein Ring, ist
$M\in\mathcal{M}_{A}$, und sind $I_{1},$ $I_{2},$ $...,$ $I_{t}$ paarweise
relativ prime Ideale in $A$ (das hei\ss t, $I_{1},$ $I_{2},$ $...,$ $I_{t}$
sind Ideale von $A$, die $I_{i}+I_{j}=A$ f\"{u}r alle $i\neq j$ erf\"{u}llen),
dann ist die Abbildung%
\[
M\diagup M\bigcap\limits_{i=1}^{t}I_{i}\rightarrow\prod_{i=1}^{t}M\diagup
MI_{i},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m\mapsto\left(  \overline{m}\right)  _{1\leq i\leq
t}%
\]
ein $A$-Rechtsmodulisomorphismus.

\textit{Beweis:} Nach Algebra I ist die Abbildung%
\[
A\rightarrow\prod_{i=1}^{t}A\diagup I_{i},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto\left(
\overline{a}\right)  _{1\leq i\leq t}%
\]
surjektiv. Ebenso ist die Abbildung%
\[
M\rightarrow\prod_{i=1}^{t}M\diagup MI_{i},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m\mapsto\left(
\overline{m}\right)  _{1\leq i\leq t}%
\]
surjektiv. Ihr Kern ist offensichtlich%
\[
\operatorname*{Ker}\left(  M\rightarrow\prod_{i=1}^{t}M\diagup MI_{i}%
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m\mapsto\left(  \overline{m}\right)  _{1\leq i\leq
t}\right)  =\bigcap_{i=1}^{t}MI_{i}.
\]
Wir m\"{u}ssen also nur noch nachweisen, da\ss
\[
\bigcap_{i=1}^{t}MI_{i}=M\bigcap_{i=1}^{t}I_{i}%
\]
ist.

\textit{Beweis:} Wir betrachten zuerst den Fall $t=2.$ In diesem Fall ist
$I_{1}+I_{2}=A,$ und zu zeigen ist $MI_{1}\cap MI_{2}=M\left(  I_{1}\cap
I_{2}\right)  .$

\textit{Beweis:} Seien $a\in I_{1}$ und $b\in I_{2}$ mit $a+b=1$ (solche $a$
und $b$ existieren, da $I_{1}+I_{2}=A$). F\"{u}r jedes $x\in MI_{1}\cap
MI_{2}$ ist dann%
\begin{align*}
x  &  =x\left(  a+b\right)  =\underbrace{x}_{\substack{\in MI_{1}\cap
MI_{2}\\\subseteq MI_{2}}}\underbrace{a}_{\in I_{1}}+\underbrace{x}%
_{\substack{\in MI_{1}\cap MI_{2}\\\subseteq MI_{1}}}\underbrace{b}_{\in
I_{2}}\\
&  \in M\underbrace{I_{2}I_{1}}_{\subseteq I_{1}\cap I_{2}}+M\underbrace{I_{1}%
I_{2}}_{\subseteq I_{1}\cap I_{2}}\subseteq M\left(  I_{1}\cap I_{2}\right)
+M\left(  I_{1}\cap I_{2}\right)  =M\left(  I_{1}\cap I_{2}\right)  .
\end{align*}
Daher ist $MI_{1}\cap MI_{2}\subseteq M\left(  I_{1}\cap I_{2}\right)  .$
Trivialerweise ist $MI_{1}\cap MI_{2}\supseteq M\left(  I_{1}\cap
I_{2}\right)  .$ Damit ist $MI_{1}\cap MI_{2}=M\left(  I_{1}\cap I_{2}\right)
$ gezeigt.

Jetzt beweisen wir die Aussage $\bigcap\limits_{i=1}^{t}MI_{i}=M\bigcap
\limits_{i=1}^{t}I_{i}$ f\"{u}r beliebige $t$ durch Induktion nach $t.$ Den
Fall $t=2$ haben wir schon erledigt. Nun der \textit{Induktionsschritt von
}$t$ \textit{auf }$t+1$\textit{:} Wir haben%
\begin{align*}
\bigcap_{i=1}^{t+1}MI_{i}  &  =\bigcap_{i=1}^{t}MI_{i}\cap MI_{t+1}%
=M\bigcap_{i=1}^{t}I_{i}\cap MI_{t+1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach
Induktionsvoraussetzung}\right) \\
&  =M\left(  \bigcap_{i=1}^{t}I_{i}\cap I_{t+1}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach dem Fall }t=2,\text{ da }\bigcap
_{i=1}^{t}I_{i}\text{ und }I_{t+1}\text{ relativ prim sind}\right)  .
\end{align*}


\textbf{3)} Die Aussagen \"{u}ber Isomorphismen im Beweis von 4.5. folgen aus
\textbf{1)} und \textbf{2)}.

\bigskip

\fbox{\textbf{Costabile Ideale und Rechtscomodulunteralgebren}}

\textbf{Definition:} \textbf{1)} Sei $H$ eine Hopfalgebra, und sei $A$ eine
$H$-Rechtscomodulalgebra verm\"{o}ge einer Abbildung $\delta:A\rightarrow
A\otimes H.$ Ein Ideal $J$ von $A$ hei\ss e $H$\textit{-costabil}, wenn es ein
$H$-Untercomodul von $A$ ist (d. h. wenn $\delta\left(  J\right)  \subseteq
J\otimes H$ ist).

F\"{u}r jedes Ideal $J\vartriangleleft A$ bezeichne $I^{H}\left(  J\right)  $
das gr\"{o}\ss te in $J$ enthaltene Ideal von $A,$ das ein $H$-Untercomodul
von $A$ (das hei\ss t, $H$-costabil) ist. Mit anderen Worten: $I^{H}\left(
J\right)  $ ist die Summe aller $I\vartriangleleft A,$ die $\delta\left(
I\right)  \subseteq I\otimes H$ und $I\subseteq J$ erf\"{u}llen.

Die $H$-Rechtscomodulalgebra $A$ hei\ss t $H$\textit{-einfach}, wenn f\"{u}r
jedes $H$-costabile Ideal $J\vartriangleleft A$ mit $J\neq A$ gilt: $J=0.$ Mit
anderen Worten: Die $H$-Rechtscomodulalgebra $A$ hei\ss t $H$\textit{-einfach}%
, wenn f\"{u}r jedes Ideal $J\vartriangleleft A,$ das ein $H$-Untercomodul von
$A$ ist und $J\neq A$ erf\"{u}llt, gilt: $J=0.$

\textbf{2)} Sei $H$ eine Hopfalgebra (wie immer mit Comultiplikation $\Delta
$), und sei $A\subseteq H$ eine Unteralgebra. Wenn $\Delta\left(  A\right)
\subseteq A\otimes H$ ist, dann wird $A$ kanonisch zu einer $H$%
-Rechtscomodulalgebra verm\"{o}ge der Abbildung $\Delta\mid_{A}:A\rightarrow
A\otimes H.$ In diesem Fall sagt man, $A$ sei eine $H$%
\textit{-Rechtscomodulunteralgebra} von $H.$

\textbf{4.7. Lemma:} Sei $H$ eine Hopfalgebra, und sei $A$ eine $H$%
-Rechtscomodulunteralgebra von $H$ (also eine Unteralgebra von $H$ mit
$\Delta\left(  A\right)  \subseteq A\otimes H$). Sei $A^{+}%
=\operatorname*{Ker}\left(  \varepsilon_{H}\mid_{A}\right)  .$ Dann ist
$A^{+}\in\operatorname*{Max}A$ und $I^{H}\left(  A^{+}\right)  =0.$

\textit{Beweis:} Da\ss \ $A^{+}\in\operatorname*{Max}A$ ist, ist
trivial\footnote{Denn die lineare Abbildung $\varepsilon_{H}\mid
_{A}:A\rightarrow k$ ist nicht identisch $0$ (da $\left(  \varepsilon_{H}%
\mid_{A}\right)  \left(  1\right)  =1\neq0$), und somit ist $A\diagup
A^{+}=A\diagup\operatorname*{Ker}\left(  \varepsilon_{H}\mid_{A}\right)  \cong
k$ ein K\"{o}rper.}. Wir wollen jetzt zeigen, da\ss \ $I^{H}\left(
A^{+}\right)  =0$ ist.

Sei $J\vartriangleleft A$ ein $H$-costabiles Ideal mit $J\subseteq A^{+}.$ Wir
m\"{u}ssen dann beweisen, da\ss \ $J=0$ ist.

In der Tat ist $JH$ ein Unter-$H$-Hopfmodul von $H$ (das hei\ss t,
$JH\in\mathcal{M}_{H}^{H}$ mit der $H$-Rechtsmodulstruktur $JH\otimes
H\rightarrow JH,$ $j\otimes h\mapsto jh,$ und der $H$-Rechtscomodulstruktur
$\Delta_{H}\mid_{JH}$). Doch die einzigen Unter-$H$-Hopfmoduln von $H$ sind
$0$ und $H$ (nach der Kategorien\"{a}quivalenz aus Satz 1.1, welche $k$ auf
$H$ abbildet, denn die einzigen Untervektorr\"{a}ume von $k$ sind $0$ und
$k$). Also ist $JH=0$ oder $JH=H.$ Doch wegen $\varepsilon\left(  JH\right)
=0$ (da $J\subseteq A^{+}\subseteq H^{+}$) ist $JH\neq H.$ Also ist $JH=0$ und
damit $J=0.$

Wir wiederholen nun eine Definition, die wir schon am Anfang von Kapitel III.1
gegeben haben, allerdings mit anderen Bezeichnungen:

\textbf{Definition:} Sei $H$ eine Hopfalgebra, und $A$ eine $H$%
-Rechtscomodulalgebra mit der $H$-Rechtscomodulstruktur $\delta:A\rightarrow
A\otimes H.$ Unter einem $\left(  A,H\right)  $\textit{-Hopfmodul} verstehen
wir dann einen Vektorraum $V$ mit einer $A$-Rechtsmodulstruktur und einer
$H$-Rechtscomodulstruktur $\rho:V\rightarrow V\otimes H,$ die eine der
folgenden zwei \"{a}quivalenten Bedingungen $\mathcal{C}_{1}$ und
$\mathcal{C}_{2}$ erf\"{u}llen:

\textit{Bedingung }$\mathcal{C}_{1}$\textit{:} Die Abbildung $\rho$ ist
$A$-rechtslinear, wobei die $A$-Rechtsmodulstruktur auf dem Tensorprodukt
$V\otimes H$ dadurch definiert wird, da\ss \ $V\otimes H$ als $A\otimes
H$-Rechtsmodul aufgefasst wird (weil $V$ ein $A$-Rechtsmodul ist), und aus
dieser $A\otimes H$-Rechtsmodulstruktur eine $A$-Rechtsmodulstruktur gewonnen
wird (durch die Algebraabbildung $\delta:A\rightarrow A\otimes H,$ $a\mapsto
a_{\left(  0\right)  }\otimes a_{\left(  1\right)  }$).

\textit{Bedingung }$\mathcal{C}_{2}$\textit{:} F\"{u}r alle $v\in V$ und $a\in
A$ gilt $\rho\left(  va\right)  =v_{\left(  0\right)  }a_{\left(  0\right)
}\otimes v_{\left(  1\right)  }a_{\left(  1\right)  },$ wobei wir wie
\"{u}blich die Sweedler-Notation $v_{\left(  0\right)  }\otimes v_{\left(
1\right)  }=\rho\left(  v\right)  $ und $a_{\left(  0\right)  }\otimes
a_{\left(  1\right)  }=\delta\left(  a\right)  $ verwenden. (Mit anderen
Worten: F\"{u}r alle $v\in V$ und $a\in A$ gilt $\rho\left(  va\right)
=\rho\left(  v\right)  \delta\left(  a\right)  ,$ wobei man $\left(  v\otimes
g\right)  \left(  a\otimes h\right)  =va\otimes gh$ f\"{u}r alle $v\in V,$
$a\in A$ und $g,h\in H$ setzt.)

Unter einem Homomorphismus zwischen zwei $\left(  A,H\right)  $-Hopfmoduln
verstehen wir einen Vektorraumhomomorphismus, der sowohl $A$-rechtslinear, als
auch $H$-rechtscolinear ist.

Die Kategorie aller $\left(  A,H\right)  $-Hopfmoduln wird mit $\mathcal{M}%
_{A}^{H}$ bezeichnet.

\textbf{4.8. Bemerkung:} \textbf{1)} Sei $V\in\mathcal{M}_{A}^{H},$ und sei
$X\subseteq V$ ein $H$-Rechtsuntercomodul von $V.$ Dann ist $XA\subseteq V$
ein Unter-$\left(  A,H\right)  $-Hopfmodul von $V.$

\textit{Beweis:} Sei $\rho:V\rightarrow V\otimes H$ die $H$-Comodulstruktur
auf $V.$ F\"{u}r alle $x\in X$ und $a\in A$ ist dann%
\[
\rho\left(  xa\right)  =x_{\left(  0\right)  }a_{\left(  0\right)  }\otimes
x_{\left(  1\right)  }a_{\left(  1\right)  }\in XA\otimes H
\]
(denn $x\in X$ impliziert $x_{\left(  0\right)  }\in X,$ da $\rho\left(
X\right)  \subseteq X\otimes H$ ist, weil $X\subseteq V$ ein $H$%
-Rechtsuntercomodul von $V$ ist). Somit ist $XA$ ein $H$-Rechtsuntercomodul
von $V.$ Da\ss \ $XA$ ein $A$-Rechtsuntermodul von $V$ ist, ist klar. Somit
ist $XA$ ein Unter-$\left(  A,H\right)  $-Hopfmodul von $V.$

\textbf{2)} Sei $V\in\mathcal{M}_{A}^{H},$ sei $\rho:V\rightarrow V\otimes H$
die $H$-Comodulstruktur auf $V.$ Sei $\left(  v_{i}\right)  _{i\in I}$ ein
$A$-Modulerzeugendensystem von $V.$ Dann ist $\left(  \rho\left(
v_{i}\right)  \right)  _{i\in I}$ ein $A\otimes H$-Modulerzeugendensystem von
$V\otimes H.$

\textit{Beweis:} F\"{u}r jedes $v\in V$ ist%
\[
\rho\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  \left(  \underbrace{1\otimes
S\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  }_{\in A\otimes H}\right)  =v_{\left(
0\right)  }\otimes\underbrace{v_{\left(  1\right)  }S\left(  v_{\left(
2\right)  }\right)  }_{=\varepsilon\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
\cdot1}=v_{\left(  0\right)  }\varepsilon\left(  v_{\left(  1\right)
}\right)  \otimes1=v\otimes1.
\]
Also bilden die Elemente $\left(  \rho\left(  v\right)  \right)  _{v\in V}$
ein $A\otimes H$-Erzeugendensystem von $V\otimes H.$

Au\ss erdem gibt es f\"{u}r jedes $v\in V$ eine Familie $\left(  a_{i}\right)
_{i\in I}$ mit $a_{i}\in A$ f\"{u}r jedes $i\in I$ und $a_{i}\neq0$ nur
f\"{u}r endlich viele $i,$ die $v=\sum\limits_{i}v_{i}a_{i}$ erf\"{u}llt, und
hieraus folgt $\rho\left(  v\right)  =\sum\limits_{i}\rho\left(  v_{i}%
a_{i}\right)  =\sum\limits_{i}\rho\left(  v_{i}\right)  \delta\left(
a_{i}\right)  .$ Hieraus folgt die Behauptung.

\textbf{3)} Sei $H$ eine Hopfalgebra, und sei $A\subseteq H$ eine
Rechtscoidealunteralgebra. Dann ist $A$ insbesondere eine $H$%
-Rechtscomodulalgebra. Damit ist der Begriff eines $\left(  A,H\right)
$-Hopfmoduls und die Kategorie $\mathcal{M}_{A}^{H}$ definiert.

\textbf{4)} Sei $H$ eine Hopfalgebra, und sei $A$ eine Rechtscomodulalgebra
mit $H$-Rechtscomodulstruktur $\delta:A\rightarrow A\otimes H$. Sei $I$ ein
$H$-costabiles Ideal von $A.$ Dann ist $I$ ein $\left(  A,H\right)
$-Hopfmodul mit der Abbildung $\mu_{A}\mid_{I\otimes A}$ als $A$%
-Rechtsmodulstruktur und der Abbildung $\delta\mid_{I}^{I\otimes H}$ als
$H$-Rechtscomodulstruktur\footnote{Dabei verstehen wir unter $\delta\mid
_{I}^{I\otimes H}$ die Abbildung von $I$ nach $I\otimes H$, welche aus der
Abbildung $\delta:A\rightarrow A\otimes H$ durch Einschr\"{a}nkung auf $I$
hervorgeht. Diese Abbildung ist wohldefiniert, da $\delta\left(  I\right)
\subseteq I\otimes H$ ist (weil $I$ ein $H$-costabiles Ideal ist).}.

\textbf{Definition:} Sei $R$ ein Ring. Der Ring $R$ hei\ss t \textit{schwach
endlich}\footnote{Der englische Begriff hierf\"{u}r ist "\textit{weakly
finite}".}, wenn f\"{u}r jedes nat\"{u}rliche $n\geq1$ jeder $R$%
-Modulepimorphismus $f:R^{n}\rightarrow R^{n}$ auch ein Isomorphismus ist. Mit
anderen Worten: Der Ring $R$ hei\ss t \textit{schwach endlich}, wenn f\"{u}r
jedes nat\"{u}rliche $n\geq1$ jedes $n$-elementige $R$-Modulerzeugendensystem
von $R^{n}$ eine Basis von $R^{n}$ ist.

\textbf{4.9. Bemerkung:} \textbf{a)} Sei $R$ eine endlichdimensionale Algebra
\"{u}ber einem K\"{o}rper $k.$ Dann ist $R$ schwach endlich. (Dies ist klar.)

\textbf{b)} Sei $R$ ein rechtsnoetherscher Ring. Dann ist $R$ schwach endlich.
(Siehe Algebra II f\"{u}r den Beweis.)

\textbf{c)} Sei $R$ eine schwach endliche Algebra \"{u}ber einem K\"{o}rper
$k,$ und $E$ eine endlichdimensionale Algebra \"{u}ber dem gleichen K\"{o}rper
$k.$ Dann ist auch $R\otimes E$ schwach endlich.

\textbf{d)} Sei $R$ ein kommutativer Ring. Dann ist $R$ schwach endlich. (Dies
ist ein recht bekannter Satz aus der kommutativen Algebra.)

\textbf{4.10. Lemma:} Sei $H$ eine schwach endliche Hopfalgebra (d. h. eine
Hopfalgebra, die als Ring schwach endlich ist).

Sei $A$ eine endlichdimensionale $H$-Rechtscomodulalgebra\footnote{Unter einer
"endlichdimensionalen $H$-Rechtscomodulalgebra" verstehen wir, wie immer, eine
$H$-Rechtscomodulalgebra, die, \textit{als }$k$\textit{-Vektorraum},
endlichdimensional ist.}. Sei $P\vartriangleleft A$ mit $I^{H}\left(
P\right)  =0.$ Sei $V\in\mathcal{M}_{A}^{H},$ sei $n\geq1,$ und seien
$v_{1},v_{2},...,v_{n}\in V$ Elemente von $V,$ die $V$ als $A$-Rechtsmodul
erzeugen. Angenommen, $\overline{v_{1}},\overline{v_{2}},...,\overline{v_{n}}$
sei eine Basis des $A\diagup P$-Rechtsmoduls $V\diagup VP$ (wobei
$\overline{v_{i}}$ die Restklasse von $v_{i}$ modulo dem Ideal $VP$
bezeichnet). Dann ist $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ eine Basis des $A$-Rechtsmoduls
$V.$

\textit{Beweis:} Wir m\"{u}ssen nur beweisen, da\ss \ $v_{1},$ $v_{2},$ $...,$
$v_{n}$ linear unabh\"{a}ngig sind.

Seien $a_{1},a_{2},...,a_{n}\in A$ mit $\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}a_{i}=0.$
Wir m\"{u}ssen dann zeigen, da\ss \ $a_{i}=0$ f\"{u}r alle $i\in\left\{
1,2,...,n\right\}  $ ist.

\textit{Beweis:} Sei $K=\delta^{-1}\left(  P\otimes H\right)  ,$ wobei
$\delta:A\rightarrow A\otimes H$ die $H$-Rechtscomodulstruktur auf $A$ ist.
Dann ist $K\vartriangleleft A$ (denn $\delta$ ist ein Algebrahomomorphismus,
w\"{a}hrend $P\otimes H$ ein Ideal der Algebra $A\otimes H$ ist; somit ist
$\delta^{-1}\left(  P\otimes H\right)  $ ein Ideal der Algebra $A$). Ferner
ist $K$ ein $H$-costabiles Ideal von $A$ (denn $H$ ist eine Coalgebra, $A$ und
$A\otimes H$ sind zwei $H$-Rechtscomoduln\footnote{wobei die $H$%
-Rechtscomodulstruktur auf $A\otimes H$ einfach die Abbildung%
\[
\delta_{A\otimes H}=\operatorname*{id}\otimes\Delta:A\otimes H\rightarrow
A\otimes H\otimes H
\]
sein soll}, und $\delta:A\rightarrow A\otimes H$ ist eine $H$-colineare
Abbildung\footnote{denn $\delta_{A\otimes H}\circ\delta=\left(
\operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \circ\delta=\left(  \delta
\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\delta$ (weil $A$ ein $H$-Rechtscomodul
ist)}, und $P\otimes H$ ist ein Untercomodul von $A\otimes H$%
\ \ \ \ \footnote{Denn $\delta_{A\otimes H}\left(  P\otimes H\right)  =\left(
\operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \left(  P\otimes H\right)  \subseteq
P\otimes H\otimes H.$}; laut Kapitel I, 4.1. \textbf{4)} ist daher auch
$\delta^{-1}\left(  P\otimes H\right)  $ ein Untercomodul von $A,$ also
$H$-costabil). Schlie\ss lich ist $K\subseteq P$ (denn f\"{u}r jedes $a\in K$
ist $a_{\left(  0\right)  }\otimes a_{\left(  1\right)  }=\delta\left(
a\right)  \in P\otimes H,$ also $a=a_{\left(  0\right)  }\varepsilon\left(
a_{\left(  1\right)  }\right)  \in P$).

Doch wegen $I^{H}\left(  P\right)  =0$ ist jedes in $P$ enthaltene
$H$-costabile Ideal von $A$ gleich $0.$ Also ist $K=0.$

Jetzt werden wir zeigen, da\ss \ $a_{i}=0$ f\"{u}r alle $i\in\left\{
1,2,...,n\right\}  $ ist, indem wir nachrechnen, da\ss \ $a_{i}\in K$ f\"{u}r
alle $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ ist.

\textit{Beweis:} Aus $\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}a_{i}=0$ folgt $\sum
\limits_{i=1}^{n}\rho\left(  v_{i}\right)  \delta\left(  a_{i}\right)
=\sum\limits_{i=1}^{n}\rho\left(  v_{i}a_{i}\right)  =\rho\left(
\underbrace{\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}a_{i}}_{=0}\right)  =0$ in $V\otimes H$
(wobei $\rho:V\rightarrow V\otimes H$ die $H$-Comodulstruktur auf $V$ ist).
Somit ist auch $\sum\limits_{i=1}^{n}\overline{\rho\left(  v_{i}\right)
}\overline{\delta\left(  a_{i}\right)  }=0$ in $\left(  V\otimes H\right)
\diagup\left(  VP\otimes H\right)  ,$ wobei $\overline{\delta\left(
a_{i}\right)  }\in\left(  A\diagup P\right)  \otimes H\cong\left(  A\otimes
H\right)  \diagup\left(  P\otimes H\right)  $ die \"{A}quivalenzklasse von
$\delta\left(  a_{i}\right)  \in A\otimes H$ modulo $P\otimes H$ bezeichnet.

Nach 4.8. \textbf{2)} ist $\rho\left(  v_{1}\right)  ,\rho\left(
v_{2}\right)  ,...,\rho\left(  v_{n}\right)  $ ein Erzeugendensystem des
$A\otimes H$-Rechtsmoduls $V\otimes H.$ Somit ist $\overline{\rho\left(
v_{1}\right)  },\overline{\rho\left(  v_{2}\right)  },...,\overline
{\rho\left(  v_{n}\right)  }$ ein Erzeugendensystem des $\left(  A\diagup
P\right)  \otimes H$-Rechtsmoduls $\left(  V\otimes H\right)  \diagup\left(
VP\otimes H\right)  \cong\left(  V\diagup VP\right)  \otimes H.$

Aber nach Voraussetzung ist $\overline{v_{1}},\overline{v_{2}},...,\overline
{v_{n}}$ eine Basis des $A\diagup P$-Rechtsmoduls $V\diagup VP$. Somit ist
$\overline{v_{1}}\otimes1,\overline{v_{2}}\otimes1,...,\overline{v_{n}}%
\otimes1$ eine Basis des $\left(  A\diagup P\right)  \otimes H$-Rechtsmoduls
$\left(  V\diagup VP\right)  \otimes H.$ Mit anderen Worten: $\overline
{v_{1}\otimes1},\overline{v_{2}\otimes1},...,\overline{v_{n}\otimes1}$ ist
eine Basis des $\left(  A\diagup P\right)  \otimes H$-Rechtsmoduls $\left(
V\otimes H\right)  \diagup\left(  VP\otimes H\right)  $ (denn $\left(
V\otimes H\right)  \diagup\left(  VP\otimes H\right)  \cong\left(  V\diagup
VP\right)  \otimes H$).

Da $\left(  A\diagup P\right)  \otimes H$ schwach endlich ist (nach 4.9
\textbf{c)}, denn nach Voraussetzung ist $H$ schwach endlich, und $A\diagup P$
ist endlichdimensional), mu\ss \ also $\overline{\rho\left(  v_{1}\right)
},\overline{\rho\left(  v_{2}\right)  },...,\overline{\rho\left(
v_{n}\right)  }$ auch eine Basis des $\left(  A\diagup P\right)  \otimes
H$-Rechtsmoduls $\left(  V\otimes H\right)  \diagup\left(  VP\otimes H\right)
$ sein (denn sie ist ein Erzeugendensystem und hat genauso viele Elemente wie
die Basis $\overline{v_{1}\otimes1},\overline{v_{2}\otimes1},...,\overline
{v_{n}\otimes1}$), und ist daher insbesondere linear unabh\"{a}ngig. Aus
$\sum\limits_{i=1}^{n}\overline{\rho\left(  v_{i}\right)  }\overline
{\delta\left(  a_{i}\right)  }=0$ folgt also $\overline{\delta\left(
a_{i}\right)  }=0$ f\"{u}r alle $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  ,$ also
$\delta\left(  a_{i}\right)  \in P\otimes H$ f\"{u}r alle $i\in\left\{
1,2,...,n\right\}  ,$ und somit $a_{i}\in\delta^{-1}\left(  P\otimes H\right)
=K=0,$ also $a_{i}=0$ f\"{u}r alle $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  ,$ was zu
beweisen war.

\textbf{4.11. Satz:} Sei $H$ eine schwach endliche Hopfalgebra (d. h. eine
Hopfalgebra, die als Ring schwach endlich ist).

Sei $A$ eine endlichdimensionale $H$-Rechtscomodulalgebra. Angenommen, $A$ sei
$H$-einfach. Sei $V\in\mathcal{M}_{A}^{H}$ ein $\left(  A,H\right)
$-Hopfmodul, welches als $A$-Rechtsmodul endlich erzeugt ist. Dann gibt es ein
positives $t\in\mathbb{N}$ so, da\ss \ $V^{t}$ als $A$-Rechtsmodul frei ist.

\textit{Beweis:} Da die Menge $\operatorname*{Max}A$ endlich ist, gibt es ein
$P\in\operatorname*{Max}A$ so, da\ss \ $r_{P}\left(  V\right)  \geq
r_{Q}\left(  V\right)  $ f\"{u}r jedes $Q\in\operatorname*{Max}A$ gilt. Sei
$t=\ell_{A\diagup P}\left(  A\diagup P\right)  .$ Dann ist $r_{P}\left(
V^{t}\right)  =\dfrac{\ell_{A\diagup P}\left(  V^{t}\diagup V^{t}P\right)
}{\ell_{A\diagup P}\left(  A\diagup P\right)  }=\dfrac{t\ell_{A\diagup
P}\left(  V\diagup VP\right)  }{t}=\ell_{A\diagup P}\left(  V\diagup
VP\right)  \in\mathbb{N}$ und%
\begin{align*}
r_{P}\left(  V^{t}\right)   &  =\dfrac{\ell_{A\diagup P}\left(  V^{t}\diagup
V^{t}P\right)  }{\ell_{A\diagup P}\left(  A\diagup P\right)  }=\dfrac
{t\ell_{A\diagup P}\left(  V\diagup VP\right)  }{\ell_{A\diagup P}\left(
A\diagup P\right)  }=t\dfrac{\ell_{A\diagup P}\left(  V\diagup VP\right)
}{\ell_{A\diagup P}\left(  A\diagup P\right)  }=tr_{P}\left(  V\right)  \geq
tr_{Q}\left(  V\right) \\
&  =t\dfrac{\ell_{A\diagup Q}\left(  V\diagup VQ\right)  }{\ell_{A\diagup
Q}\left(  A\diagup Q\right)  }=\dfrac{t\ell_{A\diagup Q}\left(  V\diagup
VQ\right)  }{\ell_{A\diagup Q}\left(  A\diagup Q\right)  }=\dfrac
{\ell_{A\diagup Q}\left(  V^{t}\diagup V^{t}Q\right)  }{\ell_{A\diagup
Q}\left(  A\diagup Q\right)  }=r_{Q}\left(  V^{t}\right)
\end{align*}
f\"{u}r alle $Q\in\operatorname*{Max}A.$ Nach Lemma 4.5. \textbf{2)} gibt es
also ein $A$-Rechtsmodulerzeugendensystem $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ von $V^{t}$
so, da\ss \ $\overline{v_{1}},\overline{v_{2}},...,\overline{v_{n}}$ eine
Basis des $A\diagup P$-Rechtsmoduls $V^{t}\diagup V^{t}P$ ist.

Da $A$ eine $H$-einfache $H$-Rechtscomodulalgebra ist, gilt $I^{H}\left(
P\right)  =0.$ Nach Lemma 4.10. ist also $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ eine Basis
des $A$-Rechtsmoduls $V^{t}.$

\textbf{4.11}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{.
Bemerkung:} Wie der Beweis von Satz 4.11. zeigt, kann man in Satz 4.11. die
Bedingung "$A$ sei $H$-einfach" ersetzen durch die schw\"{a}chere Bedingung
"es gibt ein $P\in\operatorname*{Max}A$ so, da\ss \ $I^{H}\left(  P\right)
=0$ und\ $r_{P}\left(  V\right)  \geq r_{Q}\left(  V\right)  $ f\"{u}r jedes
$Q\in\operatorname*{Max}A$ gilt". Genau mit dieser schw\"{a}cheren Bedingung
werden wir Satz 4.11. sp\"{a}ter auch verwenden.

\textbf{4.12. Satz:} Sei $H$ eine schwach endliche Hopfalgebra (d. h. eine
Hopfalgebra, die als Ring schwach endlich ist).

Sei $A$ eine endlichdimensionale $H$-Rechtscomodulalgebra. Dann sind folgende
drei Aussagen zueinander \"{a}quivalent:

\textbf{1)} Die $H$-Rechtscomodulalgebra $A$ ist $H$-einfach.

\textbf{2)} F\"{u}r jedes $P\in\operatorname*{Max}A$ gilt $I^{H}\left(
P\right)  =0.$

\textbf{3)} Es gibt ein $P\in\operatorname*{Max}A$ mit $I^{H}\left(  P\right)
=0.$

\textit{Beweis:} Die Implikationen \textbf{1)} $\Longrightarrow$ \textbf{2)}
und \textbf{2)} $\Longrightarrow$ \textbf{3)} sind beide trivial.

\textit{Beweis von \textbf{2)} }$\Longrightarrow$\textit{ \textbf{1)}:}
Angenommen, Aussage \textbf{2)} gelte. Sei $J\vartriangleleft A$ ein
$H$-costabiles Ideal von $A$ mit $J\neq A.$ Dann gibt es ein $P\in
\operatorname*{Max}A$ mit $J\subseteq P.$ Nach Aussage \textbf{2)} ist aber
$I^{H}\left(  P\right)  =0,$ also $J=0.$ Somit ist \textbf{1)} bewiesen.

\textit{Beweis von \textbf{3)} }$\Longrightarrow$\textit{ \textbf{2)}:}
Angenommen, Aussage \textbf{3)} sei erf\"{u}llt. Dann gibt es ein
$P\in\operatorname*{Max}A$ mit $I^{H}\left(  P\right)  =0.$ Halten wir dieses
$P$ fest.

Sei $I\vartriangleleft A$ ein minimales von $0$ verschiedenes $H$-costabiles
Ideal von $A$. (So ein $I$ existiert, denn $\dim A<\infty$ und da $A$ selbst
$H$-costabil ist, weil $A\in\mathcal{M}_{A}^{H}$.) Dann ist $I\in
\mathcal{M}_{A}^{H}.$

\textbf{a)} Zuerst werden wir zeigen: F\"{u}r jedes $Q\in\operatorname*{Max}A$
mit $I^{H}\left(  Q\right)  \neq0$ gilt $I=IQ.$

\textit{Beweis:} Wegen $I^{H}\left(  Q\right)  \neq0$ gibt es ein
$H$-costabiles $J\vartriangleleft A$ mit $J\neq0$ und $J\subseteq Q.$

Wenn $IJ=0$ w\"{a}re, w\"{u}rde $IJ\subseteq P$ folgen, also $I\subseteq P$
oder $J\subseteq P$ (denn $P$ ist ein Primideal), was im Widerspruch zu
$I^{H}\left(  P\right)  =0$ st\"{u}nde (denn $I$ und $J$ sind beide
$H$-costabil). Also mu\ss \ $IJ\neq0$ sein.

Somit ist $IJ$ ein von $0$ verschiedenes $H$-costabiles Ideal von $A$, und
nat\"{u}rlich ist $IJ\subseteq I.$ Da aber $I$ ein \textit{minimales} von $0$
verschiedenes $H$-costabiles Ideal von $A$ ist, folgt hieraus $IJ=I.$ Wegen
$J\subseteq Q$ folgt daraus wiederum $IQ=I,$ was zu beweisen war.

\textbf{b)} W\"{a}hle ein $P_{0}\in\operatorname*{Max}A$ derart,
da\ss \ $I^{H}\left(  P_{0}\right)  =0$ und $r_{P_{0}}\left(  I\right)  \geq
r_{Q}\left(  I\right)  $ f\"{u}r jedes $Q\in\operatorname*{Max}A$ mit
$I^{H}\left(  Q\right)  =0$ gilt.\footnote{So ein $P_{0}$ existiert, denn
wegen $\dim A<\infty$ ist $\operatorname*{Max}A$ endlich.}

F\"{u}r jedes $Q\in\operatorname*{Max}A$ mit $I^{H}\left(  Q\right)  \neq0$
ist%
\begin{align*}
r_{Q}\left(  I\right)   &  =\dfrac{\ell_{A\diagup Q}\left(  I\diagup
IQ\right)  }{\ell_{A\diagup Q}\left(  A\diagup Q\right)  }=\dfrac{0}%
{\ell_{A\diagup Q}\left(  A\diagup Q\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{da }I=IQ\text{ nach \textbf{a)}}\right) \\
&  =0,
\end{align*}
und somit gilt $r_{P_{0}}\left(  I\right)  \geq r_{Q}\left(  I\right)  $ auch
f\"{u}r jedes $Q\in\operatorname*{Max}A$ mit $I^{H}\left(  Q\right)  \neq0$
(und nicht nur f\"{u}r jedes $Q\in\operatorname*{Max}A$ mit $I^{H}\left(
Q\right)  =0$). Insgesamt erhalten wir also, da\ss \ $r_{P_{0}}\left(
I\right)  \geq r_{Q}\left(  I\right)  $ f\"{u}r jedes $Q\in\operatorname*{Max}%
A$ gilt.

Nun ist $I$ ein $\left(  A,H\right)  $-Hopfmodul, welches als $A$-Rechtsmodul
endlich erzeugt ist\footnote{Die endliche Erzeugtheit folgt aus $\dim
I<\infty,$ was wiederum aus $I\subseteq A$ und $\dim A<\infty$ folgt.}. Nach
dem Satz 4.11. (mit der schw\"{a}cheren Bedingung von Bemerkung 4.11$\dfrac
{\text{1}}{\text{2}}$.) gibt es also ein positives $t\in\mathbb{N}$ so,
da\ss \ $I^{t}$ als $A$-Rechtsmodul frei ist\footnote{Hierbei verstehen wir
unter $I^{t}$ die direkte Summe $\underbrace{I\oplus I\oplus...\oplus
I}_{t\text{ mal}}$, nicht das Idealprodukt $\underbrace{I\cdot I\cdot...\cdot
I}_{t\text{ mal}}$.}. Das hei\ss t, $I^{t}\cong A^{n}$ f\"{u}r ein
$n\in\mathbb{N}.$ F\"{u}r jedes $Q\in\operatorname*{Max}A$ ist dann $I\diagup
IQ\neq0$ (denn%
\begin{align*}
\left(  I\diagup IQ\right)  ^{t}  &  \cong I^{t}\diagup I^{t}Q\cong
A^{n}\diagup A^{n}Q\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }I^{t}\cong
A^{n}\right) \\
&  \cong\left(  A\diagup Q\right)  ^{n}\neq0
\end{align*}
), also $I\neq IQ$ und damit $I^{H}\left(  Q\right)  =0$ (nach \textbf{a)}),
womit Aussage \textbf{2)} bewiesen ist. Damit ist der Beweis von 4.12. abgeschlossen.

\textbf{Definition:} Wir kennen die Kategorie $\mathcal{M}_{A}^{H},$ deren
Objekte die $\left(  A,H\right)  $-Hopfmoduln sind. Wir werden jetzt eine
analoge Kategorie namens $_{A}\mathcal{M}^{H}$ einf\"{u}hren:

Sei $H$ eine Hopfalgebra, und $A$ eine $H$-Rechtscomodulalgebra, gegeben durch
die Abbildung $\delta_{A}:A\rightarrow A\otimes H,$ $a\mapsto a_{\left(
0\right)  }\otimes a_{\left(  1\right)  }.$ Wir definieren eine Kategorie
$_{A}\mathcal{M}^{H}$ wie folgt:

Als \textit{Objekt von }$_{A}\mathcal{M}^{H}$ bezeichnen wir jeden Vektorraum
$V$ mit einer $A$-Linksmodulstruktur und einer $H$-Rechtscomodulstruktur
$\rho:V\rightarrow V\otimes H,$ der eine der folgenden zwei \"{a}quivalenten
Bedingungen $\mathcal{D}_{1}$ und $\mathcal{D}_{2}$ erf\"{u}llt:

\textit{Bedingung }$\mathcal{D}_{1}$\textit{:} Die Abbildung $\rho$ ist
$A$-linkslinear, wobei die $A$-Linksmodulstruktur auf dem Tensorprodukt
$V\otimes H$ dadurch definiert wird, da\ss \ $V\otimes H$ als $A\otimes
H$-Linksmodul aufgefasst wird (weil $V$ ein $A$-Linksmodul ist), und aus
dieser $A\otimes H$-Linksmodulstruktur eine $A$-Linksmodulstruktur gewonnen
wird (durch die Algebraabbildung $\delta_{A}:A\rightarrow A\otimes H,$
$a\mapsto a_{\left(  0\right)  }\otimes a_{\left(  1\right)  }$).

\textit{Bedingung }$\mathcal{D}_{2}$\textit{:} F\"{u}r alle $v\in V$ und $a\in
A$ gilt $\rho\left(  av\right)  =a_{\left(  0\right)  }v_{\left(  0\right)
}\otimes a_{\left(  1\right)  }v_{\left(  1\right)  },$ wobei wir wie
\"{u}blich die Sweedler-Notation $v_{\left(  0\right)  }\otimes v_{\left(
1\right)  }=\rho\left(  v\right)  $ verwenden.

Als \textit{Morphismus von }$_{A}\mathcal{M}^{H}$ bezeichnen wir jeden
Vektorraumhomomorphismus zwischen zwei Objekten von $_{A}\mathcal{M}^{H},$
welcher $A$-linkslinear und gleichzeitig $H$-rechtscolinear ist.

Auf diese Weise haben wir eine Kategorie $_{A}\mathcal{M}^{H}$ definiert.

\textbf{4.13. Lemma:} Sei $H$ eine Hopfalgebra, und $A$ eine $H$%
-Rechtscomodulalgebra. Sei $V\in\left.  _{A}\mathcal{M}^{H}\right.  $
endlichdimensional (als $k$-Vektorraum). Dann l\"{a}\ss t sich der Dualraum
$V^{\ast}=\operatorname*{Hom}\left(  V,k\right)  $ folgenderma\ss en kanonisch
zu einem $\left(  A,H\right)  $-Hopfmodul machen:

Sei eine $A$-Rechtsmodulstruktur auf $V^{\ast}$ definiert durch $\left(
fa\right)  \left(  v\right)  =f\left(  av\right)  $ f\"{u}r alle $f\in
V^{\ast},$ $a\in A$ und $v\in V.$

Sei eine $H$-Rechtscomodulstruktur $\rho_{V^{\ast}}:V^{\ast}\rightarrow
V^{\ast}\otimes H,$ $f\mapsto f_{\left(  0\right)  }\otimes f_{\left(
1\right)  }$ auf $V^{\ast}$ so definiert, da\ss \ $f_{\left(  0\right)
}\left(  v\right)  f_{\left(  1\right)  }=f\left(  v_{\left(  0\right)
}\right)  S\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  $ f\"{u}r alle $f\in
V^{\ast}$ und $v\in V$ gilt. (Die $H$-Rechtscomodulstruktur $\rho_{V^{\ast}%
}:V^{\ast}\rightarrow V^{\ast}\otimes H$ ist durch diese Bedingung eindeutig
definiert und existiert.\footnote{Denn die Bedingung, da\ss \ $f_{\left(
0\right)  }\left(  v\right)  f_{\left(  1\right)  }=f\left(  v_{\left(
0\right)  }\right)  S\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  $ f\"{u}r alle
$f\in V^{\ast}$ gilt, bedeutet nichts anderes, als da\ss \ die lineare
Abbildung $i\circ\rho_{V^{\ast}}:V^{\ast}\rightarrow\operatorname*{Hom}\left(
V,H\right)  $ mit der linearen Abbildung%
\[
V^{\ast}\rightarrow\operatorname*{Hom}\left(  V,H\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\mapsto\left(  v\mapsto f\left(  v_{\left(  0\right)
}\right)  S\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  \right)
\]
\"{u}bereinstimmt, wobei%
\[
i:V^{\ast}\otimes H\rightarrow\operatorname*{Hom}\left(  V,H\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f\otimes h\mapsto\left(  v\mapsto f\left(  v\right)
h\right)
\]
der kanonische Homomorphismus ist. Und da $i$ ein Isomorphismus ist (da $\dim
V<\infty$), ist dadurch die Abbildung $\rho_{V^{\ast}}$ eindeutig bestimmt und
existiert.})

Auf diese Weise wird $V^{\ast}$ zu einem $\left(  A,H\right)  $-Hopfmodul; das
hei\ss t, $V^{\ast}\in\mathcal{M}_{A}^{H}.$

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Wir wollen zeigen, da\ss \ die Abbildung\ $\rho
_{V^{\ast}}:V^{\ast}\rightarrow V^{\ast}\otimes H$ coassoziativ ist.

\textit{Beweis:} Sei $f\in V^{\ast}.$ Dann m\"{u}ssen wir zeigen,
da\ss \ $\left(  f_{\left(  0\right)  }\right)  _{\left(  0\right)  }%
\otimes\left(  f_{\left(  0\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\otimes
f_{\left(  1\right)  }=f_{\left(  0\right)  }\otimes\Delta\left(  f_{\left(
1\right)  }\right)  $ in $V^{\ast}\otimes H\otimes H$ gilt.

Dazu reicht es aus zu zeigen, da\ss \ $\left(  f_{\left(  0\right)  }\right)
_{\left(  0\right)  }\left(  v\right)  \left(  f_{\left(  0\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  }\otimes f_{\left(  1\right)  }=f_{\left(  0\right)
}\left(  v\right)  \Delta\left(  f_{\left(  1\right)  }\right)  $ in $H\otimes
H$ f\"{u}r jedes $v\in V$ gilt.

Dies folgt aber aus%
\begin{align*}
\left(  f_{\left(  0\right)  }\right)  _{\left(  0\right)  }\left(  v\right)
\left(  f_{\left(  0\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\otimes f_{\left(
1\right)  }  &  =f_{\left(  0\right)  }\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)
S\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes f_{\left(  1\right)
}=S\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes f_{\left(  0\right)
}\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  f_{\left(  1\right)  }\\
&  =S\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes f\left(  \left(
v_{\left(  0\right)  }\right)  _{\left(  0\right)  }\right)  S\left(  \left(
v_{\left(  0\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  =S\left(
v_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes f\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)
S\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
\end{align*}
und%
\begin{align*}
f_{\left(  0\right)  }\left(  v\right)  \Delta\left(  f_{\left(  1\right)
}\right)   &  =\Delta\left(  f_{\left(  0\right)  }\left(  v\right)
f_{\left(  1\right)  }\right)  =\Delta\left(  f\left(  v_{\left(  0\right)
}\right)  S\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  =f\left(
v_{\left(  0\right)  }\right)  \underbrace{\Delta\left(  S\left(  v_{\left(
1\right)  }\right)  \right)  }_{\substack{=S\left(  v_{\left(  2\right)
}\right)  \otimes S\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  ,\text{ da }S\text{
ein}\\\text{Anticoalgebrahomomorphismus}\\\text{ist}}}\\
&  =f\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  S\left(  v_{\left(  2\right)
}\right)  \otimes S\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  =S\left(  v_{\left(
2\right)  }\right)  \otimes f\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  S\left(
v_{\left(  1\right)  }\right)  .
\end{align*}


\textbf{2)} Jetzt wollen wir zeigen, da\ss \ die Abbildung $\rho_{V^{\ast}%
}:V^{\ast}\rightarrow V^{\ast}\otimes H$ counit\"{a}r ist.

\textit{Beweis:} F\"{u}r alle $f\in V^{\ast}$ ist $f_{\left(  0\right)
}\varepsilon\left(  f_{\left(  1\right)  }\right)  =f,$ denn f\"{u}r alle
$v\in V$ gilt%
\begin{align*}
\left(  f_{\left(  0\right)  }\varepsilon\left(  f_{\left(  1\right)
}\right)  \right)  \left(  v\right)   &  =f_{\left(  0\right)  }\left(
v\right)  \varepsilon\left(  f_{\left(  1\right)  }\right)  =\varepsilon
\left(  f_{\left(  0\right)  }\left(  v\right)  f_{\left(  1\right)  }\right)
=\varepsilon\left(  f\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  S\left(
v_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  =f\left(  v_{\left(  0\right)
}\right)  \varepsilon\left(  S\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  \right)
\\
&  =f\left(  v_{\left(  0\right)  }\right)  \varepsilon\left(  v_{\left(
1\right)  }\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }\varepsilon\circ
S=\varepsilon\right) \\
&  =f\left(  v_{\left(  0\right)  }\varepsilon\left(  v_{\left(  1\right)
}\right)  \right)  =f\left(  v\right)  .
\end{align*}


\textbf{3)} Jetzt werden wir beweisen, da\ss \ $\rho_{V^{\ast}}:V^{\ast
}\rightarrow V^{\ast}\otimes H$ eine $A$-rechtslineare Abbildung ist.

\textit{Beweis:} F\"{u}r alle $f\in V^{\ast}$ und $a\in A$ gilt%
\[
f_{\left(  0\right)  }a_{\left(  0\right)  }\otimes f_{\left(  1\right)
}a_{\left(  1\right)  }=\left(  fa\right)  _{\left(  0\right)  }\otimes\left(
fa\right)  _{\left(  1\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{in }V^{\ast}\otimes
H,
\]
denn f\"{u}r alle $v\in V$ gilt%
\[
\left(  f_{\left(  0\right)  }a_{\left(  0\right)  }\right)  \left(  v\right)
f_{\left(  1\right)  }a_{\left(  1\right)  }=\left(  fa\right)  _{\left(
0\right)  }\left(  v\right)  \left(  fa\right)  _{\left(  1\right)  },
\]
da%
\begin{align*}
\left(  f_{\left(  0\right)  }a_{\left(  0\right)  }\right)  \left(  v\right)
f_{\left(  1\right)  }a_{\left(  1\right)  }  &  =\underbrace{f_{\left(
0\right)  }\left(  a_{\left(  0\right)  }v\right)  f_{\left(  1\right)  }%
}_{=f\left(  \left(  a_{\left(  0\right)  }v\right)  _{\left(  0\right)
}\right)  S\left(  \left(  a_{\left(  0\right)  }v\right)  _{\left(  1\right)
}\right)  }a_{\left(  1\right)  }=f\left(  \left(  a_{\left(  0\right)
}v\right)  _{\left(  0\right)  }\right)  S\left(  \left(  a_{\left(  0\right)
}v\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  a_{\left(  1\right)  }\\
&  =f\left(  a_{\left(  0\right)  }v_{\left(  0\right)  }\right)
\underbrace{S\left(  a_{\left(  1\right)  }v_{\left(  1\right)  }\right)
}_{=S\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  S\left(  a_{\left(  1\right)
}\right)  }a_{\left(  2\right)  }=f\left(  a_{\left(  0\right)  }v_{\left(
0\right)  }\right)  S\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
\underbrace{S\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  a_{\left(  2\right)  }%
}_{=\varepsilon\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot1}\\
&  =f\left(  a_{\left(  0\right)  }\varepsilon\left(  a_{\left(  1\right)
}\right)  v_{\left(  0\right)  }\right)  S\left(  v_{\left(  1\right)
}\right)  =f\left(  av_{\left(  0\right)  }\right)  S\left(  v_{\left(
1\right)  }\right)
\end{align*}
und%
\[
\left(  fa\right)  _{\left(  0\right)  }\left(  v\right)  \left(  fa\right)
_{\left(  1\right)  }=\left(  fa\right)  \left(  v_{\left(  0\right)
}\right)  S\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  =f\left(  av_{\left(
0\right)  }\right)  S\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)
\]
ist. Damit ist \textbf{3)} bewiesen.

