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\ihead{Errata zu ``Freie algebraische Strukturen''}
\ohead{\today}
\begin{document}

\begin{center}
\textbf{Freie algebraische Strukturen}

\textit{Hartmut Laue}

\url{http://www.math.uni-kiel.de/algebra/laue/vorlesungen/frei/freiealgstr.pdf}

Version vom 16. September 2013

\textbf{Errata und Kommentare von Darij Grinberg}

\bigskip
\end{center}

\setcounter{section}{6}

\section*{Errata}

Die Seitenzahlen, die in den folgenden Errata referenziert werden, entsprechen
den auf jeweiligen Seiten des Skriptes gedruckten Seitenzahlen (nicht der
Nummerierung in der PDF-Datei).

\begin{itemize}
\item \textbf{Allgemein:} In diesem Skript werden einige Konventionen
verwendet, die etwas un\"{u}blich sind. Zum einen werden Funktionen hier
rechts von ihren Argumenten geschrieben (d.h., das Bild eines Elementes $a\in
A$ unter einer Funktion $f:A\rightarrow B$ wird mit $af$ bezeichnet statt mit
$f\left(  a\right)  $), und dementsprechend verkettet (d.h., die Verkettung
$fg$ bedeutet die Funktion, die jedes $a$ auf $\left(  af\right)  g$ abbildet,
also zuerst $f$ und dann $g$ anwendet). In den meisten B\"{u}chern wird dies
heutzutage genau umgekehrt gemacht.

Zum anderen wird hier die Kuratowski-Definition von Funktionen als Mengen von
Paaren benutzt. (Und zwar: Wenn $A$ und $B$ zwei Mengen sind, dann wird eine
Funktion von $A$ nach $B$ definiert als eine Teilmenge $S$ von $A\times B$ mit
der Eigenschaft, dass f\"{u}r jedes $a\in A$ genau ein $b\in B$ existiert mit
$\left(  a,b\right)  \in S$. Dieses $b$ hei\ss t das Bild von $a$ unter der
Funktion.) Auch dies ist heutzutage ein wenig antiquiert.

Die Notation \textquotedblleft$\left\{  \left(  1,1f\right)  ,\ldots,\left(
n,nf\right)  \right\}  $\textquotedblright\ in der letzten Zeile von Seite 3
ist mit Hinsicht auf diese Konventionen zu deuten.

\item \textbf{Seite 3:} Ich w\"{u}rde \textquotedblleft das letztere
Element\textquotedblright\ durch \textquotedblleft das Element $x_{j}%
$\textquotedblright\ ersetzen; sonst entsteht der falsche Eindruck, es ginge
um das letzte Element des Tupels.

\item \textbf{Seite 4, Beweis von Proposition 1.2:} Im Beweis von (3) sollte
\textquotedblleft$\left(  x_{n}^{\prime}\right)  \varphi$\textquotedblright%
\ durch \textquotedblleft$\left(  x_{m}^{\prime}\right)  \varphi
$\textquotedblright\ ersetzt werden.

\item \textbf{Seite 5, Definition 1.3:} Ersetze \textquotedblleft$X^{n}\leq
N$\textquotedblright\ durch \textquotedblleft$X^{n}\subseteq N$%
\textquotedblright. (Denn $X^{n}$ ist ja kein Untermonoid von $N$.)

\item \textbf{Seite 5, Beweis von 1.3.2:} Ersetze \textquotedblleft von
$\mathrm{N}$\textquotedblright\ durch \textquotedblleft von $N$%
\textquotedblright.

\item \textbf{Seite 6:} \textquotedblleft tiefiegenden\textquotedblright%
\ $\rightarrow$ \textquotedblleft tiefliegenden\textquotedblright.

\item \textbf{Seite 9, Beweis von 1.7.1:} Hier sollte oBdA angenommen werden,
da\ss \ alle $y_{i}$ von $1$ verschieden sind. (Sonst ist \textquotedblleft%
$l\left(  y_{i}\right)  \geq1$\textquotedblright\ falsch.)

\item \textbf{Seite 13, Definition 1.11:} Nach \textquotedblleft paarweise
verschieden sind\textquotedblright\ f\"{u}ge ein: \textquotedblleft und $w$
nichtleer ist\textquotedblright.