Wegen \textbf{1)} und \textbf{2)} ist $\left(  V^{\ast},\rho_{V^{\ast}%
}\right)  $ ein $H$-Rechtscomodul, und wegen \textbf{3)} ergibt diese
$H$-Rechtscomodulstruktur zusammen mit der $A$-Rechtsmodulstruktur eine
$\left(  A,H\right)  $-Hopfmodulstruktur auf $V^{\ast},$ was zu beweisen war.

Nun ein Lemma aus der Algebra:

\textbf{4.14. Lemma:} Sei $A$ ein Ring, und sei $V$ ein $A$-Rechtsmodul. Seien
$t\geq1$ und $n\geq0$ nat\"{u}rliche Zahlen, die $V^{t}\cong A^{n}$ in
$\mathcal{M}_{A}$ erf\"{u}llen. Angenommen, es gibt einen K\"{o}rper $K$ und
einen Ringhomomorphismus $\varphi:A\rightarrow K.$

Dann ist $V$ ein freier $A$-Rechtsmodul.

\textit{Beweis:} Wir betrachten $K$ als $A$-Linksmodul verm\"{o}ge des
Ringhomomorphismus $\varphi:A\rightarrow K.$ Aus $V^{t}\cong A^{n}$ in
$\mathcal{M}_{A}$ folgt dann $V^{t}\otimes_{A}K\cong A^{n}\otimes_{A}K\cong
K^{n}$ in $\mathcal{M}_{K}.$ Wegen $V^{t}\otimes_{A}K\cong\left(  V\otimes
_{A}K\right)  ^{t}$ wird dies zu $\left(  V\otimes_{A}K\right)  ^{t}\cong
K^{n}$ in $\mathcal{M}_{K}.$ Damit ist $n=ts,$ wobei $s$ die Dimension von
$V\otimes_{A}K$ als $K$-Vektorraum bezeichnet. Somit gilt $V^{t}\cong\left(
A^{s}\right)  ^{t}$ in $\mathcal{M}_{A}$ (denn $V^{t}\cong A^{n}=A^{ts}%
\cong\left(  A^{s}\right)  ^{t}$ in $\mathcal{M}_{A}$). Nach dem Satz von
Krull-Remak-Schmidt\footnote{auch als "Satz von Krull-Schmidt" bekannt} (den
wir anwenden d\"{u}rfen, da $V$ ein noetherscher und artinscher $A$%
-Rechtsmodul ist, weil $V^{t}\cong A^{n}$ ein solcher ist) folgt hieraus
$V\cong A^{s}$ in $\mathcal{M}_{A},$ was zu beweisen war.

\textbf{4.15. Satz:} Sei $H$ eine schwach endliche Hopfalgebra (d. h. eine
Hopfalgebra, die als Ring schwach endlich ist).

Sei $A\subseteq H$ eine endlichdimensionale $H$-Rechtscoidealunteralgebra von
$H.$

\textbf{1)} Dann ist $A$ eine Frobeniusalgebra.

\textbf{2)} Angenommen, die Hopfalgebra $H$ ist endlichdimensional. Dann ist
$H$ als $A$-Linksmodul frei und als $A$-Rechtsmodul frei.\footnote{Dies gilt
auch ohne die Bedingung, da\ss \ $H$ endlichdimensional ist (solange $H$
weiterhin schwach endlich bleibt), aber wir werden dies nur f\"{u}r
endlichdimensionale $H$ beweisen.}

\textit{Beweis:} \textbf{a)} Wir wollen zeigen: Jedes endlichdimensionale
$V\in\mathcal{M}_{A}^{H}$ ist ein freier $A$-Rechtsmodul.

\textit{Beweis:} Nach 4.7. und 4.12. (\textbf{3)} $\Longrightarrow$
\textbf{1)}) ist $A$ eine $H$-einfache $H$-Rechtscomodulalgebra. Nach 4.11.
gibt es also ein $t\in\mathbb{N}$ so, da\ss \ $V^{t}$ als $A$-Rechtsmodul frei
ist. Nach 4.14. (angewandt auf $K=k$ und $\varphi=\varepsilon:A\rightarrow k$)
ist also $V$ selber ein freier $A$-Rechtsmodul.

\textbf{b)} Jetzt werden wir beweisen: Jedes endlichdimensionale $V\in\left.
_{A}\mathcal{M}^{H}\right.  $ ist ein freier $A$-Linksmodul.

\textit{Beweis:} Der Vektorraumisomorphismus%
\[
V\rightarrow V^{\ast\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v\mapsto\left(  f\mapsto
f\left(  v\right)  \right)
\]
ist $A$-linear, also ein $A$-Linksmodulisomorphismus. Das hei\ss t, $V\cong
V^{\ast\ast}$ in $_{A}\mathcal{M}.$

Nach 4.13. ist $V^{\ast}\in\mathcal{M}_{A}^{H},$ und nach \textbf{a)} ist
daher $V^{\ast}$ ein freier $A$-Rechtsmodul. Damit ist $V^{\ast\ast}$ ein
freier $A$-Linksmodul.\footnote{\textit{Bemerkung von Darij:} An dieser Stelle
ist mir nicht klar, warum $V^{\ast\ast}$ ein freier $A$-Linksmodul ist.
Allerdings sehe ich folgenden Beweis daf\"{u}r:
\par
Zuerst lese man Teil \textbf{c)} von dem Beweis von Satz 4.15. (dieser Teil
\textbf{c)} ist unabh\"{a}ngig von Teil \textbf{b)}). Damit ist gezeigt,
da\ss \ $A$ eine Frobeniusalgebra ist. Das hei\ss t, $A\cong A^{\ast}$ in
$_{A}\mathcal{M}$. Nun ist $V^{\ast}$ ein freier $A$-Rechtsmodul; das
hei\ss t, $V^{\ast}\cong A^{\ell}$ in $\mathcal{M}_{A}$ f\"{u}r irgendein
$\ell\in\mathbb{N}$ (denn $V^{\ast}$ ist endlichdimensional). Also ist
$V^{\ast\ast}\cong\left(  A^{\ell}\right)  ^{\ast}\cong\left(  A^{\ast
}\right)  ^{\ell}\cong A^{\ell}$ in $_{A}\mathcal{M}$ (denn $A^{\ast}\cong A$
in $_{A}\mathcal{M}$). Somit ist der $A$-Linksmodul $V^{\ast\ast}$ frei, was
zu beweisen war.} Wegen $V\cong V^{\ast\ast}$ in $_{A}\mathcal{M}$ ist also
$V$ ein freier $A$-Linksmodul, was zu beweisen war.

\textbf{c)} \textit{Beweis von \textbf{1)}:} Wegen $\Delta\left(  A\right)
\subseteq A\otimes H$ ist $A\in\left.  _{A}\mathcal{M}^{H}\right.  $, und nach
4.13. folgt hieraus $A^{\ast}\in\mathcal{M}_{A}^{H}.$ Nach \textbf{a)} ist
also $A^{\ast}$ ein freier $A$-Rechtsmodul. Wegen $\dim A^{\ast}=\dim
A<\infty$ folgt daraus sofort $A^{\ast}\cong A$ in $\mathcal{M}_{A}.$ Nach
1.8. \textbf{2)} \textbf{b)} ist daher $A$ eine Frobeniusalgebra, und
\textbf{1)} ist bewiesen.

\textbf{d)}\textit{ Beweis von \textbf{2)}:} Die Hopfalgebra $H$ selber ist
ein $H$-Rechtscomodul mit der $H$-Rechtscomodulstruktur $\Delta:H\rightarrow
H\otimes H.$ Somit ist $H\in\left.  _{A}\mathcal{M}^{H}\right.  $ und
$H\in\mathcal{M}_{A}^{H}.$ Nach \textbf{b)} und \textbf{a)} ist also $H$ ein
freier $A$-Linksmodul und ein freier $A$-Rechtsmodul, und \textbf{2)} ist bewiesen.

\textbf{4.16. Folgerung:} Sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra, und
sei $A\subseteq H$ eine Rechtscoidealunteralgebra.

\textbf{1)} Dann ist $\left.  A_{A}\right.  \subseteq\left.  H_{A}\right.  $
ein $A$-direkter Summand (also ein direkter Summand als $A$-Rechtsmodul).

\textbf{2)} Ferner ist $\left.  _{A}A\right.  \subseteq\left.  _{A}H\right.  $
ebenfalls ein $A$-direkter Summand (also ein direkter Summand als $A$-Linksmodul).

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Wir haben $H\diagup A\in\mathcal{M}_{A}^{H},$ da
$H\in\mathcal{M}_{A}^{H}$ und $A\in\mathcal{M}_{A}^{H}.$ (Die $H$%
-Rechtscomodulstruktur auf $H\diagup A$ ist dabei gegeben durch%
\begin{align*}
H\diagup A  &  \rightarrow H\diagup A\otimes H,\\
\overline{x}  &  \mapsto\overline{x_{\left(  1\right)  }}\otimes x_{\left(
2\right)  }.
\end{align*}
) Nach dem Beweis von 4.15. \textbf{a)} ist also $H\diagup A$ ein freier
$A$-Rechtsmodul, also insbesondere projektiv. Also gibt es eine $A$%
-rechtslineare Abbildung $f:H\diagup A\rightarrow H,$ f\"{u}r die das Diagramm%
\[
\xymatrix{
& H\slash A \ar[d]^{=} \ar[dl]_{f} \\
H \ar[r]_{\operatorname*{kan}} & H\slash A
}
\]
kommutativ ist. Somit ist $H=A\oplus X$ f\"{u}r einen freien $A$-Rechtsmodul
$X\cong f\left(  H\diagup A\right)  .$

\textbf{2)} folgt aus \textbf{1)} durch Anwendung von \textbf{1)} auf
$H^{\operatorname*{op}}.$

\bigskip

\fbox{\textbf{Anwendung auf die Quotiententheorie}}

\textbf{4.17. Satz:} Sei $H$ eine Hopfalgebra. Sei $K\subseteq H$ eine Linkscoidealunteralgebra.

\textbf{1)} Dann ist
\begin{align*}
H\otimes_{K}H  &  \rightarrow H\otimes H\diagup K^{+}H,\\
x\otimes y  &  \mapsto xy_{\left(  1\right)  }\otimes\overline{y_{\left(
2\right)  }}%
\end{align*}
ein Isomorphismus von Vektorr\"{a}umen (und sogar ein Isomorphismus von
$H$-Linksmoduln und von $H\diagup K^{+}H$-Rechtscomoduln).

\textbf{2)} Falls
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
0 \ar[r] & K \ar@{^{(}->}[r] & H \ar@{=>}[r]^{i_1}_{i_2} & H\otimes_K H
}
\]
exakt ist (wobei die Abbildungen $i_{1},i_{2}:H\rightarrow H\otimes_{K}H$
durch $i_{1}\left(  x\right)  =x\otimes1$ und $i_{2}\left(  x\right)
=1\otimes x$ f\"{u}r alle $x\in H$ definiert sind), dann ist
$K=H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup K^{+}H\right)  }.$

\textit{Beweis:} Nach Bemerkung 4.3. \textbf{3)} gilt $K\subseteq
H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup I\right)  }$, wenn wir $I=K^{+}H$
setzen. Das hei\ss t, $K\subseteq H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup
I\right)  }=H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup K^{+}H\right)  }$.

\textbf{1)} Sei $\phi:H\otimes K\otimes H\rightarrow H\otimes K\otimes H$ die
durch
\[
\phi\left(  x\otimes k\otimes y\right)  =xk_{\left(  1\right)  }y_{\left(
1\right)  }\otimes k_{\left(  2\right)  }\otimes y_{\left(  2\right)
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x,y\in H\text{ und }k\in K
\]
definierte lineare Abbildung\footnote{Da\ss \ $\phi$ ein wohldefinierter
Vektorraumhomomorphismus ist, folgt aus $\Delta\left(  K\right)  \subseteq
H\otimes K.$}. Sei $\operatorname*{kan}_{1}:H\otimes H\rightarrow H\otimes H$
die durch
\[
\operatorname*{kan}\nolimits_{1}\left(  x\otimes y\right)  =xy_{\left(
1\right)  }\otimes y_{\left(  2\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }x,y\in H
\]
definierte lineare Abbildung. Sei $\operatorname*{kan}_{2}:H\otimes
_{K}H\rightarrow H\otimes H\diagup K^{+}H$ die durch
\[
\operatorname*{kan}\nolimits_{2}\left(  x\otimes y\right)  =xy_{\left(
1\right)  }\otimes\overline{y_{\left(  2\right)  }}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x,y\in H
\]
definierte lineare Abbildung\footnote{Diese Abbildung $\operatorname*{kan}%
_{2}$ ist wohldefiniert, denn die Abbildung%
\[
\operatorname*{kan}\nolimits_{2}^{\prime}:H\times H\rightarrow H\otimes
H\diagup K^{+}H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  x,y\right)  \mapsto xy_{\left(
1\right)  }\otimes\overline{y_{\left(  2\right)  }}%
\]
ist $K$-tensoriell, weil f\"{u}r alle $x,y\in H$ und $k\in K$ gilt:%
\begin{align*}
\operatorname*{kan}\nolimits_{2}^{\prime}\left(  x,ky\right)   &  =x\left(
ky\right)  _{\left(  1\right)  }\otimes\overline{\left(  ky\right)  _{\left(
2\right)  }}=xk_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  }\otimes
\overline{k_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }}\\
&  =xky_{\left(  1\right)  }\otimes\overline{y_{\left(  2\right)  }%
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }k_{\left(  1\right)  }\otimes
\overline{k_{\left(  2\right)  }}=k\otimes\overline{1},\text{ weil }k\in
K\subseteq H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup K^{+}H\right)  }\right) \\
&  =\operatorname*{kan}\nolimits_{2}^{\prime}\left(  xk,y\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{in }H\otimes H\diagup K^{+}H\text{.}%
\end{align*}
}. Betrachte das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{6pc}\xymatrix{
H \otimes K \otimes H \ar[d]^{\phi}_{\cong} \ar@{=>}[r]^-{x\otimes k\otimes y\mapsto x\otimes ky}_-{x\otimes k\otimes y\mapsto xk\otimes y} & H\otimes H \ar[d]^{\operatorname*{kan}_1} \ar[r]^-{\operatorname*{kan}:x\otimes y\mapsto x\otimes y} & H\otimes_K H \ar[d]^{\operatorname*{kan}_2} \ar[r] & 0 \\
H \otimes K \otimes H \ar@{=>}[r]^-{x\otimes k\otimes y\mapsto x\otimes ky}_-{x\otimes k\otimes y\mapsto x\otimes \varepsilon\left(k\right)y} & H\otimes H \ar[r]^-{\operatorname*{id}\otimes\operatorname*{kan}:x\otimes y\mapsto x\otimes \overline{y}} & H\otimes H\slash K^+H \ar[r] & 0
}.
\]
Beide Zeilen in diesem Diagramm sind offensichtlich exakt. Die Abbildung
$\operatorname*{kan}_{1}:H\otimes H\rightarrow H\otimes H$ ist bijektiv, und
die Umkehrabbildung $\operatorname*{kan}_{1}^{-1}$ erf\"{u}llt
$\operatorname*{kan}_{1}^{-1}\left(  x\otimes y\right)  =xS\left(  y_{\left(
1\right)  }\right)  \otimes y_{\left(  2\right)  }$ f\"{u}r alle $x,y\in H$
(gem\"{a}\ss \ Kapitel I, Satz 2.21$\dfrac{\text{15}}{\text{20}}%
$\footnote{genauer gesagt: gem\"{a}\ss \ dem Beweis von Aussage 1 im Beweis
von\ Kapitel I, Satz 2.21$\dfrac{\text{15}}{\text{20}}$}). Die Abbildung
$\phi$ ist ebenfalls bijektiv, und die Umkehrabbildung $\phi^{-1}:H\otimes
K\otimes H\rightarrow H\otimes K\otimes H$ erf\"{u}llt $\phi^{-1}\left(
x\otimes k\otimes y\right)  =xS\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  S\left(
k_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes k_{\left(  2\right)  }\otimes
y_{\left(  2\right)  }$ f\"{u}r alle $x,y\in H$ und $k\in K$
\ \ \ \ \footnote{In der Tat ist dadurch eine lineare Abbildung $\phi
^{-1}:H\otimes K\otimes H\rightarrow H\otimes K\otimes H$ definiert (da
$\Delta\left(  K\right)  \subseteq H\otimes K$), und da\ss \ diese Abbildung
tats\"{a}chlich die Umkehrabbildung von $\phi$ ist, sieht man daran,
da\ss \ sie $\phi\left(  x\otimes k\otimes y\right)  =xk_{\left(  1\right)
}y_{\left(  1\right)  }\otimes k_{\left(  2\right)  }\otimes y_{\left(
2\right)  }$ in%
\begin{align*}
&  xk_{\left(  1\right)  }\underbrace{y_{\left(  1\right)  }S\left(
y_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\varepsilon\left(  y_{\left(  1\right)
}\right)  }S\left(  k_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes k_{\left(
3\right)  }\otimes y_{\left(  3\right)  }=xk_{\left(  1\right)  }%
\varepsilon\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  S\left(  k_{\left(
2\right)  }\right)  \otimes k_{\left(  3\right)  }\otimes y_{\left(  2\right)
}\\
&  =x\underbrace{k_{\left(  1\right)  }S\left(  k_{\left(  2\right)  }\right)
}_{=\varepsilon\left(  k_{\left(  1\right)  }\right)  }\otimes k_{\left(
3\right)  }\otimes\underbrace{\varepsilon\left(  y_{\left(  1\right)
}\right)  y_{\left(  2\right)  }}_{=y}=x\varepsilon\left(  k_{\left(
1\right)  }\right)  \otimes k_{\left(  2\right)  }\otimes y=x\otimes
\varepsilon\left(  k_{\left(  1\right)  }\right)  k_{\left(  2\right)
}\otimes y=x\otimes k\otimes y
\end{align*}
\"{u}berf\"{u}hrt (f\"{u}r alle $x,y\in H$ und $k\in H$), und genauso
umgekehrt.}.

Das obige Diagramm ist kommutativ (denn die Unterdiagramme%
\begin{align*}
&
\xymatrixcolsep{6pc}\xymatrix{ H \otimes K \otimes H \ar[d]^{\phi}_{\cong} \ar[r]^-{x\otimes k\otimes y\mapsto x\otimes ky} & H\otimes H \ar[d]^{\operatorname*{kan}_1} \\ H \otimes K \otimes H \ar[r]^-{x\otimes k\otimes y\mapsto x\otimes ky} & H\otimes H },\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xymatrixcolsep{6pc}\xymatrix{ H \otimes K \otimes H \ar[d]^{\phi}_{\cong} \ar[r]_-{x\otimes k\otimes y\mapsto xk\otimes y} & H\otimes H \ar[d]^{\operatorname*{kan}_1} \\ H \otimes K \otimes H \ar[r]_-{x\otimes k\otimes y\mapsto x\otimes \varepsilon\left(k\right)y} & H\otimes H }\\
&  \text{und}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xymatrixcolsep{6pc}\xymatrix{ H\otimes H \ar[d]^{\operatorname*{kan}_1} \ar[r]^-{\operatorname*{kan}:x\otimes y\mapsto x\otimes y} & H\otimes_K H \ar[d]^{\operatorname*{kan}_2} \\ H\otimes H \ar[r]^-{\operatorname*{id}\otimes\operatorname*{kan}:x\otimes y\mapsto x\otimes \overline{y}} & H\otimes H\slash K^+H }
\end{align*}
sind kommutativ\footnote{Denn verfolgt man ein Element durch diese drei
Diagramme, erh\"{a}lt man nach kurzer Rechnung%
\begin{align*}
&
\xymatrixcolsep{6pc}\xymatrix{ x \otimes k \otimes y \ar@{|->}[d]^{\phi}_{\cong} \ar@{|->}[r]^-{x\otimes k\otimes y\mapsto x\otimes ky} & x\otimes ky \ar@{|->}[d]^{\operatorname*{kan}_1} \\ xk_{\left(1\right)}y_{\left(1\right)}\otimes k_{\left(2\right)}\otimes y_{\left(2\right)} \ar@{|->}[r]^-{x\otimes k\otimes y\mapsto x\otimes ky} & x\left(ky\right)_{\left(1\right)}\otimes \left(ky\right)_{\left(2\right)} },\\
&
\xymatrixcolsep{6pc}\xymatrix{ x \otimes k \otimes y \ar@{|->}[d]^{\phi}_{\cong} \ar@{|->}[r]_-{x\otimes k\otimes y\mapsto xk\otimes y} & xk\otimes y \ar@{|->}[d]^{\operatorname*{kan}_1} \\ xk_{\left(1\right)}y_{\left(1\right)}\otimes k_{\left(2\right)}\otimes y_{\left(2\right)} \ar@{|->}[r]_-{x\otimes k\otimes y\mapsto x\otimes \varepsilon\left(k\right)y} & xky_{\left(1\right)}\otimes y_{\left(2\right)} }\\
&  \text{und}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \xymatrixcolsep{6pc}\xymatrix{ x\otimes y \ar@{|->}[d]^{\operatorname*{kan}_1} \ar@{|->}[r]^-{\operatorname*{kan}:x\otimes y\mapsto x\otimes y} & x\otimes y \ar@{|->}[d]^{\operatorname*{kan}_2} \\ xy_{\left(1\right)}\otimes y_{\left(2\right)} \ar@{|->}[r]^-{\operatorname*{id}\otimes\operatorname*{kan}:x\otimes y\mapsto x\otimes \overline{y}} & xy_{\left(1\right)}\otimes \overline{y_{\left(2\right)}} }
\end{align*}
}). Nach einem bekannten Diagrammlemma\footnote{Dieses Lemma besagt: Ist%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
X \ar[r] \ar[d]^f & Y \ar[r] \ar[d]^g & Z\ar[r] \ar[d]^h & 0 \\
X^{\prime} \ar[r] & Y^{\prime} \ar[r] & Z^{\prime} \ar[r] & 0
}
\]
ein kommutatives Diagramm, und sind beide Zeilen exakt, und sind $f$ und $g$
Isomorphismen, dann ist auch $h$ ein Isomorphismus. [Dieses Lemma ist ein
Sonderfall des F\"{u}nferlemmas.]} folgt hieraus, da\ss \ $\operatorname*{kan}%
_{2}$ ein Isomorphismus ist, was zu beweisen war.

\textit{Alternativer Beweis f\"{u}r \textbf{1)}:} Die Abbildung%
\begin{align*}
H\otimes H\diagup K^{+}H  &  \rightarrow H\otimes_{K}H,\\
x\otimes\overline{y}  &  \mapsto xS\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)
\otimes y_{\left(  2\right)  }%
\end{align*}
ist wohldefiniert\footnote{Denn die Abbildung%
\begin{align*}
H\otimes H  &  \rightarrow H\otimes_{K}H,\\
x\otimes y  &  \mapsto xS\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes
y_{\left(  2\right)  }%
\end{align*}
ist identisch Null auf $H\otimes K^{+}H$ (denn f\"{u}r alle $h\in H$ und $k\in
K^{+}$ und $x\in H$ \"{u}berf\"{u}hrt sie $x\otimes kh$ nach%
\begin{align*}
xS\left(  k_{\left(  1\right)  }h_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes
k_{\left(  2\right)  }h_{\left(  2\right)  }  &  =xS\left(  h_{\left(
1\right)  }\right)  S\left(  k_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes k_{\left(
2\right)  }h_{\left(  2\right)  }\\
&  =xS\left(  h_{\left(  1\right)  }\right)  \underbrace{S\left(  k_{\left(
1\right)  }\right)  k_{\left(  2\right)  }}_{\substack{=\varepsilon\left(
k\right)  =0,\\\text{da }k\in K^{+}}}\otimes h_{\left(  2\right)
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }k_{\left(  2\right)  }\in K,\text{ da
}\Delta\left(  k\right)  \in\Delta\left(  K\right)  \subseteq H\otimes
K\right) \\
&  =0
\end{align*}
).}. Offenbar ist sie eine Umkehrabbildung zu $\operatorname*{kan}_{2}$ (dies
zeigt man wie bei $\operatorname*{kan}_{1}$).

\textbf{2)} Wie schon gezeigt, ist $K\subseteq H^{\operatorname*{Co}\left(
H\diagup K^{+}H\right)  }.$

Wir m\"{u}ssen beweisen, da\ss \ $K=H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup
K^{+}H\right)  }$ ist.

Betrachte folgendes kommutative Diagramm:%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
0 \ar[r] & K \ar@{^{(}->}[r] \ar@{^{(}->}[d] & H \ar@{=>}[r]^{i_1}_{i_2} \ar[d]_= & H\otimes_K H \ar[d]^{\operatorname*{kan}_2} \\
0 \ar[r] & H^{\operatorname*{Co}\left(H\slash K^+H\right)} \ar@{^{(}->}[r] & H \ar@{=>}[r]^-{x\mapsto x\otimes \overline{1}}_-{x\mapsto x_{\left(1\right)} \otimes \overline{x_{\left(2\right)}}} & H\otimes H\slash K^+H
}.
\]
Nach der Voraussetzung ist die obere Zeile dieses Diagramms exakt. Nach der
Definition von $H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup K^{+}H\right)  }$ ist
die untere Zeile exakt. Nach \textbf{1)} ist $\operatorname*{kan}%
\nolimits_{2}$ ein Isomorphismus. Nach einem \"{a}hnlichen Diagrammlemma wie
oben\footnote{Und zwar ist das Diagrammlemma, welches wir diesmal benutzen,
das folgende:
\par
Ist%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
0 \ar[r] & X \ar[r] \ar[d]^f & Y \ar[r] \ar[d]^g & Z \ar[d]^h \\
0 \ar[r] & X^{\prime} \ar[r] & Y^{\prime} \ar[r] & Z^{\prime}
}
\]
ein kommutatives Diagramm, und sind beide Zeilen exakt, und sind $g$ und $h$
Isomorphismen, dann ist auch $f$ ein Isomorphismus. [Dieses Lemma ist ein
Sonderfall des F\"{u}nferlemmas.]} folgt hieraus, da\ss \ die Inklusion
$K\subseteq H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup K^{+}H\right)  }$ ein
Isomorphismus ist, also da\ss \ $K=H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup
K^{+}H\right)  }$ ist.

\textbf{4.18. Bemerkung:} Sei $H$ eine Algebra\footnote{nicht notwendigerweise
eine Hopfalgebra}, und sei $K\subseteq H$ eine Unteralgebra. Angenommen, $H$
sei als $K$-Linksmodul oder als $K$-Rechtsmodul treuflach, \textit{oder} $K$
sei als $K$-Linksmodul oder als $K$-Rechtsmodul ein direkter Summand von $H.$
In jedem dieser vier F\"{a}lle ist die Folge%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
0 \ar[r] & K \ar@{^{(}->}[r] & H \ar@{=>}[r]^{i_1}_{i_2} & H\otimes_K H
}
\]
exakt.

\textit{Beweis:} Wenn $H$ als $K$-Linksmodul oder als $K$-Rechtsmodul
treuflach ist, dann folgt die Behauptung durch treuflachen Abstieg (siehe Seminar).

Wenn $K$ als $K$-Linksmodul ein direkter Summand von $H$ ist (d. h. wenn
$\left.  _{K}K\right.  \subseteq\left.  _{K}H\right.  $ ein direkter Summand
in $\left.  _{K}\mathcal{M}\right.  $ ist): Dann gibt es eine $K$-linkslineare
Abbildung $f:H\rightarrow K$, f\"{u}r die das Diagramm%
\[
\xymatrix{
K \ar[d]_= \ar@{^{(}->}[r] & H \ar[dl]^f \\
K
}
\]
kommutativ ist.

Wir m\"{u}ssen nun zeigen: $K=\left\{  x\in H\mid x\otimes1=1\otimes x\text{
in }H\otimes_{K}H\right\}  .$

\textit{Beweis:} Da\ss \ $K\subseteq\left\{  x\in H\mid x\otimes1=1\otimes
x\text{ in }H\otimes_{K}H\right\}  $ ist, ist klar. Zum Beweis von
$K\supseteq\left\{  x\in H\mid x\otimes1=1\otimes x\text{ in }H\otimes
_{K}H\right\}  $ sei $x\in H$ ein Element mit $x\otimes1=1\otimes x$ in
$H\otimes_{K}H.$ Anwendung der Abbildung $\operatorname*{id}\otimes
f:H\otimes_{K}H\rightarrow H\otimes_{K}K$ auf die Gleichung $1\otimes
x=x\otimes1$ ergibt $1\otimes f\left(  x\right)  =x\otimes f\left(  1\right)
$ in $H\otimes_{K}K\cong H,$ also $f\left(  x\right)  =x\underbrace{f\left(
1\right)  }_{\substack{=1,\text{ da}\\1\in K}},$ und damit $x=f\left(
x\right)  \in K,$ was zu beweisen war.

Wenn $K$ als $K$-Rechtsmodul ein direkter Summand von $H$ ist, gestaltet sich
der Beweis analog. Damit ist Bemerkung 4.18 komplett bewiesen.

\textbf{4.18}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{.
Folgerung:} Sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra. Sei $K$ eine
Rechtscoidealunteralgebra von $H$. Dann ist $K=H^{\operatorname*{Co}\left(
H\diagup K^{+}H\right)  }$.

\textit{Beweis:} Gem\"{a}\ss \ Folgerung 4.16. \textbf{1)} ist $K$ ein
direkter Summand von $H$ als $K$-Rechtsmodul. Laut Bemerkung 4.18 folgt
hieraus, da\ss \ die Folge%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
0 \ar[r] & K \ar@{^{(}->}[r] & H \ar@{=>}[r]^{i_1}_{i_2} & H\otimes_K H
}
\]
exakt ist. Dies ergibt wiederum nach Satz 4.17. \textbf{2)},
da\ss \ $K=H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup K^{+}H\right)  }$ ist.
Folgerung 4.18$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ ist somit bewiesen.

\textbf{4.19. Satz (Quotiententheorie):} Sei $H$ eine endlichdimensionale
Hopfalgebra. Dann sind%
\begin{align*}
\left\{  K\ \mid\ K\subseteq H\text{ ist Linkscoidealunteralgebra}\right\}
&  \rightarrow\left\{  I\ \mid\ I\subseteq H\text{ ist Coideal und
}H\text{-Linksideal}\right\}  ,\\
K  &  \mapsto HK^{+}%
\end{align*}
und
\begin{align*}
\left\{  I\ \mid\ I\subseteq H\text{ ist Coideal und }H\text{-Linksideal}%
\right\}   &  \rightarrow\left\{  K\ \mid\ K\subseteq H\text{ ist
Linkscoidealunteralgebra}\right\}  ,\\
I  &  \mapsto H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup I\right)  }%
\end{align*}
zueinander inverse Bijektionen.

\textit{Beweis:} Nach Bemerkung 4.3. \textbf{1)} (angewandt auf die
Hopfalgebra\footnote{An dieser Stelle verwenden wir die Tatsache, da\ss \ die
Bialgebra $H^{\operatorname*{op}}$ eine Hopfalgebra ist. Dies l\"{a}\ss t sich
folgenderma\ss en beweisen:
\par
\textit{Beweis:} Die Antipode $S$ der Hopfalgebra $H$ ist bijektiv (laut
Folgerung 1.5. \textbf{2)} in Kapitel III). Hieraus folgt (nach Bemerkung
2.21$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$. \textbf{7)} in Kapitel I), da\ss \ die
Bialgebra $H^{\operatorname*{op}}$ eine Hopfalgebra ist.}
$H^{\operatorname*{op}}$ statt $H$) sind beide Abbildungen
wohldefiniert\footnote{denn (unter Verwendung der Notationen von Bemerkung
4.3. \textbf{1)}) gilt
\begin{align*}
\operatorname*{LCISA}\left(  H^{\operatorname*{op}}\right)   &  =\left\{
K\subseteq H^{\operatorname*{op}}\ \mid\ K\text{ ist eine
Linkscoidealunteralgebra}\right\} \\
&  =\left\{  K\subseteq H\ \mid\ K\text{ ist eine Linkscoidealunteralgebra}%
\right\} \\
&  =\left\{  K\ \mid\ K\subseteq H\text{ ist eine Linkscoidealunteralgebra}%
\right\}
\end{align*}
und%
\begin{align*}
\operatorname*{CRI}\left(  H^{\operatorname*{op}}\right)   &  =\left\{
I\subseteq H^{\operatorname*{op}}\ \mid\ I\text{ ist ein Coideal und ein
Rechtsideal von }H^{\operatorname*{op}}\right\} \\
&  =\left\{  I\subseteq H\ \mid\ I\text{ ist ein Coideal und ein Linksideal
von }H\right\} \\
&  =\left\{  I\ \mid\ I\subseteq H\text{ ist Coideal und }H\text{-Linksideal}%
\right\}
\end{align*}
}. Jetzt wollen wir zeigen, da\ss \ diese Abbildungen zueinander inverse
Bijektionen sind\textbf{:}

\textbf{1)} Sei $K\subseteq H$ eine Linkscoidealunteralgebra. Zu zeigen ist:
$K=H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup HK^{+}\right)  }.$ Doch dies folgt
aus 4.18$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$, angewandt auf $H^{\operatorname*{op}}$
statt $H$.

\textbf{2)} Sei $I\subseteq H$ ein Linksideal von $H,$ welches auch ein
Coideal ist. Sei $K=H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup I\right)  }.$ Zu
zeigen ist: $I=HK^{+}.$

In der Tat ist $H\rightarrow H\diagup I$ ein surjektiver
Coalgebrahomomorphismus und gleichzeitig ein $H$-Linksmodulhomomorphismus.
Also ist $\left(  H\diagup I\right)  ^{\ast}\rightarrow H^{\ast}$ ein
injektiver Algebrahomomorphismus und gleichzeitig ein $H$%
-Linkscomodulhomomorphismus. Das hei\ss t, $\left(  H\diagup I\right)  ^{\ast
}$ ist bis auf Isomorphie eine Linkscoidealunteralgebra von $H^{\ast}.$

Die Sequenz%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
K \ar@{^{(}->}[r]^-{\operatorname*{Inklusion}} & H \ar@2[r]^-{x\mapsto x_{\left(1\right)}\otimes\overline{x_{\left(2\right)}}}_-{x\mapsto x\otimes\overline{1}} & H\otimes H\slash I
}
\]
ist exakt (denn $K=H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup I\right)  }$). Also
ist auch die Sequenz%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
H^{\ast}\otimes\left(H\slash I\right)^{\ast} \ar@2[r]^-{\operatorname*{mult}}_-{\operatorname*{id}\otimes\varepsilon} & H^{\ast} \ar@{->>}[r]^-{\operatorname*{Restriktion}} & K^{\ast} \ar[r] & 0
}
\]
exakt, wobei die kanonische Injektion $\left(  H\diagup I\right)  ^{\ast
}\rightarrow H^{\ast}$ als Inklusion betrachtet wird (d. h. der Dualraum
$\left(  H\diagup I\right)  ^{\ast}$ wird mit dem Unterraum $\left\{  f\in
H^{\ast}\ \mid\ f\left(  I\right)  =0\right\}  $ identifiziert), und
$\operatorname*{mult}:H^{\ast}\otimes\left(  H\diagup I\right)  ^{\ast
}\rightarrow H^{\ast}$ die $k$-lineare Abbildung ist, die durch
\[
\operatorname*{mult}\left(  f\otimes g\right)  =f\ast
g\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }f\in H^{\ast}\text{ und }g\in\left(
H\diagup I\right)  ^{\ast}%
\]
definiert ist (man benutzt hierbei, da\ss \ $g\in H^{\ast}$ verm\"{o}ge der
Inklusion $\left(  H\diagup I\right)  ^{\ast}\subseteq H^{\ast}$ ist). Somit
ist $K^{\ast}=H^{\ast}\diagup\left(  \left(  \operatorname*{mult}%
-\operatorname*{id}\otimes\varepsilon\right)  \left(  H^{\ast}\otimes\left(
H\diagup I\right)  ^{\ast}\right)  \right)  $. Wegen
\begin{align*}
\left(  \underbrace{\operatorname*{mult}-\operatorname*{id}\otimes\varepsilon
}_{=\operatorname*{mult}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes\left(
\operatorname*{id}-\eta\varepsilon\right)  \right)  }\right)  \left(  H^{\ast
}\otimes\left(  H\diagup I\right)  ^{\ast}\right)   &  =\operatorname*{mult}%
\left(  \underbrace{\left(  \operatorname*{id}\otimes\left(
\operatorname*{id}-\eta\varepsilon\right)  \right)  \left(  H^{\ast}%
\otimes\left(  H\diagup I\right)  ^{\ast}\right)  }_{=\operatorname*{id}%
\left(  H^{\ast}\right)  \otimes\left(  \operatorname*{id}-\eta\varepsilon
\right)  \left(  H^{\ast}\otimes\left(  H\diagup I\right)  ^{\ast}\right)
}\right) \\
&  =\underbrace{\operatorname*{id}\left(  H^{\ast}\right)  }_{=H^{\ast}}%
\cdot\underbrace{\left(  \operatorname*{id}-\eta\varepsilon\right)  \left(
\left(  H\diagup I\right)  ^{\ast}\right)  }_{=\left(  \left(  H\diagup
I\right)  ^{\ast}\right)  ^{+}}=H^{\ast}\left(  \left(  H\diagup I\right)
^{\ast}\right)  ^{+}%
\end{align*}
vereinfacht sich dies zu $K^{\ast}=H^{\ast}\diagup\left(  H^{\ast}\left(
\left(  H\diagup I\right)  ^{\ast}\right)  ^{+}\right)  $.

Nun wissen wir, da\ss \ $\left(  H\diagup I\right)  ^{\ast}$ eine
Linkscoidealunteralgebra von $H^{\ast}$ ist (wenn wir $\left(  H\diagup
I\right)  ^{\ast}$ wie oben mit einer Teilmenge von $H^{\ast}$
identifizieren). Nach \textbf{1)} (angewandt auf die Hopfalgebra $H^{\ast}$ in
der Rolle von $H$ und die Linkscoidealunteralgebra $\left(  H\diagup I\right)
^{\ast}$ in der Rolle von $K$) ergibt dies $\left(  H\diagup I\right)  ^{\ast
}=H^{\ast\operatorname*{Co}\left(  H^{\ast}\diagup H^{\ast}\left(  \left(
H\diagup I\right)  ^{\ast}\right)  ^{+}\right)  },$ also $\left(  H\diagup
I\right)  ^{\ast}=H^{\ast\operatorname*{Co}K^{\ast}}$ (da $H^{\ast}%
\diagup\left(  H^{\ast}\left(  \left(  H\diagup I\right)  ^{\ast}\right)
^{+}\right)  =K^{\ast}$).

Doch wegen%
\[
\left(  \underbrace{\mu\mid_{H\otimes K}-\operatorname*{id}\otimes\varepsilon
}_{=\mu\mid_{H\otimes K}\circ\left(  \operatorname*{id}\otimes\left(
\operatorname*{id}-\eta\varepsilon\right)  \right)  }\right)  \left(  H\otimes
K\right)  =\underbrace{\operatorname*{id}\left(  H\right)  }_{=H}%
\cdot\underbrace{\left(  \operatorname*{id}-\eta\varepsilon\right)  \left(
K\right)  }_{=K^{+}}=HK^{+}%
\]
ist die Sequenz%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
H\otimes K \ar@2[r]^-{\mu\mid_{H\otimes K}}_-{\operatorname*{id}\otimes\varepsilon} & H \ar@{->>}[r]^-{\operatorname*{Projektion}} & H\slash HK^+
}
\]
exakt, und somit ist auch die (durch Dualisieren entstandene) Sequenz%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
\left(H\slash HK^+\right)^{\ast} \ar@{^{(}->}[r] & H^{\ast} \ar@2[r]^-{x\mapsto x_{\left(1\right)}\otimes\overline{x_{\left(2\right)}}}_-{x\mapsto x\otimes\overline{1}} & H^{\ast}\otimes K^{\ast}
}
\]
exakt (wobei $K^{\ast}$ als Faktorvektorraum von $H^{\ast}$ aufgefasst wird).
Hieraus folgt $\left(  H\diagup HK^{+}\right)  ^{\ast}=H^{\ast
\operatorname*{Co}K^{\ast}}.$ Aus $\left(  H\diagup I\right)  ^{\ast}%
=H^{\ast\operatorname*{Co}K^{\ast}}$ wird also $\left(  H\diagup I\right)
^{\ast}=\left(  H\diagup HK^{+}\right)  ^{\ast},$ und somit $I=HK^{+},$ was zu
beweisen war.

Bevor wir zu einem der sogenannten Normalbasiss\"{a}tze f\"{u}r Hopfalgebren
kommen, definieren wir eine Notation:

\textbf{Definition:} Sei $A$ eine Algebra und $C$ eine Coalgebra. Seien $V$
und $W$ zwei Vektorr\"{a}ume, auf denen sowohl $A$-Linksmodulstrukturen als
auch $C$-Rechtscomodulstrukturen definiert sind. Dann schreiben wir "$\left.
_{\cdot}V^{\cdot}\right.  \cong\left.  _{\cdot}W^{\cdot}\right.  $
bez\"{u}glich $A$ und $C$" genau dann, wenn es einen Isomorphismus
$\phi:V\rightarrow W$ gibt, der gleichzeitig ein $A$-Linksmodulisomorphismus
und ein $C$-Rechtscomodulisomorphismus ist.

\textit{Bemerkung:} Die Aussage "$\left.  _{\cdot}V^{\cdot}\right.
\cong\left.  _{\cdot}W^{\cdot}\right.  $ bez\"{u}glich $A$ und $C$" ist
\textit{st\"{a}rker} als die Aussage "$V$ und $W$ sind zueinander isomorph als
$A$-Linksmoduln und zueinander isomorph als $C$-Rechtscomoduln". Denn wenn
$\left.  _{\cdot}V^{\cdot}\right.  \cong\left.  _{\cdot}W^{\cdot}\right.  $
bez\"{u}glich $A$ und $C$ gilt, dann ist klar, da\ss \ $V$ und $W$ zueinander
isomorph als $A$-Linksmoduln und zueinander isomorph als $C$-Rechtscomoduln
sind, aber die Umkehrung gilt nicht notwendigerweise\footnote{Es kann
passieren, da\ss \ $V$ und $W$ zueinander isomorph als $A$-Linksmoduln und
zueinander isomorph als $C$-Rechtscomoduln sind, aber es keinen Isomorphismus
$V\rightarrow W$ gibt, der \textit{gleichzeitig} ein $A$%
-Linksmodulisomorphismus und ein $C$-Rechtscomodulisomorphismus ist.}.

\textbf{4.20. Satz (Normalbasis):} Sei $H$ eine endlichdimensionale
Hopfalgebra. Sei $I\subseteq H$ ein Hopfideal. Sei $K=H^{\operatorname*{Co}%
\left(  H\diagup I\right)  }.$ Dann gilt%
\[
\left.  _{\cdot}H^{\cdot}\right.  \cong\left.  _{\cdot}K\otimes H\diagup
I^{\cdot}\right.  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{bez\"{u}glich }K\text{ und
}H\diagup I\text{.}%
\]


\textit{Beweis:} Wir haben $I=K^{+}H=HK^{+}$ (denn nach 4.19 ist $I=HK^{+}$,
und nach 4.19, angewandt auf $H^{\operatorname*{op}}$ statt $H$, ist
$I=K^{+}H$).

Sei $\overline{H}$ die Hopfalgebra $H\diagup I$.

Wir definieren eine $k$-lineare Abbildung $\Phi:H\otimes\overline
{H}\rightarrow H\otimes\overline{H}$ durch%
\[
\Phi\left(  x\otimes y\right)  =x_{\left(  1\right)  }\otimes\overline
{x_{\left(  2\right)  }}S\left(  y\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }x\in H\text{ und }y\in H\diagup I.
\]
Wir definieren ferner eine $k$-lineare Abbildung $\Psi:H\otimes\overline
{H}\rightarrow H\otimes\overline{H}$ durch%
\[
\Psi\left(  x\otimes y\right)  =x_{\left(  1\right)  }\otimes S^{-1}\left(
y\right)  \overline{x_{\left(  2\right)  }}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r
alle }x\in H\text{ und }y\in H\diagup I
\]
(dabei verwenden wir, da\ss \ die Antipode $S$ der Hopfalgebra $H\diagup I$
ein Inverses hat; dies folgt aus Folgerung 1.5. \textbf{2)} in Kapitel III).
Dann ist $\Phi\circ\Psi=\operatorname*{id}$\ \ \ \ \footnote{denn f\"{u}r alle
$x\in H$ und $y\in\overline{H}$ gilt%
\begin{align*}
\left(  \Phi\circ\Psi\right)  \left(  x\otimes y\right)   &  =\Phi\left(
\underbrace{\Psi\left(  x\otimes y\right)  }_{=x_{\left(  1\right)  }\otimes
S^{-1}\left(  y\right)  \overline{x_{\left(  2\right)  }}}\right)
=\Phi\left(  x_{\left(  1\right)  }\otimes S^{-1}\left(  y\right)
\overline{x_{\left(  2\right)  }}\right)  =\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  _{\left(  1\right)  }\otimes\overline{\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  _{\left(  2\right)  }}S\left(  S^{-1}\left(  y\right)
\overline{x_{\left(  2\right)  }}\right) \\
&  =x_{\left(  1\right)  }\otimes\overline{x_{\left(  2\right)  }%
}\underbrace{S\left(  S^{-1}\left(  y\right)  \overline{x_{\left(  3\right)
}}\right)  }_{\substack{=S\left(  \overline{x_{\left(  3\right)  }}\right)
S\left(  S^{-1}\left(  y\right)  \right)  \text{ (denn }S\\\text{ist ein
Antialgebrahomomorphismus)}}}=x_{\left(  1\right)  }\otimes
\underbrace{\overline{x_{\left(  2\right)  }}S\left(  \overline{x_{\left(
3\right)  }}\right)  }_{=\overline{x_{\left(  2\right)  }S\left(  x_{\left(
3\right)  }\right)  }=\overline{\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  1}}\underbrace{S\left(  S^{-1}\left(  y\right)  \right)  }_{=y}\\
&  =x_{\left(  1\right)  }\otimes\overline{\varepsilon\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  1}y=x_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  \otimes y=x\otimes y
\end{align*}
}, und somit ist die Abbildung $\Phi$ surjektiv. Da $\Phi:H\otimes\overline
{H}\rightarrow H\otimes\overline{H}$ ein Endomorphismus des
endlichdimensionalen Vektorraums $H\otimes\overline{H}$ ist, ist $\Phi$ also
bijektiv (denn ein surjektiver Endomorphismus eines endlichdimensionalen
Vektorraums ist stets bijektiv), und wegen $\Phi\circ\Psi=\operatorname*{id}$
ist folglich $\Psi=\Phi^{-1}$.

Sei $\operatorname*{kan}_{2}:H\otimes_{K}H\rightarrow H\otimes H\diagup
K^{+}H$ die durch
\[
\operatorname*{kan}\nolimits_{2}\left(  x\otimes y\right)  =xy_{\left(
1\right)  }\otimes\overline{y_{\left(  2\right)  }}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x,y\in H
\]
definierte lineare Abbildung.\footnote{Da\ss \ diese Abbildung wohldefiniert
ist, wurde im Beweis von 4.17. \textbf{1)} gezeigt.} Laut 4.17. \textbf{1)}
ist diese Abbildung $\operatorname*{kan}\nolimits_{2}$ ein Isomorphismus.
Wegen $H\diagup\underbrace{K^{+}H}_{=I}=H\diagup I=\overline{H}$ wird
$\operatorname*{kan}_{2}:H\otimes_{K}H\rightarrow H\otimes H\diagup K^{+}H$ zu
$\operatorname*{kan}_{2}:H\otimes_{K}H\rightarrow H\otimes\overline{H}$.

Wenn wir die Isomorphismen $\operatorname*{kan}_{2}:H\otimes_{K}H\rightarrow
H\otimes\overline{H}$ und $\Phi:H\otimes\overline{H}\rightarrow H\otimes
\overline{H}$ verketten, erhalten wir einen Isomorphismus $\Phi\circ
\operatorname*{kan}\nolimits_{2}:H\otimes_{K}H\rightarrow H\otimes\overline
{H}$. F\"{u}r alle $x\in H$ und $y\in H$ gilt%
\begin{equation}
\left(  \Phi\circ\operatorname*{kan}\nolimits_{2}\right)  \left(  x\otimes
y\right)  =x_{\left(  1\right)  }y\otimes\overline{x_{\left(  2\right)  }}
\tag{III.4.10}%
\end{equation}
\footnote{denn
\begin{align*}
\left(  \Phi\circ\operatorname*{kan}\nolimits_{2}\right)  \left(  x\otimes
y\right)   &  =\Phi\left(  \underbrace{\operatorname*{kan}\nolimits_{2}\left(
x\otimes y\right)  }_{=xy_{\left(  1\right)  }\otimes\overline{y_{\left(
2\right)  }}}\right)  =\Phi\left(  xy_{\left(  1\right)  }\otimes
\overline{y_{\left(  2\right)  }}\right)  =\left(  xy_{\left(  1\right)
}\right)  _{\left(  1\right)  }\otimes\overline{\left(  xy_{\left(  1\right)
}\right)  _{\left(  2\right)  }}S\left(  \overline{y_{\left(  2\right)  }%
}\right) \\
&  =x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  }\otimes\overline{x_{\left(
2\right)  }y_{\left(  2\right)  }}S\left(  \overline{y_{\left(  3\right)  }%
}\right)  =x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  }\otimes\overline
{x_{\left(  2\right)  }\underbrace{y_{\left(  2\right)  }S\left(  y_{\left(
3\right)  }\right)  }_{=\varepsilon\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)  }%
}=x_{\left(  1\right)  }\underbrace{y_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(
y_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=y}\otimes\overline{x_{\left(  2\right)  }%
}\\
&  =x_{\left(  1\right)  }y\otimes\overline{x_{\left(  2\right)  }}%
\end{align*}
}.

Da $K=H^{\operatorname*{Co}\left(  H\diagup I\right)  }$ eine
Linkscoidealunteralgebra von $H$ ist (gem\"{a}\ss \ Satz 4.19) und eine
Rechtscoidealunteralgebra von $H$ ist (analog), k\"{o}nnen wir Satz 4.15
\textbf{2)} auf $K$ statt $A$ anwenden. Wir erhalten, da\ss \ $H$ als
$K$-Linksmodul frei und als $K$-Rechtsmodul frei ist. Da $H$ als
$K$-Linksmodul frei und endlichdimensional ist, gibt es ein $t\in\mathbb{N}$
mit $\left.  _{K}H\right.  \cong\left.  _{K}K^{t}\right.  $. Wegen $H\neq0$
ist $t\geq1$.

Wir wollen jetzt auf mehreren Vektorr\"{a}umen $K$-Linksmodulstrukturen und
$\overline{H}$-Rechtscomodulstrukturen einf\"{u}hren:

\begin{itemize}
\item F\"{u}r jeden $K$-Linksmodul $U$ sei eine $K$-Linksmodulstruktur auf dem
Vektorraum $H\otimes_{K}U$ definiert durch%
\[
k\left(  x\otimes u\right)  =kx\otimes u\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle
}k\in K\text{, }x\in H\text{ und }u\in U.
\]
\footnote{Dies ist genau die $K$-Linksmodulstruktur, die entsteht, wenn man
den $\left(  K,K\right)  $-Bimodul $H$ (die $\left(  K,K\right)
$-Bimodulstruktur auf $H$ wird einfach durch Multiplikation gegeben) mit dem
$K$-Linksmodul $U$ tensoriert.} Angewandt auf $U=H$, auf $U=K^{t}$ und auf
$U=K$ ergibt dies $K$-Linksmodulstrukturen auf den Vektorr\"{a}umen
$H\otimes_{K}H$, $H\otimes_{K}K^{t}$ und $H\otimes_{K}K$.

\item F\"{u}r jeden $K$-Linksmodul $U$ sei eine $\overline{H}$%
-Rechtscomodulstruktur auf dem Vektorraum $H\otimes_{K}U$ definiert durch%
\begin{align*}
\delta_{H\otimes_{K}U}:H\otimes_{K}U  &  \rightarrow\left(  H\otimes
_{K}U\right)  \otimes\overline{H},\\
x\otimes u  &  \mapsto\left(  x_{\left(  1\right)  }\otimes u\right)
\otimes\overline{x_{\left(  2\right)  }}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle
}x\in H\text{ und }u\in U.
\end{align*}
\footnote{Diese $\overline{H}$-Rechtscomodulstruktur ist wohldefiniert, denn
die Abbildung%
\[
H\times U\rightarrow\left(  H\otimes_{K}U\right)  \otimes\overline
{H},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  x,u\right)  \mapsto\left(  x_{\left(
1\right)  }\otimes u\right)  \otimes\overline{x_{\left(  2\right)  }}%
\]
ist $K$-tensoriell (denn f\"{u}r alle $x\in H$, $u\in U$ und $k\in K$ schickt
sie $\left(  xk,u\right)  $ auf%
\begin{align*}
\left(  \left(  xk\right)  _{\left(  1\right)  }\otimes u\right)
\otimes\overline{\left(  xk\right)  _{\left(  2\right)  }}  &  =\left(
x_{\left(  1\right)  }k_{\left(  1\right)  }\otimes u\right)  \otimes
\overline{x_{\left(  2\right)  }k_{\left(  2\right)  }}=\left(  x_{\left(
1\right)  }k_{\left(  1\right)  }\otimes u\right)  \otimes\overline{x_{\left(
2\right)  }\varepsilon\left(  k_{\left(  2\right)  }\right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\overline{x_{\left(  2\right)  }k_{\left(  2\right)  }}%
=\overline{x_{\left(  2\right)  }\varepsilon\left(  k_{\left(  2\right)
}\right)  }\text{ in }\overline{H}\text{, weil }\overline{H}=H\diagup I\text{
und}\\
x_{\left(  2\right)  }k_{\left(  2\right)  }-x_{\left(  2\right)  }%
\varepsilon\left(  k_{\left(  2\right)  }\right)  =\underbrace{x_{\left(
2\right)  }}_{\in H}\underbrace{\left(  k_{\left(  2\right)  }-\varepsilon
\left(  k_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  }_{\in K^{+}}\in HK^{+}=I
\end{array}
\right) \\
&  =\left(  x_{\left(  1\right)  }\underbrace{k_{\left(  1\right)
}\varepsilon\left(  k_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=k}\otimes u\right)
\otimes\overline{x_{\left(  2\right)  }}=\left(  x_{\left(  1\right)  }\otimes
ku\right)  \otimes\overline{x_{\left(  2\right)  }}%
\end{align*}
und $\left(  x,ku\right)  $ auf $\left(  x_{\left(  1\right)  }\otimes
ku\right)  \otimes\overline{x_{\left(  2\right)  }}$ (was das gleiche
ist)).\ Da\ss \ sie tats\"{a}chlich coassoziativ und counit\"{a}r ist, ist
nicht schwer nachzupr\"{u}fen.} Angewandt auf $U=H$, auf $U=K^{t}$ und auf
$U=K$ ergibt dies $\overline{H}$-Rechtscomodulstrukturen auf den
Vektorr\"{a}umen $H\otimes_{K}H$, $H\otimes_{K}K^{t}$ und $H\otimes_{K}K$.

\item Auf dem Vektorraum $H$ selber ist eine $K$-Linksmodulstruktur gegeben
(durch Multiplikation).

\item Auf dem Vektorraum $H$ sei eine $\overline{H}$-Rechtscomodulstruktur
definiert durch%
\begin{align*}
\delta_{H}:H  &  \rightarrow H\otimes\overline{H},\\
x  &  \mapsto x_{\left(  1\right)  }\otimes\overline{x_{\left(  2\right)  }%
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in H.
\end{align*}
\footnote{Diese $\overline{H}$-Rechtscomodulstruktur ist wohldefiniert,
coassoziativ und counit\"{a}r (dies ist alles beinahe trivial).}

\item F\"{u}r jeden $K$-Linksmodul $U$ sei eine $K$-Linksmodulstruktur auf dem
Vektorraum $U\otimes\overline{H}$ definiert durch%
\[
k\left(  u\otimes h\right)  =ku\otimes h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle
}k\in K\text{, }u\in U\text{ und }h\in\overline{H}.
\]
\footnote{Dies ist genau die $K$-Linksmodulstruktur, die entsteht, wenn man
den $\left(  K,k\right)  $-Bimodul $U$ mit dem $k$-Linksmodul $\overline{H}$
tensoriert.} Angewandt auf $U=H$, auf $U=K^{t}$ und auf $U=K$ ergibt dies
$K$-Linksmodulstrukturen auf den Vektorr\"{a}umen $H\otimes\overline{H}$,
$K^{t}\otimes\overline{H}$ und $K\otimes\overline{H}$.

\item F\"{u}r jeden Vektorraum $U$ sei eine $\overline{H}$%
-Rechtscomodulstruktur auf dem Vektorraum $U\otimes\overline{H}$ definiert
durch%
\begin{align*}
\delta_{U\otimes\overline{H}}:U\otimes\overline{H}  &  \rightarrow\left(
U\otimes\overline{H}\right)  \otimes\overline{H},\\
u\otimes y  &  \mapsto\left(  u\otimes y_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes
y_{\left(  2\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in U\text{ und
}y\in\overline{H}.
\end{align*}
\footnote{Da\ss \ diese $\overline{H}$-Rechtscomodulstruktur wohldefiniert,
coassoziativ und counit\"{a}r ist, ist leicht zu sehen.} Angewandt auf $U=H$,
auf $U=K^{t}$ und auf $U=K$ ergibt dies $\overline{H}$-Rechtscomodulstrukturen
auf den Vektorr\"{a}umen $H\otimes\overline{H}$, $K^{t}\otimes\overline{H}$
und $K\otimes\overline{H}$.
\end{itemize}

Die Abbildung $\Phi\circ\operatorname*{kan}\nolimits_{2}:H\otimes
_{K}H\rightarrow H\otimes\overline{H}$ ist $K$-linkslinear\footnote{denn
f\"{u}r alle $k\in K$, $x\in H$ und $y\in H$ gilt%
\begin{align*}
&  \left(  \Phi\circ\operatorname*{kan}\nolimits_{2}\right)  \left(  k\left(
x\otimes y\right)  \right) \\
&  =\left(  \Phi\circ\operatorname*{kan}\nolimits_{2}\right)  \left(
kx\otimes y\right)  =\left(  kx\right)  _{\left(  1\right)  }y\otimes
\overline{\left(  kx\right)  _{\left(  2\right)  }}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{nach (III.4.10)}\right) \\
&  =k_{\left(  1\right)  }x_{\left(  1\right)  }y\otimes\overline{k_{\left(
2\right)  }x_{\left(  2\right)  }}\\
&  =kx_{\left(  1\right)  }y\otimes\overline{1x_{\left(  2\right)  }%
}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn wegen }k\in K=H^{\operatorname*{Co}%
\left(  H\diagup I\right)  }=H^{\operatorname*{Co}\overline{H}}\text{ ist
}k_{\left(  1\right)  }\otimes\overline{k_{\left(  2\right)  }}=k\otimes
\overline{1}\right) \\
&  =k\underbrace{x_{\left(  1\right)  }y\otimes\overline{x_{\left(  2\right)
}}}_{=\left(  \Phi\circ\operatorname*{kan}\nolimits_{2}\right)  \left(
x\otimes y\right)  \text{ (nach (III.4.10))}}=k\left(  \Phi\circ
\operatorname*{kan}\nolimits_{2}\right)  \left(  x\otimes y\right)
\end{align*}
} und $\overline{H}$-rechtscolinear\footnote{\textit{Beweis:} Das Diagramm%
\[%
%TCIMACRO{\TeXButton{xymatrix}{\xymatrixcolsep{6pc}
%\xymatrix{
%H \otimes_K H \ar[r]^{\Phi\circ\operatorname*{kan}_2} \ar[d]_{\delta
%_{H\otimes_K H}} & H \otimes\overline{H} \ar[d]^{\delta_{H\otimes\overline{H}%
%}} \\
%\left(H \otimes_K H\right)\otimes\overline{H} \ar[r]_{\left(\Phi
%\circ\operatorname*{kan}_2\right)\otimes\operatorname*{id}} & \left
%(H\otimes\overline{H}\right) \otimes\overline{H}
%}}}%
%BeginExpansion
\xymatrixcolsep{6pc}
\xymatrix{
H \otimes_K H \ar[r]^{\Phi\circ\operatorname*{kan}_2} \ar[d]_{\delta
_{H\otimes_K H}} & H \otimes\overline{H} \ar[d]^{\delta_{H\otimes\overline{H}%
}} \\
\left(H \otimes_K H\right)\otimes\overline{H} \ar[r]_{\left(\Phi
\circ\operatorname*{kan}_2\right)\otimes\operatorname*{id}} & \left
(H\otimes\overline{H}\right) \otimes\overline{H}
}%
%EndExpansion
\]
ist kommutativ, denn verfolgt man ein Element $x\otimes y\in H\otimes_{K}H$
durch dieses Diagramm, so erh\"{a}lt man%
\[%
%TCIMACRO{\TeXButton{xymatrix}{\xymatrixcolsep{6pc}
%\xymatrix{
%x \otimes y \ar@{|->}[r]^{\Phi\circ\operatorname*{kan}_2} \ar@{|->}%
%[d]_{\delta_{H\otimes_K H}} & x_{\left(1\right)}y \otimes\overline
%{x_{\left(2\right)}} \ar@{|->}[d]^{\delta_{H\otimes\overline{H}}} \\
%\left(x_{\left(1\right)} \otimes y\right)\otimes\overline{x_{\left(2\right)}}
%\ar@{|->}[r]_{\left(\Phi\circ\operatorname*{kan}_2\right)\otimes
%\operatorname*{id}} & \left(x_{\left(1\right)}y \otimes\overline
%{x_{\left(2\right)}} \right) \otimes\overline{x_{\left(3\right)}}
%}}}%
%BeginExpansion
\xymatrixcolsep{6pc}
\xymatrix{
x \otimes y \ar@{|->}[r]^{\Phi\circ\operatorname*{kan}_2} \ar@{|->}%
[d]_{\delta_{H\otimes_K H}} & x_{\left(1\right)}y \otimes\overline
{x_{\left(2\right)}} \ar@{|->}[d]^{\delta_{H\otimes\overline{H}}} \\
\left(x_{\left(1\right)} \otimes y\right)\otimes\overline{x_{\left(2\right)}}
\ar@{|->}[r]_{\left(\Phi\circ\operatorname*{kan}_2\right)\otimes
\operatorname*{id}} & \left(x_{\left(1\right)}y \otimes\overline
{x_{\left(2\right)}} \right) \otimes\overline{x_{\left(3\right)}}
}%
%EndExpansion
\]
(hier wurde (III.4.10) zweimal verwendet). Somit ist $\Phi\circ
\operatorname*{kan}\nolimits_{2}$ eine $\overline{H}$-rechtscolineare
Abbildung.}.

Wir betrachten nun folgende Kette (kein Kettenkomplex) von Isomorphismen:%
\[%
%TCIMACRO{\TeXButton{xymatrix}{\xymatrixcolsep{
%3pc
%}}}%
%BeginExpansion
\xymatrixcolsep{
3pc
}%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{xymatrix}{\xymatrix{
%H^t \ar[r]_-{\cong} & \left(H\otimes_K K\right)^t \ar[r]_{\cong}
%& H \otimes_K K^t \ar[r]_{\cong} & H \otimes_K H \ar[d]_{\cong}^{\Phi
%\circ\operatorname*{kan}_2} \\
%& \left(K \otimes\overline{H}\right)^t  & K^t \otimes\overline{H}
%\ar[l]_{\cong} & H \otimes\overline{H} \ar[l]_{\cong}
%}}}%
%BeginExpansion
\xymatrix{
H^t \ar[r]_-{\cong} & \left(H\otimes_K K\right)^t \ar[r]_{\cong}
& H \otimes_K K^t \ar[r]_{\cong} & H \otimes_K H \ar[d]_{\cong}^{\Phi
\circ\operatorname*{kan}_2} \\
& \left(K \otimes\overline{H}\right)^t  & K^t \otimes\overline{H}
\ar[l]_{\cong} & H \otimes\overline{H} \ar[l]_{\cong}
}%
%EndExpansion
\]
(wobei wir die Isomorphismen $H\otimes_{K}K^{t}\rightarrow H\otimes_{K}H$ und
$H\otimes\overline{H}\rightarrow K^{t}\otimes\overline{H}$ aus der Isomorphie
$\left.  _{K}H\right.  \cong\left.  _{K}K^{t}\right.  $ bekommen haben). Alle
Isomorphismen in dieser Kette sind gleichzeitig $K$-linkslinear und
$\overline{H}$-rechtscolinear (mit den vorhin definierten $K$%
-Linksmodulstrukturen und $\overline{H}$-Rechtscomodulstrukturen auf den
Vektorr\"{a}umen). Die Verkettung dieser Isomorphismen ist also ein
$K$-linkslinearer und $\overline{H}$-rechtscolinearer Isomorphismus
$H^{t}\rightarrow\left(  K\otimes\overline{H}\right)  ^{t}$. Bezeichnen wir
diesen Isomorphismus mit $\Xi$. Dann ist $\Xi$ ein Isomorphismus von
$H^{t}\rightarrow\left(  K\otimes\overline{H}\right)  ^{t}$, welcher
gleichzeitig ein $K$-Linksmodulisomorphismus und ein $\overline{H}%
$-Rechtscomodulisomorphismus ist (denn er ist $K$-linkslinear und
$\overline{H}$-rechtscolinear). Nach Folgerung 6.52 (angewandt auf $H$,
$K\otimes\overline{H}$, $K$, $\overline{H}$ und $\Xi$ statt $V$, $W$, $A$, $C$
und $\Phi$) gibt es also einen Isomorphismus $\xi:H\rightarrow K\otimes
\overline{H}$, der gleichzeitig ein $K$-Linksmodulisomorphismus und ein
$\overline{H}$-Rechtscomodulisomorphismus ist. Das hei\ss t, $\left.  _{\cdot
}H^{\cdot}\right.  \cong\left.  _{\cdot}K\otimes\overline{H}^{\cdot}\right.  $
bez\"{u}glich $K$ und $\overline{H}$. Wegen $\overline{H}=H\diagup I$ ist
damit Satz 4.20 bewiesen.\footnote{Dieser Beweis von Satz 4.20 ist nicht genau
der Beweis, der in der Vorlesung gegeben wurde, sondern eine Variation davon.}

\textbf{4.21. Satz (Normalbasis):} Sei $H$ eine endlichdimensionale
Hopfalgebra. Sei $K\subseteq H$ eine Unterhopfalgebra. Dann ist%
\begin{align*}
^{\cdot}H_{\cdot}  &  \cong\left.  ^{\cdot}H\diagup HK^{+}\otimes K_{\cdot
}\right.  \text{ als }H\diagup HK^{+}\text{-Linkscomoduln und als
}K\text{-Rechtsmoduln;}\\
_{\cdot}H^{\cdot}  &  \cong\left.  _{\cdot}K\otimes H\diagup K^{+}H^{\cdot
}\right.  \text{ als }K\text{-Linksmoduln und als }H\diagup K^{+}%
H\text{-Rechtscomoduln.}%
\end{align*}


\textit{Beweis:} Die erste Isomorphie folgt aus 4.20. durch Dualisieren.

Die zweite Isomorphie folgt aus 4.20. durch Anwendung von $\operatorname*{op}%
\operatorname*{cop}.$

\textbf{Bemerkung:} Die Theorie der Normalbasiss\"{a}tze beschr\"{a}nkt sich
nicht auf Satz 4.20 und 4.21. Es gilt auch ein Analogon von Satz 4.21 f\"{u}r
Rechtscoidealunteralgebren statt Unterhopfalgebren $K$. Normalbasiss\"{a}tze
gelten auch f\"{u}r allgemeine Linkscoidealunteralgebren, Coideal + Linksideal
statt Unterhopfalgebra, Quotientenhopfalgebra.

\bigskip

\begin{center}
\fbox{\textbf{5. Darstellungen halbeinfacher Hopfalgebren}}
\end{center}

[\textbf{Vorbemerkung:} Dieser Abschnitt stammt aus der Feder von mir, Darij
Grinberg. Im Moment ist er eine Baustelle; irgendwann in Zukunft wird er
einige Resultate \"{u}ber Moduln \"{u}ber halbeinfachen Hopfalgebren enthalten.

Momentan ist hinsichtlich Darstellungstheorie zu verweisen auf:

"\textit{Representation Theory of Semisimple Hopf Algebras}" von S. Montgomery
im Sammelband "K. W. Roggenkamp and M.\ Stefanescu (eds.): \textit{Algebra -
Representation Theory}" (S. 189-218).]

Wir werden nun die Theorie der Moduln \"{u}ber halbeinfachen Hopfalgebren
(Kapitel III.3) fortf\"{u}hren. Ein mit der Darstellungstheorie endlicher
Gruppen vertrauter Leser viele der folgenden S\"{a}tze als Verallgemeinerungen
bekannter Eigenschaften von Darstellungen endlicher Gruppen wiedererkennen.
Denn f\"{u}r jede endliche Gruppe $G$ ist eine Darstellung von $G$ (das
hei\ss t, ein $G$-Linksmodul) nichts anderes als ein $k\left[  G\right]
$-Linksmodul, und viele Eigenschaften von Hopfalgebren, die wir in Kapitel
III.1-3 bewiesen haben, lassen sich auf die Hopfalgebra $k\left[  G\right]  $
anwenden (denn laut Beispiel 1.2$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$. \textbf{1)} ist
die Hopfalgebra $k\left[  G\right]  $ stets unimodular, und laut 3.7. ist sie
genau dann halbeinfach, wenn $\operatorname*{char}k\nmid\left\vert
G\right\vert $ ist).

\bigskip

\fbox{\textbf{Einfache }$H$\textbf{-Linksmoduln und das Schur-Lemma}}

[...]

[Hier wird noch alles \"{u}berarbeitet.]

[...]

Zuerst werden wir einige grundlegende Aussagen nachweisen, die von Moduln
\"{u}ber halbeinfachen Algebren -- nicht notwendigerweise Hopfalgebren --
handeln. Die Hopfalgebrastruktur wird erst sp\"{a}ter ben\"{o}tigt.

\textbf{Definition:} Sei $H$ eine Algebra, und sei $V\in\left.  _{H}%
\mathcal{M}\right.  .$ Dann hei\ss t der $H$-Linksmodul $V$ \textit{einfach},
wenn $V\neq0$ ist, und jeder $H$-Untermodul von $V$ entweder $=0$ oder $=V$ ist.

\textbf{5.1. Beispiel:} Man bezeichnet $H$-Linksmoduln auch als
\textit{Darstellungen der Algebra }$H,$ und einfache $H$-Linksmoduln auch als
\textit{irreduzible Darstellungen der Algebra }$H.$ Dies geht auf folgende
Tatsache zur\"{u}ck: Ist $G$ eine Gruppe, so sind die $k\left[  G\right]
$-Linksmoduln nichts anderes als die Darstellungen der Gruppe $G$ (denn eine
Darstellung der Gruppe $G$ ist ein Vektorraum mit einer $G$%
-Linksmodulstruktur, und eine $G$-Linksmodulstruktur entspricht eineindeutig
einer $k\left[  G\right]  $-Linksmodulstruktur). Die einfachen $k\left[
G\right]  $-Linksmoduln sind die irreduziblen Darstellungen der Gruppe $G.$

\textbf{5.2. Bemerkung:} Sei $H$ eine halbeinfache Algebra, und sei
$V\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  $ von $0$ verschieden. Ist der
$H$-Linksmodul $V$ nicht einfach, dann existieren zwei von $0$ verschiedene
Untermoduln $V_{1}$ und $V_{2}$ von $V,$ die $V=V_{1}\oplus V_{2}$ erf\"{u}llen.

\textit{Beweis:} Da der $H$-Linksmodul $V$ von $0$ verschieden und nicht
einfach ist, existiert ein von $0$ und von $V$ verschiedener Untermodul
$V_{1}$ von $V.$ Da $H$ halbeinfach ist, ist dieser Untermodul $V_{1}$ von $V$
ein direkter Summand von $V;$ das hei\ss t, es gibt einen Untermodul $V_{2}$
von $V,$ der $V=V_{1}\oplus V_{2}$ erf\"{u}llt. Wir wissen, da\ss \ $V_{1}%
\neq0$ ist, und aus $V_{1}\neq V$ folgt auch $V_{2}\neq0,$ was zu beweisen war.

\textbf{5.3. Lemma:} Sei $H$ eine halbeinfache Algebra, und sei $V\in\left.
_{H}\mathcal{M}\right.  $ endlichdimensional. Dann ist $V$ eine direkte Summe
endlich vieler einfacher $H$-Linksmoduln.

\textit{Beweis:} Sei $n$ die gr\"{o}\ss te nat\"{u}rliche Zahl, f\"{u}r die
$n$ von $0$ verschiedene Untermoduln $V_{1},$ $V_{2},$ $...,$ $V_{n}$ von $V$
existieren, welche $V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus...\oplus V_{n}$
erf\"{u}llen.\footnote{So eine Zahl $n$ existiert, denn aus den Bedingungen
$V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus...\oplus V_{n}$ und $V_{i}\neq0$ f\"{u}r alle $i$
folgt%
\begin{align*}
n  &  \leq\dim V_{1}+\dim V_{2}+...+\dim V_{n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{denn f\"{u}r jedes }i\text{ ist }V_{i}\neq0\text{ und daher }1\leq\dim
V_{i}\right) \\
&  =\dim\left(  V_{1}\oplus V_{2}\oplus...\oplus V_{n}\right)  =\dim V
\end{align*}
f\"{u}r $n,$ woraus (wegen $\dim V<\infty$) folgt, da\ss \ die Menge aller
solchen\ Zahlen $n$ beschr\"{a}nkt ist und somit eine gr\"{o}\ss te solche
Zahl existiert.} G\"{a}be es ein $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  ,$ f\"{u}r
welches der $H$-Linksmodul $V_{i}$ nicht einfach w\"{a}re, dann g\"{a}be es
zwei von $0$ verschiedene Untermoduln $V_{i,1}$ und $V_{i,2}$ von $V_{i}$ mit
$V_{i}=V_{i,1}\oplus V_{i,2}$ (wegen 5.2.), und somit w\"{a}re%
\[
V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus...\oplus V_{i-1}\oplus V_{i}\oplus V_{i+1}%
\oplus...\oplus V_{n}=V_{1}\oplus V_{2}\oplus...\oplus V_{i-1}\oplus
V_{i,1}\oplus V_{i,2}\oplus V_{i+1}\oplus...\oplus V_{n},
\]
was im Widerspruch zur Maximalit\"{a}t von $n$ st\"{u}nde. Also
mu\ss \ f\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ der $H$-Linksmodul
$V_{i}$ einfach sein, und damit ist 5.3. bewiesen.

\textbf{5.4. Satz (Schur):} Sei $H$ eine Algebra, und seien $V,W\in\left.
_{H}\mathcal{M}\right.  .$

\textbf{1)} Ist $V$ ein einfacher $H$-Linksmodul, dann ist jeder von $0$
verschiedene $H$-Linksmodulhomomorphismus $f:V\rightarrow W$ injektiv.

\textbf{2)} Ist $W$ ein einfacher $H$-Linksmodul, dann ist jeder von $0$
verschiedene $H$-Linksmodulhomomorphismus $f:V\rightarrow W$ surjektiv.

\textbf{3)} Sind $V$ und $W$ zwei einfache $H$-Linksmoduln, dann ist jeder von
$0$ verschiedene $H$-Linksmodulhomomorphismus $f:V\rightarrow W$ ein $H$-Linksmodulisomorphismus.

\textbf{4)} Sind $V$ und $W$ zwei einfache $H$-Linksmoduln, sind $n$ und $m$
zwei positive ganze Zahlen, und ist $f:V^{n}\rightarrow W^{m}$ ein von $0$
verschiedener $H$-Linksmodulhomomorphismus, dann ist $V\cong W$ in
$_{H}\mathcal{M}.$

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Offensichtlich ist $\operatorname*{Ker}f$ ein
Untermodul von $V.$ Da $V$ einfach ist, folgt hieraus, da\ss \ entweder
$\operatorname*{Ker}f=0$ oder $\operatorname*{Ker}f=V$ ist. Doch
$\operatorname*{Ker}f=V$ ist nicht m\"{o}glich (da $f$ von $0$ verschieden
ist); also ist $\operatorname*{Ker}f=0,$ und somit ist $f$ injektiv.

\textbf{2)} Offensichtlich ist $f\left(  V\right)  $ ein Untermodul von $W$.
Da $W$ einfach ist, folgt hieraus, da\ss \ entweder $f\left(  V\right)  =0$
oder $f\left(  V\right)  =W$ ist. Doch $f\left(  V\right)  =0$ ist
unm\"{o}glich (da $f$ von $0$ verschieden ist); also ist $f\left(  V\right)
=W,$ und daher ist $f$ surjektiv.

\textbf{3)} Folgt aus \textbf{1)} und \textbf{2)}.

\textbf{4)} F\"{u}r jedes $k\in\left\{  1,2,...,n\right\}  $ sei $\phi
_{k}:V\rightarrow V^{n}$ die Injektion, die durch $\phi_{k}\left(  v\right)
=\left(  0,0,...,0,v,0,0,...,0\right)  $ (wobei das $v$ hier an der $k$-ten
Stelle im $n$-Tupel steht) f\"{u}r alle $v\in V$ definiert ist. Dann ist
$\phi_{1}\oplus\phi_{2}\oplus...\oplus\phi_{n}:V^{n}\rightarrow V^{n}$ die
Identit\"{a}tsabbildung. Da $f\neq0$ ist, gibt es also ein $k\in\left\{
1,2,...,n\right\}  $ mit $f\circ\phi_{k}\neq0.$

F\"{u}r jedes $\ell\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ sei $\pi_{\ell}%
:W^{m}\rightarrow W$ die Surjektion, die durch $\pi_{\ell}\left(  w_{1}%
,w_{2},...,w_{m}\right)  =w_{\ell}$ f\"{u}r alle $\left(  w_{1},w_{2}%
,...,w_{m}\right)  \in W^{m}$ definiert ist. Dann ist $\pi_{1}\oplus\pi
_{2}\oplus...\oplus\pi_{m}:W^{m}\rightarrow W^{m}$ die
Identit\"{a}tsabbildung. Da $f\circ\phi_{k}\neq0$ ist, gibt es also ein
$\ell\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ mit $\pi_{\ell}\circ f\circ\phi_{k}%
\neq0.$

Somit ist $\pi_{\ell}\circ f\circ\phi_{k}:V\rightarrow W$ ein von $0$
verschiedener $H$-Linksmodulhomomorphismus. Da $V$ und $W$ zwei einfache
$H$-Linksmoduln sind, folgt aus \textbf{3)} somit, da\ss \ $\pi_{\ell}\circ
f\circ\phi_{k}:V\rightarrow W$ ein Isomorphismus ist, und damit ist $V\cong W$
in $_{H}\mathcal{M}.$ Damit ist \textbf{4)} gezeigt.

\textbf{5.5. Satz (Schur):} Sei $H$ eine Algebra, und sei $V\in\left.
_{H}\mathcal{M}\right.  $ ein einfacher $H$-Linksmodul. Dann ist
$\operatorname*{Hom}_{_{H}\mathcal{M}}\left(  V,V\right)  $ ein Schiefk\"{o}rper.

\textit{Beweis:} Wegen $\operatorname{id}_{V}\in\operatorname*{Hom}%
_{_{H}\mathcal{M}}\left(  V,V\right)  $ und $\operatorname{id}_{V}\neq0$ (da
$V\neq0$) ist $\operatorname*{Hom}_{_{H}\mathcal{M}}\left(  V,V\right)  \neq0$.

Jedes von $0$ verschiedene Element von $\operatorname*{Hom}_{_{H}\mathcal{M}%
}\left(  V,V\right)  $ ist ein von $0$ verschiedener $H$%
-Linksmodulhomomorphismus von $V$ nach $V,$ und daher (nach 5.4. \textbf{3)})
ein Isomorphismus, also in $\operatorname*{Hom}_{_{H}\mathcal{M}}\left(
V,V\right)  $ invertierbar. Damit ist $\operatorname*{Hom}_{_{H}\mathcal{M}%
}\left(  V,V\right)  $ ein Schiefk\"{o}rper.

\textbf{5.6. Satz:} Sei $H$ eine halbeinfache Algebra, und sei $V\in\left.
_{H}\mathcal{M}\right.  $ endlichdimensional.

Dann gibt es eine nichtnegative ganze Zahl $m,$ sowie $m$ Untermoduln $W_{1},$
$W_{2},$ $...,$ $W_{m}$ von $V$, sowie $m$ einfache $H$-Linksmoduln $U_{1},$
$U_{2},$ $...,$ $U_{m}$ und $m$ positive ganze Zahlen $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$
$a_{m}$ so, da\ss \ folgende drei Eigenschaften gelten:

\textbf{a)} F\"{u}r je zwei $i,j\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ mit $i\neq j$
gilt $U_{i}\ncong U_{j}$ in $_{H}\mathcal{M}.$

\textbf{b)} Es gilt $V=W_{1}\oplus W_{2}\oplus...\oplus W_{m}$ in
$_{H}\mathcal{M}$.

\textbf{c)} F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ ist $W_{i}\cong
U_{i}^{a_{i}}$ in $_{H}\mathcal{M}.$

\textit{Beweis:} Nach 5.3. ist $V$ eine direkte Summe endlich vieler einfacher
$H$-Linksmoduln, d. h. es gibt eine nat\"{u}rliche Zahl $n$ sowie $n$ einfache
Untermoduln $V_{1},$ $V_{2},$ $...,$ $V_{n}$ von $V$, welche $V=V_{1}\oplus
V_{2}\oplus...\oplus V_{n}$ erf\"{u}llen. Sei $m\in\mathbb{N}$ so gew\"{a}hlt,
da\ss \ unter den $n$ Untermoduln $V_{1},$ $V_{2},$ $...,$ $V_{n}$ von $V$
genau $m$ paarweise nicht-isomorphe vorkommen; wir bezeichnen diese $m$
paarweise nicht-isomorphen Untermoduln mit $U_{1},$ $U_{2},$ $...,$ $U_{m}.$
F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ sei $a_{i}$ die Anzahl der
$j\in\left\{  1,2,...,n\right\}  ,$ die $V_{j}\cong U_{i}$ erf\"{u}llen, und
$W_{i}=\bigoplus\limits_{\substack{j\in\left\{  1,2,...,n\right\}
;\\V_{j}\cong U_{i}}}V_{j}.$ Dann ist $W_{i}\cong U_{i}^{a_{i}}$ in
$_{H}\mathcal{M},$ und aus $V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus...\oplus V_{n}$ wird
offensichtlich $V=W_{1}\oplus W_{2}\oplus...\oplus W_{m}$ in $_{H}\mathcal{M}%
$. Somit sind die Bedingungen \textbf{b)} und \textbf{c)} erf\"{u}llt. Die
Bedingung \textbf{a)} ist trivialerweise erf\"{u}llt (nach Definition von
$U_{1},$ $U_{2},$ $...,$ $U_{m}$). Damit ist Satz 5.6. bewiesen.

Folgender Satz behauptet im Wesentlichen, da\ss \ in Satz 5.6. (f\"{u}r feste
$H$ und $V$) die Zahl $m,$ die Untermoduln $W_{1},$ $W_{2},$ $...,$ $W_{m}$
(bis auf die Reihenfolge) und die Zahlen $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{m}$
(ebenfalls bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmt sind, und die einfachen
$H$-Linksmoduln $U_{1},$ $U_{2},$ $...,$ $U_{m}$ bis auf Isomorphie (und
wieder bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmt sind:

\textbf{5.7. Satz:} Sei $H$ eine Algebra, und sei $V\in\left.  _{H}%
\mathcal{M}\right.  $ endlichdimensional.

Sei $m$ eine nichtnegative ganze Zahl; seien $W_{1},$ $W_{2},$ $...,$ $W_{m}$
Untermoduln von $V;$ seien $U_{1},$ $U_{2},$ $...,$ $U_{m}$ einfache
$H$-Linksmoduln; seien $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{m}$ positive ganze Zahlen.
Angenommen, folgende Bedingungen sind erf\"{u}llt:

\textbf{a)} F\"{u}r je zwei $i,j\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ mit $i\neq j$
gilt $U_{i}\ncong U_{j}$ in $_{H}\mathcal{M}.$

\textbf{b)} Es gilt $V=W_{1}\oplus W_{2}\oplus...\oplus W_{m}$ in
$_{H}\mathcal{M}$.

\textbf{c)} F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ ist $W_{i}\cong
U_{i}^{a_{i}}$ in $_{H}\mathcal{M}.$

Sei ferner $m^{\prime}$ eine nichtnegative ganze Zahl; seien $W_{1}^{\prime},$
$W_{2}^{\prime},$ $...,$ $W_{m^{\prime}}^{\prime}$ Untermoduln von $V;$ seien
$U_{1}^{\prime},$ $U_{2}^{\prime},$ $...,$ $U_{m^{\prime}}^{\prime}$ einfache
$H$-Linksmoduln; seien $a_{1}^{\prime},$ $a_{2}^{\prime},$ $...,$
$a_{m^{\prime}}^{\prime}$ positive ganze Zahlen. Angenommen, folgende
Bedingungen sind erf\"{u}llt:

\textbf{a')} F\"{u}r je zwei $i,j\in\left\{  1,2,...,m^{\prime}\right\}  $ mit
$i\neq j$ gilt $U_{i}^{\prime}\ncong U_{j}^{\prime}$ in $_{H}\mathcal{M}.$

\textbf{b')} Es gilt $V=W_{1}^{\prime}\oplus W_{2}^{\prime}\oplus...\oplus
W_{m^{\prime}}^{\prime}$ in $_{H}\mathcal{M}$.

\textbf{c')} F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,m^{\prime}\right\}  $ ist
$W_{i}^{\prime}\cong\left(  U_{i}^{\prime}\right)  ^{a_{i}^{\prime}}$ in
$_{H}\mathcal{M}.$

Dann gilt\ $m=m^{\prime}$, und es gibt\ eine Permutation $\pi\in S_{m}$,
die\ $W_{i}=W_{\pi\left(  i\right)  }^{\prime},$ $U_{i}\cong U_{\pi\left(
i\right)  }^{\prime}$ und $a_{i}=a_{\pi\left(  i\right)  }^{\prime}$ f\"{u}r
alle $i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ erf\"{u}llt.

\textit{Beweis:} \textit{Lemma 1:} F\"{u}r jedes $i\in\left\{
1,2,...,m\right\}  $ und jeden zu $U_{i}$ isomorphen Untermodul $E$ von $V$
gibt es ein $i^{\prime}\in\left\{  1,2,...,m^{\prime}\right\}  $ mit
$U_{i}\cong E\cong U_{i^{\prime}}^{\prime}$ und $E\subseteq W_{i^{\prime}%
}^{\prime}.$

\textit{Beweis von Lemma 1:} Wir halten $i$ und $E$ fest.

Die Zerlegung $V=W_{1}^{\prime}\oplus W_{2}^{\prime}\oplus...\oplus
W_{m^{\prime}}^{\prime}$ induziert eine $H$-linkslineare Projektion
$\pi_{i^{\prime}}:V\rightarrow W_{i^{\prime}}^{\prime}$ f\"{u}r jedes
$i^{\prime}\in\left\{  1,2,...,m^{\prime}\right\}  $ so, da\ss \ $\pi
_{1}\oplus\pi_{2}\oplus...\oplus\pi_{m^{\prime}}:V\rightarrow W_{1}^{\prime
}\oplus W_{2}^{\prime}\oplus...\oplus W_{m^{\prime}}^{\prime}$ die
Identit\"{a}t ist. Wir bemerken, da\ss \ folgende drei Aussagen gelten:

\textit{Hilfsaussage 1:} Es gibt ein $i^{\prime}\in\left\{  1,2,...,m^{\prime
}\right\}  ,$ welches $\pi_{i^{\prime}}\left(  E\right)  \neq0$ erf\"{u}llt.

(Denn sonst w\"{a}re $E=0$, weil $\pi_{1}\oplus\pi_{2}\oplus...\oplus
\pi_{m^{\prime}}$ die Identit\"{a}t ist.)

\textit{Hilfsaussage 2:} Ist $i^{\prime}\in\left\{  1,2,...,m^{\prime
}\right\}  $ ein Element, das $\pi_{i^{\prime}}\left(  E\right)  \neq0$
erf\"{u}llt, dann ist $E\cong U_{i^{\prime}}^{\prime}.$

(Denn aus $\pi_{i^{\prime}}\left(  E\right)  \neq0$ folgt, da\ss \ $\pi
_{i^{\prime}}\mid_{E}:E\rightarrow W_{i^{\prime}}^{\prime}$ ein von $0$
verschiedener $H$-Linksmodulhomomorphismus ist; wegen $E=E^{1}$ und
$W_{i^{\prime}}^{\prime}\cong\left(  U_{i^{\prime}}^{\prime}\right)
^{a_{i^{\prime}}^{\prime}}$ gibt es somit einen von $0$ verschiedenen
$H$-Linksmodulhomomorphismus $E^{1}\rightarrow\left(  U_{i^{\prime}}^{\prime
}\right)  ^{a_{i^{\prime}}^{\prime}},$ und nach Satz 5.4. \textbf{4)} folgt
hieraus $E\cong U_{i^{\prime}}^{\prime}$ in $_{H}\mathcal{M}$ (da $E$ und
$U_{i^{\prime}}^{\prime}$ einfache $H$-Linksmoduln sind\footnote{F\"{u}r
$U_{i^{\prime}}^{\prime}$ ist das eine Annahme gewesen; f\"{u}r $E$ folgt dies
aus $E\cong U_{i}.$}).)

\textit{Hilfsaussage 3:} Sind $i^{\prime}$ und $j^{\prime}$ zwei Elemente von
$\left\{  1,2,...,m^{\prime}\right\}  ,$ die $\pi_{i^{\prime}}\left(
E\right)  \neq0$ und $\pi_{j^{\prime}}\left(  E\right)  \neq0$ erf\"{u}llen,
dann ist $i^{\prime}=j^{\prime}.$

(Denn aus $\pi_{i^{\prime}}\left(  E\right)  \neq0$ folgt nach Hilfsaussage 2,
da\ss \ $E\cong U_{i^{\prime}}^{\prime}$ in $_{H}\mathcal{M}$ gilt, und analog
ergibt sich $E\cong U_{j^{\prime}}^{\prime}$ in $_{H}\mathcal{M},$ also
$U_{i^{\prime}}^{\prime}\cong U_{j^{\prime}}^{\prime}$ in $_{H}\mathcal{M},$
was wegen der Bedingung \textbf{a')} sofort auf $i^{\prime}=j^{\prime}$ f\"{u}hrt.)

Aus den Hilfsaussagen 1 und 3 folgt: Es gibt genau ein $i^{\prime}\in\left\{
1,2,...,m^{\prime}\right\}  ,$ welches $\pi_{i^{\prime}}\left(  E\right)
\neq0$ erf\"{u}llt. Dieses $i^{\prime}$ muss folglich $E\subseteq
W_{i^{\prime}}^{\prime}$ erf\"{u}llen. Gem\"{a}\ss \ Hilfsaussage 2
erf\"{u}llt dieses $i^{\prime}$ au\ss erdem $E\cong U_{i^{\prime}}^{\prime}.$
Damit ist Lemma 1 bewiesen.

\textit{Lemma 2:} Es gibt eine Abbildung $\pi:\left\{  1,2,...,m\right\}
\rightarrow\left\{  1,2,...,m^{\prime}\right\}  $ so, da\ss \ gilt: F\"{u}r
jedes $i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ gilt $U_{i}\cong U_{\pi\left(
i\right)  }^{\prime}$ und $W_{i}\subseteq W_{\pi\left(  i\right)  }^{\prime}.$

\textit{Beweis von Lemma 2:} Wir konstruieren die Abbildung $\pi:\left\{
1,2,...,m\right\}  \rightarrow\left\{  1,2,...,m^{\prime}\right\}  $ wie folgt:

F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ gibt es einen zu $U_{i}$
isomorphen Untermodul $E$ von $V$ (denn $W_{i}$ ist ein Untermodul von $V,$
und wegen $W_{i}\cong U_{i}^{a_{i}}$ hat $W_{i}$ einen zu $U_{i}$ isomorphen
Untermodul). Nach Lemma 1 gibt es zu diesem Untermodul ein $i^{\prime}%
\in\left\{  1,2,...,m^{\prime}\right\}  $ mit $U_{i}\cong E\cong U_{i^{\prime
}}^{\prime}$ und $E\subseteq W_{i^{\prime}}^{\prime}.$ Dieses $i^{\prime}$ ist
au\ss erdem durch $i$ eindeutig bestimmt (es h\"{a}ngt also nicht einmal von
der konkreten Wahl von $E$ bei festem $i$ ab!), denn es mu\ss \ ja $U_{i}\cong
U_{i^{\prime}}^{\prime}$ erf\"{u}llen, doch nach Bedingung \textbf{a')} kann
zu jedem $i$ h\"{o}chstens ein $i^{\prime}\in\left\{  1,2,...,m^{\prime
}\right\}  $ existieren, welches $U_{i}\cong U_{i^{\prime}}^{\prime}$
erf\"{u}llt. Setze jetzt $\pi\left(  i\right)  =i^{\prime}$ f\"{u}r jedes
$i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  .$ Auf diese Weise ist eine Abbildung
$\pi:\left\{  1,2,...,m\right\}  \rightarrow\left\{  1,2,...,m^{\prime
}\right\}  $ gegeben.

Wir m\"{u}ssen nun zeigen, da\ss \ $U_{i}\cong U_{\pi\left(  i\right)
}^{\prime}$ und $W_{i}\subseteq W_{\pi\left(  i\right)  }^{\prime}$ f\"{u}r
jedes $i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ gilt.

In der Tat folgt aus der Definition von $\pi\left(  i\right)  $,
da\ss \ $\pi\left(  i\right)  =i^{\prime}$ f\"{u}r ein $i^{\prime}\in\left\{
1,2,...,m^{\prime}\right\}  $ mit $U_{i}\cong U_{i^{\prime}}^{\prime}$ gilt.
Daraus folgt sofort $U_{i}\cong U_{\pi\left(  i\right)  }^{\prime}.$

Jetzt wollen wir beweisen, da\ss \ $W_{i}\subseteq W_{\pi\left(  i\right)
}^{\prime}$ ist. In der Tat ist $W_{i}$ eine direkte Summe von $a_{i}$ vielen
zu $U_{i}$ isomorphen Untermoduln von $V$ (denn $W_{i}\cong U_{i}^{a_{i}}$).
Zum Beweis von $W_{i}\subseteq W_{\pi\left(  i\right)  }^{\prime}$ reicht es
also aus zu zeigen, da\ss \ $E\subseteq W_{\pi\left(  i\right)  }^{\prime}$
f\"{u}r jeden zu $U_{i}$ isomorphen Untermodul $E$ von $V$ gilt. Doch dies ist
klar, denn aus Lemma 1 folgt $E\subseteq W_{i^{\prime}}^{\prime}$, was wegen
$i^{\prime}=\pi\left(  i\right)  $ zu $E\subseteq W_{\pi\left(  i\right)
}^{\prime}$ wird. Damit ist der Beweis von Lemma 2 vollst\"{a}ndig.

\textit{Lemma 3:} Es gibt eine Abbildung $\pi^{\prime}:\left\{
1,2,...,m^{\prime}\right\}  \rightarrow\left\{  1,2,...,m\right\}  $ so,
da\ss \ gilt: F\"{u}r jedes $j\in\left\{  1,2,...,m^{\prime}\right\}  $ gilt
$U_{j}^{\prime}\cong U_{\pi^{\prime}\left(  j\right)  }$ und $W_{j}^{\prime
}\subseteq W_{\pi^{\prime}\left(  j\right)  }.$

\textit{Beweis von Lemma 3:} Der Beweis verl\"{a}uft v\"{o}llig analog zu dem
von Lemma 2 (denn eigentlich ist Lemma 3 nichts anderes als Lemma 2 nach
Vertauschung von $m$ mit $m^{\prime},$ von $i$ mit $j,$ von $\pi$ mit
$\pi^{\prime},$ von $W_{i}$ mit $W_{i}^{\prime},$ von $U_{i}$ mit
$U_{i}^{\prime},$ und von $a_{i}$ mit $a_{i}^{\prime}$).

\textit{Lemma 4:} Es gilt $m=m^{\prime},$ und die Abbildung $\pi$ aus Lemma 2
ist eine Permutation von $\left\{  1,2,...,m\right\}  .$

\textit{Beweis von Lemma 4:} Betrachten wir die Abbildung $\pi$ aus Lemma 2
und die Abbildung $\pi^{\prime}$ aus Lemma 3. F\"{u}r jedes $i$ gilt
$U_{i}\cong U_{\pi\left(  i\right)  }^{\prime}$ (nach Lemma 2) und
$U_{\pi\left(  i\right)  }^{\prime}\cong U_{\pi^{\prime}\left(  \pi\left(
i\right)  \right)  }$ (nach Lemma 3, angewandt auf $j=\pi\left(  i\right)  $),
also $U_{i}\cong U_{\pi^{\prime}\left(  \pi\left(  i\right)  \right)  }.$
Daher ist $i=\pi^{\prime}\left(  \pi\left(  i\right)  \right)  $ (nach
Bedingung \textbf{a)}). Da dies f\"{u}r jedes $i$ gilt, ist also $\pi^{\prime
}\circ\pi=\operatorname*{id}.$ Analog ist $\pi\circ\pi^{\prime}%
=\operatorname*{id}.$ Somit sind die Abbildungen $\pi:\left\{
1,2,...,m\right\}  \rightarrow\left\{  1,2,...,m^{\prime}\right\}  $ und
$\pi^{\prime}:\left\{  1,2,...,m^{\prime}\right\}  \rightarrow\left\{
1,2,...,m\right\}  $ zueinander invers. Hieraus folgt $m=m^{\prime},$ und
ferner folgt, da\ss \ die Abbildung $\pi$ eine Permutation von $\left\{
1,2,...,m\right\}  $ ist. Damit ist Lemma 4 bewiesen.

\textit{Lemma 5:} F\"{u}r jedes $i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ gilt
$U_{i}\cong U_{\pi\left(  i\right)  }^{\prime}$, $W_{i}=W_{\pi\left(
i\right)  }^{\prime},$ und $a_{i}=a_{\pi\left(  i\right)  }^{\prime}$.

\textit{Beweis von Lemma 5:} Bereits aus Lemma 2 folgt $U_{i}\cong
U_{\pi\left(  i\right)  }^{\prime}.$ Weiterhin ist $W_{i}\subseteq
W_{\pi\left(  i\right)  }^{\prime}$ (nach Lemma 2) und $W_{\pi\left(
i\right)  }^{\prime}\subseteq W_{\pi^{\prime}\left(  \pi\left(  i\right)
\right)  }$ (nach Lemma 3, angewandt auf $j=\pi\left(  i\right)  $), also
$W_{i}\subseteq W_{\pi\left(  i\right)  }^{\prime}\subseteq W_{\pi^{\prime
}\left(  \pi\left(  i\right)  \right)  }=W_{i}$ (da $\pi^{\prime}\circ
\pi=\operatorname*{id}$ laut dem Beweis von Lemma 4). Hieraus folgt
$W_{i}=W_{\pi\left(  i\right)  }^{\prime}.$ Schlie\ss lich ist $U_{i}^{a_{i}%
}\cong W_{i}=W_{\pi\left(  i\right)  }^{\prime}\cong\left(  U_{\pi\left(
i\right)  }^{\prime}\right)  ^{a_{\pi\left(  i\right)  }^{\prime}}\cong
U_{i}^{a_{\pi\left(  i\right)  }^{\prime}}$ (letzteres wegen $U_{i}\cong
U_{\pi\left(  i\right)  }^{\prime}$), also $a_{i}=a_{\pi\left(  i\right)
}^{\prime}$ (denn da $U_{i}$ endlichdimensional und $\neq0$ ist, m\"{u}ssen je
zwei nat\"{u}rliche Zahlen $\mu$ und $\nu,$ f\"{u}r die $U_{i}^{\mu}\cong
U_{i}^{\nu}$ gilt, auch $\mu=\nu$ erf\"{u}llen). Damit ist Lemma 5 bewiesen.