\item \textbf{Seite 14, Satz 1.12:} In Aussage (4) fehlt unter dem
Summenzeichen ein Komma. (Das hei\ss t, \textquotedblleft$d\mid k_{1},\ldots
k_{r}$\textquotedblright\ sollte durch \textquotedblleft$d\mid k_{1}%
,\ldots,k_{r}$\textquotedblright\ ersetzt werden.)

\item \textbf{Seite 16, Beweis von Satz 1.12:} Am Ende des Beweises von
Aussage (2) hei\ss t es: \textquotedblleft Damit gilt: $\underline{w^{\prime}%
}=w_{k}\cdots w_{d}w_{1}\cdots w_{k-1}\sim\underline{w}$\textquotedblright.
Dies sollte durch \textquotedblleft Damit gilt: $\underline{w^{\prime}}%
=x_{k}\cdots x_{d}x_{1}\cdots x_{k-1}\sim\underline{w}$\textquotedblright%
\ ersetzt werden.

\item \textbf{Seite 16, Beweis von Satz 1.12:} Am Anfang des Beweises von
Aussage (3) ersezte \textquotedblleft und bildet nach (1)\textquotedblright%
\ durch \textquotedblleft und bildet nach (1) und (2)\textquotedblright.

\item \textbf{Seite 16, Beweis von Satz 1.12:} \textquotedblleft deren
L\"{a}nge\textquotedblright\ $\rightarrow$ \textquotedblleft dessen
L\"{a}nge\textquotedblright.

\item \textbf{Seite 16, Beweis von Satz 1.12:} Der Beweis von $\left\vert
X\right\vert ^{n}=\sum_{d\mid n}\sum_{K_{d}}\left\vert K_{d}\right\vert $, der
hier gegeben wird, ist unn\"{o}tig kompliziert. Stattdessen w\"{u}rde ich
anders argumentieren (ohne Konjugiertenklassen von W\"{o}rtern in $X^{n}$ zu betrachten):

Die Abbildung $\pi$ ist injektiv und surjektiv, wenn man ihre Zielmenge auf
die Menge aller primitiven Worte mit L\"{a}nge $\mid n$ einschr\"{a}nkt.
Folglich ist
\begin{align*}
\left\vert X^{n}\right\vert  &  =\left(  \text{Anzahl aller primitiven Worte
mit L\"{a}nge }\mid n\right) \\
&  =\sum_{d\mid n}\left(  \text{Anzahl aller primitiven Worte mit L\"{a}nge
}d\right) \\
&  =\sum_{d\mid n}\sum_{K_{d}}\left\vert K_{d}\right\vert .
\end{align*}


\item \textbf{Seite 16, Beweis von Satz 1.12:} Nach \textquotedblleft
enthalten\textquotedblright\ w\"{u}rde ich einf\"{u}gen: \textquotedblleft(und
sonst keine anderen Buchstaben)\textquotedblright.

\item \textbf{Seite 20, Beweis von Lemma 1.17:} \textquotedblleft einen echten
Rechtsfaktor $t$ von $sv$\textquotedblright\ $\rightarrow$ \textquotedblleft
einen echten Rechtsfaktor $t\neq\i$ von $sv$\textquotedblright.

\item \textbf{Seite 21, Beweis von Proposition 1.18:} \textquotedblleft einen
echten Rechtsfaktor $s$ von $u$\textquotedblright\ $\rightarrow$
\textquotedblleft einen echten Rechtsfaktor $s\neq\imath$ von $u$%
\textquotedblright.

\item \textbf{Seite 21, Beweis von Proposition 1.19:} \textquotedblleft
geh\"{o}rige Rechtsfaktor\textquotedblright\ $\rightarrow$ \textquotedblleft
geh\"{o}rige echte Rechtsfaktor\textquotedblright.

\item \textbf{Seite 39, Beweis von 2.7.6:} In \textquotedblleft$m=r_{1}%
x_{1}+\cdots r_{k}x_{k}$\textquotedblright\ fehlt ein Pluszeichen vor
\textquotedblleft$r_{k}$\textquotedblright.

\item \textbf{Seite 40, Proposition 2.8:} Die Definition von $J^{k}$ in der
Fussnote ist nicht ganz richtig. F\"{u}r $k=0$ f\"{u}hrt sie n\"{a}mlich zu
$J^{0}=\mathbb{Z}\cdot1_{R}$, w\"{a}hrend die Behauptung von Proposition 2.8
Aussage (1) (und auch die sp\"{a}teren Anwendungen der Notation in Kapitel 4)
jedoch $J^{0}=R$ ben\"{o}tigen w\"{u}rde.