Aus den Lemmata 4 und 5 folgt Satz 5.7.

\textbf{Definition:} Sei $H$ eine halbeinfache Algebra, und sei $V\in\left.
_{H}\mathcal{M}\right.  $ endlichdimensional. Sei $E\in\left.  _{H}%
\mathcal{M}\right.  $ ein einfacher $H$-Linksmodul.

Seien eine nichtnegative ganze Zahl $m,$ Untermoduln $W_{1},$ $W_{2},$ $...,$
$W_{m}$ von $V$, einfache $H$-Linksmoduln $U_{1},$ $U_{2},$ $...,$ $U_{m}$ und
positive ganze Zahlen $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{m}$ so definiert wie in
Satz 5.6.

\textbf{1)} Nach Satz 5.6. gilt $V=W_{1}\oplus W_{2}\oplus...\oplus W_{m}$
sowie $W_{i}\cong U_{i}^{a_{i}}$ in $_{H}\mathcal{M}$ f\"{u}r jedes
$i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  .$ Somit ist $V\cong U_{1}^{a_{1}}\oplus
U_{2}^{a_{2}}\oplus...\oplus U_{m}^{a_{m}}$ in $_{H}\mathcal{M}.$ Diese
Zerlegung $V\cong U_{1}^{a_{1}}\oplus U_{2}^{a_{2}}\oplus...\oplus
U_{m}^{a_{m}}$ bezeichnet man als \textit{die Zerlegung von }$V$ \textit{in
einfache }$H$\textit{-Linksmoduln}. Gem\"{a}\ss \ Satz 5.7. ist diese
Zerlegung eindeutig bis auf Vertauschung der Summanden.

\textbf{2)} Sei $k\geq1$ eine ganze Zahl.

Man sagt, der einfache $H$-Linksmodul $E$ \textit{kommt }$k$\textit{-mal im
Modul }$V$ vor, wenn es ein $i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ mit $U_{i}\cong
E$ gibt, und wenn $a_{i}=k$ f\"{u}r dieses $i$ gilt.

Ferner sagt man, der einfache $H$-Linksmodul $E$ \textit{kommt }%
$0$\textit{-mal im Modul }$V$ vor, wenn es kein $i\in\left\{
1,2,...,m\right\}  $ mit $U_{i}\cong E$ gibt.

Man sagt, der einfache $H$-Linksmodul $E$ \textit{kommt im Modul }$V$ vor,
wenn er $k$-mal im Modul $V$ vorkommt f\"{u}r irgendein $k\geq1$ (also wenn es
ein $i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ mit $U_{i}\cong E$ gibt).

Gem\"{a}\ss \ Satz 5.7. h\"{a}ngt diese Definition nur von $H,$ $V,$ $E$ und
$k,$ nicht aber von $m,$ $W_{1},$ $W_{2},$ $...,$ $W_{m},$ $U_{1},$ $U_{2},$
$...,$ $U_{m}$ und $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{m}$ ab.

\textbf{5.8. Satz:} Sei $H$ eine halbeinfache Algebra mit $\dim H<\infty.$ Sei
$H\cong H_{1}^{a_{1}}\oplus H_{2}^{a_{2}}\oplus...\oplus H_{m}^{a_{m}}$ die
Zerlegung von $H$ in einfache $H$-Linksmoduln (das hei\ss t, $H_{1},$ $H_{2},$
$...,$ $H_{m}$ sind einfache $H$-Linksmoduln mit $H_{i}\ncong H_{j}$ in
$_{H}\mathcal{M}$ f\"{u}r alle $i\neq j$). Sei $E$ ein einfacher
$H$-Linksmodul. Dann gibt es ein $i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  ,$ das
$H_{i}\cong E$ in $_{H}\mathcal{M}$ und $a_{i}=\dfrac{\dim\left(
\operatorname*{Hom}_{_{H}\mathcal{M}}\left(  E,H\right)  \right)  }%
{\dim\left(  \operatorname*{Hom}_{_{H}\mathcal{M}}\left(  E,E\right)  \right)
}=\dfrac{\dim\left(  \operatorname*{Hom}_{_{H}\mathcal{M}}\left(  H,E\right)
\right)  }{\dim\left(  \operatorname*{Hom}_{_{H}\mathcal{M}}\left(
E,E\right)  \right)  }$ erf\"{u}llt.

\textit{Bemerkung:} Der $H$-Linksmodul $H$ hei\ss t die \textit{regul\"{a}re
Darstellung von }$H.$ Dieser Satz 5.8. sagt also aus, da\ss \ (im\ Falle von
$\dim H<\infty$) jede irreduzible Darstellung $E$ von $H$ in der regul\"{a}ren
Darstellung von $H$ vorkommt, und zwar $\dfrac{\dim\left(  \operatorname*{Hom}%
_{_{H}\mathcal{M}}\left(  E,H\right)  \right)  }{\dim\left(
\operatorname*{Hom}_{_{H}\mathcal{M}}\left(  E,E\right)  \right)  }$-mal.

\textit{Beweis:} Der Isomorphismus $H\cong H_{1}^{a_{1}}\oplus H_{2}^{a_{2}%
}\oplus...\oplus H_{m}^{a_{m}}$ induziert Injektionen $\phi_{i}:H_{i}^{a_{i}%
}\rightarrow H$ f\"{u}r alle $i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ so,
da\ss \ $\phi_{1}\oplus\phi_{2}\oplus...\oplus\phi_{m}$ ein Isomorphismus ist.

Der Isomorphismus $H\cong H_{1}^{a_{1}}\oplus H_{2}^{a_{2}}\oplus...\oplus
H_{m}^{a_{m}}$ induziert ferner Surjektionen $\pi_{i}:H\rightarrow
H_{i}^{a_{i}}$ f\"{u}r alle $i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ so,
da\ss \ $\pi_{1}\oplus\pi_{2}\oplus...\oplus\pi_{m}$ ein Isomorphismus ist.

\textbf{a)} Zuerst zeigen wir, da\ss \ es ein $i\in\left\{  1,2,...,m\right\}
$ mit $H_{i}\cong E$ in $_{H}\mathcal{M}$ gibt.

\textit{Beweis:} Sei $e\in E$ ein von $0$ verschiedenes Element von $E.$
Betrachte den $H$-Linksmodulhomomorphismus $R_{e}:H\rightarrow E,$ der durch
$R_{e}\left(  h\right)  =he$ f\"{u}r alle $h\in H$ gegeben ist. Dieser
$H$-Linksmodulhomomorphismus ist von $0$ verschieden (da $R_{e}\left(
1\right)  =1e=e\neq0$).

Sei $i\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ so gew\"{a}hlt, da\ss \ $R_{e}\circ
\phi_{i}\neq0$ ist (so ein $i$ existiert, da $R_{e}\neq0$ ist, und da
$\phi_{1}\oplus\phi_{2}\oplus...\oplus\phi_{m}$ ein Isomorphismus ist). Dann
ist $R_{e}\circ\phi_{i}:H_{i}^{a_{i}}\rightarrow E$ ein von $0$ verschiedener
$H$-Linksmodulhomomorphismus. Da $H_{i}$ und $E$ einfache $H$-Linksmoduln
sind, und $E=E^{1}$ ist, folgt jetzt aus Satz 5.4. \textbf{4)}, da\ss \ $H_{i}%
\cong E$ ist.

\textbf{b)} Wir werden jetzt zeigen, da\ss \ f\"{u}r jeden $H$%
-Linksmodulhomomorphismus $\rho:H\rightarrow E$ gilt: $\rho=\rho\circ\phi
_{i}\circ\pi_{i}$ (wobei das $i$ wie in \textbf{a)} definiert ist).

\textit{Beweis:} Wir wollen zuerst beweisen, da\ss \ f\"{u}r jedes
$j\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ mit $j\neq i$ gilt: $\rho\circ\phi_{j}=0.$

In der Tat nehmen wir an, es g\"{a}be ein $j\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $
mit $j\neq i$ und $\rho\circ\phi_{j}\neq0.$ Dann ist $\rho\circ\phi_{j}%
:H_{j}^{a_{j}}\rightarrow E$ ein von $0$ verschiedener $H$%
-Linksmodulhomomorphismus. Da $H_{j}$ und $E$ einfache $H$-Linksmoduln sind,
und $E=E^{1}$ ist, folgt hieraus nach Satz 5.4. \textbf{4)}, da\ss \ $H_{j}%
\cong E$ ist. Damit ist $H_{i}\cong E\cong H_{j}.$ Doch aus $j\neq i$ folgt
$H_{i}\ncong H_{j}$ (laut Bedingung des Satzes), was einen Widerspruch
darstellt. Daher war unsere Annahme falsch, d. h. es gibt kein $j\in\left\{
1,2,...,m\right\}  $ mit $j\neq i$ und $\rho\circ\phi_{j}\neq0.$ Somit ist
gezeigt, da\ss \ jedes $j\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ mit $j\neq i$ die
Gleichung $\rho\circ\phi_{j}=0$ erf\"{u}llt. Nun ist $\operatorname*{id}%
_{H}=\sum\limits_{j\in\left\{  1,2,...,m\right\}  }\phi_{j}\circ\pi_{j}.$
Somit ist%
\[
\rho=\rho\circ\operatorname*{id}\nolimits_{H}=\rho\circ\sum\limits_{j\in
\left\{  1,2,...,m\right\}  }\phi_{j}\circ\pi_{j}=\sum\limits_{j\in\left\{
1,2,...,m\right\}  }\underbrace{\rho\circ\phi_{j}}_{=0\text{ f\"{u}r alle
}j\neq i}\circ\pi_{j}=\rho\circ\phi_{i}\circ\pi_{i},
\]
was zu beweisen war.

\textbf{c)} Aus \textbf{b)} folgt, da\ss
\[
\operatorname*{Hom}\nolimits_{_{H}\mathcal{M}}\left(  H,E\right)
\rightarrow\operatorname*{Hom}\nolimits_{_{H}\mathcal{M}}\left(  H_{i}^{a_{i}%
},E\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rho\mapsto\rho\circ\phi_{i}%
\]
und%
\[
\operatorname*{Hom}\nolimits_{_{H}\mathcal{M}}\left(  H_{i}^{a_{i}},E\right)
\rightarrow\operatorname*{Hom}\nolimits_{_{H}\mathcal{M}}\left(  H,E\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rho\mapsto\rho\circ\pi_{i}%
\]
zueinander inverse Vektorraumisomorphismen sind. Daher ist
$\operatorname*{Hom}\nolimits_{_{H}\mathcal{M}}\left(  H,E\right)
\cong\operatorname*{Hom}\nolimits_{_{H}\mathcal{M}}\left(  H_{i}^{a_{i}%
},E\right)  ,$ und folglich%
\begin{align*}
\dim\left(  \operatorname*{Hom}\nolimits_{_{H}\mathcal{M}}\left(  H,E\right)
\right)   &  =\dim\left(  \operatorname*{Hom}\nolimits_{_{H}\mathcal{M}%
}\left(  H_{i}^{a_{i}},E\right)  \right)  =\dim\left(  \operatorname*{Hom}%
\nolimits_{_{H}\mathcal{M}}\left(  E^{a_{i}},E\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }H_{i}\cong E\right) \\
&  =\dim\left(  \left(  \operatorname*{Hom}\nolimits_{_{H}\mathcal{M}}\left(
E,E\right)  \right)  ^{a_{i}}\right)  =a_{i}\cdot\dim\left(
\operatorname*{Hom}\nolimits_{_{H}\mathcal{M}}\left(  E,E\right)  \right)  ,
\end{align*}
also $a_{i}=\dfrac{\dim\left(  \operatorname*{Hom}_{_{H}\mathcal{M}}\left(
H,E\right)  \right)  }{\dim\left(  \operatorname*{Hom}_{_{H}\mathcal{M}%
}\left(  E,E\right)  \right)  }.$ (Es sei angemerkt, da\ss \ $\dim\left(
\operatorname*{Hom}_{_{H}\mathcal{M}}\left(  E,E\right)  \right)  >0$ ist, da
$\operatorname*{id}_{E}\in\operatorname*{Hom}_{_{H}\mathcal{M}}\left(
E,E\right)  $.)

\textbf{d)} Wir werden jetzt zeigen, da\ss \ f\"{u}r jeden $H$%
-Linksmodulhomomorphismus $\tau:E\rightarrow H$ gilt: $\tau=\phi_{i}\circ
\pi_{i}\circ\tau$ (wobei das $i$ wie in \textbf{a)} definiert ist).

\textit{Beweis:} Wir wollen zuerst beweisen, da\ss \ f\"{u}r jedes
$j\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ mit $j\neq i$ gilt: $\pi_{j}\circ\tau=0.$

In der Tat nehmen wir an, es g\"{a}be ein $j\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $
mit $j\neq i$ und $\pi_{j}\circ\tau\neq0.$ Dann ist $\pi_{j}\circ
\tau:E\rightarrow H_{j}^{a_{j}}$ ein von $0$ verschiedener $H$%
-Linksmodulhomomorphismus. Da $H_{j}$ und $E$ einfache $H$-Linksmoduln sind,
und $E=E^{1}$ ist, folgt hieraus nach Satz 5.4. \textbf{4)}, da\ss \ $H_{j}%
\cong E$ ist. Damit ist $H_{i}\cong E\cong H_{j}.$ Doch aus $j\neq i$ folgt
$H_{i}\ncong H_{j}$ (laut Bedingung des Satzes), was einen Widerspruch
darstellt. Daher war unsere Annahme falsch, d. h. es gibt kein $j\in\left\{
1,2,...,m\right\}  $ mit $j\neq i$ und $\pi_{j}\circ\tau\neq0.$ Somit ist
gezeigt, da\ss \ jedes $j\in\left\{  1,2,...,m\right\}  $ mit $j\neq i$ die
Gleichung $\pi_{j}\circ\tau=0$ erf\"{u}llt. Nun ist $\operatorname*{id}%
_{H}=\sum\limits_{j\in\left\{  1,2,...,m\right\}  }\phi_{j}\circ\pi_{j}.$
Somit ist%
\[
\tau=\operatorname*{id}\nolimits_{H}\circ\tau=\sum\limits_{j\in\left\{
1,2,...,m\right\}  }\phi_{j}\circ\pi_{j}\circ\tau=\sum\limits_{j\in\left\{
1,2,...,m\right\}  }\phi_{j}\circ\underbrace{\pi_{j}\circ\tau}_{=0\text{
f\"{u}r alle }j\neq i}=\phi_{i}\circ\pi_{i}\circ\tau,
\]
was zu beweisen war.

\textbf{e)} Aus \textbf{d)} folgt, da\ss
\[
\operatorname*{Hom}\nolimits_{_{H}\mathcal{M}}\left(  E,H\right)
\rightarrow\operatorname*{Hom}\nolimits_{_{H}\mathcal{M}}\left(
E,H_{i}^{a_{i}}\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \tau\mapsto\pi_{i}\circ\tau
\]
und%
\[
\operatorname*{Hom}\nolimits_{_{H}\mathcal{M}}\left(  E,H_{i}^{a_{i}}\right)
\rightarrow\operatorname*{Hom}\nolimits_{_{H}\mathcal{M}}\left(  E,H\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \tau\mapsto\phi_{i}\circ\tau
\]
zueinander inverse Vektorraumisomorphismen sind. Daher ist
$\operatorname*{Hom}\nolimits_{_{H}\mathcal{M}}\left(  E,H\right)
\cong\operatorname*{Hom}\nolimits_{_{H}\mathcal{M}}\left(  E,H_{i}^{a_{i}%
}\right)  ,$ und folglich%
\begin{align*}
\dim\left(  \operatorname*{Hom}\nolimits_{_{H}\mathcal{M}}\left(  E,H\right)
\right)   &  =\dim\left(  \operatorname*{Hom}\nolimits_{_{H}\mathcal{M}%
}\left(  E,H_{i}^{a_{i}}\right)  \right)  =\dim\left(  \operatorname*{Hom}%
\nolimits_{_{H}\mathcal{M}}\left(  E,E^{a_{i}}\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }H_{i}\cong E\right) \\
&  =\dim\left(  \left(  \operatorname*{Hom}\nolimits_{_{H}\mathcal{M}}\left(
E,E\right)  \right)  ^{a_{i}}\right)  =a_{i}\cdot\dim\left(
\operatorname*{Hom}\nolimits_{_{H}\mathcal{M}}\left(  E,E\right)  \right)  ,
\end{align*}
also $a_{i}=\dfrac{\dim\left(  \operatorname*{Hom}_{_{H}\mathcal{M}}\left(
E,H\right)  \right)  }{\dim\left(  \operatorname*{Hom}_{_{H}\mathcal{M}%
}\left(  E,E\right)  \right)  }.$ (Wir benutzen hier wieder $\dim\left(
\operatorname*{Hom}_{_{H}\mathcal{M}}\left(  E,E\right)  \right)  >0.$)

Damit ist Satz 5.8. bewiesen.

\bigskip

\fbox{\textbf{Der Hopfalgebrenfall}}

[formeln]

[klassenfunktionen]

\bigskip

\begin{center}
\fbox{\textbf{IV. Kapitel: Drinfeld-Doppel und Bosonisierung}}

\fbox{\textbf{1. }$2$\textbf{-Cozykeltwist}}
\end{center}

\textbf{Definition:} Sei $H$ eine Bialgebra, und sei $\sigma:H\times
H\rightarrow k$ eine $k$-bilineare Abbildung.

\textbf{1)} Dann hei\ss t $\sigma$ ein $2$\textit{-Cozyklus}, wenn f\"{u}r
alle $x,y,z\in H$ gilt: $\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(
1\right)  }\right)  \sigma\left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)
},z\right)  =\sigma\left(  y_{\left(  1\right)  },z_{\left(  1\right)
}\right)  \sigma\left(  x,y_{\left(  2\right)  }z_{\left(  2\right)  }\right)
.$

\textbf{2)} Ferner hei\ss t $\sigma$ ein \textit{normalisierter }%
$2$\textit{-Cozyklus}, wenn $\sigma$ ein $2$-Cozyklus ist und $\sigma\left(
x,1\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1=\sigma\left(  1,x\right)  $
f\"{u}r alle $x\in H$ gilt.

Eine \textit{Bemerkung zur Notation:} Wir haben gerade definiert, wann eine
$k$-bilineare Abbildung $\sigma:H\times H\rightarrow k$ ein $2$-Cozyklus
hei\ss t. Jeder $k$-bilinearen Abbildung $\sigma:H\times H\rightarrow k$
entspricht (aufgrund der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes)
eindeutig eine $k$-lineare Abbildung $\widetilde{\sigma}:H\otimes H\rightarrow
k$ mit $\sigma=\widetilde{\sigma}\circ\kappa,$ wobei $\kappa:H\times
H\rightarrow H\otimes H$ die universelle $k$-tensorielle Abbildung ist, und
umgekehrt ist f\"{u}r jede $k$-lineare Abbildung $\sigma_{1}:H\otimes
H\rightarrow k$ die Abbildung $\sigma_{1}\circ\kappa:H\times H\rightarrow k$
eine $k$-bilineare Abbildung. Es gibt also eine kanonische Bijektion zwischen
den $k$-bilinearen Abbildungen $H\times H\rightarrow k$ und den $k$-linearen
Abbildungen $H\otimes H\rightarrow k.$ Deshalb k\"{o}nnen wir den Begriff
eines $2$-Cozyklus auf $k$-lineare Abbildungen $H\otimes H\rightarrow k$
\"{u}bertragen, indem wir eine $k$-lineare Abbildung $\sigma_{1}:H\otimes
H\rightarrow k$ genau dann als einen $2$\textit{-Cozyklus} bezeichnen, wenn
die davon induzierte Abbildung $\sigma_{1}\circ\kappa:H\times H\rightarrow k$
ein $2$-Cozyklus ist. Wir werden lasch mit Notationen umgehen und sowohl die
$k$-lineare Abbildung $\sigma_{1}:H\otimes H\rightarrow k$ selber, als auch
die Abbildung $\sigma_{1}\circ\kappa:H\times H\rightarrow k$ beide mit
$\sigma_{1}$ bezeichnen. Insofern ist $\sigma_{1}\left(  x\otimes y\right)  $
ein Synonym von $\sigma_{1}\left(  x,y\right)  $, wobei $x,y\in H$ sind.

Wir wollen erst einmal motivieren, woher der Begriff eines $2$-Cozyklus
herkommt, und was er eigentlich bedeutet. Dazu betrachten wir den Begriff
eines $2$-Cozyklus auf Gruppen statt auf Hopfalgebren:

\textbf{Definition:} Sei $H$ eine Gruppe, und sei $N$ ein Normalteiler von
$H$, der in $H$ zentral ist, und sei $\sigma:H\times H\rightarrow N$ eine
beliebige Abbildung (nicht unbedingt ein Gruppenhomomorphismus).

\textbf{1)} Dann hei\ss t $\sigma$ ein $2$\textit{-Cozyklus}, wenn f\"{u}r
alle $x,y,z\in H$ gilt: $\sigma\left(  x,y\right)  \sigma\left(  xy,z\right)
=\sigma\left(  y,z\right)  \sigma\left(  x,yz\right)  .$

\textbf{2)} Ferner hei\ss t $\sigma$ ein \textit{normalisierter }%
$2$\textit{-Cozyklus}, wenn $\sigma$ ein $2$-Cozyklus ist und $\sigma\left(
x,1\right)  =1=\sigma\left(  1,x\right)  $ f\"{u}r alle $x\in H$ gilt.

\textbf{1.1. Bemerkung:} \textbf{1)} Seien $G$ und $H$ Gruppen, und sei
$\pi:G\rightarrow H$ ein surjektiver
Gruppenhomomorphismus\footnote{\textit{Bemerkung am Rande:} Wir h\"{a}tten
hier auch "Epimorphismus von Gruppen" statt "surjektiver
Gruppenhomomorphismus" schreiben k\"{o}nnen, denn ein Homomorphismus von
Gruppen ist genau dann surjektiv, wenn er ein Epimorphismus von Gruppen ist.
Dies zu beweisen ist jedoch nicht einfach!}. Sei $N=\operatorname*{Ker}\pi.$
Angenommen, $N$ sei zentral in $G.$ Mit anderen Worten: Sei%
\[
\xymatrix{
1 \ar[r] & N \ar[r] & G \ar[r]^{\pi} & H \ar[r] & 1
}
\]
eine exakte Folge von Gruppen mit $N$ zentral in $G.$

W\"{a}hle eine Abbildung von Mengen\footnote{Es mu\ss \ nicht notwendigerweise
ein Gruppenhomomorphismus sein!} $j:H\rightarrow G$ mit $\operatorname*{id}%
_{H}=\pi j$, also eine Abbildung $j:H\rightarrow G$, f\"{u}r welche das
Diagramm%
\[
\xymatrix{
& H \ar@{.>}[dl]_{j} \ar[d]^= \\
G \ar@{->>}[r]_{\pi} & H
}
\]
kommutiert (das hei\ss t, eine Wahl von Repr\"{a}sentanten von $H$).

Definiere eine Abbildung $\sigma:H\times H\rightarrow N$ durch $\sigma\left(
x,y\right)  =j\left(  x\right)  j\left(  y\right)  j\left(  xy\right)  ^{-1}$
f\"{u}r alle $x,y\in H$ (dabei ist tats\"{a}chlich $\sigma\left(  x,y\right)
=j\left(  x\right)  j\left(  y\right)  j\left(  xy\right)  ^{-1}\in N$ f\"{u}r
alle $x,y\in H,$ denn%
\[
\pi\left(  \sigma\left(  x,y\right)  \right)  =\pi\left(  j\left(  x\right)
j\left(  y\right)  j\left(  xy\right)  ^{-1}\right)  =\pi\left(  j\left(
x\right)  \right)  \pi\left(  j\left(  y\right)  \right)  \left(  \pi\left(
j\left(  xy\right)  \right)  \right)  ^{-1}=xy\left(  xy\right)  ^{-1}=1
\]
).

\textbf{a)} Dann ist $\sigma$ ein $2$-Cozyklus, denn f\"{u}r beliebige
$x,y,z\in H$ gilt%
\[
\sigma\left(  x,y\right)  \sigma\left(  xy,z\right)  =\sigma\left(
y,z\right)  \sigma\left(  x,yz\right)  .
\]


\textit{Beweis:} Dies folgt aus%
\begin{align*}
\sigma\left(  x,y\right)  \sigma\left(  xy,z\right)   &  =j\left(  x\right)
j\left(  y\right)  j\left(  xy\right)  ^{-1}j\left(  xy\right)  j\left(
z\right)  j\left(  xyz\right)  ^{-1}\\
&  =j\left(  x\right)  j\left(  y\right)  j\left(  z\right)  j\left(
xyz\right)  ^{-1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\\
\sigma\left(  y,z\right)  \sigma\left(  x,yz\right)   &  =\sigma\left(
y,z\right)  j\left(  x\right)  j\left(  yz\right)  j\left(  xyz\right)
^{-1}\\
&  =j\left(  x\right)  \sigma\left(  y,z\right)  j\left(  yz\right)  j\left(
xyz\right)  ^{-1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }\sigma\left(
y,z\right)  \in\operatorname*{Ker}\pi=N\text{, und }N\text{ zentral
ist}\right) \\
&  =j\left(  x\right)  j\left(  y\right)  j\left(  z\right)  j\left(
yz\right)  ^{-1}j\left(  yz\right)  j\left(  xyz\right)  ^{-1}=j\left(
x\right)  j\left(  y\right)  j\left(  z\right)  j\left(  xyz\right)  ^{-1}.
\end{align*}


\textbf{b)} Ist $j\left(  1\right)  =1$ \ \ \ \ \footnote{Man kann
nat\"{u}rlich stets $j$ so w\"{a}hlen, da\ss \ $j\left(  1\right)  =1$ ist.},
dann ist $\sigma$ ein normalisierter $2$-Cozyklus, denn f\"{u}r jedes $x\in H$
ist $\sigma\left(  x,1\right)  =1=\sigma\left(  1,x\right)  $ (wie man leicht sieht).

\textbf{2)} Sei $N$ eine abelsche Gruppe, sei $H$ eine Gruppe, und sei
$\sigma:H\times H\rightarrow N$ ein normalisierter $2$-Cozyklus.

Wir definieren eine Gruppe $N\times_{\sigma}H$ als die Menge $N\times H$ mit
folgender Gruppenverkn\"{u}pfung:%
\[
\left(  n,h\right)  \left(  n^{\prime},h^{\prime}\right)  =\left(  nn^{\prime
}\sigma\left(  h,h^{\prime}\right)  ,hh^{\prime}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }n,n^{\prime}\in N\text{ und
}h,h^{\prime}\in H.
\]
Dann ist $N\times_{\sigma}H$ eine Gruppe, und die Folge%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
1 \ar[r] & N \ar[r]^-{n\mapsto\left(n,1\right)} & N\times_{\sigma} H \ar[r]^-{\left(n,h\right)\mapsto h} & H \ar[r] & 1
}
\]
ist exakt, und $N$ ist zentral in $N\times_{\sigma}H$ (via der Einbettung
$N\rightarrow N\times_{\sigma}H,$ $n\mapsto\left(  n,1\right)  $).

\textit{Beweis:} Der Beweis ist reine Rechnung. Wir wollen hier exemplarisch
nur nachpr\"{u}fen, da\ss \ es ein Inverses in $N\times_{\sigma}H$ gibt. In
der Tat sei $\left(  n,h\right)  \in N\times_{\sigma}H.$ Dann ist
\[
\left(  n,h\right)  \left(  n^{-1}\sigma\left(  h,h^{-1}\right)  ^{-1}%
,h^{-1}\right)  =\left(  nn^{-1}\sigma\left(  h,h^{-1}\right)  ^{-1}%
\sigma\left(  h,h^{-1}\right)  ,hh^{-1}\right)  =\left(  1\cdot1,1\right)
=\left(  1,1\right)
\]
die Einheit von $N\times_{\sigma}H,$ und somit hat $\left(  n,h\right)  $ ein
Inverses. Alle anderen zu beweisenden Eigenschaften sind nicht viel schwieriger.

\textbf{3)} In der Situation von \textbf{1)} (so eine Situation hei\ss t
\textit{zentrale Erweiterung}) gilt: Die Abbildung%
\[
N\times_{\sigma}H\rightarrow G,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  n,h\right)  \mapsto
nj\left(  h\right)
\]
ist ein Gruppenisomorphismus, wobei $j$ und $\sigma$ wie in \textbf{1)}
\textbf{b)} sind.

\textit{Beweis:} Diese Abbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, denn f\"{u}r
alle $\left(  n,h\right)  \in N\times_{\sigma}H$ und $\left(  n^{\prime
},h^{\prime}\right)  \in N\times_{\sigma}H$ bildet sie%
\[
\left(  n,h\right)  \left(  n^{\prime},h^{\prime}\right)  =\left(  nn^{\prime
}\sigma\left(  h,h^{\prime}\right)  ,hh^{\prime}\right)
\]
ab auf%
\[
nn^{\prime}\sigma\left(  h,h^{\prime}\right)  j\left(  hh^{\prime}\right)
=nn^{\prime}j\left(  h\right)  j\left(  h^{\prime}\right)  j\left(
hh^{\prime}\right)  ^{-1}j\left(  hh^{\prime}\right)  =nn^{\prime}j\left(
h\right)  j\left(  h^{\prime}\right)  =nj\left(  h\right)  n^{\prime}j\left(
h^{\prime}\right)
\]
(denn $n^{\prime}\in N,$ und $N$ ist zentral in $G,$ also $n^{\prime}j\left(
h\right)  =j\left(  h\right)  n^{\prime}$). Ferner ist diese Abbildung
surjektiv (denn f\"{u}r jedes $x\in G$ ist $x=\underbrace{x\left(  j\left(
\pi\left(  x\right)  \right)  \right)  ^{-1}}_{\in N}j\left(  \underbrace{\pi
\left(  x\right)  }_{\in H}\right)  $) und injektiv (denn f\"{u}r je zwei
$\left(  n,h\right)  \in N\times H$ und $\left(  n^{\prime},h^{\prime}\right)
\in N\times H$ mit $nj\left(  h\right)  =n^{\prime}j\left(  h^{\prime}\right)
$ gilt $\left(  n,h\right)  =\left(  n^{\prime},h^{\prime}\right)
$\ \ \ \ \footnote{\textit{Beweis:} Aus $nj\left(  h\right)  =n^{\prime
}j\left(  h^{\prime}\right)  $ folgt $\pi\left(  nj\left(  h\right)  \right)
=\pi\left(  n^{\prime}j\left(  h^{\prime}\right)  \right)  $. Doch wegen
$\pi\left(  nj\left(  h\right)  \right)  =\underbrace{\pi\left(  n\right)
}_{=1\text{ (da }n\in N\text{)}}\underbrace{\pi\left(  j\left(  h\right)
\right)  }_{=h}=h$ und $\pi\left(  n^{\prime}j\left(  h^{\prime}\right)
\right)  =h^{\prime}$ (analog) wird dies zu $h=h^{\prime}$. Daher vereinfacht
sich $nj\left(  h\right)  =n^{\prime}j\left(  h^{\prime}\right)  $ zu
$nj\left(  h^{\prime}\right)  =n^{\prime}j\left(  h^{\prime}\right)  $, also
zu $n=n^{\prime}$. Somit gilt $\left(  n,h\right)  =\left(  n^{\prime
},h^{\prime}\right)  $, was zu beweisen war.}). Diese Abbildung ist also ein Gruppenisomorphismus.

Kommen wir nun jedoch zur\"{u}ck zu Hopfalgebren:

\textbf{4)} Sei $H$ eine Hopfalgebra. Sei $A$ eine $H$-Rechtscomodulalgebra
mit $H$-Rechtscomodulstruktur $\delta:A\rightarrow A\otimes H.$ Angenommen,
$A^{\operatorname*{Co}H}=k\cdot1.$

Wir nehmen ferner an, $A$ sei $H$\textit{-cleft}, d. h. es gebe eine $\ast
$-invertierbare $H$-rechtscolineare Abbildung $j:H\rightarrow A$ mit $\ast
$-Inversem $j^{\prime}.$

Sei eine Abbildung $\sigma:H\times H\rightarrow k$ definiert durch%
\[
\sigma\left(  x,y\right)  =j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  j\left(
y_{\left(  1\right)  }\right)  j^{\prime}\left(  x_{\left(  2\right)
}y_{\left(  2\right)  }\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x,y\in
H.
\]
(Strenggenommen ist $\sigma$ eine Abbildung von $H\times H$ nach
$A^{\operatorname*{Co}H},$ aber wegen $A^{\operatorname*{Co}H}=k\cdot1$ wird
dieses $A^{\operatorname*{Co}H}$ mit $k$ identifiziert, weshalb $\sigma$ zu
einer Abbildung von $H\times H$ nach $k$ wird.)

Dann ist $\sigma$ ein $2$-Cozyklus.

\textit{Beweis:} Wir wollen zuerst beweisen, da\ss \ f\"{u}r alle $x,y\in H$
gilt $\sigma\left(  x,y\right)  \in A^{\operatorname*{Co}H}$.

Zuerst ein Hilfsresultat: F\"{u}r alle $x\in H$ ist%
\[
\delta\left(  j^{\prime}\left(  x\right)  \right)  =j^{\prime}\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
.
\]
\textit{Beweis:} F\"{u}r jedes $x\in H$ ist%
\begin{align*}
&  \underbrace{\delta\left(  j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)
}_{\substack{=j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes x_{\left(
2\right)  },\\\text{denn }j\text{ ist }H\text{-rechtscolinear}}}\left(
j^{\prime}\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  \otimes S\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  \right)  =\left(  j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
\otimes x_{\left(  2\right)  }\right)  \left(  j^{\prime}\left(  x_{\left(
4\right)  }\right)  \otimes S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  \right) \\
&  =j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  j^{\prime}\left(  x_{\left(
4\right)  }\right)  \otimes\underbrace{x_{\left(  2\right)  }S\left(
x_{\left(  3\right)  }\right)  }_{=\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \cdot1}=j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  j^{\prime}\left(
x_{\left(  3\right)  }\right)  \otimes\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \cdot1\\
&  =j\left(  x_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  j^{\prime}\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)
\otimes1=j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  j^{\prime}\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  \otimes1=\varepsilon\left(  x\right)  1\otimes1
\end{align*}
und ebenso%
\[
\left(  j^{\prime}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes S\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \delta\left(  j\left(  x_{\left(
3\right)  }\right)  \right)  =\varepsilon\left(  x\right)  1\otimes1.
\]
Die Abbildung $H\rightarrow A\otimes H,$ $x\mapsto j^{\prime}\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
,$ ist somit $\ast$-invers zur Abbildung $\delta j$.

Andererseits ist $\delta\left(  j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
\right)  \delta\left(  j^{\prime}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
\right)  =\delta\left(  j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  j^{\prime
}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  =\delta\left(  \varepsilon
\left(  x\right)  1\otimes1\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  1\otimes1$
und ebenso $\delta\left(  j^{\prime}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
\right)  \delta\left(  j\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
=\varepsilon\left(  x\right)  1\otimes1.$ Die Abbildung $\delta j^{\prime}$
ist also $\ast$-invers zur Abbildung $\delta j$.

In $A\otimes H$ gilt also $\left(  \delta j^{\prime}\right)  \left(  x\right)
=j^{\prime}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes S\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  $ f\"{u}r alle $x\in H$ (denn die Abbildungen
$H\rightarrow A\otimes H,$ $x\mapsto j^{\prime}\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \otimes S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  $ und $\delta
j^{\prime}$ sind beide $\ast$-invers zu $\delta j$ und somit identisch). Das
hei\ss t, $\delta\left(  j^{\prime}\left(  x\right)  \right)  =j^{\prime
}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes S\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  $ f\"{u}r alle $x\in H$.

F\"{u}r alle $x,y\in H$ gilt nun%
\begin{align*}
\delta\left(  \sigma\left(  x,y\right)  \right)   &  =\delta\left(  j\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  j\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)
j^{\prime}\left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
\\
&  =\underbrace{\delta\left(  j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)
}_{\substack{=j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes x_{\left(
2\right)  },\\\text{denn }j\text{ ist }H\text{-rechtscolinear}}%
}\underbrace{\delta\left(  j\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \right)
}_{\substack{=j\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes y_{\left(
2\right)  },\\\text{denn }j\text{ ist }H\text{-rechtscolinear}}}\delta\left(
j^{\prime}\left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
\\
&  =\left(  j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes x_{\left(
2\right)  }\right)  \left(  j\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes
y_{\left(  2\right)  }\right)  \underbrace{\delta\left(  j^{\prime}\left(
x_{\left(  3\right)  }y_{\left(  3\right)  }\right)  \right)  }%
_{\substack{=j^{\prime}\left(  \left(  x_{\left(  3\right)  }y_{\left(
3\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  \otimes S\left(  \left(
x_{\left(  3\right)  }y_{\left(  3\right)  }\right)  _{\left(  1\right)
}\right)  \\\text{nach dem Hilfsresultat}}}\\
&  =\left(  j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes x_{\left(
2\right)  }\right)  \left(  j\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes
y_{\left(  2\right)  }\right)  \left(  j^{\prime}\left(  x_{\left(  4\right)
}y_{\left(  4\right)  }\right)  \otimes S\left(  x_{\left(  3\right)
}y_{\left(  3\right)  }\right)  \right) \\
&  =j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  j\left(  y_{\left(  1\right)
}\right)  j^{\prime}\left(  x_{\left(  4\right)  }y_{\left(  4\right)
}\right)  \otimes x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }%
\underbrace{S\left(  x_{\left(  3\right)  }y_{\left(  3\right)  }\right)
}_{=S\left(  y_{\left(  3\right)  }\right)  S\left(  x_{\left(  3\right)
}\right)  }\\
&  =j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  j\left(  y_{\left(  1\right)
}\right)  j^{\prime}\left(  x_{\left(  4\right)  }y_{\left(  4\right)
}\right)  \otimes\underbrace{x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)
}S\left(  y_{\left(  3\right)  }\right)  S\left(  x_{\left(  3\right)
}\right)  }_{\substack{=x_{\left(  2\right)  }\varepsilon\left(  y_{\left(
2\right)  }\right)  \cdot1S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)
=\varepsilon\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)
}S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  \cdot1\\=\varepsilon\left(
y_{\left(  2\right)  }\right)  \varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \cdot1\cdot1=\varepsilon\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)
\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \cdot1}}\\
&  =j\left(  x_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  j\left(  y_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(
y_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  j^{\prime}\left(  x_{\left(  3\right)
}y_{\left(  3\right)  }\right)  \otimes1\\
&  =j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  j\left(  y_{\left(  1\right)
}\right)  j^{\prime}\left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)
}\right)  \otimes1=\sigma\left(  x,y\right)  \otimes1,
\end{align*}
also $\sigma\left(  x,y\right)  \in A^{\operatorname*{Co}H}.$

Da\ss \ $\sigma$ ein $2$-Cozyklus ist, ist leicht nachzupr\"{u}fen: F\"{u}r
alle $x,y,z\in H$ ist%
\begin{align*}
\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)  }\right)
\sigma\left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  },z\right)   &
=j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  j\left(  y_{\left(  1\right)
}\right)  \underbrace{j^{\prime}\left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(
2\right)  }\right)  j\left(  x_{\left(  3\right)  }y_{\left(  3\right)
}\right)  }_{=\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)
}\right)  }j\left(  z_{\left(  1\right)  }\right)  j^{\prime}\left(
x_{\left(  4\right)  }y_{\left(  4\right)  }z_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  j\left(  y_{\left(  1\right)
}\right)  j\left(  z_{\left(  1\right)  }\right)  j^{\prime}\left(  x_{\left(
2\right)  }y_{\left(  2\right)  }z_{\left(  2\right)  }\right)
\end{align*}
und%
\begin{align*}
\sigma\left(  y_{\left(  1\right)  },z_{\left(  1\right)  }\right)
\sigma\left(  x,y_{\left(  2\right)  }z_{\left(  2\right)  }\right)   &
=\underbrace{j\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  j\left(  z_{\left(
1\right)  }\right)  j^{\prime}\left(  y_{\left(  2\right)  }z_{\left(
2\right)  }\right)  }_{\substack{=\sigma\left(  y_{\left(  1\right)
},z_{\left(  1\right)  }\right)  \in A^{\operatorname*{Co}H}=k\cdot
1,\\\text{daher zentral und somit}\\\text{mit }j\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  \text{ vertauschbar}}}j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
j\left(  y_{\left(  3\right)  }z_{\left(  3\right)  }\right)  j^{\prime
}\left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  4\right)  }z_{\left(  4\right)
}\right) \\
&  =j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  j\left(  y_{\left(  1\right)
}\right)  j\left(  z_{\left(  1\right)  }\right)  \underbrace{j^{\prime
}\left(  y_{\left(  2\right)  }z_{\left(  2\right)  }\right)  j\left(
y_{\left(  3\right)  }z_{\left(  3\right)  }\right)  }_{=\varepsilon\left(
y_{\left(  2\right)  }z_{\left(  2\right)  }\right)  }j^{\prime}\left(
x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  4\right)  }z_{\left(  4\right)  }\right) \\
&  =j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  j\left(  y_{\left(  1\right)
}\right)  j\left(  z_{\left(  1\right)  }\right)  j^{\prime}\left(  x_{\left(
2\right)  }y_{\left(  2\right)  }z_{\left(  2\right)  }\right)  ,
\end{align*}
also $\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)  }\right)
\sigma\left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  },z\right)
=\sigma\left(  y_{\left(  1\right)  },z_{\left(  1\right)  }\right)
\sigma\left(  x,y_{\left(  2\right)  }z_{\left(  2\right)  }\right)  ,$ und
somit ist $\sigma$ ein $2$-Cozyklus.

\footnote{Ich habe die Reihenfolge der Beispiele \textbf{5)} und \textbf{6)}
umgekehrt, weil sie so verst\"{a}ndlicher sind.}\textbf{6)} Sei $H$ eine
Hopfalgebra, und sei $\sigma:H\times H\rightarrow k$ ein normalisierter
$2$-Cozyklus. Wir definieren eine $H$-Rechtscomodulalgebra $k\sharp_{\sigma}H$
wie folgt:

Als $H$-Rechtscomodul sei $k\sharp_{\sigma}H$ identisch mit $k\otimes H$ (das
hei\ss t, sowohl die Vektorraumstruktur, als auch die $H$%
-Rechtscomodulstruktur auf $k\sharp_{\sigma}H$ sollen einfach mit den
entsprechenden Strukturen auf $k\otimes H$ identisch sein\footnote{Mit anderen
Worten: Als Vektorraum soll $k\sharp_{\sigma}H=k\otimes H$ sein, und die
$H$-Rechtscomodulstruktur auf $k\sharp_{\sigma}H$ werde durch%
\[
k\sharp_{\sigma}H\rightarrow k\sharp_{\sigma}H\otimes
H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \alpha\sharp x\mapsto\alpha\sharp x_{\left(  1\right)
}\otimes x_{\left(  2\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }%
\alpha\in k\text{ und }x\in H
\]
definiert.
\par
Dabei verwenden wir die Notation $\lambda\sharp x$ (wobei $\lambda\in k$ und
$x\in H$) einfach als Synonym f\"{u}r $\lambda\otimes x.$}).\footnote{Eine
\textit{Anmerkung} am Rande: Als $H$-Rechtscomodul ist $k\otimes H\cong H$,
also $k\sharp_{\sigma}H\cong H$ (als $H$-Rechtscomodul). Manchem Leser stellt
sich deshalb die Frage, warum wir von $k\otimes H$ reden und nicht einfach von
$H$. Dies liegt daran, da\ss \ man diese Konstruktion verallgemeinern kann,
und bei der Verallgemeinerung $k$ durch etwas gr\"{o}\ss eres ersetzt wird.
(Diese Verallgemeinerung ist der Begriff der "crossed product algebra".)} Die
$k$-Algebrastruktur auf $k\sharp_{\sigma}H$ sei durch%
\[
\left(  \alpha\sharp x\right)  \left(  \beta\sharp y\right)  =\alpha
\beta\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)  }\right)
\sharp x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }\alpha,\beta\in k\text{ und }x,y\in H
\]
festgelegt, wobei die Notation $\lambda\sharp x$ (wobei $\lambda\in k$ und
$x\in H$) einfach das Element $\lambda\otimes x$ von $k\sharp_{\sigma}H$
bezeichnet (wir schreiben nur deshalb $\lambda\sharp x$ statt $\lambda\otimes
x$, weil wir unter $\left(  \alpha\sharp x\right)  \left(  \beta\sharp
y\right)  $ das Produkt der Elemente $\alpha\sharp x$ und $\beta\sharp y$ in
der $k$-Algebra $k\sharp_{\sigma}H$ verstehen wollen, w\"{a}hrend $\left(
\alpha\otimes x\right)  \left(  \beta\otimes y\right)  $ das Produkt dieser
Elemente in der $k$-Algebra $k\otimes H$ bezeichnet, und diese beiden Produkte
ja im Allgemeinen verschieden sind).\footnote{\textit{Bemerkung:} Da
$k\sharp_{\sigma}H=k\otimes H\cong H$ als $k$-Vektorraum (und sogar als
$H$-Rechtscomodul) ist, hat jedes Element von $k\sharp_{\sigma}H$ eine
eindeutige Darstellung in der Form $1\sharp x$ mit $x\in H$. Deshalb
h\"{a}tten wir die $k$-Algebrastruktur auf $k\sharp_{\sigma}H$ genauso gut
durch%
\[
\left(  1\sharp x\right)  \left(  1\sharp y\right)  =\sigma\left(  x_{\left(
1\right)  },y_{\left(  1\right)  }\right)  \sharp x_{\left(  2\right)
}y_{\left(  2\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x,y\in H
\]
statt%
\[
\left(  \alpha\sharp x\right)  \left(  \beta\sharp y\right)  =\alpha
\beta\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)  }\right)
\sharp x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }\alpha,\beta\in k\text{ und }x,y\in H
\]
definieren k\"{o}nnen.}

\textit{Warnung:} Auch wenn wir gerade das Zeichen $\sharp$ verwenden, sollte
unsere $H$-Rechtscomodulalgebra $k\sharp_{\sigma}H$ nicht mit Smashprodukten
(wie in Kapitel I.3 eingef\"{u}hrt) verwechselt werden. Allerdings haben beide
Begriffe eine gemeinsame Verallgemeinerung (n\"{a}mlich den Begriff einer
"crossed product algebra"), was auch erkl\"{a}rt, warum f\"{u}r beide das
gleiche Zeichen $\sharp$ benutzt wird.

Wir m\"{u}ssen beweisen, da\ss \ das so definierte $k\sharp_{\sigma}H$
tats\"{a}chlich eine $H$-Rechtscomodulalgebra ist.

\textit{Beweis:} Die Multiplikation ist assoziativ, denn f\"{u}r alle
$x,y,z\in H$ ist%
\begin{align*}
\left(  \left(  1\sharp x\right)  \left(  1\sharp y\right)  \right)  \left(
1\sharp z\right)   &  =\left(  \sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(
1\right)  }\right)  \sharp x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)
}\right)  \left(  1\sharp z\right)  =\sigma\left(  x_{\left(  1\right)
},y_{\left(  1\right)  }\right)  \sigma\left(  x_{\left(  2\right)
}y_{\left(  2\right)  },z_{\left(  1\right)  }\right)  \sharp x_{\left(
3\right)  }y_{\left(  3\right)  }z_{\left(  2\right)  }\\
&  =\sigma\left(  y_{\left(  1\right)  },z_{\left(  1\right)  }\right)
\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  2\right)  }z_{\left(
2\right)  }\right)  \sharp x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  3\right)
}z_{\left(  3\right)  }%
\end{align*}
und%
\[
\left(  1\sharp x\right)  \left(  \left(  1\sharp y\right)  \left(  1\sharp
z\right)  \right)  =\left(  1\sharp x\right)  \left(  \sigma\left(  y_{\left(
1\right)  },z_{\left(  1\right)  }\right)  \sharp y_{\left(  2\right)
}z_{\left(  2\right)  }\right)  =\sigma\left(  y_{\left(  1\right)
},z_{\left(  1\right)  }\right)  \sigma\left(  x_{\left(  1\right)
},y_{\left(  2\right)  }z_{\left(  2\right)  }\right)  \sharp x_{\left(
2\right)  }y_{\left(  3\right)  }z_{\left(  3\right)  }.
\]
Das Element $1\sharp1$ ist $1$-Element dieser Multiplikation, denn f\"{u}r
jedes $y\in H$ ist%
\[
\left(  1\sharp1\right)  \left(  1\sharp y\right)  =\underbrace{\sigma\left(
1,y_{\left(  1\right)  }\right)  }_{=\varepsilon\left(  y_{\left(  1\right)
}\right)  }\sharp y_{\left(  2\right)  }=1\sharp\varepsilon\left(  y_{\left(
1\right)  }\right)  y_{\left(  2\right)  }=1\sharp y
\]
und analog $\left(  1\sharp y\right)  \left(  1\sharp1\right)  =1\sharp y.$
Somit ist gezeigt, da\ss \ $k\sharp_{\sigma}H$ eine $k$-Algebra ist.

Es bleibt nur noch zu zeigen, da\ss \ die $H$-Rechtscomodulstruktur auf
$k\sharp_{\sigma}H$ ein Algebrahomomorphismus ist. Dies ist nicht schwer und
wird dem Leser \"{u}berlassen.

\textbf{5)} Wir betrachten die Situation von \textbf{4)} unter der
Zusatzbedingung $j\left(  1\right)  =1$. Dann ist $\sigma:H\times H\rightarrow
k$ ein normalisierter $2$-Cozyklus. Somit ist laut \textbf{6)} eine
$H$-Rechtscomodulalgebra $k\sharp_{\sigma}H$ definiert.