Ich schlage also vor, die Fussnote durch folgende Definition zu ersetzen:
\textquotedblleft$J^{k}$ ist definiert als $\left\langle J\left(  k\right)
\right\rangle _{^{R}\mathfrak{M}}$ und ist offensichtlich ein Linksideal von
$R$. F\"{u}r $k>0$ stimmt $J^{k}$ ferner \"{u}berein mit dem additiven
Abschluss von $J\left(  k\right)  $.\textquotedblright.

\item \textbf{Seite 44, kurz vor Korollar 2.13:} \textquotedblleft statt
$rk_{Z}\left(  M\right)  $\textquotedblright\ $\rightarrow$ \textquotedblleft
statt $rk_{\mathbb{Z}}\left(  M\right)  $\textquotedblright.

\item \textbf{Seite 45, Beweis von Satz 2.14:} Im Ausdruck%
\begin{align*}
&  \min\left\{  n\ \mid\ n\in\mathbb{N}\text{, es gibt eine }\mathfrak{M}%
\text{-Basis }X\text{ von }A\text{ und }x,x_{1},\ldots,x_{k}\in X,\right. \\
&  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.  l_{1},\ldots,l_{k}%
\in\mathbb{Z}\text{ mit }nx+l_{1}x_{1}+\cdots+l_{k}x_{k}\in B\right\}
\end{align*}
sollten die Elemente $x,x_{1},\ldots,x_{k}$ als verschieden vorausgesetzt
werden (oder zumindest $x_{i}\neq x$).

\item \textbf{Seite 45, Beweis von Satz 2.14:} \textquotedblleft eine
$\mathfrak{M}$-Basis $X$ von A\textquotedblright\ $\rightarrow$
\textquotedblleft eine $\mathfrak{M}$-Basis $X$ von $A$\textquotedblright.

\item \textbf{Seite 48, 2.15.2:} Die \textquotedblleft$\Longrightarrow
$\textquotedblright-Richtung von diesem \textquotedblleft$\Longleftrightarrow
$\textquotedblright-Zeichen gilt nur, wenn $K\neq0$ ist.

\item \textbf{Seite 49, Beweis zu 2.16:} \textquotedblleft$^{K}\mathfrak{A}%
_{1}$-Homomorphismus von $KX^{\left(  +\right)  }$ in $M$\textquotedblright%
\ $\rightarrow$ \textquotedblleft$^{K}\mathfrak{A}_{1}$-Homomorphismus von
$KX^{\left(  \ast\right)  }$ in $M$\textquotedblright.

\item \textbf{Seite 50:} Das Wort \textquotedblleft
konstanten\textquotedblright\ (in \textquotedblleft der konstanten Abbildungen
von $X^{\ast}$ in $K$\textquotedblright) ist zweideutig. Gemeint sind hier
wohl die Abbildungen, die den konstanten Potenzreihen entsprechen (also die
alle nichtleeren W\"{o}rter auf $0$ senden). Als Abbildungen gesehen sind sie
nat\"{u}rlich alles andere als konstant.

\item \textbf{Seite 50:} Muss die Abbildung wirklich $\iota$ genannt werden?
Der Unterschied zwischen den Symbolen $\iota$ (f\"{u}r diese Abbildung) und
$\imath$ (f\"{u}r das leere Wort) ist wirklich schwer zu erkennen...

\item \textbf{Seite 50:} \textquotedblleft(die o.B.d.A. das Element $\iota$
nicht enth\"{a}lt)\textquotedblright\ $\rightarrow$ \textquotedblleft(die
o.B.d.A. das Element $\imath$ nicht enth\"{a}lt)\textquotedblright.

\item \textbf{Seite 50:} In \textquotedblleft wobei der wegen $\iota\notin
K\left\langle \left\langle X\right\rangle \right\rangle $ in $K\left\langle
\left\langle X\right\rangle \right\rangle $ undefinierte Term $r_{\iota}\iota$
zu $r_{\iota}$ definiert wird\textquotedblright\ sollten die \textquotedblleft%
$\iota$\textquotedblright s wohl allesamt \textquotedblleft$\imath
$\textquotedblright s sein.