\textbf{a)} Dann sind die $k$-linearen Abbildungen%
\[
k\sharp_{\sigma}H\rightarrow A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \alpha\otimes
x\mapsto\alpha j\left(  x\right)
\]
und%
\[
A\rightarrow k\sharp_{\sigma}H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto a_{\left(
0\right)  }j^{\prime}\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes a_{\left(
2\right)  }%
\]
(wobei wir $k$ wieder mit $A^{\operatorname*{Co}H}$ identifizieren) zwei
zueinander inverse Isomorphismen von $H$-Rechtscomodulalgebren.

\textbf{b)} Au\ss erdem ist $k\sharp_{\sigma}H$ eine $H$-clefte $H$%
-Rechtscomodulalgebra; die $H$-rechtscolineare Abbildung%
\[
H\rightarrow k\sharp_{\sigma}H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto1\sharp x
\]
ist $\ast$-invertierbar.

\textbf{c)} Die Abbildung $\sigma:H\otimes H\rightarrow k$ ist $\ast$-invertierbar.

\textit{Beweis (skizziert):} Zuerst wollen wir zeigen, da\ss \ $\sigma:H\times
H\rightarrow k$ ein normalisierter $2$-Cozyklus ist (unter der Bedingung
$j\left(  1\right)  =1$).

F\"{u}r jedes $x\in H$ ist%
\begin{align*}
\sigma\left(  x,1\right)   &  =j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
j\left(  1_{\left(  1\right)  }\right)  j^{\prime}\left(  x_{\left(  2\right)
}1_{\left(  2\right)  }\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach der
Definition von }\sigma\right) \\
&  =j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \underbrace{j\left(  1\right)
}_{=1}j^{\prime}\left(  x_{\left(  2\right)  }1\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }1_{\left(  1\right)  }\otimes
1_{\left(  2\right)  }=1\otimes1\right) \\
&  =j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  j^{\prime}\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  =\left(  j\ast j^{\prime}\right)  \left(  x\right)
=\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn
}j\text{ und }j^{\prime}\text{ sind }\ast\text{-invers}\right)
\end{align*}
und analog $\sigma\left(  1,x\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1$.
Folglich ist $\sigma$ ein normalisierter $2$-Cozyklus.

\textbf{a)} Erstmal ist die Abbildung%
\[
A\rightarrow k\sharp_{\sigma}H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto a_{\left(
0\right)  }j^{\prime}\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes a_{\left(
2\right)  }%
\]
wohldefiniert, d. h. sie geht wirklich nach $k\sharp_{\sigma}H$ (denn f\"{u}r
jedes $a\in A$ ist $a_{\left(  0\right)  }j^{\prime}\left(  a_{\left(
1\right)  }\right)  \in A^{\operatorname*{Co}H}=k\cdot1=k$ wegen%
\begin{align*}
\delta\left(  a_{\left(  0\right)  }j^{\prime}\left(  a_{\left(  1\right)
}\right)  \right)   &  =\underbrace{\delta\left(  a_{\left(  0\right)
}\right)  }_{=a_{\left(  0\right)  }\otimes a_{\left(  1\right)  }%
}\underbrace{\delta\left(  j^{\prime}\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)
\right)  }_{\substack{=j^{\prime}\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)
\otimes S\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  \\\text{nach dem
Hilfsresultat}\\\text{im Beweis von 1.2. \textbf{4)}}}}=\left(  a_{\left(
0\right)  }\otimes a_{\left(  1\right)  }\right)  \left(  j^{\prime}\left(
a_{\left(  3\right)  }\right)  \otimes S\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)
\right) \\
&  =a_{\left(  0\right)  }j^{\prime}\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)
\otimes a_{\left(  1\right)  }S\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)
=a_{\left(  0\right)  }j^{\prime}\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)
\otimes\underbrace{\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)
}S\left(  \left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)
}_{=\varepsilon\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  1}\\
&  =a_{\left(  0\right)  }j^{\prime}\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)
\otimes1
\end{align*}
).

Die beiden $k$-linearen Abbildungen%
\[
k\sharp_{\sigma}H\rightarrow A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \alpha\otimes
x\mapsto\alpha j\left(  x\right)
\]
und%
\[
A\rightarrow k\sharp_{\sigma}H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto a_{\left(
0\right)  }j^{\prime}\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes a_{\left(
2\right)  }%
\]
sind zueinander invers, denn%
\begin{align*}
\alpha\otimes x\mapsto\alpha j\left(  x\right)   &  \mapsto\alpha\left(
j\left(  x\right)  \right)  _{\left(  0\right)  }j^{\prime}\left(  \left(
j\left(  x\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \otimes\left(
j\left(  x\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }\\
&  =\alpha j\left(  x_{\left(  0\right)  }\right)  j^{\prime}\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes x_{\left(  2\right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn da }j\text{ eine }H\text{-rechtscolineare Abbildung ist,}\\
\text{gilt }\left(  j\left(  x\right)  \right)  _{\left(  0\right)  }%
\otimes\left(  j\left(  x\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }\otimes\left(
j\left(  x\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }=j\left(  x_{\left(
0\right)  }\right)  \otimes x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)
}%
\end{array}
\right) \\
&  =\alpha\underbrace{j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  j^{\prime
}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\varepsilon\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  \text{ (denn }j\ast j^{\prime}=\eta\varepsilon\text{)}%
}\otimes x_{\left(  3\right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn da die }H\text{-Comodulstruktur auf }H\text{ die Comultiplikation}%
\\
\text{ist, gilt }x_{\left(  0\right)  }\otimes x_{\left(  1\right)  }\otimes
x_{\left(  2\right)  }=x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)
}\otimes x_{\left(  3\right)  }%
\end{array}
\right) \\
&  =\alpha\otimes x
\end{align*}
und%
\[
a\mapsto a_{\left(  0\right)  }j^{\prime}\left(  a_{\left(  1\right)
}\right)  \otimes a_{\left(  2\right)  }\mapsto a_{\left(  0\right)
}\underbrace{j^{\prime}\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  j\left(
a_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\varepsilon\left(  a_{\left(  1\right)
}\right)  \text{ (denn }j^{\prime}\ast j=\eta\varepsilon\text{)}}=a.
\]
Diese beiden Abbildungen sind also Isomorphismen von Vektorr\"{a}umen. Der
Vektorraumisomorphismus%
\[
k\sharp_{\sigma}H\rightarrow A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \alpha\otimes
x\mapsto\alpha j\left(  x\right)
\]
ist offensichtlich auch ein $H$-Rechtscomodulhomomorphismus (denn $j$ ist
$H$-rechtscolinear) und ein Algebrahomomorphismus (denn f\"{u}r alle $x,y\in
H$ ist%
\[
j\left(  x\right)  j\left(  y\right)  =j\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
j\left(  y_{\left(  1\right)  }\right)  j^{\prime}\left(  x_{\left(  2\right)
}y_{\left(  2\right)  }\right)  j\left(  x_{\left(  3\right)  }y_{\left(
3\right)  }\right)  =\underbrace{\sigma\left(  x_{\left(  1\right)
},y_{\left(  1\right)  }\right)  }_{\in k}j\left(  x_{\left(  2\right)
}y_{\left(  2\right)  }\right)  =j\left(  xy\right)
\]
), und damit ein Isomorphismus von $H$-Rechtscomodulalgebren.

\textbf{c)} Die Abbildung $\sigma$ ist $\ast$-invertierbar mit $\sigma
^{-1}\left(  x,y\right)  =j\left(  x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)
}\right)  j^{\prime}\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)  j^{\prime}\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  $ f\"{u}r alle $x,y\in H.$ Dabei ist
$\sigma^{-1}\left(  x,y\right)  \in A^{\operatorname*{Co}H},$ denn%
\begin{align*}
\delta\left(  \sigma^{-1}\left(  x,y\right)  \right)   &  =\delta\left(
j\left(  x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  }\right)  j^{\prime
}\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)  j^{\prime}\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  =\underbrace{\delta\left(  j\left(  x_{\left(  1\right)
}y_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  }_{\substack{=j\left(  \left(
x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)
}\right)  \otimes\left(  x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  }\right)
_{\left(  2\right)  }\\\text{(denn }j\text{ ist }H\text{-rechtscolinear)}%
}}\delta\left(  j^{\prime}\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
\delta\left(  j^{\prime}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\delta\text{ ist ein
Algebrahomomorphismus}\right) \\
&  =\left(  j\left(  \left(  x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)
}\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \otimes\left(  x_{\left(  1\right)
}y_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  \delta\left(
j^{\prime}\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  \delta\left(
j^{\prime}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right) \\
&  =\left(  j\left(  x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  }\right)
\otimes x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }\right)  \delta\left(
j^{\prime}\left(  y_{\left(  3\right)  }\right)  \right)  \delta\left(
j^{\prime}\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  \right) \\
&  =\left(  j\left(  x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  }\right)
\otimes x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }\right)  \left(
j^{\prime}\left(  y_{\left(  4\right)  }\right)  \otimes S\left(  y_{\left(
3\right)  }\right)  \right)  \left(  j^{\prime}\left(  x_{\left(  4\right)
}\right)  \otimes S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  \right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{gem\"{a}\ss \ dem Hilfsresultat }%
\delta\left(  j^{\prime}\left(  x\right)  \right)  =j^{\prime}\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
\text{ f\"{u}r alle }x\in H\right) \\
&  =j\left(  x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  }\right)  j^{\prime
}\left(  y_{\left(  4\right)  }\right)  j^{\prime}\left(  x_{\left(  4\right)
}\right)  \otimes x_{\left(  2\right)  }\underbrace{y_{\left(  2\right)
}S\left(  y_{\left(  3\right)  }\right)  }_{=\varepsilon\left(  y_{\left(
2\right)  }\right)  }S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right) \\
&  =j\left(  x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  }\right)  j^{\prime
}\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)  j^{\prime}\left(  x_{\left(  4\right)
}\right)  \otimes\underbrace{x_{\left(  2\right)  }S\left(  x_{\left(
3\right)  }\right)  }_{=\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
}=j\left(  x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  }\right)  j^{\prime
}\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)  j^{\prime}\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \otimes1\\
&  =\sigma^{-1}\left(  x,y\right)  \otimes1.
\end{align*}


\textbf{b)} Da\ss
\[
H\rightarrow k\sharp_{\sigma}H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto1\sharp x
\]
eine $H$-rechtscolineare Abbildung ist, ist recht klar (denn als
$H$-Rechtscomodul ist $k\sharp_{\sigma}H=k\otimes H$). Wir wollen jetzt
beweisen, da\ss \ sie $\ast$-invertierbar ist (und somit $k\sharp_{\sigma}H$
$H$-cleft ist).

In der Tat bezeichnen wir die Abbildung%
\[
H\rightarrow k\sharp_{\sigma}H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto1\sharp x
\]
mit $\mathbf{P}_{1}$. Sei ferner $\mathbf{P}_{2}$ die Abbildung%
\[
H\rightarrow k\sharp_{\sigma}H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\mapsto1\sharp\sigma
^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  ,x_{\left(  3\right)
}\right)  S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  .
\]


Wir werden nun zeigen, da\ss \ $\mathbf{P}_{1}\ast\mathbf{P}_{2}%
=\eta\varepsilon$ und $\mathbf{P}_{2}\ast\mathbf{P}_{1}=\eta\varepsilon$ ist:

F\"{u}r jedes $x\in H$ ist%
\begin{align*}
&  \left(  \mathbf{P}_{1}\ast\mathbf{P}_{2}\right)  \left(  x\right) \\
&  =\underbrace{\mathbf{P}_{1}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
}_{=1\sharp x_{\left(  1\right)  }}\underbrace{\mathbf{P}_{2}\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=1\sharp\sigma^{-1}\left(  S\left(  \left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  ,\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(  3\right)  }\right)  S\left(  \left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  }\\
&  =\left(  1\sharp x_{\left(  1\right)  }\right)  \left(  1\sharp\sigma
^{-1}\left(  S\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(
2\right)  }\right)  ,\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(
3\right)  }\right)  S\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(
1\right)  }\right)  \right) \\
&  =\left(  1\sharp x_{\left(  1\right)  }\right)  \left(  1\sharp\sigma
^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  ,x_{\left(  4\right)
}\right)  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  ,x_{\left(
4\right)  }\right)  \left(  1\sharp x_{\left(  1\right)  }\right)  \left(
1\sharp S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)
,x_{\left(  4\right)  }\right)  \text{ ist ein Skalar,}\\
\text{da }\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)
,x_{\left(  4\right)  }\right)  \in A^{\operatorname*{Co}H}=k\cdot1
\end{array}
\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  ,x_{\left(
4\right)  }\right)  \sigma\left(  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  },\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
_{\left(  1\right)  }\right)  \sharp\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
_{\left(  2\right)  }\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
_{\left(  2\right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn nach der Definition der Multiplikation in }k\sharp_{\sigma}H\text{
ist}\\
\left(  1\sharp x_{\left(  1\right)  }\right)  \left(  1\sharp S\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  =\sigma\left(  \left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  },\left(  S\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \sharp\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\left(  S\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }%
\end{array}
\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  ,x_{\left(
4\right)  }\right)  \sigma\left(  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  },S\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  \sharp\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  _{\left(  2\right)  }S\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn da }S\text{ ein Anticoalgebrahomomorphismus ist, gilt}\\
\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  _{\left(  1\right)
}\otimes\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  _{\left(
2\right)  }=S\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(
2\right)  }\right)  \otimes S\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  }\right)
\end{array}
\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  ,x_{\left(
4\right)  }\right)  \sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },S\left(  x_{\left(
4\right)  }\right)  \right)  \sharp\underbrace{x_{\left(  2\right)  }S\left(
x_{\left(  3\right)  }\right)  }_{=\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \cdot1}\\
&  =\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  ,x_{\left(
4\right)  }\right)  \sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },S\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  \right)  \sharp1=\underbrace{\sigma\left(  x_{\left(
1\right)  },S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  \sigma
^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  ,x_{\left(  4\right)
}\right)  }_{\substack{=\varepsilon\left(  x\right)  \text{ (nach
Lemma}\\\text{1.2 \textbf{5)} weiter unten)}}}\sharp1\\
&  =\varepsilon\left(  x\right)  \sharp1=\left(  \eta\varepsilon\right)
\left(  x\right)  .
\end{align*}
Daher ist $\mathbf{P}_{1}\ast\mathbf{P}_{2}=\eta\varepsilon$. Andererseits
gilt%
\begin{align*}
&  \left(  \mathbf{P}_{2}\ast\mathbf{P}_{1}\right)  \left(  x\right) \\
&  =\underbrace{\mathbf{P}_{2}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
}_{=1\sharp\sigma^{-1}\left(  S\left(  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
_{\left(  2\right)  }\right)  ,\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
_{\left(  3\right)  }\right)  S\left(  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  }\right)  }\underbrace{\mathbf{P}_{1}\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  }_{=1\sharp x_{\left(  2\right)  }}\\
&  =\left(  1\sharp\sigma^{-1}\left(  S\left(  \left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  ,\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  _{\left(  3\right)  }\right)  S\left(  \left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \left(  1\sharp x_{\left(
2\right)  }\right) \\
&  =\left(  1\sharp\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
,x_{\left(  3\right)  }\right)  S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
\right)  \left(  1\sharp x_{\left(  4\right)  }\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  ,x_{\left(
3\right)  }\right)  \left(  1\sharp S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
\right)  \left(  1\sharp x_{\left(  4\right)  }\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
,x_{\left(  3\right)  }\right)  \text{ ist ein Skalar,}\\
\text{da }\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
,x_{\left(  3\right)  }\right)  \in A^{\operatorname*{Co}H}=k\cdot1
\end{array}
\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  ,x_{\left(
3\right)  }\right)  \sigma\left(  \left(  S\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  \right)  _{\left(  1\right)  },\left(  x_{\left(  4\right)
}\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \sharp\left(  S\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }\left(  x_{\left(  4\right)
}\right)  _{\left(  2\right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn nach der Definition der Multiplikation in }k\sharp_{\sigma}H\text{
ist}\\
\left(  1\sharp S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  \left(
1\sharp x_{\left(  4\right)  }\right)  =\sigma\left(  \left(  S\left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  _{\left(  1\right)  },\left(
x_{\left(  4\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \sharp\left(
S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }\left(
x_{\left(  4\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }%
\end{array}
\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  ,x_{\left(
3\right)  }\right)  \sigma\left(  S\left(  \left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  ,\left(  x_{\left(  4\right)
}\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \sharp S\left(  \left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \left(  x_{\left(  4\right)
}\right)  _{\left(  2\right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn da }S\text{ ein Anticoalgebrahomomorphismus ist, gilt}\\
\left(  S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  _{\left(  1\right)
}\otimes\left(  S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  _{\left(
2\right)  }=S\left(  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(
2\right)  }\right)  \otimes S\left(  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  }\right)
\end{array}
\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  ,x_{\left(
4\right)  }\right)  \sigma\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
,x_{\left(  5\right)  }\right)  \sharp S\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)
x_{\left(  6\right)  }\\
&  =\sigma^{-1}\left(  S\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
_{\left(  2\right)  }\right)  ,\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  }\right)  \sigma\left(  S\left(  \left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  ,\left(  x_{\left(
3\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \sharp S\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  x_{\left(  4\right)  }\\
&  =\underbrace{\sigma^{-1}\left(  \left(  S\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  _{\left(  1\right)  },\left(  x_{\left(  3\right)
}\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \sigma\left(  \left(  S\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  _{\left(  2\right)  },\left(
x_{\left(  3\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  }%
_{\substack{=\left(  \sigma^{-1}\ast\sigma\right)  \left(  S\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  \otimes x_{\left(  3\right)  }\right)  =\varepsilon\left(
S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes x_{\left(  3\right)  }\right)
\\=\varepsilon\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
\varepsilon\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  }}\sharp S\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  x_{\left(  4\right)  }\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn da }S\text{ ein Anticoalgebrahomomorphismus ist, gilt}\\
S\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)
\otimes S\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(  1\right)
}\right)  =\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  _{\left(
1\right)  }\otimes\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
_{\left(  2\right)  }%
\end{array}
\right) \\
&  =\varepsilon\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
\varepsilon\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  \sharp S\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  x_{\left(  4\right)  }=1\sharp S\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  \underbrace{\varepsilon\left(  S\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  \right)  }_{=\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  }\varepsilon\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  x_{\left(
4\right)  }\\
&  =1\sharp S\left(  \underbrace{x_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=x_{\left(  1\right)  }}\right)
\underbrace{\varepsilon\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  x_{\left(
4\right)  }}_{=x_{\left(  3\right)  }}=1\sharp\underbrace{S\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }}_{=\varepsilon\left(  x\right)
}=\left(  \eta\varepsilon\right)  \left(  x\right)
\end{align*}
f\"{u}r jedes $x\in H$, und somit ist $\mathbf{P}_{2}\ast\mathbf{P}_{1}%
=\eta\varepsilon$.

Aus $\mathbf{P}_{1}\ast\mathbf{P}_{2}=\eta\varepsilon$ und $\mathbf{P}_{2}%
\ast\mathbf{P}_{1}=\eta\varepsilon$ folgt, da\ss \ $\mathbf{P}_{1}$ eine
$\ast$-invertierbare Abbildung ist. Somit ist $k\sharp_{\sigma}H$ eine
$H$-clefte $H$-Rechtscomodulalgebra. Qed.

\textbf{1.2. Lemma:} Sei $H$ eine Bialgebra. Sei $\sigma:H\otimes H\rightarrow
k$ ein $\ast$-invertierbarer $2$-Cozyklus (dessen $\ast$-Inverses wir mit
$\sigma^{-1}$ bezeichnen).

\textbf{1)} F\"{u}r alle $x\in H$ ist dann $\sigma\left(  1,1\right)
\sigma^{-1}\left(  1,1\right)  =1.$

\textbf{2)} F\"{u}r alle $x\in H$ ist $\sigma\left(  x,1\right)
=\varepsilon\left(  x\right)  \sigma\left(  1,1\right)  =\sigma\left(
1,x\right)  .$

\textbf{3)} F\"{u}r alle $x,y,z\in H$ ist $\sigma^{-1}\left(  x_{\left(
1\right)  }y_{\left(  1\right)  },z\right)  \sigma^{-1}\left(  x_{\left(
2\right)  },y_{\left(  2\right)  }\right)  =\sigma^{-1}\left(  x,y_{\left(
1\right)  }z_{\left(  1\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(  y_{\left(
2\right)  },z_{\left(  2\right)  }\right)  .$

\textbf{4)} F\"{u}r alle $x\in H$ ist $\sigma^{-1}\left(  x,1\right)
=\varepsilon\left(  x\right)  \sigma^{-1}\left(  1,1\right)  =\sigma
^{-1}\left(  1,x\right)  .$

\textbf{5)} Falls die Bialgebra $H$ eine Antipode $S$ hat, ist $\sigma\left(
x_{\left(  1\right)  },S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  ,x_{\left(
4\right)  }\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  .$

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Klar.

\textbf{2)} Setzt man $y=z=1$ in die Definition eines $2$-Cozyklus ein,
erh\"{a}lt man $\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },1\right)  \sigma\left(
x_{\left(  2\right)  },1\right)  =\sigma\left(  1,1\right)  \sigma\left(
x,1\right)  .$

Offensichtlich ist aber%
\begin{align*}
\sigma\left(  x,1\right)   &  =\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  }%
\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  ,1\right)  =\sigma\left(
x_{\left(  1\right)  },1\right)  \underbrace{\varepsilon\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  }_{=\sigma\left(  x_{\left(  2\right)  },1\right)
\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  3\right)  },1\right)  }=\underbrace{\sigma
\left(  x_{\left(  1\right)  },1\right)  \sigma\left(  x_{\left(  2\right)
},1\right)  }_{=\sigma\left(  1,1\right)  \sigma\left(  x_{\left(  1\right)
},1\right)  }\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  3\right)  },1\right) \\
&  =\sigma\left(  1,1\right)  \sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },1\right)
\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  2\right)  },1\right)  =\sigma\left(  1,1\right)
\varepsilon\left(  x\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  \sigma\left(
1,1\right)
\end{align*}
und ebenso $\sigma\left(  1,x\right)  =\varepsilon\left(  x\right)
\sigma\left(  1,1\right)  .$

\textbf{3)} \textit{Erster Beweis:} Wir haben%
\begin{align*}
&  \sigma^{-1}\left(  x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  },z\right)
\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  2\right)  },y_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)  }z_{\left(
1\right)  }\right)  \sigma\left(  x_{\left(  2\right)  },y_{\left(  2\right)
}z_{\left(  2\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(  x_{\left(  3\right)
}y_{\left(  3\right)  },z_{\left(  3\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(
x_{\left(  4\right)  },y_{\left(  4\right)  }\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)  }z_{\left(
1\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(  y_{\left(  2\right)  },z_{\left(
2\right)  }\right)  \underbrace{\sigma\left(  y_{\left(  3\right)
},z_{\left(  3\right)  }\right)  \sigma\left(  x_{\left(  2\right)
},y_{\left(  4\right)  }z_{\left(  4\right)  }\right)  }_{\substack{=\sigma
\left(  x_{\left(  2\right)  },y_{\left(  3\right)  }\right)  \sigma\left(
x_{\left(  3\right)  }y_{\left(  4\right)  },z_{\left(  3\right)  }\right)
,\\\text{da }\sigma\text{ ein }2\text{-Cozyklus ist}}}\sigma^{-1}\left(
x_{\left(  3\right)  }y_{\left(  5\right)  },z_{\left(  5\right)  }\right)
\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  4\right)  },y_{\left(  6\right)  }\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)  }z_{\left(
1\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(  y_{\left(  2\right)  },z_{\left(
2\right)  }\right)  \sigma\left(  x_{\left(  2\right)  },y_{\left(  3\right)
}\right)  \sigma\left(  x_{\left(  3\right)  }y_{\left(  4\right)
},z_{\left(  3\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(  x_{\left(  4\right)
}y_{\left(  5\right)  },z_{\left(  4\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(
x_{\left(  5\right)  },y_{\left(  6\right)  }\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)  }z_{\left(
1\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(  y_{\left(  2\right)  },z_{\left(
2\right)  }\right)  \sigma\left(  x_{\left(  2\right)  },y_{\left(  3\right)
}\right)  \sigma^{-1}\left(  x_{\left(  3\right)  },y_{\left(  4\right)
}\right)  =\sigma^{-1}\left(  x,y_{\left(  1\right)  }z_{\left(  1\right)
}\right)  \sigma^{-1}\left(  y_{\left(  2\right)  },z_{\left(  2\right)
}\right)  .
\end{align*}


\textit{Zweiter Beweis:} Die $k$-linearen Abbildungen%
\[
T_{1}:H\otimes H\otimes H\rightarrow k,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\otimes y\otimes
z\mapsto\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)  }\right)
\sigma\left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  },z\right)
\]
und%
\[
T_{1}^{\prime}:H\otimes H\otimes H\rightarrow k,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\otimes
y\otimes z\mapsto\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)
},z\right)  \sigma^{-1}\left(  x_{\left(  2\right)  },y_{\left(  2\right)
}\right)
\]
sind zueinander $\ast$-invers, denn f\"{u}r alle $x,y,z\in H$ gilt%
\begin{align*}
\left(  T_{1}\ast T_{1}^{\prime}\right)  \left(  x\otimes y\otimes z\right)
&  =T_{1}\left(  \left(  x\otimes y\otimes z\right)  _{\left(  1\right)
}\right)  \cdot T_{1}^{\prime}\left(  \left(  x\otimes y\otimes z\right)
_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =T_{1}\left(  x_{\left(  1\right)  }\otimes y_{\left(  1\right)  }\otimes
z_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot T_{1}^{\prime}\left(  x_{\left(
2\right)  }\otimes y_{\left(  2\right)  }\otimes z_{\left(  2\right)  }\right)
\\
&  =\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)  }\right)
\underbrace{\sigma\left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)
},z_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  3\right)
}y_{\left(  3\right)  },z_{\left(  2\right)  }\right)  }_{\substack{=\left(
\sigma\ast\sigma^{-1}\right)  \left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(
2\right)  }\otimes z\right)  \\=\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)
}y_{\left(  2\right)  }\otimes z\right)  \\=\varepsilon\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  \varepsilon\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)
\varepsilon\left(  z\right)  }}\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  4\right)
},y_{\left(  4\right)  }\right) \\
&  =\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  ,y_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  y_{\left(
2\right)  }\right)  \right)  \sigma^{-1}\left(  x_{\left(  3\right)
},y_{\left(  3\right)  }\right)  \varepsilon\left(  z\right) \\
&  =\underbrace{\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)
}\right)  \sigma^{-1}\left(  x_{\left(  2\right)  },y_{\left(  2\right)
}\right)  }_{\substack{=\left(  \sigma\ast\sigma^{-1}\right)  \left(  x\otimes
y\right)  \\=\varepsilon\left(  x\otimes y\right)  =\varepsilon\left(
x\right)  \varepsilon\left(  y\right)  }}\varepsilon\left(  z\right)
=\varepsilon\left(  x\right)  \varepsilon\left(  y\right)  \varepsilon\left(
z\right)  =\varepsilon\left(  x\otimes y\otimes z\right)
\end{align*}
und%
\begin{align*}
\left(  T_{1}^{\prime}\ast T_{1}\right)  \left(  x\otimes y\otimes z\right)
&  =T_{1}^{\prime}\left(  \left(  x\otimes y\otimes z\right)  _{\left(
1\right)  }\right)  \cdot T_{1}\left(  \left(  x\otimes y\otimes z\right)
_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =T_{1}^{\prime}\left(  x_{\left(  1\right)  }\otimes y_{\left(  1\right)
}\otimes z_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot T_{1}\left(  x_{\left(
2\right)  }\otimes y_{\left(  2\right)  }\otimes z_{\left(  2\right)  }\right)
\\
&  =\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  },z_{\left(
1\right)  }\right)  \underbrace{\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  2\right)
},y_{\left(  2\right)  }\right)  \cdot\sigma\left(  x_{\left(  3\right)
},y_{\left(  3\right)  }\right)  }_{\substack{=\left(  \sigma^{-1}\ast
\sigma\right)  \left(  x_{\left(  2\right)  }\otimes y_{\left(  2\right)
}\right)  \\=\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\otimes y_{\left(
2\right)  }\right)  =\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
\varepsilon\left(  y_{\left(  2\right)  }\right)  }}\sigma\left(  x_{\left(
4\right)  }y_{\left(  4\right)  },z_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  y_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  y_{\left(
2\right)  }\right)  ,z_{\left(  1\right)  }\right)  \sigma\left(  x_{\left(
3\right)  }y_{\left(  3\right)  },z_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  1\right)  }y_{\left(  1\right)  },z_{\left(
1\right)  }\right)  \sigma\left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)
},z_{\left(  2\right)  }\right)  =\left(  \sigma^{-1}\ast\sigma\right)
\left(  xy\otimes z\right)  =\varepsilon\left(  xy\otimes z\right) \\
&  =\varepsilon\left(  x\right)  \varepsilon\left(  y\right)  \varepsilon
\left(  z\right)  =\varepsilon\left(  x\otimes y\otimes z\right)  ,
\end{align*}
und somit ist $T_{1}\ast T_{1}^{\prime}=T_{1}^{\prime}\ast T_{1}=\varepsilon.$

Analog zeigt man, da\ss \ die $k$-linearen Abbildungen%
\[
T_{2}:H\otimes H\otimes H\rightarrow k,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\otimes y\otimes
z\mapsto\sigma\left(  y_{\left(  1\right)  },z_{\left(  1\right)  }\right)
\sigma\left(  x,y_{\left(  2\right)  }z_{\left(  2\right)  }\right)
\]
und%
\[
T_{2}^{\prime}:H\otimes H\otimes H\rightarrow k,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\otimes
y\otimes z\mapsto\sigma^{-1}\left(  x,y_{\left(  1\right)  }z_{\left(
1\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(  y_{\left(  2\right)  },z_{\left(
2\right)  }\right)
\]
zueinander $\ast$-invers sind. Doch $T_{1}=T_{2},$ da $\sigma$ ein
$2$-Cozyklus ist. Da $T_{1}^{\prime}$ zu $T_{1}$ und $T_{2}^{\prime}$ zu
$T_{2}$ $\ast$-invers sind, folgt also auch $T_{1}^{\prime}=T_{2}^{\prime},$
und hieraus folgt sofort die Behauptung \textbf{3)}.

\textbf{4)} folgt genauso aus \textbf{3)}, wie \textbf{2)} aus der Definition
eines $2$-Cozykels hergeleitet wurde.

\textbf{5)} Wir haben%
\begin{align*}
&  \sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },S\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  \sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)
,x_{\left(  4\right)  }\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  1,1\right)  \sigma\left(  x_{\left(  1\right)
},S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  \sigma\left(  1,1\right)
\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  ,x_{\left(
4\right)  }\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach \textbf{1)}}\right)
\\
&  =\sigma^{-1}\left(  1,1\right)  \sigma\left(  x_{\left(  1\right)
},S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  \underbrace{\varepsilon
\left(  x_{\left(  5\right)  }\right)  \sigma\left(  1,1\right)  }%
_{=\sigma\left(  1,x_{\left(  5\right)  }\right)  \text{ (nach \textbf{2)})}%
}\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  ,x_{\left(
4\right)  }\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  1,1\right)  \sigma\left(  x_{\left(  1\right)
},S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  \sigma\left(  1,x_{\left(
5\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)
,x_{\left(  4\right)  }\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  1,1\right)  \sigma\left(  x_{\left(  1\right)
},S\left(  x_{\left(  4\right)  }\right)  \right)  \sigma\left(  x_{\left(
2\right)  }S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  ,x_{\left(  7\right)
}\right)  \sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  5\right)  }\right)
,x_{\left(  6\right)  }\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  1,1\right)  \sigma\left(  \left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  _{\left(  1\right)  },S\left(  \left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  \right)  \sigma\left(  \left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }S\left(  \left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  ,x_{\left(
5\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)
,x_{\left(  4\right)  }\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  1,1\right)  \underbrace{\sigma\left(  \left(
x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  },\left(  S\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }\right)
\sigma\left(  \left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  2\right)
}\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  _{\left(  2\right)
},x_{\left(  5\right)  }\right)  }_{\substack{=\sigma\left(  \left(  S\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  _{\left(  1\right)  },\left(
x_{\left(  5\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \sigma\left(
x_{\left(  1\right)  },\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
\right)  _{\left(  2\right)  }\left(  x_{\left(  5\right)  }\right)  _{\left(
2\right)  }\right)  ,\\\text{da }\sigma\text{ ein }2\text{-Cozykel ist}%
}}\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  ,x_{\left(
4\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }S\text{ ist ein Anticoalgebrahomomorphismus, und somit ist}\\
S\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right)
\otimes S\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(  2\right)
}\right)  =\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  _{\left(
2\right)  }\otimes\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
_{\left(  1\right)  }%
\end{array}
\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  1,1\right)  \sigma\left(  \left(  S\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  \right)  _{\left(  1\right)  },\left(  x_{\left(
5\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \sigma\left(  x_{\left(
1\right)  },\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  _{\left(
2\right)  }\left(  x_{\left(  5\right)  }\right)  _{\left(  2\right)
}\right)  \sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)
,x_{\left(  4\right)  }\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  1,1\right)  \sigma\left(  S\left(  \left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  ,\left(  x_{\left(
5\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right)  \sigma\left(  x_{\left(
1\right)  },S\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(
1\right)  }\right)  \left(  x_{\left(  5\right)  }\right)  _{\left(  2\right)
}\right)  \sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)
,x_{\left(  4\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }S\text{ ist ein Anticoalgebrahomomorphismus, und somit ist}\\
\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  _{\left(  2\right)
}\otimes\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  _{\left(
1\right)  }=S\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  _{\left(
1\right)  }\right)  \otimes S\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
_{\left(  2\right)  }\right)
\end{array}
\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  1,1\right)  \sigma\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)
}\right)  ,x_{\left(  6\right)  }\right)  \sigma\left(  x_{\left(  1\right)
},S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  x_{\left(  7\right)  }\right)
\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  4\right)  }\right)  ,x_{\left(
5\right)  }\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  1,1\right)  \sigma\left(  x_{\left(  1\right)
},S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  x_{\left(  7\right)  }\right)
\sigma\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  ,x_{\left(  6\right)
}\right)  \sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  4\right)  }\right)
,x_{\left(  5\right)  }\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  1,1\right)  \sigma\left(  x_{\left(  1\right)
},S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  x_{\left(  5\right)  }\right)
\sigma\left(  \left(  S\left(  \left(  x_{\left(  3\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  }\right)  \right)  ,\left(  x_{\left(  4\right)  }\right)
_{\left(  2\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(  S\left(  \left(  x_{\left(
3\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  ,\left(  x_{\left(
4\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  1,1\right)  \sigma\left(  x_{\left(  1\right)
},S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  x_{\left(  7\right)  }\right)
\sigma\left(  \left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  \right)
_{\left(  2\right)  },\left(  x_{\left(  4\right)  }\right)  _{\left(
2\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(  \left(  S\left(  x_{\left(  3\right)
}\right)  \right)  _{\left(  1\right)  },\left(  x_{\left(  4\right)
}\right)  _{\left(  1\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn }S\text{ ist ein Anticoalgebrahomomorphismus, und somit ist}\\
S\left(  \left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  _{\left(  1\right)  }\right)
\otimes S\left(  \left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  _{\left(  2\right)
}\right)  =\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  \right)  _{\left(
2\right)  }\otimes\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  \right)
_{\left(  1\right)  }%
\end{array}
\right) \\
&  =\sigma^{-1}\left(  1,1\right)  \sigma\left(  x_{\left(  1\right)
},S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  x_{\left(  7\right)  }\right)
\underbrace{\sigma^{-1}\left(  \left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)
\right)  _{\left(  1\right)  },\left(  x_{\left(  4\right)  }\right)
_{\left(  1\right)  }\right)  \sigma\left(  \left(  S\left(  x_{\left(
3\right)  }\right)  \right)  _{\left(  2\right)  },\left(  x_{\left(
4\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  }_{=\left(  \sigma^{-1}%
\ast\sigma\right)  \left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  \otimes
x_{\left(  4\right)  }\right)  =\varepsilon\left(  S\left(  x_{\left(
3\right)  }\right)  \otimes x_{\left(  4\right)  }\right)  =\varepsilon\left(
S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  \right)  \varepsilon\left(  x_{\left(
4\right)  }\right)  =\varepsilon\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  }\\
&  =\sigma^{-1}\left(  1,1\right)  \sigma\left(  x_{\left(  1\right)
},\underbrace{S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  x_{\left(  3\right)  }%
}_{=\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  1}\right)  =\sigma
^{-1}\left(  1,1\right)  \sigma\left(  \underbrace{x_{\left(  1\right)
}\varepsilon\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=x},1\right)
=\sigma^{-1}\left(  1,1\right)  \sigma\left(  x,1\right)  =\varepsilon\left(
x\right)
\end{align*}
(nach \textbf{1)} und \textbf{2)}).

\textbf{1.3. Satz:} Sei $H$ eine Bialgebra, und sei $\sigma:H\otimes
H\rightarrow k$ ein $\ast$-invertierbarer $2$-Cozyklus. Dann k\"{o}nnen wir
eine Bialgebra $H_{\sigma}$ wie folgt definieren:

Als Coalgebra sei $H_{\sigma}=H.$ Die Algebrastruktur auf $H_{\sigma}$ werde
festgelegt durch die Multiplikationsabbildung $\cdot_{\sigma}:H_{\sigma}\times
H_{\sigma}\rightarrow H_{\sigma}$ mit%
\[
x\cdot_{\sigma}y=\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)
}\right)  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }\sigma^{-1}\left(
x_{\left(  3\right)  },y_{\left(  3\right)  }\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x,y\in H.
\]


\textbf{1)} Die so definierte Bialgebra $H_{\sigma}$ ist tats\"{a}chlich eine Bialgebra.

\textbf{2)} Falls $H$ eine Hopfalgebra mit Antipode $S$ ist, dann ist
$H_{\sigma}$ eine Hopfalgebra mit Antipode $S_{\sigma},$ wobei die Abbildung
$S_{\sigma}:H_{\sigma}\rightarrow H_{\sigma}$ durch%
\[
S_{\sigma}\left(  x\right)  =\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },S\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  S\left(  x_{\left(  3\right)
}\right)  \sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  4\right)  }\right)
,x_{\left(  5\right)  }\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in
H
\]
definiert ist.

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Die Multiplikation ist assoziativ, denn f\"{u}r
alle $x,y,z\in H$ ist%
\begin{align*}
\left(  x\cdot_{\sigma}y\right)  \cdot_{\sigma}z  &  =\left(  \sigma\left(
x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)
}y_{\left(  2\right)  }\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  3\right)  },y_{\left(
3\right)  }\right)  \right)  \cdot_{\sigma}z\\
&  =\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)  }\right)
\left(  \left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }\right)
\cdot_{\sigma}z\right)  \sigma^{-1}\left(  x_{\left(  3\right)  },y_{\left(
3\right)  }\right) \\
&  =\underbrace{\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)
}\right)  \sigma\left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)
},z_{\left(  1\right)  }\right)  }_{\substack{=\sigma\left(  y_{\left(
1\right)  },z_{\left(  1\right)  }\right)  \sigma\left(  x_{\left(  1\right)
},y_{\left(  2\right)  }z_{\left(  2\right)  }\right)  ,\\\text{da }%
\sigma\text{ ein }2\text{-Cozyklus ist}}}x_{\left(  3\right)  }y_{\left(
3\right)  }z_{\left(  2\right)  }\underbrace{\sigma^{-1}\left(  x_{\left(
4\right)  }y_{\left(  4\right)  },z_{\left(  3\right)  }\right)  \sigma
^{-1}\left(  x_{\left(  5\right)  },y_{\left(  5\right)  }\right)
}_{\substack{=\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  4\right)  },y_{\left(  4\right)
}z_{\left(  3\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(  y_{\left(  5\right)
},z_{\left(  4\right)  }\right)  \\\text{nach 1.2. \textbf{3)}}}}\\
&  =\sigma\left(  y_{\left(  1\right)  },z_{\left(  1\right)  }\right)
\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  2\right)  }z_{\left(
2\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  3\right)  }z_{\left(
3\right)  }\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  3\right)  },y_{\left(  4\right)
}z_{\left(  4\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(  y_{\left(  5\right)
},z_{\left(  5\right)  }\right)
\end{align*}
und%
\begin{align*}
x\cdot_{\sigma}\left(  y\cdot_{\sigma}z\right)   &  =x\cdot_{\sigma}\left(
\sigma\left(  y_{\left(  1\right)  },z_{\left(  1\right)  }\right)  y_{\left(
2\right)  }z_{\left(  2\right)  }\sigma^{-1}\left(  y_{\left(  3\right)
},z_{\left(  3\right)  }\right)  \right) \\
&  =\sigma\left(  y_{\left(  1\right)  },z_{\left(  1\right)  }\right)
\left(  x\cdot_{\sigma}\left(  y_{\left(  2\right)  }z_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  \sigma^{-1}\left(  y_{\left(  3\right)  },z_{\left(
3\right)  }\right) \\
&  =\sigma\left(  y_{\left(  1\right)  },z_{\left(  1\right)  }\right)
\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  2\right)  }z_{\left(
2\right)  }\right)  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  3\right)  }z_{\left(
3\right)  }\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  3\right)  },y_{\left(  4\right)
}z_{\left(  4\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(  y_{\left(  5\right)
},z_{\left(  5\right)  }\right)  ,
\end{align*}
also $\left(  x\cdot_{\sigma}y\right)  \cdot_{\sigma}z=x\cdot_{\sigma}\left(
y\cdot_{\sigma}z\right)  .$ Ferner ist $1$ das $1$-Element von $H_{\sigma}$
(nach Lemma 1.2. \textbf{1)}, \textbf{2)} und \textbf{4)}).

Ferner ist $\varepsilon:H_{\sigma}\rightarrow k$ ein Algebrahomomorphismus,
denn f\"{u}r alle $x,y\in H$ ist%
\begin{align*}
\varepsilon\left(  x\cdot_{\sigma}y\right)   &  =\sigma\left(  x_{\left(
1\right)  },y_{\left(  1\right)  }\right)  \varepsilon\left(  x_{\left(
2\right)  }y_{\left(  2\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(  x_{\left(
3\right)  },y_{\left(  3\right)  }\right) \\
&  =\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  ,y_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(  y_{\left(
2\right)  }\right)  \right)  \sigma^{-1}\left(  x_{\left(  3\right)
},y_{\left(  3\right)  }\right)  =\sigma\left(  x_{\left(  1\right)
},y_{\left(  1\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(  x_{\left(  2\right)
},y_{\left(  2\right)  }\right)  =\varepsilon\left(  x\right)  \varepsilon
\left(  y\right)  .
\end{align*}


Schlie\ss lich ist auch $\Delta:H_{\sigma}\rightarrow H_{\sigma}\otimes
H_{\sigma}$ ein Algebrahomomorphismus, denn f\"{u}r alle $x,y\in H$ ist%
\begin{align*}
\Delta\left(  x\cdot_{\sigma}y\right)   &  =\sigma\left(  x_{\left(  1\right)
},y_{\left(  1\right)  }\right)  \Delta\left(  x_{\left(  2\right)
}y_{\left(  2\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(  x_{\left(  3\right)
},y_{\left(  3\right)  }\right) \\
&  =\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)  }\right)
x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }\otimes x_{\left(  3\right)
}y_{\left(  3\right)  }\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  4\right)  },y_{\left(
4\right)  }\right)
\end{align*}
und%
\begin{align*}
\Delta\left(  x\right)  \cdot_{\sigma}\Delta\left(  y\right)   &  =\left(
x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }\right)  \cdot_{\sigma
}\left(  y_{\left(  1\right)  }\otimes y_{\left(  2\right)  }\right)  =\left(
x_{\left(  1\right)  }\cdot_{\sigma}y_{\left(  1\right)  }\right)
\otimes\left(  x_{\left(  2\right)  }\cdot_{\sigma}y_{\left(  2\right)
}\right) \\
&  =\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)  }\right)
x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }\sigma^{-1}\left(  x_{\left(
3\right)  },y_{\left(  3\right)  }\right)  \otimes\sigma\left(  x_{\left(
4\right)  },y_{\left(  4\right)  }\right)  x_{\left(  5\right)  }y_{\left(
5\right)  }\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  6\right)  },y_{\left(  6\right)
}\right) \\
&  =\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)  }\right)
x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }\underbrace{\sigma^{-1}\left(
x_{\left(  3\right)  },y_{\left(  3\right)  }\right)  \sigma\left(  x_{\left(
4\right)  },y_{\left(  4\right)  }\right)  }_{=\varepsilon\left(  x_{\left(
3\right)  }\right)  \varepsilon\left(  y_{\left(  3\right)  }\right)  }\otimes
x_{\left(  5\right)  }y_{\left(  5\right)  }\sigma^{-1}\left(  x_{\left(
6\right)  },y_{\left(  6\right)  }\right) \\
&  =\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)  }\right)
x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  }\otimes x_{\left(  3\right)
}y_{\left(  3\right)  }\sigma^{-1}\left(  x_{\left(  4\right)  },y_{\left(
4\right)  }\right)  .
\end{align*}


\textbf{2)} F\"{u}r alle $x\in H$ ist%
\begin{align*}
&  S_{\sigma}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot_{\sigma}x_{\left(
2\right)  }\\
&  =\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },S\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(
S\left(  x_{\left(  4\right)  }\right)  ,x_{\left(  5\right)  }\right)
\cdot_{\sigma}x_{\left(  6\right)  }\\
&  =\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },S\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  \cdot_{\sigma
}x_{\left(  6\right)  }\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  4\right)
}\right)  ,x_{\left(  5\right)  }\right) \\
&  =\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },S\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  \sigma\left(  S\left(  x_{\left(  5\right)  }\right)
,x_{\left(  8\right)  }\right)  S\left(  x_{\left(  4\right)  }\right)
x_{\left(  9\right)  }\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)
}\right)  ,x_{\left(  10\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(  S\left(
x_{\left(  6\right)  }\right)  ,x_{\left(  7\right)  }\right) \\
&  =\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },S\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  \underbrace{\sigma\left(  S\left(  x_{\left(  5\right)
}\right)  ,x_{\left(  8\right)  }\right)  \sigma^{-1}\left(  S\left(
x_{\left(  6\right)  }\right)  ,x_{\left(  7\right)  }\right)  }%
_{\text{k\"{u}rzen sich gegenseitig}}S\left(  x_{\left(  4\right)  }\right)
x_{\left(  9\right)  }\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)
}\right)  ,x_{\left(  10\right)  }\right) \\
&  =\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },S\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  \underbrace{S\left(  x_{\left(  4\right)  }\right)
x_{\left(  5\right)  }}_{\substack{\text{k\"{u}rzen sich}\\\text{gegenseitig}%
}}\sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  ,x_{\left(
6\right)  }\right) \\
&  =\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },S\left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  \sigma^{-1}\left(  S\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)
,x_{\left(  4\right)  }\right)  =\varepsilon\left(  x\right)
\end{align*}
(nach Lemma 1.2. \textbf{5)}) und ebenso $x_{\left(  1\right)  }\cdot_{\sigma
}S_{\sigma}\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  =\varepsilon\left(
x\right)  .$ Somit ist $S_{\sigma}$ das $\ast$-Inverse der Abbildung
$\operatorname*{id}$ bez\"{u}glich der Hopfalgebrastruktur von $H_{\sigma}$.
Mit anderen Worten: $S_{\sigma}$ ist die Antipode der Hopfalgebra $H_{\sigma}%
$. Damit ist Satz 1.3. bewiesen.

\bigskip

\begin{center}
\fbox{\textbf{2. Das Drinfeld-Doppel}}
\end{center}

\textbf{Definition:} Seien $U$ und $A$ zwei Bialgebren, und sei $\tau:U\times
A\rightarrow k$ eine $k$-bilineare Abbildung. Wir identifizieren diese
Abbildung $\tau$ mit der entsprechenden $k$-linearen Abbildung
$\widetilde{\tau}:U\otimes A\rightarrow k,$ die $\tau=\widetilde{\tau}%
\circ\kappa$ erf\"{u}llt, wobei $\kappa:U\times A\rightarrow U\otimes A$ die
universelle $k$-tensorielle Abbildung ist.

Die Abbildung $\tau$ hei\ss t \textit{schiefe Paarung von Bialgebren}, wenn
f\"{u}r alle $u,v\in U$ und $a,b\in A$ die Relationen%
\begin{align}
\tau\left(  uv,a\right)   &  =\tau\left(  u,a_{\left(  1\right)  }\right)
\tau\left(  v,a_{\left(  2\right)  }\right)  ,\tag{SP.1}\\
\tau\left(  u,ab\right)   &  =\tau\left(  u_{\left(  1\right)  },b\right)
\tau\left(  u_{\left(  2\right)  },a\right)  ,\tag{SP.2}\\
\tau\left(  1,a\right)   &  =\varepsilon\left(  a\right)  ,\tag{SP.3}\\
\tau\left(  u,1\right)   &  =\varepsilon\left(  u\right)  \tag{SP.4}%
\end{align}
gelten.

\textbf{2.1. Bemerkung:} \textbf{1)} Angenommen, $U$ ist eine Hopfalgebra,
oder $A$ ist eine Hopfalgebra mit bijektiver Antipode. Ist $\tau$ eine schiefe
Paarung (wie oben definiert), dann ist $\tau:U\otimes A\rightarrow k$ eine
$\ast$-invertierbare Abbildung aus der Coalgebra $U\otimes A$ in die Algebra
$k$ (wobei die Coalgebrastruktur auf $U\otimes A$ komponentenweise definiert
ist). Das Inverse $\tau^{-1}$ von $\tau$ erf\"{u}llt%
\[
\tau^{-1}\left(  u,a\right)  =\tau\left(  S\left(  u\right)  ,a\right)  \text{
f\"{u}r alle }u\in U\text{ und }a\in A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{falls
}U\text{ eine Hopfalgebra ist,}%
\]
und%
\begin{align*}
\tau^{-1}\left(  u,a\right)   &  =\tau\left(  u,S^{-1}\left(  a\right)
\right)  \text{ f\"{u}r alle }u\in U\text{ und }a\in A,\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{falls }A\text{ eine Hopfalgebra mit bijektiver
Antipode ist.}%
\end{align*}


\textit{Beweis:} Zuerst betrachten wir den Fall, da\ss \ $U$ eine Hopfalgebra
ist. F\"{u}r alle $u\in U$ und $a\in A$ ist dann%
\begin{align*}
\tau\left(  u_{\left(  1\right)  },a_{\left(  1\right)  }\right)  \tau\left(
S\left(  u_{\left(  2\right)  }\right)  ,a_{\left(  2\right)  }\right)   &
=\tau\left(  \underbrace{u_{\left(  1\right)  }S\left(  u_{\left(  2\right)
}\right)  }_{=\varepsilon\left(  u\right)  \cdot1},a\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach (SP.1)}\right) \\
&  =\varepsilon\left(  u\right)  \tau\left(  1,a\right)  =\varepsilon\left(
u\right)  \varepsilon\left(  a\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach
(SP.3)}\right)
\end{align*}
und ebenso
\[
\tau\left(  S\left(  u_{\left(  1\right)  }\right)  ,a_{\left(  1\right)
}\right)  \tau\left(  u_{\left(  2\right)  },a_{\left(  2\right)  }\right)
=\varepsilon\left(  u\right)  \varepsilon\left(  a\right)  ,
\]
und damit ist $u\otimes a\mapsto\tau\left(  S\left(  u\right)  ,a\right)  $
das $\ast$-Inverse der Abbildung $\tau.$

Nun betrachten wir den Fall, wenn $A$ eine Hopfalgebra mit bijektiver Antipode
ist. F\"{u}r alle $u\in U$ und $a\in A$ gilt in diesem Fall%
\begin{align*}
\tau\left(  u_{\left(  1\right)  },a_{\left(  1\right)  }\right)  \tau\left(
u_{\left(  2\right)  },S^{-1}\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
&  =\tau\left(  u,\underbrace{S^{-1}\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)
a_{\left(  1\right)  }}_{=\varepsilon\left(  a\right)  \cdot1}\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach (SP.2)}\right) \\
&  =\varepsilon\left(  a\right)  \tau\left(  u,1\right)  =\varepsilon\left(
a\right)  \varepsilon\left(  u\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach
(SP.4)}\right)
\end{align*}
und analog $\tau\left(  u_{\left(  1\right)  },S^{-1}\left(  a_{\left(
1\right)  }\right)  \right)  \tau\left(  u_{\left(  2\right)  },a_{\left(
2\right)  }\right)  =\varepsilon\left(  a\right)  \varepsilon\left(  u\right)
,$ und daher ist $u\otimes a\mapsto\tau\left(  u,S^{-1}\left(  a\right)
\right)  $ das $\ast$-Inverse der Abbildung $\tau.$

\textbf{2)} Sei $\tau:U\otimes A\rightarrow k$ eine $\ast$-invertierbare
$k$-lineare Abbildung, die f\"{u}r alle $u,v\in U$ und $a,b\in A$ die
Relationen (SP.1) und (SP.2) erf\"{u}llt. Dann erf\"{u}llt sie auch f\"{u}r
alle $u\in U$ und $a\in A$ die Relationen (SP.3) und (SP.4).

\textit{Beweis:} F\"{u}r alle $a\in A$ ist $\tau\left(  1,a_{\left(  1\right)
}\right)  \tau\left(  1,a_{\left(  2\right)  }\right)  =\tau\left(
1,a\right)  $ (nach (SP.1)), also%
\[
\underbrace{\tau\left(  1,a_{\left(  1\right)  }\right)  \tau\left(
1,a_{\left(  2\right)  }\right)  \tau^{-1}\left(  1,a_{\left(  3\right)
}\right)  }_{=\tau\left(  1,a\right)  }=\underbrace{\tau\left(  1,a_{\left(
1\right)  }\right)  \tau^{-1}\left(  1,a_{\left(  2\right)  }\right)
}_{=\varepsilon\left(  a\right)  },
\]
womit (SP.3) gezeigt ist. Analog beweist man (SP.4).

\textbf{3)} Seien $U$ und $A$ zwei endlichdimensionale Bialgebren.

\textbf{a)} Dann ist%
\begin{align*}
\left\{  \tau:U\times A\rightarrow k\ \mid\ \tau\text{ ist eine schiefe
Paarung von Bialgebren}\right\}   &  \rightarrow\operatorname*{Bialg}\left(
U,A^{\ast\operatorname*{cop}}\right)  ,\\
\tau &  \mapsto\tau_{L}%
\end{align*}
eine Bijektion, wobei f\"{u}r jede schiefe Paarung $\tau$ die Abbildung
$\tau_{L}:U\rightarrow A^{\ast\operatorname*{cop}}$ durch%
\[
\tau_{L}\left(  u\right)  \left(  a\right)  =\tau\left(  u,a\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }u\in U\text{ und }a\in A
\]
definiert ist.

\textbf{b)} Ferner ist%
\begin{align*}
\left\{  \tau:U\times A\rightarrow k\ \mid\ \tau\text{ ist eine schiefe
Paarung von Bialgebren}\right\}   &  \rightarrow\operatorname*{Bialg}\left(
A,U^{\ast\operatorname*{op}}\right)  ,\\
\tau &  \mapsto\tau_{R}%
\end{align*}
eine Bijektion, wobei f\"{u}r jede schiefe Paarung $\tau$ die Abbildung
$\tau_{R}:A\rightarrow U^{\ast\operatorname*{op}}$ durch%
\[
\tau_{R}\left(  a\right)  \left(  u\right)  =\tau\left(  u,a\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }u\in U\text{ und }a\in A
\]
definiert ist.

\textit{Beweis:} \textbf{a)} Sei $\tau:U\times A\rightarrow k$ eine
$k$-bilineare Abbildung.

Die Bedingung (SP.1) f\"{u}r $\tau$ ist \"{a}quivalent dazu, da\ss \ f\"{u}r
alle $u,v\in U$ gilt: $\tau_{L}\left(  uv\right)  =\tau_{L}\left(  u\right)
\tau_{L}\left(  v\right)  .$

Die Bedingung (SP.3) f\"{u}r $\tau$ ist \"{a}quivalent zu $\tau_{L}\left(
1\right)  =\varepsilon$.

Somit sind die Bedingungen (SP.1) und (SP.3) f\"{u}r $\tau$ zusammen
\"{a}quivalent dazu, da\ss \ $\tau_{L}:U\rightarrow A^{\ast\operatorname*{cop}%
}$ ein Algebrahomomorphismus ist.

Die Bedingung (SP.2) f\"{u}r $\tau$ ist \"{a}quivalent dazu, da\ss \ f\"{u}r
alle $u\in U$ und alle $a,b\in A$ gilt: $\Delta_{A^{\ast\operatorname*{cop}}%
}\left(  \tau_{L}\left(  u\right)  \right)  \left(  b\otimes a\right)
=\tau_{L}\left(  u_{\left(  1\right)  }\right)  \left(  b\right)  \tau
_{L}\left(  u_{\left(  2\right)  }\right)  \left(  a\right)  ,$ also
da\ss \ f\"{u}r alle $u\in U$ gilt: $\Delta_{A^{\ast\operatorname*{cop}}%
}\left(  \tau_{L}\left(  u\right)  \right)  =\tau_{L}\left(  u_{\left(
1\right)  }\right)  \otimes\tau_{L}\left(  u_{\left(  2\right)  }\right)  .$

Die Bedingung (SP.4) f\"{u}r $\tau$ ist \"{a}quivalent dazu, da\ss \ f\"{u}r
alle $u\in U$ gilt: $\varepsilon_{A^{\ast}}\left(  \tau_{L}\left(  u\right)
\right)  =\varepsilon\left(  u\right)  $ (denn $\varepsilon_{A^{\ast}}\left(
\tau_{L}\left(  u\right)  \right)  =\tau_{L}\left(  u\right)  \left(
1\right)  $).

Somit sind die Bedingungen (SP.2) und (SP.4) f\"{u}r $\tau$ zusammen
\"{a}quivalent dazu, da\ss \ $\tau_{L}:U\rightarrow A^{\ast\operatorname*{cop}%
}$ ein Coalgebrahomomorphismus ist.

\textbf{b)} ebenso (oder durch Dualit\"{a}t aus \textbf{a)}).

\textbf{2.2. Lemma:} Seien $U$ und $A$ zwei Bialgebren. Sei $\tau:U\times
A\rightarrow k$ eine schiefe Paarung von Bialgebren.

\textbf{1)} Die durch%
\[
\sigma\left(  u\otimes a,u^{\prime}\otimes a^{\prime}\right)  =\varepsilon
\left(  u\right)  \tau\left(  u^{\prime},a\right)  \varepsilon\left(
a^{\prime}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }u,u^{\prime}\in
U\text{ und }a,a^{\prime}\in A
\]
definierte $k$-bilineare Abbildung $\sigma:\left(  U\otimes A\right)
\times\left(  U\otimes A\right)  \rightarrow k$ ist ein $2$-Cozyklus auf der
Bialgebra $U\otimes A$ (wobei die Bialgebrastruktur auf $U\otimes A$ die
kanonische Tensorprodukt-Bialgebrastruktur sein soll - also die
komponentenweise definierte Bialgebrastruktur).

\textbf{2)} Ist $\tau:U\otimes A\rightarrow k$ eine $\ast$-invertierbare
Abbildung, dann ist auch $\sigma:\left(  U\otimes A\right)  \otimes\left(
U\otimes A\right)  \rightarrow k$ eine $\ast$-invertierbare Abbildung, und das
$\ast$-Inverse $\sigma^{-1}:\left(  U\otimes A\right)  \otimes\left(  U\otimes
A\right)  \rightarrow k$ von $\sigma$ ist gegeben durch%
\[
\sigma^{-1}\left(  u\otimes a,u^{\prime}\otimes a^{\prime}\right)
=\varepsilon\left(  u\right)  \tau^{-1}\left(  u^{\prime},a\right)
\varepsilon\left(  a^{\prime}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle
}u,u^{\prime}\in U\text{ und }a,a^{\prime}\in A.
\]
(Dies gilt also insbesondere automatisch, falls $U$ eine Hopfalgebra oder $A$
eine Hopfalgebra mit bijektiver Antipode ist.)

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Seien $x,y,z\in U\otimes A.$ Wir m\"{u}ssen
nachweisen, da\ss \ $\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)
}\right)  \sigma\left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  },z\right)
=\sigma\left(  y_{\left(  1\right)  },z_{\left(  1\right)  }\right)
\sigma\left(  x,y_{\left(  2\right)  }z_{\left(  2\right)  }\right)  $ gilt.
Ohne Beschr\"{a}nkung der Allgemeinheit d\"{u}rfen wir annehmen, da\ss \ es
$u,v,w\in U$ und $a,b,c\in A$ gibt mit $x=u\otimes a,$ $y=v\otimes b$ und
$z=w\otimes c$ (denn jeder Tensor ist eine Summe reiner Tensoren). Dann ist%
\begin{align*}
\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)  }\right)
\cdot\sigma\left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  },z\right)   &
=\sigma\left(  u_{\left(  1\right)  }\otimes a_{\left(  1\right)  },v_{\left(
1\right)  }\otimes b_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot\sigma\left(
u_{\left(  2\right)  }v_{\left(  2\right)  }\otimes a_{\left(  2\right)
}b_{\left(  2\right)  },w\otimes c\right) \\
&  =\varepsilon\left(  u_{\left(  1\right)  }\right)  \tau\left(  v_{\left(
1\right)  },a_{\left(  1\right)  }\right)  \varepsilon\left(  b_{\left(
1\right)  }\right)  \cdot\varepsilon\left(  u_{\left(  2\right)  }v_{\left(
2\right)  }\right)  \tau\left(  w,a_{\left(  2\right)  }b_{\left(  2\right)
}\right)  \varepsilon\left(  c\right) \\
&  =\varepsilon\left(  u\right)  \tau\left(  v_{\left(  1\right)  }%
\varepsilon\left(  v_{\left(  2\right)  }\right)  ,a_{\left(  1\right)
}\right)  \tau\left(  w,a_{\left(  2\right)  }\varepsilon\left(  b_{\left(
1\right)  }\right)  b_{\left(  2\right)  }\right)  \varepsilon\left(  c\right)
\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }\varepsilon\text{ ein
Bialgebrahomomorphismus und }\tau\text{ linear ist}\right) \\
&  =\varepsilon\left(  u\right)  \tau\left(  v,a_{\left(  1\right)  }\right)
\tau\left(  w,a_{\left(  2\right)  }b\right)  \varepsilon\left(  c\right) \\
&  =\varepsilon\left(  u\right)  \tau\left(  v,a_{\left(  1\right)  }\right)
\tau\left(  w_{\left(  1\right)  },b\right)  \tau\left(  w_{\left(  2\right)
},a_{\left(  2\right)  }\right)  \varepsilon\left(  c\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach (SP.2)}\right)
\end{align*}
und%
\begin{align*}
\sigma\left(  y_{\left(  1\right)  },z_{\left(  1\right)  }\right)
\cdot\sigma\left(  x,y_{\left(  2\right)  }z_{\left(  2\right)  }\right)   &
=\sigma\left(  v_{\left(  1\right)  }\otimes b_{\left(  1\right)  },w_{\left(
1\right)  }\otimes c_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot\sigma\left(  u\otimes
a,v_{\left(  2\right)  }w_{\left(  2\right)  }\otimes b_{\left(  2\right)
}c_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =\varepsilon\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  \tau\left(  w_{\left(
1\right)  },b_{\left(  1\right)  }\right)  \varepsilon\left(  c_{\left(
1\right)  }\right)  \cdot\varepsilon\left(  u\right)  \tau\left(  v_{\left(
2\right)  }w_{\left(  2\right)  },a\right)  \varepsilon\left(  b_{\left(
2\right)  }c_{\left(  2\right)  }\right) \\
&  =\varepsilon\left(  u\right)  \tau\left(  w_{\left(  1\right)  },b_{\left(
1\right)  }\varepsilon\left(  b_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
\tau\left(  \varepsilon\left(  v_{\left(  1\right)  }\right)  v_{\left(
2\right)  }w_{\left(  2\right)  },a\right)  \varepsilon\left(  c\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }\varepsilon\text{ ein
Bialgebrahomomorphismus und }\tau\text{ linear ist}\right) \\
&  =\varepsilon\left(  u\right)  \tau\left(  w_{\left(  1\right)  },b\right)
\tau\left(  vw_{\left(  2\right)  },a\right)  \varepsilon\left(  c\right) \\
&  =\varepsilon\left(  u\right)  \tau\left(  w_{\left(  1\right)  },b\right)
\tau\left(  v,a_{\left(  1\right)  }\right)  \tau\left(  w_{\left(  2\right)
},a_{\left(  2\right)  }\right)  \varepsilon\left(  c\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach (SP.1)}\right) \\
&  =\varepsilon\left(  u\right)  \tau\left(  v,a_{\left(  1\right)  }\right)
\tau\left(  w_{\left(  1\right)  },b\right)  \tau\left(  w_{\left(  2\right)
},a_{\left(  2\right)  }\right)  \varepsilon\left(  c\right)  ,
\end{align*}
also $\sigma\left(  x_{\left(  1\right)  },y_{\left(  1\right)  }\right)
\sigma\left(  x_{\left(  2\right)  }y_{\left(  2\right)  },z\right)
=\sigma\left(  y_{\left(  1\right)  },z_{\left(  1\right)  }\right)
\sigma\left(  x,y_{\left(  2\right)  }z_{\left(  2\right)  }\right)  ,$ was zu
beweisen war.

\textbf{2)} F\"{u}r alle $u,u^{\prime}\in U$ und $a,a^{\prime}\in A$ gilt%
\begin{align*}
&  \sigma\left(  u_{\left(  1\right)  }\otimes a_{\left(  1\right)
},u_{\left(  1\right)  }^{\prime}\otimes a_{\left(  1\right)  }^{\prime
}\right)  \varepsilon\left(  u_{\left(  2\right)  }\right)  \tau^{-1}\left(
u_{\left(  2\right)  }^{\prime},a_{\left(  2\right)  }\right)  \varepsilon
\left(  a_{\left(  2\right)  }^{\prime}\right) \\
&  =\varepsilon\left(  u_{\left(  1\right)  }\right)  \tau\left(  u_{\left(
1\right)  }^{\prime},a_{\left(  1\right)  }\right)  \varepsilon\left(
a_{\left(  1\right)  }^{\prime}\right)  \varepsilon\left(  u_{\left(
2\right)  }\right)  \tau^{-1}\left(  u_{\left(  2\right)  }^{\prime
},a_{\left(  2\right)  }\right)  \varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)
}^{\prime}\right) \\
&  =\varepsilon\left(  \underbrace{u_{\left(  1\right)  }\varepsilon\left(
u_{\left(  2\right)  }\right)  }_{=u}\right)  \underbrace{\tau\left(
u_{\left(  1\right)  }^{\prime},a_{\left(  1\right)  }\right)  \tau
^{-1}\left(  u_{\left(  2\right)  }^{\prime},a_{\left(  2\right)  }\right)
}_{=\varepsilon\left(  u^{\prime}\right)  \varepsilon\left(  a\right)
}\varepsilon\left(  \underbrace{a_{\left(  1\right)  }^{\prime}\varepsilon
\left(  a_{\left(  2\right)  }^{\prime}\right)  }_{=a^{\prime}}\right) \\
&  =\varepsilon\left(  u\right)  \varepsilon\left(  u^{\prime}\right)
\varepsilon\left(  a\right)  \varepsilon\left(  a^{\prime}\right)
\end{align*}
und analog%
\[
\varepsilon\left(  u_{\left(  1\right)  }\right)  \tau^{-1}\left(  u_{\left(
1\right)  }^{\prime},a_{\left(  1\right)  }\right)  \varepsilon\left(
a_{\left(  1\right)  }^{\prime}\right)  \sigma\left(  u_{\left(  2\right)
}\otimes a_{\left(  2\right)  },u_{\left(  2\right)  }^{\prime}\otimes
a_{\left(  2\right)  }^{\prime}\right)  =\varepsilon\left(  u\right)
\varepsilon\left(  u^{\prime}\right)  \varepsilon\left(  a\right)
\varepsilon\left(  a^{\prime}\right)  .
\]
Somit ist die $k$-lineare Abbildung%
\[
\left(  U\otimes A\right)  \otimes\left(  U\otimes A\right)  \rightarrow
k,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  u\otimes a\right)  \otimes\left(  u^{\prime
}\otimes a^{\prime}\right)  \mapsto\varepsilon\left(  u\right)  \tau
^{-1}\left(  u^{\prime},a\right)  \varepsilon\left(  a^{\prime}\right)
\]
ein $\ast$-Inverses zu $\sigma,$ was zu beweisen war.

\textbf{Definition:} Seien $U$ und $A$ zwei Bialgebren, und sei $\tau:U\times
A\rightarrow k$ eine schiefe Paarung von Bialgebren. Sei $\sigma:\left(
U\otimes A\right)  \times\left(  U\otimes A\right)  \rightarrow k$ der zu
$\tau$ geh\"{o}rige $2$-Cozyklus (also der nach 2.2. \textbf{1)} ausgehend von
$\tau$ definierte $2$-Cozyklus $\sigma$).

Angenommen, dieser $2$-Cozyklus $\sigma$ ist invertierbar.

Wir definieren dann eine Bialgebra $D\left(  U,A,\tau\right)  $ durch
$D\left(  U,A,\tau\right)  =\left(  U\otimes A\right)  _{\sigma}$ (wobei die
Bialgebra $\left(  U\otimes A\right)  _{\sigma}$ gem\"{a}\ss \ 1.3. definiert
ist). Diese Bialgebra $D\left(  U,A,\tau\right)  $ hei\ss t das
\textit{Drinfeld-Doppel} von $U,A,\tau$ und wird manchmal auch $U\bowtie
_{\tau}A$ bezeichnet.

\textbf{2.3. Folgerung:} Seien $U$ und $A$ zwei Bialgebren. Sei $\tau:U\times
A\rightarrow k$ eine schiefe Paarung von Bialgebren. Angenommen,
$\tau:U\otimes A\rightarrow k$ ist eine $\ast$-invertierbare Abbildung (dies
ist immer erf\"{u}llt, wenn $U$ eine Hopfalgebra ist oder $A$ eine Hopfalgebra
mit invertierbarer Antipode, und manchmal auch in anderen F\"{a}llen). Dann
ist $D:=D\left(  U,A,\tau\right)  $ eine wohldefinierte Bialgebra.

F\"{u}r jedes $u\in U$ und jedes $a\in A$ f\"{u}hren wir die Schreibweise $ua$
f\"{u}r das Element $u\otimes a$ von $D$ ein. F\"{u}r jedes $u\in U$ schreiben
wir kurz $u$ f\"{u}r $u1=u\otimes1\in D,$ und f\"{u}r jedes $a\in A$ schreiben
wir kurz $a$ f\"{u}r $1a=1\otimes a\in D.$ Diese Schreibweise ist legitim, da
$U\otimes1$ und $1\otimes A$ Unterbialgebren von $D$ sind, und da $u\otimes
a=\left(  u\otimes1\right)  \left(  1\otimes a\right)  $ f\"{u}r alle $u\in U$
und $a\in A$ gilt.

Mit dieser Schreibweise sind $U\subseteq D$ und $A\subseteq D$ Unterbialgebren
von $D.$

F\"{u}r alle $a\in A$ und $u\in U$ ist $au=\tau\left(  u_{\left(  1\right)
},a_{\left(  1\right)  }\right)  u_{\left(  2\right)  }a_{\left(  2\right)
}\tau^{-1}\left(  u_{\left(  3\right)  },a_{\left(  3\right)  }\right)  .$

Sind $U$ und $A$ Hopfalgebren, dann ist auch $D$ eine Hopfalgebra.

\textit{Beweis:} Nach 2.2. \textbf{2)} und 2.1. \textbf{1)} ist $\sigma$ ein
$\ast$-invertierbarer $2$-Cozyklus. Nach 1.3. \textbf{2)} ist also $D$ eine
wohldefinierte Bialgebra.

F\"{u}r alle $u,u^{\prime}\in U$ und $a,a^{\prime}\in A$ gelten in $D$
folgende Gleichungen:%
\begin{align*}
\left(  u\otimes1\right)  \left(  u^{\prime}\otimes a\right)   &  =uu^{\prime
}\otimes a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\\
\left(  u\otimes a\right)  \left(  1\otimes a^{\prime}\right)   &  =u\otimes
aa^{\prime},
\end{align*}
denn%
\begin{align*}
\left(  u\otimes1\right)  \left(  u^{\prime}\otimes a\right)   &
=\sigma\left(  u_{\left(  1\right)  }\otimes1,u_{\left(  1\right)  }^{\prime
}\otimes a_{\left(  1\right)  }\right)  u_{\left(  2\right)  }u_{\left(
2\right)  }^{\prime}\otimes a_{\left(  2\right)  }\sigma^{-1}\left(
u_{\left(  3\right)  }\otimes1,u_{\left(  3\right)  }^{\prime}\otimes
a_{\left(  3\right)  }\right) \\
&  =\varepsilon\left(  u_{\left(  1\right)  }\right)  \tau\left(  u_{\left(
1\right)  }^{\prime},1\right)  \varepsilon\left(  a_{\left(  1\right)
}\right)  u_{\left(  2\right)  }u_{\left(  2\right)  }^{\prime}\otimes
a_{\left(  2\right)  }\varepsilon\left(  u_{\left(  3\right)  }\right)
\tau^{-1}\left(  u_{\left(  3\right)  }^{\prime},1\right)  \varepsilon\left(
a_{\left(  3\right)  }\right) \\
&  =\varepsilon\left(  u_{\left(  1\right)  }\right)  \varepsilon\left(
u_{\left(  1\right)  }^{\prime}\right)  \varepsilon\left(  a_{\left(
1\right)  }\right)  u_{\left(  2\right)  }u_{\left(  2\right)  }^{\prime
}\otimes a_{\left(  2\right)  }\varepsilon\left(  u_{\left(  3\right)
}\right)  \varepsilon\left(  u_{\left(  3\right)  }^{\prime}\right)
\varepsilon\left(  a_{\left(  3\right)  }\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{hier verwendeten wir }\tau\left(
u_{\left(  1\right)  }^{\prime},1\right)  =\varepsilon\left(  u_{\left(
1\right)  }^{\prime}\right)  \text{ und }\tau^{-1}\left(  u_{\left(  3\right)
}^{\prime},1\right)  =\varepsilon\left(  u_{\left(  3\right)  }^{\prime
}\right)  \right) \\
&  =uu^{\prime}\otimes a
\end{align*}
und ebenso $\left(  u\otimes a\right)  \left(  1\otimes a^{\prime}\right)
=u\otimes aa^{\prime}.$

Daraus folgt, da\ss \ $U\otimes1$ und $1\otimes A$ Unteralgebren von $D$ sind.
Nat\"{u}rlich sind sie auch Untercoalgebren von $D$ (denn die
Coalgebrastruktur auf $D$ ist einfach die kanonische Coalgebrastruktur auf
$U\otimes A$). Also sind sie Unterbialgebren von $D.$

F\"{u}r alle $a\in A$ und $u\in U$ ist
\begin{align*}
au  &  =\left(  1\otimes a\right)  \left(  u\otimes1\right)  =\sigma\left(
1\otimes a_{\left(  1\right)  },u_{\left(  1\right)  }\otimes1\right)
u_{\left(  2\right)  }\otimes a_{\left(  2\right)  }\sigma^{-1}\left(
1\otimes a_{\left(  3\right)  },u_{\left(  3\right)  }\otimes1\right) \\
&  =\tau\left(  u_{\left(  1\right)  },a_{\left(  1\right)  }\right)
u_{\left(  2\right)  }a_{\left(  2\right)  }\tau^{-1}\left(  u_{\left(
3\right)  },a_{\left(  3\right)  }\right)  .
\end{align*}


Sind $U$ und $A$ Hopfalgebren, dann folgt aus 1.3. \textbf{2)}, da\ss \ auch
$D$ eine solche ist.

\textbf{Definition:} Sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra. Sei eine
$k$-bilineare Abbildung $\tau:H^{\ast\operatorname*{cop}}\times H\rightarrow
k$ definiert durch $\tau\left(  f,h\right)  =f\left(  h\right)  $ f\"{u}r alle
$f\in H^{\ast}$ und $h\in H.$ Die Bialgebra $D\left(  H\right)  $ werde durch
$D\left(  H\right)  =D\left(  H^{\ast\operatorname*{cop}},H,\tau\right)  $
definiert und als das \textit{Drinfeld-Doppel} der Hopfalgebra $H$ bezeichnet.

\textbf{2.4. Folgerung:} Sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra. Dann
ist diese Bialgebra $D\left(  H\right)  $ eine endlichdimensionale
Hopfalgebra, und $H\subseteq D\left(  H\right)  $ und $H^{\ast
\operatorname*{cop}}\subseteq D\left(  H\right)  $ sind Unterhopfalgebren.

In $D\left(  H\right)  $ gilt folgende Vertauschungsregel:%
\[
hf=f\left(  S^{-1}\left(  h_{\left(  3\right)  }\right)  \underline{?}%
h_{\left(  1\right)  }\right)  h_{\left(  2\right)  }%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }h\in H\text{ und }f\in H^{\ast},
\]
wobei $f\otimes h$ mit $fh$ identifiziert wird.

\textit{Anmerkung:} Hier verwenden wir folgende Notation: Ist $f\in H^{\ast}$
und sind $a,b\in H,$ dann bedeutet $f\left(  a\underline{?}b\right)  $ die
Abbildung von $H$ nach $k,$ die durch
\[
f\left(  a\underline{?}b\right)  \left(  x\right)  =f\left(  axb\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in H
\]
definiert ist. Also ist $f\left(  a\underline{?}b\right)  \in H^{\ast}.$ (Man
schreibt oft auch $f\left(  a-b\right)  $ oder $f\left(  a?b\right)  $ statt
$f\left(  a\underline{?}b\right)  .$)

\textit{Beweis:} Erstmal ist $\tau:H^{\ast\operatorname*{cop}}\times
H\rightarrow k,$ $\tau\left(  f,h\right)  =f\left(  h\right)  $ eine schiefe
Paarung von Bialgebren (gem\"{a}\ss \ 2.1. \textbf{3)} \textbf{a)}), denn
wegen $\tau_{L}=\operatorname*{id}$ (denn f\"{u}r alle $f\in H^{\ast}$ und
$h\in H$ ist $\tau_{L}\left(  f\right)  \left(  h\right)  =f\left(  h\right)
$) ist $\tau_{L}=\operatorname*{id}\in\operatorname*{Bialg}\left(
H^{\ast\operatorname*{cop}},H^{\ast\operatorname*{cop}}\right)  $.

Da die Hopfalgebra $H$ endlichdimensional ist, hat $H$ eine bijektive
Antipode. Nach 2.3. ist also $D\left(  H\right)  $ eine Hopfalgebra, und
f\"{u}r alle $h\in H$ und $f\in H^{\ast\operatorname*{cop}}$ gilt%
\[
hf=\tau\left(  f_{\left(  1\right)  },h_{\left(  1\right)  }\right)
f_{\left(  2\right)  }h_{\left(  2\right)  }\tau^{-1}\left(  f_{\left(
3\right)  },h_{\left(  3\right)  }\right)  ,
\]
wobei $f_{\left(  1\right)  }\otimes f_{\left(  2\right)  }\otimes f_{\left(
3\right)  }$ das Bild von $f$ unter $\left(  \Delta_{H^{\ast
\operatorname*{cop}}}\otimes\operatorname*{id}\right)  \circ\Delta
_{H^{\ast\operatorname*{cop}}}$ bezeichnet. Wenn wir stattdessen das Bild von
$f$ unter $\left(  \Delta_{H^{\ast}}\otimes\operatorname*{id}\right)
\circ\Delta_{H^{\ast}}$ mit $f_{\left(  1\right)  }\otimes f_{\left(
2\right)  }\otimes f_{\left(  3\right)  }$ bezeichnen, wird dies zu
\begin{align*}
hf  &  =\underbrace{\tau\left(  f_{\left(  3\right)  },h_{\left(  1\right)
}\right)  }_{=f_{\left(  3\right)  }\left(  h_{\left(  1\right)  }\right)
}f_{\left(  2\right)  }h_{\left(  2\right)  }\underbrace{\tau^{-1}\left(
f_{\left(  1\right)  },h_{\left(  3\right)  }\right)  }_{\substack{=\tau
\left(  f_{\left(  1\right)  },S^{-1}\left(  h_{\left(  3\right)  }\right)
\right)  \\\text{(gem\"{a}\ss \ 2.1. \textbf{1)})}}}=f_{\left(  3\right)
}\left(  h_{\left(  1\right)  }\right)  f_{\left(  2\right)  }h_{\left(
2\right)  }\underbrace{\tau\left(  f_{\left(  1\right)  },S^{-1}\left(
h_{\left(  3\right)  }\right)  \right)  }_{=f_{\left(  1\right)  }\left(
S^{-1}\left(  h_{\left(  3\right)  }\right)  \right)  }\\
&  =\underbrace{f_{\left(  1\right)  }\left(  S^{-1}\left(  h_{\left(
3\right)  }\right)  \right)  f_{\left(  2\right)  }f_{\left(  3\right)
}\left(  h_{\left(  1\right)  }\right)  }_{=f\left(  S^{-1}\left(  h_{\left(
3\right)  }\right)  \underline{?}h_{\left(  1\right)  }\right)  }h_{\left(
2\right)  }=f\left(  S^{-1}\left(  h_{\left(  3\right)  }\right)
\underline{?}h_{\left(  1\right)  }\right)  h_{\left(  2\right)  }.
\end{align*}


\textbf{2.5. Folgerung:} Sei $G$ eine endliche Gruppe. Dann ist $D\left(
k\left[  G\right]  \right)  $ eine Hopfalgebra mit Basis $\left(
e_{g}h\right)  _{g,h\in G},$ wobei $e_{g}h$ jeweils das Produkt von $e_{g}$
und $h$ in $D\left(  k\left[  G\right]  \right)  $ bezeichnet. F\"{u}r diese
Hopfalgebra gelten folgende Rechenregeln:%
\begin{align*}
e_{a}e_{b}  &  =\delta_{a,b}e_{a}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle
}a,b\in G;\\
ab  &  =\text{Produkt von }a\text{ mit }b\text{ in }%
G\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }a,b\in G;\\
\Delta\left(  e_{g}h\right)   &  =\sum_{\substack{a,b\in G,\\ab=g}%
}e_{b}h\otimes e_{a}h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }g,h\in G
\end{align*}
und die Vertauschungsregel%
\[
he_{g}=e_{hgh^{-1}}h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }g,h\in G.
\]


Au\ss erdem ist $u:=\sum\limits_{g\in G}e_{g^{-1}}g$ ein zentrales Element von
$D\left(  k\left[  G\right]  \right)  $, und die Antipode $S$ von $D\left(
k\left[  G\right]  \right)  $ erf\"{u}llt $S^{2}=\operatorname*{id}$ und
$S\left(  u\right)  =u.$

\textit{Beweis:} Die ersten drei Rechenregeln folgen aus 2.4.. F\"{u}r alle
$g,h\in G$ gilt%
\begin{align*}
he_{g}  &  =e_{g}\left(  \underbrace{S^{-1}}_{=S}\left(  h\right)
\underline{?}h\right)  h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{nach 2.4., da
}h_{\left(  1\right)  }\otimes h_{\left(  2\right)  }\otimes h_{\left(
3\right)  }=h\otimes h\otimes h\right) \\
&  =\underbrace{e_{g}\left(  h^{-1}\underline{?}h\right)  }%
_{\substack{=e_{hgh^{-1}},\text{ denn}\\\text{f\"{u}r alle }a\in G\text{
ist}\\e_{g}\left(  h^{-1}ah\right)  \\=e_{hgh^{-1}}\left(  a\right)
}}h=e_{hgh^{-1}}h,
\end{align*}
womit die Vertauschungsregel gezeigt ist.

F\"{u}r alle $h\in G$ gilt%
\begin{align*}
hu  &  =h\sum\limits_{g\in G}e_{g^{-1}}g=\sum\limits_{g\in G}%
\underbrace{he_{g^{-1}}}_{=e_{hg^{-1}h^{-1}}h}g=\sum\limits_{g\in
G}\underbrace{e_{hg^{-1}h^{-1}}}_{=e_{\left(  hgh^{-1}\right)  ^{-1}}%
}\underbrace{hg}_{=\left(  hgh^{-1}\right)  h}=\sum\limits_{g\in G}e_{\left(
hgh^{-1}\right)  ^{-1}}\left(  hgh^{-1}\right)  h\\
&  =\sum\limits_{g\in G}e_{g^{-1}}gh\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{hier
haben wir }g\text{ durch }hgh^{-1}\text{ substituiert}\right) \\
&  =uh
\end{align*}
und $e_{h}u=ue_{h}$ (da%
\[
e_{h}u=\sum_{g\in G}e_{h}e_{g^{-1}}g=e_{h}h^{-1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ue_{h}=\sum\limits_{g\in G}e_{g^{-1}}\underbrace{ge_{h}%
}_{=e_{ghg^{-1}}g}=\sum\limits_{g\in G}e_{g^{-1}}e_{ghg^{-1}}g=e_{h}h^{-1}%
\]
), und somit ist $u$ zentral in $D\left(  k\left[  G\right]  \right)  .$

F\"{u}r alle $g,h\in G$ ist%
\[
S\left(  e_{g}h\right)  =S\left(  h\right)  S\left(  e_{g}\right)
=h^{-1}e_{g^{-1}}=e_{h^{-1}g^{-1}h}h^{-1},
\]
also%
\begin{align*}
S\left(  u\right)   &  =S\left(  \sum\limits_{g\in G}e_{g^{-1}}g\right)
=\sum\limits_{g\in G}S\left(  e_{g^{-1}}g\right)  =\sum\limits_{g\in
G}e_{g^{-1}\left(  g^{-1}\right)  ^{-1}g}g^{-1}=\sum\limits_{g\in G}%
e_{g}g^{-1}=\sum\limits_{g\in G}e_{g^{-1}}g\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{hier haben wir }g\text{ durch }%
g^{-1}\text{ substituiert}\right) \\
&  =u
\end{align*}
und $S^{2}=\operatorname*{id}$ wegen%
\[
S^{2}\left(  e_{g}h\right)  =S\left(  \underbrace{S\left(  e_{g}h\right)
}_{=e_{h^{-1}g^{-1}h}h^{-1}}\right)  =S\left(  e_{h^{-1}g^{-1}h}h^{-1}\right)
=e_{\left(  h^{-1}\right)  ^{-1}\left(  h^{-1}g^{-1}h\right)  ^{-1}h^{-1}%
}\left(  h^{-1}\right)  ^{-1}=e_{g}h.
\]


\textbf{2.6. Beispiel:} Sei $\Gamma$ eine endliche abelsche Gruppe. (Wir
schreiben die Gruppe $\Gamma$ im folgenden multiplikativ.) Dann gibt es
nat\"{u}rliche Zahlen $M_{1},M_{2},...,M_{s}$ mit $\Gamma\cong\mathbb{Z}%
\diagup\left(  M_{1}\right)  \oplus...\oplus\mathbb{Z}\diagup\left(
M_{s}\right)  $ und $M_{\ell}>1$ f\"{u}r alle $\ell\in\left\{
1,2,...,s\right\}  $. Fixiere einen Gruppenisomorphismus $\Gamma
\rightarrow\mathbb{Z}\diagup\left(  M_{1}\right)  \oplus...\oplus
\mathbb{Z}\diagup\left(  M_{s}\right)  ,$ und bezeichne mit $b_{\ell}$ das
Urbild von $\left(  0,0,...,0,\underbrace{\overline{1}}_{\ell\text{-te
Koordinate}},0,...,0\right)  \in\mathbb{Z}\diagup\left(  M_{1}\right)
\oplus...\oplus\mathbb{Z}\diagup\left(  M_{s}\right)  $ unter diesem
Isomorphismus f\"{u}r jedes $\ell\in\left\{  1,2,...,s\right\}  .$

Seien $g_{1},g_{2}\in\Gamma.$ Seien $\chi_{1},\chi_{2}\in\widehat{\Gamma},$
wobei die abelsche Gruppe $\widehat{\Gamma}$ definiert ist als
$\widehat{\Gamma}=\operatorname*{Gr}\left(  \Gamma,k^{\times}\right)  ,$ wobei
$k^{\times}$ die multiplikative Gruppe $k\setminus\left\{  0\right\}  $ bezeichnet.

Sei $N_{i}=\operatorname*{ord}\left(  \chi_{i}\left(  g_{i}\right)  \right)  $
f\"{u}r alle $i\in\left\{  1,2\right\}  .$ Angenommen, $N_{1}>1$ und
$N_{2}>1.$ Sei $n=\operatorname*{kgV}\left(  \operatorname*{ord}%
g_{1},\operatorname*{ord}\chi_{1}\right)  .$

Dann ist%
\[
U:=k\left\langle z,u\ \mid\ z^{n}=1,\ zuz^{-1}=\chi_{1}\left(  g_{1}\right)
u,\ u^{N_{1}}=0\right\rangle
\]
eine Hopfalgebra mit%
\begin{align*}
\Delta\left(  z\right)   &  =z\otimes z,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta\left(
u\right)  =z\otimes u+u\otimes1,\\
\varepsilon\left(  z\right)   &  =1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon\left(
u\right)  =0,\\
S\left(  z\right)   &  =z^{n-1}=z^{-1},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S\left(  u\right)
=-z^{-1}u.
\end{align*}
Sei%
\begin{align*}
A  &  :=k\left\langle y_{1},y_{2},...,y_{s},a\ \mid\ y_{\ell}^{M_{\ell}%
}=1,\ y_{\ell}y_{m}=y_{m}y_{\ell}\text{ f\"{u}r alle }1\leq\ell,m\leq
s,\right. \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.  y_{\ell}a=\chi_{2}\left(  b_{\ell}\right)
ay_{\ell}\text{ f\"{u}r alle }1\leq\ell\leq s,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a^{N_{2}%
}=0\right\rangle
\end{align*}
eine Hopfalgebra mit%
\begin{align*}
\Delta\left(  y_{\ell}\right)   &  =y_{\ell}\otimes y_{\ell}\text{ f\"{u}r
alle }1\leq\ell\leq s,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta\left(  a\right)
=g_{2}\otimes a+a\otimes1,\\
\varepsilon\left(  y_{\ell}\right)   &  =1,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon
\left(  a\right)  =0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S\left(  y_{\ell}\right)  =y_{\ell
}^{M_{\ell}-1}=y_{\ell}^{-1},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S\left(  a\right)
=-g_{2}^{-1}a,
\end{align*}
wobei mit $g_{2}$ nicht das Element $g_{2}$ von $\Gamma,$ sondern das Bild von
$g_{2}$ unter dem Monoidhomomorphismus%
\[
\Gamma\rightarrow A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b_{1}^{t_{1}}b_{2}^{t_{2}}%
...b_{s}^{t_{s}}\mapsto y_{1}^{t_{1}}y_{2}^{t_{2}}...y_{s}^{t_{s}}%
\]
(wobei $A$ als multiplikatives Monoid angesehen wird) gemeint ist.

(Da\ss \ $U$ und $A$ Hopfalgebren sind, zeigt man wie im Beweis der
Taft-Hopfalgebra.) Es gilt%
\begin{align*}
k\left[  u\right]  \otimes k\left[  z\right]   &
\underset{\operatorname*{mult}}{\overset{\cong}{\longrightarrow}%
}U,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k\left[  z\right]  \cong k\left[  \mathbb{Z}%
\diagup\left(  n\right)  \right]  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k\left[  u\right]
\cong\underbrace{k\left[  T\right]  }_{\substack{\text{Polynomalgebra}%
\\\text{in der}\\\text{Unbestimmten }T}}\diagup\left(  T^{N_{1}}\right)  ,\\
k\left[  a\right]  \otimes k\left[  y_{1},y_{2},...,y_{s}\right]   &
\underset{\operatorname*{mult}}{\overset{\cong}{\longrightarrow}%
}A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k\left[  y_{1},y_{2},...,y_{s}\right]  \cong k\left[
\Gamma\right]  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k\left[  a\right]  \cong k\left[
T\right]  \diagup\left(  T^{N_{2}}\right)  ,
\end{align*}
wobei die beiden $\underset{\operatorname*{mult}}{\overset{\cong%
}{\longrightarrow}}$-Pfeile Vektorraumisomorphismen (und nicht
Hopfalgebraisomorphismen!) bedeuten.

Sei nun $\widetilde{\lambda}\in k,$ und angenommen, es gelte $\chi_{1}\chi
_{2}=\varepsilon$ und $\chi_{1}\left(  g_{2}\right)  \chi_{2}\left(
g_{1}\right)  =1.$

\textbf{1)} Sei $\sigma:A\rightarrow k$ der Algebrahomomorphismus, der
$\sigma\left(  y_{\ell}\right)  =\chi_{1}\left(  b_{\ell}\right)  $ f\"{u}r
alle $1\leq\ell\leq s$ und $\sigma\left(  a\right)  =0$ erf\"{u}llt. (So ein
Algebrahomomorphismus $\sigma$ existiert und ist eindeutig.)

Sei $\delta:A\rightarrow k$ die $\left(  \varepsilon,\sigma\right)
$-Derivation, die $\delta\left(  y_{\ell}\right)  =0$ f\"{u}r alle $1\leq
\ell\leq s$ und $\delta\left(  a\right)  =\widetilde{\lambda}$ erf\"{u}llt.

Es gibt einen Hopfalgebrahomomorphismus $\varphi:U\rightarrow A^{\ast
\operatorname*{cop}}$ mit $\varphi\left(  z\right)  =\sigma$ und
$\varphi\left(  u\right)  =\delta.$

\textbf{2)} Das Element $zg_{1}^{-1}$ (das hei\ss t, das Element $z\otimes
g_{1}^{-1}$) ist zentral in $D\left(  U,A,\tau\right)  ,$ wobei $\tau:U\otimes
A\rightarrow k$ durch $\tau\left(  u,a\right)  =\varphi\left(  u\right)
\left(  a\right)  $ f\"{u}r alle $u\in U$ und $a\in A$ definiert ist.

[...]

[HIER FEHLEN MEHRERE VORLESUNGEN. Werden vermutlich nicht mehr aufgeschrieben.]

[...]

\textit{Zeige allgemein:} Ist $D$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra, ist
$g\in G\left(  D\right)  ,$ ist $g$ zentral in $D,$ und ist
$n=\operatorname*{ord}g,$ dann ist $\dim\left(  D\diagup\left(  g-1\right)
\right)  =\dfrac{\dim D}{n}.$

\textit{Beweis:} Die Abbildung%
\begin{align*}
D\diagup\left(  g-1\right)   &  \rightarrow D\otimes_{k\left[  g\right]  }k,\\
\overline{d}  &  \mapsto d\otimes1,
\end{align*}
wobei $k$ ein $k\left[  g\right]  $-Modul verm\"{o}ge $\varepsilon$ ist, ist
ein Isomorphismus von $D$-Linksmoduln, und seine Umkehrabbildung ist%
\begin{align*}
D\otimes_{k\left[  g\right]  }k  &  \rightarrow D\diagup\left(  g-1\right)
,\\
d\otimes1  &  \mapsto\overline{d}%
\end{align*}
(denn beide Abbildungen sind wohldefiniert\footnote{Denn f\"{u}r alle $d\in D$
ist $d\left(  g-1\right)  \otimes1=d\otimes\left(  g-1\right)  \cdot
1=d\otimes\underbrace{\varepsilon\left(  g-1\right)  }_{=0}\cdot1=0$ und die
Abbildung%
\[
D\times k\rightarrow D\diagup\left(  g-1\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
d,\lambda\right)  \mapsto d\lambda
\]
ist $k\left[  g\right]  $-tensoriell, da f\"{u}r jedes $d\in D$ gilt:%
\begin{align*}
\left(  dg,1\right)   &  \mapsto\overline{dg}=\overline{d}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}\\
\left(  d,\underbrace{g\cdot1}_{=1}\right)   &  \mapsto\overline{d}.
\end{align*}
} und zueinander invers). Nach Nichols-Zoeller oder Skryabin gibt es ein
$t\geq1$ mit $D\cong\left(  k\left[  g\right]  \right)  ^{t}$ als $k\left[
g\right]  $-Rechtsmoduln. Daraus folgt $D\otimes_{k\left[  g\right]  }%
k\cong\left(  k\left[  g\right]  \right)  ^{t}\otimes_{k\left[  g\right]
}k\cong k^{t}$. Also ist $\dim\left(  D\diagup\left(  g-1\right)  \right)
=t=\dfrac{\dim D}{\dim\left(  k\left[  g\right]  \right)  }=\dfrac{\dim D}%
{n}.$

[...]

[HIER FEHLEN MEHRERE VORLESUNGEN. Werden vermutlich nicht mehr aufgeschrieben.]

[...]

\begin{center}
\fbox{\textbf{3. Einschub: Duale Coalgebren}}
\end{center}

\fbox{\textbf{Die duale Coalgebra }$A^{0}$}

Wir wissen, da\ss \ der Dualraum $C^{\ast}$ einer Coalgebra $C$ kanonisch zu
einer Algebra wird. Wir k\"{o}nnen auch umgekehrt auf dem Dualraum $A^{\ast}$
einer Algebra $A$ eine Coalgebrastruktur finden, aber nur falls $\dim
A<\infty$ ist. Wir wollen aber eine "duale Coalgebra" zu einer Algebra $A$
auch f\"{u}r $\dim A=\infty$ definieren. Dazu m\"{u}ssen wir uns von der
Vorstellung verabschieden, da\ss \ diese "duale Coalgebra" als Vektorraum
gleich $A^{\ast}$ sein mu\ss ; stattdessen betrachten wir eine Teilmenge von
$A^{\ast}.$

\textbf{Definition:} Sei $A$ eine Algebra. Sei $A^{0}$ der Untervektorraum%
\[
A^{0}=\left\{  f\in A^{\ast}\ \mid\ \text{es gibt ein }I\vartriangleleft
A\text{ mit }\dim\left(  A\diagup I\right)  <\infty\text{ und }f\left(
I\right)  =0\right\}
\]
des Dualraumes $A^{\ast}.$

\textbf{3.1. Lemma:} Sei $A$ eine Algebra, und sei $f\in A^{\ast}.$ Dann sind
folgende acht Aussagen zueinander \"{a}quivalent:

\textbf{1)} Es gibt ein $n\in\mathbb{N}$ und Elemente $f_{1i},f_{2i}\in
A^{\ast}$ f\"{u}r alle $1\leq i\leq n$ so, da\ss \ f\"{u}r alle $x,y\in A$
gilt: $f\left(  xy\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}f_{1i}\left(  x\right)
f_{2i}\left(  y\right)  .$

\textbf{2)} Es gibt ein $I\vartriangleleft A$ mit $\dim\left(  A\diagup
I\right)  <\infty$ und $f\left(  I\right)  =0.$

\textbf{3)} Es gibt ein Linksideal $I$ von $A$ mit $\dim\left(  A\diagup
I\right)  <\infty$ und $f\left(  I\right)  =0.$

\textbf{4)} Es gibt ein Rechtsideal $I$ von $A$ mit $\dim\left(  A\diagup
I\right)  <\infty$ und $f\left(  I\right)  =0.$

\textbf{5)} Es gilt $\dim\left(  Af\right)  <\infty.$

\textbf{6)} Es gilt $\dim\left(  fA\right)  <\infty.$

\textbf{7)} Es gilt $f\in A^{0}.$

\textbf{8)} Es gibt ein $n\in\mathbb{N}$ und Elemente $f_{1i},f_{2i}\in A^{0}$
f\"{u}r alle $1\leq i\leq n$ so, da\ss \ f\"{u}r alle $x,y\in A$ gilt:
$f\left(  xy\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}f_{1i}\left(  x\right)
f_{2i}\left(  y\right)  .$

\textit{Bemerkung:} Hier verwenden wir, wie schon fr\"{u}her (z. B. in Kapitel
III.1), die $\left(  A,A\right)  $-Bimodulstruktur auf $A^{\ast},$ die durch%
\begin{align*}
\left(  af\right)  \left(  x\right)   &  =f\left(  xa\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }a\in A,\text{ }f\in A^{\ast}\text{ und
}x\in A,\text{ und}\\
\left(  fa\right)  \left(  x\right)   &  =f\left(  ax\right)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }a\in A,\text{ }f\in A^{\ast}\text{ und
}x\in A
\end{align*}
definiert ist. Im Sinne dieser $\left(  A,A\right)  $-Bimodulstruktur sind
$Af$ und $fA$ zu verstehen.