\item \textbf{Seite 51, Beweis von 2.17.3:} Ersetze \textquotedblleft$\left(
1_{K}+w\right)  \sum_{j=0}^{n-1}\left(  -w\right)  ^{j}+\left(  1_{K}%
+w\right)  \sum_{j\geq n}\left(  -w\right)  ^{j}$\textquotedblright\ durch
\textquotedblleft$\left(  1_{K}+w\right)  \sum_{j=0}^{n}\left(  -w\right)
^{j}+\left(  1_{K}+w\right)  \sum_{j>n}\left(  -w\right)  ^{j}$%
\textquotedblright.

\item \textbf{Seite 52, Beweis von 2.17.4:} Das Pluszeichen in
\textquotedblleft$1_{K}-nw+nw^{2}$\textquotedblright\ sollte wohl ein Minus sein.

\item \textbf{Seite 54, Beweis von Satz 2.19:} Im Beweis von Aussage (4)
verstehe ich nicht, wie auf \textquotedblleft Daher gibt es erst recht keine
nichttriviale $Y$-Darstellung von $1_{F}$\textquotedblright\ geschlossen wird.
Woraus folgt dies genau? Eine nichttriviale $Y$-Darstellung von $1_{F}$
k\"{o}nnte sich ja auf eine triviale $\overline{Y}$-Darstellung von
$1_{F/F^{\prime}}$ herunterprojizieren.

\item \textbf{Seite 57, Definition 3.3:} \textquotedblleft von
von\textquotedblright\ $\rightarrow$ \textquotedblleft von\textquotedblright.

\item \textbf{Seite 78, Proposition 4.2:} Haarspalterei, aber: Ideale von
nichtassoziativen Algebren wurden noch gar nicht definiert (und ihre
Abgeschlossenheit unter Durchschnittsbildungen auch nicht gezeigt).

\item \textbf{Seite 82, Beweis von Proposition 4.6:} Ich w\"{u}rde
\textquotedblleft$\overline{r^{\left(  i\right)  }}\circ\overline{s^{\left(
j\right)  }}\in\left\langle \overline{H}\right\rangle _{K}$\textquotedblright%
\ durch \textquotedblleft$\overline{r^{\left(  i\right)  }}\circ
\overline{s^{\left(  j\right)  }}\in\left\langle \overline{H_{\left(
w\mu\right)  }}\right\rangle _{K}$\textquotedblright\ ersetzen.

\item \textbf{Seite 83, Beweis von Proposition 4.7:} Im Beweis von Aussage (2)
ersetze \textquotedblleft$L+L^{\dot{2}}\cdots+L^{n\dot{-}1}$\textquotedblright%
\ durch \textquotedblleft$L+L^{\dot{2}}+\cdots+L^{n\dot{-}1}$%
\textquotedblright.

\item \textbf{Seite 85, Diagramm am Anfang der Seite:} Ersetze
\textquotedblleft$\mathfrak{L}^{X}$\textquotedblright\ durch \textquotedblleft%
$\mathcal{L}^{X}$\textquotedblright.

\item \textbf{Seite 85, 4.8.2:} $\mathcal{L}_{\nu}^{X}$ wurde noch nicht
definiert. (Vermutlich sollte es als $\mathcal{L}^{X}\cap X^{\nu}$ definiert werden.)

\item \textbf{Seite 86, Hauptsatz 4.10:} In Aussage (1) sollte nach
\textquotedblleft Die Abbildung $\left[  .\right]  $\textquotedblright%
\ hinzugef\"{u}gt werden: \textquotedblleft(durch Linearit\"{a}t erweitert auf
$KX^{\ast}$)\textquotedblright.

\item \textbf{Seite 87, Beweis von Hauptsatz 4.10:} Ich w\"{u}rde
\textquotedblleft$\left\langle \left[  \mathcal{L}^{X}\right]  \right\rangle
_{^{K}\mathfrak{A}}=KX^{\ast}$\textquotedblright\ durch \textquotedblleft%
$\left\langle \left[  \mathcal{L}^{X}\right]  \right\rangle _{^{K}%
\mathfrak{R}}=KX^{\ast}$\textquotedblright\ ersetzen, damit die
Liealgebrastruktur auf $KX^{\ast}$ nicht irrt\"{u}mlicherweise f\"{u}r die
hier gemeinte $^{K}\mathfrak{A}$-Struktur gehalten wird.

\item \textbf{Seite 88:} \textquotedblleft Epimomorphismus\textquotedblright%
\ $\rightarrow$ \textquotedblleft Epimorphismus\textquotedblright.
\end{itemize}


\end{document}