\textit{Beweis:} \textit{Beweis von \textbf{1)}} $\Longrightarrow$
\textbf{\textit{5)}}\textit{:} Angenommen, Aussage \textbf{1)} gilt. Das
hei\ss t, es gibt ein $n\in\mathbb{N}$ und Elemente $f_{1i},f_{2i}\in A^{\ast
}$ f\"{u}r alle $1\leq i\leq n$ so, da\ss \ f\"{u}r alle $x,y\in A$ gilt:
$f\left(  xy\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}f_{1i}\left(  x\right)
f_{2i}\left(  y\right)  $. Betrachte dieses $n$ und diese Elemente
$f_{1i},f_{2i}\in A^{\ast}$.

F\"{u}r jedes $y\in A$ ist%
\begin{align*}
yf  &  =\sum\limits_{i=1}^{n}f_{1i}f_{2i}\left(  y\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn f\"{u}r jedes }x\in A\text{ ist
}\left(  yf\right)  \left(  x\right)  =f\left(  xy\right)  =\sum
\limits_{i=1}^{n}f_{1i}\left(  x\right)  f_{2i}\left(  y\right)  =\left(
\sum\limits_{i=1}^{n}f_{1i}f_{2i}\left(  y\right)  \right)  \left(  x\right)
\right) \\
&  \in\left\langle f_{1i}\ \mid\ i\in\left\{  1,2,...,n\right\}  \right\rangle
,
\end{align*}
und somit ist $Af$ endlich erzeugt, also $\dim\left(  Af\right)  <\infty.$

\textit{Beweis von \textbf{5)}} $\Longrightarrow$ \textit{\textbf{4}%
}\textbf{\textit{)}}\textit{:} Angenommen, Aussage \textbf{5)} gilt. Das
hei\ss t, $\dim\left(  Af\right)  <\infty$. Also ist auch $\dim\left(  \left(
Af\right)  ^{\ast}\right)  <\infty$.

Betrachte die kanonische Abbildung%
\[
\operatorname*{kan}:A\rightarrow A^{\ast\ast},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto
\left(  g\mapsto g\left(  a\right)  \right)  .
\]
Sei%
\begin{align*}
I  &  =\operatorname*{Ker}\left(  A\overset{\operatorname*{kan}%
}{\longrightarrow}A^{\ast\ast}\overset{\text{Restriktion}}{\longrightarrow
}\left(  Af\right)  ^{\ast}\right)  =\left\{  x\in A\ \mid\ g\left(  x\right)
=0\text{ f\"{u}r alle }g\in Af\right\} \\
&  =\left\{  x\in A\ \mid\ \left(  af\right)  \left(  x\right)  =0\text{
f\"{u}r alle }a\in A\right\}  =\left\{  x\in A\ \mid\ f\left(  xa\right)
=0\text{ f\"{u}r alle }a\in A\right\}  .
\end{align*}
Dieses $I$ ist offensichtlich ein Rechtsideal von $A.$ Da $\dim\left(  \left(
Af\right)  ^{\ast}\right)  <\infty$ ist, ist also $\dim\left(  A\diagup
I\right)  <\infty$ (denn
\[
A\diagup I=A\diagup\operatorname*{Ker}\left(  A\overset{\operatorname*{kan}%
}{\longrightarrow}A^{\ast\ast}\overset{\text{Restriktion}}{\longrightarrow
}\left(  Af\right)  ^{\ast}\right)  \cong\operatorname{Im}\left(
A\overset{\operatorname*{kan}}{\longrightarrow}A^{\ast\ast}%
\overset{\text{Restriktion}}{\longrightarrow}\left(  Af\right)  ^{\ast
}\right)
\]
nach dem Homomorphiesatz, und somit ist $\dim\left(  A\diagup I\right)
=\dim\left(  \operatorname{Im}\left(  A\overset{\operatorname*{kan}%
}{\longrightarrow}A^{\ast\ast}\overset{\text{Restriktion}}{\longrightarrow
}\left(  Af\right)  ^{\ast}\right)  \right)  \leq\dim\left(  \left(
Af\right)  ^{\ast}\right)  $), und nat\"{u}rlich ist $f\left(  I\right)  =0.$
Damit ist Aussage \textbf{4)} erf\"{u}llt.

\textit{Beweis von \textbf{4)}} $\Longrightarrow$ \textit{\textbf{2}%
}\textbf{\textit{)}}\textit{:} Angenommen, Aussage \textbf{4)} gilt. Es gibt
also ein Rechtsideal $I$ von $A$ mit $\dim\left(  A\diagup I\right)  <\infty$
und $f\left(  I\right)  =0.$ Betrachte dieses $I$.

Nach \textbf{4)} ist $A\diagup I$ ein endlichdimensionaler $A$-Rechtsmodul.
Somit ist auch $\dim\left(  \operatorname*{End}\left(  A\diagup I\right)
\right)  <\infty$.

Sei%
\[
J=\operatorname*{Ker}\left(  A\rightarrow\operatorname*{End}\left(  A\diagup
I\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto\left(  \overline{x}\mapsto\overline
{x}a\right)  \right)  .
\]
Dann ist $J\vartriangleleft A,$ und $A\diagup J$ ist endlichdimensional (denn
\begin{align*}
A\diagup J  &  =A\diagup\operatorname*{Ker}\left(  A\rightarrow
\operatorname*{End}\left(  A\diagup I\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto
\left(  \overline{x}\mapsto\overline{x}a\right)  \right) \\
&  \cong\operatorname{Im}\left(  A\rightarrow\operatorname*{End}\left(
A\diagup I\right)  ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto\left(  \overline{x}%
\mapsto\overline{x}a\right)  \right)
\end{align*}
nach dem Homomorphiesatz, und somit ist%
\[
\dim\left(  A\diagup J\right)  =\dim\left(  \operatorname{Im}\left(
A\rightarrow\operatorname*{End}\left(  A\diagup I\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto\left(  \overline{x}\mapsto\overline{x}a\right)
\right)  \right)  \leq\dim\left(  \operatorname*{End}\left(  A\diagup
I\right)  \right)  <\infty
\]
), und es gilt $f\left(  J\right)  =0$ (da $J\subseteq I,$ denn f\"{u}r alle
$a\in J$ gilt: $\overline{1}\mapsto\overline{1}a=\overline{a}$ und damit
$\overline{a}=0$ (denn wegen $a\in J$ ist $\overline{x}\mapsto\overline{x}a$
der Nullhomomorphismus), also $a\in I$), und \textbf{2)} ist gezeigt.

\textit{Beweis von \textbf{2)}} $\Longrightarrow$ \textit{\textbf{8}%
}\textbf{\textit{)}}\textit{:} Angenommen, Aussage \textbf{2)} gilt. Es gibt
also ein $I\vartriangleleft A$ mit $\dim\left(  A\diagup I\right)  <\infty$
und $f\left(  I\right)  =0.$ Betrachte dieses $I$.

F\"{u}r jedes $t\in A$ bezeichnen wir mit $\overline{t}$ die Restklasse von
$A$ modulo dem Ideal $I$. Wir identifizieren $\left(  A\diagup I\right)
^{\ast}$ mit der Teilmenge $\left\{  g\in A^{\ast}\ \mid\ g\left(  I\right)
=0\right\}  $ von $A^{\ast}$. Dann ist nat\"{u}rlich $\left(  A\diagup
I\right)  ^{\ast}$ eine Teilmenge von $A^{0}$ (denn f\"{u}r jedes $g\in
A^{\ast}$ mit $g\left(  I\right)  =0$ gilt $g\in A^{0}$ gem\"{a}\ss \ der
Definition von $A^{0}$).

Da wir $\left(  A\diagup I\right)  ^{\ast}$ mit der Teilmenge $\left\{  g\in
A^{\ast}\ \mid\ g\left(  I\right)  =0\right\}  $ von $A^{\ast}$ identifiziert
haben, gilt $g\left(  t\right)  =g\left(  \overline{t}\right)  $ f\"{u}r jedes
$g\in\left(  A\diagup I\right)  ^{\ast}$ und jedes $t\in A$.

Da $A\diagup I$ eine endlichdimensionale Algebra ist, ist $\left(  A\diagup
I\right)  ^{\ast}$ eine endlichdimensionale Coalgebra.

Nun ist $f$ ein Element von $\left(  A\diagup I\right)  ^{\ast}$ (denn
$f\left(  I\right)  =0$ und $\left(  A\diagup I\right)  ^{\ast}=\left\{  g\in
A^{\ast}\ \mid\ g\left(  I\right)  =0\right\}  $). Da $\left(  A\diagup
I\right)  ^{\ast}$ eine Coalgebra ist, gibt es somit ein $n\in\mathbb{N}$ und
$f_{1i},f_{2i}\in\left(  A\diagup I\right)  ^{\ast}$ f\"{u}r alle $1\leq i\leq
n$ mit $\Delta_{\left(  A\diagup I\right)  ^{\ast}}\left(  f\right)
=\sum\limits_{i=1}^{n}f_{1i}\otimes f_{2i},$ wobei $\Delta_{\left(  A\diagup
I\right)  ^{\ast}}:\left(  A\diagup I\right)  ^{\ast}\rightarrow\left(
A\diagup I\right)  ^{\ast}\otimes\left(  A\diagup I\right)  ^{\ast}$ die
Comultiplikation von $\left(  A\diagup I\right)  ^{\ast}$ ist. Aus
$f_{1i},f_{2i}\in\left(  A\diagup I\right)  ^{\ast}$ folgt $f_{1i},f_{2i}\in
A^{0}$ (denn $\left(  A\diagup I\right)  ^{\ast}\subseteq A^{0}$). F\"{u}r
beliebige $x,y\in A$ ist nun
\begin{align*}
f\left(  xy\right)   &  =f\left(  \overline{xy}\right)  =f\left(  \overline
{x}\cdot\overline{y}\right)  =\mu\left(  \underbrace{\left(  \Delta_{\left(
A\diagup I\right)  ^{\ast}}\left(  f\right)  \right)  }_{=\sum\limits_{i=1}%
^{n}f_{1i}\otimes f_{2i}}\left(  \overline{x}\otimes\overline{y}\right)
\right)  =\mu\left(  \left(  \sum\limits_{i=1}^{n}f_{1i}\otimes f_{2i}\right)
\left(  \overline{x}\otimes\overline{y}\right)  \right) \\
&  =\mu\left(  \sum\limits_{i=1}^{n}f_{1i}\left(  \overline{x}\right)  \otimes
f_{2i}\left(  \overline{y}\right)  \right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}%
\underbrace{f_{1i}\left(  \overline{x}\right)  }_{=f_{1i}\left(  x\right)
}\underbrace{f_{2i}\left(  \overline{y}\right)  }_{=f_{2i}\left(  y\right)
}=\sum\limits_{i=1}^{n}f_{1i}\left(  x\right)  f_{2i}\left(  y\right)  .
\end{align*}


Damit ist Aussage \textbf{8)} bewiesen.

\textit{Beweis von \textbf{8)}} $\Longrightarrow$ \textbf{\textit{1)}%
}\textit{:} Da\ss \ Aussage \textbf{1)} aus Aussage \textbf{8)} folgt, ist
trivial (denn $A^{0}\subseteq A^{\ast}$).

Damit haben wir insgesamt die \"{A}quivalenz \textbf{8)} $\Longleftrightarrow$
\textbf{1)} $\Longleftrightarrow$ \textbf{2)} $\Longleftrightarrow$
\textbf{4)} $\Longleftrightarrow$ \textbf{5)} gezeigt. Analog beweist man die
\"{A}quivalenz \textbf{8)} $\Longleftrightarrow$ \textbf{1)}
$\Longleftrightarrow$ \textbf{2)} $\Longleftrightarrow$ \textbf{3)}
$\Longleftrightarrow$ \textbf{6)}. Schlie\ss lich gilt \textbf{2)}
$\Longleftrightarrow$ \textbf{7)} nach Definition. Somit ist die gesamte
Aussage von Lemma 3.1. bewiesen.

\textbf{3.2. Folgerung:} Sei $A$ eine Algebra. Dann wird der Vektorraum
$A^{0}$ zu einer Coalgebra, wenn man folgenderma\ss en Abbildungen
$\Delta_{A^{0}}:A^{0}\rightarrow A^{0}\otimes A^{0}$ und $\varepsilon_{A^{0}%
}:A^{0}\rightarrow k$ einf\"{u}hrt:

Die Abbildung $\Delta_{A^{0}}:A^{0}\rightarrow A^{0}\otimes A^{0}$ sei
definiert durch $\Delta_{A^{0}}\left(  f\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}%
f_{1i}\otimes f_{2i},$ wobei $n\in\mathbb{N}$ und $f_{1i},f_{2i}\in A^{0}$
f\"{u}r alle $1\leq i\leq n$ wie in Lemma 3.1. \textbf{8)} definiert
sind\footnote{Diese Werte $n$ und $f_{1i},f_{2i}$ sind nat\"{u}rlich nicht
eindeutig bestimmt, aber der Wert von $\Delta_{A^{0}}\left(  f\right)  $ ist
eindeutig bestimmt (denn aus $\Delta_{A^{0}}\left(  f\right)  =\sum
\limits_{i=1}^{n}f_{1i}\otimes f_{2i}$ folgt
\[
\left(  \Delta_{A^{0}}\left(  f\right)  \right)  \left(  v\otimes w\right)
=f\left(  vw\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }v\in A\text{ und
}w\in A,
\]
und dadurch ist die Abbildung $\Delta_{A^{0}}\left(  f\right)  :A\otimes
A\rightarrow k$ eindeutig bestimmt).}.

Die Abbildung $\varepsilon_{A^{0}}:A^{0}\rightarrow k$ sei definiert durch
$f\mapsto f\left(  1\right)  .$

\textit{Beweis:} Wir m\"{u}ssen zeigen, da\ss \ $\left(  \Delta_{A^{0}}%
\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  \Delta_{A^{0}}\left(  f\right)
\right)  =\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta_{A^{0}}\right)  \left(
\Delta_{A^{0}}\left(  f\right)  \right)  $, $\left(  \varepsilon_{A^{0}%
}\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  \Delta_{A^{0}}\left(  f\right)
\right)  =\operatorname*{kan}\nolimits_{1}f$ und $\left(  \operatorname*{id}%
\otimes\varepsilon_{A^{0}}\right)  \left(  \Delta_{A^{0}}\left(  f\right)
\right)  =\operatorname*{kan}\nolimits_{2}f$ f\"{u}r jedes $f\in A^{0}$ gilt
(wobei $\operatorname*{kan}\nolimits_{1}:A^{0}\rightarrow k\otimes A^{0}$ und
$\operatorname*{kan}\nolimits_{2}:A^{0}\rightarrow A^{0}\otimes k$ die
kanonischen Isomorphismen sind).

Sei $f\in A^{0}$. Dann gibt es ein $I\vartriangleleft A$ mit $\dim\left(
A\diagup I\right)  <\infty$ und $f\left(  I\right)  =0.$ Das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc}\xymatrix{
A^{\ast} \ar[r]^{\mu^{\ast}} & \left(A\otimes A\right)^{\ast} & A^{\ast}\otimes A^{\ast} \ar@{^{(}->}[l] \\
\left(A\slash I\right)^{\ast} \ar@{^{(}->}[u] \ar[r]^{\left(\mu_{A\slash I}\right)^{\ast}} & \left(A\slash I\otimes A\slash I\right)^{\ast} \ar@{^{(}->}[u] & \left(A\slash I\right)^{\ast}\otimes\left(A\slash I\right)^{\ast} \ar@{^{(}->}[u] \ar[l]^{\cong}
}
\]
kommutiert, und daraus ergeben sich schnell alle zu beweisenden Aussagen.

\textbf{3.3. Bemerkung:} \textbf{1)} Sei $A$ eine Algebra.

\textbf{a)} Dann ist $\operatorname*{Alg}\left(  A,k\right)  =G\left(
A^{0}\right)  .$

\textbf{b)} F\"{u}r beliebige $\sigma,\tau\in G\left(  A^{0}\right)  $ gilt%
\[
\left\{  \delta\in A^{\ast}\text{\ }\mid\ \delta:A\rightarrow k\text{ ist eine
}\left(  \sigma,\tau\right)  \text{-Derivation}\right\}  =\left\{  x\in
A^{0}\ \mid\ \Delta\left(  x\right)  =\sigma\otimes x+x\otimes\tau\right\}  .
\]
Insbesondere gilt also%
\[
\left\{  \delta\in A^{\ast}\ \mid\ \delta:A\rightarrow k\text{ ist eine
}\varepsilon\text{-Derivation}\right\}  =P\left(  A^{0}\right)  .
\]


\textit{Beweis:} Folgt aus Definitionen.

\textbf{2)} Sei $A=k\left[  t\right]  $ der Polynomring \"{u}ber $k$ in der
Unbestimmten $t.$ Bekanntlich ist
\begin{align*}
A^{\ast}  &  \rightarrow\left\{  \left(  a_{i}\right)  _{i\geq0}\mid a_{i}\in
k\text{ f\"{u}r alle }i\geq0\right\}  ,\\
f  &  \mapsto\left(  f\left(  t^{i}\right)  \right)  _{i\geq0}%
\end{align*}
ein Vektorraumisomorphismus.

Sei $f\in A^{\ast},$ und sei $a_{i}=f\left(  t^{i}\right)  $ f\"{u}r alle
$i\geq0.$ Genau dann ist $f\in A^{0},$ wenn es ein nat\"{u}rliches $n\geq0$
und Elemente $b_{0},b_{1},...,b_{n-1}\in k$ gibt so, da\ss \ $b_{0}a_{m}%
+b_{1}a_{m+1}+...+b_{n-1}a_{m+n-1}+a_{m+n}=0$ f\"{u}r alle $m\geq0$ ist (d. h.
wenn $\left(  a_{i}\right)  _{i\geq0}$ eine linear rekursiv definierte Folge ist).

\textit{Beweis:} Es gilt folgende Kette von \"{A}quivalenzen:%
\begin{align*}
&  \ \left(  f\in A^{0}\right)  \ \Longleftrightarrow\ \left(  \text{es gibt
ein }I\vartriangleleft k\left[  t\right]  \text{ mit }\dim\left(  k\left[
t\right]  \diagup I\right)  <\infty\text{ und }f\left(  I\right)  =0\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  \text{es gibt ein Polynom }F=b_{0}%
+b_{1}t+...+b_{n-1}t^{n-1}+t^{n}\in k\left[  t\right]  \text{ mit }f\left(
k\left[  t\right]  F\right)  =0\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn die Ideale }I\vartriangleleft k\left[  t\right]  \text{ mit }%
\dim\left(  k\left[  t\right]  \diagup I\right)  <\infty\text{ sind genau die
Ideale}\\
\text{der Form }k\left[  t\right]  F\text{ mit monischen Polynomen }F
\end{array}
\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{es gibt ein Polynom }F=b_{0}+b_{1}t+...+b_{n-1}t^{n-1}+t^{n}\in k\left[
t\right]  \text{,}\\
\text{das }f\left(  t^{m}F\right)  =0\text{ f\"{u}r alle }m\in\mathbb{N}\text{
erf\"{u}llt}%
\end{array}
\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }k\left[  t\right]  \text{ ist als
}k\text{-Vektorraum erzeugt von }\left(  t^{m}\right)  _{m\in\mathbb{N}%
}\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{es gibt ein Polynom }F=b_{0}+b_{1}t+...+b_{n-1}t^{n-1}+t^{n}\in k\left[
t\right]  \text{,}\\
\text{das }b_{0}a_{m}+b_{1}a_{m+1}+...+b_{n-1}a_{m+n-1}+a_{m+n}=0\text{
f\"{u}r alle }m\in\mathbb{N}\text{ erf\"{u}llt}%
\end{array}
\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{da }f\left(  t^{m}F\right)  =f\left(  t^{m}\left(  b_{0}+b_{1}%
t+...+b_{n-1}t^{n-1}+t^{n}\right)  \right) \\
=f\left(  b_{0}t^{m}+b_{1}t^{m+1}+...+b_{n-1}t^{m+n-1}+t^{m+n}\right) \\
=b_{0}a_{m}+b_{1}a_{m+1}+...+b_{n-1}a_{m+n-1}+a_{m+n}%
\end{array}
\right) \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{es gibt ein nat\"{u}rliches }n\geq0\text{ und Elemente }b_{0}%
,b_{1},...,b_{n-1}\in k\text{ so,}\\
\text{da\ss \ }b_{0}a_{m}+b_{1}a_{m+1}+...+b_{n-1}a_{m+n-1}+a_{m+n}=0\text{
f\"{u}r alle }m\in\mathbb{N}\text{ gilt}%
\end{array}
\right)  ,
\end{align*}
was zu beweisen war.

\bigskip

\fbox{\textbf{Eine Verallgemeinerung}}

Die duale Coalgebra $A^{0}$ l\"{a}\ss t sich auch von einer anderen
Perspektive her beleuchten:

\textbf{Definition:} Sei $A$ eine Algebra. Sei $V$ ein endlichdimensionaler
$A$-Linksmodul.

\textbf{1)} F\"{u}r jedes $v\in V$ und $f\in V^{\ast}$ definiere ein
$c_{f,v}\in A^{\ast}$ durch $c_{f,v}\left(  a\right)  =f\left(  av\right)  $
f\"{u}r alle $a\in A.$ Dieses $c_{f,v}$ hei\ss t ein
\textit{Matrixkoeffizient} von $V.$ Statt $c_{f,v}$ schreiben wir auch
$c_{f,v}^{V},$ um den Vektorraum $V$ zu betonen.

\textbf{2)} Sei $C\left(  V\right)  =\sum\limits_{\substack{v\in V,\\f\in
V^{\ast}}}kc_{f,v}\subseteq A^{\ast}.$ Dieses $C\left(  V\right)  $ ist ein
Untervektorraum von $A^{\ast}.$\ \ \ \ \footnote{Vorsicht: Ich habe bereits
ein Buch gesehen, in dem dieses $C\left(  V\right)  $ als $C_{V}$ bezeichnet
wird, und $C\left(  V\right)  $ wiederum etwas anderes bedeutet (n\"{a}mlich
die von $C_{V}$ erzeugte Unteralgebra von $A^{0},$ wenn $A$ eine Bialgebra
ist). Man sollte sich dar\"{u}ber im Klaren sein, da\ss \ Bezeichnungen
\"{u}ber verschiedene Quellen sehr variieren k\"{o}nnen, besonders in einem
jungen Gebiet wie der Theorie der Hopfalgebren.}

\textbf{3.4. Bemerkung:} Sei $A$ eine Algebra.

\textbf{1)} Sei $V$ ein endlichdimensionaler $A$-Linksmodul. Sei
$\rho:A\rightarrow\operatorname*{End}V$ die zugeh\"{o}rige Darstellung (das
hei\ss t, $\rho\left(  a\right)  \left(  v\right)  =av$ f\"{u}r alle $a\in A$
und $v\in V$). Sei $I=\operatorname*{Ker}\rho.$ Dann ist $I\vartriangleleft A$
mit $\dim\left(  A\diagup I\right)  <\infty,$ und $\operatorname{Im}\left(
\rho^{\ast}\right)  =C\left(  V\right)  \subseteq A^{0}.$ Identifizieren wir
kanonisch $\left(  A\diagup I\right)  ^{\ast}$ mit der Teilmenge $\left\{
f\in A^{\ast}\ \mid\ f\left(  I\right)  =0\right\}  $ von $A^{\ast},$ dann ist
$\operatorname{Im}\left(  \rho^{\ast}\right)  =\left(  A\diagup I\right)
^{\ast}.$

\textit{Beweis:} Aus $I=\operatorname*{Ker}\rho$ folgt $I\vartriangleleft A.$
Wegen $A\diagup I=A\diagup\operatorname*{Ker}\rho\cong\rho\left(  A\right)
\subseteq\operatorname*{End}V$ und $\dim\left(  \operatorname*{End}V\right)
<\infty$ ist ferner $\dim\left(  A\diagup I\right)  <\infty.$

Sei $f\in A^{\ast}.$ Dann gilt folgende Kette von \"{A}quivalenzen:%
\begin{align*}
\left(  f\in\operatorname{Im}\left(  \rho^{\ast}\right)  \right)  \  &
\Longleftrightarrow\ \left(  \text{es gibt ein }s\in\left(
\operatorname*{End}V\right)  ^{\ast}\text{ mit }f=s\circ\rho\right)  \ \\
&  \Longleftrightarrow\ \left(  f\left(  \operatorname*{Ker}\rho\right)
=0\right)  \ \Longleftrightarrow\ \left(  f\left(  I\right)  =0\right)
\ \Longleftrightarrow\ \left(  f\in\left(  A\diagup I\right)  ^{\ast}\right)
,
\end{align*}
und somit ist $\operatorname{Im}\left(  \rho^{\ast}\right)  =\left(  A\diagup
I\right)  ^{\ast}.$ Hieraus folgt nat\"{u}rlich $\operatorname{Im}\left(
\rho^{\ast}\right)  \subseteq A^{0}.$

Wir m\"{u}ssen also nur noch zeigen, da\ss \ $\operatorname{Im}\left(
\rho^{\ast}\right)  =C\left(  V\right)  $ ist. In der Tat ist die lineare
Abbildung%
\[
\Psi:V\otimes V^{\ast}\rightarrow\left(  \operatorname*{End}V\right)  ^{\ast
},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v\otimes f\mapsto\left(  F\mapsto f\left(  F\left(
v\right)  \right)  \right)
\]
ein Vektorraumisomorphismus. Nun ist $c_{f,v}=\left(  \rho^{\ast}\circ
\Psi\right)  \left(  v\otimes f\right)  $ f\"{u}r alle $v\in V$ und $f\in
V^{\ast},$ denn f\"{u}r alle $a\in A$ gilt%
\[
c_{f,v}\left(  a\right)  =f\left(  av\right)  =f\left(  \rho\left(  a\right)
v\right)  =\left(  \Psi\left(  v\otimes f\right)  \right)  \left(  \rho\left(
a\right)  \right)  =\left(  \left(  \rho^{\ast}\circ\Psi\right)  \left(
v\otimes f\right)  \right)  \left(  a\right)  .
\]
Somit ist%
\begin{align*}
C\left(  V\right)   &  =\sum\limits_{\substack{v\in V,\\f\in V^{\ast}%
}}kc_{f,v}=\sum\limits_{\substack{v\in V,\\f\in V^{\ast}}}k\left(  \rho^{\ast
}\circ\Psi\right)  \left(  v\otimes f\right)  =\operatorname{Im}\left(
\rho^{\ast}\circ\Psi\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn der Vektorraum }V\otimes V^{\ast}\text{ wird erzeugt von den}\\
\text{reinen Tensoren }v\otimes f\text{ mit }v\in V\text{ und }f\in V^{\ast}%
\end{array}
\right) \\
&  =\operatorname{Im}\left(  \rho^{\ast}\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\text{denn }\Psi\text{ ist ein Vektorraumisomorphismus}\right)  ,
\end{align*}
was zu beweisen war.

\textit{Bemerkung:} Aus \textbf{1)} folgt $C\left(  V\right)  =\left(
A\diagup I\right)  ^{\ast},$ und somit erh\"{a}lt $C\left(  V\right)  $ eine
kanonische Coalgebrastruktur.

\textbf{2)} Sei $V$ ein endlichdimensionaler $A$-Linksmodul. Sei $\left(
v_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}$ eine Basis von $V,$ und sei $\left(
f_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}$ die dazu duale Basis von $V^{\ast}.$

Dann \"{u}berf\"{u}hrt der Vektorraumhomomorphismus%
\[
\operatorname*{End}V\rightarrow\operatorname*{M}\nolimits_{n}\left(  k\right)
,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ F\mapsto\text{die darstellende Matrix von }F\text{
bez\"{u}glich }\left(  v_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}%
\]
das Element $\rho\left(  a\right)  \in\operatorname*{End}V$ in die Matrix
$\left(  c_{f_{i},v_{j}}\left(  a\right)  \right)  _{i,j}$ f\"{u}r alle $a\in
A.$

\textit{Beweis:} Sei $a\in A$ beliebig. F\"{u}r alle $j$ gilt
\begin{align*}
\rho\left(  a\right)  \left(  v_{j}\right)   &  =av_{j}=\sum\limits_{i=1}%
^{n}\underbrace{f_{i}\left(  av_{j}\right)  }_{=c_{f_{i},v_{j}}\left(
a\right)  }v_{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn }\left(  v_{i}\right)
_{1\leq i\leq n}\text{ und }\left(  f_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}\text{ sind
duale Basen}\right) \\
&  =\sum\limits_{i=1}^{n}c_{f_{i},v_{j}}\left(  a\right)  v_{i}.
\end{align*}
Die darstellende Matrix der Abbildung $\rho\left(  a\right)  \in
\operatorname*{End}V$ bez\"{u}glich $\left(  v_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}$
ist also $\left(  c_{f_{i},v_{j}}\left(  a\right)  \right)  _{i,j}$, was zu
beweisen war.

\textbf{3)} In \textbf{2)} gilt: F\"{u}r alle $v\in V$ und $f\in V^{\ast}$ ist
$\Delta_{C\left(  V\right)  }\left(  c_{f,v}\right)  =\sum\limits_{i=1}%
^{n}c_{f,v_{i}}\otimes c_{f_{i},v}.$

\textit{Beweis:} F\"{u}r alle $a,b\in A$ ist%
\[
\sum\limits_{i=1}^{n}c_{f,v_{i}}\left(  a\right)  c_{f_{i},v}\left(  b\right)
=\sum\limits_{i=1}^{n}f\left(  av_{i}\right)  f_{i}\left(  bv\right)
=f\left(  a\underbrace{\sum\limits_{i=1}^{n}f_{i}\left(  bv\right)  v_{i}%
}_{\substack{=bv,\text{ da }\left(  v_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}\\\text{und
}\left(  f_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}\text{ duale}\\\text{Basen sind}%
}}\right)  =f\left(  abv\right)  =c_{f,v}\left(  ab\right)  .
\]


\textbf{4)} Seien $V$ und $W$ zwei endlichdimensionale $A$-Linksmoduln.
F\"{u}r alle $v\in V$, $w\in W$, $f\in V^{\ast}$ und $g\in W^{\ast}$ ist%
\[
c_{f,v}^{V}+c_{g,w}^{W}=c_{f\oplus g,v+w}^{V\oplus W}%
;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C\left(  V\right)  +C\left(  W\right)  =C\left(  V\oplus
W\right)  .
\]


\textit{Beweis:} F\"{u}r alle $a\in A$ gilt%
\[
c_{f\oplus g,v+w}^{V\oplus W}\left(  a\right)  =\left(  f\oplus g\right)
\left(  a\left(  v+w\right)  \right)  =f\left(  av\right)  +g\left(
aw\right)  =c_{f,v}^{V}\left(  a\right)  +c_{g,w}^{W}\left(  a\right)  .
\]
Daher ist $c_{f,v}^{V}+c_{g,w}^{W}=c_{f\oplus g,v+w}^{V\oplus W}$. Nach den
Definitionen von $C\left(  V\right)  $, $C\left(  W\right)  $ und $C\left(
V\oplus W\right)  $ folgt hieraus schnell $C\left(  V\right)  +C\left(
W\right)  =C\left(  V\oplus W\right)  $.

\textbf{5)} Es gilt%
\[
A^{0}=\sum_{\substack{V\in\left.  _{A}\mathcal{M}\right.  ;\text{\ }V\text{
ist}\\\text{endlichdimensional}}}C\left(  V\right)  =\bigcup_{\substack{V\in
\left.  _{A}\mathcal{M}\right.  ;\text{\ }V\text{ ist}%
\\\text{endlichdimensional}}}C\left(  V\right)  .
\]


\textit{Beweis:} Nach \textbf{4)} ist die Menge $\bigcup
\limits_{\substack{V\in\left.  _{A}\mathcal{M}\right.  ;\text{\ }V\text{
ist}\\\text{endlichdimensional}}}C\left(  V\right)  $ abgeschlossen unter
Addition. Da sie auch abgeschlossen unter Multiplikation mit Elementen von $k$
ist, gilt also $\sum\limits_{\substack{V\in\left.  _{A}\mathcal{M}\right.
;\text{\ }V\text{ ist}\\\text{endlichdimensional}}}C\left(  V\right)
=\bigcup\limits_{\substack{V\in\left.  _{A}\mathcal{M}\right.  ;\text{\ }%
V\text{ ist}\\\text{endlichdimensional}}}C\left(  V\right)  $. Klar ist auch,
da\ss \ $\sum\limits_{\substack{V\in\left.  _{A}\mathcal{M}\right.
;\text{\ }V\text{ ist}\\\text{endlichdimensional}}}C\left(  V\right)
\subseteq A^{0}$ ist (denn $C\left(  V\right)  \subseteq A^{0}$ f\"{u}r jedes
endlichdimensionale $V\in\left.  _{A}\mathcal{M}\right.  $). Zu zeigen bleibt,
da\ss \ $A^{0}\subseteq\sum\limits_{\substack{V\in\left.  _{A}\mathcal{M}%
\right.  ;\text{\ }V\text{ ist}\\\text{endlichdimensional}}}C\left(  V\right)
$ ist. Dies l\"{a}\ss t sich folgenderma\ss en zeigen: Es gilt%
\[
I=\operatorname*{Ker}\left(
\begin{array}
[c]{c}%
A\overset{\rho}{\longrightarrow}\operatorname*{End}\left(  A\diagup I\right)
,\\
a\mapsto\left(  \overline{x}\mapsto a\overline{x}\right)
\end{array}
\right)  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }I\vartriangleleft A\text{ mit
}\dim\left(  A\diagup I\right)  <\infty.
\]
Sei nun $g\in A^{0}$. Laut Definition von $A^{0}$ gibt es dann ein
$I\vartriangleleft A$ mit $\dim\left(  A\diagup I\right)  <\infty$ und
$g\left(  I\right)  =0$. Betrachte dieses $I$. Offensichtlich ist $A\diagup I$
ein endlichdimensionaler $A$-Linksmodul. Sei $\pi$ die kanonische Projektion
$A\rightarrow A\diagup I$. Dann existiert ein $f\in\operatorname*{Hom}\left(
A\diagup I,k\right)  =\left(  A\diagup I\right)  ^{\ast}$, welches
$g=f\circ\pi$ erf\"{u}llt (denn $g\left(  I\right)  =0$). F\"{u}r dieses $f$
ist
\[
c_{f,\pi\left(  1\right)  }\left(  a\right)  =f\left(  \underbrace{a\pi\left(
1\right)  }_{=\pi\left(  1\right)  }\right)  =f\left(  \pi\left(  1\right)
\right)  =\underbrace{\left(  f\circ\pi\right)  }_{=g}\left(  1\right)
=g\left(  1\right)
\]
f\"{u}r jedes $a\in A$. Somit ist $c_{f,\pi\left(  1\right)  }=g$, also
$g=c_{f,\pi\left(  1\right)  }\in C\left(  A\diagup I\right)  \subseteq
\bigcup\limits_{\substack{V\in\left.  _{A}\mathcal{M}\right.  ;\text{\ }%
V\text{ ist}\\\text{endlichdimensional}}}C\left(  V\right)  $ (da $A\diagup I$
ein endlichdimensionaler $A$-Linksmodul ist). Wir haben damit f\"{u}r jedes
$g\in A^{0}$ gezeigt, da\ss \ $g\in\bigcup\limits_{\substack{V\in\left.
_{A}\mathcal{M}\right.  ;\text{\ }V\text{ ist}\\\text{endlichdimensional}%
}}C\left(  V\right)  $ ist. Das hei\ss t, $A^{0}\subseteq\bigcup
\limits_{\substack{V\in\left.  _{A}\mathcal{M}\right.  ;\text{\ }V\text{
ist}\\\text{endlichdimensional}}}C\left(  V\right)  $, was zu beweisen war.

\textbf{6)} Sei $H$ eine Bialgebra, und seien $V$ und $W$ zwei
endlichdimensionale $H$-Linksmoduln. F\"{u}r alle $v\in V$, $w\in W$, $f\in
V^{\ast}$ und $g\in W^{\ast}$ ist%
\[
c_{f,v}^{V}\cdot c_{g,w}^{W}=c_{f\otimes g,v\otimes w}^{V\otimes
W};\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C\left(  V\right)  \cdot C\left(  W\right)  =C\left(
V\otimes W\right)  .
\]


\textit{Beweis:} F\"{u}r alle $a\in H$ gilt%
\begin{align*}
c_{f\otimes g,v\otimes w}^{V\otimes W}\left(  a\right)   &  =\left(  f\otimes
g\right)  \left(  a\left(  v\otimes w\right)  \right)  =\left(  f\otimes
g\right)  \left(  a_{\left(  1\right)  }v\otimes a_{\left(  2\right)
}w\right)  =f\left(  a_{\left(  1\right)  }v\right)  \cdot g\left(  a_{\left(
2\right)  }w\right) \\
&  =c_{f,v}^{V}\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot c_{g,w}^{W}\left(
a_{\left(  2\right)  }\right)  =\left(  c_{f,v}^{V}\cdot c_{g,w}^{W}\right)
\left(  a\right)  .
\end{align*}
Daher ist $c_{f,v}^{V}\cdot c_{g,w}^{W}=c_{f\otimes g,v\otimes w}^{V\otimes
W}$. Nach den Definitionen von $C\left(  V\right)  $, $C\left(  W\right)  $
und $C\left(  V\otimes W\right)  $ folgt hieraus schnell $C\left(  V\right)
\cdot C\left(  W\right)  =C\left(  V\otimes W\right)  $, denn nach der
Definition von $C\left(  V\otimes W\right)  $ ist%
\begin{align*}
C\left(  V\otimes W\right)   &  =\sum\limits_{\substack{s\in V\otimes
W,\\t\in\left(  V\otimes W\right)  ^{\ast}}}kc_{t,s}^{V\otimes W}%
=\sum\limits_{\substack{v\in V,\ w\in W,\\f\in V^{\ast},\ g\in W^{\ast}%
}}kc_{f\otimes g,v\otimes w}^{V\otimes W}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn die }k\text{-Vektorr\"{a}ume }V\otimes W\text{ und }\left(
V\otimes W\right)  ^{\ast}=V^{\ast}\otimes W^{\ast}\\
\text{sind jeweils erzeugt von reinen Tensoren, und }c_{t,s}^{V\otimes
W}\text{ ist linear in }t\text{ und }s
\end{array}
\right) \\
&  =\sum\limits_{\substack{v\in V\\f\in V^{\ast}}}\sum\limits_{\substack{w\in
W,\\g\in W^{\ast}}}k\underbrace{c_{f\otimes g,v\otimes w}^{V\otimes W}%
}_{=c_{f,v}^{V}\cdot c_{g,w}^{W}}=\underbrace{\sum\limits_{\substack{v\in
V\\f\in V^{\ast}}}kc_{f,v}^{V}}_{=C\left(  V\right)  }\cdot\underbrace{\sum
\limits_{\substack{w\in W,\\g\in W^{\ast}}}kc_{g,w}^{W}}_{=C\left(  W\right)
}=C\left(  V\right)  \cdot C\left(  W\right)  .
\end{align*}


\textbf{7)} Sei $H$ eine Hopfalgebra. Sei $V$ ein endlichdimensionaler
$H$-Linksmodul. Sei $v\in V$ und $f\in V^{\ast}.$ Sei $\varphi_{v}\in
V^{\ast\ast}$ definiert durch $\varphi_{v}\left(  g\right)  =g\left(
v\right)  $ f\"{u}r alle $g\in V^{\ast}$ (mit anderen Worten, $\varphi_{v}$
ist das Bild von $v$ beim kanonischen Isomorphismus $V\rightarrow V^{\ast\ast
}$). Dann ist%
\[
c_{\varphi_{v},f}=c_{f,v}\circ S;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C\left(  V^{\ast}\right)
=C\left(  V\right)  \circ S.
\]
Hierbei ist die $H$-Linksmodulstruktur auf $V^{\ast}$ definiert durch $\left(
a\cdot f\right)  \left(  v\right)  =f\left(  S\left(  a\right)  v\right)  $
f\"{u}r alle $a\in H,$ $f\in V^{\ast}$ und $v\in V.$

\textit{Beweis:} F\"{u}r alle $a\in H$ ist%
\[
c_{\varphi_{v},f}\left(  a\right)  =\varphi_{v}\left(  a\cdot f\right)
=\left(  a\cdot f\right)  \left(  v\right)  =f\left(  S\left(  a\right)
v\right)  =c_{f,v}\left(  S\left(  a\right)  \right)  =\left(  c_{f,v}\circ
S\right)  \left(  a\right)  .
\]


\textbf{3.5. Satz:} \textbf{1)} Sei $A$ eine Algebra. Sei $\mathcal{C}$ eine
Unterkategorie von $\left.  _{A}\mathcal{M}\right.  $, die $0\in\mathcal{C}$
und $V\oplus W\in\mathcal{C}$ f\"{u}r alle $V,W\in\mathcal{C}$ erf\"{u}llt.
Dann ist%
\[
\bigcup_{V\in\mathcal{C}}C\left(  V\right)  =\sum_{V\in\mathcal{C}}C\left(
V\right)
\]
eine Untercoalgebra von $A^{0}.$ Wir bezeichnen diese Untercoalgebra mit
$A_{\mathcal{C}}^{0}.$

\textbf{2)} Sei $H$ eine Bialgebra. Sei $\mathcal{C}$ eine Unterkategorie von
$\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  $, die $0\in\mathcal{C}$ und $V\oplus
W\in\mathcal{C}$ f\"{u}r alle $V,W\in\mathcal{C}$ erf\"{u}llt. Angenommen,
$_{\varepsilon}k\in\mathcal{C}$ und $V\otimes W\in\mathcal{C}$ f\"{u}r alle
$V,W\in\mathcal{C}$ (wobei die $H$-Linksmodulstruktur auf $V\otimes W$ die
Diagonalstruktur sein soll). Dann ist $H_{\mathcal{C}}^{0}$ eine Bialgebra mit
$1$-Element $\varepsilon$. Die Algebrastruktur auf $H_{\mathcal{C}}^{0}$ ist
dabei vererbt von der Algebrastruktur auf $H^{\ast}$, und die
Coalgebrastruktur auf $H_{\mathcal{C}}^{0}$ ist vererbt von der
Coalgebrastruktur auf $H^{0}$.

\textbf{3)} Sei $H$ eine Hopfalgebra. Sei $\mathcal{C}$ eine Unterkategorie,
die die Annahmen von \textbf{2)} erf\"{u}llt. Angenommen, $V^{\ast}%
\in\mathcal{C}$ f\"{u}r alle $V\in\mathcal{C}$. Dann ist $H_{\mathcal{C}}^{0}$
eine Hopfalgebra mit Antipode induziert durch $S^{\ast}\mid_{H_{\mathcal{C}%
}^{0}}$ (das hei\ss t, f\"{u}r alle $f\in H_{\mathcal{C}}^{0}$ und $h\in H$
ist $S_{H_{\mathcal{C}}^{0}}\left(  f\right)  \left(  h\right)  =f\left(
S_{H}\left(  h\right)  \right)  $). Die Algebrastruktur auf $H_{\mathcal{C}%
}^{0}$ ist dabei vererbt von der Algebrastruktur auf $H^{\ast}$, und die
Coalgebrastruktur auf $H_{\mathcal{C}}^{0}$ ist vererbt von der
Coalgebrastruktur auf $H^{0}$.

\textit{Beweis:} Folgt aus 3.4.

\textbf{3.5}$\dfrac{\text{\textbf{1}}}{\text{\textbf{2}}}$\textbf{.
Bemerkung:} \textbf{1)} Sei $A$ eine Algebra. Sei $\mathcal{C}$ die Kategorie
aller endlichdimensionalen $A$-Linksmoduln. Gem\"{a}\ss \ Satz 3.5 \textbf{1)}
ist dann eine Untercoalgebra $A_{\mathcal{C}}^{0}$ von $A^{0}$ definiert. Dann
ist $A_{\mathcal{C}}^{0}=A^{0}$.

\textbf{2)} Sei $H$ eine Bialgebra. Dann ist $H^{0}$ eine Unteralgebra von
$H^{\ast}$. Dies ergibt eine Algebrastruktur auf $H^{0}$, die (zusammen mit
der bereits bekannten Coalgebrastruktur) $H^{0}$ zu einer Bialgebra macht.

\textbf{3)} Sei $H$ eine Hopfalgebra. Dann ist diese Bialgebra $H^{0}$ auch
eine Hopfalgebra.

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Sei $f\in A^{0}$ beliebig. Laut der Definition
von $A^{0}$ gibt es dann ein $I\vartriangleleft A$ mit $\dim\left(  A\diagup
I\right)  <\infty$ und $f\left(  I\right)  =0$. Wir betrachten ein solches $I$.

Wegen $\dim\left(  A\diagup I\right)  <\infty$ ist $A\diagup I$ ein
endlichdimensionaler $A$-Linksmodul. Daher ist $A\diagup I\in\mathcal{C}$.

Wegen $f\left(  I\right)  =0$ gibt es (laut dem Homomorphiesatz) eine lineare
Abbildung $\widetilde{f}:A\diagup I\rightarrow k$ mit $f=\widetilde{f}\circ
\pi$, wobei $\pi$ die kanonische Projektion $A\rightarrow A\diagup I$ bezeichnet.

Sei $v=\overline{1}$ die Projektion der Eins $1\in A$ auf den Faktorvektorraum
$A\diagup I$. Dann ist $c_{\widetilde{f},v}=f$, denn f\"{u}r jedes $a\in A$
ist%
\[
c_{\widetilde{f},v}\left(  a\right)  =\widetilde{f}\left(  a\underbrace{v}%
_{=\overline{1}}\right)  =\widetilde{f}\left(  \underbrace{a\overline{1}%
}_{=\pi\left(  a\right)  }\right)  =\widetilde{f}\left(  \pi\left(  a\right)
\right)  =\underbrace{\left(  \widetilde{f}\circ\pi\right)  }_{=f}\left(
a\right)  =f\left(  a\right)  .
\]
Also ist $f=c_{\widetilde{f},v}\in C\left(  A\diagup I\right)  $ (nach der
Definition von $C\left(  A\diagup I\right)  $). Wegen $C\left(  A\diagup
I\right)  \subseteq\bigcup\limits_{V\in\mathcal{C}}C\left(  V\right)
=A_{\mathcal{C}}^{0}$ ist also $f\in A_{\mathcal{C}}^{0}$.

Wir haben also gezeigt, da\ss \ $f\in A_{\mathcal{C}}^{0}$ f\"{u}r jedes $f\in
A^{0}$ gilt. Das hei\ss t, $A^{0}\subseteq A_{\mathcal{C}}^{0}$. Zusammen mit
$A_{\mathcal{C}}^{0}\subseteq A^{0}$ ergibt dies $A^{0}=A_{\mathcal{C}}^{0}$,
was zu beweisen war.

\textbf{2)} Sei $\mathcal{C}$ die Kategorie aller endlichdimensionalen
$H$-Linksmoduln. Laut \textbf{1)} ist dann $H_{\mathcal{C}}^{0}=H^{0}$. Laut
Satz 3.5 \textbf{2)} ist aber $H_{\mathcal{C}}^{0}$ eine Bialgebra, wobei die
Algebrastruktur auf $H_{\mathcal{C}}^{0}$ vererbt ist von der Algebrastruktur
auf $H^{\ast}$, und die Coalgebrastruktur auf $H_{\mathcal{C}}^{0}$ vererbt
ist von der Coalgebrastruktur auf $H^{0}$. Wegen $H_{\mathcal{C}}^{0}=H^{0}$
bedeutet dies, da\ss \ $H^{0}$ eine Bialgebra ist, wobei die Algebrastruktur
auf $H^{0}$ vererbt ist von der Algebrastruktur auf $H^{\ast}$, und die
Coalgebrastruktur auf $H^{0}$ die bereits bekannte Coalgebrastruktur ist.
Damit ist 3.5$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ \textbf{2)} bewiesen.

\textbf{3)} analog zu \textbf{2)}.

\textit{Bemerkung:} Nat\"{u}rlich lassen sich die Punkte \textbf{2)} und
\textbf{3)} von 3.5$\dfrac{\text{1}}{\text{2}}$ auch ohne R\"{u}ckgriff auf
3.4. beweisen (\"{U}bungsaufgabe!).

Jetzt sind wir in der Lage, unser Resultat aus 2.1. \textbf{3)} zu
verallgemeinern (indem wir nicht mehr fordern, da\ss \ $U$ und $A$
endlichdimensional sind):

\textbf{3.6. Folgerung:} Seien $U$ und $A$ zwei Bialgebren. Sei $\tau:U\times
A\rightarrow k$ eine $k$-bilineare Abbildung. Definiere eine Abbildung%
\[
\tau_{L}:U\rightarrow A^{\ast}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{durch}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \tau_{L}\left(  u\right)  \left(  a\right)  =\tau\left(
u,a\right)  \text{ f\"{u}r alle }u\in U\text{ und }a\in A,
\]
und eine Abbildung%
\[
\tau_{R}:A\rightarrow U^{\ast}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{durch}%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \tau_{R}\left(  a\right)  \left(  u\right)  =\tau\left(
u,a\right)  \text{ f\"{u}r alle }u\in U\text{ und }a\in A.
\]
Dann gilt:

\textbf{1)} Genau dann ist $\tau$ eine schiefe Paarung von Bialgebren, wenn
$\tau_{L}\left(  U\right)  \subseteq A^{0}$ ist und $\tau_{L}:U\rightarrow
A^{0\operatorname*{cop}}$ ein Bialgebrahomomorphismus ist.

\textbf{2)} Genau dann ist $\tau$ eine schiefe Paarung von Bialgebren, wenn
$\tau_{R}\left(  A\right)  \subseteq U^{0}$ ist und $\tau_{R}:A\rightarrow
U^{0\operatorname*{op}}$ ein Bialgebrahomomorphismus ist.

\textit{Beweis:} Wir k\"{o}nnen hier einfach den Beweis von 2.1. \textbf{3)}
wiederholen; das einzige, was wir noch dazubeweisen m\"{u}ssen, ist folgende
Aussage: Wenn $\tau$ eine schiefe Paarung ist, dann ist $\tau_{L}\left(
U\right)  \subseteq A^{0}$ und $\tau_{R}\left(  A\right)  \subseteq U^{0}.$
Dies ist jedoch sehr einfach: Nach (SP.2) (einem der Axiome einer schiefen
Paarung) ist $\tau\left(  u,ab\right)  =\tau\left(  u_{\left(  1\right)
},b\right)  \tau\left(  u_{\left(  2\right)  },a\right)  ,$ also $\tau
_{L}\left(  u\right)  \left(  ab\right)  =\tau\left(  u_{\left(  1\right)
},b\right)  \tau\left(  u_{\left(  2\right)  },a\right)  $ f\"{u}r alle $u\in
U$ und $a,b\in A,$ und damit $\tau_{L}\left(  u\right)  \in A^{0}$ (nach Lemma
3.1. \textbf{1)} $\Longrightarrow$ \textbf{7)}). Somit ist $\tau_{L}\left(
U\right)  \subseteq A^{0}$. Analog folgt $\tau_{R}\left(  A\right)  \subseteq
U^{0}$ aus (SP.1).

\bigskip

\begin{center}
\fbox{\textbf{4. Drinfeld-Doppel und quasitriangul\"{a}re Hopfalgebren}}
\end{center}

\fbox{\textbf{Quasitriangul\"{a}re Hopfalgebren}}

\textbf{Definition (Drinfeld 1989):} Sei $H$ eine Bialgebra, und sei $R\in
U\left(  H\otimes H\right)  .$

Wir verwenden im Folgenden die Schreibweise $R=R^{1}\otimes R^{2}\in H\otimes
H$, wobei wir nat\"{u}rlich damit nicht sagen wollen, da\ss \ $R$ unbedingt
ein reiner Tensor sein mu\ss .

Wir definieren drei Tensoren $R_{12},R_{13},R_{23}\in H\otimes H\otimes H$
durch $R_{12}=R^{1}\otimes R^{2}\otimes1,$ $R_{13}=R^{1}\otimes1\otimes R^{2}$
und $R_{23}=1\otimes R^{1}\otimes R^{2}.$ (Formal ausgedr\"{u}ckt bedeutet
dies $R_{12}=\sum\limits_{i}R_{1,i}\otimes R_{2,i}\otimes1,$ $R_{13}%
=\sum\limits_{i}R_{1,i}\otimes1\otimes R_{2,i}$ und $R_{23}=\sum
\limits_{i}1\otimes R_{1,i}\otimes R_{2,i},$ wobei $R=\sum\limits_{i}%
R_{1,i}\otimes R_{2,i}$ ist.)

Das Paar $\left(  H,R\right)  $ hei\ss t \textit{quasitriangul\"{a}r}, wenn
folgende drei Axiome gelten:%
\begin{align}
\Delta^{\operatorname*{cop}}\left(  x\right)   &  =R\Delta\left(  x\right)
R^{-1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in H;\tag{Q1}\\
\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  R\right)   &
=R_{13}R_{23};\tag{Q2}\\
\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)  \left(  R\right)   &
=R_{13}R_{12}. \tag{Q3}%
\end{align}
Ein solches $R$ hei\ss t eine \textit{universelle R-Matrix} f\"{u}r $H.$

\textbf{4.1. Bemerkung:} \textbf{1)} Sei $H$ eine Bialgebra, und sei $R\in
U\left(  H\otimes H\right)  .$ Wir schreiben im Folgenden nicht nur
$R^{1}\otimes R^{2},$ sondern auch $r^{1}\otimes r^{2}$ f\"{u}r $R,$ weil
sonst Terme wie $R^{1}$ und $R^{2}$ mehrfach in einem Ausdruck vorkommen
w\"{u}rden und man nicht mehr zuordnen k\"{o}nnte, welches $R^{1}$ zu welchem
$R^{2}$ geh\"{o}rt.

Genau dann ist $\left(  H,R\right)  $ ein quasitriangul\"{a}res Paar, wenn
gilt:%
\begin{align}
x_{\left(  2\right)  }R^{1}\otimes x_{\left(  1\right)  }R^{2}  &
=R^{1}x_{\left(  1\right)  }\otimes R^{2}x_{\left(  2\right)  }%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }x\in H;\tag{Q1}\\
\Delta\left(  R^{1}\right)  \otimes R^{2}  &  =R^{1}\otimes r^{1}\otimes
R^{2}r^{2};\tag{Q2}\\
R^{1}\otimes\Delta\left(  R^{2}\right)   &  =R^{1}r^{1}\otimes r^{2}\otimes
R^{2}. \tag{Q3}%
\end{align}
Dies war nur eine Umschreibung der Axiome (Q1), (Q2) und (Q3).

\textbf{2)} Sei $\left(  H,R\right)  $ ein quasitriangul\"{a}res Paar. Dann gilt:

\textbf{a)} Es ist $\varepsilon\left(  R^{1}\right)  R^{2}=1=R^{1}%
\varepsilon\left(  R^{2}\right)  .$

\textbf{b)} Ist $H$ eine Hopfalgebra mit bijektiver Antipode, dann ist
$S\left(  R^{1}\right)  \otimes R^{2}=R^{-1}=R^{1}\otimes S^{-1}\left(
R^{2}\right)  $ und $S\left(  R^{1}\right)  \otimes S\left(  R^{2}\right)
=R.$

\textbf{c)} Die Gleichungen $S\left(  R^{1}\right)  \otimes R^{2}=R^{-1}$ und
$S\left(  R^{1}\right)  \otimes S\left(  R^{2}\right)  =R$ gelten sogar
unabh\"{a}ngig davon, ob die Antipode von $H$ bijektiv ist.\footnote{Diese
Aussage habe ich (Darij) eingef\"{u}gt und bewiesen.}

\textit{Beweis:} \textbf{a)} Wende $\varepsilon\otimes\operatorname*{id}%
\otimes\operatorname*{id}$ auf die Gleichung (Q2) an, und erhalte
$R^{1}\otimes R^{2}=r^{1}\otimes\varepsilon\left(  R^{1}\right)  R^{2}r^{2}$.
Wegen $R^{1}\otimes R^{2}=R$ und
\[
r^{1}\otimes\varepsilon\left(  R^{1}\right)  R^{2}r^{2}=\left(  1\otimes
\varepsilon\left(  R^{1}\right)  R^{2}\right)  \underbrace{\left(
r^{1}\otimes r^{2}\right)  }_{=R}=\left(  1\otimes\varepsilon\left(
R^{1}\right)  R^{2}\right)  R
\]
wird dies zu $R=\left(  1\otimes\varepsilon\left(  R^{1}\right)  R^{2}\right)
R$. Hieraus folgt $1\otimes\varepsilon\left(  R^{1}\right)  R^{2}=1\otimes1$
(da $R$ invertierbar ist), und damit $\varepsilon\left(  R^{1}\right)
R^{2}=1.$ Analog folgert man $R^{1}\varepsilon\left(  R^{2}\right)  =1$ aus (Q3).

\textbf{b)} Wende $\left(  \mu\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
S\otimes\operatorname*{id}\otimes\operatorname*{id}\right)  $ auf (Q2) an, und
erhalte $\mu\left(  \left(  S\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
R^{1}\right)  \right)  \otimes R^{2}=S\left(  R^{1}\right)  r^{1}\otimes
R^{2}r^{2}$. Wegen%
\[
\underbrace{\mu\left(  \left(  S\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
R^{1}\right)  \right)  }_{=\varepsilon\left(  R^{1}\right)  1}\otimes
R^{2}=\varepsilon\left(  R^{1}\right)  1\otimes R^{2}=1\otimes\varepsilon
\left(  R^{1}\right)  R^{2}=1\otimes1
\]
und%
\[
S\left(  R^{1}\right)  r^{1}\otimes R^{2}r^{2}=\left(  S\left(  R^{1}\right)
\otimes R^{2}\right)  \underbrace{\left(  r^{1}\otimes r^{2}\right)  }%
_{=R}=\left(  S\left(  R^{1}\right)  \otimes R^{2}\right)  R
\]
wird dies zu $1\otimes1=\left(  S\left(  R^{1}\right)  \otimes R^{2}\right)
R$, also $R^{-1}=S\left(  R^{1}\right)  \otimes R^{2}$ (da $R$ invertierbar ist).

Wende $\left(  \operatorname*{id}\otimes\left(  \mu\circ\tau\right)  \right)
\left(  \operatorname*{id}\otimes S^{-1}\otimes\operatorname*{id}\right)  $
auf (Q3) an\footnote{wobei $\tau:H\otimes H\rightarrow H\otimes H$ die
$k$-lineare Abbildung ist, die $v\otimes w$ auf $w\otimes v$ abbildet f\"{u}r
alle $v,w\in H.$}, und erhalte $R^{1}\otimes\left(  R^{2}\right)  _{\left(
2\right)  }S^{-1}\left(  \left(  R^{2}\right)  _{\left(  1\right)  }\right)
=R^{1}r^{1}\otimes R^{2}S^{-1}\left(  r^{2}\right)  $. Wegen%
\[
R^{1}\otimes\underbrace{\left(  R^{2}\right)  _{\left(  2\right)  }%
S^{-1}\left(  \left(  R^{2}\right)  _{\left(  1\right)  }\right)
}_{=\varepsilon\left(  R^{2}\right)  }=R^{1}\varepsilon\left(  R^{2}\right)
\otimes1=1\otimes1
\]
und%
\[
R^{1}r^{1}\otimes R^{2}S^{-1}\left(  r^{2}\right)  =\underbrace{\left(
R^{1}\otimes R^{2}\right)  }_{=R}\left(  r^{1}\otimes S^{-1}\left(
r^{2}\right)  \right)  =R\left(  r^{1}\otimes S^{-1}\left(  r^{2}\right)
\right)
\]
wird dies zu $1\otimes1=R\left(  r^{1}\otimes S^{-1}\left(  r^{2}\right)
\right)  $. Da $R$ invertierbar ist, folgt hieraus $R^{-1}=r^{1}\otimes
S^{-1}\left(  r^{2}\right)  =R^{-1}\otimes S^{-1}\left(  R^{2}\right)  $.

Zusammen mit $R^{-1}=S\left(  R^{1}\right)  \otimes R^{2}$ ergibt dies
$S\left(  R^{1}\right)  \otimes R^{2}=R^{1}\otimes S^{-1}\left(  R^{2}\right)
$.

Wende $\operatorname*{id}\otimes S$ auf $S\left(  R^{1}\right)  \otimes
R^{2}=R^{1}\otimes S^{-1}\left(  R^{2}\right)  $ an, und erhalte%
\[
S\left(  R^{1}\right)  \otimes S\left(  R^{2}\right)  =R^{1}\otimes S\left(
S^{-1}\left(  R^{2}\right)  \right)  =R^{1}\otimes R^{2}=R.
\]
Damit ist alles bewiesen.

\textbf{c)} Im Beweis von \textbf{b)} haben wir bereits gezeigt,
da\ss \ $R^{-1}=S\left(  R^{1}\right)  \otimes R^{2}$ gilt (ohne zu benutzen,
da\ss \ $S$ invertierbar ist). Das hei\ss t, $R^{-1}=S\left(  r^{1}\right)
\otimes r^{2}$. Also ist%
\begin{align*}
R^{-1}\left(  S\left(  R^{1}\right)  \otimes S\left(  R^{2}\right)  \right)
&  =\left(  S\left(  r^{1}\right)  \otimes r^{2}\right)  \left(  S\left(
R^{1}\right)  \otimes S\left(  R^{2}\right)  \right) \\
&  =\underbrace{S\left(  r^{1}\right)  S\left(  R^{1}\right)  }_{=S\left(
R^{1}r^{1}\right)  }\otimes r^{2}S\left(  R^{2}\right)  =S\left(  R^{1}%
r^{1}\right)  \otimes r^{2}S\left(  R^{2}\right) \\
&  =\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\mu\right)  \circ\left(
S\otimes\operatorname*{id}\otimes S\right)  \right)  \left(  \underbrace{R^{1}%
r^{1}\otimes r^{2}\otimes R^{2}}_{=R^{1}\otimes\Delta\left(  R^{2}\right)
\text{ (nach (Q3))}}\right) \\
&  =\left(  \left(  \operatorname*{id}\otimes\mu\right)  \circ\left(
S\otimes\operatorname*{id}\otimes S\right)  \right)  \left(  R^{1}%
\otimes\Delta\left(  R^{2}\right)  \right) \\
&  =S\left(  R^{1}\right)  \otimes\underbrace{\left(  \mu\circ\left(
\operatorname*{id}\otimes S\right)  \right)  \left(  \Delta\left(
R^{2}\right)  \right)  }_{=\left(  R^{2}\right)  _{\left(  1\right)  }S\left(
\left(  R^{2}\right)  _{\left(  2\right)  }\right)  =\varepsilon\left(
R^{2}\right)  1}\\
&  =S\left(  R^{1}\right)  \otimes\varepsilon\left(  R^{2}\right)  1=S\left(
\underbrace{R^{1}\varepsilon\left(  R^{2}\right)  }_{=1}\right)
\otimes1=\underbrace{S\left(  1\right)  }_{=1}\otimes1=1\otimes1.
\end{align*}
Da $R^{-1}$ invertierbar ist, folgt hieraus $S\left(  R^{1}\right)  \otimes
S\left(  R^{2}\right)  =\left(  R^{-1}\right)  ^{-1}=R$, was zu beweisen war.

\textbf{4.2. Satz:} Ist $\left(  H,R\right)  $ ein quasitriangul\"{a}res Paar,
dann ist $_{H}\mathcal{M}$ eine verzopfte monoidale
Kategorie\footnote{englisch: braided monoidal category} mit Verzopfung
\begin{align*}
c_{V,W}:\ V\otimes W  &  \rightarrow W\otimes V,\\
v\otimes w  &  \mapsto R^{2}w\otimes R^{1}v
\end{align*}
f\"{u}r alle $V,W\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  .$

Hierbei wollen wir nicht genau darauf eingehen, was der Begriff "verzopfte
monoidale Kategorie" bedeutet, aber f\"{u}r uns bedeutet diese Aussage folgendes:

\begin{itemize}
\item F\"{u}r alle $V,W\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  $ ist die
$k$-lineare Abbildung%
\begin{align*}
c_{V,W}:\ V\otimes W  &  \rightarrow W\otimes V,\\
v\otimes w  &  \mapsto R^{2}w\otimes R^{1}v
\end{align*}
ein Isomorphismus in $_{H}\mathcal{M}.$

\item Diese Abbildung $c_{V,W}:\ V\otimes W\rightarrow W\otimes V$ ist
funktoriell in beiden Variablen $V$ und $W.$ Dies bedeutet folgendes: F\"{u}r
alle $V,V^{\prime},W,W^{\prime}\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  $ und
f\"{u}r alle $H$-linkslinearen Abbildungen $f:V\rightarrow V^{\prime}$ und
$g:W\rightarrow W^{\prime}$ ist das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
V\otimes W \ar[r]_{c_{V,W}} \ar[d]_{f\otimes g} & W\otimes V \ar[d]^{g\otimes f} \\
V^{\prime}\otimes W^{\prime} \ar[r]_{c_{V^{\prime},W^{\prime}}} & W^{\prime}\otimes V^{\prime}
}
\]
kommutativ.

\item F\"{u}r alle $U,V,W\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  $ sind die
Diagramme%
\begin{align}
&  \xymatrixcolsep{4pc}
\xymatrix{ U\otimes V\otimes W \ar[rr]^{c_{U\otimes V,W}} \ar[dr]_{\operatorname*{id}\otimes c_{V,W}} & & W\otimes U\otimes V \\ & U \otimes W \otimes V \ar[ru]_{c_{U,W}\otimes\operatorname*{id}} }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{und}%
\tag{C1}\\
&  \xymatrixcolsep{4pc}
\xymatrix{ U\otimes V\otimes W \ar[rr]^{c_{U,V\otimes W}} \ar[dr]_{c_{U,V}\otimes\operatorname*{id}} & & V\otimes W\otimes U \\ & V \otimes U \otimes W \ar[ru]_{\operatorname*{id}\otimes c_{U,W}} }
\tag{C2}%
\end{align}
kommutativ.
\end{itemize}

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Wir zeigen zuerst: Die Abbildung $c_{V,W}%
:\ V\otimes W\rightarrow W\otimes V$ ist ein Isomorphismus in $_{H}%
\mathcal{M}$ und funktoriell in beiden Variablen $V$ und $W.$

\textit{Beweis:} Die $k$-linearen Abbildungen%
\begin{align*}
c_{V,W}:\ V\otimes W  &  \rightarrow W\otimes V,\\
v\otimes w  &  \mapsto R^{2}w\otimes R^{1}v
\end{align*}
und%
\begin{align*}
W\otimes V  &  \rightarrow V\otimes W,\\
w\otimes v  &  \mapsto\overline{R}^{1}v\otimes\overline{R}^{2}w,
\end{align*}
wobei $\overline{R}=R^{-1},$ sind zueinander invers, und damit ist die
Abbildung $c_{V,W}$ ein Vektorraumisomorphismus.

Ferner ist $c_{V,W}$ eine $H$-lineare Abbildung, denn f\"{u}r alle $v\in V,$
$w\in W$ und $h\in H$ gilt%
\[
c_{V,W}\left(  \underbrace{h\left(  v\otimes w\right)  }_{=h_{\left(
1\right)  }v\otimes h_{\left(  2\right)  }w}\right)  =R^{2}h_{\left(
2\right)  }w\otimes R^{1}h_{\left(  1\right)  }v
\]
und%
\begin{align*}
h\underbrace{c_{V,W}\left(  v\otimes w\right)  }_{=R^{2}w\otimes R^{1}v}  &
=h_{\left(  1\right)  }R^{2}w\otimes h_{\left(  2\right)  }R^{1}%
v=R^{2}h_{\left(  2\right)  }w\otimes R^{1}h_{\left(  1\right)  }v\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{denn (Q1) ergibt }R^{1}h_{\left(
1\right)  }\otimes R^{2}h_{\left(  2\right)  }=h_{\left(  2\right)  }%
R^{1}\otimes h_{\left(  1\right)  }R^{2}\right) \\
&  =c_{V,W}\left(  h\left(  v\otimes w\right)  \right)  .
\end{align*}
Somit ist $c_{V,W}$ ein Isomorphismus in $_{H}\mathcal{M}.$

Da\ss \ $c_{V,W}$ in beiden Variablen $V$ und $W$ funktoriell ist, ergibt sich
aus $\left(  g\otimes f\right)  c_{V,W}=c_{V^{\prime},W^{\prime}}\left(
f\otimes g\right)  $ f\"{u}r alle $V,V^{\prime},W,W^{\prime}\in\left.
_{H}\mathcal{M}\right.  $ und f\"{u}r alle $H$-linkslinearen Abbildungen
$f:V\rightarrow V^{\prime}$ und $g:W\rightarrow W^{\prime},$ was wiederum aus
\[
\left(  g\otimes f\right)  c_{V,W}\left(  v\otimes w\right)  =g\left(
R^{2}w\right)  \otimes f\left(  R^{1}v\right)
\]
und%
\[
c_{V^{\prime},W^{\prime}}\left(  f\left(  v\right)  \otimes g\left(  w\right)
\right)  =R^{2}g\left(  w\right)  \otimes R^{1}f\left(  v\right)
\]
f\"{u}r alle $v\in V$ und $w\in W$ folgt.

\textbf{2)} Jetzt werden wir (C1) beweisen. F\"{u}r alle $u\in U,$ $v\in V$
und $w\in W$ ist%
\begin{align*}
c_{U\otimes V,W}\left(  u\otimes v\otimes w\right)   &  =R^{2}w\otimes
R^{1}\left(  u\otimes v\right)  =R^{2}w\otimes\left(  R^{1}\right)  _{\left(
1\right)  }u\otimes\left(  R^{1}\right)  _{\left(  2\right)  }v\\
&  =r^{2}R^{2}w\otimes r^{1}u\otimes R^{1}v\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn (Q2) ergibt }R^{2}\otimes\left(  R^{1}\right)  _{\left(  1\right)
}\otimes\left(  R^{1}\right)  _{\left(  2\right)  }\\
=R^{2}\otimes\Delta\left(  R^{1}\right)  =R^{2}r^{2}\otimes R^{1}\otimes
r^{1}\\
=r^{2}R^{2}\otimes r^{1}\otimes R^{1}%
\end{array}
\right)  ,
\end{align*}
aber auch%
\[
\left(  \operatorname*{id}\otimes c_{V,W}\right)  \left(  u\otimes v\otimes
w\right)  =u\otimes R^{2}w\otimes R^{1}v
\]
und damit%
\begin{align*}
\left(  c_{U,V}\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  \operatorname*{id}%
\otimes c_{V,W}\right)  \left(  u\otimes v\otimes w\right)   &  =\left(
c_{U,V}\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  u\otimes R^{2}w\otimes
R^{1}v\right) \\
&  =r^{2}R^{2}w\otimes r^{1}u\otimes R^{1}v=c_{U\otimes V,W}\left(  u\otimes
v\otimes w\right)  ,
\end{align*}
und daher ist $\left(  c_{U,V}\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
\operatorname*{id}\otimes c_{V,W}\right)  =c_{U\otimes V,W}.$ Somit ist (C1) bewiesen.

\textbf{3)} Jetzt wollen wir (C2) nachp\"{u}fen. F\"{u}r alle $u\in U,$ $v\in
V$ und $w\in W$ ist%
\begin{align*}
c_{U,V\otimes W}\left(  u\otimes v\otimes w\right)   &  =R^{2}\left(  v\otimes
w\right)  \otimes R^{1}u=\left(  R^{2}\right)  _{\left(  1\right)  }%
v\otimes\left(  R^{2}\right)  _{\left(  2\right)  }w\otimes R^{1}u\\
&  =R^{2}v\otimes r^{2}w\otimes r^{1}R^{1}u\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(
\begin{array}
[c]{c}%
\text{denn (Q3) ergibt }\left(  R^{2}\right)  _{\left(  1\right)  }%
\otimes\left(  R^{2}\right)  _{\left(  2\right)  }\otimes R^{1}\\
=\Delta\left(  R^{2}\right)  \otimes R^{1}=r^{2}\otimes R^{2}\otimes
R^{1}r^{1}\\
=R^{2}\otimes r^{2}\otimes r^{1}R^{1}%
\end{array}
\right)  ,
\end{align*}
aber auch%
\[
\left(  c_{U,V}\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  u\otimes v\otimes
w\right)  =R^{2}v\otimes R^{1}u\otimes w
\]
und damit%
\[
\left(  \operatorname*{id}\otimes c_{U,W}\right)  \left(  c_{U,V}%
\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  u\otimes v\otimes w\right)  =\left(
\operatorname*{id}\otimes c_{U,W}\right)  \left(  R^{2}v\otimes R^{1}u\otimes
w\right)  =R^{2}v\otimes r^{2}w\otimes r^{1}R^{1}u,
\]
also $\left(  \operatorname*{id}\otimes c_{U,W}\right)  \left(  c_{U,V}%
\otimes\operatorname*{id}\right)  =c_{U,V\otimes W}.$ Damit ist (C2) gezeigt.

\textit{Bemerkung:} Satz 4.2. hat auch eine Art Umkehrung: Sei $H$ eine
Bialgebra so, da\ss \ die Kategorie $_{H}\mathcal{M}$ verzopft ist mit
$\left(  c_{V,W}\right)  _{V,W\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  }.$ Dann ist
$\left(  H,R\right)  $ ein quasitriangul\"{a}res Paar mit Verzopfung wie in
Satz 4.2. mit $R=\tau\left(  c_{H,H}\left(  1\otimes1\right)  \right)  ,$
wobei die $k$-lineare Abbildung $\tau:H\otimes H\rightarrow H\otimes H$ durch
$\tau\left(  v\otimes w\right)  =w\otimes v$ f\"{u}r alle $v,w\in H$ definiert ist.

\textbf{4.3. Folgerung:} Sei $\left(  H,R\right)  $ ein quasitriangul\"{a}res
Paar. F\"{u}r alle $U,V,W\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  $ ist das Diagramm%
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
& U\otimes V\otimes W \ar[dl]_{\operatorname*{id}\otimes c_{V,W}} \ar[dr]^{c_{U,V}\otimes\operatorname*{id}} & \\
U\otimes W\otimes V \ar[d]_{c_{U,W}\otimes\operatorname*{id}} & & V\otimes U\otimes W \ar[d]^{\operatorname*{id}\otimes c_{U,W}}\\
W\otimes U\otimes V \ar[dr]_{\operatorname*{id}\otimes c_{U,V}} & & V \otimes W\otimes U \ar[dl]^{c_{V,W}\otimes\operatorname*{id}}\\
& W\otimes V\otimes U &
}
\]
kommutativ. (Dies ist das sogenannte \textit{Hexagon-Diagramm}.)

F\"{u}r jedes $V\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  $ gilt insbesondere%
\[
\left(  \operatorname*{id}\otimes c\right)  \left(  c\otimes\operatorname*{id}%
\right)  \left(  \operatorname*{id}\otimes c\right)  =\left(  c\otimes
\operatorname*{id}\right)  \left(  \operatorname*{id}\otimes c\right)  \left(
c\otimes\operatorname*{id}\right)
\]
in $\operatorname*{End}\left(  V\otimes V\otimes V\right)  ,$ wobei
$c=c_{V,V}.$ (Dies ist die sogenannte \textit{Yang-Baxter-Gleichung}.)

\textit{Beweis:} Seien $U,V,W\in\left.  _{H}\mathcal{M}\right.  .$ Das
Diagramm
\[
\xymatrixcolsep{4pc} \xymatrix{
& U\otimes V\otimes W \ar[dl]_{\operatorname*{id}\otimes c_{V,W}} \ar[ddl]^{c_{U\otimes V,W}} \ar[dr]^{c_{U,V}\otimes\operatorname*{id}} & \\
U\otimes W\otimes V \ar[d]_{c_{U,W}\otimes\operatorname*{id}} & & V\otimes U\otimes W \ar[ddl]_{c_{V\otimes U,W}} \ar[d]^{\operatorname*{id}\otimes c_{U,W}}\\
W\otimes U\otimes V \ar[dr]_{\operatorname*{id}\otimes c_{U,V}} & & V \otimes W\otimes U \ar[dl]^{c_{V,W}\otimes\operatorname*{id}}\\
& W\otimes V\otimes U &
}
\]
ist kommutativ (denn das linke Dreieck ist wegen (C1) kommutativ, das rechte
Dreieck ist ebenfalls wegen (C1) kommutativ, und das mittlere Parallelogramm%
\[
\xymatrixcolsep{5pc} \xymatrix{
\left(U\otimes V\right)\otimes W \ar[r]^{c_{U\otimes V,W}} \ar[d]_{c_{U,V}\otimes\operatorname*{id}} & W\otimes\left(U\otimes V\right) \ar[d]^{\operatorname*{id}\otimes c_{U,V}} \\
\left(V\otimes U\right)\otimes W \ar[r]^{c_{V\otimes U,W}} & W\otimes \left(V\otimes U\right)
}
\]
ist kommutativ, da $c_{\cdot,\cdot}$ eine nat\"{u}rliche Transformation ist).
Somit ist 4.3. bewiesen.

Der folgende Satz liefert uns unendlich viele quasitriangul\"{a}re Paare
$\left(  H,R\right)  $:

\textbf{4.4. Satz:} Sei $H$ eine endlichdimensionale Hopfalgebra. Wir arbeiten
jetzt in der Hopfalgebra $D\left(  H\right)  .$ Als Vektorraum und sogar als
Coalgebra ist nat\"{u}rlich $D\left(  H\right)  =H^{\ast\operatorname*{cop}%
}\otimes H.$

Wir schreiben im Folgenden $fx$ statt $f\otimes x$ f\"{u}r alle $f\in H^{\ast
}$ und $x\in H.$

Sei $\left(  v_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}$ eine Basis von $H,$ und sei
$\left(  f_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}$ die zu ihr duale Basis von $H^{\ast
}.$

Sei $R=\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}\otimes f_{i}\in D\left(  H\right)  \otimes
D\left(  H\right)  ,$ wobei wir jetzt $v_{i}$ mit dem Element $\varepsilon
_{H}v_{i}=\varepsilon_{H}\otimes v_{i}$ von $D\left(  H\right)  $
identifizieren und $f_{i}$ mit dem Element $f_{i}1=f_{i}\otimes1$ von
$D\left(  H\right)  $ identifizieren.

Dann ist $\left(  D\left(  H\right)  ,R\right)  $ ein quasitriangul\"{a}res Paar.

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Zuerst werden wir zeigen, da\ss \ $R$ in
$D\left(  H\right)  \otimes D\left(  H\right)  $ invertierbar ist.

\textit{Beweis:} Setze $\overline{R}=\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}\otimes
S_{H^{\ast}}\left(  f_{i}\right)  .$ (Man bedenke, da\ss \ $S_{H^{\ast}%
}=S_{H^{\ast\operatorname*{cop}}}^{-1}=S_{D\left(  H\right)  }^{-1}%
\mid_{H^{\ast}}$ und nicht etwa $S_{H^{\ast}}=S_{D\left(  H\right)  }%
\mid_{H^{\ast}}$ gilt!) Dann ist%
\[
R\overline{R}=\left(  \sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}\otimes f_{i}\right)
\cdot\left(  \sum\limits_{j=1}^{n}v_{j}\otimes S_{H^{\ast}}\left(
f_{j}\right)  \right)  =\sum\limits_{i,j}v_{i}v_{j}\otimes f_{i}S_{H^{\ast}%
}\left(  f_{j}\right)  =1\otimes1
\]
in $D\left(  H\right)  \otimes D\left(  H\right)  ,$ denn f\"{u}r alle $x\in
H$ ist%
\begin{align*}
&  \sum\limits_{i,j}v_{i}v_{j}\left(  f_{i}S_{H^{\ast}}\left(  f_{j}\right)
\right)  \left(  x\right)  =\sum\limits_{i,j}v_{i}v_{j}\underbrace{\left(
f_{i}S_{H^{\ast}}\left(  f_{j}\right)  \right)  \left(  x\right)  }%
_{=f_{i}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot\underbrace{\left(
S_{H^{\ast}}\left(  f_{j}\right)  \right)  \left(  x_{\left(  2\right)
}\right)  }_{=f_{j}\left(  S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  }%
}\\
&  =\underbrace{\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}f_{i}\left(  x_{\left(  1\right)
}\right)  }_{\substack{=x_{\left(  1\right)  },\text{ da }\left(
v_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}\text{ und }\left(  f_{i}\right)  _{1\leq i\leq
n}\\\text{duale Basen sind}}}\underbrace{\sum_{j=1}^{n}v_{j}f_{j}\left(
S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)  \right)  }_{\substack{=S\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  ,\text{ da }\left(  v_{i}\right)  _{1\leq i\leq
n}\text{ und }\left(  f_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}\\\text{duale Basen sind}%
}}=x_{\left(  1\right)  }S\left(  x_{\left(  2\right)  }\right)
=\varepsilon\left(  x\right)  \cdot1.
\end{align*}


\textbf{2)} Jetzt wollen wir zeigen: $\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}%
\right)  \left(  R\right)  =R_{12}R_{23}.$

\textit{Beweis:} Wir haben%
\[
\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(  R\right)
=\sum\limits_{i=1}^{n}\Delta\left(  v_{i}\right)  \otimes f_{i}%
\]
und%
\[
R_{12}R_{23}=\sum_{i,j}v_{i}\otimes v_{j}\otimes f_{i}f_{j},
\]
und somit folgt $\left(  \Delta\otimes\operatorname*{id}\right)  \left(
R\right)  =R_{12}R_{23}$ aus%
\[
\sum\limits_{i=1}^{n}\Delta\left(  v_{i}\right)  \otimes f_{i}=\sum_{i,j}%
v_{i}\otimes v_{j}\otimes f_{i}f_{j},
\]
was wahr ist, da%
\[
\sum\limits_{i=1}^{n}\Delta\left(  v_{i}\right)  f_{i}\left(  x\right)
=\Delta\left(  \sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}f_{i}\left(  x\right)  \right)
=\Delta\left(  x\right)
\]
und%
\[
\sum_{i,j}v_{i}\otimes v_{j}\underbrace{\left(  f_{i}f_{j}\right)  \left(
x\right)  }_{=f_{i}\left(  x_{\left(  1\right)  }\right)  f_{j}\left(
x_{\left(  2\right)  }\right)  }=\sum_{i=1}^{n}v_{i}f_{i}\left(  x_{\left(
1\right)  }\right)  \otimes\sum_{j=1}^{n}v_{j}f_{j}\left(  x_{\left(
2\right)  }\right)  =x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)
}=\Delta\left(  x\right)
\]
f\"{u}r alle $x\in H$ gilt.

\textbf{3)} Analog gilt $\left(  \operatorname*{id}\otimes\Delta\right)
\left(  R\right)  =R_{13}R_{12}.$

\textbf{4)} Jetzt werden wir zeigen: F\"{u}r alle $x\in H$ ist $\Delta
^{\operatorname*{cop}}\left(  x\right)  R=R\Delta\left(  x\right)  .$

\textit{Beweis:} Wir haben%
\begin{align*}
\Delta^{\operatorname*{cop}}\left(  x\right)  R  &  =\left(  x_{\left(
2\right)  }\otimes x_{\left(  1\right)  }\right)  \left(  \sum\limits_{i=1}%
^{n}v_{i}\otimes f_{i}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}x_{\left(  2\right)
}v_{i}\otimes\underbrace{x_{\left(  1\right)  }f_{i}}_{=f_{i}\left(
S^{-1}\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  \underline{?}x_{\left(  1\right)
}\right)  x_{\left(  2\right)  }}\\
&  =\sum\limits_{i=1}^{n}x_{\left(  4\right)  }v_{i}\otimes f_{i}\left(
S^{-1}\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  \underline{?}x_{\left(  1\right)
}\right)  x_{\left(  2\right)  }%
\end{align*}
und%
\[
R\Delta\left(  x\right)  =\left(  \sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}\otimes
f_{i}\right)  \left(  x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)
}\right)  =\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}x_{\left(  1\right)  }\otimes
f_{i}x_{\left(  2\right)  },
\]
aber wir haben%
\[
\sum\limits_{i=1}^{n}x_{\left(  4\right)  }v_{i}\otimes f_{i}\left(
S^{-1}\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  \underline{?}x_{\left(  1\right)
}\right)  x_{\left(  2\right)  }=\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}x_{\left(
1\right)  }\otimes f_{i}x_{\left(  2\right)  },
\]
denn f\"{u}r alle $h\in H$ ist%
\begin{align*}
\sum\limits_{i=1}^{n}x_{\left(  4\right)  }v_{i}\otimes f_{i}\left(
S^{-1}\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  hx_{\left(  1\right)  }\right)
x_{\left(  2\right)  }  &  =x_{\left(  4\right)  }\underbrace{\sum
\limits_{i=1}^{n}v_{i}f_{i}\left(  S^{-1}\left(  x_{\left(  3\right)
}\right)  hx_{\left(  1\right)  }\right)  }_{\substack{=S^{-1}\left(
x_{\left(  3\right)  }\right)  hx_{\left(  1\right)  },\text{ da }\left(
v_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}\text{ und }\left(  f_{i}\right)  _{1\leq i\leq
n}\\\text{duale Basen sind}}}\otimes x_{\left(  2\right)  }\\
&  =\underbrace{x_{\left(  4\right)  }S^{-1}\left(  x_{\left(  3\right)
}\right)  }_{=\varepsilon\left(  x_{\left(  3\right)  }\right)  }hx_{\left(
1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }=hx_{\left(  1\right)  }\otimes
x_{\left(  2\right)  }%
\end{align*}
und%
\[
\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}x_{\left(  1\right)  }\otimes f_{i}\left(  h\right)
x_{\left(  2\right)  }=\underbrace{\sum\limits_{i=1}^{n}v_{i}f_{i}\left(
h\right)  }_{\substack{=h,\text{ da }\left(  v_{i}\right)  _{1\leq i\leq
n}\text{ und }\left(  f_{i}\right)  _{1\leq i\leq n}\\\text{duale Basen sind}%
}}x_{\left(  1\right)  }\otimes x_{\left(  2\right)  }=hx_{\left(  1\right)
}\otimes x_{\left(  2\right)  }.
\]


\bigskip

\begin{center}
\fbox{\textbf{5. Yetter-Drinfeld-Moduln}}
\end{center}

[\textit{Kurzzusammenfassung:}]

\textbf{Definition:} Sei $H$ eine Hopfalgebra mit bijektiver Antipode $S.$ Ein
\textit{Yetter-Drinfeld-Modul} \"{u}ber der Hopfalgebra $H$ ist ein Vektorraum
$V$ mit einer $H$-Linksmodulstruktur%
\[
H\otimes V\rightarrow V,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h\otimes v\mapsto h\cdot v=hv
\]
und einer $H$-Linkscomodulstruktur%
\[
V\rightarrow H\otimes V,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v\mapsto v_{\left(  -1\right)
}\otimes v_{\left(  0\right)  },
\]
die die Beziehung%
\[
\delta\left(  h\cdot v\right)  =h_{\left(  1\right)  }v_{\left(  -1\right)
}S\left(  h_{\left(  3\right)  }\right)  \otimes h_{\left(  2\right)
}v_{\left(  0\right)  }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }h\in H\text{
und }v\in V
\]
erf\"{u}llen.

Sind $V$ und $W$ zwei Yetter-Drinfeld-Moduln \"{u}ber der Hopfalgebra $H,$ und
ist $f$ eine $k$-lineare Abbildung von $V$ nach $W$, so hei\ss t $f$ ein
\textit{Yetter-Drinfeld-Modulhomomorphismus} genau dann, wenn $f$ ein
$H$-Linksmodulhomomorphismus und ein $H$-Linkscomodulhomomorphismus ist.

Sei $_{H}^{H}\mathcal{YD}$ die Kategorie, deren Objekte die
Yetter-Drinfeld-Moduln \"{u}ber der Hopfalgebra $H$ sind, und deren Morphismen
die Yetter-Drinfeld-Modulhomomorphismen sind.

Diese Kategorie $_{H}^{H}\mathcal{YD}$ ist eine (strikte) monoidale Kategorie,
d. h. f\"{u}r alle $V,W\in\left.  _{H}^{H}\mathcal{YD}\right.  $ ist $V\otimes
W\in\left.  _{H}^{H}\mathcal{YD}\right.  $ (wobei sowohl die $H$%
-Linksmodulstruktur, als auch die $H$-Linkscomodulstruktur auf $V\otimes W$
die Diagonalstrukturen sind, d. h. die $H$-Linksmodulstruktur auf $V\otimes W$
ist gegeben durch%
\[
h\cdot\left(  v\otimes w\right)  =h_{\left(  1\right)  }v\otimes h_{\left(
2\right)  }w\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }h\in H\text{, }v\in
V\text{ und }w\in W,
\]
und die $H$-Linkscomodulstruktur auf $V\otimes W$ ist gegeben durch%
\[
\delta\left(  v\otimes w\right)  =v_{\left(  -1\right)  }w_{\left(  -1\right)
}\otimes v_{\left(  0\right)  }\otimes w_{\left(  0\right)  }%
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{f\"{u}r alle }v\in V\text{ und }w\in W
\]
).

Ferner ist auf der Kategorie $_{H}^{H}\mathcal{YD}$ eine Verzopfung%
\[
c_{V,W}:V\otimes W\overset{\cong}{\rightarrow}W\otimes
V,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v\otimes w\mapsto v_{\left(  -1\right)  }w\otimes
v_{\left(  0\right)  }%
\]
definiert. Die Umkehrabbildung dieser Verzopfung hat die Form%
\[
c_{V,W}^{-1}:W\otimes V\overset{\cong}{\rightarrow}V\otimes
W,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ w\otimes v\mapsto v_{\left(  0\right)  }\otimes
S^{-1}\left(  v_{\left(  -1\right)  }\right)  w.
\]


[...]

[HIER FEHLEN MEHRERE VORLESUNGEN.]

[...]

\bigskip

\begin{center}
\fbox{\textbf{6. Bosonisierung}}
\end{center}

[Ab hier wird nur noch vage mitgeschrieben und nicht wirklich mitgedacht -
Fehler und unvollst\"{a}ndige Beweise sind garantiert.]

\textbf{6.1. Satz (Radford-Majid):} Sei $H$ eine Hopfalgebra mit bijektiver
Antipode $S.$ Sei $A$ eine weitere Hopfalgebra, und seien $\iota:H\rightarrow
A$ und $\pi:A\rightarrow H$ zwei Hopfalgebrahomomorphismen, f\"{u}r die das
Diagramm%
\[
\xymatrix{
& H \ar@{->}[dl]_{\iota} \ar@{=}[d]^{\operatorname*{id}} \\
A \ar@{->>}[r]_{\pi} & H
}
\]
kommutativ ist. Wir betrachten $H$ als Unterhopfalgebra von $A$ (verm\"{o}ge
der Inklusion $\iota$). Sei $R=A^{\operatorname*{Co}H}$, wobei
$A^{\operatorname*{Co}H}$ als die Teilmenge $\left\{  a\in A\ \mid\ a_{\left(
1\right)  }\otimes\pi\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  =a\otimes1\text{
in }A\otimes H\right\}  $ von $A$ definiert ist. Dann ist $R$ eine Hopfalgebra
in der Kategorie $_{H}^{H}\mathcal{YD}$, wobei die Hopfalgebrastruktur und die
Yetter-Drinfeld-Modulstruktur wie folgt definiert sind:

\begin{itemize}
\item Die $H$-Linksmodulstruktur auf $R$ sei definiert durch $h\cdot
r=h_{\left(  1\right)  }rS\left(  h_{\left(  2\right)  }\right)  $.

\item Die $H$-Linkscomodulstruktur auf $R$ sei die Abbildung $\delta
_{R}:R\rightarrow H\otimes R$, die durch $\delta_{R}\left(  r\right)
=\pi\left(  r_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes r_{\left(  2\right)  }$
definiert ist. (Wie immer schreiben wir im Folgenden $r_{\left(  -1\right)
}\otimes r_{\left(  0\right)  }$ f\"{u}r $\delta_{R}\left(  r\right)  $. Also
wird $\delta_{R}\left(  r\right)  =\pi\left(  r_{\left(  1\right)  }\right)
\otimes r_{\left(  2\right)  }$ zu $r_{\left(  -1\right)  }\otimes r_{\left(
0\right)  }=\pi\left(  r_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes r_{\left(
2\right)  }$.)

\item Die $k$-Algebrastruktur auf $R$ ergibt sich durch Restriktion aus der
von $A$ (denn $R$ ist eine Unteralgebra von $A$).

\item Die $k$-Coalgebrastruktur auf $R$ sei definiert durch $\varepsilon
_{R}=\varepsilon_{A}\mid_{R}$ und durch
\begin{align*}
\Delta_{R}\left(  r\right)   &  =\vartheta\left(  r_{\left(  1\right)
}\right)  \otimes r_{\left(  2\right)  }=r^{\left(  1\right)  }\otimes
r^{\left(  2\right)  },\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{wobei}\\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{wobei }\vartheta:A\rightarrow R\text{ definiert
ist durch }\vartheta\left(  a\right)  =a_{\left(  1\right)  }\left(  \pi\circ
S\right)  \left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \text{ f\"{u}r alle }a\in A.
\end{align*}


\item Die Antipode auf $R$ sei definiert durch $S_{R}\left(  r\right)
=r_{\left(  -1\right)  }S\left(  r_{\left(  0\right)  }\right)  =\pi\left(
r_{\left(  1\right)  }\right)  S\left(  r_{\left(  2\right)  }\right)  .$
\end{itemize}

Diese Hopfalgebra hat ferner die Eigenschaft, da\ss
\[
R\otimes H\rightarrow A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r\otimes h\mapsto rh
\]
und%
\[
A\rightarrow R\otimes H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto a_{\left(  1\right)
}\left(  S\circ\pi\right)  \left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes
\pi\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)  =\vartheta\left(  a_{\left(
1\right)  }\right)  \otimes\pi\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)
\]
zueinander inverse Bijektionen sind.

\textit{Beweis:} \textbf{1)} Die Abbildung $\vartheta$ ist wohldefiniert, d.
h. f\"{u}r jedes $a\in A$ ist $a_{\left(  1\right)  }\left(  \pi\circ
S\right)  \left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \in R.$

\textit{Beweis:} F\"{u}r jedes $a\in A$ ist $\vartheta\left(  a\right)
=a_{\left(  1\right)  }\left(  \pi\circ S\right)  \left(  a_{\left(  2\right)
}\right)  $ und damit%
\begin{align*}
\Delta\left(  \vartheta\left(  a\right)  \right)   &  =\Delta\left(
a_{\left(  1\right)  }\left(  \pi\circ S\right)  \left(  a_{\left(  2\right)
}\right)  \right)  =\Delta\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)
\cdot\underbrace{\Delta\left(  \left(  \pi\circ S\right)  \left(  a_{\left(
2\right)  }\right)  \right)  }_{\substack{=\left(  \pi\otimes\pi\right)
\left(  \Delta\left(  S\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
\right)  \\\text{(denn }\pi\text{ ist ein Coalgebrahomomorphismus)}}}\\
&  =\Delta\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  \cdot\left(  \pi\otimes
\pi\right)  \left(  \Delta\left(  S\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)
\right)  \right) \\
&  =\left(  \left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  1\right)
}\otimes\left(  a_{\left(  1\right)  }\right)  _{\left(  2\right)  }\right)
\left(  \pi\left(  \left(  S\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \right)
_{\left(  1\right)  }\right)  \otimes\pi\left(  \left(  S\left(  a_{\left(
2\right)  }\right)  \right)  _{\left(  2\right)  }\right)  \right) \\
&  =\left(  a_{\left(  1\right)  }\otimes a_{\left(  2\right)  }\right)
\left(  \left(  \pi\circ S\right)  \left(  a_{\left(  4\right)  }\right)
\otimes\left(  \pi\circ S\right)  \left(  a_{\left(  3\right)  }\right)
\right) \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(  \text{da }S\text{ ein
Anticoalgebrahomomorphismus ist}\right) \\
&  =a_{\left(  1\right)  }\left(  \pi\circ S\right)  \left(  a_{\left(
4\right)  }\right)  \otimes a_{\left(  2\right)  }\left(  \pi\circ S\right)
\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)  ,
\end{align*}
und nun%
\begin{align*}
\left(  \vartheta\left(  a\right)  \right)  _{\left(  1\right)  }\otimes
\pi\left(  \left(  \vartheta\left(  a\right)  \right)  _{\left(  2\right)
}\right)   &  =\left(  \operatorname{id}\otimes\pi\right)  \left(
\underbrace{\Delta\left(  \vartheta\left(  a\right)  \right)  }_{=a_{\left(
1\right)  }\left(  \pi\circ S\right)  \left(  a_{\left(  4\right)  }\right)
\otimes a_{\left(  2\right)  }\left(  \pi\circ S\right)  \left(  a_{\left(
3\right)  }\right)  }\right) \\
&  =\left(  \operatorname{id}\otimes\pi\right)  \left(  a_{\left(  1\right)
}\left(  \pi\circ S\right)  \left(  a_{\left(  4\right)  }\right)  \otimes
a_{\left(  2\right)  }\left(  \pi\circ S\right)  \left(  a_{\left(  3\right)
}\right)  \right) \\
&  =a_{\left(  1\right)  }\left(  \pi\circ S\right)  \left(  a_{\left(
4\right)  }\right)  \otimes\underbrace{\pi\left(  a_{\left(  2\right)
}\left(  \pi\circ S\right)  \left(  a_{\left(  3\right)  }\right)  \right)
}_{\substack{=\pi\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \pi\left(  \left(
\pi\circ S\right)  \left(  a_{\left(  3\right)  }\right)  \right)
\\=\pi\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \pi^{2}\left(  S\left(
a_{\left(  3\right)  }\right)  \right)  \\=\pi\left(  a_{\left(  2\right)
}\right)  \pi\left(  S\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)  \right)
\\\text{(denn }\pi\text{ ist eine Projektion, also }\pi^{2}=\pi\text{)}}}\\
&  =a_{\left(  1\right)  }\left(  \pi\circ S\right)  \left(  a_{\left(
4\right)  }\right)  \otimes\underbrace{\pi\left(  a_{\left(  2\right)
}\right)  \pi\left(  S\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)  \right)  }%
_{=\pi\left(  a_{\left(  2\right)  }S\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)
\right)  =\pi\left(  \varepsilon\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)
\right)  }\\
&  =a_{\left(  1\right)  }\left(  \pi\circ S\right)  \left(  a_{\left(
2\right)  }\right)  \otimes1=\vartheta\left(  a\right)  \otimes1,
\end{align*}
also $\vartheta\left(  a\right)  \in A^{\operatorname*{Co}H}=R$, was zu
beweisen war.

\textbf{2)} Die Abbildungen
\[
R\otimes H\rightarrow A,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r\otimes h\mapsto rh
\]
und%
\[
A\rightarrow R\otimes H,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\mapsto a_{\left(  1\right)
}\left(  S\circ\pi\right)  \left(  a_{\left(  2\right)  }\right)  \otimes
\pi\left(  a_{\left(  3\right)  }\right)  =\vartheta\left(  a_{\left(
1\right)  }\right)  \otimes\pi\left(  a_{\left(  2\right)  }\right)
\]
sind zueinander inverse Bijektionen.

\textit{Beweis:} [...]

\textbf{3)}
\[
R\overset{\cong}{\rightarrow}A\diagup AH^{+},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r\mapsto
\overline{r}%
\]
als Coalgebren.

\bigskip
\end{document}